авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 15 |

«Е. М. Левич Математическое моделирование и компьютерная математика. Иерусалим, 2009 1 Содержание ...»

-- [ Страница 10 ] --

На развитие логики большое влияние оказало введение в рассмотрение де Морганом такого понятия, как отношения. В своей книге «Формальная логика» (1847) де Морган высказал идею о том, что логика должна заниматься изучением отношений в общем виде.

Таким образом, он вместе с Булем заложил фундамент математизированной логики, которая нашла свое развитие в серии статей, опубликованных в 1870—1893 годах Ч.С.

Пирсом, и в окончательном виде оформилась в работах Э. Шредера.

Пирс внес ряд новшеств, сыгравших значительную роль в математизации логики. Во первых, он стал более подробно изучать так называемые пропозициональные функции и распространил на них логику. Эти функции являются подобием математических функций.

Если математические функции определены на множестве чисел, то пропозициональные функции определены на множестве высказываний. Во-вторых, Пирс ввел в логику и так называемые кванторы. Основная цель введения кванторов – это обеспечение однозначности высказываний, употребляемых в логике. Эти новшества позволили существенно расширить границы логики, ибо сумели охватить те типы рассуждений, которые используются в математике.

Будучи представлена как раздел алгебры, логика являла собой совокупность вычислительных процедур, которые переносили отношения между числовыми переменными на отношения между переменными содержания. Однако, несмотря на зримые результаты, такой подход таил одно парадоксальное следствие. С одной стороны, логика представлялась разделом математики;

с другой стороны, принимаемая как наука об универсальных законах мышления, логика должна была бы оправдать в том числе и математические рассуждения. Выход был найден Г. Фреге, который взамен математизированной логики предложил логизированную математику.

Вклад Фреге в создание математической логики трудно переоценить. Отметим только некоторые его достижения. Во-первых, он ввел в рассмотрение различие между простым утверждением высказывания и утверждением, что данное высказывание истинно. В последнем случае Фреге ставил перед высказыванием специальный символ. Он проводил различие между объектом x и множеством {x}, содержащим только x, между элементом, принадлежащим множеству, и включением одного множества в другое.

Во-вторых, Фреге формализовал более широкое понятие импликации – так называемую материальную импликацию.

Под материальной импликацией понимается суждение об истинности высказываний в рассуждениях типа «если …, то …». Так, если p и q — высказывания, и p истинно, то из истинности импликации «если p, то q » («из p следует q », или « p влечет за собой q ») можно заключить, что q также истинно. Если же p ложно, то независимо от того, ложно или истинно q, материальная импликация «если p, то q » считается истинной. И только в том случае, если p истинно, а q ложно, импликация считается ложной. Понятие материальной импликации расширяет привычное употребление связки «если…, то…». Положение, когда из ложного высказывания может следовать что угодно, вызывало критику со стороны ряда математиков, среди которых был и А. Пуанкаре. Однако, несмотря на все попытки усовершенствовать понятие импликации, именно материальная импликация стала стандартным понятием, по крайней мере в математической логике, используемой как основа современной математики.

В-третьих, Фреге построил логику как аксиоматическую дедуктивную символическую теорию, что и завершило создание математической логики.

Фреге стремился своими трудами по логике заложить новую основу арифметики, алгебры и математического анализа – более строгую, чем удалось создать до него. Он разработал программу создания легализированной математики, получившей название логицизма. В общем виде эта программа заключается в двух принципах: во-первых, все понятия арифметики должны быть преобразованы в утверждения логики;

во-вторых, в результате такого перевода все истины арифметики должны стать истинами логики. Если учесть, что вся математика может быть сведена к арифметике, данная программа представляет собой проект последовательного выведения всего математического знания из логического.

Решению этой задачи мешало одно препятствие. Дело в том, что язык, обычно применяемый математиками в своих рассуждениях, обладал значительными недостатками.

Во-первых, использовались термины, имеющие различное толкование, а во-вторых, приводимые математиками доказательства утверждений не были полными, ибо опускались утверждения, которые считались очевидными. Фреге в своей работе «Исчисление понятий»

(1879) ввел необходимую символику и с ее помощью построил логику на основе явно сформулированных аксиом. К сожалению, символика Фреге была чрезвычайно сложной и непривычной для математиков, в силу чего работы Фреге оказали слабое влияние на современников. Более того, создание этой программы закончилась неудачей. Выполнив огромную работу, Фреге должен был признать наличие противоречий в своей системе, на которые ему указал Б. Рассел, и отказаться от дальнейших исследований в этом направлении.

Более удачной оказалась символика, которую разработал Дж. Пеано. Эту символику Пеано применил для записи не только законов логики, но и математических аксиом, а также для вывода теорем из аксиом с помощью преобразования по правилам математической логики комбинаций символов, выражающих аксиомы. Его символика оказала огромное влияние на развитие работ по основаниям математики. Пеано основал школу математических логиков, в то время как работы Пирса и Фреге, по существу, оставались незамеченными, пока Б. Рассел не «открыл» в 1901 году работы Фреге. О работах Пеано Рассел узнал в 1900 году и счел символику Пеано более удачной, чем символика Фреге.

Б. Рассел независимо от Фреге, наметил ту же программу, что и Фреге. Эту программу он пытался осуществить в своих «Принципах математики» (1903), где он прямо говорит:

«Тот факт, что вся математика есть ни что иное, как символическая логика, — величайшее открытие нашего века». В начале ХХ века Рассел становится основной фигурой в логицизме, который он из математического направления превратил в философское направление, заложив фундамент логического позитивизма. На него оказал большое влияние Пеано, с которым он встретился на II Международном конгрессе математиков в 1900 году:

«Конгресс стал поворотным пунктом в моей интеллектуальной жизни, потому что на нем я встретил Пеано. Я уже знал его имя и некоторые из его работ. … Мне стало ясно, что используемые им обозначения представляют собой тот инструмент анализа, на поиск которого я затратил не один год, и что, изучив обозначения Пеано, я обрету новый мощный аппарат, о создании которого давно мечтал».

Так писал Б. Рассел в своей «Автобиографии» (1951). Идеи, в общих чертах намеченные Расселом в «Принципах математики», были подробно развиты им совместно с А.Н.

Уатхейдом в трехтомном труде «Основания математики» (1910—1913). Этот труд содержал окончательный вариант изложения позиции логицизма.

Логицизм был, по существу, первым приложением математической логики к обоснованию математики. В конце XIX века создалась совершенно новая ситуация в математике. Создание неколичественной алгебры, теории трансфинитных чисел, изощренных неевклидовых геометрий и т.п. все более зримо указывало на отсутствие связи между математическими положениями и эмпирическим исследованием. Наличие независимых друг от друга, но в равной степени обоснованных неевклидовых геометрий требовало нового обоснования специфики математического рассуждения.

Таким образом, математика все более уходила от эмпирической основы, что привело к двум важным следствиям. Во-первых, математические символы все более и более теряли конкретную связь с пространственными и количественными отношениями, приобретая формальный характер. Это уже было свойственно логике, которая, отвлекаясь от мысли, оперирует чистыми формами, репрезентирующими последовательность рассуждений.

Математика становилась наукой о порядке. Во-вторых, математическое знание более не рассматривалось как совокупность истин об особом роде предметов, что было установлено со времен Платона, а понималось как выведение следствий. Математики отказываются от понимания истины как определенной адеквации между продуцируемым знанием и действительностью. Критерием истины становится непротиворечивость следствий, полученных из исходных постулатов. Стало быть, и в этом отношении логика, как анализ непротиворечивости рассуждения, приобретает исключительное значение. Оба следствия по существу содержат требование логического прояснения лежащих в основании математики понятий. Исследование должно выявить их структурные особенности, обеспечивающие возможность сугубо формального подхода, и гарантировать непротиворечивость формулируемых с их помощью постулатов.

Одним из символов описанного выше процесса явилось создание Кантором теории множеств, которая в течение короткого времени превратилась в мощный инструмент математических исследований. Благодаря трудам Пуанкаре, Гильберта, Фреге и других ученых, математика стала быстро принимать теоретико-множественный облик. Однако начавшийся триумф теории множеств был прерван в начале ХХ века открытием целого ряда парадоксов (противоречий) в ее основе.

Пионером в стремлении избавить математику от этих противоречий выступил Рассел, который в упомянутых выше книгах попытался на основе логицизма реформировать логику так, чтобы можно было избежать парадоксов при осуществлении программы, намеченной еще Фреге. Рассел исходит из того, что общий источник возникновения парадоксов состоит в том, что в суждении высказывается мысль не только о внешних по отношению к этому суждению предметах, но одновременно и о самом суждении, или, иначе, суждение оборачивается само на себя. Рассел исключает такого рода суждения из математического языка посредством своей теории типов или теории логических ступеней.

Суть этой теории состоит в том, что математические высказывания делятся на классы в соответствии с областью определения. Пусть имеется некоторое множество объектов. К первому типу относятся высказывания о свойствах этих объектов;

ко второму типу – высказывания о свойствах объектов первого типа, и т.д. Основное правило теории типов состоит в том, что каждый предикат относится только к определенному типу и может быть осмысленно применен только к объектам нижележащего типа;

он не может быть применен к предикатам более высокого ранга или к самому себе как объекту.

Идея ступенчатой логики позволяет исключить все известные парадоксы теории множеств. Однако усовершенствованная таким образом логическая программа при попытке «переписать» математические утверждения на логическом языке встретилась с рядом технических трудностей. Оказалось, что для преодоления этих трудностей необходимо ввести по крайней мере три новые аксиомы, содержание которых противоречит сути логицизма. Таким образом, логицизм как программа полного сведения математики к логике в какой-то мере сам подставил себя под сомнение в результате своего развития.

Критика логицизма основывалась на ряде положений. Во-первых, логицизм, сведя к логике систему аксиом целых чисел, тем самым свел к логике арифметику, алгебру, математический анализ, но не свел к логике «неарифметические» разделы математики, например, геометрию, топологию и абстрактную алгебру. Во-вторых, если основной тезис логицизма верен, то вся математика является чисто формальной, логико-дедуктивной наукой, теоремы которой следуют из законов мышления. Но тогда становится необъяснимым, как могут законы мышления с помощью дедукции привести к описанию неисчерпаемого разнообразия явлений природы и т.п. В-третьих, в процессе развития математики новые понятия, которые математики вводят в рассмотрение, обычно формируются из опыта, чувственной или образной интуиции, что ограничивает их сводимость к логическим понятиям.

Против логицизма выступил ряд ведущих математиков, в числе которых можно указать Гильберта и Пуанкаре. Гильберт видел в логическом обосновании математики порочный круг, ибо «внимательно присматриваясь, мы замечаем, что при обычном изложении законов логики применяются некоторые основные понятия арифметики» (Д. Гильберт, В. Аккерман, 21, с.325).

Пуанкаре охарактеризовал логицизм как безнадежную попытку свести бесконечное к конечному. Он говорил:

«Как бы там ни было, логистика должна быть переделана, и неизвестно, что в ней может быть спасено. Бесполезно прибавлять, что на карту поставлены только канторизм и логистика.

Истинные математические науки, т.е. те, которые чему-нибудь служат, могут продолжать свое развитие только согласно свойственным им принципам, не заботясь о тех бурях, которые бушуют вне их;

они будут шаг за шагом делать свои завоевания, которые являются окончательными и от которых им никогда не будет нужды отказываться» (А. Пуанкаре, 68, с. 397).

Еще в то время, когда логицизм переживал период становления, группа математиков, называвших себя интуиционистами, предложила совершенно другой подход к математике, основанный на другой логике. Исходным пунктом интуиционизма – направления в обосновании математики, созданном Брауэром и его последователями (Гейтингом, Г.

Вейлем и другими), является вера в то, что некоторые объекты математики, а также некоторые операции, связанные с ними, безусловно ясны во всех своих свойствах, и оперирование с ними никогда не сможет привести к противоречивым заключениям.

Центральная идея этого направления заключается в специфическом понимании математического существования. Математический объект существует, если он дан интуитивно или может быть сконструирован, построен мысленно посредством интуитивно ясных операций над интуитивно ясными элементами. Любой объект в интуиционистской системе математики должен быть введен «снизу», построен на основе более элементарных объектов, но не задан «сверху» в рамках системы аксиом, связывающих абстрактные сущности.

Следствием этого подхода является отношение интуиционистов к рассмотрению бесконечных множеств. Если в классической математике рассматриваются актуальные (экзистенциальные) бесконечности, то в интуиционистской математике – только потенциальные (конструктивные) бесконечности. В связи с этим Г. Вейль в своей статье «Математика и логика» писал:

«Брауэр выяснил и, как мне кажется, не оставил никакого сомнения в том, что не существует доводов, защищающих веру в экзистенциальный характер совокупности всех натуральных чисел.

… Этот ряд чисел, который растет, не останавливаясь ни на какой стадии, за счет перехода к следующему числу, представляет собой многообразие возможностей, открытых до бесконечности;

он вечно остается в состоянии становления, а не является замкнутым царством вещей, существующих в себе. То, что мы слепо превращаем одно в другое, является истинным источником наших трудностей, в том числе аномалий, — источником более глубокой природы, чем указанный Расселом принцип порочного круга. Брауэр открыл нам глаза и показал, как далеко классическая математика, вскормленная превосходящей всякую человеческую способность реализации верой в «абсолютное», идет дальше таких утверждений, которые могут претендовать на реальный смысл и истинность, основанную на доказательствах».

Интуиционисты по отношении к логике занимали резко контрастирующую позицию с логицизмом. Они считали, что логика принадлежит языку.

«Она дает систему правил, позволяющих осуществлять дедуктивный вывод новых словесных связок, предназначенных для передачи истины. Однако эти истины не относятся к числу постигаемых непосредственно и даже постигаемых вообще. Логика не является надежным инструментом для открытия истин и не может открыть истины, не получаемые каким-то другим путем. Логические принципы – это закономерности, наблюдаемые апостериорно в языке. Их можно назвать удобным инструментом для манипулирования языком или считать, что они образуют теорию представления языка. Логика – это наделенные внутренней структурой словесные построения и не более того. Самые значительные успехи в математике достигнуты не за счет усовершенствования логической формы, а в результате изменений основной теории. Логика строится на математике, а не математика на логике. Логика обладает гораздо меньшей определенностью, чем наши интуитивные представления, и поэтому математика не нуждается в поддержке со стороны логики. Если посмотреть исторически, то принципы логики сначала были абстрагированы из опыта, накопленного в обращении с конечными множествами, после чего их объявили обладающими априорной справедливостью и в дополнение ко всему распространили на бесконечные множества» (М. Клайн, 39, с. 274).

Отрицая неконструктивные объекты и определения, интуиционизм не признает также и так называемых чистых доказательств существования, т.е. существования объектов без гарантии соответствующего объекта. Изъятие чистых доказательств существования приводит к радикальной реформе логики. Поскольку такие доказательства опираются на правило снятия двойного отрицания (т.е. двойное отрицание истинного утверждения является истинным утверждением), то это правило исключается из числа допустимых. Из подобных соображений отбрасывается закон исключенного третьего и зависимые от него правила пропозиционального исчисления. Основные формы исчисления предикатов подвергаются существенной переинтерпретации. Понятию отрицания придается смысл, совершенно отличный от того, в каком он используется в обычном языке и в классической математике. Отрицание существования A (утверждение A ) означает здесь не просто отсутствие или даже каким-то косвенным образом доказанную невозможность построения A, но наличие построения, которым доказывается невозможность построения A, или, иначе, наличие интуиционистски корректного рассуждения, которое сводит к противоречию допущение о возможности построения A.

В интуиционистской математике, таким образом, как утверждение, так и его отрицание имеют позитивный смысл, поскольку связаны с построением. При таком понимании отрицания закон исключенного третьего не может быть принят как универсальный, так как из невозможности построения A не вытекает его наличие для A, и наоборот. Формальная система логики, учитывающая указанные изменения в истолковании логических констант и кванторов, была построена Гейтингом в 1930 году, и носит название интуиционистской логики, или логики интуиционистского доказательства.

Следует отметить, что логика не занимает в системе интуиционизма того решающего места, которое она занимала в системе логицизма. Математика здесь обладает самостоятельным, нелогическим содержанием, и хотя она не абстрагируется из опыта, тем не менее не берется и из логики. Логика — не основа, а лишь некоторое следствие математики, абстрактное выражение фактических форм ее мышления.

Отбрасывая чистые доказательства существования и соответственно ограничивая логику рассуждения, интуиционизм отказывается от значительной части результатов классической математики. В особенности это относится к математическому анализу и теории множеств.

Очевидная ограниченность интуиционистской математики по отношению к классической явилась главной причиной отказа математиков искать в интуиционизме разрешение проблем обоснования математики в целом. Математики в своей значительной части отказались принять основные философские посылки интуиционизма. Эти посылки были следующими: точное математическое мышление происходит вне языка;

математика должна быть сведена к небольшому количеству интуитивно ясных понятий;

математика должна быть содержательной, т.е. иметь дело лишь с определениями, которым поставлен в соответствие конструктивный объект;

конечное должно быть положено в обоснование бесконечного, но не наоборот;

логика – часть математики;

логика зависит от объектов рассуждения;

логика не может быть адекватно представлена в формальной системе.

Исходя из критического анализа логицизма и интуиционизма, Гильберт предложил свой путь обоснования математики, который был назван формализмом. Основная философская предпосылка этого подхода заключалась в том, что обоснование математической теории является исключительно обоснованием ее непротиворечивости. Процедура обоснования математической теории включала в себя два этапа. Теория должна быть, во-первых, формализована, представлена как совокупность формул, строчек символов, соединенных логическими константами. Для этого необходимо записать в логических символах ее аксиомы и явно сформулировать (в виде формул) допустимые правила логики.

Формализация Гильберта не требует сведения математики к логике, а просто состоит в использовании логических символов для записи математических утверждений. Будучи формализованной, теория по своей структуре является уже не системой осмысленных предложений, а системой фраз, рассматриваемых как последовательность слов, которые, в свою очередь, являются последовательностью букв. Таким образом, при абстрагировании математическая теория отделяется от смысла. Результат абстрагирования математической теории называется формальной теорией, или формализмом. Во-вторых, требуется доказать непротиворечивость этой системы аксиом вместе с ее логическими правилами, исходя только из ее формальной структуры, т.е. на чисто синтаксическом уровне.

Записав все математические и логические аксиомы в виде символических формул, Гильберт подготовил все необходимое для ответа на вопрос: что следует понимать под объективным доказательством? Согласно Гильберту, строгое доказательство складывается из трех этапов: 1) предъявление некоторой формулы;

2) утверждение, что из предъявленной формулы следует другая формула, и 3) предъявление второй формулы.

Последовательность этих трех этапов, в которой вторая предъявляемая формула является следствием из принятых ранее аксиом или ранее выведенных заключений, и является доказательством теоремы. Допустимой операцией считается также подстановка одного символа или группы символов вместо другого символа или группы символов. Таким образом, вывод формулы сводится к применению логических аксиом для манипуляции с символами ранее выведенных формул или аксиом.

Формула истинна в том и только в том случае, если ее можно получить как последнее звено последовательности формул, каждый член которой либо представляет собой аксиому формальной системы, либо выведен с помощью одного из правил вывода. Собственно математику формалист рассматривает как набор формальных систем, каждая из которых имеет свою логику, обладает своими собственными понятиями, своими аксиомами, своими правилами дедуктивного вывода и своими теоремами. Развитие каждой из этих формальных систем и составляет задачу математики.

Для доказательства непротиворечивости любой формальной системы был разработан метод, получивший название метаматематики или теории доказательств. С точки зрения метаматематики, как мы уже говорили выше, формальная теория является вовсе не теорией в прежнем смысле слова, а системой бессодержательных предметов, аналогичных позициям в шахматной партии, над которыми проделываются механические манипуляции, подобно шахматным ходам. Таким образом, формальная теория описывается и изучается как система символов и предметов, построенных из символов. По определению, этим исчерпывается роль формальной системы как предмета изучения метаматематики.

В основу метаматематики Гильберт предложил особую логику, с помощью которой он и проводит исследование формальных систем. Истинность ее законов достаточно очевидна и на первый взгляд не вызывает никаких возражений. Это означает, что эта логика является содержательной теорией. Она близка к интуиционизму, согласно основным идеям, заложенным в построение этой логики. Все спорные моменты – доказательство существования от противного, трансфинитная индукция, актуальная бесконечные множества, непредикативные определения – старательно изгоняются. Доказательства существования должны быть конструктивными. Гильберт считал приемлемыми бесконечные множества и другие чисто интеллектуальные элементы и утверждал, что если аксиомы какой-либо области математики, включающие закон исключенного третьего и закон противоречия, не приводят к противоречию, то тем самым гарантируется существование объектов, удовлетворяющих этим аксиомам. Другими словами, существование любого математического объекта гарантируется непротиворечивостью той области математики, в которой он введен.

Все три программы, выдвинутые в начале ХХ века, достигли известных успехов, однако все в дальнейшем столкнулись с большими трудностями. Природа этих затруднений стала ясной с появлением в 1931 году статьи К. Геделя «О формально неразрешимых утверждениях Principia mathematica и родственных систем», где он доказал две широкоизвестные в настоящее время метатеоремы. Первая теорема Геделя (о неполноте) утверждает, что если формальная система, содержащая арифметику, непротиворечива, то она неполна. Это означает, что данная система содержит истинные утверждения, формулируемые в ее исходных понятиях, которые недоказуемы и неопровержимы в этой системе. Вторая теорема (о непротиворечивости) утверждает, что если арифметика или система, включающая ее, непротиворечива, то доказательство этой непротиворечивости не может быть достигнуто в метаязыке, допускающем представление в арифметическом формализме.

Эти теоремы оказали отрицательное влияние на логицизм и формализм. Во-первых, из первой теоремы Геделя следует, что полная формализация всей содержательной математики не может быть принципиально реализована. На философском уровне это означает, что содержательное математическое знание нельзя полностью отобразить с помощью формальных систем. Так как логицизм ставил своей задачей свести всю математику к логике, то, в силу сказанного, эта задача невыполнима, ибо логическое исчисление (расширенное исчисление предикатов), даже дополненное определенными аксиомами, недостаточно для того, чтобы доказать все истинные арифметические теоремы.

Во-вторых, поскольку из аксиом достаточно богатых математических теорий нельзя полностью получить все ее истинные утверждения в силу принципиальной их неполноты, то это означает, что истинность в математике не совпадает с доказазуемостью. Стало быть, прежнее широко распространенное мнение о математике как чисто дедуктивной науке, все утверждения которой могут быть выведены из небольшого числа аксиом, оказывается явно несостоятельным.

В-третьих, из второй теоремы Геделя можно сделать вывод, что любая попытка доказать раз и навсегда формальную непротиворечивость математики обречена на неудачу.

Но замысел Гильберта, как мы видели, как раз состоял в том, чтобы вопрос о непротиворечивости решить в сфере метаязыка, обладающего более ограниченной логикой, чем та, которая содержится в самом языке. Однако это в принципе неосуществимо.

Появление в 1931 году двух теорем Геделя о неполноте, в 1933 году — работы Тарского о понятии истинности в формализованных языках, в 1934 годах понятия «общерекурсивной функции» Эрбрана—Геделя и в 1936 году связанного — с ним тезиса Черча возвещает новую эру, в которой математические средства применяются для оценки как прежних программ, так и новых, не предвиденных ранее направлениях.

Одним из новых направлений, возникших в этот период, является конструктивное направление. Оно оформилось в виде общей теории конструктивных процессов или алгоритмов для вычисления функций или разрешения предикатов (т.е. отношений и свойств). Алгоритмический подход является одной из главных черт, отличающей конструктивистские математику и логику от интуиционистских. Понятие алгоритма есть математизация (формализация и абстрагирование) понятия методики решения однородного класса вычислительных задач, которое мы широко использовали в предыдущей главе. В рамках конструктивного направления класс однородных конкретных вычислительных задач, которые различаются только значениями параметров, входящих в условие задач, обычно называют массовой задачей.

Формальное понятие алгоритма появилось только после того, как была создана теория общерекурсивных функций в связи с выделением определенного класса теоретико математических функций. Это функции, относительно которых интуитивно полагают, что они допускают эффективное вычисление с помощью формальной процедуры. Определение общерекурсивных функций было дано в 1934 году Геделем, который исходил из идей Эрбрана. Отождествление общерекурсивных функций с эффективно вычислимыми функциями, которое обычно называют тезисом Чёрча, было впервые предложено Чёрчем в 1936 году. Тьюринг независимо предложил аналогичный тезис для класса вычислимых функций, введенного им в 1936—37 годах (этот класс менее детально был независимо определен Постом в 1936 году). Эти функции были введены с помощью метода, который получил название машины Тьюринга—Поста. В 1937 году Тьюринг доказал, что введенный им класс функций совпадает с классом общерекурсивных функций.

Впоследствии другие эквивалентные определения были предложены Постом (1943) и Марковым (1951). На этой базе была развита обширная теория, включающая в себя ряд различных направлений, например, проблемы разрешимости, иерархии, степени неразрешимости, типы рекурсивной эквивалентности, рекурсивный анализ.

Развитие этого конструктивного направления заложило теоретические основы для создания компьютеров.

Действительно, ведь все великолепие математики в том и состоит, что в ней мы не знаем, о чем толкуем. Ее законы, ее доказательства, ее логика не зависят от того, чего они касаются, - и в этом своя, особая красота.

Феймановские лекции по физике.

7.2. Математическая логика как интеллектуальное познание.

Рассмотрение логики как интеллектуального познания, как мы уже отмечали выше, сталкивается с определенной двойственностью. Она заключается в том, что, с одной стороны, логика является предметом исследования, а с другой стороны, логика лежит в центре методологии, с помощью которой изучается логика. Таким образом, необходимо различать логику, которую изучают, и логику, с помощью которой это делается. Поэтому имеется два языка. Изучаемая логика формулируется на некотором языке, который называется предметным языком, поскольку этот язык – так же, как и связанная с ним логика, – является предметом (объектом) нашего изучения. Язык же, в рамках которого мы исследуем предметный язык (употребляя при этом все логические средства, которые могут понадобиться), будем называть метаязыком. Соответственно можно говорить о предметной (или объектной) логике и металогике. В качестве предметной логики везде ниже мы будем рассматривать математическую логику.

Центральная идея математической логики состоит в том, чтобы записывать математические утверждения в виде последовательности символов и оперировать ими по формальным правилам. При этом правильность рассуждений можно проверить механически, не вникая в их смысл. К середине ХХ века, как отмечалось выше, эту идею удалось в основном осуществить. Принято считать, что всякое точно сформулированное математическое утверждение можно однозначно представить формулой, а всякое строгое математическое доказательство преобразовать в последовательность формул, подчиняющуюся конечному набору формул (эта последовательность называется формальным выводом).

Построение математической логики начинается с выбора конечного набора математических высказываний, которые называют элементарными высказываниями или элементарными формулами. Содержание этих высказываний не играет никакой роли в дальнейшем изучении, важно лишь уметь распознавать и различать их среди других высказываний. В частности, математические аксиомы можно рассматривать в качестве элементарных высказываний.

Кроме того, выделяются пять конкретных операций (конструкций), позволяющих из элементарных формул строить более сложные формулы. Эти конструкции называют также пропозициональными связками. Исходя из элементарных формул и используя эти связки, можно построить сложные формулы. Для однозначного прочтения сложных формул вводятся вспомогательные символы – скобки, указывающие, в каком порядке связываются символы между собой.

В дальнейшем относительно каждой элементарной формулы, кроме их идентификации, предположим, что она является либо истинной, либо ложной (но не той или другой одновременно). Пропозициональные связки можно определить как функции, заданные на множестве из двух элементов, со значениями в том же множестве. Тогда любая конкретная формула принимает определенное значение в том же множестве, которое зависит от входящих в нее элементарных формул, а также от связей между ними. Формулу, которая принимает значение истинности при всех входящих в нее элементарных формул, будем называть тавтологией.

Оказывается, что все тавтологии можно получить из некоторого конечного набора «аксиом» с помощью «правил вывода», которые имеют чисто синтаксический характер и никак не апеллируют к смыслу формулы, ее истинности. Таким образом, возникает формальная теория, которая получила название «исчисление высказываний».

Единственным правилом вывода в исчислении высказываний является правило со средневековым названием «modus ponens». Это правило утверждает, что если A — истинная формула, и утверждение «из A следует формула B » является истинным утверждением, то и B является истинной формулой. Modus ponens представляет собой пример силлогизма, т.е. правила, позволяющего из истинных высказываний получать истинные высказывания.

Выводом (дедукцией) в исчислении высказываний называется конечная последовательность формул, каждая из которых выводится из предыдущих по правилу modus ponens. Формула A называется выводимой в исчислении высказываний или теоремой исчисления высказываний, если существует вывод, в котором последняя формула совпадает с A.

Исчисление высказываний обладает ограниченными возможностями для представления в систематической форме математических утверждений. Для того, чтобы расширить возможности исчисления высказываний, Г. Фреге ввел в рассмотрение логику предикатов, которая позволила строить высказывания с учетом свойств изучаемых объектов и отношений между ними.

Как следует из названия, основным понятием (объектом исследования) является понятие предиката. Многоместный предикат P ( x1, x 2,..., x n ) — это утверждение об x1, x 2,..., x n, x1, x 2,..., x n объектах где рассматриваются как переменные.

x1 = a1, x 2 = a 2,..., x n = a n мы получаем утверждение Следовательно, при подстановке P ( a1, a 2,..., a n ), являющееся истинным или ложным.

Расширение логики высказываний до логики предикатов получается за счет включения в формулы утверждений, являющихся предикатами. Но при этом, поскольку предикаты относятся к изучаемым объектам, мы обязаны включить в теорию и сами объекты a1, a 2,..., a n, являющиеся значениями предикативных переменных. Поэтому, чтобы дать определение формул в логике предикатов, необходимо уточнить принципы описания в логике предикатов объектов. Это делается с помощью понятия «терм». Термами являются переменные x1, x 2,..., x n,…, объекты a1, a 2,..., a n, а также выражения вида f (t1, t 2,..., t n ), где f — функция от n переменных, ставящая в соответствие изучаемым объектам объект, а t1, t 2,..., t n — термы. В построении формул, кроме предикатов, также участвуют два квантора (квантор всеобщности и квантор существования), которые впервые были введены Ч.С. Пирсом, хотя идея квантификации переменных принадлежит Г.

Фреге. Квантор всеобщности интерпретируется как фраза «для всех…», а квантор существования – «существует…». В-четвертых, вводятся дополнительные аксиомы, содержащие кванторы. И, наконец, в-пятых, для вывода используются два дополнительных правила (правила Бернайса), которые связывают вывод с использованием кванторов.

За каждой формулой скрывается нечто, в связи с чем она была написана и о чем она повествует, т.е. ее содержание. Выяснить содержание формулы можно, обращаясь к реальному или интеллектуальному миру предметов. Делается это с помощью интерпретации формулы.

Интерпретация состоит в указании конкретного непустого множества M, называемого областью интерпретации, и некоторого правила, по которому каждому n местному предикату P ( x1, x 2,..., x n ) ставится в соответствие отношение P M n в M, а функциям n переменных f ( x1, x 2,..., x n ), участвующих в определении формул в рамках f : M n M на логики предикатов, конкретные функции M. При заданной интерпретации переменные, входящие в формулы, мыслятся пробегающими область M.

Содержанием при интерпретации формулы наполняются благодаря тому, что элементы множества M уже привязаны к конкретной реальности, знакомы и понятны. По той же причине нам становится ясным, когда формула при определенной фиксации своих переменных истинна и когда ложна.

Рассмотрим формулу A( x1, x 2,..., x n ) и ее некоторую интерпретацию. Формула A( x1, x 2,..., x n ) называется истинной в интерпретации, если она истинна при любом наборе xi = ai, где a i M. Эта формула называется выполнимой в интерпретации, если она истинна при некотором наборе xi = ai, где a i M. Интерпретация называется моделью для совокупности формул A1, A2,... Ak, если они истинны в.

Одним из основных понятий математической логики является понятие формальной теории или формализма, или исчисления. Формальная теория – это способ изложения логики без приписывания переменным, предикатам и формулам какого-либо значения. По замыслу создателей формальных теорий (Гильберта и других) таким образом можно избежать многих неприятностей, возникающих при использовании в логике человеческого языка, которые допускает двусмысленность, недосказанность, переиначивания исходно заложенного значения, смысла и т.д.

Формальная теория – это игра со знаками, игра со словами и предложениями, составленными из знаков. При этом имеется в виду, что правила составления слов из знаков и правила игры со словами и предложениями заранее оговорены, точно и строго прописаны. В основе формальной теории – язык, на котором «разговаривает теория». На первое место выходит синтаксис этого языка, т.е. способ построения формул и предложений, в противопоставлении семантике.

Формальная теория состоит из следующих компонент: множества знаков, образующих алфавит языка теории;

множества слов, составленных из знаков алфавита, называемых формулами;

подмножества формул всего множества формул, называемых аксиомами;

множества правил вывода, с помощью которых из формул получаются формулы.

В язык теории входят алфавит и формулы. Обычно формулы состоят из конечного числа знаков. Количество аксиом может быть конечным или бесконечным. Предполагается существование некой базисной логики (теории), из которой с помощью различных добавлений, отражающих свойства конкретных теорий, строятся новые теории. Аксиомы этой базисной логики обычно называют логическими аксиомами. Дополнительные аксиомы конкретных теорий, которые содержат базисную логику, называются нелогическими аксиомами.

Формальное доказательство формулы A в формальной теории – это конечная последовательность формул A1, A2,... Ak, где каждая формула Ai является либо аксиомой, либо получена из предыдущего с помощью одного из правил вывода, а Ak — это формула A. Последняя формула в доказательстве называется теоремой.

Формальная теория называется полной, если для всякой формулы A существует вывод или для нее, или для ее отрицания. Формальная теория называется непротиворечивой, если она и ее отрицание не могут быть одновременно доказуемыми.

Примерами формальных теорий являются исчисление высказываний и исчисление предикатов. Эти формальные теории являются полными и непротиворечивыми. То исчисление предикатов, которое мы описали выше, обычно называют узким исчислением предикатов или исчислением предикатов первого порядка, ибо в этой теории кванторы относятся только к переменным. Появление в теории аксиом, разрешающих «навешивание кванторов» по знакам операций или предикатов, приводит к исчислениям предикатов высших порядков.

Согласно теоремам Геделя, формальные теории, содержащие арифметику, не являются полными. Более того, нельзя доказать непротиворечивость этих теорий их средствами и в их рамках.

В 30-х годах ХХ века появилось новое направление в математической логике – конструктивное направление. Это направление возникло вокруг двух общих понятий:

разрешимость и вычислимость массовых задач. Среди 23-х проблем, поставленных Гильбертом в 1900 году, можно найти и проблему (10-ю), формулировка которой заключается в доказательстве разрешимости одной массовой задачи.

Под разрешимостью массовой задачи понимается существование такой формализованной процедуры (алгоритма), с помощью которой решается любая конкретная задача, относящаяся к рассматриваемой массовой задаче. Эта процедура называется разрешающей процедурой, или разрешающим алгоритмом. Проблема разыскания разрешающей процедуры для некоторой массовой задачи называется проблемой разрешения этой задачи.

Разрешающая процедура распадается на последовательный ряд шагов, после выполнения конечного числа которых мы получаем ответ на поставленную задачу. Само выполнение шагов осуществляется механически, вне понимания содержания задачи. После завершения каждого шага следует строго формальная инструкция для дальнейших действии, в зависимости от имеющейся ситуации. Эти инструкции позволяют определить окончание процесса, а также принять решение о том, решена задача, или нет.

Стандартными массовыми задачами для любой формальной теории являются следующие: «Является ли данное формальное выражение формулой?», «Является ли данная конечная последовательность формул доказательством?», «Является ли данная формула доказуемой?». Первые две задачи являются разрешимыми.

Третья задача принципиально отличается от предыдущих задач. Первые две задачи, по своей сути, являются проверками выполнения заданными объектами определенных условий, заложенных в формальных определениях этих объектов. Третья задача требует представления нового объекта (доказательства), который не задан и который требуется найти. Доказательство формулы, если оно имеется, совсем не обязательно составлено из частей самой этой формулы. Другими словами, если существует процедура, решающая задачу, то она выводится непосредственно из определения доказуемой формулы. Поэтому указанную проблему часто без дополнительных объяснений называют «проблемой разрешения» данной формальной теории.

Примером процедуры, решающей задачу третьего типа для специального класса объектов, является разрешающая процедура, предложенная Постом в 1921 году для формул исчисления высказываний.

Значительные усилия были затрачены математиками во второй трети ХХ века в поисках разрешающих процедур для определенных классов формул элементарной теории чисел, которую можно представить как формальную теорию. В этом случае массовую задачу можно сформулировать следующим образом: «Для данных натуральных чисел a1, a 2,..., a n истинно ли P (a1, a 2,..., a n ) ?». Здесь P (a1, a 2,..., a n ) является теоретико численным предикатом и представляет собой формальную запись некоторого утверждения.

Предикату P (a1, a 2,..., a n ) можно сопоставить числовую функцию f (a1, a 2,..., a n ), которая принимает значение 0, если P (a1, a 2,..., a n ) истинно, и значение 1, если P ( a1, a 2,..., a n ) ложно. Ясно, что является безразличным, вычислять функцию f ( a1, a 2,..., a n ) или решать, истинно или ложно утверждение P (a1, a 2,..., a n ). Другими словами, в этом случае разрешающую процедуру можно толковать как вычислительную (вычислительный алгоритм).

Числовая функция f (a1, a 2,..., a n ) называется вычислимой, если существует алгоритм, позволяющий вычислить ее значение. Естественно, возникает задача: для каких численных функций существуют вычисляющие их процедуры (алгоритмы)? Другими словами, задача состоит в определении класса вычислимых функций.

В 1935 году Чёрч и Клини ввели в рассмотрение класс теоретико-числовых функций, которые они назвали « -определимыми функциями». Оказалось, что эти функции являются вычислимыми. Другой класс вычислимых функций, называемых «общерекурсивными функциями», открыл Гедель. Чёрч и Клини показали, что эти два класса совпадают, т.е. каждая -определяемая функция является общерекурсивной функцией, и каждая общерекурсивная функция является - определимой функцией.

Несколько позже, но независимо Тьюринг выделил еще один класс теоретико-числовых вычислимых функций, которые называются «функциями, вычислимыми по Тьюрингу».

Вскоре он доказал, что его вычислимые функции – это то же самое, что и общерекурсивные функции. В 1936 году Пост независимо от Тьюринга описал, по существу, тот же класс вычислимых функций, что и Тьюринг. Еще одну эквивалентную формулировку вычислимых функций дает теория алгоритмов Маркова (1951).

Все рассмотренные классы вычислимых функций, которые оказались совпадающими, приводит к утверждению, которое было названо тезисом Чёрча. Суть этого тезиса заключается в том, что все функции, которые мы интуитивно рассматриваем как вычислимые, являются общерекурсивными. Это не теорема, а именно тезис: в нем предполагается отождествить несколько расплывчатое интуитивное понятие с понятием, сформулированным в точных математических терминах, и потому его невозможно доказать.

Большое значение для развития конструктивной математики, а также компьютерной техники имел алгоритм, предложенный Тьюрингом, а затем и Постом, известный под именем «машины Тьюринга—Поста». Понятие машины Тьюринга—Поста возникает в результате прямой попытки разложить интуитивно известные вычислительные процедуры на элементарные операции и осуществить их в виде некоторого «механического»

воображаемого устройства.

Для полноты изложения приведем краткое описание устройства и функционирования машин Тьюринга-Поста. В ней есть следующие части. (1). Лента, состоящая из конечного числа ячеек. (2). Внешняя память, принимающая одно из состояний, входящих в множество A = { a 0, a1, a 2,..., a m }. Ячейки ленты находятся в одном и только в одном из состояний множества A. Состояние a 0 называется пустым. (3). Внутренняя память, принимающая одно из состояний, входящих в множество Q = { q 0, q1,..., q n }. Состояние q 0 называется «стоп». (4). Головка, движущаяся вдоль ленты и считывающая содержимое ячейки, напротив которой она останавливается. (5). Механическое устройство, передвигающее головку и меняющее состояния внешней и внутренней памяти. Если головка в состоянии q стоит напротив ячейки с номером k, то изменения состояния внутренней памяти и состояния ячейки происходит одновременно.

Работа машины Тьюринга—Поста осуществляется посредством команд, которые выполняет механическое устройство. Команда имеет одно из трех возможных видов:

q s ai qt a j, q s a i qt L, q s ai qt R, где L - это движение головки на одну ячейку влево, а R - вправо. При этом всегда самое левое в записи команды q s q 0. Смысл команды таков: если головка в состоянии q s обозревает ячейку в состоянии a i, то в первом случае она меняет свое состояние на q t, а состояние ячейки – на a j ;

во втором случае она меняет свое состояние на q t и сдвигается влево;

и, наконец, в третьем случае меняет свое состояние на q t и сдвигается вправо.

Конечный набор команд образует программу.

Машина Тьюринга—Поста может с помощью программы вычислять функции из определенного класса. Эти функции называют вычислимыми с помощью этой машины. Как мы уже говорили выше, Тьюринг показал, что класс всех вычислимых с помощью машины Тьюринга—Поста совпадает с классом общерекурсивных функций.

До сих пор мы уделяли внимание только так называемой классической математической логике, идущей от Аристотеля. Закончим этот параграф упоминаем вкратце неклассических логик, которые стали появляться и развиваться в ХХ веке в связи с потребностями развития мировой математики и ее приложений в разных областях.

Интуиционистская логика была первой неклассической логикой, которая была разработана в философской форме в работах основателя интуиционизма Брауэра (1908, 1918). Формальное строение эта логика получила в работе Гейтинга (1930).

Интуиционистская логика отличается от классической тем, что в ней не выполняется закон исключенного третьего. Отказ от этого закона приводит к запрету доказывать утверждения методом от противного.

Нечеткая (размытая) логика отличается от двузначной классической логики тем, что допускает континуальное число истинностных значений для высказывания. Понятие нечеткой логики было сформулировано Л. Заде в 1965 году, наряду с понятием нечеткого (размытого) множества. Современные экспертные системы широко используют эту логику.

Модальная логика строится на основе логики высказываний за счет добавления новых знаков, позволяющих выражать отношение тех или иных высказываний к окружающей действительности. Как правило, это суждения о возможности или необходимости чего либо. Такие суждения называют модальными. Примерами модальных суждений являются высказывания, содержащие слова «необходимо», «возможно», «случайно», «обязательно», «разрешено» и т.п.

В последней трети ХХ века возникли алгоритмические логики. Они создавались для описания семантики языков программирования. В 1969 году К. Хоар определил простой язык программирования через логическую систему аксиом и правил вывода для доказательства частичной правильности программ. В его работе показано, что определение семантики языка не в терминах выполнения программы, а в терминах доказательства ее правильности упрощает процесс построения программы. В 70-х годах на базе работы Хоара начинаются исследования в области аксиоматических определений языков программирования.


Из всего рассмотренного выше следует, что математическая логика представляет собой набор формальных теорий, которые обладают числовыми интерпретациями. Эти теории можно рассматривать как теоретико-математические дисциплины, ибо для доказательства утверждений они используют формальную логику. Поэтому математическую логику можно в целом рассматривать как часть теоретической математики, а значит как один из видов интеллектуального познания. Но тогда все, что мы говорили в параграфе 6.6 о связи между теоретической математикой и процессом моделирования, относится и к математической логике.

Структура вещи – совсем не что-то такое, что мы бы могли «изобрести». Мы можем лишь выводить ее на свет терпеливо, смиренно знакомясь с ней, ее раскрывать… Но выразить, оставаясь как можно более верным духу, то, над раскрытием и изучением чего мы усердно бьемся, ту структуру, что дается нам неохотно, – вот за чем мы бредем, пробираясь на ощупь, испытывая языки (а слышим, быть может, лишь лепет), чтобы подступиться к ней. Так и приходится нам постоянно изобретать язык, способный все тоньше и искусней передать словами структуру, присущую математическому объекту, и «строить» с помощью этого языка, постепенно или целиком, «теории», которые должны дать отчет о том, что мы поняли и увидели. Маятник движется без остановки между пониманием вещей и выражением понятного на языке, который отшлифовывает и пересоздает себя в процессе работы, под постоянным давлением насущной необходимости.

А. Гротендик Глава 8. Европейская прагматическая математика.

8.1. Историческая справка.

Несмотря на то, что европейская прагматическая математика возникла в XVII веке, некоторые корни ее можно найти уже у греческих ученых, в их исследованиях, связанных с астрономией. Как мы уже отмечали ранее, греческая математика, состоящая из геометрии, теории чисел и диофантовой арифметики, была, по существу, одним из видов интеллектуального искусства, не имеющим никакого отношения к практической деятельности. Единственной областью знаний, в которой были сосредоточены интеллектуальные усилия греков и которую можно назвать прикладной, была астрономия, тесно связанная с астрологией. Основным достижением греков было создание системы Гиппарха—Птолемея (см. п. 4.5), которая широко использовалась для астрологических расчетов и составления календарей. Эта теория известна последующим поколениям по ее изложению в труде Птолемея «Алма-гест». Однако эта теория не была математической моделью в современном смысле слова. Ее можно назвать математической моделью только потому, что она использовала геометрические объекты.

По своей сути эта была наглядная схема движения небесных тел, с помощью которой, например, можно было предсказать лунные затмения с точностью до одного – двух часов, а также можно было прогнозировать значения координат планет, Луны и Солнца в будущие моменты времени. Эта система была первой прогнозирующей системой, основанной на математической модели и позволяющей производить конкретные численные расчеты. Ряд последующих цивилизаций заимствовали, уточнили и развили эту систему, познакомившись с нею по труду Птолемея.

В Персии при дворе Шапура I «Алмагест» стал известен, по-видимому, около 250 г.

н.э. и тогда же был переведен на пехлеви. Существовал также персидский вариант «Подручных таблиц» Птолемея. Оба эти произведения оказали большое влияние на содержание основного персидского астрономического произведения доисламского периода: «Шах-и-зидж». На сирийский язык «Алмагест» был переведен в начале VI века н.э.

С начала IX века «Алмагест» получил распространение в странах ислама – в арабских переводах и комментариях. Он значится среди первых произведений греческих ученых, переведенных на арабский язык. В течение IX – XII веков «Алмагест» стал известен, по крайней мере, в пяти переводных версиях. Астрономы исламских стран внесли изменения разной важности практически во все разделы астрономической системы Гиппарха— Птолемея. Прежде всего, они уточнили ее основные параметры: угол наклона эклиптики к экватору, эксцентриситет и долготу апогея орбиты Солнца, средние скорости движения Солнца, Луны и планет. Таблицы хорд они заменили таблицами синусов и ввели также целый набор новых тригонометрических функций. Они разработали более точные методы для определения важнейших астрономических величин, например, параллакса, уравнения времени и т.д. Были усовершенствованы старые и разработаны новые астрономические инструменты, на которых регулярно проводились наблюдения, значительно превосходящие по точности наблюдения греков.

Значительную часть арабоязычной астрономической литературы составляли зиджи.

Это сборники таблиц – календарных, математических, астрономических, которые астрономы и астрологи использовали в своей повседневной работе. В состав зиджей входили таблицы, которые позволяли хронологически фиксировать координаты времени, определять моменты восхода и захода светил, вычислять положения светил на небесной сфере в любые моменты времени, предвычислять лунные и солнечные затмения, определять параметры, имеющие астрономическое значение. Наиболее ранние таблицы синусов принадлежат, по-видимому, ал-Хорезми, а в зиджах ал-Марвази имелись таблицы тангенса, котангенса, секанса и косеканса.

В период поздней античности и в средние века греческие рукописи «Алмагеста»

продолжали сохранять и переписывать в регионах, находящихся также под властью Византии. Самые ранние дошедшие до нас рукописи «Алмагеста» датируются IX в. н.э.

Хотя астрономия не пользовалась в Византии такой популярностью, как в странах ислама, однако любовь к античной науке там не угасла. Поэтому Византия стала одним из двух источников, откуда сведения об «Алмагесте» проникли и Европу.

Птолемеева астрономия стала первоначально известной в Европе благодаря переводам зиджей ал-Фаргани и ал-Баттани на латинский язык. Отдельные цитаты из «Алмагеста» в произведениях латинских авторов встречаются в первой половине XII века. Однако в полном объеме это произведение стало известным лишь во второй половине XII века, когда выдающийся переводчик Герардо Кремонский завершил в 1175 году латинский перевод «Алмагеста». Новый латинский перевод с греческого оригинала был осуществлен только в XV веке, и осуществил его секретарь папы Георгий Трапезундский. Этот перевод вышел в печатном виде в 1528 году в Венеции, хотя страдал многими недостатками и ошибками.

Недостатки этого перевода, известного по рукописи, вызвали резкую критику астрономов, нуждавшихся в полноценном тексте капитального труда Птолемея.

Подготовка нового издания «Алмагеста» связана с именами двух крупнейших астрономов XV века – Георга Пурбаха и его ученика Иоганна Мюллера, известного под именем Региомонтан. Пурбах намеревался издать латинский текст «Алмаге-ста», исправленный по греческому оригиналу, но не успел закончить эту работу. Его ученик Региомонтан также не смог довести до конца эту работу. Однако он издал сочинение Пурбаха «Новая теория планет», в котором разъяснялись основные положения теории Птолемея, и сам составил краткое изложение «Алмагеста», опубликованное в 1496 г. По этим книгам с теорией Птолемея и познакомился Н. Коперник. В дальнейшем «Алмагест» переводили и издавали в Европе многократно.

Самым выдающимся событием до XVII века в европейской астрономии, которая также была тесно связанной с астрологией, было опубликование гелиоцентрической системы Н.

Коперника. Отметим два признака, связанных с этой системой. Как математическая модель система Коперника лежала полностью в русле греческой математики, ибо была построена на тех же математических идеях и с помощью тех же математических средств.

Все математические упрощения по сравнению с моделью Птолемея—Гиппарха носят чисто технический характер. Однако теория Коперника принципиально по физической природе отличалась от модели Птолемея—Гиппарха, ибо в центре модели Коперника лежало Солнце. Второй признак заключался в том, что имевшиеся несоответствия с известными измерениями свидетельствовали, что эта теория в то время была скорее гипотезой, нежели экспериментально проверенной системой.

Важное значение для проведения вычислительных работ в области астрономии имело открытие в начале XVII века логарифмов, применение которых быстро завоевало популярность.

Только с появлением законов И. Кеплера, которые были получены в первой трети XVII века, гелиоцентрическая теория Коперника из гипотезы превратилась в экспериментально проверенную теорию. С точки зрения математики эти законы интересны тем, что это первые математические результаты, которые уже не могли получить греки, ибо они были первыми сформулированными математическими моделями в современном смысле слова. Другая их особенность заключается в том, что законы Кеплера еще следуют греческой традиции в философском плане, ибо, по мнению Кеплера, господь Бог, создавая Вселенную, руководствовался математическими принципами, или, другими словами, законы природы написаны на математическом языке.

Законы Кеплера были тем, к чему стремились греки в своем желании познать Вселенную.

Третья особенность указывает на гениальность Кеплера как математика, поскольку формулировки законов, которые являются нетривиальными математическими утверждениями, никак не следуют из какого-либо практического или теоретического предшествующего опыта. Более того, Кеплер не обладал предшественниками, которые могли подсказать хоть что-то на пути формулирования этих утверждений. Нужно обладать очень изощренным умом и очень богатой фантазией, чтобы сформулировать второй и третий законы. В этом смысле законы Кеплера являются блестящей иллюстрацией того, что прагматического познания недостаточно для развития науки.


Следующая особенность этих законов заключается в том, что они являются экспериментально проверенными интеллектуальными утверждениями, полученными на основе метода проб и ошибок, как и модель Птолемея—Гиппарха. Принципиальное отличие модели Кеплера — это числовые параметры эллипсов, найти которых было очень сложной задачей. Подобной ситуации мы также не встречаем у древних греков. Это Кеплеру удалось сделать благодаря тому, что он обладал данными, собранными в течение длительного периода астрономом Тихо и им самим.

Самое удивительное заключается в том, что все эти три закона, которые казались независимыми друг от друга и такими разными по своей сути, вдруг оказались следствиями из теории Ньютона. (Слово «вдруг» скорее относится к самому факту возможного получения этих законов как следствий одной теории. Но здесь необходимо отметить, что само построение теории Ньютона с самого начала было нацелено на то, чтобы получить законы Кеплера как следствия из этой теории.) Результаты, полученные Кеплером полностью вписываются в новый научно-ме тодологический подход, предложенный Галилеем. Этот подход состоял в том, чтобы получить количественные описания явлений, представляющих научный интерес, независимо от каких бы то ни было физических объяснений. Таким количественным описанием служит математическая формула, связывающая между собой измеримые свойства исследуемого явления. Эта математическая формула описывает то, что происходит, не объясняя причинной связи, т.е. ничего не говорит о том, почему происходит это явление. Она лишь дает нам количественную информацию о том, как происходит это явление. Это означает, что для установления математической зависимости между выделенными переменными вовсе не обязательно исследовать или понимать причинную зависимость. Галилей отчетливо понимал, что математическое описание имеет приоритет перед качественным исследованием и поиском причинных связей в природе. Поэтому он решительно отдавал предпочтение поиску математических формул, описывающих явления природы. Такие формулы получили название экспериментальных физических законов.

«Много ли проку в ”голых” математических формулах? Ведь они ничего не объясняют. Они просто описывают происходящее на точном языке, не допускающем недомолвок и иносказаний.

Тем не менее, именно формулы оказались наиболее ценным знанием, которое людям удалось получить о природе… Поразительные практические и теоретические достижения современной науки стали возможны вследствие того, что человечество накопило количественное описательное знание и научилось пользоваться им, а отнюдь не благодаря метафизическим, теологическим и даже механическим объяснениям причин наблюдаемых явлений» (М. Клайн, 44, с.112).

Создав первый экспериментальный закон, выражающий связь между высотой и временем падения тела, Галилей показал пример другим ученым, которые в короткое время выявили массу различных экспериментальных законов. Один только Р. Гук в течение второй половины XVIII века вывел несколько сот таких законов.

Своей работой «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки» (1638) Галилей направил физическую науку по математическому пути, заложил основы современной механики и создал прообраз современной научной мысли.

Значение этого нововведения было в том, что оно более четко и определенно поставило естествознание под эгиду математики. Галилей заложил методологический фундамент, на котором Ньютон построил первое здание теоретической физики.

Хотя физические эксперименты проводились в течение многих столетий, как в Европе, так и в других частях планеты, существует по крайней мере одно принципиальное отличие методики проведения экспериментов у Галилея от других экспериментаторов.

Это принципиальное отличие, как мы уже упоминали выше, заключается в том, что Галилей искал формулу, описывающую явление, а не описание самого явления. Таким образом, Галилей ввел в экспериментальную физику не только математику, но и количественные измерения. Подход Галилея к эксперименту стал руководящим для основной массы последующих экспериментаторов. Этот подход потребовал широкого развития различных приборов, с помощью которых можно было измерять у реальных объектов степени их обладания конкретным физическим свойством.

Для того, чтобы найти математическое выражение экспериментального закона, необходимо повторить эксперимент достаточное число раз, причем при каждом повторении произвести заново измерения выбранных свойств. В результате направленного эксперимента экспериментатор имеет набор количественных измерений, каждое из которых представляет собой именованное число. Здесь непосредственно возникает принципиально новая математическая задача, с которой ученые не встречались до сих пор. Эту задачу можно сформулировать следующим образом: найти математическую формулу, которая хорошо подходит к существующему множеству количественных измерений (задача 1).

Словосочетание «хорошо подходит», очевидно, нуждается в более строгой формулировке, хотя его интуитивное содержание достаточно понятно. Эту формулировку можно рассматривать с двух позиций: физической и математической. Нас в дальнейшем будет интересовать только математический смысл этих слов, и поэтому в случае необходимости мы будем уточнять содержание, которое в них вкладываем.

Подобная задача не возникнуть в рамках прематематики и греческой математики, ибо здесь мы имеем дело с формулой, т.е. с математическим объектом совсем другой природы, которого не существовало в математике других цивилизаций. Она не могла возникнуть и в рамках теоретической математики, так как здесь требуется найти числовое значение конкретной формулы с помощью определенного процесса вычислений, в то время как в теоретической математике существующие задачи являются задачами на доказательство. Отсюда следует, что новые задачи принадлежат новому типу математики, который мы будем называть европейской прагматической математикой.

Отметим также, что у именованных чисел, которые являются результатами измерений, количественная часть представляет собой число, представленное позиционной записью, состоящей из конечного числа цифр. Поскольку результаты измерений свойств реальных объектов записывались с помощью чисел в десятичной позиционной системе, то подобное представление чисел стало характерным для прагматической физики. В связи с этим именованные числа, представимые в десятичной позиционной системе с помощью конечного числа цифр, будем называть именованными прагматическими числами.

Возникший во второй половине XVII в. математический анализ и развитие небесной механики поставили новые вычислительные задачи, которые невозможно было решать в рамках прематематики и теоретической математики. В качестве примеров можно привести следующие задачи. Найти численное значение функции при определенном значении аргумента (задача 2). Найти конкретные значения корней алгебраического уравнения (задача 3). Решением этих задач служит набор неименованных чисел, каждое из которых представлено позиционной записью, состоящей из конечного числа цифр.

Такие числа мы будем называть неименованными прагматическими числами, или, просто, прагматическими числами. Очевидно, что такие задачи нельзя решить в рамках теоретической математики, ибо в них не требуется доказывать утверждения, а требуется только провести вычисления. Следовательно, эти задачи можно решать только в рамках другого типа математики. Легко видеть, что с точки методологии своего решения (вычисления происходят на основе формул) они напоминают решение задачи 1. Отличие состоит только в том, что в задаче 1 мы пользуемся именованными числами, а решением задач типа задачи 2 или задачи 3 являются неименованные числа. Поэтому указанные выше другие подобные задачи на вычисление можно отнести к европейской прагматической математике.

Если прагматическая математика родилась в XVII веке, то ее становление, оформление и существенное развитие произошло в XVIII веке. Прежде всего это определялось необходимостью решения практических задач, связанных с небесной механикой и практической астрономией. В качестве примера можно привести проблему определения долготы в открытом море. В 1733 году английский парламент назначил премию в 20 фунтов стерлингов за удовлетворительное решение этой проблемы, хотя бы с точностью до полградуса. Наиболее распространенным ориентиром служило местоположение Луны относительно Солнца или неподвижных звезд. Геттингенский астроном Тобиас Майер, используя методы Эйлера и собственные наблюдения, в 1753 году составил лунные таблицы, которые широко применялись мореплавателями еще более ста лет спустя и с 1767 до 1915 года включались в морские справочники. Еще одним примером астрономических расчетов может послужить событие, которое является одним из самых драматических не только в истории прагматической математики, но и всей математики.

Этим событием явилось предсказание А. Клеро даты появления кометы Галлея. На заседании Парижской академии наук 14 ноября 1758 года он предсказал, что комета Галлея пройдет ближайшую к Солнцу точку своей орбиты в середине апреля 1758 года с возможной ошибкой в тридцать дней. Комета появилась на месяц раньше срока.

Выдающиеся успехи в астрономии были получены Лагранжем и Лапласом, которые с помощью вычислений объяснили кажущиеся нерегулярности в движении Луны и планет, в частности, Юпитера и Сатурна. Другим не менее потрясающим событием в астрономии было открытие планеты Нептун. В 1846 году У. Леверье удалось точно рассчитать массу, размеры и орбиту неизвестной планеты, которую на небе согласно его расчетам обнаружил Галле.

Различные академии специально поощряли исследования по прагматической математике, организуя международные конкурсы и назначая высокие премии за лучшие работы. Таковыми были конкурсы по вычислению движения планет и комет, неоднократно объявлявшиеся Парижской и Петербургской академиями, а также ряд конкурсов по кораблестроению и кораблевождению, компасному делу и т.п. В качестве примера можно добавить работы академика Петербургской и Берлинской академий Л.

Эйлера по расчету реактивных водяных турбин.

Следуя по пути, проложенному Галилеем, физики-экспериментаторы продолжали поиск различных экспериментальных физических законов. Для нахождения математической формы этих законов широко применялись различные методы обработки наблюдений. В частности, эти методы использовались для нахождения количественных значений универсальных постоянных, используемых в математическом представлении законов. В качестве примера можно привести установление Кавендишем универсальной гравитационной постоянной в законе всемирного притяжения Ньютона.

Хотя элементы теории ошибок были сформулированы еще Галилеем в связи с требованиями астрономии, но основное продвижение было сделано только в XVIII веке.

После Ньютона фундаментальной научно-практической задачей явилась задача определения формы Земли по астрономо-геодезическим наблюдениям. Эта задача, связанная и с более непосредственными нуждами картографирования обширных территорий, привела к дальнейшим работам в области математической обработки измерений. Первоначальные идеи в этом направлении принадлежат Р. Коутсу, который изложил их в статье «Оценка погрешностей в прикладной математике с помощью изменений элементов плоского и сферического треугольника» (1722). В конце этой статьи он рекомендовал употреблять при обработке непосредственных измерений среднее арифметическое, дав определенное правило для учета весовых измерений и сравнив общее среднее с центром тяжести системы точек – результатов измерения.

Работы Т. Симпсона и И.Г. Ламберта заложили основы теории ошибок, связав ее с теорией вероятностей. Взяв определенное распределение вероятностей, Симпсон показал, что при этом распределении среднее арифметическое в вероятностном смысле предпочтительнее отдельного измерения. Тем самым он дал первое обоснование широко применяемому в астрономии среднему арифметическому. Ламберт описал вероятностные свойства ошибок наблюдений, дал правила оценки их точности и подбора параметров эмпирических прямых и кривых по точкам – наблюдениям, отягощенным случайными погрешностями. Он также сформулировал цели теории ошибок (этот термин также предложен им).

Исследования по теории ошибок продолжались на протяжении последующих десятилетий в работах Ж. Лагранжа, Р. Бошковица, Л. Эйлера, Д. Бернулли и П. Лапласа.

Классическая теория ошибок была завершена в следующем, XIX столетии в работах П.

Лапласа, А. Лежандра и Ф. Гаусса.

Во второй половине XVIII века возникла новая постановка проблемы интерполяции, связанная с новым подходом к приближенному выражению функциональной зависимости. В применениях математического анализа вопрос не всегда сводится к нахождению аналитического выражения искомой зависимости в виде формулы. Даже в случае, когда это выражение известно, оно может оказаться в силу своей сложности малопригодным для вычисления необходимых частных значений аргумента. Для нужд практики в огромном большинстве случаев достаточно знать значения функции на достаточно «плотном» множестве точек, например, при значениях аргумента: x, x+h, x+2h,… при некотором малом приращении h. Поэтому возникает задача: заменить сложную функцию f(x) другой – более простой функцией g(x), значения которой, во всяком случае, при указанных значениях аргументов, были бы достаточно близки к значениям f(x). В частности, задача может ставиться так: найти многочлен от x степени не выше n, который совпадает с заданными значениями f(x) в n+1 точках. Принципиальные результаты в исследовании проблемы интерполирования в указанной постановке получил Лагранж.

В конце XVIII века широкое распространение в Европе получили арифметические, тригонометрические и логарифмические таблицы. Банки и ссудные кассы применяли таблицы процентов, а страховые компании – таблицы смертности. Для европейских стран с развитым мореплаванием большое значение имели астрономические и навигационные таблицы. В 1776 году Маскелин, ставший впоследствии королевским астрономом, выпустил «Морской календарь», представлявший собой свод астрономических, навигационных и логарифмических таблиц. Первое издание календаря готовилось с большой тщательностью, какого не знало до сих пор ни одно издание. И тем не менее в нем содержалось значительное число ошибок – результат недостаточно точных исходных данных, просчетов в вычислениях, ибо расчеты производились вручную, и описок при переписывании. «Морской календарь» выходил ежегодно, и каждое издание требовало огромного труда значительного количества вычислителей. Подобные таблицы рассчитывались и публиковались и в таких странах, как Франция, Испания.

К началу XIX века в прагматической математике можно было четко выделить три направления исследования. Одно направление обслуживало экспериментальную физику и небесную механику. Здесь основные усилия были направлены на обработку результатов измерений, связанных с определением числовых параметров математических функций, описывающих экспериментальные физические законы или траектории движения небесных тел. В этой области экспериментальным путем было открыто значительное число законов, относящихся к различным областям физики, а в небесной механике не только удалось рассчитать орбиты комет, но и с помощью численных расчетов указать местонахождение неизвестных до того небесных тел. Попытки формализовать процессы решения указанных выше задач привели к созданию и развитию математической статистики – науки о методах обработки статистических данных.

Другое направление в исследованиях было связано с тем, что впоследствии было названо вычислительной математикой. Основными темами исследований в этом направлении было вычисление значений элементарных математических функций, связанное с их табулированием, численное решение различного сорта уравнений, от алгебраических до дифференциальных, численное вычисление интегралов и т.п.

Подобные задачи вытекают из необходимости проверки следствий физических теорий на основе имеющихся экспериментально полученных физических данных, для чего сравнивают эти данные с численными результатами решения указанных выше задач.

Наконец, третье направление было связано с решением так называемых статистических задач, которые возникали в различных областях хозяйственной жизни. Яркими этого являются задачи, возникающие в страховом деле при установлении различных видов страховых премий, а также определение различных пособий и премий. Основным способом решения задач указанного типа явилось использование теории вероятностей, математической статистики и различных практических методов анализа различного рода статистик.

Если первое и третье направления имели непосредственную связь с изучением реальных объектов, то второе направление имело более тесные связи с теоретической математикой. Интенсивное развитие первого направления, как мы уже говорили выше, произошло еще в XVII веке, когда начался усиленный поиск экспериментальных физических законов. В развитии второго направления необходимо отметить два периода:

XVIII век и вторая половина XIX века. В XVIII веке шло усиленное развитие небесной механики, которое требовало проведения значительных численных расчетов, более всего связанных прежде всего с вычислениями значений элементарных функций.

Вторая половина XIX века потребовала инженерных расчетов, связанных с появлением электротехники, а также для решения проблем, возникших в результате использования практической физики, которая включала в себя, в частности, сопротивление материалов, статические расчеты и т.п. Инженеры должны были, например, для разработки и производства разного вида электромашин производить расчеты, чтобы предсказать различные параметры, связанные с функционированием этой техники. Отправной точкой для методики проведения необходимых расчетов являлись математические формулы, получаемые на основе определенной физической теории. Эти теоретические формулы проверялись в лабораторных условиях с помощью измерений на реальных объектах. С помощью полученных измерений эти формулы уточнялись и видоизменялись.

Подтверждение этому легко найти, заглянув в любой практический справочник для инженеров и сравнив теоретические формулы инженерными.

Другими словами, прагматическая математика стала основой для современного технического прогресса человечества. По мере усложнения технических проблем возрастала потребность в прагматической математике, которая стала служить методологической основой для проведения расчетов. Более того, проведение экспериментов и измерения, осуществляемые в их процессе, часто позволяли найти методику решения прикладной задачи, которую часто называли «инженерным решением».

Таким образом, прагматическая математика начала выходить за стены университетов, проникать в другие образованные слои общества, в частности, в среду инженеров и техников различных специальностей. Это привело к тому, что при их подготовке стали уделять значительное внимание математическому образованию. Для этой цели стали создаваться специальные учреждения, отличные от университетов. Ярким примером таких учреждений может служить Политехническая школа во Франции, по образцу которой возникли подобные учреждения в других странах. Математическое образование технической интеллигенции способствовало тому, что она стала широко применять математический язык для описания методик решения практических задач. Кроме того, прагматическая математика служила примером организации мышления при решении возникающих практических задач.



Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 15 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.