авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 15 |

«Е. М. Левич Математическое моделирование и компьютерная математика. Иерусалим, 2009 1 Содержание ...»

-- [ Страница 11 ] --

Иногда методики решения практических задач допускали формализацию, которая, хоть и в редких случаях, приводила к построению математических теорий. Примером может служить создание так называемого операционного исчисления, возникшего из формализации методики при проведении практического расчета параметров электрических цепей. Это исчисление было предложено в конце XIX века О. Хэвисайдом, который не учился в университете. Приведенный случай можно рассматривать как один из первых примеров того, как в решениях практических задач рождается математическая теория. Дальнейшая история развития прагматической математики в ХХ веке покажет возникновение целого ряда математических теорий, являвшихся формализацией методики численного решения практических задач.

Развитие прагматической математики привело также к изменению целей проведения научных исследований. Если в XVII веке основной целью их проведения было описание физических явлений, то уже в XVIII веке в небесной механике стали решать задачи прогнозирования траекторий движения небесных тел, таких, как кометы и планеты. Как мы уже упоминали, высшими достижениями в этом направлении явилось прогнозирование даты появления кометы Галлея и указание местонахождения в конкретные моменты времени двух планет Солнечной системы. Спектр задач прогнозирования существенно расширился, когда стали численно решать инженерные задачи, которые по своей сути являются задачами прогнозирования, ибо их содержание относится к состояниям реальных объектов в будущих моментах времени.

Как мы уже говорили выше, в конце XIX века принципиально изменилась роль прагматической математики: она стала языком технического прогресса. Инженеры и техники, занятые в технологическом развитии, начали говорить на языке прикладной математики. Все разработки новых технологий в ХХ веке требовали проведения необходимых математических расчетов. Да и традиционные отрасли, такие, как строительство, машиностроение и т.п., для обоснования тех или иных решений начали все шире использовать количественные расчеты. Эти расчеты были необходимы для предсказания различных технических ситуаций. Это привело к тому, что область применения прагматической математики все время расширялась.

Однако уже в первой половине ХХ века «экспансии» прагматической математики стал все больше препятствовать фактор, который можно назвать сложностью и существенно большим объемом вычислений. С большим объемом вычислений ученые уже сталкивались при построении числовых таблиц математических функций. Так как алгоритмы вычислений были относительно простыми, то в этом случае с выполнением задачи справлялись путем одновременного использования большого числа вычислителей.

Но развитие физики и научно-технического прогресса требовало численно решать системы линейных и нелинейных алгебраических уравнений, системы линейных и нелинейных дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так и в частных производных, системы интегральных уравнений и т.п. Численное решение этих задач теми средствами, которыми обладали ученые в первой половине ХХ века, было практически неосуществимо. Только появление электронно-вычислительных машин, а затем компьютеров сделало решение указанных задач возможным. Но вычислительные машины обладали определенными техническими ограничениями, которые наложили отпечаток и на весь процесс вычислений, что привело к возникновению и бурному развитию нового типа математики – компьютерной математики, которой мы специально посвятим одну из последующих глав.

Сколько будет один плюс один плюс один плюс один плюс один плюс один плюс один плюс один плюс один плюс один?

— Не знаю, — ответила Алиса. — Я сбилась со счета.

— Она не умеет складывать.

Л. Кэрролл Что до меня, я ощущаю свою принадлежность к роду математиков, чье наслаждение и чье стихийное призвание – беспрестанно строить новые дома.

А. Гротендик 8.2. Прагматические объекты.

Мы уже отмечали в предыдущем параграфе, что прагматическая математика появилась в XVII веке в связи с возникновением экспериментальной физики и новыми потребностями небесной механики. Эти два направления сформулировали ряд принципиально новых задач, решение которых было невозможно в рамках прежней математики. Во-первых, для экспериментальной физики потребовалось математическое выражение физических законов на основе измерений, полученных в процессе проведения физических экспериментов. Во-вторых, нужен был расчет движения небесных тел на основе новой механики Ньютона и законов Кеплера, которые можно рассматривать как следствия из законов Ньютона. В этой механике проведение численных расчетов основано на использовании математических формул.

Исходя из упомянутых потребностей, в прагматической математике мы четко прослеживаем два направления, которые принципиально отличаются друг от друга: в одном случае мы имеем дело с именованными прагматическими числами, которые можно рассматривать как прематематические числа, а в другом случае – с неименованными прагматическими числами. Но оба направления объединяет в прагматическую математику то, что целью каждого из них является проведение расчетов на основании математических формул.

Этим прагматическая математика отличается от прематематики. Для проведения расчетов с помощью математических формул часто требовалось преобразование этих формул, которые могли производиться только в рамках теоретической математики, но не в прематематике. С другой стороны, прагматическая математика занимается численным решением прикладных задач. Это означает, что результатом решения указанных задач обычно является набор прематематических чисел, представляющих собой именованные числа или сравнительные числа в конкретной системе представления чисел. Это роднит прагматическую математику с прематематикой.

Прагматическая математика отличается от теоретической математики тем, что она, в целом, не является аксиоматической теорией. С другой стороны, она использует преобразования математических формул, которые можно рассматривать как теоретические рассуждения, для разработки алгоритмов вычисления. Таким образом, прагматическая математика одновременно использует как прагматическое, так и интеллектуальное познание. Другими словами, прагматическая математика представляет собой одну из разновидностей смешанного познания.

В предыдущем параграфе несколько раз повторялось утверждение, что задачи, целью которых является вычисление конкретных значений функций при определенных значениях аргументов или численное решение разного рода уравнений, не являются задачами теоретической математики. Они являются примерами задач, которые решаются в рамках прагматической математики. В целом, если мы хотим кратко определить цель прагматической математики, то можно сказать, что это — проведение является проведение конкретных вычислений. Отсюда следует, что мы должны ввести соответствующие понятия, или язык, на котором можно выразить более точно, что это значит проводить конкретные вычисления.

Эта фраза, с одной стороны, звучит настолько знакомой, что кажется не нуждающейся в дальнейших объяснениях. С другой стороны, когда мы должны проводить вычисления, то возникает прежде всего вопрос, как получать ответ: в прематематических числах, в математических числах, или еще в каких-то числах, пока не упомянутых. Ведь выше в главе 6 мы показали, что природа прематематических и математических чисел принципиально разная.

Из исторического обзора видно, что прагматическая математика возникла только в XVII веке. Это означает, что именно в это время и появились объекты исследования этой науки. Следовательно, они отличаются, как от объектов прематематики, так и от объектов теоретической математики и греческой математики. В частности, и «числа»

(прагматические числа), с которыми оперирует прагматическая математика, должны быть, по своей сути, иными, чем математические числа.

Так как природа прагматических чисел отлична от других, уже известных нам чисел, то это означает, что и свойства этих чисел являются другими, нежели свойства математических или прематематических чисел. Но тогда и процесс проведения вычислений является отличным от того, что нам известен из прематематики.

Высказанные замечания в определенной мере убеждают нас в необходимости создания специального языка – языка прагматической математики, который позволил бы нам ответить на возникающие вопросы, касающиеся этой отрасли знаний. При создании языка мы должны опираться на осознание того факта, что прагматическая математика, как наука, должна приносить практическую пользу, обеспечивая непротиворечивые результаты различного рода вычислений. Это значит, что мы должны ввести понятия, содержание которых не приводил бы к внутренним противоречиям в процессе вычислений.

Основными понятиями в прагматической математике делятся на три вида: понятия, относящиеся к определению прагматического числа, понятия, относящиеся к определению операций над прагматическими числами, и понятие математической формулы. Уже на этом общем уровне можно указать отличие прагматической математики от европейской. В европейской математике операции над математическими числами являются также и математическими объектами, т.е. объектами исследования. В прагматической математике операции над прагматическими числами не являются объектами исследования, т.е. здесь мы не встречаемся с той двойственностью, которая наблюдается в европейской математике.

Наше рассмотрение основных понятий прагматической математики мы начнем с рассмотрения одного из ее базисных понятий, а именно с понятия прагматического числа.

Прематематика оперировала к-числами и с-числами, греческая математика ввела в рассмотрение пифагоровы и диофантовы числа, а европейская теоретическая математика – вещественные (действительные) числа. Если прагматическая математика отличается от других математик, то это отличие прежде всего выражается в объектах исследования.

Другими словами, она оперирует «числами», которые должны отличаться от чисел, принятых в других видах математики. Так как прагматическая математика относится к смешанным познаниям, то и прагматические числа должны быть чем-то средним между математическими числами и прематематическими числами.

Каждое из двух направлений прагматической математики, о которых мы говорили выше, использует свой тип объектов прагматической математики, т.е. тип чисел. Таким образом, в прагматической математике есть два типа чисел: именованные и неименованные прагматические числа. Они представляют собой объекты, с помощью которых оформляются конкретные решения практических и вычислительных задач.

Именованные числа появились в прагматической математике из-за потребности в обработке результатов наблюдений (измерений) за изменением физических свойств.

Именно результаты любых физических измерений являются именованными числами. По своей сути именованные прагматические числа имеют много общего с прематематическими количественными числами.

Второй тип чисел, который возник во втором направлении прагматической математики, связанном с табулированием элементарных математических функций и численным решением математических уравнений, — это неименованные числа. Мы их условно назвали неименованными прагматическими числами. Эти числа отличаются от математических чисел тем, что они, во-первых, все реально представимы с помощью конечного набора цифр, а во-вторых, два разных числа имеют различные представления с помощью цифр в одной и той же позиционной системе. Кроме того, в записи прагматических чисел иногда используются вспомогательные символы, такие, как точки, дефисы и запятые.

С введением арабско-индийских цифр были широко приняты позиционные системы записи, на основе выбранного базисного числа. Наиболее распространенной и практически используемой позиционной системой является десятичная позиционная запись чисел, которая сегодня известна всем. Следующая по распространению позиционная система записи чисел — это двоичная система записи, широко используемая в компьютерной математике. В различных специальных областях математики используются позиционные системы записи с другими базисными числами. Поэтому при представлении любого числа с помощью цифр необходимо указать, в какой именно позиционной системе представлено число.

Как в математике, так и в прематематике одно и то же число может быть представлено в разных позиционных системах. В прематематике два к-числа (с-числа), представленные в разной записи, совпадают тогда и только тогда, когда они выражают одну и ту же количественную (сравнительную) сущность. В теоретической математике два числа, записанные различными способами, равны тогда и только тогда, когда существует математическое доказательство этого утверждения.

Легко видеть, во-первых, что любое математическое число, реально представленное в хотя бы одной позиционной системе записи с помощью цифр и вспомогательных символов, является рациональным математическим числом, а во-вторых, что не всякое математическое рациональное число, представленное в одной позиционной системе, может быть представлено в другой позиционной системе.

На основе сказанного введем несколько определений. Ниже, если это не будет специально оговорено, все наши рассмотрения прагматических чисел проводятся только в десятичной позиционной системе записи чисел. Теперь определим, что мы будем понимать под неименованным прагматическим числом. Процесс построения общего определения этого типа числа мы разобьем на ряд этапов.

Первый этап состоит в определении неименованного целого прагматического числа.

Пусть нам дано множество всех объектов, имя которых записано только с помощью цифр, т.е. в записи этих объектов не употребляются никакие символы, кроме десяти цифр. По существу, каждый из рассматриваемых объектов представляет собой слово, составленное из цифр, и не более того. Очевидно, что два таких объекта совпадают тогда и только тогда, когда их записи совпадают, и различаются, когда они имеют различные записи.

Между указанными выше объектами, имя которых записано с помощью только цифр, и математическими числами можно установить соответствие, соотнося между собой объект и число, имеющие одну и ту же запись (представление). Это соответствие назовем каноническим соответствием. Каноническое соответствие разбивает множество всех рассматриваемых объектов на классификационные подмножества по следующему правилу. В одно и то же классификационное подмножество входят те, и только те объекты которые канонически соответствуют одному и тому же математическому числу.

Очевидно, что в этом случае все классификационные подмножества состоят из бесконечного числа элементов. Это объясняется тем, что два разных объекта — 1 и 01 — являются разными объектами, которые принадлежат одному и тому же классификационному подмножеству. Каждое классификационное подмножество обозначим тем же символом, что и математическое число, и назовем неименованным прагматическим положительным целым числом. Таким образом, неименованное прагматическое целое число представляет собой множество слов, записанных только с помощью цифр. Прагматическое натуральное число, в запись которого входит только цифра 0, называется прагматическим нулем. Обозначим множество всех прагматических целых положительных чисел через PN. Множество PN представляет собой множество классификационных подмножеств.

Теперь рассмотрим все такие объекты (слова), в запись имени которых входит последовательность цифр с дефисом (минусом) перед ними. К этому набору объектов применим процедуру, описанную выше. Сопоставим с каждым прагматическим объектом математическое число, десятичная позиционная запись которого совпадает с именем данного объекта. Как и раньше, это соответствие назовем каноническим соответствием.

Каноническое соответствие разбивает множество данных прагматических объектов на классификационные подмножества. Каждое классификационное подмножество состоит только из тех объектов, которому каноническое соответствие сопоставляет одно и то же математическое число. Обозначим каждое классификационное подмножество символом соответствующего математического числа, и назовем его прагматическим отрицательным целым числом.

Положительные и отрицательные неименованные прагматические числа называются также неименованными прагматическими целыми числами. Обозначим множество всех прагматических целых чисел через PZ. Множество PZ представляет собой множество классификационных подмножеств множества всех слов.

Существует несколько различных путей, чтобы ввести в употребление неименованные рациональные прагматические числа. Каждый путь приводит в общем случае к различным наборам неименованных рациональных прагматических чисел, между которыми нельзя установить взаимооднозначного соответствия. Мы выбираем из этих возможностей только ту, которая наиболее отвечает нашему дальнейшему изложению. Кроме этого замечания, у нас нет никакого другого предпочтения одной возможности перед другой.

Рассмотрим множество всех объектов, имена которых представляют собой слова, состоящие из десяти цифр, точки и дефиса. Нас будут интересовать только те слова, в запись которых входит конечное число цифр, а также не более одной точки, которая не может стоять в начале слова, и не более одного дефиса, который мы можем встретить только в начале слова. Теперь сопоставим с каждым таким словом математическое число, имеющему такое же представление в десятичной позиционной системе. И это соответствие мы также будем называть каноническим соответствием. С помощью канонического соответствия мы разделим множество всех рассмотренных объектов на классификационные подмножества. Каждое классификационное подмножество состоит из тех и только из тех объектов, которым каноническое соответствие придает одно и то же математическое число. Обозначим каждое из полученных классификационных подмножеств символом соответствующего математического числа и назовем это подмножество неименованным прагматическим рациональным числом. Обозначим множество всех неименованных прагматических рациональных чисел через PR.

Теперь рассмотрим множество всех прагматических объектов, входящих во все классификационные подмножества, принадлежащие множествам PN, PZ, PR. Очевидно, что с помощью канонического соответствия мы можем разбить это множество на классификационные подмножества, аналогично тому, как мы это делали выше. Легко видеть, что каждое классификационное подмножество является объединением подмножеств из PN, PZ, PR, которые соответствуют равным математическим числам.

Также очевидно, что между классификационными подмножествами и математическими рациональными числами можно установить взаимооднозначное соответствие. За каждым классификационным подмножеством мы сохраним имя неименованное прагматическое рациональное число. В этом случае множество всех прагматических рациональных чисел, которые представимы в десятичной позиционной системе, будем обозначать через PR10.

Как мы уже говорили, между прагматическими рациональными числами из PR10 и математическими рациональными числами, представимыми в виде конечного числа цифр, можно установить взаимооднозначное соответствие. Это возможно в данном случае только потому, что наше построение прагматических рациональных чисел было основано на универсальном представлении математических рациональных чисел. Ситуация радикально меняется, если мы будем рассматривать математические числа, представленные в виде строки цифр в любой другой позиционной системе с базисным числом, отличным от десяти.

Для объяснения возникшей ситуации рассмотрим в качестве примера набор математических чисел, которые представлены записями в десятичной позиционной системе. Это значит, что мы рассматриваем только те математические числа, которые представимы в виде двух конечных последовательностей цифр, разделенных точкой.

Обозначим это множество математических чисел через R10. Очевидно, что любое число из этого множества является рациональным числом. Но это множество не содержит всех рациональных чисел. Например, 1/3.

В множестве PR10 классификационных подмножеств можно выделить наборы PR10(n) множеств классификационных подмножеств. Классификационное подмножество тогда и только тогда принадлежит к PR10(n), когда в имя этого подмножества входят не более n цифр. Кроме того, выделим также наборы PR10(.n) классификационных подмножеств (прагматических чисел). Прагматическое число тогда и только тогда принадлежит PR10(.n), когда в записи его дробной части (т.е. после точки, разделяющей целую и дробную части) участвует не более n цифр. Очевидно, что приведенные множества прагматических чисел отличаются друг от друга при различных значениях n.

Из введенных выше определений различных типов прагматических чисел следует, что неименованное прагматическое число принципиально зависит от системы записи этих чисел. Для удобства дальнейших рассмотрений везде ниже, если это не будет специально оговорено, мы будем рассматривать только неименованные прагматические числа, которые можно представить в виде конечной записи в десятичной позиционной системе, т.е. мы будем рассматривать неименованные прагматические числа, принадлежащие множеству PR10.

Как мы уже отмечали выше, множество всех прагматических чисел состоит из двух непересекающихся множеств: именованные и неименованные прагматические числа. Так как именованные прагматические числа являются просто прематематическими числами, то ниже мы основное внимание будем уделять неименованным прагматическим числам, что позволит нам для простоты изложения не употреблять прилагательное «неименованные».

В отличие от математических чисел, которым иногда приписываются определенные свойства, прагматическим числам не приписывается никаких специальных свойств. Эти числа являются просто символами, и в таком качестве не представляют никакого интереса для исследователя. Содержание прагматической математике дают так называемые прагматические операции, определенные на множестве прагматических чисел. Применение прагматических операций и есть то, что мы называем процессом вычисления, а результат операций – результатом вычислений. Прагматические операции являются также прагматическими объектами, которые могут служить объектами исследования в рамках прагматической математики.

Теперь перейдем к определению прагматических операций. Из определения прагматических чисел следует, что между множеством прагматических рациональных чисел PR10 и множеством математических рациональных чисел R10 существует взаимооднозначное соответствие, которое мы назвали каноническим соответствием. С помощью этого канонического соответствия на множестве PR10 можно определить элементарные прагматические операции.

Под прагматическим сложением a ( x, y ) мы понимаем соответствие двум прагматическим числам x и y из PR10 третьего прагматического числа z, так же лежащего в PR10 и полученного следующим образом. Канонически придадим первым двум прагматическим числам математические числа x,y из R10. Эти числа можно математически сложить, в результате чего получаем третье математическое число z = x + y, также принадлежащее R10. Придадим канонически новому математическому числу прагматическое число z. Это третье прагматическое число и назовем прагматической суммой первых двух прагматических чисел. Операция прагматического сложения определена для всех прагматических чисел из PR10. Соответствие между a ( x, y ) и x + y будем называть каноническим соответствием между прагматическим сложением и математическим сложением. На основании опытной проверки можно утверждать, что операция прагматического сложения коммутативна и ассоциативна, т.е. a ( x, y ) =a ( y, x) и a ( a ( x, y ), z ) =a ( x, a ( y, z )).

Под прагматическим вычитанием b( x, y ) мы понимаем сопоставление двум прагматическим числам x и y из PR10 третьего прагматического числа z, также лежащего в PR10 и полученного следующим образом. Канонически сопоставим первым двум прагматическим числам математические числа x,y из R10. Эти числа можно математически вычесть одно из другого, в результате чего получаем третье математическое число z = x y, также принадлежащее R10. Сопоставим канонически новому математическому числу z прагматическое число z. Это третье прагматическое число и назовем прагматической разностью первых двух прагматических чисел.

Операция прагматического вычитания определена для всех прагматических чисел из PR10.

Соответствие между b( x, y ) и x y будем называть каноническим соответствием между прагматическим вычитанием и математическим вычитанием. Легко проверяется опытным путем, что a (b( x, y ), y ).

Под прагматическим умножением c ( x, y ) мы понимаем сопоставление двум прагматическим числам x и y из PR10 третьего прагматического числа z, также лежащего в PR10 и полученного следующим образом. Канонически сопоставим первым двум прагматическим числам математические числа x,y из R10. Эти числа можно математически умножить одно на другое, в результате чего получаем третье математическое число z = xy, также принадлежащее R10. Сопоставим канонически новому математическому числу z прагматическое число z. Это третье прагматическое число и назовем прагматическим произведением первых двух прагматических чисел. Операция прагматического умножения определена для всех прагматических чисел из PR10.

Соответствие между c ( x, y ) и xy назовем каноническим соответствием между прагматическим умножением и математическим умножением. Легко проверяется опытным путем, что операция прагматического умножения является коммутативной и ассоциативной, т.е. имеют место равенства c ( x, y ) =c ( y, x ) и c (c ( x, y ) z ) =c ( x, c ( y, z ).

, ) Под прагматическим делением d ( x, y ) мы понимаем сопоставление двум прагматическим числам x и y из PR10 третьего прагматического числа z, также лежащего в PR10 и полученного следующим образом. Канонически сопоставим первым двум прагматическим числам математические числа x,y из R10. Эти числа можно математически разделить одно на другое, если y 0, в результате чего получаем третье x z= y. Однако это число может и не принадлежать R10, если его математическое число нельзя записать в десятичной позиционной системе с помощью строчки, состоящей из конечного числа цифр. Например, результат деления 1 на 3 нельзя представить в десятичной позиционной системе с помощью конечного числа цифр. Если же результат деления двух математических чисел, соответствующих прагматическим числам, можно записать в десятичной позиционной системе, то мы можем рассматривать прагматическое число z, соответствующее математическому числу z, как результат деления двух прагматических чисел. Таким образом, прагматическое деление определено не для всех пар прагматических чисел. Соответствие между прагматическим делением d ( x, y ) и x y математическим делением будем называть каноническим соответствием. Легко проверить, что в случае, когда число z существует, имеет место равенство c( z, y ) =x.

Подводя итог, можно утверждать, что прагматические операции сложения, вычитания и умножения определены на любых парах прагматических чисел из PR10, в то время как прагматическое деление определено только на некоторых парах прагматических чисел.

Это значит, что множество всех прагматических чисел из PR10 не является полем, в качестве математической структуры, в то время как множество всех рациональных математических чисел является полем. Уже в этом итоге содержится одна из причин отличия теоретической математики от прагматической математики. Прагматические операции сложения, вычитания, умножения и деления будем называть прагматическими арифметическими операциями.

Прагматические числа и выражения вида a ( x, y ), b( x, y ), c ( x, y ), d ( x, y ), где x и y— конкретные прагматические числа, будем называть элементарными прагматическими словами, а результаты этих операций – числовыми прагматическими значениями этих слов. В силу того, что каждое элементарное прагматическое слово содержит конкретные прагматические числа, то, по существу, этому слову или однозначно отвечает прагматическое число, или это слово не имеет прагматического значения.

Последнее замечание имеет отношение только к словам типа d ( x, y ). Кроме того, очевидно, что каждому элементарному прагматическому слову можно поставить в соответствие некое математическое выражение: прагматическому числу канонически сопоставить математическое число;

a ( x, y ) соответствует прагматическому числу канонически сопоставить математическое число;

a ( x, y ) соответствует x + y ;

b( x, y ) x соответствует x y ;

c ( x, y ) соответствует xy ;

d ( x, y ) соответствует y. На элементарное прагматическое слово можно посмотреть как на некую методику выполнения прагматической арифметической операции, которую назовем элементарным вычислением.

Последовательность выполнения прагматических арифметических операций называется процессом вычисления. Таким образом, элементарное прагматическое слово выступает одновременно в нескольких ипостасях;

во-первых, как прагматический объект;

во-вторых, как результат элементарного вычисления;

в-третьих, как запись методики проведения процесса вычисления.

Обобщим понятие элементарного прагматического слова до понятия «прагматическое слово». Определим это понятие индуктивным путем. Элементарное прагматическое слово является прагматическим словом. Если A, B являются элементарными прагматическими словами, то выражения a ( A, B ), b( A, B ), c ( A, B ) также являются прагматическими словами, если понимать A, B как прагматические числа. Выражение d ( A, B ) также является прагматическим словом, если B отлично от прагматического нуля и это выражение имеет смысл на множестве прагматических чисел.

Пусть теперь нам дано некое прагматическое слово. Если мы заменим в этом объекте определенное прагматическое число, входящее в данное слово, на другое прагматическое слово, то мы снова получаем (по определению) прагматическое слово. Такую операцию получения нового прагматического слова путем замены прагматического числа, входящего в слово, на прагматическое слово, будем называть суперпозицией прагматического слова.

Из определения прагматического слова следует, что его можно расчленить на конечное число элементарных прагматических слов. Отсюда следует, что в любое прагматическое слово входит конечное число прагматических чисел, соединенных между собой набором прагматических арифметических операций. В силу сказанного, на прагматическое слово можно посмотреть с разных позиций: во-первых, как на прагматический объект;

во-вторых, как на запись методики проведения процесса вычисления.

Каждому прагматическому слову A сопоставим математическое выражение А следующим образом. Так как прагматическое слово представляет собой набор прагматических чисел, соединенных с помощью прагматических арифметических операций, то каждому прагматическому числу мы канонически сопоставим математическое число, каждой прагматической арифметической операции сопоставим математическую арифметическую операцию, кроме того, используем скобки для определения порядка выполнения математических арифметических операций. Отсюда следует, что каждому прагматическому слову можно дать в соответствие однозначно определенное математическое выражение. Это соответствие назовем каноническим соответствием и будем его обозначать через символ.

Для разъяснения сказанного приведем пример. Пусть нам дано прагматическое слово:

a (c (b( a (5,0.1 5 ), 3.2 ), a (1.5,2.2)), 1 ). Этому слову канонически сопоставляется 2 5 следующее математическое выражение: ((5+0.125)-3.25)*(1.5+2.2))+10. Другими словами, ( a (c(b(a (5,0.125 ), 3.25 ), a (1.5,2.2)), 10 ) ) = ((5+0.125)-3.25)*(1.5+2.2)+10.

Если мы изменим обозначения прагматических арифметических операций в прагматических словах на обозначения соответствующих математических операций с использованием в случае необходимости скобок, то написание прагматических слов не будет ничем отличаться от написания математического выражения. Это означает, что символические записи двух рассматриваемых объектов не отличаются друг от друга. В этом случае каноническое соотношение означает просто переход от прагматического толкования записи к математическому толкованию той же записи. В силу того, что соответствие является взаимно однозначным соответствием, то каноническое существует также каноническое соответствие, которое ставит в соответствие некоторым математическим выражениям прагматические слова. Рассуждая аналогично, можно сказать, что символ показывает: нужно переходить от математического толкования символической записи к прагматическому толкованию.

Согласно индуктивному определению прагматического слова, для каждого прагматического слова, отличного от элементарного, можно найти такое прагматическое слово, из которого получается заданное слово с помощью операции суперпозиции. Если мы продолжим далее этот процесс, то через конечное число шагов мы придем к такому прагматическому слову, которое уже не является результатом суперпозиции другого прагматического слова. Это последнее слово будем называть корнем заданного слова. Из этого рассуждения вытекает, что для каждого прагматического слова существует по крайней мере один корень.

Так как каждому элементарному прагматическому слову выше было сопоставлено некоторое прагматическое число, которое было названо значением этого слова, то естественно возникает желание сопоставить произвольному прагматическому слову некоторое прагматическое число, которое по аналогии будет называться числовым значением прагматического слова. Это сопоставление будем называть вычислением прагматического слова.

Процесс (точного) вычисления прагматического слова A заключается в сопоставлении определенным способом этому слову прагматического числа, или в утверждении, что этому слову указанным способом нельзя сопоставить прагматическое число. Сам процесс вычисления слова A состоит из конечного числа шагов. На первом этапе заменяются все элементарные прагматические слова на их численное значение в виде прагматического числа. Здесь возможны два случая. Во-первых, бывает такое элементарное слово, которое не имеет числового прагматического значения. Такой случай возникает при делении двух прагматических чисел. Тогда процесс вычисления прекращается и объявляется, что слово A не имеет числового прагматического значения. Во втором случае, все элементарные прагматические слова, входящие в слово A, имеют числовое значение. Тогда после замены элементарных слов на их значения приходим к новому прагматическому слову A1. На следующем этапе повторяется та же процедура: элементарные слова, содержащиеся в A1, заменяются на их числовые прагматические значения. Здесь опять возникают два случая:

или приходим к слову A 2, либо объявляем, что слово A1 (а, следовательно, и A ) не имеет числового прагматического значения. Очевидно, что описанная процедура через конечное число шагов или приводит к некоему прагматическому числу, которое объявляется значением слова A, или выясняется, что это слово не имеет прагматического значения.

Обозначим через Z ( A) прагматическое значение слова A.

A и B называются равными, т.е. A = B, если Два прагматических слова Z ( A) =Z ( B ), где Z ( A) — конкретное прагматическое число. Заметим, что равенство двух прагматических слов отличается от тождественности прагматических слов. В первом случае числовые значения слов совпадают, а во втором — сами слова совпадают.

Если математическое выражение А канонически соответствует A, то численное значение Z ( A) выражения А канонически соответствует прагматическому числу Z ( A).

Обратное неверно. Пусть А – математическое выражение, A — прагматическое выражение, канонически соответствующее A, Z ( A) — математическое значение выражения A. Тогда возможны два варианта: число Z ( A) реально существует или реально не существует. Если это число реально не существует, то ему нельзя канонически сопоставить прагматическое число. Это означает, что прагматическое выражение A нельзя вычислить. Даже в случае, когда число Z ( A) реально существует, может встретиться такая ситуация, когда описанный выше процесс вычисления Z ( A) может оборваться, если произойдет деление двух прагматических чисел, результат которого не является прагматическим числом. В качестве примера рассмотрим выражение: (1:3)*3.

Рассматривая это выражение как математическое, мы можем его вычислить и получить число 1 в качестве результата. Однако рассматривая это выражение как прагматическое слово, мы не сможем найти его значение, ибо результат 1:3 не является прагматическим числом.

Обозначим через PS множество всех прагматических слов, а через MS — множество всех математических выражений, канонически соответствующих прагматическим словам.

На множестве PS мы можем определить некие операции над прагматическими словами, результатом которых снова являются прагматические слова. В силу того, что эти операции напоминают арифметические прагматические операции над прагматическими числами, мы сохраним эти же имена и для операций над прагматическими словами.

Пусть A, B — прагматические слова. Под прагматическим сложением a ( A, B ) мы понимаем слово, которое получается из элементарного прагматического слова a ( x, y ) путем замены x на A и y на B. Согласно определению прагматического слова, a ( A, B ) является прагматическим словом. Под прагматическим вычитанием b( A, B ) мы понимаем слово, которое получается из элементарного прагматического слова b( x, y ) путем замены x на A и y на B. Согласно определению прагматического слова, b( A, B ) является прагматическим словом. Подобным образом определяются и остальные арифметические прагматические операции c ( A, B ) и d ( A, B ), заданные на множестве PS.

Введенные до сих пор понятия прагматической математики являются отражением математических понятий, которые характерны для математики до XVII века. Теперь введем такие понятия прагматической математики, которые уже связаны с математическими понятиями, возникшими в XVII веке. Начнем с одного из основных, возникших в этот период: с понятия «переменная».

Каждое подмножество X прагматических чисел a в PR10 мы свяжем с некоторым прагматическим объектом, который назовем прагматическим переменным x, а подмножество X — множеством определения переменной x. Прагматическое переменное можно толковать как объект, который может принимать в качестве своего значения любое число из этого подмножества, при этом не дается никаких преимуществ никакому элементу из него, если не выделяются дополнительные условия. В этом случае каждое число из подмножества X можно рассматривать как возможное значение переменной x. Канонически сопоставляя каждому прагматическому значению переменной математическое число, мы каждой прагматической переменной однозначно сопоставляем математическую переменную, определенную на некотором множестве реально существующих математических чисел.

На множестве всевозможных прагматических переменных можно определить операции, аналогичные прагматическим арифметическим операциям. Под прагматическим сложением a ( x, y ) двух прагматических переменных x и y мы понимаем прагматическую переменную z, причем множество Z состоит из всех прагматических чисел вида a ( a, b), где a X и b B. Аналогично определяются прагматическое вычитание переменных b( x, y ), прагматическое умножение переменных c ( x, y ), прагматическое деление переменных d ( x, y ). Введенные операции мы также назовем арифметическими прагматическими операциями. Каждой прагматической операции над прагматическими переменными однозначно соответствуют и математические операции над математическими переменами.

Теперь мы можем определить новый прагматический объект – обобщенное прагматическое слово. Определим это понятие индуктивным путем. Во-первых, все прагматические переменные и прагматические числа являются обобщенными прагматическим словами. Во-вторых, выражения вида a ( x, y ), b( x, y ), c ( x, y ), d ( x, y ), где x, y — прагматические переменные или прагматические числа, являются обобщенными прагматическими словами. В-третьих, если в обобщенном прагматическом слове мы заменяем некое прагматическое переменное на обобщенное прагматическое слово, то (по определению) снова получаем обобщенное прагматическое слово.

F ( x1, x 2,..., x n ) F ( a1, a 2,..., a n ) Пусть — обобщенное прагматическое слово, а — некоторое конкретное значение данного обобщенного слова. К слову F (a1, a 2,..., a n ) мы можем применить вычислительный процесс, в результате которого приходим или к Z ( a1, a 2,..., a n ) F конкретному прагматическому числу, которое обозначим через, или к F ( a1, a 2,..., a n ) утверждению, что слово нельзя вычислить в прагматических числах.

F ( a1, a 2,..., a n ) Если результат вычисления слова есть конкретное прагматическое число Z ( a1, a 2,..., a n ) F, то мы его будем называть числовым значением обобщенного слова F ( x1, x 2,..., x n ) F ( a1, a 2,..., a n ). В том случае, когда не обладает прагматическим не имеет числового значения при xi = a i.

F ( x1, x 2,..., x n ) значением, будем говорить, что Обозначим через Y множество всех значений выражения Z F ( x1, x 2,..., x n ) при различных значениях xi. Множество Y определяет некоторую прагматическую переменную, которую обозначим через y. Множество Y будем называть областью значений переменной y или выражения F ( x1, x 2,..., x n ). Таким образом, мы приходим к понятию прагматической функции, которую можно записать в виде:

y = F ( x1, x 2,..., x n ). (1) Из вышесказанного непосредственно следует, что с каждым обобщенным прагматическим словом связана определенная прагматическая функция.

F ( x1, x 2,..., x n ) Пусть даны два обобщенных прагматических слова и G ( x1, x 2,..., x n ) xi, которые имеют одни и те же прагматические переменные. Мы будем F ( x1, x 2,..., x n ) = G ( x1, x 2,..., xn ) говорить, что эти два слова равны, т.е., если ai X i Z ( a1, a 2,..., a n ) F Z ( a1, a 2,..., a n ) G = при любых возможных наборах. Кроме того, имеет место также равенство F ( a1, a 2,..., a n ) = G (a1, a 2,..., an ).

F ( x1, x 2,..., x n ) Легко видеть, что каждому обобщенному прагматическому слову однозначно соответствует математическое выражение Всякий раз открытие такого перевода понятия (отражающего определенное положение вещей) на язык другого понятия (соответствующего ситуациям иного типа) обогащает наше представле-ние о каждом из них путем неожиданного интуитивного восприятия, характерных для одного и другого.

А. Гротендик F ( x1, x 2,..., x n ) Вычисление есть средство получения числовых результатов, но это также орудие разума для исследования мира.

Р. Хемминг 8.3. Прагматическая математика как смешанное познание.

В предыдущем параграфе были обсуждены некоторые базисные прагматические математические объекты и их свойства. Из этого обсуждения видно, что существует тес ная связь, которую мы назвали каноническим соответствием, между прагматическими объектами и математическими объектами. Даже более того, в определении ряда основных прагматических понятий использовались математические понятия. Поэтому прагматиче ский объект A и канонически соответствующий ему математический объект A) ( удобнее рассматривать одновременно как пару ( A, A) ). Напомним, что из своего ( A) неразличимы по написанию, а отличие заключается только в построения A и ( толковании симво-лов.

Прагматическую математику, объектом которой, по своей сути, является пара ( A, A) ) и другие понятия, основанные на понятии пары, нельзя отнести к интеллекту ( альному познанию, хотя ( A) относится к теоретической математике, но объект A не принадлежит к интеллектуальному познанию. Однако прагматическая математика, кото рая предназначена решать практические задачи, по своему духу, должна относиться к прагматическому познанию, но она использует в процессе решения задач математические объекты. Поэтому прагматическую математику мы отнесем к новому типу познаний, которое назовем смешанным познанием.

Каждому прагматическому объекту A канонически соответствует математический объект A). Если два прагматических объекта A и B различны, т.е. отличаются по ( напи-санию, то и A) и ) отличаются друг от друга. Однако не каждому ( (B математическому объекту можно поставить в соответствие прагматический объект, который бы канониче-ски соответствовал этому математическому объекту. Тогда естественно возникает воп-рос, каким математическим объектам можно поставить прагматический объект.

На этот вопрос достаточно просто ответить: все математические выражения, которые состоят из переменных, соединенных знаками арифметических и логических операций и скобками, указывающими порядок выполнения операций. Другими словами, математиче скому выражению можно канонически сопоставить прагматическое слово (простое или обобщенное) только тогда, когда оно является формулой для вычисления. Но и в этом случае необходимо помнить, что в случае математического толкования вычислительная формула или алгоритм заданы на множестве математических чисел, а в случае прагматического толкования – на множестве прагматических чисел, которым соответствуют только реально существующие математические числа. Иначе говоря, с точки зрения теоретической математики формула для вычисления является непрерывным объектом, а с точки зрения прагматической математики – дискретным объектом.

Из сказанного вытекает один важный вывод, который оказывает существенное вли яние на использование прагматической математики. Этот вывод можно сформулировать следующим способом. Исследование любого реального объекта осуществляется с помо щью непрерывной модели, а нахождение численного решения задачи – с помощью диск ретной модели.

Теперь перейдем к описанию «истинных» утверждений в рамках прагматической мате матики. В этих рамках любое утверждение представляет собой утверждение относительно прагматических математических объектов. Так как эти объекты имеют двойственное тол кование, то и любое утверждение относительно этих объектов имеет также двойственное содержание. Поэтому каждое утверждение в рамках прагматической математики удобно рассматривать как пару утверждений, которые совпадают по тексту, но отличаются по толкованию. Используя аналогию с проведенными выше рассуждениями, будем каждое утверждение L в рамках прагматической математики представлять в виде пары ( PL, TL ), где PL - утверждение в прагматическом познании, а TL - утверждение в теоретической математике, хотя формулировки PL и TL идентичны. В этом случае мы будем говорить, что утверждение TL канонически соответствует PL и PL канонически соответствует TL.

С помощью введенного определения, можно ввести понятия «истинности» утверждения L в рамках прагматической математики. Мы будем говорить, что утверждение L является «истинным», если утверждение PL «истинно» в рамках прагматического познания и ут-верждение TL является «истинным» в рамках теоретической математики.

Рассмотрим два разных случая: утверждение L является утверждением, касающимся именованных чисел, или утверждением, связанным с неименованными числами. В первом случае «истинность» утверждения PL устанавливается на основе практического опыта.

Но тогда «истинность» утверждения TL вытекает из его реального соответствия, т.е. из «истинности» PL. Во втором случае, т.е. в случае неименованных чисел, «истинность»

утверждения TL следует из того, является ли оно аксиомой или доказанной теоремой. В этом случае утверждение PL считается «истинным», ибо его «истинность» следует из теории.

В предыдущем параграфе были выделены следующие прагматические объекты: имено ванные и неименованные прагматические числа, элементарные прагматические слова, прагматические слова, обобщенные прагматические слова, прагматические функции, праг матические алгоритмы.

Начнем наше рассмотрение с именованных и неименованных прагматических чисел.

Основным утверждением, которое признается «истинным» в рамках прагматической мате матики и относится к самим числам, является утверждение L : «это – число A ».

Указанная фраза имеет двойной смысл. С точки зрения теоретической математики она эквивалентна утверждению TL : «пусть дано число A ». А с другой точки зрения, эта фраза, как PL, означает или результат некоего измерения, или числовое значение, которое приписывается определенному слову, составленному из цифр и точки. Это слово рассматривается как представление числа в некоторой позиционной системе. С точки зрения теоретической математики рассматриваемое утверждение TL является «истинным», ибо число A является интеллектуальным объектом, который с момента обучения существует в сознании человека. С точки зрения прагматической математики эта фраза PL является «истинной», если она отражает, либо количественную сущность некоего множества реальных объектов, либо результат измерения, либо является прагматическим словом, канонически соответствующим математическому числу A. По своему характеру утверждения PL и TL являются фактами в соответствующих познаниях, поэтому и «истинное» утверждение L можно назвать прагматическим математическим фактом.

Теперь рассмотрим «истинность» утверждений, относящихся к прагматическим словам.

Пусть A - элементарное прагматическое слово, в запись которого входят только прагматические числа. В этом случае можно выделить утверждения двух типов.

Утверждением первого типа является утверждение о равенстве элементарного слова числу, а утверждением второго типа – утверждение о равенстве двух элементарных слов.

Пусть дано утверждение первого типа L = ( PL, TL ). Прежде всего, отметим, что для того, чтобы это утверждение было «истинным» необходимо, чтобы число, которое равно элементарному слову, было прагматическим числом. В противном случае, утверждение PL не могло быть «истинным» в рамках прагматического познания. Утверждение TL является «истинным», если оно является определением, или аксиомой, или доказывается на основе аксиом. Например, 1+0=1 может быть определением или аксиомой (см. А.


Пуанкаре, 34, с. 12), а утверждение 2+2=4 является теоремой, которая легко доказывается на основе системы аксиом теории чисел.

При рассмотрении утверждения PL необходимо рассмотреть два случая. Во-первых, элементарное слово равно именованному числу, а во-вторых, элементарное слово равно неименованному числу. В первом случае утверждение PL является «истинным» в праг матической математике, если оно является «истинным» в прематематике. В этом случае утверждение TL является «истинным» утверждением в теоретической математике, так как оно соответствует реальности. Иначе говоря, «истинность» утверждения TL индуцируется «истинностью» утверждения PL. Оба утверждения PL и TL являются фактами в соответствующих познаниях.

Во втором случае утверждение PL является «истинным» в рамках прагматической математики, если утверждение TL, канонически соответствующее ему, является «истинным» в теоретической математике. Утверждение TL «истинно» в теоретической математике, если оно является либо аксиомой, либо доказанной теоремой. Другими словами, «истинность» PL определяется «истинностью» утверждения TL.

Пусть A - элементарное слово, представляющее собой деление двух прагматических чи-сел, т.е. A =d (a, b). Случай, когда результат от деления является прагматическим числом, был рассмотрен выше. Предположим, что не существует прагматического числа, который был бы результатом деления двух прагматических чисел a и b. Тогда операция деления d ( a, b) заменяется операцией -делением a, b) и полагается (a, b) =c, ( где c = (c), c - реально существующее математическое число, удовлетворяющее неравенству (3), 1 - каноническое соответствие, ставящее математическому числу прагматическое число. В этом случае утверждение PL : (a, b) =c, - считается «истинным» согласно соглашению среди некоторой общественной группы. Эта «истинность» принципиально отличается от «истинности» утверждений, рассмотренных выше. Она является относительной и, в целом, носит временный характер. «Истинность»

же прагматических математических фактов является абсолютной и не зависит ни от времени, ни от мнения исследователей. Здесь мы сталкиваемся с тем, что утверждение TL : ( a, b) = c, где c - реально существующее мате-матическое число, - не является «истинным» утверждением в рамках теоретической мате-матики, ибо оно не вытекает из аксиом теории чисел. Но это утверждение TL можно счи-тать «истинным» по соглашению.

Резюмируя рассмотренный случай, видим, что здесь мы впервые столкнулись с двумя различными типами «истинности»: «истинность» и «истинность» по соглашению. Образно говоря, в прагматической математике имеют дело с «абсолютной истинностью» и «отно-сительной истинностью». Таким образом, необходимо различать «абсолютно истинные» прагматические утверждения от «относительно истинных» прагматических утверждений.

Пусть дан прагматический математический объект ( A, A)), где A - прагматическое ( слово, т.е. A есть формула, связывающая между собой прагматические числа с помощью только арифметических операций. Можно выделить три типа утверждений PL : A = a, где a - прагматическое число;

A = B, где B - элементарное прагматическое слово;

A = B, где B - прагматическое слово. Рассмотрим первый тип утверждений. Утверждение PL будет «истинным» в прагматическом познании, если существует прагматическое число F ( A), т.е. формула A вычисляема в рамках прагматической математики, и выполняется равенство F ( A) =a. Если утверждение PL является «истинным», то и утверждение TL является «ис-тинным», ибо F ( A) = ( F ( A)) = (a ) = a.

Теперь перейдем к утверждениям второго типа и рассмотрим утверждение L = ( PL, TL ), где утверждение PL : A = B, где B - элементарное прагматическое слово, а утверждение TL : A = ( A) = ( B ) = B. Утверждение PL является «истинным» в прагматическом позна-нии, если A и B вычисляемы, т.е. F ( A) и F (B ) являются прагматическими числами, и F ( A) =F ( B). Но тогда и утверждение TL является «истинным» в теоретической математи-ке, ибо F ( A) = F ( A)) = F ( B )) = F ( B ), т.е. A = B.

( ( Предположим, что A или B невычисляемы. Тогда утверждения PL и TL не могут быть «истинными». Однако эти утверждения могут быть «истинными» по соглашению, если в процессе -вычисления можно получить: F ( A) = F ( B ). Тогда F ( A) = ( F ( A)) = ( F ( B )) = F ( B ).

Таким образом, мы опять встречаемся как с «абсолютно истинными» утверждениями, так и с «относительно истинными».

Случай, когда A = B, где B - прагматическое слово, рассматривается аналогично.

Анализ истинности утверждений, связанных с обобщенными прагматическими словами, прагматическими функциями и прагматическими алгоритмами, также происходит подобным образом.

Этот параграф мы закончим обсуждением логики прагматической математики.

Любое рассуждение, допустимое в этой логике, состоит из последовательности элементарных рассуждений. Элементарные рассуждения бывают двух типов. Элементарное рассуждение первого типа заключается в переходе от пары ( A, A)) к паре ( A1, ( A1 )), ( где A, A1 - прагматические слова или числа, Этот переход состоит в замене элементарного прагматического слова B, встречающегося в формуле A на такое прагматическое число b, для которого утверждение F ( B ) =b или утверждение F ( B ) = b истинно. По своему содержанию, элементарное рассуждение первого типа означает проведение вычисления на основе арифметических прагматических операций.

Элементарное рассуждение второго типа заключается в переходе от пары ( 1 ( A), A) к паре ( 1 ( A1 ), A1 ), где A, A1 - теоретико-математические формулы или математические числа. Этот переход состоит в преобразовании математической формулы A в формулу A на основании аксиом с последующим применением канонического соответствия.

Из приведенных определений видно, что любое рассуждение в рамках прагматической математики есть последовательность, состоящая из набора вычислений и преобразований математических формул. Другими словами, любое рассуждение в рамках прагматической математики можно представить в виде прагматического алгоритма.

8.4. Прагматическая математика и моделирование.

В силу того, что прагматическая математика оперирует как именованными прагматическими числами, так и неименованными, то ее, по существу, можно разделить на две части. Одну часть составляют решение задач в терминах именованных чисел, а другую часть – решение задач в терминах неименованных чисел. Количественные задачи, решаемые в терминах именованных чисел, обычно относятся к исследованию реальных объектов, с которым мы встречаемся в экспериментальной физике, а задачи, решаемые в неименованных числах, относятся, в основном, к вычислительной математике. В этом параграфе мы основное внимание будем уделять только обсуждению решения количественных задач вне зависимости от того, принадлежат они экспериметральной физике или вычислительной математике, а также без всякой связи с различными теориями.

Здесь нас будет интересовать сам процесс вычисления конкретных формул без всякой связи с тем, каким путем они были получены.

Все количественные задачи, связанные с исследованием реальных объектов, можно грубо разделить на две группы. В первую группу входят задачи, в которых требуется найти конкретное значение формулы (прагматического слова) при конкретных значениях, входящих в нее переменных. Задачи, входящие в первую группу, в частности, возникают при количественной проверке соответствия теории экспериментальным данным. Отметим также, что аналогичные задачи возникают и в вычислительной математике, когда требуется найти численное значение функции при определенном значении аргумента.

Такие задачи всегда возникают, например, при табулировании математических функций.

Во вторую группу входят количественные задачи по определению численных значений параметров формулы на основе конкретных значений переменных формулы. Задачи этого типа обычно возникают при установлении количественных экспериментальных законов или закономерностей в различных областях знаний. Кроме того, к этой группе мы отнесем такие задачи, как численное решение отдельных прагматических уравнений различного вида или систем из них.

Рассмотрим решение задач, относящихся к первой группе задач, с точки зрения теории моделирования. Целью решения задачи, относящейся к первой группе, в рамках экспериментальной физики является сравнить результаты расчетов, произведенных на основе формулы (формул), и результатами измерений степеней обладания свойствами реальных объектов, полученных в результате эксперимента. Таким образом, это цель разбивается на две подцели: первая подцель – это получение результатов расчетов, т.е.

проведения процесса вычислений, а вторая подцель – это сравнение результатов расчетов с результатами измерений.

Процесс сравнения результатов вычислений с результатами наблюдений в значительной степени основывается на субъективном факторе, хотя методы математической статистике позволяют часто в значительной степени облегчить принятие решение в этом случае. Для достижения этой подцели рассмотрение достижение цели с позиций процесса моделирования может оказать незначительную помощь. Поэтому мы в этом параграфе не будем уделять внимание этому аспекту, а сосредоточимся только на процессе проведения прагматических вычислений, который и будем рассматривать как процесс моделирования. В этом случае глобальная цель моделирования совпадает с первой подцелью.


Не уменьшая общности, мы будем рассматривать только тот случай, когда надо рассчи тать только одно число, ибо случай расчета нескольких чисел распадается на ряд этапов, в каждом из которых рассчитывается только одно число.

Таким образом, глобальный критерий моделирования заключается в нахождении одного числа, которое является результатом вычисления формулы после подстановки в нее конкретных числовых значений входящих в нее переменных. Однако и в этом случае не понятно, как сформулировать глобальный критерий решения задачи. Эту трудность можно проиллюстрировать следующей ситуацией. Например, два человека решают одну и ту же задачу и получают два различных результата, т.е. два различных числа. Возникает проблема выбора того из полученных чисел, которое будет принято за решение задачи.

Если известно, что поставленная задача имеет единственное решение, то в этом случае можно утверждать, что один из двух вычислителей допустил ошибку, которая исправляется при проверке процесса решения. Тогда в этом случае в качестве глобального критерия можно взять «правильное выполнение процесса вычисления». Здесь мы сталкиваемся с глобальным критерием, основанным на анализе пути решения задачи.

Критерий такого рода мы назовем критерием первого рода. Этот критерий напоминает критерии, которые мы уже встречали в теоретической математике, где решение задачи заключалось в проведении дедуктивного доказательства утверждения. Описанная ситуация возникает, например, тогда, когда в формуле не встречается операция деления.

Если же среди арифметических операций, которые участвуют в формуле, встречается операция деления, то процесс вычисления формулы может не выполняться, и есть необходимость в применении процесса - вычисления. Но тогда имеются две возможности. Первая ситуация заключается в том, что возможно математически так преобразовать первоначальную формулу, что преобразованная прагматическая формула уже будет однозначно вычисляемой. В этом случае назовем первоначальную формулу, вычисляемой с помощью преобразования. В качестве примера такой вычислимой формулы приведем следующую прагматическую формулу: c(d (1,3),1 ). Эта формула в таком виде в рамках прагматической математики невычислима, ибо результат d (1,3) не является прагматическим числом. С другой стороны, этой формуле мы можем сопоставить следующую прагматическую формулу:

(c(d (1,3),15 ) = (1 : 3) * 15 = (1 * 15 ) : 3 1 ((1 * 15 ) : 3) = d (c(1,15 ), 3) = 5.

Здесь мы заменили одну прагматическую формулу другой прагматической формулой, причем, во-первых, эти прагматические формулы канонически соответствуют равным математическим формулам, а во-вторых, вторая прагматическая формула вычислима.

Вторая ситуация состоит в том, что заданную формулу нельзя преобразовать в однозначно вычисляемую формулу. За такой формулой мы сохраним название «невычислимой формулы».

Сразу отметим, что в случае вычисляемой с помощью преобразования формулы глобальный критерий решения задачи заключается «в правильном проведении процесса преобразования с последующим правильном проведением процесса вычислений», ибо в этом случае в качестве решения задачи можно взять то единственное число, которое получается в результате вычисления преобразованной формулы.

Глобальный критерий для задачи, в которой вычисляется конкретное числовое значение невычислимой формулы, трудно задать в общем виде. В этом случае глобальный критерий, по своей сути, используется для выбора одного числового значения из множества возможных значений. Его формулировка зависит от строения формулы, а также от содержательной постановки задачи. Заметим, что в этом случае при выборе критерия значительную роль играет субъективный фактор.

При рассмотрении решения задач из первой группы мы встречаемся с двумя типами процессов моделирования: однотекстовым и двутекстовым моделированием.

Однотекстовое моделирование связано только с решеним задач, в которых используются вычисляемые формулы. В этом случае модель представляет собой формальную запись с помощью математических символов методики решения массовой задачи, т.е. класса задач, отличающихся друг от друга только различными конкретными значениями параметров.

Эта ситуация является характерной для прематематики. Важно отметить, что эта модель не является математической, ибо числа и операции, которые встречаются при решении, являются прематематическими числами и операциями. В этом случае глобальный критерий совпадает с частным критерием моделирования. Исследование модели, т.е. сам процесс вычисления, заключается в выполнении методики вычисления, представленной формулой, и в получении результата вычисления. Процесс заканчивается проверкой выполнения глобального критерия на основе полученного результата.

При решении остальных типов задач из этой группы используются двутекстовые глобальные модели. Решение задач, в которых используются формулы, вычисляемые с помощью преобразований, связано с одновременным использованием двух моделей: одна модель является прагматической, а другая – математической. Глобальному критерию соответствует два частных критерия, связанных с соответствующей моделью. Один критерий, связанный с прагматической моделью, совпадает по своей формулировке с глобальным критерием. Другой критерий заключается в том, что преобразование математической формулы, канонически соответствующей прагматической формуле, происходит на основании аксиом теории математический чисел. Сам процесс моделирования протекает в три этапа. На первом этапе с помощью канонического соответствия осуществляется переход от прагматической формулы к математической формуле. На втором этапе математическая формула преобразуется на основе аксиом теории чисел, а затем с помощью канонического соответствия осуществляется переход от математической формулы к прагматической. И, наконец, осуществляется вычисление новой прагматической формулы (третий этап). Затем следует проверка полученного результата с точки зрения глобального критерия.

Перейдем к рассмотрению задач из первой группы, в которых требуется вычислить значение невычислимой формулы. В этом случае необходимо перейти от процесса вычисления значения формулы к процессу -вычисления той же формулы, что в свою очередь требует использования двутекстовой модели. Глобальному критерию соответствует два частных критерия: один частный критерий связан с прагматической моделью, а другой – с математической. В общем случае трудно сформулировать оба частных критерия, ибо здесь мы также встречаем те же трудности, о которых говорили при формулировании глобального критерия. Выбор частных критериев существенно зависит от сложности и строения невычисляемой формулы. Так как модели имеют разную природу, то и частные критерии могут существенно отличаться друг от друга, то и критерии, по своей сути, отличаются друг от друга. Поэтому особую важность приобретает согласование между собой частных критериев. В наиболее простых случаях связь между этими критериями устанавливается с помощью канонического соответствия между прагматическими и математическими объектами.

Как мы уже отмечали выше, процесс -вычисления прагматической формулы использует математическую формулу, канонически соответсвующую заданной формуле.

Таким образом, исследуемая глобальная модель состоит из двух моделей, одна из которых прагматическая модель, а другая – математическая. Процесс исследования глобальной модели (проведение процесса -вычисления) осуществляется в конечное число этапов. На первом этапе вычисляются все элементарные прагматические слова. Этот процесс продолжается до тех пор, пока не останется ни одного элементарного слова, который может быть вычислен. Тогда с помощью канонического соответствия переходим к соответствующей математической формуле. На этом этапе возможны два случая. В первом случае мы приходим к формуле, вычисляемой с помощью преобразования. Тогда мы осуществляем процесс вычисления, описанный выше. Во втором случае мы приходим вновь к невычисляемой формуле. Осуществляем -деление, а затем с помощью канонического соответствия переходим к прагматической формуле и повторяем первый этап и, если это необходимо, то и следующий этап. Так как глобальная модель представляет собой суперпозицию конечного числа элементарных прагматических слов, то описанный выше процесс оборвется через конечное число этапов.

К проведению процесса - вычисления сделаем следующее замечание: при каждом - вычислении элементарного слова можно выбирать различные значения. Даже в случае, если используется одно и то же значение, результат - вычисления представляет собой множество различных прагматических чисел, которые могут существенно отличаться один от другого. Поэтому проблема выбора результата процесса - вычисления в этом случае существенно зависит от выбора частных критериев моделирования, ибо при разных частных критериях решения задачи, выбранные на их основании, могут существенно отличаться. Поэтому можно, в качестве вспомогательного средства, воспользоваться сравнениями с реальными измерениями.

Аналогично рассматриваются задачи из первой группы, в формулировках которых встречаются обобщенные прагматические слова, прагматические функции и прагматические алгоритмы.

Теперь обратимся к вычислению формул, которые возникают в теоретической математике. Здесь в отличие от предыдущего рассмотрения, основную роль играет математическая формула, с которой и начинается весь процесс вычисления. Ясно, что для того, чтобы математическая формула была вычислимой необходимо, чтобы она канонически соответствовала некоторой прагматической формуле. Это утверждение вытекает из двух фактов, которые уже неоднократно упоминались выше. Во-первых, в рамках теоретической математики нельзя проводить вычисления формул, а можно только доказать, что данная формула численно равна некоторому числу. Доказываемое равенство рассматривается как гипотеза. Во-вторых, вычислять можно только прагматические формулы, т.е. любые вычисления проводятся только в рамках прагматической математики.

Если для математической формулы существует канонически соответствующая ей прагматическая формула, то эта формула представляет собой набор переменных или чисел, соединенных между собой арифметическими операциями, порядок выполнения которых регулируется с помощью скобок.

Пусть нам дана математическая формула, которую требуется вычислить. В этом случае процесс вычисления происходит с помощью прагматической формулы, канонически соответствующей данной. Сам процесс вычисления прагматической формулы был уже описан выше. Так как в результате вычисления прагматической формулы получается прагматическое число, то математическое число, канонически соответствующее этому прагматическому числу, и принимается в качестве результата вычисления математической формулы.

Теперь перейдем к рассмотрению второй группы прагматических математических задач. Если среди задач из первой группы нередко можно встретить задачи, подобные прематематическим задачам, то для задач из второй группы нельзя найти прематематических аналогов. В этой группе мы выделим два типа задач: во-первых, задачи на поиск конкретных числовых значений параметров прагматической функции на основе заданного множества реальных измерений;

во-вторых, численное решение отдельного прагматического уравнения или системы прагматических уравнений.

Наше рассмотрение мы начнем с задач второго типа. Пусть нам дано прагматическое уравнение: f ( x ) =0, (5) где f - прагматическая функция, x - прагматическая переменная, и требуется найти численные значения корней этого уравнения. Так как в представлении прагматической функции участвуют только арифметические действия, то она представляет собой конечный набор полиномов одного переменного, соединенных с помощью арифметических операций. Функции f канонически соответствует математическая функция f, которую с помощью тождественных преобразований привести к виду R( x) F ( x) =, Q( x) R ( x ), Q ( x ) - полиномы от x. Без ограничения общности, можно считать, что где R ( x ), Q ( x ) не имеют общих делителей. Тогда любой корень уравнения (5) является корнем уравнения R ( x) = 0. (6) С точки зрения вычисления корней уравнения (5), можно для этой цели заменить уравнение (5) уравнением R ( x ) =0, (7) которое получается из уравнения (6) с помощью канонического соответствия.

Рассмотрим решение прагматического уравнения (7) с точки зрения процесса моделирования. Глобальная цель этого процесса – найти прагматическое число, которое является корнем прагматического уравнения. Глобальный критерий в этом случае имеет очень простую форму R( a ) =0, если a результат решения задачи. Так процесс решения задачи операется на процесс решения соответствующего математического уравнения, то для решения прагматического уравнения используется двутекстовая модель, состоящая из двух частных моделей: прагматической и математической. Частный критерий прагматической модели совпадает с глобальным критерием моделирования, а частный критерий математической модели есть математическое утверждение, канонически соответствующее прагматическому частному критерию.

Сделаем несколько общих замечаний относительно критериев, с которыми мы встретились при решении уравнений. Они принципиально отличаются от критериев, рассмотренных выше. Выше мы сталкивались с критериями первого рода, которые были основаны на анализе самого процесса моделирования. Новые критерии основаны на анализе результатов процесса моделирования, а не на анализе самого процесса моделирования. Другими словами, новые критерии никак не связаны с самим процессом моделирования и не зависят от него. Эти критерии будем называть критериями второго рода. Легко видеть, что критерии второго рода более конструктивные и эффективные, нежели критерии первого рода, ибо они однозначно дают ответ, являются ли полученные (или предложенные) значения решением уравнения или нет.

Процесс исследования прагматической модели, т.е. количественного решения прагматического уравнения, неразрывно связан с процессом исследования соответствующего математического уравнения. Это объясняется тем, что в рамках прагматической математики нет никакой возможности обоснованно отобрать конечное число прагматических чисел для проверки с надеждой, что среди них есть корень прагматического уравнения. Переход к теоретической математической модели дает, во первых, математический алгоритм нахождения корней математического уравнения, а, во вторых, математическое доказательство, что выполнения алгоритма приводит к решению уравнения.

Как уже говорилось в параграфе 6.1, среди математических алгоритмов можно выделить два типа алгоритмов: конструктивные и неконструктивные. Все алгоритмы, целью которых является получение набора конкретных чисел, относятся к конструктивным алгоритмам. Так как в рамках прагматической математики мы имеем дело только с конструктивными алгоритмами, то нас в дальнейшем будет интересовать только математические конструктивные алгоритмы.

Конструктивный алгоритм, целью которого является получение отдельного конкретного числа или набора конкретных чисел, состоит из конечного набора связанных между собой логическими переходами этапов (шагов), каждый из которых представляет собой некий процесс, заключающийся в вычислении значения некоторой математической формулы. Но так как любое конкретное вычисление происходит в рамках прагматической математики, то для проведения самого процесса вычислений необходимо перейти от математической формулы к прагматической формуле с помощью канонического соответствия. Отсюда вытекает, что каждому математическому алгоритму можно поставить в соответствие с помощью канонического соответствия прагматический алгоритм. Таким образом, мы имеем дело с парой ( 1 (, где - математический ), ) алгоритм, - каноническое соответствие, ( - прагматический алгоритм.

) Математический алгоритм характеризуется тем, что существует математическое доказательство того факта, что с помощью этого алгоритма можно решить поставленную задачу. Именно наличие такого доказательства и дает основу для использования алгоритма для решения конкретной задачи. Однако необходимо иметь виду, что доказательство сходимости алгоритма было проведено над полем действительных или комплексных (математических) чисел, а это означает, что корнями уравнения являются действительные или комплексные числа. В общем случае эти корни не являются реальными математическими числами, что сразу приводит к выводу, утверждающему об отсутствии прагматических корней у прагматического уравнения. Это означает, что прагматический алгоритм, в отличие от математического алгоритма, не дает решения уравнения, т.е. не удовлетворяет глобальному критерию.

Математики обычно в этом случае удовлетворяются неким «приближенным значением» корня уравнения. Понятие «приближенного значения» корня уравнения имеет смысл только в рамках теоретической математики, ибо только там было доказано существование корня рассматриваемого уравнения. В этом случае математическое число, удовлетворяющее определенным условиям, объявляется приближенным значением корня уравнения. В теоретической математике эти условия часто задаются с помощью критерия одного из двух типов:

x x0, (8) где x - корень математического уравнения f ( x) = 0, x 0 - математическое число, заданное число;

или R ( x 0 ), (9) где x 0 - математическое число, - заданное число. Если число x 0 удовлетворяет критерию (8) или (9), то его называют приближенным решением уравнения или приближенным значением корня этого уравнения.

Вернемся к прагматическому уравнению R( x) =0 и предположим, что это уравнение не имеет решения, т.е. не существует ни одного прагматического числа, которое является корнем рассматриваемого уравнения. Перед нами возможны три дороги.

Один путь состоит в замене уравнения R( x) =0 на уравнение R ( x) =, где - некое прагматическое число, и в поиске прагматических корней нового уравнения. Основной недостаток этого пути заключается в том, что крайне трудно apriori выбрать такое достаточно малое, для которого уже существует прагматическое решение. Поэтому этот путь практически не используется.

Второй путь заключается в том, что вместо прагматического уравнения рассматриваем канонически соответствующее ему математическое уравнение. С помощью конструктивного алгоритма находим решение математического уравнения. Затем находим такое реально существующее математическое число x 0, которое удовлетворяет (8). Этому числу канонически соответствует прагматическое число x 0 = ( x 0 ), которое и объявляется решением прагматического уравнения. И этот подход имеет существенный недостаток, заключающийся в том, что возможна ситуация, когда R ( x ) N, где N достаточно большое число. Эта ситуация плохо согласуется со здравым смыслом.

Согласно третьему пути, заменяем глобальный критерий R ( x 0 ) = 0 глобальным критерием R( x ) и ищем такое x0, которое удовлетворяет новому глобальному критерию. Для решения этой новой задачи также необходимо обратиться к математическому уравнению, канонически соответствующему прагматическому уравнению, и найти такой конструктивный математический алгоритм, с помощью x0, которого можно найти реально существующее математическое число (9). Тогда прагматическое число x0 = ( x 0 ) удовлетворяет удовлетворяющее глобальному критерию и является решением задачи в исправленной формулировке. Этот путь уже не обладает недостатками других, рассмотренных ранее путей. Интересно отметить, что на этом пути глобальный критерий решения задачи совпадает с частным критерием, относящимся к прагматической модели, а частный критерий, относящийся к математической модели, канонически соответствует этому частному критерию.

Теперь рассмотрим решение системы линейных прагматических уравнений с точки зрения моделирования. Пусть нам дана система линейных прагматических уравнений:



Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 15 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.