авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 || 13 | 14 |   ...   | 15 |

«Е. М. Левич Математическое моделирование и компьютерная математика. Иерусалим, 2009 1 Содержание ...»

-- [ Страница 12 ] --

X A =B, (10) где X =( x1, x 2,..., x n ) - вектор прагматических переменных, B =(b1, b2,..., bn ) - вектор прагматических чисел, A - квадратная матрица n n, состоящая также из прагматических чисел. Задача состоит в нахождении такого вектора из прагматических чисел C =(c1, c 2,..., c n ), для которого выполняется равенство C A = B. Из формулировки задачи автоматически вытекает формулировка глобального критерия моделирования:

C A =B.

Решение поставленной задачи возможно только при использовании методов из теоретической математики. Таким образом, мы опять имеем дело с использованием двутекстовой модели, состоящей из двух моделей: прагматической и математической.

Прагматическая модель представляет собой (10), а математическая модель получается из (10) с помощью канонического соответствия:

( X A = B ) XA = B, где ( X ) = X, ( A) = A, ( B ) = B. Глобальному критерию отвечает два частных критериев, из которых частный критерий, отвечающий прагматической модели, совпадает с глобальным критерием, а второй частный критерий получается из первого с помощью канонического соответствия.

Для решения системы (3) мы переходим к поиску решения математической системы уравнений XA = B. (11) Для таких систем существует конструктивный алгоритм, в процессе выполнения которого получается, прежде всего, положительный или отрицательный ответ о разрешимости системы (11). Одновременно, в случае разрешимости (11), выясняется вопрос о количестве решений этой системы.

Если система (11) не имеет решения, то и система (10) также является неразрешимой.

Предположим, что система (11) имеет единственное решение C = (c1, c 2,..., c n ). Это решение является математическим решением, ибо в процессе выполнения алгоритма мы вынуждены обязательно использовать деление двух прагматических или математических чисел. Из этого утверждения следует, что в общем случае поставленная задача, т.е. система (10), неразрешима в прагматических числах, ибо не существует вектор прагматических чисел C =(c1, c 2,..., c n ), который удовлетворял глобальному критерию. Другими словами, в поставленной формулировке задача в общем случае неразрешима. Поэтому на практике вместо «точного решения» системы (10) ищется «приближенное решение».

Понятие «приближенного рещения» системы (10) не является однозначно определенным понятием. В современной практике принято несколько подходов к этому понятию. Рассмотрим некоторые из этих подходов.

Первый подход заключается в том, что с помощью конкретного алгоритма решается система (11), кононически соответствующая системе (10). Этому математическому алгоритму соответствует прагматический алгоритм, с помощью которого решается система (10), используя систему (11). Полученный результат, который обозначим через C1 =(c11, c12,..., c1n ), объявляется решением системы (10). Этот результат, во-первых, не является «точным решением», т.е.

C1 A B = D = ( d1, d 2,..., d n ) 0. (12) Во-вторых, решение C1 не является единственным возможным результатом прагматического алгоритма. Это утверждение объясняется тем, что в процессе выполнения приходится использовать вместо однозначной операции деления операцию - деления, которая является многозначной. В-третьих, числа d i в общем случае не ограничены сверху, что является одним из основных недостатков этого подхода. Подобная ситуация возникает, напрмер, когда определитель матрицы A достаточно близок к нулю. Несмотря на этот недостаток, подход часто используется на практике, ибо он просто осуществляется.

Глобальным критерием в этом случае является исполнение конкретного математического алгоритма, относительно которого существует математическое доказательство того, что с помощью этого алгоритма можно математически решить систему (11). Как видно из сказанного, частный критерий математической модели совпадает с глобальным критерием. Другой частный критерий заключается в исполнении прагматического алгоритма, канонически соответствующего математическому алгоритму.

Теперь выберем другой конкретный математический алгоритм и с помощью его решим систему (11). Одновременно, с помощью прагматического алгоритма, канонически соответствующему выбранному алгоритму, решим систему (10), используя систему (11).

Полученный результат C 2 = (c 21, c 22,..., c 2 n ), аналогично описанному выше, объявляется решением системы (10). В общем случае, нет никакой теоретической и практической возможности сказать что-либо конкретное относительно разности двух решений, т.е.

относительно вектора C1 C 2 = (c 11 c 21, c12 c 22,..., c1n c 2 n ).

Это означает, что два решения одной и той же системы уравнений могут существенно отличаться друг от друга, что создает неопределенность, какое решение выбрать в качестве решения задачи.

Второй подход является более сложным. Он заключается в том, что на вектор D из (12) накладываются различные условия. Например, в качестве глобального критерия можно взять следующее требование: вектор C =(c1, c 2,..., c n ) будет принят за решение системы (10), если выполняется неравенство (i =1,2,..., n), d (13) i где C A B = D = ( d1, d 2,..., d n ), - заданное положительное число. В этом случае прагматический частный критерий будет совпадать с глобальным критерием, а математический частный критерий канонически соответствует прагматическому критерию.

Найти решение поставленной задачи (10) можно с помощью одновременного использования математической модели (11). В теоретической математике доказывается, что решение системы (11) можно выразить с помощью формул Крамера:

det Ak xk =, (14) det A где X = ( x1,..., x k,..., x n ) - вектор неизвестных, det A - определитель матрицы A, det Ak - определитель матрицы Ak, которая получается из матрицы A заменой k -того столбца этой матрицы на столбец, состоящий из b1, b2,..., bn. Этот алгоритм решения систем линей-ных уравнений обладает рядом особенностей, которых нет у других алгоритмов. Процесс вычисления определителей det A, det Ak, где элементы матриц A, Ak являются прагматическими числами, выполняется однозначно, ибо в его осуществлении используются арифметические операции, среди которых нет деления.

Другими словами, результат вычисления каждой из формул (14) является деление двух прагматических чисел, которое встречается в алгоритме только в одном месте. Поэтому по любому можно подобрать такие прагматические числа в качестве составляющих вектора C, что выполняется (13).

В любых других известных алгоритмах операция деления встречается в разных местах, что приводит к неоднозначности решения системы (10), которую очень трудно простым способом «втиснуть в рамки» ограничения (13). Однако на практике формулы Крамера редко применяются для решения конкретных систем уравнений, разве только в учебных целях.

Мы рассмотрели два типа прагматических задач, которые посвящены решению или уравнений, или систем уравнений. Все остальные прагматические задачи являются более сложными задачами, алгоритмы решения которых сводятся к алгоритмам решения рассмотренных выше задач.

Перейдем к рассмотрению задач первого типа из второй группы задач. В этих задачах необходимо на основе наблюдений (измерений) найти прагматическую регулярность, которая представляет собой прагматическую функцию. Подобные задачи составляют основу экспериментальной физики, и их целью является установление экспериментальных физических законов. В настоящее время подобные задачи встречаются не только в физике, но и в экономических, социальных, биологических и в других науках.

Прежде всего, необходимо уточнить содержательный смысл рассматриваемых задач.

Другими словами, уточним, что понимается под словами «найти экспериментальную зависимость на основе наблюдений». Пусть нам дано множество M = {x1, x 2,..., x n } количественных наблюдений или измерений. Каждое конкретное измерение xi рассматривается как значение некоторой функции f (t1, t 2,..., t m ) при конкретных значениях набора параметров t ij, т.е. xi = f (t i1, t i 2,..., t im ).

Математическая форма функции f (t1, t 2,..., t m ) не известна. Поэтому задача состоит в поиске прагматической t1, t 2,..., t m ) функции известной формы, которая в ( определенном смысле «близка» к функции f (t1, t 2,..., t m ). «Близость» между функциями и f определяется с помощью сравнения между наблюдениями xi = f (t i1, t i 2,..., t im ) и значениями функции y i =(t i1, t i 2,..., t im ).

Функция t1, t 2,..., t m ) выбирается из некоторого класса функций, которые ( отличаются друг от друга конкретными значениями параметров функций. Но тогда любую функцию можно в общем виде представить следующим образом:

(,,...,, t1, t 2,..., t m ), где i - параметры и t j - аргументы функции.

1 2 k После введенных обозначений поставленную выше задачу можно переформулировать следующим образом: найти конкретные значения 0i параметров i функции,,...,, t1, t 2,..., t m ), чтобы xi = f (t i1, t i 2,..., t im ) и y i =(t i1, t i 2,..., t im ) были (1 2 k «близки» в достаточной степени. Понятие «близости» можно формализовать, положив, ( x i y i ) 2 для любого i =1,2,..., m. Приведенные например, x y или i i неравенства и им подобные будем называть критериями близости. Часто применяется n ( x yi ) 2.

критерий близости в виде требования минимизировать выражение i i = Выбранный тот или иной критерий близости является глобальным критерием моделирования.

Теперь мы можем сформулировать поставленную задачу формально:

Найти такие прагматические числовые значения параметров функции (,,...,, t1, t 2,..., t m ), чтобы выполнялся выбранный критерий близости, который 1 2 k рассматривается и как глобальный критерий моделирования. Для конкретизации дальнейших рассуждений возьмем в качестве критерия близости следующее требование:

найти конкретные значения 0i параметров i функции,,...,, t1, t 2,..., t m ), (1 2 k n (x yi ) чтобы выражение (15) i i = достигало своего минимума при этих значениях параметров. Сформулированная выше задача является наиболее распространенной задачей не только в экспериментальной физике, но и вообще в экспериментальных науках, занимающихся поиском математических закономерностей.

Для решения поставленной задачи необходим конструктивный алгоритм, который можно найти только с помощью теоретической математики. Поэтому и в этом случае мы должны использовать двутекстовую модель, состоящую из прагматической модели и канонически соответствующей ей математической модели. В этом случае глобальному критерию соответствуют два частных критерия, которые по формулировке совпадают друг с другом. Однако один критерий задан над множеством прагматических чисел, а другой – над множеством математических чисел. Это отличие носит принципиальный характер и сказывается и на самом процессе решения поставленной задачи.

Критерий (15) и соответствующие ему частные критерии по своей сущности отличаются от всех других критериев, с которыми мы имели дело до сих пор. Критерии, которые мы ранее рассматривали (см., напрмер, (8), (9), (13)), представляют собой четко зафиксированные неравенства. Если прагматическое число удовлетворяет прагматическому критерию этого вида, то математическое число, канонически соответсвующее прагматическому числу, удовлетворяет математическому критерию. В рассматриваемом случае ситуация существенно другая. Критерии такого типа называются оптимальными.

Оптимальные критерии не свойствены прагматической математике. Более того, при решении задач с участием таких критериев мы сталкиваемся с рядом «подводных камней», которые приводят к возникновению принципиальных вопросов, которые остаются без ответа.

Во-первых, при формулировании оптимального критерия сразу возникает вопрос о существовании таких значений параметров искомой функции, при которых достигается оптимальное значение критерия. На этот вопрос можно ответить только в рамках теоретической математики. Причем этот ответ состоит из двух частей. Одна часть состоит из доказательства существования такого набора значений параметров функций, на котором достигается искомый оптимум, а другая часть – из построения конструктивного алгоритма, с помощью которого находится искомый набор значений параметров функции. Так как любое математическое доказательство проводится в рамках теоретической математики, то искомое доказательство утверждает, что, если искомый набор чисел существует, то он состоит из математических чисел. Так как реально существуюцих математических чисел, т.е. тех чисел, которые можно представить в виде слова из конечного числа цифр в любой позиционной системе записи чисел, значительно меньше, чем тех, которые не являются реально существующими, то теоретическое решение задачи с большой вероятностью не состоит полностью из реально существующих чисел. Поэтому можно рассматривать теоретическое решение как только «гипотетически» существующее.

Во-вторых, построение конструктивного алгоритма заключается в описании последовательности определенных действий, которые относятся к прагматической математике и направлены на вычисление значений определенных формул, а также в доказательстве, что описанный алгоритм приводит к искомому результату. Здесь мы сталкиваемся с первым «подводным камнем», который заключается в том, что при конкретной реализации алгоритма мы оперируем с прагматическими числами, хотя доказано, что решение задачи состоит из математических чисел. Но, если алгоритм состоял из достаточно большого числа умножений или содержал значительное число делений чисел, то его практически невозможно было осуществить без округления промежуточных результатов. Поэтому конкретная реализация конструктивного алгоритма существенно отличается от его теоретического описания из-за использования округления промежуточных результатов, влияние которых нет никакой возможности оценить теоретическим путем. Другими словами, при конкретном осуществлении конструктивного алгоритма вычисления выходят за рамки не только теоретической математики, но и прагматической математики.

В-третьих, существование оптимума (если он существует) доказывается в рамках теоретической математики, а конкретное решение ищется в виде прагматических чисел, то роль полученного математического доказательства сводится, по-существу, только к психологическому эффекту, ибо нет никакой уверенности в том, что на множестве прагматических чисел критерий достигает своего оптимума.

Реально на практике для нахождения значений параметров функций используется небольшое число оптимальных критериев, из которых критерий (15) является наиболее распространенным. В теоретической математике для определенных классов функций (математическая функция канонически соответствует прагматической функции ) доказывается, что существует такой набор математических чисел, что выражение (15) достигает на этом наборе своего минимума. Конструктивным алгоритмом решения поставленной задачи является так называемый метод наименьших квадратов.

Те случаи решения прагматических задач, которые мы разобрали в этом параграфе, являются составной частью решения большинства задач, которые встречаются в практике, в частности, в экспериментальной физике или вычислительной математике. Например, конкретное выполнение метода наименьших квадратов сводится к решению определенной системы линейных уравнений. Ниже, в следующем параграфе мы продолжим обсуждение решения вычислительных задач, но уже не со стороны прагматической математики, а с точки зрения теоретической вычислительной математики.

Из нашего дивиза «Цель расчетов – не числа, а понимание», следует, что человек, который должен достигнуть этого понимания, обязан знать, как происходит вычисление. Если он не понимает, что делается, то очень мало вероятно, чтобы он извлек из вычислений что-нибудь ценное. Он видит голые цифры, но не их истинное значение, которое может оказаться скрытым в вычислениях.

Р. Хемминг Как бы тривиально и очевидно это не звучало, повторим еще раз: важно понимать, что вы хотите знать.

Р. Хемминг 8.5. Вычислительная и прагматическая математики.

В предыдущем параграфе основное внимание было обращено на изучение связей прагматических объектов с математическими объектами с помощью канонического соответствия. Как было показано, каждому прагматическому объекту канонически соответствует математический объект. Обратное утверждение неверно, т.е. существуют математические объекты, которым невозможно канонически сопоставить прагматический объект.

Европейская теоретическая математика была создана, прежде всего, с прикладной целью – описывать естественные явления. До начала XIX века теоретическая математика была, в основном, прикладной наукой. Но каждое применение теоретической математики приводило к проблемам решения вычислительных задач. Это привело к возникновению и развитию так называемой теоретической вычислительной математики.

Основными задачами вычислительной математики являются поиски вычислительных алгоритмов для различных классов задач и доказательств того, что эти алгоритмы приводят к желаемому результату. Любой вычислительный алгоритм, позволяющий численно решить определенную математическую задачу, сводит решение задачи к вычислению конечного набора прагматических формул. Таким образом, любой вычислительный алгоритм устанавливает связь между математическим объектом и прагматическим.

Рассмотрим процесс численного решения вычислительной задачи из теоретической математики как процесс моделирования. К подобным задачам относятся, в частности, вычисление значений функций, решение уравнений различного рода (алгебраических, дифференциальных, интегральных и других) и т.п. Так как решение вычислительной задачи является целенаправленным процессом, то формулировка этой задачи включает в себя автоматически и формулировку цели этого процесса. Формулировка цели, например, типа «вычислить значение функции» или «численно решить уравнение определенного типа», является достаточно общей и нуждается в конкретизации. Общность формулировки цели заключается, в основном, в словах «численно решить» или «вычислить». Любая конкретизация формулировки цели встречается с большими методологическими трудностями, связанными с тем, что задача и объекты исследования в ней относятся к теоретической математики, а результаты ее решения являются объектами прагматической математики. Напомним, что теоретическая математика манипулирует математическими числами, в то время как прагматическая математика – прагматическими числами, которым канонически соответствуют реально существующие математические числа.

Конкретизация цели решения задачи должна привести к формулировке глобального критерия моделирования, на основании которого определяется, достигнута или не достигнута цель моделирования, т.е. можно ли рассматривать полученный результат как решение поставленной задачи. Выбор глобального критерия представляет собой достаточно сложную задачу, ибо он должен одновременно учитывать специфические черты теоретической и прагматической математик. Поэтому формулировка глобального критерия обычно меняется в процессе моделирования. Более того, часто этот критерий стараются «приспособить» к уже найденному результату. Выше, в предыдущем параграфе, мы уже сталкивались с подобной ситуацией, например, когда заменяли процесс вычисления формулы на процесс ее - вычисления.

Сам процесс решения вычислительной задачи распадается на два принципиальных в общем случае взаимосвязанных этапа.

Первый этап состоит в свою очередь из трех шагов, которые выполняются в рамках теоретической математики, ибо включают в себя доказательство необходимых математических утверждений. Модель, которая используется на этом этапе, является однотекстовой. Исследование модели заключается в выполнении первых двух шагов в следующей последовательности. Сначала ищется конструктивный алгоритм решения задачи. Если алгоритм не удается найти, то решение задачи прекращается. В том случае, когда алгоритм найден, то переходим к следующему шагу, который заключается в поиске доказательства того, что предложенный алгоритм решает поставленную задачу. Если искомое доказательство не удается найти, то возвращаемся к первому шагу и ищем другой алгоритм. В случае, когда новый алгоритм найден, переходим к поиску его доказательства.

Этот процесс заканчивается или признанием неудачи, или найденным алгоритм, относительно которого доказано, что выполнение его приводит к нужному результату.

Найденный конструктивный алгоритм можно разделить на две части. Первую часть алгоритма, которую назовем теоретическим вспомогательным алгоритмом. Эта часть, алгоритм, заключается в том, он сводит решение задачи к процессу вычисления последовательности математических формул. Это сведение сопровождается доказательством того, что результат сведения эквивалентен поставленной задачи. Обычно это доказательство является частью общего доказательства, которое выполняется в процессе выполнения второго шага. Выполнение теоретического вспомогательного алгоритма, т.е. сведение задачи к некоторому вычислительному процессу, и есть третий шаг, который завершает первый этап решения задачи.

Вторую часть конструктивного алгоритма назовем смешанным вспомогательным алгоритмом. Он заключается в проведении процесса последовательного вычисления конечного набора математических формул. завершается на первой встреченной формуле, которую необходимо вычислить.

Второй этап решения задачи заключается в осуществлении процесса последовательного вычисления конечного набора математических формул, т.е. в выполнении смешанного вспомогательного алгоритма. Так как процесс вычисления может осуществляться только в рамках прагматической математики, то возникает необходимость в использовании двутекстовой модели. Результатом процесса вычисления, который, в целом, аналогичен процессу вычисления формул, описанному в предыдущем параграфе, является некоторый конечный набор чисел. Этот этап заканчивается принятием решения, является ли найденный набор прагматических чисел решением поставленной задачи.

В случае отрицательного ответа, т.е. полученный набор чисел не принимается за решение задачи, то процесс решения задачи продолжается, для чего возвращаются к началу второго этапа, или к началу первого этапа. Таким образом, процесс решения задачи в общем случае представляет собой последовательное повторение описанных выше этапов.

Из описания этапов видно, что на первом этапе решения задачи мы имеем дело с однотекстовой теоретико-математической моделью, а на втором этапе – с двутекстовой моделью. Кроме того, можно заключить, что первый этап носит подготовительный, вспомогательный характер, а собственно решение задачи получаем только после завершения второго этапа. Тогда глобальный критерий моделирования должен совпадать с частным критерием моделирования, относящегося к двутекстовой модели. Частный критерий моделирования для теоретико-математической модели можно в общем случае сформулировать одним и тем же образом: «доказать, что существует конструктивный критерий для решения поставленной задачи».

Значительное число конструктивных алгоритмов из теоретической математики включает в себя как составную часть или вычисление значений функций, или решение линейных уравнений, или метод наименьших квадратов. Поэтому наше дальнейшее рассмотрение ограничим рассмотрением этих случаев.

Рассмотрение процесса моделирования как последовательность выполнения жтавоа двух описанных выше типов несколько отличается от описания этапов моделирования, которое мы использовали в других главах, где процесс моделирования разбивался на более мелкие этапы. Подход в этом параграфе к описанию процесса моделирования при решении математических задач объясняется тем, что здесь для решения задач используются одновременно несколько моделей разного сорта и типа. Так как нас в рассматриваемой теме интересуют только некоторые методологические вопросы, то мы ограничимся рассмотрением процесса моделирования в более крупных блоках, описанных здесь.

Начнем с задачи вычисления значения y 0 = f ( x0 ) математической функции f ( x ) при значении аргумета x = x 0. Для простоты изложения мы будем предполагать, что функция f ( x ) является непрерывной функцией от одной переменной x, причем x является реально существующим математическим числом. Так как значение y 0 является математическим числом, которое в общем случае не является реально существующим математическим числом, то эту задачу возможно нельзя «точно» решить. В этом случае ищется реально существующее математическое число y 0, которое является «достаточно близким» к искомому математическому числу y 0. В этом случае y 0 называется приближенным значением математического числа y 0. Таким образом, первоначальная задача поиска y 0 заменяется на задачу нахождения числа y 0, которое «достаточно близко» к числу y 0.

Для того, чтобы задать глобальный критерий решения поставленной задачи, необходимо определить, прежде всего, что понимается под словами «достаточно близко».

Мы будем различать два типа глобальных критериев. Первый тип состоит из критериев, которые не зависят от выбора конструктивного алгоритма, решающего поставленную задачу. Критерии этого типа назовем абсолютными глобальными критериями. Второй тип критериев состоит из критериев, которые непосредственно связаны с конструктивным алгоритмом, решающим задачу. Эти критерии будем называть относительными глобальными критериями. Относительные критерии отличаются от абсолютных критериев, прежде всего, тем, что в них, кроме окончательных результатов вычислений используются и промежуточные результаты, которые существенно зависят от типа используемого конструктивного алгоритма. Относительные глобальные критерии являются критериями первого типа.

Возникает вопрос о существовании абсолютных глобальных критериев для поставленной задачи. Обычно в теоретической математике под словами «достаточно близко» понимается существование такого достаточно малого положительного числа, что имеет место ( y0, y0 ), (16) где - функция, рассматриваемая как мера отличия y 0 от y 0. Например, в качестве (16) часто используются неравенства y 0 y 0 или ( y 0 y 0 ). Однако неравенство (16) трудно использовать при конкретном решении хадачи, ибо в его записи участвует реально несуществующее число y 0. Это неравенство можно использовать только в рамках математического доказательства. Тогда число y 0 должно удовлетворять определенным требованиям, вытекающим из возможностей проведения доказательства, проверка которых часто практически невозможна. Из сказанного следует, что для рассматриваемого типа задач обычно трудно сформулировать абсолютный глобальный критерий решения задачи. Иначе говоря, глобальный критерий в рассматриваемой ситуации формулируется одновременно с нахождением конструктивного алгоритма решения задачи.

В общем случае выбор относительного конструктивного алгоритма существенно зависит от свойств функции f ( x) и ее поведения в окрестности x = x 0. Эти алгоритмы обладают одним общим свойством, которое заключается в том, что в процессе их (1) ( 2) (n) выполнения находят последовательность математических чисел y 0, y 0,..., y 0,..., каждый член которой рассматривается как приближенное значение для y 0 = f ( x0 ). Для нахождения числа y 0i ) алгоритм сопоставляет функции f ( x) формулу, в которой ( переменные связаны только с помощью арифметических операций. Алгоритм обычно используется в дальнейшем только в том случае, если существует доказательство сходимости указанной последовательности. В этом случае в качестве глобального критерия решения задачи берется выполнение неравенства типа:

y 0n ) y 0m ) ( (, y 0 y 0 или ( n) (m) (17) y 0m ) ( где - достаточно малое число, которое выбирается исследователем.

Из сказанного следует, что частным критерием для определения выполнения первого этапа служит существования доказательства того, что последовательность чисел, рассчитанная с помощью выбранного конструктивного критерия, является сходящейся.

Иногда дополнительным требованием служит также и скорость сходимости этой последовательности.

Теперь остановимся на особенностях второго этапа процесса моделирования. На втором этапе собственно происходит сам процесс вычисления, который основан на использовании прагматических чисел и канонически соответствующим им реально существующими математическими числами. Как мы уже отмечали выше, конструктивный алгоритм ставит в соответствие функции f ( x ) набор математических формул, которым канонически соответствует прагматические формулы, предназначеные для проведения вычислений. Но тогда результаты вычислений с помощью прагматических формул являются прагматические числа, которым канонически соответствуют реально существующие математические числа. Обозначим через z 0i ) - прагматическое число, ( которое является результатом вычисления соответствующей прагматической формулы, а (i ) через z 0 - канонически соответствующее математическое число. Естественно возникают два вопроса. связанный с отношениями между математическими числами y 0i ) и z 0i ). Во ( ( (i =1,2,...) (i ) первых, является ли последовательность прагматических чисел z сходящейся? Во-вторых, если последовательность z 0i ) (i =1,2,...) сходится, то сходится ( ли она к тому же пределу, что и последовательность y 0 (i =1,2,...) ?

(i ) На первый вопрос с первого взгляда кажется легко ответить: достаточно просто проверить выполнение неравенства z 0n ) z 0m ), ( ( (18) n, m - натуральные числа, больше некоторого натурального числа N. Так как речь идет о где реально существующих математических числах, то утверждение (18) можно только проверить, но (i ) Поэтому утверждение относительно сходимости последовательности z не доказать.

(i =1,2,...) носит относительный, индуктивный характер, а не абсолютный.

Второй вопрос можно переформулировать по-другому: оценить величину z 0n ) y 0n ), ( ( (19) начиная с некоторого n N. Если величина (19) уменьшается с возрастанием n, то утверждение о сходимости двух последовательностей к одному пределу является оправданным. Так как (n) (n) (n) математические числа z 0, y 0 получены разными путями ( z 0 канонически соответствует (n) прагматическому числу z 0n ), а y ( является математическим числом, вытекающим из теоретической формулы и часто реально несуществующим), то величину (19) в общем случае практически невозможно оценить. Из сказанного следует, что нет никакой возможности доказать сходимость двух последовательностей к одному и тому же пределу.

В качестве частного критерия решения задачи, который совпадает с глобальным критерием, (n) обычно выбирают критерий типа (18), а в качестве решения задачи выбирается одно из чисел z 0, удовлетворяющего критерию (18), т.е. полагают, что f ( x 0 ) z 0.

( n) На основании приведенного краткого методологического описания процесса вычисления значения функции f ( x 0 ) в точке x = x 0 сделаем несколько замечаний. Во-первых, так как нет (n) (n) никакой объективной возможности сравнить степень близости z 0, y 0, то принятие f ( x 0 ) z 0n ) является просто соглашением.

( Во-вторых, так как нет никакой объективной возможности оценить степень близости z, y 0n ), то все утверждения о точности вычисления значения функции относятся к (n) ( работе конструктивного алгоритма, а не к близости между z 0n ) и f ( x 0 ).

( В-третьих, так как глобальный критерий решения задачи зависит от выбора конструктивного критерия, то нет никакой объективной возможности сравнить между собой результаты вычислений с помощью двух разных конструктивных алгоритмов с точки зрения их близости к f ( x0 ).

Теперь рассмотрим задачу решения системы линейных уравнений в рамках теоретической математики с точки зрения процесса моделирования. Эта задача заключается в поиске набора реально существующих математических чисел, являющихся решением задачи. В прерыдущем параграфе мы уже рассматривали похожую ситуацию, но только в рамках прагматической математики, когда все числа, с которыми мы встречались были или прагматическими числами, или реально существующими математическими числами. Между этими двумя ситуациями есть принципиальное отличие, которое выражается в том, что матрица системы линейных уравнений в рамках теоретической математики в общем случае состоит из математических чисел, а не из реально существующих математических чисел.

Пусть дана система линейных математических уравнений XA = B, (20) - квадратная матрица, состоящая из математических чисел, B = bi A = ai, j где строка, состоящая из математических чисел, X - строка переменных xi. Для того чтобы решить эту систему необходимо, прежде всего, заменить матрицы A и B на матрицы, B = b, состоящие только из реально существующих чисел. Для простоты A =a i, j i дальнейших рассуждений будем считать, что a a и b b, где i, j i, j i i -положительное число. Это означает, что поиск решения системы (11) заменяется поиском решения системы X A =B. (21) В силу неоднозначности выбора реально существующих чисел, системе (20) может соответствовать множество систем типа (21). Несмотря на то, что разница между математическими числами a i, j и a i, j, bi и bi может быть достаточно малой, все же системы уравнений (20) и (21) могут существенно отличаться друг от друга по своим свойствам. Например, система (20) может иметь решение в то время, как (21) будет являться несовместимой системой;

или же система (20) имеет множество решений, а система (21) – только одно. Описанные ситуации возникают, когда матрица A = a i, j либо вырождена, либо достаточно близка к вырожденной матрице. Из-за ограничения места мы не будем подробно останавливаться на разборе этих случаев, только отметим субъективный характер выбора матриц A = a, B = b, в частности, зависящих от i, j i величины числа.

Из сказанного следут, что глобальный критерий решения задачи относится к решению системы (21), а не к решению системы (20). Формулировка этого критерия кажется относительно простой: для того чтобы набор реально существующих математических (0) чисел X 0 = xi являлся решением системы (21), необходимо, чтобы удовлетворялось равенство X 0 A = B. Однако при конкретном решении задачи это равенство практически не выполняется (т.е. ситуации, когда оно выполняется, являются крайне редкими).

Другими словами, практически всегда имеет место для любого набора X 0 A = B 1 B.

Отсюда следует, что глобальный критерий решения задачи состоит в оценке близости двух однострочных матриц B и B1, которую условно можно записать в виде ( B, B1 ), (22) где - положительное число. В качестве примера можно представить (22) в виде n (b bi(1) ) 2 или bi bi(1) для i =1,2,..., n.

i i = Глобальный критерий (22) принципиально отличается от глобального критерия, который описан в предыдущей задаче. Критерий (22) является критерием второго типа, т.е.

он не зависит от типа конструктивного алгоритма решения задачи. Другими словами, совершенно не важно, каким способом получается набор чисел B1, главное – это выполнение (22).

Выбор критерия (22) является субъективным, основанным на опыте исследователя.

Выбор критерия также зависит и от цели, потребующей решения заданной математической задачи, причем эта цель лежит вне рамок теоретической математики.

В заключение параграфа остановимся на одной из математических задач, связанных с нахождением параметров математической функции определенного вида. Пусть при некоторых значениях аргумента xi функции f ( x) заданы ее значения f ( xi ) ;

требуется найти числовые значения j параметров j математической функции g ( x, 1,..., m ) известного вида, чтобы ее значения g ( x i,,..., m ) совпадали или были близки к значениям f ( xi ). При такой постановке математической задачи неявно предполагается, что существует конструктивный алгоритм, позволяющий найти параметры функции g ( x).

Решение поставленной задачи мы сталкиваемся с двумя взаимосвязанными подзадачами: одна задача относится к поиску значений j параметров функции g ( x), а другая – к определению степени близости f ( xi ) и g ( x i,,..., m ). Глобальный критерий решения всей задачи совпадает с частным критерием для второй подзадачи, т.е.

определяет степень близости. Частный критерий для первой подзадачи существенно зависит от способа выбора конструктивного алгоритма для нахождения значений параметров функции g ( x,,..., m ). Два частных критерия отличаются друг от друга своей природой. Второй частный критерий и вместе с ним и глобальный критерий, являются критериями второго вида, в то время как первый частный критерий является критерием первого рода. Поэтому при конкретном решении поставленной задачи эти критерии часто не согласуются. Для их согласования требуется субъективное вмешательство исследователя, которое заключается в изменении каждого из частных критериев таким образом, чтобы убрать взаимное несоответствие.

При решении описанной выше задачи мы можем сталкнуться с дополнительными трудностями, которые связаны с тем, что числа xi, f ( xi ) могут быть реально не существующими математическими числами, которые в процессе решения задачи необходимо заменить реально существующими математическими числами. Эта замена также может повлиять как на задание критериев решения задачи, так и на результаты применения конструктивных алгоритмов на каждом этапе решения задачи. Оценить это влияние можно только субъективным путем, ибо сам процесс вычисления происходит в рамках прагматической математики.

Из этого краткого, схематичного рассмотрения процесса численного решения трех широко распространенных математических задач можно сделать несколько важных выводов.

Во-первых, процесс численного решения математических задач происходит во взаимодействии теоретической и прагматической математики.

Во-вторых, сам процесс конкретного решения задачи содержит в себе значительные субъективные моменты использования опыта и знаний исследователя, которые выражаются, прежде всего, в выборе глобального и частных критериев решения задачи на различных этапах этого процесса.

В-третьих, этот субъективный фактор нет никакой возможности исключить из процесса решения задачи. В связи с этим на процесс численного решения математической задачи необходимо рассматривать как процесс моделирования и брать во внимание все вытекающие из этого процесса требования. Можно также рассматривать процесс численного решения математической задачи как процесс подготовки принятия решения.

Нужно использовать все вспомогательные средства интеллекта, воображения, чувств и памяти как для отчетливой интуиции простых положенийи для верного сравнения искомого с известным, чтобы таким путем открыть его, так и еще для того, чтобы находить те положения, которые должны быть сравнимы между собой;

словом, не нужно пренебрегать ни одним из средств, находящихся в распоряжение человека.

Р. Декарт Часть 4. Мировая математика.

Современную науку неоднократно восхваляли за то, что, дав рациональные объяснения явлений природы, она исключала духов, ангелов, демонов, мистические силы анимизм. К этому необходимо добавить теперь, что, постепенно изгоняя физическое и интуитивное содержание, апеллирующее к нашему чувственному восприятию, наука исключила и материю. Теперь она имеет дело только с синтетическими и идеальными понятиями, такими,как поля и электроны, о которых единственно, что нам известно, это управляющие ими математические законы. После длинных цепочек индуктивных умозаключений наука сохраняет лишь небольшой, но жизненно важный контакт с чувственными восприятиями. Наука – это рационализованная фикция, и рационализирована она математикой.

М. Клайн Глава 9. Мировая математика.

Сущность математики – в ее свободе.

Г. Кантор 9.1. Общий взгляд на мировую математику.

Вторая треть ХХ века богата событиями, которые потрясли весь мир. Начало второй трети совпало с мировым экономическим кризисом, который был связан с последствиями Первой мировой войны. Этот кризис возник из-за создавшейся финансовой ситуации в США и в Европе, перепроизводства промышленной и сельскохозяйственной продукции в разных странах и привел к обострению социальных и политических проблем в разных странах.

В середине этой трети мир пережил Вторую мировую войну, которая сопровождалась почти полным уничтожением экономической, социальной и политической структуры основных европейских стран. Большие потери понес и СССР. Огромное впечатление на весь мир произвела атомная бомбежка Японии, когда в течение нескольких минут были уничтожены два города и убито несколько сот тысяч человек.

И, наконец, конец второй трети застал в разгаре холодную войну, развал колониальных империй и первые космические полеты.

Результаты Первой мировой войны были катострафическими для европейских стран, участвующих в войне: миллионы убитых и поколеченных, громадные разрушения, экономика ряда стран была почти полностью уничтожена, что привело к серьезным внутренним социальным, политическим и экономическим потрясениям. Для преодаления некоторых из этих трудностей потребовалось международное сотрудничество не только в политической сфере, но и в экономической и финансовой областях.

Мировой экономический кризис, который начался в 1929 году, оказал влияние на весь цивилизованный мир не меньшее влияние, нежели мировая война. Для ряда стран он продолжался до 1933 года, а для некоторых стран выход из кризиса занял гораздо большее время. Согласно мнению некоторых экспертов, США смогла выйти из кризиса только с началом Второй мировой войны. Этот кризис был самым продолжительным и самым жестоким из всех экономических кризисов, которые сотрясали экономики развитых стран до этого времени.

Начало мирового экономического кризиса было полной неожиданностью для руководителей развитых стран, что свидетельствовало о полном банкротстве тех взглядов, которые господствовали в то время в экономической науке и которых придерживались эти политические деятели. В основе этих взглядов лежал экономический либерализм, который заключался в полном отказе от вмешательства государства в экономическую жизнь, предоставляя полную свободу силам, действующим на рынке, самим выяснять отношения между собой.

Все страны смогли выйти из кризиса только благодаря интенсивному вмешательству государства в управление экономикой. Теоретической базой этого вмешательства стало учение Дж. М. Кейнса. Это учение называют теорией эффективного спроса, выделяя тем самым главную идею, состоящую в том, чтобы через активизацию и стимулирование совокупного спроса (общей покупательной способности) воздействовать на производство и предложение товаров и услуг, повысить уровень занятости. Значение этой теории заключается не просто в пересмотре традиционных подходов к анализу процессов экономического развития. Кейнс заложил общетеоретические основы исследования функциональных зависимостей и взаимосвязей реальных экономических величин как агрегированных категорий, показал их влияние на ход и тенденции экономического развития.

Проведение новой государственной политики потребовало создание системы государственных органов и организаций, которые, с одной стороны, финансировались из государственного бюджета, а с другой – находились под контролем законодательных органов. Это сочетание потребовало совершенно новой структуры управления этими организациями, основанной на планировании и текущей отчетности. Организация планирования выявила потребность в экономической и социальной статистике, как на общегосударственном уровне, так и на местном. Кроме того, появилась необходимость в разработке моделей планирования, включая модели прогнозирования на различные сроки.

В ряде стран, особенно в США, для удовлетворения указанных нужд были созданы специализированные организации, в том числе статистические и научно исследовательские центры, в которых разрабатывались методики сбора и обработки статистической информации, а также новые типы математических моделей, таких, как например, модель межотраслевого баланса и эконометрические модели.

Третьим событием ХХ века, которое оказало существенное влияние на развитие человеческой цивилизации, была Вторая мировая война. Она нанесла колоссальный человеческий и материальный ущерб всем крупным странам мира, значительно более крупный, нежели ущерб от Первой мировой войны. Если Первая мировая война проходила в Европе, то Вторая мировая война проходила уже на трех континентах: в Европе, Азии и Африке. Закончилась эта война атомной бомбардировкой Японии. Эта бомбардировка, ее результаты произвела глубокое впечатление на все человечество, прежде всего, той легкостью, с которой в течение нескольких минут были разрушены многотысячные города и уничтожены их жители.

Одним из последствий этого события было появление мистического ужаса перед наукой и учеными, которые создали столь эффективное оружие, способное угрожать существованию человечества в целом. Этот ужас определил новое отношение к ученым не только со стороны общественности, но, что не менее важно, и со стороны правительств, которые стали широко финансировать научно-исследовательские работы в области вооружений и военной политики. Знаменитые ученые были призваны войти во внутренние правительственные структуры, чтобы помогать в руководстве научной деятельностью своих стран как в целях разработки новых систем вооружений, так и в развитии научно технического прогресса в целом. У Черчилля был лорд Черуэлл, у де Голля – Фрэнсис Перрен, у Америки – ее комитеты советников по научным исследованиям. Вслед за Бушем и Конантом, Оппенгеймером и фон Нейманом, «мудрецами» при правительстве стали многие ученые. С этого момента научно-исследовательские работы стали флагманом научно-технического прогресса человечества.

Разработка новых видов вооружения, как мы уже говорили, послужила основанием для расширения финансирования научных исследований также в различных фундаментальных областях, в том числе и в математических науках, как в университетах, так и в частных компаниях. По существу, в экономиках развитых стран создались целые отрасли, в которых массы людей были заняты научно исследовательскими работами. Постепенно и крупные компании стали финансировать научно-исследовательские работы.

До второй трети ХХ века все основные интеллектуальные силы человечества были направлены на изучение природы. Затраченные интеллектуальные усилия дали положительные результаты, которые были выражены, прежде всего, в достижениях технологического прогресса человеческой цивилизации. Мировой экономический кризис выдвинул перед человечеством на первый план новый тип задач, связанный с экономическим и социальным управлением на различных уровнях, в том числе и на макроэкономическом уровне. С подобными задачами наука, созданная для описания и исследования естественных явлений, до сих пор серьезно не встречалась. Все попытки во второй половине XIX века и в первой трети ХХ века создать политическую экономию на основе европейской теоретической науки, в частности, на основе математических моделей, окончились, по существу, окончились неудачей.

Если в течение нескольких веков внимание общественности было сосредоточено на изучении и использовании природных явлений, то теперь основными стали вопросы экономического и социального управления человеческим обществом. Задачи, которые возникали на этом направлении, принципиально отличались от задач, с которыми сталкивалась европейская наука при изучении природы. В качестве примера можно привести следующее различие. Результаты исследований в области естественных наук допускают проверку экспериментальным путем, причем эксперимент часто можно повторить, в то время как в области экономики трудно расчитывать на постановку экспериментов, проверяющих ту или иную теорию.

Новые проблемы были связаны с необходимостью принятия таких решений, последствия которых могли оказать резко отрицательный эффект и привести к социальным, политическим и экологическим потрясениям. Другими словами, появилась острая необходимость предсказывать (прогнозировать) будущие последствия тех или иных принятых решений на различных уровнях народного хозяйства и управления. Это означает, что решение новых задач связано со сравнением различных альтернатив, которые возникают в процессе решения. Существовавшие до этого времени методы решения возникавших практических задач на любом уровне управления и экономики не могли дать удовлетворительных результатов, ибо все эти методы не были приспособлены к оценке и изучению будущих ситуаций.

Да и сам процесс решения новых задач отличался от процесса решения естественно научных задач. Отметим некоторые из этих принципиальных отличий. Во-первых, если целью ученых естествоиспытателей было построение теории, описывающей то или иное природное явление, то проблемы, связанные с управлением, обычнозаключаются в обосновании выбора того или иного управленческого решения. Во-вторых, если ученый сам формулировал себе задачу для исследования, причем не указывал временные рамки для решения этой задачи, то при решении задач, связанных с управлением, формулировку задачи и временные рамки для ее решения ученый уже не устанавливает. В-третьих, если до начала ХХ века естественнонаучные проблемы решались, по существу, отдельными учеными, то проблемы управления, в зависимости от уровня управления, являются комплексными, в процессе решения которых уже участвуют коллективы ученых и специалистов.

Стремление обеспечить новые научные потребности и привело к третьей интеллектуальной революции, которая началась во второй трети ХХ века и, по всей вероятности, продолжается и сейчас. Эта революция, которую можно назвать мировой в отличие от других, ибо в ней участвовали ученые со всего мира, в корне изменила не только общее направление научных исследований. Начиная со второй трети ХХ века, центр тяжести в научных исследованиях был перенесен на решение проблем экономического, корпоративного и социального управления.


Изменение направленности научных исследований, появление принципиально новых постановок научных задач потребовало принципиального изменения существующей методологии. Необходимость новой научной методологии была вызвана тем, что прежние методы решения естественнонаучных проблем не давали никаких инструментов для решения вновь возникших задач, в частности, в области прогнозирования.

Важно отметить, что и существовавшая методология естественнонаучных исследований также позволяла решать прогнозные задачи. Ярким примером такого прогнозирования служат те расчеты жвижения планет и комет, которые позволяли и позволяют предсказать их появление в определенное время и в оопределенном месте.

Однако этот тип прогнозирования основан на определенной теории, которая была проверена на значительном числе экспериментальных данных. Более того, работа исследователя по получению прогноза заключалась в приспособлении теории к условиям конкретной задачи и проведении вычислений без ошибок. Другими словами, субъективный фактор в этом случае был сведен к минимуму, ибо любой другой исследователь подобного уровня мог проделать ту же работу и получить подобный результат.

При изучении, напрмер, экономических систем мы сталкиваемся с другим типом прогнозирования. Во-первых, может не существовать (это наиболее вероятно) теории, которая была проверена на значительном числе экспериментальных данных, позволяющей произвести прогноз. Во-вторых, в самом процессе прогнозирования принципиально используются знания и интуиция исследователя. Другими словами, результат прогноза существенно зависит от того, кто его производит. Это означает, что в процессе прогнозирования имеется существенное влияние субъективного фактора. Поэтому одной из основных задач новой научной методологии заключается в уменьшении влияния субъективного фактора в процессе принятия решений.

Создание новой научной методологии и разработка на ее базе новой науки, состоящей из различных конкретных дисциплин, является одним из результатов интеллектуальной революции. Новый тип науки называется мировой наукой, прежде всего, потому, что в ее создании участвовали и участвуют ученые многих стран, активно сотрудничающие друг с другом. Значительный вклад в создание этой науки внесли ученые США, где раньше всего возникли проблемы, для решения которых она необходима.

Мировая наука превратила научную деятельность, как мы уже упоминали выше, в отрасль экономики, ибо для разработок в области управления было выделено щедрое финансирование, как из государственных и общественных источников, так и из частных.

Если еще несколько десятилетий тому назад отношение вложений в науку к общим вложениям в народное хозяйство составляло доли процента, то сейчас в индустриально развитых странах это отношение настолько велико, что его дальнейший существенный рост практически невозможен. Так как мировая наука активно применяется в различных сферах управления социальными процессами, выступая основой квалифицированных экспертных оценок и принятия управленческих решений, то она приобрела совершенно другой социальный статус в обществе по сравнению с предыдущими веками. Соединяясь с властью, она реально начинает воздействовать на выбор тех или иных путей социального развития. Эту новую функцию науки иногда зарактеризуют как превращение ее в социальную силу. При этом усиливается мировоззренческие функции науки и ее роль в качестве непосредственной производительной силы.

Одной из конкретных научных дисциплин, составляющих мировую науку, является новый тип математики, который мы условно назовем мировой математикой, ибо в ее создании принимали ученые из разных стран и континентов. Мировая математика дает непосредственную отдачу, что усиливает доверие общества к математике в целом, расширяет понимание ее проблем и как следствие способствует увеличение вложения средств с целью ее развития.

Так как математик в рамках мировой математики выступает как один из членов команды специалистов, задача которой подготовить то или иное управляющее решение, то требования совместной работы накладывают существенные ограничения на его работу. В частности, он обязан представить результаты своего исследования в установленный срок.

Заказчик, для которого производятся исследования, расчеты, часто ограничен сроком завершения исследований и принятия решения на их основе. Если исследования не будут завершены к сроку, то решение все равно будет принято, но на основе более грубого, эмпирического или просто «волевого» подхода. Потерянное в таком случае доверие со стороны заказчика часто бывает невозможно восстановить. В такой ситуации лучше найти по возможности удовлетворительное решение задачи, но в срок, чем полное решение задачи к тому времени, когда оно станет бесполезным.

Мировая математика отличается от европейской. Во-первых, мировая математика и европейская математика имеют различное строение. Европейская математика состоит из трех типов математик: теоретической, прагматической математик и математической логики. Мировая математика состоит из следующих: это мировая прагматическая математика и компьютерная математика. Мировая прагматическая математика используется для численного решения практических задач, связанных с управлением. Она, по-существу, поглотила европейскую прагматическую математику. Ее теоретической основой является теория моделирования. Компьютерная математика – это, во-первых, ряд методов решения вычислительных задач с помощью компьютера, а во-вторых, различные математические теории, связанные с построением, развитием самих компьютеров и методов программирования.

Во-вторых, если европейская математика в основном является непрерывной математикой, то мировая математика является дискретной математикой. Непрерывность европейской математики связана с тем, что одним из ее основных объектов является математическое число. Дискретность мировой математики связана с тем, что одними из ее основных объектов являются прагматические и компьютерные числа.

В-третьих, мировая математика и европейская математика отличаются друг от друга и целями исследования. Европейская математика предназначена для описания явлений физического мира, т.е. установления законов, заданных в виде математических зависимостей. Одним из основных предположений, лежащих в основе науки физики, является постоянство (в определенном смысле) физических явлений, течение которых можно всегда предсказать с помощью определенных законов. Поэтому теоретическая физика практически до конца первой трети ХХ века была детерминистской наукой. Теория вероятностей, первая математическая попытка уйти от детерминизма, свое первое практическое и теоретическое применение нашла вне естествознания. Принципиально иная ситуация характерна для мировой математики, которая должна обосновывать процессы принятия решений в условиях неопределенности (незнания). Любое обоснование принимаемых решений связано с прогнозированием в условиях неопределенности.

Другими словами, мировая математика в своей существенной части является недерминистской наукой.

В-четвертых, основные проблемы европейской теоретической математики заключались в построении различных формальных теорий, в рамках которых доказывались различные утверждения (теоремы), в то время как основные проблемы мировой математики состояли в численном решении математических моделей, возникавших в процессе выработки различных управляющих решений. Таким образом, если теоретическая математика состоит из различных формальных теорий, то мировая математика состоит из методов решения различных типов математических моделей. Это означает, что в основе методологии теоретической математики лежит логика рассуждений (доказательства), то в основе методологии мировой математики лежит теория моделирования и принятия решений.

В-пятых, решение проблем (задач) теоретической математики происходит в результате работы отдельных личностей, в относительно редких случаях - небольшими группами специалистов-математиков, которая может быть рассеяна как по времени, так и по расстоянию, то решение проблем в рамках мировой математики обычно осуществляется совместной работой коллектива специалистов различной квалификации. Другими словами, проблемы теоретической математики решаются, в основном, индивидуальными усилиями, а проблемы мировой математики – совместными усилиями группы людей.

В-шестых, если для решения задач теоретической математики «достаточно» карандаша и бумаги, то процесс решения практических задач в области мировой математики с необходимостью использует компьютеры.

В-седьмых, появились такие математические дисциплины, которые непосредственно связаны с развитием компьютеров и программного обеспечения. Эти дисциплины никоим образом не связаны с развитием европейской математики. Примерами таких дисциплин могут служить теория фракталов, созданная Б. Мандельбротом, теория хаоса, компьютерные доказательства некоторых математических утверждений. Эти дисциплины, в частности, отличаются от европейской математики, прежде всего, логикой, с помощью которой обосновываются получаемые утверждения.

В-восьмых, появился целый ряд математических дисциплин, которые относятся к теории построения систем программирования. Задачи, решаемые этими теориями, не могди возникнуть в рамках европейской математики.

Можно продолжить этот список отличий мировой математики от европейской, но мы ограничимся приведенными, которые демонстрируют различные аспекты отличий.

Мировая математика тесно связана с европейской математикой. Эта связь является двусторонней. Появление мировой математики не означало исчезновение теоретической математики. Мировая математики возникла как дополнение к существующей уже математики. Возникновение и развитие новой математики оказало плодотворное влияние и на развитие европейской теоретической математики, открыв ей новые области и объекты для математических исследований. Более того, часто именно она, благодаря своей прикладной направленности, определяет направления дальнейшего развития европейской математики. С другой стороны, мировая математика в значительной степени зависит и от теоретической математики, использование которой на этапах построения и исследования моделей просто незаменима.


Процесс возникновения мировой математики состоял из нескольких этапов.

Первый этап – это возникновение и развитие исследований операций. Сам термин возник во время Второй мировой войны, хотя некоторые идеи, лежащие в основе этой дисциплины, можно увидеть в исследованиях, опубликованных ранее. Если же посмотреть на эту дисциплину с современной позиции, то ее более точно можно назвать «анализ управляющих решений». Именно проблема принятия решений (или выбора способов действий) является главной для всех операционных исследований.

Один из ведущих специалистов в области исследования операций в начальный период физик П. Блеккет, который позже получил Нобелевскую премию за работы в области космических лучей, так охарактеризовал исследование операций в своей записке «О некоторых аспектах методологии исследования операций», подготовленной в 1941 году:

«Очевидной особенностью исследования операций в том виде, в котором оно проводится в настоящее время, является то, что оно должно иметь строго практический характер. Его цель содействовать нахождению способов повышения эффективности боевых операций, выполняемых в данный момент или планируемых на будущее. Чтобы добиться этого, изучаются предшествующие операции, затем разрабатываются теории, объясняющие наблюдаемые факты, и в конце концов и факты, и теории используются для прогноза относительно предстоящих операций… Прогнозирование будущих событий, конечно, всегда сопряжено со значительной неопределенностью, но опыт показал, что вопреки широко распространенному мнению количественные прогнозы можно сделать достаточно. Это в значительной степени обусловлено тем обстоятельством, что многие факторы, характеризующие операцию, в течение достаточно продолжительного периода времени остаются почти неизменными. Такая стабильность кажется довольно неожиданной, если иметь в виду множество случайных событий и тех индивидуальных особенностей и способностей людей, которые обычно проявляются даже в ходе небольших операций. Однако все эти различия для большого числа операций сглаживаются, и часто оказывается, что обобщенные результаты сравнительно устойчивы».

Первые специалисты по исследованию операций имели ясное представление о том, что новизна их деятельности обусловлена двумя факторами: свойствами функциональных систем, рассматриваемых в качестве объектов научных исследований, и административными структурами, формируемыми с целью своевременной практической реализации решений, принимаемых на основе этих исследований. Такое понимание сущности исследования операций остается верным и в наши дни.

Исследование операций принципиально отличается от традиционных научных дисциплин своим новым подходом к процессу решения стоящих перед ним проблем. Эта новизна заключается в специальных методах проведения наблюдений, в специфических типах математических моделей, в использовании этих моделей для получения прогноза, в проверке прогноза на основе новых наблюдений.

Исследование операций было первым научным направлением, методология исследования которой декларативно и по-существу основывается на процессе моделирования. Именно это характерное качество методологии исследования операций стало основной методологии и всей мировой математики. Конечно, как мы показали выше, и методологию европейской математики можно выразить на языке моделирования, однако эта операция является просто рассмотрением методологии европейской математики с современной точки зрения, но все историческое развитие европейской математики никак не связано с моделированием.

Второй этап развития мировой математики связан с возникновением и развитием кибернетики, а также ее различных приложений, таких как техническая кибернетика, экономическая кибернетика и т.п. Официальное рождение кибернетики обычно связывают с выходом в свет в 1948 г. книги Н. Винера «Кибернетика, или управление и связь в животном и машине», которая потрясла многих неожиданностью своих выводов. Однако уже в 1936 г. Винер собрал в Принстоне семинар, в котором приняли участие ученые разных специальностей: от нейрофизиологов, математиков и до инженеров-связистов, — которые на этом семинаре заговорили на одном научном языке, хотя словарь языка содержал термины из разных наук.

На этом семинаре был принят ряд обобщающих терминов: слово «память» объединило различные методы хранения информации, термин «обратная связь» перешел из электротехники и автоматики в науку о живых организмах, принято измерение количества информации в битах. В последствии Винер сказал: «Я считаю, что встреча в Принстоне дала жизнь новой науке кибернетике».

Общепринятого определения кибернетики нет, ибо с течением времени содержание этого понятия изменяется, наполняясь новым содержанием. Но мы можем определить круг задач, решением которых занимается кибернетика. Кибернетика как наука занимается изучением систем произвольной природы, способных воспринимать, хранить и обрабатывать информацию, используя ее для управления и регулирования происходящих процессов.

Кибернетика открыла сходство и общность принципов между системами различной природы, что привело к важным теоретическим и практическим последствиям.

Теоретическое значение этого открытия состоит в том, что, что она показала существование ряда принципов, присущих объектам как живой, так и неживой природы.

Среди этих принципов можно отметить, в частности, следующие: наличие управления, саморегулирование на основе обратной связи, иерархичность строения и системы управления системы, существование определенного изоморфизма между системами различной природы, целостность системы и выделение в ней подсистем. В основе управления системы лежит процесс сбора, обработки и хранения информации.

Кибернетика и исследование операций появились практически одновременно. Во время войны создатели исследования операций и кибернетики решали подобные задачи.

После войны их пути разошлись, благодаря объектам исследования и целям исследования.

Если исследование операций сосредоточила свое внимание на способах решения определенных практических задач, связанных с управлением, то кибернетика изучает те общие свойства, которыми обладают объекты различной природы, в частности, технические, биологические и экономические системы. Чтобы подчеркнуть сказанное, трудно представить (или найти) в области исследования операций книгу, подобную книге Винера «Кибернетика и общество». Однако необходимо отметить, что можно найти такие области и задачи, которые относятся одновременно к обоим направлениям Кибернетика на начальном этапе своего развития также отличалась от исследования операций тем, что она делала упор больше на методологические проблемы, нежели на разработку методик решения конкретных прикладных задач. В качестве примера можно привести вклад кибернетики в методологию моделирования, заключающийся в введение в рассмотрение так называемого принципа «черного ящика». Трудно говорить о широком практическом применении этого принципа в практике вне рамок технических систем, однако этот принцип широко применялся в методологическом плане при моделировании сложных систем.

В кибернетике можно выделить три основных направления:

общая, или теоретическая, кибернетика, которая имеет дело с общими математическими моделями управления и представляет собой математическую дисциплину;

техническая кибернетика, областью которой является техническая реализация различных сложных проектов — робототехника, разработка технических комплексов, систем управления техническими объектами;

прикладная кибернетика, объединяющая различные прикладные направления кибернетики: военная, экономическая, биологическая, медицинская и т.п.

Можно указать несколько новых области математики, которых возникли и интенсивно развивались из-за кибернетики. Во-первых, область, связанная с различными теоретическими проблемами, относящимся к выработке, передаче и хранению информации. Здесь возникло ряд новых математических дисциплин, из которых упомянем теорию информации, теорию кодов и кодирования сообщений, теорию передачи информации и т.п.

Во-вторых, в силу того, что кибернетика с момента своего возникновения была тесно связана с биологией, то появилась необходимость в разработке специализированного математического языка для математический моделей, которые бы использовались для исследования процессов, характерных для живых систем. Так появилась новая область исследований, известная как теория искусственного интеллекта (в русской версии) или «Artificial Intelligence» (в английской версии). Английский термин впервые появился в 1956 г. на семинаре в Дортмундском колледже под тем же именем. Первыми работами в этом направлении, которые внесли существенный вклад, считаются работы Ф. Розенблата и У. Мак-Каллока, создавших в 1956-1965 гг. первые работы в области нейронных сетей и их приложений. Другие работы в области искусственного интеллекта связаны с разработкой различных программ для игры в шахматы и другие игры.

В третьих, благодаря попыткам применения математического моделирования в психологии, возникло в середине пятидесятых годов ХХ в. еще одно направление, которое получило название «распознавание образов», нашедшее широкое применение в дальнейшем в различных областях. Некоторые задачи теории распознавания образов появились еще раньше в связи с передачей и получением сообщений. Затем появились задачи, связанные с построением автоматов, которые должны были различать различные предметы, например, монеты, жетоны, банкноты и т.п.

Третий этап развития мировой математики связан с возникновением и развитием так называемого системного подхода, который носит, прежде всего, методологический характер и который можно рассматривать как принцип познания. Этот подход состоит в том, что любой более или менее сложный объект рассматривается в качестве относительно самостоятельной системы со своими особенностями функционирования и развития. В литературе нередко употребляются несколько терминов: системный подход, принцип системности, системный метод, которые чаще всего употребляются как синонимы.

Системный подход сформировался в середине 50-х г. из двух источников: системного анализа и общей теории систем. Системный анализ родился в недрах компании RAND в конце 40-х г. как способ военного планирования, в частности, для планирования военного бюджета. Общая теория систем получила общественную известность в середине 50-х г., благодаря работам Л. Берталанфи. Сегодня термин «системный подход» содержательно отражает группу методов, которые позволяют исследовать организацию и функционирование реального объекта, который представлен как система, т.е. как совокупность взаимодействующих компонентов (элементов). Эти методы развивались в рамках отдельных научных дисциплин и общенаучных концепций, являясь результатом междисциплинарного синтеза.

Системный подход, являющийся одним из важнейших достижений мировой интеллектуальной революции, относится к числу тех немногочисленных, но удивительно плодотворных интеллектуальных изобретений человечества, без применения которого невозможна успешная современная профессиональная деятельность практически в любой области. Сегодня трудно найти такую область интеллектуальной и профессиональной деятельности, в которой не используется системный подход. Более того, понятия «система» и всевозможные словообразования, связанные с этим термином, являются сегодня наиболее употребляемые слова в различных отраслях знаний, но и в практике, связанной с управлением и экономикой.

Таким образом, главное достижение системного подхода заключается в создании системного мировоззрения, системного метода получения знаний, основанного на ряде новых дисциплин. Если исследование операций можно рассматривать как формализацию практических методов решения практических задач, кибернетику — как методологию поиска общий свойств объектов различной природы, то системный подход направлен на решение общих задач, связанных с управлением сложных систем.

Системный метод получения знаний выделяет две составляющие: теоретическую и прикладную. В основе теоретической составляющей лежит общая теория систем, а в основе прикладной составляющей — системный анализ, который непосредственно связан с теорией и практикой принятия управленческих решений на различных уровнях иерархической системы управления.

Общая теория систем мыслилась ее основателем Л. Берталанфи как фундаментальная наука, исследующая проблемы систем различной природы, которую он разрабатывал в течение 30-50 гг. ХХ века в непосредственной связи с проводившимися им исследованиями в области биологии. С философских позиций его не устраивали тогда в конце 20-х годов сами по себе обе существовавшие в этой области крайности – механицизм из-за несостоятельности логики его объяснения явлений в живой природе и витализм из-за по существу иррационального восприятия мира в процессе его изучения.

Берталанфи предложил строить теоретическую биологию на идеях органицизма, соединяющего в том числе содержащийся в витализме (правда с другим объяснением) принцип целостности (приоритета целостных свойств системы исследуемых объектов по отношению к свойствам составляющих их частей), и содержащийся в механицизме аналитический аппарат статистической термодинамики (позволяющий описывать целостные свойства совокупности объектов). Такой подход позволил ему сначала в 30-х годах сформировать положения теории открытых систем, а затем, в конце 40-х - начале 50-х выступить с программой построения общей теории систем. Несмотря на чисто прагматические цели изучения биологических объектов, которые, по-видимому, прежде всего, имел в виду Л. Берталанфи, значительное внимание он уделял философскому осмыслению нового предложенного подхода, т.е. лежащим в его основе системной философии и принципу системности.

В дальнейшем общая теория систем развивалась в двух направлениях. Одно направление – это построение различных абстрактных теорий систем. Здесь широко применяется математический язык, использовавший как уже известные математические понятия, так и новые, специально созданные математические понятия. В качестве примера такой теории можно привести абстрактную теорию, построенную Р. Кальманом и М.

Арбибом (см. Р. Кальман, П. Фальб, М. Арбиб, 1). Второе направление – это, по существу, создание системной философии, которая включала переделку различных разделов классической философии с учетом основных методологических результатов общей теории систем.

Для исследования в области сложных систем потребовало совершенно нового подхода основанного на новой методологии. Таким подходом послужил системный анализ.

Термин «system analysis» появился в конце 50-х г., хотя работы в этом направлении велись с конца 40-х г. Если пытаться охарактеризовать современный системный анализ очень укрупнено, то можно сказать, что он включает такие виды деятельности, как: научное исследование (теоретическое и экспериментальное) вопросов, связанных с проблемой;

проектирование новых систем и изменений в существующих системах;

внедрение в практику результатов, полученных в ходе анализа.

Первой методикой системного анализа, в которой были определены порядок, методы формирования и оценки приоритетов элементов структур целей, была система «PATTERN» (Planning Assistance Through Technical Evaluation from Relevance Number»).

Эта методика была разработана и применена в недрах компании «RAND». Уже в этой первичной методики можно видеть основные черты прикладного системного анализа.

Назначением, конечной целью созданием этой системы была подготовка и реализация планов обеспечения военного превосходства США. Перед разработчиками была поставлена задача — связать воедино военные и научные планы США. Система «PATTERN» явилась важным средством анализа трудно решаемых проблем с брльшой начальной неопределенностью, прогнозирования и планирования их реализации.

Практика использования этой системы продемонстрировала возможность проводить анализ сложных проблемных ситуаций, распределять по важности огромное количество данных в любой области деятельности, исследовать взаимное соотношение постоянных и переменных факторов, на которых основываются и на которые влияют принимаемые ими решения. Главное достоинство методики состоит в том, что в ней предложена идея структуризации целей и определены классы критериев: оценки (коэффициенты) относительной важности, взаимной полезности, состояния и сроков разработки. Основные идеи этой системы применялись впоследствии в различных областях – научные исследования, проектирование и создание систем различной сложности в научно исследовательских организациях и предприятиях и т.п.

Системный подход стремиться широко использовать математический язык, ибо этот язык свободен от семантического содержания и выражает только структурные связи.

Например, теория информации оказалась подходящим языком для описания таких в корне различных явлений, как структура языков, музыка, экономические отношения, умственная деятельность. Это возможно только потому, что столь разные явления могут быть описаны одной и той же математической моделью.

Как и исследование операций и кибернетика, так и развитие системного подхода привело появлению новых математических дисциплин. Среди этих дисциплин отметим следующие: математическая теория принятия решений, теория экспертных оценок, имитационное динамическое моделирование, эвристическая математика и т.п.

Четвертый этап развития мировой математики связан с возникновением и развитием теории и систем искусственного интеллекта, основные теоретические положения которого были созданы в 60-80-х годах ХХ века. Искусственный интеллект впервые и неразрывно связал воедино развитие мировой математики, систем программирования и технические возможности компьютеров. В его достижениях нельзя разделить влияние каждой из этих трех составляющих. Другими словами, развитие мировой математики в дальнейшем связано с развитием систем программирования и техническими возможностями компьютеров.

Можно выделить несколько этапов в развитии теории и систем искусственного интеллекта, которые также тесно связаны с развитием технологии компьютеров, расширением их возможностей, а также появлением различных систем программирования, давшие возможность строить системы интеллектуального интеллекта разной сложности.

Первый этап – это конец 50-х годов – 60-е годы. Начало созданию теории положила, по существу, философская дискуссия о возможности замены человека «умной» машиной – искусственным интеллектом, которая развернулась в это время. Идеи замены интеллекта человека машиной обсуждались и ранее. Как ранних участников этой дискуссии можно, например, упомянуть таких ученых, как фон Нейман, Тьюринг, Винер. В русле этих обсуждений и намерений в эти годы наметилось несколько принципиально отличающихся друг от друга направлений, которые привели, в конечном счете, к ряду новых областей практических приложений. Важно отметить, что на этом этапе исследователи стремились смоделировать определенные функции человеческого мозга на основе иммитации процесса выполнения этих функций человеком. Они исходили из основного предположения, которое заключается в том, что для того чтобы построить искусственный мозг, необходимо сначала изучить как работает естественный.

Первое направление – это решение интеллектуальных задач. Термин «решение задач»



Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 || 13 | 14 |   ...   | 15 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.