авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 13 | 14 ||

«Е. М. Левич Математическое моделирование и компьютерная математика. Иерусалим, 2009 1 Содержание ...»

-- [ Страница 15 ] --

На второй вопрос ответ, также отрицательный, так как на одном и том же языке программирования прагматический алгоритм можно адекватно записать разными способами. Например, изменить порядок выполнения арифметических действий, которые не меняют результата вычислений по прагматической модели, а в случае перехода к компьютерным моделям дают разные результаты. Количество разных способов также зависит от богатства языка программирования.

На третий вопрос мы уже, по существу, пытались дать выше ответ, расширяя который, можно утверждать, что существует единственный путь проверки работы программы – это сравнение результатов работы программы с аналогичными результатами, полученными другим путем на основе одних и тех же начальных данных. Но в этом случае необходимо взять во внимание, что на результат расчетов с помощью программы влияет строение и работа компьютера, а также качество компилятора или интерпретатора программы.

Резюмируя сказанное, частной целью программной модели является «перевод»

прагматического вычислительного алгоритма на машинный язык компьютера, а частным критерием достижения цели – при выполнении разных тестов различие между результатами, полученными с помощью программы, и результатами, полученными в рамках другой модели, не превышает определенного, заранее заданного числа.

Теперь перейдем к рассмотрению компьютерной модели, которая непосредственно связана с программной моделью. Частной целью компьютерной модели является осуществление вычислений, т.е. такая же, как у прагматической модели.

Напомним некоторые различия компьютерной модели от прагматической. Во-первых, компьютерная модель принципиально отличается от прагматической модели тем, что она производит действия над компьютерными числами, в то время как прагматическая модель – над прагматическими числами. Во-вторых, компьютерная модель производит вычисления в рамках компьютерной арифметики, которая зависит от типа и строения компьютера, а прагматическая модель – в рамках прагматической арифметики, которая носит абстрактный характер и не зависит от компьютеров.

Как мы уже отмечали выше, прагматические числа в рамках прагматической арифметики образуют кольцо, то компьютерные числа, которые составляют только часть прагматических чисел, в рамках компьютерной арифметики не образуют никакой известной математической структуры. Поэтому теоретические утверждения, которые имеют место над математическими числами, зачастую не имеют смысла над компьютерными числами. В этом случае большое значение приобретает формулировка частного критерия достижения цели для компьютерной модели. Если его формулировка совпадает с глобальным критерием, то он связывает между собой компьютерную модель с прагматической моделью и, далее, с теоретической моделью.

Проиллюстрируем сказанное на приведенных выше примерах.

Рассмотрим случай нахождения корня нелинейного уравнения (пример 1). В этом случае, как мы показали выше, существует эффективный глобальный критерий достижения цели, который не зависит от алгоритма решения задачи. В качестве частного критерия решения задачи можно взять формулировку глобального критерия. В этом случае частные критерии для трех моделей (теоретической, прагматической и компьютерной) совпадают, и поэтому любое решение компьютерной модели, удовлетворяющее частному критерию компьютерной модели, будет и решением всей задачи.

Как мы уже отмечали раньше, одним из распространенных и простых способов вычисления приближенного значения f ( x 0 ) функции y = f (x) в точке x = x 0 является использование отрезков (частных сумм) разложения функции f ( x ) в ряд Тейлора в окрестности точки x = x 0 (пример 2). Прагматический алгоритм в этом случае заключается в вычислении конечного набора частных сумм с последующим анализом полученной конечной последовательности. Если заранее известно ограничение на количество членов этой последовательности на основе тех или иных причин, то частный прагматический критерий в этом случае и состоит в вычислении соответствующего числа частных сумм вне зависимости от выбора точки x = x 0. В случае, если такого ограничения не существует, то выбор частного прагматического критерия основывается на свойствах построенной конечной последовательности, которые индуциируются из теоретической математики. Переход к вычислениям с помощью компьютерной модели может оказать существенное влияние на поведение выбранного критерия, причем нет никакого способа оценить степень этого влияния. Из сказанного следует, что в общем случае, принятие полученного на основе компьютерной модели результата в качестве приближенного значения функции в опеределенной точке является субъективным решением, ибо нет никакой возможности оценить в разумных пределах степень приближения к истинному (теоретикоматематическому) значению.

Теперь рассмотрим случаей решения системы линейных уравнений (пример 3) с помощью компьютеров. Пусть нам дана система линейных уравнений:

XA = B, (8) X = ( x1, x 2,..., x n ) - вектор неизвестных, A = a ij - квадратная матрица n n и где B = (b1, b2,..., b n ) - набор реально существующих математических чисел с точки зрения процесса моделирования.

Стандартный метод вычисления определителей в алгоритме Крамера для решения систем линейных уравнений при больших размерах матрицы системы уравнений обычно не используется, ибо он состоит из столь большого числа действий, которое нельзя произвести за разумный отрезок времени. Поэтому этот метод не используется на практике.

Эта задача обладает эффективным глобальным критерием (9). Этому критерию соответствует частный критерий, который имеет тот же вид, только числа и операции между ними являются уже компьютерными, а не математическими или прагматическими.

В предыдущем параграфе с помощью эксперимента было показано, что результаты компьютерных вычислений могут не соответствовать теоретическим утверждениям.

Например, определитель, теоретическое значение которого равно нулю, при вычислении с помощью стандартной программы из пакета Excel может принимать значения, существенно отличающиеся от нуля. Поэтому может возникнуть ситуация, когда найденный в результате вычислений набор чисел удовлетворяет критерию (9), но существенно отличается от теоретического решения системы (8). Иначе говоря, для принятия решения относительно набора вычисленных значений неизвестных выполнения одного только критерия (9) недостаточно.

Для этой задачи можно предложить следующий путь построения нового критерия.

Этот путь основан на проведении определенного эксперимента, поэтому новый критерий будем называть экспериментальным. Ясно, что критерий такого типа является характерным только для компьютерной математики, и его нельзя встретить в других типах математики. Он по своей сути и содержанию принципиально отличается от введенных ранее критериев достижимости цели.

Эксперимент 2. Возьмем матрицу A из системы (8). С помощью случайных чисел построим вектор X =( x1, x 2,..., x n ). Затем вычислим вектор B : B = X A. Затем с помощью имеющейся программы решаем уравнение X A = B. Обозначим через X =( x1, x 2,..., x n ) решение системы XA = B. В заключение вычисляем µ= a x.

mx x i i Этот эксперимент повторяется n раз. В заключение вычисляем число µ как максимальное (или среднее) из всех µ, которые являются результатом экспериментов.

В качестве экспериментального критерия можно взять, например, µ. (11) Очевидно, что значение µ зависит от программы, матрицы A и количества экспериментов. На параметр можно посмотреть как на требуемую точность решения системы уравнений (8). Использование критерия (11) основывается на предположении, что число µ дает оценку разности между вычисленными и теоретическими значениями неизвестных..

Параметр µ можно использовать в разных целях. Во-первых, этот параметр можно рассматривать как характеристику конкретной программы, решающей любую систему линейных уравнений типа (8), в которой участвует матрица A. Во-вторых, с помощью параметра µ можно сравнивать между собой программы, решающие задачи типа (8). В третьих, способ построения параметра µ можно обобщить на определенные классы матриц.

На проведенный эксперимент можно посмотреть как на процесс получения истинного утверждения в рамках компьютерной математики, т.е. как на рассуждение в рамках компьютерной математики. Рассуждение, заложенное в эксперименте, относится к типу индуктивных рассуждений. Оно отличается от индуктивных рассуждений, с которыми встречались в прематематике и прагматической математике, тем, что вывод из этих рассуждений делается только после проведения достаточно большего количества повторений опыта с разными входными данными.

Из последнего замечания следует, что логика компьютерной математики основана на вычислительных экспериментах.

Закончим рассмотрение примеров несколькими замечаниями относительно компьютерного решения дифференциальных уравнений (пример 4). Как уже было показано выше, прагматическая модель для численного решения уравнения (задача Коши) представляет собой набор рекуррентных формул, указывающих как проводить процесс вычислений. При этом не существует никакого критерия, связывающего этот процесс вычисления с решением дифференциального уравнения. Единственно, что может говорить об этой связи – это некоторые теоретико-математические утверждения, утверждающие, что при определенных условиях вычисление по выбранным формулам могут привести к искомому результату. Реально, нет никакого способа проверить выполнение этих условий в конкретных случаях. Отсюда следует вывод, что при использовании прагматических моделей нет ни какой возможности проверить, является ли полученный набор чисел решением поставленной задачи.

Ясно, что при такой ситуации с прагматическими моделями использование компьютерных моделей также не дает возможности определить частный критерий достижения цели. Более того, не видно никакой возможности организовать эксперименты для определения тех или иных числовых параметров, которые можно было использовать для определения качества решения или для сравнения различных программ, решающих одну и ту же задачу. Таким образом, при численном решении дифференциальных уравнений в общем случае, нет никаких объективных инструментов для того, чтобы определить: решена ли поставленная задача или нет.

Заключение.

Математика представляет собой одно из величайших интеллектуальных достижений человечества. Родившаяся как часть религиозно-мистического греческого культа, она интеллектом греков превратилась в отрасль интеллектуального искусства и имнтеллектуального спорта, без всякого практического применения. Примером непревзойденного произведения интеллектуального искусства является стройное законченное здание греческой геометрии, в которое на протяжении двух тысяч лет не внесли изменений, за исключением тех или иных внутренних украшений в виде некоторых доказанных позже теорем. Другие же введенные греками математические объекты служили строительным материалом для построения интеллектуальных забав.

Прелесть греческой математики заключалась в том, что, с одной стороны, занятия ею требовали индивидульных интеллектуальных усилий, что позволяло интивидууму уединиться в другой мир, созданный его воображением, а с другой стороны, привлекательность ее задач была настолько сильной, что объединяла разных людей, живущих в разных местах и в разное время, в попытках их решения. Две тысячи лет она служила интеллектуальным развлечением и отвлечением от повседневной жизни для изощеренных человеческих умов. То, что она просуществовала первые свои два тысячелетия, является трудно объяснимым чудом и безмерным везением для всей человеческой цивилизации.

Только в XVII веке вдруг обнаружилось, что математика может служить языком описания естественных явлений в теоретическом естествознании. Это положение первым высказал Галилей, а практически применил Кеплер в своих законах. Однако греческая математика не могла выполнять эту роль – требовалась другая математика. И она была создана Ньютоном и Лейбницем. Эта новая математика – математический анализ или европейская теоретическая математика – принципиально отличается от греческой математики. Основную роль в этой математике играет понятие непрерывности, в то время как греки панически боялись этого понятия, ибо парадоксы Зенона предсказывали возникновение внутренних противоречий. По большому счету, греки оказались правыми:

в конце XIX века – вначале ХХ века попытки вложить математический анализ в греческое ложе привели к неустранимым внутренним противоречиям.

От греков новая теоретическая математика взяла геометрию, верность дедуктивной логике и мечту о внутреннем строении математики как аксиоматической теории.

Нововведения европейцев оказались столь плодотворны, что за очень короткий период в новой математике было получено такое количество новых результатов, которое греческая математика не смогла получить за два тысячелетия своего существования до европейской математики.

Ньютон был первым, кто создал первую физическую теорию, положившую начало теоретической физике, синонимом которой является теоретическое естествознание.

Первая же теория теоретического естествознания показали удобство и эффективность этого языка, прежде всего, в астрономии. Трудно переоценить роль теоретической физики в развитии естествознания, ибо она служила тем стержнем, на котором держалось «объяснение» и упорядочивание экспериментальных наблюдений и измерений. Именно она дала не только «объяснение» (т.е. описание) экспериментальным данным, связанным с открытием новых природных явлений, но и позволила использовать их практической жизни.

Одновременно с теоретическим естествознанием создавалась и экспериментальное естествознание, которое привело к возникновению нового типа математики – европейской прагматической математики. Этот тип математики относился к дискретной математике и позволял производить вычисления.

Два типа европейской математики: теоретическая и прагматическая, - отличаются друг от друга, как целями, так и объектами исследования. В частности, основной целью теоретической математики является доказательство утверждений, а прагматической – проведение вычислений. Если одним из основных объектов теоретической математики являются математические числа, а прагматической – прагматические числа.

Использование физических теорий в практической жизни основывается на том, что теория предлагает набор математических формул для предсказания изменения одних физических параметров от изменения других. Формулы вырабатывает теоретическая математика, а использует для расчетов – прагматическая. В практике, за исключением астрономии, формулы были впервые применены, по существу. только в середине XIX века, когда стала происходить промышленная революция, связанная с внедрением электричества. Именно такое объединение усилий обеих типов математики привело к интеллектуальному скачку, который позволил использовать математическое мышление на пользу технического и экономического прогресса человеческой цивилизации.

Внедрение математики в практику потребовало развития математического образования для широких слоев населения. Абстрактная сложность проведения математических рассуждений, требующая больших интеллектуальных усилий для овладивания ею, внушала и внушает почти мистическое уважение и преклонение перед математикой среди образованной общественности. Это преклонение уже в середине ХХ века переросла в почти религиозную веру во всемогущность математики.

Усложнение физических теорий требовали для своего построения все более сложного математического аппарата, что привело к возникновению новых математических дисциплин, развитие которых расширяло области математических исследований. Кроме того, внутренние проблемы, возникшие в европейской математике, обеспечили ей бурное развитие. Одной из таких проблем явилось логическое обоснование оснований математики. Решение этой проблемы было связано с возникновением новой типа математики – математической логики.

Создание математической логики было революционным интеллектуальным скачком в научном мировоззрении. Впервые математическое мышление было применено к исследованию объектов, отличных от чисел и геометрических фигур. Новые объекты – утверждения и способы рассуждений – показали, что, во-первых, предметом математического исследования могут быть объекты разной природы, и, во-вторых, для математического исследования эти новые объекты исследования не отличаются от чисел и фигур. Сказанное хорошо иллюстрируется событиями, происшедшими в середине ХХ века. С одной стороны, трудно найти такую область исследований, в которой не была проведена математизация объектов исследования, а с другой стороны, последовательность рассуждений, составляющих суть процесса исследования, записываются с помощью последовательности чисел и вводятся в компьютер для осуществления исследования.


К середине ХХ века обнаружилось, что методы исследования теоретического естествознания не подходят для решения сложных проблем, которые возникли в экономической и социальной сферах. Точнее, язык европейской математики не позволял строить и исследовать модели, которые могли помочь в решении этих проблем. Поэтому появилась острая необходимость в создании нового математического языка, корни которого уходят в европейскую математику. Такой язык, связанный с новым типом математики, который условно был назван мировой математикой, стал создаваться во второй половине ХХ века. Если на раннем этапе своего развития мировая математика мало отличалась от европейской, но с течением времени различие между ними стало все больше и больше заметным. Значительное число новых задач в рамках мировой математики для своего решения стало требовать проведения большого числа вычислений, которое невозможно реализовать без помощи компьютеров.

Необходимость в использовании компьютеров пришла с двух сторон: со стороны мировой математики и со стороны европейской математики. Со стороны европейской математики эта потребность возникла тогда, когда физики стали численно решать дифференциальные и интегральные уравнения различных типов, описывающие сложные физические явления, относящиеся к ядерной физике, метерологии, радиофизики и т.п. И задачи мировой математики, относящиеся к исследованию операций, искусственному интеллекту, распознованию образов и т.п., также требовали применения вычислительной техники.

Применение компбютеров стало возможным с созданием и дальнейшим усовершенствованием двух типов языков: программных и компьютерных. Программные языки способствовали переводу математического языка в широком понимании этого слова (т.е. языка, включающего в себе языки теоретической математики, математической логики и прагматической математики) на компьютерные языки, «понятные»

компьютерам.

Сегодня на первый план выдвигаются компьютерные языки как языки исследований, отодвинув на второй план математические языки. Это можно объяснить, например, следующими причинами. Во-первых, перевод математического языка на компьютерный язык является в большинстве случаев неадекватным, что затем сказывается на истолковании полученных результатов вычислений. Во-вторых, сегодня, с одной стороны, существуют компьютерные модели, которые нельзя никоим образом записать на математическом языке, а с другой стороны, любую математическую модель можно перевести на компьютерный язык. В частности, сегодня строятся все более сложные самообучающие компьютерные модели, которые ни в коем случае нельзя представить на математическом языке. В-третьих, математические модели, по своей сути, являются менее сложными, нежели компьютерные модели. Поэтому для моделирования сложных объектов все чаще используются компьютерные модели, которые, в частности, позволяют иммитировать различные случайные процессы.

Использование компьютеров в научных исследованиях для решения практических задач принципиально изменило методологию и методы решения задач, что привело к созданию компьютерной математики, которая сегодня является неразрывной частью мировой математики.

С точки зрения теории познания цели, методология и логика компьютерной математики отличаются от целей, методологии и логики теоретической математики. Если цели теоретической математики было доказательство математических утверждений, то целями компьютерной математики являются количественное решение поставленной задачи. В этом цели компьютерной математики ближе к целям прагматической математики.

Логика теоретической математики является дедуктивной математической, а логика компьютерной математики – это индуктивная логика. Здесь мы опять сталкиваемся с тем, что логика компьютерной математики похожа на логику прагматической математики, которая также является индуктивной. Отличие между этими двумя логиками заключается в том, что индукция, которая используется в компьютерной математике, в отличие от индукции прагматической математики не связана с теоретической математикой, а основана на большом числе опытов (машинных экспериментов).

За несколько десятков лет своего существования методология мировой математики достаточно далеко отдалилась от методологии греческой и европейской математики. Если европейская математика по своему духу и идеалам соответствует греческой математике и находится в ее русле, то мировая математика открывает совершенно новую страницу в методологии математики и в ее использовании. В связи с последним утверждением необходимо отметить, что математическое мышление в рамках мировой математики только зарождается и сделало первые шаги, и поэтому трудно сегодня предсказать, в каком направлении оно будет развиваться в будущие десятилетия и даже столетия.

Однако ясно, что новое математическое мышление будет принципиально отличаться от того, которое господствовало последние столетия, и это мы уже видим при рассмотрении возникновения мировой математики. Это утверждение можно объяснить развитием системного подхода в исследованиях. Математическое мышление в рамках европейской науки было приспособлено к исследованию простых систем, которые рассматривались в рамках теоретического естествознания, а математическое мышление в рамках мировой математики должно быть приспособлено к исследованию сложных систем.

«Математическим знанием исчерпываются все наши знания относительно различных аспектов реальности» (М. Клайн, 46, с.227).



Pages:     | 1 |   ...   | 13 | 14 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.