авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 15 |

«Е. М. Левич Математическое моделирование и компьютерная математика. Иерусалим, 2009 1 Содержание ...»

-- [ Страница 5 ] --

Сразу отметим, что язык прагматического познания может иметь достаточно высокую степень абстракции (в том смысле, как мы его определили выше, в зависимости от количества толкования одного и того же слова), ибо наблюдаемые понятия обычно имеют однозначную трактовку. С другой стороны, язык интеллектуального познания (например, язык экономической науки) может иметь гораздо более низкую степень абстракции по сравнению с прагматическим языком. Это объясняется сложностью толкования ненаблюдаемых понятий в этом языке. В качестве иллюстрации опять сошлемся на следующее слова В. Гейзенберга из той же статьи:

«… С проникновением в области, непосредственно недоступные нашим ощущениям, язык наш порою тоже начинает отказывать. Подобно затупившимся инструменам, понятия нашего языка по отношению к новому ускользающему от них опыту оказываются уже некорректными. Такая возможность отмечалась в принципе уже давно, несколько веков назад. … Понятно, стало быть, что проникновение в новые области природы порой влечет за собой изменения в языке. Но в первые десятилетия ХХ века нам пришлось столкнуться с поразительным обстоятельством. Проникнув с помощью современных технических средств в новые сферы природы, мы узнали, что даже такие простейшие и важнейшие понятия прежней науки, как пространство, время, место, скорость, становятся здесь проблематичными и требуют переосмысливания» (В. Гейзенберг, 20, с. 212-213).

Чем более абстрактный общественный язык употребляется для описания моделей, тем легче и эффективней является усвоение и принятие моделей другими людьми.

Предложение - это специально организованный набор слов из различных групп, который представляет собой некоторое информационное сообщение. Основной задачей этого сообщения является передача некоторого содержания (информации) от одного человека к другому. Термин «передача информации» понимается в широком смысле слова, который включает в себя не только сам факт передачи, но и усвоение и понимание передаваемого содержания другими людьми. Поэтому организация предложения (т.е.

правила сочетания слов в предложении) является общественным инструментом для выполнения перечисленных выше целей. Другими словами, предложение в любом языке представляет собой набор общественно понятных слов (или понятий), связанных между собой с помощью определенных правил, которые установлены соответствующей общественностью.

Таким образом, любое предложение представляет собой словесное выражение некоторой связи между понятиями (словами). Каждое предложение, высказанное одним человеком, может либо нести определенный смысл (с точки зрения человеческого общества или его части), либо быть бессмысленным для другого человека или для общества. Предложение имеет определенный смысл, если набор слов, входящих в это предложение и связанных между собой определенным образом, допускает толкование, понятное другим людям из одного сообщества. В противном случае предложение является бессмысленным. Заметим, что собственно информация (знание, содержание) передается только с помощью предложений, имеющих толкование и понимание, доступное и другим людям, ибо отдельные слова не несут никакой значительной смысловой нагрузки, а представляют собой только символы или понятия.

Для того, чтобы понять предложение, высказанное кем-то, необходимо, как мы уже сказали, чтобы оно было построено (организовано) по определенным правилам. Эти правила являются соглашениями внутри определенной группы (сообщества) людей.

Набор правил, с помощью которых строятся предложения, составляет синтаксис языка.

Синтаксис языка позволяет осуществить толкование и понимание предложений, допуская к рассмотрению только «синтаксичеси правильные» предложения. Он составляет необходимую организующую часть любого языка. По мере развития и существования языка синтаксис меняется: вводятся новые правила, некоторые существующие правила изменяются или отмерают.

В большинстве случаев для передачи информации от одного человека другому недостаточно одного предложения, а требуется некоторая совокупность предложений.

Каждое предложение из этой совокупности несет определенное содержание, а сама совокупность несет информацию не только большую, чем та, что содержится в каждом предложении в отдельности, но и большую, чем вся сумма информации, содержащейся во всех предложениях. Такой набор предложений называется текстом. Таким образом, текст представляет собой конечный набор грамматически правильных в выбранном языке предложений, составленных из понятий, содержание которых является общественно понятным. Очевидно, что текст должен обладать определенными свойствами для того, чтобы его можно было передать другим людям, а также для того, чтобы этот текст был понят и усвоен. Этому аспекту человеческого общения посвящено большое количество различных исследований, поэтому мы не будем останавливаться специально на этом.

Так как любая модель представляет собой текст, то этот текст должен обладать определенными свойствами, ибо модель по формальным и интуитивным соображениям служит понятным целям. Эти цели принципиально отличаются в зависимости от того, в каких рамках рассматривается процесс моделирования. Если объект изучается в рамках интеллектуального познания, то заранее предполагается, что модель должна описывать свойства или функционирование исследуемого объекта. Т.е. при этом исследователь полагает, что предлагаемая им модель в действительности решает поставленную задачу.

Другими словами, модель с точки зрения исследователя является теорией в рамках соответствующего познания, т.е. набором «истинных» в данном познании утверждений.

Таким образом, каждое предложение в тексте модели, рассматриваемое по отдельности, представляет собой некое обобщающее утверждение. Если мы имеем дело с интеллектуальным познанием, то на это общающее утверждение можно смотреть как на интеллектуальную закономерность. В случае прагматического познания это обобщающее утверждение является прагматической регулярностью. Резюмируя сказанное, можно утверждать, что любая модель представляет собой текст, состоящий из «истинных» в данном познании утверждений..

В рамках прагматического познания объект исследования часто представляет собой методику решения определенной задачи. Поэтому модель объекта в этом случае является текстом, описывающий процесс решения задачи. Если процесс решения задачи состоит из нескольких этапов, то и текст модели может состоять из ряда «предложений», описывающих каждый из этапов решения задачи. В этом отношении и компьютерную модель в большинстве случаев можно рассматривать как описание процесса решения задачи. Резюмируя сказанное, заключаем: в ряде случаев модель представляет собой текст, описывающий процесс решения поставленной задачи.

Из символьных языков мы выделим два класса распространенных общественных языков: письменные и устные. Устные языки – это языки, сигналы которых человек воспринимает с помощью слуха, а письменные языки – это языки, сигналы которых воспринимаются человеком с помощью зрения. И звуковой, и зрительный сигналы могут в человеческом сознании дать одну и ту же реакцию. Тем самым в человеческом сознании устанавливается определенного рода тождественность двух внешних сигналов. Такая тождественность внешних сигналов различной природы позволяет установить соответствие между двумя внешними языками: устным и письменным. Таким образом, мы часто имеем связь между тремя общественными языками: внутренним, устным и письмен ным.

В силу того, что все содержание этой книги посвящено математике, у нас будут интересовать только модели, языками которых являются письменные языки. Среди письменных языков моделей выделим словесные языки моделирования, т.е. обычные языки человеческого общения с вкрапленными в них специальными понятиями (терминами), математические языки, присущие математическим дисциплинам, а также компьютерные языки. В связи с вышесказанным, мы будем разделять словесные модели, математические модели и компьютерные модели. Дадим краткую характеристику каждому из типов моделей.

Прежде всего, остановимся на словесных моделях. Понятие словесной модели является достаточно широким, что оно включает в себя любую устную или письменную сознательную модель. Мы сузим содержание этого понятия, введя понятие словесной модели в узком смысле слова. Под словесной моделью в узком смысле слова мы будем понимать модель, языком которой является обычный литературный национальный язык, содержащий специальные термины, принятые в определенных дисциплинах. Ниже в этом параграфе под словесной моделью, если это специально не оговорено, мы будем понимать словесную модель в узком смысле слова. Словесные модели, языками которых являются специальные языки, мы будем называть специализированными моделями.

Словесные модели представляют собой наиболее широко используемый тип моделей.

Он господствует во всех общественных учениях, таких, как экономические политические, социальные, педагогические и другие. Основные достоинства этих моделей заключаются в их общественной информационной емкости, позволяющей выразить в словесной форме почти все то, что хотел сказать автор. Использование неформализованного языка существенно облегчает выражение интллектуальных ощущений, что дает возможность изложить достаточно сложные утверждения в словесной форме. Примеры таких моделей можно найти в любом специальном издании, содержащем экономическое или политическое учение.

Словесные модели отличаются рядом недостатков. Во-первых, в силу того, что в одни и те же слова нередко вкладывается различное содержание, их однозначное понимание сильно затруднено и часто просто невозможно. Другими словами, для одной и той же достаточно сложной словесной модели трудно найти двух специалистов, которые бы адекватно понямали этот текст. Во-вторых, способ получения следствий из словесных утверждений, содержацихся в тексте модели, обычно не обеспечивает однозначно понимаемого результата, что принципиально затрудняет понимание логики рассуждения, т.е. самого процесса проведения рассуждений. Другими словами, логический ход исследования словесной модели часто трудно повторить, не используя одни и те же слова.

В-третьих, утверждения, которые являются результатом исследования словесных моделей, обычно вызывают возражения и не имеют общественного согласия, что затрудняет их использование в других исследованиях в качестве начальной точки дальнейших рассуждений. Другими словами, каждая словесная модель, по существу, представляет собой «вещь в себе».

Теперь перейдем к специализированным моделям, среди которых нас будут интересовать только математические и компьютерные модели. Языки специализированных моделей обладают более высокой степенью абстракции, нежели языки словесных моделей, о которых мы говорили выше. Это обстоятельство, с одной стороны, облегчает однозначное понимание утверждений, содержащихся в модели, а с другой - затрудняет построение самой модели, ибо построение специализированной модели требует гораздо более сложных интеллектуальных усилий, чем словесной. Этим объясняется относительно незначительное распространение специализированных моделей в различных общественно-социальных учениях. Однако с течением времени специализированные модели все глубже проникают в эти учения, ибо любые количественные исследования или опытные проверки гипотез требуют использования специализированных моделей. Так, уже в настоящее время существенное большинство экономических исследований содержит специализированные модели.

Однако переход от словесной модели к более абстрактной, символической модели сопровождается и существенными потерями. Прежде всего, происходит потеря наглядности. Если словесная модель сохраняет в определенной степени индивидуальность исследуемого объекта, то символическая модель полностью оторвана от этой индивидуальности. В силу этого одна и та же математическая модель может являться моделью различных по своей сути и природе объектов или явлений.

Таким образом, при переходе от словесной модели объекта к символической модели происходит полный отрыв модели от ее конкретного содержания. Если в словесных моделях словесные понятия, участвующие в ней, имеют определенное реальное содержание, то, например, в математических моделях математические понятия, составляющие их, не имеют никакого конкретного реального содержания, а являются абстрактными математическими символами. Нет никакой методологической возможности однозначно определить конкретное содержание этих символов. Такое определение может быть лишь результатом определенного соглашения между участниками конкретной группы исследователей. Любая другая группа исследователей может вложить в те же символы совершенно другое реальное содержание.

Создавшуюся ситуацию можно образно представить в виде следующей картины. Если словесная модель непосредственно связана с исследуемым объектом, как бы смотрит этому объекту прямо в глаза, то символическая модель смотрит на исследуемый объект сверху, поднявшись на некоторую высоту. Высота подъема символической модели определяется степенью её абстрактности, формализации: чем выше степень формализации модели, тем на большую высоту она отрывается от реального объекта. Это «парение на высоте» позволяет нарисовать картину объекта (явления) в целом. Как любая картина, представляющая собой вид реального объекта с высоты, она представляет собой общий план и поэтому страдает отсутствием определенных деталей, соединением ряда деталей в одну, упрощением вида объекта.

Потеря деталей (нередко существенных) ставит перед исследователями принципиальную проблему, заключающуюся в определении степени соответствия построенной символической модели исследуемому реальному объекту. Эту проблему мы можем сформулировать и в другой форме: в какой мере результаты исследования модели, интерпретированные в терминах исследуемого объекта, соответствуют этому объекту? На эту проблему можно посмотреть и с такой стороны: в какой мере результаты исследования соотносятся с исследуемым объектом?

В случае словесной модели упомянутая выше проблема является не столь острой, нежели в случае математической модели, ибо словесная модель максимально приближена к реальному объекту, в то время как математическая модель может быть достаточно удалена от него. Таким образом, переход от словесной модели к математической, с одной стороны, облегчает процесс исследования модели, а с другой - затрудняет интерпретацию и использование полученных результатов исследования. Здесь мы сталкиваемся с классической ситуацией, иллюстрирующей отсутствие «бесплатных обедов».

Введем несколько основных понятий, связанных с математической моделью. Любая математическая модель представляет собой набор математических зависимостей (функций), связывающих между собой набор переменных. Всякая математическая зависимость характеризуется набором переменных, видом математической связи между этими переменными, а также набором математических постоянных, которые являются характерными для выбранной математической связи. Различаются два типа обозначений постоянных в математической зависимости: буквенное и конкретно числовое. Если постоянные зависимости обозначаются буквами, то мы говорим, что эта зависимость задана в общем виде;

если же все постоянные зависимости обозначаются конкретными числами, то задана конкретная зависимость. В случае, когда модель содержит хотя бы одну общую зависимость, то мы будем говорить, что модель задана в общем виде;

в том же случае, когда модель состоит только из конкретных зависимостей, будем говорить, что мы имеем дело с конкретной моделью.

Цель моделирования определяет и вид модели. В случае, когда цель исследования модели - получение конкретных числовых результатов, то необходимо использовать конкретную модель;

в случае же, когда необходимо вывести или доказать общее утверждение, используется модель в общем виде.

В середине ХХ века широкое распространение получили компьютерные модели. Они отличаются от математических моделей тем, что их исследование этих моделей происходит с помощью компьютеров. В основе любой компьютерной модели лежит математическая модель, которой ставится в соответствие некий объект, условно называемый компьютерной программой. Они служит «мостом» между математической моделью и компьютером. Программа выполняет одновременно несколько функций:

переводит математическую модель на язык компьютера, организует процесс исследования компьютерной модели, переводит результаты этого исследования на язык математической модели и выдает эти результаты в предварительно заданной форме. Как видно из приведенного перечисления функций, выполняемых программой, компьютерное моделирование представляет собой один из самых сложных процессов моделирования.

С точки зрения моделирования существуют принципиальные отличия между моделями реальных объектов и моделями интеллектуальных объектов. Модели реальных объектов всегда отличаются от самих реальных объектов, для изучения которых строятся модели.

В случае интеллектуальных объектов мы сталкиваемся с принципиально иной ситуацией:

для любого интеллектуального объекта всегда найдется модель, с которой он совпадает.

Модель реального объекта всегда отличается от реального объекта, прежде всего, тем, что они различаются своими языками. Язык модели – это язык человеческого сознания, а язык реального объекта – это язык «природы». В случае же интеллектуального объекта мы можем рассматривать интеллектуальный объект по сути как модель.

Принципиальное различие между моделями реальных и интеллектуальных объектов, о котором мы только что говорили, оказывает сильное влияние на весь процесс моделирования этих объектов и на результаты этого процесса.

Теперь сделаем несколько замечаний относительно построения модели. Построение модели, в той или иной степени соответствующей исследуемому объекту, происходит в несколько этапов. Первый этап заключается в построении модели на интуитивном, подсознательном уровне, когда человек использует индивидуальные внутренние ощущения. Другими словами, что человек на подсознательном уровне пытается понять суть явления, которое он исследовать, чтобы, основываясь на этом понимании, построить модель. Этот процесс протекает глубоко в подсознании человека, посылая определенные сигналы на сознательный уровень. Полученный результат построения мы условно назовем интуитивной или подсознательной моделью исследуемого объекта.

Одной из основных особенностей интуитивной модели является то, что она индивидуальна, т.е. принадлежит только тому человеку, в сознании которого она родилась.

Этот человек не может никаким способом сообщить или передать ее другому человеку.

Другой особенностью этой интуитивной модели является то, что её язык состоит из ощущений и восприятий, поэтому ее практически нельзя сохранить в сознании человека.

Отсюда следует, что срок жизни конкретного интеллектуального продукта в интуитивной форме не является продолжительным. Более того, в сознании человека интуитивная модель, в силу природы самого языка этой модели, имеет «расплывчатый», «нечеткий»

образ.

Хотя мы говорим об интуитивной модели в единственном числе, однако, в силу того, что наши подсознательные ощущения («работу мысли») невозможно никаким образом зафиксировать, то речь идет о последовательности все время изменяющихся интуитивных моделях. Тем самым и интеллектуальный продукт, соответствующий исследуемому объекту, непрерывно изменяется, ибо интуитивная модель, как мы уже говорили, «написана» на языке интеллектуальных ощущений. Очевидно, что этот язык не может служить основой для человеческого общения.

Одной из важных особенностей таких интуитивных моделей является общее чувственное ощущение изучаемого объекта, которое складывается у конкретного человека. К таким чувственным ощущениям относятся ощущения красоты, удовлетворенности, неудовлетворенности и другие им подобные. Для того, чтобы сохранить и передать созданную интеллектуальную модель, мы должны «перевести» её на какой-нибудь другой язык, отличный от языка ощущений. Он позволяет удлинить срок жизни этой модели, что и составляет второй этап интеллектуального познания. Таким образом, второй этап интеллектуального познания заключается в переводе языка ощущений на другой, более устойчивый язык человеческого общения. Обычно используется один из словесных языков или другой язык общения (например, музыкальный или изобразительный), которым владеет человек и его окружение. Результат такого перевода мы назовем условно словесной моделью.

Как следует из самого определения, словесная модель непосредственно связана с языком, на котором она выражена. Этот язык, в отличие от языка ощущений, является уже признанным языком человеческого общения. Переход от интуитивной к словесной модели - прежде всего процесс абстрагирования и формализации результатов наших подсознательных ощущений, заложенных в интуитивной модели. Сам процесс абстрагирования и формализации интуитивной модели при переходе к словесной или символической модели заключается в попытках выразить ощущения с помощью элементов языка. Это - переход от подсознательного построения модели к сознательному построению, что составляет следующий этап в процессе построения модели.

Существует еще одна причина, по которой необходимо заменить интуитивную модель на словесную. Эта причина заключается в том, что интуитивная модель всегда является индивидуальной моделью. Для того, чтобы перейти к общественной модели, требуется, прежде всего, перевод этой модели на общественный язык, или, другими словами, замена интуитивной модели на словесную.

Переход от интуитивной модели к словесной модели не является однозначным процессом. Одной и той же интуитивной модели могут соответствовать различные словесные модели. При переходе от интуитивной или подсознательной модели происходит потеря части её содержания. Это, прежде всего, связано с тем, что словесная модель имеет более формализованный характер, нежели интуитивная. При любой формализации модели происходит потеря информации, содержащейся в первоначальной модели. В частности, при переходе от интуитивной модели к словесной модели происходит замена чувственных ощущений словами. Ощущения несут обычно больше информации, нежели слова, которые имеют существенно более ограниченный запас содержания.

Если словесная модель построена только на обычном языке общения, то эту модель мы будем назвать обычной словесной моделью. В случае, когда используется язык более высокой степени абстракции, словесную модель мы будем называть абстрагированной словесной моделью.

Обычная словесная модель обладает определенными недостатками, о которых говорилось выше и которые ограничивают возможности ее использования как общественной модели. Одним из путей преодоления указанных выше недостатков служит использование для построения модели языков более высокого абстрактного уровня, т.е.

вместо обычной словесной модели надо построить абстрагированную словесную или символическую модель. Такими моделями являются математические и компьютерные модели.

Среди математических моделей мы будем различать два типа: теоретические модели и прагматические модели. Под теоретическими моделями будем понимать модели, которые используются для качественных математических исследований, а под прагматическими моделями – модели, используемые для проведения вычислений.

Человек – животное религиозное. Только обретя сразу несколько религий, он приобщился к истинной религии.

М. Твен 3.3. Процесс моделирования и его основные этапы.

Процесс познания какого-либо объекта или явления непосредственно связан с процессом моделирования в широком смысле, ибо источником всех наших знаний относительно исследуемого объекта или явления являются результаты исследования одной или нескольких моделей этого объекта. В зависимости от типа познания в процессе моделирования в широком смысле используется одна модель или одновременно несколько моделей.

Если процесс моделирования основан на использовании одной модели, то этот процесс мы будем называть однотекстовым моделированием. (Выбор этого термина связан с тем, что модель можно рассматривать как текст на некотором общественном языке.) Процесс моделирования будем называть многотекстовым, если в нем одновременно используется несколько моделей на различных языках.

Процесс моделирования в широком смысле слова, в общем случае, является сложным процессом, состоящим из ряда этапов. Однако существует одна ситуация, когда этот процесс является простым. Эта ситуация возникает, когда модель представляет собой инструкцию по решению определенной задачи или выполнения определенной работы.

Здесь мы сталкиваемся с примером однотекстового моделирования, которое происходит в рам-ках прагматического познания.

Когда мы говорим о процессе моделирования, то явно или неявно подразумевается, что он является целенаправленным процессом интеллектуальной человеческой деятельности.

Это означает, что в процессе моделирования исследуемого объекта или явления человек явно или неявно хочет достигнуть определенной цели, которая, по существу, совпадает с целью самого исследования. Для нашего обсуждения в этом пункте важно само существование цели моделирования, а не степень ее структурирования. Другими словами, везде ниже мы будем предполагать существование одной или нескольких целей моделирования. В этом случае исследователь может предположить, что процесс моделирования, который он намерен провести, служит для достижения одной конкретной цели или нескольких различных целей. В зависимости от выбранного направления процесс моделирования может проводиться поразному.

Так как однотекстовое моделирование принципиально отличается от многотекстового, то мы будем рассматривать каждый процесс моделирования в отдельности. Начнем с рассмотрения однотекстового моделирования.

Однако прежде чем описывать основные этапы процесса моделирования, отметим, что каждый исследователь явно или неявно должен решить для себя принципиальный вопрос:

существует или не существует для рассматриваемого объекта или явления адекватная модель? Ответ на это вопрос, в общем случае, не является рациональным, это скорее «вопрос веры». Еще столетие тому назад большинство естествоиспытателей были уверены в существовании адекватных математических моделей для природных явлений, поэтому они говорили о поиске законов природы. В подтвеждение сказанному можно привести множество высказываний ведущих ученых не только прошлого, но и настоящего времени.

Для иллюстрации ограничимся двумя высказываниями Лапласа и Эйнштейна:

«Все действия природы – это лишь следствия небольшого числа неизменных законов» (П.

Лаплас).

«Наш опыт убеждает нас, что природа – реализация самых простых математических идей» (А.

Эйнштейн, 67, с.264).

Вера в существование адекватных моделей для объектов или явлений различной природы характерна для ученых, занимающихся теоретическими науками, т.е. для представителей интеллектуального познания. Те же, кто занимается прагматическим познанием и прагматическими науками, часто отрицают существование адекватных моделей. Таким образом, как уже отмечалось выше, существует два типа процесса моделирования: теоретическое моделирование, целью которого является поиск адекватной модели или приближения к ней, и прагматическое моделирование, целью которого является построение приемлимой модели.

Указанные два процесса однотекстового моделирования принципиально отличаются друг от друга содержанием и толкованием модели, хотя технологически состоят из тех же этапов. Поэтому наше рассмотрение мы начнем с описания основных этапов процесса моделирования, отмечая и обсуждая те отличия, о которых говорили выше.

Процесс однотекстового моделирования в широком смысле распадается на ряд основных этапов, которые можно сформулировать следующим образом:

Этап 1: Выбор цели моделирования исследуемого объекта.

Этап 2: Выбор языка моделирования.

Этап 3: Построение модели.

Этап 4: Исследование модели и получение результатов исследования.

Этап 5: Истолкование результатов исследования на языке исследуемого объекта и принятие решения о том, являются ли полученные результаты ответом на поставленную цель исследования.

Напомним, что третий этап процесса моделирования является тем, что было названо выше процессом моделирования в узком смысле слова.

Как мы увидим ниже, все эти этапы, по существу, взаимосвязаны, и процесс моделирования в широком смысле является итеративным процессом, когда перечисленные этапы повторяются до тех пор, пока не будет принято решение о прекращении процесса моделирования по тем ли иным причинам. Вообще говоря, исследователю или группе исследователей приходится принимать соответствующие решения и после каждого этапа процесса моделирования: о его окончании и переходе к выполнению следующего этапа. Другими словами, на процесс моделирования можно смотреть как на итеративный процесс принятия решений. В силу этого замечания, в процессе моделирования аспект субъективности играет существенную роль.

В процессе однотекстового моделирования мы имеем дело с двумя объектами: объектом исследования и его моделью. Здесь возможны два случая: объект исследования является интеллектуальным объектом или реальным объектом. Первый случай характерен, в частности, для теоретической математики, а второй – для теоретической физики. Хотя процесс однотекстового моделирования в обоих случаях состоит из тех же этапов, однако выполнение этих этапов различно.

Рассмотрим первый этап моделирования в широком смысле слова, который заключается в выборе цели исследования. Любое исследование является целенаправленной человеческой деятельностью. Таким образом, любое исследование связано с формулированием глобальной цели исследования. Чаще всего цель общего исследования указывает только общее направление исследований. В формулировке цели исследования в явной или в неявной форме содержится критерий достижения цели, который можно назвать глобальным критерием достижения цели исследования. Одной и той же глобальной цели исследования может соответствовать несколько различных глобальных критериев достижения цели. Но тогда возникает проблема выбора глобального критерия, которая решается неформальным образом на основе интуиции и опыта.

Глобальный критерий назвается эффективным, если существует такой алгоритм, на основании которого можно для любого предполагаемого решения задачи однозначно определить, является ли оно в действительности решением или нет. Если такого алгоритма не существует, то глобальный критерий называется неэффективным.

Глобальная цель является эффективно достижимой, если она обладает эффективным критерием достижения цели. Если же цель не обладает эффективным критерием, то она называется эффективно недостижимой целью.

На основе глобального критерия и определяется, достигнута ли цель исследования. В случае, если цель исследования не достигнута, то либо делается еще одна попытка повторить процесс исследования, либо для проведения новой попытки приходится изменить первоначальную глобальную цель исследования.

Так, например, в теоретической математике обычно целью исследования является поиск математических утверждений в определенном направлении, которые можно опубликовать в соответствующем журнале или доложить на конференции определенного уровня. Так как публикация статьи или принятие доклада на конференцию зависят от субъективного мнения референтов или соответствующих должностных лиц, то это требует многих глобальных критериев достижения цели. Очевидно, что критерием является получение достаточного материала определенного качества для статьи или доклада. В теоретической физике же целью исследования обычно является поиск соответствующей теории, на основании которой можно объяснить те или иные результаты наблюдений за определенным явлением или экспериментом. Нахождение объяснения (описания) реальному явлению или результатам эксперимента и является критерием достижения цели в теоретической физике. Принятие того или иного объяснения или описания существенно зависит от субъективного мнения специалистов, и в этом случае мы также сталкиваемся с множеством критериев достижения целей исследования.

Теперь сделаем несколько замечаний относительно языка, на котором формулируются глобальные цели исследования и глобальные критерии достижения цели. Так как глобальная цель относится к исследуемому объекту, то мы можем сказать, что язык формулировки этой цели связан с «естественным языком» объекта. Если исследуемый объект является интеллектуальным объектом, то он описан (задан) на некотором определенном языке. В этом случае и язык цели исследования тесно связан с этим языком, являясь его расширением. Это означает, что язык глобальной цели исследования складывается из того языка, на котором задан исследуемый объект, путем добавления понятий, выражающих дополнительные свойства объекта исследования и связи между ними.

Так, в теоретической математике основными объектами исследования являются математические объекты, которые определяются с помощью математического языка.

Поэтому формулировки глобальных целей и критериев достижения целей также используют математический язык.

Более сложная ситуация возникает, когда исследуемый объект является реальным объектом. В этом случае мы уже сталкиваемся, по существу, с двумя разными языками: с так называемым «естественным языком» реального объекта и языком, на котором сформулирована цель исследования. Таким образом, при исследовании реального объекта мы вынуждены «перевести» описание реального объекта на «естественном языке» на некоторый словесный язык, с помощью которого мы формулируем цель исследования.

Качество этого «перевода», или, другими словами, качество нашего «понимания»

реального объекта принципиально для установления цели исследования, а также и для успеха всего дальнейшего процесса исследования. Процесс перевода или понимания является принципиально неформализуемым процессом, выполнение которого основывается на интуиции и опыте исследователей.

Заметим, что любой язык, на котором строится или задается цель исследования, является результатом человеческой деятельности, т.е., другими словами, искусственным объектом. Очень часто (или почти всегда) основное достижение выдающихся интеллектуальных исследований заключается в некоем интуитивном понимании так называемой «сути» изучаемого объекта и в создании (построении) на этой основе «естественного языка» исследуемого объекта. «Естественный» язык является наименее формализованным языком, на котором мы пытаемся описать или охарактеризовать объект, т.е. построить модель. Понятия этого языка имеют обычно интуитивное содержание, часто смутно понимаемое. Это интуитивное понимание в своей значительной части содержится в подсознании. С момента создания «естественного» языка и начинается, по существу, научная или пренаучная дисциплина, ибо создание языка требует определенной степени формализации в классификации изучаемых объектов, свойств этих объектов, а также свойств совокупностей изучаемых объектов. Как продукт человеческого творчества «естественный язык» объекта прежде всего связан с конкретным языком исследователя. Много работ в философии науки посвящены анализу понятия «естественный язык» объекта и его связи с обычным языком, на котором говорит исследователь. Но мы здесь не будем останавливаться на этом подробно, ибо нам для дальнейшего достаточно понимания сказанного на интуитивном уровне.

С подобной ситуацией мы сталкиваемся в случае теоретической физики. Предположим, что мы хотим исследовать некоторое физическое явление. Отметим, что наблюдаемый реальный объект или явление отражается в человеческом сознании на уровне подсознания, исходя из чувственных ощущений. Эти ощущения и служат отражением «естественного» языка этого объекта в подсознании исследователя. Однако только чувственных ощущений недостаточно, чтобы сформулировать цели исследования. Для этого необходим также словесный язык на уровне сознания. Таким образом, необходимо наши ощущения «перевести» на некоторый словесный язык на уровне человеческого сознания, для чего исследуемый объект или явление рассматривается как объект, обладающий определенными свойствами. Выбор свойств, которые связываются с исследуемым объектом, и есть выбор (или создание) определенного словесного языка, с помощью которого описывается исследуемый объект в человеческом сознании. Ясно, что переход от подсознательной модели, основанной на чувственных ощущениях, к сознательной модели, основанной на перечислении свойств исследуемого объекта или явления, происходит с помощью процесса абстрагирования, и это сопряжено с потерей информации об исследованном объекте. Выбранный язык и служит для формулирования глобальной цели и глобального критерия достижения цели. Очевидно, что описанный переход от подсознательной модели к сознательной модели является неформализуемым процессом. Построенная сознательная модель не является, в общем случае, моделью, на основе которой проводится исследование реального объекта или явления.

На основе глобальной цели исследования в начале процесса моделирования необходимо установить цель всего процесса моделирования. Связь между этими целями не является четкой. Поэтому одной и той же глобальной цели исследования может соответствовать множество целей моделирования, которые отличаются друг от друга. Каждую из них можно условно назвать глобальной целью моделирования. Здесь возникает проблема выбора этой глобальной цели, которая решается неформальным образом на основе интуиции и опыта. С момента выбора конкретной глобальной цели моделирования в процессе исследования происходит замена глобальной цели исследования на глобальную цель моделирования. Более того, с этого момента результаты процесса моделирования начинают рассматриваться в качестве результатов исследования.

В случае теоретической математики целью моделирования обычно является требование доказать то или иное математическое утверждение, выдвинутое в рамках глобальной цели.

Ясно, что подобных требований в рамках одной и той же глобальной цели может существовать множество. В случае же теоретической физики целью моделирования обычно является проверка той или иной физической теории, чтобы дать соответствующие объяснения или описания, которые вытекают из глобальной цели исследования.

Формулировка глобальной цели моделирования содержит в себе в той или иной форме и формулировку критерия достижения цели моделирования, который будем называть глобальным критерием моделирования. Этот критерий служит основой для принятия решения о достижении цели моделирования. Если результаты моделирования не удовлетворяют глобальному критерию моделирования, то имеются две возможности: или повто-рить процесс моделирования, или изменить глобальный критерий моделирования.

Одной и той же глобальной цели моделирования соответствует обычно множество глобальных критериев моделирования, причем выбор конкретного критерия является неформальным процессом и зависит от знаний, опыта и интуиции исследователя.

Так как в процессе исследования мы подменяем глобальную цель исследования на глобальную цель моделирования, то и глобальный критерий исследования заменяется глобальным критерием моделирования. Именно эта замена и оправдывает утверждение, которое мы сформулировали выше, что результаты моделирования становятся результатами исследования.

Второй этап моделирования в широком смысле слова заключается в выборе языка моделирования. Осуществление этого этапа опирается на ранее выбранную глобальную цель моделирования, которая индуцируется глобальной целью исследования. Уже формулировка цели моделирования определяет язык, на котором выражаются результаты моделирования. Этот язык, или его расширение, является языком моделирования. Таким образом, выбор языка моделирования непосредственно связан с целью моделирования.

Однотекстовое моделирование накладывает определенные ограничения на тип языка моделирования. Выше мы ввели три типа языков моделирования: словесные, математические и компьютерные. Как мы уже отмечали, словесный язык обладает невысокой степенью абстракции, ибо толкование терминов (понятий) в этом языке обычно не явля-ется однозначным, что часто приводит к общественному непониманию смысла передавае-мых на этом языке сообщений. Для более эффективного использования словесного языка в моделировании и в изучении модели обычно необходимо формализовать этот язык. Это означает, что в однотекстовом моделировании словесный язык невозможно использовать, так как наряду с текстом модели на словесном языке мы должны рассматривать еще один текст на другом, более формализованном языке. Но тогда мы приходим, по крайней мере, к двутекстовому моделированию.

Подобную ситуацию можно видеть и в отношении компьютерного языка. Для того, чтобы построить модель на компьютерном языке, необходимо иметь модель, заданную на некотором другом общественном языке. Это значит, что использование компьютерного языка для моделирования возможно только в многотекстовом моделировании. Таким образом, в однотекстовом моделировании используется только математический язык.

Другими словами, все познания, основанные на однотекстовом моделировании, используются только в математических моделях. Из последнего утверждения также следует, что и цель моделирования, и глобальный критерий достижимости цели в однотекстовом моделировании формулируются на математическом языке.

В однотекстовом математическом моделировании мы встречаемся с несколькими типами целей моделирования. Во-первых, цель может состоять в доказательстве некоего математического утверждения (теоремы). Выбор такой цели означает, что весь процесс моделирования происходит в рамках теоретической математики или теоретической физики. Во-вторых, цель моделирования может заключаться в преобразовании математической формулы. И в этом случае процесс моделирования происходит в рамках теоретической математики или теоретической физики, ибо преобразование формул осуществляется на базе или аксиом, или определений. В третьих, в качестве цели моделирования берется осуществление процесса вычисления, состоящего из проведения конечного числа арифметических операций над конкретными числами. В этом случае процесс моделирования осуществляется в рамках прематематики.

Третий этап. Так как объектами исследования в теоретической математике являются математические объекты, то математические модели этих объектов совпадают с самими объектами, т.е. сами объекты можно рассматривать как их математические модели.

Другими словами, объект исследования в теоретической математике совпадает со своей глобальной моделью. Но тогда и глобальная цель исследования совпадает с глобальной целью моделирования, а глобальный критерий достижения цели исследования совпадает с глобальным критерием моделирования.

Иной случай мы наблюдаем в теоретической физике, где математическая модель объекта исследования отличается от самого объекта исследования. Вэтой ситуации необходимо выбрать математическую модель, с помощью которой возможно провести исследование реального объекта. Однако важно отметить, что в условиях однотекстового моделирования объектом исследования является математическая модель, а не реальный объект.

В зависимости от цели моделирования определяется и вид модели. Если цель заключается в получении или доказательстве общего утверждения, то выбирается модель в общем виде;

если же цель состоит в получении конкретных числовых данных, то выбирается конкретная модель.

Объект исследования представлен в человеческом сознании с помощью набора определенных свойств, которые познаются через чувственные ощущения.

Математическая модель представляет собой набор математических переменных, связанных с помощью математических зависимостей. (Каждая математическая зависимость – это, по своей сути, некая математическая функция.) Таким образом, процесс построения математической модели исследуемого объекта - это, во-первых, выбор свойств реальных объектов, которые являются необходимыми для описания поведения реального объекта, во-вторых, установление соответствия между математическими переменными и свойствами исследуемого объекта, в третьих, установление математических зависимостей между математическими переменными.

Выбор свойств исследуемого объекта является одним из центральных моментов в математическом моделировании. Это действие не является формальным, поскольку оно основано на интуиции исследователя, на его внутреннем понимании функционирования реального объекта. Здесь играет большую роль принцип Оккама, который требует обходиться при исследовании только необходимым количеством свойств реального объекта.

Сопоставление свойств математических символов носит чисто формальный характер и не несет никакой нетривиальной информации.

Выбор форм математических зависимостей является чисто математической задачей, не связанной никоим образом с исследуемым реальным объектом. Этот выбор зависит только от математических знаний и способностей исследователя, ибо существенно влияет на последующий процесс исследования модели.

Четвертый этап. Исследование модели заключается в проведении математического доказательства, или в его поиске, либо в преобразовании математической формулы, либо в проведении процесса вычислений.

Если исследование модели заключается в доказательстве утверждения, то в результате исследования возможны два случая: утверждение доказано или утверждение не доказано.

В первом случае мы сразу переходим к следующему этапу. Во втором случае мы опять сталкиваемся с двумя возможностями. С одной стороны, мы можем изменить тем или иным способом формулировку утверждения, которого не удалось доказать, и затратить новые усилия в попытке доказать новое утверждение. С другой стороны, можно сразу перейти к следующему этапу, признав свою неудачу.

Если же исследование модели заключается либо в преобразовании формулы, либо в проведении конечной цепочки арифметических действий над конкретными числами, то, получив результаты (избегая ошибок в процессе преобразования или вычисления), сразу переходим к следующему этапу.

Пятый этап состоит в том, чтобы истолковать результаты исследования на языке исследуемого объекта и принять решение, являются ли полученные результаты ответом на поставленную цель исследования. Так как язык модели совпадает с языком постановки проблемы исследования, то этот этап осуществляется автоматически.

Из описания основных этапов однотекстового моделирования и его задач, видно, что здесь мы имеем дело только с адекватными моделями. Модели, в которых требуется доказать утверждение или преобразовать математическую формулу, относятся к теоретическим моделям, а модели, которые служат для проведения конечного числа арифметических вычислений, являются прагматическими моделями.

Теперь перейдем к рассмотрению многотекстового моделирования.

Многотекстовое математическое моделирование основано на использовании модели, которая, в свою очередь, представляет собой совокупность взаимосвязанных моделей, относящихся к различным типам познания. Эту модель, состоящую из совокупности взаимосвязанных моделей, назовем глобальной моделью, а каждую из моделей, входящих в глобальную модель, - частной моделью. В самом общем случае глобальная модель состоит из трех моделей: теоретической модели, прагматической математической модели и компьютерной модели. Часто встречаются глобальные модели, состоящие из двух частных моделей. Ниже мы встретимся с такими глобальными моделями, состоящими из теоретической модели и прагматической модели.

Многотекстовое моделирование, как и любой процесс моделирования, начинается с формулировки цели моделирования. Эту цель назовем глобальной целью. Так как процесс моделирования является итеративным процессом, то и глобальная цель моделирования меняется в зависимости от итераций. Это означает, что формулировка цели, с которой начался процесс моделирования, может существенно отличаться от формулировки цели моделирования при окончании процесса моделирования. Уже при первоначальном определении глобальной цели моделирования часто выясняется, состоит ли глобальная модель из двух или трех частных моделей.

Среди частных моделей, составляющих глобальную модель, всегда можно выделить модель, которую назовем основной моделью. Результаты исследования основной модели являются также результатами исследования глобальной модели. Другие частные модели, по существу, служат основой для обоснования выбора основной модели.

Поясним сказанное на примере. Рассмотрим общий случай, когда глобальная модель состоит из трех частных моделей: теоретической модели, прагматической математической модели и компьютерной модели. В этой тройке моделей результаты решения поставленной глобальной проблемы получают с помощью компьютерной модели, т.е.

результатом исследования глобальной модели является набор конкретных чисел, который интерпретируется как результат достижения глобальной цели.

Ясно, что для того, чтобы построить компьютерную модель, необходимо определить методику численного решения поставленной задачи (т.е. достижения цели). Описание этой методики и представляет собой прагматическую математическую модель. Таким образом, компьютерная модель представляет собой запись этой методики на языке программирования, который автоматически переводится на язык компьютера.

Компьютерная модель принципиально отличается от прагматической математической модели. Одной и той же прагматической модели можно поставить в соответствие множество различных компьютерных моделей, т.е. программ, которые отличаются друг от друга или языком программирования, или текстами. Поэтому мы можем с уверенностью сказать, что прагматическая математическая модель служит своего рода «каркасом», на котором строится компьютерная модель. Иначе говоря, прагматическая модель служит основой для выбора и содержания компьютерной модели.


Для построения прагматической математической модели явно или неявно используют определенную теорию, т.е. некоторую теоретическую модель. Исследование этой теоретической модели приводит к прагматической математической модели как к следствию из выбранной теории. Теоретическая модель использует язык, который принципиально отличается от языка прагматической математики. В общем случае, с одной стороны, одной и той же теоретической модели может соответствовать несколько различных прагматических математических моделей, а с другой стороны, одну и ту же прагматическую математическую модель можно рассматривать как следствие нескольких отличающихся друг от друга теорий. Таким образом, и здесь теоретическая модель служит основой того или иного выбора прагматической модели.

Резюмируя сказанное, можно утверждать, что выбор тех или иных теоретических и прагматических моделей непосредственно связан с необходимостью выбора компьютерной модели, чтобы достичь поставленной цели. В силу того, что мы сталкиваемся с проблемами выбора, мы должны иметь критерий, на основе которого мы осуществляем именно этот выбор. Подобный критерий можно назвать частным критерием. Таким образом, вместе с глобальным критерием мы должны иметь и набор частных критериев, которые тесно связаны с глобальным критерием.

Нахождение (установление) таких критериев соответствия часто представляется более сложной задачей, нежели остальная часть процесса моделирования. Результаты выполнения этого этапа являются критическими для всего процесса моделирования, ибо именно здесь определяется не только степень доверия к результатам исследования, но и сложность всего процесса моделирования.

Существует несколько путей разрешения проблемы соответствия математической модели исследуемому объекту (явлению). Первый путь состоит в ультимативном утверждении, что выбранная математическая модель соответствует реальному объекту, т.е. отражает его свойства в достаточной мере. Из этого ультимативного утверждения и вытекает, что результаты исследования мы безоговорочно принимаем как соответствующие реальному объекту. (Другими словами, если полученные результаты исследования по какой-то причине кажутся нам несоответствующими реальному объекту, считается, что «виноват» реальный объект.) В качестве примера, иллюстрирующего этот подход, можно привести слова известного физика ХХ века П. Дирака:

«Теории гравитации Эйнштейна присуще совершенство особого рода. Тот, кто сумеет оценить фундаментальную гармонию между путями развития природы и общими математическими принципами, наверняка поймет, что теория, обладающая красотой и элегантностью теории Эйнштейна, просто обязана быть правильной. И если в каком-нибудь из приложений теории возникает расхождение, то причину его следует искать не в крахе общих принципов теории, а в каком-то связанным с этим приложением побочном явлении, которое не было соответствующим образом учтено. Такая уверенность в теории Эйнштейна объясняется ее необыкновенной красотой, которая совершенно не зависит от отдельных удач или неудач. Наверное, именно уверенность в необыкновенной красоте математического описания природы и вдохновила Эйнштейна на поиски его теории тяготения… Эйнштейн не пытался объяснить какие-то результаты наблюдений. Он был от них далек. Главной его целью был поиск красивой теории, такой, которую должна выбрать природа. Нужно обладать подлинным духом гения, чтобы из одних лишь абстрактных размышлений составить представление о том, какой должна быть природа. Эйнштейн сумел это сделать» (П. Дирак, 23, с.57).

Сравнение полученных результатов исследования и наблюдений может происходить на двух уровнях: качественном и количественном. Если применяемая математическая модель представляет собой теоретическую математическую модель (т.е. модель, в записи которой используются только математические символы), то в этом случае сравнение может быть проведено только на качественном уровне. Для того, чтобы сравнение можно было провести на количественном уровне, применяемая модель должна быть числовой мо делью.

.

Прошу вас, ради всего святого, сначала научитесь простому, и только затем переходите к сложному.

Эпиктет Постепенно я стал понимать основную трудность, с которой сталкиваешься при изучении истории науки:

надо на время забыть, что было потом.

А. Пайс Часть 2. Прематематика и греческая математика.

Имеется много книг, изображающих жизнь первобытного человека. Среди них, например, книги, описывающие, «как человек без кузнеца жил», иными словами, как жил человек, не знающий употребления металлов. Когда-то была объявлена большая премия за написание книги «Как человек без числа жил».

Однако премия оказалась не выданной: по-видимому, ни один писатель-исследователь не был в состоянии изобразить жизнь человека, не имеющего понятия о числе.

И.Я. Депман Глава 4. Прематематика.

В мире есть много трудных вещей, но нет ничего труднее четырех арифметических действий.

Беда Достопочтенный 4.1. Введение.

В любой человеческой цивилизации, которая существовала и существует, всегда имелась потребность в решении различных практических количественных задач. Эти задачи были связаны с измерением различных объектов, обменом товарами, учетом запасов, исчислением объемов и площадей и т.д. Для решения этих задач в среде цивилизаций были выработаны различные методы (методики), которые можно рассматривать как общественные знания. Эти знания с помощью обучения передавались от одного поколения людей к другому. Описание этих методов, устное или письменное, составляло общественное интеллектуальное богатство. Письменные памятники цивилизаций, таких, как хеттская, вавилонская или египетская, полны примерами подобных методик. Этот набор методик решения количественных практических задач выше был назван прематематикой. Каждая человеческая цивилизация обладала и обладает своей прематематикой. Эта прематематика исчезает вместе с гибелью соответствующей цивилизации.

Решение количественных практических задач в каждом человеческом сообществе прежде всего связано двумя компонентами: с системой мер и методикой представления количеств или чисел, господствующих в этом сообществе. Таким образом, любая прематематика основывается на этих компонентах. При исчезновении или существенном изменении одной из упомянутых компонент соответствующая прематематика исчезала.

При том уровне интеллектуального развития, которым обладали человеческие цивилизации в прошлом, вряд ли существовал обмен прематематическими знаниями между разными цивилизациями. Другими словами, прематематики различных древних цивилизаций были достаточно изолированными друг от друга областями знаний.

В качестве примеров прематематик, существовавших в различных человеческих цивилизациях, можно привести, кроме так называемых египетской и вавилонской математик, также логистику, которая существовала в древней Греции, технику счета, которую знали в средневековой Европе, и т.п. Более того, каждая значительная европейская страна, обладавшая собственной системой мер, по существу, имела собственную прематематику, которая исчезала вместе с существенным изменением этих мер или с их исчезновением..

Под методикой решения практической задачи мы понимаем инструкцию, описывающую порядок и суть действий, которые необходимо осуществить, чтобы получить результат. Так называемые математические письменные документы, дошедшие до нас от исчезнувших человеческих цивилизаций (египетской, вавилонской, индийской, китайской и других), содержат собрание практических количественных задач с их решениями. На описание решения отдельной конкретной количественной задачи можно смотреть как на пример применения методики решения подобных задач, отличающихся от описанной только числами, содержащимися в условии задачи, но не в ее содержании.

Другими словами, приведенное решение, по существу, говорит, что подобные задачи надо решать аналогично. Для иллюстрации сказанного приведем два характерных примера.

Первый пример – древнеегипетская цивилизация. Основная часть сведений о развитии прематематики в древнем Египте содержится в двух сохранившихся папирусах, которые были найдены в XIX веке: это - папирус Райнда и Московский папирус. Оба они относятся к эпохе Среднего царства: Московский папирус – к ХХ веку до н.э., а папирус Райнда – ко второй половине XIX века до н.э. Эти папирусы были составлены для учебных целей, и каждый из них содержит список практических задач с решениями: Московский папирус – 25 задач, а папирус Райнда – 84 задачи. Эти папирусы были переписаны с более ранних.

Материал в папирусе Райнда более систематизирован. Задачи в нем разбиты по темам.

Задачи на «припек» можно объединить в один класс, задачи о емкости зернохранилищ и сосудов – в другой, и т.п. При этом фактически определялась методика их решения, хотя она не была сформулирована общим образом. Каждая задача решается заново без всяких пояснений, в числах. Однако при решении вычислитель пользуется, как видно, некоторыми общими правилами, которые не были сформулированы им в общем виде.

Существование подобных правил вытекает из того, что определенные группы задач решаются аналогичным путем. Так, решение первой группы задач основано на пропорциональной зависимости, второй – на формулах объема тел, и т.д. Резюмируя, можно сказать, что методика решения конкретных практических количественных задач у древних основывается на аналогии.

Здесь необходимо отметить, что в математической исторической литературе часто описывают решение прагматических задач, встречающихся в древних цивилизациях с помощью формул. Такой подход к описанию методик решения задач в методологическом плане искажением: решение задач с помощью формул методологически отличается от решения задач по аналогии. Использование формул требует принципиально более высокого уровня абстрактного мышления, которым не обладала ни одна человеческая цивилизация до греков. Поэтому широко используемое в современной исторической математической литературе (см., например, книги 35, 59) описание решения задач на современном математическом языке является интеллектуальным искажением методологии мышления, существовавшей в древних цивилизациях, и в целом не отвечает исторической правде.


Второй пример – древнеиндийская прематематика, которая называлась «га-нита» (что означает «искусство вычислений») и представляла собой набор местных методик решения практических количественных задач. В качестве одного из доказательств существования индийской прематематики задолго до греков можно привести книгу «Шулва сутра» («Правила веревки»), относящуюся к VII-V векам до н.э. В V в. до н.э.

Индией овладели персы, которые распространили там сирийско-арамейское письмо, приспособленное к местным индийским наречиям. Так появилось раннее индийское письмо «кхарости», буквы алфавита которого использовались в качестве цифр. В дальнейшем эти цифры были заменены цифрами «брахми». При записи чисел на счетной доске с помощью цифр брахми использовались только первые девять цифр, а десятки и сотни обозначались теми же цифрами, что и единицы. Нуля не было, а на его месте на счетной доске ставился пустой столбец. Символ нуля появился позже. Цифры брахми послужили основой для появления современных индийских цифр «диванагари»

(«божественное письмо»), от которых происходят современные десятичные позиционные системы арабов и европейцев. Индийцы были первыми, которые разработали правила арифметических действий (включая извлечение квадратного корня) числами, заданными в десятичной позиционной системе. Позже, начиная с Брахмагупты (VII в. н.э.) индийцы систематически пользовались отрицательными числами и трактовали положительные числа как имущество, а отрицательные числа – как долг. Брахмагупта приводит все правила арифметических действий над отрицательными числами.

Третий пример – древнекитайская математика. Древнейшими прематематическими книгами, дошедшими до нас, являются «Трактат об измерительном шесте», посвященный в основном астрономии, и «Математика в девяти книгах». Последняя книга была окончательно отредактирована финансовым чиновником Чжан Цаном (ум. в 150 г. до н.э.).

Она предназначалась для обучения инженеров, чиновников и землемеров. В ней собрано 246 конкретных числовых задач, изложенных догматически: сначала формулируется задача, затем сообщается ответ и в весьма сжатой форме указывается способ решения.

Как мы уже упоминали выше, математика возникла в древней Греции в VII-VI вв.до н.э. Эта греческая математика ни в коей мере не занималась решением практических задач. Между теми, кто занимался математикой, и теми, кто занимался решением практических задач, т.е. прематематикой, не существовало никакой связи. Свидетельством этому может служить книга «Начала» Евклида, которая являлась энциклопедией математики первых веков ее существования, и где не обсуждается ни одна практическая задача. Да и в «Арифметике» Диофанта мы также не встретим практических задач. Это означает, что между математикой и греческой прематематикой (логистикой) не было ничего общего. Эта ситуация, заключающаяся в отсутствии всякой связи между математикой и прематематикой, не изменялась вплоть до XVII—XIX веков.

Греческая логистика, как и любая прематематика, занималась прежде всего техникой проведения вычислений. Несмотря на то, что в любой прематематике мы встречаемся с арифметическими операциями, которые имеют совершенно ясный универсальный смысл, их осуществление в различных цивилизациях разное. Эти различия были вызваны, главным образом, разными способами записи представления чисел. Обычно в качестве цифр использовался алфавит, а кроме того, некоторые буквы того же алфавита обозначали специфические числа. Другой причиной различия являлись неодинаковые системы счисления, которые у каждого народа имели собственные основания. В силу этого трудно себе представить обмен знаниями между различными прематематиками. Поэтому можно с большой вероятностью утверждать, что логистика появилась и развивалась автономно от других древних цивилизаций, которые упоминались выше.

После гибели греко-римской цивилизации в Западной Европе на столетия отпала необходимость в развитой прематематике, использовалась только простая часть логистики, которая отвечала потребностям существовавшей экономики. Однако в восточной части римской империи – в Византии – греческая логистика сохранилась.

Завоевание арабами частей этой империи мало что изменило в местной хозяйственной жизни. Начиная с VIII века н.э. месопотамская прематематика начинает чувствовать сильное влияние индийской прематематики. Это влияние началось с перевода «Сиддханты» ал-Фазири на арабский язык и достигло своей первой вершины в деятельности Мухаммеда ибн Мусса ал-Хорезми, творчество которого приходится на первую половину IX века. Наиболее известной книгой, принадлежащей его перу, является труд по арифметике под названием «Об индийском счете», арабский оригинал которой потерян, а латинский перевод двенадцатого столетия известен под названием «Algorizmi de numero indozum». Эта книга была одним из источников, с помощью которых Западная Европа ознакомилась с десятичной позиционной системой и индийско-арабской арифметикой.

X-XI века являются той границей во времени, начиная с которой, вся интеллектуальная жизнь Западной Европы стала изменяться. Этот перелом можно объяснить двумя причинами. Во-первых, резким изменением хозяйственной жизни, когда на общественную арену вышло новое сословие, состоящее из горожан, занимающихся торговлей и ремеслами. Среди этого сословия резко возросло количество образованных людей. Во-вторых, в Европу мощным потоком стали проникать знания, в том числе математические и прематематические, накопленные в исламском мире. Центрами новой жизни были итальянские города и также города Центральной Европы, такие, как Нюрнберг, Прага, Вена. Все это сказалось как на прематематике, так и на математике.

Эти перемены вызвали усиленное развитие пренауки, в частности, прематематики.

Европейская прематематика возникла и развивалась без всякой связи с забытой греческой прематематикой. Греческая логистика «канула в Лету». Вместо греческой логистики в Европе появилась так называемая «техника счета». Она возникла сначала в итальянских городах, ибо Италия была наиболее развитой экономической областью в Европе, а затем распространилась на другие области Европы. Развитие прематематики было связано и с тем, что к этому времени стали налаживаться отношения с Востоком. Первые соприкосновения европейской прематематики с мусульманской и индийской прематематикой произошло в X-XI веках, когда итальянские купцы завязали тесные связи с Востоком.

Большое значение в практической жизни имело распространение в Европе абака – прибора для проведения расчетов, — который сыграл большую роль в развитии нумерации и практических приемов счета. Хотя абак мы встречаем уже у греков и римлян, но европейцы получили его через арабов, которые, в свою очередь, переняли его от индийцев. Слово «абак» (счетная доска) – греческое, происходящее от древнееврейского слова, означающего «пыль».

Одним из первых привез абак в Европу в Х веке французский монах Герберт, который являлся в 999-1003 гг. римским Папой под именем Сильвестра II. Усилиями многочисленных его учеников и последователей, а также благодаря его влиянию как Папы римского, абак получил широкое распространение в Европе. Использование абака было так широко распространено для выполнения различных видов вычислений, что слово «абак» часто служило синонимом слова «арифметика». Метод абацистов, пропагандистом которого был Герберт, дает упрощения, аналогичные использованию нашей позиционной системы, по крайней мере для сложения и вычитания, тогда как умножение и особенно деление оставалось еще очень сложным.

«Постепенно в течение XI и XII вв. благодаря проникновению в Европу евреев был принят обычай производить действия по арабскому образцу, записывая их на песке или пыли. Абацистов сменили алгоритмики, которые использовали нуль и арабский метод деления и извлечения квадратного корня. Эти новые способы счета оказались одним из главных вкладов в дело интеллектуальной подготовки науки на Западе – особенно если вспомнить трудности греческой логистики» (А. Даан-Дальмедико, Ж. Пейффер, 25, с. 29).

Интенсивное знакомство европейцев с десятичной позиционной системой записи чисел началось в XII в. с перевода на латинский язык арабских книг по арифметике, в первую очередь арифметики ал-Хорезми. Имя ал-Хорезми в его латинских формах – чаще всего Algorithmus или Algorismus – превратилось в название новой арифметики. История проникновения десятичной позиционной системы в Европу, по существу, многим обязана Леонардо Фибоначчи из Пизы, автора «Книги абака» (1202 г.), в которой была описана и применена эта система. Однако десятичная система медленно проникала в Западную Европу, и самая ранняя французская рукопись, в которой мы это находим, относится к 1275 году. В последующие столетия десять цифр все больше и больше проникали в практическую жизнь. Распространению арифметики, основанной на десятичной системе, содействовало появление чисто светских школ, в которых обучались молодые люди, чтобы затем работать по торговой или финансовой части. По-видимому, такие школы впервые появились в Италии. В 1338 году во Флоренции имелось шесть школ абака и алгорифмиков. Однако только в конце XV века, когда появилась одна из первых печатных книг по математике «Сумма арифметики», которая принадлежала перу францисканского монаха Луке Пачоли, использование десятичных цифр стало общепринятым.

Как мы уже отмечали выше, греческая математика вернулась в Европу только в XII— XIII веках, благодаря арабским книгам. По существу, тысячу лет Европа жила без математики и совсем не чувствовала ее нехватку. Все необходимые практические потребности выполняла прематематика. Этот факт является еще одним доводом в пользу того, что прематематика никак не связана с развитием математики.

Развитие торговли, ремесел, промышленности и других отраслей в Европе в последующие столетия способствовало совершенствованию европейской техники счета (или, другими словами, практической арифметики). Сначала в течение нескольких столетий арифметику преподавали профессиональные мастера счета, которые обычно не знали классиков, но зато обучали бухгалтерии и навигации. Им же пришлось удовлетворять практические потребности в проведении числовых расчетов в строительстве, архитектуре, торговле и других отраслях деловой деятельности, основанных на опыте и интуиции. Благодаря этим мастерам счета, а также различным специалистам, был накоплен большой опыт в решении практических задач, который выразился в создании методик их решения, т.е. порядка проведения числовых расчетов.

Позже арифметику начали изучать в университетах, вплоть до тех пор, пока в школьном образовании не был достигнут соответствующий уровень. Под давлением практических нужд и в связи с изобретением книгопечатания появились многочисленные учебники арифметики. Самыми старыми из известных ныне таких учебников являются «Арифметика из Тревизы» (1478) неизвестного итальянского автора и ее немецкий аналог – «Бамберская книга о счете» (1483).

Под влиянием исламских ученых и в связи с развитием астрологии в Европе ученые обратили свое внимание в XV веке на построение так называемых «триго-нометрических»

числовых таблиц. Первые европейские тригонометрические таблицы были построены под руководством Альфонса Х, короля Леона и Кастилии, собравшего в Толедо группу ученых, евреев и христиан, которые и занимались вычислением таблиц. Они получили название Альфонсинских таблиц и были опубликованы в 1252 году. Сначала таблицы строились на основе шестидесятеричной позиционной системы, а только затем был осуществлен переход к десятичной системе. Так, Г. Пурбах в своих неопубликованных таблицах синусов соединил шестидесятеричный и десятичный принципы. Его ученик И.

Мюллер, более известный под именем Региомонтан, впервые построил десятичные таблицы — тригонометрические таблицы тангенсов.

Большое значение для развития и упрощения арифметических вычислений имело введение в рассмотрение и использование в конце XVI века десятичных дробей, впервые встречающихся в книге С. Стевина «Арифметика».

На протяжении XVI века быстро возрастало количество производимых вычислений, и к началу XVII века вычислители стали задумываться об облегчении этого бремени. Можно выделить по крайней мере две причины, которые вызвали рост объема вычислений. Во первых, это расширение хозяйственной деятельности, а во-вторых — потребность производить расчеты, связанные с астрономией и астрологией. Так, например, расширение страховой и финансовой деятельности потребовало таблицы сложных процентов для различных значений процента, и т.д. С совершенствованием астрономических инструментов увеличилась точность наблюдений, а вместе с тем и объем астрономических таблиц.

Для облегчения бремени вычислителей XVII век предложил два пути. Первый путь заключался в создании новых, более эффективных методов проведения расчетов, а второй — в создании эффективных инструментов для проведения вычислений.

На первом пути революцию в технике счета произвело открытие логарифмов, которые были изобретены, независимо друг от друга, Непером, и лет на десять позднее – Бюрги.

Определения логарифмов у обоих не были похожи на современные. Однако их применение существенно облегчило процесс вычислений, поэтому их открытие приветствовали все, кому приходилось осуществлять большие объемы вычислений.

Таблицы Непера были неудобны в применении. Г. Бриггс усовершенствовал метод Непера. В 1617 г. появились первые таблицы десятичных логарифмов.

Если до XVII века основными инструментами для производства вычислений были счетные доски (абаки), счеты и т.п., то в этом веке появляются другие инструменты:

первые вычислительные машины и логарифмическая линейка. Появившаяся в XVII веке логарифмическая линейка нашла широкое применение, которое продолжалось вплоть до последних десятилетий ХХ века.

Начиная с XVII века, для решения различных практических задач стали использоваться формулы. Использование формул, как мы уже говорили выше, «превра-щали»

прематематику с прагматическую математику. По мере расширения общего и специального образования такой подход стал захватывать различные области человеческой деятельности, вытесняя из них прематематику. Поэтому в настоящее время прематематику можно встретить только на окраинах человеческой цивилизации среди, необразованной части человечества.

Из определения прематематики следует, что она является одной из разновидностей прагматического познания. В этой главе мы рассмотрим прематематику с двух позиций:

как разновидность прагматического познания и как определенный тип процесса моделирования. Если первый подход основное внимание уделяет анализу содержания этой области знаний, то второй подход ставит ударение на технологию процесса познания в рамках прематематики. Рассмотрение прематематики с точки зрения теории познания состоит в описании прематематических объектов и их свойств, а также в том, чтобы дать характеристику принципов проведения прематематических рассуждений, т.е. описать логику прематематических рассуждений. С точки зрения моделирования необходимо рассмотреть те особенности процесса моделирования, которые являются характерными в рамках прематематического исследования.

Нивхи, аборигены Сахалина, до недавнего времени имели разные числительные для круглых предметов и прдолговатых. В ситуациях «три огурца» и «три помидора» - ничего общего.

В. Босс «Интуиция и математика»

4.2. Прематематические объекты и их свойства Как и любая область знаний, которая является одним из видов прагматического познания, прематематика обладает своим специфическим языком, распространенным среди соответствующей человеческой общности. В этом языке можно выделить четыре группы понятий. Первая группа характеризует объекты прематематики. Вторая группа состоит из понятий, связанных со свойствами прематематических объектов. Третья группа включает в себя понятия, означающие операции над объектами изучения. Понятия из этой группы определяют, по своей сути, способы получения новых прематематических утверждений из уже существующих. Наконец, в четвертую группу входят понятия, касающиеся свойств операций. Эти понятия определяют логику прематематики.

Наше рассмотрение мы начнем двух первых типов понятий: прематематические объекты и свойства прематематических объектов. Эти понятия описывают объекты изучения прематематики.

Так как любое понятие в прематематике является элементом общественного языка, то оно должно, кроме имени понятия, т.е. слова, обозначающего понятие, иметь и объяснение того, какое содержание мы вкладываем в это понятие. Это объяснение обычно бывает двух видов. Один вид объяснения заключается в демонстрации реального объекта или его реального свойства другим людям вместе с именем этого объекта. Такую демонстрацию можно рассматривать как определение этого понятия. В подобном случае эти прематематические объекты или свойства прематематических объектов мы будем называть первичными прематематическими объектами или первичными прематематическими свойствами.

Согласно определению, все первичные прематематические объекты и первичные свойства прематематических объектов связаны с чувственными образами реальных объектов и реальных свойств объектов в сознании человека. Другими словами, каждому первичному объекту или первичному свойству сопоставим реальный объект или свойство реального объекта, познаваемое через ощущения. Реальные объекты или реальные свойства, сопоставленные первичным прематематическим объектам или свойствам, будем называть первичными реальными объектами или первичными реальными свойствами.

Согласно введенным определениям, первичный реальный объект можно рассматривать как интерпретацию или реализацию первичного прематематического объекта, которому он соответствует. С другой стороны, первичный прематематический объект можно рассматривать как абстракцию первичного реального объекта. Эту интеллектуальную операцию абстрагирования обычно связывают с воображением. То, что мы только сказали, также относится к первичному реальному свойству и первичному прематематическому свойству. Кроме того, из общих рассуждений следует, что одному и тому же первичному прематематическому объекту соответствует множество первичных реальных объектов. В качестве примера можно взять такой прематематический объект, как геометрическая точка, которой соответствует множество реальных конкретных точек, изображенных как на бумаге, как и на других информационных носителях. Так как источниками упомянутых выше прематематических понятий служат опыт и чувственные ощущения, то эти два типа понятий являются наблюдаемыми понятиями, полученными в результате абстрагирования.

Другой тип понятия имеет определение, состоящее из двух частей: из слова (или из группы слов), обозначающего это понятие и служащего именем этого понятия, и некоторого словесного описания, которое говорит о содержании этого понятия. Первая часть понятия служит для упрощения общения между людьми, ибо при употреблении имени понятия всегда подразумевается его содержание, заключенное во второй части. А она является более обширным сообщением, содержащим всю информацию, касающуюся выбранного понятия, которую мы хотим вложить в это понятие.



Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 15 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.