авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 15 |

«Е. М. Левич Математическое моделирование и компьютерная математика. Иерусалим, 2009 1 Содержание ...»

-- [ Страница 6 ] --

В случае, когда понятие определяет прематематический объект, то вторая часть может иметь строение двух типов. Первый тип представляет собой список свойств, которыми обладает (или который приписывается) данный объект, а также степени обладания каждым свойством из этого списка. Второй тип описывает прематематический объект как функцию от других объектов. Если понятие относится к свойству прематематических объектов, то в этом случае это свойство определяется как функция других свойств.

Понятия второго типа называются вторичными понятиями: вторичные прематематические объекты и вторичные свойства прематематических объектов. Как мы уже показали в главе 2, любой вторичный прематематический объект может быть определен либо через первичные свойства, либо через первичные прематематические объекты. Аналогично, вторичное свойство может быть определено через первичные свойства.

Основной целью введения в рассмотрение вторичных понятий в прематематике является сокращение и упрощение формулировок прематематических утверждений и фактов. Сами по себе вторичные понятия не несут никакой новой дополнительной информации сверх той информации, что заключена в первичных понятиях. Однако необходимо отметить, что разделение на первичные и вторичные понятия не является абсолютным: иногда можно в качестве первичных понятий выбрать вторичные понятия;

и в этом случае прежнее первичное понятие становится вторичным.

Между определением прематематического объекта и определением свойства прематематического объекта имеются принципиальные различия. Одно из них заключается в том, что объект мы можем демонстрировать (представлять) другим людям, в то время как свойство не можем представить, поскольку для того, чтобы свойство сформулировать, надо провести определенный процесс абстрагирования и обобщения.

Абстрагирование и обобщение этого понятия необходимо из-за того, что каждое выделенное свойство, по своей сути, является тем общим, что присуще совокупности реальных объектов. При выборе любого свойства мы предполагаем, что в выделенной совокупности объектов, обладающих указанным свойством, содержатся по крайней мере два реальных объекта, которые обладают этим свойством в разной степени.

Таким образом, с одной стороны, выделение свойства объединяет реальные объекты в совокупность объектов, обладающих этим свойством, а с другой стороны, разделяет рассматриваемые объекты из совокупности на подмножества, каждое из которых состоит из объектов, имеющих одну и ту же степень обладания выделенным свойством. Эти подмножества будем называть классификационными подмножествами, ассоциированными с рассматриваемым свойством, а набор всех классификационных подмножеств назовем классификацией. Другими словами, каждое свойство определяет некую классификацию, задающуюся с помощью классификационных подмножеств реальных объектов.

Разные свойства реальных объектов определяют различные классификации. Так как реальные объекты могут обладать различными свойствами, то они могут принадлежать различным классификационным подмножествам, определяющим различные классификации. Связи и взаимоотношения между различными классификациями часто и составляет суть выделяемых прематематических регулярностей.

Первая и вторая группы понятий тесно связаны между собой. Эта связь непосредственно возникает при прагматическом познании во время процесса выделения объекта для рассмотрения или исследования. Этот процесс проходит в два этапа, тесно связанных между собой. На первом этапе мы, имея в виду конкретный реальный объект, выделяем совокупность конкретных реальных объектов, среди которых находится и интересующий нас объект. Эту совокупность мы обозначаем определенным словом или символом, которое мы назвали именем объекта, т.е. вводим в рассмотрение понятие из первой группы.

Совокупность конкретных реальных объектов можно построить двумя способами.

Первый способ заключается в том, что мы просто перечисляем все объекты, входящие в совокупность. Второй способ заключается в том, что мы устанавливаем определенные требования, при выполнении которых конкретный объект попадает в эту совокупность.

Эти требования в той или иной форме определяются свойствами конкретных объектов.

Другими словами, для формулировки этих требований мы используем понятия из второй группы.

Выбор совокупности (или ее построение) неявно предполагает, что существует некая универсальная совокупность, из которой мы выделяем совокупность исследуемых объектов. Первый путь, состоящий просто в указании тех элементов из универсальной совокупности, которые входят в рассматриваемую совокупность, является простым и четким. Он позволяет конструктивно определить границы и состав совокупности, но не несет никакой дополнительной информации о том общем, что объединяет объекты из выбранной совокупности, за исключением того, что они просто к ней принадлежат. Такой подход является формальным и не позволяет высказать никакого нетривиального утверждения об объектах выбранной совокупности, однако в этом случае легко определить принадлежность объекта к ней.

Второй путь выделения совокупности из универсальной основан на возможности получения дополнительной информации относительно части объектов, принадлежащих универсальной совокупности. На этом пути мы предполагаем, что объекты обладают определенными свойствами, причем здесь можно встретить объекты, степень обладания этими свойствами различна. В этом случае мы определяем, что объект из универсальной совокупности принадлежит выбранной совокупности только тогда, если он обладает конкретными свойствами в определенной степени. При таком подходе определение принадлежности данного объекта к выбранной совокупности является достаточно сложным процессом. Кроме того, трудно, а иногда и невозможно описать границы выбранной совокупности. Но все эти, якобы отрицательные, черты совокупности, определяемой вторым путем, полностью окупаются наличием информации о свойствах объектов выбранной совокупности. Эта информация позволяет высказывать нетривиальные утверждения, выявлять различные регулярности. В качестве примера можно рассмотреть понятия классификации и классификационных подмножеств, которые мы ввели выше. Все знания, содержащиеся в современной математике и прематематике, получены, в основном, на основании второго пути.

Прежде, чем дать общее описание двух оставшихся групп понятий (это понятия, связанные с операциями над прематематическими объектами, и их свойства), рассмотрим конкретно наиболее распространенные прематематические объекты и их свойства. Это рассмотрение начнем с тех понятий, которые возникли еще в ранних человеческих цивилизациях, а затем перейдем к тем понятиям, которые пришли в прематематику позже.

Распространенными объектами с древних времен в прематематике являются:

именованное число, порядковое число, сравнительное число и геометрическая форма. Эти прематематические объекты можно разделить на две группы: объекты из первой группы будем называть арифметическими прематематическими объектами, а объекты из второй группы – геометрическими прематематическими объектами. Та часть прематематики, которая изучает арифметические прематематические объекты, называется арифметикой, а та часть прематематики, которая изучает геометрические прематематические объекты, называется прегеометрией. Арифметические прематематические объекты связаны с теми или иными количественными, сравнительными и порядковыми свойствами, а геометрические прематематические объекты – это формы тех объектов, относительно которых в реальной жизни возникают количественные задачи, требующие своего решения.

Выбор этих понятий в качестве прематематических объектов обусловлен тем, что они наиболее часто встречаются в практике, т.е. являются наблюдаемыми и интуитивно понятными.

Трудно сказать, какое из этих понятий появилось раньше. Понятие именованного числа возникло на заре человеческой цивилизации при решении практических задач разнообразной природы и в различных отраслях человеческой деятельности. Без использования именованных чисел невозможна никакая хозяйственная жизнь человечества. Примеры такого использования легко можно найти в первых книгах Ветхого Завета, или в египетских папирусах и хеттских глиняных табличках. В частности, в Ветхом Завете можно найти точное количество денег, что заплатил царь Давид за место для Храма, построенного позже Соломоном. Там же указано количество денег, заплаченных праотцем Авраамом за пещеру в Хевроне, в которой он и некоторые члены его семьи были похоронены.

Именованные числа возникли в связи с тем, что они должны были выражать степень обладания так называемой количественной сущностью некоторого множества реальных объектов. Количественная сущность представляет собой философскую категорию, которая присуща, в частности, любым совокупностям реальных объектов. Например, количество голов скота в стаде или количество яблок в корзине. Другое проявление количественной сущности мы встречаем, когда пытаемся разделить конкретные реальные объекты по степени обладания определенным свойством. Подобная ситуация возникает, например, когда мы хотим сравнить два арбуза по весу. Естественно видеть в количественной сущности первичное свойство, ибо любые попытки определить эту сущность с помощью тех или иных терминов приводят обычно к тавтологии.

Количественная сущность в прематематике может быть двух видов, которые отличаются друг от друга степенью абстракции или обобщения (формализации). Эти два вида проще охарактеризовать на примерах. Первый вид возникает, когда мы рассматриваем два различных конкретных стада из 20-ти баранов. В этом случае мы уже не говорим о конкретном стаде баранов, а говорим о различных стадах баранов, обладающих одним и тем же свойством. Здесь мы сталкиваемся с самой низкой степенью формализации. Со вторым видом количественной сущности мы сталкиваемся, когда говорим, например, о двух совокупностях, одна из которых — стадом из 20-ти баранов, а вторая — пачка сигарет, содержащая 20 сигарет. В этом случае эти две совокупности имеют одну и ту же количественную сущность, но отличаются разной природой составляющих реальных объектов. Эта сущность отличается от предыдущей гораздо более высокой степенью формализации, которая уже более близка к математической сущности.

Таким образом, мы сталкиваемся с процессом обобщения, присущим любому процессу познания, который заключается в выделении общего, принадлежащего различным группам реальных объектов. Одним из таких общих свойств и является количественная сущность совокупностей реальных объектов, а именованные числа — и есть тот язык, с помощью которых описывается их количественная сущность.

При изучении количественной сущности совокупностей реальных объектов мы сталкиваемся, в частности, еще с двумя ситуациями. Одна ситуация — это когда определяется количественная сущность конкретной совокупности. Например, имеется следующее утверждение, что «данная совокупность состоит из такого-то количества объектов». Это утверждение является прагматическим фактом, и устанавливается на практике (опыте). С другой стороны, утверждение, что «каждый человек принадлежит или к женскому, или к мужскому полу, т.е. каждый человек принадлежит к одному из двух полов», является обобщающим утверждением, т.е. прагматической регулярностью, полученной на основе опыта.

Для удобства дальнейших рассуждений объекты, которые выражают количественную сущность, мы назовем прематематическими к-числами или прематематическими количественными именованными числами. Любое к-число состоит из двух частей: первая часть описывает степень обладания количественной сущностью, которое для сокращения будем называть количеством, а вторая часть – это имя или наименование объекта либо свойства объекта, в зависимости от того, относительно чего рассматривается количественная сущность.

В каждом языке человеческого общения есть специальные слова (термины), которые позволяют различать или измерять разные количества (в русском языке: один, два…, в английском языке: one, two…), с прибавкой имен реальных объектов или имен тех свойств объектов, которые мы измеряем. Кроме того, для представления различных количеств в письменном виде в разных цивилизациях использовались различные символы или группы символов. Сегодня эти символы принято называть цифрами. Часто в роли цифр можно встретить буквы алфавита письменного языка. В качестве примеров можно привести вавилонские, египетские, греческие, китайские и римские цифры.

Как мы уже говорили выше, появление именованных чисел непосредственно связано с измерением тех или иных количеств. Поэтому наименование к-чисел непосредственно связано или с именем реальных объектов, которые входят в измеряемые множества, или с единицами (масштабами) измерения. Каждая человеческая цивилизация обладала своей специфической системой мер. В качестве примера приведем меры для измерения объемов жидкости, которые были установлены в Англии в XIII веке или даже раньше:

«2 джила = 1 полуштоф, 2 полуштофа = 1 пинта, 2 пинты = 1 кварта, 2 кварты = 1 потл, потла = 1 галлон, 2 галлона = 1 пек, 2 пека = 1 полубушель, 2 полубушель = 1 бушель или фиркин, 2 фиркина = 1 кильдеркин, 2 кильдеркина = 1 баррель, 2 барреля = 1 хогсхед, 2 хогсейда = пайн, 2 пайна = 1 тан» (Д. Кнут, 43, с.230-231).

Приведенный пример демонстрирует то, что в Англии существовало целое множество мер для измерения объемов жидкости, между которыми была определенная связь. Таких примеров можно много найти в любой стране.

Из приведенного описания к-чисел следует, что существует неограниченное количество этих чисел. Каждое конкретное прагматическое к-число, выражающее количественную сущность определенной совокупности, можно рассматривать как прематематический объект. Одно и то же количество приписывается каждой конкретной совокупности реальных объектов, обладающей количественной сущностью в одной и той же степени.

Это означает, что мы можем конкретному множеству сопоставить только одно к-число.

Любую совокупность, которой приписали конкретное к-число, можно рассматривать как интерпретацию или реализацию количества, являющего составной частью этого числа.

Например, количество овец в стаде, количество денег в кармане, глубина ямы и т.д. и т.п.

Одним из основных свойств количественной сущности является то, что на множестве всех к-чисел, обладающих одним и тем же наименованием, мы можем ввести порядок, положив, что одно к-число больше другого к-числа, если степень количественной сущности совокупности реальных объектов, отвечающая первому числу, больше степени количественной сущности совокупности, отвечающей другому числу. Другими словами, все к-числа, обладающие одним и тем же наименованием, можно выстроить в последовательность, в которой меньшее к-число предшествует большему к-числу. Более того, если одно к-число больше другого, а другое — больше третьего, то и первое — больше третьего.

Из того, что мы говорили выше, следует, что в множестве всех к-чисел не существует наибольшего к-числа. Однако легко видеть, что любая убывающая последовательность к чисел обладает неким первым элементом. Это означает, что среди всех к-чисел существует наименьшее к-число. Наименьшее к-число соответствует совокупности, состоящей из одного реального объекта. К-число, отвечающее количественной сущности совокупности, состоящей из одного объекта, назовем для удобства дальнейших рассуждений единицей (один, одна, одно). Это определение связано с тем, что наименьшее к-число является, по существу, масштабом при соответствующем процессе измерения.

Важно отметить, что среди к-чисел нет такого объекта, подобного математическому объекту, который в математике обозначается через нуль. Степень абстрактности понятия нуль является более высокой, нежели прематематических объектов. Об этом свидетельствует тот факт, что ни в одной прематематике мы не встретим этот объект. Эту ситуацию можно объяснить тем, что в реальной жизни нет множества, не содержащего ни одного объекта.

Отметим, что в письменных источниках, дошедших до нас из ранних человеческих цивилизаций, часто не видно, что писавшие пользуются именованными числами. Однако из содержания самих решаемых задач ясно следует, что все действия производятся над именованными числами. Эту ситуацию можно объяснить тем, что в те времена мало обращали внимание на соответствующее (присущее скорее нашему времени) оформление решения задачи, а стремились скорее получить окончательный результат и описать методику или путь его получения, при этом наличие наименований автоматически подразумевалось. Указанная ситуация объясняет тот факт, что в исторической математической литературе, посвященной древним цивилизациям, практически не встречаются упоминания об именованных числах.

Мы будем различать два разных типа именованных к-чисел: простые и составные.

Под простым к-числом мы понимаем число, обладающее одним именем, а под составным к-числом — к-число, составленное из простых к-чисел. Простыми к-числами являются, например, 1 день, или 3 часа, или 10 минут;

а составным к-числом является, например, такое число, как 1 день 3 часа 10 минут. Любое составное к-число можно разбить на множество простых.

Два разных простых к-числа будем называть связанными, если одно из них является частью другого. Приведенный выше пример иллюстрирует это понятие. Согласно интуитивному пониманию, любое составное к-число состоит только из связанных простых к-чисел.

Во всех развитых древних цивилизациях широко использовали связанные простые к числа, ибо без них невозможна никакая хозяйственная жизнь. Связанные простые числа выполняли в прематематике ту же роль, что в математике выполняют дроби. Широкое применение связанных простых к-чисел и составных чисел, составленных из них, имело место в древней астрономии.

Из-за своей наглядности и интуитивной простоты прематематические к-числа оказались удобными в использовании. В практике были выработаны простые и удобные правила, позволяющие производить действия над прагматическими к-числами. Эти действия или операции над именованными числами ставят в соответствие некоторому набору именованных чисел еще одно именованное число.

Таким образом, мы здесь встречаемся со следующей группой понятий прематематики:

это понятия прематематических операций. Прематематические операции, который производятся над к-числами, будем называть арифметическими прематематическими операциями. Ниже, для простоты изложения, мы будем рассматривать эти операции только над простыми к-числами. Распространение определений этих операций на составные к-числа не представляет принципиальных трудностей.

Определение понятий арифметических операций отличаются от определения таких прематематических объектов, как к-числа. Это отличие заключается в том, что прематематические операции являются объектами, которые определены на множестве прематематических объектов. Отсюда степень абстракции этих понятий гораздо выше, чем прематематических объектов. Ниже при рассмотрении конкретных операций мы обсудим сказанное более подробно.

В прематематике мы обычно встречаемся с четырьмя арифметическими операциями, которые мы назовем к-сложением, к-вычитанием, к-умножением, к-делением. В индийской прематематике к этим арифметическим операциям добавлялось возведение в степень и извлечение квадратного корня. Так как последние операции сводились к применению арифметических действий, то мы обратим наше внимание только на указанные выше операции. В египетской прематематике как отдельные действия рассматривались также удвоение числа и деление пополам.

При характеризации арифметических прематематических операций мы основное внимание будем обращать на их методологическую сторону, а не на технику выполнения, которая существенно зависела от типа прематематики и ее связей с другими прематематиками.

Начнем с описания к-сложения. Операция к-сложения ставит в соответствие любым двум к-числам третье к-число при определенном ограничении. Это ограничение заключается в том, что операция применяется только к к-числам, имеющим одно и то же наименование. Например, мы можем говорить, что если к стаду из трех баранов добавить еще два барана, то в стаде уже будет пять баранов. В этом примере мы двум именованным числам — три барана и два барана — поставили в соответствие другое именованное число: пять баранов. Легко видеть, что здесь определяется операция над к-числами, имеющими одно и то же наименование «баран». При таком определении к-сложение носит универсальный характер.

Используя современные обозначения, употребляющихся при арифметических операциях, мы прежнее выражение можем также записать в виде:

3 барана + 2 барана = 5 баранов.

Несмотря на то, что эта запись выглядит как некое математическое выражение, на самом деле оно не является математическим, а сокращенным прематематическим описанием операции к-сложения для двух конкретных к-чисел. Использование цифр – это просто замена символов, принятых в соответствующих цивилизациях и обозначающих степень обладания количественной сущности, на символьное обозначение другой природы (в данном случае – цифрами), а использование математических символов операций – это также просто замена слов символами. Последнее выражение можно также записать в другом, современном виде:

(3 барана, 2 барана)5 баранов.

Хотя последняя запись, может быть, менее привычна, однако она полностью эквивалентна первой записи, и ее можно рассматривать как определение операции к сложения на паре (3 барана, 2 барана).

Применить операцию сложения к двум простым к-числам, не являющимся связанными, вряд ли имеет смысл. Однако в конкретных ситуациях часто требуется дать ответ, объединяющий эти два к-числа. Поясним на примере. Сложить трех баранов с двумя коровами вряд ли имеет смысл. Этот смысл появляется тогда, когда вместо двух разных слов (корова, баран) употребляется одно слово: «голова». В этом случае результат сложения можно выразить словами, что в стаде, состоящем из трех баранов и двух коров, пять голов скота.

Подобные задачи можно встретить и в дошедших до нас письменных документах египетской и вавилонской прематематик. Несмотря на кажущуюся тривиальность приведенного примера, надо обратить внимание на то, что прием, который был применен, очень часто применялся в прошлом и применяется в настоящее время в физике, в экономике, в других науках, использующих математические или прематематические модели.

Операцию к-сложения можно распространить на связанные простые к-числа — в таком случае результатом является составное к-число.

Операция к-сложения определяется для всевозможных пар одноименных к-чисел.

Отметим одну принципиальную особенность, которую проиллюстрируем на примере.

Операция к-сложения определяется как на паре (3 барана, 2 барана), так и на паре ( барана, 3 барана). В принципе ниоткуда не следует, что по выбранному определению мы обязательно должны получить один и тот же результат. Один и тот же результат в этом конкретном случае мы получаем только потому, что это вытекает из данного конкретного опыта. Другими словами, коммутативность сложения двух именованных чисел определяется чисто индуктивно, апостериори. (Для сравнения отметим, что, в отличие от прематематики, в математике коммутативность сложения двух натуральных чисел определяется априори.) На множестве пар к-чисел мы можем определить другую арифметическую операцию:

к-вычитание. Как и к-сложение, эта операция определена для пар к-чисел, имеющих одно и то же наименование, причем также ставит в соответствие паре к-чисел к-число. Однако, в отличие от к-сложения, к-вычитание определено не на всех парах, а только на тех, у которых первое к-число больше второго к-числа. Это означает, что к-вычитание производится только тогда, когда имеется естественный (чисто практический) смысл в его проведении. Например, из стада в 6 баранов мы можем продать 4 барана, но из этого стада невозможно продать 10 баранов. В силу этого замечания и здравого смысла операция к вычитания носит ограниченный характер и определена только на части пар из к-чисел.

Другими словами, к-вычитание, в отличие от к-сложения, не является универсальной операцией.

Специальным случаем является ситуация, когда из к-числа вычитается то же к-число. В этом случае, естественно, можно осуществить операцию, однако не существует такого к числа, который можно рассматривать как ее результат.

При определенных, интуитивно ясных условиях можно также осуществить к вычитание и над связанными простыми к-числами. В этом случае часто результатом такой операции является составное к-число.

В египетской и вавилонской цивилизациях использовали к-умножение двух к-чисел в очень ограниченных случаях: например, для вычисления площадей и объемов. И в этом случае к-умножение ставит в соответствие двум к-числам, имеющим одно и то же наименование, третье к-число, у которого наименование строится специальным путем.

Кроме приведенных примеров, данная операция широко применяется в хозяйственной деятельности и в торговле, ибо любое вычисление стоимости или процента на ссуду связано с к-умножением между собой пар к-чисел. Эта операция носит универсальный характер, ибо она определена для всех пар целых к-чисел, для которых имеет смысл проводить эту операцию.

Вообще, реальное вычисление числового значения произведения двух достаточно больших чисел представляло собой достаточно сложный и запутанный процесс, который в разных прематематиках производился по-разному. Для упрощения этого процесса часто использовались либо таблицы, либо инструменты (например, абак, счеты).

Умножение связных простых к-чисел обычно осуществлялось только в том случае, когда они имели одно и то же имя.

Еще более сложным процессом для вычисления являлось деление двух к-чисел. В разных цивилизациях эта операция выполнялась по-разному. Так, в египетской цивилизации она выполнялась в основном с помощью так называемых аликвотных дробей (в современной записи — это объекты вида 1/n), которые рассматривались как доли целого. Кроме того, там использовали и более сложные доли от целого: 2/3 и 3/4. При таком рассмотрении эти объекты только по аналогии можно называть дробями, ибо действия над ними мало похожи на современные операции с дробями. Операция деления была, по-видимому, самой трудной вычислительной операцией для египтян. Частное отыскивалось постепенным перебором, для которого не было единого метода. В дошедших до нас двух математических папирусах (папирус Райна и Московский папирус) просто даются конкретные численные примеры проведения операции деления.

Математическое наследие Вавилона состоит из 50-ти глиняных табличек с текстами математического содержания и около 200 табличек с числовыми таблицами. В этой цивилизации использовались доли, которые были, как принято их называть в современной исторической литературе, шестидесятеричными дробями. Но в то далекое время числа, которые они представляли, не были дробями (их сделали ими историки). Они были именованными числами, причем обычно состояли из нескольких наименований. В качестве примера достаточно рассмотреть современное представление времени: например, 2 дня 6 часов 27 минут и 15 секунд. Это именованное число в современном представлении в днях можно выразить с помощью обыкновенных дробей. Такое представление в практических задачах характерно не только для древних цивилизаций: этот подход широко распространен и в современной практической жизни. Использование дробей в современной записи затруднено из-за того, что правила действий с такими дробями сложны, причем овладеть ими может не всякий. С другой стороны, работа с именованными числами проста и доступна более широкому кругу. В этом случае проще было изготовить и использовать числовые таблицы.

Сделаем еще одно замечание относительно позиционных систем представления к чисел. Во многих древних цивилизациях к-числа представлялись с помощью определенной позиционной системы. В этом случае выбор позиционной системы ограничивал набор к чисел, которые использовались в этой цивилизации. Переход от одной системы представления числа к другой системе записи был практически невозможен. Это означает, что прематематика в разных цивилизациях была разной. В этой ситуации между прематематиками в разных цивилизациях вряд ли имелась какая-либо связь.

Несколько позже, в связи с практическими задачами, появилась необходимость рассматривать взаимоотношения двух совокупностей, состоящих из одних и тех же реальных объектов, или сравнивать степени обладания определенным свойством у двух реальных объектов. Например, соотношение количества баранов в двух стадах баранов, или соотношение длин двух струн. Здесь мы опять сталкиваемся с некими количественными величинами, выражающими соотношения между количествами или степенями обладания свойством. Другими словами, мы опять приходим к некоторым «числам» другого типа, которые по своей природе принципиально отличаются от прагматических к-чисел. Эти «числа» выражают соизмерение совокупностей или степеней обладания одним и тем же свойством, поэтому мы будем говорить, что эти числа выражают некую соизмерительную сущность, и будем их называть прематематическими с-числами. При таком определении с-чисел они отражают, в частности, отношение между двумя к-числами. Поэтому с-числа не являются именованными числами.

Прематематические с-числа принципиально отличаются от прематематических к-чисел.

Во-первых, к-числа являются именованными числами, а с-числа не являются именованными в обычном смысле числами. Во-вторых, на множестве к-чисел естественным образом вводятся операции над этими числами. Над с-числами нет такой естественной возможности определить подобные операции.

В силу того, что, во-первых, с-числа носят достаточно абстрактный характер, во вторых, круг людей, знакомых с ними и пользующихся ими, достаточно ограничен, то для их обозначения в обычном языке человеческого общения нет специфических терминов.

Позже, с появлением математики, эти числа слились с общим понятием числа. Другими словами, вместо понятия с-числа стали говорить просто о числе, не обращая внимания на разницу в содержании понятий. Замена одного понятия другим в этом случае не оказывает влияния на конечный результат решения любой практической задачи.

Практическая жизнь и потребности экономики вынудили ввести в рассмотрение еще один вид так называемых прематематических «чисел». Любая хозяйственная жизнь требует пересчитывать количество реальных объектов в той или иной их совокупности.

Для пересчета объектов мы должны их упорядочить. Например, первый баран, второй баран и т.д. Здесь мы опять имеем дело с прематематическими именованными числами определенного вида, который не имеет ничего общего с введенными выше прагматическими к-числами и с-числами. Этот новый вид именованных чисел также является прематематическим объектом. Он выражает так называемую упорядочивающую сущность, которая присуща группам реальных объектов. Упорядочивающая сущность, как философская категория, наряду с количественной сущностью, также является первичным свойством элементов множеств реальных объектов. Для обозначения степеней обладания упорядочивающей сущностью используются специальные словесные символы.

В каждом языке человеческого общения мы сталкиваемся со специальными словесными символами для выражения степени обладания упорядочивающей сущности.

Например, в русском языке – это первый, второй, третий… ;

в английском языке – это first, second, third… Эти слова употребляются вместе с именем объекта из упорядочиваемой совокупности объектов. Для удобства дальнейших рассуждений именованные числа этого рода, которые появляются в тех случаях, когда мы хотим ввести некий порядок среди реальных объектов, т.е. упорядочить их, и которые выражают установленный порядок, мы назовем прематематическими п-числами, или порядковыми именованными числами.

Из определения следует, что любое п-число состоит из двух частей: первая часть является словесным символом, означающим конкретную степень обладания упорядочивающей сущности, а вторая часть есть имя упорядочиваемого объекта.

Как и в случае прематематических к-чисел, каждое конкретное прематематическое п число также представляет собой прагматический факт, если его соотнести с конкретным множеством реальных объектов. С другой стороны, на это конкретное п-число можно также смотреть и как на прематематический объект, который может быть подвергнут изучению или использованию.

Прематематические порядковые именованные числа по своей сути отличаются от прематематических количественных именованных чисел. Различие, прежде всего, связано с отличием между количественной сущностью и порядковой (упорядочи-вающей) сущностью, которые имеют различную природу. Это различие проявляется в том, что на множестве именованных п-чисел нельзя естественным образом определить арифметические операции, подобные тем, которые естественно определяются на множестве именованных к-чисел.

Необходимо отметить, что как в английском языке, так и в русском имена к-чисел и п чисел отличаются, как и отличаются способы их применения. Это объясняется тем, что весь накопленный человеческий опыт использования этих типов чисел не смог выявить какую-либо общность между ними чисел. Поэтому в языке человеческого общения мы видим отражение только их принципиального различия, а не общности.

Однако между именованными п-числами и именованными к-числами есть глубокая связь. Эта связь заключается в том, что без употребления п-чисел, как мы уже говорили выше, нельзя сосчитать количество (т.е. получить конкретное к-число) объектов в совокупности. Другими словами, количественная сущность множества реальных объектов непосредственно связана с порядковой сущностью того же множества: количество реальных объектов в каждом конкретном множестве неразрывно связано с порядковым числом последнего объекта в порядке (счете) объектов множества.

Прематематические п-числа также принципиально отличаются и от с-чисел. Опять таки, это отличие заложено в различии упорядочивающей сущности от соизмерительной сущности. Кроме того, п-числа являются именованными числами, а с-числа не являются таковыми.

Из определений к-числа, с-числа, п-числа мы видели, что все эти типы чисел принципиально отличаются друг от друга. Единственное, что их объединяет, это слово «число», которое входит в каждое имя. На самом деле мы для каждого типа могли взять имя, не содержащее слова «число». Использование слова «число» в этом случае связано прежде всего с историческими моментами. Впервые пристальное внимание на различие между двумя сущностями — количественной и упорядочивающей — обратили только во второй половине XIX века, когда в математике появилась теория множеств, в которой были введены понятия количественных и порядковых чисел в качестве принципиально различных математических объектов.

Все перечисленные типы прематематических чисел являются наглядными прематематическими объектами, ибо они появились в результате обобщения реальных наблюдений или результатов практической деятельности (опыта). Сразу отметим, что для решения большинства практических задач, которые требовали проведения численных расчетов, были необходимы, в основном, операции над к-числами. Это означает, что в методиках решения практических задач используются к-числа. Дальнейшее развитие человеческой цивилизации оказывало влияние на развитие прематематики, заставляя ее разрабатывать методики решения новых возникающих задач. Развитие этих методик требовало, прежде всего, введения в рассмотрение новых прематематических объектов (понятий). Например, развитие хозяйственных денежных общественных отношений потребовало ввести в рассмотрение отрицательные именованные числа, а также понятие нуля, рассматривая его как прематематический объект специального вида.

В ранних цивилизациях часто для представления чисел использовались буквы соответствующего алфавита. С этим, например, можно встретиться у евреев, греков, римлян. У других (египтян, хеттов, вавилонян) употреблялись специальные символы, ибо у них не было алфавита.

Большое значение для упрощения проведения числовых расчетов имело введение в использование для записи чисел арабских (индийских) цифр, а также десятичной позиционной системы. Запись чисел в десятичной позиционной системе оказалась настолько удобной в использовании, что в дальнейшем она вытеснила из практического употребления все другие системы записи к-чисел и с-чисел. С помощью позиционной записи числа мы можем строго определить, что мы понимаем под количественной частью как к-чисел, так и с-чисел. В прематематике количественная часть любого к-числа или с-числа представляется (записывается) с помощью только конечного числа цифр в любой позиционной системе представления чисел. Так как при решении практических задач используется в записи числа в любой позиционной системе только конечное число цифр, то мы будем в дальнейшем считать, что при конкретном проведении прематематических рассмотрений в записи прематематических чисел участвует только ограниченное количество цифр. Из этого утверждения не следует, что при разных конкретных прематематических рассмотрениях существует ограничение сверху количества цифр. Другое следствие из последнего утверждения состоит в том, что в каждом конкретном прематематическом рассмотрении множество всех рассматриваемых чисел дискретно.

В последних утверждениях большую роль играет также понятие, как представление числа или его запись в некоторой позиционной системе. Здесь возникает ряд вопросов о связи двух понятий: «прематематическое число» и «представление прематематического числа в некоторой системе записи». Прежде всего, заметим, что запись числа играет принципиальную роль в представлении прематематического числа, ибо часто не удается для числа в одной записи найти равное ему число в другой записи. В качестве примера можно привести тот факт, то число, которое мы представляем в виде обыкновенной дроби как 1/3, нельзя представить в виде числа, записанного в десятичной позиционной системе.

С другой стороны, любое число, записанное в десятичной позиционной системе, можно представить в виде смешанного числа. Из последнего замечания следует, что каждая система записи чисел определяет собственную систему к-чисел.

Геометрические формы представляют другой тип первичных прематематических понятий. Понятие конкретной геометрической формы появилось уже на ранних этапах развития человеческой цивилизации в связи с различными хозяйственными потребностями.

Реальные объекты, имеющие определенную форму, использовались в практической жизни:

от производства предметов домашнего обихода до строительства, архитектуры и сельского хозяйства. Достаточно сослаться на колесо, появление которого произвело революцию в древних цивилизациях. Геометрические формы, так же, как и именованные числа, имеют наглядное представление, которое можно познать через ощущения. Геометрические формы, представляющие собой определенные сущности формы в смысле их прикладного значения, мы будем назвать прематематическими геометрическими формами или п формами.

Отметим, что приписывание определенного слова (имени), которое указывает на геометрическую форму конкретного реального объекта, является одним из видов процесса обобщения и абстрагирования. Это произошло потому, что в практической жизни использование геометрических форм было связано с решением практических задач, требующих определенных интеллектуальных усилий. Обычно при формулировках подобных задач применялись различные рисунки или чертежи. К таким задачам относятся задачи, связанные с определением площадей земельных участков, вычисление объемов, геодезические, навигационные задачи. Важную роль играли геометрические фигуры в искусстве. Появление рисунков геометрических форм на различных письменных носителях и их использование для решения практических задач и явилось первоначальной стадией абстрагирования. Другими словами, геометрические формы появились как символическое выражение ощущений форм реальных объектов.

Прематематическая п-форма обязательно относится к классу (совокупности) конкретных объектов. Каждый объект из этого класса можно рассматривать как конкретизацию данной п-формы. Например, слово «треугольник» мы относим и к рисунку на песке, и к фигуре, вырезанной из дерева, и к комбинации, сложенной из трех палочек. В этом случае слово «треугольник» служит выражением того общего, что имеется у перечисленных выше реальных объектов. Выражение «этот конкретный объект имеет форму треугольника»

является одним из типичных видов прагматических утверждений или регулярностей. Из смысла этого утверждения следует, что словом «треугольник» обозначается определенный прагматический объект.

Отметим сразу, что во всех древних цивилизациях, кроме греческой, рассматривались и обсуждались только конкретизации п-форм. Такие абстрактные понятия, как треугольник, окружность, квадрат и т.п. как объекты исследования появились впервые только в греческой геометрии. Эти понятия требовали такого уровня абстракции, которым не обладали другие цивилизации.

В силу того, что описать п-форму можно не только словесно, но и с помощью рисунков, делает это понятие наглядным. Поэтому можно сказать, что, несмотря на внешнюю абстрактность геометрических п-форм, они и их свойства усваиваются людьми гораздо более быстро и просто, нежели к-числа или п-числа и их свойства.

Обобщая сказанное, можно утверждать, что п-формы являются наблюдаемыми прагматическими объектами, т.е. объектами прагматического познания. Отсюда следует, что факт обладания свойством п-формы в рамках прагматического познания можно только проверить. В этом их принципиальное отличие от рассмотрения математических геометрических фигур, но суть этого отличия мы уже будем обсуждать ниже.

Основные практические задачи, в которых участвовали конкретные п-формы, состояли в нахождении некоторых количественных величин, связанных с этими формами.

Основными используемыми величинами являлись длина конкретного отрезка, площадь участка земли, имеющего конкретную форму, объем реального объекта, обладающего определенной формой. Для нахождения площадей и объемов в соответствующих п формах выделялись конкретные элементы, также имеющие вид п-формы.

4.3. «Истинные» прематематические утверждения. Логика прематематики.

Продолжим рассмотрение прематематики как прагматического познания. В предыдущем параграфе мы изучали объекты исследования этого познания. Этот параграф посвящен изучению других методологических составляющих познания — «истинным»

утверждениям в прематематике и ее логикt. Это изучение мы начнем с описания содержания прематематики.

Согласно данному ранее определению, прематематика представляет собой собрание методик решения количественных практических задач. В этой фразе мы встречаемся с двумя понятиями, которые нуждаются в дополнительном пояснении: это количественная практическая задача и методика ее решения. Пояснение здесь необходимо потому, что понимание этих терминов сегодня и в те далекие времена было совершенно разным. Мы попытаемся, насколько это возможно, дать толкование этих понятий с точки зрения прошлых цивилизаций.

Строго формально определить, что такое количественная практическая задача, вряд ли возможно в виду большого разнообразия содержания, с которым можно встретиться в них.

По большей части можно считать, что это понятие является интуитивно ясным. Однако важно подчеркнуть следующие характерные особенности указанных задач, как они виделись в упомянутых выше прошлых цивилизациях.

Во-первых, каждая практическая задача является конкретной, поэтому в содержании этих задач обязательно встречаются только прематематические числа или п-формы с их элементами. В них ни в коем случае не встречаются никакие другие, тем более абстрактные, понятия.

Во-вторых, результат решения этих задач — либо именованное число, либо набор именованных чисел.

В-третьих, так как мы говорим о практических задачах, то они всегда имеют решение.

Последнее утверждение звучит достаточно странно и может вызвать определенное несогласие. Однако в его пользу можно привести следующий довод. Мы имеем дело с практическими задачами, которые люди вынуждены решать. Поэтому они вырабатывают ту или иную методику, позволяющую получить набор прематематических чисел, который можно принять в качестве решения этих задач. Этот набор может также состоять и из одного числа.

Выражение «методика решения задачи» нуждается в разъяснении, ибо оно отличается от современного толкования. В современном понимании термин «методика» носит обобщенный и даже абстрагированный характер. В прошлых цивилизациях, как мы уже отмечали в параграфе 4.1, уровень интеллектуального развития не давал возможности сформулировать путь решения задачи на таком абстрактном уровне. В этом легко убедиться, если вновь обратиться к сохранившимся документам древних цивилизаций.

Начиная с дошедших до нас древнеегипетских папирусов, практически все собрания задач служили для учебных целей. Они были сгруппированы по темам;

задачи, относящиеся к определенной теме, можно считать характерными для нее. Приведенные решения задач состояли из последовательного выполнения конкретных вычислений, которые давали определенные численные результаты. При этом не давалось никаких объяснений, обосновывающих приведенный порядок вычислений. При решении подобной задачи требовалось следовать и действовать по аналогии с описанной последовательностью вычислительных действий. По всей вероятности, этот путь решения задачи был предложен неким авторитетом, с которым определенная общественность согласилась или была вынуждена согласиться. В дальнейшем этот способ решения задачи, базирующийся на общественном согласии, передавался от одного поколения другому в течение всей жизни цивилизации.

Резюмируя сказанное, можно толковать смысл понятия «методика» следующим образом. При встрече с практической задачей, относящейся к определенной теме и подобной одной из характерных задач этой темы, для ее решения необходимо проводить вычисления по аналогии, как это описано в соответствующем документе. Это означает, что в этом случае мы имеем дело с ситуацией, когда интеллектуальные рассуждения проводятся по аналогии, т.е. по принципу «делай как я».

Из данного толкования вытекает, что в разных сообществах одну и ту же задачу могли решать разными способами, которые существенно зависели от представления прематематических чисел, используемых при решении задачи. Различные способы решения подобных задач можно наблюдать в сохранившихся документах исчезнувших цивилизаций.

Все практические задачи, с которыми встречались в определенной цивилизации, можно условно разделить на две группы — проверяемые и непроверяемые. Задача называется проверяемой, если существует некий другой способ проверить результат ее решения.

Например, задача определения длины внешнего обода колеса является проверяемой, ибо результат можно проверить с помощью веревки. Того же типа является задача разделения стада животных на два стада в известной пропорции. Если же не существует способа проверить результат решения задачи, то такую задачу будем называть непроверяемой.

Любую методику решения практической задачи можно рассматривать как прематематическое рассуждение, а совокупность, состоящую из формулировки задачи и результата ее решения, — как прематематическое утверждение. Совокупность формулировки задачи и ее решения можно толковать как утверждение, что данный результат есть решение задачи, чем и объясняется введенное определение.

Если методика решения практической задачи являлась общественным соглашением, то прематематическое рассуждение назовем принятым рассуждением. Из определения следует, что свойство рассуждения быть принятым не является абсолютным, а носит относительный, временной характер. С изменением и развитием соответствующей цивилизации принятое рассуждение может перестать быть принятым.

Два принятых рассуждения называются аналогичными, если, во-первых, задачи, которые они решают, отличаются только прематематическими числами, входящими в их формулировки, а во-вторых, если они обладают одной и той же последовательностью вычислительных операций. Очевидно, что если одно рассуждение аналогично другому, а это другое аналогично третьему, то и первое будет аналогично третьему.

Множество всех принятых рассуждений будем называть логикой соответствующей прематематики. Эта логика распадается на подмножества, каждое из которых состоит из аналогичных принятых рассуждений. По своей сути, каждое принятое рассуждение является индивидуальным, и среди них нет обобщающих рассуждений, что объясняется уровнем абстрактности процесса мышления, характерного для прематематики. Отсюда вытекает, что рассуждения, принадлежащие различным подмножествам, никак не связаны друг с другом, и поэтому нельзя построить цепочку связанных друг с другом рассуждений.

Единственно, что возможно в некоторых случаях установить — это только некоторую аналогию в последовательности вычислительных действий.

В зависимости от того, является ли задача проверяемой или непроверяемой, мы сталкиваемся с двумя типами принятых рассуждений. Если задача является проверяемой, то это означает, что принятое рассуждение является, по сути, проверяемым рассуждением с помощью опыта. В этом случае результат решения задачи, полученный на основе принятого рассуждения, служит гипотезой в индуктивном рассуждении, которая проверяется путем опыта. Другими словами, в этом случае можно сказать, что принятое рассуждение получено индуктивным путем, т.е. с помощью индукции. Естественно эти рассуждения назвать индуктивными.

Рассуждения, связанные с непроверяемыми задачами, не являются индуктивными, их можно скорее рассматривать как некоторые директивы. Поэтому их мы будем называть директивными рассуждениями. Таким образом, все принятые рассуждения в прематематике можно объединить в два множества, одно из которых состоит из индуктивных рассуждений, а другое — из директивных.

Прематематическое утверждение, в котором результат решения задачи получен с помощью принятого рассуждения, называется «истинным» утверждением в прематематике. Свойство утверждения — быть «истинным» — не является абсолютным а носит относительный, временной характер. С изменением принятого рассуждения меняется и «истинность» связанного с ним утверждения.


Из определения «истинности» утверждения вытекает, что любое прематематическое утверждение носит конкретный индивидуальный характер, а не является обобщающим утверждением. Между различными «истинными» прематематическими утверждениями нельзя установить никакой связи, т.е. ни одно «истинное» прематематическое утверждение не вытекает из других «истинных» утверждений.

Только в новейшее время историкам математики удалось с помощью математического языка объяснить, обосновать и проверить проводимую последовательность вычислений.

Оказалось, что значительное число принятых рассуждений, как индуктивных, так и директивных, приводит к результатам, которые с современной точки зрения являются вполне приемлемыми и допустимыми. Поэтому вызывает удивление и даже восхищение, как удавалось древним найти способы решения количественных практических задач, которые только после ряда тысячелетий получили логическое и содержательное обоснование и проверку. Здесь необходимо отметить глубину человеческой интуиции, которая позволила найти такие решения практических задач, которые верно служили человечеству в разных местах в течение многих столетий и даже тысячелетий.

В заключение этой главы отметим, что рассмотрение прематематики с точки зрения теории моделирования вряд ли обоснованно, ибо в этом случае, в силу низкого уровня абстракции, свойственного прематематике, такое рассмотрение будет просто жонглированием посторонними терминами без получения дополнительной содержательной информации.

Математическое знание казалось определенным и точным – таким знанием, которое можно применить к реальному миру;

более того, казалось, что это знание получили из чистого мышления, не прибегая к наблюдению. Поэтому стали думать, что оно дает нам идеал знания, по сравнению с которым будничное эмпирическое знание несостоятельно. На основе математики было сделано предположение, что мысль выше чувства, интуиция выше наблюдения. Если же чувственный мир не укладывается в математические рамки, то тем хуже для этого чувственного мира. И вот всевозможными способами начали отыскивать методы исследования, наиболее близкие к математическому идеалу. … Эта форма философии начинается с Пифагора.

Б. Рассел Восхитительная определенность, которую я всегда хотел найти в математике, затерялась в путанице понятий и выводов… Это оказался поистине запутанный лабиринт, выхода из которого не было видно.

Б. Рассел Глава 5. Греческая математика.

Математик, подобно художнику или поэту, создает образы. Если его «образы» долговечнее их образов, то потому, что состоят из идей». Г. Харди А факт состоит в том, что существует мало предметов, более «популярных», чем математика.

Большинство людей способны получать удовольствие от математики так же, как большинство людей обладают способностью наслаждаться приятной мелодией. И наверно, большинство людей интересуются математикой, чем музыкой. Г. Харди 5.1. Логистика и греческая математика.

Греки пришли в Грецию тремя волнами: сперва ионийцы, за ними ахейцы, и последними дорийцы. Каждая новая волна греков уничтожала уже прежде существовавшую цивилизацию. Последняя, дорийская, цивилизация характерна тем, что некоторые ее представители оседали и становились земледельцами, тогда как другие устремлялись дальше, сперва на острова и в Малую Азию, а затем на Сицилию и в южную Италию, где они основывали города, жившие морской торговлей. Именно в этих приморских городах греки впервые сделали качественно новый вклад в цивилизацию.

Торговля, пиратство и промышленность обогащали греческие города.

Одним из важнейших результатов греческой торговли было то, что греки выучились письму на основе финикийского алфавита, который они изменили так, чтобы новый алфавит мог обслуживать их язык. При этом они сделали важное нововведение, добавив гласные, тогда как финикийский алфавит состоял из знаков, обозначающих одни согласные.

Потребности экономической жизни, особенно торговли, привели к возникновению прематематики, которая здесь называлась логистикой. Логистика была собранием методик решения практических задач, которые напоминали египетские или вавилонские методики. Сегодня трудно утверждать о степени влияния более древних цивилизаций на развитие греческой логистики.

В VI – V веках до н.э. на территории древней Греции произошла подлинная интеллектуальная революция, которую часто называют «греческим чудом».

«Во всей истории нет ничего более удивительного и ничего более трудного для объяснения, чем внезапное возникновение цивилизации в Греции. Многое из того, что создает цивилизацию, уже существовало в течение тысячелетий в Египте и Месопотамии и распространилось оттуда в соседние страны. Но некоторых элементов недоставало, пока они не были восполнены греками.

Чего они достигли в искусстве и литературе, известно каждому, но то, что они сделали в чисто интеллектуальной области, является даже еще более исключительным. Они изобрели математику, науку и философию;

на место простых летописей они впервые поставили историю;

они свободно рассуждали о природе мира и целях жизни, не обремененные путами какого-либо традиционного ортодоксального учения. Происшедшее было настолько удивительным, что люди до самого последнего времени довольствовались изумлением и мистическими разговорами о греческом гении» (Б. Рассел, 71, с. 21).

Одним из основных результатов этой революции, который оказал существенное влияние на жизнь всего человечества, особенно в последние несколько столетий, явилось изобретение математики. Математика появилась в экономически и социально развитой Греции, где существовала греческая прематематика, известная под именем «логистика».

Она служила инструментом для решения практических задач, без которых была бы невозможна экономическая жизнь. Уже в силу этого можно заключить, что математика отличается от прематематики. Настоящая глава в своей значительной части и посвящена выявлению и описанию принципиальных отличий греческой математики от прематематики.

С рождением математики связано по крайней мере два принципиальных вопроса.

Первый вопрос заключается в поисках причин рождения математики именно в Греции.

Трудно найти рациональное объяснение этому событию. Те объяснения и причины, которые встречаются сегодня в различных книгах по истории математики, вряд ли выдерживают содержательную критику. Мы не будем ниже обсуждать этот вопрос, ибо это обсуждение далеко выходит за рамки нашей книги.

Второй вопрос состоит в поиске корней математики. В частности, можно ли утверждать, что корни математики лежат прежде всего в прематематике, например, в египетской и вавилонской прематематиках. Ниже мы покажем, что математика никоим образом не могла вытекать из прематематики. Для обоснования этого утверждения мы рассмотрим и сравним подробно объекты исследования математики и прематематики, а также способы получения «истинных» утверждений в их рамках. Если выразить основное отличие между прематематикой и математикой в нескольких словах, то можно сказать, что любая математическая задача заключается в доказательстве некоего утверждения, в то время как основное требование в прематематической задаче — это найти число.

Здесь же мы отметим еще пару косвенных аргументов в пользу нашего утверждения.

Первый аргумент основывается на том, что ни в одной человеческой цивилизации, которые обладали собственной прематематикой, не возникло ничего даже отдаленно похожего на греческую математику. Ни в одном письменном источнике любой другой цивилизации нельзя найти требование доказательства (или чего-нибудь похожего на это требование). Трудно поверить, что египетская и вавилонская прематематики, которые уже были мертвы к этому времени, могли содействовать рождению математики, в то время как древнеиндийская или древнекитайская прематематика не могли сделать этого. Другой косвенный аргумент заключается в том, что в рамках греческой математики не была решена ни одна практическая задача, а все рассмотрения там носили чисто умозрительный характер.

«Таким образом, греки завещали потомкам две совершенно различные математические науки:

с одной стороны – дедуктивную, систематически развитую и излагаемую, хотя и не свободную от ошибок, геометрию, а с другой – эмпирическую арифметику и алгебру как ее обобщение.

Поскольку, согласно представлениям греческих мыслителей классического периода, математические результаты должны выводиться дедуктивно и базироваться на явно заданной аксиоматической основе, возникновение независимых арифметики и алгебры, не обладающих собственной логической структурой, привело к одной из величайших аномалий в истории математики» (М. Клайн, 39, сс. 129-130).

Мы уточним это высказывание: за почти тысячелетие своего живого развития греческая математика создала, по существу, три различных математических дисциплины:

геометрию, теорию чисел и диофантовую арифметику. (Ниже мы покажем, что греческая теория чисел принципиально отличается от диофантовой арифметики.) Первые две математические дисциплины появились на заре греческой математики, при ее рождении, а последняя – диофантовая арифметика — уже на закате греческой цивилизации.

К математическим дисциплинам греки также относили теорию музыки и астрономию.

Две последние дисциплины являются приложением упомянутых выше дисциплин: теория музыки – теории чисел, а астрономия – геометрии. Теория музыки, как математическая дисциплина, через несколько столетий после смерти Пифагора, ее основателя, практически закончила свое существование. Греческую астрономию (которая в то время скорее была астрологией) постигла более счастливая судьба. Греческий гений впервые в истории человечества создал теоретическую астрономию, а на ее основе выросла прагматическая астрономия, которая позволила применить теоретические предположения к проведению конкретных расчетов движения небесных тел. В основании каждой из типов астрономии лежала система Гиппарха – Птолемея, которая имела два аспекта: теоретический и прагматический. Эта система просуществовала почти полторы тысячи лет, до тех пор, пока Н. Коперник и И. Кеплер не создали новую — как теоретическую систему, а на ее базе и прагматическую астрономическую систему. Книга Птолемея «Альмагест», в которой излагалась его система, была книгой древнего мира, оказавшей выдающееся влияние на интеллектуальное развитие человечества. С ней может сравниться только «Начала» Евклида.


Трудно переоценить роль астрономических достижений греков в развитии человеческой цивилизации. Более древние и более поздние человеческие цивилизации также занимались наблюдениями за движением небесных тел и даже предсказывали лунные и солнечные затмения. Однако ни в одной из них не было создано ничего похожего на греческую теоретическую астрономию, а тем более — на греческую прагматическую астрономию, венцом которой явилось создание упомянутой выше системы Гиппарха – Птолемея.

Эту систему необходимо рассматривать с двух позиций: теоретической и прагматической. Другими словами, эта система состояла из двух связанных моделей:

теоретической модели и прагматической модели. Система Гиппарха – Птолемея является первым настоящим приложением математики, которое выходит за пределы интеллектуального искусства и интеллектуального спорта. Прагматическая модель давала описания движений небесных тел, хорошо согласующиеся с результатами астрономических наблюдений того времени. Для построения и использования этой модели как Гиппарх, так и Птолемей создали впервые в истории человечества математические таблицы.

В последующих параграфах настоящей главы мы сосредоточим наше внимание на рассмотрении методологических основ теории чисел, геометрии, диофантовой арифметики и греческой астрономии, с точек зрения теорий познания и моделирования.

Рассмотрение с точки зрения теории познания заключается в описании объектов исследования, в выделении «истинных» утверждений, а также в способе получения «истинных» утверждений. С другой стороны, на любое математическое исследование можно смотреть как на процесс моделирования.

Любопытный отыскивает редкости только затем, чтобы им удивляться;

любознательный же – затем, чтобы узнать и перестать удивляться.

Р. Декарт 5.2. Греческая геометрия.

Согласно широко распространенной исторической легенде, первые математические положения впервые были доказаны Фалесом, и именно они легли в фундамент греческой геометрии. Собственно греческая геометрия была создана, в основном, к IV веку до н.э., когда появились «Начала» Евклида, где был построен фундамент геометрии. «Начала»

Евклида состоят из 13-ти книг. Книга I посвящена планиметрии;

книга II – геометрической алгебре;

книга III — учению о круге;

книга IV—учению о многоугольниках;

в книге V излагается теория отношений геометрических величин, а в книге VI — учение о подобии. В следующих трех книгах (VII—IX) излагается пифагорейская теория чисел. Десятая книга посвящена изложению геометрической теории иррациональностей. Последние три книги посвящены стереометрии.

Согласно Б. ван дер Вардену (1, сс. 269-279), все книги Евклида были написаны на основе работ более ранних математиков. Книги I— V и XI написаны на основе «Начал»

Гиппократа Хиосского, книги V—VI и XII – на основе работ Евдокса Книдского. В основу книг VII—IX положены работы Архита Тарентского, а основные утверждения в книгах X и XIII принадлежат Теэтету Афинскому.

Последующие два столетия добавили к геометрии результаты трудов двух великих математиков древности: Архимеда и Апполония. Архимед существенно улучшил метод исчерпывания Евдокса, изложенный в книге XII «Начал» Евклида. С помощью улучшенного метода он вычислил приближенное значение числа и нашел длину окружности и площадь круга, объемы шара, прямого кругового цилиндра и площади поверхностей этих тел. Основные геометрические результаты Аполлония относятся к изучению конических сечений.

Созданная трудами Евклида, Архимеда и Аполлония греческая геометрия, которая получила имя «геометрия Евклида», изучается практически во всех общеобразовательных школах в современном мире. Она служит основным дидактическим пособием для обучения дедукции, с помощью которой знакомятся с греческим способом формального мышления.

Основными объектами исследования в греческой геометрии являются геометрические фигуры и тела, к которым относят точку, прямую, плоскость, выпуклый многоугольник, окружность, шар, конус, выпуклый многогранник, пирамида, цилиндр, а также всевозможные их элементы, такие, как диагонали, дуги, углы, сечения и т.п. Обычно точку, прямую и плоскость называют первичными понятиями геометрии, а остальные понятия — вторичными, подразумевая, что их можно определить с помощью первичных понятий. Все перечисленные объекты называются геометрическими объектами.

Прежде всего, отметим, что понятие геометрического объекта принципиально отличается от понятия геометрической формы, с которым мы встречались в предыдущей главе. В прематематике речь всегда идет только о форме реальных объектов, а геометрические объекты являются идеальными объектами, которые существуют только в сознании людей. Следовательно, геометрические объекты являются объектами интеллектуального познания, а сама геометрия – одним из видов интеллектуального познания. Так как геометрические объекты можно изобразить на чертежах или на реальных моделях, то они являются наблюдаемыми интеллектуальными объектами.

«Истинными» утверждениями в геометрии считаются утверждения двух видов. Во первых, «истинными» утверждениями являются аксиомы, которые служат первичными утверждениями. Аксиомы рассматриваются как истинные утверждения в силу их априорной интуитивной самоочевидности. Во-вторых, это все те утверждения, называемые теоремами, которые выводятся из аксиом с помощью определенного вида логических рассуждений. Вывод теоремы из аксиом называется доказательством теоремы. Отрицание истинного утверждения в геометрии считается ложным утверждением.

При доказательстве геометрических теорем разрешается использование только таких типов рассуждений, которые принадлежат дедуктивной логике Аристотеля. К ним относятся так называемые силлогизмы, а также закон противоречия (никакое утверждение не может быть одновременно истинным и ложным) и закон исключенного третьего (любое утверждение должно быть либо истинным, либо ложным). Аристотель, а вслед за ним весь мир приняли за неоспоримую истину, что применение перечисленных правил дедуктивного вывода гарантирует получение истинных утверждений. Дедуктивная логика создавалась одновременно с развитием геометрии.

Таким образом, греческая геометрия явилась первой формальной дедуктивной теорией.

В течение примерно двух тысячелетий после возникновения геометрии несуществовала в мире никакая другая формальная дедуктивная система. Так как эта геометрия не имела никакого практического применения, то ее, скорее всего, можно рассматривать как совершенное произведение греческого (и не только греческого) интеллектуального искусства.

Необходимо отметить: вывод, что греческая геометрия является аксиоматической дедуктивной теорией, не является точным. Кроме дедукции при доказательстве геометрических утверждений широко используются перемещение и вращение геометрических фигур и тел. Без этих операций значительная часть геометрических утверждений не была бы доказана. Однако эти операции и их свойства не описаны с помощью аксиом. Объяснение этому явлению нужно искать в связи геометрии с греческой философией.

На основании введенных определений можно сформулировать цель геометрии, как интеллектуального познания. Такой целью является поиск и доказательство теорем.

Выбор этой цели объясняется тем, что те, кто создавал геометрию на ранних этапах, были в своем большинстве философами. Они считали, что, во-первых, аксиомы являются вечными и абсолютными истинами, а во-вторых, что и дедукция приводит к таким же истинам.

Подлинной целью греков, как философов, было исследование природы.

Геометрические истины высоко ценились постольку, поскольку они были полезны при изучении физического мира. Греки считали, что в структуре Вселенной воплощены геометрические принципы, первичным компонентом которых является пространство.

Именно поэтому исследование пространства и пространственных фигур явилось существенным вкладом в изучение природы. Примером может служить астрономическая теория Евдокса, которая была сугубо геометрической теорией.

Теперь рассмотрим процесс доказательства геометрической теоремы как процесс моделирования. Целью такого исследования является получение доказательства конкретного геометрического утверждения или его отрицание. Цель моделирования совпадает с целью исследования. Критерий достижения цели можно сформулировать следующим образом: представление дедуктивного доказательства указанного утверждения. Этот критерий также полностью совпадает с критерием достижения цели исследования. Язык моделирования – это геометрический язык, которому в помощь для наглядности давался чертеж. Таким образом, язык модели при этом полностью совпадает с языком постановки цели моделирования. Исследование модели в этом случае заключается в поиске доказательства утверждения, сформулированного в виде цели моделирования. Найденное доказательство автоматически удовлетворяет критерию моделирования и критерию достижения цели исследования. Это значит, что в случае греческой геометрии мы имеем дело с теоретическим однотекстовым моделированием.

В заключение этого параграфа еще раз подчеркнем, что греческая геометрия не могла никоим образом родиться из обобщения и абстрагирования решения прематематических задач.

Во-первых, в прематематике, как правило, не встречаются геометрические объекты, а присутствуют только геометрические формы. В частности, не встречаются такие геометрические объекты, как диагонали, биссектрисы, медианы и т.п. Поэтому совершенно не понятно, каким образом прематематика может привести к возникновению вышеназванных понятий.

Во-вторых, в условии любой прагматической задачи лежит требование найти конкретное число или несколько конкретных чисел, в то время как в условии геометрической задачи – требование доказательства утверждения. И в этом случае совершенно неясно, каким образом требование найти число может трансформироваться в требование доказать утверждение. Если конкретное число еще может найти свое применение в практике, то непонятно, каким образом применить доказанное геометрическое утверждение в практической деятельности.

В-третьих, решение прагматической задачи является достаточно простым процессом, который заключается в следовании определенной инструкции, в то время как решение геометрической задачи — это творческий процесс, подобный игре в шахматы. Трудно представить, как прематематический процесс мог породить математическое доказательство.

Блаженство есть знание совершенства чисел души.

Пифагор Так называемые пифагорейцы были первыми, занимавшиеся науками. Поскольку в дальнейшем они узнали, что отношения и законы музыкальной гармонии основываются на числах, а также и все предметы по своей природной сущности тоже, по-видимому, походят на цифры, … то они вычказли мнение, что элементы чисел являются элементами и всех вещей и что весь мир в целом являтся гармонией и числом.

Аристотель 5.3. Греческая теория чисел.

Основателем греческой теории чисел, согласно традиции, считается Пифагор.

Пифагор был основателем религиозной общины. В религиозном учении Пифагора, которое принципиально отличалось от широко распространенной в греческом мире религии, нужно различать две стороны: практическую (известный «образ жизни») и теоретическую (определенную совокупность учений). В основе практической части пифагорейской религии лежал особый ритуал и целая система табу. Пифагор ввел собственный обряд жертвоприношений и установил богослужение. Сверх того, он дал целый ряд правил поведения: назывались «акусмата» и они характеризовали «пифагорейский образ жизни». Эти предписания были никак не мотивированы и основывались только на авторитете Пифагора. Основной целью этой религии было спасение души, которое достигается путем «пифагорейского образа жизни».

Однако пифагорейство не заняло бы в истории духовной культуры столь выдающегося места, если бы его сущность сводилась к насаждению примитивных суеверных обрядов.

«Но что отличало пифагорейцев от всех других (сект – Е.Л.), — это способ, при помощи которого они считали возможным достигнуть очищения души и соединения с божеством;

это делалось при помощи математики. Математика была одной из составных частей их религии. Бог, учили они, положил числа в основу мирового порядка. Бог – это единство, а мир – множество и состоит из противоположностей. То, что приводит противоположности к единству и соединяет все в космос, есть гармония. Гармония является божественной и заключается в числовых отношениях.

Кто до конца изучит эту божественную числовую гармонию, сам станет божественным и бессмертным.

Музыка, гармония и числа – это три понятия были неразрывно связаны друг с другом в учении пифагорейцев. Все три были существенными составными элементами пифагорейской системы воспитания и очищения души. “Бла-женство есть знание совершенства чисел души”, — говорит Пифагор у Гераклита Понтийского. Математика и числовая мистика были фантастически перемешаны в его учении. Однако из этого мистического учения в дальнейшем выросла точная наука поздних пифагорейцев» (Ван дер Варден, 13, с.129).

Основным объектом изучения в греческой теории чисел являются числа и их свойства.

Отношение Пифагора к понятию числа совершенно отличается от отношения к прематематическим числам, которые выражают определенную сущность (см. 4.2). Он относился к числу как r предмету культа, элементу религиозного сознания, как носителю определенной мистической сущности.

«…так называемые пифагорейцы, занявшись математическими науками, впервые развили их и, воспитавшись на них, стали считать их начала началами всех вещей. Но в области этих наук числа занимают от природы первое место, а у чисел они усматривали, как им казалось, много сходных черт с тем, что существует и происходит, — больше, чем у огня, земли и воды;

например, такое-то свойство чисел есть справедливость, а такое-то – душа и ум, другое – удача, и можно сказать, что в каждом из остальных случаев точно так же. Кроме того, они видели в числах свойства и отношения, присущие гармоническим сочетаниям. Так как, следовательно, все остальное явным образом уподоблялось числам по всему своему существу, а числа занимали первое место во всей природе, элементы чисел они предположили элементами всех вещей и всю вселенную признали гармонией и числом» (Аристотель, 2, кн. 1, гл. 5, с.4).

В качестве чисел Пифагор рассматривал нечто, что сегодня связывают с целыми положительными числами. Единица и двойка не считались числами, ибо они выражали определенную философскую сущность. Единое, или единицу, пифагорейцы ставили в особое положение: единица – это начало чисел;

чтобы стать числом, все должны приобщиться к единице, поскольку она означает единство. Единица выражала постоянство, неделимость. «Единица есть то, что каждое из существующих считается единым». Это определение единицы, которое Евклид дает в «Началах». Сразу отметим, что такое же отношение к единице существовало достаточно долго, практически до XIX века. Двойка, или двоица, также имела определенный философский смысл, выражающий различие, изменчивость, противоречивость и т.п. Числа у Пифагора начинались с тройки.

В связи сказанным, объекты греческой теории чисел мы будем называть пифагоровыми числами для того, чтобы отличать их от других чисел.

Теперь рассмотрим греческую теорию чисел как один из типов познания.

Объектами исследования теории чисел, как мы уже говорили выше, являются пифагоровы числа и их свойства. Принципиально новыми понятиями, связанными со свойствами пифагоровых чисел, считаются понятия четного или нечетного числа, делителя числа, простого числа, совершенного числа, дружественных чисел и т.п.

Отметим, что введенные понятия никогда и нигде не встречались ранее, т.е. до сих пор не выявлены письменные документы других цивилизаций, в которых можно найти хоть какой-нибудь намек на существование этих или похожих на них объектов.

Первичные объекты — это сами пифагоровы числа, а другие объекты – свойства пифагоровых чисел – являются вторичными понятиями, т.к. вводятся с помощью определений. Как мы уже упоминали, пифагоровы числа никоим образом не связаны ни с каким реальным объектом, тем более ни с какой практической деятельностью. В этом смысле пифагоровы числа представляют собой чисто интеллектуальные объекты. Но тогда и греческая теория чисел является видом чисто интеллектуального познания.

На множестве пифагоровых чисел формально определяются математические арифметические операции (сложение, вычитание, умножение и деление), которые удовлетворяют определенным свойствам. Эти свойства задаются чисто абстрактно, хотя можно достаточно обоснованно думать, что при их определении была использована аналогия со свойствами операций над прематематическими к-числами. К этим свойствам относится коммутативность, ассоциативность каждой из операций сложения и умножения, а также дистрибутивность этих операций. Отметим также, что операции сложения и умножения определены на множестве всех пифагоровых чисел, а вычитания и деления — только для некоторых пар, составленных из этих чисел.

Здесь необходимо отметить, что свойства математических арифметических операций принципиально отличаются от свойств соответствующих прематематических операций.

Это отличие кратко можно выразить следующим образом: свойства математических операций определяются априори, а свойства прематематических операций устанавливаются апостериори, т.е. в результате опыта.

В отличие от греческой геометрии в греческой теории чисел нет априорных «истинных» утверждений (за исключением аксиом из определений арифметических операций). В ней «истинными» считаются утверждения трех типов: определения, интеллектуальные факты и теоремы (доказанные утверждения). «Истинность»

определений и фактов мы подробно обсуждали в главе 2. Для полноты изложения мы должны определить, что понимается под интеллектуальным фактом в рамках теории чисел. Под интеллектуальным фактом в рамках теории чисел понимается утверждение типа «данное конкретное число (конечный набор конкретных чисел) обладает определенным свойством», справедливость которого устанавливается простой проверкой.

Например, следующие утверждения являются интеллектуальными фактами: «число является простым числом», «число 10 является четным числом», «число 6 является совершенным числом» и т.п. Справедливость этих утверждений легко проверяется. Более того, можно утверждать, что фактом в теории чисел является любое утверждение, которое допускает полную проверку его справедливости.

Теперь обратим наше внимание на теоремы. В греческой теории чисел в качестве первичных истинных утверждений, на которых строится процесс доказательства, берутся определения. Сам процесс проведения доказательств основан на дедукции, т.е.



Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 15 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.