авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 15 |

«Е. М. Левич Математическое моделирование и компьютерная математика. Иерусалим, 2009 1 Содержание ...»

-- [ Страница 7 ] --

используется аристотелева логика.

Греческая теория чисел не являлась столь богатой нетривиальными теоремами, как геометрия. Об этом свидетельствует тот факт, что ее основные результаты были изложены практически в трех книгах из тринадцати книг «Начал» Евклида. Последующие годы греческой цивилизации, кроме нескольких отдельных результатов, ничего не добавили принципиального к материалу, содержащемуся в этих книгах.

С точки зрения процесса моделирования, исследования в рамках греческой теории чисел представляют собой достаточно простой процесс. Цель исследования и цель моделирования совпадают, критерий достижения цели исследования совпадает с критерием моделирования, ибо они формулируются на одном и том же математическом языке. Из формулировки цели моделирования вытекает сама математическая модель, которая подвергается исследованию, совпадает с объектом исследования. Результатом моделирования является либо дедуктивное доказательство теоремы, либо установление интеллектуального факта. Если найдено доказательство теоремы или истинность факта установлена простой проверкой, то это означает, что критерий моделирования выполняется, и процесс моделирования заканчивается.

Для иллюстрации сказанного приведем два истинных утверждения: теорему и интеллектуальный факт. В качестве теоремы можно рассмотреть теорему о бесконечности простых чисел, доказательство которой можно встретить у Евклида. Утверждение, что число 28 является совершенным числом, легко проверяется:

1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Резюмируя сказанное, можно утверждать, что с точки зрения моделирования в теории чисел используются однотекстовые модели.

Подобно тому, как солнце затмевает своим блеском звезды, так мудрец затмевает славу других людей, предлагая и особенно решая на народных собраниях математические задачи.

Брахмагупта Достопочтеннейший Дионисий, зная, что ты ревностно хочешь научиться решению задач, касающихся чисел, я попытаюсь изложить природу и их могущество, начиная с тех оснований, на которых покоится эта наука.

Диофант 5.4. Диофантова арифметика.

Диофант Александрийский является последним великим математиком греческой математики и выдающимся представителем третьего основного направления в ней, которое мы назовем диофантовой арифметикой. Он завершает плеяду выдающихся александрийских математиков, среди которых мы видим Евклида, Архимеда (хотя он основную часть жизни провел в Сицилии), Аполлония.

«Появление Диофанта составляет до сих пор одну из самых темных загадок истории науки.

Труды Диофанта представляют полную неожиданность и по постановке задач, и по методам их решения, и по геометрической трактовке величин и действий над ними» (История математики, 35, т.1, с. 144).

Основным трудом Диофанта является «Арифметика», написанная во второй половине III века до н.э. и состоящая из 13-ти книг, из которых до нас дошло 6 книг. Трудно сомневаться в том, что у него были предшественники, как они имелись и у Евклида, Архимеда и Аполлония. Однако нам ничего не известно о них и их трудах. Подобно египетскому папирусу Райнда, «Арифметика» представляет собой сборник из 189-ти задач, каждая из которых снабжена решением (или несколькими решениями, полученными разными способами). Однако она отличается от папируса Райнда тем, что задачи из папируса принадлежат прематематике, в то время как задачи из «Арифметики»

никоим образом не принадлежат прематематике. Эти задачи формулируются на языке чисел и не являются практическими. Эти задачи также не принадлежат и греческой теории чисел, о которой мы говорили в предыдущем параграфе.

«Одной из значительных заслуг Диофанта является введение в алгебру некоторой символики.

Поскольку мы располагаем не подлинными рукописями самого Диофанта, а лишь поздними (датируемыми не ранее, чем XIII века) копиями, трудно говорить с уверенностью, какими именно символами пользовался сам Диофант. Известно, что он ввел символы, соответствующие нашим обозначениям х, степеням неизвестного х вплоть до х6 и 1/х. Появление такой символики замечательно само по себе, но еще больший интерес представляет введение степеней выше третьей, поскольку... греки классического периода игнорировали произведения более трех сомножителей, так как считали их не имеющими геометрического смысла. Но если подходить к умножению с чисто арифметических позиций, то произведения более трех сомножителей, разумеется, становятся вполне законными. Именно такой подход к произведениям трех и более чисел был избран Диофантом» (М. Клайн, 42, с. 128).

Одним из основных достижений Диофанта является рассмотрение уравнений. Нам не известно доподлинно, как Диофант пришел к этой тематике. Он совершенно не пользовался геометрией, и поэтому геометрические исследования его предшественников, таких, как Евклид, Архимед и Аполлоний, не могли привести его к решению алгебраических уравнений. Кроме того, Диофант был первым из математиков, который занялся систематическим исследованием и решением так называемых неопределенных уравнений в целых числах. Их стали называть диофантовыми уравнениями.

Методы решения уравнений и систем уравнений, которые применял Диофант, были индуктивными: он указывал, как мы уже отмечали, способ решения конкретной задачи, предположительно пригодный для решения более широкого круга задач, границы которого не были определены.

Рассмотрим диофантову арифметику с точки зрения теории познания.

Диофантова арифметика изучает три разных типа объектов: так называемые «диофантовы числа», операции над числами и уравнения. Под диофантовыми числами мы понимаем числа, с которыми мы встречаемся в «Арифметике» Диофанта.

Обсудим каждый из типов объектов исследования в отдельности. Начнем с чисел. До сих пор мы встречались с двумя типами чисел: прематематические и пифагоровы.

Очевидно, что диофантовы числа не являются прематематическими числами, поскольку последние — это именованные числа, а среди задач, которые собраны в «Арифметике»

нет ни одной, имеющих практический смысл.

Содержание всех задач в книге является абстрактным. Отсюда можно сделать два вывода. Во-первых, диофантова арифметика является одним из типов интеллектуального познания. Во-вторых, объекты, которые мы встречаем в этой арифметике, являются абстрактными объектами. Так как диофантовы числа не имеют чувственных (реальных) прообразов, то их можно считать чисто интеллектуальными объектами. Этот вывод является одним из аргументов в пользу того, что диофантовы числа отличаются от прематематических чисел.

Диофантовы числа, которые употребляли греки, были двух видов: целые и дробные.

Правда, при решении некоторых задач Диофант использует в промежуточных результатах объекты, похожие на отрицательные числа, которые он трактует как недостаток и для действий над которыми вводит определенные правила. Однако он это делает не афишируя, поэтому их нельзя рассматривать как объекты исследования в его арифметике.

Позже индийцы и мусульмане, развивая диофантову арифметику, стали использовать отрицательные числа как равноправные объекты исследования.

Диофантовы целые числа принципиально отличаются от пифагоровых чисел прежде всего тем, что единица рассматривается как число. Диофантовы числа не несут никакой смысловой нагрузки, в отличие от пифагоровых чисел, которые можно рассматривать как мистические символы. Диофантовы числа можно, в определенном смысле, рассматривать как некие символы, над которыми производятся действия.

Под действиями над диофантовыми целыми числами понимаются четыре операции, которые будем называть арифметическими операциями: сложение, вычитание, умножение и деление. Эти операции, по существу, вводятся по аналогии с действиями над прематематическими к-числами и над пифагоровыми числами, а не с помощью аксиом. Неявно предполагается, что эти операции обладают свойствами коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности. Сложение, умножение, вычитание (с известными ограничениями) и деление диофантовых чисел определены на всем множестве целых диофантовых чисел.

Одним из величайших достижений александрийских математиков во времена, предшествующие появлению Диофанта, является введение в рассмотрение дробей как математических объектов. Доли целого широко используются в древних прематематиках.

Но у Диофанта мы встречаем дроби как абстрактные объекты, т.е. объекты, в которые не вкладывается никакое содержание и которые представляют собой просто символы.

Однако необходимо, отметить, что диофантовы дроби не являются дробями в современном смысле слова, ибо на них не были формально определены арифметические операции.

Другим выдающимся открытием александрийских математиков (трудно поверить, что это является изобретением Диофанта) является введение в рассмотрение алгебраических уравнений. Этот чисто абстрактный объект, который задавался словесным образом, сыграл выдающуюся роль в истории математики. Вопросы решения алгебраических уравнений составляло основное содержание математических исследований в течение более полутора тысяч лет. Греки, индийцы, арабы, персы, европейцы – все внесли свой вклад в это направление математики. Легкость, с которой исследователи действовали в этой области, не требовавшей существенных дополнительных знаний, превратила решение уравнений в отрасль интеллектуального искусства и интеллектуального спорта.

Важным достижением индийских и мусульманских математиков явилось введение в рассмотрение чисел, в запись которых входят обозначения радикалов. Эти числа были решениями алгебраических уравнений. Введение таких чисел существенно расширило границы диофантовых чисел. Более того, эти математики в некоторых случаях даже осуществляли операции над такими числами.

«Истинными» утверждениями в диофантовой арифметике являются только утверждения типа: «это число является решением данной задачи» или «эти числа являются решением данной задачи». «Истинность» этих утверждений устанавливается простой проверкой в виде подстановки в уравнение вместо неизвестных чисел, указанных в утверждениях.

Допустимыми «рассуждениями» в диофантовой арифметике являются любые методики (способы), позволяющие найти решение (решения) заданного уравнения. Это означает, что данные «рассуждения» по своему характеру являются индуктивными и никак не связаны с дедукцией.

Отсюда следует, что в рамках этой арифметики нет места для дедукции и априорных утверждений (аксиом). Целью любой задачи в этой арифметике было нахождение «численного» решения уравнения, т.е. получение числа. Следовательно, диофантова арифметика не является теоретической дисциплиной. Но тогда она, как тип математики, принципиально отличается как от геометрии, так и от теории чисел, которые являются теоретическими дисциплинами. Этот новый тип математики назовем прагматической математикой.

Прагматическая математика имеет нечто общее с прематематикой. Это общее ясно видно в постановках задач: в прематематике и в диофантовой арифметике все задачи заключаются в поисках конкретного числа (чисел), который (которые) являются решением поставленной задачи.

Теперь рассмотрим диофантову арифметику с позиции теории моделирования. Здесь она имеет много общего с пифагоровой теорией чисел. Например, в диофантовой арифметике исследуемый объект совпадает со своей моделью. Однако существуют и принципиальные отличия. Во-первых, целью моделирования в этом случае являлось получение конкретных чисел, а не доказательства. Во-вторых, в диофантовой арифметике существовал четко выраженный критерий достижения цели, который легко проверялся.

В-третьих, на процесс исследования модели (т.е. на процесс решения уравнения или систем уравнений) не накладывалось никаких ограничений.

Мне кажется, о Сир, что истинные философы поступили очень хорошо, отделив теоретическую часть философии от практической.

К. Птолемей Астроном нашел, что геометрия, чистая абстракция человеческого ума, служит мерой планетных движений.

Эмерсон 5.5. Греческая астрономия Наблюдениями за небом человек занимался с древних времен. Вавилоняне и египтяне заложили основы астрономии в течение многих столетий наблюдений. Именно в Вавилоне, а возможно в Египте был открыт период лунных затмений, что сделало достоверным их предсказание. Часть астрономических знаний этих цивилизаций, видно, дошла до древней Греции. Об этом свидетельствует приписываемое Фалесу предсказание солнечного затмения. Однако все же во времена, предшествующие древнегреческой цивилизации достигнуто было очень немногое.

С первых шагов появления греческой философии, которая развивалась одновременно с математикой, можно проследить четыре ярко выраженные особенности греческого мышления: склонность к рациональному осмысливанию действительности, пространственное видение мира, приверженность наблюдениям и стремление согласовать умозрительный образ мира и наблюдаемые явления. Именно эти особенности греческого мышления позволили принципиально по-новому «взглянуть на небо». В отличие от других народов, греки пытались построить целостную картину Вселенной. Эти намерения легко прослеживаются у первых натурфилософов из Милета.

Причину интеллектуального успеха древних греков очень четко выразил А. Берри в своей «Краткой истории астрономии»:

«Греки унаследовали от своих предшественников массу наблюдений, порой довольно точных, почти вполне удовлетворявших требованиям практической жизни, но в смысле астрономических теорий и умозрений, которыми их лучшие мыслители интересовались гораздо больше, нежели фактическими подробностями, они получили, в сущности, белый лист, на котором им пришлось начертить (в начале с посредственным успехом) свои спекулятивные идеи. Такие даты, как халдейские наблюдения затмений и Пифагоровы идеи о гармонических сферах, разделяются громадным промежутком времени, и необходимые теоретические построения не могли быть воздвигнуты без помощи математических методов, изобретавшихся постепенно. Правда, греки мало интересовались наблюдениями, особенно в древнейшую эпоху, но можно все таки сомневаться, намного ли продвинулась бы вперед астрономия греков сравнительно с халдейской, если бы даже они и располагали свежим запасом наблюдений. Но только умозрительные идеи, обоснованные с помощью математики, получили достаточное развитие для того, чтобы их можно проверить наблюдениями, астрономии был обеспечен быстрый успех» (А. Берри, 10, с. 73).

В истории древнегреческой астрономии мы выделим три периода, каждый из которых отличался от другого принципиально новым интеллектуальным подходом к изучению движения Земли и небесных светил.

Первый период, протянувшийся от Фалеса до Евдокса, характеризуется выдвижением гениальных спекулятивных астрономических идей, связанных с нарождавшейся и бурно развивающейся в этот период греческой философией, но, в основном, не имеющих никакой связи с математикой. Основной фигурой этого периода несомненно является Пифагор. Ему принадлежит ряд величайших интеллектуальных открытий, среди которых мы выделим два. Во-первых, Пифагор учил, что Земля, наравне с другими небесными телами, имеет форму шара, и она висит без всякой поддержки среди Вселенной. Во вторых, Пифагор считал, что к каждой из семи планет (включая Солнце и Луну в это число) прикреплена особая сфера. Расстояния этих сфер от Земли он привел в зависимость от гармонических отношений между числами, поскольку, по его мнению, сферы при вращении производили гармонические звуки, доступные уху немногих избранных. Таким путем родилась идея о музыке сфер, которая постоянно встречается в средневековой литературе.

Другой выдающейся астрономической идеей, относящейся к тому же периоду и принадлежащей пифагорейцу Филолаю, является утверждение о движении Земли.

Появление столь важной идеи, как идеи о движении Земли (которому так противится непосредственное чувство), сыграло в дальнейшем большую роль.

Второй период характеризуется тем, что в астрономию вошла геометрия. Её использование в астрономии тесно связано с философской традицией, откуда она заимствовала принцип кругового и равномерного движения как основу неравномерных движений. Один из величайших математиков античности Евдокс Книдский построил первую в истории науки астрономическую теорию гомоцентрических сфер, завершенную в разумных пределах, в основе которой лежала чисто теоретическая геометрическая модель, никак не связанная с реальными астрономическими наблюдениями. Эта теория позже была усовершенствована Каллиппом и принята с определенными изменениями Аристотелем.

Теория Евдокса качественно воспроизводила особенности движения Солнца, Луны и пяти планет: суточное вращение небесной сферы, движения светил вдоль эклиптики с запада на восток с различными скоростями, изменения широты и попятные движения планет. Движения светил в ней управлялись вращением небесных сфер, к которым они были прикреплены;

сферы обращались вокруг единого центра (Центра Мира), совпадающего с центром неподвижной Земли, имели один и тот же радиус, нулевую толщину и считались состоящими из эфира. Видимые изменения блеска светил и связанные с этим изменения их расстояний относительно наблюдателя не могли получить в рамках этой теории удовлетворительного объяснения.

Теория Евдокса послужила основой для возникновения математической дисциплины – сферики, в рамках которой теоретически решались задачи, связанные с суточным вращением небесной сферы и ее важнейших кругов – экватора и эклиптики, - восходами и заходами светил, знаков зодиака относительно горизонта на различных широтах. Эти задачи решались с помощью сферической геометрии. В развитии сферики принимал участие целый ряд античных математиков, как, например, Автолик, Евклид, Теодосия, Менелай.

Выдающимся достижением античной астрономии стала теория гелиоцентрического движения планет, предложенная Аристархом Самосским. Однако эта теория не оказала какого-либо существенного влияния на развитие теоретической астрономии. Ему же принадлежит определение сравнительного расстояния Солнца и Луны.

Принципиальным шагом вперед стало изобретение эксцентров и эпициклов, позволяющих качественно объяснить, на основе равномерных и круговых движений, наблюдаемые неравномерности движения светил в одно и то же время и изменения их расстояний относительно наблюдателя. Эквивалентность эпициклической и эксцентрической моделей для Солнца и Луны доказал один из крупнейших математиков античности Аполлоний Пергский, который применил также эпициклическую модель для объяснения попятных движений планет.

Третий период развития греческой астрономии начался, по существу, с Гиппарха и закончился Птолемеем. Этот период характеризуется тем, что греческие астрономы этого времени начали сверять гипотезы, полученные из различных теорий, с результатами наблюдений.

«Быть может, лучшей иллюстрацией истинно-научной осмотрительности послужит нам при«мер Гиппарха, который, испытав представившиеся ему известные теории и признав из несостоятельность, благоразумно воздержался от построения новой теории на заведомо недостаточных данных и терпеливо занялся накоплением свежего материала, которым он сам никогда не воспользовался, а завещал его будущим астрономам, дабы они могли построить при помощи его более совершенную теорию» (А. Берри, 10, с. 74).

Новые математические средства позволили перейти от качественного к количественному описанию движения светил, т.е. построить, наряду с теоретической моделью, прагматическую модель. Впервые, по-видимому, эту задачу успешно решил Гиппарх. Он создал на основе эксцентрической и эпициклической моделей прагматические модели движения Солнца и Луны, которые позволяли определять их текущие координаты для любого момента времени. Однако ему не удалась построить аналогичные модели для планет из-за отсутствия наблюдений.

Проведение наблюдений составляло особое направление в античной астрономии задолго до Гиппарха. Этот процесс сопровождался развитием и конструированием соответствующих инструментов наблюдения. В ранний период наблюдения носили в основном качественный характер. С появлением теоретических моделей связано и изменение целей наблюдений. С этого времени основной целью наблюдений стало определение геометрических и скоростных параметров принятых кинематических моделей. Параллельно разрабатываются астрономические календари, позволяющие фиксировать даты наблюдений и определять интервалы между наблюдениями на основе линейной равномерной шкалы времени. При наблюдении фиксировали положения небесных тел относительно выделенных точек кинематической модели в текущий момент или же определяли время прохождения одного из них через выделенную точку схемы. В качестве примера наблюдений можно привести определение моментов равноденствий и солнцестояний, высоты Солнца и Луны при прохождении через меридиан, временных и геометрических параметров затмений, дат покрытия Луною звезд и планет и т.д.

Наиболее ранние наблюдения такого рода относятся к V веку до н.э. В последующее столетия расширялся не только объем наблюдений, но и их география.

До нас эта теория, которую обычно называют теорией Гиппарха—Птолемея или теорией Птолемея, дошла в книге «Алмагест» Птолемея. Появление «Алмаге-ста» было бы невозможно без предшествующего развития методов логистики – стандартного набора правил для проведения вычислений.

Говоря современным языком, «Алмагест» является первым руководством по решению ряда астрономических задач с помощью процесса моделирования. При решении упомянутых выше задач Птолемей следует стандартной методике, которая очень напоминает этапы моделирования, описанные в п. 3.3.

Постановка задачи у Птолемея соответствует, по существу, выбору цели исследования. Критерием достижения цели у него является построение такой модели, расчеты по которой подтвердили бы имеющиеся наблюдения.

Следующий этап – это построение теоретической модели, основные элементы которой описаны в соответствующей теории. На основе предварительных грубых наблюдений выясняются характерные особенности в движении светила и производится выбор кинематической модели, которая наилучшим образом описывала бы наблюдаемые явления. Процедура выбора одной модели из нескольких равновозможных должна удовлетворять «принципу простоты»:

«Мы считаем уместным объяснять явления при помощи наиболее простых предположений, если только наблюдения не противоречат выдвинутой гипотезе» (К. Птолемей, 67, с. 79).

Приведенные слова Птолемея почти на тысячу лет опередили слова одного из крупнейших философов позднего средневековья У. Оккама, которые известны в литературе как «бритва Оккама»: « Сущности не следует умножать без необходимости»

(«Entia non sunt multiplicanda practer necessitatem»).

Первоначально выбор производился между простой эксцентрической и простой эпициклической моделями. На данном этапе решались вопросы о соответствии кругов модели определенным периодам движения светила, о направлении движения эпицикла, о местах ускорения и замедления движения, о положении апогея и перигея и т.д.

Из сказанного следует (если воспользоваться понятиями, которые были введены в главе 3), что Птолемей искал приемлемую модель, а не адекватную модель. В подтверждение этому приведем следующие слова Птолемея:

«И пусть никто … не считает эти гипотезы слишком искусственными;

не следует применять человеческие понятия к божественному и добиваться в таком великом деле уверенности при помощи совсем неподходящих аналогий… Но к небесным движениям нужно пытаться приспособить сколь возможно простые предположения, а если этого недостаточно, то, во всяком случае, допустимые… Лучше будет и о самой простоте небесного судить не на основе того, что нам кажется таким…» (К. Птолемей, 67, с. 401).

Третий этап заключается в построении прагматической модели на основе выбранной теоретической модели, что означало конкретизацию основных элементов (параметров) на основе наблюдений. Используя наблюдения, как свои собственные, так и своих предшественников, Птолемей определяет периоды движения светила с максимально возможной точностью, геометрические параметры модели (радиус эпицикла, эксцентриситет, долготу апогея и др.), моменты прохождения светила через выделенные точки кинематической схемы, чтобы привязать его движение к хронологической шкале.

Проще всего указанная методика работает при описании движения Солнца, где достаточно простой эксцентрической модели. При построении прагматических моделей для других светил Птолемею приходилось неоднократно менять теоретическую модель для того, чтобы выбрать наиболее подходящую. Так, например, при исследовании Луны Птолемею пришлось трижды видоизменять теоретическую модель, чтобы найти такое сочетание кругов и линий, которое наилучшим образом соответствовало бы наблюдениям. Существенные усложнения пришлось внести также в теоретические кинематические модели для описания движений планет по долготе и широте.

Построенную прагматическую модель Птолемей использовал для предсказания положения небесных тел в произвольный момент времени. Для вычисления координат светила в конкретный момент времени Птолемей построил специальные таблицы. В основе этих таблиц лежит представление о линейной однородной шкале времени. Любая величина, зафиксированная в таблице, получалась в результате не-простых вычислений.

Эти таблицы вместе с таблицами Гиппарха, по своей сути, были первыми в истории математики числовыми таблицами математических функций.

Резюмируя вышесказанное, можно сделать несколько выводов о значении системы Гиппарха – Птолемея для дальнейшего развития науки. Во-первых:

«Теория Птолемея дала первое полное, в разумных пределах, подтверждение постоянства и неизменности природы и была воспринята как окончательное решение поставленной Платоном проблемы объяснения видимых движений небесных тел. Никакой другой из полученных в греческую эпоху результатов не может соперничать с “Алмагестом” по глубине влияния на представления о Вселенной, и ни одно сочинение, за исключением “Начал” Евклида, не обрело столь беспрекословного авторитета» (М. Клайн, 39, с.36).

Во-вторых, система Гиппарха – Птолемея стало первым построением математических моделей для количественного прогнозирования процессов физических явлений.

В-третьих, создание системы Гиппарха – Птолемея явилось первым и единственным случаем в почти двухтысячелетней истории математики, когда потребности решения естественных проблем вынудили развить специфические математические теории и методы, способствующие решению этих проблем. В частности, как мы уже говорили выше, были заложены основания плоской и сферической тригонометрий.

В-четвертых, система Гиппарха – Птолемея положило основание прагматической математики, т.е. математики, которая использует теоретические математические знания для решения количественных задач. Эта математика окончательно оформилась только в XVII веке. Следующую подобную систему мы встречаем в XVII веке у И. Кеплера.

В-пятых, «Алмагест» можно рассматривать как первое методологическое пособие по математическому моделированию, которое, как методологический подход к исследованию поведения объектов различной природы, получило распространение только в середине ХХ века.

Почти всем, чем отличается новый мир от более ранних веков, обусловлено наукой, которая достигла своих наиболее поразительный успехов в XVII веке… Новый мир, насколько это касается духовных ценностей, начинается с XVII века. Нет такого итальянца эпохи Возрождения, который не поняли бы Платон или Аристотель, Лютер привел бы в ужас Фому Аквинского, но последнему было бы нетрудно понять его. С XVII века все обстоит иначе: Платон и Аристотель, Фома Аквинский и Оккама не смогли бы понять Ньютона.

Б. Рассел Часть 3. Европейская математика.

Сама возможность математического познания кажется неразрешимым противоречием. Если эта наука является дедуктивной только по внешности, то откуда у нее берется та совершенная строгость, которую никто не решается подвергать сомнению? Если, напротив, все предложения, которые она выдвигает, могут быть выведены одни из других по правилам формальной логики, то таким образом математика не сводится к бесконечной тавтологии? Силлогизм не может нас научить ничему существенно новому, и если все должно вытекать из закона тождества, то все также должно к нему и приводиться. Но неужели возможно допустить, что изложение всех теорем, которые заполняют столько томов, есть не что иное, как замаскированный прием говорить, что А есть А.

А. Пуанкаре Глава 6. Европейская теоретическая математика.

Распространенное мнение, что с возрастанием расстояния мы выигрываем в «исторической перспективе», по-моему, совершенно не соответствует фактическому положению вещей. Мы выигрываем только в самонадеятельности, с какой мы делаем обобщения, на которые бы никогда не осмелились, если бы имели доступ к реальному богатству современных свидетельств.

О. Нейгебауэр То, чего нам удалось достичь с помощью математического описания и предсказания, напоминает удачу человека, нашедшего стодолларовую купюру.

М. Клайн 6.1. Несколько исторических замечаний.

В III—IV веках греческая культура прекратила свое существование в Западной Европе из-за различных бедствий, обрушившихся на нее, включая нашествия варваров. По существу, там была уничтожена вся культурная прослойка Римской империи. Тяжелые потери греческая культура понесла и на Востоке. Были закрыты почти все центры греческой культуры в Византии, включая знаменитую Афинскую школу. Указ византийского императора Юстиниана от 529 г. о запрещении языческих школ заставил бежать греческих ученых из Афин в Персию и в Индию. Нашествие арабов и сожжение Александрийской библиотеки положило конец Александрийской школе. Остались существовать отдельные центры греческой культуры в Сирии (например, академия в Евфрате) и на Востоке, в частности, в Индии.

Однако эти оставшиеся культурные оазисы не способствовали развитию культуры.

Основным их достижением было ознакомление местных, приходящих и проходящих народов с греческой культурой. С этого времени греческая культура как самостоятельная живая культура перестала существовать. Но, к счастью для всего человечества, она сохранилась в книгах.

Греческая математика умерла еще раньше. Как образно выразился Ван дер Варден (13), «пламя греческой математики погасло, как догоревшая свеча». Однако математика оставила глубокий след в сознании тех народов, у которых сохранились следы греческой культуры. Эти народы получили в наследство и целую библиотеку книг, в которых было изложены все достижения греческой математики, в том числе и изумительный учебник математики.

Ближний Восток и Индия познакомились с греческой культурой благодаря походам Александра Македонского, который создавал в каждом завоеванном государстве центры греческой культуры. Государства, образовавшиеся после распада его империи, сохранили эти центры, чем также способствовали распространению этой культуры. Пришедшая затем Римская империя только усилила влияние греческой культуры в этих странах. С упадком Римской империи школы математических исследований постепенно перемещались в Индию, куда бежали некоторые греческие математики после разгрома Александрийской школы, а позже переместились в обратном направлении, в Месопотамию. В Индии образовались два основных центра математических исследований: в Майсоре (Южная Индия) и в Уджджайне (Центральная Индия). Из этих школ вышел целый ряд известных математиков, таких, как Ариабхата, Брахамагупта и другие, оставившие после себя книги, которые позже были переведены на европейские языки. Первые индийские книги, содержащие сведения астрономо-математического характера, появились в V в. н.э. и стали известны под именем «сиддханта» (учения).

Как и в любой человеческой цивилизации, в Индии была развита своя прематематика, которая называлась «ганита» (что означает «искусство вычислений») и представляла собой набор местных методик решения практических количественных задач. В качестве одного из доказательств существования индийской прематематики задолго до греков можно привести книгу «Шулва сутра» («Правила веревки»), относящуюся к VII—V векам до н.э. Здесь находятся самые большие достижения индийцев. Прежде всего, индейцы предложили десятичную позиционную систему для записи чисел с помощью цифр. Эта система цифр, известная под именем «деванагари» и возникшие из цифр брахми, позже была переработана в арабские цифры, а через них – и в европейские цифры. Далее, индийские математики, начиная с Брахмагупты (VII в. н.э.), систематически пользовались отрицательными числами и трактовали положительные числа как имущество, а отрицательные числа – как долг. Брахмагупта приводит все правила арифметических действий над отрицательными числами.

В области математики индийцев интересовала только диофантова арифметика, с которой их познакомили греческие математики из Александрии. Все исследования в этой области индийцы проводили в греческом духе: здесь не было ничего такого, что бы не смогли сделать греки. Основным достижением индийцев можно считать использование определенной символики, что было существенным шагом вперед по отношению к греческой математике. Особенно интересна символика, связанная с представлением определенного вида радикалов, что позволило с помощью аналогии определить ряд действий над ними. Другим, не менее важным, достижением является введение в рассмотрение нуля и отрицательных чисел, хотя это скорее относится к индийской прематематике. Только позже отрицательные числа стали встречаться в решениях уравнений, например, у индийского математика XII века Бхаскара II.

Индийцы познакомились с греческой теоретической и практической астрономией от бежавших в Персию и в Индию александрийских математиков. Уже древнейшая из сиддхант «Пулиса-сиддханта» познакомила индийцев с тригонометрией хорд александрийских астрономов. Варахамихира в «Панча-сиддхантике» («Пять сиддхант») заменил хорду полухордой, т.е. линией синуса. Для проведения астрономических расчетов индийцы строили свои численные таблицы, в частности, таблицы синусов. Эти таблицы отличала высокая точность проводимых вычислений.

Подытоживая сказанное, можно утверждать, что индийцы не внесли ничего принципиально нового в развитие собственно математики. Их основным математическим достижением было то, что они способствовали появлению интереса к математике в Месопотамии.

Математика начинает развиваться в Месопотамии только во времена ислама, начиная с VIII века. Потомки диких арабов, развернувшие знамя Магомета на громадном пространстве Римской империи и странах, лежащих далеко к востоку, быстро почувствовали влияние цивилизации покоренных народов. Багдад, с VIII века ставший столицей халифов, очень скоро превратился в центр литературной и научной деятельности. Халиф Аббасидской династии ал-Мансур, царствовавший во второй половине VIII века и основавший Багдад, стал покровителем науки и собрал вокруг себя ученых как из Индии, так и с запада. В частности, группа сирийских христиан стала для него переводить на арабский язык труды греческих авторов. Прежде всего были переведены медицинские трактаты Гиппократа и Галена. Аристотелевы идеи, заключенные в трудах этих ученых, возбудили, по всей вероятности, общий интерес к трудам Аристотеля, что способствовало переводу его трудов на арабский язык. Кроме того, на арабский язык стали переводить и индийские сиддханты, с помощью которых арабы познакомились с индийской прематематикой и получили некоторые сведения из греческой математики.

За греческой медициной очень скоро последовала греческая астрономия (астрология).

Первый перевод «Алмагеста» был сделан по приказанию преемника ал-Мансура — Гаруна ал-Рашида. Однако эта попытка была неудачной, так как переводчик, по всей вероятности, не был знаком с греческой математикой в достаточной степени. Однако эта неудача привлекла внимание к математическому наследию греков, хотя новые попытки перевести «Алмагест» были уже сделаны только в следующем столетии.

При более поздних халифах Аббасидской династии продолжался расцвет греческой культуры. Так в IX в. халиф ал-Мамун соорудил в Багдаде «Дом мудрости» с библиотекой и обсерваторией. В этот период были переведены на арабский язык уцелевшие греческие книги Евклида, Птолемея, Аполлония, Архимеда, Диофанта и др. Ставшее всеобщим применение названия «Альмагест» для «Большого собрания» Птолемея указывает на влияние арабских переводов на Европу. Благодаря этим воспроизведениям и переводам до нас дошли многие греческие классики, которые иначе оказались бы потерянными. В течение IX—XIII веков исламский мир выдвинул таких крупных математиков, как ал Хорезми, ал-Кархи, Омар Хайям, ат-Туси и другие.

Исламские работы в области точных наук, которые начались с перевода «Сиддханты»

ал-Фазири, достигли своей первой вершины в деятельности Мухаммеда ибн Мусса ал Хорезми, творчество которого приходится на первую половину IX века. Одна из его книг, озаглавленная «Хисаб ал-джабр ва-л-мукабала», арабский текст которой сохранился, стала также известна на Западе в латинском переводе, а слово «ал-джабр» стало названием науки «алгебра». Эта книга была посвящена решению различного типа алгебраических уравнений и послужила главным источником, с помощью которого Западная Европа познакомилась с арабской алгеброй. Содержание этой книги свидетельствует о том, что наибольший интерес для исламского мира лежал в диофантовой арифметике, которая постепенно превращалась в то, что впоследствии стали называть алгеброй.

Подытожить роль и значение мусульманской математики в истории можно следующими словами Б. Рассела:

«Мусульманская цивилизация в свои великие дни достигла замечательных результатов в области искусств и во многих областях техники, но обнаружила полную неспособность к самостоятельным умозрительным построениям в теоретических вопросах. Её значение, которое нельзя недооценивать, заключается в роли передатчика. Античную и новую европейскую цивилизацию разделяют века мрака. Мусульмане и византийцы, будучи лишены умственной энергии, необходимой для новаторства, сохранили аппарат цивилизации: образование, книги и ученый досуг. Мусульмане и византийцы стимулировали Запад, когда он вышел из состояния варварства: мусульмане преимущественно в XIII столетии, византийцы же большей частью в XIV столетии» (Б. Рассел, 71, с.444).

X—XI вв. являются тем рубежом времени, начиная с которого вся интеллектуальная жизнь Западной Европы стала изменяться. Этот перелом можно объяснить двумя причинами. Во-первых, радикальным изменением хозяйственной жизни, когда на общественную арену вышло новое сословие, состоящее из горожан, занимающихся торговлей и ремеслами. Среди этого населения резко возросло количество образованных людей. Во-вторых, в Европу мощным потоком стали проникать знания, в том числе математические и прематематические знания, накопленные в исламском мире. Центрами новой жизни сначала были итальянские города, а затем и города Центральной Европы, такие, как Нюрнберг, Прага, Вена. Все это сказалось как на прематематике, так и на математике.

Как мы уже отмечали выше, греческая математика вернулась в Европу только в XII— XIII веках, когда Европа стала знакомиться с оригинальной греческой культурой, заложенной в книгах греческих авторов, а также с произведениями арабских математиков.

Эти книги стали проникать в Европу сразу из двух направлений: с востока и с запада. На востоке крестовые походы и образование Иерусалимского королевства, а также торговые связи с Византией, столкнули между собой две культуры: западно-христианскую и мусульманскую. На западе книги приходили из Испании. Поэтому все дальнейшее развитие математики происходило под полным влиянием книг древних греков и арабов, с которыми европейцы стали знакомиться, прежде всего, по переводам с арабского языка.

Деятельность переводчиков с арабского стала бурно развиваться по мере захвата испанцами Пиренейского полуострова. Когда в 1085 г. был взят Толедо, сюда ринулись жаждущие знаний. В скором времени здесь уже работала целая группа переводчиков, куда входили люди различных национальностей. Одним из первых переводчиков был английский ученый Аделард из Бата, написавший книгу «Правила абака». Он первый перевел «Начала» Евклида в пятнадцати книгах на латинский язык. Другой англичанин, Роберт из Честера, перевел в Сеговии в 1145 г. алгебраический трактат ал-Хорезми, положив начало алгебраическим знаниям европейских ученых. Наиболее выдающимся переводчиком той эпохи был Герардо из Кремоны, переведший «Алмагест» Птолемея и ряд трудов арабских и греческих ученых.

По существу, тысячу лет Европа жила без математики и совсем не чувствовала ее нехватку. Все необходимые потребности выполняла прематематика. Как мы уже отмечали выше, европейцы стали заниматься математикой, когда во всем мире в то время практически прекратили заниматься ею. Это явление мы объясняли тем, что логика Аристотеля была внедрена схоластами в католическую теологию. Это привело к тому, что в монастырях и в связанных с ними университетах появился интеллектуальный интерес к оригинальным греческим философским трудам, а через них — и к математике. Так как греческая философия утверждала, что есть глубокая связь математики с природой, то и католические теологи были вынуждены осуществить синтез математики с католической теологией, провозгласив, что Божьи законы для функционирования природы написаны на математическом языке.

Как мы уже упоминали выше, развитие европейской математики до XVII в. можно условно разделить на два периода: XII—XIV вв. и XV—XVI вв. Если в первый период происходило, по существу, знакомство с достижениями греческой и арабской математик, то во втором периоде европейские математики стали получать результаты, не только сравнимые по своему уровню с лучшими результатами греческих и мусульманских математиков, но даже превосходящие их по сложности.

Из математиков первого периода отметим Леонардо Пизанского, известного также под именем Фибоначчи. Он был первым самостоятельным европейским ученым, полностью осветившим все достижения математиков стран ислама. Основным трудом Леонардо является «Книга абака», о которой мы упоминали в п. 3.5. В этой книге он систематизировал огромное количество сведений, почерпнутых из арабских трудов, добавив к этому собственные задачи и методы. «Книга абака» намеого превосходит арифметико-алгебраическую литературу XII—XIV вв. разнообразием и силой методов, богатством задач, доказательностью утверждений. Из других математиков того периода можно отметить Иордана Неморария, Томаса Брадвардина, Ричарда Суайнсхеда, Никола Орема.

В XIV—XV вв. математика развивается главным образом в Италии, Франции и Германии, в конце XVI в. присоединяется Голландия. Наибольших успехов математики Европы в этот период добились в области алгебры. Крупнейшим алгебраистом XV в. был итальянец Лука Пачоли, профессор математики в ряде итальянских университетов.

Основным трудом Л. Пачоли была книга «Сумма [знаний] по арифметике, геометрии, отношениям и пропорциональности», изданная в Венеции в 1494 г. Эта книга была настоящей суммой математических знаний той эпохи. В ней была полностью воспроизведена «Книга абака» Леонардо Пизанского, о которой мы уже говорили выше. В этой книге Пачоли вводит в алгебру, которую он называет «regula della cosa» («правило вещи») и «arte maggiore» («великое искусство»), символические обозначения, так называемые «алгебраические буквы». Здесь же он широко использует отрицательные числа, на трактовку которых оказал влияние тот факт, что Пачоли был изобретателем двойной бухгалтерии. Основные положения этой бухгалтерии он также изложил в этой книге.

«Алгебраические буквы», которыми Пачоли обозначал неизвестную и ее степени и которыми с незначительными видоизменениями пользовались итальянские алгебраисты в XVI в., были важным шагом на пути создания алгебраической символики. Следующий шаг был сделан немецкими алгебраистами XVI в., известными под названием «коссистов». Это название объясняется тем, что они именовали алгебру Coss – от итальянского слова cosa – вещь, обозначавшую неизвестную у итальянских алгебраистов.

Пачоли закончил раздел «Суммы» об алгебраических уравнениях замечанием о том, что для решения определенных уравнений третьей степени «искусство алгебры не дало способа, как не дан способ квадратуры круга». Эти слова Пачоли послужили отправным пунктом для работ итальянских алгебраистов по решению кубических уравнений в радикалах, что явилось первым крупным математическим достижением европейских ученых, существенно превзошедшим открытия математиков Востока.

Профессору Болонского университета С. дель Ферро первому удалось решить в радикалах один из видов кубического уравнения, но он его не опубликовал. Никола Тарталья самостоятельно нашел правило дель Ферро. Эти открытия Тарталья были опубликованы в алгебраическом трактате Джироламо Кардано «Великое искусство, или об алгебраических правилах» (1545). В 1539 г. Кардано, узнав об открытии Тартальи, выпросил у него формулировку решения, поклявшись не публиковать его. Тарталья сообщил свое правило в стихотворении из 25-ти строк. Восстановив по не вполне ясным формулировкам правило и доказав его, Кардано счел себя вправе поместить решение в своей книге, упомянув об авторстве Тартальи. Несмотря на это, за правилом закрепилось название «формула Кардано». В своей книге Кардано также изложил открытый его учеником Луиджи Феррари метод решения уравнения четвертой степени. В ней же впервые встречаются новые математические объекты – мнимые величины.

Кардано называл мнимые величины «чисто отрицательными». Он считал их бесполезными и стремился не применять их. Первым математиком, оценившим пользу мнимых величин, в частности, при решении кубического уравнения, был Рафаэль Бомбелли, последний в блестящей плеяде итальянских алгебраистов XVI в.

Труды перечисленных выше математиков подготовили почву к появлению одного из замечательных математиков XVI в. — Франсуа Виета, который в значительной степени завершил работу предшественников по созданию символической алгебры. Общие идеи и основные правила проведения алгебраических операций Виет изложил в книге «Введение в аналитическое искусство» (1591).

В этой работе он впервые ввел в рассмотрение уравнения с буквенными коэффициентами. Обозначать буквой неизвестное в уравнении стал еще Диофант. Буквы в уравнениях встречаются и у других математиков, но только Виет стал первым систематически и сознательно применять буквенные обозначения в уравнениях. Работа Виета открыла путь, ведущий к таким основным математическим понятиям, как аналитическая формула и функция, что позволило развить в дальнейшем аналитическую геометрию и математический анализ.

Нововведение Ф. Виета можно приравнять по своему значению к таким достижениям в математике и прематематике, которые открыли новые горизонты для исследований, благодаря изменению формы записи или представления результатов исследований. Среди подобных нововведений можно отметить изобретение десятичной позиционной системы для представления чисел, символику Лейбница в математическом анализе. Подходящее обозначение лучше отражает действительность, чем неудачное, и поэтому оказывается обладателем собственной энергии, которая в свою очередь порождает новое.

Нам сегодня, благодаря развитию математики, достаточно трудно по достоинству оценить все революционное значение этого нововведения, ибо нам этот шаг кажется простым и достаточно логичным и очевидным. Однако с позиций существовавшей тогда математики это совершенно не так. Для совершения этого достижения Виет должен обладать достаточно изощренным умом. Попытаемся обосновать наше утверждение.

Во-первых, при помощи своего новшества Виет ввел в математику принципиально иной математический объект, который обладал наибольшей степенью абстракции среди всех встречающихся до тех пор математических объектов. Этот объект, т.е. алгебраическое уравнение с буквенными коэффициентами, представляет собой, с одной стороны, бесчисленное множество всех уравнений, каждое из которых есть уравнение с конкретными числовыми коэффициентами. С другой стороны, любое математическое утверждение относительно уравнения с буквенными коэффициентами является в то же время и утверждением относительно и каждого конкретного уравнения с конкретными числовыми коэффициентами.

Во-вторых, благодаря такому подходу появилась наконец возможность формулировать и доказывать алгебраические утверждения на таком же уровне общности, как и геометрические теоремы. Это был первый, но принципиально важный шаг на пути к построению алгебры как математической теории и алгебраизации всей математики.

Оглядываясь назад, можно с полной уверенностью сказать, что именно это чисто техническое нововведение, которое (возможно) трудно назвать открытием, обеспечило в последующем создание и развитие европейской математики.

В-третьих, введение буквенных коэффициентов в рассмотрении квадратных уравнений являлось первым шагом в построении символического математического языка, без которого не могло быть прогресса в математике. Введение символьной записи для представления математических зависимостей изменило лицо математических исследований, расширив их границы и углубив их. Эти изменения естественным образом связаны с тем, что символьная запись математических зависимостей позволила вводить новые математические понятия, тем самым создав специфический математический язык, отличный от геометрического представления математических зависимостей. Именно отсутствие символьной записи математических зависимостей было причиной недостаточного распространения математических моделей в древности и сдерживающим фактором в развитии математики до XVII века.


В-четвертых (что вытекает из предыдущего), самым замечательным следствием новшества Виета является введение в рассмотрение математических формул. Под формулой мы понимаем некий алгоритм решения однородного множества конкретных задач, записанный с помощью символов. Введение в рассмотрение математических формул имеет очень глубокий философский смысл. Формула является «мостом», связывающим математику с прематематикой, интеллектуальное познание — с прагматическим. Так как формула представляет собой запись алгоритма решения задачи, то на нее можно посмотреть как на прагматическое знание. Формула, математически выведенная, представляет собой, с одной стороны, интеллектуальный продукт, являющийся результатом интеллектуальных рассуждений, а с другой стороны, ее можно рассматривать как прагматическую гипотезу, которая проверяется опытом.

В 1558 году был издан перевод работ Архимеда на латынь, выполненный Коммандино, который открыл перед европейцами античный интеграционный метод. Эта книга послужила катализатором для появления ряда работ в области статики и гидравлики.

Более того, она также стимулировала исследования в новом разделе математики, который впоследствии получил название «математический анализ». Важным шагом в этом направлении была книга Бонавентуры Кавальери «Геомет-рия», где автор построил упрощенную разновидность исчисления бесконечно малых, основанную на схоластическом представлении о неделимых величинах. Оно заключалось в том, что точка порождает при движении линию, а линия – плоскость. Появление этой книги побудило многих математиков различных стран заняться задачами, в которых применялись бесконечно малые. Среди этих математиков можно встретить Декарта, Ферма, Валлиса, Торричелли, Барроу.

Резюмируя вышесказанное, можно утверждать, что к концу XVI века европейская математика полностью овладела теми математическими знаниями, которые ей достались от греков, арабов и индийцев. Европейцы, в отличие от арабов и индийцев, значительное внимание уделяли геометрии, ибо они достаточно быстро овладели искусством дедуктивного математического доказательства (сказалось влияние схоластики). Но здесь в рассматриваемый нами период европейцам не удалось получить существенных результатов, превосходящих достижения греческой геометрии. Зато в области алгебры и арифметики они достаточно быстро догнали и перегнали не только греков, но и арабов и индийцев, и с этого времени и до настоящего все основные достижения в математике принадлежат западной цивилизации. Конец рассматриваемого периода характеризуется тем, что интеллектуальный уровень европейской математики полностью достиг уровня греческой математики. Теперь оставалось немного времени до того, когда уровень развития европейской математики превзойдет греков.

Математика XVII века в Европе была своеобразным интеллектуальным занятием, сохранившим в себе нечто от цеховых традиций средневековья. Обычной была ситуация, когда отдельные мастера, придумав какую-нибудь сложную задачу, бросали публичный вызов своим собратьям по цеху, предлагая им найти решение и показать свое ремесло.

Выше мы уже приводили примеры таких соревнований в Италии. Методы решения задач держались в тайне от соперников — точно так же, как любой цеховой мастер оберегал тайны своего профессионального мастерства. Пьер Ферма унес с собой многие тайны своего искусства;

многочисленные открытия Ньютона ждали своей публикации не один десяток лет.

Принципиальный шаг в сторону создания новой математики был сделан Р. Декартом, который заложил основы новой математической дисциплины, которую сегодня называют аналитической геометрией. Эта дисциплина связала между собой алгебру и геометрию.

«Все задачи геометрии можно легко привести к таким терминам, что для их построения нужно будет знать лишь длину некоторых прямых линий… Подобно тому, как вся арифметика состоит только из четырех или пяти действий, именно в сложении, вычитании, умножении, делении и извлечении корней, которое можно считать некоторого рода делением, подобно этому в геометрии, чтобы подготовить искомые линии к определению, нужно только прибавить к этим линиям или отнять от них другие;

или же нужно, имея линию, которую я, дабы установить более тесную связь с числами, назову единицей и которая может быть выбрана произвольно, и имея еще две другие линии, найти четвертую линию, так относящуюся к одной из двух, как единица к другой, а это то же самое, что деление;

или, наконец, найти одну, или же две, или несколько средних пропорциональных между единицей и какой-нибудь другой линией, а это то же самое, что извлечь квадратный или же кубический и т.д.

корень» (Р. Декарт, 27, сс.11-12).

Все операции над отрезками приводят в исчислении Декарта к отрезкам. Любой отрезок, в его отношении к единичному, служит эквивалентом некоторого действительного числа. Само исчисление основано на том, что отрезки обозначаются буквами или цифрами, а операторы — обычными знаками арифметики и алгебры. Таким образом, устанавливается тесная связь между алгеброй и геометрией. В этом случае любое алгебраическое выражение можно рассматривать как отрезок, если выбран единичный отрезок. Суть этой связи четко выразил А.П. Юшкевич (26, с. 526):

«Отметим, прежде всего, что переменные величины были введены Декартом – если не явно, то по существу – в двух проявлениях. С одной стороны, это отрезки переменной длины, текущие координатные отрезки точки, своим движением описывающие плоскую кривую. С другой стороны, это численные переменные, выражающие длины, а для ординат – и направления координатных отрезков. Такой двуликий геометрический и числовой образ переменных обуславливал взаимопроникновение геометрических и арифметико-алгебраиче-ских методов и ставшее в очередь дня применение алгебры к геометрии. Само понятие о числе, под которым ранее понималось положительное рациональное, Декарт – опять-таки, если и неявно, то фактически – распространил на всю область вещественных чисел: без этого немыслимо было аналитическое изучение непрерывных пространственных фигур, их взаимосвязей и движения. Тем самым Декарт порывал с восходившей к античности традицией, считавшей разнородными объекты арифметики и геометрии, дискретное число и непрерывно протяженную величину и придерживавшейся того правила, что нельзя переносить доказательства из одного рода в другой, например, доказательства арифметики – на величины, не являющиеся числами».

Создание аналитической геометрии положило начало алгебраизации математики, ибо с этого времени исследования в области геометрии стали проводиться на алгебраическом языке. Другими словами, если греки при построении математики свели алгебру к геометрии, то Декарт при своем построении математики начал процесс сведения геометрии к алгебре. Разработка аналитической геометрии, а также теории движения, привела к тому, что Декарт одним из первых стал неявно пользоваться понятием функции.

Введение в рассмотрение понятия функции было другим выдающимся математическим событием того времени. Происхождение любой важной идеи всегда можно проследить, углубляясь в историю на десятилетия, если не на века. В полной мере это относится и к понятию функции, которое начало оформляться задолго до XVII века. Тем не менее, явный смысл это понятие обрело лишь в XVII веке, а с началом ХХ века оно становится универсальным, которое широко используется во всех областях знаний.

В становлении понятия функции возобладало новое представление функциональной зависимости – в виде формулы, а все прежние способы отошли на второй план.

Решающую роль здесь сыграли два момента. Во-первых — создание эффективной символики в алгебре, начало которой положил Виет, что позволило записывать в сжатой и удобной форме алгебраическое выражение, включающее в себя неизвестные величины и произвольные коэффициенты. Во-вторых — создание Декартом и Ферма аналитической геометрии, в основе которой лежало, в частности, представление геометрических кривых в виде уравнения. Хотя Декарт рассматривал, в основном, такие кривые, уравнение которых представляет собой алгебраическое выражение, в течение короткого времени это ограничение было снято другими математиками, в том числе Ньютоном и Лейбницем.

Лейбницу мы обязаны самим словом «функция».

Распространение этого понятия среди математиков дало возможность ввести и другие понятия, связанные с понятием функции: непрерывная функция, производная функция, интеграл и т.п. Все эти понятия легли в основу математического анализа, который являлся основным и главенствующим направлением математики в рассматриваемый период времени.

Наряду с упомянутой выше книгой Кавальери одним из наиболее важных произведений «периода предтеч математического анализа» была «Арифметика бесконечных» (1655) Валлиса. В отличие от Кавальери, Валлис применил к своим исследованиям алгебру. Он был первым математиком, у которого алгебра переросла в анализ. Те результаты, которые Валлис приводил в своей книге, отличались тем, что греки ни в коем случае не могли бы их получить. Он вводил в рассмотрение бесконечные ряды и бесконечные произведения, весьма смело обращался с мнимыми выражениями, с отрицательными и дробными показателями.

Валлис был только одним из целого ряда блестящих представителей этого периода, обогащавших математику одним значительным открытием за другим. Среди них мы видим таких выдающихся математиков, как П. Ферма, Х. Гюйгенс, Б. Паскаль.

.

«Общий метод дифференцирования и интегрирования, построенный с полным пониманием того, что один процесс является обратным по отношению к другому, мог быть открыт только такими людьми, которые овладели как геометрическим методом греков и Кавальери, так и алгебраическим методом Декарта и Валлиса. Такие люди могли появиться лишь после 1660 г., и они действительно появились в лице Ньютона и Лейбница. Очень много написано по вопросу о приоритете этого открытия, но теперь установлено, что оба они открыли свои методы независимо друг от друга. Ньютон первым открыл анализ (в 1665-1666 гг.), Лейбниц в 1673-1676 гг., но Лейбниц первый выступил с этим в печати (Лейбниц в 1684-1686 гг., Ньютон в 1704-1736 гг., посмертно). Школа Лейбница была гораздо более блестящей, чем школа Ньютона» (Д.Я. Стройк, 75, с.146).


Развитие математики в Европе было тесно связано с методологическим развитием естествознания в XVII века.

«Перед нами со всей отчетливостью проступает общая закономерность: мыслители, стоящие у истоков современной науки, к числу которых мы можем причислить Декарта, Галилея, Гюйгенса, Ньютона, а также Коперника и Кеплера, подходили к исследованию природы как математики, будь то избранный ими общий метод или конкретные исследования. Будучи мыслителями абстрактно-теоретического толка, они надеялись постичь широкие, глубокие, но вместе с тем простые, ясные и незыблемые математические принципы либо с помощью интуитивных прозрений, либо путем решающих наблюдений и экспериментов, а затем вывести из этих фундаментальных истин новые законы точно таким же способом, каким в самой математике строится геометрия. Научная деятельность, по их мнению, должна сводиться к дедуктивным рассуждениям, и именно дедуктивным путем надлежит строить все системы умозаключений» (М.

Клайн, 39, с.116-117).

С созданием математического анализа закончилась эпоха греческой математики и началась эпоха европейской теоретической математики, которая принципиально отличается от греческой математики не только по месту ее развития, а по своему духу.

Греческая математика не исчезла с возникновением европейской математики. Она просто отодвинулась на задний план, хотя привлекала и привлекает и сегодня крупнейших математиков заниматься ее задачами.

Ньютон создал удивительный интеллектуальный синтез, который, с одной стороны, был теоретической математикой, а с другой — теоретической физикой. На это уникальное явление можно было бы посмотреть как на осуществление мечты греков платоников. Основными элементами картины мироздания являлись математические объекты, в которые вкладывался определенный физический смысл.

Задачи естествознания, поставленные Ньютоном, потребовали разработки принципиально новых математических методов. Математика была для него главным орудием в его физических изысканиях. Ньютон не раз подчеркивал, что понятия математики заимствуются извне и возникают как абстракция явлений и процессов физического мира, а это означало, по его мнению, что математика является частью естествознания.

Европейская математика по своим целям, по своей направленности полностью отличается от греческой математики. Последняя, как мы пытались показать выше, была, по своей сути, интеллектуальным искусством. Более того, только философы могли говорить о связи математики с природой. Греческая математика не могла помочь в объяснении или описании ни одного природного явления. Европейская же математика, благодаря Ньютону, стала неотъемлемой частью европейского естествознания:

европейские физика и астрономия заговорили на математическом языке. Именно обращение математики к естествознанию превратило ее из отрасли интеллектуального искусства в прикладную научную дисциплину.

Ньютон ввел движение в алгебру. Как мы отмечали выше, своими достижениями греческая геометрия прежде всего обязана тому, что в ней используется движение в процессе доказательства теорем и построения геометрических фигур. Однако, по своей сути, движение в геометрии не является непрерывным, это либо наложение, либо перенос. Эти операции можно с достаточной долей общности рассматривать как дискретные. Непрерывность в геометрии можно встретить только при построении геометрических фигур, и то лишь потому, что греки решили использовать в геометрии циркуль и линейку. Греки старались обходить стороной непрерывность, ибо при ее рассмотрении с философской точки зрения встречалось достаточное количество парадоксов. Их алгебра и арифметика были дискретными.

Математический анализ Ньютона, рассматриваемый как часть алгебры, в качестве основных математических объектов использует непрерывные функции.

Дифференцирование гораздо легче объяснить, используя в объяснении движение.

Другими словами, европейская алгебра стала непрерывной. Необходимо отметить, что Ньютону удалось сделать то, что не удалось сделать Декарту: математический анализ больше подходил для соединения пространства и движения, нежели аналитическая геометрия. Введение понятия непрерывности функций позволило открыть для европейской математики новые широкие просторы, ибо возможности для математической деятельности, определенные греческой математикой, были уже практически использованы.

Появление новой математической дисциплины, которая встала в ряд с существовавшими до того геометрией, арифметикой и алгеброй, произвело революционный переворот в математике, поставив новую отрасль во главе этой науки.

Математический анализ стал главенствующей отраслью математики во весь второй период развития. Он способствовал более решительному отделению алгебры и арифметики от геометрии, усилил алгебраизацию математики в целом.

При создании математического анализа математические символы (понятия) впервые получили значение как интеллектуальные ненаблюдаемые объекты, несущие определенное интеллектуальное нематематическое содержание. С этого момента математические термины и понятия стали иметь и так называемое «прикладное»

содержание: ненаблюдаемые интеллектуальные объекты, обозначаемые математическими понятиями, стали рассматриваться как ненаблюдаемые элементы окружающего мира. Греки в прошлом при построении интеллектуальной картины мира использовали ненаблюдаемые интеллектуальные понятия (объекты), такие, как материя, атом и т.п. Однако, начиная с Ньютона, только математические объекты, являющиеся элементами математических теорий, стали служить ненаблюдаемыми интеллектуальными объектами, используемыми для описания природных процессов и явлений.

Процесс введения в рассмотрение новых математических понятий в это время существенно отличался от аналогичного процесса во времена древних греков. Все математические понятия, введенные греками, имели достаточно широкую реальную основу, т.е. являлись результатом процесса абстрагирования объектов, которые встречаются в реальной жизни. Именно поэтому эти понятия легко усваивались и применялись. Индусы и арабы ввели в рассмотрение отрицательные и иррациональные числа, но их усвоение растянулось на многие годы и даже столетия, хотя они имели определенный «реальный» смысл, реальное основание. Отрицательные числа возникли при решении практических хозяйственных задач, а иррациональные числа пришли из геометрии. Появление комплексных чисел, а также алгебры, использующей буквенные коэффициенты, а также понятия производной и интеграла, совершенно изменило картину в математике, ибо эти понятия качественно представляли собой абстракции более высокого порядка, чем, например, натуральные числа или треугольник. Введение математических понятий высокой степени абстракции, которые были продуктом человеческого интеллекта, а не обобщением объектов, встречающихся в природе, в дальнейшем привело к значительным сложным проблемам, связанным с построением логического обоснования математического анализа.

Математический аппарат, применённый Ньютоном для построения физической теории, поставил несколько принципиальных проблем перед философией. В основе математической модели, как мы уже отмечали, лежит понятие непрерывной функции.

Сущность непрерывной функции, в частности, заключается в том, что она допускает бесконечное деление аргумента функции. Использование этого математического объекта как символа функционирования физического объекта противоречит основным философским положениям, лежащим в основе метафизики, поскольку те, в определенном смысле, отражают дискретность физических явлений. Среди этих положений, которые противоречат непрерывности, находится и учение об атомах, что, в конечном счете, впоследствии привело к проблемам включения квантовой механики в общую физику, построенную в первой половине XX века.

К концу XVII века занятия математическими науками в Европе стали приобретать принципиально иную форму. «Вызовы на задачу» сменились публикациями в научных журналах. Теперь ученый, развивший новый метод, не хранил его в секрете как «тайное оружие», но сразу раскрывал свои достижения перед коллегами в статье, утверждавшей его приоритет. Так европейская математика из интеллектуального досуга одаренных любителей науки стала постепенно превращаться в фабрику по систематическому и целенаправленному производству новых знаний, и на смену ученым-любителям пришли профессионалы, группировавшиеся в XVIII веке вокруг нескольких крупных академий, а в XIX веке – вокруг многочисленных университетов. Трудно найти более точное описание творческой атмосферы того времени, нежели у Ф. Клейна в его «Лекциях о развитии математики в XIX столетии»:

«Какое чувство восхищения возбуждает небольшая группа избранников, которая представляла нашу науку в XVIII столетии! Свободные от национальной ограниченности, в тесном интеллектуальном общении, поддерживаемые путем оживленного обмена мыслей в личной переписке, эти академики сочетают плодотворнейшее научное творчество с идеальным всесторонним развитием своей личности. Одной из характерных черт в этой картине является то, что ученый того времени обладал обширнейшими познаниями и вне собственной области и всегда чувствовал живую связь своей работы с развитием науки как целого. … Стремление к универсальности, свойственное этой эпохе, выходит за пределы науки и ищет связи со всеми культурными ценностями, с религией, искусством и философией. Во всем чувствуется стремление к великой цели усовершенствования человечества» (Ф. Клейн, 41, с. 32).

Развитие математики было тесно связано с развитием теоретической физики, которая в XVIII столетии была в основном сосредоточена на развитии механики и, более точно, небесной механики. Классическим трудом в этой области явилась книга Лагранжа «Аналитическая механика» (1788). Связь математики и механики прослеживается из следующих слов автора в предисловии:

«В этой работе вы не найдете рисунков. Излагаемые мною методы не нуждаются ни в построениях, ни в рассуждениях геометрического или механического характера, а лишь в алгебраических операциях, подчиняющихся строгим и однообразным правилам. Тот, кто любит математический анализ, с удовольствием увидит, что механика становится новым разделом анализа, и будет мне благодарен за такое расширение области его применения».

В «Аналитической механике», которая появилась через сто лет после «Начал»

Ньютона, вся мощь усовершенствованного анализа использована в механике точек и твердых тел. Достижения Эйлера, Даламбера и других математиков восемнадцатого столетия здесь обработаны и развиты с единой точки зрения. Благодаря полному использованию вариационного исчисления, которое разработал сам Лагранж, оказалось возможным объединить различные принципы статики и динамики.

К концу XVIII века все образованные люди рассматривали математику как нечто абсолютно верное (истинное), чуть ли не как божественное откровение, как язык, на котором Бог создал план Вселенной, основанный на евклидовой геометрии. Задача же ученых была раскрыть этот божественный план.

«К концу XVIII в. математика была подобна гигантскому дереву, прочно стоявшему на почве реальности, с корнями двухтысячелетней давности, с раскидистыми ветвями. Высоко вздымалось древо математики над всеми областями человеческого знания. Никто не сомневался, что в таком виде это дерево будет жить вечно – разве что крона его будет становиться пышнее»

(М. Клайн, 39, с. 82).

Никто не испытывал сомнения, что физическое пространство Вселенной является, по существу, евклидовым пространством, где все подчиняется аксиомам евклидовой геометрии, которые являются абсолютными истинами. Обожествление математики достигло своего апогея в работах различных философов XVIII века. В частности, И. Кант, продолжая традицию, идущую от Р. Декарта, писал:

«Так как во всяком учении о природе имеется науки в собственном смысле лишь столько, сколько имеется в ней априорного познания, то учение о природе будет содержать науку в собственном смысле лишь в той мере, в какой может быть применена в нем математика».

Кроме того, в научной общественности бытовало ощущение (даже более, существовала уверенность), что с помощью математики можно не только описывать существующее состояние физических явлений, но и предсказывать их будущие состояния. Достаточно вспомнить известное высказывание Лапласа:

«Ум, который знал бы все действующие в данный момент силы природы, а также относительное положение всех составляющих ее частиц, и который был бы достаточно обширен, чтобы все эти данные подвергнуть математическому анализу, смог бы охватить единой формулой движение как величайших тел вселенной, так и ее легчайших атомов;

для него не было бы ничего неопределенного, он одинаково ясно видел бы и будущее, и прошлое. То совершенство, какое человеческий разум был в состоянии придать астрономии, дает лишь слабое представление о таком уме».

Однако с логическим обоснованием математики дело обстояло достаточно плохо. Как мы уже говорили, до начала XVII века единственной логически обоснованной отраслью математики была геометрия. Не существовало логического обоснования арифметики.

Введение в рассмотрение отрицательных, а затем и иррациональных чисел внесло разброд в ряды математиков, причем часть из них просто не признавало законности использования новых типов чисел из-за отсутствия определенной степени наглядности. Подобная ситуация продолжалась и в более поздний период, однако, возможно, и с меньшим накалом, ибо новые типы чисел уже «постарели», стали более привычными и иногда казались даже вполне естественными.

Создание математического анализа и его бурное развитие поставили новые проблемы.

Дело в том, что ни Ньютон, и ни Лейбниц не дали строго логического обоснования его основ, в частности, строгих определений вводимых понятий, таких, как непрерывность, производная или дифференциал. Отсутствие строгих и четких определений существенно затрудняло их единообразное понимание другими математиками и часто было причиной противоречивых результатов. Если применение новых типов чисел не приводило к противоречиям, то применение дифференциального и интегрального исчисления, бесконечных рядов и других разделов математического анализа рождало противоречия. В качестве примера можно привести развитие и применение бесконечных рядов, где большое значение имели работы великого математика Л. Эйлера, посвященные сходимости и расходимости рядов, в которых встречаются и ошибочные утверждения.

Сказанное относится не только к Л. Эйлеру, но и к другим математикам его времени.

Ситуацию в обосновании математического анализа в конце XVIII века хорошо обрисовал М. Клайн:

«Итак, XVIII век закончился, оставив обоснование дифференциального и интегрального исчисления и высших разделов математического анализа в крайне неудовлетворительном состоянии. Без преувеличения можно сказать, что к началу XIX века ситуация с обоснованием математического анализа выглядела гораздо хуже, чем в канун XVIII века. Гиганты науки, главным образом Эйлер и Лагранж, дали неверные обоснования анализа. А поскольку их авторитет был чрезвычайно велик, многие из их коллег воспринимали и некритически повторяли все, что делали корифеи, и даже пытались строить новые теории на возведенных теми ложных основаниях. Другие, менее доверчивые, не были удовлетворены тем, что предлагали Эйлер и Лагранж, но надеялись достичь полного обоснования путем незначительных поправок и дополнений. Нужно ли говорить, что они стояли на неверном пути» (М. Клайн, 39, с. 177).

Одна из основных причин создавшегося положения лежит, как мы уже говорили выше, в том, что в математику вошло значительное количество абстрактных понятий, взаимосвязанных и оторванных от непосредственного опыта. Новые понятия отличались от старых большей тонкостью, и заложить аксиоматический фундамент в этой ситуации было совсем непросто. Создание новых понятий, в первую очередь, было связано с постановкой и с решением физических проблем.

Постигнув суть физической проблемы в той или иной ее математической постановке, математики не могли устоять перед соблазном формул, которые, по-видимому, в их глазах обладали притягательной силой. Этот процесс вывода одной формулы из другой с помощью какой-либо формальной процедуры (например, дифференцирования) доставлял им удовлетворение. XVIII век иногда называют Героическим веком в истории математики, потому что именно тогда математики совершили небывалые по своим масштабам и значительности научные завоевания, пользуясь столь слабым логическим оружием.

Подводя итог, можно сказать, что в конце XVIII века сложилась парадоксальная ситуация, когда успехи математики в предсказании и описании явлений природы были чрезвычайно внушительными, в то время как логика быстро расширяющейся математики находилась в плачевном состоянии. Об этом хорошо сказал известный математик Ф.

Клейн:

«Исторически идеал “строгости” не всегда имел одинаковое значение для развития нашей науки;

в зависимости от условий эпохи роль его сильно менялась. В периоды неудержимого роста творческой продуктивности требование строгости часто отступало на задний план, уступая стремлению к возможно большому и быстрейшему обогащению научного достояния. В следующие затем периоды критики – периоды просеивания и очистки достигнутых приобретений – стремление к строгости начинало играть доминирующую роль. Вспомним эпоху возникновения дифференциального и интегрального исчислений в XVIII столетии, когда бурный полет творческой фантазии и страстная жажда открытий создали многое такое, что было не только недостаточно обосновано, но и оказалось впоследствии прямо неверным» (Ф. Клейн, 41, с. 83) Поэтому одной из основных проблем, доставшихся XIX веку, была задача подведения прочного логического фундамента под те разделы математики, где он отсутствовал, и исключения противоречий в тех понятиях, которые не имели четких определений.

Начало XIX столетия в Европе проходит под сильным влиянием Французской ре волюции и наполеоновских войн, которые открыли путь для промышленной революции на территории европейского континента. Промышленная революция побуждала к занятиям физическими науками, создавал новые общественные классы с новыми взглядами на жизнь, заинтересованные в науках и в техническом образовании. В академическую среду ворвались демократические идеи, устаревшие формы мышления вызывали критику, прошли реформы школьного и университетского образования.

В начале века новая и разнообразная теоретико-математическая деятельность была вызвана не техническими проблемами, поставленными новой промышленностью, ибо развитие промышленности происходило, по существу, по английскому образцу. Англия, родина этой промышленной революции, в течение нескольких десятилетий оставалась математически бесплодной, что служило яркой иллюстрацией того, что эта революция не нуждалась в математике. Более всего теоретическая математика в то время развивалась во Франции и несколько позже — в Германии. В этих странах основной причиной расцвета теоретической математики являлись реформы университетского и школьного образования, которые потребовали значительного расширения контингента университетских преподавателей и школьных учителей. Занятия теоретической наукой в целом становились более далекими от требований экономики или военного дела.

Сформировался специалист, заинтересованный в науке ради нее самой.



Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 15 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.