авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 15 |

«Е. М. Левич Математическое моделирование и компьютерная математика. Иерусалим, 2009 1 Содержание ...»

-- [ Страница 8 ] --

«В девятнадцатом столетии мы уже не находим математиков при королевских дворцах или аристократических салонах. Быть членами ученых академий уже не составляет их главное занятие – обычно они работают в университетах или технических школах и являются преподавателями столько же, как и исследователями. Бернулли, Лагранж и Лаплас преподавали лишь от случая к случаю. Теперь же ответственность преподавателя возрастает, профессора математики становятся воспитателями и экзаменаторами молодежи. Упрочение связей между учеными в пределах одной нации приводит к подрыву интернационализма предыдущих столетий, хотя международный обмен мыслями продолжается. Латинский язык науки постепенно заменяется национальными языками» (В.Я. Стройк, 75, с. 190).

Общую ситуацию в теоретической математике хорошо описывает Ф. Клейн:

«Характер развития математики в XIX столетии совершенно иной. Прикладная математика не останавливается, конечно, в своем развитии;

наоборот, она охватывает все более обширные новые области. Чтобы убедиться в этом, достаточно только напомнить о создании всей “математической физики”, т.е. нашего орудия теоретического исследования во всех областях физики, лежащих за пределами механики.

Но наряду с этим мощно развивается чистая математика, притом в равной мере в двух направлениях: с одной стороны, создаются совершенно новые области, как теория функций комплексного переменного и проективная геометрия;

с другой — подвергаются критическому рассмотрению научные ценности, полученные по наследству от предшествующих поколений;

это соответствует вновь пробудившемуся чувству строгости, которое отошло на второй план в изобиловавшем новыми открытиями XVIII столетии.

Наряду с этими новыми направлениями мысли на научную жизнь оказывают свое влияние те крупные общественные сдвиги, которые повлекла за собой французская революция и последовавшие за ней исторические события. Демократизация мировоззрения ведет к распространению культуры и строгой специализации отдельных ветвей науки. Соответственно с требованием времени приобретает важное значение преподавательская деятельность. Жизнь, не стесняемая более сословными различиями, создает совершенно немыслимый прежде наплыв лиц, стремящихся к научным занятиям и руководствующихся при этом совершенно новой целью — желанием подготовиться к преподавательской деятельности, которая получила теперь такое важное значение. Тем самым начинается перемещение центра тяжести научной жизни: главными центрами ее становятся теперь не академии, а высшие школы. Во Франции развитие в этом направлении, после первых шагов в Нормальной школе, начинается с Монжа и с основания Политехнической школы в 1794 г., в Германии — с Якоби, который в 1827 г. вызвал к жизни нечто аналогичное в Кенигсберге.

Под влиянием разнообразнейших и чрезвычайно разросшихся проблем начинается упомянутая уже специализация наук. Математика обособляется от астрономии, геодезии, физики, статистики и т.д. Число специалистов-математиков неизмеримо возрастает и заполняется представителями самых различных и отдаленных наций. При этом широком развитии отдельных исследований даже самый всеобъемлющий ум уже не в состоянии произвести в себе синтез всего материала и плодотворно проявить его вовне. Вместо прежнего живого личного общения между учеными возникает огромная литература, особенно периодическая, устраиваются большие интернациональные конгрессы и другие организации, стремящиеся поддерживать хотя бы внешнюю связь.

Теперь в каждой культурной стране имеются сотни работающих математиков, каждый из которых владеет только очень небольшим участком своей науки, и этот уголок естественно представляется ему наиболее важным. Результаты своей работы он публикует в разрозненных отрывочных статьях, в разных журналах, на различных языках. Изложение, рассчитанное на немногих специалистов, работающих в той же области, не содержит и намека на связь с более крупными общими вопросами и поэтому с трудом доступно математику, круг интересов которого стоит несколько дальше, а для широкого круга читателей оно совершенно непригодно» (Ф. Клейн, 41, сс. 31-32).

В XIX век европейская теоретическая математика вступила с полной уверенностью в своем всемогуществе, которое было признано и философами, и учеными, занимающимися изучением природы. Первую трещину в фундамент всеобщей веры во всемогущество математики внесло открытие неевклидовых геометрий. Появление геометрии Лобачевского, отличающейся от геометрии Евклида, поставило вопрос о природе окружающего нас физического пространства и о том, аксиомам какой геометрии он подчиняется. Вопрос еще более усложнился, когда в середине XIX века Г. Риман предложил вниманию математической общественности еще одну геометрию, отличную от геометрий Евклида и Лобачевского. Уже одно появление противоречивых друг другу неевклидовых геометрий было большим ударом по представлениям математиков о строении физического пространства, повсеместно господствующим среди них. Еще более сильный шок вызвала невозможность указать, какая из этих геометрий истинна, и даже установить, есть ли среди них истинная геометрия. Стало ясно, что математики сформулировали казавшиеся им правильными аксиомы геометрии, исходя из своего ограниченного опыта, и ошибочно сочли эти утверждения самоочевидными истинами.

Другими словами, аксиомы евклидовой геометрии, рассматриваемые с точки зрения принадлежности к определенному типу интеллектуальных утверждений, являются только соглашениями.

Позже, в начале ХХ века, с созданием общей теории относительности оказалось, что и на основе геометрии Лобачевского можно построить достаточно разумную физическую теорию, которая до настоящего времени не была опровергнута ни экспериментальным, ни теоретическими путем. Это означает, что математика не может однозначно ответить на вопрос о природе физического мира. Более того, никакими чисто математическими средствами нельзя априорно определить пригодность или непригодность той или иной геометрии для описания физического мира.

Открытие непротиворечивых неевклидовых геометрий подорвало продолжавшуюся в течение многих веков веру в абсолютную веру в то, что они выражают некие закономерности природы. Но математикам было трудно сразу отказаться от веры в абсолютную истинность математических утверждений. Поэтому они в середине XIX века стали считать, что истина кроется в числах, которые составляют основу арифметики, алгебры и математического анализа. Ситуацию хорошо выразил крупный математик первой половины XIX века К. Якоби, который сказал, что «Бог всегда арифметизирует».

Эта фраза знаменует конец эры геометрии в математике, когда слово «геометрия» была синонимом слова «математика», и символом этого времени были слова Платона, что «Бог является геометром».

С появлением неевклидовых геометрий начался бурный процесс алгебраизации математики. Этот процесс объяснялся тем, что во второй половине XIX века была обнаружена тесная связь между различными типами геометрий и определенными типами алгебраических объектов, которые называли группами. В достаточно полном виде эта связь была изложена в Эрлангенской программе Ф. Клейном. Именно то, что тип геометрии задается с помощью определенной группы (алгебраического объекта), сводит изучение общих свойств геометрии к изучению свойств алгебраических объектов, говорит о первенстве алгебры в современной математике. Это соображение открыло дорогу к процессу алгебраизации математики.

Алгебраизация математики привела к тому, что во второй половине XIX века алгебра, наряду с математическим анализом, также стала прикладной наукой. Это связано, прежде всего, с тем, что математический объект, называемый «группа», получил четкое и ясное физическое истолкование. Понятие группы стало истолковываться как математический объект, характеризующий симметрию как собственно физического пространства, так и пространственных объектов (например, кристаллов). Роль этого понятия в физике резко возросла с того времени, когда в начале ХХ века это понятие стало одним из основных, лежащих в основе теории относительности.

Наряду с развитием геометрии и алгебры, рассматриваемый период характеризуется дальнейшим совершенствованием математического анализа и связанных с ним математических дисциплин, таких, как вариационное исчисление, теория дифференциальных уравнений, теория поля, математическая физика в целом, и т.п. Эти направления возникли в результате расширения языка математического моделирования, связанного с дальнейшим развитием физики, что составило содержание так называемой «математической физики». На основе этого языка удалось построить ряд физических теорий, описывающих собранные к тому времени неизвестные ранее физические факты, а также наблюдаемые на опытах физические явления.

Появление новых разделов математики с целым набором введенных математических понятий позволило полностью перейти от словесных физических моделей к математическим моделям физических явлений. Более того, возникновение новых математических дисциплин часто было связано с необходимостью построения математических моделей для описания физических явлений. В качестве одного из многих примеров можно привести возникновение математической теории поля, которая необходима для построения физической теории поля, с целью описания физических явлений. В качестве другого примера можно взять возникновение теории относительности, которая могла появиться на свет только потому, что в необходимый период появилась новая область математических исследований, которая получила название «тензорный анализ». Другими словами, применение математического описания физических явлений стало нормой, и с этого времени физика полностью отказалась от словесных моделей.

Успехи применения математики в физике были настолько велики, что в сознании подавляющего большинства ученых укрепилась уверенность в том, что с помощью математического языка можно адекватно описать все физические процессы, протекающие в природе. Эта уверенность и позволила А. Эйнштейну сделать следующее высказывание:

«Весь наш предшествующий опыт приводит к убеждению, что природа является осуществлением того, что математически проще всего себе представить. Я убежден, что чисто математическое построение позволяет найти те понятия и те закономерные связи между ними, которые дают ключ к пониманию явлений природы».

Как мы уже говорили выше, к началу XIX века в математическом анализе назрела острая необходимость уточнить все основные определения, а также «закрыть дыры» и исправить ошибки в доказательствах основных его теорем. Первым, кто серьезно начал эту работу, и труды которого оказали большое влияние на последующие поколения математиков, был О. Коши, который написал три учебника по математическому анализу.

Хотя Коши заявил в последнем своем учебнике, что достиг мыслимых пределов строгости, он допустил немало ошибок, впрочем, вполне понятных, если учесть сложность затронутых им понятий. Приведенные им определения функции, предела, непрерывности и производной были, по существу, правильными, но язык, которым он пользовался, не отличался ни ясностью, ни точностью. Коши был убежден, например, что из непрерывности следует диффе-ренцируемость, и сформулировал множество теорем, в условиях которых предполагал только непрерывность, хотя в доказательствах неявно использовал дифференцируемость функций. Можно привести и другие примеры отсутствия строгости в его рассуждениях.

Труды Коши вызвали к жизни многочисленные работы по обоснованию математического анализа. Однако основной вклад в решение этой проблемы принадлежит К. Вейерштрассу, который в своих лекциях строго построил все здание математического анализа. Для такого построения прежде всего необходимо было дать математически строгое определение непрерывности функции, что и сделал Вейерштрасс. Сам факт существования такого определения отделил друг от друга два понятия: физической непрерывности и математической непрерывности. Отделение математической непрерывности от физической непрерывности означало, по сути дела, отделение математического анализа (европейской теоретической математики) от теоретической физики. Это строгое, математическое определение непрерывности, а также ряд других понятий позволили очистить математический анализ от ряда внутренних противоречий, основанных на связи непрерывности и дифференцируемости функций. В этой связи необходимо отметить, что Вейерштрасс построил пример непрерывной, но недифференцируемой ни в одной точке функции, и это произвело огромное впечатление на всю математическую общественность. В конечном счете, во второй трети XIX века математический анализ был очищен от ошибочных теорем, а лежащие в его основании определения приобрели строгий, законченный вид.

Вейерштрасс первым понял, что обоснование математического анализа остается незавершенным, если не добиться более глубокого понимания системы вещественных чисел, и первым дал строгое определение и вывод свойств иррациональных чисел на основе известных свойств рациональных чисел. В этом направлении получили аналогичные результаты и другие математики, такие, как Р. Дедекинд и Г. Кантор.

Однако логическое обоснование рациональных чисел отсутствовало. Эту проблему решил Дж. Пеано, который построил систему аксиом рациональных чисел, опирающуюся на систему аксиом натуральных чисел, указанную несколько ранее Дедекиндом. Работа Пеано, опубликованная в 1889 г., по существу завершила логическое обоснование теории комплексных чисел.

Таким образом, только в конце XIX века удалось осуществить мечту древних греков:

дать аксиоматическое построение математических чисел. Более того, создание к этому времени математической логики позволило получить в целом логическое обоснование математического анализа. Однако за пределом этого обоснования остался ряд математических теорем, доказательство которых основывалось на положениях, не укладывающихся в схему обоснования математического анализа. Для доказательства всех этих утверждений (например, широко применяемого утверждения, известное как лемма Гейне—Бореля) использовались свойства бесконечного множества, которые никаким образом не вытекали из построенного логического обоснования, основанного на понятии потенциальной бесконечности.

Принципиальным шагом на пути поиска обоснования упомянутых проблем было создание Г. Кантором теории множеств. На пути построения теории множеств Кантор порвал с многовековой традицией и стал рассматривать бесконечные множества как единые сущности, доступные человеческому разуму. Начиная с Аристотеля, математики проводили четкую грань между потенциальной бесконечностью и актуальной бесконечностью. Еще раз поясним эти понятия на примере. Рассмотрим множество положительных целых чисел. Его можно рассматривать как множество, состоящее из всех целых чисел. В таком случае множество всех целых чисел — это математический объект.

Но тогда множество всех натуральных чисел представляет собой актуальную бесконечность. С другой стороны, на совокупность натуральных чисел мы можем посмотреть как на совокупность, в которой каждое натуральное число можно получить в результате прибавления единицы к некоторому другому натуральному числу. В этом случае данная совокупность выступает как потенциальная бесконечность.

Когда Кантор в 70-х годах XIX века приступил к созданию теории бесконечных множеств, эта теория находилась на периферии математической науки. Доказанные им теоремы о тригонометрических рядах, для получения которых была построена теория множеств, не были столь фундаментальными, чтобы обратить на себя внимание широкой математической общественности. Но к началу ХХ века канторовская теория множеств нашла широкое применение в различных областях математики, а затем стала одним из основных разделов математики, необходимым для ее развития. В 1926 году один из крупнейших математиков современности Д. Гильберт так отозвался о теории множеств:

«Мне представляется, что это самый восхитительный цветок математической мысли и одно из величайших достижений человеческой деятельности в сфере чистого мышления».

Созданная Кантором теория множеств вызвала бурные споры среди математиков, ибо, как метко выразился Ф. Хаусдорф в своей книге «Основания теории множеств», теория множеств является «областью, где ничто не является очевидным, где истинные утверждения нередко звучат парадоксально, а правдоподобные зачастую оказываются ложными». Опять всколыхнулись споры вокруг природы математических знаний:

являются ли они априорными или имеют эмпирическую основу. Подобные проблемы со всей своей остротой появились в 70-х годах XIX столетия, когда стали искать способ обоснования неевклидовых геометрий.

Большинство математиков XIX века в попытках обоснования неевклидовых геометрий исходили из представления об опытной природе геометрических понятий. Все три первые создателя неевклидовой геометрии – Гаусс, Лобачевский и Больяи – выступали против априорного подхода, идущего от Канта, и настаивали на опытном происхождении геометрических понятий. С этих позиций позднее стремились подойти к обоснованию неевклидовых геометрий Риман, Гельмгольц, Больцман, Клейн и другие.

Очевидная неспособность эмпиризма объяснить понятие абстрактных структур в математике обусловила значительное влияние в этой области вплоть до начала ХХ века кантовской философии, которая отстаивала априорную природу математических знаний.

Согласовать факт неевклидовых геометрий с философией математики Канта пытались крупные философы того времени, такие, как Г. Коген, Л. Нельсон, Е. Кассирер и другие.

Выдающийся математик этого периода А. Пуанкаре выступил как против эмпирического понимания геометрии, так и против априорного подхода к природе геометрических аксиом.

«Можно спросить, что представляют собой гипотезы? Факты ли это, полученные из опыта, или суждения аналитические или синтетические a priori? Мы должны ответить отрицательно на эти три вопроса. Если бы эти гипотезы были фактами опыта или наблюдения, то геометрия подлежала бы постоянному пересмотру и не была бы наукой точною;

если бы это были синтетические a priori суждения, а тем более аналитические, то невозможно было бы отрешиться от них, и на их отрицании ничего нельзя было бы построить» (А. Пуанкаре, 68, с. 397).

Пуанкаре развивает взгляд на аксиомы, получивший в дальнейшем наименование конвенционализма, — как на утверждения, в чьем становлении известную роль играет опыт, но которые формируются по соображениям простоты и удобства. Таким образом, по мысли Пуанкаре, необходимость математических истин не нуждается в посылках априоризма, но вполне соответствует опыту их происхождения.

Основная идея, необходимая для современного понимания природы математических знаний, возникла в контексте работ Дедекинда, Кантора, Фреге и Гильберта, которые стремились на логической основе уточнить основные понятия геометрии и других математических наук. Они представляли математическую теорию как формальную систему или формальную структуру. Причем, с какими бы интуитивными образами теория ни была связана генетически, она функционирует по отношению к опытному знанию исключительно как формальная система, как определенная знаковая модель, для эффективности которой существенна лишь ее внутренняя непротиворечивость. Такой подход, называемый формалистским или структурным, делает акцент на логических особенностях и особых функциях логических знаний. Его возникновение было, прежде всего, расширением предмета математики, признанием de jure математических образов, не связанных с опытом и интуицией.

С точки зрения формалистского подхода математика не есть опытная наука, изучающая определенные стороны действительности. Она является набором формальных (знаковых) моделей для теоретического знания и таким образом связана с опытом не непосредственно, а через другие науки. Она выступает по отношению к эмпирическому знанию как особого рода язык, способ трансформации эмпирических высказываний, установления связи между ними. Поэтому в математике допустимы любые непротиворечивые структуры, которые эффективны в прикладном отношении или важны для внутреннего обоснования математической науки. Математические понятия, даже если они генетически связаны с опытом, представляют собой не просто абстракции и даже не просто идеализации, но конструкции, т.е. понятия, свойства которых полностью определены включающей их системой формальных связей. Математическая теория сама по себе не истинна и не ложна, она приобретает это свойство только после интерпретации в определенной сфере опытных представлений. Единство математики обеспечивается исключительно методом, но не предметом исследования. Сфера возможного приложения математики в принципе бесконечна: математик может говорить обо всем, что поддается формулировке на точном оперативном языке, что может быть изучено в своей логической форме в отвлечении от конкретного содержания.

Одним из основных идеологических вопросов, которые привели к противостоянию разных групп математиков, был вопрос: в каком смысле можно утверждать, что математические понятия существуют? Аристотель считал, что все математические понятия должны иметь реальные прототипы. Именно из-за отсутствия физических реализаций Аристотель отвергал и существование бесконечного множества как «готовой»

совокупности элементов, и существование правильного семиугольника. Отрицание существования правильного семиугольника греками основывалось на том, что им не удалось его построить с помощью циркуля и линейки, а это означало, что данная правильная фигура была «недостроенной», т.е. в определенном смысле «не существующей». Математический объект существует, согласно греческой математической традиции, только в том случае, если его можно «конструктивно»

построить. Так как «построение» объекта шло в рамках геометрии, то это означало, по существу, что мы должны доказать существование объекта на основе аксиом и предписанных теорией действий. Этим можно объяснить тот факт, что греческая математика оперировала относительно небольшим количеством математических объектов. Разное отношение математиков к этому вопросу и привело к разделению их на несколько лагерей.

Развитие европейской теоретической математики в XX веке отличается определенной двойственностью. С одной стороны, в этот период времени в теоретическую математику пришло значительное число ученых. Если в конце XIX века во всем мире можно было найти только от нескольких сотен до тысячи работающих математиков, то во второй трети ХХ века их уже насчитывалось несколько сотен тысяч человек. Такой приток специалистов вызвал не только бурное развитие старых областей теоретической математики, но и создание значительного числа новых самых разнообразных областей математических исследований. Резкое увеличение количества различных высших учебных заведений, где изучалась европейская математика, привел в нее тысячи преподавателей этих учреждений.

Так как оценка качества работы преподавателей в учебных заведениях существенно зависела от количества их математических публикаций, то это количество с течением времени возрастало со скоростью возрастания экспоненты. Потребность в публикациях результатов математических исследований вызвала существенное увеличение количества математических журналов, а также конференций и симпозиумов, на которых обсуждались эти результаты.

Увеличение количества работающих математиков и лавина математических публикаций привели к тому, что у работающего математика уже не было никакой физической возможности не только прочесть и понять все написанное, но просто ознакомиться с названиями всех статей. В связи с тем, что для карьеры необходимо было регулярно публиковать статьи, математики выбирали такие области исследований, которые, в зависимости от способностей ученого, позволяли достаточно быстро получать результаты. Естественно, что такими областями часто становились разделы чистой математики, где мышление не ограниченно никакими рамками, где можно с большой легкостью ввести новые математические объекты и поставить свои собственные задачи, изучение которых существенно расширит круг исследований. На такое предпочтение заниматься чистой математикой указывал известный математик ХХ века М. Стоун в своей статье «Революция в математике», написанной в середине ХХ века:

«Современный математик предпочитает определять предмет своей науки как изучение общих абстрактных схем, каждая из которых представляет собой здание, построенное из вполне определенных абстрактных элементов, скрепленных произвольными, но однозначно определенными соотношениями. … По мнению математика, ни сами системы, ни представляемые логикой средства для изучения их структурных свойств не имеют прямой или необходимой связи с физическим миром. … Лишь в той степени, в какой математика освободилась от уз, связывающих ее в прошлом с теми или иными конкретными аспектами реальности, она может стать гибким и мощным инструментом, столь необходимым для вторжения в области, лежащие за пределом известного. Уже сейчас можно привести многочисленные примеры, подтверждающие сказанное…»

Увлечение изучением различных новых абстрактных схем приводило к более узкой специализации математиков, причем скорость увеличения специализации у математиков теоретиков с течением времени резко усилилась: сегодня трудно найти такие математические задачи, которыми одновременно бы занималась группа, состоящая из более десяти математиков. Более того, во всем мире трудно найти дюжину людей, понимающих то, чем занимается данный конкретный математик. В результате современную теоретическую математику можно образно сравнить с вечно строящимся зданием. К этому зданию постоянно пристраиваются помещения, в где размещается небольшое число математиков, которые с достаточным трудом и приложенными усилиями могут понять друг друга.

В теоретической математике, как мы уже говорили выше, можно сегодня четко выделить два основных направления, которые относительно слабо связаны друг с другом:

чистая математика и прикладная математика. Если основной задачей чистой математики является доказательство математических утверждений, описывающих связи между классификациями математических объектов различного сорта, то основной задачей прикладной теоретической математики является исследование математических моделей, описывающих естественные явления, включая доказательство существования (а иногда и способа нахождения) конкретных численных (в области математических чисел) решений у различных прикладных математических задач. Суть отличия между математиком теоретиком и математиком-приклад-ником хорошо выразил один из создателей термодинамики и статистической физики Дж. Гиббс, который сказал, что чистый математик может делать все, что ему вздумается, но математик-прикладник должен, по крайней мере отчасти, внимать здравому смыслу.

Укажем основные направления развития чистой математики. Одно из таких направлений – это абстракция. Это направление в чистой математике началось, по существу, с построения неевклидовых геометрий, а также с введением Гамильтоном кватернионов. Математики поняли возможность существования различных абстрактных математических объектов, которые не могут быть связаны с реальным миром. Это направление процветает сегодня в различных абстрактных областях математики:

абстрактная алгебра, топология, дифференциальная геометрия и т.д.

Другим направлением чистой математики является обобщение.

«Не нужно забывать, что существуют обобщения двух родов: малоценные и полноценные.

Первые – обобщения путем разрежения, другие – путем сгущения. Разредить – значит, наболтав воды, изготовить жиденькую похлебку;

сгустить – значит составить полезный питательный экстракт. Соединение понятий, мало связанных друг с другом для обычного представления, в одно объемлющее есть сгущение;

так сгущает, например, теория групп рассуждения, которые прежде, будучи рассеянными … выглядели совершенно различными. Привести примеры обобщения путем разрежения было бы еще легче, но мы не хотим наживать себе врагов» (Д. Пойа и Г. Сегё, 66).

Обобщение математических утверждений тесно связано с абстрагированием, поэтому эти оба направления часто идут вместе. Чистая математика все время пополняется новыми областями математики, которые являются обобщениями и абстракциями тех математических теорий, которые возникают из прагматической математики, а также из абстрагирования решений практических задач. В качестве одной из иллюстраций указанного утверждения можно привести так называемый комбинаторный анализ. Хотя первые утверждения из комбинаторного анализа появились при возникновении теории вероятностей, но он сам оформился в математическую дисциплину только в ХХ веке, когда подобные задачи возникли в различных приложениях, связанных с исследованием операций: теория кодирования, теория массового обслуживания и т.п. Появление и дальнейшее развитие квантовой механики оказало большое влияние на развитие различных разделов функционального анализа, интегральных и дифференциальных уравнений, теории обобщенных функций и т.п. Отметим также влияние развития радиосвязи на создание теории случайных процессов, которая после соответствующего обобщения и абстрагирования превратилась со временем в область чистой математики.

Пользуясь терминологией Пойа и Сегё, обобщение, связанное со «сгущением», обычно происходило на ранних этапах обобщения математических моделей, используемых для решения прикладных задач. Такое обобщение давало возможность более четко понять математическую суть исследуемых проблем, что позволяло распространить новые методы и понятия на другие области практических приложений. Однако за обобщением «сгущения» обычно наступало обобщение «разрежения».

«Обобщение и абстракция, предпринятые с единственной целью – написать очередную статью для “отчета”, как правило, не представляют собой ценности с точки зрения приложений.

Подавляющее большинство работ такого рода посвящено переформулировке на более общем и более абстрактном языке с использованием новой терминологии того, что было известно раньше, но излагалось на более простом и частном языке. Что же касается приложений математики, то здесь такая переформулировка не дает ни более мощного метода, ни более глубокого понимания.

Распространение новомодной терминологии, как правило, искусственной и не связанной ни с какими физическими идеями, хотя и направленной якобы на модернизацию идей, заведомо не способствует более эффективному применению математики, а, наоборот, затрудняет его. Это новый язык, но не новая математика» (М. Клайн, 39, с. 330).

В 30-е годы оформилась теория вероятностей как теоретическая математическая дисциплина, когда А. Колмогоров построил теорию вероятностей как аксиоматическую теорию. С этого момента стали существовать сразу две теоретические математики:

детерминистская теоретическая математика и вероятностная математика. Однако теория вероятностей Колмогорова стала разделом теории меры, т.е. разделом математического анализа в широком смысле слова. Отличия этой теории от теории действительного переменного заключаются в введении новых понятий, аналогичных существовавшим в классической теории вероятностей, а также постановок задач, источник которых — также в классической теории.

Развитие прикладной теоретической математики в рассматриваемый период происходило по двум направлениям. Первое направление – это разработка новых методов (алгоритмов) количественного решения задач, принадлежащих к европейской теоретической математике, таких, как решение дифференциальных и интегральных уравнений различного рода, решение систем алгебраических уравнений, вычисление численных значений специальных функций различного вида и т.п. Второе направление – это расширение границ прикладной математики за счет поиска численных методов решения задач из новых областей математики, таких, как математическое программирование, исследование операций и т.п. Это направление было индуцировано развитием прагматической математики. Если первое направление развития прикладной математики было непосредственным следствием европейской теоретической математики, то второе направление было связано с развитием европейской прагматической математики.

Прикладная теоретическая математика в этот период резко расширила свои границы.

Такое расширение прежде всего было вызвано тем, что математика стала языком моделирования не только теоретической физики и политической экономии, но и ряда других наук, таких, как управление техническими и человеко-машинными системами, психология, социальные науки, прикладные экономические науки и т.п. Каждая новая область использования математики приводила к возникновению специфических новых математических задач, которые требовали разработки новых математических теорий со своим кругом новых математических понятий. В качестве примера можно привести возникновение целого комплекса математических дисциплин, известного под именем «исследование операций». Другими примерами могут служить возникновение и развитие регрессионного и корреляционного анализа, послужившего базой для возникновения эконометрики, различные типы математического программирования, кластерный анализ, широко используемый в психологии, и т.п. Хотя возникшие новые математические задачи, по своей сути, были дискретными, тут же появились их непрерывные аналоги, которыми усиленно начала заниматься и чистая математика.

Расширение областей применения прикладной теоретической математики было связано с тем, что круг людей, занимающиеся ею, существенно увеличился, ибо европейскую математику стали преподавать во всех высших школах, которые готовили инженеров и экономистов, причем часто уровень преподавания математики там был не ниже уровня преподавания математики для математиков. Более того, уровень подготовки и объем знаний у инженеров и экономистов, выпускников ряда высших школ, в области прикладной математики был выше, нежели у выпускников математических школ университетов. Поэтому инженеры, обладающие соответствующей математической подготовкой, стали первопроходцами ряда новых дисциплин прикладной теоретической математики. В качестве примера можно привести одного из основателей теории информации К. Шеннона.

После всего, что было написано в этом кратком историческом очерке, мы возвращаемся к вопросу, который содержится в эпиграфе к этой главе, в словах А.

Пуанкаре: В чем заключается причина того, что современная теоретическая математика является такой богатой содержательной теорией? С одной стороны, имеется некий свод аксиом, содержащий ограниченный набор информации и состоящий из нескольких самоочевидных истин, имеющих широкое общественное признание. С другой стороны, имеется определенное количество строго формальных правил, с помощью которых из нескольких истинных утверждений выводится (получается, производится) новое нетривиальное математическое утверждение.

«Конечно, можно добраться и до аксиом, которые лежат в источнике всех этих рассуждений.

И если, с одной стороны, держаться того мнения, что их нельзя свести к закону противоречия, с другой – не желать видеть в них только факты опыта, которые не могли бы обладать характером математической необходимости, то имеется еще надежда отнести их к числу синтетических априорных суждений. Но это не значит разрушить затруднение;

это значит дать ему название:

даже если бы природа синтетических суждений перестала быть для нас тайной, все же противоречие не было бы устранено, оно было бы только отодвинуто;

силлогистическое утверждение неспособно прибавить что-либо к тем данным, которые ему предоставляются;

эти данные сводятся к нескольким аксиомам, и, кроме них, ничего нового нельзя было бы найти в заключениях.

Никакая теорема не должна быть новой, если в ее доказательство не входила новая аксиома;

умозаключение могло бы только возвращать нам истины непосредственно очевидные, имеющие источником интуицию;

оно являлось бы только промежуточным пустословием. Тогда, пожалуй, возник вопрос: не служит ли вообще силлогистический аппарат единственно для того, чтобы маскировать делаемые нами заимствования?» (А. Пуанкаре, 68, с.11).

Прежде всего, обсудим вопрос о конечности базисных утверждений в математике. В действительности, набор базисных утверждений в математике не является конечным.

Просто теоретическая математика разбивается на бесконечное (в потенции) множество различных математических теорий, каждая из которых представляет собой аксиоматическую теорию, основанную на конечном числе базисных утверждений.

Объединение всех базисных утверждений всевозможных математических теорий представляет собой бесконечное множество, которое назовем условно общим базисным множеством.

Общее базисное множество обладает рядом свойств. Во-первых, все утверждения, входящие в это бесконечное множество, не являются независимыми друг от друга. В этом множестве нельзя выбрать конечную систему базисных утверждений, из которых с помощью математической логики можно доказать остальные утверждения этого множества. Это происходит потому, что среди базисных утверждений каждой математической теории есть определенное число определений, никак не связанных друг с другом. Во-вторых, рассматриваемое множество содержит в себе и противоречивые утверждения, ибо можно указать две формальные математические системы, из которых одна содержит аксиому, отрицающую аксиому другой. В качестве примера можно взять геометрию Евклида и геометрию Лобачевского.

Из приведенных свойств общего базисного множества следует, что математика в целом, которая бы включала в себя всевозможные математические утверждения, не может быть аксиоматической теорией. Эта математика вообще не может быть теорией, ибо содержит противоречивые утверждения.

Таким образом, расширение содержания математики идет или за счет возникновения новых математических теорий, или за счет расширения уже существующих теорий с помощью введения новых базисных утверждений и новых понятий.

Теперь обратим наше внимание на логическую составляющую математики. Как мы уже отметили выше, математическая логика основывается на наборе логических функций, определенных на «истинных» утверждениях и обладающих только «истинными»

значениями. Такой подход к математической логике сразу демонстрирует тот факт, что суперпозиция из логических функций также является логической функцией такого же вида. Эта суперпозиция ставит в соответствие начальным «истинным» утверждениям «истинное» утверждение. Но тогда процесс построения этого соответствия можно рассматривать как математическое доказательство. На этом и построена формализация математического доказательства с помощью логических символов и функций.

Следуя Пуанкаре, можно задать следующий вопрос. Пусть существует заданное конечное множество базисных утверждений. Собирая всевозможные математические утверждения, которые получаются из заданного множества базисных утверждений с помощью математического доказательства, получаем математическую теорию. Содержит ли эта теория утверждение с достаточно нетривиальным содержанием, по сравнению с базисными утверждениями?

До начала XIX века математика в доказательствах опиралась на логику Аристотеля, которая имела более двух тысяч лет истории. За эти две тысячи лет не было создано ни одной математической теории;

единственная математическая теория – геометрия – была создана греками. Вся остальная математика, включая математический анализ, по существу, не была формальной математикой. Как мы уже отмечали выше, в геометрии широко использовалось движение, которое никак не постулировалось. Свойства этого движения вытекали из того, что это движение осуществлялось из геометрических элементов с помощью циркуля и линейки. Практически все нетривиальные теоремы в геометрии были доказаны с использованием движения. Другими словами, геометрия использовала некоторый неформально определенный принцип, не вытекающий из дедукции и из практики, который заключался в использовании циркуля и линейки.

Во второй половине XIX века вместе с несколькими логическими функциями был введен новый логический постулат, который являлся априорным синтетическим утверждением, который никаким образом не вытекающим из дедукции и из практики.

Этот постулат получил название «метод полной математической индукции». Используя формальное выражение этого метода как аксиому, математикам удалось построить теорию чисел как аксиоматическую теорию, что позволило аксиоматизировать и значительную часть математического анализа. Введение в приемы доказательства метода математической индукции произвело подлинную революцию, ибо этот метод позволил резко повысить сложность доказываемых утверждений, что не могла делать дедукция.

Другая часть математического анализа была значительно расширена, когда ввели в рассмотрение еще один логический принцип, который опять-таки не следует из дедукции.

Это была «аксиома выбора». Данная аксиома на самом деле являлась способом проведения определенного математического рассуждения. Этот способ позволял доказывать более сложные утверждения, нежели те, на которых базируется доказательство.

Из всего сказанного можно сделать вывод, что математики, когда появляется потребность, вводят новые логические принципы, с помощью которых они повышают уровень сложности получаемых утверждений. Введение новых принципов в логику проведения рассуждений требует определенного согласия математической общественности. Наличие такого согласия дает возможность признать истинными все те математические утверждения, в доказательстве которых используются новые принципы.

Кто-то заметил, что философия - это злоупотребление специально разработанной терминологией. В духе этого высказывания я мог бы сказать, что математика - это наука о хитроумных операциях, производимых по специально разработанным правилам над специально придуманными понятиями. Ясно, что особенно важная роль при этом отводится придумыванию новых понятий. Запас интересных теорем в математике быстро исчерпался бы, если бы их приходилось формулировать лишь при помощи понятий, содержащихся в аксиомах.

Ю. Вигнер 6.2. Математические объекты.

Каждая математическая дисциплина обладает своим специфическим языком, который может для некоторых дисциплин совпадать. Эти языки характеризуются, прежде всего, набором понятий, которыми язык оперирует. Для анализа и описания математических понятий мы разделим их на три группы. К первой группе мы отнесем понятия, которые представляют предмет (объект) изучения математики, ко второй группе — понятия, связанные с описанием свойств (характеристик) объектов изучения, а к третьей группе – понятия, обозначающие математические операции. В силу двойственности языка математики такое разделение понятий на группы носит относительный, интуитивный характер, ибо каждое понятие, содержащееся в математическом языке, само может быть объектом изучения. Другими словами, любое понятие математического языка, вне зависимости от той группы, в которую мы его отнесли, можно рассматривать как понятие, принадлежащее к первой группе. В частности, и математические операции над математическими объектами могут служить и служат (например, в алгебре) объектами для исследования. Одним из оправданий приведенного разделения является то, что существуют понятия из первой группы, которые не могут принадлежать ни к какой другой группе. Кроме того, понятия в каждой из групп имеют общую функцию – начальную направленность.

Можно, конечно, выделить в отдельную группу понятий свойства (характери-стики) математических операций. Однако в этом случае понятия из этой группы будут мало отличаться, по своей сути, от понятий второй группы. Именно это обстоятельство и заставляет нас отказаться от введения четвертой группы понятий.

Прежде всего, опишем понятия из первой группы, т.е. понятия, связанные с математическими объектами. Мы можем, не задумываясь, сказать, что математика изучает математические объекты. Последнее высказывание звучит тавтологически, но это означает, что в первую группу входят понятия, которые определяют различные типы математических объектов (конечно, за исключением тех понятий, которые мы относим в другие группы). Как следует из теории познания, математический объект, как и любой объект исследования, представляет собой пару, состоящую из символа, т.е. имени объекта, представленного в виде слова или группы слов, и некоторого текста на специфическом языке, представляющем описание тех свойств, которые мы приписываем этому объекту.

Описание математического объекта является, по существу, его определением. Каждое математическое определение представляет интеллектуальное утверждение, соединяющее между собой две группы математических понятий. Первая группа состоит из одного понятия, которое называется определяемым понятием. Вторая группа состоит из нескольких понятий, каждое из которых называется определяющим понятием.

Определяемое понятие в одном определении может служить определяющим понятием в другом определении. Если мы во втором определении заменим определяющее понятие с помощью его определения, то получим новое, третье определение. Это определение по своему содержанию не отличается от второго определения, но уже не содержит замененного понятия в качестве определяющего понятия.

Мы можем построить цепочку математических понятий следующим образом.

Выберем некоторое определяемое понятие. Из его определения выделим определяющее понятие. Возможны два варианта: выделенное понятие обладает математическим определением или не обладает. Если выделенное понятие не обладает математическим определением, то оно является первичным понятием или неопределяемым понятием. В этом случае процесс останавливается, и мы имеем цепочку, состоящую из двух понятий.

Если же выделенное понятие обладает математическим определением, то из этого определения мы выделим еще одно определяющее понятие. Таким образом, мы получили цепочку понятий, состоящую из трех понятий. Этот процесс можно или продолжить, получая цепочки понятий все большей длины, или прервать, поскольку мы приходим к первичному понятию.

Греческая философия, рассматривая такие цепочки понятий, наложила на них два требования, которые и сегодня лежат в основе всей математики. Во-первых, каждая цепочка не содержит двух одинаковых понятий, а во-вторых, каждая цепочка имеет конечную длину, т.е. заканчивается первичным понятием. Первое требование означает, что понятие не может быть определено через само себя.

Приведенное рассуждение позволяет сформулировать следующее утверждение:

Для любого вторичного математического объекта существует такое определение, в котором все определяющие объекты являются первичными математическими объектами.

Примерами первичных понятий в математике могут служить следующие: как понятие натурального числа, понятия, связанные с абстрактными элементарными геометрическими фигурами, как точка, прямая, пространство, понятие числовой функции или числовой зависимости, понятие предела, понятие уравнения, понятие множества, понятие вероятности и т.п.

Еще раз подчеркнем, что разделение математических понятий на первичные и вторичные носит относительный характер. Прежде всего, этот процесс существенно зависит от выбора математической теории: первичные понятия в одной математической теории могут быть вторичными понятиями в другой математической теории. Более того, первичность и вторичность математического понятия в одной и той же математической теории часто зависит от цели математического исследования.

Но здесь возникает вопрос: откуда возникали первичные понятия и как ими пользоваться? Откуда мы знаем, что о них можно утверждать? Как мы уже говорили, разделение понятий на первичные и вторичные непосредственно связано с построением математических теорий. Без построения математической теории нет никакого смысла и нетривиального содержания в разделении понятий на эти две группы.

Теперь попытаемся описать пути возникновения первичных понятий теоретической математики. Первичными понятиями греческой математики являются пифагоровы и диофантовы числа и геометрические фигуры. При возникновении греческой математики пифагоровы числа пришли в математику из восточных мистических и религиозных учений. Подтверждением этого утверждения, как мы уже отмечали, является тот факт, что единица не считалась у греков числом. Греки также ввели понятие делителя числа, которое стало другим основным первичным понятием их теории чисел. Диофантовы числа, по всей вероятности, появились по аналогии с прематематическими к-числами.

Гораздо более тесно связаны геометрические фигуры в математическом и прематематическом понимании. Благодаря тому, что математические геометрические фигуры можно было представить наглядно с помощью чертежей, степень их абстракции была не так велика, и в сознании людей не существовало четкой грани между математическими и прематематическими объектами. Этому способствовало также использование в процессе геометрического (математического) доказательства таких приборов, как циркуль и линейка. Существуют и другие, более глубокие причины близости между математическими и прематематическими геометрическими объектами, о которых мы уже говорили выше, и среди которых мы выделили использование движения как средство оказательства геометрических теорем.

Из этого рассмотрения видно, что вряд ли первичные объекты прематематики могли служить основой для выбора первичных понятий греческой математики. Так как греческая математика никоим образом не была связана с решением практических задач, то введенных понятий хватало для чисто математических исследований.

Индийская и арабская математики ввели в рассмотрение специфические математические объекты, которые предназначались для решения математических уравнений.


Эти математические объекты обозначали корни специального вида в алгебраических уравнениях. Историки математики назвали эти объекты иррациональными числами, причем они считают, что некоторые из иррациональных 2. Мы уже говорили, что это чисел были известны древним грекам. Например, утверждение является «мифом», который путешествует из одной книги в другую, из одной статьи в другую. Греки показали только, что гипотенуза равнобедренного треугольника несоизмерима с его катетом. Подобное утверждение носит чисто геометрический смысл. Греки не смогли «абстрагироваться» до такой степени, чтобы установить связь между геометрическими математическими объектами и алгебраическими (арифметическими) математическими объектами. Это уже является достижением европейцев, которое относится к XVII веку.

Подводя итог нашему рассмотрению, можно утверждать, что первичными понятиями теоретической математики до XVII века, в основном, оставались первичные понятия греческой математики.

С возникновением европейской теоретической математики, которая отодвинула в сторону греческую математику, ситуация резко изменилась. Создание европейской теоретической математики происходило в двух направлениях. Во-первых, появившаяся аналитическая геометрия связала между собой алгебру с геометрией. Аналитическая геометрия позволила перевести все теоремы геометрии на алгебраический язык. Однако аналитическая геометрия не ввела в рассмотрение ни одного нового математического понятия, неизвестного грекам.

Во-вторых, был создан математический анализ. Создание математического анализа связано с введением принципиально новых математических понятий, которые не имеют никакого отношения к греческой математике. Одними из основных понятий математического анализа являются понятие математического числа, переменной, понятие функции, понятие предела и понятие непрерывной функции, которые не были известны грекам.

Введение указанных понятий, а особенно понятия непрерывности, существенно повысило уровень абстракции европейской математики по сравнению с греческой.

Греческая математика, в самом начале своего развития, столкнувшись с парадоксами Зенона, старательно обходили это понятие, а в тех случаях, когда была вынуждена обращаться к нему, то обращалась с ним с очень и очень большой осторожностью.

Европейская математика обращалась, особенно, на первых порах, с непрерывностью без всякого уважения, образно выражаясь, как со служанкой. Такое отношение к понятию непрерывности было прежде всего связано с тем, что европейцы вкладывали в него совершенно другой смысл. У греков понятие непрерывности носило философский смысл, связный с движением как изменением состояния. Европейцы же вложили в это понятие более «приземленный» смысл, относя его к физическому, а точнее, к механическому движению, т.е. к движению материальной точки. Резюмируя, можно сказать, что для греков непрерывность была философской категорией, а для европейцев – физической категорией.

На основе физического понятия непрерывности и возник математический анализ, который стал в последующий период ведущей математической дисциплиной.

Практически все новые математические понятия, введенные в XVII – XVIII веках, были тем или иным способом связаны с непрерывностью.

Математический анализ богат различными принципиальными новшествами. Среди них мы отметим следующие. Во-первых, это введение в рассмотрение двух математических операций над функциями: дифференцирование и интегрирование. Эти операции непрерывной функции ставили в соответствие другую функцию:

дифференцирование – производную функцию, неопределенное интегрирование – первообразную функцию. Во-вторых, математический анализ стал рассматривать геометрическое пространство как непрерывное физическое пространство. Тем самым вместо движения в геометрическом пространстве, как было принято в греческой геометрии, стали рассматривать механическое движение в физическом пространстве. В третьих, математический анализ дал содержательное обоснование введению в рассмотрение действительных чисел. В-четвертых, при своем рождении математический анализ был языком теоретической физики. Это означает, что рассматриваемые математические переменные имели физическое содержание. Другими словами, математический анализ своим рождением ознаменовал появление на свет прикладной теоретической математики.

Здесь необходимо сделать следующие замечания, характеризующие отличия европейской математики от греческой математики. В европейской математике теорема часто начинается со слов: «Пусть нам дана функция…». В этом случае речь идет не о конкретном отдельном математическом объекте, а о математическом объекте из некоторой совокупности математических объектов. Утверждений такого типа не знает греческая математика. Таким образом, если греческая математика имеет дело с отдельным математическим объектом, то европейская математика имеет, по существу, дело с совокупностями математических объектов.

Второе замечание заключается в следующем. В греческой математике, в основном, изучались только сами математические объекты, в то время как в европейской математике большое значение имело и имеет то содержание, которое вкладывалось в математические понятия. Напомним, что процесс вложения определенного содержания, иначе смысла, в математическое понятие называется интерпретацией (конкретизацией, реализацией) этого понятия. Это отличие непосредственно связано с различными целями, стоящими перед математикой в разные периоды времени.

На процесс интерпретации можно смотреть как на процесс, в определенном смысле обратный процессу абстрагирования и обобщения. Так как процесс интерпретации содержательно никак не связан с самими абстрактными понятиями, то одно и то же математическое понятие может иметь несколько различных интерпретаций. В частности, одно и то же математическое понятие может иметь различную интерпретацию одновременно в разных отраслях знаний. Так, понятие функции в различных науках допускает многочисленные содержательные интерпретации. Однако интересно отметить, что одно и то же математическое понятие имеет различную интерпретацию и среди математических объектов. Например, понятие «треугольник» может иметь различную интерпретацию в зависимости от типа геометрии, в которой это понятие рассматривается:

евклидова геометрия, сферическая геометрия, геометрия Лобачевского и т.п. Так как настоящее исследование посвящено математике, то везде ниже, говоря об интерпретации (конкретизации, реализации) математических объектов, мы будем предполагать интерпретацию среди математических объектов.

Как мы уже отмечали выше, для описания физических явлений в XVII веке все шире стали вводить математические модели. Все математические понятия, связанные с моделированием, обладают достаточно высокой степенью абстракции. Качественно они имеют совсем другую природу, чем, например, понятие треугольника или числа. С введением этих понятий, которые являются ненаблюдаемыми математическими понятиями, резко поднялся уровень абстракции, используемый в математике. Поэтому были обречены на провал все попытки математиков, еще не осознавших, что все эти понятия не основаны непосредственно на опытах, а являются абстракциями более высокой степени, вложить в них аналог реального содержания. Особенно это касается понятий бесконечного малого и бесконечно большого, играющих большую роль в математическом анализе. Осмысливанию этих понятий были посвящены века интенсивной интеллектуальной работы, начиная с XVII века. Можно только удивляться мудрости греков, которые старательно избегали бесконечно больших величин и искусно обходили бесконечно малые.

Начиная с этого времени (т.е. с XVII века), математики создавали понятия, а не черпали абстрактные идеи из реального мира. В поисках источника математических идей математики обращались теперь не к ощущениям, а к человеческому разуму. По мере того, как новые идеи оказывались более полезными в приложениях, их принимали – сначала недовольно, а потом с жадностью. Становясь привычными, новые понятия отнюдь не становились более приемлемыми: привычка лишь рождала у математиков некритичность и создавала ощущение естественности там, где этой естественности не было.

Эти вводимые ненаблюдаемые понятия, по существу, составили и язык прикладной математики, ибо они были рождены для описания реальных явлений. Здесь мы сталкиваемся с интересным парадоксом: для того, чтобы описать или объяснить явления природы, мы вводим в рассмотрение ненаблюдаемые понятия, которые все больше и больше носят абстрактный характер, не имеющий никакой связи с реальностью. Другими словами, математическая картина мира, состоящая из утверждений, высказанных с помощью этих понятий, все дальше и дальше отходила от реальности тех явлений, описывать которые она предназначалась.

Существующая в то время греческая математика продолжала оставаться чистой математикой. Позже, уже в XIX веке, существенная часть математического анализа тоже превратилась в чистую математику. Чистая математика также стала вводить новые математические объекты исследований, пользуясь фантазией, обобщением, абстрагированием, аналогией. Вводом этих новых понятий область математических исследований расширялась, что позволило чистой математике развиваться без всякой связи с прикладной теоретической математикой. По мере развития чистой математики степень абстракции вводимых математических понятий росла, т.е. вводимые понятия становились все более и более абстрактными. Принципиально новые типы математических понятий в чистой математике стали возникать из нескольких новых источников. Во-первых, в связи с алгебраизацией математики появились понятия алгебраических структур: кватернионы, группа, поле, детерминанты и т.п. Во-вторых, в связи с созданием и развитием математической логики появились такие понятия, как квантор, импликация и т.п. В третьих, для логического обоснования математического анализа Г. Кантор ввел в рассмотрение понятия теории множеств. В четвертых, появился ряд новых математических областей, принадлежащих чистой математике, таких, как топология, в которых можно было начать исследования новых математических объектов.


Одним из распространенных методов введения в рассмотрение новых математических объектов является следующий. Пусть нам дано математическое уравнение:

F(X) =0.

Возможны две ситуации. В первой ситуации существует математический объект, который является решением этого уравнения, а вторая ситуация заключается в отсутствии уже существующего математического объекта, который являлся бы решением указанного уравнения. В таком случае поступают следующим формальным образом. Вводится некий символ Z, который обозначает новый математический объект, и который по определению является решением уравнения, т.е. утверждается, что F(Z)=0.

Этот метод введения в рассмотрение новых математических объектов применялся на протяжении всей истории математики для обозначения новых типов математических чисел. Например, уравнение вида x + n = 0, где n — целое положительное число, не имеет решения среди этих чисел, т.е. не существует такого натурального числа, которое, будучи подставленным вместо x в левую часть уравнения, обращает его в нуль. В этом случае (очень характерном для математики) вводится новый объект (или новое математическое понятие, или новый математический символ), который называется отрицательным числом, обозначается через - n и объявляется решением уравнения x + n = 0.

Важным шагом в этом процессе обобщения понятия математического числа было то, что на множестве всех положительных и отрицательных чисел по аналогии вводились операции, подобные арифметическим: сложение, вычитание, деление и умножение.

Новые операции вводились таким образом, чтобы на множестве натуральных чисел они совпадали с уже известными арифметическими операциями.

Аналогичным путем вводятся рациональные, иррациональные алгебраические и комплексные числа. Таким образом, любое расширенное понятие натурального числа является абстракцией, существующей только в сознании человека и возникшей из потребности найти объект, который будет обозначать решение специфического уравнения. Таким образом, это новое число есть просто символ, обозначающий решение соответствующего уравнения, и ничего больше. Другими словами, сам процесс решения уравнения часто превращается в декларацию о том, что выбранный символ объявляется решением соответствующего уравнения. Как любая декларация, так и эта требует согласия соответствующего сообщества людей. В почти любой книге по истории математики многие страницы посвящены тому, как устанавливалось согласие между математиками различных поколений в вопросе правомерности, использования в математических исследованиях новые числа.

Одни математики, в частности, Кантор, вводили в рассмотрение все новые абстрактные понятия, обладавшие, по их утверждению, той же степенью достоверности, какой обладают традиционные математические понятия, такие, как число и геометрические фигуры, как наблюдаемые понятия. Другие отвергали эти абстрактные понятия, считая их далекими от реальности и потому неспособными нести сколько-нибудь полезную нагрузку для объяснения реальных процессов и событий. Дискуссия по этому поводу свелась к основному вопросу: в каком смысле можно утверждать, что математические понятия существуют? Должны ли они соответствовать реальным физическим объектам, являясь их идеализацией? Аристотель, как большинство греческих мыслителей, считал, что математические понятия должны иметь реальные прототипы. Именно из-за отсутствия физической реализации он отвергал и существование бесконечного множества как «готовой» совокупности элементов, и существование правильного семиугольника, который не удавалось в то время построить с помощью циркуля и линейки. С другой стороны, последователи Платона — а Кантор был одним из них – полагали, что идеи (в том числе и различные понятия) существуют в некотором объективном «мире идей» и не зависят от человека. Человек лишь открывает эти идеи.

Прежде чем обсуждать вопрос о «существовании» того или иного математического объекта, необходимо выяснить, какой смысл вкладывается в это понятие. Отметим, что часто путают два разных понятия: «существование» и «существование где-то». Когда употребляют понятие «существование» в приложении к математическому объекту, то обычно подразумевается его существование вообще. Вопрос о существовании вообще математического объекта лишен содержания, ибо любой математический объект всегда существует в определенном человеческом сознании с того момента, как этот человек упомянул его, или в виде соглашения внутри некоторого человеческого сообщества. Это утверждение вытекает из того, что математика является интеллектуальным познанием определенного вида, и любой математический объект является интеллектуальным объектом. Согласно определению интеллектуального объекта, для его существования в человеческом сознании достаточно присвоить ему имя.

Для пояснения описанной ситуации рассмотрим в этом свете вопрос о существовании отрицательных чисел. Как мы уже отмечали выше, отрицательное число -n представляет собой символ, которому приписывается следующее свойство:

n + (-n) = 0.

Отрицательное число существует только в сознании математика, и тот может с ним «играть» по правилам, который он (или соответствующая общественность) установил (установила). Все, что мы сказали относительно отрицательного числа, с легкостью можно распространить на случай любого математического объекта. В силу высказанных соображений вопрос о существовании математического объекта вообще является тривиальным, ибо на него имеется единственный положительный ответ — с того момента, как он задан.

Следовательно, когда обсуждается вопрос о существовании математического объекта, имеют в виду существование математического объекта где-то вне человеческого сознания. Но и в таком случае этот вопрос также имеет тривиальный единственный ответ:

любой математический объект существует только в человеческом сознании и нигде больше, ибо он есть продукт интеллектуального познания.

Из этого анализа вытекает, что обычное употребление понятия —«существова-ние математического объекта» — не является корректным, и при его употреблении в него вкладывается совершенно другой смысл. Попытаемся выяснить этот смысл и задать на эту тему содержательный и более корректный вопрос.

По всей вероятности, вопрос о существовании относится не к самому математическому объекту, а к существованию определенной связи между математическим объектом и некоторым другим объектом или объектами. Прежде чем попытаться охарактеризовать эту связь, введем несколько понятий. Те объекты, с которыми имеет связь математический объект, могут быть как математическими, так и объектами другой природы. Если рассматриваемые объекты являются математическими, то такую связь назовем внутренней связью. Если же эти объекты имеют другую природу, то они принадлежат другому познанию, и эту связь назовем внешней связью. Каждый из объектов, находящийся в той связи, которую мы хотим изучить, будем называть интерпретацией математического объекта. Если интерпретация математического объекта является, в свою очередь, математическим объектом, то эту интерпретацию назовем внутренней интерпретацией, в противном случае – внешней интерпретацией.

Связь между математическим объектом и его интерпретацией в некоем познании обычно означает следующее: если в математическом утверждении, содержащем математический объект, заменить его интерпретацией, то мы получим «истинное»

утверждение в соответствующем познании. Последнее утверждение нуждается в дополнительном объяснении.

Рассмотрим два случая: внутренней интерпретации и внешней интерпретации. В первом случае математический объект существует тогда, когда, заменив математический объект в любой теореме на его интерпретацию, мы снова приходим к теореме, т.е. к истинному математическому утверждению. При этом связь, которую между математическим объектом и его интерпретацией можно выразить математическим термином «отображение», не приводит к математическому противоречию. Именно существование такого отображения математического объекта в его интерпретации, которое не приводит к противоречию, и служит для математика основанием для утверждения о существовании математического объекта. Здесь понятие «существование»

тесно связано с понятием «непротиворечивость». (Вспомните высказывание А. Пуанкаре, приведенное выше как эпиграф.) На этой связи и основан один из распространенных приемов проведения математических доказательств, который называется «доказательством от противного».

Второй случай является более сложным. Его удобнее рассмотреть на достаточно распространенном и наиболее важном примере. Пусть дан математический объект и его интерпретация в прагматическом познании. В главе 1.2 мы уже рассматривали подобную ситуацию в более общем виде. В этой ситуации интерпретацией для математического объекта служит реальный объект. Но тогда математический объект является наблюдаемым интеллектуальным объектом с точки зрения интеллектуального познания.

В той же главе мы выделили два типа определений, с помощью которых задается интеллектуальный объект. Первый тип определения – это, когда объект определяется только одним своим именем. Тогда установление связи между математическим объектом и его интерпретацией носит чисто формальный характер: ставятся в соответствие друг другу два имени. В содержательном смысле такое соответствие не несет никакой информации для познания, кроме самого факта существования соответствия.

Предположим, что задан математический объект с помощью определения второго типа.

Это означает, что кроме имени, дан список характеристик, а также степени обладания этими характеристиками математическим объектом. Для того, чтобы установить связь между двумя объектами, необходимо, чтобы и реальный объект был задан с помощью списка свойств и степеней обладания этими свойствами реальным объектом. Тогда установление связи между математическим объектом и реальным объектом — это определение соответствия между характеристиками и свойствами, между степенями обладания характеристиками и степенями обладания свойствами. При таком сопоставлении любую математическую теорему относительно математического объекта можно переформулировать в утверждение относительно прагматического объекта, служащего интерпретацией математического объекта. Полученное утверждение будет утверждением в прагматическом познании. Это утверждение может быть или не быть прагматической регулярностью.

Если полученное утверждение не является прагматической регулярностью, то это означает, что существуют такие прагматические факты, которые противоречат этому утверждению. Отсюда следует, что соответствующее математическое утверждение не соответствует действительности. В этом случае математики отказываются от существования интерпретации математического объекта, но не от существования самого математического объекта, который может иметь другую интерпретацию.

Теперь предположим, что полученное утверждение является прагматической регулярностью. Это означает, что ни один из существующих прагматических фактов не противоречит этому утверждению. Но тогда и первоначальное математическое утверждение соответствует действительности. В этом случае математики могут утверждать о существовании математического объекта.

Резюмируя вышесказанное, мы можем сформулировать, что мы понимаем под словами «математический объект существует вне человеческого сознания». Мы будем считать, что математический объект существует вне человеческого сознания, если существует такая интерпретация этого объекта среди прагматических объектов, что любой теореме относительно рассматриваемого математического объекта соответствует прагматическая регулярность. Другими словами, понятие «существо-вание» вне человеческого сознания для математического объекта тесно связано с понятием «объект соответствует действительности». В этом случае очевидно, что математический объект является наблюдаемым математическим объектом.

В чистой математике нет никаких ограничений на введение того или иного математического понятия (это вытекает из универсальной абстрактности чистой математики). Единственным ограничением в этом случае является требование существования объекта, ибо для несуществующего объекта любые математические утверждения являются истинными. Напомним, что математический объект «существует в математике», если его определение не входит в противоречие с другими «уже существующими» математическими объектами.

В связи с приведенными выше рассуждениями, введем еще одну классификацию математических объектов. Математический объект назовем наблюдаемым математическим объектом, если среди всех его интерпретаций (конкретизаций) существует прагматический объект. Если же среди всех его интерпретаций не содержится ни одного прагматического объекта, то этот объект назовем чисто математическим объектом.

Теперь обратимся к понятиям, относящимся ко второй группе, которая содержит свойства математических объектов. Понятия из первой группы, как мы уже неоднократно отмечали, — просто символы или слова, обозначающие математические объекты. Для того чтобы внести определенное содержание в эти понятия, мы должны приписать им обладание определенными свойствами. Без обладания свойствами в определенной степени математические объекты остаются просто символами, о которых нельзя сказать ничего нетривиального, а тем паче нет смысла проводить относительно их какие-либо исследования. Таким образом, с каждым математическим объектом связан список приписываемых ему свойств. Сразу отметим, что свойства математических объектов приписываются им, ибо как математические объекты, так и свойства математических объектов являются интеллектуальными продуктами, плодом наших размышлений, существующими только в нашем сознании. Приписывание свойств интеллектуальным математическим объектам является чисто интеллектуальным формальным процессом.

Иллюстрацией этому служит любая формулировка математической теоремы, которая начинается словами: «Пусть данный математический объект обладает следующими свойствами…». В этой формулировке слово «пусть» и означает формальное приписывание упомянутых свойств рассматриваемому объекту, носящему определенное имя.

В силу того, что процесс приписывания свойств является формальным, и о зависимости друг от друга приписываемых свойств заранее неизвестно, то может возникнуть ситуация, когда не существует математического объекта (возможно, за исключением пустого множества), который удовлетворял бы всем приписываемым свойствам. В этом случае говорят, что набор приписываемых свойств является противоречивым. С подобной ситуацией часто встречается работающий математик в своей деятельности.

С несколько аналогичной ситуацией мы уже сталкивались при рассмотрении языка прематематики. Для того чтобы провести некое различие между понятиями прематематики и математики, мы сохраним за свойствами реальных объектов термин «свойство», а свойства математических объектов будем называть характеристиками математических объектов. Важно отметить, что имеется принципиальная разница между свойствами реальных объектов и характеристиками математических объектов, которая вытекает из природы прагматического и интеллектуального познаний. Приписывание свойств реальным объектам происходит из-за того, что мы обобщаем и абстрагируем наши ощущения, наблюдения. Связь между реальными объектами и их свойствами является естественной, идущей снизу вверх, и поэтому является достаточно крепкой. Так как математический объект и его характеристики являются интеллектуальными продуктами, т.е., по своей сути, символами, то установление связи между несколькими символами носит более искусственный, интеллектуальный характер, обладающий большой степенью свободы. Другими словами, эта связь договорная, идущая сверху вниз, и поэтому эта связь непрочная, она зависит только от договора или соглашения.

Единственным требованием, как мы уже неоднократно отмечали, к этому процессу является то, чтобы множество привязанных характеристик и степеней их обладания не содержало внутренних противоречий.

К рассмотрению характеристик можно подойти и с других позиций. Каждую характеристику мы можем рассматривать как некую абстрактную функцию, заданную на множестве математических объектов, которая каждому объекту ставит в соответствие степень его обладания характеристикой. В этом случае, с помощью характеристики мы можем разбить множество математических объектов на подмножества, каждое из которых содержит только те объекты, у которых есть одинаковая степень обладания выбранным свойством. На эти подмножества мы можем смотреть как на классификационные подмножества, определяемые выбранной характеристикой. Другими словами, с каждой характеристикой математических объектов мы можем связать некую классификацию на множестве всех математических объектов.

На этом пути мы сталкиваемся с определенной двойственностью: каждая характеристика определяет классификацию, и каждая классификация определяет характеристику. На языке классификаций и классификационных подмножеств легко сформулировать признаки совпадения характеристик или их различия. В качестве примера можно привести следующее определение. Если каждая из двух характеристик определяет одни и те же классификационные подмножества (т.е. классификации, определяемые этими характеристиками, совпадают), то такие характеристики называются адекватными. Таким образом, множество всех характеристик распадается на подмножества, каждое из которых содержит только адекватные характеристики.

Рассматривать разные, но адекватные характеристики не имеет никакого смысла, ибо в этом случае характеристики отличаются только названием и ничем больше. Поэтому мы будем рассматривать только по одной характеристике из каждого подмножества адекватных характеристик в качестве представителя множества адекватных характеристик.

Интерес представляют только такие классификации, которые имеют не менее двух классификационных подмножеств. Если классификация определяется одним классификационным подмножеством, то мы можем сказать, что все математические объекты обладают выбранной характеристикой в одинаковой степени. Это означает, что эта характеристика не несет никакой дополнительной смысловой или информационной нагрузки, не позволяет отличать одни объекты от других, и поэтому ее удобнее всего исключить из рассмотрения.

В качестве иллюстрации рассмотрим пример классификации, которая обладает только двумя классификационными подмножествами. Такую классификацию мы назовем двузначной классификацией. Примером может служить следующая, часто встречающаяся в математических исследованиях классификация. Математический объект принадлежит первому классификационному подмножеству, тогда и только тогда, когда обладает определенным свойством;

он же принадлежит ко второму классификационному подмножеству, тогда и только тогда, когда не обладает этим свойством.

Аналогично тому, как это происходило с понятиями первой группы, понятия характеристик математических объектов вошли в язык тремя путями, одновременно с введением в рассмотрение математических объектов различной природы. Первый путь связан с абстрагированием и обобщением языка прематематики. Этот путь характерен, прежде всего, для введения характеристик геометрических объектов, ибо никаких свойств чисел нельзя получить, обобщая свойства к-чисел. Второй путь связан с введением новых математических объектов, связанных с моделированием. Новые математические объекты вошли в язык математики вместе с набором их характеристик. Другими словами, при пополнении словаря понятий первой группы «автоматически» пополнялся и словарь второй группы. Аналогичную картину мы наблюдаем и в третьем случае, когда словарь второй группы пополнялся характеристиками математических объектов, пришедших из чистой математики, одновременно с вхождением этих объектов в словарь первой группы.



Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 15 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.