авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 15 |

«Е. М. Левич Математическое моделирование и компьютерная математика. Иерусалим, 2009 1 Содержание ...»

-- [ Страница 9 ] --

Подобно тому, как это рассматривалось выше, все характеристики математических объектов можно разделить на два множества: первичные характеристики и вторичные характеристики. Вторичные характеристики – это характеристики, которые задаются с помощью определения через другие характеристики. Это значит, что любая вторичная характеристика задается с помощью имени и описания ее через другие характеристики.

Первичная характеристика – это характеристика, которая нельзя определить через другие характеристики. Из этого определения следует, что первичной характеристике соответствует только имя.

Повторяя аналогичные рассуждения, приведенные выше, мы можем получить следующие утверждения. Во-первых, любая вторичная характеристика обладает определением, содержащим только первичные характеристики. Во-вторых, если первичный математический объект определяется через характеристики, то существует такое его определение, в котором участвуют только первичные характеристики. В-третьих, любой вторичный математический объект обладает определением, в котором участвуют только первичные характеристики.

В заключение рассмотрения характеристик математических объектов приведем несколько замечаний. Во-первых, характеристики математических объектов можно рассматривать как математические объекты. В этом случае можно говорить о характеристиках характеристик. Во-вторых, любой математический объект, обладающий некоторой характеристикой, можно рассматривать как характеристику этой характеристики. Это означает, что математический объект и характеристика математического объекта являются двойственными объектами, т.е., другими словами, выделение из двух объектов объект и его характеристику является относительным процессом. В-третьих, так как математический объект является интеллектуальным объектом, то определение математического объекта всегда выделяет множество интеллектуальных объектов, удовлетворяющих этому определению. Это значит, что нет никакой возможности выделить какой-либо один, конкретный математический объект, удовлетворяющий условиям, указанным в определении. Другими словами, математический объект есть множество интеллектуальных объектов, удовлетворяющих определению. Отсюда вытекает следующее: утверждение, что выражение, что математический объект A равняется самому себе, т.е. A = A, надо понимать как теоретико-множественное равенство. В некоторых конкретных случаях можно говорить, что мы можем конкретизировать только интерпретацию математического объекта и только в том случае, когда эта интерпретация представляет собой реальный объект.

Поясним последнее утверждение на примере. Есть принципиальное отличие между математическим понятием «треугольник» и конкретным чертежом треугольника на бумаге. Чертеж треугольника на бумаге является интерпретацией (конкретизацией) математического понятия, и этот чертеж, в определенном смысле, — единственный объект, который отличается от любого другого чертежа треугольника.

Если вторая группа понятий (характеристики математических объектов) дает возможность изучать отдельные математические объекты, то понятия третьей группы позволяют устанавливать связи и взаимодействие как между характеристиками одного и того же математического объекта, так и между математическими объектами. Понятиями этой группы являются понятия математических операций.

Интуитивный смысл понятия математической операции достаточно ясен, ибо мы с этим понятием неоднократно сталкивались в общеобразовательной школе. Все попытки формально дать определение этому понятию потребуют введения новых понятий, которые по их интуитивному содержанию будут тождественны понятию математической операции. Другими словами, мы в этом случае будем «играть в слова», вводя новые термины и не изменяя объем интуитивного содержания. В качестве примера можно рассмотреть ситуацию, когда мы понятие математической операции можем определить как разновидность или частный случай понятия функции. Однако при более близком ознакомлении мы с тем же успехом можем определить функцию как частный случай математической операции. Различие в применении того или иного термина связано только с нашими привычками в употреблении того или иного понятия. Поэтому будем считать понятие математической операции первичным понятием.

Каждая математическая операция ставит в соответствие одному или нескольким математическим объектам из множества объектов Х один или несколько математических объектов из множества объектов Y. Множество Х будем называть областью определения операции, а множество Y — областью значений этой операции. В частных случаях множества Х и Y могут совпадать. Так, например, хорошо известная операция сложения двух пифагоровых чисел ставит в соответствие этим числам третье пифагорово число. В этом случае области определения и значений совпадают.

Исторически первыми математическими операциями были арифметические математические операции, которые были получены при изучении пифагоровых чисел.

Обычно в литературе относят появление арифметических математических операций к абстрагированию и обобщению к-операций над к-числами из прематематики. Это кажется спорным, ибо для пифагорейцев, которым можно отдать первенство в исследовании арифметических математических операций, природа чисел, с которыми они работали, никак не была связана с прематематикой.

Впоследствии по аналогии с пифагоровыми и диофантовыми числами были определены операции над отрицательными и дробными числами, которые, будучи примененными к натуральным числам, давали те же результаты, что обычные математические арифметические операции. Подчеркнем, что операции, определенные на множестве рациональных чисел, представляют собой принципиально другие математические операции, чем операции над натуральными числами, хотя за ними и сохранился в употреблении термин «арифметические операции». Позже к этой группе понятий было добавлено понятие извлечения корня из числа, а также понятие алгебраического числа. В XVII веке и позже были введены операции (например, дифференцирование, интегрирование), связанные со становлением и развитием математического анализа и смежных областей математики. Щедрый поток понятий математических операций образовался с развитием чистой математики, особенно общей алгебры и топологии.

Каждая математическая операция характеризуется и набором свойств, которые по определению ей присущи. Как и в случае связи между понятиями первой и второй группы, так и в случае понятий третьей группы термины математических операций, входящих в третью группу, являются просто словами, если не вложить в них определенного содержания.

Как все в математике, так и математические операции можно рассматривать в качестве математических объектов, которые являются предметами математических исследований.

В математике изучаются и операции над математическими операциями, которые по уровню абстракции превосходят обычные математические операции над числами. Таким образом, возникает иерархия математических операций. Все математические исследования в той или иной степени связаны с изучением математических операций.

Ввиду вышесказанного, можно утверждать, что деление объектов математических исследований на категории, которое мы привели выше, является условным. Собственно, все в математике является математическим объектом, предметом для интеллектуального исследования.

Господь бог создал целые числа;

все остальное – дело рук человеческих.

Л. Кронекер 6.3. Математические числа.

Как мы уже неоднократно говорили, каждый тип математики характеризуется тем видом числа, который является одним из первичных объектов этого типа. В описанных выше типах математики, существовавших до появления европейской математики, каждому числу соответствовало однозначное символическое представление. Другими словами, для любого числа не существовали два различных символических представления.

Одним из важнейших математических объектов в теоретической математике является математическое число. Этот объект был наиболее распространенным в прикладной теоретической математике, однако с введением в рассмотрение различных абстрактных математических объектов роль его постепенно ограничивалась. Если в XVII—XVIII веках практически любой математик был связан с математическими числами, то в настоящее время существенное число чистых математиков, в частности, занимающихся алгеброй или топологией, в своем творчестве не касаются этого понятия.

Несмотря на то, что математики употребляли математические числа еще в XVII веке, окончательно это понятие оформилось только во второй половине XIX века в трудах Больцано, Дедекинда, Кантора, Пеано, Фреге и других математиков. Основная первоначальная идея в оформлении математического числа, по существу, принадлежит Декарту, который связал между собой числа с точками на числовой оси, введя в рассмотрение отрезок единичной длины (масштаб).

Понятие математического числа связано с еще одним типом чисел. Выше мы уже ввели ряд понятий числа, таких, как прематематические числа, пифагоровы и диофантовы числа. Каждое понятие числа является характерным для определенного типа математических знаний и исторического периода, ибо оно отражает определенную сущность. Так, прематематические числа отражали количественную сущность множества реальных объектов;

пифагоровы числа — мистическую или философскую сущность;

диофантовы числа — свойство объекта быть решением некоторого уравнения. Сущность, которую отражают математические числа, непосредственно связана с понятием непрерывности. В частности, это выражается в том, что множество математических чисел является непрерывным множеством.

Необходимо отметить, что содержание понятия непрерывности в математическом анализе менялось в течение первых двух столетий его существования. В XVII веке это понятие носило характер физической непрерывности, связанной с механикой Ньютона.

Математические числа появились, благодаря связи с числовой прямой, введенной Декартом при построении аналитической геометрии, а эта прямая, согласно Ньютону, была следом от движения материальной точки. В середине XIX века, в основном, трудами Коши и Вейерштрасса была определена математическая непрерывность, смысл которой сохраняется и до настоящего времени. Определение математической непрерывности позволило рассматривать числовую прямую как непрерывное множество в новом математическом смысле. Такое рассмотрение позволило, в частности, Дедекинду и Кантору, каждому в отдельности, дать формальное определение математическому числу.

Сказанное выше сразу отделяет математические числа от других типов чисел, о которых говорилось выше, ибо множество любого типа чисел, отличных от математических, представляет собой дискретное множество. Другими словами, математические числа образуют новый тип чисел, с которым мы еще не встречались.

Более того, используя понятия теории множеств, можно показать, что мощность множества математических чисел больше мощности всех чисел любого типа, рассмотренных до сих пор.

Основной вопрос, который касается математических чисел, — это вопрос об их существовании. Более точно, обсуждению подлежит, что понимается под выражением «математическое число существует». Выше, в предыдущем параграфе, мы уже обсуждали понятие существования математического объекта. Так как математическое число является конкретным математическим объектом, то здесь мы должны лишь уточнить это понятие. Напомним, что в понятие существования объекта вкладывается различное содержание.

Одно толкование заключается в том, что считают, что математический объект существует, если имеется общественно признанное имя этого объекта. Это означает, что в случае устного языка для этого объекта имеется имя, а в случае письменного языка – группа символов. Это имя позволяет отличить один интеллектуальный объект от любого другого интеллектуального объекта. Другими словами, в рассматриваемом случае два разных объекта обладают разными именами. Такое существование интеллектуального объекта назовем «реальным» существованием. Например, наиболее широкое распространение в математике получило представление чисел с помощью цифр и вспомогательных символов: точки, запятой и черточки.

Так, рассмотренные до сих пор типы математических знаний имеют одно важное свойство, которое заключается в том, что каждое число в них обладает уникальным именем, т.е. разные числа обладают разными именами. Отсюда вытекает, что все числа рассмотренных выше типов реально существуют, т.е. прематематические, пифагоровы и диофантовые числа реально существуют. Однако имена чисел существенно зависят от того специфического языка, который они используют. Поясним сказанное на примерах.

В прематематиках различных цивилизаций числа обозначались с помощью либо букв алфавита, либо специальных символов. (Когда мы говорим об обозначении чисел с помощью символов, мы имеем в виду конечное число символов.) Так, например, греки и евреи использовали для записи чисел буквы алфавитов своих языков, а халдеи, вавилоняне, египтяне — специальные символы. В разных цивилизациях можно встретить два типа представления чисел. Первый тип – это аддитивный способ, когда число представляется в виде суммы значений букв (символов), входящих в запись числа. Такое представление чисел характерно, например, для евреев. Другой тип представления чисел в цивилизациях был позиционным, связанным с неким основанием. В разных цивилизациях часто использовались различные основания, а в некоторых — одновременно несколько разных оснований, в зависимости от решаемых задач.

Выше мы уже описывали распространение арабских (индийских) цифр в странах ислама и в Европе. Кроме того, использовались специальные символы для обозначения дробей и корней. Важно отметить, что все математики до XVII века использовали только те числа, которые имели символическую запись.

С гораздо более сложной ситуацией мы сталкиваемся в случае математических чисел.

Начиная с XVII века, для записи чисел широко используется десять цифр, а также десятичная позиционная система. Однако существуют рациональные числа (например, 1/3), которые непредставимы в десятичной позиционной системе, т.е. для них не существует записи, состоящей из конечного числа цифр. Вообще, во-первых, для любой позиционной системы существуют такие рациональные числа, которые непредставимы в этой системе, а во-вторых, существуют математические числа, которые непредставимы ни в какой позиционной системе.

Очевидно, что любое математическое число, которое может быть представлено с помощью конечной записи хотя бы в одной позиционной системе записи, является рациональным числом. Тогда отсюда следует, что если математическое число не является рациональным, то его нельзя представить ни в какой позиционной системе.

Мы будем говорить, что математическое число реально существует, если в любой позиционной системе оно записывается с помощью конечного числа символов;

число условно реально существует, если есть такая позиционная система, в которой оно записывается с помощью конечного числа символов;

число реально не существует, если нет такой позиционной системы, в которой оно записывается с конечным числом символов.

Очевидно, что целое математическое число реально существует;

дробное рациональное число является условно реально существующим;

математическое число, не являющееся рациональным числом, реально не существует.

Еще одна ситуация возникает, когда математическое число задают с помощью описания его свойств, но при этом она не получает никакого конкретного символического имени, позволяющего его отделить от других объектов, обладающих теми же или похожими свойствами. В этом случае математическое число существует в нашем сознании, но в момент определения мы не можем его конкретизировать в символьном виде. Про такое число можно сказать, что оно «потенциально» существует. Здесь в качестве примеров можно привести такие числа, как е или.

Понятия «число реально существует», «число условно реально существует» очевидным способом можно распространить и на другие типы математики. В силу того, что во всех ранее рассматриваемых типах математики использовались числа, которые имели то или иное однозначное символическое представление, хотя и не всегда позиционное, то все числа во всех этих математиках являлись реально существующими. В силу сказанного, пифагоровы числа реально существуют в рамках греческой теории чисел, как и целые диофантовы целые числа — в рамках диофантовой арифметики.

Несколько более сложная ситуация имеет место у диофантовых рациональных чисел (диофантовых дробей). Эти числа обладают определенным символическим представлением, содержащим два целых диофантовых числа. Другими словами, диофантова дробь, по своей сути, является математическим объектом, принципиально отличающимся от числа, так как она не обладает единственным символическим представлением. В современной исторической математической литературе диофантовы дроби объявляют числами, по аналогии с математическим анализом, в котором подобные математические объекты считаются числами. Заметим, что в египетской и вавилонской прематематиках так называемые аликвотные дроби являлись числами, ибо для них существовали единственные специальные обозначения (символы), подобные тем, которые были даны другим числам. Поэтому в указанных прематематиках дроби реально существуют.

Перейдем теперь к алгебраическим числам, т.е. диофантовым числам, являющимся корнями алгебраических уравнений. Эти числа были представлены с помощью символической записи, в которую входили набор целых диофантовых чисел и специальные символы операций (арифметических операций и извлечения корней), связывающих числа. Более того, эти числа обладали различными символическими представлениями. В силу этого алгебраические диофантовы числа, как и диофантовы дроби, реально не существуют.

В обеих ситуациях, как в случае диофантовых дробей, так и диофантовых алгебраических чисел, возникает проблема равенства двух диофантовых алгебраических чисел, имеющих различное символическое представление. Эта проблема не может быть решена с помощью доказательства, а только через соглашение между людьми.

Возникновение математического анализа привело к тому, что появилась необходимость введения новых интеллектуальных объектов, которые дополняли бы уже существующие числа. Эти новые объекты наделили характеристиками, похожими на те, которыми обладали существовавшие до тех пор числа. В силу этого факта эти новые объекты также стали называть числами. Формальное математическое построение этих чисел было в чем то аналогичным построению алгебраических чисел. Новым числом объявлялся предел бесконечной сходящейся последовательности рациональных чисел (или сечение на числовой оси). Новое число получило имя «действительное» или «вещественное» число.

Со всеми «старыми» числами можно однозначно сопоставить математическое число, являющееся пределом числовой сходящейся последовательности, т.е. его также можно рассматривать как действительное число. Было доказано, что такое определение не входит в противоречие со всеми истинными утверждениями, относящимися к прежним числам.

Ясно, во-первых, что действительных чисел больше, нежели рациональных чисел, а, во вторых, любое действительное число, не являющееся рациональным, «потенциально»

существует.

В заключение этого пункта сделаем несколько «философских» замечаний.

Во-первых, с чисто формальной стороны, пифагоровы и целые диофантовы числа греческой математики, и натуральные числа, рассматриваемые как действительные числа, представляют собой совершенно разные интеллектуальные объекты, которые можно рассматривать как математически тождественные объекты.

Во-вторых, действительные числа появились в связи с необходимостью построить непрерывную числовую функцию. Образно говоря, действительные числа – это интеллектуальные объекты, которыми «заполнили» промежутки между двумя рациональными числами. Как мы отмечали выше, при своем рождении математический анализ имел «близнеца» — теоретическую физику. Эта двойственная ситуация наложила отпечаток и на понятие непрерывной функции. С одной стороны, непрерывная функция – это след от движения материальной точки (физическое толкование), а с другой стороны – набор точек (математический смысл). Здесь мы вернулись к спорам древних греков о смысле понятия непрерывности.

В-третьих, впервые в истории математики появилась возможность доказать равенство двух математических чисел. Это — следствие того, что теория математических чисел стала аксиоматической теорией.

В-четвертых, в силу того, что значительная часть действительных чисел «потенциально» существует, то возникает вопрос, что значит «вычислить значение функции». На этот вопрос, который широко распространен в современной математике, нельзя ответить в рамках теоретической математики, ибо в рамках теоретической математики оперируют только математическими рассуждениями на основании аксиом.

В рамках теоретической математики можно доказать или опровергнуть следующее утверждение: число y 0 является значением функции y = f (x) при значении x = x 0.

Или, другими словами, доказать или опровергнуть, что y 0 = f ( x0 ).

Правда, подобное утверждение является достаточно сложным, ибо нередко отсутствует критерий, с помощью которого можно определить, является ли конкретное число значением функции в требуемой точке. С другой стороны, задача вычислить значение y функции y = f (x) при значении x = x 0 не является математической задачей, относящейся к теоретической математике.

В-пятых, аналогично тому, о чем мы говорили выше, задача: численно решить уравнение f ( x ) = 0, т.е. найти численное значений корней этого уравнения, — не является математической задачей в рамках теоретической математики. Это утверждение вытекает из того, что численное решение указанного уравнения не является доказательством. С другой стороны, задачу: доказать или опровергнуть, что x = x является корнем уравнения f ( x) = 0, — можно рассматривать как математическую задачу в рамках теоретической математики. Все, что мы сейчас сформулировали, относится к уравнениям любого вида: алгебраическим, дифференциальным, интегральным и т.п.

Уклонений и произвола не меньше в построении аксиом, чем в образовании понятий, даже и в тех началах, которые зависят от простой индукции. И еще больше этого в аксиомах и в низших предложениях, которые выводятся посредством силлогизма.

Ф. Бэкон Аксиомы, которыми ныне пользуются, проистекают из скудного и простого опыта и немногих частностей, которые обычно встречаются, и почти соответствуют этим фактам и их объему. Поэтому нечего удивляться, если эти аксиомы не ведут к новым частностям. Если же, паче чаяния, открывается пример, который ранее не был известен, аксиому спасают посредством какой-либо прихотливой дистинкции, между тем как истиннее было бы исправить самое аксиому.

Ф. Бэкон Одной из главных заслуг доказательств является то, что они внушают скептицизм по отношению к доказанному результату. Б. Рассел 6.4. Истинные математические утверждения.

Как уже утверждалось выше в главе 2, целью любого познания является получение истинных в этом познании утверждений. Там же были выделены и некоторые типы истинных утверждений, среди которых находятся определения и факты.

Математические определения, как и любые определения в любом познании, являются истинными утверждениями по своей сути. Определение просто выделяет некоторый математический объект, приписывая ему некий символ или набор слов. Истинность определений основана на общественном согласии использовать эти определения в дальнейшем. Поэтому на определения часто смотрят как на некие соглашения.

Роль математических определений в математике очень высока. Сегодня в любой области математики можно найти бесчисленное количество математических объектов, заданных с помощью определений. Этот тип интеллектуальных утверждений составляет необходимую часть любой математической деятельности. Определения в математике играют двойную роль. С одной стороны, определения вводят в рассмотрение объекты исследования, формируя тем самым направления исследований, объем этих исследований.

Более того, правильный подбор определений может служить основой для построения математических теорий. Один из ведущих английских математиков Дж. Литтльвуд был готов за отдельные определения присуждать докторскую степень. С другой стороны, определения позволяют более кратко формулировать математические утверждения.

Теперь перейдем к рассмотрению математических фактов. Под математическим фактом мы понимаем утверждение, которое либо принимается общественностью как истинное утверждение, либо следует из других истинных утверждений (например, определений). Математические факты играют большую роль в теоретической математике.

В частности, существование математических фактов позволяет использовать в качестве одного из методов доказательства метод математической индукции. Более того, математические факты широко используются и для проверки математических гипотез.

Мы можем выделить несколько различных типов математических фактов. К первому типу математических фактов мы отнесем конкретные значения математических функций при конкретных значениях аргументов. Например, равенство f(x)=2, где f(x) — некоторая функция, является математическим фактом. Другой пример, относящийся к этому классу, формулируется иначе: математическим фактом является утверждение, что уравнение 10x - 15 = 0 имеет решение x = 1.5.

Это утверждение эквивалентно утверждению, что 10*1.5 – 15 = 0. Таким образом, к первому типу относятся также и конкретные численные решения различного вида уравнений, которые выражаются с помощью утверждений, подобных приведенным выше.

Выделенный тип математических фактов характеризуется тем, что принадлежность утверждений, отнесенных к этому типу, к математическим фактам очевидна и не вызывает никаких сомнений.

Ко второму типу относятся такие математические утверждения, которые принадлежат к математическим фактам в зависимости от точки зрения.

В качестве примера рассмотрим утверждение, что имеет место равенство:

2+3 = 3+2. (1) Это утверждение, что сложение двух натуральных чисел 2 и 3 коммутативно, можно рассматривать как математический факт.

Употребление слов «можно рассматривать» говорит о том, что существуют и другие возможности. К выражению (1) можно подойти с разных позиций.

Во-первых, на (1) можно посмотреть как на абстрагирование следующего прематематического равенства:

2 барана + 3 барана = 3 барана + 2 барана. (1а) Ясно, что слово «баран» мы можем заменить любым другим словом, означающим реальный объект (палец, рубль и т.п.). В этом случае выражение (1) принимается математической (или образованной) общественностью как истинное математическое утверждение, потому, что его прематематическая интерпретация является истинным прематематическим утверждением, которое соответствует действительности, ибо оно проверено опытным путем. В этом случае утверждение (1) является истинным утверждением как первичное интеллектуальное утверждение, которое не выводится дедуктивным (или с помощью логики, принятой в математике) путем из других истинных математических утверждений. Истинность (1) является просто соглашением. В этом смысле утверждение (1) представляет собой математический факт.

Во-вторых, мы можем смотреть на утверждение (1) как на следствие из общего утверждения, которое является определением математического объекта. Это утверждение звучит следующим образом: натуральные числа – это такие математические объекты, сложение которых коммутативно. (Мы здесь специально не даем полного определения натуральных чисел, так как это в данном месте непринципиально.) В этом случае (1) можно рассматривать как частный случай этого утверждения, если символы 2 и 3 обозначают привычные натуральные числа. Так как на любое определение можно смотреть как на первичное математическое утверждение, то и в этом случае (1) относится к конкретным математическим объектам, что выделяются из множества всех объектов, каждый из которых удовлетворяет условиям определения. Истинность утверждения (1) вытекает из того, что любое определение является абсолютным истинным утверждением, а из этого следует, что любая конкретизация этого утверждения является истинным утверждением. И в этом случае (1) можно рассматривать как математический факт.

В-третьих, на (1) можно смотреть как на математическое утверждение, которое доказывается на основе некоторых истинных математических утверждений. Например, мы можем доказывать истинность утверждения (1) на основе утверждения 1+2=2+ и некоторых других дополнительных утверждений. В этом случае (1) является вторичным истинным математическим утверждением, т.е. теоремой. Тогда (1) уже не является математическим фактом (в нашем понимании).

Резюмируя рассматриваемые случаи, можно видеть, что признание, является или не является (1) математическим фактом, зависит от того, каким путем получено это утверждение.

Мы только что выделили три типа математических фактов в зависимости от способа их получения. Первый тип математических фактов возникает в результате абстрагирования прематематических фактов;

второй тип получается при конкретизации аксиом;

и, наконец, третий тип есть результат доказательства теорем. Математические факты из первой группы являются истинными потому, что соответствуют действительности. Эта истинность имеет абсолютный характер. Математические факты из второй группы являются истинными потому, что любая конкретизация аксиомы является истинным утверждением. Эта истинность носит относительный характер, ибо выбор той или иной аксиомы связан с субъективным выбором. Например, мы можем вместо данного априорного утверждения взять в качестве аксиомы его отрицание. В этом случае первоначальное математическое утверждение перестает быть математическим фактом.

Аналогичную ситуацию мы наблюдаем по отношению к фактам третьего типа. Они истинны на основании того, что результатом математического доказательства всегда являются истинные утверждения.

Математические факты играют важную роль в математике. С одной стороны, это та же роль, какую играют реальные и прематематические факты в прематематике. На основе математических фактов проверяются на истинность формулировки математических утверждений. Эта проверка исходит из следующего принципа: если существует хотя бы один математический факт, который противоречит математическому утверждению, то это утверждение не может быть истинным в математическом смысле. На этом принципе основывается один из самых красивых и почитаемых математической общественностью способов опровержения математических утверждений. Он заключается в построении примеров, которые опровергают кажущиеся очевидными математические утверждения. Любые математические учебники (например, по математическому анализу) полны такими примерами, которые часто представляют собой образцы математического интеллектуального искусства, демонстрируют изощренность человеческого интеллекта, фантазию и воображение, присущие человеку. В этом качестве можно привести пример непрерывной, но не дифференцируемой ни в одной точке функции, который построил Вейерштрасс. Этот пример в свое время произвел неизгладимое впечатление на математиков. Его роль в математическом анализе напоминает роль апорий Зенона в философии.

С другой стороны, математические факты играют большую роль и в процессе доказательства математических утверждений. На использовании математических фактов основан метод полной математической индукции в доказательстве математических утверждений, полученных на основе анализа множества математических фактов. Здесь мы имеем дело с процессом, который очень напоминает процесс построения прематематической регулярности. На множестве фактов выводится справедливость некоторой «математической» регулярности, которую с помощью проведения доказательства специального вида превращают в математическую закономерность, т.е. в истинное математическое утверждение. Как мы уже говорили, исследование математических фактов является важным звеном в формулировании и доказательстве нетривиальных математических утверждений.

Теперь перейдем к обсуждению того, что мы понимаем под истинным математическим утверждением. Как и любое интеллектуальное познание, математика обладает специфическим языком, который принято называть математическим языком. На этом языке можно выразить определенные математические сообщения, которые являются грамматически правильно составленными текстами. В математике принято называть такие сообщения математическими утверждениями. До второй трети ХХ века было принято считать, что любое математическое утверждение является в математике либо истинным, либо ложным. Но появление теоремы К. Геделя, утверждающей, что в любой математической дисциплине существует такое математическое утверждение, которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть в рамках этой математической дисциплины, развеяло это убеждение.

Поэтому все математические утверждения в рамках определенной математической дисциплины можно разделить на три категории: истинные утверждения, ложные утверждения и неопределенные утверждения. Здесь мы встречаемся с двумя типами истинности и ложности: истинность и ложность в математическом смысле, истинность и ложность в познании.

Прежде всего, обратим внимание на понятие истинности. Эти понятия в математике как науке и в математике как в интеллектуальном познании практически совпадают. В математике, рассматриваемой как интеллектуальное познание, математическое утверждение является истинным, если оно либо объявляется истинным, либо выводится (доказывается) с помощью приемов, принятых среди математической общественности, из истинных математических утверждений. В математике, рассматриваемой как наука, истинным утверждением является математическое утверждение, которое или объявляется истинным, или доказывается из истинных математических утверждений с помощью дедукции (или расширенной дедукции, которая включает в себя математическую индукцию).

Уже из последних двух предложений видно, в чем эти два понятия истинности различаются. Различия между ними — это различия между математикой как наукой и математикой как интеллектуальным познанием. Выше мы уже говорили, что наука «математика» и интеллектуальное познание «математика» различаются как в установлении первичных истинных утверждений, так и в том, что математическое доказательство может быть отлично от логики интеллектуального познания.

Теперь обратим наше внимание на понятия ложности математического утверждения в математике как науки и в математике как интеллектуальном утверждении. В этом случае мы сталкиваемся с более сложной ситуацией. В математике как науке существует требование, которое называется «законом исключенного третьего». Этот закон формулируется следующим образом: «Одно и то же утверждение не может быть одновременно и истинным утверждением и ложным утверждением». Исторически вся математика была построена как наука, в котором выполняется это требование. Это означает, что в математике (как науке), ложные математические утверждения – это утверждения, которые, по своему смыслу, являются отрицаниями истинных утверждений. Более того, отрицание ложного утверждения является истинным. В математике (как науке) часто трудно определить, что такое отрицание математического утверждения. Например, для хорошо известной теоремы математического анализа, которая утверждает, что равномерно непрерывная функция, заданная на отрезке, дифференцируема в каждой точке этого отрезка, трудно сформулировать однозначно ее отрицание. Поэтому часто в слово «отрицание» в математике (как науке) вкладывается несколько иной смысл: под ложным утверждением понимают такое утверждение, для которого известно, что.то утверждение не является истинным утверждением. Слово «известно» означает, что или имеется доказательство, показывающее, что оно не является истинным, или существует хотя бы один математический факт, которому противоречит это утверждение. При таком понимании ложности математического утверждения становится еще более сложным обсуждать, что значит отрицание ложного математического утверждения в рамках математики как науки.

Под неопределенными математическими утверждениями понимаются утверждения, относительно которых не известно в рамках определенной математической теории, являются ли они истинными или ложными утверждениями. Слова «в рамках определенной математической теории» здесь принципиальны, ибо в силу природы интеллектуального познания для любого интеллектуального утверждения всегда найдется такое интеллектуальное познание, в котором это утверждение принимается как истинное.

Неопределенные утверждения можно разделить на два вида: временные и теоретические. Временные неопределенные утверждения – это те математические утверждения, для которых еще не найдено математическое доказательство, устанавливающее их истинность или ложность этих утверждений. В качестве примера временного неопределенного математического утверждения можно привести Большую теорему Ферма, которую удалось доказать только через три с половиной столетия после появления ее формулировки.

Теоретические неопределенные математические утверждения – это утверждения, относительно которых имеются математические доказательства, что оно не может быть доказано или опровергнуто в рамках определенной математической теории. О существовании теоретических неопределенных утверждений стало известно только во второй трети ХХ века, когда была доказана теорема Геделя, которую мы упоминали выше. В качестве примера теоретического неопределенного математического утверждения можно взять континуум-гипотезу, относительно которой было доказано, что в рамках обычной теории чисел нельзя установить ее истинность или ложность.

Так как математика есть определенный тип интеллектуального познания, то все утверждения можно разделить на две группы: наблюдаемые математические утверждения и чисто интеллектуальные математические утверждения. Утверждение называется наблюдаемым тогда и только тогда, когда все математические объекты, входящие в это утверждение, являются наблюдаемыми математическими объектами. Утверждение называется чисто интеллектуальным утверждением в том случае, если в нем участвует хотя бы один ненаблюдаемый математический объект.

Третий тип истинных математических утверждений состоит из утверждений, которые связывают между собой различные математические объекты и (или) их свойства. Этот тип включает в себя два вида истинных утверждений: первичные утверждения и вторичные утверждения. Первичные утверждения – это утверждения, которые объявляются истинными утверждениями, а вторичные утверждения – это утверждения, истинность которых доказывается. Первичные утверждения этого типа называются аксиомами, а вторичные утверждения – теоремами.

Утверждения третьего типа представляют собой наиболее интересные утверждения, которые несут в себе нетривиальную информацию. Именно получение таких утверждений и составляет основную цель математических исследований. Математические исследования, содержащие только математические факты или математические определения, имеют весьма ограниченное значение и редко встречаются.

Разделение математических утверждений на первичные и вторичные носит относительный характер и зависит от математической теории, в рамках которой рассматриваются эти утверждения. Это означает, что одно и то же математическое утверждение может быть первичным в одной теории и вторичным — в другой.

Значение первичных математических утверждений заключается не только в том, что они служат отправной точкой для проведения математических рассуждений, но и в том, что они определяют, какие математические объекты первичны, а также устанавливают свойства первичных объектов и связи между ними. Любой математический объект, входящий в аксиому математической теории, является первичным объектом. Содержание аксиомы описывает или свойства первичного объекта, или зависимость между первичными объектами.

Основополагающие утверждения, используемые в математике, можно разделить на две основные группы: основополагающие утверждения, связанные с математическим содержанием (так называемые математические основополагающие утверждения) и основополагающие утверждения, связанные с проведением математического доказательства (так называемые логические принципы или аксиомы).

Среди вторичных математических утверждений по их содержанию можно выделить несколько видов. Во-первых, теоремы существования, т.е. утверждения, декларирующие существование математических объектов определенного типа. Во-вторых, теоремы, утверждающие наличие определенной связи между математическими объектами. В третьих, классификационные теоремы, т.е. утверждения, устанавливающие связи между различными классификациями математических объектов. В-четвертых, утверждения, которые устанавливают определенные математические факты.

Одним из основных специфических свойств математики как интеллектуального познания является то, что любая математическая теория содержит конечное число первичных математических утверждений. Этот конечный набор первичных математических утверждений будем называть базисом теории. Он является необходимым условием для возникновения теоретической математики. Напомним, что базис теории состоит из утверждений двух типов: базисных определений и аксиом. Кроме того, базис теории можно разделить на две части: базисные утверждения, связанные с математическим содержанием теории, и базисные утверждения, характеризующие процесс проведения математического доказательства. Для удобства дальнейших рассуждений ту часть базисных утверждений, которая относится к математическому содержанию, будем называть математическим базисом теории, а ту часть базисных утверждений, которая относится к логике, будем называть логическим базисом теории.

Математической теорией называется совокупность всех истинных в этой теории утверждений, полученных из базисных утверждений с помощью математического доказательства (т.е. интеллектуальных рассуждений, проводимых на основе принятой в теории логики).

В этом пункте мы рассмотрим свойства математического базиса теории, а обсуждение свойств логического базиса перенесем в следующий пункт. Из различных содержательных соображений предполагается, что математический базис может обладать следующими свойствами: непротиворечивостью, внутренней независимостью, приемлемостью, полнотой.

Прежде чем дать соответствующие определения свойствам системы базисных утверждений, сделаем следующее замечание. К изучению системы аксиом мы можем подойти с двух сторон, которые условно назовем внутренним подходом и внешним подходом. Эти два подхода естественно связаны с двумя взглядами на математику: как на науку (внутренний подход) и как на язык моделирования (внешний подход). Внутренний подход выражается в том, что мы с помощью дедуктивного метода (т.е. с помощью математического доказательства) выводим из системы аксиом соответствующее математическое утверждение или теорему. Внешний подход заключается в том, что мы рассматриваем изучаемую аксиоматическую теорию как математическую модель, которая допускает различные интерпретации. В этом случае изучение и развитие аксиоматической теории связывается с изучением ее различных интерпретаций.

Понятие интерпретации, по существу, открывает путь к новому взгляду на дедуктивную систему, который естественно назвать модельным подходом. Согласно этому подходу любой аксиоматический математический объект можно рассматривать как модель интерпретированного математического объекта. Другими словами, мы каждой аксиоматической математической теории можем поставить в соответствие математический объект, который будем называть интерпретацией этой теории. Каждая теория обладает множеством интерпретаций, причем каждая интерпретация должна удовлетворять всем аксиомам этой теории. Здесь мы сталкиваемся с процессом, который в определенном смысле является обратным процессу абстрагирования. Если процесс абстрагирования направлен «вверх», то процесс интерпретации направлен «вниз».

Поясним вышесказанное на примере геометрии. Если до середины XIX века геометрия сводилась к изучению реального физического пространства, то уже в конце этого века на нее смотрели как на чисто математическую конструкцию, которая могла иметь различные интерпретации. Д. Гильберт в «Основаниях геометрии» заявил, что хотя мы используем такие слова, как точка, прямая, плоскость и т.д., вполне можно было бы говорить о пивных кружках, стульях и любых других предметах, лишь бы они удовлетворяли аксиомам.

Теперь перейдем к описанию свойств математического базиса, которые, как мы уже сказали выше, будем рассматривать с двух точек зрения. Под непротиворечивостью системы аксиом мы понимаем такое свойство системы базисных утверждений, которое гарантирует, что данная система не порождает противоречащих друг другу утверждений или теорем (внутренний подход).

Непротиворечивость системы аксиом мы можем определить и другим путем: через интерпретацию системы аксиом (внешний подход). Совокупность базисных утверждений противоречива, если не существует нетривиальной интерпретации этой системы, свойства которой удовлетворяют данной совокупности базисных утверждений. Отсюда вытекает один из способов доказательства непротиворечивости системы базисных утверждений, который основан на следующем утверждении: если существует хотя бы одна нетривиальная интерпретация (т.е. нетривиальный математический объект), свойства которой удовлетворяют совокупности аксиом, то эта совокупность аксиом является непротиворечивой.

«Над проблемой непротиворечивости математики вполне могли задуматься еще древние греки. Почему же она выступила на передний план лишь в конце XIX века?... Создание неевклидовой геометрии в значительной мере способствовало осознанию того, что геометрия является творением человека и лишь произвольно описывает происходящее в реальном мире. При всех неоспоримых достоинствах этого описания его нельзя считать истинным в том смысле, что оно не адекватно внутренней структуре окружающего мира и, следовательно, не обязательно непротиворечиво. Движение за аксиоматизацию математики в конце XIX века заставило математиков понять, сколь глубокая пропасть отделяет математику от реального мира. Каждая аксиоматическая теория содержит неопределяемые понятия, свойства которых задаются только аксиомами. Смысл неопределяемых понятий не зафиксирован раз и навсегда, хотя интуитивно мы представляем себе, что такое точки или прямые. Разумеется, предполагается, что аксиомы выбраны так, чтобы задаваемые ими свойства находились в согласии с теми, которые мы интуитивно с ними связываем. Но можем ли мы быть уверенными в том, что нам удалось выбрать аксиомы именно таким образом, что, формулируя их, мы не привнесли некоторое нежелательное свойство (или же оно следует из принятых нами аксиом), которое может привести к противоречию?» (М. Клайн, 39, сс.222-223).

Проблема установления непротиворечивости тех или иных аксиоматизируемых разделов математики стала ключевой в начале ХХ века. К этому времени математики отчетливо осознавали, что в вопросах непротиворечивости они не могут полагаться на «физическую реализуемость» математики. Так, например, в начале XIX века стало ясно, что евклидова геометрия представляет собой лишь логическую структуру, возведенную на фундаменте из примерно двадцати аксиом, не данных нам Богом или природой, а сформулированных человеком. В такой системе вполне могли быть и противоречащие друг другу утверждения. Подобное открытие обесценивало многое из того, что было достигнуто ранее: достаточно наличие двух взаимно противоречивых утверждений для получения новых противоречий. В этом случае вопрос об истинности полученных утверждений нельзя было бы решить. Первый шаг в доказательстве непротиворечивости евклидовой геометрии сделал Д. Гильберт, который доказал, что евклидова геометрия непротиворечива, если непротиворечива логическая структура вещественных чисел.

Проблема обоснования непротиворечивости логической структуры вещественных чисел оказалась гораздо сложнее, чем предполагалось ранее. Дело в том, что в самом начале ХХ века обнаружились противоречия в теории, лежащей в основе наших представлений о числе и далеко простирающейся за пределы вещественных чисел. Этой теорией, которая привела к противоречиям и открыла многим глаза на противоречия, существовавшие в более старых областях, явилась теория бесконечных множеств, предложенная Г. Кантором. По мере развития теории множеств были выявлены различного типа парадоксы и противоречия. Как мы уже говорили в предыдущем параграфе, попытки преодолеть эти противоречия, избежать парадоксов привели к различным методологическим направлениям в обосновании математики. Отметим, что тема доказательства непротиворечивости систем базисных утверждений различных формальных математических теорий была одной из модных тем для исследований второй половины ХХ века.

Система базисных утверждений называется независимой, если любое из принятых базисных утверждений нельзя дедуктивным путем вывести из остальных (внутренний подход). Утверждение, выведенное из других утверждений базисного набора, не является уже базисным утверждением, а есть теорема. Это же определение можно сформулировать и по-другому. Система базисных утверждений называется независимой, если для каждого утверждения, входящего в эту систему, существует такая математическая модель (или интерпретация), в которой все утверждения, кроме проверяемого на независимость, выполняются, а проверяемое утверждение не выполняется (внешний подход). Метод доказательства независимости той или иной аксиомы с внешней точки зрения и состоит в указании интерпретации или в построении модели, обладающей требуемыми свойствами.


Так, для доказательства независимости аксиомы Евклида о параллельных от остальных аксиом евклидовой геометрии можно воспользоваться в качестве интерпретации геометрией Лобачевского, в которой все аксиомы евклидовой геометрии действительны, кроме аксиомы о параллельных, а сама аксиома о параллельных действительна.

Разные области чистой математики обычно различаются, прежде всего, набором понятий, специфическими для данной области, а также определенным количеством базисных утверждений (аксиом), которые являются отправной точкой любых исследований в данной области. Выбор базисных аксиом зависит от области математики и связан в значительной степени с направлением исследований в этой области. Ставить вопрос о справедливости или правильности аксиом в математике некорректно, ибо эти понятия не поддаются формальному определению. Вместо этого обычно говорят о приемлемости системы аксиом.

Система базисных утверждений является приемлемой, если она позволяет построить теорию, объектами которой служат все те объекты, относительно которых мы интуитивно хотели построить теорию. Если свойства непротиворечивости и независимости имеют чисто формальное определение, то в приемлемости есть нечто от субъективности.

Отметим, что понятие приемлемости относится только к непротиворечивым совокупностям базисных утверждений. Уже из контекста понятия приемлемости следует его относительность (субъективность), зависимость от выбора исследователя. Одна и та же совокупность базисных утверждений может быть приемлемой для одного ученого и неприемлемой для другого. Выбор той или иной совокупности базисных утверждений связан или с интересами ученого (субъективный выбор), или с целями исследования.

Однако в любом случае выбор непротиворечивой системы базисных утверждений в значительной степени полностью определяет и все результаты исследования, которые, по всей вероятности, мы в каждый конкретный момент времени не знаем, но которые заложены в выбранной системе базисных утверждений. Выбор системы базисных утверждений, как мы уже говорили, в этом смысле можно сравнить с заданием теории генетического кода.

До конца XIX века вопрос о приемлемости системы аксиом не возникал. Однако в начале ХХ века, из-за того, что обнаружились парадоксы в аксиоматике теории множеств, во весь рост стал вопрос о том, какие системы аксиом можно использовать в качестве основания той или иной математической теории.

Система базисных утверждений называется полной, если добавление некоего утверждения к этой системе аксиом приводит к тому, что она становится или не независимой системой аксиом, или противоречивой. Другими словами, система базисных утверждений называется полной, если с помощью этого набора аксиом мы можем доказать или опровергнуть любое утверждение в терминах языка выбранной системы аксиом.

Так, например, на уровне геометрии Евклида проблема полноты сводится к вопросу о том, можно ли на основании аксиоматики Евклида доказать или опровергнуть любую разумную гипотезу о том, что в евклидовой геометрии высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке. Полнота аксиоматики теории чисел требует, чтобы с помощью аксиом теории чисел можно было доказать или опровергнуть знаменитую гипотезу Гольдбаха, которая утверждает, что любое четное число представимо в виде суммы двух простых чисел. До сих пор мы не знаем, верна или неверна эта гипотеза, но если аксиоматика теории чисел полна, то она верна или неверна – третьего исхода нет.

Проблема полноты затрагивает множество других математических утверждений, которые на протяжении длительного периода времени математикам не удавалось доказать или опровергнуть.

Вера в полноту системы аксиом, выбранных математиками, служила путеводной звездой для занятия математикой, ибо на этой основе зиждилась вера в разрешимость любой математической задачи в ту или иную сторону. Однако К. Геделю удалось разбить и эту веру. Он доказал утверждение, которое сегодня известно как теорема Геделя о неполноте. Эта теорема гласит, что если некая формальная теория, включающая аксиоматику теории целых чисел, является непротиворечивой, то она неполна. Иначе говоря, существует имеющее смысл утверждение теории целых чисел, которое в рамках рассматриваемой теории нельзя ни доказать, ни опровергнуть.

Теорему Геделя о неполноте до некоторой степени можно рассматривать как отрицание закона исключенного третьего, согласно которому каждое утверждение либо истинно, либо ложно.

Кроме того, в начале ХХ века некоторых математиков беспокоило еще одно обстоятельство. Аксиоматизация математики была осуществлена как формальный ответ на интуитивное принятие многих очевидных фактов. Правда, аксиоматизация помогла избавиться от противоречий и неясностей, в частности, в математическом анализе. Но сторонники аксиоматизации настаивали также на формальном обосновании явных определений, формулировок аксиом и доказательствах того, что было очевидно на интуитивном уровне – настолько очевидно, что прежде никто не осознавал, в какой мере те или иные рассуждения опираются на интуицию. В результате некоторые математики, например, Л. Кронекер, пришли к заключению, что с помощью только логических средств невозможно создать разумную теорию, выходящую за рамки интуиции, подсказываемой здравым смыслом.

Со времен греков говорить «математика» - значит говорить «доказательство.

Н. Бурбаки «Начала математики».

Строго говоря, такой вещи, как математическое доказательство не существует;

все, что мы можем сделать в конце анализа, это только показать;

… доказательства представляют то, что Литтлвуд и я называем газом, - риторические завитушки, предназначенные для психологического воздействия, картинки, рисуемые на доске во время лекции, средство для стимуляции воображения учащихся.

Г. Харди 6.5. Теоретико-математические рассуждения.

Если бы греки просто указали или перечислили те математические утверждения, которые, по их мнению, являются истинными утверждениями, и остановились на этом, то вряд ли мы сегодня говорили бы о математике как о науке, об отрасли знаний. Революцию в интеллектуальном познании вызвала сама постановка греками задачи: найти способ получения из группы истинных утверждений нового истинного утверждения. Решение подобной задачи позволило бы существенно расширить границы множества истинных математических утверждений, добавив к уже выбранным истинным утверждениям новые, полученные с помощью определенного метода. Суть этого поворота в человеческом мышлении достаточно четко выразил И. Кант:

«С самых ранних времен, до которых простирается история человеческого разума, математика пошла верным путем науки у достойных удивления древних греков. Однако не следует думать, что математика так же легко пошла или, вернее, создала себе этот царский путь, как логика, в которой разум имеет дело только с самим собой;

наоборот, я предполагаю, что она долго действовала ощупью (особенно у древних египтян), и перемена, равносильная революции, произошла в математике благодаря чей-то счастливой догадке, после чего нельзя было не видеть необходимого направления, а верный путь науки был проложен и предначертан на все времена и в бесконечную даль. Для нас не сохранилась история этой революции в способе мышления....

Однако легенда, переданная нам Диогеном Лаэртским, сообщающим имя мнимого изобретателя ничтожных, по общему мнению, даже не требующих доказательства, элементов геометрических демонстраций, показывает, что воспоминание о переменах, вызванных первыми признаками открытия этого нового пути, казалось чрезвычайно важным в глазах математиков и оставило неизгладимый след в их сознании. Но свет открылся тому, кто впервые доказал теорему о равнобедренном треугольнике (безразлично, был ли это Фалес или кто-то другой);

он понял, что его задача состоит не в исследовании того, что он усматривает в фигуре или в одном лишь понятии, как бы прочитывая в ней ее свойства, а в том, чтобы создать фигуру посредством того, что он сам a priori, сообразно понятиям мысленно вложил в нее и показал (путем построения). Он понял, что иметь о чем-то априорное знание он может лишь в том случае, если приписывает вещи только то, что необходимо следует из вложенного в нее им самим сообразно ее понятию». (И.

Кант, 37, т.3., сс. 84-85).

Благодаря введению доказательства как основного типа рассуждений и создалась математика, а за ней и все научное мышление. Собственно, наличие дедуктивных рассуждений принципиально определяет математику как область интеллектуального познания, ибо содержание математических аксиом было известно и до появления дедукции.

Использование дедуктивного подхода как основу математического доказательства организует специфическим образом мировоззрение математиков. Одним из принципиальных моментов здесь является многовековая вера математиков в то, что можно или доказать его истинность любого математического утверждения, или опровергнуть, т.е.

имеет место принцип, гласящий, что нет недоказуемых математических утверждений.

Другими словами, математическое утверждение временно является неопределенным интеллектуальным утверждением. Математики верят, что придет время, и будет найдено либо доказательство истинности или ложности того или иного утверждения. До сих пор только редкие из старых классических задач, которые вызывали интерес математиков, не были решены. В качестве примеров можно привести отрицательное решение задачи о разделении угла на три равные части с помощью циркуля и линейки, а также доказательство Большой теоремы Ферма, на решение которых были затрачены усилия многих математиков в течение столетий.

Введение математических доказательств в качестве одного из типов проведения интеллектуальных рассуждений изменило весь путь и способы человеческого познания и ознаменовало переход от прагматического познания к «рациональному»


интеллектуальному познанию. В математике к математическому доказательству подходят с двух позиций. С одной стороны, математическое доказательство — это процесс проведения интеллектуальных рассуждений, подчиняющийся определенным правилам. В этом качестве математическое доказательство является основой проведения рассуждений на всем протяжении истории математики. С другой стороны, математическое доказательство рассматривается также и как математический объект, который является предметом исследования.

В истории развития математики есть только два периода, когда математическое доказательство было объектом исследования. Первый период, который проистекал от рождения математики и до работ Аристотеля, являлся периодом становления самого процесса проведения математического доказательства. В этот период были выработаны основные правила и принципы этого процесса, который был назван логикой Аристотеля и на котором было основано доказательство теорем в геометрии. Эта логика просуществовала практически неизменно более двух тысячелетий.

В связи с проблемами, возникшими в математическом анализе, в первой половине XIX века математики вынуждены были вернуться к логической сути математических доказательств. В это время была проведена полная ревизия всех логических основ математического доказательства, была существенно расширена область логических принципов, применяемых в математическом доказательстве, что привело к созданию математической логики. Ее рассмотрению посвящена глава 7. Создание математической логики привело к тому, что была построена новая теория математического доказательства, которая включала в себя греческую дедукцию.

Одним из новых логических принципов, который сыграл революционную роль в логическом обосновании математического анализа, был метод математической индукции.

Этот метод в определенном смысле является осуществлением мечты Ф. Бэкона о широком использовании индукции в математических рассуждениях. Возникновение метода математической индукции было вызвано тем, что для логического обоснования математического анализа одной дедукции было недостаточно. Объяснение, по всей вероятности, заключается в том, что в отличие от геометрии Евклида математический анализ имел дело с потенциально бесконечными множествами.

В процессе развития математического анализа было выявлено большое количество полезных утверждений, истинность которых не вызывала сомнений у математиков, ибо они были проверены на ряде математических фактов. Однако эти утверждения невозможно было доказать без принципа математической индукции. Этот принцип был введен в математику одновременно и как один из логических принципов проведения математических доказательств, и как аксиома, утверждающая истинность утверждения, полученных с помощью этого метода.

Интересно отметить, что теорию чисел удалось превратить в математическую теорию (о чем мы уже упоминали выше) только после того, как в качестве аксиомы третьего типа приняли принцип математической индукции. Этот принцип можно сформулировать следующим образом: «Если теорема справедлива для 1, и если доказывается, что она справедлива для n+1, когда справедлива для n, то она будет справедлива для всех целых чисел».

В основе этого принципа лежит, прежде всего, необходимость проведения интеллектуального опыта с интеллектуальными объектами. Этот опыт, в частности, заключается в проверке справедливости теоремы, как это следует из формулировки, для случая 1. Принцип математической индукции не может быть выведен из других логических законов и силлогизмов, хотя могут существовать эквивалентные ему другие формулировки. Он также не может быть выведен из опыта;

опыт в этом случае может нас научить только тому, что этот принцип справедлив для конкретных натуральных чисел;

он не может простираться на бесконечный ряд чисел, а лишь на большую или меньшую часть этого ряда, причем всегда ограниченную. Этот принцип есть истинный образец синтетического априорного суждения.

Любые доказательства или формулировки математических утверждений часто начинаются с интеллектуальных опытов по проверке этих утверждений на соответствующих интеллектуальных объектах. В этом плане можно утверждать, что математика является интеллектуально опытной наукой.

В течение XIX века логика Аристотеля была преобразована в математическую логику, которая представляет собой аксиоматически построенную математическую дисциплину.

Это означает, что была выработана система логических базисных утверждений, лежащая в основе математической логики. Более того, был разработан специальный формальный логический язык, состоящий только из специальных символов, который позволял записывать формулировки и доказательства математических утверждений на этом языке.

Это позволило некоторым математикам утверждать, что математика – это часть математической логики.

В начале ХХ века начались споры, касающиеся включения тех или иных логических принципов в систему базисных утверждений, которую можно положить в основание математики. В зависимости от выбора систем базисных утверждений действительно можно построить отличающиеся друг от друга математические логики, на которых основаны разные типы математики.

Математическая логика, как научная дисциплина, имеет двойственный характер. С одной стороны, ее можно рассматривать как математическую дисциплину, и в этом смысле она является частью математики. Поэтому на систему базисных утверждений математической логики можно распространить те же требования, о которых мы говорили выше, а, именно требования непротиворечивости, независимости, полноты и приемлемости. С другой стороны, собственные утверждения математической логики касаются проведения математического доказательства, т.е. описывают свойства операций над математическими утверждениями. Это значит, что уровень абстракции логических утверждений выше уровня обычных математических утверждений. Отсюда следует, что математическая логика, по своей сути, не может принадлежать математике, а принадлежит метаматематике. Совмещение этих двух различных уровней абстракции в одной дисциплине может привести к появлению различного рода парадоксов.

Закончим этот пункт одним принципиальным замечанием. Процесс нахождения (вычисления) конкретного числового значения какой-либо функции при тех или иных условиях не является математическим доказательством. Это вытекает из того, что не существует никакой системы аксиом, из которых вытекает процесс проведения вычислений. Поэтому любая вычислительная задача, цель которой — найти одно конкретное числовое значение или их совокупность, не является задачей в рамках теоретической математики.

6.6. Теоретическая математика и теория моделирования.

В силу того, что любое исследование в рамках теоретической математики заключается в доказательстве определенного утверждения, в любом процессе моделирования в рамках теоретической математики объект исследования и его модели либо совпадают, либо связь между ними устанавливается с помощью доказательства. Ясно, что математический объект можно рассматривать в качестве модели самого себя. Эта ситуация является тривиальной, и в ней не содержится ничего нового.

Интерес представляет только второй случай. Пусть нам дан некоторый математический объект. Тогда любая модель этого объекта также является математическим объектом, но уже из другой математической дисциплины, т.е. заданным с помощью другого математического языка. В этом случае требуемое утверждение необходимо сформулировать на языке модели. Эта переформулировка утверждения имеет смысл в рамках теоретической математики только в том случае, когда между объектом и его моделью можно установить изоморфизм или, по крайней мере, гомоморфизм. В случае изоморфизма мы приходим к понятию адекватной модели.

История развития математики свидетельствует в пользу сказанного.

С понятием модели теоретическая математика впервые, по-настоящему, столкнулась еще в рамках греческой теоретической математики, когда Декарт заложил основы аналитической геометрии. На аналитическую геометрию можно посмотреть как на адекватную модель евклидовой геометрии. Это означает, что существует такое взаимооднозначное соответствие между элементами двух различных математических объектов, которое переводит любое истинное утверждение в рамках одного объекта в истинное утверждение в рамках другого объекта. В этом случае любую теорему евклидовой геометрии можно доказать методами аналитической геометрии.

Поиск и построение адекватной модели некоему объекту в то время (XVII век) слабо связано с процессом моделирования в современном смысле слова. С точки зрения ученых того времени, построение адекватной модели являлось просто нахождение адекватного описания исследуемого объекта на некотором формальном языке. Так как для Декарта евклидова геометрия была отражением физической реальности, то представление геометрических объектов на языке алгебры явилось адекватным описанием этой физической реальности на алгебраическом языке вместо геометрического.

Поиск адекватного описания математических объектов на другом математическом языке особенно характерен для теоретической математики XIX века. Обычно адекватное описание математического объекта на другом математическом языке называли интерпретацией этого объекта.

Интерпретации сыграли значительную роль в доказательстве непротиворечивости неевклидовых геометрий. Во второй и третьей четверти XIX века математиками был создан ряд неевклидовых геометрий, которые отличались друг от друга различными формулировками пятого постулата Евклида, касающегося существования параллельных линий. Все эти геометрии в первоначальном виде были сформулированы с помощью аксиом, в духе «Начал» Евклида. Первой неевклидовой геометрией была так называемая гиперболическая геометрия Лобачевского—Бойаи—Гаусса, затем появилась удвоенная эллиптическая геометрия Римана, а затем и эллиптическая геометрия Клейна.

В 1868 году Э. Бельтрами обнаружил, что удвоенная эллиптическая геометрия плоскости применима к поверхности сферы, если прямые в удвоенной эллиптической геометрии интерпретировать как большие окружности на сфере. Эти окружности удовлетворяют всем аксиомам удвоенной эллиптической геометрии. Но тогда к этим окружностям применимы и все теоремы этой неевклидовой геометрии. Поэтому, если в удвоенной эллиптической геометрии существовали противоречивые теоремы, то должны были бы существовать противоречивые теоремы и в евклидовой геометрии на сфере.

Отсюда можно сделать вывод, что непротиворечивость удвоенной эллиптической геометрии вытекает из непротиворечивости евклидовой геометрии.

Позже аналогичным путем проблема непротиворечивости гиперболической геометрии было сведена к непротиворечивости евклидовой геометрии. Была построена интерпретация гиперболической геометрии с помощью более сложной поверхности трехмерного евклидова пространства, что существует в евклидовой дифференциальной геометрии. Используя аналитическую геометрию, Гильберт показал, что евклидова геометрия непротиворечива, если непротиворечива арифметика.

По аналогии с изучением проблем непротиворечивости построение интерпретаций играет большую роль и в исследовании других проблем оснований математики, как, например, в вопросах полноты аксиоматической теории, а также в вопросах независимости системы аксиом.

Из сказанного видно, что использование адекватных моделей или интерпретаций стало одним из основных инструментов в процессе исследования ряда математических объектов. Использование адекватных моделей нашло широкое применение в различных областях чистой математики.

Гомоморфизм между исследуемым математическим объектом и его математической моделью используется обычно в тех случаях, когда необходимо опровергнуть то или иное утверждение в рамках исследуемого объекта.

По единодушному мнению всех, кто в отношении своих знаний хочет стоять выше толпы, математический метод, при помощи которого из определений, постулатов и аксиом выводятся следствия, при исследовании и передаче знаний есть лучший и надежнейший путь для нахождения и сообщения истины.

Б. Спиноза Бог существует, поскольку математика, несомненно, непротиворечива, но существует и дьявол, поскольку доказать ее непротиворечивость мы не можем.

Г. Вейль Глава 7. Математическая логика.

Как известно большинству математиков по собственному опыту, многое из того, что одно поколение математиков считает надежным и удовлетворительным, имеет шанс обратиться в тончайшую паутину под пристальным взором следующего поколения. … Знания как в некотором смысле разумного общего соглашения по вопросам обоснования математики, по-видимому, не существует… Ясно одно: одинаково компетентные специалисты разошлись и продолжают расходиться во мнениях по поводу простейших рассуждений, хоть в малейшей степени явно или неявно претендующих на универсальность, общность или неоспоримость.

Э.Т. Белл 7.1. Исторический очерк развития математической логики.

… есть ли что милей на свете, Чем уноситься в дух иных столетий И умозаключать из их работ, Как далеко шагнули мы вперед?

И.В. Гёте Выше мы уже неоднократно отмечали, что если бы греки просто указали или перечислили те математические утверждения, которые, по их мнению, являются истинными утверждениями, и остановились на этом, то вряд ли мы сегодня говорили бы о математике как о науке, об отрасли знаний. Революцию в интеллектуальном познании вызвала сама постановка греками задачи: найти способ получения из группы истинных утверждений нового истинного утверждения. Решение подобной задачи позволило бы существенно расширить границы множества истинных математических утверждений, добавив к уже существующим истинным утверждениям новые, полученные с помощью определенного метода.

Основу решения этой задачи заложила формальная логика Аристотеля. В своей книге «Органон» он обобщил весь опыт логических рассуждений, накопленный двумя веками развития греческой философии и математики. Он выделил законы мышления, используемые греческими учеными, абстрагировал их от частностей и обнаружил, что эти законы обладают универсальной применимостью.

Логика Аристотеля основана на учении о силлогизмах. Силлогизм есть утверждение, состоящее из трех элементов: большая посылка, меньшая посылка и заключение. Каждый элемент силлогизма представляет собой некое утверждение. Считается, что силлогизм – это доказательство заключения из двух посылок. Это означает, что если посылки представляют собой истинные утверждения, то и заключение является истинным утверждением. Все силлогизмы, которые используются в этой логике, разбиты на типы (модусы), модусы разбиты на фигуры. В литературе обычно говорится о четырех фигурах.

Доказано, что все фигуры силлогизмов можно свести к одной фигуре, состоящей из четырех модусов. Другими словами, силлогическая логика Аристотеля состоит из четырех модусов силлогизмов.

К логике Аристотель также относил и два принципа (закона), которые согласно грекам лежат в основе рационального мышления: принцип непротиворечия и принцип исключенного третьего. Принцип непротиворечия означает, что невозможно одновременно признавать, что одно и то же существует и не существует. Аристотель говорит: «Невозможно, чтобы одно и то же вместе было и не было присуще одному и тому же и в одном и том же месте … это, конечно, самое достоверное из всех начал». Этот принцип является отправной точкой построения математического доказательства. В частности, из этого принципа непосредственно следует, что математическое утверждение не может быть одновременно истинным и ложным. Принцип исключенного третьего гласит, что любое утверждение должно быть истинным, либо ложным.

Использование силлогизмов в сочетании с указанными двумя принципами в установлении истинности утверждения обычно называют дедуктивным выводом или дедуктивным доказательством.

На протяжении более двух тысячелетий логика Аристотеля не вызывала никаких возражений у ученых. Из западных ученых Декарт и Лейбниц были одними из первых, которые попытались расширить логику до универсальной науки о мышлении, приме нимой ко всем областям человеческого разума, т.е. построить своего рода универсальное исчисление мышления. Эту задачу они намеревались решить с помощью буквенной символики, подобной алгебраической, для того, чтобы уточнить и облегчить применение законов мышления. По их мысли, для построения универсальной логики необходимы три основных элемента. Первый элемент – универсальный научный язык, частично или полностью символический и применимый ко всем истинам, выводимым посредством рассуждений. Второй элемент – исчерпывающий набор логических форм исследования, позволяющий осуществить любой дедуктивный вывод из начальных принципов. Третий элемент – набор основных понятий, через которые определяются все остальные понятия, позволяющий поставить символ в соответствие с каждой простой идеей. Комбинируя символы и производя над ними различные операции, мы можем получить возможность выражать и преобразовывать более сложные понятия.

Наиболее существенный шаг в данном направлении сделал Лейбниц, однако эти его труды оставались неизвестными до 1901 года и потому не оказали никакого влияния на работы по созданию символической или математической логики, произведенные в XIX веке. Ни Декарт, ни Лейбниц не смогли выполнить эту программу. Только усилиями многих математиков в XIX веке удалось построить логику как математическую дисциплину, создав специфический символический язык и введя в рассмотрение набор логических принципов и операций.

Первыми выдающимися достижениями в этой области были работы Дж. Буля, которому принадлежит и первая развернутая система формальной логики. Он был самоучкой и поэтому никак не был связан путами традиционных взглядов и установок.

Буль смог взглянуть на математику свежим взглядом и оценить ее логический статус с той ясностью и полнотой, которая позволила Б. Расселу сказать: «Чистую математику создал Буль в сочинении, которое называлось “Законы мысли”». В своей книге Буль так сформулировал программу построения алгебры логики:

«В предлагаемом вниманию читателей трактате мы намереваемся исследовать фундаментальные законы тех операций разума, посредством которых осуществляется мышление, дабы выразить их на символический языке исчисления и на этой основе построить науку логики и ее метод».

Основная идея Буля состояла в том, что существующие законы мышления представимы в символическом виде, что позволяет в этом случае придать более точный смысл обычным логическим рассуждениям и упростить их применение. Здесь Буль использовал аналогию с алгеброй, предложив обобщение алгебраических рассуждений в форме так называемой алгебры операторов, последующее развитие которой привело к алгебре логики. Он вдохновлялся примером общей (или абстрактной) алгебры, основы которой были заложены математиками кембриджской группы (Дж. Пиккоком, Д. Грегори, О. де Морганом). Эти математики способствовали возникновению нового взгляда на алгебру как на науку о символах и операциях, которые могут иметь любую природу и представлять любые объекты.

Буквенная символика обладает множеством преимуществ. Во-первых, она позволяет вкладывать в каждое переменное, обозначенное буквой, четкий и однозначно понимаемый смысл. Во-вторых, все доказательства сводятся к преобразованию одних наборов символов в другие по заранее заданным правилам, заменяющим словесные формулировки законов формальной логики. В-третьих, правила преобразования выражают точные законы логики в сжатом, четком и легко применимом виде. Необходимо отметить, что здесь основное внимание уделяется неколичественным высказываниям.

Буль, кроме основ символической логики, заложил основы исчисления высказываний, что положило начало одному из разделов новой математической дисциплины, которая позже получила имя «математическая логика».



Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 15 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.