авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |

«Банков С.Е., Курушин А.А. Электродинамика и техника СВЧ для пользователей САПР Москва 2008 ...»

-- [ Страница 2 ] --

Таким образом, мы приходим к выводу, что решение электродинамической задачи для структуры, содержащей плоскость симметрии можно свести к решению двух задач для парциальных структур, которые получаются из симметричной структуры размещением в плоскости симметрии электрической и магнитной стенок (см. рис. 1.32). Каждая парциальная структура является половиной от симметричной структуры.

Рис. 1.32. К анализу симметричных структур В общем случае тело может иметь три плоскости симметрии, как показано на рис. 1.33. Ее анализ сводится к решению восьми задач для вырезки одной восьмой из симметричной структуры и стенок 1,2,3. Восемь задач соответствуют различным комбинациям стенок 1,2,3, которые могут быть либо электрическими, либо магнитными.

Рис. 1.33. Структура с тремя плоскостями симметрии Завершая раздел о симметричных структурах следует отметить, что очень часто решение нескольких граничных задач для парциальных структур меньшего размера оказывается более эффективным с точки зрения затрат компьютерных ресурсов, чем решение одной задачи для более сложной структуры с большими размерами. По этой причине такие САПР как HFSS, MWS, ЭДЭМ и многие другие содержат такие поверхности как стенки симметрии. Они бывают двух видов: стенка магнитной и электрической симметрии. Формально граничные условия на них не отличаются от условий на «обычных» электрической и магнитной стенках. Тем не менее, отличие состоит в том, что компьютер после решения граничной задачи отражает структуру и поля в ней в соответствии с законами (1.78), (1.79) и переходит к симметричной структуре.

2. Теория цепей СВЧ 2.1. Линии передачи и волноводы СВЧ Большой класс составляют различные задачи анализа структур, построенных на основе волноводов и линий передачи СВЧ. Эти структуры называют также цепями СВЧ или устройствами СВЧ. Отметим принципиальную роль в построении и функционировании таких устройств, которую играют линии передачи. Для понимания этой роли полезно проследить, как менялись функциональные свойства соединительных проводов в РЭА по мере повышения рабочей частоты.

На низких частотах утвердилась концепция построения РЭА как набора дискретных элементов, соединенных электрически нейтральными проводниками. Электрически нейтральный проводник значит, что его сопротивление равно нулю, то есть ток протекает через проводник без падения напряжения. Кроме того, такой проводник никак не взаимодействует с другими элементами схемы. Характерно, что свойства проводника не зависят от его формы. Конечно, такая концепция является идеализацией, и в природе нет объектов описанных выше. Однако эта идеализация оказалась весьма полезной, так как она отражала ряд реально существующих на низких частотах физических эффектов, связанных с квазистатическим характером электромагнитного поля.

Важным следствием изложенной концепции построения РЭА явилось разделение этапов проектирования на схемотехническое проектирование и конструкторское проектирование. Эти два этапа оказались практически независимыми друг от друга. Причина указанной независимости лежит в отсутствии электрических свойств у проводников, которая позволяет анализировать электрические характеристики схемы независимо от ее реального физического воплощения. По этой причине можно на первом этапе определить структуру и параметры принципиальной схемы, а затем решать вопросы трассировки печатной платы, размещения элементов и т.д., полагая, что их решение никак не влияет на характеристики принципиальной схемы.

По мере повышения частоты, разработчикам РЭА пришлось постепенно пересматривать в высшей степени удобную концепцию построения и проектирования РЭА. На первом этапе были введены, так называемые параметры паразитных реактивностей соединительных проводников. Это был первый шаг в учете волновых свойств проводников, которые уже нельзя было считать абсолютно электрически нейтральными.

Однако их электрические свойства рассматривались только в качестве малой поправки к параметрам основных элементов схемы.

Далее появились проблемы электромагнитной совместимости элементов РЭА, которые во многом были обусловлены тем, что проводники функционировали как антенны, способные излучать и принимать радиоволны. Излучательная способность проводников сильно зависит от их расположения относительно, так называемой, земли или общего проводника.

На низких частотах это обстоятельство не играет заметной роли, однако при повышении частоты оно становится определяющим. Стало понятно, что для уменьшения волновых эффектов необходимо, чтобы свойства проводника ( в случае печатной платы – это, так называемая, дорожка), то есть его форма и расположение относительно земли оставались неизменными. По – существу, это уже означало отказ от концепции электрически нейтрального проводника и переход к концепции линии передачи, если под линией передачи понимать структуру с постоянным поперечным сечением.

В конечном итоге появилась концепция построения СВЧ устройства как совокупности элементов, соединенных линиями передачи и волноводами.

Вообще говоря, термин волновод является более общим, чем линия передачи.

Однако, следует иметь ввиду, что часто в литературе под волноводами понимают только полые металлические волноводы. Мы будем считать волноводом любую продольно однородную структуру, у которой поперечное сечение не меняется при движении вдоль продольной оси. При таком определении в разряд волноводов попадают и линии передачи.

Отличительной чертой линии передачи является наличие двух и более металлических проводников. Таким образом, в рамках принятой концепции СВЧ устройство – это совокупность элементов, соединенных волноводами.

На рис. 2.1 и 2.2 показаны поперечные сечения наиболее распространенных на СВЧ линий передачи и волноводов.

а б в г д е Рис. 2.1. Линии передачи СВЧ а б в г д е Рис. 2.2. СВЧ волноводы К линиям передачи относятся: двухпроводная (а), коаксиальная (б), микрополосковая (в), полосковая или симметричная полосковая (г), копланарная (д), щелевая (е). К волноводам относятся: прямоугольный (а), круглый (б), П – образный (в), Н – образный (г), прямоугольный диэлектрический (д), отражательный диэлектрический (е).

Выше уже говорилось, что устройства на основе волноводов составляют очень важный класс электродинамических структур. Раздел электродинамики, в котором рассматриваются граничные задачи для устройств СВЧ, получил название теории цепей СВЧ. В данном и последующих разделах второй главы будут изложены основные положения этой теории. В первом разделе мы рассмотрим свойства однородных волноводов и их электродинамическое описание.

Собственные волны волноводов. Пусть мы имеем продольно однородную структуру, показанную на рис. 2.3. Под собственной волной понимают решение однородных уравнений Максвелла в следующей форме:

r r E ( s, z ) = E ( s, ) e i z, (2.1) r r H ( s, z ) = H ( s, ) e i z, (2.2) r r где - постоянная распространения волны, а E ( s, ), H ( s, ) - ее векторные функции поперечного сечения.

Рис. 2.3. Волновод Функции поперечного сечения кроме уравнений Максвелла должны удовлетворять всем граничным условиям, возникающим в поперечном сечении волновода. Часто термин собственная волна применяется только к функциям поперечного сечения. Соотношения (2.1), (2.2) записаны для распространяющейся волны (действительное ), бегущей вдоль оси 0z в положительном направлении.

Функции поперечного сечения или собственные волны, таким образом, получаются из решения двумерной граничной задачи. Эта граничная задача r r формулируется для функций E ( s, ), H ( s, ). В математике задачи такого типа называют задачами Штурма – Лиувилля. Ее решение позволяет найти постоянную распространения и с точностью до произвольной постоянной r r функции E ( s, ), H ( s, ). Здесь важно подчеркнуть, что собственные волны определяются не полностью, а лишь с точностью до постоянного множителя. Если говорить техническим языком, то амплитуда собственной волны остается неопределенной. Амплитуда определяется из решения неоднородных уравнений Максвелла с источниками. Однородная задача не позволяет найти амплитуду собственной волны.

Волноводы можно разделить на два больших класса: закрытые и открытые. К закрытым волноводам относятся: коаксиальная линия, полые металлические волноводы и ряд других. Отличительной их чертой является то, что их контур поперечного сечения ограничен непрозрачной поверхностью, чаще всего металлической. Поэтому поле в таких волноводах существует лишь в ограниченной области пространства. В открытых волноводах такой поверхности нет и поле существует, строго говоря, на любом расстоянии от волновода. Тем не менее, поле наиболее интересных собственных волн открытых волноводов быстро уменьшается при удалении от волноведущей структуры. Такие волны получили название поверхностных волн. К открытым волноводам относятся: двухпроводная линия, полосковые линии, диэлектрические волноводы.

Отметим, что анализ поверхностных волн открытых волноводов можно осуществить, переходя от открытого волновода к закрытому. Например, можно окружить микрополосковую линию металлическим экраном, как показано на рис. 2.4.

Рис. 2.4. Экранированная микрополосковая линия Если этот экран расположен достаточно далеко от полоскового проводника, то поле поверхностной волны «не почувствует» его присутствия и ее свойства практически не изменятся по сравнению с открытой линией, показанной на рис. 2.1 в. Такая эквивалентность справедлива только для поверхностных волн и не относится к волнам излучения из открытых волноводов.

Рассмотрим далее свойства собственных волн закрытых волноводов, имея ввиду, что наиболее интересные волны открытых волноводов – поверхностные могут также рассматриваться как волны закрытых структур.

В ходе решения задачи на собственные волны в той или иной форме возникает, так называемое, дисперсионное уравнение:

D( ) = 0, (2.3) решение которого дает постоянную распространения. Дисперсионное уравнение закрытого волновода всегда имеет бесконечное число корней.

Каждому корню соответствует своя собственная волна. Рассмотрим сначала свойства корней волновода без потерь. Пусть наш волновод выполнен из металла с бесконечной проводимостью и диэлектриков с нулевым тангенсом угла потерь. Тогда решения уравнения (2.3) расположены на плоскости комплексной переменной, так как показано на рис. 2.5. Под мы понимаем, так называемую, комплексную постоянную распространения собственной волны:

= i, (2.4) где - постоянная затухания.

Рис. 2.5. Корни дисперсионного уравнения на комплексной плоскости Из рис. 2.5 можно сделать следующие выводы:

- корни расположены симметрично относительно начала координат;

- даже в отсутствие потерь корни могут иметь мнимую часть.

Будем называть волны, которым соответствуют корни дисперсионного уравнения с нулевой мнимой частью = 0 распространяющимися волнами, волны, у которых действительная часть равна нулю = 0 будем называть нераспространяющимися или запредельными волнами. Назовем распространяющуюся волну с максимальным основной волной и присвоим ей индекс 1. Постоянные распространения собственных волн с индексами 2,3,… и т.д. расположены как показано на рис. 2.5. Смысл терминов распространяющаяся и нераспространяющаяся волны легко понять, если принять во внимание, что зависимость поля собственной волны от e iz. Если у координаты z описывается экспонентой вида распространяющейся волны =, то экспонента по модулю не меняется при изменении координаты z. Наоборот, у запредельной волны = i и z поле при увеличении z уменьшается по закону e. Отсюда легко сделать вывод, что нераспространяющиеся волны не переносят энергию на значительные расстояния, так как их поле быстро уменьшается при удалении от точки возбуждения.

В зависимости от соотношения параметров волновода и частоты волны запредельные могут превращаться в распространяющиеся и наоборот.

Особенно важны такие переходы при изменении рабочей частоты. С целью описания перехода волны из режима нераспространения в режим распространения вводят понятие критической частоты. На частотах ниже критической волна является запредельной, а на частотах выше ее она распространяется. Каждый тип волны имеет свою критическую частоту.

Наиболее распространенным и практически полезным режимом работы волновода является одноволновый режим, при котором распространяется только одна основная волна. В большинстве ситуаций наличие нескольких распространяющихся волн считается отрицательным эффектом, который необходимо избегать.

Говоря о номерах волн, следует отметить наличие двух ветвей, которые отличаются только знаком. Будем называть волны отвечающие условиям 0, 0 прямыми волнами, а 0, 0 встречными волнами.

Физически они отличаются только направлением распространения.

Присвоим встречным волнам отрицательные индексы, как показано на рис.

2.5. Тогда комплексная постоянная распространения n соответствует прямой волне с индексом n, а n встречной волне с тем же индексом.

При наличии потерь, которые логично считать малыми, корни дисперсионного уравнения смещаются на комплексной плоскости с осей координат, как показано на рис. 2.6. Теперь уже, строго говоря, все постоянные распространения всегда имеют и действительную и мнимую части.

Совокупность распространяющихся и запредельных волн волновода образуют полную систему собственных волн. Собственные волны обладают фундаментальным свойством ортогональности, которое математически выглядит следующим образом [10]:

r r r r (( E n H m ) ( H n E m ) )ds = n,m N n, (2.5) S где n, m - символ Кронекера, интегрирование в (2.5) ведется по поперечному сечению волновода.

0, n m n, m =, (2.6) 1, n = m Величина N n :

r r N n = 2 (E n H n )ds (2.7) S Рис. 2.6. Постоянные распространения собственных волн волновода с потерями на комплексной плоскости носит название нормы собственной волны.

Свойство полноты системы собственных волн означает, что любое поле внутри волновода можно представить в виде следующего ряда:

r i n z r r i z r E = Cn En e, H = Cn H n e n, (2.8) r r n= n = где En, H n - собственные волны волновода, а Cn - амплитуды собственных волн. Ряды (2.8) имеют название разложения по собственным волнам.

Распространяющуюся собственную волну можно охарактеризовать мощностью P, которую она переносит вдоль оси волновода. Эта мощность определяется путем интегрирования вектора Пойнтинга по поперечному сечению волновода:

1r r Pn = ( E n H n )ds. (2.9) 2S r В формуле (2.9) под H понимается комплексно сопряженное магнитное поле. Отметим, что в волноводах без потерь мощность, определяемая (2.9) для распространяющихся волн чисто действительная, если же ее вычислить для запредельной волны, то она будет чисто мнимой.

Обобщенные амплитуды волн в волноводах. Важным вопросом при описании волн в волноводах, а также внешних параметров СВЧ устройств является вопрос нормировки собственных волн и связанный с ним вопрос об амплитудах этих волн.

Выше уже отмечалось, что поле собственной волны определяется с точностью до произвольного множителя. Таким образом, мы можем rr умножить функции E n, H n на любое число и получившиеся после этого функции также описывают поле собственной волны. При этом, конечно, необходимо иметь ввиду, что коэффициенты в разложениях (2.8) будут меняться в зависимости от величины множителя. Процедура умножения на постоянный множитель получила название нормировки собственной волны, а сам множитель называют нормировочным множителем.

Вопрос об описании волны в волноводе имеет историческую подоплеку, которая несколько усложняет его. Дело в том, что исторически первыми были использованы на практике и математически описаны не волноводы общего вида, а именно линии передачи. Для описания линий передачи использовались не уравнения электродинамики, а приближенные телеграфные уравнения. Эти уравнения записываются относительно тока J (z ) и напряжения U (z ) в линии передачи, которые зависят от продольной координаты z. В рамках той же теории вводилось понятие характеристического сопротивления линии передачи Z c, которое определялось следующим образом:

U ( z) Zc =, (2.10) J ( z) где U (z ) и J (z ) уже не произвольные напряжение и ток, а напряжения и ток волны, бегущей в положительном направлении оси 0z. Оказалось, что отношение (2.10) для бегущей волны не зависит от координаты z, так как U ( z ) = Ue iz, J ( z ) = Je iz и может рассматриваться как параметр линии передачи.

Достоинства телеграфных уравнений состоят в их безусловной простоте. Недостатком этой теории является то, что она справедлива только для ограниченного класса линий передачи. Это линии передачи с Т-волнами.

Т-волна - это волна специального типа, которая имеет исключительно поперечные компоненты электромагнитного поля ( E z = 0, H z = 0 ).

Опишем признаки необходимые и достаточные для существования в линии передачи Т-волн:

- линия передачи должна содержать два и более металлических проводника;

- среда, в которой находится линия передачи должна быть однородной.

Нетрудно увидеть, что этим признакам удовлетворяют: коаксиальная линия, двухпроводная линия, полосковая линия. При этом, например, микрополосковая линия уже не является линией с Т-волной, так как часть поперечного сечения у нее занята диэлектриком, а часть свободным пространством.

Для линий с Т-волнами напряжения и токи определяются однозначно, единственным образом. Это обусловлено особым характером поля в поперечном сечении, а именно тем, что оно является статическим полем, то есть удовлетворяет уравнениям электро и магнитостатики. Для произвольного волновода поле удовлетворяет уравнениям электродинамики и напряжение и ток зависят от способа их вычисления. Тем не менее, с целью сохранить простоту описания, были предприняты попытки определить характеристическое сопротивление для произвольного волновода. К числу таких определений относятся энергетические определения Z c. Известно два энергетических определения:

U Z cu =, (2.11) 2P 2P Z ci =. (2.12) J Отметим, что для Т-волн все три определения, включая (2.10) дают одинаковый результат, если принять во внимание, что мощность, переносимая волной вдоль линии передачи P определяется следующим образом:

UJ P=. (2.13) Для волноводов общего вида разные определения характеристического сопротивления дают разные результаты. Их можно рассматривать как параметры, которые удобны в некоторых частных ситуациях, но которые неприменимы в общем случае. Самое главное, что с их помощью нельзя решать практические задачи о согласовании волноводов друг с другом и с нагрузками в отличие от линий передачи с Т-волнами, для которых характеристическое сопротивление является обоснованным и практически полезным параметром.

Таким образом, от описания волн в волноводах в виде токов и напряжений пришлось отказаться и перейти к описанию волн с помощью обобщенных амплитуд. Для этого используется универсальная характеристика волны – мощность, переносимая ей через сечение волновода (2.9). Этот параметр можно определить абсолютно однозначно для любого волновода.

Обобщенная амплитуда волны определяется следующим образом:

u ( z ) = P e i e, (2.14) где P - мощность, переносимая волной вдоль волновода, e - фаза поперечной компоненты электрического поля волны. Для волны бегущей в положительном направлении e зависит от z по линейному закону:

e = e0 z, (2.15) где e0 - некоторая начальная фаза. Из (2.14) и (2.15) следует, что u п ( z ) = u п (0)e iz. (2.16) Для волны, бегущей в обратном направлении u о ( z ) = u о (0)e iz. (2.17) Размерность обобщенной амплитуды Вт. В формулах (2.16) и (2.17) индексы п, о показывают, что данная величина относится к волнам, бегущим в прямом и обратном направлениях.

Необходимо отметить, что в волноводе с несколькими распространяющимися волнами, а также если мы хотим описывать влияние запредельных волн, то нам необходимо ввести обобщенные амплитуды для всех типов волн, интересующих нас. В одноволновом волноводе достаточно ограничиться одной основной волной. Далее, если не оговорено обратное, мы будем рассматривать одноволновые волноводы.

При этом условии можно ввести обобщенные нормированные токи и напряжения в волноводе:

U ( z) = u п ( z) + uо ( z), (2.18) J ( z) = u п ( z) uо ( z ).

Эти обобщенные токи и напряжения имеют размерность Вт. Их не следует путать с токами и напряжениями из телеграфных уравнений.

Формулы позволяют определить нормированное (2.18) характеристическое сопротивление волновода как отношение нормированного напряжения волны бегущей в прямом направлении к ее току. Из (2.18) видно, что это сопротивление равно единице для любого волновода.

Трансформация сопротивления вдоль волновода. Рассмотрим схему показанную на рис. 2.7.

Рис. 2.7. Нагруженный волновод На рис. 2.7 показана линия передачи, нагруженная на некоторое сопротивление. Эту схему следует понимать как эквивалентную схему произвольного волновода, отображаемого двухпроводной линией, нагруженного на нагрузку, которая отображается сосредоточенным сопротивлением. В реальности нагрузка может не иметь ничего общего с сосредоточенным элементом.

Применение эквивалентных схем аналогичных показанной на рис. 2. для описания процессов в произвольных волноводах допустимо, если при этом мы не используем никаких специфических свойств двухпроводных линий, характерных только для этого узкого класса структур.

Пусть на нагрузку набегает волна, которую мы назовем падающей и присвоим ей индекс «п». Наличие нагрузки приводит к появлению волны бегущей от нагрузки. Назовем ее отраженной волной и присвоим ей индекс «о». Охарактеризует нагрузку коэффициентом отражения, который определим следующим образом:

u (0) = о. (2.19) u п ( 0) С помощью соотношения (2.19) можно найти нормированные напряжение и ток в волноводе:

( ) U ( z ) = uп (0) eiz + e iz, ( ) (2.20) iz iz J ( z ) = uп (0) e e.

Отношение напряжения к току дает нормированное входное сопротивление нагрузки в произвольном сечении волновода:

eiz + e iz Z вх ( z ) =. (2.21) i z iz e e При z = 0 входное сопротивление равно сопротивлению нагрузки Z н 1+ Zн =. (2.22) Следующая формула связывает входное сопротивление нагрузки в произвольном сечении с сопротивлением нагрузки Z н :

Z н + itg (z ) Z вх ( z ) =. (2.23) 1 + iZ н tg (z ) Из соотношения (2.23) видно, что входное сопротивление сильно меняется при движении вдоль волновода. При этом его мнимая часть может принимать любые значения от минус до плюс бесконечности. Здесь хорошо видно отличие низкочастотной ситуации от высокочастотной. На низких частотах движение вдоль идеального проводника никак не изменяет входное сопротивление нагрузки. На СВЧ изменения могут быть сколь угодно большими.

Следовательно, на СВЧ описание устройств с помощью сопротивлений или проводимостей принятое на низких частотах допустимо, но нерационально. Более физически оправданным оказалось описание элементов непосредственно через соотношение амплитуд падающих и отраженных волн. Эта система параметров получила название параметров рассеяния, о которых будет говориться в разделе 2.2.

2.2. Многополюсники СВЧ Матрица рассеяния. Произвольное устройство СВЧ мы можем рассматривать как структуру, имеющую внешние выходы в виде волноводов.

Выходы СВЧ устройства называют также портами. На первых этапах развития СВЧ техники в качестве волноводов использовались линии передачи с Т-волнами, которые имеют два проводника. Выход в виде такой линии передачи отображается двумя зажимами – полюсами. По этой причине в отечественной литературе укоренился термин СВЧ многополюсник, который используется для описания СВЧ устройства с произвольными выходными волноводами. Количество полюсов в два раза превышает количество портов. Таким образом, в нашей терминологии двухполюсник – это устройство с одним выходом (портом), четырехполюсник с двумя и т.д. В англоязычной литературе такого расхождения нет.

Рассмотрим произвольный СВЧ многополюсник, показанный на рис.

2.8.

Рис. 2.8. СВЧ многополюсник Пусть этот многополюсник имеет N входов, то есть является 2 N полюсником. Разместим в каждом выходном волноводе отсчетные плоскости, формирующие порты устройства. Полагаем, что внешние воздействия на наш многополюсник имеют вид падающих волн, амплитуды которых на отсчетных плоскостях равны:

uпn, n = 1,2,...N.

Реакция многополюсника на внешние воздействия имеет вид отраженных волн с амплитудами в отсчетных плоскостях uоn, n = 1,2,...N.

Введем вектора падающих и отраженных волн:

...

r r u, U = u.

U п = пn (2.24) о оn..

Вектора падающих и отраженных волн связаны следующим образом:

r r U о = SU п, (2.25) где матрица S11.... S1N S=.. (2.26).

S N 1.... S NN получила название матрицы рассеяния.

Диагональные элементы матрицы рассеяния Snn носят название коэффициентов отражения. Недиагональные элементы Snm - коэффициенты передачи со входа m на вход n.

Классические матрицы сопротивлений и проводимостей. Матрица рассеяния является наиболее удобным и часто используемым способом описания СВЧ многополюсников. Поскольку матрица рассеяния связывает амплитуды волн, то данный способ описания еще называют волновым. На низких частотах чаще используется классическое представление многополюсников, в рамках которого связываются не амплитуды волн, а напряжения и токи на зажимах (полюсах) устройства. Используя нормированные напряжения и токи (2.18) мы также можем определить нормированные матрицы импедансов (сопротивлений) Z и адмитансов (проводимостей) Y, которые известны в классической теории многополюсников:

r rr r V = ZI, I = YV. (2.27) r r Нетрудно увидеть, что напряжения и токи связаны с векторами U п, U о следующим образом:

rr r V = Uп + Uо, (2.28) rr r I = Uп Uо.

Эти соотношения позволяют найти связь волновой матрицы рассеяния с классическими матрицами:

Z = ( E S ) 1( E + S ), Y = ( E + S ) 1( E S ), (2.29) S = ( Z E )( Z + E ) 1, S = ( E Y )( E + Y )1.

Еще раз подчеркнем, что до сих пор мы имели дело с нормированными матрицами сопротивлений и проводимостей. В технике СВЧ находят применение также ненормированные матрицы. Их используют для описания устройств на основе линий передачи с Т-волнами. Ненормированные матрицы сопротивлений и проводимостей связывают ненормированные напряжения и токи на входах многополюсника. Их можно выразить через нормированные величины следующим образом:

Vn Un =, Z cn (2.30) J n = I n Z cn, где Zcn - характеристическое сопротивление линии передачи на n-ом входе.

Формируя диагональную матрицу ZC, у которой на главной диагонали стоят характеристические сопротивления выходных линий, можно получить следующие соотношения:

~ Z = ZC/ 2 Z Z1/2, C (2.31) ~ 1 / Y = ZC Y Z-1/2, C ~~ где Z, Y - ненормированные матрицы сопротивлений и проводимостей.

Сдвиг отсчетных плоскостей (de-embedding). Из определения матрицы рассеяния видно, что она зависит от положения отсчетных плоскостей. На практике часто возникает необходимость в следующей процедуре. Пусть мы провели расчет некоторого многополюсника с заданным положением портов.

Однако для удобства интерпретации результатов или каких-либо иных соображений нам необходимо получить матрицу рассеяния того же многополюсника, но при других положениях отсчетных плоскостей. В качестве примера можно рассмотреть анализ волноводной диафрагмы (см.

рис. 2.9).

Рис. 2.9. К сдвигу отсчетных плоскостей При анализе ее, например, в системе HFSS порты должны быть расположены на некотором расстоянии от диафрагмы. Однако при теоретическом исследовании таких элементов принято располагать отсчетные сечения непосредственно в плоскости диафрагмы. Это означает, что референсные плоскости должны быть сдвинуты на входах 1 и 2 на длины l1,2 соответственно. Сделать это сразу, располагая порты прямо на диафрагме было бы неверно, так как их присутствие там исказило бы поле и привело бы к неверному результату. Однако мы это можем сделать после решения, полагая, что сдвиг отсчетных плоскостей означает только лишь изменение точек отсчета фаз падающих и отраженных волн. В этом случае данная процедура приведет только к изменению фаз элементов матрицы рассеяния:

Snm = S nmei nln +i mlm, ~ (2.32) ~ где Snm - элемент матрицы рассеяния многополюсника со сдвинутыми n,m плоскостями, постоянные распространения волноводах на соответствующих выходах, ln, m - величины смещения отсчетных плоскостей на соответствующих выходах многополюсника. При записи (2.32) предполагалось, что смещения имеют положительный знак при движении к многополюснику (укорочение выходных волноводов) и отрицательный при движении от него (удлинение выходных волноводов).

Процедура смещения отсчетных плоскостей в англоязычной литературе называется de-embedding. Она реализована во многих САПР.

Пределы применимости матричного описания многополюсников.

Многомодовые матрицы рассеяния. Описанная выше процедура определения матрицы рассеяния опирается на ряд допущений, которые были сделаны неявно. В разделе 2.1 говорилось о том, что в любом волноводе существует бесконечное множество собственных волн. Источник возбуждения этих волн находится внутри многополюсника.

Поясним это утверждение на примере волноводной диафрагмы, показанной на рис. 2.9. Понятно, что поле вблизи диафрагмы имеет сложную структуру. Так тангенциальное к плоскости диафрагмы электрическое поле должно быть равно нулю на диафрагме, а в области отверстия оно должно быть непрерывным. Нетрудно убедиться, что поле основных волн никак не может удовлетворить этим условиям. Они удовлетворяются за счет возбуждения высших запредельных волн. При удалении от диафрагмы поле этих волн убывает по экспоненциальному закону и только поле основной волны имеет колебательный характер и существует в отсутствие потерь на любом расстоянии от диафрагмы. Поэтому, располагая отсчетные плоскости на некотором расстоянии от нерегулярности, мы можем утверждать, что в этих плоскостях поле запредельных волн пренебрежимо мало и оно полностью описывается полем основной волны.

В общем случае произвольного многополюсника ситуация аналогична.

Мы видим, что отсчетные плоскости нельзя располагать произвольно, если мы хотим корректно использовать определение матрицы рассеяния (2.25). Их надо размещать так, чтобы в сечениях волновода поле описывалось только полями падающей и отраженной волн основного типа.

Если это требование удовлетворяется, то говорят, что мы имеем дело с одноволновой матрицей рассеяния. Теория цепей СВЧ наиболее полно развита именно для этого случая и он лучше всего подходит для качественного инженерного анализа. Поэтому почти всегда, кроме некоторых исключительных случаев, в инженерной практике стараются иметь дело с одноволновыми волноводами и устройствами, которые описываются одноволновыми матрицами рассеяния.

Рассмотрим более подробно, какие ограничения накладывает аппарат одноволновых матриц рассеяния на конструкцию СВЧ устройства и на подход к их проектированию. Базовым принципом проектирования является декомпозиция, то есть деление сложного устройства на составные части. В СВЧ технике декомпозиция означает представление сложного устройства в виде совокупности элементарных многополюсников, соединенных волноводами (см. рис. 2.10).

Рис. 2.10. Сложное СВЧ устройство Под элементарным многополюсником понимается неделимый многополюсник, который нельзя представить в виде совокупности более простых частей. Декомпозиция сложного устройства на составные части разделяет его анализ на два этапа. Первый этап заключается в определении матрицы рассеяния элементарных многополюсников. Он получил название моделирования. Второй этап – определение матрицы рассеяния всего устройства по известным матрицам рассеяния его составных частей называется анализом устройства.

Математический аппарат моделирования и анализа весьма существенно отличаются друг от друга. Моделирование реализуется как решение электродинамической граничной задачи и является наиболее сложным и трудоемким процессом, требующим максимальных затрат компьютерных ресурсов. Анализ реализуется методами теории цепей СВЧ. Затраты ресурсов в этом случае, которые зависят от сложности схемы, как правило, существенно меньше затрат на моделирование. Проводя декомпозицию необходимо иметь ввиду правило, которое строго не доказано, но на практике почти всегда выполняется: решение большого числа электродинамических задач для простых структур менее затратно, чем решение одной задачи для сложной структуры. Поэтому чем проще элементарные многополюсники, тем эффективнее декомпозиция.

Аппарат одноволновых матриц рассеяния ставит предел эффективности декомпозиции, так как он ограничивает размеры элементарного многополюсника. В качестве примера рассмотрим две волноводные диафрагмы, показанные на рис. 2.11. Выше уже говорилось, что отсчетные плоскости для каждой из них должны располагаться на некотором расстоянии от диафрагмы L. Пусть также расстояние между диафрагмами равно d. Тогда, если d 2 L, как показано на рис. 2.11 а, то мы можем на первом этапе отдельно моделировать диафрагмы 1 и 2, а затем найти матрицу рассеяния всего устройства по известным матрицам рассеяния диафрагм.

Если же диафрагмы одинаковые, то моделирование достаточно провести один раз.

а б Рис. 2.11. Волноводные диафрагмы Таким образом, для определения матрицы рассеяния устройства в целом нам потребовалось моделирование одной диафрагмы.

Если же d 2 L, то мы должны рассматривать две диафрагмы как единую структуру, которую нужно целиком моделировать электродинамическими методами. Рассмотренный пример показывает, как использование аппарата одноволновых матриц рассеяния ограничивает возможности декомпозиции сложных СВЧ устройств.

Ограничения, связанные с одноволновыми матрицами рассеяния могут быть ослаблены, если перейти к многоволновым матрицам. В этом случае требования к полю в отсчетной плоскости ослабляются. Если раньше оно должно было представляться в виде суммы полей падающей и отраженной основной волн, то теперь мы можем добавить к нему поле падающей и отраженной запредельной волны. Если следовать разделу 2.1, то основная волна имеет индекс 1, а добавленная запредельная волна имеет индекс 2. В этом случае вектора отраженных и падающих волн приобретут следующий вид:

..

1 uпn uоn r r U п =., U о =., (2.33) u 2 u пn оn..

В формуле (2.33) верхний индекс соответствует индексу волны.

Матрица рассеяния теперь имеет размерность 2Nx2N:

S11 S S=, (2.34) S S S ij.... S ij ij 1N S =..,.

S ij.... S ij N1 NN i, j = 1,2. Матрица рассеяния (2.34) называется двухволновой матрицей рассеяния. При произвольном числе учитываемых волн мы переходим к многоволновой матрице.

Основной смысл увеличения числа учитываемых в портах волн состоит в том, что с его ростом отсчетная плоскость может приближаться к месту возбуждения высших типов волн и, следовательно, ограничения на размер элементарного многополюсника ослабляются.

2.3. Свойства недиссипативных и взаимных многополюсников В этом разделе мы рассмотрим свойства многополюсников специального вида. К их числу относятся многополюсники без потерь и взаимные многополюсники. Устройства без потерь, то есть без диссипации энергии называются недиссипативными устройствами, которым соответствуют недиссипативные многополюсники. Вообще говоря, потери имеются во всех СВЧ структурах, так что строго говоря, ни один многополюсник не является недиссипативным. Однако очень часто тепловые потери не играют существенной роли в функционировании СВЧ устройств, так как они весьма малы. Поэтому представление таких устройств многополюсниками без потерь оказывается вполне оправданным и целесообразным поскольку такие многополюсники имеют матрицу рассеяния более простого вида.

Невзаимные многополюсники встречаются в технике СВЧ достаточно редко. Внешним признаком невзаимности является присутствие в структуре устройства гиротропной среды. В подавляющем большинстве случаев такой средой является феррит. Поэтому за исключением ряда специальных случаев все СВЧ многополюсники взаимны.

Для начала рассмотрим свойства матриц рассеяния взаимных многополюсников. Они выражаются следующим соотношением:

S = ST, (2.35) T где S - транспонированная матрица. Уравнение (2.35) можно раскрыть следующим образом:

Snm = Smn. (2.36) Из равенства (2.36) следует, что матрица рассеяния взаимного многополюсника симметрична относительно главной диагонали.

Вообще говоря, свойство взаимности часто приводит к весьма неожиданным результатам. Например, волноводная структура, показанная на рис. 2.12 не имеет никакого намека на симметрию.

Рис. 2.12. Волноводная структура Несмотря на это коэффициенты передачи из плеча 1 в плечо 2 и из плеча 2 в плечо 1 равны друг другу. Существенно, что этот вывод можно сделать сразу, не проводя анализа сложной структуры.

Интересно, что матрицы сопротивлений и проводимостей взаимных многополюсников также должны быть симметричными относительно главной диагонали, то есть для них выполняются соотношения аналогичные (2.35):

Y = YT, (2.37) T Z =Z.

Перейдем далее к недиссипативным многополюсникам. Матрица рассеяния такого многополюсника удовлетворяет следующему условию:

ST S = E, (2.38) T где S - транспонированная комплексно сопряженная матрица рассеяния.

Условие (2.38) называется условием унитарности.

Унитарные матрицы обладают рядом характерных свойств:

- сумма квадратов модулей элементов каждого столбца равна единице:

N Snm = 1. (2.39) n = - столбцы ортогональны между собой:

N 0, n m S kn S km =, (2.40) N,n = m k = где N - некоторое число, имеющее смысл нормы столбца.

- определитель унитарной матрицы имеет единичный модуль, то есть его можно представить следующим образом:

det(S ) = ei. (2.41) Двухполюсник имеет матрицу рассеяния в виде одного числа – коэффициента отражения. Недиссипативный двухполюсник имеет коэффициент отражения по модулю равный единице.

Условия унитарности для четырехполюсника приводят к следующим соотношениям:

S11 = S22, S12 = S21, (2.42) 11 + 22 = 12 + 21 ±, где nm - фаза соответствующего элемента матрицы рассеяния.

Из соотношений (2.42) видно, что модули коэффициентов передачи и коэффициентов отражения недиссипативного четырехполюсника равны друг другу независимо от того взаимен он или нет. Взаимность доабавляет еще одно соотношение:

12 = 21. (2.43) Следующий пример недиссипативного многополюсника – шестиполюсник. В общем виде его матрица рассеяния имеет следующий вид:

S11 S12 S S = S 21 S22 S 23. (2.44) S31 S32 S Поставим вопрос о реализуемости согласованного шестиполюсника со следующей матрицей рассеяния:

0 S12 S S = S 21 0 S23. (2.45) S31 S32 Напомним, что под согласованием в технике СВЧ понимается отсутствие отражения от входа устройства, то есть равенство нулю коэффициента отражения.

Будем считать, что наш шестиполюсник недиссипативный.

Применение условия (2.38) к матрице (2.45) позволяет получить следующий результат. Согласованный недиссипативный шестиполюсник может иметь матрицу рассеяния следующего вида:

i 0 0 e i S1 = e 1 0, 0 (2.46) e i 0 или e i 0 e i 3.

S2 = 0 0 (2.47) ei1 Анализируя матрицы (2.46) и (2.47), нетрудно сделать вывод, что они несимметричны относительно главной диагонали, то есть они отвечают невзаимным устройствам. Следовательно взаимный, недиссипативный шестиполюсник не может быть согласован по всем своим входам. Это очень важный с практической точки зрения вывод.

Матрицы рассеяния (2.46), (2.47) соответствуют широко применяемым на практике устройствам – циркуляторам (см. рис. 2.13).

Рис. 2.13. Циркулятор Циркулятор на рис. 2.13 соответствует матрице (2.47). Движение волн в этом устройстве происходит по часовой стрелке. Матрица рассеяния (2.46) соответствует движению волн против часовой стрелки. Циркуляторы содержат ферритовые элементы, которые реализуют невзаимные свойства устройства.

Поставим далее задачу согласования недиссипативного, взаимного восьмиполюсника. Отметим, что взаимные, недиссипативные многополюсники называют также реактивными многополюсниками. Можно показать, что матрица рассеяния реактивного, согласованного восьмиполюсника может быть реализована в трех формах:

0 S 0 S 0 S 0 S S1 =, (2.48) S31 S32 S 41 S42 0 S 21 S31 S 0 S =, S2 (2.49) S31 0 0 S 0 S 42 S 43 0 S 21 0 S S 0 S =.

S3 (2.50) 0 S32 0 S S 41 0 S 43 На рис. 2.14 показано движение волн, соответствующее матрицам (2.48) (2.50).

Рис. 2.14. Согласованные, реактивные восьмиполюсники Стрелками на рис. 2.14 показано направление распространения волн при возбуждении первого входа восьмиполюсника. Нетрудно увидеть, что во всех трех случаях энергия распределяется между двумя входами, а на третий вход энергия не поступает. При этом говорят, что такой вход развязан.

Реактивный восьмиполюсник обладающий свойствами развязки и согласования двух пар входов называют направленным ответвителем.

Матрицы рассеяния соответствуют разным видам (2.48)-(2.50) направленности.

Направленности первого типа соответствует рис. 2.14 б, а направленности второго типа рис. 2.14 в. В принципе можно было бы выделить еще направленность третьего типа (рис. 2.14 а), но она сводится к направленности первого типа, если восьмиполюсник повернуть на девяносто градусов и перенумеровать его входы.

Отметим также, что матрицы сопротивлений и проводимостей недиссипативных многополюсников удовлетворяют следующим соотношениям:

Re Z = 0, Z = iX, (2.51) Re Y = 0, Y = iB.

Соотношения (2.51) аналогичны условиям отсутствия потерь в обычных сопротивлениях и проводимостях, которые в этом случае представляют собой реактивные элементы.

2.4. Симметричные многополюсники Для анализа симметричных многополюсников весьма эффективны подходы, изложенные в разделе 1.6. Рассмотрим их использование на примерах: симметричных четырех, шести и восьмиполюсников.

Симметричный четырехполюсник. Симметричный четырехполюсник показан на рис. 2.15.

Рис. 2.15. Симметричный четырехполюсник В соответствии с подходом изложенным в разделе 1.6 анализ симметричной структуры можно свести к анализу двух парциальных структур, которые в технике СВЧ получили название парциальных многополюсников. Парциальные многополюсники получаются из симметричного многополюсника сечением электрической и магнитной стенками. Для их обозначения используют термины многополюсник четного или синфазного возбуждения, соответствующий магнитной стенке и многополюсник нечетного или противофазного возбуждения, соответствующий электрической стенке.

В случае четырехполюсника мы получаем два парциальных двухполюсника, показанных на рис. 2.16.

а б Рис. 2.16. Парциальные двухполюсники e Их параметры рассеяния сводятся к коэффициентам отражения: S11 и m S11, где индексы e, m соответствуют двухполюсникам, полученным сечением электрической и магнитной стенками.

Матрица рассеяния симметричного четырехполюсника записывается следующим образом:

Sm + Se Sm Se 11 11 11 S= m2 e 2. (2.52) m e S11 S11 S11 + S 2 e m Если четырехполюсник не имеет потерь, то S11 и S11 по модулю равны единице:

S11 = eie, e (2.53) S11 = ei m.

m Подставим (2.53) в (2.52):

cos( ) i sin( ) i S= e, (2.54) i sin( ) cos( ) = m e, + = m e.

Фазовый множитель всегда можно сделать равным единице, сдвигая отсчетные плоскости. В этом случае матрица рассеяния симметричного реактивного четырехполюсника задается одним параметром. Важно также отметить, что по фазе коэффициент передачи сдвинут относительно коэффициента отражения на 90 градусов.

Согласовавнный делитель мощности на два канала. Устройство, которое будет представлено ниже в англоязычной литературе получило название делителя Вилкинсона. Его схема показана на рис. 2.17.

Рис. 2.17. Делитель Вилкинсона В разделе 2.3 было показано, что взаимный шестиполюсник без потерь не может быть согласован по всем входам одновременно. Практическим подтверждением этого вывода служат свойства простого соединения трех линий передачи. Рассмотрим параллельное соединение, показанное на рис.

2.18. На рис. 2.18 представлено симметричное соединение, которое имеет центральное плечо 1 и два боковых плеча 2,3. Они отличаются характеристическими сопротивлениями линий передачи. Можно показать, что при Z Z c1 = c соединение линий передачи имеет следующую матрицу рассеяния:

1 S=. (2.55) 2 1 2 Из формулы (2.55) видно, что соединение согласовано только по центральному входу. По другим входам коэффициенты отражения равны 0.5.

Рис. 2.18. Параллельное соединение линий передачи Для преодоления этого недостатка используют более сложное устройство, содержащее сопротивление R. Наличие сопротивления делает шестиполюсник диссипативным. Далее мы увидим, что введение потерь позволяет добиться согласования по всем входам.

Будем считать, соединения линий передачи в устройстве на рис. 2. параллельные. Из рисунка видно, что устройство имеет плоскость симметрии, проходящую между входами 2 и 3. В соответствии с методикой, изложенной в разделе 1.6 мы должны рассмотреть две парциальные структуры, получающиеся из исходной сечением электрической и магнитной стенками. В нашем случае это будут два парциальных многополюсника. Они показаны на рис. 2.19.

а б Рис. 2.19. Парциальные многополюсники Размещение электрической стенки порождает двухполюсник, а магнитной стенки четырехполюсник.

Необходимо пояснить, как были получены парциальные многополюсники. Первый момент связан с сопротивлением R = 2Zc. При размещении электрической стенки оно трансформировалось в резистор со вдвое меньшим сопротивлением. При размещении магнитной стенки оно исчезло. Рассмотрим сопротивление в виде последовательного соединения вдвое меньших сопротивлений, как показано на рис. 2.20 а.

При размещении электрической стенки между сопротивлениями устанавливается режим короткого замыкания (см. рис. 2.20 б). Это следует из того, что электрическое поле на этой поверхности равно нулю и, следовательно, равно нулю падение напряжения, что соответствует режиму короткого замыкания. В этом случае половина резистора замыкается на землю, что эквивалентно его параллельному включению в линию передачи.

а б в Рис. 2.20. Трансформация сопротивления Размещение магнитной стенки оказывается эквивалентным режиму холостого хода между сопротивлениями, так как граничное условие равенства нулю тангенциальных компонент магнитного поля означает отсутствие электрического тока в плоскости симметрии. Если тока в цепи нет, то эту цепь можно оборвать, как показано на рис. 2.20 в. Следовательно, в этом случае сопротивление не влияет на линии передачи и его можно убрать из эквивалентной схемы.

Второй момент, требующий пояснения связан с трансформацией линии передачи на входе 1. В первом случае (электрическая стенка) линия передачи превратилась в короткое замыкание, а во втором случае (магнитная стенка) в линию передачи с вдвое большим характеристическим сопротивлением.

Первое преобразование следует из утверждения о режиме короткого замыкания в плоскости симметрии при размещении электрической стенки.

Проводники линии передачи электрически соединяются друг с другом и входная линия передачи превращается в перемычку, закорачивающую подходящую к ней линию передачи с характеристическим сопротивлением Zc 2.

Второе преобразование менее очевидно. Для его пояснения рассмотрим коаксиальную линию передачи (см. рис. 2.21), которую рассекает по вертикали магнитная стенка.

Рис. 2.21. Коаксиальная линия передачи На рис. 2.21 показаны силовые линии магнитного поля. Видно, что они перпендикулярны магнитной стенке, то есть тангенциальное магнитное поле в коаксиальной линии и до размещения магнитной стенки было равно нулю.

Таким образом, ее появление не изменит структуру поля в линии. После разрезания коаксиальной линии по магнитной стенке мы получаем усеченную «половину» линии, поле в которой такое же, как в исходной линии передачи. Тождественность поля не означает тождественности всех интегральных характеристик: тока и напряжения. Напряжение тоже самое, что и раньше, а ток вдвое меньше, так как поверхность, по которой текут токи уменьшилась после сечения вдвое. Отсюда следует, что отношение напряжения к току в рассеченной линии вдвое больше, чем в исходной и, следовательно, ее характеристическое сопротивление также вдвое больше.

Матрицы рассеяния парциальных многополюсников на центральной частоте делителя приводятся ниже:

e S11 = 0, 0 i Sm =. (2.56) i Матрица рассеяния исходного шестиполюсника связана с параметрами парциальных многополюсников (2.56) в общем случае следующим образом:

m S m m S S11 S12 S22 S m m e m e S22 + S S=. (2.57) 2 2 2 m m e m e S22 S11 S22 + S S 2 2 На центральной частоте делителя, которая определяется равенством кольцевых линий четверти длины волны, матрица (2.57) преобразуется следующим образом:

i i 0 i S = 0.

i 2 0 (2.58) Структура симметричного Симметричные восьмиполюсники.

восьмиполюсника показана на рис. 2.22.

Рис. 2.22. Симметричный восьмиполюсник Восьмиполюсник может иметь одну из двух плоскостей симметрии 1, или две одновременно. Рассмотрим последний случай. Парциальные многополюсники имеют вид двухполюсников, показанных на рис. 2.23.


Рис. 2.23. Парциальные двухполюсники Они отличаются друг от друга типом секущей стенки, которые могут быть, как обычно, электрическими и магнитными. Двухполюсники характеризуется своими коэффициентами отражения. Будем обозначать их e, m как S11. Верхний индекс соответствует типу стенки. Первый показывает, какая стенка размещена в плоскости симметрии 1, а второй в плоскости 2.

Всего имеется четыре парциальных двухполюсника и четыре коэффициента отражения.

Ниже приводятся формулы, связывающие матрицу рассеяния e, m симметричного восьмиполюсника с S11 :

S11 S S12 S S S S11 S S = 12, (2.59) S13 S S14 S S14 S13 S12 S mm em me ee S11 + S11 + S11 + S S11 =, mm em me ee S11 S11 + S11 S S12 =, 4 (2.60) mm em me ee S11 S11 S11 + S S13 =, mm em me ee S11 + S11 S11 S S14 =.

Если восьмиполюсник реактивный, то модули всех парциальных коэффициентов отражения равны единице:

i ij S11 = e ij, (2.61) i, j = e, m.

Рассмотрим матрицу рассеяния направленного ответвителя с первым типом направленности (см. раздел 2.3). Для этого многополюсника должны быть равны нулю S11 и S14. Из этих условий получаем:

i sin( ) cos( ) 0 i sin( ) cos( ) i 0 S= e, (2.62) cos( ) i sin( ) 0 cos( ) i sin( ) 0 = mm ee, 2 (2.63) + = mm ee.

i Как и в случае с четырехполюсником от множителя e можно избавиться выбором отсчетных плоскостей. Тогда легко увидеть, что вся матрица рассеяния определяется параметром, который задает коэффициент деления мощности между плечами 2 и 3.

Выражения (2.62) и (2.63) верны, если выполняются условия:

mm = em ±, ee = me ±, (2.64) которые обеспечивают согласование и развязку устройства.

Второй тип направленности отличается тем, что у него вместо равенства нулю S14 должен равняться нулю S13. Условия аналогичные (2.64) теперь имеют следующий вид:

mm = ee ±, em = me ±. (2.65) Матрица рассеяния записывается в следующей форме:

i sin( ) cos( ) 0 i sin( ) 0 i cos( ) S= e, (2.66) cos( ) i sin( ) 0 cos( ) i sin( ) = mm ee, 2 (2.67) + = mm ee.

2.5. Каскадно соединенные многополюсники Часто встречающейся на практике задачей является анализ цепочек последовательно или каскадно соединенных многополюсников. В общем случае число входов, по которым соединяются многополюсники может меняться. Также сами многополюсники могут иметь разные матрицы рассеяния. На рис. 2.24 показаны два таких многополюсника.

Рис. 2.24. Каскадно соединенные многополюсники Ниже мы приведем соотношения, которые позволяют найти матрицу рассеяния объединенного многополюсника по известным матрицам I II рассеяния его составных частей: S, S. Если цепочка содержит большее число элементов, то эти соотношения необходимо применить последовательно несколько раз. Таким образом, количество многополюсников не является ограничивающим фактором.

I II Представим матрицы S, S в блочном виде:

S S SI = I, (2.68) S S S II S II =.

S (2.69) S S Блоки в выражениях (2.68), (2.69) описывают взаимодействие волн в сечениях,,. Соединение многополюсников идет в сечении.

Результирующая матрица рассеяния также имеет блочную структуру:

S S S=. (2.70) S S Для блоков матрицы рассеяния S справедливы следующие выражения:

S = S + S ( E S S ) 1 S S, II I II S = S ( E S S ) 1 S, II I (2.71) II I S = S ( E S S ) S, S = S + S ( E S S ) 1 S S,.

II I I Формулы (2.71) в принципе решают поставленную задачу. Следует однако отметить, что это решение не всегда удовлетворяет практическим потребностям, в частности, из-за необходимости вычислять обратную матрицу от сложной комбинации матриц. Может быть предложен альтернативный алгоритм, не нуждающийся в сложных матричных вычислениях, если вместо матрицы рассеяния для описания многополюсника использовать волновую матрицу передачи T.

Пусть мы имеем многополюсник, показанный на рис. 2.25, входы которого объединены в сечения 1 и 2.

Рис. 2.25. К определению матрицы T Введем матрицу передачи следующим образом:

r r U 2о U1п T r = r, (2.72) U 2п U1о T T T = 11 12, (2.73) T21 T где Tij - блоки, составляющие матрицу T.

Пусть данный многополюсник описывается матрицей рассеяния с блочной структурой:

S S S = 11 12. (2.74) S 21 S Блоки матрицы передачи можно выразить через блоки матрицы рассеяния:

T11 = S 21, T12 = S21 S 22, (2.75) T21 = S11S21, T22 == S12 S11S 21 S22.

В свою очередь, блоки матрицы рассеяния выражаются через блоки матрицы передачи:

S11 = T21T111, S12 = T22 T21T111T12, (2.76) S21 = T11, S22 = T111T12.

Волновая матрица передачи каскадно соединенных многополюсников выражается через произведение матриц передачи:

T = T1T2....TN, (2.77) где Ti - матрица передачи отдельного многополюсника. Нумерация многополюсников в цепочке идет слева направо.

Из формулы (2.77) видно, что применение матриц передачи избавляет от необходимости вычисления обратных матриц.

3. Метод моментов 3.1. Основная схема метода моментов Операторные уравнения и системы линейных алгебраических уравнений. Метод моментов (МОМ) наиболее полно изложен в работах Харрингтона и его монографии, вышедшей на английском языке [11]. На русском языке наиболее последовательное изложение МОМ представлено в книге Никольского В.В. [12]. Отметим, что сам автор этой книги термин МОМ не использует, но, тем не менее, речь там идет именно о МОМ.

С математической точки зрения МОМ является методом решения следующей операторной задачи:

L( f ) = g (3.1) где L(f) – оператор, заданный в некотором пространстве функций, а g известная функция. Под оператором в математике понимают действие, ставящее в соответствие функции функцию. Наиболее простым примером оператора может служить дифференцирование, которое исходной функции ставит в соответствие другую функцию – ее производную. Другой класс операторов – интегральные. Среди них наиболее известным является преобразование Фурье:

L( f ) = f ( x)e ix dx (3.2) Нетрудно видеть, что оператор из (3.2) ставит в соответствие исходной функции f(x) новую функцию, которая называется Фурье образом и определяется правой частью (3.2).

В электродинамике чаще используются интегральные операторы. О том как они получаются мы будем говорить ниже. Сейчас же мы рассмотрим основную идею МОМ. При этом чисто математические вопросы об области определения оператора L(f), сходимости МОМ мы оставляем в стороне, считая доказательную часть МОМ известной и рассматривая только его конструктивную часть.

Для компактного изложения схемы МОМ нам необходимо привлечь некоторые понятия из функционального анализа. К числу таких понятий относится скалярное произведение. Пусть мы имеем две функции f и g. Их скалярное произведение f, g должно удовлетворять следующим условиям:

f, g = g, f, (3.3) f + g, h = f, h + g, h, (3.4) f *, f 0, если f 0, (3.5) f *, f = 0, если f = 0, (3.6) где и постоянные, а * означает комплексное сопряжение.

Определение скалярного произведения неоднозначно. Его можно строить по разному. Часто под скалярным произведением двух функций определенных в области S понимают следующий интеграл:

f, g = fgdS. (3.7) S Легко видеть, что определение (3.7) удовлетворяет всем условиям (3.3) (3.6). Однако нам ничего не мешает добавить в (3.7) некоторую известную функцию, которую называют весовой функцией w. Тогда скалярное произведение изменится следующим образом:

f, g = wfgdS. (3.8) S Оно по-прежнему удовлетворяет всем условиям (3.3)-(3.8) и имеет право на жизнь. Свобода в выборе скалярного произведения не должна смущать. Наоборот, ее можно эффективно использовать, чтобы строить более эффективные алгоритмы решения уравнения (3.1). Перейдем далее непосредственно к МОМ.

Представим неизвестную функцию f в виде разложения следующего вида:

f = An n (3.9) n где n известные функции, получившие название базисных функций, а An неизвестные коэффициенты. Пусть функция f определена в некоторой области S. Подставим формулу (3.9) в (3.1):

An L( n ) = g (3.10) n Введем еще одну систему функций n, которые назовем тестовыми или пробными функциями. Умножим (3.10) последовательно на пробные функции с разными номерами и вычислим соответствующие скалярные произведения:

An m L( n ) = m g. (3.11) n Итак, в формуле (3.11) мы получили систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно неизвестных коэффициентов Am. Если решить эту СЛАУ и найти Am, то мы автоматически находим искомую функцию f. Собственно говоря, в этом и состоит весь метод моментов, который позволяет свести исходную операторную задачу к СЛАУ, которые эффективно решаются на ЭВМ.

Запишем СЛАУ (3.11) в матричной форме:

ZA = G, 1 L( 1 ) 1 L( 2 )... 1 L( N )...

2 L(1 ) 2 L( 2 )... 2 L( N )...

Z =............, N L( 1 ) N L( 2 )... N L( N )...

....... 1g A A 2g....., A =......

G= (3.12) Ng AN......

......

Используя (3.12), можно записать выражение для искомой функции f:

f =, Z 1G, 2. (3.13) =....

N....

В формулах (3.9)-(3.12) мы умышленно не указывали пределов суммирования. Дело в том, что, строго говоря, для точного описания неизвестной функции f требуется бесконечный набор базисных функций. На практике приходится ограничиваться конечной суммой:

N f N = An n. (3.14) n = При этом предполагается, выполнение следующего соотношения:

lim( f N ) = F, (3.15) N где F – точное решение уравнения (3.1). Формула (3.15) подразумевает, что предел существует и равен решению (3.1). В этом случае говорят о том, что метод сходится. Поскольку функция F неизвестна, то в качестве критерия сходимости соотношение (3.15) использовать нельзя. На практике используют следующее соотношение:

lim( f N +1 f N ) = 0, (3.16) N которое утверждает лишь то, что итерационный процесс сходится и функция f при увеличении N меняется все меньше, что не всегда означает, что сходится он к точному решению уравнения (3.1). Обоснование равенства (3.15) относится к доказательной части МОМ, которую мы рассматривать не будем.


Для остановки итерационного процесса, то есть выбора N можно использовать соотношение следующего типа:

f N +1 f N dS, (3.17) S где - некоторое наперед заданное число, называемое критерием остановки.

Формула (3.17) не является единственно возможным правилом для выбора N.

Более того, часто на практике применяют другие критерии, но смысл их тот же самый: некоторая величина на N шаге должна стать меньше некоторого фиксированного значения.

Базисные и тестовые функции. Рассмотрим какие функции могут использоваться в качестве базисных и тестовых. Существует большое разнообразие используемых базисных функций. Дело в том, что МОМ не накладывает на систему базисных функций таких жестких требований как ортогональность. Достаточно удовлетворить требованию полноты системы функций, которое означает, что бесконечный ряд вида (3.9) сходится в функциональном пространстве, в котором определена функция f.

Существуют два подхода к выбору базисных функций. Первый подход ориентирован на решение конкретной задачи. В этом случае базисные функции выбираются так, чтобы быть максимально похожими на точное решение уравнения (3.1). Для этого приходится учитывать априорную информацию о свойствах решения. Возьмем в качестве примера оператор следующего вида:

f (t ) L( f ) = dt, 1 t x (3.18) L( f ) = g.

Уравнения вида (3.18) часто встречаются в теории полосковых линий передачи, а также при анализе волноводных диафрагм. Известно точное решение уравнения (3.18) [13]:

1 t 2 g (t ) C 1 dt, f ( x) = 1 x2 tx (3.19) C= f (t )dt.

Из (3.19) следует, что функция f(x) при x 1 имеет особенности типа, определяемые первым множителем. Второй сомножитель из (3.19) x описывает некоторую гладкую функцию. Присутствие особенностей на краях интервала [-1,1] относится к априорной информации о поведении функции f и может быть использовано для правильного выбора базисных функций.

Например, удачным примером правильного выбора базисных функций является следующая система:

cos(nx) n ( x) =. (3.20) 1 x Мы видим, что базисные функции определены на всем интервале задания оператора L(f) и они стремятся к бесконечности на краях интервала также как строгое решение. Подставим выражение (3.20) в (3.9) и приравняем его строгому решению (3.19). В результате имеем следующее соотношение:

1 t 2 g (t ) cos(nx) 1 C 1 dt, An = 1 x2 tx 1 x n =0 Сокращая общие множители, получаем:

1 t 2 g (t ) An cos(nx) = C dt.

(3.21) tx n =0 Из формулы (3.21) видно, что задача определения неизвестных коэффициентов An эквивалентна разложению функции, стоящей в правой части (3.21) в ряд Фурье. Так как эта функция гладкая, то коэффициенты ее Фурье-разложения убывают не медленнее, чем 1 2.

n Совсем другая картина наблюдается при ином выборе системы базисных функций. Определим ее следующим образом:

n ( x) = cos(nx). (3.22) Проделав операции аналогичные предыдущим, получаем равенство эквивалентное (3.21):

1 t 2 g (t ) C 1 dt.

An cos(nx) = (3.23) 1 x2 tx n =0 Мы вновь имеем дело с разложением в ряд Фурье. Однако сейчас нам нужно представить рядом функцию с особенностями. Без доказательства отметим, что в этом случае коэффициенты An убывают как 1, то есть n намного медленнее чем раньше. С практической точки зрения это означает, что для удовлетворения критерию (3.18) во втором случае нам придется взять N много большее, чем в первом. Платой за это будет большой порядок решаемой СЛАУ и, следовательно несравненно большие затраты компьютерного времени и памяти.

К сожалению, обычно платой за быструю сходимость МОМ является потеря универсальности. Действительно, в каждой конкретной структуре будут свои подходящие базисные функции. Поиск их является неформализуемым процессом, который трудно превратить в компьютерную программу. Поэтому разработчики программного обеспечения отдают предпочтение базисным функциям способным решать более широкий набор задач даже в ущерб сходимости решения. Это правда не означает, что учет априорной информации совсем не нашел себе применение в реальных системах проектирования. Это не так. Например, анализ регулярных полосковых линий передачи почти целиком построен на использовании функций (3.20). Однако при переходе к более сложным структурам приходится использовать другие базисные функции.

Примером такой универсальной системы функций являются импульсные функции. Они вводятся следующим образом. Для простоты будем считать, что функция f является функцией одной переменной x, заданной на некотором интервале [a,b]. Тогда этот интервал разделяется на N подинтервалов S n, x [ x n, x n +1 ], которые могут иметь, вообще говоря, разную длину x n. Тогда базисные функции определяются следующим образом:

1, x S n, n = (3.24) 0, x S n.

Применение базисных функций (3.24) приводит к кусочно-постоянной аппроксимации функции f(x). На рис. 3.1 показан результат такой аппроксимации функции x для разных N=10,25.

Коэффициенты аппроксимирующей функции равны значениям f(x) в центрах интервалов S n. Таким образом, для аппроксимирующей функции F(x) получается следующее представление:

N F ( x) = f ( x 0n ) n ( x). (3.25) n = Недостатком импульсных функций является то, что получаемая в результате их использования аппроксимирующая функция разрывна. Последнее обстоятельство в электродинамике в ряде случаев неприемлемо, так разрывные функции могут порождать сингулярные поля, не отвечающие физической реальности. Тем не менее, рассматриваемая система базисных функций нашла достаточно широкое применение.

Рис. 3.1. Аппроксимация ступенчатыми функциями Из рис. 3.1 также следует правило, относящееся также ко всем другим системам функций. Точность решения зависит от скорости изменения неизвестной функции f. Это не слишком неожиданный вывод, который верен для процедуры аппроксимации вообще и для МОМ в частности, так как, вообще говоря, решение по МОМ является аппроксимацией функции f рядом Только коэффициенты аппроксимации ищутся несколько (3.9).

нетрадиционным путем, а именно как решение СЛАУ (3.12).

Широко применяются в МОМ треугольные функции. В англоязычной литературе для них используется термин, дословный перевод которого звучит как «крышечные» функции. Мы будем далее использовать русскоязычное название для этих функций. Ниже приводится определение треугольной функции:

2 x x 0n 1, x x x n +1, n = x n +1 x n 1 n - 0, x x, x x, (3.26) n + n - x n +1 + x n x0n =.

При записи (3.26) предполагалось, что интервал [a,b] разбит на подинтервалы, которые могут иметь разную длину. На рис. 3.2 показан результат аппроксимации той же функции, что и раньше (кривая 1) рядом (3.25), в котором в качестве функций n взяты функции (3.26) (кривая 2).

Величина N равна 20. Кривые 3 представляют элементарные функции n.

Рис. 3.2. Аппроксимация треугольными функциями Из рис. 3.2 видно, что мы получаем линейно-ломаную аппроксимацию исходной функции, которая точнее аппроксимации импульсными функциями и не имеет разрывов.

Базисные функции одной переменной применяются для решения практических задач достаточно редко. Из таких применений можно отметить моделирование регулярных линий передачи. Задачи расчета многополюсников, антенн и задачи рассеяния требуют использования более сложных базисных функций двух переменных. Это связано с тем, что, как правило, роль неизвестной функции в МОМ играет распределение поверхностных токов, текущих по металлическому телу. Поскольку поверхность характеризуется двумя координатами, то и соответственно для описания функции, заданной на поверхности нужны базисные функции двух переменных.

Для простоты изложения будем считать нашу поверхность плоской.

Пусть функция определена в прямоугольной области f S:

a x b, c y d (см. рис. 3.3). Введем в этой области прямоугольную сетку, то есть разделим ее на элементарные прямоугольные площадки Snm:

x n x x n +1, y m y y m +1.

Рис. 3.3. Область определения функции f Элементарные площадки не обязательно имеют квадратную форму.

Они могут быть и прямоугольниками. Не составляет труда определить импульсную функцию в двумерном случае. Для нее сохраняется определение (3.24). Только вместо интервала S n следует использовать область S nm.

Аппроксимирующая функция представляется теперь в виде двойного ряда:

NM F ( x, y ) = f ( x 0n, y 0 m ) nm ( x, y ). (3.27) n =1 m = В формуле (3.27) под x 0 n, y 0 m понимаются координаты центра элементарной площадки.

Сложнее обстоит дело с треугольными функциями. В двумерном случае использовать термин треугольная функция, вообще говоря, не имеет смысла, но правильнее говорить о функциях, позволяющих получить линейно-ломаную аппроксимацию. К числу таких функций относится пирамидальная функция. Будем ее называть двумерной треугольной функцией. Эта функция описывает пирамиду, вершина которой имеет координаты x n, y m. Приведем далее определение двумерной треугольной функции для случая одинакового шага по x и по y:

nm ( x, y ) = 00 ( x x n, y y m ), x 1, y x, x, y, y (3.28) 00 ( x, y ) = 1, y x, x, y, 0, x, y, где - размер элементарной площадки.

Рис. 3.4. Двумерная треугольная функция Пирамида, соответствующая функции 00 ( x, y ) показана на рис. 3.4.

Результат аппроксимации двумерными треугольными функциями параболоида вращения, поверхность которого описывается следующей функцией:

( ) f ( x, y ) = 1 + 2 x 2 + y представлен на рис. 3.5. На этом рисунке показаны разные сечения двух функций (точной и аппроксимирующей), соответствующие разным координатам y. Аппроксимация проводилась в области 0 x 1,0 y 1.

Общее число элементарных N2 площадок равно 400.

Рис. 3.5. Аппроксимация двумерной треугольной функцией Из рис. 3.5 видно, что и в двумерном случае треугольные функции дают хорошую непрерывную аппроксимацию.

Обсудим теперь вопросы, связанные с тестовыми функциями. Сразу скажем, что в качестве тестовых могут использоваться все рассмотренные выше функции. Здесь необходимо отметить, что когда в качестве тестовых функций используются функции совпадающие с базисными функциями, то такая реализация МОМ имеет специальное название – метод Бубнова Галеркина. Метод Бубнова - Галеркина обладает рядом замечательных свойств, отличающим его от общего случая МОМ, которые мы рассмотрим ниже.

В качестве тестовых функций часто используются дельта - функции.

Последние, вообще говоря, могут использоваться и как базисные. Однако, считается, что они дают весьма грубое приближение и поэтому применяются в этом качестве редко. Поэтому дельта – функции рассматриваются преимущественно как тестовые.

Если мы имеем интервал [a,b], разделенный на элементарные интервалы точками x n, то система тестовых функций n в виде дельта – функций имеет следующий вид:

n = ( x xn ). (3.29) Благодаря известному свойству дельта - функции скалярные произведения в МОМ преобразуются следующим образом:

m, L( n ) = L( n ), x = xm (3.30) m, g = g ( x m ).

Из (3.30) видно, что СЛАУ, получаемая по МОМ N An L( n ) x = x = g ( xm ) (3.31) n =1 m выражает условие точного выполнения операторного уравнения (3.1) в дискретных точках x m. Таким образом, использование дельта – функций эквивалентно поточечному выполнению равенства (3.1). Такая процедура получила название метод коллокации. В электродинамике этот метод чаще всего связан с выполнением граничных условий в ряде дискретных точек на некоторой поверхности.

Метод Бубнова - Галеркина и вариационные принципы. Рассмотрим в данном разделе одно важное свойство метода Бубнова - Галеркина, а именно его связь с вариационными методами решения операторных уравнения (3.1).

Для дальнейшего изложения нам потребуется понятие сопряженного оператора. Пусть мы имеем исходное операторное уравнение L( f ) = g. (3.32) Оператор La будет сопряженным оператору L, если выполняется следующее равенство:

L( f ), = f, La ( ). (3.33) Пусть далее функция удовлетворяет следующему уравнению:

La ( ) = g a. (3.34) Поставим задаче (3.32) в соответствие функционал:

Z ( f, ) = L( f ), g, f f, g a. (3.35) Под функционалом в математике понимается операция, ставящая в соответствие функции (функциям) скаляр (число). Таким образом, Z – это просто число. Замечательным свойством функционала (3.35) является его вариационная устойчивость на решении операторного уравнения (3.32).

Поясним, что под этим понимается.

Допустим, что f 0 - это точное решение задачи (3.32), а f = f 0 + f некоторое приближенное решение, отличающееся от точного. Тогда Z ( f 0, ) Z ( f 0, ) + Z соответствует точному решению, а соответствует приближенному решению. Величина Z называется вариацией функционала.

Можно показать, что малые вариации решения f порождают изменения Z пропорциональные лишь f 2, то есть величинам второго порядка малости.

Это свойство получило название вариационной устойчивости функционала.

На практике это свойство широко используется. Дело в том, что многие интересные параметры реальных устройств могут быть представлены в виде вариационно устойчивых функционалов. К числу таких параметров относятся характеристическое сопротивление линии передачи, входное сопротивление ряда неоднородностей в линиях передачи и т.д. После представления в виде такого функционала в него можно подставить приближенное решение уравнения (3.32) и получить весьма точное значение искомого параметра. Таким образом, можно сделать вывод, что погрешность определения параметра, представляемого в форме (3.35) намного меньше погрешности определения самой функции f.

Рассмотрим далее связь функционала (3.35) со СЛАУ, получаемой по методу Бубнова - Галеркина. Для этого допустим, что функции f и описываются следующими суммами:

N f = An n, n = (3.36) N = An n.

a n = Подставим (3.36) в (3.35):

( ) N N N Z ( f, ) = L( m, n An g, n + An n, g a.

a a Am An (3.37) n =1 m =1 n = Будем искать коэффициенты An таким образом, чтобы функционал (3.37) был стационарным на приближенном решении задачи (3.32), определяемом рядом (3.36). Для этого потребуем выполнения следующих равенств:

Z = 0, n = 0,1,...N (3.38) An a Дифференцирование (3.37) приводит нас к следующей СЛАУ:

N Am L( m ), n = g, n, n = 0,1,...N, (3.39) m = которая полностью совпадает со СЛАУ (3.12), если взять одинаковые базисные и тестовые функции, то есть применить метод Бубнова - Галеркина.

Таким образом, этот метод автоматически дает решение, на котором функционал (3.35) стационарен.

3.2. Интегральные операторы электродинамики и интегральные уравнения В этом разделе мы рассмотрим некоторые операторы и соответствующие уравнения, к которым сводятся граничные задачи электродинамики. Начнем с простейших случаев двумерных задач, в которых поля не зависят от одной координаты. Известно, что решение уравнений Максвелла в двумерном случае распадаются на две группы: Е и Н-волны.

Если поля не зависят от координаты z, то Е-волны имеют компоненты Ez,Hx,Hy, а Н-волны компоненты Hz,Ex,Ey. Более простым является случай Е волн. Перейдем к его обсуждению.

Двумерный интегральный оператор для Е-волн. На рис. 3.6 показана геометрия рассматриваемой структуры.

Рис. 3.6. К выводу интегрального оператора для Е-волн Мы имеем идеально проводящее тело с поверхностью S, которое возбуждается плоской волной, имеющей компоненту E zi. Нам необходимо найти рассеянное телом поле, удовлетворяющее уравнениям Максвелла в свободном пространстве и следующим условиям:

- граничным условиям на поверхности металла S: E = 0, - условиям излучения на бесконечности.

Для вывода интегрального уравнения используем следующий прием.

Допустим на время, что тело отсутствует, вместо него имеется поверхность S, на которой текут поверхностные электрические токи. Известно, что ток связан с магнитным полем следующим соотношением:

J e = [n, H ], (3.40) где n вектор нормальный к поверхности S (см. рис. 3.6). Поскольку магнитное поле ориентировано в плоскости XOY, то из (3.40) легко увидеть, что ток имеет одну z-ую компоненту.

После удаления металлического тела решим задачу о возбуждении свободного пространства электрическим током, текущим по поверхности S.

Эта задача хорошо известна в электродинамике и ее решение дается с помощью функции Грина свободного пространства [14]. Выпишем это решение:

Az (V ) = J z ( s ' )G ( s ', V )ds ', e e (3.41) S где s ' - координаты точки интегрирования, расположенной на поверхности S, а V - координаты точки наблюдения, расположенной вне металлического e тела, Az (V ) - z-ая компонента векторного потенциала, G (V ', V ) - функция Грина свободного пространства. Для функции Грина свободного пространства известно выражение:

i( G (V ', V ) = H 02) (kR), 4 (3.42) R = ( x x' ) 2 ( y y ' ) 2, где k – волновое число свободного пространства, а H 02) ( x) - функция ( Ханкеля второго рода, нулевого порядка.

Все компоненты поля могут быть выражены через векторный потенциал. В частности компонента E z :

E z = iµ a Az, e (3.43) где - круговая частота, µ a - абсолютная магнитная проницаемость свободного пространства.

Отметим следующие свойства полученного поля. Оно удовлетворяет уравнениям Максвелла в свободном пространстве, что следует из определения функции Грина. Оно удовлетворяет условиям излучен6ия на бесконечности. Единственное условие исходной задачи, которое нам пока не удалось удовлетворить – это граничное условие на поверхности металла. Так как у Е-волн одна компонента электрического поля, то граничное условие можно переписать в новом виде:

E z + E zi = 0 на поверхности S. (3.44) Подставим (3.41)-(3.43) в (3.44) и получим искомое интегральное уравнение:

µ a (kR)ds' = E zi на S.

J z (s' ) H ( 2) e (3.45) 4 S e Уравнение (3.45) выполняется на поверхности S. Функция J z (s ' ) неизвестна и ее надо определить, решая уравнение (3.45), а функция H 02) (kR) называется ядром интегрального уравнения.

( Область интегрирования в (3.45) совпадает с областью определения уравнения. Характерной особенностью ядра уравнения является наличие особенности, когда V V '. Это связано с тем, что функция Ханкеля при x 0 имеет логарифмическую особенность.

Перейдем теперь к случаю Н-волн.

Двумерный интегральный оператор для Н-волн. Сохраним геометрию структуры неизменной. Отличие случая Н-волн состоит только в том, что у падающей волны имеется компонента H zi. Используя (3.40), можно установить, что токи уже текут не вдоль оси 0z, а вдоль граничного контура цилиндрической поверхности S. Поэтому они имеют как x-ую, так и у-ую компоненты.

Введем на поверхности металлического тела локальную систему координат nz. Тогда в этой системе координат ток имеет одну компоненту J e.

Действуем далее по прежней схеме. Заменяем тело токами и решаем задачу а возбуждении ими свободного пространства. В системе координат nz это решение имеет следующий вид:

Ae (V ) = J e ( s ' )G ( s ', V )ds '. (3.46) S Функция Грина осталась той же самой, что и раньше. Существенно изменилась связь векторного потенциала с тангенциальным к поверхности тела электрическим полем:

2 Ae E = iµ a A + e, (3.47) i a где a - абсолютная диэлектрическая проницаемость свободного пространства.

Используя соотношения (3.46),(3.47) и граничные условия на металле, получаем искомое интегральное уравнение:

2 e H zi k + J ( s ' )G ( s ', V )ds' =. (3.48) n S Интегральное уравнение существенно отличается от уравнения (3.45) присутствием в нем дифференциального оператора. Правильнее было бы называть его интегро-дифференциальным уравнением. Дифференциальный оператор существенно усиливает особенность ядра уравнения, что может привести к определенным затруднениям при решении (3.48).



Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.