авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 6 |

«3 Оглавление Глава 1. Пространство и время 7 ...»

-- [ Страница 2 ] --

Множество всех двумерных римановых пространств определя ется множеством трех компонент метрического тензора как функ ций от двух координат, факторизованной по множеству двух функ ций от двух переменных – преобразованиям координат.

2.2.2. Трехмерные пространства В описании римановых пространств есть одна сложность – это произвол выбора координат, в которых производится описание пространства. Даже выбор декартовых координат в евклидовом пространстве неоднозначен: начало координат можно перенести в произвольную точку с параллельным переносом осей;

коорди натные оси можно повернуть на какие-то углы, сохранив между ними ортогональность. Можно провести и более сложные преоб разования координат. Если, например, положить x = r sin cos ;

y = r sin sin ;

z = r cos и по правилам дифференцирования Лейбница выразить (dx, dy, dz) через dr, d, d, а затем подставить эти выражения в метрику 52 Риманова геометрия трехмерного евклидова пространства (2.2), то выражение для мет рики приводится к виду dl2 = dr2 + r2 (d2 + sin2 d2 ). (2.10) Это метрика того же самого трехмерного евклидова пространства, но в других – сферических – координатах.

Однако возможность введения декартовых координат при вы ходе в достаточно большие области пространства исчезает и вводя некоторые координаты xi в большой трехмерной области можно только записать 3 dl2 = gij dxi dxj. (2.11) i=1 j= Коэффициенты gij могут зависеть от координат и образуют мет рический тензор пространства. Однако для каждой точки A мож но найти такое преобразовании координат, что выражение (2.11) перейдет в выражение (2.2). Такие координаты являются локаль но евклидовыми для точки A. Можно ли по виду метрики опреде лить: является пространство евклидовым, плоским, или оно имеет какую-то кривизну? Ответ на этот вопрос дали немецкие мате матики XIX века Риман и Кристоффель (1828 – 1900), опреде лив конструкцию, содержащую вторые производные метрическо го тензора – тензор кривизны (тензор Римана - Кристоффеля).

Пространство можно представлять как непрерывное множе ство точек, которые при преобразовании координат не изменяют своего относительного положения, но численные значения их ко ординат меняются.

В окрестности любой точки можно выбрать локально декар товы координаты, в которых метрика не только имеет вид (2.2), но и все первые производные от компонент метрики равны нулю.

Однако все вторые производные метрических коэффициентов в окрестности выбранной точки в общем случае обратить в нуль нельзя – не хватает степеней свободы в преобразованиях коорди нат.

2.3. Тензоры 2.3. Тензоры Математическая техника тензорных (ковариантных) соотно шений состоит в том, чтобы некоторые равенства, выведенные в одной системе координат, оставались верными и после любого преобразования координат.

Тензоры – это математические конструкции, состоящие из мно жества компонент, нумеруемых индексами. Чтобы упростить за пись операций с многокомпонентными объектами, приняты неко торые соглашения.

Общепринятые соглашения Индексы координат xi пишутся сверху.

Поля могут иметь верхние и нижние индексы.

Правило суммирования: если один и тот же индекс встречается вверху и внизу, выполняется суммирование по данному индексу:

i Ak n i Ak, где n – размерность пространства.

k=1 jk jk Метрический тензор симметричен gij = gji.

Обратный метрический тензор: g ij gjk = k, где k – единичная i i n n матрица.

Сокращенная запись производных:

Ai j Ai Ai,j.

xj Вследствие преобразования дифференциала по правилу Лейб xi ница dxi = xj dj, метрика (2.11) в новых координатах имеет вид:

x xi xj dl2 = gij dk dm = gkm dk dm, xx xx xk xm что и определяет преобразование компонент метрики при преоб разовании координат как дважды ковариантного тензора:

xi xj gkm = gij.

xk xm Число индексов у компонент тензора – его ранг. Скаляр не име ет индексов – это тензор нулевого ранга – и при преобразовании координат его единственная компонента остается неизменной.

54 Риманова геометрия Индексы могут быть нижними (ковариантными) и верхними (контравариантными). Преобразование компонент тензоров с верх ними и нижними индексами проводится взаимно обратными мат рицами. Например, для контравариантного (Ai ) и ковариантного (Bi ) векторов (тензоров первого ранга) преобразования взаимно обратны:

xi j xk xi xk Ai = k A;

Bi = Bk ;

= j. (2.12) xj xi j xi x (Напомним, что по индексу i здесь идет суммирование). Это свой ство обеспечивает свертку тензоров по одному верхнему и одному нижнему индексам. В частности, свертка произведения контрава риантного и ковариантного векторов определяет скаляр:

i k x x Bk = Aj j Bk = Ak Bk (A, B).

k Ai B i = Aj xj xi Компоненты тензора в одной системе координат являются ли нейными и однородными функциями компонент в другой системе.

Это свойство определяет понятия нулевого тензора и равенства тензоров:

Если все компоненты тензора равны нулю в одной си стеме координат, в любой другой системе все его ком поненты также равны нулю.

Если все соответствующие компоненты двух тензоров одинаковой структуры равны в одной системе коорди нат, то они равны и в любой другой.

В этом суть описания объективных физических процессов тен зорными соотношениями: связь между физическими объектами не зависит от выбранных координат описания этих процессов.

Поднятие и опускание индексов – также согласовано во всех координатных системах. Оно производится с помощью метриче ского тензора или обратного ему:

Aijk = g im Amj s gsk.

2.4. Ковариантная производная. Связности В частности, это дает возможность определить скалярное произ ведение векторов с одинаковым расположением индексов:

(A, B) = Ai Bi = gij Ai B j = g ij Ai Bj.

2.4. Ковариантная производная. Связности Ковариантная производная – это перенесенная по тензорному закону из локально декартовой системы координат обычная про изводная по (декартовой) координате от компонент тензорного поля. В локально декартовой системе ковариантной производной является частная производная без каких-либо добавок.

Например, для контравариантного векторного поля с компо нентами в локально декартовой системе координат Ak ковариант ная производная есть тензор второго ранга k l Ak = A.

xl При переходе к произвольным координатам xi компоненты век k торного поля Ak = xs As, а компоненты тензора ковариантной x производной преобразуется по стандартному закону:

xj xl Ak xj xk s j iA = = A = k xi xl xk xi xs x Aj xj 2 xk Aj + j As.

+ k i s As = = (2.13) is xi xi x x x Коэффициенты, дополняющие ковариантную производную в про извольной системе координат xj 2 xk j = = j, (2.14) is si k xi xs x называются связностями. Они симметричны по двум нижним ин дексам.

56 Риманова геометрия Правило ковариантного дифференцирования произведения тен зоров – как и для обычной частной производной:

i ls ls i i ls m (Tjk Pr ) = Pr m Tjk + Tjk m Pr, откуда несложно вывести правило ковариантного дифференциро вания тензоров произвольного ранга:

i = m Tjk + i Tjk s Tsk s Tjs.

i s i i m Tjk ms mj mk Кроме частной производной ковариантная производная имеет столь ко слагаемых со связностями, каков ранг тензора.

В локально декартовой системе координат метрический тензор представляется единичной матрицей, производные от которой по любой координате равны нулю. Значит, ковариантная произ водная метрического тензора в любых координатах равна нулю:

s s i gjk = i gjk gsk ij gjs ik = 0. (2.15) Из этой системы линейных уравнений однозначно выражают ся связности через производные метрического тензора:

g is i = (gsj,k + gsk,j gjk,s ). (2.16) jk Это фундаментальная теорема римановой геометрии.

2.4.1. Операторы теории поля В обычной теории поля используются такие операции, как гра диент функции, дивергенция и ротор вектора, оператор Лапласа.

Как эти операции переносятся в искривленное пространство? Ис ходным здесь является следующий подход: малая область рима нова пространства является почти плоской (точно – бесконечно малая). Введем в ней декартовы координаты (локально декарто вы) и запишем в них упомянутые операторы в их традиционном виде. Переход в произвольные координаты совершается заменой обычных частных производных на ковариантные при учете пре образования метрического тензора.

2.4. Ковариантная производная. Связности Градиент скаляра i f = i f – выражается таким образом в любой системе координат. В этом выражении не появляется ни метрический тензор, ни связности.

Дивергенция вектора (скаляр) должна быть выражена через ковариантные производные:

i ( ),i i i i j i = i ( Ai ).

div A = i A = A,i +ji A = A,i +A (2.17) В выражении для дивергенции от метрического тензора входит только.

Выражение для оператора Лапласа скалярной функции прямо следует из выражения для дивергенции вектора:

Ai = ij f,j ;

f = divA = i ( ij j f ). (2.18) Ротор вектора представляется антисимметричным тензором второго ранга и в любых координатах, в любом римановом про странстве не зависит от связностей:

a[ij] = ai;

j aj;

i = ai,j aj,i.

В трехмерном пространстве этот тензор имеет три компоненты, как и вектор, компоненты которого можно представить через ком поненты этого антисимметричного тензора с помощью обратного абсолютного антисимметричного тензора:

(rot a)i = [ijk] aj,k. (2.19) Все эти формулы применимы не только в римановом простран стве, но и в евклидовом в произвольных координатах: сфериче ских, цилиндрических и пр.

2.4.2. Инвариантные интегралы При преобразованиях координат от локально декартовых к произвольным в мере интегрирования возникает якобиан преоб 58 Риманова геометрия разования J:

xi d1 d2 d3 = det dx1 dx2 dx3 = J dx1 dx2 dx3.

xxx xj Этот якобиан можно вычислить следующим образом. Запи шем преобразование метрического тензора из локально декарто вой системы, где он представляется единичной матрицей в произ вольную в матричном виде:

xk xl () = (A) · ( ) · (A)T, ij = kl j ;

i x x где (A)T – транспонированная матрица преобразования (??), де терминант которой равен детерминанту матрицы (A) и равен J.

Используя теорему о детерминанте произведения матриц и помня, что ( ) = (1), обозначив детерминант метрического тензо ра буквой, получаем:

= J 2 ;

J =. (2.20) Не нужно каждый раз разыскивать локально декартову систему и находить детерминант преобразований;

достаточно вычислить детерминант метрического тензора.

Поэтому мера объема в локально декартовой системе выража ется в произвольной системе как d1 d2 d3 = dx1 dx2 dx3 d3 x.

xxx Для инвариантности интеграла по отношению к произвольно му преобразованию координат эта мера под интегралом должна умножаться на скаляр.

Исключительно важной является теорема Гаусса i i (wi wi iw d3 x = ) d3 x = dsi, (2.21) B B B преобразующая интеграл в области B от дивергенции вектора в поток этого вектора через границу области B.

2.5. Тензор кривизны 2.5. Тензор кривизны Если пространство плоское (евклидово, пространство Минков ского), то декартовы (галилеевы) координаты можно ввести во всем пространстве, откуда, в частности следует перестановочность частных, а следовательно, и ковариантных производных. Однако в общем случае если расписать коммутатор (тензор) i = Rjkl Aj, i ( k )A k l l то результат не равен нулю, а выражается через Rjkl = i,k i,l +i s i s i (2.22) jl jk sk jl sl jk – тензор кривизны пространства (тензор Римана – Кристоффе ля). Этот тензор математически отличает искривленное простран ство от плоского.

Свойства тензора кривизны удобно изучать в локально декар товой системе координат, где связности и первые производные метрического тензора равны нулю:

(gil,jk +gjk,il gik,jl gjl,ik ).

R[ij][kl] = (2.23) Из этого выражения видно, что в искривленном пространстве мет рический тензор может быть приведен к единичной матрице лишь с точностью до вторых производных.

Отсюда же можно достаточно просто увидеть следующие свой ства тензора кривизны:

• Антисимметрия в первой и второй парах индексов:

Rij kl = Rji kl = Rij lk = Rji lk = R[ij] [kl].

• Симметрия по парам индексов:

R[ij] [kl] = R[kl] [ij].

60 Риманова геометрия • Тождество Риччи:

Rij kl + Rik lj + Ril jk = 0.

• Дифференциальное тождество Бьянки:

Rij kl;

m + Rij lm;

k + Rij mk;

l = 0.

Все эти соотношения тензорные, поэтому, будучи определенными в локально декартовой системе координат, они выполняются и в любой координатной системе.

Число независимых компонент тензора кривизны в n - мерном пространстве за счет этих свойств симметрии значительно мень ше, чем n4 – числа компонент произвольного тензора четвертого ранга, и равно n2 (n2 1) N=.

Так, в двумерном пространстве он имеет всего одну компоненту (гауссова кривизна), в трехмерном – шесть, в четырехмерном – десять.

Свертка тензора кривизны приводит к тензору второго ранга – тензору Риччи i Rjl = Rjil = Rlj, (2.24) симметричному по индексам.

Свертка тензора Риччи с метрическим тензором определяет скалярное поле – скалярную кривизну пространства: g ij Rij = R.

Наконец, комбинация 1i Gi = Rj j R i (2.25) j называется тензором Эйнштейна. Он удовлетворяет тождествам Гильберта: i Gi = 0, которые можно получить, дважды свернув j тождества Бьянки. Почти все формулы, приведенные выше, не зависят от размерности пространства и применимы как в трех мерном римановом пространстве, так и в четырехмерном псевдо римановом (с пространством Минковского в бесконечно малом).

2.6. Ли-вариации тензоров Здесь следует обратить внимание на громадную помощь, кото рую оказывают компьютерные программы аналитических вычис лений. Текст такого модуля в пакете Mathematica фирмы Воль фрам приведен в главе 9 (см. также [16, с. 376]). Путь нахождения решений уравнений Эйнштейна формально прост:

• При заданном метрическом тензоре, содержащим пока неопре деленные функции, по формулам (2.16) находятся связно сти. Здесь нужны только операции дифференцирования и суммирования.

• После вычисления связностей по формулам (2.22) находятся компоненты тензора кривизны. Здесь также нужны лишь операции дифференцирования и суммирования.

• Наконец, свертывая тензор Римана -Кристоффеля, получа ем тензор Риччи (2.24), скалярную кривизну, из которых комбинируем тензор Эйнштейна (2.25), десять компонент ко торого оказываются выраженными через введенные в мет рику неопределенные функции и их первые и вторые произ водные.

При высокой симметрии задачи большинство компонент тен зора Эйнштейна тождественно равны нулю. Уравнений, как пра вило, оказывается больше, чем функций, но они оказываются сов местными вследствие тождеств Гильберта.

2.6. Ли-вариации тензоров Тензорная алгебра определяет, что разность двух тензоров оди накового ранга с одинаковым расположением индексов (верхних и нижних) является тензором. Но при этом естественно подразуме вается общность системы координат: бессмысленной, например, является разность компонент какого-либо тензора в декартовой и сферической системах. Но и еще есть важное требование: да же в одной и той же системе разность должна браться в точке, с одинаковыми координатами для обоих тензоров.

62 Риманова геометрия Однако при бесконечно-малом преобразовании координат име ется возможность вычислить тензорную разность.

Такие вариации тензоров, были изу чены норвежским математиком Софу сом Ли (1842-1899) (Ли-вариации тен зоров).

Бесконечно малое преобразование ко ординат описывается векторным полем dxi = i (x), с помощью которого прово дится преобразование координат: xi = i + i. Компоненты тензоров преобра x зуются с помощью матриц:

xi xi i i i i = j,j.

= j +,j ;

xj xj Рассмотрим, например, прпеобразование векторного поля Ai (x):

xi j x Ai () = A (x) = (j +,j ) Aj (x) = Ai (x) +,j Aj (x).

i i i xj Вариация Ли векторного поля Ai это разность:

i i i A (x) = A (x) A (x) = x = Ai ( ) Ai (x) =,s As (x) s Ai.

i (2.26),s Это тензорная велична, так как образована она как разность двух тензоров в точке с одинаковыми координатами. Убедиться в этом можно, добавив и вычтя слагаемое со связностями:

i i s si si k si k A (x) =,s A (x) A,s + sk A sk A = ;

s As (x) s Ai.

i (2.27) ;

s Последнее выражение содержит только ковариантные производ ные и является очевидным тензором.

2.6. Ли-вариации тензоров Аналогично, для ковариантного тензора s s s s Bi =,i Bs Bi,s =,i Bs Bi,s.

Ли-вариация тензора произвольного ранга содержит T перенос ную составляющую s s T и столько дополнотельных слагае мых с производными поля s, каков ранг тензора. Она является тензорным полем того же ранга, что и варьируемое поле.

Пример: Ли-вариация тензора третьего ранга есть тензорное поле третьего ранга:

ij i sj s ij j is s ij Tk =,s Tk +,s Tk,k Ts Tk,s = i sj ij = ;

s Tk + ;

s Tk ;

k Ts s Tk;

s.

j is s ij (2.28) В частности, скаляр содержит только переносную составляю щую, так как у него нет индексов,:

s f = f,s.

Ли-вариация тензорного поля является линейным оператором со свойствами оператором дифференцирования:

(P Q) = ( P ) Q + P ( Q);

(2.29) (A P + B Q) = A P + B Q, где P и Q тензоры, а A и B константы.

Коммутатор векторных полей Для контравариантного век торного поля Ли – вариация по полю равна вариации поля по полю с обратным знаком:

i is si i =,s s = (2.30) 64 Риманова геометрия определяет коммутатор двух этих полей – конструкцию, анти симметричную по полям и :

[, ]i =,s s s s = [, ]i.

i i (2.31) Коммутатор двух векторных полей есть также векторное поле.

Для любого тензорного поля Qi коммутатор определяет раз jk ность Ли-вариаций по полям и в разном порядке:

( Qi ) ( Qi ) = jk jk ( ) Qi = [,] Qi. (2.32) jk jk 2.7. Поля Киллинга. Движение пространств Как всегда в римановой геометрии особо важным является применение новой операции – в данном случае Ли-вариации – к метрическому тензору:

s s s gij = ;

j gsj ;

j gis = (i;

j + j;

i ).

s gij (2.33) Если Ли-вариация какого-либо тензорного поля равна нулю, то это значит, что при бесконечно малых преобразованиях ко ординат xi = xi + i (x) это поле не меняется. Если равна нулю Ли-вариация метрического тензора, то это значит, что геометри ческие свойства пространства в новых координатах в точности совпадают с геометрическими свойствами в старых координатах.

Такие преобразования координат называются движениями про странства.

i i Если (1) и (2) – два поля Киллинга, то их суперпозиция с произвольными постоянными коэффициентами i = A (1) + B (2) i i также является полем Киллинга. Это есть следствие линейности уравнений Киллинга.

Из (2.32) следует, что и коммутатор двух полей Киллингаь также является полем Киллинга. Этим в множество полей Кил линга вводится антикоммутативное умножение. Множество полей Киллинга образует алгебру, носящую название алгебры Ли.

2.7. Поля Киллинга. Движение пространств Поля Киллинга обладают важными дифференциальными свой ствами:

1. Дивергенция поля Киллинга равна нулю.

Действительно, сворачивая (2.33) с обратным метрическим тензором, получим 2 V s, s + V s ij ij,s = 2 V s,s +V s,s ;

s ( V s ) = 0.

2. Ковариантная производная поля Киллинга антисимметрич на. Уравнение (2.33) можно представить через ковариант ные производные s s Vj;

i = Vi;

j.

V;

i sj + V;

j is = Vj;

i + Vi;

j = 0;

2.7.1. Движения плоского пространства В декартовой системе координат метрический тензор пред ставлен единичной матрицей, а вектор в ковариантном и контра вариантном представлении одинаков и уравнения Киллинга (2.33) принимают вид:

i,j + j,i = 0.

Их решения i = i = q i ;

i = [ij] xj, (2.34) где q i и [ij] = [ji] – константы. Первая группа полей Киллинга описывает бесконечно малые сдвиги, а вторая – бесконечно малые повороты.

В n-мерном евклидовом пространстве имеется n(n 1)/2 по воротов и n сдвигов, то есть всего имеется n(n + 1)/2 полей Кил линга.

2.7.2. Движения двумерной сферы В качестве второго важного примера найдем векторы Киллинга дву мерной сферы с метрикой в сферических координатах:

dl2 = d2 + sin2 d2 ;

= 1;

= 0;

= sin2.

66 Риманова геометрия В двумерном случае метрический тензор имеет три компоненты, поэтому уравнений Киллинга три:

= 2 V s, s + V s,s = 2 V, = 0.

Из этого уравнения следует, что компонента V зависит только от.

= V s, s + V s, s + V s,s = sin2 V, +V, = 0.

С учетом зависимости V только от V = f () ctg + C;

V, = f ().

Последнее уравнение = 2 V, s + V s,s = 2(sin2 ctg f () + V () sin cos ) = s определяет уравнение на f ():

f + f = 0;

f = A sin + B cos, откуда получается три независимых решения уравнений Киллинга (по числу констант интегрирования):

V sin cos =A +B +C = V sin ctg cos ctg A V(1) + B V(2) + C V(3). (2.35) Коммутационные соотношения между ними [V(3), V(2) ] = V(1) ;

[V(3), V(1) ] = V(2) ;

[V(1), V(2) ] = V(3).

2.8. Трехмерная сфера Евклидово пространство обладает свойством однородности и изотропности: с помощью сдвигов любая его точка может быть переведена в любую другую, а с помощью поворотов любое на правление переводится в любое другое. Этим же свойством об ладает и обычная (двумерная) сфера с метрикой (2.4), а также плоскость Лобачевского с похожей метрикой, где sin заменен на гиперболический синус. Скалярная кривизна плоскости Лобачев ского равна 2/r2. Это пространство отрицательной кривизны.

2.8. Трехмерная сфера Площадь двумерной сферы равна 2 r2 – конечна. Площадь плос кости Лобачевского бесконечна.

Однородное и изотропное трехмерное пространство также мо жет иметь нулевую кривизну (евклидово пространство), положи тельную кривизну R = 6/r2 (трехмерная сфера) и отрицательную кривизну R = 6/r2 (трехмерное пространство Лобачевского).

Наиболее часто используются сферические координаты на трех мерной сфере радиуса r:

dl2 = r2 (d2 + sin2 (d2 + sin2 d2 )). (2.36) Параллелями ( = const) являются двумерные сферы радиуса r sin, а экватором ( = /2) – двумерная сфера радиуса r.

Трехмерная сфера имеет конечный объем V = 2 2 r3.

Также, как среди двумерных поверхностей, сфера – одна из наиболее симметричных, кривизна во всех ее точках одинакова, – но имеются и поверхности с переменной кривизной (например, поверхность яйца), так и трехмерные пространства могут иметь кривизну, меняющуюся от точки к точке. Трехмерная сфера среди них просто наиболее симметрична.

Вместе с трехмерным евклидовым пространством и трехмер ным пространством Лобачевского она образует класс однородных и изотропных пространств, у которых тензор Риччи пропор ционален метрическому тензору Rij = ij. Метрику этих про странств можно записать в едином конформно-плоском виде:

dx2 + dy 2 + dz dl2 = r2. (2.37) x2 +y 2 +z 2 1+k Параметр k принимает всего три значения и характеризует вид пространства: k = 0 – евклидово пространство, 1 – трехмерная сфера, 1 – пространство Лобачевского. Параметр r характери зует масштаб (для трехмерной сферы – радиус).

Скалярная кривизна определяется через эти параметры R=k. (2.38) r 68 Риманова геометрия В соответствии со значением k изотропные пространства ха рактеризуют как пространства положительной, нулевой и отри цательной кривизны.

Движения трехмерной сферы Векторы Киллинга трехмер ной сферы найдем в углах Эйлера, где метрика недиагональна:

r dl2 = (d2 + d2 + d 2 + 2 cos d d). (2.39) Векторы Киллинга находятся из шести уравнений Киллинга.

Мы не будем подробно выводить решения этих уравнений, оставив это удовольствие для читателя. В математическом Приложении мы приводим программу подбора и проверки выполнения уравне ний Киллинга. Решение шестипараметрично:

sin cos = a1 cos ctg +a2 sin ctg +a3 1 + cos / sin sin / sin sin cos b1 cos / sin + b2 sin / sin + b3 0 = (2.40) sin ctg cos ctg (as V(s) + bs W(s) ), s= где векторы из групп V и W коммутируют друг с другом [V(i), W(j) ] = 0, а внутри каждой группы они коммутируют как в группе дви жений двумерной сферы:

[V(i), V(j) ] = [ijk] V(k) ;

[W(i), W(j) ] = [ijk] W(k). (2.41) Как и для любого поля Киллинга, дивергенция каждого из этих полей равна нулю, а ротор обладает удивительно простым свой ством:

2 rot (V(i) ) = V(i) ;

rot (W(i) ) = W(i), (2.42) r r где r – радиус сферы.

Глава Динамическая геометрия 3.1. Геометрия и движение И геометрия Евклида, и геометрия Лобачевского, и геометрии Гаусса, Римана не включают в себя понятие времени. Эти геомет рии предназначены для спокойно сидящих или медленно прогули вающихся мудрецов, перед которыми расположены чертежи или неподвижные предметы.

Механика Ньютона внесла в описание реальности время. Дви жение тел стало отличаться от перемещения. Движение опреде ляет перемещение, возможно, сразу нескольких тел, синхронизи рованное в едином времени. Время в механике Ньютона не просто параметр, а объективная сущность, определяющая развитие Ми ра. Описание движущихся тел привело к появлению понятия дви жущаяся система, а затем и более абстрактного: движущаяся система координат.

Однако, так как Ньютон совершенно естественно для свое го времени полагал пространство евклидовым, то введенные им движущиеся системы также были евклидовыми пространствами, движущимися в абсолютном пространстве. Ньютон записал за коны динамики с точки зрения абсолютного пространства, однако при евклидовости пространства они оказались совершенно одина ковыми и в любой равномерно и прямолинейно движущейся си стеме. В любой точке пространства имеется скорость движения относительно абсолютного пространства, но для всех точек она одинакова: поле скоростей однородно. Скорость инерциальной си стемы является единственным параметром, единым для любой точки пространства, и из уравнений динамики эта константа вы падает.

70 Динамическая геометрия В общем римановом пространстве однородное поле скоростей в принципе невозможно. Появилась проблема описания и законов динамики тел (и различных физических полей), и законов дина мики самого пространства (изменения во времени его метрики) из неинерциальной системы, поле скоростей в которой неоднородно, меняется от точки к точке. Разработка математического аппарата для такого описания и есть задача динамической геометрии.

В 1921 – 1929 годах астрономы, астрофизики, открывшие до статочно много галактик, обнаружили, что они разбегаются и по очень простому закону (закону Хаббла).

Эдвин Хаббл (1889-1953), работая на 2.5-метровом телескопе обсерва тории Маунт-Вильсон, к 1921 го ду показал, что все галактики от нас “разбегаются” – полосы погло щения водорода в спектрах галак тик сдвинуты в красную сторо ну. В 1929 году он установил про стой закон разбегания v = H L, где L – расстояние до галакти ки, а H – найденная им на осно ве обработки многочисленных из мерений постоянная Хаббла. Об ратная ей величина имеет размер ность времени и имеет приблизи тельный смысл времени, когда все галактики находились в одной точке: 2/(3H) 13 миллиардов лет.

Закон Хаббла хорошо соблюдается независимо от направления на галактику и поэтому может быть переписан в векторном виде:

v = H r, (3.1) где r – радиус-вектор галактики в системе координат, в которой Солнечная система находится в начале координат. Все галактики разбегаются почему-то именно от нас. Солнечная система, Земля 3.1. Геометрия и движение кажутся выделенными. Однако, переместив начало координат в любую другую точку (другую галактику), положение которой в этой нашей системе координат определяется вектором ra и убега ющей от нас со скоростью va = H ra, можно переписать соотно шение (3.1) для скоростей относительно этой точки v va = H (r ra ), (3.2) то есть точно так же, как и от нас, они разбегаются и относительно любой другой точки (галактики).

Значит это не процесс движения – разбегание идет от любой взятой точки, – а однородное изменение масштаба Мира (расши рение). Расстояния меняются не за счет движения галактик, ко торые почти покоятся относительно пространства, а растет мас штаб. Наглядно это можно представить следующей моделью: на надувном резиновом шарике поставим чернилами несколько то чек. При надувании шарика расстояния между точками будут расти, причем пропорционально их первоначальным расстояни ям, хотя точки никуда и не движутся.

Рассмотренный пример говорит о различных вариантах опи сания одного и того же процесса: с глобальной точки зрения – это процесс изменения масштаба Мира. Нет никакого поля скоростей (движения галактик). Однако с точки зрения некоторой другой системы, например, связанной с Землей, эта же картина описыва ется полем неоднородных скоростей, меняющихся по закону Хабб ла. В системе координат, связанной с другой галактикой, меняется и поле скоростей по закону (3.2). Системы координат, имеющие поле скоростей, являются неинерциальными системами.

Движение Движение в пространстве это не только измене ние геометрического положения. Это процессы, происходящие во времени.

Динамику нескольких взаимодействующих тел можно описы вать, например, в гамильтоновой форме. При этом канонические переменные тел, имеющих различное положение в пространстве, 72 Динамическая геометрия должны быть взяты в единый момент времени, и уравнения Га мильтона описывают их динамику в этом общем времени, а не просто: тело a как-то переходит в точку пространства A, а тело b в точку пространства B.

Пространство и время собраны в единый динамический ком плекс, каждая составляющая которого выполняет свою функцию.

3.2. “Материализация” инерциальной систе мы Как правило, говоря о движущихся системах, под ними по нимают твердые тела и даже абсолютно твердые не имеющие внутренних степеней свободы, внутренних колебаний, поэтому все скорости относительно этой системы приобретают одинаковую до бавку. Более адекватным, однако, является другой алгоритм ма териализации инерциальной системы.

Поместим в каждую точку пространства пылинку (в преде ле с массой, стремящейся к нулю). Покоящиеся свободные пы линки отмечают точки пространства, а расстояния между бес конечно близкими пылинками определяются метрикой простран ства или, наоборот, определяют метрику пространства. Если в евклидовом пространстве этим частицам придать одинаковые скорости, то расстояния между частицами сохраняются и они в любой момент времени реализуют евклидово пространство.

Система, связанная с этими частицами, и является инерци альной системой все ее точки движутся по инерции. В отличие от традиционных инерциальных систем, связанных с движущи мися абсолютно жесткими твердыми телами, определение через пылевидную материю легко переносится и на специальную тео рию относительности, и на случай риманова пространства.

3.3. Инвариантная производная по времени Физическое пространство представляется трехмерным много образием своих точек, и система координат, в которой координа ты точек пространства (i ) постоянны, не меняются с течением x 3.3. Инвариантная производная по времени времени, называется глобальной инерциальной системой. Замена трехмерных координат на другие xi (), не зависящие от времени, x оставляет координатную систему инерциальной.

В некоторой другой системе, связь координат точек простран ства в которой с координатами этих же точек в инерциальной системе зависит от времени (неинерциальные системы) xi = f i (, t), x (3.3) существует поле абсолютных скоростей xi Vi =, (3.4) t отсутствующее в абсолютной инерциальной системе (что и явля ется ее формальным признаком).

Допустимыми преобразованиями координат, таким образом, являются преобразования (3.3) при неизменном времени. Чтобы взять частную производную от какой-то функции по простран ственной координате, нужно зафиксировать момент времени – и тогда эта производная не зависит от того: движется ли система или не движется. В частности, ковариантные производные тензо ров в инерциальной и неинерциальных системах совпадают: опи сываются трехмерными тензорами в соответствии с допустимыми преобразованиями трехмерных координат при заданной трехмер ной метрике ij. Произвол выбора трехмерных координат учиты вается ковариантными производными по пространственным коор динатам со связностями, определяемыми метрическим тензором.

Но производные по времени в инерциальной и неинерциальной системах различаются, так что допущение преобразований коор динат, зависящих от времени, требует введения понятия инвари антная производная по времени, приводящая производную по времени в инерциальную систему. Например, для скалярного поля в неинерциальной системе эйлерова конструкция (получающаяся просто как производная сложной функции) f f +Vi i Dt f (x, t) = (3.5) t x 74 Динамическая геометрия совпадает с производной по времени в инерциальной системе (V i = 0). Однако возможная зависимость преобразования координат от времени требует более тщательного рассмотрения преобразования производной тензоров по времени. Исходные уравнения формули руются в глобально инерциальной системе.

Обозначим пространственные координаты инерциальной си стемы через xi, а некоторой неинерциальной системы – xj (i, t).

x Производные по времени, если функция зависит от координат, в различных системах, в которых сами координаты меняются во времени, выражаются по-разному. Производную по времени в инер циальной системе будем обозначать символом Dt и назовем ее ин вариантной производной по времени. По правилу дифференциро вания сложной функции F xi xi F F F + V i i;

Vi = Dt F = +i =, (3.6) t x t t x t что и определяет инвариантную производную от скаляра (давле ния, плотности) в произвольной неинерциальной системе.

Для тензорного поля выражение чуть сложнее, так как про изводится еще пространственное преобразование, связанное с ин дексами – Ли-вариация этого поля.

Рассмотрим сначала преобразование контравариантного век торного поля Ai. В инерциальной системе отсчета его компоненты будем обозначать Ai :

xi j Ai xi Aj Aj xi Ai = +Vk + Aj A;

=.

xj xj xk xj t t t Преобразуем последнюю производную:

xi xi xk xl xi = l j V l.

= xj l xj xk t t x x x Отсюда инвариантная производная по времени от контравариант ного векторного поля выражается:

i Dt Ai = A Aj j V i + V j j Ai = Ai Aj V;

j + V j Ai. (3.7) i ;

j t x x 3.3. Инвариантная производная по времени Она записывается одинаковым образом через обычные и ковари антные производные, так как в последнем случае все связности взаимно уничтожаются.

Аналогично, для ковариантного векторного поля j Bi + V;

i Bj + V j Bi;

j Dt Bi = (3.8) t и для тензора произвольного ранга (в данном примере – третьего):

i Dt Qi = Q V;

s Qs + V;

j Qi + V;

k Qi + V s Qi.

i s s (3.9) jk t jk jk sk js jk;

s Она состоит из r + 2 составляющих, где r – ранг тензора. При r = 0 (скаляр) имеем выражение (3.6) с двумя составляющими:

частной производной по времени и “переносным” членом, опре деляемым полем абсолютных скоростей. Для тензоров, имеющих индексы, к каждому индексу (верхнему или нижнему) добавля ется слагаемое, содержащее производную поля скоростей как для контравариантного (3.7) или ковариантного векторного поля (3.8) в зависимости от расположения индекса.

Теперь все соотношения, полученные в инерциальной системе координат, можно перенести в неинерциальную, заменив обычную производную по времени на инвариантную.

Мы распишем ее для особо важной в динамике пространства инвариантной производной по времени от метрического тензора:

ij Dt ij = + Vi;

j + Vj;

i, (3.10) t где Vi;

j – ковариантная производная поля скоростей Vi по коор динате xj, определяемая метрическим тензором. Она может быть отличной от нуля при стационарной метрике.

Динамические уравнения всех полей (например, электромаг нитного) в неинерциальной системе должны записываться через инвариантную производную по времени.

76 Динамическая геометрия 3.4. Движение относительно пространства Если пространство является евклидовым (плоским), то в нем существуют сдвиги, определяющие равномерное и прямолинейное движение пространства в себе самом. Возникает представление о множестве инерциальных систем с евклидовым пространством.

В общем случае искривленного пространства такие движения отсутствуют, инерциальная система пространства оказывается вы деленной по сравнению с любыми системами координат, завися щими от времени.

Однако в бесконечно малом любое риманово пространство яв ляется евклидовым и в окрестности любой точки существует мно жество бесконечно малых инерциальных наблюдателей. Если про странство не является статическим евклидовым, то сколь угодно малые, но конечные лаборатории (в которых работают мысленные бесконечно малые экспериментаторы) становятся чувствительны ми к движению относительно пространства.

Свободное движение тела массы m в римановом пространстве с метрикой ij и полем скоростей V i (x) в классической механи ке описывается уравнением Гамильтона–Якоби для функции дей ствия S(t, x) [16]:

S S 1 ij S S +Vi i + = 0. (3.11) 2 m xi xj t x Здесь выражение в скобках – производная по времени в инерци альной системе, определяемая в неинерциальной системе инвари антной производной по времени от скалярной функции действия (3.5). Она определяет энергию со знаком “минус”.

Отметим, что все уравнения динамики в классической механи ке пишутся относительно пространства, а не относительно других тел. Так, в задаче Кеплера – движение планеты вокруг Солнца – определяется сначала неподвижность плоскости вращения – не относительно Солнца, например, или каких-то неподвижных звезд, а неподвижность в пространстве. Затем из закона сохра нения величины момента количества движения выводится второй 3.4. Движение относительно пространства закон Кеплера, определяющий постоянство секториальной скоро сти – равномерности приращения площади за равные промежутки времени: не в сравнении с каким-то другим приращением площа ди, законодательно принимаемым за равномерное, а во времени.

Полное интегрирование дает зависимость во времени расстояния от планеты до Солнца и угла поворота, хотя при наличии только двух тел, отрицающему пространство Маху угол должен казаться также бессмысленным понятием.

Если поле скоростей отсутствует или является константой, а метрический тензор также постоянен (евклидово пространство), то все коэффициенты в уравнении (3.11) постоянны и следующие из него возможные траектории тела оказываются прямолинейны ми, а скорость тела не меняется. Если же поле скоростей или ко эффициенты метрического тензора зависят от координат, то дви жение оказывается криволинейным и скорости переменными. При этом, если вместо действия ввести удельное действие S = m s, то для последнего из уравнения исчезнет масса: закон движения не зависит от массы тела – факт, открытый Галилеем:

s s 1 s s + V i i + ij i = 0. (3.12) 2 x xj t x В качестве важного примера рассмотрим евклидово простран ство с масштабом, меняющимся с течением времени по некоторо му закону a(t), и определяющим метрику пространства в виде:

dl2 = a(t)2 (dx2 + dy 2 + dz 2 ). (3.13) Уравнение (3.12) принимает конкретный вид:

s ( s)2 = 0.

+ t 2 a Коэффициенты этого уравнения не зависят от пространственных координат xi, которые поэтому являются циклическими и зави симость от них действия линейна, так что s = v = const и уравнение определяет зависимость энергии тела E от времени:

m v S df E(t) = = m s = f (t) + (v r);

=.

2 a2 (t) t dt 78 Динамическая геометрия По мере расширения Мира энергия движущегося тела падает (а покоящегося не меняется).

Пусть теперь в лаборатории, движущейся со скоростью V, движется тело с относительной скоростью v, так что его скорость относительно пространства равна V+v. Уменьшение энергии это го тела относительно лаборатории зависит теперь от направления движения тела внутри лаборатории:

m (V + v)2 dE = H E(t), E(t) = ;

2 a2 (t) dt где H – постоянная Хэббла. Хотя расширение за сколь-нибудь длительное лабораторное время ничтожно мало, в принципе дви жущаяся в расширяющемся Мире лаборатория по внутренним яв лениям отличима от покоящейся.

3.5. Локальная неинерциальная лаборатория Описанию законов движения в локаль ных (строго говоря, бесконечно ма лых евклидовых) неинерциальных ла бораториях положил начало выдаю щийся математик, механик, философ, один из основателей “Энциклопедии” французских просветителей XVIII века Жак Д’Аламбер (1717-1783). Принцип Д’Аламбера, по которому ускорение ла боратории приводит к дополнительным силам при описании движения тел от носительно лаборатории, привел, в частности, к принципу эквивалентности А. Эйнштейна при со здании им общей теории относительности.

Однако, общее неинерциальное движение бесконечно малой евклидовой лаборатории несколько шире: кроме ускорения, оно включает в себя еще и вращение лаборатории.

Для строгого описания различных объектов и процессов при ходится вводить абстракции такие, как материальная точка, аб 3.5. Локальная неинерциальная лаборатория солютно твердое тело и пр. Реальные объекты и процессы лишь с той или иной степенью приближения соответсвуют этим абстрак циям, однако, использование абстракций позволяет учесть отли чие реального объекта от абстрактного. Например, при описании движения Земли вокруг Солнца поначалу Землю можно описы вать как материальную точку, на которую со стороны Солнца действует единая сила притяжения. Однако вследствие конечно сти размеров Земли гравитационные силы Солнца в разных ча стях объема Земли слегка различны, но, выделяя внутри Земного шара различные бесконечно малые элементы, можно учесть по правки не только за счет различия гравитационной силы, но и за счет, например, неоднородной плотности Земли или ее вращения.

Для описания пространственно-временных соотношений раз личных наблюдателей также приходится вводить абстракции, ко торым реальные условия соответствуют лишь приближенно.

Бесконечно малая лаборатория – это некоторый бесконечно малый параллелепипед, малый настолько, что пространство внут ри него является евклидовым.

Внутри лаборатории происходят различные процессы, в част ности, движение. Процессы совершаются в едином для всей лабо ратории местном времени, которое мы будем обозначать буквой t.

Бесконечно малые размеры лаборатории приводят к необходи мости аналитического продолжения евклидова пространства до бесконечного – касательного евклидова пространства, частью ко торого является пространство лаборатории. Необходимость в нем возникает, например, при поиске оси вращения, которая может лежать вне лаборатории. Поэтому вне зависимости от структуры пространства снаружи лаборатории описание движений внутри лаборатории можно вести на языке бесконечного евклидова про странства.

Евклидово пространство обладает шестипараметрической груп пой движений: три сдвига и три вращения. В соответствии с этой группой в лаборатории могут наблюдаться неинерциальные эле менты:

80 Динамическая геометрия поле вращения вокруг некоторой оси;

поле ускорения g вдоль некоторого направления.

Параллельный перенос оси вращения приводит к дополнитель ному ускорению, перпендикулярному оси, так что выбором по ложения оси вращения составляющую ускорения, ортогональную оси вращения, вообще можно уничтожить и остаются неуничто жимыми вращение вокруг некоторой оси и ускорение вдоль на правления этой оси.

Порядок бесконечной малости лаборатории определяется не только евклидовостью пространства внутри нее, но и однородно стью полей ускорения и вращения.

В лаборатории могут двигаться как отдельные малые (по срав нению с размерами лаборатории) тела, так и сравнимые с ней по размерам другие (бесконечно малые) лаборатории.

Вследствие бесконечно малых размеров первичному рассмот рению подлежат лишь бесконечно малые скорости. По этой же причине приращения скоростей за счет полей вращения и ускоре ния также бесконечно малы.

Поля вращения и ускорения внутри лаборатории, связанные с динамикой во времени, несмотря на изотропию евклидова про странства, приводят к анизотропии процессов, в частности, дви жений, и экспериментально обнаружимы.

Поле вращения определяется направлением оси вращения и угловой скоростью. В бесконечно малой системе оно однородно и определяется для данной лаборатории единым вектором.

Поле вращения создает кориолисово ускорение wK = 2 [ v], ортогональное полю вращения и скорости, и центробежное уско рение wc = [ [ (r r0 )]]. На оси, проходящей через точку r параллельно, центробежное ускорение отсутствует (ось враще ния). Точка r0 может лежать где-то в касательном пространстве и за пределами лаборатории. Поле центробежного ускорения ли нейно растет в зависимости от расстояния до оси вращения.

Переменное во времени поле вращения создает также линей ное по координатам поле ускорения wm = [ (r r0 )], которое 3.5. Локальная неинерциальная лаборатория ортогонально вектору r r0.

Внутри первичной (бесконечно малой) лаборатории могут дви гаться другие лаборатории. Их движение относительно исходной лаборатории может быть как равномерным прямолинейным (ско рости – бесконечно малые), так и ускоренным и вращательным. В аналитической механике хорошо изучены теоремы сложения дви жений и вращений (см., например, [17]). Они, как правило, приме няются к описанию движения твердого тела, но также применимы для описания полей вращения и ускорения внутри движущихся лабораторий.

Если некоторая лаборатория внутри данной вращается с уг ловой скоростью, то поле вращения внутри нее определяется векторной разностью =. (3.14) В частности, если =, то поле вращения в движущейся си стеме отсутствует. Такая система называется локальной системой без вращения. В системе без вращения может существовать поле ускорения, однородное вследствие бесконечной малости размеров системы и описываемое единым для всей лаборатории вектором g. Если внутри невращающейся системы движется без вращения, но с ускорением a другая лаборатория, то поле ускорения в ней g = g a. (3.15) В частности, если a = g, то в последней системе отсутствует и поле ускорения (и поле вращения). Такая система называется локально инерциальной. Системы, движущиеся относительно нее без вращения и ускорения (равномерно и прямолинейно), не со держат неинерциальных элементов и также являются локально инерциальными системами.

К неинерциальным эффектам, видимо, следует отнести и рас смотренное в конце предыдущего параграфа однородное расши рение.

В подавляющем большинстве случаев физические лаборато рии, в которых проводятся эксперименты (изучение эффекта 82 Динамическая геометрия Комптона, сверхпроводимости, выращивание кристаллов), явля ются неинерциальными – поле тяготения создает поле ускорения.

За счет вращения Земли – возникает поле вращения. Во вращаю щемся вокруг Земли искусственном спутнике может присутство вать поле вращения как за счет его собственного вращения, так и за счет прецессии Де Ситтера и поля Лензе-Тирринга-Керра вра щающейся Земли (см. [16]). Наконец, глобальное изменение мас штаба Мира (см. далее) создает изменение масштаба и в каждой лаборатории. С экспериментальной точки зрения для большин ства изучаемых процессов эти неинерциальные эффекты приво дят к малым или даже бесконечно малым поправкам. С теорети ческой же точки зрения они выделяют данную неинерциальную лабораторию.

Время во всех движущихся (с бесконечно малыми скоростями) лабораториях едино – это местное время t первичной лаборато рии. Пространство в них также евклидово, так как однородные сдвиги и повороты не меняют метрики евклидова пространства, хотя нужно иметь в виду, что все это относится к бесконечно ма лым областям.

3.6. Геодезические линии Рассмотрим свободное движение материальной точки в инер циальном (поле скоростей отсутствует) римановом пространстве с метрическим тензором ij (x). Потенциальная энергия тела равна нулю – движение свободное, и лагранжиан определяется только кинетической энергией:

m ij (x) xi xj m dl L=T = =. (3.16) 2 dt В уравнениях Лагранжа kj m xk xj d L L d (m ij (x) xj ) = = ;

d t xi xi xi dt массу тела можно сократить.

1 kj k j ij k j ij xj + xx= xx.

k 2 xi x 3.6. Геодезические линии В левой части выражение ij k j 1 ij ik xk xj xx= + k k xj x 2 x из-за симметрии по скоростям. Перенося его в правую часть, по лучаем jk 1 ij ik ij xj = xk xj.

+ k j xi 2 x x Умножая теперь слева на обратный метрический тензор, полу чаем справа связность (6.25), через которую теперь выражаются ускорения. Это – уравнение движения свободного тела в искрив ленном пространстве:

xl + l xk xj = 0.

kj (3.17) Это уравнение называется уравнением геодезической линии.

Если от времени t перейти к новому параметру t = l/v;

v =const, то в каждом слагаемом уравнения появится множитель v 2, кото рый можно сократить, поэтому и в этом параметре уравнение гео дезической линии будет иметь тот же вид (3.17), только точкой будет определяться производная по l.

При движении тела есть еще один параметр – сохраняющаяся во время движения энергия:


m ij (x) xi xj = E.

Если введенный параметр v выбрать из соотношения E = m v 2 /2, то в параметре l на геодезической линии будет сохраняться соот ношение d xi d xj = 1;

dl2 = ij dxi dxj, ij dl dl откуда следует смысл параметра l – длина вдоль геодезической.

Свободное тело движется вдоль геодезической с посто янной скоростью – это обобщение 1-го закона Ньютона.

Уравнение (3.17) определяет движение, в том числе, и в плос ком пространстве, в том числе и в декартовых координатах. Так 84 Динамическая геометрия как в последнем случае связности равны нулю, уравнение полу чается очень простым: xi = 0. Это уравнение равномерного и пря молинейного движения. В других координатах уравнения другие, но решение их – та же прямая линия, записанная в других коор динатах.

Уравнение (3.17) определяет движение одной материальной точки: xi, xi – это координаты и скорость одной точки в данный момент времени. Свободное движение системы точек описывает ся полем скоростей ui (x, t) – геодезическим потоком. С этой точки зрения уравнение (3.17) может быть представлено через ковари антную производную этого поля:

d ui d xj = uj ui = ui = 0. (3.18) j j dt dt Для построения геодезических потоков наиболее естественен метод Гамильтона, следующий из уравнения в частных производ ных Гамильтона - Якоби:

s 1 ij s s + = 1. (3.19) xi xj t От массы движение свободных частиц не зависит. Как и в случае плоского пространства, уравнения движения – уравнения Гамиль тона:

s s ;

E = ;

H = ij pi pj ;

pi = xi t d xi H d pi H = ij pj ui ;

= i.

= (3.20) dt pi dt x Покажем, что эти уравнения приводят к уже выведенным урав нениям геодезической (3.17). Для этого воспользуемся локально геодезической системой, где производные метрического тензора равны нулю:

d ui ui d pj = ij = 0 = uj.

xj dt dt Это то же самое уравнение.

3.7. Движение по двумерной сфере Как и в классическом случае, изменение во времени любой функции координат и импульсов определяется скобками Пуассо на, и как в классическом случае, величина гамильтониана вдоль каждой траектории сохраняется, так как скобки Пуассона его с самим собой равны нулю.

Так как траектория не зависит ни от массы, ни от величи ны энергии, то для нахождения траектории удобно использовать приведенный гамильтониан:

2 H = ij (x) pi pj = 1. (3.21) Выражая из него одни импульсы через другие и дифференцируя по последним, находятся дифференциальные уравнения траекто рии.

3.7. Движение по двумерной сфере В качестве первого нетривиального примера рассмотрим сво бодное движение по сфере радиуса r:

dl2 = r2 (d2 + sin2 d2 ).

p 1 p2 + H=.

sin 2 m r Радиус r входит простым множителем как масса, поэтому для нахождения траекторий (зависимости между и ) можно рас сматривать сферу единичного радиуса.

Угол – циклическая переменная (явно не входит в лагран жиан), поэтому сопряженный ему импульс p l является кон стантой на траектории.

l2 l p2 + = 1;

p =.

sin2 sin Уравнение траектории – с разделяющимися переменными:

l/ sin d p = = ;

d l 1 l2 / sin 86 Динамическая геометрия (l/ sin2 ) d d l ctg.

d = = ;

1 l2 1 l2 / sin Это уравнение легко интегрируется 1 l2 sin( 0 ) = l ctg.

= (3.22) При l = 1 значение ctg = 0;

= /2, а угол меняется от нуля до 2 – это экватор сферы.

Траектории при других значениях l (при l2 1) удобно рас смотреть на вложении двумерной сферы в трехмерное евклидово пространство в декартовых координатах:

x = r sin cos ;

y = r sin sin ;

z = r cos.

Из уравнения (3.22) при 0 = 0 следует линейная связь между y и z:

y 1 l2 = l z.

Это уравнение плоскости, проходящей через ось x и начало ко ординат под углом к плоскости (x, y), где интеграл движения l определяет наклон этой плоскости: cos = l. При l = 1 угол наклона = 0 – экватор, как мы видели выше.

Угол 0 = 0 определяет угол пово рота линии в плоскости (x, y), через которую проходит эта плоскость.

Сечение такими плоскостями сферы образует окружности на сфере – дуги большого круга, с помощью движения по сфере, совместимые с экватором.

3.8. Динамика в неинерциальной системе Как изменятся уравнения динамики, если система координат является неинерциальной, движущейся относительно инерциаль 3.8. Динамика в неинерциальной системе ной с полем скоростей V i (xj )? Нужно обратить внимание на раз личие постановки вопроса в классической динамике инерциаль ных систем в евклидовом пространстве, где говорилось не о поле скоростей, а о скорости движения. Фактически и там речь шла о поле скоростей, но это поле во всех точках было одинаковым – в декартовой системе, удовлетворяя соотношению j ui = 0, а в произвольных координатах это соотношение переписывается че рез ковариантные производные ui ui = 0. (3.23) j ;

j Лагранжиан в неинерциальной системе выражается через ско рости относительно абсолютного пространства:

ij (xi V i (x))(xj V j (x)).

L= (3.24) Выражая скорости через импульсы pi = ij (xj V j );

xi = ij pj + V i, строим гамильтониан 1 ji H = p i xi L = (x) pj pi + V i (x) pi.

(3.25) Уравнения Гамильтона определяют геодезические линии:

1 jk V j d pi = pj pk pj.

2 xi xi dt Эти уравнения в локально декартовой системе записываются как V j d pi = i pj dt x и для геодезических потоков возвращаются в произвольную систе му в ковариантном виде (при ij и V i стационарных – постоянных во времени) d ui d pi j = uj ui ik Vj;

k (uj V j ).

= V;

i pj ;

(3.26) ;

j dt dt 88 Динамическая геометрия Уравнения геодезических остаются такими же, как и в инерци альной системе, если Vj;

k = 0. Из этого условия следует, что и s = Rjik Vs = 0.

( i ) Vj i k k s Для выполнения этого условия необходимо, чтобы Rjik = 0 – про странство должно быть плоским. Только в плоском пространстве возможно однородное поле геодезических линий – это и есть но вое евклидово пространство, движущееся относительно исходного с единой скоростью V.

Если пространство обладает кривизной, то исходная инерци альная система выделена по отношению к другим. Уравнения дви жения в искривленном пространстве с любым полем скоростей V i (x) отличаются от уравнений движения в инерциальной систе ме. В случае наличия у пространства кривизны, инерциальная система экспериментально обнаружима, принципиально отлича ется от неинерциальных.

3.9. Поля Киллинга и динамика Некоторые пространства обладают движениями, определяе мыми полями Киллинга, сдвиги по которым не меняют метрики.

Как наличие движений сказывается на динамике?

i Каждому полю Киллинга (j) (x) можно сопоставить линейную по импульсам скалярную функцию – динамический поток ((j) – номер этого поля):

i f(j) = (j) pi. (3.27) Вычислим через скобки Пуассона производную по времени этих функций:

df = {H, i (x) pi } = i kl,i pk pl i,k kl pk pi = dt ( i,k kl + l,k ki l ki,l ) pk pi.

i (x) является полем Киллинга, то правая часть этого выра Если жения обращается в нуль и скобка Пуассона обращается в нуль, 3.10. Инерциальные системы на трехмерной сфере следовательно, конструкция i (x) pi является интегралом движе ния.

Это частный случай теоремы Нетер: каждому полю Киллин га i (x) соответствует интеграл движения i (x) pi.

Если же поле Киллинга является еще геодезическим потоком (удовлетворяют уравнению (3.18)), то если в начальный момент задать скорости свободных пылинок, расположенных в разных точках пространства, вдоль этого поля, то они все время будут двигаться вдоль него. Это – инерциальное движение всего про странства в себе без изменения метрики.

Поля Киллинга на двумерной сфере не являются геодезиче скими потоками. Например, для поворота вдоль параллелей = 0, = 1;

i j = j ;

i i = = sin cos.

i Поэтому пылинки, стартовавшие с разных точек меридиана вдоль параллелей, движутся непараллельно, а каждая по своему боль шому кругу и их траектории пересекаются.

3.10. Инерциальные системы на трехмерной сфере В отличие от полей Киллинга двумерной сферы все поля Кил линга трехмерной сферы (2.40) являются геодезическими потока ми – удовлетворяют уравнению (3.18). Поэтому частицы, начашие движение вдоль геодезического потока, все время будут двигаться вдоль него.

Возьмем, например, поле V(3) – сдвига по углу, приводящее к равномерному увеличению угла с течением времени на t. Это – инерциальное движение трехмерной сферы в целом, описываемое преобразованием функций зависящих от угла к функциям от t. В этой инерциальной системе покоящиеся частички так и будут покоиться.

Сдвиг по углу (поле W(3) ) остается вектором Киллинга, од нако траектория движения вдоль этого поля со скоростью q в 90 Динамическая геометрия движущейся системе перестает быть геодезической:

vi iv = q sin = 0.

Таким образом, по своим механическим свойствам такая дви жущаяся система отличается от покоящейся. В ней метрика, опре деляемая движущимися пылинками, такая же, как и неподвиж ная – метрика трехмерной сферы – и поля Киллинга, поэтому те же самые. Однако в движущейся системе только три геодезиче ских потока – односторонние со скоростью. Векторы Киллинга другой группы уже не являются геодезическими, что позволяет экспериментально отличить инерциально движущуюся систему от неподвижной.

3.11. Электрическое и магнитное поля на S Специфическими свойствами в искривленном пространстве об ладает не только динамика материальных точек, но и другие фи зические процессы, например, электродинамические.

Электродинамика в евклидовом пространстве очень часто ис пользует для рассмотрения тех или иных электродинамических процессов постоянные, однородные электрическое или магнитное поля. Возможны ли такие поля, если пространство является трех мерной сферой S3 ?

Однородным поле можно представить, если оно пропорцио нально какому-то полю Киллинга n из (2.40):


E(r, t) = e(t) n;

H(r, t) = h(t) n.

Уравнения Максвелла в вакууме H + rot E = 0;

div H = 0;

c E rot H = 0;

div E = 0;

c с учетом соотношения для ротора поля Киллинга (2.42) приводит к зависимости от времени амплитуд электрического и магнитного полей:

Электрическое и магнитное поля на S 3.11. 2c 2c e h+ e = 0;

h = 0.

r r 2c h + 2 h = 0;

e + 2 e = 0;

=.

r Если в начальный момент мы задали однородное электрическое поле E0, то с течением времени оно перекачивается в магнитное по гармоническому закону с частотой = 2 c/r.

При этом энергия электромагнитного поля не меняется: E2 + 2 = E H При стремлении радиуса сферы к бесконечности период ко лебаний T = 2 r/c стремится к бесконечности – пространство становится евклидовым, а поля становятся стационарными.

92 Специальная теория относительности Глава Специальная теория относительности Хотя наше пространство является искривленным, римановым, в доступной наблюдениям достаточно малой области оно в хоро шей степени является евклидовым – малая область риманова про странства подчиняется евклидовой геометрии. Ведь долгое время, пока люди имели дело с расстояниями много меньшими радиу са Земли, они полагали, что Земля плоская. Поэтому, пока речь идет о не очень больших размерах, пространство можно пола гать плоским. При этом в Ньютоновой механике возник парадокс Али-Бабы: из-за равноправия уравнений динамики Ньютона во всех равномерно и прямолинейно движущихся друг относительно друга евклидовых пространствах абсолютное пространство зате рялось, стало неразличимо. Пространств стало бесконечно много.

Но время было едино, время было абсолютным.

Специальная теория относительности (СТО) распространи ла этот парадокс и на время. Ее важнейшим открытием являет ся открытие того факта, что у движущегося наблюдателя физи ческие процессы протекают в собственном времени, отличном от времени лабораторной системы. Времен, как и пространств, стало бесконечно много.

По теории относительности написано множество популярных и глубоко научных книг, поэтому здесь мы акцентируем внимание лишь на тех явлениях СТО, которые выявляют особенности те чения времени наблюдателей, движущихся как инерциально, так и с ускорением, чтобы понять – действительно ли теория относи тельности запретила глобальное время.

4.1. Преобразования Лоренца В процессе создания теории относительности важную роль 4.1. Преобразования Лоренца сыграл эксперимент Майкельсона. Аль берт Майкельсон, (1852-1931) попытал ся определить абсолютное движение Земли. Мы не будем здесь описывать эксперимент в деталях – он многократ но изложен в литературе, посвящен ной теории относительности. Важно, что Майкельсон этого движения не об наружил, хотя Земля движется вокруг Солнца с линейной скоростью около км/с, что составляет 104 от скорости света.

Чтобы объяснить отрицательный результат эксперимента Май кельсона, Гендрик Антоон Лоренц (1853-1928) предположил в 1893 году, что разме ры тела, движущегося со скоростью V, в направлении движения сокращаются в 1 V 2 /c2 раз. Для объяснения экс перимента Майкельсона этой гипотезы оказалось достаточно. Однако еще ряд электромагнитных экспериментов, при званных замерить абсолютное движе ние Земли, также дали отрицательный результат – как будто Земля неподвиж на.

Анри Пуанкаре в 1900-м году выдвигает принцип относитель ности: природа устроена так, что абсолютного движения в прин ципе нельзя обнаружить.

Поэтому Лоренц ставит задачу – не только найти изменения координат, объясняющие частный электромагнитный процесс – распространение света в эксперименте Майкельсона, – но и зна чительно более широкую: найти преобразования к движущейся системе, при которых уравнения Максвелла остаются неизмен ными. Если в движущейся системе уравнения электродинамики 94 Специальная теория относительности остаются такими же, как и в неподвижной, то никакие электро магнитные эффекты, вроде бы связанные с движением системы, не могут быть обнаружены. В 1904 году Лоренц пишет работу, в которой показывает, что для решения этой задачи нужно еще в движущейся системе преобразовывать не только координаты, но и время, ввел понятие времени движущегося наблюдателя – местное время [18]. Эти преобразования Пуанкаре назвал преоб разованиями Лоренца.

В 1905 году молодой тогда Альберт Эйнштейн (1879 – 1955) показывает, что проблема не в уравнениях Максвелла, а в свойствах пространства и времени в (локальных) системах наблюдателей, движущихся друг относительно друга.

Вместо сложных вычислений Лоренца с уравнениями Максвелла он увидел центральный результат, который содер жится в преобразованиях Лоренца: по стоянство скорости света в движущих ся системах и необходимость преобра зования времени для обеспечения этого постоянства.

Свет в движущейся системе движется с такой же скоростью – уни версальной скоростью c – как и в неподвижной в любом направ лении. Тогда не нужно никаких вычислений для объяснения от рицательного эксперимента Майкельсона: времена прохождения светом различных путей в различных направлениях в точности такие же, как в неподвижной системе.

В классической механике, если какое-то движение в системе, движущейся относительно некоторой базовой системы со скоро стью V, происходит в том же направлении со скоростью u, то от носительно самой базовой системы оно происходит со скоростью u = u + V. Этот результат с неизбежностью получается, если время в обеих системах одно и то же. Используя идею Лоренца о 4.1. Преобразования Лоренца преобразования и времени, Эйнштейн довольно просто получает преобразования Лоренца.

Координаты в движущейся системе будем обозначать штри хом. Преобразования дифференциалов координат и времени ли нейны. Преобразование координаты x (вдоль направления движе ния) dx = dx V dt.

Неподвижная относительно движущейся системы точка dx = движется в базовой системе со скоростью V. Чтобы модифициро вать закон сложения скоростей до сохранения постоянства скоро сти света, Эйнштейн пользуется идеей Лоренца о преобразования времени (в области бесконечно малых величин все преобразова ния линейны):

dt = dt dx.

При таких преобразованиях для движения относительно ба зовой системы со скоростью u = dx/dt скорость этого движения относительно движущейся системы будет uV dx u= =.

1u dt Задача: получить u = c при u = c, используя введенный неопре деленный параметр :

cV c=.

1c Отсюда вычисляется = V /c2 и формула сложения (точнее, в данном случае – вычитания) скоростей принимает вид:

uV u=. (4.1) 1 uV c При скоростях V c добавкой к единице в знаменателе можно пренебречь – получается классическая формула u = u V. Если же u = c, то и u = c – скорость света одинакова во всех системах.

96 Специальная теория относительности Однако при этом неподвижная система остается выделенной, неравноправной по сравнению с движущейся. Запишем преобра зования координат и времени в матричном виде:

V /c t 1 t · = V x 1 x Обратные преобразования от движущейся системы к неподвиж ной получаются через обратную матрицу, элементы которой в зна менателе содержат детерминант матрицы (обозначим его 1/ 2 = 1 V 2 /c2 ):

1 V /c t t = 2 · x V 1 x Выход очевиден: преобразования симметричны (с естественной заменой V на V ), если детерминант матрицы преобразования равен единице, чего можно добиться, умножив преобразование и координаты и времени на = 1/ 1 V 2 /c2, после чего эти пре образования принимают вид:

t V x/c2 xV t t= ;

x= ;

y = y;

z = z. (4.2) 1 V 2 /c2 1 V 2 /c Сюда добавлены тождественные преобразования координат в на правлении, перпендикулярном движению. Это и есть преобразо вания Лоренца. Обратные преобразования t + V x /c2 x +V t t= ;

x= (4.3) 1 V 2 /c2 1 V 2 /c получаются заменой V на +V.

При V /c 0 преобразования (4.2) переходят в свой асимпто тический вид:

x = x V t;

t = t;

y = y;

z =z – преобразования Галилея.

4.2. Геометрия Минковского 4.2. Геометрия Минковского Исключительную важность преобразований Лоренца сразу оце нил А. Пуанкаре [19]. Он показал, что преобразования Лоренца образуют группу, сохраняющую инвариант d 2 = dx2 + dy 2 + dz 2 + (i c dt)2. (4.4) Это элемент длины в четырехмерном евклидовом простран стве, три измерения в котором связаны с пространственными ко ординатами, а четвертое определяется временем, умноженным на скорость света, да еще и на мнимую единицу.

В 1908 году математик Герман Минковский (1864-1909) пока зал, что преобразования Лоренца описывают геометрию многооб разия совершенно нового типа – псевдоевклидову геометрию. Он возвел в квадрат мнимую единицу (которую Пуанкаре вставил, чтобы добиться формального равноправия всех четырех коорди нат) и получил инвариант преобразования Лоренца (общий знак значения не имеет):

ds2 = (c dt)2 dx2 dy 2 dz 2. (4.5) Введя четвертую (нулевую) координату x0 = c t, он привел преобразования Лоренца к простому виду:

x0 = (x0 x1 );

x1 = (x1 x0 ), (4.6) где V = ;

= 1 c – безразмерные коэффициенты.

Если ввести гиперболический угол такой, что th = V /c, то преобразования Лоренца (4.6) можно выразить через гиперболи ческие функции этого угла:

1 V = = ch ;

= sh ;

1 V 2 /c2 c 98 Специальная теория относительности x0 ch sh x · =. (4.7) x1 sh ch x Инвариант Минковского можно записать в виде ds2 = g dx dx ;

, = 0... 3, (4.8) через метрический тензор Минковского 10 0 0 1 0 ( ) = g, (4.9) 0 0 1 0 определяющего метрические свойства пространства Минковско го. Метрика в этих координатах не зависит от координат, вслед ствие чего и связности, и тензор кривизны равны нулю: простран ство Минковского является плоским, хотя и не евклидовым (псев доевклидовым). Тензорный закон преобразования метрики опре деляет, что при преобразованиях Лоренца (4.6) с любым пара метром V (в системе, движущейся с любой скоростью относитель но первоначально избранной инерциальной системы) метрический тензор имеет вид (4.9) – он инвариантен относительно преобра зований Лоренца.

Знаконеопределенность метрики допускает качественно три раз личных типа интервалов:

1. ds2 0 – времениподобные;

2. ds2 0 – пространственноподобные;

3. ds2 = 0 – изотропные.

Преобразования Лоренца меняют координаты и время одной и той же мировой точки при переходе из одной системы в другую, движущуюся относительно первой со скоростью V. Множество координат одной и той же точки в различных системах, движу щихся с различными скоростями (вдоль оси x только) образуют гиперболу (см. рис.) (ct)2 x2 = (ct0 )2 для времениподобного 4.2. Геометрия Минковского отрезка в пространстве-времени;

гиперболу x2 (ct)2 = x2 для пространственноподобного отрезка и две прямые, определяющие распространение света x = ±ct для изотропного отрезка.

ct A B O x Два вектора a и b ортогональны, если их скалярное произве дение равно нулю a1 b (a · b) = a0 b0 a1 b1 = 0;

=. (4.10) a0 b Если вектор a времениподобен (на рисунке OA), то ортогональ ный ему вектор b – пространственноподобен (OB). Изотропный вектор ортогонален сам себе. Его проекции на оси ct и x одинако вы.

При учете всех трех пространственных координат (включая y и z) рассмотренные выше линии переходят в трехмерные много образия. Изотропные направления образуют световой конус (ct)2 = x2 + y 2 + z 2, (4.11) который и делит все качественно различные направления в четы рехмерном пространстве:

100 Специальная теория относительности для времениподобных направлений – двуполостный гиперболоид с полостями внутри верхней и нижней частей светового конуса (ct)2 x2 y 2 z 2 = (ct0 ) и для пространственноподобных – однополостный гиперболоид x2 + y 2 + z 2 (ct)2 = l2, охватывающий световой конус.

Такая структура пространства определяет принцип причинно сти: в различных системах точка B, отделенная от точки O про странственноподобным интервалом, может оказаться по времени как позже точки O, так и раньше ее. Поэтому она не может причинно воздействовать на события в точке O (и наоборот).

Точка же A при любых преобразованиях Лоренца всегда остается по времени позже точки O, поэтому события в точке O могут при чинно воздействовать на события в точке A. События в точке О могут причинно воздействовать лишь на верхнюю внутренность светового конуса.

Пространство Минковского изотропно локально, но неизотроп но глобально: непрерывные преобразования Лоренца переводят одно пространственно - подобное направление в другое (то же и для времениподобных направлений), но никаким вещественным преобразованием Лоренца нельзя перевести времениподобное на правление в пространственноподобное или изотропное.

При отображении двумерного пространства Минковского на двумерное евклидово пространство (лист бумаги) имеются неко торые особенности. Оси ct и x ортогональны друг другу. Для дви жущегося со скоростью V тела его ось времени ct наклонена к оси ct под углом, так что tg = V /c. Пространственная ось x дви жущегося тела повернута на тот же угол к оси x, но в отличие от евклидовой геометрии навстречу своей оси времени, так что световой луч OC всегда делит угол между этими осями пополам – в этом и проявляется инвариантность скорости света.

Геометрия Минковского во многом подобна евклидовой гео метрии, однако знаконеопределенность интервала вносит в гео 4.2. Геометрия Минковского метрию свою специфику. В геометрии Минковского линейные трех мерные многообразия, ортогональные времениподобным векторам, являются трехмерными евклидовыми пространствами. Ортогональ ные же пространственноподобным векторам образуют трехмерное пространство Минковского, в котором повторяется то же разде ление: линейные двумерные многообразия, ортогональные време ниподобным векторам, являются двумерными евклидовыми про странствами (плоскостями), а ортогональные пространственнопо добным векторам образуют двумерные плоскости Минковского.

Треугольники в пространстве Минковского имеют несколько качественно различных типов:

1. Времениподобные, все стороны которых времениподобные.

2. Пространственноподобные, все стороны которых простран ственноподобные.

3. Смешанные, у которых одна сторона (или две) временипо добные и две (или одна) – пространственноподобные.

Первый тип интересен тем, что в нем теорема о длине стороны треугольника, в евклидовой геометрии, утверждающая, что дли на любой стороны треугольника меньше суммы двух других сто рон, утверждает прямо противоположное: любая сторона такого треугольника длиннее суммы двух других сторон.

Из варианта этой теоремы для евклидова пространства сле дует, что прямая линия является кратчайшей среди всех кривых, соединяющих две точки, а в геометрии Минковского следует об ратное: времениподобная прямая, соединяющая две точки, явля ется наидлиннейшей среди всех времениподобных кривых, соеди няющих эти же точки.

Любой движущийся наблюдатель относительно себя неподви жен, поэтому интервал, который у него набегает с точки зрения другого наблюдателя за счет как течения времени, так и переме щения в пространстве, с его точки зрения растет только за счет его собственного времени :

c2 dt2 dx2 dy 2 dz 2 = c d.

ds = (4.12) 102 Специальная теория относительности Теорема о наибольшей длине прямой приводит к парадоксу близнецов: если один из близнецов движется по инерции – по вре мениподобной прямой в пространстве Минковского между дву мя мировыми точками, а другой совершает неинерциальное дви жение между этими же точками – движется по кривой в про странстве Минковского, то время, прошедшее у инерциального наблюдателя пройдет больше, чем у неинерциального. Эта тео рема чисто кинематическая, даже чисто геометрическая. Она не апеллирует к физическим явлениям, связанным с ускорением у неинерциального наблюдателя, она только геометрически опре деляет длину прямой и кривой линий (собственное время). Часто при критике парадокса близнецов пытаются их поменять места ми, но по условию задачи они явно неравноправны: лишь первый движется по инерции (по времениподобной прямой линии в про странстве - времени), мировая же линия второго – либо ломаная, либо кривая (чтобы они опять смогли встретиться в одной миро вой точке), а потому ее инвариант (и собственное время) меньше, чем у первого.

4.3. Относительные пространство и время Определив понятия абсолютного пространства и абсолютного времени, понимая, что для описания явлений в лабораториях, на ходящихся на движущейся Земле, может быть, на движущемся относительно нее корабле, Ньютон ввел понятия “относительное пространство” и “относительное время”. Относительное простран ство – это часть абсолютного, как-то относительно него движуща яся. Если движение равномерно и прямолинейно (инерциальная относительная система), законы движения в ней точно такие же, как и в абсолютном пространстве.

Равноправие инерциальных систем в теории относительности, математически выраженное в геометрии Минковского, привело к формулировке принципа относительности: в пространстве времени нет выделенного направления времени. Все направления внутри светового конуса равноправны.

Однако, когда экспериментатор работает с быстрыми частица 4.3. Относительные пространство и время ми, либо в камере ускорителя, либо регистрируя космические лу чи, он оперирует временем в своей (евклидовой) лаборатории (t).

Если частица движется по отношению к лаборатории, собственное время частицы пересчитывается через интервал (4.12):

V d = dt. (4.13) c Классическим примером проявления собственного времени яв ляется наблюдение в космических лучах -мезонов, собственное время жизни которых, определенное в ускорителях, около секунды. Даже, если бы -мезон двигался со скоростью света (c = 3 · 108 м/с) за это время он смог бы пролететь лишь около трех метров, а рождаются они на высоте около 100 километров от поверхности Земли. По началу даже полагали, что -мезоны в космических лучах и в ускорителях – разные частицы. Однако учет различия времен, определяемого теорией относительности, ставит все на свои места: 108 секунды – это собственное время жизни, которому при скоростях движения, близких к скоро сти света, по формуле (4.13) соответствует несравненно большее время лабораторной системы. Эта формула определяет скорость частицы, живущей какое-то большое время t в лабораторной системе.

Проходя за собственное время 108 секунды путь l м, частица проходит этот путь в лабораторной системе за время l ( t)2 = 2 +.

c При больших разницах времен скорость ее движения чуть мень ше скорости света:

l c 1 c c v= =.

t 2 l c 1+ l При том же малом собственном времени жизни по отношению к лабораторной системе частица может пройти сколь угодно боль 104 Специальная теория относительности шой путь при соответственном приближении скорости движения к скорости света.

Рассматривая множество движущихся частиц, каждая из ко торых имеет собственное время, исследователь приводит их вре мена и пройденные пути в собственную, лабораторную систему, являющуюся по отношению к рассматриваемым в ней процессам мини-глобальной системой с квазиабсолютным пространством и квазиабсолютным временем. Теория относительности лишь опре деляет, что, например, в лаборатории на противоположной сто роне Земли, движущейся по отношению к первой за счет враще ния Земли вокруг своей оси, соотношения путей, времен и скоро стей будут точно такими же, однако ни коим образом не запре щает экспериментатору в любой точке Земного шара описывать частицы во времени своей лаборатории.

Специальная теория относительности существенно пересмот рела понятия относительных пространства и времени, никак при этом не затронув абсолютных.



Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 6 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.