авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 6 |

«3 Оглавление Глава 1. Пространство и время 7 ...»

-- [ Страница 3 ] --

4.4. Движение с ускорением Движение с ускорением исследовано в фундаментальной мо нографии Мизнера, Торна и Уилера [20]. Они показывают, что преобразования Лоренца от координат и времени лабораторной системы в ускоренно движущуюся с ускорением a имеет смысл лишь в пространственной области, ограниченной в направлении ускорения размерами, меньшими c2 /a. Хотя в любой реальной системе этот размер громаден, сам факт отсутствия глобаль ной системы движущегося наблюдателя очень существенен. Это означает, что Мир не может описываться пространством и време нем произвольно движущегося наблюдателя.

Движение с ускорением – это непрерывное изменение скорости движения V в каждый бесконечно малый промежуток времени на некоторую величину V в соответствии с релятивистской форму лой сложения (4.1):

V + V V=. (4.14) 1 + V cV 4.4. Движение с ускорением При V 0 в линейном приближении по V это выражение при водится к виду:

V V V V (V + V ) 1 V + 1 V. (4.15) c2 c Инвариантное равноускоренное движение – это когда в соб ственном времени движущегося тела приращение скорости V = a d – не зависит от момента собственного времени: a – постоянное ускорение. Тогда в лабораторной системе V dV = V V = 1 a d.

c Разделяя переменные и интегрируя, получаем:

dV V a a = a d ;

= th = th ;

=.

V2 c c c 1 c Постоянная интегрирования выбрана так, что V = 0 при = 0.

Интегрируя теперь соотношение a d x( ) c2 dt2 dx2, V ( ) = c th( )= ;

d = c d t( ) находим уравнение траектории:

c2 c a a x= ch ;

ct = sh.

a c a c На графике эта траектория (псевдоокружность) представляется гиперболой:

Ось собственного времени равноускоренного тела всегда на правлена по касательной к траектории и по мере ускорения меня ет свое направление в мини-глобальной системе. Ортогональные к ней в каждый момент оси собственного пространства пересекают ся в одной точке (центре псевдоокружности, от которого каждая точка траектории отделена одинаковым интервалом – радиусом псевдоокружности c2 /a) и, как видно из рисунка, не покрывают 106 Специальная теория относительности ct ct’ x’ x все пространство-время мини-глобальной системы. Преобразован ные по формулам Лоренца пространственные координаты имеют какой-то физический смысл лишь в ближайшей окрестности тела c2 /a.

| x| После создания Специальной теории относительности появил ся новый повод для иррационального. Релятивизм исключил по нятие развитие во времени мира в целом. Развитие (теперь) мож но описывать только с точки зрения какого-то наблюдателя.

На столе лежит кусочек сахара, состоящий из 1023 атомов.

Так как температура немаленькая 300 K каждый атом это го огромного множества движется в своем направлении и со сво ей скоростью. Можно ли что-то сказать о прошлом или будущем этого куска? У каждого атома свое прошлое и будущее, но каково прошлое или будущее всего куска не его центра масс точ 23 атомов, распределенных в объеме ки, а всего ансамбля из один кубический сантиметр?

В теории относительности это бессмысленный вопрос. И вот идут высокоинтеллектуальные построения стрелы времени, дере ва будущего, дерева прошлого.

Дав науке исключительно сильное рацинальное знание, тео 4.5. Цилиндр Минковского рия относительности ненавязчиво протащила некоторые “очевид ные” догмы, главная из которых – “очевидность отсутствия аб солютного времени”. Показав инвариантность локальной области пространства-времени относительно преобразований Лоренца (то же локальных), теория относительности делает “очевидный” вы вод никакого глобального времени быть не может.

Однако рассмотрим евклидов аналог. Двумерная метрика dl2 = dx2 + dy 2 (4.16) инвариантна относительно поворотов и вроде бы все координаты, связанные с исходными x и y ортогональным преобразованием = x cos y sin, x (4.17) y = x sin + y cos, приводят к той же метрике (4.16), следовательно, с метрической точки зрения исходные координаты никак не выделены по отно шению к преобразованным.

Но представим себе бесконечный двумерный цилиндр, и пусть координата y направлена вдоль образующей цилиндра, а x вдоль ортогонального направления. Тогда линии x = const и y = const образуют на цилиндре ортогональную сетку. Однако линии x = const и y = const на цилиндре являются винтовыми линиями с многократными взаимопересечениями. Исходные координаты здесь явно выделены по сравнению с повернутыми преобразованием (4.17).

То есть инвариантность метрики определяет лишь свойства локальной инвариантности, ничего не говоря о глобальных свой ствах тех или иных координат.

И специальная теория относительности лишь показала лоренц инвариантность локальных явлений в пространстве-времени, не внеся на самом деле никакого запрета на глобальное время.

4.5. Цилиндр Минковского Наиболее показателен для понимания локальности системы (пространства и времени) движущегося наблюдателя эффект Са 108 Специальная теория относительности ньяка. Саньяк задумал свой эксперимент как проверку формулы сложения скоростей. Во вращающейся системе в двух противо положных направлениях распространяются два луча с одинако вой скоростью c относительно неподвижного наблюдателя. Од нако (по гипотезе Саньяка) во вращающейся системе они имеют скорости c + V и c V, и проходя за полный оборот один и тот же путь l, затрачивают на это разное время:

l l t = ;

t+ = ;

v = R;

l = 2 R.

cV c+V Разность этих времен 4 R 2l V 2lV t = t t+ = 2= (4.18) c2 V 2 c c прекрасно согласуется с экспериментально замеренной по сдвигу интерференционных полос величиной.

Казалось бы, этот результат действительно подтверждает нере лятивистсткую формулу сложения скоростей. Однако экспери менты Б. Погани при распространении света в среде с некоторым показателем преломления n, относительно которой свет движет ся со скоростью c/n, приводит к модификации формулы (4.18) – замене в ней c на c/n:

4 R t = n2. (4.19) c Величина сдвига должна увеличиваться в n2 раз, однако экспе рименты Погани показали независимость сдвига от величины по казателя преломления, то есть от скорости распространяющегося сигнала.

Этот простой факт – независимость разности времен от скоро сти сигнала – прямо следует из специальной теории относитель ности без каких-либо дополнительных гипотез.

Будем полагать, что свет (или какой-то другой материальный процесс) распространяется по круговой орбите радиуса R в си стеме, вращающейся с угловой скоростью. В описании процесса 4.5. Цилиндр Минковского распространения принимают участие лишь две переменных: коор дината в направлении распространения x = R и время t, образуя двумерное многообразие – цилиндр Минковского. Метрика на нем индуцирована метрикой в пространстве Минковского:

dl2 = c2 dt2 R2 d2 = c2 dt2 dx2 ;

dx = R d, (4.20) то есть является метрикой двумерного пространства Минковско го.

Однако это многообразие не является плоскостью Минковско го – обход вдоль оси x приводит в ту же точеку, то есть многооб разие является цилиндром (цилиндр Минковского).

Отобразим его на плоскость Минковского (см. рисунок). Ось времени лабораторной системы t (вдоль которой откладывается величина ct) является образующей цилиндра и на рисунке она представлена в трех экземплярах: некоторый исходный, проходя щий через точку A, и два его образа, проходящие через точки B и D – при обходе цилиндра вправо и влево соответственно. Ось времени вращающейся системы t (ct ) по отношению к оси t на клонена под углом u. На евклидовом листе бумаги tg u = v/c, а на плоскости Минковского th u =. На цилиндре же ось t обра зует винтовую линию, пересекая ось времени t бесконечное число раз с периодом (в лабораторной системе) T = 2 /, где – уг ловая частота вращения.

t t’ t t’ t t’ C u x’ A B u D x E F 110 Специальная теория относительности Линия одновременности лабораторной системы – ось x. Она имеет длину l = 2 R и лежащие на ней точки A, B и D пред ставляют одну и ту же физическую точку.

Линия одновременности вращающейся системы – ось x – на клонена к оси x на тот же угол u и на цилиндре также образует винтовую линию, многократно пересекая ось времени t через пе риод 2 R ct V R = = ;

t =. (4.21) c 2R c c Пересечение собственной оси времени линией одновременности вращающейся системы также происходит многократно. На рисун ке это отрезки BC – при сдвиге на один оборот вправо – и DE – при сдвиге влево. Угол ACB – прямой (оси t и x взаимно ор тогональны), поэтому в треугольнике ACB сторона AB является гипотенузой, а катет R BC = c 1 t = AD sh u = 2 R. (4.22) c Разность во времени вращающейся системы пересечения линии одновременности x с осью t при сдвигах на один оборот вправо – точки C – и влево – точки E определяется отрезком CF, инва риантная длина которого равна удвоенной длине отрезка BC:

4 R 2 BC t = =2. (4.23) 1 c c Возникает замечательный парадокс: точки C и E (на рисунке), лежат на оси x – оси одновременности вращающейся системы. Но они также лежат на общей оси времени t и по ней отделены от резком времени, соответствующим длине отрезка CF = 2 BC, то есть они разделены интервалом времени во вращающейся системе, определяемым выражением (4.23). Если из точки A, покоящейся во вращающейся системе на оси времени t выпустить в проти воположных направлениях два сигнала с какой-то относительной скоростью v, то встретившись на оси времени t, они сдвинутся на одну и ту же величину относительно точек C и E, а относительно 4.5. Цилиндр Минковского друг друга возникнет та же разность времени (4.23). Это и есть эффект Саньяка и по описанию сдвигов видно, что он не зави сит от скорости движения сигналов относительно вращающейся системы.

Таким образом собственное пространство во вращающейся си стеме ограничено длиной отрезка AC = 2 R/. Выход за это ограничение приводит к многозначности собственного времени.

Важнейший вывод для дальнейшего состоит в том, что даже в плоском пространстве Минковского у неинерциально движущего ся наблюдателя пространство определено лишь в малой, локаль ной области.

На цилиндре Минковского просто демонстрируется и “пара докс близнецов”. Если один наблюдатель покоится (движется вдоль оси ct – образующей цилиндра), а другой движется равномерно относительно него со скоростью V, то через время неподвижного наблюдателя 2 R t = V они встретятся, при этом у движущегося набежит время V 2 R t2 t = = t.

c c На цилиндре Минковского покоящийся наблюдатель явно выде лен: до встречи с движущимся у него проходит наибольшее время.

Таким образом, несмотря на то, что метрика во всех точках ци линдра – метрика Минковского, инвариантная относительно пре образований Лоренца, – можно экспериментально выделить по коящегося наблюдателя как проживающего наибольшее время до повторной встречи с любым другим, движущимся по инерции.

Поэтому вывод, делаемый некоторыми специалистами по тео рии относительности о том, что специальная теория относитель ности якобы доказала отсутствие глобального времени, неверен.

Она лишь доказала, что глобальное время необнаружимо в ло кальных экспериментах. Если же речь идет о больших (космиче ских) областях пространства, никакой лоренц- инвариантности не 112 Специальная теория относительности наблюдается и различные системы отсчета существенно различа ются по своим свойствам.

4.6. Релятивистская динамика Преобразования Лоренца (4.2) описывают преобразования ком понент четырехмерного радиуса-вектора в четырехмерном про странстве - времени Минковского. Энергия и импульс материаль ной точки в теории относительности также образуют четырехмер ный вектор с аналогичным преобразованием компонент и так же, как для координат, имеется инвариант, не зависящий от системы, так и для вектора энергии-импульса такой инвариант пропорци онален массе тела (не зависящей от скорости):

E p 2 = m2 c2. (4.24) c Отсюда можно вывести релятивистскую зависимость кинети ческой энергии от импульса в пространстве Минковского:

p 2 + m2 c2.

E=c (4.25) Если же имеется поле скоростей и, возможно, метрика оказы вается не плоской, то это выражение модифицируется. Динамиче ская теория Гамильтона определяет энергию и импульс как про изводные по времени и пространственным координатам от неко торой функции координат и времени – действия S(t, r):

S E= ;

p = grad S. (4.26) t Момент количества движения также выражается через действие:

S l=. (4.27) При наличии поля скоростей V(r) (в неинерциальной системе) энергия должна выражаться через инвариантную производную по времени:

S E= + (V, grad S). (4.28) t 4.7. Программа геометрического описания гравитации 4.7. Программа геометрического описания гра витации В 1913 году исполняется 100 лет со дня выхода статьи Альбер та Эйнштейна и Марселя Гроссмана “Проект обобщенной теории относительности и теории тяготения” [21]. Эта статья ознамено вала начала нового этапа в изучении пространства и времени: их свойства, описываемые метрическим тензором, динамически ме няются.

Новый подход Эйнштейна и Гроссмана состоял в том же са мом, что и у Римана по отношению к евклидову пространству: бес конечно малая четырехмерная окрестность любого события опре деляется бесконечно малым куском четырехмерного пространства Минковского. В конечной области или во всем четырехмерном пространстве-времени бесконечно малый интервал определеяется квадратичной формой с помощью метрического тензора g, в общем случае зависящего от всех четырех координат:

3 ds2 = g dx dx ;

x0 = c t. (4.29) =0 = Все конструкции римановой геометрии – тензоры, ковариантные производные, связности, тензор кривизны – прямо переносятся из римановой геометрии в псевдориманову.

114 Динамика пространства Глава Динамика пространства В предыдущих главах мы выяснили, что • Множество глобальных инерциальных систем возможно лишь при евклидовости пространства.

• Пространство может иметь геометрию, отличную от евкли довой, иметь общую риманову структуру.

• Кривизна пространства фиксирует глобальную инерциаль ную систему.

• Трехмерное пространство описывается шестикомпонентным метрическим тензором.

• В неинерциальной системе имеется трехкомпонентное поле скоростей.

• Описание процессов в неинерциальной системе требует ис пользования инвариантной производной тензоров по време ни.

Теперь осталось допустить, что эта риманова структура про странства может меняться во времени, и постараться отыскать законы динамики пространства.

5.1. Время и пространство Динамика пространства описывается теорией глобального вре мени (ТГВ) [16, 22], которая исходит из следующей концепции пространства и времени:

Пространство является материальным носителем геометриче ских свойств. Оно трехмерно и имеет риманову структуру.

5.1. Время и пространство Глобальное время это собственное время пространства, еди ное для всех его точек. Оно всюду и всегда течет одинаково равномерно, само являясь мерой равномерности.

Пространство является носителем геометрических свойств, потому что геометрические свойства определяются метрическим тензором, шесть компонент которого являются главными полевы ми переменными пространства.

Тела движутся в пространстве, динамика полей (например, электромагнитного) совершается в пространстве. Для каждой дви жущейся точки определена абсолютная скорость относительно пространства.

Относительно пространства существует абсолютное движение, или, наоборот, в некоторой системе координат существует поле скоростей пространства. Таким образом, динамика пространства описывается шестью компонентами поля метрического тензора ij (x, t), определяющего его геометрические свойства в заданный момент времени, и тремя компонентами поля скоростей V i (x, t), определяющими, как каждая точка пространства в каждый дан ный момент движется относительно выбранной системы коорди нат.

Пространство является материальным носителем геометри ческих свойств, потому что уравнения динамики метрического тензора и поле скоростей получаются из лагранжевых уравнений и наряду с другими полями (например, электромагнитным) опре деляют энергию.

Нить развития теории глобального времени идет от ньютоно вой концепции пространства и времени. Время абсолютно. Однако уже упоминавшееся поучение Ньютона “Абсолютное простран ство по самой своей сущности безотносительно к чему бы то ни было внешнему остается всегда одинаковым и неподвижным... ” переходит из разряда положений, временно принятых как истин ные, в разряд пересматриваемых.

Идеи Лобачевского, Римана, Клиффорда были направлены на изучение возможности пространства иметь геометрические свой ства, отличные от евклидовых. Если Лобачевский и Риман допус 116 Динамика пространства кали в реальном, физическом мире только постоянную кривиз ну (хотя Риман заложил математические основы геометрии про странства более общего вида), то Клиффорд обсуждает проблемы пространства как трехмерного риманова многообразия с перемен ной кривизной, переменной не только на самом пространстве, но и во времени.

Первый шаг – допущение кривизны пространства – сразу при водит к снятию проблемы классического релятивизма: говорить о равномерном и прямолинейном движении искривленных про странств общего вида и тем более их равноправии становится бес смысленным. Пространство становится единым, уникальным. От носительно него существует абсолютное движение, в простран стве неинерциального наблюдателя существует поле скоростей скоростей относительно инерциальной системы, которая жестко связана с точками пространства. Пространство абсолютно но не в смысле своей неизменности, а в смысле единственности, уни кальности.

Если Вы (как пассажир) едете по гладкой асфальтовой до роге, Вы не чувствуете движения. Закрыв глаза, Вы не знаете, стоит ли автомобиль, едет ли он быстро или медленно. По Вашим ощущениям движение с любой скоростью эквивалентно покою.

Но если Вы едете по обычной российской дороге, состояние покоя существенно отличается от состояния движения. Гладкая асфальтированная дорога является евклидовой плоскостью, а тен зор Римана-Кристоффеля обычной российской дороги существен но отличен от нуля.

При этом бесконечно малая область любого риманова про странства (в том числе и дороги) является евклидовой и в области бесконечно малого существует множество равноправных инерци альных систем.

Второй шаг это допущение переменности метрики простран ства во времени. Сделав этот шаг, мы вынуждены относиться к метрике пространства как к обычному полю, например, электро магнитному. Раз метрика меняется со временем, значит, должны быть уравнения, определяющие динамику метрики.

5.2. Уравнения динамики 5.2. Уравнения динамики Отыскание уравнений динамики пространства усложняется воз можностью движения координатной системы относительно абсо лютных точек пространства, описываемой полем абсолютных ско ростей. Эти уравнения должны следовать из принципа наимень шего действия и поэтому приводить к сохраняющемуся во време ни гамильтониану. Затем нужно построить решения найденных уравнений и изучить их наблюдаемые следствия.

Уравнения динамики, как и в случае других полей (электро магнитного, скалярного, спинорного), определяется из минималь ности действия, представляемого как интеграл по времени от функции Лагранжа L. Последняя представляется как разность кинетической и потенциальной энергий.

Кинетическая энергия, как правило, квадратична по скоро стям изменения полей, в случае пространства – скорости измене ния метрики, которая при наличии поля скоростей должна выра жаться через инвариантную производную по времени от метри ческого тензора Dt ij = ij + Vi;

j + Vj;

i.

(5.1) Она определяет тензор скоростей деформации пространства:

1 µij = Dt ij = (ij + Vi;

j + Vj;

i ).

(5.2) 2c 2c (c – скорость света). Поле абсолютных скоростей V i входит в дей ствие пространства только через этот тензор.

Потенциальная энергия выражается в фиксированный момент времени через пространственные производные метрического тен зора, которые представляются скалярной кривизной R.

Лагранжиан представляется интегралом по объему простран ства с инвариантной мерой d3 x:

c4 (µi µj (µj )2 + R) d3 x.

L= (5.3) ji j 16 k Здесь R – скалярная кривизна трехмерного пространства.

118 Динамика пространства Введем импульсы j = (µi j µs ) /2.

i i s j Уравнения динамики (вариации действия по шести компонен там метрического тензора) проще всего вывести в инерциальной системе (V i = 0), а затем переписать в общую неинерциальную систему с помощью инвариантных производных по времени.

Варьируя действие по шести компонентам пространственной метрики, получим шесть уравнений динамики i j i 8 k kl i (µl µk µk µl ) Qi, = j Gj + 4 (5.4) kl j t 4 2 c где µij = ij /(2 c), Gi – тензор Эйнштейна пространства (трех j мерного), а Qi – внешний ток, получающийся вариацией действия j прочей (вложенной) материи по метрическому тензору простран ства – внешний тензорный ток.

В произвольной неинерциальной системе производная по вре мени заменяется на инвариантную, а у поля µij восстановлен вид (5.2).

i j qj = s (V s j ) + V i,s j V s,j s + i i s i (5.5) t i 8 k kl i (µl µk µk µl ) Qi.

+j Gj + kl j 4 2 c Вариация по трем компонентам поля скоростей V i дает три уравнения связи:

1i 1 1i ij j t + Rij V i + (Vi,j Vj,i ) = Jj.

(5.6) 2 J – внешний источник. Эти уравнения линейны по скоростям.

Если пространство евклидово и статическое, то уравнения свя зи совсем просты:

rot rot V = 0.

5.3. Гамильтониан Гамильтониан стандартным путем получается из лагранжиа на:

c ij ij d3 x L = H= 8 k 5.4. Локальное пространство-время в ТГВ c4 µi µj (µj )2 + µi V;

i µi V;

j R j j = d3 x. (5.7) ji j i j 16 k Важной его особенностью является знаконеопределенность – плот ность энергии может быть как положительной, так и отрицатель ной.

Если наложить еще одно (десятое) условие – равенство нулю плотности энергии, то есть рассматривать подмножество решений с нулевой плотностью энергии, – то эти (уже десять) уравнений совпадают с десятью уравнениями Эйнштейна Общей теории от носительности (ОТО) (см. далее).

Основной динамической переменной в ТГВ является шести компонентный метрический тензор трехмерного пространства. В нем можно выделить конформный множитель, а остальные ком поненты определяют анизотропию пространства. Именно конформ ная компонента дает отрицательный вклад в кинетическую энер гию.

5.4. Локальное пространство-время в ТГВ Специальная теория относительности как теория бесконечно малой окрестности движущегося наблюдателя прекрасно вписы вается в ТГВ. Она накладывает свои законы не на конфигурацию пространства, а лишь на динамику тел (точнее – материальных точек), движущихся в уже определенном пространстве.

Наряду с глобальным временем, в котором происходит раз витие мира в целом, у движущегося наблюдателя события раз виваются в его локальной системе в собственном времени (“мест ное время” Лоренца), в инерциальной системе выражаемого через метрику пространства и скорости движения xi. В системе единиц c = 1:

d = dt 1 ij xi xj, а в неинерциальной системе – через поле скоростей:

1 ij (xi V i )(xj V j ).

d = dt 120 Динамика пространства Это выражение можно представить в четырехмерном виде, объединяя время и пространство в единое четырехмерное мно гообразие с метрикой (скорость света c = 1):

g00 = 1 ij V i V j ;

g0i = ij V j ;

gij = ij. (5.8) Обратный метрический тензор этого четырехмерного много образия g 00 = 1;

g 0i = V i ;

g ij = V i V j ij. (5.9) Важнейшим здесь является первое выражение g 00 = 1. (5.10) Это основное структурное соотношение глобального времени в четырехмерном представлении. Хотя пространство и время мож но объединить в четырехмерное многообразие, в котором можно проводить произвольные преобразования пространственных ко ординат и времени, в любых переменных всегда скрыта возмож ность возврата к глобальному времени, приведения метрики к ха рактерному cтруктурному соотношению (5.10).

Для свободно движущейся частицы подстановка в соотноше ние (4.24) выражений для энергии (4.28) и импульса (4.26) как производных от действия приводит к уравнению Гамильтона – Якоби при метрике пространства ij и наличии поля скоростей:

1 S S S S +Vi i ij = m2 c2. (5.11) c2 xi xj t x Из (5.11) следует выражение для энергии:

S S m2 c2 + ij Pi Pj + V i Pi ;

H= =c Pi =. (5.12) xi t Отсюда определяются уравнения Гамильтона:

c ij Pj H xi = +Vi = + V i;

(5.13) Pi m2 c2 ij + Pi Pj 5.5. Сферическая масса c Pk Pl kl,i V k H Pi = i = Pk.

xi x m2 c2 + ij Pi Pj В этом выражении примечательно движение с равным нулю им пульсом. Если все компоненты Pi = 0, то и производная по вре мени от импульса равна нулю. При этом изменение координаты определяется дифференциальным уравнением первого порядка:

xi = V i.

(5.14) Такое движение назовем сопутствующим. Подставляя Pi = 0 в (5.12), получаем, что энергия сопутствующего движения E = m c равна энергии покоя. Собственное время такой частицы совпадает с глобальным.

Введя S = m c s и используя элементы четырехмерной метри ки из (5.9), уравнение приводится к общековариантному виду, не содержащего массу:

1 s s s s +Vi i ij = 1. (5.15) c2 xi xj t x Это значит, что траектория свободной частицы не зависит от мас сы.

5.5. Сферическая масса Рассмотрим сферически-симметричное тело массы M. Для опи сания динамики материальных точек в окрестности этого тела введем бесконечно малые инерциальные системы, которые будем реализовать в свободно падающих по радиусу лабораториях (пы линках);

в каждой из них – метрика Минковского ds2 = c2 dt2 dx2 dy 2 dz 2, (5.16) где d означает отсутствие глобальной соответствующей коорди наты и изменение ее возможно только в бесконечно малой обла сти. Отметим, что в выражении (5.16) это ограничение наложено лишь на пространственные координаты. По времени лаборатория 122 Динамика пространства (локальная инерциальная система) может иметь конечную (хотя, может быть, ограниченную) протяженность.

z x V Связывая теперь локальные координаты в лаборатории с глобальными сферическими координатами в окрестности тяготеющей массы dx = r d;

dy = r sin d;

dz = dr V dt, (5.17) и подставляя их в (5.16), получаем выражение для метрики:

ds2 = (c2 V 2 ) dt2 + 2 V dr dt (dr2 + r2 (d2 + sin 2 d2 )). (5.18) Чтобы переменная t тоже была глобальной, нужно синхронизиро вать часы в различных лабораториях. Для этого нужно, чтобы на бесконечности, где пространство-время плоское, их скорости рав нялись нулю – тогда эта переменная отсчитывает время и наблю дателей, покоящихся на бесконечности, и в свободно падающих лабораториях. Из закона сохранения энергии mV 2 m M =0 (5.19) 2 r находим 2M rg V= =c. (5.20) r r Здесь возникла константа rg = 2 M/c2 – гравитационный радиус.

Построенная глобальная система имеет общее физическое вре мя:

ds2 = c2 V 2 dt2 + 2 V dt dr dr2 r2 (d2 + sin2 d2 ). (5.21) 5.6. Световые лучи У обратного метрического тензора g 00 = 1;

g 0r = V /c. (5.22) Таким образом, в задаче время является глобальным. Сече ния t = const образуют абсолютное пространство. В получен ной метрике это плоское евклидово пространство. Радиальное по ле скоростей в этом пространстве, зависящее только от радиуса, тождественно удовлетворяет уравнениям связи, так как его ротор равен нулю. В уравнениях динамики (5.5) не равны нулю q1 = V (r) V (r) + 2rV (r) ;

(5.23) q2 = q3 = r rV (r)2 + V (r) 2V (r) + rV (r) 2.

Векторное поле (5.20) обращает эти выражения в нуль, то есть является вакуумным решением, которое мы будем называть мет рикой Пэнлеве – см. стр. 197.

Плата за глобальное время – недиагональность метрики. Но глобальное время – это объективная сущность, а диагональность метрики – элемент удобства исследователя.

5.6. Световые лучи Смысл той или иной метрики определяется по влиянию ее на движущиеся частицы, динамику полей. Проще всего изучить в метрике (5.21) динамику световых лучей.

Для краткости описания в дальнейших вычислениях мы будем полагать скорость света равной единице, так что метрика (5.21) примет вид ds2 = (1 V 2 ) dt2 + 2 V dr dt (dr2 + r2 (d2 + sin2 d2 )). (5.24) Распространение световых лучей описывается уравнением эй конала (уравнением Гамильтона–Якоби для частиц с нулевой мас сой):

= k ;

g k k = 0. (5.25) x 124 Динамика пространства Обозначим = ;

= kr ;

= k.

t r В плоском пространстве с радиальным полем скоростей V урав нение эйконала принимает вид:

k ( V kr )2 = kr +. (5.26) r Отсюда выражается зависисмость от волновых чисел:

k = kr + + V kr. (5.27) r Уравнение эйконала однородно по волновым числам и, если метрика стационарна, то траектории лучей не зависят от частоты и для определения траекторий, введя относительные волновые числа k = kr /, L = k / и разделив уравнение (5.26) на 2, получим уравнение, связывающее только волновые числа L (1 V k)2 = k 2 +. (5.28) r Если мы интересуемся траекторией световых лучей, а не раз верткой их во времени, нужно выразить радиальное волновое чис ло V ± 1 L2 (1 V 2 ) r2 + L2 (1 rg /r) rg r r k= =, 1V2 r rg (5.29) а его производная по L определит производную угла по радиусу:

L/r d k = =. (5.30) 1 (1 V 2 ) L2 /r dr L Подставив сюда радиальное поле V = rg /r, получим дифферен циальное уравнение светового луча:

dr r (r3 L2 r + rg L2 ).

= (5.31) d L 5.6. Световые лучи Выражение под корнем является полиномом четвертой степе ни по радиусу, который можно переписать через его корни:

r (r3 L2 r + rg L2 ) = r (r r1 )(r r2 )(r r3 ).

Раскрыв правую часть, находим соотношения между корнями и коэффициентами уравнения:

r1 r2 + r1 r3 + r2 r3 = L2 ;

r1 r2 r3 = rg L2.

r1 + r2 + r3 = 0;

Отсюда сразу находится r3 = (r1 + r2 ). Обозначив теперь r1 + r2 u, r1 r2 v, находим u3 rg u v = u2 L2 ;

L2 = ;

v=. (5.32) rg + u rg + u Корни r1, r2 находятся из решения квадратного уравнения r2 (r1 + r2 ) r + r1 r2 = 0;

r2 u r + v = 0.

u 3rg 1 u u2 4 v) = (u ± 1± r12 =.

2 2 u + rg Точки поворота наблюдаются лишь при u 3 rg, то есть при значениях (L/rg )2 27/4. При приближении u 3 rg луч света делает вокруг тя готеющей массы все большее число оборотов.

При меньшем значении момента происходит захват луча гра витирующим телом. Проследим за движением волновых пакетов при этом захвате. Из выражения частоты через волновые числа (5.27) выражаются радиальная и угловая скорости движения па кета:

kr rg v=r= + = vk + V ;

(5.33) r 2 + k2 r L 126 Динамика пространства L ==. (5.34) L + k2 r r Радиальная скорость состоит из двух слагаемых: vk, опреде ляемой волновыми числами, модуль которой не больше единицы (скорости света), и полем скоростей, направленным от центра и при r = rg (горизонт) принимающим значение единица. Каждо му значению частоты и момента L соответствуют два значе ния волнового числа k1 и k2 (5.29). Пакеты с первым значени ем имеют vk положительным, то есть на больших расстояниях удаляются от центра. У пакетов со вторым значением vk отрица тельно – на больших расстояниях они приближаются к центру.

При подходе к гравитационному радиусу k2 стремится к, а скорость vk 1. Но при сложении со скоростью векторного по ля V результирующая скорость оказывается равной нулю – пакет перед гравитационным радиусом останавливается, не проходя под него. Это очевидно, так как при r rg скорость векторного по ля V = rg /r больше единицы и под гравитационным радиусом пакет не только не может двигаться во внутрь, но может только двигаться наружу.

Два волновых числа на гравитационном радиусе имеют значе ния:

k1 = ;

k2 =.

Для пакета, подходящего к гравитационному радиусу снару жи, на самом гравитационном радиусе и радиальная и угловая скорости равны нулю, в то время как для пакета, движущегося изнутри, rg 2L r|r=rg = 1 + ;

|r=rg =.

2 4 L2 rg + 4 L rg + rg Представляет интерес и движение вблизи центра (r 0) L k1,2 = ±, rg r но для обоих этих значений r = rg /r.

5.6. Световые лучи Проследим за радиально движущимися пакетами. Для них уравнение эйконала (5.26) выглядит очень просто:

( V k)2 = k 2 ;

= k (±1 + V ). (5.35) d Групповые скорости v = для пакетов, движущихся от цен dk тра v+ = 1 + rg /r, а к центру v = 1 + rg /r. Перемещение пакетов с течением времени определяется интегралами:

r dr t+ = = 1+ rg /r r rg + r = (r r0 ) 2 rg r r0 + 2 rg log (5.36) rg + r r dr t = = 1 + rg /r r r0 rg = (r0 r) + 2 rg r0 r + 2 rg log (5.37) r rg Из этих выражений видно, что волновой пакет, движущийся наружу между двумя точками с конечным радиальным расстоя нием – не важно над гравитационным радиусом или под ним, – проходит его за конечный промежуток времени. Пакетам, движу щимся к центру, для достижения гравитационного радиуса тре буется бесконечное время.

5.6.1. Отклонение светового луча Солнцем Для вычисления наблюдаемых эффектов заменим перемен ную r на обратную:

2M rg rg k ;

dx = x= dr;

= b.

2r r c r k 128 Динамика пространства Тогда уравнение траектории (5.30) представится в виде:

dx d =. (5.38) b2 (1 x) x В отличие от уравнения (5.48) здесь всего один параметр b2 и, следовательно, всего один параметр r0 – наименьшее приближе ние луча к массивному телу – определяет корень x0 = rg /r0, при котором кубический многочлен обращается в нуль:

b2 = (1 x0 ) x2. (5.39) Подстановка этого выражения для b2 в (5.38) приводит к выра жению dx d =. (5.40) (x0 x)(x + x0 x2 x x0 x2 ) Например, для Солнца x0 = 2.12 106, а x x0, и подкорен ное выражение можно разложить в ряд:

x x2 + x x0 + x 1 =2 1+ dx = + 2 x0 = 2 (x + x0 ) x2 x 4M =+. (5.41) R c Достаточно хорошо совпадающее с этим выражением значе ние угла отклонения света, проходящего вблизи Солнца, в году во время полного солнечного затмения замерила экспедиция Эддингтона.

5.6.2. Гравитационное красное смещение В уравнении эйконала (5.26) частота света является констан той на траектории вследствие стационарности метрики.

Фотон проявляет себя во взаимодействии, например, с атома ми. Нужно вести речь не об энергии фотона, а о его энергии в 5.7. Движение пробных тел локальном пространстве–времени того или иного тела (наблюда теля). На наблюдателя действует частота света в его собствен ном времени t (см., например, [23]):

d = c u = c u k.

= (5.42) dt x Для наблюдателя, покоящегося в гравитационном поле в точке с потенциалом, где g00 = 1 + 2 /c2, отлична от нуля только компонента четырехмерной скорости u0, вычисляемая из условия нормировки g u u = 1;

g00 (u0 )2 = 1;

u0 = 1/ g00, так что выражение (5.42) приводит к наблюдаемой частоте = c u0 k0 = =. (5.43) 1 + 2/c2 1 2 M/(c2 r) Именно такой сдвиг частоты замерили Паунд и Реббка.

Частота света, измеряемая покоящимся наблюдателем, опре деляется только компонентой четырехмерной метрики g00.

5.7. Движение пробных тел Общая методика описания движения опирается на уравнение Гамильтона –Якоби (5.15).

Движение происходит по экваториальной поверхности симмет рии, проходящей через центр и вектор начальной скорости дви жущегося тела. Выбрав сферические координаты, можно считать, что оно происходит при неизменном значении угла = /2 с рав ным нулю значением компоненты импульса p.

После обозначения p l, p0 = e уравнение Гамильтона– Якоби принимает вид:

l2 2M rg (e + V pr )2 p2 = 1;

V 2 = 2 =. (5.44) r r2 cr r Из уравнений Гамильтона следует постоянство p0 = const (за кон сохранения энергии) и l = p = const (закон сохранения мо мента). Выразив теперь из (5.44) импульс pr e2 (1 V 2 )(1 + l2 /r2 ) V e ± pr =, (5.45) 1V 130 Динамика пространства находим зависимость от r, определяющую траекторию движе ния (принцип Мопертюи):

l/r d pr = =. (5.46) dr l p2 (1 rg /r) (1 + l2 /r2 ) Этот вид уравнения может быть упрощен заменой радиальной переменной и константы момента:

r = rg /x;

l = rg /b. (5.47) После такой замены зависимость угла от переменной x, связан ной с радиусом, определяется дифференциальным уравнением:

dx d =. (5.48) x2 (x 1) + b2 (e2 + x 1) В знаменателе стоит кубический полином, который можно пред ставить как произведение одночленов с корнями x1, x2, x3 :

x3 x2 + b2 x b2 (1 e2 ) = (x x1 ) (x x2 ) (x x3 ) = = x3 (x1 + x2 + x3 ) x2 + (x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 ) x (x1 x2 x3 ).

Сравнивая коэффициенты этого многочлена при одинаковых сте пенях x в левой и правой частях, находим:

x1 + x2 + x3 = 1.

Третий корень выражается с помощью теоремы Виета через пер вые два, поэтому все параметры орбиты выражаются через x1 и x2 :

b2 = x1 + x2 x2 x1 x2 x2 ;

1 (1 x1 ) (1 x2 )(x1 + x2 ) e2 =.

x1 + x2 x2 x1 x2 x 1 5.7. Движение пробных тел Но корни (x1, x2 ) – это точки максимального (r1 ) и минимального (r2 ) радиусов: x1 = rg /r1 ;

x2 = rg /r2. Именно их удобнее зада вать в качестве параметров орбит. Через них выражаются момент и энергия (напомним, rg – гравитационный радиус):

rg r1 r l2 = 2;

(5.49) r1 r2 (r1 + r2 ) rg (r1 + r1 r2 + r2 ) (r1 + r2 ) (r1 rg )(r2 rg ) e2 = 2. (5.50) r1 r2 (r1 + r2 ) rg (r1 + r1 r2 + r2 ) На круговых траекториях r1 = r2 = R. Энергия и момент на них:

rg R2 R rg l2 = ;

e=. (5.51) 2 R 3 rg R (R 1.5 rg ) Дифференциальное уравнение (5.48) может быть представле но как выражение для энергии переменной x, где угол играет роль времени:

b2 (e2 1) 1 dx (x x3 b2 x) = h= +.

2 d 2 Точкам равновесия этого уравнения соответствуют круговые ор биты.

В отличие от решенной Ньютоном задачи Кеплера, где задан ному моменту l соответствует единственная траектория, в реля тивистской задаче их две:

3 2 b2 1 3 b h =x x + = 0;

x12 =.

x 2 2 При этом на круговой орбите 2 R 3 rg rg b2 = 1 3 b2 = 1 ;

.

R2 R В классическую круговую орбиту радиуса R переходит реше ние с минусом:

1 rg 2 ;

l2 = M R.

R 2l 132 Динамика пространства Устойчивость круговых орбит определяется второй производ ной:

2 h rg 2 = | ;

12 = ± 1 3. (5.52) 2x x R Отсюда видно, что первая точка устойчива, а вторая неустойчи ва. При этом период колебаний (по углу) вблизи классической круговой орбиты равен 2 2 3M T = = 1+. (5.53) rg R R 5.7.1. Вращение перигелия Меркурия Из выражения (5.53) можно определить, например, знамени тое вращение перигелия Меркурия на 43 угловые секунды в сто летие.

Если пренебречь малой добавкой, то период радиальных коле баний в точности равен 2 – окружность деформируется в эллипс с малым эксцентриситетом. Учет добавки говорит о том, что для завершения радиального колебания нужен дополнительный угол на каждый поворот:

v 6M = = 6 2, (5.54) R c2 c где v 2 R/T – скорость движения планеты по круговой орбите радиуса R с периодом T.

Подставим параметры орбиты Меркурия:

• период обращения вокруг Солнца T = 88 сут. 7 600 000 сек.

• радиус орбиты R 58 млн. км = 5.8 1010 м;

• средняя скорость движения по орбите v = 48000м/сек.;

• v/c = 1.6 104 ;

• угол поворота на каждый оборот в секундах = 6 3600(v/c)2 = 0.1 сек./об;

5.7. Движение пробных тел • за столетие Меркурий делает 414 оборотов, за которые набе гает угол поворота оси на 414 0.1 = 41.4 угловых секунды.

Эта значение хорошо совпадает с величиной, вычисленной Левер рье.

Выражение (5.53) для изменения угловой переменной оказы вается верным и при достаточно малых радиусах (не очень малых x0 – существенно релятивистское движение) – лишь бы малой бы ла разность (x2 x1 )/2.

Изучим и более общие решения. Корни подкоренного выраже ния (5.48) расположим в порядке x1 x2 x3. Так как подко ренное выражение должно быть положительно, если оно имеет вид f (x) = (x x1 )(x x2 )(x x3 ), (5.55) то совершается колебание x1 x x2, то есть между двумя меньшими корнями. При стремлении x1 x2 орбита перехо дит в устойчивую круговую. Если же x3 стремится к x2 (x3 = x2 + h;

h 0), то x2 также определяет круговую орбиту, одна ко малейшее уменьшение x x2 приводит к колебаниям между x1 и x2 – неустойчивая круговая орбита. Условие устойчивости круговой орбиты x3 x2.

Так как x1 + x2 + x3 = 1, то предельной устойчивой круговой орбитой является орбита с x1 = x2 = x3 = 1/3, то есть Rmin = 3 rg.

Круговые орбиты с радиусом 1.5 rg R 3 rg неустойчивы.

На круговых орбитах (r1 = r2 = R) выражения (5.51) опреде ляют момент количества движения и энергию:

rg R2 R rg l2 = ;

e=.

2 R 3 rg R (R 1.5 rg ) Энергия минимальна на предельной устойчивой орбите R = 3 rg, на которой она равна 8/9 m c2, где m – масса движущегося те ла. В знаменателе подкоренного выражения энергии стоит мно житель (R 1.5 rg ), определяющий, что при R 1.5 rg круговых орбит не существует. При уменьшении радиуса к значению 1.5 rg относительная энергия e = E/(m c2 ) стремится к бесконечности.

134 Динамика пространства При конечных энергиях она достижима лишь при m = 0 – для светового луча.

Общие финитные траектории имеют вид вращающегося эл липса и в общем случае незамкнутые. При малых значениях мак симального и минимального радиусов угол вращения значительно увеличивается. Например, при орбите, близкой к круговой, при менимо выражение (5.53):

=.

1 6 M/(R c2 ) То есть угол поворота может быть любой величиной от 2 до бесконечности. Среди этих траекторий есть и замкнутые, вот, на пример:

На осях указаны относительные расстояния от центра.

А вот примеры граничных траекторий:

Круговые орбиты с радиусом 1.5 rg R 3 rg неустойчи вы. Приведенные графики можно рассматривать и как уход с 5.7. Движение пробных тел неустойчивой орбиты, так и наоборот, как асимптотическое па дение на нее с бесконечной накруткой угла.

Условие того, что траектория является граничной, такое же, как и для неустойчивой окружности: x3 = x2 ;

x1 + 2 x2 = 1. От сюда 1 x1 2 rg r x2 = ;

r2 =. (5.56) r1 rg В частности, для частицы, приходящей из бесконечности (r1 = ), радиус предельной круговой орбиты равен r2 = 2 rg.

5.7.2. Радиальное движение Положив в (5.44) момент l равным нулю, мы получим гамиль тониан одномерного радиального движения:

2M m2 c2 + p2 + p V ;

H=c V=. (5.57) r Сдедует заметить, что в выражении для поля скоростей мы берем знак плюс, хотя уравнениям статического поля равноценно удо влетворяет и знак минус перед корнем. Однако, они становятся не равноценными в расширяющемся Мире (см. стр. 167).

Уравнение для радиальной скорости:

H pc r= = + V. (5.58) m2 c2 + p p При этом зависимость импульса p от радиуса можно найти из закона сохранения энергии.

Чтобы не загромождать изложение формулами, рассмотрим сначала радиальное движение частиц, имеющих на бесконечности нулевую кинетическую энергию (полная энергия E = m c2 ). Тогда p определяется радиусом (через поле V ):

(m c2 p V )2 = m2 c4 + p2 c2 ;

p2 (c2 V 2 ) + 2 p m c2 V = 0.

136 Динамика пространства Отсюда находятся два значения радиального импульса:

2 m V p1 = 0;

p2 =.

V 1 c Первый корень после подстановки в (5.58) дает простое выра жение для скорости частицы, движущейся от центра:

1/ dr 2M M t u= =V = ;

r=. (5.59) dt r Она может свободно двигаться наружу от центра до бесконеч ности.

Второй корень подстановкой в (5.58) определяет дифференци альное уравнение V 2 c2 rg r rg dr = u= =V 2. (5.60) V + c dt r r + rg Здесь параметр rg – гравитационный радиус, на котором V 2 = c2 :

2M rg =. (5.61) c Это значение является особой точкой в дифференциальном урав нении релятивистского движения (5.60).

Из (5.60) видно, что на больших расстояниях (r rg ) частицы движутся к центру (к гравитационному радиусу). Под гравитаци онным радиусом частицы движутся наружу – также к гравита ционному радиусу.

Интегрированием находим время ( = c t) достижения опреде ленного значения радиуса:

2 r3/2 r + rg = 0 4 r rg + 2 rg ln.

r rg 3 rg И под гравитационным радиусом, и над ним частицы движутся к гравитационному радиусу, но никогда его не достигают.

5.7. Движение пробных тел Это важное заключение: никакого провала свободных частиц под гравитационный радиус при описании гравитации полем ско ростей не происходит.

Рассмотрим радиальное движение в собственном времени дви жущихся частиц. Собственное время движущейся частицы, пара метры которой мы отмечаем чертой сверху, определяется интер валом (в системе единиц c = 1):

d2 = (1 V 2 ) dt2 + 2 V dt dr dr2 = s = dt2 (1 V 2 + 2 V u u2 ) = dt2 (1 (u V )2 ). (5.62) В случае выполнения (5.59) u = V и d = dt – частица, дви s гаясь в метрике ПБ, совершает сопутствующее движение, и ее собственное время совпадает с глобальным.

В случае (5.60) V21 (1 V 2 ) 2 V 1 (u V )2 = uV =V 1 = ;

V2+1 1+V2 (1 + V 2 ) и собственное время выражается через глобальное следующим об разом:

1V2 r rg dt = dt = dt. (5.63) 1+V r + rg Уравнение движения (5.60) в собственном времени оказывается очень простым:

dr rg = V =.

dt r Интегрируя его, находим время уменьшения радиуса от r до r1 :

2 3/ (r3/2 r1 ).

t= 3 c rg В частности, гравитационный радиус из любой точки достигает ся за конечное собственное время, однако, в отличие от картины ОТО, в дальнейшем частица остается на гравитационном радиусе, так как под ним радиус возрастает.

138 Динамика пространства 5.7.3. Движение под горизонтом Из уравнения Гамильтона-Якоби l (e p V )2 + + p2 + 1 = 0;

(5.64) r выразив e через радиальный и угловой импульсы, построим га мильтониан l2 rg H = 1 + p2 + 2 + p. (5.65) r r Гамильтониан, в частности, определяет радиальную скорость:

dr H p rg = = + (5.66) p2 l2 /r dt p r 1+ + и угловую скорость:

H l == =2 ;

(5.67) 1 + p2 + l2 /r l r С другой стороны, из этого же уравнения (5.64) можно выра зить импульс как функцию энергии, момента и радиуса. Вслед ствие квадратичности уравнения получаются два решения:

rg l e2 1 + 1 e rg r r r2 r p1 = (5.68) r rg rg l e2 1 + r 1 e rg r r2 r p2 = (5.69) r rg В частности, при радиальном движении при e = 1, l = 0 импуль сы 2 rg r p1 = 0 и p2 =.

r rg Нас интересуют импульсы p1 и p2 вблизи горизонта r = 1:

(1 e2 )rg + l 2 e rg p1 |r=1 = p2 |r1 = ;

.

2 r rg 2 e rg 5.7. Движение пробных тел Подставив эти два значения в выражение для радиальной скоро сти (5.66), получим два выражения для прохождения горизонта при заданной энергии e и моменте l:

2 e r|p=p1,r=1 = ;

r|p=p2,r=1 = 0.

1 + e2 + l2 /rg Частицы с импульсом p1 из-под гравитационного радиуса прохо дят в область над ним с конечной скоростью. Частицы с импуль сом p2, двигаясь к горизонту либо сверху, либо снизу, лишь асимп тотически к нему приближаются.

Вращение частиц вокруг центра определяется вращательным моментом l. При прохождении гравитационного радиуса частица ми с импульсом p1 их угловая скорость конечна, а угловая ско рость частиц с импульсом p2 асимптотически стремится к нулю:

2el 1 |r=rg = 2 |r=rg = 0.

;

l2 + (e2 + 1) rg Под гравитационным радиусом величина радиального поля скоростей превышает скорость света и потому в этой области ра диус может только увеличиваться.

В частности, в окрестности нуля p12 = ±l/r для обеих мод rg l r= ;

=.

r r Вернемся к вопросу, оставленному на странице 135, о движе нии частиц, не имеющих предельной траектории или точки воз врата. Рассмотрим, например, тела, падающие из бесконечности (r1 = 0, e = 1). При этом квадрат момента связан с точкой r соотношением r2 rg l2 = 2, r2 rg откуда можно, наоборот, выразить r2 через момент:

l2 ± l l2 4 rg r2 =.

2 rg 140 Динамика пространства Предельное значение момента |l| = 2 rg. Тела с бльшим момен о том возвращаются на бесконечность, с меньшим – асимптотически падают на гравитационный радиус. С граничным значением мо мента – асимптотически приближаются к граничной окружности радиуса 2 rg, с бесконечным накручиванием угла.

Несмотря на необычность динамики под гравитационным ра диусом, она вполне определенна. Это движение тел в евклидо вом трехмерном пространстве с той лишь особенностью, что там невозможны стационарные движения, такие как движения по кру говым орбитам.

Эта динамика существенно отличается от картин, представ ляемых общей теорией относительности (см. далее), где под гра витационным радиусом царит полная фантастика: многосвязные миры, “кротовые норы”, попав в которые можно вернуться в свое прошлое, и пр.

5.8. Релятивистское замедление времени Компонента четырехмерной метрики g 00 равна единице, а с нижними индексами g00 = 1 ij V i V j = 1 V 2. Она определяет замедление собственного времени для покоящейся частицы ( = r 0) как при релятивистском движении со скоростью V :

V V 1 dt d = dt.

c2 2 c Это выражение указывает на анизотропность замедления собствен ного времени для движущихся частиц, так как сложение скоро стей проводится по векторным законам.

Например, на Земле при одной и той же величине скорости относительного движения замедление максимально для тел, дви жущихся вверх и минимально – для движущихся вниз.

Глава Космическая динамика 6.1. Астрономическая точность Высочайшим триумфом ньютоновской гравитационной карти ны мира стало открытие в 1846 г. восьмой планеты Нептун. Само существование ее и положение на небе (на определенный момент) было предвычислено по возмущениям, которые она вызывала в движении Урана. Эти загадочные отклонения, замеченные уже в конце XVIII в., пытались объяснять по-разному: одни допускали катастрофическое столкновение Урана с кометой, другие вновь начинали сомневаться в справедливости самого закона всемирно го тяготения. Высказывалась гипотеза и о более далекой планете.


Эту труднейшую небесно-механическую задачу решили незави симо и почти одновременно - сначала, в сентябре 1845 г., моло дой кембриджский математик Джон Кауч Адамс (1819-1892) (но его работа до 1850 г. из-за чрезмерной осторожности рецензента, королевского астронома Дж. Эри, не была опубликована), а ле том 1846 г.- французский астроном Урбен Жан Жозеф Леверье (1811-1877). По указанию последнего планета и была обнаружена 23 сентября 1846 г. берлинским астрономом Г. Галле всего в 52’ от расчетного места, как звездочка 8m. Имя для планеты было традиционно взято из греческой мифологии. [24] Это был триумф не только ньютоновой динамики. Так как она строится для движения тел в евклидовом пространстве, это бы ло и доказательством того, что пространство является с высокой точностью евклидовым даже в масштабе Солнечной системы.

Однако, изучая, как в случае с Ураном, другие несоответствия движения планет с теорией Ньютона, Леверье нашел аномалии и в движении самой близкой к Солнцу планеты – Меркурия. Как и 142 Космическая динамика положено по первому закону Кеплера, также выведенному Нью тоном из законов механики, Меркурий движется по эллипсу. Од нако за 300 лет со времен Тихо Браге, начавшему систематические наблюдения над Меркурием, большая полуось этого эллипса по вернулась приблизительно на 42 угловые секунды в направлении вращения планеты, что противоречит теории Ньютона, по кото рой эта полуось должна оставаться неподвижной.

Множество гипотез, прежде всего, о нахождении еще более близкой к Солнцу планеты пришлось отвергнуть, так как они не объясняли имеющихся расхождений, но создавали новые. В году Альберт Эйнштейн, вычислив поправки к Ньютоновым за конам движения, предписываемые только что созданной им Об щей теорией относительности, с великолепной точностью вычис лил наблюдаемую величину поворота орбиты Меркурия.

Казалось, что евклидова геометрия и ньютонова динамика с поправками от Общей теории относительности теперь уже доста точны для точного описания космической динамики.

Но к концу XIX века астрономы, благодаря созданию зеркаль ных телескопов с диаметром зеркала более метра начали изучать галактики. В 1916 году в США в обсерватории Маунт-Вильсон был введен в строй телескоп с диаметром зеркала 2.5 метра. Раз витие техники строительства телескопов привело к изучению га лактик. Оказалось, что Вселенная построена из множества хотя и случайно, но довольно равномерно рассыпанных галактик. И вот в наблюдаемом строении галактик, в галактических масштабах стали наблюдаться странности, не объясняемые ни ньютоновой механикой, ни Общей теорией относительности.

Из выражения энергии динамического пространства (5.7) вид но, что деформация пространства требует огромнейших энергий, определяемых множителем c4 /(16 k). Именно поэтому в ближай шей окрестности (размерами в Солнечную систему, Галактику) пространство является в высшей степени евклидовым. Однако в космических масштабах накапливаются достаточные энергии, чтобы оживить степени свободы пространства, чтобы оно не пред ставлялось как “унылая бесструктурная однородность”, о которой 6.1. Астрономическая точность с тоской писал еще Беркли, а как сложный динамический объект с наблюдаемым в космической динамике явлениями, “странными” с точки зрения физики в обычном евклидовом пространстве.

Различные физические степени свободы оживают на своих опре деленных масштабах: при разработке компьютерных микросхем никто не учитывает поле тяготения, ибо на столь малых мас штабах, за ничтожные отрезки времени его влияние на движение электронов в микросхеме ничтожно. Однако в масштабе комнаты поле тяжести уже существенно: “... упали со стола, упали и раз бились...” Эта компонента поля тяготения вплоть до масштабов солнечной системы действует как единственная. Но в масштабе галактик возникают уже вихревые поля скоростей, трактуемые сейчас в рамках ОТО как “темная материя”. Наконец, в масштабе всей Вселенной действует конформная компонента, приводящая к однородному расширению Мира в целом, на тот же манер объ ясняемая в ОТО как “темная энергия”.

Мы не будем здесь подробно описывать всю совокупность на блюдаемых “странностей” современной космической динамики, ко личество которых существенно возросло в самом конце прошлого и в начале нашего века вследствие существенного развития кос мической астрономии, за счет обилия данных, получаемых летаю щими космическими обсерваториями, днем и ночью передающи ми информацию о проявлении жизни различных частей звездного неба, прежде всего, в широчайшем диапазоне электромагнитных волн – от -излучения до радиоволн. Эти летающие обсерватории (общего назначения – “Хаббл”, “Чандра”, – специализированные – например, “Cassini”, “Huygens”,,“WMAP”, “Планк”, “Гершель” и другие) непрерывно передают информацию земным компью терам, устанавливающим корреляцию между этими сигналами, идентифицирующими космические объекты. Об этом написаны прекрасные обзоры.

Мы сосредоточим внимание на нескольких принципиальных явлениях, непонятных без включения в рассмотрение динамики пространства:

• Темная материя.

144 Космическая динамика • Темная энергия.

• Космическая синхронизация.

С точки зрения динамики пространства в глобальном времени все эти явления связаны со степенями свободы трехмерного про странства, в то время как в космической динамике, основанной на ОТО, они требуют введения каких-то новых, “темных” субстанций с неестественными свойствами.

Следует вообще отметить, что хотя все экспериментаторы, за нимающиеся космической динамикой, делают обязательные реве рансы в сторону общей теории относительности, отмечая, что она якобы является основой современной космологии, язык, на кото ром они ведут описание, начиная с первой работы Фридмана, – это динамика пространства (трехмерной сферы, трехмерного про странства Лобачевского) во времени (в глобальном времени, хо тя такой термин и не применяется) – “13 миллиардов лет назад” без указания наблюдателя, что недопустимо в ОТО. Правда по том, задним числом, чтобы не прогневить “самую совершенную теорию”, вводится некоторый наблюдатель, покоящийся относи тельно центра масс реликтового излучения, но какое он может оказать влияние на динамику Мира в целом? А если, например, мир замкнут – слегка деформированная трехмерная сфера, – где у нее центр масс? Если к введению такого наблюдателя применить методологию Маха, требующую изгонять из науки все выдуман ные конструкции, то такой наблюдатель и должен быть изгнан первым.

6.2. Векторная гравитация В предыдущей главе мы увидели, что пространство, в котором находится тяжелая масса остается плоским, а масса лишь создает поле скоростей (5.20). Динамика пространства, изменение со вре менем его метрики раскладывается на однородное расширение, рассмотренное далее на странице 156, и динамические отклоне ния метрики от однородной – это гравитационные волны. Расши 6.2. Векторная гравитация рение пространства дает очень малые поправки к наблюдаемой динамике (мы его подробнее рассмотрим позднее).

Астрономические наблюдения не обнаружили сколь-нибудь зна чительной кривизны пространства. Да и гравитационные волны – основное проявление динамики кривизны пространства – по ка остаются за пределами наблюдений. Потеря энергии двойных звезд за счет гравитационного излучения, обнаруженная Тейло ром и Халсом в результате десятилетних наблюдений (см. [25]), го ворит о том, что существенная часть астрофизики прекрасно опи сывается плоским пространством. Короче, наиболее сильно влия ет на динамику космических частиц и полей поле скоростей.

Для практической работы было бы полезно построить прибли жение от теории глобального времени, в котором пространство остается плоским и единственным полем, ответственным за эф фекты гравитации, остается векторное поле скоростей (см. [26]).

Четырехмерная метрика такого пространства-времени:

1 V2 /c2 Vx /c Vy /c Vz /c Vx /c 0 (g ) = (6.1) Vy /c 0 Vz /c 0 с детерминантом, равным минус единице. Эта метрика определяет интервал ds2 = (c2 V2 ) dt2 + 2 (V · dr) dt dr2. (6.2) Обратный метрический тензор (в системе единиц c = 1):

1 Vx Vy Vz Vx Vx 1 Vx Vy Vx Vz (g ) =. (6.3) Vy Vx Vy Vy2 1 Vy Vz Vy Vz Vz2 Vz Vx Vz У обратного метрического тензора компонента g 00 = 1.

146 Космическая динамика 6.3. Уравнение Эйлера в поле скоростей Гидродинамическое уравнение Эйлера v + (v ) v = p (6.4) t с первого взгляда не является инвариантным даже по отношению к переходу из одной инерциальной системы в другую. Действи тельно, если в таком виде оно выполняется в некоторой инерци альной системе K, то в системе K, относительно которой система K движется с постоянной скоростью V, уравнение Эйлера примет вид v + (v ) v = (V ) v p, (6.5) t отличный от (6.4).

Однако именно Эйлер заложил основы понятия инвариантная производная по времени, записав сначала в системе, связанной с некоторой частицей жидкости, второй закон Ньютона, затем за метив, что при переходе в движущуюся систему функция f (r, t) переходит в функцию f (r, t) = f (r(t), t), так что ее производная по времени в исходной системе выражается через производную по времени в движущейся системе:

f f = + (v ) f. (6.6) t t Именно из-за этого появилась квадратичная по скоростям до бавка в уравнении (6.4). Поэтому производную по времени в урав нении (6.5) нужно заменить на эйлерову производную, что экви валентно добавлению в левую часть слагаемого (V ) v, взаимно уничтожающегося с появившимся аналогичным слагаемым в пра вой части, что восстанавливает исходный вид уравнения Эйлера (6.4) уже в движущейся системе. Таким образом, в уравнении Эй лера производная по времени – не просто частная производная, но некий оператор – производная по времени в исходной системе.


Однако ее еще нельзя назвать инвариантной производной по времени по двум причинам. Во-первых, она является инвариант ной только по отношению к постоянной и однородной скорости 6.3. Уравнение Эйлера в поле скоростей перемещения относительно исходной инерциальной системы. Так, при рассмотрении динамики жидкости во вращающейся системе с неоднородным полем скоростей V = r приходится из фи зических соображений, “руками”, вводить кориолисово ускорение (см., например, [27]). Во-вторых, эйлерово преобразование произ водной по времени справедливо при любом поле скоростей толь ко для скалярных функций, а в преобразовании тензорных полей нужно учитывать их Ли-вариацию, связанную с преобразованием компонент поля при преобразовании координат.

Ковариантное уравнение Эйлера для гидродинамического по ля скоростей v(r, t) в неинерциальной системе, относительно ко торой инерциальная имеет поле скоростей V(r, t), должно выра жаться через инвариантную производную по времени от поля ско ростей относительно инерциальной системы (3.7), определяемого разностью v(r, t) = v(r, t) V(r, t), при этом уравнение Эйлера принимает вид:

Dt v + ( ) v = v p.

Левая часть этого уравнения раскрывается так:

v V ) v (v ) V + ((v V) (v V)) + (V = t t v V + (v ) v 2 (v ) V + (V ) V =.

t t Мы приходим к ковариантному виду уравнения Эйлера, при менимому с любым полем скоростей и в любой системе коорди нат с учетом того, что пространственные производные векторов в выбранной метрике должны быть ковариантными, как это пред писывается в римановой геометрии:

v 1 V ) v 2 (v )V = + (v ) V + (V p+. (6.7) t t При однородном и постоянном поле скоростей все производные поля V исчезают и уравнение (в любой инерциальной системе) совпадает с (6.4).

148 Космическая динамика Во вращающейся системе V = r, поэтому [ r] ) V = v;

) V = [ r] = (v (V, и уравнение Эйлера принимает известный вид [27] с автоматиче ски полученной поправкой на кориолисово ускорение:

[ r] v ) v 2 [ v] = p + (v. (6.8) t В случае зависимости угловой скорости от времени к правой части добавится r.

Сильные вихревые поля, видимо, возникают во вращающихся галактиках.

6.4. “Темная материя” Гипотеза о существовании “темной материи” – некоторого непо нятного, невидимого вещества – была выдвинута еще в двадца тые годы прошлого века, когда начали изучать вращение нашей и других галактик. Позже ее “существование” было обнаружено в скоплениях галактик.

Наиболее заметной особенностью галактик является их вра щение. Около половины всех галактик являются представителя ми так называемых, спиральных галактик. Спектроскопическими методами надежно доказано, что спиральные галактики враща ются, о чем свидетельствует и их вид.

Установлено, что в спиральных галактиках звезды действи тельно движутся по круговым орбитам вокруг центра галактики.

Однако должны быть огромные центростремительные силы для удержания звезд на круговых орбитах, но тяготеющей массы ве щества в галактиках, по оценкам астрономов, явно не хватает для создания таких гравитационных сил.

Даже если допустить, что в центрах спиральных галактик на ходятся массивные черные дыры – очень модное допущение, – то скорости звезд к периферии галактики должны достаточно быст ро убывать, что противоречит наблюдениям.

6.4. “Темная материя” Для удержания на круговых орбитах периферийных звезд в соответствии с формулой Гюйгенса (1.2) практически в каждой спиральной галактике вещества должно быть раз в пять больше, чем оцениваемая видимая масса. Хотя сами методики оценки масс допускают 100-процентные погрешности, несоответствие законов динамики имеют в разы большие погрешности и только в одну сторону – в сторону нехватки массы.

Гипотеза о существовании “темной материи” была выдвину та еще в двадцатые годы XX в. Позже ее “существование” было обнаружено в скоплениях галактик, о чем свидетельствовали ско рости отдельных галактик. В 30-е годы Фриц Цвикки провел на блюдения относительных скоростей галактик в скоплении Волос Вероники и получил такой же непонятный результат: наблюда емой массы (полученной по суммарным светимостям галактик и их красному смещению) недостаточно для удержания галактик, движущихся с замеренными скоростями. Но этот факт как бы подтверждал предыдущий: просто галактики раз в пять массив нее, чем это замеряется по светящейся массе за счет все той же “темной материи”.

Как выходить из подобных ситуаций, научились несколько столетий назад (теплород, электрические флюиды и пр.). Этот дефицит и назвали “темной материей”. Масса в галактике долж на быть раз в пять больше, чем масса ее звезд, за счет сосредо точенной в ней “темной материи”. Только что созданная общая теория относительности не нашла в четырехмерной метрике ди 150 Космическая динамика намических переменных для объяснения обнаруженных явлений и покорно согласилась с “темной гипотезой”.

Но и в Нашей Галактике, в Солнечной системе она должна бы присутствовать. Нет. Динамика в самой Солнечной системе идет так, как будто никакого не то что обилия, а вообще присутствия какой-либо посторонней материи нет.

“Свыше 99.8% массы Солнечной системы заключено в Солнце, а на все планеты остается менее 0.2%. Общая масса комет, асте роидов, спутников и метеоритов составляет менее 0.001%. [28]” Леверье открыл Нептун и вращение перигелия Меркурия. Но он не знал, что сделал еще одно важное открытие – доказал от сутствие в Солнечной системе “темной материи”: массы, так или иначе возникающие в Солнечной системе, приводят к сбою движе ния планет от расчетных орбит, что сразу замечается астронома ми. Наличие значительного количества “темной материи” привело бы к полному разнобою в движении планет.

Все это видится как проблема, когда, в соответствии с ОТО, вся динамика пространства связана только с веществом. В ТГВ решения с искривленным пространством могут существовать во обще без вещества, а звезды могут служить лишь визуализатора ми вихрей пространства: по первому закону Ньютона, если звезд мало и они слабо влияют друг на друга, звезда вообще покоится относительно пространства, закрученного в “вихрь”. Вращаются не звезды относительно пространства, а само пространство в се бе, вовлекая в это вращение почти покоящиеся относительно него звезды.

Напомним, что сопутствующее движение происходит вдоль поля скоростей. В случае осесимметричного вихревого поля – это движение по окружностям, не требующее каких-либо центростре мительных сил. Мы смотрим на прекрасный земной пейзаж: ле сок, хуторок с домиками, шоссе, по которому мчатся автомобили, лужок, на котором пасутся коровы и овцы. Но вдруг небо темнеет, приближается вихрь, втягивающий в себя и дома, и автомобили, и коров, и овец. Это торнадо.

6.4. “Темная материя” Вряд ли кто-либо будет строить динамику торнадо, исходя из сил взаимодействия между коровами, автомобилями и деревьями.

Теорией торнадо занимаются гидроаэродинамики, прежде всего создавая математическую модель идеального вихря. То, что в тор надо попала корова, слабо искажает рассчитанные поля скоростей и давлений. Но суть торнадо – в аэродинамике.

Если принять во внимание динамику пространства, то галак тические вихри – это вихри самого пространства, лишь визуа лизируемые звездами, как пыль и коровы, захваченные торнадо, делают его видимым.

6.4.1. Космические вихри В задаче о космических вихрях основной динамической пере менной оказывается поле скоростей. Метрика стационарна, осе симметрична и ее можно привести к виду:

dl2 = ew(r,) (dr2 + r2 d2 ) + r2 sin2 d2. (6.9) Поле абсолютных скоростей, также зависящее от r и, – поле вращения V = (r, ).

Кинетическая энергия c2 r4,2 + sin3 d dr T=, (6.10) r r 32k определяется только вихревым полем и не зависит от метриче ской функции w.

152 Космическая динамика Так как вихревое поле входит только в кинетическую энергию, то уравнение для него – это вариационное уравнение с функцио налом (6.10):

4,rr +,r + 2 (, +3 ctg, ) = 0. (6.11) r r Замечательно, что это линейное дифференциальное уравнение второго порядка не зависит от метрической функции w(r, ), ко торое, наоборот, определяется полем :

r,2 r2,2 2 ctg r,r, sin4 ;

w,r = r 2 c r ctg r2,2,2 2r,r, sin4.

w, = (6.12) r 2 c При выполнении этих соотношений, а также уравнения (6.11) на все уравнения динамики и связи удовлетворяются.

Плотность энергии теперь выражается только через производ ные от :

r2 c4 2 (r,r +,2 ) sin3.

= (6.13) 8k Несмотря на то, что в целом задача является нелинейной, пер вая (главная) задача – нахождение вихревого поля (r, ) – явля ется линейной и для нее выполняется принцип суперпозиции. То есть любое поле может быть представлено как суперпозиция некоторых базовых решений. Уравнения (6.12) для нахождения поля w(r, ) квадратичны по производным поля, и решение в целом не является суперпозицией частных решений.

Дифференциальное уравнение (6.11) однородно по радиусу r, поэтому его частные решения можно искать в виде степенного ряда Bl Al rl + l+3 Pl (cos ).

(r, ) = (6.14) r l= Дифференциальное уравнение для угловой части (где x = cos ):

(x2 1)Pl + 4 x Pl l (l + 3)Pl = 0. (6.15) 6.4. “Темная материя” Его решения при целых l – полиномы Гегенбауэра с = 3/2.

В частности, при l = 3 (как и при l = 0) решением уравнения (6.15) является константа, то есть в целом для уравнения (6.11) имеется монопольное решение 0 (r, ) =. (6.16) r Именно для этого решения вычислим энергию деформируемо го пространства.

6.4.2. Космические энергии Для представления о космических энергиях рассмотрим сле дующую задачу. Шар радиуса R равномерно вращается с угловой скоростью когерентно. Это значит, что на поверхности шара скорость вращения совпадает с полем абсолютных скоростей про странства, хотя организовать именно когерентное вращение очень непросто: ничто не мешает шару проворачиваться в пространстве, оставляя его практически невозмущенным. Но мы говорим не о механизме возбуждения такого решения, а, положив, что оно уже существует, определим его энергию. Вне шара поле угловых ско ростей определяется монопольным решением R (r) =. (6.17) r Плотность энергии вне шара пропорциональна 9 2 R6 sin2 /r6, а полная энергия пространства вне шара (уже в размерном виде):

c4 r2 dr 9 2 R6 2 sin3 d E= = r 16k 0 R R3 2 c M c2, (6.18) 2k где за M мы обозначили эквивалентную массу, аннигиляция ко торой в соответствии с соотношением E = m c2 и приводит к вы численному значению энергии (это не масса шара):

R 3 E M= =. (6.19) c 2k 154 Космическая динамика Возьмем, например, шар диаметром 20 см. (R = 0.1м), делаю щий 1 оборот в секунду ( = 2 c1 ). Получим M = 300 000 000 кг.

Для вовлечения пространства вне шара в когерентное с ним вра щение нужно затратить энергию, выделяемую при аннигиляции 300 тысяч тонн вещества. Поэтому лабораторные эксперименты с вихрями в пространстве представляются не очень реальными.

Этот пример разъясняет, почему наше пространство с высокой степенью точности евклидово: в выражении для энергии перед кривизной пространства стоит громадный численный множитель c4 /(16 k). Это говорит о том, что малейшие отклонения от ев клидова пространства требуют громадных затрат энергии.

Наше пространство (почти) евклидово не из-за красоты и изя щества евклидовой геометрии, а вследствие того, что такое про странство имеет минимальную энергию.

Уравнения движения материальной точки приводят и к триви альному решению: скорость тела равна вектору абсолютной ско рости, или попросту тело покоится относительно пространства (первый закон Ньютона), а для удаленного наблюдателя, напри мер, это тело в вихревом поле представляется увлекаемым вихря ми пространства. Поэтому динамика спиральных галактик опре деляется не “гигантскими черными дырами” в их центре, а вих рями в пространстве, визуализируемыми звездами, лишь слегка искажающими структуру вихря.

6.4.3. Солитонное решение Мультипольные решения имеют точечную особенность в нача ле координат. Поле, сосредоточенное в конечной области, можно найти, перейдя в сфероидальную систему координат. Метрика в сфероидальной системе (где = cos, а сфероидальный параметр принят за единицу длины) dr2 d dl2 = (r2 + 2 ) + (r2 + 1) (1 2 ) d2. (6.20) + r2 + 1 1 Вектор поля скоростей имеет только -компоненту, в простей 6.4. “Темная материя” шем варианте зависящую только от r:

V = (r).

Уравнение rot rot V = 0 также имеет только -компоненту, ко торая приводит к дифференциальному уравнению для функции (r):

(1 + r2 ) (r) + 4 r (r) = 0. (6.21) Это уравнение легко интегрируется:

2J = ;

(1 + r2 ) r + Arctg(r) =J. (6.22) 1+r Константы интегрирования выбраны так, чтобы при r поле стремилось к нулю.

Теперь решение нужно перевести в декартову систему коор динат, используя выражение декартовых координат через сферо идальные:

x = r2 + 1 sin cos ;

r2 + 1 sin sin ;

y= z = r cos.

Из соотношения x2 + y 2 z + 2 = sin2 + cos2 = r2 + 1 r получаем биквадратное уравнение r4 + r2 (1 x2 y 2 z 2 ) z 2 = 0, из которого находим сфероидальную переменную r:

u = x2 + y 2 + z 2 1.

4z 2 + u2 )/2;

r= (u + 156 Космическая динамика Это выражение, подставленное в (6.22), и определяет вихревое решение в декартовой системе. Вектор поля скоростей в декар товой системе Vy = x;

Vx = y;

Vz = 0. (6.23) Сопутствующее движение звезд происходит по окружностям с угловыми скоростями, соответствующими радиусам окружно стей. Угловая скорость в экваториальной плоскости представля ется графиком, на котором по вертикали отложена величина, в зависимости от x и y при z = 0:

В диске z = 0, x2 + y 2 1 угловая скорость постоянна, что хорошо соответствует графику распределения скоростей на стра нице 149.

Таким образом, вращение галактик может определяться не взаимным притяжением звезд и “темной материи”, а вихревым полем скоростей.

6.5. Конформная динамика Так как энергия может быть отрицательной, возникает вопрос:

почему бы всем объектам с положительной энергией (гравитаци онные, электромагнитные волны и пр.) не “свалиться” в моды с отрицательной энергией?

Чтобы ответить на этот вопрос, мы рассмотрим в рамках ТГВ исключительно важную и достаточно простую космологическую модель – динамику конформно-плоского мира.

В космической динамике, где, как полагают, всего около че тырех процентов энергии связано с веществом, определяющим 6.5. Конформная динамика источники в уравнениях динамики пространства, изучение задач чистой динамики пространства без вещества может привести к решениям, достаточно близко моделирующим динамику Мира.

Конформно плоская метрика определяется одной функцией от координат, зависящей также от времени:

dl2 = e2 u(t,x,y,z) (dx2 + dy 2 + dz 2 ). (6.24) Три уравнения связей (5.6) для этой метрики u =0 (6.25) t xi приводят к отделению временнй части от пространственной:

о u(t, x, y, z) = v(t) + w(x, y, z). (6.26) Шесть динамических уравнений (точкой в этом параграфе обо значаем дифференцирование по c t) (2 u + 3 u2 ) j = (2 v + 3 v 2 ) j = Gi i i (6.27) j приводят не только к требованию постоянства (по координатам) скалярной кривизны, но и однородности пространства в целом. В уравнениях (6.27) Gi – тензор Эйнштейна трехмерного простран j ства и выражение его через независящую от координат константу (хотя и зависящую от времени) определяет, что это есть однород ное и изотропное пространство.

Вакуумная конформная динамика приводит к однородности пространства.

Если, например, при построении моделей фридмановского ти па в ОТО (см. далее) пространство выбиралось однородным для простоты решения, то в конформной динамике пространство ока зывается однородным вследствие динамических уравнений. Ис ходной являлась задача теории поля с функцией u, зависящей как от времени, так и от координат. В результате решения задачи за висимость от координат осталась специфической, определяющей однородное изотропное пространство.

158 Космическая динамика Метрика однородного пространства может быть представлена в виде (2.37). Свернем (6.27) по индексам i и j и учтем выра жение для скалярной кривизны изотропного пространства (2.38), а также, что i = 3, Gi = R/2 = 3 k/r2, где множитель k i i определяет три возможных вида трехмерного пространства.

Функция v определяет радиус r: r = ev(t). Теперь уравнение (6.27) преобразуется к виду 2 r r + r2 + k = 0.

Его первый интеграл:

r (r2 + k) = A.

(6.28) Важную физическую роль играет энергия пространства. Энер гия (в единичном безразмерном объеме V = x y z = 1) представляемая выражением (5.7), для данного решения, для ко торого µi = r/r j, R = 6 k/r2, определяется константой A:

i j 6 c4 3 c4 A r (r2 + k) = =. (6.29) 16 Знак плотности энергии противоположен знаку константы инте грирования A.

Для трехмерной сферы (k = 1) константа A положительна и определяет максимальный радиус (при r = 0). При этом радиус зависит от времени по циклоиде, уравнение которой довольно про сто выглядит в параметрическом виде с некоторым параметром :

A A r = (1 cos );

t = ( sin ).

2 2c Так как объем трехмерной сферы единичного радиуса коне чен и равен 2 2, полная энергия такого решения отрицательна и равна A c2.

E= (6.30) 6.5. Конформная динамика Случай k = 0 интегрируется совсем просто (константа инте грирования A также должна быть положительна):

4 r3 = 9 A t2. (6.31) Так как пространство бесконечно, то и полная энергия бесконечна и отрицательна.

В пространстве Лобачевского (k = 1) возможны решения как с положительным значением A, так и с отрицательным, и с нулевым.

В случае положительного A решение описывается псевдоцик лоидой, радиус с течением времени меняется от нуля до бесконеч ности:

A A r = (ch 1);

t = (sh ).

2 2c Плотность энергии такого решения отрицательна, а полная энер гия бесконечна, так как объем пространства Лобачевского еди ничного масштаба бесконечен.

Интересным является решение с нулевой константой интегри рования A и поэтому с нулевой плотностью энергии:

r(r2 1) = 0;

r = ± c t.

(6.32) Масштаб Мира в этом решении равномерно расширяется с тече нием времени.

При отрицательной константе A = K плотность энергии по ложительна, а решение дифференциального уравнения r(1 r2 ) = K также находится в параметрическом виде K K r= (ch + 1);

t= (sh + ). (6.33) 2 2c Оно не имеет сингулярности: масштаб Мира уменьшается от бес конечности (при t = ) до K (при t = 0) и затем опять возрас тает до бесконечности.

Из соотношения (6.28) можно увидеть зависимость от масшта ба скорости расширения Мира:

A r2 = k.

(6.34) r 160 Космическая динамика Во всех решениях с положительной константой A эта величина уменьшается с ростом радиуса. Лишь при отрицательном ее зна чении (при отрицательном ) с ростом радиуса скорость расши рения Мира увеличивается. Плотность энергии в этом решении положительна.

В рассмотренной задаче не возникает проблемы “критической плотности” – полученные решения – это решения для вакуума, они описывают динамику пространства без какой-либо другой ма терии. Астрономические данные о том, что вещество составляет лишь около 4% от критической плотности, говорит о применимо сти чисто вакуумного решения.

Наличие мод с положительной энергией и неоднородные ис точники в виде звезд и галактик слегка искажают картину чи сто конформной динамики. За счет них возникает некоторая про странственная неоднородность конформного множителя.

Рассмотренная модель дает ответ на ряд существенно важных вопросов:

• Если какие-то материальные объекты передают свою энер гию или часть ее конформной моде, это приводит к возрас танию однородности пространства.



Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 6 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.