авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |

«3 Оглавление Глава 1. Пространство и время 7 ...»

-- [ Страница 4 ] --

• Так как конформная мода однородна во всем пространстве в целом, то коэффициенты связи различных локальных ма териальных образований (пакет электромагнитных волн, на пример) с конформной модой, определяющие переход энер гии в конформную моду, ничтожно малы и, несмотря на на личие моды с отрицательной энергией, Мир с положитель ной энергией развивается почти независимо от этой моды.

Однородное расширение Мира связано с динамическими свой ствами самого пространства и не нуждается в гипотетической “темной энергии”.

6.5.1. “Темная энергия” Решение Фридмана (см. далее раздел 7.4.), полученное в году и представляющее наш Мир как расширяющееся однородное 6.5. Конформная динамика пространство, объясняло обнаруженное экспериментально разбе гание галактик (см. стр. 70).

В решении Фридмана расстояния между галактиками растут не вследствие движения галактик, а за счет изменения радиуса Мира. Начальная точка – Большой Взрыв (Big Bang) – это точка равенства нулю масштаба Мира. Многолетние астрофизические замеры Хаббла сомкнулись с теоретической моделью изменения масштаба Мира.

В метрике Фридмана (7.50) g 00 = 1 – с точки зрения ТГВ это значит, что он работает в глобальном времени. Более того, g 0i = 0 – это значит, что поле скоростей равно нулю – он работает в глобальной инерциальной системе.

Поэтому решаемые им уравнения (10 уравнений Эйнштейна) не совпадают с уравнениями ТГВ только в десятом уравнении, в котором – плотность вещества в пространстве:

G0 =. (6.35) c В ТГВ этого уравнения нет (там всего девять уравнений – по числу переменных, описывающих пространство), а вместо него имеется выражение для плотности суммарной энергии:

c G0 + c2.

= (6.36) 8 С точки зрения ТГВ десятое уравнение Эйнштейна (6.35) – это требование равенства нулю суммарной плотности энергии – пространства и вложенной в него прочей материи, являющееся следствием принципа общей ковариантности ОТО.

Наблюдения показывают, что геометрия мира близка к плос кому, то есть, с точки зрения ОТО, плотность вещества прибли зительно должна равняться критической (7.51). Однако, оцени ваемая астрономами плотность видимой материи и межзвездного газа составляет лишь 4-5% от критической плотности. Это зна чит, что десятое уравнение Эйнштейна (6.35) не выполняется – несоответствие 20-25 – кратное. Правда, воспоминание о “темной 162 Космическая динамика материи”, якобы скрытой в галактиках, увеличивает плотность раз в пять-шесть, но и эта гипотетическая плотность составляет 25-30% от критической, так что десятое уравнение Эйнштейна не выполняется “всего” в 3-4 раза (погрешность 200-300%).

Однако и эта очевидная невыполнимость десятого уравнения может быть с легкостью “объяснена”: около 70% всего вещества составляет некоторая “темная энергия”, распространенная в Ми ре исключительно однородно. В динамике ОТО важна не только средняя плотность энергии, но и ее распределение. Материя, в ос новном, сосредоточена в галактиках, а между галактиками рас ширение пространства в соответствии с уравнениями ОТО может идти только за счет анизотропии, однако не наблюдаемой. Так что “темная энергия” должна быть распределена так, чтобы сум марная плотность энергии в Мире была однородна.

Как описывают ее теоретики, для этого она должна обладать совершенно фантастическим уравнением состояния = k p;

k 1. (6.37) Но производная v dp = 2, d c определяет в данной среде скорость звука v, которая для такой среды должна быть мнимой. Это гарантирует невозможность ма лых изменений плотности, которые должны бы тогда распростра няться с мнимой скоростью. Но это совершенно определенно гово рит о том, что “темная энергия” не может состоять их каких-либо атомов или элементарных частиц, которые в некотором началь ном условии можно было бы распределить неоднородно. Поэтому решение проблемы возможно лишь через полевые переменные. В ТГВ – это глобальный конформный множитель.

Полученные в ТГВ конформно-плоские решения (см. стр. 158) содержат константу интегрирования A, знак которой противопо ложен знаку энергии пространства. Решения с положительным значением константы A (с отрицательной плотностью энергии про странства) свободно переносятся в Общую теорию относительно 6.6. Расширение Вселенной и гравитация сти: достаточно добавить к решению для пространства пылевид ную материю, тензор энергии-импульса которой содержит только компоненту энергии и в выбранной системе координат добавляет только к десятому уравнению положительную константу – плот ность энергии пыли, – чтобы суммарная энергия оказалась равной нулю. При этом зависимость метрики от времени не меняется.

Однако имеются решения и с отрицательной константой A – положительной плотностью энергии пространства (6.33). Так как плотность энергии известных видов материи (кроме самого про странства) положительна, то никакое добавление какой-либо ма терии не может привести суммарную плотность энергии к нулю:

такие решения являются специфическими решениями ТГВ и не переносимы в ОТО. Такие решения обладают двумя важнейщими чертами:

• Они не обладают сингулярностями. Мир сжимается до ми нимального (конечного) радиуса, определяемого плотностью энергии, а затем опять расширяется.

• Скорость расширения Мира возрастает с ростом масштаба, в то время как для всех решений, переносимых в ОТО, эта скорость по мере расширения падает (см. стр. 159).

Это последнее свойство обращает на себя внимание в связи с обнаружением группами исследователей Supernova Cosmology Project и High Supernova именно ускорения расширения Мира по наблюдениям над вспышками суперновых звезд в удаленных га лактиках (см. [29]).

6.6. Расширение Вселенной и гравитация Расширение Вселенной в XX веке установлено с высокой сте пенью очевидности благодаря выполнению в первой четверти ве ка грандиозной программы наблюдений в обсерватории Маунт Вильсон, результаты которой сконцентрированы на имени Эдви на Хаббла, и теоретическому продвижению, связанному, прежде 164 Космическая динамика всего, с именами Эйнштейна и Фридмана. Наиболее простое опи сание расширяющейся Вселенной представляется плоской моде лью Фридмана (метрикой Эйнштейна–де Ситтера – см.,например, [20]):

ds2 = dt2 2 (t) (dR2 + R2 d 2 ). (6.38) Здесь d 2 = d2 + sin2 d2 – метрика двумерной сферы единич ного радиуса. Расстояние от центра – точки, в которой полагает ся R = 0, до любой другой точки пространства с координатой R определяется величиной r = (t) R. С течением времени это рас стояние меняется. При переходе от координат в пространстве R к параметризации расстояниями r метрика (6.38) изменяется:

r 1 dr r R= ;

dR = ;

=.

(t) 3 (t0 + t) Подставляя эти дифференциалы в (6.38), получаем метрику ds2 = (1 V 2 ) dt2 + 2 V dr dt dr2 r2 d 2, (6.39) где 2r V V =. (6.40) 3 (t0 + t) Тензор Эйнштейна для этой метрики принимает значения 0 0 0 0 0 (Gij ) = ;

=. (6.41) 3 (t0 + t) 0 0 0 0 0 0 В момент времени t = t0 плотность обращалась в бесконеч ность – так называемый “большой взрыв”.

Найденная ранее метрика вокруг сферической массы (5.21) при r переходит в пространство Минковского. Так как эту метрику впервые исследовал Пэнлеве, мы будем ее называть мет рикой Пэнлеве.

Открытие космологического расширения Вселенной постави ло вопрос: “Как меняется метрика тяготеющего тела с учетом гло бального расширения?” Эта проблема была поднята в 1945 году А. Эйнштейном в совместной работе с Е. Штраусом [30]:

6.6. Расширение Вселенной и гравитация [Из-за расширения] граничные условия, на которых ос новано решение Шварцшильда, непригодны для реаль ной звезды. В частности, граничные условия, пригод ные для расширяющегося пространства, зависят от вре мени, поэтому априори можно ожидать, что поле, окру жающее одиночную звезду, существенно зависит от вре мени.

Пространственное сечение t = const в метрике Пэнлеве яв ляется евклидовым пространством. Метрика стационарна – поле скоростей не зависит от времени. Все компоненты тензора Эйн штейна для этой метрики равны нулю.

Нетрудно заметить, что метрика Пэнлеве имеет тот же вид (6.39), что и метрика однородного расширяющегося Мира, но с другим полем скоростей:

rg V = VP =. (6.42) r Теперь нужно найти поле скоростей, которое вблизи массы (при малых радиусах и небольшом интервале времен) должна переходить в метрику Пэнлеве, а на бесконечности – в метрику Эйнштейна–де Ситтера на основе формы метрики (6.39).

Так как обе сшиваемые метрики имеют вид (6.39), обобщим в метрике (6.39) лишь выражение для поля скоростей (6.40):

Vr (r) V= (6.43) t0 + t и вычислим тензор Эйнштейна 0 0 p V 0 (Gi ) = ;

(6.44) j 0 p 0 p 0 0 Vr (Vr + 2r Vr ) G0 = = ;

r2 (t0 + t) 166 Космическая динамика Vr (Vr + 2 r (Vr 1)) G1 = p = ;

r2 (t + t0 ) r(Vr 1)Vr + Vr (r Vr + 2Vr 1) G2 = G3 = p =, 2 r (t0 + t) где штрихом обозначается производная по радиусу.

Равенство нулю давления p приводит к уравнению:

Vr + 2 r (Vr 1) = 0. (6.45) Выразим из этого уравнения Vr = 1 Vr /(2r) и, продифференци ровав, выразим вторую производную:

3 Vr 2 r Vr =.

4 r Подставив эти выражения в тензор Эйнштейна (6.44), и опустив индексы, получим:

2 Vr 0 r (t0 +t) 0 0 (Gij ) =.

0 0 0 0 Как и для однородной модели отлична от нуля только компонента G00.

Выражение для Vr (r) находится из дифференциального урав нения (6.45) и содержит константу интегрирования C:

2r C +.

Vr (r) = 3 r Первое слагаемое однозначно определяет расширение и мало при малых r, где основную роль играет второе слагаемое. При t = 0 оно совпадает с полем скоростей метрики Пэнлеве (6.42), если выбрать константу C = t0 rg, что приводит полное поле скоростей к виду:

Vr 1 2r rg V= = + t0. (6.46) t0 + t t0 + t 3 r 6.6. Расширение Вселенной и гравитация Тензор Эйнштейна сохраняет вид (6.41). Компонента G00 опре деляет плотность энергии динамического пространства:

c4 c4 3 t0 rg = G00 = 1+. (6.47) 6 (t0 + t)2 2 r3/ Сингулярность плотности порядка r3/2 интегрируема с эле ментом объема 4 r2 dr.

Знак скорости В метрике тяготеющего тела поле скоростей мы представляли в виде V = rg /r со знаком плюс перед корнем, хо тя математически эквивалентным является решение и со знаком минус. Разница между решениями с разными знаками возникает лишь в рассмотренной расширяющейся модели: плотность энер гии (6.47) у решения со знаком плюс всюду отрицательна, а при знаке минус вблизи центра положительна. Это физическое разли чие требует знака плюс.

6.6.1. Движение пробных тел Физический смысл любой метрики определяется тем, как дви жутся в ней свободные материальные точки. Динамика свободной материальной точки определяется гамильтонианом h – выражени ем энергии через радиальный импульс и момент через обратный метрический тензор (все импульсы отнесены к массе):

g p p = 1;

p0 = h, p1 = p, p2 = 0, p3 = l. (6.48) Гамильтониан свободной частицы h определяется из соотношения (6.48) для метрики (6.39) через обратную метрику:

L (h + V p)2 p2 + = 1;

r L2 p Vr (r) 1 + p2 + h= +. (6.49) r2 t0 + t 168 Космическая динамика Гамильтониан определяет уравнения движения:

dr p 2r t0 rg = + + ;

(6.50) dt 3 (t0 + t) t0 + t r L 1 + p2 + r L2 2 t0 rg dp p = ;

(6.51) 2 r3/ dt t0 + t L r3 1 + p2 + r d L =. (6.52) dt L r 2 1 + p2 + r При очень больших t0 – далеко по времени от “большого взры ва” – в составляющей скорости основную роль играет часть с массой. Если время обращения по орбите мало по сравнению с t0, то изменение масштаба при каждом обороте незначительно и траектории практически совпадают с траекториями в метри ке Шварцшильда. Однако за большое число оборотов или при не очень большом t0 изменение масштаба приводит к значительному изменению траекторий.

Рассмотрим, например, изменение круговых орбит за счет рас ширения. На круговых орбитах (для релятивистских частиц в ста ционарной метрике) энергия и момент определяются радиусом ор биты r0 :

(r0 rg )2 rg r ;

L2 = E=.

r0 (r0 1/5 rg ) 2 r0 3 rg Орбиты с такими параметрами в расширяющемся Мире будем на зывать условно круговыми орбитами. Предельной орбитой, на ко торой еще возможно круговое движение, является r0 = 1.5 rg.

Сравним сильно релятивистские орбиты (в масштабе rg = 1) с r0 = 100 при t0 = 106 и t0 = 250000 на интервале времени 100000:

6.6. Расширение Вселенной и гравитация С течением времени орбиты не только увеличивают свой ради ус, но и в конце концов частица улетает в бесконечность. Это свя зано с исключительно важным свойством поля скоростей (6.46).

Масса гравитирующего тела входит в него не как отдельная кон станта, а в виде зависящего от времени выражения rg c2 rg M M= ;

rg (t) = ;

M (t) =. (6.53) (1 + t/t0 )2 (1 + t/t0 ) Гравитирующие свойства центрального тела в настоящий мо мент определяются величиной M, однако по мере расширения ми ра его гравитационная масса падает, уменьшается обратно про порционально квадрату абсолютного времени, так что в конце концов оказывается не в состоянии удержать тело, первоначально вращавшееся по (почти) круговой орбите.

Этот эффект особенно существенен при рассмотрении траек торий в обратном по времени направлении. Тяготеющая масса возрастает, а радиус орбиты уменьшается:

170 Космическая динамика Условно эллиптические орбиты образуют более сложные узо ры из вращающихся эллипсов уменьшающихся (назад по време ни) размеров. Орбиты так же, как и условно круговые, доходят до предельно малых размеров.

6.6. Расширение Вселенной и гравитация 6.6.2. Назад по времени Эффект уменьшения отношения гравитационной массы к инер циальной (постоянной во времени) приводит к важным следстви ям при рассмотрении истории Вселенной – движении по времени назад.

Пусть имеется звезда радиуса R и массы M с малым в насто ящий момент гравитационным радиусом rg. При движении назад по времени ее гравитационный радиус возрастает и в какой-то момент достигает внешнего радиуса.

Радиус горизонта определяется условием g00 = 0;

V 2 = c2 = в метрике (6.39). Если для метрики Пэнлеве это соотношение определялось только гравитационной массой M, то в динамиче ской метрике в него дает вклад и составляющая расширения. В данном параграфе мы будем отсчитывать время не от настоящего момента, а от сингулярности:

R 2r +, V= (6.54) 3t tr где R – абсолютный массовый радиус, не меняющийся в процессе расширения и определяемый через массу M0 в настоящий момент абсолютного времени t0 выражением:

R3 = 2 M0 c2 t2. (6.55) Тяготеющая масса тела, определяемая формулой (6.53), в абсо лютном времени R3 t = M0 0.

M (t) = (6.56) 2 const2 t2 t Рассмотрим динамику радиуса горизонта:

R 2r + = c t.

V = c;

(6.57) 3 r В масштабе R = 1, c = 1 график выглядит так:

172 Космическая динамика График располагается справа от критического момента R dt = = 0. (6.58) r dr Горизонт в этот момент только один – с радиусом r0 = (3/4)2/3 R = 0.8255 R. Он достигается в момент t0 = 1.65 R/c. В более ранние моменты времени радиальные скорости в любой точке сверхсвето вые и положительные. При временах бльших t0 имеется два го о ризонта: внутренний и внешний. За внешним находятся объекты (звезды), удаляющиеся за счет расширения со скоростью, боль шей скорости света. Внутренний горизонт – это гравитационный радиус тела.

Поля скоростей, по модулю меньших скорости света (V 1), находятся при t t0 между внутренним и внешним радиусами.

Критическая точка определяет момент времени с нулевым разме ром области вне горизонта.

Не следует поспешно объявлять сверхсветовые области нефи зичными. В случае простого фридмановского расширения (M = 0, R = 0) физичными являются все точки плоского пространства, а горизонт (прямая линия на графике) лишь отделяет видимую для него часть Вселенной.

6.6. Расширение Вселенной и гравитация 6.6.3. Влияние на астрофизику и космологию Рост эффекта тяготения при движении назад, в прошлое, мно гое меняет в понимании астрофизической и космологической эво люции.

Гравитационный радиус при малых r в абсолютном времени t при t t0 (когда в выражении для поля скоростей слагае мое, ответственное за расширение, мало) достигает радиуса R при условии:

rg t 0 rg rg = 2 = R;

t1 = t0.

R t Здесь rg – гравитационный радиус звезды в настоящий момент.

Например, для Солнца R = 695 500 км, rg = 3 км, откуда t1 = 27 000 000 лет.

Раньше этого времени Солнце не могло существовать.

Важную особенность, связанную с большим значением вели чины ускорения свободного падения на поверхности Земли в про шлом, обнаружил С.Ю. Губанов в геологической истории Земли.

Альфред Вегенер опубликовал в 1912 году теорию “дрейфа кон тинентов”. В 1970 году Уоррен Кэри предложил гипотезу “рас ширяющейся Земли”, согласно которой, если бы земной шар был меньше (7000 км диаметром вместо сегодняшних 12 700), то все современные континенты соединились бы в один большой.

Наличие большой силы тяготения в прошлом с неизбежностью имело следствием ее меньший радиус. 4.5 миллиардов лет назад при формировании Земли ускорение свободного падения на ее по верхности было в 2 раза больше, чем в настоящее время (при том же радиусе), и еще раза в 3.5 могло быть больше за счет меньшего радиуса, т.е. всего в 7 раз.

То же самое относится и к динамике звезд: по мере расши рения Вселенной ускорение свободного падения на поверхности звезды уменьшается и звезды расширяются.

Элементарные частицы О необходимости учитывать грави тационные эффекты в квантовой теории полей еще в конце 50-х 174 Космическая динамика годов писал Л.Д. Ландау [31]: “При таких энергиях эффекты гра витационного взаимодействия могут превышать электромагнит ные эффекты, и рассмотрение электродинамики как замкнутой системы становится физически неправильным. Очень привлека тельна идея, по которой этот “кризис” в электродинамике проис ходит как раз при тех энергиях, где гравитационное взаимодей ствие становится сравнимым с электромагнитным.” Учет зависимости эффектов тяготения от времени значитель но удаляет этот момент от t = 0 – момента Большого взрыва.

Рассмотрим, например, гипотетический нейтронный атом, в котором электрон вращается вокруг нейтрона под действием толь ко гравитационного притяжения.

Масса нейтрона mn = 1.67 · 1027 кг;

гравитационная постоян ная = 6.67 · 1011 м3 кг1 сек2.

Найдем формальный момент времени, когда тяготеющая мас са нейтрона столь велика, что первый боровский радиус в ней тронном атоме равняется современному боровскому радиусу ато ма водорода rB = 5.3 1011 м.

M h M m2 rB = h2 ;

rg rB = 2, rB = ;

e e c2 me c где e = 2.4 · 1012 м. – комптоновская длина волны электрона, а t rg = rg, t где t0 = 4.3 1017 сек. – наше время от Большого Взрыва, rg = 54 м – современный гравитационный радиус нейтрона. От 2.44 сюда rg rB = 0.4 · 1020 t0 = 2 · 103 сек.

t = t e Без учета изменения тяготеющей массы этот момент сек.

Наличие критического момента (6.58) для тела с некоторой массой в настоящий момент требует разработки квантовой теории 6.7. Вращение в расширяющемся Мире. Для нейтрона, например, до момента времени 2.43 · = 1.89 · 109 сек · (4.3 · 1017 ) tn = 1. 3 · во всем пространстве поле скоростей было сверхсветовым.

В момент t = tn у него возник двойной гравитационный ра диус – внутренний и внешний – величиной 0.2835 м. – громадная тяготеющая масса. При дальнейшем росте времени радиус внеш него горизонта возрастал, а внутренний уменьшался и в наши дни стал 1054 м.

6.7. Вращение Вращающаяся звезда характеризуется моментом количества движения, определяющим вдали от звезды поле Лензе–Тирринга.

Точное стационарное решение вакуумных уравнений Эйнштейна при удалении от поверхности звезды определяется метрикой Кер ра, содержащей параметр вращения a, так что при a 0 метрика Керра переходит в метрику Шварцшильда. Метрику Керра мы далее переведем в глобальное время (см. стр. 201), при этом про странственная часть метрики всюду риманова, но в отличие от метрики Пэнлеве не является плоской.

Однако в линейном приближении по параметру вращения a – на радиусах r a – пространственная часть переходит в евкли дово пространство:

ds2 = dt2 (dr V dt)2 r2 d2 r2 sin2 (d dt)2. (6.59) В расширяющемся Мире (в линейном приближении по a) в мет рике (6.59) модифицируется только радиальная часть поля ско ростей 2r rg t0 rg a 3L V= + ;

= =. (6.60) 3 2 r 3 (t0 + t) r (t0 + t) r 176 Космическая динамика Здесь L – не зависящий от времени момент импульса вращающей ся звезды.

При этом тензор Эйнштейна в линейном приближении по a имеет вид: 0 0 0 (Gij ) = (6.61) 0 0 0 с плотностью энергии, не зависящей от вращения:

3 t0 rg G00 = 1+. (6.62) 3 (t0 + t)2 2 r3/ Если тяготеющая масса в процессе расширения уменьшается, то момент количества движения L остается неизменным, а сле довательно, по мере расширения Вселенной процессы вращения оказываются существенными на более поздних стадиях.

Таким образом:

• При рассмотрении ранних стадий развития Вселенной осо бенности возникают значительно позже времени Большого Взрыва. В решении Фридмана не было параметров, поэтому оно имеет особенность только в момент Большого Взрыва.

• Большое красное смещение квазаров может быть связано не только с кинематическим изменением длины волны за счет расширения Вселенной, но и с мощным гравитацион ным красным смещением в удаленных от нас по времени звездах, имевших во время излучения значительно бльшие о гравитационные массы.

• Если на ранних стадиях расширения Вселенной притяжение превалировало над вращением, то с ростом масштаба про цессы вращения начинают превалировать над притяжением.

• Этим может объясняться спиралевидность большого чис ла галактик, а также эффекты аномального распределения 6.7. Вращение скоростей во вращающихся галактиках, обычно объясняе мые некоей “темной материей”.

• В метрике (6.39) с полем скоростей (6.46) преобразовани ем координат снова можно выделить глобальный масштаб, приведя метрику к виду r dl2 = m(t)2 dr2 + + r2 (1 z 2 ) 1 z с масштабом и полем скоростей 2/3 rg t t r V = 2, m= ;

t0 rt которое является уже малым локальным возмущением мет рики раширяющейся Вселенной. Изучение множества таких добавок [32, Глава 5] показывает, что плотность звезд на ско рость расширения Вселенной не влияет.

178 Общая теория относительности Глава Общая теория относительности Общая теория относительности была создана в 1911 - 1915 го дах Альбертом Эйнштейном, одним из создателей специальной теории относительности. Именно поэтому путь развития теории пространства и времени лежал в обобщении четырехмерной гео метрии, и динамика трехмерного пространства в этих построени ях затерялась.

7.1. Краткая история В теории любого поля есть две стороны: как это поле влияет на другие физические процессы и как это поле формируется.

Ответ на первый вопрос Эйнштейну дал принцип эквивалент ности: для того, чтобы определить влияние гравитации на то или иное физическое явление (локальное), нужно перейти в свобод но падающую систему, описать это явление как в инерциальной системе без гравитационного поля, а затем вернуться в исходную лабораторную систему, используя преобразования изучаемых фи зических величин при переходе из одной движущейся системы в другую.

Отметим, однако, что эта методика применима лишь к ло кальным явлениям, таким как электродинамика, гидродинамика, уравнения которых определяются в бесконечно малой области, и не применима к глобальным явлениям, связанным с некоторым распределенным состоянием, таким как статистическая физика, где состояние задается в некотором объеме пространства, или квантовая механика, где волновая функция также нелокальна.

Поиск ответа на второй вопрос: как же формируется грави тационное поле, занял у Эйнштейна несколько лет, и здесь ему существенно помогли два математика: Марсель Гроссман и Да 7.1. Краткая история вид Гильберт.

Уже в 1906 году Макс Планк сформулировал принцип наи меньшего действия для описания движения материальных тел в специальной теории относительности c2 v2 dt = S = mc ds = mc L dt. (7.1) Для инерциальной системы отсюда следует первый закон Ньюто на: свободные тела движутся равномерно и прямолинейно. Но в поле тяжести траектории тел искривляются, для чего чисто мате матически (из уравнений Лагранжа) требуется, чтобы лагранжи ан зависел от координат. Единственная величина, которая в него входит, это скорость света c. Если она будет зависеть от коорди нат, то траектории тел в пространстве - времени будут искрив ляться. При этом масса в действие входит как множитель – это значит, что искривление не будет зависеть от массы, так как в уравнениях Лагранжа общий множитель сокращается. Это объ ясняет открытую еще Галилеем одинаковость ускорений в поле тяжести для всех тел, независимо от их масс.

Но откуда находить эту зависимость скорости света от коорди нат? Как ее связать с классическим гравитационным потенциалом Лапласа?

В это время Эйнштейн начинает сотрудничать с математиком Марселем Гроссманом, занимавшимся исключительно модной в то время математической теорией – исчислением Риччи – кривиз ной многомерных римановых пространств. Гроссман объясняет, что выражение (7.1) есть лишь частный вид общего инварианта, который в общем виде для четырехмерного пространства записы вается через 10 компонент метрического тензора g [21]:

g (x) dx dx.

S = mc ds = mc (7.2) Вместо одного гравитационного потенциала Лапласа появляется 10 компонент метрики, 10 потенциалов! Эйнштейн анализирует переход к слабым гравитационным полям, рассматривая малые отклонения пространства от плоского, показывает, что при малых 180 Общая теория относительности скоростях существенное влияние на движение частиц оказывает лишь компонента метрики g00, которая и связана с гравитацион ным потенциалом Лапласа:

g00 = 1 +. (7.3) c Это суть принципа соответствия – соответствия вновь строя щейся теории классической механике, зарекомендовавшей себя как исключительно точный инструмент в небесной динамике.

Потенциал Лапласа удовлетворяет уравнению Пуассона = 4. (7.4) Каким же уравнениям должны удовлетворять 10 компонент метрического тензора, чтобы в пределе переходить в это уравне ние для единственно значимой компоненты метрики?

После четырех лет поиска, проработки различных вариантов, уходя от идей Гроссмана и вновь возвращаясь к ним, Эйнштейн формулирует, наконец, дифференциальные уравнения, из кото рых как будто можно определить метрику. Основной конструк цией, определяющей кривизну, является тензор четвертого ранга Римана - Кристоффеля, имеющий в четырехмерном пространстве 20 компонент, а свертка его по двум индексам приводит к симмет ричному тензору второго ранга, тензору Риччи, имеющего, как и метрический тензор, 10 компонент и образованный из вторых (и менее) производных метрического тензора. Эйнштейн выдвигает тензорные уравнения R = k T, (7.5) где справа стоит тензор энергии-импульса вещества. Он показы вает, что при соответствующем подборе постоянной k в приближе нии слабого поля эти уравнения переходят в уравнение Пуассона (7.4).

В 1915 году Эйнштейн применяет эти уравнения для корректи ровки ньютоновского описания движения планет вокруг Солнца и вычисляет непонятный до этого поворот орбиты Меркурия на 7.2. Теоремы Гильберта угловых секунд в столетие, определенный за триста лет тщатель ных наблюдений со времен Тихо Браге. Совпадение вычисленной величины поворота с экспериментальной убеждает Эйнштена в правильности исходных посылок и полученных уравнений.

К этому времени за работой Эйнштейна начинает следить пат риарх математики начала XX века Давид Гильберт. Он показыва ет, что в общем случае, уравнения Эйнштейна (7.5) несовместны:

тензор энергии - импульса имеет нулевую дивергенцию T = 0, в то время как тензор Риччи такому тождеству не удовлетворяет.

7.2. Теоремы Гильберта В богатейшей по содержанию математической статье [33] Гиль берт дал изящный вариационный вывод окончательных уравне ний Эйнштейна и вывел общие дифференциальные свойства ва риаций по метрическому тензору:

• Полное действие есть сумма действия гравитации и прочей материи (физических полей): S = Sg + Sm, где действие гра витации определяется функционалом c4 Sg = R g d4 x. (7.6) • Если вариации функционала действия физических полей по компонентам этих полей равны нулю, то вариация этого функ ционала по компонентам метрического тензора определяет тензор энергии-импульса этих полей:

Sm = Tij. (7.7) ij g • Десять уравнений Эйнштейна получались приравниванием к нулю вариаций действия (действие Гильберта) по всем десяти компонентам метрического тензора четырехмерного пространства-времени:

c S gij = Rij R 4 Tij = 0. (7.8) g ij 16 2 c 182 Общая теория относительности • Из инвариантности действия относительно четырех беско нечно малых преобразований координат Гильберт показал, что вариации каждой составляющей действия по метриче скому тензору удовлетворяют четырем тождествам (тожде ства Гильберта):

Sg gij Rij = 0;

R = 0;

i i gij Sm ij = 0;

iT = 0. (7.9) i gij Из тождеств Гильберта следует, что если уравнениями грави тации являются первоначальные уравнения (7.5), из них с неиз бежностью следует дополнительное ограничение на скалярную кривизну: R = const, а следовательно, и Tii = const – тензор энергии-импульса не может быть произвольным.

Свободная гравитация – уравнения прямо следующие из ва риационного принципа – имеют вид 1i Gi Rj i R = 4 Tji. (7.10) j 2j c К этим же уравнениям пришел и Эйнштейн в конце 1915 года.

7.2.1. Доказательство теорем Гильберта Вариационные уравнения Классическое поле f (x) подчиня ется дифференциальным уравнениям в частных производных, вы водимых из принципа наименьшего действия – экстремума функ ционала действия S, зависящего от поля и его первых производ ных по координатам и времени в четырехмерной области :

L(f, f,i, gij, i ) S= g d4 x. (7.11) jk Зависимость лагранжиана L от метрического тензора и связ ностей возникает из-за необходимости записи производных поля 7.2. Теоремы Гильберта f (в общем случае – многокомпонентного) в ковариантном виде и свертки их с помощью метрического тензора, чтобы лагранжиан оказался скаляром.

Вариация поля f (x) приводит и к вариации его производных f,i (x) = i f (x) и определяет вариацию действия:

L L S = f + i f g d4 x.

f f,i Второе слагаемое можно преобразовать, чтобы оставить вариа цию только f :

L L L i g i f = i g f g f, f,,i f,i f,i так что вариация действия представляется в виде L L L g i S = g f + i g f d4 x.

f f,i f,i (7.12) Последнее подынтегральное слагаемое по теореме Гаусса пре образуется в вариации на границе четырехмерной области инте грирования, так что если выбирать вариацию равной нулю на гра ницах, то экстремум действия из-за произвольности f внутри области приводит к дифференциальному уравнению поля:

L L S g i g = 0;

f f f,i L L = i g. (7.13) f g f,i Канонический тензор энергии-импульса В пространстве Минковского бесконечно малый сдвиг xi = xi + i, где i констан ты, является движением пространства, не меняющим метриче ского тензора и, следовательно, связностей, которые, в принципе, 184 Общая теория относительности входят в лагранжиан. При этом, в общем выражении Ли-вариации (2.28) слагаемые с производными поля исчезают и для любого поля остается f = j j f.

При сдвиге действие изменяется как за счет изменения лагран жиана, так и за счет бесконечно малого изменения области инте грирования вблизи границы d = i di :

g i di = S = L g d4 x + L L L g i di.

= f + f,i g d4 x + L f f,i L Подставив сюда из (7.13), получим:

f L i g j di = Tji j g di.

S = f,j j L (7.14) f,i Выражение L f,j j L = Tji i (7.15) f,,i называется каноническим тензором энергии-импульса. Например, если область интегрирования расширяется по времени на величи ну dt, то dS = dt T0 g d3 x = E dt. (7.16) V Величина E определяет энергию поля в пространственном объеме V. Аналогично, величины Tj Pj = g d3 x;

j = 1, 2, V – компоненты вектора импульса поля – определяют изменение действия при пространственных сдвигах: dS = Pj dxj.

7.2. Теоремы Гильберта Выражение (7.14) с помощью теоремы Гаусса можно преобра зовать в интеграл по четырехмерному объему:

ij S = ( i Tj ) g d4 x.

Если теперь не менять область интегрирования, а просто прове сти преобразование координат xi = xi + i, то S = 0 и вследствие произвольности четырех величин i получаются четыре соотно шения дивергенции канонического тензора энергии-импульса:

i i Tj = 0. (7.17) Вариация координат Основная идея Гильберта состояла в рас смотрении произвольных бесконечно малых преобразований коор динат x i = xi + i и сравнения Ли-вариации действия как скаляра с вариацией его вследствие Ли-вариаций метрического тензора и поля y с учетом уравнения экстремума (7.13).

Так как в интеграл действия входит g, нужно рассмотреть Ли-вариацию этой функции. Из линейной алгебры известно, что при любой вариации элементов квадратной матрицы d gij вариа ция ее детерминанта g выражается через алгебраические допол нения Aij : d g = Aij dgij. В то же время через алгебраические дополнения выражается обратная матрица: Aij = g g ij, так что d g = g g ij dgij, а, следовательно, d g = 2 g g ij dgij. Так как Ли вариация gij = (i;

j + j;

i ), то i g = g ;

i = i ( g i ).

Лагранжиан является скаляром, поэтому Ли-вариация его по произвольному полю i определяется выражением g = ( s s L) g L s ( g s ) = (L g) = ( L) g+L = s (L g s ). (7.18) 186 Общая теория относительности С другой стороны, вариация лагранжиана складывается из Ли-вариаций поля f и метрического тензора, а также их частных производных (в частности, связностей):

L L g y + g y,i + (L g) = y y,i L L g g i.

+ gij + (7.19) jk i gij jk Поле y, однако, это уже не произвольное поле, а экстремаль, удовлетворяющее вариационному уравнению (7.13), из которого следует L L g y = i g y. (7.20) y y,i В выражение (7.18) входит Ли-вариация частной производной тензорного поля. Рассмотрим сначала ковариантное векторное по ле:

Aj xk xj l = A= i i xk xl x x Aj ((lj +,l )Al ) j,i Aj + i (,l Al ) j k k k = (i,i ),k xk xi Отсюда Aj =,i Aj k Aj + i (,l Al ) = j k,k,ik i x = i (,s As s Aj ) = i ( Aj ).

j (7.21),s Аналогичные вычисления для тензора произвольного ранга при водят к выводу: Ли-вариация частной производной тензорного поля равна частной производной от Ли-вариации этого поля.

Вследствие этого, подставив в (7.19) выражения (7.20) и (7.18), получим:

L L L g g y + L g i + g i = 0.

i gij + jk i y,i gij jk (7.22) 7.2. Теоремы Гильберта Скалярное поле Применим, прежде всего, полученное соотно шение к скалярному полю, для которого ковариантная производ ная не содержит связностей, а Ли-вариация имеет простейший вид f = s f,s. Тогда в лагранжиан не входят связности, а gij = (i;

j + j;

i ) и (7.22) приобретает вид:

j L g L i f,j j L g (j;

i + i;

j ) = 0. (7.23) i f,i gij Во внутренних скобках стоит канонический тензор энергии-импульса, и учитывая соотношение дивергенции (7.17), можно записать:

i + 2 L g j = 0.

gjs Tj ;

i g gsi Здесь мы также воспользовались ковариантной постоянностью метрического тензора из-за которой его компоненты и g можно выносить из-под оператора ковариантного дифференцирования.

j Вследствие произвольности поля ;

i получается теорема Гиль берта: 2 (L g) T ij =. (7.24) g gij В лагранжиан часто входит обратный метрический тензор, ва риация которого определяется соотношением d(g is gsj ) = g is dgsj + gsj dg is = d(j ) = 0.

i Кроме того g ij g gij dg ij, g dgij = d g= 2 Так что теорему (7.24) можно переписать в виде L Tij = Tij ij L gij. (7.25) g Тензор Tij (без тильды), определяемый вариацией по метрическо му тензору, симметричный по индексам, называется симметрич ным тензором энергии-импульса. Для скалярного поля канони ческий и симметричный тензоры совпадают.

188 Общая теория относительности Например, тензор энергии-импульса обычного квадратичного лагранжиана скалярного поля:

gij g kl 1 ij f,i f,j L= g f,i f,j ;

Tij = f,k f,l.

2 2 Уравнение поля i f,i = 0 гарантирует уравнение дивергенции для тензора энергии-импульса:

1 1 1 1 ;

k i gij g kl f,k f,l i f,i f,j f,j = f,i f f,k = 0,,j 2 2 2 так как для скалярного поля ковариантные производные переста новочны.

Поля со спином Для тензоров ранга выше нулевого в Ли вариацию входят добавки, но строго согласованные с добавками в ковариантные производные, например:

= Aj + j Ak ;

j j j ij k A =,j A +,k A.

iA,i ik j = i Tkl + j Tkl s Tsl s Tks ;

j j j s i Tkl ik il is j j j j s j s s s Tkl = s Tkl +,s Tkl,k Tsl,l Tks.

Объединив все индексы в один сборный, можно предста вить ковариантную производную любого тензорного поля и его Ли-вариацию в обобщенном виде:

= i y + j k y ;

iy (7.26) ik j j i k y = y,i +,k j y (7.27) с общей матрицей k. Это гарантирует эквивалентную запись j Ли-вариации через ковариантные производные.

7.2. Теоремы Гильберта Следует также отметить, что канонический тензор энергии импульса (7.15), введенный в пространстве Минковского, в про извольном римановом пространстве записываемый через ковари антные производные L Tji = i y j L, y;

i ;

j не удовлетворяет соотношению дивергенции (7.17):

L L i i Tj = y;

j + y i y;

j L= i j y;

i ;

i L L L L y y;

j + y i y;

j y;

i = i j ;

j y;

i y y;

i ;

i L L L y = y;

j + ( i )y = i i j j y;

i y;

i L k l ik l = y l Rkij = bl Rkij, (7.28) y;

i где мы обозначили L g l il y bs.

y,i s Так как связности входят в лагранжиан только через кова риантные производные полей, то вследствие симметрии s = s il li найдем L g 1 il li il s = 2 (bs + bs ) Cs. (7.29) il Слагаемое с вариацией связностей в вариации лагранжиана удоб но расписать в ковариантных производных:

g sm Cs s = Cs il il (him;

l + hml;

i hil;

m ) = il = (C ilm + C lim C iml ) him;

l K iml him;

l, 190 Общая теория относительности где hik gik. Соответствующее слагаемое в вариации лагранжи ана представляется в виде:

L g i D{jk}i hjk, ij sk jki ijk ikj i (bs g C + C + C ) hjk + gjk так что k L g [ki] j T;

i g i + Sj ;

i + jki k + iD hjk = 0.

gjk Назовем тензор L g 2 jki + iD = g gjk L L g jk jki = T jk = 2 iD (7.30) gjk симметричным тензором энергии-импульса. Тогда из соотноше ния [ki] j kj k j k Tj + Sj ;

i + Tj ;

k = 0, (7.31) где S [ki]j = bkij D{ij}k = 1 jki (b + bkji bikj bkij bijk bjik ) + bkij = = = (bjki + bkji + bkij bikj bijk bjik ) = S [ik]j, следует [ki] [ki] j i Tik + Sj j + ;

i (Tji Tji + i Sj ) = k k k [ki] Вследствие антисимметрии Sj и обобщенного соотношения дивергенции для канонического тензора энергии-импульса (7.28) j первые два слагаемых исчезают, а произвольность ;

i приводит к связи между каноническим и симметричным тензорами энергии импульса:

[ik] Tji = Tji + k Sj. (7.32) 7.2. Теоремы Гильберта Тождества Гильберта Соотношение (7.31) можно преобразо вать:

[ki] j k j kj j k Tjk = 0, k Tj + Sj ;

i + Tj которое с учетом (7.32) приводится к виду [ki] j j Tjk = 0.

i (Sj ) k k Первая часть этого соотношения исчезает, так как для любого антисимметричного тензора [ik] [ik] 2 iF =( k) F = i i k k = Rski F [sk] + Rski F [is] = Rsk F [sk] + Rsi F [is] = i k вследствие симметрии тензора Риччи по индексам. Поэтому из-за произвольности векторного поля j остается соотношение дивер генции симметричного тензора энергии-импульса:

Tjk = 0. (7.33) k Сохраняющиеся величины и поля Киллинга Соотношение дивергенции (7.33) определяет сохраняющиеся величины, при на личии полей Киллинга i;

j + j;

i = 0. Интеграл по границе четы рехмерной области преобразуется к интегралу по самой области (теорема Гаусса):

ij Tji j g di = T ij i;

j g d4 x = 0.

i (Tj ) g d4 x = (7.34) Если имеется либо бесконечная, либо замкнутая (типа трех мерной сферы) пространственная область на интервале времени от t1 до t2, то так как граница четырехмерной области представ ляется трехмерными пространствами в эти моменты времени с вектором нормали вдоль оси времени, но при t1 направленном назад по времени, то из (7.34) следует:

Tj0 j g d3 x = Tj0 j g d3 x = Q. (7.35) t=t1 t=t Это есть содержание теоремы Нетер [34]: каждое поле Кил линга определяет сохраняющуюся величину Q.

192 Общая теория относительности Действие Гильберта и уравнения Эйнштейна При постро ении теории гравитации нужен функционал, зависящий только от метрического тензора. Гильберт нашел простейший:

Rij g ij S= R g d4 x = g d4 x.

При этом тензор Риччи Rij зависит только от связностей, вари ация которых является тензором, выражающимся через ковари антные производные вариаций метрического тензора:

g is i = (gsj;

k + gsk;

j gjk;

s ).

jk Поэтому k g ik j ) g ij Rij = g ij ( k k ij k ij j ik ) = k (g ij ij является дивергенцией и по теореме Гаусса уходит в интеграл по границе области. Таким образом, при вариации метрического тен зора внутри области с условием равенства вариации на границе gij Rij (g ij R deltag ij g d4 x.

Rij S = g) d4 x = Физическое действие содержит еще размерную константу c4 Sg = R g d4 x. (7.36) Главным достижением работы Гильберта явился вывод десяти уравнений Эйнштейна как обращающих в нуль вариаций по всем десяти компонентам метрического тензора:

gij (Sg + Sf ) = c4 g ij Rij R + T ij = gij g d4 x = 0. (7.37) 16 2 7.3. Решение Шварцшильда Обращение в нуль вариации по всем компонентам приводит к уравнениям Эйнштейна:

gij Rij R = 4 Tij. (7.38) 2 c У значительной части физиков и математиков создалось впе чатление, что общая теория относительности, так как она пред сказывает новые физические результаты, а вариационный вывод уравнений (7.38) делает ее полностью математически внутренне согласованной, является несомненно правильной теорией.

Настоящий триумф ОТО переживает в 1919 году, когда во время полного солнечного затмения Эддингтон замеряет угловое отклонение положения звезды вблизи закрытого Луной Солнца, прекрасно совпадающее с вычислениями по теории Эйнштейна.

Теория, предсказывающая столь тонкие явления, основанная на исключительно глубоких физических принципах и использующая самые современные высоты математики, оказывается вершиной теоретической физики.

7.3. Решение Шварцшильда Первое точное решение уравнений Эйн штейна пришло в конце 1915 года из германского военного госпиталя от смертельно больного известного аст ронома Карла Шварцшильда ( 1916) (Один из творцов современной теоретической астрофизики. Основ ные работы связаны с теорией звезд ных атмосфер и теорией внутреннего строения звезд.) Он проторил путь решения задач общей теории относительности.

Выбираются координаты, соответствующие физической сущ ности задачи и ее симметрии. Метрический тензор при этом со держит неопределенные функции. Например, в статической зада 194 Общая теория относительности че все компоненты gi0 могут быть обращены в нуль, а сфериче ская симметрия приводит к метрике на сфере радиуса r, который и выбирается за пространственную переменную наряду с углами на сфере. Но масштаб изменения радиуса не определен, так что пространственная часть содержит одну неопределенную функцию µ(r):

dl2 = e2µ(r) dr2 + r2 (d2 + sin2 d2 ).

Неопределенной является и компонента g00 = e2(r). В резуль тате в уравнения Эйнштейна в вакууме G = 0 подставляется метрический тензор с двумя неизвестными функциями:

ds2 = e2(r) c2 dt2 e2µ(r) dr2 r2 (d2 + sin2 d2 ) (7.39) Задав метрику в таком виде и используя технологию, описан ную на стр. 61, получаем три уравнения на две функции (r) и µ(r):

(1 e2µ (1 2 r µ )) = 0;

(7.40) G0 = r G1 = 2 (1 e2µ (1 + 2 r )) = 0;

(7.41) r e2µ G2 = G3 = (µ r (1 r r µ )) = 0;

.(7.42) 2 r Проще всего решить пару уравнений (7.40 – 7.41), содержащих только первые производные по радиусу. Их разность определяет = µ. На бесконечности пространство-время полагается плос ким – пространством Минковского, где + µ = 0, так что это соотношение сохраняется везде. Из дифференциального уравне ния первого порядка (7.40), содержащего только функцию µ(r), определяется g11 = e2µ =.

1 Cr Так как = µ, то C g00 = e2 = e2µ = 1/g11 = 1.

r 7.3. Решение Шварцшильда Еще до создания общей теории относительности Эйнштейн установил связь гравитационного потенциала с компонентой метрики g00 = 1 + 2 /c2, а так как для сферического тела с мас сой M гравитационный потенциал = M/r, то константа C пропорциональна массе, так что в конце концов метрика вне сфе рически симметричного тела массы M определяется выражением (метрика Шварцшильда):

dr 2 M ds2 = 1 c2 dt2 r2 (d2 + sin2 d2 ). (7.43) 2 M r c r c Попробуем теперь найти решение, не используя первое уравне ние – только из (7.41 – 7.42). Из уравнения (7.41) можно выразить первую и вторую производные функции (r):

e2µ 1 e2µ (r µ 1) + = ;

= ( ) =.

2 r 2r Подставив эти выражения в третье уравнение (7.42), мы приходим к первому уравнению (7.40) на функцию µ(r).

Это очень важный результат для дальнейшего: если из систе мы уравнений исключено уравнение с индексами (00), оставшиеся уравнения все равно приводят к метрике Шварцшильда (7.43).

В коэффициенты метрики Шварцшильда масса входит в виде единственного параметра = 2 k M/(c2 r), стремящегося к нулю при r, при этом метрика Шварцшильда переходит в мет рику плоского пространства Минковского в сферической системе координат.

Константы, входящие в этот параметр, можно объединить в од ну rg = 2 k M/c2, (7.44) имеющую размерность длины и называемую гравитационным ра диусом тела с массой M. Например, для Земли отношение грави тационного радиуса к радиусу Земли очень мало:

kM rg 2gR = 2 = 7 · 1010.

= g;

R2 R c 196 Общая теория относительности Вычисление на основе ОТО параметров поворота перигелия Меркурия и отклонения луча света, проходящего вблизи диска Солнца, опирающихся на метрику Шварцшильда, считаются экс периментальными доказательствами ОТО. Если первый резуль тат был принят достаточно сдержано, то отклонение светового лу ча Солнцем, замеренное во время полного солнечного затмения в 1919 году экспедицией Эддингтона, сразу же без подробного ана лиза стало трактоваться как экспериментальное подтверждение общей теории относительности.

7.3.1. Метрика Пэнлеве Спецификой общей теории относительности является произ вол в выборе переменной времени. Заготовка Шварцшильда к вы числению метрики вокруг сферически симметричного тела пред ставлялась диагональной матрицей – с диагональными матрица ми проще вести вычисления.

Отказавшись от условия ортогональности метрики, в 1921 го ду Пэнлеве [35] показал, что существует бесконечно много стати ческих сферически симметричных решений уравнений Эйнштей на с заданной массой, получающихся преобразованием в метрике Шварцшильда временнй переменной t tS :

о dtS = dt + w(r) dr. (7.45) Французский математик Поль Пэнлеве (1863–1933), один из создателей аналитиче ской теории дифференциальных уравнений, политик (во время Первой мировой войны военный министр и даже премьер-министр Франции), авиатор (10 октября 1908 г.

поднялся с Вильбуром Райтом в качестве пассажира в первом официальном полете с пассажиром).

Многообразие сферически симметричных статических реше ний определяется многообразием функций w(r). Назовем это пре 7.3. Решение Шварцшильда образование времени поясным, так как оно аналогично определе нию поясного времени на Земном шаре: в какой-то момент вре мени в поясах различной долготы установлено различное поясное время (например, когда в Москве 12 часов дня, в Лондоне еще только 9 утра, а в Вашингтоне 3 часа ночи). Но за сутки, напри мер, для наблюдателя, покоящегося в любом поясе, приращение времени одинаково (глобальный сдвиг времени).

Многообразие преобразований Пэнлеве порождает многообра зие статических сферически симметричных метрик, все компонен ты тензора Эйнштейна которых равны нулю, содержащих произ вольную функцию W (r):

1 2rkcM W (r) 0 1W (r) 12 M/(r c2 ) W (r) 0 (gij ) =. (7.46) r 0 0 sin r 0 0 При любой функции W (r) такая метрика описывает вакуумное пространство–время вне тяготеющей массы M. С точки зрения ОТО все такие метрики равноправно описывают пространство– время вне тяготеющей массы.

В частности, внимание Пэнлеве привлекла одна метрика с W (r) = 2 k M/(r c2 ), для которой grr = 1 – метрика Пэнлеве (см. стр.

122):

rg rg ds2 = c2 dt2 c dt dr dr2 r2 (d2 + sin2 d2 ), 1 + r r (7.47) где rg = 2 M/c2 – гравитационный радиус. Пространственное сечение t = const имеет метрику трехмерного евклидова простран ства в сферических координатах, в то время как в решении Шварц шильда (7.43) пространство (сечение t = const) не только сильно искривлено, но под гравитационным радиусом rg вообще теряет свою локально евклидову структуру. Пространственный элемент метрики Шварцшильда dr dl2 = + r2 (d2 + sin2 d2 ) 1 2 M/(r c2 ) 198 Общая теория относительности определяет тензор Риччи с не равными нулю компонентами 2M M 1 2 R1 = ;

R2 = R3 =, r3 c2 r3 c в то время как для плоского пространственного элемента метрики Пэнлеве все компоненты тензора Риччи равны нулю.


В метрике Пэнлеве не равны нулю следующие компоненты об ратного метрического тензора:

rg g 00 = 1;

g 0r = g r0 = V ;

g rr = V 2 1;

V =, (7.48) r а g, g совпадают с соответствующими компонентами в метри ке Шварцшильда. Пэнлеве привел метрику Шварцшильда к гло бальному времени и евклидову пространственному сечению.

Так как метрики Шварцшильда и Пэнлеве отличаются пе ременной времени, то траектории в этих метриках различаются только разверткой во времени, тогда как форма траекторий оди накова, но в метрике Пэнлеве это траектории в трехмерном евкли довом пространстве, а в метрике Шварцшильда пространственное сечение не плоское.

Метрика Шварцшильда связана с метрикой Пэнлеве преобра зованием дифференциала времени rg r dtS = dt + dr, c (r rg ) которое после интегрирования определяет связь времени Шварц шильда (tS ) с глобальным временем Пэнлеве:

r rg c tS = c t + 2 rg r + rg ln. (7.49) r + rg Под гравитационным радиусом (r rg 0) время Шварцшильда становится комплексным. Если речь идет о пространстве-времени вне Земли, Солнца – эти два описания эквивалентны. Однако при описании решений в целом – от нулевого радиуса – верным может быть только одно.

7.4. Решение Фридмана 7.4. Решение Фридмана Видимо, наиболее важным для всей науки XX века явилось ре шение Фридмана ([36], 1922 г.). Пренебрегая принципами общей ковариантности, он отделил время от пространства, которое пред ставил в виде трехмерной сферы радиуса r, который мог изме няться с течением глобального времени, подставив неопределен ную функцию r(t) в уравнения Эйнштейна, нашел дифференци альные уравнения, определяющие эту функцию. Затем он нашел зависимость от времени и в задаче с пространственным сечени ем псевдосферы (пространства Лобачевского) – сферы мнимого радиуса.

Промежуточным между этими вариан тами является метрика Эйнштейна-де Ситтера (плоская метрика Фридмана) – трехмерное евклидово пространство с масштабом, зависящим от времени:

ds2 = c2 dt2 m2 (t) (dx2 + dy 2 + dz 2 ) (7.50) Подстановка такой метрики в уравне ния Эйнштейна в вакууме приводит к двум ненулевым дифференциальным уравнениям на одну неизвестную функ цию m(t), определяющим компоненты тензора Эйнштейна:

3 m2 H m G0 = =3 2 ;

H= ;

0 2 m c c m 2 m m + m G1 = G2 = G3 =.

1 2 3 2 m c Из первого уравнения видно, что если выполняются все урав нения Эйнштейна, то масштаб пустого пространства меняться не может – из уравнения G0 = 0 следует m = 0. Однако, второе вакуумное дифференциальное уравнение 2 m m + m2 = 200 Общая теория относительности имеет нетривиальные решения и содержит две константы инте грирования:

t t0 2/ m(t) =.

t Константа t1 определяет момент времени t = t0 + t1, в который масштаб принят за единицу (например, наше время). В момент же t = t0 масштаб равен нулю – расстояние между любыми точками равно нулю. Это “Большой Взрыв”.

Таким образом, для описания наблюдаемого расширения Все ленной не нужны все уравнения общей теории относительности.

Более того, чтобы выполнялось уравнение G0 =, c Мир должен быть однородно заполнен строго определенной плот ностью вещества, определяемой наблюдаемым значением посто янной Хаббла:

m2 3 H m 8 H= ;

=3 2 2 = 2.

c m cm c Если это вещество представлено в виде “звездной пыли” с = c2, то плотность этой пыли должна строго дозироваться:

3 H = c =. (7.51) Более чем полувековые все более и более точные замеры как постоянной Хаббла, так и средней плотности вещества, определи ли несогласованность этого уравнения в 25 раз! Для того, что бы выполнялось первое решение вещества должно быть в 25 раз больше, чем обнаружено.

Выхода два:

• либо еще раз вернуться к основам общей теории относитель ности, проверить, что в ней обосновано недостаточно надеж но, 7.5. Решение Керра • либо открыть новый вид вещества: “темную энергию”, плот ность которой D точно определяется из невязки уравнения (7.51): D = c m. Здесь c, –критическая плотность (7.51), m – замеренная плотность материи.

Так была “открыта” “темная энергия” и “точно замерена” ее плот ность. При этом и первое уравнение Фридмана выполняется точ но: D + m в точности равно c ! Триумф общей теории относи тельности.

Обычно полагается, что причиной расширения является плот ность материи. Мы увидели, что зависимость от времени масшта ба определяется вторым уравнением Фридмана, а первое лишь подгоняет плотность материи под требуемую решением второго уравнения.

7.5. Решение Керра В 1963 году Патрик Керр нашел более общее вакуумное реше ние уравнений Эйнштейна, в которое, кроме массы, входит еще параметр a, которому пропорционален момент количества дви жения вращающегося тела с массой M. При a = 0 это решение переходит в решение Шварцшильда [37]: ds2 = 2 2 2 2 w rg r rg r a dt2 dr d 2 sin2 d2 +2 2 sin2 d dt, = 2 (7.52) где = r2 + a2 2M r;

2 = r2 + a2 cos2 ;

w = (r2 + a2 )2 + 2 M r a2 sin2.

7.6. Приведение к глобальному времени Почти любая четырехмерная метрика может быть приведена к глобальному времени, характерным свойством которой являет ся соотношение g 00 = 1 всюду и всегда. Время с таким соотно шением называется глобальным временем. В глобальном времени 202 Общая теория относительности пространство и время строго отделены, трехмерное пространство риманово (т.е. с четырехмерной точки зрения любые приращения пространственных координат определяют пространственноподоб ные интервалы).

Космологические решения ОТО всегда исходят из метрики в виде:

ds2 = c2 dt2 ij (x, t) dxi dxj, где компонента метрики g 00 = 1 – время глобальное.

Прочие решения ОТО также могут быть приведены к глобаль ному времени. Если имеется четырехмерная метрика g в произ вольных координатах x, для приведения ее к глобальному вре мени нужно преобразовать координаты (точнее – выбрать только новую временню координату = c t) так, чтобы выполнилось у 00 = 1. По законам преобразования тензора условие g g 00 = g = 1. (7.53) x x Но это дифференциальное уравнение на оказывается уравнени ем Гамильтона – Якоби для траекторий движения свободно па дающих материальных точек (лабораторий), общим собственным временем которых и является t. Таким образом, в глобальном вре мени реализуется физический принцип эквивалентности, привя зывающий инерциальную систему к свободно падающей лабора тории, однако в отличие от лифта Эйнштейна, этих лабораторий множество и время в них синхронизировано. Тем самым принцип эквивалентности из локального превращается в глобальный.

7.6.1. Метрика Керра в глобальном времени Применим изложенную методику для приведения к глобаль ному времени метрики Керра. Обратный метрический тензор этой метрики в координатах Бойера - Линдквиста (см., например, [37]) определяет уравнение Гамильтона – Якоби (7.52):

2 2 (r2 + a2 ) 1 1 a2 sin2 2 2 t r 7.6. Приведение к глобальному времени 1 2M r 4M ar 1 2 + = 1, (7.54) 2 2 t sin где = r2 + a2 2M r;

2 = r2 + a2 cos2.

Так как коэффициенты уравнения не зависят от t и, то со пряженные им импульсы есть константы:

= t + l + f (, r).

Из условия совпадения с t на бесконечности нужно, чтобы = 1.

Слагаемое с квадратом l = / содержит в знаменателе sin2, и для избежания соответствующей сингулярности нужно положить l = 0. Умножив при этой подстановке (7.54) на 2, получим 2 (r2 + a2 )2 a2 sin2 r2 a2 + a2 sin2 = 0.

r Сокращая слагаемые с sin2, получим уравнение с коэффициен тами, не зависящими от, что вместе с условием на бесконечности определяет независимость от, так что окончательно получаем 2M r(r2 + a2 ) = t ± u(r);

u(r) =. (7.55) Подстановка dt = d + u dr меняет компоненты метрики 2M r(r2 + a2 ) g 00 = 1;

g 0r = V r = и приводит пространственное сечение = const к метрике 2 2M r(r2 + a2 )(2M r 2 ) = 2 rr = + ;

(7.56) 2 2M r(r2 + a2 ) 2M ar sin2 ;

r = 2 2M r = r2 + a2 + 2 a2 sin2 sin с детерминантом всюду положительным det(ij ) = 4 sin2. (7.57) 204 Общая теория относительности Это говорит о том, что пространство всюду имеет локально ев клидов тип, в то время как в координатах Бойера - Линдквиста при радиусах меньших гравитационного ( = 0) пространствен ное сечение t = const становится локально псевдоевклидовым.

7.7. Вспышки сверхновых и вращение Решение Керра описывает метрику пространства-времени вне вращающейся звезды и ее специфика позволяет понять топологи ческий механизм вспышек сверхновых звезд.

Вспышки сверхновых обычно объясняются ядерными превра щениями при сильном гравитационном сжатии звезды. Анализ наблюдений за вспышками сверхновых приводит к выводу: “По видимому, вспышка сверхновой связана с существенным преобра зованием природы звезды”, – [38, с. 40]. Но что это за преобразо вание, каков спусковой механизм этого процесса? Определенный свет на данную проблему проливает факт, что сверхновые II типа наблюдаются только в спиральных галактиках (см. [39, с. 604]).

Видимо, существенную роль играют процессы вращения.

Роковую роль в астрофизической судьбе решения Керра сыг рало исследование Картера [40] топологической структуры мет рики Керра, в котором он показал, что при параметре Керра a, большем, чем гравитационный радиус, в окрестности сингу лярности возникают нефизические особенности временной части метрики. Мода на установление “принципов природы” привела к заключению: “Потеря смысла метрикой Керра при a rg /2 озна чает, что значение amax = rg /2, Mmax = m rg /2 дает верхнюю границу возможных значений момента коллапсара.” После уста новления этого “принципа природы” ограничение метрики Керра малыми моментами стало как бы очевидной истиной: “Подчерк нем, что все рассмотренные выше свойства пространства–времени черной дыры справедливы только, если M |a|. В противном слу чае в решении исчезает горизонт и оно уже не описывает черную дыру. Появляются “патологические” особенности [Хокинг, Эллис (1973)], и вряд ли это решение может иметь какое-либо отношение к реальности.” [41, с. 63].


7.7. Вспышки сверхновых и вращение Но если звезда образовалась путем гравитационного сжатия облака пыли, масса этой пыли и ее момент количества движе ния не связаны никакими математическими ограничениями – они определяются начальными условиями. Момент количества дви жения вполне может оказаться больше критической величины, определяемой условием a = rg /2:

M Lcr =. (7.58) c Здесь – гравитационная постоянная, а M – масса звезды. По смотрим, что значит это ограничение. Для оценки можно принять звезду в виде однородного шара массы M и радиуса R, тогда ее момент инерции равен J = 0.4 M R2. Приравнивая момент коли чества движения L = J его “максимально допустимому значе нию” (7.58), можно найти предельную угловую скорость враще ния:

M 2 5M 5g M R2 max = ;

max = =, (7.59) 2c 5 c 2R 2c где g – ускорение свободного падения на поверхности звезды. В частности, для Земли эта “максимальная угловая скорость вра щения” max = 50/(6 · 108 ) 107 c1 определяет “минимально допустимый период вращения Земли вокруг своей оси” T 2 · часа, или 873 суток, или 2.4 года. Если Земля будет вращаться быстрее (что она и делает), то будет нарушен принцип предельно допустимого момента. И Луна нарушает установленные пределы.

Скорее всего, трудно найти небесный объект, вращающийся с уг ловой скоростью, меньшей “предельно допустимой”.

Звезды, имеющие момент количества движения больше пре дельного, определяемого выражением (7.58), для краткости будем называть ротарами, в отличие от медленно вращающихся слипа ров.

В метрике Шварцшильда два параметра: гравитационный и геометрический радиусы, а в решении Керра таких параметров три: масса M, параметр вращения a и гравитационный потенци ал на поверхности звезды, определяющий ее внешний геометри ческий контур.

206 Общая теория относительности Шварцшильдовы и медленно вращающиеся звезды (слипары, a M ), если их масса велика, по современным представлениям должны коллапсировать достаточно спокойно: материя асимпто тически приближается к эргосфере.

Поведение ротаров принципиально другое. Пока теоретиче ские сингулярности находятся далеко под поверхностью объекта, никаких заметных проявлений это нарушение не вызывает. Од нако, если ротар неограниченно коллапсирует, то еще до подхода внешнего радиуса к горизонту наступает топологический фазо вый переход: внешняя фигура звезды из топологически подобной сфере переходит в топологически подобную тору, причем не посте пенным уменьшением размера вдоль оси вращения до нуля с по степенным превращением в тор, а при конечной толщине вращаю щегося диска – с разрывом. При этом обнажается сингулярность.

Такой переход, без сомнения, является упомянутым выше “суще ственным преобразованием природы звезды”, который не может происходить без взрывов.

Изоэнтропный газ в сопутствующей системе Метрика Кер ра реализуется вне вращающейся звезды, поэтому необходимо изу чить форму ее поверхности. При этом приходится выдвигать неко торые предположения о внутренней структуре звезды.

Полагая вещество коллапсирующей звезды изоэнтропным, най дем условие, определяющее форму ее поверхности. В изоэнтроп ной жидкости давление, плотность энергии и другие термодина мические потенциалы однозначно функционально связаны друг с другом. Эти соотношения достаточно подробно рассмотрены еще Толменом [42]. Для дальнейшего важно соотношение между дав лением p, энтальпией h, плотностью вещества и плотностью энергии :

dp = dh;

d = h d;

+ p = h. (7.60) Тензор энергии–импульса идеальной жидкости может быть пред ставлен в виде T = ( + p) u u p = ( u ) (h u ) p.

(7.61) 7.7. Вспышки сверхновых и вращение Закон сохранения количества вещества ( u ) =0 (7.62) из четырех уравнений равенства нулю дивергенции тензора энергии– импульса (h u ) h, = T = u оставляет только три независимых (четвертым является он сам):

h, u + (u u ) u = 0. (7.63) h Свертка этих соотношений с u тождественно равна нулю.

В сопутствующей системе частицы относительно себя не пере мещаются, и отлична от нуля только компонента четыре–скорости u0, а компоненты ui равны нулю (латинскими индексами мы отме чаем пространственные компоненты). Если, кроме того, система стационарна – производные по времени от всех переменных равны нулю, – то уравнения (7.63) принимают стационарный вид:

h,j u0 0 uj =. (7.64) h Так как производные по времени равны нулю, слева оказывается лишь добавка в ковариантную производную от связностей, и, так как g00 (u0 )2 = 1, u = g 0 u0, откуда g 0 u = u0 :

g00,j h,j u0 u = u0 00j g 0 u = =. (7.65) 0j 2 g00 h Отсюда следует основное соотношение гидростатики идеаль ной изоэнтропной жидкости в сопутствующей системе:

const h=. (7.66) g Все термодинамические величины, однозначно определяемые эн тальпией h, выражаются через компоненту метрики g00 (с нижни ми индексами). В частности, с этой компонентой метрики связано 208 Общая теория относительности давление: на поверхности звезды, определяемой равенством нулю давления, компонента g00 должна быть постоянной.

В нерелятивистской динамике вращающейся жидкости на по верхности постоянна сумма граитационного и центробежного по тенциала, как раз и являющиеся добавками к g00.

Горизонты ротаров Керрова модель вращаюшейся звезды опре деляется гравитационным радиусом rg и параметром вращения a.

Оба эти параметра имеют размерность длины, так что их отноше ние = 2 a/rg = L c/( M 2 ) – быстрота вращения – безразмерна.

Значение = 1 отделяет слипары ( 1) от ротаров ( 1).

Третьим параметром является гравитационный потенциал на поверхности звезды, через который выражается безразмерный параметр = 2 /c2 :

= 1.

g00 = 1 + c Он определяет внешнюю геометрию звезды. Значение = 1 дает теоретический горизонт звезды. Если 1, то теоретический горизонт реально отсутствует: под внешней границей звезды на ходится вещество, где характер решения существенно отличается от вакуумного. Момент инерции звезды с экваториальным ради усом R J = M R2. Для однородного шара = 2/5, так что для приблизительно сферической звезды быстрота вращения вы ражается через ускорение свободного падения на ее поверхности g = M/R2 и период вращения вокруг собственной оси T :

M R2 c R a c = = = c = 2.

M rg /2 M gT Мы уже показали, что Земля является быстрым ротаром. При ведем значения безразмерного параметра для Солнца и некото рых планет Солнечной системы:

7.7. Вспышки сверхновых и вращение g, м с T, час. Солнце 0.4 275 6000 1. Венера 0.332 8.87 243 cут. 3. Меркурий 0.324 3.7 1411 32. Луна 0.4 1.62 27.3 Юпитер 0.2 25 9 ч. 50 мин. Земля 0.332 9.81 24 Сатурн 0.22 11 10 ч. 14 мин.

Здесь для Луны и Солнца взято значение = 0.4 – как для однородного шара. Если для Солнца = 0.315, то оно окажется как раз на границе слипаров и ротаров. Если же 0.2, как у Юпитера или Сатурна, то Солнце оказывается слипаром. Все же планеты, а также Луна, являются ярко выраженными ротарами.

Выделяется значение = 1023 у Сатурна, у которого и наблюда ются наиболее эффектные проявления вращения.

Метрика Керра при нулевой массе (параметр rg = 0, но a = 0) описывает плоское пространство в сфероидальных координатах (см. [37]). Размер сингулярной области определяется параметром a, и кривизна пропорциональна rg /a3, то есть мала при малом от ношении rg /a, так что несмотря на сложность формул, метрика Керра может описывать ротары в почти плоском пространстве в сфероидальных координатах, связывающих координаты Бойера– Линдквиста с декартовыми координатами в трехмерном евклидо вом пространстве следующим образом:

a2 + r2 sin cos ;

a2 + r2 sin sin ;

x= y= z = r cos. (7.67) У слипаров выделяют две характерные поверхности – гори зонт, определяемый соотношением rg r g00 = 1 = 0, (7.68) r2 + a2 cos и эргосферу, определяемую соотношением = r2 rg r + a2 = 0. (7.69) 210 Общая теория относительности Последнее уравнение имеет вещественные решения лишь при 1, так что для ротаров эргосфера отсутствует и остается лишь од на характерная поверхность – горизонт, уравнение которого сле дует из (7.68):

r2 rg r + a2 cos2 = 0. (7.70) Это квадратное относительно r уравнение имеет два решения (µ = rg /2):

µ2 a2 cos2 = µ 1 ± 1 2 cos2.

r1,2 = µ ± Проследим, как меняется горизонт при a µ (цифры на осях показывают отношение радиуса к µ):

= 0.95 =1 = 1. Критическая поверхность (при = 1) отсекает по оси z отрез ки размера a = µ.

При 1 геометрическая особенность r = 0, = /2 [40] оказывается открытой и отстоит от оси вращения на расстояние a.

Приведем вид горизонта для больших :

=2 = 7.7. Вспышки сверхновых и вращение Коллапс ротаров В великолепном обзоре Руффини [43] запи саны уравнения движения пробных частиц (не изменяющих массу и момент количества движения звезды). Они не содержат каких либо видимых особенностей, которые можно было бы трактовать как взрыв. Более того, описание динамики коллапса пылевидной материи, образующей массу и момент количества движения вра щающейся звезды, приведено в [44]. Эти решения также представ лены некоторыми интегралами. Но чтобы выявить “существенное преобразование природы звезды”, нужно следить не за отдельны ми пылинками, а за облаком в целом. В сферически симметрич ном варианте коллапса уменьшается внешний радиус звезды, при этом во всех точках поверхности одинаково уменьшается грави тационный потенциал. При коллапсе вращающейся звезды после довательность поверхностей = const ( = const) в определенной степени отображает коллапс ротара. Эти поверхности находятся из выражения для компоненты g00 метрики Керра:

2 2µr 1=1 2.

g00 = 1 + c2 Как и для горизонта, это квадратное уравнение относительно ра диуса:

2µ r2 r + a2 cos2 = 0.

Оно совпадает с уравнением горизонта (7.70), если в последнем заменить µ на µ/. В частности, топологический переход совер шается при потенциале µ µ = a;

c = =. (7.71) c a Это очень важное соотношение: если при сферически симметрич ном коллапсе особенности достигаются при = 1, то для ротаров топологическая особенность достигается при значительно мень ших значениях: = c = 1/. Размер критической поверхности вдоль оси z для = 1 равен µ, определяется массой, а для ро таров этот размер равен параметру вращения a, который может быть во много раз больше гравитационного радиуса.

212 Общая теория относительности Построим серию эквипотенциальных поверхностей µ µ a2 cos ± r1,2 = с = 0.25, 0.5, 1, 2, 4 для ротара с = 2:

На ранней стадии коллапса форма ротара близка к сфериче ской, однако по мере приближения к критическому потенциалу c = 1/ она становится более сплюснутой. После прохождения критического потенциала происходит резкое изменение геометрии звезды: она при конечном размере вдоль оси z (z = 2 a) прини мает тороидальную форму, при этом обнажается сингулярность.

По-видимому, этот переход для сколь-нибудь реалистичной моде ли вещества звезды не может проходить квазистатически, а при водит к взрыву. Внутренний контур на рисунке отображает гори зонт = 1. Переход наступает задолго до горизонта, особенно у ротаров с большим.

Пространственная метрика До сих пор мы занимались толь ко компонентой g00 метрики Керра. Однако картины горизонтов или эквипотенциальных поверхностей зависят от пространствен ной метрики, и здесь мы сталкиваемся с принципиальными во просами.

Метрика пространственного сечения t = const в глобальном времени имеет вид (7.56). Если положить a2 = 0, то r, 7.7. Вспышки сверхновых и вращение r2 rg r, и метрика переходит в уже упоминавшуюся (6.59) с ев клидовым пространственным сечением.

Геометрия построенных в предыдущих разделах поверхностей горизонта и равного потенциала определяется метрикой (7.56).

Мы проследим лишь за двумя параметрами этих поверхностей:

вдоль оси z ( = 0, dl = g (z) dr) и вдоль экваториального радиуса ( = ±/2, dl = g (r) dr), где (в масштабе a = 1) g (z) = grr |=0 = 1;

(1 + r2 )(r2 + rg ) rg r (1 + 2 r2 ) g (r) = grr |=/2 =. (7.72) 1 rg r + r Расстояние по оси z не искажается. В частности, при критическом потенциале топологического фазового перехода толщина диска вдоль оси z равна 2 a.

При расчете расстояний вдоль экваториального радиуса мас штабный множитель g (r) не равен единице. Расстояние от оси вра щения до сингулярности R определяется интегралом по радиаль ной переменной при = /2:

g (r) dr.

R= Вычислим сначала это расстояние при rg = 0 – в евклидовом пространстве в сфероидальной системе координат (7.67). Здесь r r dr 1 + r 2 |0 3 = (r) = 4 1 = 1.

g ;

R= = 1 + r2 1 + r Отсюда и определяется верхний предел интеграла R. Для нену левых масс этот интеграл как функция быстроты вращения представлен на графике:

214 Общая теория относительности Из графика видно, что уже при 5 расчеты мало отличают ся от расчетов в плоском пространстве, т.е. в динамике быстрых ротаров кривизна пространства играет малую роль.

Итак, при больших вращательных моментах коллапсирующей звезды взрыв наступает значительно раньше, чем ее поверхность достигнет горизонта, и при размерах, значительно бльших ее о гравитационного радиуса.

7.8. Динамика пространства в ОТО Уравнения Эйнштейна требуют нахождения четырехмерной метрики в четырехмерном пространстве, содержащим и прошлое и настоящее и будущее. В то же время классическая физика име ет динамический вид: для любой системы в некоторый начальный момент (настоящее) определяются необходимые параметры (дан ные Коши) и из динамических уравнений определяется развитие этих параметров во времени – предсказывается будущее и восста навливается прошлое. Поэтому оказались вполне естественными попытки привести уравнения Эйнштейна к такому же динамиче скому виду.

На этом пути важную роль сыграла серия работ Арновитта, Дезера и Мизнера 1959 года (АДМ) [45], где в явном виде выделе на переменная времени и показано, что динамическими перемен 7.8. Динамика пространства в ОТО ными в ОТО являются компоненты трехмерной метрики.

Они представили десять компонент четырехмерного метриче ского тензора через шесть компонент метрического тензора ij, трехмерный вектор V i (в обозначениях ТГВ при c = 1) и функ цию хода времени f (x, t):

g00 = f 2 ij V i V j ;

g0i = ij V j ;

gij = ij. (7.73) Компоненты обратного метрического тензора Vi V iV j g 00 = g 0i = g ij = ij.

;

;

(7.74) f2 f2 f Вариация действия Гильберта в ОТО в соответствии с прин ципом общей ковариантности полагает вариацию всех десяти па раметров:

1 ij G00 f + G0i V i + S = G ij f d3 x dt. (7.75) В ТГВ компонента g 00 = 1 всегда и везде – это функция, опре деляющая ход глобального времени. Поэтому она не может ва рьироваться, и функция, которая умножается на эту вариацию, может быть произвольной. Это и есть плотность энергии (5.7).

Только компоненты пространственного метрического тензора ij являются динамическими, имеющими сопряженные импуль сы ij, а недиагональные элементы метрики g 0i V i (в ТГВ – поле скоростей) входят в производную по времени, компенсируя произвол координатных преобразований:

µij = (ij + Vi;

j + Vj;

i ), (7.76) 2c АДМ-представление является мостиком от ОТО к ТГВ: до статочно положить f = 1, f = 0. Но в ОТО этому мешает об щая ковариантность: после общего преобразования координат в новом АДМ-разбиении f опять окажется функцией координат и времени. Чтобы сохранить f = 1, нужно ограничиться преобра зованиями координат, зависящих от времени, но не затрагивать 216 Общая теория относительности преобразование времени. Однако следует подчеркнуть, что этот мостик формальный, на уровне уравнений. Физически ТГВ исхо дит из идеи пространства, как материального носителя геометри ческих свойств и глобального времени, как собственного времени пространства.

Таким образом, вариация всех десяти компонент, определяю щих четырехмерную метрику в (7.75), приводит к основному от личию формул ОТО от формул ТГВ: вариация по f приводит к дополнительному по сравнению с девятью уравнениями ТГВ уравнению: плотность полной энергии – пространства и вещества – должна равняться нулю, а поэтому и сам гамильтониан равен нулю.

Решения ОТО, таким образом, определяют подмножество всех решений ТГВ с плотностью энергии всюду равной нулю.

Динамическое АДМ-представление уравнений Эйнштейна при вело к значительному прогрессу в описании пространства-времени.

В этом представлении произведено расщепление пространства и времени на трехмерное пространство, метрический тензор кото рого оказывался основным динамическим полем, и время, в кото ром и совершалась динамика.

Вот, например, утверждение Д. Брилла и Р. Гоуди 1970 года [46]:

“До недавнего времени необходимость пространственно временной ковариантности в ОТО не подвергалась со мнению. Но, как оказалось, явное разделение простран ства и времени в (3+1)- ковариантном формализме име ет большие формальные и принципиальные преиму щества в ОТО;

установление этого факта имеет очень важное значение.” Вершиной в описании пространства и времени с позиций об щей теории относительности является монография Мизнера, Тор на и Уилера, написанная в 1974 году [20]. Тот факт, что одним из авторов этой книги является один из создателей АДМ-динамики Чарльз Мизнер, а другим – создатель геометродинамики, постро 7.8. Динамика пространства в ОТО енной на основе АДМ-представления, Джон Уилер, привело к на правленности на динамическое описание на основе (3+1) разло жения метрики:

“В гамильтоновом формализме Арновитта, Дезера и Мизнера... динамика геометрии принимает форму, со вершенно аналогичную гамильтоновой динамике гео метрии.” В монографии проведен тщательный анализ совместимости оснований ОТО с квантовыми принципами и они делают сокру шительный для ОТО вывод:

“Понятие пространства-времени несовместимо с кван товым принципом.” Геометродинамика Уилера – это множество трехмерных про странств (суперпространство), в котором, исходя из какой-то точ ки (начальное трехмерное пространство) в соответствии с АДМ уравнениями совершается динамика геометрии – переход к дру гим точкам суперпространства. Решение уравнений Эйнштейна – четырехмерная геометрия пространства-времени – это есть траек тория в суперпространстве. Однако, квантовомеханический прин цип неопределенности приводит к недопустимости реализации кон кретной траектории: невозможно создать пусть очень искусствен ный волновой пакет вблизи какой-либо конкретной траектории – конкретной конфигурации четырехмерного пространства-времени.

И авторы делают вывод:

“Таким образом, принцип неопределенности не позво ляет нам как-то предсказать или хотя бы придать ра зумный смысл “детерминированной классической ис тории пространства, эволюционирующего во времени”.

Пространство - время невозможно предсказывать, сле довательно, пространство - время не имеет смыс ла, вот что диктует квантовый принцип. Объект, являющейся центральным во всей классической общей теории относительности, – четырехмерная геометрия 218 Общая теория относительности пространства-времени – просто не существует, если вый ти за рамки классического приближения.

Эти рассуждения показывают, что концепция простран ства и времени не являются первичными понятиями в структуре физической теории. Эти концепции спра ведливы лишь в классическом приближении. Однако они теряют смысл и применимость при условиях, ко гда эффекты квантовой геометродинамики становятся существенными...

Тот факт, что пространственно-временной подход неве рен, не означает, что не существует верного способа описания динамики геометрии, совместимого с кванто вым принципом. Суперпространство является ключем к одному из правильных способов описания динами ки.” При таком подходе динамическим объектом является трех мерное пространство, мгновенную конфигурацию описывает 3 геометрия.



Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.