авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 |

«3 Оглавление Глава 1. Пространство и время 7 ...»

-- [ Страница 5 ] --

“Как отличается эта концепция от обычного понимания пространства - времени! Согласно обычным представ лениям, геометрия пространства - времени строится из элементарных объектов, или точек, называемых "со бытиями". Здесь же, напротив, первичной концепцией служит 3-геометрия...” Вся логика приводит к динамике трехмерного пространства.

Но в каком времени? А вот в каком:

“Время в общей теории относительности имеет много стрелочный характер и сильно отличается от времени в нерелятивистской механике частиц, которое имеет од нопараметрическую природу... Изучающий геометрию может свободно толкать пространственно-подобную ги перповерхность в одном месте вперед быстрее, чем в 7.8. Динамика пространства в ОТО другом, пока гиперповерхность остается пространствен но - подобной. Эта свобода отражена на каждой стадии интегрирования t в функции хода N (t, x, y, z)... Выбор N – дело не Природы, а человека. До тех пор, пока та кой выбор не сделан, динамические уравнения не могут приступить к выполнению своей роли.” Но откуда же взялись эти удивительные утверждения? Из каких-то теоретических соображений или какие-то эксперименты определяют, что динамика геометрии происходит в “многостре лочном времени”?

Это – дань принципу общей ковариантности.

О многострелочности времени вроде-бы говорит специальная теория относительности. Множество движущихся наблюдателей в одной точке пространства имеют каждый свое время. Значит динамика пространства должна описываться одинаково для всех наблюдателей, то есть в многострелочном времени. Но откуда это следует? Если процессы каждого движущегося (точечного) наблюдателя развиваются в его собственном времени, почему про странство не может эволюционировать в своем собственном (гло бальном) времени?

Эксперименты Майкельсона, Троутона–Нобла и др., положив шие начало специальной теории относительности, – это экспери менты с электромагнетизмом, демонстрирующие лоренц - инва риантность локальных электромагнитных полей.

Однако уравнения динамики геометрии в принципе не могут быть локально лоренц - инвариантными просто потому, что поня тие геометрии пространства не может быть локальным. Самым естетственным и не противоречащим никаким опытам и никаким физическим принципам является не внесение какого-либо нового понятия относительно времени, а сохранение старого, классиче ского, ньютонова абсолютного времени, как времени, в котором и происходит динамика пространства. Множество времен движу щихся наблюдателей не противоречит их динамике в собственном времени и никак не противоречит развитию пространства в соб ственном глобальном времени.

220 Общая теория относительности Идеи геометродинамики существенно пролили свет на абстракт ные конструкции ОТО. Привлечение к ним идей фейнмановских интегралов в квантовой физике, казалось, вскоре решит, по край ней мере, в принципе, и проблему построения квантовой теории гравитации. Успехи в космологии, связанные с обнаружением ре ликтового излучения, фактически подтвердившего динамическую природу пространства, также вселили большой энтузиазм в воз можность описания на основе ОТО процессов в далеком прошлом – Большого Взрыва.

Развиваясь теоретически в самых различных направлениях, ОТО всюду демонстрировала математическое изящество вопро сов, связанных с искривленным четырехмерным пространством временем, и “звонок” Мизнера, Торна и Уилера (пространство время не имеет смысла) оказался заглушенным потоком все но вых и новых успехов. Правда, эти успехи оказывались связанными со все более и более усложняющейся, уходящей от анализа физи ческих приципов, математикой. Например, в 1982 году Томимацу и Сато [47] нашли исключительно сложную, но изящную серию осесимметричных вакуумных решений уравнений Эйнштейна.

Все более укреплялось мнение, что вся физика пространства времени связана со все более усложняющейся математикой. Нуж ны все более и более “безумные идеи”.

В такой победоносной ситуации какой-либо критический ана лиз основ общей теории относительности казался совершенно неуместным, особенно после нескольких неудачных попыток та кой критики, связанных не с физическими, а формальными мате матическими принципами (например, требование глобальной ло ренц - инвариантности).

Как писал Бонди [48]:

“Если теория выглядит не столь уж неприемлемой и ее приложения весьма успешны, то интерес к ее логи ческому базису мал. Так, критика Беркли динамики Ньютона в свое время практически не оказала какого либо воздействия, и даже ее воскрешение и усиление Махом двумя столетиями позднее оказало лишь незна 7.9. Несостоятельность общей ковариантности чительное влияние.” Практические приложения ОТО были далеко не столь успеш ны, как динамика Ньютона, но математические успехи вокруг нее были впечатляющими, и анализ ее основ действительно казался неуместным.

7.9. Несостоятельность общей ковариантно сти Общая ковариантность уравнений Эйнштейна не следует ни из каких физических наблюдений или философских рассужде ний. Появление этого принципа связано, скорее, с психологией и историей развития специальной теории относительности: Эйн штейн стремился линейные преобразования Лоренца обобщить до произвольных преобразований.

Гильберт – математик – вывел уравнения Эйнштейна как ма тематически наиболее простой вариант: вариации по всем ком понентам метрического тензора должны обращаться в нуль. Для математика все компоненты равноправны. Физик должен за ком понентами видеть физические сущности: время и пространство.

Если выкристаллизовывается некоторая обобщающая теория, для изучения допустимых обобщений необходимо следить, как они действуют в изученной области (классической физике).

А в классической физике общая ковариантность отсутствует, значит она недопустима и в обобщающей теории, так как отсут ствует параметр, сигнализирующий о ее исчезновении или воз никновении.

7.9.1. Общая ковариантность и энергия Безосновательное привлечение в теорию общей ковариантно сти привело к серьезной проблеме: проблеме энергии в общей тео рии относительности. Описывая влияние материи на искривле ние пространства-времени, Гильберт вывел важнейшую теорему вариационного исчисления, из которой, в частности, следует, что 222 Общая теория относительности плотность энергии любого поля определяется вариацией действия этого поля по компоненте метрики g 00.

Уравнения классической динамики, электродинамики имеют вид описания развития системы во времени. Эти уравнения выво дятся из принципа наименьшего действия: S = 0 при заданных начальном и конечном моментах времени. При сдвиге по времени на t изменение действия определяется энергией:

S = E t.

В уравнениях Эйнштейна все четыре координаты совершен но равноправны, а потому равноправны и все компоненты мет рического тензора. Общая ковариантность требует, чтобы при произвольной вариации времени действие не изменялось, чтобы плотность суммарной энергии равнялась нулю:

S = E t = 0;

E = 0.

Для иллюстрации рассмотрим статическую систему в неко торой неизменной области пространства на отрезке времени от момента 0 до момента A, имеющего в выбранном масштабе зна чение времени tA. Гамильтониан определяет изменение действия на бесконечно малом участке от момента времени A до tA + t.

Однако формально можно увеличить время на (беско нечно малую) величину t, не меняя области четырехмер ного интегрирования, лишь проведя изменение масштаба времени c бесконечно малым параметром : t = (1 + ) t.

Тогда время момента A станет равным (1 + ) tA, то есть t = tA. При этом, так как четырехмерная область не изменилась, действие тоже не изменилось: S = 0.

Но при изменении масштаба времени изменилась компонента 7.9. Несостоятельность общей ковариантности метрического тензора t g 00 = (1 + )2 g 00 (1 + 2 ) g 00 ;

g 00 = 2 g 00.

g = t Поэтому нулевая вариация действия складывается из двух частей:

tA S 00 g d x H tA = S = dt g S 00 g d xH = tA 2 = 0. (7.77) g Отсюда следует выражение для гамильтониана всей системы:

S 00 H=2 g d x. (7.78) g В ОТО эта вариация равна нулю, а потому и энергия любой си стемы равна нулю. Это положение хорошо известно в теорети ческой физике (см., например, [20, т. 2, с. 129, формула (21.12)]).

Именно это следствие является причиной отсутствия стыковки ОТО с квантовой теорией: что за квантовая теория с равным ну лю гамильтонианом? Да и классическая динамика поэтому не мо жет быть пределом ОТО, так как и в ней тогда любая система должна иметь равную нулю энергию.

В космологии требование нулевой энергии также приводит к отсутствию согласования предсказаний ОТО с наблюдениями. В задаче Фридмана (см. раздел 7.4.) уравнения Эйнштейна при водят к двум дифференциальным уравнениям на радиус: одно второго порядка, динамическое уравнение, имеющее первый ин теграл – энергию. Однако требование ОТО о равенстве нулю сум марной энергии при заданном радиусе (масштабе) и скорости его изменения требует определенной плотности вещества, однозначно определяемой постоянной Хаббла.

Эта требуемая плотность оказывается в 25 раз меньше обна руженной после тщательных полувековых измерений. Казалось 224 Общая теория относительности бы, этот факт должен заставить задуматься об адекватности опи сания космической динамики уравнениями Эйнштейна. Однако выход был найден на более легком пути: в стиле средневековой науки недостающая плотность была названа “темной энергией”, плотность которой такова, чтобы в точности выполнялись урав нения Эйнштейна.

Сразу же после разработки Эйнштейном общей теории отно сительности Лоренц [49] и Леви-Чивита [50, с. 381], используя разработанные математические методы, в том числе и теоремы Гильберта, показали, что корректно определенными выражения ми компонент тензора энергии-импульса самого гравитационного поля являются вариации действия Гильберта (7.6) по компонен там метрического тензора. В частности, плотность энергии равна c Sg = =2 G00. (7.79) g g 00 Но так как плотность энергии прочей энергии равна T00, то из уравнения Эйнштейна с (00)-индексами следует, что суммарная плотность энергии – гравитации и прочего вещества – в точно сти равна нулю. Это очевидно из теоремы Гильберта: уравнение Эйнштейна с индексами (00) и получается приравниванием нулю вариации полного действия по компоненте g 00, априори прирав нивая к нулю полную энергию.

7.9.2. Псевдотензор энергии-импульса Против такого толкования энергично восстал Эйнштейн. В очень значительной работе [51] (о которой речь дальше) Эйн штейн категорически возражает против такого определения энер гии:

“Конечно, нельзя выдвинуть логического возражения против такого рода наименования. Однако, я нахожу, что из уравнения (7.79) нельзя вывести таких след ствий, какие мы привыкли делать из законов сохра нения. Это связано с тем, что согласно (7.79) компо ненты полной энергии всюду обращаются в нуль 7.9. Несостоятельность общей ковариантности [выделено мной – Д.Б.]. Уравнения (7.79)... не исклю чают, например, того, что материальная система мо жет полностью раствориться, не оставив никакого сле да.” В классической теории полей (например, в электродинамике) тензор энергии-импульса квадратичен относительно первых про изводных полевых потенциалов по четырем координатам. Это свя зано с тем, что действие также квадратично по этим величинам.

Действие Гильберта содержит вторые производные метриче ского тензора, но линейно. Эйнштейн исключил из действия Гиль берта вторые производные выделением полной производной, от которой уравнения не зависят, и показал, что уравнения могут быть выведены из укороченного действия G, которое, хотя и не общековариантно, но зависит максимум от первых производных:

w + G = ( g g ) + g g (µ µ ).

R g= µ µ x (7.80) Далее, пользуясь не ковариантными, а обычными производны ми (ковариантная производная метрического тензора, напомним, равна нулю), Эйнштейн определяет что-то похожее на классиче ский тензор энергии-импульса: псевдотензор энергии-импульса.

Однако использование псевдотензора требовало определенно го согласования координат на бесконечности и постепенно при учало к мысли, что динамика гравитации, динамика метрического поля в своем описании существенно отличается от динамики клас сических полей с их определенными тензорами энергии-импульса.

Вот как описывает ситуацию с псевдотензором В. Паули [52, стр. 245] “При более близком рассмотрении появляются, однако, большие затруднения... из-за того, что величины tik не образуют тензора,... они могут быть сделаны равными нулю в любой заданной мировой точке.

Но более того, как обнаружил Шредингер [53], для поля материальной точки... все компоненты энергии 226 Общая теория относительности тождественно исчезают. Этот результат может также быть получен и в случае поля заряженного шара.

С другой стороны, Бауер [54] показал, что в результате простого введения полярных координат в евклидов ли нейный элемент специальной теории относительности, компоненты энергии принимают значения, отличные от нуля, и при этом полная энергия даже бесконечна!” Как далее пишет Паули [52, стр. 247] “Окончательное разъ яснение вопроса принесла работа Эйнштейна “Закон сохранения энергии в общей теории относительности” [55]. Здесь было дано доказательство того, что выражения для полной энергии и полно го импульса [псевдотензоры – Д.Б.] замкнутой системы в значи тельной степени не зависят от координатной системы, хотя лока лизация энергии в различных системах координат, вообще говоря, осуществляется совершенно по-разному.” Однако, видимо, окончательно точка была поставлена не длин ными рассуждениями и формулами в этой работе Эйнштейна, а практическим применением псевдотензоров в блестящей рабо те того же 1918 года “О гравитационных волнах” [51], в кото рой Эйнштейн решил задачу об описании слабых гравитацион ных волн – малых динамических добавок к метрике Минковско го. Далее, используя многократно ранее обсуждавшееся выраже ние для псевдотензора энергии-импульса гравитационного поля, он вывел формулу потери энергии за счет гравитационного излу чения в квадрупольном приближении системы с периодически ме няющимся квадрупольным моментом: вращающимся стержнем, системой двойных звезд. Потеря энергии пропорциональна ше стой степени угловой скорости системы. В конце прошлого века Тейлор и Халс [25], длительными наблюдениями над двойными звездами замерили потерю ими энергии именно в соответствии с формулами, выведенными Эйнштейном.

Запутанность проблемы псевдотензоров приводило к вере или сомнениям в ОТО, а не к пониманию ее проблем.

7.9. Несостоятельность общей ковариантности 7.9.3. Биметрический смысл псевдотензоров Почему же в общих вычислениях псевдотензоры зачастую да ют бессмысленные результаты (бесконечная энергия в сфериче ской системе координат в пространстве Минковского), а в задаче об излучении гравитационных волн оказались неоспоримым рабо чим инструментом?

В работе [55] Эйнштейн разъясняет, как нужно выбирать ко ординаты, чтобы никаких парадоксов не было:

“Чтобы можно было говорить об энергии или импульсе системы, плотности энергии и импульса системы долж ны обращаться в нуль вне некоторой области B. Это будет только тогда, когда вне области B gµ посто янны, т.е. только тогда, когда рассматриваемая систе ма как бы погружена в “галилеевское пространство”, и мы пользуемся галилеевскими координатами при опи сании окружения системы.” Таким образом Эйнштейн предлагает наряду с физическим пространством-временем рассматривать “галилеевское простран ство”. При описании гравитационных волн волны заполняют все пространсво-время, а не только ограниченную область, но плос кое пространство присутствует как фон, на котором и происходит динамика гравитационных волн.

Большое внимание выбору координат и самому принципу вы бора уделял В.А. Фок [56], полагая гармонические координаты неким аналогом декартовых координат в искривленных простран ствах.

Как пишет У.И. Франкфурт [57, стр. 220], “В.А. Фок полагает, что физическое содержание общей теории относительности сводится к закону тяготения.

Этот закон полагает отклонение метрики пространства времени от галилеевой метрики.” Таким образом, неявно или явно, и Фок, и даже Эйнштейн под разумевали кроме физического пространства-времени некоторое плоское пространство Минковского – пространство сравнения.

228 Общая теория относительности Смысл псевдотензоров как объектов сравнительной геомет рии пространств – динамического с метрическим тензором gij (x) и пространства сравнения (например, плоского – пространства Минковского, обладающего десятипараметрической группой дви жения) с метрическим тензором gij (x) – был показан в [58]: при использовании двух римановых пространств псевдотензоры при обретают тензорную запись.

Между точками двух пространств установлено соответствие по некоторому закону, который при выборе в пространстве срав нения галилеевских координат является координатными услови ями, например, условиями гармоничности де Дондера-Фока:

( g g ) = 0. (7.81) Можно говорить, что в каждой точке пространства сравнения за дан его метрический тензор и метрический тензор динамическо го пространства. По стандартным формулам дифференциальной геометрии эти поля метрических тензоров определяют два поля связностей:

g is g is i = i = (gsj,k +gsk,j gjk,s );

(sj,k +sk,j jk,s ) g g g jk jk 2 (7.82) При переходе от координат xi к новым координатам x l связно сти меняются по не тензорному закону из-за добавки со вторыми производными:

x i xm xs l x i 2 xm i jk = ms + m. (7.83) xl x j x k x x j x k Однако в разности связностей эти добавки сокращаются и раз ность связностей – относительная связность – оказывается тен зором:

x i xm xs l i = i i ;

i jk =. (7.84) jk jk jk xl x j x k ms В частности, тензорами оказываются бесконечно малые вариации связностей.

7.9. Несостоятельность общей ковариантности Обозначим вертикальной чертой ковариантную по простран ству сравнения производную i Aj Aj = Aj,i +i As.

js |i Тогда тензор относительной связности определяется выражением:

g is i = (gsj |k + gsk |j gjk |s ). (7.85) jk Это чисто тензорное выражение, определяемое ковариантными производными.

Тензор кривизны динамического пространства также представ ляется как сумма тензора кривизны пространства сравнения (ко торое, в общем случае не обязано быть плоским) и тензора отно сительной кривизны:

i Rjkl = Rjkl + i |k i |l + s i s i.

i (7.86) jl jk jl sk jk sl Если пространство сравнения плоское и в нем выбраны галилеев ские координаты, то так как связности пространства сравнения в этих координатах равны нулю, все ковариантные по простран ству сравнения производные переходят в обычные частные про изводные, а относительные связности совпадают со связностями динамического пространства, через которые и выражаются псев дотензоры Эйнштейна (или Меллера-Мицкевича [59, 60], Ландау и Лифшица [37]).

Наоборот, при переходе к другим, например, сферическим в пространстве сравнения координатам, нужно частные производ ные заменять на ковариантные по пространству сравнения, и вы ражения для псевдотензоров станут тензорными.

Например, парадокс Бауэра с псевдотензором в сферических координатах пространства Минковского просто не возникнет: ди намическое пространство совпадает с пространством сравнения и относительные связности равны нулю в любых координатах. Псев дотензор Эйнштейна в галилеевых координатах равен нулю, но в сравнении он является тензором, так что и в любой системе коор динат все его компоненты равны нулю.

230 Общая теория относительности Если ввести скаляр отношения корней из детерминантов = g/ g, то интегралы по инвариантному объему динамического пространства можно представить через интегралы по простран ству сравнения:

g d x = g d4 x В рассуждениях Эйнштейна это плоское пространство Мин ковского, на фоне которого изменятся динамическое простран ство, присутствует неявно. Оно выражается в использовании для законов сохранения обычных производных, которые в галилеевых координатах совпадают с ковариантными.

Это неявное пространство было явно провозглашено в “реляти вистской теории гравитации” (РТГ) А.А. Логунова [61], в которой пространство Минковского является некоторой базой (простран ством сравнения), на которой разворачивается динамика динами ческого пространства. Условие гармоничности устанавливает со ответствие между точками с одинаковыми координатами в обоих пространствах. Оно ковариантно обобщает условие гармонично сти (7.81):

( g ) = 0.

Действие, определяющее динамику, – это “укороченное дей ствие” (7.80), выраженное через относительные связности:

d4 x g (µ µ ).

Sg = (7.87) µ µ Выведенные из этого действия вариациями по метрическому тензору компоненты тензора энергии-импульса уже не равны ну лю и создается впечатление эффективности этого объекта.

Однако действие Гильберта не зависит от метрики простран ства сравнения, поэтому вариации его по компонентам метриче ского тензора этого пространства тождественно равны нулю. Но укороченное действие “укорачивалось” в привязке к пространству сравнения, поэтому тензор энергии-импульса динамического про странства, определяемый через вариации укороченного действия по компонентам метрического тензора пространства сравнения, 7.9. Несостоятельность общей ковариантности также довольно примитивен, так как его компоненты равны ва риациям по метрическому тензору пространства сравнения отбро шенной дивергенции (со знаком минус) и также имеют вид дивер генции [58]:

c = g g µ + g µ g g µ g g µ g )).

µ ( ( (7.88) Вследствие этого все интегральные величины, например энергия, определяются только величинами на границах рассматриваемых областей. Поэтому, хотя величина энергии о чем то и говорит, но роль гамильтониана, определяющего динамику полей, и, осо бенно, квантовую динамику, так определенная энергия играть не может. В частности, и в теории Логунова при отличном от ну ля тензоре энергии-импульса квантовая теория гравитации также нединамична, как и в общей теории относительности.

Строгий математический анализ уравнений Эйнштейна и вы ражения энергии через псевдотензор для гравитационного поля системы с асимптотически плоским пространством-временем был выполнен Л.Д. Фаддеевым [62]. Однако вывод: “численное значе ние энергии можно вычислить как предел интеграла по замкну той двумерной поверхности S, раздувающейся на бесконечность” – подтверждает предыдущие заключения.

Описывая дискуссии относительно определения энергии, Пау ли [52, стр. 246] пишет:

“Несмотря на эти затруднения с физической точки зре ния трудно отказаться от требования существования аналогов интегралов энергии и импульса теории Нью тона.” Однако использование понятия энергии – это не просто при вычка. Выражение энергии (гамильтониан) определяет динамику.

Ограничение общей теории относительности только геометрией привело к нединамической теории.

232 Общая теория относительности 7.9.4. Гравитационные волны Вернемся к блестящей работе Эйнштейна “О гравитационных волнах” [51], в которой вроде бы продемонстрирована эффектив ность псевдотензоров. Во-первых, задача с самого начала ставит ся биметрически: есть пространство Минковского и на его фоне малые возмущения. Эйнштейн показал, что существуют только поперечно-поперечные волны, то есть метрика, (для одной поля ризации) может быть представлена в виде ds2 = c2 dt2 dx2 (ef () dy 2 + ef () dz 2 );

= x ct, (7.89) а f (xct) бесконечно малая произвольная функция. Укороченное действие (7.87) содержит только квадраты первых производных функции f, а плотность энергии пропорциональна (f )2 – положи тельна. Также пропорционален (f )2 и поток энергии. Ситуация в значительной степени аналогична электродинамике.

Именно исходя из определенных плотности и потока энергии Эйнштейн выводит формулу потери энергии за счет гравитацион ного излучения системы с квадрупольным моментом Dij, совер шающим периодическое изменение с частотой :

dE (Dij )2.

= (7.90) 45 c dt Однако вывод Эйнштейна не принадлежит общей теории от носительности. Объявляя работу в линейном приближении, он, действительно, пространственные компоненты уравнений записы вает в линейном приближении. Однако, оперируя энергией, сум марную энергию он определяет как энергию излучающей систе мы плюс квадратичную составляющую гравитационного поля, то есть, фактически, в (00)-уравнении выходит за рамки линейного приближения.

По структуре конструкции энергии-импульса в этой работе аналогичны привычным электродинамическим, а потому не вы звали серьезных возражений.

С этим связан парадокс истории квантовой теории гравитации на основе ОТО. В 1930 году Л. Розенфельд [63], исходя из рас смотренной работы Эйнштейна и используя его квадратичный по 7.10. Спиленные мостики амплитудам гамильтониан, построил вполне успешную, аналогич ную квантовой электродинамике, квантовую теорию слабой гра витации. Далее квантовая теория слабой гравитации развивалась М.П. Бронштейном [64], Д.Д. Иваненко [65]. Появился термин гра витон. Казалось, что на пути полного квантового варианта ОТО стоит только нелинейность. Однако строгое следование принци пу общей ковариантности привело к уравнению Уилера-де Витта (см., например, [46]) H · = 0, (7.91) в котором отсутствует динамика. Никому еще не удалось из этого уравнения в каком-то приближении получить квантовую теорию слабых полей.

Суть, как и в классическом случае, проста: когда пишутся уравнения слабого поля, общей ковариантностью просто прене брегают.

7.10. Спиленные мостики Принцип общей ковариантности принят в ОТО как упроще ние, позволившее на первых порах построить замкнутую систему уравнений (уравнения Эйнштейна). Он не только не следует из каких-либо наблюдений, но и противоречит классической физи ке, приводя к требованию равенства нулю энергии любой систе мы. Построенный на его основе первый вариант геометрической теории – общая теория относительности – не сопрягается ни с хорошо изученной классической динамикой, ни с квантовой тео рией.

Локально, как уже говорилось выше, бесконечно малая четы рехмерная область в окрестности некоторой четырехмерной точки представляется бесконечно малым куском пространства Минков ского. В этой бесконечно малой области инерциально движущиеся друг относительно друга две системы локально равноправны. Ко ординаты и время в них связаны преобразованиями Лоренца, то есть имеется локальная Лоренц-инвариантность.

Однако на больших временах они явно неравноправны: один 234 Общая теория относительности вертикально выпущенный снаряд поднимется на какую-то высо ту и затем упадет вниз, а другой (выпущенный со второй кос мической скоростью) назад уже не вернется. То есть совершенно очевидно, что в гравитационном поле даже различные бесконечно малые инерциальные системы далеко не равноправны.

В космологии принцип общей ковариантности, требующий ну левой энергии, также приводит к отсутствию согласования пред сказаний ОТО с наблюдениями:требуется плотность вещества в 25 раз больше обнаруженной. Казалось бы, этот факт должен заставить задуматься об адекватности описания космической ди намики уравнениями Эйнштейна.

Общая ковариантность вызывала возражение многих иссле дователей. Так, отвечая в 1916 г. на возражения Ф. Коттлера, Эйнштейн пишет [66, с. 507]:

“Правда, общую ковариантность уравнений приходит ся покупать дорогой ценой, отказываясь от обычно го измерения времени и эвклидовой меры простран ства. Коттлер считает, что можно обойтись без таких жертв.” Действительно, время, в котором развивается весь наш мир, затерялось во множестве преобразований четырехмерных коорди нат.

Полезно вспомнить и сомнения Лоренца [67, с. 72] “...на протяжении многих лет Лоренца одолевали со мнения в отношении физической теории: в лекции, ко торую он прочитал в октябре 1910 года, он говорил, что пространство и время – вещи совершенно разные и что существует понятие истинного времени.” А.З. Петров высказывал серьезную озабоченность положением ОТО как раздела физики [68]:

“Что же касается общей теории относительности, то вопреки довольно распространенному мнению могучее 7.10. Спиленные мостики сооружение этой теории покоится на столь шатком экс периментальном фундаменте, что ее можно было бы назвать колоссом на глиняных ногах.” “... не существует опытных измерений основных вели чин теории, например, энергии поля тяготения.” “... общая теория относительности до сих пор щеголя ет в коротких штанишках “вундеркинда”, которому все позволено и даже – освобождение от эксперименталь ной проверки. Для истинного физика такое положение нетерпимо.” Итак, “спиленный мостик” между ОТО и классической фи зикой мы нашли: это приравнивание к нулю вариации по ком поненте метрики g 00, приводящее к нулевой энергии. В классиче ской физике энергия различных систем различна и закон сохране ния энергии является эффективным физическим законом. В ОТО энергия любой системы равна нулю и закон сохранения энергии тривиален, не определяет никаких физических следствий, а пото му ОТО не переходит в классическую физику.

Одновременно “спилен мостик” между ОТО и квантовой фи зикой, основным инструментом которой является гамильтониан.

Равенство его нулю в ОТО и является тем барьером, который не дает подступиться к квантовой теории гравитации со стороны ОТО.

Таким образом, общая теория относительности оказывается красивой математически самосогласованной теорией, не имею щей, однако, полного отношения к действительности. Эта несо гласованность исходит из общей относительности (общей кова риантности). Если из уравнений Эйнштейна исключить десятое уравнение (равенство нулю вариации по g 00 ), то координаты пере стают быть равноправными. Координата с номером 0 оказывается глобальным временем – абсолютным временем Ньютона. Десятое уравнение при этом оказывается не уравнением динамики поля, а законом сохранения энергии, которая может быть любой величи ной, определяемой начальными условиями.

236 Квантовая динамика Глава Квантовая динамика Исходным физическим уравнением для построения квантовой теории любой системы – одной частицы, нескольких частиц, поля, системы полей – является уравнение Шредингера d i h = H. (8.1) dt Вектор состояния (для частицы – волновая функция) зависит от времени и квантовых переменных q (координат частицы, по тенциалов поля) и на современном уровне знаний имеет довольно странный физический смысл – вероятностный:

dP = |(t, q)|2 dq (8.2) – это дифференциал вероятности того, что переменная q находит ся в интервале dq в окрестности заданного значения.

Изменение вектора состояния с течением времени определяет ся уравнением Шредингера (8.1), в котором H – квантовый га мильтониан, получающийся из классического, зависящего от ко ординат и импульса, заменой импульса на оператор дифференци рования h p=.

i q Описанная технология квантовой механики носит рецептур ный характер, однако восьмидесятилетняя история показала ее работоспособность: и в описании спектров атомов, молекул, боль ших молекул, и в описании, например, фотоэффекта, и в кванто вой теории твердого тела, на которой строится вся современная микроэлектроника. Квантовая электродинамика совместно с тер модинамикой великолепно объясняет спетральное распределение теплового излучения. Квантовая механика работает.

В XX веке было предпринято немало попыток как-то сходу объяснить физический смысл волновой функции: как волны - пи лота, ведущей классическую частицу (один из создателей кванто вой механики Луи Де-Бройль), как статистическое свойство мно жества (ансамбля) частиц и пр. Однако никакого выхода за опи санные рецепты (если не считать неверных, расходящихся с экс периментом предсказаний) они не дали. И современная позитив ная точка зрения состоит просто в принятии описанных рецептов и развитии математических методов их реализации (не путать с позитивистской, утверждающей, что другого уровня и быть не может).

Однако, если вспомнить упомянутые выше пути от открытия Пифагором законов гармонии до решения Даниилом Бернулли задачи о колебаниях струны (свыше 2000 лет), расчет Ньютоном эпициклов Птолемея (1500 лет), то, видимо, не следует делать некоторых окончательных утверждений о структуре квантовой механики, а пользоваться тем аппаратом, который есть в наших руках и наблюдать, наблюдать, развивать математику и сравни вать.

В середине XX века как математически законченная теория, с любой нужной точностью согласующаяся с экспериментом, бы ла построена квантовая электродинамика (квантовая теория си стемы с бесконечным числом степеней свободы), описывающая взаимодействие электронов (и позитронов) с электромагнитным полем: рассеяние электронов, рождение и аннигиляция электрон позитронных пар. Были разработаны мощные математические ме тоды как преодоления возникающих бесконечностей (теория пе ренормировок), так и полного описания (фейнмановские диаграм мы).

Большие успехи были достигнуты и в распространении мето дов квантовой электродинамики на слабые взаимодействия. Ка залось, что вот-вот и будет построена квантовая теория всего.

В это все должна, конечно, входить и квантовая теория гравита ции. Оптимизма добавляла разработанная Арновиттом, Дезером и Мизнером техника записи уравнений Эйнштейна как динами 238 Квантовая динамика ческих, наподобие уравнений Гамильтона в механике, правда со связями, одной из которых оказывалось равенство нулю гамиль тониана.

8.1. Квантовая теория в ОТО Прежде чем анализировать трудности построения квантовой теории гравитации на основе идеологии ОТО, посмотрим на мне ния энтузиастов за последние десятилетия. Вот хронологический ряд некоторых высказываний специалистов ОТО по квантовой теории гравитации:

1970 г. Д. Брилл, Р. Гоуди [46]:

“В настоящее время не имеется удовлетворительной строгой квантовой теории гравитационного поля. Существуют лишь раз розненные куски, собранные в двух разделах – ОТО и квантовой теории поля. Отсутствует какое-либо согласие в выборе правиль ного пути объединения этих разделов в единую картину.” 1975 г. С. Хокинг [69]:

“Несмотря на большой объем проведенной в последние 15 лет работы,..., я, вероятно, не погрешу против истины, если скажу, что еще нет вполне удовлетворительной и непротиворечивой кван товой теории гравитации.” 1979 г. Х.-Ю. Тредер [70] “Тем не менее физический смысл квантованной гравитации остается, по-видимому, таким же проблематичным, как и преж де.” 1982 г. Н. Биррел, П. Девис [71] “В отсутствие жизнеспособной квантовой теории гравитации можно ли вообще что-либо сказать о влиянии гравитационного поля на квантовые явления?” 1997 г. К. Ровелли [72] “Проблема нахождения квантовой теории гравитационного по ля и таким образом, понимания, что такое квантованное про странство - время, пока еще остается открытым.” 2004 г. Г. Дэйт, Г.М. Хоссэн [73] 8.2. Квантовая теория в ТГВ “Несмотря на приложенные огромные усилия, к сожалению, мы до сих пор не имеем полностью удовлетворительную кванто вую теорию гравитации.” 2006 г., май. А. Аштекар [74] “Девяносто лет спустя наше понимание физического мира зна чительно богаче, но полностью удовлетворительное объединение общей теории относительности с квантовой физикой пока нас об ходит.” Формально главной трудностью является равенство нулю га мильтониана в ОТО, не допускающее описания квантовой дина мики на основе уравнение Шредингера, а приводящее к независи мости вектора состояния от времени. Это совершенно естествен но, так как время в ОТО – это не объективная реальность, с из менением которой происходит вся динамика Мира, а любая фор мальная переменная, формальная координата, “многострелочная” конструкция Уилера (см. стр. 218). Поэтому уравнение (8.1) пе реходит в уравнение H = 0. (8.3) Однако, с физической точки зрения, главной проблемой яв ляется непонимание объекта квантования: так как квантовым объектом в ОТО является четырехмерная метрика, некоторым квантованным объектом предстает и само время. Чтобы не разби раться в этом, исследователи предпочитают создавать все более и более математически сложные объекты: петлевую квантовую гравитацию, теорию квантованных струн и пр. Достаточно про стые вопросы о физическом объекте кажутся наивными на фоне решаемых в этих теориях сложных математических проблем.

8.2. Квантовая теория в ТГВ В ТГВ гамильтониан не равен нулю и квантовая теория грави тации, как и квантовая теория других полей, например, квантовая электродинамика, строится на основе уравнения Шредингера i h = H, (8.4) t 240 Квантовая динамика определяющего динамику вектора состояния пространства (и дру гих полей) в глобальном времени. Вектор состояния является функционалом от трехмерного метрического тензора, а с учетом трех уравнения связей при произвольном векторном поле V i (x) на произвольной метрике ij (x):

V i (x) d3 x = 0, (8.5) i ij буферизирующих произвол в выборе координат, определяет век тор состояния как функционал только от пространства.

Гамильтониан (5.7) не зависит от времени и потому, как, на пример, и в квантовой электродинамике, можно ставить стацио нарную задачу. Вследствие сохранения значения гамильтониана (энергии) для решения динамической задачи нужно сначала ре шить стационарную задачу H n = En n, (8.6) а затем представить общее решение как суперпозицию стационар ных состояний n.

Плотность полного гамильтониана, в том числе и с учетом ма терии, отлична от нуля:

2 H = (ik jl ij kl ) kl ij + 1 (3) 0 i0 ij R +T0 + V Ti (Vi;

j + Vj;

i ). (8.7) Компоненты метрики ij коммутируют друг с другом, также как и компоненты импульсов kl, однако выражение для гамиль тониана значительно упрощается, если ввести афинные импульсы, а из них выделить еще шпур ll, который коммутирует (в смысле скобок Пуассона) с каждым аффинным импульсом:

i j i i i i j = qj + ;

qi = 0;

i =, (8.8) 8.3. Динамика масштаба то в этих переменных (и при V i = 0) гамильтониан (5.7) выглядит проще:

(3) 2 1 ij 2 qj qi H= R, (8.9) 3 причем метрика входит в кинетическую энергию только через, i а эта переменная коммутирует с qj, которые, однако, друг с дру гом не коммутируют:

qj (x), qlk (x ) = (li qj j qli )(x x ).

i k k (8.10) Это – коммутационные соотношения токов группы Sl(3), которые таким образом естественно возникают в динамической теории гра витации.

8.3. Динамика масштаба Вернемся к рассмотрению лагранжиана гравитации (5.3). Про странственные производные метрического тензора входят только в потенциальную энергию Rij g ij R g d3 x = g d3 x.

Как уже говорилось, тензор Риччи Rij, в который входят про странственные производные метрического тензора, зависит толь ко от связностей, а конструкция связностей масштабно инвари антна:

g is i = (gsj,k + gsk,j gjk,s ).

jk При масштабном преобразовании gij m2 gij, g is g is /m2, где m пространственная константа, связности не меняются, а, следо вательно, не меняется тензор Риччи.

В кинетической энергии при выделении масштаба gij = m2 ij mi m µi = g is µsj = + µi ;

µ = µi = j + µ;

j mj i m 242 Квантовая динамика m m µi µj µ2 = 6 µ + (i µj µ2 ).

4 µj i ji m m Интегрально в лагранжиане в объеме V масштаб m(t) выде ляется как переменная, отдельная от полевых:

3 c m m2 V + L= (µi µj µ2 ) +m3 d3 x + m Rij ij d3 x. (8.11) ji В этом выражении учтено, что выделение глобального масшта ба в метрическом тензоре gij = m2 ij накладывает интегральное ограничение µ d3 x = 0, V а также g = m3 g ij g = m ij ;

.

Таким образом, глобальный масштаб взаимодействует с поле выми переменными как степенной множитель перед той или иной составляющей лагранжиана.

8.4. Квантовая модель Большого Взрыва Выделение глобального масштаба в отдельную переменную де лает законным рассмотрения динамики масштаба отдельно от ди намики полевых переменных. Рассмотрим квантовую динамику закрытой фридмановской модели – динамики радиуса r трехмер ной сферы, играющего в данной задаче роль глобального масшта ба m. Объем сферы V = 2 2 r3.

Скалярная кривизна трехмерной сферы равна 6/r2, так что в соответствии с (8.11) лагранжиан равен c4 3 c4 r r 6 (2 2 r3 ) 6 r L= + = +r.

c2 r r2 c 16 8.4. Квантовая модель Большого Взрыва Далее мы будем работать в квазипланковской системе единиц:

c = 1, k = 3/2, = 1, так что лагранжиан h (r r2 + r) L= приводит к квантовому гамильтониану p2 + r 2 q H= r +, (8.12) 2r 2r где добавлено слагаемое с q 2, характеризующим сохраняющееся количество ультрарелятивистской материи.

Волновая функция является функцией времени и радиуса сфе ры r, переменные разделяются. Обозначая штрихом производную по радиусу, симметризуя p2 /r, получаем стационарное космологи ческое волновое уравнение:

u + (r2 + q 2 ) u = 2 r E u.

u (8.13) r В окрестности нуля это уравнение принимает асимптотиче ский вид u u = 0, r имеющее, в частности, константу решением.

Собственные значения энергии искались численно и для пер вых восьми таких функций при q = 0 (материя отсутствует – динамика только пространства) и q = 1 приведены в таблице:

n q=0 q= 1 -0.977722 4. 2 -3.05247446 -2. 3 -4.16434141 -3. 4 -5.03491431 -4. 5 -5.77537028 -5. 6 -6.43100378 -6. 7 -7.02566164 -6. 8 -7.57373725 -7. 244 Квантовая динамика При q = 0 все собственные значения энергии отрицательны, при q 1 первые моды имеют положительную энергию. Представлен ные результаты получены численным интегрированием и гиль бертово пространство ограничено рассмотрением восьми функций (n = 8).

Первые шесть (ненормированных) функций для чистого про странства (q = 0) приведены на графике:

Вследствие ненормированности функций и небольшой их неор тогональности за счет приближенного интегрирования в конеч ных пределах вычисляется метрическая матрица rmax Mij = ui (r) uj (r) dr и вычисления матричных операторов проводится с обратной мат рицей K ij = Mij. Для анализа динамики радиуса интересен опе ратор радиуса rmax n i is rj = K r us (r) uj (r) dr.

s=1 При n = 8 собственные значения этой матрицы равны (0.51, 1.7, 2.6, 3.4, 4.2, 5.0, 5.8, 6.8).

С увеличением n (числа функций) минимальное собственное значение уменьшается, а максимальное растет, так что их произ ведение приблизительно остается чуть больше. Поэтому кван товые эффекты не предотвращают Большой Взрыв, а с учетом 8.4. Квантовая модель Большого Взрыва того, что постоянная Планка в системе единиц Хевисайда имеет размерность квадрата длины, приводят к гипотезе о некотором космологическом соотношении неопределенностей:

Произведение максимального и минимального радиу сов Мира не меньше.

h 8.4.1. Динамика волновых пакетов Для задания начального волнового пакета рассмотрим конеч номерное подпространство собственных функций радиуса мира, определяемых дифференциальным уравнением (8.13). Зададим ся, например, подпространством из восьми функций со значением q 2 = 10. По этим функциям вычисляется матрица rk размерности l 88. Ее минимальное собственное значение равно rmin = 0.9016, а соответствующий нормированный собственный вектор расклады вается по собственным функциям гамильтониана с компонентами ak = {0.9468, 0.2591, 0.1435, 0.0929, 0.0605, 0.0447, 0.0329, 0.0230}.

Эта собственная функция имеет следующий вид:

Она обладает положительной средней энергией E8 = 4.35.

В отличие от осциллятора значения энергий (и, соответственно, частоты) ее восьми составляющих не кратны друг другу и дина мика пакета непериодична. Сначала пакет сдвигается в сторону больших масштабов и расширяется (мы приводим графики плот ности вероятности):

246 Квантовая динамика Затем он расщепляется на две компоненты, одна из которых начинает двигаться в сторону больших радиусов, описывая фрид мановское расширение мира. Однако вторая возвращается в сто рону малых радиусов и в дальнейшем совершает самостоятельную динамику в области малых радиусов.

Эта картина заставляет переосмыслить квантовый вариант раз вития нашего мира. С квантовой точки зрения плотность вероят ности Радиуса Мира может представляться в простейшем случае следующей картиной:

Имеется, по крайней мере, две области, где плотность веро ятности отлична от нуля: правая область фридмановского рас 8.4. Квантовая модель Большого Взрыва ширения и левый пакет, совершающий колебания в окрестности нулевого радиуса. Оба этих пакета существуют одновременно.

С точки зрения квантовой механики в какой-либо задаче, на пример, твердого тела подобное поведение плотности вероятно сти не вызвало бы серьезных вопросов. Однако применительно к Радиусу Мира – уникальной, единственной переменной – вопро сы возникают. Каков же Радиус Мира для нас? Если с каким-то средним значением и малыми флуктуациями вокруг него как-то можно смириться, то как трактовать одновременную вероятность двух существенно различных радиусов? Что будет, если измерить Радиус Мира? Произойдет редукция волнового пакета либо в об ласть больших, либо в область малых радиусов?

Ответ состоит в том, что Радиус Мира непосредственно из мерить невозможно. Хаббл замерил его по свойствам фотонов, идущих от удаленных галактик. Эти фотоны также подчиняются квантовой теории и на их квантовое поведение, доступное наше му измерению, может влиять как область больших, так и малых радиусов, но при фиксации фотона никакой редукции волновой функции Радиуса Мира не происходит.

Пусть, например, проводится эксперимент с атомами лития, имеющим три электрона – два внутренних и один внешний, ва лентный, (водородоподобный атом). В эксперименте проводится взаимодействие с валентным электроном, при этом внутренние имеют свою квантовую матрицу плотности, влияющую на пове дение валентного электрона, но в процессе эксперимента никакой локализации этих внутренних электронов не происходит.

Подавляющее количество квантовых переменных никем не на блюдается. Их квантово - механическое поведение проявляется лишь через их влияние на малое число наблюдаемых перемен ных. Радиус Мира с квантово-механической точки зрения может иметь достаточно размазанные значения, но это может вызвать лишь специфику в наблюдаемом (или еще не наблюдавшемся) по ведении наблюдаемых объектов (фотонов, космических частиц).

248 Квантовая динамика 8.5. Квантовая теория малых возмущений Построенная Л. Розенфельдом [63], а затем М. Бронштейном [64], С. Гуптой [75] и др. квантовая теория слабых возмущений в пространстве Минковского, в которой калибровочными преоб разованиями (бесконечно малыми преобразованиями координат) исключаются компоненты четырехмерной метрики h00, h0i фак тически совпадает с аналогичной квантовой теорией ТГВ. Плот ность энергии в ТГВ в этом случае квадратична по возмущениям, но в линейном приближении это соответствует нулевой плотности энергии, то есть ОТО. Поэтому мы не будем здесь повторять те же выкладки, что и упомянутые авторы, а рассмотрим кванто вую задачу о слабых гравитационных волнах в расширяющемся плоском мире.

8.5.1. Лагранжиан второго порядка Для динамического описания линейных возмущений некото рой метрики нужно найти лагранжиан, квадратичный по этим возмущениям. Возмущения метрического тензора обозначим че рез hij :

gij = gij + hij.

В дальнейшем все поднятия и опускания индексов у компонент hij или их линейных комбинаций, а так же у ковариантных про изводных того же порядка малости будем проводить с помощью невозмущенного метрического тензора gij.

Действие для гравитационного поля выражается через тензор Риччи:

c4 Rij g ij g d4 x, S= 16k который обладает определенным свойством аддитивности [58]: ес ли в одних и тех же координатах заданы два пространства с мет рическими тензорами gij и gij, то i i i Rjkl = Rjkl + Sjkl, 8.5. Квантовая теория малых возмущений i где тензор относительной кривизны Sjkl выражается через тензор относительной связности i, выражаемый через ковариантные в jk первом пространстве производные от метрического тензора вто рого пространства:

i i i + s i s i ;

Sjkl = k jl l jk jl sk jk sl g is i = ( j gsk + k gsj s gjk ).

jk Так как gij = gij + hij и k gij = 0, то g is i = = 1 i + 2 i + · · ·, ( j hsk + k hsj s hjk ) jk jk jk где g is 1 i =( j hsk + k hjs s hjk ).

jk Для вычисления возмущений гравитационного действия так же необходимо разложение до второго порядка обратного метри ческого тензора g ij, меры объема g:

g ij g ik (k hj + hj hs );

j sk k hi 1 (hi ) g(1 + i (hi hj i ));

g 4 ji 2 j hj j k s g g ik (k (hj j hs ) k hs + hj hl k (2hs hl (hs )2 ));

g g ij 2s lk ls s k 2 и тензора Риччи:

k k Rij = Rij + k 1 ij i 1 jk + k k + 1 l 1 k 1 k 1 l.

k 2 ij i 2 jk ij lk il jk Оставляя члены до второго порядка, получаем:

g g ij Rij = gg ij Rij 1k gg ij (Rik (hk j hs ) ( m m m 1 ij i 1 jm )) j s 250 Квантовая динамика 1j gg ik (hj k hs )( m m m 1 ij i 1 jm )+ s k gg ij ( k k + 1 l 1 k 1 k 1 l )+ k 2 ij i 2 jk ij lk il jk 1 1j gg ik Rij (hj hs hj hs k (hs hm hs hm )).

sk ks ms 2sm 2 Члены, содержащие 2 i, представляют полную дивергенцию jk и после интегрирования, переходят в поверхностный интеграл, а члены второго порядка, содержащие производные от 1 i после jk интегрирования по частям с учетом того, что (это точное соотно шение) s s i hjk = gsk 1 ij + gjs 1 ik, приводят к выражению для второй вариации действия:

2 ( g g ij Rij ) = g g ij (1 k 1 l 1 l 1 k )+ il jk ij lk 1 1j g Rj (hj hs hj hs k (hs hm hs hm )).

k (8.14) sk ks ms 2sm 2 Если пространство плоское, линейная вариация равна нулю, а вторая квадратична по вариациям связностей:

g g ij 1 k 1 l 1 l 1 k.

(R g) = (8.15) il jk ij lk В плоском пространстве с глобальным масштабом m(t) для плоских волн (например, вдоль оси x) лагранжиан поперечно поперечной компоненты, например, h = hyz (t, x) пропорционален h h m3 m.


2 8.6. Возмущения в расширяющейся Вселенной 8.6. Возмущения в расширяющейся Вселен ной Квантовые процессы в расширяющейся Вселенной давно при влекают внимание исследователей (см., например, [76, 71]). Вслед ствие нестационарности метрики отсутствует закон сохранения энергии какой-либо системы в расширяющемся пространстве (на пример, электромагнитной волны). В процессе динамики могут рождаться и исчезать фотоны.

Наиболее просто и, видимо, наиболее обоснованно описание расширяющейся Вселенной моделируется плоской моделью Фрид мана с метрикой 2/ t ds2 = c2 dt2 m(t)2 (dx2 + dy 2 + dz 2 );

m(t) =. (8.16) t Константа t0 определяет момент времени t, в который масштаб принят за единицу. Пространство евклидово с переменным во вре мени масштабом.

Мы дадим точное решение квантовой динамики свободных волн. Возможность точного решения определяется линейностью классических волновых уравнений.

Расстояние от начала координат до точки, покоящейся относи тельно пространства (с постоянным значением координат x, y, z) изменяется в соответствии с масштабом:

dL dm L dm 2L L = m(t) x;

=x = =.

dt dt m dt 3t Скорость удаления пропорциональна расстоянию L (закон Хабб ла). Точка, скорость удаления которой равна скорости света, на зывается “точкой горизонта”. Горизонт является сферой радиуса Rg, определяемого из соотношения 2 Rg = c;

Rg = c t. (8.17) 3t Он расширяется со скоростью в полтора раза большей скорости света.

252 Квантовая динамика Распространение света, например, вдоль оси x определяется нулевым значением метрического элемента (8.16):

c2 dt2 = m(t)2 dx2 ;

dx = ±c d ;

dt 2/ = 3 t0 t1/3.

d = ;

(8.18) m(t) В этой переменной изменение координаты x происходит равно мерно: dx = c d. Физическое (метризованное) расстояние, прохо димое лучом, определяется приращением глобального времени:

dL = m(t) dx = c dt.

Назовем, поэтому, переменную лучевым временем. В нем опи сание процессов, распространяющихся со скоростью света, более простое.

Масштаб в лучевом времени:

1/3 2/3 t t 2/ = 3 t0 t1/3 = 3 t0 ;

m= =. (8.19) t0 t0 3 t Координатный радиус горизонта rg в момент времени ti опре деляется из соотношения Rg 3 c ti c 2/3 1/3 c i rg = = = 3 t0 ti =.

2 (ti /t0 )2/ m(ti ) 2 Здесь i – лучевое время излучения из точки горизонта. Одна ко, луч, вышедший из точки бесконечно близкой к горизонту в момент лучевого времени i, дойдет до наблюдателя в начале ко ординат за время rg i = =, c так что момент приема сигнала r равен r = i + = i, или наоборот, в момент r принимается сигнал, ушедший от гори зонта в момент i = (2/3) r.

8.6. Возмущения в расширяющейся Вселенной В момент tr наблюдается горизонт момента ti, радиус которого равен 2 c i i c i 4c r Rg (ti ) = m(ti ) rg = = 2 = 9 t2 = c tr.

3 t0 2 3 18 t0 Наблюдаемый горизонт в глобальном времени расширяется рав номерно со скоростью меньшей скорости света.

8.6.1. Волны В плоском пространстве уравнения сводятся к волновому урав нению на функцию u(t, x, y, z), содержащему масштаб и получа ющемуся из вариации лагранжиана:

m3 (t) 12 1 u 2 ( L= i u).

2 c m (t) Далее мы будем работать в системе единиц, где c = 1.

Вследствие однородности пространства, инвариантности отно сительно сдвигов евклидова пространства, решения могут быть разложены по плоским волнам qk (t) ei (k r). Функция u(t, r) пред ставляется суперпозицией плоских волн с постоянными во време ни волновыми числами k, что приводит к следующему выраже нию для действия:

m(t)3 qk k 2 m(t) qk d3 x dt.

2 S= (8.20) Инвариантный элемент объема m(t)3 d3 x. Сопряженные импуль сы pk = m3 (t) qk ;

qk = 3 pk m определяют приращение действия через гамильтониан, который при разложении по плоским волнам представляется суммой (ин тегралом) независимых гамильтонианов для каждого k:

p 1 dt + k 2 m(t)2 qk k dS = H d = d3 k (8.21) m(t) 2 m(t) 254 Квантовая динамика Мы записали гамильтониан в лучевом времени (8.18). Урав нения упростятся еще больше, если перейти от к безразмерной переменной = /0, где 0 = 3 t0. При этом 1/3 4/ t t m2 = = 4.

d = 0 d;

= = ;

(8.22) 0 t0 t Тогда в переменной гамильтониан для каждой гармоники опре деляется выражением p + 4 k2 q h = H 0 = (8.23) Уравнения Гамильтона:

dq h p dp h = 4 k 2 q.

= = = 4;

(8.24) d p d q Вторые производные d 2q 4 d q d 2p 4 d p + k 2 q = 0;

+ k2 p = + (8.25) d 2 d d 2 d показывают, что при (вдали от сингулярности) или при k 2 (высокочастотное приближение – распространение света) динамические переменные p и q удовлетворяют обычному осцил ляторному уравнению.

После деления на k 2 уравнения (8.25) сводятся к уравнени ям по переменной = k (производную по которой обозначаем точкой):

4 q q + q = 0;

p + p + p = 0.

(8.26) Их решения q = a f1 + b f2 ;

p = a f3 + b f4, где sin cos cos + sin f1 = ;

f2 = ;

(8.27) 3 8.6. Возмущения в расширяющейся Вселенной В окрестности нуля f2 сингулярно, а f1 (0) = 1/6.

Импульс определяется второй парой функций:

f3 = 3 sin + (3 2 ) cos ;

f4 = (3 2 ) sin 3 cos. (8.28) Подставив эти решения в гамильтониан (8.23), получим дина мику изменения энергии волны при расширении Вселенной.

8.6.2. Изменение энергии Энергия в переменной p2 4 q E= +. (8.29) 2 4 При a = 1, b = 0 ее зависимость от времени определяется выра жением 2 4 + 4 2 + 9 + 2 2 2 9 sin(2 ) + 14 2 9 cos(2 ) ha = 4 256 Квантовая динамика При 0 энергия этой моды равнялась нулю, а затем, воз растая, колеблется с уменьшающейся амплитудой около значения 1/2.

Второе решение (a = 0, b = 1) обладает энергией 2 4 + 4 2 + 9 2 2 2 9 sin(2 ) + 9 14 2 cos(2 ) hb = 4 В окрестности нуля это выражение сингулярно:

9 hb + 2 + 1 +....

2 Как и в предыдущем случае при возрастании энергия колеб лется с уменьшающейся амплитудой около значения 1/2. Таким образом, при удалении от сингулярности энергия волны стабили зируется.

Так как общее решение представляется суперпозицией мод с различными волновыми числами k, то в волновом времени = 3 t0 /k в вышеприведенных выражениях и графиках в один и тот 8.7. Квантовая динамика слабых волн же момент времени коротковолновые области (большие k) со ответствуют большим значениям – далеки от сингулярности.

Наоборот, длинноволновые решения оказываются вблизи сингу лярности, что и описывает наличие горизонта на больших рас стояниях на волновом языке.

8.7. Квантовая динамика слабых волн Классическая динамика волн в расширяющейся Вселенной све лась к динамике осцилляторов с гамильтонианом, зависящим от времени (8.23). Рассмотрим эту задачу в квантовом варианте.

Методика подхода к эволюционным задачам квантовой меха ники с гамильтонианом, зависящем от времени, была разработана автором [77]. Суть ее следующая: если гамильтониан представлен через суперпозицию некоторых операторов i, с коэффициента ми, зависящими от времени ai (t):

H= ai (t) i, i то оператор эволюции U, динамика которого задается уравнением Шредингера dU i h = H U, (8.30) dt имеет вид xj (t) j U =e j, (8.31) где j – это расширение набора операторов i до замкнутой ал гебры Ли, в которую включаются сами операторы i, а также их коммутаторы и коммутаторы коммутаторов. Для коэффициентов xi (t) выведены дифференциальные уравнения эволюции первого порядка.

8.7.1. Осциллятор с переменным масштабом Выражение (8.23) представляет гамильтониан как сумму квад ратов импульса и координаты, каждый умноженный на свою за 258 Квантовая динамика данную функцию времени:

(A(t) p2 + B(t) q 2 ) = H(t) = p2 + q 2 1 p2 q + (A B) = (A + B) = H1 h1 + H2 h2, (8.32) 2 2 2 где p2 + q 2 p2 q H1 = ;

H2 =, (8.33) 2 а коэффициенты, определяющие гамильтониан:

A(t) B(t) A(t) + B(t) h1 = ;

h2 =. (8.34) 2 Для расчета оператора эволюции необходимо вычислить ком мутатор операторов H1 и H2 и его коммутаторы с ними, исполь зуя известные коммутационные соотношения между операторами импульса и координаты [p, q] = i (в системе координат = 1):

h [H1, H2 ]/2 = i (p q + q p) L.

В координатном представлении это антиэрмитизированный опе ратор масштабного преобразования:

d i L=x +.

dx Три оператора H1, H2, L образуют замкнутую алгебру Ли с коммутационными соотношениями:

[H1, H2 ] = 2 i (p q + q p) 2 L;

[L, H2 ] = 2 H2.

[L, H1 ] = 2 H1 ;

(8.35) В представлении Фока [78], где операторы q, p представляются полубесконечными матрицами 0 1 0 0.. 0 0 0..

1 0 2 0.. 1 0 0..

1 i q= ;

p= 3.., 0 2 0 3.. 0 2 2 0 0 3 0.. 0 0 3 0..

··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···....

8.7. Квантовая динамика слабых волн операторы H1, H2, L представляются матрицами ··· 0 0 ··· 0 0 ··· ;

0 0 H1 = ··· 0 0 0 ··· ··· ··· ··· ··· ··· 0 0 1 0 ··· 0 0 0 3 6 0 · · · 1 1 0 0 H2 = ;

10 · · · 0 3 0 0 ··· 0 0 60 ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· 0 0 1 0 ··· 0 0 0 3 1 6 0 · · · 1 0 0 L=.

0 3 10 · · · 0 0 2 6 0 ··· 0 0 ··· ··· ··· ··· ··· ··· Следовательно, оператор эволюции можно представить в виде 1 (t) H 2 U = ex 1 +x (t) H2 +x (t) L. (8.36) Коэффициенты xi (t) могут быть комплексными величинами. Диф ференциальные уравнения эволюции этих коэффициентов опре деляются коммутаторами операторов H1, H2, L.

8.7.2. Представление псевдокватернионами Можно воспользоваться этим обстоятельством и проводить вы числения не в экспоненте, а в самих операторах. Для этого можно выбрать более простую систему, построенную на трех матрицах с коммутационными соотношениями (8.35). Вычислив оператор 260 Квантовая динамика эволюции в этой системе, найдем его экспоненциальное представ ление и найденные коэффициенты x1 (t), x2 (t), x3 (t) будут опреде лять экспоненту оператора эволюции осциллятора с переменным масштабом.

Рассмотрим алгебру матриц Паули с измененной одной из них на антиэрмитову:

0 01 1 = ;


2 = ;

3 = (8.37) 0 10 с таблицей умножения 1 ·2 = 2 ·2 = 3 ;

3 1 = 1 ·3 = 2 ;

3 2 = 2 ·3 = 1, (8.38) и коммутационными соотношениями [1, 2 ] = 2 3 ;

[3, 1 ] = 2 2 ;

[3, 2 ] = 2 1, подобными коммутационным соотношениям (8.35) между опера торами H1, H2, L.

Оператор эволюции в системе псевдокватернионов представим в виде U = s 1 + x 1 + y 2 + z 3. (8.39) Гамильтониан H = h1 1 + h2 2 + h3 определяет динамику dU = i dt H U = i dt (h1 1 + h2 2 + h3 3 ) · (s 1 + x 1 + y 2 + z 3 ) = = i dt (1 (h1 x h2 y + h3 z)) + 1 (s h1 + h3 y h1 x)+ +2 (s h2 + h3 x h1 z) + 3 (s h3 h1 y + h2 x)).

Отсюда dx = i (h1 s h3 y + h2 z);

dt 8.7. Квантовая динамика слабых волн dy = i (h2 s h3 x + h1 z);

dt dz = i (h3 s h2 x + h1 y);

dt ds = i (h1 x h2 y + h3 z). (8.40) dt Величина R 2 = s 2 x2 + y 2 z 2 (8.41) не меняется.

8.7.3. Осциллятор Гамильтониан осциллятора с переменным масштабом (8.32) строится лишь на двух операторах H1, H2, так что коэффици ент h3 всегда равен нулю. Это значительно упрощает уравнения динамики (8.40):

dx dy = i (h1 s + h2 z);

= i (h2 s + h1 z);

dt dt dz ds = i (h1 y h2 x);

= i (h1 x h2 y). (8.42) dt dt Подстановка s = i u, z = i v приводит к вещественным соотноше ниям:

dx dy = h1 u h2 v;

= h2 u h1 v;

dt dt dv du = h1 y + h2 x;

= h1 x + h2 y. (8.43) dt dt Уравнения распадаются на две независимые пары:

d (x + y) = (h1 + h2 ) (u + v);

dt d (u + v) = (h2 h1 ) (x + y). (8.44) dt d (x y) = (h2 h1 ) (u v);

dt 262 Квантовая динамика d (u v) = (h1 + h2 ) (x y). (8.45) dt “Естественное” начальное условие – в некоторый начальный мо мент t1 оператор эволюции пропорционален единичному:

u(t1 ) = 1, x(t1 ) = y(t1 ) = v(t1 ) = 0. (8.46) В случае стационарного осциллятора h1 =, h2 = 0 решение уравнений (8.44,8.45):

x = sin t, u = cos t, y = v = 0.

Оператор эволюции в псевдокватернионах представляется в виде U = e1 i t.

Аналогично и для стационарного осциллятора U = ei t H1.

8.7.4. “Чужой” осциллятор Для гамильтониана p2 k 2 q H= + 2 с постоянным во времени k = 1 оба коэффициента h1, h2 посто янны. Система также легко решается:

h1 h2 = k 2.

h1 + h2 = 1;

xk = a sin(k t) + b cos(k t);

yk = c sin(k t) + d cos(k t).

Функции d (xk + yk ) = k ((a + c) cos(k t) (b + d) sin(k t));

uk + vk = dt 1 d (xk yk ) (a c) cos(k t) + (d b) sin(k t) uk vk = = ;

k2 dt k 8.7. Квантовая динамика слабых волн Отсюда a k2 1 + c k2 + 1 cos(k t) b k 2 1 + d k 2 + 1 sin(k t) vk = ;

2k a k2 + 1 + c k2 1 cos(k t) b k 2 + 1 + d k 2 1 sin(k t) uk =.

2k Из начального условия, определяющего в момент t1 матрицу эволюции пропорциональную единичной (uk = 1, xk = 0, yk = 0, vk = 0), находятся коэффициенты:

k 2 + 1 cos(k t1 ) k 2 + 1 sin(k t1 ) b= a= ;

;

2k 2k k 2 1 cos(k t1 ) k 2 1 sin(k t1 ) c= ;

d=.

2k 2k Подстановка их приводит к окончательным решениям:

u = cos(k (t t1 ));

k 2 + 1 sin(k(t t1 ) k 2 1 sin(k(t t1 )) y= x= ;

;

v = 0.

2k 2k (8.47) U = ei t, где k2 +1 i 1k 2k 2k = 2 2 + i 1k k 2k 2k постоянная матрица. Ее квадрат равен единичной матрице: 2 = 1.

Это решение определяет матрицу эволюции квантового осцил лятора: U = ei H t, где 1 + k2 1 k H= H1 + H2.

2k 2k 264 Квантовая динамика Так как H2 содержит лишь матричные элементы am,m+2 и am,m2, сдвиг вектора состояния происходит на две позиции вверх или вниз и при трактовке динамики на языке рождения и уни чтожения частиц можно говорить только о парном рождении или уничтожении.

8.7.5. Квантовая динамика волн Теперь можно вернуться к описанию квантовой динамики волн, которая в классическом случае определяется гамильтонианом (8.23), а роль времени играет переменная (8.22):

p + 4 k2 q2.

H= Коэффициенты гамильтониана (8.34) 1 1 1 + k2 4 ;

k2 4 ;

h1 = h2 = h3 = 0. (8.48) 4 2 Уравнения динамики (8.44) и (8.45) после перехода для упро щения к переменной = k d (x + y) u+v d (u + v) = 4 (x + y).

= ;

d d d (x y) d (u v) xy = 4 (u v);

= d d совпадают с классическими уравнениями (8.24), в которых, од нако, число переменных удвоилось. Решениями этих уравнений являются те же функции f1, f2, f3, f4, определяющие классиче ские решения (8.27) и (8.28) (что свидетельствует об адекватности квантового метода классической задаче):

sin cos cos + sin f1 = ;

f2 = ;

3 f3 = (3 2 ) cos + 3 sin ;

f4 = (3 2 ) sin 3 cos.

8.7. Квантовая динамика слабых волн Эти функции связаны тождеством f1 f3 f2 f4 = 1. (8.49) Решения определяются четырьмя константами интегрирова ния:

y = a f1 + b f2 c f3 d f4 ;

x = a f1 + b f2 + c f3 + d f4 ;

v = d f1 c f2 b f3 a f4 ;

u = d f1 + c f2 b f3 a f4.

При этом, благодаря тождеству (8.49), квадратичная форма u2 + x2 y 2 v 2 = 4 (a c b d) не зависит от времени.

Константы a, b, c, d находятся из начального условия (8.46):

в некоторый начальный момент 1 матрица эволюции пропорцио нальна единичной: u = 1, x = y = v = 0. Эти условия определяют:

1 1 1 b = f1 (1 );

c = f4 (1 );

a= f2 (1 );

d= f3 (1 ).

2 2 2 Подставляя эти коэффициенты, окончательно находим x = (f2 (1 ) f1 () f1 (1 ) f2 () f4 (1 ) f3 () + f3 (1 ) f4 ());

y = (f2 (1 ) f1 () f1 (1 ) f2 () + f4 (1 ) f3 () f3 (1 ) f4 ());

v = (f3 (1 ) f1 () + f4 (1 ) f2 () + f1 (1 ) f3 () f2 (1 ) f4 ());

u = (f3 (1 ) f1 ()f4 (1 ) f2 ()+f1 (1 ) f3 ()f2 (1 ) f4 ()). (8.50) При этом u2 + x2 y 2 v 2 = 1. (8.51) Поведение функции u при 1 = 266 Квантовая динамика демонстрирует сингулярность при 0.

8.7.6. Подъем в экспоненту Однако у осциллятора с переменным масштабом с псевдоква тернионной системой совпадает не оператор U (8.39), а показатель экспоненты U = e ;

= i x 1 + i y 2 + v 3, в котором при переходе к осциллятору матрицы 1, 2, 3 соот ветственно заменяются на операторы осциллятора H1, H2, L.

Проблема состоит в нахождении числа в экспоненте при най денных функциях (8.50). То, что в экспоненте находится матрица – очевидно: U и коммутируют. Квадрат матрицы пропор ционален единичной матрице:

2 = r2 1;

r 2 = x2 y 2 v 2. (8.52) Собственные значения матрицы – это ± r2, поэтому собствен ные значения матрицы U = e это величины r2 r e± e r2.

;

=u+ (8.53) При этом из соотношения (8.51) следует u2 + r2 = 1. (8.54) Так как величина u2 положительная, то r2 ограничено сверху единицей. Приведем график зависимости этой функции от при 1 = 10:

8.7. Квантовая динамика слабых волн В то же время r2 = x2 y 2 v 2 может принимать ничем не ограниченные отрицательные значения.

Из соотношения (8.53) находим ln( u2 + u2 1) =. (8.55) u2 Для осциллятора оператор эволюции получается заменой 1, 2, на H1, H2, L:

U = ef ;

f = (x H1 + y H2 + v L). (8.56) 8.7.7. Вблизи сингулярности В квантовой задаче существенную роль играет момент вре мени 1, в который оператор эволюции представляется полубес конечной единичной матрицей. Вектор состояния в этот момент определяет сформированный пакет, например, n-частичное состо яние с единицей в n + 1-й строке, который затем меняется со вре менем при умножении на оператор эволюции.

Рассмотрим поведение оператора эволюции в окрестности точ ки 1. Первые производные от переменных, определяемых выра жениями (8.50), по в этой точке:

1 1 1 4 4 1 ;

x|1 = 4 + 1 ;

y|1 = v|1 = 0;

u|1 = 0.

2 1 (8.57) 1 4 2 (x y)|1 = (x y )|1 = 1.

(x + y)| = 4;

1 ;

268 Квантовая динамика Переменные v и u в окрестности 1 :

( 3 1 ) ( 1 )3 ( 1 ) u= v= ;

.

2 3 При малом 1 не нужно поднимать операторы в экспоненту, оператор эволюции U = 1 +.

Если точка 1 стремится к сингулярности, все выражения ана литичны и, в принципе, определенное состояние может быть сфор мировано сколь угодно близко к сингулярности. Вот, например, поведение функции u() при 1 = 0.2:

Однако при стремлении к нулю она стремится к минус бес конечности:

На больших временах пакет, сформированный на малых вре менах возрастает очень интенсивно, например, в сравнении с функ цией при 1 = 20:

8.8. Заключение Для всех функций точка = 0 является сингулярной.

8.8. Заключение В отличие от попыток строить квантовый вариант общей тео рии относительности с нулевым гамильтонианом, заводящих в ту пик, при отказе от общей ковариантности – в теории глобального времени – квантовая теория гравитационного поля при нетриви альном гамильтониане обретает определенность.

Существенной спецификой, однако, по сравнению, например, с квантовой электродинамикой, является выделение на фоне по левых переменных дискретной – глобального масштаба, что поз воляет достаточно обоснованно решать проблему квантового опи сания момента Большого Взрыва.

При этом, вследствие того, что энергия этой моды, включа ющая в себя объем всего пространства, величина громадная по сравнению с энергиями локальных возмущений, при квантовом описании последних, динамику глобальной переменной можно опи сывать классической динамикой, как динамику ядра в атоме во дорода при квантовом описании динамики электрона.

Точные решения классической и квантовой задач описания слабых гравитационных волн в расширяющейся Вселенной поз воляют сделать ряд физических выводов:

1. Поведение оператора эволюции вблизи сингулярности хотя и определяется степенными функциями, но поведение пере менных аналитично, так что определенный квантовый вол новой пакет может быть сформирован сколь угодно близко 270 Квантовая динамика к сингулярности.

2. Для всех функций точка = 0 является сингулярной.

3. Так как оператор H1 диагонален, а операторы H2 и L со держат лишь компоненты am,m+2 и am,m2, сдвиг вектора состояния происходит на две позиции вверх или вниз и при трактовке динамики на языке рождения и уничтожения ча стиц можно говорить только о парном рождении или уни чтожении.

Квантовая теория гравитации делает только первые шаги.

Глава Аналитические вычисления Вычисление в римановой геометрии связностей, тензора кри визны, в ТГВ – инвариантных производных по времени, – будучи в принципе не сложными, требуют дифференцирования и сумми рования большого числа различных компонент, и проведение этой работы с проверкой правильности результата требует достаточно много времени. Эта рутинная работа при проведении ее вручную отвлекает внимание от физической сути изучаемого объекта. Ав томатизация вычислений позволяет не только ускорить их, но и просмотреть множество вариантов, выбрать удобные координаты, общий вид метрики и т.д.

В конце XX века в связи с компьютерной революцией появи лись системы аналитических вычислений, позволяющие перело жить на компьютеры существенную часть вычисления сложных выражений. Это, прежде всего, системы Reduce, Derive, Form.

В последнее время большую популярность приобрели системы Maple, MathLab, но особенно большое распространение во всем мире приобрела система Mathematica, созданная физиком - тео ретиком Стефеном Вольфрамом.

Здесь мы не будем приводить какие-либо основы работы с этим пакетом, порекомендуем лишь наряду с оригиналом [79] очень со держательную книгу [80], а также пособие [81]. А далее будем вести изложение, полагая, что читатель владеет необходимыми основами, хотя, разбирая, используя или модифицируя предлага емый материал, он может совершенствовать свое мастерство.

Мы приведем модули для работы с римановыми пространства ми (в основном, трехмерными) и векторными полями в них, а также модуль получения уравнений ТГВ и модуль для работы в общей теории относительности.

272 Аналитические вычисления 9.1. Риманова геометрия Модуль Ricci Модуль Ricci вычисляет тензор Риччи трехмер ного пространства по заданной метрике. Приводим его комменти рованный текст на языке Mathematica.

Комментарии даются внутри скобок со звездочками:

(* Комментарий *) Их наличие или отсутствие не влияет на работу модуля, одна ко они позволяют понять его структуру.

Ricci[coords_, mtr_] := Module[{DG, ss,zz,cs1}, (* Считывание обозначений координат *) Do[x[i] = coords[[i]], {i, 3}];

(* Вычисление корня из детерминанта gd *) DG = Det[mtr] // Simplify;

ss = Solve[zz^2 == DG, zz];

gd = zz /. ss[[2]];

(* Обратный метрический тензор g^{ij}=hh[i,j] *) HH = Inverse[mtr];

Do[Do[hh[i,j]=HH[[i,j]];

gg[i,j]=mtr[[i,j]],{j,3}],{i,3}];

(* Вычисление связностей \Gamma^i_{jk}=cs2[i,j,k] *) Do[Do[Do[cs1[i,j,k]=D[gg[i,j],x[k]]+D[gg[i,k],x[j]] D[gg[j,k],x[i]]//Simplify,{k,3}],{j,3}],{i,3}];

Do[Do[Do[cs2[i,j,k]=Sum[hh[i,s] cs1[s,j,k]/2,{s,3}] // Simplify,{k, 3}], {j, 3}], {i, 3}];

(* Свертка Gamma^j_{ij}=cs[i] *) Do[cs[i]=Sum[cs2[j,i,j],{j,3}]//Simplify, {i,3}];

(* Вычисление тензора Риччи R_{ij}=ricci[i,j] *) Do[Do[ricci[i, j]= Sum[D[cs2[k,i,j],x[k]],{k,3}]-D[cs[i], x[j]] + Sum[Sum[cs2[k,i,j]cs2[l, k, l]-cs2[k,l,i]cs2[l,k,j]// 9.1. Риманова геометрия Simplify,{l,3}], {k,3}], {j,3}], {i,3}];

(* Подъем индекса у тензора Риччи R^i_j=ric[i,j] *) Do[Do[ric[i,j] = Sum[hh[i, s]ricci[s,j] // Simplify, {s, 3}], {j, 3}], {i,3}];

(* Скалярная кривизна rs *) rs = Sum[ric[i, i], {i, 3}];

(* Сборка тензора Риччи в матрицу (R^i_j)=Rij[[i,j]] *) Rij = Array[ric, {3, 3}]//Simplify (* Эта матрица и выводится как результат работы модуля *) ] (* Конец модуля *) Для получения геометрических характеристик риманова про странства нужно задать наименования координат и метрический тензор в зависимости от них. После работы модуля выводится тензор Риччи для заданной метрики.

Для решения различных задач модуль Ricci достаточно запу стить один раз, меняя лишь входные данные. Модуль лучше дер жать в отдельном файле, который после запуска модуля можно закрыть.

В Mathematic’е есть механизм пакетов расширения, однако па кет скрывает результаты всех промежуточных вычислений. При запуске модуля на глобальном уровне (просто из файла) мы мо жем после его выполнения для заданной метрики посмотреть:

• корень из детерминанта = gd;

• обратный метрический тензор ij = hh[i, j], либо в виде мат рицы HH;

• связности i = cs2[i, j, k];

jk • скалярную кривизну R = rs.

274 Аналитические вычисления Сферические координаты в евклидовом пространстве Мет рика евклидова пространства в сферической системе координат dl2 = dr2 + r2 (d2 + sin2 d2 ).

Компоненты метрического тензора зависят от координат, однако тензор кривизны и тензор Риччи должны быть равны нулю.

(* Определяем метрический тензор *) GG={{1,0,0},{0,r^2,0},{0,0,r^2 Sin[u]^2}} (* Проверяем его правильность *) GG // MatrixForm (* Обращаемся к модулю Ricci, *) (* указывая координаты и метрический тензор *) Ricci[{r, u, w}, GG] // Simplify Действительно, результат работы программы {{0, 0, 0}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0}} говорит о том, что пространство плоское.

Однако и в этом случае модуль может быть полезен, например, для вычисления связностей в сферической системе координат:

Array[cs2, {3, 3, 3}] Трехмерная сфера Трехмерная сфера радиуса r в сфериче ских координатах dl2 = r2 (du2 + sin2 u (dv 2 + sin2 v dw2 )).

(* Определяем метрический тензор *) GG=r^2 {{1,0,0},{0,Sin[u]^2,0},{0,0,Sin[u]^2Sin[v]^2}} 9.1. Риманова геометрия (* Обращаемся к модулю Ricci, *) (* указывая координаты и метрический тензор *) Ricci[{u, v, w}, GG] i Результат – тензор Риччи трехмерной сферы Rj 2 2 {{, 0, 0}, {0, 2, 0}, {0, 0, 2 }}, r2 r r можно представить в виде матрицы %//MatrixForm Интересно также посмотреть скалярную кривизну, вызвав пе ременную rs.

Трехмерная сфера в конформных координатах Трехмер ная сфера радиуса r в стереографической проекции на трехмерное евклидово пространство – в конформных координатах x2 + y 2 + z dl2 = (dx2 + dy 2 + dz 2 )/f 2 ;

f =1+.

4 r В пакете “Mathematica”:

f = 1 + (x^2 + y^2 + z^2)/(4r^2) GG={{1,0,0},{0,1,0},{0,0,1}}/f^ (* Проверяем его правильность *) GG // MatrixForm (* Обращаемся к модулю Ricci, *) (* указывая координаты и метрический тензор *) Ricci[{x, y, z}, GG] 276 Аналитические вычисления Трехмерная сфера в углах Эйлера Трехмерная сфера ра диуса r в углах Эйлера {,, }:

r dl2 = (d2 + d2 + d 2 + 2 cos d d) В пакете “Mathematica”:

(* Определяем метрический тензор *) GG=r^2/4{{1,0,0},{0,1,Cos[tt]},{0,Cos[tt],1}} (* Обращаемся к модулю Ricci, *) Ricci[{tt, u, w}, GG] // Simplify Во всех трех последних примерах результат работы модуля Ricci – список компонент тензора Риччи сферы радиуса r – оди наков:

2 2 {{ 2, 0, 0}, {0, 2, 0}, {0, 0, 2 }}.

r r r Это говорит о том, что во всех трех случаях описывается сфера в различных координатах.

Интересно посмотреть обратный метрический тензор:

HH//MatrixForm Пространство Лобачевского Трехмерная псевдосфера (про странство постоянной отрицательной кривизны) в угловых коор динатах получается из метрики обычной сферы заменой синуса угла вдоль меридиана на гиперболический синус:

GG=r^2 {{1,0,0},{0,Sinh[u]^2,0},{0,0,Sinh[u]^2Sin[v]^2}} Ricci[{u, v, w}, GG] 2 2 {{, 0, 0}, {0, 2, 0}, {0, 0, 2 }}.

r2 r r 9.2. Работа с векторными полями В конформных координатах Клейна метрика псевдосферы име ет почти такой же вид, как и у обычной сферы с заменой r2 на r2 :

x2 + y 2 + z dl2 = (dx2 + dy 2 + dz 2 )/f 2 ;

f =1.

4 r f = 1 - (x^2 + y^2 + z^2)/(4r^2) GG={{1,0,0},{0,1,0},{0,0,1}}/f^ (* Обращаемся к модулю Ricci, *) (* указывая координаты и метрический тензор *) Ricci[{x, y, z}, GG] Результат 2 2 {{, 0, 0}, {0, 2, 0}, {0, 0, 2 }}, r2 r r как и в предыдущем примере.

9.2. Работа с векторными полями Важную роль в физике играет не только метрический тензор, но и векторные поля, прежде всего – поле абсолютной скорости, а также поля Киллинга, геодезические потоки и др. Мы приводим ряд модулей для работы с векторными полями, но при необхо димости они могут быть легко модифицированы для вычисления каких-то других характеристик векторных или тензорных полей.

Перед запуском векторных модулей нужно задать метрику и запустить модуль Ricci, чтобы задать координаты и вычислить необходимые геометрические характеристики.

Модуль Killing вычисляет уравнения Киллинга (2.33), точнее Ли-вариации метрического тензора по векторному полю Vels:

Killing[Vels_] := Module[{DG, ss}, Do[Do[ 278 Аналитические вычисления kil[i,j] = Sum[D[Vels[[s]],x[i]]gg[s,j]+D[Vels[[s]],x[j]]gg[i,s]+ Vels[[s]]D[gg[i, j], x[s]], {s, 3}], {j, 3}], {i, 3}];

Array[kil, {3, 3}] // Simplify ] Модуль Commut вычисляет Ли-коммутатор двух векторных полей (2.31):

Commut[vel1_, vel2_] := Module[{}, Do[com[i] = Sum[vel1[[s]]D[vel2[[i]],x[s]]-vel2[[s]]D[vel1[[i]],x[s]], {s, 1, 3}], {i, 1, 3}] // Simplify;

Array[com, 3] // Simplify ] Модуль CovDif вычисляет ковариантную производную вектор ного поля Vels:

CovDif[Vels_] := Module[{DG, ss}, Do[Do[cov[i,j]=D[Vels[[i]],x[j]]+Sum[cs2[i,j,k]Vels[[k]], {k, 3}], {j, 3}], {i, 3}];

Array[cov, {3, 3}] // Simplify ] Модуль Geodes проверяет, не является ли векторное поле Field геодезическим потоком:

Geodes[Field_] := Module[{DG, ss}, Do[zz[i] = Sum[Field[[k]](D[Field[[i]], x[k]] + Sum[cs2[i,j,k]Field[[j]], {j,3}]), {k,3}] // Simplify, {i, 3}];

ZZ = Array[zz, 3] ] 9.2. Работа с векторными полями Следующий модуль вычисляет дивергенцию векторного поля V Div[V_] := Module[{}, Sum[D[V[[i]] gd, x[i]], {i, 3}]/gd // Simplify ] Далее можно вычислить ротор векторного поля Rot[V_] := Module[{vl}, Do[vl[i] = Sum[gg[i, j]V[[j]], {j, 3}], {i, 3}];

rr[1] = (D[vl[2],x[3]]-D[vl[3],x[2]])/gd//Simplify;

rr[2] = (D[vl[3],x[1]]-D[vl[1],x[3]])/gd//Simplify;

rr[3] = (D[vl[1],x[2]]-D[vl[2],x[1]])/gd//Simplify;



Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.