авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 6 |

«Л.Б. ПОТАПОВА, В.П. ЯРЦЕВ МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ ПРИ СЛОЖНОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ КАК ПРОГНОЗИРУЮТ ПРЕДЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ? ...»

-- [ Страница 2 ] --

Глава МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ МАТЕРИАЛОВ ПРИ СЛОЖНОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ 2.1. ПАРАМЕТРЫ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В РАСЧЕТАХ НА ПРОЧНОСТЬ Сложным напряженным со-стоянием называют такое состояние, когда в бесконечно малой окрестности точки yy xy напряжения возникают одновременно по нескольким на zy yx правлениям. В декартовой системе координат выделяют девять компонент напряжений, шесть из которых в соответствии с yz xx условием равновесия попарно равны (рис. 2.1):

zz zx xy = yx ;

xz = zx ;

zy = yz.

Рис xz Поскольку опытное определение предельных напряжений для всех видов напряженного состояния является практически невыполнимой задачей, то для инженерных расчетов используют гипотезы, по зволяющие заменить сложное напряженное состояние на эквивалентное одноосное напряженное со стояние. А вычисленные значения эквивалентных напряжений экв сравнивают затем с предельными пред, полученными опытами на одноосное растяжение или одноосное сжатие. Схема применения гипо тезы показана на рис. 2.2.

yy xy zy yx xx yz zx экв пред zz xz Рис.

Все гипотезы, а их в настоящее время несколько десятков, предлагают в качестве критерия эк вивалентности либо один какой-то параметр напряженного состояния, либо несколько параметров, либо их функциональную зависимость. Большое количество гипотез свидетельствует о сложности проблемы оценки сопротивления твердых материалов при сложном напряженном состоянии и о ее нерешенности на сегодняшний день.

2.1.1. ГЛАВНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ Векторное представление сложного напряженного состояния в декартовой системе координат все гда позволяет найти такое положение координатных осей, при котором касательные компоненты равны нулю (рис. 2.3). Такие оси называют главными осями, а нормальные напряжения – главными напряже ниями. Их принято нумеровать в соответствии с правилом: 1 2 3.

В этом случае классификация видов сложного напряженного состояния упрощается. Если состояние в точке характеризуется только одним главным напряжением, а два другие равны нулю, то такое напряженное состояние на называют одноосным. При двух главных напряжениях, отличных от нуля, на пряженное состояние называют двухосным или плоским. При всех трех глав главных напряжениях, отличных от нуля, напряженное состояние называют трехосным или объемным. Такая классификация, что очень важно, позволяет одноосное и плоское напряженные состояния не считать какими-то обособленными видами, а лишь ча стными случаями сложного напряженного состояния, для которых справедливы все зависимости, уста новленные для объемного напряженного состояния.

Предельные напряжения, которым соответствует начало текучести или разрушение, определяют, как правило, в главных осях. В этом случае все расчетные формулы принимают более простой вид.

Уравнениям предельных напряжений в осях главных напряжений соответствуют так называемые пре дельные поверхности. Опытное определение таких предельных поверхностей является также задачей сложной, а подчас и практически невыполнимой из-за трудности обеспечения в объеме образцов от дельных видов напряженного состояния и из-за трудности обеспечения во времени принятого режима нагружения. Однако по тем фрагментам предельных поверхностей, которые удается получить экспери ментально, судят о справедливости и области применения отдельных гипотез.

К простым параметрам напряженного состояния, которые используются в гипотезах текучести и прочности, можно отнести максимальное главное напряжение 1, если этот компонент напряженного состояния положительный. Это главное напряжение связывают с деформацией нормального отрыва, т.е.

с процессом хрупкого разрушения. Другим важным параметром напряженного состояния является мак симальное касательное напряжение 1. (2.1) max = 2.1.2. ПАРАМЕТРЫ ШАРОВОГО ТЕНЗОРА И ДЕВИАТОРА Вид напряженного состояния определяется соотношением компонент 1 : 2 : 3. От этого соотно шения, от знаков напряжений и от сочетания знаков зависят величины предельных напряжений и харак тер разрушения.

Представление напряженного состояния в тензорной форме позволяет разделить его на две час ти, шаровую и девиаторную, которые имеют разный физический смысл, т.е. связаны с отдельными компонентами потенциальной энергии деформирования. В символах главных напряжений тензор ное разложение будет иметь следующий вид:

1 0 0 0 0 1 0 0 0. (2.2) 0 2 0 = 0 0 0 + 0 2 0 0 0 3 0 0 0 3 0 Среднее напряжение шарового тензора, 1 + 2 +, (2.3) 0 = является тем самым параметром напряженного состояния, который ответственен за изменение объема элемента твердого тела. Среднее напряжение может быть положительным, отрицательным и нулевым.

Именно оно отражает влияние знаков соотношения 1 : 2 : 3. Хрупкие разрушения наблюдаются, как правило, при напряженных состояниях с 0 0.

Девиатор – это та часть напряженного состояния, которая ответственна за изменение формы эле мента твердого тела. Характеристикой девиатора является величина, пропорциональная среднеквадра тичному значению компонент девиатора, которую называют интенсивностью напряжения i :

[ ], 3 (1 0 )2 + ( 2 0 )2 + (3 0 ) i = i = 1 + 2 + 3 1 2 2 3 2 или. (2.4) Эта характеристика девиатора всегда имеет положительный знак.

Нетрудно заметить, что оба параметра напряженного состояния (2.3) и (2.4) численно связаны с компонентами напряжений на октаэдрической, равнонаклоненной к главным осям, площадке (рис.

2.4):

(1 + 2 + 3 ), или окт = 0 ;

(2.5) окт = 1 (1 2 )2 + ( 2 3 )2 + (3 1 )2, или i. (2.6) окт = окт = 3 Октаэдрические напряжения часто используются в критериях эквивалентности напряженных со стояний, но можно сказать, что они являются производными от параметров шарового тензора и девиа тора.

Можно сказать также, что максимальное касательное напряжение (2.1) является одним из парамет ров девиатора, т.е. оно связано с изменением формы. Соответствующее выражение через компоненты девиатора имеет вид (1 0 ) ( 3 0 ). (2.1) max = С девиаторной частью напряженного состояния связана и предложенная В.В. Новожиловым [106] интегральная характеристика касательного напряжения, представляющая собой среднеквадратичное значение касательных напряжений, действующих на площадках, касательных к сферической поверх ности с центром, совпадающим с рассматриваемой точкой тела:

n 1/ 1 при 0, = d окт или согласно вычислениям [107, окт с. 422]:

Рис i. (2.7) = Таким образом, любое касательное напряжение всегда связано с изменением формы рассматри ваемого элемента твердого тела.

2.1.3. ПАРАМЕТР ЛОДЭ В механике деформируемого твердого тела вид напряженного состояния оценивают параметром Лодэ 2 2 1. (2.8) µ = 1 Действительно, для всех напряженных состояний с одинаковыми соотношениями компонент 1 : 2 : 3 этот параметр будет иметь одно и то же значение. Можно сказать, что он является параметром девиатора, так как он принимает то же самое значение и для компонент девиатора:

2( 2 0 ) (1 0 ) ( 3 0 ). (2.8) µ = (1 0 ) (3 0 ) Однако параметр Лодэ, с точки зрения его использования в построении теории предельного со стояния, имеет два недостатка. Во-первых, он не определяет однозначно вид напряженного состоя ния 1 : 2 : 3. Это хорошо иллюстрируется графическим построением напряженного состояния с помощью кругов Мора.

На рис. 2.5 в осях три круга характеризуют напряженное состояние в окрестности точки, этом: OA = 1 ;

OB = 2 ;

OC = 3 ;

CR = RA = (1 3 ) / 2.

при Тогда геометрической интерпретацией параметра Лодэ будет отношение отрезков на кругах Мора: µ = RB / RA.

RB OB OR OB (OC + CR ) µ = = = = RA RA RA 2 3 + 1 C O` 2 2 2 1 RB A.

= = 1 3 1 Рис. 2. Таким образом, параметр Лодэ характеризует относительное положение компоненты 2 на число вой оси между 3 и 1. Поэтому его область допустимых значений ограничена значениями 1 (для 2 = 3 ) и +1 (для 2 = 1 ). При этом для бесконечно большого количества видов напряженных состоя ний с разным соотношением компонент 1 : 2 : 3 параметр Лодэ принимает одинаковое значение, если эти напряженные состояния изображаются одинаковыми кругами Мора. На рис. 2.6 показаны примеры графического изображения трехосного (I) и двухосного (II) растяжения, двухосного (III) и трехосного (IV) сжатия, которым соответствуют одинаковые параметры Лодэ.

Вторым недостатком параметра Лодэ является то, что он не имеет физической интерпретации, т.е.

его нельзя связать ни с какими деформационными или энергетическими составляющими процесса раз рушения. Проиллюстрировать это можно на примерах легко экспериментально осуществляемых видов напряженного состояния. Так, для одноосного растяжения µ = 1, а для двухосного растяжения µ = +1, т.е. параметр Лодэ принимает два крайних значения из своей области допустимых значений. А интен сивности напряжений, т.е. характеристики девиаторных частей этих напряженных состояний, одинако вые. Различаются в два раза величины средних напряжений. Опыты показывают, что при пластичном состоянии материала предельные напряжения отличаются незначительно [9]. Напрашивается вывод, что в этом случае различие значений µ каким-то образом отражает слабое влияние шарового тензора. Если сравнить опытные данные для одноосного растяжения ( µ = 1 ) и IV III II I двухосного сжатия ( µ = 1 ), то для них интенсивности напряжений также одинаковые, а средние значения RIII RII RI RIV отличаются по величине и по знаку.

Опыты показывают, что при одинаковых значениях параметра Лодэ предельные Рис. напряжения для отдельных пластичных материалов существенно отличаются [9]. Эти простые примеры свидетельствуют о том, что параметр Лодэ не является однозначной характеристикой ни напряженного состояния в целом, ни его девиаторной части.

Со всей очевидностью, параметр Лодэ µ, имеющий геометрический смысл, может быть использо ван для эмпирических зависимостей, отражающих опытные данные, как вариант аппроксимации. Но он не может быть принят в основу построения физической теории предельного состояния, как не имеющий однозначной физической интерпретации.

2.2. ПОНЯТИЕ О ПРОСТОМ И СЛОЖНОМ НАГРУЖЕНИИ Простым нагружением называют такое нагружение, при котором направление главных напряжений и их соотношение в любой момент времени t остается неизменным: 1 (t ) : 2 (t ) : 3 (t ) = const. В противном случае нагружение называют сложным.

В случае однородного напряженного состояния нагружение будет простым, если внешние силы возрастают пропорционально одному, общему для всех сил, параметру. Таким параметром может быть время, давление, температура, перемещение захватов и т.д. Таким образом, все виды стан дартных испытаний цилиндрических образцов на одноосное растяжение, одноосное сжатие с по стоянной скоростью деформирования, испытания трубчатых образцов в условиях возрастания внутреннего давления и пропорционального возрастания продольной силы, внутреннего давления и крутящего момента относятся к испытаниям при простом нагружении. Поэтому результаты этих опытов объединяют в одну совокупность и анализируют применимость того или иного критерия эк вивалентности предельных состояний.

Циклическое нагружение относят к сложному виду нагружения. К частным случаям сложного на гружения следует отнести растяжение под давлением, любое другое деформирование с постоянной ско ростью под постоянным внешним давлением, если вначале создают внешнее давление, а затем прикла дывают пропорционально изменяющуюся внешнюю нагрузку.

Вопрос о том, как должны возрастать внешние силы, чтобы при неоднородном напряженном со стоянии нагружение во всех точках твердого тела было простым, пока не решен.

Различать простое и сложное нагружение было предложено А.А. Ильюшиным в 1945 г. [108]. При простом нагружении направление главных напряжений в твердом теле остается постоянным и сохраняется постоянное отношение между главными напряже ниями в течение всего времени нагружения. В случае простого нагружения, как было показано А.А.

Ильюшиным [108], две теории пластичности, теория течения и теория малых упруго-пластических деформаций дают одинаковые результаты, что подтвердилось с некоторой степенью точности опы тами Е. Дэвиса [109, 110], М. Роша и А. Эйхингера [111], А.М. Жукова [112] и другими.

Анализируя математическую работу А.А. Ильюшина, Н.Н. Давиденков показал техническую сторо ну основ теории простого нагружения [27]. Постоянство направления главных напряжений обеспечива ет постоянство положения в твердом теле октаэдрической плоскости. При пропорциональности главных напряжений главные касательные напряжения будут пропорциональны, поэтому и октаэдрическое каса тельное напряжение будет сохранять постоянное направление в этой плоскости в течение всего времени нагружения. Плоскость октаэдрического сдвига, проходящая через нормаль к октаэдрической плоскости и октаэдрическое касательное напряжение, также остается без изменения в течение нагружения. Поэто му в конце нагружения лежащий в октаэдрической плоскости конечный угол сдвига будет равен инте гралу его приращений на бесконечно малых этапах нагружения. В этом – справедливость принципа суммирования деформаций при простом нагружении. В итоге накопленная интегральная деформация мо жет быть вычислена через величину напряжения в конце нагружения.

Теорию, которая обеспечивает представление накопленных деформаций через величины на пряжений в конце нагружения, называют деформационной теорией.

2.3. ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ И ДЕФОРМАЦИЯМИ В теории пластичности в основе зависимостей между напряжениями и деформациями принята предложенная П. Людвиком [113] гипотеза о существовании единой деформационной кривой, согласно которой при любом виде напряженного состояния зависимость интенсивности напряжения i от интенсив ности деформации i сохраняет неизменное выражение. Интенсивность деформации вычисляют по форму ле (1 2 )2 + ( 2 3 )2 + ( 3 1 )2, (2.9) i = где 1, 2, 3 – деформации по главным направлениям.

Для степенной аппроксимации эта зависимость, которую называют формулой обобщенной кривой, примет вид i = A i1/ m, (2.10) где A и m – константы, определяемые из опытов на одноосное растяжение.

Таким образом, гипотеза о "единой деформационной кривой" полагает отсутствие влияния шарово го тензора на предельное состояние и независимость показателя нелинейности 1 / m от объемности на пряженного состояния. На самом деле, опыты показывают, что диаграммы одноосного растяжения, од ноосного сжатия и чистого сдвига не совпадают для большого количества черных и цветных металлов [15, 28, 114] и полимерных материалов [42]. Обобщенная кривая деформирования, признанная в теории пластичности, имеет ограниченное применение.

В общем случае, влияние вида напряженного состояния 1 : 2 : 3 заметно сказывается на величине A зависимости (2.10), и существует слабое его влияние на показатель нелинейности 1 / m.

При сложном нагружении деформация в конце нагружения зависит от пути этого нагружения.

Задача о расчете величины деформации в настоящее время не решена. Ясно, что решить ее можно только на основе кинетической физической теории.

В прикладной теории пластичности простым нагружением называют такое нагружение, при ко тором компоненты девиатора напряжений возрастают пропорционально некоторому параметру. Оче видно, что если компоненты тензора напряжений возрастают пропорционально, то и компоненты де виатора будут тоже возрастать пропорционально [32, 114].

Для изохорического деформирования твердого тела, приняв коэффициент поперечной дефор мации равным µ = 0,5, тем самым исключив из рассмотрения шаровой тензор, А.А. Ильюшин пока зал [48], что простое нагружение при пропорциональном возрастании внешних нагрузок будет обеспечено, если справедлива степенная зависимость вида (2.10). При других зависимостях между интенсивностями напряжений и интенсивностями деформаций пропорциональное возрастание внешних нагрузок может создать как простое, так и сложное нагружение в элементе твердого тела [48]. Так, в теоретическом исследовании Д.Д. Ивлева [115] было показано, что в случае аппроксимации обобщенной кривой полиномом для обеспечения постоянства направлений главных напряжений и их соотношения 1 : 2 : 3 требуется не пропорциональное изменение внешних сил. Седов Л.И. [116], исследуя возможные пути деформирова ния для обеспечения условия 1 : 2 : 3 = const простого нагружения, пришел к выводу, что при боль ших деформациях идеальное простое нагружение неосуществимо.

Подытоживая результаты вышеуказанных теоретических работ и учитывая заложенные в них допущения, Н.Н. Малинин [32] предлагает в решении прикладных задач теории пластичности исходить из того, что для малых упругопластических деформаций достаточно точно, а для больших пластических деформаций приближенно пропорциональное нагружение твердого тела будет простым, если зависимость между интенсивностью напряжений и интенсивностью деформаций степенная.

Зависимость главных напряжений j от главных деформаций j при трехосном растяжении ( j = 1, 2, 3 ) можно также представить в виде степенной функции 1 / m j j = т.рj. (2.11) т.рj В выражении (2.11) т.рj и т.рj – параметры текучести объемного растяжения, которые отличаются от соответствующих параметров одноосного растяжения и зависят от 1 : 2 : 3. Параметр нелинейности при трехосном растяжении m должен также отличаться от параметра нелинейности одноосного растя жения, хотя есть свидетельства, что это отличие либо незначительное, либо вообще отсутствует [12, 118].

В различии параметров текучести и показателей нелинейности объемного и одноосного растяжения проявляется несоблюдение принципа суперпозиции при деформировании физически нелинейных твердых тел.

Деформация j является результатом одновременного воздействия всех трех главных напряжений, поэтому ее можно представить в виде суммы трех компонент, введя как в строительной механике обо значения с двумя индексами, первый из которых обозначает направление, а второй – причину деформа ции:

j = j1 + j 2 + j 3. (2.12) Соответствующие диаграммы показаны на рис. 2.7.

j j ( j ) j ( jj ) т.рj Рис 2 Поскольку при простом нагружении деформации суммируются, накопленную деформацию можно выразить через компоненты:

1 = 11 µ 22 µ33 ;

(2.13) 2 = 22 µ33 µ11;

= µ µ.

3 33 11 С учетом зависимости (1.3), которая во введенных обозначениях с двумя индексами для одноосного растяжения ( j = 1, 2, 3 ) имеет вид m j jj = т.р, (2.14) т.р систему главных деформаций для трехосного растяжения при простом нагружении можно выразить че рез напряжения следующим образом:

m m m 1 2 = µ т.р µ т.р ;

т.р т.р т.р т.р m m m 2 µ т.р 3 µ т.р 1 ;

(2.15) 2 = т.р т.р т.р т.р m m m 3 = т.р 3 µ т.р 1 µ т.р 3.

т.р т.р т.р Деформационные кривые, соответствующие уравнениям (2.14) и (2.11), показаны на рис. 2.7.

Для трехосного сжатия связь главных напряжений с главными деформациями по любому j-му на правлению можно представить в виде 1 / n j j = т.с j, (2.16) т.с j если для одноосного сжатия справедлива зависимость 1/ n j j = т.с, (2.17) т.сj при этом 1 / n 1 / m и 1 / n 1 / m. Система трех главных деформаций в конце нагружения приближенно может быть выражена через параметры одноосного сжатия:

n n n 1 = т.с 1 µ т.с 2 µ т.с 3 ;

т.с т.с т.с n n n 2 3 2 = т.с µ т.с µ т.с ;

(2.18) т.с т.с т.с n n n 3 µ т.с 1 µ т.с 3.

3 = т.с т.с т.с т.с Для сложных напряженных состояний 1 : 2 : 3 с компонентами, имеющими разные знаки, зависи мость главных напряжений от главных деформаций имеет более сложный вид. Ясно, что предельные поверхности при этом сохраняют неразрывность и плавный переход из области трехосного сжатия в об ласть трехосного растяжения.

Для использования комплекса зависимостей (2.11) – (2.18) нужно знать, что собой представляет ко эффициент поперечной деформации при сложном напряженном состоянии.

2.4. КОЭФФИЦИЕНТ ПОПЕРЕЧНОЙ ДЕФОРМАЦИИ При одноосном напряженном состоянии в поперечном направлении нет усилий, но есть движение структурных единиц материала. Можно сказать, что коэффициент поперечной деформации при одноос ном напряженном состоянии отражает реальную кинетику процесса деформирования в поперечном и продольном направлениях, следовательно, является кинетическим параметром.

Какова будет кинетика, если в поперечном направлении создастся усилие, препятствующее это му перемещению или совпадающее по направлению с ним? Какой смысл будет иметь коэффициент по перечной деформации при гидростатическом сжатии или равностороннем трехосном растяжении? Бу дет он в этих частных случаях напряженного состояния отражать кинетику или отражать нереализован ную возможность деформирования в поперечном направлении? Чему он будет равен экспериментально, а не теоретически? На все эти вопросы, если и есть ответы, то количество публикаций на эту тему на столько мало, что они теряются в общем объеме информации. В учебной литературе по сопротивлению материалов, теории пластичности и ползучести такие данные отсутствуют.

В теории упругости И.А. Биргером [119] на основе кусочно-линейной аппроксимации диаграммы деформирования был разработан метод переменных упругих параметров. В пределах каждого участка кусочно-линейной аппроксимации коэффициент поперечной деформации µ зависит от интенсивности напряжений, интенсивности деформаций и – коэффициента Пуассона µ:

(1 + µ ) (1 2µ ), (2.19) µ = 2(1 + µ ) + (1 2µ ) где = i / i – функция пластичности;

i = i / т ;

i = i / т.

Для значения функции пластичности = 1 коэффициент поперечной деформации совпадает с коэф фициентом Пуассона: µ = µ. В пределе, при 0, коэффициент поперечной деформации µ 0, 5. Ме тод переменных параметров исходит из признания существования единой деформационной кривой.

Также приняв в основу модели существование единой деформационной кривой, теоретическую оценку величины коэффициента поперечной деформации для упругопластического материала со сте пенной диаграммой деформирования предложил Н.А. Махутов [10, 12]:

µ = 0,5 0,2i(1 / m), (2.20) где i = i / т – относительная интенсивность;

1 / m – показатель нелинейности.

Формула предполагает, что при больших деформациях коэффициент поперечной деформации все гда стремится к величине 0,5, а при малых деформациях – к 0,3. На рис. 2.8 показана зависимость коэф фициента поперечной деформации стали от относительной интенсивности напряжения (а) и относи тельной деформации (б) [10, c. 56]. Формула µ µ 0 0,05 0,1 0,2 0, 1/ m = 0,50 0, 0, 0, 0,40 0, 0, 0,6 0, 0, 0,30 0, 1/ m = 1/ m = 1,8 i / т.р i / т.р 1,0 1,4 0 4 Рис б) а) ИМЕЕТ ОГРАНИЧЕННОЕ ПРИМЕНЕНИЕ И РЕКОМЕНДУЕТСЯ АВТОРОМ [12] ДЛЯ ОЦЕНКИ ПРОЧНОСТИ МЕТАЛЛОВ В ЗОНЕ КОНЦЕНТРАЦИИ ПРИ ОБРАЗОВАНИИ ТРЕЩИН, КОГДА ВИД НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ПРИ ПЕРЕХОДЕ ОТ МАЛЫХ ДЕФОРМАЦИЙ К БОЛЬ ШИМ ОСТАЕТСЯ НЕИЗМЕННЫМ.

В своей монографии по теории ползучести [120] А.Р. Ржаницын, рассматривая деформируемое ли нейно сплошное изотропное тело со свойствами ползучести и пользуясь принципом независимости дей ствия сил, для трехосного напряженного состояния предлагает следующие зависимости:

1 (t ) = 1FI (t, ) ( 2 + 3 )FII (t, );

2 (t ) = 2 FI (t, ) (3 + 1 )FII (t, );

(2.21) (t ) = F (t, ) ( + )F (t, ).

3 3I 1 2 II Здесь 1, 2, 3 – составляющие тензора напряжений, постоянные во времени при t и равные нулю при t ;

1, 2, 3 – составляющие тензора деформации, являющиеся функциями времени t ;

FI (t, ) и FII (t, ) – экспериментально получаемые зависимости, отношение которых FII (t, ) / FI (t, ) аналогично ко эффициенту Пуассона µ. Таким образом, автор [120] признает, что коэффициент Пуассона – не кон станта материала, а функция.

На основании всего вышеизложенного можно сделать следующие выводы.

Во-первых, коэффициент Пуассона не является константой материала, а является функцией, скорее всего, слабо зависящей от температуры, давления, вида напряженного состояния и сильно зависящей от кинетики силового воздействия.

Во-вторых, коэффициент поперечной деформации при больших деформациях является функцией, существенно и сложно зависящей как от факторов внешнего воздействия, так и от накопленного на рас четный момент времени внутреннего состояния.

В-третьих, в инженерной и научной практике вопрос об использовании коэффициента Пуассона или тех или иных формул коэффициента поперечной деформации в математической модели изучаемого или рассматриваемого процесса должен решаться на основании тех предпосылок или положений, которые при няты в этой математической модели.

2.5. ИЗМЕНЕНИЕ ОБЪЕМА, ОБЪЕМНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ Если в окрестности точки твердого тела выделить элемент с объемом dV, то под действием внеш них сил при любом напряженном состоянии в декартовой системе координат размеры элемента изме нятся по всем трем направлениям. В главных осях изменение объема будет равно dV = dV (1 + 1 )(1 + 2 )(1 + 3 ) dV. (2.22) Объемная деформация V = dV / dV является функцией осевых главных деформаций:

V = 1 + 2 + 3 + 1 2 + 2 3 + 31 + 1 2 3. (2.23) Таким образом, объемная деформация является явно нелинейной для любого твердого тела. Лишь для малых деформаций, когда слагаемыми более высокого порядка малости можно пренебречь, объем ную деформацию приближенно можно вычислить как сумму трех осевых деформаций:

V = 1 + 2 + 3. (2.24) Выражение (2.24) используют в задачах теории упругости, в которых напряжения меньше пре дела текучести, и в математическом аппарате теории пластичности, когда рассматривают твердое тело в условиях малых упруго-пластических деформаций. В других инженерных задачах, требующих учета изменения объема, пренебрегать произведениями осевых деформаций нельзя, и требуется ис пользование формулы (2.23).

В 1879 г. в опубликованных результатах исследования чугуна, песчаника, стали и железа И. Бау шингер показал [36], что в процессе пластического деформирования зависимость между относительным изменением объема и осевым напряжением имеет нелинейный характер, при этом относительное изме нение объема на порядок меньше линейной деформации. Результаты опытов И. Баушингера по измере нию объемной деформации показаны на рис. 2.9 [1, с. 128]: V /V0 – изменение объема в миллионных долях от первоначального объема образца;

I – призма из сварочного железа;

II – чугун;

III – песчаник.

Баушингер Й. наблюдал явление неожиданно большого, но большей частью обратимого, относительно го изменения объема при больших пластических деформациях. Это явление впоследствии наблюдал П.В. Бриджмен [56] при одноосном сжатии мыльного камня, мрамора (см. рис. 1.11), диабаза, различ ных сортов низкоуглеродистой стали, чугуна и дуралюмина. В 1969 г. нелинейность изменения объема с внезапной резкой аномалией, практически обратимой после снятия нагрузки, была обнаружена В.Ф. Хартманом [121] при динамических испытаниях отожженной меди.

Подытоживая результаты этих испы V /V0 таний, можно сказать следующее. При чистом гидростатическом сжатии, как правило, наблюдается линейная зависи мость между объемной деформацией и II I величиной гидростатического давления, если оно не вызывает изменения структу 400 ры материала. При всех других видах на пряженного состояния "...даже для при –240 –160 ближенно линейных участков кривой ко, МПа I 80 160 240 320 400 эффициент пропорциональности между нагрузкой и V не находится больше в – простой зависимости с коэффициентом I –800 кубической сжимаемости, т.е. с измене нием объема под действием гидростати III – ческого давления" [82, c. 232]. При всех других видах сложного напряженного со – стояния изменение объема в первом при ближении можно считать линейным вплоть до начала текучести. При более высоких напряжениях изменение объема Рис. 2.9 нелинейное и сопровождается двумя про тивоположными процессами: образованием пор и разрыхлением с уменьшением плотности;

закрытием микротрещин и других дефектов структуры с повышением плотности материала. В этих процессах про является влияние девиатора, а твердое тело при больших напряжениях становится композицией основ ного материала и пустот.

Учитывать или не учитывать изменение объема при больших деформациях – это зависит от постав ленной инженерной задачи. В большинстве задач теории пластичности предполагают, что изменения объема при пластической деформации не имеют значения. В других задачах, пренебрегая физической нелинейностью, считают, что изменение объема при пластической деформации постоянно и равно уп ругому изменению, возникающему от напряжения, равного пределу текучести. Однако в задачах техно логии механической обработки и изготовления деталей давлением или резанием, в задачах эксплуата ции машин и конструкций, оценки их ресурса прочности и долговечности неучет физической нелиней ности и изменения объема может привести к большой погрешности.

2.6. УДЕЛЬНАЯ ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ ПРИ ПРОСТОМ НАГРУЖЕНИИ Для вывода формулы удельной потенциальной энергии трехосного растяжения при простом нагру жении рассмотрим, как в теоретическом курсе сопротивления материалов, бесконечно малый элемент в окрестности выбранной точки в осях, совпадающих с направлением главных напряжений. Удельную энергию деформирования вычислим как сумму работ всех сил, приложенных к элементу, приходящую ся на единицу объема.

Каждая сила, имеющая направление главного напряжения, будет совершать работу на соответст вующем ей перемещении, вызванном всеми силами. Сумма работ по трем взаимно перпендикулярным главным направлениям, отнесенная к объему элемента, u = u11 + u 22 + u33. (2.25) Удельная работа сил первого главного направления на перемещениях по первому главному направ лению будет равна 1 / m 1 m u11 = 1d1 = т.р1 11. (2.26) d1 = т.р1 m + 0 Тогда полная удельная потенциальная энергия m (11 + 2 2 + 33 ). (2.27) u= m + В пределе, для упругого материала, когда m = 1, выражение (2.27) будет полностью соответствовать известной формуле из курса сопротивления материалов:

(11 + 2 2 + 3 3 ). (2.28) u= Поскольку при простом нагружении накопленную деформацию в конце нагружения можно выра зить через напряжения, то с учетом (2.15) удельная потенциальная энергия от работы силы по первому главному направлению будет равна m т.р m + [1 µ1 m µ13 ].

m (2.29) u11 = m + 1 m т.р Полная потенциальная энергия деформирования, приходящаяся на единицу объема материала, для объемного напряженного состояния с тремя главными растягивающими напряжениями будет равна m т.р m + [1 + m +1 + 3 +1 µ(1 m + 13 + m m u= 2 m + 1 m т.р + 2 3 + 2 1 + 31 + 3 m )].

m m m (2.30) Если подставим в (2.30) вместо трех главных напряжений j среднее напряжение 0, то получим значение удельной потенциальной энергии изменения объема. Оно будет характерно для процесса раз рушения при больших пластических деформациях.

m т.р 3(1 2µ) 0 +1.

m (2.31) u0 = m + 1 m т.р Рассматривая условие текучести и допуская линейное изменение объема при малых деформациях, в выражение (2.31) следует подставить m = m = 1, при этом отношение т.р / т.р = E будет иметь смысл мо дуля линейной упругости. Последнее утверждение согласуется с теорией пластичности, в которой поня тие пределов текучести, упругости и пропорциональности не различаются. После преобразования вы ражение для энергии изменения объема примет вид, известный из механики линейно деформируемого твердого тела, 1 2µ 3 0. (2.32) u0 = 2( т.р / т.р ) Аналогичная подстановка m = m = 1 и т.р / т.р = E в уравнение (2.30) дает известное в механике ли нейно деформируемого твердого тела уравнение полной удельной потенциальной энергии деформиро вания:

1 2 2 [1 + 2 + 3 2µ(1 2 + 13 + 31 ]. (2.33) u= 2( т.р / т.р ) Таким образом, в формулах энергии (2.30), (2.33) и (2.31) и (2.32) прослеживается общий характер степенного закона деформирования, предложенного, по-видимому, впервые Я. Бернулли, а затем "пере открытого" многими исследователями. Для степенного закона линейный закон является частным случа ем. Но это справедливо только для простого нагружения. Проверить правильность формул (2.30) и (2.31) можно, например, на основе сравнения опытных данных о прочности твердых материалов с рас четными данными прогноза прочности по какой-либо физической теории, использующей формулы энергии деформирования.

Глава КРИТЕРИИ ПРЕДЕЛЬНОГО СОСТОЯНИЯ Любое твердое тело под нагрузкой разрушается либо хрупко, либо вязко. На сегодняшний день нет такой теории, которая бы для любого вида напряженного состояния однозначно устанавливала и харак тер разрушения, и величину предельных напряжений. Критерии предельного состояния сопротивления материалов применимы для оценки несущей способности твердых тел как в однородных, так и в неод нородных полях напряжений. В последнем случае под потерей несущей способности понимают возник новение предельного состояния в локальной области в окрестности наиболее напряженной точки, кото рую называют опасной.

В настоящее время существует большое количество критериев прочности, из них наибольшее при знание получили классические. Именно классические гипотезы прочности рекомендуются во всех совре менных учебниках по сопротивлению материалов в России [12, 122, 123].

3.1. КЛАССИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ ХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ И ПЛАСТИЧНОСТИ Первая классическая гипотеза Г. Галлилея (1638 г.) [124] связывает хрупкое разрушение с наиболь шим растягивающим главным напряжением. Согласно этой гипотезе прочность твердого материала бу дет обеспечена, если наибольшее главное растягивающее напряжение 1 0 сложного напряженного состояния ( 1 2 3 ) будет меньше истинного сопротивления отрыву S р при одноосном растяжении.

Критерий предельного состояния имеет вид 1 = S р. (3.1) Этот критерий хорошо соответствует опытным данным, полученным при испытаниях различных конст рукционных материалов в условиях двухосного растяжения (чугуна и бетона в обычных условиях, а других материалов – при низких температурах, ударном и циклическом нагружении). Можно считать, что в настоящее время этот критерий не вызывает сомнения.

Критерий Г. Галлилея является исторически первым, хотя существуют свидетельства о том, что в древних веках, возможно, умели анализировать напряженно-деформированное состояние в сложных конструкциях и оценивать их прочность. Так, в своей монографии [124] М.М. Филоненко-Бородич пи шет, что измерение размеров различных элементов конструкций останков одного из древних храмов и применение к ним современных методов расчета показали, что все детали сооружения были изготовле ны с запасом прочности, колеблющимся от трех до четырех, т.е. довольно устойчивым. Возможно, в древнем мире имелись формулы для оценки прочности, но они не сохранились до наших дней.

Вторая классическая гипотеза связана с именем Е. Мариотта (1684 г.) [107]. Согласно этой гипотезе хрупкое разрушение наступает при до- стижении максимальной относительной деформацией в ок рестности рассматриваемой точки твердого тела предельной величины. В символах главных напряже ний критерий предельного состояния имеет вид 1 µ( 2 + 3 ) = S р, (3.2) где µ – коэффициент Пуассона.

Критерий прочности (3.2) не нашел самостоятельного применения в инженерной практике, так как не отвечает большинству опытных данных. Однако он был использован Я.Б. Фридманом для построе ния диаграммы механического состояния при различных способах нагружения и обобщенной оценки прочности материалов [59, с. 224].

Третья классическая гипотеза прочности причиной возникновения текучести и вязкого разрушения считает наибольшее касательное напряжение. Это положение впервые было сформулировано Ш. Куло ном в 1773 г. [124]. Условие предельного состояния текучести имеет вид 1 3 = т, (3.3) где т – предел текучести материала при одноосном напряженном состоянии.

Для условия вязкого разрушения при больших деформациях в правой части критерия (3.3) прини мают напряжение, равное истинному напряжению в момент разрыва при одноосном растяжении. Не достатком критерия (3.3) является неучет второго главного напряжения 2.

Четвертая классическая гипотеза И. Максвелла (1856 г.) – Р. Мизеса (1913 г.) [107] причиной теку чести или объемного вязкого разрушения в окрестности рассматриваемой точки считает энергию изме нения формы. Условие текучести имеет вид 1 + 2 + 3 1 2 2 3 3 1 = т, 2 (3.4) где в левой части – формула интенсивности напряжений i.

Условия (3.3) и (3.4) применимы только для чистых металлов (железа, меди, свинца, алюминия, ни келя) и некоторых малоуглеродистых мягких сталей. Поскольку эти условия нашли широкое примене ние в теории пластичности [32], то третья и четвертая классические гипотезы носят название гипотез пластичности.

Левые части условий предельного состояния принято называть эквивалентным напряжением, обо значать экв и присваивать второй индекс, соответствующий номеру классической гипотезы.

Классические гипотезы пластичности имеют два существенных недостатка. Во-первых, они не учи тывают разного сопротивления одноосному растяжению и сжатию, о чем свидетельствуют многочис ленные опытные данные зарубежных и российских ученых [1, 2, 9, 20, 28, 42, 125]. Во-вторых, они не учитывают влияние шарового тензора, в то время как опыты показывают, что предельное сопротивле ние зависит от вида напряженного состояния [28, 42], а гидростатическое давление способствует повы шению прочности и пластичности твердых тел [28, 56, 76, 78, 79].

3.2. КРИТЕРИИ, УЧИТЫВАЮЩИЕ РАЗНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ РАСТЯЖЕНИЮ И СЖАТИЮ В 1900 г. О. Мором [126] был опубликован вариант теории прочности, согласно которой условие эквивалентности предельных напряженных состояний имеет вид 1 3 = оп, (3.5) р где оп – так называемое "опасное" напряжение при одноосном растяжении, совпадающее с пределом р текучести для пластичных материалов и с пределом прочности для хрупких материалов;

= оп / оп – от р с ношение соответствующих предельных напряжений одноосного растяжения и сжатия.

Если 1, то условие (3.5) совпадает с условием пластичности III классической гипотезы (3.3);

ес ли 0, то условие (3.5) преобразуется в условие хрупкого разрушения I классической гипотезы (3.1).

Фактически О. Мором была предпринята попытка построения обобщенной теории прочности твердых тел. Однако условие (3.5) оказалось применимым только для частных случаев напряженного состояния, когда первое главное напряжение растягивающее 1 0, а третье – сжимающее 3 0. Опыты показали, что неучет второго главного напряжения 2 приводил к ошибке порядка 17 % [107, с. 544]. В итоге, критерий О. Мора стал лишь поправкой критерия Ш. Кулона.

В равной степени критерий Г.С. Писаренко – А.А. Лебедева (1968 г.) [127, 128] явился таким же улучшенным вариантом критерия И. Максвелла – Р. Мизеса:

(1 )1 + 1 + 2 + 3 1 2 2 3 31 = оп, 2 (3.6) 2 р где = оп / оп.

р с Для материалов в пластическом состоянии, когда оп = оп, условие (3.6) преобразуется в условие р с пластичности IV классической гипотезы (3.4). Для материалов с характеристикой 0 условие (3.6) принимает вид условия прочности по I классической гипотезе (3.1).

В справочнике [9] приведено большое количество примеров хорошего совпадения критерия Г.С. Писа ренко – А.А Лебедева с опытными данными для плоского напряженного состояния, а конкретно: для двухосного растяжения и случаев, когда одно напряжение растягивающее 1 0, а другое – сжимающее 3 0.

Несколько ранее, в 1959 г., простейшее объединение I и IV классических гипотез было предложено В.П. Сдобыревым [129]:

1 + i = оп. (3.7) р Этот критерий нашел широкое применение для оценки длительной прочности жаропрочных ста лей и сплавов.

На рис. 3.1 в относительных координатах показан вид кривых предельного состояния твердых ма териалов при плоском напряженном состоянии, которые предлагаются в учебной литературе по сопро тивлению материалов. Линия I соответствует критерию Галлилея;

III – гипотезе Кулона;

IV – гипотезе Мизеса;

V – критерию Мора;

аббревиатурой П-Л обозначена предельная кривая Писаренко-Лебедева.

Относительные координаты z и – это частное от деления компонентов напряженного состояния z и на соответствующие предельные значения, установленные при линейном растяжении по направлению z и.

Нетрудно заметить, что в случае двухосного растяжения все приведенные на рис. 3.1 критери альные линии располагаются близко друг от друга. Примерно одинаковой следует ожидать и точ ность обработки экспериментальных данных при их использовании, т.е. в количественном отноше нии критерии одинаковые. Отличие между ними будет лишь качественное, но принципиальное:

учитывается влияние на прочность второго главного напряжения или нет. В остальных случаях плоского напряженного состояния, особенно в области двухосного сжатия, положение предельных кривых существенно отличается.

z I – III V IV –1 I П-Л Рис. 3. 3.3. КРИТЕРИИ, УЧИТЫВАЮЩИЕ ВЛИЯНИЕ ШАРОВОГО ТЕНЗОРА ИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ Анализ накопленных опытных данных о прочности при объемном напряженном состоянии и особенно результаты исследования разрушения под высоким гидростатическим давлением, полученные П.В. Брид жменом [56] и С.И. Ратнер [28], убедительно показали, что прочность и пластичность материалов сущест венно зависят от шарового тензора, а предельные поверхности текучести и вязкого объемного разруше ния существенно отличаются от рассчитанных как по классическим гипотезам максимального касатель ного напряжения и энергии изменения формы, так и по их улучшенным вариантам.

В ответ на это обстоятельство в России и за рубежом появилось большое количество критериев, учиты вающих влияние шарового тензора. Как правило, они представляют собой математическую модель поверхности вращения в пространстве трех главных напряжений с осью, совпадающей с гидростатиче ской осью. При этом авторы старались обеспечить замкнутость поверхности в положительном октанте и разомкнутость в отрицательном, хотя достоверных опытных данных о предельном состоянии при рав номерном трехосном растяжении до настоящего времени не получено. В настоящее время насчитывает ся несколько десятков феноменологических критериев прочности. Существует большое количество на учной литературы, в которой приводятся обзоры критериев. Среди последних таких изданий следует отметить работу А.П. Филина [107], где критерии предельного состояния в локальной области класси фицированы, систематизированы по наиболее характерным признакам в пределах каждого класса и со провождены подробной исторической справкой. Критерии прочности, наиболее широко используемые в России и странах СНГ, приведены в справочнике [9], а критерии, используемые в зарубежных странах, – в монографии И. Нарисавы [20].

Исторически первым вариантом энергетической гипотезы предельного состояния был предложен ный в 1885 г. Е. Бельтрами критерий полной удельной потенциальной энергии деформирования [124].

Критерий учитывал влияние и шарового тензора, и девиатора. Уравнение предельной поверхности, со ответствующее этому критерию, имеет вид 1 + 2 + 3 2µ(1 2 + 2 3 + 31 ) = S р, 2 2 (3.8) Этому уравнению в осях главных напряжений отвечает эллипс вращения с центром в начале координат (рис. 3.2), с симметрией относительно оси среднего напряжения 0 = (1 + 2 + 3 ) / 3 и полной симметрией поверхностей относительно девиаторной плоскости сечения (с 0 = 0 ). На этом и последующих рисун ках предельных поверхностей цифрой 1 отмечен след поверхности на девиаторной плоскости, а буквой r – радиус круга девиаторной плоскости.

Для всех напряженных состояний, которые отражаются точками внутри любой предельной поверх ности, опасности разрушения нет. Считают, что при всех напряженных состояниях, которые изобража ются точками вне предельной поверхности, материал разрушается. Точкам предельной поверхности от вечает переход материала от неразрушенного состояния к разрушенному (запас прочности равен едини це).

Поскольку опытные данные на всестороннее сжатие не соответствовали уравнению (3.7), то критерий полной энергии деформации был отвергнут. Однако он послужил развитию четвертой классической гипотезы пластичности;

соответствующая ему предельная поверхность с 1913 г. [130] в научной литературе носит название "цилиндр Мизеса" (рис. 3.3).

2 Sp r= 1+ µ Рис. 3. r= Sр В 1931 г. Ю.И. Ягном [131] была предложена математическая модель предельной поверхности вра щения для изотропного материала в виде (1 2 )2 + ( 2 3 )2 + m(1 + 2 + 3 )2 + + n(1 + 2 + 3 ) = l.

Модель не имеет физического обоснования, является лишь геометрической интерпретацией. Кон станты n, m, l определяют через предельные сопротивления при любых трех напряженных состояниях, легко осуществляемых опытным путем. В зависимости от соотношения этих констант предельная по верхность приобретает определенную регулярную форму: при m 0 и n 2 / 4m + l 0 – эллипсоид враще ния;

при m = n = 0 – цилиндр Мизеса;

при m = 0 и n 0 – параболоид вращения;

при m 0 и n 2 / 4m + l = 0 – конус;

при m 0 и n 2 / 4m + l 0 – гиперболоид вращения. Если константы определены из опытов на од ноосное растяжение с предельным сопротивлением S р, одноосное сжатие с предельным сопротивлени ем S с и сдвиг с предельным сопротивлением S сдв, то константы уравнения предельной поверхности (3.9) имеют следующий вид:

6S с 2S р S с 6S cдд ( S с S р ) сдв ;

;

l = 6S сдв.

m= n= Sр Sс S р Sс Ягн Ю.И. отмечал, что следует ожидать сложного и существенного влияния вида напряженного со стояния на вид предельной поверхности. Истинная поверхность может оказаться настолько сложной, что приближением для нее будет совокупность ряда поясов поверхностей вращения второй степени, из которых один пояс – часть поверхности параболоида, другой – часть цилиндрической поверхности и т.д. Уравнение для каждого пояса сохраняет форму (1.9), но для определения коэффициентов n, m, l ка ждого пояса нужно будет установить опытным путем предельные напряжения для каких-либо трех ви дов напряженного состояния (трех соотношений 1 : 2 : 3 ), возможных в пределах каждого пояса.

Именно в связи с вышеизложенными обобщающими соображениями Ю.И. Ягна можно не согла ситься с его интерпретацией опытных данных К. Баха [131]. Так, по трем значениям предельных сопро тивлений для чугуна ( S с = 90 МПа;

S р = S cдд = 30 МПа) делается вывод о соответствии предельной по сдв верхности чугуна параболоиду вращения, а по трем значениям предельного сопротивления бетона ( S с = 4 МПа;

S р = S cдд = 0,4 МПа) делается вывод, что предельная поверхность бетона близко подходит к конусу. Однако чугун и бетон, как правило, демонстрируют различные характеры разрушения: хрупкий сдв – при растяжении и сдвиге, т.е. при напряженных состояниях с 0 0 и близких к ним;

вязкий – при сжатии и при напряженных состояниях с 0 0. Описать истинную предельную поверхность одним уравнением в этом случае нельзя.

Схема возможного объяснения характера разрушения хрупких материалов подробно рассматрива ется в работе Н.Н. Давиденкова и А.Н. Ставрогина [132]. Для плоского напряженного состояния она показана на рис. 3.4. Согласно этой схеме должно быть минимум два уравнения предельного состояния: для напряженных состояний с хрупким характером разрушения – I;

для вязкого характера разрушения – II.

Формула Ю.И. Ягна, являясь самым общим уравнением поверхности вращения, содержит в себе все предыдущие и последующие гипотезы пластичности, совпадая с каждой из них в соответствующих ча стных случаях.

В 1937 г. П.П. Баландиным [133] для изотропного линейноупругого материала мерой прочности предложено считать энергию изменения формы, но при этом предельное значение этой энергии считать линейно зависящей от шарового тензора. Уравнение такой предельной поверхности имеет вид (1 2 )2 + ( 2 3 )2 + (3 1 )2 + (3.10) + 2( S с S р )(1 + 2 + 3 ) = 2 S р S с.

Геометрической интерпретацией уравнения (3.10) в пространстве главных напряжений будет пара болоид вращения (рис. 3.5). Автор [133], считая "развитие теорий потенциальной энергии исчерпан ным", z SP Sр Sс Sс Sр II I Рис. 3. рекомендует уравнение параболоида (3.10) для оценки предельного состояния любых пластичных мате риалов. В то же время, в своей работе он указывает, что "для хрупких материалов необходима доста точно полная опытная проверка". В качестве численного примера, подтверждающего соответствие уравнению параболоида, П.П. Баландин [133] приводит совокупность опытных данных для разрушения при одноосном растяжении, одноосном сжатии и срезе чугуна и цементного раствора (случай, который рассмотрен на рис. 3.4). Этим еще раз подтверждается ошибочность практики построения заключений о прочности при сложном напряженном состоянии по малому числу опытных значений предельных со противлений. В первую очередь следует установить характер разрушения, затем – механизм;

только по сле этого опытные данные, полученные при одинаковом механизме разрушения можно аппроксимиро вать уравнением предельной поверхности.

В пользу параболического характера предельной поверхности в области трехосного сжатия при больших значениях сжимающих напряжений 1, 2 и 3 высказывался в своей работе [124] М.М. Фи лоненко-Бородич. В области невысоких напряжений, т.е. в окрестности начала координат, М.М. Фило ненко-Бородич считал более приемлемой аппроксимацию предельной поверхности уравнением гипер болоида вращения.

В 1940 г. А.И. Боткиным [134] для сыпучих материалов, а в 1953 г. И.Н. Миролюбовым [135] для любых хрупких материалов было предложено при построении критерия прочности исходить из того, что в 2S р S с r= 3 Рис. 3. предельном состоянии интенсивность напряжений i является линейной функцией среднего напряже ния 0 :

i = c 0. (3.11) Тогда уравнение предельной поверхности имеет следующий вид (1 2 )2 + ( 2 3 )2 + (3 1 )2 2 2 (1 + 2 + 3 )2 + + c(1 + 2 + 3 ) = 2c 2. (3.12) Если константы и c выразить через предельные сопротивления при растяжении S р и сжатии S с, то они примут следующий вид:


Sс Sр 2S с S р c = (1 + )S р, ;

или.

= c= Sс + Sр Sс + Sр Согласно данному критерию при трехосном равномерном растяжении прочность – конечная величина, а при трехосном равномерном (гидростатическом) сжатии прочность бесконечна. Уравнению (3.12) соот ветствует коническая предельная поверхность вращения (рис. 3.6), так как согласно [131]:

m = 2 2 / 9 0 и n 2 / 4m + l = (4c / 3) 2 /[4(2 2 / 9)] + 2c 2 = 0.

2 2S р S с r= 3 Sр + Sс Рис. 3. В работе М.М. Филоненко-Бородича [124, с. 63] и позже в работе А.П. Филина [107, с. 573], оче видно ошибочно, предельная поверхность по гипотезе И.Н. Миролюбова объявляется однополостным гиперболоидом вращения, условием которого является соотношение констант: n 2 / 4m + l 0. На самом деле, коническая поверхность (с условием n 2 / 4m + l = 0 ) является некоторым частным случаем, а точнее, переходной формой от однополостного гиперболоида к двуполостному гиперболоиду вращения, для которого n 2 / 4m + l 0 [131].

Для оценки объемного вязкого разрушения в условиях одно-, двух- и трехосного сжатия твердых тел типа бетонов с характеристикой до S с / S р = 10 Л.К. Лукшей в 1963 г. [136] предложено уравнение предельной поверхности:

(1 2 )2 + ( 2 3 )2 + (3 1 )2 1 (1 + 2 + 3 ) 3( S с S р ) (1 + 2 + 3 ) = 3 S с S р, (3.13) 2 которому соответствуют: однополостной гиперболоид, если Sс / Sр 3 ;

конус вращения, если S с / S р = 3 ;

двуполостной гиперболоид для 3 S с / S р 10 (рис. 3.7).

1 Рис. 3. Для еще более хрупких тел типа бетона ( S с / S р 10 ) И.Н. Ахвердовым и Л.К. Лукшей в 1965 г. [137] предложена модификация уравнения двуполостного гиперболоида, целью которой было устранение за вышенного значения прочности в области неравномерного трехосного сжатия и обеспечение замкнуто сти предельной кривой для плоского напряженного состояния:

2(3S с 2S р ) (1 2 + 2 3 + 3 1 ) 1 + 2 + 2 3S с + 2 S р ( )( S с S р 1 + 2 + 3 ) = S с S р. (3.14) Уравнения (3.13) и (3.14) отличаются от предыдущих "отрицательным" влиянием среднего напря жения, что было принято авторами только из соображений обеспечения аппроксимации всей совокуп ности опытных данных единой поверхностью. С одной стороны, гиперболические вогнутые поверхно сти противоречат постулату Друккера [124], а с другой стороны, характер влияния шарового тензора уравнений (3.13) и (3.14) противоречит опытным данным, полученным при испытаниях на прочность под высоким гидростатическим давлением. Согласно этим уравнениям гидростатическое давление сни жает несущую способность хрупкого материала, но опыты П.В. Бриджмена [56] с чугуном, искусствен ным и природным камнем и минералами показали, что всегда с увеличением гидростатического давле ния несущая способность повышалась. Опыты П.В. Бриджмена показали также, что с повышением гид ростатического давления существенно повышается пластичность этих материалов. Учитывая этот факт, следует ожидать, что бетоны будут разрушаться: вязко – при напряженных состояниях близких к трех осному равномерному сжатию (с разрыхлением материала по всему объему и с развитием больших де формаций);

хрупко – при одно-, двух- и трехосном растяжении и близких к ним напряженных состояниях;

квазивязко – при промежуточных напряженных состояниях.

Тогда, следуя предложению Ю.И. Ягна и не нарушая физического смысла, нужно искать математиче ское приближение к истинной предельной поверхности хрупких материалов в виде набора поверхностей.

Такая схема для предельного плоского напряженного состояния показана на рис. 3.8. Она представляет собой кусочно-линейную аппроксимацию с участками хрупкого (I), квазивязкого (II) и вязкого (III) разрушения.

Надаи А., обобщая идею О. Мора, предложил считать причиной разрушения некоторую функцио нальную совокупность касательного окт и нормального окт напряжения на октаэдрических площадках [138]. Условие предельного состояния в этом случае имеет вид окт = f ( окт ), (3.15) z I II III Рис (1 2 )2 + ( 2 3 )2 + ( 3 1 ) где /3;

окт = окт = (1 + 2 + 3 ) / 3.

КАК ПРАВИЛО, В ОСЯХ окт окт КРИТЕРИЙ (3.15) ПРЕДСТАВЛЯЕТ СОБОЙ КРИВУЮ ЛИНИЮ. ПРЕДЕЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ В ОСЯХ ГЛАВНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ ЯВЛЯЕТСЯ ПОВЕРХНОСТЬ ВРАЩЕНИЯ С ОСЬЮ СИММЕТРИИ, СОВПАДАЮЩЕЙ С ГИДРОСТАТИЧЕ СКОЙ. ЭТА ПОВЕРХНОСТЬ МОЖЕТ ПРИНИМАТЬ ЛЮБОЙ ВИД В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ВИДА ФУНКЦИИ f ( окт ), В ТОМ ЧИСЛЕ И ВСЕ ПЕРЕЧИСЛЕННЫЕ ВЫШЕ ВИДЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ.

Для анизотропных твердых материалов критерии прочности имеют сложный вид, включая до девя ти предельных сопротивлений, устанавливаемых опытами на одноосное растяжение, одноосное сжатие и сдвиг по всем возможным направлениям тензора сложного напряженного состояния. Однако многие из них, нашедшие применение в инженерной практике, сводятся к перечисленным выше видам крите риев, если условия предельного состояния выразить в относительных напряжениях [139 – 145]. Относи тельное напряжение – это отношение каждого компонента напряженного состояния к предельному зна чению по соответствующему направлению. Анализ критериев прочности анизотропных тел подробно выполнен в работах И.И. Гольденблатта, В.А. Копнова, В.А. Маньковского [141, 142, 146 – 148].

3.4. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ТЕКУЧЕСТИ И РАЗРУШЕНИЯ Опыты показывают, что прочность материала сильно зависит от дефектов структуры, а величина предельного напряжения имеет явный статистический характер. Поэтому все предельные поверхности, о которых говорилось выше, в осях главных напряжений представляют собой совокупность среднеста тистических значений напряжений, при которых материал переходит в разрушенное состояние мгно венно, если рассматривается кратковременная прочность, или по истечении гарантированного периода времени, называемого долговечностью, если речь идет о длительной прочности материала.

В России работа А.П. Александрова и С.Н. Журкова (1933 г.) [149] была, пожалуй, первой, где дано качественное объяснение зависимости прочности образцов от размера поперечного сечения со стати стических позиций. Убывание прочности с ростом поперечного сечения тонких стеклянных нитей объ яснено возрастанием вероятности поверхностных повреждений в виде опасных трещин.

Роль масштабного фактора количественно впервые была оценена В. Вейбуллом в 1939 г. [150, 151].

Вероятность того, что весь материал объема V не разрушится, он представил как вероятность того, что не произойдет разрушение ни в одной единице объема этого материала. Считая все дефекты равноопас ными, введя функцию распределения напряжений в объеме и вычислив вероятность разрушения при напряжении, равном или большем некоторого фиксированного значения S р, он установил, что среднее значение предела хрупкой прочности S р связано обратной зависимостью с объемом образца:

Sр ~ 1 / V 1/ m, (3.16) где m = 3...100 – аппроксимационная константа материала.

Функция распределения В. Вейбулла из-за отсутствия физического обоснования много критикова лась, но в настоящее время успешно используется в статистических расчетах усталости металлов [10, 71, 73, 86].

Влияние масштабного фактора на прочность реальных кристаллов при хрупком разрушении на основе предположения о гауссовом распределении теоретически исследовали Т.А. Конторова и Я.И. Френкель [152]:

, (3.17) S р S р A lg V + B где S р – минимальное значение прочности, определяемое "самым опасным" из всех присутствующих в объеме V материала дефектов;

S р – наиболее вероятное значение прочности, соответствующее наиболее часто встречающимся дефек там;

A и B – параметры, связанные с функцией распределения неоднородностей в объеме.

В статистической теории Т.А. Конторовой и Я.И. Френкеля в отличие от теории В. Вейбулла проч ность образца определяют "наиболее опасной" из всех присутствующих в нем неоднородностей, при этом об "опасности" неоднородности предлагается судить на основании теории о хрупких трещинах А.А. Гриффитса [58]. Такой подход позволил Т.А. Конторовой [153] статистически объяснить не только разброс значений хрупкой прочности, но и наблюдаемый интервал температуры перехода материала из вязкого состояния в хрупкое.

Однако уравнения (3.16) и (3.17) имеют лишь теоретическое значение;

для инженерной практики они неприемлемы, так как содержат много неопределенностей. Влияние масштабного фактора в прак тике инженерных расчетов, как правило, оценивают опытным путем и вводят в расчетные формулы конкретных деталей в виде поправочных эмпирических коэффициентов.

В статистической теории Н.Н. Афанасьева (1940 г.) [154, 155] рассматриваются вопросы усталост ной прочности при простом и сложном напряженных состояниях. Им на основе различных функций распределения разработана статистическая модель усталостного разрушения, позволившая описать эф фект влияния концентрации напряжений и абсолютных размеров тел. Модель проверена опытами с об разцами алюминия, меди, латуни, аустенитной и пружинной сталей. Но все формулы расчета усталост ной прочности при сложном напряженном состоянии основаны на механическом переносе без соответ ствующего обоснования критериев статической прочности при сложном напряженном состоянии. Эти формулы лишь усложнены эмпирическими поправками и добавлением коэффициентов, учитывающих асимметрию цикла и концентрацию напряжений.

Афанасьев Н.Н. исходит из представления о металле как о конгломерате разно напряженных зерен вследствие анизотропии и неоднородности структуры. Вероятность разрушения образца от усталости он определяет вероятностью нахождения рядом одновременно нескольких зерен, имеющих напряжение, превышающее усилие сцепления между ними. Важным в работе [155] является то, что он считает воз никновение трещины результатом развития пластических деформаций, которые вызывают повышение предела текучести, вплоть до величины сопротивления отрыву при хрупком разрушении и до величины сопротивления скалыванию при вязком разрушении. Таким образом, согласно модели Н.Н. Афанасьева возникновение любой трещины усталости связано с микромеханизмом пластического деформирования.


Вероятность возникновения трещины W отражена степенной зависимостью от макроскопического на пряжения, вычисляемого по формулам сопротивления материалов W = B n, (3.18) где B,, n – константы, зависящие от характера статистического распределения.

В отличие от вышеперечисленных работ статистическая теория С.Д. Волкова 1960 г. [156] основана на представлении о твердом материале как о сплошной упругопластической среде, макроскопически однородной и микроскопически неоднородной. Гипотеза о макроскопической сплошности позволила С.Д. Волкову решить задачу для произвольного объемного напряженного состояния. Теория разработа на для степенного закона макроскопической деформации.

Статистический критерий С.Д. Волкова имеет следующую формулировку: макроскопическое раз рушение твердой среды наступает при условии достижения относительной повреждаемости микротре щинами главной площадки тензора напряжений I рода (на макроуровне) критического значения, равно го 0,5. Этому критерию при законе нормального распределения микронапряжений Гаусса соответствует условие предельного состояния в виде )2 = E ( 1)2 6G + 2K, 2 ( i (3.19) S р 1 где E, G, K – модули упругости материала;

= р / S р ;

р, S р – значения критического растягивающего напряжения на микроуровне (напряжений II рода) и макроуровне соответственно.

Макроскопический критерий пластичности представлен в работе [156] в следующей форме: макро скопическое вязкое разрушение твердой среды наступит, если вероятность того, что среднее значение напряжений II рода в окрестности рассматриваемой точки превысит предел текучести т, равна 0,5.

Этому критерию при законе нормального распределения микронапряжений в окрестности точки соот ветствует условие предельного состояния в виде т т (1 3 ) = ( т 1) 1 + 2 + 3 1 2 2 3 2, (3.20) где т – параметр, зависящий от отношения пределов текучести I и II рода т / т и от параметров функ ции распределения напряжений на микроуровне.

Статистические условия предельного состояния С.Д. Волкова учитывают влияние шарового тензо ра, девиатора, максимального нормального и максимального касательного напряжения. Они позволили объяснить результаты испытаний на прочность традиционно хрупких материалов: чугуна, стекла, гипса, закаленной и углеродистой стали [156].

Теория учета микронапряжений получила развитие в работах В.В. Новожилова и Ю.И. Кадашевича [157 – 160]. Однако все эти работы имеют пока больше теорети ческое значение, чем практическое. Сдерживает использование в инженерной практике критериев на основе статистического распределения напряжений отсутствие достаточного количества данных о виде функции распределения компонент тензоров напряжений и деформаций на микроуровне, и весьма про блематично получить достоверно такие сведения опытным путем. Для непосредственного широкого ис пользования в практических расчетах требуются более простые формулы. Тем не менее, статистическая теория, позволяющая описать процессы деформирования и разрушения с единых физических позиций, наиболее перспективна, поскольку именно она позволила бы разработать математический аппарат обобщенной теории прочности твердых тел.

Введя в статистическую теорию Вейбулла дополнительно функцию распределения разрушаемых элементов по их ориентации относительно главных напряжений, В.Д. Харлаб [161] разработал вариант статистической теории хрупкого разрушения твердых тел при сложном напряженном состоянии. В ра боте [161] обобщение вейбулловской теории исходит из трактовки первичного разрушаемого элемента как плоского дефекта.

Конкретизация предложенной теории В.Д. Харлаба для объектов, которые можно представить мо делью фрикционной системы, была осуществлена Н.Б. Левченко и В.Д. Харлабом [162]. В общую ста тистическую теорию введено условие микроразрушения первичного элемента в виде "кулоновского" закона:

n + n = s, (3.21) где n – нормаль к плоскости возможного дефекта;

n и n – нормальное и касательное напряжения в сечении образца с нормалью n;

и s – постоянная и случайная характеристики прочности. Для случайной характеристики s функция распре деления определена теорией В.Д. Харлаба, она в итоге мало отличается от нормального распределения с теми же математическим ожиданием и дисперсией.

Показано [162], что конкретизированный вариант теории соответствует опытным данным для объ емного сжатия и различных видов плоского напряженного состояния бетона с соотношением прочностей равновеликих образцов при растяжении и сжатии = Rр / Rс = 0,127.

Несколько раньше эти же авторы [163] разработали другой вариант статистической теории прочно сти бетонов и любых схожих по структуре материалов, разрушающихся при небольших деформациях в условиях сложного напряженного состояния. Модель хрупкого материала представлена как совокуп ность кристаллических неразрушаемых "зерен", связанных между собой "контактами" в виде чрезвы чайно тонких плоских (несколько молекулярных слоев) твердообразных прослоек (для бетонов – это прослойки воды). Зерна и контакты в этой модели образуют внутреннюю структуру "физической точки" сплошной среды. Ансамбль "зерен" и "контактов" авторы [163] рассматривают как фрикционную сис тему, для которой условием единичного микроразрушения приняли закон Аммонтона-Кулона вида (3.21). Разрушение материала на макроуровне представили процессом накопления микроразрушений "контактов";

вероятность этого процесса связали с плотностью распределения ориентаций "контактов", плотность распределения "контактов" по прочности и "весовым" вкладом в общую поврежденность ви да напряженного состояния в "физической точке".

Немаловажно, что авторы статистической теории [163] считают, что всегда должно иметь место различие между поведением материала при растяжении и сжатии, т.е. константа в условии (3.21), ко торой в теории придается смысл "коэффициента трения", не может быть в точности равна нулю даже для высокопластичного материала. Это авторы согласуют с известным фактом, что угол между осью образца и плоскостями пластического скольжения в случае растяжения несколько больше, а в случае сжатия несколько меньше 45° [138].

В работе [163] выполнены теоретические исследования для случая простого нагружения и тре угольного симметричного распределения плотности случайных параметров "контактов". Исследования позволили объяснить причину увеличения прочности бетонов продольному сжатию при добавлении равномерного бокового давления, объяснить наблюдаемое наиболее вероятное направление трещин при некоторых видах напряженного состояния. Работа [163] являлась частью попытки построения единой статистической теории усадки, ползучести и прочности твердых тел типа бетона.

Следует отметить и еще одну работу В.Д. Харлаба (1994 г.) [164]. Им была предложена идея учета неоднородности полей напряжений регулярного и сингулярного характера при оценке хрупкого разру шения. Идея заключается в том, что в формулу эквивалентного напряжения хрупкого разрушения вно сится добавка в виде относительного приращения этого эквивалентного напряжения на характерном раз мере:

экв экв 1 + Sр, (3.22) экв где S р – стандартный предел прочности материала при одноосном однородном напряженном состоянии (при растяжении).

Показано [164], что для такой обобщенной формы критерия условие прочности бездефектного ма териала и условие трещиностойкости линейной механики разрушения становятся частными случаями.

Характерный размер, на котором следует вычислять градиентную поправку экв / экв, автор [164] предлагает определять опытным путем по результатам стандартных испытаний на прочность при рас тяжении и изгибе.

Предложенный критерий (3.22) хорошо согласуется с результатами испытаний на чистый изгиб бе тонного прямого бруса и круглой стеклянной пластинки, с результатами решений известных из теории упругости задач Ламэ, Кирша, Фламана, с решением Гриффитса для растяжения плоскости с трещиной [164]. Важно и то, что он устанавливает связь механики сплошной среды с механикой трещины.

В 1952 г. В.В. Новожилов показал [106], что интенсивность касательных напряжений i = i / 3, ко торая с точностью до константы соответствует левой части условия предельного состояния IV гипоте зы, можно представить как среднеквадратичное значение всех касательных составляющих напряжений, действующих на площадках, касательных к сферической поверхности при неограниченном уменьшении радиуса этой поверхности (см. уравнение (2.7)). Учитывая хаотический характер ориента ции структурных микроэлементов материала и тот факт, что скольжение этих микроэлементов проис ходит по самым разнообразным площадкам, можно согласиться, что не максимальное, а именно среднее касательное напряжение является мерой сопротивления разрушению. В этом случае IV гипотеза стано вится гипотезой среднестатистического касательного напряжения.

Если составить выражение для среднеквадратичного отклонения компонент главных напряжений от среднего значения, то оно также, с точностью до постоянного множителя, будет совпадать с интенсив ностью напряжения:

(1 0 )2 + ( 2 0 )2 + ( 3 0 )2 i. (3.23) = 3 На этот факт обратил внимание в 1953 г. С.Д. Пономарев [165], который предложил новую трактовку классической IV гипотезы прочности: "Предельное состояние материала (состояние текучести) в окре стности точки тела, независимо от того, находится ли тело в линейном или сложном напряженном со стоянии, наступает тогда, когда среднее квадратичное уклонение тензора напряжений от гидростатиче ского напряжения достигает предельной величины, которую можно найти из опытов с линейно напря женным образцом". Таким образом, условие предельного состояния IV гипотезы в самой простой форме отражает статистический характер прочности твердого тела. Возможно, именно поэтому она нашла широ кое применение в практике инженерных расчетов.

На основе процедуры однофакторного дисперсионного анализа, используя идею нормирования на пряжений (представление решения в относительных координатах), В.А. Маньковский в 1982 г. [147, 148] получил уравнение предельного состояния в виде 2 3 э k 1 2 + 2 3 + 3 1, = j (3.24) S S S j =1 S j 1 2 S 2 S 3 S 3 S э для которого критерием достижения предельного состояния является функция от инвариантов тензоров нормированных напряжений:

k 0 I12 (T ) + I 2 (D ) = const. (3.25) В этих уравнениях: k и k 0 – параметры неопределенной природы, отражающие характер влияния шаро вого тензора, поэтому в общем случае принимающие любой алгебраический знак;

S j – среднее значе ние предела прочности или предела текучести, полученное из макроопытов на одноосное напряженное состояние, при этом материал имеет разные характеристики сопротивления одноосному растяжению и сжатию S jр S jс ;

величина э / S э – нормированное значение эквивалентного напряжения, константа предельного состояния, которая является неопределенной по той же самой причине неизвестности ха рактера влияния шарового тензора;

I1 (T ) – линейный инвариант тензора нормированных напряжений;

I 2 (D ) – квадратичный инвариант девиатора нормированных напряжений.

Поскольку параметр k в зависимости от характера влияния шарового тензора принимает различные значения по величине и знаку, то уравнению (3.24) соответствуют предельные поверхности различной геометрии: эллипсоид, параболоид, конус и противоречащий постулату Друккера гиперболоид. Автор [148] предлагает определять параметр k уравнения (3.24) как регрессионный параметр с помощью про цедуры оптимизации, например, методом наименьших квадратов. В целом, уравнение (3.24) дисперси онного критерия (3.25) по своей структуре и общности содержания аналогично математической модели Ю.И. Ягна;

различие заключается в природе параметров уравнений (k, m, n, l).

Статистический подход, предложенный В.А. Маньковским, позволяет также получить уравнения предельных состояний в относительных координатах, которые согласуются с полученными ранее реше ниями М.М. Филоненко-Бородича (1961 г.) [124];

Ю.И. Кодашевича – В.В. Новожилова (1958 г.) [157];

И.И. Гольденблатта – В.А. Копнова (1968 г.) [141] и многими другими решениями, известными в меха нике деформируемого твердого тела. Это подробно проанализировано в работе В.А. Маньковского [148]. Статистический подход позволил автору [148] в терминах математической статистики интерпре тировать наиболее распространенные в инженерной практике критерии прочности и позволил получить такое дисперсионное условие прочности, которое при некоторых допущениях отвечает большинству известных опытов.

Таким образом, теоретические исследования В.А. Маньковского [147, 148] убедительно показали, что статистическая теория открывает возможность к построению обобщенной теории прочности твер дых тел. Однако следует отметить, что предложенная форма дисперсионного критерия (3.25), как част ного результата построения такой обобщенной теории, имеет существенный недостаток – неопределен ность параметра, отражающего влияние шарового тензора.

Имеются данные, что прочность связана не только с масштабом образцов, но и с масштабом де фектов, присутствующих в них. Статистический подход к анализу прочности и долговечности ориенти рованных полимерных пленок и волокон [166, 167] позволил количественно объяснить открытое в 1960-е гг. Г.М. Бартеневым и Л.К. Измайловой [168] существование дискретных уровней прочности и долговечности, что связано с дискретным характером дефектности структуры, статистически обуслов ливающей ее неоднородность и спектр релаксационных явлений. Свойство дискретности прочности и долговечности отличает процесс разрушения тонких (высокопрочных) образцов от разрушения массив ных (низкопрочных) образцов. Работы Б. Цоя, Э.М. Карташова, В.В. Шевелева и А.А. Валишина [166, 167] обобщают результаты работ школы Г.М. Бартенева, анализируют особенности процессов разруше ния полимерных образцов на различных дискретных уровнях напряжений в температурных, радиаци онных полях и диффузионных средах. Работы являются развитием молекулярно-кинетической теории прочности полимеров на основе объединения уравнений термофлуктуационной концепции разрушения, математической теории трещин, термодинамики и математической статистики. Вся совокупность при веденных и проанализированных в книгах теоретических и экспериментальных данных свидетельствует о том, что достоверные сведения о прочностных свойствах образцов конструкционных материалов, как блочных, так и тонких, можно получить только на основе разработки физической теории разрушения и использовании методов статистического анализа.

3.5. О ЕДИНОЙ ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ Существование двух видов предельного состояния – развитие больших деформаций и разделение на части, – не вызывает сомнения. Возникает вопрос, какое из предельных состояний достигается рань ше при каждом конкретном случае внешнего воздействия?

Первой наглядной демонстрацией очередности предельных состояний стала опубликованная в г. схема А.Ф. Иоффе [67].

Согласно этой схеме (рис. 3.9) при температурах ниже некоторой предельной T Tхр вначале дости гается состояние разрыва образца, при этом предельное состояние текучести становится практически недостижимым и разрушение имеет хрупкий характер. При температурах выше температуры хрупкости T Tхр достигаются оба предельных состояния: вначале текучесть, а затем разрыв. В этом случае раз рушение носит вязкий характер.

Решив вопрос принципиально, схема А.Ф. Иоффе стала отправной в дальнейших теоретических раз работках единой теории прочности. Целью такой теории является разработка критерия и метода ис пользования этого критерия для оценки очередности достижения предельных состояний и величины компонентов напряжений сложного напряженного состояния по опытным данным, имеющимся для простых напряженных состояний.

S отр т T Tхр T T Рис. 3. Следует отметить, что критерии прочности О. Мора, В. Сдобырева и Г.С. Писаренко – А.А. Лебеде ва, которые содержат в себе классические критерии прочности и пластичности, являются простейшими примерами обобщенного подхода к оценке прочности твердых тел. Однако соответствующие им урав нения предельного состояния не позволяют однозначно установить, какой характер разрушения (хруп кий или вязкий) будет при каждом конкретном виде сложного напряженного состояния. Такую двой ную информацию, и о величине предельного напряжения, и о характере разрушения, могут нести в себе более сложные построения, например, диаграммы механического состояния материала.

По-видимому, первой такой диаграммой является схема П. Людвика (1909 г.) [169], содержащая эле мент кинетического подхода (рис. 3.10). На схеме отражено влияние скорости деформирования на ве & личину деформации в момент разрыва при одноосном растяжении. Предполагалось, что скорость де формирования не влияет на сопротивление отрыву S р, хотя опыты показывают значимую зависимость разрушающего напряжения от скорости нагружения и скорости деформирования (закон Коффина Мэнсона). Позднее, в 1927 г., П. Людвик предложил в качестве фактора, способствующего изменению механического состояния, отношение (1 3 ) / 1. Оба предложения П. Людвика послужили основой для схем других авторов.

В 1933 г. А.И. Дымовым [59, c. 255] были проанализированы отношения значений предельных со противлений, вычисленных по I и III гипотезам прочности при хрупком и вязком разрушении материа лов. Его схема предельных состояний представлена на рис. 3.11: S отр – предельное напряжение нор мального отрыва;

т и max – касательные напряжения текучести и в момент отрыва.

max 3 2 & & & Sр 1 2 & & & т S отр Рис. Рис. 3. Давиденковым Н.Н. в 1936 г. [169, c. 158] в качестве рабочей гипотезы было предложено хрупкое (квазихрупкое из-за присутствия пластических деформаций) разрушение оценивать сопротивлением хрупкому отрыву, а вязкое (квазивязкое при недостаточной пластической деформации) – сопротивлени ем вязкому разрушению.

На схеме Н.Н. Давиденкова (рис. 3.12): СL – кривая сопротивления хрупкому отрыву;

МВ – кривая сопротивления вязкому разрушению;

штриховыми линиями 1, 2, 3 изображены диаграммы растяжения S (g ) (на рисунке сохранены авторские обозначения). Точки пересечения диаграмм с предельными кри выми CL и MB однозначно указывают на характер разрушения.

L Однако сопротивление отрыву для многих пластичных материалов определить непросто, так M S 3 как они разрушаются путем среза. Для получения этой характеристики используются специальные приемы: испытания проводят при больших скоростях нагружения, пониженных температурах, с надрезами для создания концентрации напряжений. С каким напряжением следует связывать C сопротивление вязкому разрушению, в 1936 г. еще не было установлено. Но идея одновременного учета двух характеристик предельного состояния и построения линий рассматриваемых случаев деформирования была принята в последующих диаграммах М. Генсамера (1941 г.) (рис. 3.13) и Я.Б.

B Фридмана (рис. 3.14).

Генсамер М. предложил идею изображения сложного напряженного состояния в осях 1 max ли нией, которая для каждого вида напряженного состояния имеет свой угол наклона. На рис. 3.13 линия g Рис. 3. соответствует растяжению ( 1 / max = 0,5 ), а линия 2 – кручению ( 1 / max = 1 ).



Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 6 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.