авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |
-- [ Страница 1 ] --

ISSN 1512–1712

Академия Наук Грузии

Институт Кибернетики

СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА

И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

Том 12

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

УРАВНЕНИЯ

С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

Тбилиси

2004

Редакционная коллегия

Главный редактор:

Р. В. Гамкрелидзе (Математический институт им. В. А. Стеклова РАН)

Заместитель главного редактора:

Г. Харатишвили (Институт кибернетики Академии наук Грузии) Члены редколлегии:

А. А. Аграчев (Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, SISSA) А. А. Болибрух (Математический институт им. В. А. Стеклова РАН) Г. Гиоргадзе (Институт кибернетики Академии наук Грузии) Е. С. Голод (Московский государственный университет) А. Лашхи (Грузинский технический университет) Е. Ф. Мищенко (Математический институт им. В. А. Стеклова РАН) А. В. Овчинников (Московский государственный университет) В. Л. Попов (Математический институт им. В. А. Стеклова РАН) А. В. Сарычев (Университет Флоренции) Г. Химшиашвили (Математический институт им. А. Размадзе Академии наук Грузии) c Институт кибернетики Академии наук Грузии, СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ Том ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ОГЛАВЛЕНИЕ Линейные дифференциальные соотношения между решениями класса уравнений Эйлера— Пуассона—Дарбу (А. В. Аксенов)................................. Усреднение задач с градиентными ограничениями по периодическим мерам (Г. Кардоне, Г. Гарджиуло).................................... Усреднение задач теории упругости на периодических ящичных и стержневых каркасах кри тической толщины (С. Е. Пастухова).............................. Об аппроксимативных свойствах соболевских пространств теории упругости на тонких стержневых структурах (С. Е. Пастухова)........................... Об условиях трансмиссии в задаче Штурма—Лиувилля на сети (Ю. В. Покорный, В. Л. Прядиев)................................ Асимптотическая устойчивость решений задачи Коши для моделей неравновесной термоди намики. Устойчивые гиперболические пучки (E. В. Радкевич)................ Современная математика и ее приложения. Том 12 (2004). С. 3– УДК 517.956. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ РЕШЕНИЯМИ КЛАССА УРАВНЕНИЙ ЭЙЛЕРА—ПУАССОНА—ДАРБУ c 2004 г. А. В. АКСЕНОВ АННОТАЦИЯ. Получены все линейные дифференциальные соотношения первого порядка вида u() u() u() = A(r, z) + C(r, z)u() + B(r, z) r z между решениями u = u(), u = u() класса уравнений Эйлера—Пуассона—Дарбу (ЭПД). Рассмат риваются приложения полученных соотношений для получения тождеств между операторами ЭПД, рекуррентных соотношений для функций Бесселя и общих решений уравнения ЭПД в специальных случаях применительно к одномерной газовой динамике политропного газа.

СОДЕРЖАНИЕ 1. Введение............................................. 2. Построение линейных дифференциальных соотношений с помощью групп непрерывных преобразований......................................... 3. Нахождение всех линейных дифференциальных соотношений первого порядка..... 4. Сравнение результатов, полученных с помощью групп непрерывных преобразований и прямым методом......................................... 5. Тождества между операторами Эйлера—Пуассона—Дарбу................. 6. Рекуррентные соотношения для функций Бесселя...................... 7. Гиперболическое уравнение Эйлера—Пуассона—Дарбу................... 8. Приложение к одномерной газовой динамике политропного газа.............. Список литературы....................................... 1. ВВЕДЕНИЕ Уравнение Эйлера—Пуассона—Дарбу (ЭПД) можно записать в одной из следующих форм:

2 u u 2 u + + 2 = 0, (1.1) r2 r r z 2 u u 2 u + 2 = 0, (1.2) r2 r r t 2u u u + + = 0, (1.3) 2( + ) где — вещественный параметр. Уравнение (1.1) представляет собой эллиптическое уравнение ЭПД. Оно еще называется обобщенным осесимметрическим уравнением Лапласа [27, 28]. При = 1 оно является осесимметрическим уравнением Лапласа и было исследовано в [21]. Уравне ния (1.2), (1.3) представляют собой гиперболическое уравнение ЭПД (уравнение (1.3) записано в характеристических переменных).

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты №№ 02–01– и 03–01–00446).

c Ин-т кибернетики АН Грузии, ISSN 1512– 4 А. В. АКСЕНОВ Уравнение Эйлера—Пуассона—Дарбу впервые было изучено Эйлером [23] и позднее исследовано Пуассоном [26], Риманом [14] и Дарбу [22] (см. историю вопроса в [11, с. 532], [19, с. 527]).

Уравнение ЭПД возникает во многих задачах механики и физики. Оно возникает в различных задачах механики сплошных сред (см. [1, 3–5, 10, 15, 16, 29]), физики (см. [6]).

Уравнение ЭПД допускает также многомерные аналоги (см. [13, 29]).

В настоящей работе получены все линейные дифференциальные соотношения первого порядка вида u() u() u() = A(r, z) + C(r, z)u() + B(r, z) r z между решениями u = u(), u = u() класса уравнений ЭПД. Рассматриваются приложения полу ченных соотношений для получения тождеств между операторами ЭПД, рекуррентных соотноше ний для функций Бесселя и общих решений уравнения ЭПД в специальных случаях применитель но к одномерной газовой динамике политропного газа. Настоящая работа является расширенным вариантом статьи [2].

2. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СООТНОШЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ГРУПП НЕПРЕРЫВНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ Рассмотрим эллиптическое уравнение ЭПД 2 u u 2 u + + 2 = 0, R. (2.1) r2 r r z Оно задает класс уравнений, определяемый параметром.

Уравнение (2.1) связано с трехмерным уравнением Лапласа 2V 2V 2V + + = 0. (2.2) x2 y 2 z В цилиндрической системе координат r,, z x = r cos, y = r sin, z = z, (2.3) r 0, 0 2, z, оно принимает вид 2V 1 2V 2V 1 V + +2 + = 0. (2.4) r2 r 2 z r r Уравнение (2.4) имеет решения вида V (r,, z) = Ce ± i r u(r, z), (2.5) где C — произвольная постоянная, i2 = 1, = ( 1)/2 и функция u = u(r, z) удовлетворяет уравнению (2.1). Соотношение (2.4) задает редукцию уравнения (2.2) к классу уравнений (2.1).

Уравнение (2.2) линейно и однородно. Для линейного однородного уравнения алгебра Ли опера торов симметрии всегда содержит бесконечномерную подалгебру, порожденную операторами сим метрии, зависящими от произвольных решений этого уравнения. Поэтому в дальнейшем для урав нения (2.2) будем рассматривать лишь конечномерную часть алгебры Ли операторов симметрии.

УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА—ПУАССОНА—ДАРБУ Уравнение (2.2) допускает алгебру Ли операторов симметрии со следующим базисом [8, с. 94]:

X1 = X2 = X3 =,,, x y z X4 = y x, X5 = z x, x y x z X6 = z y, X7 = V, y z V X8 = x +y +z, (2.6) x y z X9 = (x2 y 2 z 2 ) + 2xy + 2xz xV, x y z V + (y 2 x2 z 2 ) X10 = 2xy + 2yz yV, x y z V + (z 2 x2 y 2 ) X11 = 2xz + 2yz zV.

x y z V В цилиндрической системе координат (2.3) базис операторов симметрии (2.6) принимает следу ющий вид:

sin X1 = cos, r r cos X2 = sin +, r r X3 = X4 =,, z z sin X5 = z cos r cos, r r z z cos X6 = z sin + r sin, r r z X7 = V X8 = r +z,, V r z (r2 + z 2 ) X9 = (r2 z 2 ) cos + sin + 2rz cos r cos V, r r z V (r2 + z 2 ) X10 = (r2 z 2 ) sin cos + 2rz sin r sin V, r r z V + (z 2 r2 ) X11 = 2rz zV.

r z V Вместо операторов X1, X2 рассмотрим операторы iei Z1 = X1 + iX2 = ei +, r r iei Z2 = X1 iX2 = ei, r r вместо операторов X5, X6 — операторы izei Z5 = X5 + iX6 = zei rei, + r r z 6 А. В. АКСЕНОВ izei Z6 = X5 iX6 = zei rei, r r z и вместо X9, X10 — операторы i(r2 + z 2 )ei Z9 = X9 + iX10 = (r2 z 2 )ei + 2rzei V rei V, r r z V i(r2 + z 2 )ei Z10 = X9 iX10 = (r2 z 2 )ei + 2rzei V rei V +.

r r z V Справедливо следующее предложение.

Предложение 2.1. Пусть линейное однородное уравнение Lv = 0 допускает оператор сим метрии n i (x, v) i + (x, v).

X= (2.7) x v i= Тогда, если v = (x) является решением, то и v = X[v (x)] (2.8) v=(x) также является решением этого линейного однородного уравнения.

Доказательство. Группа преобразований, задаваемая инфинитезимальным оператором (2.7), преобразует решение v = (x) в решение + O(a2 ), v = (x) + aX[v (x)] v=(x) где a — групповой параметр.

Справедливость утверждения следует из линейности и однородности уравнения.

Применим утверждение 2.1 для получения новых решений уравнения (2.4) с помощью операто ров симметрии Z1, Z2, X3, X4, Z5, Z6, X7, X8, Z9, Z10, X11, действуя ими на решения вида (2.5).

Если при этом вид решений (2.5) не будет меняться, то мы сможем получить новые решения урав нения (2.1). Они и определяют искомые соотношения между решениями рассматриваемого класса уравнений (2.1).

Рассмотрим решение уравнения (2.4) вида V (r,, z) = ei r u() (r, z). (2.9) 1. Используя оператор Z1, получаем новое решение уравнения (2.4), записанное в виде () 1 u V (r,, z) = ei(+1) r+1 (2.10) r r или записанное в другом виде () u V (r,, z) = ei(+1) r(+1) r2+1 (2.11).

r Из (2.10), (2.11) и (2.5) следуют два соотношения между решениями класса уравнений (2.1):

1 u() u(+2) =, r r (2.12) u() u() = r.

r 2. Используя оператор Z2, получаем новое решение уравнения (2.4), записанное в виде u() V (r,, z) = ei(1) r1 + 2u() (2.13) r r УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА—ПУАССОНА—ДАРБУ или записанное в другом виде u() V (r,, z) = ei(1) r(1) r21 + 2r22 u() (2.14).

r Из (2.13), (2.14) и (2.5) следуют два соотношения между решениями класса уравнений (2.1) u() u(2) = r + ( 1)u(), r (2.15) u() u(4) = r2 + ( 1)r3 u().

r 3. Используя оператор X3, получаем новое решение уравнения (2.4), записанное в виде () u V (r,, z) = ei r (2.16) z или записанное в другом виде () u V (r,, z) = ei r r2 (2.17).

z Из (2.16), (2.17) и (2.5) следуют два соотношения между решениями класса уравнений (2.1):

u() u() =, z (2.18) u() u(2) = r1.

z 4. Используя оператор X4, получаем новое решение уравнения (2.4), записанное в виде V (r,, z) = iei r u() (2.19) или записанное в другом виде V (r,, z) = iei r r2 u(). (2.20) Из (2.19), (2.5) следует тривиальное соотношение u() = u(), а из (2.20), (2.5) следует соотноше ние u(2) = r1 u(). (2.21) 5. Используя оператор Z5, получаем новое решение уравнения (2.4), записанное в виде z u() u() V (r,, z) = ei(+1) r+1 (2.22) r r z или записанное в другом виде u() u() V (r,, z) = ei(+1) r(+1) zr2+1 r2+2 (2.23).

r z Из (2.22), (2.23) и (2.5) следуют два соотношения между решениями класса уравнений (2.1):

z u() u() u(+2) =, r r z (2.24) u() u() u() = zr r+1.

r z 6. Используя оператор Z6, получаем новое решение уравнения (2.4), записанное в виде () () u u V (r,, z) = ei(1) r1 rz r2 + 2zu() (2.25) r z 8 А. В. АКСЕНОВ или записанное в другом виде () () u u V (r,, z) = ei(1) r(1) zr21 r2 + 2zr22 u(). (2.26) r z Из (2.25), (2.26) и (2.5) следуют два соотношения между решениями класса уравнений (2.1):

u() u() u(2) = rz r2 + ( 1)zu(), r z (2.27) () () 2 u 1 u (4) 3 () = zr r + ( 1)zr u u.

r z 7. Используя оператор X7, получаем новое решение уравнения (2.4), записанное в виде V (r,, z) = ei r u() (2.28) или записанное в другом виде V (r,, z) = ei r r2 u(). (2.29) Из (2.28) следует тривиальное соотношение u() = u(), а из (2.29), (2.5) следует соотношение, совпадающее с (2.21).

8. Используя оператор X8, получаем новое решение уравнения (2.4), записанное в виде u() u() V (r,, z) = ei r + u() +z (2.30) r r z или записанное в другом виде u() u() V (r,, z) = ei r r2+1 + zr2 + r2 u() (2.31).

r z Из (2.30), (2.31) и (2.5) следуют два соотношения между решениями класса уравнений (2.1):

u() u() ( 1) () u() = r +z + u, r z (2.32) u() u() ( 1) 1 () u(2) = r + zr1 + r u.

r z 9. Используя оператор Z9, получаем новое решение уравнения (2.4), записанное в виде (r2 z 2 ) u() u() V (r,, z) = ei(+1) r+1 + (2 + 1)u() + 2z (2.33) r r z или записанное в другом виде u() u() V (r,, z) = ei(+1) r(+1) (r2 z 2 )r2+1 + 2zr2+2 + (2 + 1)r2+2 u(). (2.34) r z Из (2.33), (2.34) и (2.5) следуют два соотношения между решениями класса уравнений (2.1):

(r2 z 2 ) u() u() u(+2) = + u(), + 2z r r z (2.35) () () 2 u +1 u () 2 +1 () = (r z )r + 2zr + r u u.

r z 10. Используя оператор Z10, получаем новое решение уравнения (2.4), записанное в виде () () u u V (r,, z) = ei(1) r1 r(r2 z 2 ) + 2r2 z + (r2 2z 2 )u() (2.36) r z УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА—ПУАССОНА—ДАРБУ или записанное в другом виде u() u() V (r,, z) = ei(1) r(1) (r2 z 2 )r21 + 2zr2 + (r2 2z 2 )r22 u(). (2.37) r z Из (2.36), (2.37) и (2.5) следуют два соотношения между решениями класса уравнений (2.1):

u() u() u(2) = r(r2 z 2 ) + 2r2 z + r2 ( 1)z 2 u(), r z (2.38) u() u() (4) = (r2 z 2 )r2 + 2zr1 + r2 ( 1)z 2 r3 u().

u r z 11. Используя оператор X11, получаем новое решение уравнения (2.4), записанное в виде () () u u V (r,, z) = ei r 2rz + (z 2 r2 ) + (2 + 1)zu() (2.39) r z или записанное в другом виде u() u() V (r,, z) = ei r 2zr2+1 + (z 2 r2 )r2 + (2 + 1)zr2 u(). (2.40) r z Из (2.39), (2.40) и (2.5) следуют два соотношения между решениями класса уравнений (2.1):

u() u() u() = 2rz + (z 2 r2 ) + zu(), r z (2.41) u() u() (2) = 2zr + (z 2 r2 )r1 + zr1 u().

u r z Полученные парные соотношения (2.12), (2.15), (2.18), (2.21), (2.24), (2.27), (2.32), (2.35), (2.38), (2.41) не являются независимыми. В каждой паре этих соотношений второе соотношение всегда является следствием первого соотношения и соотношения (2.21).

Замечание 2.1. Если, следуя (2.5), вместо решения (2.9) рассмотрим решение V (r,, z) = ei r u() (r, z), то не получим новых соотношений.

В результате получаем следующее предложение.

10 А. В. АКСЕНОВ Предложение 2.2. На основе использования симметрий трехмерного уравнения Лапласа и редукции его к уравнению ЭПД можно получить следующие независимые базисные соотноше ния:

u() u() =, z u() u() u() =r +z, r z u() u() u() + (z 2 r2 ) + zu(), = 2rz r z u(2) = r1 u(), u() u(2) = r + ( 1)u(), r (2.42) u() u() u(2) r2 + ( 1)zu(), = rz r z u() u() u(2) = r(r2 z 2 ) + 2r2 z + r2 ( 1)z 2 u(), r z 1 u() u(+2) =, r r z u() u() u(+2) =, r r z (r2 z 2 ) u() u() u(+2) + u().

= + 2z r r z Замечание 2.2. Четвертое соотношение в (2.42) было получено в [27], а восьмое — в [28].

Замечание 2.3. Первые четыре базисные соотношения в (2.42) можно получить, используя симметрии уравнения (2.1), которые при ( 2) = 0 образуют следующий базис алгебры Ли операторов симметрии [1, 25]:

Y1 = Y2 = r +z Y3 = u,,, z r z u (2.43) + (z 2 r2 ) Y4 = 2rz zu.

r z u 3. НАХОЖДЕНИЕ ВСЕХ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СООТНОШЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Рассмотрим класс уравнений ЭПД 2 L u = 0, L + + 2, R. (3.1) r2 r r z Дадим полное описание всех соотношений вида u() u() u() = A(r, z) + C(r, z)u() + B(r, z) (3.2) r z между решениями u = u(), u = u() класса уравнений (3.1).

Из (3.1), (3.2) следует u u +B + Cu = 0. (3.3) L A r z L u = УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА—ПУАССОНА—ДАРБУ Из (3.1) находим 2 u() u() 2 u() =, r2 z r r 3 u() ( + 1) u() 2 u() 3 u() (3.4) = +, r3 r2 r z 2 rz r 3 u() 2 u() 3 u() =.

r2 z z r rz Подставляя (3.4) в (3.3), получаем B ( ) 2 u 2u B ( ) A A 2 +2 +2 +2 + + A B z r z r z r r rz 2 A 2 A ( 2) A ( + 1) ( ) C u + + + + A+2 + + C 2 2 r z r r r r r r 2 B B 2 B 2C 2C C u C + + + +2 + + + = 0. (3.5) u r2 z 2 r2 z 2 u = u() r r z z r r Равенство (3.5) должно выполняться при произвольных значениях 2 u() /rz, 2 u() /z 2, u() /r, u() /z, u(). Отсюда следует система уравнений A B ( ) + A = 0, 2r r z A B ( ) + + B = 0, 2r z r 2 A 2 A ( 2) A ( + 1) ( ) C (3.6) + + + A+2 + C = 0, 2 2 r z r r r r r 2 B B 2 B C + + +2 = 0, 2 r r r z z 2C 2C C + + = 0.

r2 z r r Система уравнений (3.6) является переопределенной. Исследуем ее на совместность.

Определим порядок старшинства переменных: {r, z} — для независимых переменных, {A, C, B} — для зависимых переменных. В соответствии с этим запишем систему уравнений (3.6) в виде B ( ) A = A, 2r r z B ( ) A = B, 2r z r 2A 2 A ( 2) A ( + 1) ( ) C (3.7) = 2 A2 C, r2 r z r r r r 2B 2 B B C = 2 2, r2 z r r z 2C 2C C = 2.

r2 z r r В силу первого уравнения системы (3.7) третье уравнение принимает вид 2A 2 A ( 2 2) (2 ) B ( ) C = 2 + A+ 2 (3.8) C.

2 2r r z r z r r Из первого уравнения системы (3.7) находим 2A 2B ( ) B ( )( + 2) = + (3.9) A.

r2 4r 2r rz z 12 А. В. АКСЕНОВ Приравнивая правые части уравнений (3.8), (3.9), находим 2A 2B ( + )( 2) (3 ) B ( ) C = + A+ 2 (3.10) C.

2 4r 2r z rz z r r Из второго уравнения системы (3.7) следует 2A 2B ( ) B = (3.11).

2 2r z rz z Приравнивая правые части уравнений (3.10), (3.11), находим B ( + )( 2) ( ) C = + A (3.12) C.

2r z 8r 2r r C Подставляя выражение для в пятое уравнение системы (3.7), получаем r 2C 2C B ( + )( 2) ( ) = 2 2 A+ (3.13) C.

2 3 2r 2r z 8r r z Из первого уравнения системы (3.7), используя второе уравнение, находим 2A 2 B ( ) B ( ) = + + (3.14) B, z 2 4r 2r rz r а из второго уравнения находим 2A 2 B ( ) B ( ) = 2 + (3.15) B.

2r 2r rz r r Приравнивая правые части уравнений (3.14), (3.15) и используя четвертое уравнение системы (3.7), находим B ( )( 2) C = + (3.16) B.

8r 2r r z Подставляя выражение для C/z в четвертое уравнение системы (3.7), получаем 2B 2 B ( ) B ( )( 2) = 2 (3.17) B.

r2 4r z r r На данном этапе исследования на совместность системы уравнений (3.7) получаем следующую систему уравнений:

B ( ) A = A, 2r r z B ( ) A = B, 2r z r B ( + )( 2) ( ) C = + A C, 8r 2r z 2r r (3.18) B ( )( 2) C = + B, 8r 2r r z 2C 2C B ( + )( 2) ( ) = 2 2 A+ C, 2 3 2r 2r z 8r r z 2B 2 B ( ) B ( )( 2) = B.

2 z 2 4r r r r В системе уравнений (3.18) первые два уравнения совместны.

Из третьего и первого уравнений системы (3.18) следует 2C 2B ( 2 2 + 2 2 6) B = + r2 8r 2r rz z ( + )( + 2)( 2) ( )( + 2) A+ (3.19) C.

8r3 4r УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА—ПУАССОНА—ДАРБУ Приравнивая правые части пятого уравнения системы (3.18) и уравнения (3.19), находим 2C 2B ( 2 + 2 + 2 2 6) B = 2 8r 2r rz z z ( 2)( + )( 2) ( )( + 2) A+ (3.20) C.

3 4r 8r Из четвертого уравнения системы (3.18) следует 2C 2B ( )( 2) B = + (3.21).

2 8r 2r rz z z Приравнивая правые части уравнений (3.20), (3.21), получаем ( 2)( + )( 2) B ( 2 + 2 2 2) = A + ( )( + 2)C. (3.22) 2r z Из третьего уравнения системы (3.18), используя второе и четвертое уравнения, находим 2C 2 B ( 2 2 + 2 2 2) B ( )( 2) = (3.23) B, 2r z 2 8r2 8r rz r а из четвертого уравнения — 2C 2 B ( 2 2 + 2 2 + 6) B ( )( 2) = + (3.24) B.

2r r2 8r2 4r rz r Приравнивая правые части уравнений (3.23), (3.24) и используя шестое уравнение системы (3.18), получаем B ( 2) ( )( + 2) + B = 0. (3.25) 2r r На данном этапе исследования на совместность системы уравнений (3.7) получаем следующую систему уравнений:

B ( ) A = A, 2r r z B ( ) A = B, 2r z r B ( + )( 2) ( ) C = + A C, 2r z 8r 2r r B ( )( 2) C = + (3.26) B, 8r 2r r z B ( 2) ( )( + 2) + B = 0, 2r r ( 2)( + )( 2) B ( 2 + 2 2 2) = A + ( )( + 2)C, 2r z 2B 2 B ( ) B ( )( 2) = B.

2 z 2 4r r r r В системе уравнений (3.26) первые две пары уравнений совместны.

Для дальнейшего исследования на совместность и последующего решения системы уравнений (3.26) необходимо рассмотреть различные случаи.

Случай 1: =.

14 А. В. АКСЕНОВ В этом случае система уравнений (3.26) принимает вид A B =, r z A B =, z r C B = 2 A, 2r z 2r r (3.27) C B =, 2r r z B ( 2) A = 0, z r 2B 2B = 2.

r2 z Случай 1.1: =, ( 2) = 0.

В этом случае, используя пятое уравнение системы (3.27), можно записать систему уравнений (3.27) в виде A = A, r r A B =, z r C = 0, r (3.28) C B =, 2r r z B = A, z r 2B 1 B =.

r2 r r Система уравнений (3.28) является совместной.

Из первого уравнения системы (3.28) находим A = A1 (z)r, (3.29) а из второго уравнения — r B = A1 (z) + B1 (z). (3.30) Из пятого уравнения системы (3.28) следует, что A1 (z) = 0, B1 (z) = A1 (z). Откуда находим A1 (z) = 2A00 z + A01, (3.31) B1 (z) = A00 z 2 + A01 z + B00, где A00, A01, B00 — произвольные постоянные.

Из третьего и четвертого уравнений системы (3.28) находим C(z) = A00 z + C00, (3.32) где C00 — произвольная постоянная.

Из (3.29)–(3.32) окончательно следует, что в случае 1. A = (2A00 z + A01 )r, B = A00 (z 2 r2 ) + A01 z + B00, (3.33) C = A00 z + C00.

УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА—ПУАССОНА—ДАРБУ Выпишем базис соотношений, соответствующий решению (3.33):

u() = u(), u() u() =, z (3.34) u() u() u() =r +z, r z u() u() u() + (z 2 r2 ) + zu().

= 2rz r z Случай 1.2: = = 0.

В этом случае система уравнений (3.27) принимает вид A B =, r z A B =, z r C (3.35) = 0, r C = 0, z 2B 2B =.

r2 z Из системы (3.34) следует, что в случае 1. A = (r, z), B = (r, z), (3.36) C = C00, где C00 — произвольная постоянная, A = (r, z), B = (r, z) — произвольные решения системы уравнений Коши—Римана A B =, r z (3.37) A B =.

z r Выпишем базис соотношений, соответствующий решению (3.35):

u(0) = u(0), (3.38) u(0) u(0) u(0) = (r, z) + (r, z).

r z Случай 1.3: = = 2.

В этом случае система уравнений (3.27) принимает вид A B =, r z A B =, z r 1 B C (3.39) = 2 A, r r z r 1 B C =, z r r 2B 2B = 2.

r2 z 16 А. В. АКСЕНОВ Из второго и четвертого уравнений системы (3.39) следует 1 A C = (3.40).

z r z Из уравнения (3.40) получаем C=A + C1 (r). (3.41) r Из третьего уравнения системы (3.39), используя первое уравнение, находим C1 (r) = C00, (3.42) где C00 — произвольная постоянная.

Таким образом, в случае 1. A = (r, z), B = (r, z), (3.43) C = (r, z) + C00, r где A = (r, z), B = (r, z) — произвольные решения системы уравнений Коши—Римана A B =, r z (3.44) A B =.

z r Выпишем базис соотношений, соответствующий решению (3.43):

u(2) = u(2), (3.45) u(2) u(2) u(2) = (r, z) + (r, z)u(2).

+ (r, z) r z r Замечание 3.1. Из первого уравнения из полученных ниже соотношений (3.56) следует, что 1 (0) u(2) = (3.46) u.

r Тогда соотношения (3.45) можно получить композицией соотношений (3.38) и (3.46).

Случай 2: = 2.

В этом случае система уравнений (3.26) принимает следующий вид:

B ( 1) A = + A, r z r B ( 1) A = + B, z r r ( 1) C B = 2 A+ C, 2r z 2r r r (3.47) B ( 1) C = + B, 2r 2r r z B ( 2) A = 0, z r 2B 2B 2( 1) B ( 1) = + B.

2 2 r r z r r Случай 2.1: = 2, ( 2) = 0.

УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА—ПУАССОНА—ДАРБУ В этом случае, используя пятое уравнение системы (3.47), можно записать систему уравнений (3.47) в виде A = A, r r B ( 1) A = + B, z r r ( 1) C = C, r r (3.48) B ( 1) C = + B, 2r 2r r z B = A, z r 2B (2 1) B (2 1) = B.

r2 r r r Система уравнений (3.48) является совместной.

Из первого и третьего уравнений системы (3.48) находим A = A1 (z)r, (3.49) C = C1 (z)r1.

Из второго и четвертого уравнений системы (3.48) следует C A = (3.50).

2r z z Откуда находим C1 (z) = A1 (z) + C00, (3.51) где C00 — произвольная постоянная.

Из второго уравнения системы (3.48) получаем B = B1 (z)r1 A1 (z) r+1. (3.52) Из пятого уравнения системы (3.48) следует, что A1 (z) = 0, B1 (z) = A1 (z). Откуда находим A1 (z) = 2A00 z + A01, (3.53) B1 (z) = A00 z 2 + A01 z + B00, где A00, A01, B00 — произвольные постоянные. Тогда из уравнения (3.51) находим C1 (z) = A00 z + C00, (3.54) где C00 = A01 /2 + C00.

Таким образом, в случае 2. A = (2A00 z + A01 )r, B = A00 (z 2 r2 ) + A01 z + B00 r1, (3.55) C = (A00 z + C00 )r1.

Выпишем базис соотношений, соответствующий решению (3.55):

u(2) = r1 u(), u() u(2) = r1, z (3.56) u() u() u(2) = r1 +z, r z u() u() u(2) = r1 2rz + (z 2 r2 ) + zu().

r z 18 А. В. АКСЕНОВ Замечание 3.2. Последние три соотношения из (3.56) можно получить композицией первого соотношения и соотношений (3.34).

Случай 2.2: = 0, = 2.

В этом случае система уравнений (3.47) принимает вид B A = A, r z r B A = B, z r r C (3.57) = C, r r C = 0, z 2B 2 B 2 B = 2.

r z r r Система уравнений (3.57) является совместной.

Запишем систему уравнений (3.57) в виде (rA) (rB) =, r z (rA) (rB) =, z r (rC) (3.58) = 0, r (rC) = 0, z 2 (rB) 2 (rB) =.

r2 z Из системы (3.58) следует, что в случае 2. A= (r, z), r (3.59) B = (r, z), r C = C00, r = (r, z), B = (r, z) — произвольные решения системы где C00 — произвольная постоянная, A уравнений Коши—Римана A B =, r z (3.60) A B =.

z r Выпишем базис соотношений, соответствующий решению (3.43):

1 (0) u(2) = u, r (3.61) u(0) u(0) u(2) = (r, z) + (r, z).

r r z Замечание 3.3. Cоотношения (3.61) можно получить композицией соотношений (3.38) и cоот ношения (3.46).

Случай 2.3: = 2, = 0.

УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА—ПУАССОНА—ДАРБУ В этом случае система уравнений (3.47) принимает вид B A = + A, r z r B A = + B, z r r 1 B 1 C (3.62) = 2 A + C, r r z r r 1 B C = + 2 B, z r r r 2B 2 B 2 B = 2 + 2 B.

r2 z r r r Система уравнений (3.62) является совместной.

Запишем систему уравнений (3.62) в виде A B r r =, r z A B r r =, z r C B 1 1 (3.63) A r r = 2, r r z r r C B r r =, z r r B B 2 r r =.

r2 z Запишем систему уравнений (3.63) в виде A B =, r z A B =, z r 1 B C (3.64) = 2 A, r r z r 1 B C =, z r r 2B 2B = 2.

r z Система уравнений (3.64) совпадает с системой (3.39).

Таким образом, в случае 2. A = r(r, z), B = r(r, z), (3.65) C = (r, z) + C00 r, 20 А. В. АКСЕНОВ где C00 — произвольная постоянная, A = (r, z), B = (r, z) — произвольные решения системы уравнений Коши—Римана A B =, r z (3.66) A B =.

z r Выпишем базис cоотношений, соответствующий решению (3.65):

u(0) = ru(2), (3.67) u(2) u(2) u(0) = r(r, z) + (r, z)u(2).

+ r(r, z) r z Замечание 3.4. Соотношения (3.67) можно получить композицией cоотношений (3.38) и cоот ношения (3.46).

Случай 3: ( )( + 2) = 0.

В этом случае, используя пятое уравнений системы (3.26), можно записать систему уравнений (3.26) в виде B ( ) A = A, 2r r z A = B, z r B ( + )( 2) ( ) C = + A C, 8r 2r z 2r r ( + )( 2) C (3.68) = B, 8r z ( 2) B = B, 2r r ( 2)( + )( 2) B ( 2 + 2 2 2) = A + ( )( + 2)C, 2r z 2B 2 B ( )( 2) = 2 + B.

r2 4r z Из пятого уравнения системы (3.68) находим 2B ( )( 2) = (3.69) B.

r2 4r Приравнивая правые части седьмого уравнения системы (3.68) и уравнения (3.69), получаем 2B = 0. (3.70) z Дифференцируя шестое уравнение системы (3.68) по y и используя второе и четвертое уравне ния, имеем ( + )( + 4)( + 2)( 2)B = 0. (3.71) УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА—ПУАССОНА—ДАРБУ Таким образом, систему уравнений (3.68) можно записать в виде B ( ) A = A, 2r r z A = B, z r B ( + )( 2) ( ) C = + A C, 2r z 8r 2r r ( + )( 2) C = B, 8r2 (3.72) z ( 2) B = B, 2r r ( 2)( + )( 2) B ( 2 + 2 2 2) = A + ( )( + 2)C, 2r z ( + )( + 4) ( )2 4 B = 0, 2B = 0.

z Случай 3.1: ( 2 2 )( + 2)( + 4) ( )2 4 = 0.

В этом случае, используя седьмое уравнение системы (3.72), можно записать систему уравнений (3.72) в виде ( ) A = A, 2r r A = 0, z ( + )( 2) ( ) C = A C, (3.73) 8r 2r r C = 0, z ( 2)( + )( 2) A ( )( + 2)C = 0, 2r B = 0.

Из первого и второго уравнений системы (3.73) находим A = A00 r (3.74), где A00 — произвольная постоянная.

Решая третье уравнение системы (3.73), получаем ( + )( 2) + C = C00 r A00 r 2, (3.75) где C00 — произвольная постоянная.

Подставляя (3.74), (3.75) в пятое уравнение системы (3.73), находим ( + )( + 4) ( )2 A00 ( )( + 2) C00 = 0. (3.76) 8r Из (3.76) следует, что A00 = C00 = 0.

Таким образом, в случае 3. A = B = C = 0. (3.77) Случай 3.2: = 2, = 2.

22 А. В. АКСЕНОВ В этом случае, используя шестое уравнение системы (3.72), можно записать систему уравнений (3.72) в виде 1 (3 4) A = A 2C, ( 2) r r A = B, z r 2 ( 1) C = AC, ( 2)r r r (3.78) ( 1) C = B, r z B = B, r r 2 ( 1) B = AC.

( 2) z r Из пятого уравнения системы (3.78) следует B = B1 (z)r2. (3.79) Дифференцируя шестое уравнение системы (3.78) по z и используя второе и четвертое уравне ния, получаем 2B = 0. (3.80) z Тогда, используя (3.79), находим B = (2B00 z + B01 ) r2, (3.81) где B00, B01 — произвольные постоянные.

Из третьего и шестого уравнений системы (3.78) следует уравнение 1 B C = (3.82).

r r z Откуда, используя (3.81), получаем C = B00 r2 + C1 (z). (3.83) Тогда из четвертого уравнения системы (3.78) получаем C = B00 r2 ( 1)z 2 ( 1)B01 z + C00, (3.84) где C00 — произвольная постоянная.

Подставляя выражения (3.81), (3.84) в шестое уравнение системы (3.78), находим ( 1)A = ( 1)r B00 (r2 z 2 ) B01 z + C00 r. (3.85) Тогда C00 = ( 1)C00.

Таким образом, в случае 3. A = r B00 (r2 z 2 ) B01 z + C00 r, B = (2B00 z + B01 ) r2, (3.86) 2 C = B00 r ( 1)z ( 1)B01 z + ( 1)C00.

Замечание 3.5. При = 1 выражение для A не находится непосредственно из уравнения (3.85). Можно показать, рассматривая первое уравнение системы (3.78), справедливость (3.86) и для этого случая.

УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА—ПУАССОНА—ДАРБУ Выпишем базис cоотношений, соответствующий решению (3.86):

u() u(2) = r + ( 1)u(), r u() u() (3.87) u(2) = rz r2 + ( 1)zu(), r z u() u() u(2) = r(r2 z 2 ) + 2r2 z + r2 ( 1)z 2 u().

r z Случай 3.3: = 4, = 2.

В этом случае, используя шестое уравнение системы (3.72), можно записать систему уравнений (3.72) в виде (2 2 + 2) A = A 2C, ( 2) r r A = B, z r ( 1) C = A + ( 4)C, ( 2)r r r (3.88) ( 1) C = B, r z ( 1) B = B, r r 2 ( 1) B = AC.

( 2) z r Система уравнений (3.88) является совместной.

Из пятого уравнения системы (3.88) следует B = B1 (z)r1. (3.89) Тогда из второго и четвертого уравнений системы (3.88) получаем A = B1 (z)r2 + A1 (r), (3.90) C = ( 1)B1 (z)r3 + C1 (r).

Из шестого уравнения системы (3.88) находим B1 (z) = B00 z 2 + B01 z + B02, (3.91) ( 1) A1 (r) ( 2)B00 r1, C1 (r) = r где B00, B01, B02 — произвольные постоянные. Из первого уравнения системы (3.88), используя второе из уравнений (3.91), получаем A1 (r) = A00 r2 + B00 r, (3.92) где A00 — произвольная постоянная. Тогда из второго уравнения (3.91) находим C1 (r) = ( 1)A00 r3 + B00 r1. (3.93) Таким образом, в случае 3. A = B00 (r2 z 2 ) B01 z + A00 r2, B = 2B00 z + B01 r1, (3.94) 2 2 C = B00 r ( 1)z ( 1)B01 z + ( 1)A00 r, где A00 = A00 B02.

24 А. В. АКСЕНОВ Выпишем базис cоотношений, соответствующий решению (3.94):

u() u(4) = r3 r + ( 1)u(), r u() u() u(4) = r3 rz r2 + ( 1)zu(), (3.95) r z u() u() u(4) = r3 r(r2 z 2 ) + 2r2 z + r2 ( 1)z 2 u().

r z Замечание 3.6. Из первого уравнения из cоотношений (3.56) следует, что u(4) = r3 u(2). (3.96) Тогда cоотношения (3.95) можно получить композицией cоотношений (3.87) и cоотношения (3.96).

Случай 3.4: = + 2, = 0.

В этом случае, используя шестое уравнение системы (3.72), можно записать систему уравнений (3.72) в виде 1 A = A + C, r r A = B, z r C = 0, r (3.97) C = 0, z B = 0, r B = C.

z Из третьего и четвертого уравнений системы (3.97) находим C = B00, (3.98) где B00 — произвольная постоянная, а из пятого и шестого уравнений — B = 2B00 z + B01, (3.99) где B01 — произвольная постоянная. Тогда из первого и второго уравнений системы (3.97) находим (r2 z 2 ) z A = B00 B01 + A00, (3.100) r r r где A00 — произвольная постоянная.

Таким образом, в случае 3. (r2 z 2 ) z A = B00 B01 + A00, r r r (3.101) B = 2B00 z + B01, C = B00.

Выпишем базис cоотношений, соответствующий решению (3.101):

1 u() u(+2) =, r r z u() u() (3.102) u(+2) =, r r z (r2 z 2 ) u() u() u(+2) + u().

= + 2z r r z УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА—ПУАССОНА—ДАРБУ Случай 3.5: =, = 0.

В этом случае, используя шестое уравнение системы (3.72), можно записать систему уравнений (3.72) в виде A = A + C, r r A = B, z r ( + 1) C = C, r r (3.103) C = 0, z ( + 1) B = B, r r B = C.

z Система уравнений (3.103) совместна.

Из пятого уравнения системы (3.103), используя восьмое уравнение системы (3.72), находим B = (2B00 z + B01 )r+1, (3.104) где B00, B01 — произвольные постоянные, а из шестого уравнения — C = B00 r+1. (3.105) Тогда из первого и второго уравнений системы (3.103) получаем A = B00 (r2 z 2 ) B01 z + A00 r, (3.106) где A00 — произвольная постоянная.

Таким образом, в случае 3. A = B00 (r2 z 2 ) B01 z + A00 r, B = (2B00 z + B01 ) r+1, (3.107) + C = B00 r.

Выпишем базис cоотношений, соответствующий решению (3.107):

u() u() = r, r z u() u() u() = r+1 (3.108), r r z (r2 z 2 ) u() u() u() = r+1 + u().

+ 2z r r z Замечание 3.7. Из первого уравнения из cоотношений (3.56) следует, что u() = r+1 u(+2). (3.109) Тогда cоотношения (3.108) можно получить композицией cоотношений (3.102) и cоотношения (3.109).

Сформулируем основной полученный результат.

Теорема 3.1. Класс уравнений ЭПД 2 u u 2 u + + 2 = 0, R, (3.110) r2 r r z 26 А. В. АКСЕНОВ при произвольных значениях параметра допускает из всех соотношений между решениями u = u(), u = u() вида u() u() u() = A(r, z) + C(r, z)u() + B(r, z) (3.111) r z только следующие независимые базисные соотношения:

u() u() =, z u() u() u() =r +z, r z u() u() u() + (z 2 r2 ) + zu(), = 2rz r z u(2) = r1 u(), u() u(2) = r + ( 1)u(), r (3.112) u() u() u(2) r2 + ( 1)zu(), = rz r z u() u() u(2) = r(r2 z 2 ) + 2r2 z + r2 ( 1)z 2 u(), r z 1 u() u(+2) =, r r z u() u() u(+2) =, r r z (r2 z 2 ) u() u() u(+2) + u().

= + 2z r r z При = = 0 происходит расширение первых четырех базисных соотношений до базисных соотношений u(0) u(0) u(0) = (r, z) + (r, z) (3.113), r z где A = (r, z), B = (r, z) — произвольные решения системы уравнений Коши—Римана A B =, r z (3.114) A B =.

z r 4. СРАВНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ, ПОЛУЧЕННЫХ С ПОМОЩЬЮ ГРУПП НЕПРЕРЫВНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ И ПРЯМЫМ МЕТОДОМ Докажем утверждение.

Предложение 4.1. Случай = = 0 теоремы 3.1 также может быть получен на основе использования групп непрерывных преобразований.

Доказательство. При = 0 уравнение ЭПД (2.1) является уравнением Лапласа 2u 2u + 2 = 0. (4.1) r2 z УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА—ПУАССОНА—ДАРБУ Уравнение (4.1) допускает операторы симметрии со следующим базисом [24]:

X1 = u, u (4.2) X2 = b(r, z), u X3 = (r, z) + (r, z), r z где b = b(r, z) — произвольное решение уравнения Лапласа (4.1), а = (r, z), = (r, z) — произвольные решения системы уравнений Коши—Римана =, r z =.

z r Используя операторы симметрии (4.2), можно получить следующие независимые базисные со отношения для решений уравнений Лапласа:

u(0) u(0) u(0) = (r, z) + (r, z) (4.3).

r z Таким образом, сравнение результатов, полученных с помощью групп непрерывных преобразо ваний (утверждения 2.2 и 4.1) и прямым методом (теорема 3.1), показывает их полное совпадение.

5. ТОЖДЕСТВА ЭЙЛЕРА—ПУАССОНА—ДАРБУ МЕЖДУ ОПЕРАТОРАМИ Введем в рассмотрение линейные дифференциальные операторы ЭПД 2 L + + 2. (5.1) r2 r r z Используя соотношения (2.42), можно получить линейные дифференциальные соотношения между операторами (5.1). Соотношения (2.42) имеют вид u() u() u() = A(r, z) + C(r, z)u().

+ B(r, z) (5.2) r z Докажем следующее предложение.

Предложение 5.1. Пусть между решениями u(), u() уравнения ЭПД выполнены соотноше ния (5.2). Тогда справедливо следующее тождество между операторами ЭПД L, L :

u u B +B + Cu A L u + B L u + C + 2 (5.3) L A L u, r z r z z где u = u(r, z) — произвольная трижды дифференцируемая функция.

Доказательство. Запишем левую часть тождества (5.3) в виде u u +B + Cu A L u + B L u + Lu, (5.4) L A r z r z где линейный дифференциальный оператор L не содержит частных производных третьего порядка.

Если вместо функции u подставить в (5.4) произвольное решение уравнения L u = 0, то левая часть (5.4) и первые два слагаемых правой части обратятся в нуль. Тогда Lu = 0 на всех решениях уравнения L u = 0, откуда следует, что L = C(r, z)L. Таким образом, тождество (5.4) должно иметь следующий вид:

u u +B + Cu A L u + B L u + CL u. (5.5) L A r z r z 28 А. В. АКСЕНОВ С другой стороны, можно непосредственно вычислить левую часть (5.5). Запишем ее в виде u u +B + Cu A L u + B L u + CL u+ L A r z r z 2u B 2 u A ( ) +2 + +2 + A r2 z z r r 2 A A 2 A ( ) C u + + + + 2A + 2 + + (5.6) C r2 z r r r r r r 2u B ( ) A +2 +2 + + B z r r rz 2 B B 2 B 2C 2C C u C + + + +2 + + + u.

r2 z 2 r2 z r r z z r r Из (5.6) в силу (5.5) следует, что C = C + 2 B/z. Утверждение доказано.

Замечание 5.1. Из (5.6) также следует, что A ( ) B C =C +2 =C +2 + A.

z r r Замечание 5.2. Из (5.6), используя тождество (5.5) (приравнивая к нулю коэффициенты при 2 u/rz, u/z, u и приводя правую часть (5.6) к виду правой части (5.5)), находим, что B ( ) A + A = 0, 2r r z B ( ) A + + B = 0, 2r z r 2A 2 A ( 2) A ( + 1) ( ) C (5.7) + + + A+2 + C = 0, r2 2 z r r r r r 2B B 5 B C + + +2 = 0, r2 r r z z 2C 2C C + + = 0.

r2 z r r Система уравнений (5.7) служит для определения всех линейных дифференциальных соотношений вида (5.2) между решениями класса уравнений ЭПД.

Используя предложение 5.1, из (2.42) получаем следующее предложение.

УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА—ПУАССОНА—ДАРБУ Предложение 5.2. Линейным дифференциальным соотношениям (2.42) соответствуют следующие тождества между операторами ЭПД:

u L L u, z z u u +z r L u + z L u + 2L u, L r r z r z u u + (z 2 r2 ) + zu 2rz L u + (z 2 r2 ) L u + ( + 4)zL u, L 2rz r z r z L2 r1 u r1 L u, u + ( 1)u r L u + ( 1)L u, L2 r r r u u r2 + ( 1)zu rz L u r2 L u + ( 1)zL u, L2 rz (5.8) r z r z u u L2 r(r2 z 2 ) + 2r2 z + r2 ( 1)z 2 u r z r(r2 z 2 ) L u + 2r2 z L u + 5r2 ( 1)z 2 L u, r z 1 u L+2 L u, r r r r z u u z L u L+2 L u, r r z r r z (r2 z 2 ) u (r2 z 2 ) u + 2z + u L u + 2z L u + ( + 4)L u.

L+ r r z r r z 6. РЕКУРРЕНТНЫЕ БЕССЕЛЯ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИЙ Получим с помощью соотношений (3.112) рекуррентные соотношения для функций Бесселя.

Решение уравнения ЭПД 2 u u 2 u + + 2 =0 (6.1) r2 r r z ищем в виде u = ez v(r). (6.2) Замечание 6.1. Очевидно, что если уравнение (6.1) допускает решение вида (6.2), то оно до пускает и решения вида u = ez v(r), где — произвольная постоянная.

Тогда из уравнения (6.1) следует, что v(r) удовлетворяет уравнению d2 v dv + + v = 0, (6.3) dr2 r dr которое заменой v(r) = r V (r), = сводится к уравнению Бесселя [17, с. 180] d2 V dV r2 + (r2 2 )V = 0.

+r (6.4) dr2 dr Таким образом, уравнение ЭПД (6.1) допускает решение вида u() = ez r V (r), = (6.5), 30 А. В. АКСЕНОВ где V (r) — произвольное решение уравнения Бесселя (6.4).

Из соотношений (3.112) рассмотрим только те, которые сохраняют структуру решения (6.5). Та кие соотношения позволяют получить линейные дифференциальные соотношения первого порядка между решениями класса уравнений Бесселя.

Из соотношения u() u() = z следует тривиальное соотношение V (r) = V (r), а из соотношения u(2) = r1 u() вытекает очевидное соотношение V (r) = V (r).

Из соотношения u() u(2) = r + ( 1)u() r следует соотношение dV V1 (r) = + V (r). (6.6) dr r Оно совпадает с известным соотношением [17, с. 182].

Из соотношения 1 u() u(+2) = r r следует соотношение dV V+1 (r) = V (r). (6.7) dr r Оно также совпадает с известным соотношением [17, с. 182].

Используя прямой метод, найдем все линейные дифференциальные соотношения первого поряд ка между решениями класса уравнений Бесселя. Рассмотрим класс уравнений Бесселя d2 d L r + r + (r2 2 ), L V = 0, R. (6.8) dr dr Дадим полное описание всех соотношений вида dV Vµ = A(r) + B(r)V (6.9) dr между решениями V = V, V = Vµ класса уравнений (6.8).

Из (6.8), (6.9) следует dV + BV = 0. (6.10) Lµ A dr L V = Из (6.8) находим d 2 V 1 dV = 1 V, 2 r dr r dr (6.11) d 3 V 2 + 2 1 3 dV = 1 + 3 V.

dr3 r2 dr r r Используя (6.11), находим d dV dA A dV dB + BV = +B + 1 A A V, dr dr dr r dr dr r L V = d2 d2 A 2 dA 2 + dV dB B dV (6.12) + BV = +2 1 A + A dr2 dr2 r dr r dr dr r dr L V = d2 B 2 1 3 2 dA + 2 1 2 + 3 A 1 B V.

dr2 r r dr r r УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА—ПУАССОНА—ДАРБУ Подставляя (6.12) в (6.10), получаем d2 A dV dA dB dV = r2 + 2r2 (µ2 2 1)A + BV r + Lµ A dr dr dr dr dr L V = d2 B dB 2 dA + r2 2 2(r2 2 ) A (µ2 2 )B V.

+r (6.13) dr dr dr r Равенство (6.13) должно выполняться при произвольных значениях dV /dr и V. Отсюда следует система для определения неизвестных величин A и B d2 A dA dB r2 + 2r2 (µ2 2 1)A = 0, r dr2 dr dr (6.14) 2 dB 2 2d B 2 dA 2 2 2(r ) +r A (µ )B = 0.

r dr2 dr dr r Для решения системы (6.14) необходимо рассмотреть два случая.

Случай 1: µ =.

В этом случае первое уравнение системы (6.14) допускает понижение порядка, что позволяет следующим образом выразить неизвестную B:

1 dA A B= + C0, (6.15) 2 dr r где C0 — произвольная постоянная. Тогда из второго уравнения системы (6.14) получаем следующее обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка для определения неизвестной A:

d3 A dA r3 + r(4r2 + 1 4 2 ) (1 4 2 )A = 0. (6.16) dr dr Уравнение (6.16) имеет следующее общее решение [7, с. 400]:

A = C1 rJ (r) + C2 rJ (r)Y (r) + C3 rY2 (r), (6.17) где J (r) и Y (r) — функции Бесселя первого и второго рода, соответственно [17, с. 180];

C1, C2, C3 — произвольные постоянные. Из (6.15) находим неизвестную B dJ (r) 1 dJ (r) dY (r) dY B = C1 rJ (r) C2 r Y (r) + J (r) C3 rY (r) + C0. (6.18) dr dr dr dr Из (6.17), (6.18) вытекает следующее предложение.

Предложение 6.1. Класс уравнений Бесселя (6.8) допускает из всех соотношений вида (6.9) в случае µ = только следующие три независимые базисные соотношения:

dJ (r) dV V = rJ (r) rJ (r) V, dr dr dJ (r) dY (r) dV V = 2rJ (r)Y (r) r Y (r) + J (r) (6.19) V, dr dr dr dY (r) dV V = rY2 (r) rY (r) V.

dr dr Замечание 6.2. Пусть V = D1 J (r) + D2 Y (r) — общее решение уравнения Бесселя (D1, D2 — произвольные постоянные). Тогда соотношения (6.19) примут следующий вид:

V = D2 J (r), V = D1 J (r) + D2 Y (r), (6.20) V = D1 Y (r).

32 А. В. АКСЕНОВ При выводе (6.20) использовалась следующая формула для вронскиана [17, с. 182]:

dY (r) dJ (r) W [J (r), Y (r)] = J (r) Y (r) =.

dr dr r Замечание 6.3. Соотношения (6.19) становятся очевидными, если их переписать в следующем виде:

V = rW [J (r), V ]J (r), V = rW [Y (r), V ]J (r) + rW [J (r), V ]Y (r), V = rW [Y (r), V ]Y (r) и использовать тот факт, что для уравнения Бесселя rW [u1 (r), u2 (r)] = const, где u1 (r), u2 (r) — произвольные решения.

Случай 2: µ =.

В этом случае дифференцируем второе уравнение системы (6.14) и подставляем в полученное выражение исключенную из первого уравнения производную dB/dr и найденные из нее выражения для производных d2 B/dr2, d3 B/dr3. В результате получаем следующее обыкновенное дифферен циальное уравнение четвертого порядка для определения неизвестной A:

d4 A d3 A d2 A r4 + 2r3 3 + r2 (4r2 2µ2 2 2 + 1) 2 + dr4 dr dr dA 2 2 + (µ + ) 1 (µ )2 1 A = 0.

+r(8r + 2µ + 2 1) (6.21) dr Уравнение (6.21) имеет следующее общее решение [9, с. 479]:

A = r C1 Jµ (r)J (r) + C2 Jµ (r)Y (r) + C3 Yµ (r)J (r) + C4 Yµ (r)Y (r), (6.22) где C1, C2, C3, C4 — произвольные постоянные.

Исключая из первого уравнения системы (6.14) производную dB/dr и подставляя во второе уравнение выражения для dB/dr и d2 B/dr2, находим следующее выражение для B:

d3 A dA (1 µ2 3 2 ) r2 3 + (4r2 + 1 µ2 3 2 ) B= (6.23) A.

2(µ2 2 ) dr dr r Отсюда, используя (6.22), находим решение для B dJ (r) dY (r) dJ (r) dY (r) B = r C1 Jµ (r) C2 Jµ (r) C3 Yµ (r) C4 Yµ (r) (6.24).

dr dr dr dr Из (6.22), (6.24) вытекает следующее предложение.

Предложение 6.2. Класс уравнений Бесселя (6.8) допускает из всех соотношений вида (6.9) в случае µ = только следующие четыре независимые базисные соотношения:

dJ (r) dV Vµ = rJµ (r)J (r) rJµ (r) V, dr dr dY (r) dV Vµ = rJµ (r)Y (r) rJµ (r) V, dr dr (6.25) dJ (r) dV Vµ = rYµ (r)J (r) rYµ (r) V, dr dr dY (r) dV Vµ = rYµ (r)Y (r) rYµ (r) V.

dr dr Аналогично замечанию 6.3 сформулируем следующее замечание.

УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА—ПУАССОНА—ДАРБУ Замечание 6.4. Соотношения (6.24) становятся очевидными, если их переписать в следующем виде:

Vµ = rW [J (r), V ]Jµ (r), Vµ = rW [Y (r), V ]Jµ (r), Vµ = rW [J (r), V ]Yµ (r), Vµ = rW [Y (r), V ]Yµ (r).

Объединяя предложения 6.1 и 6.2, сформулируем основной полученный результат.

Теорема 6.1. Класс уравнений Бесселя d 2 V dV + (r2 2 )V = 0, R, +r dr2 dr допускает из всех соотношений вида dV Vµ = A(r) + B(r)V dr при µ = следующие четыре независимые базисные соотношения:

dJ (r) dV Vµ = rJµ (r)J (r) rJµ (r) V, dr dr dY (r) dV Vµ = rJµ (r)Y (r) rJµ (r) V, dr dr (6.26) dJ (r) dV Vµ = rYµ (r)J (r) rYµ (r) V, dr dr dY (r) dV Vµ = rYµ (r)Y (r) rYµ (r) V.

dr dr При µ = допускаются только три независимые базисные соотношения:

dJ (r) dV V = rJ (r) rJ (r) V, dr dr dJ (r) dY (r) dV V = 2rJ (r)Y (r) r Y (r) + J (r) (6.27) V, dr dr dr dY (r) dV V = rY2 (r) rY (r) V.

dr dr Замечание 6.5. При µ = ± 1 одним из решений системы уравнений (6.14) является A = 1, (1 µ2 3 2 ) B= 2(µ2 2 )r (это следует из (6.21) и (6.23)). Отсюда следуют известные соотношения (6.6), (6.7).

7. ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЕ ЭЙЛЕРА—ПУАССОНА—ДАРБУ УРАВНЕНИЕ Рассмотрим гиперболическое уравнение ЭПД 2 u u 2 u + 2 = 0, R. (7.1) r2 r r t Оно задает класс уравнений, определяемый параметром.

Уравнение (7.1) связано с волновым уравнением 2V 2V 2V + = 0. (7.2) x2 y 2 t В цилиндрической системе координат r,, t, x = r cos, y = r sin, t = t, 34 А. В. АКСЕНОВ 0, 0 2, z, r оно принимает вид 2V 1 2V 2V 1 V + +2 = 0. (7.3) r2 r 2 t r r Уравнение (7.3) имеет решения вида V (r,, z) = Ce ± i r u(r, t), (7.4) где C — произвольная постоянная, i2 = 1, = ( 1)/2 и функция u = u(r, t) удовлетворяет уравнению (7.1). Соотношение (7.4) задает редукцию уравнения (7.2) к классу уравнений (7.1).

Гиперболическое уравнение Эйлера—Пуассона—Дарбу (7.1) можно получить из эллиптического уравнения Эйлера—Пуассона—Дарбу (2.1) комплексной заменой z = it, где i2 = 1. Используя эту замену, можно получить аналог теоремы 3.1 для гиперболического уравнения Эйлера—Пуассона— Дарбу.

Теорема 7.1. Класс уравнений ЭПД (7.1) при произвольных значениях параметра допуска ет из всех соотношений между решениями u = u(), u = u() вида u() u() u() = A(r, t) + C(r, t)u() + B(r, t) (7.5) r t только следующие независимые базисные соотношения:

u() u() =, t u() u() u() =r +t, r t u() u() u() + (r2 + t2 ) + tu(), = 2rt r t u(2) = r1 u(), u() u(2) = r + ( 1)u(), r (7.6) u() u() u(2) = rt + r2 + ( 1)tu(), r t () u() u u(2) = r(r2 + t2 ) + 2r2 t + r2 + ( 1)t2 u(), r t 1 u() u(+2) =, r r t u() u() u(+2) = +, r r t (r2 + t2 ) u() u() u(+2) = + u().

+ 2t r r t При = = 0 происходит расширение первых четырех базисных соотношений до базисных соотношений u(0) u(0) u(0) = (r + t) + (r t) + (r + t) (r t) (7.7), r t где, — произвольные функции своих аргументов.

В характеристических переменных = r t, = r + t уравнение (7.1) принимает вид 2u u u + + = 0. (7.8) 2( + ) УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА—ПУАССОНА—ДАРБУ Теорема 7.2. Класс уравнений ЭПД (7.8) при произвольных значениях параметра допус кает из всех соотношений между решениями u = u(), u = u() вида u() u() u() = A(, ) + C(, )u() + B(, ) (7.9) только следующие независимые базисные соотношения:

u() u() u() = +, u() u() u() = +, u() u() u() = 2 + 2 + ( )u(), + (2) u(), = u u() u() u(2) = ( + ) + ( 1)u(), + 2 (7.10) u() u() 1 (2) + ( 1)( )u(), = ( + ) + u 2 u() u() 1 u(2) = ( + ) 2 + 2 ( )2 + u(), + 2 u() u() u(+2) = +, + u() u() u(+2) = +, + u() u() u(+2) = 2 + 2 + u().

+ При = = 0 происходит расширение первых четырех базисных соотношений до базисных соотношений u(0) u(0) u(0) = () + () (7.11), где, — произвольные функции своих аргументов.

Замечание 7.1. Восьмое соотношение из (7.10) было получено Дарбу [22].

8. ПРИЛОЖЕНИЕ К ОДНОМЕРНОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКЕ ПОЛИТРОПНОГО ГАЗА Система уравнений, описывающая одномерное изэнтропическое движение политропного газа, сводится в плоскости инвариантов Римана и к уравнению ЭПД [10, стр.99 ] 2u + u u + + = 0, = (8.1), 2( + ) где — показатель политропы.

Случай = 0 или = 1 соответствует так называемому газу Чаплыгина. Этот случай имеет, главным образом, формальное аппроксимационное значение (С. А. Чаплыгин предложил использо вать этот случай для приближенного интегрирования системы уравнений, описывающей плоские установившиеся движения газа [20]).

Случай = 2 или = 3 отвечает плотным газам, например, продуктам детонации (хорошо под ходит для продуктов детонации конденсированных взрывчатых веществ). Этот случай, вследствие исключительной простоты решений, часто используется для аппроксимации ряда изэнтропических законов в случае обычных газов [18].

36 А. В. АКСЕНОВ Случай = 4 или = 5/3 отвечает одноатомному газу при обычных температурах.

Случай = 6 или = 7/5 отвечает двухатомному газу при обычных температурах.

Приведенные выше случаи соответствуют четным неотрицательным целым значениям парамет ра. Построим для этих случаев, т.е. при = 2n (n = 0, 1, 2,... ), общее решение уравнения ЭПД (8.1).

Рассмотрим три последние соотношения из соотношений (7.10). Запишем их в следующем виде:

u() u() u(+2) = + (8.2), + u() u() u(+2) = + (8.3), + u() u() 1 () u(+2) = 2 + 2 + (8.4) u.


+ Общее решение уравнений (8.1) при = 0 (случай волнового уравнения) запишем в следующем виде:

u(0) = f ( )d + g( )d, (8.5) где 0, 0 — произвольные постоянные.

Применяя n раз соотношение (8.2) к решению (8.5), получаем теорему.

Теорема 8.1. Общее решение уравнения ЭПД (8.1) при = 2n, n N, можно записать в виде n1 n f () g() u() = + n1 (8.6).

n1 ( + )n ( + )n Теорему нетрудно доказать, используя метод математической индукции, Замечание 8.1. Формула (8.6) была получена Дарбу [22].

Аналогично, применяя n раз соотношение (8.3) к решению (8.5), получаем теорему.

Теорема 8.2. Общее решение уравнения ЭПД (8.1) при = 2n, n N, можно записать в виде n n n1 n1 () u = n1 f () + n1 (8.7) g().

+ + И, наконец, применяя n раз соотношение (8.4) к решению (8.5), получаем теорему.

Теорема 8.3. Общее решение уравнения ЭПД (8.1) при = 2n, n N, можно записать в виде n n n1 2 n1 u() = n1 f () + n1 (8.8) g().

+ + Замечание 8.2. Формулы (8.6), (8.7), (8.8) можно использовать и при отрицательных целых значениях n, вводя обозначение y x k f (x) = d f ( ), k N.

dy...

xk k интегралов Замечание 8.3. Хотя формулы (8.6), (8.7) и (8.8) задают одно и то же общее решение уравнения ЭПД (8.1) при = 2n, n Z, с их помощью можно получать разные решения, зная решение (8.5) для простейшего случая волнового уравнения.

УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА—ПУАССОНА—ДАРБУ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Аксенов А. В. Периодические инвариантные решения уравнений абсолютно неустойчивых сред// Изв.

РАН. Сер. Мех. тв. тела. — 1997. — 2. — С. 14–20.

2. Аксенов А. В. Симметрии и соотношения между решениями класса уравнений Эйлера—Пуассона— Дарбу// Докл. РАН. — 2001. — 381, № 2. — С. 176–179.

3. Векуа И. Н. Новые методы решения эллиптических уравнений. — М.–Л.: ОГИЗ. Гостехиздат, 1948. — 296 с.

4. Джаиани Г. В. Решение некоторых задач для одного вырождающегося эллиптического уравнения и их приложения к призматическим оболочкам. — Тбилиси: Изд-во ТбГУ, 1982. — 163 с.

5. Джаиани Г. В. Уравнение Эйлера—Пуассона—Дарбу. — Тбилиси: Изд-во ТбГУ, 1984. — 73 с.

6. Жданов В. К., Трубников Б. А. Квазигазовые неустойчивые среды. — М.: Наука, 1991. — 176 с.

7. Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.:

Физматлит, 2001. — 576 с.

8. Ибрагимов Н. Х. Группы преобразований в математической физике. — М.: Наука, 1983. — 280 с.

9. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.: Наука, 1976. — 576 с.

10. Курант Р., Фридрихс К. Сверхзвуковое течение и ударные волны. — М.: Изд-во ин. лит., 1950. — 426 с.

11. Мизес Р. Математическая теория течений сжимаемой жидкости. — М.: Изд-во ин. лит., 1961. — 588 с.

12. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1978. — 400 с.

p u 13. Олевский М. Н. Решение задачи Дирихле, относящейся к уравнению u + = для полусфе xn xn рической области// Докл. АН СССР. — 1949. — 64, № 6. — С. 767–770.

14. Риман Б. О распространении плоских волн конечной амплитуды. Сочинения. — М.–Л.: ОГИЗ, 1948. — C. 376–395.

15. Cоляник-Красса К. В. Кручение валов переменного сечения. — М.–Л.: Гос. изд-во тех.-теор. лит., 1949. — 166 с.

16. Cоляник-Красса К. В. Осесимметричная задача теории упругости. — М.: Стройиздат, 1987. — 335 с.

17. Справочник по специальным функциям. Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган. — М.: Наука, 1979. — 832 с.

18. Станюкович К. П. Неустановившиеся движения сплошной среды. — М.: Наука, 1971. — 856 с.

19. Цалдастани О. Одномерное изэнтропическое течение жидкости// Пробл. мех. Сборник статей под ред. Р. Мизеса и Т. Кармана. — М.: Изд-во ин. лит., 1955. — С. 519–552.

20. Чаплыгин С. А. О газовых струях. Собрание сочинений. Том II. — М.–Л.: Гос. изд-во тех.-теор. лит., 1948. — С. 19–137.

21. Beltrami E. Sulla teoria delle funzioni potenziali simmetriche// Mem. R. Accad. sci. — Bologna, 1880. — 2. — С. 461– 22. Darboux G. Le ons sur la th orie g n rale des surfaces et les applications g om triques du calcul c e ee ee infinit simal. Vol. II. Paris. 2 ed., 1915 (1 ed., 1888). 579 с.

e 23. Euler L. Institutiones calculi integralis. Vol III. Petropoli. 1770. Pt. II. Ch. III, IV, V (Opera Omnia. Ser. 1.

T. 13. Leipzig, Berlin, 1914. — С. 212–230).

24. Lie S. Uber die Integration durch bestimmte Integrale von einer Klasse linearer partieller Differentialgleichungen// Arch. Math. — 1881. — 6, № 3. — С. 328–368.

25. Miller W. (Jr.) Symmetries of differential equations. The hypergeomatric and Euler–Darboux equations// SIAM J. Math. Anal. — 1973. — 4, № 2. — С. 314–328.

26. Poisson S. D. M moire sur l’int gration des equations lin aires aux diff ences partielles// J. de L’Ecole e e e r Polytechechnique, Ser. 1. — 1823. — 19. — С. 215–248.

27. Weinstein A. Discontinuous integrals and generalized potential theory// Trans. Amer. Math. Soc. — 1948. — 63, № 2. — С. 342–354.

28. Weinstein A. The singular solutions and the Cauchy problem for generalized Tricomi equations// Commun.

Pure and Appl. Math. — 1954. — 7, № 1. — С. 105–116.

29. Weinstein A. Some applications of generalized axially symmetric potential theory to continuum mechanics// Приложения теории функций в механике сплошных сред. Труды международного симпозиума. Т 2.

Механика жидкости и газа, математические методы. — М.: Наука, 1965. — С. 440–453.

А. В. Аксенов Московский государственный университет им. Ломоносова E-mail: aksenov@mech.math.msu.su Современная математика и ее приложения. Том 12 (2004). С. 38– УДК 517. УСРЕДНЕНИЕ ЗАДАЧ С ГРАДИЕНТНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ ПО ПЕРИОДИЧЕСКИМ МЕРАМ c 2004 г. Г. КАРДОНЕ, Г. ГАРДЖИУЛО АННОТАЦИЯ. Исследуется асимптотическое поведение решений задач минимизации интегральных функционалов с подынтегральными выражениями, удовлетворяющими условиям g-роста относительно ограничений, которые наложены на градиенты допустимых функций на периодическом дисперсионном множестве, и относительно периодических мер, которые предполагаются непрерывными и удовлетво ряющими неравенству Пуанкаре.

СОДЕРЖАНИЕ 1. Определения и предварительные результаты......................... 2. Постановка задачи........................................ 3. Теорема об усреднении..................................... 4. Примеры............................................. 4.1. Перфорированные области............................... 4.2. Периодические графы.................................. Список литературы....................................... ВВЕДЕНИЕ В последние годы развивался новый подход к исследованию проблемы усреднения вариацион ных задач, сформулированных в терминах периодических мер (введенных отдельно в [1, 2, 5] для скалярных задач и в [3] для задач теории упругости). Этот подход основан на двухмасштабной сходимости и позволяет исследовать усреднение задач на сингулярных структурах.

С другой стороны, многие авторы изучали усреднение задач с градиентными ограничениями (см., например, [5, 6, 9]).

В последней статье [7] задачи усреднения с квадратичными лагранжевыми и быстро изменя ющимися периодическими ограничениями, наложенными на градиенты допустимых функций на периодических дисперсных множествах, изучались с помощью метода, основанного на двухмас штабной сходимости и явном построении -реализующей последовательности. Этот метод также используется для исследования задач, в которых дисперсные включения имеют нулевую меру Ле бега, некоторых случаев, в которых включения не являются дисперсными, и обобщений на случай упругости.

В данной статье изучается асимптотическое поведение решений задач минимизации интегралов с лагранжианами, удовлетворяющими условиям p-роста (p 1) относительно периодических мер, и с градиентными ограничениями на допустимые функции на периодическом рассеянном мнжестве.

Доказывается теорема об усреднении, в которой предполагается, что мера является невырожденной и удовлетворяет неравенству Пуанкаре. В конце работы приводятся некоторые примеры.

1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ Относительно всех определений и доказательств результатов, которые приводятся в дальнейшем, мы отсылаем читателя к [2, 4].

c Ин-т кибернетики АН Грузии, ISSN 1512– УСРЕДНЕНИЕ ЗАДАЧ С ГРАДИЕНТНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ Пусть µ — это периодическая неотрицательная мера Бореля на RN такая, что dµ = 1, где = [0, 1)N — это ячейка периодичности.

Определим соболевское пространство W 1,p (, dµ), p 1, как замыкание множества пар {(u, u) : u C0 ()} в норме произведения Lp (, dµ) Lp (, dµ)N. Элементы этого замыкания — пары (u, v), где v называется «градиентом» u и обозначается через u. В дальнейшем будем считать соболевским 1,p пространством W0 (, dµ) также и множество первых компонент этого множества;

в этом случае для каждой функции u определенный выше градиент не единственен (см. [2, § 3.1]).

1,p Множество (u) всех градиентов фиксированной функции u в W0 (, dµ) имеет структуру u + (0), где u — некоторый градиент функции u и (0) — множество градиентов в нуле. По определению g (0), если существует последовательность n C0 () такая, что Lp (, dµ).

n 0 и n g в Множество (0) есть подпространство векторного пространства Lp (, dµ)N.

Имеет место следующий результат (см. [2, теорема 9.3]).

Теорема 1. Существует µ-измеримое периодическое подпространство T (x) такое, что мно 1,p жество (u) градиентов каждой функции из W0 (, dµ) имеет вид u + g(x), где u T (x) и g(x) — произвольный вектор в Lp (, dµ)N такой, что g(x) T (x).

Подпространство T (x) называется тангенциальным пространством в точке x и u называется тангенциальным градиентом. С очевидностью замечаем, что тангенциальный градиент единстве нен, и если u(x) — некоторый градиент u, то его ортогональная проекция на множество T (x) является тангенциальным градиентом.


Определим меру µ выражением µ (B) = N µ 1 B для каждого B борелевского множества RN и 1 B = 1 x : x B. Мера µ имеет период и dµ = N dµ = N.

µ ( ) = Отметим, что µ dx в смысле меры, т.е.

C0 (RN ).

lim dµ = dx RN RN Допустим, что u — ограниченная последовательность в Lp (, dµ ), т.е.

|u |p dµ +.

lim sup (1) Будем говорить, что u слабо сходится к u Lp () и писать u u Lp (), если C0 (RN ).

lim u dµ = (2) u dx Будем говорить, что u сильно сходится к u Lp () и писать u u Lp (), если v Lp ().

lim u v dµ = если (3) uv dx v Имеет место следующее предложение (см. [4, леммы 2.2 и 2.4]).

40 Г. КАРДОНЕ, Г. ГАРДЖИУЛО Предложение 1. Ограниченные последовательности в Lp (, dµ ) компактны относительно слабой сходимости. При этом u u Lp () тогда и только тогда, когда u u Lp () и |u |p dµ = |u|p dx.

lim Определение 1. Мера µ называется p-связной на ячейке периодичности, если выполняется сле дующее свойство: если существует последовательность un Cper ( ) такая, что |un u|p dµ = 0 и |un |p dµ = 0, lim lim n n то функция u постоянна µ-п.в.

Отметим, что мера Лебега p-связна.

Замечание 1. Достаточные условия p-связности даются неравенством Пуанкаре:

p C ||p dµ, ||p dµ dµ + Cper ( ).

В дальнейшем будем обозначать = dµ.

Теперь потребуем следующее свойство среднего значения (см. [4, § 3]).

Предложение 2. Пусть b(x) — периодическая µ-измеримая функция на RN, A — ограничен ная область, граница которой имеет нулевую меру Лебега. Тогда b(1 x)dµ b dx слабо в смысле меры, т.е. для каждой C0 (RN ) (x)b(1 x) dµ = lim (x)b(1 x) dµ = lim (x)b(y) dx dµ(y) = b (x) dx.

0 A A A A p p Определим пространство Vpot = Vpot (, dµ) потенциальных векторов на ячейке периодичности как замыкание множества : Cper ( ) в Lp (, dµ)N (см. [2, п. 3.2]).

per Имеют место следующие свойства:

1) потенциальный вектор не обязательно имеет µ-среднее значение, равное нулю;

2) если каждый потенциальный вектор имеет нулевое µ-среднее значение, то µ — мера Лебега;

1,p 3) потенциальный вектор не обязательно является градиентом функции из Wper ;

p 4) если выполняется неравенство Пуанкаре, то для каждого v Vpot существует единственная 1,p функция u Wper такая, что v = u и u = 0.

p При этом определяем множество Lp (, Vpot ) как замыкание множества y (x, y) : (x, y) C0 (;

Cper ( )) в Lp (, dµ)N.

per Определение 2. Будем говорить, что мера µ невырождена, если каждый ненулевой постоянный вектор не является потенциальным.

Замечание 2. Если мера µ невырождена, то | + v|p dµ c0 ||p, c0 0, RN, inf (4) p vVpot где c0 может зависеть только от µ и p.

УСРЕДНЕНИЕ ЗАДАЧ С ГРАДИЕНТНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ | + v|p dµ = 0 тогда и только тогда, когда v = ;

так Действительно, если = 0, то inf vVpot p как µ невырождена, то постоянный вектор не является потенциальным вектором. Таким образом, | + v|p dµ 0, и поскольку инфимум является непрерывной функцией от и функция inf vVpot p | + v|p dµ c0 ||p для некоторой постоянной | · |p является p-однородной, то имеем inf vVpot p c0 0.

Напомним теперь определение и основные свойства двухмасштабной сходимости (см. [4, § 4]).

Определение 3. Пусть v — ограниченная последовательность в Lp (, dµ ). Будем говорить, что v (x) слабо двухмасштабно сходится к v(x, y) Lp (, dx dµ ) = Lp ( ) и писать v(x, y) Lp ( ), если v (x) v (x)(x)b(1 x) dµ = lim (5) v(x, y)(x)b(y) dx dµ(y) для каждого C0 () иb Cper ( ).

Доказательство следующих свойств двухмасштабной сходимости можно найти в [4, § 4].

(i) Каждая ограниченная последовательность в Lp (, dµ ) компактна относительно слабой двух масштабной сходимости, т.е. она содержит подпоследовательность, слабо двухмасштабно схо дящуюся к некоторому элементу пространства Lp ( ).

v(x, y) Lp ( ). Тогда Допустим, что v (x) (ii) сходимость (5) выполняется также и для b Lp (, dµ);

per (iii) при a L (, dµ), имеем per a(1 x)v (x) a(y)v(x, y);

(iv) выполняется полунепрерывность снизу |v |p dµ |v|p dx dµ(y);

lim inf (6) (v) если µ является p-связной невырожденной мерой, v и v ограничены в Lp (, dµ ), то для подходящей подпоследовательности имеем 2 1,p v (x) v(x) W0 (), (7) 2 p v1 Lp (, Vpot ).

v (x) v(x) + v1 (x, y), (8) Рассмотрим теперь лагранжиан f (y, ), удовлетворяющий следующим свойствам:

(i) f (y, ) : RN RN [0, +] измерима по Борелю;

(ii) f (y, ·) выпукла и полунепрерывна снизу, RN ;

(iii) f (y, 0) = 0.

Тогда выполняется следующее свойство полунепрерывности снизу (см. [4, теорема 7.1]).

Теорема 2. Для каждого лагранжиана f, удовлетворяющего свойствам (i), (ii), и (iii), если v — ограниченная последовательность в Lp (, dµ )N и v v(x, y) Lp (, (dx) dµ)N, то f (1 x, v ) dx lim inf f (y, v(x, y)) dx dµ. (9) Рассмотрим семейство замкнутых выпуклых множеств K(y) RN, y RN, 1-периодически зависящих от y, т.е. K(y + z) = K(y) для любого вектора z с целыми компонентами.

Предположим, что 42 Г. КАРДОНЕ, Г. ГАРДЖИУЛО РИС. a) для любого фиксированного a RN функция P (y)a измерима относительно y, где P (y) = PK(y) — оператор проектирования из RN в множество K(y), т.е. функция (a, y) P (y)a — каратеодориева.

В следующей лемме установим свойство двухмасштабной сходимости сохранять выпуклые огра ничения (для доказательства см. [4, § 7, пример 3]).

Лемма 1. Пусть K(y) RN — 1-периодичное семейство замкнутых выпуклых множеств, удовлетворяющих условию измеримости a). Пусть v (x) — ограниченная последовательность в Lp (, dµ )N такая, что v (x) K(1 x) µ-п.в. в и v (x) v(x, y). Тогда v(x, y) K(y) п.в. в. (10) 2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Допустим, что для функции f (y, ), удовлетворяющей свойствам (i), (ii) и (iii) предыдущего раздела, выполняется следующее условие pроста:

(iv) ||p f (y, ) c1 ||p + 1 y, RN, c1 0, и что множество K(y) удовлетворяет условию a) предыдущего параграфа. Проверим следующие гипотезы:

b) 0 K(y) для всех y;

c) K(y) = RN для y F, где F — заданное 1-периодическое множество в RN, которое является рассеянным в том смысле, что F находится на положительном расстоянии от (см.

рис. 1).

Введем множество допустимых функций 1,p V = (u, v) W0 (, dµ ) : v(x) K(1 x) µ-п.в. в.

Рассмотрим функционал 1,p f (1 x, v) + |u|p gu dµ, I (u, v) = (u, v) W0 (, dµ ), (11) Lp (, dµ ), — ограниченная липшицева область в RN, и задачу минимизации где g inf {I (u, v) : (u, v) V }. (12) Заметим, что множество V — непустое замкнутое выпуклое подмножество множества 1,p и 0 V.

W0 (, dµ ) 1,p Функционал I (u) коэрцитивен в W0 (, dµ ).

Действительно, в силу условия роста (iv) и согласно неравенству Юнга, имеем 1 1 1 f (x, u) + |u|p gu |u|p + |u|p |u|p |g|p = |u|p + |u|p |g|p.

p p p p УСРЕДНЕНИЕ ЗАДАЧ С ГРАДИЕНТНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ При этом I (u) строго выпукл относительно u в силу строгой выпуклости | · |p, но в общем случае он нестрого выпукл относительно u.

Тогда задача минимизации (12) допускает решение (u, v );

только u единственна в силу стро гой выпуклости члена |u |p, а v — нет. Так что в теореме об усреднении будут фигурировать сходимости энергии и решений u, но не градиента. Однако энергия не зависит от градиента решения.

Мы хотим исследовать асимптотическое поведение (при 0) последовательности решений u задачи минимизации (12).

С этой целью введем усредненный лагранжиан p f (y, + v(y)) dµ(y) : v Vpot, + v K(y), RN.

f () = inf (13) Лемма 2. Инфимум (13) достигается (т.е. минимум существует). Кроме того, усредненный лагранжиан f () является выпуклой функцией на RN, удовлетворяющей неравенству c0 ||p c2 ||p + 1, f () (14) где c0 (определенное в замечании 2) зависит только от p и N, и c2 зависит от p, N, c1. Кроме того, если f (y, ·) строго выпукла и µ невырождена, то f строго выпукла.

Доказательство. В силу гипотез b) и c) на K(y) и так как F — рассеянное множество и потому F лежит строго внутри, можно построить функцию w(y) Cper (RN ) такую, что Cper (RN ), = ( · y)(y), = 1, = 0 вне окрестности F ;

w(y) F + y w = 0, + y w(y) K(y).

F Тогда для любого RN множество допустимых функций в (13) непусто.

p Такое множество допустимых функций выпукло и замкнуто в Vpot. Так как p | + v|p dµ f (y, + v) dµ v Vpot, p p то минимизируемый функционал (13) коэрцитивен на Vpot. Так что существует решение в Vpot (см. [8, гл. II, § 2]).

Теперь докажем оценку (14).

По определению усредненного лагранжиана и так как µ невырождена, для каждого RN p существуют v Vpot такие, что | + v|p dµ c0 ||p f () = f (y, + v) dµ (см. замечание 2). С другой стороны, если рассмотрим функцию w(y), построенную выше, то получим | + w|p dµ + 1 c1 2p1 ||p + c1 2p1 |w|p dµ + 1.

f () f (y, + w)d µ c ||p ((y) + (y))p, то Так как |w|p p c1 2p1 ||p + c1 2p1 dµ ||p + 1 = c1 ||p + 1.

f () (y) + (y) 44 Г. КАРДОНЕ, Г. ГАРДЖИУЛО Теперь покажем что f () — выпуклая функция. Рассмотрим 1 = 2. Тогда существуют p v 1 (y), v 2 (y) Vpot такие, что 1 + v 1 (y), 2 + v 2 (y) K(y) и f ( 1 ) = f (y, 1 + v 1 ) dµ, f ( 2 ) = f (y, 2 + v 2 ) dµ.

Пусть ]0, 1[. Очевидно, что 1 + v 1 (y) + (1 ) 2 + v 2 (y) K(y) и по определению f () имеем f 1 + (1 ) 2 f (y, ( 1 + v 1 ) + (1 )( 2 + v 2 )) dµ f (y, 1 + v 1 ) dµ + (1 ) f (y, 2 + v 2 ) dµ = f ( 1 ) + (1 )f ( 2 ).

Рассмотрим усредненную задачу 1,p min I(u) : u W0 (), (15) где функционал I(u) задан формулой f (u) + |u|p gu dx.

I(u) = (16) В силу строгой выпуклости f () и в силу верхнего условия роста на f имеем, что I(u) строго 1,p 1,p выпукл и локально ограничен на W0 (). Тогда он непрерывен на W0 (). Кроме того, в си 1,p лу неравенства Юнга и нижнего условия роста на f функционал I(u) коэрцитивен на W0 ().

Следовательно, существует единственное решение u0 задачи минимизации (15) (см. [8, гл. II, § 2]).

3. ТЕОРЕМА ОБ УСРЕДНЕНИИ Теорема 3. Пусть µ — невырожденная мера такая, что выполнено неравенство Пуанкаре.

Пусть u — последовательность решений задачи (12) и u0 — решение усредненной задачи (15).

Тогда (i) C0 (RN );

lim u dµ = u0 dx (ii) |u |p dµ = |u0 |p dx;

lim (iii) x lim, u dµ = f (u0 ) dx.

f 0 Доказательство. Пусть u — последовательность решений задачи (12). Таким образом, u и u ограничены в Lp (, dµ ).

Действительно, так как f (y, 0) = 0, то I (u ) I (0) = 0;

таким образом, в силу нижнего условия роста на f |u |p + |u |p dµ f (1 x, u ) + |u |p dµ ;

(17) УСРЕДНЕНИЕ ЗАДАЧ С ГРАДИЕНТНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ в силу неравенства Юнга 1 f (1 x, u ) + |u |p dµ |u |p dµ + |g|p dµ. (18) gu dµ p p Тогда в силу (17) и (18) имеем 1 |u |p + |u |p dµ |g|p dµ +.

p p 1,p p В силу свойства (v) двухмасштабной сходимости существуют u(x) W0 () и v Lp (, Vpot ) такие, что, с точностью до подпоследовательности, 2 1,p u (x) u(x) W0 () и u (x) u(x) + v(x, y).

В силу леммы u(x) + v(x, y) K(y) п.в. в.

Тогда в силу свойств полунепрерывности снизу, заданных (6) и теоремой 2, имеем |u|p dx lim inf I (u ) f (y, u + v(x, y)) dx dµ + (19) gu dx.

Так как f (y, u + v(x, y)) dx dµ f (u), то |u|p dx lim inf I (u ) f (u) dx + gu dx = I(u) min I(u) = I(u0 ).

0 1,p uW0 () Следующим шагом является построение -реализующей последовательности, т.е. для данной 1,p 1,p v W0 () построение последовательности v W0 (, dµ ) такой, что v в Lp (, dµ ), v K(1 x), v (20) |v |p dµ = |v|p dx lim и f (1 x, v ) dµ = lim f (v) dx.

Построим -реализующую последовательность (20) для достаточно гладких v.

Рассмотрим разбиение RN на симплексы и пусть Qj, j = 1,..., N, являются симплексами такими, что Qj =.

Пусть v 0 (x) — непрерывная функция такая, что x v 0 = j = const, j = 1,..., N, Qj и равная нулю в окрестности (кусочно-аффинная функция относительно данного разбиения).

Считаем, что v 0 0 на всех других симплексах.

По определению усредненного лагранжиана для каждого j, j = 1,..., N существует функция j (y) V p такая, что v pot j + v j (y) K(y), f ( j ) = f (y, j + v j ) dµ.

46 Г. КАРДОНЕ, Г. ГАРДЖИУЛО РИС. Так как выполнено неравенство Пуанкаре, то, в силу свойства 4) потенциальных векторов, для 1,p каждого j = 1,..., N найдется функция wj (y) Wper (, dµ) такая, что v j = wj. Таким образом, 1,p пусть w(x, y) — кусочно-постоянная функция от x со значениями в Wper (, dµ), определенная соотношением = wj (y), j = 1,... N.

w(x, y) xQj Заметим, что на каждом Qj функция V (x) = v 0 (x) + w(x, 1 x) принадлежит W 1,p (Qj, dµ ) и V (x) = j + wj (y) K(y). Так как V (x), может быть Qj разрывной вдоль граней симплексов Qj, то для получения -реализующей последовательности для v 0 (x) необходимо изменить значения V (x) вблизи граней симплексов Qj.

Пусть Q — объединение множеств ( + z), принадлежащих Qj, где z ZN. Положим F = F j и Q = Q · · ·Q. Так как F — рассеянное множество, то можем считать, что dist (F, Q ) s, 1 N где s = dist (F, ).

Таким образом, можно построить функцию (x) C (RN ) такую, что x RN, dist(x, F \ Q ) 1 при s, (x) = x RN, dist(x, F \ Q ) 0 при s/2, c1, 0 1, | | где c = c(s).

Заметим, что (x) = 1 на Q и (x) = 0 вблизи компонент F вне Q.

Изменим функцию v 0 (x) так, чтобы она стала постоянной вблизи множества F \ Q, которое состоит из компонент F вне всех Q. Обозначим через ( + z k ), k = 1, 2,..., кубы с целым z k, j покрывающие множество RN \ Q, и пусть v 0 (z k ) + (x) v 0 (x) v 0 (z k ) при x ( + z k ) RN \ Q, v (x) = v 0 (x) при x Q.

Можно также построить функцию (x) C (RN ) такую, что при x Q, dist (x, Q ) 1 s, (x) = при x RN \ Q, c1.

0 1, | | Жирная линия на рис. 2 представляет область, в которой (x) убывает от 1 до 0.

УСРЕДНЕНИЕ ЗАДАЧ С ГРАДИЕНТНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ Покажем, что функции v (x) = v (x) + (x)w(x, 1 x) образуют -реализующую последовательность для v 0 (x).

В окрестности Q F имеем = 1, v (x) = v 0 (x), и следовательно, v (x) K(y) в этой окрестности. С другой стороны, в окрестности F \ Q имеем (x) = 0 и v = const (на каждой связной компоненте). Следовательно, в силу гипотезы b) относительно K(y), v (x) = 0 K(y) в этой окрестности. Таким образом, v K(y) в окрестности F и, следовательно, на всем RN, 1 x) = RN вне F.

так как K( Можно написать v (x) = v 0 (x) + v (x) v 0 (x) + (x)w(x, 1 x).

Имеем v 0 (x) dx |v |p dµ = |v 0 |p dx, lim v (x) dµ = и lim (21) 0 v 0 (x) так как равномерно непрерывна, ограничена и v 0 (x) v (x) (), где — модуль непрерывности v 0.

При этом, так как wj (y) Lp (, dµ ), то | (x)w(x, 1 x)| |wj (1 x)| в Qj.

Правая часть последнего неравенства сходится к нулю в Lp (, dµ ) по свойству среднего значения (см. предложение 2).

В силу (21) имеем v 0 (x) dx |v |p dµ = |v 0 |p dx.

lim v (x) dµ = и lim 0 Кроме того, в силу свойства среднего значения и выбора wj f (1 x, v ) dµ = f (1 x, j + y wj (1 x)) dµ = lim lim 0 j Qj f (y, j + y wj (y)) dx dµ = f ( j ) dx = f (v 0 ) dx;

= jQ jQ j j это означает, что v — -реализующая последовательность для v 0 (x). Остается заметить, что 1,p такие функции v 0 (x) образуют плотное множество в W0 (, dµ ). Действительно, для любой v C0 () можно построить непрерывную кусочно-аффинную функцию v 0 (x), которая совпадает с v в вершинах симплексов Qj. Если эти симплексы достаточно малы, то v 0 (x) заведомо близка 1,p к v в W 1, () и тем более в W0 (, dµ ). Действительно, легко видеть, что разница между 0 и v может быть оценена постоянной, кратной осцилляции v на каждом градиентами функций v симплексе.

Итак, доказано, что можно построить -реализующие последовательности для всех v из плотно 1,p 1,p го множества в W0 (, dµ ). Тогда пусть v W0 (, dµ ) — -реализующие последовательности 1,p для таких v из плотного множества в W0 (, dµ ), т.е. v удовлетворяет соотношениям (20).

Тогда I (v ) I (u ), I (v ) I(v), и, в силу свойства полунепрерывности снизу, I(u0 ).

lim inf I(u ) (22) I(v) 48 Г. КАРДОНЕ, Г. ГАРДЖИУЛО РИС. 1,p Теперь, так как I(v) непрерывна на W0 (), то неравенство (22) выполняется для каждого v в 1,p W0 (). Следовательно, u0 — решение задачи (12), I(u ) I(u0 ), и получаем утверждение.

4. ПРИМЕРЫ 4.1. Перфорированные области. Если Q — незамкнутое подмножество такое, что Q и 1 где \ Q, dµ = (x)dx, where (x) = | \ Q| 0 в противном случае.

Имеем dµ = (1 x)dx и, таким образом, задача минимизации рассматривается на перфори рованной области = \ Q. Заметим, что в этом случае обычная связность \ Q влечет p-связность µ.

В этом случае можем рассматривать (при подходящем выборе множества F ) следующие задачи с градиентными ограничениями:

(i) на рис. 3(1) показано множество F, и можно взять K(y)|F = {0};

(ii) Можно рассматривать множество F, как на рис. 3(2) или на рис. 4(3), но в этом случае множество допустимых функций будет V = v W0 (, dµ ) : v(x)|F = const.

4.2. Периодические графы. Если рассмотрим обычную квадратную сеть или периодический в целом связный граф на плоскости, то можно определить меру µ как сумму линейных мер на звеньях, взятых с положительными весами. Такие меры обладают свойством p-связности.

УСРЕДНЕНИЕ ЗАДАЧ С ГРАДИЕНТНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ РИС. Например, можно выбрать множество F, как на рис. 4(4), взять K(y)|F = {0}. Но в этом случае замечаем, что v|F = 0;

это означает, что единственный тангенциальный градиент равен нулю на F.

В этом случае µ — одномерная мера Лебега на F.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Жиков В. В. О технике гомогенизации для вариационных задач// Функц. анал. и его прил. — 1999.

— 33, № 1. — С. 1–15.

2. Жиков В. В. Об обобщении метода двухмасштабной сходимости и его применения// Maт. сб. — 2000.

— 191, № 7. — С. 973–1014.

3. Жиков В. В. Усреднение задач теории эластичности на сингулярных структурах// Изв. РАН. Сер. мат.

— 2002. — 66, № 2.

4. Жиков В. В. О двухмасштабной сходимости// Тр. сем. Петровского. — 2003. — 23.

5. Bouchitte G., Fragala I. Homogenization of thin structures by two-scale method with respect to measures// ` SIAM J. Math. Anal. — 2001. — 32, № 6. — С. 1198–1226.

6. Carbone L., De Arcangelis R. Unbounded functionals in the calculus of variations. Representation, relaxation and homogenization. — Monogr. and Surv. Pure and Appl. Mat. — 125, CRC Press (2002).

7. Cardone G., Corbo Esposito A., Yosifian G. A., Zhikov V. V. Homogenization of some problems with gradient constraints. — Prepr. Univ. Naples «Federico II». — 2002. — № 24.

8. Ekeland I., Temam R. Convex analysis and variational problems. — North-Holland, Amsterdam, 1976.

9. Zhikov V. V., Kozlov S. M., Oleinik O. A. Homogenization of differential operators and integral functionals.

— Springer-Verlag, Berlin, 1994.

50 Г. КАРДОНЕ, Г. ГАРДЖИУЛО Г. Кардоне Department of Civil Engineering, Second University of Naples E-mail: giuseppe.cardone@unina2.it Г. Гарджиуло Department of Information Engineering and Applied Mathematics (DIIMA), University of Salerno E-mail: gargiulo@diima.unisa.it Современная математика и ее приложения. Том 12 (2004). С. 51– УДК 517.958. УСРЕДНЕНИЕ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ НА ПЕРИОДИЧЕСКИХ ЯЩИЧНЫХ И СТЕРЖНЕВЫХ КАРКАСАХ КРИТИЧЕСКОЙ ТОЛЩИНЫ c 2004 г. С. Е. ПАСТУХОВА АННОТАЦИЯ. Изучается задача теории упругости в статической постановке на тонких периодических ящичных и стержневых каркасах, геометрия которых зависит от двух малых связанных между со бой параметров, h(), определяющих ячейку периодичности и толщину составляющих (пластин или стержней соответственно). Получено усреднение этой задачи в наиболее трудном случае, когда lim h()/ = 0.



Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.