авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |

«ISSN 1512–1712 Академия Наук Грузии Институт Кибернетики СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ Том 12 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ...»

-- [ Страница 2 ] --

СОДЕРЖАНИЕ 1. Введение............................................. 2. Предварительные сведения................................... 3. О двухмасштабной сходимости на периодической ящичной структуре критической тол щины............................................... 4. Леммы о продолжении..................................... 5. Вывод усредненного уравнения................................. 6. Некоторые вспомогательные утверждения.......................... 7. О стержневых каркасах..................................... Список литературы....................................... 1. ВВЕДЕНИЕ Пусть F — периодическая ящичная структура в R3, состоящая из координатных плоскостей 1.1.

и их сдвигов на целочисленные векторы. Ячейкой периодичности служит куб =,.

Введем периодическую нормированную меру µ, которая сосредоточена на указанной структуре F, причем на каждой из составляющих ее граней она пропорциональна плоской мере Лебега, dµ = 1, g = gdµ — среднее по мере µ.

Пусть F h — 1-периодическая ящичная структура, составленная из бесконечных пластин (плит), толщина которых 2h 0, имеющих в качестве срединной плоскости соответствующую плоскость из структуры F. Фрагменты структур F, F h в пределах ячейки периодичности изображены на рис. 1.

Структуру F h будем называть тонкой, в то время как исходную структуру F — сингулярной.

Пусть F = F h — гомотетическое сжатие структуры F h. Заметим, что структура F состоит h h из плит, толщина которых 2h.

Через A = {aijsp } обозначим тензор упругости, подчиненный обычным условиям симметрии:

aijsp = aspij = ajisp. Скалярное произведение симметрических матриц = {ij }, = {ij } опреде лим как · = ij · ij, в частности, · = ||2. Действие тензора A на матрицу есть матрица A = {aijsp sp }. Тогда A · = aijsp ij sp — плотность упругой энергии. Предполагаем, что тензор A положительно определен, A · c0 ||2, c0 0.

c Ин-т кибернетики АН Грузии, ISSN 1512– 52 С. Е. ПАСТУХОВА РИС. 1. Ящичные структуры F, F h.

Для изотропного тензора имеем A = k + k1 E Tr, k 0, k1 0, 11 12 13 (1.1) 12 22 23, E = 0 1 0.

= Tr = 11 + 22 + 33, 13 23 С ограниченной липшицевой областью R3 свяжем перфорированную область F и h ()3 по норме пространство W,h — замыкание множества C [ · + e() · e()] dx, h F где 1 i j e() = + 2 xj xi — тензор деформации или упругий градиент.

Рассмотрим задачу: найти вектор-функцию u,h W,h, для которой выполнено интеграль ное тождество Ae(u,h ) · e() dx = C0 ()3, f C ()3.

f · dx (1.2) h h F F Это — обобщенная или вариационная формулировка краевой задачи для системы теории упруго сти в области F, где на F задается условие закрепления, т.е. условие Дирихле u,h = 0, h h а на остальной части границы области F — условие отсутствия напряжений Ae(u,h )n = 0, h n — нормаль к границе.

Хорошо известно [1, 11, 14], что решение поставленной задачи существует и единственно. Это вытекает из индивидуального неравенства Корна для фиксированных, h |u|2 dx |e(u)|2 dx, u C0 (R3 )3, (1.3) C h h F F где константа C зависит от диаметра носителя функции u, а также от геометрических параметров, h.

Цель усреднения состоит в том, чтобы изучить поведение решения u,h при 0 и найти урав нение, которому удовлетворяет предельная функция. Случай, когда толщина h 0 фиксирована, охватывается классической теорией усреднения в перфорированных областях. Будем считать, что толщина плит стремится к нулю вместе с, т.е. h = h() 0 при 0. Такая постановка вопроса УСРЕДНЕНИЕ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ не является новой. Например, для скалярных задач в аналогичной ситуации доказана «сильная»

сходимость |u,h (x) u0 (x)|2 dx = 0, lim (1.4) h 0 | F | u где — решение усредненной задачи Дирихле с аналогичным исходному уравнением в «сплошной»

области :

u0 H0 (), divAhom u0 = f.

При этом усредненная матрица Ahom определяется с помощью некоторой периодической задачи на сингулярной структуре F. Важно, что предел решений u,h не зависит от способа стремления h к нулю (см. [1, гл. 8]).

Для задач теории упругости обнаружен (см. [2, 3]) «масштабный эффект»: усредненное уравне ние существенно зависит от того, как толщина h стремится к нулю при 0.

Были выделены три типа тонких структур:

(i) достаточно толстые, когда lim h()1 = ;

(ii) достаточно тонкие, когда lim h()1 = 0;

(iii) структуры критической толщины, когда lim h()1 = 0. (1.5) Объясним происхождение масштабного эффекта в теории упругости на периодических тонких структурах. Хорошо известно, что константа в неравенстве Корна на тонких структурах растет неограниченно, когда толщина структуры стремится к нулю. Например, этот факт легко понять для одиночной плиты, толщина которой равна t [13]. Напомним, что для плиты = {x R3 :

|x3 | t/2} справедливо анизотропное неравенство Корна [|u |2 + | u |2 + t2 (u2 + | u3 |2 )] dx |e(u)|2 dx, u C0 (R3 )3, (1.6) C где u = (u1, u2, u3 ), (u1, u2 ) = u, — градиент по продольным переменным x1, x2, C1 — константа, зависящая лишь от диаметра носителя функции u. Из (1.6) вытекает неравенство |u|2 dx C2 t2 |e(u)|2 dx, u C0 (R3 )3, в котором степень t является точной, что проверяется, если взять a C0 (R2 ), u= x3 a(x ), x3 a(x ), a(x ), x = (x1, x2 ).

x x1 x В нашем случае рассматривается не одиночная тонкая плита, а периодическая ящичная структу h ра F, составленная из тонких плит, образующих три взаимно перпендикулярные семейства. Это обстоятельство может сильно изменить поведение точной константы C = C(, h) из неравенства (1.3) при 0: она оказывается ограниченной при определенном соотношении между параметрами h, h() (см. [7, 8]). Для ящичной структуры F справедливо неравенство Корна |u|2 dx |e(u)|2 dx, u C0 (R3 )3, C0 1 + (1.7) h h h F F где константа C0 зависит лишь от диаметра supp u. Для достаточно тонких структур константа C(, h) = C0 1 + из (1.7) стремится к бесконечности при 0. На примере можно h показать, что в этом случае точная константа в неравенстве Корна, действительно, имеет порядок величины.

h 54 С. Е. ПАСТУХОВА h РИС. 2. Плита 3 и ее срединная плоскость 3.

Пример. Рассмотрим на плоской ячейке периодичности 0, функцию от двух переменных, a 0, продолжим ее по периодичности на всю плоскость R2. Зададим в a(t) 0, C ячейке периодичности =, вектор-функцию v равенством y3 a (y1, y2 ), y3 a (y1, y2 ), a(y1, y2 ), h если y 3, y1 y a a h v(y) = y2 (y1, y3 ), a(y1, y3 ), y2 (y1, y3 ), если y 2, y1 y a(y, y ), y a (y, y ), y a (y, y ), h если y 1, 23 1 23 1 y2 y h где i = {yi = 0} — единичный квадрат на координатной плоскости, i — плита толщины 2h (h достаточно мало) со срединной плоскостью i, i = 1, 2, 3 (см. рис. 2), и далее периодически продолжим v(y) на всю структуру F h. Вычисления дают следующие соотношения:

|v|2 dy = O(h), |e(v)|2 dy = O(h3 ).

F h F h 113 x Положим u(x) = v в =,, где =, n — натуральное число. Тогда u| = 0, n благодаря свойствам функции a(t), и выполнены следующие соотношения:

|u|2 dx = |v|2 dy = O(h), h F h F |e(u)|2 dx = 2 |e(v)|2 dy = O(h3 2 ), h F h F из которых следует искомое свойство константы C(, h).

Видим, что для достаточно тонких структур, т.е. когда h1 () при 0, нет ограни ченности решений задачи (1.2), а значит, задача (1.2) в этом случае усреднению не подлежит.

Наоборот, для тонких структур, достаточно толстых и критической толщины, из неравенства (1.7) следует равномерная ограниченность решений задачи (1.2) по норме W,h при 0. Только для таких структур будем далее изучать поведение решений задачи (1.2) при 0.

Особенностью задач теории упругости на тонких периодических структурах является то, что решение u,h «осциллирует», и для него, вообще говоря, не может быть сильной сходимости (1.4).

Более точно, в нулевом приближении решение u,h (x) не есть гладкая функция u0 (x), а имеет вид УСРЕДНЕНИЕ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ x, где u(x, y) — функция двух переменных, периодическая по аргументу y. Например, для u x, тонких периодических сеток на плоскости этот эффект изучен в [3, 9, 10]. Функция u(x, y) слу жит «двухмасштабным пределом» последовательности u,h. При этом структура функции u(x, y) и уравнение, которому она удовлетворяет, существенно различаются в указанных выше трех случа ях, хотя всегда u(x, y), как функция аргумента y, есть «периодическое жесткое перемещение на сингулярной сетке F ». Определим это ключевое понятие.

Определение 1.1. Скажем, что заданный на сингулярной структуре F вектор u L2 (, dµ) есть периодическое жесткое перемещение, если найдется последовательность гладких периодиче ских векторов Cper ( )3 такая, что L2 (, dµ).

u, e( ) 0 в Множество периодических жестких перемещений будем обозначать через R. Доказано [3], что всякий вектор u R допускает единственное представление u(y) = c + (y), (1.8) в котором c — постоянный вектор, а — поперечное перемещение. Последнее означает, что на каж дой грани структуры F вектор ортогонален этой грани. Таким образом, справедливо разложение R = R3 + R1, где R1 — множество всех поперечных перемещений.

Ортогональный проектор P1 : R R1 переводит постоянный вектор c R3 в поперечное перемещение, которое на каждом звене равно нормальной компоненте этого вектора. Результат записывается как P1 (y)c. В выражении вида P1 (y)f (x) вектор f рассматривается как постоянный, x играет роль параметра.

1.2. Приведем результаты об усреднении задачи (1.2) при условии, что lim h() = 0, lim = 0 0 h() const 0.

Начнем с общих фактов, справедливых как для достаточно толстых структур, так и для структур критической толщины.

1. Найдется вектор-функция u(x, y) L2 (, dx dµ)3, периодическая по y, такая, что |u,h (x) u(x, 1 x)|2 dx = 0.

lim (1.9) h 0 | F | h F Здесь требуется пояснение, так как функция u(x, ·) задана на сингулярной структуре F, а для интегрирования в (1.9) нужно, чтобы она была определена на тонкой структуре F h. Достаточно продолжить эту функцию как постоянную в поперечном направлении на каждую h-плиту из ее срединной плоскости, являющейся некоторой гранью из структуры F. В точках, принадлежащих двум или трем h-плитам, построенные продолжения складываются. Так определяется «естествен ное продожение» (см. § 22).

2. Вектор u(x, ·) есть периодическое жесткое перемещение, и, в соответствии с разложением (1.8), u(x, y) = u0 (x) + (x, y), (x, ·) R1 для п.в. x. (1.10) 3. Выполнено соотношение u0 H0 ()3, divAhom e(u0 ) = f, (1.11) в котором Ahom — усредненный тензор, Ahom · = inf A( + e(w)) · ( + e(w)) dµ.

wCper ( ) Тензор Ahom является положительно определенным: Ahom · c0 2, c0 0.

56 С. Е. ПАСТУХОВА Чтобы получить усредненную задачу, добавим к двум соотношениям (1.10), (1.11) третье — для поперечной составляющей. Для достаточно толстых сеток это соотношение имеет тривиальный вид = 0. Получаем классическое усреднение |u,h (x) u0 (x)|2 dx = 0, lim (1.12) h | F | h F u0 H0 ()3, divAhom e(u0 ) = f. (1.13) Теоpема 1.2. Пусть lim /h() = 0. Тогда для решений задачи (1.2) имеет место сходимость (1.12) к предельной функции, являющейся решением краевой задачи (1.13). При этом имеется сходимость интегралов энергии Ae(u,h ) · e(u,h ) dx = Ahom e(u0 ) · e(u0 ) dx.

lim h 0 | F | h F На протяжении всей работы будем обозначать через i грань куба [0, 1)3, лежащую на 1.3.

плоскости yi = 0, i = 1, 2, 3. Любую 1-периодическую функцию, заданную на структуре F, доста точно изучать на этих трех гранях. В критическом случае поперечная компонента (x, y) из (1.10) как функция аргумента y на каждой грани i, i = 1, 2, 3, является решением отдельной краевой задачи для эллиптического уравнения четвертого порядка (в изотропном случае возникнет бигар моническое уравнение). Этой краевой задачей оказывается классическая задача о прогибе тонкой квадратной пластинки с жестко закрепленными краями под действием поперечной нагрузки, опре деляемой функцией P1 (y)f (x), посредством которой компонента (x, y) получает зависимость от переменной x. Взятые вместе эти три задачи однозначно определяют функцию (x, y) на всей ячейке периодичности [0, 1)3. Сформулируем точно задачи, определяющие функции (x, y).

Далее i, j, m — перестановка чисел 1, 2, 3. Любая из трех граней i — плоская область (единич ный квадрат), лежащая в координатной плоскости yi = 0. Пусть H0 (i ) — обычное соболевское пространство скалярных функций от двух переменных в области i.

Каждая компонента i поперечного вектора может быть ненулевой лишь на одной грани (i 0 лишь на i ). При этом, если исходный тензор A изотропен (см. (1.1)), то i |i = i находится как решение вариационной задачи на отыскание минимума k (i g)2 2gci dµ(y), min (1.14) gH0 (i ) i k(k + 2k1 ), ci = c · ei, c = f (x) — постоянный (по y) вектор, i g = ( 2 + 2 )g, s =.

где k = m j k + k1 ys Для решения этой вариационной задачи выполнено уравнение Эйлера в слабой форме 2 i H0 (i ), k (i i )(i g) gci dµ = 0 g H0 (i ), (1.15) i откуда вытекает собственно уравнение Эйлера для решения задачи (1.14) в области i k i i i = ci, ci = c · ei, c = f (x), (1.16) дополненное краевыми условиями на границе i i i = 0, = 0, n где n — единичная внешняя нормаль к i.

Задача (1.14) или эквивалентная ей краевая задача (1.16) (в обобщенной постановке) разрешимы, и их решение единственно.

УСРЕДНЕНИЕ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 1.4. Дадим более формальное описание усредненной задачи в критическом случае.

Определение 1.3. Пусть R0 — это множество периодических поперечных перемещений v(y) = (v1 (y), v2 (y), v3 (y)), таких что vi |i H0 (i ), i = 1, 2, 3. Норму в R0 определим как сумму H 2 -норм на гранях i, i = 1, 2, 3.

Видим, что элементы пространства R0 — это периодические поперечные перемещения v(y) (во обще говоря, из L2 (, dµ)3 ), обладающие повышенной гладкостью на каждой грани из структуры F и удовлетворяющие определенным условиям сопряжения на каждом ребре из структуры F.

Более точно выполнены следующие условия (a)–(c).

a) На произвольной грани с единичным нормальным вектором скалярная функция v = v| · двух переменных имеет частные производные первого и второго порядка, суммируемые с квадратом на грани, или коротко v H 2 ().

Рассмотрим произвольное ребро в структуре F ;

в нем сходятся четыре грани, которые обозначим через s, s = 1, 2, 3, 4. Благодаря условию a) определены с каждой из четырех vs граней s следы vs |,, где vs = v|s · s, ns — внутренняя нормаль к на s. При этом ns b) vs | = 0;

vs c) = 0 для всех s = 1, 2, 3, 4.

ns Определение 1.4. Пусть V — множество вектор-функций вида u = u0 (x) + (x, y), u0 H0 ()3, L2 (, R0 ). (1.17) Скажем, что u V есть решение усредненной задачи в изотропном случае, если интегральное тождество Ahom e(u0 ) · e(0 ) dx + (i i )(i i ) dxdµ = f · dxdµ (1.18) k i= i выполнено для любой вектор-функции = + V.

Множество V назовем энергетическим пространством усредненной задачи.

Здесь и далее для вектора g(x, ·) R1, gi = g|i · ei.

Полагая в тождестве (1.18) = 0, получим соотношение (1.11). Далее, взяв 0 = 0, = (x)v(y), где C0 (), v R0, supp v i, получим тождество k(y i )(i vi ) f · v dµ(y) = 0 v R0.

i На грани i f · v = ci vi, где ci = c · ei, c = f (x), и тогда сначала выводим уравнение (1.15), а потом и (1.16).

Усредненное уравнение в форме тождества (1.18) более удобно в некоторых вопросах. Например, полагая в этом тождестве = u, получаем энергетическое равенство Ahom e(u0 ) · e(u0 ) dx + (i i )2 dx dµ = f · u dx dµ. (1.19) k i= i Для достаточно толстых структур энергетическое равенство, которое можно вывести из (1.12), имеет вид Ahom e(u0 ) · e(u0 ) dx = f · u0 dx, и оно естественно возникает из (1.19) при 0.

Сформулируем основной результат по усреднению задачи (1.2) в критическом случае.

58 С. Е. ПАСТУХОВА Теоpема 1.5. Пусть u,h — решение задачи (1.2), причем тензор A изотропен. Тогда имеет место соотношение (1.9), в котором u(x, y) = u0 (x) + (x, y) — решение усредненной задачи (1.19). Имеет место также сходимость упругих энергий 1,h,h hom 0 (i i )2 dx dµ, (1.20) lim ) · e(u ) dx = e(u ) · e(u ) dx + k Ae(u A h 0 | F | i= h F i 2 где i = |i · ei, i = j + m и i, j, m — перестановка чисел 1, 2, 3.

1.5. Выше предполагалось, что исходный тензор A изотропен. В случае тензора A общего вида, усредненное уравнение немного усложняется и требует предварительного введения тензора релак сации A. Даже если A — постоянный тензор, то его релаксация A = A(y) оказывается зависящей от точки y F ;

при этом сужение на каждую грань A|i, i = 1, 2, 3, есть постоянный тензор.

введем пространство Ei — множество симметрических (33)-матриц Для определения тензора A с ненулевыми элементами лишь в i-й строке и i-м столбце, а также ортогональное дополнение к нему Ei — множество симметрических (3 3)-матриц, у которых, наоборот, i-й столбец и i-я строка — нулевые. Здесь i = 1, 2, 3. Например, 0 0 13 11 12 E3 = 0 0 23, E3 = 12 22 0.

0 13 23 Тогда, по определению, для i = 1, 2, A|i = Ai, Ai · = min A( + ) · ( + ). (1.21) Ei Нетрудно установить, что для каждого i оператор Ai как оператор, действующий на симмет i = Ei, Im Ai = E, а сужение Ai | — невырожденный оператор, рических матрицах, имеет Ker A i Ei действующий на симметрических матрицах второго порядка, которые получаются из матриц Ei вычеркиванием нулевых i-го столбца и i-й строки. В этом смысле в изотропном случае получаем тензор A, одинаковый для всех граней i, при этом A снова изотропен, но с новым набором коэффициентов Ламе:

kk1 11 A = k + (Tr )E, = E=,.

k + k1 12 Если A — тензор общего вида, то его релаксация A на каждой грани i находится через эле менты симметрической (6 6)-матрицы (обозначаемой также символом A) A11 A12... A A12 A22... A A=. (1.22).,.

...

...

...

A16 A26... A задающей действие тензора A (как оператора) в пространстве симметрических матриц третьего порядка 11 12 = 12 22 23, 13 23 которые удобно записывать в виде вектор-столбцов из R6 : = (11, 22, 12, 13, 23, 33 )T. Дадим правило для вычисления A(y). Например, для y 3 тензор A(y) = A3 как оператор, действующий в пространстве симметрических (2 2)-матриц, сам задается симметрической (3 3)-матрицей:

A3 = AI,I AI,II A1 AII,I, (1.23) II,II УСРЕДНЕНИЕ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ если AI,I AI,II A= (1.24) AII,I AII,II, и блоки, на которые разбита матрица A, — это (3 3)-матрицы. Аналогично находится A(y) для y i, i = 1, 2.

Теперь мы в состоянии сформулировать аналог вариационной задачи (1.14) для тензора A общего вида. Это задача на отыскание минимума 2 min (Ai Di (g) · Di (g) 2gci ) dµ, (1.25) gH0 (i ) i где ci = c · ei, c = f (x), i g j m g Di (g) = (1.26), j m g m g i, j, m — перестановка из чисел 1, 2, 3.

Тогда аналог интегрального тождества (1.18), задающего усредненную задачу для предельной функции u = u0 (x) + (x, y) V, имеет вид 2 Ahom e(u0 ) · e(0 ) dx + AD() · D() dµ dx = f · dµ dx (1.27) 0 (x) для любого = + (x, y) V, где D()|i = Di (i ), i = |i. (1.28) Иногда будем представлять Di (i ) симметрической матрицей третьего порядка с нулевыми эле ментами в i-й строке и i-м столбце, тогда как другие элементы определяются через частные производные функции i, т.е.

Di (i ) = {djm }3 djm = j m i, если j, m {1, 2, 3}, i, djm = 0 в противном случае.

j,m=1, (1.29) Например, 1 3 1 2 3 D3 (3 ) = 1 2 3 2 3 0.

0 0 Из (1.27) следует энергетическое тождество для случая тензора A общего вида:

2 Ahom e(u0 ) · e(u0 ) dx + AD() · D() dµ dx = f · u dµ dx. (1.30) В задаче (1.2) можно рассмотреть более общую правую часть, а именно, f = f,h, и имеет 1.6.

место равномерная оценка |f,h |2 dx C.

h | F | h F В этом случае также справедлив принцип усреднения, имеющий более сложную форму, при котором задача для поперечной составляющей (x, y) не распадается, вообще говоря, на отдельные задачи на каждой грани структуры F. Формулировка общего принципа усреднения дается в терминах двухмасштабной сходимости в «переменном» L2 -пространстве с мерой, зависящей от двух параметров, и, кроме того, требует введения более широкого, чем R0, подпространства R1 в пространстве жестких поперечных перемещений R1. Двухмасштабная сходимость вводится в § 2, а пространство R1 — в § 3. В § 4 дается техника продолжения, после чего в § 5 доказывается принцип усреднения для задачи (1.2) наиболее общего вида — теорема 5.2, из которой теорема 1. вытекает как следствие.

60 С. Е. ПАСТУХОВА Несколько слов о теореме 1.2, в которой формулируется принцип усреднения для достаточно толстых ящичных структур. Ее можно доказать тем же методом, что используется в [3, § 14] при доказательстве аналогичой теоремы для достаточно толстых сеток на плоскости с уравнением в резольвентной форме, если учесть неравенство Корна (1.7).

В § 6 приводятся вспомогательные утверждения, в частности, о тензоре релаксации, а также об аппроксимативных свойствах меры µh.

В § 7 речь идет о стержневых каркасах. Мы подробно останавливаемся только на моментах, отличающих стержни от пластин.

2. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ 2.1. В настоящей работе применяется метод В. В. Жикова двухмасштабной сходимости с пере менной периодической мерой. Сейчас мы отметим только начальные моменты этого подхода.

Пусть µh — периодическая нормированная мера в R3, сосредоточенная на структуре F h и про порциональная там трехмерной мере Лебега. Легко видеть, что dµh при h 0, dµ где µ — мера на сингулярной ящичной структуре. Подробнее это означает, что dµh = lim dµ Cper ( ).

h Определим -периодическую меру µh равенством µh (B) = 3 µh (1 B) для любого борелева множества B R3.

Очевидно, что мера µh сосредоточена на сжатой структуре F. Свяжем параметры h и, полагая, h что h = h() 0.

В терминах меры µh задача (1.2) записывается как u,h W,h, Ae(u,h ) · e() dµh = f,h · dµh C0 ()3.

(2.1) f,h Здесь правая часть взята зависящей от, h, в то время как в (1.2) она была фиксированной.

Предполагается, что последовательность f,h ограничена в L2 (, dµh )3, т.е.

|f,h |2 dµh.

lim sup В интегральном тождестве (2.1) можно взять пробную функцию = u,h и получить энергети ческое равенство Ae(u,h ) · e(u,h ) dµh = f,h · u,h dµh, (2.2) из которого в силу неравенства Корна (1.7) следует, что для структур достаточно толстых и критической толщины u,h e(u,h ) ограничены в L2 (, dµh ). (2.3) Видим, что необходимо изучать последовательности, ограниченные в «переменном» простран стве L2 (, dµh ). Специальный математический аппарат позволяет это сделать: ограниченная по следовательность оказывается компактной в смысле «слабой двухмасштабной сходимости».

Наиболее интересные проблемы обнаруживаются при совместном рассмотрении вектор-функции,h и ее тензора деформации e(u,h ), когда выполнено условие (2.3). В этом случае слабые двух u масштабные пределы последовательностей u,h и e(u,h ) связаны между собой и обладают важ ными для теории усреднения дополнительными свойствами. Указанные вопросы рассматривались в [3, § 16], но были отмечены только такие свойства, которые справедливы при любом h() 0.

УСРЕДНЕНИЕ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В настоящей работе выясняется специфика критического случая для ящичных структур. Зна чительная часть излагаемого материала не связана прямо с уравнениями, а относится к дока зательству особых свойств слабого двухмасштабного предела произвольной последовательности u,h W,h, удовлетворяющей условию ограниченности (2.3).

2.2. Далее мы приводим известные или очевидные факты, связанные с двухмасштабной сходи мостью.

Напомним сначала понятие слабой сходимости в L2 (, dµh ) и свойство среднего значения.

Понятие слабой сходимости. Если последовательность ah ограничена в L2 (, dµh ), то слабая сходимость ah a в L2 (, dµh ) означает, что a L2 (, dµ) ah dµh = и lim a dµ Cper ( ).

h Фиксируем некоторую функцию h(), h() 0 при 0.

Свойство среднего значения. Пусть — ограниченная измеримая по Жордану область и ah a в L2 (, dµh ). Тогда для любой C() x lim (x)ah ( ) dµh = (2.4) (x)a(y) dµ dx.

0 Определение 2.1. Ограниченная в L2 (, dµh ) последовательность v,h (x) слабо двухмасштабно сходится к функции v = v(x, y) L2 (, dx dµ) = L2 ( ), v,h (x) v(x, y), если v,h (x)(x)b(1 x) dµh = lim (2.5) v(x, y)(x)b(y) dx dµ для любых C0 (), b Cper ( ).

Отметим некоторые свойства:

(i) ограниченная в L2 (, dµh ) последовательность компактна в смысле слабой двухмасштабной сходимости;

(ii) полунепрерывность снизу |v,h |2 dµh |v|2 dx dµ.

lim inf (2.6) x Предложение 2.2. Если ch c в L2 (, dµh ), то ch c(y).

Доказательство. Рассмотрим выражение x x ch (x) dµh.

J() = b ch b L2 (, dµh ), Так как cb в то по свойству среднего значения (2.4) получим lim J() = c(y)b(y)(x) dx dµ, что и требовалось.

В определении 2.1 используется достаточно узкий класс пробных функций (x)b(y) (к ним автоматически добавляются и линейные комбинации). Но и его полезно сузить.

Предложение 2.3. Сходимость v,h v имеет место, если соотношение (2.5) выполнено для любых C0 () и любых b Cper ( ), финитных в окрестности ребер структуры F.

62 С. Е. ПАСТУХОВА Несложное доказательство опускается.

Пусть F0 — множество тех точек из F h, которые отстоят на расстоянии меньшем, чем h, одно h h временно от двух или трех плоскостей структуры F. При гомотетическом сжатии F0 переходит h. Из предложения 2.3 получаем: если две ограниченные в L2 (, dµh ) последовательности в F0, h отличаются только на множестве F0,, то они имеют одинаковые слабые двухмасштабные пределы.

Часто требуется расширить класс пробных функций, участвующих в определении 2.1, с сохране нием самой сходимости (2.5) так, чтобы функцию b можно было брать негладкой и зависящей от h.

Для этой цели привлечем понятие сильной сходимости в L2 (, dµh ). Напомним, что ограниченная в L2 (, dµh ) последовательность bh сильно сходится к функции b L2 (, dµ), bh b, если bh g h dµh = bg dµ как только g h L2 (, dµh ).

lim в g h Сильная сходимость складывается из слабой сходимости и соотношения |bh |2 dµh = |b|2 dµ.

lim h Лемма 2.4. Пусть v,h v и bh b в L2 (, dµh ). Тогда для любого C() x v,h (x)bh (x) dµh = lim v(x, y)b(y)(x) dx dµ.

0 Мы подошли к понятию сильной двухмасштабной сходимости u,h u(x, y). По определению, это означает, что u,h (x)z,h (x)dµh = как только z,h lim (2.7) u(x, y)z(x, y) dxdµ z.

Известно, что сильная двухмасштабная сходимость складывается из слабой и соотношения |u,h |2 dµh = |u|2 dx dµ.

lim (2.8) x Предложение 2.5. Если ch c в L2 (, dµh ), то ch c(y).

Пример (естественное продолжение). Дана функция g L2 (, dµ). Продолжим эту функцию h как постоянную в поперечном направлении на каждую h-плиту, а на множестве F0 определим ее 2 (, dµh ), и нетрудно убедиться в том, как сумму таких продолжений. Получается функция gh L что gh g в L2 (, dµh ). Таким образом, в силу предложения 2.5, для естественного продолжения имеем сходимость x g(y).

gh Понятие сильной двухмасштабной сходимости выглядит довольно громоздким, но при опреде ленных условиях его можно упростить.

Лемма 2.6. Пусть v,h (x) v(x, y), и предельная функция v имеет структуру bi L2 (, dµ).

v(x, y) = i (x)bi (y), i C(), (2.9) Тогда x v,h (x) vh x, dµh = 0, lim 0 где vh — естественное продолжение функции v(x, ·).

УСРЕДНЕНИЕ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 3. О ДВУХМАСШТАБНОЙ СХОДИМОСТИ НА ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ЯЩИЧНОЙ СТРУКТУРЕ КРИТИЧЕСКОЙ ТОЛЩИНЫ Здесь мы изучаем произвольную последовательность вектор-функций u,h W,h, удовле 3.1.

творяющую условию ограниченности (2.3). Не ограничивая общности, считаем ее слабо двухмас штабно сходящейся, т.е. u,h (x) u(x, y). Общая теория, справедливая в случае произвольного h() 0, дает некоторые сведения о структуре предельной функции, а именно u,h (x) u(x, y) = u0 (x) + (x, y), (3.1) u0 H0 ()3, 1 L2 (, R1 ) где (см. [3]).

Уточним указанную структуру предельной функции u(x, y) в критическом случае, когда h()/ 0.

При рассмотрении отдельных граней из структуры F в окрестности заданного ребра договоримся специальным образом выбирать на них тройку ортов. Пусть грань имеет ребро, параллельное оси Oyi. Тогда в окрестности будем выбирать на грани тройку ортов (, n, ) такую, что = ei, n — нормаль к в плоскости (которая может иметь два направления), — нормаль к грани d, причем (, n, ) — правая тройка ортов. Очевидно, что производная (g| · )| не зависит от dn выбора вектора n, по которому однозначно определяется вся тройка ортов (, n, ).

Определение 3.1. Вектор v R1 есть элемент подпространства R1, если выполнены условия:

a) v · H 2 () на каждой грани F ;

b) пусть — произвольное ребро в структуре F и по нему сходятся четыре грани s, s = 1,..., 4, с каждой из которых связана правая тройка ортов (, ns, s );

тогда v1 v = ··· = где vs = v|s · s, s = 1,..., 4;

(3.2), n1 n (c) v| = 0 на каждом ребре F.

vs Заметим, что, если функция v удовлетворяет условию (a), то имеют смысл сужения v|,, ns о которых идет речь в пунктах (b) и (c).

Введенное в § 1 подпространство R0 (см. определение 1.3 и последующее замечание) вкладыва ется в R1, при этом условие (3.2) для функции из R0 становится более определенным, а именно:

vs = 0, s = 1,..., 4.

ns В определении 3.1 некоторых пояснений требует условие (b). Среди граней, сходящихся по ребру, есть грани p, q, лежащие в одной плоскости по разные стороны от. Для этих граней выбранные на них орты связаны между собой: np = ±nq, p = ±q, где верхние и нижние индексы соответствуют друг другу.

d(v · ) Условие (3.2) означает совпадение предельных значений производной при подходе к с dn двух сторон на плоскости, если тройка ортов (, n, ) обслуживает обе грани p, q.

Пусть теперь p, q — грани, которые сходятся под прямым углом. Если p = ei, np = ej, p = (1) em, — показатель, определяющий ориентацию вектора, при которой (ei, ej, (1) em ) — правая тройка ортов, обслуживающая грань p, то (ei, em, (1)+1 ej ) — правая тройка ортов, об служивающая грань q (см. рис. 3). Поперечное перемещение v = (v1, v2, v3 ) R1 равно вектору vm (yi, yj )em на грани p и вектору vj (yi, ym )ej на грани q, и условие (3.2) в данном случае означает, что vj vm (yi, 0) + (yi, 0) = 0.

yj ym Теоpема 3.2. В критическом случае для поперечной компоненты из (3.1) выполняется соотношение (x, y) L2 (, R1 ). (3.3) 64 С. Е. ПАСТУХОВА РИС. 3. Взаимно ортогональные грани с общим ребром.

Еще одно свойство из общей теории двухмасштабной сходимости будет уточнено в критиче ском случае, а именно, свойство полунепрерывности снизу выпуклых функционалов от упругих градиентов.

Теоpема 3.3. Пусть в дополнение к (3.1) имеет место слабая двухмасштабная сходимость упругих градиентов e(u,h ) (3.4) p(x, y).

Тогда справедливо неравенство Ae(u,h ) · e(u,h ) dµh lim inf Ap · p + AD() · D() dµ dx, (3.5) где A — тензор упругости, A — его релаксация, определенная в (1.21), а матрица D() задана соотношениями (1.28), (1.29).

Отметим, что общая теория двухмасштабной сходимости дает в предположениях теоремы 3. неравенство (3.5) без второго слагаемого в правой части.

Для изотропного тензора A (см. (1.1)) релаксация A есть тоже изотропный тензор, но с новым набором коэффициентов Ламе, так что (см. § 6.1) kk1 11 (11 + 22 )2, A · = k · + =.

k + k1 12 Поэтому неравенство (3.5) в изотропном случае приводится к виду Ae(u,h ) · e(u,h ) dµh lim inf 2 kk (Tr Di (i ))2 dµ dx, Ap · p dµ dx + kDi (i ) · Di (i ) + (3.6) 3 k + k i= i где матрица Di (i ) определена в (1.26). Выражение, стоящее в квадратной скобке (3.6), можно еще более конкретизировать. Например, для i = 3 оно равно kk |j m 3 |2 + [( 2 + 2 )3 ]2, 3 = · e3, k k + k1 j,m= а в общем случае kk |j m i |2 + [( 2 + m )i ]2, i = · ei, k k + k1 j j,m УСРЕДНЕНИЕ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ где суммирование происходит по всем m, j {1, 2, 3} \ i. Отсюда следует, что интегрируя по частям с учетом условий сопряжения на ребрах структуры F для функции R1, неравенство (3.6) можно привести к виду Ae(u,h ) · e(u,h ) dµh (i i )2 dµ dx, lim inf Ap · p dµ dx + k i= i k(k + 2k1 ) kk 2 k=k+ = i i = (j + m )i,, k + k1 k + k i, j, m — перестановка чисел 1, 2, 3.

3.2. В этом пункте доказывается одна техническая лемма, из которой далее выводится повы шенная гладкость по переменной y для поперечной составляющей (x, y) из (3.1).

Пусть I — квадрат со стороной не больше 1, выделяемый из одной из плоскостей, образующих структуру F, причем безразлично, пересекает он ребра структуры или нет. Для определенности считаем, что квадрат I лежит на горизонтальной плоскости Oy1 y2, причем целиком умещается в [0, 1)2 — ячейке периодичности на плоскости.

Введем 1-периодическую функцию 0 (t), определеную на R1, такую, что на периоде, t t если |t| h, h, 0 (t) = 0, если |t| h, 1 где 0 h. Пусть функции a1 (y ), a2 (y ) C0 (I), y = (y1, y2 ). Продолжим их сначала по периодичности на всю плоскость Oy1 y2 и будем считать их заданными во всем пространстве R3 с ячейкой периодичности — единичным кубом, рассматривая y3 как фиктивную переменную.

Получаем вектор a(y) = a(y ) = (a1 (y ), a2 (y ), 0), заданный во всем пространстве и перпендикулярный всюду на F орту e3.

Изучим величину h x x u,h · a (x) dµh, J() = C0 ().

0 2 Лемма 3.4. Имеет место равенство lim J() = u3 (x, y) divy a(y)(x) dµ(y) dx. (3.7) I Доказательство. Разобьем пространство R3 на полуоткрытые кубы [0, )3 +n, n = (n1, n2, n3 ) — целочисленный вектор, и обозначим отдельный куб через j. Поскольку C0 (), то для изучения величины J() достаточно ограничиться кубами j, целиком содержащимися в области, их число имеет порядок 3. Интегрирование в (3.7) ведется по пластинам Ij + n, где I h = h I [h, h], I h — гомотетическое сжатие.

С функцией (x) C0 () свяжем функцию (x), определенную только на указанных пласти h нах Ij, такую что (x) постоянна в поперечном направлении на каждой пластине и совпадает с (x) на срединной плоскости пластин. Очевидно, что C2.

|(x) (x)| Отсюда следует, что, вычисляя предел (3.7), можем заменить в интеграле J() функцию (x) на функцию (x), поскольку возникающая при этом погрешность имеет порядок O() при 0.

66 С. Е. ПАСТУХОВА Действительно, пусть h x (u,h · a)0 [(x) (x)] dµh, r() = 2 |u,h |dµh = O(), так как |0 | тогда |r()| 1.

ch Заметим, что для вектор-функции v(x) = (v1, v2, v3 ), определенной на пластине I h, справедлива цепочка равенств h h h h2 vi vi y3 vi dy3 = dy3 dy3 = y 2 y3 y h h h h h 1 v (y3 h2 ) ei3 (v)(h2 y3 ) dy3, = dy3 + i = 1, 2, 2 yi h h 1 vi 1 v где использовано сначала интегрирование по частям, а далее формула = ei3 (v).

2 y3 2 yi Отсюда, если g(y) = g(y ), y = (y1, y2 ) из класса C0 (I), то имеем представление 1 v (y3 h2 )g(y ) ei3 (v)g(y )(h2 y3 ) dy.

y3 g(y )vi (y) dy = dy + (3.8) 2 yi Ih Ih Ih Преобразуем первое слагаемое справа. Интегрируя по частям по переменной y и полагая h v 3 (y ) = v3 (y) dy3, 2h h получим 1 1 g g g (h2 y3 )v3 (y) (h2 y3 )v 3 (y ) (h2 y3 )(v3 v 3 ) dy = dy + dy, 2 2 yi yi yi Ih Ih Ih где 1 2 g g g (h2 y3 )v 3 (y ) dy = h3 dy = h v3 v3 dy.

2 3 yi yi yi I Ih Ih Из (3.8) и следующих за ним равенств вытекает представление 1 g y3 vi (y)g(y )dy h2 v3 (y) dy = 3 yi Ih Ih h2 h 2 vi v3 y3 g y = + 1 dy + (v3 v 2 ) g(y) dy.

2 y3 yi h yi h Ih Ih Для вектора v = v(x), заданного на пластине I h, соответствующее равенство получается гомоте тией и имеет вид h x3 x h g x vi (x)g dx v3 (x) dx = 2 yi I h I h 1 h2 vi v3 x x = + 1 g dx+ 2 x3 xi I h УСРЕДНЕНИЕ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 1 h g x x + (v3 (x) v 3 (x1 )) 1 0 dx = T1 + T2.

2 yi I h Оценим стоящие справа слагаемые. Очевидно, что lh |T1 | |e(v)| dx, I h где l = max(|g| + |g|). Для второго слагаемого с помощью неравенства Пуанкаре v |v3 v 3 | dx |e(v)| dx c0 h dx c0 h x Ih I h I h получим аналогичную оценку c0 lh |T2 | |e(v)| dx.

I h Перепишем эти результаты в терминах меры µh. Пусть — характеристическая функция пла стины I h, периодически продолженная на R3. Тогда выполнена оценка c1 lh h x3 x h g x x dµh dµh |e(v)| dµh.

vi (x)g v3 (x) 0 2 yi Теперь вернемся к величине J().

Используем последнюю оценку в каждом кубе j, полагая в ней vi (x) = u,h (x), g(y ) = ai (y ) (y ), i = 1, 2.

i Поскольку в данном случае g x ai x ai x = (x ) + O() = (x) + O(), yi yi yi то 1 h a1 a2 x u,h (x) dµh + r(), J() = + (x) 3 y1 y2 ch2 1 (|u,h | + |e(u,h )| dµh = O().

|r()| Отсюда следует равенство (3.7), и лемма доказана.

Сформулируем аналог леммы 3.4 для квадрата I, лежащего на произвольной координатной плоскости (необязательно горизонтальной), например, заданной уравнением ym = 0. Пусть I h — пластина толщины 2h, в срединной плоскости которой оказывается квадрат I. Координаты yi, yj (i j) — продольные для пластины I h (i, j, m — перестановка чисел 1, 2, 3), = (±em ) — единичная нормаль на I такая, что (ei, ej, ) — правая тройка ортов.

На ячейке определим функцию на I h, ·y (y) = h (3.9) 0 \ I h, на и периодически продолжим ее на R3.

Если I — горизонтально расположенный квадрат, то (y) = 0 (y3 ).

68 С. Е. ПАСТУХОВА Пусть a(y) — периодическая гладкая вектор-функция, перпендикулярная направлению, которая зависит только от продольных координат на пластине I h, и равная нулю в окрестности ее торцов.

Тогда выполнено равенство h x x u,h (x) · a (x) dµh = lim 0 2 2 = u(x, y) · divy a(x) dx dµ(y), C0 (). (3.10) I Например, если квадрат I лежит на координатной плоскости Oy1 y3, то продольные координаты y1, y3, = e2. Пусть вектор a имеет нулевую координату вдоль оси Oy2. Так как (y) = 0 (y2 ), то формула (3.10) в этом случае означает h x1 x3 x u,h · a (x) dµh = lim u2 (x, y) div1,3 a(y1, y3 )(x) dµ(y) dx. (3.11), 0 0 2 I 3.3. Теперь мы в состоянии доказать свойство повышенной гладкости по переменной y для предельной функции u(x, y) из (3.1).

Лемма 3.5. Для произвольного квадрата I, расположенного на какой-то плоскости ящич ной структуры F с нормалью, имеет место свойство u · |I H 2 (I).

Доказательство. 1. Начнем с горизонтально расположенного квадрата I. Возьмем произволь ную функцию (y ) C0 (I) и периодически продолжим ее на все пространство R3 так, что y3 — фиктивная переменная, y = (y1, y2 ). Изучим выражение h eij (u,h )((y )0 (y3 )) (x) dµh, T () = y= x где каждый индекс i, j принимает значение 1 или 2.

После интегрирования по частям получим 1h u,h (y ) + u,h (x) dµh + T () = (y ) 0 (y3 ) i j 2 2 yj yi y= x 1h u,h + u,h dµh.

+ (y )0 (y3 ) i j 2 xj xi y= x В этой сумме из четырех слагаемых первые два имеют тип J(), а последние два — тип J() (см.

(3.7)). По лемме 3. 2 1 lim T () = u3 (x, y) (y ) + (y ) (x) dµ(y) dx = 3 0 yi yj yi yj 2 2 (y ) = u3 (x, y) (3.12) (x) dµ(y) dx.

3 yi yj Изучим величину T () иным способом. Так как |0 | 1, то последовательность h x w (x) = eij (u,h ) ограничена в L2 (, dµh ). Переходя, если потребуется, к подпоследовательности, считаем ее слабо двухмасштабно сходящейся wij (x, y) L2 ( w (x) ).

УСРЕДНЕНИЕ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В частности, x (x) dµh = lim T () = lim w (x) wij (x, y)(y )(x) dµ dx.

0 0 I Сравнивая пределы для T (), полученные двумя способами, получаем, в силу произвольности C0 (), для п.в. x равенство 2 2 (y ) (u0 (x) + 3 (x, y)) wij (x, y)(y )dy = dy, 3 yi yj I I из которого следует, что 2 2 u3 2 2 wij (x, ·) = =, I 3 yi yj I 3 yi yj I где wij (x, ·) L2 (I), i, j = 1, 2. Значит, u3 (x, ·) H 2 (I).

2. Пусть квадрат I — общего положения, тогда для изучения гладкости u(x, y)|I рассмотрим выражение h x x T () = 2 esp (u,h ) (x) dµh, где s, p {i, j}, i, j, (y) — те же, что в (3.9), и esp (u,h ) — какая-то компонента тензора e(u,h ) по продольным координатам, (y) = (yi, yj ) — скалярная функция, у которой те же свойства, что у компонент вектор-функции a(y) из (3.10).

Интегрируя по частям в T () и используя затем соотношение (3.10), приходим к аналогу фор мулы (3.12):

2 (yi yj ) lim T () = (u · ) (x) dµ dx.

0 ys yp I Отсюда так же, как в пункте 1, выводим требуемую гладкость функции u ·, и лемма доказана.

На самом деле по ходу доказательства леммы была установлена важная для дальнейшего схо димость. Выделим этот результат в отдельную лемму. Но предварительно введем необходимые для этого понятия и обозначения.

В L2 -пространстве периодических симметрических 33-матриц с мерой µ, т.е. в L2 (, dµ)6 выде ляется подпространство E(0), называемое множеством градиентов нуля. По опрелелению, матрица z E(0), если найдется последовательность вектор-функций vn Cper ( )3 такая, что L2 (, dµ)3, в L2 (, dµ)6.

vn 0 в e(vn ) z Существует периодическое µ-измеримое подпространство T (y) L2 (, dµ)6 такое, что E(0) = {z L2 (, dµ)6 : z(y) T (y), µ-п.в.}, причем ортогональность здесь можно понимать поточечно (см. [3, § 5]). Элементы пространства T (y) называются тангенциальными матрицами, а само пространство T (y) — тангенциальным.

Известно, что для меры µ, сосредоточенной на ящичной структуре F, тангенциальная матрица z на грани i, лежащей в координатной плоскости yi = 0, имеет нулевые i-й столбец и i-ю строку.

Например, z11 z12 z|3 = z12 z22 0, 0 и, в силу поточечной ортогональности множеств E(0) и T (x), матрица g E(0) имеет на грани следующий вид: 0 0 g g|3 = 0 0 g23.

g13 g23 g 70 С. Е. ПАСТУХОВА Пусть P (y) : L2 (, dµ)6 T (y) (3.13) — ортогональный проектор, переводящий симметрические матрицы в тангенциальные. Например, для грани 3 действие этого оператора на тензор деформации есть тангенциальная матрица e11 (u) e12 (u) P (y)e(u)|3 = e12 (u) e22 (u) 0, 0 0 называемая плоским тензором деформации.

h h h Пусть F0, F0, — множества, введенные в § 2: F0 — объединение всех точек ящичной струк туры F h, принадлежащих одновременно двум или трем h-плитам, F0, — гомотетическое сжатие h F0. Тогда множества F h \ F0, F \ F0, можно представить как объединение не пересекающихся h h h h между собой плит I h или I h соответственно. На каждой из плит I h определены корректно (с точностью до знака) поперечное направление, а также продольные (тангенциальные) направле ния. Договоримся на произвольной такой плите I h, где ei, ej i j, — продольные орты, выбирать нормаль = ±em (i, j, m — перестановки из чисел 1, 2, 3) так, чтобы получалась правая тройка ортов (ei, ej, ). Таким образом, процедура выбора ортов для тонкой пластины I h F h согласу ется с аналогичной процедурой для сингулярной пластины I F (см. объяснения, предваряющие формулу (3.9)).

Для операторнозначной функции P (y), определенной в (3.13), рассмотрим ее естественное про должение (в смысле § 2) на структуру F h. При y F h \ F0 это будет оператор Ph (y), переводящий h 2 (, dµh )6 в тангенциальные (относительно меры µ).

симметрические матрицы z L Рассмотрим матрицу x x e(u,h ), h h если x F \ F0,, Ph,h (u ) = (3.14) h 0, если x F0,, где (y) = h (y) — функция, которая равна нулю на F0, а на каждой плите Is из \F0 определена h h h соотношением (y) = y · s и по периодичности продолжена на все пространство R3.

h Лемма 3.6. Имеет место слабая двухмасштабная сходимость h (u,h ) (3.15) D(), где матрица D() определена равенствами (1.28), (1.29).

3.4. Приступим к выяснению условий сопряжения на ребрах структуры F для функции (x, y) из предела (3.1), а именно, докажем, что (x, y) удовлетворяет условию (3.2).

Достаточно рассмотреть две сходящиеся под прямым углом грани и для них установить со ответствующее равенство. Пусть это будут грани 2, 3, лежащие на координатных плоскостях Oy1 y3, Oy2 y2 и сходящиеся по ребру, направленному по оси Oy1. Выберем на этих гранях правые тройки векторов: (e1, e3, e2 ) на 2, (e1, e2, e3 ) на 3. Условие (3.2) означает в этом случае 3 (y1, 0) 2 (y1, 0) + = 0.

y2 y На кубе =, зададим вектор b(y) равенством 0, y3 (y2 ), 0 0 (y1 ), h y I3, h h b(y) = b (y) = y2 h 0, 0, h (y3 ) 0 (y1 ), y I2, h h 0, y \ (I2 I3 ), УСРЕДНЕНИЕ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ РИС. 4. «Уголок» в пространстве.

11 1 11 h h h h где I3 =, h, [h, h], I2 =, [h, h] h,, «уголок» I3 I2 изображен 22 4 22 11 1 на рис. 4, функции, 0 такие, что 0 C0,, C0 0,, = 0. Ясно, что 22 4 вектор b(y) равен нулю вблизи ребра (если h достаточно мало) и поэтому корректно определен в кубе. Продолжим его периодически на все пространство R3.

Введем выражение h x u,h · b (x) dµh, l() = C0 (), 2 которое, благодаря структуре вектора b, имеет вид h x u,h (x)0 (1 x3 ) (1 x2 )0 (x) dµh + l() = 2 h x u,h (x)0 (1 x2 ) (1 x3 )0 (x) dµh.

+2 Из соотношений (3.7), (3.10) следует равенство l = lim l() = (x)u3 (x, y) (y2 )0 (y1 ) dx dµ(y)+ I + (x)u2 (x, y) (y3 )0 (y1 ) dx dµ(y).

I Пока ничего нового не получено, мы просто сложили соотношения (3.7) и (3.10) для соответству ющих векторов a(y).

С другой стороны, величина l = lim l() может быть изучена другим способом, что приводит к следующему результату.

Предложение 3.7. Рассмотрим величину l как линейный функционал от при фиксирован ном C0 (), 0 C0 0,. Тогда справедливо неравенство 1/ |l|2 ||2 dt, c = c(, 0 ). (3.16) c 72 С. Е. ПАСТУХОВА РИС. 5. «Уголок» на плоскости.

Воспользуемся этим неравенством, предварительно преобразовав интегральное выражение для l(). Учитвая свойства функции (t), получим 1/2 1/ 9 l() = 0 (y1 ) u3 (x1, y1, y2 ) (y2 ) dy2 dy1 + (x) 0 1/4 1/ + 0 (y1 ) u2 (x, y1, y3 ) (y3 ) dy3 dy1 dx;

0 1 здесь мы учли, что dµ|3 = dy1 dy2, dµ|2 = dy1 dy3.

3 Проинтегрируем дважды по частям в обеих круглых скобках l() u3 u 92= 0 (y1 )(0) + (x) dy1 dx+ y2 y 1/ 2 u + 0 (y1 ) 2 (x1, y1, y2 )(y2 ) dy2 + (x) y 0 1/ 2 u2 + 2 (x1, y1, y3 )(y3 ) dy3 dy1 dx = l1 () + l2 ().

y 1/ 1/ ||2 dt В силу леммы 3.5, слагаемое l2 () — непрерывный функционал по норме. Тогда для непрерывности l() необходимо, чтобы l1 () = 0, что, в силу произвольности (x), 0 (y1 ), возможно, если выражение в квадратной скобке слагаемого l1 () равно нулю, и иcкомое условие сопряжения на ребре получено.

Доказательство предложения 3.7. Пусть 1 h h J3 = (y2, y3 ) : h y2, h y3 h, J2 = (y2, y3 ) : h y2 h, h y3, 4 h h P = J2 J3 — «уголок», изображенный на рис. 5.

УСРЕДНЕНИЕ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ Определим на плоскости R2, y = (y2, y3 ), двумерный вектор b (y ), зависящий от y1 как от y параметра. На квадрате, зададим вектор b соотношением 0 (y1 ) y3 (y2 ), 0, h y J3, h y2 h b (y ) = 0 (y1 ) 0, h (y3 ), y J2, 0, y, P, где функции 0 (t), (t) те же, что в определении вектора b(y), и далее продолжим b (y ) на всю плоскость R2 по периодичности.

y В области P рассмотрим плоскую задачу Неймана для уравнения div(e(v)) = b. По определе нию, ее решение — функция v = (v2, v3 );

v = v(y ) такая, что v H 1 (P )2, C (P )2, e(v) · e() dy = b · dy (3.17) P P где e() — упругий градиент по переменным y = (y2, y3 ).

Для разрешимости этой задачи требуется, чтобы вектор b был ортогонален на P всем жестким перемещениям на плоскости, т.е. векторам вида c + t(y2, y1 ), c R2, t R1. Выполнение этого условия ортогональности следует из структуры вектора b. Решение v определено с точностью до жесткого перемещения (ниже мы этим воспользуемся).

Проверим оценку 1/ ||2 dt, lim e(v) · e(v) dy c = c(0 ). (3.18) c h0 h P В тождестве (3.17) возьмем пробную функцию = v. Тогда получим e(v) · e(v) dy = 0 (y1 ) y3 (y2 )v2 (y) dy + y2 (y3 )v3 (y ) dy = 0 (y1 )(T3 + T2 ). (3.19) h h h J3 J Оценим величину T3. Рассмотрим заштрихованный на рис. 5 квадрат Q. Пусть S — правая сторона квадрата. Напомним, что функция (y2 ) равна нулю в Q.

Из (3.18) в результате интегрирования по частям имеем v T3 = y3 dy (0)y3 v2 dy3 = T3 + T3, y S h J 1/2 1/ 1/ 3 e(v) · e(v) dy ||2 dt |T3 | 2h 2, 0 P 1/ 1/ |(0)|h 2 |v2 |2 dy3 c|(0)|h |T3 | e(v) · e(v) dy.

S Q Во второй оценке на последнем шаге использовано неравенство |v2 |2 dy2 e(v) · e(v) dy, ch S Q 74 С. Е. ПАСТУХОВА которое доказывается следующим образом. По теореме о следе |v2 |2 dy2 |v2 |2 dy + h1 |v2 |2 dy.

c h S Q Q Теперь нужно решение v выбрать ортогональным на Q всем жестким перемещениям и воспользо ваться неравенством Корна h2 |v|2 dy + |v|2 dy e(v) · e(v) dy, c Q Q Q где — градиент по переменным y2, y3.

Мы оценили величину T3 из (3.19). Оценивая величину T2 аналогичным способом, получим неравенство 1/ 1/2 1/ 3 c e(v) · e(v) dy h 2 ||2 dt + c1 h2 |(0)|, h e(v) · e(v) dy P P из которого следует искомое неравенство (3.18).

Далее положим на P, e(v) g (y ) = 0 на \ P, и продолжим g (y ) периодически на всю плоскость R2.

y Из матрицы g, имеющей размеры 2 2, добавлением нулевого столбца и нулевой строки делаем матрицу g третьего порядка:

g = 0| g.

0| Матрицу g можно считать заданной в пространстве R3, y = (y1, y ) = (y1, y2, y3 ), причем перио y дической с ячейкой периодичности — единичным кубом, так как g получает зависимость от y1 как от параметра через функцию v. Напомним, что v — решение задачи (3.17), в которой правая часть b зависит от y1 как от параметра. Тогда оценка (3.18) перепишется в виде 1/ 2 h ||2 dt, lim |g| dµ c = c(0 ), (3.20) c h где — трехмерная ячейка периодичности. Здесь мы учли то, что supp g F h по построению матрицы g.

Двумерный вектор b и трехмерный вектор b = bh связаны соотношением b = (0, b ), поэтому из тождества (3.17) получаем x x bh C0 ()3.


· e((x)) dx = · (x) dx, g x x и bh сосредоточены на структуре F, то вместо dx можно взять dµh, т.е.

h Поскольку g x x · e((x)) dµh = bh · (x) dµh, C0 ()3.

g УСРЕДНЕНИЕ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ Полагая в этом тождестве = (x)u,h (x), где C0 (), получим 1 x g · e(u,h ) dµh = u,h (x) · bh (x) dµh = l().

h e(u,h )6 ограничена в L2 (, dµh ), и по неравенству Коши—Буняковского Последовательность 2 h x |l()|2 dµh, c = c().

c g (их число имеет порядок O(3 )). Тогда Покроем область кубами j 2 x x dµh dµh = 3 |g(y)|2 dµh |g|2 dµh.

2|| g g j Отсюда и из (3.20) следует искомое неравенство (3.16).

3.5. Займемся проверкой условия закрепления на ребрах. Будем опираться на следующую тео рему из теории двухмасштабной сходимости. В ней речь идет о скалярных функциях.

Теоpема 3.8. Пусть h() 0 — произвольно, и последовательность гладких скалярных функций такова, что 2 |v,h |2 dµh + |v,h |2 dµh c1. (3.21) Тогда (с точностью до выделения подпоследовательности) 2 v,h (x) v,h (x) v(x, ·) Hper (, dµ) для п.в. x, y v(x, y), (3.22) v(x, y), где Hper (, dµ) — соболевское пространство периодических функций.

Более подробно эта теорема обсуждается в § 6.

Для применения теоремы 3.8 нужна оценка вида (3.21) для каждой компоненты вектора u,h.

Такая оценка получается из следующего неравенства типа неравенства Корна (см. [7, 8]) для ящичных структур:

|u|2 dµh [e(u) · e(u) + u · u] dµh, u C0 ()3, (3.23) h c где c — абсолютная константа.

В критическом случае неравенство (3.23) обеспечивает оценку вида (3.21) для каждой компо ненты u,h.

По теореме 3.8 каждая компонента вектора принадлежит (для п.в. x ) соболевскому про странству Hper (, dµ). Поэтому определено сужение i | любой компоненты i для любого ребра F, i = 1, 2, 3. При этом сужение i | можно получить, «спускаясь» с двух взаимно перпен дикулярных граней, пересекающихся по, на одной из которых i — нулевая. Таким образом, для функции доказано условие закрепления на ребрах структуры F. В предыдущих рассуждени ях, ссылаясь на равенство двух сужений (с разных граней), мы воспользовались утверждением о структуре соболевского пространства H 1 (, dµ) для меры µ, определенной в § 1 для ящичного каркаса F. Эта структура описана в следующем предложении, которое доказывается так же, как аналогичное утверждение для стержневых каркасов в [3, § 4].

Предложение 3.9. Скалярная функция u H 1 (, dµ) в том и только в том случае, когда для каждой грани и для каждого ребра из ящичной структуры F выполнены следующие условия:

(i) u H 1 (), где H 1 () — обычное соболевское пространство с плоской мерой Лебега;

(ii) если i, i J, — грани, сходящиеся по ребру, то след функции u|i на ребро, т.е.

(u|i ), не зависит от i J.

76 С. Е. ПАСТУХОВА 3.6. Цель этого пункта — доказать теорему 3.3. Но сначала приведем один результат о тензоре релаксации.

Замечание о тензоре релаксации. В пространстве симметрических 3 3-матриц определим под пространство E(y) = { = {sp } : sp = 0 для s, p {1, 2, 3} \ i}, если y i, i = 1, 2, 3, и ортогональное к нему дополнение E (y) = { = {sp } : sp = 0, если s = i либо p = i}, y i, i = 1, 2, 3.

Тензор релаксации A = A(y) для исходного тензора упругости A, согласно (1.21), можно задать формулой A(y) · = min A( + ) · ( + ). (3.24) E(y) Тензор A как оператор, действующий на симметрических матрицах, имеет Im A = E (y);

Ker A = E(y), (3.25) при этом A|E (y) — симметрический невырожденный оператор.

В соответствии с общим принципом двойственности (см. в [гл. XIII, § 1]3), используя сопря женные по Юнгу—Фенхелю функции, получаем A · = min (A z · z 2z · ), zE (y) (3.26) A · = max (2z · A1 z · z).

zE (y) Введем ортогональный проектор P (y) : R6 E (y). Рассмотрим вариационную задачу (3.26) для E (y) (если E(y), то A · = 0, согласно (3.25)). В ней можно перейти к максимуму по всему пространству симметрических матриц R6, а именно:

A · = max(2z · A1 P z · P z) = max(2 · z (P A1 P )z · z), (3.27) zR6 zR что, по определению сопряженной функции, коротко можно записать в виде соотношения A = (P A1 P ) = (P A1 P )1. (3.28) Здесь оператор P A1 P рассматривается как невырожденный в пространстве матриц E (y), которое можно ассоциировать (через вычеркивание нулевого столбца и нулевой строки) с пространством всех симметрических 2 2-матриц, и именно в этом смысле берется его обращение в (3.28).

Доказательство теоремы 3.3. По неравенству Юнга Ae(u,h ) · e(u,h ) dµh e(u,h (x)) · z(x) dµh A1 z(x) · z(x) dµh 2 (3.29) L2 (, dµh )6.

для любой симметрической матрицы z Возьмем h (y)Ph (y)1 (x, y), y = 1 x, z(x) = 0 (x, y) где (y), Ph (y) — скалярная функция и проектор, те же, что в (3.14), 0, 1 — пробные матричные функции с компонентами вида i (x)bi (y), i C0 (), bi Cper ( ).

Предел первого слагаемого справа в (3.29) находим с использованием слабой двухмасштабной сходимости (3.4) и (3.15). В результате e(u,h ) · z dµh = lim p · 0 + D() · P 1 dx dµ.

УСРЕДНЕНИЕ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ Учитывая конкретный вид матрицы z, имеем h A1 z · z dµh = lim A1 0 · 0 dµh 2 lim A1 0 · [(y)Ph (y)1 (x, y)] dµh + lim y= x 0 0 0 h A1 Ph 1 · Ph 1 2 dµh = T1 + T2 + T3.

+ lim 0 Величину T1 находим по свойству среднего значения:

A1 0 · 0 dx dµ.

T1 = Для вычисления величин T2 и T3 воспользуемся следующим утверждением.

Предложение 3.10. Пусть = h (y) — функция та же, что в (3.14). Тогда при x 0, (3.30) x (3.31).

Для доказательства нужно убедиться в том, что h 0, ( h )2 в L2 (, dµh ), и воспользо ваться предложением 2.2.

Из (3.30) следует, что T2 = 0, так как A1 0 ·Ph 1 можно рассматривать как пробную функцию при двухмасштабной сходимости.

Аналогично из (3.31) получаем A1 P 1 · P 1 dx dµ.

T3 = В результате всех вычислений получаем неравенство Ae(u,h ) · e(u,h ) dµh [2p · 0 A1 0 · 0 ] dx dµ+ lim inf [2D() · P 1 A1 P 1 · P 1 ] dx dµ.

+ Возьмем в нем супремум по 0 и 1 ;

тогда, учитывая формулы (3.27), (3.28), получим искомое неравенство (3.5). Теорема 3.3 доказана.

4. ЛЕММЫ О ПРОДОЛЖЕНИИ 4.1. Полезно выявить плотное множество в пространстве R1 (см. определение 3.1), из элемен тов которого будем конструировать пробные функции для специального предельного перехода в интегральном тождестве (2.1). Далее узлами структуры F будем называть точки пересечения ее ребер.

Определение 4.1. Скажем, что вектор g R1 принадлежит множеству D, если (i) supp g не содержит узлы структуры F ;

(ii) g бесконечно дифференцируема вне некоторой окрестности ребер;

(iii) в некоторой цилиндрической окрестности каждого ребра =, сужение g| имеет структуру g(y) = C(yi )i (y), (4.1) 78 С. Е. ПАСТУХОВА где yi — продольные координаты на ребре, i (y) — i-й вектор-столбец матрицы 0 y3 y d = y3 y1, y2 y1 C(yi ) — гладкая функция.

Отметим, что i — жесткое перемещение в R3, т.е. e(i ) = 0, i = 1, 2, 3. Подробнее условие (4.1) означает, что на любой из четырех сходящихся по ребру граней j, j = 1,..., 4, нормаль к которой j, выполнено равенство g · j = C(yi )i (y) · j с одной и той же для всех j = 1,..., 4 функцией C(yi ), заданной на ребре. Очевидно, что C в окрестности узлов, что следует из условия (i) определения 4.1.

Определение 4.2. Скажем, что g R0 принадлежит множеству D0, если (i) supp g не пересекается с ребрами структуры F ;

(ii) g бесконечно дифференцируема.

Ясно, что D0 D.

Пусть = (0, 1)2, H 2 () — замыкание по норме H 2 () множества гладких функций из C ( ), равных нулю на границе.

Предложение 4.3. В H 2 () плотно множество функций, равных нулю в окрестности вер шин квадрата.

Доказательство. 1. В круге единичного радиуса B = {z R2 : |z| 1} выделим одну из его четвертей — сектор Q = {z B : z1 0, z2 0}.

В границу сектора Q входят лежащие на осях Oz1, Oz2 единичные отрезки I1, I2. Имеет место следующее неравенство типа неравенства Фридрихса:

2 2u 2 u(z) C (Q), (|u| + u ) dz u|I1 I2 = 0. (4.2) C dz, zi zj Q i,j= Q Это неравенство доказывается методом от противного.

2. Пусть Bh = hB — круг радиуса h, его четверть Qh = hQ — сектор, граница которого вклю чает отрезки hI1, hI2. С помощью гомотетии из неравенства (4.2) выводим аналогичное ему нера венство для сектора Qh 2 2u 2 2 2 u(x) C (Qh ), (h |u| + u ) dz u|hI1 hI2 = 0. (4.3) Ch dx, xi xj i,j= Qh Qh 3. Пусть (z) C0 (B),. Положим h = h (x) = (h1 x).

1, (z) = 1 при |z| Для функции u C ( ), u| = 0, рассматривая последовательно h u, (h u), (h u), xi xi xj выводим, благодаря оценке (4.3), следующее неравенство:

(|h u|2 + |(h u)|2 + |(h u)|2 ) dx |u|2 dx, C Qh Qh где константа C1 зависит лишь от функции (z) и константы C из (4.2). Отсюда следует, что h u H 2 (), если h достаточно мало. Тогда (1 h )u 0 в окрестности вершины (0, 0);

при УСРЕДНЕНИЕ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ РИС. 6. Тройка ортов на грани s.

этом u (1 h )u H 2 (). Аналогичную срезку с достаточно малым изменением H 2 -нормы можно сделать в окрестности других трех вершин квадрата. Предложение 4.3 доказано.

Предложение 4.4. Множество D плотно в пространстве R1.

Доказательство. Используя разбиение единицы, видим, что, в силу предложения 4.3, изучения требуют фунции g R1 такие, что их носитель в пределах ячейки периодичности пересекает ровно одно ребро.

Итак, пусть g R1, supp g, =,, пересекает лишь ребро, на котором yi — продольная координата. Покажем возможноть аппроксимирования g функцией из множества D с любой степенью точности по H 2 -норме.

На каждой из четырех граней s, сходящихся по ребру, выберем тройку ортов (s, ns, s ) по тому же принципу, что в § 3.1, т.е., если s лежит на координатной плоскости ym = 0, то s = ei, ns = ej, s = ±em, где i, j, m — перестановка чисел 1, 2, 3, и выбор знака в равенстве для s диктуется требованием: (s, ns, s ) — правая тройка ортов (см. рис. 6). Тогда yi, yj, j = j(s), — продольные координаты на s, и, по условию g R1, скалярные функции g|s · s = gs (yi, yj ), определенные на гранях s, имеют следующие свойства:


gs gs H 2 (s ), gs | = 0, = C(yi ), (4.4) yj где C(yi ) — одна и та же функция для всех четырех значений s. Тогда функцию gs (yi, yj ) C(yi )yj можно аппроксимировать по H 2 -норме фунциями, финитными около ребра. В результате сами функции gs (yi, yj ) будут аппроксимированы функциями gs (yi, yj ), линейными по переменной yj около ребра. Остается задать вектор g (y) равенством g (y) · s = gs.

В силу выбора функций gs на каждой грани s, в некоторой окрестности ребра выполнено соотношение g (y) · s = C(yi )yj.

(4.5) Кроме того, i (y) · s = yj, (4.6) что проверяется непосредственно для всех столбцов матрицы d и соответствующих граней s.

Например, для граней 3, 2, сходящихся по ребру, лежащему на оси Oy1 (см. рис. 7), (4.6) означает, что 1 (y) · e3 = y2, 1 (y) · (e2 ) = y3.

Из (4.5), (4.6) следует, что g (y) · s = C(yi )i (y) · s, т.е. равенство (4.1) выполнено.

Функцию C(yi ) из (4.1), если она негладкая, можно заменить ее сглаживанием по переменной yi с финитным ядром, что не скажется на других свойствах аппроксимации.

80 С. Е. ПАСТУХОВА РИС. 7. Орты на гранях 3 и 2.

РИС. 8. Область G0.

4.2. Введем одну вспомогательную функцию v0 (z2, z3 ).

Пусть G0 — плоская область, изображенная на рис. 8, G0 — это восьмиугольник, «натянутый»

на «крест», составленный из полос [3, 3] [1, 1] и [1, 1] [3, 3] на плоскости Oz2 z3. На выделенных сторонах восьмиугольника заданы линейные функции, указанные на рисунке. Пусть l(z) C(G0 ), l(z) кусочно-линейна на сторонах восьмиугольника с заданными значениями на выделенных сторонах. Рассмотрим функцию v0 (y2, y3 ) — обобщенное решение следующей задачи Дирихле:

v0 = 0 в G0, v0 |G0 = l(z).

Для решения этой задачи имеется оценка |v0 |2 dz C0.

G y Пусть v h (y) = h2 v0, тогда v h (y) задана в области Gh = hG0, где Gh — восьмиугольник, «на h тянутый» на «крест», составленный из полос [3h, 3h] [h, h] и [h, h] [3h, 3h] (см. рис. 9).

На выделенных сторонах восьмиугольника Gh значения v h (y) указаны, и они совпадают со значе ниями функций y2 y3 или y2 y3, так что функция v h «сшивает» эти две функции (заданные одна на вертикальной полосе (h, h) (, ), другая — на горизонтальной полосе (, ) (h, h)) в окрестности начала координат на восьмиугольнике Gh. При этом выполняется оценка |y v h (y)|2 + |v h |2 dy C0 h4.

Gh 4.3. В этом пункте рассматривается изотропный тензор упругости A. Далее для матрицы M, определенной на структуре F, Mh — естественное продолжение ее на структуру F h (поэлементное).

|r(y)|dµh = O(hk ) при h 0 в обычном Символом O(hk ) обозначаем слагаемые r(y) такие, что смысле.

УСРЕДНЕНИЕ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ РИС. 9. Восьмиугольник Gh, «сшивающий» две полосы.

Лемма 4.5. Для любого вектора g D0, g(y) = a(y )e3, y = (y1, y2 ), существует его перио дическое продолжение на структуру F h такое, что (i) kk Ae(g h ) = h0 (y3 ) kD3 (a) + (3 a)E (3) + O(h2 ), (4.7) k + k1 h где функция 0 (t) та же, что в лемме 3.4, 2 1 a 1 2 a E (3) (a) = 0 1 0, D3 (a) = 1 2 a 2 a 0, 0 0 2 3 a = Tr D3 (a) = (1 + 2 )a, i = ;

yi (ii) g h g L2 (, dµh ).

в (4.8) Доказательство. Из определения множества D0 следует, что в нашем случае g = (0, 0, a(y )), a(y ) C0 (I), I — некоторый квадрат, лежащий на координатной плоскости y3 = 0 и не пересека ющий ребра структуры F. Построим продолжение g h на плиту I h = I [h, h] по формуле y g h (y) = y3 1 a, y3 2 a, a + c (4.9), где функцию c, финитную в I, еще предстоит найти, и далее по периодичности определим g h во всем R3.

Непосредственные вычисления дают в I h y3 1 a y3 1 2 a O(h2 ) e(g h ) = y3 1 2 a y3 2 a O(h2 ) ;

(4.10) O(h2 ) O(h2 ) Cy значит, если A — изотропный тензор вида (1.1), то матрица тензора напряжений имеет вид O(h2 ) ke11 + k1 eii ke i O(h2 ) ke22 + k1 eii s = Ae(g h ) = ke(g h ) + k1 Tr e(g h )E = ke12, (4.11) i O(h2 ) O(h2 ) ke33 + k1 eii i (g h ).

где eij = eij 82 С. Е. ПАСТУХОВА Сначала подходящим выбором функции c добьемся того, чтобы у матрицы s элемент s33 был нулевым, т.е. обеспечим равенство eii = y3 ((k + k1 )c k1 (1 + a2 )a).

0 = s33 = ke33 + k1 i Тем самым, функция c определена однозначно сотношением k1 k ( 2 + 2 )a = c = c(y1, y2 ) = 3 a. (4.12) k + k1 1 k + k Теперь можно найти другие диагональные элементы:

k1 kk 2 s11 = ke11 + k1 eii = y3 k1 a + k1 3 a 3 a = y3 k1 a + 3 a, k + k1 k + k i и аналогично kk s22 = y3 k2 a + 3 a.

k + k Находим, согласно (4.10), (4.11), внедиагональные элементы матрицы s:

sij = O(h2 ) в других случаях.

sij = ky3 i j a, если i, j {1, 2}, Полученные представления для всех элементов матрицы s позволяют заключить, что соотношение (4.7), действительно, имеет место для вектора g h, определенного формулами (4.9), (4.12).

Сходимость (4.8) следует непосредственно из определения (4.9), а также из свойств естествен ного продолжения (см. конец § 2). Лемма 4.5 доказана.

В лемме 4.5 рассмотрен случай, когда вектор g D0 имеет носитель на горизонтальных гранях структуры F. Рассмотрим общую ситуацию, когда вектор g D0 таков, что g(y) = a(y ), = ±ei, supp a {yi = 0}, y = (yj, ym ), (4.13) j m;

при этом (ej, em, ) — правая тройка ортов (что обеспечивается нужным знаком в равенстве для в (4.13)). Тогда для вектора g существует периодическое продолжение g h (y) на структуру F h такое, что имеет место сходимость (4.8), и выполняется равенство (аналог (4.7)) kk Ae(g h ) = h(y) kDi (a) + i aE (i) + O(h2 ), (4.14) k + k1 h где (y) та же, что и в (3.9), Di (a) — 3 3-матрица, определенная в (1.29), i a = Tr Di (a), E (i) получается из единичной 3 3-матрицы заменой i-го диагонального элемента на нуль.

Зададим продолжение g h для случаев i = 1, 2 в (4.13), т.е. с граней 1 {y1 = 0} и 2 {y2 = 0} h h на соответствующие плиты 1 и 2 толщины 2h, лежащие в ячейке периодичности =, :

для грани y 2 k g h = a(y2, y3 ) + 1 1 a, y1 2 a, y1 3 a 2 k + k и для грани y 2 k g h = y2 1 a(y1, y3 ), a(y1, y3 ) + 2 2 a, y2 3 a. (4.15) 2 k + k Теперь приведем лемму о продолжении для произвольного вектора g = (g1, g2, g3 ) D такого, что supp g, пересекая ребра структуры F, оказывается на двух координатных плоскостях.

Определим для него матрицы D(g), E (0). Заметим, что F h, =,, есть объединение трех плит толщины 2h, т.е. F h = 1 2 3. Плита 3 изображена на рис. 2, а другие плиты h h h h h i строятся аналогично по квадратам i, лежащим в координатных плоскостях yi = 0. Пусть D(g), E (0) — нулевые в точках, принадлежащих хотя бы двум плитам i (т.е. множеству F0 ), а h h h при y i E (0) (y) = E (i).

D(g)(y) = Di (gi (y)), УСРЕДНЕНИЕ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ РИС. 10. Окрестность ребра на структурах F и F h.

Правые части в последних равенствах — это те же матрицы, что в (4.14).

Лемма 4.6. В изотропном случае для вектора g D существует его продолжение g h на структуру F h такое, что (i) kk Ae(g h ) = h(y) kD(g) + Tr D(g)E (0) + O(h2 ) (4.16) k + k1 h (ii) g h g в L2 (, dµh )3. (4.17) Доказательство. После того, как доказана лемма 4.5, достаточно рассмотреть вектор g D \D с носителем supp g из малой цилиндрической окрестности ребра и продолжить g непосред ственно около ребра так, чтобы соотношения (4.16), (4.17) остались в силе.

Пусть, например, ребро лежит на оси Oy1 и по ребру пересекает две квадратные грани 2, 3 (см. рис. 10(a)), лежащие на координатных плоскостях. Поэтому в некотором цилиндре Q с осью, сечение которого — круг радиуса, вектор g задается формулой (4.1), где i = 1.

h h Определим продолжение на плитах 3 и 2 (см. рис. 10(b)) в точках y, удаленных от ребра не менее, чем на 3h, 3h, с помощью формул (4.9), (4.15) соответственно. Тогда на этом множестве справедлива формула (4.16), а для y Q \ Q3h продолжение задается соотношениями k2 g h (y) = h y2 y3 C (y1 ), C(y1 )y3, C(y1 )y2 + y y2 C (y1 ), y 3, k2 g h (y) = h y2 y3 C (y1 ), C(y1 )y3 y y3 C (y1 ), C(y1 )y2, y 2, k где k2 =, т.е.

k + k k2 g h (y) = C(y1 )1 (y) + y2 y3 C, 0, h y 3, y y2 C, (4.18) k2 g h (y) = C(y1 )1 (y) + y2 y3 C, h y y3 C, 0, y 2, и видим несовпадение правых слагаемых. Поэтому в цилиндре Q3h устроим продолжение g h таким образом, чтобы «срастить» соответствующие компоненты этих векторов. Положим в Q3h g h (y) = C(y1 )1 (y) + (v1 (y), v2 (y)), v3 (y), h h h (4.19) где, например, v1 (y) = C (y1 )v h (y), v h (y) — функция, построенная в п. 4.2, так что v1 (y) сращивает h h h несовпадающие первые компоненты y2 y3 C, y2 y3 C из второго слагаемого в (4.10). Функции v2 (y), v3 (y) в (4.19) строятся аналогично. Учтем оценку для «сшивающей» функции v h (y) из п. 4.2, а h также то, что 1 (y) — жесткое перемещение. Тогда получим соотношения e(g h ) = e(C(y1 )1 ) + O(h2 ) = (C 1 + 1 C) + O(h2 ), 84 С. Е. ПАСТУХОВА |e(g h )| dµh |C 1 | dµh + O(h2 ) dµh + O(h2 ) = O(h2 ).

3h Q3h Q3h Q3h Тем самым, мы показали, что для построенного продолжения g h вклад g h |Q3h в тензор напряжений Ae(g h ) несущественный, т.е. его можно включить в слагаемое O(h2 ) в (4.16). Точно так же можно объяснить, что второе слагаемое в сумме (4.19) несущественно для сходимости (4.17). Лемма 4. доказана.

4.4. Пусть A — тензор упругости общего вида, A = A(y) — его релаксация (см. §§ 1, 3), D(y) — матрица, определенная в (1.28), (1.29).

Лемма 4.7. Для любого вектора g D существует его продолжение g h на структуру F h такое, что (i) s = Ae(g h ) = h(y)[A(y)D(g)]h + O(h2 );

(4.20) (ii) g h g в L2 (, dµh )3.

Доказательство. 1. Пусть g D0, и для определенности предположим, что g = (0, 0, a(y )), y = (y1, y2 ), supp a, лежит в квадрате 3 на плоскости y3 = 0.

h Положим на плите 3 (см. рис. 2) b1 2 b2 2 b g h (y) = y3 1 a + y3, y3 2 a + y3, a + y3, 2 2 и вектор b = b(y ), b = (b1, b2, b3 )T, подберем так, чтобы выполнялось (4.20). Вычисления дают 2 b 1 a 1 2 a 1 2 a 2 a b2 + O(h2 ).

h e(g ) = y3 (4.21) b1 b2 b Запишем тензоры деформаций и напряжений в виде вектор-столбцов e = (e11, e22, e12, e13, e23, e33 )T, s = (s11, s22, s12, s13, s23, s33 )T, а действие тензора A будем задавать матрицей размера 6 6 (обозначая ее тем же символом) A11 A12... A A12 A22... A A=...

.

...

...

...

A16 A26... A Тогда формула (4.20) означает, в силу (4.21), что (s11,..., s33 )T = A(e11,..., e33 )T + O(h2 ), (4.22) где 2 s13 A41 A42 A43 1 a A44 A45 A46 b s23 = y3 A51 A52 A53 2 a A54 A55 A56 b2 + O(h2 ) = s= s33 A61 A62 A63 A64 A65 A66 b 1 2 a a = (1 a, 2 a, 1 2 a)T, 2 = y3 (AII,I a AII,II b), (4.23) AII,I, AII,II — блоки размера 3 3 в матрице AI,I AI,II A= ;

AII,I AII,II при этом s = (0, 0, 0)T.

(4.24) УСРЕДНЕНИЕ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ Отсюда получаем b = A1 AII,I a.

II,II В таком случае, в соотвествиии с (4.22), (4.21), (s11, s22, s12 )T y3 (AI,I a AI,II b) = y3 (AI,I AI,II A1 AII,I ).

(4.25) a II,II Возвратимся к матричной записи тензоров деформаций и напряжений. Тогда соотношения (4.22)–(4.25) означают, что Ae(g h ) = y3 A3 D3 (a) + O(h2 ), если использовать формулы (1.24), (1.27) для тензора релаксации A(y) и матрицу вторых произ водных D(g)(y) при y 3. Соотношение (4.20) в рассматриваемой ситуации получено.

2. Для вектора g D \ D0 с носителем, пересекающим ребро, строим продолжение g h в непосредственной близости от так же, как при доказательстве леммы 4.6, где мы никак не использовали изотропность тензора A.

5. ВЫВОД УСРЕДНЕННОГО УРАВНЕНИЯ Рассморим задачу (2.1), обобщенный вариант задачи (1.2), и установим для нее теорему усред нения. Предварительно введем более широкое, чем V, энергетическое пространство V, а также определим общую усредненную задачу.

Определение 5.1. Пусть V — множество вектор-функций вида u(x, y) = u0 (x) + (x, y), u0 H0 ()3, L2 (, R1 ).

Скажем, что u V есть решение общей усредненной задачи, если для u выполнено интегральное тождество (1.27) для любого = 0 (x) + (x, y) V.

Теоpема 5.2. Пусть u,h — решение задачи (2.1), причем последовательность правых частей f,hслабо двухмасштабно сходится, т.е.

f,h (x) f (x, y). (5.1) Тогда имеет место слабая двухмасштабная сходимость (3.1), и предельная функция u есть решение общей усредненной задачи.

Если сходимость правых частей является сильной двухмасштабной, f,h (x) f (x, y), то сходимость решений становится также сильной двухмасштабной. При этом имеет место сходимость упругих энергий 2 Ae(u,h ) · e(u,h ) dµh = Ae(u0 ) · e(u0 ) dx + lim AD() · D() dx dµ.

Доказательство. Сначала используем методы работы [3]. Так же, как в [3], можно доказать, что (с точностью до выделения подпоследовательности) e(u,h ) e(u0 ) + v, (5.2) v L2 (, Vpot ), A[e(u0 ) + v] L2 (, Vsol ). (5.3) Здесь Vpot = Vpot (, dµ) — пространство периодических потенциальных матриц, определяемое как замыкание множества {e(), Cper ( )3 } в L2 (, dµ)6, а Vsol = Vsol (, dµ) — пространство соле в L2 (, dµ)6. Кроме того, можно доказать соотношение ноидальных матриц, Vsol = (Vpot ) u0 H0 ()3, divAhom e(u0 ) = f, (5.4) совпадающее с (1.11) в том случае, когда f не зависит от y. Оно получено некоторым предельным переходом в интегральном тождестве (2.1). Теперь необходимо сделать специальный предельный переход в этом тождестве с учетом особенностей критического случая.

86 С. Е. ПАСТУХОВА В интегральном тождестве (2.1) возьмем пробную функцию x (x) = w(x)g h ( ), (), g h (y) — продолжение вектора g(y) D на F h, рассмотренное в лемме 4.7. Тогда где w C получим 1 Ae(u,h ) · ey (g h )w dµh + Ae(u,h ) · (g h w) dµh = f · g h w dµh. (5.5) Здесь при вычислении e() воспользовались равенством e(wg h ) = 1 wey (g h ) + [g h w + w g h ].

Предел правой части в (5.5) вычисляется просто. Действительно, из пункта (ii) леммы 4.7 и x предложения 2.5 следует сильная сходимость g h g(y), которая вместе со слабой сходимо стью (5.1) приводит к равенству f,h · g h w dµh = lim f · gw dx dµ.

Найдем предел первого слагаемого в левой части (5.5). Из (4.20) получаем (см. также (3.14)) 1 1 h Ae(u,h ) · ey (g h )w dµh = e(u,h ) · Aey (g h )w dµh = (u,h ) · AD(g)w dµh + O().

T1 () = Слабая сходимость (3.15) и сильная сходимость [AD(g)]h AD(g) позволяют заключить, что 2 lim T1 () = AD() · D(g)w dx dµ = AD() · D(gw) dx dµ.

3 Рассмотрим второе слагаемое в левой части (5.5). Из сильной двухмасштабной сходимости x gh g(y) и слабой двухмасштабной сходимости (5.2) следует, что A[e(u0 (x)) + v(x, y)] · [g(y) w] dx dµ.

lim T2 () = Поскольку периодическая матрица A[e(u0 (x)) + v(x, ·)] соленоидальна (см. (5.3)), то она пото чечно ортогональна матрице g(·) w(x) (см. [3, лемма 5.3]). Это означает, что lim T2 () = 0.

Итак, установлено тождество 2 AD() · D() dx dµ = f · dx dµ, (5.6) где (x, y) = w(x)g(y), g D. Отсюда заключаем (в силу предложения 4.4), что это тождество выполнено для любого L2 (, R1 ).

Рассмотрим произвольный элемент энергетического пространства V (x, y) = 0 (x) + (x, y), 0 H0 ()3, L2 (, R1 ).

Из (5.4) заключаем, что Ahom e(u0 ) · e(0 ) dx = f · 0 dx dµ.

Если теперь сложить это тождество с тождеством (5.6), то получим, что u есть решение об щей усредненной задачи (см. определение 4.1). Этим исчерпан случай слабой сходимости правых частей.

УСРЕДНЕНИЕ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ Изучим случай сильной сходимости f,h (x) f (x, y). Для этого рассмотрим второй экземпляр задачи (2.1), в котором решение обозначено через v,h, а правая часть — через z,h, т.е.

v,h W,h, Ae(v,h ) · e() dµh = z,h · dµh C0 ()3.

u,h, v,h, Полагая здесь = а в (2.1) = получим формулу Грина—Бетти u,h · z,h dµh = v,h · f,h dµh.

Считаем, что z,h z. Тогда получим второе усредненное уравнение для функции v(x, y) = v 0 (x)+ (x, y), являющейся двухмасштабным пределом последовательности v,h. Запишем это уравнение с пробной функцией u(x, y) = u0 (x) + (x, y):

2 Ae(v 0 ) · e(u0 ) dx + AD() · D() dx dµ = z · u dx dµ.

Видим, что его левая часть такая же, как у тождества (1.27) с пробной функцией v(x, y), поэтому z · u dx dµ = f · v dx dµ. (5.7) Тогда u,h · z,h dµh = lim v · f dx dµ = u · z dx dµ. (5.8) Здесь мы воспользовались сильной сходимостью f,h f (см. (2.7)), слабой сходимостью v,h v и равенством (5.7). Поскольку z,h — произвольная слабо двухмасштабно сходящаяся по следовательность, то равенство (5.8) дает искомую сильную двухмасштабную сходимость u u (см. (2.7)).

Сходимость энергий устанавливается теперь совсем просто. Из (2.2) имеем Ae(u,h ) · e(u,h ) dµh = lim f · u dx dµ.

Сравнивая это равенство с энергетическим равенством (1.30), получим искомую сходимость упру гих энергий. Теорема 5.2 доказана.

Теперь обратимся к исходной задаче (1.2) с гладкой правой частью f. Компонента u0 является решением эллиптической задачи (1.11), и поэтому u0 C()3.

Решение задачи (5.6) (x, ·) как функция аргумента y есть минимизант вариационной задачи на отыскание минимума 2 min (AD(g) · D(g) 2g · c) dµ(y), c = f (x). (5.9) R Поскольку структура F инвариантна относительно поворота на 180 вокруг оси, проходящей через любое ребро, а вектор c — постоянный по y, то функция (x, ·) обладает некоторыми свойствами четности по переменной y, а именно, (y1, y2, y3 ) = (y1, y2, y3 ) = (y1, y2, y3 ) = (y1, y2, y3 ) для любого y,. Поэтому условие (3.2) для этой функции приобретает более конкретный вид: соответствующие производные на ребрах — все нулевые. Значит, минимизант (x, ·) R 88 С. Е. ПАСТУХОВА задачи (5.9) есть, на самом деле, элемент более узкого пространcтва R1, поэтому (x, ·) является одновременно минимизантом вариационной задачи на отыскание минимума 2 min (AD(g) · D(g) 2g · c) dµ(y), c = f (x).

R Но последняя вариационная задача распадается на три отдельные задачи (1.25) на гранях i. От сюда делаем выводы: во-первых, функция (x, y) может быть представлена в виде суммы типа (2.9);

во-вторых, для решений задачи (1.2) имеет место сходимость (3.1) к предельной функции u(x, y) V, удовлетворяющей интегральному тождеству (1.27) ((1.18) в случае, когда A — изотроп ный тензор), причем сходимость (3.1) можно заменить на сильную двухмасштабную сходимость ввиду очевидного замечания: f (x) f (x) в L2 (, dµh )3.

Так как выполнены условия леммы 2.6, то сильная сходимость u,h u влечет соотношение (1.9). Тем самым и теорема 1.5 доказана, причем без предположения об изотропности тензора A.

6. НЕКОТОРЫЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ 6.1. О тензоре релаксации.

6.1.1. Найдем для ящичной структуры тензор релаксации, когда исходный тензор успругости A общего вида. В соответствии с определением (1.21) для i = 3 вычислим A ·, если E3. Для этого надо найти матрицу E3 такую, что выполнено уравнение Эйлера A( + ) · = 0 E3, т.е.

A( + ) E3, (6.1) и тогда A3 · = A( + ) ·. (6.2) Удобно представлять матрицы E3, E3 в виде шестикомпонентных вектор-стлбцов = (11, 22, 12, 0, 0, 0)T, = (0, 0, 0, 31, 32, 33 )T, а действие тензора A задавать матрицей (1.22) размера 6 6, разбитой на блоки (1.24). Тогда условие (6.1) означает, что = (11, 22, 12 )T, = (31, 32, 33 )T.

AII,I + AII,II = 0, Поэтому = A1 AII,I II,II и, в силу (6.2), A3 · = A · + A · = AI,I · AI,II A1 AII,I ·, II,II откуда следует формула (1.23).

6.1.2. В случае изотропного тензора A (см. (1.1)) найдем его релаксацию с помощью формулы (3.28). Для обратного тензора A1 (тоже изотропного) имеются соотношения 1 k1 k A1 = A1 · = · (Tr )2.

(Tr )E, k(k + 3k1 ) k(k + 3k1 ) k k Пусть P (y) — проектор, определенный в п. 3.6 после формулы (3.26). Учитывая его действие на каждой грани i, i = 1, 2, 3, находим A1 P (y) · P (y). Например, для y 1 k A1 P (y) · P (y) = (11 + 22 )2.



Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.