авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 ||

«ISSN 1512–1712 Академия Наук Грузии Институт Кибернетики СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ Том 12 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ...»

-- [ Страница 5 ] --

(iii) все нули pj () полинома P (, ) вещественные и различные при = 0;

более того, m µj () Q(, ) = (4.10), P (, ) pj () j= где функции µj () однородны степени 0 и положительны;

(iv) все нули полинома P (, ) — вещественные и различные при = 0;

при этом найдется такое 0, что [[P, Q]](, ) (| | + ||)2m2, (Re, ) Rn+1 ;

0, (4.11) (iv0 ) все нули полинома P (, ) — вещественные;

кроме того, найдется такое 0, что для вещественных := имеем [P, Q](, ) (|| + ||)2m2, (, ) Rn+1. (4.12) Нестрогие гиперболические пары связаны с ослабленным свойством устойчивости.

Имеет место следующее предложение (см. [7]).

152 E. В. РАДКЕВИЧ Предложение 4.4. Пусть P (, ) и Q(, ) — однородные полиномы с вещественными коэф фициентами степеней m и m 1 соответственно, разрешенные относительно старшей сте пени. Тогда следующие условия эквивалентны:

(i) полином R(, ) := P (, ) iQ(, ) является нестрого устойчивым, т.е.

R(, ) = 0, 0;

(4.13) 0 Rn (ii) для любого полиномы p( ) := P (, ) и q( ) = Q(, ) могут быть представлены в виде p( ) = h( )( ), q( ) = h( )( ), (4.14) p q где полином h( ) имеет только вещественные корни, а полиномы p( ) и q ( ) удовлетво ряют эквивалентным утверждениям предложения 4.1;

(iii) все нули полинома P (, ) — вещественные и (Re, ) Rn+1 ;

[[P, Q]](, ) 0, 0, (4.15) (iv) все нули полинома P (, ) вещественные;

кроме того, для вещественных := имеем (, ) Rn+1.

[P, Q](, ) 0, (4.16) Отметим, что условие (ii) имеет место тогда и только тогда, когда полиномы P (, ) и Q(, ) образуют нестрогую гиперболическую пару.

4.3. Некоторые необходимые и некоторые достаточные условия устойчивости гиперболи ческих пучков общего вида. Вернемся к вопросу об устойчивости пучков вида (3.1), т.е. к опи санию условий, при которых R(, ) := P(, ) iQ(, ) = 0, 0, | | + || 0, (4.17) где N (1)j 2j P2j (, ), P(, ) = P0 (, ) + j= N (1)j 2j+1 P2j+1 (, ).

Q(, ) = j= Теорема 4.1. Пусть полиномы Pj (, ) удовлетворяют условиям 1, 2 из определений 3.1, 3.2.

Пусть выполнено условие устойчивости (4.17). Тогда:

(I) полином от одного переменного r( ) := R(, 0)/ mN является устойчивым;

(II) полиномы P0 (, ) и P1 (, ) образуют нестрогую гиперболическую пару;

(III) полиномы PN 1 (, ) и PN (, ) образуют нестрогую гиперболическую пару;

(IV) выполнено условие (, ) Rn+1.

[[P, Q]](, ) 0, Доказательство. Условие (I) очевидно, условие (IV) непосредственно следует из предложения 4.1.

Доказательство условия (II). Согласно предложению 4.1(ii), из условия устойчивости (4.17) сле дует, что для любого фиксированного Rn полиномы P(, ) и Q(, ) имеют различные веще ственные корни, причем корни Q(, ) строго разделяют корни P(, ).

Для l = 0, 1,..., N обозначим через pl () корни полинома Pl (, ). Корни pj () и qj () полиномов j P и Q запишем в виде pj () = ||j (, ||), qj () = ||j (, ||), = p q.

|| Следуя [2], покажем, что p0 () = lim pj (, ||), p1 () = lim qj (, ||).

(4.18) j j || || АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ В силу этих равенств, из вещественности корней pj () и qj () следует вешественность корней p0 () = ||p0 () и p1 () = ||p1 (). Из строгого разделения корней pj () и qj () в пределе получаем j j j j нестрогое разделение p0 () и p1 ().

j j Для доказательства первого равенства из (4.18) следует заметить, что = pj (, ||) являются корнями алгебраического уравнения N (1)j ||2j 2j P2j (, ) = 0, P0 (, ) + j= и при больших || они непрерывно зависят от малого параметра ||1. Отсюда следует первое равенство из (4.18). Второе доказывается аналогично.

Доказательство условия (III) основано на изучении корней pj () и qj () при малых ||. Для определенности в обозначениях будем сначала считать, что число N — четное (случай нечетных N мы обсудим ниже). Прежде всего заметим, что = pj (, ||) и = qj (, ||) являются корнями алгебраических уравнений N N (1)j ||N 2j 2j P2j (, ) = 0, (1) N PN (, ) + (4.19) j= N N (1)j ||N 2j1 2j+1 P2j+1 (, ) = 0, (1) N 1 PN 1 (, ) + (4.20) j= где мы формально положили 0 = 1. Первое из этих уравнений имеет m N корней;

обозначим их через p N +j (, ||), j = 1,..., m N, которые при || 0 стремятся к корням pN () предельного j уравнения PN (, ) = 0. Отсюда вытекает вещественность корней pN (). Таким образом, при j нашей нумерации имеем корни p N +j () = ||N +j (, ||) = pN () + o(||), || 0, j = 1,..., m N. (4.21) p j 2 Аналогично, уравнение (4.20) имеет m N + 1 корней;

обозначим их через q N 1+j (, ||), j = 1,..., m + 1 N, которые стремятся к m + 1 N корням pj 1 () предельного уравнения N PN 1 (, ) = 0. Отсюда вытекает вещественность корней pj 1 (). Таким образом, N q N 1+j () = ||N 1+j (, ||) = pj 1 () + o(||), N || 0, j = 1,..., m + 1 N. (4.22) q 2 Кроме указанных выше корней уравнения (4.19) и (4.20) имеют также так называемые «погран слойные корни». Учет этих корней необходим для доказательства чередования нулей полиномов PN и PN 1.

Итак, для нахождения погранслойных корней заметим, что уравнения P(, ) = 0, Q(, ) = при = 0 переходят в уравнения N N 2 z N + N 2j mN j mN + (1)j 2j+1 z N 22j = 0.

(1) 2j z = 0, (4.23) z z j=1 j= Воспользовавшись введенным выше обозначением r(z) := z m+N R(z, 0), в силу (4.23), получим N N 2 z 1 z (1)j 2j+1 z N 22j = r(z).

N j N 2j N + (1) 2j z = Re r(z), + z j=1 j= Как уже было отмечено выше, полином r(z) является устойчивым.

154 E. В. РАДКЕВИЧ С учетом предложения 4.1, корни z1,..., zN уравнения Re r(z) = 0 будут вещественными и различными. Поскольку Re r(z) является полиномом от z 2, то наряду с корнем zj 0, будет и корень zj. В силу этого обстоятельства занумерyем корни z1,..., zN таким образом, что z1 z2 · · · z N z N +1 = z N · · · zN = z1. (4.24) 2 2 Обозначим через 1,..., N 2 корни уравнения N N (1)j 2j+1 z N 22j = 0, + 1 z j= которое также является полиномом от z 2. Мы можем занумеровать эти корни таким образом, чтобы N 1+j = j, j = 1,..., N 1. Таким образом, при соответствующей нумерации получим 1 2 · · · N 1 0 N · · · N 2. (4.25) 2 Заметим, что числа в (4.24) являются корнями уравнения Re r(z) = 0, а числа в (4.25) являются корнями уравнения r(z) = 0. Отсюда вытекает условие чередoвания этих корней:

z1 1 z2 2 · · · z N 1 N 1 z N 2 2 z N +1 N · · · zN 1 N 2 zN. (4.26) 2 Таким образом, получаем наборы «погранслойных корней»:

N pj () = zj + o(1), || 0, j = 1,...,, 2 (4.27) N pj () = zjm+N + o(1), || 0, j =m + 1,..., m, и аналогично, N qj () = j + o(1), || 0, j = 1,..., 1, 2 (4.28) N qj () = jm+N + o(1), || 0, j =m + 1,..., m 1.

Добавляя корни N N pj () = pN N () + o(||), || 0, j= + 1,..., m, (4.29) j 2 и N N N qj () = pj N +1 () + o(||), || 0, j=,...,m, (4.30) 2 к корням (4.27) и (4.28) соответственно, получим наборы всех корней полиномов P и Q при малых ||, причем корни qj строго разделяют корни pj. Как следует из формул (4.27) и (4.28), при малых || погранслойные корни суть O(1), а корни (4.29) и (4.30) суть o(1). В силу этого обстоятельства погранслойные корни чередуются в соответствии с (4.26), а корни (4.29) строго разделяют (при подходящей нумерации) корни (4.30). Переходя к пределу при || 0, докажем, что корни P N нестрого разделяют корни P N 1.

В случае нечетных N уравнения (4.23) перепишутся в виде N 1 N 2 mN +1 N 1 N 12j j mN + (1)j 2j+1 z N 22j = 0, + (1) 2j z = 0, (4.31) z z z j=1 j= где N 1 N 2 z z N 1 + (1)j 2j z N 12j = Re r(z), 1 z N 1 + (1)j 2j+1 z N 22j = r(z).

j=1 j= АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ Обозначим через z1,..., zN, z N 1 +j = zj корни полинома в скобках в первом члене (4.31) и, соответственно, через 1,..., N, N 1 +j = j — корни, отвечающие второму полиному в (4.31).

В силу устойчивости r(z), имеет место неравенство z1 1 z2 2 · · · z N 1 N 1 0 N +1 z N +1 · · · N 1 zN 1.

2 2 2 Дальнейшее является дословным повторением вывода для случая четных N. Теорема доказана.

Обращением теоремы 4.1 является следующая теорема.

Теорема 4.2. Пусть полиномы Pj (, ) удовлетворяют условиям 1, 2 из определений 3.1, 3.2.

Пусть выполнены следующие условия:

(I) полином от одного переменного r( ) := R(, 0)/ mN является устойчивым;

(II0 ) полиномы P0 (, ) и P1 (, ) образуют строгую гиперболическую пару;

(III0 ) полиномы PN 1 (, ) и PN (, ) образуют строгую гиперболическую пару;

(IV0 ) выполнено условие [P, Q](, ) 0 (, ) Rn+1.

Тогда выполняется условие устойчивости (4.17).

Более того, имеет место оценка C| | (| | + ||)2m2 + (| | + ||)2m4 + · · · (| | + ||)2m2N 2.

P(, )Q(, ) (4.32) Доказательство. При доказательстве свойства (II) в теореме 4.1 была установлена связь между корнями P и P0 при больших || (соответственно, между корнями Q и P1 ), т.е.

pj () = p0 () + o(||), qj () = p1 () + o(||), ||.

j j Если полиномы P0 и P1 образуют строгую гиперболическую пару, то при больших || корни pj () и qj () будут вещественными и различными, причем корни qj () будут строго разделять корни pj (). Применяя предложение 4.1, получим, что полином R(, ) будет устойчивым при больших ||, скажем, при || 1.

Аналогично, из условия (III0 ) выводится, что при малых ||, скажем при ||, корни pj () и qj () будут вещественными и различными, причем корни qj () будут строго разделять корни pj (). Применяя предложение 4.1, получим, что полином R(, ) будет устойчивым при малых ||, скажем, при ||.

Чтобы доказать устойчивость (4.17) для всех Rn воспользуемся предложением 4.2. Сначала рассмотрим одномерный случай R. Взяв вместо параметра [1, 2 ] параметр [±, ± 1 ], получим устойчивость (4.17). В общем случае следует перейти к полярным координатам =, || = 1. Взяв [, 1 ], мы закончим доказательство устойчивости.

Применяя теорему 4.1, получим, что должно выполняться более сильное (по сравнению с (IV0 )) условие (IV), т.е. выполнено неравенство (Re, ) Rn+1.

[[P, Q]](, ) 0, Переходим к доказательству неравенства (4.32). Заметим, что согласно (4.7), N N 2 (1)i+j 2i 2j+1 [[P2i, P2j+1 ]](, ), P(, )Q(, ) = [[P, Q]](, ) (4.33) i=0 j= и неравенство (4.32) сводится к неравенству (| | + ||)2m2 + (| | + ||)2m4 + · · · + (| | + ||)2m2N 2.

[[P, Q]](, ) (4.34) На компакте | | + || 1 неравенство (4.34) выполнено в силу условия (IV) (разумеется, с константой, зависящей от ).

Из (4.33) следует, что [[P, Q]](, ) = 1 [[P0, P1 ]](, ) + O((| | + ||)2m4 ), (4.35) 156 E. В. РАДКЕВИЧ [[P, Q]](, ) = N 1 N [[PN 1, PN ]](, ) + O((| | + ||)2m2 ) + · · · + | | + ||)2m2N +2 ). (4.36) Согласно (4.11), первый член в правой части (4.35) oценивается снизу через 1 (| | + ||)2m2, 1 с достаточно малым правая часть (4.35) будет оцениваться снизу через и при | | + || правую часть (4.34).

Аналогично, согласно (4.11), первый член в правой части (4.36) oценивается снизу через N 1 N (| | + ||)2m2N, и при | | + || с достаточно малым правая часть (4.36) будет оцениваться снизу через правую часть (4.34).

Обоснование алгоритма Раусса для полиномиального пучка требует восстановления в памя ти некоторых понятий классического алгоритма Раусса и связанных с ним свойств устойчивых полиномов с вещественными коэффициенетами.

5. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ПУЧКА ИЗ ПЯТИ ПОЛИНОМОВ В этом параграфе мы приведем теорему о достаточных условиях устойчивости пучка из пяти полиномов (близких к необходимым) P0 (, ) 2 P2 (, ) + 4 P4 (, ) i(1 P1 (, ) 3 P3 (, )) = 0, которая показывает необходимость сужения класса исследуемых пучков: условия устойчивости становятся всё более необозримыми с увеличением числа полиномов в пучке. Необходимо вер нуться к первоначальной задаче исследования пучков дисперсионных уравнений, чтобы выделить их общие свойства, позволяющие разумно сузить класс рассматриваемых пучков.

5.1. Устойчивые пятерки гиперболических полиномов, N = 4. Для пучка из пяти полиномов P0 (, ) 2 P2 (, ) + 4 P4 (, ) i(1 P1 (, ) 3 P3 (, )) = 0, (5.1) P(, ) = P0 (, ) 2 P2 (, ) + 4 P4 (, ), Q(, ) = 1 P1 (, ) 3 P3 (, ) скобка Пуассона в полярных координатах [P, Q](, ) = 2(m3) 1 [P0, P1 ]6 + (1 2 [P2, P3 ] 3 [P2, P3 ])4 + +(2 3 [P2, P3 ] 1 4 [P1, P4 ])2 + 3 4 [P3, P4 ] (, ), (, ) S d+1. (5.2) Из теоремы Эрмита следует, что необходимыми и достаточными условиями устойчивости поли нома (5.1) являются следующие:

1) строгая гиперболичность полинома P = P0 2 P2 + 4 P4 ;

2) положительность скобки Пуассона (5.2) для вещественных 0 и (, ) S d+1.

Для полинома относительно Z = 2 в круглых скобках в (5.2) можно сформулировать необхо димые и достаточные условия справедливости неравентсва PG (Z) = 1 [P0, P1 ](, )Z 3 + (1 2 [P2, P3 ] 3 [P2, P3 ])(, )Z 2 + +(2 3 [P2, P3 ] 1 4 [P1, P4 ])(, )Z + 3 4 [P3, P4 ](, ) 0, Z 0. (5.3) Рассмотрим конусы 1 2 2 K0,3;

1,4 = (, ) S d+1 ;

[P0, P3 ] [P1, P2 ] (, ) 0;

[P1, P4 ] [P1, P2 ] (, ) 0, 3 1 1 2 2 K0,3 = (, ) S d+1 ;

[P0, P3 ] [P1, P2 ] (, ) 0;

[P1, P4 ] [P1, P2 ] (, ) 0, 3 1 1 2 2 K1,4 = (, ) S d+1 ;

[P0, P3 ] [P1, P2 ] (, ) 0;

[P1, P4 ] [P1, P2 ] (, ) 0.

3 1 АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ В «полярных» координатах (, ) S d+1, (, ) = (, ), 0, оценка (5.3) в конусах сводится к оценке снизу полинома PG (Z) = Z 3 + aZ 2 + bZ + c 0 Z 0, (1 2 [P1, P2 ] 3 [P0, P3 ] (, ) a=, 1 [P0, P1 ](, ) (5.4) 2 3 [P1, P2 ] 1 4 [P1, P4 ] (, ) b=, 1 [P0, P1 ](, ) 3 4 [P3, P4 ](, ) c=.

1 [P0, P1 ](, ) Лемма (о монотонности оценки (5.4)). 1. Пусть для значений параметров a, b, c спра ведлива оценка (5.4). Тогда для любых a a, b b, c c выполнено (5.4).

2. Для пучков с положительной скобкой Пуассона [P0, P1 ] 0, если (5.4) справедливо для 3 некоторых j, j = 1, 2, 3, 4, то (5.4) остается справедливым для любых :

1 3 1 2 3 1 [P1, P2 ] [P0, P3 ] [P1, P2 ] [P0, P3 ], 1 3 1 2 3 2 [P1, P2 ] [P1, P4 ] [P1, P2 ] [P1, P4 ].

4 1 4 1 Лемма очевидна. Приведём лемму о необходимых и достаточных условиях положительности полинома (5.4) для неотрицательных Z 0.

Лемма (о необходимых и достаточных условиях справедливости оценки (5.4)). Оценка (5.4) выполняется тогда и только тогда, когда коэффициент c 0. В этом случае:

1) если a 0, b 0, либо a2 3b 0, либо a2 3b 0, b 0, то минимум G Pmin = min PG (Z) = c 0;

Z G 2) минимум Pmin 0, если b 0, a 0, и |b| 1 c 1, (5.5) Y+ 2 a a где Y+ (c/a3 ) 1 — корень уравнения c 2Y 3 3Y 2 + 1 27 = 0;

a G 3) минимум Pmin 0, если a 0, b 0, и |b| 1 c c Y2 1, (5.6), 3 + a a2 |a|3 где Y+ (c/|a|3 ) 1 — корень уравнения c 2Y 3 3Y 2 1 = 0.

a Эта лемма позволяет сформулировать достаточные условия устойчивости пучка из пяти поли номов.

Теорема (Достаточные условия устойчивости полиномиального пучка из пяти полиномов). По линомиальный пучок (5.1) устойчив, если:

158 E. В. РАДКЕВИЧ 1) пучок (5.1) определяется цепочкой P0, P1, P2, P3, P4 однородных гиперболических поли номов порядков m, m 1, m 2, m 3, m 4, m 4 0, для которых [P3, P4 ](, ) 0 (, ) Rd+1, [P0, P1 ](, ) 0, (, ) = 0;

(5.7) 2) для любой точки (, ) K1,4 имеем 1 [P1, P2 ] [P0, P3 ] 2 2 3 Y+ (c ) 1 2 [P1, P4 ](, ) [P2, P3 ](, ) + (, );

(5.8) 3 [P0, P1 ] 1 4 1 3) для любой точки (, ) K0,3;

1,4 справедливы неравенства 1/ 1 2 1 4 [P0, P3 ](, ) [P1, P2 ](, ) + 2 [P0, P1 ] [P3, P4 ] (, ), (5.9) 3 1 [P1, P2 ] [P0, P3 ] 2 1 2 Y 2 (c ) [P1, P4 ](, ) [P2, P3 ](, ) + (, ). (5.10) 3 1 2 [P0, P1 ] 1 Здесь 4 [P3, P4 ][P0, P1 ]2 (, ) c =.

1 [P1, P2 ] [P0, P3 ] (, ) Доказательство. Теорема Эрмита—Биллера сводит доказательство теоремы об устойчивости пучка из пяти полиномов к проверке двух условий: строгой гиперболичности полинома P = P0 2 P2 + 4 P4 и положительности скобки Пуассона [P, Q].

Строгая гиперболичность P для 1 следует из высокочастотной асимптотики корней pj () полиномов P. Из (5.7) получаем pj () = cj () + o ||, j = 1,..., m, где cj — корни строго гиперболического в силу (5.7) полинома P0. Отсюда для больших имеем [P, Q](, ) = [P0, P1 ](, )2(m1) + O 2(m2) 0, откуда следует строгая гиперболичность P для больших 1. Если с уменьшением появляется кратный корень полинома P, то скобка Пуассона должна в этой точке обратиться в нуль. Поэтому, если мы докажем, что эта скобка Пуассона положительна для любых (, ) Rd+1, (, ) = 0, то полином P остается строго гиперболическим при (, ) = 0.

Таким образом, основным шагом в доказательстве устойчивости является оценка скобки Пуас сона [P, Q] = 1 [P0, P1 ] + 1 2 [P1, P2 ] + 2 3 [P2, P3 ]+ +3 4 [P3, P4 ] 4 1 [P1, P4 ] 3 [P0, P3 ] (5.11) на конусах K0,3;

1,4, K0,3, K1,4, так как вне этих конусов все нормированные скобки Пуассона положительны и, тем самым, положителен минимум (5.11). В «полярных» координатах [P, Q] (, ) = 2(m3) 1 [P0, P1 ](, )6 + 3 4 [P3, P4 ](, )+ + 1 2 [P1, P2 ](, ) 3 [P0, P3 ](, ) 4 + 2 3 [P2, P3 ](, ) 4 1 [P1, P4 ](, ) 2. (5.12) Таким образом, оценка скобки Пуассона (5.12) сводится к рассмотренной выше лемме. Сформу лированные в теореме условия (5.8)–(5.10) являются переложением на коэффициенты полинома АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ (5.12) условий леммы о необходимых и достаточных условиях отсутствия неотрицательных корней для полинома третьего порядка.

Из приведенного анализа следует, что полином P iQ устойчив вне любой окрестности начала (, ) = 0. В достаточно малой окрестности = 0 из низкочастотных асимптотик корней этого полинома следует, что для корней j () = o(||) справедливо разложения вида 3 P3 (aj (), ) j () = aj () i2 + o 2, (aj () ak ()) k= j где aj () — корни полинома P4. Заметим, что в силу (5.7), имеем [P3, P4 ](aj (), ) = P3 (aj (), ) (aj () ak ()) 0.

k= j Следовательно, корни в окрестности нуля лежат в верхней полуплоскости комплексной плоскости переменной. Отсюда следует, что для строго гиперболического пучка из пяти полиномов условия теоремы достаточны для его устойчивости. Это завершает доказательство теоремы.

5.2. Условия Раусса—Гурвица. Исследуем условия теоремы (см. п. 5.1) при = 0. Имеем [P0, P3 ](, 0) = 3 m4 0, [P1, P4 ](, 0) = 3 m6 0, = 0.

K0,3;

1,4, K0,3;

1, Тогда для любой точки (, 0) = 0, в конусе 1 2 33 0, 2 3 31 4 0, (5.13) должны быть справедливы неравенства 1/ 1 2 27 1 3 + (5.14), 3 2 3 1 3 1 Y 2 (c ) 3 + 3 (5.15).

1 4 3 1 2 1. Неравенство 2 3 1 3 1 Y 2 (c ) + 3 1 4 3 1 2 можно доказать, исследовав минимум функции двух переменных:

1/ 1 Z F (X, Z) = Z + G(c (X, Z)) = min, (5.16) 3 X X (Y+ (c )2 1) Z c (X, Z) = G(c ) =,, (3 X)3 2/ c 2 3 1 Z= X=,, 1 4 2Y+ (c )3 3Y+ (c )2 1 27c = 0, Y+ (c ) 1, (5.17) в области D = {XZ 4, 1 X 3, 1 Z 3}. (5.18) Первое ограничение в (5.18) следует из оценки 2 3 1 = 2 4, 1 4 3 справедливой в силу условия Раусса—Гурвица для семейства постоянных 1,..., 4.

160 E. В. РАДКЕВИЧ Вычислим частные производные функции F. Сначала определим 2 3Y+ (c )c Y+ (c ) Y+ (c ) + c G(c ) =.

3 5/ c Из (5.17) следует, что (Y+ (c ) 1)Y+ (c )c Y+ (c ) =.

Отсюда, в силу уравнения (5.17), 1 27Y+ (c ) 2(Y+ (c ) 1)(Y+ (c ) 1)Y+ (c ) c G(c ) = = 3 5/ c (Y+ (c ) 1)Y+ (c ) 3 2 1 2Y+ 3Y+ 1 2(Y+ 1)(Y+ 1) = 0 1 Y+ 3, 3 5/ c (Y+ 1) так как 3 2 2 2Y+ 3Y+ 1 2(Y+ 1)(Y+ 1) = Y+ 3.

Стационарная точка = (6 3 10) 0 находится вне допустимых значений c. Нетрудно видеть, что Y+ 1 lim G(c ) = lim = 2/3.

2/3 c + c + Тогда частные производные удовлетворяют неравенствам 2/3 1/ 1 1 1 Z Z Z X F = F (c ) + + 0, c c G 9 3 3X X X X X 2/3 1/ 1 1 Z Z Z F = 1 + F (c ) c c G 0.

9 3Z X X X Отсюда минимум функции F достигается в точке X = 3, Z = 4/3:

+ 31/3 3, Fmin = что доказывает неравенство (5.14).

Докажем также (5.13). Из второго неравенства в (5.13) получаем 1 2 3.

2 Отсюда имеем 1/3 1/ 1 2 27 1 4 1 2 1 + + 1/3 3, 4 3 3 если, в силу условия Раусса—Гурвица, (1 2 )/3 1.

2. Для = 0 в конусе K1,4, где 1 2 33 0, 2 3 31 4 0, (5.19) при = 0 из (5.8) следует, что 2 3 1 1 Y+ (c ) 1 2 3 + 3 (5.20), 1 4 3 1 где Y+ (c ) 1 — корень уравнения 2Y 3 3Y 2 + 1 27 = 0, АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ 4 c = 3.

1 В конусе K1,4 из первого неравенства в (5.19), очевидно, следует (5.8).

Как видим, формулировка условий устойчивости достаточно сложна. Это указывает на тот факт, что, возможно, мы учли не все специфические свойства дисперсионных уравнений систем моментов Града, которые позволили бы разумно сузить класс исследуемых полиномиальных пучков.

6. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ЭРМИТА ТЕОРЕМА Приведем предварительную теорему Эрмита [5] для полинома с вещественными коэффициента ми p(x) = p0 xm + p1 xm1 + · · · + pm, p0 = 0 (6.1) и её эквивалентную форму для полиномиального пучка P( ) iQ( ) = 0, (6.2) p2j (1)j m2j, p1+2j (1)j m12j, P= Q= j0 j полученного из (6.1) при замене x = i p(i ) P( ) iQ( ) =.

im Полиному (6.1) сопоставим два полинома p2j xm2j, p1+2j xm12j, m0 (x) = m1 (x) = j0 j в сумме составляющих p(x). Очевидно, m0 (i ) m1 (i ) P( ) = Q( ) = m1. (6.3), m i i Теперь сопоставим полиному (6.1) производящую функцию Эрмита m p(x)p(y) p(x)p(y) Pij xi1 y j1, P (x, y) = P= (6.4), x+y i,j= где матрица = (Pij ), составленная из коэффициентов полинома P (x, y), является симметриче ской. Одна из формулировок теоремы Эрмита—Биллера [5] утверждает следующее.

Теорема 6.1 (теорема Эрмита). Полином p(x) устойчив, т.е. все его корни находятся в левой комплексной полуплоскости тогда и только тогда, когда матрица положительно опреде лена.

Такие полиномы p(x) принято называть гурвицевыми. Доказательство этой теоремы получается многократным применением предварительной теоремы Эрмита.

Теорема 6.2 (предварительная теорема Эрмита). Пусть m m i1 j Pij xi1 y j1, P = m1 (x)m1 (y) + Pij x y i,j=1 i,j=1 (6.5) m12j m1 (x) = p1+2j x.

j Для того чтобы матрицаа была строго положительно определенной формой, необходимо и достаточно выполнение следующих трех условий:

162 E. В. РАДКЕВИЧ 1) p1 = 0;

2) = p0 /p1 0;

m Pij xi1 y j1 строго положительно определена.

P (1) (, ) 3) квадратичная форма i,j= Таким образом, мы представили полином p(x) в виде суммы полиномов p(x) = m0 (x) + m1 (x), m m m1 = p1 xm1 + p3 xm3 + · · ·.

m0 = p0 x + p2 x + ···, В каждом из полиномов m0, m1 отличными от нуля являются лишь коэффициенты при степенях x, имеющих только одну четность. Тогда m0 (x)m1 (y) m0 (x)m1 (y) P (x, y) = 2.

x+y Отсюда Pmm = 2p0 p1. По теореме Эрмита—Биллера производящая функция гурвицева полино ма определяет положительно определенную квадратичную форму P (x, y). Отсюда следует, что Pmm = p0 p1 0, т.е. старшие коэффициенты полиномов m0 (x), m1 (x) отличны от нуля и имеют совпадающие знаки. Это позволяет сделать первый шаг алгоритма Раусса — представить полином p m0 (x) = 1 m1 (x) + m2 (x), 1 = 0, p где полином m2 (x) имеет степени x той же четности, что и m0. Тогда производящую функцию можно записать в виде m1 (x)m2 (y) m1 (x)m2 (y) P (x, y) = 1 m1 (x)2 + 2.

x+y Отсюда следует следующий вариант теоремы Эрмита—Биллера.

Теорема 6.3 (теорема Эрмита—Биллера). Следующие условия эквивалентны:

1) полином p(x) = p0 xm + p1 xm1 + · · · + pm, p0 = 0, с вещественными коэффициентами есть полином Гурвица;

2) квадратичная форма = (Pij ), определяемая производящей функцией P (x, y) полинома p(x), положительно определена;

3) постоянная 1 0, полином p(1) (x) = m1 (x) + m2 (x) — полином Гурвица.

Условие 3 этой теоремы следует из предварительной теоремы Эрмита.

Отсюда вытекает следующая эквивалентная формулировка теоремы Эрмита для пучка (6.2).

Теорема 6.4. Следующие утверждения эквивалентны:

I. Пусть P( ) Q( ) P (1), (1) P (1) ( ) = (1)j p2j m22j.

j 0,m2 2j Для того чтобы пучок (6.2) был устойчив, т.е. все его корни находились в верхней ком плексной полуплоскости, необходимо и достаточно выполнение следующих трех условий:

1) p1 = 0;

2) = p0 /p1 0;

3) полиномиальный пучок Q( ) iP (1) ( ) устойчив.

II. Пусть полином P — строго гиперболический и [P, Q]( ) PQ QP ( ) = Q( )2 + [Q, P (1) ]( ). (6.6) Для того чтобы [P, Q]( ) 0 R, необходимо и достаточно выполнение следующих трех условий:

1) p1 = 0;

АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ 2) = p0 /p1 0;

3) полином Q — строго гиперболический и [Q, P (1) ]( ) 0 R.

Приведём из [5] доказательство предварительной теоремы Эрмита. Положим (1) (1) Pmj = Pj,m = 0, j = 1,..., m.

Тогда из (6.5) следует, что (1) Pij = µi µj + Pij, i, j = 1,..., m.

В частности, Pmm = p2 0.

Отсюда следует необходимость условий 1 и 2.

Квадратичную форму P (1) (, ) можно представить в виде суммы квадратов m 1 линейно независимых линейных форм m1 m j j ()2, Pij i j = j () = µ1,j 1 + · · · + µm1,j m1, (6.7) i,j=1 j= с положительными, отрицательными и нулевыми коэффициентами j. Так как квадратичная форма P (, ) =, — ранга m, то линейные формы mm1 (x), j (x), j = 1,..., m 1, должны быть линейно независимыми, что эквивалентно тому, что p1 = 0. Для строгой определенности P (, ) при этом ещё необходимо выполнение неравенств 0, 1 0,..., m1 0, (6.8) т.е. необходима строгая положительная определенность формы P (1) (, ).

Наоборот, из условия 3 следует представление (6.7) c положительными постоянными j 0.

Тогда m m j j ()2, m1 () p1 m + p3 m2 + · · · + pm1 1.

Pij i j = m1 () + i,j=1 j= Из условия µm = 0 следует линейная независимость линейных форм m1 () и j (), j = 1,..., m 1, что вместе с условием 2 ( 0) и вытекающими из 3 неравенствами j 0 га рантирует положительную определенность квадратичной формы P.

Это завершает доказательство предварительной теоремы Эрмита.

6.1. Алгоритм Раусса.

Первый шаг алгоритма Раусса. На первом шаге алгоритма Раусса полином p(x) представляется суммой полиномов p(x) = m0 (x) + m1 (x), (6.9) m0 = p0 xm + p2 xm2 + · · ·, m1 = p1 xm1 + p3 xm3 + · · ·.

В каждом из полиномов m0, m1 отличными от нуля являются лишь коэффициенты при степенях x, имеющих только одну четность. Тогда m0 (x)m1 (y) m0 (x)m1 (y) P (x, y) = 2.

x+y Отсюда Pmm = 2p0 p1. По теореме Эрмита—Биллера производящая функция гурвицева полино ма определяет положительно определенную квадратичную форму P (x, y). Отсюда следует, что Pmm = p0 p1 0, т.е. старшие коэффициенты полиномов m0 (x), m1 (x) отличны от нуля и имеют совпадающие знаки.

164 E. В. РАДКЕВИЧ Второй шаг алгоритма Раусса. Это позволяет сделать второй шаг алгоритма Раусса — предста вить полином p m0 (x) = 1 x m1 (x) + m2 (x), 1 =, p1 где полином m2 (x) имеет степени x той же четности, что и m0. Тогда производящую функцию можно записать в виде m1 (x)m2 (y) m1 (x)m2 (y) P (x, y) = 1 m1 (x)2 + 2.

x+y Таким образом, необходимые и достаточные условия устойчивости полинома p(x) приводят к то му, что старшие коэффициенты полиномов m1, m2 отличны от нуля и их знаки совпадают, что позволяет сделать следующий шаг алгоритма Раусса построения полинома m3 (x):

m3 (x) = m1 (x) 2 x M2 (x), 2 0.

Третий шаг алгоритма Раусса. Полином p(1) (x) гурвицев, если старшие коэффициенты p1 и p0, полиномов m1 (x), m2 (x) отличны от нуля и имеют совпадающие знаки. Это позволяет определить строго положительный коэффициент 2 = p1 /p0,2 0 так, чтобы полином m3 (x) = m1 (x) 2 x m2 (x), имеющий степени x той же четности что и m1, был полиномом степени m 3. Полином p(1) (x) = m1 (x) + m2 (x) гурвицев тогда и только тогда, когда 2 0 и полином p(2) (x) = m2 (x) + m3 (x) тоже гурвицев.

Четвертый шаг алгоритма Раусса. Отсюда следует, что старшие коэффициенты p0,2 и p1,3 поли номов m2, m3 отличны от нуля и имеют одинаковые знаки. Тогда существует коэффициент 3 такой, что полином m4 (x) = m2 (x) 3 x m3 (x) оказывается степени m 4. Для гурвицевости полинома p(2) (x) необходимо и достаточно гурви цевости полинома p(3) (x) = m2 (x) + m4 (x) и строгой положительности 3 0.


Продолжая рекуррентный процесс Раусса, определим цепочку полиномов m0 (x),..., mm (x) и строго положительные постоянные 1,..., m. Если полином p(x) устойчив, то этот процесс не может оборваться на некотором шаге j m. Для гурвицевости полинома p(x) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:

1) постоянные 1 0, 2 0,..., m 0;

p(m1) (x) 2) полином = Mm1 + Mm (x) гурвицев. Здесь mm1 = x, mm (x) =, и для гурвицевости p(m1) необходимо и достаточно, чтобы, были одного знака и отличны от нуля. Иными словами, mm1 (x) m x mm = 0, m 0.

Постоянные j совпадают с главными минорами матрицы Гурвица.

Таким образом, окончательным выводом является следующее утверждение.

Теорема 6.5. Полином p(x) с вещественными коэффициентами устойчив тогда и только тогда, когда все постоянные j процесса Раусса mj (x) = j+1 x mj+1 (x) + mj+2 (x), j = 0,..., m 2, положительны;

старшие коэффициенты полиномов mj (x) отличны от нуля и одного знака.

АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ 7. ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПУЧКИ Исследование устойчивости решений задачи Коши для систем моментов приводит к пробле ме устойчивости полиномомиальных пучков (6.1) (дисперсионных уравнений). При исследовании априорных оценок решений вместо производящей функции (6.5) предпочтительнее использовать аппарат скобок Пуассона.

Приведём эквивалентную форму алгоритма Раусса, приспособленную к задачам исследования полиномиального пучка (6.1). Цепочке полиномов mj (x) алгоритма Раусса cопоставим полиномы m2j (i ) m1+2j (i ) P (2j) ( ) = Q(1+2j) ( ) = m12j,, im2j i имеющие степени одинаковой четности (четные — для четных j и j = 0, нечетные — для нечет ных j). Отсюда структура этих полиномов P (2k) ( ) = gk ( 2 ), Q(2k+1) ( ) = fk ( 2 ). (7.1) Теорема 7.1 (теорема Эрмита). Следующие условия эквивалентны:

I. полиномиальный пучок P( ) iQ( ) устойчив;

II. скобка Пуассона m j j ( )2 0 R, [P, Q]( ) = j= III. постоянные j 0, j = 1,..., m, старшие коэффициенты полиномов 2j ( ) = P (2j) ( ), 2j+1 ( ) = Q(2j) ( ) порядка m j и одного знака.

IV. полиномиальные пучки P (k) ( ) iQ(k+1) ( ), Q(k+1) ( ) iP (k+2) ( ), 0, k устойчивы.

8. ПУЧКИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ПОЛИНОМОВ Анализ полиномиальных пучков (7.1) порядка (m, N ) дисперсионных уравнений систем момен тов Града для кинетических уравнений Больцмана [2, 3, 5, 7] и Фоккера—Планка Rd, P(, ) iQ(, ) = 0, (1)j P2j (, ), P(, ) = (8.1) j 0,N 2j,mN (1)j P1+2j (, ) Q(, ) = j 0,N 1+2j,mN показал, что структура однородных полиномов Pj (, ) степени m j напоминает структуру поли номов P( ), Q( ) в представлении полинома Гурвица как полиномиального пучка (8.1). А именно, в каждом из полиномов Pj отличными от нуля являются лишь коэффициенты при степенях, имеющих только одну четность, т.е. структура полиномов такова:

P(, ) = g( 2, ), Q(, ) = f ( 2, ). (8.2) Пример. Другой пример. В двумерном случае d = 2 для первых шести моментов методом Града решение ищем в виде f2 (x, t, c) = m0 (x, t)0 (c) + m10 (x, t)10 (c) + m01 (x, t)01 (c)+ 1 + m20 (x, t)20 (c) + m11 (x, t)11 (c) + m02 (x, t)02 (c). (8.3) 2 Получаем систему из 6 уравнений с постоянными коэффициентами Et + x1 A1 + x2 A2 + B M6 (x, t) = 0, (8.4) M6 = (m0, m10, m01, m20, m11, m02 )T 166 E. В. РАДКЕВИЧ относительно первых шести моментов. Здесь E — единичная матрица, 0 10000 0010 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 A1 :=, A2 :=, 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 01000 0100 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 B :=, E :=.

0 0 0 2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 Решение типа плоской волны M6 = R6 exp(i(t + 1 x1 + 2 x2 )), где R6 — постоянный собственный вектор, приводит к дисперсионному уравнению det E + 1 A1 + 2 A2 iB = P0 2 P2 + 4 P4 i(1 P1 3 P3 + 5 P5 ), 1 = 8, 2 = 25, 3 = 38, 4 = 28, 5 = 1, P0 (, 1, 2 ) = 2 4 4(1 + 2 ) 2 + 3(2 + 1 )2, 2 2 2 11 P1 (, 1, 2 ) = 4 ( + 2 ) 2 + (2 + 1 )2, 2 2 42 2 P2 (, 1, 2 ) = 4 (1 + 2 ) 2 + (1 + 2 )2, 2 25 16 2 P3 (, 1, 2 ) = 2 P4 (, 1, 2 ) = 2 (1 + 2 ), ( + 2 ), P5 =.

19 1 Получили нестрого гиперболический пучок из шести полиномов. Полиномы Pj пучка — нестрого гиперболические и корни соседних нестрого разделяют друг друга 29 6 2 39 [P0, P1 ](, ) = 2 8 (1 + 2 ) + 4 (1 + 2 )2 4 (1 + 2 )3 + 3(1 + 2 )4, 2 2 2 2 2 2 4 4 29 6 2 39 8 (1 + 2 ) + 4 (1 + 2 )2 4 (1 + 2 )3 + 3(1 + 2 ) 2 2 2 2 2 2 min = 0.63046179, 4 4 2 +||2 = min [P0, P1 ] = 3, min [P1, P2 ] =, 2 +||2 =1 2 +||2 = 581 163 min [P2, P3 ] = min [P3, P4 ] = min [P4, P5 ] =.

,, 475 133 2 +||2 =1 2 +||2 =1 2 +||2 = Другие примеры мы приведем в приложении в конце статьи.

АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ 8.1. Алгоритм Раусса для параметрического пучка. Покажем, что (8.2) позволяет перенести процедуру Раусса на параметрические пучки (8.1).

Лемма 8.1. Для любого однородного строго гиперболического полинома p(, ) = f ( 2, ) порядка m = 2j + 1 и любого однородного гиперболического полинома q(, ) = g( 2, ) порядка 2j, корни которого нестрого разделяют корни p(, ) [p, q](, ) 0, (, ) = 0, Rd и в любой точке полином p не кратен q, справедливо представление p(, ) = µp,q q(, ) p,q ()bp,q (, ), (8.5) где p,q () — положительная однородная функция порядка 2, постоянная µp,q = p0 /q0 равна отношению старших коэффициентов полиномов p и q, функция bp,q (, ) OP 2j1 со старшим G коэффициентом по, равным единице.

Также для любого однородного строго гиперболического полинома p(, ) = f ( 2, ) порядка m = 2(j + 1) и любого однородного гиперболического полинома q(, ) = g( 2, ) порядка 2j + 1, корни которого нестрого разделяют корни p(, ), и в любой точке Rd полином p не кратен q, справедливо представление (8.5).


В первом случае p(, ) = p0 2j + p2 () 2(j1) + · · ·, q(, ) = q0 2j + q2 () 2(j1) + · · ·, j j ck ()2, bk ()2, p2 () = q2 () = k=1 k= где ± ck, k = 1,..., j и 0, ± bk, k = 1,..., j 1, — корни полиномов p и q соответственно. Отсюда имеем p p(, ) = q(, ) p(1) (, ), q p(1) (, ) = p2 () q2 () 2(j1) + · · ·.

Из условия нестрогого разделения корней следует, что j (c2 () b2 ()) + c2 () p2 () q2 () = j k k k= и j (c2 () b2 ()) + c2 () 0, p2 () q2 () = j k k k= если полином p не кратен q для любого Rd. Положим p,q () = p2 () q2 () 0 Rd. Тогда p(1) (, ) p,q ()bp,q (, ).

Второй случай разбирается аналогично. Теперь покажем, что справедлива следующая лемма.

Лемма 8.2. В условиях предыдущей леммы корни гиперболического полинома bp,q (, ) OP m2 всегда нестрого разделяют корни полинома q(, ).

G 168 E. В. РАДКЕВИЧ Рассмотрим случай m = 2(m0 + 1) (случай m = 2m0 + 1 исследуется так же). Из формулы Лагранжа имеем m0 + ( 2 c2 ()).

q(, ) = j () k j=1 k= j Отсюда для любого корня bs () = 0 полинома q имеем j ()c2 () j (b2 () c2 ()) = bp,q (bs (), ) = s k p,q () j=1,...,m0 +1 k= j m0 + µj () m0 +1 m0 + bs () j= (b2 () (b2 () c2 ()) = ck ()) + bs () j () s s k p,q () p,q () j= k=1 k= j m0 + µj () m0 + j= (b2 () c2 ()) =.

s k p,q () k= Таким образом, корни полинома bp,q (, ) чередуются с корнями полинома q = q/, и, следователь но, корни полинома bp,q (, ) строго разделяют корни полинома q.

Определение пучка Града. Полиномиальный пучок P(, ) iQ(, ) = 0, (1)j 2j P2j (, ), P(, ) = (8.6) j 0,N 2j j Q(, ) = (1) 2j+1 P2j+1 (, ), j 0,N 2j+ однородных полиномов Pj порядка mj с вещественными коэффициентами будем называть пучком Града порядка (m, N ), если:

1) полиномы P2j, j 0, и полиномы P2j+1, j 0, имеют одну четность, т.е.

gj ( 2, ), (m 2j) — четное, P2j (, ) = fj ( 2, ), (m 2j) — нечетное, и также gj ( 2, ), (m 2j 1) — четное, P2j+1 (, ) = fj ( 2, ), (m 2j 1) — нечетное;

2) для коэффициентов j справедливо правило Раусса—Гурвица;

3) скобки Пуассона соседних полиномов (, ) Rd+1, [Pj, Pj+1 ](, ) 0 j = 0,..., N 1, т.е. полиномы Pj, j = 0,..., N, нестрого гиперболичны, и корни соседних полиномов Pj, Pj+ нестрого разделяют друг друга.

Теорема 8.1. Любой пучок Града либо устойчив, либо P(, ) iQ(, ) = l P1 (, ) iQ1 (, ) с устойчивым пучком Града P1 (, ) iQ1 (, ).

Как следствие получаем следующее предложение.

АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ Предложение 8.1. Пучок Града, для которого справедливо дополнительное условие [PN 1, PN ](, ) 0 (, ) Rd+1, (, ) = 0, для крайней пары полиномов PN 1, PN, в силу которого их корни взаимно разделяют друг друга, является устойчивым.

Лемма. Для любого пучка Града существует аналог алгоритма Раусса построения семей ства положительных непрерывных функций j (), j = 1,..., m, и полиномов [(mj)/2] akj () 2k, (m j) — четное, k= j (, ) = j = 1,..., m, [(mj1)/2] 2k akj (), (m j) — нечетное, k= с непрерывными коэффициентами таких, что m [P, Q](, ) = j ()j (, ). (8.7) j= Первый шаг параметрического алгоритма Раусса. Рассмотрим пары полиномов P2j, P2j+1, j 0, из P и Q соответственно. В силу определения пучка Града, скобки Пуассона удовлетво ряют неравенству [P2j, P2j+1 ](, ) 0 (, ) Rd+1. (8.8) Тогда лемма 8.1 позволяет получить представления P0 (, ) = P1 (, ) 0,1 ()P2 (, ), P2 (, ) = P3 (, ) 2,3 ()P4 (, ), P4 (, ) = P5 (, ) 4,5 ()P6 (, ), и т.д.

Однородные функции второго порядка удовлетворяют неравенству 2j,2j+1 () 0 для любого d. Старшие коэффициенты полиномов P R 2j равны единице. Более того, в силу этой же леммы, m [P2j+1, P2(j+1) ](, ) 0 (, ) Rd+1, j = 0,... (8.9).

Положим 3 (1) P2 (, ) = 2 P2 (, ) + 0,1 ()P2 (, ), 5 (1) P4 (, ) = 4 P4 (, ) + 2,3 ()P4 (, ), 7 (1) P6 (, ) = 6 P6 (, ) + 4,5 ()P6 (, ), и т.д. Отсюда следует, что Q(, ) P (1) (, ), P(, ) = [P, Q](, ) = Q2 (, ) + [Q, P (1) ](, ), (1) (1) (1) (1) (1) (1) P (1) (, ) = 2 P2 (, ) 4 P4 (, ) + 6 P6 (, ) + · · ·, 170 E. В. РАДКЕВИЧ где 2j+1 (1) 2j () = 2j + 2(j1),2j1 (), 1, 2j, j N (8.10) 2j+1 (1) P2j (, ) = P2j (, ) + 2(j1),2j1 ()P2j (, ).

2j Теперь заметим, что, в силу определения пучка Града, имеем 0 (, ) Rd+1, [P2j+1, P2(j+1) ](, ) 0.

j Отсюда и в силу (8.9) следует, что 3 (1) (1) 0 (, ) Rd+1.

2 ()[P1, P2 ](, ) = 2 [P1, P2 ](, ) + 0,1 ()[P1, P2 ](, ), 5 (1) (1) 0 (, ) Rd+1.

4 ()[P3, P4 ](, ) = 4 [P3, P4 ](, ) + 2,3 ()[P3, P4 ](, ), Также получим 7 (1) (1) 0 (, ) Rd+1, 6 ()[P5, P6 ](, ) = 6 [P5, P6 ](, ) + 4,5 ()[P5, P6 ](, ) и т.д.

(1) Таким образом, полиномы P2j+1 и P2(j+1) в Q и P (1) соответственно, связаны соотношениями типа (8.8), позволяющими, в силу леммы 8.1, перейти к следующему шагу алгоритма Раусса.

Заметим, что при = 0 из (8.10) получаем один из коэффициентов алгоритма Раусса 2j+1 (1) 2j (0) = 2j (8.11), который должен быть положителен в силу необходимого условия устойчивости. В то же время для пучка Града соотношения (8.11) выполнены. Отсюда следует 3 (1) + 0,1 () 0 Rd, 2 () = 1 3 (1) (, ) Rd+1.

[P1, P2 ](, ) = 2 [P1, P2 ](, ) + 0,1 ()[P1, P2 ] (1) 2 () Также для пучка Града 5 4 0, отсюда следует 5 (1) + 2,3 () 0 Rd, 4 () = и т.д.

Второй шаг параметрического алгоритма Раусса. Таким образом, мы можем сделать следую щий шаг алгоритма Раусса:

(1) (1) P1 (, ) = P2 (, ) 1,2 ()P3 (, ), где (1) (1) 0 Rd, (, ) Rd+1, 1,2 () [P2, P3 ](, ) 0, (8.12) и (1) (1) P3 (, ) = P4 (, ) 3,4 ()P5 (, ), где (1) (1) 0 Rd, (, ) Rd+1.

3,4 () [P4, P5 ](, ) 0, (8.13) АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ Так же, как выше, получим P (1) (, ) Q(2) (, ), Q(, ) = (1) 2 () (2) (2) (2) (2) (2) (2) Q(2) (, ) = 3 ()P3 (, ) 5 ()P5 (, ) + 7 ()P7 (, ) + · · ·, (1) 1 4 () (2) (1) 3 () = 1,2 () + 3, (1) (1) 2 () 2 () (1) 1 1 4 () (2) (1) P3 (, ) = 1,2 ()P3 + 3 P3, (2) (1) (1) 3 () 2 () 2 () (1) 1 6 () 1 (1) (2) 5 () = 5 + 3 3,4 (), (1) (1) 2 () 2 () (1) 1 1 6 () (2) (1) P5 (, ) = 5 P5 + 3,4 ()P5 P5, (2) (1) (1) 5 () 2 () 2 () и т.д.

Отсюда следует [Q, P (1) ](, ) = P (1) (, ) + [P (1), Q(2) ](, ).

(1) (1) (2) 1, входящие в P (1) и Q(2) соответственно, связаны Заметим, что полиномы P2j, j 1, и P2j+1, j соотношением (1) (2) (, ) Rd+1, [P2j, P2j+1 ] 0, 1, j откуда следует возможность перехода к следующему шагу алгоритма Раусса. Индукция завершает доказательство леммы, если в (8.7) положим 0 2 (, ) = P (1) (, ), 1 (, ) = Q(, ), = 2 () = (8.14),, 1 (1) 1 2 () и для любого j = 2,..., N положим 2j 2j (, ) = P (2j1) (, ), 2j () =, 2j 2j () (8.15) 2(j1) 2j1 (, ) = Q(2j) (, ), 2j1 () =.

2(j1) 2j1 () Теперь отметим, что из разложения (8.7) следует устойчивость пучка Града, если полиномы j (, ), j = 1,..., m 1, линейно независимы и m () = 0 R2, = 0. Очевидно, пер вое условие выполнено для цепочки полиномов (8.14), (8.15). Их старшие коэффициенты степеней mj соответственно, равны единице. Что можно сказать о полиноме нулевого порядка m ()? Для определенности рассмотрим случай четного m = 2l (случай m = 2l + 1 исследуется аналогично).

Из построения видно, что (m1) m () = m (0) + m (), (m1) где m () 0 = 0 и m () = O(||). Постоянная m (0) — последняя в ряду констант Раусса—Гурвица;

она положительна в силу определения пучка Града и должна быть положительна по необходимому условию устойчивости пучка (8.6).

172 E. В. РАДКЕВИЧ Заключение. Таким образом, нам удалось выделить класс устойчивых полиномиальных пучков, названных нами пучками Града, которые воспроизводятся, как показали прямые вычисления, для первых в иерархии систем моментов Града для кинетических уравнений Больцмана и Фоккера— Планка.

Мы установили, что второе условие в определении пучка Града — справедливость условий Раусса—Гурвица для старших коэффициентов полиномов Pj пучка — является следствием дис сипативности матрицы представлений оператора столкновений в базисе функций Эрмита. Вторым следствием диссипативности матрицы представлений оператора столкновений в базисе функций Эрмита была установлена неотрицательность скобок Пуассона крайних пар соседних полиномов пучка дисперсионного уравнения.

Осталась проблема воспроизводства причин неотрицательности скобок Пуассона всех пар со седних полиномов пучка на каждом шаге построения аппроксимации кинетического уравнения системой моментов Града, что мы отмечаем для всех просчитанных примеров.

9. ПРИЛОЖЕНИЕ. ПРИМЕРЫ В 3-D случае система моментов Града порядка не выше двух для уравнения Фоккера—Планка имеет вид 0 Et + A1 x1 + A2 x2 + A3 x3 M10 + M10 = 0, 0T B S где M10 = (m0, m100, m010, m001, m200, m110, m020, m011, m002, m101 ), матрицы представления уравнения Фоккера—Планка в базисе десяти функций Эрмита:

A1, A2, A3, B S.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Волевич Л. Р., Гиндикин С. Г. Смешанная задача для дифференциальных уравнений в частных про изводных с квазиоднородной старшей частью. — Москва, 1999.

2. Волевич Л. Р., Радкевич Е. В. Равномерные оценки решений задачи Коши для гиперболических урав нений с малым параметром при старших производных// Диффер. уравн. — 2003. — 39, № 4. — С. 1–14.

3. Волевич Л. Р., Радкевич Е. В. Устойчивые пучки гиперболических полиномов и асимптотическая устойчивость задачи Коши для некоторых систем неравновесной термодинамики// Тр. моск. мат. об ва. — 2004 (в печати).

4. Годунов C. К. Обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. — Изд.

Новосибирского ун-та, 1994.

5. Захарченко П. А., Радкевич Е. В. О гиперболических пучках систем моментов Града неравновесной термодинамики// Труды семинара им. И. Г. Петровского. — 2004 (в печати).

6. Петровский И. Г. О проблеме Коши для систем дифференциальных уравнений в частных производных.

Избранные труды. Системы уравнений с частными производными. Алгебраическая геометрия. — М.:

Наука, 1986.

7. Радкевич Е. В. Корректность математических моделей механики сплошных сред и термодинамика// Совр. мат. и ее прил. — 2003. — 3. — С 3–144.

8. Уизем Дж. Б. Линейные и нелинейные волны. — М.: Мир, 1977.

9. Chapman S. C., Cowling T. C. The mathematical theory of non-uniform gases. — 1961, Cambridge University Press.

10. Chen G. Q. Quasidecoupling method for discontinuous solutions to conservation law// Commun. Pure and Appl. Math. — 1993. — 46. — С. 755–781.

11. Grad H. On the kinetic theory of rarefied gases// Commun. Pure and Appl. Math. — 1949. — 2.

12. Hermite Ch. Oeuvres I. — Paris, 1905. — С. 397–414.

13. Junk M. Domain of definition of Levermore’s five-moment system// J. Stat. Phys. — 1998. — 93. — С. 1143– 1167.

14. Levermore C. D. Moment closure hierarchies for kinetic theories// J. Stat. Phys. — 1996. — 83. — С. 1021– 1965.

АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ 15. Muller I., Ruggeri T. Extended Thermodynamics. — Springer-Verlag, 1993.

E. В. Радкевич Московский государственный университет им. Ломоносова E-mail: radk@mech.math.msu.su

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.