авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 6 |
-- [ Страница 1 ] --

ISSN 1512–1712

Академия Наук Грузии

Институт Кибернетики

СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА

И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

Том 29

ТРУДЫ

ВЕСЕННЕЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ШКОЛЫ

«ПОНТРЯГИНСКИЕ ЧТЕНИЯ–XIV»

ВОРОНЕЖ, 2003 Г.

ЧАСТЬ 1

Тбилиси

2005

Редакционная коллегия

Главный редактор:

Р. В. Гамкрелидзе (Математический институт им. В. А. Стеклова РАН) Заместитель главного редактора:

Г. Харатишвили (Институт кибернетики Академии наук Грузии) Члены редколлегии:

А. А. Аграчев (Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, SISSA) Г. Гиоргадзе (Институт кибернетики Академии наук Грузии) Е. С. Голод (Московский государственный университет) И. Т. Кигурадзе (Математический институт им. А. Размадзе Академии наук Грузии) А. Лашхи (Грузинский технический университет) Е. Ф. Мищенко (Математический институт им. В. А. Стеклова РАН) А. В. Овчинников (Московский государственный университет) В. Л. Попов (Математический институт им. В. А. Стеклова РАН) А. В. Сарычев (Университет Флоренции) Г. Химшиашвили (Математический институт им. А. Размадзе Академии наук Грузии) Г. Г. Чоговадзе (Академия наук Грузии) c Институт кибернетики Академии наук Грузии, СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ Том ТРУДЫ ВЕСЕННЕЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ШКОЛЫ «ПОНТРЯГИНСКИЕ ЧТЕНИЯ–XIV»

ВОРОНЕЖ, 2003 Г.

ЧАСТЬ ОГЛАВЛЕНИЕ Lp -оценки решения задачи Дирихле для уравнения теплопроводности в шаре (Ю. А. Алхутов).......................................... Об асимптотическом поведении решений уравнения типа Эмдена—Фаулера с комплексным коэффициентом (И. В. Асташова)................................ Уравнения на графах в задаче H –оптимального управления (А. Е. Барабанов)....... О существовании полного набора решений уравнения Лурье (Н. Е. Барабанов)........ Моделирование электродинамических систем накопления энергии (Я. Л. Богомолов, А. Д.

Юнаковский)............................................ Продолжаемость решений возмущенного включения с вольтерровыми операторами (А. И. Булгаков, В. В. Васильев, А. А. Ефремов)........................ Некоторые результаты возмущенных включений с компактнозначным отображением (А. И. Булгаков, А. А. Григоренко, Е. С. Жуковский)..................... Слабый принцип максимума для эллиптического оператора на стратифицированном множе стве (А. А. Гаврилов, О. М. Пенкин)............................... Асимптотики решений задач гидродинамики (А. В. Глушко)................... Многометодные процедуры оптимального управления (В. И. Гурман)............. Обобщенные функции на аделях (Б. Драгович, Я. Радыно, А. Хренников).......... О задаче Коши для нелинейныx диссипативныx систем уравнений (Е. И. Кайкина, П. И.

Наумкин, И. А. Шишмарев).................................... Об асимптотическом поведении решений слаболинейных эллиптических уравнений второго порядка в цилиндрической области (В. А. Кондратьев).................... Об асимптотических свойствах решений нелинейных параболических уравнений (В. А. Кон дратьев)............................................... О равносходимости спектральных разложений самосопряженных интегральных операторов (В. В. Корнев, А. П. Хромов)................................... О некоторых структурных свойствах банаховых алгебр, ассоциированных с автоморфизмами (А. В. Лебедев)........................................... Принцип максимума А. Д. Александрова (А. И. Назаров).................... Асимптотическое поведение плотности спектральной меры сингулярного оператора Штурма– Лиувилля (А. С. Печенцов, А. Ю. Попов)............................ Об обобщенной задаче Штурма—Лиувилля для уравнения с разрывными решениями (Ю. В. Покорный, М. Б. Зверева, С. А. Шабров)........................ Новая оценка приближения решений уравнения Штурма—Лиувилля с аналитическим потен циалом частичными суммами асимптотических рядов (И. В. Садовничая).......... Прямая параметризация каустик фредгольмовых функционалов (Ю. И. Сапронов, Е. В. Че мерзина)............................................... Краевая задача с почти осцилляционным спектром (А. Л. Тептин)............... Современная математика и ее приложения. Том 29 (2005). С. 3– УДК 517. Lp -ОЦЕНКИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В ШАРЕ c 2005 г. Ю. А. АЛХУТОВ СОДЕРЖАНИЕ 1. Введение............................................. 2. Вспомогательные оценки в усеченном шаре......................... 3. Оценки функции Грина..................................... Список литературы....................................... 1. ВВЕДЕНИЕ Начало изучению параболических уравнений в нецилиндрических областях с характеристиче скими точками на границе положено И. Г. Петровским. Им найдены необходимые и достаточные условия на порядок касания граничной поверхности гиперплоскостью t = const для разрешимости по Перрону задачи Дирихле для уравнения теплопроводности [6]. Позже эти результаты были обобщены Е. М. Ландисом [4] и L. C. Evance и R. Z. Gariepy [7] на области произвольной струк туры. Разрешимость первой краевой задачи для параболических уравнений высокого порядка в соболевских пространствах исследована В. П. Михайловым [5].

Случай общих краевых задач в нецилиндрических областях специального вида рассмотрен В. А. Кондратьевым [1]. Им изучены асимптотика и разрешимость в L2 -пространствах со сте пенным весом.

2, В данной работе задача Дирихле исследуется в классическом соболевском пространстве Wp,0.

Хотя предлагаемый подход достаточно прозрачен, с его помощью удается найти необходимое и достаточное условие однозначной разрешимости краевой задачи в шаре. Близкий по формулировке результат о классической разрешимости такой задачи в пространстве функций, имеющих вторые непрерывные производные по t и x вплоть до границы, ранее получен Н. В. Крыловым в [2].

Прежде чем переходить к более детальному изложению, приведем используемые определения и обозначения.

Всюду далее En+1 и En означают евклидовы пространства точек (t, x) = (t, x1,..., xn ) и x = (x1,..., xn ) соответственно, () — параболическую границу области En+1, BR En+1 — открытый шар радиуса R, L = /t — оператор теплопроводности.

2, Пространство Wp,0 (BR ) понимается пополнением по норме 1/p |Dx Dt 0 u|p dx dt mm u = (1.1) 2, Wp,0 (BR ) 2m0 +|m|= BR множества гладких в замыкании BR функций, равных нулю на BR.

Рассмотрим задачу Дирихле 2, Lu = f в BR, f Lp (BR ), u Wp,0 (BR ). (1.2) Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проекты №№ 06-01-00288, 07-01-00522.

c Ин-т кибернетики АН Грузии, ISSN 1512– 4 Ю. А. АЛХУТОВ В формулировке результата важную роль играет первое собственное число = (R) вспомога тельной задачи n exp(||2 /4)vi + exp(||2 /4)v = 0 в Q2R, v|Q2R = 0, (1.3) i i= где Q2R En означает n-мерный шар радиуса 2R с центром в начале координат. Положим d = (p n/2 1)/p.

Теорема 1. Задача (1.2) имеет единственное решение и для ее разрешимости вместе с ко эрцитивной оценкой u W 2,1 (BR ) C(n, p, R) f Lp (BR ) (1.4) p, необходимо и достаточно выполнения условия (R) d.

Из этой теоремы следует, что при p (1, (n + 2)/2] задача (1.2) однозначно разрешима в шаре любого радиуса.

Доказательство этой теоремы основано на точных оценках функции Грина в окрестности ха рактеристических точек шара.

Отметим, что критерии разрешимости задачи (1.2) для разных параболических операторов L с постоянными коэффициентами не совпадают. В частности, для оператора вида L = · /t, 0, необходимое и достаточное условие разрешимости задачи (1.2) состоит в выполнении условия (R) d. Подобное свойство параболических уравнений в нецилиндрических областях впервые было отмечено И. Г. Петровским.

2. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ В УСЕЧЕННОМ ШАРЕ 2.1. Lp -оценки в усеченных параболоидах. Мы начнем с оценок в параболоидах вида = {(t, x) : |x|2 2Rt}, = {(t, x) : |x|2 2Rt};

(2.1) будем называть эти области P -параболоидом и P + -параболоидом соответственно. Рассмотрение таких областей связано с тем, что в окрестности своих характеристических точек шар устроен как P - или P + -параболоид.

В дальнейшем используются обозначения T = {(t, x) : |t| T }, = T \, 0 T.

T 2, Пространство Wp,0 ( ) понимается как пополнение по норме (1.1) множества гладких в замы T кании функций, равных нулю на параболической границе ( ). Для неотрицательного веса T T (t) пространство Lp, означает множество функций, суммируемых в степени p c весом (t).

Рассмотрим задачу Дирихле 2, в, f Lp ( ), u Wp,0 ( ), Lu = f 0 T. (2.2) T T T для равномерно параболического оператора n n Lu = aik (t, x)uxi xk + ai (t, x)uxi ut i= i,k= с непрерывными в замыкании T коэффициентами, где является P + или P -параболоидом.

Лемма 1. Задача (2.2) однозначно разрешима и ее решение удовлетворяет неравенству u C f +u, (2.3) 2, Lp ( ) Lp, ( ) Wp,0 ( ) T T T в котором (t) = |t|p, а постоянная C не зависит от u и.

Доказательство. Пусть является P -параболоидом. Сделаем замену переменных xi i =, i = 1,..., n, = ln (t), (2.4) t Lp -ОЦЕНКИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В ШАРЕ после которой область преобразуется в цилиндр CT = Q2R (ln T 1, ln 1 ), а L перейдет в T равномерно параболический в CT оператор n n i L u = exp () u i u, aij (, )i i + u ai (, ) i,j=1 i= где aij (, ) = aij (e/2, e ), ai (, ) = ai (e/2, e )e/2.

(2.5) Поскольку коэффициенты оператора L непрерывны в замыкании CT, то преобразованная задача 2, L u = f в CT, f Lp (CT ), u Wp,0 (CT ) однозначно разрешима (см., например, [3]). Так как преобразование (2.4) невырождено в, то T однозначно разрешима и задача (2.2).

Для вывода (2.3) продолжим коэффициенты aij и ai оператора L по непрерывности на все пространство En+1 с сохранением условия эллиптичности матрицы {ij } и, положив u(, ) = a при ln T 1, рассмотрим в цилиндре C = Q2R (, ln 1 ) оператор n n L = u aij (, )i i + u ai (, )i u.

u (2.6) i,j=1 i= Введем вспомогательную функцию v(, ) = exp (n/2p)(, ), удовлетворяющую в C уравне u нию n 1 n Lv = exp ()f + i ui + u exp (n/2p), (2.7) 2 2p i= 2, и воспользуемся коэрцитивной оценкой в пространстве Wp,0 для оператора L в цилиндрах Ck = Q2R (k 1, k + 1) C, Ck CT =, с целыми индексами k. В результате (см. [3]), обозначив Ck = Q2R (k, k + 1), получим p p p v C Lv +v, k = kT, kT + 1,..., k, (2.8) 2,1 Lp (Ck ) Lp (Ck ) Wp,0 (Ck ) где C не зависит от v, а индексы kT и k соответствуют тем цилиндрам Ck, чьи замыкания содержат соответственно нижнюю и верхнюю крышки цилиндра CT.

Постоянную C в (2.8) можно считать не зависящей от k при k k0 (L, n, p, D). Действительно, согласно (2.5) колебание коэффициентов aij в Ck и max |i | в C k стремятся к нулю при k a +. Так как для параболических операторов с постоянными коэффициентами соответствующая постоянная C в (2.8) не зависит от k, то нужное утверждение вытекает из метода замораживания коэффициентов.

Возьмем в (2.8) наибольшую из всех постоянных C для k kT. Ввиду отмеченного выше свойства, выбранная константа не зависит от.

Суммируя неравенства (2.8) по всем k = kT,..., k и, пользуясь (2.7), в исходных переменных (t, x) будем иметь u C f + x u +u, 2, Lp ( ) Lp,1 ( ) Lp,( ) Wp,0 ( ) T T T T где 1 (t) = |t|p/2. Теперь для доказательства (2.3) осталось осталось воспользоваться интерполя ционным неравенством x u C() u + u Lp, ( ).

2, Lp,1 ( ) Wp,0 ( ) T T T Если является P + -параболоидом, то в доказательстве аналогичной оценки нужно вместо (2.4) сделать замену i = xi / t, i = 1,..., n, = ln t и повторить предыдущие рассуждения. Лемма доказана.

6 Ю. А. АЛХУТОВ 2.2. Lp -оценки в усеченном шаре. Перейдем к выводу Lp -оценок в усеченном шаре радиуса R с центром в начале координат. Положим BR () = BR {(t, x) : R + t R }, 0 R, (2.9) и рассмотрим задачу Дирихле для оператора теплопроводности 2, Lu = f в BR (), f Lp (BR ()), u Wp,0 (BR ()). (2.10) 2, Пространство Wp,0 (BR ()) понимается естественным образом, как и для усеченных параболоидов.

T Лемма 2. Задача (2.10) однозначно разрешима и ее решение удовлетворяет неравенству u C f +u, (2.11) 2,1 Lp (BR ()) Lp, (BR ()) Wp,0 (BR ()) в котором (t) = (R |t|)p, а постоянная C не зависит от u, f и.

Доказательство. После невырожденной в BR () замены переменных 1/ 2R yi = xi, i = 1, 2,..., n, = t + R, (2.12) Rt которая преобразует BR () в усеченный P + -параболоид где = {(, y) : |y|2 2R }, BR () = {(, y) : 2R }, (2.13) а оператор теплопроводности — в оператор n 2R Lu = u yi u yi u, 2R 4R i= задача (2.10) в новых переменных примет вид 2, L u = f в BR (), f Lp (BR ()), u Wp,0 (BR ()).

(2.14) Так как оператор L равномерно параболичен в BR () и его коэффициенты непрерывны в замыка нии BR (), то по лемме 1 преобразованная задача (2.14) однозначно разрешима. Поэтому в силу невырожденности замены (2.12) однозначно разрешима и задача (2.10).

При выводе оценки (2.11), которая нас интересует только для малых 0, будем предполагать R/2. Вначале заметим, что u C f +u (2.15) (1) (1) (1) 2, Wp,0 (BR ()) Lp (BR ()) Lp, (BR ()) в усеченном шаре (1) BR () = BR {(t, x) : R + t R/2}.

(1) В самом деле, замена переменных (2.12) преобразует BR () в 3R/2 = {(, y) : 3R/2} (2.16) (1) (см. (2.13)) и соответствующий якобиан для (t, x) BR () не зависит от. Поэтому, если в области 3R/2 применить к решению u преобразованой задачи (2.14) оценку (2.3), то в исходных переменных (t, x) получим u C f +u +u, (1) (1) (1) (1) 2, Wp,0 (BR ()) Lp (BR ()) Lp,1 (BR ()) Lp, (BR ()) где 1 (t) = (R t)p/2, и (2.15) вытекает из интерполяционного неравенства u C() u + u.

(1) (1) (1) 2, Lp,1 (BR ()) Lp, (BR ()) Wp,0 (BR ()) Lp -ОЦЕНКИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В ШАРЕ Для доказательства аналогичной оценки в оставшейся части усеченного шара (2.9) сделаем замену переменных 2R 1/ yi = xi, i = 1, 2,..., n, = t R, R+t сохранив за соответствующими образами предыдущие обозначения. При такой замене BR () пре образуется в усеченный P -параболоид BR (), симметричный (2.13) относительно гиперплоскости {(, y) : = 0}, а оператор теплопроводности перейдет в оператор L вида n 2R Lu = + u yi u yi u.

2R + 4R i= Рассмотрим решение u преобразованной задачи (2.14) в области, симметричной (2.16), и 3R/ являющейся образом усеченного шара (2) BR () = BR {(t, x) : R/2 t R }.

Поскольку u уже не удовлетворяет однородному краевому условию на ( ), то на этот раз 3R/ воспользуемся оценкой u C f +u, 2, Lp ( Lp, ( ) ) Wp,0 ( ) 3R/2 3R/ R которая следует из (2.3) умножением u на срезающую функцию. Теперь, как и выше, придем к соотношению u W 2,1 (B (3) ()) C f L (B (2) ()) + u L (B (2) ()), (2.17) p p, p,0 R R R (3) в котором BR () = BR {(t, x) : 0 t R }. Сопоставляя (2.15) и (2.17), получим требуемое неравенство (2.11). Лемма доказана.

3. ОЦЕНКИ ГРИНА ФУНКЦИИ 3.1. Поточечные оценки функции Грина. Оценка весовых Lp -норм функции u в правой части (2.11) связана с исследованием функции Грина G(t,, x, y) задачи Дирихле для оператора теплопро водности в шаре BR. Положим F (t, x) = (t)(t)n/2 exp (|x|2 /4t), где (t) — характеристическая функция положительной полупрямой.

Сначала мы приведем оценки функции Грина в параболоидах (2.1). Обозначим через = (R) первое собственное число задачи n exp(||2 /4)i + exp(||2 /4) = 0 в Q2R, v v v |Q2R = (3.1) i i= и отметим соотношение n + =, (3.2) связывающее первые собственные числа задач (1.3) и (3.1). Оно вытекает из того, что соответству ющие собственные функции связаны очевидным равенством v() = v () exp(||2 /4).

Лемма 3. Функция Грина удовлетворяет в неравенствам C(n)F (t, x y) при 2t, G(t,, x, y) (3.3) C (n, ) | |n/2 |t| при 2t, в P -параболоиде и неравенствам C(n)F (t, x y) при t 2, G(t,, x, y) (3.4) C (n, ) n/2+ t при t 2, в P + -параболоиде.

8 Ю. А. АЛХУТОВ Доказательство. Пусть является P -параболоидом. Достаточно рассмотреть только случай 2t, так как иначе требуемая оценка следует из определения функции Грина. Из общей теории самосопряженных операторов известно, что спектр задачи (1.3) дискретен, собственные числа {k }, k = 1, 2,..., положительны, а нормированная система соответствующих собственных функций vk () образует ортогональный базис в пространстве L2 (Q2R ) с весом exp(||2 /4).

Вычислим для фиксированных (, y) и t коэффициенты Фурье gk (, y, t) функции G(t,, y) переменного x в области Q2R (t) = {x : x/ t Q2R } по системе собственных функций x, {vk (x/ t)}:

x F (t, x)vk gk (, y, t) = G(t,, x, y)dx.

t Q2R (t) Функция gk (, y, t) по переменным (, y) является решением задачи y L gk = 0 в {(, y) : t}, gk | = 0, gk | =t = F (t, y)vk, t для сопряженного оператора L = y + /. По принципу максимума решение этой задачи единственно и непосредственной проверкой нетрудно убедиться, что y gk (, y, t) = F (, y)( )k (t)k vk.

Таким образом, в Q2R (t) имеет место равенство x y (t)k ( )k vk G(t,, x, y) = F (, y) vk (3.5) t k= в пространстве L2 с весом exp(|x|2 /4t). Далее, как хорошо известно из теории интегральных n k q vk () для q уравнений, ряд q(n) сходится равномерно на Q2R, и его сумма оценивается k= сверху постоянной, зависящей только от n и R. Поскольку sup q 2k /4 = C(n, R), то при k k 2t из неравенства Коши следует, что y x n/21 1 2 k q vk k q vk G(t,, x, y) C(n, R)| | |t|.

t k=1 k= Отсюда вытекают и равномерная сходимость на Q2R (t) ряда (3.5), и требуемая оценка (3.3). Нера венство (3.4) доказывается аналогично. Лемма доказана.

Следствием леммы 3 являются оценки функции Грина открытого (n + 1)-мерного шара BR радиуса R. Нас будет интересовать поведение функции Грина в окрестности характеристической точки;

поместим эту точку в начало координат.

Следствие 1. Функция Грина шара BR удовлетворяет в BR BR неравенствам C(n)F (t, x y) при 2t, G(t,, x, y) (3.6) C (n, R) | |n/2 |t| при 2t, если центр BR расположен в точке (R, 0), и неравенствам C(n)F (t, x y) при t 2, G(t,, x, y) (3.7) C (n, R) tn/2 при t 2, если центр BR расположен в точке (R, 0).

Lp -ОЦЕНКИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В ШАРЕ Для доказательства (3.6) достаточно заметить, что BR содержится в P -параболоиде (2.1).

Согласно принципу максимума, функция Грина шара BR не превосходит в BR BR функции Грина параболоида, и остается воспользоваться оценкой (3.3). Аналогично устанавливается и (3.7). В этом случае BR содержится в P + -параболоиде (2.1) и наряду с (3.3) нужно применить соотношение (3.2), связывающее первые собственные числа задач (1.3) и (3.1).

3.2. Lp -оценки функции Грина. В дальнейшем будет использован следующий результат рабо ты [8].

Теорема 2. Для справедливости неравенства Харди p T T T |g(t)|p w(t)dt, g( )d w0 (t)dt C p 1, (3.8) t 0 с весами w0 0, w 0 и постоянной C, не зависящей от g, необходимо и достаточно выполнение условия p t T p sup w0 ( )d d (w( )).

t(0,T ) t Аналогично, для справедливости двойственного неравенства p T t T |g(t)|p w(t)dt, g( )d w0 (t)dt C p 1, (3.9) 0 0 необходимо и достаточно, чтобы T p t p sup w0 ( )d d (w( )).

t(0,T ) t В следующем утверждении G(t,, x, y) означает функцию Грина P - или P + -параболоида, имеет тот же смысл, что и в § 2, а d = (p n/2 1)/p — постоянная из теоремы 1.

T Лемма 4. Если выполнено условие d, то в P - и P + -параболоидах для любой функции f Lp ( ) справедливо неравенство T p |t|p dx dt |f (t, x)|p dx dt G(t,, x, y)f (, y) dy d C (3.10) T T T с постоянной C, не зависящей от f и.

Доказательство. Рассмотрим P + -параболоид. Продолжим функцию f (t, x) нулем в, и без ограничения общности будем считать f 0 в, f C (T ). Разобьем T на множества A1 (t) = {(, y) : t/2} T, A2 (t) = T \ A1 (t) и, обозначив Iip (t, x)tp dx dt, Ii (t, x) = G(t,, x, y)f (, y) dy d, Ji = i = 1, 2, T Ai (t) заметим, что p G(t,, x, y)f (, y) dy d tp dx dt const ·(J1 + J2 ). (3.11) T T 10 Ю. А. АЛХУТОВ Согласно оценке (3.4) Ct f (, y) n/2+ dy d I1 (t, x) A1 (t) и неравенству Гельдера p 1/p T t b/p d tbp dt, f p (, y)dy J1 C (3.12) 0 0 D( ) где D( ) — сечение гиперплоскостью {(t, x) : t = }, b = n/2 p. Пользуясь равенством (3.2), связывающим первые собственные числа задач (1.3) и (3.1), нетрудно проверить, что при выполнении условия d выполнено соотношение T t p b p sup bp d d. (3.13) t(0,T ) t Применяя теперь к интегралу в правой части (3.12) неравенство Харди (3.9) для весов w0 (t) = tbp, w(t) = tb, в силу (3.13) придем к оценке f p (t, x) dx dt.

J1 C T На множестве A2 (t) функция Грина не превосходит C(n)F (t, x y) (см. (3.4)) и вновь по неравенству Гельдера p p F (t, x y)f p (, y) dy d I2 (t, x) C F (t, x y) dy d.

A2 (t) A2 (t) Поскольку F ( t, x y)dy = const при t, En будем иметь T t h( )d t1 dt, f p (, y)dy.

J2 C h( ) = 0 t/2 D( ) Следовательно, p1 p1 T t T t b b p1 p h( ) dz d tbp dt, d tbp dt J2 C h( ) z dz C z 0 0 0 t/2 / и интегрируя по частям (напомним, что h( ) = 0 при [0, ]), из соотношения (3.13) получим T t p T T b p h(t) bp d d f p (t, x) dx dt.

J2 C dt C h(t)dt = C t 0 0 0 T Для завершения доказательства (3.10) осталось подставить в (3.11) найденные оценки для J1 и J2.

Вывод соответствующего утверждения в P -параболоиде аналогичен приведенному выше. От личие состоит лишь в использовании другой оценки функции Грина (3.3) и другого неравенства Харди (3.8). Лемма доказана.

Lp -ОЦЕНКИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В ШАРЕ Приведем соответствующую Lp -оценку в усеченном шаре BR () (см. (2.9)), обозначив через G(t,, x, y) функцию Грина шара BR с центром в начале координат.

Лемма 5. Если выполнено условие (R) d, то для любой функции f Lp (BR ()) справед ливо неравенство p |f (t, x)|p dx dt (R |t|)p dx dt G(t,, x, y)f (, y) dy d C (3.14) BR () BR () BR () с постоянной C, не зависящей от f и.

Доказательство. Перенесем центр шара BR в точку (R, 0) и воспользуемся оценкой (3.6). Рас суждая так же, как в лемме 4, придем к неравенству (3.10), в котором все интегралы берутся по усеченному шару BR (). В исходных координат будем иметь p |f (t, x)|p dx dt, G(t,, x, y)f (, y) dy d 1 (t) dx dt C BR () BR () BR () где 1 (t) = (R t)p при 0 t R и 1 (t) = Rp при R t 0. Аналогично получается такая же оценка с весом 2 (t) = Rp при 0 t R и 2 (t) = (R |t|)p при R t 0. Из этих двух соотношений легко вытекает (3.14). Лемма доказана.

Доказательство теоремы 1. Шаг 1. Единственность решения. Перенесем центр шара BR в точ ку (R, 0) и запишем интегральное представление решения однородной задачи 2, Lu = 0 в BR, u Wp,0 (BR ), через функцию Грина шара BR :

u(t, x) = G(t,, x, y)u(, y)dy, (t, x) T, t, D( ) где D( ) — сечение BR гиперплоскостью {(t, x) : t = }. Применяя для G(t,, x, y) при t оценку (3.7), получим Ctn/ u(t, x) |u(, y)|dy, t 2.

D( ) Так как n-мерная мера Лебега D( ) не превосходит const · n/2, то, согласно неравенству Гельдера, |u(t, x)|p n/2p(n/2++1) Ctp(n/2+) p |u(, y)|p dy, t 2.

D( ) Зафиксируем (t, x) и проинтегрируем это неравенство по на интервале (, t/2). В результате будем иметь t/ p d Ctp(n/2+) |u(, y)|p p dy d, |u(t, x)| BR 2, где = n/2 p(n/2 + + 1). Так как u Wp,0 (BR ), то нетрудно доказать неравенство |u(, y)|p p dy d Cu, 2, Wp,0 (BR ) BR 12 Ю. А. АЛХУТОВ из которого вытекает соотношение t/ |u(t, x)|p d tp(n/2+) u C.

2, Wp,0 (BR ) Далее, 1, и значит d =.

Следовательно, постоянную можно выбрать так, что |u(t, x)| для заданного 0. Таким образом, u 0 в BR, так как и (t, x) BR произвольны. Единственность доказана.

Шаг 2. Достаточность условия (R) d. Поместим центр шара в начало координат и для k +0 при k определим в BR последовательность функций fk, равных нулю при t R+k и совпадающих при t R + k с правой частью f уравнения в (1.2). Рассмотрим в усеченных шарах BR (m ) (см. (2.9)) вспомогательные задачи 2, Luk,m = fk в BR (m ), uk,m Wp,0 (BR (m )), m k, однозначная разрешимость которых установлена в лемме 2. Пользуясь интегральным представле нием решений uk,m через функцию Грина uk,m (t, x) = G(t,, x, y)fk (, y) dy d BR (m ) и неравенствами (2.11) и (3.14), придем к оценке uk,m C fk (3.15) 2,1 Lp (BR (m )) Wp,0 (BR (m )) с постоянной C, не зависящей от k и m.

Функция uk,m, продолженная нулем при t R + m, удовлетворяет уравнению Luk,m = fk уже в усеченном шаре BR {(t, x) : t R m }. Поэтому ввиду произвольности m k из (3.15) следует существование решений задач 2, Luk = fk в BR, uk Wp,0 (BR ) вместе с оценками uk C fk Lp (BR ), u k1 u k2 C fk1 fk2 Lp (BR ), 2,1 2, Wp,0 (BR ) Wp,0 (BR ) в которых C не зависит от k. Отсюда разрешимость задачи (1.2) и неравенство (1.4) вытекают стандартными рассуждениями. Достаточность доказана.

Шаг 3. Необходимость условия (R) d. Не ограничивая общности, будем считать, что центр шара BR находится в точке (R, 0). Пусть v() — первая собственная функция задачи задачи (1.3), соответствующая собственному числу = (R).

Так как v() = 0 на Q2R, то совершая в En гомотетию вида 1/ 2R i = i (t, x) = xi, i = 1, 2,..., n, (2R + t)t которая для каждого t (2R, 0) осуществляет взаимно-однозначное соответствие между Q2R и сечением шара BR гиперплоскостью {(, y) : = t}, получим (t) v((t, x)) = 0 на BR \ {(2R, 0)}.

Положим теперь R u(t, x) = (t) v((t, x)) g( ) d, (t, x) BR, (3.16) t где g(t) Lp ([0, 2R]), g(t) = 0 на (R, 2R).

Lp -ОЦЕНКИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В ШАРЕ 2, Функция u(t, x) принадлежит соболевскому пространству Wp,0 в каждом из усеченных шаров BR {(t, x) : t }, 0 2R, и удовлетворяет уравнению R n (t) g( ) d Lu = i vi v g(t)v = f (t, x).

2R + t i= t Поскольку f (t, x) = 0 в той части BR, где t R, после несложного подсчета будем иметь R |g(t)|p tn/2 dt.

f C (3.17) Lp (BR ) Следовательно, f Lp (BR ), и, согласно предположению, задача (1.2) имеет единственное решение, для которого выполнена оценка (1.4). Ясно, что этим решением является функция (3.16). Из оценок (1.4) и (3.17) получим неравенство p R R R ap |g(t)|p tn/2 dt, g( )d t dt C t 0 в котором a = n/2 + p, а постоянная C не зависит от g. Отсюда, согласно теореме 2, придем к соотношению t R p a p sup ap d d, t(0,R) t эквивалентному условию теоремы (R) d. Необходимость доказана. Теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Кондратьев В. А. Краевые задачи для параболических уравнений в замкнутых областях// Тр. Моск.

мат. о-ва. — 1966. — 15. — С. 400–451.

2. Крылов Н. В. Гладкость функции выигрыша для управляемого диффузионного процесса в области// Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1989. — 52, № 1. — С. 66–96.

3. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. — М.: Наука, 1967.

4. Ландис Е. М. Необходимое и достаточное условие регулярности граничной точки для уравнения теп лопроводности// Докл. АН СССР. — 1969. — 185, № 3. — С. 517–520.

5. Михайлов В. П. О задаче Дирихле для параболического уравнения// Мат. сб. — 63, № 1. — С. 40–64.

6. Петровский И. Г. О решении первой краевой задачи для уравнения теплопроводности// Уч. зап.

МГУ. — 1934. — № 2. — С. 55–59.

7. Evans L. C., Gariepy R. Z. Wiener criterion for the heat equation// Arch. Rath. Mech. Anal. — 1982/ — 78, № 4. — С. 293–314.

8. Muckenhoupt B. Hardy’s inequality with weights// Stud. Math. — 1972. — 44, № 1. — С. 31–38.

Ю. А. Алхутов Владимирский государственный педагогический университет E-mail: alkhutov@vgpu.vladimir.ru Современная математика и ее приложения. Том 29 (2005). С. 14– УДК 517.956. ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОМ ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ТИПА ЭМДЕНА—ФАУЛЕРА С КОМПЛЕКСНЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ c 2005 г. И. В. АСТАШОВА Рассмотрим дифференциальное уравнение y (x) = p0 |y(x)|m y(x), (1) где m 0, x R, p0 C.

Если в уравнении (1) вместо p0 стоит действительнозначная функция p(x), то это — хорошо известное уравнение типа Эмдена—Фаулера, асимптотические свойства которого детально ис следовались в работах Ф. Aткинсона, Р. Беллмана, И. Кигурадзе, А. Кнезера, В. Кондратьева, А. Мышкиса, Дж. Сансоне и других авторов. Подробную библиографию см. в [1]. С другой сто роны, (1) — это одномерное уравнение Шредингера. Качественные свойства решений различных задач, связанных с этим уравнением в n-мерном случае (n 2), были описаны М. Ф. Бидо Верон, Х. Брезисом, Л. Вероном, Б. Гершем, С. Дои, Т. Като, В. Кондратьевым, П. Константином, Н. Хаяси, М. Шубиным и др. (см. [3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11]).

Настоящая статья обобщает результаты [2], где рассматривался только случай Re p0 = 0. Всюду ниже вместо m/4 используется.

Заметим, что если y1 (x) является решением (1), то и функция y2 (x) = Ay |A|2 (xx0 ) при про извольных константах A C и x0 R также является решением этого уравнения. Это позволяет понизить размерность задачи, отождествляя решения, связанные приведенным соотношением.

Пара функций y(x), y (x) порождает кривую в C2. Кривые, порожденные нетривиальными решениями, лежат в C2 \ {0}. Решения y(x) и y(x x0 ) порождают одну и ту же кривую (с точностью до параметризации).

Рассмотрим отношение эквивалентности в C2 \ {0}, при котором решения y1 (x) и y2 (x) = Ay1 (|A|2 x) порождают одну и ту же кривую в факторпространстве. Это отношение может быть задано формулой (z0, z1 ) (Az0, A|A|2 z1 ) для произвольного комплексного A = 0.

Обозначим через факторпространство C2 \{0} по этому отношению эквивалентности. Его мож но снабдить структурой действительного двумерного многообразия класса C 1 с помощью атласа, состоящего из двух карт. Обе карты являются биекциями подмножеств на C.

Первая карта определена на классах эквивалентности пар (z0, z1 ), для которых z0 = 0, т.е. на всем, кроме точки — классе эквивалентности пары (0, 1). Биекция определяется комплекснознач ной функцией z u : [(z0, z1 )].

z0 |z0 | Вторая карта определена для классов пар (z0, z1 ), z1 = 0, следующим образом:

z0 |z1 |2/(2+1) U : [(z0, z1 )].

z Непосредственно проверяется, что эти функции корректно определены и являются биекциями.

Замены координат задаются соотношениями |u|2/(2+1) u=, U= U |U |2 u Работа выполнена в рамках научной программы 015 Министерства образования РФ «Фундаментальные исследования высшей школы в области естественных и гуманитарных наук. Университеты России», код проекта НИР 015.04.01.22.

c Ин-т кибернетики АН Грузии, ISSN 1512– АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ТИПА ЭМДЕНА–ФАУЛЕРА и принадлежат классу C 1 как отображения R2 \ {0} R2 \ {0}.

Полученное многообразие гомеоморфно двумерной сфере и поэтому компактно. Его даже можно вложить в R3 так, чтобы u и U стали стереографическими проекциями.

Опишем в координатах кривые, порождаемые на решениями (1).

В первой карте имеем y u=, y|y| откуда непосредственными вычислениями получаем u = |y|2 p0 ( + 1)u2 |u|2.

Следовательно, выбирая в качестве параметра переменную t, для которой dt = |y|2 dx, получим внутреннее описание кривой:

du = p0 ( + 1)u2 |u|2.

u= dt Аналогично, во второй карте кривые, порождаемые решениями (1), описываются уравнением |U | dU p0 |U |2 ( + 1)p0 U =1+ d 2 + с другим параметром, для которого d = |y |2/(2+1) dx.

Правые части обоих уравнений принадлежат классу C 1 в действительном смысле. Из двух па раметров с помощью разбиения единицы можно сделать один так, чтобы все кривые, порожденные на решениями (1), были траекториями автономной динамической системы с новым параметром в качестве независимой переменной. Ввиду компактости любая траектория системы продолже на на всю ось (, +), причем именно такие полные траектории, а не их части порождаются непродолжаемыми решениями (1).

У системы есть ровно две неподвижные точки (при условии, что p0 = 0). Они обе находятся в первой карте и отличаются только знаком. Уравнение u = 0, записанное в терминах v = Re u и w = Im u:

(2 + 1)v 2 w2 = Re p0, 2( + 1)vw = Im p0, можно легко решить, получив два решения: u0 = v0 + w0 i, где 2 + (Re p0 )2 + (Im p0 ) Re p0 + ( + 1)2 Im p v0 =, w0 =, (2) 4 + 2 2( + 1)v и v0 w0 i.

Иногда удобнее записывать систему в терминах неподвижной точки u0, а не p0 :

u = ( + 1)(u2 u2 ) + (|u0 |2 |u|2 ).

(3) Хотя случай u0 = ±i соответствует действительному p0, его исследование помогает понять поведение траекторий для комплексных p0.

В этом случае система записывается следующим образом:

u = 1 ( + 1)u2 |u|2.

(4) Среди ее решений легко находится одно действительнозначное, меняющееся от + до. На самом деле это только часть замкнутой траектории на, проходящей через единственную не покрытую первой картой точку. Так как другие траектории не могут проходить через эту же точку, они все полностью лежат в первой карте. Точнее, в полуплоскости Im u 0 или Im u 0.

Ввиду инвариантности системы относительно комплексного сопряжения достаточно рассмотреть только первый случай.

16 И. В. АСТАШОВА Для любой такой траектории, не являющейся неподвижной точкой, исследуем поведение arg(u i), используя обозначения v = Re u, w = Im u:

1 ( + 1)u2 |u|2 (u + i) d u arg(u i) = Im = Im |u i| dt ui 2 + |u|2 u + i + ( + 1)u2 i + |u|2 i Im u + ( + 1)u|u| = |u i| 2 w + 1 + ( + 1) Re(u2 ) + |u| w + |u| = |u i| 2 w + w 3 + 1 + ( + 1)v 2 ( + 1)w 2 + v 2 + w w + v = |u i| w(w2 1) + v 2 (w + 1) + 2v 2 w2 + = v 2 + (w 1) (w2 1)(w 1) + v 2 (w + 1) 2v + v = = w 1 2 1.

v 2 + (w 1)2 |u i| Отсюда следует, что траектория обходит точку i по часовой стрелке, регулярно меняя знак Re u.

Из (4) также вытекает, что все траектории симметричны относительно мнимой оси. Значит, все они, кроме действительной оси и двух неподвижных точек, представляют собой овалы, окружаю щие одну из неподвижных точек, причем обход i происходит по, а i — против часовой стрелки.

Глобально, покрытое траекториями, выглядит, как глобус с двумя полюсами и множеством параллелей.

Перейдем к случаю p0 с ненулевой мнимой частью, при этом u0 будет иметь и ненулевую действительную часть. Для использования предыдущего результата повернем и сожмем/растянем картину траекторий так, чтобы неподвижная точка, для которой Re u0 0, попала в i. Это преобра зование записывается в первой карте в виде u iu/u0 и легко легко продолжается до глобального диффеоморфизма пространства.

Непосредственные вычисления приводят к уравнению для такой модифицированной системы:

u = i ( + 1)(1 + u2 )u0 + (1 |u|2 )u0.

(5) То, как ее траектории проходят через описанные выше овалы, можно выяснить, оценив знак мнимой части произведения u из (4) на u из (5). Это произведение равно i ( + 1)2 |1 + u2 |2 u0 2 (1 |u|2 )2 u0 + (2 + )(1 |u|2 ) (1 + u2 )u0 (1 + u2 )u0.

Его мнимая часть выглядит менее громоздко:

( + 1)2 |1 + u2 |2 2 (1 |u2 |)2 Re u0.

Согласно неравенству треугольника для векторов 1 и u2, это выражение строго положительно для всех u C, кроме ±i. Это значит, что вне неподвижных точек все траектории системы (5) последовательно покидают все овалы, лежащие в полуплоскости Im u 0, пересекают действи тельную ось, после чего последовательно проникают в овалы из полуплоскости Im u 0. Эти траектории не могут иметь предельную точку, отличную от i при t и отличную от i при t +. Поэтому, ввиду компактности многообразия, для всех нетривиальных траекторий эти точки являются пределами.

Таким образом, траектории системы (3) — это две неподвижные точки и траектории, стремящи еся от одной из них к другой.

Неподвижные точки позволяют явно выписать подмножество решений (1). Используя полярную форму для y = ei, можно записать уравнение u = u0 в виде y ( + i ) = = Re u0 + i Im u0.

2 2+ y|y| АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ТИПА ЭМДЕНА–ФАУЛЕРА Решая его отдельно для действительной и мнимой частей, получим Im u 2 = 2 Re u0 (x x0 ), = ln |x x0 | + 0.

2 Re u Из неотрицательности следует, что это решение определено на (, x0 ). Аналогичные формулы для u0 описывают решение, заданное на (x0, +).

Для остальных траекторий имеют место соотношения u u0 при t + и u u0 при t, приводящие к асимптотическим формулам для соответствующих решений уравнения (1), определенным на конечных интервалах (x1, x2 ).

Учитывая (2) и возвращаясь в обозначениях к m = 4, получим следующее описание решений.

Теорема. Пусть p0 = const C \ R, m 0. Тогда все непродолжаемые решения уравнения (1) — это:

1) единственное решение, заданное на всей действительной оси, y 0;

2) решения, заданные на полуоси (, x0 ) или (x0, +):

1 Im p |y(x)| = m, arg y(x) = ln |x x0 | + (m + 4)Q mQ(x x0 ) с произвольными действительными x0 и 0 и константой m 8(m + 2) (Re p0 )2 + (Im p0 ) Q= Re p0 + ;

(6) (m + 4) 4(m + 2) 3) решения, заданные на конечном интервале (x1, x2 ) и эквивалентные на его границах решениям предыдущего типа, т.е.

1 Im p |y(x)| = m (1 + o(1)), arg y(x) = ln |x xk |(1 + o(1)), (m + 4)Q mQ(x xk ) при x xk, k = 1, 2, с задаваемой, как и выше, константой Q.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Кигурадзе И. Т., Чантурия Т. А. Асимптотические свойства решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1990.

2. Astashova I. On asymptotic properties of the one-dimensional Schr dinger equation// Operator Theory:

o Adv. Appl. — Basel: Birkh user, 2000. 114.

a 3. Bidaut-Veron M. F. Local and global behaviour of solutions of quasilinear elliptic equations of Emden– Fowler type// Arch. Rat. Mech. Anal. — 1989. — 107. — С. 293–324.

4. Brezis H., Kato T. Remarks on the Shr dinger operator with singular complex potential// J. Math. Pures o Appl. — 1979. — 58. — С. 137–151.

5. Constantin P. Decay estimates of Schr dinger equations// Commun. Math. Phys. — 1990. — 127. — С. 101– o 108.

6. Doi S. On the Cauchy problem for Schr dinger type equations and the regularity of solutions// J. Math.

o Kyoto Univ. — 1994. — 34. — С. 319–328.

7. Guerch B., Veron L. Local properties of stationnary solutions of some nonlinear singular Schr dinger o equation// Rev. Mat. Iberoamericana. — 1991. — 7. — С. 65–114.

8. Hayashi N. Global existence of small solutions to quadratic nonlinear Schr dinger equations// Commun.

o Partial Differ. Equat. — 1993. — 18. — С. 1109–1124.

9. Kato T. Shr dinger operators with singular potentials// Isr. J. Math. — 1972. — 13. — С. 135–148.

o 10. Kato T. On some Shr dinger operators with a singular complex potential// Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa, o Ser. IV. — 1978. — 5. — С. 105–114.

11. Kondrat’ev V., Shubin M. Discreteness of spectrum for the Schr dinger operators on manifolds of bounded o geometry// Operator Theory: Adv. Appl. — Basel: Birkh user, 1999. — 110.

a И. В. Асташова E-mail: ast@mail.ecfor.rssi.ru Современная математика и ее приложения. Том 29 (2005). С. 18– УДК 517. УРАВНЕНИЯ НА ГРАФАХ В ЗАДАЧЕ H –ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ c 2005 г. А. Е. БАРАБАНОВ АННОТАЦИЯ. Указан способ сведения задачи управления к системе связанных дифференциальных уравнений, а также рассмотрен простейший частный случай.

СОДЕРЖАНИЕ 1. Введение............................................. 2. Постановка задачи........................................ 3. Алгебраический операторный метод.............................. 4. Системы с запаздыванием и уравнение на многоугольнике................. Список литературы....................................... 1. ВВЕДЕНИЕ Исследование свойств системы дифференциальных уравнений, граничные условия которых свя заны в некоторой последовательности, образующей некоторый граф, были начаты под руковод ством Ю. В. Покорного в конце 80-х гг. [1, 2]. Были изучены основные свойства систем уравнений Штурма—Лиувилля с граничными условиями в узлах такого графа. Обычная механическая интер претация колеблющихся связанных стержней является естественным приложением построенной содержательной математической теории, обобщающей классические результаты. Проведенные в последние годы исследования систем оптимального управления [3, 4, 5], относящиеся к направле нию H -оптимизации, поставили близкие задачи как теоретического характера (единственность решений), так и эффективности вычислительных схем. В этих работах предложен новый способ решения задачи синтеза минимаксных регуляторов в линейно-квадратичной игровой задаче, кото рый непосредственно распространяется с обычных линейных объектов управления с постоянными коэффициентами на системы с бесконечномерными пространствами состояний, в частности, на уравнения с запаздываниями. Оказалось, что цена игры в минимаксной задаче управления совпа дает с наибольшим значением уровня, для которого существует ненулевое решение некоторой однородной системы уравнений с линейными условиями во внутренних точках. Получающиеся условия могут иметь циклический характер: значения на конце промежутка запаздывания связы ваются со значениями в его начале, а условия во внутренних точках связывают односторонние пределы слева и справа. Несмотря на то, что получающаяся система не всегда относится к классу Штурма—Лиувилля, ее исследование можно рассматривать как обобщение изученных задач диф ференциальных уравнений на графах. В данной работе указан способ сведения задачи управления к системе связанных дифференциальных уравнений, а также рассмотрен простейший частный случай.

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Пусть объект управления описывается линейным стационарным уравнением a(p)y(t) = b(p)u(t) + c(p)v(t), Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 04-01-00084).

c Ин-т кибернетики АН Грузии, ISSN 1512– УРАВНЕНИЯ НА ГРАФАХ В ЗАДАЧЕ H –ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ в котором a(·), b(·) и c(·) — преобразование Фурье от некоторых обобщенных функций на полу оси [0, +), p = d/dt — оператор дифференцирования;

y — выход объекта, u — управление, v — возмущение. Начальные данные предполагаются нулевыми, т.е. y(t) = u(t) = v(t) = 0 при t 0.

Пусть 0. Требуется найти неупреждающий регулятор, обеспечивающий для любой функ ции v L2 (0, ) существование квадратично суммируемого решения замкнутой системы, y, u L2 (0, ), а также выполнение следующего условия -сжатия:

v(t)2 dt F (y(t), u(t)) dt при v 0, 0 где F (y, u) — квадратичная форма с заданной матрицей F0. Регуляторы, обеспечивающие выпол нение этих свойств, называются -сжимающими. Требуется также дать параметрическое описание множества всех -сжимающих регуляторов.

Данная постановка известна как стандартная задача H -оптимального управления в случае полной информации. Ее удобно переформулировать в терминах «поведенческого подхода», вве денного Виллемсом [6]. Пусть R(z) = (a(z), b(z), c(z)) — строка из преобразований Фурье от обобщенных функций с носителями на полуоси [0, +). Введем вектор «представляющих» пере менных (manifest variables) x = (y, u, v) и матрицу квадратичной формы Q = diag{F0, 2 }. В этих обозначениях уравнение объекта управления, уравнение регулятора и целевое неравенство -сжатия записываются следующим образом:

R(p)x(t) = 0, C(p)x(t) = 0, x(t)T Qx(t) dt 0 v L2 (0, ), v 0, где C(z) — подлежащая определению передаточная функция -сжимающего регулятора.

3. АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД Наиболее распространенным средством решения стандартной задачи H -оптимального управ ления является метод уравнений Риккати, который, однако, эффективно применяется только для стационарных объектов без запаздываний. В системах с запаздываниями пространство состоя ний становится бесконечномерным, а решение уравнения Риккати — интегро-дифференциальным оператором, поиск которого является весьма сложной вычислительной задачей. Конкурирующий с уравнениями Риккати спектральный метод сводится в вычислительном отношении также к ре шениям операторных уравнений. В работах [4, 5] был предложен новый подход к синтезу опти мальных регуляторов, применимый к интегро-дифференциальным уравнениям объекта управления.

Этот метод обладает также следующими преимуществами: решение проводится непосредственно в терминах передаточных функций разомкнутого объекта, т.е. в исходных технических терминах;

для определения класса всех -сжимающих регуляторов достаточно решить только одну систему линейных уравнений относительно неизвестной передаточной функции.

Пусть R — множество преобразований Фурье всех обобщенных функций на вещественной оси.

Оно содержит стандартные подмножества: неупреждающее R и упреждающее R+. Множество R состоит из преобразований Фурье от обобщенных функций с носителями на [0, +), а мно жество R+ — на (, 0] соответственно. Каждое из множеств R и R+ замкнуто относительно линейных операций и умножения.

Проекторы из R на R+ и на R обозначим [·]+ и [·] соответственно. При этом для любой функции f R функция f [f ]+ = [f ]0 принадлежит множеству R, а функция f [f ] = [f ]0+ — множеству R+. Отсюда, в частности, следует, что функция f [f ] [f ]+ = [f ]0 принадлежит множеству R R+ и поэтому является многочленом.

Для любой векторной функции f R определим операцию f равенством f (z) = f (z)T, где T — символ транспонирования. Очевидно, что для соответствующих размерностей: R = R и + R = R+.

20 А. Е. БАРАБАНОВ Пусть 0 m N. Для любой постоянной (N m)-матрицы h и m-строчной функции XR определим матричную функцию (z) = h + Q1 [R (z)X(z)]0. (1) Следующее уравнение будет основным в излагаемом методе решения задачи H -оптимального управления:

R(z)(z) = 0, (2) т.е. функция (z) есть преобразование Фурье от некоторого решения уравнения объекта. Полное решение дается в следующем утверждении, которое в более общем виде доказано в [5].

Теорема. Пусть квадратичная форма F (y, u) неотрицательно определена и b(z)/a(z) 0, b(z)/a(z) 0 при z +.

1. Минимальное значение, для которого существует -сжимающий регулятор, равно мак симальному числу, для которого система уравнений (1), (2) при h=0 имеет ненулевое решение (z). Обозначим это значение opt.

2. Пусть opt. Тогда множество всех -сжимающих регуляторов определяется уравне нием {uv (p) + uu (p)D(p)} y(t) = {yv (p) + yu (p)D(p)} u(t), (3) в правой полуплос в котором параметр D(·) есть произвольная функция из класса Харди H кости и нормой D H, а остальные функции входят в матричную функцию yu (z) yv (z) (z) = uu (z) uv (z), vu (z) vv (z) удовлетворяющую системе уравнений (1), (2) при дополнительных ограничениях hT Q h = diag{1, 2 }.

Доказательство, а также основная идея метода связаны со следующим утверждением.

Лемма. Пусть функция (z), определенная в уравнении (1), удовлетворяет уравнению (1) и, кроме того, [R X]0 (z) 0 при z +.

1. Для любых двух решений 1 (z), 2 (z) уравнения (2), определяемых парами (h1, X1 (z)), (h2, X2 (z)) в соответствии с уравнением (1), выполняется равенство (z)Q2 (z) = hT Qh2.

1 2. Пусть существует (3 2)-матричное решение (z) уравнения (2), для которого (2 2) матрица hT Qh невырождена. Тогда множество всех решений x(t) уравнения объекта управле ния может быть параметризовано при помощи произвольной измеримой функции следующим образом:

x(t) = (p)(hT Qh)1 (t), (4) (t) = (p)Qx(t). (5) Переменные (t) называются скрытыми (latent) в терминологии поведенческого описания систе мы [6], а равенство (4) — наглядным представлением (image representation) объекта. По заданно му решению x(t) уравнения объекта соответствующие скрытые переменные восстанавливаются по формуле (5). Скрытые переменные являются наиболее существенной частью в параметрическом описании класса всех -сжимающих регуляторов.

Доказательство леммы. 1. Из определения (1) функции (z) следует, что функции i (z) = i (z) Q1 R (z)Xi (z) = hi Q1 [R (z)Xi (z)]+, i = 1, 2, принадлежат R+. Ввиду основного равенства Ri = 0, можно выполнить следующие преобразо вания:

(z)Q2 (z) = (z)Q2 (z) = (z)Q2 (z).

1 1 УРАВНЕНИЯ НА ГРАФАХ В ЗАДАЧЕ H –ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ Второе выражение принадлежит множеству R+, тогда как третье — множеству R. Следовательно, эта функция есть многочлен, который равен произведению соответствующих свободных членов, а именно, hT Qh2.

2. Непосредственной проверкой можно убедиться в алгебраическом равенстве R(z) = (Q1 R (z)P (z)1, (z)(hT Qh)1 ), (z)Q где матричная функция P (z) = R(z)Q1 R (z) невырождена. Поэтому система уравнений (p)Qx(t) = (t) R(p)x(t) = 0, равносильна уравнению x(t) = (p)(hT Qh)1 (t), что завершает доказательство леммы.

Пусть вектор-функция скрытых переменные (t) = (U (t), V (t))T принадлежит L2 (0, +). Тогда из утверждения 1 леммы следует, что x(t)T Q x(t) dt = U 2 V L2 (0,+).

L2 (0,+) Поэтому неравенство U V совпадает с целевым неравенством в задаче H -оптимального управления. Оно обеспечивается обратной связью U (t) = D(p)V (t) при D. Остается до бавить, что норма линейного отображения из L2 (0, +) в себя равна норме в классе Харди H передаточной функции D(·) этого отображения.


4. СИСТЕМЫ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ И УРАВНЕНИЕ НА МНОГОУГОЛЬНИКЕ Применим сформулированную выше теорему для решения задачи синтеза -сжимающих регуля торов в случае наличия чистого запаздывания в объекте управления. Объект управления задается уравнением y (t) + A0 y(t ) + A3 y(t 3 ) = B0 u(t) + B1 u(t ) + C0 v(t) + C1 v(t ), где 0 и начальные условия нулевые. Требуется описать класс всех стабилизирующих неупре ждающих регуляторов, каждый из которых обеспечивает следующее условие для любого ненуле вого решения замкнутой системы:

2 2 |v(t)|2 dt, (|y(t)| + |u(t)| ) dt 0 где 0 — заданное число.

В данном случае Q = diag{1, 1, 2 } и R(z) = z + A0 e z + A3 e3 z, B0 + B1 e z, C0 + C1 e z.

В соответствии с утверждением 2 теоремы матрицу h размерности (3 2) можно выбрать в виде h = (0, I2 )T, так как в этом случае hT Qh = diag{1, 2 }. Остается найти скалярную функцию X(z) R два раза: сначала при h = (0, 1, 0)T, а затем при h = (0, 0, 1)T. В дальнейшем будем считать, что задан вектор h = (0, hu, hv )T и требуется найти функцию X(z), решающую уравнения (1), (2).

Докажем, что функцию X(z) можно разыскивать в виде X(z) = r(z)/(z), где r(z) — преобра зование Фурье от обобщенной функции (z) с носителем на отрезке [0, 3 ], а функция (z) есть результат факторизации:

R(z)R(z)T = (z)(z), причем все нули (z) имеют отрицательную вещественную часть.

Действительно, из уравнений (1), (2) и определения операций проектирования [·] и [·]+ следует, что (z)(z)X(z) = R(z)h + R(z)Q1 [R (z)X(z)]+.

22 А. Е. БАРАБАНОВ Обозначим эту функцию Z(z), а ее обратное преобразование Фурье (t). Носитель обратного преобразования Фурье левой части последнего уравнения включен в промежуток (, 3 ], а левой части — в промежуток [3, +). Следовательно, (t) = 0 при |t| 3.

Поскольку r(z) = (z)X(z) R, то носитель функции (t) находится на луче [0, +). Пусть (z) — преобразование Фурье от обобщенной функции (t). Носитель включен в [0, +) по дополнительному условию к уравнению факторизации. Из уравнения (z)r(z) = Z(z) следует, что (t) = 0 при t 3. Следовательно, носитель функции (t) содержится в промежутке [0, 3 ].

По теореме Винера—Пэли носитель обратного преобразования Фурье от обобщенной функции (z)(z) включен в промежуток [3, 3 ]. Поэтому функцию (z) можно искать в виде (z) = z + p0 + p3 e3 z + (z), где (z) — преобразование Фурье от обычной функции (t), носитель которой содержится в [0, 3 ].

Разделим интервал [0, 3 ] на три равные части и введем векторную функцию T T F (t) = (t), (t + ), (t + 2 ) = F0 (t), F1 (t), F2 (t), 0 t.

Уравнения факторизации можно выразить в обратных преобразованиях Фурье:

0 0 A F (t) = p0 F (t) + 0 A3 0 F ( t)+ A3 0 t F0 (s) F1 (s) F2 (s) F1 (s) F2 (s) F1 (s) F2 (s) 0 F (s t) ds + F2 (s) 0 F (s + t) ds + F2 (s) 0 0 0 0 t и следующем наборе дополнительных ограничений: p3 = A3, а также p2 2F0 (0) = A2 + B0 + B1 2 C0 2 C1, 2 2 2 F0 ( ) F1 (0) = B0 B1 2 C0 C1, 0 F1 ( ) F2 (0) = 0, F2 ( ) = (A0 p0 )A3.

Функция (t) однозначно определяется из данной системы дифференциальных уравнений пер вого порядка с квадратичной нелинейностью и смешанными линейными условиями на концах.

Отметим, что если B0 B1 = 2 C0 C1, то решением системы является функция F (t) = 0 и число p2 = A2 + B0 + B1 2 C0 2 C1.

2 2 2 0 Пусть функция (t) — обратное преобразование Фурье от X(z). В соответствии с теоремой из предыдущего раздела любой -сжимающий регулятор может быть описан сверточным уравнением, коэффициенты которого определяются функцией (t) и произвольным параметром D из -шара в классе Харди H.

Основное линейное уравнение в спектральной области (2) может быть преобразовано к урав нением во временной области таким же способом, как и при определении (z) через уравнения для (t). Определим три функции: 1 (t) = (t), 2 (t) = (t + ), 3 (t) = (t + 2 ) на интервале (0, ) и продолжим их по непрерывности на границы t = 0 и t =. Составим вектор-функцию T T U (t) = 1 (t), 2 (t), 3 (t) = U0 (t), U1 (t), U2 (t).

Уравнение (2) с учетом (1) преобразуются к системе t U (t) = M U (t) + U2 ( )F ( t) A3 G1 (s)U (s + t) ds A3 G2 (s t)U (s) ds t УРАВНЕНИЯ НА ГРАФАХ В ЗАДАЧЕ H –ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ где F (t) = (F2 (t), F1 (t), F0 (t))T и введены обозначения D00 = A2 + B0 2 C0, 2 D00 D01 0 M = D01 D00 + D10 D01, D10 = B1 2 C1, 2 0 D01 D00 + D10 D01 = B0 B1 2 C0 C1, F2 (t) 0 0 0 0 G1 (t) = F1 (t) F2 (t) 0, G2 (t) = F2 (t) 0, F0 (t) F1 (t) F2 (t) F1 (t) F2 (t) с граничными условиями U1 (0) = U0 ( ), U2 (0) = U1 ( ), U0 (0) = A0 U0 (0) + A3 U2 ( ) B0 hu C0 hv, U1 (0) = U0 ( ) B1 hu C1 hv, U2 (0) = U1 ( ), U2 ( ) = (p0 U2 ( ) + A3 U0 (0)).

Полученная система линейных уравнений играет центральную роль в задаче о существовании решения стандартной задачи H -оптимального управления: в соответствии с теоремой наиболь шее число, для которого однородная система (при hu = hv = 0) имеет ненулевое решение, является наименьшим значением, для которого существует -сжимающий регулятор.

В системе линейных уравнений интегральные члены исчезают, если выполнено условие B0 B1 = 2 C0 C1. В этом случае неособым преобразованием координат систему можно свести к трем независимым уравнениям Штурма—Лиувилля на отрезках [0, ]. Граничные условия связывают значения функций и первых производных на смежных отрезках, если считать, что правый конец третьего отрезка является смежным с левым концом первого, т.е. они замыкаются по кругу.

В общем случае получается система интегро-дифференциальных уравнений с граничными усло виями, связывающими значения неизвестной функции и ее производных в фиксированном мно жестве точек. При этом непрерывность функций в общих точках получающегося графа может нарушаться только при объединении начальной и концевой вершин. Первые производные могут быть непрерывны во внутренних точках, как получилось в приведенном примере, но в общем случае они разрывны.

Проблема разрешимости возникающей однородной системы дифференциальных уравнений оста ется открытой в вычислительном отношении, в то же время она обобщает свойства систем Штурма—Лиувилля со связанными граничными условиями по графу. Приведенное в данной статье решение задачи H -оптимального управления является первым явным алгоритмом решения этой задачи в бесконечномерном пространстве. Ожидается, что перенесение основной идеи на другие бесконечномерные объекты управления представит новые задачи разрешимости систем дифферен циальных уравнений со последовательно связанными граничными условиями.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Покорный Ю. В., Лазарев К. П., Гареева Т. М. О нелокальных краевых задачах для обыкновенных дифференциальных уравнений// Диффер. уравн. — 1989. — 25, № 8. — С. 1321–1332.

2. Покорный Ю. В., Пенкин О. М. О теоремах сравнения для уравнений на графах// Диффер. уравн. — 1989. — 25, № 7. — С. 1141–1150.

3. Barabanov A. E. Canonical factorization and polynomial Riccati equations// Eur. J. Control. — 1997. — 1. — С. 47–67.

4. Barabanov A. E. Operator approach to H-infinity control of delayed systems// 37th IEEE Conf. on Decision and Control/ Florida, USA, December 16–18. — 1998. — С. 291–296.

5. Barabanov A. E., Ghulchak A. M. Operator approach to H control of linear delayed systems// Eur. Control Conf., 1999, Karlsruhe, Germany, Sec. DM-1.

6. Willems J. C. Paradigms and puzzles in the theory of dynamical systems// IEEE Trans. Automat. Control. — 1991. — 36. — С. 259–294.

А. Е. Барабанов Санкт-Петербургский государственный университет E-mail: Andrey.Barabanov@pobox.spbu.ru Современная математика и ее приложения. Том 29 (2005). С. 24– УДК 517. О СУЩЕСТВОВАНИИ ПОЛНОГО НАБОРА РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ЛУРЬЕ c 2005 г. Н. Е. БАРАБАНОВ АННОТАЦИЯ. Рассматриваются алгебраические уравнения Лурье в общем случае произвольной пары (A, B) и невырожденной матрицы квадратичной формы. Получены необходимые и достаточные усло вия существования полного набора решений таких уравнений. Эти условия — другие, чем в стандарт ном случае знакоопределенной матрицы. Для стандартного случая максимально ослаблены ограни чения на пару (A, B). Затем результаты распространены на случай вырожденной матрицы. Развито специальное представление гамильтоновых матриц, которое составляет базу для доказательств.

СОДЕРЖАНИЕ 1. Введение............................................. 2. Гамильтоновы матрицы..................................... 3. О специальном представлении гамильтоновых матриц................... 4. Разрешимость уравнений Лурье................................ 5. Случай знакоопределенной матрицы............................ 6. Случай вырожденной матрицы................................ Список литературы....................................... 1. ВВЕДЕНИЕ Пусть заданы матрицы G,, A, B такие, что матрица невырождена и матрицы G, эрмитовы.

Рассмотрим проблему разрешимости в классе эрмитовых матриц H и матриц h тождества 2 Re x H(Ax + B) + x Gx + = (h x + ) (h x + ) (1) для всех x Cn, Cm. Здесь и далее знак означает транспонирование и комплексное сопря жение.

Данное тождество эквивалентно матричному уравнению Лурье HA + A H + G HB1 B H = 0 (2) HB1.

сh= Разрешимость этого уравнения в случае знакоопределенной матрицы была пред метом большого количества работ (см. например, [3, 6, 8, 5, 7, 2]). Однако в теории игр и недавно в H -теории появились алгебраические уравнения Лурье со знаконеопределенной матрицей.

Прямой аналог классических результатов в этом случае неверен. В разделе 4 дается решение этой проблемы в терминах необходимых и достаточных условий. Эти условия улучшают известные результаты для случая знакоопределенной матрицы.

Иногда в левой части тождества (1) имеется дополнительное слагаемое x g. Используя линей ное преобразование A B1 g A, G g1 g G, мы получаем g 0. Таким образом, без ограничения общности мы можем положить g = 0 и считать уравнение (2) уравнением Лурье в общем виде.


Введем функцию : C C, () = det I + 1 B (A + I)1 G(A I)1 B det A I det A + I.

Здесь и далее I — единичная матрица.

Знаменитая лемма Якубовича—Калмана дает в случае знакоопределенной матрицы и управ ляемой пары (A, B) необходимые и достаточные условия разрешимости уравнения (2):

(i) 0 0. (3) c Ин-т кибернетики АН Грузии, ISSN 1512– О СУЩЕСТВОВАНИИ ПОЛНОГО НАБОРА РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ЛУРЬЕ Это — так называемое частотное неравенство. Более того, для каждой факторизации () = ()(() такой, что многочлен не имеет корней симметричных относительно мнимой оси, существует и единственно решение H уравнения (2) такое, что det(I A + B1 B H) = ±().

Для случая неопределенной матрицы это утверждение в общем случае неверно.

Следующий пример показывает, что даже в случае выполнения неравенства (3) уравнение (2) может не иметь решений.

Пример 1. Пусть n = m = 4, G = diag{1, 1, 1, 1}, = diag{1, 1, 1, 1}, B = I, A = 0. Тогда (i) = det(diag{1 2, 1 2, 1 2, 1 2 }) = (1 2 )4 0. Уравнение (2) приобретает вид G = hh, и поэтому det h = 0. Но число для всех положительных и отрицательных собственных значений матриц G, различно. Противоречие доказывает, что уравнение (2) не имеет решений.

Существует пример уравнения (2) [1], которое имеет решения, но «не все». А именно, для некоторой факторизации многочлена : () = ()() не существует решения H уравнения (2) такого, что () = ± det(I A + B1 B H);

при этом пара (A, B) полностью управляема.

Например, может не существовать стабилизирующего решения уравнения (2), т.е. такого решения H, что матрица A B1 B H гурвицева.

Далее приведены необходимые и достаточные условия разрешимости уравнения (2) и существо вания «полного набора решений» уравнения (2) в случае невырожденной матрицы. В последнем разделе эти результаты распространены на случай вырожденной матрицы при дополнительном условии (i) 0.

В случае знакоопределенной матрицы эти условия сводятся к неравенству (3). Таким об разом, получены наименее ограничительные условия разрешимости уравнения (2), включающие стабилизируемость пары (A, B), отсутствие общих корней у полиномов () и () и т. п.

2. ГАМИЛЬТОНОВЫ МАТРИЦЫ С середины 60-х гг. для анализа уравнений Лурье (2) использовались гамильтоновы матрицы A B1 B R= (4) A G Пусть S — произвольная (2n 2n)-матрица такая, что RS = S, (5) 0 где, 1, 2 — (n n)-матрицы. Представим матрицу S в блочной форме:

X1 X S=, (6) 1 где все блоки имеют размерность (n n).

Введем мнимую матричную единицу:

0 I J=.

I Связь между представлением (4)–(6) и решениями уравнения (2) описывается следующими лем мами.

Лемма 1. Пусть I (I, 0)S JS det X1 = 0, = 0.

Тогда матрица H = 1 X1 эрмитова и H — решение уравнения (2).

26 Н. Е. БАРАБАНОВ Доказательство. Имеем I (I, 0)S JS = X1 X1 1 = 0.

Поэтому матрица H эрмитова. Из (4)–(6) следует AX1 B1 B 1 = X1, GX1 A 1 = 1.

Умножая первое уравнение на матрицу 1 X1 слева и используя второе уравнение получим HAX1 HB1 B 1 = GX1 A 1.

Умножив это уравнение на X1 справа, получим уравнение (2).

Лемма 2. Пусть H — решение уравнения (2). Тогда для некоторого представления (4)–(6) верно I H = 1 X1, (I, 0)S JS = 0.

Доказательство. Пусть X — матрица, столбцы которой являются корневыми векторами матрицы A B1 B H: (A B1 B H)X = X, где — жорданова матрица и det X = 0. Из (2) следует HX + A HX + GX = 0. Поэтому A B1 B X X =.

A G HX HX Кроме того, I (I, 0)S = (X, X H), (I, 0)S JS = X HX X HX = 0.

Лемма доказана.

Определение 1. Максимальное A -инвариантное подпространство в Cn, ортогональное всем векторам-столбцам матрицы B, называется неуправляемым подпространством пары (A, B).

Хорошо известно, что для любой пары (A, B) существует такая система координат, в которой эти матрицы имеют вид A1 A2 B A=, B=, 0 A3 и пара (A1, B1 ) полностью управляема.

Очевидно, что для любого решения H уравнения (2) многочлен det(I A + B1 B H) делится на многочлен () = det(I A3 ). Таким образом, для факторизации () = ()() может существовать решение H уравнения (2) такое, что det(I A + B1 B H) = () только если многочлен делится на многочлен.

Для любого J-нейтрального, R-инвариантного подпространства span(col(X, )) размерности n с невырожденной матрицей X существует такая координатная система {e1,..., en }, что матрица M = (e1,..., en ) в ней приобретает вид X11 X M = 0 R, 1 где невырожденная матрица R имеет ту же размерность, что и матрица A3. Если det X11 = 0, то уравнение (2) имеет решение, соответствующее этому представлению:

X11 X H = (1 2 ).

0 R Если det X11 = 0, то такого решения нет. В этом случае существует вектор b Cn такой, что X11 X b = 0.

0 R О СУЩЕСТВОВАНИИ ПОЛНОГО НАБОРА РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ЛУРЬЕ Определение 2. Если уравнение (2) имеет по крайней мере одно решение и det X11 = 0 для всех представлений, описанных выше, то будем говорить, что уравнение (2) имеет полный набор решений.

Следующие две леммы вводят свойства резольвенты матрицы R, которые тесно связаны с су ществованием полного набора решений уравнения (2).

Лемма 3. Пусть для некоторого b Cn \ {0} и некоторого представления (4)–(6) верно I (I, 0)S JS = 0, X1 b = 0.

Тогда (b, 0)(R I)1 = 0 для всех C таких, что det(R I) = 0. (7) b Доказательство. Имеем 0 (b, 0)(R I)1 = (b, 0)S( I)1 S 1 = b b = (0, b X2 (3 I)1 )(S JS)1 = 0.

X2 b Лемма 4. Пусть уравнение (2) имеет решение. Тогда чисто мнимые собственные значения матрицы R имеют четную кратность и неравенство (3) выполняется.

Доказательство. Подставим x = (I A)1 B вместо x в (1). Получим 2 Re x Hx + x Gx + = (h x + ) (h x + ).

Поэтому для = i верно + B (A + iI)1 G(A iI)1 B = = (h (iI A)1 B + I) (h (iI A)1 B + I), (i) = det(I + 1 B (A + iI)1 G(A iI)1 B) = = det 1 det( + B (A + iI)1 G(A iI)1 B) = = det 1 det[(h (iI A)1 B + I) (h (iI A)1 B + I)] = =| det((h (iI A)1 B + I) |2 0 для всех 0.

В то же время (1)n det(R iI) = =| det(iI A) |2 det(I + B1 B (A + iI)1 G(A iI)1 ) = =| det(iI A) |2 (i) 0 для всех 0.

Поэтому кратность каждого чисто мнимого собственного значения матрицы R четная.

Для того, чтобы сформулировать основной результат, опишем специальное представление га мильтоновых матриц.

3. О СПЕЦИАЛЬНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ ГАМИЛЬТОНОВЫХ МАТРИЦ Далее для произвольных квадратных матриц P1, P2,... мы будем обозначать через P ‡P2 ‡...

матрицу blockdiag{P1, P2,...}.

Нам потребуются следующие классы матриц.

Обозначим через L множество (p q)-матриц T таких, что существуют комплексные числа a1, a2,..., удволетворяющие условиям: Ti,j = 0 если i + j max{p, q} и Ti,j = (1)i ai+j иначе.

28 Н. Е. БАРАБАНОВ Обозначим через Np нильпотентный (p p)-жорданов блок:

0 1 0... 0 0 1........

Np =.......

....

0 0 0... 0 0 0... Лемма 5. (p q)-Матрица M принадлежит множеству L тогда и только тогда, когда M Np = Nq M.

Доказательство. Равенство M Np = Nq M эквивалентно следующим условиям: Mi,j1 = Mi1,j, если i 1, j 1;

Mi,1 = 0, если i p;

M1,j = 0 если j q. Эти условия, очевид но, эквивалентны включению M L.

Обозначим через M множество (p q)-матриц M таких, что существуют комплексные числа b1, b2,..., удовлетворяющие условиям Mi,j = 0 если i j или i = p, j q и Mi,j = bji+1 иначе.

Лемма 6. (p q)-Матрица M принадлежит множеству M тогда и только тогда, когда M Np = Nq M.

Доказательство. Равенство M Np = Nq M эквивалентно следующему условию: Mi,j1 = Mi+1,j если i p, j 1;

Mi,1 = 0 если i 1;

Mp,j = 0 если j q. Эти условия, очевидно, эквивалентны M M.

Лемма 7. Если M невырождена и M M, то M 1 M.

Доказательство. Равенства M Np = Nq M и M 1 Np = Np M 1 эквивалентны.

Лемма 8. Если (p q)-матрица M1 и (q r)-матрица M2 принадлежат множеству M, то M 1 M2 M.

Доказательство. Имеем M1 M2 Nr = M1 Nq M2 = Np M1 M2.

Лемма 9. Если (p p)-матрица T и (p q)-матрица M таковы, что M M, T L, то M T M L.

Доказательство. Имеем M T M Nq = M T Np M = M Np T M = Nq M T M.

Лемма 10. Если (p q)-матрица M и (r p)-матрица T таковы, что M M, T L, то TM L.

Доказательство. Имеем T M Nq = T Np M = Nr T M.

Далее будет сконструировано специальное представление гамильтоновых матриц, использующее множества M, L.

Пусть 1, 2,... — все различные чисто мнимые собственные числа матрицы R;

1, 1, 2, 2,... — все другие различные собственные числа матрицы R. Тогда [4] существует такая невы рожденная матрица U, что для матриц Q, которые являются блочно-диагональными матрицами, имеющими на диагонали жордановы блоки матрицы R, соответствующие собственному значению, и для матриц G того же порядка, что и матрицы Q, выполнены два равенства Q1 0 Q2 U 1 RU = Q1 ‡Q2 ‡ · · · ‡ ‡ ‡···, (8) 0 Q1 0 Q 0 G1 0 G U JU = G1 ‡G2 ‡ · · · ‡ ‡ ‡···. (9) G1 0 G2 Каждый блок в (9) может быть приведен к более простой форме без изменения представления (8) путем выбора нового базиса в каждом корневом подпространстве матрицы R. Выполним та кие преобразования для каждого блока. Преобразования будут иметь тот же вид для каждого собственного значения и для всех блоков в (9). Поэтому достаточно рассмотреть случай одного О СУЩЕСТВОВАНИИ ПОЛНОГО НАБОРА РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ЛУРЬЕ чисто мнимого собственного значения матрицы R и пары одной пары симметричных относительно мнимой оси собственных значений матрицы R.

Пусть матрица R имеет только одно собственное значение, которое в этом случае должно быть чисто мнимым. Пусть Q — жорданова форма матрицы R:

Q = 1 ‡2 ‡ · · · ‡k1 ‡k1 +1 ‡ · · · ‡ks, (10) где j — - жордановы (nj nj )-блоки:

1 0... 0 1...

..

j =.....

...

.

....

0 0 0...

0 0 0... и n1 = n2 = · · · = nk1 nk1 +1 = · · · = nk2 · · · nks1 +1 = · · · = nks.

Лемма 11. Пусть M = {Mj,l }ks ks — блочное представдение матрицы M, соответству j=1 l= ющее представлению (10). Тогда M Q = Q M если и только если Mj,l M для всех j, l = 1,..., ks.

Доказательство. Имеем j = I + Nnj. Равенство M Q = Q M эквивалентно равенствам Mj,l l = j Mj,l для всех j, l = 1,..., ns. Достаточно применить лемму 6.

Теперь представим матрицу G в блочной форме, соответствующей уравнению (10): G = {Gj,l }ks ks.

j=1 l= Лемма 12. Имеем Gj,l L для всех j, l = 1,..., ns.

Доказательство. Имеем RU = U Q, U JRU = U JU Q. Матрица JR эрмитова, J = J.

Поэтому (U JU )Q = Q (U JU ), G Q = Q G и j Gj,l = Gj,l l. Требуемое свойство следует из леммы 5.

Лемма 13. Пусть T1 L, det T1 = 0, T2 L. Тогда T1 T2 M.

1 Доказательство. Пусть размерность матрицы T2 равна (p q). Тогда T1 T2 Nq = T1 Np T2 = Np T1 T2. Остается применить лемму 6.

Лемма 14. Существует невырожденный блок G1,j с j n1.

Доказательство. В первом столбце матрицы G существует ненулевой елемент. Он принадлежит последней строчке блока Gj,1 с j n1. Имеем G1,j = (Gj,1 ) и det G1,j = ±n1 = 0.

Лемма 15. Пусть (p p)-матрицы T1, T2, T3 L и det T1 = 0, det T2 = 0, det T3 = 0. Тогда существует (p p)-матрица M M такая, что матрица R = M T3 M + T2 M M T2 + T невырождена и R L.

Доказательство. R L в соответствии с леммами 9, 10. Существуют комплексные числа p1, p2,..., q1, q2,..., t1, t2,... такие, что (T3 )r,s = 0 если r+s 0, r (T3 )r,s = (1) pr+sn если r + s n, (T2 )r,s = 0 если r+s 0, r (T3 )r,s = (1) qr+sn если r + s n, (T1 )r,s = 0 если r+s 0, r (T3 )r,s = (1) tr+sn если r + s n.

Пусть (p p)-матрица M M такова, что для некоторых комплексных чисел v1, v2,...

Mr,s = 0 если r s, Mr,s = vsr если r s.

30 Н. Е. БАРАБАНОВ Тогда (M T3 M )r,s = 0, если r+s n, r+sn r+sn (M T3 M )r,s = (1)ks vr+snk vkm, pm если r + s n, m=1 k=m (T2 M M T2 )r,s = 0, если r+s n, r+sn (T2 M M T2 )r,s = (1)rn tk vr+snk (1)sn tk vr+snk если r + s n.

k= Поэтому (R)1,n = p1 (1)1n v0 v0 + t1 (1)1n v0 t1 (1)1n v0 q1.

Согласно предположению имеем t1 = 0, p1 = 0, q1 = 0. Таким образом, всегда существует ком плексное число v0 такое, что (R)1,n = 0. Имеем R L. Поэтому det R = 0.

Лемма 16. Пусть даны невырожденные (p p)-матрицы T1, T2 из множества L и T1 = T1, T2 = T2. Тогда существует матрица M M такая, что M T1 M = T2.

Доказательство. Пусть (T1 )r,s = (1)r pr+sn, (T2 )r,s = (1)r tr+sn, если r + s n и (M )r,s = vsr, если s r;

остальные элементы матриц T1, T2, M равны нулю. Тогда равенство M T1 M = T эквивалентно следующим равенствам:

r+sn r+sn (1)ks vr+snk vkm = (1)r tr+sn, pm если r + s n 0.

m=1 k=m Обозначим l = r + s n. Тогда l l (1)kl+n vlk vkm = tl pm при l = 1, 2,..., n.

m=1 k=m Эти равенства могут быть преобразованы к виду tl = vl1 v0 p1 (1)n+1l + vl1 v0 p1 (1)n + l1, (11) где l1 зависят только от значений vj с j l 1. В силу равенств T1 = T1, T2 = T2 число l вещественно, если l + n нечетно, и l1 — чисто мнимое число, если l + n четно. Поэтому всегда существуют числа v0,..., vn1 такие, что уравнения (11) выполняются для всех l = 1,..., n.

Следствие 1. Для всех невырожденных (p p)-матриц T L таких, что T = T, суще ствуют матрицы M M такие, что M T M = J(p), где J(p) = ±iJ1 (p), если p нечетно, J(p) = ±J1 (p), если p четно, и 0 0... 0 0 0... 0 1 0... 1 0 J1 (p) =..

....

..

.....

..

....

0 (1)p2... 0 0 (1)p1 0... 0 0 Теорема 1. Существует матрица M и числа 1,..., ks такие, что j {1, 1}, M Q = Q M и M G M = 1 J(n1 )‡2 J(n2 )‡ · · · ‡ks J(nks ). (12) Доказательство. Осуществим блочную диагонализацию матрицы G, умножая эту матрицу на матрицы M справа и на матрицы M слева, где M = blockdiag{Mr,j }ks, Mr,j M. и это блочное представление — то же, что и в (12). Тогда согласно лемме 9 после каждой такой операции мы будем иметь M Q = Q M.

О СУЩЕСТВОВАНИИ ПОЛНОГО НАБОРА РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ЛУРЬЕ Обозначим через (M, r, j) преобразование следующего вида:

Gnew = K Gold K, где Km,l = 0, если m = l, (m, l) = (r, j);

Kl,l = I, если (r, j) = (l, l), и Kr,j = M M.

Предположим, что det G1,1 = 0. Согласно лемме 14 существует индекс j такой, что det Gj,1 = 0.

В соответствии с леммой 15 существует преобразование (M, j, 1) такое, что результирующий блок (1, 1) становится невырожденным. Поэтому далее без ограничения общности считаем det G1,1 = 0.

Выполним преобразование (M, 1, 2), где M = G1 G1,2. В соответствии с леммами 13, 9 M M 1, и M G M L. Результат преобразования обозначим опять через G. Тогда G1,2 = 0 и G2,1 = 0.

Выполнив такие преобразования для всех недиагональных блоков первой блочной строки, мы получим матрицу G такую, что все внедиагональные блоки первой блочной строки и первого блочного столбца равны нулю. В соответствии с леммой 16 существует преобразование (M, 1, 1) с M M такое, что для преобразованной матрицы G верно G1,1 = ±J(n1 ).

Такие же операции проведем для всех блочных строк матрицы G. Финальная матрица имеет вид (12).

Используя преобразования, описанные в теореме 1, мы можем привести все матрицы G1, G2,... к виду (12).

Теперь рассмотрим преобразования блоков матрицы U JU в (9), соответствующей собственным значениям с ненулевой вещественной частью. Пусть дана матрица 0 G U JU = F = где (G ) = G,, G причем Q U 1 RU =, Q = 1 ‡ · · · ‡s, 0 Q j — жорданов блок размерности (nj nj ) с собственным значением.

Теорема 2. Существует матрица M такая, что Q 0 Q 0 0 G M F M = M =M,, 0 Q 0 Q (G ) (13) G = 1 J(n1 )‡2 J(n2 )‡ · · · ‡s J(ns ), j {1, 1}.

Доказательство. Как и в доказательстве теоремы 1 достаточно провести процесс диагонализации, используя леммы 13, 14, 16.

Очевидно, что мы можем использовать преобразования для представления (9) для каждого блока независимо.

Суммируем результаты этого раздела.

Пусть дана гамильтонова матрица R;

1, 2,... — все различные чисто мнимые собственные значения этой матрицы;

1, 1, 2, 2,... — все различные другие собственные значения мат рицы R.

Теорема 3. Существует невырожденная матрица S такая, что Q1 0 Q2 S 1 RS = Q1 ‡Q2 ‡ · · · ‡ ‡ ‡···, (14) 0 Q1 0 Q 0 G1 0 G S JS = G1 ‡G2 ‡ · · · ‡ ‡ ‡···, (15) G1 0 G2 где для всех матрицы Q, G блочно-диагональны и имеют одинаковую блочную структуру, диагональные блоки матриц Q — жордановы блоки с собственным значениeм, матрица G имеет вид (13) и G = (G ).

Доказательство следует из теорем 1, 2.

Для формулировки основного результата необходимо ввести понятие сигнатуры матрицы и сиг натуры инвариантного подпространства.

32 Н. Е. БАРАБАНОВ Определение 3. Пусть F — эрмитова невырожденная матрица. Сигнатурой матрицы F называ ется разность между количеством отрицательных и положительных собственных значений F с учетом их кратности.

Из определения следуют следующие факты.

1) Сигнатура матрицы iJ(n) четной размерности n равна нулю.

2) Сигнатура матрицы iJ(n) нечетной размерности n равна (1)(n1)/2.

0 Gj 3) Сигнатура матрицы i в (15) равна нулю.

Gj Определение 4. Пусть P — подпространство комплексного векторного пространства и T — мат рица, столбцы которой образуют базис P. Пусть матрица T iJT невырождена. Сигнатура про странства P определяется как сигнатура матрицы T iJT.

Из представления (15) и свойства 3) следует, что сигнатура линейной оболочки корневых под пространств матрицы R, соответствующих паре симметричных относительно мнимой оси и не чисто мнимых собственных значений, равна нулю.

Сигнатура корневого подпространства матрицы R, соответствующего чисто мнимому собствен ному значению, может быть вычислена по формуле (13). В терминах представления (13) она равна сумме чисел (1)(nj 1)/2 j по множеству индексов j таких, что число nj нечетно.

Таким образом, если матрица R не имеет жордановых блоков нечетной размерности с чисто мнимыми собственными значениями, то сигнатура каждого корневого подпространства, соответ ствующего чисто мнимому собственному значению, равна нулю.

Связь между сигнатурой и существованием J-нейтральных подпространств устанавливается в следующей лемме.

Лемма 17. Пусть P — подпространство в Cn четной размерности 2m, D — матрица, столб цы которой составляют базис в P. Обозначим через k+, k и k0 число положительных, отрицательных и нулевых собственных значений эрмитовой матрицы D iJD. Существует J-нейтральное подпространство P0 размерности m в P тогда и только тогда, когда k+ m и k m. В частности, если k0 = 0 то такое подпространство существует тогда и только тогда, когда сигнатура подпространства P равна нулю.

Доказательство. Пусть k+ m (случай k m аналогичен). Сделаем преобразоваение коор динат K в подпространстве P так, чтобы матрица K D iJDK была диагональной и последний k+ -й элемент на диагонали был равен 1. Пусть существует J-нейтральное подпространство P0 в P размерности m. Тогда существует вектор z P0, ортогональный первым (n k+ ) столбцам матрицы DK. Из определения матрицы K следует z iJz 0. Но z P0, и поэтому z iJz = 0.

Противоречие доказывает лемму.

4. РАЗРЕШИМОСТЬ ЛУРЬЕ УРАВНЕНИЙ Пусть матрица R имеет размерность (2n 2n). Лемма 2 утверждает, что уравнение (2) имеет решение только если существует J-нейтральное подпространство размерности n.

Лемма 18. Пусть матрица R имеет J-нейтральное подпространство размерности n. Тогда в представлении (14), (15) сигнатура каждой матрицы iGj равна нулю.



Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 6 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.