авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 6 |

«ISSN 1512–1712 Академия Наук Грузии Институт Кибернетики СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ Том 29 ТРУДЫ ...»

-- [ Страница 2 ] --

Доказательство. Пусть P — такое пространство, 2mj — размерность корневого подпространства Pj матрицы R, соответствующего собственному значению j. Тогда P содержит подпространство Pj размерности mj. Из представления (15) следует невырожденность матрицы iGj. Согласно лемме 17 сигнатура iGj равна нулю.

Таким образом, заключение леммы 18 является необходимым условием разрешимости уравнения (2). В примере 1 это условие нарушено.

Следующая теорема показывает, что при выполнении частотного неравенства заключение лем мы 18 является не только необходимым, но и достаточным условием для существования J нейтрального R-инвариантного подпространства размерности n.

О СУЩЕСТВОВАНИИ ПОЛНОГО НАБОРА РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ЛУРЬЕ Теорема 4. Существует J-нейтральное R-инвариантное подпространство размерности n тогда и только тогда, когда выполнено частотное неравенство (3) и сигнатура каждого корневого подпространства матрицы R, соответствующего чисто мнимому собственному значению, равна нулю.

Доказательство. Необходимость доказана в леммах 4, 18. Докажем достаточность. В соответ ствии с леммой 17 в каждом корневом подпространстве матрицы R, соответствующем чисто мнимому собственному значению, существует J-нейтральное подпространство размерности, рав ной половине размерности корневого подпространства. Из (14), (15) нетрудно видеть, что такие подпространства могут быть выбраны R-инвариантными. Рассмотрим линейную оболочку этих подпространств и корневых подпространств матрицы R, соответствующих собственным значе ниям с положительной вещественной частью. Это подпространство, очевидно, R-инвариантно и J-нейтрально.

Рассмотрим теперь следующий вопрос: при каких условиях верхний блок матрицы базисных векторов в этом подпространстве невырожден?

Теорема 5. Пусть выполнены следующие условия.

1) (1)n det(iI R) 0 для всех вещественных.

2) Сигнатура каждого корневого подпространства матрицы R, соответствующего чисто мнимому собственному значению, равна нулю.

3) Существует вектор b Cn такой, что (b, 0)(R I)1 = 0 для всех C.

b Тогда существует R-инвариантное J-нейтральное подпространство размерности n, ортого нальное вектору col(b, 0) и содержащее вектор col(0, b).

Доказательство. Обозначим через Q правую часть уравнения (14): RS = SQ, а через G — правую часть уравнения (15): S JS = G. Тогда (R I)1 = S(Q I)1 S 1 = S(Q I)1 G1 S J.

Поэтому предположение 3) приводится к следующему виду:

b b (Q I)1 S S =0 для всех C. (16) 0 Определим последовательно n векторов так, чтобы после каждого шага линейная оболочка выбран ных векторов была R-ортогональным J-инвариантным подпространством, которое ортогонально b вектору z = S.

Достаточно выполнить эту процедуру для двух случаев: если матрица R имеет только одно и чисто мнимое собственное значение и если матрица R имеет два собственных значения с ненуле вой вещественной частью.

Пусть матрица R имеет единственное собственное значение = i, R. Тогда в соответствии с формулами (14), (15) имеем S 1 RS = Q = Q1 ‡Q2 ‡ · · · ‡Qs, (17) S JS = G = 1 J1 ‡2 J2 ‡ · · · ‡s Js, (18) где Qj — жордановы блоки, j {1, 1}, dim Qj = dim Jj = nj nj, (Jj )r,l = 0, если r + l = nj + 1, (Jj )r,l = inj (1)r+1, если r + l = nj + 1, j = 1,..., s.

Требуется найти (2n n)-матрицу M такую, что линейная оболочка столбцов матрицы M R J M = 0 и M col(b, 0) = 0. Рассмотрим матрицу M = S 1 M. Поскольку инвариантна;

M G = G1 = G = S JS = S 1 JS 1, 34 Н. Е. БАРАБАНОВ должно быть M GM = 0, M z = 0 и линейная оболочка столбцов матрицы M должна быть Q-инвариантна. Существование такой матрицы M не зависит от величины собственного значения. Поэтому далее предполагаем = 0. В этом случае матрица Q оказывается нильпотентной.

Уравнение (16) эквивалентно уравнениям z Ql Gz = 0 для всех l = 0, 1, 2,.... Поскольку матрица QG эрмитова, (GQr z) G(GQj z) = 0 для всех r, j = 0, 1, 2,....

Разделим векторы p C2n на несколько частей: p = col(p1,..., ps ) в соответствии с представле нием (17), (18).

Рассмотрим подпространство P векторов p C2n таких, что последние [(nj + 1)/2] компо нент каждого вектора pj равны нулю. Здесь и далее [m] — целая часть вещественного чис ла m. Тогда P является J-нейтральным: p Gq = 0 для всех p, q P. Найдем базис под пространства P1, который G-ортогонален векторам Gz, GQz,..., GQ[n1 ] z. Введем обозначение l1 = n1 1 max{l : Ql z = 0}, l2 — число блоков Qj с нечетными размерностями. Тогда размер ность P1 равна n l2 /2 max{0, [n1 /2] l1 }. Поскольку сигнатура G равна нулю, то существует l2 /2 линейно независимых векторов p в C2n, которые G-ортогональны друг другу, подпространству P1, векторам Gz, GQz,..., GQ[n1 ] z и таковы, что последние [nj /2] компонент векторов pj равны нулю и любая нетривиальная линейная комбинация этих векторов не принадлежит подпростран ству P1. Определим (2n n)-матрицу M, столбцы которой включают базис подпространства which P1, векторы, выбранные выше, и векторы Gz, GQz,..., GQ[n1 ] z. Такая матрица удовлетворяет всем необходимым требованиям.

Предположим теперь, что матрица R имеет ровно два собственных значения и и Re = 0.

Тогда в соответствии с представлением (14), (15) Q 0 0 G S 1 RS = Q = S JS = G =,, (19) 0 Q G S JS = G = 1 J1 ‡2 J2 ‡ · · · ‡s Js, Q = Q1 ‡Q2 ‡ · · · ‡Qs, j {1, 1} (20) и жордановы блоки Q и Q таковы, что Q + I = Q I.

Обозначим через n1 максимальную размерность блоков Qj. Произвольный вектор p представим в виде p = col(p1,..., ps, ps+1,..., p2s ) в соответствии с декомпозицией (20). Пусть n1,..., ns — размерности блоков J1,..., Js. Рассмотрим линейную оболочку P векторов p таких, что последние [(nj + 1)/2] компонент векторов pj равны нулю. Тогда P GP = 0.

Определим l l0 = max l : Q blockdiag{I, I} z = 0 ;

l1 = 2n1 1 l0 ;

l2 = max{0, n1 l1 }, l3 — число жордановых блоков Qj, имеющих нечетную размерность. Тогда l3 четно, существу ют d = n l3 /2 l2 линейно независимых векторов w1,..., wd в подпространстве P, которые G-ортогональны векторам Gz,..., GQl2 z. Поскольку сигнатура матрицы iG равна нулю, то суще ствуют l3 /2 линейно независимых векторов wd+1,..., wd+l3 таких, что последние [nj /2] компонент векторов (wd+k )j, k = 1,..., l3 /2 равны нулю, и в то же время G-ортогональные друг другу, векто рам Gz,..., GQl2 z и любая нетривиальная их линейная комбинация не содержится в P. Требуемая матрица M имеет следующие столбцы: w1,..., wd+l3, Gz,..., GQl2 z. Непосредственно проверяет ся, что M GM = 0, M z = 0 и линейная оболчка столбцов матрицы M R-инвариантна. Требуемое в теореме подпространство можно выбрать как линейную оболочку столбцов матрицы SM.

Теперь представим матрицу R с выделенной неуправляемой частью пары (A, B):

A2 B1 1 B A1 0 A3 R=, G1 G2 A G G3 A A 2 2 О СУЩЕСТВОВАНИИ ПОЛНОГО НАБОРА РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ЛУРЬЕ где (n1 n1 )-матрица A3 описывает неуправляемую динамику системы dx/dt = Ax + Bu и пара (A1, B1 ) управляема. Любой вектор v C2n разобьем на четыре части в соответствии с этим представлением: v = col(v1, v2, v3, v4 ).

Пусть Pr — проекция Pr v = v2. Введем обозначение U = Pr C2n ;

пусть P — корневое подпро странство матрицы R, соответствующее собственному значению. Следующее условие играет важную роль в конечном результате.

Условие A. Для всех собственных значений матрицы R существуют подпространства P R-инвариантны, Pr P = Pr P и алгебраическая сумма подпространств P J P такие, что P нейтральна.

Лемма 19. Условие A необходимо и достаточно для существования подпространства P такого, что P R-инвариантно, J-нейтрально и Pr P = U.

Доказательство. Пусть такое подпространство P существует. Тогда подпространства P = P P существу удовлетворяют всем требованиям условия A. Обратно, если такие подпространства P ют, то их сумма P R-инвариантна, J-нейтральна и Pr P равна алгебраической сумме проекций подпространств P, которая является полным пространством U.

Следствие 2. Если для некоторого множества собственных значений матрицы R верно:

Pr P = только если и () =, то условие A выполнено.

Доказательство. Определим P = P для и P = для. Тогда сумма этих подпро / странств R-инвариантна, J-ортогональна и ее проекция на U совпадаето со всем U.

Следствие 3. Если матрица A3 не имеет собственных значений, симметричных относи тельно мнимой оси, то условие A выполнено.

Доказательство. Достаточно применить предыдущую лемму в случае, когда — множество соб ственных значений матрицы A3.

Обозначим через N (m) множество R-инвариантных J-нейтральных подпространств в C2n раз мерности m.

Лемма 20. Пусть существуют P1 N (n) и P2 N (m) с m n. Тогда существует P3 N (n) такое, что P2 P3. Кроме того, если существует 2n-вектор d такой, что d ортогонален подпространствам P1 и P2, то подпространство P3 может быть выбрано так, что d ортогонален P3.

Доказательство. Пусть P4 = (JP2 ), P3 = span(P2 (P1 P4 )). Тогда P3 N (n). Если d (P1 P2 ) то d P3.

Сформулируем главный результат работы.

Теорема 6. Уравнение (2) имеет полный набор решений тогда и только тогда, когда вы полнены следующие условия.

1) (1)n det(R iI) 0 для всех R.

2) Сигнатура каждого корневого подпространства матрицы R с чисто мнимым собствен ным значением равна нулю.

3) Выполнено условие A.

4) Для любого R-инвариантного J-нейтрального подпространства P C2n такого, что Pr P = U и любого вектора b Cn такого, что col(b, 0) P, верно (b, 0)(R I)1 0.

b Доказательство. Пусть уравнение (2) имеет полный набор решений. Тогда из лемм 2, 4, 19 и теоремы 4 следуют условия 1)–3). Пусть условие 4) нарушено. Тогда в соответствии с теоремой существует P1 N (n) такое, что col(b, 0) P1. Применим лемму 20 с P2 = P. Существует 36 Н. Е. БАРАБАНОВ P3 N (n) такое, что P P3 и col(b, 0) P3. Поэтому Pr P3 = U и уравнение (2) не имеет полного набора решений. Противоречие доказывает, что условие 4) выполнено.

Обратно, пусть условия 1)–4) выполнены. Согласно теореме 4 и лемме 19 существует число m n и подпространства P1 N (n), P2 N (m) такие, что Pr P2 = U. В соответствии с леммой 20 существует подпространство P3 N (n) такое, что Pr P3 = U. В силу леммы 3 и условия 4) верхний блок матрицы базисных векторов P3 невырожден. В соответствии с леммой уравнение (2) имеет решение. Опять, в соответствии с леммой 3 и условием 4) уравнение (2) имеет полный набор решений.

Замечание 1. Пусть условие 1) выполнено. Условие 2) справедливо тогда и только тогда, когда существует произвольно малое возмущение матрицы R в множестве гамильтоновых матриц такое, что измененная матрица не имеет чисто мнимых собственных значений.

Замечание 2. Условие (b, 0)(R I)1 b эквивалентно следующему:

b (A I)1 B + B (A + I)1 G(A I)1 B B (A + I)1 b 0 (21) Замечание 3. Пусть уравнение (2) имеет полный набор решений. Пусть множество собствен ных значений с ненулевой вещественной частью матрицы R такое, что Pr P =, Pr P = и =. Пусть дано множество {k } целых чисел таких, что для каждого k есть размерность некоторого R-инвариантного подпространства в R ;

n — размерность R. Тогда су ществует решение H уравнения (2) такое, что для всех кратность корня полинома (s) = det(sI A + B1 B H) равна k и кратность корня полинома (s) равна n k.

Следствие 4. Если уравнение (2) имеет полный набор решений и пара (A, B) стабилизиру ема, то существует решение H уравнения (2) такое, что матрица A B1 B H гурвицева.

Такое решение единственно.

Пример 2. Пусть (t2 + 5)2 1 0 2 10 A=, B=, G=, =.

13 01 01 0 Тогда частотное условие (i) 0 R выполняется, пара (A, B) управляема, уравнение (2) имеет решение для всех t 0. Но оно имеет полный набор решений тогда и только тогда, когда t4 3t3 + 2t2 18t 11.5 = 0.

Данное уравнение имеет два вещественных корня: t1 0.57 и t2 3.88. Если t = t2, то уравнение = = (2) не имеет стабилизирующего решения.

Пример 3. Пусть i1 A=, B = 0, G =, = I.

0i Тогда все условия теоремы 6 выполнены и уравнение (2) имеет полный набор решений. Этот набор в данном случае состоит из единственного решения H=.

Пример 4. Пусть 10 A=, B = 0, G=, = I.

0 1 Тогда условия 1), 2) теоремы 6 выполнены, но условие A нарушено. Поэтому уравнение (2) не имеет решений.

О СУЩЕСТВОВАНИИ ПОЛНОГО НАБОРА РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ЛУРЬЕ 5. СЛУЧАЙ ЗНАКООПРЕДЕЛЕННОЙ МАТРИЦЫ Пусть 0 или 0 и условие A выполняется. Тогда в случае выполнения частотного нера венства все жордановы блоки, соответствующие чисто мнимым собственным значениям, имеют четную кратность. Поэтому второе условие также выполнено. Условие 4) выполнено всегда, так как если col(b, 0)P = 0, Pr P = U, то для почти всех чисел верно неравенство b (AI)1 B = и для достаточно больших по модулю чисел матрица + B (A + I)1 G(A I)1 B знако определена. Итак, получен следующий результат.

Теорема 7. Пусть 0. Тогда уравнение (2) имеет полный набор решений тогда и только тогда, когда выполнены условие A и частотное неравенство + B (A + iI)1 G(A iI)1 B 0 R. (22) 6. СЛУЧАЙ ВЫРОЖДЕННОЙ МАТРИЦЫ Рассмотрим задачу разрешимости тождества 2 Re{x H(Ax + B) + x Gx + } = (h x + ) (h x + )x Cn, Cm по отношению к (n m)-матрице h, (m m)-матрице и эрмитовой (n n)-матрице H. Пусть det = 0 и (i) = det( + B (A + iI)1 G(A iI)1 B) 0.

Тогда существует число 1 такое, что (i1 ) = 0. Линейное преобразование x = (i1 I A)1 (z + ) приводит это тождество к аналогичному с det = 0 [2]. Поэтому теорема 6 может быть приме нена и в случае det = 0, (i) 0.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Барабанов Н. Е. О стабилизируемости линейных систем с неопределенностью в коэффициентах// Ав томатика и телемеханика. — 1990. — 10.— С. 29–37.

2. Чурилов А. Н. О разрешимости матричных неравенств// Мат. заметки.— 1984. — 36, № 5.— С. 725–732.

3. Якубович В. А. Решение некоторых матричных неравенств, встречающихся в теории автоматического управления// Докл. АН СССР.— 1962. — 143, № 3.— С. 1304–1307.

4. Якубович В. А., Старжинский В. М. Линейные дифференциальные уравнение с периодическими коэф фициентами. — М.: Наука, 1975.

5. Coppel W. A. Matrix quadratic equations// Bull. Austral. Math. Soc. — 1974. — 10, № 3. — С. 377–401.

6. Kalman R. E. Liapunov functions for the problem of Lur’e in automatic control// Proc. Acad. Sci. USA.— 1963. — 49, № 2. — С. 201–205.

7. Lancaster P., Rodman L. Existence and uniqueness theorems for the algebraic Riccati equation// Int. J.

Control. — 1980. — 32, № 2. — С. 285–310.

8. Meyer K. R. On the existence of Lyapunov functions for the problem of Lur’e// SIAM J. Control, Ser. A.— 1965. — 3, № 3. — С. 373–383.

Н. Е. Барабанов Университет штата Северная Дакота, США E-mail: nikita.barabanov@ndsu.edu Современная математика и ее приложения. Том 29 (2005). С. 38– УДК 517. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ НАКОПЛЕНИЯ ЭНЕРГИИ c 2005 г. Я. Л. БОГОМОЛОВ, А. Д. ЮНАКОВСКИЙ АННОТАЦИЯ. Рассматривается задача оптимизации многоканальных электродинамических систем на копления энергии для получения однородного электрического поля максимально возможной амплиту ды в приосевой области. Проведено сравнение приближенного аналитического решения с численным, полученном методом дискретных источников. Предложен новый способ размещения источников, поз воляющий эффективно рассчитывать системы со сложной геометрией.

1. Введение. Постановка задачи. В настоящее время перспективы линейных ускорителей элек тронов и позитронов связывают с использованием все более высокочастотной накачки. Соответ ственно становится привлекательным использовать в таких структурах компоненты квазиоптиче ского типа [8]. Один из возможных вариантов ускоряющей структуры с квазиоптическим вводом микроволновой энергии представляет собой периодический набор металлических колец, которые должны, во-первых, образовывать резонатор, аккумулирующий микроволновую энергию, и во вторых, формировать волновое поле с возможно большей величиной пространственной гармоники, синхронной электронам, т.е. обладающей фазовой скоростью близкой к скорости света c. Исполь зование для этой цели очень узких каналов между кольцами потребовало бы чрезмерно высокой точности их изготовления и было бы чревато пробоем. Поэтому каналы должны быть достаточно широкими, но содержать последовательность взаимно сфазированных нерегулярностей, т.е. обра зовывать регулярный брэгговский рефлектор.

Для угловой составляющей вектора магнитного поля H = H в области, ограниченной пери одической кольцевой идеально проводящей металлической поверхностью = (z) с периодом справедливо волновое уравнение Htt = H. (1) На границе области касательная составляющая вектора электрического поля H E = rot H = rot H = i, 0i, H iz z равна нулю, т.е. E = 0. В нашем случае граничная поверхность не зависит от угловой координаты и это условие сводится к H d + H = 0. (2) z dz Для формирования требуемого поля нужно задать такую поверхность = (z), чтобы проекция z-компоненты электрического поля на первую гармонику по продольной z координате была макси мальной.

2. Определение формы граничной поверхности. Параметры системы и временную частоту можно подобрать так, чтобы частным решением уравнения (1) являлась функция Hi = eit ei(z+), (3) c Ин-т кибернетики АН Грузии, ISSN 1512– МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ НАКОПЛЕНИЯ ЭНЕРГИИ РИС. 1. Продольное се- РИС. 2. Схема размещения дис чение электродинамиче- кретных источников и точек кол ской системы типа уско- локации вдоль границы ступеньки.

рительной секции супер- Кружочками отмечены источники, коллайдера а квадратиками — точки коллока ции являющаяся такой падающей или входящей волной, зависимость которой от радиальной коор динаты линейна, а не задается функцией Бесселя. При этом z-компонента электрического поля является однородной функцией радиальной координаты Ez = ei(t+z+).

Если мы сумеем подобрать такую граничную поверхность (z), чтобы единственной отраженной или уходящей волной, порожденной падающей волной (3), была Hs = eit ei(z), (4) то мы фактически решим задачу максимизации электрического поля в приосевой области. Волна H = Hi + Hs = 2eit cos zei (5) удовлетворяет уравнению (1). Граничное условие (2) на волне (5) можно рассматривать как диф ференциальное уравнение для определения поверхности, порождающей единственную отраженную волну (4). Оно имеет вид d sin z + 2 cos z = 0.

dz Общее решение этого уравнения 2 = 2 4 ln | sin z| (6) является периодической функцией от z, но с периодом, вдвое меньшим периода требуемой сто ячей волны (5). Несмотря на ее линейную зависимость от радиальной координаты, функция (5) 40 Я. Л. БОГОМОЛОВ, А. Д. ЮНАКОВСКИЙ принадлежит пространству L2 () в области = {0 z 2, 0 (z)}. Действительно, 2 (z) 4 |H |2 dv = 8 3 cos2 z d dz = 8 2 2 + 2(1 + 2 ln 2) + +4.

0 H Очевидно, что интеграл dv также ограничен, т.е. ограничен и весь интеграл энергии.

t Если 2 6, то максимум поля на поверхности (6), т.е. место наиболее вероятного пробоя, 2 (2 6)/4 ). Если же 2 6, то достигается в точке z = arcsin e(0 6)/4 и равен |E| max = 8(2 + e 2 2.

максимум достигается в точке z = /2 + k и равен |E|max = Поверхность (6), хотя и дает решение поставленной оптимизационной задачи, но является тех нически нереализуемой, так как область подвода энергии в систему, т.е. область задания падающей волны при r стягивается в точку. В постановку задачи требуется ввести ограничение: при r между двумя соседними компонентами 1 и 2 границы области должен оставаться зазор, т.е.

z2 z1 0 при r.

Для такой поверхности функция (5) уже не является стоячей волной.

3. Нахождение приближенного решения. Пусть H = ueit.

Тогда функция u удовлетворяет уравнению Гельмгольца u + 2 u = 0 (7) и граничному условию (2) на поверхности (6). В случае = ui = ei(z+), ue = ei(z), u = ui + ue = cos z ei. (8) Для решения оптимизационной задачи исследуем граничное интегральное уравнение задачи рас сеяния во внешности области. Пусть G = G(r, ) является функцией Грина, удовлетворяющей уравнению G + G = (r ) (9) с периодическими по z (0 z 2) граничными условиями и условием излучения Зоммерфельда G iG = O при. (10) Тогда по формуле Грина для внешности области для взятой нами функции Грина обьемлю щей области при стремлении точки r к точке границы из (2) получаем граничное интегральное уравнение.

Так как по предположению граница области не зависит от координаты, то мы можем разложить и функцию Грина G(r, ), и решение u(r) в ряд Фурье по координате. Тогда для компоненты v при ei получаем d 2 G(r,, z, z1 ) 1 G(r,, z, z1 ) v(r, z) = 1+ v dz1. (11) 2 n dz 1 Если падающая волна является плоской (не зависящей от координаты z), то компоненты граничной поверхности не могут быть периодическими с периодом и симметричными относительно точек /2+k, так как в этом случае у решения задачи будут только четные компоненты ei2nz разложения решения в ряд Фурье по координате z.

Поверхность при 0 z можно сконструировать из двух частей. Нижняя часть пусть удовлетворяет уравнению (6), т.е. приосевая часть области представляет собой резонатор на первой по z частоте. Волноводная часть может быть сконструирована в виде двух различных каналов МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ НАКОПЛЕНИЯ ЭНЕРГИИ шириной в окрестности точек z = 0 и z = (см. рис. 1 и [7]). Каналы должны иметь уступы, заданные таким образом, чтобы в верхней части каналов амплитуды и знаки электрического и магнитного полей совпадали, а в нижней части поля имели также одинаковые амплитуды, но противоположные знаки, т.е. решение в нижней части каналов должно сшиваться с (8). Чем точнее выполняется синхронизация каналов, тем ближе собственное значение оператора Гельмгольца (7) в выбранной области приближается к нулю.

4. Оптимизация каналов. В узком цилиндрическом канале |z|, r rd уравнение Гельм (1) гольца (7) имеет решение, главная часть которого представляет собой сумму падающей H1 (r) и (2) отраженной H1 (r) волн:

(1) (2) H = cH1 (r) + dH1 (r), (12) удовлетворяющую граничному условию (2) на граничной поверхности и условию излучения Зом мерфельда (10) для отраженной волны при r.

Рассмотрим систему, состоящую из двух узких каналов с уступом между точками r1 r2 для левого канала и r3 r4 для правого. В уступах решение имеет тот же вид (12), но соответственно, с коэффициентами c2, d2 для левого канала и c4, d4 для правого. Ниже уступов коэффициентами решения будут соответственно c1, d1 в левом и c3, d3 в правом каналах. Рассмотрим отдельно левый канал. Условиями сшивки магнитного и электрического полей в точках уступа ri являются H(ri+0 ) = H(ri0 ), E(ri+0 ) = E(ri0 ), (13) где — отношение ширины канала к ширине уступа. Мы должны также осуществить сшивку решения в каналах с решением (4) в приосевой области на первой продольной моде cos z. Таким образом, в точках канала r0 r1 должны выполняться равенства Hл (r0 ) = Hп (r0 ), Eл (r0 ) = Eп (r0 ). (14) Так как решение (4) представляет собой стоячую волну, т.е. в приосевой части у нас нет перекачки энергии из одного канала в другой, то амплитуды падающей и отраженной волн в каждом канале должны совпадать:

|c1 | = |d1 |, |c3 | = |d3 |. (15) Из (14) следует, что условием согласования каналов будут соотношения c1 = c3, d1 = d3. (16) Из условия отсутствия перекачки энергии в приосевой части (равенства (15)) следует и отсутствие перекачки в верхней части, т.е.

|c| = |d|. (17) Таким образом, у нас остается только одно независимое комплекснозначное уравнение c1 (r1, r2 ) = c3 (r3, r4 ). (18) Так как уступы в кольцах делаются при достаточно больших r1 и r3, то в этой области можно воспользоваться асимптотическими формулами для функций Бесселя. Введя обозначения:

=, x = r2 r1, y = r2 + r1, x1 = r4 r3, y1 = r4 + r3. (19) + получим c1 = f (x, y) + ig(x, y), (20) ( + 1) где f (x, y) = 1 2 2 sin x(cos y sin x), g(x, y) = 2 sin x(sin y cos x). (21) Комплексное уравнение (18) перепишется в виде f (x, y) + f (x1, y1 ) = 0, g(x, y) + g(x1, y1 ) = 0. (22) 42 Я. Л. БОГОМОЛОВ, А. Д. ЮНАКОВСКИЙ РИС. 4. Квадрат модуля поля в РИС. 3. Характерное распре канале со ступенькой деление весов источников в окрестности угла ступеньки.

Центр симметрии соответству ет узлу k = Сформулируем задачу на условный экстремум: требуется найти максимум функции f 2 (x, y) + g 2 (x, y) при выполнении условий (22). Наименьшим по величине решенем этой задачи является x =, y = 2, x1 =, y1 = 2 +, (23) 4 где = arccos 1/ 2. Соответственно 7 1 9 1 5 1 11 r1 =, r2 =, r3 = +, r4 = +.

8 2 8 2 8 2 8 Заметим, что 3 r 3 r 1 r 2 r4, r1 + r 3 =, r2 + r 4 =.

4 Если мы хотим увеличить амплитуду электрического поля в окрестности оси, то мы можем сделать дополнительный уступ в обоих каналах, максимизирующий амплитуду c1 в (20). Единственным ограничением на из (19) является 2. (24) 5. Численное решение задачи рассеяния. Для определения, насколько точно должны быть сделаны уступы в реальном приборе, требуется численно решить двумерную задачу рассеяния в области, приведенной на рис. 2, с отношением ширины канала к периоду системы порядка 1 : и сравнить построенное выше приближенное решение с численным. Нужно проверить выполне ние условий сшивки (14) решения в канале с решением в приосевой области. Требуется также убедиться в отсутствии в приосевой области паразитных составляющих решения, известных как аномалии Вуда [4]. Для проверки этих условий была разработана численная методика [1] реше ния классической задачи рассеяния [5]. Наиболее важной и трудной для численной реализации оказалась область уступа в узком канале. Поэтому мы отдельно рассмотрели задачу рассеяния в полубесконечной полосе со ступенькой, играющей роль препятствия (рис. 2). Как мы уже отме чали, уступы на кольцах делаются при достаточно большом радиусе и при исследовании можно ограничиться плоским случаем уравнения Гельмгольца Uxx + Uyy + k 2 U = 0. (25) Граничное условие (2) приобретает вид U = 0. (26) n МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ НАКОПЛЕНИЯ ЭНЕРГИИ Решение задачи (25), (26) ищется в виде U1 + U2, где U1 — падающая, а U2 — рассеянная волна.

Уходящая волна U2 должна быть расходящейся рассеянной волной, т.е. при x удовлетворять условию излучения Зоммерфельда [2]:

U2 ikU2 = O. (27) x x Падающая волна задавалась в виде U1 (x, y) = exp(ihn x) cos(n y), (28) 2ik где n h2 = k 2 2.

n =, n n dy Условие (27) гарантирует существование функции Грина задачи (25), (26) в области {0 x +, 0 y dy }:

G(x, y,, ) = Gn (x,, ) cos n y. (29) n= Здесь iDn in |x| + ein |x+| k 2 2 = 2 0, Gn (x,, ) = e при n n 2n Dn sinh[n (x )](x ) en cosh n x k 2 2 = 2 0, Gn (x,, ) = при n n n где 1 2 1 при x, D0 =, Dn = cos(n ), (x ) = dy dy 0 при x.

Областью интегрирования для граничного интегрального уравнения (11), полученного с помощью функции Грина (29), будет только граница ступеньки (см. рис. 2). Приближенное решение задачи рассеяния будем искать методом дискретных источников [6, 3]. Наиболее сложным звеном явля ется способ размещения источников и точек коллокации (точек, в которых требуется выполнение граничного условия (26)). Наиболее естественным выглядит равномерное размещение точек кол локации (рис. 2). В случае ступеньки на острие из соображений симметрии следует задавать две точки коллокации. Данное соображение оправдано наличием как бы двух граничных условий в этой точке:

Ux |yc +0 = 0, Uy |xc +0 = 0.

Мы отодвинули, аналогично [3], точки, в которых размещены источники, от границы ступень ки, разместив их равномерно в вершинах равнобедренных треугольников, построенных на точках коллокации. В окрестности угловой точки источники размещены как бы на петле. Две дополни тельные точки на диагонали ступеньки обеспечивают симметричное расположение источников в районе угла и совпадение в его окрестности числа точек коллокации с числом источников.

Приближенное решение для рассеянной волны ищется в виде N U2 (x, y) = exp(ihn x) cos(n y) + di G(x, y, i, i ), (30) 2ik i= где (i, i ) — координаты источников, di — точечные заряды. Первое слагаемое в (30) задает отра женную от границы x = 0 волну и позволяет не размещать дискретные источники вдоль этого участка границы.

Решение (30) удовлетворяет уравнению (25), граничному условию (26) при y = 0 и y = dy, а также условию излучения Зоммерфельда (27). Подставив (28) и (30) в (26) для всех точек коллокации, получим линейную систему алгебраических уравнений для нахождения di, i = 1, N.

44 Я. Л. БОГОМОЛОВ, А. Д. ЮНАКОВСКИЙ В общем случае параметрического задания границы x(s), y(s), линейная система уравнений для нахождения точечных зарядов di имеет следующий вид:

N di Gx (xj, yj, i, i ) sin j Gy (xj, yj, i, i ) cos j = (31) i= i = n cos hn xj sin n yj cos j hn sin hn xj cos n yj sin j, j = 1, N, k где tg = y/(s)/x/(s).

В случае ступеньки формулы существенно упрощаются (часть значений синусов и косинусов зануляются).

Схема размещения, представленная на рис. 2, оказалась оптимальной для сохранения симмет рии структуры в окрестности угловой точки, более быстрой сходимости рядов (29) и минимизации числа источников, определяющих главную часть решения. На практике выбранное размещение точек коллокации и дискретных источников улучшало обусловленность системы (31) и увеличи вало скорость сходимости численного рядов в (26). При этом быстрое спадание значений весов источников по мере удаления от острия ступеньки (рис. 3) было монотонным и симметричным.

Интересным оказался вопрос о выборе параметра, определяющего высоту равнобедренного треугольника (рис. 2). Значения = 0, 1 приводят к расходимости рядов (29), а = 0.5 «сжимает»

четыре источника в один и система уравнений (31) вырождается. Сравнение численных расчетов с аналитическими оценками показало существенные отличия поведения решения для значений 0 0.5. В этой области параметра треугольники стали тупоугольными и петля как бы «вывернулась», ушла вглубь. Да и сами численные результаты отличались друг от друга при раз личном выборе из данного диапазона. В то же время при 0.5 1 численные результаты являются практически одинаковыми во всем диапазоне и хорошо согласуются с аналитическими оценками. Исключение составляет значение 0.756, при котором система (31) становится плохо обусловленной. Для практических расчетов можно рекомендовать значение = 3/2, соответ ствующее случаю равностороннего треугольника.

Расчеты, проведенные для области на рис. 2, показали, что в приосевой части численное решение совпадает с приближенным решением (8) вплоть до нижней границы уступа. На рис. 4 изображен характерный вид решения задачи (25)–(28) в в канале со ступенькой. Аналогичные результаты были получены для структуры с двумя ступеньками.

В заключение отметим, что вычислительные эксперименты, проведенные для различного типа систем по вышеизложеннолй методике (как для плоской, так и для цилиндрической геометрии) показали сходимость численного решения при увеличении числа задаваемых узлов коллокации и хорошее соответствие аналитическим оценкам в тестовых примерах.

Авторы считают своим приятным долгом выразить благодарность М. И. Петелину за неустанный интерес к работе.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Богомолов Я. Л., Петелин М. И., Юнаковский А. Д. Метод расчета электродинамических систем типа ускорительной секции суперколлайдеров// 3 Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике.— Новосибирск: 1988. — Ч. 2. — С. 7.

2. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1974.

3. Еремин Ю. А., Свешников А. Г. Метод дискретных источников в задачах электромагнитной дифрак ции. — М.: МГУ, 1992.

4. Камоцкий И. В., Назаров С. А. Аномалии Вуда и поверхностные волны в задаче рассеяния на перио дической границе// Мат. сб. — 1999. — 190. № 1.— С. 109–138.

5. Курант Р. Уравнения с частными производными. — М.: Мир, 1964.

6. Лифанов И. К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. — М.: Янус, 1995.

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ НАКОПЛЕНИЯ ЭНЕРГИИ 7. Petelin M. I., Caryotakis G., Tolkachev A. A., Kuzikov S. V., Postoenko G. K., Tai M. L., Yunakovsky A. D. Quasi-optical components for MMW fed radars and particle accelerators// American Institute of Physics. — Woodbury, New York: 1998. — С. 304–315.

8. Ruth R. D. et. al. The next linear collider test accelerator// Proc. IEEE Particle Accelerator Conference. — Washington, May 1993. — С. 543–545.

Я. Л. Богомолов Институт прикладной физики РАН, Нижний Новгород, Россия E-mail: bogomol@appl.sci-nnov.ru А. Д. Юнаковский Институт прикладной физики РАН, Нижний Новгород, Россия E-mail: yun@appl.sci-nnov.ru Современная математика и ее приложения. Том 29 (2005). С. 46– УДК 517. ПРОДОЛЖАЕМОСТЬ РЕШЕНИЙ ВОЗМУЩЕННОГО ВКЛЮЧЕНИЯ С ВОЛЬТЕРРОВЫМИ ОПЕРАТОРАМИ c 2005 г. А. И. БУЛГАКОВ, В. В. ВАСИЛЬЕВ, А. А. ЕФРЕМОВ Здесь в пространстве непрерывных функций рассматривается возмущенное (см. [7]) включе ние с вольтерровыми операторами. Для этого включения рассматриваются вопросы локальной разрешимости и продолжаемости решений таких включений. Отметим, что эти вопросы для диф ференциальных и интегральных включений и уpавнений постоянно остаются в поле зрения многих исследователей (см., например, [1–4, 6, 8, 9, 11, 14]). Доказанные здесь утверждения представляют собой распространение упомянутых результатов на возмущенное включение.

Пусть Rn — пространство n-мерных вектор-столбцов с нормой | · |, comp[Rn ] — множество всех непустых компактов пространства Rn. Обозначим через C n [a, b] и Ln [a, b] пространства непрерыв ных (соответственно, суммируемых по Лебегу) функций x : [a, b] Rn с нормами b x = max{|x(t)| : t [a, b]}, x = |x(s)|ds C L a соответственно, через (C n [a, b]) и P (C n [a, b]) — множества всех непустых выпуклых компактов (соответственно, непустых подмножеств) пространства C n [a, b], через BC[a,b] [x, r] — замкнутый шар в пространстве C n [a, b] с центром в точке x C n [a, b] и радиусом r 0.

Будем говорить, что множество Ln [a, b] выпукло по переключению (разложимо), если для любого измеримого по Лебегу множества e [a, b] и любых x, y справедливо включение (e)x + ([a, b] \ e)y, где (·) — характеристическая функция соответствующих множеств.

Обозначим через [Ln [a, b]] множество всех непустых, ограниченных, замкнутых, выпуклых по переключению множеств из Ln [a, b]. Отметим, что понятия выпуклого и выпуклого по переключе нию множества — два независимых понятия.

Пусть Z — банахово пространство функций x : [a, b] Rn. Пусть (a, b] — элемент x Z и M Z. Обозначим через x сужение функции x на отрезок [a, ] и пусть M {x : x M }.

Замкнутость, полунепрерывность снизу многозначных отображений понимается в обычном смысле (см., например, [5]).

Под суммой множеств понимаем алгебраическую сумму множеств.

Рассмотрим семейство включений (a, c), зависящих от параметра c (a, ]:

x T (x) + V ( (x)). (1 ) Здесь семейство операторов {T } обладает следующими свойствами:

1) для любого (a, c) оператор T : C n [a, ] (C n [a, ]) компактен;

2) для любого (a, c) множество {(T (x))(a) : x C n [a, ]} ограничено;

3) при каждом (a, c) для любого x C n [a, ] и любого (a, ) выполняется равенство (T (x)) = T (x ) (таким образом, при каждом (a, c) оператор T : C n [a, ] (C n [a, ]) вольтерров по А. Н. Тихонову);

4) для любого (a, c) оператор T : C n [a, ] (C n [a, ]) либо замкнут, либо полунепрерывен снизу.

Семейство операторов {V } обладает следующими свойствами:

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 04-01-00324).

c Ин-т кибернетики АН Грузии, ISSN 1512– ПРОДОЛЖАЕМОСТЬ РЕШЕНИЙ ВОЗМУЩЕННОГО ВКЛЮЧЕНИЯ С ВОЛЬТЕРРОВЫМИ ОПЕРАТОРАМИ 5) для каждого (a, c) линейный непрерывный оператор V : Ln [a, ] C n [a, ], определенный равенством t (V z)(t) = V (t, s)z(s) ds, t [a, ], (2) a переводит каждое слабо компактное в Ln [a, ] множество в компактное множество простран ства C n [a, ];

6) для каждого (a, c) оператор : C n [a, ] [Ln [a, ]] полунепрерывен снизу и перево дит каждое ограниченное в C n [a, ] множество в слабо компактное множество пространства Ln [a, ];

7) при каждом (a, c) для любого x C n [a, ] и любого (a, ) выполняется равен ство ( (x)) = (x ) (таким образом, оператор : C n [a, ] [Ln [a, ]] вольтерров по А. Н. Тихонову).

Отметим, что для каждого (a, c) и каждого x C n [a, ] множество V ( (x)) в (1 ) — образ множества (x) [Ln [a, ]] линейного оператора V, определенного равенством (2). Далее, так как множество (x) вообще говоря, не обладает свойством выпуклости, то образ V ( (x)) не является выпуклым множеством. В связи с этим многозначное отображение, определенное пра вой частью включения (1 ), представляет собой оператор, не обладающий свойством выпуклости значений.

Под решением включения (1 ) понимается непрерывная функция x : [a, ] Rn, удовлетворяю щая включению (1 ). Таким образом, элемент x C n [a, ] является решением включения (1 ) тогда и только тогда, когда найдутся такие элементы v T (x) и z (x), для которых справедливо равенство x = v + V z.

Теорема 1. Пусть выполнены условия 1)–7). Тогда существует такое (a, c), что множе ство решений включения (1 ) непусто.

Доказательство. Предположим, что для любого (a, c) оператор T : C n [a, ] (C n [a, ]) замкнут. Так как для любого (a, c) отображение : C n [a, ] [Ln [a, ]] полунепрерывно снизу, то согласно [12] для любого (a, c) найдется непрерывное отображение f : C n [a, ] Ln [a, ], обладающее следующим свойством: для любого x C n [a, ] справедливо соотношение f (x) (x).

Далее, для каждого (a, c) рассмотрим включение x T (x) + V (f (x)). (3 ) Из определения правой части включения (3 ) следует, что каждое решение x C n [a, ] включения (3 ) является решением включения (1 ).

Далее, для любого (a, c) определим операторы : C n [a, ] P (C n [a, ]), : C n [a, ] (C n [a, ]) равенствами (x) = T (x) + V ( (x)), (x) = T (x) + V (f (x)). (4) Так как оператор T замкнут, то и оператор также замкнут и для любого x C n [a, ] справед ливо соотношение (x) (x).

Покажем, что при некотором (a, c) оператор отображает в себя замкнутый шар конечного радиуса с центром в нуле. Вначале заметим, что для любых, (a, c) выполняется равенство (T (x))(a) = (T (x))(a). (5) xC n [a,] xC n [a,] Действительно, пусть. Тогда для каждой функции x C n [a, ] найдется функция y C n [a, ], для которой выполняется равенство y = x, поэтому в силу условия 3) равенство (5) имеет место.

48 А. И. БУЛГАКОВ, В. В. ВАСИЛЬЕВ, А. А. ЕФРЕМОВ Далее, выберем произвольно точку b (a, c) и рассмотрим шар BC[a,b] [0, 2], где = sup |z| : z (Tb (x))(a). В силу условий 1), 5), 6) множество b (BC[a,b] [0, 2]) компакт xC n [a,b] но. Поэтому существует такое (a, b], что для любого y b (BC[a,b] [0, 2]) выполняется неравенство max |y(t) y(a)| : t [a, ]. Так как для числа выполняется равенство (BC[a,b] [0, 2]) = BC[a,] [0, 2], то в силу условий 3), 5), 7) спpаведливо соотношение (b (BC[a,b] [0, 2])) = (BC[a,] [0, 2]).

Из последнего равенства вытекает, что для любого z (BCn[a,] [a, 2]) имеет место оценка max |z(t) z(a)| : t [a, ]. Отсюда и из соотношения (5) для любого z (BC[a,] [0, 2]) вытекает неравенство z C[a,] 2. Таким образом, оператор отображает в себя замкнутый шар BC[a,] [0, 2]. Поэтому из определения оператора вытекает, что (BC[a,] [a, 2]) BC[a,] [a, 2].

Так как оператор замкнут, то из теоремы Какутани [10, c. 630] включение (3 ) имеет решение;

следовательно, и включение (1 ) также имеет решение.

Пусть теперь для любого (a, c) оператор T : C n [a, ] (C n [a, ]) полунепрерывен снизу.

Тогда согласно теореме Майкла [13] существует такое непрерывное отображение : C n [a, ] C n [a, ], что для любого x C n [a, ] справедливо включение (x) T (x).

Рассмотрим для любого (a, c) уравнение x = (x) + V (f (x)). (6 ) Очевидно, что каждое решение уравнения (6 ) является решением включения (1 ).

Для каждого (a, c) определим непрерывный оператор M : C n [a, ] C n [a, ] равенством M (x) = (x) + V (f (x)).

Согласно определению отображения M : C n [a, ] C n [a, ] для любого x C n [a, ] имеет место включение M (x) (x). Поэтому, согласно вышедоказанному, существует такое (a, c), что справедливо соотношение M (BC[a,] [0, 2]) BC[a,] [0, 2].

Следовательно, согласно теореме Шаудера, уравнение (6 ) разрешимо. Таким образом, и в этом случае включение (1 ) разрешимо. Теорема доказана.

Будем говорить, что непрерывная функция x : [a, b] Rn является решением семейства включе ний {(1 )} на [a, b), если для произвольного [a, b) сужение функции x на отрезок [a, ] является решением включения (1 ). Решение x семейства включений {(1 )} на [a, b) назовем непродолжае мым, если не существует такого решения y включения (1 ), где (b, c), что для любого t [a, b) справедливо равенство x(t) = y(t). Если x является решением семейства включений {(1 )} на [a, c), то будем считать решение x непродолжаемым.

Теорема 2. Пусть выполнены условия 1)–7). Для того чтобы решение семейства включений {(1 )} на [a, b) было продолжаемо, необходимо и достаточно, чтобы x было ограничено на [a, b).

Доказательство. Пусть функция x — решение семейства включений {(1 )} на [a, b) ограничена и пусть = sup |x(t)| : t [a, b). Покажем, что тогда существует lim x(t). Действительно, tb согласно условиям 1), 3), 5), 7) найдется такая функция u b (BC[a,b] [0, ]), что для любого t [a, b) выполняется равенство x(t) = u(t). Так как функция u непрерывна на [a, b], то lim x(t) tb существует. Ниже будем считать, функцию x доопределенной по непрерывности на весь отрезок [a, b]. В силу условий 3), 5), 7) x ’— решение включения (1b ).

Покажем теперь, что pешение x продолжаемо. Пусть E (x, ) = y C n [a, b] : (t [a, b]) y(t) = x(t), max |y(t) x(b)|, t[b, ] ПРОДОЛЖАЕМОСТЬ РЕШЕНИЙ ВОЗМУЩЕННОГО ВКЛЮЧЕНИЯ С ВОЛЬТЕРРОВЫМИ ОПЕРАТОРАМИ где (b, c), 0. Для любого (b, c) определим оператор x : E (x, ) P (C n [a, ]) равенством x z = y z : (t [a, b]) y(t) = x(t), где отображение : C n [a, ] P (C n [a, ]) определено равенством (4). Так же, как и в до казательстве теоремы 1, доказывается существование такого (b, c), при котором включение z x z имеет решение. Очевидно, что это решение z является также решением включения (1 ), причем для любого t [a, b] выполняется равенство z(t) = x(t), т.е. z — продолжение решения x.

Ограниченность продолжаемого решения очевидна. Теорема доказана.

Следствие. Пусть выполнены условия 1)–7). Пусть b c. Решение x семества включений {(1 )} на [a, b) непродолжаемо в том и только том случае, когда lim |x(t)| =.

tb Теорема 3. Пусть выполнены условия 1)–7). Если y — решение включения (1 ), то существу ет такое непродолжаемое решение x семейства включений {(1 )} на [a, b), b (, c], что x — продолжение y.

Доказательство. Пусть z — решение включения (1 ), (a, c). Обозначим через M z множество всех продолжений решения z. Пусть y C[a, ] k. Тогда либо для любого x M y (x — решение включения (1x )) выполняется неравенство x C[a,x ] k, либо существует x0 M y (решение включения (10 )) такое, что для любого t [a, 0 ) выполняется оценка |x0 (t)| k и равенство |x0 (0 )| = k.

Покажем, что в первом случае для любого (, c) существует x M y, который является решением включения (1 ). Введем обозначение Uy, = z : C n [a, ] : (t [a, ]) z(t) = y(t).

Далее, определим операторы y, : Uy, P (C n [a, ]), : C n [a, ] C n [a, ] равенствами y, (z) = p z : (t [a, b]) p(t) = y(t), z(t), если |z(t)| k, ( (z))(t) = k z(t), если |z(t)| k.

|z(t)| Отметим, что согласно определению оператора y, : Uy, P (C n [a, ]) для любого z Uy, имеем y, (z) Uy,. Рассмотрим на выпуклом замкнутом множестве Uy, включение x y, ( (x)). (7) Так как образ (Uy, ) ограничен, то решение включения (7) существует, согласно [12] и теоремам Какутани [10, с. 630] или Майкла [13]. Из определения операторов y, и следует, что всякое решение включения (7) является решением включения (1 ). Таким образом, в этом случае по лучаем способ построения такого решения семества включений {(1 )} на [a, c), которое является продолжением решения y.

Пусть теперь существует x0 M y (решение включения (10 )) такое, что для любого t [a, 0 ) выполняется оценка |x0 (t)| k и pавенство |x0 (0 )| = k. Возьмем число k + 1. Тогда множе ство M x0 обладает следующим свойством: либо для любого x M x0 выполняется неравенство ||x||C[a,x ] k + 1 (x — решение включения (1x )), либо существует такой x1 M x0, который явля ется решением включения (11 ), причем для любого t [a, 1 ) выполняется оценка |x1 (t)| k + и равенство |x1 (1 )| = k + 1.

Если выполнено первое условие, то существует решение семества включений (1 ) на [a, c), кото рое является продолжением решения y. Пpедположим, что выполнено втоpое условие. Пpодолжая такой пpоцесс дальше, получим, что либо найдется огpаниченное pешение семейства включений 50 А. И. БУЛГАКОВ, В. В. ВАСИЛЬЕВ, А. А. ЕФРЕМОВ {(1 )} на [a, c), котоpое является пpодолжением pешения y, либо найдутся такие последователь ности фукнций xi и монотонная последовательность чисел i (b, c), что для любого i = 0, 1, 2,...

xi — решение включения (1i ), xi M xi1 (M x1 M y) и которая обладает следующим свой ством: для любого t [a, i ) выполняется оценка |xi (t)| k + i и равенство |xi (i )| = k + i. Тогда непрерывная функция z : [a, sup i ) Rn, определенная равенством z(t) = xi (t), если t [a, i ], i i = 0, 1, 2,..., является непродолжаемым решением семейства включений {(1 )} на [a, sup i ).

i Теорема доказана.

Пусть H — множество всех непродолжаемых решений семейства включений {(1 )}. Введем обо значение (H) = sup{|x(a)| : x H}.

Согласно условиям 2), 5) и равенству (5) (H). Зафиксируем m 0 и b (a, c). Тогда для каждой функции x H, у которой |x(a)| m, определится число (x, b, m) = sup d (a, b] : (t [a, d]) |x(t)| m, а также функция x (x,b,m), являющаяся сужением функции x на отрезок [a, (x, b, m)]. Наконец, определим множество Hb,m = x (x,b,m) : x H, m |x(a)|.

Будем говорить, что множество H равностепенно непрерывно, если для каждых b (a, c), m (H) и любого 0 существует такое 0, что для любого u Hb,m и произвольных точек t1 и t2, принадлежащих области определения функции u и удовлетворяющих неравенству |t1 t2 |, справедливо неравенство |u(t1 ) u(t2 )|.

Лемма 1. Пусть выполнены условия 1)–7). Тогда множество H равностепенно непрерывно.

Доказательство. Действительно, пусть b (a, c) и m (H). Тогда из предкомпактности множе ства b (BC[a,b] [0, m]), где оператор b : C n [a, b] P (C n [a, b]) определен равенством (4), вытекает равностепенная непрерывность функций из множества Hb,m.

Теорема 4. Пусть выполнены условия 1)–7). Тогда для любого m (H) найдется такое число d 0, что для всех x H и каждого t [a, a + d] выполнено неравенство |x(t)| m.

Доказательство. Действительно, предположим противное. Тогда найдутся последовательности функций xi H и чисел di (di 0 при i ) такие, что для любых t [a, a + di ) выполняется оценка |xi (t)| m и равенство |xi (a + di )| = m. Однако неравенство |xi (a + di ) xi (a)| m (H) противоречит лемме 1.

Замечание. Теорема 4 утверждает, что для непродолжаемых решений семейства включений {(1 )} существует общий отрезок, на котором все непродолжаемые решения определены.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Азбелев Н. В., Максимов В. П., Рахматуллина Л. Ф. Введение в теорию функционально– дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1991.

2. Ананьев Б. И. Теорема существования для дифференциального включения с переменным запаздыва нием// Диффер. уравн.— 1975.— 11, № 7. — С. 1153–1158.

3. Барбашин Е. А., Алимов Ю. И. К теории релейных диффеpенциальных уравнений// Изв. вузов. Сер.

мат. — 1962.— 1. — С. 3–13.

4. Благодатских В. И., Филиппов А. Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление// Тр. Мат. ин-та АН СССР.— 1985. — 169. — С. 194–252.

5. Борисович Ю. Г. Гельман Б. Д., Мышкис А. Д., Обуховский В. В. Введение в теорию многозначных отображений. — Воронеж: Изд-во ВГУ, 1985.

6. Булгаков А. И., Максимов В. П. Функциональные и функционально-дифференциальные включения с вольтерровыми операторами// Дифференц. уравн. — 1981. — 17, № 8. — С. 1362–1374.

ПРОДОЛЖАЕМОСТЬ РЕШЕНИЙ ВОЗМУЩЕННОГО ВКЛЮЧЕНИЯ С ВОЛЬТЕРРОВЫМИ ОПЕРАТОРАМИ 7. Булгаков А. И., Ткач Л. И. Возмущение выпуклозначного оператора многозначным отображением типа Гаммерштейна с невыпуклыми образами и краевые задачи для функционально-дифференциальных включений// Мат. сб. — 1998. — 189, № 6. — С. 3–32.

8. Викторовский Е. Е. Об одном обобщении понятия интегральных кривых для разрывного поля направ лений// Мат. сб. — 1954. — 34, № 2. — С. 213–274.

9. Дядченко Ю. А. О локальной разрешимости операторных уравнений// В сб.: «Качественные и прибли женные методы исследования операторных уравнений». — Ярославль, 1978. — С. 48–61.

10. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1977.

11. Куржанский А. Б. О существовании решений уравнений с последействием// Дифференц. уравн. — 1970. — 6, № 10. — С. 1800–1809.

12. Bressan A., Colombo G. Extensions and selections of maps with decomposable values// Stud. Math.

(PRI). — 1988. — 90, № 1. — С. 69–86.

13. Michael E. A. Selected selections theorems// Amer. Math. Mon. — 1956. — 4. — С. 233–236.

14. Nakagiri S., Murakami H. Some properties of set-valued operators defined by solution families of Volterra integral equations// Mem. Fac. Eng. Kobe Univ. — 1975. — 21.— С. 113–130.

А. И. Булгаков Тамбовский государственный университет им. Г. Р. Державина E-mail: aib@tsu.tmb.ru В. В. Васильев Тамбовский государственный технический университет E-mail: vcube@rambler.ru А. А. Ефремов Тамбовское высшее военное авиационное инженерное училище E-mail: aib@tsu.tmb.ru Современная математика и ее приложения. Том 29 (2005). С. 52– УДК 517. НЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ВОЗМУЩЕННЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ С КОМПАКТНОЗНАЧНЫМ ОТОБРАЖЕНИЕМ c 2005 г.


А. И. БУЛГАКОВ, А. А. ГРИГОРЕНКО, Е. С. ЖУКОВСКИЙ В работе изучается включение, правая часть которого состоит из алгебраической суммы значе ний «хорошего» (имеющего замкнутые образы) и «плохого» (не обладающего свойством замкну тости и выпуклости значений) многозначных отображений. Такие включения здесь называются возмущенными. Отметим, что все имеющиеся в настоящее время методы исследования (теоремы Какутани и Майкла, принцип сжимающих отображений) непосредственно применить для изуче ния вопросов существования решений таких возмущенных включений нельзя. В то же время к таким включениям сводятся многие задачи дифференциальных и интегральных включений, теории аппроксимации, управления и игр. Поэтому построение основ теории возмущений многозначных включений представляет не только теоретический, но и практический интерес.

Основы теории возмущений заложены в работах [6–9], в которых для случая, когда «хорошее»

многозначное отображение имеет выпуклые замкнутые образы, рассмотрены вопросы существо вания решений возмущенных включений, а также топологические свойства множеств решений и квазирешений таких включений. В частности, в этих работах получены оценки близости решений к наперед заданной непрерывной функции, которые позволяют путем подбора функций определить приближенное решение возмущенного включения и дать оценку погрешности этого приближенного решения. Кроме того, доказано, что множество квазирешений возмущенного включения совпадает с множеством решений «овыпукленного» включения. На основе этого утверждения и полученных в [6] оценок доказан принцип плотности и «бэнг-бэнг» принцип. Доказательство этих свойств в [6] основывалось на теореме Майкла [16], с помощью которой доказывалось существование в некотором смысле «минимальной» непрерывной ветви у «хорошего» многозначного отображения с выпуклыми образами. Здесь не предполагается, что «хорошее» многозначное отображение имеет выпуклые образы. Поэтому применить теорему Майкла для исследования такого возмущенного включения невозможно. Исследования в этом случае здесь осуществляется на основе теоремы 1, приведенной ниже и доказанной в [3].

Для того, чтобы сформулировать результаты, дадим некоторые необходимые для этого обозна чения и определения. Пусть Y — банахово пространство с нормой ·, U Y, coU — выпуклая замкнутая оболочка множества U, extU — замыкание множества крайних точек множества U, Y [·;

·], hY [·;

·] — расстояние между точкой и множеством и хаусдорфово расстояние между множе ствами в пространстве Y соответственно. Под суммой множеств понимаем алгебраическую сумму множеств.

Пусть Rn — пространство n-мерных вектор-столбцов с нормой | · |;

comp[Rn ] — множество всех непустых компактов пространства Rn. Пусть U [a, b] — измеримое по Лебегу множество ((U ) 0, (·) — мера Лебега). Обозначим через Ln (U ) пространство функций x : U Rn с суммируемыми по Лебегу компонентами и нормой x = |x(s)|ds.

Ln (U ) U C n [a, b] — пространство непрерывных функций x : [a, b] Rn с нормой Пусть x = max |x(t)| : t [a, b], C n [a,b] comp[C n [a, b]] — множество всех непустых компактов пространства C n [a, b], C+ [a, b] — конус 1 [a, b].

неотрицательных функций пространства C Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 04-01-00324).

c Ин-т кибернетики АН Грузии, ISSN 1512– НЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ВОЗМУЩЕННЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ С КОМПАКТНОЗНАЧНЫМ ОТОБРАЖЕНИЕМ Будем говорить, что множество Ln [a, b] выпукло по переключению, если для любых из меримых по Лебегу множеств U1, U2 [a, b] таких, что U1 U2 =, U1 U2 = [a, b] и любых x, y справедливо включение (U1 )x + (U2 )y, где (·) — характеристическая функция соответствующих множеств. Обозначим через [Ln [a, b]] множество всех непустых, замкнутых, ограниченных и выпуклых по переключению подмножеств из Ln [a, b].

Отметим, что понятия выпуклого и выпуклого по переключению множеств — два независимых понятия.

Далее, измеримость множеств понимаем по Лебегу, измеримость многозначных отображений понимаем в смысле [10]. Непрерывность многозначных отображений везде понимаем по Хаусдорфу.

Рассмотрим в пространстве C n [a, b] включение x (x) + V (x), (1) где : C n [a, b] comp[C n [a, b]], : C n [a, b] [Ln [a, b]] — многозначные операторы, линейный непрерывный интегральный оператор V : Ln [a, b] C n [a, b] определен равенством b (V z)(t) = V (t, s)z(s)ds, t [a, b]. (2) a Включение (1) назовем возмущенным включением.

Под решением включения (1) будем понимать элемент x C n [a, b], удовлетворяющий (1). Таким образом, непрерывная функция x : [a, b] Rn является решением включения (1) тогда и только тогда, когда найдутся такие элементы v (x) и z (x), что справедливо равенство x = v + V z.

Пусть q0 C n [a, b], r0 (q0 ) и w0 Ln [a, b]. Представим функцию q0 в виде q0 = r0 + V w0 + e, (3) где e = q0 r0 V w0. Предположим, что функция k L1 [a, b] для каждого измеримого U [a, b] удовлетворяет неравенству Ln (U ) [w0 ;

(q0 )] k(s)ds, (4) U а непрерывная функция : [a, b] [0, ) определена соотношением b (t) = |V (t, s)|k(s)ds + |e(t)|, (5) a где |V (t, s)| — согласованная с пространством Rn норма (n n)-матрицы V (t, s) в представлении (2), e C n [a, b] — функция в правой части равенства (3).

Будем говорить, что отображения V : Ln [a, b] C n [a, b], : C n [a, b] comp[C n [a, b]], : C n [a, b] [Ln [a, b]] обладают свойством A, если найдутся непрерывные изотонные операторы : C+ [a, b] L1 [a, b], P : C+ [a, b] R1, + удовлетворяющие условиям: для любых x, y C n [a, b] и любого измеримого множества U [a, b] выполняются неравенства hLn (U ) [(x), (y)] Z(x y) Ln (U ), (6) hC n [a,b] [(x), (y)] P (Z(x y));

(7) для функции C+ [a, b], определенной соотношением (5), сходится в пространстве C 1 [a, b] ряд A i, A 0 =, A i = A (A i1 ), i = 1, 2,..., (8) i= 54 А. И. БУЛГАКОВ, А. А. ГРИГОРЕНКО, Е. С. ЖУКОВСКИЙ 1 где непрерывный оператор A : C+ [a, b] C+ [a, b] определен равенством b (A z)(t) = |V (t, s)|(z)(s)ds + P (z), (9) a а отображение Z : C n [a, b] C+ [a, b] определено соотношением (Zx)(t) = |x(t)|. (10) Пусть () — сумма ряда (8), т.е.

A i.

() = (11) i= Будем говорить, что отображения V : Ln [a, b] C n [a, b], : C n [a, b] comp[C n [a, b]], : C n [a, b] [Ln [a, b]] обладают свойством A, если найдутся непрерывные изотонные операторы : C+ [a, b] L1 [a, b], P : C+ [a, b] R1, + удовлетворяющие неравенствам (6), (7), а также соотношениям (0) = 0, P (0) = 0 и, кроме того, для любой функции C+ [a, b] из некоторой окрестности 0 ряд (8) сходится в простран 1 [a, b].

стве C Теорема 1. Пусть q0 C n [a, b], r0 (q0 ), w0 Ln [a, b] и пусть функция q0 представима равенством (3). Далее, пусть отображения V : Ln [a, b] C n [a, b], : C n [a, b] comp[C n [a, b]], : C n [a, b] [Ln [a, b]] обладают свойством A. Тогда найдется такое решение x (x = v + V z, v (x), z (x)) включения (1), для которого выполняются следующие оценки: при любом t [a, b] |x(t) q0 (t)| ()(t);

v r0 P (());

C n [a,b] при почти всех t [a, b] |z(t) w0 (t)| k(t) + (())(t), где, (), P,, k удовлетворяют соотношениям (5), (11), (7), (6), (4) соответственно.

Замечание 1. Отметим, что теорема 1 дополняет результат работы [6], в которой аналогич ные оценки получены в случае выпуклозначности отображения : C n [a, b] comp[C n [a, b]].

При этом в [6] доказательство этих оценок основывалось на теореме Майкла [16], с помощью которой доказывалось существование в некотором смысле «минимальной» непрерывной ветви g : C n [a, b] C n [a, b] отображения : C n [a, b] comp[C n [a, b]], а также с помощью результата работы [1]. Отметим, что предложенную в работе [6] схему в доказательстве теоремы 1 применить невозможно, поскольку теорема 1 не предполагает, что отображение : C n [a, b] comp[C n [a, b]] выпуклозначно.

Замечание 2. Отметим, что теорема 1 не является непосредственным следствием принципа сжимающих отображений [10], поскольку оператор, порожденный правой частью включения (1), не является замкнутозначным.

Замечание 3. Отметим, что теорема 1 дает несколько больше, чем просто условия существо вания решения включения (1). Оно дает способ нахождения приближенного решения путем под бора функции q0 C n [a, b]. При этом функция (), зависящая от функций q0, r0 C n [a, b] и w0 Ln [a, b], дает оценку погрешности приближенного решения (функции q0 ) включения (1).

НЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ВОЗМУЩЕННЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ С КОМПАКТНОЗНАЧНЫМ ОТОБРАЖЕНИЕМ Аналогично [1, 6–9], будем говорить, что функция x C n [a, b] является квазирешением вклю чения (1), если найдется такой элемент v (x) и такая последовательность zi (x), i = 1, 2,..., (12) что xi = v + V zi x в C n [a, b] при i. Пусть H — множество всех квазирешений включе ния (1).

Рассмотрим в пространстве C n [a, b] включение x (x) + V co((x)). (13) Включение (13), по аналогии с [1, 6, 7], будем называть «овыпукленным» возмущенным включе нием или просто «овыпукленным» включением.

Пусть Hco — множество решений включения (13). Справедливо следующее утверждения для квазирешений включения (1).

Теорема 2. Пусть линейный непрерывный оператор V : Ln [a, b] C n [a, b], определенный равенством (2), переводит каждое слабо компактное в Ln [a, b] множество в предкомпактное множество пространства C n [a, b]. Тогда справедливо равенство H = Hco.

Замечание 4. Отметим, что теорема 2 справедлива без какой-либо непрерывности отображений : C n [a, b] comp[C n [a, b]] и : C n [a, b] [Ln [a, b]].

Замечание 5. Понятие квазитраектории дано Важевским (см. [13, 18]) для дифференциаль ных включений. Приведенное выше определение квазирешения возмущенного включения с точ ки зрения дифференциальных включений несколько отличается от определения квазитраекто рии по Важевскому наличием условия (12) (это условие для дифференциальных включений означает, что производные xi, i = 1, 2..., принадлежат значению N (x) оператора Немыцкого N : C n [a, b] [Ln [a, b]], порожденного отображением F : [a, b] Rn comp[Rn ]). Отметим, что сформулированное выше определение квазирешения более удобно для приложений. Кроме то го, наличие включения (12) позволяет доказать основное свойство квазирешений (теорему 2) при более общих условиях, даже для дифференциальных включений (не предполагая непрерывности отображения F : [a, b] Rn comp[Rn ] — правой части дифференциального включения, — по вто рому аргументу, для этого достаточно потребовать суперпозиционную измеримость отображения F (·, ·);


см. [2, 6]). Отметим также, что впервые свойства квазирешений (квазитраекторий) были использованы А. Ф. Филипповым [14] для доказательства принципа плотности задачи Коши для дифференциального включения с невыпуклой правой частью.

Пусть многозначное отображение : [a, b]C n [a, b] comp[Rn ] обладает следующим свойством:

при каждом фиксированном x C n [a, b] отображение (·, x) измеримо и удовлетворяет равенству (x) = y Ln [a, b] : y(t) (t, x) при п.в. t [a, b].

Такое отображение существует (см. [2, 6]).

Отметим, что если : C n [a, b] [Ln [a, b]] есть многозначный оператор Немыцкого, порожден ный F : [a, b] Rn comp[Rn ], то для оператора Немыцкого отображение : [a, b] C n [a, b] comp[Rn ] определяется равенством (t, x) = F (t, x(t)).

Поэтому, в данном случае, можно отождествить (·, ·) с F (·, ·). В связи с этим в общем случае естественно назвать отображение : [a, b] C n [a, b] comp[Rn ] отображением, порождающим оператор : C n [a, b] [Ln [a, b]].

Определим отображение ext : C n [a, b] [Ln [a, b] равенством (ext )(x) = y Ln [a, b] : y(t) ext(co (t, x)) при п.в. t [a, b].

Рассмотрим в пространстве C n [a, b] включение x (x) + V (ext )(x). (14) 56 А. И. БУЛГАКОВ, А. А. ГРИГОРЕНКО, Е. С. ЖУКОВСКИЙ Пусть Hext — множество всех квазирешений включения (14), Hext — множество решений включе ния (14).

Следствие 1. Пусть линейный непрерывный оператор V : Ln [a, b] C n [a, b], определенный равенством (2), переводит каждое слабо компактное в Ln [a, b] множество в предкомпактное множество пространства C n [a, b]. Тогда справедливо равенство Hco = Hext.

Будем говорить, что отображения V : Ln [a, b] C n [a, b], : C n [a, b] comp[C n [a, b]], : C n [a, b] [Ln [a, b]] обладают свойством B, если эти отображения обладают свойством A и сумма ряда (8) непре рывна в 0, оператор V переводит каждое слабо компактное в Ln [a, b] множество в предкомпактное множество пространства C n [a, b].

Пусть H — множество решений включения (1).

Теорема 3. Пусть отображения V : Ln [a, b] C n [a, b], : C n [a, b] comp[C n [a, b]], : C n [a, b] [Ln [a, b]] обладают свойством B. Тогда H = и справедливо равенство H = Hco, (15) где H — замыкание в пространстве C n [a, b] множества H.

Замечание 6. Отметим, что выполнение равенства (15) в последнее время называют принципом плотности (см. [4, 5]). Принцип плотности выполняется не всегда. Это доказывает пример Плиса (см. [13, 17]).

Замечание 7. Отметим, что теорема 3 в отличие от [6, 8] не предполагает выпуклозначности отображения : C n [a, b] comp[C n [a, b]] и поэтому уточняет аналогичный результат из [6, 8].

По аналогии с [11, 12, 15] будем говорить, что для включения (1) выполняется «бэнг-бэнг» прин цип, если выполняются равенства Hext = H = Hco, где Hext, H — замыкания множеств Hext, H в пространстве C n [a, b].

Отображение co : C n [a, b] [Ln [a, b]] определим равенством (co )(x) = co((x)).

Будем говорить, что множество Hco разложимо по многозначным отображениям, co или просто разложимо, если каждое решение x Hco однозначно представимо в виде x = v + V z, где v (x), z (co )(x).

Будем говорить, что отображения V : Ln [a, b] C n [a, b], : C n [a, b] comp[C n [a, b]], :

n [a, b] [Ln [a, b]] обладают свойством B, если эти отображения обладают свойством B, ядро C оператора V состоит только из нулевого элемента, а множество Hco разложимо.

Теорема 4. Пусть отображения V : Ln [a, b] C n [a, b], : C n [a, b] comp[C n [a, b]], : C n [a, b] [Ln [a, b]] обладают свойством B. Тогда для включения (1) выполняется «бэнг-бэнг» принцип.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Булгаков А. А. Непрерывные ветви многозначных отображений и интегральные включения с невы пуклыми образами и их приложения. I, II, III// Дифференц. уравн. — 1992. — 28, № 3.— C. 371-379;

№ 4. — C. 566–571;

№ 5. — C. 739–746.

2. Булгаков А. И. Интегральные включения с невыпуклыми образами и их приложения к краевым зада чам дифференциальных включений// Мат. сб. — 1992. 183, № 10. — C. 63–86.

3. Булгаков А. И., Григоренко А. А., Жуковский Е. С. Возмущенное включение с компактнозначным отображением// Вестн. Удмурт. ун-та. Сер. мат. мех. — 2000. — 1. — C. 33–40.

НЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ВОЗМУЩЕННЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ С КОМПАКТНОЗНАЧНЫМ ОТОБРАЖЕНИЕМ 4. Булгаков А. И., Ефремов А. А., Панасенко Е. А. К вопросу устойчивости дифференциальных вклю чений// Вестн. ТамбГУ. Сер. Естеств. и техн. науки. — 1999. — 4, № 4. — С. 461–470.

5. Булгаков А. И., Скоморохов В. В. Аппроксимация дифференциальных включений// Мат. сб. — 2002. — 193, № 2. — C. 35–52.

6. Булгаков А. А., Ткач Л. И. Возмущение выпуклозначного оператора многозначным отображением типа Гаммерштейна с невыпуклыми образами и краевые задачи для функционально-дифференциальных включений// Мат. сб. — 1998. — 189, № 6. — C. 3–32.

7. Булгаков А. А., Ткач Л. И. Возмущение однозначного оператора многозначным отображеним типа Гаммерштейна с невыпуклыми образами// Изв. вузов. Сер. мат. — 1999. — 3. — C. 3–16.

8. Булгаков А. А., Ткач Л. И. Некоторые результаты по теории возмущений многозначных операторов с выпуклыми замкнутыми значениями отображением типа Гаммерштейна с невыпуклыми образами и их приложения// Вестн. ТамбГУ. Сер. Естеств. и техн. науки. — 1997. — 2, № 2. — С. 111–120.

9. Булгаков А. А., Ткач Л. И. Асимптотическое представление множеств -решений включения типа Гаммерштейна// Вестн. ТамбГУ. Сер. Естеств. и техн. науки. — 1997. — 2, № 3. — С. 294–298.

10. Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач.— М.: Наука, 1974.

11. Суслов С. И. Нелинейный бэнг-бэнг принцип. I. Конечномерный случай/ Препринт Ин-т мат. СО АН СССР. — Новосибирск, 1989. — № 11.

12. Суслов С. И. Нелинейный бэнг-бэнг принцип. II. Бесконечномерный случай/ Препринт Ин-т мат. СО АН СССР.— Новосибирск, 1989. — № 12.

13. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. — М.: Наука, 1985.

14. Филиппов А. Ф. Классические решения дифференциальных уравнений с многозначной правой частью// Вестн. МГУ. Сер. 1. Мат., мех. — 1967. — 3. — C. 16–26.

15. Bressan A. On a bang-bang principle for nonlinear systems// Boll. Unione. Math. Italiana. Suppl. — 1980. — 1. — С. 53–59.

16. Michael E. A. Selected selection theorems// Amer. Math. Mon. — 1956. 4. — С. 233–236.

17. Plis A. On trajectories of orientor fields// Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Math. — 1965. — 13, № 8. — С. 571– 573.

18. Wazewski T. Sur une generalization de la notion des solutions d’une equation an contingent// Bull. Acad.

Pol. Sci. Ser. Sei Math., Astron., Phys. — 1962. 10, № 1. — С. 11–15.

А. И. Булгаков Тамбовский государственный университет им. Г. Р. Державина E-mail: aib@tsu.tmb.ru А. А. Григоренко Московский государственный университет леса E-mail: aib@tsu.tmb.ru Е. С. Жуковский Тамбовский государственный университет им. Г. Р. Державина E-mail: zukovskys@mail.ru Современная математика и ее приложения. Том 29 (2005). С. 58– УДК 517. СЛАБЫЙ ПРИНЦИП МАКСИМУМА ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА НА СТРАТИФИЦИРОВАННОМ МНОЖЕСТВЕ c 2005 г. А. А. ГАВРИЛОВ, О. М. ПЕНКИН В начале 80-х годов в связи с задачей о малых колебаниях системы связанных струн Ю. В. По корный начал изучение дифференциальных уравнений на геометрических графах. Независимо, в связи с задачей о диффузии на пространственной сети, к таким уравнениям пришел G. Lumer в Бельгии и J. von Below в Германии. Уравнения на стратифицированных множествах — естествен ное продолжение этой темы. К ним мы приходим, когда к системе из струн добавляются мембраны.

Стратифицированным множеством мы называем связное подмножество из Rn, составленное из ко нечного числа многообразий различной размерности, достаточно регулярно примыкающих друг к другу (ниже это уточняется). В определении эллиптического оператора мы придерживаемся под хода, примененного Ю. В. Покорным при изучении уравнений на графах. Суть этого подхода про является уже на стадии моделирования упомянутых механических систем. Ясно, что, например, малые деформации системы связанных струн описываются набором дифференциальных уравне ний второго порядка (число которых совпадает с количеством струн), решения которых должны согласовываться условиями непрерывности и так называемыми условиями трансмиссии (баланса натяжений) в местах стыковки отдельных струн. Оказывается, что если расширить классическое определение дивергенции на случай мер, описываемых далее, то упомянутые уравнения и усло вия трансмиссии удается интерпретировать как единое уравнение второго порядка в целом на геометрическом графе. Идея рассматривать дифференциальные операции по абстрактным мерам хорошо известна, но к рассматриваемому кругу задач она почти не применяется. Недавняя работа В. В. Жикова (см. [2]) показывает, что класс множеств, на котором можно не просто рассматривать эллиптический оператор, а получать эффективные результаты, можно расширить.

Данная трактовка уравнений на графах оказалась весьма плодотворной при изучении качествен ных свойств решений уравнений на графах (см., например, [6, 7]). В этой статье мы обсуждаем слабый принцип максимума для эллиптического уравнения на произвольном стратифицированном множестве. Ранее это нам удавалось сделать лишь на двумерном стратифицированном множестве (см. [3]).

1. Основные понятия. В этом пункте мы кратко опишем основные понятия. Подробное изложе ние можно найти в [4, 5].

Связное множество в Rn называется стратифицированным, если оно представлено в виде объ единения конечного числа гладких многообразий (стратов) ki различных размерностей;

индекс k — размерность, i — номер страта заданной размерности. Кроме того предполагается, что стра ты регулярно примыкают друг к другу;

если страт ki примыкает к k+1,j (что символически записывается в виде ki k+1,j ) то при приближении точки y k+1,j к точке x ki касатель ное пространство Ty k+1,j стремится к некоторому предельному положению, содержащему Tx ki.

Наконец, в целом множество должно быть устроено по типу клеточного комплекса.

На множестве естественным образом определяется мера. А именно, множество назовем измеримым, если измеримо каждое пересечение ki в обычном k-мерном лебеговом смысле. Мера множества полагается равной сумме мер указанных пересечений. Данную ме ру естественно называть мерой Лебега—Стилтьеса, поскольку плотность этой меры может иметь различную размерность на разных стратах. Интеграл Лебега по такой мере будем называть инте гралом Лебега—Стилтьеса. Следует заметить, что для функций u, интегрируемых по Риману на c Ин-т кибернетики АН Грузии, ISSN 1512– СЛАБЫЙ ПРИНЦИП МАКСИМУМА ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА каждом страте, имеем u d = u d, ki ki и эту формулу можно принять за определение интеграла от таких функций.

Вместе с выделим и фиксируем некоторое его связное открытое (в индуцированной из Rn топологии на ) подмножество 0, составленное из стратов и порождающее в том смысле, что 0 =. Разность 0 = \ 0 является тогда границей 0.

2. Дивергенция и формулы Грина. Векторное поле F в Rn порождает векторное поле на.

Будем называть его касательным к, если для любого ki и x ki имеем F (x) Tx ki. Дивер генция F (x) касательного векторного поля в точке x k1,i 0 определяется так:

(F )(x) = (F )(x) + (F · )kj (x). (1) kj k1,i Здесь F — классическая дивергенция на k1,i, — единичная нормаль в точке x k1,i, на правленная внутрь kj ;

связь вектора со стратом kj не отмечается в его обозначении, однако при рассмотрении суммы в (1) надо иметь ввиду эту связь. Всюду далее запись типа fkj означает продолжение по непрерывности на kj сужения функции f : R на kj. Чтобы приведен ное определение дивергенции имело смысл, будем предполагать поле F равномерно непрерывным внутри каждого страта и непрерывно дифференцируемым в нем;

будем писать в этом случае F C (0 ). Определенную нами дивергенцию можно интерпретировать как плотность потока векторного поля по указанной выше мере, т.е. она аналогична классической дивергенции.

Пусть C (0 ) — множество «постратно дважды дифференцируемых» функций на 0, аналогич ное C (0 ), а C 2 (0 ) = C (0 ) C(0 ), где C(0 ) — множество непрерывных на 0 функций.

1 Обозначая через u градиент u, легко заметить, что при u C 2 (0 ) имеем u C (0 ) (вклю чение покомпонентное), а потому определен оператор u = (u), который является аналогом обычного оператора Лапласа—Бельтрами.Мы рассмотрим чуть более общий оператор дивергент ного типа:

(p u)(x) = ((pu))(x) + (pu · )kj (x).

kj k1,i Функция p C (0 ) предполагается строго положительной.

Переходим к выводу формул Грина. Заметим, что такие формулы имеются в [4, 5], но там все функции предполагались непрерывными. Здесь же мы предполагаем непрерывность функций лишь внутри стратов. Как следствие, формулы у нас более сложные. Мы вынуждены иметь дело с ними потому, что нам не известен аналог операции сглаживания на стратифицированном множестве по Фридрихсу—Соболеву. Поэтому мы прибегаем к «постратному» сглаживанию, которое улучшая функции внутри стратов «портит» их в целом;

сглаженные так функции могут претерпевать разры вы при переходе со страта на страт. Тем не менее разрывы устраняются при стремлении параметра сглаживания к нулю. Это обстоятельство позволяет перенести на стратифицированные множества известную технику доказательства слабого принципа максимума (см., например, [1]).

Напомним, что интеграл по 0, согласно принятому нами опеределению, есть сумма интегралов по отдельным стратам. Рассмотрим какой-нибудь страт li 0 и интеграл по этому страту от p u. Если C (0 ), u C (0 ) (черта вверху означает здесь равномерную непрерывность старших производных внутри каждого страта), то, преобразуя интеграл от классической части p по формуле Грина и оставляя интеграл от неклассической части без изменений, получим p u d = pu d (pu·) d+ (pu·) d. (2) li li l+1,j l1,k li l+1,j li li l i l1,k li Для стратов старшей размерности последняя сумма отсутствует, поскольку p не содержит неклас сической части, для стратов же размерности 0 будет отсутствовать классическая часть оператора.

60 А. А. ГАВРИЛОВ, О. М. ПЕНКИН Часть стратов l1,k принадлежит границе;

нам будет удобно выделить их в отдельную сумму.

В результате, суммируя по всем стратам размерности l, равенства вида (2), получим p u d = pu d (pu · ) d li li li l1,k li li li li li l1,k l1,k (3) (pu · ) d + (pu · ) d.

li li l+1,j li l1,k li li l+1,j li l1,k li l1,k 0 l+1,j Теперь естественно будет просуммировать по всем стратам вообще. Прежде, чем это сделать, нам удобно ввести обозначение Al1 = (pu · ) d, li li li l1,k li l1,k l1,k Bl = (pu · ) d.

l+1,j li l+1,j li li l+1,j В этих обозначениях результат суммирования будет выглядеть следующим образом:

k p u d = pu d (pu · ) d (Al + Bl ) (4) li li li 0 l1,k li l= 0 0 l1,k l1,k Приняв обозначение j()(x) = (x) (x), x l1,i lj, l1,i lj для последней суммы, очевидно, получим k (Al + Bl ) = j()(pu · ) d.

li li 0 l+1,j li l= li l=k Предпоследняя сумма преобразованием = j() li l1,k приводится к виду (pu · ) d = li li li 0 l1,k li l1,k l1,k = (pu · ) d + j()(pu · ) d.

l1,k li li li 0 l1,k li li 0 l1,k li l1,k l1,k l1,k 0 l1,k Слагаемые со «скачками» j() естественно объединить;

тогда, вводя обозначение j()(pu · ) = {j(), (pu) }, li l+1,j li l+1,j получим p u d = pu d (pu) d + {j(), (pu) } d.

0 0 0 \k Таким образом, имеет место следующее утверждение.

СЛАБЫЙ ПРИНЦИП МАКСИМУМА ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА Лемма. Для любых функций u C (0 ), C (0 ) имеет место формула p u d = pu d (pu) d + {j(), (pu) } d. (5) 0 0 0 \k Замечание. Из полученной формулы, как следствие, получаем аналог первой формулы Грина 2 p u d = pu d (pu) d для u C (0 ), C (0 ), (6) 0 0 1 так как C (0 ) C (0 ), и для C(), очевидно, j()(x) = 0, то из (5) немедленно следует (6).

3. Слабый принцип максимума.

Теорема. Пусть q C (0 ) неотрицательна, множество ориентируемо. Тогда для реше ния неравенства Lq u 0, u C 2 (0 ) C(), имеет место соотношение max u+ (x), u+ (x) = max{0, u(x)} u(y) x для любого y.

Доказательство. Докажем вначале указанное в формулировке теоремы соотношение для решения неравенства p u 0. (7) Пусть G — множество таких функций, что 1) C (0 );

2) (x) 0, x ;

3) supp 0.

Тогда для решения неравенства (7) и любой функции G справедливо неравенство (p u · )(x) 0 для любого x 0.

Интегрируя это неравенство по 0, получаем неравенство p u · d 0.

Тогда согласно лемме pu d (pu) d + {j(), (pu) } d 0.

0 0 \k Второе слагаемое левой части этого неравенства обращается в 0, так как = 0 для любой функции G. Таким образом, имеем pu d + {j(), (pu) } d 0.

0 \k Далее предположим противное, т.е. что существует точка x0 li такая, что u(x0 ) max u+ (x).

x Пусть тогда c — константа такая, что u(x0 ) c sup u+ (x).

x Пусть 0 — какая-либо связная компонента множества, на котором u(x) c 0. Положим u(x) c, x, v(x) = 0, x.

/ 62 А. А. ГАВРИЛОВ, О. М. ПЕНКИН Определим теперь функцию v (x) следующим образом: на каждом страте li 0 для каждого x li 1 xy v (x) = n v(y) dy, li в предположении, что функция v(x) определена в некоторой окрестности li страта li (такое доопределение v(x) продолжением по непрерывности в окрестность li возможно;

см., например, [8]). Функция есть так называемое ядро усреднения, выбранное так, чтобы (z) dz = 1.

z Очевидно, что при достаточно малом 1 xy dy = 1.

n li Тогда при достаточно малом, которое, очевидно, можно выбрать единым для всех стратов, 1) v C (0 );

2) v (x) 0, x ;

3) supp v 0.

Таким образом, puv d + {j(v ), (pu) } d 0. (8) 0 \k Как хорошо известно (см., например, [1]), функция v сходится при 0 к v вместе со своим градиентом равномерно на каждом страте, поэтому, переходя в (8) к пределу по 0, получим, что puv d + {j(v), (pu) } d 0.

0 \k Так как функция v непрерывна, то j(v) 0 на. Поскольку (u)(x), x, (v)(x) = 0, x, то pvv d 0, но так как p 0, то p(v)2 d 0.

Полученное противоречие доказывает утверждение для случая оператора p.

Изменения в доказательстве для оператора Lq весьма незначительны. Формула в лемме 2 для оператора Lq, очевидно, примет вид Lq u d = (pu + qu) d (pu) d + {j(), (pu) } d, 0 0 0 \k поэтому, проведя аналогичные рассуждения, на определенном этапе мы получим следующую фор мулу:

(pvv + qu) d 0, СЛАБЫЙ ПРИНЦИП МАКСИМУМА ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА но так как u 0 на, то pvv d qu d 0, и противоречие может быть получено точно также. Теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. — М.: Наука, 1989.

2. Жиков В. В. // Мат. сб. — 187, № 8. — С. 3–40.

3. Пенкин О. М. // Диффер. уравн. — 1997. — 33, № 10. — С. 1404–1409.

4. Пенкин О. М., Покорный Ю. В. // Диффер. уравн. — 1998. — 34, № 8. — С. 1107–1113.

5. Пенкин О. М., Покорный Ю. В. // Докл. РАН. — 1998. — 360, № 4. — С. 456–458.



Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 6 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.