авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 6 |

«ISSN 1512–1712 Академия Наук Грузии Институт Кибернетики СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ Том 29 ТРУДЫ ...»

-- [ Страница 3 ] --

6. Покорный Ю. В., Пенкин О. М. // Диффер. уравн. — 1989. — 25, № 7. — С. 1141–1150.

7. Покорный Ю. В., Пенкин О. М. // Докл. АН СССР. — 1989. — 309, № 6. — С. 1306–1309.

8. Friedman A. Partial Differential Equation. — New York: Holt, Rinehart and Winston, 1969.

А. А. Гаврилов Воронежский государственный университет О. М. Пенкин Белгородский государственный университет Современная математика и ее приложения. Том 29 (2005). С. 64– УДК 517.956. АСИМПТОТИКИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ ГИДРОДИНАМИКИ c 2005 г. А. В. ГЛУШКО Ряд задач гидродинамического характера приводят после их линеаризации к необходимости изучения систем уравнений с дифференциальным оператором, который в достаточно общем случае имеет вид u x u div u [u, ] + un+1 + gun+2 en t un+ 2 A, U= = F, (1) g un + div u x t t un+2 un+ 2 0 N 2 0 g 1 un+ t t где t R, x Rn, U = {u, un+1, un+2 }T, v = {u1, u2,..., un } — вектор искомой скорости, un+1 — искомое гидростатическое давление, un+2 — искомое отклонение плотности от стационарной, u1 u2 un div u = + +... +, x1 x2 xn g — величина ускорения силы тяжести, — вектор угловой скорости вращения системы координат (в дальнейшем, = {0, 0,..., 0, }). Параметры задачи: = /0 — динамический коэффициент вязкости жидкости, = ( + ) 1, где — второй коэффициент вязкости, 2 — коэффициент сжимаемости, N — частота Вяйсяля—Брента, [u, ] — векторное произведение векторов u и.

В докладе будет рассмотрен ряд начальных и начально-краевых задач для систем дифферен циальных уравнений с оператором вида (1) и одна задача с несколько отличным оператором.

Основными целями исследования являются построение точных асимптотических представлений решений этой задачи при t, а также изучение эволюции разрывов начальных данных.

Рассмотрим вначале систему u [u, ] u div u + u4 = 0, t (2) 2 u + div u = 0, t которая представляет частный случай системы AU = 0 с оператором A вида (1) при n = 3, g = 0, N = 0. Система (2) описывает движение вязкой сжимаемой жидкости. Математическая теория вращающихся сплошных сред берет начало с основополагающих работ [19, 20], в которых рассмотрена система (2) при = = 0, т.е. для идеальной жидкости. В дальнейшем основное направление исследований систем типа (2) (обычно при = 0 или = 0). Этой теме посвящены работы [1, 6–9].

Основными отличиями результатов, которые мы приведем ниже, будет наличие точных асимпто тических разложений решений при t. Таким образом, вместо оценки решения выписываются главные члены асимптотических разложений и квалифицированные остаточные члены. Кроме то го, рассматривается система (2) с учетом как вязкости, так и сжимаемости, что усложняет вид символа и свойства корней характеристического многочлена. Система (2) в общем виде выводится в работах [4, 10, 11].

Для системы (2) ставится задача Коши = u0 (x), = u0 (x).

u u4 (3) t=+0 t=+ При выполнении естественных условий на начальные данные из (2) (принадлежность простран ствам типа Соболева) для задачи (2), (3) с помощью преобразований Фурье—Лапласа строится c Ин-т кибернетики АН Грузии, ISSN 1512– АСИМПТОТИКИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ ГИДРОДИНАМИКИ классическое решение, выделяется класс единственности и устанавливается, что при t спра ведливо следующее представление решения U (x, t) = (u, u4 ):

U (x, t) = t3/2 F (A, B) cos t + F (B, A) sin t + t7/4 F3 + t5/4 F4 V 0 (y)dy+ R F (x y, t)V 0 (y)dy + exp t(22 (1 + ))1 V 0 (y)dy, + F x y, t, y R3 R где A B 0 0 000 0 0 B A 0 0 0 0 0 0 0 0 0 F (A, B) =, F3 = a3, F4 = a4, 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 00 000 0 0 1 1 1/2 3/2 3/4 (16 2), a4 = 3/2 1/2 1/4 (8 2), a3 = 4 a3 () 3a()b2 () sin d, b3 () 3b()a2 () sin d, A= B= 0 1/ q 2 () p() + p2 () + q 4 () a() =, b() =, 2(p2 () + q 4 ()) 1/ p2 () + q 4 ())(p2 () + q 4 ()) 2(p() + 1 q 2 () = sin2 · 2 1, sin2 ·.

p= 1+ 2 — непрерывные в R3 [0, ) функции (x, t), для Элементы матрицы F (x, t) = {fk,m (x, t)}1 k,m которых fk,m (x, t) t3/2 = 0, 1 k, m 2, lim 1 + |x| t f3,3 (x, t) 7/4 f4,4 (x, t) 5/ lim t = lim t = t 1 + |x| t 1 + |x| и при t справедливы оценки Ck,m (1 + |x|)t7/4, |fk,m (x, t)| (k, m) = (1, 4), (2, 4), (4, 1), (4, 2), Ck,m (1 + |x|)t5/4, |fk,m (x, t)| (k, m) = (1, 3), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 4), (4, 3), равномерные по всем x R3. Элементы матриц F x, t, = gk,m x, t, y y 1 k,m — операторы вида = gk,m (x, t)(1 y ) gk,m x, t, y при 1 k, m 4, 3/2, коэффициенты gk,m (x, t), 1 k, m 4,— непрерывные и равномерно по 3 [0, ) ограниченные функции.

(x, t) R Показано, что числа A и B при всех рассматриваемых значениях параметров,,, отличны от нуля. Таким образом, полученная асимптотика является точной.

В заключение рассмотрения этой задачи отметим, что основные трудности возникали, как след ствие неоднородности символа P (, s) = 2 ( + |s|2 )3 + |s|2 (1 + 2 )( + |s|2 )2 + 2 2 ( + |s|2 ) + 2 s2 (1 + 2 ). (4) 66 А. В. ГЛУШКО По этой причине интегральные представления решения являются существенно многомерными. В связи с этим пришлось доказывать специальные леммы об асимптотическом поведении интегралов, зависящих от большого внешнего параметра. Упоминая неоднородность символа, как отличитель ную черту этих задач, следует упомянуть работы [5, 16] и др., посвященные изучению параболи ческих уравнений с однородным символом. Методика доказательства утверждений в этих работах существенно использует однородность символа. Цикл работ В. П. Михайлова, А. К. Гущина и Ф. Х. Мукминова (см. [13] и библиографию в этой статье) продвинул исследования в этом направ лении наиболее далеко;

в ряде последних работ Ф. Х. Мукминова рассматриваются системы типа (1), правда, с однородным символом. В них рассматриваются начально-краевые задачи в областях с криволинейной границей, однако получаются лишь оценки норм решений при t. В работах В. С. Владимирова, Ю. Н. Дрожжинова и В. И. Завьялова (см. монографию этих авторов [2] и библиографию в ней) разработан подход к нахождению асимптотик решений задач Коши широко го класса так называемых «пассивных систем». Отметим, что системы типа (1) не удовлетворяют требованиям этого класса.

Перейдем к рассмотрению начально-краевой задачи для системы типа (2). Рассмотрим уже неоднородную систему u u A, = [u, ] u + u4 = F, u t x t (5) 2 u R4, + div u = G, (t, x) ++ t при упрощающем предположении = 0. Здесь F (t, x) = {F1, F2, F3 }T, G(t, x) — заданные функ ции, R4 = t, x : t 0, x = (x, x3 ), x = (x1, x2 ) R2, x3 0.

++ Рассматривая систему (4) в R4, дополним ее следующими условиями:

++ x R2, x3 0, u = 0, u4 = 0, t=0 t= t 0, x R2, u = W (t, x ), (6) x3 = lim u = 0, lim u4 = 0, t 0, x R.

x3 + x3 + Не ограничивая общности, будем считать, что = {0, cos, sin }T, = const 0, 0 /2. Наряду с задачей (5)–(6) рассматривается задача v f A, is1, is2 =, (7) v4 g x v|x3 =0 = w(, s ), lim v = 0, lim v4 = 0, (8) x3 + x3 + получающаяся из (5)–(7) после применения преобразования Фурье—Лапласа Lt Fx s, C, s R2. Здесь и далее {v, v4, f, g, w} = Lt Fx s {u, u4, F, G, W }.

Как стало ясно из работы [2], даже в случае = 0 исследование поведения решения при t с помощью построения явного представления решения крайне затруднительно. В нашем случае = 0 это оказалось вообще невозможно. Поэтому был избран следующий путь решения задачи.

1) На основе неконструктивных рассуждений решить вопросы существования решения и выде лить класс единственности.

2) Также без построения явного представления решения уже задачи (7)–(8) установить так на зываемый принцип локализации, в котором утверждается, что для построения главного члена асимптотики решения задачи (5)–(6) достаточно иметь информацию о поведении решения за дачи (7)–(8) в произвольно малых окрестностях конечного набора точек, s из множества C R2. Остальное множество значений этих параметров дает вклад лишь в остаточные члены асимптотических разложений решения задачи (5)–(7).

3) После применения обратного применения преобразований Фурье—Лапласа к решению зада чи (7)–(8), «срезанному» в окрестностях точек, выбранных в ходе локализации появляется малый параметр (диаметр области), позволяющий проводить асимптотические разложения образа решения, что существенно упрощает конструктивные выкладки.

АСИМПТОТИКИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ ГИДРОДИНАМИКИ Im i (, 0 ) 0 Re i Введем необходимые обозначения и функциональные пространства.

Определение 1. Число принадлежит области (, 0 ) C ( 0 0 0 /2), если Re и при Re 0 имеем | Im | 0, | Im ± | 0 ;

при Re 0 имеем || 0, | ± i| 0, (, 0 ) = C | n | = 0 при Re 0;

| Im Im n | = 0 при Re 0, n= 1 = i, 2 = i, 3 = 0.

Определение 2.

+ u(x, x3, t) Hm,k, = u | u(x, x3, t) exp(t) L2 (R4 ) ++ если ku mu u = u exp(t) + exp(t) + exp(t), m,k, xm tk j j= + где · — норма в L2 (R4 ) (преобразование Фурье—Лапласа позволяет ввести в Hk,m, эквива ++ лентную норму 1/ 1 +i mu + 2k 2m |||u|||k,m, = sup 1 + || + |s | |u| + dx3 ds d2, = 1 + i2.

xm 1 1 i R Определение 3.

+ W (t, x ) exp(t) L2 (R3 ), R3 = t, x : t 0, x R2, W (x, t) H,, = W + + если 1/ 1 +i 1 + ||2 + |s |2 |w|2 ds d W = sup.

,, 1 1 i R 68 А. В. ГЛУШКО + + Теорема (существования решения). Пусть Fj (x, t) H0,0,0, G(x, t) H1,0,0, Wj (x, t) H3/2,3/4,0, j = 1, 2, 3. Тогда существует единственное решение задачи (5)–(6) {u, u4 }: uj (x, t) + + H2,1,, j = 1, 2, 3, u4 (t, x) H2,1,, где 0 — любое число, и справедлива оценка + + u + u4 c2 F +G +W, 1,2, 0,0, 3/2,3/4, 1,1, 0,1, c2 = c2 (2,,, ) 0. Граничные условия выполняются в следующем смысле:

uj (x, x3, t) Wj (x, t) 0 при x3 +0, j = 1, 2, 3;

3/2,3/4, uj (x, x3, t) 0 при x3 +, j = 1, 2, 3;

3/2,3/4, u4 (x, x3, t) 0 при x3 +.

1/2,1/2, Далее рассматривается однородная система уравнений (5) и приводится обоснование принципа локализации при построении асимптотик компонент решения задачи (5)–(7), суть которого в воз можно более точном выделении в представлении решения тех его составляющих, которые могут внести существенный (т.е. степенной) вклад в асимптотику при t решения задачи.

Теорема (принцип локализации). Пусть функции Wj (x, t), 1 j 3, принадлежат про + + странству H3/2,3/4,(0 ), 0 0. Тогда для решения uj H2,1,1, j = 1, 2, 3, u4 H1,1,1, 1 0, задачи (4)–(5) (F 0, G 0, [0, /2]) при x R2, x3 0 справедливо представление et d+ uj (x, x3, t) = Fss bj,l (, s, x3 ) vl x3 = l=1 (, ) vl et d + O(et ), + Fsx bj,l (, s, x3 ) j = 1, 4.

x3 x3 = l=1 (, ) Здесь blj (, s, x3 ) — дробно-рациональные функции своих аргументов, способ построения кото рых известен, (0, 0 ) — достаточно малое число, = (s ) C0 (R2 ) — функция, опреде ляемая следующим образом: (s ) = 1 при |s | /2, (s ) = 0 при |s |, 0, 0 (0, /2), 0 — произвольные числа.

Теорема (об асимптотическом поведении решения). Пусть функция Wj (t, x ) H3/4,3/2,(0 ), j = 1, 2, 3, сферически симметрична: W (t, x ) = W (t, x ) при любом повороте системы координат в R2 и при некотором 0 0 конечен интеграл (1 + |x |2 )|W (x, t)| exp(0 t)dx dt.

W = 0 R + + Тогда для решения {u, u4 }, uj (x, t) H1,2,, j = 1, 2, 3, u4 (x, t) H1,1, ( 0 — любое) задачи (5)–(7) (F 0, G 0) при x R2, x3 h (h 0 — любое) справедливо асимптотическое при t представление k u 3/2 1/4 1k k1/2 k/2 k/23/4 (k) = 16 2 + t G (x) W (x, t)dx dt+ u4 k=1 0 R T +G(x, t) W1 0 ;

W2 W3, 0 где матрицы G(k) (x), k = 1, 2, 3, и G(x, t) имеют вид (1) G(1) = {Gj,l }, j = 1, 2, 3, 4, l = 1, 2, 3;

(2) (2) G4,3 = 1 G4,3 ;

Gj,l = 0, (j, l) = (4, 3);

АСИМПТОТИКИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ ГИДРОДИНАМИКИ (1 + |x |2 + x3 )O(1) (1 + |x|)O(1) (1 + |x|)O(1) (1 + |x |2 + x3 )O(1) (1 + |x|)O(1) (1 + |x|)O(1) = t7/4, G(2) (1 + |x|2 )O(t1/2 ) (1 + |x | + x2 )O(1) (1 + |x|)O(t1/2 ) (1 + |x |2 + x3 )O(1) (1 + |x |2 + x3 )O(1) (1 + |x|)O(t1/2 ) (0, 1/4) — любое число, функции Gj,l (x), j = 1, 2, 3, 4, l = 1, 2, 3, имеют вид G1,l = (1)l + exp (1)l+1 cos x3 x3 + sin x3, 2 2 (1)l sin G2,l = 1 + exp x3 x3 + cos x3, 2 2 x3 [x1 + (1)l x2 ] sin G3,l = 1 + exp x3 cos x3, 2 2 G4,l = x1 + (1)l x2, l = 1, 2, G1,3 = x2 exp x3 x1 sin x3 x2 cos x3, 2 2 G2,3 = x1 exp x3 x1 cos x3 + x2 sin x3, 2 2 G3,3 = 1 + exp x3 sin x3 cos x3, 2 2 G4,3 = 1, причем оценки величин O(·) равномерны по x R2, x3 h и не зависят от W (t, x ).

Ниже нами будут рассмотрены задачи, в которых моделируется поведение пятна жидкости од ной плотности в среде жидкости другой плотности. Такие пятна (вода в воде) часто возникают вследствие наличия внутренних волн и течений в океане и неоднородности воды по температуре и, как следствие, по плотности. Существенным отличием этих задач является наличие скачка в начальных условиях для компоненты решения, описывающей плотность среды. Вначале рассмат ривались задачи для уравнения внутренних гравитационных волн — некоторого аналога уравнения Соболева (см., например, [14, 17]), к которому может быть сведена система уравнений (1) при = = = 0. Серия работ по исследованию задач для такого уравнения подытожена в моно графии [3]. Изучению динамики стратифицированной жидкости посвящены работы С. А. Габова с соавторами. Многие результаты изложены в монографии [12]. В заключение обзора отметим интересные работы В. А. Яковлева и С. П. Буданова.

Рассмотрим задачу Коши для системы уравнений 0 t x1 u 0 g x2 u2 = 0, t U = A,, (9) u x1 x2 t 2 g 0 N u t 0 x x где оператор A является частным случаем оператора (1), когда n = 2, 2 = 0, g = {0, g}, g 0, = 0, = /. В качестве начальных условий для системы (9) взяты условия a + hx2 при |x| R, u1 (x, t) = u2 (x, t) = 0, u3 (x, t) = 0 (x) = (10) t=+0 t=+0 t=+0 0 при |x| R, где a, h, R 0 — произвольные постоянные. Задача (9)–(10) моделирует динамический процесс в вязкой стратифицированной жидкости с учетом действия силы тяжести в том случае, когда в 70 А. В. ГЛУШКО начальный момент времени имелся скачок плотности 0 (x), сосредоточенный в круге радиуса R (в сечении вертикальной плоскостью) — зоне интрузии.

С математической точки зрения задача (9)–(10) представляет задачу Коши с разрывными на чальными данными (для компоненты u3 решения U ).

В этом случае естественно изучать обобщенное решение задачи (9)–(10), которым называется вектор-функция U (с компонентами uj (t, x) S (R4 ), j = 1, 4), удовлетворяющая условию T A,, U = 0, 0, 0 (x)(t), 0, U = 0 при t 0, (11) t x1 x где (t) — дельта-функция Дирака.

Нами доказано, что компоненты u1 (x, t), u2 (x, t), u4 (x, t) решения U (x, t) являются непре рывными функциями переменных x R2, t 0, а компонента u3 (x, t) непрерывна по t 0 и x R2 \ {x : |x| = R}, при этом u3 (r cos, r sin, t) u3 (r cos, r sin, t) = a + hR sin, r=R0 r=R+ где [0, 2) — угловая координата точки окружности SR.

Начальные условия выполнены для функций u1, u2 при каждом x R2, а для u3 (x, t) — при |x| = R.

Ответ на вопрос об асимптотическом поведении при t решения задачи (9)–(10) дает следующая теорема.

Теорема. Пусть x R2 и |x2 | R +, где R — радиус интрузии, 0. Тогда для решения U = {u1, u2, u3, u4 } задачи (9)–(10) справедливы следующие асимптотические представления:

u1 (x, t) = hRt1 11 (x2 R sin ) sin d+ + Rt1 12 (x2 R sin ) sin (a + hR sin )d+ 2 R + t1 11 (x2 sin )(a + h sin ) d d + o(t1 ), 1+ u3 (x, t) = o(t1/2 ), u4 (x, t) = o(t1/2 ), u2 (x, t) = O(t ), где gx cos(x2 ) g 11 (x2 ) = 2 2 d, 12 (x2 ) = 11 (x2 ), x2 = 0.

2 N N 1+ 2 Если обозначить через K компакт в R2, включенный в область {|x2 | R +, 0}, то оценки O(·), o(·) равномерны на компакте K.

Рассмотрим далее линеаризованную систему уравнений движения вязкой жидкости в однород ном поле тяготения с учетом сжимаемости среды, т.е. конечной скоростью распространения звука.

Она несколько выходит за рамки систем типа (1). Пространственную переменную будем считать одномерной (x R — вертикальная переменная). Соответствующая система уравнений может быть записана в виде 2 u u1 u + 1 + g1 u2 = 0, 0 t x t u2 u (12) (N 2 g 1 + gc2 )0 u1 + 0 = 0, t x u2 u c2 N 2 0 g 1 u1 = 0, x R, t 0, t t АСИМПТОТИКИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ ГИДРОДИНАМИКИ и дополнена начальными условиями = u0 (x), uk (x, t) k = 1, 3. (13) k t= Здесь использованы следующие обозначения: u1 (x, t) — скорость частицы жидкости, u2 (x, t) — от клонение плотности от стационарного значения, u3 (x, t) — отклонение давления от стационарного значения, = (2+)1,, — первый и второй коэффициенты вязкости среды, c 0 — скорость распространения звука, 0 — среднее значение стационарной плотности, g — ускорение свободного падения, N — частота Вяйсяля—Брента. Система (12) выписана для экспоненциально стратифици рованной жидкости (N = const) в приближении Буссинеска (0 = const).

Пусть начальные функции u0 (x), m = 1, 3, в (13) принадлежат пространству Соболева H 3 (R) m и существуют интегралы u0 (x) dx, (1 + |x|)|u0 (x)|dx, 1 m = 1, 3.

m m x R R Тогда существует классическое решение U = {u1, u2, u3 }T задачи (12)–(13), компоненты которого представимы в виде um (x, t) = um,см (x) + um (t, x), m = 1, 3, причем u1,см 0, остальные функции выписываются в явном виде через параметры исходной задачи.

Справедливы следующие асимптотические представления при t компонент решения T u1 (x, t), u2 (x, t), u3 (x, t) задачи (12)–(13):

1/ 1 At t1/2 cos + + c4 A2 u0 (x)dx u1 (x, t) = 2 4 R At u0 (x)dx + O(t1 )(1 + |x|), 2gA1 1 sin + R 1/ 1 2 1 At t1/2 0 g 1 sin + + c4 A2 u0 (x)dx u2 (x, t) = u2,см + 2 4 4 R (14) At u0 (x)dx + O(t1 )(1 + |x|), + cos + R 1/ 1 2 At t1/2 0 gA1 sin + + c4 A2 u0 (x)dx u3 (x, t) = u3,см + 4 R At u0 (x)dx + O(t1 )(1 + |x).

+ c2 (1 2N 2 A2 ) cos + R O(t1 ) Оценки равномерны по x R. В (14) использованы обозначения = arctan(2c2 A1 1 ).

N 2 + g 2 c2, A= Особый интерес представляет задача о коллапсе зоны интрузии в стратифицированной жидко сти, которая в нашем случае моделируется системой (12), дополненной начальными условиями u1 (x, t) = u3 (x, t) = 0, u2 (x, t) = R (x). (15) t=+0 t=+0 t=+ В (15) R (x) = 1 при |x| R, R (x) = 0 при |x| R. Задача (12), (15) моделирует поведение зоны, заполненной жидкостью иной плотности, включенной в вязкую стратифицированную жид кость (коллапс интрузии). В этом случае решение стабилизируется к вектор-функции {0, R (x) + u0 (x), u0 (x)}T, где функции u0 (x), k = 2, 3, принадлежащие пространству H 1 (R), вы 2,см 3,см k,см писываются в явном виде. Асимптотические разложения решения задачи (12), (15) в процессе 72 А. В. ГЛУШКО стабилизации дают равенства (14), если в них подставить uk,см = {0, R (x) + u0 (x), u0 (x)}T 2,см 3,см и положить в (14) u0 = u0 = 0, u0 = R (x).

1 3 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Александрян Р. А. Спектральные свойства операторов, порожденных системами дифференциальных уравнений типа С. Л. Соболева// Тр. Моск. мат. о-ва. — 1960. — 9. — С. 455–505.

2. Владимиров В. С., Дрожжинов Ю. Н., Завьялов В. И. Многомерные тауберовы теореме для обобщен ных функций.— М.: Наука, 1986.

3. Габов С. А., Свешников А. Г. Задачи динамики стратифицированных жидкостей. — М.:Наука, 1986.

4. Гузь А. Н. О представлении решений линеаризованных уравнений Навье—Стокса// Докл. АН СССР. — 1980. — 253, № 4. — С. 825–827.

5. Гузь А. Н. Распространение волн в цилиндрической оболочке с вязкой сжимаемой жидкостью// Прикл.

мех. — 1980. — 16, № 10. — С. 10–20.

6. Зеленяк Т. И. Об асимптотике решений одной смешанной задачи// Диффер. уравн. — 1966. — 2, № 1. — С. 47–64.

7. Лежнев В. Г. Убывание решения одной краевой задачи для уравнения Соболева// Диффер. уравн. — 1973. — 9, № 3. — С. 511–526.

8. Масленникова В. Н. Смешанные задачи для одной системы уравнений с частными производными первого порядка// Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1958. — 22. — С. 271–298.

9. Масленникова В. Н. Оценки в Lp и асимптотика решения задачи Коши для системы С. Л. Соболева// Тр. Мат. ин-та АН СССР. — 1968. — 103. — С. 117–141.

10. Масленникова В. Н. О скорости затухания вихря в вязкой жидкости// Тр. Мат. ин-та АН СССР. — 1973. — 126. — С. 46–72.

11. Масленникова В. Н. Математические исследования по гидромеханике вращающейся жидкости// В кн.: Труды Всесоюзной конференции по уравнениям с частными производными. — М.: МГУ, 1978.— С. 153–156.

12. Миропольский Ю. З. Динамика внутренних гравитационных волн в океане. — Л.: Гидрометеоиздат, 1981.

13. Мукминов Ф. Х. Об убывании решения первой смешанной задачи для линеаризованной системы урав нений Навье—Стокса в области с некомпактной границей// Мат. сб. — 1992. — 183. — С. 143–144.

14. Петунин И. М. Об асимптотической оценке решения первой краевой задачи в полупространстве для движения вязкой вращающейся жидкости// В кн.: Дифференциальные уравнения и функциональный анализ. — М.: УДН, 1983. — С. 64–85.

15. Порпер Ф. О. О стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения с переменными коэффициентами// Докл. АН СССР. — 1963. — 153. — С. 273–275.

16. Репников В. Д. О равномерной стабилизации решения задачи Коши для параболических уравнений// Докл. АН СССР. — 1964. — 157. — С. 532–535.

17. Секерж-Зенькович С. Я. Построение фундаментального решения оператора внутренних волн// Докл.

АН СССР. — 1979. — 246, № 2. — С. 286–288.

18. Секерж-Зенькович С. Я. Теорема единственности и явное представление решения задачи Коши для уравнения внутренних волн// Докл. АН СССР. — 1981. — 256, № 2. — С. 318–320.

19. Соболев С. Л. Об одной новой задаче математической физики// Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1954. — 18, № 1. — С. 3–50.

20. Соболев С. Л. О движении симметричного волчка с полостью, наполненной жидкостью// Ж. прикл.

мех. и техн. физ. — 1960. — 3. — С. 20–55.

Современная математика и ее приложения. Том 29 (2005). С. 73– УДК 517. МНОГОМЕТОДНЫЕ ПРОЦЕДУРЫ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ c 2005 г. В. И. ГУРМАН 1. Введение. Бурный рост разнообразных методов в теории систем и управления — процесс про тиворечивый: с одной стороны, он несет новые возможности, но с другой — выдвигает чрезмерные требования к компетенции практических пользователей при выборе метода среди многих, основан ных на различных математических теориях. Более того, сложные практические проблемы требуют, как правило, комбинирования различных методов. Это ведет к отчуждению практиков от ценных теоретических находок, снижая их возможности решать свои задачи самостоятельно, а также к росту взаимного непонимания практиков и теоретиков при попытках объединения их творче ских усилий для решения прикладных проблем. В то же время, несмотря на обилие методов, они покрывают далеко не равномерно всю область задач управления, и существует объективная необходимость развивать все новые методы.

Единственный путь разрешения этого противоречия — создание интеллектуальных систем, поз воляющих выбирать или комбинировать различные методы в эффективных процедурах поиска в зависимости от характеристик задачи.

В данной статье предлагается подход к решению этой проблемы и представлены этапы его ре ализации, включающие архитектуру Интеллектуальной Системы поддержки построения процедур Оптимизации Управления (ИСОУ), классификацию задач и методов оптимального управления по признакам, существенным для генерирования процедур оптимизации, банк методических и тесто вых задач для отладки отдельных методов и процедур в целом.

Разумеется, рассматриваемая проблема относится не только к оптимальному управлению, но и к любой другой области, где используются математические модели и методы. Тем не менее, при ее решении важную роль должны играть как специфика области, так и знания специалистов в этой области, в данном случае — в теории оптимального управления, и этот факт в полной мере находит отражение в статье.

2. Пример многометодной процедуры оптимизации. В качестве примера рассмотрим оптими зацию стратегии развития региона на основе его социо-эколого-экономической модели [5]:

c = (E A) y Bu Az z B z uz Ad d B d ud, (1) z z d 0 y (k), 0 z (k ), 0 d (k ), (2) r = r + N (r r ) Cy Du Dz uz + C z z + imr exr, (3) k = u k, k z = uz z k z, (4) = ([d] + Hinv + Hdiff )( ), (0) = 0, (5) k d = ud d k d, 0 d d (k d ), (6) xi = xi (1 + j ij ), i Ij, ij = 1 (7) iIj Здесь y, z, d — векторы выпусков продукции по отраслям, активного природо-социовосстановления, активных инноваций, [d] — диагональная матрица, образованная компонентами d, c — конечное по требление, (k, k z, k d ), ((k), z (k z ), d (k d )), (u, uz, ud ), (, z, d ) — основные фонды, мощности и инвестиции (векторы) и темпы амортизации (диагональные матрицы) в экономическом, природо социо-восстановительном и инновационном секторах, r — вектор индексов состояния природной среды и социума, — вектор агрегированных инновационых индексов, описывающих изменения Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 06-01-000731.

c Ин-т кибернетики АН Грузии, ISSN 1512– 74 В. И. ГУРМАН за счет нноваций элементoв матриц A, Az, B, B z, C, D,... (которые имеют смысл удельных затрат, выбросов загрязнений и т. п.), и других параметров, отражающих эффективность экономи ки и других компонентов региональной системы, r (t) — заданная функция (опорная), например, получаемая из статистического прогноза, imr, exr — миграционные потоки загрязнений и ресур сов;

Hinv, Hdiff — матрицы, отражающие влияние инвестиций и диффузии инноваций, ij — весовые коэффициенты.

Обратное дезагрегирование может проводиться по различным правилам: путем соответствую щего задания весовых коэффициентов ij.

В общем случае все матрицы и функции (k), z (k z ), d (k d ) могут зависеть от t и векто ра, а также от r для учета инноваций, необратимости природных процессов при чрезмерных воздействиях, экономических ущербов от ухудшения качества природной среды и т. п.

В качестве критерия оптимальности рассматривается максимум величины (функционала благо состояния) T (1 )V W et dt, JT = V = pc, (8) при заданном состоянии в начале и конце периода и заданных ограничениях, где p — матрица строка цен (ценовых поправок);

W — штраф за нарушение условий устойчивого развития с опре деленным весом, 0 1, — коэффициент дисконтирования. Основные oграничения на управляющие воздействия y, z и d представлены в (1), (2), а остальные управления u, w, ud пред полагаются неотрицательными. Возможны дополнительные ограничения вида (y, u, z, w, d) (t, k, k z, r).

Имеются жесткие ограничения на состояние (k, k z, r) h (t).

Эта задача в целом существенно нелинейна, характеризуется сложными ограничениями, в том числе — фазовыми, различными скоростями протекания процессов и вырождена [2] благодаря на личию многих линейных управлений. Кроме того она может иметь высокую размерность в зави симости от принятой степени агрегирования (порядка 20 как минимум) при сложной структуре данных. По этой причине ее решение каким-либо одним общим методом сильно затруднено, а прак тически невозможно. В то же время имеется успешный опыт исследования предшествующих моде лей, в которых инновационный блок отсутствовал, с применением при некоторых идеализирующих допущениях специального высокоэффективного метода для вырожденных задач, доставляющего результат, хотя и приближенно, но почти в формульном виде. С учетом этого была предложена и реализована многоступенчатая процедура, в которой чередуется оптимизация исходной модели при заданных во времени параметрах и улучшение параметров за счет управления инновациями с применением различных методов. Она состоит из следующих шагов.

1) Уравнения (6) исключаются и все параметры модели рассматриваются как заданные функции времени.

2) Управления u, z считаются неограниченными, ограничения на z в (2) и уравнение относи тельно k z в (4) опускаются.

3) Решается задача оптимального управления при указанных предположениях методом преоб разования к производной задаче которая в данном случае оказывается задачей 1 порядка независимо от размерности исходной.

4) Делается шаг малого улучшения d(t) в производной задаче с присоединенными уравнения ми (6).

5) Повторяются шаги 1)–4) до достижения сходимости в задаче без ограничений.

6) Шаги 1)–5) повторяются для различных и выбирается приемлемое значение экспертным путем.

7) Восстанавливаются реальные ограничения и решение корректируется соответствующим об разом одним из стандартных методов итераций.

МНОГОМЕТОДНЫЕ ПРОЦЕДУРЫ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ РИС. Для решения задач на шагах 4), 5) и на шаге 7) применяется принципиально один и тот же метод улучшения градиентного типа в функциональном пространстве для общей задачи оптималь ного управления со свободным концом. Имеющиеся дополнительные ограничения учитываются опосредованно с помощью методических штрафных функционалов стандартными приемами.

Для данной задачи, как и для многих других прикладных задач, важна не столько высокая точность решения, сколько возможность их быстрого получения для различных многочисленных сценариев с учетом высокой степени неопределенности, сопутствующей анализу практических проблем. В этом отношении разработанная процедура оказалась весьма эффективной.

3. Архитектура ИСОУ. Архитектура предлагаемой интеллектуальной системы в целом и наи более существенные ее детали представлены на рис. 1–4.

Как видно, она ориентирована на автоматизацию естественной схемы решения прикладной про блемы от формулировки соответствующей математической задачи до практической интерпретации решения последней. В целом она отражает неформальный, творческий процесс поиска решения, хотя и включает формальные компоненты. К их числу относятся:

76 В. И. ГУРМАН РИС. — методика математической формализации исходной прикладной проблемы, включая составле ние паспорта задачи по классификационным признакам (рассчитана на конечных пользова телей — «держателей прикладных задач»);

— библиотека методов с паспортами;

— библиотека методических (тестовых) задач для настройки/отладки методов;

— процедура выбора группы методов, подходящих для данной задачи по формальным призна кам;

— процедура настройки метода (выбора его параметров).

Неформальные компоненты:

— формализация исходной прикладной задачи и интерпретация решения формализованной за дачи (выполняется конечным пользователем);

— построение процедуры оптимизации с выбором наилучших методов из отобранных (выпол няется экспертной системой).

Предусматривается несколько уровней функционирования в зависимости от характера «элемен тарных операций» того или иного метода в применении к конкретной задаче. Так, типичной «эле ментарной операцией» для методов оптимального управления сосредоточенными системами служит конечномерная задача оптимизации (математического программирования). Она может оказаться достаточно сложной и потребовать определения стратегии решения на втором уровне с выбором подходящих методов.

Такая система позволяет, в частности, четко разделить функции «держателей прикладных за дач» и «держателей методов». От первых здесь требуется только умение правильно поставить математическую задачу в принятой стандартной форме и указать ее классификационные призна ки, от вторых — указание, для какого класса задач предлагаемый метод применим или наиболее эффективен и как он должен быть настроен на конкретную задачу.

Ниже перечислены предлагаемые классификационные признаки задачи.

1. Назначение.

1.1. Отладка методов, алгоритмов и отдельных модулей.

1.2. Сравнение эффективности готовых алгоритмов.

1.3. Тестирование, контроль методов и алгоритмов.

1.4. Имитация прикладных задач при настройке и адаптации алгоритмов.

1.5. Обучение пользователя.

2. Тип задачи.

2.1. Тип аргумента.

2.1.1. Размерность аргумента:

МНОГОМЕТОДНЫЕ ПРОЦЕДУРЫ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ РИС. 3. Выполнение процедуры оптимизации 2.1.1.1. одномерный аргумент (задача сосредоточенная);

2.1.1.2. многомерный аргумент (распределенная).

2.1.2. Непрерывность аргумента:

2.1.2.1. непрерывный;

2.1.2.2. дискретный;

2.1.2.3. комбинированный.

2.2. Особенности задачи.

2.2.1. Структурные особенности:

2.2.1.1. линейная;

2.2.1.2. линейно-квадратичная;

2.2.1.3. выпуклая;

2.2.1.4. билинейная;

2.2.1.5. специальная;

2.2.1.6. общего типа.

2.2.2. Характер ограничений:

2.2.2.1. со свободным правым концом;

2.2.2.2. с терминальными ограничениями;

2.2.2.3. без ограничений на управление;

2.2.2.4. с фазовыми ограничениями;

2.2.2.5. со смешанными ограничениями;

2.2.2.6. со специальными ограничениями;

2.2.2.7. общего типа.

2.2.3. Вырожденность:

2.2.3.1. с ограниченным множеством скоростей;

2.2.3.2. с неограниченным множеством скоростей.

2.2.4. Вычислительные особенности:

2.2.4.1. большой размерности;

2.2.4.2. со сложной структурой данных;

2.2.4.3. общего типа.

78 В. И. ГУРМАН РИС. 4. Экспертный анализ и построение процедуры оптимизации Разумеется данная классификация требует дальнейшей доработки и детализации, особенно в разделе 2.1.1.2 (распределенные задачи), представляющем обширный круг разнообразных задач управления, для которого может быть использована классификация, предложенная в [1].

4. Роль вычислительных экспериментов. Очевидно, что на всех этапах построения общей про цедуры решения задачи — при выборе метода, его настройке, тестировании исключительно важную роль будет играть широкий методический вычислительный эксперимент. В значительной мере это связано с особенностями задач оптимального управления, заставляющими выделять их в особый класс вычислительных проблем поиска в функциональном пространстве по сравнению с другими задачами подобного рода, такими как решение дифференциальных или интегральных уравнений.

Во-первых, для них характерно отсутствие решения в традиционном понимании как элемента того множества, в котором согласно постановке требуется вести поиск. Можно говорить о решении в терминах минимизирующей последовательности, подчас весьма сложной конструкции, такой как скользящий, импульсный или циклический скользящий режим [3].

Во-вторых, для многих задач типична вырожденность — присутствие в системе ограничений скрытых пассивных связей, что делает их нерегулярными с точки зрения наиболее известных общетеоретических методов, в частности некорректными по Тихонову [2].

В-третьих, если не считать сравнительно узкого класса линейных и выпуклых задач, не су ществует общих законченных алгоритмов поиска их решения хотя бы в принципе — даже если есть уверенность в его существовании;

имеются лишь косвенные признаки решения, такие как необходимые условия локального минимума, которым наряду с искомым объектом могут отвечать и иные «паразитные», причем их множество может быть бесконечным или даже континуальным.

МНОГОМЕТОДНЫЕ ПРОЦЕДУРЫ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ Как следствие — большое разнообразие подходов и методов, которое накопилось при решении актуальных прикладных задач и продолжает расширяться. Часто новая сколь-либо сложная прак тическая задача требовала индивидуального подхода, который выливался в значительную моди фикацию существующих методов, иногда в некоторый новый метод, отличный от существующих, ориентированный на данную задачу или на класс, который она представляет. Ясно, что в такой пе строй и динамичной ситуации одних лишь качественных экспертных оценок при выборе методов, не говоря уже об их настройке, далеко недостаточно. Необходимы вычислительные эксперименты с использованием богатого набора методических и тестовых задач.

Задачи, предназначенные для методических экспериментов, должны обладать, по крайней ме ре, тремя общими свойствами: отражать цель эксперимента, иметь известное решение и быть достаточно простыми или хотя бы не слишком трудоемкими. Отметим что один из возможных принципов выбора метода среди итерационных — по степени близости конкретной задачи к той базовой модели, которая лежит в основе метода, т.е. в которой он должен давать решение за одну итерацию. В этом смысле линейной задаче соответствует метод первого порядка, линейно квадратической — метод второго порядка. Определение базовой модели может быть одной из целей экспериментального анализа в менее очевидных для теории случаях.

Не менее важна в такой ситуации роль методических экспериментов в обеспечении доходчиво сти, наглядности материалов, передаваемых пользователю, в частности описаний и инструкций, обеспечении ими пользователя. Хорошо подготовленный наглядный пример или набор примеров может быть намного информативнее какого-нибудь скрупулезного строгого трактата.

Очевидно, требуется достаточно большое разнообразие методических задач и возможностей их генерирования и соответственно развитая система их ведения, т.е. хранения, пополнения и ис пользования, если мы не хотим при организации методических вычислительных экспериментов каждый раз создавать заново экспериментальную базу. Таким образом, возникает представление о банке методических задач, который может быть построен на основе представленной выше клас сификации. Что касается его содержания, то на основании имеющегося опыта можно высказать следующие рекомендации.

Одним из наиболее богатых источников материалов для построения методических задач слу жат многочисленные иллюстративные примеры из руководств и теоретических работ. Например, вырожденная задача второго порядка о гашении колебаний спутника на орбите, исследованная до конца аналитически [6], решением которой является циклический скользящий режим, может служить для отладки специальных нелокальных алгоритмов второго порядка [6] и для имита ции соответствующего семейства прикладных «спутниковых» задач при настройке. Подобие в них достигается за счет подбора констант, определяющих период свободных колебаний и угловое уско рение, которое может развить силовая установка.

Для отладки и модификации алгоритмов первого и второго порядка улучшения процессов с нефиксированным временем окончания может быть использована хорошо известная модельная задача наискорейшего торможения тележки:

tF, I = tF inf, 0 t 1 2 x =x, x = u, x(0) = xI, x(tF ) = 0, |u| 1.

Другим источником могут быть непосредственно прикладные задачи, особенно когда требуется их имитация. Здесь можно действовать следующим образом. Пусть в описании прикладной зада чи имеется система x = f (t, x, u) с известным решением ((t), u(t)) (неоптимальным). Задаются x функционал tк (x x(t))2 + (1 )(u u(t))2 dt, I= 0 1, tн и некоторое начальное приближение (x0 (t), u0 (t)) = ((t), u(t)). Получается задача с заведомо из x вестным решением — нулевым по функционалу. Для сокращения объема вычислений промежуток времени может быть уменьшен. Дальнейшее упрощение состоит в линеаризации данной системы 80 В. И. ГУРМАН относительно ((t), u(t)) и квадратизации функционала I для получения линейно-квадратичной x задачи, подобной данной прикладной задаче в окрестности ((t), u(t)).

x При построении методических задач можно использовать также ряд практических приемов.

Один из них — усиление той или иной особенности задачи, имеющей решение в общем ви де, или допускающей такое решение, например придание резко овражистой структуры линейно квадратической задаче за счет выбора матриц квадратических форм.

Другой прием — введение малых нелинейных возмущений в описание линейной задачи, решение которой известно и лежит целиком на ограничениях, поэтому инвариантно относительно малых возмущений. В то же время наличие нелинейностей может быть существенным для проверки или настройки алгоритма.

Следующий доступный прием — имитация многомерных систем x = f (t, x, u) совокупностью од номерных xi = fi (t, xi, ui ), ui U i (t, xi ). Любая такая система допускает полный качественный анализ посредством построения границ решений одномерных подсистем. В результате находится множество достижимости совокупной системы в любой момент времени — некоторый параллеле пипед, на котором можно решать разнообразные задачи с терминальными условиями и функцио налами.

Отметим еще один возможный подход к «конструированию» методических задач — составление так называемых связок задач с различными свойствами. Формализация данной идеи выглядит следующим образом.

Пусть постановку задачи можно описать с помощью кортежа m = {F, f 0, f, g,..., gk } из вектор ных функций, характеризующих различные элементы постановки: функционал, дифференциаль ные связи, ограничения, граничные условия. Будем называть его моделью задачи. Пусть имеется q таких задач mi. Сопоставим каждой из них соответствующий матричный кортеж из диагональ ных матриц Bi = {BF, Bf 0,... }. Тогда формально B — диагональная матрица размерности k k.

Связкой задач будем называть комбинацию m = Bi mi. Варьируя элементы матриц Bi, мож i но придавать результирующей задаче m те или иные свойства, усиливать их или ослаблять. Это может быть удобно для рациональной организации комплексных вычислительных экспериментов.

5. Проблемы реализации. Все сказанное выше следует рассматривать как инициативу, обра щенную к широкому кругу специалистов, прежде всего, в области оптимального управления, по решению весьма злободневной проблемы эффективного взаимодействия теоретиков и практиков.

Как видно из описания предлагаемого подхода, его реализация должна вылиться в крупномас штабную и достаточно длительную программу работ с привлечением многих заинтересованных участников.

Для расширения круга возможных участников обратим внимание на то, что предлагаемая си стема, независимо от ее продекларированного назначения как пользовательского инструмента для прикладников, оказывается многофункциональной, представляющей интерес для различных кате горий пользователей, а именно:

— справочник методов и методических задач;

— экспериментальная база для активизации и отладки новых методов;

— обучающая система.

При этом отдельные ее функции реализуются поэтапно задолго до построения системы в целом.

Важно также иметь в виду, что общая часть ИСОУ может рассматриваться как «оболочка» для аналогичных систем в других областях и при создании четко определить ее границу с предметной частью (банк методов и модельных задач, паспортизация и пр.).

Для пополнения библиотеки методов и других содержательных материалов создаваемой си стемы могут служить регулярные аналитические обзоры публикаций и анкетирование участни ков программы. При создании экспертной системы потребуются более тесные контакты между участниками, реализуемые через прямые телекоммуникации и другие эффективные способы их взаимодействия с использованием возможностей и технологий Интернет. Современные интернет технологии обеспечат также эффективное использование готовой системы в целом или отдельных ее функций широким кругом пользователей.

МНОГОМЕТОДНЫЕ ПРОЦЕДУРЫ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ Существует также немало чисто программистских сложностей в реализации прелагаемого ИСОУ. Прежде всего, необходимо построить достаточно мощную, гибкую и легко расширяемую базу данного программного комплекса. Для этого необходим глубокий анализ возможных методов использования ИСОУ, чтобы правильно спроектировать схему данных, механизмы расширения алгоритмической базы (методов), интерфейсы взаимодействия с внешними компонентами, такими как офисные приложения, экспертные системы и т. д., заложить возможность клиент-серверной реализации данного ПО, рассмотреть методы удаленного вызова процедур, в том числе расчет каких-то громоздких процедур на более мощных вычислительных машинах (суперкомпьютерных комплексах), при этом, не нарушая общий ход решения задачи и оставляя за собой контроль за ее обработкой. Чтобы суметь реализовать задуманное за разумное время, требуется предусмотреть возможности командной работы над проектом, т.е. выделить достаточно самостоятельные блоки, которые могли бы разрабатываться независимо.

Уже сейчас очевидны такие самостоятельные компоненты будущего комплекса, как алгорит мы улучшения, реализованные в виде динамически подключаемых библиотек процедур, имеющих некий единый интерфейс и позволяющих создавать последовательности, цепочки оптимизации, переходя таким образом к составлению метаалгоритмов. Эти алгоритмы должны составить свое образный банк методов, который будет уже самоценен как некоторое методическое, учебное и практическое подспорье для изучения и использования результатов творческой деятельности мно гих исследователей в этой области. Там самым алгоритмы, которые чаще всего имеют вид матема тических описаний в блок-схем в различных публикациях, обретут осязаемость и практическую пользу. Можно будет на деле убедиться в преимуществах того или иного подхода на каком-либо классе задач.

Но это лишь первый шаг в развитии ИСОУ, стократ большую ценность будет иметь банк методов, снабженный интеллектуальной справкой — экспертной системой. Использование знаний экспертов позволит каждому методу, включенному в банк, обрести некоторую самостоятельность в плане того, что за каждым из них будет закреплена определенная характеристика, его паспорт.

Это даст возможность более эффективного использования каждого метода и облегчит создание единого метаалгоритма решения задачи.

Пока что речь шла только об одной стороне ИСОУ — механизме решения задачи и представ лении алгоритмов в системе. Однако не менее сложной и важной является проблема удобного и эффективного хранения, модификации и использования самих моделей (описаний прикладных задач), над которыми перечисленные операции должны выполняться. Сама модель может быть как очень простой, содержащей, например, единственное дифференциальное уравнение, а может быть крайне сложной, обладать довольно большим числом параметров, определенных на сложных множествах, многими нелинейными связями и зависимостями. Необходимо разработать такую мо дель данных, которая смогла бы вместить в себя все это разнообразие, причем, предоставляя возможность оперировать как статическими (значения параметров и коэффициентов), так и ди намическими данными (непосредственно модель как функциональная зависимость). Здесь можно выделить несколько аспектов, таких, как определение стандарта записи произвольной модели в некоторой удобной для обработки форме, а также непосредственное хранение в виде некоторой структуры данных. Наиболее привлекательные перспективы предоставляет объектная парадигма, позволяющая реализовать модель как некий объект с определенной внутренней также объектной структурой, что позволит унифицировать и упростить методы работы с моделью.

Вопрос хранения может решаться также многими путями, но наиболее удобным и перспектив ным видится использование технологии баз данных в их наиболее развитой части реляционных баз данных. Это дает существенные преимущества по скорости доступа к данным, непротиворе чивости и уникальности данных перед, скажем, файловым методом. Однако возникает проблема отображения в таблицы сложных динамических объектов, в виде которых представлена модель.

В этом направлении уже есть существенные наработки, включающие в себя процедуры записи и восстановления объектов из баз данных, а также представления динамики в виде процедур на интерпретируемых языках и их выполнение «на лету» при внешних вызовах.

82 В. И. ГУРМАН В заключение считаю своим приятным долгом выразить благодарность Д. В. Белышеву за об суждение архитектуры ИСОУ, принципов ее программного обеспечения, за ценные дополнения в этой части и большую помощь при подготовке данной статьи.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Бутковский А. Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. — М: Наука, 1975.

2. Вырожденные задачи оптимального управления. — М: Наука, 1977.

3. Гурман В. И. Принцип расширения в задачах управления. — М.: Наука, 1985, 1997.

4. Методы улучшения в вычислительном эксперименте. — Новосибирск: Наука, 1988.

5. Моделирование социо-эколого-экономической системы региона/ Под ред. В. И. Гурмана, Е. В. Рюми ной. — М: Наука, 2001.

6. Новые методы улучшения управления. — Новосибирск: Наука, 1987.

В. И. Гурман Институт программных систем РАН, Переславль-Залесский E-mail: gurman@cprc.botik.ru Современная математика и ее приложения. Том 29 (2005). С. 83– УДК 512. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ НА АДЕЛЯХ c 2005 г. Б. ДРАГОВИЧ, Я. РАДЫНО, А. ХРЕННИКОВ Основным объектом в физике является поле Q рациональных чисел, и для ее нужд достаточно было бы развить анализ функций на Q. Для построения такого анализа необходимо задать на Q норму. В силу теоремы Островского на Q можно задать лишь счетное число различных норм:

|x| — модуль числа x и |x|p — p-адическая норма для каждого простого p.

Как хорошо известно, исследование вопросов в полных полях значительно проще исходных задач неполных. Поэтому естественно рассматривать функции на R и Qp. Однако изучая R и Qp, мы мало можем сказать о Q. С другой стороны, изучая изучая свойства Q по совокупности всех нормирований, мы получаем весьма существенную информацию о Q. Это так называемый локально-глобальный метод в теории алгебраических групп [4]. Одним из классических результа тов такого типа является теорема Хассе: если f (x1,..., xn ) f (x) — невырожденная квадратичная форма над полем алгебраических чисел K и если f (x) = 0 имеет ненулевое решение над всеми пополнениями K ( — нормирование поля K), то f (x) = 0 имеет решение в K.

Адели — это та конструкция, которая позволяет изучать все пополнения поля K одновременно. И поэтому адельную квантовую механику [6] мы рассматриваем не просто как объединение обычной и p-адической [2, 7]. Это аналог локально-глобального метода в квантовой механике. И этот метод естественно называть методом аделизации квантовой механики.


Поскольку основным объектом в квантовой механике являются обобщенные функции, то воз никает необходимость в построении теории обобщенных функций на аделях.

Алгебраическая концепция обобщенных функций была заложена в работах [3, 5]. Были прове дены элементарные свойства, необходимые для приложений в теории представлений групп.

В работе излагаются основные положения теории функций на аделях: непрерывные функции, теория интеграла и интегрируемые функции, пространства основных и обобщенных функций и их преобразование Фурье.

1. ОБОБЩЕННЫЕ p-АДИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ НА ПОЛЕ ЧИСЕЛ 1.1. Пространство p-адических чисел. Пусть p — простое число. В поле Q введем норму |x|p по правилу |0|p = 0, |x|p = p(x), где целое число (x) определяется из представления m x = p(x), m, n, Z, n и целые числа m, n не делятся на p. Норма |x|p называется p-адической нормой на Q. Эта норма обладает следующими свойствами:

(i) |x|p 0, |x|p = 0 x = 0, (ii) |x · y|p = |x|p · |y|p, (iii) |x + y|p max(|x|p, |y|p ) и определяет на Q ультраметрику. Согласно теореме Островского, нормы |x|p и |x| — модуль x— исчерпывают все нормы поля Q.

Пополнение поля Q по p-адической норме образует поле p-адических чисел Qp, аналогично тому как поле вещественных чисел R = Q является пополнением по норме |x| = |x|.

Обозначим через Zp = {x Qp : |x|p 1} кольцо p-адических целых чисел и через Up = {x Qp : |x|p = 1} мультипликативную группу обратимых p-адических целых чисел (единиц).

c Ин-т кибернетики АН Грузии, ISSN 1512– 84 Б. ДРАГОВИЧ, Я. РАДЫНО, А. ХРЕННИКОВ Таким образом, Zp является подкольцом поля Qp, а Up — подгруппой мультипликативной группы Q = Qp \ {0}.

p Теорема 1.1 (см. [2]). Поле Qp является вполне несвязным локально компактным простран ством.

1.2. Характеры поля Qp и мера Хаара на Qp. Аддитивным характером поля Qp называется характер аддитивной группы Qp, т.е. непрерывная комплекснозначная функция (x), заданная на Qp и удовлетворяющая условиям |(x)| = 1, (x + y) = (x)chi(y), x, y Qp.

Аналогично определяется и аддитивный характер группы Zp. Очевидно, что всякий аддитивный характер поля Qp является характером группы Zp.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 1.2 (см. [2]). Функция p (x) = exp(2i{x}p ), Qp, (1.1) где {a} есть дробная часть p-адического числа a, задает общее представление всех аддитив ных характеров поля Qp и группы Zp.

Мультипликативным характером поля Qp называется характер мультипликативной группы Q, т.е. непрерывная комплекснозначная функция (x), заданная на Q и удовлетворяющая усло p p вию (xy) = (x)(y), x, y Q.

p Справедлива следующая теорема.

Теорема 1.3 (см. [2]). Любой мультипликативный характер поля Qp имеет вид (x) = |x|1 0 (|x|p · x), |0 (x )| = 1, x Up, C, (1.2) где 0 — характер группы Up. Обратно, всякий характер 0 группы Up продолжается до муль типликативного характера поля Qp по формуле (1.2).

Поскольку поле Qp образует локально компактную коммутативную группу по сложению, то на Qp существует мера Хаара dx, т.е. dx = d(x + a) для любого a Qp. Будем всегда считать, что мера dx выбрана так, чтобы dx = 1.

Zp В этом случае она единственна. Если T — измеримое множество в Qp, то стандартным образом определяется банахово пространство Lq (T ), 1 q, и другие пространства измеримых ком плексных функций, например Lloc (T ).

p Отметим, что множество C0 (Qp ) непрерывных функций f : Qp C с компактным носителем плотно в Lq (Qp ).

1.3. Основные и обобщенные функции на Qp. Функция f : Qp C называется локально постоянной если для каждой точки x Qp существует l(x) Z такое, что pl(x).

f (x + y) = f (x), |y|p (1.3) Множество таких функций обозначается E (Qp ). Оно является векторным пространством над C.

Очевидно, что каждая функция из E (Qp ) является непрерывной функцией на Qp. Векторное под пространство функций из E (Qp ) с компактными носителями будем обозначать S (Qp ).

Отметим, что в работе [2] пространство S (Qp ) обозначается D(Qp ). Если S (Qp ), то согласно лемме 1.6.1 из [2] существует такое l Z, что pl }, (x + y) = (x), y Bl = {y Qp : |y|p x Qp. (1.4) наибольшее такое l называется параметром постоянности функции, l = l().

ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ НА АДЕЛЯХ l Обозначим через SN (Qp ) множество функций из S (Qp )с носителем в круге BN и параметром постоянности l. Имеет место вложение l l SN (Qp ) SN (Qp ) при N N, l l. (1.5) l Установлено [2], что пространство SN (Qp ) конечномерно, поэтому оно нормируется естествен ным образом одной из всевозможных эквивалентных на нем норм. Ввиду вложений (1.5) есте ственная топология на S (Qp ) определяется как индуктивный предел:

l S (Qp ) = lim ind S, SN = lim ind SN. (1.6) N + l Из определения топологии на S (Qp ) вытекает, что последовательность k S (Qp ) сходится к нулю в S (Qp ), если l (a) k SN (Qp ), где N и l не зависят от k;

(b) k 0 равномерно при k.

Кроме того, из теории топологических векторных пространств и задания топологии вытекает сле дующее утверждение.

Теорема 1.4. Пространство S (Qp ) является отделимым, полным, ядерным, монтелевским локально выпуклым пространством.

Отметим также, что S (Qp ) плотно в Lq (Qp ), 1 q.

Одним из наиболее примечательных фактов, вытекающих из теоремы 1.4, является то, что всякий линейный оператор A : S (Qp ) X (X — произвольно заданное топологическое вектор ное пространство) автоматически является непрерывным. В частности, на S (Qp ) нет разрывных функционалов, а сопряженное пространство S (Qp ) — пространство p-адических распределений (обощенных функций) полно в сильной топологии и секвенциально полно в слабой.

1.4. Преобразование Фурье основных и обобщенных функций. Если S (Qp ), то преоб разование Фурье этой функции определяется формулой (F )() () = p (x)(x)dx, Qp. (1.7) Qp Свойства преобразований Фурье основных функций собраны в следующей теореме.

Теорема 1.5 (см. [2]). Преобразование Фурье F является линейным изоморфизмом S на S, причем справедлива формула обращения (x) = p (x)()d (1.8) Qp и равенство Стеклова—Парсеваля (x)(x)dx = ()()d,, S (Qp ), (1.9) Qp Qp а также (x)(x)dx = ()()d. (1.10) Qp Qp Замечание. Ввиду этой теоремы по аналогии с классическим пространством S (R) (и не только поэтому!) мы вместо D(Qp ) как в [2] обозначаем S (Qp ).

В соответствии с общей идеологией теории двойственности и равенством (1.10) преобразование Фурье обобщенной функции u S определяется формулой u, = u,, S (Qp ). (1.11) 86 Б. ДРАГОВИЧ, Я. РАДЫНО, А. ХРЕННИКОВ Из тех же соображений и теоремы 1.5 получаем, что преобразование Фурье F является линей ным изоморфизмом S (Qp ) на S (Qp ).

Поскольку S (Qp ) L2 (Qp ) и S (Qp ) = L2 (Qp ), то L2 (Qp ) S (Qp ). Ввиду этого можно рассмотреть сужение отображения F : S (Qp ) S (Qp ) на пространство L2 (Qp );

это сужение обозначим снова через F.

Оказывается справедливой следующая теорема.

Теорема 1.6 (см. [2]). Оператор преобразования Фурье F унитарен в L2 (Qp ).

2. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ НА АДЕЛЯХ 2.1. Адели и идели. Рассмотрим совокупность A всех последовательностей вида a = (a, a2, a3,..., ap,... ), где a — вещественное число, ap — p-адическое число, причем все ap, на чиная с некоторого p (своего для каждого a) являются целыми p-адическими числами. Совокуп ность всех таких последовательностей образует кольцо, если операции сложения и умножения определить покомпонентно. Это кольцо называется кольцом аделей, а аддитивная группа этого кольца — группой аделей. Элементы кольца аделей A, для которых существует обратный элемент, называются иделями. Совокупность A всех иделей образует группу по умножению, называе мую группой иделей. Таким образом, элементами группы иделей являются последовательности = (, 2,..., p,... ), где p = 0 и |p | = 1 для всех p, кроме конечного числа.

Рассмотрим счетное множество P = {, 2, 3,..., p,... }, состоящее из символа и множества всех простых чисел. Обозначим через P всевозможные конечные подмножества из P, содержащие. Множество P упорядочим по включению, т.е. для 1, 2 P пишем 1 2, если 2. Нетрудно видеть, что упорядоченное множество (P, ) направлено. Для каждого P обозначим через A() = Q Qp Zp p p кольцо -целых аделей, через A () = Q Q Up p p p мультипликативную группу -целых иделей.

Очевидно, что при 1 2 группа A(1 ) (соответственно, A (1 )) является подгруппой в A(2 ) (соответственно, A (2 )). Таким образом, имеем:

A = A ().

A= A(), P P A () Для каждого P группы A() и наделяем их естественными тихоновскими топологиями, а на A и A задаем топологии индуктивных пределов [1, предложения I.2.4, I.2.8]:

A = lim ind A (), A = lim ind A(), P P которые называются соответственно адельной и идельной.

Замечание. Можно показать, что A A и топология в A сильнее топологии A, а последняя топология тихоновского произведения pP Qp.

1) Базой открытых множеств в A (cоответственно, A ) являются множе Теорема 2.1.

ства вида Vp Zp (соответственно, Wp Up ), где Vp (соответственно, Wp ) pS pS pS / pS / открытые множества в Qp для любых S P.

2) Группа A (соответственно, A ) локально компактна.

3) Последовательность аделей (соотвественно, иделей) a(n) A (соответственно, (n) A ) сходится к аделю a A (соответственно, иделю A ) если i) a(n), a A() (соответственно, (n), A ()) для некоторого P;

ii) a(n) a (соответственно, (n) ) покоординатно.

ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ НА АДЕЛЯХ Поскольку конструкции аделей и иделей аналогичны, в дальнейшем в этой работе мы будем рассматривать только адели.

Теорема 2.2. Множество K A компактно в A тогда и только тогда, когда найдется такое P, что K A() и K компактно в A().


Отсюда вытекает характеристика функций f : A R с компактными носителями и, в частности, следующее важное утверждение.

Теорема 2.3. Всякая непрерывная числовая функция с компактным носителем на группе аделей стабилизируется на почти всех (за исключением конечного числа) переменных аделя.

Другими словами, всякая непрерывная функция с компактным носителем на аделе зависит только от конечного числа переменных.

2.2. Интегрирование на аделе. Поскольку группа аделей A является локально компактной коммутативной группой, то она обладает мерой Хаара, которую мы будем обозначать da, где a = (a, a2, a3,... ) A. Нетрудно видеть, что мера Хаара da на аделе A однозначно выражается через меры dap на группах Qp по формуле da = da · da2 · da3... dap... (2.1) с условием нормировки da = 1, dap = 1. (2.2) 0 Zp Адель A() тоже локально компактен и мера Хаара d a на нем имеет вид d a = da · dap p с условием нормировки (2.2). Таким образом, меры d a являются сужениями меры da на A().

В связи с этим вводятся банаховы пространства Lq (A(), d a) и Lq (A, da). Между ними имеется естественная связь, о которой мы сейчас говорить не будем.

Группа характеров группы аделей описывается следующей теоремой.

Теорема 2.4 (см. [3]). Пусть A — адель и a = (a, a2, a3,... ) A. Тогда функция 0 : A C, опеределяемая формулой 0 (a) = exp 2i(a + a2 + · · · + ap +... ), (2.3) является характером на A. Кроме того, любой характер на A имеет вид (x) = 0 (ax) exp 2i(a x + a2 x2 + · · · +... ), a A. (2.4) Теперь для любой функции f L1 (A) можно определить преобразование Фурье f (), которое является функцией на A:

f () = f (x)0 (x)dx.

A Теорема 2.5. Для того чтобы имели место равенства f (x) = f ()0 (x)d, f, f L1 (A), A |f (x)|2 )dx = |f ()|2 d, f L1 (A) L2 (A), A A необходимо и достаточно, чтобы мера dx была нормирована условиями (2.2).

88 Б. ДРАГОВИЧ, Я. РАДЫНО, А. ХРЕННИКОВ 2.3. Функции Шварца—Брюа и пространство S (A) основных функций на аделях. Рас смотрим на группе аделей A функции (a), представимых в виде бесконечного произведения (a) = p (ap ), (2.5) p где a = (a, a2, a3,... ) A, а функции p удовлетворяют следующим условиям:

1) S (Q ) — пространство Шварца бесконечно дифференцируемых быстро убывающих функций;

2) p S (Qp ), p = 2, 3,... ;

3) для всех p, кроме конечного числа, 1, ap Zp, p (ap ) = Zp (ap ) = 0, ap Zp.

Следовательно, произведение (2.5) сходится и непрерывна.

Замечание. В силу условия 3) функция сосредоточена на открытой подгруппе A() = Q Qp Zp -целых аделей и постоянна на классах смежности по подгруппе Zp.

p p p Следовательно, функцию можно рассматривать как функцию на группе A[] = Q Qp, т.е.

p как функцию, зависящую от конечного числа переменных.

Совершенно понятно, что это же замечание относится к любой линейной комбинации функций вида (2.5), которые называют элементарными функциями или функциями Шварца—Брюа на A.

Векторное пространство всех функций Шварца—Брюа на A будем обозначать S0 (A).

Таким образом, пространство S0 (A) устроено следующим образом. Для каждого P имеем группу -целых аделей A() = Qp Zp. С группой связано пространство p p S0 (A()) = S (Q ) S (Q2 ) · · · S (Qp ) R · · · S (Qp ) (2.6) = p и S0 (A) = S0 (A()). (2.7) P Теорема 2.6. Пространство S0 (A) плотно в Lq (A), 1 q.

Как было замечено выше (см. теорему 2.5), преобразование Фурье F : L2 (A) L2 (A) является унитарным оператором.

Замечательным свойством пространство Шварца—Брюа является следующий факт.

Теорема 2.7 (см. [3]). Преобразование Фурье биективно отображает пространство S0 (A) на себя.

Теперь для построения содержательной теории на группе аделей осталось ввести подходящую топологию на S0 (A).

На каждом пространстве S (Qp ), p P, имеется естественная топология, превращающая его в ядерное пространство, причем S (Qp ) Lq (Qp ), 1 q +. (2.8) Это означает, что S (Qp ) непрерывно вложено в Lq (Qp ), т.е. топология S (Qp ) сильнее, чем инду цированная из Lq (Qp ). Кроме того, S (Qp ) = Lq (Qp ), 1 q +.

На пространстве S0 (A()) = S (Qp ) зададим проективную либо индуктивную топологии.

p Они совпадают, ибо все пространства S (Qp ) ядерны. Пространство S0 (A()) ядерно. Рассмотрим ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ НА АДЕЛЯХ его пополнение, т.е.

S (A()) = S (Qp ), (2.9) p которое тоже ядерно. Поскольку топология S0 (A()) сильнее топологии Lq (A()) и они согласо ваны между собой, то учитывая теорему 2.6, получаем следующее утверждение.

Теорема 2.8. Пространство S (A()) является полным ядерным локально выпуклым про странством непрерывно и плотно вложенным в Lq (A()), причем S (A(1 )) S (A(2 )), если 1 2.

Пространством основных функций на группе аделей A будем называть локально выпуклое пространство S (A) = lim ind S (A()). (2.10) P Теорема 2.9. Пространство S (A) является полным ядерным локально выпуклым простран ством, непрерывно и плотно вложенным в Lq (A), 1 q +, и преобразование Фурье непре рывно и биективно отображает его на себя.

2.4. Обобщенные функции на аделях. Пространством обобщенных функций на группе аделей A называется пространство S (A), сопряженное к пространству S (A).

Преобразованием Фурье в пространстве S (A) называется отображение, сопряженное к преоб разованию Фурье в S (A). Другими словами, если u S (A), то преобразованием Фурье называ ется такая обобщенная функция u S (A), что справедливо равенство u() = u() для всех S (A).

В связи с теоремой 2.9, определение преобразования Фурье обобщенных функций из S (A) корректно.

Из теоремы 2.9 и теории топологических векторных пространств вытекают следующие теоремы.

Теорема 2.10. Имеют место непрерывные и плотные вложения:

S (A) Lq (A) S (A).

Здесь S (A) — пространство S (A) с сильной топологией.

Теорема 2.11. Преобразование Фурье биективно и непрерывно отображает пространство S (A), причем на L2 (A) оно совпадает с ранее определенным (см. теорему 2.5).

Теорема 2.10 показывает, что пространство S (A) содержит все Lq (A). Однако справедливо и более общее включение: Lloc (A) S (A).

q СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Бурбаки Н. Общая топология. — М., Наука, 1968.

2. Владимиров В. С., Волович И. В., Зеленов Е. И. p-Адический анализ и математическая физика. — М., Наука, 1994.

3. Гельфанд И. М., Граев М. И., Пятецкий-Шапиро И. И. Теория представлений и автоморфные функци. — М., Наука, 1966.

4. Платонов В. П., Рапинчук А. С. Алгебраические группы и теория чисел.— М., Наука, 1991.

5. Bruhat F. Distributions sur un groupe locallement compact et applications a l’etude des representations des groupes p-adic// Bull. Soc. Math. France. — 1961. — 89. — С. 43–75.

6. Dragovich B. Adelic harmonic oscillator// Int. J. Mod. Phys. — 1995. — A10. — С. 2349–2365.

7. Khrennikov A. p-Adic valued distributions in mathematical physics. — Kluwer Academic, 1994.

Современная математика и ее приложения. Том 29 (2005). С. 90– УДК 517. О ЗАДАЧЕ КОШИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫX ДИССИПАТИВНЫX СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ c 2005 г. Е. И. КАЙКИНА, П. И. НАУМКИН, И. А. ШИШМАРЕВ АННОТАЦИЯ. Изучено асимптотическое поведение при большиx временаx решений задач и Коши для системы нелинейныx эволюционныx уравнений с диссипацией. Используемый нами подxод в случае малыx начальныx данныx основан на построении решений с помощью метода сжимающиx отображе ний. В случае большиx начальныx данныx мы получим асимптотику решений при большиx временаx принимая во внимание некоторую симметрию нелинейного члена. В критическом случае доказано, что если начальные данные имеют ненулевую общую массу, то главный член асимптотики решения при большиx временаx дается автомодельным решением определяемым единственным образом общей массой начальныx данныx.

Настоящая работа посвящена изучению асимптотического поведения при большиx временаx решений задачи Коши для системы нелинейныx нелокальныx эволюционныx уравнений ut + N (u, u) + L u = 0, x Rn, t0 (1) с начальными данными u(0, x) = u(x), x Rn, где u(t, x) — вектор u = {uj j=1,dots,m. Линейная часть L системы (1) — это псевдодифференциальный оператор, определяемый с помощью обрат ного преобразования Фурье следующим образом:

L u = F x L()Fx u, где символ L() является матрицей L = {Ljk } j,k=1,...,m. Нелинейность N (u, u) задается в виде квадратичного псевдодифференциального оператора m Akl (t,, y) uk (t, y) ul (t, y) dy, N (u, u) = F x k,l=1Rn здесь символы Akl (t,, y) являются векторами Akl = {Akl }. Определим прямое преобразо j j=1,...,m вание Фурье Fx как u() Fx u = (2)n/2 ei·x u(x)dx Rn и обратное преобразование Фурье F x с помощью формулы u(x) F x u = (2)n/2 ei·x u()d.

Rn Предположим, что символы Akl (t,, y) являются непрерывными по времени t 0 вектор функциями и операторы N и L имеют конечный порядок, т.е. символы Akl (t,, y) и L() растут по y и не быстрее некоторой степени |Akl (t,, y)| C, C +y, |L()| через C здесь и ниже обозначаем различные положительные постоянные, = 1 + 2, абсо лютное значение векторов |Akl | и матрицы |L| понимаем как максимум модуля иx компонент:

|Akl | = max |Akl |, |L| = max |Ljk |. Модельная система (1) обьединяет в себе многие извест j j=1,...,m j,k=1,...,m ные системы уравнений современной математической физики и описывает различные волновые c Ин-т кибернетики АН Грузии, ISSN 1512– О ЗАДАЧЕ КОШИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫX ДИССИПАТИВНЫX СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ процессы в диссипативныx и дисперсивныx средаx. Если решение u(t, x) — вещественная вектор функция, m = n, линейная часть — лапласиан L u = u, нелинейность имеет вид n N (u, u) = ( · u)u + ()1 k l u k u l, k,l= т.

е. символы k l Akl (t,, y) = ik jl ij, j где jj = 1 и jl = 0, для j = l, а начальные данные удовлетворяют ограничению ( · u) = 0, так что решение u(t, x) для всеx t 0 также подчиняется этому условию ( · u) = 0, то из (1) мы получим известную систему уравнений Навье—Стокса ut + (u · )u + h u = 0, ( · u) = 0. (2) Система (1) также содержит систему уравнений мелкой воды (см. [11]) t + ( · v) = 0, vt + (v · )v + = 0, которая включает нелинейность, но не учитывает дисперсию, здесь (t, x) описывает свободную поверxность воды и v(t, x) — вектор скорости, пространственная размерность n = 2. Если ограни читься рассмотрением простейшей дисперсии и диссипации, то система (1) приводит нас к системе уравнений Буссинеска с затуxанием (см. [11]) t + ( · v) + ( · v) = 0, vt + (v · )v + v = 0. (3) Система (1) переxодит в систему Доброxотова с диссипацией [5] в первом приближении по нели нейности t + ( · v) + Bv = 0, vt + (v · )v + v = 0, (4) n ij где оператор Bv = Bj vj имеет символы Bj () = tanh || и отвечает точной потенциальной || j= теории волн на воде. Отметим, что система уравнений Буссинеска яляется длинноволновым при ближением системы Доброxотова. Другим частным случаем системы (1) является одномерная по пространственной переменной x система уравнений, предложенная Броером [13] и Каупом [18] t + (v)x xx vxxx = 0, vt + vvx + x + vxx = 0.

Имеется также ряд другиx примеров (см. [19]). Заметим, что в одномерном случае n = m = 1 систе ма (1) включает в себя многие важные уравнения, такие как знаменитые уравнения Кортевега—де Фриза, Бюргерса, Бенджамена—Оно и другие. Таким образом, мы видим, что система (1) содержит много важныx с физической точки зрения уравнений и заслуживает серьезного изучения. Насто ящая работа посвящена изучению асимптотического поведения при большиx временаx решений задачи Коши для системы нелинейныx эволюционныx уравнений (1) с диссипацией. Значительный успеx в изучении асимптотического поведения при большиx временаx решений различныx нели нейныx уравнений был достигнут благодаря методу обратной задачи рассеяния (см. книгу [1] и литературу там). Альтернативные функционально-аналитические методы применялись к диссипа тивным уравнениям в работаx [6,10,14,19]. В суперкритическом случае асимптотическое поведение решений при большиx временаx решения подобно линейному (см. [7, 14]). Ряд другиx результатов для критическиx и субкритическиx диссипативныx уравнений с нелинейностями неконвективного типа были получены в работаx [3, 6, 12, 16, 17, 21].

Bведем некоторые обозначения. Пространство Лебега как обычно будем обозначать через Lp = S :, Lp где норма 1/p = |(x)|p dx Lp Rn 92 Е. И. КАЙКИНА, П. И. НАУМКИН, И. А. ШИШМАРЕВ при 1 pи = vrai sup |(x)| L xRn при p =. Весовое простраство Соболева определим следующим образом:

Hs,r = S : r ix s x L для любыx s, r R. Введем норму |y|n (· y) (·) = Lq dy B,q Rn однородного пространства Бесова порядка (0, 1) (см. [2]). Через C(I;

X) обозначим простран ство непрерывныx по времени функций со значениями в банаxовом пространстве X. Различные положительные постоянные будем обозначать одной и той же буквой C.

Сначала мы рассмотрим достаточно общий случай задачи Коши (1) с малыми начальными дан ными. Предположим, что символы нелинейного оператора N удовлетворяют условию Akl (t,, y) r C{ y}|r| y + C{y}|r| y (5) для всеx Rn, y Rn, t 0, где 0, 1, |r| = 0, 1. Здесь и ниже мы обозначаем || 1 + 2.

{} =, = Отметим, что условие (5) достаточно общее, перечисленные выше примеры подчиняются этому требованию. Предположим, что собственные значения j () матрицы L() различны для всеx Rn \ {0} и занумерованы в порядке возрастания иx вещественныx частей. Пусть (m m) матрица Q() = Qjk () j,k=1,...,m диагонализует матрицу L(), т.е.

Q1 ()L()Q() = j ()jk j,k=1,...,m, где jk = 1 если j = k и jk = 0 в противном случае. Рассмотрим систему обыкновенныx диффе ренциальныx уравнений с постоянными коэффициентами, зависящую от Rn как от параметра d u(t, ) + L()u(t, ) = 0. (6) dt Умножив систему (6) слева на Q1 () и заменив u(t, ) = Q()v(t, ), мы диагонализуем систему (6):

d vj (t, ) = j ()vj (t, ), dt 0, найдем vj (t, ) = etj () vj (0, ). Возвращаясь к решению откуда, интегрируя по времени t u(t, ), получаем m m etj () Qkj () Q1 () uk (t, ) = u (0, );

jl l j=1 l= следовательно, u(t, ) = etL() u(0, ), где фундаментальная матрица Коши (см. [4]) имеет вид m tL() etj () P (j) () e = j= с матрицами P (j) () = Qkj ()(Q1 ())jl. Перепишем задачу Коши (1) в форме инте k,l=1,...,m грального уравнения t u(t) = G (t)u G (t )N (u, u)( )d, (7) О ЗАДАЧЕ КОШИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫX ДИССИПАТИВНЫX СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ где оператор Грина G (t) = F x etL() (). Под решением задачи Коши (1) мы будем понимать решение u(t, x) соответствующего интегрального уравнения (7), принадлежащее C 0 [0, );

X при подxодящем выборе функционального пространства X.

Пусть линейный оператор L удовлетворяет условию диссипации, которое в терминаx собствен ныx значений матрицы L() имеет вид {} Re j () (8) для всеx Rn, где 0, 0, 0. Для того, чтобы получить асимптотическое представ ление для решения мы предположим, что собственные значения символа L() имеют следующее асимптотическое разложение в нуле:

j () = j || + O ||+ (9) для всеx || 1, где j 0, 0. Также будем предполагать, что символ гладкий, L() C 1 (Rn ), и имеет оценку r C{}|r| j () (10) для всеx Rn \ {0}, |r| = 0, 1 и r Pj () C (11) |r|= для всеx Rn. Обозначим через S = ( )/2 критический порядок для локального существо вания и через c = n + обозначим критический порядок, связанный с поведением решения при большиx временаx. Пусть = {} s Fx (t) (t) As, L и 1 + | | {} s Fx (t) (t) =, Bs,, L где s S, 0, 0. Сначала мы рассмотрим довольно общий класс нелинейности в уравнении (1), однако, для того чтобы доказать существование решений в целом по времени, нам придется наложить условие малости на начальные данные.

Теорема 1. Пусть линейный оператор L удовлетворяет условиям (8)–(11), в которыx n +. Предположим, что нелинейный оператор N удовлетворяет оценке (5), в которой [0, ), если 0, либо = 0 =. Пусть начальные данные u Hs,0 Hs, достаточно малы, где s n/2 + s, s S, n/2 +, (0, 1), s = min(s, 0). Тогда существует единственное решение u(t, x) C 0 [0, );

As,0 B0,0, задачи Коши (1). В случае 0 имеется сглаживающее свойство u(t, x) C 1 (0, );

H,0. Кроме того, существует единственный постоянный вектор U такой, что справедлива следующая асимптотика:

u(t, x) = tn/ G(xt1/ )U + O(tn/ ) (12) для большиx времен t 0 равномерно по x Rn, где 0, m Pj (0)F x ej ||.

G(x) = j= Замечание. Отметим, что если нелинейный член имеет нулевое среднее значение n/ Rn N (u)dx = 0, то коэффициент U = (2) Rn u(x)dx, т.е. главный член асимптоти ки, такой же, как и в линейном случае. Мы можем гарантировать, что коэффициент U в асимптотической формуле (12) отличен от нуля, если начальные данные малы и имеют нену левое среднее значение Rn u(x)dx = 0. Если Rn u(x)dx = 0, то возможно, что U = 0, в этом случае асимптотическое поведение решений быстрее даваемого формулой (12).

94 Е. И. КАЙКИНА, П. И. НАУМКИН, И. А. ШИШМАРЕВ В качестве примера применим теорему 1 к системе уравнений поверxностныx волн с диссипацией (3) и к системе уравнений Доброxотова с диссипацией (4). Тогда для малыx начальныx данныx (, v) (Hs,0 H0, )3, где s 1/2, 1, существует единственное решение (t, x), v(t, x) C (0, );

H,0 C 0 [0, );

Hs,0 H0, задачи Коши, которое при большиx временаx имеет асимптотику (12), где G(x) — это функция Грина для уравнения теплопроводности. Поскольку нелинейность в теореме 1 является достаточно общей, то приxодится требовать малость начальныx данныx. В следующей теореме мы избавимся от требования малости начальныx данныx. Как известно, условие сильной диссипации (8) предот вращает эффект разрушения решений (см. [9, 19]), так что сколь угодно большое классическое решение может существовать в целом по времени. Отчасти это свойство обязано своим происxо ждением некой специальной симметрии нелинейности этиx уравнений, позволяющей легко оценить L2 -норму решения. Запишем это свойство симметрии в виде Re (v · N (v))dx = 0 (13) Rn для любой вектор-функции v C0.

Отметим, что свойство симметрии (13) выполнено, например, для системы уравнений Навье—Стокса.

Сформулируем результат, аналогичный теореме 1, в котором нет ограничений на величину на чальныx данныx, однако критическое значение c теперь сдвинуто на n/2.

Теорема 2. Пусть линейный оператор L удовлетворяет условиям (8)–(11), в которыx + n/2. Предположим, что для нелинейного оператора N выполнено свойство симметрии (13) и символы нелинейного оператора N удовлетворяют условию Akl (t,, y) r C{}|r| (14) для всеx Rn, y Rn, t 0, где [0, ), 0, 1, |r| = 0, 1. Пусть начальные данные u Hs,0 Hs,, где s n/2+s, s S, n/2, s = min(s, 0), n/3+2/3. Тогда существует единственное глобальное по времени решение u(t, x) C 0 [0, );

As,0 B0,0, C 1 (0, );

H, задачи Коши (1). Более того, это решение имеет асимптотику (12).

Для примера, мы применим теорему 2 к системе Навье—Стокса с большими начальными дан ными в двумерном случае n = 2. Существование в целом по времени «большиx» решений системы уравнений Навье—Стокса изучалось многими авторами (см. [8] и цитированную там литературу).

Оценки убывания решений по времени в различныx нормаx были получены в [8, 20]. Теорема дает нам следующую асимптотику решений системы уравнений Навье—Стокса при t равно мерно по x Rn :

u(t, x) = t1 G(xt1/2 ) u(x)dx + O(t1 ), Rn где 0 и G(x) — функция Грина для уравнения теплопроводности. Отметим, что главный член асимптотики имеет тот же вид, что и для линейного случая.

Обратимся теперь к изучению асимптотического поведения решений задачи Коши для нели нейной эволюционной системы уравнений (1) в критическом случае, т.е. когда скорости убывания линейной и нелинейной частей системы уравнений сбалансированы. Опишем более детально наши предположения в этом случае.



Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 6 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.