авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |

«ISSN 1512–1712 Академия Наук Грузии Институт Кибернетики СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ Том 29 ТРУДЫ ...»

-- [ Страница 4 ] --

Пусть линейный оператор L удовлетворяет условию диссипации (8). Также мы будем предпола гать выполненным условие (11). Пусть символ нелинейного оператора N удовлетворяет оценкам |Ak,l (t,, y)| C {} ( y { y} + y {y} ) (15) для всеx, y Rn, t 0, k, l = 1,..., m, где,, 0. Рассмотрим случай, когда нелинейность имеет вид полной производной, т.е. предположим, что 0. Систему (1) с таким типом нелиней ности мы будем называть системой диффузионно-конвективного типа. Мы будем интересоваться О ЗАДАЧЕ КОШИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫX ДИССИПАТИВНЫX СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ случаем ненулевой общей массы начальныx данныx Rn u(x)dx M = 0. Теперь с помощью соотношения =n++ мы определим критический в отношении глобального существования решений случай. Заметим, что в случае нулевой общей массы начальныx данныx M = Rn u(x)dx = 0 решение задачи Коши для системы уравнений (1) обретает более быстрое временное убывание n+min(1,) Ct u(t) L (см. [7]). Так что в этом случае критическое значение c = n + + + min(1, ) оказывает ся сдвинутым на величину min(1, ). Чтобы найти асимптотическое представление для решения, предположим, что собственные значения символа L() имеют следующее асимптотическое пове дение в нуле:

j () = ib(j) + j || + O ||+ (16) 1, где j 0, 0, 0, b(j) Rn. Рассмотрим нелинейность N0, имеющую для всеx || символ A0 (, y) C 1 (Rn Rn ), однородный по и y порядка +, т.е. A0 (t, ty) = t+ A0 (, y) для всеx, y Rn, t 0. Предположим, что соотношение C {} y { y}+ + y {y}+ + |A(t,, y) A0 (, y)| (17) / {} y { y} + y {y} +C t справедливо для всеx, y Rn, t 0, где,, 0,, 0. Отметим, что символ A0 (, y) также удовлетворяет оценке (15).

Рассмотрим интегральное уравнение t w(t) = G (j) (t)M 0 (x) G (j) (t )N0 (w, w)( )d, (18) где операторы Грина равны (j) t || G (j) (t) = F x eitb P (j) (0)(), j а нелинейность имеет вид m Akl (, y)wk (t, y)wl (t, y)dy, N0 (w, w) = F x k,l=1Rn 0 (x) — дельта-функция Дирака. Нетрудно доказать, что существует единственное автомодельное решение уравнения (18) в виде w(t, x) = tn/ f (x b(j) t)t1/. Определим две нормы = || (t, ) = ||s (t, ) (t), (t).

Y,p Zs,p Lp (|| 1) Lp (|| 1) Отметим, что норма Y,p отвечает за асимптотические свойства решений при большиx временаx, а норма Zs,p описывает регулярность решения.

Теорема 3. Предположим, что нелинейный оператор N удовлетворяет оценке (15) с 0, + [0, ) и соотношению (17). Пусть для символа линейного оператора L выполнены условия (8), (16) с = n + +, 0. Пусть начальные данные u таковы, что u +u +u, Y 0, Z0, Z0, где 0 достаточно мало. Также мы предположим, что u M 0, Y, 96 Е. И. КАЙКИНА, П. И. НАУМКИН, И. А. ШИШМАРЕВ 0, 1 (min(1, ))2. Тогда решение u(t, x) задачи Коши (1) стремится при большиx где временаx к суперпозиции автомодельныx решений tn/ f (j) (x b(j) t)t1/ для уравнений (18), т.е.

m n+ n/ f (j) (x b(j) t)t1/ + O t u(t, x) = t j= Rn.

для всеx t 0 равномерно по x Замечание. Условие теоремы на начальные данные u может быть также выражено в тер минаx весового прстранства Соболева следующиим образом:

u H,0 + u, H0, + Y0,p и Z0,p требования где n/2. Очевидно, что в нормаx на начальные данные u записы ваются более точно.

В качестве примера применим теорему 3 к известной системе Буссинеска с вязкостью:

t + (v)x xx + 2 vx + 2 vxxx = 0, vt + vvx + x vxx = 0, (19) а также к системе, описывающей поверxностные волны с учетом вязкости и поверxностного натя жения:

t + (v)x xx + F x L12 ()v(t, ) = 0, vt + vvx + x vxx = 0, (20) для чего мы выберем в системе (1) нелинейность i/2 A1,1 = 0, A1,2 = A2,1 = A2,2 =,, 0 i/ а линейный оператор L11 () = L22 () = 2, L12 () = i 2 (1 + 2 2 ), L21 () = i в случае системы (19) и соответственно tanh L11 () = L22 () = 2, L12 () = i 2 (1 + 2 ), L21 () = i для системы (??). Собственные значения j () даются формулами j () = 2 + i(1)j 1 + 2 и tanh j () = 2 + i(1)j (1 + 2 ) соответственно, где j = 1, 2. Таким образом, имеем n = 1, = 2, = 2, = 1, = 1, = 0, = 0, A0 (, y) = A(, y), b(j) = (1)j. Следовательно, условия (8), (11), (15), (16) и (17) выполнены.

Заметим, что решения w(j) (t, x) интегральныx уравнений (18) удовлетворяют уравнениям Бюргерса с переносом t w(j) + (1)j x (w(j) )2 + (1)j x w(j) x w(j) = 0.

(21) Благодаря подстановке Xопфа—Коула нетрудно вычислить асимптотику для w(j) (t, x) w(j) (t, x) = (t)1/2 Aj (j )) + O t1/2, (22) где Mj Mj 4 z Aj (z) = (1)j Hj (z) = eMj /2 cosh log Hj (z), sinh Erf, 3 z 2 2 z x (1)j t 2 ex dx Erf(z) = j =, t О ЗАДАЧЕ КОШИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫX ДИССИПАТИВНЫX СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ — функция ошибок, (1)j Mj (x)dx + v(x)dx 2b R R — общая масса начальныx данныx. Тогда решения (, v) задач Коши (19) и (20) имеют следующее асимптотическое представление при t равномерно по x R:

(t, x) = w1 (t, x) + w2 (t, x) + O t1/2, v(t, x) = w2 (t, x) w1 (t, x) + O t1/2, где 0, а функции w(j) (t, x) являются решениями задачи Коши для уравнения Бюргерса (21);

иx асимптотика дается формулой (22). Этот результат был получен впервые в работе [10] при несколько более жесткиx требованияx на начальные данные.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. — М.: Мир, 1987.

2. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложе ния. — М.: Наука, 1978.

3. Галактионов В. А., Курдюмов С. П., Самарский А. А. Асимптотические собственные функции задачи Коши для нелинейныx параболическиx уравнений// Мат. сб. — 1985. — 126, № 4. — С. 435–472.

4. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции. Теория дифференциальныx уравнений. Т. 3. — М.: Наука, 1967.

5. Доброxотов С. Ю. Нелокальные аналоги нелиейного уравнения Буссинеска для поверxностныx волн над неровным дном и иx асимптотические решения// Докл. АН СССР. — 1987. — 292, № 1. — С. 63–67.

6. Ильин А. М., Олейник О. А. Асимптотическое поведение решений задачи Коши для некоторыx квази линейныx уравнений при большиx значенияx времени// Мат. сб. — 1960. — 51. — С. 191–216.

7. Кайкина Е. И., Наумкин П. И., Шишмарев И. А. Об асимптотике для нелинейныx систем с диссипа цией// Докл. РАН. — 2003.

8. Ладыженская О. А. Математическая теория вязкой несжимаемой жидкости. — М.: Физматгиз, 1961.

9. Наумкин П. И., Шишмарев И. А. Асимптотика при t решений нелинейныx уравнений с немалыми начальными возмущениями// Мат. заметки. — 1996. — 59, № 6. — С. 855–864.

10. Наумкин П. И., Шишмарев И. А. Асимптотическое представление поверxностныx волн в виде двуx бегущиx волн Бюргерса// Функц. анализ и его прилож. — 1995. — 29, № 3. — С. 25–40.

11. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. — М.: Мир, 1977. 622 с.

12. Biler P., Karch G., Woyczynski W. A. Critical nonlinearity exponent and self-similar asymptotics for L vy e conservation laws// Ann. Inst. H. Poincar, Anal. Non Lin aire. — 2001. — 18, № 5. — С. 613–637.

e e 13. Broer L. J. F. Approximate equations for long water waves// Appl. Sci. Res. — 1975. — 31. — С. 377–395.

14. Dix D. B. Large-time behavior of solutions of linear dispersive equations/ Lect. Notes Math. — Berlin— Heidelberg: Springer-Verlag, 1997. — 1668.

15. Dix D. B. Temporal asymptotic behavior of solutions of the Benjamin–Ono–Burgers equation// J. Differ.

Equations. — 1991. — 90. — С. 238–287.

16. Escobedo M., Vazquez J. L., Zuazua E. A diffusion-convection equation in several space dimensions// Indiana Univ. Math. J. — 1993. — 42, № 4. — С. 1413–1440.

17. Escobedo M., Kavian O., Matano H. Large time behavior of solutions of a dissipative nonlinear heat equation// Commun. Partial Differ. Eqs. — 1994. — 20. — С. 1427–1452.

18. Kaup D. J. A higher-order water-wave equation and the method for solving it// Prog. Theor. Phys. — 1975. — 54. — С. 396–408.

19. Naumkin P. I., Shishmarev I. A. Nonlinear nonlocal equations in the theory of waves. — Providence: AMS, 1994.

20. Schonbek M. E. Lower bounds of rates of decay for solutions to the Navier–Stokes equations// J. Amer.

Math. Soc. — 1991. — 4, № 3. — С. 423–449.

21. Zuazua E. A dynamical system approach to the self similar large time behavior in scalar convection diffusion equations// J. Differ. Equations. — 1994. — 108. — С. 1–35.

Современная математика и ее приложения. Том 29 (2005). С. 98– УДК 517.956. ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОМ ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ СЛАБОЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ c 2005 г. В. А. КОНДРАТЬЕВ Рассматривается уравнение n1 n 2u u u |u|1 u = 0, + aij (x) + ai (x) (1) x2 xi xj xi n i,j=1 i= Rn1, где x = (x1,..., xn ), x = (x1,..., xn1 ) — ограниченная липшицева область, xn +, = const 1.

Предполагается, что n1 n aij (x)i j m i, i,j=1 i= R1, Rn1, где m = const 0, x коэффициенты aij (x), ai (x) — ограниченные измеримые функции.

Рассматривается решение уравнения (1) u(x) в R1 такое, что n u u x R1, aij (x) cos(n, xj ) = 0, (2) + xj i,j= где n — направление внешней нормали к.

Решение уравнения (1), удовлетворяющее условию (2), определяется как обобщенное решение в стандартном определении.

1. Введение. Ранее доказано [4], что если aij (x) ij, ai (x) 0, то всякое решение уравнения (1), удовлетворяющее условию (2), таково, что u = C (xn + T ) 1 + O(exn ), xn +, (3) 2(1 + ) где либо |C | =, либо C = 0;

= const 0 от u не зависит, T — константа, (1 ) зависящая от u.

Кроме того, C = 0 в (3) тогда и только тогда, когда u(x) меняет знак в каждой области xn N, x, N = 1, 2....

В [1] такой же результат установлен в случае, когда коэффициенты уравнения (1) зависят только от x и в случае ai (x) = 0, но aij — функции (x1,..., xn ).

2. Основной результат. Формула (3) оказывается справедливой и в случае. когда все коэффи циенты уравнения (1) зависят от (x1,..., xn ), что и является основным результатом настоящей работы.

Ведем обозначения a,b = x : x, a xn b, a = a,, a,b = x : x, a xn b, a = a,.

Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ 03-01-00138 и INTAS 03-51-5007.

c Ин-т кибернетики АН Грузии, ISSN 1512– ОБ АСИМПТОТИКЕ РЕШЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Напомним определение обобщенного решения уравнения (1) в 0, удовлетворяющего условию (2) на 0. Такое решение есть функция u(x) W2 (0,a ) L (0,a ) при любом a 0 такая, что каковы бы ни были a1, a2, 0 a1 a2, если (x) W2 (a1,a2 ) |xn =a1 = |xn =a2 = 0, то n1 n u u u |u|1 u dx, dx aij (x) dx + ai dx = xn xn xj xi xi a1,a2 i,j=1 a1,a2 i= a1,a2 a1,a dx = dx1... dxn.

Заметим, что всякое обобщенное решение уравнения (1), удовлетворяющее условию (2), непре рывно в каждой области a,b, 0 a b. Это следует из теории регулярности слабых решений линейных эллиптических уравнений [3].

Теорема 1. Если u(x) — решение уравнения (1) в 0, удовлетворяющее условию (2) на 0, то имеет место формула (3).

Доказательству теоремы 1 будет предшествовать исследование линейных задач.

3. Некоторые свойства линейных уравнений. Рассмотрим уравнение n1 n 2u u + aji (x) (ai u) = 0. (4) x2 xi xj xi n i,j=1 i= Теорема 2. Существует решение k(x) уравнения (4) в,+ такое, что n k ai k cos(n, xi ) = 0, x,+, (5) i= где n k k aji cos(n, xi ), xj i,j= n — единичный вектор внешней нормали к, |k(x)|2 dx.

0 m1 k(x) m2,,+ Доказательство теоремы 2. Решение уравнения (4), удовлетворяющее условию (3), определяется как функция u(x) W2 (T,T ) при любом T 0 такая, что n1 n u + u aji dx + ai uxi dx = xn xn xj xi i,j=1 i= T,T T,T какова бы ни была (x) W2 (T,T ), равная нулю при xn = ±T.

Пусть uN (x) — решения уравнения (4) в N,N, удовлетворяющее условию (5) на N,N, N и такое, что uN = 0. (6) xn xn =±N Такое решение uN (x) 0 существует, ибо задача (4)–(6) является сопряженной к задаче Неймана для уравнения n1 n 2u u u Lu + aij (x) + ai (x) = 0, x N,N.

x2 xi xj xi n i,j=1 i= Уравнение Lu = 0 имеет нетривиальное решение u(x) 1, которое удовлетворяет однородному краевому условию Неймана на N,N, следовательно, по теореме Фредгольма задача (4)–(6) имеет нетривиальное решение uN (x), которое непрерывно в N,N и положительно [3].

100 В. А. КОНДРАТЬЕВ Будем считать, что (mes )1 uN (, 0)d = 1.

x x (7) Из неравенства Харнака следует, что последовательность uN (x) равномерно ограничена в каждой области a,a, N 2a. Применяя метод диагонализации, можно найти подпоследовательность последовательности uN (x), которая равномерно сходится в каждой области a,a к некоторой функции u(x), которая является решением уравнения (4) в,+, удовлетворяет условию (5) и положительна в,+.

Покажем, что (mes )1 u(x)d = 1, x xn +. (8) Для этого достаточно доказать, что (mes )1 uN (x)d = x при любом N 1 и |xn | N.

Зафиксируем t, |t| N, и положим (x) = 1, N xn t, (x) 0 при xn t +, xn (x) = при t xn t +, 0.

Согласно определению решения уравнения (4) в N,N, удовлетворяющему условию (5) на N,N и условию (6), имеем n1 n uN uN dx aji dx + uN dx = xn xn xj xi xi i,j=1 i= N,N N,N N,N или 1 uN dx = 0.

xn t,t+ Это означает, что uN (x)d = x xn при почти всех xn, т.е.

uN (x)d = const x и в силу (7) имеет место неравенство (8).

Из (8) и из неравенства Харнака следует, что m1 u(x) m2, m1, m2 = const 0. Из ограниченности u(x) и из неравенства Каччиополи [2] получаем, что | grad u(x)|2 dx C.

,+ Итак, построено решение, удовлетворяющее всем требованиям теоремы 2. Всюду в дальнейшем будем обозначать его k(x).

Введем обозначение u(xn ) = u(x)k(x)d.

x ОБ АСИМПТОТИКЕ РЕШЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 4. Нелинейная задача. Во-первых докажем, что всякое решение уравнения (1), удовлетворя ющее (2), имеет нулевой предел при xn + равномерно в. Допустим противное, т.е. что существует = const 0 и последовательность (k, xk ) такая, что xk + при k + и x u(k, xk ).

x Рассмотрим уравнение y (xn ) = y (xn ) и его решения yk (x) такие, что yk (xk ) = /2, yk (xk ) = 0.

Это обыкновенное дифференциальное уравнение легко интегрируется и оказывается, что yk (xn ) при lk0 xn lk1, lim yk (xn ) = +, lim yk (xn ) = +.

xn lk1 0 xn lk0 + Функция y(xn ) является частным решением уравнения (1), которое удовлетворяет краевому усло вию (2). Из принципа максимума следует, что u(x) yk (xn ) в lk0,lk1, в частности, = u(n, xn ) x /2, что является противоречием.

Итак, всякое решение уравнения (1) в 0, удовлетворяющее (2) на 0, имеет нулевой предел при xn + равномерно в.

Так как функция C xn также является решением (1), удовлетворяющим (2), то согласно принципу максимума |u(x)| C xn, xn 0, x.

(9) Из (9) и из неравенства Каччиополи [2] следует, что 1+ C 2 1, | grad u|2 dx xn + а отсюда и из оценок для k(x), k(x) из теоремы 2 получаем u 1+ C1 2 1.

dxn (10) xn xn + 5. Доказательство основной теоремы. Прежде всего заметим, что из определения обобщенного решения уравнения, удовлетворяющего условию (2), следует, что если (x) W2,loc (0 ), то при почти всех t1, t2, 0 t1 t2, u u u d x d x dx xn xn xn xn t1,t x x xn =t2 xn =t (11) n1 n u u |u|1 udx aij dx + ai (x) dx = xj xi xi t1,t2 i,j=1 t1,t2 i=1 t1,t Аналогично, так как k(x) — обобщенное решение уравнения (4), удовлетворяющее условию (5), то k k k d x d x dx xn xn xn xn t1,t x x xn =t2 xn =t (12) n1 n k aij dx + ai kxi dx = xi xj i,j=1 i= t1,t2 t1,t при любой (x) W2,loc (0 ) и при почти всех t1, t2, 0 t1 t2.

102 В. А. КОНДРАТЬЕВ Положим в (11) = k(u u). Получим (u u) (u u) k(u u) d x k(u u) d x xn xn x x xn =t2 xn =t n k(u u) (u u) dx aij k(u u) (u u)dx+ (13) xn xn xi xj i,j= t1,t2 t1,t n k(u u)(|u|1 u |u|1 u)dx = 0.

+ ai k(u u)((u u)xi dx = i=1 t1,t t1,t При этом учитывалось, что du du kudx u = 0, k(u u) d = x dxn dxn k(u u) du du · d = x · k(u u)d = 0, x xn dxn dxn xn k(u u) · |u|1 ud = u1 u x k(u u)d = 0.

x Из (13) следует (u u)2 (u u) 1 1 (u u) k(x) d x k d x k dx 2 xn 2 xn xn t1,t x x xn =t2 xn =t n k (u u) 1 (u u) (u u) dx aij k dx 2 xn xn xi xj i,j= t1,t (14) t1,t n1 n u)2 u) 1 k (u 1 (u aij dx + ai k dx 2 xi xj 2 xn i,j=1 i= t1,t t1,t k(u u)(|u|1 u |u|1 u)dx = 0.

t1,t Положим в (12) = 1 (u u)2. В результате получим n1 n k (u u)2 k (u u)2 (u u) 1 1 dx aij dx + ai k dx = 2 xn xn 2 xi xj 2 xi i,j=1 i= t1,t2 t1,t2 t1,t (15) u) 1 k k (u (u u)2 d + = x d.

x 2 xn xn x x xn =t2 xn =t Из (14), (15) следует n (u u) 2 (u u) (u u) k(u u)(|u|1 u |u|1 u)dx = k dx + aij dx + xn xi xj i,j= t1,t2 t1,t t1,t ОБ АСИМПТОТИКЕ РЕШЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ (u u)2 (u u) 1 1 1 k 1 k (u u)2 d + (u u)2 d.

= k d x k d x x x 2 xn 2 xn 2 xn 2 xn x x x x xn =t2 xn =t1 xn =t2 xn =t Устремив t2 к, получим, (учитывая (9), (10)) n (u u) 2 (u u) (u u) k(u u)(|u|1 u |u|1 u)dx = k dx + kaij dx + xn xi xj i,j= t t t 1 k (u u) (u u)2 d = x k(u u) d = x (16) 2 xn xn xn =t xn =t 1 k(u u)2 d (u u)2 d.

= x k x 2 xn xn xn =t xn =t Пусть n (u u) (u u) (u u) k(u u)(|u|1 u |u|1 u)dx.

J(t) = k dx + kaij dx + xn xi xj i,j= t t t Из (16) получим (после интегрирования функции J(t)) 1 k(u u)2 d (u u)2 d F ( ) = J(t)dt x k x J( ).

2 xn xn Таким образом, C1 et.

F ( ) + F ( ) 0, F (t) Заметим, что 2t Cet.

F (t) J(t)dt tJ(2t) = J(t) t Функция u(xn ) является решением некоторого обыкновенного дифференциального уравнения вто рого порядка. В самом деле, du k u = ud + k x d.

x dxn xn xn Пусть (xn ) C (R+ ). Имеем + d du k u k u k dxn = dx 2 dx + dx = dxn dxn xn xn xn xn xn xn 0 0 n1 n k u u k u = aji dx + ai k dx 2 dx xi xj xi xn xn i,j=1 i=1 0 n1 n u u k|u|1 udx = aij dx ai k dx xi xj xi i,j=1 i=1 0 n k (u u) k (u u) k du = (aij + aji )(xn ) dx 2 dx + 2 dx xi xj xn xn xn dxn i,j=1 0 k|u|1 u dx + |u|1 u dx |u|1 u dx.

0 0 104 В. А. КОНДРАТЬЕВ Введем обозначение n k (u u) k (u u) [k|u|1 u k|u|1 |u|]d.

(xn ) = (aij + aji ) d x d + x x xi xj xn xn i,j=1 Заметим, что k du k du d = x dx = 0.

xn dxn xxn dxn Кроме того, exn 2 (xn )dxn при некотором 0, т.е. u(xn ) является обобщенным решением обыкновенного дифференциаль ного уравнения d2 u = (xn ) + |u|1 u, (17) dx2n где 2 (xn )exn при некотором 0.

В [1] доказано, что если u(xn ) — решение дифференциального уравнения (17) такое, что lim u(xn ) = 0, xn + то u = u0 (xn ) + O(exn ), где u0 — некоторое решение уравнения d2 u = |u0 |1 u0, dx2 n 1+ т.е. либо u0 = C(xn + T ) 1, где |C| =, либо u0 0. Это означает, что справедлива (1 ) формула (2), т.е. теорема 1 доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Егоров Ю. В., Кондратьев В. А., Олейник О. А. Асимптотическое поведение решений нелинейных эллиптических и параболических систем в цилиндрических областях// Мат. сб. — 1998, 189, № 3. — С. 45–68.

2. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. — М.: Наука, 1973.

3. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. — М.: Наука, 1989.

4. Kondratiev V. A., Oleinik O. A. Boundary-value problems for nonlinear elliptic equations in cylindrical domains// J. Partial Differ. Equations. — 1993. — 6, № 1. — С. 10–16.

5. Oleinik O. A. Some asymptotic problems in the theory of partial differential equations. — Academia Nazionale del Lincei, 1996.

В. А. Кондратьев Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова E-mail: vla-kondratiev@yandex.ru Современная математика и ее приложения. Том 29 (2005). С. 105– УДК 517.956. ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ c 2005 г. В. А. КОНДРАТЬЕВ Рассматривается уравнение n n 2u u u = aij (x) + ai (x) + f (x, t, u), (1) t xi xj xi i,j=1 i= где x = (x1,..., xn ), — ограниченная область с границей из C 2,, 0, n m1 ||2 m2 ||2, Rn, ai,j (x)i j m1, m2 = const 0.

i,j= Будем обозначать a,b = {(x, t) : x, a t b}, a,b = {(x, t) : x, a t b}, a = a,, a = a,, — граница области.

Предполагается, что коэффициенты aij (x), ai (x), i = 1,..., n, — гельдеровы функции в. Функ ция f (x, t, u) удовлетворяет условию Гельдера по x, t в каждой области 0,T не убывает по u, имеет f f f производную, причем f (x, t, 0) (x, t, 0) = 0, и непрерывна по u равномерно в 0.

u u u Рассматриваются краевые условия n u u = aij vj = 0, x, (2) v xj i,j= причем векторное поле v C 2 () и нигде не касается или u = 0, x. (3) Если (x) — гладкая функция, удовлетворяющая условиям согласования, то (см. [5]) существуют решения задач (1), (2) и (1), (3) в некоторой области 0,a такие, что u = (x). (4) t= В качестве решения всегда понимается классическое решение. Решение каждой из задач (1), (2), (3) и (1), (2), (4) либо существует во всей области 0, либо lim max |u(x, t)| = + (5) tT 0 при некотором T = const [4].

Легко показать, используя принцип максимума [4], что если f (x, t, u) = |u|q1 u, q = const 1, (x) 0, (x) 0, u(x, t) — решение задачи (1), (2), (4), то имеет место (5). В то же время, задача (1), (2), (4) может иметь решение во всей области 0. Будет показано, что если u(x, t) — решение уравнения (1) в 0 — удовлетворяет условию (2) на 0 и lim u(x, t) = 0, (6) t то Cet, |u(x, t)| = const 0, (7) Работа выполнена при поддержке программы (Университеты России N 015).

c Ин-т кибернетики АН Грузии, ISSN 1512– 106 В. А. КОНДРАТЬЕВ где от u не зависит. Будет также доказано существование решений уравнения (1) в 0, удовле творяющих условию (2) на 0 и имеющих нулевой предел при t +. Заметим, что уравнение (1) может иметь кроме решений, удовлетворяющих условиям (2), (5) или (2), (6), другие реше ния, например, решения вида u(x, t) u(x), если f (x, t, u) не зависит от t. Будет показано также (теорема 3), что если u(x, t) решение задачи (1), (3), (4), где f (x, t, u) = |u|q1 u, q 1, (x) и (x) «не слишком мала», то имеет место «взрыв», т.е. справедливо (5). В противном же слу чае, т.е. если |(x)| достаточно мал, то имеют место соотношения (6), (7). Далее будут найдены некоторые достаточные условия на f (x, t, u), при которых любое решение задачи (1), (3), (4) с (x) 0, (x) 0 имеет «взрыв» (без других ограничений на (x)). Эти условия состоят в требовании, чтобы f (x, t, u) достаточно быстро росла при t +, и являются точными.

Сначала изложим ряд свойств (в основном известных) решений линейных задач, которые необ ходимы при исследовании нелинейного уравнения (1).

Предложение 1. Рассмотрим линейное параболическое уравнение n n 2u u u u Lu ai,j (x) + ai (x) = F (x, t), (x, t),+, (8) t xi xj xi t i,j=1 i= с краевым условием (2) на,+. Пусть |F |2 e2ht dx dt, dx = dx1... dxn, h = const,,+ h таково, что на прямой Im = h нет точек спектра задачи u Lu iu = 0, x, = 0, x. (9) v Тогда уравнение (8) имеет единственное решение в,+, удовлетворяющее условию (2) на,+ такое, что n e2ht u2 + u2 + u2 i dxdt Jh (u) = t x i=,+ и при этом e2ht F 2 dx dt.

Jh (u) C (10),+ Это утверждение в значительно более общем виде доказано в [6,8]. Оно может быть установлено с помощью преобразования Фурье по t:

+ eit u(t)dt.

u= Предложение 1 справедливо в случае, когда aij (x) непрерывны, ai (x) ограничены в.

Предложение 2. Рассмотрим уравнение u Lu + Q(x, t)u = F (x, t), (11) t где |F |2 e2ht dx dt,,+ h = const таково, что на прямой Im = h нет точек спектра задачи (9). Существует (которое не зависит от F ) такое, что если |Q(x, t)|, (x, t),+, ОБ АСИМПТОТИКЕ РЕШЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ то уравнение (8) имеет единственное решение в 0, удовлетворяющее условию (2) на,+ и такое, что Jh (u) и при этом имеет место неравенство (7).

Предложение 2 есть следствие предложения 1 и теоремы Банаха об обратимости оператора, мало отличающегося по норме от обратимого.

Предложение 3. Рассмотрим уравнение (5) в,+. Пусть F 0 в,a и решение u(x, t) уравнения (8) удовлетворяет условию (2) на,a и таково, что n n 2u e2ht u2 + u2 + dx dt, u2 + Jh,a = t i xi xj i=1 i,j=,a где h 0 таково, что в полуплоскости Im h есть только одно собственное значение задачи (6) = 0. Тогда u A в,0.

Действительно, из теоремы о поведении при t решений дифференциальных уравнений в банаховых пространствах [6] следует, что u = A + u1, где A = const, а n n e2ht u2 + u2 + u2 i xj dx dt.

u2 i + t x x i=1 i,j=,a Отсюда и из внутренних оценок решений линейных параболических задач (см. [5]) max |u2 (x, )| u2 dx dt, C a 2, 1, + получаем Ceht, |u1 | t a 3.

Это означает, что lim u1 = 0.

t Из принципа максимума следует, что u1 0.

Следующая лемма есть хорошо известное утверждение [1, 3].

Лемма 1. Существует положительное собственное значение задачи n n 2u u L1 u + u = aij (x) + ai (x) + u = 0, x, xi xj xi (12) i,j=1 i= u = 0, x, которому соответствует положительная собственная функция. Это собственное значение простое.

Рассмотрим следующую эллиптическую задачу на собственные значения:

L u + u = 0, x, (13) u = 0, x, где n n 2u u L u L1 u + a0 (x)u aij (x) + ai (x) + a0 (x)u, xi xj xi i,j=1 i= a0 (x) 0, a0 (x) 0, a0 (x) удовлетворяет условию Гельдера.

108 В. А. КОНДРАТЬЕВ Лемма 2. Существует отрицательное собственное значение задачи (13), которому соот ветствует положительная в собственная функция.

Доказательство. Пусть u(x, ) — решение уравнения L1 u + a0 (x)u + u = 1, (14) удовлетворяющее краевому условию u = 0, x. (15) Если 0 достаточно велико по модулю, то решение задачи (14), (15) существует и положительно в.

Обозначим через E множество действительных чисел таких, что задача (14), (15) имеет положительное в решение. Это непустое множество. Оно не содержит точек спектра задачи (13). В самом деле, пусть E и является собственным значением задачи (13). Пусть u (x) — соответствующая ему собственная функция. Будем считать, что u(x0 ) 0 в некоторой точке x.

Пусть u (x) M = max.

u(x, ) Функция v(x) = M u(x, ) u (x) неотрицательна в, причем v(x ) = 0, где x. Точка x — это u (x) та точка, где принимает значение M. Эта точка не может быть внутренней в силу принципа u(x, ) максимума. Она не может быть и граничной в силу классической леммы о знаке производной реше ния эллиптического уравнения по внутреннему направлению (см. [2]). Полученное противоречие доказывает, что E не может быть точкой спектра задачи (13). Это означает, что E — открытое множество, и u(x, ) — непрерывная функция равномерно по x. Если 0, то E в / силу строгого принципа максимума. Таким образом, = sup E 0. Пусть m E, m = 1, 2,..., lim m =. Предположим, что последовательность max u(x, m ) ограничена сверху. Тогда она m компактна в C 2 () и функция w(x) — предел какой-либо ее подпоследовательности в C 2 () — есть решение задачи (14), (15) при = и w(x) 0 в. Это означает, что E, что невозможно, так как E открытое. Следовательно, lim max u(x, m ) =. Рассмотрим последовательность m u(x, m ) vm =.

max u(x, m ) Эта последовательность ограничена в, и каждая функция vm есть решение уравнения u(x, m ) L vm + m vm =, max u(x, m ) удовлетворяющее краевому условию (15). Существует некоторая подпоследовательность последо вательности vm, которая сходится равномерно в C 2 () к функции U (x) C 2 (), U (x) 0, которая является решением уравнения L U + U = 0 и удовлетворяет (15). Таким образом, U (x) 0— собственная функция задачи (14), (15). В силу строгого принципа максимума U (x) 0 в.

Переходим к изучению нелинейного уравнения (1).

Теорема 1. Пусть f (x, t, u) a0 (t) M, u f, fu непрерывны по u при |u| 1, (x, t) 0, где a0 (t) 0, a0 (t)dt, ОБ АСИМПТОТИКЕ РЕШЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ a0 (t) — непрерывная ограниченная функция, f (x, t, 0) = fu (x, t, 0) = 0. Если решение u(x, t) урав нения в 0 удовлетворяет условию (2) на 0 и lim u(x, t) = 0, то t+ Cet, |u(x, t)| = const 0, где C = const от u не зависит.

Доказательство. Пусть T = const 0, (t) C (R1 ), (t) 0 при t T, (t) 1 при t T +1.

Функция v = u является решением линейного уравнения v v Lv L1 v + Q(x, t)v = (t)u, (x, t),+, (16) t t где f (x, t, u) Q(x, t) = u и v удовлетворяет краевому условию (2) на,+. Функцию Q(x, t) доопределяем нулем при t T. Так как lim u(x, t) = 0, t+ то |Q(x, t)| (T ), (x, t),+, где lim (T ) = 0.

T Уравнение (16) есть специальный случай уравнения (11) с правой частью F (t) = Q (t)u, которая имеет компактный носитель и принадлежит L2 (,+ ). Следовательно, существует решение v1 (x, t) уравнения (16) в,+, удовлетворяющее (2) на,+ и такое, что n n e2ht v1 v1xi xj dx dt, 2 2 2 + v1t + v1xi + (17) i=1 i,j=,+ если в полуплоскости Im h имеется только нулевое собственное значение задачи (9).

Пусть z = v v1. Тогда z z Lz = 0, (x, t),+, = 0, (x, t),+.

t Оператор L введен в формуле (12). При t 0 функция Q(x, t) обращается в нуль и L L.

Следовательно, для z(x, t) справедливо предложение 3, откуда следует, что z A, A = const, в,a. Если A = 0, то z 0 в силу принципа максимума. В таком случае v v1. Из (17) и из оценок решений линейных параболических задач [5] следует Ceht, |v| = |v1 | t T 1.

Это и есть нужный результат, так как u v при t T + 1.

Рассмотрим случай A = 0, например, A 0. Пусть t u1 = C exp a0 ( )d, t0 1.

t Можно взять C настолько малой, что z u1, x, t = t0, ибо z(x, t) — непрерывная положительная функция в,+. Так как ut z Lu1 0, Lz = 0, (x, t) t0, t t 110 В. А. КОНДРАТЬЕВ при t0 таком большом, что |f (u)| u в t0 и u1 z = 0, = 0, (x, t) t0, z 0, (x, t0 ), то z u1 в t0 при t0 настолько большом, что |f (u)| u в t0 и u1 z = 0, = 0, (x, t) t0, z 0, (x, t0 ), то z u1 в t0. Так как a0 ( )d, t то z u1 c1 = const 0. В то же время z = v v1, где lim v = 0, lim v1 = 0.

t+ t+ Противоречие, из которого следует, что A = 0 и, следовательно, v = v1. Из оценок решений линейных параболических уравнений и из (17) следует 2 c2 e2h e2h v1 dx dt c3 e2h.

v1 (x, ) c v1 dx dt 1, +1 Таким образом, c4 eh, ceht.

|v1 (x, )| |u(x, t)| Теорема 1 доказана.

Заметим, что утверждение теоремы 1 неверно при нарушении условия a0 (t)dt.

Докажем теперь существование решений уравнения (1), удовлетворяющих условию (2) и имею щих нулевой предел при t.

Теорема 2. Пусть C(1 + tm )|u|q, |f (x, t, u)| q = const 1, (x, t) 0.

Каково бы ни было h 0, существует решение уравнения (1), удовлетворяющее условию (2) на T и такое, что |u| C1 eht, (x, t) T.

Доказательство. Зафиксируем h 0, k 0, T 0 и рассмотрим класс K непрерывных в,+ функций w(x, t), равных нулю при t T и таких, что keht, |w| (x, t),+.

Множество K есть подмножество банахова пространства непрерывных в,+ функций с нор мой w = sup |weht |.

,+ C (R1 ), Пусть (t) (t) 0 при t T, (t) 1 при t T + 1. Каждому элементу w K поставим в соответствие решение уравнения z Lz + (t)f (x, t, w) = 0, (18) t удовлетворяющее условию z = 0, (x, t),+ ОБ АСИМПТОТИКЕ РЕШЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ и такое, что n e2h t z 2 + zt + 2 Jh (z) = zxi dx dt, i=,+ где h h таково, что на прямой Im = h нет точек спектра задачи (13). Такое решение суще ствует, единственно и e2h t a2 2 (t)f (x, t, w) dx dt e2h t (1 + t2m )e2qht dx dt Jh (z) C C1 T,,+ T где T 0 при T, если h h, но достаточно близко к h. Из оценок решений линейных параболических уравнений [5] следует, что |z(x, )|2 z 2 dx dt + C max |f (x, t, w)|2 CT e2h, C (19) 1, + 1, + причем T 0 при T.

Определим оператор H на K, положив H w = Q(t)z, w K. В силу (19) H переводит K в себя, если T достаточно велико. Покажем, что оператор H вполне непрерывный. Это следует из (19) и из теоремы о принадлежности пространству Гельдера решений линейных параболических задач в a,+a при любом a [5]. Из теоремы Лере—Шаудера [7] о неподвижной точке следует, что оператор H имеет неподвижную точку z. Функция z(x, t) является искомой.

Переходим к рассмотрению решений уравнения (1), удовлетворяющих краевому условию (3) на 0.

(c1 + c2 tm )|u|, 1. Существует = const 0 такая, что Теорема 3. Пусть |f (x, t, u)| если |(x)|, то решение задачи (1), (3), (4) существует в 0 и Cet, |u(x, t)| = const 0 от u не зависит.

Доказательство. Пусть BR, где BR = {x : |x| R}. Пусть v 0 в BR — собственная функция задачи (13), соответствующая положительному собственному значению 1. Рассмотрим функцию V (x, t) = e1 t/2 v(x).

Легко видеть, что Vt LV f (x, t, V ) = 1 v(x)e1 t/2 f (x, t, V ) 1 (20) 1 t/ (c1 + c2 tm ) e1 t/2 v 0, 1 ve (x, t) 0, V 0, (x, t) 0, если 0 достаточно мало. Из неравенства (20) и из принципа максимума следует, что ce1 t/2, |u| V если |(x)| = min v(x). Теорема доказана.

Теорема 3 утверждает, что каждые достаточно малые при t = 0 решения задачи (1), (3) име ют нулевой предел при t +. Нетрудно доказать, что если решение достаточно большое в начальный момент, то оно «взрывается» за конечное время, т.е. существует T = const такая, что lim max u(x, t) = +.

tT 0 x 112 В. А. КОНДРАТЬЕВ a0 (x)u, где a0 (x) Теорема 4. Если f (x, t, u) не убывает по u при u 0, f (x, t, u) 0, a(x) 0 — непрерывная функция и = const 1, то найдутся H = const 0 и подобласть области такие, что при u(x, 0) H, x, то существует T = const 0 такая, что lim max u(x, t) = +.

tT 0 x СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Асланян А. Г., Лидский В. Б. О спектре эллиптического уравнения// Мат. заметки. — 1970. — 7, № 4. — С. 495–502.

2. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. — М.: Мир, 1989.

3. Красносельский М. А. Положительные решения операторных уравнений. — М.: Мир, 1962.

4. Самарский А. А., Галактионов В. А., Курдюмов С. П., Михайлов А. П. Режимы с обострениями для квазилинейных параболических уравнений. — М.: Наука, 1987.

5. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. — М.: Мир, 1968.

6. Agmon S., Nirenberg L. Properties of solutions of ordinary differential equations in Banach space// Commun.

Pure Appl. Math. — 1963. — 16. — С. 121–239.

7. Courant R., Hilbert D. Methoden der mathematischen Physic. — Springer-Verlag, 1931.

8. Pazy A. Asymptotic expansions of solutions of ordinary differential equations in Hilbert space// Arch. Rat.

Mech. Anal. — 1967. — 24. — С. 193–218.

В. А. Кондратьев Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова E-mail: vla-kondratiev@yandex.ru Современная математика и ее приложения. Том 29 (2005). С. 113– УДК 517. О РАВНОСХОДИМОСТИ СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ c 2005 г. В. В. КОРНЕВ, А. П. ХРОМОВ АННОТАЦИЯ. В статье даются простые достаточные условия на ядро самосопряженного интегрального оператора, обеспечивающие равносходимость разложений по собственным и присоединенным функци ям и в обычный тригонометрический ряд Фурье. Приведенные рассуждения исправляют недостатки, допущенные в [3].

Пусть A — интегральный оператор Af = A(x, t)f (t) dt, x [0, 1], (1) с симметричным ядром: A(x, t) = A(t, x). Кроме того, предположим, что выполняются следующие условия:

а) при некотором натуральном n производные s+j Axs tj = A(x, t), s, j = 0,..., n, xs tj непрерывны при t x и t x (см. [3]);

б) скачки ps,j (t) = Axs tj = Axs tj (x, t) Axs tj (x, t)|x=t t=x x=t+ C n1j [0, 1], принадлежат j = 0,..., n 1);

в) 0 не является собственным значением оператора A;

г) имеет место соотношение = in j,n1, Axj j = 0,..., n, (2) t=x где j,k — символ Кронекера;

д) вариация Varx Axn (x, t) ограничена по t.

Теорема 1 (см. [3]). При выполнении условий а)–д) существует такая последовательность номеров {kl }, что для всякой функции f (x) L[0, 1] и любого (0, 1/2) lim Skl (f ) l (f ) = 0, C[,1] l где Sk (f ) и k (f ) — частные суммы рядов Фурье функции f (x) по собственным и присоединен ным функциям оператора A и обычной тригонометрической системе (k — число членов).

К сожалению, доказательство этой теоремы приведено лишь для случая, когда A1 y = (in E + N )(y (n) + y) (3) (см. [3, с. 401]), где E — единичный оператор, N — интегральный оператор Nf = N (x, t)f (t) dt, Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект №00-01-00075) и программы «Ведущие научные школы» (проект №00-15-96123).

c Ин-т кибернетики АН Грузии, ISSN 1512– 114 В. В. КОРНЕВ, А. П. ХРОМОВ — некоторый комплексный параметр, в то время как в общем случае в силу [3, теорема 2] вместо y (n) + y (4) надо брать y (n) + a1 y (n1) + · · · + an y, (5) где ai — константы. Рассуждение, приведенное в [3, с. 380], предполагает, что оператор (4) с условиями Uj (y) = 0, j = 1,..., n, где Uj (y) — линейные формы относительно y(0),..., y (n1) (0), y(1),..., y (n1) (1), обратим, в то время как это не всегда выполняется. Так, оператор y + y, y (0) + y (1) = y(0) + y(1) = 0, не обратим ни при каком. И поэтому не всегда возможно сведение (5) к (4) в выражении для A1.

В этой статье мы приводим новое видоизмененное доказательство теоремы 1, лишенное дан ного недостатка. Существенным моментом является доказательство регулярности по Биркгофу (см. [2, с. 66]) краевых условий произвольного дифференциального оператора при условии, что главные части (т.е. содержащие лишь старшие производные) нормированных сопряженных крае вых условий совпадают с таковыми для краевых условий исходного оператора. Этот факт можно рассматривать как положительный ответ на обобщенную гипотезу Камке. Гипотеза Камке состо яла в утверждении регулярности самосопряженных краевых условий. Ее положительное решение было дано в работах [1, 4]. Нам удалось в случае обобщенной гипотезы Камке получить те же са мые основные соотношения, что и в [1,4], которые приводят к утверждению регулярности краевых условий.

1. Обобщенная гипотеза Камке. Рассмотрим произвольное дифференциальное выражение l[y] = y (n) + p1 (x)y (n1) + · · · + pn (x)y, pk (x) C nk [0, 1] (6) и нормированные (см. [2, c. 66]) краевые условия Uj (y) = 0, j = 1,..., n. (7) Обозначим через Vj (z) = 0, j = 1,..., n, (8) сопряженные (также нормированные) краевые условия относительно дифференциального выраже ния (6), т.е. если y(x) удовлетворяет (7), а z(x) удовлетворяет (8), то (l[y], z) = (y, l [z]), (9) где (f, g) = f (x)g(x) dx l [z] — сопряженное и дифференциальное выражение. Более того, если (9) выполняется для всех y(x), удовлетворяющих (7), то z(x) удовлетворяет (8).

Теорема 2. Если главные части форм Uj (y) (т.е. части, содержащие лишь старшие произ водные) и Vj (y) совпадают, то краевые условия (7) регулярны.

Доказательство. Краевые условия (7) запишем в матричном виде:

B y = 0, (10) где B — (n 2n)-матрица ранга n и T y = y(0),..., y (n1) (0), y(1),..., y (n1) (1) (T — знак знак транспонирования). Нам потребуется следующая блочная запись матрицы B, при веденная в [4]:

B = (B0, B1 ), (11) О РАВНОСХОДИМОСТИ СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ где b0 b 0... 0 0... 0 0 b0... b1...

1 B0 =, B1 =.

....

X 0 X..

b0 b n1 n Структура матриц B0 и B1 требует пояснения. Рассмотрим, например, b0 n1 и bn1. Может слу (n1) (0) и y (n1) (1).

читься, что после нормировки в краевых условиях не будут присутствовать y В этом случае будут отсутствовать и b0 и b1 и считаем rank(b0, b1 ) = 0. Если после нор n1 n1 n1 n мировки производные y (n1) (0) и (или) y (n1) (1) будут только в последнем краевом условии, то тогда b0 1 0 1 (n1) (0) n1 и bn1 будут скалярными и rank(bn1, bn1 ) = 1. Если же после нормировки y (n1) (1) присутствуют в двух последних краевых условиях, то b0 иy n1 и bn1 надо понимать как двумерные вектор-столбцы, причем rank(bn1, bn1 ) = 2. Так же обстоит дело и с другими b0 и b1.

0 i i Таким образом, имеем дело с блочной записью матрицы B.

По формуле Лагранжа (см. [2, c. 17]) имеем (l[y], z) = (, z ) + (y, l [z]), y(x), z(x) C n [0, 1].

y Здесь (, z ) — скалярное произведение в E 2n, y T z = z(0),..., z (n1) (0), z(1),..., z (n1) (1), а матрица имеет следующий вид:

0 =, 0 где X X 0 1 0 = 1 =...................,...................

(1)n 0... 0 (1)n1 0... являются квадратными, в которых на побочной диагонали стоят +1 или 1, под диагональю — нули, а элементы выше этой диагонали нас не интересуют. Тогда 0... 0 (1)n 0... 0 (1)n................... 1 0, 1 =..................., 1 = 1 = 1, 0 0 1 0 0 1 X 1 X (12) т.е. 1 и 1 имеют ту же структуру, что и 0, 1, но только теперь нули будут стоять над 0 побочной диагональю.

Обозначим через S множество векторов y, удовлетворяющих (10). Запишем сопряженные крае вые условия в матричном виде:

D = 0, z (13) векторов z, удовлетворяющих (13), есть где D — (n 2n)-матрица ранга n. Тогда множество S n-мерное пространство, ортогональное S. Так как S = { | B1 u = 0}, то базисом в S u 1 ), т.е. z S тогда и только тогда, когда z = (B1 ), где — будут столбцы матрицы (B произвольный вектор из E n. Аналогично из (13) следует, что базис в S состоит из столбцов матрицы D, т.е. y S тогда и только тогда, когда y = D, где — произвольный вектор из E n. Поэтому мы имеем 0 = (D, (B1 ) ) = (B1 D, ).

Отсюда в силу произвольности и следует, что B1 D = 0. (14) 116 В. В. КОРНЕВ, А. П. ХРОМОВ Запишем D так же, как и B, в блочном виде:

D = (D0, D1 ), (15) где d0 d 0... 0 0... 0 0 d0... d1...

1 D0 =, D1 =.

....

X 0 X..

d0 d n1 n Пусть D имеет ту же блочную структуру, что и B. Тогда из (11), (12) и (15) так же, как и в [4], получаем 0... (1)n1 (b1 (d1 ) b0 (d0 ) ) 0 0 n1 0 n B1 D =...............................................................

b1 (d1 ) b0 (d0 ) X n1 0 n1 Поэтому из (14), в частности, следует b1 (d1 00 j n1j ) bj (dn1j ) = 0, j = 0,..., n 1. (16) В силу условий теоремы d0 = b0, d1 = b1. А тогда из (16) так же, как и в [1, 4], получаем j j j j регулярность краевых условий. Теорема доказана.

2. Доказательство теоремы 1. Согласно [3, теорема 2] существуют интегральный оператор Nf = N (x, t)f (t) dt, константы a1,..., an такие, что A1 y = in (E + N )l[y], (17) y (n) y (n1) где E — единичный оператор, l[y] = + a1 + · · · + an y, функция N (x, t) n раз непрерывно дифференцируема по t при t x и t x, непрерывна по x и t в квадрате [0, 1] [0, 1], и скачок j-й производной по t на линии t = x принадлежит C n1j [0, 1], j = 0,..., n 1. Кроме того, y = Af удовлетворяет граничным условиям Uj (y) = (y, j ), j = 1,..., n, (18) y (n1) (0), y (n1) (1), где Uj (y) — линейные формы относительно y(0),..., y(1),..., и j (x) C[0, 1].

В дальнейшем считаем, что формы Uj (y) нормированы.

Лемма 1. Линейные формы Uj (y), j = 1,..., n, линейно независимы.

Доказательство. Пусть n j Uj (y) = 0.

Для y(x) = Af выполняются (18). Поэтому для таких y(x) имеем n j (y, j ) = 0.

Отсюда n y, j j = 0.

Но y = Af. Поэтому отсюда в силу A = A имеем n f, A j j = 0.

О РАВНОСХОДИМОСТИ СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ Значит, n A j j = и потому в силу в) n j j = 0.

В [3] показано, что условия (18) представляют собой умноженные на неособую матрицу условия Ms (y) = (y in T (E + N )l[y])(s) (0) = 0, s = 0,..., n 1, где x (x t)n nn n T =Ai J, J f= f (t) dt.

(n 1)!

Положим n (y) = s [Us (y) (y, s )].

Тогда по доказанному (y) = 0 для любой y(x) C n [0, 1]. Далее, n (y) = s Ms1 (y), где s связаны с s через неособую матрицу. Пусть ys (x) — решения l[y] = 0 с начальными усло (j) виями ys (0) = j,s, j = 0,..., n 1. Тогда (yj ) = j+1. Значит, s = 0 и поэтому s = 0, s = 1,..., n. Лемма доказана.

Рассмотрим формулу Лагранжа (см. [2, c. 20]):

(l[y], u) = W (y, u) + (y, l [u]), (19) где 2n W (y, u) = Uj (y)V2nj (u).

j= Берем Uj (y), j = 1,..., n, те же, что и в (18). Введем в рассмотрение множества G = z | Vj ((E + N )z) = 0, z C n [0, 1], A = y | y = Af, f C[0, 1].

Лемма 2. Имеет место включение G A.

Доказательство. Имеем для y A и z G (A1 y, z) = (in (E + N )l[y], z) = in (l[y], (E + N )z) = n 2n n Uj (y)V2nj (u) + (y, l [u]), =i Uj (y)V2nj (u) + 1 n+ N )z.

где u = (E + В силу (18) n n n Uj (y)V2nj (u) = (y, j )V2nj (u) = y, V2nj (u)j.

1 1 Так как Vj (u) = 0, j = 1,..., n, то (A1 y, z) = (y, v), где n n V2nj (u)j + l [u].

v = i 118 В. В. КОРНЕВ, А. П. ХРОМОВ Обозначим f = A1 y. Тогда (f, z) = (Af, v) = (f, Av).

Отсюда z = Av, т.е. G A. Лемма доказана.

Чтобы доказать обратное включение, потребуется следующее утверждение.

Лемма 3. Пусть f1 (x),..., fn (x) — линейно независимая система аддитивных функционалов в линейном векторном пространстве L. Существуют элементы xj L, j = 1,..., n, такие, что fi (xj ) = i,j.

Доказательство. Покажем сначала, что существует такой набор векторов {yk }, что n det fj (yk ) = 0. (20) Если бы это было не так, то для любого набора {yk } определитель в (20) был бы равен нулю, т.е.

f1 (y1 )... fn (y1 )................... = 0. (21) f1 (yn )... fn (yn ) Фиксируем здесь y1,..., yn1 и меняем yn. Тогда из линейной независимости функционалов {fk } вытекает, что любой минор порядка n 1 из первых n 1 строк определителя (21) равен нулю. В частности, равен нулю определитель f1 (y1 )... fn1 (y1 )............................ (22) f1 (yn1 ))... fn1 (yn1 ) Это равенство выполняется для любого набора y1,..., yn1. Повторяя приведенное выше рассу ждение, придем к тому, что f1 (y1 ) = 0 для любого y1. Получили противоречие. Значит, имеем (20) для некоторого набора y1,..., yn. Берем такой набор, и пусть = (i,j )n — неособая матрица такая, что E = F, где F = (fj (yk ))n и E — единичная матрица. Тогда имеем f1 (x1 )... fn (x1 ) E = F =....................., f1 (xn ))... fn (xn ) где xk = k,1 y1 + · · · + k,n yn. Лемма доказана.

Лемма 4. Имеет место включение A G.

Доказательство. Пусть z(x) C n [0, 1] и u = (E + N )z. Тогда имеем (A1 y, z) = in ((E + N )l[y], z) = in (l[y], u) = 2n = in Uj (y)V2nj (u) + (y, l [u]) = j= n 2n (23) = in (y, j )V2nj (u) + (y, l [u]) + Uj (y)V2nj (u) = j=1 j=n+ 2n = in Uj (y)V2nj (u) + (y, w).

j=n+ Пусть теперь z = Av. Тогда (A1 y, z) = (A1 y, Av) = (AA1 y, v) = (y, v).

О РАВНОСХОДИМОСТИ СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ Поэтому из (23) получаем 2n Uj (y)V2nj (u) = (y, w1 ), (24) j=n+ где n w1 = v (i)n l [u] V2nj (u)j.

j= Таким образом, (24) выполняется всякий раз, когда выполняется (18). Утверждаем, что Vj (y) = 0, j = 1,..., n. Допустим противное, т.е. пусть Vj0 (u) = 0 при некотором j0. Рассмотрим функционалы Fs (y) = Us (y) (y, s ), s = 1,..., n, 2n Fn+1 (y) = Uj (y)V2nj (u) (y, w1 ).

j=n+ Утверждаем, что Fs (y), s = 1,..., n + 1, линейно независимы. Допустим противное, т.е. пусть |s | 0, и n 2n s [Us (y) (y, s )] + n+1 Uj (y)V2nj (u) (y, w1 ) = 0 (25) s=1 j=n+ C n [0, 1].

для любых y(x) Задаем наперед T y = y(0),..., y (n1) (0), y(1),..., y (n1) (1) и пусть yk (x) C n [0, 1], причем yk = y и yk 0. Тогда, подставив в (25) вместо y(x) функции L yk (x) и устремляя k, получим n 2n j Uj (y) + n+1 Uj (y)V2nj (u) = 0.

j=1 j=n+ Отсюда s = 0, s = 1,..., n, и n+1 V2nj (u) = 0. Но Vj0 (u) = 0. Тогда n+1 = 0, т.е. {Fs } линейно независимы. Согласно лемме 3 подберем y0 (x) так, чтобы Fs (y0 ) = 0, s = 1,..., n, а Fn+1 (y0 ) = 1.

Получим противоречие с (24) и (18). Значит, Vj (u) = 0, j = 1,..., n, т.е. z(x) G, иначе A G.

Лемма доказана.

Из лемм 2 и 4 вытекает следующее утверждение.

Лемма 5. Имеет место равенство A = G.

Лемма 6. Пусть L — линейное векторное пространство, L1 и L2 — его подпространства вида L1 = x L | f1 (x) = · · · = fn (x) = 0, L2 = x L | g1 (x) = · · · = gn (x) = 0, {fk }n, {gk }n где — две системы линейно независимых аддитивных функционалов. Если L1 = 1 L2, то существует неособая (n n)-матрица D такая, что g = Df, где f = {f1,..., fn }T, g = {g1,..., gn }T.

Доказательство. Пусть x L. Обозначим i = fi (x) и положим z = 1 x1 + · · · + n xn, где xj выбираются согласно лемме 3. Тогда fi (x) = fi (z), i = 1,..., n. Отсюда fi (y) = 0, i = 1,..., n, где y = x z. Но тогда и gi (y) = 0, i = 1,..., n. Значит, n ai,j fi (x) = gi (x), i = 1,..., n, (26) j= где ai,j = gi (xj ). Рассмотрим (26) как линейную систему относительно fi (x). В силу линейной независимости системы {gi (x)} вектор {g1 (x),..., gn (x)}T пробегает все n-мерное пространство, когда x пробегает все L. Поэтому det ai,j n = 0. Лемма доказана.

120 В. В. КОРНЕВ, А. П. ХРОМОВ Лемма 7. Систему {Vj (z)}n можно выбирать так, чтобы для z(x) C n [0, 1] Uj (z) (z, j ) = Vj ((E + N )z), i = 1,..., n. (27) Доказательство. Так как согласно лемме 5 G = A, то системы функционалов F (z) = {F1 (z),..., Fn (z)}T и (z) = {1 (z),..., n (z)}T, где Fj (z) = Uj (z) (z, j ) и j (z) = Vj ((E + N )z), имеют одно и то же множество нулей. Поэтому согласно лемме 6 существует такая неособая (n n)-матрица D, что F (z) = D(z). Взяв теперь в качестве новых Vj (z) компоненты D(z), получаем требуемое. Лемма доказана.

Теперь считаем, что Vj (z) удовлетворяет (27).

Следствие. Линейные формы Uj (z) и Vj (z) имеют одни и те же главные части.

Это следует из (27) и того факта, что Vj ((E + N )z) и Vj имеют одни и те же главные части.

Теперь по теореме 2 получаем, что линейные формы Uj (y), i = 1,..., n, регулярны по Биркгофу.

Согласно [3, теорема 5] заключаем справедливость утверждения теоремы 1.

Замечание. Вопрос о точности условий теоремы 1 решается так же, как и в [3], т.е. условие в) необходимо, условие г) дает канонический вид интегрального оператора, для которого имеет место равносходимость. Точность условия д) устанавливается так же, как и в [3, с. 396–368], и в качестве примера можно взять интегральный оператор с ядром i A(x, t) = ± + (x)(t), x, функция (x) C 1 [0, 1] вещественна и где нужно взять знак + при t x, знак при t (0) = (1) = 1.


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Минкин А. М. Регулярность самосопряженных краевых условий// Мат. заметки. — 1977. — 22, № 6. — С. 835–846.

2. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. — М: Наука, 1969.

3. Хромов А. П. Теоремы равносходимости для интегро-дифференциальных и интегральных операторов// Мат. сб. — 1981. — 114, № 3. — С. 378–405.

4. Salaff S. Regular boundary conditions for ordinary differential operators// Trans. Amer. Math. Soc. — 1968. — 134, № 2. — С. 355–373.

В. В. Корнев Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского А. П. Хромов Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского E-mail: KhromovAP@info.sgu.ru Современная математика и ее приложения. Том 29 (2005). С. 121– УДК 517. О НЕКОТОРЫХ СТРУКТУРНЫХ СВОЙСТВАХ БАНАХОВЫХ АЛГЕБР, АССОЦИИРОВАННЫХ С АВТОМОРФИЗМАМИ c 2005 г. А. В. ЛЕБЕДЕВ 1. Введение. Основным объектом, рассматриваемым в данной статье, является банахова алгебра B(A, Tg ), порожденная некоторой банаховой алгеброй A операторов, действующих в банаховом пространстве D, и некоторой группой {Tg }gG изометрий пространства D (т.е. представлением g Tg дискретной группы G изометрическими операторами) такой, что Tg ATg = A, g G. (1.1) Данное равенство означает, что оператор Tg порождает автоморфизм Tg алгебры A, действующий по формуле Tg (a) = Tg aTg, a A. (1.2) В гильбертовой ситуации (т.е. в рамках теории C -алгебр) аналогичные объекты тесно связа ны со скрещенными произведениями (см., например, [4]), и описанию их структуры посвящены многочисленные исследования. В частности, Landstad [3] установил необходимые и достаточные условия (в терминах теории двойственности), при которых C -алгебра изоморфна скрещенному произведению (некоторой алгебры и локально-компактной группы автоморфизмов). В случае дис кретной группы в [2, гл. 2], даны необходимые и достаточные условия изоморфности C -алгебры скрещенному произведению в терминах действия группы (так называемое топологически свободное действие (см. п. 2.8 настоящей статьи)), а также в терминах выполнения некоторого неравенства (условие () (2.1) данной статьи), гарантирующего существование математического ожидания ал гебры B(A, Tg ) на алгебру A (см. (2.2). (2.3)).

Целью данной работы является исследование взаимосвязей между вышеупомянутыми свойства ми (топологически свободным действием, свойством () и дуальным действием группы) в общей банаховой ситуации. Помимо этого, изучается, естественным образом возникающее свойство () (п. 2.2, восстановление элемента алгебры B(A, Tg ) по его «коэффициентам Фурье»).

2. Свойства (), () и топологически свободное действие. Пусть B(A, Tg ) — банахова алге бра, описанная в п. 1.

2.1 (свойство ()). Если A является C -подалгеброй операторов, действующих в гильбертовом пространстве H, и {Tg }gG является унитарным представлением группы G в H, то C -алгебру, порожденную A и {Tg }gG, мы будем обозначать через C (A, Tg ).

При исследовании C -алгебраической ситуации было обнаружено (см. [2, гл. 2]), что одним из наиболее существенных свойств алгебры C (A, Tg ), обеспечивающих возможность построения развитой теории этих объектов, является следующее свойство ():

для любой конечной суммы b = ag Tg, ag A, выполняется неравенство b= ag Tg ae, (2.1) где e — единица группы G.

В данной статье мы исследуем роль этого свойства в банаховой ситуации, т.е. для алгебры B(A, Tg ).

Работа выполнена при поддержке Фонда фундаментальных исследований Республики Беларусь.

c Ин-т кибернетики АН Грузии, ISSN 1512– 122 А. В. ЛЕБЕДЕВ Если алгебра B(A, Tg ) обладает свойством (), то для любого g0 G корректно определено отображение Ng0 : ag Tg ag0, (2.2) которое может быть продолжено до отображения Ng0 : B(A, Tg ) A. (2.3) 2.2 (свойство (**)). Выделим еще одно важное свойство. Будем говорить, что алгебра B(A, Tg ), обладающая свойством (), обладает также свойством (), если B(A, Tg ) b = 0 Ng (b) = 0 для любого g G, (2.4) где Ng — введенное выше отображение.

2.3. Замечание. В C -алгебраической ситуации имеет место следующее (см. [2, теоремы 12. и 12.4]):

если G — дискретная аменабельная группа и C (A, Tg ) обладает свойством (), то C (A, Tg ) обладает также свойством ().

Наличие свойств () и () позволяет «восстановить» элемент b B(A, Tg ) по его «коэффици ентам Фурье» Ng (b), g G.

Напомним, что в C -алгебраической ситуации существует тесная взаимосвязь между свойством () и так называемым топологически свободным действием группы автоморфизмов {Tg } (см.

[2, п. 12.13 и теорема 12.14]). Поэтому представляется естественным исследование взаимосвязей между соответствующими свойствами в алгебре B(A, Tg ).

2.4. Сделаем сначала несколько замечаний, проясняющих дальнейший выбор объектов и опре делений.

Отметим, что если {Tg }gG — группа изометрий, удовлетворяющих (1.1), то, очевидно, Tg Z(A)Tg = Z(A), (2.5) где Z(A) — центр алгебры A.

Пусть A — некоторая банахова алгебра, изоморфная C(X, B), где X — вполне регулярное про странство и B — банахова алгебра. Тогда Z(A) = C(X, Z(B)). (2.6) Действительно, включение Z(A) C(X, Z(B)) очевидно и, более того, если a Z(A), то для любого a A и любого x0 X мы имеем a(x0 )a(x0 ) = a(x0 )(x0 ). Поэтому, выбирая a(x) b B, a мы заключаем, что a(x0 ) Z(B), т.е. Z(A) C(X, Z(B)).

Предположим на время, что Z(B) C(M ) = (это предположение, конечно, весьма ограничительно, но оно даст нам возможность прояснить некоторую идею). Тогда Z(A) = C(X, Z(B)) C(X, C(M )) C(X M ). (2.7) = = Если X и M — компактные пространства (в этом случае X M также компактно), то (2.7) вместе с (2.5) означает, что автоморфизмы Tg (1.2) порождают гомеоморфизмы tg : X M X M по формуле [Tg (z)](y) = z(t1 (y)), z Z(A), y X M. (2.8) g Ясно, что если M = {·} — одноточечное множество (т.е. Z(B) = {cI}, где I — единица алгебры B), то X M X и tg являются гомеоморфизмами X.

= 2.5. Ввиду вышеприведенных рассуждений, далее мы ограничимся случаем Z(B) = {cI}, (2.9) т.е. мы предпочитаем работать с «начальным» пространством X и не привлекать дополнительные объекты типа X M.

О НЕКОТОРЫХ СТРУКТУРНЫХ СВОЙСТВАХ БАНАХОВЫХ АЛГЕБР Очевидно, если B = L(E) — алгебра линейных ограниченных операторов в банаховом простран стве E, то (2.9) выполняется.

Итак, пусть A L(D) — банахова алгебра операторов, изоморфная C(X, L(E)), где X — некоторое вполне регулярное пространство и E и D — банаховы пространства (в этом случае Z(A) C(X)). Пусть {Tg }gG — группа изометрических операторов, удовлетворяющих (1.1). В = соответствии с (2.5) автоморфизмы Tg (1.2) сохраняют центр. Далее в этом разделе мы будем предполагать, что их действие на центре задается уравнением [Tg (z)](x) = z(t1 (x)), z Z(A), x X, (2.10) g где tg : X X — некоторые гомеоморфизмы пространства X.

2.6. Замечание. Так как Z(A) C(X) C(X), где X — компактификация Стоуна—Чеха про = = g порождают гомеоморфизмы g : X X, задаваемые уравнени странства X, то автоморфизмы T ями [Tg (z)](x) = z(g (x)), x X.

Отметим, что в общем случае гомеоморфизмы g не сохраняют подмножества X X.

2.7. Пример. Пусть Y — некомпактное вполне регулярное пространство и Y — его компак, где тификация Стоуна—Чеха. Рассмотрим пространство X = Y Y обозначает дизъюнктное объединение пространств. Очевидно, C(X) C(X) = C(Y Y ). Имеется взаимно однозначное = соответствие между элементами алгебры A = C(X) и парами (a1, a2 ), где ai C(Y ), i = 1, 2.

— автоморфизм алгебры A = Z(A) вида T (a1, a2 ) = (a2, a1 ). Очевидно, этот автоморфизм Пусть T порождает гомеоморфизм of X, который не сохраняет X. Поэтому (2.10) означает, что мы огра ничиваемся ситуацией, когда гомеоморфизмы g сохраняют X (и в этом случае их ограничения на X совпадают с tg ). Мы делаем такое предположение только для того, чтобы не перегружать изложение и не привлекать к рассмотрению X вместо X.

2.8 (топологически свободное действие). Обозначим через Xg, g G, множество Xg = {x X : tg (x) = x}. (2.11) Будем говорить, что группа G действует топологически свободно на A автоморфизмами Tg (или на X гомеоморфизмами tg, определенными в п. 2.5), если для любого конечного множества n {g1,..., gn } G, gi = e, множество Xgi имеет пустую внутренность.

i= Так же, как в [2, пп. 12.13, 12.13 ], можно показать, что вышеприведенное определение экви валентно следующему определению. Действие группы G называется топологически свободным, если для любого конечного множества {g1,..., gk } G и любого непустого открытого множества U X существует точка x U такая, что все точки tgi (x), i = 1,..., k различны.

Так как X — хаусдорфово пространство, то последнее определение также эквивалентно следу ющему. Действие группы G называется топологически свободным, если для любого конечного множества {g1,..., gk } G и любого непустого открытого множества U X существует непустое открытое множество V U такое, что tgi (V ) tgj (V ) =, i, j 1, k, i = j. (2.12) Полезно также заметить, что действие G является топологически свободным тогда и только тогда, когда для любого g G, g = e, все множества Xgk = {x X : (tg )k (x) = x}, k = 1, 2,..., имеют пустую внутренность.

Следующая теорема является аналогом теоремы 12.14 из [2] для банаховой ситуации.

2.9. Теорема. Если G действует топологически свободно, то B(A, Tg ) обладает свой ством ().

124 А. В. ЛЕБЕДЕВ Доказательство. Рассмотрим произвольный элемент b B(A, Tg ) вида b= ag Tg, gF где F = {g1,..., gn }. Зафиксируем любое 0. Пусть x0 X — точка, удовлетворяющая условию ae (x0 ) ae (2.13) (такая точка x0 существует, так как A C(X, L(E))). Рассмотрим окрестность U точки x0, для = которой выполняется ae (x) ae (x0 ), x U. (2.14) Так как действие G топологически свободно, то (см. п. 2.8) существует непустое открытое множе ство V такое, что V U и t1 (V ) t1 (V ) =, i, j F, i = j. (2.15) gi gj Пусть c Z(A) — некоторый элемент вида c = c(x)I, где c(·) — непрерывная функция на X, обладающая следующими свойствами:


(i) 0 c(x) 1;

(ii) c(x ) = 1 для некоторого x V ;

(iii) c(x) = 0, если x V.

/ В силу (i) и (ii), а также (2.13), (2.14) и выбора x мы имеем c2 ae ae (x ) ae 2, (2.16) cbc b. (2.17) Заметим, что из (2.15) и (iii) следует cTg (c) = 0, g = e, g F. (2.18) Теперь из (2.18), (2.17) и (2.16) мы получаем b cbc = c ag Tg c = cag Tg (c)Tg = cTg (c)ag Tg = c2 ae ae 2.

= Тем самым, в силу произвольности, доказательство завершено.

3. Свойства (), () и дуальное действие группы. Мы уже отмечали (замечание 2.3), что в C -алгебраическом случае свойство () (2.4) следует из свойства (). В действительности основ ной причиной этого является тот факт, что наличие свойства () влечет изоморфизм ( [2, Theorem 12.8]) C (A, Tg ) A T G, = где через A T G обозначено скрещенное произведение алгебры A на группу {Tg }gG ее авто морфизмов (здесь G рассматривается как дискретная группа). Так как в банаховой ситуации не имеется ничего подобного вышеупомянутому изоморфизму, то требуется проверять свойство (), даже если B(A, Tg ) обладает свойством (). В общем случае (т.е. для произвольной дискрет ной группы изометрий {Tg }gG, удовлетворяющих условию Tg ATg = A) проверка свойства () может быть весьма сложной. Приводимая далее теорема 3.2 показывает, что в случае локально компактно коммутативной группы G и при некотором специальном предположении (которое в действительности достаточно часто выполняется) алгебра B(A, Tg ) обладает свойствами () и () одновременно.

Прежде чем переходить к этой теореме напомним аппроксимационную теорему Кронекера, связывающую непрерывные и разрывные характеры локально-компактных коммутативных групп.

О НЕКОТОРЫХ СТРУКТУРНЫХ СВОЙСТВАХ БАНАХОВЫХ АЛГЕБР 3.1. Теорема (см. [1, (26.15)]). Пусть G — локально-компактная коммутативная группа, — ее двойственная группа и — некоторая подгруппа G. Пусть f — некоторый (не обя G зательно непрерывный) характер и g1,..., gn — произвольный конечный набор элементов из. Тогда для любого 0 существует непрерывный характер G такой, что |f (gi ) (gi )|, i = 1, n.

3.2. Теорема. Пусть G — локально-компактная коммутативная группа. Если для каждого конечного подмножества F G и любого характера G выполняется равенство ag Tg = ag (g)Tg, (3.1) gF gF то алгебра B(A, Tg ) обладает свойствами () и ().

Доказательство. В силу теоремы 3.1, если (3.1) выполнено для любого характера G, то это же равенство выполнено и для любого не обязательно непрерывного характера G (т.е. характера группы G, рассмативаемой как дискретная группа). Ввиду этого, мы далее считаем G дискретной группой и через G обозначаем ее двойственную, как для дискретной группы.

Пусть b B(A, Tg ) — элемент вида b= ag Tg, |F |.

gG Через b(), G, мы обозначим элемент из B(A, Tg ) вида b() = ag (g)Tg.

gG Равенство (3.1) означает, что b = b(), G. (3.2) Покажем сначала, что это условие влечет выполнение свойства ().

Напомним, что для любого c L(F ) справедливо c= sup | c, |;

(3.3) F, = F, = здесь F — пространство, двойственное к F и, = () (F — пространство, в котором действуют операторы из B(A, Tg )).

Зафиксируем произвольное 0. Пусть 0 F и 0 F, 0 = 0 = 1, — векторы, для которых выполнено ae | ae 0, 0 | ae ;

(3.4) здесь e — единица группы G. Из (3.2) и (3.3) следует b = b() | b()0, 0 | = ag (g)Tg 0, 0 = F (3.5) = ag Tg 0, 0 (g) = g (g), F F где g = ag Tg 0, 0.

Рассмотрим функцию f () C(G) вида f () = g g(), F 126 А. В. ЛЕБЕДЕВ где g() = (g) — характер на G. Так как G — дискретная группа, то G — компактная группа (см. [1, (23.17)]) и коэффициент Фурье e функции f может быть вычислен (согласно [1, (23.19)]) по формуле e = f ()d (3.6) G (здесь — нормированная мера Хаара на G). Отсюда, в свою очередь, следует (ввиду определения f и (3.5)), что |e | |f ()|d max |f ()| b.

G G Данное неравенство и (3.4) означают, что b ae.

Таким образом (ввиду произвольности ) свойство () установлено.

Перейдем теперь к проверке свойства (). Пусть b — произвольный элемент из B(A, Tg ). Если (3.2) выполнено, то, как уже проверено выше, B(A, Tg ) обладает свойством () и, следовательно, отображение Ng0, заданное формулой (2.3), корректно определено. Мы должны показать, что из условия Ng (b) = 0 для любого g G вытекает равенство b = 0. Очевидно, достаточно проверить, что для любых фиксированных векторов F и F таких, что = = 1, выполняется b, = 0. (3.7) Пусть {bn } — последовательность элементов из B(A, Tg ), сходящаяся к b, каждый член которой имеет вид a(n) Tg, |Fn |.

bn = g Fn Рассмотрим элементы bn (), G, вида a(n) (g)Tg bn () = g Fn и последовательность {fn ()} (непрерывных на G) функций, заданных формулой a(n) Tg, (g) = (n) fn () = bn (), = g (g), (3.8) g Fn Fn (n) (n) где g = ag Tg,. Так как bn b, то (ввиду (3.2)) мы имеем bn1 () bn2 () = bn1 bn2 n1,n2 0. (3.9) Отсюда следует, что для любого фиксированного 0 G последовательность {bn (0 )} сходится к некоторому элементу b(0 ) B(A, Tg ).

Пусть f () — функция вида f () = b(),.

Применяя (3.9), мы получаем |fn1 () fn2 ()| = [bn1 () bn2 ()], bn1 bn2 0.

n1,n Это означает, что последовательность {fn } (непрерывных) функций сходится равномерно (на G) к f. Следовательно, f — непрерывная функция и (так как (G) = 1) поэтому f L 2 (G).

Пусть f () = g g(), G где справа стоит ряд Фурье функции f. Так как fn f (в L2 (G)), то (n) g g для любого g G, (3.10) О НЕКОТОРЫХ СТРУКТУРНЫХ СВОЙСТВАХ БАНАХОВЫХ АЛГЕБР (n) где g определены в (3.8). Заметим теперь, что из свойства () вытекает a(n) Ng (b) для любого g G. (3.11) g Кроме того, заметим, что |g | = | a(n) Tg, | (n) a(n).

g g Последнее неравенство вместе с (3.10) и (3.11) означает, что g = 0 для любого g G. (3.12) Теперь из (3.12) и непрерывности функции f вытекает f () = 0 для любого G.

В частности, f (1) = b, = 0.

Таким образом (3.7) верно и доказательство теоремы завершено.

3.3. Замечание. 1. Доказанная теорема означает, что (в случае коммутативной группы G) свой ство (3.1) влечет свойства () и (). С другой стороны, в C -алгебраической ситуации свойство () влечет свойство (3.1). Действительно, [2, теорема 12.8] утверждает, что если C (A, Tg ) обладает свойством (), то C (A, Tg ) A T G = и изоморфизм задается отображением ag Tg ag g. (3.13) Если для любого фиксированного характера G мы зададим представление : A T G A T G формулой ag g = (g)ag g, (3.14) то ag g = ag g (3.15) (что вновь вытекает из [2, теорема 12.8] и замечания, что (A T G) обладает свойством (), так как A T G обладает этим свойством (см. [2, (12.3)]). Теперь (3.15) вместе с (3.14) и (3.13) означают, что ag (g)Tg = ag Tg и, следовательно, (3.1) верно.

Таким образом, в C -алгебраическом случае (и в ситуации, когда G — коммутативная локально компактная группа) свойства () и (3.1) эквивалентны. Ввиду вышесказанного, в общей банаховой ситуации можно рассматривать условие (3.1) как некоторую замену свойства () (при котором свойства () и () реализуются одновременно, как и в C -ситуации).

2. Необходимо отметить, что если G не является коммутативной группой, то требуется рассмат ривать условия, отличные от (3.1) (см., например, [2, лемма 22.6]).

3. Подчеркнем также, что в то время как в теореме 2.9 мы рассматривали алгебру A, име ющую специальный вид (описанный в п. 2.5), алгебра A, рассматриваемая в теореме 3.2, — это произвольная банахова алгебра.

Приведем теперь пример алгебры B(A, Tg ), для которой проверка свойства (3.1) осуществляется легко.

128 А. В. ЛЕБЕДЕВ 3.4. Пример. Пусть X = G — локально-компактная коммутативная группа, A — некоторая ал гебра операторов, изоморфная C(X, L(E)), и {Tg }gG — группа изометрий, удовлетворяющих (1.1) и таких, что (Tg aTg )(x) = a(x · g), a A.

В этом случае алгебра B(A, Tg ), порожденная A и {Tg }gG, обладает свойством (3.1).

Действительно, для любого G рассмотрим оператор Z(A), соответствующий операторно значной функции (x)I (I — единичный оператор в E). Очевидно, — обратимый изометрический оператор, и для любого оператора b= ag Tg, |F |, gF мы имеем b = 1 b = ag (g)Tg.

Таким образом, (3.1) выполнено.

3.5. Замечание. В действительности здесь мы не использовали коммутативность группы G, и аналогичное утверждение справедливо для любой топологической группы.

3.6. Пример (регулярное представление алгебры и группы автоморфизмов). Рассмотрим еще один достаточно простой, но важный пример, в котором свойства () и () могут быть легко провере ны — так называемое регулярное представление алгебры A и группы автоморфизмов {Tg }gG.

g }gG — некоторая группа ее автомор Именно, пусть A L(D) — некоторая банахова алгебра и {T физмов (G — произвольная группа, т.е. не обязательно коммутативная).

Обозначим через H любое из пространств lp (G, D), 1 p, или l0 (G, D) (здесь l0 (G, D) — пространство вектор-функций на G со значениями в D и стремящихся к нулю на бесконечности (с sup-нормой)). Определим операторы Vg0 : H H формулой (Vg0 )(g) = (gg0 ), g, g0 G, (3.16) и рассмотрим алгебру A L(H), изоморфную (в смысле банаховых алгебр) алгебре A и задавае мую формулой ()(g) = Tg (a)(g), a A.

a (3.17) Непосредственными вычислениями можно показать, что Vg aVg1 = Tg (a).

Данное равенство (ввиду изоморфизма между A и A) означает, что операторы Vg, g G, заданные (3.16), порождают автоморфизмы Tg алгебры A.

Vg ) L(H) называется (правым) регулярным представлением, соответствующим Алгебра B(A, алгебре A и группе автоморфизмов {Tg }gG (в действительности мы имеем серию представлений, зависящих от выбранного пространства H).

Можно показать, что алгебра B(A, Vg ) обладает свойствами (), () и (3.1) для любого рас сматриваемого H.

3.7. Замечание. Подчеркнем еще раз, что так как здесь G не предполагается коммутативной, то свойства () и () вытекают не из равенства (3.1).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Хьюитт Э., Росс К. Абстрактный гармонический анализ. Т. 1. — М.: Наука, 1975.

2. Antonevich A., Lebedev A. Functional differential equations. I. C -theory. — Longman Scientific & Technical, 1994.

3. Landstad M. B. Duality theory for covariant systems// Trans. Amer. Math. Soc. — 1979. — 248 — С. 223– 267.

4. Pederesen G. K. C -algebras and their automorphisms groups. — Academic Press, 1979.

Современная математика и ее приложения. Том 29 (2005). С. 129– УДК 517. ПРИНЦИП МАКСИМУМА А. Д. АЛЕКСАНДРОВА c 2005 г. А. И. НАЗАРОВ СОДЕРЖАНИЕ Введение............................................. 1. Основная лемма. Оценка решения задачи Дирихле..................... 2. Задача с наклонной производной и ее обобщения...................... 3. Задача Вентцеля и ее обобщения............................... 4. Параболические уравнения................................... Список литературы....................................... ВВЕДЕНИЕ Статья содержит расширенную запись лекции, прочитанной на XIV Воронежской весенней мате матической школе в мае 2003 г., и посвящена одному из самых красивых применений геометриче ских идей в теории уравнений в частных производных — принципу максимума А. Д. Александрова.

Такое название получила серия априорных оценок максимума решения недивергентных уравнений второго порядка.

Первый результат, касающийся таких оценок для эллиптических уравнений, опубликован в краткой заметке [7], хотя идея исследования нормальных изображений для доказательства теорем единственности развивалась ранее Александровым в серии работ [1–6].

Глобальная оценка решения задачи Дирихле в общем случае была получена в работе [8] (дву мерный случай без младших коэффициентов был рассмотрен также И.Я. Бакельманом [19]). В этой работе, кроме того, была доказана точность полученных оценок. В 1963 г. А. Д. Александров прочел в Италии цикл лекций о своем методе, которые были изданы в Риме [47].

В дальнейшем А. Д. Александров неоднократно развивал и усиливал свои результаты. В ста тье [9] получены поточечные оценки решения задачи Дирихле через расстояние до границы области, в [10] они распространены на более широкий класс уравнений. Работа [11] посвящена доказательству достижимости полученных оценок, в небольшой заметке [12] доказана невозмож ность в общем случае ослабить требования на правую часть уравнения. Наконец, в статье [15] получены поточечные оценки решения через тонкие характеристики области и на основании это го результата получена оценка градиента решения на для некоторых частных случаев (краткое изложение этих результатов дано в [13, 14]).

До сих пор речь шла об эллиптических уравнениях. Развитие аналогичной теории для па раболических уравнений началось с работ Н. В. Крылова [21–23], в которых оценки алексан дровского типа были установлены для уравнений с ограниченными коэффициентами с помощью вероятностно-аналитических методов. В дальнейшем, развив геометрические подходы в духе Алек сандрова, Н. Н. Уральцева и автор [42] и независимо от них K. Tso [65] обобщили эти оценки на операторы с младшими коэффициентами, суммируемыми с достаточно высокой степенью, анало гично результатам, имеющимся для эллиптических уравнений.

Следует отметить, что основополагающая роль оценок Александрова в исследовании недивер гентных квазилинейных и полностью нелинейных уравнений долгое время оставалась неясной.

Этим можно объяснить то, что эти оценки не включались в монографии, даже в такие капитальные, Работа выполнена при поддержка Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 05-01-01063).

c Ин-т кибернетики АН Грузии, ISSN 1512– 130 А. И. НАЗАРОВ как [27]. Ситуация изменилась после появления прорывных работ Н. В. Крылова и М. В. Сафоно ва [25,26,45], в которых авторам удалось получить априорную оценку гельдеровской нормы реше ния линейных уравнений без предположения о непрерывности матрицы старших коэффициентов или о малости разброса ее собственных значений. О. А. Ладыженская и Н. Н. Уральцева [28–31] распространили эти оценки на квазилинейные уравнения (для эллиптических уравнений часть этих результатов была установлена также N. Trudinger’ом [64]). Кроме того, ими были получены оценки градиента решения на границе области для уравнений с неограниченными особенностя ми [32–34]. В сочетании с уже имевшимися к тому времени результатами это дало возможность доказать разрешимость задачи Дирихле для квазилинейных уравнений только при естественных структурных условиях (см. обзор [35]). Во всех указанных работах одну из ключевых ролей играл принцип максимума Александрова.

Разработанные технологии стали применяться и к другим краевым задачам, причем исследо вание эллиптических и параболических задач шло практически параллельно. Оценки алексан дровского типа при этом служили «стартовой площадкой» для получения всей серии априорных оценок, требуемых для доказательства теорем существования. Локальная оценка максимума для стационарной задачи с наклонной производной (на части границы области задан оператор первого порядка) была установлена Н. С. Надирашвили [36] для ограниченных младших коэффициентов и автором [38] в общем случае. Соответствующая оценка в нестационарном случае была анонси рована в [37] и доказана в [38].

Для стационарной задачи Вентцеля (на границе задан оператор второго порядка по касатель ным переменным) такая оценка была получена Y. Luo и N. Trudinger’ом [61, 62] в двух случаях:

невырожденном, когда граничный оператор равномерно эллиптичен относительно касательных пе ременных, и вырожденном, когда члены второго порядка в граничном операторе могут обращаться в нуль на множестве положительной меры. Впоследствии эти оценки были обобщены на случай уравнений с неограниченными младшими коэффициентами в работах [17, 48]. Соответствующие результаты для параболической задачи Вентцеля были получены Д. Е. Апушкинской [16]. В ста тье [49] были установлены локальные оценки александровского типа для решений двухфазных задач Вентцеля.

В работах L. Caffarelli [51, 52] (см. также [53, гл. 3]) оценка Александрова доказана для так на зываемых вязкостных решений эллиптических уравнений (теория таких решений бурно развива ется в последние десятилетия), в работе L. Wang’а [66] — для вязкостных решений параболических уравнений.

Другое направление развития идей Александрова — перенесение оценок максимума на уравне ния с младшими коэффициентами и правыми частями из других функциональных классов. Пер вопроходцем здесь был Н. В. Крылов [24], идея которого позволила рассмотреть некоторые про странства с анизотропными нормами. В статье [39] метод Крылова был распространен на шкалу анизотропных пространств Lr,s. В работах [18, 39, 40] были введены различные классы операторов с «составными» коэффициентами, G. Lieberman [59] перенес результаты [18] на задачу с наклон ной производной. Статья [41] посвящена оценке александровского типа в весовых пространствах.

Каждый из этих результатов приводил к соответствующему расширению класса нелинейных урав нений, для которых удается доказать разрешимость основных краевых задач. Можно сказать, что изучение любой задачи для недивергентных уравнений (эллиптических или параболических, квазилинейных или полностью нелинейных) начинается с вывода подходящей версии принципа максимума Александрова.

Еще одна группа работ посвящена ослаблению требований на правую часть уравнения для некоторых классов уравнений. E. Fabes и D. Strook [56] получили оценку максимума реше ния через Lr -норму правой части при некотором r n, зависящем от константы эллиптичности уравнения (см. также [57]). C. Kenig и Н. С. Надирашвили [58], а также G. Lieberman [60] распространили этот результат на задачу с наклонной производной. С другой стороны, C. Pucci (см. [43, 63]) установил нижнюю границу для значений r, при которых такая оценка возмож на. Недавно N. Trudinger [46] получил серию оценок максимума решения через Lm -нормы пра вой части (здесь m ]n/2, n] — целое число) при условии, что матрица старших коэффициентов ПРИНЦИП МАКСИМУМА А. Д. АЛЕКСАНДРОВА уравнения принадлежит некоторому специальному выпуклому конусу в пространстве матриц. Ука занные результаты относятся только к эллиптическим уравнениям. Несомненно, это направление исследований еще далеко от завершения.

Следует отметить также работу X. Cabr [54], в которой изучается зависимость оценки макси e мума от характеристик области. В частности, в эллиптическом случае удалось получить оценку через ||1/n вместо диаметра области (заметим, что для выпуклых областей это было сделано еще в [8]). В обзоре [55] приводятся, в частности, некоторые приложения принципа максимума Александрова и его вариантов к исследованию свойств симметрии решений нелинейных краевых задач.

Естественно, даже аккуратные формулировки всех результатов потребовали бы слишком много места, поэтому мы ограничимся лишь несколькими теоремами, связанными с анализом выпуклых и выпукло-монотонных оболочек. В разделе 1 выводится оценка максимума для решения эллип тической задачи Дирихле. Раздел 2 посвящен локальной оценке решения вырожденной задачи Вентцеля (в частном случае — задачи с наклонной производной). В разделе 3 получена оценка решения однофазной и двухфазной задач Вентцеля. В разделе 4 собраны соответствующие резуль таты для параболических уравнений.

Я весьма признателен Н. Н. Уральцевой, которая прочла первоначальный текст статьи и сделала несколько существенных замечаний.

В работе используются следующие обозначения:

x = (x, xn ) = (x1,..., xn1, xn ) — точка в Rn ;

(x;

t) = (x, xn ;

t) — точка в Rn+1 ;

|x| — евклидова норма x;

— ограниченная область в Rn ;



Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.