авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 |

«ISSN 1512–1712 Академия Наук Грузии Институт Кибернетики СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ Том 29 ТРУДЫ ...»

-- [ Страница 5 ] --

— граница ;

n(x) — единичный вектор внешней нормали к в точке x;

Q = ]0, T [ — цилиндр в Rn+1 ;

|| (|Q|) — мера Лебега соответствующей размерности;

Q = ]0, T ] — боковая граница Q;

Q = Q {0} — параболическая граница Q;

+ ( ) — часть, лежащая в полупространстве xn 0 (xn 0);

BR = {x Rn : |x| R} – шар в Rn ;

QR,T = BR ]0, T [.

Di — оператор дифференцирования по переменной xi ;

Du = (Di u) — градиент функции u;

D2 u = (Di Dj u) — матрица Гессе функции u;

t u — производная по переменной t.

Индексы i и j изменяются от 1 до n, а индексы k и m — от 1 до n 1;

по повторяющимся индексам везде предполагается суммирование.

Все матричные неравенства понимаются в смысле квадратичных форм. In означает единичную матрицу порядка n, Sp(A) — след матрицы A.

Используются стандартные обозначения для функциональных пространств. Норма в простран стве C() обозначается · ;

норма в пространстве Lr () — · r, ;

аналогично обозначаются нормы в пространствах C(Q) и Lr (Q).

Обозначим f+ = max{f, 0}. Если u — непрерывная функция, то u = {x : u(x) 0};

аналогично определяется множество Qu.

Различные константы обозначаются буквами C, N с индексами или без них. Запись N (... ) показывает, что N зависит только от параметров, указанных в скобках.

1. ОСНОВНАЯ ОЦЕНКА ДИРИХЛЕ ЛЕММА. РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ Пусть в области задана непрерывная функция u, причем u 0. Обозначим через выпук лую оболочку и будем в дальнейшем считать, что функция u+ продолжена нулем на \.

132 А. И. НАЗАРОВ Выпуклой оболочкой функции u+ назовем наименьшую функцию, выпуклую вверх и мажори рующую u+ в. Будем обозначать эту функцию z. Очевидно, что z = 0 и подграфик функции 2 z — выпуклое множество. Можно показать также (см. [42]), что если u W () и W, то z W (). Введем еще так называемое контактное множество Z = {x : z(x) = u(x)}.

Определим теперь (вообще говоря, многозначное) нормальное отображение (отображение го дографа) : Rn, порождаемое функцией z. Каждой точке x0 это отображение сопо n такие, что график функции (x) = p · (x x0 ) + z(x0 ) ставляет всевозможные векторы p R является опорной плоскостью к подграфику функции z в точке x0. Очевидно, что если z C 1 (), то отображение однозначно в (но не в ее замыкании!) и задается формулой (x) = Dz(x).

Рассмотрим линейный эллиптический оператор второго порядка с измеримыми коэффициентами L0 u aij Di Dj u;

aij (x) = aji (x), A (aij ) 0.

2 Лемма 1.1. Пусть W, u W () и u 0. Пусть A In, 0. Тогда для любой неотрицательной функции g справедливо неравенство (L0 u)n g(p)dp g(Du) · dx. (1.1) nn det(A) Z () Доказательство. Заметим, что в условиях леммы отображение удовлетворяет условию Липши ца. По формуле замены переменных в интеграле g(Dz)| det(D2 z)|dx = g(Dz) det(D2 z)dx g(p)dp = (1.2) () (последнее равенство следует из того, что D2 z — неотрицательно определенная матрица).

Если x Z, то по теореме Каратеодори (см., например, [44]) точка (x, z(x)) является внутрен / ней точкой симплекса, полностью лежащего на графике функции z. Поэтому вторая производная z в некотором направлении равна нулю. Но в силу знакоопределенности D2 z(x) это направление должно быть главным, и, следовательно, det(D2 z(x)) = 0.

Если же x Z, то условие касания в точке x дает D2 z(x) D2 u(x) Dz(x) = Du(x), (второе соотношение справедливо для п.в. x). Поэтому из (1.2) следует g(Du) det(D2 u)dx.

g(p)dp Z () Далее, поскольку на множестве Z матрицы A и D2 u неотрицательно определены, матрица A · D2 u имеет неотрицательные собственные числа. По неравенству между средним арифмети ческим и средним геометрическим имеем det(A · D2 u) 1 (Sp(A · D2 u))n 1 (L0 u)n det(D2 u) = · = n·, nn det(A) det(A) n det(A) откуда немедленно получаем (1.1).

Замечание 1.2. Поскольку на Z справедливы неравенства L0 u 0 и u 0, то часто вместо (1.1) используется более удобная оценка (L0 u)n 1 + g(p)dp g(Du) · dx. (1.3) nn det(A) u () ПРИНЦИП МАКСИМУМА А. Д. АЛЕКСАНДРОВА Теорема 1.3. Пусть Sp(A) 0 п.в. в. Тогда для любой функции u Wn () C() такой, что u 0, выполнена оценка diamn () (L0 u)n (max u+ )n dx, (1.4) nn |B1 | det(A) Z причем в подынтегральном выражении следует положить 0/0 = 0, если такая неопределен ность возникает.

Доказательство. 1. Будем сначала считать, что матрица A, функция u и область удовлетворяют условиям леммы 1.1. Достаточно рассмотреть случай M = max u = max z 0.

Положим d = diam() = diam() и покажем, что множество () содержит шар BM/d. Действи тельно, пусть p BM/d. Рассмотрим плоскость, являющуюся графиком функции (x) = p · x + h.

Выбрав подходящее h, можно добиться, чтобы эта плоскость была опорной к подграфику функции z в некоторой точке x0, и записать (x) = p · (x x0 ) + z(x0 ). Если x0, то z(x0 ) = 0, и в 0) точке максимума функции z имеем M = z(x) p · (x x |p| · d M, что невозможно. Поэтому x0, откуда p = Dz(x0 ) = (x0 ) (), что и требовалось доказать.

Применяя оценку (1.1) с g 1, получим n (L0 u)n M |B1 | · = |BM/d | |()| dx, nn d det(A) Z откуда немедленно следует (1.4).

2. Рассмотрим теперь общий случай. Подынтегральное выражение в (1.4) не меняется от домно жения матрицы A на положительную функцию. Поэтому, не умаляя общности, можно считать, что Sp(A) 1. Возьмем функцию u = u и аппроксимируем изнутри областями с гладкими границами. Далее, поскольку оценка (1.4) выдерживает предельный переход в Wn, можно счи тать u гладкой функцией. Применим оценку (1.4) к функции u и равномерно эллиптическому оператору L0. Затем можно положить 0, а потом 0.

Замечание 1.4. В дальнейшем, чтобы не загромождать идеи техническими деталями, мы будем считать, что A In. В этом случае из (1.4) с учетом замечания 1.2 следует более простая оценка:

diam() max u+ · (L0 u)+ n,u. (1.5) n|B1 |1/n Рассмотрим теперь оператор более общей структуры L u L0 u + bi (x)Di u. (1.6) Теорема 1.5. Пусть A In п.в. в, b (bi ) Ln (). Тогда для любой функции u, удовле творяющей условиям теоремы 1.3, выполнена оценка b diam() n,u max u+ N n, · · (L u)+ n,u. (1.7) Доказательство. Будем считать, что функция u и область удовлетворяют условиям леммы 1.1.

Общий случай получается из этого так же, как в теореме 1.3.

Пусть g = g(|p|). Учитывая, что BM/d (), из (1.3) получаем M/d g()n1 d g(|Du|) · (L u bi Di u)n dx.

n|B1 | · g(|p|)dp (1.8) + (n)n 0 u () Обозначим F = 1 (L u)+ +, 0. Тогда последнюю скобку в (1.8) можно оценить по n,u неравенству Гельдера:

(L u)n n n + (L u bi Di u)n ((L u)+ + |b| · |Du|)n (F n1 + |Du| n1 )n1 · + |b|n.

+ n F 134 А. И. НАЗАРОВ Положим g() = (F n + n )1. Тогда из (1.8) получим M/d n n (L u)n n1 (F n1 + |Du| n1 )n 1 + + |b|n.

n|B1 | d · (1.9) F n + n (n)n F n + |Du|n Fn 0 u Учитывая, что для всех x, y, q (x + y)q+1 2q (xq+1 + y q+1 ), (1.10) из (1.9) выводим n b Mn 2n2 n,u ln 1 + 1+ ;

dn F n nn+1 |B1 | n n b 2n2 n n,u M dF · exp 1+ 1.

nn+1 |B1 | n Полагая 0 в выражении для F, приходим к (1.7).

Поясним отличие теоремы 1.5 от некоторых других оценок максимума.

Для операторов вида (1.6) хорошо известна оценка максимума Хопфа (см., например, [20, тео рема 3.7]):

b,u (L u)+,u max u+ C diam(), ·.

Здесь максимум решения оценивается через L -норму правой части, что оказывается недостаточ ным в некоторых приложениях.

С другой стороны, из коэрцитивных оценок в Lr (см. [20, теорема 9.42]) и теоремы вложения Соболева следует, что max u+ C · (L u)+ r,, r n/2. (1.11) Однако в этой оценке константа C зависит от модуля непрерывности коэффициентов aij.

Поэтому в случае, когда коэффициенты зависят от самого решения u и от его производных, оценка (1.11) мало полезна.

Оценка Александрова отличается тем, что не требует ни непрерывности коэффициентов, ни ограниченности правой части уравнения (1.1).

2. ЗАДАЧА С НАКЛОННОЙ ПРОИЗВОДНОЙ И ЕЕ ОБОБЩЕНИЯ В этом разделе предполагается, что BR, и часть (обозначим ее ) лежит в плоскости xn = 0.

Предположим, что на задано измеримое векторное поле. Будем считать, что нормировано (|| 1) и выполнено условие некасательности n (x) 0. (2.1) Замечание 2.1. В случае произвольной гладкой поверхности условие (2.1) записывается так:

(x) · n(x).

u Краевая задача с граничным условием = называется задачей с наклонной (косой) производной.

Теорема 2.2. Пусть в задан оператор вида (1.6), A In п.в. в, b Ln (). Тогда для любой функции u Wn () C() такой, что u \ 0, выполнена оценка (u/)+ b (L u)+ n,u n,u,u max u+ N1 n,, ·R· +. (2.2) ПРИНЦИП МАКСИМУМА А. Д. АЛЕКСАНДРОВА Доказательство. Будем считать, что u W () и u \ 0. Избавиться от этих условий можно так же, как в теореме 1.3.

u 1. Пусть сначала 0. Продолжим функцию u+ нулем на полушар BR и произведем четное u отражение относительно плоскости xn = 0. Полученная функция (будем по-прежнему обозначать ее u+ ) задана в шаре BR и равна нулю в окрестности BR. Обозначим символом z выпуклую оболочку u+.

Повторяя доказательство леммы 1.1, мы видим, что g(Du)(L0 u)n dx.

g(p)dp (2.3) (n)n (BR ) Z BR Аналогично теореме 1.3, легко видеть, что нормальный образ шара BR содержит шар BM/2R.

+ Более того, в силу симметрии полушар BM/2R содержится в (BR R ), где R = BR {xn = 0}.

Однако для применения неравенства (2.3) требуется оценить (BR ), что будет сделано с помощью граничного условия.

Очевидно, условие некасательности (2.1) означает, что K, где K — прямой круговой острый конус с раствором, зависящим от. Рассмотрим сопряженный конус K и покажем, что множе ство (BR ) содержит BM/2R int(K ). Действительно, пусть p BM/2R int(K ). Рассмотрим плоскость (график функции (x) = p · (x x0 ) + z(x0 )), опорную к подграфику функции z в точке + x0. Поскольку BM/2R int(K ) BM/2R, то, как указывалось выше, x0 BR R.

/ Но если x0 BR, то множество касания плоскости с графиком функции z содержится в R. По теореме Каратеодори хотя бы одна из крайних точек этого множества лежит в Z, т.е. можно считать x0 Z. Тогда условие касания дает p = D z(x0 ) = D u(x0 ), Dn z(x0 ) Dn u(x0 ), pn (2.4) откуда D u(x0 ) · + Dn u(x0 )n = u p · = p · + pn n (x ) 0, что противоречит условиям p int(K ), K. Поэтому x0 BR, и p (BR ), что и требовалось доказать.

Полагая g = g(|p|), из (2.3) с учетом замечания 1.2 получаем аналог неравенства (1.8) M/2R g()n1 d = g(|Du|) · (L u bi Di u)n dx.

N1 () · n|B1 | · g(|p|)dp (2.5) + (n)n 0 u B M K 2R Дальнейший ход доказательства не отличается от теоремы 1.5.

2. Рассмотрим теперь общий случай. Обозначим = u/ и введем вспомогательную функцию +,u v(x) = (R + xn ) ·.

Элементарное вычисление дает +,u L (u v) L u + |bn | · ;

(u v) (u v) 0;

0.

\ u По доказанному выше к функции u v применима оценка (2.2). Оценка для u получается из нее, если учесть, что uv u и +,u v R· (константа N1 при этом изменится, но по-прежнему будет определяться только величинами, при веденными в скобках).

136 А. И. НАЗАРОВ Рассмотрим теперь на граничный оператор второго порядка с измеримыми коэффициентами Bu km Dk Dm u + i Di u;

km (x ) = mk (x );

(km ) 0. (2.6) Замечание 2.3. В случае произвольной гладкой поверхности оператор (2.6) записывается в виде Bu ij (x)i j u + i (x)Di u, где i Di ni (x)nj (x)Dj — касательный дифференциальный оператор на поверхности.

Краевая задача с граничным условием Bu = называется задачей Вентцеля. Задачи такого типа возникают при описании процессов в средах, содержащих включения в виде тонких пленок.

Этим задачам посвящена обширная литература (частичный исторический и библиографический обзор можно найти в [50]). В этом параграфе матрица может быть вырожденной, поэтому мы говорим о вырожденной задаче Вентцеля. При = 0 она превращается в задачу с наклонной производной.

Теорема 2.4. Пусть в задан оператор вида (1.6), A In п.в. в, b Ln (). Пусть на задан оператор вида (2.6), || 1 и выполнено условие (2.1). Тогда для любой функции 2 u Wn () W () C() такой, что u \ 0, выполнена оценка b (L u)+ (Bu)+ n,u n,u,u max u+ N1 n,, ·R· +. (2.7) Доказательство. Как и в предыдущей теореме, достаточно рассмотреть случай u W (), u \ 0.

Аналогично доказательству теоремы 2.2, предположим сначала, что Bu u 0. Если удастся ) (B ), то из (2.3) сразу получается неравенство (2.5), и весь показать, что BM/2R int(K R дальнейший ход доказательства (включая переход к общему случаю) повторяется дословно. По существу, требуется лишь исключить случай x0 Z.

Но условие касания в точке x0 Z дает, кроме (2.4), 2 D u(x0 ) D z(x0 ) 0 п.в. x0, откуда p · i Di u Bu 0, что опять противоречит условиям p int(K ), K.

3. ЗАДАЧА ВЕНТЦЕЛЯ И ЕЕ ОБОБЩЕНИЯ Пусть, как и в предыдущем разделе, BR и = {xn = 0}.

Теорема 3.1. Пусть в задан оператор вида (1.6), A In п.в. в, b Ln (). Пусть на задан оператор вида (2.6), In1 п.в. на, n 0, Ln1 (). Тогда для любой функции 2 u Wn () Wn1 () C() такой, что u \ 0, выполнена оценка b R n,u n1,u max u+ N2 n,, · · (L u)+ + (Bu)+. (3.1) n,u n1,u Замечание 3.2. Условия на матрицы A и можно ослабить, потребовав Sp(A) 0 п.в. в и Sp() 0 п.в. на. Аналогично теореме 1.3, все нормы в (3.1) при этом заменятся на соответствующие весовые нормы.

Отметим еще отличия теоремы 3.1 от теоремы 2.4. Члены второго порядка здесь не допускают тотального вырождения, зато на векторное поле не накладывается условия некасательности, и от Bu требуется лишь принадлежность пространству Ln1 ().

Доказательство. Вновь достаточно рассмотреть случай u W (), u \ 0.

Построим функцию z, как в теореме 2.2. Как указано в доказательстве этой теоремы, в силу + симметрии полушар BM/2R содержится в (BR R ). Но, в отличие от теоремы 2.4, у нас нет ПРИНЦИП МАКСИМУМА А. Д. АЛЕКСАНДРОВА возможности отделить друг от друга вклады BR и R в нормальный образ, поэтому требуется получить граничный аналог неравенства (2.3). Для этого заметим, что в точке x Z R условие касания дает Dn u 0 и 2 D z(x) = D u(x);

D z(x) D u(x) (3.2) (второе соотношение справедливо для п.в. x).

Лемма 3.3. Для любой неотрицательной функции g справедливо неравенство M/2R g(D u, pn ) · (Bu m Dm u)n1 dpn dx.

g(p)dp (3.3) ((n 1))n Z R B + \(BR ) M 2R + Доказательство. Несложно видеть, что для p BM/2R \(BR ) соответствующая опорная плос кость (график функции (x) = p·(xx0 )+z(x0 )) касается графика функции z в точке x0 Z R.

Поэтому аналогично лемме 1.1 из условия (3.2) имеем M/2R g(p)dp g(D u, pn ) · det(D u)dpn dx.

Z R B + \(BR ) M 2R В силу неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим на множестве Z R имеем 1 2 (Sp(D u))n1 (Bu m Dm u)n det(D u) n1 ((n 1))n ((n 1)) (последнее неравенство следует из n Dn u 0 на Z R ), откуда немедленно получим (3.3).

Продолжим доказательство теоремы. Полагая g(p) = (F 2 + |p|2 )n/2, где F 0, оценим вну тренний интеграл в правой части (3.3):

M/2R dpn 1 ds N3 (n) · =.

2 + |p |2 + p2 )n/2 2 + |p |2 )(n1)/2 (s2 n/2 2 + |p |2 )(n1)/ (F (F + 1) (F n 0 Складывая (2.3) и (3.3) и применяя неравенство Гельдера, получим с учетом замечания 1. M/2R n n|B1 | · d = g(p)dp 2 (F 2 + 2 )n/ 0 B+ M 2R n n (L u)n (F n1 + |Du| n1 )n 1 + + |b|n dx+ · (n)n Fn (F 2 + |Du|2 )n/ u n1 n (Bu)n (F n2 + |D u| n2 )n N3 (n) + + | |n + · dx.

((n 1))n1 n F (F 2 + |D u|2 )n/ u 138 А. И. НАЗАРОВ В силу (1.10) отсюда выводим M/2R M/2R Mn n1 n ln 1 + = d N4 (n) d (2RF )n F n + n (F 2 + 2 )n/ 0 (Bu)n1 | |n (L u)n |b|n + + dx.

N5 (n) + n dx + + n (F )n (F )n u u Взяв F = (L u)+ + (Bu)+ +, 0, получаем оценку n,u n1,u b n,u n1,u M RF · N2 n,,.

Полагая 0 в выражении для F, приходим к (3.1).

Рассмотрим теперь так называемую двухфазную задачу Вентцеля. Предположим, что BR и поверхность = {xn = 0} разделяет на две части ±.

Зададим в ± операторы L ± вида (1.6):

L ± u a± (x)Di Dj u + b± (x)Di u.

ij i На зададим «оператор сопряжения»

Bu km (x )Dk Dm u + m (x )Dm u + J u, где J – оператор «скачка»

() (+) J u n (x ) lim Dn u(x, xn ) n (x ) lim Dn u(x, xn ).

xn 0 xn 0+ A± ±, b± (± ).

Теорема 3.4. Пусть In п.в. в Ln Далее, пусть In1 п.в. на, ± 2 (+ ) W 2 () C() такой, что n 0, Ln1 (). Тогда для любой функции u Wn n u 0, выполнена оценка b+ b R n,+ n, n1,u max u+ N6 n,,, · · u u (L + u)+ + (L u)+ · + (Bu)+. (3.4) n1,u n,+ n, u u Доказательство. Как и раньше, достаточно рассмотреть случай u W (+ ) C(), u 0.

Продолжим функцию u+ нулем на шар BR и обозначим z ее выпуклую оболочку. Как ука зано в доказательстве теоремы 2.2, шар BM/2R содержится в (BR ). Кроме того, справедливы неравенства, аналогичные (2.3):

g(Du)(L ± u b± Di u)n dx.

g(p)dp (3.5) i (n)n ± ± (BR ) Z BR Поэтому нужно доказать утверждение, аналогичное лемме 3.3. Таким утверждением было бы неравенство M/2R 1 g(D u, pn ) · (Bu m Dm u)n1 dpn dx, g(p)dp + ((n 1))n Z R M/2R + B M \(BR BR ) 2R однако оно, вообще говоря, неверно. Дело в том, что в точках x Z R по-прежнему выполнены условия (3.2), но могут не выполняться неравенства lim Dn u(x, xn ) 0, lim Dn u(x, xn ) 0, (3.6) xn 0 xn 0+ ПРИНЦИП МАКСИМУМА А. Д. АЛЕКСАНДРОВА и потому из правой части невозможно убрать J u. В связи с этим мы введем множество Z как множество точек x Z R, для которых неравенства (3.6) выполнены, и построим множество + D, которое содержится в нормальном образе BR BR Z.

Для произвольного p BM/2R рассмотрим точку p = (p, 0) и построим плоскость — график функции (x) = p · (x x0 ) + z(x0 ) = p · (x (x0 ) ) + z(x0 ), опорную к подграфику функции z в точке x0. При этом можно считать, что x0 Z, и потому p (Z ).

Теперь определим D+ {p BM/2R : p (Z BR ), pn 0};

+ D {p BM/2R : p (Z BR ), pn 0};

D {p BM/2R : p (Z )};

D D+ D D.

Лемма 3.5. Для любой неотрицательной функции g справедливо неравенство M/2R 1 g(D u, pn ) · (Bu m Dm u)n1 dpn dx.

g(p)dp (3.7) ((n 1))n + Z M/2R D\(BR BR ) Доказательство. Ключевым в этой лемме является наблюдение ± D± (Z BR ). (3.8) Если, например, точка x0 касания графика z и плоскости с градиентом p лежит в «правом»

+ полушаре BR, то уменьшение pn соответствует наклону плоскости «вправо» и потому приводит к + смещению точки касания «вправо», т.е. оставляет ее в BR.

+ Из (3.8) вытекает, что D\(BR BR ) D (Z ). Но от изменения pn точка касания не может сдвинуться вдоль. Поэтому если p D (Z ), то плоскости с градиентами p и p касаются графика z в одной и той же точке x0, и потому в этой точке выполнены неравенства (3.6).

+ Таким образом, D\(BR BR ) (Z ). Дальнейший ход доказательства совершенно аналогичен лемме 3.3.

Продолжим доказательство теоремы. Поскольку множество D содержит по крайней мере поло вину каждой хорды, перпендикулярной плоскости pn = 0, его объем не меньше половины объема шара BM/2R. Более того, для любой четной функции g имеем g(p)dp g(p)dp.

D + BM/2R Положим g(p) = (F 2 + |p|2 )n/2 с F 0. Складывая неравенства (3.5) и (3.7) и учитывая, что M/2R dpn 2N3 (n), + |p |2 + p2 )n/2 + |p |2 )(n1)/ (F 2 (F n M/2R мы заканчиваем доказательство так же, как в теореме 3.1.

4. ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Пусть в цилиндре Q задана непрерывная функция u и u 0. Как и в разделе 1, мы считаем, Q что функция u+ продолжена нулем на Q = ]0, T [.

140 А. И. НАЗАРОВ Произведем геометрические построения по аналогии с разделом 1. Выпукло-монотонной обо лочкой z функции u+ назовем наименьшую функцию, выпуклую вверх по x, неубывающую по t и мажорирующую u+ в Q. Очевидно, что z Q = 0. Введем контактное множество Z = {(x;

t) Q : z (x;

t) = u(x;

t)}.

Замечание 4.1. В [42] показано, что при каждом фиксированном t функция z совпадает с выпуклой оболочкой функции u(x;

t) = max u(x;

t).

[0,t] 2, 2,1 Кроме того, если u W (Q) и W, то z W (Q).

Определим параболическое нормальное отображение (отображение Лежандра) : Q Rn+1, 0 ;

t0 ) Q это отображение ставит в соответ порождаемое функцией z. Каждой точке (x ствие всевозможные пары (p;

q) Rn R такие, что график функции (x) = p · (x x) + q является опорной плоскостью к подграфику функции z (·;

t0 ) в точке x0. Здесь x Rn — фиксированная точ ка. Несложно проверить, что если z C 1,0 (Q), то отображение однозначно и задается формулой (x;

t) = D(x;

t);

z (x;

t) D(x;

t) · (x x).

z z имеет вид Матрица Якоби отображения T Di Dj z Di Dj z · (xj xj ), t Dj z t z t Dj z · (xj xj ) а ее определитель не зависит от выбора x Rn и равен t z · det(D2 z ).

Рассмотрим линейный параболический оператор второго порядка с измеримыми коэффициента ми M0 u t u aij Di Dj u;

(x;

t) 0;

aij (x;

t) = aji (x;

t);

A (aij ) 0.

2 Лемма 4.2. Пусть W, Du W (Q) и u Q 0. Пусть, A In, 0. Тогда для любой неотрицательной функции g справедливо неравенство (M0 u)n+ g(p)dpdq g(Du) · dxdt. (4.1) (n + 1)n+1 det(A) Z (Q) Доказательство. Прежде всего покажем, что (Q) = (Z ). Действительно, пусть (x0 ;

t0 ) = (p;

q). Тогда согласно замечанию 4.1 график функции (x) является опорной плоскостью к под графику функции u(·;

t0 ) в некоторой точке x. Но это означает, что при некотором t t ) в точке x, т.е.

график функции (x) является опорной плоскостью к подграфику функции u(·;

t (p;

q) = (x ;

t ) (Z ), что и требовалось.

По формуле замены переменных в интеграле имеем g(D) t z det(D2 z ) dxdt = g(D)t z det(D2 z )dxdt g(p)dpdq = z z (4.2) Z Z (Z ) 0 и D2 z (последнее равенство следует из того, что t z 0).

Условие касания в точке (x;

t) Z дает D2 z (x;

t) D2 u(x;

t);

D(x;

t) = Du(x;

t);

z t z (x;

t) t u(x;

t) (два последних соотношения справедливы для п.в. (x;

t)). Поэтому из (4.2) следует g(Du)t u det(D2 u)dxdt.

g(p)dpdq Z (Q) ПРИНЦИП МАКСИМУМА А. Д. АЛЕКСАНДРОВА Далее, матрица D2 u A A · 0 0 t u имеет на Z неотрицательные собственные числа. По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим имеем (Sp(A ))n+1 (M0 u)n+ det(A ) 1 t u det(D2 u) = · = ·, (n + 1)n+1 (n + 1)n+1 det(A) det(A) det(A) откуда немедленно получаем (4.1).

Замечание 4.3. Аналогично замечанию 1.2, вместо (4.1) часто используется оценка (M0 u)n+ 1 + g(p)dpdq g(Du) · dxdt. (4.3) (n + 1)n+1 det(A) Qu (Q) 2, Теорема 4.4. Пусть + Sp(A) 0 п.в. в Q. Тогда для любой функции u Wn+1 (Q) C(Q) такой, что u Q 0, выполнена оценка diamn () (M0 u)n (max u+ )n+1 dxdt, (4.4) (n + 1)n |B1 | det(A) Q Z причем в подынтегральном выражении следует положить 0/0 = 0, если такая неопределен ность возникает.

Доказательство. Аналогично теореме 1.3, достаточно рассмотреть случай, когда матрица A, функции u и и область удовлетворяют условиям леммы 4.2. Пусть x M = max u = max z = z (;

t) 0.

Q Q Покажем, что множество (Q) содержит конусообразное множество K {(p;

q) Rn+1 : d|p| q M }.

Действительно, пусть (p;

q) K. Рассмотрим плоскость, представляющую собой график функции (x) = p · (x x) + q. Поскольку q d|p|, то (x) z(x;

0) при всех x. С другой x 0 0, t эта плоскость будет опорной стороны, () = q M = z(;

t), и потому при некотором t x 0 ) в некоторой точке x0. Это означает, что p = Dz(x0 ;

t0 ) и к подграфику функции z(·;

t q = z(x0 ;

t0 ) Dz(x0 ;

t0 ) · (x0 x), т.е. (p;

q) = (x0 ;

t0 ) (Q), что и требовалось.

Применяя оценку (4.1) с g 1, получим n (M0 u)n+ M |B1 | M · = |K| |(Q)| dxdt, (n + 1)n+ n+1 d det(A) Z откуда немедленно следует (4.4).

Замечание 4.5. При формулировке дальнейших утверждений мы будем для простоты считать, что и A In. В этом случае из (4.4) с учетом замечания 4.1 следует более простая оценка n (M0 u)+ diam() n+ n+1,Qu max u+ ·.

(n + 1)|B1 |1/n Q Сформулируем оценку для оператора более общей структуры M u M0 u + bi (x;

t)Di u. (4.5) Теорема 4.6. Пусть, A In п.в. в Q, b Ln+1 (Q). Тогда для любой функции u, удовлетворяющей условиям теоремы 4.4, выполнена оценка n b (M u)+ n n+1,Qu n+1,Qu max u+ N6 (n) · diam n+1 () + ·.

Q 142 А. И. НАЗАРОВ Предположим теперь, что BR, а часть (обозначим ее ) лежит в плоскости xn = 0.

Введем обозначение = ]0, T ].

Теорема 4.7. Пусть выполнены условия теоремы 4.6. Пусть на задано нормированное векторное поле и выполнено условие некасательности (2.1). Тогда для любой функции u 2, Wn+1 (Q) C(Q) такой, что u Q\ 0, выполнена оценка n b (M u)+ N7 (n) n n+1,Qu n+1,Qu max u+ · R n+1 + · + n1 Q (u/)+ n+ b n+1,Qu,u + R+ ·.

Пусть на задан параболический оператор Вентцеля с измеримыми коэффициентами Bu t u km Dk Dm u + i Di u;

(x ;

t) 0;

km (x ;

t) = mk (x ;

t);

(km ) 0.

Теорема 4.8. Пусть выполнены условия теоремы 4.6. Пусть, In1 п.в. на, 2,1 2, n 0, Ln (). Тогда для любой функции u Wn+1 (Q) Wn () C(Q) такой, что u Q\ 0, справедлива оценка N1 N max u+ · (M u)+ + · (Bu)+ n,u, n+1,Qu Q где n n b n+ n n+1,Qu n,u N1 = N7 (n) · R, + + n+ n2 n b n n1 n+1,Qu n,u N2 = N7 (n) · R.

+ + n Рассмотрим, наконец, двухфазную задачу Вентцеля. Предположим, что BR и поверхность = Q {xn = 0} разделяет Q на две части Q±. Зададим в Q± операторы M ± вида (4.5):

M ± u ± (x;

t)t u a± (x;

t)Di Dj u + b± (x;

t)Di u.

ij i На зададим «оператор сопряжения»

Bu (x ;

t)t u km (x ;

t)Dk Dm u + m (x ;

t)Dm u + J u, где J — оператор «скачка»

() (+) J u n (x ;

t) lim Dn u(x, xn ;

t) n (x ;

t) lim Dn u(x, xn ;

t).

xn 0 xn 0+ Теорема 4.9. Пусть ±, A± In п.в. в Q±, b± Ln+1 (Q± ). Далее, пусть, 2, ± 0, Ln (). Тогда для любой функции u Wn+1 (Q+ Q ) In1 п.в. на, n 2, Wn () C(Q) такой, что u Q 0, выполнена оценка N3 N4 (M u)+ + (M + u)+ max u+ · + · (Bu)+ n,u, n+1,Q n+1,Q+ u u Q ПРИНЦИП МАКСИМУМА А. Д. АЛЕКСАНДРОВА где n n n b b+ n+ n+1,Q n+1,Q+ n n,u N3 = N8 (n) · R n+1 +, + + u u n2 1 n2 b b+ n n n n1 n+1,Q n+1,Q+ n,u N4 = N8 (n) · R n + + +.

u u СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Александров А. Д. Исследования о принципе максимума, I// Изв. высш. учебн. завед., сер. мат. — 1958. — № 5. — С. 126–157.

2. Александров А. Д. Исследования о принципе максимума, II// Изв. высш. учебн. завед., сер. мат. — 1959. — № 3. — С. 3–12.

3. Александров А. Д. Исследования о принципе максимума, III// Изв. высш. учебн. завед., сер. мат. — 1959. — № 5. — С. 16–32.

4. Александров А. Д. Исследования о принципе максимума, IV// Изв. высш. учебн. завед., сер. мат. — 1960. — № 3. — С. 3–15.

5. Александров А. Д. Исследования о принципе максимума, V// Изв. высш. учебн. завед., сер. мат. — 1960. — № 5. — С. 16–26.

6. Александров А. Д. Исследования о принципе максимума, VI// Изв. высш. учебн. завед., сер. мат. — 1961. — № 1. — С. 3–20.

7. Александров А. Д. Некоторые оценки, касающиеся задачи Дирихле// Докл. АН СССР. — 1960. — 134, № 5. — С. 1001–1004.

8. Александров А. Д. Условия единственности и оценки решения задачи Дирихле// Вестн. ЛГУ, сер. мат.

мех. астр. — 1963. — № 13. — С. 5–29.

9. Александров А. Д. Мажорирование решений линейных уравнений второго порядка// Вестн. ЛГУ, сер.

мат. мех. астр. — 1966. — № 1. — С. 5–25.

10. Александров А. Д. Один общий метод мажорирования решений задачи Дирихле// Сиб. мат. ж. — 1966. — 7, № 3. — С. 486–498.

11. Александров А. Д. О мажорантах решений и условиях единственности для эллиптических уравнений// Вестн. ЛГУ, сер. мат. мех. астр. — 1966. — № 7. — С. 5–20.

12. Александров А. Д. Невозможность общих оценок решений и условий единственности для линейных уравнений с нормами, более слабыми, чем Ln // Вестн. ЛГУ, сер. мат. мех. астр. — 1966. — № 13. — С. 5–10.

13. Александров А. Д. Принцип максимума// Докл. АН СССР. — 1967. — 173, № 2. — С. 247–250.

14. Александров А. Д. Некоторые оценки для производной решения задачи Дирихле на границе// Докл.

АН СССР. — 1967. — 173, № 3. — С. 487–490.

15. Александров А. Д. Некоторые оценки решений задачи Дирихле// Вестн. ЛГУ, сер. мат. мех. астр. — 1967. — № 7. — С. 19–29.

16. Апушкинская Д. Е. Оценка максимума решений параболических уравнений с граничным условием Вентцеля// Вестн. ЛГУ, сер. мат. мех. астр. — 1991. — № 2. — С. 3–12.

17. Апушкинская Д. Е., Назаров А. И. Гельдеровские оценки решений вырожденных граничных задач Вентцеля для параболических и эллиптических уравнений недивергентного вида// Пробл. мат. анал. — 1997. — 17. — С. 3–19.

18. Апушкинская Д. Е., Назаров А. И. Оценки на границе области градиента решения недивергентного па раболического уравнения с «составной» правой частью и коэффициентами при младших производных// Пробл. мат. анал. — 1995. — 14. — С. 3–27.

19. Бакельман И. Я. К теории квазилинейных эллиптических уравнений// Сиб. мат. ж. — 1961. — 2. — С. 179–186.

20. Гилбарг Д., Трудингер Н. С. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. — М.: Наука. 1989.

21. Крылов Н. В. Некоторые оценки плотности распределения стохастического интеграла// Изв. АН СССР, сер. мат. — 1974. — 38, № 1. — С. 228–248.

22. Крылов Н. В. Последовательности выпуклых функций и оценки максимума решения параболического уравнения// Сиб. мат. ж. — 1976. — 17, № 2. — С. 290–303.

144 А. И. НАЗАРОВ 23. Крылов Н. В. О принципе максимума для нелинейных параболических и эллиптических уравнений// Изв. АН СССР, сер. мат. — 1978. — 42, № 5. — С. 1050–1062.

24. Крылов Н. В. Об оценках максимума решения параболического уравнения и оценках распределения семимартингала// Мат. сб. — 1986. — 130 (172), № 2 (6). — С. 207–221.

25. Крылов Н. В., Сафонов М. В. Оценки вероятности угасания диффузионного процесса// Докл. АН СССР. — 1979. — 245, № 1. — С. 18–20.

26. Крылов Н. В., Сафонов М. В. Некоторое свойство решений параболических уравнений с измеримыми коэффициентами// Изв. АН СССР, сер. мат. — 1980. — 44, № 1. — С. 161–175.

27. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. — М.: Наука. 1964. Изд.2: М., Наука. 1973.

28. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Об оценках гельдеровских норм для решений квазилинейных уравнений недивергентного типа// Успехи мат. наук. — 1980. — 35, № 4. — С. 144–145.

29. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Оценки решений квазилинейных параболических уравнений недивергентного типа// Успехи мат. наук. — 1981. — 36, № 4. — С. 220.

30. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Оценка гельдеровской нормы решений квазилинейных эллипти ческих уравнений второго порядка общего вида// Зап. науч. семин. ЛОМИ. — 1980. — 96. — С. 161–168.

31. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Оценки и константы Гельдера для функций, удовлетворяющих равномерно эллиптическому или равномерно параболическому квазилинейному неравенству с неогра ниченными коэффициентами// Зап. науч. семин. ЛОМИ. — 1985. — 147. — С. 72–94.

32. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. О разрешимости первой краевой задачи для квазилинейных эллиптических и параболических уравнений при наличии особенностей// Докл. АН СССР. — 1985. — 281, № 2. — С. 275–278.

33. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Об оценках на границе области норм Гельдера производных решений квазилинейных эллиптических и параболических уравнений общего вида/ Препр. ЛОМИ. — 1985. — С.3–43.

34. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Мажорирование на границе области норм Гельдера производных решений квазилинейных эллиптических и параболических уравнений общего вида// Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. — 1988. — 179. — С. 102–125.

35. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Обзор результатов по разрешимости краевых задач для равномер но эллиптических и равномерно параболических уравнений второго порядка, имеющих неограниченные особенности// Успехи мат. наук. — 1986. — 41, № 5. — С. 59–83.

36. Надирашвили Н. С. Некоторые оценки в задаче с наклонной производной// Изв. АН СССР, сер. мат. — 1988. — 52, № 5. — С. 1082–1090.

37. Назаров А. И. Об оценках констант Гельдера для решений начально-краевой задачи с наклонной производной для параболического уравнения// Зап. науч. семин. ЛОМИ. — 1987. — 163. — С. 130–131.

38. Назаров А. И. Гельдеровские оценки для ограниченных решений задач с наклонной производной для параболических уравнений недивергентной структуры// Пробл. мат. анал. — 1990. — 11. — С. 37–46.

39. Назаров А. И. Интерполяция линейных пространств и оценки максимума решения для параболических уравнений// В кн.: Дифференциальные уравнения с частными производными. — Новосибирск: Ин-т мат. Сиб. отд. АН СССР, 1987. — 2. — С. 50–72.

40. Назаров А. И. Приграничные оценки решений задачи Вентцеля для параболических и эллиптических уравнений в области с границей класса Wq1 // Пробл. мат. анал. — 2002. — 24. — С. 181–204.

41. Назаров А. И. Оценки максимума решений эллиптических и параболических уравнений через весовые нормы правой части// Алгебра анал. — 2001. — 13, № 2. — С. 151–164.

42. Назаров А. И., Уральцева Н. Н. Выпукло-монотонные оболочки и оценка максимума решения парабо лического уравнения// Зап. науч. семин. ЛОМИ. — 1985. — 147. — С. 95–109.

43. Пуччи К. Максимизирующие эллиптические операторы, приложения и гипотезы// Дифференциальные уравнения с частными производными/ Тр. междунар. конф. — Новосибирск: Наука, 1986. — С. 167–172.

44. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. — М.: Мир, 1973.

45. Сафонов М. В. Неравенство Гарнака для эллиптических уравнений и гельдеровская непрерывность их решений// Зап. науч. семин. ЛОМИ. — 1980. — 96. — С. 272–287.

46. Трудингер Н. С. Личное сообщение.

47. Aleksandrov A. D. The method of normal map in uniqueness problems and estimations for elliptic equations// Seminari 1962/63 di analisi, algebra, geometria e topologia. — Roma, 1965. — 2. — С. 744– 786.

ПРИНЦИП МАКСИМУМА А. Д. АЛЕКСАНДРОВА 48. Apushkinskaya D. E., Nazarov A. I. H lder estimates of solutions to initial-boundary value problems for o parabolic equations of nondivergent form with Wentzel boundary condition// Amer. Math. Soc. Transl. — 1995. — 64. — С. 1–13.

49. Apushkinskaya D. E., Nazarov A. I. Linear two-phase Venttsel problems// Arkiv f r matematik. — 2001. — o 39, № 2. — С. 201–222.

50. Apushkinskaya D. E., Nazarov A. I. A survey of results on nonlinear Venttsel problems// Appl. Math. — 2000. — 45, № 1. — С. 69–80.

51. Caffarelli L. A. Elliptic second order equations// Rend. del Semin. Mat. e Fis. de Milano. — 1988. — 58. — С. 253–284.

52. Caffarelli L. A. Interior apriori estimates for solutions of fully nonlinear equations// Ann. Math. — 1989. — 130. — С. 189-213.

53. Caffarelli L. A., Cabre X. Fully nonlinear elliptic equations// AMS Colloq. Publ. — 1995. — 43.

54. Cabre X. On the Aleksandrov–Bakel’man–Pucci estimate and the reversed H lder inequality for solutions o of elliptic and parabolic equations// Commun. Pure Appl. Math. — 1995. — 48. — С. 539–570.

55. Cabre X. Topics in regularity and qualitative properties of solutions of nonlinear elliptic equations// Discr.

Contin. Dynam. Systems. — 2002. — 8, № 2. — С. 331–359.

56. Fabes E. B., Strook D. W. The Lp -integrability of Green’s functions and fundamental solutions for elliptic and parabolic equations// Duke Math. J. — 1984. — 51. — С. 997–1016.

57. Franciosi M. Maximum principle for second order elliptic equations and applications// J. Math. Anal.

Appl. — 1989. — 138. — С. 343–348.

58. Kenig C. E., Nadirashvili N. S. On optimal estimates for some oblique derivative problems// J. Funct.

Anal. — 2001. — 187. — С. 70–93.

59. Lieberman G. M. The maximum principle for equations with composite coefficients// Electronic J. Differ.

Equations. — 2000. — 38. — С. 1–17.

60. Lieberman G. M. Maximum estimates for oblique derivative problems with right-hand side in Lp, p n// Manuscr. Math. — 2003. — 112. — С. 459–472.

61. Luo Y. An Aleksandrov–Bakel’man-type maximum principle and applications// J. Differ. Equations. — 1993. — 101, № 2. — С. 213–231.

62. Luo Y., Trudinger N. S. Linear second order elliptic equations with Venttsel boundary conditions// Proc.

Roy. Soc. Edinburgh, Sec. A. — 1991. — 118. — С. 193–207.

63. Pucci C. Un problema variazionale per i coefficienti di equazioni differenziali di tipo ellitico// Ann. Sc.

Norm. Sup. Pisa. — 1962. — 16. — С. 159–172.

64. Trudinger N. S. Local estimates for subsolutions and supersolutions of general second order elliptic quasilinear equations// Inv. Math. — 1980. — 61. — С. 67–79.

65. Tso K. On an Aleksandrov–Bakel’man type maximum principle for second-order parabolic equations// Commun. Partial Differ. Equations. — 1985. — 10, № 5. — С. 543–553.

66. Wang L. On the regularity theory of fully nonlinear parabolic equations, I// Commun. Pure Appl. Math. — 1992. — 45. — С. 27–76.

А. И. Назаров Санкт-Петербургский государственный университет E-mail: an@AN4751.spb.edu Современная математика и ее приложения. Том 29 (2005). С. 146– УДК 517. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ПЛОТНОСТИ СПЕКТРАЛЬНОЙ МЕРЫ СИНГУЛЯРНОГО ОПЕРАТОРА ШТУРМА–ЛИУВИЛЛЯ c 2005 г. А. С. ПЕЧЕНЦОВ, А. Ю. ПОПОВ В пространстве L2 [0, +) рассмотрим оператор, задаваемый дифференциальным выражением y(x) y (x) q(x)y(x), q C[0, +), q : [0, +) R, и граничным условием y(0) cos + y (0) sin = 0, R.

Пусть (x, ) и (x, ) — решения уравнения y = y, R, (1) с начальными условиями (0, ) = (0, ) = sin, (0, ) = cos, (0, ) = cos.

По теореме Г. Вейля [11] существует неубывающая и ограниченная снизу на R функция () (возможно не единственная) такая, что 1) для любого f L2 [0, +) существует предел (обобщенное преобразование Фурье функ ции f ) n f () = lim f (x)(x, )dx, L2 (R,d ) n т.е.

+ n lim f () Fn () d () = 0, где Fn () = f (x)(x, )dx.

n 2) Функция f представляется как предел в L2 [0, ) «преобразования Фурье по мере d » oт функции f :

+ n f (x) = f ()(x, )d () = lim f ()(x, )d ().

n L2 [0,+) n При Im z 0 рассмотрим функцию + d () ctg +, sin = 0, z m(z) = + 1 a + + d0 (), sin = 0, z 1 + где постоянная a C выбирается так, чтобы при z i имела место асимптотика m(z) = i z + () + o(1).

Тогда решение (x, z) + m(z)(x, z) уравнения (1) принадлежит пространству L2 [0, ).

c Ин-т кибернетики АН Грузии, ISSN 1512– АСИМПТОТИКА ПЛОТНОСТИ СПЕКТРАЛЬНОЙ МЕРЫ В точках непрерывности, функция () связана с функцией Вейля—Титчмарша m(z) по формуле () () = lim Im m(t + i)dt.

+ В случае q(x) 0 явный вид плотности спектральной меры () был указан Титчмаршем [10]:

, 0, ( sin2 + cos2 ) () = 0, 0, tg 0, 2 cos sin3 ( ), 0, tg 0, где 0 = ctg2, — дельта-функция Дирака.

Впервые оценку сверху спектральной функции () (sin = 0) при + для локально суммируемого потенциала q(x) получил Левитан [1], а затем Марченко [2] установил асимптоти ческую формулу при +:

2 1/2, sin = 0, () sin 2 3/2, sin = 0.

Изучению спектральной функции () посвящены работы [6–9].

Уточнения асимпотики () при + производились по двум направлениям условий на потенциал q:

I. q L(0, +);

II. q(x) +, x +, причем + + + q2 |q | dx, dx, dx =.

|q|5/2 |q|3/2 |q| Мы ограничимся рассмотрением случая II. Именно в этой ситуации для q(x) = x и q(x) = x мы изучали концентрацию отрицательного спектра (см. [3, 4]) в сколь угодно малой окрестности собственного значения невозмущенного оператора ( = 0). Истэм [9] получил асимптотическое разложение 0 () при + для гладких на [0, +) потенциалов, имеющих порядок роста на бесконечности такой же, как и у xc, 0 c 2.

Теорема А (см. [9]). Пусть функция q дифференцируема M + 2 раз (M 1), причем про изводная (M + 1)-го порядка локально абсолютно непрерывна на [0, +) и дополнительно к условиям II выполнены следующие условия при x [1, ):

Kxc, |q () (x)| K xc, q(x) 1 M + 2, где K, K — положительные постоянные, 0 c 2. Тогда имеет место асимптотика [M ] cr (2r1)/2 + O ( 2 )+, M 0 () = 3/2 q(0)1/2 + c0 + +, r= {cr } где — последовательность чисел, зависящих от потенциала q.

r=o В [9] анонсирован аналогичный результат при произвольном значении (0, ). Асимптоти ческое разложение () начинается с 1/2 sin2 и далее идет по полуцелым отрицательным степеням.

Отметим, что потенциал q(x) = xp, 0 p 2, p = 1, ввиду особенности производных в точке x = 0 не удовлетворяет условиям теоремы А.

148 А. С. ПЕЧЕНЦОВ, А. Ю. ПОПОВ В этой работе мы находим несколько первых слагаемых в асимптотике () (0 ) для существенно более широкого, чем в [9], класса потенциалов. Мы не требуем дифференцируемости q(x) в нуле. Производная потенциала q (x) может неограниченно расти в окрестности нуля, однако q (x) = o(1/x) при x +0. Также снимается ограничение q(x) xc, x +. Неограниченность q (x) в окрестности нуля приводит к тому, что разложение () при + идет уже не по полуцелым степеням, а по системе функций достаточно сложной природы (см. ниже (2)). Ана лиз формулы (2) показывает, что получение явной формы полного асимптотического разложения при + для произвольных бесконечно гладких на (0, +) и даже «достаточно правильно»

ведущих себя на бесконечности потенциалов (в точке x = 0 гладкости может не быть!) является очень трудной задачей. В связи с этим мы ограничились написанием только нескольких первых слагаемых асимптотики ().

Теорема 1. Предположим, что непрерывная и неубывающая на [0, +) действительнознач ная функция q(x) такая, что q(0) = 0, q(x) + при x +, удовлетворяет следующим условиям:

+ 1/ 1) q(x) dx = +;

2) q C 3 (0, +), q (x) сохраняет знак при больших x и q (x) имеет ограниченную вариа цию на [1, +);

3) для всех 0 при x + выполняются оценки q(x) = O x2+, q () (x) = O q(x)x, = 1, 2, 3.

4) при x +0 справедливы оценки q () (x) = o x, = 1, 2, 3.

Тогда для плотности спектральной меры оператора имеет место асимптотика () =, (2) 2 2 + S(, ) + o(1/) sin + cos где + 1 1 sin2 q (x) cos(2x )dx + S(, ) = q (x) cos(2x )dx + q 2 4 2 0 + 1 1 1 sin 2 q (x) sin(2x )dx.

+ q (x) sin(2x )dx + q + 2 2 43/ 2 0 Следствие 1. Если потенциал q(x) из теоремы 1 удовлетворяет дополнительным условиям q C 1 [0, +), q L(0, 1), то при + () =, sin 2 1 sin2 + cos2 q (0) + sin2 S1 () + o 4 2 где + 1 S1 () = q (x) cos(2x )dx + q q (x) cos(2x )dx.

4 2 0 АСИМПТОТИКА ПЛОТНОСТИ СПЕКТРАЛЬНОЙ МЕРЫ Следствие 2. Если потенциал q(x) из теоремы 1 удовлетворяет дополнительным условиям q C 2 [0, +), q (x) L(0, 1), то при + () =.

sin2 sin 2 2 sin + cos q (0) q (0) + o 8 4 Следствие 3. Для q(x) = xp, 0, 0 p 2 плотность спектральной меры () опера тора имеет следующую асимптотику при +:

() = p p sin2 + cos2 + 2p1 (1 + p) sin2 cos p/2 sin(2) sin (p1)/2 + o 2 2 при 0 p 1 и () = p sin2 + cos2 + 2p1 (1 + p) sin2 cos p/2 + o 2 при 1 p 2.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Левитан Б. М. К теореме разложения по собственным функциям дифференциальных уравнений второго порядка// Докл. АН СССР. — 1950. — 71, № 4. — С. 605–608.

2. Марченко В. А. Некоторые вопросы теории одномерных линейных дифференциальных операторов вто рого порядка// Тр. Моск. мат. о-ва. — 1951. — 1. — С. 327–420.

3. Печенцов А. С., Попов А. Ю. Асимптотическое поведение спектральной меры семейства операторов y xy// Диффер. уравн. — 2000. — 36, № 3. — С. 336–344.

4. Печенцов А. С., Попов А. Ю. Асимптотическое поведение спектральных функций дифференциальных операторов y x2 y// Мат. заметки. — 1998. — 63, № 2. — С. 303–306.

5. Титчмарш Э. Ч. Разложение по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. — Т. 1. — М., 1960.

6. Atkinson F. V. On the asymptotic behaviour of the Titchmarsh–Weyl m-coefficient and the spectral function for scalar second-order differential expressions/ Lect. Notes Math. — 964.

7. Bennewitz C. Spectral asymptotics for Sturm–Lioville equations// Proc. London Math. Soc. (3). — 1989. — 59. — С. 294–338.

8. Harris B. J. The asymptotic form of the spectral functions associated with a class of Sturm–Lioville equations// Proc. Roy. Soc. Edinburgh, Ser. A. — 1985. — 100. — С. 343–360.

9. Eastham M. S. P. The asymptotic form of the spectral function in Sturm–Liouville problems with a large potential like xc (c 2)// Proc. Roy. Soc. Edinburgh, Ser. A. — 1998. — 128. — С. 37–45.

10. Titchmarsh E.C. Some theorems on perturbation theory, III// Proc. Roy. Soc., Ser. A. — 1951. — 207. — С. 321–328.

11. Weyl H. // Math. Ann. — 1910. — 68. — С. 220–268.

Современная математика и ее приложения. Том 29 (2005). С. 150– УДК 517. ОБ ОБОБЩЕННОЙ ЗАДАЧЕ ШТУРМА—ЛИУВИЛЛЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ С РАЗРЫВНЫМИ РЕШЕНИЯМИ c 2005 г. Ю. В. ПОКОРНЫЙ, М. Б. ЗВЕРЕВА, С. А. ШАБРОВ АННОТАЦИЯ. Изучаются разрывные решения задачи Штурма—Лиувилля, дифференциальный оператор которой представляет собой обобщенное дифференцирование в каком-либо смысле.

Ниже изучаются разрывные решения задачи du p +Qu=F, (1) dx u(0) = u(1) = 0, (2) где штрих обозначает обобщенное дифференцирование в каком-либо смысле. Для нас обобщение процедуры дифференцирования интересно тогда, когда она оказывается поточечной, что обычно бывает обусловлено обращением какого-либо интегрирования, порождаемого спецификой исходной задачи [4]. Так, в классе непрерывных решений оказалось возможным трактовать уравнение (1) в виде d du dQ dF p + u=, (3) d dx d d где d/d — производная по Радону—Никодиму (обращающая -интегрирование по Стилтьесу), а — строго монотонная функция, определяемая исходными параметрами p, Q, F задачи. Именно в этом плане, позволяющем исходное обобщенное уравнение (1) трактовать как поточечно определя емое (т.е. обыкновенное) с опорой на процедуру интегрирования по Стилтьесу, проводился анализ непрерывных решений задачи Штурма—Лиувилля с импульсными коэффициентами (см. [5, 9]).

Концепцию опоры на дифференциалы Стилтьеса ниже мы переносим на задачу с разрывными решениями, трактуя уравнение (1) в интегро-дифференциальной форме x pu (x) u d[Q] + F (x) = const (4) и расширяя (что обозначается заключением дифференциала dQ в квадратные скобки) понятие ин теграла Стилтьеса. Помимо объяснения и мотивации такого интеграла мы устанавливаем ниже, что уравнение (4) обладает основными свойствами обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка — от постановки задачи Коши и «регулярных» свойств ее решения до теорем типа Штурма о перемежаемости нулей. Здесь возникают трудности даже с описанием привыч ных свойств, переносимых на не просто негладкие, но и разрывные решения, например, свойств, связанных с вронскианной техникой и кратностями нулей.

def 1. Для обычного интегрирования по Стилтьесу (при [d] = d) уравнение типа (4) изучалось в работах [5, 9]. Основные трудности порождались сингулярными точками Q и F, где (x) могла иметь скачки. Если в одной из таких точек (разрыва, например, Q) допустить и разрыв решения, x то соответствующий интеграл с переменным пределом u dQ лишается (как функция x) смысла в этой точке. Подобные ситуации вынуждают нас расширять смысл интеграла Стилтьеса. Чтобы Работа выполнена при поддержке гранта Министерства образования РФ (КЦСПбГУ) (грант № Е02-1.0-46), гран та Министерства образования РФ (КЦСПбГУ) на поддержку научно-исследовательской работы аспирантов высших учебный заведений (грант № А03-2.8-65), РФФИ (гранты №№ 04-01-00049, 02-01-00307), программы «Университеты России» (проект УР.04.01.004) и гранта Президента РФ на поддержку ведущих научных школ НШ-1643.2003.1.

c Ин-т кибернетики АН Грузии, ISSN 1512– ОБ ОБОБЩЕННОЙ ЗАДАЧЕ ШТУРМА—ЛИУВИЛЛЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ С РАЗРЫВНЫМИ РЕШЕНИЯМИ сделать это расширение натуральным, мы будем исходить из физической природы подобных за дач. Мы локализуем особенности, ограничившись одной сингулярной точкой, и предположим, что задача «типа (1), (2)» имеет вариационную природу.

Рассмотрим одномерный упругий континуум (стилтьесовскую струну), расположенный вдоль [0, 1]. Предположим, что в точке (0, 1) находится лишь одна особенность, порождаемая раз рывом струны. Мы предполагаем при этом наличие упругой связи типа пружины жесткости, скрепляющей левый и правый куски системы в рассматриваемой окрестности. Пусть правый конец левой струны (при x = 0) и левый конец правой струны (при x = + 0) дополнительно упруго связаны с внешней средой с помощью двух пружин жесткости 1 и 2 соответственно. Обозначим через u(x) отклонение струны в точке x от положения равновесия под влиянием внешней силы интенсивности f (x). В точке x = функция u(x) не определена, но определены и имеют физи ческий смысл предельные значения u( 0), u( + 0) — концы левого и правого кусков системы.

Интенсивность f (x) внешней силы определена при x =. Предположим, что на правый конец ле вой струны действует сосредоточенная сила f1, а на левый конец правой струны – f2. Тогда общая энергия, затрачиваемая внешней силой на придание системе формы u(x), на произвольном участке (, ), содержащем, равна 0 u(x)f (x)dx + f1 u( 0) + f2 u( + 0) + u(x)f (x)dx.

+ Пусть p(x) — локальное натяжение струн при (x = ). Внутренняя энергия, накапливаемая систе мой на участке (, ) за счет собственной упругости, выражается суммой интегралов 0 pu 2 pu dx + dx.

2 + Энергия, накапливаемая тремя пружинами за счет отклонения концов u( 0), u( + 0), может быть представлена как (u())2 1 u2 ( 0) 2 u2 ( + 0) + +, 2 2 где введено обозначение u() = u( + 0) u( 0). Таким образом, общая потенциальная энергия рассматриваемой системы равна 0 pu 2 pu 2 (u())2 1 u2 ( 0) (u) = dx dx 2 2 2 + 0 2 u2 ( + 0) + uf dx + f1 u( 0) + f2 u( + 0) + uf dx. (5) + Можно ли переписать последнюю сумму разного рода слагаемых в форме единого интеграла (что явилось существенным в работах [5, 9])?


Введем функцию x + 1, x, def (x) = x + (x ) = (6) x, x.

Полагая = p() и пользуясь интегралом Лебега—Стилтьеса по мере, порождаемой функцией (x), получим 0 2 2 (u())2 pu pux pux d = dx + + dx. (7) 2 2 2 + 152 Ю. В. ПОКОРНЫЙ, М. Б. ЗВЕРЕВА, С. А. ШАБРОВ Однако остальные слагаемые из (5) — ни сумму 1 u2 ( 0) 2 u2 ( + 0) +, 2 ни сумму 0 uf dx + f1 u( 0) + f2 u( + 0) + uf dx, + выразить с помощью обычных интегралов Стилтьеса u dQ, u dF, как это делалось в [5, 9], не удается. Дело в том, что при интегрировании по Стилтьесу в точках ненулевой меры важны лишь собственные значения функции интегрируемой вместе с предельными (слева и справа) значениями функции интегрирующей. А в нашем случае u( 0) = u( + 0), и физически очевидно, что функции Q, F не могут быть непрерывными в точке x =, т.е. Q-мера и F -мера у точки ненулевые, и, кроме того, как бы расщепленные в силу двойных разрывов функций Q, F.

Вводимое ниже понятие -интеграла позволяет изменить ситуацию так, что все внеинтегральные слагаемые в (5) окажутся полноценными компонентами расширенного интеграла (-интеграла), где мы каждому из концов 0 и + 0 будем приписывать собственную меру, как бы засчитывая прежнюю точку дважды в виде пар { 0, }, {, + 0}.

2. Пусть v(x) — строго монотонная функция, определенная на [0, 1]. Обозначим через S(v) мно жество точек разрыва функции v(x). Будем рассматривать случай, когда множество S(v) замкнуто в (0, 1). Отметим, что нам важно, чтобы функция v(x) была определена в каждой из точек S(v).

Добавим к [0, 1] для каждой точки S(v) элементы-символы 0 и + 0, полагая при этом x 0 для всех x, а также + 0 x при всех x. Обозначим это расширение через [0, 1]v.

Нетрудно видеть, что [0, 1]v является пополнением [0, 1] по метрике (a, b) = |v(b) v(a)|. То пология на [0, 1]v индуцируется метрикой. Метрическое пространство [0, 1]v разрывно, на нем каждая функция ограниченной вариации z(x), для которой S(z) S(v), приобретает в точках S(Z) собственные значения z( 0), z( + 0), бывшие ранее предельными.

Аддитивная функция сегмента v([a, b]) = v(b) v(a) непрерывна на [0, 1]v. Можно показать, что v([a, b]) допускает стандартное продолжение до счетно-аддитивной меры на системе борелевских (относительно [0, 1]v ) подмножеств. Заметим, что v-мера множества [ 0, ], есть v[ 0, ] = v() v( 0).

Аналогично v[, + 0] = v( + 0) v(), v[ 0, + 0] = v( + 0) v( 0).

Для всякой функции ограниченной вариации u(x), определенной на [0, 1]v \S(v), интеграл Лебега—Стилтьеса ud[v] по мере v может быть вычислен по формуле u d[v] = u dv0 + u(s 0)(v(s) v(s 0)) + u(s + 0)(v(s + 0) v(s)), (8) s s где v0 — непрерывная часть v(x) (, [0, 1]v ), и будем называть такой интеграл -интегралом.

Заметим, что в данном случае мы можем интегрировать по любому борелевскому (относительно [0, 1]v ) множеству.

ОБ ОБОБЩЕННОЙ ЗАДАЧЕ ШТУРМА—ЛИУВИЛЛЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ С РАЗРЫВНЫМИ РЕШЕНИЯМИ В отличие от обычного интеграла Стилтьеса, собственное значение u(s) интегрируемой функции u в точке s S(v) разрыва функции v(x) никакой роли не играет (важны лишь u(s + 0), u(s 0)), зато в (8) учтены все три значения v(s 0), v(s + 0), v(s) функции интегрирующей.

Для произвольной функции ограниченной вариации v(x) интеграл ud[v] мы определим как u d[v] = u d[v1 ] u d[v2 ], где v1 и v2 — строго возрастающие функции из жорданова представления v = v1 v2.

Введем обозначения u() = u() u( 0), + u() = u( + 0) u() для левого и правого скачков функции u в точке соответственно.

Теорема 1. Обычный интеграл Лебега—Стилтьеса udv тогда и только тогда совпадает с -интегралом ud[v], когда u(s) v(s) = + u(s)+ v(s).

0s1 0s Таким образом, 1 u dv = u d[v], 0 если, например, в каждой точке из [0, 1] одна из функций u, v непрерывна, или одна из них непрерывна справа, а другая слева, или если обе функции регулярны, т.е. выполнено условие u(s 0) + u(s + 0) v(s 0) + v(s + 0) u(s) =, v(s) =.

2 3. Вернемся теперь к функционалу энергии (5). Введем функцию 0, x, Q(x) = 1, x =, 1 + 2, x.

Тогда определен интеграл u d[Q].

Согласно (8) имеем u2 1 u2 ( 0) 1 u2 ( + 0) d[Q] = +.

2 2 Положим 0, x, x F (x) = f (s)ds + f1, x =, f1 + f2, x.

154 Ю. В. ПОКОРНЫЙ, М. Б. ЗВЕРЕВА, С. А. ШАБРОВ Из (8) следует 0 u d[F ] = uf dx + uf dx + f1 u( 0) + f2 u( + 0).

+ Таким образом, функционал энергии (5) можно переписать в виде u pu (u) = d d[Q] + u d[F ]. (9) 2 Вариационная минимизация (по схеме Лагранжа) функционала приводит нас к уравнению (4).

Предметом нашего дальнейшего исследования будет являться именно это уравнение x pu (x) ud[Q] + F (x) = const. (10) 4. Пусть p(x), Q(x), F (x) — функции ограниченной вариации, определенные во всех точках отрезка [0, 1]. Пусть (x) — строго возрастающая функция, соизмеримая с наблюдаемым процессом.

Обозначим через S() множество точек разрыва (x). Будем предполагать, что p(x), Q(x), F (x), (x) непрерывны в точках x = 0 и x = 1, а p(x) 0 при x [0, 1]. Интеграл понимается в смысле (8).

Решения u(x) уравнения (4) будем искать в классе A функций, -абсолютно непрерывных на [0, 1], производные которых u (в смысле Радона—Никодима) являются функциями ограниченной вариации на [0, 1]. Тем самым всякое решение u(x) уравнения (4) есть функция ограниченной вариации на [0, 1], которая может иметь разрывы только в точках из S(). При этом значения u(i ) собственно в точках i S(), вообще говоря, не определены, точнее, несущественны;

играют роль лишь предельные значения u(i 0), u(i + 0).

У функций p, Q, F мы допускаем разрывы в точках вне S() (кроме концевых точек отрезка [0, 1]). Пусть S — множество всех точек разрыва функций p(x), Q(x) и F (x). Каждую точку S \ S() заменим на пару { 0, + 0}. Полученное расширение [0, 1] обозначим через [0, 1]S.

Уравнение (4) будем считать заданным на [0, 1]S.

Если x S(), т.е. x — точка из [0, 1]S, для которой определены все три значения u (x ), u (x 0), u (x + 0), причем полагается u(x + 0) u(x 0) u (x ) =, (x + 0) (x 0) то согласно (4) справедливы равенства + (pu )(x ) + u(x + 0)+ Q(x ) = + F (x ), (11) (pu )(x ) + u(x 0) Q(x ) = F (x ). (12) Если же s S \ S(), то (pu )(s) + u(s)Q(s) = F (s). (13) 5. Уравнение (4) напоминает по своим свойствам обыкновенное дифференциальное уравнение.

Опишем аналоги основных теорем из классической теории ОДУ.

Замечание 1. Ввиду того, что функция u(x) и её производная u (x) заданы на различных множествах [0, 1] \ S() и [0, 1]S соответственно, то задача Коши нами будет ставиться в виде главной версии, а именно в точке x0 + (14) u(x0 + 0) = u0, u (x0 + 0) = v0, ОБ ОБОБЩЕННОЙ ЗАДАЧЕ ШТУРМА—ЛИУВИЛЛЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ С РАЗРЫВНЫМИ РЕШЕНИЯМИ так как остальные задачи u(x0 0) = u0, u(x0 0) = u0, u(x0 + 0) = u0, u(x0 ) = u0, (1) (2) (3) (4) u (x0 0) = v0, u (x0 ) = v0, u (x0 ) = v0, u (x0 ) = v0, в силу равенств (11)–(13) сводятся к (14).

Теорема 2. Для всякой точки x0 [0, 1]S и любых чисел u0, v0 задача (4), (14) имеет на [0, 1] единственное решение.

Доказательство. Если вариация V01 (Q) = 0 (Q const), то разрешимость задачи (4),(14) очевид на.

Пусть V01 (Q) = 0. Как нетрудно видеть, поставленная задача эквивалентна разрешимости в C ([0, 1]S ) (банаховом пространстве -непрерывных функций с нормой u = max |u(x)|) урав x[0,1]S нения u(x) = z(x) + (Bu)(x), (15) где x d(t) z(x) = u0 + (F (t) + F (x0 ) + p(x0 )v0 ), (16) p(t) x x t (Bu) (x) = u(s)d[Q(s)]d(t), (17) p(t) x0 x или существованию неподвижной в C ([0, 1]S ) точки у оператора (Au)(x) = z(x) + (Bu)(x).

Из определения оператора A следует для 1, 2 C ([0, 1]S ) V01 (Q) |(A(1 2 ))(x)| |(x) (x0 )| · max |1 (s) 2 (s)| (18) min p(x) s[x,x0 ] x[0,1]S (x [0, 1]S ), где V01 (Q) — полная вариация Q на [0, 1]S. Пусть и (0 x0 1) таковы, что V01 (Q) |( 0) ( + 0)| q 1.

min p(x) x[0,1]S Тогда |(A(1 2 ))(x)| q max |1 (x) 2 (x)|, x [, ]S.

[,]S Это означает, что оператор A является сжатием на C([, ]S ). Отсюда следует существование и единственность неподвижной точки оператора A, и, следовательно, и решения поставленной задачи Коши на отрезке [, ]S.

Докажем разрешимость задачи (4), (14). Пусть Sm = {1,..., m } S таковы, что 1 q (j ) min p, j = 1,..., m, где q 1.

V01 (Q) 2 [0,1]S На каждом отрезке [k + 0, k+1 0] выберем конечное число точек k k k k k + 0 = 0 1... nk nk+1 = k+1 так, чтобы V01 (Q) (i+1 ) (ik ) k q, i = 0,..., kn.

min p(x) x[0,1]S 156 Ю. В. ПОКОРНЫЙ, М. Б. ЗВЕРЕВА, С. А. ШАБРОВ Тогда на каждом отрезке [ik, i+1 ], k = 1,..., m, i = 0,..., nk, оператор B будет сжимающим в k соответствующем функциональном пространстве. Следовательно, уравнение u = Au разрешимо на каждом [ik, i+1 ].

k Пусть [ 1, 2 ] — отрезок, содержащий x0. Так как на C([ 1, 2 ]) оператор B является сжимаю щим, то существует ограниченное решение (x) уравнения (15). Поставим теперь задачу Коши в точке 2 + 0:

u( 2 + 0) = ( 2 + 0), (19) u ( 2 + 0) = ( 2 + 0), и рассмотрим интервал [ 2, 3 ], примыкающий к [ 1, 2 ] справа. На C([ 2, 3 ]) оператор B является сжимающим, следовательно, существует решение 0 (x), удовлетворяющее (14) при x0 = 2 + 0, u0 = ( 2 + 0) и v0 = ( 2 + 0). Продолжим этот процесс вправо до тех пор, пока не достигнем точки x = 1, что возможно в силу конечности количества отрезков [ik, i+1 ]. Аналогично мы k продолжаем решение (x) влево вплоть до точки x = 0. Теорема доказана.

Рассмотрим теперь для (4) аналог однородного уравнения x pu (x) u d[Q] = const. (20) Теорема 3. Множество всех решений уравнения (20) есть линейное многообразие. Решения 1 (x) и 2 (x) уравнения (20) с начальными условиями 1 (x0 + 0) = 1, 2 (x0 + 0) = 0, и d d 1 (x0 + 0) = 0 2 (x0 + 0) = 1, d d линейно независимы, образуя базис в пространстве всех решений уравнения (20).


Для определенных на [0, 1]S функций 1 и 2 положим 1 (x + 0) 2 (x + 0) d1 d W (x) =, (x) (x) d d если x S(), а при x S() введем W (x) равенством классического типа 1 (x) 2 (x) W (x) = d1 d2.

(x) (x) d d Так как d (x 0) = (x + 0) (x) · (x) d при x S(), то в точках S() функция W (x) может быть определена как 1 (x 0) 2 (x 0) d1 d W (x) =.

(x) (x) d d Теорема 4. Пусть 1 (x) и 2 (x) — произвольные решения уравнения (20). Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) W (x) = 0 хотя бы при некотором x [0, 1]S ;

2) W (x) 0;

3) 1 и 2 линейны зависимы.

Доказательство на основании теоремы 2 проводится алгебраическими методами.

Для нетривиального решения u(x) уравнения (4) точку s будем называть нулевой, если u(s 0)u(s + 0) 0.

ОБ ОБОБЩЕННОЙ ЗАДАЧЕ ШТУРМА—ЛИУВИЛЛЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ С РАЗРЫВНЫМИ РЕШЕНИЯМИ Теорема 5. Всякое нетривиальное решение u(x) уравнения (20) может иметь лишь конечное число нулевых точек.

Лемма 1. Пусть функция Q(x) не убывает и пусть — нулевая точка нетривиального ре шения u(x) уравнения (20). Тогда если S(), то u ( 0)u ( + 0) 0. Если же S(), / то тройка чисел u (), u ( 0), u ( + 0) не имеет нулей и сохраняет знак.

Доказательство. Пусть S(). Тогда функция u(x) непрерывна в точке и u() = 0. Если одна / из производных u ( ± 0) равна нулю, то u(x) 0. Из (13) следует, что p( 0)u ( 0) = p( + 0)u ( + 0), т.е. u ( 0) и u ( + 0) имеют одинаковые знаки.

Пусть теперь S(). Рассмотрим случай, когда u( 0) 0, u( + 0) 0. Тогда u() u () = 0.

() Равенства (11) и (12) можно переписать в виде p( + 0)u ( + 0) = p()u () + u( + 0)+ Q(), p( 0)u ( 0) = p()u () u( 0) Q(), откуда вытекает положительность производных u ( 0), u ( + 0). Остальные случаи рассматри ваются аналогично.

Замечание 2. Предположение о возрастании Q(x) в предыдущей лемме существенно. Пусть, например, 0, 0 x 1, Q(x) = 3, x = 1, 4, 1 x 2, т.е. Q(x) монотонно убывает. Пусть (x) = x + (x 1), p(x) = 1. Тогда уравнение x u (x) u d[Q] = const имеет решение x, 0 x 1, u(x) = x, 1 x 2.

И хотя x = 1 — нулевая точка u(x), однако u (1) = 2, u (1 0) = 1, u (1 + 0) = 1.

Будем называть уравнение (20) неосциллирующим, если всякое нетривиальное его решение имеет не более одной нулевой точки.

Теорема 6. Для того, чтобы уравнение (20) было неосциллирующим, достаточно, чтобы функция Q(x) монотонно не убывала.

Доказательство. Пусть 1 и 2 — две соседние нулевые точки нетривиального решения u(x). Рас смотрим случай, когда u(1 0) 0, u(1 + 0) 0, u(2 0) 0, u(2 + 0) 0.

Перепишем на [1 + 0, 2 0] уравнение (20) в виде x pu (x) = u d[Q] + p(1 + 0)u (1 + 0). (21) 1 + Из леммы 1 следует p(1 + 0)u (1 + 0) 0. Из (21) вытекает неравенство u (2 0) 0. Однако u (2 ) 0, что противоречит лемме 1. Остальные случаи рассматриваются аналогично.

158 Ю. В. ПОКОРНЫЙ, М. Б. ЗВЕРЕВА, С. А. ШАБРОВ Сформулируем аналог теоремы Штурма для уравнения (20).

Теорема 7. Пусть 1 (x) и 2 (x) — линейно независимые решения уравнения (20). Тогда меж ду двумя соседними нулевыми точками решения 1 (x) находится по крайней мере одна нулевая точка решения 2 (x) и наоборот.

Доказательство. Не ограничивая общности, можем считать, что 1 (1 0) 0, 1 (1 + 0) 0, 1 (2 0) 0, 1 (2 + 0) 0.

1 (x) Предположим, что 2 (x) 0 для всех x [1 0, 2 + 0]. Так как функция непрерывна 2 (x) (в смысле введенной ранее топологии) на компакте [1 0, 2 + 0], то найдется такая точка [1 0, 2 + 0], что 1 (x) 1 () max =.

x[1 0,2 +0] 2 (x) 2 () 1 () Положим = и введем функцию h = 2 1. Очевидно, что h(x) 0 и h() = 0. Если 2 () S(), то одна из производных h ( ± 0) равна нулю, что противоречит линейной независимости / 1 (x) и 2 (x). Пусть = 0 для некоторой точки S()(1, 2 ). Тогда h ( 0) 0. С другой стороны, так как 1 (x) и 2 (x) — решения уравнения (20), то из (12) вытекают соотношения p(1 )h (1 ) = p(1 0)h (1 0), h (1 ) 0.

Следовательно, h (1 0) 0, а, значит h 0. Случай = + 0 аналогичен. Теорема доказана.

Рассмотрим теперь два уравнения x pu (x) = u d[Q1 ] + const, (22) x pv (x) = v d[Q2 ] + const. (23) Теорема 8. Пусть Q1 мажорирует Q2, т.е. функция Q1 Q2 не убывает. Пусть некото рые решения u, v уравнений (22), (23) линейно независимы. Тогда между любыми соседними нулевыми точками u(x) находится по крайней мере одна нулевая точка решения v(x) уравне ния (23).

Доказательство. Пусть 1, 2 — соседние нули u(x). Не ограничивая общности, можем считать, что выполнены условия u(1 0) 0, u(1 + 0) 0, u(2 0) 0, u(2 + 0) 0.

Предполагая утверждение теоремы неверным, предположим, что v(x) 0 при всех x [1 0, 2 + 0]. Из уравнений (22), (23) следует, что для всех, [0, 1]S справедливо v d[pu ] u d[pv ] = uv d[Q1 Q2 ]. (24) Положив в (24) = 1 + 0, = 2 0, получим v(2 0)p(2 0)u (2 0) v(1 + 0)p(1 + 0)u (1 + 0) u(2 0)p(2 0)v (2 0)+ 2 (25) u(1 + 0)p(1 + 0)v (1 + 0) = uv d[Q1 Q2 ].

1 + ОБ ОБОБЩЕННОЙ ЗАДАЧЕ ШТУРМА—ЛИУВИЛЛЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ С РАЗРЫВНЫМИ РЕШЕНИЯМИ Воспользовавшись равенством (24) при = 1, = 1 + 0, а затем при = 2 0, = 2 и проведя алгебраические преобразования, получим, что p(2 )v(2 0)u(2 + 0) u(2 0)p(2 )v(2 + 0) p(1 )u(1 + 0)v(1 0) + p(1 )u(1 0)v(1 + 0) 0.

Но левая часть полученного неравенства в силу сделанных предположений строго отрицательна.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Альбеверио С., Гестези Ф., Хоэг-Крон Р., Хольден Х. Решаемые модели в квантовой механике. — М:

Мир, 1991.

2. Аткинсон Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи. — М.: Мир, 1968.

3. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — М: Наука, 1967.

4. Покорный Ю. В. Интеграл Стилтьеса и производные по мере в обыкновенных дифференциальных уравнениях// Докл. РАН. — 1999. — 364, № 2. — С. 167–169.

5. Покорный Ю. В., Шабров С. А. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с обобщен ными коэффициентами// Тр. мат. ф-та ВГУ (нов. сер.). — 1999. — 4. — С. 84–96.

6. Розенфельд А. С., Яхинсон Б. И. Переходные процессы и обобщенные функции. — М: Наука, 1966.

7. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. — М.: Наука, 1985.

8. Шварц Л. Математические методы для физических наук. — М.:Мир, 1965.

9. Pokornyi Yu. V., Shabrov S. A. Toward a Sturm–Liouville theory for an equation with generalized coefficients// J. Math. Sci. — 2004. — 119, № 6. — С. 769–787.

Современная математика и ее приложения. Том 29 (2005). С. 160– УДК 517. НОВАЯ ОЦЕНКА ПРИБЛИЖЕНИЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ШТУРМА—ЛИУВИЛЛЯ С АНАЛИТИЧЕСКИМ ПОТЕНЦИАЛОМ ЧАСТИЧНЫМИ СУММАМИ АСИМПТОТИЧЕСКИХ РЯДОВ c 2005 г. И. В. САДОВНИЧАЯ АННОТАЦИЯ. Получена оценка приближения решений уравнения Штурма—Лиувилля с аналитическим потенциалом частичными суммами асимптотических рядов.

На отрезке a x a, a 0, рассмотрим дифференциальное уравнение y q(x)y = 2 y, 0, (1) с потенциалом q, аналитическим в некоторой окрестности отрезка [a, a].

Хорошо известно (см. [3, 4]), что решения уравнения (1) y0 (x, ) и y1 (x, ), удовлетворяющие начальным условиям y0 (0, ) = 1, y0 (0, ) = 0, y1 (0, ) = 0, y1 (0, ) = i, (2) разлагаются в формальные ряды, которые являются асимптотическими при +:

Bk,j (x) Bk,j (x) eix + (1)j eix yj (x, ), j = 0, 1. (3) (2i)k (2i)k k=0 k= Коэффициенты рядов (3) вычисляются по следующим рекуррентным формулам:

B0,0 (x) B0,1 (x) 1;

x n+j Bn+1,j (x) = Bn,j (x) + (1) Bn,j (0) + q(t)Bn,j (t) dt.

Ряды (3) являются асимптотическими для функций yj (x, ) в том смысле, что при любых n N справедлива равномерная по x [a, a] асимптотика yj (q, x, ) = Sn,j (q, x, ) + Oq,n (n1 ), +, с постоянной в символе O, зависящей только от потенциала q и номера n. Через Sn,j (q, x, ) здесь обозначена n-я частичная сумма асимптотического ряда (3):

n n Bk,j (x) Bk,j (x) eix + (1)j eix Sn,j (q, x, ) =. (4) (2i)k (2i)k k=0 k= Возникает вопрос о возможности приближенного вычисления значений yj (q, x, ) при 1, x [a, a] с помощью асимптотических рядов (3).

В работе [2] В. А. Садовничим и А. Ю. Поповым для потенциалов, аналитических в круге |z| R, R a и удовлетворяющих условию q(0) = 0, а также для потенциалов, аналитических в некоторой -окрестности отрезка [a, a], получены оценки для погрешности наилучшего прибли жения фундаментальной системы решений уравнения (1), удовлетворяющей начальным условиям (2), суммами (4), экспоненциально убывающие с ростом.

Цель настоящей работы — улучшить оценку, приведенную в статье [2] для потенциалов, анали тических в O(, [a, a]) — -окрестности отрезка [a, a], замыкание которой представляет собой объединение двух полукругов {|z a|, Re z a}, {|z + a|, Re z a} и прямоуголь ника {| Re z| a, | Im z| }. Существуют два аргумента в пользу необходимости рассматривать c Ин-т кибернетики АН Грузии, ISSN 1512– ОЦЕНКА ПРИБЛИЖЕНИЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ШТУРМА—ЛИУВИЛЛЯ потенциалы, аналитические именно в такой окрестности, а не только потенциалы, аналитические в круге. Первое — потенциал может иметь полюса на мнимой оси, находящиеся довольно близко к нулю (например, q(x) = 2 ). Второе — потенциал, аналитический в круге, может быстро x + a расти на мнимой оси (например, q(x) = cos ax, q(x) = exp(bx2 ), b 0). В этом случае его норма в рассматриваемой окрестности будет существенно меньше, чем его норма в круге, что позволит улучшить оценки.

Пусть a M0 = max |q(t)| dt, |q(t)| dt ;

a через n,j (q, x, ) обозначим невязку при приближении решения yj суммой Sn,j :

n,j (q, x, ) = yj (q, x, ) Sn,j (q, x, ).

Основной результат заключается в следующем.

Теорема 1. Пусть функция q(z) аналитична в O(, [a, a]) и следующая норма конечна |qn, |n+ max = M1 +, (5) n+ [a,a] n= q (n) () где qn, =. Для 0 положим N = N () = [2] 4. Тогда при N 1 имеем n!

2e 2aM (2 + 2)3.5 exp(M0 / + M e 2), sup max max |N,j (q, x, )| j=0,1 x[a,a] где M = M1 + M0.

Ключом к доказательству теоремы 1 является теорема об оценках коэффициентов асимптотиче ских рядов (3).

Теорема 2. Для коэффициентов асимптотического ряда (3) и их производных справедливы следующие оценки:

max max |Bn,j (q, x)| M (n + 2)!1n exp(M e), j=0,1 |x| a max max |Bn,j (q, x)| M n(n + 2)!n exp(M e).

j=0,1 |x| a Полученная оценка является почти неулучшаемой при растущем n на классе потенциалов с x заданным ограничением на норму (5). В работе [2] для q(x) = ln 1 была получена a+ оценка снизу 1 Bn,j (q, a) q (n2) (a) q (n2) (0) = (n 3)! 2n (n 3)!

(n ).

n2 (a + )n Легко проверяется, что |qk, |k+1 max = (1 ln ).

k+1 a+ [a,a] k= Таким образом, зазор между оценками max |Bn,j (q, x)| сверху и снизу на рассматриваемом клас |x| a се потенциалов при n составляет величину порядка n5, которая очень мала в сравнении с главным членом оценки, растущим как (n+2)!n. Доказательство приведенных результатов опуб ликовано в работе [1].

162 И. В. САДОВНИЧАЯ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Садовничая И. В. Новая оценка приближения решений уравнения Штурма—Лиувилля с аналитиче ским потенциалом частичными суммами асимптотических рядов/ Препринт.

2. Садовничий В. А., Попов А. Ю. // Диффер. уравн. — 1999. — 35, № 4. — С. 498–506.

3. Тамаркин Я. Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — Петроград, 1917.

4. Birkhoff G. D. // Trans. Amer. Math. Soc. — 1908. — 9. — С. 219–231.

И. В. Садовничая Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова E-mail: ivsad@yandex.ru Современная математика и ее приложения. Том 29 (2005). С. 163– УДК 517. ПРЯМАЯ ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ КАУСТИК ФРЕДГОЛЬМОВЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ c 2005 г. Ю. И. САПРОНОВ, Е. В. ЧЕМЕРЗИНА 1. Введение. Хорошо известно, что локальную параметризацию каустики (бифуркационной диа граммы функций [1, 2]) в конечнократной особой точке для гладкого параметрического семейства гладких фредгольмовых функционалов можно строить посредством схем конечномерной редукции [9, 4, 12, 7].

Следует однако отметить, что при всех своих достоинствах данный подход в практических применениях требует, во-первых, выполнения условия версальности, гарантирующего конечную определенность ключевой функции, и, во-вторых, большого количества вычислений (при прибли женном построении канонического отображения пространства управляющих параметров на базу ограниченной миниверсальной деформации генотипа особенности).

В [16] был предложен прямой подход к построению параметризации каустики, свободный от условия версальности и требующий существенно меньше вычислений. Этот подход основан на теории Релея—Шредингера [15] возмущений симметричных линейных операторов или, более точ но, на алгоритме Релея—Шредингера вычисления возмущенных простых собственных значений и собственных векторов, разложенных в степенные ряды по малым приращениям управляющих параметров.

Для разработки процедуры локальной параметризации каустики в [16] было предложено новое обобщение алгоритма Релея—Шредингера в случае кратного собственного значения и многомер ного (даже бесконечномерного) параметра.

В данной работе изложены теоретические основы нового подхода (включающего обобщенный алгоритм Релея—Шредингера) и описаны некоторые его применения к задаче параметризации каустик.

Ниже рассматривается абстрактный гладкий фредгольмов функционал V, заданный на банахо вом пространстве E, с условием, что он имеет в нуле конечнократную особенность. Как обычно, гладкой деформацией особенности V в нуле называется любое включение функционала V в глад кое -параметрическое семейство гладких функционалов V (x, ), V (x, 0) = V (x), определенных на некоторой окрестности нуля в E, U, U — некоторая окрестность нуля в R.

Среди всевозможных гладких деформаций выделяются так называемые версальные и минивер сальные, играющие важную роль в общей теории деформаций особенностей. Это связано с тем, что версальные деформации «содержат в себе» все допустимые метаморфозы (перестройки линий уровня, расклейки и склейки особых точек, различные бифуркационные эффекты и т.д.), которые могут произойти при произвольном гладком деформировании функционала.

Напомним [1, 2, 5], что гладкая деформация U (·, ) особенности функционала V в нуле называ U ется версальной, если факторклассы функционалов (x, 0) (k — координата, k = 1, 2,..., ) k дают систему линейных образующих в локальном кольце особенности V в нуле (рассматриваемом как линейное пространство). Систему функций U (x, 0), k = 1, 2,..., k иногда называют начальными скоростями деформации.

Работа выполнена при поддержке фонда «Университеты России» (грант УР.04.01.008) и Американского фонда гра жданских исследовательских работ (грант АФГИР 1684).

c Ин-т кибернетики АН Грузии, ISSN 1512– 164 Ю. И. САПРОНОВ, Е. В. ЧЕМЕРЗИНА Гладкая деформация U (x, ) называется миниверсальной, если факторклассы ее начальных ско ростей деформации образуют базис в локальном кольце особенности V в нуле.

Сокращенная на один параметр (после «отбрасывания» монома нулевой степени) миниверсаль ная деформация становится так называемой ограниченной миниверсальной деформацией. Число входящих в нее управляющих параметров совпадает с коразмерностью особенности.

Посредством миниверсальных деформаций вводятся различные бифуркационные диаграммы, важнейшими среди которых являются каустики, дискриминантные множества и множества Максвелла.

Каустика — это совокупность тех управлений, при которых V (·, ) имеет вырожденную критическую точку (в достаточно малой окрестности нуля). Дискриминантное множество Dskr — совокупность управлений, при которых V (·, ) имеет критическую точку на нулевой поверхности уровня. Множество Максвелла M — совокупность управлений, при которых V (·, ) принимает равные значения на паре различных критических точек.

Геометрическая структура этих множеств не изменяется после перехода к ключевой функции [7] W (, ) = inf V (x, ) (1) x: p(x)= (здесь p — редуцирующая субмерсия [12]).

На практике функция W разыскивается в виде полиномиальной нормальной формы k () k W0 () + (2) kK Zn, (K — конечное подмножество в W0 — полином). Если деформация миниверсальна, то отобра + жение : = (k ())kK (3) субмерсивно в нуле. Следовательно, (V ) = 1 ((W )), (4) k k, = {k }kK, а (V ) и (W ) — каустики.

где W (, ) = W0 () + kK Из соотношения (4) следует, что V совпадает с декартовым произведением (W ) на бесконеч номерный диск.

Для выяснения точного расположения каустики в пространстве управляющих параметров тре буется, как минимум, определение характера зависимости от, что представляет собой весьма сложную вычислительную задачу.

Прямой же подход, основанный на теории возмущений линейных операторов, требует суще ственно меньше вычислительных затрат.

2. Алгоритм Релея—Шредингера и параметризация каустик.

2.1. Параболические множества. Пусть V (x, ) — гладкий фредгольмов функционал нулевого индекса, x E,, L ( — открытое подмножество в некотором банаховом пространстве L), и пусть при этом f (x, ) = gradx V (x, )) — градиентное векторное поле, определенное в тройке пространств E F H (F — пространство значений градиента, H — гильбертово пространство).

Всюду предполагается, что E непрерывно вложено в F (пространство значений градиента), F непрерывно вложено в H и E плотно в H.

В декартовом произведении E рассмотрим подмножество f x x x K = (, ) E f (, ) = 0, dim ker (, ) x (многообразие катастроф [5]). Пусть P : E — проекция, P (x, ) =. Тогда образ проекции = P (K) является каустикой семейства функционалов V (x, ).

Практический интерес представляет частный случай, в которым функционал имеет вид V (x, ) = V0 (x, ) q, x, qF (5) ПРЯМАЯ ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ КАУСТИК ФРЕДГОЛЬМОВЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ ( ·, · — скалярное произведение в гильбертовом пространстве H). Под параметром здесь подра зумевается пара (, q).

В теории упругих систем слагаемое вида q, x выражает начальное несовершенство системы, а в теории кристаллов — воздействие внешнего физического поля.

В соответствии с (5) имеем разложения f (x,, q) = f0 (x, ) q и f f A(x, ) := (x,, q) = (x, ) x x (оператор Гессе не зависит от q). Пусть A0 = A(0, 0), тогда A(x, ) = A0 + R(x, ) (заметим, что R(0, 0) = 0).

Точка a E называется параболической для V (·, ), если существует h E, h = 0, такое, f что (x, )h = 0. Другими словами, a — спектральное значение операторного пучка A(x, ) (при x фиксированном ).

Итак, наличие вырожденной критической точки a при заданном значении параметра означает одновременность следующих двух событий:

1) точка a является параболической и 2) точка a является критической для функционала V.

Так как второй дифференциал (5) не зависит от q, то описание каустики целесообразно начать с описания параболических множеств P (множеств всех параболических точек при различных ).

Пусть P E Rm P := (P, ), (это множество также будем называть параболическим). Предположим, что нам удалось дать аналитическое описание какой-либо части множества P в виде системы гладких параметрических уравнений = (z), x = g(z), (6) z Z (Z — область в некотором банаховом пространстве). Тогда, очевидно, соответствующая часть каустики функционала (5) определяется следующей системой параметрических уравнений:

= (z), q = f0 (g(z), (z)). (7) Наша первоначальная цель — отыскание уравнений параболического множества или отдельных его компонент (в виде соотношения (6)).

2.2. Cлучай простого собственного значения. Как уже отмечалось, в [16] описан основанный на вариационном методе подход к получению формул асимптотического разложения собственных значений и векторов в случае одномерного вырождения оператора Гессе (dim ker A(0) = 1).



Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.