авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 ||

«ISSN 1512–1712 Академия Наук Грузии Институт Кибернетики СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ Том 29 ТРУДЫ ...»

-- [ Страница 6 ] --

В соответствии с вариационным принципом [10], собственные значения и векторы симметрично го оператора A() ( = (x, ) E — открытое подмножество в E Rm ) являются, соответственно, критическими значениями и критическими точками квадратичной формы 2W (h) на пересечении единичной сферы S в H с E, где W (h) = A()h, h. (8) Для наименьшего собственного значения имеет место следующее представление:

() = 2 inf W (h) (9) hO(e0 ) (O(e0 ) — окрестность e0 в ). Функция () является гладкой, что вытекает из следующего утвер ждения.

Теорема 1. Если e0 — простой собственный вектор A0, то при достаточно малых вблизи e0 на существует единственный простой собственный вектор e() оператора A(), 166 Ю. И. САПРОНОВ, Е. В. ЧЕМЕРЗИНА этот вектор гладко зависит от и допускает следующее асимптотическое представление (формула Релея—Шредингера):

e() = e0 + A ()e0 + o(), (10) A () = A0 (A1 () ()I), (11) где () = (A1 ()e0, e0, A0 = A0, Te0 (M ) A1 () — главная линейная часть в операторном пучке R() := A() A0 (A1 — линейный опе ратор E L(E, F )).

Доказательство. Существование и единственность возмущенного собственного вектора вытекают из теоремы о неявной функции для уравнения в банаховом пространстве. Вывод соотношения (10) и асимптотических представлений более высокого порядка производится методом неопределенных коэффициентов, методом регуляризованных следов и т. д. (см., например, [11, 8]).

Замечание 1. Из теоремы 1 и соотношения (9) получаем представление для возмущенного соб ственного значения () = () + o(), () = (A1 ()e0, e0. (12) Таким образом, доказано следующее утверждение.

Теорема 2. Если e0 — простой собственный вектор A0, то при достаточно малых вблизи e0 на дискриминантное множество Dskr(W ) квадратичного функционала W на определяется уравнением () = 0, (13) где () задается соотношениями (9), (12).

2.3. Случай кратного собственного значения. Пусть теперь нуль — nкратное собственное зна чение оператора A(0), N := ker A0, S n1 := N S — (n 1)-мерная сфера в N, E n := N E, F n := N F. Рассмотрим разложение вектора x = u + v, где u N, v E n, параметр s S n1, и каждой точке s поставим в соответствие пару пространств {Es, Fs }, Es := E n + span(s), Fs = F n + span(s). Легко видеть, что codimE Es = codimF Fs = n 1.

Пусть s := S Es — трансверсальная к S n1 сфера (в Es ) в точке s (codimE s = n).

Рассмотрим далее квадратичный функционал (8) и его сужение Ws, := W |s. Очевидно, что для e(s, ) := arg(Ws, ) = s (здесь arg(Ws, ) — решение задачи W (v, ) inf, v s ) справедливо равенство e(s, 0) = s.

По теореме 1 (см. (10)–(11)) имеем e(s, ) = (I + A (s, ))s + o(). (14) Операторный коэффициент A (s, ) вычисляется на основе параметрических формул Релея— Шредингера.

Нетрудно увидеть, что A (s, )s — касательный вектор к s в точке s.

Для непосредственного вывода формул Релея—Шредингера в рассматриваемом случае введем оператор B(s, ) := Ps · A()|Es : Es Fs, где Ps : F Fs — ортогональный проектор:

n Ps y = y y, eg ej + y, s s, j= e1, e2,..., en — ортонормированный базис в N.

На основе формул (10)–(11) получаем A (s, ) = (Bs,0 )1 (A1 (s, ) (s, )I), (15) ПРЯМАЯ ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ КАУСТИК ФРЕДГОЛЬМОВЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ где B A1 (s, ·) := (s, 0), (s, ) := A1 (s, )s, s, а из (10) следует (14).

Замечание 2. Для возмущенного собственного значения получаем (на основе формул (14), (15)) представление (s, ) = 2Ws, (e(s, ), e(s, )) = (s, ) + o(), (s, ) := (A1 (s, )s, s. (16) Замечание 3. Представление (16) можно истолковать как результат сужения функционала Ws, на квазиинвариантное подмногообразие (сфероид) [13], что является разновидностью нелокальной конечномерной редукции гладкого функционала (см. определение в следующем пункте).

В итоге получено следующее утверждение.

Теорема 3. Пусть квадратичный функционал W задан формулой (8) и пусть e(s, ) := arg(Ws, ), где Ws, := W |s,. Тогда параболическое множество исходного функционала V совпадает с образом дискриминатного множеств Dskr() функции (s, ) (см. (16)), s S n1, полученным при вложении s e(s, ) сферы S (n1) в или, что эквивалентно, с Dskr(W (·, )|M ) — дискриминантным множеством семейства сужений W (·, ) на подмного образия M (квазиинвариантные сфероиды) в.

2.4. О параметризации квазиинвариантного сфероида. Нелокальные конечномерные редукции функционалов на банаховых многообразиях в настоящее время изучены мало. Некоторый прогресс недавно был достигнут в случае разрушения непрерывной симметрии: на окрестности компактной морсовской критической орбиты G-инвариантного функционала (G — группа Ли) допускается ре дукция (нелокальная) возмущенного функционала к его сужению на квазиинвариантное подмно гообразие, близкое к критической орбите (см. [13]).

Следуя [13], дадим следующее определение.

Определение 1. Подмногообразие K в называется квазиинвариантным относительно W, если существует такая гладкая ретракция p : O(K) K, где O(K) — окрестность K в, что каждая точка a K является критической точкой для сужения W |p1 (a).

Определение квазиинвариантного подмногообразия возникло на стыке таких известных понятий, как критическая орбита, критическое подмногообразие (по Ботту), инвариантное подмногообразие (для динамической системы) и ключевая функция (для гладкого функционала). Квазиинвариант ные подмногообразия представляют интерес в первую очередь тем, что критические точки суже ния функционала на такое подмногообразие являются критическими и для функционала в целом.

Свойства критических точек при этом сохраняются (при возврате в объемлющее многообразие).

Благодаря этому обстоятельству, метод квазиинвариантных подмногообразий выглядит весьма по лезным и перспективным для глобального анализа гладких функционалов на гладких банаховых многообразиях.

Если L M — компактная морсовская критическая орбита W0 индекса m, то при достаточно малых вблизи L существует морсовское квазиинвариантное подмногообразие L функционала W = W (·, ) индекса m, диффеоморфное L (L0 = L) (см. [13]). При этом существует гладкое семейство гладких диффеоморфизмов : L L такое, что 0 = id : L L. Суперпозиция U () = W ( ()) является ключевой функцией ( L) (см. [12]). Если 0 L — критическая точ ка U, то (0 ) L — критическая точка W, поэтому поиск бифурцирующих (из точек орбиты) экстремалей функционала W вблизи L сводится к исследованию функции U () на конечномерном многообразии L.

В [13] для случая конечномерного параметра сформулированы следующие два утверждения:

1) Для функции U () имеет место следующее представление:

q U () = U0 + i Wi () + o(||), i= 168 Ю. И. САПРОНОВ, Е. В. ЧЕМЕРЗИНА W (·, 0), L, Rq.

где U0 = W0 () = const, Wi = i q 2) Пусть a0 L — морсовская критическая точка индекса p функции U (, 0 ) = 0 i Wi (), i= где 0 — некоторая фиксированная точка из Rq \{0}, L. Тогда при всех достаточно малых R функционал W0 имеет изолированную морсовскую критическую точку a() = a0 + O() L0 индекса p + m.

Задача приближенной параметризации рассматриваемого здесь квазиинвариантого сфероида, лежащего в некоторой трубчатой окрестности исходной сферы S n1, может быть решена на основе аналогичных утверждений.

Другой вариант решения задачи параметризации сфероида основан на алгоритме Релея— Шредингера.

Заметим, что представление произвольного вектора r в виде u + v, u N, v E n, приводит к естественной параметризации трубчатой окрестности сферы S n1 в :

v E n, s S n1, 1 |v|2 s + v, h = e(s, v) := |v|H 1.

В случае двукратного вырождения вектор u := 1 |v|2 s можно записать в виде u = 1 e1 +2 e2, где e1, e2 — базис N, 1 = 1 |v|2 cos(), 2 = 1 |v|2 sin(). Поправочные коэффициенты (15) получаются при этом гладко зависящими от углового параметра.

3. Примеры.

3.1. Фредгольмовы функционалы с простейшими особенностями. Пусть слагаемое V0 (x, ) в (5) имеет следующий вид:

V0 (x, ) = A()x, x + (4) (x, x, x, x) + o( x E ), (17) m k Bk, (4) (x, y, z, w) — симметричная 4-линейная форма, и пусть где A() = A0 + k= dim ker A0 = 1, ker A0 = span(e0 ), m := bm e0, e0 = 0. (18) Теорема 4. При выполнении условий (17), (18) имеется параметризация множества (V ) в виде m k k (2) (x) + o( + x 1 = 1,..., n1 = n1, m = E ), m k= m k k + (2) (x) Bm x + (3) (x) + o( + x q = A0 x + k Bk E ), m k= где = (1,..., m1 ), x E, (3) (x) := grad (4) (x), k := Bk e0, e0, (2) (x) := (x)e0, e0 = 12(x, x, e0, e0 ).

x Доказательство теоремы неcложно проводится на основе соотношений (9)–(12).

Теорема 5. Пусть слагаемое V0 (x, ) в (5) имеет вид A()x, x + (3) (x, x, x) + o( x E ), где m A() = A0 + Bk k, k= ПРЯМАЯ ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ КАУСТИК ФРЕДГОЛЬМОВЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ (3) (x, y, z) — симметричная 3-линейная форма, и пусть dim ker A0 = n. Тогда параболическое множество функционала V0 совпадает с образом (полученным при вложении s e(s, ) в единичной сферы S (n1), см. теорему 3) дискриминантного множества некоторого (, x)параметрического семейства (s,, x) = ((s), ) + 6(3) (x, s, s) + o(, x), функций на S (n1), где (s) = (1 (s),..., m (s)), k (s) := Bk s, s.

Доказательство выводится непосредственно из теоремы 3.

3.2. Краевая задача первого рода для уравнения Дуффинга. Рассмотрим гладкий фредгольмов функционал x2 x x V,q (x) = + + qx dt, 2 2 x E = {x(t) C 2 ([0, 1], R) : x(0) = x(1) = 0}, F = {x(t) C([0, 1], R)}, H = L2 ([0, 1], R), q F.

Очевидно, что f,q (x) = grad V,q (x) = x + x3 + q.

x Пусть = 2 +. Тогда 1 2 V,q (x) = A0 x, x x + x + q, x, 2 d где ·, · — скалярное произведение в H, A0 := 2 + 2 I.

dt В данном случае имеем N = span(e1 ), e1 = 2 sin(t).

На основе одной из схем конечномерной редукции, анализ данной краевой задачи сведется к анализу функции от одной переменной с особенностью обычной (одномерной) сборки в нуле 4 + (, q) + (, q) 4 (см. [4, 12]). Отображение (, q) (, q), (, q) при этом субмерсивно в нуле. Так как каустика 2-параметрического семейства функций + + хорошо известна (см., например, [5]) и представляет собой кривую, известную под названием «клюв», то каустика потенциала Дуффинга представляет собой декартово произведение клюва на бесконечномерный диск E 1 (точнее, локально диффеоморфна этому множеству). Для выяснения точного расположения каустики в пространстве управляющих параметров требуется, по крайней мере, определение характера зависимости и от, q, что представляет собой достаточно сложную вычислительную задачу даже в случае этой простой особенности.

Несколько проще эта задача решается методами теории Релея—Шредингера.

Множество параболических точек здесь определяется соотношением (см. замечание 1) = 3 e2, x2 + o( x E ).

Следовательно, каустика допускает параметризацию в следующем виде (см. (7)):

= 3 e2, x2 + o( x q = A0 (x) 3 e2, x2 x + x3 + o( x E ), E ). (19) 1 Этих соотношений вполне достаточно для усмотрения «клювообразности» каустики (достаточно взглянуть на сечение каустики подпространством = 0, где = q q, e1 e1 — ортогональная проекция q на N ).

170 Ю. И. САПРОНОВ, Е. В. ЧЕМЕРЗИНА Для построения более точной параметризации требуется более точное вычисление зависимости от x.

3.3. Краевая задача для уравнения четвертого порядка. Рассмотрим в качестве следующего примера нелинейное неоднородное уравнение четвертого порядка, которое используется при описа нии бегущих волн в упругих балках на упругих основаниях и при изучении сегнетоэлектрических фаз в кристаллах [3, 14, 6]:

d4 x d2 x + 2 + x + x2 q = dt4 dt при краевых условиях d2 x d2 x x(0) = x() = 2 (0) = 2 () = 0.

dt dt Это уравнение потенциально с потенциалом (функционалом действия) 2 d2 x x 1 dx + x2 + V (x,, ) = + qx dt.

dt 2 dt Линеаризованное уравнение имеет вид hIV + hII + h = 0.

Нетрудно заметить, что f (x,, ) = grad V (x) = xIV + xII + x + x2 q, df = hIV + hII + h + 2xh.

A(, )h = h dx В точке = 5, = 4 происходит двумерное вырождение [6, 7]. При локализации управляющих параметров = 5 + 1, = 4 + 2 возмущенный оператор выглядит следующим образом:

Ah = hIV + 5hII + 4h + 1 hII + 2 h + 2xh. (20) Пусть A(1, 2, h) = A0 + R(1, 2, h), где A0 h = hIV + 5hII + 4h, R(1, 2 )h = 1 hII + 2 h + 2xh.

Множество N = {h E : A0 h = 0} представляет собой линейную оболочку векторов ek = 2 sin kt, k = 1, 2.

Очевидно, что рассматриваемый функционал действия при 1 = 2 = 0 имеет в нуле особенность гиперболической омбилики [5].

Построение каустического множества изложенным выше методом сводится, во-первых, к по строению множеств параболических точек функционала V, или, что равносильно, к построению гладкого семейства одномерных подмногообразий S (диффеоморфных окружности и квазиинва риантных для квадратичной формы, порожденной пучком операторов (20)) и, во-вторых, к отбору тех точек на квазиинвариантных окружностях, которые являются экстремалями функций W S.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений.

Классификация критических точек каустик и волновых фронтов. — М.: Наука, 1982.

2. Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений.

Монодромия и асимптотики интегралов. — М.: Наука, 1984.

3. Бардин Б. С., Фурта С. Д. Локальная теория существования периодических волновых движений бесконечной балки на нелинейно упругом основании// В кн.: Актуальные проблемы классической и небесной механики. — М.: Эльф, 1998. — С. 13–22.

4. Бобылев Н. А., Емельянов С. В., Коровин С. К. Геометрические методы в вариационных задачах. — М.: Магистр, 1998.

5. Брекер Т., Ландер Л. Дифференцируемые ростки и катастрофы. — М.: Мир, 1977.

ПРЯМАЯ ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ КАУСТИК ФРЕДГОЛЬМОВЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ 6. Даринский Б. М., Сапронов Ю. И. О двухмодовых бифуркациях решений одной вариационной краевой задачи для уравнения четвертого порядка// Понтрягинские чтения–XI/ Сб. тр. Ч. 1. — Воронеж: ВГУ, 2000. — С. 57–64.

7. Зачепа В. Р., Сапронов Ю. И. Локальный анализ фредгольмовых уравнений. — Воронеж, 2002.

8. Кадченко С. И. Новый метод вычисления первых собственных значений дискретных несамосопряжен ных операторов// В кн.: Уравнения соболевского типа. — Челябинск: ЧелГУ, 2002. — С. 42–59.

9. Красносельский М. А., Бобылев Н. А., Мухамадиев Э. М. Об одной схеме исследования вырожденных экстремалей функционалов классического вариационного исчисления// Докл. АН СССР. — 1978. — 240, № 3. — С. 530–533.

10. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. — М.: Наука, 1970.

11. Садовничий В. А., Дубровский В. В. О классической формуле первого регуляризованного следа опе ратора Лапласа с нечетным потенциалом на сфере// Тр. семин. им. И. Г. Петровского. — 1996. — 19. — С. 37–72.

12. Сапронов Ю. И. Конечномерные редукции в гладких экстремальных задачах// Успехи мат. наук. — 1996. — 51, № 1. — С. 101–132.

13. Сапронова Т. Ю. О методе квазиинвариантных подмногообразий в теории фредгольмовых функциона лов// В кн.: Топологические методы нелинейного анализа. — Воронеж: ВГУ, 2000. — С. 107–124.

14. Сидоркин А. С. Доменная структура в сегнетоэлектриках и родственные материалы. — М.: Физматлит, 2000.

15. Фридрихс К. Возмущение спектра операторов в гильбертовом пространстве. — М.: Мир, 1969.

16. Чемерзина Е. В. Об одной схеме вариационного подхода в теории возмущений Релея—Шредингера// Сб. статей аспирантов и студентов мат. ф-та ВГУ. — Воронеж: ВГУ, 2000. — С. 70–74.

Ю. И. Сапронов Воронежский государственный университет E-mail: yusapr@mail.ru Е. В. Чемерзина Воронежский государственный университет E-mail: chev@ismail.ru Современная математика и ее приложения. Том 29 (2005). С. 172– УДК 517. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА С ПОЧТИ ОСЦИЛЛЯЦИОННЫМ СПЕКТРОМ c 2005 г. А. Л. ТЕПТИН Пусть B = (bjk ) — вещественная (r n)-матрица, bj1 = 1, j = 1, r. Обозначим через n (B;

a, b;

c1,..., cr ) при данных cj [a, b], j = 1, r, класс таких операторов T n dn dk L= n + pk (·) dxk dx k= с суммируемыми на [a, b] коэффициентами, что каждое решение y(x) 0 уравнения Ly = 0, удовлетворяющее любым из краевых условий ljcj y = 0, j = 1, r, имеет на [a, b] не более n нулей с учетом кратности для любого, = 1, r. Пусть Tn (B;

a, b;

, ), a b, — пересечение классов Tn (B;

a, b;

c1,..., cr ) для всевозможных cj, j = 1, r, c1... cr.

Обозначим через G(x, s) функцию Грина краевой задачи Ly = 0, (1) ljcj y = 0, j = 1, r, a c1... cr b, (2) y i (ai ) = 0, i = 0, ki 1, i = 1, m, a a1... am b, (3) где a = min{c1, a1 }, b = max{cr, am }, k1 + · · · + km = n r, а при m = 0 условия (3) отсутствуют и r = n. Пусть (x) = (1)rj, cj x cj+1, j = 0, r, c0 = 0, cr+1 = b;

(x a1 )k1... (x am )km при r n, w(x) = 1 при r = n.

Положим (s) K(x, s) = G(x, s). (4) w(x) Следуя [3], функцию K(x, s) будем называть знакорегулярным в [a, b] (a, b) ядром, если все отличные от нуля определители x1... xk n K = det K(xi, sj ) s1... sk для каждого k имеют один и тот же знак k, для всех xi, si, i = 1, k, a x1 · · · xk b, a s1,... sk b, k = 1, 2,.... Если к тому же K(x, s) = 0 в [a, b] (a, b) и s1... sk K = 0 si, i = 1, k, a s1... sk b, k = 1, 2,..., s1... sk то знакорегулярное ядро называется сильно знакорегулярным в [a, b] (a, b) (см. [3]). При k = 1, k = 1, 2,..., такое ядро называется ядром Келлога (осцилляционным) [1, 4].

При r = 0 условия осцилляционности ядра вида (4) и вытекающие из нее свойства спектра ис следованы, например, в [5], при r = 1 аналогичные вопросы рассмотрены в [6]. Для произвольного r = 0 в работе [8] показано, что если... + B 0, = 1, r, = 1, r 1, (5) 1... + L Tn (B;

a, b;

c1, cr ), (6) то в [a, b] ((a, b)\{cj }r ).

K(x, s) 0 (7) c Ин-т кибернетики АН Грузии, ISSN 1512– КРАЕВАЯ ЗАДАЧА С ПОЧТИ ОСЦИЛЛЯЦИОННЫМ СПЕКТРОМ Более того, оказалось [11, 12], что функция K(x, s), доопределенная при s = cj по непрерывности с одной из сторон, является осцилляционным ядром.

Если вместо (5) выполняются неравенства j... j+ B 0, = 1, r, = 1, r 1, (8) 1... + для некоторой перестановки (j1,..., jr ) множества {1, 2,..., r}, при которой j j+k, k = 2, r, = 1, r 2, (9) то при условии (6) неравенство (7) сохраняется для = (1)rj, cj x cj+1, когда в упомянутой перестановке j предшествует j + 1 и (x) = (1)rj1, cj x cj+1 в противном случае, j = 0, r (см. [9]).

Однако, примеры показывают, что при условиях (6), (8), (9) ядро (4) может и не быть осцилля ционным и даже знакорегулярным. Так для задачи Ly y y = 0, (10) y (c1 ) y (c1 ) = 0, y (c2 ) + y (c2 ) = 0, y (c3 ) y(c3 ) = 0, где c1, c2, c3 — корни многочленов 5x4 + 20x3 + 15x2 30x 4, 5x4 + 20x3 15x2 30x + 4 и 5x4 + 25x3 34x соответственно, 1.327 c1 1.326, 0.126 c2 0.127, 1.201 c3 1.202, имеем 1 1 13 1 B= 1 0, B 1 = 0, 12 1 1 0 1 1 32 10 1 0 B = 0, B = 12 11 1 1 т.е. (8), (9) выполняются для перестановки (1, 3, 2), выполнение условия (6) следует из разложения d d d L= +I I, dx dx dx где множители перестановочны, и [7, теорема 1], так что (7) справедливо при (s) 1, w(x) 1.


Однако для функции y = x5 5x3 + 4x, имеющей в [c1, c3 ] три простых нуля 1, 0 и 1, u = Ly = 5x4 + 75x2 34 имеет там же только два нуля x ±0.684050, т.е. S(u) S(y), где S(u) — число перемен знака u(x) на [c1, c3 ]. Так как y(x) удовлетворяет краевым условиям (10), то в силу (4) и формулы Грина y = Ku, где K — интегральный оператор с ядром K(x, s). Таким образом, S(Ku) S(u). Повторяя доказательство достаточности условий утверждения (а) теоремы 2 из [3], убеждаемся, что здесь K(x, s) не является знакорегулярным ядром. Другой пример аналогичного типа приведен в [12].

В настоящей заметке выявляется случай, когда при условиях (6), (8), (9) ядро (4) знакорегу лярно, а именно, доказывается, что таков случай, в котором jq = q + 1, jq+1 = q, (11) cj = a, j = 1, q, cj = b, j = q + 1, r, (12) т.е. условия (2) имеют вид lja y = 0, j = 1, q, ljb y = 0, j = q + 1, 1 q r 1, r 2. (13) Так как все интервалы (cj, cj+1 ), j = 0, q 1, j = q + 1, r, пусты, то перестановка множеств {1,..., q 1} и {q + 2,..., r} не меняет свойств задачи (1), (3), (13) и потому в случае (8), (11) можно перенумеровать краевые условия lja y = 0, j = 1, q 1, ljb y = 0, j = q + 2, r так, чтобы неравенства (8) были выполнены для (j1,..., jr ) = (1,..., q 1, q + 1, q, q + 2,..., r). (14) В дальнейшем будем считать, что такая перенумерация произведена.

174 А. Л. ТЕПТИН Нулевым местом или отдельным нулем непрерывной функции u(x) называется всякая компо нента связности множества ее нулевых точек. Нулевое место [c, d] (a, b) называется узлом (пуч ностью), если u(c )u(c + ) 0 (соответственно, 0) для всех достаточно малых 0 [3, 1].

Следуя [5], k-кратностью изолированного нуля x0 функции u(x) назовем число k, u(x) = 0(|x x0 |i1, rk (u, x0 ) = max i : i а для нулевого места другого типа положим rk (u, ) = k. Пусть rk (u, Z) — сумма k-кратностей нулевых мест u(x) в промежутке Z, rk (u) = rk (u, [a, b]), так что r1 (u) — число отдельных нулей u(x) в [a, b], (u) — число нулей u(x) на [a, b] с учетом обычной кратности. Для измеримой функции u(x) обозначим через S(u, Z) число перемен знака u(x) на Z, т.е. такое число l, что существуют ненулевая константа A и xi Z, i = 1, l, такие, что (1)i Au(x) inf Z = x0 x1... xl+1 = sup Z : почти всюду в (xi, xi+1 ), u(x) в (xi, xi+1 ), i = 0, l;

при этом в случае Z = [a, b] положим sign1 u = sign A, sign2 u = (1)l sign A, S(u) = S(u, [a, b]) (см. [3]). Пусть C k Z(C k Z) — множество вещественных функций, имеющих в Z непрерывную (аб солютно непрерывную) k-ю производную, C 1 Z = LZ — множество суммируемых в Z функций, Z — замыкание Z, C [a, b] — множество непрерывных в [a, b] функций, обладающих только изоли рованными нулями, [a, b] — множество обобщенных функций вида k u(x) = Ai (x si ), a s1... sk b, i= Ai = 0, i = 1, k, k = 1, 2,..., где (x) — дельта-функция. Через S(u) обозначим число перемен знака в ряду коэффициентов A1,..., Ak. Положим i1... i B(i1... i ) = B 1...

— миноры матрицы B;

B(i2... i )B(i1... i+1 ) D1 (i1... i+1 ) =, B(i1... i )B(i2... i+1 ) (15) = 2, r 1, D1 (i1 i2 ) = b(i1 i2 );

n (a, b) — класс таких линейных дифференциальных операторов L n I — единичный оператор, Tk го порядка с коэффициентами из C k1, что (y) n 1 для любого ненулевого решения y(x) k (a, b) = {I}. При = 0 будем полагать (i,... i уравнения Ly = 0, T0 +1 } =, так что, например, при i0 = r имеем {1,..., i0 1, i0 + 1,..., r} = {1,..., r 1}, а при i0 = 1 — {1,..., i0 1, i0 + 1,..., r} = {2,..., r}.


Для каждой перестановки (i1,..., r) множества {1, 2,..., r} в силу [7, теорема 1] при фиксирован ных cj, j = 1, r, и условии L Tn (B;

a, b;

c1,..., cr ) (16) оператор L допускает в [a, b] разложения d i...i i1...i + Ln = i1...i+1 (x)I Ln1, = 0, r 1, (17) dx i...i i...i где Ln = L при = 0, Ln не зависит от порядка индексов i1... i, = 1, r, 1 i...i r Lnr = Ln Tnr (a, b), (18) Lj y (cj ) = ljcj y y(x) C n1 [a, b], j = 1, r, n КРАЕВАЯ ЗАДАЧА С ПОЧТИ ОСЦИЛЛЯЦИОННЫМ СПЕКТРОМ i1...i (x) не зависит от порядка индексов i1... i1, = 2, r;

i1...i (x) C 2 [a, b], = 1, r, i1...i+1 (x) i2...i+1 i1 (x) = i2...i i1 i+1 (x) i2...i+1 i1 (x) = для всех x [a, b], = 1, r 1, а при условии L Tn (B;

a, b;

a, b) (19) в силу [7, теорема 2] (i...i+ (x) i+1...i+ i (x))D1 (i... i+ ) 0 x [a, b], (20) = 1, r, = 1, r 1.

Замечание 1. В доказательстве теоремы работы [9] используется не само условие (19), а вы текающие из него разложения (17) с вышеперечисленными свойствами, вполне гарантируемыми условием (16) и неравенствами (20). Поэтому заключение теоремы из [9] остается справедливым и при замене условия (19) условиями (16) и (20). Но так как при условиях (8), (14) в силу (15) и теоремы Фекете [1] D1 (jl1,..., jl+1 ) 0 для любых jl, = 1, + 1, из перестановки (14), таких, что l1 l2... l+1, 1 r 1, и D1 (1,..., r) 0 при r 2, B(l,..., q 1, q + 2,..., m)B(l,..., m) D1 (q + 1,..., m, l,..., q) = B(l,..., q 1, q + 1,..., m)B(l,..., q, q + 2,..., m) для любых l, m, 1 l q, q + 1 m r, i1...i (x) не зависят от порядка i1,..., i1, то в настоящей перестановке условия (20) равносильны неравенствам jl1...jl+1 (x) jl2...jl+1 jl1 (x) 0 x [a, b], = 1, r 1 (21) для упомянутых jl, = 1, + 1, = 1, r 1, 1...r (x) 2...r1 (x) 0 x [a, b], r 2, (22) q+1...ml...q (x) q+2...ml...q+1 (x) 0 x [a, b], l, m, 1 l q, q+1 m r. (23) Очевидно, что при условии (16) существует функция Грина G(x, s) задачи (1)–(3). Пусть (1)rq1 G(x, s)/w(x) при x = ai, (x, s) = ki G(ai, s) (ki ) (1)rq1 /w (a) при x = ai, i = 1, m, a x b, a s b.

xki При условиях (13) и m = 0 в силу свойств функции Грина (x, s) непрерывна в [a, b] (a, b) и существуют равномерные конечные пределы (x, a + 0) и (x, b 0). При m 1 это свойство доказано в [11, 10]. При s = a (s = b) доопределим G(x, s) и (x, s) по непрерывности справа (слева). В силу теоремы из [9] и замечания 1 при условии (12), (14), (16), (21) (x, s) 0 в [a, b] (a, b).

Ниже всюду предполагается,что cj, j = 1, r, определены равенствами (12).

Лемма 1. Если y(x) C[a, b], v(x) = y(x)w(x) C nr [a, b], то при условии (18) r1 (y) r1 (Lnr v), а если при этом a1, am, для некоторого нулевого места функции y(x), причем inf = c, sup = d, и либо прочие нулевые места y(x) суть изолированные простые нули, либо r = n 1, то при условии a c (d b) r1 (y) S(Lnr v, (a, c)) + S(Lnr v, (d, b)) + 1 r1 (Lnr v, (a, b)), при c = a (d = b) — r1 (y, (d, b] S(Lnr v) r1 (y, [a, c))) S(Lnr v), а в остальных случаях при r n — r1 (y) S(Lnr v).

176 А. Л. ТЕПТИН Пусть b y(x) = (u) (x) = (x, s)u(s) ds, a v(x) = y(x)w(x), v0 (x) = Lnr v (x).

Теорема 1. Если u(x) C [a, b], (24) то при условиях (14), (16), (21)–(23) r1 (u) S(u), r1 (Lnr v) S(u).

Теорема 2. Если S(u) = S(u) = p и выполнены условия (14), (16), (21)–(24), то при p = sign1 v0 = sign1 u = sign1 u, а при p = sign1 u = sign1 u.

Лемма 2. При условиях (14), (16), (21)–(23) S(u) S(u) u(x) C[a, b], u(x) [a, b].

Отсюда в силу [3, теорема 2] вытекает следующее утверждение.

Следствие. При условиях (14), (16), (21)–(23) функция (x, s) является знакорегулярным в [a, b] (a, b) ядром.

Лемма 3. При условиях (14), (16), (21)–(23) r1 (u) S(u) u(x) [a, b] кроме случая, когда y(x) = u (x) имеет такое нулевое место с inf = c, sup = d, что c = a (d = b), причем для r n еще и am, (a1 ), а прочие нулевые места y(x) суть изолированные простые нули либо r n 1. В упомянутом же случае r1 (u, (d, b]) S(u) r1 (u, [a, c)) S(u).

Лемма 4. При условиях (8), (14), (19) функция (x, s) является сильно знакорегулярным в [a, b] (a, b) ядром.

Лемма 5. При условиях (8), (14), (19) существует функция up (x) C [a, b] такая, что S(up ) = S(up ) = p для всех p = 0, 1,....

Из лемм 4 и 5 вытекает следующая основная теорема.

Теорема 3. Если функция q(x) суммируема на [a, b] и q (x) = (1)rq q(x)w(x) почти всюду в [a, b], то при выполнении условий (8), (14), (19) справедливы следующие утвер ждения:

(1) задача для уравнения Ly = q(·)y с краевыми условиями (3), (13) имеет счетное множе ство собственных значений k, которые являются вещественными, простыми, а при их нумерации в порядке возрастания абсолютных величин и соответствующей нумерации собственных функций 1 0 2 3... ;

(2) каждая функция k (x) = yk (x)/w(x) может быть доопределена до непрерывной в [a, b], имеет там ровно k 1 нулей, все они узловые и лежат в (a, b), k = 1, 2,..., причем нули k (x) и k+1 (x) перемежаются, k = 2, 3,...;

(3) {k (x)} — ряд Маркова в [a, b] [3, 1];

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА С ПОЧТИ ОСЦИЛЛЯЦИОННЫМ СПЕКТРОМ p (4) всякая нетривиальная линейная комбинация kp (x) = ci i (x), 1 k p, имеет в [a, b] i=k не менее k 1 узлов и не более p 1 нулей, считая пучность за два нуля.

Если, кроме того, q (x) C[a, b], m 2, a1 = a, am = b, то (5) rl (kp ) p 1, где l = min (n r ki );

i=1,m (6) нули k (x) простые для любого k = 2, 3,....

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Гантмахер Ф. Р., Крейн М. Г. Осциляционные матрицы и ядра и малые колебания механических систем. — М.-Л.: Гостехиздат, 1950.

2. Левин А. Ю. Неосциляция решений уравнения x(n) + p1 (t)x(n1) +... + pn (t)x = 0// Усп. мат. наук. — 1969. — 24, № 2. — С. 43–96.

3. Левин А. Ю.,Степанов Г. Д. Одномерные краевые задачи с операторами, не понижающими числа перемен знака, 1// Сиб. мат. ж. — 1976. — 17, № 3. — С. 606–626.

4. Покорный Ю. В., Боровских А. В. О теореме Келлога для разрывных функций Грина// Мат. заметки. — 1993. — 53, № 1. — С. 151–153.

5. Покорный Ю. В.,Лазарев К. П. Некоторые осциляционные теоремы для многоточечных задач// Диф фер. уравн. — 1987. — 23, № 4. — С. 658–670.

6. Покорный Ю. В., Шурупова И. Ю. Об осциляционных свойствах спектра краевой задачи с функцией Грина, меняющей знак// Укр. мат. ж. — 1989. — 41, № 11. — С. 1521–1526.

7. Тептин А. Л. О неосциляции решений и знаке функции Грина// Диффер. уравн. — 1984. — 20, № 6. — С. 995–1005.

8. Тептин А. Л. О многоточечной краевой задаче, функция Грина которая меняет знак в «шахматном»

порядке// Диффер. уравн. — - 1984. — 20, № 11. — С. 1910–1914.

9. Тептин А. Л. Новый признак знакопостоянства функции Грина// Диффер. уравн. — 1988. — 24, № 6. — С. 1066–1069.

10. Тептин А. Л. Об осциляционности спектра краевой задачи с функцией Грина, меняющей знак по обоим аргументам/ Ижевск: Ижевск. механ. ин-т, 1993. — 49 с. — Деп. в ВИНИТИ 12.03.93. № 596-B93.

11. Тептин А. Л. Об осциляционности спектра одной многоточечной краевой задачи// Диффер. уравн. — 1995. — 31, № 8. — С. 1370–1380.

12. Тептин А. Л. К вопросу об осциляционности спектра многоточечной краевой задачи// Изв. вузов.

Сер. мат. — 1999. — 4. — С. 44–53.



Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.