авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |
-- [ Страница 1 ] --

ВЕСТНИК ЛГПУ. Серия МИФЕ МАТЕМАТИКА 3

2013. Вып. 1 (4). С. 36

МАТЕМАТИКА

УДК 517.9

О НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЯХ С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ

И ПЕРЕМЕННЫМИ ПРЕДЕЛАМИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

А.С. Калитвин

Аннотация. Изучается разрешимость нелинейных интегральных уравнений с частными интегралами и переменными пределами интегрирования в пространстве непрерывных функций.

Ключевые слова: нелинейные интегральные уравнения с частными интегралами, нели нейные операторы Вольтерра с частными интегралами, интегральные уравнения Урысона, нелинейные уравнения Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами.

Рассматриваются нелинейные интегральные уравнения с частными интегралами вида x(t, s) = (U i x)(t, s) + f (t, s ), i = 1,2,3,4, (1) где u v uv (U i x)(t, s ) = l (t, s, ) x(, s )d + m(t, s, ) x(t, )d + n(t, s,,, x(, ))dd, a a aa (t, s ) D = [ a, b ] [ a, b ], f принадлежит пространству C (D ) непрерывных на D функций, l : G = D [ a, b ] R, m : G R, — заданные измеримые функции, функция n : D D R удовлетворяет условиям Каратеодори [1], u = t, v = s при i = 1, u = s, v = t при i = 2.

u = t, v = t при i = 3, u = s, v = s при i = 4.

Условия разрешимости и свойства решений уравнений (1) с частными интегралами и пе ременными пределами интегрирования зависят от свойств операторов U i и существенно от личаются друг от друга при различных значениях i.

В [1] приведены условия действия, ограниченноcти, непрерывности, липшицевости, гельдеровости и диффереренцируемости по Фреше в C (D ) нелинейного оператора Вольтерра t s ts (U1 x)(t, s ) = l (t, s, ) x(, s )d + m(t, s, ) x(t, )d + n(t, s,,, x(, ))dd a a aa и более общих классов нелинейных операторов с частными интегралами. В этой же работе содержатся и условия однозначной разрешимости в C (D ) уравнения x = U1 x + f. (2) А.С. Калитвин В частности, если ядра l (t, s, ) и m (t, s, ) принадлежат C ( L1 ([a, b])), т.е. непрерывны по (t, s ) D как функции со значениями в L1 ([a, b]), функция n (t, s,,, u ) удовлетвояет ус ловию Липшица | n (t, s,,, u ) n(t, s,,, v ) | n1 (t, s,, ) | u v |, (3) где функция n1 C ( L1 ( D )), т.е. непрерывна по (t, s ) D как функция со значениями L1 ( D), а оператор ts ( Nx)(t, s) = n(t, s,,, x(, ))dd (4) aa действует в C (D ), то уравнение (2) имеет единственное решение в C (D ) и оно может быть получено методом последовательных приближений xn +1 = U 1 xn + f (n = 0,1, K) (5) с произвольной функцией x0 C ( D) [1, с. 137-138].

Аналогично [1, с. 138-139], уравнение (2) имеет единственное решение в C (D ), если опе раторы t s ( Lx )(t, s ) = l (t, s, ) x(, s )d, ( Mx)(t, s ) = m(t, s, ) x(t, )d a a и оператор (4) действуют в C (D ), функция n (t, s,,, u ) удовлетворяет условию Липшица (3) и | l (t, s, ) | d 0, | m(t, s, ) | d 0, n1 (t, s,, )dd 0 (6) T1 S1 T1S равномерно по (t, s ) при mesT1 0, mesS1 0, где отрезки T1 и S1 содержатся в [ a, b ]. При этом решение уравнения (2) может быть получено по формуле (5).

Уравнение (2) будет иметь единственное решение в C (D ), если в предположении (6) приведенного утверждения вместо первых двух условий имеют место более удобные для проверки следующие условия:

| l (t, s, ) | d 0, | m(t, s, ) | d sup sup T1[ a,b ] T [ a,b ] S1 S 1 при mesT1 0, mesS1 0, в частности, условия:

~ ~ sup l (t, )d 0, sup m( s, )d 0, T1 T S1 S 1 где ~ ~ l (t, ) = sup | l (t, s, ) |, m( s, ) = sup | m(t, s, ) |.

s t Уравнение x(t, s ) = (U 2 x)(t, s ) + f (t, s ) s t st l (t, s, ) x(, s)d + m(t, s, ) x(t, )d + n(t, s,,, x(, ))dd + f (t, s) (7) a a aa принципиально отличается от уравнения (2) уже при n (t, s,,, u ) n (t, s,, )u.

О нелинейных операциях с частными интегралами и переменными пределами… Действительно, оператор s (U 2 x)(t, s) = x(, s )d, a очевидно, непрерывен в C (D ), однако спектральный радиус r (U 2 ) оператора U 2 в C (D ) от личен от нуля, несмотря на непрерывнысть ядра: r (U 2 ) = b a = U 2. Приведенный пример показывает, что оператор U 2 не является оператором Вольтерра с частными интегралами.

Поэтому для изучения в C (D ) уравнения (7) и оператора U 2 из (7) следует применять об щую теорию операторов и уравнений с частными интегралами в C (D ) (но не теорию опера торов и уравнений Вольтерра с частными интегралами!). В частности, если l, m C ( L1 ([a, b])), то в силу [1,2] в C (D ) фредгольмовость оператора I L1 M 1, где s t ( L1 x)(t, s ) = l (t, s, ) x(, s )d, ( M 1 x)(t, s ) = m(t, s, ) x(t, )d, a a равносильна его обратимости, которая в свою очередь равносильна обратимости в C ([ a, b ]) операторов I L (s ) и I M (t ) при всех t, s [ a, b ], где s t ( L( s) x)(t ) = l (t, s, ) x( )d, (M (t ) x)(s) = m(t, s, ) x( )d.

a a Если при этом обратимость операторов I L (s ) и I M (t ) имеет место при всех t, s [ a, b ], оператор st ( N 1 x)(t, s ) = n(t, s,,, x(, ))dd aa действует в C (D ) и функция n удовлетворяет условию Липшица (3), где n1 C ( L1 ( D)), то уравнение (7) сводится к обычному интегральному уравнению Урысона. В самом деле, запи сывая уравнение (7) в виде ( I L1 )( I M 1 ) x = ( L1M 1 + N1 ) x + f и применяя к обеим частям последнего уравнения оператор ( I M 1 ) 1 ( I L1 ) 1, получим уравнение x = ( I M 1 ) 1 ( I L1 ) 1 ( L1M 1 + N1 ) x + g, (8) где g = ( I M 1 ) 1 ( I L1 ) 1 f. Учитывая равенства s t ( I L1 ) 1 x(t, s ) = x(t, s ) + rl (t, s, )d, ( I M 1 ) 1 x(t, s ) = x(t, s ) + rm (t, s, )d, a a где rl (t, s, ) и rm (t, s, ) — резольвентные ядра из C ( L ([a, b])) [1,2], и применяя теорему Фубини, уравнение (8) можно записать в виде st x(t, s) = r (t, s,,, x(, ))dd + f (t, s) ( Rx)(t, s) + g (t, s ), (9) aa где подынтегральная функция r (t, s,,, u ) легко определяется по функциям l (t, s, ), m (t, s, ), n (t, s,,, u ), rl (t, s, ), rm (t, s, ). Уравнение (9) является обычным интегральным уравнением Урысона. Если заданные функции l, m, n непрерывны, то легко видеть, что опе ратор R из (9) является вполне непрерывным оператором в C (D ). Поэтому условия разре шимости (однозначной разрешимости) уравнения (9) могут быть получены с применением хорошо известных теорем о разрешимости (однозначной разрешимости) интегральных урав нений Урысона с вполне непрерывными операторами, конусных и других методов [3-6].

А.С. Калитвин Уравнение x(t, s ) = (U 3 x)(t, s ) + f (t, s ) t t tt l (t, s, ) x(, s)d + m(t, s, ) x(t, )d + n(t, s,,, x(, ))dd + f (t, s) (10) a a aa не является уравнением Вольтерра с частными интегралами, но оно есть нелинейное уравне ние Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами. Поэтому для изучения уравнения (10) можно использовать результаты из [1]. Действительно, пусть l, m C ( L1 ([a, b])), оператор I M 1 обратим в C (D ) и tt ( N 2 x)(t, s ) = n(t, s,,, x(, ))dd.

aa Тогда в C (D ) обратимость оператора I L M 1 равносильна обратимости оператора I M 1, которая в свою очередь равносильна обратимости в C ([ a, b ]) при каждом t [ a, b ] оператора I M1 (t ) [1]. Записывая уравнение (10) в виде ( I L )( I M 1 ) x = ( LM 1 + N 2 ) x + f (11) и применяя к обеим частям уравнения (11) оператор (( I L)( I M 1 )) 1 = ( I M 1 ) 1 ( I L) 1, получим уравнение x = ( I M 1 ) 1 ( I L) 1 ( LM 1 + N 2 ) x + h R1 x + h, h = ( I M 1 ) 1 ( I L) 1 f, (12) которое равносильно уравнению (10). Если теперь функция n (t, s,,, u ), удовлетвояет усло вию Липшица (3) где функция n1 C ( L1 ( D)), а оператор N 2 действует в C (D ), то уравнение (12) является обычным интегральным уравнением Урысона. Если заданные функции l, m, n непрерывны, то оператор R1 из (12) является вполне непрерывным оператором в C (D ). По этому разрешимость (однозначная разрешимость) уравнения (12) может изучаться с приме нением хорошо известных теорем о разрешимости (однозначной разрешимости) интеграль ных уравнений Урысона с вполне непрерывными операторами, конусными и другими мето дами [3-6].

Уравнение x = U 4 x + f изучается в C (D ) так же, как уравнение x = U 3 x + f.

Благодарности. Работа поддержана Минобрнауки РФ, проект 1.4407.2011.

ЛИТЕРАТУРА 1. Калитвин, А.С. Интегральные уравнения Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма с част ными интегралами / А.С. Калитвин, В.А. Калитвин. – Липецк: ЛГПУ, 2006. – 177 с.

2. Калитвин, А.С. Линейные уравнения с частными интегралами. C-теория / А.С. Ка литвин, Е.В. Фролова. – Липецк: ЛГПУ, 2004. – 195 с.

3. Красносельский, М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений / М.А. Красносельский. – М.: ГИТТЛ, 1956. – 392 с.

4. Красносельский, М.А. Положительные решения операторных уравнений / М.А.

Красносельский. – М.: ГИТТЛ, 1962. – 396 с.

5. Красносельский, М.А. Позитивные линейные системы / М.А. Красносельский, Е.А.

Лифшиц, А.В. Соболев. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. – 256 с.

6. Положительные решения операторных уравнений / М.А. Красносельский и [др.] – М.:

Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1969. – 456с.

ВЕСТНИК ЛГПУ. Серия МИФЕ МАТЕМАТИКА 2013. Вып. 1 (4). С. УДК 517. О ЧИСЛЕННОМ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ. I В.А. Калитвин Аннотация. Построен алгоритм численного решения линейного интегрального уравне ния с частными интегралами, содержащими постоянные и переменные пределы интегриро вания. Алгоритм основан на применении метода механических квадратур, Приведена тео рема о сходимости этого метода для рассматриваемого класса уравнений.

Ключевые слова: интегральные уравнения с частными интегралами, численные мето ды, метод механических квадратур, интегро-дифференциальные уравнения Барбашина.

К интегральным уравнениям с частными интегралами t d td x(t, s ) = l (t, s, ) x(, s )d + m(t, s, ) x(t, )d + n(t, s,, ) x(, )dd + f (t, s ) (1) a c ac и их частным случаям приводятся задачи интегро-дифференциальных уравнений Барбашина, механики сплошных сред и ряда других прикладных задач [1–5].

В общем случае найти явное решение интегрального уравнения (1) не представляется возможным. Поэтому важное значение имеет разработка приближенных и численных мето дов решения этого уравнения. При этом применение хорошо известных методов решения линейных интегральных уравнений второго рода к интегральным уравнениям (1) требует ос торожности, так как известные обоснования этих методов часто связаны с предположением о компактности интегральных операторов, содержашихся в таких уравнениях, которой не об ладают частично интегральные операторы, определяемые первым и вторым слагаемыми в правой части уравнения (1) даже в случае ненулевых непрерывных ядер l (t, s, ) и m (t, s, ).

В частности, при обосновании метода механических квадратур для решения линейных инте гральных уравнений второго рода [6–8] используется компактность линейных интегральных операторов, содержащихся в этих уравнениях.

Будем рассматривать интегральное уравнение t td x(t, s) = c(, s) x(, s)d + k (, s, ) x(, )dd + f (t, s) (2) a ac с частными интегралами, где t [ a, b ], s [c, d ], заданные функции c (, s ), k (, s, ), f (t, s ) и f t(t, s ) непрерывны по совокупности переменных, а интегралы понимаются в смысле Лебега.

Уравнение (2) есть частный случай линейного уравнения с частными интегралами (1).

Пусть D = {(, s ) : a t b, s [ c, d ]}. Через C (D ) обозначим множество непрерывных на треугольнике D функций с супремум нормой, а через X — множество функций из C (D ), имеющих непрерывную частную производную по t. C (D ) и X — банаховы про странства относительно норм x C ( D ) = max | x(t, s ) |, x X = max (| x(t, s) | + | xt (t, s) |) D D соответственно.

В.А. Калитвин Под решением уравнения (2) будем понимать непрерывную функцию x (t, s ), подстановка которой в уравнение (2) обращает это уравнение в тождество.

В силу [4,5] уравнение (2) имеет единственное решение x C (D ). Тогда справедливо тождество t td x(t, s) c(, s ) x(, s)d + k (, s, ) x(, )dd + f (t, s ). (3) a ac Так как подынтегральные функции в правой части тождества (3) непрерывны, то она диффе ренцируема по t. Дифференцируя по t тождество (3), получим тождество d x(t, s )t c(t, s ) x(t, s ) + k (t, s, ) x(, )dd + f t(t, s ). (4) c Следовательно, решение интегрального уравнения (2) является решением интегро-диф ференциального уравнения Барбашина (ИДУБ) d x(t, s )t = c(t, s ) x(t, s ) + k (t, s, ) x(, )dd + f t(t, s ) (5) c с начальным условием x(a, s) = f (a, s). (6) Отметим, что под решением ИДУБ (5) здесь и далее понимается функция x X, подстановка которой в уравнение (5) обращает это уравнение в тождество.

Если функция x является решением задачи Коши (5)/(6), то имеют место тождество (4) и равенство (6). Интегрируя обе части тождества (4) по отрезку [ a, t ] и учитывая условие (6), получим тождество (3), которое показывает, что решение задачи Коши (5)/(6) является реше нием интегрального уравнения (2).

Таким образом, интегральное уравнение (2) и задача Коши (5)/(6) эквивалентны.

Задача Коши (5)/(6), очевидно, эквивалентна следующему двумерному интегральному уравнению:

td x(t, s) = r (t, s,, ) x(, )dd + g (t, s) ( Rx)(t, s) + g (t, s), (7) ac где t c (, s ) d r (t, s,, ) = e k (, s, ), t t c (, s ) d c (, s ) d t g (t, s ) = e f t(, s )d + f (a, s )e a.

a Уравнение (7) является линейным интегральным уравнением с непрерывным ядром r (t, s,, ) и непрерывной функцией g (t, s ), оно имеет единственное решение в C (D ), так как спектральный радиус компактного в C (D ) оператора R равен нулю [1,4,5], и это реше ние можно найти методом последовательных приближений.

Для численного решения уравнения (7) могут быть использованы многочисленные ме тоды решения линейных интегральных уравнений, в частности, метод механических квадратур.

О численном решении уравнений с частными интегралами При применении метода механических квадратур к уравнению (7) отрезки [ a, b ] и [ c, d ] разбиваются на части точками t p = a + ph ( p = 0,1, K, P, a + Ph b ( P + 1) h ), sq = c + qg ( q = 0,1, K, Q, c + Qg d (Q + 1) g ), в уравнении (7) t и s заменяются на t p и sq соответственно, а интеграл вычисляется по формуле tp d p Q r (t p, sq,, ) x(, )dd = hg pqij rpqij x(ti, s j ) + rpq, (8) i =0 j = ac где rpqij = r (t p, sq, t i, s j ), а rpq — остаток в формуле (8). В результате интегральное уравнение (7) заменяется системой уравнений относительно неизвестных x (ti, s j ) (i = 0,1, K, P;

j = 0,1, K, Q ).

Отбрасывая в этой системе уравнений остатки, получим систему уравнений для приближен ных значений x pq функции x в точках (t p, s q ) p Q x pq = hg pqij rpqij xij + f pq + pq ( p = 0,1,K, P;

q = 0,1,K, Q), (9) i =0 j = где f pq = f (t p, sq ), а pq — погрешности вычислений для уравнений системы (9) с x pq.

Аналогично [9] доказывается Теорема. Пусть в формуле (8) остатки стремятся к нулю равномерно относительно p, q при h, g 0, | pqij | A и погрешности вычислений стремятся к нулю равномерно относительно p, q при h, g 0. Тогда при всех достаточно малых h и g приближенное решение x pq ( p = 0,1, K, P;

q = 0,1, K, Q ) может быть найдено из системы (9), причем для любого заданного 0 существуют такие h0 и g 0, что при h h0 и g g | x pq x (t p, s q ) | ( p = 0,1, K, P ;

q = 0,1, K, Q ).

Таким образом, при численном решении линейного интегрального уравнения (2) с ча стными интегралами целесообразно перейти к линейному двумерному интегральному уравнению (7) и численно решать это уравнение с применением методов численного реше ния линейных интегральных уравнений, например, с применением метода механических квадратур.

Непосредственные вычисления удобно проводить с применением пакетов Mathcad и Scilab или с использованием языка свободного программирования Python.

В заключение отметим, что при сделанных выше предположениях описанный процесс численного решения линейного интегрального уравнения (2) непосредственно применяется и к численному решению задачи Коши для линейного интегро-дифференциаль-ного уравнения Барбашина.

Благодарности. Работа поддержана Минобрнауки РФ, проект 1.4407.2011.

В.А. Калитвин ЛИТЕРАТУРА 1. Калитвин, А.С. Линейные операторы с частными интегралами / А.С. Калитвин. – Во ронеж: ЦЧКИ, 2000. – 252 с.

2. Appell, J.M. Partial Integral Operators and Integro-Differential Equations / J.M. Appell, A.S Kalitvin, P.P. Zabrejko. – New York-Basel: Marcel Dekker, 2000. – 560 p.

3. Appell, J. On some partial integral equations arising in the mechanics of solids / J. Appell, A.S. Kalitvin, M.Z. Nashed // Zeitschr. Ang. Math. Mech. –1999. – B. 79. – 10. S. 703–713.

4. Калитвин, А.С. Интегральные уравнения Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма с част ными интеграламиКалитвин / А.С. Калитвин, В.А. Калитвин. – Липецк: ЛГПУ, 2006. – 177 с.

5. Калитвин, А.С. Линейные уравнения с частными интегралами. C-теория / А.С. Ка литвин, Е.В. Фролова. – Липецк: ЛГПУ, 2004. – 195 с.

6. Положительные решения операторных уравнений / М.А. Красносельский и [др.]. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1969. – 456с.

7. Михлин, С.Г. Некоторые вопросы теории погрешностей / С.Г. Михлин. – Л.: ЛГУ, 1988. – 335 с.

8. Даугавет, И.К. Теория приближенных методов. Линейные уравнения. – 2-е изд., пере раб. и доп. / И.К. Даугавет. – СПб.: БХВ-Петербург, 2006. – 288 с.

9. Kalitvin, V.A. On the numerical solution of Barbashin integro-differential equations with Py thon application / V.A. Kalitvin // Journal of Mathematical Sciences. – 2013. – V. 188. – 3, Janu ary. – P. 250–255.

ВЕСТНИК ЛГПУ. Серия МИФЕ МАТЕМАТИКА 2013. Вып. 1 (4). С. УДК 517. ОБЗОР РЕЗУЛЬТАТОВ ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РАДОНА И РАДОНА-КИПРИЯНОВА РАДИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ И ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО Л.Н. Ляхов, О.И. Попова Аннотация. Статья содержит обзор результатов исследований преобразований Радо на и Радона-Киприянова радиальных функций и функций одного переменного.

Ключевые слова: преобразования Радона, Радона-Киприянова, Фурье-Бесселя, преобра зование Радона радиальных функций, дробная производная.

Введем следующие обозначения:

x = ( x1, x) R + = (0, + ) R n 1 ;

n x, = i =1xi i, — скалярное произведение векторов в Rn ;

n p = x, — уравнение плоскости, проходящей на расстоянии | p | от начала координат, ортогонально единичному вектору ;

(P ) — -функция, сосредоточенная на ( n 1) -мерной поверхности P ( x ) = 0 в Rn.

Преобразование Радона-Киприянова в R + {x: x1 0} введено в [1] (далее, сокращая, будем n писать K -преобразование, где положительное число — индекс преобразования Радона Киприянова) определяется выражением K [ f ]( ;

p) = + f ( x)x ( p x, )) x1 dx, = 12, 0, (1) Rn в котором символ x обозначает действие оператора Пуассона порядка = 12 по пере менной x1 :

+ 2 g ( x cos, x) 1 d.

x g ( x1, x) = sin 2 В работе [1] K -преобразование функции строилось путем выделения интеграла по плоско сти из преобразования Фурье-Бесселя той же функции. Однако из полученной конструкции нового (лучше сказать — специального) преобразования Радона не вытекала прямая связь с классическим преобразованием Радона. Как оказалось, этой связи нет, но есть связь с част ным случаем преобразования Радона — с преобразованием Радона функций, обладающих сферической (центральной или осевой) симметрией. Она выявлена в ниже сформулирован ных теоремах 1 и 2.

12 Л.Н. Ляхов, О.И. Попова Теорема 1. Преобразование Радона радиальных функций f интегрируемых в Rn не за висит от вектора нормали к плоскости интегрирования и совпадает (с точностью до кон станты, равной площади единичной сферы в Rn ) с преобразованием Радона-Киприянова це лого индекса = n 1 той же функции, рассматриваемой как функции одной (а именно — радиальной) переменной:

R[ f ]( ;

p ) = R[ f ]( p ) =| S1 (n) | K n1[ f ]( p ), где R[ f ] — классическое преобразование Радона (см.[2]), K — преобразование Радона Киприянова (см. [1],[3]) функции одного переменного:

K [ f ]( p) = f ( x) x ( p x) x dx, R а S1 (n) — площадь единичной сферы в Rn.

Имеет место более общий результат.

Теорема 2. Пусть Rn = Rm Rnm и функция f = f (| y |, x), | y |= r = y12 +K + ym удовле- творяет условиям теоремы 1. Положим = (, ), Rm и | |= 1. Тогда R[ f ]( ;

p) = R[ f ]((| |, );

p) =| S1 (m) | K m1[ f ]((| |, );

p).

Здесь уже K — преобразование Радона-Киприянова применяется к функции многих пе ременных f = f ( r, x ), как в (1), где весовая переменная x1 играет роль радиальной.

Из теорем 1 и 2 следует принципиально важный результат — преобразование Радона Киприянова может рассматриваться как обобщение преобразования Радона радиальных (или радиальных по части переменных) функций.

Важно то, что и K -преобразование Радона-Киприянова радиальной функции снова сво дится к K -преобразованию функции одной переменной: Теорема 3. Пусть f удовлетво ряет условиям теоремы 1 и является радиальной: f = f ( x12 +K + xn ). Тогда K [ f ](;

p ) = K [ f ]( p ) =| S1 ( n ) | K + n1[ f ( r )]( p ), где | S1 (n) | = 1 dS — площадь взвешанной (терминалогия И.А. Киприянова) сферы.

S1 ( n ) Известно, что преобразование Радона произвольной функции сводится к преобразованию Радона радиальной функции путем использования сферических средних от функций, кото рые, естественно, радиальные функции. Это вызывает интерес к исследованию K преобразования функции одной переменной и соответствующей формуле обращения.

Общие формулы обращения преобразования K g получены в [3], [4]. Интерес к обраще нию одномерного K g -преобразования отчасти связан с тем, что, во-первых, эти формулы имеют очень простой вид и, как оказалось, просто связаны с формулами обращения дробных интегралов (последние содержит монография ([5])), а во-вторых, с тем, что в частном случае, когда весовой показатель целый, эти формулы окажутся обращающими преобразование Радона радиальных функций, а это имеет практическое значение при решении прикладных задач фундаментальной физики, математической физики, компьютерной томографии.

В [6] рассматривалась задача обращения преобразования Радона-Киприянова K для (0,2) функций одного переменного. Здесь сообщается о подобных исследованиях для произвольных 0.

Обзор результатов исследования преобразования Радона и Радона-Киприянова… Введем весовую линейную форму (u, v) = u ( x) v( x) x dx, на основе которой вводится гильбертово пространство L и пространство весовых суммируемых функций L.

2 Лемма 1. Пусть функция f L1 (0, ) финитная функции с носителем {| x | a}, то гда ее K -преобразование для всех 0 представляется в виде правостороннего интеграла Римана-Лиувилля K [ f ]( q ) = I b/2 f1 (q ), b = a 2 (2) от функции + ( ) f1 ( ) = f ( ).

Как известно (см. [5]), интеграл Римана-Лиувилля в формуле (2) обладает полугрупповым свойством I I = I +, поэтому утверждение леммы можно представить в виде [ /2] { /2} K [ f ]( q ) = I b 1 I b 2 f1 ( q ), = 1 + 2. (3) Также известно, что производная Римана-Лиувилля обращает оператор дробного интегриро вания (см.[5]): для любой суммируемой функции и для любого с Re 0 справедливо равенство Db I b =. Учитывая, что дробная производная тоже обладает полугрупповым свойст вом, имеем f1 ( x ) = D [/2] Db/2} I b/2} I b/2] f1 ( x ).

{ { [ Положим = [ ] + { }, и [ ] = n 1. Тогда, из (3) и правила обращения интегралов целого порядка следует равенство (ddp ) K [ f ]( p) = I f ( p), l = [ 2] + 1.

2l {/2} (4) b Это равенство представляется в виде (( ) (1)l ( + 12 ) {/2} ) l I b ddp 2 K [ f ] ( x).

f ( x) = Общий результат этих исследований представлен в следующем утверждении.

Теорема 4. Обращение преобразования Радона-Киприянова K для всех 0 функции f ACev ([0, a ]) (одного переменного) можно записать в виде дробной производной Римана Лиувилля (1) l ( + 12 ) d K [ f ](t ) t dt la, l = [ 2] + 1.

2 x dx 2 2 { 2 } f ( x) = x (t x ) 1 { } Сформулированные выше результаты легко переносятся на функции радиальные в Rn (т.е.

на функции вида f = f (| x |), x Rn ) благодаря формуле, представляющей преобразование Радона-Киприянова, где роль индекса играет число n + 1. На самом деле, сказанное справедливо и для классического преобразования Радона, поскольку это преобразование ра диальной функции сводится к K -преобразованию с = n 1 одномерных функций (этот ре зультат есть в работе [6] для n = 2 и n = 3 ). В этом случае + n 1 + n [ ]{ } 2 K n + 1[ f ]( p ) = I b Ib f1 ( p ).

14 Л.Н. Ляхов, О.И. Попова Для радиальных функций получены все приведенные выше формулы с заменой индекса на индекс n + 1. Исключителен только случай, когда число n + нечетное.

Из приведенных рассуждений следует, что только в этом случае формулы обращения но сят локальный характер. Ситуация же, когда число n + четное, ничем от него не отличает n + 1 n + } 0.

ся, т.к. когда число дробное, то и его дробная часть { 2 Конечно, при работе с K -преобразованием удобно иметь таблицу K -преобразования функций одной переменной и, главным образом, элементарных функций. В данной работе приведена часть такой таблицы, для создания которой использовалась соответствующая таб лица из книги [5].

+ Отметим, что когда функция (четная) имеет носитель (0, b ) в R1, то функция f1 имеет носитель, принадлежащий множеству (0, b 2 ).

Формулу (2) применим для вычисления K -преобразования (1) элементарных функций.

Заметим, что формула (2), примененная к произвольной степенной функции с неограничен ным носителем, теряет смысл, поэтому, чтобы избавиться от неопределенности в решении, будем умножать исходную функцию на кусочно-постоянную функцию Хевисайда (x ), равную нулю для не положительных значений аргумента, и единице — для положительных.

Кроме того, отметим, что K -преобразование определено для четных функций. Учитывая наличие квадратных корней в аргументе функции f1, далее рассматриваем функции от аргу мента x 2, что делает функции и четными и очень удобными для применения формулы (2) одновременно.

K -преобразование функции от x 2.

1. ( x) = (b 2 x 2 )(b 2 x 2 ) ( 1), 0, ( + 12) ( ) (b 2 x 2 )(b 2 p 2 ) 2+ 1.

K [ ]( p ) = 2 ( 2 + ) 2. Общий вид степенной функции ( x) = ( x 2 a) 1 (b 2 x 2 ) ( 1) (b 2 x 2 ).

+ ) ( ) ( p2 b 2 (b 2 a ) 1 (b 2 p 2 )/2 + 1 2 F1 (1,, + ;

K [ ]( p ) = ).

b a 2(1/2)( + ) 2 3. ( x) = (b x ) ln (b 2 x 2 )(b 2 x 2 ), + ) ( ) ( 2 (b 2 p 2 ) +/21 (b 2 p 2 )( ( ) ( + /2) + ln(b 2 p 2 )), K [ ]( p ) = 2 ( + ) где ( z ) – пси-функция Эйлера.

4. ( x) = e ax, + ( ) 2 a /2 e ap 2.

K [ ]( p ) = 5. ( x) = e ax sin bx Обзор результатов исследования преобразования Радона и Радона-Киприянова… + ( ) e ap K [ ]( p ) = sin (bp 2 + ).

2 / (a + b ) ax 6. ( x) = e cos bx 2, + ( ) e ap K [ ]( p ) = cos (bp 2 + ).

2 / (a + b ) Полученные здесь формулы справедливы и для классического преобразования Радона радиальных функций. Достаточно в найденных формулах положить = 0.

Отметим, что функция K [ f ]( ;

p ) определена на множестве ( ;

p ) Z = S1+ (n) R1, где S1+ (n) = { :| |= 1, 1 0}. Следуя подходам Наттерера-Смита, (см. [8]), введем класс H s (Z ) функций g (, q), S1+, q R1,, для которых = +1 (1 + p 2 ) s | F [ g ]( ;

p) |2 dp dS ( ), g ( ;

p) s H ( Z ) S1 R где F = Fq p — преобразование Фурье (классическое).

Класс функций Соболева-Киприянова определим, как в [11], на основе смешанного пре образования Фурье-Бесселя, для которых конечна норма = + (1+ | |2 ) s | FB [ f ]( ) |2 1 d.

f ( x) s H ( Rn ) Rn Через H s, 0 ( + ) будем обозначать множество функций с ограниченным носителем, принад лежащим полушару + = {x Rn ;

| x | A, x1 0}.

Имеет место следующая теорема об эквивалентности норм.

Теорема 5. Для всякого существуют такие положительные константы c (, n ), C (, n ), что для f C 0 ( n ) c(, n) f C (, n) f K [ f ].

+ ( n + 1)/2 ( Z ) H 0 ( n ) H0 (n ) H Практический интерес к преобразованию Радона финитных функций связан с задачами ком пьютерной томографии, которые в большинстве всегда ставятся в ограниченном объеме. Это приводит к необходимости теоретических исследований преобразования Радона функций, которые следует считать финитными (такие исследования содержат книга Д.Хелгасона [7];

см. также книгу Наттерера [8]). Отсюда и возникает интерес к исследованию действия пре образования Радона-Киприянова на финитные функции. Одна из подобных задач исследова лась в работе [10] для основных функций, принадлежащих подпространству Л. Шварца, со стоящему из функций, четных по весовой переменной. Приведем обобщение её результата.

Через 0 обозначим часть границы области +, принадлежащую координатной гиперп лоскости x1 = 0. Пространство Лебега Lp ( + ), p 1 определяется как множество функций, определенных на + 0, для которых 1/p = + | f ( x) | p ( x) dx.

f L ( + ) n 16 Л.Н. Ляхов, О.И. Попова Будем предполагать, что f ( x ) имеет конечный носитель, принадлежащий частично замкну той области + 0.

Если носитель функции принадлежит шару с центром в начале координат и радиуса R, то ее преобразование Радона-Киприянова (как и обычное преобразование Радона) имеет смысл рассматривать интегрированием по плоскостям, находящимся на расстоянии | p | от начала координат с | p | R. Такие плоскости, пересекаясь с полушаром {| x | R}+, образуют поверхность, представляющую шар в евклидовом полупространстве меньшей (на единицу) размерности, радиуса R 2 p 2.

Предположим, что вектор нормали к плоскости интегрирования фиксирован. Тогда K -преобразование f оказывается функцией одного переменного s. И далее будет видно, что образ K [ f ](, s ) функции f, как функции одного параметра s, принадлежащего отрез ку [ R, R ], надо рассматривать в пространстве суммируемых в степени p функций со спе циальным сингулярным весом, образованным отрицательной степенью радиуса области ин R 2 s 2. Это приводит к следующим построениям (ср. с [8]).

тегрирования Рассмотрим множество функций {g ( s )} одного переменного s, зависящих от параметра ( | |= 1 ), который считается фиксированным. Предположим, что supp g (s ) принадлежит интервалу ( R, R ) и пусть = (s) =. (4) ( R s 2 ) n + 1 p Для каждого фиксированного единичного вектора введем пространство Lp ([ R;

R], ) = 1/p R = g ( s ) : | g ( s ) | ( s ) ds + p R Теорема 6. Пусть носитель функции f принадлежит полушару + = {| x | R}+ и f L2 ( + ). Тогда K -преобразование (1) является непрерывным оператором, действую n щим из L2 ( + ) в L2 ([ R;

+ R ], ), т.е. существует независимая от функции f константа C такая, что P f L ( n ), K [ f ] L2 ([ R ;

+ R ], ) где сингулярный вес (s ) определен по формуле (4).

Благодарности. Работа поддержана Минобрнауки РФ, проект 1.4407.2011.

ЛИТЕРАТУРА 1. Киприянов, И.А. О преобразованиях Фурье-Фурье-Бесселя-Радона / И.А. Киприя нов, Л.Н. Ляхов // ДАН, 1998. – Т. 360. – 2. – C. 157-160.

2. Гельфанд, И.М. Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории пред ставлений / И.М. Гельфанд, М.И. Граев, Н.Я. Виленкин. – М.: ГИФМЛ, 1962. – 656 c.

3. Ляхов, Л.Н. Обращение преобразования Радона-Киприянова / Л.Н. Ляхов // ДАН, 2004. – Т. 399. – 5. – С. 597-600.

Обзор результатов исследования преобразования Радона и Радона-Киприянова… 4. Ляхов, Л.Н. Преобразование Киприянова-Радона / Л.Н. Ляхов // Тр.МИАН, 2005. – Т. 248. – С.153-163.

5. Самко, С.Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложе ния / С.Г. Самко, А.А. Килбас, О.И. Маричев. – Минск: Наука и техника, 1987. – 688 c.

6. Ляхов, Л. Н. RK -преобразование с (0;

2] весовых сферических средних функций.

Соотношение Асгейрсона / Л.Н. Ляхов // ДАН, 2011. – Т. 439. – 5. – С 589-592.

7. Хелгасон, Д. Группы и геометрический анализ / Д. Хелгасон. – М.: Мир, 1987. – 735 с.

8. Наттерер, Ф. Математические аспекты компьютерной томографии / Ф. Наттерер. – М.: Мир, 1990. – 279 с.

9. Ляхов, Л.Н. О преобразованиях Радона и Радона-Киприянова сферически симмет ричных функций / Л.Н. Ляхов // ДАН, 2008. – Т. 419. – 3. – С. 114-119.

10. Ляхов, Л.Н. Весовые оценки преобразования Радона-Киприянова функций с ограни ченным носителем / Л.Н. Ляхов, О.И. Попова // Научные ведомости Белгородского госуни верситета. Серия: Математика, Физика, 2011. – 17(112). – Вып. 24. – С. 54-62.

11. Киприянов, И. А. Сингулярные эллиптические задачи/ И. А. Киприянов. – М.: Нау ка, 1997. – 199 с.

ВЕСТНИК ЛГПУ. Серия МИФЕ МАТЕМАТИКА 2013. Вып. 1 (4). С. УДК 517. ОБ ОДНОМ НЕРАВЕНСТВЕ ДЛЯ СВЕРТКИ, ПОРОЖДЕННОЙ СМЕШАННЫМ ОБОБЩЕННЫМ СДВИГОМ ФУНКЦИЙ ВИДА (1+ | x |2 ) k С.А. Рощупкин Аннотация. Получена оценка свертки, порожденной смешанным обобщенным сдвигом.

Ключевые слова: свертка, смешанный обобщенный сдвиг, функциональное пространст во, дробные производные и интегралы, сингулярные псевдодифференциальные операторы.

Через RN будем обозначать евклидово пространство точек x = ( x1, K, xN ). Натуральные числа n и N фиксированы и связаны условием n N. Положим RN = Rn RN n, Rn+ = { x = ( x1, K, xn ): x1 0,K, xn 0}, x = ( xn +1, K, x N ) RN n.

+ Координаты n -мерного вектора x, по смыслу рассматриваемой в работе задачи, будем называть весовыми.

n Рассмотрим интегральный вес ( x) = xi i, где мультииндекс = ( 1,K n ) состоит из i = фиксированных положительных чисел. Введем весовое скалярное произведение (u, v) = u ( x) v( x) ( x) dx.

+ RN Многомерный смешанный обобщенный сдвиг и его свойства. Удобно выделить одну из переменных, положив x = ( xi, x i ), x i = ( x1, K, xi 1, xi +1, K, x N ).

y Одномерный обобщенный сдвиг Tx i действует по формуле (подробно изучен Б.М. Левита i ном в [1], см. также [2]) + i Tx i f ( x) = Tx i f ( xi, x i ) = 1 y y f ( xi yi, x i ) sin i d i, i i 2 где i xi yi = xi2 2 xi yi cos + yi2.

В этих исследованиях он действует по каждой из весовых переменных x1,K, xn.

+ Многомерный смешанный обобщенный сдвиг Txy, x = ( x, y ), y = ( y, y ) Rn RN n опре деляется в виде суперпозиции одномерных обобщенных и обычных сдвигов (такие сдвиги рассматривались в [3] и в [4]). По определению полагаем n Txy : f ( x ) Txy f ( x ) = Tx f ( x, x y) = i i = n = C ( )... f ( x y, x y) sin i 1 i d1 K d, i = 0 Об одном неравенстве для свертки, порожденной смешанным обобщенным сдвигом… 1 n i x y = x1 y1, K, xn yn, xi yi = xi2 2 xi yi cos i + yi2, + i n n C ( ) =.

i i = Свойства смешанного обобщенного сдвига порождены свойствами одномерных сдвигов (обобщенных и обычных, свойства которых совпадают). Приведем эти свойства, понимая их как свойства смешанного обобщенного сдвига.

(а) линейность и однородность :

Txy ( au ( x ) + b v ( x )) = aTxy u ( x ) + bTxy v ( x ) ;

(б) Txy (1) = 1 ;

(в) перестановочность аргумента и шага:

Txy u ( x) = Tyxu ( y ) ;

(г) самосопряженность смешанного обобщенного сдвига Txy в смысле весового скалярно го произведения: если f ( x ) — непрерывная функция, для которой | f ( x) | ( x) dx + RN + и g ( x ) — непрерывная, ограниченная функция для всех x RN функция, то T f ( x)T f ( x) g ( x) x 2 dx = g ( x) x 2 dx;

y y x x + + RN RN (д) переместительность смешанного обобщенного сдвига Txy : для каждой непрерывной + функции f ( x ) и любых точек y, z RN имеет место равенство TxyTxz f ( x ) = TxzTxy f ( x );

(е) ограниченность смешанного обобщенного сдвига Txy в весовых лебеговских классах функций, порожденных весовым скалярным произведением: для всех p 1/p + | T f ( x) | ( x ) dx Tyf y p = L p RN 1/p 1/p + T | f ( x) | ( x) dx | f ( x ) | ( x ) dx y p p =f.

L R+ p N RN Неравенство f Tyf L L p p обычно называют неравенством Киприянова-Ключанцева.

Для одномерных обобщенных сдвигов свойства (a)— (d) доказаны в [1] (см. также книгу [2]);

свойство ограниченности в весовых лебеговских классов функций доказано в работе [5].

20 С.А. Рощупкин Основной результат. Множитель (1+ | |2 ) s для произвольного действительного числа s используется в теории функциональных пространств Соболева, Слободецкого, Степанова, Киприянова. Интегральные операторы, типа дробной риссовой производной, имеют своим ядром эту же функцию. Смешанное преобразование Фурье-Бесселя от этой функции являет ся ядром В-потенциала Бесселя (называется также "'функция Макдональда"'). Поэтому ис следование ее свойств необходимо во многих задачах теории функций и дифференциальных уравнений. В следующей лемме доказывается неравенство, важное в теории сингулярных псевдодифференциальных операторов Фурье-Бесселя.

Лемма. Пусть k1 0 произвольное достаточно большое число (по крайней мере оно должно быть больше чем N + | | + 1 ) и пусть k 2 = 2k1. Справедливо неравенство 2 k1 k2 k T (1+ | | ) T (1+ | |2 ) ( ) d C T (1+ | |2 ). (1) + RN Доказательство. Левую часть неравенства (1) преобразуем следующим образом (объяс нения ниже) 2 k1 k T (1+ | | ) T (1+ | |2 ) ( ) d = + RN 2 k1 k T T (1+ | | ) ( ) d = (1+ | |2 ) = + RN 2 k1 k T T (1+ | | ) ( ) d = (1+ | |2 ) = + RN 2 k1 k T T (1+ | | ) ( ) d = (1+ | |2 ) = + RN 2 k1 k T T (1+ | | ) ( ) d = (1+ | |2 ) = + RN 2 k1 k T (1+ | | ) = T ( ) d.

(1+ | |2 ) (2) + RN Здесь в первом равенстве использовано свойство самосопряженности смешанного обобщен ного сдвига;

во втором — симметрией обобщенного сдвига относительно своих аргумента и шага (свойство (в));

в третьем — перестановочностью обобщенных сдвигов между собой;

в четвертом — ассоциативностью;

в пятом — просто вынесли сдвиг по не интегрируемым ар гументам за знак интеграла, что возможно ввиду абсолютной интегрируемости подынте гральной функции.

Далее используется неравенство ± 1+ 1 + 2. (3) 1+ 1+ | |2 = 1+ | + |2 (1+ | |2 )(1+ | |2 ) и, наоборот, Неравенство (3) практически очевидно:

1+ | |2 = 1+ | + |2 (1+ | |2 )(1+ | |2 ). Наверное, впервые применялось в работе Питре [6] Об одном неравенстве для свертки, порожденной смешанным обобщенным сдвигом… i i [0, ], но отсюда сле Нетрудно видеть, что | xi yi | xi yi = xi2 2 xi yi cos i + yi2, дует, что 1 n | | (, ) = (1 1, K, n n, ).

Тогда из (3) следует, что ± 1+ 2 1 + 2 1 + + 2.

1+ Отсюда, для произвольного действительного числа k имеем k |k | 1+ 2 1 + + 2, [0, ], i = 1,K, n.

1+ 2 i Или |k | k 1+.

1 + + 2 (4) 1+ n Полагая i [0, ], умножим это неравенство на C ( ) sin i и проинтегрируем по каждой i = из переменных i от 0 до. С левой стороны неравенства (4) окажется смешанный обоб щенный сдвиг, с правой же, интегралы по угловым координатам исчезают благодаря свойству обобщенного сдвига (б). Таким образом, из (4) получим неравенство k 1+ | | ( ) 2 | k | T 1+ | | 1+ | |2.

Следовательно, 2 k1 k T (1+ | | ) ( ) d (1+ | |2 ) + RN k (1+ | |2 ) 1 T ( ) d = 2 k1 2 k (1+ | | ) (1+ | | ) + RN ( ) d k = T (1+ | |2 ) k 2 k (1+ | |2 ) + RN d d k1 k T (1+ | |2 ) = T (1+ | |2 ).

2 k 2 k1 | | k | | (1+ | | ) (1+ | |2 ) + + RN RN Как видим, если k1 N + | | +1, то полученный интеграл сходится. Возвращаясь к (2), мы получаем требуемое неравенство (1).

Доказательство закончено.

22 С.А. Рощупкин ЛИТЕРАТУРА 1. Левитан, Б.М. Разложение в ряды и интегралы Фурье по функциям Бесселя / Б.М. Ле витан // УМН, 1951. – T. 6. – 2. – C. 102-143.

2. Левитан, Б.М. Операторы обобщенного сдвига и некоторые их приложения / Б.М. Ле витан. – М: ГИФМЛ, 1962. – 323 с.

3. Киприянов, И.А. Сингулярные эллиптические краевые задачи / И.А. Киприянов. – М.:

Наука, 1997. – 199 с.

4. Ляхов, Л.Н. B-гиперсингулярные интегралы и их приложения к описанию функцио нальных классов Киприянова и к интегральным уравнениям с B-потенциальными ядрами / Л.Н. Ляхов. – Липецк: ЛГПУ, 2007. – 232 с.

5. Киприянов, И.А. О сингулярных интегралах, порожденных оператором обобщенного сдвига / И.А. Киприянов, М.И. Ключанцев // Сиб. мат. журн. – 1970. – T. 11. – 5. – C. 1060 1082.

6. Pitre, J. Elliptic partial differential equations of higer order / J. Pitre // Lecture notes № 40.

Univ. of Maryland, Inst. for Flide. Dinamics, 1962.

Серия МИФЕ МАТЕМАТИКА ВЕСТНИК ЛГПУ. С 2013. Вып. 1 (4). С. УДК 517.983. О КОРРЕКТНОСТИ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА В ПРОСТРАНСТВАХ СОБОЛЕВА И СТЕПАНОВА В.М. Тюрин Аннотация. Доказаны при некоторых предположениях теоремы об эквивалентности обобщенной корректности дифференциального оператора в пространствах Соболева и Степанова.

Ключевые слова: обобщенная корректность, усиленная эллиптичность, неравенства для промежуточных производных.

Обозначим через X произвольное банахово пространство;

Lp = Lp (R n, X ) — лебеговы пространства сильно измеримых по Бохнеру функций u : R n X с конечной нормой || || p m m n ( p 1, n N);

H = H (R, X ) — пространство Соболева [1, с. 60;

2, с. 24] с нормой || D u || (m N);

|| u ||1m = | | m в пространстве Соболева-Слободецкого H m = H m (R n, X ) [3, c. 228] норма определяется равенством || u ||1m =|| u ||1m + u 1m, где || D u ( x) D u ( y ) || p u 1m = ( dxdy ) p ;

| x y |n + p | | m n n R R пространство, в котором норма определяется по формуле || u ||10 =|| u ||10 + u 10, обозна чим через Lp = Lp (R n, X ).

Рассмотрим линейный дифференциальный оператор P : H m L p в частных производ ных, действующий по формуле A ( x) D u ( x), Pu = | | m с коэффициентами A C (R, EndX ).

n Оператор P : H m L p назовем усиленно эллиптическим, если существуют такие посто янные a1 0 и a2 0, не зависящие от u H m, что || u ||1m a1 || u ||1( m 1) + a2 || Pm u ||10, (1) где Pm — главная часть оператора P.

24 В.М. Тюрин Лемма 1. Пусть пространство X конечномерно. Тогда справедливо неравенство m m || u ||1( m1) m1 || u ||1m + k b( ) || u ||1( k +1) + (2) j j = k + k = m + b( j ) || u ||10, (u H m ), j = где величины b ( j ) не зависят от функции u, при этом, вообще говоря, b ( j ) не ограничены при j 0.

Доказательство. Неравенство (2) доказывается на основе неравенств для промежуточ ных производных [4, с. 245, 5, с. 200].

Лемма 2. Для усиленно эллиптического оператора P : H m L p в конечномерном про странстве X имеет место неравенство || u ||1m k1 || u ||10 + k 2 || Pu ||10, (3) где постоянные k1 = k1 (a1, a2, c, m1,..., 1 ) 0 и k 2 = k 2 (a1, a2, c, m1 ) 0 не зависят от u, а постоянная c 0 зависит от коэффициентов A (| | m 1).

Доказательство. Выберем числа 1,..., m 1 так, чтобы 2a1m m 1 1, 2a1mb( m ) m 2 1,...,2a1mb( 2 )...b( m 1 ) 1. Тогда согласно (1) и (2) получим m || u ||1( m1) 2a1 b( j ) || u ||10 +2a2 m 1 || Pmu ||10. (4) j = Так как || Pm u ||0 || Pu ||0 + c || u ||( m 1), то из неравенства (4) следует m || u ||m 2a12 b( j ) || u ||0 +2a1a2 m1 || Pu ||0 + (5) j = + 2a1a2 c m 1 || u ||m + a2 || Pu ||0 + a2 c || u ||( m 1).

Число m1 выберем так, чтобы оно удовлетворяло неравенству 2a2 c m 1. Тогда из (4) вытекает неравенство m || u ||( m 1) 4a1 b( j ) || u ||0 +4a2 m1 || Pu ||0. (6) j = Согласно (5) и (6) будем иметь || u || m k1 || u ||0 + k 2 || Pu ||0, m k1 = (2a12 + 4a1 + 4a2 (2a1a2c m1 + a2c))b( j ), j = k 2 = 2a1a2 m 1 + 8a1a2 c m 1 + 4a 2 c m 1 + a2.

Лемма доказана.

Пусть M p = M p (R n, X ) — пространство Степанова [6, с. 78] сильно измеримых функций u : R n X, у которых О корректности линейных дифференциальных операторов эллиптического типа… || u ( x ) || p dx) p, || u ||20 = sup ( xR n K ( x ) где K (x ) — единичный куб в Rn с центром в точке x ;

W m ( M p ) — пространство Соболева Степанова функций u M p, имеющих обобщенные производные D u M p, причем норма элемента u W m ( M p ) определяется по формуле || D u || || u ||2 m =.

| | m Пространство M p = M p (R n, X ) определяется конечной нормой || u ||20 = u 20 + u 20, || D u ( x) D u ( y ) || p K ( y ) u 2 m = sup ( dxdy ), | x y |n + p | | m x, yR n K ( x ) а пространство W m = W m (R n, X ) — нормой || u || 2 m =|| u || 2 m + u 2 m.

Оператор P : W m M p называется усиленно эллиптическим, если существуют такие по стоянные a3 0, a4 0, что имеет место неравенство || u || 2 m a3 || u || 2( m 1) + a4 || Pm u ||20, в котором a3 и a 4 не зависят от u W m.

Лемма 3. Если оператор P : W m M p усиленно эллиптичен и пространство X конеч номерно, то справедливо неравенство || u || 2 m k 3 || u ||20 + k 4 || Pu ||20, (7) где постоянные k3 = k3 (a3, a4, c1, m1,..., 1 ) 0 и k4 = k4 (a3, a4, c1, m1 ) 0 не зависят от u, c1 0 зависит от A (| | m 1).

Доказательство леммы 3 аналогично доказательству леммы 2.

Пусть F p = {Lp, M p }, а F m = {H m, W m }.

По формуле Pu = A ( x) D u ( x ) | | m определим линейный ограниченный оператор P : F m F p.

Оператор P : F m F p назовем корректным, если существует такая постоянная k 0, что выполняется неравенство || u || m k || Pu || p (8) F F m для всех u F.

При выполнении неравенства k0 F || Pu || || u || (k0 F 0) F p F p оператор P : F m F p будем называть o—корректным.

Теорема 1. Пусть операторы P : H m L p и P : W m M p усиленно эллиптичны и n p. Если указанные операторы o —корректны, то они корректны одновременно.

Доказательство. Предположим, что оператор P : H m L p усиленно эллиптичен. По лемме 2 имеет место неравенство (3). Если оператор P : H m L p o— корректен, то || u ||1m (k0 F k1 + k2 ) || Pu ||10, F = Lp.

Согласно (7) оператор P : W m M p будет также корректен.

26 В.М. Тюрин Обратно. Допустим, что оператор P : W m M p усиленно эллиптичен. По лемме 3 спра ведливо неравенство (7). Из (7) и (8) вытекает неравенство || u ||2 m (k3k0 F + k 4 ) || Pu ||20, F = M p.

По теореме 1 [7] оператор P : H m L p корректен. Теорема доказана.

Функция u F p называется обобщенным решением уравнения Pu = f, f F p, если для любой последовательности u j F m такой, что числовая последовательность || u j || m F m ограничена и lim u j = u локально в F, то последовательность Pu j = f j локально сходится j к f в пространстве F p.

Оператор P называется обобщенно корректным относительно пространства F p, если найдется постоянная K = K ( F p ) 0, не зависящая от u F p такая, что || u || p k ( F p ) || f || p F F как только Pu = f в обобщенном смысле.

Оператор P назовем локально обобщенно корректным относительно пространства F p, если существуют постоянные a 0 и b 0 такие, что b || T u || p a || T f || p + || T u || p, (9) T F F F как только u есть обобщенное решение уравнения Pu = f, f F p, а постоянные a и b не зависят от u и T. Здесь T ( x, ) : R n [0,1] — гладкая функция с носителем в шаре B (,2T ), причем T ( x, ) = 1 при x B (, T ) и | D T | bnT | | ( b1 не зависит от T n, | | 0 ).

Теорема 2. Оператор P локально обобщенно корректен относительно пространства p L тогда и только тогда, когда он локально обобщенно корректен относительно про странства M p ( p n ).

Доказательство с небольшими изменениями проводится аналогично доказательству соот ветствующей теоремы из [8].

ЛИТЕРАТУРА 1. Соболев, С.Л. Некоторые приложения функционального анализа в математической физике / С.Л. Соболев. — М.: Наука, 1988. – 336 с.

2. Тейлор, М. Псевдодифференциальные операторы / М. Тейлор. — М.: Мир, 1985. – 472 с.

3. Трибель, Х. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциаль ные операторы / Х. Трибель. — М.: Мир, 1980. – 664 с.

4. Иосида, К. Функциональный анализ / К. Иосида. — М.: Мир, 1967. – 624с.

5. Мизохата, С. Теория уравнений с частными производными / С. Мизохата. — М.: Мир, 1977. – 504 с.

6. Массера, Х. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные простран ства / Х. Массера, Х. Шеффер. — М.: Мир, 1970. – 456 с.

7. Кузнецова, Т.Б. О корректности линейных дифференциальных оперторов эллиптиче ского типа в некоторых функциональных пространствах / Т.Б. Кузнецова, В.М. Тюрин.

8. Тюрин, В.М. Об обобщенной корректности линейных дифференциальных операторов в некоторых функциональных пространствах / В.М. Тюрин. — Липецк: ЛГТУ, 2012. – 271 с.

ВЕСТНИК ЛГПУ. Серия МИФЕ ФИЗИКА 2013. Вып. 1 (4). С. ФИЗИКА УДК 537.311. О НЕКОТОРЫХ ЭЛЕКТРОФИЗИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ КРЕМНИЕВОГО p–n ПЕРЕХОДА А.Д. Пашун Аннотация. Исследовался переход p–n – Si, который предполагалось использовать в ка честве фотоприемника. Представлены экспериментальные вольтамперные характеристи ки структур при различных температурах. Выполнен анализ темновых и световых харак теристик кремниевых фоточувствительных диодов.

Ключевые слова: полупроводник, кремний, p-n переход Известно, что фототок, соответствующий световому сигналу, наблюдается на фоне флук туационных явлений (шумов), которые определяют и позволяют, в конечном итоге, зареги стрировать наименьший световой сигнал [1]. Шумы могут иметь различное происхождение и, в частности, связаны с темновым током. В структуре с потенциальными барьерами источ ником токового шума являются флуктуации потоков генерации, рекомбинации, диффузии и прилипания электронов и дырок. Генерационный, рекомбинационный и диффузионный по токи носителей представляют собой составляющие тока через потенциальный барьер (ПБ).

Случайный характер потоков генерации, рекомбинации и прилипания приводит к флук туациям заселенности центров, расположенных в области пространственного заряда (ОПЗ) барьера, т.е. происходят флуктуации объемного заряда ОПЗ. Вследствие этого происходят флуктуации изменения параметров ПБ – его ширины и высоты. А это приводит к модуляции протекающих токов через структуру.


Объект исследования представлял собой кремниевый p–n переход, полученный на под ложке n–типа толщиной 400 мкм. Параметры подложки: концентрация n = 8,21018 cм–3, подвижность un = 31 см2 Вс при 300 К;

при 78 К – n = 31018 cм–3, подвижность un = см2Вс;

p–область толщиной 10 мкм имеет концентрацию p = 3,61019 см–3, up = 36 см2 Вс при 300 К. Измерения удельной электропроводности и эффекта Холла проводились методом Ван–дер–Пау [2].

Используя известную формулу для контактной разности потенциалов kT p p n n Uk = ln( ), (1) n q i оценим Uk = 0,8 В (при ni2 = 4,21024 см–6 для Si).

28 А.Д. Пашун Все это говорит о том, что прежде всего представляет интерес исследовать темновую вольт–амперную характеристику (ВАХ) p–n перехода I = f ( U) T = const в широком темпе ратурном интервале (78–300 К), а также исследовать статические зависимости (СЗ) I = f (T) U = const, U = f (T) I = const.

Экспериментальные данные I = f ( U) T = const представлены на рис. 1. Вид ВАХ сущест венно зависит от температуры (78 К, 297 К, 307 К). С повышением температуры кривая сдвигается в область больших токов и меньших напряжений (прямая ветвь, рис. 1,а). При об ратном напряжении Uобр с повышением температуры возрастает обратный ток Iобр и область теплового пробоя наступает значительно раньше при комнатной температуре, чем при азот ной (рис. 1,б).

Такое изменение вида ВАХ с температурой можно объяснить существенным изменением параметров кристалла в ОПЗ (при понижении температуры изменяется концентрация носи телей заряда, механизмы рассеяния и подвижность носителей заряда).

- 80 - 60 - 40 - 60 Uобр, B Jпр, мА/см 1- 78 К 2- 297 К 3- 307 К - 2 - 1 - 78 K 2 - 297 K 3 - 307 K - 0,5 1,0 1, Jобр, мА/см б) а) U, B Рис. Проведем сравнение экспериментальных данных с расчетной ВАХ. Так как p– и n– области перехода сильно вырождены, то прежде всего используем модель для тонкого p–n перехода [ 3 ] j = js[exp(qU / kT) 1]. (2) Плотность тока насыщения можно представить в виде js = jsn + jsp = qD n n p qD p p n Dp Dn + = qn i ( + ) = j exp(qU k / kT ), где = Ln Lp Ln pp Lpn n Dppp Dn j = q ( n n + ), т.е. ток через p–n переход контролируется квазинейтральными n– Ln Lp и p– областями. Следовательно, уравнение идеализированной (с учетом, что нет ни генера ции, ни рекомбинации носителей заряда) характеристики имеет вид j = j exp( qU k / kT )[exp(qU / kT ) 1]. (3) Для проверки соответствия экспериментальной ВАХ идеальной характеристики строим за висимость ln j = f ( U) (рис. 2). Неидеальность ВАХ характеризуем введением коэффициен О некоторых электрофизических свойствах кремниевого p–n перехода та А ( ln jп р = qU / AkT ), который определяем, используя метод наименьших квадратов.

Экспериментальные точки укладываются в полулогарифмическом масштабе на прямые ли нии, что свидетельствует об экспоненциальной зависимости силы тока от напряжения. Ко эффициент А не равен 1, т.е. имеем ВАХ, которая не отвечает условиям идеальности (кроме того, не наблюдается насыщения js, см. (2)).

Данные экспериментальной зависимости (рис. 2) позволяют определить контактную раз ность потенциалов Uk по точке пересечения линейных участков. Эти результаты можно сравнить с результатами расчета по формуле (1).

Теперь рассмотрим модель, когда ток через p–n переход контролируется ОПЗ. В этом случае идеализированная ВАХ имеет вид (3), но выражение j определяется следующим об разом 2- 297 К ln(J пр ) UK =0,61 B A=2, 1- 78 К UK =1,04 B A=10, 0,5 1,0 1, U, B Рис. j = qn v. (4) J ~ U3, 3- 297 К lnJ J ~ U2, J ~ U2, J ~ U1, J ~ U0, J ~ U1, 1- 78 К 7 8 10 11 lnU Рис. 30 А.Д. Пашун Согласно теоретическим представлениям [4] ток, ограниченный объемным зарядом, про порционален квадрату напряжения j U2. Наличие такого участка можно обнаружить на графике ln j = f (ln U) (рис. 3). Как видим, наблюдаются участки с разным наклоном j U2, j U3. Наличие участков, не соответствующих j U1/2, указывает на то, что кроме генера ционного тока существенны и другие составляющие. Зависимость j U3 связана уже с поле выми эффектами.

Jобр, мА/см Uобр 1 1= - 25 В 1, 2= - 20 В 3= - 10 В 0, 0, 0, 100 300 50 150 T, K Рис. 10, 2 - I = 2,0 мА Uобр 9, 8, 7, 1 - I = 1,2 мА 6, 5, 200 50 100 T, K Рис. Далее рассмотрим экспериментальные данные темновых СЗ I = f ( T) U = const (рис. 4) и U = f (T ) I =const (рис. 5). В температурном интервале 78–300 К характер изменения функции О некоторых электрофизических свойствах кремниевого p–n перехода I = f (T) U = const существенно зависит от Uобр. Начальное значение тока (при 78 К) возрас тает с ростом Uобр, с повышением температуры ток уменьшается, причем относительное из менение тока увеличивается с увеличением Uобр. С изменением температуры на кривой на блюдаются локальные максимумы.

На кривой U = f (T ) I =const наблюдается характерный максимум в области 150–200 К и особенности зависимости между напряжением и током при температуре порядка 250 К. Та кие особенности, по–видимому, связаны с наличием примесных центров в исходном кри сталле.

Возможный подход анализа СЗ изложен в [5]. Из проведенного анализа эксперименталь ных данных по данной методике [5] следует, что идеализированная модель (4) не работает в исследуемом нами температурном интервале (78–400 К).

Используем модель, когда ток p–n перехода контролируется квазинейтральными облас тями (1) и генерационно–рекомбинационными процессами (ГРП) в ОПЗ. Обычно ГРП свя зываются с наличием глубоких примесных центров в кристалле. Такие глубокие центры су щественно влияют на время жизни, а значит, и на диффузионную длину носителей и высоту ПБ. Все это, в конечном итоге, влияет на эффективное разделение неравновесных носителей p–n переходом. На наличие таких центров указывают СЗ I = f ( T) U = const (рис.4) и U = f (T) I = const (рис. 5). Оценим величину активации центров (рис. 6). Наблюдаются пря мые участки с энергией активации, которая примерно отличается в два раза. Это свидетель ствует о том, что в Iобр присутствуют по крайней мере две составляющие, из которых одна пропорциональна n, а другая – n2. Наличие таких двух участков может свидетельствовать об активации двух уровней.

Uобр = -10 B lnJ 0,467 эВ 0,236 эВ 0,142 эВ 0,072 эВ - 3,1 3, 2,5 2,7 2, 1000/T Рис. Для обратной ветви ток, обусловленный рекомбинацией дырок и электронов в области запирающего слоя, выражается следующей зависимостью ( U k + U)1/ 2 8nq exp( qU k / kT)[1 exp( qU / kT)].

jт = (5) 32 А.Д. Пашун Выражение (5) представим в стандартном виде U jт = jт 1 + exp( qU k / kT)[1 exp( qU / kT)], (6) Uk 1/ где jт = / (8nqU k ). Итак, обратный ток p–n перехода определяется выражением jоб р = j exp( qU k / kT)[1 exp( qU / kT) + U + jт 1 + exp(qU k / kT )[1 exp(qU / kT )]. (7) Uk В соответствии с этой моделью проведем расчет jобр. Для оценки параметров Uk и j исполь зуем прямую ВАХ при различных температурах (297–307 К). Для определения Uk использу ем две точки ВАХ exp(qU1 / kT1 ) k T1T2 j {ln 2 + ln[ Uk = ]}. (8) q T2 T1 exp(qU 2 / kT2 ) j Зная Uk, найдем j = j1 exp(qU k / kT1 )[exp(qU1 / kT1 ) 1]1. (9) Для оценки jт используется одна точка обратной ветви ВАХ при напряжении U (5–10) В.

Величиной exp( qU / kT) можно пренебречь по сравнению с 1. Из (7) получим выражение U jт = [ jоб р exp(qU / kT) j ] / 1 +. (10) Uk Расчет обратного тока по формуле (7) и сравнение этой зависимости с экспериментальной кривой представлены на рис. 7.

-5 -4 -2 - -3 Uобр, B T- 307 К Uk =0,73 B J = 2476 мА/см JT = 0,52.10 11 мА/см - 0, - 0, 1- эксперимент 2- расчет - 0, Jобр, мА/см Рис. О некоторых электрофизических свойствах кремниевого p–n перехода Как видим, расчетное значение jобр увеличивается в зависимости от U не так резко, как наблюдается в эксперименте. Это указывает на существенное влияние других слагаемых об ратного тока.

ЛИТЕРАТУРА 1. Верещагин, И.К. Введение в оптоэлектронику / И.К. Верещагин, Л.А. Косяченко, С.М. Кокин. – М.: Высш. шк., 1991. – 191 с.

2. Кучис, Е.В. Гальваномагнитные эффекты и методы их исследования / Е.В. Кучис. – М.:

Радио и связь, 1990. - 264 с.

3. Шалимова, К.В. Физика полупроводников / К.В. Шалимова – С.-Пб.: Лань, 2010. – 400 с.

4. Милнс, А. Примеси с глубокими уровнями в полупроводниках / А. Милнс. – М.: Мир, 1977. – 512 с.

5. Абидов, М.А. Статические характеристики диодных структур / М.А. Абидов. – М.: Ра дио и связь, 1989. – 152 с.

34 ВЕСТНИК ЛГПУ. Серия МИФЕ ФИЗИКА 2013. Вып. 1 (4). С. УДК 537.311. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭФФЕКТА ХОЛЛА В ИЗОТРОПНЫХ ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ ПЛАСТИНАХ И ПЛЕНКАХ С ТОЧЕЧНЫМИ КОНТАКТАМИ Н.Н. Поляков, А.А. Заворотний Аннотация. На основе краевой задачи электродинамики найдено в линейном прибли жении выражение распределения потенциала электрического поля в образце, помещен ном в поперечное магнитное поле, получено выражение для э.д.с. Холла. Результат уп рощен в строго математической форме и представлен в виде, удобном для дальнейшего программирования.

Ключевые слова: эффект Холла, полупроводник, сопротивление растекания Эффект Холла широко применяется в полупроводниковом производстве для измерения концентрации и подвижности носителей заряда. Для оперативных измерений коэффициента Холла в работах [1-7] предложен четырехзондовый метод, позволяющий производить изме рения непосредственно на пластинах и слоистых структурах без подготовительных операций изготовления омических контактов. Однако практическое применение 4-зондового метода измерения коэффициента Холла в настоящее время сдерживается сложностью теоретических расчетов поправочных множителей, учитывающих геометрические размеры и форму образ цов, а также расположение зондов на их поверхности.

Целью данной работы является построение такой математической модели эффекта Холла, которая позволяет упростить вычисления и усовершенствовать методику измерения коэффи циента Холла на уровне инженерной практики в лабораторных условиях.


2a d I I l 2b x 1 l r B y z Рис. 1. Расположение контактов на полупроводниковой пластине Математическая модель эффекта Холла в изотропных полупроводниковых пластинах… Пусть измерения коэффициента Холла производятся по схеме, изображенной на рис. 1.

Прижимные зонды 1, 2 являются токовыми, зонды 3, 4 служат для измерения э.д.с. Холла.

r Магнитное поле индукцией B направлено перпендикулярно плоскости прямоугольной пла стины, толщина d которой значительно меньше ее длины 2a и ширины 2b. При измерениях на постоянном токе I в слабых магнитных полях потенциал электрического поля в облас ти образца удовлетворяет краевой задаче [8] ( x, y, z ) = 0 ;

(1) x + RB y y RB x = 0;

= 0;

(2) x=±a y =±b I = [ ( x + l1 ) ( x l1 )] ( y );

= 0, (3) z z =0 z z = d где – удельная электропроводность полупроводника, l1 – величина, определяющая коор динаты токовых зондов, R – коэффициент Холла, ( x ) – дельта-функция Дирака, примене ние которой справедливо, если входное сечение токовых зондов значительно меньше рас стояния между ними.

Точное решение данной краевой задачи представляется затруднительным, поскольку она содержит неоднородные граничные условия. Следует, однако, учесть, что измерения э.д.с.

Холла обычно производят в слабых магнитных полях, индукция B которых меньше 1 Тл.

Экспериментальные данные показывают, что э.д.с. Холла в слабых полях зависит от индук ции B линейно. На основании этого решение краевой задачи представим в виде линейного приближения по магнитному полю [9] (x, y, z ) = 0 ( x, y, z ) + µB H ( x, y, z ), (4) где µB = RB – безразмерный параметр, µ – холловская подвижность носителей заряда. Та ким образом, краевая задача (1) – (3) представляется в виде двух краевых задач для 0 и H :

0 ( x, y, z ) = 0 ;

(5) 0 0 = 0;

= 0;

= 0;

(6) x x = ± a y y = ±b z z = d 0 I = [ ( x + l1 ) ( x l1 )] ( y ). (7) z z = Видим, что 0 ( x, y, z ) есть потенциал электрического поля в отсутствие магнитного поля ( B = 0 ). Влияние магнитного сводится к добавочному потенциалу H ( x, y, z ), который опре деляется задачей H (x, y, z ) = 0 ;

(8) 0 H H x + RB y y RB x = 0;

= 0;

(9) x=± a y = ±b ( H z )z =0 = 0 ;

( H z )z = d = 0. (10) 36 Н.Н. Поляков, А.А. Заворотний Решение краевой задачи (5) – (7) ищем в виде тригонометрического ряда Фурье [10] 0 ( x, y, z ) = Z kn ( z ) cos k ( x + a ) cos n ( y + b ), (11) k, n = 0,1,...

k = k 2a ;

n = n 2b. (12) Подставляя ряд (11) в уравнение (8) и в граничные условия (6), (7), получаем уравнение и граничные условия для Z kn ( z ) d 2 Z kn 2 2 2 kn Z kn ( z ) = 0 ;

kn = k + n. (13) dz Его решение имеет вид Z kn ( z ) = Akn sh kn z + Bkn ch kn z. (14) Опуская громоздкую процедуру нахождения Akn и Bkn, запишем окончательное выражение для потенциала 0 ( x, y, z ) n + k 1 ch (d z ) sin l 2I 0 ( x, y, z ) = n ( 1) 2 k 1 cos ( x + a ) cos ( y + b ) kn, (15) k n ab k, n kn sh kn d 1 2, при n = 0 ;

n = n = 0, 2, 4,... k = 1, 3, 5,.... (16) 1, при n 0.

Влияние магнитного поля на распределение тока в образце сводится к добавочному по тенциалу H ( x, y, z ), который определяется краевой задачей (8) – (10). Это задача с неодно родными граничными условиями. Запись потенциала H в виде ряда Фурье, как это сделано для 0, не представляется возможным. В связи с этим получим приближенное решение.

Представим потенциал H в виде суммы двух потенциалов H ( x, y, z ) = U ( x, y, z ) + W ( x, y, z ). (17) Краевая задача для функции U ( x, y, z ) U ( x, y, z ) = 0 ;

(18) U U U = RB = 0;

= 0.

;

(19) x x = ± a y y = ±b x y = ± b z z = 0, z =d Данная задача является корректной, поскольку потенциал 0 определен выражением (15).

После ее решения получаем выражение для функции U ( x, y, z ) k sin k l1 sh pq y cos q z n + k 8 IRB U ( x, y, z ) = 2 n p q ( 1) ( kn + q2 )(k2 2p ) 2pq ch pqb cos p (x + a ), (20) a bd k, p, n, q p q 2 = 2 + q ;

k = 1, 3,...;

p, n = 0, 2, 4,...;

p = q = q = 0,1, 2,... ;

;

;

(21) pq p 2a d Математическая модель эффекта Холла в изотропных полупроводниковых пластинах… 1 2, при p = 0 ;

1 2, при q = 0 ;

p = q = (22) 1, при p 0. 1, при q 0.

Краевая задача для функции W ( x, y, z ) имеет вид:

W ( x, y, z ) = 0 ;

(23) W W W = RB 0 = 0;

= 0.

;

(24) x x = ± a y x = ± a y y = ±b z z = z =d Решением данной краевой задачи является выражение k + n 1 n sin k l1 ch rm x cos m z 8 IRB W ( x, y, z ) = n m ( 1) 2 cos r ( y + b ), ( )( ) (25) adb 2 n, k, r, m 2 2 2 rm kn + m n r sh rm a r m 2 2 r = m = ;

rm = r + m ;

n = 0, 2,...;

k, r = 1, 3,...;

m = 0,1,...;

;

(26) 2b d 1, при m 0 ;

m = (27) 1 2, при m = 0.

С учетом выражения (17), окончательно для потенциала H получим выражение k sin k l1 sh pq y k + n 8IRB H ( x, y, z ) = n p q ( 1) 2 cos p (x + a )cos q z + ( )( ) a 2bd n, k, p, q pq k 2 kn + q ch pqb 2 2 p k + n 1 n sin nl1 ch rm x 8 IRB m k ( 1) 2 cos r ( y + b )cos m z. (28) ( )( ) +2 2 2 2 rm kn + m n r sh rm a b ad r, k, n, m Выражение (28) довольно громоздкое и содержит четверные ряды, что усложняет их вычис ление и увеличивает время расчета на ЭВМ. Для его упрощения воспользуемся приближени ем тонких образцов, т.е. примем во внимание, что толщина d образца много меньше его длины a и ширины b ( d a, b ). После данного приближения и с учетом того, что распре деление потенциала измеряется на поверхности пластины, т.е. при z = 0, выражение (28) примет вид k + n 1 2 sin l sh y cos (x + a ) 4 IRB H ( x, y ) = n p ( 1) k k1 p p ( ) + a 2bd n, k, p 2 2 p kn k p ch pb k + n 1 2 sin l ch x cos ( y + b ) 4 IRB n ( 1) 2 n ( ) k1 r r +2, (29) 2 2 r kn n r sh r a b ad r, n, k n, p = 0, 2,...;

k, r = 1, 3,....

Выражение (29) позволяет найти холловскую разность потенциалов H = H ( x, y = l2 ) H ( x, y = l2 ). (30) 38 Н.Н. Поляков, А.А. Заворотний После нахождения необходимых значений потенциала H выражение (30) принимает вид IRB H = Q, (31) d где p + n + k 1 2 sin l sh l Q = 2 n p ( 1) k k1 p ( ) 2 2 p kn k p ch pb a b n, k, p k + n 1 2 sin l sin l sin b 2 n ( 1) ( ) n k1 r2 r. (32) 2 2 r kn n r sh r a b a r, n, k В выражении (32) учтено, что значения э.д.с. Холла H измеряются, как правило, вдоль ли нии Oy при x = 0. После операции выделения нулевых членов последнее выражение примет вид k 1 sin l k + n ( 1) 2 sin k l1 + 2l k 1 + 4l Q = 22 ( 1) 2 a 2b k =1, 3,... 2 k n + k a b k =1, 3,...

n = 2, 4,...

sin k l1 sh pl2 k sin k l1 sh pl p + n 1 p + k + n 4 ( 1) 2 ( 1) ( ) ( ) +2 +2 + p k 2 ch pb p kn k 2 ch pb 2 a b k =1, 3,... a b k =1, 3,...

p p p = 2, 4,... n, p = 2, 4,...

k +n+r n sin k l1 sin r l ( 1) ( ) +2. (33) 2 2 r kn n r sh r a b a r, k =1, 3,...

n = 2, 4,...

Заметим, что в выражении (33) некоторые ряды можно просуммировать, что сократит их кратность. Для данной цели воспользуемся формулами из [11] и в результате получим:

k 1 sin l 2l2 k 1 = l1l2 ;

( 1) (34) a 2b k =1, 3,... k ab k + n 1 sin l sh l 4l2 k 1 = 2l ( 1) ( 1)n 2 chn1 a ;

(35) a 2b k =1, 3,... 2 n + k ab n = 2, 4,... n n n = 2, 4,...

k sin k l1 sh pl p + k + n ( 1) ( ) = a 2b k =1, 3,... p kn k 2 ch pb 2 p n, p = 2, 4,...

k sin k l1 sh pl p + k = 2 ( 1) ( ) p k 2 ch pb sh k b a k =1, 3,... p p = 2, 4,...

p + k 1 sin l sh l ( 1) k1 p ( ) 2 ;

(36) 2 p k p ch pb a b k =1, 3,...

p = 2, 4,...

Математическая модель эффекта Холла в изотропных полупроводниковых пластинах… k +n+r n + r n sin k l1 sin r l2 n sh nl1 sin r l 8 ( 1) ( 1) ( ) ( ) =. (37) b 2 a r, k =1, 3,... r kn n r sh r a b 2 r =1, 3,...

2 2 2 2 r n r sh r a ch n a n = 2, 4,... n = 2, 4,...

С учетом полученных выражений (34) – (37) выражение (33) принимает окончательный вид в форме:

sh nl ll 2l Q = 1 2 + 2 ( 1)n 2 + n ch n a ab ab n = 2, 4,...

k sin k l1 sh pl p + k + 2 ( 1) ( ) p k 2 ch pb sh k b a k =1, 3,... p p = 2, 4,...

n + r 1 n sh nl1 sin r l 2 ( 1) ( ). (38) 2 r n r sh r a ch n a b r =1, 3,...

n = 2, 4,...

Выражение (38) удобно представить в следующем виде ll Q = 1 2 + S1 + S 2 S3, (39) ab где множители Si (i = 1, 2, 3) для удобства программирования запишем с применением экспо ненциальных функций отрицательного аргумента:

( ) 2 n (a l1 ) 1 e 4 nl 2l ( 1)n 1 e S1 = ;

(40) 1 + e 4 n a a n =1, 2,... n p (b l2 ) 4 l e k b 1 e p e 2 p + n 1 k sin k l1 ;

( 1) S2 = ( ) ( ) (41) 1 + e 4 p b 1 e 4 k b p k 4 a k =1, 3,... p p =1, 2,...

( ) r a 2 n (a l1 ) 1 e 4 nl 2 n + r 1 sin l e 16 r 2 e S3 = 2 ( 1) ) )( ( n ( ). (42) 1 e 2 r a 1 + e 4 n a 2 r 4 n r b r =1, 3,...

n =1, 2,...

Таким образом, на основе краевой задачи электродинамики найдено в линейном прибли жении выражение для э.д.с. Холла. Полученный результат упрощен в строго математической форме и представлен в виде, удобном для дальнейшего программирования.

Соответственно выражение для потенциала поля Холла на поверхности z = 0 определя ется равенством IRB H ( x, y ) = Q1, (43) d p + k 1 sin l sh y cos x sh l n 1 ly y ( 1)2 chn1 a + 2 ( 1) k k1 p p Q1 = 1 + ( ) 2 k p p ch pb sh k b 2 ab ab n = 2, 4,... a k =1, 3,...

n n p = 2, 4,...

n + r 1 n sh nl1 ch r x sin r y ( 1) ( ). (44) 2 n r r sh r a ch n a b r =1, 3,...

n = 2, 4,...

40 Н.Н. Поляков, А.А. Заворотний При практических измерениях коэффициента Холла токовые зонды 1, 2 удобно распола гать на периметре образца ( l1 = a ), а измерительные зонды 3, 4 – на оси симметрии (рис. 2;

x = a 2 ;

y3 = b 2 l3 ;

y4 = b 2 + l3 ).

y b 1 H l r B0 a x a z Рис. 2. Практически удобное расположение зондов на образце В этом случае выражение для э.д.с. Холла принимает особенно простой вид IRB H = Q2, (45) d ena b e3na b 2nl 2l3 ( ) Q2 = + sin. (46) b n =1, 2,... n 1 e 4na b b На рис. 3 представлен график зависимости безразмерного множителя Q2 от отношения 2 l3 b для образцов с разными размерами, построенный в системе MathCad.

Q 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0 2l3 b 0 0,2 0,6 0, 0, Рис. 3. Зависимости Q2 от 2l3 b для различных образцов: 1 – а=64 мм, b=26 мм;

2 – а=26 мм, b=64 мм.

Математическая модель эффекта Холла в изотропных полупроводниковых пластинах… Представленные на рис. 3 значения множителя Q2 проверены нами экспериментально на прямоугольных пластинах кремния марки КЭФ. Получено хорошее совпадение теоретиче ских и экспериментальных значений Q1 в пределах погрешности измерений, которая не пре вышала 5%.

ЛИТЕРАТУРА 1. Батавин, В.В. Измерение параметров полупроводниковых материалов и структур / В.В. Батавин, Ю.А. Концевой, Ю.В. Федорович. – М.: Радио с связь, 1985. – 264 с.

2. Chwang, R. Contact size effects on the Van der Pauw method for resistivity and Hall coeffi cient measurement / R. Chwang, B.J. Smith, C.R. Growell // Sol. St. Electron. – 1974. – V. 17. – № 12. – P. 1217-1227.

3. Buehler, M.G. A Hall four-point probe on thin plates. Theory and experiment / M.G. Buehler // Sol. St. Electron. – 1967. – v. 10. – № 8. – p. 801-812.

4. Павлов, Н.И. Измерение эффекта Холла и магнитосопротивления в слабых и силь ных магнитных полях четырехзондовым методом // Физика и техника полупроводников. – 1978. – Т. 12. – № 8. – С. 1577-1581.

5. Поляков, Н.Н. Измерение проводимости и э.д.с. Холла прямоугольных полупровод никовых образцов пробником с квадратным расположением зондов / Н.Н. Поляков, Р.П.

Рубцова // Заводская лаборатория. – 1970. – №10. – С. 1207-1211.

6. Поляков, Н.Н. Об эффекте Холла в анизотропных пленках и монокристаллах / Н.Н. Поляков // Журнал технической физики. – 1993. – Т. 63. – №3. – С. 51-58.

7. Филиппов, В.В. Методы измерения и контроля коэффициентов электронного пере носа анизотропных полупроводников: монография / В.В. Филиппов, Н.Н. Поляков. – Ли пецк: ЛГПУ, 2011. – 110 с.

8. Ландау, Л.Д. Электродинамика сплошных сред / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. – М.:

ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 656 с.

9. Буш, Г. Определение характеристических параметров полупроводников / Г. Буш, У. Винклер. – М.: Издательство иностранной литературы, 1959. – 140 с.

10. Эдвардс, Р. Ряды Фурье в современном изложении / Р. Эдвардс. – М.: Мир, 1985.

Т. 1. – 264 с.

11. Прудников, А.П. Интегралы и ряды. Элементарные функции / А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. – М.: Наука, 1981. – 800 с.

42 ВЕСТНИК ЛГПУ. Серия МИФЕ ФИЗИКА 2013. Вып. 1 (4). С. УДК 537.311.322, 621. ИЗМЕРЕНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ КОНТАКТОВ МЕТАЛЛ-ПОЛУПРОВОДНИК, ПОЛУЧЕННЫХ КАПЕЛЬНЫМ ЭЛЕКТРОХИМИЧЕСКИМ МЕТОДОМ Н.Н. Поляков, С.В. Мицук, В.В. Филиппов, C.Е. Лузянин Аннотация. В работе предложен новый метод нанесения металлических контактов на поверхность полупроводникового кремния и исследования их свойств. Предлагаемая мето дика позволяет определять сопротивление контакта металл-полупроводник, а также ис следовать основные электрофизические свойства полупроводниковых пластин. Разрабо танная методика опробована экспериментально.

Ключевые слова: полупроводник, контактные явления, электропроводность Введение Методика исследования электрических свойств контактов к полупроводникам представ ляет интерес для технологии материалов электронной техники и производства приборов. В экспериментальных исследованиях полупроводниковых материалов и при изготовлении дат чиков возникает необходимость быстрого нанесения надежных металлических контактов к полупроводниковым кристаллам и пленкам. Достоверность и воспроизводимость измерений электрофизических характеристик полупроводниковых материалов в значительной степени зависит от качества контактов металл-полупроводник. Тонкие пленки никеля на поверхности полупроводников представляют самостоятельный интерес благодаря их магнитным свойст вам. В соответствии с этим в настоящей работе для электрохимического осаждения никеле вых контактов на кремнии предлагается капельный метод, который обладает определенной локальностью и экономичностью. Разработана методика быстрого измерения электрических характеристик получаемых контактов и исходных полупроводниковых образцов кремния.

Описание экспериментальной установки Для изготовления металлических контактов к образцу нами была изготовлена экспериментальная установка, принципиальная схема которой изображена на рис.1.

Для получения металлических контактных площадок электрохимическим способом был взят стандартный сульфатный электролит Уоттса [1]. Состав электролита: NiSO47H2O – г, NiCl26H2O –25 г, H2O – 0,5 л. Перед осаждением никеля в пленке окиси кремния 4 на по верхности образца вытравливались окна, размер которых 2 соответствовал размеру предпо лагаемых контактов. Затем контактные площадки прошли предварительную очистку поверх ности от нежелательных примесей. Следующим этапом является нанесение контактов. По лупроводник 3 помещается на проводящий подвижный столик 5, как показано на рис. 1. На образец в области предполагаемого контакта наносится капля 2 электролита при комнатной температуре (200С).

Наши опыты показали, что прочность сцепления никеля с кремнием значительно увели чивается, если в данный электролит перед электролизом добавить фтористоводородную ки слоту. При этом необходимо опытным путем подобрать оптимальное соотношение между концентрацией кислоты в электролите и силой тока во время осаждения никеля.

Изменение сопротивления контактов металл-полупроводник… µA 3 R 2 V Рис. 1. Схема установки по нанесению металлических контактов на поверхность полу проводника капельным электрохимическим методом. 1 – никелевый зонд;

2 – капля раствора электролита;

3 – полупроводниковый образец кремния;

4 – оксидный слой на поверхности кремния;

5 – проводящий подвижный столик;

6 – контактные провода Подвижный зонд 1, изготовленный из материала предполагаемого металлического кон такта (Ni), приводится в соприкосновение с каплей электролита 2. Для улучшения контакта отрицательного электрода 5 с полупроводником 3 возможно дополнительно использование соединительных проводов 6. От источника подается постоянный ток, плотность которого ре гулируется при помощи магазина сопротивлений R.

Для эксперимента нами был выбран стандартный плоский образец кремния n-типа круг лой формы радиусом r0= 50 мм, толщина образца d = 0.4 мм, размеры контактных площадок 2=2,0 мм. Для удобства исследований электрических свойств контактов четыре контактные площадки размером 2 были изготовлены на периметре образца (рис. 2). Плотность тока че рез границу электролит-полупроводник составляла 20 мкА/мм2. Время осаждения никеля на поверхность образца t 25 мин, толщина полученного никелевого покрытия не превышала d = 1.2 мкм.

3 r 0 x d 2 I I y z Рис. 2. Схема расположения четырех никелевых контактов на периметре исследуемого образца кремния Плотность тока и время электрохимического осаждения металла выбираются исходя из следующих соображений. При больших значениях плотности тока через границу электролит полупроводник металл быстро оседает на поверхности полупроводника, но внутри капли на границе раздела сред образуются пузырьки газа, сцепление осаждаемого металла с 44 Н.Н. Поляков, С.В. Мицук, В.В. Филиппов, С.Е. Лузянин полупроводником получается непрочным. Время электрохимического осаждения металла ограничивается толщиной получаемой никелевой пленки. При осаждении достаточно толстого слоя никеля образуется его собственная кристаллическая структура, что приводит к отслаиванию металла от поверхности полупроводника.

Достоинство предлагаемого метода нанесения контактов заключается в том, что отпадает необходимость помещать образец в электролитическую ванну. Погружение полупроводни кового образца в жидкий электролит “не вписывается” в технологию производства приборов.

Предлагаемый капельный метод электрохимического осаждения позволяет в определенной степени преодолеть эту трудность, так как становится удобным наносить контакт любой формы и требуемого размера на выбранную площадку на поверхности образца.

Методика измерения сопротивления контактов Известно, что полное сопротивление между контактами 1 и 2 постоянному току можно представить в виде [2, 3]:

R = Rконт + R0, (1) где Rконт – переходное сопротивление контактов;

R0 – омическое сопротивление образца.

Переходное сопротивление контактов Rконт зависит от многих факторов: образования окисла на контактной поверхности полупроводника, наличия потенциального барьера между полупроводником и металлом, степени легирования приконтактной области и др. Оно может изменяться в зависимости от внешних условий: температуры, влажности, освещенности и т.д. В связи с этим измерение величины Rконт используют для получения информации о свойствах и состоянии контактов металл-полупроводник.

В данной работе предлагается методика определения сопротивления металлических кон тактов к поверхности исследуемого образца. Методика позволяет контролировать концен трацию и подвижность носителей заряда в полупроводнике путем измерений удельной элек тропроводности и коэффициента Холла исходных образцов.

Согласно выражению (1), экспериментально измеренное падение напряжения между контактами 1, 2 можно представить в виде двух слагаемых U 12 = U конт + U 0 = I12 Rконт + I 12 R0, (2) U 0 – падение напряжения между кон где I12 – сила постоянного тока через контакты 1 и 2;

тактами на омическом сопротивлении R0 образца;

U конт – падение напряжения на переход ном сопротивлении контактов Rконт.



Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.