авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 ||

«XXIV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН ...»

-- [ Страница 3 ] --

E-mail: cikur@udmnet.ru В статье на основе системного подхода рассматривается развитие теории спектрального анализа дискретных сигналов на конечных интервалах. Предлагаемая теория базируется на трех основных и взаимосвязанных положениях:

- определение сигналов на конечном множестве точек;

- введение нового понятия сдвига сигнала – параметрического циклического сдвига;

- введение в качестве базисов системы дискретных параметрических экспоненциальных функций.

Рассмотрены примеры применения предлагаемой теории в практических задачах цифрового спектрального анализа, которые подтверждают эффективность подхода.

Важное место среди известных методов цифровой обработки сигналов занимает спектральный анализ в базисе дискретных экспоненциальных функций (ДЭФ) – дискретное преобразование Фурье (ДПФ).

Пара преобразований ДПФ в матричной форме задается следующими соотношениями:

SN = FN X N, (1) N XXIV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Содержание Акустические измерения и стандартизация X N = FN S N, * где * - знак комплексного сопряжения, X N = [x(0), x(1),....., x( N 1)]T - представление дискретного сигнала x(n), n = 0, N 1, в виде вектора N - мерного линейного пространства;

Т - знак транспонирования;

S N = [s (0), s (1),..., s ( N 1)]T - вектор коэффициентов разложения XN по системе дискретных экспоненциальных функций (ДЭФ), задаваемой матрицей FN :

( N 1) 0 1.. n 0 1 1.. W N = exp( j (2) ) W NN 1) ( 1 1 WN.. N,.

FN =.....

......

( N 1) 1 W NN 1). W NN 1)( N 1) ( (.

k Важно понимать, что ДПФ сигнала X N задает преобразование на конечном множестве точек N, а в рамках теории дискретных сигналов на конечных интервалах любые линейные преобразования сигналов не должны выводить их за пределы интервала N [1]. В случае применения ДПФ, сдвиг сигнала X N определяется как циклическая перестановка его отсчетов. Широкое же применение преобразования Фурье к анализу стационарных процессов и систем главным образом основано на фундаментальном свойстве, отмеченном Н.

Винером – свойстве инвариантности экспоненциального базиса к циклическому сдвигу [2].

( N 1) 1 0...

x( N 1) 0 x(0) x(1) x( N 2) 1 x( N 1) x(0)... C=......

......

x(0) ( N 1) x(1) x(2)...

Теория спектрального анализа дискретных сигналов на конечных интервалах базируется на трех основных и взаимосвязанных положениях [1]:

- определение сигнала на конечном множестве N точек;

- определение сдвига сигнала как некоторой перестановки его отсчетов;

- определение системы дискретных базисных функций.

Все эти положения, как показано выше, при спектральном анализе дискретных сигналов на конечных интервалах в базисе экспоненциальных функций определены теорией ДПФ [3,4,5,6].

Задача данной работы – развитие на базе системного подхода теории спектрального анализа дискретных сигналов на конечных интервалах путем обобщения системы экспоненциальных функций и введения нового понятия сдвига дискретного сигнала, заданного на конечном интервале.

Пусть дискретная функция x(n), n = 0, M 1, содержит M (r 1) r нулей, где N = Mr, r- целое число.

Представим такую дискретную функцию в виде вектора:

T = x(0), x(1),.....x( M 1), 0,...,0 (3) XM M ( r 1) r Вычисление ДПФ X M, согласно(1), равносильно усечению N (r 1) r столбцов матрицы FN, т.е.

превращению ее из квадратной в прямоугольную:

n ( M 1) 0 1..

0 1, 1.. 1 (4).. = FN M....

( N 1) 1 WMN 1). WM N 1) r )( M 1) ( r ((.

k WM = exp( j 2 M ).

Проанализируем структуру матрицы FN M.

Обозначим множество номеров строк матрицы FN M через A : A = {0,1,2,..., (N 1)}. Применим к множеству А отношение сравнимости по модулю r. В силу того, что это отношение является отношением XXIV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Содержание Акустические измерения и стандартизация эквивалентности, т.е. обладает свойствами рефлексивности, симметричности, транзитивности, оно разбивает множество А на r классов вычетов по модулю r:

A0 = {0, r,..., r (M 1)}, (5)....................................................................

Ar 1 = {r 1, r + (r 1),..., r (M 1) + (r 1)} r A A j = ;

= A.

Ai ;

Ai i i j i = Используя полученное разбиение, представим матрицу FN M в виде r квадратных матриц, размерность каждой из которых М, а номера элементов строк являются классами вычетов по модулю r:

(M 1) 0 1.. n WM (M 1) 1 0 WM..

......, (6) = FM, ( M 1) 1 WMM 1+ ) (. WMM 1+ )(M 1) (.

k где = 0,1 r,..., (r 1) r.

Дискретные функции вида W N p + )l = exp j ( ( p + )l назовем параметрическими дискретными N экспоненциальными функциями (ДЭФ-П )- defp (p,l,).

ДЭФ-П являются обобщением обычных ДЭФ и равны им при значении параметра =0.

Матрица FM, состоит соответственно из ДЭФ-П при p=k, l=n, N=M.

Матрица FM, - не симметрическая, в отличие от матрицы FN (2), но является также унитарной.

X N определяется на интервале 0, N 1 и матрица В дальнейшем, для удобства изложения, сигнал FM, (6) обозначается через FN,.

Система ДЭФ-П является полной системой, так как число линейно независимых дискретных функций равно размерности множества дискретных сигналов.

Разложение по базисной системе ДЭФ-П является параметрическим дискретным преобразованием Фурье (ДПФ-П), которое в матричной форме имеет вид:

FN, X N, 0 1, S N, = (7) N или в обычной форме:

N x(n)W 1 ( k + ) n S N (k, ) = k = 0, N 1.

, (8) N N n = Существует обратное ДПФ-П (ОДПФ-П), которое в обычной форме определяется следующим соотношением:

N S (k, )W N ( k + ) n, n = 0, N 1, 0 1, x ( n) = (9) N k = а в матричной форме задается следующим выражением:

X N = FN, S N,, 0 1.

* (10) Матрица сдвигов исходного сигнала X N, в случае применения ДПФ-П, является параметрической циркулянтной матрицей [4,8] и которая имеет вид:

( N 1) 0 1...

x( N 1) 0 x(0) x(1)...

1 x( N 1)W N x( N 2) N x(0)....

(11).......

С =.

.......

.......

x(1)W N x(2)W N ( N 1) N N... x(0) XXIV сессия Российского акустического общества, Сессия Научного совета по акустике РАН Содержание Акустические измерения и стандартизация Рассмотрим применение полученных результатов в практических задачах цифрового спектрального анализа.

ДПФ, k=14.3, парамерт=0, N= Модуль спектра Номера отсчетов ДПФ, k=14.3, парамерт=0, N=128, 64 нулевых отсчета Модуль спектра Номера отсчетов ДПФ-П, k=14, парамерт=0.3, N= Модуль спектра Номера отсчетов Рис.1. Локализация спектральных пиков методом ДПФ-П.

Цифровой спектральный анализ по экспоненциальному базису широко применяется при решении практических задач в различных областях. Так, в задачах виброакустической диагностики машин дискретное преобразование Фурье используется для выявления периодических компонент, параметры которых являются информативными признаками при определении внутреннего состояния машины [5]. Например, в задачах медицинской диагностики, при исследовании состояния больного, важным шагом является определение главной частоты биотоков мозга [6].

Как в первом, так и во втором случае для уменьшения влияния этих эффектов применяется дополнение исходного сигнала нулевыми отсчетами [7]. При этом существенно увеличивается объем вычислений и необходимый объем памяти [4,6].

Рассмотрим пример. Пусть задан гармонический сигнал с частотой 14,3 и ставится задача оценки его частоты (задача локализации спектральных пиков). Нетрудно видеть, что при использовании ДПФ, даже дополняя исходный сигнал нулевыми отсчетами, невозможно «совместить» отсчет ДПФ с частотой гармонической компоненты (т.к. увеличение интервала анализа за счет дополнения исходного сигнала нулевыми отсчетами позволяет изменять интервал между отсчетами лишь в кратное число раз). Основываясь же на изложенной в данной статье теории, задача локализации спектральных пиков решается без каких либо проблем, вариацией параметра. (Рис. 1, а, б, в).

В заключении отметим, что основы изложенной теории спектрального анализа дискретных сигналов, базируются на трех взаимосвязанных моментах:

- определении сигналов на конечном множестве точек;

- введение нового понятия сдвига сигнала - параметрического циклического сдвига;

- введение в качестве базисов системы дискретных параметрических экспоненциальных функций.

ЛИТЕРАТУРА 1. Трахтман А.М., Трахтман В.А. Основы теории дискретных сигналов на конечных интервалах. М.: «Сов.Радио», 1975. 208с.

2. Пойда В.Н. Спектральный анализ в дискретных ортогональных базисах. Мн., «Наука и техника», 1978.-136с.

3. Гадзиковский В.И. Теоретические основы цифровой обработки сигналов. – М.: Радио и связь. 2004.-334с.

4. Пономарев В.А., Пономарева О.В. Модификация дискретного преобразования Фурье для решения задач интерполяции и свертки функций // Радиотехника и электроника. - АН СССР.-1984.-Т.29.-№ 8.-Стр.1561-1570.

5. Артоболевкий Н.Н. и др. Введение в акустическую динамику машин.- М.: Наука, 1979.

6. Gibbs F.A., Gras A.M. Frequency analysis of electroencephalograms. – Science, 1947, vol. 105, p. 132-134.

7. Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов: Второе издание. Пер. с англ.-М.: ООО «Бином-Пресс», 2007 г.-656 с.-: ил.

8. Пономарева О.В. Развитие теории спектрального анализа дискретных сигналов на конечных интервалах.// Труды Российского научно-технического общества радиотехники, электроники и связи имени А.С. Попова. Серия: цифровая обработка сигналов и ее применение. Выпуск: 12, 1 том. М: 2010.



Pages:     | 1 | 2 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.