авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 |
-- [ Страница 1 ] --

Математический институт им. В. А. Стеклова

Российской академии наук

Лекционные курсы НОЦ

Выпуск 1

Издание выходит с 2006

года

Е. М. Чирка

Римановы поверхности

Москва

2006

УДК 517.5

ББК (В)22.16

Л43

Редакционный совет:

С. И. Адян, Д. В. Аносов, О. В. Бесов, И. В. Волович,

А. М. Зубков, А. Д. Изаак (ответственный секретарь), А. А. Карацуба, В. В. Козлов, С. П. Новиков, В. П. Павлов (заместитель главного редактора), А. Н. Паршин, Ю. В. Прохоров, А. Г. Сергеев, А. А. Славнов, Д. В. Трещев (главный редактор), Е. М. Чирка Л43 Лекционные курсы НОЦ / Математический инсти тут им. В. А. Стеклова РАН (МИАН). — М.: МИАН, 2006.

Вып. 1: Римановы поверхности / Чирка Е. М. — 106 с.

ISBN 5-98419-011- Серия “Лекционные курсы НОЦ” — рецензируемое продолжающе еся издание Математического института им. В. А. Стеклова РАН. В се рии “Лекционные курсы НОЦ” публикуются материалы специальных курсов, прочитанных в Математическом институте им. В. А. Стекло ва Российской академии наук в рамках программы Научно-образова тельный центр МИАН.

Настоящая брошюра содержит полугодовой курс Е. М. Чирки “Ри мановы поверхности”, прочитанный в осеннем семестре 2005 года.

c Математический институт ISBN 5-98419-011- им. В. А. Стеклова РАН, ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ Оглавление Предисловие............................ Алгебраические кривые (введение) Лекция 1. Аналитическое продолжение – Римановы обла сти – Алгебраические функции – Подготовитель ная теорема Вейерштрасса – Локальная парамет ризация........................ Лекция 2. Особые точки – Разрешение особенностей – Пове дение в – Проекции – Формула Римана–Гурвица Топология поверхностей и дифференциальные фор мы Лекция 3. Гладкие многообразия – Векторные поля – Диф ференциальные формы – Цепи и интегрирова ние – Лемма Пуанкаре – Когомологии де Рама. Лекция 4. Хирургия ориентированной поверхности – Пото ки – Регуляризация – d-проблема на ориентиру емой поверхности................... Комплексные структуры на поверхности Лекция 5. Римановы поверхности – Комплексные структу ры – Почти комплексные структуры – Уравнение Бельтрами и голоморфные диски – Операторы Коши–Грина..................... Лекция 6. Лемма Вейля – Теорема единственности – Урав нение голоморфных дисков – Существование го ломорфных дисков – Комплексные структуры и метрики........................ Вокруг оператора на потоках – Вычеты мероморфных форм – Лекция 7.

Дивизоры мероморфных функций и форм – проблема на плоскости............... Лекция 8. Когомологии Дольбо в потоках – Замкнутость образа – Двойственность Серра – Расслоения и формы – Потоки и расслоения.......... ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ Лекция 9. Разложения Ходжа – -проблема – Дубли и функции Грина – Теорема Римана – Задача Мит таг-Леффлера для форм – Задача Миттаг-Леф флера для функций................. Дивизоры мероморфных функций Лекция 10. Дивизоры – Теорема Римана–Роха – Задача Вей ерштрасса – Решётки периодов и многообразия Якоби – Теорема Якоби............... Лекция 11. Расслоения и дивизоры – Дивизоры и расслое ния – Классы Черна – Риман–Рох для расслое ний – Вложения в Pn – И опять алгебраические кривые......................... Контрольная работа....................... Список литературы Предисловие Предисловие Это записки лекций, прочитанных осенью 2005 г. в научно образовательном центре при Математическом институте им.

В. А. Стеклова. Основной целью спецкурса было изложение с воз можно полными доказательствами традиционных начал теории римановых поверхностей единым методом -проблемы из теории функций многих комплексных переменных. По существу, из мно гомерного комплексного анализа взято и доказательство суще ствования комплексной структуры на ориентированной поверх ности с фиксированной римановой метрикой (этому посвящены лекции 5, 6, которые при беглом чтении можно опустить;

в даль нейшем используются только элементарные свойства оператора Коши – Грина (л. 5.5) и лемма Вейля (л. 6.1)).

Римановы поверхности часто представляются как поверхно сти в аффинном или проективном комплексном пространстве, по этому многие переменные появляются уже в первых двух лекци ях, посвящённых алгебраическим кривым. Переходя к абстракт ным римановым поверхностям, мы осваиваем (в лекциях 3, 4) технику d-проблемы на языке потоков де Рама, одновременно подготавливая решение -проблемы и разрабатывая технику пе реходов геометрия–анализ при помощи потоков. Теория потоков (де Рама), в отличие от теории распределений, не получила ши рокого распространения в обычном анализе, но в многомерном комплексном анализе она давно и прочно обосновалась. Одной из целей спецкурса было показать, насколько естественна и успешна эта техника уже в одномерном случае римановых поверхностей.

Я по возможности избегал чрезмерной абстракции и потому отказался от языка теории пучков, когомологий Чеха, точных последовательностей и т.п. Кажущаяся простота и очевидная эф фективность этого подхода (написал точную последовательность и – ура!) во-первых, требует много формальной “абстрактной че пухи”, а во-вторых, оставляет в тени суть большинства основных проблем. Для римановых поверхностей достаточно локально сво бодных пучков, т.е. расслоений, но и они вошли в курс в основном чтобы продемонстрировать естественные общие формы ряда тео рем (двойственность Серра, теорема Римана – Роха и др.);

впро чем, разделы о расслоениях не используются в остальной части курса.

6 Предисловие Какая предполагалась подготовка слушателей? Прежде все го, это университетский курс ТФКП (не весь и не сразу). Общее знакомство с многообразиями и дифференциальными формами.

Кое-что их функционального анализа (теорема Хана–Банаха). Из алгебры – знакомство с алгеброй многочленов и теоремой о сим метрических многочленах. Ну и некоторое представление о рас слоениях из дифференциальной геометрии.

Об источниках. Самой близкой по стилю подачи материа ла для меня была обзорная статья В. В. Шокурова [Шо], за тем книжка Б. А. Дубровина [Д]. Доказательства во второй части курса сверялись по книгам Форстера [Ф] и (частично) Гриффитса–Харриса [ГХ]. Большую помощь оказали мне запис ки лекций по римановым поверхностям С. Ю. Немировского, ко торые он читал в МНУ;

в частности, у него заимствована основ ная идея доказательства замкнутости образа оператора, часть задач и примеров.

Этот курс всего лишь вводный. Вне его остаются: универ сальные накрытия, гиперболическая геометрия, клейновы груп пы – квазиконформные отображения, модули римановых поверх ностей, в частности, пространства Тейхмюллера – слоения и ди намика на римановой поверхности – краевые задачи – автоморф ные функции, тета-функции и приложения (и много ещё чего).

По каждой из этих тем можно читать годовой спецкурс. Так что мы только подошли к перекрёстку больших дорог, а дальше – богатый выбор.

Алгебраические кривые (введение) Лекция Аналитическое продолжение – Римановы области – Алгебраические функции – Подготовительная теорема Вейерштрасса – Локальная параметризация 1. Аналитическое продолжение. Голоморфные функции в области D C на плоскости C комплексного переменного z = x + iy – это функции, которые в окрестности каждой точ ки a D разлагаются в равномерно сходящиеся степенные ря ды, 0 ck (z a)k. (Эквивалентное определение: это непрерывно дифференцируемые функции f в D, удовлетворяющие уравнению f 1 z = 0, где z := 2 x + i y (условие Коши–Римана).) Сте пенной ряд голоморфной функции может сходиться в некотором круге K, выходящем за пределы области D. Если при этом D K несвязно, то значения суммы ряда и значения разлагаемой функ ции в одной из компонент D K могут отличаться. Например, функция z определена условием | arg z| /2 и голоморфна в C \ R, комплексной плоскости с разрезом по отрицательной Рис. 1.

полуоси, а её ряд Тейлора в точке a = 1 + i, 0 1, схо дится в круге K : |z a|2 1 + 2, пересекающем нижнюю полу плоскость, причём значения суммы степенного ряда и самой функции в K отличаются знаком.

Сумму степенного ряда можно далее переразлагать в ряд Тей лора в любой точке круга сходимости;

область сходимости нового 8 Алгебраические кривые (введение) ряда может при этом опять расшириться и в результате мы полу чаем нечто маловразумительное, что называется “многозначной аналитической функцией” (непонятно где определённой и непо нятно где какие значения принимающей). Это понятие можно формально-строго определить, но оставаясь на плоскости C, по нять его природу довольно сложно.

Наглядный переход от функций к их “графикам” в C2 в ря z,w де случаев помогает увидеть нюансы описанного выше процес са аналитического продолжения. Например, графики обратных функций, типа z, Ln z, – это поверхности в C2, которые явля ются графиками однозначных функций (в наших случаях z = w и z = ew ) над (соответствующими областями в) Cw. Функции ви да z p/q, p, q целые взаимно простые, лучше описываются своими вполне обозримыми “графиками” wq = z p в C2. Но уже z с ирра циональным показателем 0 показывает, что такое наглядное описание не всегда работает: множество {(z, z )} заполняет всю ду плотно вещественную гиперповерхность |w| = |z| и нетруд но придумать аналитическую функцию, “график” которой будет всюду плотным подмножеством C2, чего уж тут наглядного...

2. Римановы области. Замечательная идея Римана – пред ставлять многозначные аналитические функции как обычные го ломорфные функции, только определённые не в областях плоско сти C, а (в общем) в областях, расположенных “над” C, которые при проектировании в C могут частично перекрываться. В совре менной терминологии, область над C или, по-другому, римано ва область – это пара (M, ), где M – комплексное одномерное многообразие и : M C – локально взаимно-однозначное голо морфное отображение (проекция), т.е. для всякой a M есть окрестность U a в M такая, что (U ) = D – круг в C и : U D – биголоморфное (1 : 1 и в обе стороны голоморф ное) отображение.

Функция f на таком многообразии голоморфна тогда и толь ко тогда, когда для каждой такой U f 1 O(D = (U )) (знаком O мы здесь и далее обозначаем голоморфные функции).

Если M – лишь топологическое многообразие и – локальный гомеоморфизм, то на M естественно определяется комплексная структура с координатными картами (U, );

функции замены ко ординат, (U V ) z z (U V ) (тождественные), конечно же, голоморфны.

Алгебраические кривые (введение) Примеры. 1. M – “график” w = Ln z (многообразие z = ew в C2 ), : (z, w) z C \ 0. z = e Ln z – голоморфная функция на M (равная ew |M ).

2. M : w2 = z 3 над C\0. Функция z = w/z голоморфна на M.

Упражнение. Любая функция, голоморфная на этой рима новой области M, однозначно представляется в виде f = h1 (z) + w h2 (z)|M, где hj O(C \ 0).

3. Алгебраические функции. Непрерывная функция f, определённая в некоторой области D комплексной плоскости, называется алгебраической, если она в этой области удовле творяет алгебраическому уравнению P (z, f (z)) a0 (z)f (z)n + a1 (z)f (z)n1 + · · · + an (z) = 0, где aj (z) – многочлены от z C, a0 0. Такая f обязательно голоморфна в D и ана литически продолжаема “почти по любому” пути в комплексной плоскости, но, как правило, аналитическое продолжение такой k k функции многозначно. Если P = P1 1... Pmm – раложение на неприводимые (далее неразложимые, непостоянные) множители многочлены от z, w, то для некоторого P (z, f (z)) = 0 на непу стом открытом подмножестве в D, из чего (по теореме единствен ности в ТФКП) следует, что P (z, f (z)) 0 в D. Это свойство, очевидно, сохраняется и при аналитическом продолжении, поэто му в определении алгебраической функции многочлен P можно считать неприводимым (что мы и предполагаем в дальнейшем).

“График” алгебраической функции f – это поверхность S:

P (z, w) = 0 в C2 (полнее, её замыкание в (P1 )2, где P1 = C – сфера Римана), P (z, w) – неприводимый многочлен;

такие поверх ности называются алгебраическими кривыми (в C2 или (P1 )2 ).

Над точками z C, в которых a0 (z) = 0, многочлен P по w имеет n корней (с учётом кратностей). Если a0 (z) 0 при подхо де к z0 C, то часть корней стремится к в (P1 )w и тогда (z0, ) принадлежит замыканию S. При z = многочлен P в общем не определён, но S имеет не более чем n предельных точек на сфере P1 (см. уравнение S в координатах (, w), = 1/z).

Функции вида P (z, w) wn + a1 (z)wn1 + · · · + an (z), где aj голоморфны в области D C, называются многочленами Вейер штрасса в D C (бытует также название псевдополиномы Вейер штрасса). Для всякой z D, такая функция имеет ровно n нулей в плоскости Cw (с учётом кратностей) и проекция множества её 10 Алгебраические кривые (введение) нулей ZP : P (z, w) = 0 в D собственная (т.е. для всякого компак та K D его прообраз ZP (K C) – тоже компакт, корни над компактами в D не уходят на ).

4. Подготовительная теорема Вейерштрасса. Пусть f (z, w) – голоморфная функция в окрестности начала координат в C2, f (0, 0) = 0, но f (0, w) 0, и пусть k – кратность ну ля f (0, w) при w = 0. Тогда существует многочлен Вейерштрас са P (z, w) = wk + a1 (z)wk1 + · · · + ak (z) с aj, голоморфными в окрестности 0 Cz, такой, что f = gP, где функция g(z, w) голоморфна в окрестности (0, 0) и g(0, 0) = 0.

Другими словами, множество нулей практически произволь ной голоморфной функции локально устроено как множество ну лей некоторого многочлена Вейерштрасса – очень удобное пред ставление!

Рис. 2.

По условию, существует r 0 такое, что w = 0 – един ственный нуль f (0, w) в круге |w| r (теорема единственности, ТФКП). = Существует 0 такое, что f = 0 при |z|, |w| = r. = (принцип аргумента, ТФКП) для всякого z, |z|, f (z, ·) имеет ровно k нулей (с учётом кратностей) при |w| r.

Нумеруем эти нули: w1 (z),..., wk (z) (порядок произвольный) и k составляем симметрические суммы s (z) := 1 wj (z). По фор муле логарифмического вычета (ТФКП) 1 fw (z, ) s (z) = d, 2i f (z, ) ||=r – голоморфная (однозначная!) функция в круге |z|. Поло жим P (z, w) := k (w wj (z)) и запишем его как многочлен от w.

Алгебраические кривые (введение) По формулам Виета, коэффициенты aj (z) этого многочлена яв ляются симметрическими функциями от {wj (z)}, а по теореме о симметрических многочленах эти коэффициенты суть многочле ны от s, = 1,..., k, (формулы Ньютона, см., например, [К]).

= aj (z) – голоморфные функции в круге |z|. Функция g := f /P голоморфна по w, |w| r (по теореме об устранимой особенности, ТФКП). = она голоморфна и по z, w при |z|, |w| r: интегральная формула Коши (ТФКП) по переменной w для g(z, w) по окружности |w| = r даёт функцию, которая оче видно голоморфна по совокупности переменных z, w.

Следствие. Если f (0, 0) = 0, но fw (0, 0) = 0, то в окрест ности (0, 0) множество нулей Zf есть голоморфный график, Zf : w = h(z), h голоморфна в окрестности 0 в C z.

k = 1.

5. Локальная параметризация.

Предложение 1. D – круг |z| r, P (z, w) – неприводимый многочлен Вейерштрасса степени k в DC, причём P (0, w) = wk и начало координат – единственная точка в D C, в кото рой P = Pw = 0. = существует голоморфное 1 : 1 отоб ражение ( k, h()) круга || r1/k на ZP (голоморфная параметризация). В частности, множество ZP \ (0, 0) связно.

Пусть S – связная компонента ZP \ (0, 0). Фиксируем a D \ 0. По условию, все нули P (a, w) простые (кратности 1) = (след. (4)) существует 0 такое, что S {|z a| } – объеди нение s k попарно не пересекающихся голоморфных графиков, w = hj (z), j = 1,..., s. = Pa (z, w) := s (w hj (z)) – многочлен Вейерштрасса в Ua = {|z a| } C и ZPa = S Ua = ZPa = ZPb в Ua Ub. Но два многочлена Вейерштрасса с одинаковым множеством (простых) нулей совпадают = (Pa ) образуют еди e ный многочлен Вейерштрасса P над (D\0)C такой, что ZP = S.

Так как P (0, w) = wk, то все нули P (a, w) стремятся к 0 при a 0.

= (формулы Виета) коэффициенты P стремятся к 0 при a 0.

= (по теореме об устранимой особенности, ТФКП) они голо морфно продолжаются в 0. = P – многочлен Вейерштрасса в D C, он делит P и P/P – тоже многочлен Вейерштрасса (или 1) в D C. Но P неприводим, = P = P = ZP \ (0, 0) = S связно и s = k.

12 Алгебраические кривые (введение) Пусть a D \ R. Согласно след. (4) всякая функция hj ана литически продолжается по любому пути в D\R. Так как D\R односвязна, то (по теореме о монодромии, ТФКП) эти продолже ния дают однозначную аналитическую (=голоморфную) функ цию в D \ R и, таким образом, ZP ((D \ R ) C) состо ит из k попарно не пересекающихся голоморфных графиков Sj :

w = hj (z), j = 1,..., k (сохраним обозначения). Перенумеруем S2,..., Sk так, чтобы предельные значения hj на R со стороны верхней полуплоскости, h+, совпадали с предельными значения j ми hj+1 со стороны нижней полуплоскости, h, j k;

тогда j+ h+ совпадает с h (единственная оставшаяся возможность: над k каждой точкой из D (R \ 0) множество ZP состоит из k голо морфных графиков, никаких разрывов нет).

Рис. 3.

Определим функцию arg(z 1/k ) на Sj равной k (arg z+2(j1)), где | arg z| в D \ R. Эта функция определена на Sj = ZP \ (R C) и, по построению, непрерывно продолжатся на ZP \ (0, 0). = Функция := |z|1/k exp(i arg(z 1/k )) = z 1/k опреде лена и голоморфна на ZP \ (0, 0) и z = k. Положим h() = hj ( k ) в секторе | arg z + j/k| /k, j = 1,..., k. Согласно нумера ции Sj функция h непрерывно продолжается в круг || r1/k, и переход из сектора в сектор является аналитическим продолже нием = h голоморфна в 0 || r1/k = h O(|| r1/k ) по теореме об устранимой особенности.

Отображение ( k, h()), по построению, взаимно одно значно.

Пример. c1,..., cn C различны, круги Dj с центрами cj не пересекаются. = P (z, w) = wk (z cj ) удовлетворяет условиям предложения 1 в каждой области Dj C = голо морфная параметризация ZP (Dj C) имеет вид z = cj + k, w = hj (), и в этом конкретном примере функции hj находятся Алгебраические кривые (введение) явно: hj () = (l=j (cj cl + k ))1/k. Так по теории. С другой сто роны, (P/z)(cj, 0) = 0 = по теореме о неявной функции ZP в окрестности (cj, 0) есть голоморфный график z = (w), = в ка честве голоморфного параметра на ZP в окрестности (cj, 0) мож но (в чём-то проще) брать и = w.

Локальная параметризация ( k, h()) даёт разложение в ряд Тейлора h() = 0 c, сходящийся в окрестности 0.

1/k Так как = z, то, подставляя (исключая ), получаем w = /k, так называемый ряд Пиюзо. (Значение z 1/k во всех 0 c z слагаемых ряда одно и то же!) Его удобнее свернуть до w = k bj (z) z j/k, где bj O(0) (голоморфны в окрестности 0).

Пример. Z : w2 2zw z = 0 = w = z + z 2 + z = z + z 1 + z = b0 = z, b1 = 1 + z в окрестности (0, 0).

***** Упражнения.

1. Многообразие M : w2 = z 3, z = 0, в C2 является областью z,w над C. Показать, что всякая голоморфная функция f : M C един ственным образом представляется в виде h0 (z) + h1 (z) w|M, hj O(C \ 0).

h1, h2 в этом представлении являются целыми функциями тогда и только тогда, когда f непрерывно продолжается в (0, 0) и |f (z, w) f (0, 0)| = o(|z 1/2 |) при M (z, w) (0, 0).

2. Любой многочлен P (z, w) C-линейным преобразованием C2 при водится к виду многочлена Вейерштрасса wn + · · ·, коэффициенты ко торого – многочлены от z степени n.

3. P (z, w) – многочлен Вейерштрасса, коэффициенты которого – многочлены степени m = множество его нулей ZP лежит в области |w| C(1 + |z|m ) с некоторой константой C.

Если P (z, w) = wn + a1 (z)wn1 + · · · – многочлен Вейерштрасса с целыми коэффициентами такой, что ZP лежит в области |w| C(1 + |z|m ), то aj (z) – многочлен степени jm, j = 1,..., n.

4. Многочлен P (z, w) представляется в виде P1 · P2, где Pj – много члены Вейерштрасса с целыми ( O(C)) коэффициентами. = P1, P2 – многочлены (по z, w).

5. D = C \ E, E замкнутое, дискретное, f O(C \ E) удовлетворяет n j уравнению P (z, f (z)) = 0 в D, P (z, w) = 0 aj (z)w – многочлен 14 Алгебраические кривые (введение) от z, w. = f – рациональная функция. Если к тому же a0 const = 0, то f (z) – многочлен.

6. Z : w2 = z 3 + z 4. Найти голоморфную параметризацию Z {|z| r} вида ( k, h()) и указать максимальное возможное r.

7. Функцию w на поверхности w2 = z 3 +z 4 записать в виде ряда Пи юзо по дробным степеням z a) в окрестности 0 Cz, b) в окрестности 1 Cz.

8. Z C2 – образ C при отображении a) ( 2, 3 + 4 ), z,w b) (sin, 1 cos ).

Найти многочлен P (z, w) минимальной степени такой, что Z = ZP.

9. Найти замыкание образа голоморфной кривой (e, e ), 0, в C2.

10. Найти рациональную параметризацию (рациональное 1 : 1 отоб ражение C \ E, E дискретное) алгебраической кривой Z : w2 = z 2 в C2.

11. Известно, что Z : w2 = n (z cj ), cj различны, – образ голо морфного отображения C C2. z,w a) Если это отображение полиномиальное, то n = 1.

b) Если целое, то n 2 (пример с n = 2!).

c) Если Z – образ некоторой области D C при рациональном отображении, то n 2.

Алгебраические кривые (введение) Лекция Особые точки – Разрешение особенностей – Поведение в – Проекции – Формула Римана–Гурвица 6. Особые точки.

Предложение 2. P (z, w) – неприводимый многочлен Вей ерштрасса в области D C = 1) множество : P = Pw = 0 дискретное (локально конечное) в D C.

2) ZP \ – связное комплексное многообразие.

Точки множества называются критическими точками про екции множества ZP в Cz. В окрестности такой точки ZP вполне может быть гладким многообразием, просто в ней dz|ZP = 0.

Индукция по k, степени P. При k = 1 утверждение верно (ZP – голоморфный график, пусто).

Pw = k Qk1 · · · Qkm, Q – неприводимые многочлены Вейер m штрасса в D C степеней k. Предположим, что утверждение 1) неверно = : ZP ZQ имеет предельную точку (a, b) D C;

можем считать (a, b) = (0, 0), обозначаем это Q через Q и по лагаем : Q = Qw = 0. По предположению индукции множе ство дискретно, а ZQ \ – связное комплексное многообразие.

По подготовительной теореме Вейерштрасса существует бикруг U V с центром в (0, 0) и многочлен Вейерштрасса R(z, w) в U C такой, что Q = g R в U V, где g голоморфна и нигде l l в U V не равна нулю. Пусть R = R11 · · · Rss – разложение на неприводимые множители в U C. Так как (0, 0) – предельная точка для ZP ZR, то такое, что (0, 0) – предельная точка для ZP ZR. По предложению 1 ZR голоморфно параметризуется:

z = l, w = h(). Функция P ( l, h()) голоморфна в окрестности в C и = 0 – предельная точка множества её нулей = (тео рема единственности, ТФКП) эта функция 0 = P 0 на ZR = P = 0 на непустом открытом подмножестве связного комплексного многообразия ZQ \. По теореме единственности P 0 на ZQ ( дискретно). Так как z D порядки нулей Q(z, ·) строго меньше порядков нулей P (z, ·), то это значит, что Q делит P и P/Q – многочлен Вейерштрасса, не константа. Но это противоречит неприводимости P, = утверждение 1) верно, дискретно = z() Cz тоже дискретно, в D.

16 Алгебраические кривые (введение) Пусть S – связная компонента ZP {z z()}. Согласно / след. (4), a D \ z() окрестность Da такая, что S (Da C) – объединение k голоморфных графиков = это есть множество нулей многочлена Вейерштрасса Pa, которые вместе (a D\z()) образуют единый многочлен Вейерштрасса P в (D \ z()) C e такой, что ZP = S (см. доказательство предложения 1). Так как z() – дискретное множество, ZP ZP и проекция ZP e в D собственная, то P продолжается до многочлена Вейерштрас са в D C и делит там P (в классе многочленов Вейерштрас са). Так как P неприводим, то отсюда следует, что P = P = ZP \ z 1 (z()) = S связно. Множество z 1 (z()) ZP дискретное.

По принципу аргумента (по переменному w) ZP не имеет изоли рованных точек = ZP \ тоже связно.

Пусть теперь S: P (z, w) = 0 – алгебраическая кривая в C2, P – неприводимый многочлен (от z, w). В точке, где Pw = 0, множе ство S локально является голоморфным графиком над областью в Cz (след. (4)), в точке, где Pz = 0, – голоморфным графиком над областью в Cw. Точки множества sng S := S {Pz = Pw = 0} называются особыми точками кривой S, а остальные, из reg S := S \ sng S – регулярными.

Следствие. P (z, w) – неприводимый многочлен, S = ZP = множество sng S конечное, а reg S – связное комплексное мно гообразие.

k – степень P по совокупности переменных = C линейное преобразование C2, после которого k P/z k k!

k P/wk (лёгкое упражнение). = P – многочлен Вейерштрасса и по z и по w = (предложение 2) sng S – дискретное множество и reg S – связно. (, ) – единственная предельная точка для S в (P1 )2 \ C2. Вне (P1 0) (0 P1 ) множество S (, ) опре деляется полиномиальным уравнением k k P (1/, 1/) = 0, где = 1/z, = 1/w. Так как reg S связно, то это – алгебраическая кривая (неприводимая) в C2 = множество её особых точек то, же дискретно = sng S не имеет предельных точек на компакте S (, ) = sng S – конечное множество.

Пример (гиперэллиптические кривые). S: w2 = p(z), p = n (z cj ) = sng S = S {p = 0, w = 0} = {(cj, 0): cj – корень p кратности 1}. sng S = все корни p простые (пока всё в C2 ).

z,w Алгебраические кривые (введение) 7. Разрешение особенностей. S – алгебраическая кривая, (0, 0) – её особая точка =, r 0 такие, что (0, 0) – един ственная особенность S в U : |z|, |w| r и S не пересека ет {|z|, |w| = r} (см. доказательство теоремы Вейерштрас са, лекция 1(4)). Sj – связная компонента SU \(0, 0) = Sj (0, 0) голоморфно параметризуется кругом, ( kj, hj ()). Такие осо бенности всех Sj одновременно “раскручиваются” введением до полнительного переменного и поднятием C2 в C3 z,w, графиком : K = z (K = н.о.к. чисел kj ). При этом Sj поднимается на множество Sj, Sj : z = K, w = hj ( K/kj ) =: hj (). Так как ранг якобиевой матрицы функций, определяющих Sj, очевидно, равен 2, то (теорема о неявной функции) никаких особенностей поверхность Sj не имеет.

Остаётся общая точка (0, 0, 0) Sj. “Расклейка листов” про изводится введением ещё дополнительных переменных. Для j = l положим = (2w hj () hl ())/(hj () hl ()). = |Sj 1, N |Sl 1. Пусть Hj = hj + o( ) – многочлены Тейлора для hj достаточно высокой степени N. Тогда соответствующее отноше ние имеет пределы ±1 в (0, 0, 0) вдоль Sj, Sl, соответственно. Под нимаем всю картину в C4 z,w,,, на график : (z, w, ), (Hj () Hl ()) = 2w Hj () Hl ().

= поднятия Sj, Sl на уже не пересекаются. После конечного числа таких “разрешений” мы получаем алгебраическую кривую в Cn, без особенностей над U C2, проекция которой в C z,w z,w взаимно-однозначна над S U \ (0, 0).

Так мы избавимся от одной особенности, потом от другой, и т.д. Так как число особых точек S конечно, то в конце кон цов мы получим поверхность (алгебраическую кривую) без осо бенностей S CN, которая проектируется на S C2, причём z,w над reg S эта проекция взаимно-однозначна. Построенная таким образом кривая S называется нормализацией кривой S.

Эту процедуру можно распространить и на замыкание S в (P1 )2 ;

результатом будет алгебраическая кривая без особенно стей в (P1 )N, нормализация замыкания S.

8. Поведение в. Исследуем подробнее поведение алгебра ических кривых в бесконечности, при различных пополнениях C2.

Простейшим пополнением C2 до компактного комплексного многообразия является P1 P1 = (P1 )2. “Бесконечно удалённые” 18 Алгебраические кривые (введение) точки в нём образуют две сферы Римана, P1 и P1, пере секающиеся в точке (, ). Это многообразие покрывается че тырьмя аффинными картами: C2, C (P1 \ 0) с координатами z,w z, = 1/w, (P1 \0))C с координатами = 1/z, w и (P1 \0)(P1 \0) с координатами = 1/z, = 1/w. Замены координат, очевидно, голоморфные, (P1 )2 – компактное комплексное многообразие.

Как ведут себя алгебраические кривые в бесконечности в (P1 )2, посмотрим на примере.

Пример. S : w2 = p(z), p(z) = n (z cj ), все нули простые = (см. (6)) в C2 особых точек нет. S = S (, ), S в аффин z,w ной окрестности (, ) задаётся уравнением 2 = n /(1 cj ).

n = 2k = S U = S+ S, S± : = ± k /((1 cj ))1/ в малой окрестности U (, ), кривая приводима.

(, ) кривая n = 2k + 1 = в малой окрестности U S U неприводима и голоморфно параметризуется: = 2, = n /((1 cj 2 ))1/2.

Прежде чем вводить комплексное проективное пространство, рассмотрим сначала более наглядный пример вещественной про ективной плоскости. RP2 можно рассматривать как круг на ев клидовой плоскости, у которого отождествлены диаметрально противоположные точки границы. Это, конечно, наглядно, но для работы не очень (как тут увидеть, что это многообразие, что оно неориентируемо, что окружность, соответствующая границе кру га, ничего в нём не ограничивает – и т.п.). Более конструктивно следующее представление: в R3, x = (x0, x1, x2 ), рассмотрим от x ношение эквивалентности x tx, t R \ 0. Тогда RP2 можно рассматривать как фактор (R3 \ 0)/ с естественной “проекцией” : R3 \0 RP2, x [x0, x1, x3 ], класс эквивалентности. Сужение |S 2 RP2 является, очевидно, двулистным накрытием, которое и определяет на RP2 структуру R-аналитического компактного многообразия.

Рис. 4.

Алгебраические кривые (введение) Перейдём теперь к комплексному случаю. В C3 \ 0 с точка ми (векторами) z = (z0, z1, z2 ) введём отношение эквивалент ности z z, C \ 0, и через [z0, z1, z2 ] обозначим та кой класс эквивалентности (используются и другие обозначения:

(z0 : z1 : z2 ) и т.п.). По определению, (C3 \ 0)/ =: CP2, двумерное комплексное проективное пространство (в алгебраи ческой геометрии его чаще называют проективной плоскостью);

всюду в дальнейшем мы его обозначаем просто P2. Естественная проекция : (z0, z1, z2 ) [z0, z1, z2 ] определяет покрытие P2 = (Uj : zj = 0). Координаты (z0, z1, z2 ) в C3 называют однородны ми координатами соответствующих точек [z0, z1, z2 ] в P2. Мно жество U0 : z0 = 0 состоит из точек (классов) [z0, z1, z2 ] = [1, z, w], где z = z1 /z0, w = z2 /z0 = U0 C2, аффинная карта. Ана z,w логично с Uj, причём аффинные координаты в Uj связаны с z, w дробно-линейными соотношениями = P2 – комплексное много образие. Сужение |S 5 P2 (отображение Хопфа) сюръективно (на) = многообразие P2 компактное.

Обычно C2 как подмножество P2 отождествляется с U0 : z0 = = P2 \ C2 =: = {[0, z1, z2 ]} P1, “сфера Римана на бесконеч ности”.

Любой многочлен P (z, w) можно разложить на однородные слагаемые, P = Qn + · · · + Q0, где Qj есть сумма всех мономов из P суммарной (по z, w) степени j и n = deg P. = P z0, z2 = z z n j n z0 Qj (z1, z2 ) z0 Q(z0, z1, z2 ). Многочлен Q назовём проек тивизацией многочлена P (“гомогенизация” как-то не звучит).

У этих многочленов одинаковые множества нулей в аффинной части, ZP = ZQ C2 (множество ZQ : Q(z0, z1, z2 ) = 0 кор ректно определено в P2, хотя Q и не является функцией в P2 ).

ZQ (P2 \C2 ) = {[0, z1, z2 ] : Q(0, z1, z2 ) Qn (z1, z2 ) = 0}. Однород ный многочлен Qn разлагается на линейные множители, напри мер, Qn (0, w) 0 = Qn (z, w) = c n (w cj z). Так как n = deg P, то Qn 0 и, значит, это множество на бесконечности состоит не более чем из n точек. Так как ZQ не имеет изолированных точек (подходящий принцип аргумента), то отсюда мы получаем Предложение 3. Замыкание множества ZP в P2 равно ZP (ZQn \ C2 ), а множество предельных точек на бесконеч ности есть {z0 = 0, Qn (z1, z2 ) = 0}.

Пример. P = w2 p(z), p = n (z cj ), n 2, = Q = n2 z0 z2 z1 · · ·(1)n c n n · · · cn z0 = ZQ = [0, 0, 1]. Локальные 20 Алгебраические кривые (введение) координаты в окрестности [0, 0, 1] – это (0, z1 ) = (z0 /z2, z1 /z2 ).

z n2 z1 + ( cj )0 z z n1 · · · = z0 = o(1 ) на n Q(0, z1, 1) = z z z z n ZQ = градиент определяющей функции равен ((n 2)0, 0) + z n O(1 ) = при n = 3 это точка регулярная (неособая), а при n 3 – особая.

9. Проекции. В P1 P1 естественно выделяются координат ные проекции, например, (z, w) z. С ними связано понятие многочленов Вейерштрасса и всё, что было в лекции 1.

Рис. 5.

В P2, [0, a, 1] – общая предельная точка на бесконечности для аффинных комплексных прямых La : z = aw + b. Комплексная b прямая a : w + az = 0 им всем ортогональна и её (единственная) предельная точка в есть [0, 1, ] = [0, a, 1]. Проекция P2 из a точки [0, a, 1] на сферу a P1 определяется условием La b La a, [0, 1, ]. При a = 0 в аффинной части это всё та a b же проекция (z, w) z.

S : Q(z0, z1, z2 ) = 0 – алгебраическая кривая в P2 такая, что [0, 0, 1] S = (принцип аргумента) число нулей Q|L0 с учётом / b кратностей равно n = deg Q = ZQ вместе с проекцией в C z P является “разветвлённым n-листным накрытием”;

при этом S C2 : wn + a1 (z)wn1 + · · · + an (z) = 0, deg aj j.

z,w 10. Формула Римана–Гурвица. M – топологическое мно гообразие (например, Rn, P2 и т.п.). На его подмножествах на следуется относительная топология (открытыми считаются пере сечения с открытыми подмножествами M ). Треугольником (2 мерным симплексом) в M назовем гомеоморфный образ T обыч ного замкнутого евклидова треугольника. Множество X M называется триангулируемым, если существует локально конеч ная система треугольников (Tj ) такая, что X = Tj и любые Алгебраические кривые (введение) два из этих треугольников либо не пересекаются, либо пересека ются только по одной стороне, либо только по одной вершине.

Стороны будем называть одномерными симплексами триангуля ции (Tj ), а вершины – нульмерными. Разбивая треугольники на меньшие, в вершины (некоторой) триангуляции X можно вклю чить любое наперёд заданное дискретное множество точек. Три ангуляция X конечная, если число треугольников в ней конеч но. В таком случае можно определить эйлерову характеристику (X) := h0 h1 +h2, где h – число симплексов размерности, вхо дящих в триангуляцию X. (В общем случае эта величина опреде лена для любого подмножества X X, состоящего из конечного числа симплексов триангуляции.) Факт (комбинаторная топология). (X) не зависит от три ангуляции множества X.

# означает число точек множества. Отображение : X Y конечное, если N R: # 1 (a) N a Y, собственное, если 1 (K) – компакт для всякого компакта K Y, открытое, если (U ) открыто (в Y ) для всякого открытого U X.

Теорема. : X Y – конечное, собственное, открытое отображение подмножеств топологических многообразий, при чём Y конечно триангулируемо, # 1 (a) n для всех a Y \ A, где A = {a1,..., am }, точки aj попарно различны и # 1 (aj ) = nj. = X тоже конечно триангулируемо и (X) = n · ((Y ) m) + n1 + · · · + nm.

Доказывать, по существу, нечего, всё упрятано в определе ния. Из условия несложно выводится, что |X \ A Y \ A, где := 1 (A), – накрытие, точнее, “над” каждым треугольником A в фиксированной триангуляции Y \ A, включающей в качестве вершин все aj A, имеется ровно n треугольников в X \ A с по парно не пересекающимися замыканиями (в X \ A) = (X \ A) = n · ((Y ) m) и остаётся заметить, что к h0 в определении (X) надо добавить #A = n1 + · · · + nm.

22 Алгебраические кривые (введение) Упражнения.

1. S : P (z, w) = 0, P – неприводимый многочлен, (0, 0) – особая точка S, причём S U неприводимо и sng S U = (0, 0) для некоторого бикруга U. = комплексная прямая L : az + bw = 0, касательная к S в (0, 0) в том смысле, что dist((z, w), L) = o(|(z, w)|) при S (z, w) (0, 0).

2. S : w2 = p(z), p = m (z cj )kj, cj различные, kj N. Найти все неприводимые особые точки S (т.е. такие, что S U неприводимо для некоторых сколь угодно малых окрестностей) и найти касательные прямые к S в этих точках (см. упражнение 1) e 3. Найти особые точки кривой S : P = 0 в C2 и кривую S : P1 = z,w 3 P2 = 0 в Cz,w, без особых точек, проекция которой в Cz,w совпадает с S и 1 : 1 над reg S, для случаев, когда P (z, w) = a) w2 z 2 z 3 (декартов лист), b) w2 zw z 3, c) w2 z 2 (z 1)3.

4. S : w2 = z k 1, S 1 – замыкание в P1 P1, S 2 – в P2. Описать точки в S j \ S (регулярные – особые, приводимые – неприводимые), k = 1, 2, 3.

5. Q(z0, z1, z2 ) – проективизация неприводимого многочлена P (z, w). Доказать, что особые точки ZQ в P2 определяются системой однородных уравнений Q = Qz0 = Qz1 = Qz2 = 0.

n n n 6. Кривые Ферма Fn : z1 + z2 = z0, n N, не имеют особенно стей в P2 (упражнение 5). Найти все комплексные прямые L C2, замыкания которых в P2 касаются Fn в точках из Fn \ C2.

7. Кривая F2 в P2 гомеоморфна сфере;

построить этот гомеомор физм.

8. Замыкание в P2 алгебраической кривой w2 = z(z 2 1) гомео морфно тору (), а замыкание кривой w2 = z 4 1 не гомеоморфно тору. Почему?

9. “Гипербола” S : zw = 1 и прямая z = 0 касаются в точке [.,.,.] P2, а S и прямая z = c = 0, параллельная z = 0, там не касаются.

Почему?

10. P = w2 p(z), deg p = n;

S – замыкание ZP в P2. Найти эйле рову характеристику S, когда все нули p простые. В каких пределах лежит (S) без условия простоты нулей? Пример на каждое возможное значение.

11. Посчитать эйлерову характеристику кривой Ферма Fn в P2.

12. Комплексное многообразие (P1 )2 нельзя покрыть тремя коор динатными картами.

Топология поверхностей и дифференциальные формы Лекция Гладкие многообразия – Векторные поля – Дифференциальные формы – Цепи и интегрирование – Лемма Пуанкаре – Когомологии де Рама 1. Гладкие многообразия. M – хаусдорфово топологическое пространство. n-мерная карта на M – это пара (U, x), где U – откры тое подмножество в M и x : U D Rn – гомеоморфизм на от крытое множество D Rn. n-мерное (топологическое) многообразие – это просто M с набором n-мерных карт (U, x ), покрывающих M (M = U ).

x = (x,..., x ) – локальные координаты (в U ), x (x )1 :

1 n x (U U ) x (U U ) – отображения перехода (замены коорди нат). Многообразие M принадлежит классу C k, k, если все отоб ражения перехода (определённые в соответствующих областях в Rn ) являются отображениями класса C k. Если модельные области в Rn заменить на области в Cn R2n и потребовать, чтобы отображения = переходов были голоморфными, то в результате получаем комплекс ное многообразие комплексной размерности n.

Функции класса C k (M ) – это отображения f : M C такие, что f |U (x )1 C k (x (U )) для всех карт. : M N – отображение класса C k, если f := f C k (M ), f C k (N ).

Набор {(U, x )}, определяющий структуру C k -многообразия на M, называется атласом (класса C k ). k 1 = определены яко бианы det x (на U U ). Атлас ориентирован, если все эти якоби x аны положительны. M с таким выделенным атласом называется ори ентированным (и ориентируемым, если такой атлас существует, но не указан).

Всюду в дальнейшем предполагается, что все многообразия M счётно-компактные, т.е. M = Kj, Kj – компакты.

Теорема Уитни. Всякое счётно-компактное n-мерное много образие M класса C k, k 1, допускает C k -вложение : M 2n+ ( M (M ) 1 : 1 и ранг = n всюду на M ), причём та R кое, что (M ) – замкнутое (в R2n+1 ) подмногообразие класса C (вещественно-аналитическое), в частности, C.

24 Топология поверхностей и дифференциальные формы Всюду в дальнейшем мы будем работать с гладкими многообрази ями, т.е. многообразиями класса C.

2. Векторные поля. Векторное поле v на гладком многообра зии M – это оператор дифференцирования v : C k (M C k1 (M ), ) aj xj, aj который в координатной карте (U, x) имеет вид v =   e C k1 (U ). = в (U, x), v = x a = x j aj xj x – правило преобразования коэффициентов векторного поля при замене коорди нат.

Локально такие поля, как видим, существуют. Глобально их мож но строить при помощи разбиения единицы, предполагая, что гладкий атлас образует локально конечное покрытие (это всегда можно сде лать, измельчая карты и часть из них выбрасывая). Разбиение едини цы для такого атласа – это набор ( ), C (M ), = 0 вне U, 1. Если v – поля в координатных окрестностях, то и v= v – поле на всём M (слагаемые считаются равными нулю там, где = 0).

Касательный вектор к M в точке a – это значение векторно го поля v в точке a, т.е. функционал f v(f )(a). Ta M, вектор ное пространство таких функционалов, называется касательным про странством к M в точке a. Оно, очевидно, порождено функциона лами x |a и, значит, является R-линейным пространством размерно p Ta M – касательное расслоение. T M |(U,x) U Rn сти n. T M =   cj xj |x (x;

c1,..., cn ) – координатные карты на нём, превра щающие T M в гладкое многообразие с гладкой проекцией T M M, Ta M a.

3. Дифференциальные формы. Дифференциал функции f C k 1 (M ) – это линейный оператор на векторных полях, (df )(v) := v(f ) C k1 (M ) (если v C k1 (M )). Локально, v = cj xj,     dx xj = j = v(f ) = cj fxj = fx dx (v) = df = fx dx.

aj dfj, fj C k, aj C k1.

Дифференциальная 1-форма := k aj v(fj ) C По определению, (v) = (как и v). В координатной карте (U, x) базисными 1-формами являются дифференциалы dxj =   xj e = cj dxj = в (U, x), = j cj x d – правило замены x коэффициентов 1-формы при замене координат.

, – 1-формы. – билинейный кососимметричный оператор на   (u) (v) векторных полях, ( )(u, v) := det = =, (u) (v) = 0. Дифференциальная 2-форма – это, по определению, оператор cjl j l ;

в карте (U, x), = jl cjl dxj dxl.

вида = Топология поверхностей и дифференциальные формы Оператор d определён выше для функций f C k 1 (M ). Для 1 dcj dfj (= d(df ) = 0). Если форм = cj dfj полагаем d := dim M = 2, то по определению d := 0 для всякой 2-формы.

Формы высших степеней на поверхностях равны нулю, поэтому мы не рассматриваем общую теорию дифференциальных форм, ограничи ваясь степенями 2. Гладкие формы степени p ( 2) на M образуют линейное пространство, которое мы обозначаем через p (M );

при p = это просто C (M ).

4. Цепи и интегрирование. Сингулярный p-симплекс в глад ком многообразии M – это образ стандартного замкнутого p-мерного симплекса в Rp при гладком отображении его в M вместе с парамет ризацией. (Образ как множество при этом может быть весьма безоб разным, сингулярным, но присутствует параметризация).

Скажем, 0-симплекс – это точка в M (никакой параметризации нет), 1-симплекс – это гладкий путь, 2-симплекс – параметризованный гладкий образ треугольника T R2.

Два (сингулярных) p-симплекса считаем равными, если один полу чается из другого композицией с некоторым диффеоморфизмом стан дартного p-симплекса (это как переход от путей к кривым).

p-цепь (сингулярная цепь размерности p) в M – это конечная це лочисленная линейная комбинация = nj [Tj ], где [Tj ] – сингуляр ные p-симплексы в M и nj Z. Цепь назовём приведённой, если все её симплексы различны (т.е. коэффициенты при равных сложены). Цепь равна 0, если после приведения все её коэффициенты равны нулю.

Рис. 6.

Примером естественно возникающей цепи является ориентирован ная граница [T ] стандартного симплекса в Rp. На рис. 6 приведена граница треугольника T R2 как 1-цепь в R2 (отображения отрезка [0, 1] в стороны треугольника тут можно брать линейными). Мы будем иметь дело только с цепями размерностей 2.   Граница p-цепи nj [Tj ] – это (p1)-цепь nj [Tj ] := nj [Tj ], где Tj – образ относительно отображения Tj границы T стандарт ного симплекса в R2 (гладкий образ цепи, конечно же, – тоже цепь).

Например, 26 Топология поверхностей и дифференциальные формы   p = 0: nj [aj ] := 0;

  nj ([bj ] [aj ]), aj, bj M – p = 1: nj [j ] := nj [j ] := начало и конец пути j.

Гладкая 2-мерная ориентированная поверхность (M, bM ) с ориен тированным краем и с компактным замыканием допускает конечную триангуляцию, которая превращает её в 2-мерную цепь с коэффициен тами 1 при всех 2-симплексах триангуляции (считаем, что при отобра жениях треугольника в симплексы триангуляции M bM ориентация сохраняется).

Цепь называется циклом, если = 0 и границей, если она имеет вид. Циклы и границы образуют линейные пространства над коль цом Z. Легко видеть, что 2 = 0, () = 0 (это достаточно проверить для стандартного симплекса в Rp ), поэтому границы тоже являются циклами.

p-мерная группа гомологий многообразия M, Hp (M, Z) – это фактор-группа (p-циклы)/(p-границы), с отождествлением 1 2, если 1 2 = для некоторой (p + 1)-цепи.

mj ([bj ] [aj ]), где Пример. p = 0. 0-граница – это цепь вида aj, bj – начало и конец некоторого пути j на M. Пусть M – связные nj [cj ] является границей cj M nj = компоненты M. 0-цепь v H0 (M, Z) ZN, если число компонент равно N (в общем = = это Z).

Определим теперь интеграл от дифференциальной p-формы по q цепи. По определению, он равен нулю, если q = p. Далее, p = 0, = nj [aj ], f – функция (0-форма) = f := nj f (aj ).

nj [j ], j : [0, 1] M ;

= p = 1, = c df = 1 (c j ) d(f j ) = := nj nj (j ).

j, j 0 nj [Tj ], Tj : T M, – 2-форма на M = p = 2, = := nj T (Tj ).

Больше нам не понадобится (принцип понятен).

d,, C 1.

= Формула Стокса. В частности, bM = M d для компактной ориентированной по верхности с (согласованно ориентированным) краем.

5. Лемма Пуанкаре. В звёздной области D Rn всякая за мкнутая p-форма (p 0) точна.

( замкнута, если d = 0 и точна, если = d.) Топология поверхностей и дифференциальные формы Доказательство проведём для случая n = 2, p = 1 (p = см. ниже). = a dx + b dy, d = 0 (bx = ay ). Считая центр звёздности (x,y) в (0, 0), положим f (x, y) = (0,0) (интеграл по отрезку).

 (x,y)  (x+x,y) (x+x,y) = + = (a(x, y) + o(1)) x, (0,0) (0,0) T (x,y) где T – треугольник с вершинами (0, 0), (x, y), (x + x, dy);

интеграл по его границе равен нулю по формуле Стокса. = f = a;

аналогично x f = b = df =.

y Рис. 7.

Замечание. Если ограничена и D строго звёздная с гладкой границей, то f C(D) C 1 (D).

Лемма. D C, a C 1 (D) = b C 1 (D) : b = a.

z 1 Здесь и далее := ( + i y ).

z 2 x Напомним формулу Коши–Грина из ТФКП: если функция непрерывно дифференцирума и имеет компактный носитель (класс Cc (C)), то 1 dS (z) =, z где dS := d d = i d d, если = + i.

1. Разберём сначала случай, когда D ограничена и a ограничена.

a() dS Положим b(z) := D z. Так как a C 1 (D), то легко прове ряется что функция b непрерывна в D, дифференцируема в D и голо морфна в P1 \ D. Далее, Cc (D),   b 1 dSz dSz = b dSz = a dS = a dS z z z z D D D D D = bz = a 2. Общий случай. Представим D = 0 D, D – компакт в D+1, D \ D не имеют компактных связных компонент. b (z) := 28 Топология поверхностей и дифференциальные формы a() dS b = a в D и = 0 вне D = b+1 b =:

= z z D h O(D ) = (теорема Рунге, ТФКП) h O(D) такие, что |h h | 2 в D1. Положим b := b1 +(h1 h1 )+· · ·+(h h )+· · · = b h1 · · · h1 + (h h ) + · · · = b C 1 (D) и bz = a в D.

Следствие. В любой области D R2 всякая гладкая 2-форма точна.

i = a dx dy = 2 a dz d. a = bz, db = bz dz + bz d = db dz = z z bz d dz = = d( 2i b dz).

z 6. Когомологии де Рама. Так как d2 = 0 (см. (2)), то на гладком многообразии M можно определить векторные пространства (группы когомологий де Рама) p HDR (M ) := (замкнутые p-формы)/(точные p-формы), фактор по отношению эквивалентности 1 2, если 1 2 = d.

Чтобы подчеркнуть коэффициенты, мы будем обозначать через H p (M, C) и H p (M, R ) группы де Рама для комплексных и веществен ных форм, соответственно;

это обозначение не противоречит другим известным теориям когомологий (сингулярным, клеточным, Чеха), по скольку для многообразий все они совпадают.

p = 0. Единственная точная форма здесь 0 (так удобно). Замкнутые 0-формы – это локально постоянные функции.

= H 0 (M, C) CN, где N – число связных компонент M (анало гично, для H 0 (M, R )).

В частности, D – область в R2 = H 0 (D, C) = C. Из следствия (5) в этом случае H 2 (D, C) = 0.

Рис. 8.

Лемма. Для ограниченной (m + 1)-связной области D C H 1 (D, C) Cm.

Замкнутая 1-форма в D точна тогда и только тогда, когда = 0 для всякого замкнутого пути в D (см. доказательство лем мы Пуанкаре). Базис в H1 (D, Z) задают 1-циклы [j ] вокруг “дырок”, Топология поверхностей и дифференциальные формы компактных компонент C \ D, такие, что j arg(z a ) = 2 j, a -й дырке. df = 0, f C 1 (D) = отображение []   j,..., m Cm, где [] – класс в H 1 (M, C), является вложе   cj нием. С другой стороны, (c1,..., cm ) Cm форма = 2i dz zaj в качестве указанных периодов имеет (c1,..., cm ) = это отображение на Cm, изоморфизм.

***** Упражнения.

Всюду ниже M – гладкое многообразие размерности n.

1. u, v – векторные поля класса C k 1 на M = [u, v] : f u(v(f ))v(u(f )), f C (M ), – тоже векторное поле (скобка Пуассона полей u, v) гладкости C k1.

2. u, v – векторные поля и – 1-форма (все класса C k 1 ) на M.

Доказать тождество (d)(u, v) = u((v)) v((u)) ([u, v]).

3. M ориентируемо тогда и только тогда, когда существует n-фор ма, нигде на M не равная нулю. Доказать для n = 2.

4. : M N – гладкое отображение гладких многообразий, f := f для f C k 1 (N ), ( v)(f ) := v( f ) для полей v на M, наконец, ( )(v) := ( v) для 1-форм на N. Доказать, что d = d, т.е.

(df ) = d( f ) и (d) = d( ).

5. M – триангулированная поверхность (поверхность dim M = 2), на рёбрах триангуляции фиксированы некоторые ориентации (направ ления). Доказать, что всякая 0-цепь на M гомологична 0-цепи, состо ящей из вершин триангуляции. Вывести отсюда, что всякий 1-цикл на M гомологичен 1-циклу, состоящему из рёбер триангуляции (с под ходящими коэффициентами).


6. Окружность S 1 – это 1-цикл на плоскости C ([0, 1] t e2it S ). Доказать, что всякий цикл на триангулируемой поверхности го nj [j ], где j : S 1 M.

мологичен циклу вида 7. Всякая простая замкнутая кривая (гомеоморфный образ S 1 ) на ориентируемой поверхности M двусторонняя, т.е. связная окрест ность U такая, что U \ не связно (можно считать, что гладкая).

8. D – замкнутая область в C с фиксированной триангуляцией, D – внутренность D, : S 1 D – гладкое отображение такое, что (S 1 ) содержится в объединении рёбер триангуляции. Для всякого треуголь ника Tj триангуляции положим nj := 2 arg(z aj ), aj Tj, и 30 Топология поверхностей и дифференциальные формы определим 2-цепь := nj [Tj ]. Доказать, что 1-цикл [] гомологичен нулю (является границей) тогда и только тогда, когда supp D – компакт;

при этом =.

9. 1-цикл в области D C является границей тогда и только тогда, когда = 0 для всякой гладкой замкнутой 1-формы в D.

10. Замкнутая 1-форма на поверхности M точна тогда и только тогда, когда a) = 0 для всякого 1-цикла на M, = 0 для любой замкнутой 1-формы с компактным b) M носителем.

11. D – область в R2. Доказать, что всякая гладкая 2-форма в D точна (= d), не используя ТФКП.

Топология поверхностей и дифференциальные формы Лекция Хирургия ориентированной поверхности – Потоки – Регуляризация – d-проблема на ориентируемой поверхности 7. Хирургия ориентированной поверхности. M – счёт но-компактная поверхность. Функция исчерпания – это гладкое собственное отображение : M R, т.е. множества { R} ком пактны (или пустые) для всех R R. Если поверхность собствен ным образом вложена в RN (а это всегда можно сделать по тео реме Уитни), то в качестве исчерпания можно взять функцию |x|2. C (M ) = (теорема Сарда) для почти каждого R, R :

= R – гладкая кривая и df = 0 в точках R. Фиксировав после довательность M : R, мы получаем исчерпание поверх ности M более обозримыми поверхностями с краем. M – поверх ность с краем, если она вложена в бльшую поверхность M так, о что замыкание M – компакт, а граница M \ M есть конечный набор попарно не пересекающихся гладких простых замкнутых кривых (окружностей) на M. Предполагая M ориентированной, эти окружности можно ориентировать согласованно с ориента цией M : если в локальной карте (U, (x, y)) на M поверхность M выделяется условием y 0, то положительной на этой части края считается ориентация x (как R относительно верхней полуплос кости). Так ориентированную границу обозначим через bM ;

та ким образом, у нас ориентированная поверхность с краем – это согласованно ориентированная пара (M, bM ), причём M bM – компакт.

Рис. 9.

Возле каждой компоненты края такой поверхности есть “во ротник” V – окрестность, диффеоморфная кольцу K: 1 |z| 1 в единичном круге D C (если M выделяется в M 32 Топология поверхностей и дифференциальные формы уравнением 0 с d = 0 в точках края bM, то для по строения таких воротничков можно использовать линии гради ента и уровни функции как прообразы радиусов и окружно стей в круге D). После этого можно “заклеить дырку”, соответ ствующую компоненте края, по построенному воротнику: отож x z(x) K, а затем факторизуя по дествляя сначала V этому отождествлению, мы получаем гладкую ориентированную поверхность M = (M D )/ уже с мньшим числом компо е нент края. Проделав такую заклейку всех дыр, получим самую простую компактную поверхность M, содержащую нашу поверх ность с краем.

Важный и очень нетривиальный факт из дифференциальной топологии заключается в том, что всякая гладкая компактная ориентируемая поверхность диффеоморфна сфере с конечным числом “ручек” в R3 (см., например, [ДНФ], [Х]). Таким обра зом, всякая ориентирумая поверхность с краем диффеоморфна сфере R3 с g ручками и m дырками (с гладкими краями).

Род поверхности (по Риману) – это максимальное число про стых замкнутых попарно не пересекающихся кривых j на M таких, что M \ j связно. = в описанной выше реализации в R3 род поверхности есть g, число ручек (дырки на род не вли яют). Конечно, всё это надо доказывать, но мы принимает как известные факты. Пару (g, m), где – g род и m – число компо нент границы, назовём типом поверхности M ;

таким образом, поверхности одинакового типа диффеоморфны.

Для анализа на поверхности этого представления маловато, хорошо бы все “выпрямить”, положить на плоскость. Простей шая “развёртка” получается разрезанием ручек: после удаления окружностей-разрезов оставшееся множество диффеоморфно об ласти с гладкой границей в плоскости C, причем каждому раз резу соответствуют две компоненты границы этой области и об ратное отображение из области на поверхность продолжается до гладкого отображения замыкания (с нигде не равным нулю диф ференциалом). Таким образом, результат простой развёртки есть (диффеоморфен) круг(у) с 2g 1 + m дырками.

Далее можно разрезать эту область в C, добиваясь одно связности (полная развёртка). На рис. 11, 12 показана полная развёртка тора (g = 1) и кренделя (g = 2). Аналогично, об щая компактная поверхность рода g развёртыватся в 4g-угольник a1 b1 a1 b1 · · · ag bg a1 b1. Если есть дырки cj, то (см. рис. 13) на g g 1 Топология поверхностей и дифференциальные формы Рис. 10. Развертка ручки. Результат развертки всех g ручек (+m дырок или проколов) – круг с 2g 1+m дырками-проколами Рис. 11. Полная развертка тора Рис. 12. Полная разверка кренделя Рис. 13. Полная развертка дыр и проколов 34 Топология поверхностей и дифференциальные формы до ещё сделать к ним разрезы j из фиксированной базовой точки на внешней границе и к описанной выше границе добавить (спра ва) цепочку из j cj j (порядок зависит от разрезов j ). Кроме дыр, на M можно отметить (“проколоть”) несколько точек;

с то пологической точки зрения это те же дыры и при развёртке до этих проколов надо провести такие же разрезы j (и в цепочке появятся пары j j ).

Используя полную развёртку, нетрудно подсчитать, что эйле рова характеристика ориентированной поверхности M конечного типа (g, m) равна (M ) = 2 2g m.

8. Потоки. M – гладкое n-мерное многообразие. q (M ) –c пространство гладких дифференциальных q-форм с компактны ми носителями (носитель, обозначение supp, есть замыкание множества, где = 0). Топологию в этом пространстве определим следующим образом: j, если существует компакт K M, содержащий носители всех j, и j равномерно на K, вместе с частными производными всех порядков (относительно коорди нат на картах, покрывающих K). q в теории потоков выступает c как пространство “пробных” (test-) форм, для которых потоки будут двойственными объектами.

Поток размерности q (=степени p = n q) на M есть непре рывный линейный функционал на q (M );

линейное пространство c всех таких потоков обозначим через p (M ). (Можно рассматри вать потоки, не специфицируя степени, полагая T () = 0, если T степени p, степени q и p = n q.) Топология в p (M ) са мая простая, поточечная: Tj T, если Tj () T (), пробной формы. Совсем не очевидно, что Пространство p (M ) полно и рефлексивно, т.е. сопряжён ное к нему пространство есть ( p (M )) = np (M ).

c Это теорема де Рама [Р], из функционального анализа (вполне доступная).

Поток T равен нулю на открытом множестве U M, если T () = 0 для всякой q (M ) с носителем в U ;

носитель потока, c supp T, – это наименьшее замкнутое множество, вне которого он равен нулю.

Примеры. Локально интегрируемая функция, f L1 (M ), loc определяет поток [f ] степени 0, [f ]() := M f.

Топология поверхностей и дифференциальные формы Дифференциальная форма степени p с локально-интегри руемыми коэффициентами определяет поток степени p по фор муле []() := M (отсюда взято понятие степени потока).

q-цепь определяет поток размерности q (степени n q) по формуле []() := (отсюда – понятие размерности потока).

Кусочно-непрерывная функция f на (носителе) цепи допол няет последний пример потоками f [] : f.

Таким образом, потоки объединяют в себе и формы и цепи, и анализ и геометрию.

Оператор d на потоках определяется по двойственности: T p = (dT )() := (1)p1 T (d) = dT p+1. Формула Стокса в этой терминологии почти тавтологична: d[] = (1)nq1 [], дифференциал (анализ) с точностью до знака есть граница (гео метрия);

в частности, для ориентируемой поверхности с краем, d[M ] = [bM ].

Поток T называется замкнутым, если dT = 0, и точным, если T = dS для некоторого потока S. Так как d2 = 0 для форм, то, из определения, это же верно и для потоков, d(dT ) = 0 и мы можем определить фактор-пространство H p (M, C) =(замкнутые потоки степени p)/(точные потоки).

9. Регуляризация. Сначала на плоскости. Фиксируем неко торую функцию C (C), зависящую только от |z|, неотри цательную, равную нулю при |z| 1 и с единичной массой, dxdy = 1. Для произвольного 0 положим (z) := 1 z 2 и для функций f C(C) определим (-)регуляризацию f (z) := f (z + )() dS = f (z + ) () dS f () ( z) dS, = где dS := d d, если = +i. Интегрирование идёт по кругам радиусов, поэтому носитель f лежит в -окрестности носи теля f. Из последнего представления видно, что f C (C), а из первого ясно, что f f при 0 и что D(f ) = (Df ) для частных производных D, если функция f непрерывно дифферен цируема;

в частности, если f 0 (C) (гладкая функция с ком c пактным носителем) то f f в топологии пространства 0 (C).

c Для дифференциальных форм в C регуляризацию опреде лим покоэффициентно = те же свойства, в частности, 36 Топология поверхностей и дифференциальные формы в q (C), если q (C) и d( ) = (d). Но тут есть и кое-что но c c вое, а именно, если форма замкнута, d = 0, то разность ( ) – точная форма d, причём равна нулю вне -окрестности носи теля.

В самом деле, пусть = f dz + h d замкнута, т.е. fz = hz, и z (A )(z) := [f (z + t) + h(z + t)] dt dS, где dS := () d d. Эта функция, очевидно, равна нулю вне -окрестности носителя. Так как hz = fz, то (A ) d f (z + t) dt dS = (f f )(z).


(z) = z dt Аналогично, (A )/ z = h h и, значит, d(A ) =.

Для форм второй степени = a dz d это же равенство вы z полняется (легко проверить) с формой A = a(z + t) dt dS d z a(z + t) dt dS dz, тоже сосредоточенной в -окрестности носителя.

Регуляризация потоков определяется по двойственности, T () := T ( ). Ясно, что носитель T также лежит в окрестности носителя T, что T T при 0 в топологии p (C) и что d(T ) = (dT ). Так же полагая (A T )() := T (A ), мы получаем, что поток A T сосредоточен в -окрестности пото ка T и для T замкнутого (это условие актуально лишь для степе ни p = 1, так как у нас всегда будут n = 2) имеет место равенство T T = d(A T ).

Покажем, наконец, что T p (C), на примере потоков типа (0, 1) (для остальных аналогично);

бистепень потока определяет ся тоже по двойственности: T 0,1 () := T (1,0 ), T 1,0 () := T (0,1 ).

Для = h dz, = h() ( z) dS dz. Поэтому T () = T ( ) = h()Tz ( ( z) dz) dS 1 (Tz ( ( z) dz)) d h d = 2i Топология поверхностей и дифференциальные формы (здесь индекс указывает, что T действует по z, остальные пере менные – как параметры). Ключевое второе равенство следует из того, что поток – линейный непрерывный функционал, и пото му он перестановочен с интегралом Римана. Таким образом, T как функционал на 1,0 (C) (т.е. как поток) совпадает с (пред c ставляется) (0, 1)-формой 2i (T ( (z ) d)) d из 0,1 (C). Ана z логично, для T (C) поток T совпадает с гладкой 2-формой (T ( (z ))) dx dy.

Чтобы определить регуляризацию на произвольной р.п., удоб но определить её сначала в единичном круге D, используя под ходящий диффеоморфизм f : D C, например, такой, что arg f (z) = arg z, а модуль |f (z)| = |z| при |z| 1/3, |f (z)| = e1/(1|z|) при |z| 2/3 и в целом монотонный. Регуляризацию форм в круге определим так: сначала выйдем на плоскость, усредним там и вернёмся назад, т.е. это операция := D f ((f ) ). Если определена в окрестности D, то вне D положим =. Ввиду экспоненциального роста |f | возле D, гладкие D формы в окрестности D после такой операции остаются гладки ми (там же). Так как f d = d f то замкнутость форм при этом тоже сохраняется.

Пусть теперь M – произвольная р.п. и (Uj, zj ) – координатные окрестности такие, что zj (Uj ) D и zj (D ) тоже покрывают M.

Используя координаты, усредним сначала формы и потоки в U1 с параметром 1 (ничего не меняя вне z1 (D )), результат усредним в U2 с параметром 2 – и т.д. На любом компакте K M эта процедура закончится через конечное число шагов, а параметры j 0 можно брать произвольно. Таким образом, по схеме де Рама из [Р] для римановых поверхностей (а больше нам и не надо) доказана следующая Теорема (де Рам). M – гладкое многообразие с фиксирован ной метрикой = 0 в пространстве потоков (M ) суще ствует линейный непрерывный оператор регуляризации T T со следующими свойствами:

T p = T p, гладкая p-форма.

1.

Носитель T лежит в -окрестности носителя T.

2.

T T в топологии при 0.

3.

d(T ) = (dT ).

4.

dT = 0 = T T = dS, причём носитель потока S 5.

лежит в -окрестности носителя T.

38 Топология поверхностей и дифференциальные формы p Следствие. H p (M, C) = H p (M, C) (= HDR (M )).

10. d-проблема на ориентируемой поверхности. M – гладкая поверхность, ориентированная, компактная или с кра ем. Решаем на M “d-проблему”, которая для p = 1 заключается в нахождении гладкой функции f, удовлетворяющей уравнению df = с гладкой правой частью, 1, и необходимым условием d = 0 (поскольку d(df ) = 0).

Пробуем решить эту проблему при помощи полной развёртки.

Пусть j – циклы-разрезы на M, исходящие из одной базовой точ ки, или компоненты края с разрезами из отмеченной точки (как в (7)) и : M \ D – отображение развёртки, где – объеди нение всех разрезов и края. Отображение можно выбрать глад ким, причём так, что обратное к нему непрерывно на D, гладко в D и кусочно гладко на D = S 1. Форма := (1 ) замкнутая и гладкая в D, непрерывная на D = = df, f гладкая в D, – гладкая на M \ и такая, что непрерывная в D = f := f там = df. Но что происходит на ?

В общем случае, функция f разрывна (по ), но непрерывно продолжается на каждую j \ с каждой стороны этой кривой.

Посмотрим, что это значит с точки зрения потоков. Пусть – гладкая 1-форма на M, равная нулю в окрестности края = ± f d = + f = + fj, (M \) M M M j ± + где fj = fj fj, скачки предельных значений функции на j. В ± терминах потоков, это означает, что [] d[f ] = fj [j ]. = по f ± dh = 0 h 0 (M ) = ток в правой части замкнут, т.е. c j j ± fj dh = 0 j и всех h 0 (M ), равных 0 в окрестности базо c j ± вой точки = fj cj, const = [] cj [j ] (разность этих двух потоков точна).

M – это канонические циклы a, b, соответствующие руч кам (см. (7)), и разрезы от базовой точки до компонент края.

Потоки [a ], [b ] замкнуты на M (формула Стокса), а – нет (один конец – это точка M ). Так как поток cj [j ] за мкнут, то значит {cj : j = некоторому } = 0 () Топология поверхностей и дифференциальные формы Рис. 14. Рис. 15.

(в частности, если m = 1, то коэффициент при единственном разрезе равен нулю).

Так как bj и некоторые aj aj (гомологичные) пересекаются трансверсально, то [j ] = j, [ ] = [ ] = [a ] = 0, a b а b bj a bj aj если 0 достаточно мало (см. упражнение 8 и картину в ло кальных координатах в кольцах вокруг a, ). Так как [ ], b a [ ] – замкнутые формы из 1 (M ), то это значит, что замкну b c тые формы [a ], [b ] не точны и любая их ненулевая линейная комбинация (с коэффициентами из C) тоже не точна.

Если j – компоненты края (куда идут соответствующие раз резы j из базовой точки ), то, аналогично, j [ ] = j, [ ] = bj [ ] = 0. = Поток cj [j ] на M замкнут cj C, aj удовлетворяющих условию (), но точен тогда и только тогда, когда все cj = 0.

Мы говорим, что M – поверхность конечного типа, если она либо компактна, либо представима в виде возрастающей последо вательности поверхностей с краем M M таких, что (M ) N. Переходя к подпоследовательности, можно считать тогда, что род g одинаков (равен роду M ) и число компонент у границ одно и то же ( = m), если достаточно большое. Пару (g, m) называем типом поверхности M.

Теорема. M – гладкая ориентируемая поверхность конеч ного типа (g, m), – гладкая 1-форма на M. Уравнение df = разрешимо с f C (M ) тогда и только тогда, когда d = 0 и = 0, j = 1,..., 2g +m, где j – канонические разрезы ручек и j компоненты края поверхностей M при достаточно большом.

40 Топология поверхностей и дифференциальные формы H 1 (M, C) C2g, если M компактна и H 1 (M, C) C2g+m1, если = = m 0.

Условия, очевидно, необходимые (формула Стокса). Пусть удовлетворяет указанным условиям. Тогда, по доказанному вы ше, для каждого существует гладкая функция f на M такая, что там df =. Нормируем её условием f () = 0, M. То гда, так как f+1 f const на M, то f (z) не зависит от для z Mj, j, и значит, это одна единая функция f C (M ).

Для замкнутой 1-формы на M обозначим через [] H 1 (M, C) её класс когомологий де Рама. Если [], то = для всякого 1-цикла на M (по формуле Стокса) и, значит, определено отображение [],..., 2g+m 2g+m. По доказанному выше, таким образом получаются все C (c1,..., c2g+m ) C2g+m, удовлетворяющие единственному C линейному соотношению (), пустому, если m = 0.

Замечание. Уравнение df = разрешимо в окрестно сти каждой точки и разность двух различных решений есть локально-постоянная функция. Поэтому если это уравнение раз решимо хотя бы в потоках, то решение всё равно будет гладким.

***** Упражнения.

1. K – компакт на поверхности M и K – объединение K и всех связных компонент M \ K с компактными замыканиями. Доказать, что K – тоже компакт.

2. Доказать формулу из (7) для эйлеровой характеристики сферы с g ручками и m дырками (или проколами), используя полную раз вёртку.

3. – распределение в R2 (т.е. линейный непрерывный функционал на “пробных” функциях, 0 (R2 )). Какова его степень как потока? Чему c равен дифференциал этого потока?

4. 1, 2 – распределения в R2. Определим поток T = 1 dx + 2 dy степени 1, полагая T ( = a1 dx + a2 dy) := 1 (a2 ) 2 (a1 ), 1 (R2 ).

c Доказать, что всякий поток степени 1 в R2 представляется в таком виде, а всякий поток степени 2 – в виде T = dx dy (T (h) := (h)).

А как связаны с распределениями потоки степени 0?

5. : [0, 1] R2, t (x(t), y(t)), – путь класса C 1, []() := – поток в R2 степени 1. Записать [] в виде обобщённой формы (как Топология поверхностей и дифференциальные формы в упражнении 4). Найти коэффициенты 1, 2 для путей x(t) = t, y(t) = 0 и x(t) = cos(2t), y(t) = sin(2t) (тут проще полярные коор динаты).

6. Область D R2 задаётся неравенством 0, где C 1 (R2 ) и d = 0 в точках D. Доказать, что поток d [D] представляется в виде µ d, где µ – мера на D. Какая?

7. f : M N – собственное отображение гладких многообразий, T – поток на M. Определим поток f T на N условием (f T )() := T (f ).

Для ситуаций f : R2 R, T = [{f 0}] и f : R R2, T = [(, 0]] описать потоки f T и f (dT ).

8. Гладкие пути 1, 2 : [1, 1] C пересекаются только в 0 = j (0), причём их касательные 1 (0), 2 (0) образуют положительно ориенти рованный базис в C. Доказать, что 1 [2 ] = 1 при всех малых.

(Начать со случая осей координат.) 9. M = M, все M связные, M M+1 ;

– 1-форма на M, точная на каждом M = точна на M, а условие M M+1 нельзя ослабить до M =.

10. Доказать, что H 0 (P1, C) C H 2 (P1, C), а H 1 (P1, C) = 0. Для замкнутой 1-формы на P1 найти первообразную (формулой). При вести пример вещественной гладкой 2-формы на P1, нигде не равной нулю. Точна ли она?

11. : S 1 C – гладкий путь-вложение, – кусочно-непрерывная 1-форма на (S 1 ). Если = 0, то существует непрерывная функ ция f на (S 1 ) такая, что d(f []) = [] (по определению, ([])(h) = h). Если же = 0, то поток [] не представляется в виде d T, где T – поток в C с компактным носителем.

12. Доказать, что поток T степени 2 на связной компактной ори ентированной поверхности M является точным (= dS) тогда и только тогда, когда T (1) = 0. В частности, H 2 (M, C) C. Указать гладкую 2-форму, класс которой (в H 2 ) отличен от нуля.

13. Доказать, что H 2 (M, C) = 0 для ориентируемой поверхности с непустым краем bM, при условии, что M связна (M bM – компакт).

H 2 (M, C) = 0 для всякой ориентируемой некомпактной поверхности.

42 Топология поверхностей и дифференциальные формы 14. Гладкие комплексные функции на многообразии M, нигде не равные нулю, образуют группу по умножению C (M ), а функции h вида e, h C (M ), составляют в ней подгруппу exp. Положим H 1 (M, Z) := C (M )/ exp (факторгруппа). Для ориентируемого мно гообразия M доказать:

df индуцирует гомоморфизм : H 1 (M, Z) a) отображение f 2f H 1 (M, C), b) гомоморфизм является вложением, c) класс эквивалентности замкнутой 1-формы содержится в об разе H 1 (M, Z) тогда и только тогда, когда все периоды цело численны, т.е. Z для всякого (целочисленного) 1-цикла.

Комплексные структуры на поверхности Лекция Римановы поверхности – Комплексные структуры – Почти комплексные структуры – Уравнение Бельтрами и голоморфные диски – Операторы Коши–Грина 1. Римановы поверхности. Риманова поверхность (р.п.) – это, по определению, связное комплексное одномерное многообра зие. Это значит, что на M определён некоторый атлас комплекс ных одномерных карт, M = Uj, zj : Uj C, с голоморфными функциями переходов zj zk (определёнными в соответствую щих областях zk (Uj Uk ) C).

Примеры. P1 = U0 U1, U0 = C, U1 = (C \ 0), z0 = z, z1 = 1/z.

M : F (z, w) = 0 в области D C2, F голоморфна, dF = 0.

На открытом множестве M {Fw = 0} функция z|M является локальной координатой и это множество покрывается картами (Uj, z). Аналогично, M {Fz = 0} покрывается картами (Vl, w) и функции перехода голоморфны, так как (Fz dz + Fw dw)|M = 0.

Голоморфные функции, f O(M ), на р.п. – это функции, голоморфные относительно локальных координат, т.е. f zj O(zj (Uj ) C) j. Мероморфные функции f M(M ) определя ются тоже через локальные координаты, это такие функции, что f = hj /gj, hj, gj O(Uj ), gj 0, j. Отображение f : M N римановых поверхностей называется голоморфным, если оно го ломорфно относительно всех (голоморфных) карт на образе и прообразе, т.е. w f zj O там, где это определено. = голоморфные функции на M – это голоморфные отображения f : M C, а мероморфные функции – это голоморфные отобра жения f : M P1 в сферу Римана.

Если z = x + iy, z = x + iy – две координатные функции на р.п. M, то det (x,y ) = dz 0 = на M всегда есть ка (x,y) dz ноническая ориентация: для голоморфной координаты z = x + iy 44 Комплексные структуры на поверхности пара вещественных координат (x, y) считается положительно ори ентированной. В частности, если (j ) – разбиение единицы, под чинённое локально конечному координатному покрытию, то = j dxj dyj – глобальная форма площади на M.

2. Комплексные структуры. Дифференциальная 1-форма на M относительно локальной координаты z представляется в ви де = a dz + b d. Формы вида a dz называются формами ти z па (бистепени) (1, 0), а b d – формами типа (0, 1);

таким обра z зом, мы имеем разложение на биоднородные компоненты, = 1,0 + 0,1. Так как функции переходов голоморфны, то это раз ложение не зависит от выбора координат, т.е. биоднородные сла гаемые 1,0, 0,1 – глобально определённые 1-формы на M, того же класса гладкости, что и, равные нулю всюду, где = 0.

Преобразование координат z i z индуцирует отображение i (a dz b d) = i 1,0 i 0,1 =: J, очевидно, не зависящее от z выбора координат, причём J 2 = I, где I – тождественный (еди ничный) оператор. Так как J(1,0 ) = i 1,0, J(0,1 ) = i 0,1, то разложение по бистепеням 1 = 1,0 0,1 – это разложение на собственные подпространства оператора J (в каждом слое ком плексного кокасательного расслоения (T M ) ). C На касательном расслоении T M оператор J определяется по двойственности: (Jv) := (J)(v) для всякого поля v на M. В локальных координатах z = x + iy возьмём v = x = dz(Jv) = i dz x = i = dz y = = J =, J x y y x = матрица оператора J относительно базиса x, y есть 0 (координаты полей относительно этого базиса записы 1 ваем в виде столбцов). Оператор J (как бы “умножение на i” в сло ях касательного расслоения) называется комплексной структу рой на M. Как видим, на р.п. эта структура порождена локаль ными голоморфными координатами.

Гладкое отображение f : M M римановых поверхностей голоморфно тогда и только тогда, когда прообраз каждой ло кальной координаты z на M является голоморфной функцией в соответствующей области в M. Отсюда очевидно следует, что f голоморфно тогда и только тогда, когда оно сохраняет бистепени Комплексные структуры на поверхности дифференциальных 1-форм, f p,q p,q (M ), p,q p,q (M ), p + q = 1.

Для гладкой функции f : M C, разложение по бистепеням даёт представление df = f + f, где f = (df )1,0 и f = (df )0,1 ;

функция f голоморфна в некоторой области на M, если там f = 0 (условие Коши–Римана).

Для 1-форм полагаем, по определению, := d(0,1 ), := d(1,0 ) (это годится только в случае dimC M = 1, поскольку тут нет ненулевых форм бистепеней (2, 0) и (0, 2) и 2-формы – это то же, что формы бистепени (1, 1) – локально это a dz d). 1 z форма на р.п. M называется голоморфной, если она имеет би степень (1, 0) и замкнута, т.е. d = 0 (или, что то же, = 0).

Локально, это формы вида = h dz, h O. Линейное простран ство форм, голоморфных на всей поверхности M обозначается обычно через 1 (M ).

Форма = p,q, p + q 1, называется -замкнутой, если = 0 (так как на поверхности нет ненулевых дифференциаль ных форм степени 3, то всякая 2-форма на р.п. и d-замкнута и -замкнута – по определению);

называется -точной, если для некоторой формы (и тут договариваемся, p+q 1 и = что единственная точная или -точная функция – это 0). Так 0,1 = 0 (на р.п. нет ненулевых форм бистепени (0, 2)), то как (f ) = 0 для всякой гладкой функции f, короче, на р.п. ()2 = (это свойство выполняется и на любом комплексном многообра зии). Таким образом, -точные формы образуют подпространства -замкнутых форм и мы можем определить фактор-пространства H p,q (M ) := (-замкнутые (p, q)-формы)/(-точные), когомологии Дольбо комплексного многообразия M.

На римановой поверхности, как легко видно из определений, имеют место следующие соотношения:

H 0,0 (M ) = O(M ), H 1,0 (M ) = 1 (M ), H 0,1 (M ) = 0,1 /0, H 1,1 (M ) = 2 / и больше ничего (ненулевого) нет.

3. Почти комплексные структуры. M – гладкая поверх ность. Непрерывный линейный оператор J : Ta M Ta M, a M, такой, что J 2 = I, называется почти комплексной структурой 46 Комплексные структуры на поверхности на M. Непрерывность и, более общо, условие J C k и т.п. озна чает, что Jv C k (M ) для всякого гладкого векторного поля v на M.

Утверждение. Если на поверхности M есть (непрерывная) почти комплексная структура, то M ориентируема.

(U, (x, y)) – гладкая карта на M. Условие dxdy (v, Jv) 0, v = 0, не зависит от выборя поля v: если u = av + bJv – другое поле, то Ju = aJv bv и, значит, dx dy (u, Ju) = (a2 + b2 ) dx dy (v, Jv). Якобиан перехода двух таких карт, очевидно, положи телен, = они образуют ориентированный атлас (задающий “по ложительную” ориентацию M относительно структуры J).

Оператор J по двойственности (как в (2)) переносится на формы и определяет соответствующее разложение по бистепе ням дифференциальных 1-форм, 1 = 1,0 0,1. Слои слага J J емых в каждом слое (Ta M ) комплексного кокасательного рас C слоения – это собственные подпространства оператора J, соответ ствующие собственным значениям ±i, в частности, J1,0 = i1, J J и J0,1 = i0,1.

J J f – гладкая функция = df 1 = разложение по бисте пеням даёт df = J f + J f, где J f := (df )1,0 и J f := (df )J.

0, J По определению, функция f OJ, J-голоморфна (в некото рой области на M ), если там J f = 0 (условие Коши–Римана).

Это формальное определение;

далеко не тривиальный вопрос о существовании непостоянных голоморфных функций в областях почти комплексной поверхности будет решён лишь в следующей лекции.

Используя координаты из положительно ориентированного атласа и соответствующее разбиение единицы, можем образовать j dxj dyj с (v, Jv) глобальную форму площади = для v = 0, а по можно построить симметрическую билинейную положительно определённую форму (u, v) = (u, Jv) + (v, Ju), т.е. риманову метрику на M, для которой (v, Jv) 0, т.е. опера тор J ортогонален относительно этой метрики. Пары v, Jv, v = 0, образуют положительно ориентированные базисы, поэтому если – другая риманова метрика на M с этим свойством, то в каж дой точке M они пропорциональны, =, 0. Такие мет рики называются конформно эквивалентными, следовательно J ортогональная метрика на (M, J) определена однозначно с точно Комплексные структуры на поверхности стью до конформной эквивалентности и называется конформной римановой метрикой на (M, J).

Почти комплексные структуры и метрики на ориентирован ной поверхности тесно связаны. Выше показано, как по (гладкой) почти комплексной структуре строится класс конформно экви валентных метрик. Обратно, если – риманова метрика на по верхности с фиксированной ориентацией, то оператор J можно определить как “поворот на /2 в положительном направлении”, т.е. (v, Jv) = 0 и пара v, Jv положительно ориентирована. По построению, оператор J ортогонален относительно метрики (а значит, и относительно всех метрик, конформно ей эквивалент ных).



Pages:   || 2 | 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.