авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 |
-- [ Страница 1 ] --

Бобцов Алексей Алексеевич

Пыркин Антон Александрович

АДАПТИВНОЕ И РОБАСТНОЕ

УПРАВЛЕНИЕ C КОМПЕНСАЦИЕЙ

НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ

Внешнее

возмущение

b(p)

???

+

a(p)

Задающее Объект Выход Регулятор Запаздывание управления воздействие Запаздывание Санкт-Петербург 2013 Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский Национальный Исследовательский Университет Информационных Технологий, Механики и Оптики Кафедра систем управления и информатики Бобцов Алексей Алексеевич, Пыркин Антон Александрович АДАПТИВНОЕ И РОБАСТНОЕ УПРАВЛЕНИЕ С КОМПЕНСАЦИЕЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ Учебное пособие Санкт-Петербург УДК 681.51, 681.53, 681. Бобцов А.А., Пыркин А.А. Адаптивное и робастное управление с компенсацией неопределенностей. Учебное пособие. — СПб.: НИУ ИТМО, 2013. — 135с.

Учебное пособие посвящено исследованию современных методов адап тивного и робастного управления линейными и нелинейными объектами в условиях запаздывания и параметрически не определенных мульти синусоидальных возмущений. Описаны оригнальные, разработанные авторами алгоритмы оценивания параметров возмущающих воздей ствий. Рассмотрены способы адаптивной компенсации неизмеряемых возмущений для устойчивых и неустойчивых систем с запаздывающим управлениям по измерениям только выходной переменной. Пособие предназначено для студентов старших курсов факультета компьютер ных технологий и управления НИУ ИТМО, специализирующихся по направлениям подготовки 220100 Системный анализ и управление, 220400 Управление в технических системах и 221000 Мехатроника и робототехника.

Илл. 27, список литературы — 99 наим.

Одобрено на заседании кафедры СУиИ, протокол № 2 от 05.04. Одобрено Ученым советом факультета КТиУ, протокол № 7 от 11.09. В 2009 году Университет стал победителем многоэтапного конкурса, в результате которо го определены 12 ведущих университетов Рос сии, которым присвоена категория “Националь ный исследовательский университет”. Министер ством образования и науки Российской Федера ции была утверждена программа его развития на 2009-2018 годы. В году Университет получил наименование “Санкт-Петербургский нацио нальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики”.

c Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, c Бобцов А.

А., Пыркин А.А., Оглавление Введение Глава 1 Обзор методов управления в условиях запаз дывания и возмущений. Постановка задачи 1.1 Обзор методов управления в условиях запаздывания 1.1.1 Предиктор Смита................. 1.1.2 Предиктор на основе метода М. Крстича... 1.2 Обзор методов управления в условиях возмущающих воздействий........................ 1.3 Обобщенная постановка задачи............. Глава 2 Методы построения адаптивных наблюдателей мультигармонических сигналов 2.1 Алгоритм адаптивной идентификации параметров смещенного синусоидального сигнала......... 2.1.1 Постановка задачи................ 2.1.2 Алгоритм идентификации частоты смещенно го гармонического сигнала............ 2.1.3 Алгоритм идентификации смещения, ампли туды и фазы.................... 2.1.4 Числовой пример................. 2.2 Алгоритм адаптивной идентификации частот и на блюдатель гармоник мультигармонического сигнала. 2.2.1 Постановка задачи................ 2.2.2 Алгоритм идентификации частот смещенного мультигармонического сигнала......... 4 ОГЛАВЛЕНИЕ 2.2.3 Алгоритм идентификации смещения, ампли туд и фаз гармоник................ 2.2.4 Числовой пример................. 2.3 Заключительные выводы по главе........... Глава 3 Компенсация мультигармонических возмуще ний для устойчивых объектов с запаздыванием в управлении 3.1 Алгоритм компенсации мультигармонического воз мущения, действующего на устойчивый линейный объект управления с запаздыванием.......... 3.1.1 Постановка задачи................ 3.1.2 Алгоритм адаптивной идентификации частот. 3.1.3 Синтез закона управления............ 3.1.4 Числовой пример................. 3.2 Алгоритм компенсации мультигармонического воз мущения, действующего на устойчивый нелинейный объект управления с запаздыванием.......... 3.2.1 Постановка задачи................ 3.2.2 Преобразование нелинейной системы...... 3.2.3 Алгоритм адаптивной идентификации частот. 3.2.4 Синтез закона управления............ 3.2.5 Числовой пример................. 3.3 Экспериментальные исследования алгоритма управ ления............................ 3.4 Заключительные выводы по главе........... Глава 4 Компенсация мультигармонических возмуще ний для неустойчивых объектов с запаздыванием в управлении 4.1 Постановка задачи.................... 4.2 Алгоритм стабилизации неустойчивого объекта управления с запаздыванием.............. 4.3 Алгоритм адаптивной идентификации частот и на блюдатель гармоник мультигармонического возму щения............................ Оглавление 4.4 Алгоритм компенсации мультигармонического воз мущения, действующего на неустойчивый объект управления с запаздыванием.............. 4.5 Числовой пример..................... 4.6 Заключительные выводы по главе........... Заключение Литература Введение В теории автоматического управления особое место занимают системы с запаздыванием, задача управления которыми всегда при влекала внимание многих исследователей [8, 10–14, 17, 18, 23–27, 29– 36, 40, 51, 53–58, 62, 63, 63, 64, 67, 68, 70–73, 78–80, 82–84, 88–91, 93–95, 97–99]. Выделение объектов с запаздыванием в отдельный класс вызвано, прежде всего, сложностью их исследования по сравнению с объектами, не содержащих временного запаздывания. Характер ной особенностью систем управления для объектов с запаздыва нием является зависимость состояния управляемого процесса от предыстории, и пренебрежение влиянием запаздывания приводит к ухудшению качества функционирования системы.

Эффект запаздывания особенно ярко проявляется при автома тическом управлении высокоскоростными самолетами, ракетами и сложными системами при наличии больших расстояний. Запазды вание реакции управляющей системы на возникшее нарушение про цесса приводит, как правило, к возникновению автоколебаний в за мкнутой системе, а нередко и к потере устойчивости.

Транспортное запаздывание может возникать в силу конструк тивных особенностей системы. Например, при автоматическом управлении впрыском топлива в инжекторном двигателе внутрен него сгорания анализатор выхлопного газа проблематично поме стить непосредственно в камере сгорания [56]. Решение задачи поддержания заданного стехиометрического соотношения является экологически и экономически выгодным, поскольку с одной сторо ны в атмосферу не выбрасываются вредные вещества, вызванные частичным сгоранием топлива, а с другой стороны производится оптимальный по объему впрыск топлива, необходимый для функ Введение ционирования двигателя.

Бурный рост информационно-коммуникационных технологий привел к обширному использованию цифровых контроллеров в со временных системах автоматики. Простота реализации, недорогая стоимость и малые габариты — все это привело к замене класси ческих аналоговых регуляторов цифровыми. Однако, несмотря на относительно высокое быстродействие современные контроллеры, в силу сложности алгоритма управления, могут вызывать крайне нежелательное запаздывание.

При синтезе законов управления сложными химическими реак торами запаздывание имеет место в силу особенностей протекания химических реакций. Также запаздывание можно встретить, рабо тая с экологическими, эволюционными, организационными, транс портными системами и многими другими.

При необходимости учитывать время запаздывания в матема тической модели следует использовать уравнения в форме, более общей, чем дифференциальная, а именно — дифференциально разностные уравнения, представляющие собой более общий класс функциональных уравнений. Математическая модель в виде дифференциально-разностных уравнений охватывает в частных случаях процессы, описываемые дифференциальными уравнени ями (то есть непрерывные системы регулирования), и процессы, описываемые разностными уравнениями (то есть импульсные си стемы регулирования). Кроме чистого запаздывания, рассмотре ние которого приводит к дифференциально-разностным уравнени ям, в системах управления встречаются так называемые распреде ленные запаздывания. Такое запаздывание наблюдается в системах с распределенными параметрами, описываемыми дифференциаль ными уравнениями в частных производных. В теории регулирова ния встречается также понятие эквивалентного запаздывания, ко торое используется при замене дифференциальных уравнений вы сокого порядка дифференциально-разностными уравнениями низ кого порядка или нелинейных дифференциальных уравнений, ли нейными дифференциально-разностными уравнениями.

В настоящее время имеется большое количество работ по иссле дованию систем с запаздыванием [68]. Отметим, что использование функций Ляпунова для исследования устойчивости данного типа систем нельзя рассматривать в качестве общего подхода, посколь 8 Введение ку теоремы прямого метода Ляпунова не допускают обращения.

Поэтому большое значение имели работы [17, 29, 31], где для анали за устойчивости было предложено рассматривать вместо функций Ляпунова функционалы Ляпунова-Красовского, обладающие ана логичными свойствами.

Системы с запаздыванием можно разделить на три класса:

– объекты с запаздыванием по управлению;

– объекты с запаздыванием по состоянию, из которых можно выделить особый класс объектов — объекты нейтрального ти па;

– объекты с запаздыванием по управлению и состоянию.

Синтез систем управления для объектов с запаздывающим управлением требует учета влияния величины запаздывания на устойчивость и качество переходных процессов в замкнутой систе ме. Уникальным подходом была идея Отто Смита [95]. Она заклю чалась в построении системы управления, в которой запаздывание не влияет на устойчивость и качество переходных процессов. Недо статками такого подхода является то, что он расчитан только на асимптотически устойчивые объекты управления, а также необхо димость точного знания всех параметров системы. В последующие годы учеными со всего мира исследовались и были решены более сложные постановки задач управления в условиях запаздывания:

для дискретных объектов управления [35], для параметрически не определенных объектов управления [18, 30, 57, 84], для неустойчи вых объектов управления [68].

В настоящее время нет удовлетворительных решений, связан ных с синтезом регуляторов в условиях временного запаздывания и возмущений. Задача компенсации внешних возмущающих воз действий относится к фундаментальным проблемам современной теории автоматического управления. Особый интерес представля ют задачи управления по выходу, как линейными и нелинейными, так и устойчивыми и неустойчивыми объектами.

Весьма наглядный пример сложной технической системы, функ ционирующей в условиях нестационарной внешней среды, — над водное судно. В открытом море судно подвергается возмущениям, Введение имеющим различную природу и происхождение. Выделяют три ти па возмущений, существенно влияющих на качество управления:

ветровые воздействия, волновые воздействия и течение. Система автоматического управления движением судна может решать раз личные задачи: стабилизация курса, движение вдоль заданной тра ектории, стабилизация продольной и поперечной скоростей, дина мическое позиционирование в точке. К системам автоматического управления движением предъявляются жесткие требования к ди намическим и точностным показателям качества. Например, для задачи стабилизации курса установившаяся ошибка не должна пре вышать значение градуса. Для нефтеналивных судов большого 100 метров, необ водоизмещения, длина которых может быть более ходимо синтезировать системы динамического позиционирования в точке. При том, что судно может находиться под нефтяной вышкой более суток, система управления должна обеспечивать точность по 20 см при различного рода зиционирования с отклонением не более возмущениях.

Более сложными техническими объектами в смысле управления являются летательные аппараты, обладающие сравнительно высо кими скоростями полета. Сложность объясняется повышенными требованиями к безопасности движения. При этом сам летатель ный аппарат подвержен весьма серьезным внешним воздействиям:

ветер, зоны турбулентности, грозовые тучи, и многое другое, ха рактерное для данного типа объектов управления.

Нормальное функционирование высокоточных оптических си стем требуют относительно спокойной и неподвижной внешней сре ды. Наличие возмущающих воздействий может крайне негативно сказываться на работе такой системы, поэтому влияние возмуще ния должно быть устранено. В прецизионном электроприводе необ ходимо минимизировать траекторную ошибку с помощью компен сации возмущающих воздействий. Задача компенсации возмуще ний решается стендами активной виброзащиты.

Заданную траекторию при движении орбитального тела сохра няет только центр масс, а весь корабль под действием различных возмущающих моментов может вращаться относительно системы координат, связанной с центром масс. Чтобы корпус корабля был неподвижен относительно своего центра, необходимо его стабилизи ровать в нужном положении. Управление кораблем или орбиталь 10 Введение ной космической станцией — это не только стабилизация его отно сительно центра масс, но и ориентация по отношению к внешней системе координат, например, по отношению к Солнцу. Сохранению же полученной ориентации будут препятствовать различного рода регулярные и нерегулярные возмущения, компенсация которых и составляет задачу стабилизации.

Система стабилизации должна работать непрерывно, быть очень чувствительной к возмущающим моментам, которые могут иметь самое разнообразное происхождение, величину и продолжи тельность действия. Причин возможных внешних возмущений — десятки. Это и силы аэродинамического сопротивления, и гравита ционное и магнитное поля Земли, и давление солнечной радиации, и столкновение с метеорами, возможные толчки и удары при встре че с другими космическими аппаратами. Источники возмущающих моментов могут находиться как внутри орбитальной космической станцией, так и вне ее.

Внутренние возмущения могут быть вызваны не только работой подвижных частей оборудования, но и перемещениями членов эки пажа. Если возмущения не компенсировать постоянно, то импульс момента может быть очень большим, а угловые скорости вращения будут расти неограниченно и станция может раскрутиться до боль шой скорости. Внешние возмущения естественного происхождения — аэродинамического, гравитационного или магнитного — характе ризуются, с одной стороны, весьма малыми значениями возмуща ющего момента, с другой стороны, довольно большой продолжи тельностью их действия.

Нет никаких сомнений, что задача активной компенсации воз мущающих воздействий является актуальной для широкого класса технических объектов управления. На сегодняшний день получено большое число алгоритмов управления в условиях внешних воз действий [2, 3, 6–9, 20, 42, 52, 74–77, 85–87]). Как правило, подходы к управлению при наличии возмущения предполагают использо вание интегральных регуляторов, повышение у системы порядка астатизма или же встраивание известной модели возмущающего воздействия (комбинированные регуляторы), что в подавляющем большинстве случаев является сильной идеализацией [5]. Однако, применение указанных методов ограничивается классом измеряе мых, ограниченных возмущений или же возмущений с известной Введение Внешнее возмущение b(p) ???

+ a(p) – Задающее Объект Выход Регулятор Запаздывание управления воздействие Запаздывание динамической моделью. С развитием адаптивного управления уда лось найти более конструктивные решения в классе параметриче ски и сигнально не определенных детерминированных возмуще ний [6–9, 20, 25].

При огромном количестве работ, посвященных методам синте за регуляторов в условиях запаздывания зачастую не рассматри вается наличие внешних возмущений, при этом не ясно, является ли тот или иной предложенный метод пригодным к использова нию в реальном техническом объекте. Существует не меньшее ко личество результатов, где получены адаптивные и робастные схемы компенсации параметрически не определенных возмущающих воз действий. Однако, при наличии временного запаздывания в конту ре управления практически все эти методы становятся неэффек тивными. В связи с этим студентам предлагается изучить подхо ды, позволяющие работать в условиях и запаздывания, и действия внешних возмущений, чему посвящео учебное пособие.

Описанные в учебном пособии подходы базируются на ме тоде функций Ляпунова, анализе амплитудно-фазовых частот ных характеристик линейных динамических звеньев, методе “backstepping” Мирослава Крстича. В пособии также использова ны общие методы теории автоматического управления и автомати зации технологических процессов, алгебры многочленов и теории 12 Введение матриц, теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.

Практическая значимость рассматриваемых подходов заключа ется в том, что данные методы управления по выходной переменной (т. е. без измерения переменных состояния объекта или производ ных выходного сигнала) могут быть эффективно применены для широкого класса технических объектов, функционирующих в усло виях возмущающих воздействий и запаздывания в каналах управ ления и измерения. Применение описанных методов позволяет су щественно ослабить требования к объему априорной информации о свойствах среды функционирования объекта управления;

значи тельно снизить затраты на разработку и использование сенсорной техники для измерения всех переменных состояния системы или производных выходной переменной;

расширить класс технических объектов, для которых могут быть успешно решены задачи вы сокоточного управления;

повысить надежность системы благода ря устранению дополнительных помех, вызванных использовани ем датчиков переменных состояния или вычислителей производных выходной регулируемой переменной.

Структура адаптивного алгоритма оценивания частот возмуще ния является достаточно простой в реализации, что говорит об ин женерной привлекательности такого подхода.

Рассмотренные алгоритмы управления были исследованы на ме хатронном маятниковом комплексе “The Mechatronics Control Kit”, предоставленного фирмой “Mechatronic Systems, Incorporated” [81].

Основным элементом устанвоки является однозвенный маятник, снабженный маховиком. Маятник может совершать вращение в вертикальной плоскости. Маховик приводится в движение электро двигателем постоянного тока, который смонтирован на маятнике.

Для исследования работы алгоритма в условиях запаздывания про граммно создается буфер, через который пропускается функция управления: сигнал управления подается на вход буфера, а вы ходной сигнал буфера поступает на объект управления. Величина имитируемого запаздывания определяется размером буфера. Для моделирования возмущающего воздействия в сигнал управления, поступающего на вход объекта управления, можно ввести возму щающую составляющую, которая недоступна для закона управле ния. Но для исследования алгоритма управления в условиях дей Введение ствия реального возмущающего воздействия осуществлен экспери мент, когда возмущение не моделируется программно, а создается реально. Для этого используется тележка на подвижной основе, на которой смонтирован маятник. Возмущение, создающее переме щение тележки в горизонтальной плоскости, вызывает устойчивые колебания маятника.

Методы и алгоритмы, описанные в пособии, основаны на ре зультате по идентификации частоты смещенного синусоидально го сигнала [2], и отличаются более простой структурой устройства оценивания. Приведено доказательство теоремы о том, что ошиб ка оценивания частоты ограничена затухающей экспоненциальной функцией времени. На основе оценки частоты был сформирован алгоритм оценки амплитуды, смещения и начальной фазы сигнала.

Полученный результат был обобщен на случай мультигармониче ского сигнала.

В пособии предложен оригинальный метод компенсации детер минированного мультигармонического возмущения, действующего на устойчивые линейный и нелинейный объекты с запаздыванием в канале управления. В отличие от известных существующих под ходов, данный метод применим к объектам, модель которых может иметь произвольную относительную степень. Данный алгоритм яв ляется робастным по отношению к нерегулярной составляющей, присутствующей в возмущении.

Наиболее значимым является объединение предыдущего резуль тата и метода М. Крстича [68] по стабилизации неустойчивых объ ектов управления с запаздыванием, что позволило получить но вый метод управления неустойчивыми объектами с запаздыванием в условиях параметрически не определенных возмущающих воздей ствий.

В пособии дается краткое описание мехатронной установки на подвижном основании, состоящей из маятника и инерционного ко леса. Такая установка позволила осуществить апробацию разрабо танных алгоритмов управления в условиях запаздывания и возму щающих воздействий.

Глава Обзор методов управления в условиях запаздывания и возмущений. Постановка задачи В главе представлен обзор методов управления в условиях за паздывания и неизмеряемых возмущающих воздействий. Рассмот рен сравнительный анализ существующих методов управления в условиях запаздывания и в условиях возмущающих воздействий.

Выделены достоинства и недостатки известных подходов. Затем сформулирована обобщенная постановка задачи, решению которой посвящены следующие главы пособия.

1.1 Обзор методов управления в услови ях запаздывания В теории автоматического управления особое место занимают си стемы с запаздыванием, задача управления которыми всегда при влекала внимание многих исследователей [8, 10–14, 17, 18, 23–27, 29– 36, 40, 51, 53–58, 62–64, 67, 68, 70–73, 78–80, 82–84, 88–91, 93–95, 97–99].

Выделение объектов с запаздыванием в отдельный класс вызвано, прежде всего, большой сложностью их исследования по сравнению с объектами, не содержащих временного запаздывания. Характер ной особенностью систем управления для объектов с запаздыва нием является зависимость состояния управляемого процесса от предыстории, и пренебрежение влиянием запаздывания приводит 1.1. Методы управления в условиях запаздывания к ухудшению качества функционирования системы, а иногда и к потере устойчивости.

Рассмотрим простейший объект управления, описываемый апериодическим звеном первого порядка, и пропорционально интегрально-дифференциальный закон управления. Показатели, качества определяются коэффициентами регулятора и (Рис. 1.1).

1, s 1 1, kd Производная + 1 5 + + 0, s+ – + kp 0, Задающее Объект Выход воздействие управления 3 0, s ki 0, Интегратор t, c 0 2 4 6 8 (а) Структурная схема замкнутой системы (б) Временная диаграмма выходной переменной Рис. 1.1. Система управления с ПИД-регулятором Если канал измерения характеризуется запаздыванием, то ста новится затруднительным обеспечение требуемых показателей ка чества с помощью того же регулятора (Рис. 1.2). При некотором критическом значении запаздывания система управления потеряет устойчивость. Это объясняется тем, что звено запаздывания вносит отрицательный сдвиг фазы в систему.

Пропорционально-интегрально-дифференциальный алгоритм управления является достаточно популярным как в теории, так и в практике, в силу простоты реализации и анализа. Однако, как показано на рис. 1.1, 1.2 наличие очень маленького запаздывания делает систему неустойчивой. В этом случае задача настройки параметров регулятора представляется очень сложной, а может и вовсе неразрешимой, если сигнал управления ограничен по моду лю. В связи с этим задачи управления в условиях запаздывания — это особый класс задач, требующий специального рассмотрения, разработки новых методов управления, ориентированных на возможное временное запаздывание в канальной среде.

В статье [26] рассматривается линейный стационарный объект 16 Глава 1. Обзор методов. Постановка задачи s 1 1, kd Производная 1, + 1 5 1, + + s+ – + kp 1, Задающее Объект Выход воздействие управления 3 0, s ki 0, Интегратор 0, 0, t, c Запаздывание 0 2 4 6 8 (а) Запаздывание в канале измерения (б) Неустойчивый процесс Рис. 1.2. Потеря устойчивости системы управления из-за запазды = 0, вания секунд управления с неизвестными параметрами, характеризуемый пере менным запаздыванием в каналах управления и измерения. В ра боте был получен адаптивный предиктор, дающий упредительные оценки выходной переменной и переменных состояния. Недостатка ми этой работы является допущение о полной измеримости вектора состояния, что на практике встречается довольно редко, и отсут ствие в рассмотрении действия возмущающих воздействий.

В статье [51] рассматривается нелинейный объект управления при наличии запаздывания по состоянию. Задача решена методом профессора Бобцова “последовательный компенсатор”. Данный ме тод также позволяет решать задачи слежения в условиях парамет рической и функциональной неопределенности [39], неучтенной па разитной динамики, внешних возмущающих воздействий. Данный метод был успешно применен в задаче стабилизации хаотической системы Ван-Дер-Поля [46]. В качестве недостатка этого подхода отметим отсутствие в рассмотрении запаздывания в канале управ ления или измерения.

В статье [57] решается задача стабилизации линейного объек та управления с запаздыванием по управлению. Группа ученных профессора Цыкунова А.М. получила достаточно много серьезных теоретических результатов для систем с входным запаздыванием, и даже для параметрически не определенных объектов [30–33]. Од нако в этих работах не рассматриваются возмущения.

1.1. Методы управления в условиях запаздывания 1.1.1 Предиктор Смита Стабилизация линейных систем с запаздыванием в канале управ ления продолжает быть областью активных исследований. Различ ные схемы управления объектами с запаздыванием на входе пред ложены многими авторами, отправной точкой во многих из них яв ляется предиктор Смита [95], специальная структура регулятора, предложенная Смиттом в 1957 году.

Цель предиктора Смита — предсказать, какой сигнал должен появиться на выходе до того, как он там появится на самом деле.

Для предсказания можно использовать модель объекта управле 0 () ния, состоящую из дробно-рациональной части и транспорт.

ной задержки Благодаря тому, что из модели можно исклю чить задержку, появляется принципиальная возможность предска зания поведения объекта до появления сигнала на его выходе. На рис. 1.3 представлена структурная схема замкнутой системы с пре диктором Смита. Здесь — структура обычного ПИД-регулятора, 0 () — передаточная функция объекта управления.

r e u y P0(s)esh R(s) + + – – + – M0(s)esh M0(s) Рис. 1.3. Система управления с предиктором Смита Принцип работы системы состоит в следующем. Предположим, что модель абсолютно точна. Тогда разность сигналов на выходах ( = 0).

модели и объекта будет равна нулю Но в таком случае непосредственно из схемы на рис. 1.3 можно получить:

( ) ( ) = 0 =. (1.1) 1 + 0 1 + ( ) В этом выражении член представляет собой передаточ 1+ ную функцию системы без запаздывания. А это значит, что звено 18 Глава 1. Обзор методов. Постановка задачи с транспортной задержкой не входит в контур обратной связи и не влияет на устойчивость и быстродействие системы, то есть про исходит регулирование в контуре с моделью без запаздывания, а транспортная задержка прибавляется к полученному результату.

Рассмотрим теперь работу предиктора Смита без предположе = 0.

ния В этом случае схему на рис. 1.3 можно описать следую щими уравнениями:

= 0 ( 0 ), = 0, = 0, (1.2) откуда можно найти [ ].

= (1.3) 1 + 0 + (0 0 ) 0 Как видим, с ростом точности модели разность в зна менателе стремится к нулю, и из передаточной функции системы исключается запаздывание, которое только добавляется к резуль тату регулирования (в квадратных скобках в (1.3)).

C помощью топологических преобразований структурных схем можно получить много эквивалентных между собой структур си стем с предиктором Смита. Две из них представлены на рис. 1.4.

Можно показать, что они описываются тем же уравнением (1.3).

Предиктивный пропорционально-интегральный регулятор (со кращенно ППИ-регулятор) является модификацией предиктора Смита, которая распространена в системах автоматического управ ления более широко, чем сам предиктор Смита. Один из вариантов ППИ-регулятора изображен на рисунке 1. Наиболее важные работы [40, 55, 63, 71, 73, 83, 88], основанные на предикторе Смита, используют конечномерные модели и структу ры. На ряду с ними стоит выделить адаптивные версии линейных регуляторов, основанных на предикторе [54, 84], где адаптивный алгоритм управления разработан даже для неизвестного запазды вания [53]. Более того, существуют различные схемы построения регуляторов для нелинейных систем [61, 62, 64, 67, 78, 80].

1.1. Методы управления в условиях запаздывания r e u y P0(s)esh R(s) + + – – + – esh M0(s) (а) Модифицированная структура предиктора Смита r e u y P0(s)esh R(s) + + – – M0(s) M0(s)esh (б) Модифицированная структура предиктора Смита Рис. 1.4. Модификации системы управления с предиктором Смита 1.1.2 Предиктор на основе метода М. Крстича Линейным системам с входным запаздыванием посвящено огром ное количество работ. Однако, остаются нерешенными такие зада чи как системы с запаздыванием и по входу, и по состоянию, даже для линейного случая. При такой постановке классический подход становится неприменимым. Предиктор Смита расчитан только на асимптотически устойчивые объекты, так как не учитывает свобод ную составляющую движения системы, обусловленную ненулевыми начальными условиями.

Обозначенные задачи были решены всемирно известным уче ным Мирославом Крстичом с помощью его метода бэкстеппинг (“backstepping” — обратный обход интегратора, [69]). Также дан ный метод позволил решить широкий спектр задач управления в условиях запаздывания, включая нелинейные системы, неустойчи вые системы, неизвестное запаздывание, дополнительная динами ка в системе, описываемая уравнениями в частных производных [67, 68, 70]. Под решением задачи понимается аналитическое дока зательство (экспоненциальной) устойчивости замкнутой системы.

20 Глава 1. Обзор методов. Постановка задачи r e u y P0(s)esh K + + + – esh 1+sT Рис. 1.5. Система управления с ППИ-регулятором Рассмотрим предиктор Крстича на наиболее простой задаче:

стабилизация неустойчивой линейной системы с запаздыванием в канале управления. Дело в том, что более сложные задачи реша ются с помощью этого же подхода с соответствующими модифика циями: управление по выходу [90], управление бесконечномерными объектами, описываемыми уравнениями в частных производных и другие.

Рассмотрим линейный объект вида () = () + ( ), (1.4) R — вектор состояния, пара (, ) полностью управляема, где () запаздывает на секунд.

и управление Нетрудно видеть, что для стабилизации системы (1.4) достаточ но построить управление в виде ( ) = (), (1.5) +.

где вектор-строка обеспечивает гурвицевость матрицы Откуда имеем физически не реализуемый алгоритм управления () = ( + ). (1.6) () Тем не менее, используя решение для с учетом начальных условий, получим ( + ) = () + () (), 0, (1.7) откуда имеем закон управления по состоянию [ ] () = () + () 0, (), (1.8) 1.1. Методы управления в условиях запаздывания который является реализуемым, хоть и является бесконечномер ным, так как содержит член с распределенным запаздыванием () (). В замкнутом контуре исчезло запаздывание:

.

() = ( + )(), (1.9) Выражение (1.9) справедливо только после секунд, а до этого момента состояние объекта изменяется по закону:

( ) ( ). [0, ].

() = (0) + (1.10) Закон управления вида (1.8) впервые был получен с позиций конечно-мерного представления системы [71, 73] и редуцированного подхода [40]. На первый взгляд, такое интуитивно простое решение лежит на поверхности, однако вопрос о доказательстве устойчиво сти замкнутой системы остался без ответа. Проблема заключает ся в том, что в данном случае не удается применить функционал Ляпунова-Красовского и доказать устойчивость. Метод Крстича “backstpping” позволяет это сделать.

Запаздывание может быть представлено в виде уравнения в частных производных первого порядка (, ) = (, ), (1.11) (, ) = (), (1.12) где индексы и означают частную производную по соответству ющему аргументу. Решение (1.11), (1.12) имеет вид = ( + ), (, ) (1.13) где выход блока запаздывания = ( ) (0, ) (1.14) определяет запаздывающее управление (рис. 1.6).

Рассмотрим бэкстеппинг преобразование [68] (, )(, ) () (), (, ) (, ) = (1.15) 22 Глава 1. Обзор методов. Постановка задачи U (t D) U (t) X(t) esD X(t) = AX(t) + BU (t D) u(D, t) u(0, t) x D Рис. 1.6. Линейный объект с запаздыванием в канале управления которое позволяет преобразовать исходную систему (1.4), (1.11)– (1.14) в устойчивую целевую систему () = ( + )() + (0, ), (1.16) (, ) = (, ), (1.17) (, ) = 0. (1.18) (, ) (, ) Рассчитывая производные и нетрудно найти реше (, ) ():

ние для функций и (, ) = (), () =. (1.19) (, ) () =, Подставляя и в (1.15) и выбирая имеем закон управления () (, ) + ().

(, ) = (1.20) Как и в редуцированном анализе (1.9) мы получили устойчивую систему (1.16), но при этом учтены начальные условия системы в (0, ). Заметим, что эта функция затухает в ноль виде возмущения за секунд. Для доказательства экспоненциальной устойчивости системы (1.16) рассматривается функция Ляпунова [70] () = () () + (1 + )(, )2, (1.21) 2 = где — решение уравнения Ляпунова ( + ) + ( + ) = (1.22) 1.2 Обзор методов управления в условиях возмущающих воздействий + { и = 4 ( )/ (), для некоторой матрицы } () (), где = min (), 1. Таким образом, дает 2 ( ) 1+ система (1.4), (1.8) является экспоненциально устойчивой.

В заключение отметим, что задача стабилизации неустойчивых систем с запаздыванием и одновременной компенсации возмущения по мнению автора не решалась ранее. Используя методику Крсти ча, совместно с ним автору удалось решить эту задачу при допу щении измеримости вектора состояния [89] и при измерении только выходной переменной объекта [90].

1.2 Обзор методов управления в услови ях возмущающих воздействий Задача стабилизации систем с запаздыванием в канале управления практически не изучена для случая компенсации возмущающих воздействий. Подобная попытка была предпринята в статье [13], где рассматривался случай управления параметрически не опре деленным линейным объектом, подверженным влиянию внешнего возмущения. Однако авторам не удалось добиться полной компен сации возмущения.

Задача управления в условиях действия возмущения (внешне го паразитного воздействия) является классической проблемой со временной теории систем. На сегодняшний день получено большое число алгоритмов управления при условии действия возмущений (см., например, обзор методов представленных в монографии [20]).

Большинство известных подходов связано с косвенной параметри зацией возмущений, которая в свою очередь, основана на прин ципе внутренней модели [20, 28]. При этом методы, использующие принцип внутренней модели, как правило, основываются на гипо тезе о возможности представления возмущения как выхода неко торой конечномерной динамической линейной системы. В класси ческой теории управления модель генератора полагается точно из вестной, что в большинстве случаев является идеализацией. Сего дня случай, когда конечномерная линейная динамическая модель генератора возмущающего воздействия имеет известные матрицы ее описания уходит из рассмотрения. Приоритет отдается иссле 24 Глава 1. Обзор методов. Постановка задачи дованию генераторов возмущений с матрицами описания, коэффи циенты которых заданы не точно или неизвестны (см., например, работы [20, 52, 59, 74–77, 85–87].

Также можно выделить ряд подходов, основанных на идее “сильной” обратной связи (см., например, работы [19, 20, 39, 43, 46, 49]). В работе [43] решена задача слежения линейным стационар ным объектом за задающим сигналом. Достоинствами этой работы являются измеримость лишь выходной переменной, а не ее произ водных или переменных состояния, неопределенность параметров объекта, а также наличие возмущающих воздействий. Но в этой работе не рассматривалось запаздывание. Методы, использующие “сильную” обратную связь не обеспечивают полной компенсации возмущающего воздействия и, в силу своей особенности (данные методы предусматривают использование большого коэффициента обратной связи), могут привести к усилению нежелательных помех измерения.

Достаточно большое число работ посвящено управлению в усло виях действия неизвестного возмущающего воздействия по измере ниям только выходной переменной (см., например, [2,3,6–9,20,42,52, 74–77,85–87]). В то же время пользуются популярностью задачи на блюдения и устранения возмущающего воздействия, приложенного к выходу объекта [3, 4]. Однако, несмотря на большое разнообразие методов решения и моделей объектов, задача компенсации гармо нических возмущающих воздействий с ненулевым смещением для случая, когда канал управления характеризуется запаздыванием, не рассматривалась.

Наибольший интерес представляют задачи, где частота воз мущения не известна. Однако в большинстве работ, посвящен ных синтезу алгоритмов идентификации частоты в непрерывном времени, не обсуждается или отсутствует теоретическое обосно вание увеличения быстродействия параметрической сходимости, что, в свою очередь, также можно отнести к нерешенным зада чам идентификации частот периодических сигналов. Рассматрива емый в пособии алгоритм идентификации основыван на работах [2, 6–10, 25, 38, 41, 42, 91, 93] и имеет динамический порядок, равный трем из расчета на одну гармонику, что, в свою очередь, улучшает наиболее известные результаты, опубликованные в [52,59,74–77,96].

Разработанная методика идентификации частоты сигналов име 1.2. Методы управления в условиях возмущений 1 была расширена на задачи иден ющих гармоническую природу тификации параметров детерминированных хаотических сигналов [39, 45, 47, 92].

В [76, 77, 85–87] рассматриваются минимально-фазовые модели объектов управления, а в [6–8] — строго минимально-фазовые с еди ничной относительной степенью. В [8] решена задача компенсации неизвестного синусоидального возмущения в случае, когда канал управления характеризуется запаздыванием. В [9] решена задача компенсации неизвестного синусоидального возмущения для линей ного объекта управления любой относительной степени. В [6, 7] ре шена задача компенсации неизвестного возмущения для парамет рически не определенного объекта управления.

В [8, 9] опубликованы результаты по компенсации синусоидаль () = sin( + ) ного возмущения соответственно для строго минимально-фазового объекта с запаздыванием и объекта без за паздывания, модель которого имеет произвольную относительную степень. В [8] и [9] для построения регулятора был необходим ис кусственно реализованный блок запаздывания. В [8] размерность 2 + 3, регулятора составляла где — динамическая размерность объекта.

В отличие от этих работ в пособии рассматривается метод ком пенсации возмущения для объектов с запаздыванием и произволь ной относительной степенью математической модели (в том числе и неминимально-фазовых объектов), представленного в виде век () = + sin( ) + торного возмущающего воздействия = cos( ),, -мерные где и — неизвестные постоянные вектор-столбцы.

В развитие результатов [2, 3, 6–9, 20, 42, 52, 59, 74–77, 85–87, 96] в пособии изложены алгоритмы компенсации параметрически не определенного мультигармонического возмущения, действующего на нелинейный и неустойчивый объект управления, относительная степень модели которого может быть любой, а канал управления характеризуется запаздыванием.

1 Сигналы, являющиеся выходом линейных динамических генераторов с мнимыми корнями характеристического уравнения.

2 Сигналы, являющиеся выходом нелинейных динамических генераторов, ко торые являются локально неустойчивыми, глобально ограниченными и имееют странные аттракторы.

26 Глава 1. Обзор методов. Постановка задачи 1.3 Обобщенная постановка задачи Рассмотрим скалярный нелинейный объект с запаздыванием в ка нале управления, подверженного воздействию внешних возмуще ний (см. рис. 1.7):

= () + ( ) + ( ()) + (), () (1.23) () = (), (1.24) R — недоступный для измерения вектор переменных со где стояния, R — выходная регулируемая переменная, доступная для измерения, R — управляющее воздействие, — извест ное постоянное запаздывание, ( ) — известная гладкая нелиней ная функция, — матрица состояния,, и — -мерные вектор-столбцы, R — векторная функция возмущающего воз действия вида () = + sin( ) + cos( ), (1.25) =, и — неизвестные постоянные -мерные где вектор — неизвестная частота -ой гармоники. Здесь столбцы, и далее символ означает номер гармоники = 1,.

(t) U (t h) U (t) Y (t) esh Объект управления Рис. 1.7. Объект управления с запаздыванием и возмущением Рассмотрим допущения относительно системы (1.23),(1.24) Тройка матриц,, полностью управ Д о п у щ е н и е 1. ляема и наблюдаема.

Д о п у щ е н и е 1.2 Частоты возмущающего воздействия не меньше некоторого известного числа 0, т.е. 0.

Матрица гурвицева.

Д о п у щ е н и е 1. 1.3 Обобщенная постановка задачи Д о п у щ е н и е 1.4 Функция ( ) такая, что положение равновесия = 0 для автономной системы () = () + ( ()), (1.26) = () () (1.27) является экспоненцииально устойчивым.

З а м е ч а н и е 1.1 Введение допущения 1.4 необходимо для обес печения ограниченности переменных состояния () при ненуле вых, но ограниченных входных сигналах () и (). В связи с этим будем рассматривать функцию ( ()) в (1.23) как неко торый входной сигнал (), не влияющий на свойство устойчиво сти замкнутой системы управления. Отметим тот факт, что в силу постановки задачи сигнал f(t) доступен для системы управ ления: его значение в момент времени может быть рассчитано как известная нелинейная функция от измеряемой функции :

() = ( ()).

Рассмотрим три цели управления.

у п р а в л е н и я 1 Пусть доступен измерению Цель мультигармонический сигнал вида () = + sin( + ), (1.28) = являющийся суммой гармоник с частотами, амплитудами и начальными фазами. Константы, и являются неиз вестными.

Требуется синтезировать устройство адаптивной иденти фикации параметров сигнала (), обеспечивающего для любых,, и 0 выполнения условий lim | ()| = 0, lim | ()| = 0, lim | ()| = 0, lim () = 0, (1.29) где () — текущая оценка частоты, () — текущая оценка смещения, () — текущая оценка амплитуды, () — теку щая оценка фазового сдвига.

Этой цели посвящена глава 2.

28 Глава 1. Обзор методов. Постановка задачи у п р а в л е н и я 2 Пусть выполнены допущения Цель 1.1–1.4 относительно системы (1.23), (1.24).

Требуется синтезировать закон управления () по выходу, обеспечивающий ограниченность всех траекторий системы и схо димость выходной переменной к нулю:

lim () = 0. (1.30) Этой цели посвящена глава 3.

у п р а в л е н и я 3 Пусть ( ) = 0, и выполнены до Цель пущения 1.1, 1.2 относительно системы (1.23), (1.24). Матрица может быть негурвицевой.

Требуется синтезировать закон управления () по выходу, обеспечивающий ограниченность всех траекторий системы и схо димость выходной переменной к нулю:

lim () = 0. (1.31) Этой цели посвящена глава 4.

Глава Методы построения адаптивных наблюдателей мультигармонических сигналов Данная глава посвящена методу построения адаптивного на блюдателя и идентификации параметров мультигармонического сигнала, включая общее смещение, частоту и амплитуду каждой гармоники. Такая проблема возникает при решении задачи ком пенсации параметрически не определенного возмущения, имеюще го квазигармоническую структуру, и требует рассмотрения в рам ках отдельной главы, где представлен анализ алгоритма идентифи кации параметров мультигармонического сигнала, доступного для измерения.

Наибольший интерес представляют задачи, где частота или ча стоты мультигармонического сигнала не известны. Однако, в боль шинстве работ, посвященных синтезу алгоритмов идентификации частоты в непрерывном времени, не обсуждается или отсутствует теоретическое обоснование увеличения быстродействия параметри ческой сходимости, что, в свою очередь, также можно отнести к нерешенным задачам идентификации частот периодических сигна лов. Предлагаемый в данной главе алгоритм идентификации имеет 3, динамический порядок, равный где — число гармоник, что, в свою очередь, улучшает наиболее известные результаты, опублико ванные в [52, 59, 74–77, 96].

Алгоритм обладает адаптивными свойствами по отношению к изменению параметров сигнала и робастными свойствами по отно шению к нерегулярным составляющим сигнала. Изменяя парамет 30 Глава 2. Наблюдение мультигармонических сигналов ры алгоритма идентификации можно управлять скоростью сходи мости оценок к их истинным значениям.

Рассмотренный алгоритм идентификации обеспечивает экспо ненциальную сходимость к нулю ошибки оценивания частоты сме щенного синусоидального сигнала. Алгоритм идентификации па раметров смещенного синусоидального сигнала обобщен на случай мультигармонической функции времени.

2.1 Алгоритм адаптивной идентифика ции параметров смещенного синусо идального сигнала 2.1.1 Постановка задачи Рассматривается измеряемый сигнал вида () = + sin( + ), (2.1) и гармоническую состав содержащий постоянную составляющую,. Кон ляющую с частотой амплитудой и фазовым сдвигом,, станты и являются неизвестными.

Д о п у щ е н и е 2.1 Частота гармонической составляющей сигнала () не меньше некоторого известного числа 0, т.е.

0.

Д о п у щ е н и е 2.2 Считается, что значение времени с момента запуска алгоритма известно.

Сформулируем цель управления как решение задачи синтеза алго,, и ритма идентификации, обеспечивающего для любых выполнения условий lim | ()| = 0, (2.2) lim | ()| = 0, (2.3) lim | ()| = 0, (2.4) lim () = 0, (2.5) 2.1. Смещенный синусоидальный сигнал () — текущая оценка частоты, () — текущая оценка смеще где, () — текущая оценка амплитуды, () — текущая оценка ния фазового сдвига.

2.1.2 Алгоритм идентификации частоты смещен ного гармонического сигнала Известно [2, 25, 89, 90], что для генерирования сигнала (2.1) можно использовать дифференциальное уравнение вида...

() = (), (2.6) где = 2. (2.7) Следуя результатам [8, 9, 25, 89, 90], представим следующую лем му.

Для линейного фильтра второго порядка Л е м м а 2. () = (), 0, (2.8) ( + ) и для сигнала справедливо следующее выражение:

(2.1)...

() = () + (), (2.9)...

где функции () и () — переменные состояния линейного филь тра (2.8) () = (), (2.10) ( + ) 2...

() = (), (2.11) ( + ) и () — экспоненциально затухающая функция.

Доказательство л е м м ы 2.1. Выполняя преобразование Лапласа для (2.6), имеем 3 () = () + (), (2.12) 32 Глава 2. Наблюдение мультигармонических сигналов () = {()} где — комплексная переменная, — образ Лапласа (), () переменной а полином обозначает сумму всех начальных условий. Умножая обе части (2.12) на комплексное число (+)2, получим 2 2 2 () 3 () = () +. (2.13) ( + )2 ( + )2 ( + ) Выполняя обратное преобразование Лапласа для (2.13) с учетом (2.8), имеем...

() = () + (), (2.14) { } 2 () () = где — экспоненциально затухающая функция (+) с экспоненциально затухающими производными, что и требовалось доказать.

З а м е ч а н и е 2.1 Поскольку { экспоненциально затухающая } функция времени () = 1 () зависит от парамет (+) ра, то с увеличением значения можно ускорять процесс сходимости () к нулю.

В следующей теореме представлен адаптивный алгоритм иден тификации частоты сигнала (2.1), основанный на подходах [8, 9, 25, 89, 90].

Алгоритм адаптации вида Т е о р е м а 2. () = (), (2.15) () = () + ()(), (2.16) () = 2 ()() 2 (), (2.17) где 0, функции (), () и () определены в лемме 2.1, обеспе чивает экспоненциальную сходимость к нулю ошибки оценивания () = ():

, | ()| 0, (2.18) где и — положительные числа.

2.1. Смещенный синусоидальный сигнал Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 2.1. Рассмотрим модель ошиб ки оценивания с учетом леммы 2. () () =...

() 2 () () () =...

2 ()() + 2 () 2 () () () = 2 ()() 2 () ()() = 2 ()() ()().

= (2.19) Рассмотрим функцию Ляпунова [25, 89, 90] 1 ()2 (), () = (2.20) () где — положительная функция, ограниченная сверху и снизу 2, 0 1 () (2.21) 1 где и — константы, которые будут определены далее при анализе. Дифференцируя (2.20), имеем 1 2 () = () () + ()()() 1 2 () () () 2 ()2 () ()()()() = 1 2 1 ( ) () () () 2 ()2 () + () 2 ()2 () + 2 () 2 1 2 1 2 ()2 () + 1 ()2 ().

() () () = (2.22) 2 2 Из (2.40) получим () = cos( + ) + 1 (), (2.23) 1 (), |1 ()| 1 () где — экспоненциально затухающая функция времени. Откуда 2 () 2 2 cos2 ( + ) + 2 cos( + )1 () + 2 () = 122 = + cos(2 + 2 ) + 2 cos( + )1 () 2 +2 (). (2.24) 34 Глава 2. Наблюдение мультигармонических сигналов Подставляя (2.24) в (2.22), имеем 1 2 1 1 1 () () 2 2 ()2 () + ()2 () ()2 () () 2 2 ( 2 cos(2 + 2 ) + 2 cos( + )1 () +2 ().

) (2.25) () Выберем функцию так, что ( () = () cos(2 + 2 ) + 2 cos( + )1 () +2 ().

) (2.26) Достаточно воспользоваться частным решением (2.26) в виде = (), () (2.27) ( () = cos(2 + 2 ) + 2 cos( + )1 ( ) +2 ( ).

) (2.28) () Рассмотрим функцию для того, чтобы найти ограничения для () сверху и снизу.


(sin(2 + 2 ) sin(2 )) () = cos( + )1 ( ) + 2 ( ), ( ) +2 (2.29) 2 ( ) |()| (1 sin(2 )) + 2 |1 ( )| + 2 0 2 + 2 1 1 + 22 0 2 ( 1 ( 1 1 + 2 1 1 = 2 + ) ) 1 2 + 2 + 1 = 3, (2.30) 2.1. Смещенный синусоидальный сигнал 1 1 где и — положительные числа, — неотрицательная кон станта.

|()| |()| () На основе неравенства легко получить 1 = 3 2 = 3.

() искомые границы в виде (2.21), где и Подстановка (2.26) в (2.25) дает 1 1 2 2 ()2 () + ()2 () () 2 2 4 () + 5 2, (2.31) где 1 22 4 =, 5 = 2 2, 2 2 () = 2 () — экспоненциально затухающая |2 ()| функция, 2 2, а 2 и 2 — положительные числа.

Используя принцип сравнения [65] для (2.31), получим (0)4 + 5 4 (4 2 ).

() (2.32) 2 = 4, 2 0 2 4, не Если то можно выбрать из условия 2 (). Так нарушив экспоненциально затухающего вида функции или иначе, из (2.32) можно получить 5 ( (0)4 + ) () 4 3 3, (2.33) 3 = (0) + 45 2 и 3 = min {4, 2 }. Из (2.20), (2.21) и (2.33) где получим 2 23 1 () () 2. (2.34) 1 () = () Покажем, что ошибка оценивания частоты в 36 Глава 2. Наблюдение мультигармонических сигналов алгоритме (2.15) экспоненциально затухает:

|| () () = () + () () = () + () () (). (2.35) || () () = || || () (). (2.36) Из (2.35) и (2.36) нетрудно видеть, что.

| ()| () (2.37) Мы получили соотношение для ошибки оценивания (2.18), где = 1 3.

= 1 и Таким образом, адаптивный идентификатор частоты (2.15)–(2.17) обеспечивает экспоненциальную сходимость к ().

нулю ошибки оценивания Теорема 2.1 доказана.

З а м е ч а н и е 2.2 Показатель экспоненты в (2.37) зависит только от параметров и : = (, ). При увеличении и увеличивается значение. Следовательно, управляя значения ми параметров алгоритма идентификации и можно регулиро вать скорость сходимости ошибки оценивания () к нулю. При устремлении и к бесконечности время переходного процесса при идентификации частоты стремится к нулю.

З а м е ч а н и е 2.3 Выражение (2.37) показывает, что модуль ошибки оценивания ограничен затухающей экспонентой. При рас смотрении аддитивной нерегулярной ограниченной составляющей 2.1. Смещенный синусоидальный сигнал 0 () в сигнале (2.1) () = + sin( + ) + 0 (), (2.38) легко показать, что ошибка оценивания частоты будет ограни ченна константой, зависящей от амплитуды аддитивной компо ненты | ()| 1 1 +, (2.39) где — положительная константа, зависящая от амплиту ды аддитивной компоненты 0 (). Это говорит о робастных свой ствах алгоритма идентификации (2.15)–(2.17) частоты по отно шению к нерегулярной составляющей возмущения.

2.1.3 Алгоритм идентификации смещения, ам плитуды и фазы В этом подразделе будет представлен алгоритм идентификации смещения, амплитуды и фазы смещенного гармонического сигнала (). Сигнал (2.1) является суммой посто на основе оценки частоты () = sin( + ).

янного смещения и гармонической функции Так как фильтр (2.8) линейный, то реакция на гармоническое воздействие будет также гармонической функцией с той же часто той. Аналогично для постоянного воздействия. Так как полином ( + )2 гурвицев, то для входного сигнала (2.1) выходная перемен ная фильтра (2.8) имеет вид () = + sin( + ) + (), (2.40) () где — смещение, — амплитуда, — фазовый сдвиг и — экспоненциально затухающая функция с экспоненциально затуха ющими производными.

Следуя результатам [9, 22, 25, 89, 90], имеем 2 [ ] [ ] () = + () ( + )2 ( + ) = 1 () + 2 () + (), (2.41) 1 () =, (2.42) ) ( 2 () = +, (2.43) 38 Глава 2. Наблюдение мультигармонических сигналов = / — оператор дифференцирования, (+) = 1 — поло = жительный передаточный коэффициент для постоянного входного 2 = (+)2 = arg сигнала, и (+)2 — положительный пере даточный коэффициент и фазовый сдвиг для гармонического вход, действующего на фильтр (2.8), = ного сигнала с частотой () — экспоненциально затухающая функ — комплексное число, ция.

В следующей лемме представлены наблюдатели переменных 1 (), 2 () 2 ().

и Наблюдатель компонент смещенного гармониче Л е м м а 2. ского сигнала являющегося выходной переменной фильтра (2.41), (2.8) = () 2 (), 1 () (2.44) () 2 () = 2, (2.45) () { () для () 0, () = (2.46) иначе, 3 () = (), (2.47) где 0 — известная нижняя граница частоты, а функции (), () и () определены в лемме 2.1, обеспечивает экспоненциальную сходимость к нулю ошибок наблюдения 1 = 1 1, 2 = 2 2 и 3 = 2 3.

Доказательство л е м м ы 2.2. Дифференцируя (2.41) два раза, имеем:

() = 1 () + 2 () = 2 () + (), (2.48) () = 2 () + 3 () = 2 () +, (2.49) — где и экспоненциально затухающие функции. Откуда () () 2 () = + 2, (2.50) 2 2 () = () (). (2.51) 2.1. Смещенный синусоидальный сигнал Следовательно, () () () = 2 () 2 () = 2 + 2 + 2.

2 () (2.52) () () 2 () Так как функция ограничена, также ограничена. Из (), та теоремы 2.1 следует, что экспоненциально стремится к 2 () экспоненциально стремится к нулю. Из (2.41), ким образом, 1 = 2, откуда следует, что 1 () ограничена (2.44) имеем и экспоненциально стремится к нулю. Из (2.45) и (2.48) получим 3 =, следовательно, лемма 2.2 доказана.

Располагая оценками компонент выходной переменной фильтра (2.8), нетрудно оценить искомые параметры смещенного гармони 1 () ческого сигнала (2.1). Заметим, что в силу (2.42) переменная.

является оценкой смещения В следующем утверждении пред ставлен алгоритм идентификации амплитуды и фазы сигнала ().

Алгоритм идентификации амплитуды У т в е р ж д е н и е 2. и фазы вида () ( ), () = () + () mod 2, () = (2.53) () ) ( 3 () () = 2 () +, (2.54) () ( ( ) ) 3 () ( ) () mod 2, () = sign 2 () arccos (2.55) ()() ( 2 () ), () = arccos () = 2 (2.56) + 2 () 2 + 2 () обеспечивает ограниченность и экспоненциальную сходимость к нулю ошибок оценивания = и =, где оценка часто ты () определяется адаптивным алгоритмом идентификации (2.15)–(2.17), функции 1 (), 2 (), 3 () и () определены в лемме 2.2. Переменные и являются оценками и в (2.40) соот и являются оценками и соответствен ветственно, а 40 Глава 2. Наблюдение мультигармонических сигналов но. Дополнительные переменные вводятся для упрощения доказа тельства утверждения.

Доказательство у т в е р ж д е н и я 2.1. Из (2.43) следует, что 2 () = sin( + + ), (2.57) откуда имеем соотношения =, = +. (2.58) и предварительно найдем значения,, Для определения и 2 (), Дифференцируя имеем 2 () = cos( + ). (2.59) Легко показать, что ) ( 2 () + 2 () = (). (2.60) В самом деле ) ( 2 () 2 sin2 ( + ) + 2 cos2 ( + ) 2 () + = 2 = (), (2.61) sin2 (+ где использовано основное тригонометрическое тождество ) + cos ( + ) = 1.

, выразив эту переменную из Далее определим значение фазы системы уравнений { 2 () = sin( + ), (2.62) 2 () = cos( + ).

, Значение функций arcsin(·) и arccos(·) изменяются в диапазоне в то время как реальное значение фазовой переменной функции 2.1. Смещенный синусоидальный сигнал sin(·) cos(·) 2. Будем рассматри или может меняться в пределах (+ ) по модулю 2 и искать решение вать фазовую переменную на интервале (;

]. Если функция sin(·) отрицательна, значит фа зовую переменную следует определять на интервале (;

0), иначе на интервале [0;

]. Из системы (2.62) с учетом предыдущих рас суждений имеем ( ) 2 () + = sign (2 ()) arccos. (2.63) Так как значение времени растет неограниченно, то при опре делении на основе (2.63) следует пользоваться функцией деления по модулю:

( ( ) ) 2 () = sign (2 ()) arccos 2.

mod (2.64) Для определения и мы использовали недоступные для измерения переменные. однако у нас построены все необходимые наблюдатели, обеспечивающие экспоненциальную сходимость оце, 2 (), 2 () и подставим нок к истинным значениям. Вместо и (2.64) значения оценок () (или () для исключения в (2.60) на ноль), 2 (), 3 () и () соответственно и получим со деления отношения (2.54) и (2.55). Рассматривая ошибки оценивания для = (2.54) и (2.55), нетрудно убедиться в том, что ошибки = и ограничены и экспоненциально стремятся к нулю.

Теперь построим алгоритм оценки значений переменных и. Рассмотрим комплексную переменную:

2 2 2 (2 2 2) = = ( + )2 2 2 + 2 ( 2 + 2)(2 2 2) 2 (2 2 2) = (2 2 )2 + 4 2 2 ( 2 2.

) = (2.65) (2 + 2 ) имеем В силу (2.65) для и 2 = = 2 + 2, (2.66) ( + ) 42 Глава 2. Наблюдение мультигармонических сигналов 2 2 ( ) = arccos = arg. (2.67) ( + )2 2 + () вместо в (2.66) (2.67) получим реализуемые Подставляя и (2.56). В силу того, что оценка часто алгоритмы оценки ты () экспоненциально стремится к значению, то ошибки оце нивания = и = ограничены и экспонен циально стремятся к нулю. В этом легко убедиться, рассмотрев, разности между истинными значениями переменных и их оценками. На основе соотношений (2.58) и полученных алгоритмов оценки (2.54)–(2.56) получим (2.53). Анализ ограниченности и экс поненциальной сходимости к нулю ошибок оценивания сводится к рассмотрению разности оценок и истинных значений. На этом до казательство утверждения 2.1 заканчивается.

2.1.4 Числовой пример Продемонстрируем на числовом примере работу адаптивного алго ритма идентификации всех параметров смещенного синусоидаль ного сигнала (2.8), (2.15)–(2.17), (2.44)–(2.47), (2.53)–(2.56).

На рис. 2.1 представлены графики переходных процессов для (), четырех различных сигналов чтобы показать, что оценки схо дятся к истинным значениям, независимо от самих этих значений.

На рис. 2.2 представлены графики переходных процессов для раз личных параметров идентификатора, чтобы показать, что, увели, можно ускорять процесс иденти чивая значения параметров и, фикации частоты и, как следствие, оценка остальных парамет ров проходит быстрее.

На рис. 2.3 представлены графики переходных процессов для сигнала переменной формы для того, чтобы проиллюстрировать адаптивность алгоритма по отношению к изменению параметров сигнала.

На рис. 2.4 представлены графики переходных процессов для () с аддитивным экспоненциально коррелированным шу сигнала мом, чтобы продемонстрировать робастные свойства алгоритма 1 Экспоненциально коррелированный шум моделировался с помощью фор мирующего фильтра () = +1, на вход которого подавался частотно огра ниченный белый шум мощностью = 0, 1.


2.1. Смещенный синусоидальный сигнал идентификации по отношению к нерегулярной составляющей сиг нала.

Рис. 2.1–2.4 демонстрируют эффективность, адаптивные и ро бастные свойства разработанного метода идентификации парамет ров смещенного синусоидального сигнала.

µ y y2 y 5 y y y y y 0, t, c t, c 0 0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 (а) Временная диаграмма оценки ча- (б) Временная диаграмма оценки ам стоты (). плитуды ().

^ ^ y1 y y2 6 y y3 y y4 y 6 t, c t, c 5 0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 (в) Временная диаграмма оценки сме- (г) Временная диаграмма оценки фа ^ щения () ^ зы () Рис. 2.1. Временные диаграммы оценки параметров сигналов 1 () = sin( + 1), 2 () = 6 + 0, 5 sin(2 + 4), 3 () = 10 + 2 sin(3 + 2) и 4 () = 3 + 5 sin(4 + 3) при коэффициентах идентификатора = 2, = 44 Глава 2. Наблюдение мультигармонических сигналов µ k = 0, 5, = 0, 6 k = 1, = k = 100, = k = 0, 5, = 0, k = 1, = 1 k = 100, = t, c t, c 0 0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 (а) Временная диаграмма оценки ча- (б) Временная диаграмма оценки ам стоты () плитуды () ^ ^ k = 0, 5, = 0, k = 1, = k = 100, = k = 0, 5, = 0, k = 1, = 1 k = 100, = 5 t, c t, c 0 10 20 30 40 0 10 20 30 40 (в) Временная диаграмма оценки сме- (г) Временная диаграмма оценки фа ^ щения () ^ зы () () = Рис. 2.2. Временные диаграммы оценки параметров сигнала 4 + 5 sin(2 + 1) при различных коэффициентах идентификатора и 2.1. Смещенный синусоидальный сигнал µ 3, 2, 2, 1,4 0, t, c t, c 0 0 10 20 30 0 10 20 30 (а) Временная диаграмма оценки ча- (б) Временная диаграмма оценки ам стоты () плитуды () ^ ^ t, c t, c 0 0 10 20 30 40 0 10 20 30 (в) Временная диаграмма оценки сме- (г) Временная диаграмма оценки фа ^ щения () ^ зы () () = Рис. 2.3. Временные диаграммы оценки параметров сигнала 0 20 и = 5 + 4 sin(2, 2 + 3), 2 + 3 sin(1, 4 + 2), для для идентификатора = 1 и = при коэффициентах 46 Глава 2. Наблюдение мультигармонических сигналов y 2, 4 1, 0, t, c t, c 0 50 60 70 80 90 100 0 50 100 150 (а) Фрагмент временной диаграммы (б) Временная диаграмма оценки ча зашумленного сигнала () стоты () ^ µ t, c t, c 0 0 50 100 150 200 0 50 100 150 (в) Временная диаграмма оценки ам- (г) Временная диаграмма оценки сме плитуды () щения () ^ ^ () = 4 + 3 sin(2 + 2) Рис. 2.4. Временные диаграммы сигнала с аддитивным шумом в измерении и оценки его параметров при = 0, 6 = 0, коэффициентах идентификатора и 2.2 Алгоритм адаптивной идентификации частот и наблюдатель гармоник мультигармонического сигнала 2.2 Алгоритм адаптивной идентифика ции частот и наблюдатель гармоник мультигармонического сигнала В этом разделе рассмотрена задача идентификации параметров мультигармонического сигнала: частоты, амплитуды и начальные фазы всех гармоник. Наряду с определением постоянных парамет ров сигнала решена задача выделения из многокомпонентного сиг нала каждой гармоники.

Для вывода результата использован подход предыдущего раз дела: методика синтеза алгоритма идентификации неизвестных па раметров и доказательство эффективности разработанной схемы.

2.2.1 Постановка задачи Рассматривается измеряемый сигнал вида () = + sin( + ), (2.68) = гармоник с частотами, амплитудами и являющийся суммой. Константы, и являются неизвест начальными фазами символ означает номер гармоники = 1,.

ными. Здесь и далее Д о п у щ е н и е 2.3 Все ненулевые частоты гармоник сигна ла () не меньше некоторого известного числа 0, т.е. 0.

Сформулируем цель управления как решение задачи синтеза,, устройства оценки, обеспечивающего для любых и выполнения условий lim | ()| = 0, lim | ()| = 0, lim | ()| = 0, lim () = 0, (2.69) () — текущая оценка частоты, () — текущая оценка смеще где ния, () — текущая оценка амплитуды, () — текущая оценка фазового сдвига.

48 Глава 2. Наблюдение мультигармонических сигналов 2.2.2 Алгоритм идентификации частот смещен ного мультигармонического сигнала () Известно [10, 93], что для генерирования сигнала можно ис пользовать дифференциальное уравнение вида (2 1 )(2 2 )· · · (2 )() = 0, (2.70) = = / где — оператор дифференцирования, — постоян ные параметры. Перепишем уравнение (2.70):

2+1 () = 1 21 () +· · · + 1 3 () + (), (2.71) где параметры, полученные после раскрытия скобок в (2.70) опре деляются системой:

1 = 1 + 2 +· · · +, 2 = 1 2 1 3 · · · 1, (2.72).

.

.

= (1)+1 1 2 · · ·.

З а м е ч а н и е 2.4 Система (2.72) представляет собой формулы Виета. Так как параметры, = 1, являются корнями полино ма 2 + 1 22 +· · ·+ 1 2 +, то, на основе значений парамет ров полинома, = 1,, можно однозначно определить значения корней, = 1,, решив простую алгебраическую задачу.

Переходя к изображениям Лапласа в уравнении (2.71), получа ем:

2+1 () = 1 21 () +· · · + 1 3 () + () + (), (2.73) () = {()} где — комплексная переменная, — образ Лапласа (), () переменной а полином обозначает сумму всех членов, содержащих ненулевые начальные условия.

Умножая обе части (2.71) на комплексное число, полу (+) чим 2 2 2+1 () = 1 21 () +· · · + 1 3 () 2 2 ( + ) ( + ) ( + ) 2 2 () + () +. (2.74) 2 ( + ) ( + ) 2.2. Мультигармонический сигнал Введем в рассмотрение вспомогательный линейный фильтр:

() = (). (2.75) ( + ) Подставляя (2.75) в (2.74) и выполняя обратное преобразование Лапласа, получим:

(2+1) () = 1 (21) () +· · · + (1) () + (), (2.76) { } 2 () () = где — экспоненциально затухающая функция (+) времени, определяемая ненулевыми начальными условиями.

З а м е ч а н и е 2.5 Так как экспоненциально затухающая функ ция () зависит от, то можно увеличить скорость сходимо сти этой функции к нулю, увеличивая значение.

В предыдущем разделе мы не пренебрегали экспоненциальной () и доказали, что ее наличие не влияет на затухающей функцией свойство устойчивости адаптивной схемы идентификации частоты синусоидального сигнала. Аналогично, для мультигармонического сигнала. Чтобы не перегружать пособие малозначительными фор мулами, пренебрегая экспоненциально затухающей составляющей (), имеем:

(2+1) () = (), (2.77) ()... (3) () (1) () — регрессор, = [ (21) ] где () = [ ] 1... 1 — вектор неизвестных параметров.

У т в е р ж д е н и е 2.2 ( [10, 93]) Пусть оценки вектора пара метров настраивается следующим образом () = () ()( ()), (2.78) где = { 0}, тогда lim () = 0. (2.79) 50 Глава 2. Наблюдение мультигармонических сигналов Д о к а з а т е л ь с т в о у т в е р ж д е н и я 2.2. Рассмотрим ошибку оценивания вектора параметров следующего вида:

() = (). (2.80) Дифференцируя (2.80), получим 0 () () = = () ()( ) = () (). (2.81) Решая дифференциальное уравнение (2.81), получаем () = (0)(), (2.82) ( ) ( ).

() = где () содержит Так как сигнал гармоник разной частоты, то функция удовлетворяет условиям предельной интегральной невы рожденности [20]. Следовательно, для вектора невязки справедливо соотношение:

lim () = 0, (2.83) откуда следует, что вектор оценки параметров стремится к ис тинному значению (2.79).

Однако, алгоритм (2.78) технически не реализуем, так как со.

держит неизмеримый вектор С учетом (2.77) перепишем (2.78) в виде () = ()( (2+1) ()()). (2.84) (2+1) () Переменная не доступна для измерения, так как динами 2.

ческий порядок фильтра (2.75) равен Введем в рассмотрение вектор () = () () (2) (). (2.85) 2.2. Мультигармонический сигнал Дифференцируя (2.85), имеем = () () (2) () () (2+1) () () = () (2+1) () ()() () (2) () () (2+1) () = () ()() () (2) (). (2.86) Из (2.85) и (2.86) получим реализуемый алгоритм идентифика :

ции параметров вектора () + () (2) (), () = (2.87) () ()() () (2) ().

() = (2.88) В соответствие с замечанием 2.4, в дальнейшем будем считать, что на основе вектора оценок измерению доступны оценки пара.

метров Частоты мультигармонического возмущения найдем из (2.70) () = ().

(2.89) В силу выполнения целевого условия (2.79) и результата, полу ченного в предыдущем разделе (2.35) и (2.36), имеем соотношение для частот lim | ()| = 0.

(2.90) 2.2.3 Алгоритм идентификации смещения, ам плитуд и фаз гармоник В этом подразделе будет представлен алгоритм идентификации об щего смещения, амплитуд и фаз всех гармоник мультигармониче ().

ского сигнала на основе оценки частот Сигнал (2.68) явля ется суммой постоянного смещения и синусоидальных функций () = sin( + ).

Так как фильтр (2.75) линейный, то реакция на гармоническое воздействие будет также гармонической функцией с той же часто той. Аналогично для постоянного воздействия. Так как полином 52 Глава 2. Наблюдение мультигармонических сигналов ( + )2 гурвицев, то для входного сигнала (2.68) выходная пере менная фильтра (2.8) имеет вид () = + sin( + ) + (), (2.91) = -ой где — смещение, — амплитуда гармоники, — фазо -ой () вый сдвиг гармоники и — экспоненциально затухающая функция с экспоненциально затухающими производными.

Воспользуемся следующими соотношениями [9]:

() = 0 () + () + (), (2.92) = [ ] 0 () = =, (2.93) ( + ) [ ] ( ) () = () = +, (2.94) ( + )2 = / =1— где — оператор дифференцирования, (+) = положительный передаточный коэффициент для постоянного вход 2 = (+)2 = arg ного сигнала, и — поло (+)2 = = жительный передаточный коэффициент и фазовый сдвиг для си, действующего на нусоидального входного сигнала с частотой = () — экспоненци фильтр (2.75), — комплексное число, ально затухающая функция.

() Пренебрегая экспоненциально затухающей составляющей 2 и дифференцируя (2.91) раз, получим две системы из линей ных уравнений:

(1) () = 1 () + 2 () +· · · + (), (3) () = 1 1 () + 2 2 () +· · · + (), (2.95).

.

.

1 1 (21) () = 1 1 () + 2 2 () +· · · + () 2.2. Мультигармонический сигнал (2) () = 1 1 () + 2 2 () +· · · + (), (4) () = 1 1 () + 2 2 () +· · · + 2 (), 2 (2.96).

.

.

(2) () = 1 1 () + 2 2 () +· · · + () или два матричных уравнения (1) () ··· 1 () 1 1 (3) () ··· 1 2 2 () =., (2.97)..

..

..

...

..

.

...

.. 1 1 1 () (21) ··· 1 2 () (2) () 2 · · · 1 1 () 2 2 (4) () 1 2 · · · 2 () =., (2.98)...

...

....

..

....

. (2) () 2 · · · () 1 откуда имеем 1 (2) 2 · · · () 1 1 () 2 2 (4) () 2 · · · 2 () 1 =., (2.99)..

..

..

...

..

.

...

.. (2) () 2 · · · () 1 1 (1) ··· 1 () 1 1 1 () (3) () ··· 1 2 () =.. (2.100)...

...

....

..

....

. 1 1 (21) () ··· 1 2 () З а м е ч а н и е 2.6 Обратные матрицы в (2.99) и (2.100) суще ствуют, так как в силу постановки задачи измеряемый сигнал () имеет гармоник различной частоты.

() () Реализуемый алгоритм оценки переменных и примет 54 Глава 2. Наблюдение мультигармонических сигналов вид:

1 (2) () 2 · · · 1 () 1 2 (4) () 2 2 · · · 2 () =.. (2.101).

...

..

.

....

..

.... (2) () 2 · · · () 1 (1) 1 () ··· 1 1 () (3) () 2 ··· () 1 2 =., (2.102)...

..

.

....

..

....

.

1 1 · · · (21) () 1 2 () По аналогии с результатом, полученным в предыдущем разделе, представим алгоритм оценки общего смещения, амплитуд и началь ().

ных фаз всех гармоник мультигармонического сигнала Наблюдатель общего смещения получим на основе (2.92):

= () 0 () (). (2.103) = 0 () Заметим, что в силу (2.93) переменная является оценкой сме.

щения Так как выполнены соотношения (2.79), (2.90), то из (2.99)– (2.103) имеем lim 0 () 0 () = 0, (2.104) lim () () = 0, (2.105) lim () () = 0. (2.106) Располагая оценками компонент выходной переменной фильтра () (), (2.75) и их производными нетрудно оценить искомые па ().

раметры сигнала (2.68): амплитуды и фазы сигнала 2.2. Мультигармонический сигнал Алгоритм идентификации амплитуд и фаз имеет вид () ( ), () = () + () mod 2, () = (2.107) () ) ( () () = () +, (2.108) () ( ( ) ) () ( ) () = sign () arccos () mod 2, (2.109) () () 2 () =, () = arg, (2.110) ( + ())2 ( + ()) () вводятся также, как и в предыдущем разделе:

где переменные { () для () 0, () = (2.111) 0 иначе, 0.

где — известная нижняя граница частот Такой алгоритм обеспечивает ограниченность и сходимость к = и =. Переменные нулю ошибок оценивания и являются оценками и в (2.91) соответственно, а являются оценками и соответственно.

и Анализ ограниченности и сходимости к нулю ошибок оценива ния сводится к рассмотрению разности оценок и истинных зна чений. Доказательство эффективности работы алгоритма (2.107)– (2.111) аналогично доказательству утверждения 2.1.

56 Глава 2. Наблюдение мультигармонических сигналов 2.2.4 Числовой пример Продемонстрируем на числовом примере работу адаптивного алго ритма идентификации всех параметров мультигармонического сиг нала (2.72), (2.77), (2.87)–(2.89), (2.101)–(2.103), (2.107)–(2.110).

На рис. 2.8а, 2.5 представлены графики переходных процессов (), для мультигармонического сигнала чтобы показать, что оцен ки сходятся к истинным значениям.

На рис. 2.6 представлены графики переходных процессов для, другого значения параметра чтобы показать, что, увеличивая значения этого параметра, можно ускорять процесс идентификации, и, как следствие, оценка остальных параметров проходит частот быстрее.

На рис. 2.8б, 2.7 представлены графики переходных процессов для сигнала переменной формы для того, чтобы проиллюстриро вать адаптивность алгоритма по отношению к изменению парамет ров сигнала.

На рис. 2.9 представлены графики переходных процессов для () с аддитивным экспоненциально коррелированным шу сигнала мом, чтобы продемонстрировать робастные свойства алгоритма идентификации по отношению к нерегулярной составляющей сиг нала.

Рис. 2.5–2.9 демонстрируют эффективность, адаптивные и ро бастные свойства разработанного метода идентификации парамет ров мультигармонического сигнала.

2 Экспоненциально коррелированный шум моделировался с помощью фор мирующего фильтра () = +1, на вход которого подавался частотно огра ниченный белый шум мощностью = 0, 1.

2.2. Мультигармонический сигнал 5 µ µ 4 3, 2 1, 1 t, c t, c 0 0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 (а) Временная диаграмма оценки ча- (б) Временная диаграмма оценки ам стот () плитуд () ^ ^ 8 6 4 t, c t, c 0 10 20 30 40 0 10 20 30 40 (в) Временная диаграмма оценки сме- (г) Временная диаграмма оценки на щения () чальных фаз () ^ ^ 1 1, 0, 0, 0, 0, 1, t, c t, c 2 0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 (д) Временная диаграмма оценки гар- (е) Временная диаграмма оценки про ^ ^ моник () изводных гармоник () Рис. 2.5. Временные диаграммы оценки параметров сигнала () = 6 + 3 sin(1, 4 + 2) + 6 sin(3, 1 + 4) и наблюдения за гармониками и их производными сигнала () при коэффициентах идентификатора = 1, 1 = 20, 1 = 58 Глава 2. Наблюдение мультигармонических сигналов 6 µ 8 µ t, c t, c 0 0 5 10 0 5 10 (а) Временная диаграмма оценки ча- (б) Временная диаграмма оценки ам стот () плитуд () ^ ^ t, c t, c 5 0 5 10 15 0 5 10 (в) Временная диаграмма оценки сме- (г) Временная диаграмма оценки на ^ щения () ^ чальных фаз () 1 2 t, c t, c 0 5 10 0 5 10 (д) Временная диаграмма оценки гар- (е) Временная диаграмма оценки про ^ ^ моник () изводных гармоник () Рис. 2.6. Временные диаграммы оценки параметров сигнала () = 6 + 3 sin(1, 4 + 2) + 6 sin(3, 1 + 4) и наблюдения за гармониками и их производными сигнала () при коэффициентах идентификатора = 2, 1 = 20, 1 = 2.2. Мультигармонический сигнал 5 µ 4 µ 3 2. 2.1 1 t, c t, c 0 0 20 40 60 80 100 0 20 40 60 80 (а) Временная диаграмма оценки ча- (б) Временная диаграмма оценки ам стот () плитуд () ^ ^ t, c t, c 10 0 20 40 60 80 100 0 20 40 60 80 (в) Временная диаграмма оценки сме- (г) Временная диаграмма оценки на ^ щения () ^ чальных фаз () 10 1 2 5 0 5 t, c t, c 10 0 20 40 60 80 100 0 20 40 60 80 (д) Временная диаграмма оценки (е) Временная диаграмма оценки ^ ^ гармоник () производных гармоник () () = Рис. 2.7. Временные диаграммы оценки параметров сигнала 6 + 3 sin(2, 1 + 3) + 4 sin( + 2) для 0 50 и = 5 + 4 sin(2 + 5) + 2 sin(2, 7 + 1) для 50 и наблюдения за гармониками и их производными сигнала () при коэффициентах идентификатора = 2, 1 = 20, 1 = 60 Глава 2. Наблюдение мультигармонических сигналов y y t, c t, c 5 0 20 40 60 80 0 10 20 30 40 (а) (б) Рис. 2.8. Временные диаграммы мультигармонических сигналов () = 6 + 3 sin(1, 4 + 2) + 6 sin(3, 1 + 4) (2.8а);

() = 6 + 3 sin(2, 1 + 3) + 4 sin( + 2) для 0 50 и = 5 + 4 sin(2 + 5) + 2 sin(2, 7 + 1) для 50 (2.8б) 3, 0, 0,6 0, 2, 0, 1, 0, 0, 0, 0, t, c t, c 0,8 0 50 100 0 50 100 (а) Временная диаграмма аддитивно- (б) Временная диаграмма оценки ча го шума в сигнале () стот () ^ Рис. 2.9. Временные диаграммы аддитивного шума и оценок всех () = 4+3 sin(+3)+4 sin(2+2) при коэффициентах частот сигнала = 0, 7, 1 = 20, 1 = идентификатора 2.3 Заключительные выводы по главе 2.3 Заключительные выводы по главе 1. В главе описан алгоритм идентификации частоты смещенного синусоидального сигнала, доступного для измерения.

2. Рассмотрен алгоритм адаптивной идентификации смещения, амплитуды и начальной фазы смещенного синусоидального сигнала на основе оценки частоты.

3. Алгоритмы оценивания обобщены на случай мультигармони ческого сигнала: представлен алгоритм идентификации всех частот мультигармонического сигнала. Получен алгоритм идентификации всех параметров мультигармонического сиг нала на основе оценок частот, включая общее смещение, ам плитуды и фазы всех гармоник.

4. Приведено доказательство теоремы о том, что ошибка оцени вания частоты смещенного синусоидального сигнала экспо ненциально стремится к нулю. Показано, что можно управ лять скоростью сходимости оценки частоты к истинному зна чению, изменяя параметры алгоритма идентификации.

5. Отмечены робастные свойства алгоритма идентификации по отношению к аддитивной нерегулярной составляющей изме ряемого сигнала.

Глава Компенсация мультигармонических возмущений для устойчивых объектов с запаздыванием в управлении Данная глава посвящена методам синтеза адаптивных и ро бастных алгоритмов управления в условиях запаздывания и воз мущающих воздействий. Рассматриваются линейные и нелинейные объекты с постоянным запаздыванием в канале управления. Воз мущающее воздействие представлено в виде мультигармонической функции времени с неизвестными постоянными параметрами. От сутствие запаздывания является частным случаем решенной зада чи.

Достаточно большое число работ посвящено управлению в усло виях действия неизвестного возмущающего воздействия по измере ниям только выходной переменной (см., например, [2,3,6–9,20,42,52, 74–77,85–87]). В то же время пользуются популярностью задачи на блюдения и устранения возмущающего воздействия, приложенного к выходу объекта [3, 4]. Однако, несмотря на большое разнообразие методов решения и моделей объектов, задача компенсации мульти гармонических возмущающих воздействий с ненулевым смещением для случая, когда канал управления характеризуется запаздывани ем, не рассматривалась.

Наибольший интерес представляют задачи, где частота возму щения не известна. Однако в большинстве работ, посвященных син тезу алгоритмов идентификации частоты в непрерывном времени, 3.1. Компенсация возмущения для линейного объекта не обсуждается или отсутствует теоретическое обоснование увели чения быстродействия параметрической сходимости, что, в свою очередь, также можно отнести к нерешенным задачам идентифи кации частот периодических сигналов. Предлагаемый в данной ста тье алгоритм идентификации имеет динамический порядок, рав ный трем, что, в свою очередь, улучшает наиболее известные ре зультаты, опубликованные в [52, 59, 74–77, 96].



Pages:   || 2 | 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.