авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 |

«Бобцов Алексей Алексеевич Пыркин Антон Александрович АДАПТИВНОЕ И РОБАСТНОЕ УПРАВЛЕНИЕ C КОМПЕНСАЦИЕЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ ...»

-- [ Страница 2 ] --

В [76, 77, 85–87] рассматриваются минимально-фазовые модели объектов управления, а в [6–8] — строго минимально-фазовые с от носительной степенью единица. В [8] решена задача компенсации неизвестного синусоидального возмущения в случае, когда канал управления характеризуется запаздыванием. В [9] решена задача компенсации неизвестного синусоидального возмущения для линей ного объекта управления любой относительной степени. В [6, 7] ре шена задача компенсации неизвестного возмущения для парамет рически не определенного объекта управления.

В [8, 9] опубликованы результаты по компенсации синусоидаль () = sin( + ) ного возмущения соответственно для строго минимально-фазового объекта с запаздыванием и объекта без за паздывания, модель которого имеет произвольную относительную степень. В [8] и [9] для построения регулятора был необходим ис кусственно реализованный блок запаздывания. В [8] размерность 2 + 3, регулятора составляла где — динамическая размерность объекта.

В отличие от этих работ в данной главе для объектов с запаз дыванием и произвольной относительной степенью математической модели (в том числе и неминимально-фазовых объектов) предлага ется метод компенсации возмущения, представленного в виде век () = + sin( ) + торного возмущающего воздействия = cos( ),, -мерные где и — неизвестные постоянные вектор-столбцы. В пособии рассматривается принципиально отли чающийся метод синтеза закона управления, размерность которого + 3 2 + равна в линейном случае и в нелинейном. Для фор мирования сигнала управления более не требуется искусственный блок запаздывания, что является более выгодным с точки зрения простоты реализации регулятора.

В развитие результатов [2, 3, 6–9, 20, 42, 52, 59, 74–77, 85–87, 96] в данной главе предлагается новый алгоритм компенсации пара 64 Глава 3. Устойчивые объекты с запаздыванием метрически не определенного мультигармонического возмущения, действующего на линейный и нелинейный объект управления, от носительная степень модели которого может быть любой, а канал управления характеризуется запаздыванием. Отсутствие запазды вания является частным случаем решенной задачи.

3.1 Алгоритм компенсации мультигармо нического возмущения, действующе го на устойчивый линейный объект управления с запаздыванием В данном разделе рассмотрена задача компенсации параметриче ски не определенного мультигармонического возмущения, действу ющего на линейный объект управления с запаздыванием.

Задача синтеза управления решается в два этапа. Сначала (в разделе 3.1.2) строится адаптивный идентификатор частоты воз мущающего воздействия. Далее (в разделе 3.1.3) с использовани ем оценки частоты синтезируется реализуемый закон управления, компенсирующий эффект возмущения на выходе объекта.

3.1.1 Постановка задачи Рассмотрим линейный объект управления с запаздыванием, под верженный внешнему возмущающему воздействию = () + ( ) + (), () (3.1) () = (), (3.2) R R — выходная ре где — вектор переменных состояния, R — управ гулируемая переменная, доступная для измерения, ляющее воздействие, — известное постоянное запаздывание, — матрица состояния, и — -мерные вектор-столбцы, R — векторное возмущающее воздействие вида () = + sin( ) + cos( ), (3.3) = 3.1. Компенсация возмущения для линейного объекта, и — неизвестные постоянные -мерные где вектор — неизвестная частота -ой гармоники. Здесь столбцы, и далее символ означает номер гармоники = 1,.

Тройка матриц,, полностью управ Д о п у щ е н и е 3. ляема и наблюдаема.

Матрица гурвицева.

Д о п у щ е н и е 3. Д о п у щ е н и е 3.3 Частоты возмущающего воздействия не меньше некоторого известного числа 0, т.е. 0.

() Требуется синтезировать закон управления по выходу, обеспечивающий ограниченность всех траекторий системы и схо димость выходной переменной к нулю:

lim () = 0. (3.4) 3.1.2 Алгоритм адаптивной идентификации ча стот Данный раздел посвящен алгоритму идентификации частот возму щающего воздействия. Знания частот возмущения необходимо для построения закона управления. Как и в [25, 89, 90] рассмотрим изоб ражение по Лапласу выходной переменной замкнутой системы (3.1) и (3.2):

() = ( )1 () + ( )1 [() + 0 ], (3.5) 0 означает начальные условия вектора состояния (). Введем где обозначение = ( )1 [() + 0 ], () (3.6) () где легко найти из (3.3):

1 () = + 2 + 2 + 2.

=1 2 + 66 Глава 3. Устойчивые объекты с запаздыванием После обратного преобразования Лапласа в уравнении (3.5), учи ():

тывая (3.6), получим выражение для выходной переменной [ ] () ( ) + (), () = (3.7) () = / — оператор диффернцирования, полиномы () = + где 1 1 + · · · + 1 + 0 и () = + · · · + 1 + 0, соответствуют преобразованию () = ( )1.

() Полином () не имеет корней с нулевой Д о п у щ е н и е 3. вещественной частью.

гурвицева, то нетрудно видеть, что функция Так как матрица () имеет вид () = + sin( + ) + (), (3.8) = () где — смещение, — амплитуда, — фазовый сдвиг, — экспоненциально затухающая функция.

Цель управления (3.4) заключается в том, чтобы реакция выхо () да объекта на возмущающее воздействие в (3.7) была скомпен сирована регулятором.

З а м е ч а н и е 3.1 Так как функция () — результат переход ного процесса в устойчивой линейной системе с гурвицевой мат рицей состояния, то эта функция может быть представлена в виде суммы затухающих экспонент, умноженных на константы, полиномиальные или синусоидальные функции времени. Следова тельно, производные этой функции также экспоненциально за тухают.

Рассмотрим наблюдатель () + ( ), () = (3.9) () = (). (3.10) 3.1. Компенсация возмущения для линейного объекта Вычитая (3.9), (3.10) из (3.1), (3.2), получим модель ошибки = () (), () () = () + (), (3.11) = () () = ().

() (3.12) ():

Из (3.11), (3.12) получим изображение по Лапласу для [ ] = ( )1 () + 0, () 0 ().

где означает начальные условия С учетом (3.6) и (3.8) получим () = + sin( + ) + (), (3.13) = () — экспоненциально затухающая функция с экспоненциаль где но затухающими производными.

Как и в главе 2 для построения адаптивного идентификато () ра частот мультигармонического сигнала будем использовать дифференциальное уравнение вида (2 1 )(2 2 )· · · (2 ) () = 0, (3.14) = = / где — оператор дифференцирования, — постоян ные параметры. Мы пренебрегли наличием экспоненциальной зату (), хающей функцией которая не влияет на устойчивость работы алгоритма идентификации частот, что показано в главе 2. Перепи шем уравнение (3.14):

2+1 () = 1 21 () +· · · + 1 3 () + (), (3.15) где параметры, полученные после раскрытия скобок в (3.14) опре деляются системой:

1 = 1 + 2 +· · · +, 2 = 1 2 1 3 · · · 1, (3.16).

.

.

= (1)+1 1 2 · · ·.

68 Глава 3. Устойчивые объекты с запаздыванием Как и в главе 2 рассмотрим линейный фильтр вида [ ] () = (). (3.17) ( + ) Перепишем (3.17) в форме вход-состояние-выход:

1 () = 2 (), 2 () = 3 (),.

.

.

2 () = 2 () 1 1 · · · 2 2, () = 1 (), (3.18).

.

.

() = (), +.

.

.

(2) = 2 () 1 1 · · · 2 2, 1, 2,..., где числа соответствуют коэффициентам полинома ( + )2 = 2 + 2 21 + · · · + 2 + 1. (3.19) Далее представлен адаптивный алгоритм идентификации па,.

раметров вектора содержащего значения частот Алгоритм адаптации вида () + () (2) (), () = (3.20) (2) = () ()() () () (), (3.21) [ ] () = (). (3.22) ( + ) ] ()... (3) () (1) () — регрессор, = [ (21) ] где () = [ 1... 1 — вектор неизвестных параметров, = diag{ 0}, обеспечивает сходимость к нулю ошибки оценивания () = ():

lim () = 0. (3.23) 3.1. Компенсация возмущения для линейного объекта Доказательство эффективности алгоритма (3.20)–(3.22) и вы полнение цели (3.23) представлено в главе 2.

В соответствие с замечанием 2.4, в дальнейшем будем считать, что на основе вектора оценок измерению доступны оценки пара.

метров Частоты мультигармонического возмущения найдем из (3.14) () = ().

(3.24) В силу выполнения целевого условия (3.23) и результата, полу ченного в предыдущей главе (2.35) и (2.36), имеем соотношение для частот lim | ()| = 0.

(3.25) 3.1.3 Синтез закона управления В этом разделе представлен закон управления, обеспечивающий полную компенсацию влияния возмущения на выходную перемен ную объекта. На основе соотношений (3.7) и (3.8) построим закон (), (), управления компенсирующий эффект возмущения пред, ставленный в виде суммы смещения гармонических функций sin( + ) и экспоненциально затухающей функции (). Так () стремится к нулю независимо от управляюще как функция го воздействия, то закон управления () целесообразно строить в виде суммы постоянной и гармонических функций, обеспечивая компенсацию эффекта возмущения на выходе объекта.

Введем в рассмотрение функции 0 () =, () = sin( + ).

Так как фильтр (3.17) линейный, то реакция на гармоническое воздействие будет также гармонической функцией с той же часто той. Аналогично для постоянного воздействия. Так как полином ( + )2 гурвицев, то для входного сигнала (3.13) выходная пере менная фильтра (3.17) имеет вид () = + sin( + ) + (), (3.26) = 70 Глава 3. Устойчивые объекты с запаздыванием -ой где — смещение, — амплитуда гармоники, — фазо -ой () вый сдвиг гармоники и — экспоненциально затухающая функция с экспоненциально затухающими производными.

Следуя результатам [9, 22, 25, 89, 90], имеем 2 [ 2 ] [ ] () = + () ( + )2 ( + ) = = 0 () + () + (), (3.27) = 0 () =, (3.28) ( ) () = +, (3.29) = / — оператор дифференцирования, (+) = 1 — поло = жительный передаточный коэффициент для постоянного входного 2 = (+)2 = arg сигнала, и — положи (+)2 = = тельный передаточный коэффициент и фазовый сдвиг для синусои, действующего на фильтр дального входного сигнала с частотой = () — экспоненциально за (3.17), — комплексное число, тухающая функция.

= ( ) ( ( ) 0 = = arg Рассмотрим функции 0, и ( ).

) В следующей лемме рассматривается “идеальный” закон управ ления [25,89,90], предполагающий знание всех параметров функции возмущения и обеспечивающий решение поставленной задачи.

Закон управления вида Л е м м а 3. ( ) 1 1 + () = 0 ( + ) + (3.30) 0 = обеспечивает экспоненциальную сходимость к нулю выходной пе ременной () и выполнение цели (3.4).

Доказательство л е м м ы 3.1. Подставляя (3.30) в (3.7) и 3.1. Компенсация возмущения для линейного объекта учитывая (3.28), (3.29), имеем ] ( )) [ ( () 1 1 + () = () 0 = + + () + () = ( ) 0 + = + + 0 = +1 () + + () + () = = () + + () + 2 () =1 = = 2 (), (3.31) 1 () 2 () где и — экспоненциально затухающие функции.

Лемма 3.1 доказана.

Однако закон управления (3.30) физически не реализуем, так как содержит неизвестные и недоступные для измерения функции и упредительные оценки функций времени. В случае постоянного сигнала предсказывание не представляет проблему, так как такая функция не зависит от времени, что нельзя сказать о гармониче ской функции. В следующей лемме показана схема получения упре дительной оценки гармонического сигнала.

Л е м м а 3.2 Рассмотрим гармоническую функцию () с ча стотой. Допустим, что функция () и ее производная () до ступны для измерения. Тогда упредительная оценка для () мо жет быть получена следующим образом:

( + ) = () + (), (3.32) где sin () = cos (), = (3.33) и — время упреждения.

72 Глава 3. Устойчивые объекты с запаздыванием () Д о к а з а т е л ь с т в о л е м м ы 3.2. Так как имеет синусои дальную форму, то () = sin ( + ), () = cos ( + ), (3.34) где — амплитуда и — фазовый сдвиг. На основе уравнений (3.33) и (3.34) нетрудно получить (3.32) () + () = cos () sin ( + ) sin () + cos ( + ) = sin ( + + ) = sin (( + ) + ) = ( + ).

Лемма 3.2 доказана.

0 (), () и ().

Далее представлены наблюдатели переменных Как и в главе 2 мы пренебрегаем экспоненциально затухающей со () и дифференцируем (2.91) 2 раз. Затем получаем ставляющей линейных уравнений (2.95) и (2.96) или два мат две системы из ричных уравнения (2.97) и (2.98), откуда имеем 1 (2) 2 · · · () 1 1 () 2 2 (4) () 2 · · · 2 () 1 =., (3.35)..

..

..

...

..

.

...

.. (2) () 2 · · · () 1 1 (1) ··· 1 () 1 1 1 () (3) () ··· 1 2 () =.. (3.36)...

...

....

..

....

. 1 1 (21) () ··· 1 2 () З а м е ч а н и е 3.2 Обратные матрицы в (3.35) и (3.36) суще ствуют, так как в силу постановки задачи возмущающее воздей ствие () имеет гармоник различной частоты.

3.1. Компенсация возмущения для линейного объекта () () Реализуемый алгоритм оценки переменных и примет вид:

1 (2) () 2 · · · 1 () 1 2 · · · (4) () 2 () 2 =.. (3.37).

...

..

.

....

..

.... (2) () 2 · · · () 1 (1) 1 () ··· 1 1 () (3) () 2 ··· () 1 2 =.. (3.38)...

..

.

....

..

....

.

1 1 · · · (21) () 1 2 () Наблюдатель общего смещения получим на основе (3.27):

= () 0 () (). (3.39) = Так как выполнены соотношения (3.23), (3.25), то из (3.35)– (3.39) имеем lim 0 () 0 () = 0, (3.40) lim () () = 0, (3.41) lim () () = 0. (3.42) В следующей теореме представлен реализуемый алгоритм ком пенсации параметрически не определенного возмущающего воз действия для линейного объекта управления с запаздыванием [25, 89, 90].

Закон управления вида Т е о р е м а 3. 1 1 1 () = 0 () () () + () () (3.43) () () 0 = 74 Глава 3. Устойчивые объекты с запаздыванием обеспечивает выполнение цели где (3.4), cos ( () ()), () = (3.44) sin ( () ()) () =, (3.45) () ( ()) () = ( ())( () + )2, (3.46) ( ()) () = arg, (3.47) ( ())( () + ) оценка частоты () определяется адаптивным алгоритмом идентификации (3.20)–(3.17), (3.24), функции 0 (), (), () определены в (3.37)–(3.39), а переменные () вводятся также, как и в главе 2:

{ () для () 0, () = (3.48) иначе, где 0 — известная нижняя граница частот.

Доказательство т е о р е м ы 3.1. Введем обозначение для “идеального” управления ( ) () = 1 0 ( + ) 1 + +, (3.49) 0 = а также рассмотрим ошибку в управлении = () ().

() (3.50) () — это коэффициент преобразования амплитуды Функция устойчивой линейной динамической системы, зависящий от оценки (), частоты и эта функция строго положительна в силу допуще () ния 3.4. В главе 2 показано, что диапазон изменения функций ограничен 0 (), (3.51).

() где — наибольшее значение функции при 3.1. Компенсация возмущения для линейного объекта () также огра Следовательно, диапазон изменения функции ничен 2, 1 () 0, 1 = min (), () 2 = max (), () где и — положитель ные числа.

() () Функция зависит от ограниченных функций (3.49) и () () (3.43). Таким образом, функция ограничена. Далее пока жем, что эта функция стремится к нулю.

Рассмотрим предел ( ) lim () = lim () () ( 1 1 1 = lim 0 () () () + () () () () = )) ( 1 1 + + 0 ( + ) + +. (3.52) 0 = Рассмотрим каждый член в (3.52) отдельно. Так как функция lim 0 () = — константа, то с учетом (3.40) имеем ( ) 0 () 0 ( + ) = 0.

lim (3.53) lim () =, откуда В силу (3.25) получим ( ()) () = lim lim ( ())( () + ) ( ) = (3.54) ( + ) ( ) =, ( ()) lim () = lim arg ( ())( () + ) ( ) = arg + arg ( + ) ( ) = +, (3.55) 76 Глава 3. Устойчивые объекты с запаздыванием lim cos ( () ()) lim () = cos ( ), = (3.56) sin ( () ()) lim () = lim () sin ( ) =. (3.57) Подставляя (3.41), (3.42), (3.53)-(3.57) в (3.52) получим ( 1 (cos ( ) () lim () = lim 0 ( + ) 0 = sin ( ) ) + () )) ( 1 1 + + 0 ( + )+ +. (3.58) 0 = () В силу (3.41) для переменная является гармониче ской. Используя результат леммы 3.2, получим sin ( ) cos ( ) () + () ( ) + = +. (3.59) Подставляя (3.59) в (3.58), имеем lim () = 0.

() Таким образом, функция ограничена и стремится к нулю.

Управляющее воздействие, обеспечивающее компенсацию воз мущения, имеет вид ( ) 1 1 + () = 0 ( + ) + + (). (3.60) 0 = 3.1. Компенсация возмущения для линейного объекта Подставляя (3.60) в (3.7) с учетом леммы 3.1, получим ] ( ) [ ( ) () () 1 0 ( + ) 1 + () = + () 0 = + 0 () + () + () = = () + 2 (), [ ] () () = () где функция ограничена и стремится к нулю, () 2 () — экспоненциально затухающая функция.

Теорема 3.1 доказана.

Таким образом, получен реализуемый закон управления (3.43)– lim () = 0.

(3.47), обеспечивающий основную цель (3.4) З а м е ч а н и е 3.3 Следует отметить, что в случае неточного задания параметров объекта рассматриваемый алгоритм управ ления может оказаться неудовлетворительным. Разработка ро бастных алгоритмов, обеспечивающих достижение сформулиро ванной цели управления в случае неточно заданных параметров, является предметом дальнейших исследований.

3.1.4 Числовой пример Для демонстрации эффективности предлагаемого алгоритма управления представим результаты математического моделирова ния неминемально-фазового объекта (3.1)-(3.3) с относительной = степенью и параметрами 10 1 0 0 0 1 35 0 1 0 0 0 =, =, =, 0 =, 50 0 0 1 0 24 0 0 0 13 0 5 2 10 4 =, 1 =, 1 =. (3.61) 10 2 4 1 78 Глава 3. Устойчивые объекты с запаздыванием На рис. 3.1 представлены переходные процессы в замкнутой си = 1, 5, параметров стеме для частоты возмущающего воздействия = 10, = 2 и запаздывания = 6. На рис. 3.2а, закона управления 3.2б представлены переходные процессы в замкнутой системе для = 5, = запаздывания частоты возмущающего воздействия и различных значениях параметров алгоритма управления. На рис.

3.2в, 3.2г представлены переходные процессы в замкнутой системе, для различных значений запаздывания включая его отсутствие = 0, = частоты возмущающего воздействия и параметров = 10, = 3.

алгоритма управления На рис. 3.2в, 3.2г представле ны переходные процессы в замкнутой системе для возмущающего воздействия с нерегулярной составляющей.

Для иллюстрации эффективности разработанного алгоритма компенсации возмущений рассмотрим случай с двумя гармони = [1 2 3 1] ками. Выберем параметры возмущения (3.3) и = [2 4 1 5].

На рис. 3.3 представлены результаты моделирования замкнутой 1 = 2 и 2 = 3, запаздывания = 4, пара системы для частот 1 = 20, 2 = 20, = 2. На рис. 3. метров закона управления представлен результат моделирования мультигармонического воз мущения, частоты которого изменились скачкообразно с течением времени.

Из рис. 3.1-3.4 видно, что цель управления (3.4) достигается при различных значениях запаздывания, даже при его значитель ном увеличении. Отсутствие временной задержки является част = 0. С увеличением ным случаем рассматриваемой задачи, где идентификация ча значений параметров закона управления и стоты и, как следствие, компенсация возмущения происходит быст рее. Показаны адаптивные и робастные свойства алгоритма ком пенсации возмущения.

1 Нерегулярная составляющая моделировалась с помощью формирующего фильтра () = 10+1, на вход которого подавалось белошумное воздействие (с ограниченной частотой) мощностью = 0, 1. Матрица входов для этого воздействия была принята равной вектору.

3.1. Компенсация возмущения для линейного объекта a b 2, 0, 1,5 0, 0, t, c t, c 0 0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 (а) Временная диаграмма оценки ча- (б) Выходная переменная () без стоты () управления (a) и с управлением (b) ^ 0, L 0,8 L 1, 0, 2, 0, 3, 0, t, c t, c 0 4, 0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 (в) Временная диаграмма оценки (г) Временная диаграмма оценки ^ ^ функций () и () ^ ^ функций () и () 0 kp kd 0, 0, t, c t, c 1 0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 (д) Временная диаграмма оценки (е) Временная диаграмма оценки ^ функций () и () функции 0 () = Рис. 3.1. Временные диаграммы оценки частоты возмущения 1, 5, выходной переменной, параметров закона управления при за =6 = 2, = паздывании и коэффициентах идентификатора 80 Глава 3. Устойчивые объекты с запаздыванием k = 1, = 4 k = 10, = 3 2 U= 2 k = 1, = k = 10, = t, c t, c 0 5 10 15 20 25 0 10 20 30 40 (а) Временная диаграмма оценки ча- (б) Выходная переменная () при стоты возмущения = 3 запаздывании = 0, 0, h= h= 1, h = t, c t, c 0 0 10 20 30 40 0 10 20 30 (в) Оценки частоты () при различ- (г) Выходная переменная () при ^ ном запаздывании различном запаздывании a b 2 0, 1,5 0, 0, t, c t, c 1, 0 20 40 60 80 0 20 40 60 80 (д) Временная диаграмма оценки ча- (е) Выходная переменная () без стоты возмущения () с аддитивной управления (a) и с управлением (b) ^ нерегулярной составляющей при запаздывании = 4 и коэффици ентах идентификатора = 1 и = Рис. 3.2. Временные диаграммы оценки частоты и выходной пере () менной 3.1. Компенсация возмущения для линейного объекта 4 1, a 3, 1 b 0, 2, 1, 0, 0, t, c t, c 1, 0 0 50 100 150 0 50 100 150 (а) Временная диаграмма оценки ча- (б) Выходная переменная () без стот () управления (a) и с управлением (b) ^ 1, L 1 L L 0,8 L 0,6 0,4 0,2 t, c t, c 0 0 50 100 150 200 0 50 100 150 (в) Временная диаграмма оценки (г) Временная диаграмма оценки ^ ^ функций () и () ^ ^ функций () и () 0,5 20 kp kp 0, 30 kd kd2 t, c t, c 1 0 50 100 150 200 0 50 100 150 (д) Временная диаграмма оценки (е) Временная диаграмма оценки ^ функций () и () функции 0 () 1 = 1, Рис. 3.3. Временные диаграммы оценки частот возмущения 2 = 2, выходной переменной () и параметров закона управления при запаздывании = 6 и коэффициентах идентификатора = 2, = 82 Глава 3. Устойчивые объекты с запаздыванием 7 a 1, 6 b 0, 0, 1 1, t, c t, c 0 50 100 150 200 250 0 50 100 150 200 250 (а) Временная диаграмма оценки ча- (б) Временная диаграмма выходной стот () переменной () без управления (a) и ^ с управлением (b) 1 = Рис. 3.4. Временные диаграммы оценки частот возмущения 0 150 и 1 = 2, 2 = 4 при 150 и вы 1, 2, 2 = 3 при ходной переменной () при запаздывании = 4 и коэффициентах идентификатора = 3, 1 = 20, 2 = 3.2 Алгоритм компенсации мультигармо нического возмущения, действующе го на устойчивый нелинейный объект управления с запаздыванием В данном разделе рассмотрена задача компенсации параметриче ски не определенного мультигармонического возмущения, действу ющего на нелинейный объект управления с запаздыванием.

Задача синтеза управления решается в два этапа. Сначала (в разделе 3.2.3) строится адаптивный идентификатор частоты воз мущающего воздействия. Далее (в разделе 3.2.4) с использовани ем оценки частоты синтезируется реализуемый закон управления, компенсирующий эффект возмущения на выходе объекта.

3.2. Управление нелинейным объектом 3.2.1 Постановка задачи Рассмотрим нелинейный объект управления с запаздыванием, под верженный внешнему возмущающему воздействию [10, 91, 93]:

= () + ( ) + ( ()) + (), () (3.62) () = (), (3.63) R R — выходная ре где — вектор переменных состояния, R — управ гулируемая переменная, доступная для измерения, ляющее воздействие, — известное постоянное запаздывание, ( ) — известная гладкая нелинейная функция, — матрица состо и — -мерные вектор-столбцы, R — векторное яния,, возмущающее воздействие вида () = + sin( ) + cos( ), (3.64) =, и — неизвестные постоянные -мерные где вектор — неизвестная частота -ой гармоники. Здесь столбцы, и далее символ означает номер гармоники = 1,.

Тройка матриц,, полностью управ Д о п у щ е н и е 3. ляема и наблюдаема.

Матрица гурвицева.

Д о п у щ е н и е 3. Д о п у щ е н и е 3.7 Частоты возмущающего воздействия не меньше некоторого известного числа 0, т.е. 0.

Д о п у щ е н и е 3.8 Функция ( ) такая, что положение равновесия = 0 для автономной системы () = () + ( ()), = () () является экспоненцииально устойчивым.

84 Глава 3. Устойчивые объекты с запаздыванием З а м е ч а н и е 3.4 Введение допущения 3.8 необходимо для обес печения ограниченности переменных состояния () при ненуле вых, но ограниченных входных сигналах () и (). В связи с этим будем рассматривать функцию ( ()) в (3.62) как неко торый входной сигнал (), не влияющий на свойство устойчи вости системы. Отметим тот факт, что в силу постановки задачи сигнал f(t) доступен для системы управления: его значе ние в момент времени может быть рассчитано как известная нелинейная функция от измеряемой функции : () = ( ()).

() Требуется синтезировать закон управления по выходу, обеспечивающий ограниченность всех траекторий системы и схо димость выходной переменной к нулю:

lim () = 0. (3.65) 3.2.2 Преобразование нелинейной системы () В данном разделе получено решение для выходной переменной системы (3.62), (3.63) и выполнен анализ устойчивости нелинейной системы.

Рассмотрим изображение по Лапласу выходной переменной за мкнутой системы (3.62) и (3.63) с учетом замечания 3.4 [10, 91, 93]:

= ( )1 () + ( )1 () () +( )1 [() + 0 ], (3.66) 0 означает начальные условия вектора состояния (). Введем где обозначение () = ( )1 [() + 0 ], (3.67) () = ( )1 (), (3.68) () где легко найти из (3.64):

1 () = + 2 + 2 + 2.

=1 2 + 3.2. Управление нелинейным объектом После обратного преобразования Лапласа в уравнении (3.66), учи тывая (3.67) и (3.68), получим выражение для выходной перемен ():

ной [ ] () ( ) + () + (), () = (3.69) () = / — оператор диффернцирования, полиномы () = + где 1 1 + · · · + 1 + 0 и () = + · · · + 1 + 0, соответствуют преобразованию () = ( )1.

() Полином () не имеет корней с нулевой Д о п у щ е н и е 3. вещественной частью.

гурвицева, то нетрудно видеть, что функция Так как матрица () имеет вид () = + sin( + ) + (), (3.70) = () где — смещение, — амплитуда, — фазовый сдвиг, — экспоненциально затухающая функция.

З а м е ч а н и е 3.5 C учетом допущения 3.8 и замечания 3.4 при нулевых () и () имеем () = (), (3.71) при этом справедливо предельное равенство () = 0. Ис ходя из этого, переформулируем цель управления (3.65) следую щим образом: регулятор () должен скомпенсировать реакцию выхода объекта на возмущающее воздействие () в (3.69).

З а м е ч а н и е 3.6 Так как функция () — результат переход ного процесса в устойчивой линейной системе с гурвицевой мат рицей состояния, то эта функция может быть представлена в виде суммы затухающих экспонент, умноженных на константы, полиномиальные или синусоидальные функции времени. Следова тельно, производные этой функции также экспоненциально за тухают.

86 Глава 3. Устойчивые объекты с запаздыванием 3.2.3 Алгоритм адаптивной идентификации ча стот В данном разделе представлен алгоритм идентификации частот возмущения. Как и в [10, 91, 93] рассмотрим наблюдатель () = () + ( ) + (), (3.72) () = (), (3.73) Вычитая (3.72), (3.73) из (3.62), (3.63), получим модель ошибки () = () (), () = () + (), (3.74) () = () () = (). (3.75) ():

Из (3.74), (3.75) получим изображение по Лапласу для [ ] = ( )1 () + 0, () 0 ().

где означает начальные условия С учетом (3.67) и (3.70) получим () = + sin( + ) + (), (3.76) = () — экспоненциально затухающая функция с экспоненциаль где но затухающими производными.

Как и в разделе 3.1 будем использовать адаптивный алгоритм, идентификации параметров вектора содержащего значения ча.

стот Алгоритм адаптации вида () = () + () (2) (), (3.77) () (2) (), () = () ()() (3.78) [ ] () = (). (3.79) ( + ) ] ()... (3) () (1) () — регрессор, = [ (21) ] где () = 1... 1 — вектор неизвестных параметров, = [ 3.2. Управление нелинейным объектом diag{ 0}, обеспечивает сходимость к нулю ошибки оценивания () = ():

lim () = 0. (3.80) Доказательство эффективности алгоритма (3.77)–(3.79) и вы полнение цели (3.80) представлено в главе 2.

В соответствие с замечанием 2.4, в дальнейшем будем считать, что на основе вектора оценок измерению доступны оценки пара.

метров Частоты мультигармонического возмущения найдем из (3.14) () = (). (3.81) В силу выполнения целевого условия (3.80) и результата, полу ченного в предыдущей главе (2.35) и (2.36), имеем соотношение для частот lim | ()| = 0.

(3.82) 3.2.4 Синтез закона управления В этом разделе представлен закон управления, обеспечивающий полную компенсацию влияния возмущения на выходную перемен ную объекта. Как и в разделе 3.2 на основе соотношений (3.69) и (), компенсирующий эффект (3.70) построим закон управления (), представленный в виде суммы смещения, гармо возмущения нических функций sin( + ) и экспоненциально затухающей функции (). Так как функция () стремится к нулю независимо от управляющего воздействия, то закон управления () целесооб разно строить в виде суммы постоянной и гармонических функций, обеспечивая компенсацию эффекта возмущения на выходе объекта.

Воспользуемся результатом, полученном в разделе 3.1.

Так как фильтр (3.79) линейный, то реакция на гармоническое воздействие будет также гармонической функцией с той же часто той. Аналогично для постоянного воздействия. Так как полином 88 Глава 3. Устойчивые объекты с запаздыванием ( + )2 гурвицев, то для входного сигнала (3.76) выходная пере менная фильтра (3.79) имеет вид () = + sin( + ) + (), (3.83) = -ой где — смещение, — амплитуда гармоники, — фазо -ой () вый сдвиг гармоники и — экспоненциально затухающая функция с экспоненциально затухающими производными.

Для доказательства работоспособности алгоритма компенсации удобно предварительно рассмотреть так называемый “идеальный” закон управления, предполагающий знание всех параметров функ ции возмущения и обеспечивающий решение поставленной задачи (см. лемму 3.1).

Закон управления ( ) 1 1 + () = 0 ( + ) + (3.84) 0 = () обеспечивает сходимость к нулю выходной переменной и вы полнение цели (3.65).

В самом деле, подставляя (3.84) в (3.69) и учитывая результат леммы 3.1, имеем ] ( ) [ ( ) () 1 1 + () = () 0 = + () + + () + () = = () + 2 (), (3.85) 2 () где — экспоненциально затухающая функция. С учетом заме чания 3.5 из (3.85) следует выполнение цели (3.65).

Однако закон управления (3.84) физически не реализуем, так как содержит неизвестные и недоступные для измерения функции и упредительные оценки функций времени. В случае постоянного сигнала предсказывание не представляет проблему, так как такая 3.2. Управление нелинейным объектом функция не зависит от времени, что нельзя сказать о гармониче ской функции. В лемме 3.2 показана схема получения упредитель ной оценки гармонического сигнала.

0 (), () и ().

Далее представлены наблюдатели переменных Как и в главе 2 мы пренебрегаем экспоненциально затухающей со () и дифференцируем (2.91) 2 раз. Затем получаем ставляющей линейных уравнений (2.95) и (2.96) или два мат две системы из ричных уравнения (2.97) и (2.98), откуда имеем 1 (2) 2 · · · () 1 1 () 2 2 (4) () 2 · · · 2 () 1 =., (3.86)..

..

..

...

..

.

...

.. (2) () 2 · · · () 1 1 (1) ··· 1 () 1 1 1 () (3) () ··· 1 2 () =.. (3.87)...

...

....

..

....

. 1 1 (21) () ··· 1 2 () З а м е ч а н и е 3.7 Обратные матрицы в (3.86) и (3.87) суще ствуют, так как в силу постановки задачи возмущающее воздей ствие () имеет гармоник различной частоты.

() () Реализуемый алгоритм оценки переменных и примет вид:

1 (2) () 2 · · · 1 () 1 2 · · · (4) () 2 () 2 =.. (3.88).

...

..

.

....

..

.... (2) () 2 · · · () 1 (1) 1 () ··· 1 1 () (3) () 2 ··· () 1 2 =.. (3.89)...

..

.

....

..

....

.

1 1 · · · (21) () 1 2 () 90 Глава 3. Устойчивые объекты с запаздыванием Наблюдатель общего смещения получим на основе (3.27):

= () 0 () (). (3.90) = Так как выполнены соотношения (3.80), (3.82), то из (3.86)– (3.90) имеем lim 0 () 0 () = 0, (3.91) lim () () = 0, (3.92) lim () () = 0. (3.93) В следующем утверждении представлен реализуемый алгоритм компенсации параметрически не определенного возмущающего воз действия для нелинейного объекта управления с запаздыванием.

Закон управления вида У т в е р ж д е н и е 3. 1 1 1 () = 0 () () () + () () (3.94) () () 0 = обеспечивает выполнение цели где (3.65), cos ( () ()), () = (3.95) sin ( () ()) () =, (3.96) () ( ()) () = ( ())( () + )2, (3.97) ( ()) () = arg, (3.98) ( ())( () + ) оценка частоты () определяется адаптивным алгоритмом идентификации (3.77)–(3.79), (3.81), функции 0 (), (), () определены в (3.88)–(3.90), а переменные () вводятся также, как и в главе 2:

{ () для () 0, () = (3.99) иначе, 3.2. Управление нелинейным объектом где 0 — известная нижняя граница частот.

Д о к а з а т е л ь с т в о у т в е р ж д е н и я 3.1. Как и в теореме 3. рассмотрим ошибку в управлении = () ().

() (3.100) () является ограниченной функцией и при этом стре Ошибка мится к нулю:

lim () = 0. (3.101) Управляющее воздействие, обеспечивающее компенсацию воз мущения, имеет вид ( ) 1 1 + () = 0 ( + ) + + ().(3.102) 0 = Подставляя (3.102) в (3.69) с учетом леммы 3.1, замечания 3.5 и (3.85), получим ] ( )) [ ( () () 1 0 ( + ) 1 + + () = () 0 = + () + 0 () + () + () = = () + () + 2 (), [ ] () где функция () = () () ограничена и стремится к нулю, 2 () — экспоненциально затухающая функция. Таким образом, получен реализуемый закон управления (3.94)–(3.98), обеспечивающий ос lim () = 0, новную цель (3.65) что и требовалось доказать.

З а м е ч а н и е 3.8 Следует отметить, что в случае неточного задания параметров объекта рассматриваемый алгоритм управ ления может оказаться неудовлетворительным. Разработка ро бастных алгоритмов, обеспечивающих достижение сформулиро ванной цели управления в случае неточно заданных параметров, является предметом дальнейших исследований.

92 Глава 3. Устойчивые объекты с запаздыванием a b 4 0, 0, t, c t, c 0 50 100 150 0 50 100 150 (а) Временная диаграмма оценки ча- (б) Временная диаграмма выходной стот () переменной () без управления (a) и ^ с управлением (b) 1 = 1, Рис. 3.5. Временные диаграммы оценки частот возмущения 2 = 3 и выходной переменной () при запаздывании = 10, нели нейной функции ( ) = ( + 1) sin( ) и коэффициентах иденти фикатора = 2, 1 = 20, 2 = 3.2.5 Числовой пример Для демонстрации эффективности предлагаемого алгоритма управления представим результаты математического моделирова ния нелинейного объекта (3.62)-(3.64) с параметрами 10 1 0 0 0 1 35 0 0 0 1 0 =, =, =, =, 0 =, 50 0 1 2 0 24 0 0 13 1 0 5 2 3 1 10 4 6 2 =, 1 =, 1 =, 2 =, 2 =.

10 2 1 4 1 3 На рис. 3.6, 3.5 представлены результаты моделирования для различных частот возмущения, запаздывания и нелинейных функ ( ).

ций Результаты моделирования демонстрируют эффектив ность алгоритма компенсации возмущающих воздействий для нели нейных объектов с запаздыванием в канале управления.

3.3 Экспериментальные исследования алгоритма управления 4 a b 3, 3 0, 2, 2 1, 0, 0, t, c t, c 0 50 100 150 0 50 100 150 (а) Временная диаграмма оценки ча- (б) Временная диаграмма выходной стот () переменной () без управления (a) и ^ с управлением (b) 1 = Рис. 3.6. Временные диаграммы оценки частот возмущения 1, 5, 2 = 2, 3 и выходной переменной () при запаздывании = 4, нелинейной функции ( ) = 3 sin( ) и коэффициентах идентификатора = 2, 1 = 20, 2 = 3.3 Экспериментальные исследования алгоритма управления Для иллюстрации работоспособности рассмотренного алгоритма управления представлены результаты экспериментального иссле дования разработанного алгоритма на примере мехатронного маят никового комплеса на базе Mechatronic Control Kit (MCK) фирмы Mechatronic Systems [81].

Описание схемы эксперимента, анализ математической моде ли маятниковой установки с реакционным колесом, описание ре ализации алгоритма управления представлены в ряде публикаций [1, 16, 27, 44, 48, 50, 66, 91, 93].

Для исследования работы алгоритма в условиях запаздывания программно создается буфер в оперативной памяти контроллера MСK, через который пропускается функция управления. Величина имитируемого запаздывания определяется размером буфера.

Для исследования алгоритма управления в условиях действия возмущающего воздействия близкого по природе к реальному ис 94 Глава 3. Устойчивые объекты с запаздыванием пользуется тележка на подвижной основе (рис. 3.7а), на которой смонтирован маятник. Ко всей конструкции, свободно перемеща емой в горизонтальной плоскости, прикладывается возмущающее воздействие, создаваемое рукой и имитирующее нерегулярную кач ку (рис. 3.7б). Рассматривается задача стабилизации нижнего по ложения равновесия маятника, возмущенного внешним неизмеряе мым воздействием при условии запаздывания в канале управления.

На рис. 3.7в–3.7е представлены результаты эксперимента для = 1, = 10, запаздывания параметров алгоритма управления = 5. Выходная переменная не стремится к нулю, но находится в малой окрестности. Это вызвано неточным заданием параметров объекта управления, которые необходимы при формировании зако на управления.

3.4 Заключительные выводы по главе 1. Рассмотрен алгоритм синтеза адаптивного наблюдателя муль тигармонического возмущающего воздействия, включая иден тификацию всех частот, для устойчивого линейного объекта управления.

2. Описан алгоритм адаптивной компенсации мультигармониче ского возмущающего воздействия для линейного объекта с за паздыванием в канале управления.

3. Результаты для линейных объектов обобщены на класс нели нейных систем с запаздыванием в канале управления: приве дены алгоритм построения адаптивного наблюдателя возму щения и алгоритм компенсации параметрически не опреде ленного возмущающего воздействия.

4. Рассмотрены числовые примеры моделирования алгоритмов управления. Приведены результаты экспериментальных ис следований описанных алгоритмов на мехатронном маятни ковом комплексе.

3.4 Заключительные выводы по главе Возмущение Маятник mp, Jp Реактивное r колесо mr, Jr (а) Мехатронный маятниковый ком- (б) Маятник на подвижной платформе плекс Y (t) Y (t) 0, 0, 0, 0, 0,2 0, 0,4 0, t, c t, c 0,6 0, 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 0 5 10 15 20 25 30 35 40 (в) Выходная перемнная () без (г) Выходная перемнная () с управ управления лением U(t) 4, 3, 2, 1, 0, t, c t, c 0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 5 10 15 20 25 30 35 40 (д) Оценка частоты (е) Управление () () ^ Рис. 3.7. Результаты экспериментальных исследований Глава Компенсация мультигармонических возмущений для неустойчивых объектов с запаздыванием в управлении Данная глава посвящена методам синтеза адаптивных и робаст ных алгоритмов управления неустойчивыми объектами в условиях запаздывания и возмущающих воздействий. Рассматриваются ли нейные неустойчивые объекты с постоянным запаздыванием в ка нале управления. Возмущающее воздействие представлено в виде мультигармонической функции времени с неизвестными постоян ными параметрами. Отсутствие запаздывания является частным случаем решенной задачи.

В данной главе предлагается новый метод синтеза алгорит ма компенсации мультигармонического возмущающего воздействия для неустойчивого объекта управления с запаздыванием в канале управления. Несмотря на большое разнообразие методов решения и моделей объектов, задача компенсации мультигармонических воз мущающих воздействий с ненулевым смещением для случая, когда канал управления характеризуется запаздыванием, не рассматри валась. Особо отметим, что задача стабилизации неустойчивых си стем с запаздыванием в управлении с одновременной компенсацией смещенного синусоидального возмущения впервые была поставле на и решена в [89, 90].

Алгоритм стабилизации неустойчивой системы с запаздыванием основан на решении уравнения в частных производных первого по 4.1 Постановка задачи рядка (“transport PDE”) [70], [68] с использованием процедуры бэкс теппинг [69]. Закон управления по выходу формируется из двух со ставляющих: первая расчитывается из соображений стабилизации неустойчивой системы, и вторая — для компенсации возмущения.

В разделе 4.2 решена задача стабилизации. Представление бло ка запаздывания в виде уравнения в частных производных необ ходимо для применения процедуры “backstepping” [70]. Разрабо тан регулятор на основе предиктора Крстича, стабилизирующий систему с возмущением. Отсутствие запаздывания является част ным случаем решенной задачи. В разделе 4.3 построен адаптивный наблюдатель возмущающего воздействия, обеспечивающий оценку всех частот. В разделе 4.4 получен алгоритм расчета комбинирован ного алгоритма управления, способного стабилизировать объект и компенсировать при этом возмущающее воздействие. Рассмотрен числовой пример для демонстрации эффективности разработанно го алгоритма.

4.1 Постановка задачи Рассмотрим неустойчивый линейный объект управления с запаз дыванием, подверженный внешнему возмущающему воздействию [89, 90] = () + ( ) + (), () (4.1) () = (), (4.2) R R — выходная ре где — вектор переменных состояния, R — управ гулируемая переменная, доступная для измерения, ляющее воздействие, — известное постоянное запаздывание, — матрица состояния, которая может быть неустойчивой, и — -мерные вектор-столбцы, R — векторное возмущающее воздействие вида () = + sin( ) + cos( ), (4.3) =, и — неизвестные постоянные -мерные где вектор — неизвестная частота -ой гармоники. Здесь столбцы, и далее символ означает номер гармоники = 1,.

98 Глава 4. Неустойчивые объекты с запаздыванием Тройка матриц,, полностью управ Д о п у щ е н и е 4. ляема и наблюдаема.

Д о п у щ е н и е 4.2 Частоты возмущающего воздействия не меньше некоторого известного числа 0, т.е. 0.

() по выходу, обес Требуется синтезировать закон управления печивающий ограниченность всех траекторий системы и сходи мость выходной переменной к нулю:

lim () = 0. (4.4) 4.2 Алгоритм стабилизации неустойчиво го объекта управления с запаздыва нием В данном разделе рассмотрен метод синтеза предиктора, стабили зирующего неустойчивую систему с запаздыванием и возмущаю щим воздействием (4.1), (4.2).

Следуя результатам [70, 89, 90], представим блок запаздывания в виде уравнения в частных производных (, ) = (, ), 0, (4.5) (, ) = () (4.6) (, 0) = (). Решение такого уравнения с начальным условием (, ) = ( + ), следовательно, выражение (0, ) = имеет вид () описывает запаздывающий сигнал управления. Перепишем (4.1) в следующем виде () = () + (0, ) + (). (4.7) Рассмотрим наблюдатель 1 () = 1 () + (0, ) + 1 (), (4.8) 1 () = 1 (), (4.9) 4.2. Алгоритм стабилизации неустойчивого объекта и ошибку наблюдения 1 () = () 1 (), (4.10) () = ( ) () + (), 1 (4.11) 1 () = 1 (), (4.12) выбирается из условия гурвицевости матрицы.

где вектор Следуя методу бэкстеппинг [70], [68], рассмотрим преобразова ние [90] (, ) (, ) 1 () (, ) = () (, ) (+) (, ), + (4.13) = 1 ( + ), (, ) (4.14) (, ) = (, ), (4.15) (, ) = 1 (), (4.16) и закон управления () = (, ) + 1 () () (, ).

+ (4.17) Такая замена переменных позволяет преобразовать исходный объект (4.7) в устойчивую систему () = ( + )() + (0, ) + () + (0, ) + (), (4.18) (, ) = ( + ), (4.19) (, ) = (, ), (4.20) (, ) = (), (4.21) (, ) = (, ), (4.22) (, ) = 0, (4.23) 100 Глава 4. Неустойчивые объекты с запаздыванием R где — новый входной управляющий сигнал, который бу дет синтезирован для компенсации эффекта возмущения, функция (0, ) стремится к нулю за конечное время, матрица выбирается из условия гурвецевости матрицы +, функция () = + sin( ) + cos( ) (4.24) = является мультигармонической, где, and — постоянные ( 1)-векторы, и () — экспоненциально затухающая функция, |()|, где, 0.

Л е м м а 4.1 Функция (, ) удовлетворяет уравнению в част ных производных (4.22),(4.23).

Доказательство л е м м ы 4.1. Продифференцируем (4.13) по времени и по пространственному аргументу (, ) = (, ) (, ) 1 () (, ) (, ) () (, ) (+) (, ).

+ (4.25) (, ) = (, ) (, ) 1 () () (, ) + (+) (, ) 0 = (, ) (, ) 1 () (0, ) (, ) (, ) + (0, ) + (, ) (, ) () (, ) (+) (, ) + 4.2. Алгоритм стабилизации неустойчивого объекта = (, ) (, ) 1 () (, ) (, ) () (, ) (+) (, ) + = (, ).

(4.26) (, ) Таким образом, функция удовлетворяет уравнению в част ных производных, описывающему временное запаздывание.

Выберем функцию управления с учетом (4.6) и (4.13) так, чтобы (, ) равнялась нулю () = (, ) = (, ) + 1 () + () (, ), (4.27) (, ) = 0.

(4.28) Лемма 4.1 доказана.

= Подставляя в (4.13), получим () (, ).

(0, ) = (0, ) + (0, ) + () (4.29) После подстановки (4.29) в (4.1) имеем () = () + (0, ) + () + () + (0, ) () (, ) ( + )() + (0, ) + (0, ) + () () = () (, ).

(4.30) Введем в рассмотрение функции 1 () = 1 (), (4.31) () (, ).

2 () = (4.32) 102 Глава 4. Неустойчивые объекты с запаздыванием Л е м м а 4.2 Функции 1 () и 2 (), определенные в (4.31), (4.32), являются мультигармоническими с дополнительными экспонен циально затухающими составляющими:

1 () = 1 + (1 sin( ) + 1 cos( )) + 1 (), (4.33) = 2 () = 2 + (2 sin( ) + 2 cos( )) + 2 (), (4.34) = где 1, 1, 1, 2, 2, 2 — кнстанты, 1 () и 2 () — экспонен циально затухающие функции.

Д о к а з а т е л ь с т в о л е м м ы 4.2. Переходя к образам Лапала са в (4.11), выделим вектор состояния модели ошибки наблюдателя [ ] ( ( ))1 () + 1 (0), 1 () = (4.35) 1 (0) 1 ().

где означает начальные условия Используя (4.12), (4.31) и (4.35), получим изображение по Ла 1 () () пласу для и [ ] = ( ( ))1 () + 1 (0), 1 () (4.36) [ ] = ( ( ))1 () + 1 (0).

1 () (4.37) () Из (4.3) имеем выражение для 1 () = + 2 + 2 + 2. (4.38) =1 2 + Так как матрица гурвицева, после обратного преобразова ния Лапласа (4.36)-(4.38) получим (4.33) и 1 () = 3 + (3 sin( ) + 3 cos( )) + (), (4.39) = 3, 3, 3 3 () где — константы, — экспоненциально затухающая функция.

4.2. Алгоритм стабилизации неустойчивого объекта З а м е ч а н и е 4.1 Так как функция 3 () — результат переход ного процесса в устойчивой линейной системе с гурвицевой мат рицей состояния, то эта функция может быть представлена в виде суммы затухающих экспонент, умноженных на константы, полиномиальные или синусоидальные функции времени. Следова тельно, производные этой функции также экспоненциально за тухают.

2 () Рассмотрим функцию с учетом (4.14), (4.32) и (4.39) () (, )+ 2 () = () 3 + = () 3 sin( ( + )) + = () 3 cos( ( + )) + = () 3 ( + ).

+ (4.40) Анализируя интегралы в (4.40), находим, что правая часть урав нения является суммой константы, ограниченной гармонической функции с частотой и экспоненциально затухающей функцией 2 () времени. Таким образом, имеет вид (4.34), где () 3, 2 = (4.41) () (3 cos( ())3 sin( ())), 2 = (4.42) () (3 sin( ())+3 cos( ())), 2 = (4.43) () 3 ( + ).

2 = (4.44) 104 Глава 4. Неустойчивые объекты с запаздыванием Этот факт объясняется тем, что интервал интегрирования коне 2, 2, чен, откуда следует, что функции ограниченны, а также они не зависят от времени.

Перепишем (4.30) следующим образом () = ( + )() + (0, ) + () + (0, ) 1 () 2 (), (4.45) () = (). (4.46) Используя лемму 4.1, лемму 4.2 и (4.19), перепишем уравнение объекта (4.1) в виде () = ( + )() + ( ) + () + (0, ) + ().

(4.47) Таким образом, получена устойчивая система вида (4.18), (4.24) где = 1 2, = 1 2, (4.48) = 1 2, () = 1 () 2 (). (4.49) Мы показали, что регулятор (4.17) преобразует исходную систе му в устойчивую ( выбирается из условия гурвицевости матрицы +) с новым запаздывающим управлением (). Новое воз — неизвестная мультигармоническая функция, новое мущение входное возмущение (0, ) представляет собой эффект началь ных условий и стремится к нулю за секунд. Компонента () — экспоненциально затухающая функция.

Будем использовать модель (4.47), (4.2) для синтеза алгорит ма компенсации возмущающего воздействия, реализуемого за счет ().

нового входного сигнала 4.3 Алгоритм адаптивной идентифика ции частот и наблюдатель гармоник мультигармонического возмущения После того, как был получен алгоритм стабилизации неустойчи вого объекта с запаздыванием, можно перейти к синтезу алгорит 4.3. Идентификация параметров возмущения ма компенсации возмущения. Для этого сначала требуется постро ить адаптивный наблюдатель возмущающего воздействия, включая схему идентификации частот всех гармоник.

Рассмотрим наблюдатель 2 () = ( + )2 () + ( ), (4.50) 2 () = 2 (). (4.51) Т е о р е м а 4.1 Сигнал невязки 2 = 2, где 2 — выходная переменная наблюдателя (4.50), (4.51), — выходная переменная замкнутого контура (4.1), (4.2), (4.17), имеет вид 2 () = 4 + 4 sin( + 4 ) + 4 (), (4.52) = где 4, 4 и 4 — константы, 4 () и ее производные ограничены экспоненциально сходящейся функцией.

2 = Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 4.1. Невязка удо влетворяет уравнению 2 () = ( + )2 () + () + (0, ) + ().

(4.53) Рассмотрим вспомогательную систему () = ( + ) () + () + (). (4.54) ( + ) гурвицева, и — мультигармоническая Так как матрица функция, нетрудно видеть, что выходная переменная этой системы имеет вид () = () = 4 + 4 sin( + 4 ) + 0 (), (4.55) = 4, 4 4 0 () где и — константы, и ограничена экспоненциально затухающей функцией.

= Для ошибки имеем () = ( + ) () + (0, ).

(4.56) 106 Глава 4. Неустойчивые объекты с запаздыванием Как и в [70, 90] рассмотрим функцию Ляпунова (1 + )(, )2, () = () () + (4.57) 2 = где — решение уравнения Ляпунова ( + ) + ( + ) = (4.58) + 0, 0, для некоторого и параметр который будет выбран далее при анализе. Имеем () = ()( ( + ) + ( + ) ) () + 2 () (0, ) (0, )2 (, )2, 2 2 2 (, )2.

() () + () (4.59) Пусть 4 ( ) =, (4.60) () где и — максимальное и минимальное собственные числа соответствующих матриц. Тогда 2 () ( ) (, ) () () 2 () 2 () ( ) (1 + )(, ) () 2 (1 + ) () () (1 + )(, ) = () 2 2(1 + ) 1 (), (4.61) { } () где 1 = min 2 ( ), 1+.

Таким образом, = экспоненциально затухает. Так как 2 () = () + (), 4.3. Идентификация параметров возмущения 4 () то с учетом (4.55) имеем (4.52), где состоит из затухающих секунд) экспонент, умноженных на полиномы и синусоиды (после 4 () и ее производные экспоненциально затухают.

и таким образом, Как и в главе 2 для построения адаптивного идентификато () ра частот мультигармонического сигнала будем использовать дифференциальное уравнение вида (2 1 )(2 2 )· · · (2 ) () = 0, (4.62) = = / где — оператор дифференцирования, — постоян ные параметры. Мы пренебрегли наличием экспоненциальной зату (), хающей функцией которая не влияет на устойчивость работы алгоритма идентификации частот, что показано в главе 2. Перепи шем уравнение (4.62):

2+1 () = 1 21 () +· · · + 1 3 () + (), (4.63) где параметры, полученные после раскрытия скобок в (4.62) опре деляются системой:

1 = 1 + 2 +· · · +, 2 = 1 2 1 3 · · · 1, (4.64).

.

.

= (1)+1 1 2 · · ·.

Как и в главах 2, 3 рассмотрим линейный фильтр вида [ ] () = (). (4.65) ( + ) 108 Глава 4. Неустойчивые объекты с запаздыванием Перепишем (4.65) в форме вход-состояние-выход:

1 () = 2 (), 2 () = 3 (),.

.

.

2 () = 2 () 1 1 · · · 2 2, () = 1 (), (4.66).

.

.

() = (), +.

.

.

(2) = 2 () 1 1 · · · 2 2, 1, 2,..., где числа соответствуют коэффициентам полинома ( + )2 = 2 + 2 21 + · · · + 2 + 1. (4.67) Далее представлен адаптивный алгоритм идентификации па,.


раметров вектора содержащего значения частот Алгоритм адаптации вида () + () (2) (), () = (4.68) (2) = () ()() () () (), (4.69) [ ] () = (). (4.70) ( + ) ] ()... (3) () (1) () — регрессор, = [ (21) ] где () = 1... 1 — вектор неизвестных параметров, = [ diag{ 0}, обеспечивает сходимость к нулю ошибки оценивания () = ():

lim () = 0. (4.71) Доказательство эффективности алгоритма (4.68)–(4.70) и вы полнение цели (4.71) представлено в главе 2.

В соответствие с замечанием 2.4, в дальнейшем будем считать, что на основе вектора оценок измерению доступны оценки пара.

метров Частоты мультигармонического возмущения найдем из 4.4. Компенсация мультигармонического возмущения (4.62) () = ().

(4.72) В силу выполнения целевого условия (4.71) и результата, по лученного в предыдущей главе (2.35) и (2.36), имеем предельное соотношение для частот lim | ()| = 0.

(4.73) 4.4 Алгоритм компенсации мультигармо нического возмущения, действующе го на неустойчивый объект управле ния с запаздыванием В этом разделе представлен закон управления, обеспечивающий полную компенсацию влияния возмущения на выходную перемен ную объекта. Алгоритм синтезируется также как и в разделе 3.1.

Из (4.50)–(4.52) имеем для выходной переменной объекта [ ] () ( ) + 4 + () = 4 sin( + 4 ) + 4 (), (4.74) () = 4 = / — оператор где экспоненциально стремится к нулю, () = +1 1 +· · ·+1 + дифференцирования и полиномы () = + · · · + 1 + 0, — результат преобразования и () = ( ( + ))1, (4.75) () () причем полином гурвицев.

Для реализации разработанного метода компенсации возмуще ния необходимо ввести следующее допущение.

Полином () не имеет корней на мнимой Д о п у щ е н и е 4. оси.

110 Глава 4. Неустойчивые объекты с запаздыванием Так как фильтр (4.65) линейный, то реакция на мультигармо ническое воздействие будет также мультигармонической функцией ( + ) с теми же частотами. Так как полином гурвицев, то для входного сигнала (4.52) выходная переменная фильтра (4.65) имеет вид () = + sin( + ) + (), (4.76) = -ой где — смещение, — амплитуда гармоники, — фазо -ой () вый сдвиг гармоники и — экспоненциально затухающая функция с экспоненциально затухающими производными.

Для доказательства работоспособности алгоритма компенсации удобно предварительно рассмотреть так называемый “идеальный” закон управления, предполагающий знание всех параметров функ ции возмущения и обеспечивающий решение поставленной задачи (см. лемму 3.1).

Закон управления ( ) () = 1 0 ( + ) 1 + +, (4.77) 0 = где 0 ( ) ( ) 0 =, = ( ), = arg ( ), (4.78) 2 = ( + )2, = arg ( + )2, (4.79) () обеспечивает сходимость к нулю выходной переменной и вы полнение цели (4.4).

В самом деле, подставляя (4.77) в (4.74) и учитывая результат леммы 3.1, имеем ] ( ) [ ( ) () 1 1 + () = () 0 = + + () + () = = 2 (), (4.80) 4.4. Компенсация мультигармонического возмущения 2 () где — экспоненциально затухающая функция, откуда следует выполнение цели (4.4).

Однако закон управления (4.77) физически не реализуем, так как содержит неизвестные и недоступные для измерения функции и упредительные оценки функций времени. В случае постоянного сигнала предсказывание не представляет проблему, так как такая функция не зависит от времени, что нельзя сказать о гармониче ской функции. В лемме 3.2 показана схема получения упредитель ной оценки гармонического сигнала.

0 (), () и ().

Далее представлены наблюдатели переменных Как и в главе 2 мы пренебрегаем экспоненциально затухающей со () и дифференцируем (2.91) 2 раз. Затем получаем ставляющей линейных уравнений (2.95) и (2.96) или два мат две системы из ричных уравнения (2.97) и (2.98), откуда имеем 1 (2) 2 · · · () 1 1 () 2 2 (4) () 2 · · · 2 () 1 =., (4.81)..

..

..

...

..

.

...

.. (2) () 2 · · · () 1 1 (1) ··· 1 () 1 1 1 () (3) () ··· 1 2 () =.. (4.82)...

...

....

..

....

. 1 1 (21) () ··· 1 2 () З а м е ч а н и е 4.2 Обратные матрицы в (4.81) и (4.82) суще ствуют, так как в силу постановки задачи возмущающее воздей ствие () имеет гармоник различной частоты.

() () Реализуемый алгоритм оценки переменных и примет вид:

1 (2) () 2 · · · 1 () 1 2 · · · (4) () 2 () 2 =.. (4.83).

...

..

.

....

..

.... (2) () 2 · · · () 112 Глава 4. Неустойчивые объекты с запаздыванием 1 (1) 1 () ··· 1 1 () (3) () 2 ··· () 1 2 =.. (4.84)...

..

.

....

..

....

.

1 1 · · · (21) () 1 2 () Наблюдатель общего смещения получим на основе (3.27):

= () 0 () (). (4.85) = Так как выполнены соотношения (4.71), (4.73), то из (4.81)– (4.85) имеем lim 0 () 0 () = 0, (4.86) lim () () = 0, (4.87) lim () () = 0. (4.88) В следующем утверждении представлен реализуемый алгоритм компенсации параметрически не определенного возмущающего воз действия для нелинейного объекта управления с запаздыванием.

Рассмотрим объект управления У т в е р ж д е н и е 4.1 (4.1), первый наблюдатель (4.8), (4.9) и закон управления (4.2), [ ] () = () + 1 () + ( ) ( ), (4.89) где вектор-строка такая, что матрица ( + ) гурвицева, 1 1 1 () = 0 () () () + () (), (4.90) () () 0 =1 4.4. Компенсация мультигармонического возмущения () = cos ( () ()), (4.91) sin ( () ()) () =, (4.92) () ( ()) () = ( ())( () + )2, (4.93) ( ()) () = arg, (4.94) ( ())( () + ) оценка частоты () определяется адаптивным алгоритмом идентификации (4.68)–(4.70), (4.72), входной сигнал для фильтра (4.70) 2 () определен в теореме 4.1, функции 0 (), (), () опре делены в (4.83)–(4.85), а переменные () вводятся также, как и в главе 2:

{ для () () 0, () = (4.95) иначе, где 0 — известная нижняя граница частот. C учетом допуще ний 4.1–4.3, выходная переменная замкнутой системы ограничена и стремится к нулю lim () = 0. (4.96) Д о к а з а т е л ь с т в о у т в е р ж д е н и я 4.1. Как и в теореме 3. рассмотрим ошибку в управлении = () ().

() (4.97) () является ограниченной функцией и при этом стре Ошибка мится к нулю:

lim () = 0. (4.98) Компонента управляющего воздействия, обеспечивающая ком пенсацию возмущения, имеет вид ( ) 1 1 + () = 0 ( + ) + + (). (4.99) 0 = 114 Глава 4. Неустойчивые объекты с запаздыванием Результат (4.96) следует из леммы 4.1 и леммы 3.1 (см. (4.80)).

В самом деле, подставляя (4.99) в (4.74) и учитывая результат леммы 3.1, имеем ] ( )) [ ( () 1 1 + () () = () 0 = + + () + () = = () + 2 (), (4.100) [ ] () функция () = () () где ограничена и стремится к нулю, 2 () — экспоненциально затухающая функция, откуда следует вы полнение цели (4.96).

( + ) вместо (, ) в (4.17) и делая замену Подставляя = +, получим (4.89). Таким образом, утвер переменных ждение 4.1 доказано.

З а м е ч а н и е 4.3 Следует отметить, что в случае неточного задания параметров объекта рассматриваемый алгоритм управ ления может оказаться неудовлетворительным. Разработка ро бастных алгоритмов, обеспечивающих достижение сформулиро ванной цели управления в случае неточно заданных параметров, является предметом дальнейших исследований.

4.5 Числовой пример 4.5 Числовой пример Рассмотрим объект управления вида [ ] [ ] [ ] 0 1 0, = =, = 1 0 2 с (неизвестным) возмущением [ ] [ ] [ ] 1 () = + sin() + cos().

2 1.

Разомкнутый контур системы имеет один неустойчивый корень 0 = [1, 2].

Начальные условия Выберем следующие параметры закона управления:

= [3 3], = [2 2].

Результаты моделирования представлены на рис. 4.1–4.3 для различных частот и значений запаздывания в канале управле.

ния Рис. 4.1 подтверждают, что алгоритм работает также и при от сутствии запаздывания. В этом случае мы подставляем значение ноль парамера в законе управления.

На рис. 4.1а, 4.2а и 4.3а показано, что оценки частот стремятся к истинным значениям.

0, 1 Оценки и представлены на рис. 4.1б, 4.2б, 4.3б.

Сигнал управляющего воздействия представлен на рис. 4.1в, 4.2в, 4.3в. Заметим, что амплитуда управляющего воздействия при компенсации возмущения меньше, чем в случае стабилизирующего управления без компенсации.

Рис. 4.1г, 4.2г, 4.3г демонстрируют, что алгоритм управления, основанный на предикторе Крстича стабилизирует систему, но не компенсирует возмущение, в то время как полный регулятор обес печивает асимптотическую сходимость выходной переменной к ну лю.

116 Глава 4. Неустойчивые объекты с запаздыванием 1, 1 0, 3 4 t, c t, c 0 0 5 10 15 20 0 5 10 15 (а) Временная диаграмма оценки ча- (б) Временная диаграмма оценки ^ ^ ^ стоты () ^ функций 1 (), 2 () и 3 () 5 a b c 15 a t, c b t, c 20 0 5 10 15 0 5 10 15 (в) Временная диаграмма запаздыва- (г) Временная диаграмма выходной ющего управления ( ) без ком- переменной () без управления (a), пенсации (a) и с компенсацией возму- с управлением без компенсации (b) и щения (b) с компенсацией возмущения (c) Рис. 4.1. Временные диаграммы оценки компонентов возмущения, входной и выходной переменных без управления ( () = 0), толь () = 0) и с компенсацией ко со стабилизирующим управлением ( = 1, 5, запаздывание = 0 и параметрами иденти возмущения = 2, = фикатора 4.5 Числовой пример 1,2 0, 0, 0, 0, t, c t, c 0 0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 20 25 (а) Временная диаграмма оценки ча- (б) Временная диаграмма оценки ^ ^ ^ стоты () ^ функций 1 (), 2 () и 3 () 30 a a b 20 b 30 c t, c t, c 0 5 10 15 20 25 0 5 10 15 20 25 (в) Временная диаграмма запаздыва- (г) Временная диаграмма выходной ющего управления ( ) без ком- переменной () без управления (a), пенсации (a) и с компенсацией возму- с управлением без компенсации (b) и щения (b) с компенсацией возмущения (c) Рис. 4.2. Временные диаграммы оценки компонентов возмущения, входной и выходной переменных без управления ( () = 0), толь () = 0) и с компенсацией ко со стабилизирующим управлением ( = 1, запаздывание = 0, 5 и параметрами иденти возмущения = 1, = фикатора 118 Глава 4. Неустойчивые объекты с запаздыванием 1, 0, 0, 0, t, c t, c 0 5 10 15 20 25 0 5 10 15 20 25 (а) Временная диаграмма оценки ча- (б) Временная диаграмма оценки ^ ^ ^ стоты () ^ функций 1 (), 2 () и 3 () 100 a a b b c t, c t, c 0 5 10 15 20 25 0 5 10 15 20 25 (в) Временная диаграмма запаздыва- (г) Временная диаграмма выходной ющего управления ( ) без ком- переменной () без управления (a), пенсации (a) и с компенсацией возму- с управлением без компенсации (b) и щения (b) с компенсацией возмущения (c) Рис. 4.3. Временные диаграммы оценки компонентов возмущения, входной и выходной переменных без управления ( () = 0), толь () = 0) и с компенсацией ко со стабилизирующим управлением ( = 0, 5, запаздывание = 1 и параметрами иденти возмущения = 0, 5, = фикатора 4.6 Заключительные выводы по главе 4.6 Заключительные выводы по главе 1. Рассмотрен алгоритм стабилизации неустойчивых линейных объектов с запаздыванием в канале управления и внешним возмущающим воздействием.


2. Приведено доказательство о том, что реакция замкнутой стабилизированной системы на мультигармоническое воздей ствие является также муьтигармоническим.

3. Рассмотрен алгоритм построения адаптивного наблюдателя мультигармонического возмущающего воздействия, включая оценивание всех частот, для линейного неустойчивого объекта управления.

4. Рассмотрен алгоритм адаптивной компенсации мультигармо нического возмущающего воздействия для линейного неустой чивого объекта с запаздыванием в канале управления.

5. Приведены результаты математического моделирования опи санных алгоритмов управления.

Заключение В пособии рассмотрены задачи, связанные с управлением в усло виях запаздывания и действия возмущающих воздействий. Во вве дении приведены примеры задач управления в условиях запазды вания и действия возмущающих воздействий. В первой главе рас смотрен анализ существующих методов управления, сформулиро вана обобщенная постановка задачи, обозначены три цели, каждая из которых рассматривается в рамках отдельной главы.

Во второй главе рассмотрено решение задачи построения адап тивного наблюдателя мультигармонического сигнала, позволяюще го получать оценки всех параметров, включая общее смещение, все частоты, амплитуды и начальные фазы. Приведено доказательство теоремы о том, что алгоритм идентификации обеспечивает экспо ненциальную сходимость к нулю ошибки оценивания частоты сме щенного синусоидального сигнала. Отмечены адаптивные свойства по отношению к изменению параметров сигнала. Изменяя пара метры алгоритма можно управлять временем переходного процес са идентификации. Показано, что алгоритм обладает робастными свойствами по отношению к нерегулярной составляющей, присут ствующей в сигнале.

В третьей главе рассмотрено решение задачи компенсации муль тигармонического возмущения для линейного и нелинейного объ ектов управления с запаздыванием по входу. С использованием ре зультата второй главы получен адаптивный наблюдатель возмуща ющего воздействия, который оценивает все частоты возмущения, выделяет из многокомпонентного сигнала каждую гармонику и ее производную. На основе адаптивного наблюдателя строится пре диктор, обеспечивающий формирование управляющего сигнала с Заключение упреждением на необходимое время запаздывания. Такой алгоритм позволяет обеспечить ограниченность всех траекторий системы и сходимость к нулю выходной переменной. На ряду с результатами математического моделирования приведены результаты практиче ского использования рассмотренного подхода на мехатронном ис следовательском маятниковом комплексе “The Mechatronics Control Kit”, предоставленного фирмой “Mechatronic Systems, Incorporated”.

Для исследования работы алгоритма в условиях запаздывания необходим программный буфер, через который пропускается функ ция управления: сигнал управления подается на вход буфера, а вы ходной сигнал буфера поступает на объект управления. Для иссле дования алгоритма управления в условиях действия возмущения используется тележка на подвижной основе, на которой смонтиро ван маятник.

В четвертой главе рассмотрен способ обобщения результата тре тей главы на случай неустойчивых систем с запаздыванием в ка нале управления. Алгоритм стабилизации неустойчивой системы с запаздыванием основан на решении уравнения в частных производ ных первого порядка (“transport PDE”) [70], [68] с использованием классической процедуры бэкстеппинг [69]. Закон управления по вы ходу формируется из двух составляющих: первая расчитывается из соображений стабилизации неустойчивой системы, и вторая — для компенсации возмущения. Блок запаздывания предстапвляется в виде уравнения в частных производных, что позволяет применить процедуру бэкстеппинг [70]. Рассмотрен регулятор, стабилизирую щий систему с возмущением. Отсутствие запаздывания является частным случаем решенной задачи. С использованием результатов второй и третей глав строится адаптивный наблюдатель возмуща ющего воздействия, обеспечивающий оценку всех частот. Основной результат, описанный в четвертой главе, — это алгоритм синтеза комбинированного регулятора, способного стабилизировать объект с запаздыванием по управлению и компенсировать при этом воз мущающее воздействие.

Литература [1] Андриевский Б.Р. Стабилизация перевернутого маятника с инерционным маховиком в качестве движителя. Управление в физико-технических системах / Под ред. А.Л. Фрадкова. — СПб.: Наука, 2004. C. 52–71.

[2] Арановский С.В., Бобцов А.А., Кремлев А.С., Лукьянова Г.В.

Робастный алгоритм идентификации частоты синусоидально го сигнала // Известия РАН. Теория и системы управления.

— 2007. № 3. — С. 1–6.

[3] Арановский С.В., Бобцов А.А., Пыркин А.А. Адаптивный на блюдатель неизвестного синусоидального выходного возму щения для линейного объекта // Автоматика и телемеханика.

— 2009. № 11. — С. 108–116.

[4] Арановский С.В., Бардов В.М., Бобцов А.А., Капитонов А.А., Пыркин А.А. Синтез наблюдателя в условиях возмущения процесса измерения выхода объекта. // Изв. вузов. Прибо ростроение. — 2009. № 11. — С. 28–32.

[5] Бесекрерский В.А., Попов Е.П. Теория автоматического управления. СПб.: Профессия, 2003.

[6] Бобцов А.А. Алгоритм управления по выходу с компенсацией гармонического возмущения со смещением // Автоматика и телемеханика. — 2008 № 8. — С. 25–32.

[7] Бобцов А.А. Алгоритм управления по выходу с компенсацией смещенного гармонического возмущения // Известия РАН.

Теория и системы управления. 2009. № 1. — C. 45–48.

Литература [8] Бобцов А.А., Пыркин А.А. Компенсация гармонического воз мущения в условиях запаздывания по управлению // Изве стия РАН. Теория и системы управления. — 2008. № 4. — С.

19–23.

[9] Бобцов А.А., Пыркин А.А. Компенсация неизвестного сину соидального возмущения для линейного объекта любой отно сительной степени // Автоматика и Телемеханика. — 2009. № 3. — С. 114–122.

[10] Бобцов А.А., Колюбин С.А., Пыркин А.А. Компенсация неиз вестного мультигармонического возмущения для нелинейного объекта с запаздыванием по управлению // Автоматика и те лемеханика. — 2010. № 11. — С. 136–148.

[11] Бобцов А.А., Колюбин С.А., Никифоров В.О., Пыркин А.А.

Адаптивное и гибридное управление с компенсацией воз мущений и запаздывания // XXXIX научная и учебно методическая конференция СПбГУ ИТМО. — 2010.

[12] Гурецкий Х. Анализ и синтез систем управления с запазды ванием. — М.: Машиностроение, 1973. — 328 с.

[13] Еремин Е.Л., Теличенко Д.А. Алгоритмы адаптивной систе мы с запаздыванием по управлению в схеме с расширенной ошибкой и эталонным упредителем // Мехатроника, автома тизация, управление. — 2006. № 6. — С. 9–16.

[14] Кирьянен А.И. Устойчивость систем с последействием и их приложения. — СПб.: Издательство С.-Петербургского уни верситета, 1994. — 235 с.

[15] Колюбин С.А., Пыркин А.А., Рогожина К.П., Слинченкова М.В. Компенсация гармонического возмущения // Научно технический вестник СПбГУ ИТМО. — 2008. Вып. 55. — С.

51–60.

[16] Колюбин С.А., Пыркин А.А. Адаптивное управление маятни ком с реакционным маховиком // Мехатроника, автоматиза ция, управление. — 2010. № 5. — С. 28–32.

124 Литература [17] Лихтарников А.А., Якубович В.А. Абсолютная устойчивость нелинейных систем // Приложения к книге Резван В. Абсо лютная устойчивость автоматических систем с запаздывани ем. — М.: Наука, 1983.

[18] Миркин Е.Л. Метод адаптивного управления с эталонной мо делью объектами с последействием // Автоматизация техно логических процессов. Фрунзе.: Изд. ФПИ. — 1987. — С. 64– 69.

[19] Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими система ми. — СПб.: Наука, 2000. — 549 с.

[20] Никифоров В.О. Адаптивное и робастное управление с ком пенсацией возмущений. — СПб.: Наука, 2003. — 282 с.

[21] Острём К., Виттенмарк Б. Системы управления с ЭВМ. — М.:

Мир, 1987.

[22] Первозванский А.А. Курс теории автоматического управле ния: Учеб. пособ. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986.

— 616 с.

[23] Проскурников А.В., Якубович В.А. Универсальные регулято ры для оптимального отслеживания полигармонических сиг налов в системах с запаздыванием // Докл. РАН. — 2006. Т.

406. № 2. — С. 109–174.

[24] Проскурников А.В., Якубович В.А. Задача об абсолютной ин вариантности для систем управления с запаздыванием // До кл. РАН. — 2004. Т. 397. № 5. — С. 610–614.

[25] Пыркин А.А. Адаптивный алгоритм компенсации параметри чески неопределенного смещенного гармонического возмуще ния для линейного объекта с запаздыванием в канале управ ления // Автоматика и Телемеханика. — 2010. № 8. — С. 62–78.

[26] Пыркин А.А. Управление в условиях запаздывания // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. — 2007. Вып. 38.

— C. 287–292.

Литература [27] Пыркин А.А., Адаптивный алгоритм компенсации парамет рически неопределенного возмущающего воздействия с при ложением для мехатронного маятникового комплекса // Пер вая Традиционная Школа “Управление, информация и оп тимизация”, Переславль-Залесский / Сборник трудов. — М.:

ИПУ РАН, 2009. — 160 с. ISBN 978-5-91450-049-5, С. 67–74.

[28] Синтез дискретных регуляторов при помощи ЭВМ / В.В. Гри горьев, В.Н. Дроздов, В.В. Лаврентьев, А.В. Ушаков. — Л.:

Машиностроение, 1972.

[29] Резван В. Абсолютная устойчивость автоматических систем с запаздыванием. — М.: Наука, 1997. — 216 с.

[30] Фуртат И.Б., Цыкунов А.М. Адаптивное управление объек тами с запаздыванием по выходу // Изв. вузов. Приборостро ение. — 2005. № 7. — С. 15–19.

[31] Цыкунов А.М. Адаптивное управление объектами с последей ствием. — М.: Наука, 1984. — 245 с.

[32] Цыкунов А.М. Алгоритмы скоростного градиента для систем с запаздыванием // Автоматика и телемеханика. — 1989. № 1.

— С. 122–130.

[33] Цыкунов А.М. Адаптивное и робастное управление динами ческими объектами по выходу. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. — 268 с.

[34] Цыпкин Я.З. Устойчивость систем с запаздывающей обратной связью // Автоматика и телемеханика. — 1947. Т. 7. № 2, 3.

— С. 107–129.

[35] Цыпкин Я.З. Оптимальные адаптивные системы управления объектами с запаздыванием // Автоматика и Телемеханика.

— 1986. № 8. — С. 5–24.

[36] Янушевский Р.Т. Управление объектами с запаздыванием. — М.: Наука, 1987.

126 Литература [37] Andrievsky B., Fradkov A., Andrievsky A., Pyrkin A.

Experimental study of nonlinear systems synchronization over the limited-band communication channel // The 2008 IEEE Multi conference on Systems and Control. — San Antonio, Texas, USA.

[38] Aranovskiy S., Bobtsov A., Kremlev A., Nikolaev N., Slita O.

Identification of frequency of biased harmonic signal // IFAC Workshop on Adaptation and Learning in Control and Signal Processing (ALCOSP 07). — Saint Petersburg, Russia, 2007.

[39] Aranovskiy S., Bobtsov A., Nikolaev N., Pyrkin A., Slita O. An adaptive observer for chaotic Duffing system // 6th EUROMECH Conference ENOC. — Saint Petersburg, Russia, 2008.

[40] Arstein Z. Linear systems with delayed controls: A reduction // IEEE Trans. Autom. Control. — 1982. vol. 27. — P. 869–879.

[41] Bobtsov A.A., Romasheva D.A. Frequency estimator of a biased sinusoid // Proc. 46th IEEE Conference on Decision and Control.

— New Orlean, 2007. — P. 5534–5538.

[42] Bobtsov A.A., Kremlev A.S. Adaptive compensation of biased sinusoidal disturbances with unknown frequency // Proc. 16th IFAC World Congress. — Prague, 2005.

[43] Bobtsov A., Pyrkin A. A new approach to MRAC problem with disturbance rejection // 9th IFAC Workshop ALCOSP. — Saint Petersburg, Russia, 2007.

[44] Bobtsov A., Pyrkin A. Experimental research of consecutive compensator approach on basis of mechatronic systems // 6th EUROMECH Conference ENOC. — Saint-Petersburg, Russia, 2008.

[45] Bobtsov A., Nikolaev N., Pyrkin A., Slita O. Adaptive observer design for chaotic Duffing system // 17th IFAC World Congress.

— Seoul, Republic Korea, 2008.

[46] Bobtsov A., Nikolaev N., Pyrkin A., Slita O. Stabilization of a chaotic Van der Pole system // 17th IFAC World Congress. — Seoul, Republic Korea, 2008.

Литература [47] Bobtsov A.A., Pyrkin A.A., Nikolaev N.A., Slita O.V. Adaptive observer design for chaotic Duffing system // Int. Journal of Robust and Nonlinear Control. — 2009. vol. 19. — P. 829–841.

[48] Bobtsov A.A., Kolyubin S.A., Pyrkin A.A. Adaptive stabilization of reaction wheel pendulum on moving LEGO platform // 3rd IEEE Multi-conference on Systems and Control (MSC 2009). — Saint Petersburg, Russia, 2009.

[49] Bobtsov A.A., Efimov D.V., Pyrkin A.A. Hybrid adaptive observers for locally Lipschitz systems with application to mechanical oscillators // 3rd IEEE Multi-conference on Systems and Control (MSC 2009). — Saint Petersburg, Russia, 2009.

[50] Bobtsov A.A., Kolyubin S.A., Pyrkin A.A. Stabilization of reaction wheel pendulum on movable support with on-line Identification of Unknown Parameters // 4th International conference ‘Physics and Control’ (Physcon 2009). — Catania, Italy, 2009.

[51] Bobtsov A.A., Pyrkin A.A. Adaptive output stabilization of time delay nonlinear system // 9th IFAC Workshop on Time Delay System. — Prague, Czech Republic, 2010.

[52] Bodson M., Douglas S. C. Adaptive algorithms for the rejection of periodic disturbances with unknown frequencies // Automatica.

— 1997. vol. 33. — P. 2213–2221.

[53] Bresch-Pietri D., Krstic M. Adaptive trajectory tracking despite unknown input delay and plant parameters // Automatica. — vol. 45. P. 2074–2081.

[54] Evesque S., Annaswamy A.M., Niculescu S., Dowling A.P.

Adaptive control of a class of time-delay systems // ASME Transactions on Dynamics, Systems, Measurement, and Control.

— 2003. vol. 125. — P. 186–193.

[55] Fiagbedzi Y.A., Pearson A.E. Feedback stabilization of linear autonomous time lag systems // IEEE Trans. Autom. Control.

— 1986. vol. 31. — P. 847–855.

128 Литература [56] Franceschi E.M., Muske K.R., Jones J.C.P. An adaptive delay compensated PID air/fuel ratio controller // SAE. — N. 2007-01 1342.

[57] Furtat I., Tsykunov A. Output adaptive control for plants using time delay in output signal based on the modified algorithm of adaptation of high order // IFAC Workshop on Adaptation and Learning in Control and Signal Processing (ALCOSP 07). — Saint-Petersburg, Russia, 2007.

[58] Gu K., Niculescu S.I. Survey on recent results in the stability and control of time-delay systems // Trans. ASME. — 2003. vol. 125.

— P. 158–165.

[59] Hou M. Amplitude and frequency estimator of a sinusoid // IEEE Transactions on Automatic Control. — 2005. vol. 50. — P. 855– 858.

[60] Hsu L., Ortega R., Damm G. A globally convergent frequency estimator // IEEE Transactions on Automatic Control. 1999. — vol. 44. — P. 698–713.

[61] Jankovic M. Control Lyapunov-Razumikhin functions and robust stabilization of time delay systems // IEEE Trans. on Automatic Control. — 2001. vol. 46. — P. 1048–1060.

[62] Jankovic M. Control of nonlinear systems with time delay // IEEE Conference on Decision and Control. — 2003.

[63] Jankovic M. Forwarding, backstepping, and finite spectrum assignment for time delay systems // American Control Conference. — 2006.

[64] Jankovic M. Control of cascade systems with time delay — the integral cross-term approach // IEEE Conf. on Decision and Control. — 2006.

[65] Khalil H. Nonlinear systems, third edition, Upper Saddle River.

— New Jersey: Prentice Hall, 2002.

Литература [66] Kolyubin S., Pyrkin A. Adaptive control of a reaction wheel pendulum // 12th International Student Olympiad on Automatic Control BOAC. — Saint-Petersburg, Russia, 2008.

[67] Krstic M. On compensating long actuator delays in nonlinear control // IEEE Trans. Autom. Control. — 2008. vol. 53. — P.

1684–1688.

[68] Krstic M. Delay compensation for nonlinear, adaptive and PDE systems. — Birkhauser, 2009.

[69] Krstic M., Kanellakopoulos I., Kokotovic P.V. Nonlinear and adaptive control design. — Wiley, 1995.

[70] Krstic M., Smyshlyaev A. Backstepping boundary bontrol for first-order hyperbolic PDEs and application to systems with actuator and sensor delays // Systems & Control Letters. — 2008.

vol. 57. — P. 750–758.

[71] Kwon W.H., Pearson A.E. Feedback stabilization of linear systems with delayed control // IEEE Trans. Autom. Control.

— 1980. vol. 25. — P. 266-269.

[72] Lin Z., Fang H. On asimptotic stabilizability of linear systems with delayed input // IEEE Transactions on Automatic Control.

— 2007. vol. 52. N. 6. — P. 998–1013.

[73] Manitius A.Z., Olbrot A.W. Finite spectrum assignment for systems with delays // IEEE Trans. Autom. Control. — 1979.

vol. 24. — P. 541–553.

[74] Marino R., Santosuosso G. L., Tomei P. Robust adaptive compensation of biased sinusoidal disturbances with unknown frequency // Automatica. — 2003. vol. 39. — P. 1755–1761.

[75] Marino R., Santosuosso G. L., Tomei P. Regulation of linear systems with unknown additive sinusoidal sensor disturbances // Proc. 17th IFAC World Congress. — Seoul, Repulic Korea, 2008.

— P. 4102–4107.

130 Литература [76] Marino R., Tomei P. Adaptive regulator for uncertain linear minimum phase systems with unknown undermodeled exosystems regulation of linear systems with unknown additive sinusoidal sensor disturbances // Proc. 17th IFAC World Congress. — Seoul, Repulic Korea, 2008. — P. 11293–11298.

[77] Marino R., Tomei P. Adaptive regulation of uncertain linear minimum phase systems with unknown exosystems // Proc.

IEEE 45th Conf. on Decision and Control. — San Diego, USA, 2006. — P. 1099–1104.



Pages:     | 1 || 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.