авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 7 |

«И. И. ТАШЛЫКОВА-БУШКЕВИЧ ФИЗИКА В 2-х частях Часть 1 МЕХАНИКА. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ...»

-- [ Страница 2 ] --

2r r A = Fdr = Fs ds. (4.13) 1 Формула (4.13) справедлива не только для частицы, но и для любого тела r (или системыrтел). Под dr (или ds ) надо понимать перемещение точки прило жения силы F. В частномrслучае при прямолинейном движении тела под дей ствием постоянной силы F, которая составляет некоторый угол с направле нием перемещения, работа этой силы равна A = Fs s = Fs cos.

Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы, вводят понятие мощности. Мощность – это работа, совершаемая силой за единицу времени.

Мощность P равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения этой силы:

rr A P= = ( F, ).

dt Как и работа, мощность – величина алгебраическая.

Единица работы в СИ – джоуль (Дж): 1 Дж = 1 Н · м.

1 Джоуль – это работа, совершаемая силой величиной 1 Н на пути 1 м.

Единица мощности в СИ – ватт (Вт): 1 Вт = 1 Дж/с.

1 Ватт – это мощность, при которой за время 1 с совершается работа 1 Дж.

r Зная мощность силы F, можно найти и работу, которую совершает эта сила за промежуток времени t. Действительно, подставив подынтегральное вы r r rr ражение в формуле (4.13) в виде Fdr = Fdt = Pdt, получим t A = Pdt.

4.6. Кинетическая энергия частицы. Консервативные силы Кинетическая энергия механической системы – это энергия механиче ского движения этой системы, определяемая скоростью ее частиц. r Пусть частица rмассы m движется под действием некоторой силы F (в общем случае сила F – результирующая r нескольких сил). Найдем элементар r ную работу, которую совершает эта сила F на элементарном перемещении dr.

r r r r r d и dr = (dr dt )dt = dt, и запишем из выражения (4.12):

Учтем, что F = m rr dt rr A = Fdr = md.

rr Можно показать, что d = d, и элементарная работа будет равна A = m d = d ( m 2 / 2).

r Отсюда видно, что работа силы F идет на приращение некоторой вели чины в скобках, которую называют кинетической энергией частицы:

m Ek =. (4.14) Кинетическая энергия является функцией состояния системы. Она всегда положительна. В разных инерциальных системах отсчета кинетическая энергия неодинакова.

Таким образом, приращение кинетической энергии частицы при элемен тарном перемещении равно элементарной работе всех сил, действующих на частицу, на том же перемещении:

dEk = A. (4.15) Теорема о кинетической энергии:

изменение кинетической энергии частицы при ее переходе из одного поло жения в другое равно алгебраической сумме работ всех сил, действующих на частицу на том же перемещении:

Ek 2 Ek1 = A12. (4.16) Единица кинетической энергии в СИ – джоуль (Дж): 1 Дж = 1 Н · м.

Консервативной называют силу, работа которой определяется только начальным и конечным положениями тела и не зависит от формы и длины пути (от траектории точки приложения силы).

Консервативные силы действуют на тело (материальную точку) в потен циальных стационарных полях. Стационарное поле будет потенциальным, ес ли работа по любому замкнутому пути в этом поле будет равна нулю:

rr A = Fdr = 0.

Чтобы убедиться в этом, разобьем произвольный a замкнутый контур, по которому движется частица,. на две части: 1а2 и 2b1, рис. 4.2. Тогда работа А на.

замкнутом пути равна b A = A1a 2 + A2b1, Рис. 4.2. К определению где A1a 2 = A1b 2, так как работа консервативных сил стационарного потенциального поля не зависит от формы пути. Поскольку A2b1 = A1b2, то в результате оказывается, что работа в потенциальном поле на произвольном замкнутом пути действительно равна нулю: A = 0.

Неконсервативные силы – это силы, работа которых зависит от формы траектории. При перемещении материальной точки или тела по замкнутой тра ектории работа неконсервативной силы не равна нулю. К неконсервативным силам относятся силы трения и сопротивления. Они называются диссипатив ными силами. Суммарная работа всех внутренних диссипативных сил системы всегда отрицательна.

4.7. Потенциальная энергия частицы в поле. Энергия упругой деформации.

Связь между потенциальной энергией и силой поля Рассмотрим стационарное поле консервативных сил. Работу консерва тивной силы можно представить как изменение (убыль) некоторой скалярной r функции E р (r ), зависящей только от положения частицы (тела), которая назы вается потенциальной энергией частицы:

rr A = F dr = dE p.

Тогда работа сил поля при перемещении частицы из точки 1 в точку 2 может r быть представлена как убыль потенциальной энергии E р (r ) частицы в данном поле:

2r r A12 = Fdr = E p1 E p2. (4.17) Из формулы (4.17) следует, что потенциальная энергия определена с точ ностью до произвольной постоянной. Поскольку в физических явлениях приро ды рассматривается не сама величина потенциальной энергии, а только ее из менение, то роль константы несущественна. Начало отсчета потенциальной энергии ( E р = 0 ) выбирается из соображений удобства.

Единица потенциальной энергии в СИ – джоуль (Дж): 1 Дж = 1 Н · м.

Определим энергию упругой деформации стержня. Внешние силы подчи няются закону Гука (3.17). Потенциальная энергия упруго растянутого (сжато го) стержня равна минимальной работе, совершаемой внешними силами при деформации, т.е. при Fвнеш = F :

l E p = A = Fdx.

Пусть х – удлинение стержня, которое изменяется в процессе деформации от 0 до l. Тогда согласно закону Гука (3.17) получаем для энергии упругой деформации Ер, что потенциальная энергия упруго растянутого стержня про порциональна квадрату деформации:

l ES 1 ES ( l ) 2.

Ep = xdx = l 2l В ньютоновской механике широко используются два способа описания взаимодействия частицы с окружающими телами: с помощью сил и с помо щью потенциальной энергии. Первый способ применим и к таким силам, для которых нельзя ввести потенциальную энергию, например для сил трения. Вто рой способ применим только в случае консервативных сил.

Рассмотрим перемещение частицы из одной точки потенциального ста ционарного поля в другую. Связь между потенциальной энергией и силой поля выражается в соответствии с уравнением (4.17):

E p Fs =, (4.18) s r где потенциальная энергия E p (r ) – функция положения частицы в поле. Сле r довательно, проекция Fs силы поля – вектора F – в данной точке поля на на r правление перемещения dr равна с обратным знаком производной потенци альной энергии E p по данному направлению.

r Перемещение dr можно взять в любом направлении, в частности вдоль координатных осей X, Y, Z. Связь между силой поля и потенциальной энерги ей как функцией координат можно представить в следующем виде:

r r r E p r E p r E p F = E p = k, x i + y j + z (4.19) где величину, стоящую в скобках, называют градиентом скалярной функции координат – потенциальной энергии частицы в данной точке поля, обозначая r grad E p или E p. Дифференциальный оператор набла в декартовых координа тах записывается как r r r r =i +j +k.

x x x r Таким образом, вектор консервативной силы F противоположен направлению r вектора E p. Формула (4.19) позволяет, зная потенциальную энергию частицы rr r E p (r ), найти действующую на нее силу F (r ). Смысл градиента будет понят нее, если ввести понятие эквипотенциальной поверхности – поверхности, во всех точках которой потенциальная энергия имеет одно и тоже значение. Каж дому значению E p соответствует своя эквипотенциальная поверхность. Тогда градиент E p – это вектор, направленный по нормали к эквипотенциальной по верхности в сторону возрастания потенциальной энергии.

4.8. Полная механическая энергия частицы. Закон ее сохранения.

Общефизический закон сохранения энергии Рассмотрим систему частиц (материальных точек), которая находится в стационарном поле консервативных сил. Частицы системы двигаются поступа тельно. Отметим, что внешние силы не имеют отношения к силовому полю, в котором находятся частицы. Внешние силы могут быть и консервативными, и неконсервативными. Работа последних сил не может быть учтена как измене ние потенциальной энергии системы.

Полная механическая энергия частицы – энергия механического дви жения и взаимодействия, равная сумме кинетической и потенциальной энергий:

E = Ek + E p. (4.20) Полная механическая энергия частицы, как и потенциальная энергия, определя ется с точностью до произвольной постоянной. Из уравнения (4.20) можно до казать, что приращение полной механической энергии частицы на некотором пути в стационарном поле консервативных сил равно алгебраической сумме работ всех внешних сил, действующих на систему на том же пути:

E2 E1 = Aвнеш. (4.21) Если Aвнеш 0, то полная механическая энергия системы увеличивается, если Aвнеш 0, то уменьшается.

Полная механическая энергия частицы может изменяться только под дей ствием внешних сил (см. формулу (4.21)). Отсюда непосредственно следует за кон сохранения механической энергии частицы:

полная механическая энергия частицы в стационарном поле консервативных сил остается неизменной во времени, если внешние силы отсутствуют или таковы, что не совершают работы в течение рассматриваемого времени:

E = Ek + E p = const. (4.22) Диссипативные системы – это системы, в которых механическая энер гия постепенно уменьшается за счет преобразования в другие (немеханические) формы энергии. Этот процесс получил название диссипации (рассеяния) энер гии. Строго говоря, все системы в природе являются диссипативными.

Центральными называются силы, действующие по прямой, соединяю щей частицы, и зависящие только от расстояния r между ними.

Рассмотрим систему частиц N, между которыми действуют только цен тральные силы. Можно показать, что в этом случае независимо от системы от счета работа всех внутренних центральных (консервативных) сил при переходе системы частиц из одного положения в другое может быть представлена как убыль некоторой функции, определяемой состоянием системы:

Aвнутр = E соб E соб, конс р1 р где E соб и E соб – собственная потенциальная энергия системы в начальном и р1 р конечном состояниях соответственно. Собственная (взаимная) потенциаль ная энергия системы частиц – это механическая энергия системы тел, завися щая от конфигурации системы (взаимного расположения частиц) и характера сил взаимодействия между ними:

1N E соб, E соб = р р ik 2 i,k = (i k ) где E соб – энергия взаимодействия i-й и k-й частиц. Если при движении частиц p ik конфигурация системы остается постоянной, то потенциальная энергия будет постоянной и внутренние силы работы не совершают.

Кинетическая энергия системы частиц равна сумме кинетических энер гий отдельных частиц:

N m Ek = i i, i =1 где mi и i – соответственно масса и скорость частицы i. Суммарная работа А всех сил действующих на систему частиц – внешних и внутренних – затрачива ется на приращение кинетической энергии (см. формулу (4.16)).

Таким образом, механическая энергия системы определяется как E = Ek + E соб. (4.23) p Механическая энергия системы зависит от скоростей частиц системы, характе ра взаимодействия между ними и конфигурации системы. Изменение механи ческой энергии замкнутой системы равно алгебраической сумме работ всех внутренних неконсервативных сил неконс E2 E1 = Aвнутр.

Следовательно, механическая энергия неконсервативной замкнутой системы убывает ( E будет отрицательно), поскольку можно показать, что результи рующая работа всех внутренних неконсервативных сил системы – величина от рицательная, независимо от системы отсчета.

Закон сохранения механической энергии системы:

механическая энергия замкнутой системы частиц (см. формулу (4.23)), в ко торой отсутствуют неконсервативные силы, сохраняется в процессе движения.

Рассмотрим систему частиц N во внешнем стационарном поле консерва тивных сил. Действующие внешние силы можно разделить на силы со стороны внешнего поля и внешние сторонние силы, которые не относятся к данному внешнему полю. Учтем, что каждая i-я частица системы будет характеризовать ся своим значением потенциальной энергии E p i в поле, определяемым по фор муле (4.17). Можно показать, что полная механическая энергия системы во внешнем поле равна сумме кинетической и потенциальной энергий E = Ek + E соб + E внеш, (4.23а) p p N где Е внеш = E p i.

p i = Изменение механической энергии системы определяется суммой работ всех действующих в системе неконсервативных сил (внутренних и внешних):

E2 E1 = Aнеконс. (4.24) Таким образом, когда неконсервативные силы отсутствуют, полная механиче ская энергия системы сохраняется.

Закон сохранения полной механической энергии системы, находя щейся во внешнем стационарном поле консервативных сил:

в инерциальной системе отсчета полная механическая энергия замкнутой системы частиц (см. формулу (4.23а)), в которой нет внутренних неконсерва тивных сил, остается постоянной в процессе движения.

Данный закон выводится с применением теоремы об изменении кинети ческой энергии частицы (4.16), которая опирается на второй закон Ньютона (3.3). Отсюда следует требование инерциальности системы отсчета.

В заключение сформулируем закон сохранения энергии в его общем физическом смысле:

энергия никогда не исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой.

Физическая сущность закона сохранения и превращения энергии (меха нической, внутренней, электромагнитной, химической, ядерной и др.) – неуничтожимость материи и ее движения.

4.9. Гравитационное поле и его характеристика Взаимодействие между телами осуществляется через гравитационное поле (поле тяготения), которое является одной из форм материи. В гравитаци онном поле на материальную точку действует сила тяготения, прямо пропор циональная массе этой точки. Векторной характеристикой данного поля явля r r ется его напряженность Г, которая равна отношению силы тяготения F, действующей на материальную точку, к величине ее массы m:

rr Г = F m, (4.25) r где Г – это сила, которая действует на тело массы 1 кг.

Силы тяготения имеют потенциальный характер, что позволяет ввести скалярную характеристику гравитационного поля – потенциал, связанный с r Г соотношением r r r r Г = grad = ( i + j+ k).

x y z Можно показать, что для гравитационного поля, создаваемого материаль ной точкой с массой М, находящейся в начале координат, напряженность равна r Mr Г = G 3 r, (4.26) r r r где r – радиус-вектор точки поля, в которой определяется Г ;

G – гравитаци онная постоянная.

Работа сил гравитационного поля, например Земли, не зависит от фор мы пути, а определяется начальным и конечным положением тела. При пере мещении тела с расстояния r1 до r A = GMm ( ), (4.27) r1 r rr где М – масса Земли;

m – масса тела. Радиус-векторы r1 и r2 проводятся из цен тра Земли к телу m.

Потенциал гравитационного поля определяется только массой тела, создающего гравитационное поле, и расстоянием от центра данного тела до не которой точки поля:

Ep M = = G. (4.28) m r Можно показать, что потенциальная энергия, которой обладает тело массой m вблизи поверхности Земли, имеет следующий вид:

E p = C + mgh, (4.29) где постоянная С на поверхности Земли принимается равной нулю. Тогда по тенциал гравитационного поля вблизи поверхности Земли определяется как = gh. (4.29а) 4.10. Примеры применения законов сохранения импульса и механической энергии Примером применения законов сохранения импульса и энергии при реше нии реальной физической задачи является удар абсолютно упругих и неупругих тел, так как два сталкивающихся тела, на которые не действуют силы со сторо ны каких-либо других тел, представляют собой замкнутую систему.

Например, в основе современного ядерно-физического метода резерфор довского обратного рассеяния лежат физические законы взаимодействия нале тающей частицы (иона) и атома мишени: передача энергии и закон сохранения импульса при процессах упругих взаимодействий двух тел. Когда энергия нале тающей частицы намного больше энергии связи атомов в твердых телах (около 10 эВ), то атом мишени можно считать изолированным. Энергия рассеянных частиц зависит от массы ядра, с которым произошло столкновение, благодаря чему метод позволяет проводить анализ элементного состава вещества. Из-за энергетических потерь, испытываемых обратно рассеянными анализирующими частицами при прохождении слоя изучаемого вещества до и после рассеяния, метод является чувствительным и к глубине, на которой находятся атомы того или иного элемента. Использование для обработки спектров программы RUMP дает возможность определять концентрации элементов начиная с 0,001 ат. %.

Удар (соударение) – это столкновение двух или более тел, в результате которого скорости тел изменяются. Столкновениями называют разнообразные процессы взаимодействия между телами, при условии, что на достаточно большом расстоянии друг от друга тела можно рассматривать как свободные.

Центральный удар – это удар, при котором тела до соударения движутся по прямой, проходящей через их центры масс. При этом векторы скоростей тел до и после удара лежат на прямой линии, соединяющей их центры масс.

Абсолютно упругий удар – столкновение двух тел, в результате которого в обоих взаимодействующих телах не остается никаких деформаций и вся ки нетическая энергия, которой обладали тела до удара, после удара снова пре вращается в кинетическую энергию. Выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения механической энергии.

r r Обозначим скорости шаров массами m1 и m2 до удара через 1 и 2, после r r удара – через u1 и u2. Пусть шары движутся поступательно. При абсолютно упругом ударе для скоростей и энергий до удара и после удара справедливы следующие уравнения:

r r r r m11 + m22 = m1u1 + m2u2, (4.30) m11 m22 m1u12 m2u2 2 + = +. (4.30а) 2 2 2 Рассмотрим случай центрального удара. Уравнение (4.30) тогда можно рассматривать как скалярное (разные направления скоростей различаются только знаком). Предположим, что первоначально оба шара двигались вдоль одного направления. Пусть после столкновения направление их движения не изменилось. Перепишем законы сохранения, спроецировав их на направление движения (обозначим как ось Х), в таком виде:

m1 (1 x u1 x ) = m2 (u2 x 2 x ), m1 (12x u1 x ) = m2 (u2 x 2 x ).

2 2 Разделив второе уравнение на первое, получим u1 x + 1 x = u2 x + 2 x.

Умножая это уравнение один раз на m2, а другой раз – на m1 и вычитая его из первого уравнения, получим выражения для обеих скоростей после удара:

(m2 m1 ) 2 x + 2m11 x (m1 m2 )1 x + 2m2 2 x u1 x = u2 x = ;

. (4.31) m1 + m2 m1 + m В общем виде эти выражения сложны. Мы рассмотрим в качестве приме rr ра один частный случай. Пусть один шар до удара покоится: 2 = 0. Тогда (m1 m2 )1 x 2m11 x u1 x = u2 x = ;

.

m1 + m2 m1 + m Действительно, после удара второй шар движется в ту же сторону, куда двигал ся первый до удара. Скорость u1 x и поведение первого шара зависят от соотно шения масс.

А. Если m1 m2, то первый шар продолжает двигаться в том же направ лении, как и до удара, но с меньшей скоростью. Скорость второго шара после удара u2 больше, чем скорость первого до удара 1 x, рис. 4.3, а.

Б. Если m1 m2, то направление движения первого шара при ударе изме няется – шар отскакивает обратно. Второй шар движется в сторону, в которую двигался первый до удара, но с меньшей скоростью, рис. 4.3, б.

В. Массы шаров одинаковы: m1 = m2. Тогда u1 x = 2 x ;

u2 x = 1 x, т.е. шары равной массы при ударе обмениваются скоростями. Например, если rr rr u1 = 0, то 2 = 0.

Абсолютно неупругий удар – До удара Доrудара r столкновение двух тел, в результате которого тела объединяются, двига m1 m2 ясь дальше как единое тело. После m m столкновения образуется тело с мас После удара После удара сой m1 + m2 (свойство аддитивности r r r r u1 u u1 u массы).

б Если удар оказывается абсо m а m1 m1 m лютно неупругим, то определить тре Рис. 4.3. Абсолютно упругое столкновение буется только одну общую скорость двух тел:

обоих тел после удара. Удар будем а – частицы массами m1 m2 ;

считать центральным. Если массы тел r б – частицы массами m1 m m1 и m2, их скорости до удара 1 и r r 2, а их общая скорость после удара, то по закону сохранения импульса r r r m11 + m22 = (m1 + m2 ).

Скорость после удара будет направлена по той прямой, по которой на правлены обе скорости до удара: r r r m + m2 = 1 1. (4.32) m1 + m Отметим, что полная механическая энергия шаров при центральном абсо лютно неупругом ударе не сохраняется. В процессе соударения шаров между ними действуют силы, подобные силам трения и зависящие от скорости изме нения деформаций, а не от величины деформаций. Например, при соударении глиняных шаров эти силы исчезают, когда деформации шаров перестают изме няться (скорости шаров становятся равными). Кинетическая энергия при ударе уменьшается, так как из-за деформации она частично или полностью превраща ется в другие формы энергии, например в тепловую или потенциальную. Отме тим, что возможна обратная ситуация, когда при столкновении высвобождается потенциальная энергия, например химическая или ядерная. Тогда полная кине тическая энергия после столкновения может быть больше исходной.

Для абсолютно неупругого удара шаров изменение кинетической энергии (m1 + m2 ) 2 m11 m 2.

Ek = + 2 2 Используем уравнение (4.32) и получим, что rr m1m Ek = (1 2 )2. (4.33) 2(m1 + m2 ) 4.11. Космические скорости Рассмотрим характер движения тел, находящихся под действием сил все мирного тяготения. Ограничимся простейшим случаем двух тел, предполагая, что масса одного из них M гораздо меньше массы т второго тела. Тогда первое тело можно считать практически неподвижным или движущимся равномерно и прямолинейно, так как ускорение, сообщаемое ему первым телом, пренебре жимо мало. Задача сводится к определению движения второго тела.

Наиболее простой случай – это движение искусственного спутника по круговой орбите на постоянной высоте над поверхностью Земли. После того как ракета-носитель поднимается на достаточную высоту, на которой плотность земной атмосферы, а следовательно, и ее сопротивление движению ничтожны, двигатели ракеты выключаются, и дальнейшее движение можно рассматривать как происходящее только под действием сил тяготения. Начальными условиями этого движения служат положение и скорость ракеты-носителя (или отделив шегося от нее спутника) в точке, в которой выключаются двигатели.

Сопротивлением воздуха при прохождении тела через атмосферу Земли будем пренебрегать. Радиус орбиты спутника должен быть больше радиуса Земли, равного RЗ = 6350 км. Примем для дальнейших расчетов, что радиус орбиты R составляет 6700 км. Согласно второму закону Ньютона (3.3):

m к M Зm F =G = ma1 =, R2 R где F – сила гравитационного взаимодействия;

MЗ – масса Земли;

m – масса спутника. Из последнего уравнения получаем выражение для первой космиче ской скорости – наименьшей начальной скорости, которую необходимо сооб щить телу, чтобы оно стало искусственным спутником Земли. Она равна скоро сти кругового движения на данной высоте над Землей:

к1 = G M З R. (4.34) Если бы атмосфера Земли отсутствовала, то спутник мог бы двигаться по кру говой орбите непосредственно у поверхности Земли, т.е. по орбите с радиусом RЗ. Пренебрегая различием между силой тяжести mg и силой гравитационного притяжения тела к Земле, получим равенство M Зm GM З = mg = gRЗ.

G RЗ RЗ Тогда можно получить из выражения (4.34):

к1 = gRЗ 8 км / с.

Вторая космическая скорость к 2 – это скорость, которую нужно со общить телу при запуске с Земли для того, чтобы оно вышло из сферы земного притяжения и стало телом Солнечной системы. Ей соответствует параболиче ская траектория. Под действием силы тяготения Солнца тело движется по замкнутой орбите вокруг Солнца.

Вычислим к 2, применив закон сохранения энергии. В момент запуска полная энергия тела массой т равна m к Mm E= G З, 2 R где потенциальная энергия нормирована таким образом, что на бесконечности согласно формуле (4.27) она обращается в нуль. Полная энергия также будет равна нулю, так как считаем, что на бесконечности скорость тела равна нулю.

Тогда определим, что к 2 11 км/с, так как к 2 = 2GM З R = 2 к1. (4.35) Третья космическая скорость к 3 – это такая космическая скорость, при которой тело, начиная движение вблизи поверхности Земли, преодолевает земное притяжение, затем солнечное притяжение и покидает Солнечную систему.

Подставим в уравнение (4.35) вместо M З массу Солнца (1,97·1030 кг) и вместо радиуса – радиус земной орбиты (1,50·1011 м), поскольку в момент стар та с Земли тело находится именно на таком расстоянии от Солнца, и получим к 3 = 42 км/с.

С учетом того что Земля не является неподвижной в момент запуска тела и движется вокруг Солнца со скоростью 30 км/с, а также принимая во внимание силы притяжения тела к Земле, при запуске тела по касательной в направлении орбитального движения Земли скорость 42 км/с достигается при скорости тела относительно Земли к 3 17 км/с.

4.12. Моменты импульса частицы относительно точки и оси.

Момент силы. Пара сил Задача динамики абсолютно твердого тела – изучить движение тела в за висимости от действующих на него сил. Для изучения вращательного движе ния тела необходимо ввести новые понятия: момент силы и момент импульса.

r Рассмотрим сначала одну частицу. Пусть r – радиус-вектор, характери зующий ее положение относительно некоторой точки О выбранной системы r отсчета, а p – ее импульс в этой системе.

r Моментом импульса (моментом количества движения) L частицы А относительно точки О, рис. 4.4, называют физическую величину, численно рав r r ную векторному произведению векторов r и p :

r rr L = [r, p]. (4.36) r Из этого определения следует, что L являет r ся аксиальным вектором. Его направление выбрано L так, что вращение вокруг точки О в направлении r r вектора p и вектор L образуют правовинтовую r. r систему. Модуль вектора L равен r О. p L = rp sin = lp, r А (4.36а) r r l где – угол между r и p ;

l = r sin – плечо векто r r Рис. 4.4. Момент импульса L ра p относительно точки О, см. рис. 4.4.

частицы А относительно Единица момента импульса в СИ – кило точки О грамм-метр в квадрате в секунду (кг·м2/с).

Определим механическую величину, ответственную за изменение вектора r L в данной системе отсчета, продифференцировав уравнение (4.36) по времени:

r r r dL dr r r dp = p+r.

r r dt dt dt Так как точка О неподвижна, то вектор dr dt равен скорости частицы, т.е.

r совпадает по направлению с вектором p, поэтому r dr r p = 0.

r r dt r Согласно второму закону Ньютона (3.4), dp dt = F, где F – равнодействующая всех сил, приложенных к частице. Следовательно, r rr dL = [r, F ].

r dt Моментом силы F относительно некоторой точки О называется физиче r ская величина, численно равная векторному произведению радиус-вектора r, r проведенного из точки О в точку приложения силы А, на силу F. Обозначив r его буквой M, запишем r rr M = [r, F ]. (4.37) r Вектор M направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат век r r торы r и F, рис. 4.5. Модуль момента силы равен M = lF, r r (4.37а) M где l = r sin – плечо вектора силы F относительно точки О.

. Плечом силы l называют длину перпендику r О r ляра, опущенного из точки О на прямую, вдоль ко. F r торой действует сила.

А l r Единица момента силы в СИ – ньютон Рис. 4.5. Момент силы M, метр (Н·м).

приложенной в точке А, Момент силы характеризует способность силы относительно точки О вращать тело вокруг точки, относительно которой он определяется. Если тело может вращаться относительно точки О произвольным образом, то под дейст вием силы тело повернется вокруг оси, совпадающей с направлением момента силы. r Итак, производная по времени от момента импульса L частицы относи-r тельно некоторой точки О выбранной системы отсчета равна моменту M рав r нодействующей силы F относительно той же точки О:

r r dL =M. (4.38) dt Закон изменения момента импульса (4.38) часто называется уравнением моментов. Из данного уравнения, в частности, следует, что если относительно некоторой точки О выбранной системы отсчета сумма моментов всех сил, дей r ствующих на частицу, равна нулю ( M = 0 ) в течение некоторого промежутка времени, то относительно этой точки момент импульса частицы остается по стоянным в течение этого времени. r Уравнение моментов (4.38) позволяет найти момент силы M относитель ной интересующей нас точки О в любой момент времени t, если известна зави r симость от времени L (t ) частицы относительно той же точки.

Также из формулы (4.38) можно определить приращение момента им пульса частицы относительно точки О за конечный промежуток времени t, если r известна зависимость от времени момента силы M (t ), действующего на эту частицу относительной той же точки О:

r r tr L2 L1 = M (t )dt. (4.39) Величину, стоящую в правой части выражения (4.39), называют импуль сом момента силы.

В тех случаях, когда твердое тело вращается вокруг неподвижной оси, вводят понятия момента импульса и момента инерции относительно оси.

Моментом импульса частицы относительно неподвижной оси Lz на зывается скалярная величина, равная проекции на эту ось вектора момента им r пульса L, определенного относительно любой точки, выбранной на рассматри ваемой оси.

Соответственно моментом силы относительно неподвижной оси M z r называется проекция на эту ось вектора M относительно любой точки, вы бранной на данной оси, характеризующая способность силы вращать тело во круг этой оси.

Можно доказать, что выбор точки на оси никак не влияет на значения Lz и M z. Поэтому точку выбирают из соображений удобства: уравнение моментов (4.38) будет тем проще, чем больше сил будут иметь равные нулю моменты.

При проецировании моментов сил на оси, например X и Y (случай пло ской системы сил, когда оси X и Y расположены в плоскости действия сил), мо менты сил, стремящиеся повернуть материальную точку (тело) по часовой стрелке вокруг выбранного начала, берутся с одним знаком, против часовой стрелки – с противоположным.

Уравнение моментов (4.38) в проекции на ось Z имеет вид dLz dt = M z. (4.40) В частности, если момент силы M z относительно некоторой неподвижной оси Z равен нулю, то момент импульса Lz частицы относительно этой оси остается r постоянным. При этом вектор L может изменяться.

Главным моментом системы k сил называется вектор, равный сумме r векторов моментов всех сил M i системы относительно одной и той же точки системы отсчета r kr krr M = M i = [ri, Fi ]. (4.41) i =1 i = Две равные по модулю и противоположно направленные силы, не дейст вующие вдоль одной прямой, называются парой сил. Их равнодействующая сила равна нулю. Действие пары сил на твердое тело сводится только к враще нию тела относительно некоторой точки, лежащей в плоскости этой пары сил.

Плечом пары сил называется расстояние l между прямыми, вдоль кото рых действуют силы.

.

r Пусть кr телу rв точках 1 и 2 приложена r21 1 r пара сил ( F1 = F2 ), рис. 4.6. Обозначим F r r rr M r r21 = r1 r2 – радиус-вектор, проведенный из l r.

r точки 2 в точку 1. Результирующий момент r сил относительно произвольной точки О будет F r2 определяться так:

. О r rr rr rr rr M = [ r1, F1 ] + [ r2, F2 ] = [r1, F1 ] [r2, F1 ] = Рис. 4.6. Схема, иллюстрирующая rrr действие пары сил на тело = [( r1 r2 ), F1 ].

Таким образом, получаем, что r rr M = [ r21, F1 ]. (4.42) Следовательно, M = r21F1 sin = lF1. (4.42а) В рассмотренном случае суммарный момент внешних сил не зависит от выбора r точки, относительно которой его определяют. Вектор M перпендикулярен к плоскости, в которой лежат силы. В частности, в приведенном примере на r рис. 4.6 вектор M направлен перпендикулярно плоскости рисунка от нас.

4.13. Момент импульса системы. Закон сохранения момента импульса Выберем произвольную систему частиц. Введем понятие момента им пульса механической системы относительно некоторой точки О как век торную сумму моментов импульса r отдельных частиц:

ее r L = Li, (4.43) i где все векторы определены относительно одной и той же точки О заданной системы отсчета. Момент импульса системы – величина аддитивная: момент импульса системы равен векторной сумме моментов импульсов ее отдельных частей независимо от того, взаимодействуют ли они между собой.

Выясним, какая величина определяет изменение момента импульса сис темы. Для этого продифференцируем (4.43) по времени. Согласно уравнению r моментов (4.38) производная dL dt равна моменту всех сил, действующих на i-ю частицу. Представим этот момент в виде векторной суммы моментов внут ренних и внешних сил: r r r dL = M iвнутр + M iвнеш. (4.43а) dt i i Здесь первая сумма – суммарный момент всех внутренних сил относительно точки О, вторая сумма – суммарный момент всех внешних сил относительно той же точки.

Внутренние силы – это силы взаимодействия между частицами данной системы. По третьему закону Ньютона (3.7) эти силы попарно одинаковы по модулю, противоположны по направлению и лежат на одной прямой, и значит, имеют одинаковое плечо. Следовательно, суммарный момент всех внутренних сил для любой системы частиц относительно точки О равен нулю:

r M iвнутр = 0.

i Соответственно равен нулю и суммарный момент относительно любой оси Z:

M iвнутр = 0.

z i Таким образом, момент импульса системы может изменяться только под действием суммарного момента всех внешних сил. В результате выражение (4.43а) принимает вид r r dL = M внеш, (4.44) r r r dt где M внеш = M iвнеш – суммарный момент всех внешних сил;

моменты L и r внеш i определены относительно одной и той же точки О заданной системы от M счета.

Моментом импульса механической системы относительно оси назы вается проекция на эту ось вектора момента импульса системы относительно любой точки, выбранной на данной оси.

Моментом силы механической системы относительно оси называется проекция на эту ось вектора момента силы относительно любой точки, выбран ной на данной оси.

Из уравнения моментов (4.44) следует, что производная по времени от момента импульса системы относительно неподвижной оси равна суммарному моменту всех внешних сил, действующих на систему, относительно этой же оси:

dLz внеш = Mz. (4.44a) dt Как и в случае одной частицы, согласно уравнению (4.44), приращение момента импульса системы за конечный промежуток времени t равно r r t r внеш L2 L1 = M dt, (4.45) т.е. приращение момента импульса системы равно импульсу суммарного мо мента всех внешних сил за соответствующий промежуток времени.

Из уравнения (4.44) следует закон сохранения момента импульса меха нической системы:

момент импульса замкнутой системы частиц остается постоянным, т.е. не изменяется со временем: r r L = Li (t ) = const. (4.46) r i При этом моменты импульса Li отдельных частей или частиц замкнутой системы относительно одной и той же точки системы отсчета могут изменяться со временем, что отмечено в (4.46). Закон сохранения момента импульса пред ставляет собой самостоятельный общий принцип, являющийся обобщением опытных фактов.

Таким образом, можно на основании уравнений (4.44) и (4.46) для инер циальных систем отсчета заключить, что причина изменения момента импуль са системы – действие других тел (через момент внешних сил взаимодействия).

Тема 5. Механика твердого тела 5.1. Момент импульса тела относительно неподвижной оси.

Момент инерции. Теорема Штейнера Уравнение моментов (4.44) справедливо для любой произвольно выбран ной неподвижной оси. Но оно приобретает особенно простой вид для случая вращения вокруг неподвижной оси, если в качестве оси моментов выбрать ось вращения. Найдем выражение для момента импульса твердого тела относи тельно неподвижной оси вращения Z.

При вращении абсолютно твердого тела (системы п частиц) вокруг не подвижной оси Z каждая материальная точка тела (частица) массой mi, чей ра r r диус-вектор равен ri, движется по окружности постоянного радиуса Ri со ско r r ростью i, перпендикулярной радиусу Ri, рис. 5.1. Момент импульса отдель ной частицы равен Li = mii ri и направлен по оси в сторону, определяемую пра r вилом правой руки (совпадает с направлением вектора на рис. 5.1). Учтем, r что вектор Ri остается постоянным по величине и направление его всегда пер r r пендикулярно к направлению вектора момента импульса: Ri Li.

Можно записать, что момент импульса тела от Z носительно оси Z n n Lz = Li sin = mi i Ri.

i =1 i = С другой стороны, при вращении по окружности r r i = z Ri, где z – проекция вектора угловой скорости. r.m ri Ri Oi вращения на ось вращения. Тогда r r i Li n n n Lz = mi z Ri2 = z mi Ri2 = z I iz, ri r (5.1) Liz i =1 i =1 i = r.О где момент инерции i-й точки тела I iz относительно Li оси вращения есть произведение массы этой точки на квадрат расстояния от нее до оси.

Рис. 5.1. К определению момента импульса тела Моментом инерции тела (системы) относи относительно оси тельно оси вращения Z называется физическая величи на, равная сумме моментов инерции всех материальных точек системы, взятых относительно этой же оси, и определяемая суммой произведений масс n всех материальных точек тела (системы) на квадраты их расстояний до данной оси:

n I z = mi Ri2. (5.2) i = На основании уравнений (5.1) и (5.2) можно написать для момента им пульса вращающегося тела относительно оси вращения Z Lz = I z z. (5.3) В случае когда масса m тела непрерывно распределена по его объему, момент инерции тела выражается формулой m I = R 2 dm = R 2 dV, (5.4) 0 V где R – расстояние элементарной массы dm до оси вращения;

dm = dV – мас са малого элемента тела объемом dV ;

– плотность вещества тела.

Единица момента инерции в СИ – килограмм метр квадратный (кг·м2).

Момент инерции твердого тела зависит от того, как распределена масса тела относительно интересующей нас оси, и является величиной аддитивной.

Главный момент инерции тела – это момент инерции относительно оси вращения, проходящей через центр масс тела.

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера:

момент инерции тела I относительно произвольной оси равен сумме момента его инерции Ic относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы m тела на квадрат расстояния а между осями:

I = I C + ma 2. (5.5) Рассмотрим абсолютно твердое тело. Определим момент инерции тела относительно произвольной оси 2, рис. 5.2. Тогда пусть через центр масс тела С r проходит ось 1, параллельная оси 2, расстояние между осями равно a.

r r Пусть R i и ri – векторы, перпендикулярные (IС) 2 (I) rm r осям 1 и 2 соответственно. Они проведены от осей в Ri i ri i-й элемент твердого тела массой mi.

r ra Рассчитаем момент инерции тела относитель. i но оси 2, используя выражение (5.2):

С r r I = mi ri2 = mi ( Ri a ) = r r i i r r = mi Ri2 + mi a 2 2 a mi Ri, r i i i Рис. 5.2. К доказательству где mi Ri2 = I C – момент инерции тела относитель теоремы Штейнера r i r но оси 1;

mi a = ma ;

mi Ri = 0, так как ось 1 проходит через центр масс.

i i Докажем это утверждение.

Доказательство:

r Пусть i – радиус-вектор i-го элемента тела относительно центра масс.

Радиус-вектор центра масс системы частиц относительно начала отсчета вы r r бранной системы отсчета равен rc = mi i по определению (4.7). В системе mi rr центра масс rC = 0 и, следовательно, относительно центра масс суммарный век rr r r тор mi i = 0. Но Ri – составляющая вектора i, перпендикулярная осям 1 и 2. Следовательно, если суммарный вектор равен нулю, то сумма его составляющих в плоскости, перпендикулярной осям 1 и 2, также равна нулю.

Что и требовалось доказать.

Пример. Найдем момент инерции однород ного прямого тонкого стержня массы m и длины l dx А С относительно оси, проходящей перпендикулярно.. стержню через его середину (точка С), рис. 5.3.

х Решение. Разобьем мысленно стержень на l малые отрезки. Пусть х – расстояние от одного из Рис. 5.3. К вычислению таких элементов стержня до оси, а dx – его длина.

момента инерции тонкого стержня относительно оси, Тогда момент инерции этого элемента проходящей через точку С dI C = x 2dm = x 2 S dx, где S – площадь поперечного сечения стержня;

– плотность вещества стерж ня;

S dx = dV – элемент объема стержня.

Момент инерции одной половины стержня находим, интегрируя послед нее выражение по х от 0 до l/2, а искомый момент инерции будет вдвое больше:

l/ ml 2 l IC = 2 S x dx = S =.

3 2 Тогда, например, относительно оси, проходящей через конец стержня (точка А), рис. 5.3, имеем ml 2 ml 2 1 l I = I C + m = + = ml.

2 12 4 Для плоской фигуры моменты инерции отно Z сительно трех взаимно перпендикулярных осей, две из которых лежат в плоскости фигуры, оказыва уY.

O r ются связанными между собой простым соотношени х dm ем. Из рис. 5.4 следует, что X dI z = r 2 dm = ( x 2 + y 2 )dm = dI x + dI y.

Рис. 5.4. К определению момента инерции плоской Откуда фигуры относительно оси Z Iz = Ix + I y. (5.6) 5.2. Уравнение динамики твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси В случае вращения твердого тела вокруг неподвижной оси Z движение тела определяется уравнением, согласно уравнению моментов (4.44), как внеш dLz dt = M z, внеш где Lz и M z – соответственно момент импульса и момент внешних сил от носительно оси вращения. Тогда продифференцируем уравнение (5.3) по вре мени и, используя выражение (4.44), получим уравнение динамики вращения твердого тела вокруг неподвижной оси вращения Z:

d внеш ( I z z ) = M z. (5.7) dt Если тело в процессе вращения не деформируется, то его момент инерции не изменяется и его можно вынести в (5.4) из-под знака производной:

dz внеш внеш или = Mz Izz = M z, (5.8) Iz dt внеш где I z – момент инерции тела относительно оси Z;

M z – суммарный момент всех внешних сил относительно оси Z;

z = dz dt – проекция вектора углово го ускорения на ось Z. Таким образом, получаем уравнение (5.8) – математиче скую запись уравнения динамики вращательного движения твердого тела вокруг фиксированной оси.

Из выражения (5.8) видно, что обратно пропорционально моменту инерции. Следовательно, I z определяет инертные свойства твердого тела при внеш вращении: при одном и том же значении момента сил M z тело с бльшим моментом инерции приобретает меньшее угловое ускорение.

В векторной форме уравнение (5.8) имеет вид r r внеш Iz = M z, (5.9) r внеш r где вектор всегда направлен вдоль оси вращения, а M z – это составляю щая вектора момента внешних сил вдоль оси вращения.

Интегрирование уравнения (5.8) с учетом начальных условий – значений 0 и 0 в начальный момент времени – позволяет полностью решить задачу о вращении твердого тела вокруг неподвижной оси, т.е. найти зависимость от времени угловой скорости (t ) и угла поворота (t ).

5.3. Кинетическая энергия вращающегося твердого тела (ось вращения неподвижна) Рассмотрим абсолютно твердое тело, которое вращается около непод вижной оси, проходящей через него. Все точки движутся с одинаковой угловой скоростью = const. Учтем, что скорость i-й частицы вращающегося твердого тела i = Ri, где Ri – радиус окружности вращения i-й частицы, и определим кинетическую энергию вращающегося твердого тела 2 2 1 Ek = mi i = mi Ri2 = I, (5.10) 2 i 2 i где I – момент инерции тела относительно оси вращения. Обратим внимание, что формула (5.10) подобна уравнению (4.14), определяющему кинетическую энергию тела, только масса тела заменена на момент инерции I, а линейная скорость – на угловую скорость.

Определим работу внешних сил при вращении твердого тела вокруг не подвижной оси. В соответствии с законом изменения механической энергии системы элементарная работа всех внешних сил равна приращению кинетиче ской энергии тела A = dEk, или согласно выражению (5.10):

I A = d.

Пусть ось Z совпадает с осью вращения. Тогда 2 = z, где z – проекция уг ловой скорости на ось Z, и внеш внеш A = Iz dz = M z z dt = M z d.

внеш и d имеют одинаковые знаки, то A 0. Иначе A 0. При пово Если M z роте тела на конечный угол = 2 1 работа внешних сил будет равна внеш A = M z d. (5.11) Таким образом, работа внешних сил при вращении твердого тела вокруг внеш неподвижной оси определяется действием момента M z этих сил относи внеш = 0, то работу они не произво тельно этой оси. Если силы таковы, что M z дят. Уместно отметить, что расчетная формула сравнима с формулой расчета работы, совершаемой силами при поступательном движении (4.13).

5.4. Плоское движение твердого тела. Уравнение динамики плоского движения. Кинетическая энергия твердого тела при плоском движении Рассмотрим простейший случай движения тела, не имеющего закреплен ных точек, – случай плоского движения. Движение точки называют плоским, если все точки ее траектории лежат в одной плоскости. Плоское (плоско параллельное) движение твердого тела – это такое движение, при котором траектории всех точек тела лежат в параллельных плоскостях.

Особенностью плоского движения твердого тела является то, что если оно вращается, то тогда ось вращения сохраняет свою ориентацию в простран стве и остается перпендикулярной плоскости, в которой движется центр масс.

При этом достаточно рассмотреть движение одного из его сечений, например, того, в котором лежит центр масс. При разложении плоского движения на поступательное и вращательное скорость поступательного движения опре делена неоднозначно – она зависит от выбора оси вращения, однако угловая скорость вращательного движения оказывается одной и той же.

Плоское движение твердого тела в данный момент времени можно пред ставить как чисто вращательное движение вокруг мгновенной оси вращения, проходящей через неподвижную точку, скорость которой равна нулю в не подвижной лабораторной системе отсчета, жестко связанной с Землей. Эта ось может находиться внутри или вне тела. В разные моменты времени поло жение мгновенной оси вращения изменяется с течением времени относительно неподвижной системы отсчета и относительно тела.

Если в качестве оси вращения выбрать ось, проходящую через центр масс, то уравнениями движения твердого тела будут:

1. Уравнение движения центра масс, определяющее скорость поступа тельного движения тела массой т r r d C = Fi, (5.12) m dt r r i где C – скорость центра масс тела;

Fi – сумма всех внешних сил.

i 2. Уравнение динамики плоского движения относительно оси, прохо дящей через центр масс тела и неподвижной относительно тела, определяющее r угловую скорость C вращательного движения r r внеш dC = MC, (5.13) IC r внеш dt где I C и M C – момент инерции тела и момент внешних сил относительно этой оси соответственно.

Определим кинетическую энергию тела, совершающего плоское дви жение. Если рассматривать движение тела как вращение вокруг мгновенной оси, то элемент массы mi имеет в данный момент времени линейную скорость i = ri, где ri – расстояние от этого элемента до мгновенной оси. Кинетическая энергия отдельного элемента тела будет 1 Eki = mii2 = mi ri2 2, 2 а кинетическая энергия всего тела 2 I1 Ek = Eki = mi ri2 =, (5.14) 2 где I1 – момент инерции тела относительно мгновенной оси. Но по теореме Штейнера (5.5) I1 = I C + mr02, где r0 – расстояние от мгновенной оси до центра масс и I C – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс. Поэтому из выражения (5.14) получим IC 2 1 2 Ek = + mr0.

2 Введем в это выражение линейную скорость центра масс C = r0 :

I C 2 mC Ek = +. (5.15) 2 Теорема Кёнига:

полная кинетическая энергия при плоском движении твердого тела равна сумме кинетических энергий поступательного и вращательного движений (вращение рассматривается вокруг оси, проходящей через центр масс).

Если рассматривать плоское движение как вращение вокруг мгновенной оси, то кинетическая энергия тела есть энергия вращательного движения (см. формулу (5.14)).

Тема 6. Неинерциальные системы отсчета 6.1. Уравнение движения в неинерциальных системах отсчета, движущихся поступательно Основные положения механики Ньютона и вытекающие из них следствия могут быть справедливы только для инерциальных систем отсчета, движущих ся друг относительно друга прямолинейно и равномерно. Всякая система, кото рая движется с ускорением по отношению к инерциальной системе отсчета, яв ляется неинерциальной.

Практически удобно пользоваться системами координат, которые имеют ускорение по отношению к Солнцу и звездам, например, системой координат, связанной с Землей. В таких неинерциальных системах координат механика Ньютона уже не справедлива.

В механике неинерциальных систем координат являются основными сле дующие положения:

1. Ускорения тел вызываются силами, однако силы не обязательно обу словлены действием тел друг на друга;

2. В неинерциальных системах отсчета на тела действуют силы инерции – силы, обусловленные тем, что система отсчета обладает ускорением по отно шению к инерциальной системе отсчета. Они не вызваны взаимодействием тел.

Поэтому на силы инерции третий закон Ньютона не распространяется;

3. Все силы инерции, подобно силам тяготения, пропорциональны массе тела. Всем телам, независимо от их массы, силы инерции сообщают одинаковое ускорение.

Сила инерции – это векторная величина, численно равная произведению массы материальной точки на ее ускорение (ускорение неинерциальной систе мы отсчета) и направленная противоположно ускорению.


Введение сил инерции позволяет ввести для неинерциальных систем от счета уравнение, по форме аналогичное уравнению второго закона Ньюто на (3.5). Сохраняют свой прежний вид и уравнения движения, вытекающие из этого положения. Но в них будут учитываться, кроме «обычных» сил, обуслов r ленных действием других тел на данное тело, также и силы инерции Fин :

r r r ma = Fвзаим + Fин, (6.1) r r где a – ускорение тела в неинерциальной системе отсчета;

Fвзаим – геомет рическая сумма всех сил, действующих на данное тело со стороны других тел;

r Fин – сумма сил инерции, действующих на тело. Уравнение (6.1) называется уравнением движения в неинерциальных системах отсчета, или основным уравнением динамики относительного движения материальной точки:

масса тела, умноженная на его ускорение относительно неинерциальной систе мы отсчета, будет равна по величине и направлению равнодействующей всех сил, приложенных к телу, включая и силы инерции.

В механике неинерциальных систем отсчета будем рассматривать движе ния тел и систем отсчета только со скоростями, малыми по сравнению со ско ростью света. При этом ограничении можно считать, что движение неинерци альной системы отсчета не влияет на свойства таких основных измерительных приборов, как линейки и часы.

Определим, как связаны между собой скорости и ускорения в инерциаль ной и неинерциальной системах отсчета. Рассмотрим случай, когда неинерци альная система отсчета K (с координатными осями X, Y, Z) движется посту пательно (при таком движении любой выделенный в теле отрезок остается па r раллельным самому себе) с ускорением a0 по отношению к условно неподвиж ной инерциальной системе отсчета K (с координатными осями X, Y, Z).

Обозначим радиус-вектор произвольной точки М K r Y в неподвижной системе K как r = OM, а в движу. M r r r щейся системе K как r = O M. При этом r0 = OO – r K Y r это радиус-вектор точки O (точка O – начало коор.

r X динат неинерциальной системы отсчета), измеренный O r в системе K, рис. 6.1.

r0 Z Поскольку движение системы K поступатель. rrr O ное, то ее орты i, j, k имеют постоянное направление.

X Z Изменение их направления в пространстве может быть Рис. 6.1. К выводу закона преобразования скорости обусловлено только вращением подвижной системы отсчета.

точки при переходе Абсолютным движением точки называется ее от инерциальной к неинерциальной движение по отношению к какой-либо инерциальной системе отсчета системе отсчета, условно принимаемой за неподвиж ную и называемую абсолютной системой отсчета.

Относительным движением точки называется ее движение по отноше нию к движущейся (подвижной) системе отсчета, которую называют относи тельной системой отсчета. Переносное движение точки – это движение точки, покоящейся в движущейся системе отсчета, относительно неподвижной инер циальной системы отсчета.

r r В каждый момент времени значения радиус-векторов r и r произволь ной точки М связаны соотношением rrr r = r0 + r, r r r r где r = x i + y j + z k.

r r r rr Тогда r = r0 + x i + y j + z k. Продифференцируем последнее выраже ние по времени:

r r y r dz r dr dr0 dx r i+d j + k.

= + dt dt dt dt dt r dr0 r Учитывая, что = 0 есть скорость переносного движения, т.е. скорость по dt ступательного движения системы отсчета K относительно системы K, полу чим закон преобразования скорости точки при переходе от инерциальной системы отсчета к неинерциальной:

rrr = 0 +, (6.2) r где – относительная скорость точки, т.е. скорость точки относительно дви r жущейся системы K ;

– абсолютная скорость точки, т.е. скорость точки в неподвижной системе координат K. Уравнение (6.2) имеет тот же вид, что и классический закон преобразования скорости точки при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой (3.10).

r Возьмем вторую производную по времени от r :

r r d 2 r d 2r0 d 2 x r d 2 y r d 2 z r = 2 + 2 i + 2 j+ 2 k.

dt 2 dt dt dt dt Полученное уравнение эквивалентно следующему выражению:

rrr a = a0 + a, (6.3) r r d 2 r где = a0 – это переносное ускорение, т.е. ускорение неинерциальной систе r dt мы отсчета относительно инерциальной системы отсчета;

a – ускорение точки r в инерциальной системе отсчета;

a – ускорение точки в неинерциальной сис теме отсчета.

Полученные формулы (6.2) и (6.3) справедливы для поступательного пе реносного движения.

Когда неинерциальная система координат движется поступательно с ус r корением a0 по отношению к инерциальной, в ней действует поступательная сила инерции ( Fпси ):

r r r Fин = Fпси = ma0, (6.4) где m – масса тела, на которое эта сила инерции действует.

6.2. Вращающиеся неинерциальные системы отсчета.

Центробежная сила инерции и сила Кориолиса (без вывода) Рассмотрим теперь случай, когда тело покоится во вращающейся с посто янной угловой скоростью неинерциальной системе координат.

Пусть на горизонтальной подставке, вращающейся вокруг оси OO с уг ловой скоростью относительно неподвижной системы координат, установлен маятник, рис. 6.2. Для наблюдателя в неподвижной системе отсчета, например, связанной с помещением, где установлена подставка, нить, на которой подве шен шарик массы m, отклоняется от вертикали наружу (от оси вращения) на угол, описывая окружность радиуса r. При этом должен выполняться второй закон Ньютона (3.3): r rr T + mg = Fцс, r r r где T – сила натяжения нити;

центростремительная сила Fцс = m 2 r – равно действующая силы тяжести и силы натяжения нити. Знак минус свидетельству r ет о том, что сила Fцс направлена в сторону, противоположную радиус r вектору r, т.е. к центру вращения, рис. 6.2.

Для наблюдателя на подставке маятник и O r шарик покоятся ( a = 0 ):

r rr r T ma T + mg.

r Отклонение шарика от вертикали объясня mg ется появлением сил инерции. Поскольку шарик r r покоится, то, следовательно, центростремитель ная сила уравновешивается направленной от оси О вращения центробежной силой инерции. Дейст вительно, согласно уравнению движения (6.1):

Рис. 6.2. Пример вращающейся rr rr неинерциальной системы ma = T + mg + Fин, r r отсчета Fин = Fцс.

В системе отсчета, вращающейся с постоянной угловой скоростью, на по r коящееся в ней тело действует центробежная сила инерции Fцб, которая за r r висит от угловой скорости вращения системы отсчета и радиус-вектора r положения рассматриваемой точки в движущейся системе отсчета:

r r r Fин = Fцб = m 2 r. (6.5) r r Переносное ускорение при этом будет ac = 2 r.

r Если тело движется во вращающейся с постоянной угловой скоростью неинерциальной системе координат, которая перемещается поступательно с ус r корением a0 относительно неподвижной инерциальной системы отсчета, то пе r r r реносное ускорение ac = a0 2 r. Можно показать, что на тело будут действо вать сразу три силы инерции: r r 1) поступательная сила инерции Fпси = ma0 (см. формулу (6.4)). Она возникает при поступательном движении неинерциальной системы отсчета;

r r 2) центробежная сила инерции Fцб = m 2 r (см. уравнение (6.5)). Она действует во вращающихся системах отсчета и на движущиеся, и на неподвиж ные тела, удаленные от оси вращения на конечное расстояние r;

3) кориолисова сила инерции r rr FK = 2m[, ] (6.6) действует во вращающейся системе координат только на движущиеся с относи r r тельной скоростью тела. Когда скорость этого движения обращается в нуль, эта сила исчезает. Она зависит от угловой скорости вращения и относи тельной скорости тела.

Таким образом, согласно уравнению движения (6.1) основное уравнение динамики в неинерциальной системе отсчета, которая вращается с постоян r ной угловой скоростью вокруг оси, перемещающейся поступательно с уско r рением a0, имеет следующий вид:

rr r r r ma = F + Fпси + Fцб + FK, (6.7) r где F – сумма «обычных» сил, действующих на тело со стороны других тел. В инерциальной системе отсчета тело бы двигалось из-за них с ускорением. Даже rr при F = 0 тело в неинерциальной системе отсчета будет двигаться в общем случае с ускорением отличным от нуля.

6.3. Принцип эквивалентности Когда в неинерциальной системе отсчета возникают какие-либо новые силы, то, только убедившись, что нигде не появились новые тела, со стороны которых действуют силы тяготения, можно утверждать, что вновь появившиеся силы – это силы инерции. Факт, что силы инерции, как и силы тяготения, про порциональны массам тел, приводит к следующему важному заключению.

Представим себе, что мы находимся в некоторой закрытой лаборатории и не имеем возможности наблюдать внешний мир. Допустим, что мы также не знаем, где находится лаборатория: в космическом пространстве или, например, на Земле. Замечая, что все тела независимо от массы падают в лаборатории с одинаковым ускорением, мы не можем однозначно установить, чем вызвано это ускорение – полем тяготения, ускоренным поступательным движением самой лаборатории или, наконец, обеими этими причинами вместе. Никакие опыты по свободному падению тел в такой лаборатории не могут отличить однородное поле тяготения от однородного поля сил инерции.

Эйнштейн сформулировал принцип эквивалентности сил тяготения и сил инерции: все физические явления в однородном поле тяготения происходят совершенно так же, как и в соответствующем однородном поле сил инерции.

Поэтому вообще никакими физическими опытами невозможно отличить однородное поле сил тяготения от однородного поля сил инерции.

6.4. Работа внешних сил при вращении твердого тела В неинерциальных системах координат не существует замкнутых систем тел. Силы инерции для всякой ограниченной системы тел являются внешними.

Согласно второму закону Ньютона (3.3) в неинерциальных системах от счета производная полного импульса системы тел равна сумме внешних сил, действующих на систему со стороны внешних тел, а также сил инерции, дейст вующих на все тела системы:

r dp r r = F + Fин. (6.8) dt Изменение полной энергии системы тел (в отсутствие сил трения) равно сумме работ Aвнеш внешних сил (4.21) и работ Aин всех внешних сил инерции, действующих на систему:


Aвнеш + Aин = E 2 E1, (6.9) где E 2 E1 – приращение полной механической энергии системы.

Закон сохранения полной механической энергии не выполняется в неинерциальных системах координат.

Согласно полученному в подтеме 5.3 выражению для работы А внешних сил при повороте твердого тела на конечный угол 0 (5.11) можно записать в случае неинерциальных систем отсчета, что внеш Mz A= d, внеш где момент всех внешних сил относительно оси вращения Z включает Mz ин момент всех сил инерции M z относительно этой оси.

6.5. Гироскопы. Гироскопический эффект. Прецессия гироскопа Свободные оси (оси свободного вращения) – это такие оси вращения тел, которые сохраняют свою ориентацию в пространстве без действия на них внешних сил. В общей теории доказывается, что для любого твердого тела су ществуют главные оси инерции – три взаимно перпендикулярные оси, прохо дящие через центр масс тела, – которые могут служить свободными осями.

Можно показать, что вращение вокруг главных осей с наибольшим и наименьшим моментами инерции оказывается устойчивым, а вращение вокруг других осей и оси со средним моментом – неустойчивым.

Гироскоп – это массивное твердое симметричное тело, вращающееся с r большой угловой скоростью вокруг своей оси симметрии, являющейся сво бодной осью.

Если ось симметрии гироскопа закреплена или она поворачивается с уг ловой скоростью 0, то момент импульса гироскопа направлен по оси r вращения (оси симметрии) параллельно угловой скорости :

r r L = I. (6.10) O А Широкое распространение получил гироскоп на кардановом подвесе, когда однородное тело вращения В закреплено в центре масс, рис. 6.3. Положение тела в подвесе должно быть таким, чтобы оси свободного вра С щения AA', BB' и ось ОО' пересекались в центре масс. В В этом случае при любых возможных движениях тела его центр масс остается неподвижным. При этом ось AA' (в А данном случае – ось симметрии тела) может занимать О произвольную ориентацию в пространстве.

Рис. 6.3. Гироскоп на Если гироскоп раскручен вокруг оси симметрии, кардановом подвесе то ориентация оси вращения гироскопа остается неиз менной, когда момент внешних сил относительно закрепленного центра масс гироскопа равен нулю. Как следует из уравнения моментов (4.44), r r L = J = const, т.е. выполняется равенство (6.10). Действительно, момент силы тяжести относительно закрепленного центра масс свободно вращающегося ги роскопа будет равен нулю, так как эта сила приложена к центру масс (центр вращения С совпадает с центром масс). Момент сил трения пренебрежимо мал.

Таким образом, поворачивая подставку, на которой расположен карданов подвес, можно убедиться, что при произвольных поворотах подставки ось ги роскопа сохраняет неизменное направление в пространстве.

Чтобы ось гироскопа изменила свое направление в пространстве, необхо димо, согласно уравнению (4.44), отличие от нуля момента внешних сил. Тогда наблюдается явление – гироскопический эффект – гироскоп поворачивается так, чтобы его оси свободного и вынужденного вращения совпадали. Используя уравнение моментов (уравнение динамики вращательного движения), можно показать, что если ось быстро вращающегося свободного гироскопа с моментом r r импульса L стараться повернуть моментом сил M, то она начнет вращаться с rr r r угловой скоростью 0 в таком направлении, чтобы векторы 0, L и M состав ляли правую тройку векторов: rrr M = 0 L.

Гироскопический эффект вызван действием r Z кориолисовых сил инерции. Объясним это. На L r рис. 6.4. изображен массивный симметричный вол r чок, вращающийся вокруг оси симметрии с угловой r r r r вн Fi K скоростью. Момент внешних сил M вн, направ i r r r i M вн r ri ленный вдоль оси Y, стремится вращать ось гиро Y r mi Fi K r скопа с угловой скоростью вн вокруг оси Y, r рис. 6.4. Однако гироскоп начинает поворачиваться MK вокруг оси Х, что действительно должно быть вы X звано появлением какого-то момента сил, на Рис. 6.4. К объяснению правленного вдоль этой оси. Перейдем во вращаю r гироскопического r щуюся со скоростью вн систему отсчета, в которой эффекта ( 0 – угловая ось гироскопа неподвижна, а на его материальные скорость, с которой r rr точки тi, движущиеся со скоростями i = ri, поворачивается ось гироскопа) действуют кориолисовы rсилы инерции r rr Fi K = 2mi [ i, вн ] (см. формулу (6.6)). Момент этих сил M K направлен вдоль r оси Х, и именно он вызывает вращение оси со скоростью 0.

Если ось гироскопа закреплена подшипниками, то из-за данного эффекта возникают гироскопические силы, действующие на опоры, в которых вращает ся ось гироскопа.

Рассмотрим теперь ситуацию, когда к оси гироскопа приложена сила, ли ния действия которой не проходит через точку закрепления О.

Прецессия гироскопа – это такой тип движения, когда в результате по стоянного действия момента внешней силы ось свободного гироскопа вращает ся вокруг направления данной внешней силы.

Пример прецессии – движение оси детской игрушки – юлы с заостренным концом (рис. 6.5), т.е. гироскопа, имеющего одну точку опоры. Юла, раскру ченная вокруг своей оси и поставленная на горизонтальную плоскость слегка наклонно, начинает прецессировать вокруг вертикальной оси под действием rr r момента пары сил тяжести и нормальной реакции опоры: M = l mg, где l = OC.

Скорость, с которой ось вращения движется относительно вертикальной оси, называется угловой скоростью прецессии.

Можно доказать, что для вращающегося r волчка угловая скорость прецессии не зависит от угла наклона волчка, она обратно пропорцио нальна моменту импульса волчка:

r С ~.

N r L r l mg Чем быстрее вращается волчок, тем больше О момент импульса и тем медленнее он прецессиру ет. Причем мгновенное исчезновение момента си Рис. 6.5. Пример гироскопа лы, например тяжести, приводит к мгновенному же с одной точкой опоры – исчезновению прецессии, т.е. прецессионное дви детская юла жение является безынерционным.

Если рассматривать качение наклонного диска, то на него будет действо вать опрокидывающий момент сил тяжести и реакции опоры. Легкий диск упа дет значительно быстрее, чем массивный, из-за малого значения момента им пульса (скорость прецессии больше).

Известно, что прецессия обеспечивает устойчивость движения. Впервые гироскоп использовал французский физик Ж. Фуко (XIX в.) для доказательства вращения Земли. Первый в Беларуси маятник Фуко установлен в Белорусском государственном педагогическом университете им. Максима Танка (сентябрь 2004 г., Минск).

Свойствами гироскопов обладают вращающиеся небесные тела, винты самолетов и т.д. Например, гироскопические устройства и приборы широко применяются в ракетной и космической технике, для целей навигации (указате ли стран света, горизонта и др.), при проведении топографических и геодезиче ских работ, строительстве метрополитенов, при бурении скважин.

Тема 7. Колебательные процессы 7.1. Гармонические колебания Колебаниями называются движения или процессы, которые обладают определенной повторяемостью во времени. Система, совершающая колебания, называется колебательной системой или осциллятором.

Физическая природа колебаний может быть разной – различают механи ческие, электромагнитные и другие колебания.

Колебания называются свободными (собственными), если они происхо дят в системе, которая предоставлена себе после того, как она выведена из по ложения равновесия.

Вынужденные колебания – это колебания, которые происходят под дей ствием периодически изменяющейся внешней силы, например в случае меха нических колебаний F = F0 cos t.

Гармонические колебания – это колебания, при которых колеблющаяся физическая величина изменяется по закону синуса или косинуса.

Различные периодические процессы (процессы, которые повторяются че рез равные промежутки времени) могут быть представлены как сумма (супер позиция) гармонических колебаний.

Гармоническое колебание величины х описывается уравнением типа x (t ) = A cos(0 t + 0 ), (7.1) где x (t ) – отклонение колеблющейся физической величины от равновесного значения;

А – амплитуда гармонических колебаний – максимальное значение колеблющейся величины;

0 – циклическая (круговая) частота колебаний;

0 – начальная фаза колебаний в момент времени t = 0 (определяется выбором на чала отсчета времени);

(t ) = (0 t + 0 ) – фаза колебаний в момент времени t, выраженная в радианах, – определяет значение колеблющейся величины в дан ный момент времени. Для материальной точки с массой m величина х называет ся смещением тела из положения равновесия. Отметим, что амплитуда и час тота гармонических колебаний постоянны. Так как cos изменяется в пределах от +1 до 1, то величина х меняется от +А до –А. Поскольку cos( + 2 ) = cos, то х не изменяется, когда фаза колебаний получает приращение 2.

Периодом колебаний Т называется наименьший промежуток времени, за который система, совершающая колебания, снова возвращается в то же состоя ние, в котором она находилась в начальный момент, выбранный произвольно.

При этом фаза получает приращение 2:

0 (t + T ) + 0 = (0 t + 0 ) + 2.

Отсюда получается, что T=. (7.2) Частотой колебаний называется величина, обратная периоду колеба ний, – число полных колебаний, совершаемых в единицу времени:

1 = =. (7.3) T Единица частоты в СИ – герц (Гц): 1 Гц = 1 с-1.

1 Гц – это частота периодического процесса, при котором за 1 с соверша ется одно полное колебание.

Пусть материальная точка совершает прямолинейные гармонические ко лебания вдоль оси х около положения равновесия, принятого за начало коорди нат, рис. 7.1. Определим для колеблющейся точки следующие величины.

Смещение: x = A cos(0t + 0 ), рис. 7.1, а. (7.4) х T Поскольку частица движется, совершая колеба +А а ния, то она обладает скоростью и ускорением.

& t Скорость: x = x = A0 sin(0 t + 0 ) = -А x A0 = A0 cos(0t + 0 + ), рис. 7.1, б. (7.5) б 0 &x t Ускорение: a x = x = && = A02 cos(0 t + 0 ) = A ax = A02 cos(0t + 0 + ), рис. 7.1, в. (7.6) A0 Как следует из формулы (7.5), скорость опережа в t ет смещение на /2, а ускорение, согласно выра A0 жению (7.6), – на. Ускорение и смещение нахо дятся в противофазе.

Рис. 7.1. Гармонические Амплитуды скорости и ускорения равны колебания (0 = 0):

соответственно А0 и A0. Скорость и ускоре а – зависимость смещения х от времени t;

б – зависимость ние, как следует из уравнений (7.5) и (7.6), со скорости x от времени t;

в – зависимость ускорения аx от вершают гармонические колебания с той же цик лической частотой, что и смещение х.

времени t Гармонические колебания можно изобразить графически методом векторных диаграмм (методом r вращающегося вектора амплитуды), рис. 7.2.

A. Из произвольной точки О, выбранной на оси Х, х под углом 0, равном начальной фазе колебания, от О Х r кладывается вектор A, модуль которого равен ампли Рис. 7.2. Изображение гармонических колебаний туде А рассматриваемого колебания.

методом векторных Если этот вектор будет вращаться вокруг точки О диаграмм с угловой скоростью, равной 0, то проекция вектора на ось Х будет совершать колебания по закону x = A cos(0 t + 0 ).

Экспоненциальная форма записи гармонических колебаний. Соглас но формуле Эйлера для комплексных чисел e i = cos + i sin, где i = 1 – мнимая единица;

= cos – действительная или вещественная часть комплексного числа и обозначается Re(e i ) ;

= sin – мнимая часть комплексного числа, обозначается Im( e i ). Поэтому уравнение (7.1) можно за писать в комплексной экспоненциальной форме x = Re ~, x где ~ = A e i(0 t + 0 ).

x Физический смысл имеют отдельно вещественная и мнимая части. Веще ственная часть комплексной функции ~ представляет собой гармоническое x колебание:

Re ~ = A cos(0 t + 0 ) = x.

x 7.2. Уравнение гармонических колебаний без трения. Его решение Сопоставляя уравнения (7.1) и (7.6) для смещения и ускорения матери альной точки, можно записать дифференциальное уравнение гармонических колебаний:

&& + 0 x = 0 или d 2 + 0 x = 0.

x 2 x (7.7) dt Его решение x = A cos(0 t + 0 ). (7.8) Во всех случаях, когда имеется уравнение вида (7.7) && + b x = 0, его реше x ние является величиной, изменяющейся по гармоническому закону (7.8), при чем b = 0 – круговая частота.

Если положение системы может быть описано одним единственным па раметром x (t ), зависящим от времени, то такая система имеет одну степень свободы.

В механике система с одной степенью свободы в состоянии устойчивого равновесия будет совершать гармонические колебания (малые собственные ко лебания) при выполнении следующего условия:

на частицу (или систему частиц) должна действовать сила или момент сил, пропорциональные смещению частицы из положения равновесия и стремя щиеся вернуть ее в положение равновесия.

Движение таких и подобных им систем можно описать в соответствии со вторым законом Ньютона (3.3). Тогда сила, действующая вдоль оси Х на колеб лющуюся материальную точку массой m, учитывая уравнение (7.6), равна Fx = m a x = m A 0 cos(0 t + 0 + ) = m 0 A cos(0 t + 0 ) = 2 = m 0 x = k x, (7.9) где х – координата, характеризующая положение колеблющегося тела, напри мер, смещение груза, угол отклонения маятника и т.д.;

k – квазижесткость (ко эффициент упругости):

k = m 0.

(7.10) В общем случае k – это коэффициент пропорциональности между восстанавли вающей силой и смещением или моментом восстанавливающей силы и угло вым смещением.

Силы типа (7.9) называются квазиупругими независимо от их природы.

Именно квазиупругий характер силы служит критерием малых колебаний.

7.3. Гармонический осциллятор. Пружинный, физический и математический маятник (малые колебания) Ознакомившись с закономерностями и характеристиками гармонических колебаний, применим полученные знания для изучения гармонического осцил лятора. Силами трения будем пренебрегать.

Гармоническим осциллятором называется система, совершающая гар монические колебания, описываемые дифференциальным уравнением, имею щим вид (7.7):

&& + 0 x = 0.

x Примерами гармонического осциллятора являются пружинный, матема тический и физический маятники.

Маятник – твердое тело, совершающее под действием приложенных сил колебания около неподвижной точки или оси.

Пружинный маятник – это l0 l r r груз массой m, подвешенный на аб l 0 + l F = k l0 r солютно упругой пружине, массой F x + l 0 которой можно пренебречь, и совер 0.

r х шающий гармонические колебания mg r под действием упругой силы Х mg Fx = k x, где k – жесткость Рис. 7.3. Пружинный маятник пружины.

Пусть l 0 – длина нерастянутой пружины, рис. 7.3. Под действием веса тела пружина растянется на l 0 и тело займет положение равновесия x = 0. В этом положении сила тяжести mg уравновешивается упругой силой kl 0 :

mg = kl 0. (7.11) Выберем ось Х, положительное направление которой направлено вниз. Если сместить тело вниз на расстояние х, то удлинение пружины составит l 0 + x.

Поэтому результирующая сила, действующая на тело, так как со стороны рас тянутой пружины действует сила, направленная вверх, будет иметь вид Fx = mg k ( l 0 + x ) = kx.

С учетом уравнения (7.11) имеем, что результирующая сила Fx = kx имеет ха рактер квазиупругой силы. Поэтому груз будет совершать гармонические коле бания. По второму закону Ньютона (3.3) получаем уравнение движения пру жинного маятника вида (7.7):

&& k && mx = kx или x + x = 0. (7.12) m Следовательно, решение дифференциального уравнения x = A cos(0t + 0 ), где циклическая частота и период будут равны соответственно k m 0 =, T = 2. (7.13) m k Кинетическая энергия пружинного маятника будет выражаться как & m x2 k x, а потенциальная энергия – E p = Ek =.

2 Математическим маятником называется идеализированная система, со стоящая из материальной точки массой m, подвешенной на нерастяжимой нити длиной и колеблющейся под действием силы тяжести без трения.

Небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити, когда размерами тела по сравнению с длиной нити можно пренебречь, является хо рошим приближением математического маятника.

При малых углах отклонения можно считать x l, где х – линейное смещение вдоль траектории r точечной массы (шарика) от положения равновесия в T r точке О, рис. 7.4. Если возвращающая сила пропорцио ОF нальна х или, то колебания будут гармоническими.

r х mg Возвращающая сила – составляющая силы тяжести гру Рис. 7.4. Математический за, касательная к траектории шарика – определяется так маятник x Fx = mg sin mg = mg.

l Уравнение движения записывается как x g или && + x = 0, && mx = Fx = mg (7.14) x l l т.е. имеет вид закона (7.1). Тогда частота и период колебаний определяются как l g 0 = T =,. (7.15) l g Следовательно, частота малых колебаний зависит от длины маятника l 2, но не от массы тела. Формула (7.15) для периода колебаний математического ма ятника называется формулой Томсона. Согласно (7.15) период колебаний ма тематического маятника пропорционален его длине в степени 1 2.

r Физическим маятником называется твердое тело, M совершающее под действием силы тяжести колебания во Z O. l lпр круг горизонтальной неподвижной оси, не проходящей че r С О' r. рез центр масс тела и называемой осью подвеса маятника.

. Fn F В данном случае тело нельзя рассматривать как мате r риальную точку. Ось вращения жестко связана с телом.

mg Выберем положительное направление отсчета угла Рис. 7.5. Физический маятник против часовой стрелки, ось вращения Z, проходящая через точку подвеса О, направлена на нас, рис. 7.5.

Пусть физический маятник отклонен из положения равновесия на некото рый угол. Тогда уравнение вращательного движения маятника в проекции на ось Z (см. уравнение динамики вращательного движения твердого тела (5.8)) примет вид dz && Mz = I = I, dt где M z – момент возвращающей силы;

I – момент инерции маятника относи d z d тельно оси вращения Z;

= 2 – угловое ускорение.

dt dt С другой стороны, колебания физического маятника будут гармониче скими только тогда, когда sin (малые углы отклонения). Проекция мо мента силы тяжести на ось Z будет M z = F l = mgl sin mgl, где F = mg sin – возвращающая сила;

l – расстояние между точкой подвеса и центром масс С маятника;

l sin – плечо силы.

Тогда для малых амплитуд можно записать уравнение колебаний физиче ского маятника && mgl I + mgl = 0 или & + & = 0. (7.16) I Решением дифференциального уравнения является функция = m cos(0t + ) с циклической частотой и периодом lпр mgl g I 0 = =, T = 2 = 2, (7.17) I lпр mgl g I где длина lпр = – приведенная длина физического маятника. Заметим, что ml квазиупругим в рассмотренном случае является момент силы тяжести, пропор циональный углу отклонения.

Приведенная длина lпр физического маятника – это длина такого матема тического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника.

Точка O на продолжении прямой ОС, отстоящая от оси подвеса на рас стоянии lпр, называется центром качания физического маятника.

Точка подвеса и центр качания обладают свойством взаимности. Мож но показать, используя теорему Штейнера, что при переносе точки подвеса в центр качания O период колебаний при этом не изменится, поскольку прежняя точка подвеса становится новым центром качания O.

Математический маятник можно представить как частный (предельный) случай физического маятника, вся масса которого сосредоточена в его центре масс. Действительно, при этом I = ml 2 и, следовательно, согласно выражению l (7.17), будет T = 2, что совпадает с формулой (7.15).



Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 7 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.