авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |

«И. И. ТАШЛЫКОВА-БУШКЕВИЧ ФИЗИКА В 2-х частях Часть 1 МЕХАНИКА. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ...»

-- [ Страница 5 ] --

Если перемещать заряд из произвольной точки на бесконечность, где по тенциальная энергия, а значит, и потенциал принимаются равными нулю, то работа сил электростатического поля A = q, откуда A =. (12.22) q Поэтому можно сформулировать следующее определение потенциала:

потенциал – это физическая величина, определяемая работой сил поля по перемещению единичного положительного заряда при его удалении из дан ной точки пространства в бесконечность.

12.4. Связь потенциала и напряженности поля.

Потенциал поля системы зарядов r Пусть в пространстве имеется электростатическое поле E. В произволь r ном направлении перемещается точечный заряд q на отрезок dl. При этом си лы поля совершают работу rr dA = q( Edl ) = qEl dl, (12.23) r где El – проекция вектора E на направление бесконечно малого перемещения r dl. Эту работу можно определить через убыль потенциала ( d ) :

dA = qd = q dl. (12.23а) l Приравняв (12.23) и (12.23а), имеем qEl dl = q dl, l El =. (12.24) l r r Таким образом, проекция вектора E на направление dl равна скорости убывания потенциала вдоль этого направления.

Взяв в качестве этого направления l координатные оси X, Y и Z, получим r для компонентов вектора E :

и Ez =.

, Ey = Ex = x y z r Соответственно выражение для E имеет вид r r r r r E = x i + y j + z k = grad, (12.25) т.е. напряженность электростатического поля равна градиенту потенциала, взя r тому с обратным знаком. Следовательно, зная функцию (r ), можно опреде r лить напряженность поля E. Знак минус в формуле (12.25) показывает, что r вектор E направлен в сторону убывания потенциала.

Для графического изображения распределения потенциала используют эквипотенциальные поверхности – поверхности, во всех точках которых по тенциал имеет одно и то же значение.

Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении электрического заряда по одной и той же эквипотенциальной поверхности, рав на нулю. Поэтому силовые линии пересекают эквипотенциальные поверхности r под прямым углом, вектор E будет перпендикулярен эквипотенциальным поверхностям.

r Эквипотенциальные поверхности обыч E но проводят так, чтобы разности потенциалов между двумя соседними эквипотенциальными + поверхностями были одинаковы. Тогда густо та эквипотенциальных поверхностей наглядно характеризует напряженность поля в разных точках. Там, где эти поверхности расположены Рис. 12.11. Эквипотенциальные поверхности (пунктирные линии) и гуще, напряженность больше. На рис. 12. силовые линии (сплошные линии) пунктиром изображены силовые линии элек поля точечного тростатического поля точечного положитель положительного заряда ного заряда, сплошными линиями – сечения эквипотенциальных поверхностей.

Потенциал поля системы зарядов. Пусть система состоит из неподвиж ных точечных зарядов qi ( i = 1,n ). Используем принцип суперпозиции электри r r r ческих полей (12.6). В любой точке поля напряженность E = Ei, где Ei – на ri r r r пряженность поля заряда qi. Поскольку E =, а Ei = i, то мы можем r вынести оператор дифференцирования за знак суммы. Получим принцип су перпозиции для потенциала системы неподвижных точечных зарядов:

r r n ( r ) = i ( ri ), i = r где ri – радиус-вектор i-го точечного заряда, проведенный из интересующей нас точки.

Потенциал системы неподвижных точечных зарядов определяется как 1 q ri, = (12.26) 4 0 i i где ri – расстояние от точечного заряда qi до интересующей нас точки поля. В выражении (12.26) произвольная константа опущена. Всякая реальная система зарядов ограничена в пространстве, поэтому ее потенциал на бесконечности можно принять равным нулю.

Если заряды, образующие систему, распределены в пространстве непре рывно, то dV r, = (12.27) 4 0 V где – объемная плотность заряда в месте нахождения объема dV, интегриро вание проводится или по всему пространству, или по той его части, которая со держит заряды.

Если заряды распределены только на поверхности S или распределены линейно (заряд сосредоточен на очень тонком «нитевидном» проводнике l), то соответственно будут справедливы формулы dS dl 1 r и = 40 r, = (12.27а) 4 0 S l где и – соответственно поверхностная и линейная плотность заряда;

dS – элемент поверхности S;

dl – элемент заряженной линии (нити).

12.5. Электрический диполь. Момент сил, действующий на диполь.

Энергия диполя в поле Электрическим диполем называется система двух равных по модулю разноименных точечных зарядов ( + q, q ) на расстоянии l друг от друга.

r Плечо диполя l – вектор, направленный по оси диполя от отрицательно го заряда к положительному и равный расстоянию между ними.

r Электрический момент диполя p – вектор, совпадающий по направле нию с плечом диполя, направленный от отрицательного заряда к положитель r ному и равный произведению модуля заряда q на плечо l :

r r p = ql. (12.28) Согласно формуле для потенциала точечного заряда (12.19) потенциал электростатического поля диполя в точке А (рис. 12.12) определяется так:

1 q(r r+ ) 1 q q = =.

r 4 0 + r r+ r Если расстояние r от центра диполя до точки А таково, что r l, то r r+ = l cos и r+ r = r 2. Поэтому 1 p cos =. (12.29) 4 0 r r Найдем по формуле (12.24) проекции вектора E :

1 2 p cos 1 p sin Er = = =, E = = =, (12.30) l1 r 4 0 l2 r 4 0 r r r где направление l1 совпадает с направлением радиус-вектора r, а другое на правление l2 лежит в плоскости с осью диполя и направлено перпендикулярно r к r в сторону возрастания угла, рис. 12.13. При этом dl1 = dr, dl2 = rd.

r Отсюда получаем, что модуль вектора E поля диполя в точке А равен 1p E = Er + E = 1 + 3 cos2.

2 (12.31) 4 0 r Можно доказать, что сила, действующая на диполь, определяется так:

r r E F=p, (12.32) l r r r E где – производная вектора E по направлению, совпадающему с вектором l l r или p.

.А r l r Er.

А r r+ r E r r.

+q E r r r l r l r. r -q l cos p Рис. 12.12. К вычислению потенциала Рис. 12.13. К вычислению электрического поля диполя поля диполя r E Из выражения (12.32) следует, в частности, что в однородном поле = l r и F = 0. Значит, сила действует на диполь только в неоднородном поле.

Момент сил, действующий на диполь. Во внешнем электрическом поле на заряды диполя действует пара сил, которая стремится повернуть дипольrтак, чтобы электрический момент диполя развернулся вдоль направления поля E.

Во внешнем однородном поле, рис. 12.14, а, момент пары сил M согласно определению (см. формулу (4.42)) равен rrr M = qEl sin или в векторном виде M = p E. (12.33) Хотя создается вращающий момент, результирующая пары сил равна ну лю и диполь в поле не перемещается. Момент сил стремится развернуть диполь r вдоль силовой линии электрического поля. Вектор M направлен перпендику r r лярно p и E по правилу векторного произведения.

Во внешнем неоднородном поле (рис. 12.14, б) силы, действующие на r r концы диполя, неодинаковы ( F2 F1 ). Их результирующая сила стремится пе редвинуть диполь. Диполь втягивается в область поля с большей напряженно r^ r ( ) стью, если угол = p, E меньше 2 (см. рис. 12.14, б). При 2 диполь будет выталкиваться из области более сильного поля.

+q r r r p F q +q M r r r q p F F r r r F E E б а Рис. 12.14. Диполь во внешнем электростатическом поле:

а – в однородном;

б – в неоднородном Энергия диполя в поле. Энергия точечного заряда во внешнем поле по формуле (12.17) равна W = q, где – потенциал поля в точке нахождения за ряда q. Поэтому энергия диполя во внешнем поле W = q + + + q = q( + ), где + и – потенциалы внешнего поля в точках расположения зарядов q+ и q соответственно. С точностью до величины второго порядка малости, учиты вая выражение (12.26), получаем + = l = El l, l r где – производная потенциала по направлению вектора l. Поэтому l rr W = pE. (12.34) Следовательно, минимальную энергию (Wмин = pE ) диполь имеет в по r r ложении устойчивого равновесия, когда направления векторов p и E совпа дают между собой. При отклонении из этого положения возникает момент внешних сил, возвращающих диполь к положению равновесия.

12.6. Проводники в электрическом поле Микрополе – это истинное электрическое поле в любом веществе, оно меняется весьма резко как в пространстве, так и во времени. Микрополе раз лично в разных точках атомов и промежутках между ними. Чтобы найти на пряженность истинного поля в некоторой точке в данный момент, необходимо сложить напряженности полей всех отдельных заряженных частиц вещества – электронов и ядер. r Макрополе – это электрическое поле E в веществе, под которым пони мают пространственно усредненное микрополе. Усреднение проводится по фи зически бесконечно малому объему, содержащему достаточно большое число атомов и имеющему размеры во много раз меньше, чем те расстояния, на кото рых макрополе меняется заметно:

rr r E = E макро = E микро. (12.35) В металлических проводниках имеются свободные носители заряда – электроны проводимости (свободные электроны), которые могут под действием внешнего электрического поля перемещаться по всему проводнику.

В отсутствие внешнего поля электрические поля электронов проводимо сти и положительных ионов металла взаимно компенсируются.

Если металлический проводник внести во внешнее электростатическое поле, то под действием этого поля электроны проводимости перераспределяют ся в проводнике таким образом, чтобы в любой точке внутри проводника элек трическое поле электронов проводимости и положительных ионов скомпенси ровало внешнее поле. При установившемся равновесном распределении заря rr дов электростатическое поле внутри проводника обращается в нуль: E = 0.

Явлением электростатической индукции называется перераспределе ние зарядов в проводнике под влиянием внешнего электростатического поля.

При этом на проводнике возникают заряды, численно равные друг другу, но противоположные по знакам – индуцированные (наведенные) заряды, кото рые исчезают, как только проводник удаляется из электрического поля.

r Поскольку внутри проводника E = grad = 0, то потенциал будет по стоянной величиной и справедливы следующие следствия: rr r 1. Вектор E направлен по нормали к каждой точке поверхности: E = En, r r E = 0. Иначе касательная составляющая вектора E вызвала бы перемещение носителей тока по поверхности проводника.

2. Потенциал во всех точках однородного проводника одинаков. Весь объем проводника эквипотенциален, так как для любого направления l r r = E = E = E cos( E, dl ) = 0, l и поэтому всюду внутри проводника, а также на его поверхности = const.

3. Поверхность проводника является эквипотенциальной, так как для лю бой линии на этой поверхности = E = 0.

l 4. Нескомпенсированные заряды располагаются в проводнике только на его поверхности. Согласно теореме Гаусса (12.11), заряд q, охватываемый про извольной замкнутой поверхностью S, проведенной внутри проводника, будет равен нулю: rr q = 0 EdS = 0, r S так как во всех точках поверхности S напряженность E = 0.

Поэтому при помещении нейтрального проводника во внешнее поле сво бодные заряды начнут перемещаться: положительные – по полю, а отрицатель ные – против поля, рис. 12.15, а. На одном конце проводника будет избыток по ложительных зарядов, на другом – отрицательных. Окончательно внутри про водника напряженность поля станет равна нулю, а линии напряженности вне проводника – перпендикулярными его поверхности, рис. 12.15, б.

+ - + + - + - - + E = + + - + - - + - = const - + - + r r E а б E Рис. 12.15. Незаряженный проводник в электрическом поле:

а – носители заряда приходят в движение при помещении проводника во внешнее поле;

б – картина линий напряженности поля (на поверхности проводника изображены индуцированные заряды) 12.7. Поле внутри проводника и у его поверхности.

Распределение заряда в проводнике r Напряженность E электростатического поля вблизи поверхности про водника связана с поверхностной плотностью свободных зарядов на проводни ке. Эту связь можно определить, используя теорему Гаусса (12.11).

На поверхности проводника, граничащего с Sверх вакуумом, в окрестности точки А, рис. 12.16, вы r делим малый участок площадью S, на котором n.

S Sбок А находится заряд q = S, где – поверхностная r плотность заряда на проводнике. Пусть n – внеш Sниж няя нормаль в точке А к поверхности проводника.

Выберем в качестве замкнутой гауссовой поверх Рис. 12.16. К определению напряженности поля вблизи ности S поверхность цилиндра, основания кото поверхности проводника рого равны: S верх = S нижн = S.

r r Образующие цилиндра параллельны нормали n. Тогда поток вектора E через эту поверхность согласно формуле (12.11) будет таким:

rr rr rr r r q S E dS = E dS + E dS + E dS = =, 0 S ниж S верх rr rr S Sбок 0, то E dS = 0 и где если S бок E dS = 0, поскольку соответственно S r S бок ниж вектор E перпендикулярен внешней нормали к боковой поверхности S бок и внутри проводника поля нет.

Поэтому из последнего уравнения следует En S = S 0, r где En – проекция вектора на внешнюю нормаль n. Отсюда окончательно по лучим, что вблизи проводника в вакууме En =. (12.36) r Если 0, то и En 0, т.е. вектор E направлен от поверхности провод r ника – совпадает по направлению с нормалью n ;

иначе если 0, то En 0 – вектор направлен внутрь проводника (см. рис. 12.15, б).

Согласно уравнению (12.26) En = n и, следовательно:

= 0. (12.37) n На рис. 12.17 представлен вид силовых линий и эквипотенциальных по верхностей поля заряженного положительно металлического тела цилиндри ческой формы с коническим выступом на одном конце и конической впадиной на другом.

Определим силы, действующие на поверхность проводника. Рассмотрим случай, когда заряженный участок поверхности проводника граничит с вакуу мом. Между одноименными зарядами, на ходящимися на поверхности заряженного проводника, действуют силы взаимного от талкивания. Можно доказать, что сила, дей ++ + ствующая на единицу поверхности провод +++ ++ + ++ ника, определяется как r 2 r 0E 2 r Fед = n= n, (12.38) 2 0 где учтено, что = 0 E n и En = E 2.

r Рис. 12.17. Эквипотенциальные Величину Fед называют поверхност поверхности и силовые линии заостренного проводника: сплошные ной плотностью сил. Независимо от знака r r линии – силовые линии, пунктирные, а значит и направления E, сила Fед все линии – эквипотенциальные гда направлена наружу заряженного про поверхности водника и стремится его растянуть.

Свойства замкнутой проводящей оболочки. Итак, в состоянии равно весия избыточных зарядов внутри проводника нет, вещество внутри проводни ка электрически нейтрально. При удалении вещества из некоторого объема внутри проводника, т.е. создании замкнутой полости, поле нигде не изменится.

Равновесное распределение зарядов сохранится. Следовательно, избыточный заряд распределится на проводнике с полостью так же, как и на сплошном про воднике – по его наружной поверхности.

Поэтому внешние заряды, в частности заряды на наружной поверхности проводника, не создают поля в полости внутри проводника. Это явление лежит в основе электростатической защиты – экранировании тел, например изме рительных приборов, от влияния внешних электростатических полей. Вместо сплошного проводника-оболочки может быть густая металлическая сетка.

12.8. Электроемкость уединенного проводника Уединенным проводником называется проводник, который находится настолько далеко от других тел, что влиянием их электрических полей можно пренебречь.

Характер распределения зарядов по поверхности заряженного уединенно го проводника, находящегося в однородной, изотропной диэлектрической среде (см. подтему 13.1), зависит только от формы поверхности проводника. Поверх ностная плотность зарядов в каждой точке А поверхности проводника про порциональна его общему заряду:

= kq, (12.39) где k = k ( x, y, z ) – функция координат точки А, зависящая от формы и размеров поверхности проводника. Значения k больше в тех точках поверхности, где больше ее кривизна. Опыт показывает, что заряд q на уединенном проводнике прямо пропорционален его потенциалу (считаем, что на бесконечности = 0 ): q ~ или q = C.

Коэффициент пропорциональности С называется электрической емко стью (электроемкостью или просто емкостью) этого проводника:

q C=. (12.40) Единица емкости в СИ – фарад (Ф): 1 Ф = 1 Кл/В.

За единицу емкости принимают емкость такого проводника, потенциал которого изменяется на 1 В при увеличении заряда на нем на 1 Кл.

Например, найдем емкость уединенного проводящего шара радиусом R, используя формулы (12.11), (12.20) и (12.40), учитывая, что = 0 :

r r r r R q q q = Edr = Edr = dr = =.

4 0 r 4 0 R 4 0 r R R R q Cшара = = 4 0 R, (12.40а) следовательно, для шара емкость прямо пропорциональна его радиусу. На практике обычно приходится встречаться с емкостями в интервале от 1 мкФ до 1 пФ. Например, емкость проводящего шара с радиусом Земли 0,71 мФ.

Емкость зависит от формы и размера уединенного проводника и от ди электрических свойств окружающей среды (см. тему 13). Емкости геометриче ски подобных проводников пропорциональны их размерам.

12.9. Взаимная емкость двух проводников. Конденсаторы Установлено, что электроемкость неуединенного проводника всегда больше электроемкости того же проводника, когда он уединен. Если к провод нику с зарядом q приблизить другие тела, то на их поверхности возникнут ин дуцированные (на проводнике) или связанные (на диэлектрике) заряды (см. подтему 13.1). Эти заряды ослабляют поле, создаваемое проводником с за рядом q. Потенциал проводника понижается, а его электроемкость повышается.

Конденсатор – это система из двух (иногда более) проводников (обкла док) с одинаковыми по модулю, но противоположными по знаку зарядами. Как правило, форма и расположение обкладок таковы, что электрическое поле практически полностью сосредоточено между обкладками.

Емкость конденсатора – это физическая величина, равная отношению заряда q, расположенного на положительно заряженной обкладке конденсатора, к разности потенциалов 1 2 между его обкладками:

q q C= =, (12.41) 1 2 U где U = 1 2 – напряжение, приложенное к конденсатору. Емкость конден сатора С зависит от формы и геометрических размеров обкладок, от зазора ме жду ними и от заполняющей конденсатор среды.

Пример. Рассчитаем емкость плоского конденсатора, представляющего собой две металлические плоские параллельные пластины площадью S, разде ленные зазором ширины d. Пусть конденсатор заполнен средой, характеризуе мой диэлектрической проницаемостью. Заряд конденсатора q, рис. 12.8.

Решение. Можно показать, что напряженность внутри конденсатора r q E= = = const. (12.42) E - 0 0 S + Поэтому напряжение между обкладками, так как ось Х перпендикулярна обкладкам, определяется как d d qd U = 1 2 = Edx = E dx = Ed =.

d 0 S Х 0 Подставим U в формулу (12.41) и получим для Рис. 12.18. Конденсатор плоского конденсатора с параллельными 0 S обкладками C пл конд =. (12.43) d Отметим, что в данных расчетах не учтено искажение поля у границ пла стин. Емкость реального конденсатора определяется выражением (12.43) тем точнее, чем меньше зазор d по сравнению с линейными размерами.

Соединения конденсаторов. Для того чтобы получить определенную емкость комбинации конденсаторов Ci ( i = 1,n ), их соединяют следующими основными способами. У параллельно соединенных конденсаторов разность потенциалов i на обкладках конденсаторов одинакова и равна, рис. 12.19, а.

Cn + C2.

. C1 C2 Cn +- + +- +- +- + C а б + Рис. 12.19. Соединения конденсаторов:

а – параллельное;

б – последовательное Полная емкость будет равна сумме емкостей отдельных конденсаторов n n qi Ci i n q = Ci.

= i =1 = i = C= (12.44) i = У последовательно соединенных конденсаторов заряды q всех обкладок равны по модулю (рис. 12.19, б), а суммарная разность потенциалов равна n nq q = i = =, C C i =1 i =1 i откуда получаем, что при последовательном соединении конденсаторов сумми руются обратные величины емкостей:

n 1 C = (12.45).

C i =1 i Тема 13. Электростатическое поле в диэлектрике 13.1. Связанные и сторонние заряды Известно, что диэлектриками называются вещества, которые при обыч ных условиях практически не проводят электрический ток. В данной подтеме ознакомимся со свойствами диэлектрика.

Как и всякое вещество, диэлектрик состоит из молекул (атомов). Все мо лекулы диэлектрика электрически нейтральны: суммарный заряд электронов и атомных ядер, входящих в состав молекулы, равен нулю. Однако молекулы об ладают электрическими свойствами.

В первом приближении молекулу диэлектрика можно рассматривать как электрический диполь с электрическим моментом r r p = ql, r где q – суммарный положительный заряд всех атомных ядер в молекуле;

l – вектор, проведенный из «центра тяжести» электронов в молекуле в «центр тя жести» положительных зарядов атомных ядер.

Различают три типа диэлектриков:

1. Неполярные диэлектрики – диэлектрики с неполярными молекула ми – это такие диэлектрики, в молекулах которых в отсутствие внешнего элек трического поля «центры тяжести» положительных и отрицательных зарядов r совпадают ( l = 0 ) и, следовательно, дипольные моменты молекул равны нулю.

Таковы, например, молекулы Н2, O2, N2 и др.

2. Полярные диэлектрики – диэлектрики с полярными молекулами – это диэлектрики, молекулы (атомы) которых имеют электроны, расположенные не симметрично относительно атомных ядер, и поэтому они обладают дипольным электрическим моментом. Например, молекулы Н2О, спиртов, NH3 и т.д.

Если полярный диэлектрик не находится во внешнем электрическом по ле, то в результате теплового движения молекул векторы их дипольных элек трических моментов ориентированы беспорядочно. Следовательно, сумма ди польных моментов всех молекул, содержащихся в любом физически бесконеч но малом объеме диэлектрика, равна нулю.

3. Ионные диэлектрики – это диэлектрики, имеющие ионную кристал лическую решетку и представляющие собой пространственные решетки с пра вильным чередованием ионов разных знаков. Например, молекулы KCl.

Поляризацией диэлектрика называется процесс, в результате которого физический объект (атом, молекула, твердое тело и др.) приобретает электриче ский дипольный момент.

Соответственно различают три вида поляризации диэлектриков:

1. Электронная, или деформационная, поляризация диэлектрика с непо лярными молекулами. Во внешнем электрическом поле электронные оболочки атомов и молекул деформируются: положительные заряды смещаются по полю, отрицательные заряды – против поля. Поэтому неполярная молекула приобре тает индуцированный (наведенный) дипольный электрический момент, про r порциональный напряженности внешнего поля E, рис. 13.1, а. Неполярная мо лекула подобна упругому диполю, длина плеча которого пропорциональна на пряженности внешнего электрического поля.

2. Ориентационная, или дипольная, поляризация диэлектрика с поляр ными молекулами – ориентация имеющихся дипольных моментов молекул по полю, рис. 13.1, б. Во внешнем электрическом поле полярная молекула дефор мируется. Однако в первом приближении этой деформацией можно пренебречь.

Можно считать, что полярная молекула по своим электрическим свойствам по добна жесткому диполю, модуль электрического момента которого постоянен.

3. Ионная поляризация диэлектрика с ионными кристаллическими ре шетками – смещение подрешетки положительных ионов вдоль поля, а отрица тельных ионов против поля приводит к возникновению дипольных моментов.

r r E E - r+- r r + +- - r + + - - - + + + +E- E +- + E0 E0 - - + + + - + + + - -+ + - +- - - + + + + + +- - + + + - - - + + + + б а Рис. 13.1. Молекулярные представления о диэлектриках:

а – электронная поляризация неполярного диэлектрика;

б – ориентационная поляризация полярного диэлектрика Таким образом, механизм поляризации связан с конкретным строением диэлектрика. Однако независимо от механизма поляризации все положитель ные заряды смещаются по полю, а отрицательные – против поля. В обычных условиях смещения зарядов значительно меньше размеров молекул. В резуль тате поляризации на поверхности диэлектрика в электрическом поле появляют ся нескомпенсированные заряды, которые называются связанными (поляриза ционными). Связанные заряды не могут передвигаться свободно и перемеща ются только внутри электрически нейтральных молекул. В общем случае могут возникать и объемные, и поверхностные связанные заряды ( q,, ).

Первичным источником электрического поля в диэлектрике являются сторонние заряды, которые не входят в состав нейтральных молекул диэлектрика. r Полем E внутри диэлектрика будем называть величину, являющуюся r r суперпозицией поля E0 сторонних зарядов и поля E связанных зарядов:

rr r E = E0 + E, (13.1) r r где E0 и E – это макрополя, т.е. усредненные по физически бесконечно мало му объему микрополя, рис. 13.1. Теперь можно определить, что диэлектрики – это вещества, через которые проникает электростатическое поле, в отличие от металлов, экранирующих электростатическое поле.

13.2. Поляризованность. Диэлектрическая восприимчивость.

Диэлектрическая проницаемость r Количественной характеристикой поляризации диэлектрика служит век тор P, называемый поляризованностью.

Поляризованность (вектор поляризации) определяется как дипольный момент единицы объема диэлектрика, равный отношению электрического ди польного момента малого объема диэлектрика к этому объему V:

r r n pi, P= (13.2) V r i = r где pi = qli – электрический дипольный момент i-й молекулы;

п – общее число молекул в объеме V. Этот объем должен быть настолько мал, чтобы в его пре делах электрическое поле можно было считать однородным. Число молекул в V должно быть достаточно велико, чтобы к ним можно было применить ста тистические закономерности: n 1.

Единица поляризованности в СИ – кулон на метр в квадрате (Кл/м2).

В случае изотропных диэлектриков (за исключением сегнетоэлектриков и некоторых ионных кристаллов), чьи свойства не зависят от направления, поля ризованность линейно зависит от напряженности результирующего (13.1) поля:

r r P = 0 E, (13.3) где – безразмерная величина – диэлектрическая восприимчивость веще ства, характеризующая свойства диэлектрика. Всегда 0. Диэлектрическая r восприимчивость не зависит от напряженности E.

Отметим, что в сильных электрических полях зависимость поляризован r r ности P от напряженности E поля в диэлектрике может быть нелинейной.

Можно доказать теоремуrГаусса для поля вектора поляризации:

поток вектора поляризации P сквозь произвольную замкнутую поверхность S равен взятому с обратным знаком избыточному связанному заряду диэлек трика в объеме V, охватываемом поверхностью S, т.е.:

rr P dS = q = dV, (13.4) S V где – объемная плотность нескомпенсированного связанного заряда.

В дифференциальной форме уравнение (13.4) имеет следующий вид:

rr P =, (13.5) r т.е. дивергенция поля вектора P равна взятой с обратным знаком объемной r плотности избыточного связанного заряда в той же точке. Линии P начинаются на отрицательных и заканчиваются на положительных связанных зарядах.

Величина плотности нескомпенсированного связанного заряда в ди электрике связана с плотностью сторонних зарядов формулой r 0E r =. (13.6) 1+ 1+ Следовательно, объемные связанные заряды внутри диэлектрика будут отсутствовать при одновременном выполнении двух условий:

r 1) диэлектрик является однородным ( = 0 );

2) сторонние заряды внутри него отсутствуют ( = 0 ).

+ r -' Поместим пластинку из однородного диэлек +' E трика во внешнее электрическое поле, созданное + двумя бесконечными параллельными разноименно - + + -r - заряженными плоскостями, рис. 13.2. В диэлектрике + + r Er + поле E создается связанными зарядами и направлено E + r + - против внешнего поля E0, создаваемого сторонними + + + зарядами. Результирующее поле внутри диэлектрика - + + согласно формуле (13.1) определяется как - + + + E = E0 E.

- + + S С помощью теоремы Гаусса (12.11) можно вы d числить напряженность между двумя разноименно Рис. 13.2. Напряженность r заряженными плоскостями (см. выражение (12.42)):

электрического поля E E0 =, внутри диэлектрика где – поверхностная плотность стороннего заряда на металлических обклад r ках конденсатора. По аналогии можно записать для поля E :

E =. (13.7) где – поверхностная плотность связанных зарядов.

Тогда получаем, что напряженность поля внутри диэлектрика E = E0 E = (13.7а) совпадает с напряженностью поля в вакууме, когда поверхностная плотность заряда на обкладках конденсатора равна ( ).

Можно показать, что на границе диэлектрика и вакуума поверхностная плотность связанных зарядов равна нормальной составляющей вектора поляризации в данной точке поверхности:

= Pn = 0 E n, (13.8) r где Pn – проекция вектора P на внешнюю нормаль к поверхности данного ди r электрика;

En – проекция вектора E (внутри диэлектрика вблизи его поверх ности) на внешнюю нормаль. Следовательно, знак Pn определяет знак.

Тогда можно записать из формул (13.7) и (13.7а) E P E = E0 = E0 = E0 0 = E0 E.

0 0 Напряженность результирующего поля внутри диэлектрика равна E0 E E= = 0, (13.9) 1+ E где = 1 + = – диэлектрическая проницаемость среды. Она характеризует E способность диэлектрика поляризоваться в электрическом поле и показывает, во сколько раз поле ослабляется диэлектриком (см. подтему 12.1). Отметим, что для всех веществ 1. Для вакуума = 1, для газов мало отличается от 1, для воды = 81, а для некоторых керамик может достигать многих тысяч. Для электроизолирующих материалов, например для мягкой резины, = 2,6 3, для ультрафарфора (керамика) = 6,3 7,5, для стекла = 4 10.

r При наличии диэлектрика теорема Гаусса для вектора E (12.11) и экви валентное уравнение (12.13) обычно записываются так:

rr r N qi, E dS = 0 div E =, (13.10) i = S где qi – сторонние заряды, охватываемые замкнутой поверхностью S;

– объ емная плотность стороннего электрического заряда в той же точке поля, в кото r рой определяется дивергенция поля E. Необходимо отметить выполнение тео r ремы о циркуляции вектора E (12.16) и в вакууме, и при наличии диэлектрика.

r 13.3. Вектор D (электрическое смещение).

r Теорема Гаусса для вектора D Напряженность электростатического r поля зависит от свойств среды (от ). Кроме того, вектор напряженности E на границе диэлектриков претер певает скачкообразное изменение. Введем для описания электрического поля системы зарядов с учетом поляризационных свойств диэлектриков вспомога тельный вектор, использование которого во многих случаях упрощает изучение поля в диэлектриках.

Внутри диэлектрика поле определяется и сторонними, и связанными за рядами. Поэтому, исходя из теоремы Гаусса для вектора напряженности в ва кууме (12.11) и учитывая величину плотности нескомпенсированного связанно го заряда в диэлектрике, запишем r r + E =.

По теореме Гаусса для вектора поляризации (13.5):

rr P =.

Тогда имеем, что r1 r div E = ( div P ), rr div ( 0 E + P) =, (13.11) где вектором электрического смещения (электрической индукции) называ ется вектор r rr D = 0E + P. (13.12) Для изотропного диэлектрика с учетом r формулы (13.3) получаем r r D = 0 (1 + ) E = 0 E. (13.12а) Единица вектора электрического смещения в СИ – кулон на метр в квад рате (Кл/м2). r Вектор D описывает электростатическое поле, создаваемое сторонними зарядами в вакууме, но при таком их распределении в пространстве, какое име ется при наличии диэлектрика.

Аналогично линиям напряженности можно ввести линии электрического смещения. Направление и густота линий вектора электрического смещения оп r ределяются так же как и для вектора напряженности E.

Согласно уравнению (13.11) теорема Гаусса в дифференциальной фор r ме для вектора D имеет вид rr D =, (13.13) r т.е. дивергенция поля вектора D равна объемной плотности стороннего за ряда в той же точке. r В тех точках, где дивергенция вектора D положительна, раположены r источники поля D ( 0 ), а в тех точках, где она отрицательна, – стоки поля r r вектора D ( 0 ). Линии вектора D начинаются и заканчиваются только на r сторонних зарядах. Отметим, что источниками и стоками поля E являются как сторонние, так и связанные заряды (см. рис. 13.2).

Используем теорему Остроградского (12.12) и сформулируем теорему r Гаусса для вектора D (теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике): rr D dS = q, (13.14) S поток вектора электрического смещения электростатического поля в диэлек трике через произвольную замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме охватываемых этой поверхностью сторонних электрических зарядов.

r r В изотропных диэлектриках векторы D и E параллельны. В анизотроп ных диэлектриках эти векторы непараллельны.

Для непрерывного распределения заряда в пространстве с объемной плотностью = dq dV справедливо rr D dS = dV. (13.14а) S V Отметим, что для вакуума формула (13.11а) записывается так:

r r D = 0E. (13.15) 13.4. Поле в диэлектрике. Условия на границе двух диэлектриков r Изучим поведение векторов напряженности E и электрического смеще r ния D электростатического поля на границе раздела двух однородных изо rr rr тропных диэлектрических сред 1 ( E1, D1 ) и 2 ( E2, D2 ). Рассмотрим окрестность произвольной точки А, лежащей на поверхности раздела этих сред. Пусть 1 и 2 – диэлектрические проницаемости первой и второй сред. Будем использо r r вать теорему о циркуляции вектора E (12.16) и теорему Гаусса для вектора D (13.14).

Проведем в точке А на границе раздела сред единичные векторы, направ r r ленные по касательной к поверхности ( ) раздела и по нормали ( n ) к ней, на правленной из первой среды во вторую.

Построим вблизи точки А замкнутый прямоугольный контур L, две сто роны которого параллельны границе раздела сред и равны l, а две другие равны h, рис. 13.3, а. При любом значении h должна выполняться теорема о r циркуляции вектора E (12.16):

rr E dl = 0.

L Перейдем к пределу при h 0 :

rr lim E dl = 0. (13.16) h L r r n n L h h r r А.

. 2 А.

2 h h S 1 2 l б а Рис. 13.3. К получению условий на границе двух диэлектриков:

r r а – для тангенциальных компонент векторов E и D ;

r r б – для нормальных компонент векторов E и D rr В этом случае значения интеграла E dl вдоль боковых сторон ( h ) прямо угольного контура L стремятся тоже к нулю. Верхняя и нижняя стороны конту ра неограниченно приближаются к поверхности раздела сред. При обходе кон тура L по часовой стрелке с учетом выражения (13.16) получаем, что ( E2 + E1 )l = 0, r где проекции вектора E взяты на направление обхода контура, показанное r стрелками на рис. 13.3, а. Учтем, что в проекции на вектор выполняется E1 = E1. Таким образом, первое граничное условие для напряженности поля E2 = E1, (13.17) r т.е. тангенциальная составляющая вектора E напряженности поля не изме няется при переходе из одной среды в другую через поверхность раздела.

Согласно формулам (13.12а) и (13.17) имеем r r 1 D = 0 E и D2 = D 2 0 1 и получаем первое граничное условие для электрического смещения:

D2 = 2 D1, (13.18) r т.е. тангенциальная составляющая вектора D претерпевает на границе разде ла диэлектриков разрыв.

Определим вторую пару условий. Выберем вокруг точки А небольшой участок поверхности раздела сред площадью S. Построим цилиндрическую замкнутую поверхность S, охватывающую этот участок границы раздела сред r и 2. Пусть образующие цилиндра длиной h параллельны вектору n нормали к r поверхности раздела, а основания цилиндра r перпендикулярны n, рис. 13.3, б.

В теореме Гаусса (13.14)rдляrвектора D :

D dS = q, S где q – суммарный сторонний заряд, находящийся внутри замкнутой поверх ности S, т.е. в объеме цилиндра. Перейдем к пределу при h 0 :

rr lim D dS = lim q.

h 0 h S В общем случае при наличии поверхностных сторонних зарядов на границе раздела lim q = S, h где – поверхностная плотность стороннего заряда на границе раздела. Тогда должно выполняться равенство r r lim D dS = ( D2 n D1n )S = S.

h r S Получаем граничное условие для вектора D в виде D2n D1n =. (13.19) Если на поверхности раздела сред нет поверхностных сторонних зарядов, то lim q = 0.

r h Следовательно, второе граничное условие для вектора D записывается как D2 n = D1n, (13.20) т.е. при переходе через границу раздела двух сред, на которой нет поверхно стных сторонних зарядов, нормальная составляющая вектора электрического смещения непрерывна.

Соответственно второе граничное условие для напряженности поля имеет вид 2 0 E2n = 1 0 E1n E2 n = E1n. (13.21) В частности, если первая среда – вакуум, то 1 = 1 и E2 n = E1n 2. Это условие важно для практического применения в решении задач.

r r Преломление линий векторов E и D. Полученные выше условия для r r составляющих векторов E и D на границе раздела двух диэлектриков означа ют, что линии этих векторов на этой границе преломляются, рис. 13.4. Найдем соотношение между углами 1 и 2, образуемыми линиями напряженности с перпендикуляром к поверхности раздела сред в точке А. Если сторонних заря дов на границе раздела нет, то по формулам (13.17) и (13.21) получаем E2 = E1 и E2 n = E1n.

r r E2 n 2 Из рис. 13.4 следует, что углы 1 и E.А r r удовлетворяют условиям E1 E 1 r 1 E1 E tg1 = tg 2 =, E1n r E1n E2 n E tg 2 E2 E1n E = = 1n.

tg1 E2 n E1 E2 n Рис. 13.4. Преломление линий Тогда закон преломления линий напря напряженности на границе женности электростатического поля на по двух диэлектриков ( 2 1 ) верхности раздела двух диэлектрических сред при условии отсутствия на этой поверхности сторонних зарядов в соответствии с уравнением (13.21) запишется так:

tg 2 =. (13.22) tg1 Условие на границе проводник–диэлектрик. Если на рис. 13.3, б среда 1 – проводник, а среда 2 – диэлектрик, то D2 n = Dn, а D1n = 0, так как внутри r проводника E = 0. Из формулы (13.19) следует, что Dn =, (13.23) r где n – внешняя по отношению к проводнику нормаль.

Связанный заряд у поверхности проводника. Можно доказать, что ес ли к заряженному участку поверхности проводника прилегает однородный ди электрик (объемная плотность связанных зарядов = 0 ), то на границе диэлек трика с проводником будут связанные заряды с поверхностной плотностью =, (13.24) где – поверхностная плотность стороннего заряда на проводнике. При этом знаки связанного и стороннего зарядов будут противоположны.

Сегнетоэлектрики. Сегнетоэлектриками называются кристаллические диэлектрики, обладающие в определенном диапазоне температур спонтанной поляризацией, которая существенно изменяется под влиянием внешних воздей ствий. Они используются в конденсаторах большой емкости при малых разме рах. Примеры: сегнетова соль NaKC4 H 4O6 4 H 2O, титанат бария BaTiO3.

Домены – это области сегнетоэлектриков с различными направлениями поляризации. Доменная структура отражает особенности развития фазового пе рехода в реальном сегнетоэлектрике. Температура, выше которой исчезают сегнетоэлектрические свойства и вещество ведет себя как изотропный диэлек трик, называют точкой Кюри TC. В некотором температурном интервале у сегнетоэлектриков ~ 10 000. Например, у сегнетовой соли TC = 258 296 K, спонтанная поляризация p s = 2,6 нКл/м2, 200 ;

у титаната бария TC = 391 K, спонтанная поляризация p s = 158 нКл/м2, 3000.

Для сегнетоэлектриков связь между вектором напряженности внешнего r r электрического поля E и вектором поляризации P нелинейная и наблюдается явление диэлектрического гистерезиса – сохранения остаточной поляризо ванности Pост при снятии внешнего поля (рис. 13.5). Поляризация образца ис чезает полностью лишь под действием электрического поля противоположного направления, напряженность которого E = E c.

Р Величина Ec называется коэрцитивной силой.

Pост Пьезоэлектрики – это кристаллические ди. электрики, в которых при сжатии или растяжении Ec 0 Ec E возникает электрическая поляризация – прямой пьезоэффект. Обратный пьезоэффект – появле ние механической деформации под действием Рис. 13.5. Диэлектрический гистерезис в сегнетоэлектриках электрического поля.

13.5. Энергия электрического поля. Электрическая энергия системы зарядов. Энергия уединенного проводника.

Энергия конденсатора. Плотность энергии Согласно определению потенциала (12.17) энергию взаимодействия системы п неподвижных точечных зарядов qi ( i = 1, n ) можно определить как 1n qi i, W= (13.25) 2 i = где i – потенциал, создаваемый в той точке, где находится заряд qi, всеми за рядами, кроме i-го. Если заряд распределен в пространстве непрерывно с объ r емной плотностью = (r ), то элемент объема dV будет иметь заряд dq = dV. Тогда энергия системы определяется уравнением dV, W= (13.26) 2V где V – весь объем, занимаемый зарядом.

Определим энергию заряженного уединенного проводника произволь ной формы, заряд, емкость и потенциал которого равны соответственно q, C,.

Потенциал во всех точках уединенного проводника одинаков. Зная, найдем его энергию как 1 W = dV = q, (13.26а) 2V или, используя, что C = q по формуле (12.40), найдем C 2 q W= =. (13.26б) 2 2C Можно доказать, что электрическая энергия системы из п неподвижных заряженных проводников равна 1n qi i, W= (13.26в) 2 i = где qi = i dS, поскольку в проводнике избыточные заряды распределены по Si его внешней поверхности;

i – поверхностная плотность сторонних зарядов на малом элементе поверхности i-го проводника площадью dS. Интегрирование проводится по всей эквипотенциальной внешней поверхности проводника пло щадью Si. Таким образом, формулу (13.26в) перепишем в виде 1n i i dS, W= (13.27) 2 i =1 S i где Si – поверхность заряженных проводников.

В общем случае электрическую энергию любой системы заряженных неподвижных тел – проводников и непроводников – можно найти по формуле 1 dS + 2 dV, W= (13.28) 2S V где и – соответственно поверхностная и объемная плотности сторонних за рядов;

– потенциал результирующего поля всех сторонних и связанных заря дов в точках малых элементов dS и dV заряженных поверхностей и объемов.

Интегрирование проводится по всем заряженным поверхностям S и по всему заряженному объему V тел системы.

Согласно формуле (13.28), если заряд распределен непрерывно, то необ ходимо разбить заряд каждого тела на бесконечно малые элементы dS или dV и каждый из них умножить на потенциал, создаваемый не только заря дами других объектов, но и элементами заряда этого тела.

Поэтому расчет по формуле (13.28) позволяет вычислить полную энер гию взаимодействия, поскольку получаем величину, равную сумме энергий взаимодействия заряженных неподвижных тел и их собственных энергий.

Собственная энергия заряженного тела – это энергия взаимодействия друг с другом элементов данного заряженного тела.

Энергию W можно трактовать как потенциальную энергию системы заря женных тел, обусловленную кулоновскими силами их взаимодействия. Влия ние среды на энергию системы при неизменном распределении сторонних за рядов таково, что значения потенциалов в разных диэлектриках различны.

Например, в однородном, изотропном диэлектрике, заполняющем все поле, меньше, чем в вакууме, в раз.

Из формулы (13.28) можно получить формулу также для электрической энергии конденсатора ( = 0 ):

1 q +q 1 1 W = dS = 1 dS + 2 dS = 1 1 2 2 = q(1 2 ) = qU, (13.28а) 2 S 2S 2 2 1 S где S1 и S2 – площади обкладок конденсатора;

q = CU.

Изучение переменных электромагнитных полей (тема 20) показало, что они могут существовать отдельно от породивших их систем электрических за рядов и токов, а их распространение в пространстве в виде электромагнитных волн связано с переносом энергии. Так было доказано, что:

электромагнитное поле обладает энергией. Соответственно и электростати ческое поле обладает энергией, которая распределена в поле с объемной плотностью we.

Объемная плотность энергии электростатического поля we в случае однородных полей вычисляется по формуле W we =. (13.29) V Для неоднородных полей справедливо выражение dW we =, (13.30) dV где dW – энергия малого элемента dV объема поля, в пределах которого вели чину объемной плотности электростатического поля we можно считать всюду одинаковой.

Единица объемной плотности энергии электрического поля в СИ – джо уль на метр в кубе (Дж/м3).

Объемная плотность энергии электростатического поля в изотропной ди электрической среде (или вакууме) равна rr1 1 r r 1 D we = E dD = 0 E 2 = E D =, (13.31) 2 2 r r где D – электрическое смещение. Согласно уравнению (13.12а) D = 0 E.

Необходимо отметить, что формулы (13.25) – (13.28а) справедливы для потенциальных электростатических полей, т.е. полей неподвижных заря женных тел.

Для переменных непотенциальных электрических полей понятие по тенциала и построенные на его основе выражения для энергии лишены смысла.

Эти поля обладают энергией, которую можно найти, пользуясь универсальной формулой, справедливой как для однородного, так и для неоднородного поля:

rr 0 E 2 ED W = wedV = dV = dV, (13.32) 2 V V V где V – объем, занимаемый полем.

Энергия поляризованного диэлектрика. Объемная плотность энергии электростатического поля в вакууме, как следует из формул (13.30) и (13.31), равна вак we = 0 E 2.

r При той же напряженности E поля в диэлектрической среде объемная плот ность энергии поля в раз больше, чем в вакууме:

we = 0 E 2.

Поэтому объемная плотность энергии wдиэл поляризованного диэлек трика определяется как 1 1 wдиэл = ( 1) 0 E 2 = 0 E 2 = PE, (13.33) r r 2 2 где P = 0 E – поляризованность диэлектрика;

– диэлектрическая воспри имчивость диэлектрика.

Пондеромоторные силы. Пондеромоторные силы – это механические силы, которые действуют на заряженные тела, помещенные в электрическое поле. Под действием этих сил поляризованный диэлектрик деформируется – это явление называется электрострикцией. Причиной их возникновения явля ется действие неоднородного электрического поля на дипольные молекулы по ляризованного диэлектрика. Эти силы обусловлены неоднородностью макро поля, а также и микрополя, создаваемого в основном ближайшими молекулами поляризованного диэлектрика.

Например, рассмотрим заряженный плоский конденсатор, отключенный от источника (постоянные заряды на обкладках), см. рис. 12.18. Введем в него диэлектрик с диэлектрической проницаемостью таким образом, чтобы между ним и пластинами конденсатора не было даже тонкого зазора (иначе силы элек трострикции не передавались бы пластинам и сила взаимодействия между пла стинами не менялась бы при введении диэлектрика). Под действием пондеро моторной силы обкладки конденсатора сжимают пластину диэлектрика, поме щенного между ними, и в диэлектрике возникает давление.

Если расстояние между пластинами уменьшается на dx, то механическая работа равна dA = Fx dx, r где Fx – проекция силы притяжения F между пластинами конденсатора на по ложительное положение оси Х. Изменение энергии поля 0 E dW = Sdx, где S – площадь поверхности обкладки конденсатора.

Согласно закону сохранения энергии механическая работа сил электриче ского поля равна уменьшению энергии электрического поля. Тогда пондеромо торная сила – сила, действующая на единицу поверхности пластины, – будет равна Fx dW f= = = 0 E 2 S, (13.34) S dx т.е. объемной плотности энергии электрического поля.

Тема 14. Постоянный электрический ток 14.1. Сила и плотность тока. Уравнение непрерывности Электродинамика – раздел учения об электричестве, в котором рассмат риваются явления и процессы, обусловленные движением электрических зарядов.

Пусть и и – скорости соответственно теплового движения электронов в отсутствии поля и упорядоченного движения электронов в поле. Через любую r площадку dS средняя скорость = 0. Тогда средняя скорость электронов в по ле будет равна rr r r r +u = + u = u.

Электрический ток есть упорядоченное движение электрических заря дов. Для возникновения и существования электрического тока в веществе (про водящей среде) необходимо:

1) наличие свободных носителей тока – заряженных частиц, способных перемещаться в проводящей среде упорядочено;

2) наличие электрического поля внутри проводника.

Носителями тока могут быть электроны (в металлах), ионы (в электроли тах) или другие частицы. За направление электрического тока принимают на правление движения положительных зарядов.

Сила тока I – это скалярная физическая величина, равная величине заря да dq, переносимого через рассматриваемую поверхность в единицу времени:

dq I=. (14.1) dt Заметим, что определение единицы силы тока в Международной системе еди ниц дается через силу взаимодействия токов и излагается ниже в подтеме 15.5.

Электрический ток называется постоянным (стационарным), если сила тока и его направление не изменяются с течением времени. Переменным элек трическим током называется ток, изменяющийся с течением времени.

Для постоянного тока q I=, (14.2) t где q – заряд, проходящий за время t через поперечное сечение проводника.

Единица силы тока в СИ – ампер (A).

Один ампер – это ток, при котором за единицу времени 1 с через полное сечение проводника проходит заряд 1 Кл.

Плотностью электрического тока называется ток, протекающий сквозь единицу площади поверхности dS, ортогональной направлению тока:

dI j=. (14.3) dS Единица плотности тока в СИ – ампер на метр в квадрате (А/м2).

r Вектор плотности тока j характеризует направление электрического тока в разных точках рассматриваемой поверхности и распределение силы тока по этой поверхности.


Поэтому сила тока через произвольную поверхность S опре деляется как поток вектора плотности тока rr I = j dS, (14.4) rr r S где dS = n dS ( n – единичный вектор нормали к площадке dS ). Для постоянно го тока I, текущего перпендикулярно сечению S проводника, плотность тока выражается как j = I S. (14.5) Если за время dt через поперечное сечение dS проводника в направлении r скорости u переносится электрический заряд dq = ne u dSdt (где n, e, u – концентрация, заряд и средняя скорость упорядоченного движения зарядов со ответственно), то сила тока I = dq dt = ne u dS, а плотность тока будет равна r r j = ne u. (14.6) Если носителями тока являются как положительные, так и отрицательные заряды, то плотность тока определяется формулой:

r r r r r j = + u + + u = n + e+ u + + n e u, (14.6а) где + и – объемные плотности положительного и отрицательного зарядов r r носителей;

u + и u – скорости их упорядоченного движения;

n+ и n – концен трация положительных и отрицательных носителей тока, имеющих заряд e+ и e соответственно.

В проводниках, где носителями являются только электроны ( 0 и r u + = 0 ), вектор плотности тока равен с учетом знака электрона r r j = n e u. (14.6б) Уравнение непрерывности. Рассмотрим в некоторой проводящей среде, где течет ток, замкнутую поверхность S. Для замкнутых поверхностей принято r брать векторrнормали n к поверхности dS, направленный наружу. Поэтому ин r теграл j dS определяет заряд, проходящий в единицу времени через поверх S ность S. Согласно закону сохранения заряда этот интеграл равен убыли заряда в единицу времени внутри объема V, ограниченного поверхностью S:

r r dq j dS = dt. (14.7) S Это соотношение называется уравнением непрерывности электриче ского заряда и выражает закон сохранения заряда. В случае постоянного тока распределение зарядов в пространстве должно оставаться неизменным, т.е.

dq dt = 0. Следовательно, уравнение (14.7) примет вид rr j dS = 0. (14.8) r S Таким образом, линии вектора j, направленные по движению зарядов, r r т.е. вдоль вектора E, в случае постоянного тока замкнуты. Поле вектора j не имеет источников.

Из уравнения непрерывности (14.7), представив q в виде q = dV и ис V пользуя теорему Остроградского (12.12), получим дифференциальную форму уравнения непрерывности rr j =. (14.9) t Условие стационарности (для постоянного тока t = 0 ) записывается как rr j = 0. (14.10) 14.2. Закон Ома для однородного проводника.

Закон Ома в дифференциальной форме Закон Ома для однородного участка цепи (не содержащего источник тока) (интегральная форма закона Ома):

cила тока I, текущего по однородному металлическому проводнику, пропор циональна напряжению U на конце проводника:

U I=, (14.11) R где R – электрическое сопротивление проводника.

Единица сопротивления в СИ – ом (Ом).

1 Ом – это сопротивление такого проводника, в котором течет постоян ный ток 1 А при напряжении 1 В на его концах.

Сопротивление проводника зависит от его размеров и формы, а также от материала, из которого проводник изготовлен. Для однородного цилиндриче ского проводника сопротивление определяется как l R=, (14.12) S где l – длина проводника;

S – площадь его поперечного сечения;

– удельное электрическое сопротивление, характеризующее материал проводника.

Единица удельного электрического сопротивления в СИ – Ом-метр (Ом·м).

Для большинства металлов при не слишком низких температурах ~T. (14.13) Величина, обратная удельному электрическому сопротивлению, называ ется удельной электрической проводимостью вещества проводника:

=. (14.14) Единица удельной электрической проводимости в СИ – сименс на метр (См/м).

r r Найдем связь между плотностью тока j и полем E в одной и той же точ ке проводящей среды. Рассмотрим изотропный проводник, в котором направ r r ления векторов j и E совпадают.

r Мысленно выделим в окрестности некоторой j r точки проводящей среды элементарный цилиндриче dS E ский объем с образующими, параллельными вектору r r j, а следовательно, и вектору E. Пусть dS – попе d речное сечение цилиндра, dl – его длина. В проводни Рис. 14.1. К выводу локального закона Ома ке напряженность электрического поля E = U dl.

Тогда из формул (14.11) и (14.12) для такого элементарного цилиндра получаем Edl dl I = U R = jdS и R =, следовательно, jdS =.

dl dS dS Поэтому имеем r 1r r j = E = E. (14.15) Выражение (14.15) называется законом Ома в дифференциальной форме (локальным законом Ома) и устанавливает связь между плотностью тока и на пряженностью электрического поля в одной и той же точке пространства.

Необходимо отметить, что если ток постоянный, то избыточный заряд внутри однородного проводника всюду равен нулю. Избыточный заряд может появиться только на поверхности однородного проводника в местах соприкос новения с другими проводниками или на участках, где проводник имеет неоднородности.

Отметим, что электростатическое поле внутри проводников при равнове сии зарядов равно нулю. Поскольку в случае стационарных токов заряды, воз r буждающие электрическое поле, движутся, то электрическое поле E стацио нарных токов существует и внутри проводников с током.

14.3. Сторонние силы Для существования постоянного тока необходимо наличие в цепи ис точника тока – устройства, способного создавать и поддерживать разность потенциалов за счет сил не электростатического происхождения. Отметим, что перемещение носителей тока под действием сил электростатического поля при водит к выравниванию потенциалов всех точек цепи и прекращению тока.

Сторонними силами называются силы не электростатического происхо ждения, действующие на заряды либо на отдельных участках цепи, либо во всей цепи.

Количественная характеристика сторонних сил – поле сторонних сил и r его напряженность Eстор, определяемая сторонней силой, действующей на еди ничный положительный заряд:

r r Fстор Eстор =. (14.16) q Природа сторонних сил может быть различной: в гальванических элемен тах они возникают за счет энергии химических реакций между электродами и электролитами;

в генераторе – за счет механической энергии вращения ротора генератора;

в солнечных батареях – за счет энергии фотонов и т.п.

Под действием создаваемого поля сторонних сил электрические заряды движутся внутри источника тока против кулоновских сил электростатического поля, благодаря чему на концах цепи поддерживается разность потенциалов и в цепи течет постоянный электрический ток.

Физическая величина, определяемая работой, которую совершают сто ронние силы при перемещении единичного положительного заряда, называется электродвижущей силой (ЭДС), действующей в цепи:

A =. (14.17) q Эта работа совершается за счет энергии, затрачиваемой в источнике тока, поэтому величину можно назвать ЭДС источника тока, включенного в цепь.

Единица ЭДС в СИ – вольт (В).

Участок электрической цепи, на котором не действуют сторонние силы, называется однородным. Участок цепи, на котором на носители тока действуют сторонние силы, называется неоднородным.

Работа сторонних сил по перемещению заряда q на замкнутом участке цепи равна r r r r A = Fстор dl = q Eстор dl.

Отсюда ЭДС, действующая в замкнутой цепи, – это циркуляция вектора напря женности поля сторонних сил:

r r = Eстор dl. (14.17а) Следовательно, для поля сторонних сил циркуляция его напряженности по замкнутому контуру не равна нулю. ЭДС, действующая на участке 1–2 цепи (рис. 14.2), находится как I r 2r.. 12 = E стор dl.

-+ 1 2 (14.17б) r Если на заряд q действуют сторонние силы Fстор и силы Рис. 14.2. Участок r цепи с ЭДС электростатического поля Fe, то результирующая сила равна rr r r r F = Fстор + Fe = q( Eстор + E ).

Работа результирующей силы по перемещению заряда q на участке 1– определяется с помощью формул (14.17б) и (12.21) как r 2r r 2r A12 = q Eстор dl + q E dl = q12 + q(1 2 ). (14.18) 1 Для замкнутой цепи, так как работа электростатических сил в этом случае рав на нулю ( 1 = 2 ), получаем A = q 12. (14.18а) Напряжением U12 на участке 1–2 называется фи U зическая величина, численно равная суммарной работе,.. совершаемой электростатическими и сторонними сила 1 ми по перемещению единичного положительного заряда I Рис. 14.3. К вычислению на данном участке цепи, рис. 14.3:

работы электрического A U12 = 12 = 1 2 + 12. (14.19) тока q Таким образом, напряжение на концах участка цепи равно разности потенциа лов, если участок является однородным (т.е. на участке не действует ЭДС, сто ронние силы отсутствуют, рис. 14.3):

U12 = 1 2. (14.19а) Сопротивление соединения проводников. В случае последовательного соединения п проводников, показанного на рис. 14.4, а, сила тока в них будет одинаковой: I1 = I 2 =... = I n = I.

R1, I1, U R1 R2, I2, U R2 R I, U I, U I, U1 R3, I3, U б а Рис. 14.4. Соединения п проводников ( n = 3 ):

а – параллельное;

б – последовательное Используя закон сохранения энергии, согласно которому полное напряжение U равно сумме падений напряжений на каждом сопротивлении, получаем, что n n n IR = U = U i = I i Ri = I Ri.

i =1 i =1 i = n R = Ri. (14.20) i = При параллельном соединении п проводников (рис. 14.4, б) к каждому проводнику приложено полное напряжение U: U1 = U 2 =... = U n = U. Учтем, что заряд сохраняется. Тогда n nU n U = I = Ii = i = U.

R i =1 Ri i =1 Ri i = Поэтому общее сопротивление цепи оказывается меньше сопротивления каж дого из резисторов в отдельности:

n =. (14.21) R i =1 Ri 14.4. Обобщенный закон Ома в дифференциальной форме.

Закон Ома для неоднородного участка цепи Закон Ома в дифференциальной форме (14.15) при совместном действии r r поля E и поля сторонних сил Eстор записывается так:

rr r j = ( E + E стор ). (14.22) Этот закон справедлив в случае неоднородных участков цепи и называется обобщенным законом Ома в дифференциальной форме. r Умножим скалярно обе части равенства (14.22) на вектор dl, численно равный длине dl элемента проводника и направленный вдоль проводника в на r правлении тока, т.е. вдоль вектора j плотности тока:


rr rrr r j dl = ( E dl + E стор dl ).

rr Так как j dl = j dl, то rrr r I j dl == dl = E dl + Eстор dl.

S Проинтегрируем по длине участка цепи 1–2 (между сечениями цепи 1 и 2) и уч тем, что сила тока во всех сечениях цепи одинакова:

2r r 2r r I I dl = E dl + Eстор dl.

S..

1 2 1 1 Тогда согласно формулам (14.12) и (14.18) последнее Рис. 14.5. К выводу закона выражение преобразуется в обобщенный закон Ома:

I12 R12 = (1 2 ) + 12, Ома для неоднородного (14.23) участка цепи где R12 – электрическое сопротивление участка цепи 1–2;

(1 2 ) – разность потенциалов на участке цепи 1–2, рис. 14.5.

Уравнение (14.23) – это закон Ома для неоднородного участка цепи:

произведение электрического сопротивления участка цепи на силу тока в нем равно сумме падения электрического потенциала на этом участке и ЭДС всех источников электрической энергии, включенных на данном участке.

Пользуясь обобщенным законом Ома (14.23), нужно соблюдать следую щее правило знаков для ЭДС источников, включенных на участке цепи 1–2:

если напряженность поля сторонних сил в источнике совпадает с направле нием выбранного обхода участка цепи (внутри источника обход связан с пе ремещением от катода к аноду), то при подсчете ЭДС этого источника нужно считать положительной, а в противном случае – отрицательной. Например, 12 = 0 на рис. 14.6, а;

12 = 0 на рис. 14.6, б.

Обобщенный закон Ома (14.23) можно представить в форме, в которой его экспериментально установил немецкий физик Ом в 1826 г.:

I12 R12 = U 12, (14.23а) где напряжение U12 определяется согласно формуле (14.19).

Рассмотрим частные случаи:

12 = 12 = 1. Закон Ома для замкнутой цепи ( = 0 ):

,r,r 1 +- 1 -+ I= =, I I R r + Rвнеш Ir = 1 Ir = 1 2 + где – алгебраическая сумма отдельных а б ЭДС в данной цепи;

R – суммарное сопро Рис. 14.6. Правило знаков для ЭДС тивление всей цепи;

Rвнеш – сопротивление источников:

внешней цепи;

r – внутреннее сопротивле а – случай 0 ;

б – случай ние источника тока.

(r – внутреннее сопротивление 2. Если цепь разомкнута, то I = 0.

источника тока). Стрелкой обозначено выбранное направление обхода Поэтому ЭДС источника, действующего в разомкнутой цепи, равна разности потенциалов на его клеммах:

12 = 2 1.

3. В случае короткого замыкания сопротивление внешней цепи Rвнеш = 0. Тогда сила тока I =.

r I1 I6 Правила Кирхгофа для разветвленных А цепей (1847 г.). Узлом электрической цепи называ I I2 ется любая точка разветвления цепи, в которой схо дится не менее трех проводников с током. Ток, вхо I3 I а дящий в узел, считается положительным, а ток, выхо дящий из узла, – отрицательным, рис. 14.7.

I1 R1 - + В А Первое правило Кирхгофа – алгебраическая I сумма токов Ik, сходящихся в узле, равна нулю:

I4 + n Ik = 0, R4 (14.24) R 3 R k = +- D С где n – число проводников, сходящихся в узле.

I Например, для узла А на рис. 14.7, а первое пра б вило Кирхгофа записывается так:

Рис. 14.7. К применению I1 I 2 I 3 + I 4 + I 5 I 6 = 0.

правил Кирхгофа:

Второе правило Кирхгофа – в любом замкнутом а – узел электрической цепи;

контуре, произвольно выбранном в разветвленной б – разветвленная цепь электрической цепи, алгебраическая сумма падений напряжений U i = I i Ri на последовательных участках этого контура равна алгебраической сумме ЭДС k, включенных в контур:

U i = I i Ri = k, (14.25) i i k где I i и Ri – соответственно ток и сопротивление i-го участка. Например, для замкнутого контура АВСDА (рис. 14.7, б) I1 R1 I 2 R2 + I 3 R3 + I 4 R4 = 1 2 + 3, где токи и ЭДС уже считаются положительными (обход по часовой стрелке).

При расчете цепей с применением правил Кирхгофа необходимо:

1. Выбрать произвольное направление токов на всех участках цепи. При решении задачи определяется, что если искомый ток получится положитель ным, то его направление было выбрано правильно, а если отрицательным – его истинное направление противоположно выбранному.

2. Выбрать направление обхода контура и строго его придерживаться;

произведение I i Ri положительно, если ток на данном участке совпадает с на правлением обхода. ЭДС, действующие по выбранному направлению обхода, считаются положительными, действующие против – отрицательными.

3. Подсчитать число т узлов в цепи. Записать для каждого из узлов ( m 1) выражений (14.24).

4. Составить систему уравнений (14.25), используя все сопротивления и ЭДС рассматриваемой цепи. Каждый рассматриваемый контур должен содер жать хотя бы один элемент, не содержащийся в предыдущих контурах.

14.5. Закон Джоуля–Ленца Когда электрический ток I проходит по проводнику, то из-за неупругих столкновений носителей тока (электронов) между собой и с другими частицами среды (атомами) происходит рассеяние энергии. Если ток течет в цепи из не подвижных металлических проводников, то работа, совершаемая кулоновскими силами при переносе заряда dq = I dt (см. формулы (12.20) и (14.19а)), равна dA = dq(1 2 ) = I dt U и целиком расходуется на нагревание проводников. Тогда за малое время dt в объеме dV элемента проводника длиной dl выделяется количество теплоты, определяемое согласно закону Ома (14.11) следующим образом:

U dQ = IUdt = I Rdt = dt.

R За конечный промежуток времени от 0 до t ток I выделяет во всем объеме про водника, сопротивление которого равно R, количество теплоты Q:

t Q = I 2 Rdt. (14.26) Формула (14.26) выражает закон Джоуля–Ленца. Если ток в цепи постоянен, то получаем закон Джоуля–Ленца для участка цепи постоянного тока (в инте гральной форме), который с учетом закона Ома (14.11) записывается так:

Q = I 2 Rt = UIt = U 2 t R, (14.26а) количество теплоты, выделяемое постоянным электрическим током на участ ке цепи, равно произведению квадрата силы тока на время его прохождения и электрическое сопротивление этого участка цепи.

Этот закон был установлен экспериментально независимо в 1841 г.

Д. Джоулем и в 1842 г. русским физиком Э. Х. Ленцем.

Выделим в проводнике цилиндрический объем dV = dS dl (ось цилиндра совпадает с направлением тока). По закону Джоуля–Ленца за время dt в этом объеме выделится теплота:

dl dQ = I 2 R dt = ( j dS )2 dt = j 2 dVdt.

dS Удельной тепловой мощностью называется количество теплоты, выде ляющееся за единицу времени в единице объема:

dQ w= = j2. (14.27) dVdt Используем дифференциальную форму закона Ома (14.15) j = E и оп ределение удельной электрической проводимости вещества (14.14) = 1. В результате получим закон Джоуля–Ленца в дифференциальной форме:

w = E 2 = jE. (14.28) Мощностью постоянного тока называют величину P = IU, которая равна джоулеву теплу, выделяемому в проводнике за единицу времени.

Тепловое действие электрического тока используется в лампах накалива ния, электросварке, электронагревательных приборах и т.д.

Классическая теория электропроводности металлов. Основные законы электрического тока в классической теории электропроводности металлов – это законы Ома, Джоуля–Ленца и Видемана–Франца.

Для всех металлов при одинаковой температуре отношение коэффициен та теплопроводности K к удельной электрической проводимости одинаково и увеличивается с температурой согласно закону Видемана–Франца (1853):

K = LT, (14.29) где L – число Лоренца, не зависящее от металла;

K зависит от атомно молекулярного строения вещества, состава, температуры, давления и т.д.

В классической теории электропроводности металлов, положения ко торой частично были использованы ранее, считается:

1. При образовании кристаллической решетки электроны внешних обо лочек атомов обобществляются и кристалл представляет собой решетку непод вижных ионов металла, между которыми хаотически движутся свободные элек троны, образуя электронный газ, обладающий свойствами идеального газа.

2. Движение электронов подчиняется законам классической механики.

3. Пренебрегается взаимодействием электронов между собой, рассмат риваются только столкновения с атомами в узлах решетки.

4. Даже при предельно допустимых значениях плотности тока, средняя скорость u упорядоченного движения электронов, обуславливающего элек трический ток, значительно меньше их скорости теплового движения.

Необходимо отметить, что существует ряд трудностей классической тео рии, которые разрешаются квантовой теорией: например, не согласуется с экс периментальной зависимость сопротивления от температуры, зависимость теп лоемкости металлов от температуры противоречит экспериментальной.

Тема 15. Магнитное поле в вакууме r 15.1. Магнитная индукция B. Магнитное поле равномерно движущегося заряда. Принцип суперпозиции полей В XIX в. опытным путем было установлено:

1. В пространстве, окружающем токи и постоянные магниты, возникает силовое поле, называемое магнитным.

2. Движущиеся заряды создают магнитное поле.

3. Магнитное поле действует на движущиеся заряды.

Как известно, электростатическое поле действует и на неподвижные за ряды, и на движущиеся. Магнитное поле не действует на покоящиеся заряды.

Опыт показывает, что характер воздействия магнитного поля на ток зависит от:

1) формы проводника, по которому течет ток;

2) расположения проводника;

3) направления тока.

Аналогично тому, как при исследовании электростатического поля ис пользуется пробный заряд, при исследовании магнитного поля используется замкнутый плоский контур с током (рамка с током), линейные размеры которо го малы по сравнению с расстоянием до токов, образующих магнитное поле.

r Ориентация контура с током в пространстве ха r n рактеризуется направлением нормали n к контуру. В качестве положительного направления нормали при нимается направление, связанное с током правилом буравчика:

I за положительное направление нормали принима Рис. 15.1. Использование ется направление поступательного движения бу рамки с током для равчика, рукоятка которого вращается в направле исследования нии тока, текущего в рамке.

магнитного поля Опыты показывают, что со стороны магнитного поля на движущуюся в r r этом поле со скоростью заряженную частицу q действует сила Fм. Экспери ментально по величине и направлению магнитной силы определяют силовую r характеристику магнитного поля – вектор магнитной индукции B.

r При изменении направления скорости частицы в точке А поля модуль си лы Fм изменяется от 0 до максимального значения ( Fм ) макс, зависящего от r произведения q, а также и от значения в точке А вектора B.

r По определению, модуль вектора B равен ( Fм ) макс B=. (15.1) q Отметим, что отношение Fм ( q ) не зависит ни от заряда q частицы, ни от модуля ее скорости. r Таким образом, магнитная индукция B численно равна отношению си лы, действующей на заряженную частицу со стороны магнитного поля, к про изведению абсолютного значения заряда и скорости частицы, если направление скорости частицы таково, что эта сила максимальна.

Единица магнитной индукции в СИ – тесла (Тл).

При заполнении всего объема, где имеется магнитное поле (объем огра ничен поверхностями, образованными линиями напряженности внешнего поля, см. подтему 16.2), однородной изотропной средой (магнетиком, см. подтему r 16.1) величина магнитной индукции B изменяется в раз:

B µ=, B где – магнитная проницаемость среды (см. подтему 16.3) – безразмерная величина, показывающая во сколько раз магнитная индукция B поля в среде отличается от магнитной индукции B0 поля в вакууме. Для вакуума µ вак = 1.

r r Из опыта следует, что вектор силы Fм орто r гонален скорости частицыr q. По определению r q B вектор магнитной индукции B также ортогонален r направлению Fм, рис. 15.2. По правилу правой ру r ки ладонь правой руки располагается так, чтобы Fм выпрямленные пальцы указывали направление r Рис. 15.2. К определению r направления вектора силы Fм движения частицы, а если их согнуть – направ r ление вектора B. Тогда большой палец руки бу дет ука зывать направление силы, действующей со стороны магнитного поля на поло жительно заряженную частицу.

Магнитное поле называется однородным, если во всех его точках векто ры магнитной индукции одинаковы как по модулю, так и по направлению. В противном случае магнитное поле называется неоднородным.

Графически стационарное (не изменяющееся со временем) магнитное поле изображают линиями маг I нитной индукции, рис. 15.3 а, б.

Линиями магнитной индукции (силовыми ли ниями магнитного поля) называются линии, прове а денные в магнитном поле так, что в каждой точке по ля касательная к линии магнитной индукции содер I r жит вектор B в этой точке поля. Например, в случае проводника с током они имеют вид окружностей. На правление силовых линий прямого тока определяют б по правилу правой руки: если мысленно обхватить Рис. 15.3. Силовые линии проводник правой рукой так, что большой палец ука магнитного поля вокруг зывает направление тока в проводнике, то остальные проводника с током:

пальцы показывают направление силовых линий маг а – прямой проводник;

нитного поля тока, рис. 15.3, а.

б – круговой виток Линии магнитного поля всегда замкнуты, в то время как линии электро статического поля – разомкнуты (они начинаются на положительных и закан чиваются на отрицательных зарядах).

Таким образом, опыт показывает, что сила, действующая со стороны маг нитного поля на движущуюся в нем заряженную частицу, определяется как r rr Fм = q[, B ]. (15.2) r Направление вектора силы Fм определяется согласно правилу векторного произведения (правило правой руки), описанному выше. Модуль силы равен Fм = qB sin, (15.2а) r r где – угол между векторами и B.

Тогда, если на движущуюся частицу с электрическим зарядом q одновре менно действуют магнитное и электрическое поля, то результирующая элек r тромагнитная сила F, называемая силой Лоренца, равна сумме двух состав ляющих – электрической и магнитной: r r r r F = qE + q[, B ], (15.3) r где E – напряженность электрического поля. Электрическая составляющая ре r r зультирующей силы F не зависит от скорости движения заряда. Скорость в формуле (15.3) определяется относительно интересующей нас системы отсчета.

Иногда под силой Лоренца понимают только магнитную составляющую r силы F. Необходимо заметить, что разделение полной силы Лоренца на элек трическую и магнитную составляющие зависит от выбора системы отсчета.

Важной особенностью магнитной силы является то, что она всегда пер пендикулярна вектору скорости заряда, поэтому работы над зарядом не совер шает. Следовательно, в постоянном магнитном поле энергия движущейся заря женной частицы остается неизменной, как бы частица не двигалась.

Магнитное поле равномерно движущегося заряда. Элементарный за r кон, определяющий поле B равномерно движущегося нерелятивистского то чечного заряда q, был получен в результате обобщения экспериментальных данных:

rr r µ0 q[, r ] B=, (15.4) 4 r r где µ 0 = 4 107 Гн/м – магнитная постоянная;

r – радиус-вектор, проведен ный от заряда к точке наблюдения. Конец радиус-вектора неподвижен в данной r системе отсчета, а его начало движется со скоростью. Формула (15.4) спра r ведлива в случае постоянной нерелятивистской скорости движения заряда.

Для магнитных полей справедлив принцип суперпозиции:

магнитная индукция поля, создаваемого несколькими токами или движущи мися зарядами, равна векторной сумме магнитных индукций полей, созда ваемых каждым током илиrдвижущимся зарядом в отдельности:

r B = Bi. (15.5) i 15.2. Закон Био–Савара–Лапласа и его применение к расчету магнитного поля прямого и кругового токов В 1820 г. французские ученые Ж. Био и Ф. Савар исследовали магнитные поля, создаваемые в воздухе прямолинейным током, круговым током, катушкой с током и т.д. В соавторстве с французским физиком П. Лапласом, который обобщил полученные ими экспериментальные результаты, они получили об щий закон, позволяющий вычислять магнитную индукцию в каждой точке по ля, создаваемом током, текущим по проводнику любой формы.

Магнитная индукция поля постоянного электрического тока, созданная r элементом dl линейного проводника с током I в вакууме (рис. 15.4), удовле творяет закону Био–Савара–Лапласа, который в СИ имеет вид:

rr rr r µ0 [ j, r ]dV µ0 I [dl, r ] I dB = = r, (15.6) А 4. r3 r3 r r r dB где j – плотность тока;

j dV и Idl – соответственно r r r r объемный и линейный элемент тока;

r – радиус r dl вектор, проведенный из элемента dl в рассматривае r r мую точку поля А. Угол между векторами dl и r ра r Рис. 15.4. Магнитная вен. Направление dB перпендикулярно плоскости rr индукция элемента тока векторов dl и r и совпадает с касательной к линии магнитной индукции, проходящей через точку А.

r Модуль вектора dB определяется выражением µ0 I dl sin dB =. (15.6а) 4 r Лаплас – автор гипотезы о том, что при наложении магнитных полей справедлив принцип суперпозиции, т.е. принцип независимого действия полей:

r r B = dB, (15.7) r l где dB – магнитная индукция магнитного поля малого элемента dl проводника с током, а интегрирование проводится по всей длине проводника.

Таким образом, магнитная индукция поля, создаваемого в вакууме током I, идущим по проводнику конечной длины и любой формы, равна rr r µ0 I [dl, r ] 4 r B=, (15.7а) rr l r µ0 I [ j, r ] 4 r B= dV. (15.7б) V Рассмотрим два примера применения закона Био–Савара–Лапласа.

1. Магнитное поле прямолинейного проводника с током. Пусть ток I течет по прямому проводу бесконечной длины. В качестве постоянной интег рирования выберем угол, рис. 15.5, а. По закону Био–Савара–Лапласа (15.6а) r модуль вектора dB в точке А поля элемента прямолинейного проводника равен µ0 I dl sin dB =, 4 r dS R где dl = и dS = rd, а r =, R – расстояние от провода до точки А. Поэто sin sin rd Rd му dl = = 2. Тогда получаем sin sin µ I R d sin 2 µ I sin dB = 0 sin = 0 d.

4 sin 2 R 2 4 R Угол для всех элементов провода изменяется от 0 до. По принципу суперпо зиции (15.5) магнитная индукция поля, создаваемого прямым током I, равна µ I µI µI B = 0 sin d = 0 cos 0 = 0 2, 4R 4R 4R µI B= 0. (15.8) 2R dl r dB r r I I dB1 + dB А r О А..

R. h O r dB d R r r r r dB dl dS dl а б Рис. 15.5. К вычислению магнитного поля:

а – прямолинейного проводника с током;

б – кругового витка с током 2. Магнитное поле кругового витка с током. Определим магнитную индукцию поля витка с током I в произвольной точке на оси витка OO, прохо дящей через центр витка перпендикулярно его плоскости. На рис. 15.5, б пока зан круговой виток радиуса R, плоскость которого перпендикулярна плоскости чертежа, а ось OO лежит в этой плоскости. В точке А на оси OO векторы r µ I rr dB = 0 3 [dl, r ] 4 r r для полей различных малых элементов dl витка с током не совпадают по на r r правлению. Векторы dB1 и dB2 для полей двух диаметрально противополож r r ных элементов витка dl1 и dl2, имеющих одинаковую длину dl1 = dl2 = dl, рав r r r r ны по модулю: dB1 = dB2 = dB = µ0 Idl 4r 2, так как sin (dl, r ) = 90 0.

r r Результирующий вектор dB1 + dB2 направлен в точке А по оси витка, при чем r r µ I 2R µ IR dB1 + dB2 = 2dB sin = 0 2 dl = 0 3 dl.

4 r r 2 r r Таким образом, поперечные составляющие dB взаимно компенсируют r друг друга. Вектор индукции B в точке А для магнитного поля всего витка на правлен также вдоль оси OO, а его модуль определяется так:

2R µ I R 2R µ0 I R µIR B = dB|| = dB sin = 4 r 3 dl = 0 3 dl = 0 3 2R.



Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.