авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 |

«И. И. ТАШЛЫКОВА-БУШКЕВИЧ ФИЗИКА В 2-х частях Часть 1 МЕХАНИКА. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ...»

-- [ Страница 6 ] --

4 r 4 r 0 Учитывая, что r = R 2 + h 2, получаем µ IR 2 µ IR B= 0 3 = 0 2. (15.9) 2 ( R + h 2 )3 2r r 15.3. Теорема Гаусса для вектора B r Магнитным потоком (потоком вектора B магнитной индукции) че рез малую поверхность площадью dS называется физическая величина rr r r dФB = B dS = Bn dS = BdS cos( B, n ), (15.10) rr r где dS = n dS ;

n – единичный вектор нормали к площадке dS ;

Bn – проекция r вектора B на направление нормали. Малая площадка dS выбирается так, чтобы ее можно было считать плоской, а магнитное поле в ее пределах – однородным.

r r Поле B может быть наглядно представлено с помощью линий вектора B.

Их проводят таким образом, чтобы число линий, пересекающих площадку dS, r численно было пропорционально магнитному потоку. Поток вектора B может быть как положительным, так и отрицательным в зависимости от r r знака cos( B, n ).

Магнитный поток через произвольную поверхность S равен rr ФB = B dS = Bn dS. (15.11) r S S При вычислении этого интеграла векторы нормалей n к площадкам dS нужно направлять в одну и ту же сторону по отношению к поверхности S.

Если магнитное поле однородно, а поверхность S плоская, то r r ФB = BS cos( B, n ). (15.12) Единица магнитного потока в СИ – вебер (Вб): 1 Вб = 1 Тл·м.

1 Вб – это магнитный поток, проходящий сквозь плоскую поверхность пло щадью 1 м2, расположенную перпендикулярно однородному магнитному по лю, индукция которого равна 1 Тл.

Теорема Гаусса для магнитного поля:

магнитный поток через произвольную замкнутую поверхность равен нулю:

rr B dS = 0. (15.13) S r Теорема Гаусса для вектора B в дифференциальной форме:

r divB = 0, r (15.14) т.е. дивергенция поля B всюду равна нулю.

Данная теорема справедлива и для постоянных, и для переменных маг нитных полей. Теорема Гаусса в форме (15.13) отражает экспериментальный r факт, что линии вектора B замкнуты. Уравнение (15.14) эквивалентно уравне нию (15.13) и является математическим выражением того, что в природе нет магнитных «зарядов», на которых начинались бы или заканчивались бы линии магнитной индукции.

Магнитный поток через поверхность, ограниченную замкнутым конту ром, называется потокосцеплением.

Например, потокосцепление рамки или катушки, состоящей из N витков, магнитные потоки через которые одинаковы и равны ФВ, будет таково:

= NФB.

Потокосцепление контура, обусловленное магнитным полем тока в са мом этом контуре, называется потокосцеплением самоиндукции. Потокосцеп ление контура, обусловленное магнитным полем тока, идущего в другом кон туре, называется потокосцеплением взаимной индукции этих двух контуров.

r 15.4. Теорема о циркуляции вектора B, ее применение к расчету полей. Поле соленоида r По определению циркуляцией вектора индукции B магнитного поля по замкнутому контуру называется интеграл, знак которого зависит от направ ления обхода контура L:

rr B dl.

r L Теорема о циркуляции вектора B (для магнитного поля постоянных токов в вакууме): r циркуляция вектора B по произвольному контуру L равна произведению µ на алгебраическую сумму токов, охватываемых данным контуром:

rr n B dl = Bl dl = µ0 I k, (15.15) k = r L L r где dl = dl – элемент длины контура, направленный вдоль обхода контура;

r r r – вектор касательной в данной точке к контуру;

Bl = B cos( B, dl ) – состав r ляющая вектора B в направлении касательной к контуру с учетом выбранного направления обхода;

п – число проводников с токами, охватываемых контуром L произвольной формы.

Ток считается положительным, если его направление связано с направле нием обхода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного на правления считается отрицательным, рис. 15.6.r r Неравенство нулю циркуляции вектора B свидетельствует о том, что по ле B непотенциально. Такое поле называется вихревым (соленоидальным).

r Теорема о циркуляции B позволяет упро стить вычисление магнитной индукции, когда, вы S брав простой контур, вычисление циркуляции L можно свести к произведению В или Вl на длинуr I I10 I контура или его часть. Иначе расчет поля B вы Рис. 15.6. Определение знака полняют, используя закон Био-Савара-Лапласа тока в теореме о циркуляции r ((15.8а) и (15.8б)).

вектора B r Дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B :

rr r B = µ0 j, (15.16) rr rr r r где j – плотность тока в данной точке, B = µ0 j. При этом B = rotB. По r определению ротор вектора B в декартовых координатах выражается как r r r i j k B B y r Bx Bz r B y Bx r r = z i + j + x y k.

rotB = z y z x y z x Bx By Bz r Применения теоремы о циркуляции вектора B к расчету магнитного поля прямого тока. Формула (15.8) для индукции магнитного поля тонкого прямолинейного бесконечного проводника с током дает некорректный резуль тат при r 0, т.е. на оси проводника получаем B. Учтем, что реальный проводник имеет конечное поперечное сечение R и используем теорему о цир куляции вектора магнитной индукции (15.15).

Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого про вода. Замкнутый контур L представим в виде окружности радиуса r. Из сим r метрии задачи следует, что линии вектора B имеют вид окружностей с центром r на оси провода. Модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на r расстоянии r от оси провода. Вектор B направлен по касательной к окружности:

rr B dl = Bl dl = Bl dl = B 2r = µ0 I, L L L где I – ток, охватываемый контуром L.

Отсюда следует, что внутри проводника, так как через поперечное сече ние радиуса r R течет ток I = jr 2, магнитная индукция равна µ jr 2 µ0 jr µ0 Ir B= 0 = =. (15.17) 2r 2R Вне проводника с током ( r R ) получаем результат, совпадающий с ранее по лученной формулой (15.8), так как I = I и µI B= 0.

2 r Таким образом, на оси проводника с током B = 0. Магнитное поле имеет наибольшую индукцию на поверхности проводника.

Магнитное поле соленоида. Соленои дом называется свернутый в спираль изолиро ванный проводник, по которому течет элек A D трический ток, рис. 15.7.

C B Рассмотрим соленоид длиной l, имеющий N витков. На единицу длины соленоида прихо дится n = N l витков проводника. Если шаг I I Рис. 15.7. Соленоид винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно приближенно заменить замкнутым витком. Будем так же предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности. r Из соображений симметрии следует, что линии вектора B направлены r вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинтовую систему. Поэтому выберем замкнутый прямоугольный контур r АВСDA, рис. 15.7. Циркуляция вектора B по данному контуру равна Bl dl = Bl dl + Bl dl + Bl dl + Bl dl = µ0 NI.

ABCDA AB BC CD DA На участках АВ и CD контур перпендикулярен линиям магнитной индукции:

Bl = 0. Можно показать, что вне бесконечного соленоида магнитное поле B = 0, удалив участок СВ на бесконечность, где магнитное поле соленоида рав но нулю, так как магнитное поле каждого витка соленоида уменьшается с расстоянием ~ r 3.

На участке DA контур совпадает с линией магнитной индукции, внутри соленоида поле однородно ( Bl = B ). Поэтому имеем Bl dl = Bl = µ0 NI.

DA Следовательно, внутри длинного соленоида поле однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида):

B = µ0 nI, (15.18) где nI называют числом ампервитков.

15.5. Сила Ампера На каждый носитель тока в проводнике действует магнитная сила. В ре зультате магнитное поле действует на сам проводник с током с определенной силой, называемой силой Ампера. r А. М. Ампер установил, что сила dF, с которой магнитное поле действу r ет на элемент тока Idl, помещенный во внешнее магнитное поле с r индукцией B, равна rr r dF = I [dl, B ]. (15.19) Формула (15.19) выражает закон Ампера:

сила, действующая на элемент проводника с током в магнитном поле, равна произведению силы тока на векторное произведение элемента длины про водника на магнитную индукцию поля.

Интегрируя выражение (15.19) по элементам тока (объемным или линей ным), можно найти магнитную силу I:

rr r F = I [ dl, B ]. (15.19а) l В частности, если магнитное поле однородно, а проводник линейный, то r r F = IlB sin( dl, B ). (15.19б) Направление силы Ампера определяют по правилу левойr руки: если ла донь левой руки расположить так, чтобы в нее входил вектор B, а четыре вы тянутых пальца расположить по направлению тока в проводнике, то отогнутый большой палец покажет направление силы Ампера.

Закон Ампера применяется для определения силы взаимодействия двух токов. Два параллельных проводника с током I1 и I 2 находятся на расстоянии r r r r R друг от друга. Направление сил dF1 и dF2, с которыми поля B1 и B2 дейст вуют на проводники с токами I1 и I 2, определяются по правилу левой руки, рис. 15.8. Если длина проводников во много раз больше расстояния R между ними, то можно считать проводники бесконечно длинными.

Используем полученное выражение (15.8) для I I магнитного поля прямого тока, чтобы найти поле в r r любой точке проводника с током Ii ( i = 1, 2 ):

B dF r µI r Bi = 0 i.

dF 2R B R Тогда согласно закону Ампера (15.19) можно найти силу, которая действует на элемент dl2 проводника с Рис. 15.8. Взаимодействие током I2 со стороны поля В1:

двух параллельных r r r r проводников с током µ II dF2 = I 2 dl2 B1 sin( dl2, B1 ) = [dl2 B ] = 0 1 2 dl2.

2 R Соответственно на участок dl1 первого проводника с током I1 действует сила µ II dF1 = 0 1 2 dl1.

2 R r r r Необходимо отметить, что dF2 dF1 и dF2 = dF1.

Таким образом, для модулей сил можно написать общую формулу µ II dF = 0 1 2 dl. (15.20) 2 R µ Когда провода находятся в среде с магнитной проницаемостью (см. тему 16), закон (15.20) представляется в виде µ µII dF = 0 1 2 dl. (15.20а) 2 R Формула (15.20) позволяет установить одну из основных единиц СИ:

Ампер – это единица силы тока, равная силе неизменяющегося тока, кото рый, протекая по двум параллельным проводникам бесконечной длины и ни чтожно малого кругового сечения, расположенных на расстоянии 1 м один от другого в вакууме, вызвал бы между этими проводниками силу взаимодейст вия, равную 2 10 7 Н на каждый метр длины проводника:

м (4 10 7 Тл ) (1А) (1А) Н F А = 2 10 7.

= (2 ) (1м) м l Длинные прямолинейные и параллельные проводники с токами одинако вого направления притягиваются, с токами разного направления – отталкиваются.

15.6. Магнитный момент контура с током. Сила, действующая на контур с током. Работа при перемещении контура с током Магнитным моментом плоского замкнутого контура с током I называет ся вектор r r r pm = ISn, (15.21) pm где S – площадь поверхности, ограниченной контуром, r которую называют обычно поверхностью контура (или n r поверхностью, натянутой на контур);

n – единичный S вектор нормали к плоскости контура, рис. 15.9. Векторы r r I n и p m направлены перпендикулярно плоскости конту Рис. 15.9. Виток с током ра по правилу правого винта (см. рис. 15.1).

На ребра а рамки с током во внешнем r однородном магнитном поле, пока r занной на рис. 15.10, действуют силы F1 и F2, которые стремятся только растя r нуть (или сжать) виток. Поскольку ребра b перпендикулярны линиям B, то на каждое из них действует сила, стремящаяся повернуть рамку так, чтобы ее r плоскость была перпендикулярна к B. Следовательно, со стороны внешнего магнитного поля на контур с током действует вращающий момент пары сил, который, как можно показать, определяется векторным произведением r rr r M = [ pm, B ], (15.22) r B r где p m – вектор магнитного момента контура с r I F r током;

B – вектор магнитной индукции.

M b r По определению векторного произведе n ния скалярная величина момента равна I a r M = pm B sin, (15.22а) r r F где – угол между векторами p m и B.

Рис. 15.10. Прямоугольная рамка Можно доказать, что формула (15.22) с током в магнитном поле справедлива для контура с током, находящегося в однородном магнитном поле, независимо от формы этого контура.

При повороте контура с током в магнитном поле на угол d, момент сил r r совершает работу, которую определяют как dA = M d = pm B sin d = dE p.

Работа идет на изменение потенциальной энергии контура с током в магнитном поле. Тогда потенциальная энергия будет равна E p = pm B sin d = pm B cos + const или rr E p = pm B + const. (15.23) Сила, действующая на контур с током. Силы Ампера, действующие на замкнутый проводник с током со стороны магнитного поля (внешнего и собст венного поля тока в проводнике), вызывают деформацию проводника. r Если контур находится в неоднородном магнитном поле B, не перпенди кулярном к плоскости контура, то формула (15.22) справедлива, если размеры контура достаточно малы и поле можно считать в пределах контура приблизи тельно однородным. Тогда будут действовать и пара сил, стремящаяся повер нуть контур с током, и результирующая сила, вызывающая поступательное пе ремещение контура, вычисляемая согласно r уравнению (4.19) как:

r r rr Fрез = E p = ( pm B ), (15.24) r где B – магнитная индукция r внешнего магнитного поля.

Под действием силы Fрез незакрепленный замкнутый контур с током в неоднородном магнитном поле будет перемещаться подобно магнитному ди полю. Силы Ампера, действующие на отдельные участки витка, как и в случае однородного поля, перпендикулярны к току и к магнитному полю. Однако по скольку линии магнитной индукции теперь не параллельны, эти силы состав ляют некоторый угол с плоскостью витка. Поэтому он будет втягиваться в об- r r ласть более сильного магнитного поля, если угол между векторами pm и B острый ( 2, рис. 15.11, а). Если же этот угол тупой ( 2, рис. 15.11, б), то контур с током будет выталкиваться в область более слабого поля. Отметим, r r что положение контура, при котором pm B является неустойчивым. Поло r r жение устойчивого равновесия контура соответствует случаю, когда pm B.

rr rr dF B dF B =0 = rr r I I pm F рез r B r r Х Х B pm Fрез r r rr rr B B dF B dF B б а Рис. 15.11. Виток с током в неоднородном магнитном поле:

а – виток втягивается в область более сильного поля;

б – виток выталкивается в область более слабого поля r r Если внешнее поле однородно ( B = const и тогда pm = const ), то резуль тирующая сила (15.24) отсутствует и на контур действует только вращающий момент (15.22).

Работа при перемещении контура с током. Поскольку на проводник с током в магнитном поле действуют силы Ампера, то при движении проводника за счет источника тока совершается работа.

r Рассмотрим прямолинейный участок про B r водника длиной l с постоянным током I, который r B движется поступательно параллельно самому се dr r l r бе. Пусть магнитное поле B направлено перпен I F дикулярно к плоскости, в которой движется про r водник, рис. 15.12. Работа dA силы Ампера rr dr r F = I [l, B ] при перемещении проводника на рас Рис. 15.12. К вычислению r стояние dr определяется формулой работы при поступательном rr движении проводника с током dA = F dr = IBl dr = IB dS, (15.25) где dS – площадь, описанная проводником при движении. Из определения магнитного потока (15.10) уравнение (15.25) можно представить в виде dA = IdФ, (15.25а) где dA – работа при перемещении проводника с током, совершаемая силами магнитного поля;

dФ – увеличение магнитного потока через поверхность dS.

Можно показать, что формула (15.25а) справедлива и в случае произ вольного перемещения проводника любой формы во внешнем постоянном не однородном магнитном поле. Поэтому, если рассматривать контур с током произвольной формы, который движется в магнитном поле, то, разбивая про водник на элементарные участки, можно применять уравнение (15.25а). Тогда работа по перемещению контура с током будет равна A = I dФ = I (Ф2 Ф1 ), (15.26) где Ф1 и Ф2 – магнитный поток через площадь контура соответственно в на чальном и конечном положениях. Таким образом, работа по перемещению в постоянном магнитном поле замкнутого контура с током равна произведению силы тока в контуре на изменение его потокосцепления. Формула (15.26) вы полняется, если ток в контуре постоянен.

Тема 16. Магнитное поле в веществе 16.1. Намагниченность. Токи намагничивания r При внесении того или иного вещества в магнитное поле B0, например образованное токами в проводах, поле изменяется. Причиной является то, что ряд веществ является магнетиками, т.е. они способны под действием магнит ного поля намагничиваться – приобретать магнитный момент. Намагниченное r r вещество создает свое магнитноеrполе B. Результирующее поле B будет равно r r B = B + B0, r r где B и B0 – поля, усредненные по физически бесконечно малому объему.

r r Как и поле B0, поле B не имеет точечных источников (магнитных заря дов). Следовательно, теорема Гаусса для результирующего поля при присут ствии магнетика записывается так:

rr B dS = 0, (16.1) r S т.е. линии вектора B и при наличии вещества в магнитном поле непрерывны.

Механизм намагничивания. Известно, что молекулы многих веществ обладают собственным магнитным моментом из-за движения электронов по замкнутым микроскопическим орбитам в пределах каждой молекулы (атома).

Каждому магнитному моменту соответствует молекулярный ток – элементар ный круговой ток, создающий в окружающем пространстве магнитное поле.

При отсутствии внешнего магнитного поля магнитные моменты молекул ори r ентированы беспорядочно. Тогда равны нулю и поле B, и суммарный магнит r ный момент вещества. Во внешнем поле B0 магнитные моменты молекул при обретают преимущественную ориентацию и вещество намагничивается, возни r кает поле B. Суммарный магнитный момент вещества будет отличен от нуля.

При внесении во внешнее поле веществ, молекулы которых не имеют при r отсутствии поля B0 магнитного момента, в молекулах индуцируются молеку лярные токи. Следовательно, вещество приобретает магнитный момент, что и r приводит к возникновению поля B.

Таким образом, намагничивание вещества обусловлено преимуществен ной ориентацией или индуцированием микроскопических молекулярных токов во внешнем магнитном поле. Такое поведение молекулярных токов приводит к появлению макроскопических токов, называемых токами намагничивания I.

r Токи намагничивания создают дополнительное магнитное поле B. Токами проводимости называют текущие по проводникам токи, связанные с переме щением в веществе носителей тока. Отметим, что в отличие от токов проводи мости токи намагничивания не приводят к перемещению заряда по магнетику.

Степень намагничивания магнетика характеризуется намагниченностью r J – магнитным моментом единицы объема:

r r pm, J= (16.2) V где V – физически бесконечно малый объем в окрестности данной точки;

r pm – магнитный момент отдельной молекулы. Суммирование проводится по всем молекулам в объеме Vr. Намагниченность можно также определить как r J = n pm, (16.3) r где п – концентрация молекул;

pm – средний магнитный момент молекулы.

r Если вещество намагничено однородно, то вектор J во всех точках маг нетика одинаков.

r 16.2. Циркуляция намагниченности. Вектор H (напряженность магнитного поля) r Теорема о циркуляции вектора намагниченности J :

r циркуляция вектора J по произвольному замкнутому контуру L равна алгеб раической сумме токов намагничивания, охватываемых контуром L:

rr J dl = I, (16.4) r r L где I = j dS, причем интегрирование проводится по произвольной поверх r ности контура L. Поле вектора J ограничено областью пространства, запол ненной магнетиком, и зависит от всех токов – намагничивания и проводимости.

Дифференциальная форма уравнения (16.4) имеет вид:

rrr J = j, (16.5) т.е. ротор вектора намагниченности равен плотности тока намагничивания в той же точке пространства.

Поскольку в магнетиках, помещенных во внешнее магнитное поле, воз r никают токи намагничивания, то циркуляция вектора B будет определяться не только токами проводимости, но и токами намагничивания:

r B dl = µ0 ( I + I ), (16.6) L где I и I – соответственно токи проводимости и намагничивания, охватывае мые контуром L. Формулу (16.6) сложно использовать из-за трудности опреде ления токов I в общем случае. Для упрощения изучения поля в магнетиках вводят вспомогательный вектор. Пусть в уравнениях (16.6) и (16.4) циркуляция r r векторов B и J берется по одному контуру L. Преобразуем уравнение (16.6):

r rr rr B r r B dl = µ0 ( I + J dl ), µ0 J dl = I.

L r L L Напряженностью магнитного поля называется вектор H :

r rBr H= J. (16.7) µ Единица напряженности магнитного поля в СИ – ампер на метр (1 А/м).

r 16.3. Теорема о циркуляции вектора H r Обобщим теорему о циркуляции вектора B (15.15), полученную для маг нитного поля в вакууме. Используем выражение (16.7) и запишем теорему о r циркуляции вектора H (закон полного тока для магнитного поля в среде):

rr H dl = I, (16.8) rL т.е. циркуляция вектора H по произвольному замкнутому контуру равна ал гебраической сумме токов проводимости, охватываемых этим контуром.

r Дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора H :

r ротор вектора H равен плотности тока проводимости в той же точке вещества rrr H = j. (16.9) r Данная теорема выражает определенное свойство поля вектора H, са r мо же поле этого вектора она не определяет. Поле H в общем случае зави сит от всех токов – и от токов проводимости, и от токов намагничивания.

r r Связь между векторами J и H. В несильных полях намагниченность r r J пропорциональна напряженности H поля, вызывающего намагничивание.

Поэтому можно ввести понятие магнитной восприимчивости вещества:

r r J = H, (16.10) где – безразмерная величина, характерная для каждого данного магнетика.

В отличие от диэлектрической восприимчивости, которая всегда поло жительна, магнитная восприимчивость бывает как положительной, так и отрицательной. Слабомагнитные вещества – магнетики, для которых 1, – подразделяются на парамагнетики ( r и диамагнетики ( 0). У парамаг r r r 0) нетиков J H, у диамагнетиковr J r. H Связь между векторами B и H. Слабомагнитные вещества подчиня ются зависимости (16.10). Для них выражение (16.7) для вектора напряженно сти магнитного поля принимает вид r r rB r rB H= H (1 + ) H =.

µ0 µ Поэтому получаем в случае однородной изотропной среды r r r B = µ0 (1 + ) H = µ 0 µH, (16.11) где µ = 1 + – магнитная проницаемость среды – величина, характеризую щая реакцию среды на воздействие внешнего магнитного поля напряженностью Н (см. подтему 15.1). Магнитные свойства диамагнетиков ( µ 1 ) и парамагнетиков ( µ 1 ) выражены очень слабо. Например, у диамагне тиков водорода, воды и висмута магнитная восприимчивость равна соответст венно -0,063·10-6, -9,0·10-6 и -284·10-6. Для таких парамагнетиков, как воздух, платина и жидкий кислород, величина составляет соответственно 0,38·10-6, 360·10-6 и 3400·10-6. r Теорему о циркуляции вектора B (16.6) при заполнении магнетиком все го пространства, где имеется магнитное поле, часто записывают так:

rr B dl = µ 0 µ I. (16.12) r r L Граничные условия для векторов B и H. Рассмотрим границу двух достаточно протяженных (бесконечных) слабомагнитных веществ 1 и 2 с маг нитными проницаемостями µ1 и µ 2 соответственно. Пусть на границе раздела r r магнетиков нет токов проводимости. Линии индукции B и напряженности H магнитного поля испытывают излом на границе раздела. Нормальные состав r r ляющие векторов B и H в средах будем обозначать соответственно Bin и H in ( i = 1, 2 ). Тангенциальные составляющие векторов – касательные к поверхно сти раздела – соответственно Bi и H i. С помощью теоремы Гаусса для век r r тора B (16.1) и теоремы о циркуляции вектора H (16.8) можно получить сле r r дующие условия для векторов B и H на границе раздела двух магнетиков:

B2 µ B2n = B1n, =, (16.13) µ B H 2n µ H 2 = H1, =. (16.13а) H1n µ Таким образом, при переходе через границу раздела двух однородных магнетиков, когда на границе раздела нет токов проводимости, нормальная со r ставляющая вектора магнитной индукции B и тангенциальная составляющая r вектора напряженности H непрерывны, т.е. не изменяются. При этом танген r r циальные составляющие вектора B и нормальные составляющие вектора H претерпевают скачок. r В результате получаем закон преломления линий вектора B, который r также выполняется в изотропных магнетиках для линий вектора H поля:

tg 1 µ =, (16.14) tg 2 µ r r где 1 и 2 – углы между линией индукции B (напряженности H ) и норма лью к поверхности раздела магнетиков. r В заключение отметим, что линии вектора B r всегда замкнуты, в то вре мя как на границе двух магнетиков линии вектора H могут возникать или об рываться (из-за поверхностных токов намагничивания).

Ферромагнетизм. Ферромагнетиками называются твердые вещества, обладающие при не слишком высоких температурах самопроизвольной (спон танной) намагниченностью, которая сильно изменяется под влиянием внешних воздействий – магнитного поля, деформации, изменения температуры.

Ферромагнетики в отличие от слабомагнитных диа- и парамагнетиков яв ляются сильномагнитными средами: внутреннее магнитное поле в них может в сотни и тысячи раз превосходить внешнее поле. Такими свойствами обладают, например, переходные металлы (железо Fe, кобальт Со, никель Ni), некоторые редкоземельные элементы и ряд сплавов. Большой вклад в экспериментальное изучение свойств ферромагнетиков внес А. Г. Столетов (конец XIX в.).

Основная кривая намагничивания ферромагнетика – это кривая намаг ничивания J = J(H), рис. 16.1. На рис. 16.1 предполагается, что в исходном со r стоянииr тело не намагничено. Магнитная индукция B ферромагнетиков зави r сит от H, подобно намагниченности J, нелинейно. Поэтому магнитная прони цаемость зависит от напряженности Н поля также нелинейно, рис. 16.2.

J m Jнас..

0 H 3 H Рис. 16.1. Кривые намагничивания магнетиков: Рис. 16.2. Зависимость магнитной 1 – ферромагнетики (1);

проницаемости ферромагнетиков 2 – парамагнетики (1);

3 – диамагнетики (1) от напряженности поля Магнитным гистерезисом называется явление, когда предыстория на магничивания определяет зависимость намагниченности J от напряженности магнитного поля Н (или В от Н) в ферромагне J тике, рис. 16.3. Если ферромагнетик намагни. Jнас тить до насыщения (кривая 0–1), а затем.

Jост уменьшать Н (кривая 1–2), то при Н = 0 в фер ромагнетике останется остаточная намагни... Нс -Нс ченность J ocт. Это явление используют при Ннас Н -Ннас 3 0. изготовлении постоянных магнитов. Для того 5 -Jост. чтобы уменьшить намагниченность до нуля, -Jнас надо приложить противоположно направлен Рис. 16.3. Магнитный гистерезис ное поле (точка 3), с напряженностью Нс, ко в ферромагнетиках торая называется коэрцитивной силой. При увеличении противоположного поля ферромагнетик перемагничивается (кри вая 3–4), достигая насыщения (точка 4). Затем его можно опять размагнитить (кривая 4–5–6) и вновь перемагнитить до насыщения (кривая 6–1). Изменение намагниченности описывается петлей гистерезиса – кривой 1–2–3–4–5–6–1.

Когда в точках 1 и 4 достигается магнитное насыщение ( J наc – намаг ниченность насыщения), получается максимальная петля гистерезиса. Иначе получаются подобные петли гистерезиса, но как бы вписанные в нее, рис. 16.3.

Для каждого ферромагнетика имеется определенная температура, назы ваемая точкой Кюри Т С, при которой он теряет свои ферромагнитные свойст ва. При нагревании выше точки Кюри ферромагнетик превращается в обычный парамагнетик, рис. 16.1. Отметим, что физическую природу ферромагнетизма удалось понять только с помощью квантовой физики.

Тема 17. Явление электромагнитной индукции 17.1. Опыты Фарадея. Правило Ленца Рассмотрим опыты М. Фарадея (1831), в которых было открыто явление электромагнитной индукции. Оно заключается в том, что в замкнутом прово дящем контуре при изменении потока магнитной индукции, охватываемого этим контуром, возникает электрический ток, получивший название индукционного.

Опыт 1. Соленоид подключен к I гальванометру. Если в соленоид вдвигать S К + (или выдвигать) постоянный магнит, то в моменты вдвигания (или выдвигания) N наблюдается отклонение стрелки гальва нометра, т.е. в соленоиде индуцируется К G G электродвижущая сила (ЭДС), рис. 17.1, а.

Направления отклонения стрелки при I вдвигании и выдвигании противополож б а ны. Если постоянный магнит развернуть Рис. 17.1. Опыты М. Фарадея:

так, чтобы полюса поменялись местами, а – в соленоиде индуцируется ЭДС при то и направление отклонения стрелки относительном движении магнита и со леноида;

б – в катушке К2 возникает ток изменится на противоположное. Откло при изменении тока в катушке К1 или нение стрелки гальванометра тем боль при перемещении катушек ше, чем больше скорость движения относительно друг друга магнита относительно соленоида.

Такой же эффект будет, если постоянный магнит оставить неподвижным, а относительно него перемещать соленоид.

Опыт 2. Один соленоид (К1) подключен к источнику тока. Другой солено ид (К2) подключен к гальванометру, рис. 17.1, б. Отклонение стрелки гальвано метра наблюдается в моменты включения или выключения тока, в моменты его увеличения или уменьшения в катушке К1 или при перемещении катушек друг относительно друга. При включении и выключении стрелка отклоняется в раз ные стороны, т.е. знак индуцированной ЭДС в этих случаях различен.

Возникновение индукционного тока в опытах Фарадея указывает на на личие в цепи электродвижущей силы. Эта ЭДС называется электродвижущей силой электромагнитной индукции (ЭДС индукции) i.

Основные свойства индукционного тока:

1. Возникает всегда, когда происходит изменение магнитного потока че рез площадь, ограниченную контуром.

2. Не зависит от способа изменения потока магнитной индукции, а опре деляется лишь скоростью его изменения.

Открытие явления электромагнитной индукции показало:

взаимосвязь между электрическим и магнитным полем;

возможность получения электрических токов с помощью магнитного поля.

Явление электромагнитной индукции применяется для преобразования механической энергии в энергию электрического тока. В основе принципа ра боты электродвигателей лежит данное явление.

Направление индукционного тока (а значит, и знак i ) определяется по правилу Ленца: при всяком изменении магнитного потока сквозь поверхность, натянутую на замкнутый проводящий контур, в контуре возникает индукцион ный ток такого направления, что его магнитное поле препятствует изменению магнитного потока, вызывающего ЭДС индукции.

Правило Ленца выражает существенный физический факт — стремление системы противодействовать изменению ее состояния (электромагнитная инерция).

17.2. Закон электромагнитной индукции.

Полный магнитный поток (потокосцепление). Токи Фуко Закон электромагнитной индукции (закон Фарадея):

ЭДС электромагнитной индукции в контуре численно равна и противопо ложна по знаку скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную этим контуром:

dФ i = (17.1).

dt Для замкнутого контура суммарный магнитный поток Ф сквозь поверх ность, натянутую на такой контур, – это потокосцепление данного контура (полный магнитный поток). Поэтому в электротехнике закон Фарадея часто записывают в форме d i = (17.1а).

dt Единица ЭДС электромагнитной индукции в СИ – вольт (В).

При скорости изменения магнитного потока 1 Вб/с в контуре индуциру ется ЭДС, равная 1 В.

Знак минус в законе Фарадея (17.1) связан с определенным правилом знаков:

знак магнитного потока Ф определяется выбором нормали к поверх ности S, ограниченной рассматриваемым контуром;

знак ЭДС индукции i – выбором положительного направления об хода по контуру. Направление нормали n к поверхности S и положительное на правление обхода контура связаны друг с другом правилом правого винта, рис. 17.2.

Поэтому, произвольно выбирая направление нормали, мы определяем знак потока Ф и знак ЭДС, а также направление индукционного тока.

r Контур движется в постоянном магнитном S r поле. Рассмотрим контур с подвижной перемычкой n длиной l, рис. 17.3. Пусть он находится в однород S ном стационарном магнитном поле, перпендику + Рис. 17.2. Правило правого лярном плоскости контура и направленном за винта, связывающее r плоскость рисунка. Начнем двигать перемычку r направление нормали n и вправо со скоростью. Вместе с перемычкой нач положительное направление нут двигаться и все находящиеся в ней свободные обхода контура электроны.

В результате на электроны действует вдоль перемычки магнитная состав r rr r ляющая силы Лоренца F = e[, B ], и электроны Направление Eстор начнут перемещаться по перемычке вниз – потечет обхода l ток I, направленный вверх. Это и есть индукцион r r ный ток. Перераспределившиеся заряды (на по I B верхности проводников) создадут электрическое поле, которое возбудит ток и в остальных участках Рис. 17.3. К определению r i в случае, когда контур контура. Сила F неэлектростатической природы является сторонней rсилой (см. подтему 14.3). Ей движется в постоянном r r магнитном поле B соответствует поле E стор = F ( e ).

r Циркуляция вектора Eстор по контуру дает по определению величину ЭДС индукции, и получаем в данном случае, что r r i = E стор dl = Bl. (17.2) r r Контур неподвижен (наведение вихревого электрического поля rr E ( r, t ) переменным магнитным полем B ( r, t ) ). Согласно закону Фарадея, возникновение ЭДС электромагнитной индукции возможно и в случае непод вижного контура, находящегося в переменном магнитном поле. Опыты показы вают, что ЭДС индукции не зависит от рода вещества проводника, от состояния проводника, в частности, от его температуры, которая может быть неодинако вой вдоль проводника.

Дж. Максвелл для объяснения ЭДС индукции r в неподвижных проводниках предположил, что пе B ременное магнитное поле возбуждает в окружаю щем пространстве вихревое электрическое поле, ко r торое и является причиной возникновения индукци E онного тока в проводнике. На рис. 17.4 приведен Рис. 17.4. Пример вихревого пример вихревого электрического поля, возникаю электрического поля щего при возрастании магнитного поля.

Электрическое поле, возбуждаемое изменениями магнитного поля, имеет замкнутые силовые линии, т.е. представляет собой вихревое поле. Вихревое r электрическое поле E не является электростатическим. Такое поле вызывает в проводнике движение электронов по замкнутым траекториям и приводит к воз никновению ЭДС в неподвижном контуре при изменении во времени магнит ного поля – сторонними силами являются силы вихревого электрического поля.

r Циркуляция E этого вихревого поля по любому неподвижному контуру L проводника представляет собой ЭДС электромагнитной индукции r rr rr B r Ф i = E dl = = B dS = dS. (17.3) t t S t L S В выражении (17.3) операции дифференцирования по времени и интегрирова ния по поверхности можно поменять местами, так как контур L и поверхность S неподвижны. Поскольку контур и натянутая на него поверхность неподвижны, то в уравнении используется символ частной производной по времени ( t ).

Рассмотрев выше два принципиально разных случая возникновения ин дукционных токов в проводнике, можно доказать, что закон Фарадея (17.1) для твердых тел с электронной (или дырочной) проводимостью возможно представить в виде r r rr dФ = ( E + [, B ]) dl.

i = (17.4) dt L В отличие от закона (17.1) выражение (17.4) справедливо только в квазистацио нарном приближении при достаточно медленных изменениях во времени пере менного электромагнитного поля. Полная производная по времени от магнит ного потока в (17.4) учитывает его изменения, связанные как с изменением по r ля B во времени, так и с движением (деформацией) проводящего контура.

Токи Фуко. Индукционные токи возникают не только в линейных про водниках, но и в массивных сплошных проводниках, помещенных в переменное магнитное поле, или при движении тел в неоднородном магнитном поле. Эти токи замкнуты в толще проводника и называются токами Фуко.

Токи Фуко также подчиняются правилу Ленца: их магнитное поле на правлено так, чтобы противодействовать изменению магнитного потока, инду цирующему вихревые токи. Значительное число машин и приборов основано на действии сил Ампера на токи Фуко. Эти токи могут достигать очень большой силы, что и используют, например, в некоторых тормозных системах, посколь ку массивные проводники тормозятся в магнитном поле. Отметим, что вихре вые токи вызывают сильное нагревание проводников.

Взаимодействие вихревых токов с высокочастотным магнитным полем приводит к неравномерному распределению магнитного потока по сечению магнитопроводов – вытеснение магнитного потока из объема в приповерхност ные области проводника. Это явление называется магнитным скин эффектом.

Вихревые токи возникают и в самом проводнике, по которому течет пе ременный ток, что приводит к неравномерному распределению тока по сече нию проводника – вытеснение токов высокой частоты в приповерхностные об ласти проводника. Это явление называется электрическим скин-эффектом.

17.3. Явление самоиндукции. Индуктивность. ЭДС самоиндукции.

Индуктивность соленоида Электромагнитная индукция возникает во всех случаях, когда изменяется магнитный поток сквозь контур. При этом не имеет значения, чем вызывается это изменение потока.

Самоиндукция – это явление наведения вихревых электрических полей в проводящих телах при изменении токов в этих же телах или их деформациях. В случае самоиндукции ЭДС S – электродвижущая сила самоиндукции – в кон туре (электрической цепи) наводится магнитным полем, создаваемым перемен ным током в той же цепи. При этом магнитное поле всегда существенно изме няется от точки к точке нормального сечения провода.

Электрический ток, текущий в замкнутом контуре, создает магнитное по ле, индукция которого по закону Био-Савара-Лапласа пропорциональна току.

Поэтому сцепленный с контуром магнитный поток пропорционален току в контуре = LI, (17.5) где коэффициент пропорциональности L называется индуктивностью контура.

Формула (17.5) справедлива только для достаточно тонких проводников.

Отметим, что магнитныйrпоток создается самим током I. Поэтому по правилу r правого винта векторы B и S всегда направлены в одну сторону и, следова тельно, 0. Поэтому индуктивность L является положительной величиной.

Индуктивностью (собственной индуктивностью) замкнутого прово дящего контура называется скалярная величина L, равная отношению потоко сцепления контура к силе тока в этом контуре.

Индуктивность контура в общем случае зависит только от формы и раз меров контура и магнитной проницаемости той среды, в которой он находится.

Если контур жесткий и поблизости нет ферромагнетиков, индуктивность – по стоянная величина, не зависящая от силы тока I.

Единица индуктивности в СИ – генри (Гн).

Согласно выражению (17.5) индуктивностью 1 Гн обладает контур, маг нитный поток сквозь который при токе 1 А равен 1 Вб, значит 1 Гн = 1 Вб/А.

Индуктивность соленоида, содержащего N витков, пренебрегая краевы ми эффектами, записывается как NФ1 nl BS L= = = = µµ0 n 2V, (17.6) I I I где Ф1 – магнитный поток через один виток соленоида;

V – объем соленоида;

п – число витков на единицу его длины;

– магнитная проницаемость вещества внутри соленоида.

При изменении силы тока в контуре согласно закону Фарадея (17.1а) воз никает ЭДС самоиндукции S :

d d S = = (LI ). (17.7) dt dt Если при изменении тока индуктивность L остается постоянной (не меня ется конфигурация контура и нет ферромагнетиков), то dI S = L dt. (17.8) В формуле (17.8) знак минус показывает, что S всегда направлена так, чтобы препятствовать изменению силы тока в соответствии с правилом Ленца. В яв лениях самоиндукции ток обладает «инерцией», потому что эффекты индукции стремятся сохранить магнитный поток постоянным, точно так же, как механи ческая инерция стремится сохранить скорость тела неизменной.

17.4. Ток при замыкании и размыкании цепи При всяком изменении силы тока в проводящем контуре возникает ЭДС самоиндукции, в результате чего в контуре появляются дополнительные токи, называемые экстратоками самоиндукции. Установление тока при замыкании цепи, а также убывание тока при размыкании цепи происходит не мгновенно, а постепенно и зависит от индуктивности цепи, рис. 17.5.

Пусть в цепи сопротивлением R и индуктивно стью L под действием внешней ЭДС (внутреннее сопротивление батареи пренебрежимо мало) течет постоянный ток I 0 = R, рис. 17.5. В момент вре мени t = 0 выключим источник тока. Возникает ЭДС самоиндукции. Экстраток размыкания будет препят ствовать уменьшению тока. Согласно уравнению dI. Ток в цепи определяется законом (17.8) S = L Рис. 17.5. Схема опыта, dt позволяющего наблюдать Ома IR = S, т.е.

явление самоиндукции при замыкании и размыкания dI IR = L постоянного тока dt.

Разделяем переменные последнего уравнения dI Rdt = I L и интегрируем по I (от I0 до I) и по t (от 0 до t):

I Rt I = I 0 et, или = (17.9) ln I0 L где = L – постоянная, называемая временем релаксации – время, в течение R которого сила тока уменьшается в е раз.

Таким образом, при выключении источника тока сила тока убывает по экспоненциальному закону. Чем больше значение, тем медленнее спадает ток.

На рис. 17.6 показан график убывания силы тока I(t) со временем (кривая 1).

Оценим значение ЭДС самоиндукции при мгновенном увеличении со противления от R0 до R:

Rt Rt I = I 0 exp( )= exp( ), I I0 L R0 L 2 dI R Rt откуда S = L = exp( ).

1 dt R0 L Поэтому при резком размыкании контура t Рис. 17.6. График зависимости ( R R0 ) ЭДС самоиндукции может во много силы тока I от времени t раз превысить батареи, что может привести к в цепи, изображенной на рис. 17.5. Кривые 1 и 2 пробою изоляции и выводу из строя измеритель соответствуют случаям ных приборов.

размыкания и замыкания цепи При замыкании цепи кроме внешней ЭДС dI возникает ЭДС самоиндукции S = L и соответствующий экстраток замы dt кания, препятствующий возрастанию тока, рис. 17.5. Используем закон Ома и запишем дифференциальное уравнение dI IR = + S = L.

dt Можно показать, что решение этого уравнения имеет вид I = I 0 (1 exp( t )), (17.10) где I 0 = R – установившийся ток в цепи (при t);

= L R – время уста новления тока. Таким образом, при включении источника тока сила тока воз растает по экспоненциальному закону, рис. 17.6, кривая 2.

r Взаимной индукцией называется явление B I1 возбуждения ЭДС электромагнитной индукции в I одной электрической цепи при изменении элек трического тока в другой цепи или при изменении взаимного расположения этих двух цепей.

r 1 Рассмотрим два неподвижных контура 1 и B с токами I1 и I2, расположенных достаточно близ Рис. 17.7. Явление взаимной ко друг от друга, рис. 17.7. Пусть вблизи контуров индукции нет ферромагнетиков (см. подтему 16.3).

При изменении силы тока в одном из контуров в другом индуцируется ЭДС взаимной индукции dФ21 dI dФ12 dI i2 = = L21 1 и i1 = = L12 2, (17.11) dt dt dt dt где Ф21 – магнитный поток, который создает ток I1 через контур 2;

Ф12 – маг нитный поток, который создает ток I2 через контур 1;

L21 и L12 – взаимные ин дуктивности контуров. При отсутствии ферромагнетиков L12 = L21 = L (тео рема взаимности). Коэффициенты L12 и L21 не зависят от токов, а зависят от формы, размеров и взаимного расположения контуров, а также от магнитной проницаемости окружающей контуры среды. Выражаются эти коэффициен ты в тех же единицах, что и индуктивность L.

17.5. Энергия контура с током. Энергия магнитного поля.

Плотность энергии магнитного поля Проводник, по которому протекает электрический ток, всегда окружен магнитным полем. Магнитное поле появляется и исчезает вместе с появлением и исчезновением тока. Магнитное поле, подобно электрическому, является но сителем энергии. Энергия магнитного поля равна работе, которую затрачивает ток на создание этого поля.

Рассмотрим контур индуктивностью L, по которому течет ток I. С данным контуром сцеплен магнитный поток = LI. Будем считать, что ферромагнетики dI отсутствуют. Пусть ток в цепи увеличивается с быстротой.

dt При изменении тока в замкнутой цепи в ней возникает ЭДС самоиндук ции. Работа по перемещению заряда dq против этой ЭДС идет на изменение энергии тока dI dq dA = s dq = L dq = L dI = LIdI = dW, dt dt где dW – работа, которая необходима для увеличения силы тока в цепи от зна чения I до I+dI. Полная работа, необходимая для установления тока I, равна I LI W = LIdI = (17.12).

Выражение (17.12) определяет энергию, запасаемую контуром с током. Поэто му W называется энергией контура с током (собственной энергией тока).

Эта энергия также является энергией магнитного поля, созданного током I, те кущим по проводнику с индуктивностью L.

На примере однородного магнитного поля внутри длинного соленоида выразим энергию магнитного поля через величины, характеризующие это поле в окружающем пространстве. Искажением поля на торцах соленоида будем пренебрегать. Индуктивность соленоида согласно уравнению (17.6) вычисляет N 2S ся как L = µ0 µ. Отсюда l N 2I W= µ0 µ S. (17.13) 2 l Магнитная индукция поля соленоида, как было получено ранее (см. фор µ0 µNI Bl мулу (15.18)), равна B =. Следовательно, I =.

µ 0 µN l По определению вектора напряженности магнитного поля (16.11) B = µ0 µH.

Используем эти последние соотношения и получим B2 BH W= V= (17.14) V, 2µ0 µ где Sl = V – объем соленоида. Эта формула справедлива для однородного поля, заполняющего объем V.

Можно доказать, что в случае отсутствия ферромагнетика энергию W можно выразить определить как r r BH W = (17.15) dV.

Подынтегральное выражение в формуле (17.15) – это энергия, заключенная в элементе объемом dV. Отсюда следует, что магнитная энергия локализована в пространстве, занимаемом магнитным полем.

Полную энергию любого магнитного поля, заключенного в произволь ном объеме V, определяют по формуле W = wm dV, (17.16) rr V где wm = HdB – плотность энергии магнитного поля, т.е. энергия единицы r rr объема ( B = B(H ) ). Это выражение справедливо в случае неферромагнитной среды.

Магнитное поле длинного соленоида однородно и сосредоточено внутри него, поэтому энергия заключена в объеме соленоида и распределена в нем с постоянной объемной плотностью энергии магнитного поля µ µH 2 BH B W wm = = =0 = (17.17).

V 2 µ0 µ 2 Отметим, что формула (17.17), как и выражение (17.16), справедлива, когда не зависит от Н, т.е. в случае неферромагнитных сред.

Можно доказать, что энергия N связанных друг с другом контуров (в от сутствие ферромагнетиков) определяется так:

1N Lik Ii I k, W= (17.18) 2 i, k = где Lik = Lki – взаимная индуктивность i-го и k-го контуров;

Lii = Li – индуктив ность i-го контура.

Тема 18. Электромагнитные колебания 18.1. Квазистационарные токи. Свободные колебания в контуре без активного сопротивления Когда происходят электрические колебания, ток в цепи изменяется во времени и, вообще говоря, в каждый момент ток оказывается не одинаковым на разных участках цепи (из-за того, что электромагнитные возмущения распро страняются хотя и с очень большой, но конечной скоростью).

Однако имеется много случаев, когда мгновенные значения тока оказы ваются практически одинаковыми на всех участках цепи. Такой переменный ток называют квазистационарным. Для этого все изменения во времени должны происходить настолько медленно, чтобы распространение электромаг нитных возмущений можно было считать мгновенным.

Переменное электромагнитное поле распространяется в пространстве со скоростью, равной скорости света. Если l – длина цепи, то на прохождение дли ны l электромагнитное возмущение затрачивает время порядка = l/с.

Для периодически изменяющихся токов условие квазистационарности будет выполнено, если = l c T, где Т – период изменений. Например, для цепи длиной l = 3 м время =10-8 с и токи можно считать квазистационарными вплоть до частот 106 Гц (Т = 10-6 с).

В данной теме будем предполагать, что условие квазистационарности выполняется, и токи будем считать квазистационарными. Это позволит исполь зовать формулы, полученные в статических полях. Например, тот факт, что мгновенные значения квазистационарных токов подчиняются закону Ома.

Электрическим колебательным контуром называется электрическая цепь, содержащая конденсатор емкости С, катушку индуктивности L и резистор с сопротивлением R, в которой могут возбуждаться электрические колебания, рис. 18.1.

Сопротивление проводников цепи R принято называть активным сопротивлением.

Если к электрическому контуру не подключены никакие внешние источники переменной ЭДС, то при замыкании на R I катушку предварительно заряженного конденсатора емкости Рис. 18.1. Пример С в контуре возникают собственные колебания. В ходе про электрического цесса периодически изменяются заряд на обкладках конден колебательного сатора, величины напряжения и тока в цепи.

контура Применим правило Кирхгофа для контура на рис. 18.1:

IR + U C = s, (18.1) где U C = q C и q – соответственно напряжение на конденсаторе и заряд кон d 2q dI денсатора;

S = L = L 2 – ЭДС самоиндукции в катушке.

dt dt dq Знак силы квазистационарного тока I ( I = ) совпадает со знаком dq, вы dt бранное положительное направление тока соответствует уменьшению (положи тельного) заряда конденсатора. Колебательный контур на рис. 18.1 описывается линейным дифференциальным уравнением второго порядка вида d 2q R dq + + q = 0. (18.2) 2 L dt LC dt В контуре при отсутствии сопротивления проводников ( R = 0 ) будут со вершаться строго периодические колебания – свободные незатухающие коле бания. Дифференциальное уравнение свободных гармонических электриче ских колебаний:


&& q + 0 q = 0.

(18.2а) Циклическая частота 0 (собственная частота контура) и период Т0 ко лебаний определяются параметрами контура и удовлетворяют формулам 0 = 1 LC, T0 = 2 LC. (18.3) Уравнение (18.3) для Т0 называется формулой Томсона.

Заряд q конденсатора и сила тока I в контуре изменяются по законам q = qm cos(0 t + 0 ), (18.4) I = I m sin(0t + 0 ) = I m cos(0t + 0 + 2), (18.5) где qm – амплитуда заряда;

I m = 0 qm = qm LC – амплитуда силы тока;

0 – начальная фаза колебаний заряда q. Значения qm и 0 определяются началь ными условиями.

Ток в контуре отстает по фазе от заряда конденсатора на /2. Напряжение на конденсаторе U C = 2 1, определяемое как разность потенциалов обкла док конденсатора, также изменяется по гармоническому закону и совпадает по фазе с зарядом q:

U C = U m cos(0t + 0 ), (18.6) где U m = qm C – амплитуда напряжения, равная начальному напряжению на конденсаторе. Амплитуда тока может быть записана как qm Um Im = =. (18.7) LC LC Соотношение (18.7) между Im и Um по форме подобно закону Ома (14.11) для однородного участка цепи постоянного тока, поэтому величину L C на зывают волновым сопротивлением колебательного контура.

Гармонические (незатухающие) свободные колебания сопровождаются взаимными превращениями энергии We электрического поля конденсатора и энергии Wm магнитного поля катушки индуктивности:

q2 qm We = = cos2 (0t + 0), (18.8) 2C 2C LI 2 LI m Wm = = sin (0t + 0). (18.9) 2 Колебания, происходящие в электрическом колебательном контуре, часто называют электромагнитными колебаниями в контуре.

Значения Wе и Wm изменяются при гармонических колебаниях в пределах 2 от 0 до максимальных значений, соответственно равных qm /(2C) и L I m /2. Ко лебания Wе и Wm сдвинуты по фазе: в те моменты времени, когда We = 0, Wm = LI m 2 и, наоборот, когда Wm = 0, то We = qm ( 2C ). Полная энергия элек 2 тромагнитных колебаний в контуре не изменяется с течением времени 2 qm LI m W (t ) = We (t ) + Wm (t ) = = = const. (18.10) 2C 18.2. Свободные затухающие электрические колебания Когда колебательный контур содержит последовательно соединенные конденсатор С, катушку индуктивности L и активное сопротивление R, рис. 18.1, то его уравнение (18.2) может быть записано как && & q + 2q + 02 q = 0, (18.11) где 2 = R L. Величину называют коэффициентом затухания. В этом слу чае, поскольку R 0, свободные колебания в контуре будут затухающими.

При затухающих свободных колебаниях кроме взаимных превращений энергии электрического и магнитного полей будет происходить преобразование части энергии в джоулево тепло на активном сопротивлении R. Поэтому энер гия, запасенная в реальном контуре, постепенно расходуется на нагревание.

Можно показать, что при 0 решение однородного дифференциально го уравнения (18.11) имеет вид q = qm e t cos(t + 0 ), t q q = qm e cos(t + 0 ) (18.12) qm e t 1 R где = 0 2 = – частота затухающих LC 2 L 0 колебаний;

qт и 0 – произвольные постоянные, опре t деляемые из начальных условий. График функции T (18.12) показан на рис. 18.2. Эта функция определяет Рис. 18.2. График затухающие колебания и является непериодической.

свободных затухающих t электрических колебаний Множитель qm e в уравнении (18.12) называют ам плитудой затухающих колебаний, см. штриховую линию на рис. 18.2.

Величину Т = 2/ называют периодом затухающих колебаний:

2 T T= =, (18.13) 0 1 ( 0 ) 2 2 где Т0 – период свободных незатухающих колебаний (см. формулу (18.3)).

Зная зависимость q(t), можно найти напряжение на конденсаторе и ток в контуре. Напряжение на конденсаторе определяется как q qm t UC = = cos( t + 0 ). (18.14) e CC Ток в контуре I = qm e t cos( t + 0 + ), (18.15) где угол ( 2 ) такой, что 0 = cos и 0 = sin.

Это означает, что при наличии активного сопротивления R колебания тока в контуре опережают по фазе колебания заряда на конденсаторе (18.12) (или на пряжения (18.14) конденсатора) более чем на /2. Заметим, что при R = 0 опе режение = /2.

Графики функций Uc(t) и I(t) аналогичны зависимости q(t) на рис. 18.2.

Рассмотрим величины, характеризующие затухание:

1. Время релаксации – это время, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз, определяется коэффициентом затухания :

=1. (18.16) 2. Логарифмический декремент затухания определяется как нату ральный логарифм отношения двух значений амплитуд, взятых через период колебания Т:

A(t ) = ln = T =, (18.17) A(t + T ) Ne где А – амплитуда соответствующей величины (q, U, I);

Ne – число колебаний за время. Если затухание мало ( 0 ), то 0 = 1 LC и =R C L. (18.17а) 3. По определению (7.28) добротность Q колебательного контура равна Q= = Ne.

Чем меньше затухание, тем больше Q. При малых затуханиях ( 0 ) со гласно формуле (18.17а) добротность вычисляется так:

1L Q. (18.18) RC Также в случае слабого затухания справедлива следующая формула для Q:

W Q 2, (18.18а) W где W – энергия, запасенная в контуре;

W – уменьшение этой энергии за пери од колебания Т;

W W – относительное уменьшение энергии за период.

При 0 вместо колебаний будет происходить апериодический разряд конденсатора. Активное сопротивление контура, при котором наступает апе риодический процесс, называют критическим L Rкр = 2. (18.19) C 18.3. Вынужденные электрические колебания Для осуществления вынужденных колебаний в электрическом колеба тельном контуре в него нужно включить источник электрической энергии, рис. 18.3, ЭДС которого изменяется с течением времени по гармоническому за кону:

= m cos t. (18.20) R I(t) В электротехнике источник электрической энер q(t) гии, характеризующийся ЭДС и внутренним электри C L (t) ческим сопротивлением r, называется источником ЭДС (источником напряжения).

Рис. 18.3. Колебательный Если внутреннее сопротивление r источника ЭДС контур с внешней считается пренебрежимо малым по сравнению с R, то переменной ЭДС такой источник ЭДС называется идеальным.

Уравнение колебательного контура, содержащего последовательно со единенные конденсатор С, активное сопротивление R, катушку индуктивности L и внешнюю переменную ЭДС, в сравнении с формулой (18.1) имеет вид RI + U C = + s.

Тогда уравнение вынужденных колебаний записывается так:

&& & q + 2q + 0 q = L = ( m L) cos t, (18.21) где – коэффициент затухания;

0 – циклическая частота свободных незату хающих колебаний (при R = 0 ).

Решением этого дифференциального уравнения, как известно, является сумма общего решения однородного уравнения (без правой части), которое экспоненциально затухает, и частного решения неоднородного уравнения.

Рассмотрим только установившиеся вынужденные колебания, т.е. частное решение уравнения (18.21), имеющее вид q = qm cos( t ), (18.22) где qт – амплитуда заряда на конденсаторе;

– разность фаз между колеба ниями заряда и внешней ЭДС (18.20):

m L qm =, tg =. (18.23) 0 (0 2 )2 + 4 2 R 1 1 R В уравнениях (18.23) = 0 2 = 2, так как 0 = и =. С уче 2 LC 4 L LC 2L том последних равенств запишем m R qm =, tg =. (18.23а) L L +R C C Величины qт и определяются только свойствами самого контура и вы нуждающей ЭДС, причем 0. Поэтому q всегда отстает по фазе от.

Для силы тока в контуре при установившихся колебаниях запишем I = qm sin(t ) = qm cos(t + 2) = I m cos(t ), (18.24) где амплитуда тока I m = qm = m Z ;

= 2 – сдвиг по фазе между током и внешней ЭДС. Величина Z называется полным электрическим сопротив лением (импедансом) цепи:

Z = L + R2 = X 2 + R2, C где Х – реактивное сопротивление цепи;

X C = 1 ( C ) – емкостное сопротивле ние цепи;

X L = L – индуктивное сопротивление цепи.

В контуре с внешней ЭДС возможны резонансы напряжений, токов и за рядов. Резонансные кривые для силы тока I m ( ) и для заряда на конденсаторе qm ( ) показаны на рис. 18.4, где рез = 0 = 1 LС. Как видно на рис. 18.4, а, чем меньше R, тем меньше и больше Q, и при прочих равных условиях тем больше и «острее» максимум при резонансе. Чем больше добротность осцилля тора, тем уже резонансная кривая.

R3 R2 R1 = Iт qт R R R C m 0 0 0 б а Рис. 18.4. Резонансные кривые:

а – зависимость силы тока I m в колебательном контуре от частоты ;

б – зависимость заряда qт на обкладках конденсатора от частоты Переменным током называются вынужденные колебания тока в цепи, совпадающие с частотой вынуждающей ЭДС. Описанные выше установившие ся вынужденные колебания можно рассматривать как протекание переменного тока в цепи с C, L, R, обусловленное переменным напряжением:

U = U m cos t. (18.25) Протекающий ток изменяется по закону (18.24) и, следовательно, он отстает по фазе от напряжения на. Исходное уравнение (18.21) можно записать иначе:

U R + U C + U L = U m cos t, (18.26) q dI где U R = RI, U C =, U L = L. Таким образом, сумма падений напряжения C dt на отдельных элементах контура в каждый момент времени равна напряжению, приложенному извне.

Рассмотрим, как соотносятся U и I на элементах контура для сопротивле ния R (U R ), конденсатора С (U C ) и катушки L ( U L ):

U R = RI m cos( t ) = U Rm cos( t ), (18.27) U C = I m ( C ) cos( t 2) = U Cm cos( t 2), (18.28) U L = LI m sin( t ) = U Lm cos( t + 2). (18.29) Сопоставив формулы (18.27) – (18.29), можно сделать вывод:

напряжение на емкости U C отстает по фазе от силы тока на 2, напряжение на индуктивности U L – опережает на 2, а напряжение на активном сопро тивлении U R совпадает по фазе с током.

Следовательно, понятие добротности показывает, во сколько раз напря жение на конденсаторе может превысить приложенное извне напряжение:

(U Cm ) рез 1L Q= = =. (18.30) R C 0CR Um Это свойство контуров настраиваться на резонансное напряжение исполь зуют для выделения из сложного напряжения нужной составляющей подбором С и L. Так делается при настройке радиоприемников, когда необходимо до биться совпадения собственной частоты колебательного контура приемника с частотой электромагнитных волн, излучаемых радиостанцией. Отметим, что, например, обычные радиоконтуры обладают добротностью Q ~ 10 102, для пьезоэлектрической пластинки Q ~ 2 104 на частоте 20 кГц.


Тема 19. Уравнения Максвелла 19.1. Вихревое электрическое поле. Электромагнитное поле. Ток смещения Для объяснения возникновения индукционного тока в неподвижных про водниках Дж. К. Максвелл предположил, что всякое переменное магнитное по ле возбуждает в окружающем пространстве вихревое электрическое поле, кото рое и является причиной возникновения индукционного тока в контуре (первое основное положение теории Максвелла). r Циркуляция вектора напряженности E вихревого поля, как было ранее получено в подтеме 17.2 (см. формулу (17.3)), не равна нулю, т.е. электрическое r поле E, возбуждаемое переменным магнитным полем, как и само магнитное поле, является вихревым: r rr B r dФ = E dl = dS. (19.1) t dt L S В общем случае суммарное электрическое поле складывается из электри ческого поля, создаваемого неподвижными зарядами, и вихревого электриче ского поля. Поскольку циркуляция электростатического поля равна нулю, то циркуляция суммарного поля определяется как r rr B r Edl = dS. (19.2) t L S Уравнение Максвелла (19.2) для электромагнитного поля (обобщение закона электромагнитной индукции для неподвижного замкнутого проводящего контура в переменном магнитном поле) формулируется так:

r циркуляция вектора E напряженности электрического поля по произвольно му неподвижному замкнутому контуру L равна взятой с обратным знаком скорости изменения магнитного потока через поверхность S, натянутую на этот контур (или, что тоже самое, равна взятому с обратным знаком потоку r вектора B t через вышеуказанную поверхность S).

Из векторного анализа согласно теореме Стокса можно записать, что rr rr E dl = rotE dS. (19.3) L S Из сопоставления уравнений (19.2) и (19.3) следует, что r rr B E =. (19.3а) t Выражение (19.3а) является уравнением Максвелла (19.2) в дифференци альной форме.

Ток смещения. Максвелл предположил, что аналогично магнитному по лю всякое изменение электрического поля вызывает в окружающем простран стве вихревое магнитное поле (второе основное положение теории Максвелла).

rr Известно, что ток проводимости I = j dS (14.4) обусловлен движением S заряженных частиц. Для количественной характеристики «магнитного дейст вия» переменного электрического поля Максвелл ввел понятие тока смещения (1865), равнозначного по своему магнитному действию обычному электриче скому току. Токи смещения существуют лишь там, где меняется со временем электрическое поле. Как и переменный ток проводимости, ток смещения созда ет переменное магнитное поле.

Вектор плотности тока смещения в данной точке пространства равен скорости изменения во времени вектора электрического смещения в этой точке r r D jсм =, (19.4) t r rr r где D – вектор электрического смещения ( D = 0 E + P в диэлектриках (13.12)).

Током смещения через произвольную поверхность S называется физиче ская величина, численно равная потоку вектора плотности тока смещения сквозь эту поверхность: r r D r r I см = jсм dS = dS. (19.5) t S S Следует подчеркнуть, чтоr ток смещения определяется производной век r тора D, но не самим вектором D.

r r Так, например, в поле плоского кон r D D денсатора вектор D всегда направлен от «положительной» пластины к «отрицатель - + + ной». Но в случае если электрическое поле r возрастает, то D t, a следовательно, и ток r r r r H H D смещения направлены так, как показано на D рис. 19.1, а. Если же электрическое поле t t r а б убывает, то D t направлено от «отрица Рис. 19.1. Направление тока смещения тельной» пластины к «положительной», и в случае плоского конденсатора:

а – конденсатор заряжается;

магнитное поле противоположно по сравне б – конденсатор разряжается нию с первым случаем, рис. 19.1, б.

Если в каком-либо проводнике имеется переменный ток, то внутри про водника существует переменное электрическое поле. Поэтому внутри провод ника имеется и ток проводимости, и ток смещения, и магнитное поле провод ника определяется суммой этих двух токов.

Максвелл ввел понятие полного тока, равного сумме токов проводимо сти и смещения. Вектор плотности полного тока равен r r r D jполн = j +. (19.6) t Линии переменного тока всюду замкнуты, как и линии постоянного тока.

На концах проводников (цепей) обрывается лишь ток проводимости, а в ди электрике (или в вакууме) между концами проводника «протекает» ток смеще ния, который замыкает ток проводимости, например между обкладками кон денсатора в процессе его зарядки или разрядки.

Ток смещения обладает лишь одним физическим свойством: подобно обычным токам проводимости, он является источником вихревого магнитного r поля, т.е. такого поля, циркуляция напряженности H которого по замкнутому контуру не равна нулю. r Максвелл обобщил теорему о циркуляции вектора H (16.8), использовав понятие полного тока: r rr r D r H dl = ( j + ) dS. (19.7) t L S Уравнение Максвелла (19.7) для электромагнитного поля (обобщенная r теорема о циркуляции вектора H ) формулируется так:

r циркуляция вектора H напряженности магнитного поля по произвольному неподвижному замкнутому контуру L равна алгебраической сумме макрото ков и тока смещения сквозь поверхность, натянутую на этот контур.

Дифференциальная форма уравнения (19.7) имеет вид r r r r D H = j +, (19.7а) t r r т.е. ротор вектора H определяется плотностью тока проводимости j и тока r смещения D t в той же точке.

19.2. Уравнения Максвелла.

Относительность электрического и магнитного полей В 60-х гг. XIX в. Дж. К. Максвелл, основываясь на идеях Фарадея об электрическом и магнитном полях, обобщил законы, установленные экспери ментальным путем, и разработал законченную теорию единого электромаг нитного поля. Впервые об уравнениях Максвелла было доложено на заседании Лондонского Королевского общества в 1864 г. Уравнения Максвелла функцио нально связывают электрические и магнитные поля с зарядами и токами в ва кууме и сплошных средах и охватывают собой все известные закономерности макроэлектромагнетизма (классической макроскопической электродинамики).

Теория Максвелла представляет собой феноменологическую теорию электромагнитного поля. Это означает, что в ней не рассматриваются молеку лярное строение среды и внутренний механизм процессов, происходящих в среде в электромагнитном поле. Электрические и магнитные свойства среды характеризуются тремя величинами: диэлектрической проницаемостью, маг нитной проницаемостью и удельной электрической проводимостью.

Максвелл обобщил теорему Гаусса для электростатического поля (12.11).

Он предположил, что она справедлива для любого электрического поля, как стационарного, так и переменного. Соответствующее уравнение Максвелла для r электромагнитного поля (теорема Гаусса для вектора D (13.14)) имеет вид rr D dS = dV, (19.8) S V где – объемная плотность стороннего электрического заряда, непрерывно распределенного внутри замкнутой поверхности S.

Уравнение Максвелла (19.8) формулируется так:

r поток вектора электрического смещения D через произвольную неподвиж ную замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме сторонних заря дов, охватываемых этой поверхностью.

Согласно теореме Остроградского (12.12) из векторного анализа уравнение Максвелла (19.8) в дифференциальной форме записывается как rr D =. (19.8а) Следующее уравнение Максвелла (теорема Гаусса для магнитного поля r B (15.13)) показывает, что магнитный поток через произвольную неподвижную замкнутую поверхность S равен нулю:

rr B dS = 0. (19.9) S Уравнение Максвелла (19.9) вrдифференциальной форме имеет вид r B = 0. (19.9а) Таким образом, полная система уравнений Максвелла в неподвижных сре дах в интегральной форме включает r r rуравнения (19.2), (19.7), (19.8) и четыре r (19.9), связывающие векторные поля E, H, D и B между собой, с плотностью r электрического заряда и плотностью электрического тока j :

r r rr rr B r r D r E dl = t dS, H dl = ( j + t ) dS, L S L S rr rr D dS = dV, B dS = 0.

S V S Эту систему необходимо дополнить материальными уравнениями, ха рактеризующими электрические и магнитные свойства среды. В случае одно родных изотропных несегнетоэлектрических и неферромагнитных сред и мак ротоков, подчиняющихсяrзакону Ома, эти уравнения r r вид:

имеют r r r r D = 0 E, B = µ 0 µ H, j = ( E + E стор ), (19.10) где 0 и 0 – соответственно электрическая и магнитная постоянные;

и – со ответственно диэлектрическая и магнитная проницаемости;

– удельная элек r r трическая проводимость вещества;

E и Eстор – соответственно напряженности электрического поля и поля сторонних сил.

Из уравнений Максвелла следует:

источниками электрического поля являются электрические заряды или изменяющиеся во времени магнитные поля;

магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися электриче скими зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями;

переменное магнитное поле всегда связано с порождаемым им элек трическим полем, а переменное электрическое поле всегда связано с порождае мым им магнитным, т.е. электрическое и магнитное поля неразрывно связаны друг с другом – они образуют единое электромагнитное поле.

r r Для стационарных полей ( E = const и B = const ) уравнения Максвелла имеют вид rr rr rr rr Edl = 0, DdS = q, Hdl = I, BdS = 0. (19.11) L L S S В этом случае электрические и магнитные поля независимы друг от друга, что позволяет изучать отдельно постоянное электрическое и магнитное поле.

Полная систему уравнений Максвелла в дифференциальной форме со стоит из уравнений (19.3а), (19.7а), (19.8а) и (19.9а), характеризующих поле в каждой точке пространства:

r r rr r r r D B E = H = j +,, t t rr rr D =, B = 0.

Данные уравнения не симметричны относительно электрического и магнитного полей, так как в природе существуют электрические заряды, но нет зарядов магнитных.

В случае если заряды и токи распределены в пространстве непрерывно, то обе формы уравнений Максвелла – интегральная и дифференциальная – экви валентны. Однако если имеются поверхности разрыва, на которых свойства среды или полей меняются скачкообразно, то интегральная форма уравнений является более общей. Отметим, что в отношении физических пределов приме нимости обе системы равнозначны.

Для того чтобы данные уравнения Максвелла в дифференциальной форме были справедливы и на границах сред, необходимо дополнить эти уравнения граничными условиями – соотношениями (13.17), (13.20), (16.13) и (16.13а), которые справедливы для постоянных и переменных полей E1 = E 2, D1n = D2 n, B1n = B2 n, H 1 = H (уравнения (13.20) и (16.13а) выведены для случая, когда на границе раздела отсутствуют как свободные заряды, так и токи проводимости).

Все экспериментально регистрируемые электродинамические явления удовлетворяют принципу относительности. Уравнения Максвелла выполняют ся во всех инерциальных системах отсчета и являются инвариантными относи тельно преобразований Лоренца. Отметим, что входящие в уравнения величины преобразуются по определенным правилам при переходе от одной инерциаль ной системы отсчета к другой. Деление электромагнитного поля на электриче ское и магнитное имеет относительный характер и зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. Однако заряд любой частицы – релятиви стски инвариантная величина, не зависящая от скорости частицы и выбора сис темы отсчета.

Тема 20. Электромагнитные волны 20.1. Волновое уравнение для электромагнитной волны. Основные свойства электромагнитной волны: r r скорость, поперечность, связь между E и H Из уравнений Максвелла следует, что электромагнитное поле способно существовать самостоятельно – без электрических зарядов и токов. Взаимосвя занные колебания (изменения) электрического и магнитного полей, состав ляющих единое электромагнитное поле, называются электромагнитными ко лебаниями.

Электромагнитные волны – это электромагнитные колебания, распро страняющиеся в пространстве с конечной скоростью. В вакууме они всегда распространяются со скоростью, равной скорости света с.

r r Именно присутствие тока смещения D t наряду с величиной B t и означает возможность появления электромагнитных волн. Всякое изменение во времени магнитного поля возбуждает поле электрическое, изменение же поля электрического в свою очередь возбуждает магнитное поле. За счет непрерыв ного взаимопревращения электромагнитное возмущение будет распространять ся в пространстве.

Рассмотрим однородную изотропную нейтральную непроводящую среду r rr r D = 0 E, B = µ0 µ H, (20.1) где 0 и 0 – соответственно электрическая и магнитная постоянные;

и – со ответственно диэлектрическая и магнитная проницаемости среды. Используя уравнения Максвелла, можно показать, что волновые уравнения для векторов r r E и H имеют вид r r r2r 2 E r 2 r 2 H E = 0µ0 µ 2, H = 0µ0 µ 2, (20.2) t t r2 2 2 где = = 2 + 2 + 2 – оператор Лапласа.

x y z Перечислим основные свойства электромагнитных волн, распространяю щихся в изотропной нейтральной непроводящей неферромагнитной среде:

1) скоростью распространения электромагнитной волны в среде на зывается фазовая скорость (скорость распространения фазы колебаний). По закону Максвелла она равна 1 1 c = =, (20.3) 0 µ0 µ µ где c = 1 0 µ0 – скорость распространения электромагнитной волны в вакуу ме. Поскольку µ 1, то c ;

r r 2) векторы напряженностей E и H электрического и магнитного полей r волны и вектор скорости распространения волны взаимно перпендикулярны и образуют правовинтовую систему, рис. 20.1. Это свойство электромагнитной волны не зависит от выбора координатной системы;

r 3) в распространяющейся электромагнитной r E волне колебания электрического и магнитного полей происходят rв фазе. На рис. 20.1 показано изменение r векторов E и H в пространстве в фиксированный момент времени, причем между мгновенными значе rr ниями Е и Н (Е и В) в любой точке существует опре H (B ) деленная связь, а именно:

Рис. 20.1. Распределение электрического E = B или 0 E = µ0 µ H. (20.4) и магнитного полей Это значит, что Е и Н (или В) одновременно в одних в распространяющейся и тех же точках достигают максимума, одновременно волне обращаются в нуль и т.д.

Волновые уравнения (20.2) описывают, в частности, распространение наиболее простых электромагнитных волн строго определенной частоты – пло ских гармонических (монохроматических) электромагнитных волн. Ампли r r туда колебаний векторов E и H плоской гармонической электромагнитной волны в любой точке наблюдения постоянна. Можно показать, что уравнения плоской гармонической электромагнитной волны, распространяющейся вдоль оси Х декартовой системы координат, имеют вид:

rr E = E m cos(t kx + ), (20.5) rr H = H m cos(t kx + ), (20.5а) r r где E m и H m – амплитуды колебаний электрического и магнитного полей вол ны;

= 2 – круговая (циклическая) частота этих колебаний;

k = – вол новое число;

– начальная фаза колебаний волны при t = 0 и x = 0. Знак минус в скобках уравнений (20.5) и (20.5а) означает, что волна распространяется в по ложительном направлении оси Х. Отметим, что амплитуды электрического и магнитного полей E m и H m связаны соотношением (20.4).

Расстояние, на которое распространяется электромагнитная волна в сре де за время одного периода колебаний Т, называется длиной волны и определя ется как = T. (20.6) Связь длины электромагнитной волны с периодом Т и частотой колебаний в вакууме = cT, или =c. (20.6а) Волновые уравнения плоской гармонической электромагнитной вол ны, распространяющейся вдоль оси Х, записываются как r r r r 2 E 1 2 E 2 H 1 2 H = =,. (20.7) x 2 2 t 2 x 2 2 t 20.2. Опыты Герца. Плотность энергии электромагнитной волны. Вектор Пойнтинга. Опыт Лебедева Опыты Герца. Чтобы получить свободные электромагнитные волны, необходимо создать в пространстве достаточно быстро изменяющееся электри ческое поле или соответственно быстро изменяющееся магнитное поле.

Г. Р. Герц в 1888 г. использовал прибор с искровым промежутком (вибратор Герца), в котором на короткое время возникали колебания заряда;

при этом ге нерировались электромагнитные волны с частотой порядка 109 Гц. Отметим, что многие современные вибраторные антенны сохранили конструктивные особенности вибратора Герца.

Герц зарегистрировал электромагнитные волны на некотором расстоянии от вибратора с помощью резонатора – второго вибратора с гораздо меньшей длиной искрового промежутка (доли миллиметра вместо 7,5 мм в излучающем вибраторе). Также дополнительно в качестве резонатора использовался прямо угольный (или круговой) проволочный виток с искровым промежутком. Искре ние вибратора вызывало появление искр в резонаторе. Герц установил, что электромагнитные волны распространяются со скоростью света c. Они невиди мы, однако обладают всеми свойствами света. Исследованные им волны отно сят к радиоволнам: с их помощью передаются радио- и телевизионные сигналы.

Электромагнитные волны условно делятся на несколько видов ( указаны в вакууме): радиоволны (10-4 м 103 м), световые волны (инфракрасные волны (760 нм 1 мм), видимый свет (400 нм 760 нм), ультрафиолето вое излучение (1 нм 400 нм)), рентгеновское излучение (610-3 нм 1 нм) и -излучение ( 610-3 нм).

Соответствующие частоты можно найти из формулы (20.6а). Например, частоты видимого света лежат в интервале от 4,0 1014 до 7,5·1014 Гц.

Радиоволны и микроволны генерируются с помощью электронных уст ройств;

волны с более высокими частотами при помощи электроники получить крайне трудно.

Плотность энергии электромагнитной волны. Вектор Пойнтинга.

Электромагнитные волны переносят в пространстве энергию. Энергия элек тромагнитного поля W – это количественная характеристика электромагнит ного взаимодействия:

W = wdV, где w – объемная плотность энергии поля. Объемная плотность w энергии электромагнитного поля складывается из объемных плотностей we и wm элек трического и магнитного полей и равна, если среда не содержит сегнетоэлек триков и ферромагнетиков:

0 E 2 µ0 µ H w = we + wm = +, (20.8) 2 где Е и Н – соответственно напряженности электрического и магнитного полей волны в произвольный момент времени в данной точке пространства.

0 E = µ0 µ H из выражения (20.4), то Так как w = 0 µ0 µ EH. (20.9) Формулы (20.8) и (20.9) характеризуют плотность энергии электромагнитной волны в любойrмомент времени в любой точке пространства.

Вектор П плотности потока энергии электромагнитной волны назы вается вектором Пойнтинга r(Умова-Пойнтинга) rr П = [E, H ]. (20.10) r По модулю вектор П определяет энергию, переносимую волной в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распро странения волны:

0 П = EH = w = Em cos2 (t kx + ), (20.11) µµ где – фазовая скорость волны, равная скорости переноса энергии (при отсут r ствии дисперсии). Направление вектора П совпадает с направлением переноса энергии, т.е. с направлением распространения электромагнитной волны.

Единица плотности потока энергии электромагнитной волны в СИ – ватт на метр в квадрате (Вт/м2).

Если исходить из представлений о локализации электромагнитной энер гии в пространстве, то можно заключить, что она будет изменяться в данном объеме V как за счет ее вытекания из объема через поверхность S, так и за счет того, что поле передает свою энергию веществу (заряженным частицам), т.е.

производит работу над веществом.



Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.