авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 |
-- [ Страница 1 ] --

Е.А. Ровба

ИЗБРАННЫЕ НАУЧНЫЕ СТАТЬИ

Гродно 2009

УДК 517.9

ББК 22.14

Р00

Редакционная

коллегия:

Ю.М. Вувуникян, В.Н. Горбузов, А.С. Ляликов,

В.Р. Мисюк, К.А. Смотрицкий (отв. редактор).

Ровба Е.А.

Избранные научные статьи / ГрГУ им. Я. Купалы;

редкол.: К.А. Смотрицкий (отв. ред.).

Гродно: ГрГУ, 2009. 00 с.

Р00 ISBN Книга представляет собой собрания избранных научных статей доктора физико-математических наук профес сора Евгения Алексеевича Ровбы, посвященных теории рациональных приближений.

Предназначено для студентов старших курсов, магистрантов, аспирантов и математиков-исследователей.

Рекомендовано к изданию Советом факультета математики и информатики Гродненского го сударственного университета имени Янки Купалы Оглавление Предисловие................................................ О приближении периодических функций рациональными функциями.............. О приближении дифференцируемых периодических функций рациональными функциями.. О приближении периодических аналитических функций с характерными особенностями раци ональными функциями....................................... Приближение аналитических функций со счетным множеством особенностей на вещественной оси рациональными функциями.................................. Приближение выпуклых функций интерполяционными рациональными функциями с фикси рованным числом полюсов..................................... О приближении рациональными функциями с фиксированным числом полюсов........ Об одном прямом методе в рациональной аппроксимации...................... О приближении рациональными функциями с заданным числом полюсов............ О приближении функции | sin x| рациональными рядами Фурье.................. О рациональной интерполяции функции |x|.............................. Интерполяционные рациональные функции типа Фейера–Бернштейна.............. Интерполяционные рациональные операторы типа Фейера и Валле-Пуссена........... Приближение функций, дифференцируемых в смысле Римана–Лиувилля, рациональными опе раторами.......................

........................ Квадратурные формулы интерполяционно-рационального типа.................. Рациональные интегральные операторы на отрезке......................... О скорости приближения интерполяционными рациональными операторами с предписанными полюсами (в соавторстве c В.Н. Русаком)............................ Интерполирование кусочно-аналитических функций рациональными............... Сумматорные рациональные операторы типа Джексона....................... О приближении рациональными операторами Фейера и Джексона функций ограниченной ва риации................................................. Об одной ортогональной системе рациональных функций и квадратурах типа Гаусса..... Равномерные приближения функций Стилтьеса посредством ортопроекции на множество ра циональных функций (в соавторстве c А.А. Пекарским)................... Рациональная интерполяция дифференцируемых функций с r-й производной ограниченной вариации............................................... Orthogonal systems of rational functions on the segment and quadratures of Gauss-type...... Приближения рациональными операторами Джексона функций ограниченной вариации... О развитии научных исследований по теории аппроксимации в Беларуси (в соавторстве c В.Н. Русаком)........................................... Рациональная аппроксимация функций Стилтьеса на действительной оси (в соавторстве c В.Н. Русаком)........................................... Рациональное интерполирование в нулях синус-дробей Чебышева–Маркова (в соавторстве c К.А. Смотрицким)........................................ Предисловие Издание сборника статей доктора физико-математических наук, профессора Евгения Алексеевича Ров бы является значительным событием в научной жизни. Евгений Алексеевич стоял у истоков зарождения в Белоруссии нового направления исследований теории рациональной аппроксимации. Своей научной и педагогической деятельностью он внес существенный вклад в становление и развитие отечественной научной школы теории приближений.

Основные научные работы Е.А. Ровбы относятся к теории аппроксимации функций посредством рацио нальных функций. Это направление исследований было предложено Евгению Алексеевичу во время обучения в Белорусском государственном университете его научным руководителем В.Н. Русаком.

Хорошо известно, что основы теории аппроксимации функций были заложены в работах П.Л. Чебышева, А.А. Маркова, Е.И. Золотарёва, К. Вейерштрасса и К. Рунге. В начале систематически и глубоко изучались полиномиальные приближения и приближение посредством рациональных функций с фиксированными по люсами. Несмотря на то, что первые результаты теории приближения функций посредством рациональных функций со свободными полюсами, т.е. с оптимальным выбором полюсов, были получены еще П.Л. Чебыше вым и Е.И. Золотарёвым, систематические исследования в этой области долгое время не проводились. Лишь в середине прошлого века по инициативе академиков А.Н. Колмогорова и С.Н. Мергеляна в России были начаты исследования по теории приближения функций с помощью рациональных дробей со свободными по люсами. Первые значительные результаты в данной области были получены А.А. Гончаром и Е.П. Долженко.

Позже к исследованиям в данной области приступили математики из Беларуси, США, Венгрии, Швеции, Болгарии и Китая. В настоящее время теория рациональной аппроксимации функций является широко и глу боко развитой областью математического анализа. Обнаружены связи задач рациональной аппроксимации с теорией операторов, теорией функциональных пространств, теорией вероятности и другими областями.

Работы Е.А. Ровбы, включенные в настоящий сборник, условно можно объединить по следующим на правлениям: приближение функций и их классов рациональными дробями с фиксированными полюсами;

наилучшие равномерные приближения некоторых элементарных функций и классов функций посредством рациональных функций со свободными полюсами;

построение сумматорных рациональных операторов типа Фейера, Джексона и Валле-Пуссена;

аппроксимация функций посредством специальных методов;

постро ение квадратурных формул типа Гаусса, точных для рациональных функций определенного вида. Подчерк нем, что это объединение условно, т.к. все работы взаимосвязаны и во многих из них решаются задачи из нескольких направлений.

В настоящее время, в связи с бурным развитием информационных технологий, находят новые прило жения при решении как теоретических, так и прикладных задач аппроксимационные методы, основанные на полиномах, рациональных функциях, сплайнах, вейвлетах и других специальных функциях.

Исключительный педагогический талант Евгения Алексеевича нашел свое отражение в публикуемом сборнике. Характерная черта Е.А. Ровбы одинаково тщательно относиться к самым сложным и самым эле ментарным вопросам, излагая научный материал языком, доступным для читателя. Это позволяет выразить уверенность, что данная книга будет востребована как начинающими исследователями, так и специалистами в различных областях анализа.

Результаты, полученные Евгением Алексеевичем, уже нашли ряд теоретических применений в иссле дованиях его учеников и других специалистов по рациональным аппроксимациям. Выражаем уверенность в том, что эти результаты найдут приложения и при решении практических задач, и данный сборник будет иметь успех среди исследователей по теории аппроксимации и по численным методам.

Хочется пожелать данной книге успеха у читателей, а ее автору, Евгению Алексеевичу Ровбе, новых научных и творческих достижений.

Доктор физико-математических наук, профессор В.Н. Русак Доктор физико-математических наук, профессор А.А. Пекарский Доктор физико-математических наук, доцент А.П. Старовойтов О приближении периодических функций рациональными функциями О приближении периодических функций рациональными функциями * В настоящей статье рассматриваются некоторые классы периодических функций, приближение которых тригонометрическими рациональными функциями лучше, чем полиномами. Полученные результаты дополняют исследования Г. Фройда [1] в непериодическом случае.

Лемма 1. Пусть (x) = |x| ( x ) и (x) = (x + 2) ( x +). Тогда существует четная тригонометрическая рациональная функция Rn (x) порядка не выше n такая, что C1 eC n (1) |(x) Rn (x)|, где C и C1 абсолютные постоянные.

Доказательство. Поскольку функция (x) четная, то задача приближения этой функции триго нометрическими рациональными функциями равносильна задаче приближения алгебраическими рациональными функциями функции arccos y на отрезке [1, 1]. Так как последняя допускает огра ниченное аналитическое продолжение в круг |y| 1, то из работы [2] следует, что существует алгеб раическая рациональная функция Rn (y) порядка не выше n, для которой справедливо неравенство C1 eC n | arccos y Rn (y)| (1 y 1).

Если в этом неравенстве сделать замену y = cos x, то получим C1 eC n ||x| Rn (cos x)| ( x ).

Положив Rn (x) = Rn (cos x), придем к неравенству (1).

Лемма 2. Для любых n 3e n (2) | sign(sin x) rn (x)| (x [ + n, n ] [n, n ]), где n1 Pn (x) Pn (x) n (sin x + k ), n = arcsin e n rn (x) =, Pn (x) = =e,.

Pn (x) + Pn (x) k= Тригонометрическая рациональная функция rn (x) получается непосредственно из построенной в работе [3] алгебраической рациональной функции, хорошо приближающей функцию |x| на отрезке [1, 1].

Теорема 1. Если f (x) 2-периодическая непрерывная на [, ] функция ограниченной вариации V (f ) с заданным модулем непрерывности (f, n ), то существует тригонометрическая рацио нальная функция Un (x) порядка не выше n такая, что |f (x) Un (x)| 5 [(f, n ) + V (f )(C1 + 4)n ] (n = 1, 2,...), где n единственное решение уравнения n = 4 ln2 (3) +1, C 2 (f, n ) n абсолютные постоянные из леммы 1.

C, C * Ровба, Е.А. О приближении периодических функций рациональными функциями / Е.А. Ровба // Вестник БГУ.

Сер. 1. – 1973. – № 3. – С. 15–22.

6 Е.А. Ровба Доказательство. Положим для простоты V (f ) = 1. Для любого натурального n найдем соответ ствующую величину n из уравнения (3). Пусть 0 =. Выберем 1 из условия, что отрезок [0, 1 ] является наибольшим, на котором колебание функции f (x) равно (f, n ). Тогда |f (x) f (0 )| (f, n ) (0 x 1 ).

По такому же критерию определяем 2. Так как функция f (x) имеет ограниченную вариацию, то после конечного числа шагов будет t, но t+1 = и |f (x) f (k )| (f, n ) (k x k+1, k = 0, 1,..., t).

Легко видеть, что V (f ) = 1 t(f, n ).

Пусть номер i такой, что i 0, а i+1 0.

Обозначим через s(x) кусочно-линейную функцию, значения которой в точках = 0, 1,..., i2, i1, 0, i+2, i+3,..., t1, t+1 = равны значению функции f (x) в этих точках. Отсюда следует, что (4) |f (x) s(x)| 2(f, n ) ( x ).

Учитывая, что |f (x) f (k )| (f, n ) при x [k, k + n ], из определения точек k следует:

k+1 k n (k = 0, 1,..., t 1).

Также имеем:

|f (k+1 ) f (k )| (f, n ) |s (k + 0)| = |s (k+1 0)| = k+1 k n (k = 1, 2,..., i 2, i + 2, i + 3,..., t 2);

(5) |s (i1 + 0)| = |s (0)| 2(f, n )n ;

|s (+0)| = |s (i+2 0)| 2(f, n )n ;

|s (t1 + 0)| = |s ( 0)| 2(f, n )n.

Функцию s(x) на отрезке [, 0] можно представить в виде следующей конечной суммы:

i s (k + 0) s (k 0) s(x) = a1 (x) + b1 + (x k ), k= где a1 и b1 известные числа.

Обозначим k = 21 [s (k + 0) s (k 0)] (k = 1, 2,..., t1). Так как функция (x) определена на всей вещественной оси, то будем рассматривать функцию i s(1) (x) = a1 (x) + b1 + (6) k (x k ) ( x ).

k= Очевидно, s(1) (x) = s(x) ( x 0).

Аналогично построим функцию t (2) (7) s (x) = a2 (x) + b2 + k (x k ) ( x ).

k=i+ О приближении периодических функций рациональными функциями известные числа, такую, что s(2) (x) = s(x) ( где a2 и b2 ). Тогда функцию s(x) можно x записать следующим образом:

1 (1) s (x) + s(2) (x) + sign(sin x) s(2) (x) s(1) (x) s(x) = ( x ).

2 Теперь будем приближать функцию s(x) кусочно-рациональной функцией 1 s (x) = U (1) (x) + U (2) (x) + sign(sin x) U (2) (x) U (1) (x) (8) ( x ), 2 где i1 t U (1) (x) = a1 Rp (x) + b1 + U (2) (x) = a2 Rp (x) + b2 + k Rp (x k ), k Rp (x k ), k=1 k=i+ Rp (x) рациональная функция порядка не выше p = C 2 ln2 из леммы 1.

n Легко видеть, что |s(x) s (x)| max A(k) ( x ), (9) k=1, где A(1) = max s(1) (x) U (1) (x), A(2) = max s(2) (x) U (2) (x).

x x Согласно (6) и (7), получим:

i1 t b1 = s(0) k (k ), b2 = s(0) k (k ), k=1 k=i+ (10) i1 t |s() s(0)| |s() s(0)| |a1 | + |k |, |a2 | + |k |.

k=1 k=i+ Таким образом, из (1), (5), (9) и (10) будем иметь |s(x) s (x)| (11) C1 n ( x ).

Функцию s (x) будем приближать тригонометрической рациональной функцией 1 U (1) (x) + U (2) (x) + rg (x) U (2) (x) U (1) (x), (12) Un (x) = 2 где rg (x) рациональная функция порядка не выше g = 4 ln2 из леммы 2. Очевидно, порядок n Un (x) не выше tp + q 4 ln2 + 1 = n.

n C 2 (f, n ) Из (8) и (12) получим |s (x) Un (x)| = | sign(sin x) rg (x)| · U (2) (x) U (1) (x) = i1 t 1 k Rp (x k ). (13) = | sign(sin x) rg (x)| · (a2 a1 )Rp (x) + (b2 b1 ) k Rp (x k ) + k=1 k=i+ Из (10) следует, что t 2(f, n ) |b2 b1 | |k (k )| t.

n n k= 8 Е.А. Ровба Пользуясь леммой 2, при x [ + g, g ] [g, g ] получим |s (x) Un (x)| 3e g (14) 2(3 + 2C1 )n 4(5 + C1 )n.

Пусть x [ g, ]. Тогда из (4) и (11) будет U (2) (x) U (1) (x) U (2) (x) s(2) (x) + s(2) (x) f (x) + |f (x) f ()| + f () U (1) () + U (1) () U (1) (x) A(2) + 2(f, n ) + (f, g ) + A(1) + U (1) () U (1) (x).

B виду (9) и (11) имеем U (1) () U (1) (x) U (1) () s(1) () + s(1) () s(1) (x) + s(1) (x) U (1) (x) i 2A(1) + ). (15) |k |g 2(C1 + 1)n ( g x k= Учитывая, что (f, n ) (f, g ), находим:

U (2) (x) U (1) (x) 3(f, n ) + 4(C1 + 1)n ( g x ).

Аналогично показываем, что при x [, + g ] [g, g ] U (2) (x) U (1) (x) 3(f, n ) + 4(C1 + 1)n. (15 ) Так как функция rg (x) монотонна на отрезках [g, g ], [ g, + g ], то при помощи (15) и (15 ) из (13) получим s (x) Un (x) 3(f, n ) + 4(C1 + 1)n (x [, + g ] [g, g ] [ g, ]).

Объединяя последнюю оценку с оценкой (14), получим |s (x) Un (x)| (16) 3(f, n ) + 4(C1 + 5)n ( x ).

Наконец, из неравенства |f (x) s(x)| + |s(x) s (x)| + |s (x) Un (x)|, |f (x) Un (x)| согласно (4), (11) и (16) будем иметь |f (x) Un (x)| 5 [(f, n ) + (C1 + 4)n ] ( x ).

Теорема доказана.

Следствие 1. Пусть f (x) 2-периодическая функция ограниченной вариации V (f ), удовлетворя ющая условию LipK (0 1). Тогда существует тригонометрическая рациональная функция Un (x) порядка не выше n такая, что ln2 n |f (x) Un (x)| C2 (n = 2, 3,...), n где постоянная C2 зависит лишь от V (f ), K,.

О приближении периодических функций рациональными функциями Следствие 2. Пусть f (x) 2-периодическая функция ограниченной вариации V (f ), удовлетво ряющая условию C ln |f (x) f (x + h)|, |h| где C, некоторые положительные числа. Тогда существует тригонометрическая рациональ ная функция U n (x) порядка не выше n такая, что C3 n/2+ |f (x) U n (x)| (n = 1, 2,...), где постоянная C3 зависит только от V (f ), C,.

Теорема 2. Пусть f (x) 2-периодическая непрерывная функция и существуют тригономет рические полиномы Pq,k (x) порядка не выше q такие, что f (x) P q,k (x) q (x Ik = [k1, k ];

k = 1, 2,..., m;

q = 1, 2,...), где = 0 1... m1 m =, lim q = 0. Тогда существует тригонометрическая q рациональная функция GN (x) порядка не выше N такая, что f (x) GN (x) = O(1) Nm + m · max |f (x)|e 4 Nm (N N2 ), N где Nm = 2.

4m Доказательство. Не ограничивая общности, положим, что max (k k1 ) /2 и что при неко 1km тором i i = 0. Рассмотрим тригонометрический полином sin(x k ) Pq,k (x) = P q,k (x) + f (k1 ) P q,k (k1 ) + P q,k (k ) f (k ) · + f (k ) P q,k (k ).

sin(k1 k ) Легко посчитать, что |f (x) Pq,k (x)| 4q (x Ik ;

k = 1, 2,..., m), f (l ) = Pq,k (l ) (l = k 1;

k = 1, 2,..., m).

1 Nm Пусть N = e, k +k1 cos2 k 4k cos x (17) TNm,k (x) = cos Nm arccos.

sin2 k 4k Очевидно, TNm,k (l ) = 1 (l = k 1, k).

Построим тригонометрическую рациональную функцию (1 + N )PNm,k (x) RNm,k (x) =.

(1 + N )TNm,k (x) Нетрудно увидеть, что f (x) RNm,k (x) = O(1) (Nm + max |f (x)|N ) (x Ik, k = 1, 2,..., m);

Rq,k (l ) = f (l ) (l = k 1;

k = 1, 2,..., m).

Если через s1 (x) обозначить непрерывную кусочно-рациональную функцию, равную RNm,k (x) при x Ik (k = 1, 2,..., m), то (18) f (x) s1 (x) = O(1) (Nm + max |f (x)|N ) ( x ).

10 Е.А. Ровба Функцию s1 (x) можно представить в виде суммы m s1 (x) = RNm,1 (x) + RNm,i (x) + RNm,i+1 (x) + RNm,m (x) + sign [sin(x k )] RNm,k (x) + k= i + sign(sin x) RNm,m (x) RNm,1 (x) sign [sin(x k )] RNm,k (x)+ k= m + sign [sin(x k )] RNm,k (x), k=i+ где RNm,k (x) = RNm,k+1 (x) RNm,k (x).

Функцию s1 (x) будем приближать кусочно-рациональной функцией 1 s (x) = R(1) (x) + R(2) (x) = sign(sin x) R(2) (x) R(1) (x), 2 где i (1) R (x) = RNm,1 (x) + RNm,i (x) + rNm (x k )RNm,k (x), k= m R(2) (x) = RNm,i+1 (x) + RNm,m (x) + rNm (x k )RNm,k (x), k=i+ rNm (x) рациональная функция порядка не выше Nm из леммы 2.

Легко получить, что |s1 (x) s (x)| max B (k) (19) ( x ), k=1, где i (1) B = max {sign [sin(x k )] rNm (x k )} RNm,k (x), x 0 k= m (2) B = max {sign [sin(x k )] rNm (x k )} RNm,k (x).

0 x k=i+ Обозначим Lk = [k Nm, k + Nm ] (k = 0, 1,..., m), причем выберем номер N1 таким обра зом, чтобы Nm 1 min (k k1 ) (N N1 ).

2 1km При x Lk (k = 1, 2,..., i 1, i + 1, i + 2,..., m 1), согласно лемме 2, из (19) получим |s1 (x) s (x)| 3M (m 3)e Nm (20), где M = max max |RNm,k (x)|.

1 k m x Если x Lk (k = i), то 1 |s1 (x) s (x)| 3M (m 4)e Nm + |RNm,k (x) RNm,k (k )| + |RNm,k+1 (k ) RNm,k+1 (x)| 2 (3M · m + 2M )e Nm, (20 ) где M = max RNm,k (x).

max 1 k m x О приближении периодических функций рациональными функциями Оценим RNm,k (x), 2Nm,k (x) (21) RNm,k (x) =, [1 + N TNm,k (x)] где 2Nm,k (x) = (1 + N ) PNm,k (x)(1 + N )TNm,k (x) N TNm,k (x)PNm,k (x).

По теореме В.С. Виденского [4] получим, что k k PNm,k (x) 2Nm max |PNm,k (x)| ctg = N (k) ).

= max |f (x)| · O(Nm ) (x Ik ;

k = 1, 2,..., m;

N Отсюда при x Ik (k = 1, 2,..., m) имеем (k) = max(N (k), N1 )).

RNm,k (x) = max |f (x)| · O(Nm ) (N N По теореме из [5] при x Ik (k = 1, 2,..., m) (k) 2Nm,k (x) = max |f (x)| · T2Nm,k (x) · O(Nm ) (N N1 ).

Поэтому при x Ik (k = 1, 2,..., m) из (17) и (21) следует, что max |f (x)| · T2Nm,k (x) · O(Nm ) (k) 2 RNm,k (x) = = max |f (x)| · O(Nm N ) (N N1 ).

2 N TNm,k (x) Таким образом, (k) 2 M = max |f (x)| · O(Nm N ) (N N2 = max N1 ).

1km Аналогично можно показать, что M = max |f (x)| · O(N ).

Из двух последних равенств и из (20) и (20 ) нетрудно получить s1 (x) s (x) = O(1)m · max |f (x)|e 4 Nm (22) (N N2, x ).

Теперь функцию s1 (x) будем приближать тригонометрической рациональной функцией 1 R(1) (x) + R(2) (x) + rNm R(2) (x) R(1) (x).

GN (x) = 2 Порядок GN (x) не выше 2mNm N.

Очевидно, |s (x) GN (x)| = |sign(sin x) rNm (x)| · R(2) (x) R(1) (x).

Из леммы 2 следует, что при x [ + Nm, Nm ] [Nm, Nm ] |s (x) GN (x)| 3e Nm R(k) (x).

· max max k=1,2 x При x [, + Nm ] из неравенств |s (x) GN (x)| R(2) (x) R(1) (x) R(2) (x) R(2) () + R(2) () f () + f () R(1) () + R(1) () R(1) (x) 12 Е.А. Ровба и из (22) найдем:

s (x) GN (x) = O(1)m · max |f (x)|e 4 Nm R(k) (x) · Nm.

+ 2 max max k=1,2 x +Nm Нетрудно убедиться, что R(k) (x) = m · max |f (x)| · O(N ) ( x, k = 1, 2);

R(k) (x) = m · max |f (x)| · O(Nm · N ) (x [, + Nm ] [Nm, Nm ] [ Nm, ], k = 1, 2).

Следовательно, при x [ + Nm, Nm ] [Nm, Nm ] s (x) GN (x) = m · max |f (x)| · O n e 1 Nm (N N2 ), а при x [, + Nm ] s (x) GN (x) = m · max |f (x)| · O Nm · n e 2 2 Nm (N N2 ).

Последняя оценка верна и для x [Nm, Nm ] [ Nm, ]. Значит, s (x) GN (x) = m · max |f (x)| · O e 4 Nm (23) (N N2 ).

Из (18), (22) и (23) получим, что при n N f (x) GN (x) = O(1) Nm + m max |f (x)| e 4 Nm.

Теорема доказана.

Из теоремы 2 и работы [6] вытекает Следствие 3. Наилучшее приближение кусочно-аналитических периодических функций посред ством тригонометрических рациональных функций порядка не выше n Rn [f ] = O eC(f ) T n.

Список литературы 1. Freud, G. Uber die Approximation reeller funktionen durch rationale gebrochene funktionen / G. Freud // Acta Math. Sci. Hung. – 1966. – Vol. 17. – N. 3–4. – P. 313–324.

2. Szabados, J. Rational approximation of analytic functions with nite number of singularities on the real axis / J. Szabados // Acta Math. Sci. Hung. – 1969. – Vol. 20. – N. 1–2. – P. 159–167.

3. Newman, D.J. Rational approximation to |x| / D.J. Newman // Michigan Math. J. – 1964. – Vol. 11. – N. 1. – P. 11–14.

4. Виденский, В.С. / В.С. Виденский // Докл. АН СССР. – 1960. – Т. 130. – № 1. – С. 13–17.

5. Гончаров, В.Л. Теория интерполирования и приближения функций / В.Л. Гончаров. – Москва: Гостех издат, 1954. – 327 с.

6. Черных, Н.И. / Н.И. Черных // Труды МИАН. – 1971. – Т. 109. – С. 98–117.

О приближении дифференцируемых периодических функций рациональными функциями О приближении дифференцируемых периодических функций рациональными функциями * T T Пусть En [f ] и Rn [f ] обозначают наилучшее приближение 2-периодической непрерывной функ ции f (x) посредством тригонометрических полиномов и тригонометрических рациональных функ ций порядка не выше n:

T En [f ] = inf max |f (x) tn (x)|, x tn (x) где tn (x) тригонометрический полином порядка не выше n, T Rn [f ] = inf max |f (x) Rn (x)|, x Rn (x) где Rn (x) тригонометрическая рациональная функция порядка не выше n. Наилучшее прибли жение функции f (x), непрерывной на отрезке [a, b] (a и b конечные), посредством алгебраических полиномов и алгебраических рациональных функций порядка не выше n будем обозначать через En [f, [a, b]] и Rn [f, [a, b]].

p(x) Порядком рациональной функции R(x) = будем называть наибольший порядок полиномов q(x) p(x) и q(x) в предположении, что они не имеют общих корней.

Поскольку переход от полиномов к рациональным функциям связан с расширением класса T T аппроксимирующих функций, имеем Rn [f, [a, b]] En [f, [a, b]] и Rn [f ] En [f ].

n (см. [1]) и RT [| sin x|] 3e n, тогда как Например, Rn [|x|, [1, 1]] 3e n 1 T и En [| sin x|] (см. [2, с. 213–215]).

En [|x|, [1, 1]] 2(2n + 1) 2(2n + 1) С другой стороны Е.П. Долженко [3] доказал существование непрерывных на отрезке [1, 1] функций f (x) и непрерывных 2-периодических функций fT (x), имеющих модуль непрерывности любого наперед заданного порядка роста, для которых T T и Rnk [fT ] = Enk [fT ] Rnk [f, [1, 1]] = Enk [f, [1, 1]] для бесконечного числа индексов nk.

Несмотря на это, в последнее время появилось много работ, посвященных отысканию классов функций, для которых Rn [f, [a, b]] = o(En [f, [a, b]]).

В настоящей заметке рассматриваются вопросы приближения некоторых классов периодиче ских функций посредством тригонометрических рациональных функций и некоторых классов функ ций, заданных на всей вещественной оси, посредством алгебраических рациональных функций.

Пусть класс W r (r 1) состоит из 2-периодических функций f (x), имеющих (r 1)-ю абсо лютно непрерывную производную f (r1) (x), которая является неопределенным интегралом от огра ниченной функции f (r) (x);

класс V r (r 1) состоит из 2-периодических функций f (x), имеющих (r 1)-ю абсолютно непрерывную производную f (r1) (x), которая является неопределенным инте гралом от функции f (r) (x) ограниченной вариации на периоде.

Обозначим через n класс всех 2-периодических кусочно постоянных функций, имеющих не более n разрывов на периоде. Для любой ограниченной 2-периодической функции f (x) полагаем:

(f, n) = inf sup |f (x) n (x)|.

n (x)n x Тогда справедлива * Ровба, Е.А. О приближении дифференцируемых периодических функций рациональными функциями / Е.А. Ров ба // Доклады АН БССР. – 1974. – Т. 18. – № 7. – С. 586–589.

14 Е.А. Ровба Теорема 1. Если функция f (x) W r, то n M T c1 (r) f (r), Rn [f ] + · r, + 1)2 ln2 n 29 (r n n постоянная, зависящая только от r 1, где c1 (r) M = max |f (x)| + sup |f (r) (x)|.

x x Теорема доказывается методом Фройда и Шабадоша (см. [4]) с помощью следующих двух лемм.

Лемма 1. Если функция f (x) имеет на отрезке [, ] ( /4) (r1)-ю абсолютно непрерывную производную f (r1) (x), которая является неопределенным интегралом от ограниченной функции f (r) (x) (r 1), то существует тригонометрический полином tn (x) порядка не выше n (n r) такой, что sin r |f (x) tn (x)| c2 (r) · M ( x ), n |f (r) (x)|.

где M = max |f (x)| + sup x x Известно много результатов о приближении функций посредством тригонометрических полино мов на отрезке, меньшем периода (см., например, [5]). Данная лемма отличается от этих результатов тем, что в ней учитывается зависимость скорости приближения от длины отрезка, на котором про исходит приближение.

Д. Ньюмен [1] построил алгебраическую рациональную функцию g(y) g(y) rn (y) =, g(y) + g(y) n n (y + k ), g(y) = =e, k= для которой справедливы неравенства 3e n ||y| y · rn (y)| (1 y 1).

Путем замены переменной y = sin x и некоторыми дополнительными рассуждениями можно показать, что справедлива следующая Лемма 2. Тригонометрическая рациональная функция t(x) t(x) Rn (x) =, t(x) + t(x) где n n (sin x + k ), t(x) = =e, k= обладает свойствами 1. || sin x| sin x · Rn (x)| 3e n ( x );

2. | sign(sin x) Rn (x)| 3e n (n |x| n ), где n = arcsin e n ;

3. Функция Rn (x) является монотонной на отрезках [n, n ] и [ n, + n ];

(x)| 20n ( 4. |Rn |x| n );

n n1 k ne n.

5. max |Rn (x)| = x k= Всюду в дальнейшем обозначаем через c1 (r), c2 (r),... положительные постоянные, зависящие только от r.

О приближении дифференцируемых периодических функций рациональными функциями Замечание. Для производной алгебраической функции Ньюмена можно получить следующие оценки: y 1, e n e n, 1, |rn (y)| 20n n y e n, e n |rn (y)| ne.

Через V (z) будем обозначать полную вариацию периодической функции z(x) на отрезке [, ].

Из теоремы 1 и того, что для любой периодической функции ограниченной вариации z(x) 7V (z), следует (z, n) n Теорема 2. Если функция f (x) V r, то ln2 n T c3 (r) · M + V (f (r) ) · Rn [f ].

nr+ Пусть Rn [f, (, )] наилучшее приближение непрерывной ограниченной на всей веществен ной оси функции f (x), имеющей конечные и равные пределы lim f (x) и lim f (x), посредством x x+ алгебраических рациональных функций порядка не выше n, Rn [f, (, )] = inf sup |f (x) Un (x)|, Un (x) x+ где Un (x) алгебраическая рациональная функция порядка не выше n.

Тогда справедливы следующие теоремы.

Теорема 3. Если заданная на всей вещественной оси функция f (x) имеет конечные и равные y W r, то пределы lim f (x) и lim f (x) и такая, что функция f tg x x+ y n M c4 (r) f (r) tg Rn [f, (, )], 11 + · r, 2 (r + 1)2 · ln2 n 2 n n где y f (r) tg M = sup |f (x)| + sup.

x+ y Теорема 4. Если заданная на всей вещественной оси функция f (x) имеет конечные и равные y V r, то пределы lim f (x) и lim f (x) и такая, что функция f tg x x+ ln2 n y c5 (r) M + V f (r) tg Rn [f, (, )] ·.

nr+ В заключении выражаю глубокую благодарность В.Н. Русаку за внимание к работе.

Список литературы 1. Newman, D.J. Rational approximation to |x| / D.J. Newman // Michigan Math. J. – 1964. – Vol. 11. – N. 1. – P. 11–14.

2. Натансон, И.П. Конструктивная теория функций / И.П. Натансон. – М.–Л.: Гостехиздат, 1949. – 688 с.

3. Долженко, Е.П. Сравнение скоростей рациональной и полиномиальной аппроксимации / Е.П. Должен ко // Матем. заметки. – 1967. – Т. 1. – № 3. – С. 313–320.

4. Freud, G. On rational approximation / G. Freud, J. Szabados // Studia Scient. Math. Hung. – 1967. – Vol. 2. – N. 1–2. – P. 215–219.

5. Бари, Н.К. / Н.К. Бари // Ученые записки МГУ. Математика. – 1956. – Т. 181. – № 8. – С. 113–115.

16 Е.А. Ровба О приближении периодических аналитических функций с характерными особенностями рациональными функциями * Пусть функция f (x) непрерывна на конечном отрезке [a, b]. Через Rn [f, a, b] обозначим наи лучшее приближение функции f (x) на отрезке [a, b] алгебраическими рациональными функциями порядка не выше n:

Rn [f, a, b] = inf max |f (x) rn (x)|, rn (x) a x b где rn (x) алгебраическая рациональная функция порядка не выше n.

Если функция f (x) непрерывна и ограничена на всей вещественной оси, имеет конечные и равные пределы lim f (x) и lim f (x), то наилучшее приближение функции f (x) на всей веще x x+ ственной оси алгебраическими рациональными функциями порядка не выше n обозначим через Rn [f,, +]:

Rn [f,, +] = inf sup |f (x) rn (x)|.

rn (x) x+ T Наконец, если f (x) 2-периодическая непрерывная функция, то через Rn [f ] обозначим наи лучшее приближение функции f (x) тригонометрическими рациональными функциями порядка не выше n:

T Rn [f ] = inf max |f (x) Rn (x)|, x Rn (x) где Rn (x) тригонометрическая рациональная функция порядка не выше n.

Гончаром [1] доказана следующая Теорема. Если функция f (z) непрерывна на отрезке [0, 1] и допускает ограниченное аналитическое продолжение в круг D = z : z A A, A 1, то 2 n M teC t + f, et Rn [f, 0, 1] = O inf, 1t где M = sup |f (z)|, f, et модуль непрерывности функции f (z) на отрезке [0, 1], C поло zD жительная постоянная1.

Эта теорема позволяет оценить сверху величину Rn [f, a, b] для классов аналитических функций, имеющих характерные особенности в какой-либо точке отрезка [a, b].

Шабадош (см. [2, 3]) обобщил результат Гончара на классы аналитических функций, имеющих особенности в конечном числе точек отрезка [a, b].

В настоящей заметке получены некоторые результаты по приближению периодических анали тических функций с особенностями в конечном числе точек периода тригонометрическими рацио нальными функциями и вытекающие отсюда результаты по приближению аналитических функций, заданных на всей вещественной оси, алгебраическими рациональными функциями.

1. Известна следующая теорема Шабадоша [3].

Теорема 1. Пусть функция f (z) непрерывна на отрезке [1, 1] и существуют точки {k }m, k= 1 = 0 1... m = 1, такие, что функция f (z) аналитична и ограничена в каждом открытом ромбе с противоположными вершинами в точках k1 и k, k = 1, 2,..., m, и углом при них, равным. Тогда Kn M te m·t + f, et (1) Rn [f, 1, 1] = m · O inf, 3 n t * Ровба, Е.А. О приближении периодических аналитических функций с характерными особенностями рациональ ными функциями / Е.А. Ровба // Весцi АН БССР. Сер. фiз.-мат. навук. – 1974. – № 6. – С. 43–49.

В дальнейшем через C1, C2,... будем обозначать положительные абсолютные постоянные.

О приближении периодических аналитических функций с характерными особенностями где постоянная K зависит от и = min (k k1 );

M = sup |f (z)|, точная верхняя грань 1km z берется здесь по всем z, принадлежащим указанным выше ромбам2.

Зависимость постоянной K от и можно уточнить и показать, что вместо соотношения (1) имеет место следующее соотношение:

t C1 2 ··n + f, et Rn [f, 1, 1] = m · O inf M· ·e.

mt 3 n t Докажем такую теорему для периодических функций.

Теорема 2. Пусть 2-периодическая функция f (z) непрерывна на вещественной оси и существу ют точки {k }m, = 0 1... m =, такие, что функция f (z) аналитична и ограничена k= в каждом открытом ромбе с противоположными вершинами в точках k1 и k, k = 1, 2,..., m, и углом при них, равным. Тогда t C2 2 1 n T + f, et Rn [f ] = m · O inf M e, mt 3 n t где 1 = min | cos k cos k1 |.

1km Прежде чем приступить к доказательству теоремы 2, приведем вспомогательную лемму.

Лемма. Образ открытого ромба с противоположными вершинами в точках a и b, 0 a b, и углом при них, равным, 2, при отображении w = cos z содержит открытый ромб с противоположными вершинами в точках cos b, cos a и углом при них, равным /3.

Справедливость леммы непосредственно следует из свойств отображающей функции.

Доказательство теоремы 2. Не ограничивая общности, полагаем, что точка 0 {k }m, и пусть k= номер m0 такой, что m0 = 0.

Рассмотрим функцию f (z) на отрезке [0, ]. Сделаем замену z = arccos w. Если 0 z, то 1 w 1. Функция f (arccos w) является непрерывной на отрезке [1, 1]. В силу леммы она будет аналитической и ограниченной в каждом открытом ромбе с противоположными вершинами в точках cos k и cos k1, k = m0 + 1, m0 + 2,..., m, и углом /3 при них. Применив к функции f (arccos w) теорему 1, получим, что существует алгебраическая рациональная функция Qn (u) порядка не выше n, такая, что t C3 2 1 n + f (arccos u), et f (arccos u) Qn (u) = (m m0 ) · O inf M e, 1 u 1.

mt 3 n t Полагая здесь u = cos x и приняв во внимание, что (f (arccos u), ) = O {(f, )}, имеем (1) (2) f (x) Rn (x) = O(n ), 0 x, (1) где Rn (x) = Qn (cos x) четная тригонометрическая рациональная функция порядка не выше n, t C4 2 1 n + f, et n = m inf M e.

mt 3 n t Рассматривая функцию f ( arccos w), аналогично покажем, что существует четная тригоно (2) метрическая рациональная функция Rn (x) порядка не выше n, такая, что (2) f (x) Rn (x) = O(n ), x 0. (2 ) Соотношение (1) в работе [3] записано в несколько иной форме.

18 Е.А. Ровба Используя лемму 3 из работы [1], для любого, 0, легко построить такую тригономет рическую рациональную функцию rn (x) порядка не выше n, что sign(sin x) rn (x) = O eC5 n/ ln, (3) x [ +, ] [, ], и 1 rn (x) 1, x (, + ) (, ).

Функцию f (x) будем приближать тригонометрической рациональной функцией 1 (1) (2) (1) (2) R(x) = Rn (x) + Rn (x) + rn (x) Rn (x) Rn (x).

2 Порядок этой функции не выше 5n.

Очевидно (4) |f (x) R(x)| |f (x) s(x)| + |s(x) R(x)|, где 1 (1) (2) (1) (2) s(x) = Rn (x) + Rn (x) + sign(sin x) Rn (x) Rn (x).

2 Воспользовавшись оценками (2) и (2 ), получим (5) f (x) s(x) = O(n ), x.

При x [ +, ] [, ] из (3) следует, что 1 |sign(sin x) rn (x)| Rn (x) Rn (x) = M O eC5 n ln, (1) (2) (6) |s(x) R(x)| = (i) так как Rn (x) = M + O(n ), x, i = 1, 2.

При x [, + ] [, ] [, ] (1) (2) |s(x) R(x)| Rn (x) Rn (x).

Пусть x [, + ]. Тогда (2) (1) (2) (1) Rn (x) Rn (x) Rn (x) f (x) + |f (x) f ()| + |f () f (x)| + f (x) Rn (x) = = O(n ) + 2(f, ), (1) (1) поскольку f (x) Rn (x) = f (x) Rn (x) = O(n ), x 0, вследствие четности функции (1) Rn (x) и оценки (2).

Аналогично покажем, что для всех x [, + ] [, ] [, ] s(x) R(x) = O(n ) + 2(f, ). (6 ) Объединяя оценки (6) и (6 ), получим s(x) R(x) = O(n ) + O M eC5 n/ ln + (f, ), (7) x.

Так как произвольно, то, полагая = et, перейдем к точной нижней грани по t, 1 t, от второго слагаемого оценки (7). Тогда, учитывая оценки (4), (5) и (7), имеем n M eC5 t + f, et f (x) R(x) = O(n ) + O inf, x.

1 t Отсюда следует справедливость теоремы 2.

О приближении периодических аналитических функций с характерными особенностями Пользуясь теоремой 2, получим теперь оценки приближения алгебраическими рациональными функциями некоторых классов аналитических функций, заданных на всей вещественной оси.

Теорема 3. Пусть функция f (z) 1) непрерывна на всей вещественной оси, 2) ана z = x + iy : x 0, |arg z|, литична в области D D +, где D = D+ = z = x + iy : 0 x +, |arg z|, 0 +и 2, 3) ограничена в области D D имеет конечные и равные пределы lim f (x), lim f (x). Тогда x x+ t C6 ( )2 n u, et (8) Rn [f,, +] = O inf M e + f tg, t 3 n t f (z), f tg u, et модуль непрерывности функции f tg u.

где M = sup 2 zD D + Замечание 1. Если функция f (x) имеет производную f (x), x +, и f (x) (1 + |x|1+ ), sup x+ то f tg u, = O( ), 0 1.

Полагая в (8) t = C6 n, получим Следствие 1. Если функция f (z) удовлетворяет условию теоремы 3, то u, eC n Rn [f,, +] = O f tg, где C любая положительная постоянная.

C Доказательство теоремы 3. Рассмотрим функцию f tg w. Она будет 2-периодической и непре рывной на вещественной оси.

Функция z = tg w взаимно однозначно отображает полосу 0 Re w на полуплоскость 0 Re z +, а полосу Re w 0 на полуплоскость Re z 0.

Покажем, что образ открытого ромба G+ с противоположными вершинами в точках 0, и углом при них, равным /3, при отображении z = tg w содержится в области D +.

w 1 sin u + i sh v Поскольку z = tg =, w = u + iv, то достаточно показать, что 2 cos2 u + sh2 v 2 2 1 sh 1 u sin u tg, 0 u ;

2 u + sh2 u 2 u + sh2 u 2 cos 2 2 2 cos 2 12 1 sh 1 ( u) sin u tg, u, 2 cos2 u + sh2 1 u + sh2 1 u u 2 cos 2 2 2 2 где 1 = tg.

Действительно, при 0 u sh 1 u 1 sh u 1 · sh · sin u tg sin u.

2 Аналогично проверяется справедливость второго неравенства.

Из симметричности отображения z = tg w следует, что образ открытого ромба G с проти воположными вершинами в точках, 0 и углом при них, равным /3, при этом отображении содержится в области D.

Так как функция f (z) аналитична и ограничена в областях D и D +, то функция f tg w будет аналитической и ограниченной в ромбах G и G+.

20 Е.А. Ровба Применив к функции f tg w теорему 2, получим, что существует тригонометрическая рацио нальная функция Rn (u) порядка не выше n, такая, что t C7 ( )2 n u u, et f tg Rn (u) = O inf M e + f tg, u.

t 2 3 n t 1x 2x Сделав замену u = 2 arctg x и учитывая, что sin u = 1+x2, 1+x2, убеждаемся в справедливости cos u = теоремы 3.

Теорема 4. Пусть функция f (z) удовлетворяет условиям 1 и 2 теоремы 3 и при z D D+ B(1 + |z|2s1 ), B 0, s натуральное число. Тогда существует алгебраическая |f (z)| рациональная функция Rn (x) порядка не выше n 2s такая, что n f (x) Rn (x) = B(1 + x2 )s O f1, eC8, x +, где f1 (u) = f tg u cos2s u, u.

2 Чтобы доказать эту теорему, достаточно применить к функции f (z)/B(1 + z 2 )s теорему 3.

Следствие 2. Если функция f (z) удовлетворяет условиям 1 и 2 теоремы 3, ограничена в области D D + и имеет конечные и различные пределы lim f (x), lim f (x), то существует алгебра x x+ ическая рациональная функция Rn (x) порядка не выше n 2 такая, что u f (x) Rn (x) = M (1 + x2 ) O f tg, eC8 n, x +.

2. Рассмотрим некоторые классы функций, граница области аналитичности которых имеет точки касания с вещественной осью.

Теорема 5. Пусть 2-периодическая функция f (z) непрерывна на вещественной оси и существу ют точки {k }m, = 0 1... m =, такие, что функция f (z) аналитична и ограничена k= в области D = {z = x + iy : |y| (x), x }, где k1 + k (x k1 ), k1 x, (x) = k1 + k (k x), x k, k = 1, 2,..., m, 1и0 некоторые числа.Тогда ln n T (9) Rn [f ] = O f,, n где произвольное число, большее, чем + 1/ 1.

Для доказательства теоремы 5 на каждом из отрезков [k1, k ], k = 1, 2,..., m, в свою очередь выбирается подходящее разбиение. На отрезках этого разбиения, включающих крайние точки k1 и k, функцию f (x) приближаем тригонометрическими полиномами по теореме Джексона и с учетом длины отрезка приближения, на остальных отрезках этого разбиения функцию f (x) приближаем тригонометрическими полиномами, пользуясь результатами работы Черных [4]. На основании по лученных полиномов строим тригонометрическую рациональную функцию таким же образом, как при доказательстве теоремы 2 из [5]. Найденная рациональная функция будет приближать функцию f (x) с оценкой (9).

О приближении периодических аналитических функций с характерными особенностями Теорема 6. Пусть функция f (z) непрерывна на всей вещественной оси, имеет ко нечные и равные пределы lim f (x), аналитична и ограничена в области lim f (x), x x+ D = {z = x + iy : |y| (x), x }, где (x) = (1 + |x| ), 0, 1. Тогда ln n u Rn [f,, +] = O f tg, 2/1, 2n где произвольное число.

Теорема 6 получается из теоремы 5 с помощью универсальной замены z = tg w аналогично теореме 3.

В случае, когда неизвестно поведение границы области аналитичности функции f (z), легко получить следующие теоремы.

Теорема 7. Пусть 2-периодическая функция f (z) непрерывна на всей вещественной оси, анали тична и ограничена в некоторой открытой области, содержащей интервал (, ). Тогда T Rn [f ] = O {(f, n )}, где n = o.

n Теорема 8. Пусть функция f (z) непрерывна на всей вещественной оси, имеет конечные и равные пределы lim f (x), lim f (x), аналитична и ограничена в некоторой открытой области, содер x x+ жащей всю вещественную ось. Тогда u Rn [f,, +] = O f tg, n, где n = o.

n Замечание 2. Таким образом, как в теореме 4, легко получить соответствующие оценки приближе ния алгебраическими рациональными функциями для функций, рассматриваемых в теоремах 6 и и имеющих определенный порядок роста на бесконечности.

Замечание 3. Можно рассматривать заданные на всей вещественной оси аналитические функции, имеющие особенности в произвольном конечном числе точек вещественной оси, и получить для них оценки приближения алгебраическими рациональными функциями.

Список литературы 1. Гончар, А.А. О скорости рациональной аппроксимации непрерывных функций с характерными ообен ностями / А.А. Гончар // Матем. сб. – 1967. – Т. 73. – № 4. – С. 630–639.

2. Szabados, J. Rational approximation of analytic functions with nite number of singularities on the real axis / J. Szabados // Acta Math. Sci. Hung. – 1969. – Vol. 20. – N. 1–2. – P. 159–167.

3. Szabados, J. Rational approximation of analytic functions with nite number of singularities on the real axis / J. Szabados // Constructive Theory of Functions: proceedings, Budapest, 1969 – Budapest, 1972. – P. 467–474.

4. Черных, Н.И. / Н.И. Черных // Труды МИАН. – 1971. – Т. 109. – С. 98–117.

5. Ровба, Е.А. О приближении периодических функций рациональными функциями / Е.А. Ровба // Вест ник БГУ. Сер. 1. – 1973. – № 3. – С. 15–22.

22 Е.А. Ровба Приближение аналитических функций со счетным множеством особенностей на вещественной оси рациональными функциями * В работах [1–3] исследованы рациональные приближения аналитических функций, имеющих особенности в конечном числе точек отрезка, на котором происходит приближение (см. также [4]).

В настоящей заметке рассматриваются рациональные приближения аналитических функций со счетным множеством особенностей на отрезке приближения. Справедлива следующая Теорема 1. Пусть функция f (z) непрерывна на отрезке [1, 1] и существует бесконечная возрас (1) (1) тающая последовательность, 0 = 1 и бесконечная убывающая последовательность k k= (2) (2), 0 = 1, такие, что функция f (z) аналитична и ограничена в каждом открытом круге k k= (i) (i) (i) (i) k k k1 + k, k = 1, 2,..., i = 1, 2. Тогда наилучшее приближение функции f (z) z 2 на отрезке [1, 1] алгебраическими рациональными функциями порядка не выше n, n 6, n (2) (1) m m + f [1, 1], meC (1) (2) (1) Rn [f, [1, 1]] = O min n f [m, m ],, m n 1m натуральное число, C 0 абсолютная постоянная.

m Из теоремы легко получить Следствие 1. Если функция f (z) удовлетворяет условиям теоремы 1, то Rn [f, [1, 1]] = O {f ([1, 1], n )}, n 6, где n (2) (1) m m + meC m (2) n = min n.

n 1m В частности, полагая в (2) m = [ n], имеем, что (2) (1) [n] [n] 1/ neCn n + =o, n 36, n n (2) (1) так как k k 0 при k.

Теорема 2. Пусть функция f (z) удовлетворяет условиям теоремы 1 и имеет на отрезке [1, 1] r-ю непрерывную производную, r 1. Тогда r n (2) (1) (2) (1) m m m m + meC (1) (2) Rn [f, [1, 1]] = O min n f (r) [m, m ],, n 6.

m n n 1m Из теоремы 2 вытекает Следствие 2. Если функция f (z) удовлетворяет условиям теоремы 2, то Rn [f, [1, 1]] = O r · f (r) ([1, 1], n ), n 6, n где n (2) (1) m m 1 C + m r+1 e r+1 m n = min n.

n 1m * Ровба, Е.А. Приближение аналитических функций со счетным множеством особенностей на вещественной оси рациональными функциями / Е.А. Ровба // Вестник БГУ. Сер. 1. – 1976. – № 2. – С. 52–54.

Приближение аналитических функций со счетным множеством особенностей Теоремы 1 и 2 доказываются с помощью метода Фройда [5], теоремы 1 из [2] и леммы 1 из [6].

Соответствующие результаты справедливы в тригонометрическом случае.

Можно рассматривать аналитические функции со счетным множеством особенностей, имеющим конечное число предельных точек, и установить аналогичные оценки сверху для величины Rn [f ].

В заключение рассмотрим некоторые примеры на применение приведенных выше теорем.

Пусть (z) = z sin при z (0, 1], (z) = (z) при z [1, 0), (0) = 0, где z произвольное фиксированное число, 0 1. Функция (z) является непрерывной на отрезке [1, 1]. Нетрудно показать, что (z) Lip /2, z [1, 1].

Данная функция имеет особенности в точках zk = ±k1/, k = 1, 2,... Поэтому, применяя c2 2 n теорему 1 и полагая в (1) m = 1 · 2, получим 9 ln n ln2/ n [(1), (2) ], Rn [, [1, 1]] = O + [1, 1],.

m m n1+1/ n2/ Отсюда следует, что ln2 n Rn [, [1, 1]] = O, 0 1, n и ln n Rn [, [1, 1]] = O, = 1.

n t sin Пусть теперь (z) = dt при z [0, 1], (z) = (z) при z [1, 0), 0 1.

t Применяя к функции (z) теорему 2, имеем:

ln2(1+1/) n (3) Rn [, [1, 1]] = O, 0 1, n2+1/ и ln3 n Rn [, [1, 1]] = O, = 1.

n Оценка (3) уточняет следующую оценку, полученную в работе [7]:

ln3 n Rn [, [0, 1]] = O, 0 1.

n Список литературы 1. Гончар, А.А. О скорости рациональной аппроксимации непрерывных функций с характерными ообен ностями / А.А. Гончар // Матем. сб. – 1967. – Т. 73. – № 4. – С. 630–639.

2. Szabados, J. Rational approximation of analytic functions with nite number of singularities on the real axis / J. Szabados // Acta Math. Sci. Hung. – 1969. – Vol. 20. – N. 1–2. – P. 159–169.

3. Szabados, J. Rational approximation of analytic functions with nite number of singularities on the real axis / J. Szabados // Constructive Theory of Functions: proceedings, Budapest, 1969 – Budapest, 1972. – P. 467–474.

4. Ровба, Е.А. О приближении периодических аналитических функций с характерными особенностями рациональными функциями / Е.А. Ровба // Весцi АН БССР. Сер. фiз.-мат. навук. – 1974. – № 6. – С. 43–49.

5. Freud, G. Uber die Approximation reeller funktionen durch rationale gebrochene funktionen / G. Freud // Acta Math. Sci. Hung. – 1966. – Vol. 17. – N. 3–4. – P. 313–324.

6. Ровба, Е.А. О приближении периодических функций рациональными функциями / Е.А. Ровба // Вест ник БГУ. Сер 1. – 1973. – № 3. – С. 15–22.

7. Freud, G. On rational approximation / G. Freud, J. Szabados // Studia Scient. Math. Hung. – 1967. – Vol. 2. – N. 1–2. – P. 215–219.

24 Е.А. Ровба Приближение выпуклых функций интерполяционными рациональными функциями с фиксированным числом полюсов * Пусть n,q (f ) наименьшее равномерное уклонение непрерывной на отрезке [1, 1] функции f (x) от алгебраических рациональных функций rn,q (x) порядка не выше n, имеющих не более, чем q геометрически различных полюсов в конечной комплексной плоскости (q целое число, 0 q n).

В частности, если q = 0, то n,0 (f ) = En (f ), если же q = n, то n,n (f ) = Rn (f ), где En (f ) и Rn (f ) наименьшие равномерные уклонения функции f (x) от алгебраических полиномов и рациональных функций порядка не выше n соответственно.

Приближение выпуклых функций рациональными функциями исследовалось в работах П. Ту рана и П. Шюша [1], А.П. Буланова [2, 3] и др. В частности, А.П. Буланов в работе [2] доказал, что для произвольной выпуклой на отрезке [1, 1] функции f (x) ln2 n Rn (f ) C max |f (x)| ·, n 2, n 1 x где C абсолютная положительная постоянная.

В настоящей заметке рассматривается интерполирование и приближение выпуклых функций рациональными функциями с фиксированным числом геометрически различных полюсов.

П.Л. Чебышев и более полно А.А. Марков определили (см. [5]) рациональные функции с задан ными полюсами, наименее уклоняющиеся от нуля на отрезке [1, 1]. Обозначим через Mn (x) рацио нальную функцию Чебышева–Маркова порядка n, имеющую полюсы в точках am, m = 1, 2,..., n (am действительные числа, |am | 1) и наименее уклоняющуюся от нуля на отрезке [1, 1]. Функ ция Mn (x) имеет n простых нулей: 1 xn xn1... x1 1. Взяв точки xk, k = 1, 2,..., n, в качестве узлов интерполирования, для любой определенной на отрезке [1, 1] функции f (x) можно построить интерполяционную рациональную функцию Лагранжа с полюсами в точках am, m = 1, 2,..., n:

n Ln (f, x) = f (xk )lk (x), k= где lk (x) = Mn (x)/(x xk )Mn (xk ) фундаментальные функции Лагранжа. В.Н. Русаком в работе [4] доказана теорема Лебега для интерполяционных рациональных функций по узлам Чебышева– Маркова. Здесь приведем оценку приближения выпуклых функций интерполяционными рациональ ными функциями Ln (f, x), имеющими фиксированное число геометрически различных полюсов.

Справедлива следующая Теорема 1. Пусть функция f (x) выпукла на отрезке [1, 1] и пусть q любое фиксированное натуральное число. Тогда для функции f (x) существует последовательность (Ln (f, x)) n=2q ин терполяционных рациональных функций Лагранжа порядка не выше n, имеющих не более, чем 2q геометрически различных полюсов в конечной комплексной плоскости, Ln (f, x) Ln,2q (f, x), для которой справедливы соотношения:


|f (x) Ln,2q (f, x)| C(q) ln n · n, x [1, 1], где f (u2 ) + f t4q+2 (1) n = min max, nt u 1 u n 4 t 2(q+1) модуль непрерывности функции f (x) на отрезке [1, 1], C(q) положительная постоян f (t) ная, зависящая лишь от q 1.

* Ровба, Е.А. Приближение выпуклых функций интерполяционными рациональными функциями с фиксированным числом полюсов / Е.А. Ровба // Доклады АН БССР. – 1977. – Т. 21. – № 9. – С. 781–783.

Везде в дальнейшем через C(q) будем обозначать, вообще говоря, различные положительные постоянные, зави сящие лишь от q.

Приближение выпуклых функций интерполяционными рациональными функциями Схема доказательства теоремы 1 аналогична схеме доказательства теоремы 2 из [6]. Одна из трудностей доказательства заключается в выборе полюсов интерполяционных рациональных функций Ln,2q (f, x). Полюсы a1, a2,..., a2q функций Ln,2q (f, x) выбираются следующим образом:

am = 1 + O(t4m ), m = 1, 2,..., q;

am = amq, m = q + 1, q + 2,..., 2q, где t0 значение t, n 1, при котором достигается минимум в (1). Узлами интерполирования яв 4 t 2(q + 1) ляются нули соответствующих рациональных функций Чебышева–Маркова.

Из теоремы 1 вытекают следующие следствия.

Следствие 1. Если функция f (x) выпукла на отрезке [1, 1] и если при некотором фиксированном натуральном q lim | ln t|f (t4q+1 ) = 0, t+ то существует последовательность (Ln (f, x)) n=2q интерполяционных рациональных функций, имеющих не более, чем 2q геометрически различных полюсов в конечной плоскости, равномерно сходящаяся к функции f (x) на отрезке [1, 1].

Следствие 2. Если выполнены условия теоремы 1, то 1 1 f |f (x) Ln,2q (f, x)| C(q) ln n + f, x [1, 1], n 2q.

n2q+ n n Следствие 3. Если функция f (x) выпукла на отрезке [1, 1] и f (x) LipK, 0 1, то для любого фиксированного натурального q ln n n,2q (f ) C(q)K, n 2q, n где 1, если 1 1, = 1 2 1, если 0.

1 + 4q В этом случае в работе [6] получена более точная оценка.

Из приведенных результатов вытекает, что оценка приближения выпуклых функций интерполя ционными рациональными функциями с фиксированным числом геометрически различных полюсов усиливается с увеличением числа этих полюсов.

Полиномиальное приближение также отражает свойства выпуклых функций. Имеет место сле дующая Теорема 2. Пусть функция f (x) выпукла на отрезке [1, 1] и Ln,0 (f, x) ее интерполяционный 2k полином Лагранжа по узлам Чебышева xk = cos, k = 1, 2,..., n. Тогда 2n f (u2 ) 1 (2) |f (x) Ln,0 (f, x)| C ln n max + f, x [1, 1], n 2, n nn u 1 u где C абсолютная положительная постоянная.

Оценка (2) является более точной, чем соответствующая оценка для непрерывных функций.

26 Е.А. Ровба Список литературы 1. Szsz, P. On the constructive theory of functions / P. Sz sz, P. Turan // Maguar tud. Acad. Math. Kutato u u into Kzl. – 1964–1965. – Vol. 9. – N. 3. – P. 495–501.

o 2. Буланов, А.П. О порядке приближения выпуклых функций рациональными функциями / А.П. Була нов // Изв. АН СССР. Сер. матем. – 1969. – Т. 33. – № 5. – С. 1132–1148.

3. Буланов, А.П. Рациональные приближения выпукых функций с заданным модулем непрерывности / А.П. Буланов // Матем. сб. – 1971. – Т. 84. – № 3. – С. 476–494.

4. Русак, В.Н. Об интерполировании рациональными функциями с фиксированными полюсами / В.Н. Ру сак // Докл. АН БССР. – 1962. – Т. 4. – № 9. – С. 548–550.

5. Марков, А.А. Избранные труды / А.А. Марков. – Москва: Гостехиздат, 1948.

6. Ровба, Е.А. Приближение выпуклых функций класса Lip рациональными функциями с фиксирован ным числом полюсов / Е.А. Ровба // Весцi АН БССР. Сер. фiз-мат. навук. – 1977. – № 3. – С. 121–122.

О приближении рациональными функциями с фиксированным числом полюсов * Получены оценки скорости приближения аналитических функций, имеющих конечное число особенно стей на отрезке приближения, посредством рациональных функций с фиксированным числом геометрически различных полюсов. Рассматривается алгебраический и периодический случай.

Пусть функция f (z) определена и непрерывна на отрезке [a, b]. Обозначим через n,q [f, [a, b]] наилучшее приближение функции f (z) алгебраическими рациональными функциями порядка не выше n, имеющими не более чем q геометрически различных полюсов в конечной комплексной плоскости, n,q [f, [a, b]] = inf max |f (z) rn,q (z)|, rn,q (z) a z b где точная нижняя грань берется в классе всех алгебраических рациональных функций вида:

pn (z) rn,q (z) = ;

(z 1 )n1 (z 2 )n2... (z q )nq алгебраический полином степени не выше n;

k, k = 1, 2,..., q, комплексные числа;

pn (z) q nk n.

k= Через T [f ] обозначим наилучшее приближение непрерывной на вещественной оси 2-пе n,q риодической функции f (z) тригонометрическими рациональными функциями порядка не выше n, имеющими не более чем q геометрических различных полюсов, T [f ] = inf max |f (z) Rn,q (z)|, n,q Rn,q (z) z где точная нижняя грань берется в классе всех тригонометрических рациональных функций вида tn (z) Rn,q (z) = nq ;

n1 n2 zq sin z1 sin z2... sin 2 2 тригонометрический полином порядка не выше n;

k, k = 1, 2,..., q, комлексные числа;

tn (z) q nk = 2n 2n, n натуральное число (числа и + 2k, k = ±1, ±2,..., как различные не k= рассматриваются).

* Ровба, Е.А. О приближении рациональными функциями с фиксированным числом полюсов / Е.А. Ровба // Вест ник БГУ. Сер. 1. – 1977. – № 1. – С. 3–9.

О приближении рациональными функциями с фиксированным числом полюсов Известна следующая теорема К.Н. Лунгу [1].

Если функция f (z) непрерывна на отрезке [0, 1] и аналитична и ограничена в открытом круге |z 1| 1, то при любом фиксированном q 1 и n ln n n,q [f, [0, 1]] = O f [0, 1], 4q, n =, n n где f [0, 1], 4q модуль непрерывности функции f (z) на отрезке [0, 1].

n В настоящий заметке этот результат К.Н. Лунгу обобщается на случай, когда функция f (z) имеет особенности в произвольном конечном числе точек отрезка, на котором происходит прибли жение. Справедлива Теорема 1. Пусть функция f (z) непрерывна на отрезке [1, 1] и аналитична и ограничена в от крытом круге |z| 1. Тогда при любом фиксированном q 2 и n ln n 4[ q ] [1, 1], n 2 (1) n,q [f, [1, 1]] = O f, n =, n 4[ q ] [1, 1], n где f модуль непрерывности функции f (z) на отрезке [1, 1].

Доказательство теоремы 1 проводится по методу К.Н. Лунгу [1].

Замечание 1. Построенная при доказательстве теоремы 1 аппроксимирующая рациональная функция, реализующая соотношение (1), является правильной и имеет полюсы в точках 2(2k1) 2(2k1) q, k = 1, 2,..., 2, где величины O n считаются положительными.

± 1 + O n Теорема 2. Пусть функция f (z) непрерывна на отрезке [1, 1] и существуют точки {i }m, i= 1 = 0 1... m = 1, такие, что функция f (z) аналитична и ограничена в каждом открытом круге i1 + i i i Di = z : z, i = 1, 2,..., m.

2 Тогда при любом фиксированном q 13m и n ln n q n,q [f, [1, 1]] = O f [1, 1], (mn )2[ 13m ], n =.

n Прежде чем приступить к доказательству теоремы 2, получим некоторые вспомогательные результаты.

z (4 ) z Лемма 1. Рациональная функция w = M (z) =, 0 1, обладает свойствами:

2 2 + (1 )z 1) на отрезке [, ] функция M (z) монотонно возрастает от () до, на отрезках [2, ] и [, 2] функция M (z) монотонно убывает от до ();

2) функция w = M (z) взаимно однозначно отображает круг |z| на некоторую открытую область D, содержащую круг |w|.

Для w D существует функция z = Q(w), обратная к функции w = M (z). Функция z = Q(w) обладает следующими свойствами:

1) является однозначной, аналитической и однолистной в открытой области D, непрерывной и монотонно возрастающей на отрезке [, ];

2) взаимно однозначно отображает круг |w| на часть круга |z| ;

3) модуль непрерывности функции Q(w) на отрезке [, ] Q ([, ], ) 2 для произ вольного, 0 2.

28 Е.А. Ровба Доказательство леммы 1. Заметим, что рациональная функция z (4 ) z M (z) =, 0 1, 2 2 + (1 )z является наименее уклоняющейся от нуля на отрезке [2, 2] среди всех рациональных функций вида z 3 + a1 z 2 + a2 z + a, 2 + (1 )z где a1, a2, a3 вещественные числа (см., например, [2]).

Учитывая, что ( 2 z 2 ) · [(4 ) + (1 )z 2 ] (2) M (z) =, [ 2 + (1 )z 2 ] непосредственно убеждаемся в справедливости свойства 1) функции M (z). Поскольку полюсы рациональной функции M (z) находятся в точках ±i/ 1, то функция M (z) является аналитической в круге |z|. Покажем, что она однолистна в открытом круге |z|. Действительно, для любых z1 и z2, z1 = z2, |z1 | и |z2 |, нетрудно посчитать, что (z1 z2 )[ 2 (z1 + z1 z2 + z2 ) + (1 )z1 z2 + (1 )(4 )z1 z2 3 (4 )] 2 2 M (z1 ) M (z2 ) = = 0, 2 [ 2 + (1 )z1 ] · [ 2 + (1 )z2 ] так как 2 (z1 + z1 z2 + z2 ) + (1 )z1 z2 + (1 )(4 )z1 z2 3 (4 ) 2 2 3 (4 ) 3 4 (1 ) 4 3 (1 )(4 ) = 0.

Следовательно, функция w = M (z) взаимно однозначно отображает круг |z| на некоторую открытую область D. Докажем, что область D содержит круг |w|. Поскольку M (0) = 0, то достаточно показать, что |M (z)| для |z| =. Но при таких z, действительно, (4 ) |z|2 2 (4 ) |M (z)| |z| = =.

2 + (1 ) |z|2 2 2 + (1 ) Из указанных свойств функции w = M (z) и ее монотонности в строгом смысле на отрезке [, ] следует существование в замкнутой области D функции z = Q(w), обратной к функции w = M (z), и справедливость свойств 1) и 2) функции z = Q(w).

Осталось доказать, что Q ([, ], ). Так как M (z) = 0 (см. (2)) при 2, z (, ), то Q (w) = 1/M (z), z = Q(w),. Отсюда имеем, что функция Q (w) является четной и монотонно возрастающей при 0 w. Поэтому для произвольных w и, w w, 0 2, (3) Q(w) Q(w ) Q() Q( ) = Q( ).


Легко видеть, при z [, ] z 3 + 2(1 )z 2 (4 )z + 2 2 ( z)2 (2 + z) M (z) = = 2[ 2 + (1 )z 2 ] 2[ 2 + (1 )z 2 ] ( z)2 (2 ) ( z) =.

[ 2 + (1 )z 2 ] Отсюда получим, что справедливо неравенство (4) z 2[ M (z)], z.

Из (3) и (4) имеем Q(w) Q(w ) Q( ) 2[ M (Q( ))] = 2[ ( )] = для произвольных и, 2. Лемма доказана.

ww, О приближении рациональными функциями с фиксированным числом полюсов Доказательство теоремы 2. Не ограничивая общности, считаем, что sup |f (z)| = 1.

m z Di i= i i Полагаем = и рассмотрим рациональную функцию третьего порядка i1 + i i1 + i M (i) (z) = M z +, i = 1, 2,..., m, 2 где M (z) рациональная функция из леммы 1.

На основании леммы 1 получим:

1) M (i) 2 + i1 +i i1 +i = i, M (i) (i1 ) = i1, M (i) (i ) = i, M 2 + = i1, 2 M (i) (z) на отрезке [i1, i ] функция монотонно возрастает от i1 до i, на отрезках i1 +i i1 +i [i, 1] функция M (i) (z) монотонно убывает от 2 + 2, i1 [1, i1 ] и i, 2 + i до i1 ;

2) функция w = M (i) (z) взаимно однозначно отображает круг Di на некоторую открытую об + w ласть Di, содержащую круг w i1 i i 2i1, и существует аналитическая в открытой области Di, непрерывная на отрезке [i1, i ] функция z = Q(i) (w), обратная к функции w = M (i) (z), причем w (i i1 ) ·, 0 i i1. Отсюда следует, что функция f (Q(i) (w)) будет Q(i) ([i1, i ], ) аналитической и ограниченной в круге w i1 +i i i1 и непрерывной на отрезке [i1, i ].

2 Применяя теорему 1, получим, что при любом фиксированном q 1 существует алгебраиче (i) ская рациональная функция rn,q (w) порядка не выше n, имеющая не более чем 2q геометрически различных полюсов, такая, что i i1 4q f (Q(i) (w)) rn,q (w) = O f (Q(i) (w)) [i1, i ], (i) = O f [i1, i ], 2q (5) n, n i1 w i, i = 1, 2,..., m.

M (i) (z) i, то, сделав в (5) замену w = M (i) (z), имеем:

Поскольку при 1 z 1 i (i) f (Q(i) (M (i) (z))) rn,2q (M (i) (z)) = O{f ([i1, i ], 2q )}, 1 z 1.

n Обозначив f (Q(i) (M (i) (z))) = fi (z) и учитывая, что f ([i1, i ], 2q ) f ([1, 1], 2q ), получим:

n n (i) fi (z) rn,2q (M (i) (z)) = O{f ([1, 1], 2q )}, 1 z 1, i = 1, 2,..., m, n причем fi (z) = f (Q(i) (M (i) (z))) = f (z) при i1 i. Полагаем теперь z (i) (i) f (i ) rn,2q (i ) f (i1 ) + rn,2q (i1 ) (i) (i) rn,2q (M (i) (z)) R (z) = + i i (i) (z i1 ) + f (i1 ) rn,2q (i1 ). (6) Тогда fi (z) R(i) (z) = O{f ([1, 1], 2q )}, 1 z 1, (5 ) n R(i) (i1 ) = f (i1 ), R(i) (i ) = f (i ).

Нетрудно посчитать, что порядок алгебраической рациональной функции R(i) (z) не выше 3n+1, число геометрически различных полюсов не больше 6q. Так как fi (z) = f (z) при i1 i, z функцию f (z) представим в виде следующей суммы:

m 1 f (z) = [f1 (z) + fm (z)] + sign(z i )[fi+1 (z) fi (z)], 1 z 1.

2 i= 30 Е.А. Ровба Теперь функцию f (z) будем приближать непрерывной кусочно-рациональной функцией m 1 R(1) (z) + R(m) (z) + sign(z i ) R(i+1) R(i) (z), (7) s(z) = 1 z 1.

2 i= Ввиду (5 ) имеем:

f1 (z) R(1) (z) + fm (z) R(m) (z) + f (z) s(z) = m sign(z i ) fi+1 (z) R(i+1) (z) fi (z) + R(i) (z) = O f ([1, 1], 2q ), 1. (8) + 1 z n i= Из [1] известно, что существует алгебраическая рациональная функция rn,6q+2 (z) порядка не выше n, имеющая не более чем 6q + 2 геометрически различных полюсов, такая, что |z| rn,6q+2 (z) = O 6q+2, 2 z 2.

n Функцию s(z) будем приближать алгебраической рациональной функцией m R(i+1) (z) R(i) (z) 1 R(1) (z) + R(m) (z) + (9) R(z) = rn,6q+2 (z)(z i ) 2 2 z i i= (точки z = i не являются полюсами этой рациональной функции, так как R(i+1) (i ) = R(i) (i ), i = 1, 2,..., m 1).

Порядок рациональной функции R(z) не выше 4mn, число геометрически различных полюсов не больше 13mq.

Из (7) и (9) следует, что m R(i+1) (z) R(i) (z) 1 s(z) R(z) = |z i | rn,6q+2 (z)(z i ) = 2 z i i= m R(i+1) (z) R(i+1) (i ) + R(i) (i ) R(i) (z) 6q+ =O n = z i i= m 6q+2 R(i) (z), 1. (10) =O max 1 z n 1 z i= Оценим сверху R(i) (z), 1 1. Из (6) получим, что z (i) R(i) (z) = rn,2q (w) · M (i) (z) + o(1), w = M (i) (z). (11) w (i) M (i) (z) Так как при 1 i, то нужно оценить rn,2q (w) для w [i1, i ], z 1 i (i) i = 1, 2,..., m. Учитывая, что полюсы рациональной функции rn,2q (w) находятся в точках 2(2q1) i1 +i i i1 i1 +i i i1 k, k = 1 + O(1) · n и, k = 1, 2,..., q (см. замечание к + k 2 2 2 (i) теореме 1) и применяя к rn,2q (w) неравенство типа Маркова из работы В.Н. Русака [3], получим:

q 4e2 n4q k + (i) (i) rn,2q (w) · max rn,2q (w) n =O, ln2(2q1) n i i1 i1 w k i k= i1 w i, i = 1, 2,..., m.

О приближении рациональными функциями с фиксированным числом полюсов Тогда из (11) и того, что M (i) (z) = O(1), имеем:

n4q R(i) (z) = O, 1 z 1, i = 1, 2,..., m.

ln2(2q1) n Подставив эту оценку в (10), получим, что s(z) R(z) = m · O 2q, 1 z 1.

n Отсюда и из (8) следует:

|f (z) s(z)| + |s(z) R(z)| = m · O f ([1, 1], 2q ), |f (z) R(z)| 1 z 1, n где R(z) = R4mn,13mq (z) алгебраическая рациональная функция порядка не выше 4mn, число геометрически различных полюсов у которой не больше 13mn, q 1. Таким образом, при любом фиксированном q n,13mq [f, [1, 1]] = m · O f ([1, 1], (mn )2q ).

q Если задано фиксированное число q 13m, то, полагая q =, будем иметь:

13m q n,q [f, [1, 1]] n,13mn [f, [1, 1]] = m · O f [1, 1], (mn ).

13m Теорема 2 доказана.

Для периодических функций справедлива следующая Теорема 2. Пусть 2-периодическая функция f (z) непрерывна на вещественной оси и существу ют точки {i }m = 0 1... m =, такие, что функция аналитична и ограничена в i= i1 +i i i Тогда при любом фиксированном q каждом открытом круге z. 26(m + 3) и 2 n q T [f ] = m · O f (12) (mn ), 26(m+3) n,q где f модуль непрерывности функции f (z).

Теорема 2 доказывается на основании теоремы 2 по схеме, примененной при доказательстве теоремы 2 из [4]. Вместо леммы из [4] здесь потребуется следующая лемма, в справедливости которой нетрудно убедиться.

Лемма 2. Образ открытого круга z a+b ba, 0, при отображении w = cos z ab 2 содержит открытый круг w cos a+cos b cos acos b.

2 Замечание 2. Если в теореме 2 m=2 и 1 = 0, то оценку (12) можно уточнить. В данном случае при любом фиксированном q 24 и n q T [f ] = O f n.

n,q Замечание 3. Если в теоремах 1 и 2 (2 ) функция принимает вещественные значения на отрезке [1, 1], ([, ]), то можно считать, что точная нижняя грань в определении n,q [f, [1, 1]] (T [f ]) n,q берется в классе алгебраических (тригонометрических) рациональных функций с вещественными коэффициентами.

32 Е.А. Ровба Список литературы 1. Лунгу, К.Н. О наилучших приближениях рациональными функциями с фиксированным числом полю сов / К.Н. Лунгу // Матем. сб. – 1971. – Т. 86. – № 2. – С. 314–324.

2. Бернштейн, С.Н. Собрание сочинений: в 4 т. / С.Н. Бернштейн. – Москва, 1954. – Т. 2.

3. Русак, В.Н. / В.Н. Русак // Вестник БГУ. Сер. 1. – 1970. – № 3. – С. 27–32.

4. Ровба, Е.А. О приближении периодических аналитических функций с характерными особенностями рациональными функциями / Е.А. Ровба // Весцi АН БССР. Сер. фiз.-мат. навук. – 1974. – № 6. – С. 43–49.

Об одном прямом методе в рациональной аппроксимации * The paper deals with the approximations with the help of rational operators, which generalize the Dirichlet– Chebyshev polynomial operators.

В рациональной аппроксимации исследован ряд операторов, имеющих своим аналогом извест ные полиномиальные периодические операторы Фурье, Фейера, Джексона, Валле-Пуссена(см., на пример, [1, 2]). В данной работе изучается рациональный оператор, который является обобщением полиномиального оператора, определяемого посредством частичной суммы ряда Фурье по много членам Чебышева.

Пусть задана система чисел {ak }n, среди которых могут быть комплексные числа, но тогда k= эта система содержит и им сопряженные числа;

вещественные числа ak должны удовлетворять условию |ak | 1. На множестве суммируемых на отрезке [1, 1] с весом 1/ 1 x2 функций f (x) рассмотрим оператор Sn : f (x) Sn (x, f ), определяемый соотношением 1 f (t) (1) Sn (x, f ) = Dn (t, x) dt, 2 1 t где sin(n (t) n (x)) sin(n (t) + n (x)) Dn (t, x) = +, 0 (t)0 (x) sin 0 (t)+0 (x) sin 2 n 1 t + ak n (t) = arccos t + arccos, n 1;

2 1 + ak t k= 0 (t) = arccos t.

В частности, если положить a1 = a2 =... = an = 0, то Sn (x, f ) есть частичная сумма ря да Фурье по многочленам Чебышева. Отметим, что последовательность рациональных функций n t + ak Чебышева–Маркова cos не является, вообще говоря, ортогональной на отрезке arccos 1 + ak t k= [1, 1] с весом 1/ 1 t2.

Введем также следующие обозначения:

1) Rn (a) множество рациональных функций вида pm (x), (1 + a1 x)(1 + a2 x)... (1 + am x) где pm (x) алгебраический многочлен степени не выше m, m n;

2) Rn (f, a) = min наилучшее приближение непрерывной на отрезке [1, 1] f rn C[1,1] rn Rn (a) функции f (x) рациональными функциями из Rn (a).

* Ровба, Е.А. Об одном прямом методе в рациональной аппроксимации / Е.А. Ровба // Доклады АН БССР. – 1979. – Т. 23. – № 11. – С. 968–971.

Об одном прямом методе в рациональной аппроксимации Теорема 1. Оператор Sn обладает следующими свойствами: 1) Sn (x, f ) Rn (a) для любой функции f (x), суммируемой на отрезке [1, 1] с весом 1/ 1 x2 ;

2) Sn (x, rn ) rn (x) для rn (x) Rn (a).

Справедливость первого утверждения теоремы 1 следует из того, что (1) (2) (1) (2) cos n (t) cos n (x) cos n (x) cos n (t) Dn (t, x) =, 2 (x t) (1) (2) где n (t) = n (t) 0 (t), n (t) = n (t) + 0 (t).

(1) (2) Как известно (см. [3]), cos n (t) и cos n (t) являются рациональными функциями порядка n и n + 1 соответственно.

Доказательство второго утверждения основано на том, что после замен t = cos u, x = cos u в соотношении (1) будем иметь 1 zKn (z, ) Kn (, z) (2) Sn (x, f ) = f (cos u) du, 2 z где n z + k 1 + k Kn (z, ) =, 1 + k z + k k= ak = eiu, z = eiv, k = (|k | 1), k = 1, n.

1 a 1+ k Учитывая выбор чисел ak, k = 1, n, отсюда можно заключить также, что Sn (x, f ) есть частная сумма ряда Фурье функции f (cos u) по системе Уолша–Мальмквиста, и на основании результатов работы [4] получить признаки сходимости последовательности (Sn (x, f )).

Теорема 2. Пусть функция f (w) аналитична и ограничена в круге |w| 1 +, 0 1/4, (2k1)/2p, k = 1, p, и n, p натуральные числа, 1 n/2. Тогда, если положить ak = p ap+k = ak, k = p + 1, 2p, и взять кратность каждой точки ak, k = 1, 2p, равной nk, nk [n/2p], n1 + n2 +... + n2p = n, то справедливо соотношение 1 1 n (3) f (x) Sn (x, f ) C1 M ln exp C2 1/4p, C[1,1] 1 p где sup |f (w)|. M= |w|1+ Эта теорема является обобщением известных результатов Гончара и Уолша (cм. [5], соотно шения (16) и (17)). Из (3) легко получить также оценки наилучших приближений непрерывных функций с характерными особенностями посредством рациональных функций, имеющих произволь ное число геометрически различных полюсов. В частности, отсюда следует результат, аналогичный теореме Лунгу [6].

Лемма. Для постоянной Лебега 1 def Ln = max |Dn (t, x)|dt 2 x[1,1] 1 t Кратность точки aj есть количество чисел системы {ak }n, равных aj.

k= Через C1, C2,... будем обозначать абсолютные положительные постоянные, через Cf положительные постоянные, зависящие лишь от f.

34 Е.А. Ровба оператора Sn справедлива оценка n (1 |k |) Ln C3 ln 1 +, n 2.

k= Лемма может быть получена из [7] на основании (2).

Теорема 3. Для любой функции f (x) C[1, 1] справедливо соотношение n (1 |k |) f (x) Sn (x, f ) C4 Rn (f, a) 1 + ln 1 +, n 2.

C[1,1] k= На основании теоремы 3 и исходя из известных оценок рациональных приближений функций, где аппроксимирующая функция построена в явном виде, могут быть получены оценки приближе ния посредством оператора Sn.

Теорема 4. Если функций f (x) имеет r-ю непрерывную производную на отрезке [1, 1], то n Cf r f (r) (1 ) 1 + ln 1 + (1 |k |) f (x) Sn (x, f ), n 2, C[1,1] n n k= n модуль непрерывности функции f (r) (x) на отрезке [1, 1], n = 1 + где f (r) (t) (1 |k |).

k= Здесь воспользовались результатом Пекарского [8] об оценке скорости рациональной аппрокси мации с фиксированными полюсами.

Следующие теоремы получены с помощью известных оценок (см. [9, 10]) скорости рациональной аппроксимации со свободными полюсами.

Теорема 5. Если функция f (x) имеет ограниченную вариацию на [1, 1] и f (x) Lip, то при подходящем выборе чисел k, k = 1, n, справедливо соотношение ln2 n f (x) Sn (x, f ) Cf, n 2.

C[1,1] n Теорема 6. Если функция f (x) имеет на отрезке [1, 1] (r 1)-ю абсолютно непрерывную про изводную f (r1) (x), которая является первообразной функции f (r) (x) ограниченной вариации на [1, 1], r 1, то при подходящем выборе чисел ak, k = 1, n, справедливо соотношение ln n f (x) Sn (x, f ) Cf, n 2.

C[1,1] nr+ Замечание. Аналогично, как в работах В.Н. Русака (см., например, [11]), исходя из ряда Dn (t, x), могут быть введены на отрезке [1, 1] рациональные операторы Фейера и Валле-Пуссена.

Список литературы 1. Русак В.Н. // Теория приближения функций: тр. Междунар. конф. по теории приближения функций. – Москва, 1977.

2. Русак, В.Н. Об одном методе приближения рациональными функциями / В.Н. Русак // Весцi АН БССР.

Сер. фiз.-мат. навук. – 1978. – № 3. – С. 15–20.

3. Марков, А.А. Избранные труды / А.А. Марков. – Москва: Гостехиздат, 1948.

4. Джрбашян, М.М. К теории рядов Фурье по рациональным функциям / М.М. Джрбашян // Изв. АН АрмССР. Сер. физ-мат. – 1956. – Т. 9. – № 7. – С. 1–27.

О приближении рациональными функциями с заданным числом полюсов 5. Гончар, А.А. О скорости рациональной аппроксимации непрерывных функций с характерными ообен ностями / А.А. Гончар // Матем. сб. – 1967. – Т. 73. – № 4. – С. 630–639.

6. Лунгу, К.Н. О наилучших приближениях рациональными функциями с фиксированным числом полю сов / К.Н. Лунгу // Матем. сб. – 1971. – Т. 86. – № 2. – С. 314–324.

7. Кочарян, Т.С. О приближении рациональными функциями в комплексной области / Т.С. Кочарян // Изв. АН АрмССР. Сер. физ.-мат. – 1958. – Т. 11. – № 4. – С. 20–24.

8. Пекарский, А.А. О скорости рациональной аппроксимации с фиксированными полюсами / А.А. Пекар ский // Докл. АН БССР. – 1977. – Т. 21. – № 4. – С. 302–304.

9. Пекарский, А.А. Рациональная аппроксимация непрерывных функций с заданным модулем непрерыв ности и модулем изменения / А.А. Пекарский // Весцi АН БССР. Сер. фiз-мат. навук. – 1978. – № 5. – С. 34–39.

10. Пекарский, А.А. Метод последовательных усреднений в теории рациональной аппроксимации / А.А. Пе карский // Докл. АН БССР. – 1977. – Т. 21. – № 10. – С. 875–877.

11. Русак, В.Н. О приближениях рациональными функциями на вещественной оси / В.Н. Русак // Весцi АН БССР. Сер. фiз-мат. навук. – 1974. – № 1. – С. 22–28.

О приближении рациональными функциями с заданным числом полюсов * 1. Пусть n,q (f, [a, b]) = n,q (f ) и n,q (f, [a, b]) = n,q (f ) обозначают наименьшие равномерные уклонения непрерывной на отрезке [a, b] функции f от алгебраических рациональных функций rn,q порядка не выше n, имеющих не более, чем q геометрически различных полюсов в расширенной и конечной комплексных плоскостях соответственно (q целое число, 0 q n). В частности, если q = 0, то n,0 (f ) = En (f ), а если q = n, то n,n (f ) = n,n (f ) = Rn (f ), где En (f ) и Rn (f ) наименьшие уклонения функции f от многочленов и рациональных функций порядка не выше n соответственно.

Очевидно также, что n,q (f ) n,q (f ) n,q1 (f ).

Более подробно наименьшие уклонения n,q (f ) и n,q (f ) описаны в работах К.Н. Лунгу [1, 2].

А.А. Гончар [3] доказал следующую общую теорему.

Пусть функция f непрерывна на отрезке [0, 1] и допускает ограниченное аналитическое про должение в круг D = {z : |z 1| 1}. Тогда n M teC t + ([0, 1], et ) (1) Rn (f, [0, 1]) = O inf, 1t абсолютная положительная постоянная1, ([0, 1], et ) модуль непрерывности функции f где C на отрезке [0, 1].

К.Н. Лунгу (см. [1, 2]) установил, что в условиях теоремы Гончара при любом фиксированном q, q 1 и n справедливы следующие оценки:

4q ln n (2) n,q (f, [0, 1]) = O [0, 1],, n 4q+ ln n (3) n,q (f, [0, 1]) = O [0, 1],, n * Ровба, Е.А. О приближении рациональными функциями с заданным числом полюсов / Е.А. Ровба // Современные проблемы теории функций: материалы Всесоюзн. школы по теории функций, Баку, 21 мая – 1 июня 1977 г. – Баку:

Бакинский гос. ун-т, 1980. – С. 234–239.

Везде в дальнейшем через C1, C2,... будем обозначать абсолютные положительные постоянные.

36 Е.А. Ровба где постоянная O(1) зависит от q (оценка (3) верна и при q = 0). Эти результаты содержат суще ственное ограничение на число геометрически различных полюсов, состоящее в фиксированности числа q.

В настоящей заметке при аналогичных условиях на функцию f получены оценки n,q (f ) и n,q (f ) при произвольном q, 0 n, n = 1, 2,... Метод доказательства этих оценок отличен q от методов Гончара и Лунгу и основан на свойствах рациональных функций Чебышева–Маркова, наименее уклоняющихся от нуля на отрезке [1, 1].

2. Имеет место Теорема 1. Пусть функция f непрерывна на отрезке [1, 1] и допускает ограниченное аналити ческое продолжение в круг K = {z : |z| 1}. Тогда справедливы следующие оценки:

q 4[ 2 ] t C2 n (4) n,q (f, [1, 1]) C1 inf M te + 1+, n = 2, 3,..., 2 q n;

t q 1t q (4[ 2 ]+2) t C4 n n, (5) n,q (f, [1, 1]) C3 inf M te + 1+, n = 1, 2,..., 0 q t q+ 1t модуль непрерывности функции f на отрезке [1, 1]2.

где M = sup |f (z)|, zK В частности, если в (4) положить q = n, то получим результат Гончара (см. (1)). Если же q фиксировано, то полагая в (4) t = C2 n/(2q + 1) ln n, а в (5) t = C4 n/(2q + 3) ln n, получим оценки, аналогичные оценкам Лунгу (2) и (3).

Отметим, что функции, рассматриваемые в теореме 1, могут иметь особенности на обоих концах отрезка приближения, тогда как функции, рассматриваемые в теоремах Гончара и Лунгу, могут иметь особенности лишь на одном из концов отрезка приближения. Поэтому естественно, что в случае фиксированного q порядок аргумента модуля непрерывности в оценках (4) и (5) в два раза меньше, чем в оценках (2) и (3). Отметим также, что в условиях теоремы Гончара, применяя тот же метод, что и при доказательстве теоремы 1, оценки (4) и (5) можно усилить, а именно, в этом случае числа [q/2] в показателе степени аргумента модуля непрерывности в (4) и (5) нужно заменить на q.

Приведем также следующее следствие из теоремы 1.

Пусть q = [n ], 0 1/2. Тогда, если положить в (4) t = n, то имеем, что в условиях теоремы n,[n ] (f, [1, 1]) = O eC5 n.

В частности, если = 1/2, то n,[n] (f, [1, 1]) = O eC5 n (6).

Отсюда и из известных оценок снизу наименьших уклонений для функции с особенностями на отрезке приближения (см. [4]) следует, что для рассматриваемых функций увеличение числа гео метрически различных полюсов от [ n] до n позволяет в оценке (6) увеличить, вообще говоря, лишь постоянную C5.

3. Докажем первое утверждение теоремы 1.

Возьмем произвольные натуральные числа n и q, n 2, 2 q n.

Произвольно выберем также, 0 1/4, и рассмотрим функцию f (z) = f (z/(1 + )).

Очевидно, (7) f f C[1,1] (), где, как обычно f = max |f (x)|.

C[a,b] x[a,b] Постоянные C2 и C4 можно считать равными 1/16.

О приближении рациональными функциями с заданным числом полюсов Функция f (z) является аналитической в круге |z| 1+ и непрерывной на отрезке [1, 1+].

Для этой функции на отрезке [1, 1] построим аппроксимирующую рациональную функцию порядка не выше n и имеющую не более, чем q геометрически различных полюсов в расширенной комплекс ной плоскости.

Полагаем m = [n/q], p = [q/2] и пусть ak = 1 2k1, k = 1, 2,..., p, где = 1/2p.



Pages:   || 2 | 3 | 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.