авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |

«Е.А. Ровба ИЗБРАННЫЕ НАУЧНЫЕ СТАТЬИ Гродно 2009 УДК 517.9 ББК 22.14 Р00 Редакционная ...»

-- [ Страница 2 ] --

Рациональную функцию Чебышева–Маркова, имеющую m-кратные полюсы в точках ±1/ak, k = 1, 2,..., p, и наименее уклоняющуюся от нуля на отрезке [1, 1], можно представить следующим образом (см. [5]):

p p 1 m (ck (z) dk (z))m (8) M (z) = (ck (z) + dk (z)) +, k=1 k= где ck (z) = ((2 a2 )z 2 1)/(1 a2 z 2 ), dk (z) = 2 1 a2 z z 2 1/(1 a2 z 2 ).

k k k k Здесь ветвь функции z 2 1 будем выбирать так, что z 2 1 0 при z 1.

В силу теоремы Чебышева о рациональных функциях наименьшего уклонения функция M (z) имеет на интервале (1, 1) 2pm простых нулей. Взяв в качестве узлов интерполирования нули функ ции M (z) и точку z = 0, для функции f (z) можно построить интерполяционную рациональную функцию L(z) L2pm,2p (z), полюсы которой совпадают с полюсами функции M (z) (см. [6]). По рядок функции L(z) не выше 2pm n, число геометрически различных полюсов в расширенной комплексной плоскости не более 2p q. По известной формуле интерполирования (см., напри мер, [7, с. 228]) имеем:

1 zM (z) f (t) f (z) L(z) = dt, 1 z 1, 2i tM (t) t z где = {z : |z| = 1 + /2}.

Учитывая, что |M (z)| 1, z [1, 1], отсюда получим:

(9) f L C6 M ln min |M (t)| (M = sup |f (z)|).

C[1,1] t |z| Оценим снизу |M (z)| при z. Ввиду того, что M (z) = M (z) и M (z) = M (z), достаточно найти оценку снизу |M (z)| при z, где = {z : z = rei, 0 /2}, r = 1 + /2.

Из (8) следует, что p 1 m |ck (z)|2 + |dk (z)|2 + 2|ck (z)dk (z)| cos(k (z) k (z)) |M (z)| k= p m |ck (z)|2 + |dk (z)|2 + 2|ck (z)dk (z)| cos(k (z) k (z)), (10) k= где k (z) = arg ck (z), k (z) = arg dk (z), k = 1, 2,..., p.

Нетрудно убедиться, что при z (2 a2 )2 r 4 2(2 a2 )r 2 cos 2 + |ck (z)|2 = k k 1, a4 r 4 2a2 r 2 cos 2 + k k |k (z) k (z)| /2, k = 1, 2,..., p.

38 Е.А. Ровба Следовательно (см. (10)), p p m m 1 1 z.

1 + |dk (z)| 1 + |dk (z)| (11) |M (z), 2 2 k=1 k= Далее имеем, что при z 2 1 a 2 1 a2 z z 2 1 z2 k k |dk (z)|.

1 a2 + a2 |z 2 1| 1 a2 + |z 2 1| k k k Полагаем теперь u = z 2 1. Если z = rei, 0 r 2 1, r 2 + /2, то u, 2.

Тогда из (11) получим, что p z, 1 + |dk (z)| (12) min Bp (u), 2 u[,2] k= где p 2 k 2 u 2k1 + u2 (1 a2 = 2k1 ).

Bp (u) = 1+ k k= Оценим снизу Bp (u), u [, 2]. Легко проверить, что функция u ( 2k1 + u2 ) являет ся возрастающей на отрезке [0, k1/2 ] и убывающей на отрезке [ k1/2, 2]. Учитывая это, при u [, p1/2 ] = [ p, p1/2 ] имеем p p p 1 k 2 p k 2 1 1 + k Bp (u) 1+ 2 2k1 = 1+ 2.

+ 2p 1 + 2k k=1 k=1 k= Если u [, 2], то p p 1 1 + 2 2 k 2 (4 + 2k1 ) 1 + k Bp (u).

k=1 k= Если же u [ j, j1/2 ], 1 p 1, то j j p k 1 j k 1 j ( 2k1 + 2j ) · ( 2k1 + 2j1 ) = Bp (u) 1+ 2 2 1+ 2 2 k=1 k=j+ j pj p 1 2 k 2 (1 + 2k1 ) · 2 k (1 + 2k ) 1 + k = 1+ 1+.

k=1 k=1 k= Аналогично можно получить такую же оценку при u [ j+1/2, j ], 1 j p 1.

Таким образом, при любом u [, 2] p p p 1 1 1 1 1 + k 2 ln 1 + k 2 k Bp (u) = exp exp = 2 2 k=1 k=1 k= 4 p (1 ) 1 1p ( 4 1)1 ( = 2p ).

= exp exp p 4(1 ) О приближении рациональными функциями с заданным числом полюсов Исходя из этой оценки и оценок (12) и (11), имеем 1 1 1p ( 4 1)1 · m, (m + 1)4p |M (z)| exp z, 1.

5 Если последнюю оценку подставить в (9), то получим 1 1 exp ( 4 p 1)1 · m. (13) f L C6 M ln C[1,1] 1 Так как при (0, (m + 1)4p ) справедливо соотношение ln 1 exp 8 ( 4 p 1)1 · m 4 ln 2e 8, 41.

то не ограничивая общности считаем, что неравенство (13) справедливо при любом, Из неравенств (7) и (13) найдем, что 1 1 exp ( 4 p 1)1 m + (), f L C6 M ln 0.

C[1,1] 8 41, Следовательно, при любом, 1 1 exp ( 4 p 1)1 · m + (). (14) 2pm,2p (f, [1, 1]) C6 M ln Так как левая часть в неравенстве (14) не зависит от, то в правой части этого неравенства можно перейти к нижней грани:

1 1 exp ( 4 p 1)1 · m + ().

2pm,2p (f, [1, 1]) inf C6 M ln 0 Полагая t = q( 4 p 1), отсюда имеем:

4[ q ] t C2 n n,q (f, [1, 1]) 2pm,2p (f, [1, 1]) C1 inf M te + 1+.

t q 1t Первое утверждение теоремы 1 доказано. Второе утверждение этой теоремы доказывается ана логично.

4. Если в левой части неравенства (13) сделать замену z = (1 + )w, то получим 1 1 exp ( 4 p 1)1 · m.

f (w) L((1 + )w) C6 M ln C[(1+)1,(1+)1 ] Отсюда вытекает следующая Теорема 2. Пусть функция f аналитична и ограничена в круге K = {z : |z| 1}. Тогда для любого, 0 41, и любых n, n 2, и q, 2 q n, справедливо соотношение 1 1 n q n,q (f, [1 +, 1 ]) C6 M ln exp ·, p=.

1p 16( 4 1) q Эта теорема является обобщением известных результатов Гончара и Уолша (см. [3], соотноше ния (16) и (17)).

Аналогичная оценка справедлива для уклонений n,q (f, [1 +, 1 ]).

Замечание. Исходя из результатов теоремы 1 и леммы 1 из [8], можно получить аналогично как при доказательстве теоремы 2 из [8] оценки сверху наименьших уклонений n,q (f ) и n,q (f ), n 1, 0 q n, для функций f, имеющих на отрезке приближения произвольное конечное число особен ностей.

40 Е.А. Ровба Список литературы 1. Лунгу, К.Н. О наилучших приближениях рациональными функциями с фиксированным числом полю сов / К.Н. Лунгу // Матем. сб. – 1971. – Т. 86. – № 2. – С. 314–324.

2. Лунгу, К.Н. О наилучших приближениях рациональными функциями с фиксированным числом полю сов / К.Н. Лунгу // Труды Московского института электронного машиностроения. – 1975. – Т. 53. – С. 67–85.

3. Гончар, А.А. О скорости рациональной аппроксимации непрерывных функций с характерными ообен ностями / А.А. Гончар // Матем. сб. – 1967. – Т. 73. – № 4. – С. 630–639.

4. Гончар, А.А. Оценки роста рациональных функций и некоторые их приложения / А.А. Гончар // Матем.

сб. – 1967. – Т. 72. – № 3. – С. 489–503.

5. Марков, А.А. Избранные труды / А.А. Марков. – Москва: Гостехиздат, 1948.

6. Русак, В.Н. Об интерполировании рациональными функциями с фиксированными полюсами / В.Н. Ру сак // Доклады АН БССР. – 1962. – Т. 4. – № 9. – С. 548–550.

7. Уолш, Дж.Л. Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области / Дж.Л. Уолш. – Москва: ИИЛ, 1961. – 508 с.

8. Ровба, Е.А. О приближении рациональными функциями с фиксированным числом полюсов / Е.А. Ров ба // Вестник БГУ. Сер. 1. – 1977. – № 1. – С. 3–9.

О приближении функции | sin x| рациональными рядами Фурье * Полиномиальные тригонометрические ряды Фурье как аппарат приближений периодических функций к настоящему времени хорошо изучены. Одной из основных в этом направлении является задача об отыскании точных верхних граней отклонений линейных методов суммирования триго нометрических рядов Фурье на различных классах функций (см., например, [1]).

Рациональные ряды Фурье и построенные на их основе операторы Фейера, Валле-Пуссена так же широко применялись в рациональных приближениях с фиксированными полюсами (см., напри мер, [2]). В теории рациональных приближений со свободными полюсами эти методы менее изуче ны. В 1984 г. В.Н. Русак впервые нашел точные порядки равномерных приближений на классах функций, представимых в виде свертки, посредством одного из таких методов посредством раци ональных операторов Валле-Пуссена (см. [3]).

В настоящей заметке для конкретной функции | sin x|, играющей, как известно, в теории при ближений такую же роль, что и |x|, рациональные ряды Фурье изучаются по обоим вышеназван ным направлениям. В начале при фиксированных полюсах устанавливаются оценки остатков таких рядов, зависящие от положения точки x, и равномерные двусторонние оценки. На их основании исследуются порядки равномерных приближений функции | sin x| рациональными рядами Фурье со свободными полюсами. Полученные оценки при определенных условиях являются точными.

Пусть {k } произвольная последовательность действительных чисел, удовлетворяющая сле дующим условиям:

0 = 0, |k | 1, 2k = 2k+1, k N0. (1) Через N0 обозначено множество N {0}.

Введем следующую систему рациональных функций (см. [5]):

1 2 k1 z j 1 k k N.

0 (z) =, k (z) =, 2(1 k z) j=0 1 j z Эта система функций ортонормальна на единичной окружности |z| = 1, является естественным обобщением системы einx n=0.

* Ровба, Е.А. О приближении функции | sin x| рациональными рядами Фурье / Е.А. Ровба // Математические заметки. – 1989. – Т. 46. – № 2. – С. 52–59.

О приближении функции | sin x| рациональными рядами Фурье Для функции | sin x| можно записать ее ряд Фурье по системе k (eix ), k N0 ;

k (eix ), k N (см. [5]):

+ ak k (eix ) + bk k (eix ), (2) | sin x| a0 0 + k= где ak, bk коэффициенты Фурье, т.е.

k N0, | sin x|k (eix )dx, ak = | sin x|k (eix )dx, k N.

bk = Ввиду условий (1) k (eix ) = k (eix ) и ak = bk, k N. Поэтому ряд Фурье (2) примет вид + ak k (eix ) + k (eix ).

| sin x| a0 0 + k= Обозначим через s2n (x) частную суму этого ряда 2n+ ak k (eix ) + k (eix ).

s2n (x) = a0 0 + k= Справедлива следующая Теорема 1. При выполнении условий (1) имеет место равенство:

1 x 1 x | sin x| s2n (x) = (t, x)(1 + t)2n (t)dt sin sin 2n (u)du 1 1 x 1 x x R, (3) (t, x)(1 t)2n (t)dt cos cos 2n (u)du, 1 1 t2 2n+1 t k где (t, x) =, 2n (t) = произведение Бляшке порядка 2n, 1 2t cos x + t k=2 1 k t 2n+ 1 1 k 2n (u) = +.

1 2k cos u + 2 k k= Доказательство. Из [5] вытекает, что частную сумму s2n (x) можно представить в виде s2n (x) = | sin t| · D2n (t, x)dt, t D2n (t, x) = sin 2n (u)du sin(t x)/2.

x 42 Е.А. Ровба Учитывая, что D2n (t, x)dt 1, отсюда получим 2 | sin x| s2n (x) = (| sin x| | sin t|)D2n (t, x)dt.

Преобразуем это выражение к следующему виду:

x x 2n (u)du, (4) | sin x| s2n (x) = J1 cos 2n (u)du J2 sin 0 где t sin 0 2n (u)du J1 = (| sin x| | sin t|) dt, sin(t x)/ t cos 0 2n (u)du J2 = (| sin x| | sin t|) dt.

sin(t x)/ Предположим, что x (0;

) и займемся преобразованием интеграла J1. Принимая во внимание, что t x R, 2n (u)du = 2n (u)du, t находим:

t 1 J1 = (sin x sin t) (sin(t x)/2) + (sin(t + x)/2) sin 2n (u)du dt = 0 t sin x sin t sin(t + x) = sin 2n (u)du dt.

sin(t + x)/ 0 Производя замены z = eix, = eit и учитывая при этом, что (см. [5]) t 2n (u)du = 3/2 2n (), exp i (4 ) будем иметь: (, z) 3 2n ( 1 )d, J1 = (, z)2n ()d C C где (, z) = ( 2 z 2 1 + 2 z z 2 + z)/(1 z) z, C = { : = eit, 0 t }.

Теперь воспользуемся тем, что подынтегральная функция первого интеграла является анали тической в полукруге || 1, Im 0, а подынтегральная функция второго интеграла в области || 1, Im 0. Применяя теорему Коши о вычетах, найдем 1 1 + (, z) 3 2n ( 1 )d + (, z) 3 2n ( 1 )d.

J1 = (, z)2n ()d + 1 О приближении функции | sin x| рациональными рядами Фурье Заменяя во втором и третьем интеграле 1, получим 1 z2 2 2z z2 + + z (1 )2 (1 + ) J1 = (, z) + 2n ()d = 2n ()d(1 + z) z.

2 ( z) z (1 z)( z) 1 Учитывая, что z = eix, и полагая = t, находим, что при x (0;

) x (5) J1 = 2 cos · (t, x)(1 t)2n (t)dt.

Аналогично можно получить, что x (6) J2 = 2 sin · (t, x)(1 + t)2n (t)dt, x (0;

).

Чтобы получить формулу (3) при x (0;

), осталось подставить выражения (5) и (6) в (4).

Для x = 0 и x = справедливость формулы (3) следует из непрерывности на R ее левой и правой части относительно переменной x, а для x R из четности и периодичности.

Введем следующие обозначения:

1) 2n () = | sin x| s2n (x) C2.

2) Пусть Q2n есть множество точек = (0, 1,..., 2n+1 ), где k, k = 1, 2n, удовлетворяют условиям (1). Тогда полагаем 2n = inf 2n ().

Q2n 3) Пусть Q2n,n/2 множество точек Q2n, удовлетворяющих дополнительному условию, что числа 2, 4,..., 2n попарно равны (n четное). Тогда 2n,n/2 = inf 2n ().

Q2n,n/ 4) Пусть Q2n,1 множество точек Q2n, удовлетворяющих условию 2 = 4 =... = 2n, четное. В этом случае 2n,1 = inf 2n ().

n Q2n, Теорема 2. При выполнении условий (1) справедливы соотношения:

(1 t2 )2n (t) x R;

(7) || sin x| s2n (x)| dt, 1 2t2 cos 2x + t 1 2 2n (t)dt 2n () |2n (t)| dt. (8 ) 0 Неравенства (8 ) являются точными в том смысле, что если функция 2n (t) имеет полюсы только четной кратности, то неравенства (8 ) превращаются в равенство, т.е. имеем (8) 2n () = 2n (t)dt.

При тех же условиях на полюсы неравенство (7) переходит в равенство при x = 0 и x =.

Доказательство. Воспользуемся формулой (3). Путем несложных преобразований найдем, что 1 1 + t2 (1 ± 2 cos x) (1 t2 )2n (t)dt.

(t, x)(1 ± t)2n (t)dt = 1 2t2 cos 2x + t 1 44 Е.А. Ровба Далее легко убедиться, что при x R, t [0;

1] x x x x 2 (1 + t (1 + 2 cos x)) sin · sin 2n (u)du (1 + t (1 2 cos x)) cos · cos 2n (u)du 2 0 x x + (1 + t2 (1 + 2 cos x))2 sin2 = (1 + t2 (1 2 cos x))2 cos2 1 2t2 cos 2x + t4.

2 Воспользовавшись этим неравенством, из (3) получим неравенство (7). Из него тривиально следует верхняя оценка для 2n (). Для получения нижней оценки 2n () положим x = 0 и x = в равенстве (3). Будем иметь соответственно 1 1 2n () (1 ± t)2n (t)dt = 2n (t)dt.

1 Доказательство теоремы 2 завершено.

+ расходится, то ряд (2) равномерно сходится на R к функции Следствие 1. Если ряд k=0 (1|k |) | sin x|.

Утверждение непосредственно следует из неравенств (8 ) и элементарных свойств произведения Бляшке.

Теорема 3. Справедливы соотношения:

c n e n, (9) 2n n 1;

n e n (10) 2n,n/2, n ;

c1 2n (11) inf || sin x| s2n (x)| ne, x (;

0) (0;

);

| sin x| Q2n положительные постоянные, не зависящие от n и x1.

где c, c Доказательство. Докажем вначале неравенство (11). Очевидно, при t [0;

1], x R 1 2t2 cos 2x + t4 | sin x|.

Поэтому на основании неравенства (7) имеем: x (;

0) (0;

) (1 t2 ) |2n (t)| dt.

|| sin x| s2n (x)| | sin x| (1 u)/(1 + u), dt = du/ (1 + u)3/2 1 u, находим, что Сделав в этом интеграле замену t = при тех же x 1 n 2 u k du || sin x| s2n (x)| u, | sin x| u + k 1 u k= где k = (1 2 )/(1 + 2 ).

k k Везде в дальнейшем через c, c1 будем обозначать абсолютные положительные постоянные, вообще говоря, раз личные.

О приближении функции | sin x| рациональными рядами Фурье Из [6] известно, что при любом s, 0 2, существуют положительные числа 1, 2,..., n s такие, что n u k s c e sn, u [0;

1], n N, u u + k k= n1, где c положительная постоянная, не зависящая от n и s. Следовательно, полагая s = получим:

1 n u1s c1 2n u k du · max us inf || sin x| s2n (x)| ne, | sin x| u + k | sin x| 1 u Q2n u[0;

1] k= x (;

0) (0;

).

Неравенство (11) установлено.

Неравенство (9) является следствием соотношения (10). Осталось показать справедливость со отношения (10). Здесь воспользуемся следующим утверждением из [7]:

1/p 1 p n t k n1/2 e n/2p inf dt (12), p 1, n +, 1 k t Gn k= где Gn = { = (1, 2,..., n ) : k C, |k | 1, k = 1, n}. Заметим, что при любых действительных (|| 1), t (|t| 1) и ( R) имеет место неравенство |t ( + i)|/|1 ( i)t| |t |/|1 t|.

Следовательно, нижняя грань в (12) достигается на множестве действительных 1, 2,..., n 2.

В рассматриваемом случае на основании (8 ) будем иметь:

1 1 n/2 t2 2 2 c n e n.

4k (13) 2n () = 2n (t)dt = dt 1 2 t 4k 1 k= С другой стороны, поступая таким же образом, как при доказательстве оценки (11), получим, что существуют 1, 2,..., n/2, k 0, k = 1, n/2, для которых 1 n/2 1 n/ us 2 u k du 2 u k du · max us/ 2n () u + k u + k 1 u2 1u u[0;

1] 0 k=1 k= c1 n e n (s = 1 n1/2 ). (13 ) n Из оценок (13) и (13 ) следует, что 2n,n/2, n +. Доказательство теоремы ne завершено.

Интересно сравнить оценку (10) с известной асимптотической оценкой А.П. Буланова–Н.С. Вя чеславова наилучших равномерных приближений функции |x| (см. [4]), замечая при этом, что в этом случае частичная сумма ряда Фурье s2n (x) является тригонометрической рациональной функцией порядка 2n, имеющей n геометрически различных полюсов.

Именно по этой причине и в целях простоты в теореме 1 рассматриваются только действительные полюсы, на самом деле аналогичный результат можно получить при k (k = 0, 1,...), |k | 1.

46 Е.А. Ровба Теорема 4. Если Q2n,1, то справедливы соотношения:

1 1 (2n+1 + 1 2 ) 2n () 2n+1 + n N, 2 [0;

1);

(14), 2(n + 1) 2 n+ n2 ln n, (15) 2n,1 n +.

Доказательство. Согласно (8) в этом случае имеем 1 n t2 2 (16) 2n () = dt.

1 2 t Разобъем этот интеграл на два (n четное число):

2 n n 2 t2 t2 2 2 dt = (17) 2n () = dt + (J1 + J2 ).

1 2 t2 2 t 2 (2 t2 )/(1 2 t2 ) Функция является убывающей и выпуклой вверх на [0;

2 ]. Поэтому 2 (n + 1)1 2n+1 J1 2n+1. (18) 2 Займемся оценкой интеграла J2, 1 n un du 1 t (1 2 ) J2 dt =.

(1 + 2 u) 1 2 t n+ 2 С другой стороны, сделав замену t2 = u, найдем:

1 n n u 2 u du 2 J2 = du.

1 2 u 1 2 u 2u 2 2 2 Произведя еще одну замену v = (u 2 )/(1 2 u), получим:

2 1 4 v n dv 1 2 J2.

(1 + 2 v) 2 n+ Следовательно, 1 2 1 2 J2.

4(n + 1) n+ Из последнего соотношения и (18) на основании (17) будем иметь:

1 1 (n+1 + 1 2 ) 2n () 2n+1 + n N, 2 [0;

1).

, 2 2(n + 1) n+ Соотношение (15) вытекает из того, что ln n inf (u2n+1 + 1 u2 ) n u[0;

1) и 1 u2 ln n inf (u2n+1 + ), n +.

n n+ u[0;

1) Очевидно, оценки (14) указывают вид зависимости остатка ряда Фурье функции | sin x| от вы бора полюсов.

Оценку (15) можно обобщить на случай произвольного числа геометрически различных полюсов.

О рациональной интерполяции функции |x| Список литературы 1. Дзядык, В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами / В.К. Дзядык. – Москва: Наука, 1977. – 511 с.

2. Русак, В.Н. Рациональные функции как аппарат приближения / В.Н. Русак. – Минск: Изд-во БГУ им. В.И. Ленина, 1979. – 176 с.

3. Русак, В.Н. Точные порядки наилучших рациональных приближений на классах функций, представи мых в виде свертки / В.Н. Русак // Докл. АН СССР. – 1984. – Т. 279. – № 4. – С. 810–812.

4. Вячеславов, Н.С. О равномерном приближении функции |x| рациональными функциями / Н.С. Вяче славов // Докл. АН СССР. – 1975. – Т. 220. – № 3. – С. 512–515.

5. Джрбашян, М.М. К теории рядов Фурье по рациональным функциям / М.М. Джрбашян // Изв. АН АрмССР. Сер. физ-мат. – 1956. – Т. 9. – № 7. – С. 1–27.

6. Ganelius, T.H. Rational approximation in the complex plane and on the line / T.H. Ganelius // Ann. Acad.

Sci. Fenn. Ser. A I. – 1976. – Vol. 2. – P. 129–145.

7. Andersson, J.-E. Optimal quadrature of H functions / J.-E. Andersson // Math. Z. – 1980. – Vol. 172. – P. 55–62.

О рациональной интерполяции функции |x| * The estimates of approximation of function |x| at the segment [1, 1] by interpolating rational functions at the Chebyshev–Markov nodes have been obtained. The case of a xed number of geometrically dierent poles has been studied in detail. With some limitations on the poles the estimates obtained are accurate in order.

Для получения оценки скорости убывания наименьших равномерных уклонений En (|x|, [1, 1]) функции |x| от алгебраических полиномов степени не выше n:

En (|x|, [1, 1]) C/n, C = 0, 28..., n, в [1] использованы интерполяционные многочлены по узлам Чебышева. Известно, что аналогом многочленов Чебышева в теории рациональной аппроксимации являются рациональные дроби Чебышева–Маркова. Но в работах [2–5], посвященных рациональной аппроксимации |x|, эти дро би не использовались, в них разработаны совершенно другие методы для изучения рациональных приближений функции.

В настоящей работе исследуется интерполяционный рациональный процесс для функции |x| на отрезке [1, 1] по узлам Чебышева–Маркова. Устанавливается определенная взаимосвязь между классическими методами полиномиальных приближений и современными методами рациональной аппроксимации функции |x|.

Пусть m2n (x) рациональная дробь Чебышева–Маркова с полюсами в точках a1, a1,..., a1, (1) 1 2 2n которые удовлетворяют условиям:

1) числа a1, a2,..., a2n либо вещественные и |ak | 1, либо попарно комплексно-сопряженные, a1 = a2 = 0;

2) точки a1, a2,..., a2n симметричны относительно мнимой оси.

Обозначим через xk, k = 1, 2n, нули функции m2n (x) (см. [6, с. 49]):

(2) 1 x2n x2n1... xn+1 0 xn... x1 1.

* Ровба, Е.А. О рациональной интерполяции функции |x| / Е.А. Ровба // Вести АН БССР. Сер. физ.-мат. наук. – 1989. – № 5. – С. 39–46.

48 Е.А. Ровба Взяв в качестве узлов интерполирования точки xk, k = 1, 2n, и точку 0, построим для функции |x| на отрезке [1, 1] интерполяционную рациональную функцию порядка 2n:

2n n 2n xm2n (x) xm2n (x) xm2n (x) (3) L2n (x) = |xk | =.

(x xk )(xm2n (x))x=xk (x xk )m2n (xk ) (x xk )m2n (xk ) k=1 k=1 k=n+ Введем следующие обозначения. Пусть A2n есть множество точек a = (a1, a2,..., a2n ), где числа ak, k = 1, 2n, удовлетворяют приведенным в (1) условиям. Тогда полагаем (4) 2n (x, a) = |x| L2n (x, a), 2n (a) = 2n (x, a) C[1,1], 2n = inf 2n (a).

aA2n Если же q произвольное число, 0 q n, и A2n,2q есть множество точек из A2n, удовлетво ряющих условию, что среди чисел a1, a3,..., a2n1 находится не более q различных, отличных от n нуля, и кратность каждой точки не меньше, a2k = a2k1, k = 1, n, то q+ 2n,2q = inf 2n (a). (4 ) aA2n,2q Справедливы следующие леммы.

Лемма 1. При названных выше предположениях относительно полюсов функции m2n (x) справед ливо соотношение (5) 2n (x, a) = Hn (x, a)m2n (x), x [1, 1], где функция Hn (x, a) определяется формулой + 2x2 dt (6) Hn (x, a) =.

(x2 t2 )m + 2n (it) Лемма 2. Для функции Hn (x, a) справедлива оценка: x [1, 1] 1 (a) 4x2 n (u) 1 du · (7) |Hn (x, a)| ·, 2 + (1 x2 )u2 (a) x 1 u 1 + (n (u)) где 2n 1/ 2 + 4uk (u k ) + (u k ) (a) k (8) n (u) =, 2 + 4uk (u + k ) + (u + k ) k k= ak + k = |zk |2 1, zk =, k = Im zk 0, k = 1, 2n.

ak Если чисто мнимые полюсы функции m2n (x) имеют четную кратность, то в (7) имеет ме сто знак равенства.

Доказательство леммы 1. Легко видеть, что справедливо тождество 2n m2n (x) 1=.

(x xk )m2n (xk ) k= Тогда отсюда и из соотношения (3) вытекает, что при x [0, 1] 2n xm2n (x) x L2n (x) = 2 = Hn (x, a)m2n (x), (x xk )m2n (xk ) k=n+ О рациональной интерполяции функции |x| где 2n Hn (x, a) = 2x.

(x xk )m2n (xk ) k=n+ Осталось произвести некоторые преобразования функции Hn (x, a). Учитывая, что при выбран ных ak, функция m1 (x) имеет на бесконечности нуль не ниже второго порядка, по теореме Коши 2n о вычетах будем иметь x dt Hn (x, a) =, i (x t)m2n (t) где = {t : t = iv, v +} с таким направлением обхода, что полуплоскость Re z остается слева (полагаем, что m1 (a1 ) = 0, k = 1, 2n). Следовательно, 2n k + + + x dt x dt dt =. (9) Hn (x, a) = + (x it)m2n (it) (x it)m2n (it) (x + it)m2n (it) 0 На основании равенства (3) из [6, с. 48] нетрудно получить, что (+) (x) + () (x), (10) m2n (x) = n n где x + ak ± i 1 a2 1 x 2n k (±) (x) =.

n 1 + ak x k= Учитывая выбор полюсов и соотношение (10), можно непосредственно проверить, что m2n (z) = m2n (z), z C. Тогда из (9) вытекает формула (6), что и завершает доказательство леммы 1.

Заметим, что формула, аналогичная (5), имеет место и в более общем случае, когда не предпо лагается симметричность полюсов относительно мнимой оси.

(+) () Доказательство леммы 2. Легко проверить, что n (it) · n (it) = 1, t R (см. (10)). Поэтому из формул (6) и (10) будем иметь, что + 4x2 n (it) dt (11) Hn (x, a) = ·, 2 (it) x2 + t 1 + n (+) где n (it) = n (it).

Как известно из [6, с. 48], косинус-дробь Чебышева–Маркова m2n (x) связана с косинус-дробью Бернштейна M2n (y) следующим соотношением:

1x (12) m2n (x) = M2n, 1+x 2n 1 y zk n (y) + 1 (y), M2n (y) = n (y) =, (12 ) n 2 y zk k= y 2 + (1 + ak )/(1 ak ) zk, k = 1, 2n, корни уравнений = 0, удовлетворяющие условию Im zk 0. Точ ки z1, z2,..., z2n будут попарно симметричными относительно мнимой оси. Если проследить вывод формулы (12), то заметим, что (13) n (x) = n (1 x)/(1 + x), x [1, 1].

50 Е.А. Ровба Здесь выбираем ту ветвь аналитической в плоскости с разрезом по отрезку [1, 1] функции (1 z)/(1 + z), которая на верхнем крае разреза принимает отрицательные значения.

Теперь в интеграле (11) сделаем замену: (1 it)/(1 + it) = i. Отсюда находим, что 1 + 2 4d, dt = и что образом промежутка (0, +) является часть окружности t= i(1 2 ) i(1 2 ) = { : = ei, 0 /2} с направлением обхода по часовой стрелке. Последнее вытекает из того, что при t (0, +) i arctg t = i (1 it)/(1 + it) = e 2.

Тогда, учитывая (13), из равенства (11) имеем 16x2 n (i)d Hn (x, a) =, x [1, 1].

2 )2 x2 (1 + 2 )2 )(1 + 2 (i)) i ((1 n В полученном интеграле произведем еще одну замену: = u + i 1 u2, где 1 u2 0, u (1, 1).

u + i 1 u2 du, u = ( + 1 ), образом кривой является интервал (0, 1). Будем Очевидно, d = i 1u иметь, что при x [1, 1] 4x2 n (iu 1 u2 ) du (14) Hn (x, a) =.

(x2 + (1 x2 )u2 )(1 + 2 (iu 1 u2 )) 1 u n Займемся теперь изучением функции n (см. (12 )).

Пусть при некотором k число ak является комплексным и Re ak = 0. Тогда в соответствии с условиями (1) среди чисел aj, j = 1, 2n, имеются также числа ak, ak, ak. Нетрудно проверить, что этим четырем числам соответствуют следующие числа: zk (zk = (ak + 1)/(ak 1), см. (8)):

zk = + i = b1, + i = b2, b1, b1 ( 0). Теперь рассмотрим произведение четырех 1 соответствующих множителей из n :

i b1 i b2 i + b1 i + b (k) = 1 · · ·.

1 i b1 i b2 i + b1 i + b Легко видеть, что i + b1 b1 i + b1 b1 i + b2 b1 i b = · = · =.

b1 i + b1 b1 i + b2 b b1 i b i + Отсюда вытекает 2 + 4uk (u ) + 4(u ) ( )2 + i b1 i b2 b1 b (k) = k (15) · = =2, ( + )2 + 2 k + 4uk (u + ) + 4(u + ) b1 b i b1 i b k = |zk | 1.

Следовательно, множитель |(i zk )/(i zk )| в произведении n можно заменить выражением 1/ 2 + 4uk (u ) + 4(u ) k (16).

2 + 4uk (u + ) + 4(u + ) k Аналогичное утверждение справедливо и в случае, когда число ak является действительным или чисто мнимым. Тем самым неравенство (7) доказано.

О рациональной интерполяции функции |x| Уточним лишь, что если ak чисто мнимое число, то среди aj, j = 1, 2n, найдется также число (1) (2) ak. Числам ak и ak соответствуют следующие два числа: zk = + i и zk = + i. В этом (j) (j) (j) случае, очевидно, |zk | = 1 и k = |zk |2 1 = 0, j = 1, 2.

Поэтому (1) (2) i zk i zk u (17) =, u+ (1) (2) i zk i zk и отсюда и из (15) вытекает, что в случае, когда мнимые полюсы имеют четную кратность, функция n (iu 1 u2 ) не изменяет знак на отрезке [0, 1].

Замечание. Нетрудно показать, что при каждом фиксированном u [0, 1] функция ((2 + 4u(u ) + (u )2 )/(2 + 4u(u + ) + (u + )2 )) по переменной R принимает наи меньшее значение в точке = 0. Отсюда вытекает, что функция Hn (x, a) принимает наименьшее значение на множестве точек a1, a2,..., a2n, у которых Re ak = 0, k = 1, 2n.

Теорема 1. Если числа a1, a2,..., a2n, такие что (18) Re ak = 0, a2k1 = a2k, k = 1, n;

a1 = 0, то 4 |n (u)| du (19) 2n (a), 1 + n (u) 1 u где n u k a2k1 + 1 |a2k1 | n (u) =, k = Im =, k = 1, n.

u + k a2k1 1 1 + |a2k1 | k= Причем оценка (19) точная в том смысле, что если все полюсы имеют четную кратность, то в (19) имеет место знак равенства.

Теорема 1 вытекает из лемм 1 и 2 и того, что max |m2n (x)| = |m2n (1)| = 1 и функция x[1,1] x2 /(x2 + (1 x2 )u2 ) также принимает наибольшее по переменной x [1, 1] значение в точке x = 1.

Так как функция n (u) хорошо изучена (см., например, [2, 4, 5]), то на основании оценки (19) можно получить оценки для величин n. В настоящей работе подробно остановимся на изучении приближений с заданным числом геометрически различных полюсов.

Теорема 2. При любых целых n и q, 0 1, справедливо неравенство q n, n 2q 4(q + 1) t n 4t (20) 2n,2q 2 inf e + 1+.

n q+ 1t+ Доказательство. Для получения оценки сверху полагаем, что m = [n/(q + 1)], k = 2k, (0, 1), k = 0, q. Из неравенства (19) найдем, что (21) 2n,2q 2n, где 1 q m 2 u k du n =.

u + k 1 u 0 k= 52 Е.А. Ровба Оценим этот интеграл:

q 1 q m m q u 2 du 2 u k du n + q + u u + k 2 1 u 1u q k= q q m1 m 2 q u u k. (22) du + max q + u u + k q u k= Чтобы оценить первое слагаемое, сделаем замену (q u)/(q + u) = t. Отсюда найдем u = q (1 t)/(1 + t), du = 2q tdt/(1 + t)2. Следовательно, q m q u 2tq 2q tm1 (23) du = dt.

q + u (1 + t) m+ 0 Теперь займемся оценкой второго слагаемого. Пусть, например, u ( 2j, 2j1 ), 1 j q (считаем, что q 0). Тогда q j1 q q 2k 2j 2j1 2k 1 2k+ u k 2k + 2j 2j1 + 2k 1 + 2k+ u + k k=0 k=0 k=j k= q 1 2q+ 2k+ exp = exp.

1 k= Нетрудно проверить, что эта оценка справедлива и при u ( 2j+1, 2j ), 0 q 1. Отсюда и из j (23) на основании (22) будем иметь 4 2q (1 2q+2 )m n + exp.

1 (m + 1) Считая, что 2q+2 21, найдем 4(q + 1) 2q n n + exp.

4(q + 1)( 1 1) n Наконец, можно положить (q+1)( 1 1) = t и перейти к точной нижней грани по t, t (1, +), т.е. получим 2q n 4(q + 1) t n inf exp + 1+.

4t n q+ 1t+ Тогда из неравенства (21) следует оценка (20).

Теорема 3. Если q фиксированное число, то справедливо соотношение:

ln2q n (24) 2n,2q, n2q+ где n = 2m(q + 1), m.

Доказательство. Полагая в (20) t = n/8(q + 1) ln n, найдем оценку сверху1 :

C1 (q) n2q1 ln2q n, (25) 2n,2q n 1.

Везде в дальнейшем через C1 (q), C2 (q),... будем обозначать положительные постоянные, зависящие лишь от q.

О рациональной интерполяции функции |x| Теперь найдем нижнюю оценку 2n,2q. На основании замечания к лемме 2 и равенства (17) заклю чаем, что 1 q 2m 2 u k (26) 2n,2q = inf 2n (a) inf du.

{k } u + k aA2n,2q,Re ak = 0 k= Не ограничивая общности, считаем, что 0 q q1... 1 0 1.

Обозначим m = m m+1. Тогда можно получить q q1 k 1 q 2m 2m(q+1) 2m(q+1) u k q u k u I= du du + du.

u + k q + u k + u 0 k=0 k= 0 k В каждом из интегралов, стоящих справа, произведем замену k u 1t 2k tdt t=, u = k, du =.

(1 + t) k + u 1+t Получим 1 q1 tk tq tk t2m(q+1) t2m(q+1) I 2 dt dt + (1 + t)2 (1 + t) k=0 tk 1 q1 q 1 n+1 n+ k tn+2, (27) q dt = t dt + k t q + k 2 2(n + 2) k=0 k= 0 где k k 2k tk = =1 1+, k = k+1 /k, k = 0, q 1.

k + k k Отсюда и из оценки (26) вытекает, что точная нижняя грань в соотношении 2n,2q = inf 2n (a) достигается при некоторых 1, 2,..., q, удовлетворяющих условиям:

aA2n,2q k tn+ ln2q n ln2q n q k C2 (q) ;

C2 (q), k = 0, q 1, n n0.

n2q+1 n2q+ n+1 n+ Следовательно, при k = 0 имеем:

n+ ln2q n 2 1 C3 (q).

n2q 1 + C4 (q) ln2 n · n2. Далее при k = 1 получим, что Отсюда вытекает, что n+ ln2q n C5 (q)n4 ln4 n.

1 1 C3 (q), n2q 1 + Продолжая рассуждения, найдем, что C6 (q) ln2q n · n2q, q n 1, и, следовательно, на основании (26) и (27) C6 (q) ln2q n · n2q1, 2n,2q n 1, что вместе с (25) доказывает теорему 3.

54 Е.А. Ровба Заметим, что К.Н. Лунгу (см., например, [7]) принадлежит следующая оценка наилучших рав номерных приближений n,2q (|x|) функции |x| на отрезке [1, 1] рациональными функциями, име ющими не более 2q геометрически различных полюсов в конечной комплексной плоскости:

2q+ ln n n,2q (|x|) C(q), n 1.

n Из оценки (24) следует более точное соотношение:

C(q) n2q1 ln2q n, n,2q (|x|) n 1.

Список литературы 1. Бернштейн, С.Н. Собрание сочинений: в 4 т. / С.Н. Бернштейн. – Москва, 1954. – Т. 1.

2. Newman, D. Rational approximation to |x| / D. Newman // Michigan Math. J. – 1964. – Vol. 11. – N. 1. – P. 11–14.

3. Гончар, А.А. Оценки роста рациональных функций и некоторые их приложения / А.А. Гончар // Матем.

сб. – 1967. – Т. 72. – № 3. – С. 489–503.

4. Буланов, А.П. Асимптотика для наименьших уклонений |x| от рациональных функций / А.П. Буланов // Матем. сб. – 1969. – Т. 76. – № 2. – С. 288–303.

5. Вячеславов, Н.С. О равномерном приближении функции |x| рациональными функциями / Н.С. Вяче славов // Докл. АН СССР. – 1975. – Т. 220. – № 3. – С. 512–515.

6. Русак, В.Н. Рациональные функции как аппарат приближения / В.Н. Русак. – Минск: Изд-во БГУ им. В.И. Ленина, 1979. – 176 с.

7. Лунгу, К.Н. О наилучших приближениях рациональными функциями с фиксированным числом полю сов / К.Н. Лунгу // Матем. сб. – 1971. – Т. 86. – № 2. – С. 314–324.

Интерполяционные рациональные функции типа Фейера–Бернштейна * произвольная последовательность комплексных чисел, 0 = 0;

n N |k | 1.

Пусть {k } Введем следующие обозначения:

n 1 |k | n (u) = +, k = arg k ;

1 2|k | cos(u k ) + |k | k= y n (x;

y) = n (u)du.

x 1 a Так как a [0;

1) du = 2, то функция n (0;

y) переменной y возрастает на 0 1 2a cos u + a отрезке [0;

2] от 0 до (2n + 1). Следовательно, функция sin n (0;

y) имеет на промежутке [0;

2) (2n + 1) нулей. Обозначим их через xk, k = 0, 2n:

xk n (u)du = k, k = 0, 2n.

* Ровба, Е.А. Интерполяционные рациональные функции типа Фейера–Бернштейна / Е.А. Ровба // Вестник БГУ.

Сер. 1. – 1991. – № 2. – С. 75–77.

Интерполяционные рациональные функции типа Фейера–Бернштейна Для произвольной функции f C2 полагаем:

2n f (xk ) (1) Gn (x;

f ) = Dn (x;

xk ), 2n (xk ) k= x xk где Dn (x;

xk ) = sin n (xk ;

x). sin Нетрудно проверить, что Gn (x;

f ) есть тригонометрическая интерполяционная рациональная функция порядка не выше n. Действительно, lim Dn (x;

xk ) = 2n (xk ), Gn (xk ;

f ) = f (xk ), k = 0, 2n.

xxk Из известного тождества М.М. Джрбашяна [1] n n 1 k 1 k z z k 1 k z = eix, = eiy, (2) Dn (x;

y) = · z ·, z 1 k z k 1 k z k k=1 k= вытекает, что Gn (x;

f ) есть тригонометрическая рациональная функция порядка не выше n, и, как следствие, отсюда имеем, что (3) Gn (x;

1) 1.

Очевидно, функция Gn (x;

1) в частном случае, когда 0 = 1 =... = n = 0, является тригоно метрическим интерполяционным полиномом с равноотстоящими узлами. Исходя из этого полинома С.Н. Бернштейн [2] построил суммы, аналогичные средним Фейера для тригонометрических ря дов Фурье. В настоящей заметке на основании функций (1) построены рациональные функции с подобными свойствами.

Пусть 2n 1 f (xk ) (4) Un (x;

f ) = D (x;

xk ).

n (xk ) n 4n (x) k= Учитывая, что 1 2|k | cos(x k ) + |k |2 = (eix k )(eix k ) и тождество (2), заключаем, что Un (x;

f ) есть тригонометрическая рациональная функция порядка не выше 2n.

Далее, легко проверить, что f (xj ) lim D 2 (x;

xj ) = f (xj ), Un (xj ;

f ) = j = 0, 2n.

42 (xj ) xxj n n Представляет интерес сравнить функцию (4) с рациональной функцией типа Фейера [3].

Покажем также, что рациональная функция Un (x;

f ) является точной для f (x) 1. Действи тельно, Un (xj ;

1) = 1 и Un (xj ;

1) = 0, j = 0, 2n. Проверим правильность последнего соотношения.

Очевидно, если j = k, то d Dn (x;

xj ) = 0.

dx n (x) x=xj Если же k = j, то после несложных вычислений также получим, что d Dn (x;

xk ) lim = 0.

dx n (x) xxk Таким образом, рациональная функция Un (x;

1) 1 порядка не выше 2n имеет 4n + 2 нулей.

Следовательно, (5) Un (x;

1) 1.

Имеет место 56 Е.А. Ровба Теорема. Если последовательность {k } такая, что + (1 |k |2 ) = +, k= то для f C2 соответствующая последовательность рациональных функций {Un (x;

f )} равно мерно сходится на R к функции f.

Докажем вначале следующую лемму.

Лемма. Справедливо равенство 2n (2n (xk ))1 = 1. (6) k= Действительно, запишем тождество (1) в виде:

2n Dn (x;

xk ) 1.

2n (xk ) k= Интегрируя его по переменной x на отрезке [0;

2] и учитывая, что y R Dn (x;

y) = 2, придем к равенству (6).

Теперь приступим к доказательству теоремы. Пользуясь тождеством (5), легко получить, что 2n 1 f (x) f (xk ) (7) f (x) Un (x;

f ) = Dn (x;

xk ).

4n (x) n (xk ) k= Зададим 0. Тогда найдется, = () 0, такое, что x, x R |x x | |f (x ) f (x )|.

Пусть x [0;

2] и 1 = {k : |x xk |, |x xk ± 2| }, 2 = {k}2n \ 1. Тогда будем иметь 1 1 f C2 |f (x) Un (x;

f )| Dn (x;

xk ) + D (x;

xk ) n (xk ) n 4n (x) n (xk ) 2n (x) k1 k 2n f C 1 (xk ).

+ n 2n (x) sin2 /2 k= Осталось учесть равенство (6) и тот факт, что n x R n (x) (1 |k |).

k= Список литературы 1. Джрбашян, М.М. К теории рядов Фурье по рациональным функциям / М.М. Джрбашян // Изв. АН АрмССР. Сер. физ.-мат. наук. – 1956. – Т. 9. – № 7. – С. 3–28.

2. Бернштейн, С.Н. Собрание сочинений: в 4 т. / С.Н. Бернштейн. – Москва, 1952. – Т. 2.

3. Русак, В.Н. Рациональные функции как аппарат приближения / В.Н. Русак. – Минск: Изд-во БГУ им. В.И. Ленина, 1979. – 176 с.

Интерполяционные рациональные операторы типа Фейера и Валле-Пуссена Интерполяционные рациональные операторы типа Фейера и Валле-Пуссена * 1. Рациональные операторы, построенные В.Н. Русаком (см., например, [1]), нашли широкие применения как в теории рациональной аппроксимации с фиксированными полюсами, так и со свободными полюсами (см. [2, 3]). Эти операторы являются интегральными и своим происхождением восходят к рациональным рядам Фурье.

Представляет интерес найти аналоги таких операторов, исходя из интерполяционных раци ональных функций Лагранжа, введенных впервые в работах В.Н. Русака [4, 5]. Отметим, что в этих работах уже имеются некоторые рациональные операторы бернштейновского типа, обладаю щие свойством равномерной сходимости при определенных ограничениях на полюсы.

Основной результат настоящей заметки заключается в построении интерполяционных рацио нальных операторов типа Фейера и Валле-Пуссена на вещественной оси. В полиномиальном случае такие операторы введены в работах [6–8].

2. Операторы типа Фейера. Пусть {zk }+ последовательность комплексных чисел, z0 = i, k= zk = k + ik, k 0, k N. Обозначим через mn (x) следующую косинус–дробь Бернштейна:

x R, mn (x) = cos n (x), где n n (x) = arg(z0 x) + 2 arg(zk x).

k= Известно (см. [1, с. 14]), что функция mn (x) имеет на вещественной оси 2n+1 нулей. Обозначим их через xk, k = 0, 2n;

mn (xk ) = 0, n (xk ) = (2k + 1)/2, k = 0, 2n.

Пусть задана функция f C, т.е. непрерывная на R, и существуют конечные и равные между собой пределы lim f (x) и lim f (x). Введем следующую функцию:

x x+ 2n f (xk ) m2 (x) 1 n (1) U4n (x;

f ) =.

n (xk ) (x xk ) n (x) k= Очевидно, m2 (x) f (xj ) n U4n (xj ;

f ) = lim = f (xj ), j = 0, 2n.

(n (xj ))2 xxj (x xj ) Функция U4n (x;

f ) является рациональной и имеет порядок не выше 4n. Это утверждение вы текает из того, что (см. [1]) n 1 k n (x) = +2 2, 2+1 (k x)2 + k x k= n n 1 i + x zk x i+x zk x mn (x) = +.

2 i+x zk x i + x zk x k=1 k= Покажем, что функция U4n (x;

f ) является точной для f (x) 1, т.е. U4n (x;

1) 1. Действитель но, во-первых, (2) U4n (xj ;

1) = 1, j = 0, 2n.

Во-вторых, (3) U4n (xj ;

1) = 0, j = 0, 2n.

* Ровба, Е.А. Интерполяционные рациональные операторы типа Фейера и Валле-Пуссена / Е.А. Ровба // Матема тические заметки. – 1993. – Вып. 2. – Т. 53. – № 3. – С. 114–121.

58 Е.А. Ровба Последнее утверждение вытекает из того, что m2 (x) d 1 n lim = 0, j, k = 0, 2n.

n (x) (x xj ) dx xxj Если j = k, то это равенство является тривиальным. Если же j = k, то m2 (x) n (x) m2 (x) 2 cos2 n (x) d 1 sin 2n (x) n n lim = lim + + = n (x) (x xj )2 xxj (n (x))2 (x xj )2 (x xj )2 n (x)(x xj ) dx xxj sin n (x)n (x)(x xj ) + cos n (x) = n (xj ) + 2n (xj ) sin n (xj ) · lim = 0.

n (x)(x xj ) xxj Значит, рациональная функция U4n (x;

1) 1 порядка не выше 4n имеет 4n + 2 нулей с учетом их кратности. Следовательно, (4) U4n (x;

1) 1.

Итак, имеет место Лемма 1. Функция U4n (x;

f ), определяемая формулой (1), является рациональной функцией по рядка не выше 4n, точной для константы.

Заметим, что общий вид формулы (1), а также соотношения (2) и (3) свидетельствуют, что оператор U4n является оператором фейеровского типа.

+ k расходится1, то для любой функции f C последователь Теорема 1. Если ряд + 2 + k=0 k k ность рациональных функций {U4n (x;

f )} равномерно сходится на R к f.

Доказательству этой теоремы предпошлем следующую лемму.

Лемма 2. Справедливо равенство 2n (1 + x2 )1 (n (xk ))1 = 1. (5) k k= Доказательство леммы 2. Рассмотрим следующую интерполяционную рациональную функцию (см. [4]):

2n mn (x) 1 + x f (xk ) L2n (x;

f ) =.

n (xk ) (1)k+1 (x x ) 1 + x k=0 k k Она является точной для единицы. Следовательно, 2n (1)k+1 mn (x).

1 + x 1 + x2 1 + x n (xk )(x xk ) k=0 k Интегрируя по переменной x, получим + 2n (1)k+1 mn (x)dx (6) =.

1 + x2 (x xk ) x n (xk ) 1+ k=0 k С помощью теории вычетов аналогично [1, с. 115] легко найти, что + (1)k+ mn (x)dx =, k = 0, 2n.

1 + x2 (x xk ) 1 + x k Подставляя это значение в (6), получим равенство (5).

Расходимость этого ряда является необходимым и достаточным условием полноты системы функций {(x zn )1, (x z n )1 }+ в C.

n= Интерполяционные рациональные операторы типа Фейера и Валле-Пуссена Доказательство теоремы 1. Введем функцию (t) = f (tg(t/2)). Если f C, то функция (t) является непрерывой и 2-периодичной на R. Зададим произвольное число, 0. Тогда найдется такое число, = () 0, что t, t R |t t | |(t ) (t )|.

Пусть x R, x = tg(t/2) и xk = tg(tk /2), k = 0, 2n. Обозначим через (1) (2) (1) t = {k : k = 0, 2n, |t tk |, |t tk ± 2| }, t = {0, 1,..., 2n} \ t.

Пользуясь тождеством (4), легко получить, что 2n (t) (tk ) m2 (x) 1 n |f (x) U4n (x;

f )| = n (xk ) (x xk ) n (x) k= m2 (x) m2 (x) 2f n n +.

2 n (xk )(x xk ) n (x) n (xk )(x xk ) n (x) (1) (2) kt kt (2) Если k t, то t tk t tk (x xk )2 = (1 + x2 )(1 + x2 ).

sin cos cos k 2 2 Учитывая последнее неравенство и тождество (4), будем иметь 2 2 f |f (x) U4n (x;

f )| +.

x2 )n (xk ) (1 + x2 )n (x)2 (1 + k (2) kt Осталось воспользоваться леммой 2 и тем, что n x R (1 + x2 )n (x) k + 2 + 1.

1+2 k k k k= 3. Операторы типа Валле-Пуссена. Пусть {zk }+ последовательность комплексных чи k= сел, zk = k + ik, k 0, k N. Введем следующие обозначения n n N n (x) = arg(zk x), 2n (x) = 2n (x);

k= синус-дроби Бернштейна. Полагаем также, что Nm (x) = sin m (x), m = n, 2n, Km (x;

y) = sin2 (m (x) m (y)) (x y)2, m = n, 2n, и Fn (x;

y) = (K2n (x;

y) Kn (x;

y))/n (y).

Нетрудно проверить, что sin(n (x) n (y)) sin 3(n (x) n (y)) (7) Fn (x;

y) =.

n (y)(x y) Обозначим через yk, k = 1, 3n, нули фукции sin 3n (x), включая бесконечно удаленную точку, y3n =.

60 Е.А. Ровба Пусть f C, lim f (x) = lim f (x) = f (). Полагаем x+ x 3n (8) V4n2 (x;

f ) = f (yk )Fn (x;

yk ), 3n (x) k= где n Fn (x;

y3n ) = lim Fn (x;

y) = sin n (x) sin 3n (x) k.

y k= Очевидно, sin(n (x) n (y)) sin 3(n (x) n (y)) V4n2 (yj ;

f ) = lim f (yj ) = f (yj ), j = 1, 3n 1, 3n (x)n (yj )(x yj ) xyj n V4n2 (y3n ;

f ) = lim f (y3n )Fn (x;

y3n ) = f (y3n ) k lim x sin n (x) lim x sin 3n (x) = f (y3n ).

x x x k= Выпишем еще одно представление для функции V4n2 (x;

f ):

V4n2 (x;

f ) = (n (x))1 (s2n sn ), (9) где 3n f (yk )(3n (yk ))1 Km (x;

yk ), sm = m = n, 2n.

k= Лемма 3. Справедливы следующие утверждения:

1) V4n2 (x;

f ) является рациональной функцией порядка не выше 4n 2;

2) функция V4n2 (x;

f ) является точной для всякой рациональной функции вида n (10) r2n (z) = p2n (x) (x zk )(x z k ), k= где p2n (x) произвольный алгебраический многочлен степени не выше 2n, т.е.

V4n2 (x;

r2n ) r2n (x);

3) f C имеет место неравенство V4n2 (x;

f ) 3f.

Первое утверждение проверяется аналогично, как при выводе леммы 1.

Для доказательства второго утверждения потребуются рациональные операторы типа Валле Пуссена, построенные В.Н. Русаком [1]:

+ (11) V4n2 (x;

f ) = f (t)(K2n (t;

x) Kn (t;

x))dt.

n (x) Оказывается, что для всякой функции f (x) = r2n (x) вида (10) имеет место тождество (12) V4n2 (x;

f ) V4n2 (x;

f ).

Это тождество достаточно проверить для функций 1, (x zj )1, (x z j )1, j = 1, n. Не огра ничивая общности, будем полагать, что среди чисел z1, z2,..., zn нет равных;

в противном случае Интерполяционные рациональные операторы типа Фейера и Валле-Пуссена можно было бы вместо них рассмотреть последовательность z1, z2,..., zn различных чисел и вос пользоваться предельным переходом zk zk, k = 1, n.

Пусть f (x) = (x zj )1, 1 n. Покажем, что в этом случае функцию V4n2 (x;

f ) можно j представить в виде следующего интеграла:

1 (13) V4n2 (x, f ) = (K2n (t;

x) Kn (t;

x))ctg3n (t)dt, 2in (x) t zj где произвольный замкнутый кусочно-гладкий контур, содержащий внутри себя точки zk и z k, k = 1, n и не содержащий точек yk, k = 1, 3n.

Пусть (t zj )1 Km (t;

x)ctg3n (t)dt, m = n, 2n. (14) Im (f ) = 2i Пользуясь представлениями (1) и (2) из [1, с. 114], найдем:

In (f ) = (2i)1 Rn (t)dt, где a3 (t) + b3 (t) i an (t)bn (x) bn (t)an (x) n n Rn (t) = 2+ ·, 4(t zj )(t x)2 a3 (t) b3 (t) bn (t)an (x) an (t)bn (x) n n n n an (t) = (zk t), bn (t) = (z k t).

k=1 k= Функция Rn (t) имеет простые полюсы в точках yk, k = 1, 3n 1, z k, k = 1, n и zk, k = 1, n, k = j. В точке zj функция Rn (t) будет иметь полюс второго порядка.

Следовательно, интеграл In (f ) может быть представлен в виде 3n In (f ) = res Rn (t).

t=ym m= Если m = 1, 3n 1, то Kn (x;

ym ) cos 3n (t) Kn (x;

ym ) res Rn (t) = lim =.

ym zj tym (sin 3n (t)) 3(ym zj )n (ym ) t=ym Если же m = 3n, то rest=ym Rn (t) = 0, так как бесконечно удаленная точка является нулем порядка не ниже второго функции Rn (t).

Таким образом, In (f ) = sn (см. (9) и (14)). Аналогично можно показать, что I2n (f ) = s2n, f (x) = (x zj )1, 1 j n. Значит, представлние (13) имеет место.

Теперь, пользуясь соотношениями (11) и (13), покажем справедливость тождества (12) для функции f (x) = (x zj )1, 1 n. С этой целью интегралы (11) и (13) выразим через суммы j вычетов относительно точек zk и z k, k = 1, n. Пусть V4n2 (x;

f ) = (n (x))1 (J2n (f ) Jn (f )), где + (t zj )1 Km (x;

t)dt, Jm (f ) = m = n, 2n.

62 Е.А. Ровба Тогда будем иметь:

n rest=zm (t zj )1 Kn (x;

t);

1) Jn (f ) = 2i m= n Kn (x;

t) z m zm z k t an (x) res = = cm (x), m = j;

4(zm zj )(zm x) t zj zk t bn (x) t=zm k=1,k=m n Kn (x;

t) 1 1 d zj t z k t an (x) res = + lim = cj (x);

2(zj x)2 4 tzj dt (t x) t=zj t zj zk t bn (x) k=1,k=m n rest=z m (t z j )1 Kn (x;

t);

2) Jn (f ) = 2i m= n Kn (x;

t) zm z m zk z m bn (x) res = = dm (x), m = 1, n.

4(z m zj )(z m x) t=z m t zj z k z m an (x) k=1,k=m Следовательно, n Jn (f ) = i (cm (x) dm (x)).

m= Пользуясь тем, что a3 (t) + b3 (t) d a3 (t) + b3 (t) n n n n = 1;

= 0, m = 1, n, a3 (t) b3 (t) dt a3 (t) b3 (t) n n n n t=zm,z m t=zm,z m легко получить точно такое выражение для интеграла In (f ), f (x) = (x zj )1, 1 j n (см. (14) и (13)). Значит, In (f ) = Jn (f ).

Аналогично доказывается, что I2n (f ) = J2n (f ), и тем самым будет доказано тождество (12) для f (x) = (x zj )1, 1 j n.

Подобным же образом проверяется тождество (12) для функций 1 и (x z j )1, 1 n. В j частности, (15) Im (1) = Jm (1), m = n, 2n.

Осталось доказать третье утверждение леммы. Из равенств (9) и (13), (14) следует:

3n f 1 f |V4n2 (x;

f )| (K2n (x;

yk ) + Kn (x;

yk )) = (I2n (1) + In (1)).

3n (x) n (yk ) n (x) k= Тогда, учитывая соотношения (15), а также неравенства (см. [1]) xR J2n (1) 2n (x), Jn (1) n (x), придем к требуемому соотношению. Лемма 3 доказана.

Обозначим через En (f ) = En (f, z1, z2,..., zn ) наилучшее равномерное приближение функции f C рациональными функциями вида (10) на R, т.е.

En (f ) = inf f r2n.

{r2n } Пусть r2n рациональная функция наилучшего приближения для функции f. Тогда на осно вании леммы 3 будем иметь f V4n2 (x;

f ) f r2n + V4n2 (x;

f r2n ) 4En (f ).

Итак, имеет место Приближение функций, дифференцируемых в смысле Римана–Лиувилля Теорема 2. Если функция f C, то справедливо неравенство f (x) V4n2 (x;

f ) 4En (f ).

В заключении выражаю признательность В.Н. Русаку за полезное обсуждение рассмотренной выше задачи.

Список литературы 1. Русак, В.Н. Рациональные функции как аппарат приближения / В.Н. Русак. – Минск: Изд-во БГУ им. В.И. Ленина, 1979. – 176 с.

2. Русак, В.Н. Точные порядки наилучших рациональных приближений на классах функций, представи мых в виде свертки / В.Н. Русак // Докл. АН СССР. – 1984. – Т. 279. – № 4. – С. 810–812.

3. Пекарский, А.А. Чебышевские рациональные приближения в круге, на окружности и на отрезке / А.А. Пекарский // Матем. сб. – 1987. – Т. 133. – № 1. – С. 86–102.

4. Русак, В.Н. Оценка приближений функций, заданных на всей вещественной оси рациональными функ циями / В.Н. Русак // Изв. АН БССР. Сер. физ.-техн. наук. – 1962. – № 4. – С. 23–29.

5. Русак, В.Н. Об интерполировании рациональными функциями с фиксированными полюсами / В.Н. Ру сак // Докл. АН БССР. – 1962. – Т. 6. – № 9. – С. 548–550.

6. Fejer, L. Uber Interpolation / L. Fejer // Gott. Nach. – 1916. – P. 66–91.

7. Бернштейн, С.Н. Собрание сочинений: в 4 т. / С.Н. Бернштейн. – Москва, 1954. – Т. 2.


8. Szabados, J. On an interpolatory analogon of the dela Valle-Poussin means / J. Szabados // Studia Sci. Math.

Hung. – 1974. – Vol. 9. – N. 1–2. – P. 187–190.

Приближение функций, дифференцируемых в смысле Римана–Лиувилля, рациональными операторами * Fourier S2n (x, f ) and Valee–Poussin V8n2 (x, f ) rational operators are built for the functions given at the segment [a, b]. The above approximations estimations are found by these function operators possessing the arbitrary derivative of order r, r 0, according to Riemann–Louiville.

Классы дифференцируемых функций в теории аппроксимации являются объектом пристально го внимания со стороны многих исследователей. Особенно широкий круг литературных источников посвящен полиномиальной аппроксимации периодических функций, дифференцируемых в смысле Вейля, см., например [1–3]. Рациональная аппроксимация классов периодических функций, пред ставимых в виде свертки с ядром Вейля, изучалась в работах В.Н. Русака [4, 5]. Найдены точные порядки наилучших равномерных рациональных приближений на рассматриваемых классах функ ций и построены рациональные операторы, которые эти оценки реализуют. Порядок рациональной аппроксимации оказался в этом случае выше, чем полиномиальной. Актуальность этой задачи объ ясняется известными работами А.А. Гончара [6] и Е.П. Долженко [7].

В данной работе рассматриваются вопросы рациональной аппроксимации непериодических функций, дифференцируемых в смысле Римана–Лиувилля.

r Через W[a;

b] V обозначим класс функций, определенных интегралом Стилтьеса x (x t)r dh(t), f (x) = x [a, b], r 0, (r + 1) a функция ограниченной вариации на отрезке [a;

b], [Varh(t)]b где h(t) гамма-функция 1, (r+1) a Эйлера.

* Ровба, Е.А. Приближение функций, дифференцируемых в смысле Римана–Лиувилля, рациональными операто рами / Е.А. Ровба // Доклады АН Беларуси. – 1996. – Т. 40. – № 6. – С. 18–22.

64 Е.А. Ровба r Рациональная аппроксимация классов функций W[a;

b] V при целых r изучалась, например, в работах В.А. Попова [8], А.А. Пекарского [9]. Подробный обзор библиографии по этим вопросам содержится в [10].

При дробных r точные порядки наилучших рациональных приближений классов функций, име ющих производную порядка r в смысле Римана–Лиувилля, найдены в работе А.П. Старовойтова [11].

Для получения соответствующих результатов в непериодическом случае использовались метод скле ивания (см. например, [10]) и метод последовательных усреднений [9].

Наиболее естественным аппаратом приближения являются операторы Фурье и построенные на их основе операторы Валле-Пуссена, Джексона и др.

В настоящей работе построены рациональные операторы типа Фурье S2n (x, f ) и Валле-Пуссена V8n2 (x, f ) для непериодических функций, заданных на конечном отрезке [a;

b], и для функций r f W[a;

b] V, r 0, получены оценки их приближений при специальном выборе полюсов у аппрокси мирующих рациональных функций.

Пусть функция f определена и интегрируема на отрезке [a;

b], zk, k = 1, n произвольные комплексные числа с положительной мнимой частью.

Рациональной функцией Фурье назовем функцию b (1) S2n (x, f ) = f (t)Dn (t, x)dt, a где 1 x+i xi Dn (t, x) = n (t)n (x) n (x)n (t), 2i(t x) t+i ti n n (u) = (u zk )/(u zk ).

k= Обозначим n 2n (x) = n arg(i x) + arg(zk x).

k= Рациональную функцию Валле-Пуссена определим следующим образом:

b (2) V8n2 (x, f ) = f (t)Gn (t, x)dt, 2n (x) a где Gn (t, x) = sin2 2(2n (t) 2n (x)) sin2 (2n (t) 2n (x)) (t x)2.

Основные общие свойства операторов S2n и V8n2 описываются леммами 1–3.

Лемма 1. Функция S2n (x, f ) является рациональной порядка не выше 2n с полюсами в точках zk и zk, k = 1, n, и имеет место равенство + x R.

Dn (t, x)dt = 1, Лемма 2. Имеет место неравенство b 1 + x2 ln(1 + ( (x)) ), |Dn (t, x)|dt C1 n a Приближение функций, дифференцируемых в смысле Римана–Лиувилля где C1 положительная постоянная, не зависящая от n и x (везде в дальнейшем через Ck, k = 1, 2,..., будем обозначать положительные постоянные, не зависящие от n, n N, и x, x R), n (x) x [a;

b], = arg(i x) + 2 arg(zk x).

n k= Лемма 3. Функция V8n2 (x, f ) является рациональной порядка не выше 8n 2 и справедливы соотношения + x R;

Gn (t, x)dt = 1, 2n (x) + V8n2 = sup |Gn (t, x)|dt 3.

2n (x) xR Леммы 4–6 служат основанием для выбора полюсов у аппроксимирующих функций. Параметры zk, k = 1, n, здесь можно выписать в явном виде.

Лемма 4. Существуют числа zk, k = 1, 2N, такие,что имеет место неравенство + dv 4e N u0 R, N |2N (u0 + iV )|, 5.

1 + v Лемма 5. Пусть функция g(z) аналитична в прямоугольнике P = {z : d1 Re z d2, 0 Im z 1}, непрерывна в его замыкании, за исключением, быть может, точек d1 и d2, и для всех z P \ {d1, d2 } выполняется неравенство M (|z d1 |r1 + |z d2 |r1 ), |g(z)| r (0;

1), M 0.

Тогда при подходящем выборе 3N чисел zk, k = 1, 3N, имеет место оценка d C2 M e Nr g(z)3N (z)dz.

d Лемма 6. Если функция g(x) аналитична в полукруге D +, D + = {z : |z| d, Im z 0}, d 0, непрерывна в его замыкании, за исключением, быть может, точек z = ±d, и выполнено неравен ство |g(z)| M |z d|r1 + |z + d|r1, z D+ \ {d, d}, r (0;

1), M 0, то при подходящем выборе чисел zk, k = 1, 2N, справедливо неравенство d 32M dr N r g(x)2N (x)dx e, d (0;

1).

r d Леммы 7–8 характеризуют свойства рациональных функций S2n (x, f ) и V8n2 (x, f ) со специ ально выбранными полюсами.

66 Е.А. Ровба Лемма 7. Пусть lnj n = ln ln... ln n, n N, и число q N такое, что lnq n (1;

e]. Пусть также j раз определены числа N0 = 0 ln2 n + 1, Nj = j ln0 n + 1, j = 1, q, j 0, j = 0, q, удовлетворяющие 2 j условию n 6N0 + 8(N1 m1 + N2 m2 +... + Nq mq ), где mj N, mj = O n/ ln3 n, n, j = 1, q.

j Если система параметров {zk }n является такой, что на двух лучах, перпендикулярных k= вещественной оси, выбрано по 2N0 точек zk в соответствии с леммой 4, на m1 лучах, перпенди кулярных вещественной оси, по 2N1 точек zk в соответстии с леммой 5 и для каждого j = 2, q на mj полуокружностях, лежащих в верхней полуплоскости и имеющих радиусы не меньше, чем np0, p0 0, по 2Nj точек zk в соответствии с леммой 6, то имеет место неравенство b |Dn (t, x)|dt C3 ln n, n 2, x [a;

b].

a Лемма 8. Пусть функция gn (t, x) определяется формулой gn (t, x) = 2n (t)2n (x) 1 (t x).

2n (x) где числа zk, k = 1, n, выбраны в соответствии с леммой 7, zk = i, k = n + 1, 2n. Тогда имеет место оценка C4 np0 +1, x [a;

b], t R, n n0.

|gn (t, x)| Основной результат работы содержится в следующих теоремах.

Теорема 1. Если функция f W[a;

b] V, r 0, то при подходящем выборе чисел {zk }n справедлива r k= оценка C5 ln n (3) |f (x) S2n (x, f )|, n 2, x [a1 ;

b1 ], a a1 b1 b, nr+ где S2n (x, f ) рациональная функция Фурье для функции f на отрезке [a;

b], см. (1).

Теорема 2. Если функция f W[a;

b] V, r 0, то при подходящем выборе чисел {zk }n справедлива r k= оценка C, x [a1 ;

b1 ], a a1 b1 b, n N, |f (x) V8n2 (x, f )| nr+ где V8n2 (x, f ) рациональная функция Валле-Пуссена, см. (2).

Доказательство теорем 1 и 2 основывается на развитии методов А.А. Гончара [12] и В.Н. Ру сака [5], в них существенно используются свойства произведения Бляшке для полуплоскости и воз можность аналитического продолжения ядра Римана–Лиувилля с отрезка на полуплоскость.

r Оценка (3) является точной на классе функций из W[a;

b] V, r 0. Существуют функции r f W[a;

b] V, на которых достигается эта оценка, см., например, [11]. Подчеркнем, что полиноми альная аппроксимация в этом случае на порядок ниже, чем рациональная.

Отметим также, что оценки приближений получены на отрезке [a1 ;

b1 ], содержащемся в отрезке [a;

b]. Однако это ограничение не существенно, так как в соответствии с результатами О.В. Бесова [13] такие функции можно продолжать с сохранением дифференциально разностных свойств.

Для r N подобные оценки получены Н.К. Агафоновой, о чем докладывалось на конференции в Белорусском госуниверситете (1995 г.), посвященной 25-летию факультета прикладной математики и информатики.

Квадратурные формулы интерполяционно-рационального типа Список литературы 1. Дзядык, В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами / В.К. Дзядык. – Москва: Наука, 1977. – 511 с.

2. Стечкин, С.Б. / С.Б. Стечкин // Изв. АН СССР. Сер. матем. – 1956. – № 20. – С. 643–648.

3. Теляковский, С.А. / С.А. Теляковский // Труды ММО. – 1961. – Т. 52. – С. 61–97.

4. Русак, В.Н. Точные порядки наилучших рациональных приближений на классах функций, представи мых в виде свертки / В.Н. Русак // Докл. АН СССР. – 1984. – Т. 279. – № 4. – С. 810–812.

5. Русак, В.Н. Точные порядковые оценки для наилучших рациональных приближений на классах функ ций, представимых в виде свертки / В.Н. Русак // Матем. сб. – 1985. – Т. 128. – № 4. – С. 492–515.

6. Гончар, А.А. О наилучших приближениях рациональными функциями / А.А. Гончар // Докл. АН СССР. – 1955. – Т. 100. – № 2. – С. 13–16.

7. Долженко, Е.П. Сравнение скоростей рациональной и полиномиальной аппроксимации / Е.П. Должен ко // Матем. заметки. – 1967. – Т. 1. – № 3. – С. 313–320.

8. Попов, В.А. / В.А. Попов // Докл. АН Болгарии. – 1976. – Т. 29. – № 6. – С. 1–4.

9. Пекарский, А.А. Метод последовательных усреднений в теории рациональной аппроксимации / А.А. Пе карский // Докл. АН БССР. – 1977. – Т. 21. – № 10. – С. 875–877.

10. Petrushev, P.P. Rational approximation of real functions / P.P. Petrushev, B.A. Popov. – Cambridge: Uni versity Press, 1987. – 371 p.

11. Старовойтов, А.П. Рациональная аппроксимация функций, представимых в виде интеграла дробного порядка в смысле Римана–Лиувилля / А.П. Старовойтов // Докл. АН БССР. – 1985. – Т. 29. – № 12. – С. 1079–1081.

12. Гончар, А.А. О скорости рациональной аппроксимации непрерывных функций с характерными ообен ностями / А.А. Гончар // Матем. сб. – 1967. – Т. 73. – № 4. – С. 630–638.


13. Бесов, О.В. / О.В. Бесов // Докл. АН СССР. – 1963. – Т. 150. – № 3. – С. 963–966.

Квадратурные формулы интерполяционно-рационального типа * Quadrature formulas of Gaussian type are introduced with the help of interpolating rational functions.

Remainder estimates have been obtained in the class of continuous functions.

В последние 15–20 лет предметом исследований многих авторов стали квадратурные формулы, рассматриваемые на классах аналитических функций (см., например, [1, 2]). Глубокие результаты в этом направлении получены с помощью свойств некоторых специальных рациональных функций, в частности произведений Бляшке.

В настоящей работе методами рациональной интерполяции исследуются квадратурные форму лы в классе непрерывных функций. Получены обобщения классической формулы Гаусса по узлам Чебышева первого и второго рода.

1. Пусть h(x) весовая функция на отрезке [1, 1], т.е. h(x) неотрицательна, интегрируема и h(x)dx 0.

Пусть числа aj, j = 1, n, удовлетворяют условию an = 0;

если при некотором j, j = 1, n 1, Im aj = 0, то среди рассматриваемых чисел найдется число, сопряженное с aj, если же aj R, то |aj | 1. Везде в дальнейшем будем предполагать, что это условие выполняется.

Введем следующие обозначения:

n Rn1 (a) = Pn1 (x) (1 + aj x) Pn1 Pn1, j= * Ровба, Е.А. Квадратурные формулы интерполяционно-рационального типа / Е.А. Ровба // Доклады АН Бела руси. – 1996. – Т. 40. – № 3. – С. 42–46.

68 Е.А. Ровба n (1 + aj x)2 P2n1 P2n R2n1,2 (a) = P2n1 (x), j= где Pm множество алгебраических многочленов степени не выше m. Таким образом, Rn1 (a) есть множество алгебраических рациональных функций порядка не выше n 1 с полюсами в точках a1, a1,..., a1, а R2n1,2 (a) множество рациональных функций порядка не выше 2n 1 2 n с теми же полюсами удвоенной кратности.

n (1+aj x)2 на отрезке Пусть, далее, qn (x), qn Pn, многочлен, ортогональный по весу h(x) j= [1, 1]. Как известно, многочлен qn (x) имеет n простых корней на интервале (1, 1):

1 x1 x2... xn 1, qn (xk ) = 0, k = 1, n.

Для любой функции f, определенной на (1, 1), построим интерполяционную рациональную функцию n Ln1 (x, f ) = f (xk )lk (x), k= n (1 + aj x)1.

где lk (x) = tn (x)/(x xk )tn (xk ), k = 1, n;

tn (x) = qn (x) j= Легко убедиться, что функция Ln1 (x, f ) Rn1 (a) и является точной для всякой функции rn1 Rn1 (a), т.е.

(1) Ln1 (x, rn1 ) rn1.

Теперь для функции f рассмотрим следующую квадратурную формулу 1 n (2) h(x)f (x)dx Ak f (xk ), k= где Ak = h(x)lk (x)dx, k = 1, n.

Нетрудно видеть, что 1 tn (x) (3) Ak = h(x) dx, k = 1, n.

tn (xk ) x xk Теорема 1. Квадратурная формула (2) обладает следующими свойствами:

1) является точной для всякой рациональной функции rn1 Rn1 (a) и r2n1 R2n1,2 (a);

2) коэффициенты Ak, k = 1, n, положительны, причем t2 (x) 1 n (4) Ak = 2 h(x) dx, k = 1, n;

(x xk ) tn1 (xk ) 3) имеет место равенство n Ak = h(x)dx.

k=1 Квадратурные формулы интерполяционно-рационального типа Доказательство. Если rn1 Rn1 (a), то точность квадратурной формулы (2) непосредственно следует из (1).

Пусть теперь P2n1 (x) произвольный многочлен степени не выше 2n 1. Покажем, что его можно представить в виде n (5) P2n1 (x) = n1 (x)qn (x) + sn1 (x) (1 + aj x), j= где n1, sn1 Pn1.

Действительно, пусть интерполяционный многочлен для функции sn1 (x) n по узлам xk, k Pn1. Рассмотрим разность P2n1 (x) (1 + aj x) = 1, n, sn1 j= n (x) = P2n1 (x) sn1 (x) (1 + aj x).

j= Так как Pn1 и (xk ) = 0, k = 1, n, то n (0) (x) = (x xk )n1 (x) = qn (x)n1 (x), k= (0) где n1, n1 Pn1.

Если n (1 + aj x)2, r2n1 (x) = P2n1 (x) P2n1 P2n1, j= то, учитывая равенство (5), получим 1 1 h(x) sn1 (x) h(x)r2n1 (x)dx = n1 (x)qn (x)dx + h(x) n1 dx.

n (1 + aj x)2 (1 + aj x) 1 1 j=1 j= Воспользовавшись ортогональностью многочлена qn (x) и точностью формулы (2) для rn1 Rn1, будем иметь 1 n n sn1 (xk ) h(x)r2n1 (x)dx = Ak n1 = Ak r2n1 (xk ).

(1 + aj xk ) k=1 k= j= Первое утверждение теоремы 1 доказано.

Для доказательства второго утверждения необходимо раcсмотреть функцию 2 2, 1 n, и воcпользоваться точностью для нее формулы (2).

r2n1 (x) = tn1 (x)/(x xk ) k Третье утверждение следует из (1), если положить rn1 (x) 1.

Заметим, что один аналог квадратурной формулы Гаусса, построенной с помощью интерполя ционных рациональных функций, использовался в работах [3] и [4].

Теорема 2. Если функция f C[1, 1], то для квадратурной формулы (2) имеет место неравен ство:

1 n h(x)f (x)dx Ak f (xk ) 2R2n1 (f ;

a) h(x)dx, k= 1 где R2n1 (f ;

a) = наилучшее равномерное приближение функ inf f (x) r2n1 (x) C[1,1] r2n1 R2n1, ции f рациональными функциями из R2n1,2 на отрезке [1, 1].

70 Е.А. Ровба Доказательство. Пусть r2n1 (x) есть рациональная функция наилучшего приближения для функции f C[1, 1], т.е.

f (x) r2n1 (x) = R2n1 (f ;

a).

Тогда, пользуясь соответствующими утверждениями теоремы 1, получим 1 n n h(x)f (x)dx Ak f (xk ) h(x) f (x) r2n1 (x) dx + Ak f (xk ) r2n1 (xk ) k=1 k= 1 1 n R2n1 (f ;

a) h(x)dx + R2n1 (f ;

a) Ak 2R2n1 (f ;

a) h(x)dx.

k= 1 2. Пусть mn (x) рациональная функция Чебышева–Маркова:

mn (x) = cos µn (x), 1 a n k 1 x2, n (x) = где µn (x) = n (x).

1 + ak x k= Функция mn (x) имеет на интервале (1, 1) n простых нулей (см. [5, с. 48]):

1 xn xn1... x1 1, mn (xk ) = 0, k = 1, n.

Для всякой функции f C[1, 1] построим квадратурную формулу 1 n f (x) (6) dx Ak f (xk ), 1 x2 k= где 1 1 x 1 mn (x) dx cos µn (x) dx k k Ak = = (1), k = 1, n.

mn (xk ) x xk 1 x2 n (xk ) x xk 1 x 1 Теорема 3. Квадратурная формула (6) имеет вид 1 n f (x) (7) dx f (xk ) n (xk ) 1x k= и для ее остатка справедлива оценка 1 n f (x) (8) dx f (xk ) 2R2n1 (f ;

a).

n (xk ) 1x k= 3. Пусть n (x) рациональная синус-дробь Чебышева–Маркова, (см. [5, с. 49]):

n (x) = sin µn+1 (x), 1 a n k x2, где µn+1 (x) = n+1 (x).

1 n+1 (x) = 1 + 1 + ak x k= Рациональные интегральные операторы на отрезке 1 x2 является рациональной порядка не выше n и имеет n простых Тогда функция n (x) нулей на интервале (1, 1), 1 xn xn1... x1 1.

Для всякой функции f C[1, 1] построим квадратурную формулу 1 n 1 x2 f (x)dx (9) Ak f (xk ), k= где 1 1 x2 1 x n (x) sin µn+1 (x) k dx = (1)k+1 k Ak = dx, k = 1, n.

n (xk ) x xk n+1 (xk ) x xk 1 Теорема 4. Квадратурная формула (9) имеет вид 1 n 1 x2k 1 x2 f (x)dx (10) f (xk ), n+1 (xk ) k= и для ее остатка справедлива оценка 1 n 1 x2k 1 x2 f (x)dx f (xk ) R2n1 (f ;

a).

n+1 (xk ) k= Формулы (7) и (10) получены с помощью перехода от отрезка [1, 1] к вещественной оси и последующего применения метода вычисления аналогичных интегралов, содержащегося в [5, с. 115].

Оценки (8) и (11) получены на основании теоремы 2, используя результаты работы [6].

Список литературы 1. Осипенко, К.Ю. О наилучших и оптимальных квадратурных формулах на классах ограниченных ана литических функций / К.Ю. Осипенко // Изв. АН СССР. Сер. матем. – 1988. – Т. 52. – № 1. – С. 79–99.

2. Самокиш, Б.А. Квадратурные формулы для интегралов от функций, аналитических внутри отрезка / Б.А. Самокиш // Вест. ЛГУ. Сер. 1. – 1990. – № 1. – С. 42–49.

3. Гончар, А.А. О скорости рациональной аппроксимации некоторых аналитических функций / А.А. Гон чар // Матем. сб. – 1978. – Т. 105. – № 2. – С. 147–163.

4. Гончар А.А., Гиермо Лопес Л. // Матем. сб. – 1978. – Т. 105. – № 4. – 512 с.

5. Русак, В.Н. Рациональные функции как аппарат приближения / В.Н. Русак. – Минск: Изд-во БГУ им. В.И. Ленина, 1979. – 176 с.

6. Джрбашян, М.М. Об одном обобщении полиномов Чебышева / М.М. Джрбашян, А.А. Китбалян // Докл. АН Арм.ССР. – 1964. – Т. 38. – № 5. – С. 263–270.

Рациональные интегральные операторы на отрезке * Positive integral rational operators on the segment [1, 1] have been constructed and the estimations of corresponding approximations for the functions f C[1, 1] have been obtained.

В 1956 году М.М. Джрбашян [1] ввел рациональные и обобщающие ряды Фурье по тригоно метрической системе {einx }+. Основываясь на представлении ядра Дирихле, полученном в этой n= * Ровба, Е.А. Рациональные интегральные операторы на отрезке / Е.А. Ровба // Вестник БГУ. Сер. 1. – 1996. – № 1. – С. 34–39.

72 Е.А. Ровба работе, В.Н. Русак [2] построил рациональные операторы Фейера и Джексона в периодическом слу чае. Позже исследования в этом направлении были продолжены, определены операторы Фейера, Валле-Пуссена и Джексона на всей вещественной оси (см., например, [3, с. 114]). Эти операторы получили широкое применение в теории рациональных приближений [3–5].

На отрезке [1, 1] изучались аппроксимационные свойства рациональных функций типа Фу рье [6]. В настоящей работе на данном отрезке построены рациональные операторы Фейера и Джек сона. Заметим, что подобные операторы можно вводить с помощью замены переменной, применен ной к операторам, заданным на всей вещественной оси (см. [3, с. 128]). Предлагаемый нами способ их построения является конструктивно более простым.

1. Пусть {k }n произвольное множество чисел, 0 = 0, |k | 1, k = 1, n, причем, если k= Im k = 0, то это множество содержит и число k.

Положим n 1 |k | n (u) =, k = arg k, k = 1, n;

1 2|k | cos(u k ) + |k | k= t t, R.

n (t, ) = (1 + n (u))du, Для всякой непрерывной на отрезке [1, 1] функции f определим следующий оператор:

(1) Fn (x, f ) = f (cos t)Kn (t, )dt Kn (t, )dt, где t Kn (t, ) = sin2 n (t, ) sin2, x = cos, x [1, 1].

Лемма 1. Функция Fn (x, f ) является рациональной порядка не выше n, причем (2) Kn (t, )dt = 2(1 + n ()), x = cos, x [1, 1].

Доказательство. Исходя из леммы 6 работы [1], будем иметь:

n n k 1 k z 1 k z k t t ei ei Kn (t, ) = = 2 1 k z k k 1 k z k=0 k= () (z) 2 2z + z 2 ( z)2 (3) = (z) () n uk где z = ei, = eit, (u) = 1k u.

k= Теперь применим тот же метод вычисления подобных интегралов, что содержится, например в [3]. Будем иметь z 2 (z) 1 1 () Kn (t, )dt = 2z + d = ( z) i (z) () |t|= 2 () = lim res = z = 2(1 + n ()).

( z) (z) |z|1,zei Рациональные интегральные операторы на отрезке Учитывая приведенные выше условия на полюсы, нетрудно убедиться, что функция n () яв ляется четной относительно и рациональной порядка не выше n относительно переменной x, x [1, 1], x = cos.

Нетрудно видеть также, что sin2 n (t, ) f (cos t)Kn (t, )dt = f (cos t)Kn (t, )dt = f (cos t) dt = sin2 t t sin2 (1 + n (u))du = f (cos t) = f (cos t)Kn (t, )dt.

t sin2 Отсюда и из (2) следует справедливость леммы 1.

Естественно назвать Fn (x, f ) рациональной функцией Фейера.

Теорема 1. Если функция f M H [1, 1], то справедливы неравенства:

1 x2 () а) |f (x) Fn (x, f )| 2( + 1)M + n (x), x [1, 1], (0, 1), (1 )(1 + n ()) где 0, 1 ;

(1 2)(1 + n ())2, () (4) n (x) = ln(1 + n ())/(1 + n ()), = 2 ;

1, 1, x = cos ;

, (2 1)(1 + n ()) 1 x2 ln n () б) |f (x) Fn (x, f )| 2( + 3)M 1 + (1 + n ()), = 1, x [1, 1].

Доказательство. Очевидно, |f (x) Fn (x, f )| |f (cos t) f (cos )|Kn (t, )dt.

2(1 + n ()) |t| Будем иметь 2 t t sin, (5) |f (cos t) f (cos )| M | cos t cos | 2M sin + sin 2 x = cos, [0, ].

Следовательно, M (J1 + J2 sin ), (6) |f (x) Fn (x, f )| (1 + n ()) где |t | |t | sin2 sin J1 = Kn (t, )dt;

J2 = Kn (t, )dt.

2 |t| |t| Теперь положим, что E = t : |t |. Через CE обозначим дополнение E до 1+n () множества {t : |t | }. Тогда |t | sin2(1) J1 Kn (t, )dt + dt 2(1 + n ()) E CE 2(1 + n ()) + 2 2(1) J3, (7) 2(1 + n ()) 74 Е.А. Ровба u2(1) du.

где J3 = /(1+n ()) Если 0, 1, то 1 1 + n () J3 ;

1 2 если = 2, то J3 = ln(1 + n ());

наконец, если, то 2, J3.

2 Учитывая полученные соотношения для J3, из (7) получим (см. (4)) 1 () J1 n (x), x [1, 1].

(1 + n ()) Если (0, 1), то |t | sin2+ J2 Kn (t, )dt + dt 2(1 + n ()) E CE 2+ u2+ du ( + 2)(1 + n ())1 /(1 ) ;

2(1 + n ()) + 2(1 + n ()) /(1+n ()) если же = 1, то J2 ( + 2)(1 + ln n ()).

Подставляя полученные для интегралов J1 и J2 оценки в (6), получим утверждение теоремы 1.

2. При тех же предположениях относительно чисел ak, k = 0, n для всякой функции f C[1, 1] полагаем 2 (8) G2n (x, f ) = f (cos t)Kn (t, )dt Kn (t, )dt, x = cos, x [1, 1] (см. также (1)).

Лемма 2. Функция G2n (x, f ) является рациональной порядка не выше 2n, причем 23 () + 62 () + 6n () + 3+ Kn (t, )dt = n n n 3(1 |ak |4 ) 2(1 |ak |2 ), (9) + (1 2|ak | cos( k ) + |ak |2 )2 (1 2|ak | cos( k ) + |ak |2 ) k= [0, ].

Доказательство. Воспользуемся формулой (3). Будем иметь 2 () () (z) (z) 4 4 3 z + 3 2 z 2 4z 3 + z4 ( z)4, Kn (t, ) = (z) (z) () () Рациональные интегральные операторы на отрезке = eit, z = ei.

Первая часть леммы теперь будет вытекать из определения функции G2n (x, f ) (см. (8)).

Далее, поступая аналогично, как при вычислении интеграла из леммы 1, получим 3 2 () 2 () 1 4z Kn (t, )dt = 2 lim res lim res = 2 (z) =z ( z)4 |z|1, zei (z) =z ( z) |z|1, zei 1 d3 4z d 3 2 () 2 () = lim.

2 (z) d 3 (z) d 3 |z|1, zei =z Чтобы получить равенство (9), остается провести необходимые вычисления.

Функцию G2n (x, f ) назовем рациональной функцией Джексона для f C[1, 1].

Лемма 3. Справедливо неравенство 2 Kn (t, )dt (), [0, ].

3n Данное неравенство непосредственно следует из (9), если учесть, что n 3(1 |ak |4 ) 2(1 |ak |2 ) 3 () + 0.

n (1 2|ak | cos( k ) + |ak |2 )2 (1 2|ak | cos( k ) + |ak |2 ) k= Теорема 2. Для всякой функции f C[1, 1] справедливо неравенство:

1 x2 |f (x) G2n (x, f )| 4 f + f, 2 (arccos x) n (arccos x) n где f модуль непрерывности функции f на отрезке [1, 1], x [1, 1].

Доказательство. Будем иметь 1 (10) |f (x) G2n (x, f )| |f (cos t) f (cos )|Kn (t, )dt, gn () |t| где gn () = Kn (t, )dt, x = cos, x [1, 1].

Далее воспользуемся методом А.Ф. Тимана (см. [7, с. 269]). Заметим вначале, что t t sin |f (cos t) f (cos )| f (| cos t cos |) 2f + | sin | sin 2 t t 2f sin2 + f | sin | sin, [0, ].

2 76 Е.А. Ровба Отсюда и из (10) получим:

2 t |t | f sin2 2 sin Kn (t, )dt |f (x) G2n (x, f )| Kn (t, )dt + f sin gn () 2 2 1 |t | 2 f sin n () + 1 Kn (t, )dt+ 2 () gn () n sin |t | n () + 1 Kn (t, )dt + f sin n () 2 1 sin 2 ()I1 + I2 + f f (n ()I3 + I2 ), n 2 () gn () n () n где |t | I1 = Kn (t, )dt, I2 = Kn (t, )dt, I3 = sin Kn (t, )dt.

Интегралы I1 и I2 вычислены в леммах 1 и 2, для оценки интеграла I3 воспользуемся неравен ством Коши–Буняковского:

sin n (t, ) I3 dt Kn (t, )dt Kn (t, )dt (1 + n ())gn ().

sin t Таким образом, 2[(1 + n ())2 () + gn ()] n |f (x) G2n (x, f )| f + 2 () gn () n 2 n () (1 + n ())gn () + gn () sin + f gn () n () 1 sin 4 f + f, x = cos, x [1, 1].

2 () n () n Теорема 2 доказана.

Список литературы 1. Джрбашян, М.М. К теории рядов Фурье по рациональным функциям / М.М. Джрбашян // Изв. АН АрмССР. Сер. физ.-мат. – 1956. – Т. 9. – № 7. – С. 1–27.

2. Русак, В.Н. О приближениях рациональными дробями / В.Н. Русак // Докл. АН БССР. – 1964. – Т. 8. – № 7. – С. 432–435.

3. Русак, В.Н. Рациональные функции как аппарат приближения / В.Н. Русак. – Минск: Изд-во БГУ им. В.И. Ленина, 1979. – 176 с.

4. Русак, В.Н. Точные порядковые оценки для наилучших рациональных приближений на классах функ ций, представимых в виде свертки / В.Н. Русак // Матем. сб. – 1985. – Т. 128. – № 4. – С. 492–515.

5. Пекарский, А.А. Чебышевские рациональные приближения в круге, на окружности и на отрезке / А.А. Пекарский // Матем. сб. – 1987. – Т. 133. – № 1. – С. 86–102.

6. Ровба, Е.А. Об одном прямом методе в рациональной аппроксимации / Е.А. Ровба // Докл. АН БССР. – 1979. – Т. 23. – № 11. – С. 968–971.

7. Тиман, А.Ф. Теория приближений функций действительного переменного / А.Ф. Тиман. – Москва:

ГИФМЛ, 1960. – 624 с.

О скорости приближения интерполяционными рациональными операторами О скорости приближения интерполяционными рациональными операторами с предписанными полюсами * The paper deals with approximation of analytic in unit circle |z| 1 functions which have continuous derivatives of r order in |z| 1 with bounded variation for |z| = 1. The upper and lower estimates for the deviation of special interpolating rational operators are found for these classes of functions.

Пусть CA = {f (z)} пространство функций f (z), аналитических в круге |z| 1 и непрерывных в замыкании |z| 1 с обычным определением нормы f = sup |f (z)|.

|z| Через B0 H1 будем обозначать класс функций f (z) CA и таких, что граничные значения f (eix ) = lim f (reix ) образуют функцию ограниченной вариации на |z| = 1, и вариация V (f ) = 1.

r Соответственно Br H1, r N, есть класс функций f (z), имеющих r-ю производную f (r) (z) B0 H1.

Скорость равномерной рациональной аппроксимации классов Br H1, r N, изучалась в [1–3], где применялись интегральные рациональные операторы специального типа (см. также [4]) и их по люсы выбирались подходящим образом. В данной работе изучаются уклонения интерполяционных операторов Лагранжа при подходящем выборе их полюсов на классах Br H1.

Приближающие интерполяционные операторы L2n (z, f ) строятся по заданной системе парамет ров {k }n, 0 |k | 1. Если взять произведение Бляшке k= n k z def (1) un (z) = z, 1 k z k= то уравнение un (z) + 1 = 0 будет иметь 2n + 1 различных простых нулей {zk }2n+1 на |z| = 1 и k= соответствующий интерполяционный оператор Лагранжа определяется равенством 2n+ un (z) + def (2) L2n (z, f ) = f (zk )lk (z), lk (z) =.

(z zk )un (zk ) k= Ясно, что значениями оператора L2n (z, f ) являются рациональные функции порядка 2n с полюсами в точках 1/k. Через C, Cj ниже обозначаются абсолютные положительные константы.

Теорема 1. Если f (z) Br H1, r N, то при подходящем выборе параметров {k }n выполняется k= неравенство ln3 n (3) f (z) L2n (z, f ) C r+1.

n Существует такая функция f (z) Br H1, что C f (z) L2n (z, f ) (4) nr+ при любом наборе параметров {k }n.

k= Заметим, что если через En (f ) обозначить наилучшее приближение функции f (z) полиномами порядка не выше n, то для функций из рассматриваемых классов можно утверждать справедливость оценки En (f ) = O, nr т.е. уклонение интерполяционных рациональных операторов примерно на порядок меньше, чем наи лучшее полиномиальное приближение.

Доказательство теоремы 1 опирается на ряд вспомогательных утверждений.

* Ровба, Е.А. О скорости приближения интерполяционными рациональными операторами с предписанными полю сами / Е.А. Ровба, В.Н. Русак // Доклады АН Беларуси. – 1997. – Т. 41. – № 6. – С. 21–24.

78 Е.А. Ровба, В.Н. Русак Лемма 1. Пусть = exp( 1 ), k = (1 k )ei. Тогда на радиальном отрезке = ||ei, N 1 N, выполняется неравенство 0 || N k e N/, N 9.

1 k r= Данная лемма уже встречалась, ее доказательство имеется в [1, с. 153]. Нам понадобится про изводная от произведения (1) на |z| = 1. Непосредственно проверяется, что для z = ei n 1 |k | un (z) un (z) def un (z) = 1+2 = n ().

1 + |k |2 2 Re zk z z k= Лемма 2. Пусть на каждом из m радиальных отрезков = ||eij, 1 N, 0 || выбраны числа k по правилу леммы 1 с N = [4(r + 1)2 ln n + 1], mN n, и остальные n mN параметров k = 0. Тогда при любых, 0 2, выполняется порядковое равенство ln n m, ln n · nr+1.

n () n mN + min sin j j=1 Рациональные операторы L2n (z, f ) точны на правильных рациональных функциях порядка не выше 2n с полюсами второй кратности в точках {k }n. Введем норму операторов (2), полагая k= 2n+ L2n = sup |lk (z)|.

|z|=1 k= Лемма 3. При условиях леммы 2 справедливо соотношение L2n = O(ln n).



Pages:     | 1 || 3 | 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.