авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 || 4 |

«Е.А. Ровба ИЗБРАННЫЕ НАУЧНЫЕ СТАТЬИ Гродно 2009 УДК 517.9 ББК 22.14 Р00 Редакционная ...»

-- [ Страница 3 ] --

2N + r 1 и система параметров {k }n, такова, что на двух лучах Лемма 4. Пусть n k= arg = 1 и = 2, 0 1 2 2, имеется по N параметров k, удовлетворяющих усло вию леммы 1, и, кроме того, r чисел этой системы равны нулю. Если функция g() аналитична всюду в секторе 1 2, за исключением бесконечно удаленной точки, и удовлетворяет arg неравенствам |g()| Mg при || 1 и |g() 1r | Mg при || 1, то справедлива оценка g(zk ) =O.

nr+ un (zk ) 1 arg zk Кроме приведенных лемм, при доказательстве неравенства (3) существенно используется пред ставление r ( z) f () (z) ( t)r df (r) (t), f () = + ! r!

=0 z которое верно при любых z, |z| 1, и, || 1, для всякой функции f (z) Br H1, что проверяется непосредственно интегрированием по частям.

Для получения нижней оценки (4) достаточно взять def f (z) = z 2n+1 [8(2n + 1)... (2n r + 1)]1 Br H1.

Интерполирование кусочно-аналитических функций рациональными С помощью критерия Колмогорова (см. [5, с. 47]) устанавливаем, что при любых фиксированных {k }n рациональной функцией наилучшего приближения с полюсами второй кратности в точках k= {1/k } является тождественный нуль, и, следовательно, f (z) L2n (z, f ) [8(2n + 1)... (2n r + 1)]1.

Аналогичными средствами доказывается и следующая Теорема 2. Если f (z) B0 H1 Lip, 0 1, то существует такой набор параметров {k }n, k= что ln3 n (5) f (z) L2n (z, f ) = O.

n Для наилучших полиномиальных приближений функций в условиях теоремы 2 можно лишь утверждать правильность оценки En (f ) = O.

n Замечание 1. По-видимому, за счет усложнения процедуры выбора полюсов интерполирующих ра циональных операторов множитель ln3 n в оценках (3) и (5) может быть заменен на ln n. По крайней мере для уклонений интегральных рациональных операторов типа Фурье такие оценки удалось по лучить.

Список литературы 1. Русак, В.Н. Рациональные функции как аппарат приближения / В.Н. Русак. – Минск: Изд-во БГУ им. В.И. Ленина, 1979. – 176 с.

2. Пекарский, А.А. / А.А. Пекарский // Матем. сб. – 1985. – Т. 127. – № 1. – С. 3–20.

3. Пекарский, А.А. Чебышевские рациональные приближения в круге, на окружности и на отрезке / А.А. Пекарский // Матем. сб. – 1987. – Т. 133(175). – № 1(5). – С. 86–102.

4. Ровба, Е.А. Приближение функций, дифференцируемых в смысле Римана–Лиувилля, рациональными операторами / Е.А. Ровба // Докл. АН Беларуси. – 1996. – Т. 40. – № 6. – С. 18–22.

5. Дзядык, В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами / В.К. Дзядык. – Москва: Наука, 1977. – 511 с.

Интерполирование кусочно-аналитических функций рациональными * Interpolation of piecewise analytical functions by rational ones is studied.

Рациональные операторы типа Фурье и построенные на их основе операторы Валле-Пуссена получили широкое применение в теории рациональной аппроксимации со свободными полюсами (см., например, [1]). Методы теории интерполирования, являющиеся с точки зрения вычислитель ной математики более удобным аппаратом приближения, использовались в основном для рациональ ных аппроксимаций классов аналитических функций с особенностями на концах отрезка прибли жения [2, 5]. В настоящей заметке исследуются вопросы интерполирования кусочно-аналитических функций. Аппроксимация таких классов функций рациональными операторами типа Фурье рас сматривалась в работах [6, 7].

1. Пусть функция f C и существует разбиение числовой прямой точками j, j = 1, s, 1 2... s +, такое, что сужение функции f на каждый отрезок [j, j+1 ], * Ровба, Е.А. Интерполирование кусочно-аналитических функций рациональными / Е.А. Ровба // Весцi АН Бела русi. Сер. фiз.-мат. навук. – 1997. – № 2. – С. 11–15.

80 Е.А. Ровба j = 1, s 1, а также на промежутки (, 1 ] и [s, +) является функцией аналитической (f (x) = f0 (x), x (, 1 ];

f (x) = fj (x), x [j j+1 ], j = 1, s 1;

f (x) = fs (x), x [s, +)).

Не ограничивая общности, будем полагать, что функция fj является аналитической и ограничен ной в замкнутом прямоугольнике j = {z : j Re z j+1, Im z +}, 0, j = 1, s 1 и в каждой из областей 0 = {z : Im z 1 } и s = {z : Im z s }.

Пусть n N и произвольным образом задано n параметров z1, z2,..., zn ;

zk = k + ik, k 0, k = 1, n. Их выбор уточним позже. Обозначим через mn (x) косинус-дробь Бернштейна:

x R, mn (x) = cos n (x), n где n (x) = arg(i x) + 2 arg(zk x).

k= Известно, что функция mn (x) имеет на вещественной оси (2n + 1) нулей [8, с. 14]. Обозначим их через xk :

mn (xk ) = 0, n (xk ) = (2k + 1)/2, k = 0, 2n.

Рассмотрим следующую интерполяционную функцию (см. [9]):

2n mn (x) 1 + x f (xk ) L2n (x, f ) =.

n (xk ) (1)k+1 (x x ) 1 + x k=0 k k Она является рациональной функцией порядка не выше n, точной для единицы (см., напри мер, [10]). Поэтому 2n (1) f (x) L2n (x, f ) = (f (x) f (xk ))lk (x), k= mn (x) 1 + x где lk (x) =, k = 0, 2n.

(1)k+1 n (xk )(x xk ) 1 + x k n Пусть N = (полагаем, что n s+3). Тогда параметры zk выберем следующим образом:

s+ zk = 1 + i(k1), k = 1, N ;

zjN +k = j + ik1, k = 1, N, j = 1, s;

(2) z(s+1)N +k = s + i(k1), = 1, N, = e1/ N ;

k zk = i, k = (s + 2)N + 1, (s + 2)N + 2,..., n.

Очевидно, n (s + 2)N N. Подчеркнем также, что параметры zk, k = 0, n выбраны в соот ветствии с леммами 4 и 5 из [11].

Пусть точки yk определены из условия, что mn (yk ) = ±1, т.е. n (yk ) = k, k = 0, 2n. Очевидно, y0 x0 y1 x1... x2n1 y2n x2n. И пусть номера j определены из следующего условия:

y j j yj +1, j = 1, s.

Лемма 1. Справедливы неравенства 1 (3) j y j 2dN, dN =, j = 1, s.

N Доказательство. Вначале покажем, что N, (4) yj +1 yj j = 1, s.

Интерполирование кусочно-аналитических функций рациональными Действительно, учитывая соотношения (2), найдем N n (yj + N ) n (yj ) arg j + ik1 yj N arg j + ik1 yj k= N arg N + ik1 N.

k= Нетрудно видеть, что k1 arg N + ik1 = arctg = arctg e(N k+1)/ N.

N для всех k, удовлетворяющих неравенству N k + 1 N. Следовательно, n (yj + N ) n (yj ), n n0, и неравенство (4) справедливо.

Заметим, что здесь и везде в дальнейшем через n0 будем обозначать фиксированные натураль ные числа, зависящие лишь от, в разных местах они могут быть различными.

Тогда при некотором j yj, yj +1 будем иметь N k и j y j yj +1 yj = 2dN, n n0.

2N + 2(k1) n (j ) n (j ) k= Лемма 1 доказана.

Пусть область D0 есть полуплоскость Re z 1 с выброшенным прямоугольником 0, 05N, область Dj, j = 1, s 1, есть прямоугольник j с добавлен 1, | Im z| y 1 Re z 0, 05N, и с выброшенным прямоугольником ным прямоугольником yj j, | Im z| Re z N, n n. Наконец, область D есть полуплоскость с добавлен yj +1 Re z j+1, | Im z| 0, 05 0 s (+) 0, 05N. Условимся также обозначать через Dj ным прямоугольником ys s, | Im z| Re z () (Dj ) ту часть границы области Dj, которая находится в полуплоскости Im z 0 (Im z 0).

n z zk Лемма 2. Пусть n (z) = произведение Бляшке, параметры zk, k = 1, n выбраны в k=1 z z k соответствии с (2). Тогда справедливы неравенства:

|dz| C1 e N 4e N |n (z)||dz|, j = 1, s 1, |n (z)|, j = 0, s, n n0, 1 + (Im z) (+) (+) Dj Dj положительная постоянная, не зависящая от n1.

где C Лемма 2 получается из лемм 4 и 5 работы [11] с помощью несущественных изменений.

() от функции |n (z)|1.

Замечание 1. Аналогичные неравенства справедливы для интеграла по Dj 0, 05N, j = 1, s, то n (z) n yj Лемма 3. Если z Dj, |z j | ;

если Re z = 1, | Im z| N, то |n (z)| ;

если же Re z = s, | Im z| N, то | n (z)|.

4 Везде в дальнейшем через C1, C2,... будем обозначать положительные постоянные, не зависящие от n.

82 Е.А. Ровба 0, 05N, j = 1, s. Тогда Доказательство. Пусть z Dj, |z j | n 1 (0) (k) (z), n (z) = (z) + k= z zk где (k) (z) = arg, k = 0, n, z0 = i. Исследуем z zk (k) (z) = (k) (z) (k) yj.

Запишем (k) (z) = A B, z zk z zk где A = arg, B = arg.

yj zk y j z k Полагая z = yj + iw, получим w k i yj k iw A = arg 1 + = arg 1.

y j k ik yj k + k Если k = j, то yj k = O(1), w = O(dN ), n и A = arg(1 + O(dN )(1 + i)) = O(dN ), n. Аналогично заключаем, что B = O(dN ), n, k = j, и, следовательно, в случае, когда k = j, (k) (z) = O(dN ), n.

Пусть теперь k = j. Тогда yj k i(k w) y j w y j j w + j A = arg = arg 1 +i.

yj k ik k k k Отсюда находим, что N N |w| j yj |w| j yj N 2(k1) |A| 2, 2 dN, n n0.

2(k1) 10 k k=1 k= Такие же оценки справедливы для величины B в случае, когда k = j. Объединяя оба случая, получим, что n (z) n yj, n n0.

N, j = 1, s. Лемма доказана.

Аналогично рассматривается случай, когда Re z = j, | Im z| (+) Лемма 4. Если z Dj, 0, 05N N, j = 1, s, то Im z e0,025 N |n (z)|, n n0.

N Доказательство. Пусть z = u + i, y j j, 1 s. Тогда u j N u j i(k1 0, 05N ) |n (z)|.

u j + i(k1 + 0, 05N ) k= Интерполирование кусочно-аналитических функций рациональными Нетрудно показать, что при n n N 1 N 1 N 1 0, 05k k e0,025 N |n (z)| exp 0, 05 exp 0, 05.

1 + 0, 05k k=0 k= Подобная оценка справедлива и в случае, когда z = j + iw, w 0, 05N, N, j = 1, s. Лемма доказана.

Замечание 2. Такая же оценка, как в лемме 4, справедлива для функции 1 (z) для z Dj и n расположенных симметрично относительно действительной оси.

(+) () C2 |1 (z)|, n n0 ;

если же z Dj, то Лемма 5. Если z Dj, то |mn (z)| n |mn (z)| C2 |n (z)|, n n0.

Доказательство. Как известно, см., например [10], 1 zi z + i (5) mn (z) = n (z) + (z).

zi n 2 z+i (+) Тогда, если z Dj, то |mn (z)| = 2 1 (z) 1 + |4 (z)| + 2 |2 (z)| cos 2n (z). Остается восполь n n n зоваться леммами 3 и 4.

() Таким же образом получается соответствующая оценка для z Dj.

Теперь сформулируем основной результат.

Теорема 1. Если функция f является кусочно-аналитической на R, то при подходящем выборе полюсов для интерполяционной рациональной функции с узлами Бернштейна справедлива оценка n n0, x R.

|f L2n (x, f )| C3 exp C, n s+ Доказательство. Обратимся к формуле (1). Нетрудно видеть, что ее можно преобразовать к виду s mn (x) 1 + x2 dz (6) f (x) L2n (x, f ) = (f (x) fj (z)).

2i (x z)mn (z) 1 + z j=0D j Подчеркнем, что функция mn (z) 1 + z 2 является мероморфной (см. (5)).

Теперь остается заметить, что при n n0 функция (fj (z) f (x))/(z x) переменной z является равномерно ограниченной в каждой из областей Dj, j = 0, s, x R, и воспользоваться для оценки каждого из интегралов в сумме (6) леммами 5 и 2. Теорема доказана.

2. Пусть произвольным образом заданы числа 1, 2,..., n, |k | 1, k = 1, n. Обозначим n 1 |k | n (u) = +, k = arg k.

1 2|k | cos(u k ) + |k | k= x Нетрудно видеть, что функция sin n (u)du имеет на полуинтервале [0, 2) 2n + 1 нулей. Обозначим xk из через xk : n (u)du = k, k = 0, 2n.

84 Е.А. Ровба Для произвольной функции f C2 полагаем x 2n f (xk ) x xk Gn (x, f ) = sin n (u)du sin.

2n (xk ) k=0 xk Нетрудно проверить, что Gn (x, f ) есть интерполяционная тригонометрическая рациональная функция порядка не выше n для f. Это вытекает из того, что x x xk lim sin n (u)du sin = 2n (xj ), j = 0, 2n xxj xk и из известного тождества М.М. Джрбашяна [12] y n n yx 1 k 1 k z z k 1 k sin n (u)du sin = z, 2 z 1 k z k 1 k z k k=1 k= x = eiy, z = eix.

Теперь будем рассматривать кусочно-аналитические функции из C2. Пусть существует разби ение точками j, j = 1, s отрезка [0, 2] (0 = 1 2... s = 2) такое, что сужение функции f на каждый отрезок [j, j+1 ], j = 1, s 1, является аналитической функцией. Тогда справедлива Теорема 2. Если f C2 и является кусочно-аналитической, то при подходящем выборе чисел 1, 2,..., n для приближений интерполяционной тригонометрической функцией (7) справедлива оценка:

n, x R, n n0.

|f Gn (x, f )| C4 exp C s+ Доказательство теоремы 2 аналогично доказательству теоремы 1.

Список литературы 1. Русак, В.Н. Точные порядки наилучших рациональных приближений на классах функций, представи мых в виде свертки / В.Н. Русак // Докл. АН СССР. – 1984. – Т. 279. – № 4. – С. 810–812.

2. Гончар, А.А. О скорости рациональной аппроксимации непрерывных функций с характерными особен ностями / А.А. Гончар // Матем. сб. – 1967. – Т. 73. – № 4. – С. 630–639.

3. Лунгу, К.Н. О наилучших приближениях рациональными функциями с фиксированным числом полю сов / К.Н. Лунгу // Матем. сб. – 1971. – Т. 86. – № 2. – С. 314–324.

4. Ровба, Е.А. О приближении рациональными функциями с заданным числом полюсов / Е.А. Ровба // Современные проблемы теории функций: материалы Всесоюзн. школы по теории функций, Баку, мая – 1 июня 1977г / Бакинский гос. ун-т. – Баку, 1980. – С. 234–239.

5. Старовойтов, А.П. О рациональной интерполяции функций класса Гончара / А.П. Старовойтов;

Бе лорусский гос. ун-т. – Минск, 1980. – 8 с. – Деп. в ВИНИТИ 1980, № 4966-80 // РЖ: 03. Математика. – 1981. – № 3. – 3Б11ДЕП. – С. 18.

6. Русак, В.Н. Об одном методе приближения рациональными функциями / В.Н. Русак // Весцi АН БССР.

Сер. фiз.-мат. навук. – 1978. – № 3. – С. 36–43.

7. Старовойтов, А.П. О рациональной интерполяции с фиксированными полюсами / А.П. Старовойтов // Весцi АН БССР. Сер. фiз.-мат. навук. – 1983. – № 6. – С. 105–106.

8. Русак, В.Н. Рациональные функции как аппарат приближения / В.Н. Русак. – Минск: Изд-во БГУ им. В.И. Ленина, 1979. – 176 с.

9. Русак, В.Н. О рациональном приближении на всей вещественной оси / В.Н. Русак // Весцi АН БССР.

Сер. фiз.-тэхн. навук. – 1964. – № 4. – С. 23–29.

Сумматорные рациональные операторы типа Джексона 10. Ровба, Е.А. Интерполяционные рациональные операторы типа Фейера и Валле-Пуссена / Е.А. Ровба // Матем. заметки. – 1993. – Т. 53. – № 2. – С. 114–121.

11. Ровба, Е.А. Квадратурные формулы интерполяционно-рационального типа / Е.А. Ровба // Докл. АН Беларуси. – 1996. – Т. 40. – № 6. – С. 42–46.

12. Джрбашян, М.М. К теории рядов Фурье по рациональным функциям / М.М. Джрбашян // Изв. АН АрмССР. Сер. физ-мат. наук. – 1956. – Т. 9. – № 7. – С. 1–27.

Сумматорные рациональные операторы типа Джексона * Построены сумматорные рациональные положительные операторы типа Джексона D4n4 (x;

f ) на ве щественной оси. Получена оценка приближений посредством таких операторов непрерывных на R функций f, имеющих конечные и равные между собой limx f (x) и limx+ f (x).

В настоящей заметке продолжены начатые в [1] исследования, посвященные построению поло жительных интерполяционных рациональных операторов.

Построены сумматорные операторы типа Джексона на вещественной оси и получена оценка скорости приближения функций f C. В полиномиальном случае такие операторы изучены до статочно полно (см., например, [2]). Интегральные рациональные операторы типа Джексона иссле дованы В.Н. Русаком [3].

Пусть {zk }+ последовательность комплексных чисел zk = k + ik, k 0, k N, z0 = i.

k= Рассмотрим синус-дробь Бернштейна sin µn (x), где n n N.

µn (x) = arg(z0 x) + 2 arg(zk x), k= Функция sin µn (x) имеет 2n + 1 нулей на вещественной оси. Обозначим их через xk, k = 1, 2n + 1, µn (xk ) = k, k = 1, 2n + 1, x1 x2... x2n+1 = +.

Пусть задана функция f C, т.е. непрерывная на R, и существуют конечные и равные между собой пределы lim f (x) и lim f (x).

x x+ Введем функцию 2n+ 1 f (xk ) x R, (1) D4n4 (x;

f ) = Gn (x;

xk ), gn (x) µn (xk ) k= где (1 + x2 ){sin(n (x) n (xk ))} k Gn (x;

xk ) =, k = 1, 2n, (x xk ) n n N, n (x) = arg(zk x), k= sin4 n (x) Gn (x;

x2n+1 ) Gn (x;

t) = lim =.

1 + 2 n k µn (x2n+1 ) t+ µn (t) k= Функцию gn (x) определим из условия, что D4n4 (x;

1) 1, т.е.

2n+ Gn (x;

xk ) (2) gn (x) =.

µn (xk ) k= * Ровба, Е.А. Сумматорные рациональные операторы типа Джексона / Е.А. Ровба // Матем. заметки. – 1997. – Т. 61. – № 2. – С. 270–277.

86 Е.А. Ровба Из [4, с. 115] известно, что n x)(z k t) n (z k x)(zk t) 1 k=1 (zk k= (3) sin(n (x) n (t)) =.

n 2i |zk x||zk t| k= Тогда из (1) и (2) следует, что D4n4 (x;

f ) является рациональной функцией порядка не выше 4n 4.

Лемма 1. Справедливы равенства 2n+ sin2 (n (x) n (xk )) (4) = n (x), µn (xk )(x xk ) k= n n 3 1 + 2 + k k 2 gn (x) = (1 + x2 ) (n (x))3 k n N. (5) + k 2, 2 + 2 )3 ((x k )2 + k ) 3 ((x k ) k k=1 k= Доказательство. Введем обозначение sin2 (n (x) n (t)) (6) Kn (x;

t) =.

(x t) Покажем вначале, что 2n+ Kn (x;

xk ) (7) = Kn (x;

t) ctg µn (t)dt, µn (xk ) 2i k= где произвольный замкнутый кусочно-гладкий непрерывный контур, содержащий внутри себя точки zk и z k, k = 0, n, и не содержащий внутри себя точек xk, k = 1, 2n + 1.

Рассмотрим вначале подынтегральную функцию Kn (x;

t) ctg µn (t) переменной t. Если учесть равенство (3), то нетрудно заметить, что во внешности контура данная функция будет иметь простые полюсы в точках xk, k = 1, 2n + 1. Следовательно, 2n+ Kn (x;

t) ctg µn (t)dt = res Kn (x;

t) ctg µn (t).

2i t=xk k= Если k = 1, 2n, то cos µn (xk ) = (µn (xk ))1 Kn (x;

xk ).

res Kn (x;

t) ctg µn (t) = Kn (x;

xk ) cos µn (xk )µn (xk ) t=xk Если же k = 2n + 1, то нетрудно показать, что res Kn (x;

t) ctg µn (t) = lim Kn (x;

t) ctg µn (t) · t = t=x2n+1 t sin2 n (x) t sin µn (t) = sin2 n (x) lim =.

1 + 2 n k t (x t)2 cos µn (t) k= Таким образом, равенство (7) справедливо.

Покажем теперь, что Jn = Ln, n N, где Kn (x;

t) ctg µn (t)dt (интеграл из (7)), Jn = 2i (8) + Ln = Kn (x;

t)dt.

Сумматорные рациональные операторы типа Джексона Действительно, учитывая равенства (6) и (3), нетрудно получить, что 1 an (x)bn (t) an (t)bn (x) Kn (x;

t) = 2+, 4(x t)2 an (t)bn (x) an (x)bn (t) где n n (9) an (u) = (zj u), bn (u) = (z j u), j=1 j= (z0 t)a2 (t) + (z 0 t)b2 (t) n n (10) ctg µn (t) = i.

2 (t) (z t)b2 (t) (z0 t)an 0 n Следовательно, подынтегральная функция интеграла Jn имеет внутри простые полюсы в точках t = zk и t = z k, k = 1, n. Значит, n Jn = res Kn (x;

t) ctg µn (t) + res Kn (x;

t) ctg µn (t) t=zk t=z k k= и res Kn (x;

t) ctg µn (t) = lim Kn (x;

t) ctg µn (t)(t z), z = zk, z = z k.

t=z tz Легко убедиться, что µn (zk ) = i, µn (z k ) = i, k = 1, n (см. (10)). Следовательно, res Kn (x;

t) ctg µn (t) = i res Kn (x;

t), t=zk t=zk res Kn (x;

t) ctg µn (t) = i res Kn (x;

t), k = 1, n, t=z k t=z k и n Jn = i res Kn (x;

t) res Kn (x;

t).

t=zk t=z k k= Выражение справа в этом равенстве есть не что иное, как интеграл Ln (см. (8)), представленный через вычеты относительно особых точек, лежащих как в верхней, так и в нижней полуплоскостях.

Таким образом, действительно, Jn = Ln, n N. Но интеграл Ln вычислен в [4, с. 115]:

n k Ln = n (x), n (x) = 2.

(k x)2 + k k= Следовательно, равенство (4) имеет место.

Справедливость соотношения (5) устанавливается по такой же схеме. Вначале установим, что gn (x) = Jn (см. (2)), где Jn := Gn (x;

t) ctg µn (t)dt, 2i тот же контур, что и в интеграле (7). Затем докажем, что Jn = L, где n + L (11) := Gn (x;

t)dt.

n Останется воспользоваться леммой из [4, с. 40] о вычислении интеграла L, где показывается, что n L равен выражению, стоящему справа в соотношении (5).

n Равенство интегралов Jn и L устанавливается аналогично приведенному выше доказательству n соотношения Jn = Ln.

88 Е.А. Ровба Обозначив через n (t) = an (t)/bn (t) (см. (9)), будем иметь Gn (x;

t) 1 1 31 = 2 (x)2 (t) n (x)1 (t) + 1 (x)n (t) + 2 (x)2 (t).

16 n n n 8 4n 16 n n 1 + t2 Функция Gn (x;

t) ctg µn (t) вне имеет простые полюсы в точках xk, k = 1, 2n + 1 и внутри полюсы второго порядка в точках zk, z k, k = 1, n.

Следовательно, 2n+1 2n+ Gn (x;

t) Jn = res Gn (x;

t) ctg µn (t) = = gn (x).

µn (xk ) t=xk k=1 k= Итак, gn (x) = Jn. С другой стороны, 2n+ Jn = res Gn (x;

t) ctg µn (t) + res Gn (x;

t) ctg µn (t), t=zk t=z k k= Gn (x;

t) ctg µn (t)(t zk )2 = res Gn (x;

t) ctg µn (t) = lim t t=zk,z k tzk,z k d Gn (x;

t)(t zk )2 ctg µn (t) + Gn (x;

t)(t zk )2 ctg µn (t). (12) = lim t dt tzk,z k Нетрудно вычислить, что (см. (10)) d ctg µn (t)|t=zk,zk = 0, k = 1, n.

dt Следовательно, res (Gn (x;

t) ctg µn (t)) = i res Gn (x;

t), t=zk t=zk res (Gn (x;

t) ctg µn (t)) = i res Gn (x;

t).

t=z k t=z k Подставив эти выражения в (12), получим 2n+ Jn = i res Gn (x;

t) res Gn (x;

t).

t=zk t=z k k= А это есть не что иное, как интеграл L (см. (11)). Учитывая вышесказанное, доказательство лем n мы 1 завершено.

Лемма 2 ([4, с. 135]). Справедлива оценка 1 + x2 x R.

gn (x) n (x), Теорема. Если f C, то имеет место неравенство x R, |f (x) D4n4 (x;

f )| 2, 2 ) (x) (1 + x n где () модуль непрерывности функции F (t) = f (tg(t/2)).

Сумматорные рациональные операторы типа Джексона Доказательство. Исходя из соотношений (1) и (2), имеем 2n+ 1 f (x) f (xk ) (13) f (x) D4n4 (x;

f ) = Gn (x;

xk ).

gn (x) µn (xk ) k= Пусть x = tg(t/2), xk = tg(tk /2), k = 1, 2n + 1 (t2n+1 = ).

Полагаем также n (x) = 2 (1 + x2 )n (x). Фиксируем произвольное x R и обозначим через t = {k : k = 1, 2n + 1, |t tk | n (x), |t tk ± 2| n (x)}, Ct = {1, 2,..., 2n + 1} \ t.

Если n (x) 2, то множество Ct является пустым. В дальнейшем, не ограничивая общности, будем считать, что n (x) 2 и множество Ct не является пустым.

Тогда, исходя из равенства (13), будем иметь 1 |F (t) F (tk )| 1 |F (t) F (tk )| Gn (x;

xk ). (14) |f (x) D4n4 (x;

f )| Gn (x;

xk ) + gn (x) µn (xk ) gn (x) µn (xk ) kt kCt Очевидно, что |F (t) F (tk )| (n (x)), k t.

Если же k Ct, то нетрудно показать, что |F (t) F (tk )| ((t, tk )), где если |t tk |, |t tk |, (15) (t, tk ) = 2 |t tk |, если |t tk | 2.

Подставляя эти оценки в (14), получим (n (x)) Gn (x;

xk ) 1 ((t, tk )) |f (x) D4n4 (x;

f )| + Gn (x;

xk ) = gn (x) µn (xk ) gn (x) µn (xk ) kt kCt = (n (x))s1 (x) + s2 (x), (16) где 1 Gn (x;

xk ) s1 (x) =, gn (x) µn (xk ) kt 1 ((t, tk )) s2 (x) = Gn (x;

xk ).

gn (x) µn (xk ) kCt Оценим вначале сумму s2 (x). Воспользовавшись неравенством ((t, tk )) (t, tk )n (x) + 1 (n (x)), получим n (x) (t, tk ) 1 Gn (x;

xk ) (17) s2 (x) Gn (x;

xk )(n (x)) + (n (x)).

gn (x) µn (xk ) gn (x) µn (xk ) kCt kCt Учитывая равенство (2), имеем 1 Gn (x;

xk ) (18) s1 (x) + = 1.

gn (x) µn (xk ) kCt 90 Е.А. Ровба Остается оценить первое слагаемое в правой части неравенства (17). Пусть n (x) (t, tk ) (1) (19) s2 (x) = Gn (x;

xk ).

gn (x) µn (xk ) kCt Рассмотрим следующую функцию:

1 + x2 1 + x k (x;

xk ) = (t, tk ), k Ct.

|x xk | Учитывая, что x = tg(t/2), xk = tg(tk /2), и воспользовавшись неравенством sin u u, u [0, /2], получим (см. также (15)) (t, tk ) (x;

xk ) =, k Ct.

sin (|t tk |/2) Исходя из этого неравенства, найдем следующую оценку суммы (19):

1 + x2 sin(n (x) n (xk ) n (x) k (1) s2 (x).

µn (xk ) x xk 2 g (x) 1+x n kCt Теперь применим неравенство Коши–Буняковского 1 + x2 Kn (x;

xk ) 1 (x) 1 sin(n (x) n (xk ) k (1) n s2 (x) x xk 1 + x2 gn (x) kC µn (xk ) µn (xk ) t 1/2 1/ 2n+1 2n+ 1 (x) Kn (x;

xk ) Gn (x;

xk ) n.

µn (xk ) µn (xk ) 1 + x2 gn (x) k=1 k= Остается воспользоваться соотношениями (2) и (4) 1/ 1 (x) (1 + x2 )(n (x)) n (x) 1/ (1) (gn (x))1/2 = n (1 + x2 )n (x) s2 (x) = 2gn (x) 1 + x2 gn (x) n (x) gn (x) и применить лемму 2, чтобы получить неравенство (1) (20) s2 (x) 1.

В совокупности соотношения (16)–(18) и (20) позволяют заключить:

x R, |f (x) D4n4 (x;

f )| 2(n (x)), что и завершает доказательство теоремы.

Список литературы 1. Ровба, Е.А. Интерполяционные рациональные операторы типа Фейера и Валле-Пуссена / Е.А. Ровба // Матем. заметки. – 1993. – Т. 53. – № 2. – С. 114–121.

2. Бугаец, В.П. Точная константа приближения непрерывных функций операторами типа Джексона / В.П. Бугаец, В.Т. Мартынюк // Укр. матем. ж. – 1977. – Т. 29. – № 6. – С. 791–796.

3. Русак, В.Н. О порядке приближения положительными рациональными операторами / В.Н. Русак // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук. – 1975. – № 3. – С. 39–46.

4. Русак, В.Н. Рациональные функции как аппарат приближения / В.Н. Русак. – Минск: Изд-во БГУ им. В.И. Ленина, 1979. – 176 с.

О приближении рациональными операторами функций ограниченной вариации О приближении рациональными операторами Фейера и Джексона функций ограниченной вариации * Estimates of approximations of the functions, having a limited variation over the segment and satisfying Lipshits’ condition of the order of, 0 1, are obtained by means of Feier’s and Jackson’s operators.

В теории рациональных приближений со свободными полюсами получили развитие прямые методы, использующие в качестве аппарата приближения интегральные операторы Фурье и Валле Пуссена (см., например, [1, 2]). В настоящей работе изучаются приближения рациональными опе раторами Фейера и Джексона функций ограниченной вариации, удовлетворяющих условию Lip, (0;

1). Найден метод, который позволяет получить порядок приближения операторами Джек сона, совпадающий с порядком убывания наилучших рациональных равномерных приближений, а операторами Фейера отличающийся на множитель ln n.

1. Обозначим через V (M,, [a;

b]) = V класс непрерывных на отрезке [a;

b] функций f, име ющих ограниченную вариацию Var (f, [a;

b]) 1 и удовлетворяющих условию Липшица порядка, 0 1, с постоянной M. Рациональные равномерные приближения таких функций изучались Е.П. Долженко и А.А. Абдугаппаровым (см., например, [3]), Г. Фройдом [4], А.П. Булановым [5].

Окончательный результат принадлежит А.А. Пекарскому [6] и П.П. Петрушеву [7]. Он состоит в том, что для наилучших равномерных приближений Rn (f ) рациональными функциями порядка не выше n имеет место асимптотическое равенство ln n sup Rn (f ), n 1, (0;

1).

n f V Пусть функция f определена и интегрируема на отрезке [a;

b], zk, k = 1, n, произвольные ком плексные числа с положительной мнимой частью. Рациональной функцией Фейера назовем функ цию вида (см. для сравнения [8, с. 114]) b (1) F2n2 (x, f ) = f (t)Kn (t, x)dt, n (x) a где Kn (t, x) = sin2 (n (t) n (x)) (t x)2, n (2) n (x) = arg(zk x).

k= Заметим, что F2n2 (x, f ) является рациональной функцией порядка не выше 2n 2.

Рациональную функцию Джексона порядка не выше 4n 4 определим следующим образом:

b (3) D4n4 (x, f ) = f (t)Gn (t, x)dt, gn (x) a где Gn (t, x) = (1 + t2 ) sin4 (n (t) n (x)) (t x)4, + gn (x) = Gn (t, x)dt.

* Ровба, Е.А. О приближении рациональными операторами Фейера и Джексона функций ограниченной вариации / Е.А. Ровба // Доклады НАН Беларуси. – 1998. – Т. 42. – № 4. – С. 13–17.

92 Е.А. Ровба Подправим введенный выше класс функций следующим образом. Пусть V0 есть класс функ ций f V (M,, [a, b]), удовлетворяющих условию (4) f (a) = f (b) = 0.

Условие (4) обусловлено выбором конструкции операторов (1) и (3), а именно тем, что при их постро ении исходим из рациональных рядов Фурье в периодическом случае. С точки зрения рациональной аппроксимации это ограничение не является существенным.

В этом случае продолжим функцию f на R, положив f (x) = 0, x R \ [a, b], и в формулах (1) и (3) можно полагать, что a =, b = +. Так, продолженная функция f принадлежит классу C (классу непрерывных на R функций и имеющих равные пределы lim f (x) и lim f (x)), x x+ Var (f, R) 1, f LipM, (0, 1) на R.

Имеет место Теорема 1. Если функция f V0, (0, 1), то параметры zk, k = 1, n, можно выбрать так, что справедливы оценки:

ln2 n f (x) F2n2 (x, f ) C1, n 1;

C n ln n f (x) D4n4 (x, f ) C, n 1, C n где C1, C2 положительные постоянные, зависящие лишь от M, и a, b.

Для описания свойств рациональных функций приведем следующие две леммы из [8].

Лемма 1. Справедливо равенство + f (t)Kn (t, x)dt = n (x), где n k n (x) = 2, zk = k + ik, k = 1, n.

(x k )2 + k k= Лемма 2. Справедлива оценка n k (1 + 2 + k ) (1 + x2 ) n (x) k x R.

gn (x), gn (x) 2, 2 2 (x k )2 + k k= Опишем метод выбора параметров zk, k = 1, n, на которых реализуются искомые оценки.

Пусть n N, n 12(1 + 2 ). Положим N = (1 + 2 )1 n/4.

Построим разбиение {1,k }1 отрезка [a, b] следующим образом:

k= ln2 N 1,0 = a 1, 1,k = max x : 1,k1 x b, |f (x) f (1,k1 )| =, k = 1, 2,..., k0.

N Если при некотором значении k0 получится, что ln2 N 1,k0 = b, |f (1,k0 ) f (1,k01 )| =, N то полагаем 1 = k0. Если же при некотором значении k0 окажется, что ln2 N 1,k0 = b, |f (1,k0 ) f (1,k01 )|, N О приближении рациональными операторами функций ограниченной вариации то полагаем k0 1 = 1 и 1,11 = 1,k0 2, 1,1 = b.

Нетрудно видеть, что разбиение {1,k }1 обладает следующими свойствами:

k= ln2 N ln2 N а) max |f (x) f (1,k1 )| 2, k = 1, 1 ;

N N x[1,k1,1,k ] (5) N/ ln2 N ;

б) (ln2 N/M N )1/, k = 1, 1.

в) 1,k := 1,k 1,k Аналогичным образом построим разбиение {2,k }2 отрезка [a, b], включающее в себя точки k= предыдущего разбиения, и такое, что ln N ln N а) |f (2,k ) f (2,k1 )| 2, k = 1, 2 ;

N N (6) б) 2 N/ ln N ;

(ln N/M N )1/, k = 1, 2.

в) 2,k := 2,k 2,k Пусть (7) N1 = 1 + ln N, N2 = [1 + ln N ], = exp 1/ N1.

Определим параметры zk, k = 1, n, следующим образом:

а) на каждой прямой Re z = 1,k, k = 0, 1, выберем по N1 точек zk, совпадающих с точками 1,k +ij1, j = 1, N1 ;

причем кратность выбранных точек zk на прямых Re z = a и Re z = b положим равной [1 + N/ ln2 N ];

б) выберем 2(2 1) точек zk, совпадающих с точками 2,k +i2,k1, и 2,k +i2,k, k = 1, 2 1, причем каждую точку возьмем с кратностью N2.

Из соотношений (5)–(7) следует, что число так выраженных значений параметров zk не превос ходит числа (1 + 1)N1 + 2N1 [1 + N/ ln2 N ] + 2(2 1)N2 4(1 + 2 N ) n.

Запишем функцию n (x), соответствующую числам zk, по формуле (2).

В основе доказательства теоремы 1 лежит следующая Лемма 3. Для построенной выше функции имеет место асимптотическое равенство 1 1 n 1, n1/, n1/, n1/ + n (x) ln n min + min + min |x 1,k | ln n |x a| |x b| k= 2 2,k1 2,k 1 x R.

+ ln n min, + min,, (x 2,k )2 2,k (x 2,k ) 2,k k= В случае приближения операторами Фейера достаточно построить лишь разбиение {1,k } от резка [a, b] и выбирать лишь те параметры zk, которые связаны с этим разбиением.

Заметим также, что оценки, содержащиеся в теореме 1, можно получить, если воспользоваться методом разложения на простые функции, разработанным А.А. Пекарским, и последующим их приближением рассматриваемыми операторами. Этот метод изложен в [9] и [10].

2. Пусть {k }k=1n произвольное множество чисел, |k | 1, k = 1, n, причем если Im k = 0, то это множество содержит и число (k ). Положим n 1 |k | n (x) =, k = arg k, k = 1, n;

1 2|k | cos(u k ) + |k | k= 94 Е.А. Ровба t t, R.

n (t, ) = (1 + n (u))du, Для всякой интегрируемой на отрезке [1, 1] функции определим следующие операторы:

n (x, f ) = f (cos t)n (t, )dt n (t, )dt, где t n (t, ) = sin2 n (t, ) sin2, x = cos, x [1, 1];

f (cos t)2 (t, )dt 2 (t, )dt, 2n (x, f ) = x = cos, x [1, 1].

n n Свойства таких операторов изучались в работе [11]. Заметим лишь, что n (x, f ) есть рацио нальная функция порядка не выше n, а 2n (x, f ) рациональная функция порядка не выше 2n. Их построение базировалось в отличие от операторов (1) и (3) на рациональных рядах Фурье–Чебышева на отрезке [1, 1].

Справедлива Теорема 2. Если функция f V (M,, [1, 1]), то числа k, k = 1, n, можно выбрать так, что имеют место неравенства:

ln2 n f (x) n (x, f ) C3, n 1;

C[1,1] n ln n f (x) 2n (x, f ) C, n 1, C[1,1] n где C3, C4 положительные постоянные, зависящие лишь от M и.

Список литературы 1. Русак, В.Н. Точные порядковые оценки для наилучших рациональных приближений на классах функ ций, представимых в виде свертки / В.Н. Русак // Матем. сб. – 1985. – Т. 128. – № 4. – С. 492–515.

2. Ровба, Е.А. Приближение функций, дифференцируемых в смысле Римана–Лиувилля, рациональными операторами / Е.А. Ровба // Докл. АН Беларуси. – 1996. – Т. 40. – № 6. – С. 18–22.

3. Абдугаппаров, А.А. Приближение функций с выпуклой производной посредством рациональных функ ций: автореф.... дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / А.А. Абдугаппаров;

Калининский гос. ун-т. – Калинин, 1974. – 10 с.

4. Freud, G. Uber die Approximation reeller funktionen durch rationale gebrochene funktionen / G. Freud // Acta. Math. Acad. Sci. Hung. – 1966. – Vol. 17. – N. 3–4. – P. 313–324.

5. Буланов, А.П. Рациональные приближения непрерывных функций с конечным изменением / А.П. Бу ланов // Изв. АН СССР. Сер. матем. – 1975. – Т. 39. – № 5. – С. 1142–1181.

6. Пекарский, А.А. Рациональная аппроксимация непрерывных функций с заданным модулем непрерыв ности и модулем изменения / А.А. Пекарский // Весцi АН БССР. Сер. фiз.-мат. навук. – 1978. – № 5. – С. 34–39.

7. Petrushev, P. / P. Petrushev // Pliska Studia Math. Bulgarica. – 1977. – Vol. 1. – P. 145–155.

8. Русак, В.Н. Рациональные функции как аппарат приближения / В.Н. Русак. – Минск: Изд-во БГУ им. В.И. Ленина, 1979. – 176 с.

9. Пекарский, А.А. Чебышевские рациональные приближения в круге, на окружности и на отрезке / А.А. Пекарский // Матем. сб. – 1987. – Т. 133(175). – № 1(5). – С. 86–102.

Об одной ортогональной системе рациональных функций и квадратурах типа Гаусса 10. Lorentz, G.G. Constructive approximation. Advanced problems / G.G. Lorentz, M.V. Golitscheck, Y. Makovoz. – Berlin: Springer-Verlag, 1996. – 452 p.

11. Ровба, Е.А. Рациональные интегральные операторы на отрезке / Е.А. Ровба // Вестник БГУ. Сер. 1. – 1996. – № 1. – С. 12–16.

Об одной ортогональной системе рациональных функций и квадратурах типа Гаусса * Quadrature formulas generalizing the classical Gauss formulas of Jacoby nodes with = = 1/2 are given.

Различные обобщения квадратурных формул Гаусса являются предметом исследований мно гих авторов (см., например, [1–3]). Значительное место в этих исследованиях занимают вопросы, посвященные квадратурным формулам типа Гаусса, полученным с помощью рационального ин терполирования [4–6]. При этом существенно используются ортогональные системы рациональных функций. Однако к настоящему времени в явном виде известны лишь две ортогональные системы рациональных функций, обобщающие многочлены Чебышева первого и второго рода [7].

В настоящей работе построена система рациональных функций, ортогональных на отрезке [1, 1] по весу (1 x)/(1 + x), и методами рациональной интерполяции вводится соответствую щая квадратурная формула гауссовского типа.

1. Пусть {k } произвольная последовательность комплексных чисел, |k | 1, k = 1, 2,..., и n 1 |0 |2 1 |n |2 z k n N. (1) 0 (z) =, n (z) =, 1 0 z 1 n z 1 n z k= Тогда определим систему рациональных функций {Qn (x)} следующим образом:

1 n (t) 1+t (2) Qn (z) = dt, x [1, 1], n = 0, 1,..., t 2i 2tx + 1 t |t|=n где число n, n 1, выбрано так, что точки k 1, k = 0, n, находятся вне контура интегрирования.

Теорема 1. Система функций Qn (x), n = 0, 1,..., является ортогональной на отрезке [1, 1] по весу (1 x)/(1 + x).

Доказательство. Рассмотрим интеграл 1x Jmn = Qm (x)Qn (x)dx, m, n = 0, 1,...

1+x Воспользуемся представлением (2) и получим 1 1+t 1+u 1x dx (3) Jmn = 2 m (t) dt n (u) du.

2 2tx + 1)(u2 2tu + 1) 4 t u 1 + x (t |t|=m |t|=n Нетрудно найти, что 1x dx =, |t| 1, |u| 1.

1 + x (t2 2tx + 1)(u2 2tu + 1) (1 + t)(1 + u)(tu 1) * Ровба, Е.А. Об одной ортогональной системе рациональных функций и квадратурах типа Гаусса / Е.А. Ровба // Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 1998. – № 3. – С. 31–35.

96 Е.А. Ровба Подставляя полученное выражение в (3), найдем 1 dt du Jmn = m (t) n (u).

4 2 t (tu 1)u |t|=m |t|=n Подынтегральная функция внутреннего интеграла имеет в круге |t| n единственную особую точку u = 1/t. Следовательно, 1 du n (u) = 2i n tu 1 u t |t|=n и 1 1 dt Jmn = m (t)n.

2i t t |t|=m Переходя к пределу при m 1, получим 1 dt Jmn = m (t)n (t) = m (t)n (t)|dt|.

2i t |t|=1 |t|= Остается воспользоваться ортогональностью системы {n (t)}+ на единичной окружности.

Теорема 2. Функции Qn (x) являются рациональными порядка n.

Если же числа k, k = 0, n 1, являются вещественными либо попарно комплексно сопряженными, n (1, 1), то имеет место представление 1 a n (4) Qn (x) = 2 sin µn+1/2 (x)/ 1 x, 1 + an x где n 1 x n x + ak µn+1/2 (x) = arccos x + arccos + arccos, 1 2n x + 2 1 + ak x n k= 2 ), (5) ak = 2k /(1 + k = 0, n, k и функция Qn (x) имеет n простых нулей на интервале (1, 1).

Если положить в (4) k = 0, k = 0, n, то, очевидно, sin(n + 1/2) Qn (x) =, x = cos, sin / т.е. Qn (x) есть известный многочлен Якоби.

Доказательство теоремы 2. Обратимся к равенствам (2). Нетрудно заметить, что подынтеграль ная функция будет иметь в круге |t| n два простых полюса в точках x± x2 1, и, следовательно, (1 + ei )n (ei ) (1 ei )n (ei ), x = cos. (6) Qn (x) = 2i sin Легко проверить, что если z = x ± x2 1, то (1 + |k |2 )x 2 Re k ± (1 |k |2 ) x2 z k =, k = 0, n 1, 1 + 2 2k x 1 k z k Об одной ортогональной системе рациональных функций и квадратурах типа Гаусса x n ± x2 z =.

1 2n x + 1 n z n Подставляя полученные выражения в (6), убедимся в правильности первого утверждения тео ремы 2. Также, полагая z = x ± x2 1, имеем x + ak ± 1 a2 x2 z k k = e±ik (x), (7) = 1 k z 1 + ak x где k (x) = arccos ((x + ak x)/(1 + ak x)), k = 0, n 1. Аналогично 1 |n |2 z 1 2 (x n ± x2 1) 1 a2 ±in (x) n n (8) = = e, 1 2xn + 1 n z 1 + an x n где n (x) = arccos (x n )/(1 2xn + 2 ). Если положить, что k комплексное и k+1 = k, n то будем иметь z k z k+1 z k z k+ =.

1 k z 1 k+1 z 1 k z 1 k+1 z Учитывая это равенство, соотношения (7) и (8), из представления (6) получим выражение (4).

Легко найти, что n 1 a 1 1 xn n µn+1/2 (x) = + + 2 1 2xn + 2 1 + an x 1 x n k= и µn+1/2 (x) 0, x (1, 1), µn+1/2 (1) = 0, µn+1/2 (1) =. Тогда из соотношения (4) n+ следует, что функция Qn (x) имеет n простых нулей на (1;

1). Теорема 2 доказана.

Заметим, что функции Qn (x) могут определяться заданием чисел ak, ak C\{(;

1][1;

+)}, k = 0, n, а не числами k, |k | 1, k = 0, n (см. (5)).

2. Пусть числа ak, k = 1, n 1, являются действительными (ak (1;

1)) либо попарно комплексно-сопряженными. Пусть также Qn (x) = 2 sin µn+1/2 (x)/ 1 x, где µn+1/2 (x) = n+1/2 (x)/ 1 x2, x (1;

1), 1 a n 3 k (9) n+1/2 (x) = +.

2 1 + ak x k= Тогда рациональная функция Qn (x) имеет n простых нулей на интервале (1;

1):

1 xn xn1... x1 1.

С помощью рационального интерполирования для всякой интегрируемой на отрезке [1;

1] с весом (1 x)/(1 + x) функции f можно построить (см., например, [6]) квадратурную формулу гауссовского типа:

1 n 1x (10) f (x)dx = Ak f (xk ) + Rn (f ), 1+x k= где 1 1x Qn (x) (11) Ak = f (x) dx, k = 1, n, Qn (x) 1+x x xk 98 Е.А. Ровба Rn (f ) остаточной член.

Квадратурная формула (10) обладает (см. [6]) следующими свойствами:

1) Ak 0, k = 1, n;

P2n1 ) 2) для любого многочлена P2n1 степени не выше 2n 1 (P2n1 n (1 + ak x) Rn P2n1 (x)/ = 0;

k= P2n1 (x) (12) 3) |Rn (f )| 2 inf f (x).

n P2n1 P2n x) (1 + ak k=1 C[1;

1] Теорема 3. Квадратурная формула (10) имеет вид 1 n 1x 1 xk (13) f (x)dx = f (xk ) + Rn (f ).

1+x n+1/2 (xk ) k= Доказательство. Обратимся к формуле (11) для коэффициентов Ak. Легко видеть, что sin µn+1/2 (x) k+1 (1 xk ) 1 + xk (14) Ak = (1) dx, k = 1, n.

n+1/2 (xk ) 1 + x(x xk ) Поэтому вычислим интеграл sin µn+1/2 (x) Jnk = dx.

1 + x(x xk ) Произведем замену переменной интегрирования x = (1 y 2 )/(1 + y 2 ). Тогда будем иметь + n1 n 1 + y2 yi y zm y+i y zm ydy = k Jnk 2, (y + i)2 y z m (y i)2 y y zm yk 2 2i m=1 m= корни уравнений z 2 + (1 + am )/(1 am ) = 0, Im zm 0, где yk = (1 xk )/(1 + xk ), k = 1, n, zm m = 1, n 1. Подчеркнем, что числа zm, m = 1, n 1, будут располагаться симметрично относи тельно мнимой оси.

Найдем интеграл + n1 n yi y zm y+i y zm ydy z C, Im z 0.

Jn (z) =, (y + i)2 y z m (y i)2 y2 z y zm m=1 m= Очевидно, n1 n y yi y zm y y+i y zm Jn (z) = 2i res + res 2 = 2 z 2 (y + i)2 2 (y i) y y z m y=z y z y zm y=z m=1 m= n zi z zm = 2i.

(z + i)2 z zm m= Об одной ортогональной системе рациональных функций и квадратурах типа Гаусса Следовательно, 2 3/2 n 1 + yk 1 + y2 yk i yk zm = k Jnk lim Jn (z) =.

(yk + i)2 y zm 2 2i zyk, Im z m=1 k yk i 3/2 n1 yk zm Обозначим nk =. Так как sin µn+1/2 (xk ) = 0, то nk nk = 0, (yk + i)2 m=1 yk z m = 2(1)k и nk = (1)k, k = 1, n. Тогда будем иметь nk + nk 1 + yk (1)k+ Jnk = (1)k+1 =, k = 1, n.

1 + xk 1 xk Подставляя полученное выражение в (14), найдем Ak =, k = 1, n. Теорема доказана.

n+1/2 (xk ) 2k 4 k sin Если предположить a1 = a2 =... = an = 0, xk = cos, Ak =, k = 1, n, и 2n + 1 2n + 1 2n + получим классическую формулу Гаусса (см., например, [9]).

Из неравенства (12) и соответствующего результата о полноте системы функций 1 1,... (см. [10]) следует сходимость построенного квадратурного процесса,,..., 1 + a0 z 1 + a1 z 1 + an z a2 1| расходится.

1 |a1 + в случае, когда ряд n n n= Список литературы 1. Bojanov, B. Gaussian quadrature formulae for Tchebyshe systems / B. Bojanov // East J. on Approx. – 1997. – Vol. 3. – N. 1. – P. 71–78.

2. Bojanov, B. Generalized Gaussian quadrature formulas / B. Bojanov, D. Braess, N. Dyn // J. Approx.

Theory. – 1986. – Vol. 48. – N. 4. – P. 335–353.

3. Lpez Lagomasinoa, G. A note on generalized quadrature formulas Gauss-Jacobi type / o G. Lpez Lagomasinoa, J. Illin // Conctructive Theory of Function. Soa, Publ. House Bulgarian o a Acad. Sci. – 1984. – P. 513–518.

4. Van Assche, W. Quadrature formulas based on rational interpolation / W. Van Assche, I. Vanherwegen // Math. Comp. – 1993. – Vol. 61. – N. 204. – P. 765–783.

5. Gautschi, W. Gauss-type quadrature rules for rational functions / W. Gautschi // Numerical Integration. – 1993. – P. 111–130.

6. Ровба, Е.А. Квадратурные формулы интерполяционно-рационального типа / Е.А. Ровба // Докл. АН Беларуси. – 1996. – Т. 40. – № 3. – С. 42–46.

7. Джрбашян, М.М. Об одном обобщении полиномов Чебышева / М.М. Джрбашян, А.А. Китбалян // Докл. АН АрмССР. – 1964. – Т. 38. – № 5. – С. 263–270.

8. Джрбашян, М.М. К теории рядов Фурье по рациональным функциям / М.М. Джрбашян // Изв. АН АрмССР. Сер. физ-мат. – 1956. – Т. 9. – № 7. – С. 1–27.

9. Натансон, И.П. Конструктивная теория функций / И.П. Натансон. – Москва–Ленинград: Гостехиздат, 1949. – 688 с.

10. Ахиезер, Н.И. Лекции по теории аппроксимации / Н.И. Ахиезер. – Москва: Наука, 1965. – 408 с.

100 А.А. Пекарский, Е.А. Ровба Равномерные приближения функций Стилтьеса посредством ортопроекции на множество рациональных функций * Пусть µ положительная борелевская мера с носителем supp µ [1, ) и удовлетворяющая условию (t 1)1 dµ(t). В работе изучается порядок равномерной аппроксимации функции dµ(t) z C, µ(z) =, tz в круге |z| 1 и на отрезке [1, 1] посредством ортопроекции µ на множество рациональных функций степени n. При этом полюсы рациональных функций выбираются в зависимости от меры µ. Например, показано, что если supp µ компактен и не содержит 1, то такой метод аппроксимации имеет порядок наилучшей. Если же supp µ = [1, a], a 1, мера µ абсолютно непрерывна относительно меры Лебега и µ (t) (t 1)при t [1, a] и некотором 0, то порядок такой аппроксимации отличается от наилучшей разве лишь на n.

положительная борелевская мера с носителем supp µ R. Тогда 1. Введение. Пусть µ функцию dµ(t), z C, µ(z) = tz называют функцией Гамбургера;

кроме того, если supp µ принадлежит одной из полуосей оси R, то ее называют функцией Стилтьеса, если supp µ компактен, функцией Маркова. Изучению наилучших рациональных приближений таких функций посвящены работы [1–6] и др.

В настоящей работе предполагается, что supp µ [1, ) и dµ(t) (1).

t Нас будет интересовать порядок наилучших равномерных приближений µ в круге := {z : |z| 1} и на отрезке I := [1, 1] посредством ортопроекции µ на множество рациональных функций степени n. При этом полюсы рациональных функций будут выбираться в зависимости от меры µ. Например, показано, что если supp µ компактен и 1 supp µ, то такой метод аппроксимации имеет порядок наилучшей. Если же supp µ = [1, a], a 1, мера µ абсолютно непрерывна относительно меры Лебега и µ (t) (t 1) при t [1, a] и некотором 0, то порядок такой аппроксимации отличается от наилучшей разве лишь на n.

2. Ортопроекция в случае круга. Через CA обозначим банахово пространство функций f, непрерывных в круге и аналитических в int, с нормой f := f := max |f (z)|.

CA z Пространство CA будем рассматривать также как предгильбертово, в котором скалярное произве дение (·, ·) определяется следующим образом:

(f, g) = f (z)g(z)|dz|, f, g CA, T где T граница круга.

Пусть точки z1, z2,..., zn принадлежат C \. Введем Rn = Rn (z1, z2,..., zn ) линей ное пространство рациональных функций, полюсами которых с учетом кратности могут быть лишь z1, z2,..., zn. Через Fn обозначим ортопроектор из предгильбертова пространства CA на (n + 1)-мерное подпространство R. Основным объектом нашего исследования (в случае круга) яв ляются числа n = n (f, ) := inf f Fn (·, f ), f CA, * Пекарский, А.А. Равномерные приближения функций Стилтьеса посредством ортопроекции на множество раци ональных функций / А.А. Пекарский, Е.А. Ровба // Матем. заметки. – 1999. – Т. 65. – № 3. – С. 362–368.

Равномерные приближения функций Стилтьеса посредством ортопроекции где инфимум берется по всем z1, z2,..., zn C \.

Если все zk =, то Fn (·, f ) есть n-я частичная сумма ряда Маклорена функции f CA. В общем случае Fn (x, f ) можно представить в виде n-й частичной суммы ряда Фурье по ортогональ ной системе Такенака–Мальмквиста [6]. Для нас наиболее важной является формула для разности f (z) Fn (z, f ) (см. [7, гл. IX]). Именно, введем n z tk Bn (z) := b(z, tk ), b(z, tk ) :=, 1 tk z k= произведение Бляшке порядка n с нулями в точках tk int. Нужная нам формула имеет вид zBn (z) f ()d (2) f (z) Fn (z, f ) =, z int, 2i ( z)Bn () T где tk := 1/z k, k = 1, 2,..., n. В ее справедливости можно также легко убедиться, исходя из опреде ления скалярного произведения.

При решении поставленной задачи важную роль будут играть числа dµ(t) (3) sn (µ) = inf, t(t 1)|Bn (t)| где инфимум берется по всем t1, t2,..., tn int.

Теорема 1. Если мера µ удовлетворяет условию (1), то (4) n (µ, ) 3sn (µ), n = 1, 2,....

Доказательство. Применяя формулу Фубини, из (1), (2) и определения функции µ, получим dµ(t) (5) µ Fn (z, µ) = zBn (z), z.

(t z)tBn (t) Лемма 1. Пусть мера µ удовлетворяет условию (1) и supp µ содержит более n точек. Тогда иф мимум в (3) достигается, по крайней мере, для одной системы попарно различных точек tk =: t, k принадлежащих интервалу (0;

1). При этом функция dµ(t) In (z) := zBn (z), z, (t z)tBn (t) произведение Бляшке с нулями в точках t, удовлетворяет условиям:

где Bn k (6) |In (z)| 3sn (µ), z, (1 + t)dµ(t) dµ(t) In (z) = Bn (z)2 (z 1) (7) + Bn (z), z T.

|t z|2 tBn (t) (t z)tBn (t) Доказательство. Для t 1 и || 1 выполняется неравенство |b(t, ||)| |b(t, )|. Поэтому sn (µ) не изменится, если в (3) вместо tk int будем считать tk [0, 1). Далее введем функцию dµ(t) (t1, t2,..., tn ) =, (t 1)tBn (t) где нули произведения Bn суть числа tk [0;

1), k = 1, n. Ввиду условия (1), функция по непре рывности продолжается на куб [0;

1]n, и при этом b(t, 1) = 1, если t 1. Согласно теореме Вей ерштрасса функция достигает наименьшего значения в некоторой точке (t, t,..., t ) [0;

1]n.

n Поскольку |b(t, t0 )| 1 = |b(t, 1)| при t 1 и t0 [0;

1), то все t 1.

k 102 А.А. Пекарский, Е.А. Ровба Далее покажем, что все t 0. Например, докажем, что t 0. С этой целью рассмотрим k функцию b2 (t, u)d(t), (u) = u [0;

1), где мера определяется равенством n 1 b2 (t, t )dµ(t), d(t) = t (t 1) t 1.

k k= Поскольку supp µ содержит более n точек, то, согласно теореме Лебега, t2 (0) = d(t) 0.

t Значит, (0) (u) при достаточно малых u 0 и поэтому t 0. Сейчас покажем, что числа t, t,..., t попарно различны. Докажем, например, что t = t.

n 12 1 Зафиксируем некоторое t1 (0;

1) и введем функцию b2 (t, t1 + )b2 (t, t1 )d(t), ( ) = где мера определяется условием n d(t) = t1 (t 1)1 b2 (t, t )dµ(t), t 1, k k= а переменная такова, что t1 ± (0;

1). Имеем (1 tt1 )2 (t 1)(t2 + 2tt1 + 1)d(t) 0.

(0) = 0, (0) = (t t1 ) Значит, точка = 0 является точкой локального максимума функции и предположение t = t 1 противоречиво.

Перейдем к доказательству соотношений (6) и (7). Точка минимума (t, t,..., t ) функции n принадлежит открытому кубу (0;

1)n и, следовательно, в ней выполнено необходимое условие экстремума: /tk = 0, k = 1, 2,..., n. Несложные вычисления показывают, что 2 1 1 dµ(t) = +.

tBn (t) tk 1 tk t tk 1 ttk Таким образом, имеют место равенства:


dµ(t) dµ(t) =, k = 1, 2,..., n.

(t t )tBn (t)2 (1 tt )tBn (t) k k Поскольку точки t, t,..., t попарно различны, то при всех допустимых t и z справедливо тожде n ство n Bn (t) Bn (z) Ak (z) =, 1 t t tz k k= где Ak (z) некоторые рациональные функции, зависящие лишь от z. Заменим здесь t на 1/t. С учетом равенства Bn (1/t) = 1/Bn (t) получим n 1 Bn (t)Bn (z) Ak (z) =.

t t (1 tz)Bn (t) k k= Равномерные приближения функций Стилтьеса посредством ортопроекции Из последних трех равенств находим, что Bn (t) Bn (z) dµ(t) 1 Bn (t)Bn (z) dµ(t) =.

tBn (t) tBn (t) tz (1 tz) Функцию In (z) перепишем в виде dµ(t) Bn (t) Bn (z) dµ(t) In (z) = zBn (z) + zBn (z).

(t z)tBn (t) tBn (t) tz Последние два равенства дают нам основное соотношение для In (z):

dµ(t) 1 Bn (t)Bn (z) dµ(t) In (z) = zBn (z) (8) zBn (z).

(t z)tBn (t) tBn (t) (1 tz) Отсюда немедленно следует (6) для z T. Согласно принципа максимума модуля аналитической функции (6) выполняется для z. Для получения из (8) равенства (7) достаточно заметить, что 1/z = z при z T. Лемма 1 доказана.

Продолжим доказательство теоремы 1. Если supp µ содержит не более n точек, то согласно (2) и определению чисел sn (mu) имеем n (µ, ) = 0 и sn (µ) = 0, т.е. (4) выполнено. В противном случае кроме равенства (2) нужно применить лемму 1. Теорема 1 доказана.

3. Ортопроекция в случае отрезка. Через C(I) обозначим банахово пространство непре рывных функций g : I C с нормой g := g := max |f (x)|.

C(I) xI Пространство C(I) будем рассматривать также как предгильбертово, в котором скалярное произ ведение (·, ·) определяется следующим образом:

dx g(x)h(x) (g, h) =, g, h C(I).

1 x I Пусть точки 1, 2,..., n принадлежат C \ I. Введем Rn = Rn (1, 2,..., n ) линейное пространство рациональных функций, полюсами которых с учетом кратности могут быть лишь 1, 2,..., n. Основным объектом нашего исследования (в случае отрезка) являются числа n = n (g, I) := inf g Pn (·, g), g C(I), где инфимум берется по всем 1, 2,..., n C \ I.

Если все k =, то Pn (x, g) суть n-я частичная сумма ряда Фурье функции g по ортогональ ной системе многочленов Чебышева первого рода. В общем случае соответствующая ортогональная система построена М.М. Джрбашяном и А.А. Китбаляном [8]. Интегральное представление разно сти g(x) Pn (x, g) найдено в [9]. С помощью последнего можно получить аналог формулы (5) для отрезка. Здесь поступим более просто: интегральное представление разности µ Pn (·, µ) получим из (5) с помощью замены переменной.

Пусть 1 = (z) := z+ 2 z функция Жуковского, конформно отображающая C \ на C \ I, z = () := + 2 обратное отображение.

104 А.А. Пекарский, Е.А. Ровба Теорема 2. Пусть мера µ удовлетворяет условию (1), а мера определяется соотношением 4t (9) d(t) = dµ((t)), t 1.

t2 Тогда для x I имеет место равенство ei Bn (ei ) ei Bn (ei ) d(t) d(t) (10) µ(x) Pn (x, µ) = +, (t ei )tBn (t) (t ei )tBn (t) 2 где = arccos x, а произведение Бляшке порядка Bn определяется нулями tk = 1/(k ), k = 1, 2,..., n.

Доказательство. Производя несложные преобразования, получим, что (ei ) + (ei ) = µ(x) + const, (11) x I.

Далее зафиксируем s N, 0 C \ I и положим z0 = (0 ). Легко также убедиться в том, что a0 + a1 x + · · · + as xs 1 1 (12) + =, x I, i )s (z0 ei )s (0 x)s 2 (z0 e где коэффициенты a0, a1,..., as не зависят от x. В случае 0 = последнее тождество следует заменить тождеством 1 is e + eis = Ts (x), (13) где Ts (x) = cos(s arccos x) многочлен Чебышева первого рода.

Заменим в (5) меру µ на. С учетом соотношений (11)–(13) получим µ(x) rn (x) = (x), x I, где rn (x) Rn (0, 1,..., n ), а через (x) обозначена правая часть равенства (10). Ниже показана ортогональность любой функции g Rn (0, 1,..., n ). Все вместе это будет означать, что rn (x) = Pn (x, µ).

Зафиксируем t0 1 и положим ei Bn (ei ) ei Bn (ei ) t0 (x) = +.

t0 ei t0 ei Имеем dx t0 (x)g(x) (t0, g) = = t0 (cos )g(cos )d = 1 x I ei Bn (ei ) Bn (z) G(z)dz = 0. (14) = g(cos )d = i t0 ei t0 z T Здесь 1 G(z) = g z+, z T.

2 z Функция G является рациональной степени не выше 2n, и ее полюсами могут быть лишь точки t1, t2,..., tn, 1/t1, 1/t2,..., 1/tn. Значит, функция (t0 z)1 Bn (z)G(z) аналитична на и последнее равенство в (14) выполняется в силу теоремы Коши. Из (14) и теоремы Фубини находим, что g.

Теорема 2 доказана.

Теорема 2 и лемма 1 дают нам следующую теорему.

Равномерные приближения функций Стилтьеса посредством ортопроекции Теорема 3. Если мера µ удовлетворяет условию (1), а мера определяется условием (9), то (15) n (µ, I) 3sn (), n = 1, 2,....

4. Некоторые следствия. Для функции f C(A) (g C(I)) через Rn = Rn (f, ) обозначим наилучшее равномерное приближение рациональными функциями степени не выше n. Ясно, что n Rn, n = 1, 2,....

В случае, когда 1 supp µ последовательность {Rn } хорошо изучена (см. [1–4]). Приведенная ниже теорема 4 показывает, что в этом случае последовательности {Rn } и {n } имеют одинаковый порядок малости. Нижние оценки из этой теоремы можно получить с применением двойственности, аналогично как в [5].

Теорема 4. Пусть мера µ удовлетворяет условию (1), k(a) := (1 ln(1 1/a)) a := inf(supp µ) 1, и мера определяется условием (9). Тогда при n = 1, 2,... выполняются неравенства c1 k(a)sn (µ) Rn (µ, ) n (µ, ) 3sn (µ), c2 k(a)sn () Rn (µ, I) n (µ, I) 3sn (), где c1 и c2 абсолютные положительные постоянные.

Пусть сейчас supp µ = [1, a], a 1, мера µ абсолютно нерерывна относительно меры Лебега и существует 0 такое, что µ (t) (t 1), t [1, a]. (16) Согласно работам [5] и [6] в этом случае для Rn при n = 1, 2,... выполняются соотношения (17) Rn (µ, ) exp( 2n) Rn (µ, I) exp(2 n).

Итак, из теорем 1, 3 и неравенства Rn n получаем следующую теорему.

Теорема 5. Если мера µ удовлетворяет условию (15), то при n = 1, 2,... выполняются неравен ства c1 exp( 2n) n (µ, ) c2 n exp( 2n), c3 exp(2 n) n (µ, I) c4 n exp(2 n), где постоянные c1, c2, c3, c4 положительны и не зависят от n.

По нашему мнению, множитель n в правых частях последних соотношений можно опустить.

Это предположение основано на равенстве (7). Однако, для применения (7) необходимо дополни тельное изучение экстремального произведения Bn.

Список литературы 1. Гончар, А.А. О скорости рациональной аппроксимации некоторых аналитических функций / А.А. Гон чар // Матем. сб. – 1978. – Т. 105 (147). – № 2. – С. 147–163.

2. Ganelius, G. Orthogonal polynomials and rational approximation of holomorphic function / G. Ganelius // Adv. Stud. in Pure Math / ed. P. Erds. To the Memory of Paul Turan. Basel: Birkhuser. – 1978. – P. 237–243.

o a 3. Stahl, H. Best rational approximants to Markov functions / H. Stahl // Colloq. Math. Soc. Jnos Bolyai. – a 1990. – Vol. 58. – P. 627–643.

4. Braess, D. Rational approximation of Stieltjes Functions by the Caratheodory–Fejr Method / D. Braess // e Constr. Approx. – 1987. – Vol. 3. – P. 43–50.

106 Е.А. Ровба 5. Andersson, J.-E. Rational approximation to the function like x in integral norms / J.-E. Andersson // Anal.

Math. – 1988. – Vol. 14. – N. 1. – P. 11–25.

6. Пекарский, А.А. Наилучшие равномерные рациональные приближения функций Маркова / А.А. Пе карский // Алгебра и анализ. – 1995. – Т. 7. – № 2. – С. 121–132.

7. Уолш, Дж.Л. Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области / Дж.Л. Уолш. – Москва: ИЛ, 1961. – 508 с.

8. Джрбашян, М.М. Об одном обобщении полиномов Чебышева / М.М. Джрбашян, А.А. Китбалян // Докл. АН АрмССР. – 1964. – Т. 37. – № 5. – С. 263–270.

9. Ровба, Е.А. О приближении рациональными рядами Фурье–Чебышева / Е.А. Ровба // Новые подходы к решению дифференциальных уравнений: тезисы докладов III Всесоюзн. конф., Дрогобыч, 17–21 июня 1991 г. – Москва: ВЦ АН СССР, 1991. – С. 115.

Рациональная интерполяция дифференцируемых функций с r-й производной ограниченной вариации * We developed a method of approximation of functions, dierentiated by Riemann–Louiville technique, and having r-derivative of limited variation. The approximation is achieved by means of interpolating rational functions in the areas of Bernstein knots.

Рациональная аппроксимация дифференцируемых функций, имеющих r-ю производную огра ниченной вариации, хорошо изучена (см., например, [1–4]). Получены точные по порядку на классе таких функций оценки наилучших равномерных рациональных приближений, исследованы прибли жения посредством рациональных рядов Фурье и построенных на их основе других рациональных операторов. В настоящей работе изучаются вопросы рационального интерполирования функций, дифференцируемых в смысле Римана–Лиувилля и имеющих r-ю производную ограниченной вари ации, r 0.

Через W r V [a, b] обозначим класс функций, заданных на отрезке [a, b] и представимых интегра лом Стилтьеса:

x (x t)r dh(t), f (x) = x [a, b], r 0, (r + 1) a где h(t) функция ограниченной вариации на отрезке [a, b], Var(h, [a, b]) гамма 1, (r + 1) функция Эйлера. При условии h(a) = h(a + 0) = 0 функция h будет r-й производной функции f в смысле Римана–Лиувилля: f (r) (x) = h(x) почти всюду на [a, b]. Дифференциальные свойства функций класса W r V [a, b] изложены, например, в [5, с. 133].

Очевидно, что f (a) = 0. Полагаем также, что функция f W r V [a, b] и удовлетворяет условию r f (b) = 0;

класс таких функций будем обозначать через W0 V [a, b]. С точки зрения рациональной аппроксимации это ограничение не является существенным.

Пусть zk, k = 1, n комплексные числа, zk = k + ik, k 0, k = 1, n, z0 = i. Обозначим через mn (x) соответствующую косинус-дробь Бернштейна: mn (x) = cos n (x), где n n (x) = arg(z0 x) + 2 arg(zk x).

k= Функция mn (x) имеет 2n + 1 нуль на R. Обозначим их через xk, k = 0, 2n:

... x2n1 x2n a x0 x1... xs b xs+1...

* Ровба, Е.А. Рациональная интерполяция дифференцируемых функций с r-й производной ограниченной вариа ции / Е.А. Ровба // Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 1999. – № 2. – С. 8–13.


Рациональная интерполяция функций с r-й производной ограниченной вариации r Пусть задана функция f W0 V [a, b], r 0. Построим следующую рациональную интерполя ционную функцию степени не выше 2n:

s mn (x) 1 + x (1) L2n (x, f ) = f (xk )lk (x), lk (x) =, k = 0, 2n.

(x xk )mn (xk ) 1 + x k=0 k r Теорема. Если функция f W0 [a, b]V, r 0, то при подходящем выборе чисел zk, k = 1, n ln3 n справедлива оценка: f L2n (·, f ) C[a,b] C r+1, n 2, где C положительная постоянная, не n 1.

зависящая от n 2n Доказательство. Нетрудно проверить, что lk (x) 1, и, следовательно, k= s 2n (2) f (x) L2n (x, f ) = (f (x) f (xk )) lk (x) + f (x) lk (x) =: S1 + S2, x [a, b].

k=0 k=s+ Будем полагать вначале, что r (0, 1). По заданному числу n определим натуральные числа N и m:

r+1 2 2 n (3) N= 4 ln n, m = 3, n n0.

r 2N Произведем разбиение отрезка [a, b] точками {j }m, a = 0 1... m = b, так, чтобы j= m1, Var (f, [j1, j ]) (4) j = 1, m.

Теперь аналогично определим числа zk следующим образом:

zk = 0 + i(k1), zjN +k = j + ik1, (5) k = 1, N ;

k = 1, N, j = 0, m;

z(m+1)N +k = m + i(k1), k = 1, N, = exp 1/ N ;

zk = i, k = (m + 2)N, n.

Пусть точки yk найдены из условия, что mn (yk ) = ±1, k = 0, 2n;

x2n1 y2n x2n... y0 x0 y1 x1... xs1 ys xs ys+1...

Определим также номера j из условий yj j yj +1, j = 0, m.

Пусть x (xnx, xnx +1 ) [a, b], 0 nx s. Тогда nx s (6) S1 = (f (x) f (xk )) lk (x) + (f (x) f (xk )) lk (x) := S11 + S12.

k=0 k=nx + x x ((x )r (xk )r ) dh( ) (xk )r dh( ), полу Учитывая, что f (x) f (xk ) = (r + 1) a xk чим x x nx nx (xk )r dh( )lk (x) + ((x )r (xk )r ) dh( )lk (x) =:

S11 = (r + 1) k=0x k=0 a k S11 + S. (7) =:

(r + 1) Везде в дальнейшем через C1, C2,... будем обозначать положительные постоянные, не зависящие от n, n N, и x, x [a, b].

108 Е.А. Ровба x nx (xk )r dh( )lk (x). Можно записать, что Оценим вначале сумму S11, S11 = k=0 xk xi+ nx nx (xk )r dh( )lk (x), S11 = k=0 i=k xi где знак штрих во внутренней сумме означает, что если i = nx, то верхний предел в интеграле равен x. Поменяем порядок суммирования и получим xi+1 xi+ nx i nx i r (xk )r lk (x)dh( ). (8) S11 = (xk ) dh( )lk (x) = i=0 x i=0 x k=0 k= i i Для дальнейшего доказательства теоремы потребуется несколько лемм.

1 Лемма 1. Пусть |y j | 2dN, dN :=, := exp 1/ N. Тогда для N N := N v [1, N ] [N, 1], имеет место неравенство |mn (y + iv)|1 10N, n n0.

Лемма 2. Пусть |y j | 2dN. Тогда для v [N, N ] справедливо неравенство |mn (y + iv)| 1/2, n n0.

Леммы 1 и 2 доказываются по аналогии с леммами 3–5 из [6].

Лемма 3. Для разбиения {j }m (см. (4)) при указанном в (5) выборе параметров zk, k = 1, n, j= справедливо соотношение m, n2(r+1)/r n (y) n + ln n min, y [a, b].

|y j | j= Легко видеть, что данная лемма аналогична лемме 3 из [7].

Лемма 4. Для любых и t,, t R, удовлетворяющих условию (9) |t | /n ( ), справедливы неравенства (10) C1 n ( )/n (t) C2.

Доказательство. Обозначим через E1 ( ) = j : j = 0, m, | j | n2(r+1)/r, E2 ( ) = {0, 1,..., m} \ E1 ( ).

Тогда на основании леммы 3 будем иметь n ( ) ln n ln n n2(r+1)/r + n2(r+1)/r + C3 n + ln n n + ln n.

n (t) | j | |t j | jE1 ( ) jE2 ( ) jE1 (t) jE2 (t) Рациональная интерполяция функций с r-й производной ограниченной вариации Нетрудно видеть, что если в числителе правой части этого неравенства суммирование по множествам индексов E1 ( ) и E2 ( ) заменить суммированием по множествам E1 (t) и E2 (t) соответственно, то она может лишь увеличиться. Следовательно, n ( ) 1 C3 2 + (11).

n (t) | j | |t j | jE2 (t) jE2 (t) Теперь займемся оценкой снизу суммы, стоящей в знаменателе. Пользуясь условием (10) и леммой 3, легко получить 1 1 |t j | | j | + |t | | j | + n ( ) jE2 (t) jE2 (t) jE2 (t) 1 C5.

| j | + C6 ln1 n | j | | j | jE2 (t) jE2 (t) Подставляя полученную оценку в (11), получим правое неравенство из (10). Аналогично можно получить оценку снизу в (10).

Лемма 4 доказана.

Лемма 5. Рациональные функции lk (x), k = 0, 2n, см. (1), равномерно ограничены, т.е. |lk (x)| C6, x R, k = 0, 2n.

Лемма 5 легко получается из леммы 4.

Лемма 6. Для данного разбиения {j }m (см. (4)) при указанном в (5) выборе параметров zk, j= 2n k = 1, n, справедливо соотношение L2n 2, где L2n := sup C7 ln n, n |lk (x)|.

xR k= Доказательство леммы 6. Пусть x (xm, xm+1 ). Тогда будем иметь:

2n m 2n |lk (x)| =: S (1) + S (2).

S := |lk (x)| = |lk (x)| + k=0 k=0 k=m+ m 2, оценим, например, сумму S (1) = Полагая, что m |lk (x)|. Из леммы 5 имеем k= m (1) S |lk (x)| + 2C6.

k= Легко видеть также, что m2 m 1 + x |lk (x)|.

(x xk )n (xk ) 1 + x k=0 k=0 k Теперь заметим, что = n (xk+1 ) n (xk ) = n (k )(xk+1 xk ), xk k xk+1, и в силу леммы 4 n (k )/n (xk ) C2. Следовательно, xm m2 m 1 + x2 du 1 + x xk+1 xk |lk (x)| C2 C2.

x xk (x u) 1 + u 1 + x k=0 k=0 k 110 Е.А. Ровба Пользуясь тем, что x xm1 xm xm1 = /n (), (xm1, xm ), и n 1 + 2 + k 2 k R, (1 + )n () 2 1+, k k= найдем, что m2 n 1 + 2 + k k |lk (x)| C8 ln 1 +.

k k=0 k= Осталось воспользоваться соотношениями (5), чтобы получить:

m |lk (x)| C9 ln n, x (xm, xm+1 ).

k= Аналогично оценивается сумма S (2).

Лемма 6 доказана.

Лемма 7. Имеют место неравенства:

s C (xk )r lk (x),, x [a, b] \ xj, xs, 0 j s m, r (0, 1].

nr+ k=j Доказательство леммы 7. Нетрудно видеть, что s (t )r mn (x) 1 + x r (xk ) lk (x) = dt, 2i (t x)mn (t) 1 + t k=j где контур, состоящий из ломаных, = 1 2 3 4, 1 = yj + iv : 1 v 1, 2 = u i : yj u ys +1, 3 = {ys +1 + iv : 1 v 1}, 4 = u + i : yj u ys +1.

Таким образом, имеем s (t )r mn (x) 1 + x r (12) (xk ) lk (x) = Jq, Jq = dt, q = 1, 4.

2i (t x)mn (t) 1 + t q= k= j q Рассмотрим вначале интеграл J1. Разобъем его на два интеграла (13) J1 =, () () 1 1 \ () где 1 = yj + iv : N v N.

Воспользовавшись леммой 1, получим (t )r mn (x) 1 + x2 dv dt C10 N = C10 N.

1r t x mn (t) 1 + t2 v r N () 1 \ Если обратиться к лемме 2, то легко найти, что N (t )r mn (x) 1 + x2 dv 1 r dt C11 = C11 N.

1r t x mn (t) 1 + t2 v r () Рациональная интерполяция функций с r-й производной ограниченной вариации Из равенства (13) и двух последних оценок получим, что J1 = O (N ) = O 1/nr+1. Такая же r оценка справедлива для интеграла J3. Аналогично оцениваются интегралы J2 и J4.

Из полученных оценок интегралов Jq, q = 1, 4, на основании равенства (12) получим требуемую оценку.

Лемма 7 доказана.

Пусть число l определено из условия, что l x l+1, если 0 m 2, и l l+1, если l x l = m 1.

Лемма 8. Пусть s i l 1. Тогда имеет место неравенство:

s+1 1, 0 s i C (xk )r lk (x), [xi, xi+1 ].

(x s+1 )nr+ k=s + Если s = l, l i nx 1, то i C (xk )r lk (x), [xi, xi+1 ].

(x xi+1 )nr+ k=l + Доказательство леммы 8 проводится тем же методом, что и доказательство леммы 7.

Теперь вернемся к доказательству теоремы. Не ограничивая общности, будем полагать, что 1. Тогда сумму S11 (см. (8)) представим в виде l x xi+ l1 j+1 1 i+ 1 1 i i j (xk )r lk (x)dh( ) + (xk )r lk (x)dh( )+ S11 = + i=0 x j=1 i=j +1 x k=0 k=0 k=j + i i xi+1 nx i l (xk )r lk (x)dh( ). (14) + + i=l +1 xi k=0 k=l + j (xk )r lk (x) воспользуемся леммой 7 и получим Для оценки сумм вида k= j (xk )r lk (x) = O 1/nr+1, j = 1, l.

k= Следовательно, x xi+ l1 j1 1 i+1 j nx l r (xk )r lk (x)dh( ) = (xk ) lk (x)dh( ) + j=1 i=j i=l xi k=0 k= xi x 1. (15) =O |dh( )| = O nr+1 nr+ a Остается оценить следующее выражение:

x xi+ l1 j+1 1 i+1 nx i i r (xk )r lk (x)dh( ).

Q := (xk ) lk (x)dh( ) + j=0 i=j i=l x k=j +1 k=l + xi i Обозначим через множество индексов j, 0 l, таких, что j+1 j 1/n, если таковые j имеются.

112 Е.А. Ровба Если l+1 l 1/n, то через i0 обозначим такой индекс суммирования, что выполняются неравенства x xi0 +1 1/n x xi0, l + 1 i0 nx 1. Тогда, воспользовавшись леммами 6 и 8, получим j+1 j+1 j+ l nx C13 1 1 1 1 |Q| |dh( )| |lk (x)| + |dh( )| + |dh( )|.

nr n x j x xi0 n j=0 j k=0 j j j Заметим, что если l+1 l 1/n, то последнее слагаемое в сумме, заключенной в квадратных скобках, будет отсутствовать.

Если теперь обратимся к свойствам разбиения {j } (см. (4)), то окончательно найдем, что ln3 n C22 ln n 1 1 (16) |Q| 1+ + =O.

nr+1 nr+ n ln n x j x xi j Из равенства (14) на основании оценок (15) и (16) заключаем, что S11 = O ln3 n/nr+1, n.

Для суммы S11 имеет место такая же оценка, однако получается значительно более просто.

Тогда из равенства (7) получим, что S11 = O ln3 n/nr+1.

Очевидно, что такая же оценка имеет место и для суммы S12 (см. (6)) s (f (x) f (xk ))lk (x). Следовательно, S12 := k=nx + S1 = O ln3 n/nr+1. (17) 2n Осталось оценить сумму S2, S2 := f (x) lk (x). Для этого необходимо перейти к контурному k=s+ интегралу аналогично, как в лемме 7, и провести соответствующие оценки. Таким образом найдем, что S2 = O ln n/nr+1, x [a, b].

Отсюда и оценки (17) на основании равенства (2) получим окончательный результат в случае, когда r (0, 1): f L2n (x, f ) C[a,b] = O ln3 n/nr+1.

Если r 1, то доказательство теоремы проводится аналогично, однако в некоторых случаях упрощается из-за большей гладкости функции f.

Теорема доказана.

Список литературы 1. Popov, V.A. Uniform rational approximation of the class V r and its applications / V.A. Popov // Acta. Math.

Acad. Sci. Hung. – 1977. – Vol. 29. – N. 1. – P. 119–129.

2. Русак, В.Н. Точные порядки наилучших рациональных приближений на классах функций, представи мых в виде свертки / В.Н. Русак // Докл. АН СССР. – 1984. – Т. 279. – № 4. – С. 810–812.

3. Старовойтов, А.П. Рациональная аппроксимация функций, представимых в виде интеграла дробного порядка в смысле Римана–Лиувилля / А.П. Старовойтов // Докл. АН БССР. – 1985. – Т. 29. – № 12. – С. 1079–1081.

4. Ровба, Е.А. Приближение функций, дифференцируемых в смысле Римана–Лиувилля, рациональными операторами / Е.А. Ровба // Докл. АН Беларуси. – 1996. – Т. 40. – № 6. – С. 18–22.

5. Тиман, А.Ф. Теория приближений функций действительного переменного / А.Ф. Тиман. – Москва:

ГИФМЛ, 1960. – 624 с.

6. Ровба, Е.А. Интерполирование кусочно-аналитических функций рациональными / Е.А. Ровба // Весцi АН Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 1997. – № 2. – С. 11–15.

7. Ровба, Е.А. О приближении рациональными операторами Фейера и Джексона функций ограниченной вариации / Е.А. Ровба // Доклады АН Беларуси. – 1998. – Т. 42. – № 4. – С. 13–17.

Orthogonal systems of rational functions on the segment and quadratures of Gauss-type Orthogonal systems of rational functions on the segment and quadratures of Gauss-type * By means of rational interpolation we built the quadrature formulas generalizing classical Gauss formulas at Chebyshev nodes of the rst and second type as well as at Jacobi nodes when = = 1/2.

Introduction The rst complete studies of quadrature formulas by means of the properties of some special ra tional functions belong to B. Bojanov [2] and H.L. Loeb, Y. Werner [6]. Later, some authors, such as D.J. Newman [7], J.-E. Andersson [1], W. Van Assche, I. Vanherwegen [9], G. Lopez, J. Illian [8], studied quadrature formulas by means of rational approximation. In particular, they used rational interpola tion and orthogonal systems of polynomials with a variable weight. But research did not involve certain systems of orthogonal rational functions.

In the present paper we applied orthogonal properties on the segment [1, 1] by weight (1 x2 )±1/ of rational functions systems introduced into [5], we built a new orthogonal by weight (1 x)/(1 + x) system of rational functions and studied the corresponding quadrature formulas of interpolation character.

1. Orthogonal rational function systems on the segment Let {k } be an arbitrary sequence of complex numbers with 0 = 0, |k | 1, k N, and dene n 1 |n |2 z k n N.

0 (z) 1, n (z) =, (1) 1 n z 1 k z k= 1.1. M.M. Dzhrbashyan and A.A. Kitbalyan [5] have introduced the following systems of functions:

(0) (0) n (ei ) + n (ei ), n N;

M0 1, Mn (x) = (2) Mn (x) = ei n (ei ) ei n (ei ) /2i sin, (1) n N;

x = cos. (3) (0) The system of functions {Mn (x)}+ is orthogonal on the segment [1, 1] with respect to the weight n= (1) (1 x2 )1/2, the system of functions {Mn (x)}+ is orthogonal with respect to the weight (1 x2 )1/2.

n= (0) (1) Lemma 1. The functions Mn (x) and Mn (x) are rational of order n, n N.

Proof. It is not dicult to check that if z = x ± x2 1, then (1 + |k |2 )x 2 Re k ± (1 |k |2 ) x2 z k =, k = 0, n 1;

1 + 2 2k x 1 k z k x n x2 z =.

1 2k x + 1 k z k Substitution of the obtained expressions in (2) and (3), leads to the conclusion of Lemma 1.

Lemma 2. If the numbers k, k = 1, n 1, are real or mutually complex-conjugate, with 0 = 0, n (1, 1), then the following expressions hold:

1 a n (0) a) Mn (x) = cos µn (x), (4) 1 + an x * Rovba, E.A. Orthogonal systems of rational functions on the segment and quadratures of Gauss-type / E.A. Rovba // Mathematica Balkanica. – 1999. – Vol. 13. – N. 1–2. – P. 187–198.

114 E.A. Rovba where n x n x + ak µn (x) = arccos + arccos, 1 + ak x 1 2n x + n k= 2k ak =, k = 1, n;

(5) 1 + k 1 a n (1) 1 x2, b) Mn (x) = sin µn+1 (x) (6) 1 + an x where µn+1 (x) = arccos x + µn (x).

(0) (1) Under these conditions, the functions Mn (x) and Mn (x) each have n simple roots on the interval (1, 1).

x2 1, then Proof. If z = x ± x + ak ± 1 a2 x2 z k k = e±ik (x), = (7) 1 k z 1 + ak x where x + ak k (x) = arccos, k = 1, n 1.

1 + ak x In a similar way, 1 2 x n ± x2 1 |n |2 z 1 a2 ±in (x) n n = = e, (8) 1 2xn + 1 n z 1 + an x n where x n n (x) = arccos.

1 2xn + n Assuming that k C and k+1 = k, then we obtain as follows:

z k z k+1 z k z k+ =.

1 k z 1 k+1 z 1 k z 1 k+1 z Taking into account this equality, relations (7) and (8), we obtain the expression (4) from relation (2).

In a similar way, we get formula (6).

The second part of Lemma 2 follows from the fact that µn (1) = 0, µn (1) = n and since n 1 a 1 xn k µn (x) = +, µn (x) 0, x (1, 1), 1 2xn + 2 1 + ak x 1 x n k= the function µn (x) decreases monotonically on the segment [1, 1].

(0) (1) It is worth mentioning that functions Mn (x) and Mn (x) can be determined by using the numbers ak, ak C\{(, 1][1, +)}, k = 0, n, and not by using the k, |k | 1, k = 0, n numbers (see (5)).

(0) Lemma 3. If the conditions of Lemma 2 are fullled and an = 0, then the function Mn (x) is the rational (1) cosine-function of Chebyshev–Markov, and the function Mn (x) is the sine-function of Chebyshev–Markov (see [11, p. 47]).

Orthogonal systems of rational functions on the segment and quadratures of Gauss-type Lemma 3 is direct consequence of Lemma 2. We emphasize that the sequence of the corresponding rational Chebyshev–Markov functions (cosine-function or sine-function) is, generally speaking, not an orthogonal system. However, each Chebyshev–Markov function can be regarded as the element of some orthogonal system of rational functions.

1.2. Let 1 n (t) 1+t Qn (x) = dt, x [1;

1], n = 0, 1,..., (9) 2 2tx + 1 t 2i t |t|=n where the number n, n 1, is chosen so that the points 1, k = 0, n are outside the integration k contour. Then, it is easy to observe that the integrand has two simple poles at the points of x ± x2 in the circle |t| n and, consequently, 1 + ei n (ei ) 1 ei n (ei ), Qn (x) = x = cos. (10) 2i sin Hence, with the help of equalities (7), (8) and (1) it is easy to see that the function Qn (x) is rational of n order.

Theorem 1. The system of rational functions Qn (x), n = 0, 1,..., is orthogonal on the segment [1, 1] with respect to the weight (1 x)/(1 + x).

Proof. Consider the integral 1x Jmn = Qm (x)Qn (x)dx, m, n = 0, 1,....

1+x Let us use the representation (9) to get 1 1+t 1+u 1x dx Jmn = 2 m (t) dt n (u) du. (11) 2 2tx + 1)(u2 2ux + 1) 4 t u 1 + x (t |t|=m |u|=n It is not dicult to nd that 1x dx =, |t| 1, |u| 1.

2 2tx + 1)(u2 2ux + 1) 1 + x (t (1 + t)(1 + u)(tu 1) Substituting the achieved expression into (11) we nd 1 dt du Jmn = m (t) n (u).

4 t u(tu 1) |t|=m |u|=n The integrand of the inner integral has the singular point u = 1/t in the circle |u| n, n 1.

Consequently, 1 du n (u) = 2i n, n 1, tu 1 u t |u|=n and i 1 dt Jmn = m (t) n.

2 t t |t|=m 116 E.A. Rovba Taking a limit as m 1, we get i dt Jmn = m (t)n (t) = m (t)n (t)|dt|.

2 t |t|=1 |t|= Now, we can use the orthogonal system {n (t)}+ on the unit circle (see [4]). Theorem 1 is proved.

Assume that k = 0, k = 1, n, then it is evident that sin(n + 1/2) Qn (x) =, x = cos, sin / i.e. Qn (x) is the well-known Jacobi polynomial.

Lemma 4. The function Qn (x) has n simple roots on the interval (1, 1) and the following expression representation holds 1 a n Qn (x) = 2 sin µn+1/2 (x)/ 1 x, 1 + an x where n 1 x n x + ak µn+1/2 (x) = arccos x + arccos + arccos.

2 1 + ak x 1 2n x + n k= The proof of Lemma 4 is similar to that of Lemmas 2 and 3.

2. Quadratures of Gauss-type The quadrature formulas of this type, built by means of rational approximation, were discussed, as an example, in [3], [9], [10].

Let h(x) be weight function on the segment [1, 1], i.e. h be non-negative, integrable and h(x)dx 0.

Let the numbers aj, j = 1, n, satisfy the following condition: if at some j, j = 1, n 1, Im aj = 0, then also the complex conjugate aj is among the numbers. Furthermore, if aj R, then |aj | 1.

Let us introduce the following symbols:

n Rn1 (a) = Pn1 (x) (1 + aj x) Pn1 Pn1, j= n (1 + aj x)2 P2n1 P2n R2n1,2 (a) = P2n1 (x), j= where Pm is the set of algebraic polynomials of degree not greater than m. Thus, Rn1 (a) contains algebraic rational functions of order not higher than n1 with poles at the points a1, a1,..., a1, 1 2 n R2n1,2 (a) is a set of rational functions of order not higher, than 2n 1, with the same poles but of double multiplicity.

n (1 + aj x)2 on the Then, let qn Pn be polynomial orthogonal with respect to the weight h(x) j= segment [1, 1]. The polynomial qn is known to have n simple roots on the interval (1, 1):

1 x1 x2... xn 1, qn (xk ) = 0, k = 1, n.

Orthogonal systems of rational functions on the segment and quadratures of Gauss-type For any function f, dened on (1, 1), let us build the interpolating rational function n Ln1 (x, f ) = f (xk )lk (x), k= where n (1 + aj x)1.

lk (x) = tn (x)/(x xk )tn (xk ), k = 1, n;

tn (x) = qn (x) j= It is easy to see that Ln1 (x, f ) Rn1 (a) and for any function rn1 Rn1 (a), Ln1 (x, rn1 ) rn1 (x).

Now, for a function f, integrable with weight h on the segment [1, 1], we examine the quadrature formula:

1 n h(x)f (x)dx Ak f (xk ), (12) k= where 1 1 tn (x) Ak = h(x)lk (x)dx = h(x) dx, k = 1, n.

tn (xk ) x xk 1 The following properties are analogous to the known theorems of Gauss quadrature formulas (see, for example, [10]).

The quadrature formula (12) has the following properties:

1) It is exact for any function rn1 Rn1 (a) and r2n1 R2n1,2 (a);

2) the coecients Ak, k = 1, n are positive and 1 tn (x) 3) Ak = h(x) (xx )2 dx, k = 1, n;

t2 (xk ) k n 4) the following equality holds n Ak = h(x)dx.

k=1 If f C[1, 1], than the following inequality holds for the quadrature formula (12):

1 n h(x)f (x)dx Ak f (xk ) 2R2n1 (f ;

a) h(x)dx, k= 1 where R2n1 (f ;



Pages:     | 1 | 2 || 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.