авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 ||

«Е.А. Ровба ИЗБРАННЫЕ НАУЧНЫЕ СТАТЬИ Гродно 2009 УДК 517.9 ББК 22.14 Р00 Редакционная ...»

-- [ Страница 4 ] --

a) = inf f (x) r2n1 (x) is the best approximation of the function f by C[1,1] r2n1 R2n1, means of rational functions from R2n1,2 on the segment [1, 1].

3. Special cases of Gauss-type quadratures Let the numbers ak, k = 1, n, be real and ak (1, 1), or mutually complex-conjugate, with a0 = an = 0.

3.1. Let us denote by mn the rational function of Chebyshev–Markov:

mn (x) = cos µn (x), where 1 a n k x µn (x) = n (x) 1, n (x) =.

1 + ak x k= 118 E.A. Rovba The mn (x) function has n simple roots on the interval (1, 1) (see [11, p. 48]):

1 xn xn1... x1 1, mn (xk ) = 0, k = 1, n. For any function f C[1, 1] we shall construct the quadrature formula:

1 n f (x) dx Ak f (xk ), (13) 1 x2 k= where 1 1 x 1 mn (x) dx cos µn (x) dx k k Ak = = (1), k = 1, n. (14) mn (xk ) x xk 1 x2 n (xk ) x xk 1 x 1 Theorem 2. The quadrature formula (13) has the following form 1 n f (x) dx f (xk ) (15) n (xk ) 1 x2 k= and for its remaider the following estimate is valid 1 n f (x) dx f (xk ) 2R2n1 (f ;

a). (16) n (xk ) 1 x2 k= Proof. Let us calculate the integral mn (x) dx Jnk =.

x xk 1 x Let us substitute x = (1 y 2 )/(1 + y 2 ). Denote by Mn (y) = mn ((1 y 2 )/(1 + y 2 )). As it is known (see [11, p. 47]), the function Mn is the Bernstein rational function on the real axis and has zeros at the points ±yk, yk = (1 xk )/(1 + xk ), k = 1, n. We get 1 + yk Mn (y) Jnk = 2 dy.

y 2 yk Let us calculate the integral 1 Mn (y) z C, Im z 0.

Jn (z) = dy, y2 z From [11] we derive n n 1 y zm y zm Mn (y) = +, 2 y z m m=1 y zm m= 1+ak where zk are the roots of equation y 2 + 1ak = 0, and Im zk 0, k = 1, n. Let us also emphasize that the numbers zk, k = 1, n, will be arranged symmetrically with respect to the imaginary axis.

Evidently, n n n i 1 y zm 1 y zm i z zm Jn (z) = res res 2 =.

2 z2 y z m y=z y z 2 y y zm 2z z zm y=z m=1 m=1 m= Orthogonal systems of rational functions on the segment and quadratures of Gauss-type Then, n 2 1 + yk 1 + yk yk zm Jnk = lim Jn (z) = i.

2 2yk y zm z yk, m=1 k Im z Denote n yk zm = n,k.

y zm m=1 k From the fact that µn (xk ) = + k, k = 1, n, it follows that n,k + n,k = 0, n,k ) = (1)k.

2i (n,k In this we nd that n,k = i(1)k.

Thus, (1)k 1 + yk Jnk = (1)k =.

2yk 1 x2 k Then formula (15) is a consequence of relations (13) and (14).

(0) Estimate (16) is a direct consequence of Theorem 2 considering that the function mn (x) = Mn (x) (0) (0) (0) is a member of orthogonal system of rational functions M0 (x), M1 (x),..., Mn (x) on the segment [1, 1] according to the weight (1 x2 )1/2 and the numbers ak, k = 1, n.

3.2. Let n be the rational sine-function of Chebyshev–Markov (see [11, p. 49]:

1 x2, n (x) = sin µn+1 (x)/ where 1 a n k x2, µn+1 (x) = n+1 (x)/ 1 n+1 (x) = 1 +.

1 + ak x k= Then the function n is rational of n order and has n simple zeros on the interval (1, 1), 1 xn xn1... x1 1.

For any function f C[1, 1] let us construct the quadrature formula:

1 n x2 f (x)dx 1 Ak f (xk ), (17) k= where 1 1 x 1 n (x) sin µn+1 (x) k k+ x Ak = 1 dx = (1) dx, k = 1, n.

n (xk ) x xk n+1 (xk ) x xk 1 Theorem 3. The quadrature formula (17) is given by 1 n 1 x2k 1 x2 f (x)dx f (xk ) (18) n+1 (xk ) k= and for its remainder the following estimate holds 1 n 1 x2k x2 f (x)dx 1 f (xk ) R2n1 (f, a).

n+1 (xk ) k= 120 E.A. Rovba B. Samokysh in his work [12] built the quadrature formula with Chebyshev weight of the second type optimal in H2. It turns out, that the quadrature formula, deduced by B. Samokysh is a special case of formula (18). It is the case when xk = ak, k = 1, n, n is an odd number, and such numbers as a1, a2,..., an do exist and are the only ones.

3.3. Let Qn (x) = sin µn+1/2 (x)/ 1 x be the rational function of Jacobi type with respect to the weight (1 x)/(1 + x) on the segment [1, 1], where 1 a n 1 k x2, µn+1/2 (x) = n+1/2 (x)/ 1 n+1/2 (x) = +.

2 1 + ak x k= (see Theorem 1). According to Lemma 4, the function Qn has n simple zeros on the interval (1, 1), 1 xn xn1... x1 1.

For f C[1, 1] let us construct the quadrature formula:

1 n 1x f (x)dx Ak f (xk ), (19) 1+x k= where sin µn+1/2 (x) k+1 (1 xk ) 1 + xk Ak = (1) dx.

n+1/2 (xk ) 1 + x(x xk ) Theorem 4. The quadrature formula (19) is as follows 1 n 1x 1 xk f (x)dx f (xk ) 1+x n+1/2 (xk ) k= and for its remainder the following estimate holds 1 n 1x 1 xk f (x)dx f (xk ) 2R2n1 (f, a).

1+x n+1/2 (xk ) k= Theorems 3 and 4 are proved like Theorem 2.

References 1. Andersson, J.-E. Optimal quadrature of Hp functions / J.-E. Andersson // Math. Zeitschrift. – 1980. – Vol. 172. – P. 55–60.

2. Bojanov, B.D. On an optimal quadrature formula / B.D. Bojanov // C.R. Acad. Bulg. – 1974. – Vol. 27. – N. 5. – P. 619–621.

3. Gautschi, W. Gauss-type quadrature rules for rational functions / W. Gautschi // Numerical Integration. – 1993. – N. 4. – P. 111–130.

4. Dzharbashyan, M.M. To the theory of Fourier series on rational functions / M.M. Dzharbashyan // Izv. AS Arm. SSR. Ser. Ph.-Mathem. Sc. – 1956. – Vol. 9. – N. 7. – P. 3–28.

5. Dzharbashyan, M.M. On one generalization of Chebyshev polynomials / M.M. Dzharbashyan, A.A. Kit balyan // Rep. AS Arm. SSR. – 1964. – Vol. 38. – N. 5. – P. 263–270.

6. Loeb, H.L. Optimal numerical quadrature of Hp functions / H.L. Loeb, H. Werner // Math. Zeitschrift. – 1974. – Vol. 138. – P. 111–117.

7. Newman, D.J. Quadrature formula for Hp functions / D.J. Newman // Math. Zeitschrift. – 1979. – Vol. 166. – P. 111–115.

Приближения рациональными операторами Джексона функций ограниченной вариации 8. Lpez Lagomasino, G. A note on generalized quadrature formulas Gauss-Jacobi type / G. Lpez Lagomasino, o o J. Illian // In: Conctructive Theory of Function. 1984. Soa. – 1985. – P. 513–518.

9. Van Assche, W. Quadrature formulas based on rational interpolation / W. Van Assche, I. Vanherwegen // Math. Comput. – 1993. – Vol. 61 (204). – P. 765–783.

10. Rovba, E.A. Quadrature formulas of interpolated-rational type / E.A. Rovba // Rep. AS Belarus. – 1996. – Vol. 40. – N. 3. – P. 42–46.

11. Rusak, V.N. Rational Functions as a Means of Approximation / V.N. Rusak. – Minsk: BSU, 1979. – 176 p.

12. Samokysh, B.A. The quadrature formula with Chebyshev weight of the II type, optimal in H2. Asymptotic nodes representation / B.A. Samokysh // Algebra and Analysis. – 1993. – Vol. 5. – N. 5. – P. 118–154.

Приближения рациональными операторами Джексона функций ограниченной вариации * Proximate order estimations of uniform deviations of the rational Jackson operators are found for the functions of bounded variation.

Одна из важнейших задач теории приближения функций формулируется следующим образом.

Пусть задан какой-либо класс непрерывных на отрезке [a, b] функций M и оператор Un (метод приближения), ставящий в соответствие каждой функции f M некоторый многочлен степени не выше n, значение которого в точке x обозначим через Un (x, f ). Требуется определить верхнюю грань n N, (1) En = E(Un, M) = sup f Un (·, f ) C[a,b], f M уклонений функции f от их приближений Un в равномерной метрике. К настоящему времени эта задача является классической и имеются глубокие исследования для различных классов функций и широкого круга методов приближения (см. [1, 2]).

Естественно обобщить эту задачу для рациональных приближений, т.е. рассмотреть случай, когда выбирается метод приближения, ставящий в соответствие каждой функции f M некоторую рациональную функцию p/q степени не выше n. Часто такой метод задает лишь коэффициенты числителя (многочлена p). Если обозначить через zk, k = 1, n, корни многочлена q, то в этом случае параметры zk, k = 1, n, остаются свободными. Вместо чисел (1) здесь можно рассмотреть n N, (2) En = E(Un, M) = sup inf f Un (·, f ) C[a,b], f M где инфимум берется по всем z1, z2,..., zn из C\[a, b].

Первый результат, выражающий порядок убывания последовательности {En }, определенной соотношениями (2), принадлежит В.Н. Русаку [3]. В качестве классов выбирались классы периоди ческих функций f, имеющих r-ю производную f (r) в смысле Вейля, r 0, и Var(f (r), [0, 2]) 1, а в качестве оператора Un рациональный оператор Валле-Пуссена.

Позже в работе [4] получен аналогичный результат для функций f, имеющих на отрезке [a, b] производную f (r) в смысле Римана–Лиувиля, r 0 и Var(f (r), [a, b]) 1.

В настоящей работе решена задача нахождения порядка убывания величин, определенных ра венствами (2) для одного класса функций в случаях, когда в качестве операторов Un выбираются рациональные интегральные операторы Джексона.

Пусть V () = V (M, [a, b], ) класс непрерывных на отрезке [a, b] функций f, удовлетворяю щих следующим условиям: а) функция f имеет ограниченную вариацию на [a, b], Var(f, [a, b]) M ;

* Ровба, Е.А. Приближения рациональными операторами Джексона функций ограниченной вариации / Е.А. Ров ба // Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений – 2001. Труды института математики НАН Беларуси. Минск. – 2001. – Т. 9. – С. 119–122.

122 Е.А. Ровба б) (f, ) (), [0, b a], где (f, ) модуль непрерывности функции f на отрезке [a, b], () заданный модуль непрерывности.

Рациональные равномерные приближения таких функций f, f V (), исследовались Е.П. Дол женко и А.А. Абдугаппаровым (см., например, [5]), Г. Фройдом [6], А.П. Булановым [7]. Окончатель ный результат принадлежит А.А. Пекарскому [8] и П.П. Петрушеву [9] (см. также [10, c. 134]). Он состоит в том, что для наилучших равномерных приближений Rn (f ) рациональными функциями степени не выше n имеет место неравенство M ba Rn (f ) c inf +, ten/t t 1tn где c абсолютная положительная постоянная.

Подчеркнем, что в случае, когда lim (()/) =, эта оценка является точной по порядку + (см. [10, c. 317]).

Оказывается, что при специальном выборе полюсов рациональные операторы Джексона осу ществляют приближение функции f V () порядка наилучшего.

Пусть функция f определена и интегрируема на отрезке [a, b], zk, k = 1, n, произвольные комплексные числа с положительной мнимой частью. Рациональной функцией Джексона назовем функцию (см. для сравнения [11, с. 114]) b (3) D4n4 (x, f ) = f (t)Gn (t, x)dt, gn (x) a где + n (1 + t2 ) sin4 (n (t) n (x)) (4) Gn (t, x) =, n (x) = arg(zk x), gn (x) = Gn (t, x)dt.

(t x) k=1 Нетрудно показать, что D4n4 является рациональной функцией степени не выше 4n 4.

Подправим введенный выше класс функций следующим образом. Пусть V0 () класс функ ций f V (M, [a, b], ), удовлетворяющих условию (5) f (a) = f (b) = 0.

Условие (5) обусловлено выбором конструкции оператора (3) и не является с точки зрения рацио нальной аппроксимации существенным ограничением.

Теорема 1. Если функция f V0 (), то значения параметров zk, k = 1, n, можно выбирать так, что справедливо неравенство M ba n N, (6) f D4n4 (·, f ) c inf +, C[a,b] ten/t t 1tn где c асолютная положительная постоянная.

Следствие 1. Если модуль непрерывности () удовлетворяет условию lim (()/) =, то + M ba.

En = E(D4n4, V0 ()) inf + ten/t t 1tn Для описания нужных нам свойств рациональных операторов (3) приведем лемму.

Лемма 1. Справедливы неравенства n k (1 + x2 )(n (x))3, x R, где n (x) = a) gn (x) 2, zk = k + ik, k = 1, n;

(x k )2 + k 2 k= n k (1 + 2 + k ) k 2, x R.

б) gn (x) 2 k=1 [(x k )2 + k ] Приближения рациональными операторами Джексона функций ограниченной вариации Лемма 1 легко получается из соответствующей леммы из [11, c. 114].

Опишем метод выбора параметров zk, k = 1, n, на которых реализуется оценка (6).

Пусть f V0 () и задано n, n 48. Полагаем N = [n/24]. Не ограничивая общности, можем считать (см. [10, c. 135]), что M ((b a)eN ) и M/N ((b a)/N e). В этом случае существует единственное значение t0 [1, n] такое, что M ba =.

t0 eN t t Не ограничивая общности, будем также полагать, что N (7) t0.

ln N Пусть A = ln(t0 eN/t0 ). Построим разбиение 1,k отрезка [a, b] следующим образом. Полагаем 1,0 = a, MA, k = 1, 2,..., k0. Если при некотором значе 1,k = max x : a x b, |f (x) f (1,k1 )| t MA нии k0 получим, что 1,k0 = b, |f (b) f (1,k0 1 )| =, то полагаем, что k0 =: 1. Если же t MA, то полагаем k0 1 = 1, 1,k0 2 = 1,1 1, b = 1,1.

|f (b) f (1,k01 )| t Таким образом, разбиение 1,k обладает свойствами:

MA 2M A а) f (x) f (1,k1 ), k = 1, 1 ;

C[1,k1,1,k ] t0 t (8) б) 1 t0 /A;

(b a)/t0 eN/t0.

в) 1,k := 1,k 1,k MA n Свойство б) следует из того, что M, а свойство в) из 1 k=1 |f (1,k ) f (1,k1 )| t MA ba того, что = A |f (1,k ) f (1,k1 )|.

t0 eN t t Аналогичным образом построим разбиение 1,k отрезка [a, b], включающее точки предыдущего разбиения и такое, что:

M 2M а) f (x) f (2,k1 ), k = 1, 2 ;

C[2,k1,2,k ] t0 t0 (9) б) 2 t0.

Теперь определим параметры zk, k = 1, k, следующим образом:

а) на каждой прямой Re z = 1,k, k = 0, 1, выберем N1 := [1 + A2 ] точек zk, совпадающих с точками 1,k + ij1, j = 1, N1, где = exp(1/ N1 );

причем кратность выбранных точек zk на прямых Re z = a и Re z = b положим равной 1 ;

б) выберем 22 точек zk, совпадающих с точками 2,k + i2,k1 и 2,k + i2,k1, k = 1, 2 1, и с точками 2,0 + i2,1 и 2 + i2,2, где 2,k := 2,k 2,k1 ;

кратность каждой точки в этом 2, случае возьмем равной [1 + N1 ].

Из соотношений (8), (9) и (7) следует, что число так выбранных значений параметров zk не превосходит (1 1)N1 + 21 N1 + 22 (1 + N1 ) 12t0 A n.

Выпишем функцию n (x), соответствующую этим значениям zk, по формуле (4).

124 Е.А. Ровба, В.Н. Русак Лемма 2. Имеет место асимптотическое равенство 1 1 t0 1, t0 eN/t0, t0 eN/t0, t0 eN/t n (x) A min + min + min + |x 1,k | A |x a| |x b| k= 2 1 2,k+1 2,k 1 +A min, + min,, (x 2,k )2 2,k (x 2,k ) 2,k+ k=1 k= x [a, b], n.

Заметим, что аналогичные асимптотические оценки содержатся в [12].

Доказательство теоремы основывается на леммах 1–2 и проводится так же, как в [13].

Список литературы 1. Никольский, С.М. Приближение периодических функций тригонометрическими многочленами / С.М. Никольский // Труды матем. ин-та АН СССР им. В.А. Стеклова. – 1945. – Т. 15. – № 1. – С. 1–76.

2. Дзядык, В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами / В.К. Дзядык. – Москва: Наука, 1977. – 511 с.

3. Русак, В.Н. Точные порядки наилучших рациональных приближений на классах функций, представи мых в виде свертки / В.Н. Русак // Докл. АН СССР. – 1984. – Т. 279. – № 4. – С. 810–812.

4. Ровба, Е.А. Приближение функций, дифференцируемых в смысле Римана–Лиувилля, рациональными операторами / Е.А. Ровба // Докл. АН Беларуси. – 1996. – Т. 40. – № 6. – С. 18–22.

5. Абдугаппаров, А.А. Приближение функций с выпуклой производной посредством рациональных функ ций: автореф.... дис. канд. физ.-матем. наук: 01.01.01 / А.А. Абдугаппаров;

Калининский гос. ун-т. – Калинин, 1974. – 10 с.

6. Freud, G. Uber die Approximation reeller funktionen durch rationale gebrochene funktionen / G. Freud // Acta. Math. Acad. Sci. Hung. – 1966. – Vol. 17. – N. 3–4. – P. 313–324.

7. Буланов, А.П. Рациональные приближения непрерывных функций с конечным изменением / А.П. Бу ланов // Изв. АН СССР. Сер. матем. – 1975. – Т. 39. – № 5. – С. 1142–1181.

8. Пекарский, А.А. Рациональная аппроксимация непрерывных функций с заданным модулем непрерыв ности и модулем изменения / А.А. Пекарский // Весцi АН БССР. Сер. фiз.-мат. навук. – 1978. – № 5. – С. 34–39.

9. Petrushev, P. / P. Petrushev // Pliska Studia Math. Bulgarica. – 1977. – Vol. 1. – P. 145–155.

10. Lorentz, G.G. Constructive approximation. Advanced problems / G.G. Lorentz, M.V. Golitscheck, Y. Makovoz. – Berlin: Springer-Verlag, 1996. – 452 p.

11. Русак, В.Н. Рациональные функции как аппарат приближения / В.Н. Русак. – Минск: Изд-во БГУ им. В.И. Ленина, 1979. – 176 с.

12. Ровба, Е.А. О скорости приближения интерполяционными рациональными операторами с предписан ными полюсами / Е.А. Ровба, В.Н. Русак // Докл. АН Беларуси. – 1997. – Т. 41. – № 6. – С. 21–24.

13. Ровба, Е.А. О приближении рациональными операторами Фейера и Джексона функций ограниченной вариации / Е.А. Ровба // Докл. АН Беларуси. – 1998. – Т. 42. – № 4. – С. 13–17.

О развитии научных исследований по теории аппроксимации в Беларуси * Исследования по теории аппроксимации в Беларуси в XX веке начались и развивались под влия нием деятельности А.Х. Турецкого. В 1935 году он успешно закончил аспирантуру при АН СССР под * Ровба, Е.А. О развитии научных исследований по теории аппроксимации в Беларуси / Е.А. Ровба, В.Н. Русак // Актуальные проблемы математики и компьютерного моделирования: сб. науч. тр. / ГрГУ им. Я. Купалы;

редкол.:

Ю.М. Вувуникян (отв. ред.) [и др.]. – Гродно: ГрГУ, 2007. – С. 126–132.

О развитии научных исследований по теории аппроксимации в Беларуси руководством академика С.Н. Бернштейна и решением квалификационной комиссии Наркомпроса БССР был утвержден в ученом звании доцента. Несколько лет заведовал кафедрами математики в Витебском и Ульяновском педагогических институтах. Начиная с 1944 года вся творческая дея тельность А.Х. Турецкого связана с Белорусским государственным университетом, здесь им создана научная школа по теории приближения функций. В 1958 году он защитил докторскую диссерта цию, в 1961–1968 годах заведовал кафедрой высшей математики и математической физики, с по 1973 год возглавлял кафедру теории функций и функционального анализа.

Научные интересы профессора А.Х. Турецкого относились к проблемам суммирования триго нометрических рядов Фурье, к экстремальным задачам теории интерполирования и приближенного интегрирования. Широкую известность и признание специалистов получили опубликованные им статьи по классам насыщения методов суммирования тригонометрических рядов, в том числе статей во всесоюзных журналах [1–5].

Пусть C2 пространство непрерывных 2-периодических функций. Всякой функции f (x) C ставим в соответствие ряд a (1) F (x,, f ) = + k () ak cos kx + bk sin kx, k= где {ak, bk } коэффициенты Фурье функции f (x), (k ()) последовательность функций, задан ных на некотором множестве изменения параметра с точкой сгущения. Ряд (1) предполагается равномерно сходящимся относительно x, по крайней мере для значений из окрестности. Тем самым задается метод суммирования, или множество операторов суммирования, действующих из C2 в C2, (2) F : f (x) F (x,, f ).

Пусть существует положительная функция (), монотонно сходящаяся к нулю при и такая, что для любой f (x) C2, отличной от тригонометрического полинома порядка f (x) F (x,, f ) a (), и существуют отличные от тригонометрических полиномов порядка функции f (x) C2, для которых f (x) F (x,, f ) b (), где a и b константы, зависящие от f. Тогда говорят, что метод суммирования является насы щенным порядка с приближением насыщения порядка O( ()). Классом насыщения порядка, относящимся к методу, называют множество функций из C2, отличных от тригонометрических полиномов порядка, для которых f (x) F (x,, f ) = O( ()).

Теорема 1 (Турецкого). Если для метода суммирования, заданного последовательностью (k ()), существуют 1) положительная функция (), монотонно сходящаяся к нулю при ;

2) натуральное число p и константы d0 = 0, d1,..., dp, такие, что для всякого фиксированного kN 1 k () = d0 kp +... + dp, (3) lim () то метод суммирования является насыщенным с приближением насыщения порядка O( ()).

Из соотношения (4) f (x) F (x,, f ) = O( ()) 126 Е.А. Ровба, В.Н. Русак следует, что при четном p функция f (x) имеет производную порядка p 1, удовлетворяющую условию Липшица порядка единицы f (p1) (x) Lip 1, (5) а при нечетном p этим свойством обладает тригонометрически сопряженная функция f (x) т.е.

f (p1) (x) Lip 1. (6) Если, кроме условия (3), нормы операторов, определяемых соотношениями (1), (2) равномерно ограничены, то класс насыщения для метода суммирования есть множество дифференцируемых функций, удовлетворяющих условиям (5) или (6) в зависимости от четности числа p.

Данная теорема позволяет установить насыщенность большинства известных методов сумми рования и найти соответствующие классы насыщения в пространстве C2. Исследования А.Х. Ту рецкого по методам суммирования были продолжены в работах А.К. Покало и И.Н. Бруя (см., например, [6, 7]).

В результате исследований А.Х. Турецкого (см. [8, 9]) по приближенному интегрированию были построены квадратурные формулы наивысшего тригонометрического порядка точности, найдены наилучшие квадратурные формулы в классах W r Lp [a, b]. По данной тематике были подготовлены кандидатские диссертации М.Б. Аксеня и Н.Я. Козловского.

Экстремальные неравенства для полиномов, рациональных функций и их производных, поряд ковые оценки уклонений интерполяционных операторов на классах функций вошли в монографии А.Х. Турецкого [10, 11]. Кроме самого А.Х. Турецкого по этой тематике проводили исследования В.Н. Русак, И.И. Корзун, Н.Н. Власовец, Г.Н. Торопова, О.А. Чупригин.

Современная теория рациональных приближений началась с исследований А.А. Гончара. Им и Е.П. Долженко в 1955–1962 годах получен ряд существенных результатов по обратным задачам аппроксимации рациональными функциями со свободными полюсами. В частности, были установ лены структурные свойства функций, которые гарантируются соответствующей скоростью стрем ления к нулю наилучших рациональных приближений дифференцируемость определенное число раз, ослабленная квазианалитичность, наличие почти всюду полного дифференциала, абсолютная непрерывность [12–15].

В 1964 году была опубликована работа Д. Ньюмена о рациональном приближении функции |x|. Вслед за этим в 1965–1968 годах усилиями П. Турана, А.А. Гончара, Г. Фройда, А.П. Булано ва были найдены первые классы функций, на которых рациональная аппроксимация существенно меньше полиномиальной. С этого времени рациональные приближения превратились в интенсивно развивающийся раздел математического анализа. Наряду с изучением наилучших рациональных приближений усилился интерес к изучению конкретных способов аппроксимации рациональными функциями. В 1976 году В.А. Поповым был определен точный порядок наилучшей рациональной аппроксимации на классе функций, имеющих r-ю производную ограниченной вариации. В дальней шем усилиями преимущественно болгарских, российских, немецких, американских и белорусских математиков были установлены окончательные порядковые оценки для наилучших рациональных приближений на ряде других важных классов, заданных на отрезке, в круге |z| 1, или вложен ных в пространстве непрерывных 2-периодических функций. В 1987 и 1996 годах на английском языке были опубликованы монографии по рациональной и конструктивной аппроксимации [16, 17], где отражены основные достижения по теории рациональных приближений по состоянию на соот ветствующий период времени, в том числе и достижения белорусских математиков. В отношении последних мы приведем ниже небольшое добавление.

Начиная с 70-х годов XX века рациональная аппроксимация постепенно превратилась в основ ное направление научных исследований сотрудников и аспирантов на кафедре ВМиМФ БГУ. В тер минах мажорирующих функций, зависящих от полюсов, были доказаны экстремальные неравенства для производных рациональных функций на R в различных метриках, порядковые неравенства для производных рациональных функций, ограниченных на замкнутых множествах с односвязным до полнением. Были разработаны способы построения положительных на R интегральных операторов О развитии научных исследований по теории аппроксимации в Беларуси с рациональными ядрами, соответствующих любой заданной системе параметров с положительны ми мнимыми частями, найдены локальные порядковые оценки их уклонений от аппроксимирующих функций. Удалось решить проблему построения интегрального рационального оператора, осуществ ляющего для любой функции из пространства C(R) приближение порядка наилучшего рациональ ного приближения с фиксированными полюсами (см. [18–20]).

Указанные выше интегральные рациональные операторы и их модификации были применены в рациональной аппроксимации со свободными полюсами, и удалось выделить новые классы ана литических и периодических функций, для которых рациональная аппроксимация дает существен ный выигрыш по сравнению с полиномиальной. Такими классами оказались дифференцируемые в r r смысле Вейля функции с производной ограниченной вариации W2 V, сопряженные классы W2 V, r r и классы аналитических функций Br H1, причем для классов W2 V и W2 V были найдены точные порядковые оценки наилучших рациональных приближений, а найденные оценки для наилучших приближений на классах Br H1 отличались от точных на логарифмический множитель (см. [20–22]).

В 1988 году в Институте математики АН Украины была защищена докторская диссертация В.Н. Русака Рациональные функции как аппарат приближения.

В работе [23] А.А. Пекарский на основе других аппроксимационных соображений нашел точный порядок для наилучших рациональных приближений на классах Br H1. Им были получены также неулучшаемые оценки для наилучших рациональных приближений выпуклых функций, абсолютно непрерывных функций с производной из пространства Орлича [24, 25]. Найдены точные по порядку оценки для высших производных рациональных функций и установлены соотношения между наи лучшими рациональными и кусочно полиномиальными приближениями в интегральной метрике. В терминах классов Бесова и специальных теорем вложения доказаны прямые и обратные теоремы о скорости рациональных приближений [26, 27].

В 1990 году в МГУ была защищена докторская диссертация А.А. Пекарского Прямые и об ратные теоремы рациональной аппроксимации.

В исследованиях Е.А. Ровбы разработаны способы построения интерполяционных и сумматор ных рациональных операторов в C(R), решена проблема нахождения интерполяционного рациональ ного оператора, осуществляющего приближение порядка наилучшего рационального приближения с фиксированными полюсами. Получены оценки уклонений рациональных операторов Фурье для ана литических функций, представимых интегралом Коши–Стилтьеса. Доказано, что при специальном выборе полюсов рациональные операторы типа Валле-Пуссена, действующие в C(R), осуществляют наилучшее по порядку приближение в классе функций, имеющих дробную производную ограничен ной вариации на конечном отрезке. Найдены новые подходы к построению квадратурных формул, точных на рациональных функциях (см. [28–33]).

В 1999 году в БГУ была защищена докторская диссертация Е.А. Ровбы Интерполяция и ряды Фурье в рациональной аппроксимации.

В работах А.П. Старовойтова (см., например, [34–38]) доказано существование функции f (x) C2 с произвольно заданной строго убывающей к нулю последовательностью наилучших рациональных приближений, решена задача Долженко о плотности индексов, для которых сов падают наилучшие полиномиальные и рациональные приближения. Установлены точные порядки наилучших рациональных приближений на классах функций, представимых в виде свертки ядра Римана–Лиувилля и функций из Lp, 0 r 1, в равномерной и интегральной нормах. Найдены новые подходы к нахождению асимптотики уклонений рациональных операторов Паде для анали тических функций с правильно убывающими тейлоровскими коэффициентами.

В 2003 году в БГУ была защищена докторская диссертация А.П. Старовойтова Рациональная аппроксимация и классы функций.

Различные аспекты рациональной аппроксимации и ее приложений исследовались и иссле дуются также в работах Л.Л. Берёзкиной, Та Хонг Куанга, Н.К. Филипповой, В.И. Митенкова, С.А. Луговского, А.С. Ляликова, В.Р. Мисюка, К.А. Смотрицкого, И.В. Рыбаченко, Е.И. Стельмах, Т.С. Мардвилко и др.

128 Е.А. Ровба, В.Н. Русак Заметим в заключение, что несколько более детально развитие исследований по рациональным приближениям в Беларуси изложено в опубликованных обзорных статьях В.Н. Русака [39–40] и в подготовленной обзорной статье А.А. Пекарского для журнала Восточная аппроксимация.

Список литературы 1. Турецкий, А.Х. О классе насыщения для метода Гельдера суммирования рядов Фурье / А.Х. Турец кий // Докл. АН СССР. – 1958. – Т. 121. – № 6. – С. 980–983.

2. Турецкий, А.Х. О классах насыщения в пространстве C / А.Х. Турецкий // Докл. АН СССР. – 1959. – Т. 126. – № 1. – С. 30–32.

3. Турецкий, А.Х. О классах насыщения для некоторых методов суммирования рядов Фурье непрерывных периодических функций / А.Х. Турецкий // Докл. АН СССР. – 1959. – Т. 126. – № 6. – С. 1207–1209.

4. Турецкий, А.Х. О классах насыщения в пространстве C / А.Х. Турецкий // Изв. АН СССР. Сер. матем. – 1961. – Т. 25. – № 3. – С. 411–442.

5. Турецкий, А.Х. О классах насыщения для некоторых методов суммирования рядов Фурье непрерывных периодических функций / А.Х. Турецкий // УМН. – 1963. – Т. 15. – № 6. – С. 149–156.

6. Покало, А.К. К вопросу о суммировании функций класса B (r) / А.К. Покало // Докл. АН СССР. – 1957. – Т. 116. – № 5. – С. 750–753.

7. Бруй, И.Н. Методы суммирования тригонометрических рядов и пространства функций / И.Н. Бруй // Матем. сб. – 2002. – Т. 193. – № 4. – С. 17–36.

8. Турецкий, А.Х. О формулах квадратур, точных для тригонометрических полиномов / А.Х. Турецкий // Уч. зап. БГУ. Сер. матем. – 1959. – Т. 1 (49). – С. 31–54.

9. Аксень, М.Б. О наилучших квадратурных формулах для некоторых классов функций / М.Б. Аксень, А.Х. Турецкий // Докл. АН СССР. – 1966. – Т. 166. – № 5. – С. 1019–1021.

10. Турецкий, А.Х. Теория интерполирования в задачах / А.Х. Турецкий. – Минск: Вышэйшая школа, 1968. – 317 с.

11. Турецкий, А.Х. Теория интерполирования в задачах. Ч. 2 / А.Х. Турецкий. – Минск: Вышэйшая школа, 1977. – 256 с.

12. Гончар, А.А. О наилучших приближениях рациональными функциями / А.А. Гончар // Докл. АН СССР. – 1955. – Т. 100. – № 2. – С. 13–16.

13. Гончар, А.А. Обратные теоремы о наилучших приближениях рациональными функциями / А.А. Гон чар // Изв. АН СССР. Сер. матем. – 1961. – Т. 25. – № 3. – С. 347–356.

14. Долженко, Е.П. Скорость приближения рациональными дробями и свойства функций / Е.П. Должен ко // Матем. сб. – 1962. – Т. 56. – № 4. – С. 403–432.

15. Долженко, Е.П. О свойствах функций нескольких переменных, достаточно хорошо приближаемых ра циональными дробями / Е.П. Долженко // Изв. АН СССР. Сер. матем. – 1962. – Т. 26. – № 5. – С. 641–652.

16. Petrushev, P.P. Approximation of Real Functions / P.P. Petrushev, V.A. Popov. – Cambridge: University Press, 1987. – 370 p.

17. Lorentz, G.G. Constructive approximation. Advanced problems / G.G. Lorentz, M.V. Golitscheck, Y. Makovoz. – Berlin: Springer-Verlag, 1996. – 452 p.

18. Русак, В.Н. Оценки производной рациональной функции / В.Н. Русак // Матем. заметки. – 1973. – Т. 13. – № 4. – С. 493–498.

19. Русак, В.Н. Об одном методе приближения рациональными функциями на вещественной оси / В.Н. Ру сак // Матем. заметки. – 1977. – Т. 22. – № 3. – С. 375–380.

20. Русак, В.Н. Рациональные функции как аппарат приближения / В.Н. Русак. – Минск: Изд-во БГУ им. В.И. Ленина, 1979. – 176 с.

21. Русак, В.Н. Точные порядки наилучших рациональных приближений на классах функций, представи мых в виде свертки / В.Н. Русак // Докл. АН СССР. – 1984. – Т. 279. – № 2. – С. 810–812.

22. Русак, В.Н. Точные порядковые оценки для наилучших рациональных приближений на классах функ ций, представимых в виде свертки / В.Н. Русак // Матем. сб. – 1985. – Т. 128. – № 4. – С. 492–515.

Рациональная аппроксимация функций Стилтьеса на действительной оси 23. Пекарский, А.А. Классы аналитических функций, определяемые наилучшими рациональными прибли жениями в Hp / А.А. Пекарский // Матем. сб. – 1985. – Т. 127. – № 1. – С. 3–20.

24. Пекарский, А.А. Рациональные приближения выпуклых функций / А.А. Пекарский // Матем. замет ки. – 1985. – Т. 38. – № 5. – С. 679–690.

25. Пекарский, А.А. Рациональные приближения абсолютно непрерывных функций с производной из про странства Орлича / А.А. Пекарский // Матем. сб. – 1982. – Т. 117. – № 1. – С. 114–130.

26. Пекарский, А.А. Неравенства типа Бернштейна для производных рациональных функций и обратные теоремы рациональной аппроксимации / А.А. Пекарский // Матем. сб. – 1984. – Т. 124. – № 4. – С. 571– 586.

27. Пекарский, А.А. Чебышевские рациональные приближения в круге, на окружности и на отрезке / А.А. Пекарский // Матем. сб. – 1987. – Т. 133. – № 1. – С. 86–102.

28. Ровба, Е.А. Интерполяционные рациональные операторы типа Фейера и Валле-Пуссена / Е.А. Ровба // Матем. заметки. – 1993. – Т. 53. – № 2. – С. 114–121.

29. Ровба, Е.А. Сумматорные рациональные операторы типа Джексона / Е.А. Ровба // Матем. заметки. – 1997. – Т. 61. – № 6. – С. 18–22.

30. Пекарский, А.А. Равномерные приближения функций Стилтьеса посредством ортопроекций на множе ство рациональных функций / А.А. Пекарский, Е.А. Ровба // Матем. заметки. – 1999. – Т. 65. – № 3. – С. 362–368.

31. Ровба, Е.А. О приближении рациональными операторами типа Фурье и Валле-Пуссена функций с про изводной ограниченной вариации / Е.А. Ровба // Працi Iнституту математики НАН Украины. – 1998. – Т. 20. – С. 204–217.

32. Rovba, E.A. Orthogonal systems of rational functions on the segment and quadratures of Gauss-type / E.A. Rovba // Mathematica Balkanica. – 1999. – Vol. 13. – N. 1–2. – P. 187–198.

33. Ровба, Е.А. Интерполяция и ряды Фурье в рациональной аппроксимации / Е.А. Ровба. – Гродно: ГрГУ, 2001. – 105 с.

34. Старовойтов, А.П. К проблеме описания последовательностей наилучших тригонометрических раци ональных приближений / А.П. Старовойтов // Матем. сб. – 2000. – Т. 191. – № 6. – С. 145–154.

35. Старовойтов, А.П. Аппроксимация Паде для целых функций с регулярно убывающими коэффициен тами Тейлора / А.П. Старовойтов, В.Н. Русак // Матем. сб. – 2002. – Т. 193. – № 9. – С. 63–92.

36. Старовойтов, А.П. О совпадении наименьших равномерных уклонений функции от полиномов и раци ональных дробей / А.П. Старовойтов // Матем. заметки. – 2003. – Т. 74. – № 4. – С. 612–617.

37. Старовойтов, А.П. Существование непрерывных функций с заданным порядком убывания наименьших уклонений от рациональных функций / А.П. Старовойтов // Матем. заметки. – 2003. – Т. 74. – № 5. – С. 745–751.

38. Старовойтов, А.П. Скорость рациональной аппроксимации дробных интегралов Римана–Лиувилля и Вейля / А.П. Старовойтов // Докл. НАН Беларуси. – 2003. – Т. 47. – № 3. – С. 18–23.

39. Русак, В.Н. Наилучшие рациональные приближения и оценки уклонений специальных рациональных операторов / В.Н. Русак // Выбр. навук. працы БДУ. Минск. – 2001. – С. 445–463.

40. Rusak, V.N. Best Rational Approximations and Estimates of Deviations for Special Rational Operators / V.N. Rusak // Analytical Methods of Analysis and Dierential Equations. Ed’s A.A. Kilbas and S.V.Rogozin.

Cambridge Scientic Publisher. – 2006. – P. 225–238.

Рациональная аппроксимация функций Стилтьеса на действительной оси * Exact estimates of deviations of Stieltjes analytic in halfplane functions from rational operators of Fourier type have been obtained.


* Русак, В.Н. Рациональная аппроксимация функций Стилтьеса на действительной оси / В.Н. Русак, Е.А. Ровба // Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2007. – № 4. – С. 4–9.

130 В.Н. Русак, Е.А. Ровба Ортонормированные системы рациональных функций на окружности |z| = 1 были построены в [1, 2]. В применении к аналитическим функциям частные суммы ортогональных рядов по таким системам систематически используются в монографии Дж. Уолша [3]. В пространстве непрерыв ных 2-периодических функций приближение частными суммами рядов Фурье по рациональным функциям с фиксированными полюсами рассматривалось в ряде работ М.М. Джрбашяна (см., на пример, [4]). Для исследования наилучших рациональных приближений со свободными полюсами аналитических и 2-периодических функций рациональные операторы типа Фурье применялись в [5–8].

В данной работе рассматривается приближение рациональными операторами типа Фурье по ортогональным системам на действительной оси и их применение в рациональной аппроксимации со свободными полюсами в пространстве C(R).

Пусть {zk = k + ik }, Im zk 0, заданная последовательность комплексных чисел. Через k= n (x) будем обозначать произведение Бляшке с нулями в точках {zk } и полюсами в точках {z k }, т.е. n (x) = n (x zk )/(x z k ). Введем ядро Kn (t, x), полагая k= 1 x + i n (t) x i n (x) (1) Kn (t, x) =, 2i(t x) t + i n (x) t i n (t) и определим рациональные операторы S2n (x, f ) типа Фурье посредством равенства def S2n (x, f ) = (2) f (t)Kn (t, x)dt, которое всякой интегрируемой на R с весом (1 + x2 )1 функции ставит в соответствие правильную рациональную функцию с полюсами в точках {zk, z k }, k = 1, n.

В дальнейшем рассматриваем аналитические функции, представимые в виде интеграла Стил тьеса с компактным носителем dµ( ) (3) f (z) =, E [0, ), iz E где µ( ) ограниченная неубывающая функция, принимающая бесконечно много различных зна чений. На мнимой полуоси z = iy, y 0, значения функции f (iy) = E dµ( ) будут действитель +y ными. Предполагается также, что существует интеграл E dµ( )/, и соответственно функция (3) будет аналитической в верхней полуплоскости Im z 0 и непрерывной в замкнутой полуплоскости Im z 0. Более того, f (z) будет аналитической в плоскости с разрезом по полуоси z = iy, y 0. В качестве аппарата приближений функций Стилтьеса (3) будем брать рациональные операторы (2), полюсы которых выбираются на мнимой оси, т.е в соотношении (1) следует считать, что n x ik (4) n (x) =.

x + ik k= Теорема 1. Если µ( ) удовлетворяет условию E dµ( ), то в Im z 0 уклонение функции (3) от рациональных операторов (2) представимо в форме n n z ik (z i)dµ( ) k (5) |f (z) S2n (z, f )| =.

z + ik (z + i )( + 1) + k k=1 k= E Рациональная аппроксимация функций Стилтьеса на действительной оси Доказательство. В силу точности операторов S2n (z, f ) на константах, с учетом (1)–(2), аналитич ности f (z) в Im z 0 и непрерывности в Im z 0, будем иметь 1 f (z) f (t) z + i n (t) z i n (z) f (z) S2n (z, f ) = [f (z) f (t)]Kn (t, z)dt = dt = 2i tz t + i n (z) t i n (t) n 1 f (z) f (t) z i n (z) 1 f (z) f (t) z i z zk t z k = dt = dt = 2i tz t i n (t) 2i tz ti z z k t zk k= n n zi z zk f (t)dt t zk. (6) = 2i z zk (t i)(t z) t + zk k=1 k= Подставим теперь (3) в (6), поменяем порядок интегрирования, пользуясь теоремой Фубини, и найдем с учетом (4) n zi t zk 1 dµ( ) f (z) S2n (z, f ) = n (z) dt = 2i t zk (t i)(t z) it k=1 E n zi 1 t z k dt = n (z) dµ( ) = 2i ( it)(t z) t zk t i k= E n t zk i = (z i)n (z) dµ( ) lim = t zk (t i)(t z) ti k= E n n n dµ( ) + zk z ik dµ( ) z i k = (z i)n (z) =, ( + 1)(z + i ) + zk z + ik z + i + 1 + k k=1 k=1 k= E E откуда немедленно выводится требуемое соотношение (5).

Следствие 1. При условиях теоремы 1 справедливо неравенство n x2 + 1 dµ( ) k |f (z) S2n (z, f )| f (x) S2n (x, f ).

C(R) + k x2 + 2 + E k=1 C(R) Следствие 2. Если выполнены условия теоремы 1, E [0, A] и все zk = Ai, k = 1, n, то в Im z выполнено неравенство n A dµ( ) |f (z) S2n (z, f )| 3A.

A+ ( + 1) E Теорема 2. Если f (z) аналитическая функция, представимая интегралом Стилтьеса с ком пактным носителем dµ ( ) dµ ( ) f (z) =, E [0, A],, iz E E то в полуплоскости Im z 0 выполнено неравенство n dµ( ) k (7) inf f (z) Sn (z, f ) 6A inf, C(R) ( + 1) + k zk {k } k= E где Sn (z, f ) рациональный оператор типа Фурье, определенный параметрами {zk = k + ik }, k 0, k = 1, n.

132 В.Н. Русак, Е.А. Ровба Доказательство. Рассмотрим неотрицательную непрерывно дифференцируемую функцию n k dµ( ) def (1, 2,..., n ) = (8), 0 j.

+ k ( + 1) E k= def j Поскольку функция одной переменной (j ) = +j при любом E возрастает при,,..., ) будет выполняться равенство j +0 и j +, то в некоторой точке (1 2 n (9) min (1, 2,..., n ) = (1, 2,..., n ), 0 j.

{j } Далее нужно установить, что координаты 1, 2,..., n попарно различные. Для определенно сти докажем, что 1 = 2. Зафиксируем некоторое 1, 0 1 и введем функцию def () = (1 +, 1, 3,..., n ) = n ( 1 )2 2 ( 1 )2 k dµ ( ) def = d( ), (10) = ( + 1 )2 2 ( + 1 )2 + k ( + 1) k= E E где 1 ± (0, ) и ( ) неотрицательная мера.

Непосредственным вычислением проверяется, что ( 2 1 )2 + ( 1 ) (0) = 0, (0) = 4 d( ) 0, ( + 1 ) E т.е. при = 0 () имеет локальный максимум. Следовательно, предположение, что при = 1 может достигаться минимум в (9), противоречиво. Проведенное рассуждение и доказывает, что в экстремальном наборе (1, 2,..., n ) j = k при j = k.

Поскольку (1, 2,..., n ) есть внутренняя точка области (0, )n, то в ней выполнены необхо димые условия экстремума для функции (8):

n dµ( ) k 1 =2 = 0, = 1, n.

( + 1) + k + k= E Таким образом, выполняются соотношения n n 2 k k dµ ( ) dµ ( ) (11) =.

( + 1)( + ) + k ( + 1)( ) + k k=1 k= E E Возьмем теперь рациональную функцию n z ik n (i ) n (z), n (z) = z + i z + ik k= и разложим ее на простые дроби так, что n n (i ) n (z) Ak (z) (12) =, z + i k k= где Ak (z) будут некоторые рациональные функции от z. Отправляясь от (12) и заменяя в нем на, соответственно учитывая неравенство n (i )n (i ) = 1, получим n (i ) n (z) Ak (z) 1 n (z)n (i ) =n =, k z i (z i )n (i ) k= Рациональная аппроксимация функций Стилтьеса на действительной оси или что тоже самое n n (z)n (i ) 1 Ak (z) (13) =.

(z i )n (i ) + k k= dµ( ) Умножая равенства (12) и (13) на и интегрируя по множеству E с учетом (11), ( + 1)(n (i )) придем к соотношению n (i ) n (z) dµ ( ) 1 n (z)n (i ) dµ ( ) (14) =.

(z + i )( + 1) (n (i )) (i )(z i ) ( + 1)( (i )) n n E E Пусть теперь S2n (z, f ) рациональный оператор типа Фурье, построенный по экстремальному набору параметров 1, 2,..., n. Тогда, отправляясь от равенства (5), на основании (14) получим в полуплоскости Im z dµ ( ) |f (z) S2n (z, f )| = (z i)n (z) = (z + i )( + 1)n (i ) E dµ ( ) n (i ) n (z) dµ ( ) = (z i) (n (z)) + (z i)n (z) = ( + 1)(z + i ) (n (i ))2 2 ( + 1)(z + i ) (n (i )) E E (1 n (z)n (i )) dµ ( ) |J1 | + |J2 |. (15) = J1 + (z i)n (z) = |J1 + J2 | (z i )( + 1)(n (i )) E Для первого слагаемого из (15) по принципу максимума модуля найдем dµ ( ) x2 + 1 |J1 | 2 + 2 ( (i )) ( + 1) x n E dµ ( ) dµ ( ) +A 1) (n (i ))2 ( + 1) (n (i )) ( + E[0,1] E[1,A] n k dµ ( ) dµ ( ). (16) 2A = 2A 2 + k ( + 1) ( + 1) (n (i )) E k= E Аналогичным образом будем иметь (1 + |n (x)| |n (i )|)dµ ( ) |J2 | |(x i)n (x)| |x i | ( + 1) |n (i )| E dµ ( ) dµ ( ) x2 + 1 x2 + + + 1) (n (i ))3 + 1) (n (i )) x2 2 ( x2 2 ( + + E E n k dµ ( ). (17) 4A + k ( + 1) E k= Подставляя (16) и (17) в (15), получим оценку n k dµ ( ) f (z) S2n (z, f ) C(R) 6A.


+ k ( + 1) E k= 134 В.Н. Русак, Е.А. Ровба Для завершения доказательства теоремы 2 достаточно заметить, что inf f (z) S2n (z, f ) f (z) S2n (z, f ) C(R) C(R) {zk } n n 2 k dµ( ) k dµ( ) 6A = 6A inf.

+ k ( + 1) + k ( + 1) k E k=1 E k= Замечание 1. В общем случае найти {k }, реализующие минимум в правой части (7) или близкие к ним, не представляется возможным. В частном случае, если E = [0, A] и dµ ( ) слабо эквивалентно d, 0, возникает задача о минимизации интеграла A n 1 k (18) d.

+1 + k k= Из результатов В.С. Вячеславова [9] вытекает, что существует произведение Бляшке n (i ) = n ( k )/( + k ), удовлетворяющее неравенству k= (n (i )) C1 exp 2n.

Тогда из (7) и (18) вытекает, что A n 1 k inf f (z) S2n (z, f ) C2 inf d C(R) +1 + k zk k= A 1 (n (i ))2 d C2 C3 n exp( 2n).

Замечание 2. Вслед за работой А.А. Гончара [10] наилучшие рациональные приближения функций Стилтьеса на отрезке и в круге исследовались в [11–13].

Список литературы 1. Takenaka, S. On the orthogonal functions and a new formula of interpolation / S. Takenaka // Japan. J. of Math. – 1925. – N. 2. – P. 129–145.

2. Malmquist, F. Sur la determination d’une classe de fonctions analytiques par leurs valeurs dans un ensemble donne de points / F. Malmquist // Complex rendus du sixieme congres (1925) des math. scand. Kopenhagen. – 1926. – P. 253–259.

3. Уолш, Дж.Л. Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области / Дж.Л. Уолш. – Москва: ИИЛ, 1961. – 508 с.

4. Джрбашян, М.М. К теории рядов Фурье по рациональным функциям / М.М. Джрбашян // Изв. АН АрмССР. Сер. физ-мат. наук. – 1956. – Т. 9. – № 7. – С. 1–27.

5. Русак, В.Н. Рациональные функции как аппарат приближения / В.Н. Русак. – Минск: Изд-во БГУ им. В.И. Ленина, 1979. – 176 с.

6. Русак, В.Н. Точные порядковые оценки для наилучших рациональных приближений на классах функ ций, представимых в виде свертки / В.Н. Русак // Матем. сб. – 1985. – Т. 128. – № 4. – С. 492–515.

7. Ровба, Е.А. Интерполяция и ряды Фурье в рациональной аппроксимации / Е.А. Ровба. – Гродно: ГрГУ, 2001. – 106 с.

Рациональное интерполирование в нулях синус-дробей Чебышева–Маркова 8. Пекарский, А.А. Равномерные приближения функций Стилтьеса посредством ортопроекций на множе ство рациональных функций / А.А. Пекарский, Е.А. Ровба // Матем. заметки. – 1999. – Т. 65. – № 3. – С. 362–368.

9. Вячеславов, Н.С. О равномерном приближении функции |x| рациональными функциями / Н.С. Вяче славов // Докл. АН СССР. – 1968. – Т. 220. – № 3. – С. 512–515.

10. Гончар, А.А. О скорости рациональной аппроксимации некоторых аналитических функций / А.А. Гон чар // Матем. сб. – 1978. – Т. 105. – № 2. – С. 147–163.

11. Braess, D. Rational Approximation of Stieltjes Functions by the Caratheodory–Fejer Method / D. Braess // Constr. Approx. – 1987. – N. 3. – P. 43–50.

12. Andersson, J.-E. Optimal quadrature of Hp functions / J.-E. Andersson // Math. Zeitschrift. – 1980. – Vol. 172. – P. 55–60.

13. Пекарский, А.А. Наилучшие равномерные рациональные приближения функций Маркова / А.А. Пе карский // Алгебра и анализ. – 1995. – Т. 7. – № 2. – С. 121–132.

Рациональное интерполирование в нулях синус-дробей Чебышева–Маркова * The rational interpolating process with nodes in the zeros of Chebyshev–Markov sine-fractures is considered.

The interpolating Lagrange function is obtained in this case. The norm of the Lagrange function Ln (x;

f ) in the space L2 () of the square integrated functions with (x) = (1 x2 )1/2 weight on the segment [1;

1] is calculated for the xed poles. The norm of Ln as an operator from C[1;

1] to L2 () is estimated. On the basis of this estimate the theorem on the convergence of the rational interpolating process with nodes in the zeros of Chebyshev–Markov sine-fractures in the L2 () space with xed poles is proved. Using the Lagrange function a new quadrature formula, which generalizes known quadrature formula in the polynomial case, is obtained. It is shown that this quadrature formula is a quadrature formula of Gaussian type and its convergence is estimated.

Одним из классических аппаратов приближения теории рациональной аппроксимации явля ются различные интерполяционные операторы, действующие на вещественной оси или конечном отрезке, построенные на основании дробей Бернштейна или Чебышева–Маркова. Указанные опера торы позволяют строить новые рациональные квадратурные формулы.

Пусть {ak }+ произвольная последовательность комплексных чисел, удовлетворяющих усло k= виям:

1) a1 = 0;

2) если ak R, то |ak | 1;

3) если ak C, то среди указанных чисел есть такое число al, что al = ak.

Рассмотрим синус-дробь Чебышева–Маркова:

sin µn (x) Nn (x) = (1), x [1;

1], 1 x где n x + ak µn (x) = arccos, 1 + ak x k= причем 1 a n n (x) k n N.

µn (x) = (2), n (x) =, 1 + ak x 1 x2 k= Функция Nn имеет на отрезке [1;

1] n 1 различных вещественных нулей:

(3) 1 xn1 xn2... x1 1, Nn (xk ) = 0, µn (xk ) = k, k = 1,..., n 1.

* Ровба, Е.А. Рациональное интерполирование в нулях синус-дробей Чебышева–Маркова / Е.А. Ровба, К.А. Смот рицкий // Доклады НАН Беларуси. – 2008. – Т. 52. – № 5. – С. 11–15.

136 Е.А. Ровба, К.А. Смотрицкий Для произвольной функции f C[1;

1] составим интерполяционную рациональную функцию Лагранжа с узлами в точках xk, k = 1,..., n 1, x0 = 1, xn = 1:

n (4) Ln (x;

f ) = f (xk )lk (x), k= где (1 x2 )Nn (x) (5) lk (x) =.

[(1 x2 )Nn (x)]x=xk (x xk ) В настоящей работе исследуются некоторые аппроксимативные свойства интерполяционного процесса (3)–(5), а также его приложение для получения квадратурных формул типа Гаусса.

Прежде всего заметим, что несложные подсчеты позволяют представить функцию Лагранжа (3) в следующем виде:

n (1 x2 )Nn (x) (1)k+1 f (xk ) (6) Ln (x;

f ) =, n (xk )(x xk ) k= где два штриха после знака суммы означают, что первое и последнее слагаемое следует разделить на 2.

Различные интерполяционные рациональные операторы были рассмотрены в работах [1, 2].

Следует отметить, что задача о вычислении нормы таких операторов, действующих из C[1;

1] в C[1;

1], в случае фиксированных полюсов до настоящего времени не решена. В связи с этим возникает вопрос о сходимости рациональных функций (4) в более слабой норме.

Обозначим через L2 () = L2 (;

[1;

1]) пространство квадратично суммируемых функций с весом = (x) = (1 x2 )1/2 на отрезке [1;

1] с нормой 1 1/ f 2 (x) f L2 () = dx, f L2 ().

1 x Теперь вычислим норму рациональной функции Лагранжа Ln (x;

f ) в пространстве L2 ().

Лемма. Для любой функции f C[1;

1] справедливо представление 1 n n L2 (x;

f ) f 2 (xk ) f (xk ) n k n N.

Ln (x;

f ) = dx = (1), L2 () n (xk ) 2 n (xk ) 1 x2 k=0 k= Доказательство. Пользуясь соотношением (6), получим 1 n n1 n L2 (x;

f ) f 2 (xk ) f (xk )f (xl ) n (1)k+l (7) I= dx · I1k + 2 · I2kl, 2 (x ) n k n (xk )n (xl ) 1x k=0 k=0 l=k+ где sin2 µn (x) 1 x2 dx, I1k = k = 0,..., n;

(x xk ) sin2 µn (x) 1 x2 dx, I2kl = l = k + 1,..., n, k = 0,..., n 1.

(x xk )(x xl ) Интегралы I1k, I2kl вычисляются методом, предложенным в [1], с учетом связи между синус дробями Чебышева–Маркова и синус-дробями Бернштейна (см. [3, с. 48]). Тогда (8) I1k = n (xk ), k = 0,..., n;

Рациональное интерполирование в нулях синус-дробей Чебышева–Маркова (9) I2kl =, l = k + 1,..., n, k = 0,..., n 1.

Подставляя (8) и (9) в (7), будем иметь n n1 n f 2 (xk ) f (xk )f (xl ) (1)k+l I= · n (xk ) 2 ·= 2 (xk ) 2 n (xk )n (xl ) n k=0 k=0 l=k+ n n n1 n f 2 (xk ) f 2 (xk ) f (xk )f (xl ) (1)k+l = +2 = 2 (xk ) n (xk ) 2 n (xk )n (xl ) n k=0 k=0 k=0 l=k+ n n f 2 (xk ) f (xk ) k = (1).

n (xk ) 2 n (xk ) k=0 k= Лемма доказана.

Различные обобщения квадратурных формул типа Гаусса являются предметом исследования многих авторов. Использование интерполирования является классических способом построения та ких формул. В работе Е.А. Ровбы [1] для построения квадратурных формул использовались системы ортогональных функций Джрбашяна–Китбаляна [4]. В настоящей работе, используя метод, пред ложенный в [1], построено обобщение известной квадратурной формулы [5]:

1 n f (x) k n N, (10) dx f cos, f C[1;

1].

n n 1 x2 k= Пусть f C[1;

1]. Полагая f (x) Ln (x;

f ), с помощью (1) и (6) получим 1 1 n (1 x2 )Nn (x) f (x) Ln (x;

f ) f (xk ) k+ dx dx = (1) dx = n (xk ) 1 x2 1 x2 (x xk ) 1 x k= 1 1 n n f (xk ) sin µn (x) k+ Ak f (xk ). (11) = (1) dx = n (xk ) (x xk ) k=0 k= Теорема 1. Квадратурная формула (11) имеет вид 1 n f (x) f (xk ) (12) dx, n (xk ) 1 x2 k= причем ее коэффициенты Ak =, k = 1,..., n 1, A0 =, An =, удовлетво n (xk ) 2n (x0 ) 2n (xn ) ряют условиям (13) Ak 0, k = 0,..., n;

n (14) Ak =.

k= Доказательство. Интеграл в (10), необходимый для получения (11), вычисляется аналогично соот ветствующим интегралам из леммы (см. также [1]). Неравенства (13) справедливы в силу неотрица тельности функции n (2). Соотношение (14) легко проверяется, полагая в (11) f (x) 1. Теорема доказана.

138 Е.А. Ровба, К.А. Смотрицкий Следствие. Для нормы оператора Ln : C L2 () справедливо равенство Ln CL2 () =, n N.

Доказательство. Для любой функции f C[1;

1] с помощью леммы и равенства (14) находим n n f 2 (xk ) Ln (x;

f ) f = f.

CL2 () C C n (xk ) n (xk ) k=0 k= С другой стороны, для f (x) 1 имеем Ln = sup Ln (x;

f ) Ln (x;

1) =1 =.

CL2 () L2 () L2 () L2 () f C, f C Следствие доказано.

Рассмотрим вопрос приближения произвольной непрерывной на отрезке [1;

1] функции.

Теорема 2. Для любой функции f C[1;

1] погрешность приближения ее интерполяционной функцией Ln (x;

f ) в пространстве L2 () может быть оценена с помощью неравенства f (x) Ln (x;

f ) L2 () 2 Rn (f ;

a), где Rn (f ;

a) наилучшее равномерное приближение функции f посредством рациональных функ ций из Rn (a) вида pn (x), n (1 + ak x) k= многочлен степени не выше n.

pn (x) Доказательство. Пусть rn Rn (a) рациональная функция наилучшего равномерного прибли жения. В силу того, что Ln (x;

rn ) rn (x) и следствия получим f (x) Ln (x;

f ) f (x) rn (x) + Ln (x;

f rn ) L2 () L2 () L2 () f rn C[1;

1] ·1 + Ln ·f rn C[1;

1] = Rn (f ;

a) + Rn (f ;

a).

L2 () CL2 () Теорема 2 доказана.

Теперь рассмотрим вопрос точности квадратурной формулы (12). Обозначим 1 n f (x) f (xk ) Rn (f ) = dx n (xk ) 1 x2 k= погрешность квадратурной формулы (12).

В силу того, что Ln (x;

rn ) rn (x) для rn Rn (a), получим Rn (rn ) = 0. Более того, имеет место следующий результат.

Теорема 3. Квадратурная формула точна для всякой рациональной функции (12) r2n1 R2n1,2 (a) вида p2n1 (x) 2, n (1 + ak x) k= Рациональное интерполирование в нулях синус-дробей Чебышева–Маркова многочлен степени не выше 2n1, а для ее остаточного члена имеет место следующая p2n1 (x) оценка:

|Rn (f )| 2R2n1 (f ;

a), где R2n1 (f ;

a) наилучшее равномерное приближение функции f посредством рациональных функций из R2n1,2 (a).

Доказательство. Пусть r2n1 R2n1,2 (a). В силу того, что Ln (xk ;

r2n1 ) r2n1 (xk ), k = 0,..., n, получим n pn1 (x) (x xk ) pn1 (x) k= = (1 x2 ) r2n1 (x) Ln (x;

r2n1 ) = Nn (x), n n (1 + ak x) (1 + ak x) k= k= где pn1 (x) многочлен степени не выше n 1. Тогда 1 1 r2n1 (x) pn1 (x) Ln (x;

r2n1 ) dx = (1 x ) Nn (x)dx + dx = I1 + I2.

n 1 x2 1 x (1 + ak x) 1 1 k= Интеграл I1 = 0 в силу соответствующей леммы из [6]. Учитывая, что Ln (x;

r2n1 ) Rn (a), для вычисления интеграла I2 применим квадратурную формулу (12):

n n Ln (xk ;

r2n1 ) r2n1 (xk ) I2 = =.

n (xk ) n (xk ) k=0 k= Теорема 3 доказана.

Замечание. Квадратурная формула (10) является частным случаем квадратурной формулы (12) при ak = 0, k = 1,..., n. Теорема 2 является обобщением соответствующего результата из [7].

Список литературы 1. Ровба, Е.А. Квадратурные формулы интерполяционно-рационального типа / Е.А. Ровба // Докл. АН Беларуси. – 1996. – Т. 40. – № 3. – С. 42–46.

2. Русак, В.Н. Квадратурные формулы для несобственных интегралов, точные на рациональных функ циях / В.Н. Русак, Н.К. Филиппова // Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2005. – № 1. – С. 6–10.

3. Русак, В.Н. Рациональные функции как аппарат приближения / В.Н. Русак. – Минск: Изд-во БГУ им. В.И. Ленина, 1979. – 176 с.

4. Джрбашян, М.М. Об одном обобщении полиномов Чебышева / М.М. Джрбашян, А.А. Китбалян // Доклады АН АрмССР. – 1964. – Т. 38. – № 5. – С. 263–270.

5. Ермолаева, Л.Б. Об одной квадратурной формуле / Л.Б. Ермолаева // Изв. вузов. Математика. – 2000. – № 3. – С. 25–28.

6. Ровба, Е.А. Интерполяция и ряды Фурье в рациональной аппроксимации / Е.А. Ровба. – Гродно: ГрГУ, 2001. – 106 с.

7. Габдулхаев, В.Г. Интерполирование по экстремальным точкам многочленов Чебышева и его примене ния / В.Г. Габдулхаев, Л.Б. Ермолаева // Изв. вузов. Математика. – 2005. – № 5 (516). – С. 22–40.



Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.