авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 14 |

«Вольфганг Торге rравиметрия Перевод с английского канд. техн. наук Г. А. Шанурова под редакцией канд. техн. наук А. П. Юзефовича Москва «Мир» ...»

-- [ Страница 2 ] --

rr дns 1 д _!_ _ V) dS V(r)s = 1 дns (2.25) 211" ' s где 1- расстояние между текуЩей точкой и точкой поверхности:

lr'- rl. (2.26) 1= (2.24) (2.25) Выражения и устанавливают соотношения между величинами, изме­ ренными на граничной поверхности потенциального поля, функцией потенциала и самой граничной поверхностью.

Разnожение по шаровым гармоническим 2.2.3.

функциям При решении глобальных задач удобно разложение потенциала притяжения V в ряд шаровых гармоник, представляющее собой одно из решений дифференци­ (2.23). Во ального уравнения Лапласа внешнем пространстве это разложение в (2.1) сферических координатах г, д, А имеет вид = G~[1 + ~ (~)' ~(CI,mCosтA + Sl,msinт).)PI,m(cos д)J, (2.27) V(r) 1=2 m=O + Матмосферы) где (МЗемли геоцентрическая гравитационная постоян­ GM = G ная, учитывающая атмосферу Земли, а- большая полуось общеземного эллип­ 3.1.2).

соида (разд.

Присоединенные функции Лежандра Р1,т степени 1и порядка т выражаются t через аргумент в виде Pl,m(t) = (1 - ! 2 )m 12 ~: P1,o(t);

(2.28а) для полиномов Лежандра (т = О) i 1/! ~(1 2 - (2.28б) 1) 1• P1,o(t) = P1(t) = 1 =О, 1, 2, Если то при t = cos д имеем д, д, Pt = cos Pt,t = sin Ро = 1, Р2 д Р2,2 = 3 sin 2 д.

Р2,2 = д cos д, 3 sin = 4-3 cos 2 - 1), Поверхностные сферические функции Лапласа [ соsтЛJ Pt,m(cosд)., SIП т" (2.27) 1).

описывают в потенциал на сфере единичного радиуса (г Нулевые значения V = этих функций разделяют поверхность сферы на участки, где функции имеют разные знаки.

Участки эти ограничены сеткой меридианов и параллелей (рис. Таким образом, раз 2..5).

Теория поля силы тяжести i/=0 ii=O "=о Рз (cos il) Р12,5 (cos il) sin 5.

Р8 (cos il) Рис. Сферические гармоники Лапласа на сфере единичного радиуса;

белые зоны знак функций 2.5. положительный, заштрихованные зоны знак отрицательный.

ложение в ряд по сферическим функциям представляет собой спектральное разложение структуры гравитационного поля по волнам длиной в (что соответствует разреше­ 3.60° нию Полиномы Лежаядра (2.28б) описывают осесимметричное поле, разделяя 180°//).

1 зоны сферу на широтные зоны (пояса);

при четных значениях симметричны относитель­ но экватора. Член нулевой степени соответствует потенциалу однородной или состояшей из концентрических сферических слоев Земли;

в этот член вынесен за фигурные скоб­ (2.27) ки. Если начало системы координат совпадает с центром масс Земли, то члены первой r 2.1.1).

степени отсутствуют (разд. С увеличением гармоники затухают пропорционально (alr) 1• Из сравн:ения и видно, что коэффициенты сферических гармоник (2.27) (2.12) Ct,m и St,m представляют собой интегралы по массе 'J JJJ (' ') rrr а т)! [cos т л k (1 - (2.29) =М(/+ т)! siп т Л' dт, ' Pt,m(COS" ) Земля где при т = О и при т О.

k=1 k=2 # В частности, коэффициенты второй степени являются функциями моментов инерции fH (X'z + Z'z)dт, fH (У' 2 + Z' 2 )dт, Jп = Jxx = Земля Земля fH (Х' 2 + У' 2 )dт Jzz = Земля и произведений инерции fH Х' У' dт, fH Х' Z' dт, Jxz = Jxy = Земля Земля Hf У' Z' dт Jyz = Земля относительно осей геоцентрической системы координат.

38 Глава (2.29) Из имеем С (Jxx + Jyy J ) _ 2 - zz 2,о- а2м ' = (2.30) С2,1 = 02 MJxz, MJyz, S2, Jxy С _ Jyy- Jxx S2,2 = 2а 2 М.

4а2М ' 2,2 = Коэффициент С2.о С2 характеризует полярное сжатие Земли;

чаще всего его заменя­ J2 = - С2. Так как ось Z ют динамическим коэффициентом формы примерно со­ ("" 0,3 " ) lxz = ]yz = О и С2, 1 = S2,1 = впадает с главной осью инерции, то О. Коэффициенты С2, и S2,2 характеризуют асимметричность экваториальных масс относительно оси вращения Земли, а также поворот главных осей инерции относительно осей принятой системы коор­ динат Х, У, Z.

Обычно для описания поля силы тяжести используют нормированные сферические гармоники, среднее квадратячеекое значение которых по всей сфере равно единице. Нор­ мированные полиномы Лежаядра находят из выражения т)! р + 1)(1- ( {}) k(2/ Р1,т (cos {}) = (2.31а) (/ + т)! cos ' /,m а нормированные коэффициенты сферических функций [C/,mJ [ ~/,т] (/ + т)!

= (2.31б) sl.m ' т)!

+ 1)(1 k(2/ S1,m k=1 = k = где при т Ои при т "t О. Для вычисления сферических функций чauie всего [526].

используют рекуррентные формулы Во внешнем пространстве разложение по шаровым функциям сходится на охва­ (2.27) = а. - [489] тываюшей Землю сфере радиуса г По теореме Рунге Крарупа разложение в сходяшийся ряд шаровых гармоник можно использовать и внутри масс до поверхности сферы, близкой к поверхности Земли. Такой ряд может быть сколь угодно близким пред­ ставленнем реального поля. Разумеется, аналитическое продолжение потенциального поля (2.22) не удовлетворяет уравнению Пуассона для реального поля внутри масс.

По сравнению с объемным интегралом разложение в ряд шаровых (2.12) функций имеет преимУШество в том смысле, что эмпирические данные о (2.27) потенциале притяжения или его функцианалы могут быть использованы для определения коэффициентов сферических гармоник и, следовательно, потенциала во внешнем пространстве со степенью приближения, соответствующей исходным данным (разд. Эти коэффициенты содержат обобщенную информацию о 3.3.3).

распределении масс в Земле, что должно учитываться при выводе граничных ус­ 4.3.2).

ловий для любой модели распределения плотности (разд.

В соответствии с и (2.28б) центробежный потенциал также может быть (2.1) выражен разложением по шаровым функциям:

2 Z(r) = ~ r 2 sin 2.,J = ~ r2 (I - P2.o(cos д)). (2.32) Теория поля силы тяжести 2.3. Геометрия поля силы тяжести 2.3.1. Уравенные поверхности и силовые линии Геометрически поле силы тяжести можно представить поверхностями постоянно­ го потенциала (эквипотенциальными, или уровенными поверхностями):

(2.33) W(r) = const, а также силовыми линиями (рис. Связь между изменением величины потен­ 2.6).

циаJiа и изменением местоположения следует из выражения (2.15) (2.34) dW = g · dr = g dr(cos g, dr).

При перемещении по уровенной поверхности dW:::;

О, т.е. никакой работы не со­ вершается. Уровенные поверхности являются по~ерхностями равновесия.

Рис. Эквипотенциальные поверхности и силовые линии вблизи земной поверхности.

2.6.

Силовые линии пересекают уровенные поверхности по нормали. Если элемен­ тарный отрезок dr совпадает с направлением силовой линии (с направлением внешней нормали n к поверхности), то, поскольку cos (g, dr) = - 1, справедливо dW.= _ gdп.

соотношение (2.35) Так как сила тяжести с перемещением по поверхности Земли изменяется, уровен­ ные поверхности не параллельны;

при увеличении силы тяжести они сближают­ ся. Уровенную поверхность, наилучшим образом аппроксимирующую средний уровень Мирового океана, назвали геоидом. Она является одной из отсчетных поверхностей для задания системы высот (разд. 2.5.2).

Градиент силы тяжести и кривизна 2.3.2.

поля силы тяжести При решении локальных задач большое значение имеет градиент силы тяжести.

Его составляющие являются функциями кривизны поля силы тяжести.

В топоцентрической системе координат (разд. вектор силы тяжести 2.1.2) можно представить в виде gт =- gnт = (Wx, Wy, Wz), (2.36) Глава = дW/дх где и т.д. На ограниченном участке Wz -с -с Wx Wz, Wy Wz, g == Wz. Это приближение используется в при­ и поэтому можно считать, что 4.3.5).

кладной геофизике (разд.

(2.36) Дифференцирование выражения дает тензор градиентов силы тяжести (тензор Этвеша):

Wxx Wxy grad g = grad (grad W) = ( Jf).x (2.37) Wyy Wzx Wu (2.17), Учитывая, что поле силы тяжести является потенциальным по дифферен­ (2.22) (2.13) циальному уравнению Пуассона с учетом центробежного потенциала находим (2.38) (2.37) Выражение содержит лишь пять независимых параметров. Они могут быть либо измерены во внешнем пространстве, либо вычислены по измерениям силы тяжести.

(2.37) Последняя строка в это градиент ускоренШI силы тяжести:

(gradg)т = (Wzx, Wu, Wzz), (2.39) характеризующий изменения силы тяжести по направлениям соответствующих осей координат. Вектор горизонтального градиента силы тяжести лежит в плос­ кости горизонта данного пункта;

модуль вектора равен wzs (2.40а) + W:о' ) 112 ' = (Wzx 2 а азимут (2.406) Направление этого вектора совпадает с направлением максимального изменения 2. 7).

силы тяжести (рис. Он также определяет кривизну силовой линии в точке Р.

Важное значение при редуцировании и интерпретации гравиметрических дан­ (2.38) ных имеет вертикальная составмющая градиента силы тяжести. Из имеем (2.41) ICeeepl у (Востокl 2.7.

Рис.

Горизонтальный градиент силы тяжести.

(HIAМDI Теория поля силы тяжести Это соотношение содержит среднюю кривизну уровенной поверхности:

(2.42) + Wyy}.

J =- 2g (Wxx Величина Wху описывает кручение силовой линии- в плоскости меридиана. Во внешнем пространстве е =О, поэтому члены, зависящие от плотности, про­ падают.

Часто при изучении распределения близповерхностных масс используют вто­ рые производные:

(2.43) В системе СИ их единицей является м - 1 с - 2 ;

на практике применяется единица 10- 12 м- 1 с- 2 • Во внешнем пространстве из выражения (2.41) вытекает ра­ венство (2.44) На геометрию поля силы тяжести также влияет нарушение непрерывности вторых (2.38).

производных потенциала при изменении плотности скачком Таким образом, анали­ тическое определение параметров поля силы тяжести возможно лишь во внешнем про­ странстве. Аналитическое же продолжение поля внутрь Земли и аналитическое описание ero в этом пространстве возможно лишь там, rде функция меняется кусочио-непрерывно 2.2.3).

(в областях, rде непрерывна плотность) (разд.

Модели поля силы тяжести 2.4.

Оптимальные и стандартные модели 2.4.1.

Модели поля силы тяжести представляют собой некоторое приближение к реаль­ ному полю, при этом должны выполняться определенные условия.

Оптимальные модели наилучШим образом соответствуют результатам изме­ рений силы тяжести, а также учитывают ошибки измерений и ошибки интерпо­ ляции. В глобальных моделях используют разложение по шаровым функциям (разд. ограничиваясь степенью 1 (обычно 1 ~ 360). Для локальных моделей 2.2.3), применяют плоские функциональные аппроксимации.

Уроненная поверхность гармонической модели (степени/), аппроксимирующая /.

rеоид, называется уровенным сфероидом степени Описание такой модели тре­ бует большого числа параметров, а уроненные поверхности поля, создаваемого моделью, имеют сложную форму, поскольку представляют собой поверхности высокого порядка. Такие модели играют важную роль при решении крупномасш­ табных задач в науках о Земле, океанографии и навигации (разд. ~.2.2).

С другой стороны, стандартные модели достаточно просты и позволяют сравнительно легко находить величины силы тяжести на поверхности Земли по координатам пунктов. Тело, порождающее поле, должно иметь простую форму и соответствовать стандартной геометрической модели Земли. Кроме того, нор 42 Глава мальное поле силы тяжеСти этой модели должно настолько приближаться к ре­ альному, чтобы их различие описывалось линейными функциями (об аномальных 2.6).

величинах см. разд. И наконец, нормальное поле силы тяжести не должно прот~воречить принятым в геофизике моделям распределения плотности в теле 4.3.2), Земли (разд. иначе станет невозможной. геофизическая интерпретация ано­ мальных величин. В настоящее время поле нормальной силы тяжести определя­ ют как поле уровенного эллипсоида.

Уравенный эnnипсоид 2.4.2.

Уровенный эллипсоид это эллипсоид вращения с массой М и угловой скорос­ тью Форма эллипсоида определяется длиной а его большой полуоси и геомет­ "'· рическим сжатием а-Ь !=-, (2.45) а 2.8).

где Ь- малая полуось (рис. Поверхность эллипсоида- уровенная поверх­ ность нормального поля силы тяжести. По определению его поле симметрично относительно оси враЩения и плоскости экватора. В соответствии с теоремой Стокса-Пуанкаре внешнее поле сиды тяжести этого уровенного эллипсоида пол­ ностью определяется четырьмя параметрами а, М, и описывается нормаль­ /, "' U(r).

ным потенциалом силы тяжести Уровенные поверхности нормального по­ ля (сферопы) (2.46а) U(r) = const не являются эллипсоидами, за исключением самого уровенного эллипсоида (2.46б) U(r) = Uo.

Предположения о распределении масс внутри эллипсоида не требуются. Однако мож­ но показать, что массы со слоистой структурой, близкой к строению недр реальной Зем­ [480].

ли, могут воспроизвести поле силы тяжести такого эллипсоида ВиэирнаR -:

~· z z '-Нормаль к эллипсоиду Эллипсоид х Рис. (левый). Уравенный эллипсоид, нормальная сила тяжести и сфероnы.

2. 2. Рис. (правый). Геодезическая и тоnацентрическая геодезическая системы координат.

Теория поля силы тяжести Для вычислений в поле силы тяжести часто используют геодезические коорди наты (эллипсоидальные координаты) tp, Л, (рис. 2.9):

h Р геодезическая широта;

Л геодезическая долгота;

геодезическая высота.

h Широта tp связана с геоцентрической широтой ~ = д, которая определе­ 90° 2.1.1, на в разд. соотношением tg~ = (~)\gtp. (2.47) Если центр эллипсоида совпадает с центром масс Земли, то вектор положения точки Р определяется выражением:

r (~ = ( (N + h) cos + h) cos tp cos Л ) (N У Р sin Л, (2.48) r= [(1 - e 2 )N + h] sin tp Z здесь (2.49) - квадрат первого эксцентриситета. Радиус кривизны М меридиана и радиус кривизны первого вертикала являются главными радиусами кривизны эл­ N липсоида:

(2.50) Соответствующие нормальные сечения лежат в плоскости меридиана и в плос­ кости первого вертикала.

(2.48) Разложение в ряд с удержанием членов порядка сжатия позволяет полу­ чить для точки на поверхности эллипсоида О) выражение (h = tp).

г= a(l - /sin 2 (2.51) Геометрия эллипсоида вращения и вычислительные процедуры на его поверх­ [64, 242]).

ности достаточно освещены в геодезической литературе (например, Нормаnьное поnе сиnы тяжести 2.4.3.

Нормальное поле уровенного эллипсоида можно описать замкнутыми формула­ ми если пользоваться эллипсоидальными (геодезическими) координатами.

[290], Полезно применять гармоническое разложение потенциала. С учетом цент­ (2.27) робежного потенциала нормальный потенциал силы тяжести описывается (2.32) выражением ао = 0~(1 + ~ (~)'Ct,oPt,o(cosд)) (2.52) U(r) 1= Глава 2.4.2, (2.52) В силу симметрии, рассмотренной в разд. выражение содержит лишь четные гармоники. Коэффициенты С1,о быстро сходятся к нулю, так что ряд обычно можно ограничить стеnенью (разд.

(2.52) 1= 6 3.1.2).

По аналогии с вектор 'У нормальной силы тя:жести оnределяется выра­ (2.15) жением (2.53) 'У= grad U.

Значение нормальной силы тяжести уо на уровенном эллиnсоиде О) задается (h = формулой Сомильяна + b"'fp sin 2 !р O"'fe COS 2 !p (2.54) "'/0 =.

.Jа 2 cos 2 !р + Ь 2 sin 2 !р Здесь 'У• и "'fp - соответственно нормальная сила тяжести на экваторе и nолюсах 2.8).

(см. также рис. Их можно вычислить по замкнутым формулам, если заданы nараметры уровенного эллиnсоида.

f Разложение этих формул в ряд с удержанием членов порядка сжатия дает приближе­ ние для теоремы Клеро:

f+(З=~m (2.55) и для теоремы Пицетти:

i т).

а 2 /'е ( 1 - f+ (2.56) GM = В этих формулах фигурируют гравиметрическое сжатие /'р - /'е {3 = (2.57) /'е и отношение экваториального центробежного ускорения к силе тяжести на эюsаторе:

w2 a (2.58) m=-.

/'е Нормальная сила тяжести на поверхности эллипсоида описывается выражением -уо = -y,(l + (3sin 2 "o). (2.59) (2.55) (2.59) Формула с учетом позволяет определить сжатие эллипсоида по гравиметриче­ ским данным.

f (2.45), С той же степенью приближения формулы, связываюшие величины С2,о (2.30), (3 (2.57), описываюшие сжатие, и величину т, имеют вид т 3 =2 + 2m.

f =--Clo+- С2,о (2.60) ( 2. 2.

Разложения более высоких порядков даны в работе [322].

Для описания локальных особенностей поля силы тяжести введем топоцент­ рические геодезические системы координат, связанные с нормалью к эллиnсоиду 2.9), и меридианом эллиnсоида (см. рис. где а азимут нормального сечения эллипсоида. Это можно сделать по аналогии с заданием тоnоцентрической систе Теория поля силь1 тяжести мы координат, связанной с гравитационным полем (разд. Пренебрегая ма­ 2.1.2).

лой кривизной силовой линии нормального поля, получим т -т =- = 'У (Их, И;

, И-z), (2.61) -yn n = д И/дх где Их и т. д.;

единичный вектор внешней нормали к поверхности эллипсоида. По аналогии с тензор градиентов имеет вид (2.37) 'У = grad (grad И) = (~~~ ~~~ ~~:\. (2.62) grad И~х И~у Иz,) = Mdl{), Дифференцируя и учитывая, что получим выражение для гори­ (2.59) dx зонтального градиента силы тяжести на поверхности эллипсоида:

= д-уо1дх = 'Уе/3 SIП 21{), -.

Иц М Иz;

=О. (2.63) (2.50) По формулам для радиусов кривизны эллипсоида можно вычислить эле­ (2.62):

менты кривизны и ·кручения в = -м, 'УО 'УО (2.64) Ихх И-у-у= ---z;

г• Иху =о.

(2.41) По аналогии с выражение для вертикальной составляющей градиента си­ (2.64):

лы тяжести на поверхности эллипсоида определяется из (2.65) Нормальную силу тяжести близ поверхности Земли на высоте можно найти h с исnользованием ряда Тейлора:

+ (д-у) о h +2 (д2-у) oh 2+..., 1 дh -y(I{J, h)- 'УО дii (2.66а) где -уо определяется выражением (2.54). Значения д-у/дh и д 2 -у/дh 2 с учетом Иii =- (д-у/дh)о получаются из (2.65).

Разложение в pJIД с учетом членов порJrДка квадрата сжатИJI.f имеет вид [763] и (2.66в) Системы высот 2.5.

Эллиnсоидальные высоты 2.5.1.

Поскольку сила тяжести быстро меняется с высотой, особое внимание следует уделить применяемым системам высот. Это важно еще и потому, что разные [696].

методики измерений дают высоты в разных системах Система геодезических (эллипсоидальных) высот задается геометрически и не зависит от поля СИJIЫ тяжести (разд. 2.4.2).

Эллипсоидальные высоты определяются спутниковыми методами в любой точке Зем­ ли.с ошибкой ± 1 м. Разности этих высот могут быть найдены из одновременных (син­ хронных) наблюдений с точностью до нескольких сантиметров или дециметров при рас­ 100 [73, 625].

стояниях между пунктами от нескольких до км Однако поверхности = const сушественно отклоняются от уровенных поверхностей поля силы тяжести. Сред­ h нее по всей Земле отклонение составляет ± 30 м;

для расстояний порядка 100 и 10 км вели­ чины отклонений составляют от единиц метров до дециметров соответственно. Тот же порядок имеют и поправки в результаты геометрического нивелирования для приведения их к геодезической (эллипсоидальной) системе высот. По этой причине многие специали­ сты предпочитают системы высот, связанные с полем силы тяжести. Желательно, чтобы такие высоты получалясь по результатам нивелировок наиболее просто.

Эллипсоидальная высота в нормальном поле точки Р физической поверхности Земли может быть определена аналогично по разности нормальных потен­ (2.35) циалов на поверхности эллипсоида и в этой точке из соотнощений р. ;

у=* 1/'dh, h = Uo- Up (2.67) /' о где ;

у среднее значение нормальной силы тяжести между поверхностью эллип­ (2.66).

соида и точкой Р;

она вычисляется по формуле 2.5.2. Высоты в поле силы тяжести На континентах из геометрического нивелирования получают превыщения в поле силы тяжести. Даже на больщих расстояниях результаты имеют высокую точ­ ность (около м на км и м на км). Превыщения, которые ±0,05 100 :::1:::0,5 получают из наблюдений в топоцентрической системе координат, связанной с от­ весной линией (разд. можно в соответствии с преобразовать в раз­ 2.1.2), (2.35) ности потенциалов, не зависящие от пути нивелирования. При вычислении соот­ ветствующих поправок используются значения силы тяжести на поверхности Зем­ ли. Если разности потенциалов вычислять относительно потенциала Wo на поверхности начала счета высот (геоиде), получим геопотенциальные числа. Они определяются из наблюдений по формуле р i gdR.

С Wo - W Р = (2.68) = о Теория поля силы тяжести -+ ~ nn Теnлуроид (Ua=Wpl ~L-~~~~~-U=Ua Квазмrеомд Рис. 2.10.

-+ Поверхности, высоты и сила тяжести дли реаль­ то ной Земли и ее модели.

Величина С разности потенциалов связывает точку Р с уравенной поверхностью С= const.

На практике требуются высоты в метрической системе, которые получают разделением геодезической высоты на две составляющие: высоту в поле h (2.67) силы тяжести (гипсометрическую часть), задаваемую геопотенциальным числом, 2.10).

и аномальную (геоидальную) часть (рис. Нормальное и реальное поля свя зывают условием (2.69а) UQ = Wp, которое соответствует условию выбора нормального поля (2.696) Uo = Wo.

Разделение на нор.малию высоту Нн и аномалию высоты (высота квазигеои­ r:

да) (2.70а) осуществляется без привлечения каких-либо предположений о строении Земли, причем (2.706) Величина 'У определяется по формуле (2.67) после подстановки Нн вместо h, а по формуле Высоту Нн можно представить н как высоту точки Р (2.66).

'YQ над кваэигеондом.

Орто.метрическая высота Н определяется как расстояние между точкой Р и геондом (потенциал на геонде отсчитанное по силовой линии. Разделение Wo), h N на Н и высоту геоида дает = H+N, h (2.71а) Н= Wo- Wp (2.71б) g Глава где - g среднее значение силы тяжести на отрезке силовой линии;

значение можно получить лишь с привлечением гипотез о распределении силы тяжести внутри Земли. Поэтому однозначное задание системы ортометрических высот требует стандартной модели топографических масс (геометрии и распределения плот­ ности).

Для того чтобы перевести измеренное нивелирное превышение \ dR в систему нор­ мальных или ортометрических высот, в результаты нивелирования следует ввести поправ­ ки. Величины поправок имеют порядок миллиметров или сантиметров. При значительных HN = const расстояниях расхождения уровенных поверхностей с поверхностями и const Н= могут достигать соответственно нескольких сантиметров или нескольких деци­ метров.

(2.70) (2.71) Представление геодезиqеской высоты в соответствии с и приводит к толкованию квазигеоида и геоида как отсчетных поверхностей. Аномалия вы­ rи соты (высота квазигеоида) высота геоида над эллипсоидом связаны соот­ N ношением r = нN - н -:::_ 'У нN.

=g N- (2.72) g g С использованием «средней» аномалии силы тяжести :У можно легко перейти от аномалии высоты к высоте геоида. Расхождение между двумя отсчетными поверхностями, зависящее от высоты пункта, лежит в пределах от миллиметров до метра;

на море эти поверхности совпадают. Определение квазигеоида и геоида важная задача геодезии 4.2).

(разд.

Поверхность начала счета высот в геодезии задается средним уровнем моря, опреде­ ляемым по результатам многолетних наблюдений на уровнемерных постах. Поверхность среднего уровня моря не совпадает с уровенной поверхностью. Это несовладение называ­ ют топографией морской поверхности (среднее отклонение составляет м), см.

±0, 4.3.6.

разд. Более того, начала счета высот в разных регионах не совпадают. Решение задач на большие расстояния с точностью ±О, 1 м по высоте требует нового определения [552].

начала счета высот и его установления Возмущения поля силы тяжести 2.6.

Возмущающий потенциал 2.6.1.

Возмущения поля силы тяжести это отклонения реального поля от нормаль· ного (разд. Поскольку центробежный потенциал известен с высокой сте­ 2.4.3).

пенью точности, эти возмущения являются отклонениями реального поля притя­ жения от нормального.

Для возмущающего потенциала (2. 73) T(r) = W(r) - U(r) Теория поля силы тяжести во внешнем пространстве справедливо дифференциальное уравнение Лапласа (2.74) О.

.::lT= Если реальное поле связано с нормальным соотношением (2.69), а масса уро­ венного эллипсоида равна массе Земли, по формулам (2.27), (2.32) и (2.52) можно получить разложение возмущающего потенциала в ряд шаровых функций:

T(r) = 0~[~ (f)'~(.::lCI.mcosтЛ +.::lSI,msinтЛ)PI,m(cost?)J. (2.75) 1= 1 m=O содержащий нормир~ванные _сферические функции (2.31).

Коэффициенты.::lC1,m и.::lS1,m- это разности коэффициентов нормированных сферических функций реального поля и нормального поля. Разложение в ряд ша­ ровых функций для аномалии высоты и высоты геоида над эллипсоидом получа­ (2.70) (2.71) (2.75), ется по и из выражения деленного на величины нормальной 'YQ силы тяжести и -уо соответственно.

2.6.2. Аномаnия сиnы тяжести Возмущение силы тяжести и аномалию силы тяжести можно определить как воз­ мущения вектора силы тяжести.

Возмущение силы тяжести = gp- 'УР og (2.76) может быть определено, если известны положение точки Р в пространстве (вектор поло­ жения и, следовательно, нормальная сила тяжести 'УР· Указанные величины известны r) для искусственных спутников Земли и точек земной поверхности, координаты которых определены спутниковыми методами. Это справедливо и для инерциальных измерений.

В классической геодезии плановое положение точек земной поверхности определяется гео­ 2.4.2), а дезическими координатами р, Л (раз. отметки задаются нормальной высотой HN 2.5.2);

или ортеметрической высотой Н (разд. высоты квазигеоида и геоида пока неизвест­ = ны. Нормальная сила тяжести может быть получена лишь для точки (где ИQ Q Wp) 2.10).

и для точки на поверхности эллипсоида (рис.

Qo Вектор аномалии силы тяжести задается выражением (2.77).::lg = gp- 'YQ· Соотношения и определяют уклонение отвесной линии как разли­ (2.36) (2.61) чие в направлениях векторов и 'У· С использованием можно получить g (2.73) составляющие уклонения отвесной линии в плоскости меридиана ~ и плоскости первого вертикала в топоцентрической системе координат, связанной с гравита­ ционным полем (разд. 2.1.2):

l Тх, ~=Ф-r,о=- (2.78) 'У l = (Л - Л) Ту, 71 cos r,o =- 'У Глава 50 где Тх = дТ/дх и Ту= дТ/ду. Модуль называют смешанной аномалией си­ (2.77) лы тяжести. В сферическом приближении, полученном с использованием (2. 76) и она имеет вид (2. 706), = og - 2'У дg а т- 2 I r' = gp - 'YQ = - (2.79) дr r r причем уклонение отвеса не учитывается. Подставовка Т и дТ/дr в из (2.79) (2.75) дает гармоническое разложение аномалии силы тяжести в сферическом прибли­ жении (ошибка не более 10 мкм ·с- 2 ):

(f )'~(дёl,mсоsтЛ + =·~!tf (~(/ 11g(r) 1) 1=2 m=O + I1S1,m sin тЛ)РI,т(соs д)J. (2.80) Из можно получить разложение и для уклонений отвеса (2. 75) (2. 78).

Коэффициенты сферических гармоник можно определить по аномалиям силы тяжести с использованием свойства ортогональности нормированных сфериче­ ских функций:

JJ ом· 1- 1. (r ) l1g (cos тЛJ [дёl,mJ 11 r 1 а sinтЛ Pl,m(cos д)dи, (2.81) 411" i1S1,m = " где и поверхность единичной сферы, du = sin дd{JdЛ - элемент этой по­ верхности.

(2. 79), Аномалия силы тяжести по определению Молоденскоrо, задана на поверхности Земли и называется смешанной аномалией в свободном воздухе. Она определяется без ка­ ких-либо rипотез о строении Земли по измеренной величине и нормальной силе тяжести gp 'YQ, которая может быть найдена из по нормальной высоте Нн (вьJсоте точки (2.66) Q над элли~соидом).

Вторые nроизводныв возмущающего потенциаnа 2.6.3.

Вторые производвые возмущающего потенциала в топоцентрической системе ко­ ординат, связанной с гравитационным полем (раз. можно получить из вы­ 2.1.2), ражений и вместе с и а также из выражений (2.37) (2.62) (2.78) (2.79), (2.63) в виде (2.65) Тхх = - 'У~• Тху =- 'У~ =- 'У~"" (2.82) 'Yf/x, Txz;

=- 11gx, + 'lY) "" 11gz:., Туу = - 'УТ/ "" -у(~ 'Y'lY, 7Yz:. = - 11gy, Tz:.z:. = & где = дUдх и т.д., 11gx = д11g/дх и т.д. и Тху = Тух, Txz;

= Tz;

x, Tyz = Tz.y, а так­ + Туу + Tzz = О (соотношения (2.17), (2.23)). По аналогии с (2.37) из этих же Тхх компонентов можно образовать тензор аномальных гравитационных градиентов Т).

grad (grad На величины вторых производных возмущающего потенциала сильно влияют близлежащие топографические массы.

Теория поля силы тяжести 27. Статистическое описание гравитационного поля Ковариационная функция аномалий силы тяжести 2.7.1.

Во многих задачах гравиметрии требуется полная изученность поля силы тяже­ сти, без белых пятен. Однако измерения силы тяжести выполняют лишь в от­ дельных точках, далеко отстоящих друг от друга;

на обширных участках земной поверхности измерений вообще не было. Поэтому возникает необходимость в ин­ терполяции параметров гравитационного поля и оценке неизвестных коротковол­ новых составляющих этого поля. Оптимальные методы интерполяции основаны на предположении о том, что аномалии силы тяжести являются случайными ве­ личинами с нулевым математическим ожиданием. Более того, считают, что сто­ хастические характеристики поля на любой территории (на всем земном шаре или локальном районе) не зависят от положения (свойство однородности) и от [237, 482].

направления (свойство изотропности) При этих условиях становится возможным описывать характеристики поля ковариациями дg;

, i1IO, которые за­ висят только от расстояния между точками Р;

и Р1. Ковариация определяется как среднее значение всех произведений дg;

, дgJ для некоторого заданного рас­ стояния:

(2.83) где М оператор математического ожидания, а ф угловое расстояние на сфе­ - 2.11 ).

ре единичного радиуса (рис.

- 0:

Дисперсия это ковариация при расстоянии ф = (2.84) (2.83) Ковариация характеризует взаимную корреляцию аномалий силы тяжести и свя­ зана с коэффициентом корреляции соотношением 1/1) (.6g;

,.6gj, COV 1/1) (2.85) г (.6 g;

•.6 ш. = -----:;

2:-------'-- (.6g) (J 2.12).

С увеличением корреляция уменьшается (рис.

1/ Гармоническое разложение позволяет описать ковариационную функцию в аналитическом виде:

О() cov(дg;

, дgJ, ф) ~(:~)'+ 2 af(дg)Pt(cosф), (2.86) = /= где принято, что среднее по всей поверхности Земли значение дg (член нулевой степени в разложении по сферическим функциям) равно нулю:

ll дgо = М(дg} 417Г дgda =О. (2.87) = (J Из-за совпадения центра уравенного эллипсоида с центром масс Земли i1g1 = О 2.2.3).

(разд.

Глава 52 cov 1~;

. ~j• ор) tn:a'Z 0+-----~-------­ PaccrOIIHII s корреn11ции 2. Рис. (левый). Определение ковариационной функции.

Рис. (правый). Ковариационная функция аномалий силы тяжести.

2. Коэффициенты (Jf(дg) представляют собой степенные дисперсии аномалий, 1 (разд. 2.7.3).

характеризующие дисперсии гармоник поля данной степени Функ­ ции это полиномы Лежандра (2.28б) с аргументом cos 1/;

, а R - ради­ Pt(cos 1/;

) ус сферы, на которой определена функция ui'(дg).

Практически всегда имеется лишь ограниченное число измерений, идет ли речь о мировой или региQнальной съемке.. Определению статистических характе­ ристик поля должно предшествовать выделение систематических эффектов (трен­ дов). В качестве тренда чаше всего используются средняя эмпирическая величина (аномалии), полином низкой степени или разложение по шаровым функциям. За­ тем по вычисляются значения ковариации для разных расстояний, по кото­ (2.83) рым можно вывести эмпирическую ковариационную функцию.

(2.86) Эта функция позволяет на основании оценить степенные дисперсии ано­ малии, но при условии, что гравиметрические данные распределены по всей по­ верхности Земли (разд. В случае региональной съемки эмпирические кова­ 2.7.3).

рнации можно аппроксимировать экспоненциальными функциями вида (2.88) cov(дg;

, дg1, 1/;

) = aexp(-bl/;

) или cov(дg;

, дgJ, 1/;

) = aexp(-bl/;

2 ).

2.12.

График ковариационной функции показан на рис.

2.7.2. Интерnоnирование в гравитационном поnе Параметры гравитационного поля можно интерполировать с использованием со­ ответствующих функциональных моделей (разложение в ряд шаровых функций, [491, 718]).

полиномы на плоскости и др. В зависимости от дискретности и каче­ ства имеющихся данных эти модели можно детализировать лишь до определен­ /, ной степени при этом коэффициенты разложения находят по методу наимень­ ших квадратов Задание функциональной модели равнозначно определе­ [52, 305].

2. 7.1.

нию функции тренда, как указано в разд. При таком функциональном подходе можно аппроксимировать основные особенности поля. Если известна ко Теория поля силы тяжести вариационная функция аномалий силы тяжести, можно выполнить стотистиче­ скую интерполяцию, чтобы получить аномалию для пункта, где измерения не выполнялись. Оптимальный результат дает предсказание по методу наименьших [482], квадратов при этом дисперсия ошибки интерполированной величины будет минимальной.

Интерполированное значение аномалии J,gp силы тяжести в точке Р определя­ ется выражением (2.89) В этом выражении = (.1gl,.1gт l1g2,...,.1g;

,...,.1gn) -.1g;

(i = 1... n), вектор аномалий силы тяжести определенных в пунктах. Матрица n ~-ln) (~ D = Dи Dnl Dnn - коварнацяоиная матрица ошибок измерений, ее элементы Dи вычисляют по коварнаця­ 3.2.3);

оиной функции ошибок измерений (разд. вектор С~(Ср,, Ср,,..., Ср,,..., Ср.) -.1gp.1g;

;

вектор ковариаций и матрица с= (~11 c::ln) Си Cnl Cnn -.1g;

.

коварнацяоиная матрица аномалий Элементы Ср, и Си можно получить для любого заданного расстояния между пунк­ 1/;

тами на основе коварнацяоиной функции аномалий, позволяюшей определять ковариации Необходимо отметить, что такое предсказание дает результаты, близкие cov (.1g;

,.1&, /;

).

к реальным, лишь в пределах расстояния корреляции. Это расстояние, при котором cov (.1g1,.11J, ф) (рис. 2.12). Результаты предсказания аномалий можно =.!. u2(.1g,.1g) считать незавнсимымн от вида коварнацяоиной функции.

Степенные дисперсии аномалий 2.7.3.

Степенные дисперсии аномалий af{дg), входящие в выражение (2.86), -это сред­ неквадратические величины /-й гармоники в разложении по сферическим функци­ (2.80):

ям 4~ l.\ дgfda, af{дg) = M(дgfJ = (2.90) ( где Eдgt.

= дg 1= 54 Глава С учетом ортоrональности сферических функций величина u'f{дg) вычисляется по коэффициентам этих функций следующим образом:

ut(дg) = (/- (~lfY (~) ~(дCf.m + дSf.т· 21 (2.91) 1) m=O Степенные дисперсии аномалий определены на сфере радиуса км).

R (R = Они характеризуют спектральный состав поля аномалий, определяя дисперсии аномалий с длиной волны для разных степеней 1 разложения [разд.

360°/1 2.2.3].

Спектральное разложение вида позволяет также найти степенные дис­ (2.86) персии аномалий по ковариационной функции, полученной по имеющимся rрави­ метричесDIМ данным:

,..

I cov(дg;

, дgj, ф)Pt(cosф)sinфdф.

h 21 + - - (2.92) Ut Дg) = 1/1= 3. Пространственно-временная структура внешнего гравитационного поля Проектирование измерений силы тяжести для глобальных, региональных и ло­ кальных исследований, а также использование результатов упрощаются, если учитывать имеющиеся данные о структуре гравитационного поля. Существую­ щие стандартные модели Земли и связанные с ними модели нормального грави­ тационного поля позволяют вычислять аномалии силы тяжести и другие ано­ 3.1).

мальные величины (разд. Модели гравитационного поля с высоким разре­ шением основаны на аномалиях в свободном воздухе, которые получают по результатам измерений силы тяжести (разд. 3.2). Крупномасштабные структуры стационарного поля Земли рассмотрены в разд. 3.3, а спектр временных измене­ - 3.4.

ний в разд. Гравитационные поля Луны и планет, изученные межпланет­ ными станциями, описаны в разд. 3.5.

Глобальные модели гравитационного поля подробно описаны в геодезической литературе (например, Региональные и локальные особенности рас­ [691, 730]).

сматриваются в геофизической литературе Подробные сведения [213, 291, 505].

о структуре временнЬ1х изменений можно получить как из геодезических, так и геофизических публикаций [49, 451].

Нормальное поле силы тяжести Земли 3.1.

Формуnы нормальной сиnы тяжести 3.1.1.

Формулы нормальной силы тяжести описывают ее как функцию геодезической широты и геодезической высоты h для определенной модели Земли (эллипсои­ IP да) (разд.2.4.3). Начиная с 1900 г. зависимость от широты дается в формулах в виде ряда (2.59) с удержанием членов порядка / 2 :

/'О= 'Ye(l {3siп 2 1P- {3, sin 2 21{'), (3.1а) + здесь /'е - нормальная сила тяжести на экваторе, а гравиметрическое сжатие {3 f (2.45) Величина связана со сжатием и величиной· т выражением (2.57). {3, (2.58) + 8 fiт.

1 2 (3.1б) {3, = - 8 f Точность формулы (3.1) составляет 1 мкм · с - что вполне достаточно для боль­ 2, шинства практических целей.

В табл. даны коэффициенты формул, нанболее часто используемых для 3. 3. вычисления гравитационных аномалий. Рис. иллюстрирует изменение нор­ мальной силы тяжести с широтой.

56 Глава Таблица 3.1. Параметры формул нормальной силы тяжести 'У~ м о с -l f {j, Название {j t 1:298, 1901 [297] 9,780 30 0,005 302 0, Гельмерт, 1 : 297;

0,005 294 0, reo- 9,780 Береговая и дезическая съемка США (Боуи, 1917) [89] 0,0000059 1:297, 9,78049 0,005 Международная формула (нормальной) силы тяжести 1930) [113] (Кассинис, 1 : 298, 9,780 318 0,005 3024 0, Геодезическая 1%7 r.

референц-система (с учетом массы (МАГ, атмосферы) 1971) [322] 9,780 327 0,005 3024 0,0000058 1 : 298, Геодезическая рефереиц-система (с учетом массы 1980 r.

атмосферы) 1984) [489] (Мориц, 9, 9, 3.1.

Рис.

~ Нормальная сила тяжести на эллипсоиде.

90° Значение 'У~ в формулах нормальной силы тяжести и определя­ 1901, 1917 1930 rr.

лось из уравнивания измерений силы тяжести в пунктах, распределенных по значительной f части земной поверхности. Измерения редуцировали на уровень моря, значение принима­ ли неизменным, а величину f3t вычислили по геофизическим моделям. Коэффициенты фор­ мул 1967 и 1980 rr. найдены по параметрам соответствующих геодезических референц­ систем. Эти системы основаны на наблюдениях ИС3 и далеких космических аппаратов 3.1.2).

и, следовательно, учитывают притяжение атмосферы Земли (разд.

Зависимость нормальной силы тяжести от высоты обычно описывают вер­ (2.666), удерживая члены порядка f и принимая 1() = 45°:

тикальной производной (~h)o =- 3086н · с- 2 =- 3,086мкм · с- 2 /м. (3.2) Геодезическая референц-система г.

3.1.2. В г. Международная ассоциация геодезии приняла Геодезическую референц­ 1980 (GRS80) [489].

систему г.

Структура внешнего гравитационного поля Ее основой является геоцентрический уровенный эллипсоид со своим нормаль­ ным гравитационным полем. Систему задают сЛедующие параметры (разд. 2.4. и 2.4.3):

экваториальный радиус земного эллипсоида (большая nолуось):

о= 6378137м, геоцентрическая гравитационная постоянная Земли (включая массу атмосферы):

= 398 600,5 · 10 9 м 3 • с- 2, (3.3) GM динамический коэффициент формы, в котором исключена постоянная прилив­ 2.2.3):

пая деформация (разд.

12 = 1082,63. 10- 6, угловая скорость суточного вращения Земли:

"'= 7,292115·10-sрад·с- 1 • Текущие (на 1987 г.) значения этих величин следующие: а= м, 6 378 136 GM = 398 600,440. 109 м 3 • с - 2, 12 = 1082,626. 10- 6 [119].

= Наиболее важные nроизводвые параметры системы GRS80 равны (округленно):

малая полуось эллипсоида:

ь= м, 6 356 752, геометрическое сжатие:

f = 0,003352811 = 1 : 298,2572, нормальный потенциал на поверхности эллипсоида:

Ио 6,2636861 · 10 7 м 2 с- 2, = коэффициенты разложения по сферическим функциям:

С4,о = 2,37091 · I0- 6., С6,о = - 0,00608 · 10- 6 • Са.о = 0,00001 · 10- 6, нормальная сила тяжести на экваторе и на полюсе:

"1~=9,7803268 м·с- 2, "{р = 9,832 1864 м. с- 2, гравиметрическое сжатие:

{3 = 0,005 302 44tЭ.

Нормальную силу тяжести -уо можно выч~ttлить по формуле а проще (2.54), по формуле (3.4) "УО = 'Уе( 1 2·2 )112' -е SШ 1Р где "Уе = 9,7803267715 М• с- 2, = Ь-ур = 0,001 931 851 353, - k а-уе а2 ь е2 = 0,006 694 380 0229.

-2 = а Из формулы можно получить градиент нормальной силы ТJiжести (3.4) (2.63) в направлении меридиана: 8,13 sin 2~ не- 2 или 8,13 sin 2~ мкм ·с- 2/км. Нормаль 58 Глава 3.2.

Рис.

40 h(км) Редукция силы тяжести за притяжение атмосферы.

ная сила тяжести на полюсе больше экваториальной на 0,05186 м · с - 2 • Среднее значение нормальной силы тяжести на поверхности уровенного эллипсоида равно /'т= 9,797645 м. с- 2 • Зависимость 'У от высоты вблизи поверхности эллипсоида определяется фор­ f мулой Разложение ее в ряд с удержанием членов порядка дает (2.66).

'У(Ч', h) =/'О- 3,0877 ·10- 6 (1- 0,00142sin 2 ~P)h ·10- 12 h 2 м · с- 2, + 0,75 (3.5) где высота над эллипсоидом в метрах.

h (3.4), Если аномалии силы тяжести вычислять по формуле следует иметь в виду, что ')'о содержит притяжение атмосферных масс. Это эквивалентно конден­ сации масс атмосферы на nоверхность эллипсоида. Если считать атмосферу со­ стоящей из однородных слоев, результаты измерений силы тяжести будут сво­ бодны от притяжения атмосферных масс, лежащих выше пункта наблюдений.

Формулу для поправки за атмосферное притяжение, зависящей от высоты, мож­ [165].

но получить, задав модель атмосферы На поверхности эллипсоида поправ­ ка достигает величины 8,7 мкм ·с- 2, а на высоте 35 км не превышает 0,05 мкм · с- 2 (рис. 3.2). В диапазоне высот рельефа О ~ h ~ 8 км эту поправку [763] можно представить в виде (3.6) При вычислении аномалий силы тяжести поправку оgатм надо прибавлять к из­ меренной силе тяжести. Действительное распределение атмосферных масс отли­ чается от модели атмосферы из-за рельефа и широтного эффекта. Однако их вли­ яние обычно меньше 0,1 мкм·с- 2 [10].

Аномалии в свободном воздухе 3.2.

Точечные аномалии в свободном воздухе 3.2.1.

Аномалии в свободном воздухе (на физической поверхности) (разд. получа­ 2.6.2) ют, вычитая из измеренного в точке Р значения силы тяжести ее нормальное Структура внешнего гравитационного поля значение в 'Точке (2.66) Q:

[')'О+ (3.7а) f!.g = g GRS80 (3.4) (3.5).

В системе величина 'У вычисляется по формулам и Для редук­ ции в свободном воздухе обычно используют линейное приближение (3.2):

дg = g- (-уо- 3,086HN) МКМ ·с - 2, (3.7б) где высота HN выражена в метрах;

зависимость от координат пункта отсут­ ствует.

Если отметки пунктов заданы не в системе нормальных высот применяют какую­ HN, либо другую из известных систем высот (разд. При определении высот геоида ано­ 2.5.2).

малии в свободном воздухе считают заданными на его поверхности (4.21).

Аномалии в свободном воздухе, которые вводят в базы гравиметрических данных, находят по результатам гравиметрических съемок на суше и море 9.3).

(разд. Распределение наблюдений по земному шару неравномерно, а для трети поверхности Земли гравиметрические данные отсутствуют. Точность ано­ малий в свободном воздухе составляет на суше ± 1 - 20 мкм · с - 2, а на море ± 1О - 50 мкм · с - 2 • На море ошибки могут быть и больше в зависимости от вида съемки и метода определения координат. Корреляция ошибок, вызываемая систематическими эффектами (например, ошибки калибровки, ошибки определе­ 3.2.3).

ния координат), поддается оценке с трудом (разд.

Графически аномалии силы тяжести могут быть представлены на картах ли­ ниями равных значений аномалий (изоаномалами). Поскольку аномалии в сво­ бодном воздухе сильно зависят от высоты (разд. на мелкомасштабных 3.2.2), картах изоаномалы часто сглаживают.

3.3.

Рис. Карты аномалий силы тяжести в свободном воздухе (слева) и высоты (справа) на территорию Западного Гарца, ФРГ;

сечения изоаномал и горизонталей соответственно 50 мкм·с-' и 50 м (база данных Ганноверского геодезического института).

Глава Глобальную картину аномалий (с сечением изоаномал 250 мкм ·с- 2 ) дают Атлас ано­ в свободном воздухе (масштаб на экваторе 1 : 8 000 000) и мировая карта малий (1 : 21 300 000) Бовина и др. (93]. Карта аномалий в свободном воздухе на район Заnадного Гарца (рис. 3.3) nриведена как nример карты района с nлотной гравиметрической съемкой.

Из-за корреляции с высотой карты аномалий в свободном воздухе малоnригодны для представления локального гравитационного nоля на суше.

Зависимость от высоты 3.2.2.

Из-за влияния топографических масс существует положительная корреляция ано­ малий в свободном воздухе с высотами точек в коротковолновом диапазоне [725]. Для ограниченных участков эта зависимость описывается линейным урав­ 3.4) нением регрессии (рис.

t:.g =а+ ЬН, (3.8) где величина а зависит от распределения масс в земной коре, а коэффициент Ь функция средней плотности топографических масс;

локальные отклонения от ре­ грессии происходят из-за влияния топографических или подземных аномальных масс. Коэффициент Ь меняется от О, 7 · 1О- 6 с - 2 до 1,4 · 1О- 6 с- 2 ;

его средняя ве­ личина равна 1 · 10- 6 с- 2 = 1 мкм · с- 2/м. Зависимость от высоты для аномалий Буге, которые свободны от влияния топографических масс, рассматривается в 4.3.3.

разд.

Исследование зависимости силы тяжести от высоты и учет топографических эффектов требуют создания цифровых моделей местности. Эти модели могут быть созданы преобразованием аналоговой информации карт с горизонталями в цифровую форму или вычислением средних высот. Для моделей с высоким раз­ решением необходимы топографические карты более крупных масштабов (1 : 25 000, 1 : 50 000).

+ + + + о -2000~--~--~~~~~~~~ О Н(мl 1000 2000 3000 4000 Рис. Связь между точечными аномалиями в свободном воздухе и высотами, Западная Венесуэла 3.4.

(8,8° '() 9,6° 288,4° }.. 289,8°, с.ш., пунктов), коэффиuиент регрессии 1, мкм·с- 2 /м· (информаuия базы данных Ганноверского геодезического института).

Структура внешнего гравитационного поля При вычислениях для своей поверхности.Земли используются ра~ложение рельефа по = 180 [550], сферическим функциям до т а также средние высоты по трапециям 1о х 1о /, (данные Международного гравиметрического бюро). Для различных районов определены средние высоты по трапециям меньших размеров х х 1О' [709]. Во Всемир­ 5' 5 ', 6' ном центре данных физики твердой Земли (Боулдер, шт. Колорадо, США) хранится ин­ формация о средних высотах по трапециям с размерами х для всей поверхности 5' 5' Земли. В некоторых странах создаются цифровые модели с высокой разрешающей [664] способностью (с растрами SООм х 500м, 1000м х 1000м или х 30" 30").

Средние аномаnии в свободном воздухе 3.2.3.

Зависимость точечных аномалий в свободном воздухе от высоты можно умень­ шить, если сформировать средние значения этих аномалий для участков опреде­ ленных размеров. Такие значения используют в глобальных и региональных ис­ следованиях [разд. 4.2 и 4.3].

Среднее значение l:!.g на площадке да сферы и единичного радиуса будет равно дg = iи JJдgdu, (3.9) ди причем ди ограничивается обычно координатными линиями геодезической систе­ 2.4.2).

мы координат Л (разд. Для элементарного участка имеем q;

, du du = cos q;

dЛdq;

. (3.10) При осреднении по таким участкам, форма которых близ экватора почти квадратная, подавляются структуры поля с длиной волны 2-..rt;

;

;

(происходит сглаживание поля).

Осредняя точечные аномалии в свободном воздухе по каждому участку, нахо­ дят эмпирические средние значения. Чтобы получить хорошее приближение к не должно быть белых пятен в распределении точечных аномалий, т. е.

(3.9), они должны охватывать всю площадь участка и весь интервал высот. Если это условие не соблюдается (что часто случается в горных районах, где гравиметри­ ческую съемку выполняют в основном по дорогам), то путем интерполяции мож­ 2. 7.2).

но получить регулярную сетку точечных аномалий (разд. Хорошие резуль­ таты дает учет зависимости аномалий в свободном воздухе от высоты (разд. Если известны коэффициенты а и Ь уравнения регрессии систе­ 3.2.2). (3.8), матический тренд перед интерполяцией можно исключить. Учитывая поправку 4.3.3), за рельеф (разд. точечные аномалии можно получать путем интерполяции даже в горных районах с _ошибкой в несколько десятков мкм · с - 2 [665]. Если 3.2.2) известны средние высоты Н (разд. для заданных участков, в соответствии (3.8) с средняя аномалия в свободном воздухе имеет вид =а+ ЬН.

l:!.g (3.11) Точность средней аномалии в свободном воздухе зависит от ошибок точеч­ ных аномалий и от ошибки представительства. Последняя зависит от сложности поля и распределения пунктов наблюдений на участке На суше точечные [478].

аномалии получают точнее, чем на море (разд. Однако ошибка представи 3.2.1).

62 Глава 120° 180° Рис. Распределение точечных гравиметрических данных по поверхности Земли;

база rравиметри· 3.5.

ческих данных Международного гравиметрического бюро, сентябрь 1986 r.

тельtтва на суше бывает больше из-за влияния топографических масс и неравно­ мерного распределения пунктов. Иногда, если имеются перекрытия разных съе­ мок, можно определить корреляцию ошибок, вызванную систематическими эф­ фектами. По аналогии с она может быть описана ковариационной (2.83) функцией ошибок, зависящей от расстояния:

(3.12) ошибка средней аномалии f.g;

на участке с номером аМ где i, ef.g;

оператор среднего.

9.4.2) Базы глобальных гравиметрических данных (разд. содержат помимо точечных значений средние одноградусные аномалии в свободном воздухе (средние значения по трапециям 1о х 1°, что соответствует площадке 110 х 110 км 2 на экваторе), а для обла­ - 30' 30 ' ;


стей с хорошей гравиметрической съемкой средние аномалии для площадок х 3.5 70% рис. иллюстрирует распределение имеющихся данных. Они охватывают примерно поверхности Земли. Не изучены обширные участки Азии, Африки и Южной Америки, а также отдельные южные районы Мирового океана, Гренладия и полярные области. Дис­ персия ошибок одноградусных аномалий в свободном воздухе составляет 2500 - (мкм · с- 2 ) 2 • Иногда встречаются ковариации ошибок порядка 100 (мкм · с- 2 ) 2 на расстоя­ [754].

ниях до нескольких сотен километров В некоторых регионах с плотной гравиметрической съемкой (Северная Америка, Япо­ ния, Европа) средние значения аномалий можно определить и для участков меньших раз­ меров. Вычисляют средние аномалии в свободном воздухе для трапеций х и 5' 5' 6' 10' (которые 53 о сетку примерно х образуют на экваторе и на широте.р = х 10 км), а также средние для траnеций 10' х 10' и 12' х 20' [207, 710]. Дисперсия ошибок этих средних величин лежит в интервале от 2500 до 10000 (мкм · с- 2 ) 2, причем она различна на суше и море. Для Европы и близлежащих акваторий ковариации ошибок [755] 3.6). 3. 7 помещен можно вычислить и аппроксимировать аналитически (рис. На рис.

6' 1О ', на кото­ фрагмент карты средних аномалий в свободном воздухе по трапециям х ром виден эффект крупномасштабных топографических масс и подводных структур (Ис­ ландия и Срединно-Атлантический хребет).

Структура внешнего гравитационного поля cov (10 мкм. с-2) Рис. Средняя (по разным источникам) ковариационная функция ошибок для осредненных по трапе­ 3.6.

циям х аномалий в свободном воздухе на акваториях 6' 10' [755].

3.7.

Рис. Аномалии в свободном воздухе на территории Исландии и прилегающих морях на основе данных по трапециям х из базы данных Ганноверского геодезического института, 6' 10' сечение изоаномал 100 мкм·с- [710].

Глобальная и региональная структуры 3.3.

гравитационного поля Земли Корреляция аномалий в свободном воздухе 3.3.1.

Будем рассматривать аномалии в свободом воздухе как случайные величины, об­ 2.7.1).

ладающие свойствами однородности и изотропности (разд. Для точечных аномалий эмпирическая дисперсия составляет (3.13) что соответствует среднеквадратической величине аномалии ± 424 мкм · с - 2 • Гло­ бальная ковариационная функция аномалий быстро уменьшается с увеличением расстояния (из-за коротковолнового влияния рельефа), при этом расстояние кор­ 50- 100 реляции составляет км, а примерно при ты с. км корреляция пропадает [358].

Диапазон изменения аномалий в свободном воздухе на Земле составляет 8 · 10 мкм ·с - 2 • Максимальные значения аномалий и их градиентов приурочены к границам тек­ тонических плит с глубоководными впадинами и островными дугами (Пуэрто-Риканский желоб:

- 3550 мкм · с 2, Большие Антильские острова: 2000 мкм ·с- 2 ). К молодым оро­ + генным зонам (Анды, Альпы, Гималаи) приурочены положительные аномалии до Глава cov (~. '3Q) J10 мкм. с-2) о 40 60 120 140 3.8. no Рис. Эмпирическая ковариационная функция для аномалий в свободном воздухе, осредненных 1о 1о [720].

равновеликим траnециям х мкм · с - 2, тогда как на самих тектонических плитах аномалии не превышают мкм. с - 2• Для средних одноградусных аномалий имеем а 2 (дg) 1 • = 92000 (мкм · с- 2 ) 2, (3.14) что соответствует среднеквадратической аномалии ± 303 мкм · с - Эмпирическая 2• глобальная ковариационная функция показана на рис. Она определена 3.8 [720].

по аномалиям, осредненным по равновеликим одноградусным трапециям (участ­ кам, близким к квадрату со стороной км). В длинноволновом диапазоне 100) параметры этой функции согласуются с результатами спутниковых (/ = 2 наблюдений.

Региональные ковариационные функции определяют по данным для конкрет­ ного района. Длинноволновые компоненты поля (длина волны превышает раз Евроnа: суша Северное море, СевернаА дтлантика -200+----'----'---..1...

3.jl(0 ) 3 0 о.ji(O) 3.9. no Рис. Ковариационная функция аномалий в свободном воздухе, осредненных траnециям х и освобожденных от тренда 6' 10' [710].

Структура внешнего гравитационного поля мер района) исключают вычитанием функции тренда (разложение по сфериче­ ским гармоникам для всей поверхности Земли, полином для конкретного района, скользящие средние). В результате получают однородное и изотропное остаточ­ [606].

ное поле Исключение тренда приводит к уменьшению дисперсии и расстоя­ ния корреляции по сравнению с глобальной ковариационной функцией. Вид же функции остается практически неизменным.

На рис. показана ковариационная функция аномалий по площадкам х 1О' для 3. 9. 6' Европы и омывающих морей На континентах из-за влияния топографических масс [710].

увеличивается дисперсия и уменьшается расстояние корреляции по сравнению с теми же характеристиками более гладкого гравитационного поля Северного моря и Северной Ат­ лантики.

3.3.2. Модель степенных дисперсий Спектр глобального гравитационного поля можно описать степенными дисперси­ ями аномалий (разд. Если ковариационная ·функция, на которой основаны 2.7.3).

все вычисления, была определена по осредненным аномалиям (разд. необ­ 3.2.3), ходимо иметь в виду, что при осреднении поле сглаживается. Региональные сте­ пенные дисперсии аномалий можно получить по глобальным дисперсиям, масш­ табируя их соответствующими дисперсионными отношениями [765].

Чернинг и Рапп использовали глобальную ковариационную функцию [720] (разд. для вывода модели степенной дисперсии аномалий:

3.3.1) о = 0, 1, ДЛЯ / = 2, (3.15) для и[(дg) = [ 42528(/- 1) о 999617(/+2) для /~3 (мкм·с- 2 )2• (/ - 2)(/ + 24) ' 3. Рисунок иллюстрирует эту модель, а также степенные дисперсии, получен­ ные по модели гравитационного поля (разд. до Табл.

GPM-2 3.3.3) 1 = 200. 3. '~o-------s~o-------,oo~-----,~~------2-o._o е Рис. 3.10. Степенные дисперсии аномалий по модели Черниига и Раппа и модели геопотенuиала [720] GPM-2 [763).

66 Глава Таблица 3.2. Степенные дисперсии аномалий uf(~g) и высот rеоида uf(N) дли модели Черниига и Ралпа [720) Euf(й.g), С трухтура Степень Длина волны, Euf(N), (мкм ·с - 2 ) 2 м' 361J 0 поля Длинноволноваи 2-36 180°- 10° 40975 928, 100 _ Средневолноваи 37- 180 50603 4, Экстраполиции Коротковолноваи 181-2000 2° -10' 74004 0, 650 х 10- 'Ультракоротко- 2 001-5 000 20-8 КМ 23 х 10- 5 001-10000 8-4 КМ 2 волноваи 0,6 х 10 -б 10 001 -20 000 4-2 км 20 001 - 40 000 2-1 КМ о 179 514 933, (3.15) содержит степенные дисперсии аномалий по модели для разных диапазо­ нов длин волн. Показавы также степенные дисперсии высот геоида, которые в соответствии с и вычислены по формуле (2.75), (2.80) (2.71) R af{дg).

a1(N) = (3.16) 2 (/ - ] ) 'Ym (/ 70), В диапазоне средних длин волн как видно на рис. эта модель 3.10, хорошо согласуется с более современными моделями, а при более низких степе­ 1 нях возникают большие расхождения. Для она уже не подтверждается результатами измерений (при экстраполяции). Можно показать, однако, что для территории Европы региональное гравитационное поле хорошо аппроксимирует­ ся моделью масштабированной коэффициентом вплоть до 1 = 2000.

(3.15), 2/3, По данным табл. существенная часть спектра аномалий располагается в 3. средне- и коротковолновом диапазонах (среднеквадратическая величина ::1:::350 мкм. с- 2 ). Это обусловлено особенностями региональных геологических и топографических структур (горные массивы, осадочные бассейны). В диапазоне ультракоротких волн ( ± 120 мкм · с - 2 ) проявляется возмущающее влияние мест­ ных топографических масс и близповерхностных аномальных масс (соляные ку­ пола, магматические интрузии и т.д.). Длинноволновые же составляющие прева­ лируют в высотах геоида, который является геометрическим представленнем по­ тенциала силы тяжести.

Гармоническая модель 3.3.3.

Разложение по шаровым гармоническим функциям (разд. можно выпо­ 2.2.3) лнить лишь до векоторой степени в зависимости от распределения данных lmax по всему земному шару. Расстояние между смежными пунктами, на которых имеется измерительная информация, определяет разрешающую способность т. е. длины волны наименьшей структуры поля, которую можно 180°//max. 1/ выявить.

Структура внешнего гравитационного поля Рис. 3.11. Аномалии в свободном воздухе, модель геопотенциала атсчетный эллипсоид с GRIM3-L1, параметрами:

а = 6 378 140 м, f = 1:298,257, GM = 398 600,5 х 109 м 3 с- 2, сечение изоаномал 200 мкм·с- 2 [558].

В настоящее время для аппроксимаций глобального гравитационного поля ис­ пользуют сочетание разнородных данных, при этом аномалии силы тяжести определяют средневолновый диапазон поля. Имеющиеся глобальные данные (разд. 3.2.3) позволяют выполнить разложение по сферическим функциям до lmax = 180- 360 (разд. 4.2.2). Рисунок 3.11 иллюстрирует длинноволновые осо­ бенности (lmax = 36) аномалий в свободном воздухе (модель GRIM3-L1 [558]). Мо­ дель GPM-2 [763], содержащая все коэффициенты до lmax = 200, позволяет выяв­ лять детали поля вплоть до длин волн 200 км. Таблица 3.3 содержит полностью нормированные коэффициенты зональных гармоник модели GPM-2 до 1 = 10 и коэффициенты модели GRS80 (разд. 3.1.2), а в табл. 3.4 даны тессеральные и секториальные к~эффициенты до 1 = 5. Главная особенность поля определяется коэффициентом С2, зависящим от полярного сжатия Земли. При выводе возму­ щающих величин (разд. гармоники с коэффициентами С2 и С4 почти полнос­ 2.6) тью исключаются после вычитания нормального поля.

Таблица Нормированные тессеральвые 3.4.

Таблица Нормированные зональные гармони­ 3.3. гармонические коэффициенты (округленные ве­ ческие коэффициенты (округленные величины) с, личины) модель GPM-2 [763] C,,m, S1.m, и соответствующие зн.. ~е­ GPM-2 [763] дл11 модели НИII дл11 Геодезической референu-системы г.

х ю• Х c,.m St,m т 3.1.2) (разд.

0,00 0, с, х 1о• 2,44 -1, GPM-2 GRS 2,03 0, 2 0,90 -0, -484, -484, 2 0,72 1, 0,958 -0,53 -0, 4 0, 2 0, +0, 0, 0,98 -0, 0, 4 -0,19 0, -0, -0, -0,06 -0, 0, 7 0,66 -0, 0, 0, 8 -0,46 -0, 0, 9 -0,29 0, 0, 0, 10 0,16 -0, Временнь1е вариации силы тяжести 3.4.


Измененин гравитационной постониной 3.4.1.

и суточного вращенин Земnи Исходя из космологических представлений, Дирак в г. предсказал веко­ 1938 [145] G (2.6).

вое уменьшение гравитационной постоянной По Дираку, величина об­ G ратно пропорциональна возрасту Вселенной, что соответствует относительному изменению G/G = (-10- 10 -10- 11 )/год = dG/dt). Ожидаемое глобальное (G у111еньшение силы тяжести составляет1 - О, 1 им · с- 2/год;

уменьшение давления в недрах Земли должно привести к ее расширению на О, 1 - 1 мм/год, что предо­ пределяется также и другими соображениями [109].

До сих пор лабораторные эксперименты и теоретические исследования убедительно не подтвердили, что (;

-:;

t О [220]. В 1987 г. Ван Фландерн [197] сообщил, что по результа­ там лазерной локации Луны относительное изменение G/G равно GIG =- (6 ± 2) · 10- 11 /год.

Вектор "' угловой скорости вращенШI Земли подвержен вековым, периодиче­ [248], ским и нерегулярным вариациям что приводит к изменению центробежно­ го ускорения В сферическом приближении радиальная составляющая это­ z (2.8(.

го ускорения равна Zr = - "' 2 R cos 2 'Р· (3.17) Продифференцировав это выражение, можно оценить влияние на силу тяжести изменения широты (из-за движения полюса) и изменения угловой скорости Ol{) о"' (в соответствии с изменением длительности суток):

(3.18) {jz, = "' 2 Rsin21{)01{)- 2"'Rcos 2 I{)O"'.

Движение полюса (перемещение мгновенной оси вращения относительно среднего по­ - 2.1.1)) люса МУН международного условного начала (разд. происходит из-за совмест­ ного влияния свободной нутации упругой Земли (чандлеровский период в сут), возму­ щаемой случайными сейсмическими процессами, и вынужде-нных колебаний из-за метеоро­ логических, океанических и гидрологических процессов (годичный период). Вековое = 280°) смещение полюса н в год по меридиану с долготой Л можно объяснить гло­ (0, бальными тектоническими и гляциологическими изменениями. Движения полюса приво­ 0,5 н, дят к долгопериодическим изменениям широты с амплитудой что в соответствии с (3.18) приводит к изменению силы тяжести на 82 н м · с - 2 на широте 45 °.

Угловой скорости "' свойственно вековое уменьшение, характеризующееся относитель­ = 2 · 1О - ной величиной ~/"' в столетие. Оно вызвано преимущественно приливным тре­ нием, особенно проявляющимся в мелких морях Относительное приливное замед­ [100].

ление на - 2,6 · 10 - 8 в столетие частично компенсируется ускорением в столе­ + 0,6 · 10 - тие из-за послеледникового поднятия в мантии Земли Периодические вариации [119].

(годовые и полугодовые, месячные и полумесячные) вызваны метеопроцессами и прилив­ ными явлениями. Нерегулярные изменения, в частности, обусловлены сейсмотектониче­ скими перемещениями масс, при этом ~/"' остается· в пределах 1О- 8 • В течение длительно­ го времени возможны вариации порядка 10- 7, что, согласно (3.18), может привести к из­ менениям силы тяжести максимум до О, 7 - 7 н м · с - 2 • Структура внешнего гравитационного поля Гравиметрические приливы на абсолютно жесткой Земле 3.4.2.

Периодически меняющееся приливное ускорение Ь 1 представляет собой разность двух векторов: перемениого вектора притяжения Ь небесного тела (Солнца, Лу­ ны), порождающего приливы, и центробежного ускорения Ьо, действующего оди­ наково на все точки Земли (рис. Вектор Ьо вызван вращением Земли, Луны 3.12).

и Солнца вокруг общего центра тяжести, в центре Земли С он компенсируется притяжением (равновесная система).

Для жесткой Земли вектор Ь, можно определить, если известны положения и массы Луны и Солнца, а таюке положение притягиваемой точiСИ Понятие [451].

V приливнога потенциала Луны и Солнца можно ввести на основании вы­ ражении + (3.19) Ь, = Ь Ьо = grad V1 • Потенциал можно разложить в ряд шаровых функций Поскольку систе­ (2.27).

V, ма находится в равновесии, в разложении будут присутствовать члены только со степенями 1 ~ 2. Для имеем 1= j), ~ GM, ~;

(3.20) ( cos 2Z, + V, = Z где М,- масса (точечная масса), г,- расстояние, геоцентрическое зенитное расстояние Луны или Солнца, г расстояние от притягиваемой точки до центра Земли. В соответствии с потенциал вызывает сдвиг уровенных поверхно­ (2.35) V, стей на расстояние v, (3.21) дr, = -.

g = Для nоверхности Земли (r км) отношение r!r, достигает для Луны, =R 1/ для Солнца. Если пользоваться выражением то поrрешность составит ме­ 1/23 000 (3.20), нее 20То приливнога nотенциала Луны и 0,004% солнечного. При r = R член в формуле (3.20), стоящий перед скобками (постоянная Дудсона), равен 2,6277 и 1,2085 м 2 с- 2 соот­ ветственно для Луны и Солнца. Следовательно, солнечные приливы составляют около 46% от лунных приливов.

На величину земной силы тяжести влияет радиальная составляющая прилив­ наго ускорения. Когда эта составляющая направлена во внешнее пространство (это направление считается положительным), она уменьшает силу тяжести. Со­ (3.20), гласно 23 1).

дV, г - = - V1 = - GM, -::з ( cos 2Z, + - (3.22) дг г r, 2 Рис. Приливное ускорение.

3.12.

70 Глава Припивные изменения силы тяжести достигают максимальных значений, когда небес­ z, (Z, 0° 180°) ные тела находятся в зените или надире и и в перпендикулярных им = = z, = 270°).

= 90° (R = 6371 км) их вели­ положениях и На поверхности твердой Земли (Z, чины достигают 1,65 мкм · с- 2 (для Луны) и О, 76 мкм · с- 2 (для Солнца).

Член третьей степени в гармоническом разложении лунного потенциала достигает 27 нм ·с- 2 • При современной точности измерений силы тяжести этим членом нельзя пре­ небрегать. Остальные лунно-солнечные члены остаются в пределах 1 н м · с - 2 • Теперь определим положение притягиваемой точки в фиксированной относи­ тельно Земли системе координат геоцентрической широтой ~ и географической долготой Л (разд. а положение небесного тела, порождающего прилив, 2.4.2), h, экваториальными координатами: часовым углом и склонением По форму­ or.

лам сферической тригонометрии можно выразить зенитное расстояние через Zr координаты точки и координаты небесного тела. Далее, величины и Л связаны h соотношением + hr = ео л а,' где гринвичское звездное время, -.прямое восхождение (рис. Ис­ 80 ar 3.13).

(3.22), пользуя получим д Vr.~ l3 0 Mr г;

[ 3 ( SШ 2 -'Р r. - 3 ) ( SШ 2 ut - 3 ) 1 дг = + sin2~sin2o,cosh, cos 2 ~cos 2 o,cos2h,.

+ + (3.23) Величины г,, Бr и изменяются с разными периодами. Из следует, что припив­ (3.23) hr ное ускорение состоит из трех основных членов. Первый член зависит от Бr, и его измене­ ние долгопериодИческое (лля Луны сут, дЛЯ Солнца полгода);

второй и третий - 14 члены зависят от (соответственно суточный и полусуточный период). И наконец, посто­ h, янная часть первого члена вызывает уменьшение (постоянное во времени) силы тяжести на экваторе на 0,30 мкм · с- 2 и ее увеличение на полюсе на 0,61 мкм · с- 2 • Поскольку выражение содержит произведения различных функций вре­ (3.23) мени, оно не вполне удобно для анализа приливных наблюдений. Но эфемериды Луны и Солнца можно выразить через гармонические функции времени, завися­ щие от кеплеровых элементов орбит и средних долгот Луны и Солнца. Таким образом, для приливов также можно получить разложение по сферическим гар· z Северный h весеннего Рис. 3.13.

равноденствия Небесные и земные системы координат.

Структура внешнего гравитационного поля Таблица Основные приливвые волны лунные, солнечные) (/ 3.5. s Условное обозначение Период Т (в еди- Амплитуда rрави­ ницах солнечного тационных волн времени) длR твердой Земли (Р = 45°, h = 0), и о мс- Долгопернодичес~а~е волны:

МО ПОСТОJIННЫЙ / ПрИЛИВ 102, - ао ПОСТОJIННЫЙ S ПрИЛИВ 47, SO - ао деклинационный прилив Ssa - 182,62 сут 14, Mm - эллиптический прилив 27,55 16, сут деклннационный прилив 31, сут 13, Mf Суточные волны:

ОСНОВНОЙ суТОЧНЫЙ / ПРИЛИВ ч 25,82 310, 01 s основной суточный прилив Pl - 14,07 144, ч эллиптический прилив 26,87 59, Ql ч К1 - основной суточный деклннационный прилив 23,93 436, ч ls Полусуточные волны:

М2 основной прилив - 12,43 375, 1 ч ОСНОВНОЙ S ПрИЛИВ ч 12,00 174, S2 N2 71, эллиптический прилив ч 12, К2 деклинационный прилив 11,97 47, ч 1/3-суточные волны:

М3 1/3-суточный прилив ч - 8,28 5, Амппитуда [нм. с-2] 3.14.

Рис.

Зависимость от широты основных гравитационных nрипивных волн.

72 Глава З моникам. Приливное ускорение будет равно сумме косинусоидальных функций времени (отдельных волн), каждая из которых имеет постоянные частоту и ам­ плитуду;

их начальные фазы также можно вычислить. Основные припивные во­ 3.5. (3.23) лны указаны в табл. Из выражениЯ следует, что отдельные волны имеют широтную зависимость. Амплитуды основных волн гравиметрических 3.14, приливов (для твердой Земли) приведены на рис. а детальное описание дано в работе [798].

[111], Гармоническое разложение Картрайта и Тейлера а также Картрайта и Эддена 1= 3 1= основано на разложении в ряд сферических гармоник до (для Луны) и [110] (для Солнца). Оно содержит 505 отдельных волн,, и его ошибка менее 1 нм · с - 2 • В 1971 г.

МГГС рекомендовал это разложение в качестве модели для вычисления приливов в твер­ [552]. Для анализа наблюдений наивысшей дой Земле (теоретические земные приливы) точности (разд. 10.1.5) были получены выражения до 1 = 4 (ошибка менее 0,01 нм ·с- 2 ).

Кси [785] содержит 1187 отдельных волн, она согласована с Системой астроно­ Формула и геофизических постоянных 1984 г. и отнесена к эпохе 2000.0.

мических Гравиметрические земные приливы и океанские 3.4.3.

нагрузочные приливы Под влиянием припивных сил Земля испытывает упругие деформации (земные приливы). Океанские приливы тоже вызывают деформации Земли из-за того, что создают нагрузку. Эти деформации приводят к дополнительным изменениям си­ [451].

лы тяжести на земной поверхности [422] Теория Лява описывает земные приливы для сферически симметричной Vr (3.20) невращающейся упругой Земли. Приливный потенциал вызывает ради­ альное смешение д Геt притягиваемой точки Р. Соответствующие перемешения 3.15).

масс по рождают дополнительный потенциал за счет деформации (рис.

Vd Величины и дret пропорциональны соответственно припивному потенциалу Vd Vr и смешению дrr Приливный потенциал упругой Земли определяется вели­ (3.21).

(2.35) чинами и и изменением потенциала gдret, которое в соответствии с Vr Vd вызвано смешением точки наблюдений на величину д Геt:

+ Vd- + k- h), (3.24) gдret = Vet = Vr Vr(l k = k(r) h = h(r) где числа Лява и коэффициенты пропорциональности. Числа и зависят от степени разложения приливной деформации в ряд сферических k h гармоник.

k~rt _ _ W + Vt = const.,.......~.._ 1.---lrk--., ДеформированнаА ~'et=h ~'t поверхность Земпи НедеформированнаА Рис. 3.15.

-=~~-=~ W = const Вертикальное смещение уравенной поверхности и по­ верхности твердой Земли, вызванное припивным по­ тенциалом.

Структура внешнего гравитационного поля По сейсмическим.данным и наблюдениям собственных колебаний Земли были созда­ ны плотностные модели Земли, состоящей из сферических слоев. Для заданного распреде­ [467].

ления плотности, сжимаемости и твердости можно вычислить припивные эффекты = R) = 2) На земной поверхности (г числа Лява второй степени равны (/ (3.25) = 0,61' = 0,30, h2 k см. также разд. Земное ядро жидкое, и поэтому суточные волны должны слабо 4.3.2.

зависеть от частоты. Вар построил модели земных приливов для различных эллипсои­ [745] дальных моделей вращающейся Земли с жидким внещним и твердым внутренним ядром 0,10Jo).

(отклонения менее Параметры этих моделей зависят от щироты (изменения поряд­ ка Дальнейщие уточнения основаны на учете латеральных неоднородностей в мантии 1%).

10.3.3).

(разд.

Наблюдаемые гравиметрические земные приливы можно предвычислить по гармоническому разложению теоретичесuх приливов (разд. В отличие от 3.4.2).

модели жесткой Земли измениетси амплитуда А;

каждой отдельной волны р;

(с круговой частотой UJ;

= Т;

), а также из-за неэластичности и океансuх нагру­ 211" :

зочных приливов. возникает фазовый сдвиг ~Ф;

:

cos (UJ;

! + + о;

А;

(теор.) Ф;

(теор.) ~Ф;

), (3.26) p;

(t) = где ~Ф;

= Ф;

(на6л.) Ф;

(теор.). (3.27а) Отношение амплитуд на6люденного и теорет)fческого приливов выражается гра­ виметрическим фактором (амплитудным фактором):

о;

А;

(на6л.): А;

(теор.). (3.276) = Он является функцией чисел Лява и и, следовательно, зависит от степени h k сферической гармоники:

1+ 1 + т h, - -~- k,.

о, = (3.28а) 1= При разложении по сферичеСRим функциям до имеем (3.286) (3.25), Принимая для и значения из получим гравиметрический фактор для всей h2 k Земли:

о= (3.29) 1,16.

Следовательно, амплитуды гравиметрических приливов жесткой Земли (разд. необ­ 3.4.2) ходимо увеличивать примерно на 16%, что дает максимальное изменение в 2,80 мкм · с - 2• В модели эллипсоидальной вращающейся Земли величина о зависит от щироты IP (разд.

Для стационарных приливов МО, (разд. приходится полагать о 10.33). SO 3.4.2) 1,0, = так как соответствующие числа Лява неизвестны.

Помимо непосредственного гравитационного воздействия океанские приливы оказывают периодическую нагрузку на земную кору, что приводит к изменениям силы тяжести вследствие сдвига масс (потенциал деформации), а также к верти 74 Глава 3.16.

Рис.

Влияние нагрузочного океанского прилива для волн М на силу тяжести в Европе и Африке;

изолинии, соответ­ ствующие удвоенной амплитуде, выражены в нм·с- [158].

кальному перемещению гравиметра. Если распределение океанских приливов из­ вестно, влияние океанской приливной нагрузки можно определить и для модели упругой Земли.

Для наиболее важных волн существуют глобальные модели океанских приливов. Ат­ (NSWC) лас Центра надводных вооружений ВМС США, содержащий таблицы и карты океанских приливов, дает амплитуды и фазы отдельных волн Ssa, Mm, Mf, Q1, 01, Р1, Kl, N2, S2, К2 по сетке 1о х 1°, что позволяет учесть океанские приливы примерно М2, на 90117о [619, 620]. Для некоторых акваторий существуют локальные модели шельфовых приливов. Помимо частотно-зависимых моделей, первые попытки моделирования океан­ ских приливов и течений во временном домене изложены в работе [390].

Для определения приливнога нагрузочного эффекта океанская нагрузка рас­ сматривается как тонкий слой на сферической модели Земли и раскладывается в ряд сферических гармоник. Результирующие вертикальные сдвиги и возмуще­ h/, ния гравитационного потенциала описываются нагрузочными числами Лява Они определены Фаррелом для различных моделей Земли. Разложение k/. [191) потенциала нагрузки в ряд сферических функций необходимо выполнять до высо­ ких степеней так как поверхность Земли сложная ВлИJiние же (/ = 10 000), [798].

нагрузки на силу тяжести определяется аналогично вычислению земных приливов по (3.24).

Влияние океанской нагрузки можно также определить, если представить нагрузку, за­ висящую от положения точки на сфере, с помощью функции Грина. Функция Грина зави­ сит от сферического расстояния между злементом нагрузки и данной точкой и образуется как бесконечная сумма сферических гармоник для точечной нагрузки, учитывающая нагру­ [222] зочные числа Лява. Гоуд разработал метод для вычисления влияния нагрузки, ис­ пользующий интегралы функций Грина. Наиболее удачно сочетание гармонического раз­ 15) ложения до невысоких степеней (например, lmax = с интегрированием по ограниченной 5°) [314].

круговой области на сфере (например, со сферическим расстоянием При высоких океанских приливах нагрузочная деформация влечет опускание поверх­ ности и соответствующее увеличение силы тяжести;

опускание с удалением от берега ста­ новится меньше. Сопутствующее смещение масс уменьшает этот эффект, и прямое грави­ тационное влияние океанского прилива на изменение силы тяжести обычно приуменьшает­ ся. Как правило, суммарное влияние океанских приливов составляет лишь несколько процентов от гравиметрических приливов. В глобальном масштабе влияние нагрузочных Структура внешнего гравитационного поля приливов в лунном приливе М2 изменяется от О, 1 мкм · с - 2 (Южная Америка, Южная Африка) до 0,01 мкм ·с- 2 (Центральная Азия, Австралия) [158]. Рисунок 3.16 иллюстриру­ ет это влияние на территории Европы и Африки. В прибрежных областях возможны воз­ мущения до мкм ·с 2, однако результаты вычислений могут быть неуверенными из-за 0,2 несовершенства модели.

Смещения земных масс 3.4.4.

Смещения земных масс можно эквивалентно представить изменениями плотнос­ ти в соответствующей притягивающей точке. Вертикальные движения земной ко­ ры и сопутствующие смещения наблюдателя в поле силы тяжести во многом вызваны процессами в близповерхностных слоях земной коры. Изменения силы тяжести при смещениях масс в отличие от локальных процессов, происходящих недолгое время, лежат в пределах ошибок измерений ( ± 10 - 100 нм · с- 2 ). Ис­ следование и разработка моделей в этой области еще только начинаются [170].

ВременнЬ1е изменения силы тяжести такого рода могут иметь различный ха­ рактер (резкие мгновенные, периодические или квазипериодические, вековые). В зависимости от пространствеиной протяженности они могут быть локальными, региональными или глобальными;

при этом глубина источника изменений силы тяжести возрастает с увеличением площади, на которой эти изменения ощутимы.

Обычно силы, действующие длительное время, вызывают пластические деформа­ ции, а короткопериодические или квазипериодические силы упругие деформа­ ции. Мгновенные.локальные процессы обычно приводят к необратимым изме­ нениям.

Рисунок дает общее представление о масштабах и длительности этих про­ 3. цессов [695].

Глобальные Точность измерений генн.,•е 1~~----~----~--~----~~.--т~--~----~-.--~~--~-.--~-.--~-- 1010 [с] 10 10-1 10° 1 сек мин 1 чес 1 сут 30 сут 1 ГОА 10 лет 100 лет Рис. Неприливные изменения силы тяжести, вызванные перемещениями земных масс 3.17. [695].

76 Глава Глобальные изменения силы тяжести (область проявления более 10 4 км) мо­ гут быть вызваны смещениями эксцентричного земного ядра относительно ман­ [30], тии перемещениями масс в мантии (конвекция в мантии) и литосфере (дви­ жение тектонических плит), а также повышением уровня Мирового океана. Реги­ ональные изменения (10 2 - 10 4 км) происходят одновременно с послеледнико­ выми процессами изостатической компенсации, тектоническими процессами (го­ рообразование) и накоплением осадочных пород. Глобальные и региональные из­ менения носят вековой или очень длительный характер на интервалах 10 3 10 лет;

вместе с тем нельзя исключить долгопериодические компоненты. Локальные изменения 10 2 км) связаны в основном с сейсмотектоническими процесса­ (10° ми, а также с явлениями до и после землетрясений, с вулканическими процесса­ ми, с движениями в зонах разломов земной коры и грабенов. Землетрясения и вулканическая активность влекут резкие мгновенные и короткопериодические из­ менения силы тяжести, для асейсмических движений характерны временные ин­ тервалы 10° - 10 2 лет. Изменения уровня грунтовых вод и другие гидрологиче­ ские цроцессы, как и вариации атмосферного давления, приводят к нерегулярным периодическим изменениям силы тяжести в течение 10° лет. И наконец, 10- 2 отметим смещения масс и связанные с ними изменения силы тяжести в результа­ те человеческой деятельности (откачка воды, нефти, газа, горные разработки, со­ здание крупных инженерных сооружений) в течение 10° - 10 2 лет.

Гравитационные поля Луны и планет 3.5.



Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 14 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.