авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 9 |
-- [ Страница 1 ] --

5. Математическое моделирование

УДК 517.977.54

Б.И. Ананьев, Н.В. Гредасова

ЗАДАЧА ВЫСТАВКИ ИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ

И ПРОЦЕДУРА КОРРЕКЦИИ ДВИЖЕНИЯ1

Статья посвящена приложению методов коррекции движения управляемых систем с неполной информацией к

одной проблеме из инерциальной навигации, а именно к задаче выставки. Рассмотрена общая нелинейная система уравнений и её линейная аппроксимация при малых отклонениях углов. Проведено моделирование процесса вы ставки для случая простейшей модели.

Ключевые слова: коррекция движения, инерциальная навигация, задача выставки.

B.I. Ananiev, N.V. Gredasova THE ALIGNMENT PROBLEM FOR INERTIAL SYSTEMS AND PROCEDURE OF MOTION CORRECTION The paper is devoted to application of motion correction methods for control systems with incomplete information to one problem from inertial navigation, namely to the alignment problem. The general nonlinear system of equations and its linear approximation is observed under small deviations of angles. Modeling of alignment process for a case of the simplest model is done.

Keywords: motion correction, inertial navigation, alignment problem.

Введение Задачи инерциальной навигации и общая теория изучались в [1–5], где широко применялись методы фильтрации Калмана-Бьюси, их обобщения, а также методы управления в условиях статистической не определённости. В то же время в [1, 6] отмечается, что статистика возмущений, действующих в инерци альных системах навигации, часто бывает неполной или вообще отсутствует. Поэтому многие вопросы естественно изучать в минимаксной постановке. Ниже исследуется задача математического согласова ния систем координат двухступенчатой транспортной системы, состоящей из корабля и стартующего с него самолета. Данная задача рассматривалась в [1,2,4] чисто статистическими методами. Здесь рас сматривается эта задача в детерминированной постановке.

1. Уравнения состояния и вектор измерения Пусть имеется корабль (ступень 1), служащий носителем для самолета (ступень 2), готовящегося к старту. Обе ступени имеют системы инерционной навигации, позволяющие им автономно ориентироваться, не связываясь друг с другом. На корабле расположена гироплатформа, оси которой образуют базовую систему (правую) координат (БСК), а на самолете имеется другая гироплатформа с осями, образующими зависимую систему (правую) координат (ЗСК). Перед стартом самолета надо совместить оси ЗСК с соответствующими осями БСК или же оценить углы отклонения и их дрейфы (проекции вектора относительной угловой скорости) с тем, чтобы учесть эти углы при дальнейшем автономном функционировании навигационной системы самолета.

Пусть оси ЗСК обозначаются 1, 2,3, а оси БСК – соответственно 11, 21,31. Можно считать, что эти системы имеют общее начало, совпадающее с центром масс транспортной системы корабль-самолет.

Вдоль каждой из осей ЗСК и БСК установлены акселерометры так, что оси их чувствительности совпадают с направлением соответствующих осей. Акселерометры позволяют измерять проекции негравитационного ускорения, то есть вектор a g, где a – абсолютное ускорение общего центра масс системы. Ориентация ЗСК относительно БСК задается тремя углами Крылова, как это обычно принято в Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 10-01-00672a, и Программы фундаментальных исследований Президиума РАН "Математическая теория управления" при поддержке УрО РАН, проект 09-П-1 1014.

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ морской навигации. Совмещение ЗСК с БСК производится путем последовательных поворотов по часовой стрелке, что отражено на рис. 1.

Последовательность поворотов: вокруг оси 1 – на угол 1, вокруг оси 3 – на угол 3 и вокруг оси – на угол 2. Будем считать, что БСК 1-й ступени выстав лена правильно, т.е. ось 21 направлена по местной вертикали, ось 31 имеет направление по меридиану на север, а ось 11 – по параллели на запад. При перемещении корабля по поверхности земли указанное направление осей сохраняется. Обозначим через M ( ) ортогональную матрицу направляющих косинусов ЗСК относительно БСК. Элементы указанной матрицы приведены в [1, c. 237].

Рис. 1. Совмещение систем путем последовательных поворотов.

Координаты некоторого вектора f1 = [ x1 ;

y1 ;

z1 ] в БСК связаны с его координатами f в ЗСК по формуле f1 = M ( ) f. Складывая векторы 1, 3 и 2, получаем вектор мгновенной скорости системы ЗСК относительно БСК. Известно [3], что проекции вектора на оси ЗСК, связаны с производными углов Крылова кинематическими уравнениями 1 = 1 2 sin 3, 2 = ( 2 cos 1 3 sin 1 ) / cos 3, (1) = 2 sin 1 + 3 cos 1.

Системы ЗСК и БСК не являются инерциальными. Обозначим через и 1 известные векторы (зависящие от времени) абсолютных угловых скоростей систем ЗСК и БСК соответственно. Если эти векторы заданы проекциями на свои оси, то справедливы соотношения 1 2 i = i m1i 1 m2i 1 m3i 1 + i, (2) где mij – элементы матрицы направляющих косинусов, i – проекции вектора неопределённого дрейфа, возникающего из-за неточности аппаратуры. Для измерения используется разность показаний акселерометров в ЗСК и БСК. Пусть a i – показания акселерометров в ЗСК и a1i – выходы акселерометров в БСК. Тогда имеем a i = m1i a1 + m2i a12 + m3i a13 + wi, (3) где wi – неопределённые уходы нуля акселерометров. Из соотношений (3) находим координаты вектора измерения y i = a i a1i, i = 1, 2,3. (4) Обычно измерения снимаются цифровым интегратором и поступают с дискретом = tk tk 1. Из (4) получается дискретная модель измерений tk (a yk = y i (tk ) y i (tk 1 ) = i i a1i )dt, i = 1, 2,3, (5) tk для которой предполагается, что функции mij постоянны на отрезке интегрирования.

Б.И. Ананьев, Н.В. Гредасова. Задача выставки инерциальных систем и процедура коррекции движения Относительно дрейфов i в (2) принимается допущение, что они подчиняются дифференциальным уравнениям с интегрально ограниченными возмущениями в правой части:

T (v ) i dt i2T, i = vi, (6) где v i – неопределённые функции. Неопределённые функции в соотношении (3) также удовлетворяют интегральным неравенствам T (w ) i dt i2T. (7) Здесь и в (6) параметр T – это максимальное время выставки.

Приведём еще формулы, связывающие абсолютную угловую скорость БСК и показания акселерометров. Считаем, что движение корабля происходит по шаровой поверхности радиуса R, где R --- радиус Земли, и оси направлены так, как указано выше. Тогда БСК свободна в азимуте, т.е. 1 = 0.

Вычисляя производные от радиус-вектора, проведенного из центра Земли в центр масс транспортной системы, и считая Землю неподвижной, находим 1 = a13 / R, 1 = a1 / R, a12 = g (v)2 / R, (8) v1 = R 1, v12 = 0, v13 = R 1, 1 3 где v – модуль скорости центра масс, v1i – проекции вектора скорости центра масс на оси БСК, g – ускорение свободного падения.

Таким образом, приходим к нелинейной системе (1), (2), (6), (8) относительно шести переменных i, i с нелинейными уравнениями измерения (4) или (5). Если принять, что в результате грубой выставки, предшествующей, как правило, этапу точной выставки, углы i лежат в пределах нескольких градусов, то нелинейную систему для углов i можно заменить линейным приближением 1 = 1 + 1 1 + 1 2 2 3, 2 = 2 + 2 1 + 1 3 3 1, 2 (9) = + 1 1 +.

3 3 3 3 12 Разность показаний акселерометров в формулах (4) в линейном приближении равна y1 = a1 a1 = a12 3 a13 2 + w1, y 2 = a 2 a12 = a1 3 + a13 1 + w2, (10) 3 3 3 12 21 y = a a1 = a1 a1 + w.

2. Простейшая модель процесса выставки Пусть движение происходит по экватору, и во все время этого движения имеем 1 = 2 0. Тогда отклонение осей ЗСК от БСК описывается одним углом = 3, как показано на рис. 2. При данном движении угловая скорость 1 = 1 0, а остальные проекции абсолютной угловой скорости тождественно равны нулю.

Система уравнений (6), (9) примет вид = + 1, = v. (11) В качестве непрерывного уравнения измерения берём выход 1-го акселерометра, т.е.

y = g + w (12) ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ Рис. 2. Отклонение систем в простейшей модели в соответствии с соотношениями (3), (4), (10). Здесь пренебрегаем слагаемым (v) 2 / R, которое значительно меньше, чем g. Известная функция 1 связана с показанием акселерометра формулой = a1 / R, (13) 1 которая следует из (8). Неопределённые функции v, w стеснены интегральными неравенствами (6), (7).

Функцию рассматриваем как управление. Для дискретного варианта измерений (5) приходим к следующим уравнениям k = k 1 + uk + k 1 + v1, k = k 1 + vk2, (14) k где в соответствии с формулами Коши имеем tk tk tk (t v( )d, ( )d.

1 2 )v( ) d, v = v= u= (15) k k k k tk 1 tk 1 tk Уравнения измерения выглядят следующим образом tk (t 2 2 yk = g ( k 1 + / 2 k 1 + u ) + wk, u = )( 1 )d, k k k tk или, без учета слагаемых 2-го порядка малости и малых дрейфов, как yk = g k 1 + wk. (16) 1 Для векторов vk = [v ;

v ] из (14) и чисел wk в (16) получаем суммарные ограничения k k k k || v || w J 22, J 2 2, = T / J, (17) i F i i =1 i = где F 1 = [ 2 / 3, / 2;

/ 2,1]. Эллипсоидальные ограничения (17) на неопределённые параметры k v(), получаются при подсчете максимума выражения типа по всем функциям lv i =1 i i удовлетворяющим неравенству (6) при связях (15).

3. Результаты численного моделирования Ниже приняты следующие числовые данные: R = 6370 км, g = 9.81 м/c 2. Закон движения БСК в гравитационном поле соответствовал показателям акселерометров:

a1 = sin 2 t / 2,a12 = g,a13 = sin t, = / 30 рад/c. Дискрет времени = 0.5 с;

время выставки T = 100 с;

ограничения на начальные значения углов и дрейфа: | i | 6 град, | i | 1 град/c;

в интегральных ограничениях (6), (7) константы i = 0.02 град/мин 2, i = 0.1 м/с 2.

В соответствии с выбранным законом движения БСК и указанными выше показаниями акселерометров по формулам (8) имеем 1 = 2 1 sin 2 ( t / 2) / R, 1 = 1 sin 2 t / 2 R рад/с.

Приведенные равенства соответствуют достаточно информативному маневру корабля. Если он стоит на месте, то оценивание происходит хуже, т.к. выпадает вторая компонента вектора измерений в (4). Для простейшей модели это несущественно, и можно считать, что 1 = 0. В простейшей модели выбираются ограничения на управления ( ui1 = ui ) в виде Б.И. Ананьев, Н.В. Гредасова. Задача выставки инерциальных систем и процедура коррекции движения k u J 2 2, = 101 rad/c, k J.

(18) i i = Для иллюстрации был выбран алгоритм коррекции, изложенный в работах [7, 8] для случая совместных квадратичных ограничений, в применении к двумерной дискретной системе (14), (16). Он состоит в следующем. В каждый момент t 1: J определяется множество совместимых параметров Wt (U, Y ), состоящее из троек ( x,Vt +1,Wt +1 ), где x = xt – фазовый вектор, Vt +1 = {vt +1,…, vJ }, Wt +1 = {wt +1,…, wJ }, которые совместимы с измеренным сигналом Y = Y t = { y1,…, yt } и заданным управлением U = U t = {u1,…, ut } в силу заданных ограничений. Определим минимакс отклонения системы от нуля как || xJ ||.

rt (U, Y ) = min (19) max U tJ 1 ( x,Vt +1,Wt +1 )Wt (U,Y ) + Величина rt (U, Y ) является гарантированным результатом управления в позиции {U t, Y t }. Управление U tJ+,1t, реализующее минимум в (19), назовем оптимальным в данной позиции.

Введем множество допустимых продолжений сигнала вида Y,t (U, Y t ) = {Yt+1 :( x,Vt +1,Wt +1 ) Wt (U, Y )}, (20) где 0 t J. Теперь можем определить прогноз гарантированного результата управления (19) по формуле rt (,U, Y t ) = max r (U, Y ). (21) Yt+1Y, t (U,Y t ) Величина (21) характеризует наихудший гарантированный результат управления, если система находится в позиции {U t, Y t } и вплоть до момента применяется допустимое управление U t+1.

Определим еще величину r (t,U, Y ) = minrt (,U, Y t ). (22) t J Многократная коррекция состоит из следующих действий.

1. В начальный момент вычисляем r0 и U1J,0.

2. В позиции {U t, Y t } проверяем неравенство r (t,U, Y ) rt (U, Y ).

3. Если оно верно, управление U tJ+1 не меняется. В противном случае переходим к оптимальному U tJ+,1t в задаче (19).

Сигнал yt (16) реализовался при wt, vt [ / 2;

1], 0 = 6 град, 0 = 1 град/с.

Начальное нулевое управление корректируется 2 раза: на 197-м шаге u = 26.42148 град и на последнем 200-ом шаге u = 26.42182 град. На последнем шаге функционал равен r200 = 1.697 град. Отметим, что такое же значение минимаксного функционала получается, если корректировать управление на каждом шаге. Изменение минимаксного функционала (19) показано на рис. 3. Информационные эллипсоиды для шагов 70,90,110,130,150,170,190,199,200 изображены на рис. 4.

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ Рис 3. Изменение функционала Рис. 4. Информационные эллипсоиды Заключение Рассмотрено приложение методов коррекции движения управляемых систем с неполной информаци ей к задаче выставки двухступенчатой транспортной системы. Рассмотрена общая нелинейная система уравнений и её линейная аппроксимация при малых отклонениях углов. Проведено моделирование про цесса выставки для случая простейшей модели. Экспериментально показано, что в простейшей модели оптимальное значение минимаксного функционала качества достигается при малом числе коррекций ( раза) управления.

Литература 1. Богуславский И.А. Прикладные задачи фильтрации и управления. – М.: Наука, 1983. – 314 с.

2. Бромберг П.В. Теория инерциальных систем навигации. М.: Наука, 1979. – 245 с.

3. Климов Д.М. Инерциальная навигация на море. – М.: Наука, 1984. – 211 с.

4. Липтон А. Выставка инерциальных систем. – М.: Наука, 1971. – 198 с.

5. Парусников Н.А., Морозов В.М., Борзов В.И. Задача коррекции в инерциальной навигации. – М.: Изд-во МГУ, 1982. – 256 с.

6. Бахшиян Б.Ц., Назиров Р.Р., Эльясберг П.Е. Определение и коррекция движения. – М.: Наука, 1980. – 402 c.

7. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. – М.: Наука, 1977. – 357 с.

8. Ананьев Б.И., Гредасова Н.В. Многократная коррекция движения линейно-квадратичной управляемой системы // Вестник УГТУ-УПИ. 2005. № 4(56). С. 280-288.

Ананьев Борис Иванович, доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Института матема тики и механики УрО РАН, тел. (343) 3753501, e-mail abi@imm.uran.ru Гредасова Надежда Викторовна, старший преподаватель Уральского федерального университета, тел. (343) 3753501, e-mail gaussn@sky.ru Ananiev Boris Ivanovich, doctor of physical and mathematical sciences, leading researcher of Institute for mathematics and mechanics UB of RAS.

Gredasova Nadezhda Viktorovna, senior teacher of Ural federal university.

1. Методы и задачи оптимального управления УДК 330.115:519. С.М. Анцыз, Н.А. Орозбеков ОБ ОДНОМ ПРОЦЕССЕ ОПТИМИЗАЦИИ БАНКОВСКИХ ПРОДУКТОВ В статье представлен процесс оптимизации портфеля продуктов коммерческого банка. Процесс состоит из за дач оптимизации активов и пассиво, которые решаются поочередно. Для задачи оптимизации пассивов исследова ны две модели: банка-монополиста и банка, работающего в условиях конкуренции.

Ключевые слова: оптимизация, математическое программирование, банковское дело.

S.M. Antsyz, N.A. Orozbekov ON SOME BANK’S PRODUCTS OPTIMIZATION PROCESS In the article a bank’s products optimization process is presented. The process is consist of two problems: assets optimi zation and liabilities optimization, which should be solved by turns. A liabilities optimization problem is researched in two cases: when bank is monopolist and when bank is operates in competition market.

Keywords: optimization, mathematical programming, banking.

Введение Одной из важнейших функций банков является трансформация сбережений в инвестиции. Здесь банк выступает как посредник, который как бы «покупает» ресурсы у одних лиц и «продает» их другим.

Один цикл (когда банком привлечены средства и вложены в некоторые активы) можно принять за один шаг. Таким образом, функционирование банка можно представить в виде процесса, на каждом шаге ко торого решаются задачи привлечения и вложения денежных средств. Ранее (в [1] и [2]) рассмотрена и подробно изучена задача оптимизации активов коммерческого банка. В данной работе мы кратко опи шем задачу оптимизации активов и алгоритм ее решения. Задача оптимизации пассивов будет описана более развернуто.

1. Задача оптимизации активов Задача формулируется следующим образом: определить оптимальные значения размеров активов {xi } и процентной ставки по доходным активам y, такие, что выполняются ограничения:

x S;

(1) i iI (l1 1) xi + l1 xi 0;

(2) iI12 iI 0 xi i, i I11 ;

(3) xi 0, i I12 ;

(4) ( y i ) xi 0, i I11 ;

(5) и достигает максимума функционал, характеризующий прибыль банка ci xi + y xi max !, (6) xi, y iI12 iI где S - объем денежных средств банка, I1 = I11 I12 - множество номеров всевозможных активов, I11 = {1, 2,..., N } - множество номеров доходных активов, I12 = {N + 1, N + 2,..., N1} - множество номеров ликвидных активов, xi - объем вложений банка в i -тый актив (i I1 ), l1 - коэффициент ликвидности ( l1 [0,1] ), i - объем средств, запрашиваемый i -тым заемщиком (i I11 ), i - максимальный уровень ставки процента, при которой i -тый клиент может взять кредит (i I11, кредиты считаются доходными активами), y - единая ссудная ставка процента, ci - ставка процента по ликвидным активам (i I12 ).

Величины y, xi (i I1 ) являются искомыми, ограничения (1) – (4) являются линейными относи тельно переменных xi, а ограничения (5) и целевая функция (6) – нелинейны.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты 10-06-00168-а, 10-06-00057-а) ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ Задачу (1) – (6) можно рассматривать как задачу геометрического программирования, однако приме нение алгоритмов решения задач геометрического программирования к ней оказывается слишком тру доемким. Поэтому был предложен более эффективный способ ее решения.

Для этого величины i упорядочивались по возрастанию и далее изучалось поведение функционала:

F ( y ) = max ( ci xi + y xi ), x X ( y ) iI12 iI где X ( y ) – множество допустимых значений системы (1) – (6) при фиксированном значении y, на ин тервалах [0,1 ], ( k 1, k ], ( N, ), k = 2,..., N.

Была доказана следующая теорема.

Теорема 1. Пусть X ( y ) – множество векторов, допустимых для системы (1) – (5) при фиксирован ном значении y, функционал F ( y ) = max ( ci xi + y xi ), { xi } X ( y ) iI12 iI c = max{ci }, iI при этом если c 1, то k = 1, в противоположном случае k находится из существования интервала k 1 c 0 k. Тогда справедливы следующие утверждения.

1) На отрезке y [0, c o ] функция F ( y ) принимает постоянное значение.

2) Если c 0 N, то на интервалах (c 0, k ] и ( k 1, k ], k k функция F ( y ) линейно возрастает.

3) Функция F ( y ) может иметь разрывы в точках k. В этом случае F ( k ) F ( k + 0), F ( k ) F ( k + 0) и точка y = k будет точкой локального максимума рассматриваемой функции.

y y 4) На интервале ( N, +) функция F ( y ) принимает то же постоянное значение, что и на отрезке [0, c o ].

Из теоремы 1 следует, что функция F ( y ) может иметь не более N локальных максимумов в точках y = 1, y = 2,..., y = N (не обязательно во всех). Отсюда очевидно, что исследовать функцию на мак симальное значение достаточно только в точках ее локальных максимумов y Y = { i | i c o, i I11}.

Таким образом, необходимо для каждого значения y Y решить соответствующий этому значению ли нейный аналог задачи (1) – (6). В итоге получим следующее конечное множество оптимальных наборов:

{( yi, xi1,..., xiN ) | yi Y }. Тот набор из этого множества, который доставляет глобальный максимум функ ции F ( y ), будет решением исходной нелинейной задачи.

2. Задача оптимизации пассивов Процентные ставки по депозитам рассматриваются как аргумент функции предложения средств, а банк – как покупатель денежных вкладов, который приобретает их по объявленной цене, причем вариа ция ставки считается эффективным инструментом привлечения накоплений населения.

В настоящем параграфе рассмотрим вопросы привлечения средств банком для последующего вложе ния в активы.

2.1. Модель для банка-монополиста Первоначально предположим, что на денежном рынке действуют один коммерческий банк и M кли ентов, каждый из которых располагает денежными средствами в размере i соответственно. Причем менеджменту банка известны ставки процента i ( 1 2... M ), под которые клиенты согласятся поместить свои средства в банк. При этом объем привлеченных банком вкладов зависит от величины ставки процента (т.е. при установлении низкой ставки банк получает дешевые вклады, но в малом объе ме;

при высокой ставке получает дорогие вклады, что снижает доходность его деятельности, но в боль шем объеме). В качестве вкладов рассматриваются депозиты и обязательства "до востребования" (те кущие поступления).

Обозначим совокупные выплаты по обязательствам банка через P ( y ) = ci xi + y xi, iI 22 iI С.М. Анцыз, Н.А. Орозбеков. Об одном процессе оптимизации банковских продуктов где y – ставка процента по срочным вкладам;

ci – ставки по вкладам "до востребования";

xi – вклад i -го клиента;

I 21 - множество номеров срочных вкладов;

I 22 - множество номеров вкладов «до востребования».

Заметим, что все вклады удовлетворяют ограничению xi l2 S, i I 21, где l2 – законодательно установленный норматив максимального риска на одного кредитора. Это огра ничение показывает, что банк должен проводить диверсификацию риска кредиторов. Если учесть тот факт, что вклад i -го клиента не может превышать величину i, то предыдущее ограничение можно переписать в виде:

xi min{l2 S, i }, i I 21.

Известно, что множество I 22 имеет непостоянный характер: текущие вклады могут в короткий срок быть востребованы хозяевами вклада. В связи с этим будем учитывать величины xi из множества I cx) как фиксированную сумму (Ctp = и предположим, что на рассматриваемой итерации банку не ii iI достает объем K средств, которые можно получить с помощью депозитов. Тогда возникают следующие ограничения:

xi K. iI Это условие обеспечивает привлечение капитала, необходимого для формирования кредитного порт феля.

( y i ) xi 0.

Смысл данного ограничения заключается в условии, что у каждого потенциального вкладчика есть своя ставка процента i, под которую он согласится поместить свои средства в банк.

Для выполнения норматива ликвидности некоторую долю от привлеченного капитала банк вклады вает в безрисковые активы. В связи с этим имеет место ограничение (1 l1 ) ( xi ) y + l1 ( xi ) c0 ( xi ) y, iI 2 iI 2 iI где y – оптимальная ссудная ставка процента (она определяется при решении задачи (1) – (6));

c0 – ставка процента за безрисковые активы (эта величина считается известной).

Последнее ограничение можно понимать как ограничение сверху для y. Для краткости изложения в модель это ограничение войдет в виде:

(1 l1 ) y + l1 c0 y.

Учитывая все вышеприведенные ограничения, формулируем следующую задачу нелинейного про граммирования. Определить величины y и xi (i I 21 ), такие, что выполняются условия:

x K;

(7) i iI ( y i ) xi 0, i I 21 ;

(8) 0 xi min{l2 S, i }, i I 21 ;

(9) (1 l1 ) y + l1 c0 y;

(10) и достигает минимума целевая функция Ctp + y xi min ! (11) iI Трудность решения этой задачи заключается в нелинейности целевой функции (11) и группы ограни чений (8). Для преодоления этой трудности предлагается использовать тот же прием параметризации, который был использован для решения задачи (1) – (6). Напомним условия: 1 2... M и рассмот рим поведение функции P ( y ) на интервале [0, 1 ) и на интервалах [ k, k +1 ), k = 1,..., M 1, не учитывая, временно, ограничения (10).

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ Для того чтобы на интервале y [0, 1 ) выполнялись условия (8), необходимо, чтобы все xi (i I 21 ) обращались в нуль. Тогда банк не получает средств ни от одного клиента из I 21. Очевидно, что в этом случае задача (7) – (11) не имеет решения и функция P ( y ) равна величине Ctp.

При переходе от интервала [0, 1 ) к интервалу [ 1, 2 ) и далее от [ i 1, i ) к [ i, i +1 ) возникают две ситуации.

i x K. Тогда из-за невыполнения ус Первая ситуация заключается в том, что в силу условий (8) j j = ловия (7) ограничения (7) – (10) продолжают оставаться несовместными, задача (7) – (11) не имеет ре шения и функция P ( y ) принимает значение Ctp.

i x K. В этом случае банк привле Вторая ситуация состоит в том, что выполняется неравенство j j = кает средства первых i клиентов и второе слагаемое функции P ( y ) принимает отличное от нуля значе ние. При дальнейшем увеличении значения y функция P ( y ) линейно возрастает на всем этом интерва ле. Фиксируем номер = i этого интервала. Далее при переходе с интервала [, +1 ) на [ +1, + 2 ) функция P ( y ) терпит разрыв, так как при достижении y значения +1 банк получает средства + 1 – клиента, т.е.

+ xj + xj xj + xj jI 22 j =1 jI 22 j = Нетрудно показать, что на данном интервале функция P ( y ) будет линейно возрастать с большим уг ловым коэффициентом, чем на предыдущем.

Продолжая перебор интервалов, устанавливаем зависимость функции P ( y ) от значения y, проиллю стрированную на следующем рисунке.

P( y) y 2 3 Рис. Функция P ( y ) не определена на интервалах [0, 1 ),...,[, ), а на интервалах [ i, i +1 ), i, P ( y ) – ку сочно-линейная, терпящая разрывы в точках,..., M. Очевидно, что минимальное значение этой функции достигается при y =.

Теперь вспоминаем, что величина y должна удовлетворять ограничению (10). Если y = (1 l1 ) y + l1c0 = C1, это значение y является оптимальным значением ставки по депозитам, по лученным в условиях отсутствия конкуренции. В случае, когда y = C1, рассматриваемая задача не имеет решения. В случае, когда (1 l ) y + l c, можно определить объем K, при котором задача (7) 1 1 – (11) будет иметь решение. В противоположной ситуации необходимо искать другие инструменты для привлечения средств.

С.М. Анцыз, Н.А. Орозбеков. Об одном процессе оптимизации банковских продуктов 2.2. Учет конкуренции в модели оптимизации пассивов Теперь рассмотрим разработку стратегии функционирования банка по привлечению пассивов на кон курентном рынке, на котором уже действуют N клиентов и M коммерческих банков. Для этого модель (7) – (11) дополним следующими ограничениями.

Предполагается, что каждый из M банков самостоятельно проводит свою депозитную политику, т.е.

устанавливают свою ставку процента по срочным вкладам y. Также предположим, что некоторые кли енты уже сделали вклады vik ( vik – вклад i -того клиента в k -том банке) в некоторые банки. Если новый банк предложит более выгодные условия, то клиенты других банков "перебегут" в новый банк. Это ус ловие можно представить в виде следующего ограничения.

( y y k )vik 0, i = 1,..., N, k = 1,..., M, (12) где ( 1) – величина, показывающая, на сколько ставка нового банка должна превышать ставки других банков, чтобы клиенты других банков закрыли свои вклады и вложили освободившиеся средства в новый банк.

Также нужно учитывать, что i -тый клиент может вложить в новый банк сумму, не превышающую разность имеющегося капитала и суммы всех вложений клиента в другие банки, т.е.

M xi i vik, i = 1,..., N. (13) k = Следующее ограничение описывает тот факт, что сумма всех вложений клиента в различные банки не может превышать имеющегося у него капитала:

M v k i, i = 1,..., N. (14) i k = Кроме этого введем стандартное условие на неотрицательность величин vik vik 0, i = 1,..., N, k = 1,..., M. (15) В итоге получим новую задачу (7) – (15). Эта задача принадлежит к тому же классу, что и задача (7) – (11): целевые функции этих задач совпадают, ограничения (8), (12) являются нелинейными, а остальные ограничения – линейны. Поэтому мы применим алгоритм решения задачи (7) – (11) для решения задачи (7) – (15).

Введем следующее обозначение:

PNB ( y ) = min(Ctp + y xi ), X pas iI где X pas – множество допустимых решений задачи (7) – (15) при фиксированном значении y.

Первоначально, так же как и при решении задачи (7) – (11), не будем учитывать ограничение (10).

Для параметризации задачи (7) – (15) упорядочим значения предельных для клиентов ставок i (i = 1,..., N ) и значения i (i = 1,..., N ), ( 1) на одной числовой оси и будем исследовать поведение функционала PNB ( y ) по мере того, как параметр y будет пробегать эту числовую ось. Таким образом числовая ось будет разбита на 2 N + 1 интервалов. Но для удобства изложения мы будем рассматривать поведение PNB ( y ) на интервалах [ i, i +1 ). Это допущение, как будет показано ниже, не умаляет общно сти рассуждений.

На интервале [0, 1 ) не выполняется условие (7), и, как следствие, новый банк остается без вкладов по депозитам, а задача (7) – (15) не имеет решения. При переходе на следующий интервал [ 1, 2 ) и да лее от [ i 1, i ) к [ i, i +1 ) возможны следующие варианты:

1. Выполняется ограничение (7).

Если vik 0, то на интервале [ i, i +1 ) PNB ( y ) имеет разрыв в точке i : на интервале [ i, i ) PNB ( y ) линейно возрастает, при достижении точки i происходит скачок за счет того, что вклад i -того клиента из некоторого банка перешел в новый банк. Следовательно, на интервале [ i, i +1 ) PNB ( y ) бу дет возрастать с большим угловым коэффициентом.

Если vik = 0, то на интервале [ i, i +1 ) PNB ( y ) непрерывно линейно возрастает.

2. Условие (7) не выполняется.

В этом случае, так же как и на интервале [0, 1 ), задача (7) – (15) не имеет решения.

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ На рисунке 2.2 изображена следующая ситуация. При y = 3 начинает выполняться условие (7). Кли ент с номером i = 3 еще не вложил свои средства ни в один банк. Поэтому PNB ( y ) определен на интер вале [ 3, 4 ). Клиент с номером i = 4 уже успел вложить средства в некоторый банк. Это объясняет то, что при достижении переменной y значения 4 функция PNB ( y ) не претерпевает разрыв, а продолжает непрерывно линейно возрастать до точки 4. При достижении переменной y значения 4 клиент с номером i = 4 "перебегает" из некоторого банка в новый банк. Клиент с номером i = 5 в этом случае также не вложил свои средства ни в один из M банков.

P( y) y 2 3 3 Рис. = было впервые выполнено условие (7) и начиная с точки функционал Допустим, что при y PNB ( y ) приобретает значения, отличные от нуля. При этом мы должны проверить равенство vk1 = 0. Ес ли это равенство выполняется, то оптимальная ставка процента y =. Если же vk1 0, то y = 1.

Теперь найденное значение y проверяем на выполнение условия (10). Если y C1 = (1 l1 ) y + l1c0, то y – оптимальная ставка, в противном случае задача не имеет решения.

Заключение Описанные выше задачи оптимизации активов и пассивов учитывают лишь самые основные условия работы банков. Но эти задачи легко могут быть дополнены новыми ограничениями, описывающие раз личные требования ЦБ России, и использованы в качестве вспомогательных инструментов для принятия решений.

Литература 1. Анцыз C.М., Орозбеков Н.А. Об одном подходе к построению математических моделей для оптимизации банковской деятельности. РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т математики;

Новосибирск, 2004. 26 с. Препринт.

2. Орозбеков Н.А. Нелинейные модели оптимизации банковских активов // Сибирский журнал индустриальной математики. 2005. Т. VIII, 4(24). С. 73-90.

Анцыз Сергей Матвеевич, кандидат технических наук, старший научный сотрудник Института математики им.

С.Л. Соболева СО РАН, тел. (383) 363-46-04, E-mail: antsyz@math.nsc.ru Орозбеков Нурлан Аскарович, кандидат физико-математических наук, ведущий инженер Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН, тел. (383) 363-46-04, E-mail: nurlan_o@math.nsc.ru Antsyz Sergey Matveyevich, candidate of technical sciences, senior researcher of Sobolev Institute of Mathematics.

Orozbekov Nurlan Askarovich, candidate of physical and mathematical sciences, senior engineer of Sobolev Institute of Mathematics.

2. Системный анализ, обработка информации и информационные технологии УДК 004.032.26(06) С.В. Архипов МОДИФИЦИРОВАННЫЕ АЛГОРИТМЫ ПОСТРОЕНИЯ НЕЙРОННОЙ СЕТИ SOFM Представлен краткий обзор известных нейросетевых алгоритмов построения адаптивных сеток. Приводятся часто используемые варианты функций соседства нейронов. На примере использования Гауссовой функции рас стояния между нейронами в модифицированном алгоритме сети SOFM исследована зависимость качества адапта ции сетки от параметров функции. На основе вычислительных экспериментов предложены рекомендации по выбо ру параметров функции соседства при адаптации плоской сетки на сложной области модифицированным алгорит мом SOFM.

Ключевые слова: нейроные сети, самоорганизующиеся карты признаков, адаптивные сетки.

S.V. Arkhipov THE MODIFIED ALGORITHMS OF CONSTRUCTION OF NEURAL NETWORK SOFM The brief review of known neural network algorithms of construction of adaptive grids are presented here. Often used variants of functions of neurons adjacency are resulted. Dependence of quality of grid adaptation from function parameters has been researched on the basis of using Gaussian function about the distance between neurons in modified algorithm of network SOFM. According to computing experiments recommendations at the choice of function parameters of the adja cency at adaptation of flat grid on complex area by modified algorithm SOFM have been resulted here.

Keywords: neuron network, self-organizing feature maps, adaptive grid.

Введение Неослабевающий интерес к проблеме построения адаптивных сеток обусловлен необходимостью по лучения достоверного численного решения прикладных задач при сохранении умеренных требований к вычислительной технике. Основная идея методов построения адаптивных сеток состоит в уменьшении размеров ячеек в зонах расчетной области, соответствующих значительным ошибкам решения.

Для построения адаптивных сеток с заданной плотностью применяются следующие традиционные методы эквираспределения [1], Томпсона [2], эллиптический метод [3], алгебраические методы [4], кон формных отображений [5] и т.д. В основе применяемых методов лежат теории дифференциальных урав нений, вариационного исчисления и многомерной дифференциальной геометрии. Для получения качест венных адаптивных сеток все эти методы требуют решения сложных систем нелинейных дифференци альных уравнений с частными производными, что накладывает ряд известных ограничений.

В настоящее время способность построения адаптивных сеток с заданной плотностью на сложной физической области демонстрируют нейросетевые алгоритмы [6], [7], [8], [9], [10] и т.д. Развитие совре менных нейросетевых моделей обязано классической теории самоорганизующихся карт Кохонена (сеть SOFM - Self-Organizing Feature Maps, T.Kohonen) (например [11], [12]). Соревновательная нейронная сеть SOFM с обучением без учителя выполняет задачу проецирования многомерного пространства в пространство с более низкой размерностью (чаще всего двумерное). Дискретно-стохастический подход, присущий обучению нейросетей, обеспечивает привлекательность в отношении простоты алгоритмов, возможностей их эффективного распараллеливания, отражения плотности распределения данных в об ласти и отсутствия привязки к размерности отображаемого пространства.

Как известно [9], применение базовой модели SOFM приводит к появлению граничного эффекта, на личию мертвых нейронов и нарушению гладкости сетки. Для решения указанных проблем предложены модифицированные методы, в основе которых лежит идея чередования базового алгоритма для внут ренних и внешних узлов [7], использования так называемых раскрашенных моделей и специальных ал горитмов сглаживания [9]. Кроме того, в алгоритмах усовершенствованы функции соседства нейронов.

Эта функция представляет собой невозрастающую функцию от дискретного времени и расстояния меж ду нейроном-победителем и соседними нейронами в сетке. Функция соседства нейронов разбивается на две части: собственно функцию расстояния и функцию скорости обучения. Изменение параметров ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ функций расстояния и скорости обучения относительно дискретного времени обеспечивает качество адаптации сетки на области. Как правило, приемлемая адаптация сетки наступает в результате много численных вычислительных экспериментов по выбору параметров функции соседства нейронов. В то же время рекомендации по характеру функций расстояния и скорости обучения носят достаточно общий характер и незначительно облегчают поиск оптимальных параметров.

В данной работе, помимо представления краткого обзора существующих нейросетевых алгоритмов адаптации регулярных сеток на плоскую область, предпринята попытка формулировки рекомендаций по выбору параметров функции соседства, включающей Гауссову функцию расстояния для модифициро ванного алгоритма SOFM.

Основные идеи Самоорганизующаяся карта признаков имеет набор входных элементов, число которых соответствует размерности учебных векторов (пространства физической области), и набор выходных элементов, кото рые служат в качестве прототипов и называются кластерными элементами (узлы сетки). Входной слой элементов передает сигналы кластерным элементам при помощи взвешенных связей. Весовые значения связей интерпретируются как значения координат, описывающих позицию кластера в пространстве об разцов. В начальный момент дискретного времени кластерные элементы могут определяться как слу чайными координатами пространства образцов, так и в заданных вершинах регулярной решетки, напри мер, с треугольными, квадратными или шестиугольными краями. В процессе обучения веса нейронов настраиваются, в результате чего сетка, самоорганизуясь, постепенно растягивается по заданной физи ческой области.

Работа сети SOFM характеризуется этапом инициализации карты и циклом:

1) выбор случайного образца x(n) с заданной плотностью распределения;

2) нахождение узла победителя (best matching unit, BMU) – кластера на карте признаков, вес которого имеет меньшее отличие в заданной метрике от случайного образца;

3) корректировка узлов из числа близлежащих к победителю – изменение веса победителя и его сосе дей с целью приближения к случайному образцу;

4) определение ошибки карты.

При определении узла победителя в шаге 2, как правило, в качестве метрики выбирается Евклидово расстояние d. В редких случаях используют угол между радиус-векторами узла претендента и случай ного образца.

Корректировка положений узлов шага 3 происходит в зависимости от степени близости к победите лю c помощью функции соседства (n, iBMU, jBMU, i, j ) по формуле:

wij ( n + 1) = wij ( n ) + q ( n, iBMU, jBMU, i, j )·( x ( n ) wij ( n ) ), (1) где n – номер итерации, wij – вес ij -го узла, x(n) – случайно выбранный образец, iBMU jBMU - индекс узла победителя для образца x(n).

Функция соседства представляет собой невозрастающую функцию от дискретного времени n и рас стояния между нейроном-победителем и соседними нейронами в сетке. Как описано выше, эта функция разбивается на две части: функцию расстояния h(d, n) и функцию скорости обучения (n), т.е.

q (n, iBMU, jBMU, i, j ) = (n) h(d, n).

Обычно применяется одна из двух функций расстояния:

const, d (n) h( d, n) = – ступенчатая функция 0, d (n) или функция Гаусса d 2 2 ( n ) h (d, n) = e. (2) Лучший результат при адаптации сетки на сложной области показывает функция Гаусса. Функция (n) называется радиусом обучения, который выбирается достаточно большим на начальном этапе обучения и постепенно уменьшается так, что в конечном итоге обучается один нейрон-победитель. В качестве радиуса обучения используют линейно или экспоненциально убывающую функцию от време ни, например, в работе [8] ( n) = a n 0.2, (3) С.В. Архипов. Модифицированные алгоритмы построения нейронной сети SOFM где величина a выбирается таким образом, чтобы на первой итерации получили ощутимое смещение все узлы карты. При этом в качестве расстояния d в формуле (2) предлагается использование сеточного расстояния d 2 = (iBMU i )2 + ( jBMU j )2.

Функция скорости обучения (n) также представляет собой функцию, убывающую от времени. Наи более часто используют линейную, обратно пропорциональную n const ( n) =, или экспоненциальную n + const (n) = n 0.2. (4) В работе [9] функции скорости обучения (n) и расстояния (латеральная связь [9]) h(d, n) модифи цированы к виду 5( n nmax ) ( n ) = n 0.2 1 e nmax, d r2 ( n) h(d,n) = s, где nmax – максимальное число итераций, s – константа близкая к нулю, d – евклидово расстояние ме жду нейронами, r (n) – радиус обучения 5( n nmax ) n r ( n ) = rmin + 1 e rmax s rmin n 0.25, nmax nmax здесь rmin, rmax – начальный и конечный радиусы обучения.

Как видно из приведенных функций, все они в большем или меньшем числе содержат параметры, ре зультат подбора которых существенно влияет на качество построения адаптивной сетки, что означает высокую эвристику алгоритма.

Применение вышеописанного алгоритма, который назовем базовым, в сочетании с различными вари антами функции соседства приводит к трем основным проблемам:

1. Адаптация сетки на невыпуклой области G не гарантирует, что все узлы сетки будут принадле жать области G.

2. Граничные узлы построенной сетки расположены на определенном расстоянии до границы об ласти, отличном от нуля. Это расстояние сопоставимо со средним расстоянием между узлами сетки.

3. Нарушение гладкости адаптивной сетки вследствие уменьшения радиуса обучения на стадии уточнения.

Для решения двух первых проблем в работе [7], которая посвящена использованию SOFM для по строения конечно-элементных сеток, была предложена идея модификации алгоритма обучения SOFM, состоящая в том, что чередуется применение этого алгоритма отдельно для граничных и внутренних узлов. Один цикл такого чередования называется макроитерацией [8]. В соответствии с этой идеей был разработан модифицированный алгоритм построения конечно-разностных адаптивных сеток [9].

Модифицированный алгоритм.

0. Инициализация положений узлов сетки.

1. На первой макроитерации ( s = 1) применяется базовый алгоритм в течение n0 итераций ко всем уз лам сетки.

2. На каждой макроитерации с номером s 1 выполняются следующие действия:

а) применение базового алгоритма в течение n1 ( s) итераций к граничным узлам сетки с генерацией точки только на границе области;

б) применение базового алгоритма в течение n2 ( s ) итераций ко всем узлам с генерацией точки во всей области. При этом все граничные узлы зафиксированы и не меняют своего положения. Кроме того, если узлом-победителем является граничный узел сетки, то он заменяет случайную точку x(n).

3. Повторяются макроитерации до тех пор, пока изменения положений узлов не станут достаточно малыми.

Идея решения третьей проблемы заключается в том, чтобы использовать граничные нейроны в каче стве представителей несуществующих нейронов за пределами карты, которых не хватает для баланси ровки асимметричности латеральных связей. Алгоритм, осуществляющий сглаживание сетки, применя ется после применения модифицированного алгоритма и выходит за рамки данного обзора.

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ Из приведенного обзора видно, что известный к настоящему времени модифицированный алгоритм адаптации сеток унаследовал эвристику базового алгоритма. Практика применения модифицированного метода указывает на необходимость наличия рекомендаций по выбору параметров обучения.

Вычисления и наблюдения Вычислительные эксперименты проводились на симметричной невыпуклой области G (рис. 1). Вы бор данной области G объясняется очевидностью правильного расположения сетки в первом шаге мо дифицированного алгоритма. В качестве функции соседства нейронов (n, iBMU, jBMU, i, j ) применялось произведение функции скорости обучения (4) и расстояния (2). Модифицированный алгоритм обучения программно реализован в виде следующих шагов.

0. Устанавливаются начальные веса wij всех нейронов в вершинах квадратной решетки (рис. 1).

1. На первой макроитерации ( s = 1), соответствующей дискретному времени n [1, n0 ] :

1.1. Генерируется случайная точка x(n) во всей области G ;

1.2. Определяется нейрон-победитель в евклидовой метрике. Фиксируются сеточные координаты нейрона-победителя iBMU, jBMU ;

1.3. Настраиваются новые весовые значения нейронов сети по формуле (1) ( iBMU i )2 + ( jBMU j ) 0.2 0.2 2( a ( n ) n ) (n, iBMU, jBMU, i, j ) = n e. (5) 2. На каждой макроитерации s 2.1. В течение n1 ( s ) итераций 2.1.1. Генерируется случайная точка x(n) на границе области G.

2.1.2. Определяется нейрон-победитель BMU из граничных узлов сетки.

2.1.3. Настраиваются новые весовые (5) значения граничных узлов сетки.

2.2. В течение n2 ( s ) итераций 2.1.1. Генерируется случайная точка x(n) во всей области G.

2.1.2. Определяется нейрон-победитель BMU среди всех узлов сетки.

Если в шаге 2.1.2 победил граничный нейрон сетки, то случайно сгенерированная точка 2.1.3.

x(n) заменяется на граничный нейрон.

2.1.4. Настраиваются новые весовые (5) значения внутренних узлов сетки.

3. Повторяются макроитерации до тех пор, пока изменения положений узлов не станут достаточно малыми.

Первая макроитерация в классической терминологии соответствует этапу упорядочивания. Здесь важным показателем является правильность предварительного расположения сетки в области. После дующие макроитерации уточняют расположение сетки относительно границы и внутренней области G.

При анализе качества построения сетки в модифицированном алгоритме целесообразно разделить этапы упорядочивания и уточнения. В нижеследующих вычислительных экспериментах исследовались параметры a и n0. За основу на первом этапе обучения принята линейная зависимость параметра a от дискретного времени n.

С.В. Архипов. Модифицированные алгоритмы построения нейронной сети SOFM На рисунке 2 приведены итоги стадии упорядочивания в зависимости от числа итераций. Как видно, с увеличением числа итераций сеть, приспосабливаясь к особенностям области, на 20000 итерации при няла оптимальное положение. В части вогнутости области G некоторые нейроны вышли за края области.

Рис.1. Область G с первоначальным расположением сетки в области адаптации б) в) a) Рис. 2. Предварительное расположение сетки в области при a (1) = 100, a (n0 ) = 27 по истечении n итераций: а) n0 = 10000 б) n0 = 15000 и в) n0 = б) в) a) Рис. 3. Предварительное расположение сетки в области по истечении 20000 итераций для разных ва риантов нижнего предела параметра a : а) a (n0 ) = 30 б) a (n0 ) = 35 и в) a (n0 ) = ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ Увеличение нижнего предела параметра a при неизменных n0 и a (1) приводит к ухудшению качест ва предварительного построения сетки (рис. 3). Это объясняется тем, что с увеличением нижнего преде ла радиуса обучения (n) (3) узлы сетки подвергаются большим смещениям на завершающей стадии и адаптационные свойства сети ухудшаются. Зависимость качества построения от верхнего предела пара метра a при неизменных параметрах n0 и a (n0 ) продемонстрирована на рисунке 4. Как видно, при уменьшении верхнего предела качество адаптации сетки также снижается (рис. 4 в).

б) в) г) a) Рис. 4. Предварительное расположение сетки в области по истечении 20000 итераций для разных ва риантов верхнего предела a : а) a (1) = 90 б) a (1) = 70, в) a (1) = 50, и г) a (1) = Это обусловлено тем, что при большом радиусе начального обучения в первых итерациях сеть стяги вается к случайно сгенерированным точкам, уменьшаясь в размерах. После чего медленно разворачива ется, адаптируясь к особенностям области. При уменьшении начального радиуса сеть минует стадию «сжатия», и начальные размеры сети уменьшают возможности правильной адаптации.

Исследовался характер убывания параметра a от начального значения a (1) до a (n0 ) (рис. 5). Вычис лительные эксперименты с использованием экспоненциально убывающих функций показали (рис. 6), что характер убывания функции а (n) не вносит существенных отклонений в качестве построения пред варительной сетки.

Рис. 5. Графики убывающих функций a (n) от точки A до B С.В. Архипов. Модифицированные алгоритмы построения нейронной сети SOFM а) б) Рис. 6. Предварительное построение сетки для а) экспоненциально убывающей функции a (n) б) ли нейно убывающей функции a (n) Таким образом, на стадии упорядочивания качество предварительного построения сетки обеспечива ется правильным заданием точек A(1, a (1)) и B (n0, a (n0 )) в плоскости построения функции a (n). Функ ция a (n) может убывать линейно или экспоненциально.

На стадии уточнения эксперименты выявили целесообразность использования экспоненциально убы вающей функции a (n) от B до некоторой точки C (nmax, a (nmax )), расположенной достаточно близко к оси дискретного времени n. Использование линейно убывающей функции от B до C сохраняет каче ство адаптации, но значительно увеличивает время расчетов.

Пример построения адаптивной сетки для функции a (n) (a ( n0 ) a (1) ( n0 n ) + a (1), при 1 n n n a ( n) = (6) 5( n nmax n0 ) n n a n 1 e nmax + n0 0.005 nmax 0n0 + a, при n n n ( 0) ( ) min 0 max представлен на рис. 7. График функции a (n) изображен на рис. 8.

Рис. 7. Результат построения адаптивной сетки с применением (6) ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ Рис. 8. График функции a (n) описанной соотношением (6) Заключение Существующие нейросетевые алгоритмы доказывают возможность построения адаптивных сеток на сложных физических областях. Результат адаптации сетки зависит от эвристики выбора параметров обучения нейросети. Для получения лучшего результата в модифицированном алгоритме SOFM целесо образно в качестве параметра a Гауссовой функции расстояния использовать линейно убывающую функцию на первой макроитерации и экспоненциально убывающую в последующих. Существенное влияние оказывает предварительное построение сетки, которое обеспечивается правильным заданием точек A(1, a (1)) и B (n0, a (n0 )) в плоскости построения функции a (n).


Литература 1. Хакимзянов Г.С., Шокин Ю.И., Барахнин В.Б., Шокина Н.Ю. Численное моделирование течений жидко сти с поверхностными волнами. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2001. 394 с.

2. Thompson J.F., Warsi Z.U.A., Mastin C.W. Numerical grid generation, foundations and applications. Amsterdam:

North-Holland, 1985.

3. Лисейкин В.Д., Лебедев A.C., Китаева И.А. Универсальный эллиптический метод построения разностных сеток. Новосибирск: НГУ, 2004. 266 с.

4. Gordon W.J., Thiel L.C. Transfinite mappings and their applications to grid generation. // Numerical Grid Genera tion, Appl. Mathematics and Computation. Vol. 2/3, 1982. P. 171-192.

5. Годунов С.К., Проконов Г.П. О расчетах конформных отображений и построении разносных сеток // Журн. вычисл. математики и мат. физики. Т.7. 1967. С. 1031-1059.

6. Ritter H., Martinetz T., Schulten K. Neural Computation and Self-Organizing Maps: An Introduction. New York:

Addison-Wesley, 1992.

7. Manevitz L., Yousef M. Finite-Element Mesh Generation Using Self-Organizing Neural Networks // Microcom puters in Civil Engineering 12, 1997. P. 233-250.

8. Нечаева О.И. Нейросетевой подход для построения адаптивных сеток // Нейроинформатика-2006. Ч. 2.

172-179 с.

9. Нечаева О.И. Композиционный алгоритм для построения адаптивных сеток произвольной структуры // Нейроинформатика-2007: Сб. науч. тр. Всерос. науч.-техн. конф. М.: МИФИ, 2007. 72-79 с.

10. Koutnik J., Mazl R., Kulich M. Building of 3d environment models for mobile robotics using self-organization // In Proc, of The 9th International Conference on Parallel Problem Solving From Nature - PPSN-IX, Springer, 2006. P. 721 730.

11. Kohonen Т. Self-organizing Maps // Springer Series in Information Sciences, V.30, Springer, Berlin, Heidelberg.

New York. 2001. 501 p.

12. Kohonen T. K. Self-organization and associative memory. New York: Springer Verlag, 1989. 312 p.

Архипов Сергей Валерьевич, кандидат технических наук, доцент, директор Центра информационных систем Бурят ского государственного университета, тел. 297160 доб.260, e-mail: svarkh@bsu.ru Arkhipov Sergey Valeryevich, candidate of technical science, docent, director of the Center of information systems of the Buryat State University.

4. Алгебра и геометрия УДК 512.554. А.В. Бадеев БЕСКОНЕЧНАЯ НЕПРИВОДИМАЯ СИСТЕМА ТОЖДЕСТВ КОММУТАТИВНЫХ ЛУП МУФАНГ В работе строится бесконечная неприводимая система тождеств коммутативных луп Муфанг (КЛМ). Для по лучения результата используется связь между КЛМ и коммутативными альтернативными алгебрами.

Ключевые слова: альтернативная алгебра, лупа Муфанг, многообразие алгебр, тождество.

A.V. Badeev AN INFINITE INDEPENDENT SYSTEM OF IDENTITIES OF COMMUTATIVE MOUFANG LOOPS In the paper an infinite independent system of identities of commutative Moufang Loops (CML) was built. This system constructed by using connection of CML with commutative alternative algebras.

Keywords: alternative algebra, Moufang Loop, variety of algebras, identity.

Введение Алгебра называется альтернативной, если в ней выполнены тождества правой и левой альтернатив ности:

x2y = x(xy), yx2 = (yx)x.

По теореме Артина алгебра альтернативна тогда и только тогда, когда любая ее подалгебра, порож денная двумя элементами, ассоциативна [1]. Кроме того, известно, что коммутативные альтернативные алгебры неассоциативны только над полем характеристики 3.

Бесконечная система тождеств называется конечно базируемой, если все ее тождества следуют из неко торой конечной подсистемы. В противном случае, называется неприводимой. В теории многообразий алгебр заметное место отводится вопросам конечной базируемости систем тождеств различных много образий, таких как многообразие ассоциативных, лиевых, альтернативных и йордановых алгебр. Про блема конечной базируемости тождеств многообразий разрешимых альтернативных алгебр была сфор мулирована А.М.Слинько в «Днестровской тетради» [2].

Пусть M - многообразие коммутативных альтернативных алгебр над полем Ф характеристики 3 с тождествами x3 = 0, [(x1x2 x3x4)(x5x6)]x7 = 0.

В работе [3] автором построен пример коммутативной альтернативной супералгебры А над полем ха рактеристики 3, такой, что Грассманова оболочка G(A) супералгебры A является M-алгеброй с беско нечной системой тождеств (x2n x2n) x2n-1x = 0.

В настоящей работе доказывается неприводимость этой системы.

Теорема 1. Система одночленов f18n+3 := (xx1... x6n-2 xy1 … y6n-2 ) xz1... z6n+3x неприводима в многообразии M.

Лупа, в которой выполняется тождество x2 yz = xy xz, называется коммутативной лупой Муфанг (КЛМ) [4].

Ассоциатор [x, y, z] элементов x, y, z КЛМ определяется равенством xy z = x[x, y, z] yz.

Коммутативные альтернативные алгебры тесно связаны с коммутативными лупами Муфанг (КЛМ).

Эта связь заключается в легко доказываемом утверждении: множество обратимых элементов коммута тивной альтернативной алгебры образует КЛМ относительно умножения в алгебре. Благодаря этому ре зультат о бесконечной базируемости многообразия коммутативных альтернативных алгебр можно пере нести и на многообразие КЛМ. Автором построен соответствующий пример бесконечно-базируемого многообразия КЛМ.

В многообразии КЛМ определим индуктивно ассоциатор ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ [x1, x2,..., x2n+1] = [[x1, x2,..., x2n-1], x2n, x2n+1].

Теорема 2. В многообразии КЛМ с тождеством x3 = 1 следующая система тождеств h18n+3 := [[x, x1,..., x6n+2], [x, y1,..., y6n-2], [x, z1,..., z6n-1, x]] является неприводимой.

1. Бесконечная неприводимая система тождеств коммутативных альтернативных алгебр над полем характеристики Теорема 1. Система одночленов f18n+3 := (x6n-2 x6n-2) x6n+3x неприводима в многообразии M.

Доказательство.

Покажем, что f18n+3 не имеет на алгебре G(A) следствий высших степеней. Достаточно показать, что специализация x xy приводит к нулю одночлен (x x) x, где,, - операторы умножения длины больше нуля, т.е. достаточно показать, что (xy xy) xy = 0.

Действительно, для произвольного оператора умножения в силу линеаризованного тождества альтер нативности, получим xy ± xy ±yx (modF(2)) Перерабатывая, таким образом, каждый сомножитель требуемого одночлена, получим многочлен ± (xy xy ± xy yx ± yx xy ± yx yx) (xy ±yx) = 0, который равен нулю. Покажем теперь, что f18n+3T(M).

Имеем, f18n+3 ((0)e1, h1,..., h18n) = [(6n-2)e (6n-2)e] (6n+4)e 1... 18n.

Последнее отлично от нуля. В самом деле, [(6n-2)e (6n-2)e] (6n+4)e = ± (4+6, 4)e (4)e = = ± [(8+6, 4)e +(4+6, 8)e - (6+6, 6)e ] (0)e = = ± (4+6, 8)e (0)e = ± (4+12, 2)e (0)e = ± w.

Таким образом, система тождеств f18n+3 неприводима в многообразии M.

Теорема доказана.

Определим индуктивно ассоциатор (x1, x2,..., x2n+1) = ((x1, x2,..., x2n-1), x2n, x2n+1).

Следствие. В многообразии коммутативных альтернативных алгебр с единицей над полем характе ристики 3 следующая система тождеств g18n+3 := ((x, x1,..., x6n+2), (x, x6n+3,..., x12n), (x, x12n+1,..., x18n-1, x)) является неприводимой.

Доказательство.

Покажем, что тождества f18n+3 и g18n+3 совпадают на G(A). Для этого докажем сначала следующие со отношения, справедливые в G(A).

s1. (xk xl) xm+2x = - (xk+2 xl) xmx - (xk xl+2) xmx.

s2. (x2n+2 x2n) x2n-3x = 0.

Доказательство s1. В любой правоальтернативной алгебре выполняется тождество (xw, y, z) = (x, y, z)w + x(w, y, z) - (x, w, [y, z]).

Отсюда получим, что для u, v F2(M) uvyz = uyz v + v uyz.

Применяя это соотношение, получаем (xk xl) xmR(ym+1)R(zm+2)x = (xk xl) xmxR(ym+1)R(zm+2) = = – (xk xl)R(ym+1)R(zm+2) xmx = = – (xk R(ym+1)R(zm+2) xl) xmx – (xk xlR(ym+1)R(zm+2)) xmx для операторов умножения,, длины больше нуля.

Отсюда в силу кососимметричности по xi, yi, zi одночленов из последнего соотношения получим тре буемое.

Доказательство s2. Имеем в силу s1 и кососимметричности по xi (x2n+2 x2n) x2n-3x = –(x2nx2n+2)x2n-3x – (x2nx2n)x2n-1x = = – (x2n+2 x2n) x2n-3x = – (x2n+2 x2n) x2n-3x.

А.В. Бадеев. Бесконечная неприводимая система тождеств коммутативных луп Муфанг Отсюда, (x2n+2 x2n) x2n-3x = 0.

Свойства s1 и s2 доказаны.

Заметим, что (x, x1,..., x2k) (x, x1, x2)x3... x2k x2k - x1x2... x2kx (mod F(2)).

Перерабатывая, таким образом, каждый из ассоциаторов (x, x1,..., x6n+2), (x, x6n+3,..., x12n), (x, x12n+1,..., x18n-1, x) в составе g18n+3, получим g18n+3 = (x6n+2, x6n-2, x6n-1x).

В силу s1, s (x6n+2 x6n-2) x6n-1x = = – (x6n+4 x6n-2) x6n-3x – (x6n+2 x6n) x6n-3x = = – (x6n+4 x6n-2) x6n-3.

Отсюда в силу кососимметричности по xi и x, s1, s (x6n-2 x6n-1x)x6n+2 = (x6n-2 x6n)x6n+1x = = – (x6n x6n)x6n-1x – (x6n-2 x6n+2)x6n-1x = = – (x6n-2 x6n+2)x6n-1x = – (x6n+2 x6n-2)x6n-1x = = (x6n+4 x6n-2) x6n-3x.

Следовательно, g18n+3 = (x6n+2, x6n-2, x6n-1x) = = – (x6n+2 x6n-2) x6n-1x – (x6n-2 x6n-1x) x6n+2 = = (x6n+4 x6n-2) x6n-3x = (x6n-2 x6n-2) x6n+3x = f18n+3.


Теперь достаточно заметить, что тождества являются собственными, т.е. обращаются в нуль при под становке вместо одной из переменных единицы. Значит, указанная система тождеств неприводима на алгебре G(A)#, полученной из G(A) внешним присоединением единицы.

Следствие доказано.

2. Бесконечная неприводимая система тождеств коммутативных луп Муфанг Теорема 2. В многообразии КЛМ с тождеством x3 = 1 следующая система тождеств h18n+3 := [[x, x1,..., x6n+2], [x, x6n+3,..., x12n], [x, x12n+1,..., x18n-1, x]] является неприводимой.

Доказательство.

Легко проверяется, что множество обратимых элементов коммутативной альтернативной алгебры с единицей образует КЛМ относительно операции умножения в этой алгебре.

Рассмотрим алгебру с присоединенной единицей G(A)#, где G(A) - построенная ранее вспомогатель ная коммутативная альтернативная алгебра над полем характеристики 3.

Пусть G(A)* - множество элементов алгебры G(A)# вида b+1, где b G(A). Ясно, что G(A)* замкнута относительно операции умножения. Кроме того, (b+1)3 = b3 +1=1 в силу того, что charФ=3, а G(A) ниль-алгебра индекса 3, т.е. каждый элемент множества G(A)* обратим. Следовательно, G(A)* является КЛМ относительно умножения в G(A)# с тождеством x3 = 1.

Покажем, что система тождеств {h18n+3} неприводима в лупе G(A)*. Для этого достаточно показать, что тождества g18n+3 и h18n+3+1 совпадают на G(A)* как на подмножестве алгебры G(A)#. Тогда ввиду следствия теоремы 2 будет справедлива теорема 3. Как было показано, обратными для элементов мно жества G(A)* являются их квадраты. Тогда в G(A)# [x, y, z] = (xyz (yz)-1) x-1 = (xyz (yz)2) x2 = (xyz y2z2) x2 = = - xyzy2z2x2 - xyzz2y2x2 = - xyzy2z2x2 - 1.

Отсюда для x, y, z G(A) [x+1, y+1, z+1] = -(x+1)(y+1)(z+1)(y+1)2(z+1)2(x+1)2 - 1 = = - (x+1)(y+1)(z+1)(y2-y+1) (z2-z+1)(x2-x+1) - 1 = = - xyz + xzy + yzx - zyx + 1 + 1 = = (z, x, y) + 1 + 1 = (x+1, y+1, z+1)+ 1 + 1, где 1 - многочлен полистепени большей, чем полистепень (x, y, z).

Используя последнее, получим для элементов из G(A)* h18n+3 := [ [x, x1,..., x6n+2], [x, x6n+3,..., x12n], [x, x12n+1,..., x18n-1, x] ] = = ((x, x1,..., x6n+2), (x, x6n+3,..., x12n), (x, x12n+1,..., x18n-1, x)) + 1+ 2 = = g18n+3 +1+ 2, ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ где 2 - многочлен, определенный на G(A), полистепени большей, чем полистепень g18n+3. Многочлен g18n+3 совпадает на G(A) с одночленом f18n+3. Ввиду максимальности полистепени одночлена f18n+3 в M имеем 2=0 и, следовательно, на G(A)* выполняется h18n+3 = g18n+3 +1.

Теорема доказана.

Заключение В настоящей работе удалось перенести некоторые результаты о тождествах коммутативных альтер нативных алгебр на тождества коммутативных луп Муфанг. Это позволяет в некоторых случаях рас сматривать коммутативные альтернативные алгебры как инструмент для исследования тождеств КЛМ.

Литература 1. Жевлаков К.А., Слинько А.М., Шестаков И.П., Ширшов А.И. Кольца, близкие к ассоциативным. – М., Нау ка, 1978. – 432 с.

2. Днестровская тетрадь, – Новосибирск, 1982.

3. Бадеев А.В. Грассманова оболочка коммутативной альтернативной супералгебры над полем характеристи ки 3. – Вестник БГУ. – Улан-Удэ, 2008.

4. Bruck R.H. A survey of binary systems. Berlin: Springer Verlag, 1958.

Бадеев Александр Валерьевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры Бурятского го сударственного университета, тел. 65-58-34, e-mail: badeev@mail.ru Badeev Alexander Valerievich, candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of al gebra, Buryat State University.

С.И. Баглаев. Статистическое исследование расхода топлива на обслуживание инфраструктуры транспорта УДК 519. С.И. Баглаев СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ РАСХОДА ТОПЛИВА НА ОБСЛУЖИВАНИЕ ИНФРАСТРУКТУРЫ ТРАНСПОРТА Статья посвящена статистическому исследованию, проведенному в 2006-2011, которое было посвящено определению статистических закономерностей расхода топлива на обслуживание инфраструктуры транспорта.

Ключевые слова: прогноз расхода топлива, обслуживание инфраструктуры, транспорт, статистика.

S.I. Baglaev STATISTICAL RESEARCH OF FUEL CONSUMPTION FOR TRANSPORT INFRASTRUCTURE MAINTENANCE The article describes a research that was made in 2006-2011 and that was devoted to determining statistical patterns that appear in fuel consumption during infrastructure maintenance.

Keywords: fuel consumption forecast, infrastructure maintenance, transportation, statistics.

Введение Повышение эффективности работы железнодорожного транспорта является важным условием модернизации, перехода на инновационный путь развития и устойчивого роста экономики, способствует созданию условий для обеспечения лидерства России в мировой экономической системе.

Автором статьи ведутся разработки информационных систем для ОАО «Российские железные дороги». Стратегическими целями компании являются:

• увеличение масштаба транспортного бизнеса;

• повышение производственно-экономической эффективности;

• повышение качества работы и безопасности перевозок;

• глубокая интеграция в Евроазиатскую транспортную систему;

• повышение финансовой устойчивости и эффективности.

Одним из факторов, влияющим на повышение производственно-экономической эффективности, является обеспеченность функционирования железнодорожного транспорта информационными системами. Создание вычислительного и экспериментального аппарата, позволяющего осмыслить данные об эксплуатации железнодорожного транспорта, представляет интерес с научной точки зрения.

В статье описывается статистическое исследование, проведенное в 2006 – 2011 гг. для формирования научно-обоснованного подхода к разработке модуля «Учет топлива».

Предметная область Специальный самоходный подвижной состав (ССПС) - железнодорожный подвижной состав (дрезины, автомотрисы, самоходные машины, автономные снегоуборочные поезда, самоходные путеукладчики, самоходные щебнеочистительные машины) для обслуживания устройств и оборудования железных дорог: пути, контактной сети и устройств энергоснабжения, устройств связи централизации и блокировки. ССПС с пассажирскими кабинами также используются и для перевозки людей к местам проведения работ.

Иркутским информационно-вычислительным центром была разработана (ИрИВЦ) автоматизированная система контроля процесса эксплуатации специального самоходного подвижного состава и допуска бригад к работе (АСУ ССПС). Целями создания системы являются:

- оптимизация ввода в систему маршрутного листа самоходного и несамоходного специального подвижного состава и учета его работы;

- расширение набора и оптимизация состава аналитических и справочных форм;

- повышение качества обработки данных по расходу топлива, детализация анализа использования топливно-энергетических ресурсов специальным самоходным подвижным составом, развитие системы нормирования расхода топлива.

Предприятия, эксплуатирующие ССПС, обязаны контролировать расход топливо-смазочных материалов по целевому назначению. Анализ расхода топлива машинами выполняется в соответствии с ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ «Методикой планирования и нормирования расхода топлива для специального подвижного состава в ОАО «РЖД», утвержденной распоряжением №2464р от 28.12.07г.

В АСУ ССПС реализована подсистема «Учет топлива», которая позволяет:

• проводить автоматический учет расхода топлива;

• осуществлять анализ расхода топлива на маршруте (расчет фактического расхода в сравнении с нормативными величинами);

• контролировать текущий расход топлива с информированием в статистических формах о перерасходе;

• генерировать статистические отчетные формы, позволяющие контролировать расход топлива по различным позициям (за период, по предприятию, службе, машине, по машинисту и т.д.) Статистическое исследование Получение первичной информации Формирование первичной статистической информационной базы проводилось по фактическому расходу топлива и дальности маршрута. Для этого было организовано статистическое наблюдение за этими показателями. Под наблюдением находились единицы ССПС предприятий железнодорожного транспорта Восточно-Сибирской железной дороги, обслуживающие инфраструктуру (путь, контактная сеть, сигнализация и связь и др.). Целью наблюдения являлся сбор данных о расходе топлива и дальности маршрутов. Сбор данных велся на основании первичных документов учета, а также на основании статистической отчетности, предоставляемой предприятиями – единицами наблюдения.

Первичным документом учета являлся маршрутный лист утвержденной формы. Во время проведения статистического исследования давались рекомендации по совершенствованию заполнения маршрутного листа. Например, был установлен логический контроль на ввод пустых значений в поля «Остаток при выезде», «Остаток при возврате».

Первичная сводка информации Вся информация, заносящаяся в АСУ ССПС, хранится в базе данных, реализованной в среде СУБД Oracle.

При помощи запросов, написанных на структурированном языке запросов SQL, из БД извлечена статистическая информация, нужная для оптимизационной модели. Информация отобрана с учетом человеческого фактора, т.к. человек заполняет маршрутные листы, есть вероятность ввода некорректных данных. Учитывая это, при отборе статистических данных были исключены маршрутные листы:

• с незаполненными полями о топливе;

• с фактическим расходом топлива, превышающим норму расхода более чем в 1,5 раза;

• ССПС использовался для перевозки топлива на другую машину;

• дальность маршрута превышает 624 километра, т.к. длительность маршрута не может превышать 12 часов, а средняя скорость движения ССПС – 52 км/ч.

Получены следующие результаты:

1. Статистические данные по расходу топлива в месяц за каждый маршрут за период 2006-2010 гг.

2. Статистические данные по дальности каждого маршрута в месяц за период 2006-2010 гг.

3. Статистические данные по количеству маршрутов в месяц за период 2006-2010 гг.

Итоговые расчеты данных за месяц по расходу топлива приведены в таблице 1.

Таблица Расход топлива за месяц 2010 2009 2008 2007 Январь 185003 124911 98900 109043 Расход топлива за Февраль 219517 123373 131317 106211 Март 229608 164975 119667 123588 Апрель 210003 245435 118893 112048 месяц Май 287431 295893 96336 119767 Июнь 313714 312229 103268 119225 Июль 300875 322042 116950 133211 Август 309194 278838 115700 131532 Сентябрь 324248 274027 126617 120506 Октябрь 325033 274607 113308 135436 С.И. Баглаев. Статистическое исследование расхода топлива на обслуживание инфраструктуры транспорта Ноябрь 276081 182842 103426 129970 Декабрь 286383 230605 136207 134971 Анализ первичных данных Гамма-распределение Гамма распределение – это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений.

Плотность гамма-распределения имеет вид:

x k 1 e f x ( x, k, ) = x k ( k ), x 0, 0, x где k является параметром формы, – параметром масштаба;

Г(k) – гамма-функция.

+ x k 1 x ( k ) = e dx.

На рис. 1 представлены графики функции плотности гамма-распределения в зависимости от параметра формы k.

Рис. 1 Функция плотность гамма-распределения в зависимости от параметра k Проверка гипотезы Визуальный анализ гистограмм (например, рис. 2) позволяет выдвинуть предположение, что анализируемая выборка извлечена из генеральной совокупности, имеющей гамма-распределение или близкое к нему распределение. Гамма-распределение наиболее адекватно для описания спроса в экономико-математических моделях управления запасами (логистики) [1]. Гипотеза Н0: анализируемая выборка «расход топлива» подчиняется гамма-распределению.

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ Рис. 2. Плотность распределения расхода топлива за январь 2010г.

Проверим гипотезу Н0 при уровне значимости =5% посредством критерия согласия Колмогорова Смирнова, т.к. объемы выборок велики.

Критерий предназначен для сопоставления двух распределений: эмпирического с теоретическим.

Гипотеза Н0 принимается, если эмпирическое значение критерия Кэмп меньше критического Ккрит.

крит = 1.63, где N – количество элементов в выборке.

N Кэмп рассчитаем с помощью модуля Distribution Fitting в среде пакета STATISTICA.

Результаты расчетов Ккрит и Кэмп для выборки расхода топлива по месяцам за период 2006-2010гг.

приведены в таблице 2.

Таблица Значение Ккрит и Кэмп для выборки расхода топлива 2010 2009 2008 2007 Кэмп Ккрит Кэмп Ккрит Кэмп Ккрит Кэмп Ккрит Кэмп Ккрит Январь 0,02 0,04 0,07 0,05 0,04 0,05 0,04 0,05 0,05 0, Февраль 0,03 0,04 0,04 0,05 0,05 0,05 0,04 0,05 0,04 0, Март 0,03 0,03 0,07 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,04 0, Апрель 0,03 0,03 0,04 0,04 0,04 0,05 0,05 0,05 0,05 0, Май 0,03 0,03 0,04 0,04 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0, Июнь 0,03 0,03 0,04 0,04 0,05 0,05 0,05 0,05 0,04 0, Июль 0,03 0,03 0,04 0,04 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0, Август 0,03 0,03 0,04 0,04 0,05 0,05 0,04 0,05 0,04 0, Сентябрь 0,03 0,03 0,04 0,04 0,05 0,05 0,04 0,05 0,04 0, Октябрь 0,03 0,03 0,04 0,04 0,05 0,05 0,04 0,05 0,03 0, Ноябрь 0,05 0,03 0,04 0,04 0,05 0,05 0,03 0,05 0,03 0, Декабрь 0,03 0,03 0,04 0,04 0,04 0,05 0,05 0,05 0,03 0, Вывод: в 95% гипотеза Н0 принимается.

Расчет параметров гамма-распределения k – параметр формы, k0;

– параметр масштаба, 0.

С.И. Баглаев. Статистическое исследование расхода топлива на обслуживание инфраструктуры транспорта Проведем расчет основных параметров гамма-распределения с помощью функции GAMFIT в среде пакета MATLAB.

Результаты расчетов параметров k и для выборки расхода топлива по месяцам за период 2006 2010 гг. приведены в таблице 3.

Таблица Значения параметров k и для выборки расхода топлива 2010 2009 2008 2007 k k k k k Январь 1,9 55,0 1,6 78,2 2,3 43,0 2,2 52,5 1,9 57, Февраль 2,2 47,9 1,8 70,8 2,1 52,4 2,3 48,6 2,0 60, Март 2,3 41,8 1,8 72,7 2,1 49,0 2,5 46,1 2,0 61, Апрель 2,3 38,2 2,3 38,2 2,0 44,4 2,3 48,9 1,8 62, Май 1,9 49,4 1,7 70,9 2,0 41,1 2,1 53,4 1,8 68, Июнь 1,9 50,0 1,8 66,5 1,8 57,9 2,1 58,2 2,2 48, Июль 1,9 52,7 1,7 67,0 2,0 49,4 2,0 58,1 2,6 41, Август 2,0 50,4 0,8 60,9 1,9 52,3 2,2 50,2 2,4 46, Сентябрь 2,0 51,2 1,7 65,5 1,9 53,4 2,2 49,9 2,3 48, Октябрь 1,8 57,3 1,8 64,7 1,9 56,8 2,0 55,8 2,1 52, Ноябрь 2,2 41,8 2,1 49,1 1,9 56,8 2,4 44,8 2,1 51, Прогнозирование Прогноз на основе экстраполяции тренда.

Построим для значений расхода топлива за 2009 г. линейный тренд с прогнозом на следующие 12 месяцев, т.е. на 2010 г. и линейный тренд для расхода топлива за 2010 г. (рис. 3).

140, 120, 100, y = -2,2773x + 131, y = -0,2255x + 99, 80, 60, 40, Линейный (2010) 20, Линейный (2009) 0, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 Рис. 3. Линейный тренд для 2010 г. и 2009 г. с прогнозом на 2010 г.

По графикам видно, что прогноз на 2010 г. по 2009 г. – резкое уменьшение расхода топлива, коэффициент прироста равен -2,2773. Однако линейный тренд на основе реальных значений расхода топлива за 2010 г. значительно отличается от линейного тренда на основе расхода топлива за 2009 г., коэффициент прироста в 2010 г. равен -0,2255. Следовательно, прогноз на основе экстраполяции тренда по предыдущему году не может являться достоверным.

Сделаем прогноз на 2011 г. на основе экстраполяции тренда по данным за 2009 и 2010 гг. Линия тренда – полином второй степени (рис. 4).

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ 140, 120, y = 0,0835x2 - 3,5801x + 135, 100, 80, 60, расход топлива за 2009-2010г.

40, полиномиальный тренд второй степени 20, 0, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 Рис. 4. Полиномиальный тренд второй степени для 2009-2010гг. с прогнозом на 2010г.

По графику (рис. 4) видно, что в 2009г. и начале 2010г. происходит уменьшение расхода топлива, далее происходит стабилизация и в 2011г. ожидается повышение расхода топлива.

Рассчитаем значения расхода топлива на 2009-2010г. по уравнению тренда:

y = 0.0835 x 2 3.5801x + 135. Рассчитанные значения приведены в таблице 4.

Таблица Рассчитанные значения на основе уравнения линии тренда для расхода топлива в месяц на 2009- гг.

2010 Январь 102,85 131, Февраль 101,52 128, Март 100,37 125, Апрель 99,37 122, Май 98,55 119, Июнь 97,89 116, Июль 97,40 114, Август 97,08 111, Сентябрь 96,92 109, Октябрь 96,93 107, Ноябрь 97,11 106, Декабрь 97,45 104, На основе уравнения тренда дается точечная оценка прогноза. Однако наиболее надежный прогноз предполагает оценку его в интервале, т.к тренд характеризует лишь тенденцию, а уровни временного ряда содержат случайную компоненту. Наличие ее, а также возможная ошибка параметров тренда учитываются в доверительном интервале прогноза.

В основе расчета доверительного интервала прогноза лежит показатель колеблемости уровней динамического ряда относительно тренда (Sy). Колеблемость уровней динамического ряда относительно тренда определяется формулой:

( y y) Sy =, n m где y – фактические значения расхода топлива;

– рассчитанные значения расхода топлива на основе уравнения линии тренда;

n- длина интервала;

m- число параметров в уравнении тренда (без свободного члена).

Рассчитаем Sy:

Sy = = 4. 24 2 С.И. Баглаев. Статистическое исследование расхода топлива на обслуживание инфраструктуры транспорта Доверительный интервал для тренда составит:

y ± t S y, где t – табличное значение критерия Стьюдента.

При =0,05 и числе степеней свободы 21, t=2,08. Доверительный интервал для тренда равен:

y ± 4.48 2.08, или y ± 9.31.

Рассчитаем доверительный интервал для расхода топлива на каждый месяц 2009-2010 гг. (табл. 5).

Таблица Доверительный интервал для расхода топлива на каждый месяц на 2009-2010 гг.

прогноз на 2010 прогноз на Лев. Прав. Лев. Прав.

Гр. Мат.о. Гр. Гр. Мат.о. Гр.

Январь 93,54 102,85 112,16 122,47 131,78 141, Февраль 92,21 101,52 110,84 119,14 128,45 137, Март 91,05 100,37 109,68 115,98 125,29 134, Апрель 90,06 99,37 108,69 112,98 122,30 131, Май 89,24 98,55 107,86 110,15 119,47 128, Июнь 88,58 97,89 107,21 107,49 116,81 126, Июль 88,09 97,40 106,72 105,00 114,31 123, Август 87,76 97,08 106,39 102,67 111,98 121, Сентябрь 87,61 96,92 106,24 100,51 109,82 119, Oктябрь 87,62 96,93 106,25 98,51 107,83 117, Ноябрь 87,80 97,11 106,42 96,69 106,00 115, Декабрь 88,14 97,45 106,77 95,03 104,34 113, На рис. 5 изображены графики реальных и спрогнозированных средних значений расхода топлива в месяц за 2009 и 2010 гг. соответственно.

160, 140, 120, 100, 80, реальные значения 2009 г.

60, левая граница прогнозируемых значений 40, правая граница прогнозируемых значений 20, 0, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Рис. 5. Графики реальных и спрогнозированных средних значений расхода топлива в месяц за 2009г.

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ Сравнив прогнозируемые значения расхода топлива с реальными, видим, что прогноз на 2009 г.

совпал с реальными значениями на 100%. В 2010 г. в доверительный интервал не попало минимальное значение расхода топлива в 2010 г. – апрель. На основе полученных данных можно сделать вывод, что прогноз на основе экстраполяции тренда за предыдущие 2 года дает эффективность 96%, следовательно, является лучшим и на основе его можно сделать прогноз на 2011 г.

Рассчитаем прогнозируемые значения на 2011 г. по уравнению тренда и доверительный интервал.

Рассчитанные значения приведены в таблице 6.

Таблица Рассчитанные значения на основе уравнения линии тренда для расхода топлива в месяц на 2011 г.

Лев. Гр. Мат.о. Прав. Гр.



Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 9 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.