авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 9 |

«5. Математическое моделирование УДК 517.977.54 Б.И. Ананьев, Н.В. Гредасова ...»

-- [ Страница 3 ] --

Для каждого функционала i (u ), i = 1, r введем функцию Понтрягина H i (, x, u, t ) =, f ( x, u, t ) Fi ( x, u, t ).

Обозначим p i (t, u, v ), t T – решение модифицированной сопряженной системы 1i i p(t ) = H x ( p (t ), x(t ), w(t ), t ) H xx ( p (t ), x(t ), w(t ), t ) y (t ), p(t1 ) = ix ( x(t1 )) ixx ( x(t1 )) y (t1 ) при x(t ) = x(t, u ), w(t ) = u (t ), y (t ) = x(t, v) x(t, u ), t T.

В соответствии с работой [1] для управляемой системы (1) имеют место формулы приращения функционалов (2) для доступных управлений u V, v V, не содержащие остаточные члены разложений, v i (u ) = v (t ) H i ( p i (t, u, v), x(t, v), u (t ), t )dt, i = 1, r. (3) T Для заданного u V введем отображение u с помощью соотношения А.С. Булдаев. Об одном подходе к поиску допустимых управлений в квадратичных системах с терминальными ограничениями-неравенствами u ( p, x, t ) = arg max min w H i ( p i, x, u (t ), t ), wU 1 i r p = ( p i R n, i = 1, r ), x R n, t T.

Метод поиска допустимого управления.

1. Найдем решение x(t ), p (t ) = ( p i (t ), i = 1, r ), t T краевой задачи x(t ) = f ( x(t ), u ( p (t ), x(t ), t ), t ), x(t0 ) = x 0, (4) i i i p (t ) = H ( p (t ), x(t, u ), u (t ), t ) x, 1i H xx ( p i (t ), x(t, u ), u (t ), t )( x(t ) x(t, u )) p i (t1 ) = ix ( x(t1, u )) ixx ( x(t1, u ))( x(t1 ) x(t1, u )), i = 1, r. (5) 2. Сформируем управление v(t ) = u ( p(t ), x(t ), t ), t T.

Предположим, что решение краевой задачи (4), (5) (возможно, не единственное) существует на интервале T, причем получаемое управление v(t ), t T является кусочно-непрерывным.

Имеем x(t ) = x(t, v), p i (t ) = p i (t, u, v), t T, i = 1, r. При этом v(t ) = arg max min( w H i ( p i (t, u, v), x(t, v), u (t ), t )), t T. (6) wU 1 i r Тогда получаем v (t ) H i ( p i (t, u, v), x(t, v), u (t ), t ) 0, t T, i = 1, r. Отсюда и из соотношений (3) следует, что v i (u ) 0, i = 1, r.

Для линейной по состоянию задачи (1), (2) (функции f ( x, u, t ), i ( x), Fi ( x, u, t ), i = 1, r линейны по x R n ) краевая задача (4), (5) сводится к (r + 1) независимым задачам Коши.

В нелинейной по состоянию задаче (1), (2) для решения краевой задачи (4), (5) в пространстве состояний или эквивалентного условия улучшения (6) в пространстве управлений можно применить разработанный в [2] для квадратичных управляемых систем подход возмущений. Основу методов возмущений составляет выделение из (1), (2) линейной по состоянию невозмущенной задачи оптимального управления, для которой решение краевой задачи сводится к решению независимых задач Коши.

Трудоемкость метода нелокального улучшения в значительной мере зависит от трудоемкости решения вспомогательной задачи в каждый момент времени t T min w H i ( p i, x, u (t ), t ) max, x R n, p i R n, i = 1, r. (7) 1 i r wU Как показано в [2], в линейной по управлению задаче (1), (2) (функции f ( x, u, t ), i ( x), Fi ( x, u, t ), i = 1, r линейны по u U ), в случае существования точки v U, для которой min v H i ( p i, x, u (t ), t ) 0, 1 i r решение задачи вида (7) достигается на границе множества U и совпадает с решением одной из задач линейного программирования w H i ( p i, x, u (t ), t ) max, x R n, p i R n, i {1,..., r}. (8) wU Таким образом, решение задачи (7) можно определить простым перебором решений задач (8). Для множества U, заданного линейными ограничениями, решение задачи (8) можно получить перебором угловых точек множества U.

В случае max min w H i ( p i, x, u (t ), t ) = 0 решением задачи (7) является точка w = u (t ).

wU 1 i r Предлагаемый подход на основе решения специальной краевой задачи характеризуется отсутствием типовой операции выпуклого или игольчатого варьирования управления по малому параметру, простотой настройки процедуры на конкретную задачу. Для линейной по состоянию управляемой системы с терминальными ограничениями краевая задача распадается на конечное число независимых задач Коши. В нелинейном случае структура рассматриваемой краевой задачи позволяет применить для ее эффективного решения широко известный в математике метод возмущений. Эти свойства являются существенными факторами повышения эффективности поиска допустимых управлений в задачах с ограничениями.

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ Литература 1. Булдаев А.С. Процедуры нелокального улучшения управления в квадратичных по состоянию задачах управления // Изв. РАН. Теория и системы управления. – 2003. – № 2. – С. 76-85.

2. Булдаев А.С. Методы возмущений в задачах улучшения и оптимизации управляемых систем. – Улан Удэ: Изд-во Бурятского госуниверситета. – 2008. – 260 с.

Булдаев Александр Сергеевич, доктор физико-математических наук, профессор, проректор по научно исследовательской работе Бурятского государственного университета. Тел.: +7(3012)211691, e-mail:

buldaev@bsu.ru Buldaev Alexander Sergeevich, Doctor of Physics and Mathematics Science, professor, pro-rector of Science of Buryat State University.

Е.Н. Булгатова, Г.Н. Яковенко. Учет симметрий при моделировании управляемых процессов и численном интегри ровании УДК 519. Е.Н. Булгатова, Г.Н. Яковенко УЧЕТ СИММЕТРИЙ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ УПРАВЛЯЕМЫХ ПРОЦЕССОВ И ЧИСЛЕННОМ ИНТЕГРИРОВАНИИ Статья посвящена нахождению симметрий управляемых процессов и использованию симметрий при математи ческом моделировании и построении кубатурных формул.

Ключевые слова: система с управлением, оператор симметрий, кубатурная формула, симметричная область, срезывающая функция.

E.N. Bulgatova, G.N. Yakovenko SYMMETRY IN MODELING ON CONTROL PROCESSES AND NUMERICAL INTEGRATION This article is devoted to finding symmetry controlled processes and the use of symmetry in mathematical modeling and construction of cubature formulas.

Keywords: control system, the operator symmetries, cubature formula, symmetric domain, thread shear function.

Введение В работе показывается, что для системы с управлением в норме в отличие от обыкновенных диффе ренциальных уравнений множество преобразований симметрии конечномерно. Изучается также влияние симметрий на формирование численных методов интегрирования.

1. Симметрии по состоянию Рассматривается система с управлением x = (t, x, u ), x R n, u U R r, (1.1) Системе соответствует оператор полного дифференцирования по t n + i (t, x, u ) i.

X (u ) = (1.2) t i =1 x u, В семействе (1.2), параметризованном управлением выделяется базис n + ij (t, x) i, Xj = j = 0, p (1.3) t i =1 x — результат подстановки в (1.2) таких допустимых управлений u0, u1, …, u p, что, во-первых, операто ры X j = X (u j ), j = 0, p линейно несвязаны, во-вторых, при любом допустимом управлении u U для оператора (1.2) выполняется равенство p f j (t, x, u) X j, (1.4) X (u ) = j = где f j (t, x, u ) — некоторые функции. Система операторов (1.3) пополняется [1], в результате чего строится полная система операторов, состоящая из (1.3) и операторов n X k = k (t, x) i, k = p + 1, m, (1.5) xi i = вычисленных в процессе пополнения. Вследствие полноты системы операторов X 0, X1,…, X p, X p +1,…, X m выполняется Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 10-01 00228) и АВЦП Развитие научного потенциала высшей школы 2009–2010 гг. (проект 2.1.1/1533, проект 2.1.1/3604).

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ m µ (t, x) X,, = 0, m, [ X, X ] = (1.6) = где [ X, X ] — коммутаторы, µ (t, x) — некоторые функции.

Введём однопараметрическую группу преобразований x = x t, x, ) ( (1.7) с оператором n x(t, x, ) Y = i (t, x), i =.

(1.8) i x = i = Отметим две особенности группы (1.7): переменные t и u преобразуются тождественно;

преобразова ния группы не зависят от управления u.

Определение 1.1. Диффеоморфизм x = x t, x) называется преобразованием симметрии по состоя ( нию системы (1.1), если замена переменных в (1.1) приводит к системе dx = ( t, x, u ) dt с такими же функциями (,, ) в правой части, что и у исходной системы (1.1). Однопараметрическая группа (1.7) называется группой симметрий по состоянию системы (1.1) — допускается системой (1.1), — если любое ее преобразование есть симметрия по состоянию. Оператор (1.8), соответствую щий группе, называется оператором симметрий по состоянию.

Название — симметрии по состоянию — оправдано тем, что преобразуются только переменные состоя ния x. Группу симметрий по состоянию можно характеризовать следующим переводом решений в решения:

{x(t ), u (t )} {x(t ), u (t )} т.е. группа (1.7) является группой симметрий для каждой системы обыкновенных дифференциальных уравнений, получающейся подстановкой в (1.1) конкретного управления u (t ). Известно [1] условие u (t ), [ X (u (t )), Y ] = 0, (1. 9) которое связывает группу симметрий (1.7) и систему обыкновенных дифференциальных уравнений (1.1). В операторе Y отсутствует дифференцирование по t (см. (1.8)), поэтому формула, полученная после раскрытия коммутатора в (1.9), будет содержать только значения вектор-функции u (t ) и не со держать значения производных u (t ), u (t ),…, это обстоятельство позволяет записать условие (1.9) в эк вивалентном виде u U, [ X (u ), Y ] = 0, (1. 10) – использован оператор (1.2) с постоянными управлениями u.

2. Критерий симметрий по состоянию Теорема 2.1. Система с управлением (1.1) допускает группу симметрий по состоянию (1.7), т.е.

выполнено условие (1.9) (или (1.10)) тогда и только тогда, когда справедливы уравнения [ X k, Y ] = 0, k = 0, m, (2.1) Yf j, j = 0, p, (2.2) j где X k — операторы (1.3), (1.5), f — функции в линейной связи (1.4), Y —оператор (1.8) группы (1.7).

Е.Н. Булгатова, Г.Н. Яковенко. Учет симметрий при моделировании управляемых процессов и численном интегри ровании Необходимость. Пусть справедливо условие симметрии (1.9) (или (1.10)). Подстановка в (1.9) (или (1.10)) базисных управлений uk, k = 1, p доказывает справедливость (2.1) при k = 1, p. Доказатель ство уравнений (2.1) при k p проводится по индукции. Оператор X k при k p вычисляется в процессе процедуры пополнения и является коммутатором X k = [ X i, X l ] двух операторов X i, X l, i, l k, для которых уравнение (2.1) предполагается справедливым. Справедливость уравнения (2.1) Xk для следует из тождества Якоби [1]:

[ X k, Y ] = [[ X i, X l ], Y ] = [[ X i,Y ], X l ] [[ X l, Y ],] X i = 0.

Для доказательства (2.2) подставим разложение (1.4) в (1.10), раскроем коммутатор p p p p [ X (u ), Y ] = [ f j X j, Y ] = (Yf j )X j = (Yf j )X j = 0, f j [ X j,Y ] (2.3) j =0 j =0 j =0 j = Xj, j = 0, p, уравнения (2.1). Равенство (2.2) следует из того, что операторы учтено выполнение для X j, j = 0, p линейно несвязаны.

Достаточность. Равенства (2.1), (2.2) влекут выполнение условий (1.9) или (1.10), в чём можно убедиться с помощью цепочки равенств (2.3).

3. Конечномерность множества симметрий по состоянию Определение 3.1. Первым интегралом системы с управлением (1.1) называется функция w(t, x ), которая на любом решении x(t ), u (t ) системы (1.1) сохраняет постоянное значение:

w(t, x(t )) = w(t0, x0 ) = const. Нетривиальным первым интегралом называется первый интеграл w(t, x), для которого выполняется w(t, x) const.

Функция w(t, x ) является первым интегралом тогда и только тогда, когда выполняется [2]:

u (t ) U, X (u (t )) w(t, x) = 0 (оператор X (u ) определён формулой (1.2)). У системы (1.1) отсутст вуют нетривиальные первые интегралы тогда и только тогда, когда выполняется условие [2]:

X (u (t )) w(t, x ) = 0 } { w(t, x) const }.

{ u (t ) U, (3.1) Теорема 3.1. Пусть регулярная система (1.1) не имеет нетривиальных первых интегралов, т.е. вы полнено условие (3.1). Тогда множество операторов Y симметрий по состоянию (см. определение 1.1) есть конечномерное пространство, и его размерность не превосходит размерности n пространства со стояний системы (1.1).

Предположим противное утверждению теоремы: множество операторов симметрий содержит опера торы n Y j = ij (t, x) j = 1, n + 1,, (3.2) x i i = для которых выполняется n + { c jY j = 0, c j = const} {c j =0, j=1,n+1}, (3.3) j = [ X (u ), Y j ] = 0, j=1,n+1. (3.4) Пусть в некоторой области прямоугольная n ( n + 1) матрица || ij (t, x) || коэффициентов операторов (3.2) имеет общий ранг 1 q n ( q = 0 противоречит (3.3)). Предполагаем, что ранговый минор об разован коэффициентами операторов Y1,…, Yq, откуда следует справедливость, во-первых, имплика ции ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ q { k (t, x)Yk = 0,} { k (t, x)=0, k =1,q} ;

(3.5) k = во-вторых, равенства q lk (t, x), Yl = lk (t, x)Yk, l = q +1,n +1. (3.6) k = Обе части равенства (3.6) прокоммутируем с оператором X (u ). В силу равенства (3.4) и свойства коммутатора приходим к уравнению q { X (u ) lk (t, x)}Yk =0,, k = вследствие которого с учетом (3.5) получаем соотношение X (u ) lk (t, x)=0, т.е. lk (t, x) — первые инте гралы системы (1.1). По условию (3.1) теоремы lk (t, x) — постоянные величины, и соотношения (3.6) определяют линейную зависимость между операторами Y1,…, Yn+1, что противоречит предположению (3.3).

4. Кубатурные формулы для интегрирования функций по симметричным областям В разделе продолжены исследования, которые ранее проводились в [3–7]. На основе симметрий уп m m рощены вычисления коэффициентов. Пусть f W p ( En ), норма функции f ( x ) в W p ( En ) равна ! p p f Wm E = D f dx,1 p.

p ( n) !

En m m Аналогично определяется норма функции в W p ( ) p ! p = D f dx.

f m Wp () m ! Пусть – ограниченная симметричная область с гладкой границей = ( ) на плоскости, нача ло координат ( 0,0 ), все пространство Е2 и область разделим на k частей j, с кусочно () () гладкими границами j = j. Эта часть границы j может быть записана уравнением x js = js ( xi ), i js.

k j ( x) 1 j ( x) C, Пусть разложение единицы, где – j = f ( x )dx j = supp j ( x ), j j, j = 1, 2, …, k и кратный интеграл, — x = ( x1, x2 ), x = x1 1 x2 2, = ( 1, 2 ).

Рассмотрим одну из областей 1, 2,...k, например 1 (рис. 1), в переменных x. После замены пе ременных y1 = x1, y2 = x2 2 ( x1 ) область 1 перейдет в область 1 (рис. 2).

Е.Н. Булгатова, Г.Н. Яковенко. Учет симметрий при моделировании управляемых процессов и численном интегри ровании x y y x Рис. Рис. Область Область Замена преобразует границу (1 ) в часть оси Oy1, функцию 1 ( x ) в 1 ( y ). Криволинейный па раллелограмм { } = ( x1, x2 ) E2 h1 x1 h1 + h, 2 ( x1 ) ( h + 1) 2 x2 2 ( x1 ) h h соответствует кубу h1 = {h1 y1 h1 + h}, где h 2 = {h 2 y2 h 2 + h}, h = h1 h 2.

В переменных y построим следующий функционал m C 2 ( y1 h ( 1 + 1 )) ( y2 h ( 2 + 2 ) ), y l h, y = 1 h 2C1. (4.1) 1 h1 2 = Сначала построим функционал с узлами на криволинейной решетке. Для этого функцию ( y2 h ( 2 + 2 ) ) в формуле (4.1) аппроксимируем линейной комбинацией функции 2 ( h1 ) 2 ( h1 ) ( y2 h ( 2 + 2 + s ) + ( 1 ) h ), где ( 1 ) = дробная часть числа и h h m ( y2 h ( 2 + 2 ) ) = As ( 1 ) ( y2 h ( 2 + 2 + s ) + ( 1 ) h ). (4.2) s = Учитывая, что l2 ( x, y ), y = 0, = 0,1,..., m, имеем l2 ( x, y ), f ( x, y ) Ch m max f x ) ( x0, y ) f x ) ( a + ( x a ) u, y ) Ch m o (1).

(m (m Коэффициенты функционала (4.2) определяются из условий m ( y2 h ( 2 + 2 ) ) As ( 1 ) ( y2 h ( 2 + 2 + s ) + ( 1 ) h ), y = 0, = 0,1,..., m s = m As ( 1 )s = ( ( 1 ) ), = 0,1,..., m.

или s = Элементарный функционал для куба h принимает вид m m C 2 As ( 1 ) l h, y = y [ h 2C (4.3) 1 h1 2 =0 s = h ( y2 h ( 2 + 2 + s ) + ( 1 ) h ) ( y1 h ( 1 + 1 ) )]dy По построению функционал l h ортогонален многочленам степени m:

l h, y = 0, m.

Узлы кубатурной формулы, соответствующей функционалу (4.3), лежат в вершинах криволинейной решетки.

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ С помощью функционала (4.3) построим кубатурную формулу на решетке с коэффициентами, зави сящими от уравнения гладкой границы только в пограничном слое. Рассмотрим обратную замену пере менных x2 = y2 + 2 ( y1 ) и x1 = y1. Тогда m m C 2 As ( 1 ) ( x1 h (1 + 1 )) ( x2 ( 1 ) h h ( 2 + 2 + s ) ), h 2C lh ( x ) = h ( x ) 1 h1 2 =0 s = 2 ( h1 ) где ( 1 ) – целая часть числа, h ( x ) – характеристическая функция области. Далее h h характеристическую функцию некоторой области будем обозначать таким же символом, например, ( x ) – характеристическая функция области.

Учитывая срезывающую функцию 1 ( y ), элементарные функционалы l h суммируем по всем 1, и при этом по свойству функционала l h коэффициенты при суммировании равны единице m C h 2C1 ( y1 h ( 1 + 1 ) ) 1 = 1 h1 2 = m As ( 1 ) ( y2 h ( 2 + 2 + s ) + ( 1 ) h ) = (4.4) s = m m C 2 As ( 1 ) ( y2 h ( 2 + 2 + s ) + ( 1 ) h ) ( y1 h1 ).

h = 1 = 2 =0 s = Аналогично суммируем по 2 последние две суммы в (4.4) m m C 2 As ( 1 ) ( y2 h ( 2 + 2 + s ) + ( 1 ) h ) = h 2 =0 2 =0 s = B 2 ( 1 ) ( y2 h 2 + ( 1 ) h ).

= h 2 = После преобразования коэффициенты определяются следующей формулой min( m, 2 ) min ( m, 2 s ) As ( 1 ) C, если 0 2 m, s =0 = min ( m, 2 s ) m V 2 ( 1 ) = As ( 1 ) C, если m 2 2m, s =0 = если 2 2m.

1, Коэффициенты As ( 1 ) и C находятся из систем m m C = + 1, = 0,1,..., m As ( 1 ) s = ( 1 ), = 0,1,..., m.

и =0 s = Вспомогательный функционал погрешности для области 1 в переменных y имеет вид 1 ( y ) 1 ( y ) = 1 ( y ) 1 ( y ) ( y1 h1 ) ( y2 h 2 + ( 1 ) h ), 1 = 2 = где 1 ( y ) = l h ( y ).

h Е.Н. Булгатова, Г.Н. Яковенко. Учет симметрий при моделировании управляемых процессов и численном интегри ровании h ( x ) = 1 в переменных x, получаем формулы с пограничным слоем для области Учитывая с узлами на решетке 1 ( x ) 1 ( x ) = 1 ( x ) 1 ( x ) h 2V 2 ( 1 ) ( x h ) h Аналогично получаются функционалы для остальных областей j j ( x ) j ( x ) = j ( x ) j ( x ) h 2V, j ( h ) ( x h ), h j где V, j ( h ) = V ( h ), j = 1, 2,…, k.

Окончательно получена формула с пограничным слоем с узлами на решетке с коэффициентами по граничного слоя, зависящими от уравнения границы:

k j ( h )V, j ( h ) ( h ).

( x ) dx h j = Заключение Показана полезность учёта симметрий при математическом моделировании управляемых процессов, а также при построении кубатурных формул для интегрирования функций по симметричным областям с гладкими границами.

Литература 1. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 400с.

2. Яковенко Г.Н. Теория управления регулярными системами. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. 264 с.

3. Рамазанов М.Д. Лекции по теории приближенного интегрирования. Уфа: Изд-во Башкир. ун-та, 1973. 174 с.

4. Блинов Н.И. Приближенное вычисление двойных интегралов // Алгоритмы и программы: Аннот. сб. М.:

ВНТИ центр, 1974. – №2, 3.

5. Блинов Н.И., Войтишек Л.В. О построении кубатурных формул с регулярным пограничным слоем для ра циональных многогранников // Тр. семинара акад. С.Л. Соболева. – 1979. – №1. – С. 5–15.

6. Умарханов И. Построение и обоснование решетчатых кубатурных формул для областей с кусочно-гладкими границами: дис. канд. физ.-мат. наук. – Ташкент: ТашГУ, 1986. – 173 с.

7. Рахматуллин Д.Я. Интегрирование функций по выпуклым областям решетчатыми кубатурными формулами на многопроцессорных вычислительных системах: дис. канд. физ.-мат. наук. – Уфа, 2006. – 114 с.

Булгатова Елена Николаевна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики Восточно-Сибирского государственного технологического университета, тел. (3012)431415, e-mail:

belena77@mail.ru Яковенко Геннадий Николаевич, доктор физико-математических наук, профессор кафедры теоретической меха ники Московского физико-технического института, тел. (495)5765733, e-mail: yakovenko_g@mtu-net.ru Bulgatova Elena Nikolaevna, candidate of physical and mathematical sciences, associate professor of East Siberian State Technological University.

Yakovenko Gennady Nikolaevich, doctor of physical and mathematical sciences, professor of Moscow Institute of Physics & Technology.

М.М. Бутовский. Технический анализ и фрактальные методы в исследовании финансовых рынков УДК 519. М.М. Бутовский ТЕХНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ФРАКТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ В ИССЛЕДОВАНИИ ФИНАНСОВЫХ РЫНКОВ В статье даётся описание основных понятий, связанных с гипотезами эффективного рынка и фрактального рынка, ал горитм R/S-анализа и V-статистики. Основным содержанием работы является доказательство эффективности и право мерности применения R/S-анализа в рамках гипотезы фрактального рынка, целью – реализация R/S-анализа и сопутст вующих методов в виде программного продукта.

Ключевые слова: обработка сигналов, временной ряд, фрактал, гипотеза фрактального рынка, технический анализ, показатель Херста, фрактальная размерность.

M. M. Butovsky THE TECHNICAL ANALYSIS AND FRACTAL METHODS IN RESEARCH OF THE FINANCIAL MARKETS The article presents basic contents of the effective market hypothesis and fractal market hypothesis, algorithms of R/S-analysis and V-statistics. The article basically contains proof of effectiveness and appropriateness of using R/S-analysis in fractal market hypothesis. The final objective is realization of R/S-analysis and concomitant methods as a program product.

Keywords: signal processing, time series, fractal, fractal market hypothesis, technical analysis, Hurst's indicator, fractal dimension.

Введение Уже несколько лет ряд ученых в качестве альтернативы гипотезе эффективного рынка поддерживает гипотезу фрактального рынка. Фракталы как следствие геометрии демиурга присутствуют повсеместно в нашем мире и играют существенную роль, в том числе и в структуре финансовых рынков, которые ло кально случайны, но глобально детерминированы, по мнению некоторых исследователей.

Современная задача по исследованию финансовых рынков в рамках данной гипотезы заключается в модернизации методов фрактального анализа рынков акций, облигаций и валют, методов различения независимого процесса, нелинейного стохастического процесса и нелинейного детерминированного процесса, а также в исследовании влияния этих различий на пользовательские инвестиционные страте гии и способности моделирования.

Существует два основных способа анализа ситуации на рынке – фундаментальный и технический.

Первый занимается оценкой ситуации с точки зрения политической, экономической и финансово кредитной политики. Второй базируется на методах графического исследования и анализа, основанного на математических принципах.

В настоящее время есть множество информационных систем технического анализа, например, Win dows on WallStreet, MetaStock Professional, Omega Research ProSuite, CQG. Однако все они имеют ряд недостатков (высокая цена за право использования, неполный набор постоянно обновляемого инстру ментария технического анализа и т.п.).

Целью работы является теоретическое исследование процессов проектирования и анализа алгорит мов, а также создание программного продукта, который будет являться блоком анализа данных для ин формационной системы, подобной вышеупомянутым информационным системам технического анализа.

1. Теоретические основы проблем анализа финансовых рынков.

R/S-анализ Статистический анализ требует нормального распределения или известной колоколообразной кри вой. Известно, что рыночные прибыли не подвержены нормальному распределению, но эта информация была сглажена или рационализирована за многие годы, чтобы сохранить критическое предположение о том, что рыночные прибыли следуют модели случайных блужданий.

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ Рис. 1. Индекс Доу-Джонса для акций промышленных компаний, частотное распределение прибылей (1888-1991 гг.) На рис. 1 показано частотное распределение 5-дневных и 90-дневных прибылей по индексу Доу Джонса для акций промышленных предприятий с 2 января 1888 г. по 31 декабря 1991 г., то есть прибли зительно за 103 года. Для сравнения также дается нормальное распределение. Оба распределения при былей характеризуются высоким пиком в среднем значении и более толстыми хвостами, чем нормаль ное распределение, кроме того, эти два распределения по индексу Доу-Джонса фактически имеют одну и ту же форму.

Рис. 2. Индекс Доу-Джонса для акций промышленных компаний, 5-дневные прибыли минус нормальная частота На рис. 2 видна разница между распределением 5-дневной прибыли и нормальным распределением.

Хвосты не только толще, чем при нормальном распределении, они однородно толще. Вплоть до четырех стандартных отклонений от среднего значения мы имеем столько же наблюдений, сколько было за два стандартных отклонения от среднего значения. Даже при четырех сигмах хвосты не сходятся к нулю.

Если взглянуть на кривые различий для 1-, 10-, 20-, 30-, 90-дневых прибылей, то несложно увидеть их схожесть. Во всех случаях хвосты толще, а пики выше, чем при нормальном распределении. Фактически они все выглядят подобными друг другу. Это означает, что риск наступления большого события намно го выше, чем подразумевает нормальное распределение.

М.М. Бутовский. Технический анализ и фрактальные методы в исследовании финансовых рынков Большая часть стандартного анализа рынка предполагает, что рыночный процесс, по существу, явля ется стохастическим. При проверке гипотезы эффективного рынка (EMH) это предположение не вызы вает особых проблем. Однако для гипотезы фрактального рынка (FMH) многие из стандартных проверок теряют свою силу. Это не говорит о том, что они бесполезны. Большое число исследований с использо ванием стандартной методологии указало на несогласованность между EMH и наблюдаемой конъюнк турой рынка. Тем не менее новые методологии также необходимы для того, чтобы пользоваться пре имуществом рыночной структуры, намеченной в FMH. Для достижения этих целей разработано множе ство методов. Один из них – R/S-анализ. Рассмотрим его подробнее.

Пусть имеется последовательность S = (St )t 0 котировок некоторой ценной бумаги (в общем случае — S временной ряд). Образуем из данного ряда последовательность h = (ht )t 1, где hi = ln i — логариф Si мическая доходность в момент времени i.

n Для каждого натурального n составим величины H n = hk и вычислим следующие числовые харак k = теристики получившейся подпоследовательности.

1n Пусть hn = hi — среднее арифметическое элементов подпоследовательности h = (ht )tn=1.

n i = 1. Размах накопленных сумм – k k Rn = max ( hi hn ) min ( hi hn ) ;

i =1 i =1 k =1…n k =1…n 2. Среднеквадратичное отклонение – ( ) 1n Sn = h h ;

n i =1 i 3. Нормированный размах накопленных сумм (the adjusted range of cumulative sums) – R RSn = n.

Sn Вычисляя в соответствии с вышеприведенным алгоритмом значения RSk, образуем из них и соответ ствующих значений количества элементов n последовательность точек на плоско N сти ( xk, yk ) ( ln RS k,ln k )k =1. Осталось применить метод наименьших квадратов (МНК) для определе ния углового коэффициента прямой, проходящей максимально близко к полученным точкам.

По известной МНК-формуле, полагая n n n n c1 = x 2, c2 = x ;

g1 = xy, g 2 = y, i =1 i =1 i =1 i = находим коэффициент Херста:

ng c g H = 1 222.

nc1 c Персистентный временной ряд, определенный для 0,5 H 1,0, является фракталом, поскольку мо жет быть описан как обобщенное броуновское движение. В обобщенном броуновском движении суще ствует корреляция между событиями на временной шкале. Вследствие этого вероятность двух событий, следующих одно за другим, не 50/50. Показатель Херста H описывает такую вероятность, при которой два происходящих последовательно события могут быть одинаковыми.

Поскольку точки (события) временного ряда не равновероятны (ввиду того, что порождаются слу чайным блужданием), фрактальная размерность вероятностного распределения не равна 2, ее величина лежит в диапазоне от 1 до 2. Мандельброт показал, что величина, обратная H, есть фрактальная размер ность. Случайное блуждание при H = 0,5 должно иметь фрактальную размерность равную 2. Если H = 0,7, фрактальная размерность равна 1/0,7 или 1,43. Заметим, что случайное блуждание в действительно сти двумерно и целиком заполняет плоскость.

Для некоторых технических аналитиков анализ рынков синонимичен нахождению циклов, т.е. они полагают, что существуют регулярные рыночные циклы, скрытые шумом или нерегулярными возмуще ниями, хотя статистические испытания, такие как спектральный анализ, находят только коррелирован ный шум.

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ Херст был первым, кто понял, что лежащий в основе периодический компонент может быть обнару жен с помощью R/S-анализа. Периодическая система соответствует предельному циклу или подобному типу аттрактора. По существу, ее портрет фазового пространства является ограниченным множеством.

Например, в случае синусоидальной волны временной ряд будет ограничен ее амплитудой.

Рис. 3. R/S-анализ, функция Вейерштрасса Для проверки на стабильность Херст использовал простую статистику, дающую более точное изме рение длины цикла, которое особенно хорошо работает в присутствии шума. Эта статистика, называемая V-статистикой, определяется следующим образом:

Vn = ( R / S ) n / n.

Это отношение приведет к горизонтальной линии, если R/S-статистика будет изменять масштаб про порционально квадратному корню из времени. Другими словами, график V против log(n) будет плоским, если процесс является независимым вероятностным. С другой стороны, если процесс персистентен и R/S изменяет масштаб быстрее, чем квадратный корень из времени (H0,50), то график будет иметь на клон вверх. Если же, наоборот, процесс антиперсистентен (H0,50), график будет иметь наклон вниз.

При вычерчивании V на оси Y и log(n) на оси X «разрывы» появятся, когда график V выравняется. В таких точках процесс с долговременной памятью рассеивается.

Рис. 4. V-статистика, функция Вейерштрасса На рис. 4 показана V-статистика для уравнения Вейерштрасса. Обратите внимание на сглаживание наклона в конце каждого периодического цикла. Исследуя максимальное значение V в каждом интерва ле, мы можем оценить длину цикла для каждой частоты. Из рис. 3 видно, что R/S-анализ способен опре М.М. Бутовский. Технический анализ и фрактальные методы в исследовании финансовых рынков делять периодические циклы, даже когда они накладываются. Однако реальной силой R/S-анализа явля ется обнаружение непериодических циклов.

Непериодический цикл не имеет абсолютной частоты. Вместо нее у него имеется средняя частота.

R/S-анализ может определить среднюю длину непериодических циклов для большого значения H. Од нако многие испытания очень хорошо проходят в отсутствии шума, но при добавлении небольшого ко личества шума процесс терпит неудачу. Примеры включают сечения Пуанкаре и реконструкцию фазо вого пространства.

Существует два типа шума в динамических системах. Первый называется наблюдаемым или адди тивным. Этот шум не затрагивает систему, но создает сложности при измерении. Второй тип шума, на зываемый динамическим, представляет гораздо большую проблему. Когда система интерпретирует шумный выход как вход, мы имеем динамический шум, так как он вторгается в систему.

Таким образом, R/S-анализ может не только выявить персистентность, или долговременную память, во временном ряде, но и оценить длину периодических или непериодических циклов. Он также является устойчивым относительно шума. Это делает R/S-анализ особенно привлекательным для изучения есте ственных временных рядов, в том числе рыночных.

Необходимо упомянуть о таком понятии, как волатильность, которое очень часто неправильно ис толковывается. Для широкой публики она означает турбулентность, для ученых и последователей EMH является стандартным отклонением изменений курса акций. Оказывается, что оба понятия эквивалентны таким образом, о котором основатели теории формирования инвестиционного портфеля (MPT), вероят но, и не предполагали.

Первоначально стандартное отклонение использовалось потому, что измеряло дисперсию процента измерения цен (или прибылей) распределения вероятностей. Распределение вероятностей оценивалось на основании ненормализованных эмпирических данных. Чем больше стандартное отклонение, тем вы ше вероятность большого изменения цены – и тем рискованнее акция. Кроме того, полагалось, что вы борка прибылей осуществлялась из нормального распределения. Вероятности могли быть оценены на основании гауссовой нормы. Также предполагалось, что дисперсия была конечна;

следовательно, стан дартное отклонение стремилось бы к значению, которое было стандартным отклонением совокупности.

Стандартное отклонение было выше, если временной ряд цен более изрезан, поэтому оно известно как мера волатильности акций. Тот факт, что акция, склонная к сильным колебаниям, будет более волатиль ной и рискованной, чем менее волатильная акция, кажется исключительно разумным.

Волатильность стала важной мерой сама по себе благодаря формуле опционного ценообразования Блэка-Шоулса.

Цена (европейского) опциона call:

C ( S, t ) = SN (d1 ) Ke r (T t ) N (d 2 ), ln( S / K ) + (r + 2 / 2)(T t ) d1 =, T t d 2 = d1 T t.

Цена (европейского) опциона put:

P ( S, t ) = Ke r (T t ) N (d 2 ) SN (d1 ), где C(S, t) текущая стоимость опциона call в момент t до истечения срока опциона;

S текущая цена базисной акции;

N(x) вероятность того, что отклонение будет меньше в условиях стандартного нормального распределения (таким образом и ограничивается область значений для функции стандартного нормального распределения);

K цена исполнения опциона;

r безрисковая процентная ставка;

T t время до истечения срока опциона (период опциона);

вариация доходности базисной акции.

Цена опциона, определенная на основании этой формулы, чувствительна к числу дисперсии, исполь зуемому в пределах вычисления. Кроме того, дисперсия – единственная переменная, которая не известна наверняка во время торговли. Опционные трейдеры поняли это и обнаружили, что легче вычислить дис персию, которая приравнивает текущую цену опциона к другим значениям, чем «справедливую цену».

Такая подразумеваемая волатильность стала мерой текущей неуверенности на рынке. Она считалась почти прогнозом фактической волатильности.

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ Два антиперсистентных ряда – реализованная и подразумеваемая волатильность – имеют схожие ха рактеристики. Антиперсистентность характеризуется более частыми изменениями направления, чем это происходит в случайной последовательности. Поэтому антиперсистентность производит 0 H 0,50, а это, в свою очередь, приводит к 1,5 D 2,0. Таким образом, антиперсистентный временной ряд ближе к заполняющей пространство фрактальной размерности плоскости (D = 2,0), чем к случайной линии (D = 1,50). Однако это не означает, что процесс является возвратным к среднему, а свидетельствует о том, что он возвратный. Антиперсистентность также подразумевает отсутствие устойчивого среднего. Нет ничего, что могло бы изменить его направление, и масштабы изменений сами по себе случайны.

2. Кластерный анализ и прогнозирование с помощью нейронных сетей Кроме описанного выше R/S-анализа имеют место и другие методы и алгоритмы, способные адек ватно анализировать и прогнозировать показатели финансовых рынков. Особое внимание стоит уделить кластерному анализу и нейропрогнозированию.

Кластерный анализ – задача разбиения заданной выборки объектов (ситуаций) на подмножества, на зываемые кластерами, так, чтобы каждый кластер состоял из схожих объектов, а объекты разных кла стеров существенно отличались. Кластерный анализ выполняет следующие основные задачи:

разработка типологии или классификации;

исследование полезных концептуальных схем группирования объектов;

порождение гипотез на основе исследования данных;

проверка гипотез или исследования для определения, действительно ли типы (группы), выделен ные тем или иным способом, присутствуют в имеющихся данных.

Пусть X – множество объектов, Y – множество номеров (имён, меток) кластеров. Задана функция рас ( x, x). Имеется конечная обучающая выборка объектов стояния между объектами X,m = { x1,..., xm } X. Требуется разбить выборку на непересекающиеся подмножества, называемые кла стерами, так, чтобы каждый кластер состоял из объектов, близких по метрике, а объекты разных кла стеров существенно отличались. При этом каждому объекту xi X m приписывается номер кластера yi.

Алгоритм кластеризации – это функция a : X Y, которая любому объекту x X ставит в соответ ствие номер кластера y Y. Множество Y в некоторых случаях известно заранее, однако чаще ставится задача определить оптимальное число кластеров с точки зрения того или иного критерия качества кла стеризации.

Кластеризация (обучение без учителя) отличается от классификации (обучения с учителем) тем, что метки исходных объектов yi изначально не заданы и даже может быть неизвестно само множество Y.

С целью прогнозирования дальнейшего поведения цен кластеризации подвергаются торговые индек сы, скользящее среднее, индексы ADX, DM+, DM-, индикатор Каири, индекс относительной силы и лю бые другие индикаторы.

Искусственные нейронные сети (ИНС) – это математические модели, а также их программные или аппаратные реализации, построенные по принципу организации и функционирования биологических нейронных сетей. ИНС представляют собой систему соединенных и взаимодействующих между собой простых процессоров (искусственных нейронов). Возможность обучения – одно из главных преиму ществ ИНС перед традиционными алгоритмами. Технически обучение заключается в нахождении коэф фициентов связей между нейронами. В его процессе нейронная сеть способна выявлять сложные зави симости между входными и выходными данными, а также выполнять обобщение.

Для работы с нейросетями предназначено множество специализированных программ, одни из кото рых являются более или менее универсальными, другие – узкоспециализированными. Сделаем краткий обзор некоторых программ:

1. Matlab – настольная лаборатория для математических вычислений, проектирования электрических схем и моделирования сложных систем. Имеет встроенный язык программирования и весьма богатый инструментарий для нейронных сетей – Anfis Editor (обучение, создание, тренировка и графический ин терфейс), командный интерфейс для программного задания сетей, nnTool для более тонкой конфигура ции сети.

2. Statistica – мощное обеспечение для анализа данных и поиска статистических закономерностей. В данном пакете работа с нейросетями представлена в модуле STATISTICA Neural Networks (сокращенно ST Neural Networks, нейронно-сетевой пакет фирмы StatSoft), представляющем собой реализацию всего набора нейросетевых методов анализа данных.

М.М. Бутовский. Технический анализ и фрактальные методы в исследовании финансовых рынков 3. BrainMaker – предназначен для решения задач, для которых пока не найдены формальные методы и алгоритмы, а входные данные неполны, зашумлены и противоречивы. К таким задачам относятся биржевые и финансовые предсказания, моделирование кризисных ситуаций, распознавание образов и многие другие.

4. NeuroShell Day Trader – нейросетевая система, которая учитывает специфические нужды трейдеров и достаточно легка в использовании. Программа является узкоспециализированной и подходит для тор говли, но по своей сути слишком близка к черному ящику.

3. Реализация методов анализа финансовых рынков Чтобы наглядно увидеть результаты, которые дают методы технического анализа и рассмотренный выше R/S-анализ, с помощью пакета и языка программирования Matlab был создан программный про дукт “Indicators” (рис. 5), включающий в себя расчёт/построение/отображение следующих показателей и характеристик финансовых рынков:

а) линии тренда – элемент аппарата технического анализа, используемый для выявления тенденций изменения цен на различных видах бирж.

Линии тренда представляют собой геометрическое отображение средних значений анализируемых показателей, полученное с помощью какой-либо математической функции. Выбор функции для по строения линии тренда обычно определяется характером изменения данных во времени.

б) скользящая средняя – инструмент сглаживания временных рядов, применяемый главным обра зом для отображения изменений биржевых котировок акций, цен на сырьё и так далее. Наиболее широко используются на практике простые, взвешенные и экспоненциальные скользящие средние.

в) линии (полосы) Боллинджера – инструмент технического анализа фондовых рынков, отражаю щий текущие отклонения цены акции, товара или валюты.

Линии Боллинджера строятся в виде верхней и нижней границы вокруг скользящей средней, ширина полос при этом не статична, а пропорциональна среднеквадратичному отклонению от скользящей сред ней за анализируемый период времени. Эти две линии называются линиями сопротивления и поддержки (не путать с уровнями поддержки/сопротивления на графиках – линии Боллинджера являются плавными кривыми, а не прямыми).

г) Моментум – один из самых простых индикаторов, используемых в техническом анализе, пред ставляет собой разницу между текущей ценой и ценой N периодов назад.

д) стохастический индикатор – индикатор технического анализа, который показывает положение текущей цены относительно диапазона цен за определенный период в прошлом. Измеряется в процен тах.

е) индекс относительной силы RSI – индикатор технического анализа, определяющий си лу тренда и вероятность его смены. Популярность RSI обусловлена простотой его интерпретации. Ин дикатор может рисовать фигуры технического анализа «голова-плечи», «вершина» и другие, которые часто анализируются наравне с графиком цены.

ж) индикатор Каири, или метод Каири, похож по построению и правилам применения на осцилля тор Моментум. От Моментума его отличает то, что Каири делится еще на скользящую среднюю с тем же порядком, поэтому на выходе дается отклонение. Это отклонение затем умножается на 100% и ре зультат представляется в процентах.

з) показатель Хёрста, получаемый в результате работы R/S-анализа.

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ Рис. 5. Общий вид программного продукта Indicators v.1. Кроме того, Indicators версии 1.0 оснащён стандартной панелью инструментов, предоставляющих возможность масштабирования и панорамирования, что совершенно необходимо при работе с больши ми временными рядами (рис. 6).

Для скользящего среднего предусмотрен выбор типичных значений временного лага, для остальных индикаторов (Моментум, стохастический, RSI, KRI) – выбор количества периодов.

Данные для программного продукта Indicators можно выгружать из любых систем интернет трейдинга, которые доступны пользователю, в виде электронных таблиц, содержащих значения, разде ленные запятыми (.CSV).

Рис. 6. Представление данных в Indicators v.1. Заключение Стоит отметить, что модели проектирования алгоритмов фрактальных методов анализа кривых в рамках анализа показателей финансовых рынков не обрели «идеальной» формы и требуют внимания со стороны исследователей с целью увеличения эффективности работы этих алгоритмов и реализации их как готовых к использованию программных продуктов.

Продолжается работа над расширением функционала инструмента “Indicators”, а также работа над аналитической частью этого продукта.

Литература 1.Алмазов А.А. Фрактальная теория. Как поменять взгляд на рынки. Обнинск: Экономическая литература, 2006.

2.Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая дина мика», 2001.

3.Вильямс Б. Торговый хаос: экспертные методики максимизации прибыли. – М.: Аналитика, 2000.

4.Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. – М.: Институт компьютерных исследований, 2002.

5.Петерс Э. Фрактальный анализ финансовых рынков: применение теории хаоса в инвестициях и экономике. – М.: Интернет-трейдинг, 2004.

6.Петерс Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка: пер. с англ. – М.: Мир, 2000.

7.Цисарь И.Ф., Нейман В.Г. Компьютерное моделирование экономики. – М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 2008.

Бутовский Михаил Михайлович, аспирант Института систем информатики им. акад. А.П. Ершова СО РАН, тел.

+79236490467, e-mail: michaelb@mail.ru Butovsky Mihail Mihailovich, post-graduate student of A.P. Ershov Institute of Informatics Systems Ж.Г. Дамбаев, В.Н. Ковалевский. Математическая модель движения продуктов взрыва в шпуре для обеспечения процесса направленного разрушения горных пород УДК 622.235. Ж.Г. Дамбаев, В.Н. Ковалевский МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ ПРОДУКТОВ ВЗРЫВА В ШПУРЕ ДЛЯ ОБЕСПЕЧЕНИЯ ПРОЦЕССА НАПРАВЛЕННОГО РАЗРУШЕНИЯ ГОРНЫХ ПОРОД Статья посвящена расчету движения продуктов взрыва в шпуре для управления напряженным состоянием массива. Экспериментально моделируется взаимодействие волн напряжений между смежными удлиненными зарядами, и определяется время развития трещины для обеспечения процесса трещинообразования. При этом обосновываются ресурсные возможности квазистатического действия взрыва для направленного разрушения горных пород между смежными удлиненными зарядами.

Ключевые слова: движение продуктов взрыва, направленное разрушение горных пород.

Zh.G. Dambaev, V.N. Kovalevsky MATHEMATICAL MODEL OF EXPLOSION PRODUCTS MOVEMENT IN THE HOLE TO ENSURE A PROCESS TOWARDS BREAKDOWN ROCKS The article is devoted to the calculation of explosion products movement in blasthole for management of tension state of array. Interaction of pressure waves between the adjacent extended charges is experimentally modelled and time of development of a crack for maintenance of crack formation process is defined. It is thus proved resource possibilities of quasistatic action of explosion for the directed destruction of rocks between the adjacent extended charges.

Key words: movement of the explosion products, directed destruction of rocks При взрыве удлиненного цилиндрического заряда в шпуре происходят быстропротекающие сложные газодинамические процессы, зависящие от типа ВВ, конструкций зарядов, способов инициирования, кинетики взрывчатого превращения, и дальнейшее истечение газообразных продуктов взрыва в атмосферу. Процесс трещинообразования горной породы в плоскости раскола между смежными шпурами представляет собой обеспечение динамического воздействия взрывной нагрузи на массив.

Математический расчет определения динамических нагрузок в зарядной полости сводится к рассмотрению соответствующей газодинамической задачи о распределении газообразных продуктов взрыва (давлений, скоростей) и исходя из этого импульса взрыва вдоль внутренней поверхности шпура.

При этом необходимо рассмотреть две механические задачи: о движении газообразных продуктов взрыва в зарядной полости и о движении массива горной породы под воздействием взрыва (под движением подразумеваются массовые движения среды). Для обоснования требуется сопоставить скорости движения различных сред – газообразных продуктов взрыва и массового движения частиц горной породы. Необходимо рассмотреть совместное движение двух сред (продуктов взрыва ВВ и массовое движение ГП), которое определяет процесс развития магистральной трещины между смежными зарядами.

Разделение процесса на фазы является условным и производится в соответствии с наличием граничных условий в механическом процессе взрыва удлиненного заряда.

В теории газодинамических процессов в шпуре процесс, вызванный распространением детонационной волны по длине заряда, описывается как одномерное нестационарное движение ПВ.

Правомерность такой постановки базируется на оценках, непосредственно вытекающих из исходных условий: диаметра полости много меньше его длины;

большей сжимаемости породы, чем продуктов взрыва;

скорости газодинамических возмущений в них намного больше скорости звука в воздухе.

Известно, что скальные горные породы имеют большую акустическую жесткость и незначительное расширение камуфлетной полости. В этом случае выравнивание распределений параметров ПВ по сечению шпура происходит за время, сопоставимое со временем взрывчатого перемещения ВВ по всей длине колонки заряда. Как следствие, при рассмотрении процесса «в целом», т.е. в масштабе длины зарядной полости, временем выравнивания давления по сечению можно пренебречь и считать это выравнивание мгновенным.

Основные функции состояния и движения ПВ зависят от пространственной (осевой) координаты Z и времени t. Газ считается идеальным. Состояние газа по длине шпура (скважины) описывается системой уравнений газовой динамики, базирующихся на учете основных законов механики (сохранения массы, импульса, энергии) в форме, соответствующей одномерной модели нестационарного течения. После ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ детонации ВВ идет процесс взрывного горения и они занимают объем, равный при мгновенной детонации объему, ранее занимаемому зарядом. Полагаем, что ПВ вступают в работу по генерированию квазистатического поля напряжений в процессе расширения взрывной камеры до конечных размеров.

Нестационарное истечение обусловлено распадом начального разрыва (1-го рода) между этими параметрами ПВ и параметрами невозмущенного воздуха.

Образующееся при этом течение автомодельно, то есть развивается подобно самому себе единообразно во времени, движение продуктов взрыва сопровождается возникновением ударной волны, формирующейся в процессе движения газов по длине зарядной камеры. Значения параметров массовой скорости, давления и плотности на фронте ударной волны определяются по формулам:


U S 1, U1 = M + 1 = 2 M 2 P P0 + 1 1 ( + 1) M, = 0 2 + ( 1) – скорость ударной волны, распространяющейся по невозмущенному газу;

P0, 0 – где U S US соответственно давление и плотность невозмущенного газа;

– показатель адиабаты для газа;

M = a – число Маха, a0 – скорость звука в воздухе.

Pm Соотношение, определяющее число Маха для ударной волны, возникшей при распаде разрыва, P записывается в виде:

Pm 2 0 1 1 1 1 M a0 1 M2 = 1 1 2, 0 + 1 0 + 1 M a P0 0 + где Pm – давление ПВ после расширения до сечения скважины;

a1 – местная скорость звука в ПВ;

1 – показатель адиабаты ПВ [1].

Возникшее течение по длине зарядной камеры содержит ударную волну, контактную поверхность и волну разрежения. В дальнейшем, с истечением продуктов взрыва из устья шпура, процесс меняется, поэтому область применимости данного решения ограничивается.

Численная оценка эффекта квазистатического давления ПВ сделана на примере взрыва шпурового заряда с глубиной Н = 3 м и при длине заряда равной 2/3 глубины шпура. При линейной скорости детонации ДШ 6,5103 м/с и скорости движения газообразных продуктов в шпуре 0.7103 м/с давление в средней части удлиненного заряда составляет 2000·10-6 с.

Необходимо сопоставить полученные значения давления с оценками длительности воздействия взрыва в средней части колонки заряда при расстоянии между шпурами 0.5 м. Этот участок волна напряжений покрывает примерно за 50·10-6с, то есть за время в 35-40 раз меньше, чем время установившегося давления в рассматриваемом сечении шпура. В этом случае можно считать, что в области массива между зарядными полостями устанавливается квазистатическое поле напряжений.

Также известно, что скорость распространения трещин в горных породах составляет (0.20.4) ср скорости продольной волны. Следовательно, для данного случая в скальных породах процесс трещинообразования между смежными зарядными полостями осуществляется за 125·10-6 с, то есть он происходит за время существенно большее, чем время действия волны напряжений, и значительно меньшее, чем время действия установившегося квазистатического давления продуктов взрыва.

На рис. 1 показана эпюра распределения давления ПВ по длине шпура в различные моменты времени. Таким образом, на основе выполненных расчетов можно утверждать, что процесс направленного разрушения происходит за счет квазистатического действия давления ПВ.

Ж.Г. Дамбаев, В.Н. Ковалевский. Математическая модель движения продуктов взрыва в шпуре для обеспечения процесса направленного разрушения горных пород Рис. 1 Распределение давления ПВ в шпуре Для получения более полной картины распространения волны напряжений и процесса развития магистральной трещины за счет интерференции волн напряжений были проведены модельные экспериментальные исследования методом скоростной фотосъемки. Кинограмма процесса распространения волн напряжений и развития трещинообразования представлена на рис. 2 (а,б,в,г) с интервалом 18 мкс.

Как видно из рис. 2, продукты детонации радиально расширяются и трансформируются в материал модели в виде волны напряжений с коническим фронтом по длине зарядной полости. Распространение волны напряжений вызывает местные смещения частиц материала, которые создают напряженное состояние среды, и в оптически активных материалах появляются темные линии (изохромы), распространяющиеся со скоростью продольных волн в среде.

При взаимодействии волн напряжений происходит развитие магистральной трещины между удлиненными цилиндрическими полостями, что приводит к увеличению скорости роста магистральной трещины, величина которой составляет (0.3–0.4) cр, где ср – скорость продольной волны в оптическом стекле. При дальнейшем движении этой плоскости происходит слияние в единую плоскость трещинообразования. На основании наглядной картины распространения волн напряжений в процессе трещинообразования можно представить разрушение твердой среды следующим образом. Вблизи заряда растягивающие напряжения превышают предел прочности на растяжение, поэтому образуются системы радиальных трещин, а смятия образующейся части взрывной полости не происходит, т.к. давление продуктов взрыва меньше, чем предел прочности на сжатие.

При взаимодействии волн увеличивается растягивающее напряжение по линии расположения взрывных полостей, в результате чего образуется магистральная трещина. Этот процесс можно рассматривать как квазистатический, в котором расположение напряжений определяет развитие трещины.

Ступенчатая поверхность плоскости раскола модели из оптического стекла свидетельствует, что процесс прорастания трещины носит скачкообразный характер. Это объясняется пульсирующим характером движения трещины за счет промежуточных релаксационных процессов напряжений на ее вершинах. Пульсация обусловлена тем, что величина интенсивности напряжений в вершине трещины, ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ необходимая для дальнейшего роста и определяется временем подпитки необходимого уровня интенсивности напряжений.

Рис 2. Кинограмма взрыва удлиненного цилиндрического заряда Модели представляли собой кубики, размером 100100100, в центре которых имелись цилиндрические полости диаметром 7 мм и глубиной 75 мм, в них кооксиально размещался заряд диаметром 2 мм, высотой 50 мм и массой ТЭНа 1,4 г.

Для моделирования процесса взаимодействия волн напряжений от смежных зарядов к двум боковым граням модели прикладывались гладкие жесткие пластины. Процесс взрыва фиксировался высокоскоростной киносъемкой. Из кинограммы (рис. 2) видно, что скорость детонации заряда составляла 6000 м/с, а скорость истечения ПВ – 700-1000 м/с. Волны напряжений в модели распространялись со скоростью продольной волны данной среды. В результате интерференции волн напряжений от жестких границ (осей симметрии) образовывались направленные радиальные трещины, которые детерминировали раскол модели на две равные части. Средняя скорость развития магистральной трещины составляла около 2000 м/с, и процесс разрушения образца происходил за 2510-6 с. Следовательно, можно утверждать, что определяющую роль в развитии магистральной трещины играет взаимодействие волн напряжений, хотя при этом в полости зарядной камеры еще продолжают сохраняться газообразные продукты взрыва, что свидетельствует о квазистатическом процессе разрушения.

Литература Жигалко Е.Ф. Динамика ударных волн. – Изд-во ЛГУ, 1987. – 287 с.

1.

Дамбаев Жаргал Гомбоевич, доктор технических наук, профессор Улан-Удэнского института железнодорожного транспорта. тел./факс 8-(3012)-28-37-82, e-mail: g.dambaev@rambler.ru Ковалевский Владимир Николаевич, кандидат технических наук, доцент. Санкт-Петебургского государственного горного университета, тел./факс 8-(812)-328-82-54, e-mail: vladimir_kovalevskiy@mail.ru Dambaev Zhargal Gomboevich, doctor of technical sciences, professor of Ulan-Ude Railway Institute.

Kovalevsky Vladimir Nikolaevich, candidate of technical sciences, associate professor of St. Peterburg Mining University 3. Функциональные уравнения и их приложения УДК 519. Т.Г. Дармаев ПРОБЛЕМА ВОСПРИИМЧИВОСТИ ПОГРАНСЛОЙНЫХ ТЕЧЕНИЙ И БИФУРКАЦИИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ В работе метод инвариантной конечномерной проекции уравнений Навье-Стокса применяется для исследования плоскопараллельного течения вязкой несжимаемой жидкости над плоской полубесконечной пластиной. При этом нелинейная начально-краевая задача для периодических возмущений основного течения сводится к конечномерной рекуррентной системе линейных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Предложенный универсальный алгоритм позволяет численно находить амплитудные поверхности устойчивых и неустойчивых режимов и точки тангенциальных бифуркаций периодических режимов для произвольных частот и чисел Рейнольдса. Проведено сравнение численных результатов с проблемой восприимчивости и экспериментами по ламинарно-турбулентному переходу.

Ключевые слова: ламинарно-турбулентный переход, метод инвариантной конечномерной проекции.

T.G. Darmaev THE RECEPTIVITY PROBLEM OF BOUNDARY-LAYER FLOWS AND BIFURCATIONS OF PERIODIC REGIMES The method of the invariant finite-dimensional projections of the Navier-Stokes equations is applied to a plane-parallel flow of a viscous incompressible fluid over a flat semi-infinite plate. Thus the initial-boundary problem for periodic disturbances of main flow is reduced to finite-dimensional recurrent system of linear boundary problems for the ordinary differential equations. The proposed universal algorithm allow to calculate amplitude surfaces of unstable and stable regimes and points of tangential bifurcation of periodic modes for arbitrary frequencies and Reynolds numbers.

Comparison of numerical results with the receptivity problem and experiments in laminar-turbulent transition is spent.

Keywords: laminar-turbulent transition, the invariant finite-dimensional projections Введение Основная задача исследования восприимчивости заключается в поиске, выборе, экспериментальном и теоретическом моделировании таких механизмов возбуждения колебаний, которые играют основную роль в формировании возмущенного течения и последующей его турбулизации [1]. К основным внешним факторам, которые вызывают возмущения, относятся шероховатость или геометрия поверхности, завихренность и турбулентность свободного потока (рис.1).

основной поток Внешние факторы: Переход в Генерация турбулентность:

- завихренность/ возмущений:

- клебановский;

турбулентность - акустические;

- субгармонический;

потока;

- вибрирующая - промежуточный.

- шероховатость лента;

/геометрия - вдув/отсос.

поверхности.

Рис.1. Механизмы восприимчивости В зависимости от геометрии обтекаемого тела, размера шероховатостей, степени турбулентности или завихренности основного течения появляются возмущения и в дальнейшем может произойти их рост и переход в турбулентность. Кроме этого в экспериментах для генерации вынужденных возмущений применяются акустические методы, вибрирующая лента, вдув или отсос в поток, которые в зависимости от частоты или амплитуды могут перейти в турбулентное состояние.


В настоящее время развиваются следующие теоретические направления исследования механизма восприимчивости – параболизованные уравнения [2], прямое численное моделирование [3], возмущения в профиле параллельного пограничного слоя [4-5], взаимодействие возмущений [6-7]. В них Т.Г. Дармаев. Проблема восприимчивости погранслойных течений и бифуркации периодических режимов рассчитываются коэффициенты восприимчивости возмущений от начальных данных, задающих внешние факторы, амплитуды и частоты возмущений.

В данной работе метод инвариантной конечномерной проекции уравнений Навье-Стокса, разработанный Б.Ю.Скобелевым [8], применяется для исследования периодических трехмерных возмущений в плоскопараллельном течении вязкой несжимаемой жидкости над плоской полубесконечной пластиной. При этом нелинейная начально-краевая задача для возмущений основного течения сводится к конечномерной рекуррентной системе линейных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений [9]. Предложенный универсальный алгоритм позволяет численно находить амплитудные поверхности устойчивых и неустойчивых режимов и точки тангенциальных бифуркаций периодических режимов для произвольных частот и чисел Рейнольдса.

Метод инвариантной проекции Суть метода инвариантной конечномерной проекции состоит в том, что решение уравнений Навье Стокса для возмущений:

u + (u)u + Lu = 0, t Lu = (u0) + (u)u0 q u, Re div u = ищется в виде:

u = v2 n + u, где v2n – линейная функция m собственных функций оператора L, а ортогональное дополнение u ищется в виде функции от v2n u = g (v2 n ).

Условие того, что решение принадлежит инвариантному многообразию уравнений Навье-Стокса однозначно определяет вид функции g (v2 n ). Существенным достоинством метода инвариантной проекции является то, что он гарантирует правильное описание асимптотического поведения решений (т.е. при t ) и учитывает дискретный и непрерывные спектры возмущений.

В работе рассматривались моногармонические решения, периодические по продольной координате с волновым числом и по поперечной координате с волновым числом.

В соответствии с теорией инвариантной конечномерной проекции решение уравнения для функции тока представлялось в следующем виде:

s ( x, y, z, t ) = 2 A(t ) Re f ( y ) ei ( x + z + (t )) + s ( t ) g sk ( y ) eik ( z + z (t )), s =1 k = s где A(t) и (t) – амплитуда и фаза возмущения, – символ Кронекера, f(у) – собственная функция задачи Орра-Зоммерфельда для течения Блазиуса, а g sk удовлетворяют следующей рекуррентной системе уравнений:

ik ( r U ) k + D 2U g sk ( k ) 2 g sk = k1 (bs 1 + ics 1 )1 f k, R (1) *(bs 1 ics 1 )1 f ik cq k g pk i lg ql D j g pj jDg ql l g pj, q+ p=s q+ p=s l + j =k d где D =, k = D 2 (k )2, 2 = 2 + 2, U(y) – профиль невозмущенного ламинарного потока, f dy – сопряженная к собственной функции задачи Орра-Зоммерфельда, = i + i r – собственное число задачи Орра-Зоммерфельда.

Из условий прилипания на пластине и затухания возмущений на бесконечности ставятся следующие граничные условия:

g sk (0) = Dg sk (0) = 0, g sk () = Dg sk ().

Коэффициенты bs 1, cs 1 определяются из условий ортогональности и нормировки:

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ f ( y ) 1qs1 ( y )dy = 0, 1 = D 2 2, bs 1 + ics 1 = f * Fs1dy, 0 где f*(y) – решение уравнения, сопряженного к уравнению Орра-Зоммерфельда.

Результаты расчетов и их анализ В работе проводился численный расчет приближенных уравнений для амплитуд периодических режимов + b2 n 2 n = 0.

n = при N =2,3,4,5, где = i – линейный коэффициент нарастания.

При численном интегрировании системы (1) граничные условия на бесконечности заменялись граничными условиями на интервале (0,L), L1. Затем преобразованием y = Ly, 0 y L, 0 y задача сводится к интегрированию на интервале (0,1). Вычисление присутствующих в правой части собственных функций задачи Орра-Зоммерфельда, а также решение системы (1) проводилось методом ортогональной прогонки [10] на неравномерной разностной сетке.

В результате вычислений выявилась следующая картина (рис.2-3). При малых значениях волнового числа, соответствующих нижней ветви линейной нейтральной кривой, от течения Блазиуса ответвляется устойчивый периодический режим. При некотором =2 передняя складка амплитудной поверхности из нефизической области отрицательных значений квадратов амплитуд выходит в область положительных значений и происходит смена закритической бифуркации докритической (=3). С увеличением числа Рейнольдса амплитуда этого режима нарастает, затем уменьшается и далее этот режим исчезает в результате слияния с неустойчивым режимом, ответвляющимся от верхней ветви линейной нейтральной кривой. Точки слияния этих режимов называются точками тангенциальной бифуркации [11], соответствующие точкам складки в теории катастроф [12]. Далее с увеличением амплитудная поверхность периодических решений отрывается от линейной нейтральной кривой (=4) и при некотором значении периодические решения исчезают.

Рис.2 Рис. На рисунке 4 приведен срез амплитудной поверхности при =0.206906, из которого видно, что при определенных начальных амплитудах периодические возмущения могут перейти либо в устойчивый периодический режим, либо в неустойчивый. На рисунке 5 приведены линейная нейтральная кривая (сплошная линия) и точки складок, или, что то же самое, точки тангенциальной бифуркации трехмерных режимов. Внутри нейтральной кривой возмущения нарастают, а вне – затухают.

В настоящее время экспериментально обнаружены три типа перехода. Первый был обнаружен в классической работе Клебанова и др. [13]. Он характеризуется быстрым нарастанием возмущений, высокочастотными всплесками и последующим образованием турбулентных пятен. Другой тип перехода был обнаружен в экспериментах Качанова, Козлова, Левченко [14]. Он характерен нарастанием высших гармоник двумерной волны Толлмина-Шлихтинга с последующим ростом трехмерной субгармоники. В экспериментах Козлова, Левченко, Сарика [15] наблюдался третий тип перехода – промежуточный между первыми двумя типами.

Т.Г. Дармаев. Проблема восприимчивости погранслойных течений и бифуркации периодических режимов Рис.4 Рис. Для объяснения этих явлений в настоящее время существуют две основные теоретические модели.

Первая была разработана Крейком [7] и по сути является обобщением метода Стюарта-Ватсона на случай взаимодействия трех резонансных волн. Другая модель – модель вторичной неустойчивости [6] – исследует устойчивость двумерных нелинейных волн относительно трехмерных линейных возмущений.

Полученные с помощью этих моделей области быстрого роста трехмерных возмущений достаточно хорошо совпадают с экспериментальными результатами по наблюдению первых стохастических пульсаций. Но эти работы не объясняют причину появления стохастичности.

Как известно, в экспериментах по генерации ламинарно-турбулентного перехода с помощью вибрирующей ленточки клебановский тип перехода наблюдается только при относительно больших начальных амплитудах возмущения и характеризуется резким ростом возмущений. Таким образом клебановский тип перехода можно связать с передней верхней частью амплитудной поверхности, причем амплитуда соответствующего возмущения должна быть не меньше амплитуды периодического решения в передней точке тангенциальной бифуркации.

Если начальная амплитуда меньше критической клебановской, то возможен другой тип перехода, который можно соотнести с промежуточным типом, наблюдавшимся в эксперименте. Этот тип перехода связан с тем, что в результате нарастания возмущения становятся трехмерными и внутри нелинейной нейтральной поверхности для плоских возмущений их амплитуда может стать равной амплитуде точки тангенциальной бифуркации для трехмерных возмущений (0).

И, наконец, при субгармоническом типе перехода в эксперименте наблюдается рост высших гармоник начальной двумерной волны Толлмина-Шлихтинга. Причем начальные амплитуды возмущений, вызывающих этот тип перехода, достаточно малы, и начальные возмущения действительно являются двумерными. Поэтому естественно связать субгармонический тип перехода с задней точкой тангенциальной бифуркации в окрестности верхней ветви линейной нейтральной кривой.

Таким образом, каждому типу перехода соответствует точка тангенциальной бифуркации периодических режимов (трехмерные или двумерные). Из теории динамических систем [16] следует, что в окрестности точки тангенциальной бифуркации возникает явление перемежаемости (т.е. чередование во времени ламинарного и турбулентного режимов). Причем длительность турбулентных режимов зависит от "расстояния" до точки тангенциальной бифуркации. Наблюдающаяся в экспериментах картина дает качественное подтверждение высказанным на основе проведенных расчетов предположениям.

Литература 1. Бойко А.В., Грек Г.Р., Довгаль А.В., Козлов В.В. Физические механизмы перехода к турбулентности в открытых течениях. М.;

Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2006. 304с.

2. Herbert T., Lin N. Studies of boundary layer receptivity with parabolized stability equations // AIAA Paper. 1993. N 93. P. 3053.

3. Spalart Pr. Numerical study of transition induced by suction devices. Near-Wall Turbulent flows, The Netherlands:

Elsevier, 1993. p. 849-858.

4. Crouch J. D. Theoretical studies on receptivity of boundary layers // AIAA paper. 1994. N 94. P. 2224.

5. Choudhari M. Roughness-induced generation of crossflow boundary vortices in three-dimensional layers.

Theor.Comput.Fluid Dyn. 1994. P.1-30.

6. Stuart J.Т. On the non-linear mechanics of wave disturbances stable and unstable parallel flows. Pt.1 // J.Pluid Mech.

1960.-V.9, N 3.-P.353-370.

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ 7. Craik A.D. Non-linear resonant instability in boundary layers // J. Fluid Mech.-1971. V 5O, P t.2. P. 393-413.

8. Скобелев Б.Ю. Конечномерная инвариантная аппроксимация уравнений Навье-Стокса и автоколебательные режимы течения Пуазейля // ПMM.-1990-Т.54. № З. С. 416-429.

9. Дармаев Т.Г. Конечномерная инвариантная аппроксимация и периодические режимы течения Блазиуса // Вычислительные технологии. 2008. Т.13, № 4. С. 60-70.

10. Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений // УМН. 1961. Вып. 3(99). C.171-174.

11. Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций/ пер.с англ.-М.: Мир, 1983.-301 с.

12. Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложения / пер.с англ. М.: Мир, 1980.-607 с.

13. Klebanoff P.S., Tidstrom K.D., Sargent L.М. The three-dimensional nature of boundary-layer instability // J. Pluid Mech. 1962. V. 12.-P t.1.-P.1-34.

14. Качанов Ю.С., Козлов В.В., Левченко В.Я. Нелинейное развитие волны в пограничном слое // МЖГ. 1977.

№ 3. С. 49-53.

15. Козлов В.В., Левченко В.Я., Сарик B.C.(США) Образование трехмерных структур при переходе в пограничном слое. Новосибирск, 1983 (препр./ АН СССР. Сиб. отделение. ИТПМ;

№ 10-83).

16. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987.

Дармаев Тумэн Гомбоцыренович, кандидат физико-математических наук, директор научно-образовательного инновационного центра системных исследований и автоматизации Бурятского государственного университета.

Тел. (3012)221215, e-mail: dtg@bsu.ru Darmaev Tumen Gombotsyrenovich, Candidate of Physics and Mathematics Science, director of scientific educational innovation centre of system research and automatization of Buryat State University.

Н.В. Дилигенский, А.П. Ефимов. Применение операторов дробного дифференцирования для построения аппроксимативных решений уравнения теплопроводности УДК 517. Н.В. Дилигенский, А.П. Ефимов ПРИМЕНЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ ДРОБНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ АППРОКСИМАТИВНЫХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Статья посвящена проблеме построения приближенных аналитических решений уравнения теплопроводности на основе использования операции дробного дифференцирования.

Ключевые слова: уравнение теплопроводности, аппроксимации, приближенные решения, дробное дифференцирование.

N.V. Diligenskiy, A.P. Efimov APPLICATION OF FRACTIONAL DIFFERENTIATION OPERATORS FOR CONSTRUCTION OF APPROXIMATE SOLUTIONS OF HEAT TRANSFER EQUATION.

The paper is devoted to the problem of construction of approximate analytical solutions of heat transfer equation based on operations of fractional differentiation.

Keywords: heat transfer equation, approximation, approximate solution, fractional differentiation.

Введение Эффективность применения аналитических решений нестационарных задач теплопроводности для целей расчета, анализа, управления и оптимизации в определяющей степени зависит от формы получаемых решений. Во многих случаях точные решения оказываются неэффективными в прикладных задачах вследствие сложности представлений, неудовлетворительной сходимости рядов, трудоемкости вычислительных операций. В статье рассматривается подход к построению приближенных аппроксимационных решений параболических задач, опирающийся на использование операторов дробного дифференцирования.

1. Постановка задачи Сущность подхода изложим на примере построения приближенных решений канонической линейной задачи теплопроводности в пластине конечной толщины с граничными условиями 1-го рода =, X x =1 = U ( ), (1) =0, X x = =0 = 0, где,, X – соответственно безразмерные температура, время (число Фурье), пространственная координата, U ( ) – известная граничная температура.

Решение задачи (1) методом разделения переменных дает представление в виде сходящихся рядов по собственным функциям. Однако такое представление является неэффективным при малых временах вследствие низкой скорости сходимости рядов.

Запишем решение задачи (1) в трансформантах Лапласа в операторной форме [1] ( X ) = W ( p, x)U ( p), (2) где + e px px e W ( p) = (3) + e p p e Работа выполнена в рамках целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-13 гг.» (государственный контракт №П1448).

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ оператор перехода (передаточная функция) от U к, символ " " означает трансформанту Лапласа, p – оператор преобразования Лапласа Переход к оригиналам по времени на основе решения в транформантах (2) (3) приводит к представлениям в виде рядов, эффективных при малых временах (больших p ), но неработоспособных при больших. Они соответствуют внутренним асимптотическим разложениям решения (2) i, удобных при p.

Построение на основе (2), (3) формальных асимптотических рядов при больших временах (малых p) приводит к сингулярным внешним разложениям o, представимым в оригиналах в классах обобщенных функций, использование которых в прикладных решениях затруднительно.

Получаемые таким образом внутренние и внешние разложения не стыкуются друг с другом, не имеют общей области работоспособности, и построение на их основе известными методами сращивания составных асимптотических решений невозможно.

2. Принцип построения аппроксимативных решений Сформулируем сущность подхода построения аппроксимативных решений задачи (2), (3) в виде следующих положений:

1. Примем в качестве базовых составляющих приближенных решений N, M конечные суммы внутреннего iN и внешнего oM асимптотических разложений.

2. На основе iN и oM сконструируем аддитивную конструкцию a = (1 K ) i, N + K o,M, (4) где K – гладкая (положим K – дифференцируемая) функция-мультипликатор, обеспечивающая сращивание разнородных разложений.

Мультипликатор K ( p ) обладает следующими предельными свойствами l im K ( p) = 1, lim K ( p ) = 0. (5) p 0 p Мультипликатор взвешивает ряды iN и OM с единичным весом в своих – внутренней и внешней – областях асимптотического описания и монотонно уменьшает их вклад до нуля вне своих областей. В соответствии с этим аппроксимативное решение (4) будет иметь внутренние и внешние асимптотики, соответствующие точному решению (2), (3), плавно сопрягающиеся в промежуточной области.

Построим явную форму мультипликатора K на основе анализа точного решения задачи (3). Видно, что выражение (3), определяющее сущность и закономерности протекания динамических процессов, зависит только от оператора p, отвечающего операции дробного дифференцирования степени [2]. В соответствии с этим положим, что для сохранения структурных свойств решений мультипликатор также целесообразно строить как функцию от p. Далее учтем, что решение (3) определяется дробного оператора вида exp( p ). На основании этого экпоненциальной зависимостью от мультипликатор будем конструировать как функцию от exp( p ), где – некоторая константа.

В соответствии с этими двумя вышеизложенными соображениями построим мультипликатор в следующей форме K ( p ) = exp K ( p ) exp( p ), (6) zl K где exp K ( z ) = многочлен Тейлора степени K для функции exp( z ), – численный параметр, l =0 l !

определяемый из условий удовлетворения решения (4) граничным условиям с достаточной степенью точности, соответствующей точности использованных при построении решения (4) внутреннего и внешнего разложений. Очевидно, что асимптотическое поведение мультипликатора (6) удовлетворяет требованиям (5), и структура (6) близко соответствует структуре точного решения (3).

За счет выбора количества членов N, M, K соответствующих рядов iN, OM, K и параметра получаем возможность конструирования аналитических аппроксимативных решений параболических задач теплопроводности с различной степенью точности и описывающих температурные распределения Н.В. Дилигенский, А.П. Ефимов. Применение операторов дробного дифференцирования для построения аппроксимативных решений уравнения теплопроводности во всей области определения решений (для [ 0, ], x [ 0,1] ) с предельным поведением внутренних и внешних асимптотических разложений.

3. Приближенные решения задачи теплопроводности Запишем явную форму аппроксимативных решений для оператора (3):

– трёхчленное внутреннее асимптотическое разложение Wi,2 ( p, x) = exp( p (1 x)) + exp( p (1 + x) + exp( p (3 x)) + +O(exp(3 p )) (7) – двухчленное внешнее асимптотическое разложение p Wo,2 ( p, x) = 1 + ( x 2 + 1) + O( p 2 ) (8) Видно, что Wi,2 ( p, x) и Wo,2 ( p, x) являются существенно различными зависимостями, несогласующимися между собой, причем внутреннее разложение (7) имеет так же, как и (3), структуру, соответствующую операциям дробного дифференцирования, а представление (8) – существенно иную, отвечающую операциям дифференцирования в пространствах обобщенных функций.

Используя конструкцию (4) и учитывая различное количество членов во внутреннем iN и внешнем oM асимптотических разложениях, получим на основе (7), (8) следующие аппроксимирующие решения W1,1 ( p, x) = W1,2 ( p ) = exp( p (1 x)) + p (1 x) exp( p ), (9) W2,1 ( p, x) = exp( p (1 x)) + exp( p (1 + x)) exp(2 p ), (10) 1 + p ( x 2 1) W2,2 ( p, x) = exp( p (1 x)) + exp( p (1 + x)) exp(2 p ), (11) W3,1 ( p, x) = W3,2 ( p, x) = exp( p (1 x)) + exp( p (1 + x)) exp( p (3 x)) = p (1 x) exp(3 p ). (12) Видно, что все члены аппроксимирующих решений (9) – (12) имеют аннотированный вид экспоненциальных функций от оператора дробного дифференцирования p и асимптотики аппроксимаций (9)-(12) при p 0 и p совпадают с соответствующими представлениями (7), (8).

Решения (9) – (12) имеют форму, допускающую в большинстве важных для практики случаев переход к стандартным аналитическим функциям в пространстве оригиналов.



Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 9 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.