авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 9 |

«5. Математическое моделирование УДК 517.977.54 Б.И. Ананьев, Н.В. Гредасова ...»

-- [ Страница 4 ] --

Так, для U (t ) = 1 решения задачи (2), (3) в пространстве оригиналов при W ( p, x), отвечающих приближениям (9), (10), (11) (12), имеют вид 1 x 1 x 11 ( x, ) = 12 ( x, ) = erfc( )+ exp( ), (13) 2 1 x 1+ x 21 ( x, ) = erfc( ) + erfc( ) erfc( ), (14) 2 2 x2 1 x 1+ x 1 22 ( x, ) = erfc( ) + erfc( ) erfc( ) exp( ), (15) 2 2 2 1 x 1+ x 1 3 x 1 x 31 ( x, ) = 32 ( x, ) = erfc( ) + erfc( ) erfc( ) exp( ). (16) 2 2 2 На рисунке 1 представлены результаты сопоставления точного и приближенных, соответствующих (13) – (16), решений для температурных полей и на рисунках 2, 3 – величины максимальных относительных ошибок для температур и градиентов температур (тепловых потоков). В целом видна удовлетворительная точность аппроксимативных решений и локально-экстремальный по времени характер погрешностей составных разложений.

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ Рис. 1. Зависимость температуры от координаты для некоторых моментов времени Рис. 2. Зависимость максимальных по координате ошибок расчётов температур от времени Н.В. Дилигенский, А.П. Ефимов. Применение операторов дробного дифференцирования для построения аппроксимативных решений уравнения теплопроводности Рис. 3. Зависимость максимальных по координате ошибок расчётов тепловых потоков от времени При учете дальнейших членов приближенных представлений погрешность аппроксимаций уменьшается.

Заключение Применение предложенного подхода позволяет получать аналогичные приближенные решения для граничных условий 1, 2 и 3 рода для пластин, цилиндрических тел [3], [4], нелинейных процессов, задач Стефана [5] и иных краевых задач [6].

Литература 1.Бутковский А.Г. Характеристики систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1979. 224 с.

2.Маслов В.П. Теория возмущений и асимптотические методы. М.: МГУ, 1965. 549 с.

3.Дилигенский Н.В., Ефимов А.П. Структура аппроксимационных решений нестационарных задач теплообмена в телах конечных размеров // Труды III Минского международного форума. Минск: ИТМО им А.В.Лыкова, НАН Беларуси, 1996. Т. 9. С. 62-67.

4.Ефимов А.П. Метод построения равномерно-пригодных аппроксимаций решений нестационарных задач теплопроводности в телах конечных размеров // Вестник СамГТУ. 2008. Вып. 2(24). с.196-200.

5.Дилигенский Н.В., Ефимов А.П., Лившиц М.Ю. Применение метода возмущений для решения задачи Стефана в процессах промышленной теплофизики // Труды IV Минского международного форума. Минск: ИТМО им А.В. Лыкова, НАН Беларуси, 2000. Т. 3. С. 14-20.

6.Дилигенский Н.В., Ефимов А.П. Использование принципа длительности для конструирования систем математических моделей задач теплопроводности с требуемыми аппроксимативными свойствами // Труды 3-й Российской национальной конференции по теплообмену. М.: МЭИ, 2002. Т. 7. С. 111-114.

Дилигенский Николай Владимирович, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Управление и системный анализ в теплоэнергетике» Самарского государственного технического университета, 443100, Самара, ул.Молодогвардейская 244, тел. (846) 332-42-34, e-mail: usat@ samgtu.ru Ефимов Александр Порфирьевич, кандидат технических наук, доцент, докторант кафедры «Управление и системный анализ в теплоэнергетике» Самарского государственного технического университета.

Diligenskiy Nikolay Vladimirovich, Doctor of Technical Sciences, Professor, Samara State Technical University.

Efimov Alexandr Porfirjevich, Candidate of technical science, Associate Professor, Samara State Technical University.

Д.Д. Дондоков, Л.И. Эрдынеева. Осаждение заряженного аэрозоля в закрытом помещении с учетом его воздухообмена УДК 621.357.7.551. Д.Д. Дондоков, Л.И. Эрдынеева ОСАЖДЕНИЕ ЗАРЯЖЕННОГО АЭРОЗОЛЯ В ЗАКРЫТОМ ПОМЕЩЕНИИ С УЧЕТОМ ЕГО ВОЗДУХООБМЕНА В статье дается математическое описание осаждения заряженного аэрозоля в помещении с учетом его воздухообмена. Рассмотрено распределение частиц по размерам на внутренних поверхностях помещения в зависимости от степени их зарядки.

Ключевые слова: осаждение аэрозоля, воздухообмен в помещении, заряженные частицы аэрозоля.

D.D. Dondokov, L.I. Erdyneeva PRECIPITATION OF CHARGED AEROSOL IN ENCLOSED SPACE WITH REGARD TO AIR EXCHANGE The article deals with mathematical description of charged aerosol precipitation in enclosed space with regard to its air exchange. It considers the distribution of particles according to their size on inside surfaces of a room, depending on their charging degree.

Keywords: precipitation of an aerosol, air exchange in enclosed space, charged particles of aerosol.

Аэрозольная технология находит широкое применение в сельском хозяйстве, медицине, пищевой, химической и других отраслях производства. Аэрозольный метод обеспечивает экономию средств, улучшает качество обработки и повышает производительность труда.

Однако традиционный аэрозольный метод обработки имеет ряд существенных недостатков. Качество обработки часто не отвечает требованиям современного стандарта, отмечается все еще значительные потери химиката. При обработке помещений с целью их дезинфекции основная часть аэрозоля осаждается на поверхность пола, а потолок остается почти не обработанным. Также установлено, что высокодисперсный аэрозоль может быть более чем на половину удален из помещения с воздушным потоком, если герметизация постройки неудовлетворительная.

Одним из путей существенного улучшения равномерности осаждения и снижения потерь химических средств при обработке закрытых помещений является применение униполярно заряженного аэрозоля.

Исследования (1, 2, 3, 4) показали возможность значительного повышения качества обработки объектов за счет улучшения осаждения заряженных частиц под воздействием электрических сил. Снижается утечка униполярно заряженного аэрозоля из помещения в результате быстроты осаждения при его электростатическом рассеянии.

Экспериментальные исследования по испытанию разработанного нами распылителя при электроаэрозольной дезинфекции показали, что попадание раствора на потолок увеличивается в 300 раз, на стены – в 2 раза, осаждение на пол уменьшается в 1,5 раза по сравнению с аэрозольной дезинфекцией без зарядки [3]. Так же экспериментально установлено, что время осаждения электроаэрозолей в закрытом помещении в зависимости от степени его зарядки сокращается в 2-3 раза по сравнению с временем осаждения незаряженного аэрозоля. Это должно способствовать уменьшению утечки высокодисперсной фракции через неплотности строений.

Важно определить теоретическое обоснование электрического осаждения аэрозоля в помещении с учетом его воздухообмена, связанного с его степенью герметизации.

Процесс электроаэрозольной обработки трудно поддается точному математическому описанию.

Поэтому можно сделать следующие допущения:

1. Движение частиц аэрозоля подчиняется закону Стокса, так как диапазон исследуемых размеров частиц находится в пределах до 30 мкм (Фукс Н.А. Механика аэрозолей);

2. Аэрозоль монодисперсен и химически однороден;

3. Вследствие конвекционного перемешивания и равномерного электростатического рассеяния счетная конденсация во всех точках внутри помещения одинакова по достижению установившегося режима;

4. Турбулентность при подаче аэрозоля отсутствует (замечено при испытании исследуемого распылителя);

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ 5. Электростатические силы зеркального отображения, действующие на малых расстояниях от поверхности осаждения, не учитываются;

6. Пренебрегаем силами диффузии, инерции и фото-термофореза.

Приняв эти допущения, попытаемся найти аналитическое выражение, для оценки степени равномерности осаждения заряженного аэрозоля с учетом воздухообмена помещения.

При решении поставленной задачи исходим из следующих условий.

В помещении с внутренними размерами V, S, H (соответственно объем, площадь поверхности и высота) и кратностью воздухообмена K работает N электроаэрозольных генераторов производительностью X частиц в секунду каждый. Через некоторый промежуток времени после включения генераторов счетная концентрация аэрозоля в помещении достигает постоянного установившегося значения. Эксперименты показали, что стационарный режим достигается относительно быстро, и весь процесс обработки, можно считать, производится в этом режиме.

Введем следующие обозначения физических величин:

r – радиус частицы;

n, nc – текущая и установившаяся концентрации аэрозоля;

q – заряд частицы;

nqBV Ve = – скорость движения заряженной частицы под действием электростатической силы (Фукс 0S Н.А. Механика аэрозолей);

B= – механическая подвижность частицы;

6 r 0 – электрическая постоянная;

2 g ж r Vg = – гравитационная скорость осаждения частицы;

ж – плотность жидкости;

– коэффициент динамической вязкости воздуха.

Источником аэрозоля служит генератор электроаэрозолей. Осаждение осуществляется под действием электрического поля пространственных зарядов униполярно заряженных частиц (процесс электростатического рассеяния).

Процесс осаждения аэрозоля связан с изменением его счетной концентрации. Тогда выражение, описывающее это изменение, определяет процесс осаждения. Учитывая, что концентрация увеличивается за счет работы N генераторов производительностью X каждый, а её убыль происходит при воздухообмене помещения кратностью K, и электроосаждения частиц получим уравнение осаждения электроаэрозоля в помещении с учетом его воздухообмена в виде:

n2 q2 B dn NX = nK. (1) dt V Уравнение (1) описывает процесс осаждения при условии Ve Vg, а при Ve Vg уравнение осаждения запишется:

n 2 qBS 2 g ж r 2 nS dn NX = nK, (2) 0S 9V dt V где S – площадь поверхности пола и стен;

S - площадь поверхности пола.

Процесс электрической зарядки аэрозоля наиболее полно реализуется при Ve Vg, поэтому рассмотрим решение уравнения (1), соответствующее этому режиму.

Если обозначим q2 B NX ;

b=K ;

d = a=, 0 V то Д.Д. Дондоков, Л.И. Эрдынеева. Осаждение заряженного аэрозоля в закрытом помещении с учетом его воздухообмена dn = an 2 bn d. (3) dt dn = 0 найдем счетную концентрацию аэрозоля при стационарном режиме:

Из уравнения (3) при dt b ± b 2 4ad nC = 2a или 4 NXq 2 B K ± K 2 + 0V nC = (4) 2q 2 B Качество обработки можно характеризовать через количественный показатель равномерности.

Равномерность обработки помещения при стационарном режиме можно оценивать через отношения:

Qпот Q, 2 = ст, 1 = (5) Qпол Qпол где Qпот, Qст, Qпол количество жидкости, осевшей соответственно на единицу площади поверхности потолка, стен и пола.

Если учесть, что величина электростатической скорости является основным критерием осаждения аэрозоля на потолок и стены, то, отметив пропорциональность между величинами (Ve Vg ) Qпот ;

Vec Qст ;

(Ve + Vg ) Qпол, c c имеем Ve Vg Ve 1 =, 2 = V +V, (6) V +V e g c e g c где 1, 2 соответственно показатели равномерности осаждения аэрозоля на потолок и стену помещения.

Считаем, что электростатическая скорость заряженных частиц при стационарном режиме Vec остается постоянной и её можно выразить через счетную концентрацию nc в случае этого же режима:

nc q 2 BV V 4 NXq 2 B K + K 2 +.

Vec = = (7) 2S 0S 0V Используя выражение (7) и формулы (6), можно рассчитать изменение равномерности осаждения в зависимости от степени зарядки аэрозоля с учетом воздухообмена помещения в функции от размеров частиц. При расчете взяты значения параметров, использованные при проведении эксперимента (табл.

1).

Таблица, кг / м - X, шт / с q, Кл d, м K, c N 1,3 1010 1,6 10-14- 1,6 10-6 (4-10) 10-6 0,9 0,001- 0, На рис. 1 даны результаты этих расчетов в виде графиков равномерности осаждения в зависимости от степени зарядки частиц аэрозоля в функции от их размеров.

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ Рис. 1. Изменение степени равномерности осаждения в зависимости от диаметра частиц d при их различных зарядах q (q1 q2 q3) Видно, что заряженные частицы аэрозоля диаметром примерно до 2 мкм, полностью подверженные электрическим силам, могут в одинаковой мере осаждаться независимо от ориентации обрабатываемых поверхностей. Нетрудно заметить, что степень зарядки частиц является определяющим фактором в улучшении равномерности осаждения. На рис. 2 показано влияние воздухообмена помещения на качество обработки потолка и стен.

Рис. 2. Изменение степени равномерности осаждения в зависимости от диаметра частиц d при их различных зарядах и коэффициенте воздухообмена помещения K (а – для потолка, б – для стен) Расчеты показали, что при заряде частиц порядка 10-16 Кл на потолок и стены могут осаждаться частицы размером 4-5 мкм, а при заряде порядка 10-14 Кл на эти поверхности возможно попадание Д.Д. Дондоков, Л.И. Эрдынеева. Осаждение заряженного аэрозоля в закрытом помещении с учетом его воздухообмена частиц размером до 18-20 мкм. При этом на стены осаждаются частицы, которые крупнее в 1,1-1,3 раза тех, что попадают на потолок.

Улучшение герметизации помещения увеличивает равномерность осаждения аэрозоля. При значении заряда частиц (5-10) 10-16 Кл потери из-за негерметичности незначительны, если кратность воздухообмена помещения не превышает 0,005 1/с.

Литература 1. Дондоков Д.Д. Проект «Распылитель для аэрозольной обработки» // Каталог инновационных проектов. – Улан-Удэ, 2011. – С. 13.

2. Дондоков Д.Д., Эрдынеева Л.И. Моделирование осаждения аэрозолей на основе теории планирования эксперимента // Вестник БГСХА. – №4(21). – 2010. – С. 68-72.

3. Дондоков Д.Д. Электротехнология. Электроника: учеб. пособие для студ. физических, физико-технических факультетов вузов. – 3-е изд. – Улан-Удэ: Изд-во Бурят. госун-та, 2006. – 256 с.

4. Бородин И.Ф., Лекомцев П.Л. Моделирование распространения электроаэрозоля в помещении // Труды 5-й междунар. науч.-техн. конф. – М.: ВИЭСХ. – 2006. – С. 237-242.

Дондоков Дамба Дондокович, кандидат технических наук, доцент кафедры вычислительной техники и информатики Бурятского государственного университета.

Тел. 8 (301-2) 44-33-59.

Эрдынеева Лариса Ильинична, декан факультета информационных технологий и экономики Бурятского филиала Сибирского государственного университета телекоммуникаций и информатики. Тел. 63-42-32.

Dondokov Damba Dondokovich, Candidate of Technical Sciences, associate professor of Computer Science and Informatics Department of Buryat State University. Tel. 8 (301-2) 44-33-59.

Erdyneeva Larisa Ilinichna, Dean of Information Technology and Economics Department of Buryat Branch of Siberian State University of Telecommunications and Informatics. Tel. 63-42-32.

Н.Н. Дондукова. Проективный инвариант косимплектических многообразий УДК 513. Н.Н. Дондукова ПРОЕКТИВНЫЙ ИНВАРИАНТ КОСИМПЛЕКТИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЙ Статья посвящена косимплектическим многообразиям и инварианту геодезических преобразований косим плектических многообразий.

Ключевые слова: многообразие, геодезические проеобразования, почти контактная метрическая структура N.N. Dondukova PROJECTIVE INVARIANT OF COSYMPLECTIC MANIFOLDS The article is devoted to cosymplectic manifolds and invariant of geodesic transformations of cosymplectic manifolds.

Key words: manifolds, geodesic transformation, almost contact metric structure Введение Теория геодезических преобразований имеет давнюю историю, восходящую к исследованиям Т. Леви-Чивита, Т. Томаса, Г. Вейля. В последнее десятилетие интерес к этой проблематике был возрожден в многочисленных работах как отечественных, так и зарубежных исследователей. Во многих работах изучаются геодезические преобразования псевдоримановых многообразий, наде ленных дополнительной структурой.

В настоящее время активно исследуются римановы многообразия, наделенные почти контакт ной метрической структурой.

Теория почти контактных метрических структур занимает важное место в современных диффе ренциально-геометрических исследованиях и является естественным обобщением так называемой контактной геометрии. Эта геометрия имеет многочисленные приложения в современной матема тической физике, например, в классической механике и теории геометрического квантования, теории супергравитации, теории Калуцы-Клейна и т.д.

Почти контактные метрические структуры, например, внутренним образом возникают на ги перповерхностях почти эрмитовых многообразий [7], а также на пространствах главных Т1 расслоений над почти эрмитовыми многообразиями [8] и являются обобщением контактных мет рических структур, естественно возникающих на нечетномерных многообразиях, снабженных контактной структурой, т.е. дифференциальной 1-формой максимального ранга [9]. Теория почти контактных метрических структур берет свое начало в 50-е годы минувшего столетия и в настоя щее время переживает бурное развитие. Особо интересными свойствами обладают так называе мые квази-сасакиевы структуры, введенные в рассмотрение Блэром [10] и обобщающие сасакиевы и косимплектические структуры, являющиеся контактными аналогами келеровых структур в эр митовой геометрии. Исследование этих структур проводится в самых разнообразных аспектах.

Особый интерес представляют проективные свойства косимплектических многообразий. В зна чительной мере теория геодезических преобразований опирается на исследование инвариантов (проективные инварианты Томаса, тензор Вейля проективной кривизны). В случае, когда псевдо риманово многообразие наделено дополнительной структурой, число таких инвариантов увеличи вается, и теория геодезических преобразований обогащается новыми аспектами.

Косимплектические структуры являются естественным контактным аналогом келеровых структур. Такие структуры индуцируются, например, на вещественных вполне геодезических подмногообразиях келеровых структур [6]. Проективные свойства многообразий, наделенных ко симплектической структурой, практически не были изучены, эта статья восполняет этот пробел.

Пусть М2n+1 нечетномерное гладкое многообразие;

С ( М ) алгебра гладких функций много образия М;

(М) модуль гладких векторных полей многообразия М;

d оператор внешнего дифференцирования.

Определение1.[1] Почти контактной метрической (короче АС-структурой) на гладком многообразии М называется совокупность {,,, g =, } тензорных полей на этом многообра зии, где –дифференциальная 1-форма, называемая контактной формой структуры, –векторное ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ поле, называемое характеристическим вектором, – поле тензора типа (1,1), называемое струк турным эндоморфизмом, g – риманова метрика на М. При этом 1) ( ) = 1 2) ( ) = 0 ;

4) 2 = id + ;

3) = 0 ;

5) X, Y = X, Y ( X ) (Y ) ;

X, Y ( M ),.

Многообразие с фиксированной АС-структурой называется почти контактным метрическим (короче АС-многообразием). Хорошо известно [1], что тензор ( X, Y ) = X, Y кососимметри чен;

он называется фундаментальной формой АС-структуры.

Если задать почти контактную метрическую структуру на многообразии М, то естественным образом в модуле X(М) возникает пара взаимно дополнительных проекторов: m =, l = id. Очевидно, что m + l = id. Кроме того, легко показать, что l = 2.

На почти контактном метрическом многообразии М возникает пара распределений L = ker = Im, M = ker первое и второе фундаментальные распределения соответственно, при этом для модуля X(М) гладких векторных полей верно ( M ) = L M, где dim L = 2n, а dim M = 1. Более того, комплексификация C ( M ) = ( M ) распадается в прямую сумму соб ственных распределений эндоморфизма С :

C ( M ) = D 1 D 1 D, причем D = M. Проекторами на слагаемые этой суммы будут соответственно эндоморфизмы 1 = ( 2 + 1 ), = ( 2 + 1 ), m = id + 2.

2 В работе [1] было доказано, что к (2n+1)-мерному АС-многообразию как метрическому f многообразию дефекта 1 внутренним образом присоединяется G-структура, структурной группой которой является группа Ли U (n) {e}. Тотальное пространство этой G-структуры состоит из мо дифицированных А-реперов, т.е. комплексных реперов вида ( p, 0, 1,..., n,,..., ), 1 n где 0 = p, a = 2 (ea ), a = 2 (ea ), a=1,…,n, ( e1,...en ) базис пространства LP как модуля, p M.

В работе [1] на пространстве присоединенной G-структуры были получены тензорные компо ненты формы римановой связности;

первая группа структурных уравнений и компоненты тензора Нейенхейса эндоморфизма АС-многообразий.

Определение 2.[4] АС-структура называется нормальной, если выполняется следующее усло вие 2 N + d = 0, X, Y ( M ), где N тензор Нейенхейса эндоморфизма, определяемый формулой N ( X, Y ) = ( 2 [ X, Y ] + [X, Y ] [X, Y ] [ X, Y ]).

Понятие нормальности было введено Сасаки и Хатакеямой в 1961 г. [5] и является одним из основных понятий контактной геометрии, связанных с условиями интегрируемости структуры.

Определение 3.[1] Нормальная АС-структура называется косимплектической, если выполня ются следующие условия: d=0 и d=0.

Определение 4.[1] Многообразие, на котором фиксирована косимплектическая структура, на зывается косимплектическим многообразием.

Определение 5.[2] Диффеоморфизм : М М псевдориманова многообразия ( М, g ) называ ется геодезическим преобразованием, если он любую геодезическую переводит в геодезическую.

1. Постановка задачи Рассмотрим тензор Р проективной кривизны, являющийся инвариантом геодезических преоб разований. Напомним, что тензор проективной кривизны вычисляется по формуле [2]:

Н.Н. Дондукова. Проективный инвариант косимплектических многообразий P( X, Y ) Z = R( X, Y ) Z ( r ( Z ), Y X r ( Z ), X Y ), () n где Rтензор кривизны, r тензор Риччи.

Теперь вычислим спектр тензора проективной кривизны косимплектических многообразий.

Для этого получим вторую группу структурных уравнений, спектры тензора кривизны и тензо ра Риччи косимплектических многообразий.

Из работы [1] известно, что первая группа структурных уравнений косимплектических много образий имеет вид:

1)d a = ba b ;

2)d a = ab b ;

(1) 3) d = 0.

А в силу того, что косимплектические структуры характеризуются тем, что = 0 [1], сле дующие компоненты формы римановой связности будут нулевыми:

a = ba = 0a = a0.

b Проведем стандартную процедуру дифференциального продолжения уравнения (1). Продиф ференцировав внешним образом (11), получим:

dba b + ba d b = 0.

С учетом (11) имеем:

dba b + ba ( cb c ) = 0, или (d ba + сa bc ) b = 0, Обозначив через ba = dba + сa bc, (2) последнее уравнение запишем в виде ba b = 0. (3) Далее, разложив 2-форму ba по базису {ba cd ;

ba k ;

i j ;

i } :

ba = Abfg cf dg + Abf cf d + Abfg cf g + Abf 0 cf + acd acd ac ac (4) + Abcd c d + Abacd c d + Abd d c + Abc 0 c + Abac 0c a ac a и подставив ее в уравнение (3), получим:

Abfg cf dg b + Abf cf d b + Abfg cf g b + Abf 0 cf b + acd acd ac ac + Abcd c d b + Abacd c d b + Abd d c b + a ac + Abc 0 c b + Abac 0c b = 0.

a Отсюда, в силу линейной независимости базисных форм, имеем:

Abfg = 0;

Abf = 0;

Aac f g = 0;

Abf 0 = 0;

acd acd ac b A[a ] = 0;

Abacd = 0;

A[ac ] = 0;

A[a ]0 = 0;

Abac 0 = 0.

bcd bd bc Следовательно, (4) примет вид:

ba = Abfg cf g + Abcd c d + Аbd d c + Abc 0 c ac a ac a (5) Продифференцируем внешним образом уравнение (12):

b b d a b a d b = 0.

С учетом (12) имеем:

d a b ab (bc c ) = b или (d ab ac cb ) b = 0.

Так как ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ ab = d ab ac cb, последнее уравнение запишется в виде ab b = или ba a = 0. (6) Принимая во внимание равенство (5) и подставив его в уравнение (6), получим:

Abfg cf g a + Abcd c d a + Аbd d c a + Abc 0 c a = 0.

ac a ac a Отсюда имеем:

ac a ac a Abfg = 0;

Abcd = 0;

Аbd = 0;

Abc 0 = 0.

Таким образом ba = Abd d c, ac где Abd ] = A[ac ] = 0.

[ ac bd Подставив выражение ba в (2), получаем вторую группу структурных уравнений косимплек тических многообразий в виде:

d a = сa bc + Abd d c.

b ac (7) Итак, полная группа структурных уравнений косимплектических многообразий имеет вид:

d a = ba b ;

d a = ab b ;

d = 0;

d a = сa bc + Abd d c ;

b ac { A } семейство функций на пространстве присоединенной G-структуры, симметричных по ac где bd верхним и нижним индексам. Можно показать, что они образуют тензор на М2n+1, называемый тензором Ф-голоморфной секционной кривизны [1].

Сравнивая соотношения (7) со второй группой структурных уравнений римановой связности d ij = ki jk + R i jkl k l, i где R jkl компоненты тензора Римана-Кристофеля, в силу линейной независимости базисных форм и Rijkl = gis R s jkl получим, что на пространстве присоединенной G-структуры:

Rabcd = R bcd = R = Rabc 0 = R = R = R = Ra 0b 0 = R = 0, a bc 0 ab c0 a bc 0 a 0b a a b cd ad = Abc.

R a bc d rij = R k ijk С учетом полученного, вычислим компоненты спектра тензора Риччи косимплектического многообразия:

rab = ra 0 = r00 = 0, ah r = Ahb.

ab C учетом () получаем спектр тензора проективной кривизны:

P a cd = ( Ach da Adh ca );

hb hb 2n b 1 hc a P a = Abd +ac Abh d ;

2n bc d 1 hd a P a = Abc ad Abh c ;

(8) 2n bc d 1 ah P0 = Ahb ;

2n ab Н.Н. Дондукова. Проективный инвариант косимплектических многообразий 1 ah P0 = Ahb, 2n a 0b а остальные равны нулю [3].

Заключение Теорема 1. Косимплектическое многообразие проективно плоско тогда и только тогда, когда является плоским многообразием.

Доказательство: Пусть косимплектическое многообразие М2n+1 проективно плоско, то есть i Р jkl = 0. С учетом (2) это равносильно 1 hc a 1 ah ac Abh d = 0;

Abd + Ahb = 0.

2n 2n Отсюда сразу следует, что ac Abd = 0.

В этом случае, с учетом (1), получаем, что R ijkl = 0, то есть М2n+1 плоское многообразие. Об ратное утверждение очевидно.

Литература 1. Кириченко В.Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. – М.: Изд-во МПГУ, 2003.

2. Синюков Н.С. Геодезические отображения римановых пространств. – М.: Наука, 1979.

3. Дондукова Н.Н. Тензор проективной кривизны косимплектических многообразий / Моск. пед. гос. ун т. – М., 2005. – Деп. в ВИНИТИ 12.10.2005.№1305-В2005-14с.

4. Blair D.E. Contact manifolds in Riemannian geometry, Lecture Notes Math. 509. 1976. P.145.

5. Sasaki S., Hatakeyama Y., On differentional manifolds with certain structure which are closely related to al most contact structure II // Tohoku Math. J. 13(1961). P. 281-294.

6. Goldberg S., Yano K. Integrability of almost cosymplectic structure // Pacif. J. Math. 1969. 31. №2. P. 373 382.

7. Sasaki S., Almost Contact Manifolds, Lect. Notes, 1-3. Math. Inst.Tohoku Univ., Tohoku, 1965-1968.

8. Kobayashi S. «Principal fibre bundle with 1-dimensional toroidal group». Tohoku Math. J. (2). 8. (1956). P.

29-45.

9. Blair D.E. Contact Manifolds in Riemannian Geometry. Lect. Notes in Math., 509. Springer-Verlag. Berlin New York, 10. Blair D.E. The theory of quasi-Sasakian manifolds. J. Differentional Geometry. 1 (1967). P. 331-345.

Дондукова Надежда Николаевна, кандидат физико-математических наук, старший преподаватель кафед ры алгебры Бурятского государственного университета.

Dondukova Nadezhda Nikolaevna, candidate of physical and mathematical sciences, senior teacher of algebra department of Buryat State University.

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ УДК 620. Г.С. Егодуров, Т. А. Дамдинов РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ МЕТАЛЛИЧЕСКОЙ СТРОИТЕЛЬНОЙ РАМЫ С КРИВОЛИНЕЙНО-НАКЛОННЫМ РИГЕЛЕМ Приводятся аналитические решения по оценке предельных состояний на примере криволинейно-наклонного ригеля с численными результатами. Численное моделирование производится по методу конечных элементов с применением современного программного продукта ANSYS.

Ключевые слова: ригель, рама, предельные состояния, канонические уравнения, эпюры, MathCad, Ansys.

G.S. Egodurov, T.A. Damdinov CALCULATION ON TOUGHNESS OF THE METALLIC BUILDING FRAME WITH CURVILINEAR-TILTED RIGEL The analytical decisions analysed on estimation of the limiting conditions on example curvilinear-tilted girder with numerical result. The numerical modeling is produced on method final element with using the modern programme product ANSYS.

Key words: girder, frame, limiting conditions, canonical equations, stress diagram, MathCad, Ansys.

Анализ работы строительных конструкций показывает, что аварии возникают в результате случайного совпадения нескольких факторов: отклонения нагрузки в худшую сторону, снижения механических свойств материала, неблагоприятных условий эксплуатации, неточности расчетной схемы и т.д.

Ведущие советские специалисты Н.С. Стрелецкий, А.А. Гвоздев, С.С. Давыдов и др. на основе глубоких обобщений, сделанных в различных областях строительных конструкций, разработали метод расчета строительных конструкций по предельным состояниям. Этот метод в 1955 г. был принят в строительных нормах и правилах, а в 1971-1976 гг. его значительно усовершенствовали. Принципы расчета по предельным состояниям позже нашли отражение в нормативной документации многих зарубежных стран.

Действующий СНиП предусматривает две группы предельных состояний:

1-я – по потере несущей способности или непригодности к эксплуатации;

2-я – по непригодности к нормальной эксплуатации.

Вероятностно-статистический характер метода расчета по предельным состояниям позволяет определить надежность проектируемых конструкций и объектов, оперируя случайными величинами, или научно обоснованно рассчитать вероятность их отказа (наступления того или иного предельного состояния).

Основными факторами, от учета которых зависит надежность строительных конструкций, являются нагрузки и воздействия;

прочностные, деформационные и другие свойства материалов;

условия работы;

геометрические размеры сечений, степень ответственности сооружения. Нагрузки, действующие на конструкцию, прочностные характеристики материалов, из которых конструкция изготовлена, обладают изменчивостью и могут отличаться от средних значений. Поэтому для предотвращения наступления любого из предельных состояний вводится система расчетных коэффициентов, учитывающих возможные отклонения (в неблагоприятную сторону) различных факторов, влияющих на надежную работу конструкций.

Расчетные коэффициенты устанавливают на основе вероятностно-статистических методов [2]. Они гарантируют с учетом экономической целесообразности требуемую надежность работы конструкций для всех стадий: изготовления, транспортирования, возведения и эксплуатации.

Таким образом, основная идея метода расчета по предельным состояниям заключается в обеспечении условия, чтобы даже в тех редких случаях, когда на конструкцию действуют максимально возможные нагрузки и прочность материалов минимальна, а условия эксплуатации наиболее неблагоприятны, конструкция не разрушилась и не получила бы недопустимых перемещений или местных перемещений.

Работа выполнена в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 гг.»

Г.С. Егодуров, Т. А. Дамдинов. Расчет на прочность металлической строительной рамы с криволинейно наклонным ригелем При этом во многих случаях удается получить более экономичные решения, нежели при расчете ранее применявшимися методами.

Рассмотрим расчет металлической рамы с криволинейнo-наклонным ригелем, нагруженной расчетной нагрузкой (рис.1). При ее проектировочном расчете считались заданными ее геометрические размеры, а также схема нагрузок.

Н Исходные данные: q e = 20000 ;

= 3 м.

м Рис.1. Расчетная схема и эквивалентная система рамы с криволинейно-наклонным ригелем Рама три раза статически неопределима внешним образом. Вычисления выполнены в математической программе MathCad [1]. Ниже представлен пример программного модуля для криволинейного участка рамы и результаты в графическом виде (рис. 2) Mtot2 ( ) := 0 if 0 x 2 l + l sin x l + l cos... if 1 2 2 l + l sin + q l2...

+ x3 + q e l e 2 + qe l l + l sin qe l l l cos 2 ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ 101.25 90 78. 112.5 67. 5.91. 123.75 56. 4.93. 135 3.94. 146.25 33. 2.96. 157.5 22. 1.97. 168.75 11. 9853. Mtot2( ) 180 0 191.25 348. 202.5 337. 213.75 326. 225 236.25 303. 247.5 292. 258.75 270 281. Рис.2. Графический результат M tot для криволинейного участка рамы Решая канонические уравнения для эквивалентной системы, получаем эпюры суммарных изгибающих моментов Mtot ( s), поперечных Qy( s) и нормальных N( s) сил для заданной рамы (рис. 3).

Рис. 3. Суммарные эпюры Mtot, Qy и N для заданной рамы и равновесие вырезанного узла е Для контроля правильности расчета проведены вычисления в программном комплексе ANSYS [3] (рис. 4).

Г.С. Егодуров, Т. А. Дамдинов. Расчет на прочность металлической строительной рамы с криволинейно наклонным ригелем Рис. 4. Суммарная эпюра Mtot в программном комплексе ANSYS Проверка рамы на жесткость. Максимальный по абсолютному значению прогиб (стрела прогиба), как правило, приурочен к середине пролета рамы. Условие жесткости рамы заключается в том, чтобы стрела прогиба не превышала предельного прогиба, предусмотренного нормами проектирования:

fmax fu.

В зависимости от назначения конструкции величину предельного прогиба принимают:

1 1 l, где l – пролет рамы.

fu 200 В нашей задаче величина предельного прогиба по середине пролета равна:

f u = 3 cм.

3 l, fu := Как видно, вычисленное значение прогиба по середине пролета be находится в пределах допустимых значений 2 k fu.

Оценка напряженно-деформированного состояния металлической рамы с криволинейнo-наклонным ригелем, нагруженной расчетной нагрузкой, позволила определить оптимальные размеры сечения рамы, которую предложено выполнить из двух швеллеров №18. Разработана методика расчета строительных рам в среде Mathcad и ANSYS.

Литература 1. Вафин Р.К., Егодуров Г.С. и др. Расчеты на прочность элементов машиностроительных конструкций в среде Mathcad. – Cтарый Оскол: ТНТ, 2006. – 580 с.

2. Вафин Р.К., Егодуров Г.С. и др. Динамика, прочность и живучесть элементов машиностроительных конструкций в задачах и примерах. – Улан-Удэ: Бурят. кн. изд-во, 1997. – 286 с.

3. Каплун А.Б. ANSYS в руках инженера – М.: Едиториал УРСС, 2003. – 272 с.

Егодуров Георгий Сагадарович, кандидат технических наук, профессор кафедры «Сопротивление материалов»

Восточно-Сибирского государственного технологического университета.

Дамдинов Тимур Абрамович, кандидат технических наук, доцент кафедры «Сопротивление материалов» Восточно Сибирского государственного технологического университета.

Egodurov Georgy Sagadarovich, candidate of technical sciences, professor of “Strength of Materials” department of East Siberian State University of Technology.

Damdinov Timur Abramovich, candidate of technical sciences, associate professor of “Strength of Materials” department of East Siberian State University of Technology.

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ УДК 004.4' Е.С. Фереферов, И.В. Бычков, Г.М. Ружников, А.Е. Хмельнов ИНСТРУМЕНТАЛЬНОЕ СРЕДСТВО АВТОМАТИЗАЦИИ СОЗДАНИЯ ПРИЛОЖЕНИЙ БАЗ ДАННЫХ НА ОСНОВЕ ДЕКЛАРАТИВНЫХ СПЕЦИФИКАЦИЙ Статья посвящена проблемам автоматизации создания приложений для работы с базами данных. Для решений данной задачи авторы предлагают оригинальную инструментальную систему, позволяющую создавать информационные системы на основе декларативных спецификаций структур баз данных.

Ключевые слова: базы данных, инструментальные системы, декларативные спецификации.

E.S. Fereferov, I.V. Bychkov, G.M. Rugnikov, A.E. Hmelnov TOOLS FOR AUTOMATIZATION THE CREATION OF DATABASE APPLICATIONS BASED OF DECLARATIVE SPECIFICATIONS The article deals with the problems of automation to create applications to work with databases. To solve this problem the authors propose an original instrumental system, allows you to create information systems based on declarative specifications of database structures.

Keywords: data bases, tools, declarative specifications.

Введение Приложения для работы с базами данных (БД) являются одним из наиболее востребованных видов программного обеспечения (ПО), позволяющего автоматизировать работу предметных специалистов с постоянно растущим объёмом информации в виде баз данных.

Информационная среда современных промышленных предприятий, органов власти, научных организаций, как правило, состоит из набора автоматизированных рабочих мест (АРМ), часто реализованных на разных платформах и ориентированных под разные системы управления базами данных (СУБД). Для получения комплексных аналитических решений необходима интеграция данных из разных АРМов и расширение функционала существующих информационных систем (ИС) или при отсутствии исходных кодов вовсе разработка нового ПО.

Современные методы создания настольного ПО базируются на применении интегрированных сред разработки, таких как Delphi [1], C Builder [2], Visual Studio [3]. В арсенале современных IDE имеется большое количество компонентов, реализующих как части визуального интерфейса, так и бизнес логики для работы с БД, но их применение позволяет автоматизировать лишь малую часть процесса разработки, оставляя большую программисту. Как правило, АРМы создаются для работы с БД, имеющей определенную структуру, при этом для работы с каждой таблицей реализуется одинаковый набор функций. При изменении структуры БД (например, добавление новых таблиц или атрибутов) приходится вносить изменения в программный код, снова реализуя функции для работы с новыми элементами базы данных. Отсутствие автоматизации реализации однотипных функций для работы с таблицами БД приводит к большими временным и трудовым затратам при создании (модернизации) информационных систем.

Технология автоматизации создания АИС на основе декларативных спецификаций Для автоматизации процесса создания приложений баз данных в ИДСТУ СО РАН разработана технология создания ИС на основе декларативных спецификаций1 (рис. 1). Для создания приложений БД используется настраиваемое универсальное автоматизированное рабочее место – «ГеоАРМ»2 [4], на вход которого поступает спецификация приложения баз данных. Для формирования спецификаций разработан язык представления баз данных (ЯПБД) [5], позволяющий в декларативном виде описывать как структуру БД (способ подключения к БД, структуры таблиц БД, связей между ними), так и Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ проект 11-07-00426-а, междисциплинарного интеграционного проекта № 121 СО РАН, ОНИТ РАН (проект №3.1).

Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2007613643. Программный комплекс для создания автоматизированных рабочих мест с картографической привязкой с использованием метаописаний структуры баз данных (ГеоАРМ) / И.В.Бычков, А.Е.Хмельнов, Е.С. Фереферов. 2007.

Е.С. Фереферов, И.В. Бычков, Г.М. Ружников, А.Е. Хмельнов. Инструментальное средство автоматизации создания приложений баз данных на основе декларативных спецификаций структуру приложения (представления таблиц, способы отображения данных), а также способы интеграции с другими БД и ГИС.

Рис. 1. Технология создания АИС на основе декларативных спецификаций Универсальное автоматизированное рабочее место является инструментальным средством для создания спецификаций информационных систем и в то же время интерпретатором этих спецификаций.

После интерпретации спецификации ГеоАРМ становится полнофункциональным АРМом предметного специалиста.

Данный подход позволяет значительно сократить сроки создания АИС, поскольку исключается этап написания программного кода и компиляции, а при необходимости модификации АИС достаточно внести изменение только в спецификацию. Информационные системы, построенные с помощью предложенной технологии, имеют в своём арсенале инструменты для интеграции с ГИС, а также интерфейс для взаимодействия со сторонним программным обеспечением.

Архитектура инструментальной системы создания приложений БД Архитектура инструментальной системы ГеоАРМ (рис. 2) включает следующие основные компоненты: подсистему управления спецификациями, ядро системы, подсистему редактор БД, построитель пользовательских запросов, подсистему «Карта», программный интерфейс.

Рис. 2. Архитектура инструментальной системы создания приложений БД ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ Общая схема разработки и исполнения приложения БД в ИС ГеоАРМ выглядит следующим образом.

С помощью подсистемы управления спецификациями создаётся спецификация приложения БД, которая загружается в ядро системы, в результате чего инструментальная система становится тематическим АРМ и обеспечивает возможность работы с БД через подсистемы «Редактор БД», «Построитель пользовательских запросов», «Карта» и позволяет решать специфические задачи при помощи библиотек-надстроек, подключаемых через встроенный программный интерфейс.

Ядро системы отвечает за взаимодействие всех подсистем ИС с СУБД, обеспечивая преобразование команд в терминах спецификации в команды интерфейсов для работы с СУБД.

Подсистема управления спецификациями приложений БД представляет собой визуальный пользовательский интерфейс, позволяющий решать различные задачи создания и модернизации спецификаций приложений БД: настройка соединения с БД, выбор и загрузка метаинформации из СУБД, настройка описаний таблиц, настройка описаний представлений, управление описанием надстроек, настройка параметров взаимодействия с картой.

Подсистема «Редактор БД» представляет собой динамический интерфейс для работы с БД, настраиваемый при помощи спецификации БД. Редактор (рис.3) содержит главное меню, дерево сущностей, области задач и данных. Главное меню содержит все функции ИС для быстрого доступа. В дереве сущностей отображаются описанные в спецификации имена таблиц и представлений приложения БД, объединённые в смысловые группы исходя из их назначения или функций.

Рис. 3. Редактор БД В области задач отображаются элементы управления для решения различных задач обработки данных. Состав элементов управления для каждой таблицы или представления регулируется спецификацией. Для всех таблиц и представлений всегда присутствуют кнопки навигации (в режиме только на чтение кнопки модификации не активны), кнопка «Правка» для перехода в режим просмотра записи в виде формы, кнопки «Экспорт» и «Запрос». Также опционально могут присутствовать кнопки вызова надстроек и взаимодействия с электронной картой.

Область данных служит для отображения информации из выбранных в дереве сущностей таблиц или представлений. Информация из таблиц и представлений может отображаться в двух режимах: в Е.С. Фереферов, И.В. Бычков, Г.М. Ружников, А.Е. Хмельнов. Инструментальное средство автоматизации создания приложений баз данных на основе декларативных спецификаций табличном и в виде формы. За расстановку элементов управления на форме и в области задач отвечает менеджер компоновки [6].

Построитель пользовательских запросов является универсальной формой, которая настраивается на работу с конкретной таблицей при помощи спецификаций структуры БД. Построитель может работать как в упрощённом, так и в расширенном режиме. В упрощённом режиме пользователь видит таблицу с именами полей, в которой он может задать ограничения на значения некоторых из них, при этом конъюнкция условий образует условие запроса. При необходимости задать более сложное условие можно перейти в расширенный режим (рис. 4), в котором можно редактировать выражения в виде горизонтально ориентированного дерева.

Рис. 4. Расширенный режим построителя запросов В расширенном режиме поддерживается формирование условий на записи подчинённых таблиц. При формировании таких условий построитель запросов вызывается рекурсивно.

В любом режиме способ редактирования условий на значения поля определяется информацией о типе поля из спецификации структуры БД.

Программный интерфейс предназначен для взаимодействия с надстройками, позволяющими решать специфические, не заложенные в архитектуру ГеоАРМ задачи. Надстройки реализуются в виде динамически подключаемых библиотек.

Подсистема «Карта» обеспечивает возможность работы с электронной топоосновой. Данный модуль реализован при помощи пакета GIS ToolKit из ГИС Панорама. В системе реализован механизм «Адресный план» – поиск на карте объектов по их почтовым адресам.

Картографический модуль позволяет просматривать картографическую информацию, находить на карте объекты, информация о которых содержится в БД, и, наоборот, находить в БД информацию, связанную с объектом карты. Также в модуле реализованы стандартные механизмы просмотра карты, такие как загрузка карты, масштабирование, перетаскивание карты, нанесение, удаление объекта, получение информации об объекте.

Привязка БД к карте может быть осуществлена двумя способами: через геокодирование, т.е. по полям, содержащим адреса домов, или привязкой к произвольным объектам карты через таблицу связей.

Заключение Система ГеоАРМ может быть настроена без перекомпиляции на работу с любыми БД и позволяет организовывать работу с картой для баз данных, в которых изначально эта возможность не была предусмотрена. Настройка системы для работы с конкретной БД может быть выполнена специалистами предметной области в достаточно сжатые сроки. После настройки системы ГеоАРМ ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ становится альтернативой уже существующего АРМа и в случае простых АРМов может их полностью заменить.

Литература 1. Фаронов В.В. Delphi 2005. Разработка приложений для баз данных и Интернета.– СПб.: Питер, 2006. 608 с.

2. Хомоненко А. Работа с базами данных в C++ BUILDER. СПб.: БХВ-Петербург, 2006. 496 с.

3. Рендольф Н., Гарднер Д., Минутилло М., Андерсон К. Visual Studio 2010 для профессионалов. Киев:

Диалектика, 2011. 1184 с.

4. Бычков И.В., Гаченко А.С., Фереферов Е.С., Хмельнов А.Е. Система создания автоматизированных рабочих мест с возможностью обработки пространственных данных на основе метаописаний структур баз данных // Современные технологии. Системный анализ. моделирование. 2008. Спец. вып. С. 12–18.

5. Фереферов Е.С., Хмельнов А.Е. Язык представления баз данных // Инфокоммуникационные и вычислительные технологии и системы: материалы III междунар. конф. – Улан-Удэ: Изд-во Бурят. гос. ун-та, 2010. С. 269 – 272.

6. Фереферов Е.С., Хмельнов А.Е. Реализация менеджера размещения визуальных компонентов в Delphi // Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании: материалы междунар. конф.

Алматы;

Новосибирск, 2008. Т. 13. С. 283 – 287.

Фереферов Евгений Сергеевич, научный сотрудник ИДСТУ СО РАН, 664033, г.Иркутск, ул. Лермонтова, 134, тел. (395-2) 453071, e-mail: fereferov@icc.ru.

Бычков Игорь Вячеславович, чл.-кор. РАН, доктор технических наук, директор ИДСТУ СО РАН, тел. (395-2) 427100, e-mail: bychkov@icc.ru Ружников Геннадий Михайлович, кандидат технических наук, ИДСТУ СО РАН, тел. (395-2) 453006, e mail: rugnikov@icc.ru.

Хмельнов Алексей Евгеньевич, кандидат технических наук, заведующий лабораторией ИДСТУ СО РАН, тел.

(395-2) 453071, e-mail: hmelnov@icc.ru.

Fereferov Evgeniy Sergeevich, researcher of Institute for System Dynamics and Control Theory of SB RAS, e-mail:

fereferov@icc.ru Bychkov Igor Vyacheslavovich, Corresponding Member of RAS, doctor of technical science, director of Institute for System Dynamics and Control Theory of SB RAS.

Rugnikov Gennadiy Mikhailovich, candidate of technical science, Institute for System Dynamics and Control Theory of SB RAS.

Hmelnov Alexey Evgenievich, candidate of technical science, Chief of laboratory of Institute for System Dynamics and Control Theory of SB RAS.

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ УДК 517. О.В. Фесько АЛГОРИТМ ПОИСКА КУСОЧНО-ЛИНЕЙНОГО УПРАВЛЕНИЯ С НЕФИКСИРОВАННЫМИ МОМЕНТАМИ ПЕРЕКЛЮЧЕНИЙ В статье предлагается параллельный алгоритм поиска решения задачи оптимального управления без фазовых ограничений в виде удобных для практического использования кусочно-постоянных и кусочно-линейных функций управления [1] c нефиксированными моментами переключений. Рассмотрена задача оптимального управления с фазовыми ограничениями и возможность ее решения предложенным алгоритмом. Описан графический интерфейс пользователя программного комплекса, позволяющего автоматизировать процесс проведения расчетов.

Ключевые слова: задача оптимального управления, фазовые ограничения, параллельный алгоритм.

O V. Fesko PIECEWISE LINEAR CONTROL SEARCHING ALGORITHM WITH FLEXIBLE SWITCH POINTS Parallel algorithm for optimal control problem (without state constraints) solving in the form of piecewise constant and piecewise linear control functions [1] with flexible switch points is introduced. The state con strained optimal control problem and its solving using this algorithm is considered. The graphical user interface that computerizes computation processes is described.


Keywords: optimal control problem, state constrained problem, parallel algorithm.

Введение К настоящему моменту в теории оптимального управления разработано большое число вычислитель ных методов решения задач оптимального управления [2, 3, 4], применяя которые, можно получить ис комое управление, обладающее весьма сложным поведением. Однако при исследовании различных ди намических систем с управлением большое значение имеет поиск простых оптимальных законов управ ления, реализуемых на практике. В связи с этим предлагается алгоритм поиска решения задачи опти мального управления в виде кусочно-линейной функции управления с нефиксированными моментами переключений. Демонстрируется применение алгоритма. В рамках поставленной задачи разработан про граммный комплекс, в котором задействованы параллельные алгоритмы поиска оптимальных управле ний на множествах простой структуры.

1. Постановка задачи Пусть управляемый процесс описывается на отрезке [tI, tF ] системой обыкновенных дифференци альных уравнений с начальными условиями x (t ) = f (t, x (t ), u (t )), T t [tI, tF ], x ( tI ) = xI, x = ( x1,…, xn ) R n.

(1) T Здесь xi (t ), i = 1, n – кусочно-гладкие, на управления u = ( u1,…, uq ) R q с помощью заданных кусочно постоянных функций u (t ), u (t ) наложены ограничения {u (t ) | u (t ) u (t ) u (t )}.

u (t ) D u : (2) Управление u ( t ) будем искать в кусочно-линейном виде, т.е.

( w2i +1 w2i ) t ( i w2i +1 i +1w2i ), t [ i, i +1 ], i = 0, m, u (t ) = i +1 i w wi w, wi R, i = 0, 2m + 1, с m нефиксированными моментами переключений tI = 0 1 2 … m +1 = t F, m Z +.

Выбором параметров управления wi, i = 0, 2m + 1 и моментов переключений i, i = 1, m необходимо минимизировать терминальный функционал качества F0 = J ( x (tF ) ) (3) О.В. Фесько. Алгоритм поиска кусочно-линейного управления с нефиксированными моментами переключений и удовлетворить фазовым ограничениям: внутри интервала времени x ( t ) входит в заданную допусти мую полосу xl x ( t ) xu, t [t I, t F ), (4) а в конце процесса управления – в заданный отрезок () x x t x, (5) lF F uF где xl, xu, xlF, xuF R n.

2. Сведение исходной задачи к задаче без фазовых ограничений Заменим задачу (1)-(5) задачей без фазовых ограничений x ( t ) = f ( t, x ( t ), u ( t ) ), x ( t I ) = xI, t [ t I, t F ], z (t ) = ( x (t )), z ( tI ) = 0, u ( t ) Du, (6) F ( x ( t F ), z ( t F ) ) = 0 F0 ( x ( t F ) ) + z ( t F ) + F ( x ( t F ) ) min, T T 1 с помощью функций штрафа 2 ( )( ) i ( x) = min {0, xi xli } + max {0, x i xu }, i 2 ( x) = ( min {0, x x }) + ( max {0, x x }), i i i i i F lF uF где i = 1, n, 0 R1, 1, 2 R n.

Весовые коэффициенты функционала F ( x(t F ), z (t F ) ) выбираются из следующих соображений: если полученное решение попадает в допустимую область (4)-(5), то будет решаться основная задача без фа зовых ограничений (1)-(3) (задача (6) при 1 = 0, 2 = 0 ), иначе – задача уменьшения отклонения от до пустимой области (задача (6) при 0 = 0 ), т.е.

T 0 = 1, = ( 11,…, 1n, 2,…, 2n ) = 0, если J 0 = {1,…, 2n}, (7) P, j J, если J 0 {1,…, 2n}.

0 = 0, j = 0, j J 0, j = Sh j Здесь T ( ) h = z T ( tF ), F ( x ( tF ) ), J 0 = { j {1,…,2n} | h j }, T P J = {1,…, 2n} \ J 0, P = h j, S =, j jJ h jJ – требуемая точность попадания траектории в фазовые ограничения.

Задачу (6) можно свести к задаче условной конечномерной минимизации функционала G ( w,, 0, 1, 2 ).

3. Алгоритм решения задачи Предлагаемый алгоритм решения поставленной задачи оптимального управления (1)-(5) предполага ет декомпозицию основной области поиска управлений W на равновеликие непересекающиеся подоб ласти, в каждой из которых программа работает по нижеследующей схеме (рис. 1):

Шаг 1. Подается начальный вектор управлений и моментов переключений ( w, ), область поиска, точность вычислений и прочие входные данные.

Шаг 2. При данном управлении решается задача Коши для системы дифференциальных уравнений (6).

Шаг 3. По текущему решению выбираются штрафные коэффициенты согласно соотношениям (7).

Шаг 4. Вызывается функция минимизации для поиска очередного приближения.

Шаг 5. Проверка условий останова. Если условия не выполняются, переходим к шагу 2, иначе алгоритм прекращает свою работу.

Для минимизации многомерной многоэкстремальной функции G используется комбинация методов Ньютона–Рафсона и градиентного спуска с модификациями [1]. Предусмотрена возможность выбора как классического метода Рунге–Кутта четвертого порядка, так и эффективного адаптивного вложенного ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ метода Рунге–Кутта–Фельберга (РКФ45) численного интегрирования системы обыкновенных диффе ренциальных уравнений.

Вышеизложенный алгоритм очевидным образом ориентирован на параллельную программную реа лизацию, т.к. все шаги алгоритма могут выполняться независимо для каждой из подобластей.

Рис. 1. Схема решения задачи 4. Вычислительные эксперименты Работу предложенного алгоритма продемонстрируем на следующих примерах.

Пример 1. Рассматривается задача оптимального управления без фазовых ограничений, возникающая при попытке поиска начального управления для системы с запаздыванием, более подробно описанной в работе [5]. Система состоит из группы двух реакторов с непрерывным перемешиванием и задержкой переноса = 0.1 из первого во второй. Необходимо найти управления u1 и u2, которые регулируют протекающие в реакторах реакции, с целью минимизации квадратичного функционала ( ) J = x12 + x2 + x3 + x4 + 0.1( u12 + u2 ) dt, где переменные состояния x1, x2 и x3, x4 – нормированные 2 2 2 концентрации и температуры в реакторах 1 и 2 соответственно.

Применяя разложение в ряд Тейлора переменных системы с запаздыванием, в [5] была получена аппроксимация без запаздывания в виде T x1 ( t ) = f1, x2 ( t ) = f 2, x ( 0 ) = ( 0.15, 0.03,0.10,0,0 ), x3 ( t ) = x1 x3 f1 R2 + 0.25, t [ 0, 2], x4 ( t ) = x2 2 x4 u2 ( x4 + 0.25 ) f 2 + R2 0.25, x5 ( t ) = x12 + x2 + x3 + x4 + 0.1( u12 + u2 ).

2 2 2 f1 = 0.5 x1 R1, f 2 = 2 ( x2 + 0.25 ) u1 ( x2 + 0.25 ) + R1, 25 x R1 = ( x1 + 0.5 ) exp, x2 + 25 x R2 = ( x3 + 0.25 ) exp, x4 + и далее c использованием методов итеративного динамического программирования были найдены ку сочно-постоянные управления, представленные на рис. 2 (б), с 30 моментами переключений. Достигну тое при этом значение функционала J = F0 = x5 (2) = 0.02327.

С применением предложенного в данной статье алгоритма была поставлена задача поиска кусочно линейного управления с нефиксированными моментами переключений. В качестве начальных точек пе реключений были выбраны моменты 1 = 1 (для управления u1 ), 2 = 0.5, 3 = 1.5 (для u2 ). В ходе вы полнения программы были установлены оптимальные моменты переключений: 1* = 0.86, 2 = 0.47, * * 3 = 1.49. При этом было достигнуто значение функционала F0 = 0.02385. На рис. 2 и 3 представлены полученные результаты.

О.В. Фесько. Алгоритм поиска кусочно-линейного управления с нефиксированными моментами переключений (а) (б) Рис. 2. Графики управлений Рис. 3. Графики траекторий Таким образом, с помощью предложенного алгоритма удалось найти управление простой структуры с меньшим числом точек переключений, чем в работе [5], и с достаточно близкими значениями функ ционалов качества.

Задача 2. Рассмотрим управляемый процесс, который описывается системой обыкновенных дифферен циальных уравнений с начальными условиями x1 ( t ) = u ( t ), x2 ( t ) = u 2 ( t ) + x12 ( t ), T x ( 0 ) = (1,0 ), | u | 2, t [ 0, 2], и фазовым ограничением в виде закрепленного правого конца x1 ( 2 ) = 0. Требуется найти кусочно линейное управление с нефиксированным моментом переключения, доставляющее минимум функцио налу F0 = x2 ( 2 ) и удовлетворяющее фазовому ограничению в конце процесса.

e t e 4 t e 2 t e8 2 t + e8 1 e t + e 4 t ( x1, x2, u ) =, Известно точное решение поставленной задачи:,, 1 + e 1 + e 4 ( 1 + e4 ) F0 ( x(2)) = 1.0373. С использованием описанного алгоритма производился поиск управления в несколь ких подобластях. Представим результаты, относящиеся к той подобласти, в которой было найдено луч T шее решение. В качестве начальных параметров управления был выбран вектор w = ( 1,0,0,0 ), началь ной точкой переключения был принят момент 1 = 1, при этом отклонение x1 ( 2 ) от нуля составляло 0.5.

T В результате работы программы получены параметры управления w* = ( -1.19, -0.19, -0.19, -0.19 ), момент переключения сдвинулся в точку 1* = 1.1959, а отклонение x1 ( 2 ) от нуля уменьшилось до 0.01.

Значение критерия составило F0 = 1.0696.

Таким образом, представленный алгоритм позволил уменьшить отклонение и «попасть» в фазовое ограничение с заданной точностью. На рис. 4 представлены графики найденных управлений и соответ ствующих им траекторий.

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ Рис. 4. Оптимальный процесс 5. Пользовательский интерфейс программного комплекса Алгоритм решения поставленной задачи оптимального управления реализован в рамках Т-системы с открытой архитектурой [6] на языке программирования T++, параллельном диалекте языка C++. Важ ным преимуществом данной системы параллельного программирования является то, что в ней реализо вана концепция автоматического динамического распараллеливания программ. Это позволяет автомати чески, т.е. без участия программиста, в динамике выполнять распараллеливание кусков кода программы, планировку вычислений, распределение данных по узлам кластера и пр.

Для организации удобного и интерактивного взаимодействия пользователя с кластерным вычисли тельным устройством (КВУ) помимо консольного интерфейса был реализован графический интерфейс пользователя. Среди поддерживаемых его функций можно отметить следующие [7]: аутентификация пользователя на суперЭВМ;

задание правых частей управляемой системы, терминального функционала и входных параметров задачи;

выбор типа искомого управления;

запуск и прерывание счета задачи на КВУ;

обмен входными/выходными файлами по протоколу sftp;


вывод результатов в виде текстовых файлов и графиков.

Заключение Как показано в статье, предложенный алгоритм может быть успешно применен к задаче поиска управления простой структуры (кусочно-линейного с подвижными точками переключений) для непре рывных динамических систем. Соответствующая параллельная Т-программа может быть применена к поиску кусочно-линейных управлений для различных задач оптимального управления с фазовыми огра ничениями.

Литература 1. Фесько О.В. Параллельный алгоритм оптимизации динамических систем на множестве кусочно-линейных управлений // Вестник Бурятского государственного университета. 2010. Вып. 9: Математика и информатика. С.

79-87.

2. Черноусько Ф.Л., Колмановский В.Б. Вычислительные и приближенные методы оптимального управления // Итоги науки и техн. Сер. мат. анал. 1977. № 14. C. 101-166.

3. Teo K.L., Goh C.J., Wong K.H. A Unified Computational Approach to Optimal Control Problems. – New York:

Longman, 1991. – 356 p.

4. Craven B.D. Control and Optimization. – London: Chapman & Hall, 1995. – 200 p.

5. Rein Luus. Iterative Dynamic Programming. – Boca Raton: Chapman & Hall/CRC, 2000. – 344 p.

6. Moskovsky A., Roganov V., Abramov S. Parallelism granules aggregation with the T-system // 9th International Conference on Parallel Computing Technologies. 2007. P. 293-302.

7. Фесько О.В. Программный комплекс оптимизации динамических систем на множествах управлений // Про граммные системы: теория и приложения: электрон. научн. журн. 2010. № 4(4). C. 53-66.

Фесько Олесь Владимирович, аспирант, Институт программных систем им. А.К. Айламазяна РАН, e-mail:

fov@pereslavl.ru Fesko Oles Vladimirovich, postgraduate, Ailamazyan Program Systems Institute of RAS.

В.П. Глазырин, М.Ю. Орлов, Ю.Н. Орлов, Г.Н. Богомолов. Расчет процесса пробития ударниками с различной фор мой головных частей однородных преград УДК 539. В.П. Глазырин, М.Ю. Орлов, Ю.Н. Орлов, Г.Н. Богомолов РАСЧЕТ ПРОЦЕССА ПРОБИТИЯ УДАРНИКАМИ С РАЗЛИЧНОЙ ФОРМОЙ ГОЛОВНЫХ ЧАСТЕЙ ОДНОРОДНЫХ ПРЕГРАД Детально исследован процесс нормального пробития удлиненными ударниками тонких и «полубесконечных»

однородных пластин при низких скоростях удара. Расчеты проведены с помощью численного лагранжевого мето да, модифицированного для решения многоконтактных динамических задач механики деформируемого твердого тела. Получены новые научные данные о процессе пробития алюминиевых и стальных пластин, представляющие практический интерес при создании новых образцов ударников на стадии оптимизации их конструктивно компоновочных схем.

Ключевые слова: метод, расчет, пробитие, ударники, преграды, деформация, разрушение V.P. Glazyrin, M.Yu. Orlov, Yu.N. Orlov, G.N. Bogomolov CALCULATION OF PROCESS PENETRATION BY IMPACTORS WITH THE VARIOUS FORM OF HEAD PARTS OF HOMOGENEOUS PLATES Process normal penetration the extended impactors of thin and "semi-infinite" homogeneous plates is in details investi gated at low speeds of impact. Calculations are spent by means of the numerical Lagrangian method modified for the deci sion of multi-contact dynamic problems mechanics of a deformable solid body. New scientific data about process penetra tion the aluminum and steel plates, representing practical interest is obtained at creation of new samples of impactors at a stage of optimization of their design-layout schemes.

Be gives ths are received new scientific about process penetration the aluminum and steel plates, representing practical in terest at creation of new samples of impactors at a stage of optimization of their design-layout schemes.

Keywords: Method, calculation, penetration, impactors, plates, deformation, destruction Введение Известно, что степень влияния формы головной части ударника на его пробивное действие зависит, в частности от скоростных, прочностных и инерционных параметров соударяющихся тел. При высоких скоростях на первый план выходит гидродинамическая эрозия и влиянием формы головной части удар ника можно пренебречь, потому что в установившемся режиме любая первоначальная форма головной части, срабатываясь, унифицируется. При низких начальных скоростях ударника и скоростях близких к пределу сквозного пробития (баллистическому пределу) влияние головной части ударника на процесс пробития становится определяющим. Для получения количественной оценки действия ударников с раз личной формой головных частей на процесс пробития различных преград целесообразно воспользовать ся методами математического моделирования. В настоящей работе при низких скоростях удара исследо ван процесс пробития ударниками с различной формой головных частей преград конечной толщины и полубесконечных однородных преград.

1. Физико-математическая модель деформирования и разрушения взаимодействующих тел При описании процессов деформирования и разрушения ударников и преград используется одна из сложных и наиболее распространенных моделей механики сплошных сред, основанная на фундамен тальных законах сохранения массы, движения и энергии. Модель среды является изотропной, упруго пластической, учитывающей свойства пористости, прочности, ударно-волновые явления, а также совме стное образование отрывных и сдвиговых разрушений. Уравнение состояния выбрано в форме Уолша, главное достоинство которого заключается в универсальности и достаточно хорошей точности описания процесса.

Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП «Кадры», РНП 2.1.2.2509, РФФИ 10-08-00398а, 10-08 00633а.

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ В качестве основного инструмента исследований используется численный лагранжев метод, расчет ная часть которого дополнена механизмами расщепления расчетных узлов и разрушения расчетных эле ментов. Оригинальность метода заключается в том, что он содержит новый способ выделения поверхно стей разрывов сплошности материалов, не накладывающий серьезных ограничений на решение динами ческих многоконтактных задач механики деформируемого твердого тела [1-2].

2. Расчет процесса пробития тонких преград Сначала была проведена серия вычислительных экспериментов по контактному взаимодействию уд линенных ударников с однородными преградами конечной толщины из стали (Ст.3) и дюралюминия (Д16). Толщина алюминиевой преграды составляла 8 мм, стальной – 4 мм.

Рассмотрены ударники со сферическими сегментами положительной и отрицательной кривизны го ловной части (ПКГЧ и ОКГЧ), а также с плоской головной частью (ПГЧ). Конструктивно ударники яв ляются телами вращения (рис. 1а-в). Масса ударников m = 9,9 гр, диаметр – d0 = 7,4 мм, материал сталь ШХ-15. Начальная скорость составляла V0 = 290 м/с.

а) б) в) г) д) е) Рис.1. Исходные и текущие конфигурации ударников На рис. 2г-е представлены рассчитанные конфигурации «ударник – мишень», иллюстрирующие про цесс пробития дюралюминиевых преград на различных стадиях взаимодействия. Видно, что процесс пробития проходил путем срезания «пробки» и сопровождался упруго-пластическим деформированием материала ударника. Аналогичные картины разрушения наблюдались в стальных преградах.

Для детального анализа процесса пробития в рассмотрение введена сила сопротивления внедрению ударника. На рис. 2 приведены графические зависимости силы сопротивления для дюралюминиевых и стальных преград при действии ударника с ПКГЧ.

а) б) в) Рис. 2. Графики силы сопротивления ударников 1-3 типов при пробитии преграды из Д В.П. Глазырин, М.Ю. Орлов, Ю.Н. Орлов, Г.Н. Богомолов. Расчет процесса пробития ударниками с различной фор мой головных частей однородных преград Характер изменения силы сопротивления, представленный на этих графиках, определяется формой го ловных частей ударников. Так как головная часть ударника первого типа имеет положительную кривизну, сечение, по которому происходит взаимодействие между ударником и преградой, увеличивается посте пенно от нуля до максимального значения, и соответственно этому растет сила сопротивления, которая затем, по мере срезания пробки, уменьшается до нуля (рис. 2а). Начальное значение силы сопротивления ударника третьего типа в два раза превышает максимальное значение силы сопротивления первого типа, потому что плоская головная часть вовлекает в движение максимально возможное для этого сечения ударника количество материала преграды.

Ударное взаимодействие можно описать числовой характеристикой, называемой импульсом силы. В нашем случае рассматривается осевая составляющая силы сопротивления, поэтому импульс силы равен t Fz dt t Эта величина равна площади под кривыми, изображенными на рис. 2а-б. Импульс силы характеризует бронестойкость преграды, чем он выше, тем прочнее преграда. Запреградная скорость Vз, или остаточный импульс mсVз, характеризует пробивное действие ударника, т.е. чем больше запреградная скорость, тем выше пробивная способность ударника. Очевидно, что, чем больше запреградная скорость ударника, тем меньше импульс силы и наоборот.

Таблица Результаты расчетов процесса пробития тонких преград Тип ударника Запреградная скорость ударника Vc [м/с] / Импульс силы Д16, h = 8 мм Ст.3, h = 4 мм ПКГЧ 178 / 0,39 181 / 0, ОКПЧ 192 / 0,34 167 / 0, ПГЧ 190 / 0,34 151 / 0, Из таблицы видно, что импульс силы ударника с ПКГЧ при пробитии дюралевой преграды практиче ски равен импульсу силы при пробитии стальной преграды. Таким образом, в смысле бронестойкости эти преграды эквивалентны. Необходимо подчеркнуть, что бронестойкость любой преграды, рассчитан ную при взаимодействии с ударником определенного типа, нельзя автоматически переносить на другие ударники, что подтверждается расчетами для ударников с ОКГЧ и ПГЧ соответственно.

3. Расчет процесса внедрения в полубесконечные алюминиевые преграды До сих пор рассматривались интегральные характеристики процесса соударения ударников с преградами конечной толщины. Для более детального анализа этого процесса рассчитано внедрение ударников в толстую (полубесконечную) дюралевую преграду. На рис. 3 для всех типов ударников изо бражены r, z, r, z изолинии компонент тензора напряжений, соответствующего напряженно деформированному состоянию преграды после 6 мкс соударения.

Рис. 3. Изолинии компонент тензора напряжений ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ Кроме того, по зависимостям относительной скорости центра масс ударника от времени было рас считано время поступательного движения ударников. Для ударника с ПКГЧ оно составило 40 мкс, для ударника с ОКПЧ – 28 мкс, для ударника с ПГЧ – 30 мкс. Глубина внедрения ударника первого типа равна 5,1 мм, второго – 3,5 мм по краю ударника, 2,7 мм по центру, третьего – 3,8 мм. При исследовании влияния головной части на пробивную способность ударника необходимо выделять для рассмотрения начальную переходную стадию соударения, когда возникает волна сжатия и последующее, установив шееся движение. Влияние формы головной части, таким образом, обусловлено обтеканием ударника материалом преграды. В ходе расчетов было выявлено, что только ударник с ПГЧ создает волну сжатия, способную вызвать откол в преграде.

Заключение На основании проведенных исследований можно заключить, что влияние головных частей ударников на процесс пробития неоднозначно и должно рассматриваться в совокупности с параметрами процесса и свойствами преграды. В процессе внедрения ударников в полубесконечную преграду установлено, что наибольшим пробивным действием обладает ударник с более обтекаемой головной частью (ударник с ПКГЧ).

Литература 1. Glazyrin V.P., Orlov M. Yu., Orlov Yu. N. Investigation of destruction of functional gradient barrier at schockwave loading // AIP conference proceеding Zababakhin scientific talks-2005: International conferences on high energy density physics (Sneginsk, Russia, 5-10 sept. 2005). – Mellwile, New-York, 2006. Vol. 849. PP. 421-426.

2. Глазырин В.П., Орлов М.Ю., Орлов Ю.Н. Моделирование ударно-волнового нагружения функционально градиентных материалов // Известия вузов. Физика. – 2007. – Т. 50, № 9/2. – С. 65-73.

Глазырин Виктор Порфирьевич, доктор физико-математических наук, зав. лаб. №21 НИИ прикладной матема тики и механики Томского госуниверситета.

Орлов Максим Юрьевич, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник лаб. №21 НИИ прикладной математики и механики Томского госуниверситета, тел. 89059905354, e-mail orloff_m@mail.ru.

Орлов Юрий Николаевич, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник лаб. №21 НИИ прикладной математики и механики Томского госуниверситета.

Богомолов Геннадий Николаевич, студент 4-го курса кафедры механики деформируемого твердого тела физико технического факультета НИ Томского государственного университета.

Glazyrin Victor Porfirievich, doctor of Physics and Mathematics Science, head of laboratory.№21 Sc. Research Inst. of applied mathematics and mechanics of Tomsk State University.

Orlov Maxim Yurievich, Candidate of Physics and Mathematics Science, senior researcher of laboratory.№21 Sc. Re search Inst. of applied mathematics and mechanics of Tomsk State University, ph. 89059905354, e-mail:orloff_m@mail.ru.

Orlov Yuriy Nikolaevich, Candidate of Physics and Mathematics Science, senior researcher of laboratory.№21 Sc. Re search Inst. of applied mathematics and mechanics of Tomsk State University.

Bogomolov Gennady Nikolaevich, student 4-th course of mechanics of deformable solids department Physics and Technical Faculty of Tomsk State University.

И.С. Гусева. Магистральное решение второго порядка в задаче экономического роста с учетом инноваций УДК 517. И.С. Гусева МАГИСТРАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА В ЗАДАЧЕ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РОСТА С УЧЕТОМ ИННОВАЦИЙ Статья посвящена алгоритмам построения минимизирующей последовательности для агрегированной задачи экономического роста на модели с одномерным инновационным блоком как аппроксимации магистрали высокого порядка в допустимых классах программ управления.

Ключевые слова: инновация, метод кратных максимумов, минимизирующая последовательность, магистраль.

I.S. Guseva THE SECOND ORDER TURNPIKE SOLUTION IN THE PROBLEM OF ECONOMIC GROWTH ADJUSTED FOR INNOVATIONS The article is devoted to construction algorithms for aggregated problem of economic growth on the model with one dimensional innovation block as approximation of high order turnpike in feasible classes control programs.

Keywords: innovation, the method of multiple maximums, minimizing sequence, turnpike.

Введение Исследования разнообразных прикладных задач оптимального управления в различных областях, та ких как механика полета, физика, промышленные технологии, математическая экономика и экология [1 2], показывают, что многие их них обладают свойством вырожденности, т.е. содержат среди условий скрытые пассивные дифференциальные связи. В работах по теории вырожденных задач [1-2] развивает ся общий подход к исследованию подобных задач, который заключается в исключении пассивных свя зей. Тем самым задача сводится к задаче меньшего порядка – производной задаче, а соответствующая ей траектория является магистралью, т.е. инвариантной относительно всех или части граничных условий [3]. При этом граничные условия, не лежащие на магистрали, выполняются посредством разрывов или скачков соответствующей траектории. Как правило, такие решения возникают в задачах с линейными управлениями. Если управление неограниченно, то магистральное решение может быть реализовано в исходной системе с любой степенью точности построением последовательности, аппроксимирующей разрывы магистрали, в случае ограниченного управления могут быть получены приближенные магист ральные решения за счет замены скачков достаточно быстрыми переходами, допустимыми имеющимися ограничениями на управление.

В случае если оказывается, что производная задача линейна относительно того или иного набора но вых управлений, то ее можно преобразовать к своей производной задаче. Такая многоступенчатая про цедура может приводить к существенному понижению порядка и соответственно – к магистральным решениям 2-го и более высоких порядков.

Существует проблема реализации магистральных решений. В случае неограниченного управления она состоит в построении некоторой минимизирующей последовательности [4], а в случае ограниченно го управления, соответственно, в построении аппроксимации магистрали в окрестностях разрывов. При этом в случае магистрального решения первого порядка она решается достаточно просто, например, за меной разрывного решения решением с большим ростом (с большой производной). Очевидно, в случае неограниченного управления таких аппроксимаций может быть бесчисленное множество, из которого можно выбирать подходящее с точки зрения эффективности аппроксимации. Например, простой можно считать аппроксимацию с достаточно большим постоянным управлением. В случае магистрали 2-го и более высоких порядков аппроксимирующая конструкция существенно усложняется.

В статье [5] предложены некоторые алгоритмы построения минимизирующей последовательности для задачи со скалярным линейным управлением как аппроксимации магистрали высокого порядка в классе кусочно-непрерывных программ управлений, рассматриваемом как допустимый. Эти алгоритмы предложены для специфической задачи (), xi +1 = xi + 2, i = 1, 2,..., n 2, x n = u, x0 = x1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты 09-01-00170-а, 09-01-90203-Монг-а).

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ I = x 0 ( t F ) inf, t [ 0, t F ], u U, x 0 ( 0 ) = 0, xi ( 0 ) = xI, xi ( t F ) = xF i i Цель данной работы – рассмотреть задачу более сложного вида x0 = f ( 0) t, x0, () 1 (1) t, x 0, x1 + h(1) t, x 0, x1 x 2, ( )( ) x = f 2 ( 2 ) t, x0, x1, x 2 + h( 2 ) t, x 0, x1, x 2 x3, ( )( ) x = f...

n ( n ) t, x0, x1, x 2,..., x n + h( n ) t, x 0, x1, x 2,..., x n u, ( ) ( ) x = f I = x 0 ( t F ) inf, t [ 0, t F ], u U, x0 ( 0 ) = 0, xi ( 0 ) = xI, xi ( t F ) = xF, i = 1,2,..., n, i i которая получается в результате кратных переходов к производной задаче от исходной задачи вида x = g (t, x ) + h (t, x ) u, I = x ( t F ) inf, t [ 0, t F ], u U, x ( 0 ) = 0, x ( t F ) = xF, и построить алгоритмы аппроксимации на примере содержательной задачи экономического роста с уче том инноваций на агрегированной модели.

1. Постановка задачи Рассматривается модификация известной классической задачи экономического роста [5], учитываю щая влияние инноваций k = u µ k, = m ( ), m = v m, = c, (1) c = (1 A ( ) ) y Bu Am m B m v, (2) t [ 0, t F ], ymin y ( k ), u µ k, (3) k ( 0 ) = k0, k ( t F ) = k F, ( 0 ) = 0, m ( 0 ) = m0, m m0, (4) ( I = ( tF ) min ), ( 0 ) = 0.

( tF ) sup (5) Здесь k – капитал (производственные фонды), – накопленное потребление,, – текущий инно вационный индекс и его значение, соответствующее наивысшему (мировому) технологическому уров ню, y, u, m, v, c – темпы выпуска продукции, инвестиций, инноваций, изменения мощности инновацион ного сектора, конечного потребления, µ, – коэффициенты амортизации (износа), A, B, Am, B m – коэф фициенты прямых и инвестиционных затрат соответственно в основном производстве и в инновацион ном секторе, ( k ) – мощность основного производства (максимально возможный выпуск при имею щихся производственных фондах, возрастающая вогнутая функция).

Эффект инноваций в данном случае состоит в том, что уменьшается параметр A – коэффициент прямых затрат: функция A ( ) – возрастающая. Предполагается, что инновационный сектор работает на полную мощность. Очевидно, при указанных условиях на любом решении системы (1)-(5) ( t ).

2. Решение задачи Задачу будем решать в 2 этапа:

1) зафиксируем ( t F ) = F и найдем решение при этом условии;

2) проварьируем F и получим окончательное решение.



Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 9 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.