авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 9 |

«5. Математическое моделирование УДК 517.977.54 Б.И. Ананьев, Н.В. Гредасова ...»

-- [ Страница 5 ] --

И.С. Гусева. Магистральное решение второго порядка в задаче экономического роста с учетом инноваций Для решения задачи на первом этапе применим метод кратных максимумов [1, 2]. Предположим, что управления u и v не ограничены, а имеющиеся ограничения учтем косвенно, построив верхнюю ( )u и ( )l границы для k и, как решения уравнений относительно этих переменных из (1)-(5) при нижнюю u = 0, v = 0 с соответствующими граничными условиями (рис. 1, 2).

k tF 0 = ku t kF u l kl F k t tF Рис. 2. Границы для (t ) Рис. 1. Границы для k (t ) Рассмотрим обобщенный лагранжиан Кротова задавая функцию Кротова в виде [2], = + ( k,, m ) :

tF Rdt.

L=G Тогда G = ( k F, F, mF ) ( k0, 0, m0 ), ( u µ k ) m ( ) + ( v m ).

R = (1 A ( ) ) y Bu Am m B m v + k m Уравнения метода кратных максимумов сводятся к следующим ( ) = m, = Bk + B m m m ln ( ), = Bm, =B, k m где m = Am + B m. При этом tF ( (1 A ( ) ) y Bµ k ) dt +, L = B m mF m ln ( F ) где = Bk F Bk0 B m0 + ln ( 0 ).

m m Будем минимизировать L последовательно по y,, k (при каждом t ) и по mF, предполагая, что (1 A ( ) ) 0. Минимизация по y дает:

y = ( k ) = k, R = (1 A ( ) ) ( k ) B µ k.

Минимизируя далее по, получаем:

= l = + em0 ( tF t ) ( F ) при всех t, так как 1 A ( ) – возрастающая функция.

R = 0. Пусть k (l ( t ) ) – решение этого урав Условие минимума по k с учетом вогнутости ( k ) :

k нения. Тогда L = B m mF m ln ( F ) Q (l ( t ) ), tF ( (1 A (l ( t ) )) ( k (l ( t ) ) ) Bµ k (l ( t ) )) dt. Минимум по mF где Q (l ( t ) ) – значение интеграла с уче том ограничения m m0 достигается при mF = m0.

Далее следует варьировать L по F, что даст нам окончательное решение.

Таким образом, магистральное решение в данной задаче имеет вид:

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ k0, t = 0, 0, t = 0, m ( t ) = m0, t [ 0, t F ], k (t ) = (t ) = k (l ( t ) ), t ( 0, t F ], l ( t ), t ( 0, t F ].

Для реализации данной магистрали второго порядка в исходной задаче (1)-(5) вместо перейдем к новой переменной z = + Bk + B m m m ln ( ), подставим найденные решения для y и k :

( ) z = ( ) = (1 A ( ) ) k ( ) B µ k ( ), (6) = m ( ), m = v m, k = u µ k, (7) I = z ( t F ) inf, z ( 0 ) = z0 = Bk0 + B m m0 m ln ( 0 ), (8) ( 0 ) = 0, m ( 0 ) = m0, m m0, (9) и исключим уравнение относительно k, получим цепочку из 3-х уравнений.

Из выражения магистрали имеем разрывную функцию ( t ), с разрывом в начальной точке, которую нужно аппроксимировать последовательностью кусочно-постоянных управлений в системе (6)-(9).

Затем исключим уравнения относительно m и, полагая =, но присоединим уравнение относи тельно k.

3. Алгоритмы аппроксимации Алгоритм № 1.

1. Принимаем m за новое управление.

(t ) 2. Пусть ( t ) = e mt – решение сис tF t темы (6)-(9). На пересечении кривых ( t ) и t (t ) найдем точку m ln 1 F + t = t переключе m0 s F m0 s F ния управления.

Зададим кусочно-постоянные m s, t [ 0, t ] m m(t ), s (рис. 3).

m= m0, t ( t, t F ] s 3. Подставляя значения найденного ку- m сочно-постоянного управления m в систему tF t1 t2 t строим последовательность (6)-(9), t { s ( t ), zs ( t )} и находим соответствующие значения функционала I s = zs ( t F ). v q 4. Найденное решение для m на проме жутке [ 0,t ] нужно аппроксимировать ре шениями исходной цепочки из трех уравне- tF t1 t 2 t 0 t ний (6)-(9), полагая v q, где q.

5. Пусть m1 ( t ) – решение уравнения m = v m, m ( 0 ) = m0 при v = q, а m2 ( t ) – q решение уравнения m = v m, m ( t ) = m Рис. 3. Алгоритм № при v = q :

q t t q q q + e t m0, m2 ( t ) = + e ( ) m0 +.

m1 ( t ) = При этом И.С. Гусева. Магистральное решение второго порядка в задаче экономического роста с учетом инноваций t t t t m1( )d m2 ( )d m1( )d m2 ( )d ( t ) = e0 e 0 ( t ) = e0 e 1, 2.

На пересечении кривых m1 ( t ) и m2 ( t ) с прямой m ( t ) = s на отрезке [ 0,t ] найдем точки t1 и t2 :

q q s s+ 1, t = t ln.

t1 = ln q 2 q m0 m0 + В результате определяем значения управления v на промежутках [ 0,t1 ], ( t1, t2 ], ( t2, t ] и ( t, t F ] :

q, t [ 0, t1 ], q, t ( t2, t ], v= v= t ( t1, t2 ], t ( t, t F ].

0, 0, 6. Подставляя найденные значения управления v в систему (6)-(9), находим двухиндексную последо { } вательность sq ( t ) = msq ( t ), sq ( t ), zsq ( t ) и соответствующее значение функционала I sq = zsq ( t F ).

7. Руководствуясь некоторым критерием выбора значений q, найдем q = q ( s ). Таким образом, при дем к одноиндексной последовательности s ( t ) = sq( s ) ( t ) со значением функционала I s = I sq, индексы s – целые.

Критерий выбора q ( s ).

Значение q ( s ) находим из уравнения F ( q, s ) = I s inf I l I s I sq = 0 графически для различных s = 1, 2,... при выполнении условия 0 t1 t2 t t F, где l 0.

Алгоритм № 2. (t ) 1. В системе (6)-(9) принимаем m за но- tF t вое управление. t 2. Пусть ( t ) = e mt – решение сис темы (6)-(9). На пересечении кривых ( t ) и ( t ) найдем точку переключения управле- F m ln 1 F + ния t = t.

m0 s F m0 s m2 m m(t ) 3. Другую точку переключения управле ния t найдем на пересечении кривых, полу ченных из решения исходной системы (6)- m ~ (9) так, чтобы m1 удовлетворяла условию tF t t t m1 ( 0 ) = m0, а m2 – условию m2 ( t ) = m0.

4. В результате определяем значения управления v на промежутках 0,t, ( t, t v s и ( t, t F ] :

s, t 0, t, ~ tF t t 0 t t ( t, t, v = s, t ( t, t F ].

0, 5. Подставляя найденные значения s управления v в систему (6)-(9), находим од Рис. 4. Алгоритм № ноиндексную последовательность s ( t ) = {ms ( t ), s ( t ), zs ( t )} и соответствую ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ щее значение функционала I s = zs ( t F ).

Пример.

Расчеты проводились для условного региона [6] при следующих исходных данных:

t F = 20 ;

k 0 = 300 ;

m 0 = 0,1 ;

0 = 0 ;

= 0,8 ;

µ = 0,06 ;

= 0,06 ;

A0 = 0, 4 ;

B = 1 ;

Am = 1 ;

B m = 1 ;

A ( ) = (1 ) A0 ;

= 12 ;

l = 1.

На рис. 5-8 представлен один из членов последовательности для каждого из алгоритмов. В табл. приведены значения функционала I для каждого алгоритма ( q ( s ) – максимальное значение управле ния, необходимое для выхода на магистраль при заданном s ).

Таблица Значения функционала I q(s) Алгоритм s I 1 1 12.2 -530. 2 1 – -506. v k (t ) Алгоритм Магистраль ~ Алгоритм t1 t t2 t Алгоритмы 1, tk k (t ) Рис. 6. Значения v Рис. 5. Значения ~ t 2 t t1 t m(t ) (t ) Алгоритм Алгоритм Алгоритм Алгоритм Магистраль ~ Магистраль t t t t k (t ) k (t ) Рис. 7. Значения Рис. 8. Значения И.С. Гусева. Магистральное решение второго порядка в задаче экономического роста с учетом инноваций Заключение Таким образом, на примере содержательной задачи экономического роста на агрегированной модели с одномерным инновационным блоком построена магистраль второго порядка. Возможны различные способы аппроксимации магистрального решения. Здесь предложены и сравниваются два алгоритма ап проксимации. При одном и том же времени выхода на магистраль первый алгоритм дает более точную аппроксимацию, но с бльшим числом переключений управления. При практической реализации выбор способа аппроксимации будет зависеть от конкретных условий.

Предложенные алгоритмы аппроксимации магистрали второго порядка непосредственно распростра няются на задачу общего вида с магистралью более высокого порядка, когда задача преобразована к це почке уравнений, полученной в результате многократных переходов к производной системе.

Рассмотренная задача является простейшим представителем класса задач управления [7] на моделях экономических, эколого-экономических или социо-эколого-экономических систем, связанных с решени ем актуальных проблем устойчивого развития.

Литература 1. Гурман В.И. Вырожденные задачи оптимального управления. М.: Наука, 1977.

2. Гурман В.И. Принцип расширения в задачах управления. М.: Наука, Физматлит, 1985, 1997.

3. Гурман В.И. Магистральные решения в процедурах поиска оптимальных управлений // Автоматика и теле механика. 2002. № 11.

4. Колокольникова Г.А. Исследование обобщенных решений задач оптимального управления с линейными не ограниченными управлениями на основе кратных преобразований // Дифференциальные уравнения. 1992. T. 28. № 11.

5. Гусева И.С., Трушков В.В. Реализация магистральных решений высших порядков // Вестник БГУ. 2010. №9.

6. Гурман В.И., Ухин М.Ю. Магистральные решения в задачах оптимизации стратегий развития регионов // Автоматика и телемеханика. 2004. № 4.

7. Батурин В.А., Верхозина И.О. Методы поиска импульсных режимов высокого порядка в задачах оптималь ного управления // Оптимизация. Управление. Интеллект. Иркутск, 2000. №4.

Гусева Ирина Сергеевна, аспирант Бурятского государственного университета, тел. (+8621)13764974778, e-mail:

ig_19@mail.ru Guseva Irina Sergeevna, postgraduate student of the Buryat State University.

И.-Х.Д. Хишектуева. Метод поиска неподвижных точек в задаче улучшения управляющих параметров УДК 517. И.-Х.Д. Хишектуева МЕТОД ПОИСКА НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК В ЗАДАЧЕ УЛУЧШЕНИЯ УПРАВЛЯЮЩИХ ПАРАМЕТРОВ Рассматривается метод нелокального улучшения управляющих параметров, ориентированный на линейную по управляющим параметрам задачу оптимизации динамических систем. Нелокальное улучшение обеспечивается решением задачи о неподвижной точке для непрерывного и однозначного отображения, сконструированного на основе операции проектирования на множество значений параметров. Статья посвящена алгоритмам решения за дачи о неподвижной точке метода возмущений при реализации нелокального улучшения управляющих парамет ров.

Ключевые слова: нелокальное улучшение, проекционные методы, задача о неподвижной точке.

I.-Kh.D. Khishektueva SEARCH METHOD OF FIXED POINT FOR IMPOVEMENT OF CONTROL PARAMETERS The method of non-local improvement are considered to focus on a linear control parameters problem for optimization dynamical systems. Not-local improvement is provided with the solution of problem on fixed point for the continuous and unequivocal correspondence designed on the basis of projective operation on set of values of parameters. Article is devoted to algorithms of the solution of problem on fixed point for perturbation method at realization of not-local improvement control parameters.

Keywords: non-local improvement, projective methods, problem on fixed point.

1. Метод нелокального улучшения Рассматривается линейная по управлению задача:

(u ) = ( x(t1 )) + ( a ( x(t ), t ), u + d ( x(t ), t ))dt min, (1) T uU x(t ) = A( x(t ), t )u + b( x(t ), t ), x(t0 ) = x 0, u U, t T, (2) где матричная функция A( x, t ), векторные функции a ( x, t ), b( x, t ), функции ( x), d ( x, t ) являются квадратичными по x и непрерывными по t на множестве R n T. Множество U R m выпукло и ком пактно.

Функция Понтрягина и стандартная сопряженная система имеют вид:

H (, x, u, t ) = H 0 (, x, t ) + H1 (, x, t ), u, (3) H 0 (, x, t ) =, b( x, t ) d ( x, t ), H1 (, x, t ) = AT ( x, t ) a( x, t ) (t ) = H x ( (t ), x(t ), w, t ), t T (4) Введем модифицированную сопряженную систему:

p(t ) = H x ( p (t ), x(t ), w, t ) H xx ( p (t ), x(t ), w, t ) z (t ) (5) Для допустимых управлений u, v обозначим v (u ) – приращение целевой функции;

x(t, v), t T – решение системы (2) при u = v, x(t0, v) = x 0 ;

(t, v), t T – решение системы (4) при w = v, x = x(t, v), (t1, v) = x ( x(t1, v)) ;

p(t, u, v), t T – решение системы (5) при w = u, x(t ) = x(t, u ), z = x(t, v) x(t, u ) с краевым условием p(t1, u, v) = x ( x(t1, u )) xx ( x(t1, u )) y (6) где частные производные по x вычисляются при y = x(t1, v) x(t1, u ).

Поставим задачу об улучшении управления u 0 U : найти управление v U с условием v (u 0 ) 0.

Точная формула приращения целевой функции в рассматриваемой задаче принимает вид [1]:

v (u ) = H1 ( p(t, u, v), x(t, v), t )dt, v u, (7) T Для заданного 0 введем отображение W по формуле W (u, v) = P (u + H1 ( p (t, u, v), x(t, v), t )dt ), u U, v U, (8) U T ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ Необходимое условие оптимальности для управления u U с помощью отображения (8) представля ется в виде u = W (u, u ), 0. (9) Формула (7) позволяет построить метод нелокального улучшения с помощью операции проектирова ния (8).

Первый проекционный метод нелокального улучшения: для заданных 0 и u 0 U сформируем отображение W1 (v) = W (u 0, v), v U и найдем решение уравнения v = W1 (v). (10) Показано [1], что решение v U системы (10) обеспечивает улучшение. В силу известного свойства проекции имеем 1 T H1 ( p(t, u, v ), x(t, v ), t )dt, v u v u.

0 Отсюда из формулы (7) следует уменьшение целевой функции с оценкой 1 (v ) (u 0 ) v u 0. (11) Таким образом, первый проекционный метод нелокального улучшения заключаются в нахождении неподвижной точки v U отображения W1. В силу оценки (11) строгое улучшение гарантируется (в том числе и для управления u 0 U, удовлетворяющего необходимому условию (9)), если v u 0.

2. Численные эксперименты В качестве иллюстрации работы метода рассмотрим следующий пример:

(u ) = x 2 (t )dt min, x(t ) = u, x(0) = 1, u U = [ 1,1], t T = [0, 2] u0 = Данный пример допускает аналитическое решение.

Функция Понтрягина и модифицированная сопряженная система принимают вид:

H = pu x p(t ) = x(t ) + y (t ), p(2) = 0.

Фазовая траектория, соответствующая управлению u 0 : x(t, u 0 ) = 1, t T. Значение функционала для начального управления: (u 0 ) = 1.

Решение x(t, v) фазовой системы, соответствующее управлению v :

x(t, v) = vt + 1, t T.

Решение p(t, u 0, v) модифицированной сопряженной системы:

vt p(t, u 0, v) = + t (2 + v) Сформируем отображение W1 (v) = W (u 0, v) :

W1 (v) = P (u 0 + H1 ( p (t, u 0, v), x(t, v), t ) dt ) = P ( v 2) = U U T 1, 3 v 2 4 3 v 2, v [1;

4 ), 4 = v 2, v 2 1 = 1, v [ 3 ;

1] 3 1, v 2 И.-Х.Д. Хишектуева. Метод поиска неподвижных точек в задаче улучшения управляющих параметров Таким образом, задача о неподвижной точке имеет вид:

v = P ( v 2) (12) U Уравнение допускает аналитическое решение v = 0,857142857.

при 0 :

Численные расчеты применялись для исходного (12) и эквивалентного уравнения v = v + (v P ( v 2)) (13) U Для решения обоих уравнений применялся метод простой итерации [2].

В ходе численных экспериментов установлено, что итерационный процесс для решения исходного уравнения (12) методом простой итерации сходится при значениях 1. При стандартном значении = 1 процесс не сходится по начальному приближению даже в минимально возможной машинной ок рестности точного решения, при этом процесс итераций зацикливается с повторением значений -1 и -2/3.

При уменьшении до 0,7 наблюдается аналогичный тип расходимости. При дальнейшем уменьшении, начиная со значения = 0,7, итерационный процесс сходится, причем наилучшая сходимость получена при значениях в промежутке [0,01;

0,1]. Область сходимости по начальному приближению включает допустимое множество U = [1;

1]. При уменьшении параметра вплоть до значений, сравнимых с ма шинным нулем, сходимость процесса итераций замедляется, и область сходимости по-прежнему вклю чает все множество допустимых значений. Далее из-за ошибок округления он перестает сходиться и останавливается.

При увеличении 1 процесс сходится, получаем точку v = 1.

Для модифицированного уравнения (13) при стандартном значении проекционного параметра = варьировался параметр. При 0 и его дальнейшем увеличении итерационный процесс расходится, наблюдается неограниченный рост последовательности приближений до +. При отрицательных зна чениях получаем сходимость на всей области допустимых значений управления, причем наилучшую по количеству итераций в диапазоне от -0,1 до -0,9. При уменьшении, начиная с -1, процесс итераций расходится, последовательность приближений неограниченно убывает до.

Заключение Численные расчеты продемонстрировали вычислительную эффективность предлагаемых алгоритмов решения задач о неподвижной точке. Показана возможность расширения области сходимости итераци онных методов вплоть до всей области значений управляющих параметров только за счет варьирования проекционного параметра. Также продемонстрирована возможность расширения области сходимости ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ за счет преобразования к эквивалентной задаче о неподвижной точке по параметру сходимости при фиксированном значении проекционного параметра.

Литература 1. Булдаев А.С. Методы возмущений в задачах улучшения и оптимизации управляемых систем. – Улан-Удэ:

Изд-во БГУ, 2008. – 260 с.

2. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы: учеб. пособие для вузов. – М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1989. – 432 с.

3. Булдаев А.С., Хишектуева И.-Х.Д. Об одном методе улучшения управляющих параметров нелинейных сис тем // Инфокоммуникационные и вычислительные технологии и системы: матер. III Междунар. конф. (Россия, Бу рятия, Улан-Удэ – оз. Байкал, 6-11 сентября 2010 г.). Улан-Удэ: Изд-во БГУ, 2010. – С. 79-82.

4. Хишектуева И.-Х.Д., Булдаев А.С. Оценка параметров динамических систем методом нелокальной оптими зации // Обобщенные постановки и решения задач управления: матер. V Междунар. симпозиума. Улан-Батор: Изд во Монгольского государственного университета науки и технологии, 2010. – С. 187-189.

Хишектуева Ишин-Хорло Дамбадоржиевна, аспирант кафедры прикладной математики Бурятского государст венного университета, тел. 89148363885, ishin-khorlo@mail.ru assistant at the chair of applied mathematics in the Buryat Khishektueva Ishin-Khorlo Dambadorzhievna, State University.

А.В. Холмов. Применение метода разумных целей для задач с неопределеностью УДК 519. А.В. Холмов ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА РАЗУМНЫХ ЦЕЛЕЙ ДЛЯ ЗАДАЧ С НЕОПРЕДЕЛЕНОСТЬЮ Предлагается метод поддержки принятия решений в многокритериальной задаче конечного выбора с критерия ми, принимающими значения на достаточно малых интервалах. Показывается, что на этот случай переносятся концепции метода разумных целей, основанного на визуализации многомерной границы Парето выпуклой оболоч ки критериальных точек и отборе малого числа альтернатив, соответствующих цели, указанной ЛПР.

Ключевые слова: многокритериальный выбор, стохастические критерии, граница Парето, выпуклая оболочка, разумная цель.

A.V. Kholmov APPLICATION OF REASONABLE GOALS METHOD FOR UNCERTAIN SYSTEMS New method is proposed for decision support in multi-objective choice problem with objectives, which values belong to sufficiently small intervals. It is demonstrated that this problem can be studied with the help of the reasonable goals method, which is based on visualization of high-order Pareto frontier of the convex hull of the objective points and on se lecting a small number of alternatives related to the goal identified by decision maker.

Keywords: multi-objective choice, Pareto frontier, convex hull, reasonable goal.

Введение Рассмотрим задачу выбора решения, имеющую большое число практических приложений. Пусть есть конечное число N альтернативных вариантов решения (при этом оно может быть сколь угодно боль шим). Каждый вариант задан значениями m характеристик (то есть показателями качества) y1, y2,..., ym.

Необходимо найти наиболее предпочтительный вариант среди предложенных. Значения показателей для альтернатив могут быть, например, результатами эксперимента (быть может вычислительного) либо ре зультатами наблюдений и сбора статистики.

Будем исходить из того, что выбор наиболее предпочтительной альтернативы необходимо осущест вить некоему лицу, принимающему решения (ЛПР). Основная задача, которая возникает при разработке систем поддержки принятия решений (СППР), – помочь ЛПР (либо другому пользователю СППР) в ана лизе возможностей принятия решения.

Необходимость применения СППР возникает в задачах выбора с большим числом вариантов. Как правило, человеческий разум не способен уже в задаче из 20 вариантов и 7 характеристик адекватно воспринимать информацию, представленную в виде списка альтернатив. Это приводит к затруднениям при ее практическом решении. Таким образом, требуется привести информацию в такую форму, которая была бы понятна и в то же время сохраняла бы все существенные черты исходной задачи.

Математически проблема выбора формулируется следующим образом. Пусть возможные альтерна тивные решения x являются элементами конечного множества X :

x X,| X |.

Пусть выбор осуществляется с использованием нескольких показателей качества (критериев выбора решений) y = f ( x) :

y = f ( x) = ( f1 ( x), f 2 ( x),..., f m ( x)).

Функция f является отображением, переводящим исходное множество стратегий в множество точек критериального пространства. Ограничимся случаем f : X R m. Для определенности предположим, что предпочтительным является увеличение значений критериев.

Для поддержки принятия решения в этой задаче в 1994г. А.В. Лотовым и Д.В. Гусевым в [1] был предложен метод разумных целей (МРЦ), позволяющий выбрать подмножество точек множества X на основе представления совокупности критериальных точек f ( x), x X в графическом виде. МРЦ был успешно применен к задачам экологического и экономического характера.

МРЦ рассчитан на использование четко заданной информации: каждой альтернативе ставится в соот ветствие некоторая точка в критериальном пространстве. На практике же значения показателей качества Работа выполнена при частичной финансовой поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инно вационной России» (грант ГК 2010-1.2.1-000-029-072) и РФФИ (грант № 10-01-00199).

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ для альтернатив часто заданы неточно, а значения того или иного критерия удается оценить отрезком, внутри которого находится это значение. В этом случае каждой альтернативе соответствует не точка в m -мерном пространстве, а m -мерный параллелепипед:

A = { y R m | y i yi y i, i = 1, m}.

МРЦ был перенесен на такие задачи в [2,3].

Задача статьи состоит в том, чтобы применить модификацию МРЦ для случая неточной информации.

При этом в разделе 1 на основе описания МРЦ для точных данных вводятся основные понятия, исполь зуемые в исследовании;

в разделе 2 описывается модифицированный МРЦ для случая с неточной ин формации;

наконец, в разделе 3 рассматривается пример применения этого метода.

1. Метод разумных целей Опишем сначала МРЦ для решения задач с данными, которые заданы точно, то есть когда нет неоп ределенности и каждой альтернативе ставится в соответствие некоторая точка в критериальном про странстве. Этот метод поддержки принятия решений основан на использовании компьютерной визуали зации информации при отборе одного или нескольких предпочтительных вариантов решения из их большого числа для дальнейшего детального анализа и окончательного выбора решения.

Так как данные заданы точно, то можно считать, что конечное число альтернатив задано в виде строк некоторой таблицы, часть столбцов которой представляет собой значения критериев выбора. Особенно стью МРЦ является интерактивная визуализация паретовой (недоминируемой) границы выпуклой обо лочки многомерного множества точек, порождаемых строками таблицы.

Напомним, что для определенности рассматривается задача многокритериальной максимизации, то есть пользователь заинтересован в увеличении значений каждого из критериев.

Определение. Пусть y = ( y1, y2,..., ym ) и y ' = ( y '1, y '2,..., y 'm ) – некоторые векторы из R m : y, y ' R m.

Будем говорить, что y ' доминирует y по Парето, если y 'i yi, i = 1, m и y ' y.

Будем обозначать доминирование по Парето через y ' y.

Определение. Будем говорить, что y ' доминирует y по Слейтеру, если y 'i yi, i = 1, m.

Будем обозначать доминирование по Слейтеру через y ' s y.

f ( x). Пусть Y = { y, y 1,..., y N }.

Обозначим Y = f ( X ) = x X В МРЦ изучается не само множествоY, а его выпуклая оболочка:

N N YC = conv( y1, y 2,..., y N ) = { y R m | y = i y i, i 0, i = 1}.

i =1 i = Так как ЛПР заинтересован в увеличении оценок по всем критериям, то он сделает свой выбор не из всего исходного множества YC, а из его паретовского (недоминируемого по Парето) подмножества:

P (YC ) = { y YC |{ y ' YC | y ' y} = }.

Определение. Выпуклой оболочкой Эджворта-Парето (ВОЭП) множества Y называют множество YCP = { y R m | y ' YC : y 'i yi, i = 1, m}.

Из определения видно, что YCP = YC + ( R+ ). Отметим, что P (YC ) = P(YCP ).

m МРЦ состоит из следующих шагов:

1. Построение (или аппроксимация) выпуклой оболочки Эджворта-Парето (ВОЭП) множества Y = f (X ).

2. Визуализация паретовой границы ВОЭП наборами ее двухкритериальных сечений.

3. Выбор пользователем целевой точки на паретовой границе ВОЭП.

4. Отбор альтернатив, показатели качества которых соответствуют в определенном смысле целевой точке.

Методы аппроксимации выпуклых тел, применяемые на шаге 1, описаны в [4].

Рассмотрим проблему визуализации. При m = 2 недоминируемая граница YC показывает связь между критериями в графической форме и поэтому характеризует замещение (так называемая кривая объек тивного замещения). Проанализировав кривую объективного замещения, пользователь может выбрать А.В. Холмов. Применение метода разумных целей для задач с неопределеностью наиболее предпочтительное сочетание значений критериев (цель y* ) прямо на недоминируемой границе ВОЭП. Цель, вообще говоря, может не совпадать ни с одним из критериальных векторов из Y, так что требуется дополнительна процедура отбора.

Если число критериев равно трем, то для демонстрации недоминируемой границы ВОЭП можно ис пользовать более сложные изображения, сохраняющие в то же время простоту. Это так называемые кар ты решений, представляющие собой совокупности границ сечений ВОЭП, определяемых значениями третьего критерия. Эти границы не пересекаются, что определяет их близость к обычным топографиче ским картам.

Если же число критериев превосходит три, то необходимо использовать программное обеспечение диалоговых карт решений (ДКР), в которых влияние четвертого, пятого и других критериев можно изу чить с помощью интерактивной визуализации и анимации карт решений. Выбрав одну из карт решений, пользователь может указать цель непосредственно на предпочтительном сечении. Подробно визуализа ция на основе ДКР описана в [4].

Так как обычно целевая точка y* не совпадает ни с одним из критериальных векторов, то отбираются одна или несколько альтернатив, связанных с ней значениями критериев в том или ином смысле. В [1] было предложено отбирать альтернативы следующим образом: критериальная точка отобранной альтер нативы должна быть максимумом по y Y по крайней мере одной функции U ( y, ), где i 0, i = 1, m – параметры свертки критериев, построенной с использованием целевой точки y* :

U ( y, ) = max i ( yi* yi ).

i Точнее говоря, для любой отобранной с помощью МРЦ альтернативы x ' существует набор ' = ( '1, '2,..., 'm ) 0 такой, что f ( x ') Arg max U ( y, ').

yY Реализовать такой подход «в лоб» не представляется возможным, так как пришлось бы решать бес конечное число задач оптимизации для всех 0. В [1] было показано, что совокупность решений всех таких задач оптимизации есть точки, выбранные по следующему алгоритму (рис. 1):

- Рассматривается множество y* + ( R+ ), которое содержит все точки, доминируемые целевой точ m кой y*, и является конусом в R m с вершиной в y*.

- На конус y* + ( R+ ) проецируются точки множества Y, которые лежат вне его. Для этого у каждой m точки y множества Y сравниваются значения координат со значениями соответствующих координат целевой точки y*. Если значение координаты yi лучше yi* (то есть yi yi* ), то это значение заменяется на значение yi* ;

в противном случае значение координаты не меняется.

- Среди модифицированных критериальных точек выбираются недоминируемые по Парето. Отбира ются альтернативы из X, которые порождают выбранные критериальные точки.

На рисунке 1 алгоритм отбора точек представлен для случая двух критериев. На нем видно, что точки 1,2,4,5 лежат вне конуса и проецируются на него. Точка 3 лежит внутри конуса, а потому не изменяется.

Среди точек 1',2',3,4',5' недоминируемыми по Парето являются точки 2',3,4'. Это значит, что альтернати вами, отобранными на основе целевой точки, выбранной ЛПР, являются альтернативы, критериальными точками которых являются точки 2,3,4.

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ Рис. 1. Алгоритм отбора критериальных точек по целевой точке для задачи без неопределенности Интерпретировать этот результат можно следующим образом: пользователь (ЛПР) фиксирует неко торый уровень притязания для каждого критерия, причем предполагается, что для него значительно важнее достичь этот уровень, чем превзойти его.

Заметим, что, вообще говоря, в совокупности отобранных критериальных точек могут быть точки, доминируемые по Парето (но не доминируемые по Слейтеру). При этом в такой совокупности будут со держаться и точки, доминирующие их по Парето. Так что для выделения недоминируемых по Парето точек необходимо провести дополнительный отбор среди полученных альтернатив.

2. Модификация МРЦ для случая неточной информации Модификация МРЦ для случая неточной информации предложена в [2,3]. Каждой альтернативе x из множества X соответствует уже не точка в m -мерном пространстве, а m -мерный параллелепипед:

A = { y R m | y i yi y i, i = 1, m}.

Через Q( R m ) обозначим множество всех параллелепипедов в пространстве R m, ограниченных гипер плоскостями, перпендикулярными осям координат. Тогда значения критериев задаются отображением F : X Q ( R m ), то есть для x X имеем F ( x) Q( R m ).

Введем бинарные отношения для элементов множества Q( R m ), аналогичные доминированию по Па рето и доминированию по Слейтеру для точек m -мерного пространства. Пусть A и B – некоторые m мерные параллелепипеды: A, B Q ( R m ).

Определение. Будем говорить, что A доминирует B по Парето, если для a A, b B выполняется a b.

Будем обозначать доминирование по Парето для множеств так же, как и для точек через A B. Ана логично дадим следующее.

Определение. Будем говорить, что A доминирует B по Слейтеру, если для a A, b B выполня ется a S b.

Будем обозначать доминирование по Слейтеру для множеств через A S B.

Модифицированный МРЦ для задачи с неточной информацией состоит из следующих шагов:

1. Построение (или аппроксимация) ВОЭП множества наилучших точек параллелепипедов, соответ ствующих всем альтернативам (то есть точек y = ( y1, y2,..., ym ) с наибольшими значениями координат).

2. Визуализация паретовой границы ВОЭП на основе использования ДКР.

3. Выбор пользователем целевой точки y* на паретовой границе ВОЭП.

4. Отбор альтернатив, показатели качества которых соответствуют в некотором определенном смыс ле целевой точке y*.

Подчеркнем, что пункты 1-3 полностью повторяют эти пункты для случая без неопределенности. Ал горитм отбора альтернатив по выбранной ЛПР целевой точке состоит в следующем:

А.В. Холмов. Применение метода разумных целей для задач с неопределеностью - На множество y* + ( R+ ), где y* – целевая точка, проецируем m -мерные параллелепипеды, кото m рые лежат вне его. Стоит заметить, что если часть параллелепипеда лежит вне построенного конуса, а часть внутри, то проецируются только те точки, которые находятся вне конуса. Точки, которые находят ся внутри конуса остаются без изменений. Проецирование точек происходит по такому же алгоритму, что в детерминированном случае.

- Среди модифицированных множеств выбираются недоминируемые по Парето. Альтернативы, кото рые им соответствуют, и есть множество альтернатив, отбираемых для дальнейшего анализа.

Для случая двух критериев алгоритм проиллюстрирован на рисунке 2.

Рис. 2. Алгоритм отбора альтернатив по целевой точке для задачи с неточными данными Как уже упоминалось, в [1] было доказано, что все решения задачи с точно заданными данными, по лученные с помощью МРЦ являются решениями задачи оптимизации для какой-либо из сверток крите риев. Можно провести анализ модифицированного МРЦ, в ходе которого доказывается аналогичное ут верждение, а значит, и обосновывается отбор альтернатив в предложенном методе.

3. Пример применения метода к конкретной задаче Описанная методика была применена к задаче улучшения качества воды в бассейне реки. Математи ческая модель, которая подробно описывает изучаемую проблему, наиболее полно представлена в рабо те [6]. Приведем краткое описание модели.

В модели предполагается, что задано K предприятий, осуществляющих выброс загрязненных сточ ных вод в реку. Концентрации загрязняющих веществ измеряются в гидрологических пунктах, располо женных ниже точек выброса.

Гидрологические пункты, расположенные ниже точек выброса, разбивают реку на K участков (ство ров). Расход воды Qk в реке в районе k -го гидрологического пункта задан. Пусть I – число загрязните лей, рассматриваемых в модели. Уравнение баланса i -го загрязнителя для k -го створа имеет вид:

K M ki = ki mri + ki miO, k = 1, 2,...K, i = 1, 2,...I, r O r = где mi0 – сброс из источников, расположенных выше первого предприятия, M ki – поток i -го загрязнителя в реке через k -й гидрологический пункт, r ki – коэффициент распада к k -му створу i -го загрязнителя, поступившего из r -го предприятия, mri – сброс i -го загрязнителя в единицу времени в составе сточных вод r -го предприятия.

Считается, что потоки mi0 каждого из I загрязнителей заданы заранее.

В технологической модели очистки стоков рассматривается совокупность из N возможных техноло гий очистки, заданных своими удельными приведенными затратами и коэффициентами очистки сбро сов, различными для разных загрязнителей. Задача состоит в выборе некоторой технологии для каждого из K предприятий. Потоки загрязнителей в составе сточных вод после очистки, т.е. величины mki, за даны соотношениями:

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ N mki = mki (1 in tkn ), k = 1, 2,...K, i = 1, 2,...I, n = где mki – поток i -го загрязнителя в составе сточных вод, выбрасываемых k -м предприятием до строительства очистных сооружений, in – коэффициент очистки i -го загрязнителя при обработке сточных вод по n -й технологии очистки ( 0 in 1 ), tkn – целочисленная переменная, равная единице, если технология применяется для очистки сточных вод k -го предприятия, и нулю в противном случае. Предполагается, что на каждом предприятии может быть использована только одна технология.

Концентрация i -го загрязнителя в речной воде в k -той станции мониторинга вычисляется по фор муле:

ki = M ki / Qk, k = 1, 2,...K, i = 1, 2,...I, где Qk – расход воды в реке в районе k-го предприятия.

Относительная концентрация i -го загрязнителя, измеряемая в используемых водохозяйственниками единицах предельно допустимой концентрации (ПДК), в k -том створе вычисляется по формуле:

Z ki = ki / imax, k = 1, 2,...K, i = 1, 2,...I, где imax – ПДК для i -го загрязнителя. В качестве критериев загрязненности речной воды использу ются максимальные по всем створам значения относительных концентраций, т.е. величины Z i = max Z ki, i = 1, 2,...I, k представляющие собой максимальные загрязнения отдельными веществами по всей реке.

Модель расчета затрат на очистку сточных вод имеет следующий вид. Поскольку каждая технология очистки описывается стоимостью обработки кубического метра стоков, то приведенные затраты на во доохранные мероприятия на k -том предприятии рассчитываются по формуле:

N Fk = qk an tkn, k = 1, 2,..., K, n = где qk – объем стоков k -го предприятия в единицу времени, an – стоимость обработки кубического метра стоков по n -й технологии очистки. В качестве стоимостного критерия в системе используется общая стоимость проекта улучшения качества воды, равная сумме расходов по всем предприятиям.

Как уже говорилось, задача состоит в выборе технологий, которые будут использованы для очистки стоков для каждого из предприятий.

Для демонстрации применения методики, описанной в статье, нами было рассмотрено 3 критерия:

стоимость проекта, а также максимальные по реке концентрации двух видов загрязнений. При этом рас сматривалось 14 предприятий, где для каждого из предприятий считался возможным выбор одного из двух вариантов технологических решений по очистке выбросов. Таким образом, в нашем исследовании было рассмотрено 214 = 16384 возможных вариантов проекта очистки выбросов. Неопределенность за давалась отрезками возможного изменения одного из критериев, а именно стоимости проектов. В каче стве минимального значения стоимости проекта бралась его стоимость в задаче с точными данными [7], далее задавалось процентное отклонение значения стоимости проекта от минимального значения (оно одинаково для всех проектов).

Например, пусть i – стоимость i -го проекта, – выбранное относительное отклонение (выражен ное в процентах). Тогда значение стоимости i -го проекта будет лежать в отрезке [ i,(1 + ) i ].

На рис.3 представлена черно-белая копия карты решений, представляющей паретову границу ВОЭП для этой задачи. Здесь по оси абсцисс показывается значение ПДК для второго типа загрязнения, а по оси ординат - ПДК первого вида загрязнения. Разным штриховкам соответствуют различные стоимости проектов. Карта решений построена с помощью системы RGDB [8].

А.В. Холмов. Применение метода разумных целей для задач с неопределеностью Рис. 3. Визуализация паретовой границы ВОЭП для задачи улучшения качества воды Пусть в качестве целевой точки y* пользователь (ЛПР) выбрал точку с координатами (1.4, 0.2, 0.74).

Первая координата – стоимость проекта в миллиардах рублей, вторая и третья координаты – ПДК пер вого и второго видов загрязнений соответственно.

В этом случае при помощи МРЦ в задаче без неопределенностей отбирается 4 альтернативы. Однако уже при малом отклонении 0.05% в стоимости проекта находится 61 альтернатива. Дальнейшие иссле дования показывают, что при отклонении 0.1% будет 82 решения, при 0.5% – 121, 1% – 133 альтернати вы, 2% – 196.

Заключение Полученные результаты показывают, что при наличии хотя бы небольшой неопределенности число отобранных альтернатив резко увеличивается. Дальнейшее увеличение неопределенности ведет к еще большему увеличению числа отобранных альтернатив, но в этом случае это число решений растет мед леннее роста неопределенности. Таким образом, следует полагать, что требуется разработка дополни тельных средств, позволяющих уменьшить число отобранных альтернатив перед их детальным анали зом.

Литература 1. Гусев Д.В., Лотов А.В. Методы поддержки принятия решений в задаче конечного выбора // Исследование операций. Модели, системы, решения / под ред. Ю.П. Иванилова. М.: ВЦ РАН, 1994. С. 15-43.

2. Lotov A.V. Visualization-based Selection-aimed Data Mining with Fuzzy Data // International Journal of Informa tion Technology & Decision Making. Vol.5, No4 (December 2004), 611-621.

3. Лотов А.В., Холмов А.В. Метод разумных целей в многокритериальных задачах с неточными данными // Труды V Московской международной конференции по исследованию операций (ORM 2007). М.: МАКС Пресс, 2007. С.152- 4. Лотов А.В., Бушенков В.А., Каменев Г.К. Компьютер и поиск компромисса. Метод достижимых целей. М.:

Наука, 1997.

5. Лотов А.В., Поспелова И.И. Конспект лекций по теории и методам многокритериальной оптимизации. М.:

ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова, 2006.

6. Бурмистрова Л.В., Ефремов Р.В., Лотов А.В. Методы визуальной поддержки принятия решений и ее приме нение в системах управления водных ресурсов // Известия Академии наук. Сер. Теория и Системы управления.

2002. №5. С.89-100.

7. Lotov A.V., Bourmistrova L.V., Efremov R.V., Bushenkov V.A., Buber A.L., Brainin N.A. Experience of model in tegration of Pareto frontier visualization in the search for preferable water quality strategies // Environmental Modeling & Software. #20. 2005. P.243-260.

8. Lotov A.V., Kistanov A.A., Zaicev A.D. Visualization-based Data Mining Tool and its Web application // In Y. Shi, W. Xu and Z. Chen, editors. Data Mining and Knowledge Management. Chinese Academy of Sciences Symposium CASDMKD. 2004. Beijing, China. July 12-14, 2004 series, Lecture Notes in Artificial Intelligence. Vol.3327. P. 1- Холмов Алексей Владимирович, аспирант факультета вычислительной математики и кибернетики Московского го сударственного университета им. М.В. Ломоносова, тел. +7(926)5771004, e-mail: akholmov@yahoo.com Kholmov Aleksey Vladimirovich, postgraduate student in Faculty of Computational Mathematics and Cybernatics, Moscow State University named after M.V. Lomonosov.

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ УДК 004. В.С. Кедрин, О.В. Кузьмин СИСТЕМНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ КОГНИТИВНОЙ ГРАФИКИ В ИНФОРМАЦИОННОЙ СИСТЕМЕ НАУЧНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ Предложена системная методология формирования когнитивной графики в информационной системе научных вычислений на базе трехкомпонентной программной архитектуры Model-View-Controller, которая значительно расширяет возможности использования форм представления информации (графа, таблицы, графика) в вычислительной системе.

Ключевые слова: когнитивная графика, программная архитектура, MVC, граф, таблица, график, разработка ПО.

V.S. Kedrin, O.V. Kuzmin SYSTEM METHODOLOGY OF MODELING COGNITIVE GRAPHICS IN INFORMATION SYSTEM OF SCIENTIFIC CALCULATIONS A systematic methodology for the formation of cognitive graphics in the information system of scientific calculations based on the three-component software architecture of the Model-View-Controller, which greatly extends the use of forms of information (a graph, spreadsheet, graphics) in the computing system.

Keywords: cognitive graphics, software architecture, MVC, graph, tables, graphs, software development.

Введение Для эффективного взаимодействия с пользователем современные информационные системы для научных и инженерных расчетов должны обладать развитой подсистемой графического представления, которой предъявляются следующие требования:

1. - вариативность вычислительной схемы на базе выбора и синтеза отдельных элементов;

2. - осмысленность представления расчета в виде наглядных графических образов;

3. - интерактивное взаимодействие с пользователем.

Выполнить указанные требования в подсистеме представления возможно с помощью элементов когнитивной графики, которые позволяют приблизить числовые данные к образному восприятию, что согласуется с особенностью восприятия человеческого мозга. При этом когнитивные элементы в виде графических образов и фигур способствуют развитию определенных ассоциаций, позволяющих лучше понять исходную задачу и подсказать направление ее решения. Здесь можно привести три основные задачи, сформулированные Д.А. Поспеловым применительно к когнитивной компьютерной графике [1]:

1. Создание таких моделей представления знаний, в которых была бы возможность однообразными средствами представлять как объекты, характерные для логического мышления, так и образы-картины, с которыми оперирует образное мышление.

2. Визуализация тех человеческих знаний, для которых пока невозможно подобрать текстовые описания.

3. Поиск путей перехода от наблюдаемых образов-картин к формулировке некоторой гипотезы о тех механизмах и процессах, которые скрыты за динамикой наблюдаемых картин.

Учитывая вышеизложенное, можно говорить о том, что при проектировании современных информационных систем в области научных расчетов возникает задача создания подсистемы представления, наделенной элементами когнитивной графики. Частично решение указанной задачи можно найти в работах [2–7]. Так, в [2, 3] рассмотрены общие принципы формирования элементов когнитивной графики без привязки к отдельным классам информационных систем. В работах [4–6] сформирована оригинальная концепция применения когнитивной графики на базе когнитивного оператора. При этом подчеркивается важность использования когнитивной графики в задачах принятия решения и технического творчества инженеров. Однако в указанных работах не содержится ответ на вопрос о том, в каких конкретно элементах подсистемы представления необходимо использовать принципы создания когнитивной графики при проектировании того или иного класса информационных систем. В [7] рассматриваются лишь частные примеры применения когнитивной графики при анализе информации в системах космического назначения. Также отсутствуют работы, которые формируют В.С. Кедрин, О.В. Кузьмин. Системная методология моделирования когнитивной графики в информационной системе научных вычислений представление о методике создания элементов, наделенных когнитивной графикой, с позиции программной архитектуры.

Таким образом, в настоящее время можно говорить об отсутствии единой системной методологии проектирования подсистемы представления на базе элементов когнитивной графики для определенного класса информационных систем. Поэтому настоящая статья посвящена рассмотрению проблемы проектирования подсистемы представления на базе элементов когнитивной графики для класса информационных систем, предназначенных для научных и инженерных расчетов.

2. Подсистема представления в системе научных вычислений Для определения элементов системы научных вычислений, в которых должна формироваться когнитивная составляющая, сформулируем абстрактную модель подсистемы представления для рассматриваемого класса систем (рис. 1).

Рис. 1. Абстрактная модель информационной системы научных вычислений (сплошными линиями показаны связи элементов внутри подсистем, пунктирными – связи между подсистемами) На рис. 1. представлена абстрактная модель, в которой выделено три основных подсистемы:

1) подсистема данных, 2) вычислительная подсистема, 3) подсистема представления.

Формирование когнитивной составляющей возможно только в подсистеме представления, так как ее основное назначение – вывод информации, циркулирующей в вычислительной системе. При этом в представленной модели системы научных вычислений можно выделить три актуальные формы представления информации: 1) граф (схема), 2) таблица, 3) график.

Граф – наиболее эффективная форма представления вычислительной методики (схемы алгоритма). В общем случае используется ориентированный ациклический n-мерный граф G, соединяющий непустое множество узлов V с помощью множества дуг E (рис. 2).

G := (V, E ).

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ e3 v e v2 e v1 v e v3 e v Рис. 2. Пример ориентированного ациклического n-мерного графа В качестве узлов графа V выступают данные и методы (способы обработки и преобразования данных), а в качестве дуг E – связи между данными и методами. Причем связи всегда имеют направление и классифицируют данные по отношению к методу как входные и выходные. Так, если на представленном графе (рис. 2) определить v2 и v3 как методы, а v1, v4, v5 и v6 как данные, то дуга е классифицирует данные v1 как входные по отношению к методу v2. В свою очередь, данные v4 будут выходными по отношению к методу v2, что характеризует дуга е3 и т.д.

Таблица – основная форма представления последовательности данных, обеспечивающая организацию их структуры. При этом предполагается однородность представления информации, то есть в таблице должны быть представлены согласующиеся серии векторов одной размерности или матрица параметров, в которой устанавливается смысловая связь между элементами, принадлежащими одному столбцу или одной строке.

График – форма, обеспечивающая наглядность представления данных, позволяющая геометрически сформировать соотношения и пропорции данных и дать их аналитическую интерпретацию.

При реализации данных форм представления информации в системе научных вычислений возможны следующие проблемы:

- во-первых, в научных расчетах используются данные высокой размерности, поэтому быстрая обработка очень больших наборов данных и их визуализация в виде таблиц и графиков требует от информационной системы больших вычислительных затрат;

- во-вторых, для одних и тех же наборов данных может существовать множество представлений, поэтому необходима постоянная синхронизация информации во всех представлениях, относящихся к какому либо одному источнику данных.

Таким образом, проектирование форм представления информации в системе научных вычислений должно быть основано на эффективной программной архитектуре, которая позволит решать задачу быстрой обработки данных для представления информации и синтеза указанных форм на базе дополнительных элементов когнитивной графики.

2. Программная архитектура Поскольку когнитивная графика предполагает развитую графическую составляющую, то программная архитектура, лежащая в основе системы научных вычислений, должна быть ориентирована на построение эффективного графического интерфейса пользователя. В настоящее время одной из наиболее перспективных архитектур в этой области является трехкомпонентная программная архитектура Model-View-Controller (далее MVC), которую впервые предложил и описал норвежец Трюгве Ринскаут [8]. Данная архитектура легла в основу первой среды программирования с графическим интерфейсом пользователя – Smalltalk-80 [9]. Суть архитектуры MVC представлена на рис.


3. В основе данной архитектуры лежит три компонента: 1) модель, 2) контроллер, 3) представление.

Модель содержит сведения о данных и их структуре и изменяется под действием команд контроллера.

Контроллер реагирует на действия пользователя и оповещает модель об изменении.

Представление предназначено для вывода данных для пользователя и реагирует на изменения модели.

В.С. Кедрин, О.В. Кузьмин. Системная методология моделирования когнитивной графики в информационной системе научных вычислений Рис. 3. Концепция Model-View-Controller (сплошными линиями показаны прямые связи, пунктирными – косвенные связи) Архитектура MVC задает не столько правила разделения программы в стадии проектирования на компоненты, сколько правила их взаимодействия. Благодаря этой особенности можно работать с моделью, а, следовательно, и с источником данных, которые взаимодействуют с моделью, независимо от графического представления.

Применение архитектуры MVC позволяет создать модель, формирующую для представления только те данные, которые действительно необходимы для отображения. К примеру, если данные исследователя в памяти занимают несколько тысяч значений, то на экране в актуальном виде отображается всего лишь несколько десятков значений. По этому представлению в актуальный момент времени модель должна сформировать только необходимые значения, что значительно повысит скорость обработки очень больших наборов данных и уменьшит потребность в памяти для графической визуализации по сравнению с подходом, требующим считывания всех данных.

Еще одним преимуществом архитектуры MVC является то, что она ориентирована на решение проблемы синхронизации данных для разных представлений. Так, связывая одну модель с двумя или более представлениями, можно представить взаимодействие данных различными способами. Благодаря этому изменения в данных будут отражаться во всех представлениях, связанных с моделью (рис. 4).

Рис. 4. Синхронизация данных во множестве представлений Необходимо отметить, что в современных языках программирования компонентный уровень MVC имеет ряд изменений:

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ 1) отсутствие четкого разделения между представлением и контроллером;

2) некоторые реализации MVC не требуют обязательного выделения модели в качестве отдельной компоненты, так как она по умолчанию включена в стандартный механизм программных элементов.

Задача лица, проектирующего программу, – принять решение о выделении компоненты модели или сразу описать механизм обработки данных. Второе решение приводит к проблеме проектирования обработки данных для каждого представления. Поэтому использование механизма MVC без отдельного выделения компоненты–модели, на наш взгляд, представляется нецелесообразным. В представляемой в дальнейшем концепции формирования когнитивной составляющей в подсистеме представления понятие модели занимает центральное место.

3. Особенности формирования когнитивной составляющей в подсистеме представления Хотя применение архитектуры MVC в явном виде несколько усложняет этап проектирования программной структуры, оно дает значительный выигрыш в быстродействии программы и возможности синхронизации информации в разных представлениях из одного источника данных. При этом потенциал применения архитектуры MVC намного выше и проявляется на стыке с различными информационными технологиями. Так, соединение возможностей данной архитектуры с принципами объектно ориентированного подхода, как например, в кроссплатформенном инструментарии разработки программного обеспечения на языке программирования C++ Qt (Nokia) [10], позволяет сформировать новые направления применения архитектуры MVC.

Выделим некоторые из таких системных направлений для создания форм представления информации в системе научных вычислений.

Первое направление – представление графа. Ориентированный граф является основой для вариативного формирования схемы алгоритма. При этом для обеспечения вариативности этого процесса необходимо, чтобы представление и контроллер формировали рабочую область не только для представления, но и для изменения элементов графа. Это возможно, если реализовать представление схемы расчета с помощью технологии визуального проектирования, которое предлагает возможность манипулирования графическими объектами вместо написания команд.

Технология визуального проектирования позволяет создать рабочую область, предназначенную для формирования граф-представления моделей схемы расчета на основе репозитария методов, содержащего различные классы методов (алгоритмов) анализа и синтеза (рис. 5). При таком подходе в отличие от классического способа моделирования исследователю не нужно досконально изучать специализированный язык программирования и численные методы математики, а достаточно общих знаний о законах и зависимостях той предметной области, в которой он работает.

Рис. 5. Визуальное проектирование схемы расчета в графе-представлении Когнитивная составляющая при создании визуальной схемы расчета может проявляться в формировании различных классов геометрических объектов и их цветовой гаммы, что позволяет В.С. Кедрин, О.В. Кузьмин. Системная методология моделирования когнитивной графики в информационной системе научных вычислений различать отдельные типы объектов и их виды в пределах типа. Так, на рис. 5 источники данных представлены в виде окружностей, а применяемые методы – в виде закругленных квадратов, при этом разные виды методов имеют различную цветовую палитру. Еще одно применение когнитивных элементов в представлении графа – это определение структур, в которых располагаются те или иные источники данных, что показано на рис. 5 с помощью пунктирных прямоугольников.

Таким образом, визуальное проектирование схемы алгоритма на базе вариативного ориентированного графа является основой наглядного и функционального интерфейса, обеспечивающего отображение и формирование логических взаимосвязей между входной и выходной информацией и снижающего сложность описания и составления вычислительной методики.

Второе направление – представление таблицы. Введение когнитивных элементов позволяет создать неоднородную структуру данных и отделить для исследователя одни данные от других. С помощью этого можно обеспечить классификацию данных в одной таблице, например, на временной, логический или числовой типы, или представление различных структур данных, например, представление матриц и векторов различной размерности в одной таблице.

Решение в технологическом аспекте представления когнитивной графики в таблице на базе архитектуры MVC может быть основано на механизме делегатов, предложенном в инструментарии программирования Qt [10]. Делегаты позволяют обеспечить более тонкое и развитое управление отображением данных. В данном контексте делегаты можно рассматривать как форму отображения элементов в одном представлении в зависимости от заданных параметров. Так табличное представление состоит из множества ячеек, находящихся на пересечении строк и столбцов таблицы. При этом каждая ячейка имеет свое отображение, определяемое с помощью модели, которое можно менять благодаря делегату в зависимости от текущего состояния ячейки (рис. 6). То есть, математически можно интерпретировать, что модель должна содержать функцию отображения делегата S в зависимости от множества критериев К:

S = F (K ).

Рис. 6. Отображение делегата в табличном представлении Таким образом, технология MVC с использованием делегатов позволяет задать «осмысленную»

цветовую гамму в табличном представлении, что дает возможность размещения в одной таблице различных структур данных.

Третье направление – представление графика. График позволяет сформировать наглядный иллюстративный образ, который может натолкнуть исследователя на определенный вывод или знание, что говорит о его природной когнитивной составляющей. Однако в существующих в настоящее время способах графического вывода в вычислительных программах данная функция развита слабо. Это связано с тем, что, как правило, для графического вывода характерен локальный статический режим работы. При таком режиме пользователю необходимо принудительно заносить серии данных в графический контейнер для их отображения. В случае изменения данных он вынужден производить очистку графика и повторять процедуру заново. Таким образом, график условно отделен от данных и изменяется только под воздействием команд пользователя.

Архитектура MVC позволяет создать форму графического представления, которая будет реагировать на команды модели, связанной с определенным источником данных, как показано на рис. 4. При этом изменения данных в источнике благодаря механизму модели синхронно производятся в представлениях ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ с ней связанных, в том числе и графическом. На уровне контроллера в этом случае можно ввести механизм изменения формы графического представления.

Таким образом, благодаря применению архитектуры MVC когнитивная функция графика усиливается, так как он становится интерактивным, то есть самостоятельно реагирует на изменения, происходящие в данных. На наш взгляд, в системе научных вычислений должны существовать две формы реализации графика:

1) статическая (традиционная архитектура) – для вывода и построения эталонных (теоретических) зависимостей;

2) интерактивная (на базе архитектуры MVC) – для непосредственного наблюдения изменения данных в процессе их расчета и преобразования.

Причем вторая форма графического представления является наиболее актуальной в процессе обработки потоковых данных в системах мониторинга в режиме реального времени (on-line).

4. Моделирование когнитивной составляющей с применением архитектуры MVC Продемонстрируем описанные выше возможности архитектуры MVC на конкретном примере экспериментальной разработки программного комплекса научных вычислений для анализа и прогнозирования сложных энергетических процессов (рис. 7). Данная программа реализуется авторами на базе библиотеки Qt и содержит ряд законченных решений применения архитектуры MVC, описанных ранее.


Рис. 7. Графический интерфейс системы визуального проектирования и моделирования алгоритмов Как видно из рис. 7, в программе реализованы три области:

– область таблиц;

– область графиков;

– область схемы-расчета.

Данные области содержат механизмы контроллера в виде функциональных кнопок и редакторов свойств, а также представления в виде таблицы, графика и схемы расчета (графа). Все области подключены к одной модели, которая управляет процессами изменения и синхронизации данных в отдельных представлениях и реализует направления применения архитектуры MVC для проектирования системы научных вычислений, раскрытых в п. 3.

В.С. Кедрин, О.В. Кузьмин. Системная методология моделирования когнитивной графики в информационной системе научных вычислений Рис. 8. Схема расчета методики На рис. 8. показан пример схемы расчета на базе ориентированного графа. Построение схемы расчета основано на элементах когнитивной графики, что выражается в форме графических фигур и линий связи, помогающих понять структуру организации сложной методики расчета. Как понятно из схемы, в программе реализуется три таблицы (Tab1, Tab2, Tab3), содержащие в общей совокупности 15 серий данных для пользователя. Также из схемы видно, что в процессе расчета применяется четыре метода, показанных на рис. 7 с помощью восьми закругленных квадратов, соединенных с определенными сериями данных линиями связи. При этом реализация одного метода представляется в схеме расчета с помощью двух закругленных квадратов, расположенных в областях входа In и выхода Out. В области входа In показывается связь метода с входными для него сериями данных, в областях выхода Out – с выходными сериями данных. Систематизация типов методов выражена с помощью цветовой палитры, так методы №3 и №4 принадлежат одному типу.

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ а) б) Рис. 9. Табличное представление: а) без элементов когнитивной графики;

б) с элементами когнитивной графики На рис. 9 а, б показано одно и то же табличное представление, в котором используется временной и числовой типы для сформированных последовательностей данных. При этом числовой тип данных применяется для двух векторов и трех матриц, которые, в свою очередь, могут находиться в двух состояниях: свернутом (отображаются только элементы первого столбца матрицы) и развернутом (отображаются все элементы матрицы).

Различие между таблицами, представленными на рис. 9, состоит в том, что табличное представление «б» наделено элементами когнитивной графики, предназначенной для выделения различных типов данных и характеристики состояния последовательностей данных. Для этого используется цветовая палитра, реализуемая с помощью механизма делегатов. Так, при отображении серии данных В.С. Кедрин, О.В. Кузьмин. Системная методология моделирования когнитивной графики в информационной системе научных вычислений временного типа применяется штриховка фона ячейки, отображении вектора числовых значений фон ячейки закрашивается светло-голубым цветом, при отображении матрицы используется зеленый цвет с градиентной заливкой. Чтобы отличать серии последовательно идущих данных, применяются различные оттенки цвета, к примеру, четные серии данных, содержащие матрицы, закрашиваются светло-зеленым цветом, а нечетные – зеленым.

Рис. 10. Табличное представление с развернутой матрицей во второй серии данных Более сложный делегат реализуется в нижней функциональной строке таблицы (рис. 10) и представлен в виде элемента «+», реагирующего на нажатия пользователя. В случае нажатия данного элемента матрица данных перейдет в развернутое состояние как показано на рис. 9. При этом распространение градиента заливки фона ячейки поменяет свое направление.

Таким образом, цветовая палитра таблицы реагирует на тип данных и их состояние и позволяет сформировать осознанный образ восприятия информации для исследователя, что усиливает познавательный процесс.

Задача усиления когнитивной составляющей реализована и в области вывода графиков (см. рис. 11).

Для формирования графиков в программе была использована библиотека кода mathGL на основе языка программирования С, содержащая развитые средства графического вывода и более 40 основных типов графиков для одно-, двух- и трехмерных массивов [11].

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ Рис. 11. Область вывода графиков При формировании когнитивной основы графического вывода были реализованы следующие этапы проектирования:

1) создано динамическое представление (View), интерактивно реагирующее на изменение данных;

2) создан выбор типа отображения графика на базе редактора свойств, реализующего механизм контроллера (Controller).

3) добавлена возможность размещения от одного до ста графиков в одной области графического представления (View).

Таким образом, сформированная графическая модель наделена важной познавательной функцией, которая заключается в том, что исследователь может анализировать процесс изменения данных при их расчете или мониторинге данных путем сравнения образов или их динамики на отдельных графиках.

Выводы Предложена методология проектирования подсистемы представления на базе трехкомпонентной программной архитектуры Model-View-Controller, в которой значительно расширяется возможность реализации отдельных форм представления информации в системе научных вычислений за счет элементов когнитивной графики.

Проведенное проектирование экспериментальной разработки программного комплекса научных вычислений для анализа и прогнозирования энергетических процессов показало:

1) выделение трехкомпонентного уровня архитектуры MVC позволяет оптимизировать и синхронизировать процесс представления больших объемов данных и наделить отдельные формы представления информации когнитивной составляющей;

2) когнитивные элементы в виде графических образов и цветовой гаммы позволяют сформировать систематизацию применяемых данных и методов в схеме вариативной методики и увеличивают оперативность ее анализа;

3) механизм делегатов позволяет представить в таблице произвольную неоднородную структуру данных;

4) синхронизация информации с источником данных в форме представления графиков на базе архитектуры Model-View-Controller позволяет создать интерактивный динамический образ, реагирующий на изменения, происходящие в источнике данных.

В.С. Кедрин, О.В. Кузьмин. Системная методология моделирования когнитивной графики в информационной системе научных вычислений Литература 1. Поспелов Д.А. Фантазия или наука: на пути к искусственному интеллекту. – М.: Наука, 1982. – 221 с.

2. Зенкин А.А. Когнитивная компьютерная графика. – М.: Наука, 1991. – 187 с.

3. Литвинцева Л.В., Байдун В.В., Налитов С.Д. Графические средства для построения систем когнитивной графики и виртуальных миров // Программные продукты и системы. – 1995. – №1. – С. 42- 4. Максимов В.И. и др. Когнитивные технологии для поддержки принятия управленческих решений. URL:

http: // www.iis.ru/events/19981130/maximov.ru.html. (20.10.2010).

5. Кутаков С. В. Системное когнитивное моделирование КТР ЭВС. URL: http: // iu4.bmstu.ru/konf/2004/sbornik/s1_28.doc. (20.10.2010).

6. Алдер Г. НЛП-графика. Мышление в рисунках и образах. – СПб.: Питер. 2003. – 192 с.

7. Емельянова Ю.Г. Графический анализ информации в системах космического назначению // Программные продукты и системы. – 2009. – №2. – С. 42-56.

8. Reenskaug T. MVC. Xerox PARC 1978-79. URL: http: // heim.ifi.uio.no/~trygver/themes/mvc/mvc-index.html.

(20.10.2010).

9. Burbeck St. Application programming in Smalltalk-80TM: How to use Model-View-Controller (MVC). URL:

http: // st-www.cs.illinois.edu/users/smarch/st-docs/mvc.html. (20.10.2010).

10. Бланшет Ж., Саммерфилд М. Qt 4. Программирование GUI на C++: пер. с англ. Изд. 2-е, доп. – М.:

КУДИЦ-Пресс, 2008. – 736 с.

11. MathGL – library for scientific graphics. URL: http:// mathgl.sourceforge.net/. (20.10.2010).

Кедрин Виктор Сергеевич, канд. техн. наук., доцент кафедры психологии и менеджмента Иркутского государственный университета (филиал в г. Братске), доцент кафедры дискретной математики и защиты информации Братского государственного университета;

раб. тел.: 8(3953)44-83-61, факс 8(3953)45-60-70, моб. тел.:

89501080009, e-mail: kedrinvs@mail.ru, kedrin@nsplus.ru Кузьмин Олег Викторович, д-р. физ.-мат. наук., профессор, зав. кафедрой теории вероятностей и дискретной математики Института математики, экономики и информатики Иркутского государственного университета;

раб.

тел.: (8-3952) 24-22-14, 24-22-28, моб. тел.: 89025604133, e-mail: quzminov@mail.ru Kedrin Viktor Sergeyevich, Ph.D., assistant professor of psychology and management, Irkutsk State University branch in Bratsk (main job), assistant Professor of Discrete Mathematics and Information Security, SEI of HE Bratsk State University (off-hour job);

Work Phone: (+7-3953) 44-83-61, Fax: (+7-3953) 45-60-70 (marked with "Kedrin VS), Cell phone: +7-950-108-00-09, Postal address: 665709, Irkutsk region, Bratsk, POBox 2121, Kuzmin Oleg Viktorovich, D. of P. M., professor, sciences, head. Department of Probability Theory and Discrete Mathematics, Institute of Mathematics, Economics and Computer Science, SEI of HE Irkutsk State University;

Work Phone: (8-3952) 24-22-14, 24-22-28,Cell phone: 89025604133, e-mail: quzminov@mail.ru ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ УДК 517. В.В. Кибирев УРАВНЕНИЯ КЛАССА ФУКСА ВТОРОГО И БОЛЕЕ ВЫСОКИХ ПОРЯДКОВ В данной работе рассматриваются необходимые и достаточные условия для решения линейных дифференциальных уравнений класса Фукса второго и более высоких порядков с рациональными коэффициентами.

Ключевые слова: уравнения класса Фукса, регулярные особые точки, голоморфные функции.

V.V. Kibirev THE EQUATIONS OF THE CLASS FUCHS OF THE SECOND AND ABOVE ORDER In the given paper the necessary and sufficient conditions for the solution of the linear differential equations of the class Fuchs of the second and above order with rational factors are considered.

Keywords: the equations of the class Fuchs, regular special points, functions with derivatives.

Введение При исследовании эллиптических уравнений с высоким порядком вырождения был обнаружен ряд особенностей для уравнений с частными производными, не имеющих аналогов в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Изложению некоторых результатов и посвящена эта работа.

1. Постановка задачи Профессором А.И. Янушаускасом в [4] и [5] был указан ряд особенностей при исследовании эллиптических уравнений с высоким порядком вырождения и предложен некоторый метод для изучения поведения интегралов с регулярной особой точкой.

В данной работе этим методом изучается поведение интегралов уравнений класса Фукса в бесконечно удаленной точке.

2. Важные теоремы Теорема 1. Для того чтобы уравнение ''+ ( z ) '+ q ( z ) = 0 (1.1) имело в некоторой точке z = z0, особой для коэффициентов p( z ) и q ( z ), интегралы с регулярной особой точкой необходимы и достаточны, чтобы p( z ) в точке z0 имел полюс не выше первого порядка, а q ( z ) - полюс не выше второго порядка. Уравнение класса Фукса всегда можно привести к виду (1.9), причем показателями 1K, 2K, K = 1,..., n вполне определяется коэффициент p( z ), а q ( z ) лишь с точностью до некоторого полинома степени n-2.

Доказательство. Как известно, линейные дифференциальные уравнения, интегралы которых имеют только регулярные особые точки, называются уравнениями класса Фукса.

Так как регулярная особая точка является полюсом коэффициентов p(z) и q(z) для линейного дифференциального уравнения второго порядка w11 + p ( z ) w1 + q ( z ) w = 0 (1.1) с рациональными коэффициентами p(z) и q(z) в случае уравнения класса Фукса p(z) и q(z) являются рациональными функциями. Пусть a1, a2..., an - особые точки функций p(z) и q(z), тогда имеем:

P( z ) Q( z ) p( z ) = n q( z ) = n,, (1.2) ( z aK ) ( z aK ) 1 где P и Q – многочлены. Уравнение (1.1) теперь принимает вид:

P( z ) Q( z ) " + n ' + n =0 (1.3) ( z aK ) ( z aK ) 1 Для изучения поведения интегралов уравнения (1.3) в бесконечно удаленной точке сделаем замену z = 1. Получим следующие соотношения:

В.В. Кибирев. Уравнения класса Фукса второго и более высоких порядков d 2 d d d d = 2 = 4 + 2,, 2 d d d dz dz P ( 1 ) P ( ) 1 = N n, n n ( aK ) aK Q ( 1 ) Q1 ( ) = M 2n, n n 1 ( aK ) aK где P и Q1 – многочлены от, а N – степень P(z) и М – степень Q(z). Уравнение (1.3) принимает вид P ( ) Q1 ( ) 2 ' + " + = 0.

n 1 n N n+ 2 M 2 n+ aK aK 1 Для того чтобы = 0 была регулярной особой точкой, необходимо и достаточно, чтобы N n 1, M 2n 2. Таким образом, уравнение класса Фукса имеет вид:

p z n 1 +... + pn 1 ' q0 z 2 n 2 +... + q2 n "+ 0 n + = 0. (1.4) n ( z aK ) ( z aK ) 1 Как известно, всякую рациональную функцию можно представить в виде суммы простейших дробей, т.е.

p0 z n 1 +... + pn 1 n A = K.

p( z ) = n K =1 z aK ( z a ) K В окрестности z = aK уравнение (1.4) теперь можно представить так:

( z aK )2 "+ AK ( z aK ) + ( z aK )2 (...) '+ (1.5) + M K + M K ( z aK ) + ( z aK )2 (...) = ' '' = ( z aK ) [ + ( z aK ) +...], Подставив в получим определяющее уравнение (1.5) ' K K ( 1) + AK + M = 0. Для корней и этого уравнения имеем следующие соотношения:

1 K ' 1K + 2K = 1 AK, 1K 2K = M K, (1.6) следовательно, 1 n (1 1K 2K ) 1 1K K n ( z) = p =,, K =1 1 aK z aK K = 2 1 n 1 1K 2K 1 P ( ) n = = 2 (1 1K 2K ) + ( 0 + 1 +...).

n 1 K =1 1 aK K 1 N n2 aK n (1 K K Если = 0 является точкой голоморфности интегралов, то 2 ) = 2. Если же = K = – регулярная особая точка, то, обозначив корни определяющего уравнения для нее через 1n +1 и 2 +1, n получим соотношения Фукса:

n + (1 K K 2 ) = 2 (1.7) K = Преобразуем далее функцию q ( z ) :

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ n MK q0 z 2 n 2 +... + q2 n 2 + Qn 2 ( z ), q( z ) = = (1.8) n n ( z aK ) K =1 z aK ( z aK ) 1 где Qn 2 ( z ) – многочлен степени не выше n-2. Если n 2 0, то Qn 2 ( z ) = 0. Если z = является точкой голоморфности для интегралов, то n MK q z 2 n 4 +... + q2 n 4 q( z ) = 0 n + Qn 4 ( z ).

=n ( z aK ) K =1 z aK ( z aK ) 1 Разлагая (1.8) по степеням z aK, будем иметь:

q ( z ) = [ (aK a1 )...( aK aK 1 )(aK aK +1 )...(aK an )] MK [ 0 + 1 ( z aK ) +...].

+ ( z aK ) z aK Сравнивая это разложение с (1.5), найдем M K = M K [ (aK a1 )...(aK aK 1 )(aK aK +1 )...(aK an ) ], ' а из второго равенства (1.6) M K = 1K 2K (aK a1 )...(aK aK 1 )(aK aK +1 )...(aK an ).

Окончательно уравнение класса Фукса приводится к следующему виду:

n 1 1K K ''+ '+ K =1 z aK (1.9) n K K (a a1 )...(aK aK 1 )(aK aK +1 )...(aK an ) + 1 2 K + Qn 2 ( z ) n = 0.

z aK K =1 ( z aR ) Теорема доказана.

точки z = Для уравнений высших порядков интегралы в окрестности регулярной особой представляются в следующем виде:

w = z r {0 ( z ) + 1 ( z ) Inz +... + m ( z )( Inz ) m }, (1.10) где i ( z ), i = 1,..., m, – голоморфные в окрестности точки 0 функции.

Теорема 2. Для того чтобы точка z = 0 была регулярной особой точкой, необходимо и достаточно, чтобы уравнение было представлено в следующем виде:

z n w( n ) + z n 1 Pn 1 ( z ) w( n 1) +... + P0 ( z ) w = 0 (1.11) где P0 ( z ), i = 0,..., n 1, - голоморфные в окрестности точки z=0 функции.

Доказательство. Действительно, уравнение n-го порядка, все особые точки которого являются регулярными особыми точками, имеет вид P2( s 1)( Z ) P (Z ) w( n 1) + s w( n 2) +...

w( n ) + s s ( z aK ) ( z aK ) 1 (1.12) Pn ( s 1)( Z )... + s w = 0, n ( z aK ) где Pi ( z ) – полиномы степени i. Для уравнения (1.12) справедливо следующее соотношение Фукса:

s n n n(n 1) ik + i = ( s 1) 2. (1.13) k =1 i =1 i = Рассмотрим функцию w = g ( z, r ) = g v z v + r. В результате подстановки этой функции в левую часть v = уравнения (1.11) получим:

d i r +v n P ( g ( z, r )) = g v z i Pi ( z ) z.

dz i v =0 i = В.В. Кибирев. Уравнения класса Фукса второго и более высоких порядков Выражение P ( z ), где – произвольная константа, будем называть характеристической функцией дифференциального оператора, стоящего в левой части уравнения (1.11). Для характеристической функции имеем:

n P ( z ) = z Pi ( z ) ( 1)...( i + 1) = z f ( z, ).

i = Так как f ( z, ) голоморфна в окрестности точки z = 0, то f ( z, ) = f k ( ) z k, P( z ) = z f ( z, ) = f k ( ) z k +, (1.14) k =0 k = где функция f ( z, ) целая функция от.

Рассмотрим функцию (1.10). Так как все ( z ) являются голоморфными в окрестности z= функциями, имеем ( z ) = g v z v, = 0,..., m. Обозначим через P ( w) оператор, стоящий в левой части v = уравнения (1.11), и подставим (1.11) в левую часть (1.12):

P ( w) = P z r ( g 0 v + glv ln z +... + g mv (ln z )m ) z v = v =0 = { g ov P( z r + v ) + glv P ( z r + v ln z ) +... + g mv P( Z r + v (ln z ) m )}.

v = di di P ( z ) = P ( z )ln z )i ) = i ( z f ( z, )).

раз по, получим Дифференцируя равенство (1.14) i di dz Таким образом:

i P ( z (ln z )i ) = z Ci j f ( i j ) ( z, )(ln z ) j, (1.15) i = где Ci j - биноминальные коэффициенты, и m P ( w) = g v P ( z v + r (ln z ) ) = =0 v = m = g v Cvj z v + r f ( j ) ( z, r + v)(ln z ) j = v =0 =0 j = m m = (ln z ) j g v Cj z v + r f ( j ) ( z, r + v).

v =0 = j j = Если w является интегралом уравнения (1.11), то должны выполняться равенства:

m z g C f ( j ) v+r j ( z, r + v) = 0, j = 0,...m. (1.16) v v =0 =j f ( k ) ( z, ) = f g( k ) ( ) z g. Подставив эти ряды в (1.16) и приравнивая нулю Но мы имеем g = коэффициенты при степенях z, получим систему уравнений для определения коэффициентов g v. В частности, для коэффициентов g 0 будем иметь следующую систему:

g oo f o (r ) + glo f o' (r ) +... + g mo f o( m ) ( r ) = 0, glo f o (r ) +... + mg mo f o( m 1) (r ) = 0, ………………………………….

g mo f o (r ) = 0.

Эта система должна иметь нетривиальное решение, поэтому ее определитель должен обращаться в m [ f o (r )] нуль, но он равен поэтому r должно быть корнем определяющего уравнения, n f o (r ) Pi (0) r (r 1)...(r i + 1) = 0. Теорема доказана.

i = Здесь также можно исследовать тот случай, когда все разности между всевозможными парами корней определяющего уравнения не являются целыми числами. В этом случае уравнение (1.11) имеет полную ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ систему линейно-независимых интегралов вида f k ( z ) = z k g k ( z ), k = 1,..., n, где g k ( z ) - голоморфные в окрестности z=0 функции, а k - корни определяющего уравнения. Теорема доказана.

Заключение Таким образом, доказаны теоремы о существовании интегралов с регулярной особой точкой для дифференциальных уравнений второго и более высоких порядков.

Литература 1. Абдрахманов А.М. Эллиптические системы, вырождающиеся в точке // Дифференциальные уравнения. 1977.

№ 1, т. 13. С. 267-284.

2. Бицадзе А.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений II порядка. М.: Наука, 1966. 204 с.

3. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука, 1966. 292 с.

4. Янушаускас А. Применение вырождающихся уравнений к изучению задачи о наклонной производной // Дифференциальные уравнения. 1969. № 1, т. 5, С.81-90.

5. Янушаускас А. Теоремы вырождающихся эллиптических уравнений // Сиб. мат. журнал. 1974. № 6, т. 15. С.

1394-1405.



Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 9 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.