авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |

«5. Математическое моделирование УДК 517.977.54 Б.И. Ананьев, Н.В. Гредасова ...»

-- [ Страница 7 ] --

На практике к проектируемой ВЗС часто накладываются требования об ограничении абсолютных ускорений некоторых s заданных точек объекта защиты. Эти ограничения могут быть записаны в виде [1] (q (t ) + (t ))Wi (q(t ) + (t )) 1, (i = 1, 2,..., s) (2) А.Д. Мижидон, М.Б. Имыхелова. Предельные возможности в задаче активной виброзащиты где Wi – заданные постоянные положительно определенные 66-матрицы.

В качестве требований к габаритным размерам ВЗС накладываются ограничения на относительные смещения в заданных направлениях n заданных точек тела. Эти ограничения могут быть представлены следующим образом -1 diq (t ) 1, (i = 1,2,..., n) (3) Здесь d i – заданные 6-мерные векторы.

Косвенной оценкой качества проектирования может служить следующий функционал T T 2T qQq + (q (t ) + (t )) R (q (t ) + (t )) d.

J (U ) = lim (4) Добиваясь его уменьшения, мы будем, в конечном итоге стремиться к выполнению ограничений (2) и (3). Здесь Q и R – положительно определенные 6 6 -матрицы, определяемые соотношениями 1d 2 d2, R = W, s ii Q = (1d1 2 d 2 … n d n )... i = d n n где i 0, i 0 – некоторые весовые коэффициенты, удовлетворяющие условию n s i + i = 1. (5) i =1 i = Для нахождения управления, доставляющего минимум функционалу (5), будем использовать методику аналитического конструирования оптимального регулятора (АКОР). Для этого получим обобщение АКОР на случай минимизации функционала с подынтегральной функцией вида xQx + xPu + u Ru.

2. Обобщение методики аналитического конструирования оптимального регулятора Рассмотрим линейную систему с постоянными коэффициентами x = Ax + Bu + f (t ), (6) где f (t ) – n -мерная заданная, непрерывная вектор-функция, характеризующая возмущения.

Требуется определить управление u ( x, t ), доставляющее на решениях системы (6) минимум функционалу T T 2T ( xQx + xPu + u Ru )dt.

J (u ) = lim (7) Матрица W, составленная из этих матриц Q, P, R Q 1P W =, P R 2 является положительно определенной.

Сначала рассмотрим задачу АКОР с конечным интервалом наблюдения. Требуется определить управление u ( x, t ), доставляющее минимум функционалу T J (u ) = ( xQx + xPu + u Ru )dt, (8) где T – заданный момент времени.

Введя функцию Понтрягина 1 1 H = (t ) Ax + (t ) Bu + (t ) f (t ) xQx xPu u Ru, 2 2 где (t ) – n -мерный вектор, удовлетворяющий сопряженной системе дифференциальных уравнений = A + Qx + Pu, (9) с условием на правом конце ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ (T ) = 0. (10) Из условия максимума функции Понтрягина оптимальное управление определится следующим образом u ( x, t ) = R 1 B (t ) R 1 Px. (11) Будем искать (t ) в виде (t ) = K (t ) x + n(t ), (12) где K (t ) – n n -матрица-функция и n(t ) – n -мерная вектор-функция, подлежащие определению.

Таким образом, подставив (12) в (11), приведем оптимальное управление к виду u ( x, t ) = R 1 BK (t ) + R 1 P x + R 1 Bn(t ). (13) Подставив управление (13) в исходную систему (6) и в сопряженную систему (9), после преобразований получим 1 1 1 1 1 K + KA + AK KBR BK KBR P PR BK PR P + Q x 2 2 n An + KBR 1 Bn + PR 1 B n + Kf (t ) = 0.

Отсюда можем заключить, что матрица K (t ) и вектор-функция n(t ) в оптимальном управлении (13) удовлетворяют соответственно матричному дифференциальному уравнению 1 1 K + KA + AK KBR 1 BK KBR 1 P PR 1 BK PR 1 P + Q = 0 (14) 2 2 с условием на правом конце K (T ) = 0 (15) и линейной системе дифференциальных уравнений n(t ) = A K (t ) BR 1 B PR 1 B n(t ) + K (t ) f (t ) (16) с условием на правом конце n(T ) = 0. (17) Представим оптимальное управление (13) в задаче АКОР при постоянно действующих возмущениях при конечном интервале наблюдения в виде u ( x, t, T ) = R 1 BK (t, T ) + R 1 P x + R 1 Bn(t, T ). (18) Здесь K (t, T ) и n(t, T ) соответственно решения матричного дифференциального уравнения (14) с условием на правом конце (15) и линейной системы дифференциальных уравнений (16) с условием на правом конце (15).

В [2] доказывается следующая теорема:

1 Теорема. Если rang[ BAB... An 1 B ] = n, где A = A BR 1 P, а матрица Q = Q PR 1 P является 2 неотрицательно-определенной матрицей, возмущение f (t ) является непрерывной, ограниченной вектор-функцией, то управление u ( x, t ) = R 1 BK + R 1 P x + R 1 Bn(t ), (19) в котором симметричная положительно определенная матрица K = lim K (t, T ) является решением T матричного алгебраического уравнения Риккати KA + AK KBR 1 BK + Q = 0, (20) а n(t ) = lim n(t, T ) – частное решение линейной системы дифференциальных уравнений (16), доставляет T минимум функционалу (7) при постоянно действующих возмущениях при неограниченном интервале наблюдения.

А.Д. Мижидон, М.Б. Имыхелова. Предельные возможности в задаче активной виброзащиты 3. Применение методики АКОР для оценки предельных свойств активной виброзащиты Введем 12-мерный вектор x, составленный из компонент векторов q и q x = ( q, q ) (21) С учетом введенных обозначений система (1) примет вид (6), где матрицы A, B и функция f (t ) определяются следующим образом E 0, B = 1, f (t ) = A = 1.

1 B A C A A D Из уравнения (1), выразив q + (t ) = A1 ( Bq + Cq U (t ) ), приведем (4) к виду T qQq + ( Bq + Cq U (t ) ) A1 RA1 ( Bq + Cq U (t ) ) d. (22) T 2T J (U ) = lim После преобразования, учитывая обозначения (21), перепишем функционал (22) в виде (7), где C RC + Q C RB 2C R ( ) R = A1 RA1, Q =, P = 2 BR.

BRC BRB В соответствии с изложенным выше управление u ( x, t,, ), доставляющее минимум функционалу (22), имеет вид u ( x, t,, ) = R 1 BK + R 1 P x + R 1 Bn(t ), (23) где K – решение матричного алгебраического уравнения Риккати (20), а n(t ) – частное решение линейной системы дифференциальных уравнений (16).

Построенный оптимальный стационарный закон движения должен удовлетворять требованиям, предъявляемым к ВЗС (2) и (3). Решая вспомогательную задачу оптимального управления с критерием (4), мы стремились удовлетворить этим требованиям, тем не менее, построив оптимальный стационарный закон движения {u (t,, ), q (t,, )}, следует удостовериться, что оптимальный стационарный закон движения действительно удовлетворяет ограничениям (2) и (3). Для этого введем следующую функцию u (t,, )W u (t,, ), i ( t,, ) = max (24) n j 1 d j q (t,, ).

s i Если максимальное значение функции (24) удовлетворяет условию 1, то оптимальный стационарный закон движения {u (t,, ), q (t,, )} в силу построения функции (23) удовлетворяет требованиям, предъявляемым к ВЗС.

Отметим, выполнение ограничений (2) - (3) можно добиваться выбором весовых коэффициентов i и j, присутствующих при организации матриц Q и R. Для этого поставим следующую задачу.

Задача 1. Найти векторы =..., =..., (25) s p компоненты которых удовлетворяют условию (5) и при которых выполняются неравенства u (t,, )W u (t,, ) 1, ( s i 1), i (26) j q (t,, ) 1, (n j 1).

d ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ Для решения этой задачи предлагается, разбив отрезок [ 0,T ] точками t0 = 0, t1,..., t N +1, t N = T, вместо задачи 1 рассмотреть следующую аппроксимирующую задачу.

Задача 2. Найти векторы (25), компоненты которых удовлетворяют условию (5) и при которых выполняются неравенства u (t,, )W u (t,, ) 1, ( s i 1), k i k (27) d j q (tk,, ) 1, (n j 1), k = 0,1,..., N.

Возможность такой замены вытекает из следующего достаточно очевидного утверждения.

Утверждение. Решение задачи 2 при равномерной на отрезке [ 0,T ] сетке точек T t0 = 0, t1,..., t N +1, t N = T с шагом = при достаточно большом N сколь угодно точно аппроксимирует N решение задачи 1. При этом справедливо CiT u (t,, )Wi u (t,, ) 1 + 2 N, ( s i 1), d q (t,, ) 1 + C jT, (n j 1), j 2N при всех t T.

Действительно, в силу построения функции u (t,, ), q (t,, ) являются непрерывно дифференцируемыми. Следовательно, u (t,, )Wi u (t,, ) Ci, ( s i 1), t d j q (t,, ) C j, (n j 1), t при всех t T. Здесь C и C – некоторые постоянные, зависящие от гладкости соответствующих j i функций. Кривые u (t,, )Wi u (t,, ), d j q (t,, ), имеющие ограниченные производные и в точках T равномерной сетки с шагом =, удовлетворяющие условию (27), не могут стать больше N C j Ci соответственно 1 + и 1+.

2 Заключение В статье рассмотрен подход к нахождению предельных возможностей активной виброзащитной системы, основанный на применении методики аналитического конструирования оптимального регулятора. После нахождения оптимального управления возникает необходимость выбора весовых коэффициентов, для того чтобы выполнялись предъявляемые к виброзащитной системе требования.

Предложен способ выбора таких весовых коэффициентов.

Литература 1. Мижидон А.Д. Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов при постоянно действующих стохастических возмущениях в приложении к синтезу виброзащитных систем // Автоматика и телемеханика. 2008.

№4. С. 81-93.

2. Мижидон А.Д. Об одной задаче аналитического конструирования оптимального регулятора // Автоматика и телемеханика. 2011. №11 (в печати).

Мижидон Арсалан Дугарович, доктор технических наук, профессор кафедры прикладной математики Восточно Сибирского государственного технологического университета, e-mail: miarsdu@esstu.ru Имыхелова Марина Бадмаевна, преподаватель кафедры прикладной математики Восточно-Сибирского государственного технологического университета, тел. +79247744135, e-mail: imari@list.ru Mizhidon Arsalan Dugarovich, doctor of technical science, professor of the department of Applied mathematics of East Siberian state university of technology Imykhelova Marina Badmaevna, teacher of the department of Applied mathematics of East-Siberian state university of technology О.В. Моржин. Проекционные методы нелокального улучшения управляющих функций и параметров УДК 517. О.В. Моржин ПРОЕКЦИОННЫЕ МЕТОДЫ НЕЛОКАЛЬНОГО УЛУЧШЕНИЯ УПРАВЛЯЮЩИХ ФУНКЦИЙ И ПАРАМЕТРОВ* Предложены новые проекционные методы нелокального улучшения в общем классе нелинейных задач оптими зации дифференциальных систем по управляющим вектор-функции и векторным параметрам. Методы основаны на специальной дифференциально-алгебраической сопряженной системе и точной (без остаточных членов разло жений) формуле приращения целевого функционала, заключаются в разрешении систем операторных уравнений.

Ключевые слова: управляемые системы, нелокальные улучшения, проекционные методы.

O.V. Morzhin PROJECTION METHODS FOR NONLOCAL IMPROVEMENT OF CONTROL FUNCTIONS AND PARAMETERS New projection nonlocal improvement methods are suggested in one general class of nonlinear problems for optimiza tion of differential systems with respect to control vector function and vector parameters. These methods are based on a special differential-algebraic conjugate system and exact (without residual terms of the expansions) formula for the cost functional’s increment. The methods consist in solving systems of operator equations.

Keywords: control systems, nonlocal improvement, projection methods.

1. Постановка задачи Во многих приложениях изучаются задачи оптимального управления, содержащие одновременно управляющие функции и параметры [1, с. 119–128], [2, с. 230–235]. Например, задача оптимального управления с нефиксированным моментом окончания процесса управления может быть заменой пере менной времени приведена к задаче с параметром.

Изучается класс задач оптимального управления с параметрами:

t I ( ) = F ( x(t1 ), w) + f 0 (t, x(t ), u (t ), w)dt inf, (1) t x(t ) = f (t, x(t ), u (t ), w), x(t0 ) = a, (2) m z n u (t ) U R, t T = [t0, t1 ], w W R, a A R, (3) где x(t ) = ( x1 (t ),..., xn (t )) – вектор состояния системы, u (t ) = (u1 (t ),..., um (t )) – значение управляющей функции в момент t T ;

w = ( w1,..., wz ), a = (a1,..., an ) – векторы управляющих параметров;

T – задан ный отрезок;

= ( x(), u (), w, a ) – управляемый процесс.

Предполагаются выполненными условия: a) функция F ( x, w), непрерывно-дифференцируемая по ( x, w) на R n W ;

функции f 0 (t, x, u, w), f (t, x, u, w) и их производные по x, u, w, непрерывные по сово купности аргументов (t, x, u, w) на T R n U W ;

b) функция f (t, x, u, w) удовлетворяет условию Лип шица по x R n на T R n U W с общей константой L 0 ;

c) множества U R m, W R z, A R n замкнутые и выпуклые.

Под допустимыми управлениями в задаче (1) – (3) понимаем кусочно-непрерывную вектор-функцию u (t ), t T и векторы параметров w, a, удовлетворяющие условиям (3) и обеспечивающие непрерыв ную кусочно-дифференцируемую (ограниченную) траекторию x(t ), t T, системы (2). Обозначим D – множество допустимых процессов, V – допустимых управлений u.

В задаче улучшения заданного процесса I D требуется найти процесс II D с условием I ( II ) = I ( II ) I ( I ) 0.

Цель статьи – разработать проекционный метод нелокального улучшения и его модификацию в клас се задач (1) – (3) в развитие дифференциально-алгебраического подхода, предложенного А.С. Булдае вым в работе [3] и получившего развитие в публикациях [4 – 6] (включая распространение на дискрет * Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 09-01-00170-а).

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ ные управляемые системы, интерпретацию в терминах теории В.Ф. Кротова [7]).

2. Проекционный метод Для задачи (1) – (3) вводится обобщенный лагранжиан [7] с параметром:

t L( ) = G ( x(t1 ), w, a ) R (t, x(t ), u (t ), w)dt, G ( x(t1 ), w, a ) = F ( x(t1 ), w) + (t1, x(t1 )) (t0, a), t R (t, x, u, w) = x (t, x), f (t, x, u, w) f 0 (t, x, u, w) + t (t, x).

Имеем L( ) I ( ) на D [7]. Рассматривается приращение t L( ) = G ( x(t1 ), w, a ) R (t, x(t ), u (t ), w)dt t I лагранжиана L на улучшаемом процессе D и некотором допустимом процессе D, где предполагаем существование непрерывной кусочно-дифференцируемой функции p(t ) на T, такой, что (t, x) = p (t ), x [4] и справедливы представления G ( x(t1 ), w, a ) = F ( x(t1 ), w) F ( x I (t1 ), w I ) + p (t1 ), x(t1 ) p (t0 ), a = = [ F ( x(t1 ), w) F ( x(t1 ), w I )] + [ F ( x(t1 ), w I ) F ( x I (t1 ), w I ) + p (t1 ), x(t1 ) ] p(t0 ), a = = Fw ( x(t1 ), w I ) + l, w + Fx ( x I (t1 ), wI ) + q + p(t1 ), x(t1 ) p (t0 ), a, R (t, x(t ), u (t ), w) = H (t, p(t ), x(t ), u (t ), w) H (t, p (t ), x I (t ), u I (t ), w I ) + p (t ), x(t ) = = [ H (t, p (t ), x(t ), u (t ), w) H (t, p (t ), x(t ), u (t ), w I )] + +[ H (t, p(t ), x(t ), u (t ), wI ) H (t, p (t ), x(t ), u I (t ), w I )] + +[ H (t, p(t ), x(t ), u I (t ), w I ) H (t, p(t ), x I (t ), u I (t ), w I ) + p (t ), x(t ) ] = = H w (t, p (t ), x(t ), u (t ), w I ) + b, w + H u (t, p(t ), x(t ), u I (t ), w I ) + d (t ), u (t ) + + H x (t, p (t ), x I (t ), u I (t ), w I ) + r (t ) + p (t ), x(t ), дифференциально-алгебраическая сопряженная система p(t ) = H x (t, p(t ), x I (t ), u I (t ), w I ) r (t ), p(t1 ) = Fx ( x I (t1 ), w I ) q, (4) I I I I I F ( x(t1 ), w ) F ( x (t1 ), w ) = Fx ( x (t1 ), w ), x(t1 ) + q, x(t1 ), (5) F ( x(t1 ), w) F ( x(t1 ), w I ) = Fw ( x(t1 ), w I ) + l, w, (6) H (t, p (t ), x(t ), u I (t ), w I ) H (t, p (t ), x I (t ), u I (t ), w I ) = (7) = H x (t, p(t ), x I (t ), u I (t ), w I ), x(t ) + r (t ), x(t ), H (t, p (t ), x(t ), u (t ), w I ) H (t, p(t ), x(t ), u I (t ), wI ) = (8) = H w (t, p (t ), x(t ), u I (t ), w I ) + d (t ), u (t ), H (t, p (t ), x(t ), u (t ), w) H (t, p (t ), x(t ), u (t ), w I ) = (9) = H w (t, p (t ), x(t ), u (t ), w I ) + b, w на допустимом процессе ( x(t ), u (t ), w, a ), t T, где добавки l R z, q R n, b R z, d (t ) R m, r (t ) R n ;

x(t ) = x(t ) x I (t ), u (t ) = u (t ) u I (t ), w = w w I ;

приращения H (t, p, x, u, w) = p, f (t, x, u, w) f 0 (t, x, u, w) – функция Понтрягина. Получаем формулу приращения О.В. Моржин. Проекционные методы нелокального улучшения управляющих функций и параметров t I ( ) = Fw ( x(t1 ), w I ) + l ( H w (t, p (t ), x(t ), u (t ), w I ) + b)dt, w t (10) t H u (t, p(t ), x(t ), u (t ), w ) + d (t ), u (t ) dt p (t0 ), a, I I t где p(t ) – решение сопряженной системы (4) – (9).

Проведем последовательно оценки для I ( ) на основе (10):

I ( ) t P ( w I + ( ( H w (t, p (t ), w(t ), u (t ), w I ) + b)dt Fw ( x(t1 ), wI ) l )) w I, w W t t t P (u I + ( H u (t, p(t ), x(t ), u I (t ), w I ) + d (t )) u I (t ), u (t ) dt U PA ( a I + µ p (t0 )) a I, a, µ где 0, 0, µ 0. Соответственно вводятся проекционные зависимости I t w = P w + ( ( H w (t, p(t ), x(t ), u (t ), wI ) + b)dt Fw ( x(t1 ), w I ) l ), W t u (t ) = P (u I + ( H u (t, p (t ), x(t ), u I (t ), w I ) + d (t )), t T, (11) U I aµ = PA (a + µ p (t0 )), 0, 0, µ 0, при которых получаем мажорирующую оценку t 1 1 2 2 w w I I aµ a I, I (,, µ ) u (t ) u (t ) dt (12) µ t где 0, 0, µ 0.

В соответствии с (11), (12) рассматриваются операторы A : u u, A : w w, Aµ : a aµ,,, µ : (u, w, a) (u, w, aµ ) и система операторных уравнений u = A (u ), u V, w = A ( w), w W, a = Aµ (a ), a A, (13),,µ которую через оператор запишем в виде уравнения (u, w, a) =,, µ (u, w, a ), (u, w, a) V W A. (14) I Для нелокального улучшения заданного процесса D в задаче (1) – (3) достаточно решить систе му уравнений (13) (или уравнение (14)) при определенных фиксированных 0, 0, µ 0.

В плане разрешения операторного уравнения (14) будем рассматривать управления u в полном нор мированном пространстве измеримых функций L1 (T, R m ) [8]. В пространстве элементов (u, w, a ) опре делим нормы ( ) (u, w, a) = || u ||L1,|| w ||R z,|| a ||Rn, ( ),, µ (u, w, a ) = || A (u ) ||L1,|| A ( w) ||R z,|| Aµ ( a) ||Rn.

Образуем итерационный процесс (u, w( k +1), a ( k +1) ) =,, µ ( u ( k ), w( k ), a ( k ) ), k 0.

( k +1) (15) При дополнительных условиях (условие Липшица на разность градиентов функции Понтрягина и др.) можно показать сходимость итерационного процесса (15) в некотором шаре, центром которого является точка (u (0), w(0), a (0) ), в пространстве элементов (u, w, a ) при достаточно малых 0, 0, µ 0, опираясь на принцип сжимающих отображений [8] применительно к оператору,, µ.

3. -модификация проекционного метода ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ Отправляясь от формулы приращения (10), проведем последовательные оценки приращения I ( ) :

P ( w + ( w w)), w w, w + || w || I ( ) W t t P (u (t ) + (u (t ) u (t ))), u (t ) u (t ), u (t ) + || u (t ) ||2 dt U PA (a + µ (aµ a )), a a, a + µ || a ||2, µµ 0, 0, µ 0.

Вводятся проекционные зависимости u, (t ) = P (u (t ) + (u (t ) u (t ))), 0, U w, = P ( w + ( w w), 0, (16) W a µ, µ = PA (a + µ (aµ a)), µ 0.

В результате приходим к аналогичной (12) мажорирующей оценке t 1 2 I (,, µ,,, µ ) w, w I u, (t ) u I (t ) dt a µ, µ a I, t µ (17) a 0, 0, µ 0.

В соответствии с (16), (17) рассматриваются модифицированные операторы,,µ A, : u u,, A : w w,, A µ : a a µ, µ и в качестве условия улучшения заданного процесса I D в задаче (1) – (3) предлагается модифици рованная система операторных уравнений,,µ u = A, (u ), w = A ( w), a = A µ (a ), (18) где u V, w W, a A, фиксированы 0, 0, µ 0, a 0, 0, µ 0.

Для системы (18) можно построить аналогичный (15) итерационный процесс.

4. Пример улучшения в непрерывной задаче с параметром Рассматривается нелинейная задача I ( x, u, t1 ) = t1 + x 2 (t1 ) min, x = u, x(0) = 1, | u (t ) | 2, t [0, t1 ], t1 (0,1].

Данная задача не соответствует классу (1) – (3), поэтому заменяем t = t1, [0,1], dt = wd, w = t1. Получаем задачу вида (1) – (3):

I ( x, u, w) = w + x 2 (1) min, x = wu, x(0) = 1, | u (t ) | 2, t [0,1], w (0,1].

Имеем H = pwu, H u = pw, H w = pu. Дифференциально-алгебраическая сопряженная система:

p = 0, p(1) = 2( x I (1))2 q, x 2 (1) ( x I (1)) 2 = 2 x I (1)x(1) + qx(1).

p( ) 2( x I (1)) 2 x(1). Пусть u I ( ) 1, wI = 1. При этом Находим q ( x(1)) = x(1), откуда x I ( ) = 1, x I (1) = 0, I ( I ) = 1, p( ) x(1).

Образуем проекционные зависимости w = P,1] wI + ( p( )u ( )d 1), 0, 0, [ I u ( ) = P[ 2,2] (u ( ) + p ( ) w), 0, [0,1].

Образуем итерационный процесс w( k +1) = P,1] w I + ( p ( k ) ( )u ( k ) ( )d 1), 0, 0, [ О.В. Моржин. Проекционные методы нелокального улучшения управляющих функций и параметров u ( k +1) ( ) = P 2,2] (u I ( ) + p ( k ) ( ) w( k ) ), 0, [0,1].

[ Если положить u (0) = u I, то получим p (0) ( ) 0. Полагаем u (0) ( ) 1, w(0) = w I = 1, 0 | | 1.

Вычисляем соответствующие паре (u (0), w(0) ) траекторию x (0) ( ) = 1 (1 + ) и решение p (0) ( ).

Новые приближения определяются формулами w(1) = P[,1] (1 + ( ( + 1) 1) ), 0, 0, u (1) ( ) = P[ 2,2] (1 + ), 0, [0,1].

5 1 =, 2. Тогда получаем u (1) ( ) 2, w(1) =, x (1) ( ) = 2 + 1, =, Пусть 6 2 (1) (1) I II I ( ) = 7 / 16 I ( ) = 1. Таким образом, найден улучшающий процесс =.

Рис. 1. Геометрическая интерпретация В исходной задаче получаем улучшенные момент t1II = 3 / 8 и управление u II (t ) = 2, t [0, t1 ]. Рас смотренная задача имеет простую геометрическую интерпретацию, показанную на рис. 1.

Заключение В работе впервые построены проекционные методы нелокального улучшения для данного класса за дач. Важной положительной чертой является нелокальность улучшения, т.е. отсутствие (трудоемких) операций варьирования управлений (в отличие, например, от известного метода условного градиента).

Конструктивной основой выступают специальные дифференциально-алгебраическая сопряженная сис тема и точная формула приращения целевого функционала.

В частности, при отсутствии управляющих функций изучается задача параметрической идентифика ции [2]. Отметим, что зависимость начального условия в (2) от параметра имеет большое значение в приложениях, например, в задаче о понижении порядка системы дифференциальных уравнений [2], где нужно идентифицировать не только параметры в правых частях уравнений системы пониженного по рядка, но и начальное состояние новой системы.

В качестве условия улучшения выступает система операторных уравнений, для разрешения которой рассматривается итерационный процесс типа метода простой итерации. Приведен иллюстративный пример, где на аналитическом уровне показана работа метода улучшения в задаче оптимального управ ления с параметром.

Литература 1. Батурин В.А., Урбанович Д.Е. Приближенные методы оптимального управления, основанные на принципе расширения. Новосибирск: Наука, 1997.

2. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Качественная теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1971.

3. Булдаев А.С., Моржин О.В. Улучшение управлений в нелинейных системах на основе краевых задач // Из вестия Иркутского гос. ун-та. Математика. 2009. Т. 2, № 1. С. 94–107.

4. Моржин О.В. Нелокальное улучшение нелинейных управляемых процессов на основе достаточных условий оптимальности // Автоматика и телемеханика. 2010. № 8. С. 27–34.

5. Булдаев А.С., Моржин О.В. Модификация метода проекций для улучшения нелинейных управлений // Вест ник Бурятского гос. ун-та. Вып. 9. Математика и информатика. 2010. С. 10–17.

6. Моржин О.В. Методы нелокального улучшения управлений дифференциальными и дискретными системами // Управление, информация и оптимизация: сб. тр. II Всерос. традиционной молодежной летней школы. М.: ИПУ РАН, 2010. С. 81–87.

7. Кротов В.Ф., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления. М.: Наука, 1973.

8. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. 3-е изд. М.: Наука, 1984.

Моржин Олег Васильевич, ассистент кафедры прикладной математики Бурятского государственного универси тета (Улан-Удэ);

e-mail: oleg_morzhin@mail.ru.

Morzhin Oleg Vasilievich, assistant at the chair of applied mathematics in the Buryat State University (Ulan-Ude) ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ УДК 512. Т.И. Некипелова, А.Ф. Брагин НЕКОТОРЫЙ АЛГОРИТМ ВЫЧИСЛЕНИЯ ВНЕШНЕЙ СТЕПЕНИ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АЛГЕБРЫ ЛИ n Статья посвящена алгоритму разложения внешних степеней простейшего представления 2 алгебры Ли n.

Алгоритм основан на теореме Дынкина о «части» для двух линейных представлений.

Ключевые слова: алгоритм вычисления, алгебра Ли.

T.I. Nekipelova, A.F. Bragin ONE OF THE ALGORITHMS OF THE EXTERNAL DEGREE CALCULATION OF REPRESENTATION 2 OF LIE ALGEBRA n Decomposition of representations into irreducible is one of the most laborious tasks of representation theory. Computer application in combination with modern programming languages and subprograms libraries for high-precision numerical calculation allows getting expansions of high order powers.

This paper presents the algorithm for finding irreducible components of the external degrees of the simplest representation 2 of Lie algebra n.

Key words: calculation algorithm, Lee algebra.

Введение Разложение представлений на неприводимые является одной из трудоемких задач теории представлений. Применение ЭВМ в сочетании с современными языками программирования и библиотеками подпрограмм для высокоточных численных расчетов позволяет получить разложения степеней высоких порядков.

В настоящей статье приводится алгоритм поиска неприводимых компонент внешних степеней простейшего представления 2 алгебры Ли n. Алгоритм основан на теореме Дынкина о «части» для представления p 2 = M на двух линейных представлений. В качестве контроля разложения неприводимые компоненты вычисляются размерности dim p 2 = dim M.

1. Постановка задачи Рассмотрим простейшее представление 2 = (1) алгебры Ли An. Пусть p 2 = (2) p -степень представления 2, - неприводимые компоненты. Размерности - внешняя представлений (1) и (2) равны соответственно:

n(n + 1), dim p 2 = C np( n +1).

dim 2 = 2 Согласно свойству числа сочетаний Сm = Cm k, достаточно рассмотреть степени представления (2) k m n(n + 1) n(n + 1) n(n + 1) m p. При m 2 справедливо свойство: 2 = 2, где p + m = при p, знак « 2 ~» означает, что представление m 2 контрагредиентно представлению p 2, т.е. если компонента a1 a2 an 1 an aa a2 a p 2, то n n 1 m 2. Зная разложения представлений k 2, k p, найдем неприводимые компоненты представления (2).

Т.И. Некипелова, А.Ф. Брагин Некоторый алгоритм вычисления внешней степени представления 2 алгебры Ли n a1 a2 an 1 an Обозначим через = - неприводимое представление со старшим весом (a1, a2,…, an ). Старшие веса неприводимых компонент представления (2) обладают следующими свойствами:

1) для любого представления p 2 алгебры Ли An со старшим весом (a1, a2,…, a p +1,…, an ) при i p + 1 числовые отметки ai = 0, т.е. (a1, a2,…, a p +1,0…,0) и числовые отметки a1, a2,…, a p +1 одновременно не равны нулю;

если (a1, a2,…, ak,0,…,0) - старший вес представления p 1 2 алгебры Ли p, 2) то (a1 + 1, a2,…,(ak 1),1,…,0) - старший вес представления p 2 алгебры Ли p+1, где k p;

если для представлений m 2 и p 2 алгебры Ли k справедливо соотношение:

3) k (k + 1) p 2 = m 2, где m + p =, m p, и числовые отметки представления m 2 алгебры Ли k со старшим весом (a1, a2,…, ak ) удовлетворяют условию kak + (k 1) ak 1 + + 2a2 + a1 = 2m, то M (ak, ak 1,…, a1, ak +1 ) является старшим k 2 p (k i + 1)ai весом представления p 2 алгебры Ли k +1, где ak +1 = i = ;

k + если для представлений m 2 и p 2 алгебры Ли k +1 справедливо соотношение:

4) k (k + 1) p 2 = m 2, где p + m =, m p, для представлений m 2 и s 2 алгебры Ли k справедливо соотношение (k + 1)(k + 2) m 2 = s 2, где m + s =, s m, и числовые отметки представления m 2 алгебры Ли k со старшим весом (a1, a2,…, ak ) удовлетворяют условию kak + (k 1) ak 1 + + 2a2 + a1 = 2m, то M (0, ak, ak 1,…, a1, ak + 2 ) является k + 2 p (k i + 1)ai старшим весом представления p 2 алгебры Ли k + 2, где ak + 2 = i = ;

k+ p( p 1) 5) для любого веса (a1, a2,…, an ) = (0, p,…,0) xi i, где i - простые корни, x.

i i i Свойство 2) позволяет найти веса (a1, a2,…, an ), у которых a1 0. Свойства 3) и 4) позволяют найти такие веса (a1, a2,…, an ), что a1 = 0.

Запишем алгоритм поиска неприводимых компонент представления (2).

p 1 2 :

1. Преобразовать веса представлений (a1, a2,…, ak,0,…,0) (a1 + 1, a2,…, ak 1,1,0,…,0).

n(n + 1) 2. Найти минимальное n такое, что m = p p. Для всех таких n найти веса m 2, числовые отметки которых удовлетворяют условию представлений (a1, a2,…, an ) M (ak, ak 1,…, a1, an +1 ), kak + (k 1) ak 1 + + 2a2 + a1 = 2m и преобразовать:

n 2 p (n i + 1)ai i = где an +1 =.

n + ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ n(n + 1) (n 1)n m= p p, найти s = s m. Найти Для всех таких, что 3. n 2 m 2 = s 2 алгебры Ли веса (a1, a2,…, an 1 ) которых представления An 1, удовлетворяют условию (n 1)an 1 + + 2a2 + a1 = 2m. Преобразовать веса: (a1, a2,…, an ) n 2 p (n i + 1)ai i = M (0, an 1,…, a1, an +1 ), an +1 =.

n + - старшие веса представлений p 2 алгебры Ли Ap +1.

4.

В качестве примера найдем неприводимые компоненты представления 13 2 алгебры Ли An.

1. Из компонент представления 12 2 алгебры Ли A13 (табл. 1, 12 2 ) получим 15 компонент 13 2 13 2 ):

представления алгебры Ли (первые 15 строк табл. 1, A (a1, a2,…, ak,0,…,0) (a1 + 1, a2,…, ak 1,1,0,…,0).

2. Найдем компоненты, первая числовая отметка которой a1 = 0. В алгебре A5 размерность 1 dim 2 = 15, m = dim 2 13 = 2, m p, 13 2 = 2 2. В алгебре A5 2 2 = (табл.

1 1, 2 2 ). Числовые отметки компоненты удовлетворяют условию:

k 2 p (k i + 1)ai 26 3 i = a1 + 2a2 + 3a3 + 4a4 + 5a5 = 1 + 3 = 2m, ak +1 = = = 3. Компонента k +1 1 13 2 (16-я строка табл. 1, 13 2 ).

A6 dim 2 = 21, m = dim 2 13 = 8, m p, 13 2 = 8 2. Числовые отметки только 3. В алгебре 1 8 одной компоненты удовлетворяют условию k 2 p ( k i + 1)ai 26 4 3 i = a1 + 2a2 + 3a3 + 4a4 + 5a5 + 6a6 = 2 + 4 + 10 = 2m, ak +1 = = = 2.

k +1 Представление 21 1 13 2 (17-я строка табл. 1, 13 2 ).

, 13 2 = 15 2. В алгебре A 4. В алгебре A7 dim 2 = 28, m = dim 2 13 = 15, m p 15 2 = 6 2. Числовые отметки только одной компоненты 15 2, 6 2, контрагредиентной удовлетворяет условию k + 2 p (k i + 1)ai 26 2 i = kak + (k 1) ak 1 + + 2a2 + a1 = 6 5 = 2m, ak + 2 = = = 2. Компонента k +2 5 13 2 (18-я строка табл. 1, 13 2 ).

Заключение Для реализации приведённого выше алгоритма написана программа на языке С++ с использованием библиотеки GNU Multi-precision для численных расчётов с произвольной точностью. Выбор относительно низкоуровнего инструментария обусловлен необходимостью получения результата для больших размерностей за практически приемлемое время работы программы в условиях трудоёмких Т.И. Некипелова, А.Ф. Брагин Некоторый алгоритм вычисления внешней степени представления 2 алгебры Ли n расчётах и необходимости оперировать большими блоками данных. Для получения семидесятой степени на настольном компьютере с процессором AMP Phenom II X4 810 программе потребовалось 27 минут.

Данная реализация переносима и масштабируема, может работать на широком спектре ЭВМ.

Листинг программы #include iostream #include iomanip #include vector #include limits #include numeric #include mpirxx.h #include "matrix.h" #include "infinate_iterator.h" using namespace std;

typedef unsigned short Element;

typedef mpz_class Big_integer;

inline void error_bad_dim(const Big_integer& d){ cerr "Dimension underflow! dim_rest = " d '\n';

exit(1);

} inline void error_3rd_level(const Big_integer& d){ cerr "Need in 3rd level! dim_rest = " d '\n';

exit(2);

} class Row_info{ public:

static const size_t no_source = 0xFFFFFFFF;

//numeric_limitssize_t::max();

Row_info(Big_integer dim_, size_t rang_ = no_source, size_t m_ = no_source, size_t s_ = no_source) :dim(dim_), rang(rang_), m(m_), s(s_) {} const Big_integer& dimension()const {return dim;

} size_t partition_source_1()const {return m;

} size_t partition_source_2()const {return s;

} size_t algebras_rang_source_1()const {return rang;

} size_t algebras_rang_source_2()const {return rang-1;

} private:

Big_integer dim;

size_t rang, m, s;

};

size_t algebras_dimension(size_t rang){ return rang*(rang+1)/2;

} Big_integer partition_dimension(size_t p){ Big_integer c;

mpz_bin_uiui(c.get_mpz_t(),algebras_dimension(p+1),p);

return c;

} ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ class Partition:public MatrixElement{ public:

Partition(const size_t pow_, const vectorvectorElement & vv) :pow_rep(pow_), MatrixElement(vv), dim_calculated(false) {} Partition(const size_t pow_, const vectorvectorElement & vv, vectorRow_info& row_info_) :pow_rep(pow_), MatrixElement(vv), dim_calculated(false) {swap(row_info_rep, row_info_);

} size_t pow()const {return pow_rep;

} const Row_info& row_info(size_t i)const {return row_info_rep[i];

} Big_integer dimension() const{ if(dim_calculated) return dim;

return partition_dimension(pow());

} private:

vectorRow_info row_info_rep;

size_t pow_rep;

mutable bool dim_calculated;

mutable Big_integer dim;

};

inline ostream& operator (ostream& strm, const Row_info& ri){ if(ri.partition_source_1() != Row_info::no_source){ strm "from Lambda " ri.partition_source_1() " in A[" ri.algebras_rang_source_1() "]";

if(ri.partition_source_2() != Row_info::no_source) strm " and Lambda " ri.partition_source_2() " in A[" ri.algebras_rang_source_2() "]";

strm ", ";

} return strm "dimension = " ri.dimension();

} inline ostream& operator (ostream& strm, const Partition& par){ strm "Lambda " par.pow() " Pi 2, dimension = " par.dimension() ":\n";

for(size_t i=0;

ipar.rows_count();

++i){ strm i+1 ":\t";

for(size_t j=0;

jpar.row_size(i);

++j) strm setw(2) par[i][j] ' ';

strm setw(2) 0 ' ';

for(size_t j=par.row_size(i);

jpar.pow()+4;

++j) strm setw(2) '.' ' ';

strm "\t" par.row_info(i) '\n';

} return strm;

} inline Big_integer dimension(const vectorElement& row, size_t rang){ Big_integer val=1;

for(size_t i=0;

irang;

++i) for(size_t j=0;

jrang-i;

++j){ size_t sum=i+1;

for(vectorElement::const_iterator k = min(row.end(), row.begin()+j);

Т.И. Некипелова, А.Ф. Брагин Некоторый алгоритм вычисления внешней степени представления 2 алгебры Ли n k!= min(row.end(), row.begin()+j+i+1);

++k) sum+=*k;

val*=sum;

} for(size_t i=2;

i=rang;

++i) for(size_t j=i;

j=rang;

++j) val/=i;

return val;

} size_t start_algebras_rang(size_t pow){ typedef long double Real;

return size_t( ceil( (-1+sqrt(Real(1+8*pow)) )/2 ) + 1e-4);

} class Partitions_storage: private vectorPartition*{ typedef vectorPartition* Base;

public:

using Base::size;

const Partition& operator[](size_t ind){return *Base::operator[](ind);

} void add(const size_t pow_, const vectorvectorElement & vv){ if(size()==pow_) push_back(new Partition(pow_,vv));

} void add(const size_t pow_, const vectorvectorElement & vv, vectorRow_info& row_info_){ if(size()==pow_) push_back(new Partition(pow_, vv, row_info_));

} Partitions_storage(){ vectorvectorElement vv0(1), vv1(1);

vv0[0].push_back(0);

vv1[0].push_back(0);

vv1[0].push_back(1);

vectorRow_info ri0, ri1;

ri0.push_back(Row_info(dimension(vv0[0],1)));

ri1.push_back(Row_info(dimension(vv1[0],2)));

Base::push_back(new Partition(0,vv0,ri0));

Base::push_back(new Partition(1,vv1,ri1));

} ~Partitions_storage(){ for(size_t i=0;

isize();

++i) delete Base::operator[](i);

} };

Partitions_storage partitions_storage;

ostream& strm = cout;

templateclass InIt Element missing_element(size_t p, InIt first, InIt last){ return (2*p - inner_product(first, last, infinite_progression_iteratorsize_t(1), 0) )/(last-first+1);

} void remove_ending_zero(vectorvectorElement & vv){ for(size_t i=0;

ivv.size();

++i) ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ while(vv[i].back()==0) vv[i].pop_back();

} void calculate_partition(size_t p){ vectorvectorElement vv;

vectorRow_info row_info;

Big_integer dim_rest = partition_dimension(p);

//from pow- { const Partition& source_partition = partitions_storage[p-1];

vv.resize(source_partition.rows_count());

row_info.reserve(source_partition.rows_count());

for(size_t i=0;

isource_partition.rows_count();

++i){ vv[i].resize(source_partition.row_size(i)+1, 0);

copy(source_partition[i], source_partition[i]+source_partition.row_size(i), vv[i].begin());

vv[i][0]++;

size_t sz=vv[i].size();

vv[i][sz-2]--;

vv[i][sz-1]++;

row_info.push_back(Row_info(dimension(vv[i],p+1),p,p-1));

dim_rest-=row_info.back().dimension();

} } //from symmetric for(size_t rang=start_algebras_rang(p);

dim_rest!=0;

++rang){ size_t ad = algebras_dimension(rang), m = ad - p;

if(m p){ const Partition& source_partition = partitions_storage[m];

for(size_t i=0;

isource_partition.rows_count();

++i){ Element *src_row_begin_ptr = source_partition[i], *src_row_end_ptr = src_row_begin_ptr+min(rang, source_partition.row_size(i));

infinite_row_iteratorElement src_row_begin(src_row_begin_ptr, src_row_end_ptr), src_row_end(src_row_end_ptr, src_row_end_ptr);

if(*(src_row_begin+rang-1) == 0 && inner_product(src_row_begin, src_row_end, infinite_progression_iteratorsize_t(1),0) == 2*m) { vv.push_back(vectorElement());

vectorElement& added_row = vv.back();

added_row.resize(rang+1);

copy(src_row_begin, src_row_end, ++added_row.rbegin());

added_row.back() = missing_element(p,added_row.begin(),- added_row.end());

Т.И. Некипелова, А.Ф. Брагин Некоторый алгоритм вычисления внешней степени представления 2 алгебры Ли n row_info.push_back(Row_info(dimension(added_row,p+1),rang,m));

dim_rest-=row_info.back().dimension();

if(dim_rest==0)break;

if(dim_rest0) error_bad_dim(dim_rest);

} } } else {//m = p size_t ad = algebras_dimension(rang-1), s = ad - m;

if(s=p) error_3rd_level(dim_rest);

const Partition& source_partition = partitions_storage[s];

for(size_t i=0;

isource_partition.rows_count();

++i){ Element *src_row_begin_ptr = source_partition[i], *src_row_end_ptr = src_row_begin_ptr+min(rang-1, source_partition.row_size(i));

infinite_row_iteratorElement src_row_begin(src_row_begin_ptr, src_row_end_ptr), src_row_end(src_row_end_ptr, src_row_end_ptr);

if(inner_product(src_row_begin, src_row_end, infinite_progression_iterator_reversesize_t(src_row_end src_row_begin),0)==2*m) { vv.push_back(vectorElement());

vectorElement& added_row = vv.back();

added_row.resize(rang+1);

copy(src_row_begin, src_row_end, added_row.begin()+1);

added_row.back() = missing_element(p,added_row.begin(),- added_row.end());

row_info.push_back(Row_info(dimension(added_row,p+1),rang,m,s));

dim_rest-=row_info.back().dimension();

if(dim_rest==0)break;

if(dim_rest0) error_bad_dim(dim_rest);

} } } } //adding to storage remove_ending_zero(vv);

partitions_storage.add(p,vv,row_info);

} int main(){ int p;

cin p;

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ strm partitions_storage[0] '\n' partitions_storage[1] '\n';

for(size_t i=2;

i=p;

++i){ calculate_partition(i);

strm partitions_storage[i] endl;

} } Итогом работы программы является список старших весов неприводимых компонент представления p 2. В качестве примера приведён результат работы программы для p = 15.

Таблица 1. Веса неприводимых компонент представлений p 2, p 0 2, dim 0 2 = 1 :

1: 0 0... dimension = 1 2, dim 2 = 3 :

1: 0 1 0... dimension = 2 2, dim 2 2 = 15 :

1: 1 0 1 0... dimension = 3 2, dim 3 2 = 120 :

1: 2 0 0 1 0... dimension = 2: 0 0 2 0.... dimension = 4 2, dim 4 2 = 1365 :

1: 3 0 0 0 1 0... dimension = 2: 1 0 1 1 0.... dimension = 5 2, dim 5 2 = 20349:

1: 4 0 0 0 0 1 0... dimension = 2: 2 0 1 0 1 0.... dimension = 3: 0 1 0 2 0.... dimension = 6 2, dim 6 2 = 376740:

1: 5 0 0 0 0 010... dimension = 2: 3 0 1 0 0 10.... dimension = 3: 1 1 0 1 1 0..... dimension = 4: 0 0 0 3 0...... dimension = 7 2, dim 7 2 = 8347680:

1: 6 0 0 0 0 0 0 1 0... dimension = 2: 4 0 1 0 0 0 1 0.... dimension = 3: 2 1 0 1 0 1 0..... dimension = 4: 1 0 0 2 1 0...... dimension = 5: 0 2 0 0 2 0...... dimension = 8 2, dim 8 2 = 215553195:

1: 7 0 0 0 0 0 0 0 1 0... dimension = 2: 5 0 1 0 0 0 0 1 0.... dimension = 3: 3 1 0 1 0 0 1 0..... dimension = 4: 2 0 0 2 0 1 0...... dimension = 5: 1 2 0 0 1 1 0...... dimension = 6: 0 1 0 1 2 0....... dimension = Т.И. Некипелова, А.Ф. Брагин Некоторый алгоритм вычисления внешней степени представления 2 алгебры Ли n 9 2, dim 9 2 = 6358402050:

1: 8 0 0 0 0 000010... dimension = 2: 6 0 1 0 0 00010.... dimension = 3: 4 1 0 1 0 0 0 1 0..... dimension = 4: 3 0 0 2 0 0 1 0...... dimension = 5: 2 2 0 0 1 0 1 0...... dimension = 6: 1 1 0 1 1 1 0....... dimension = 7: 0 0 1 0 3 0........ dimension = 8: 0 3 0 0 0 2 0....... dimension = 10 2, dim 10 2 = 210980549208:

1: 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0... dimension = 2: 7 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0.... dimension = 3: 5 1 0 1 0 0 0 0 1 0..... dimension = 4: 4 0 0 2 0 0 0 1 0...... dimension = 5: 3 2 0 0 1 0 0 1 0...... dimension = 6: 2 1 0 1 1 0 1 0....... dimension = 7: 1 0 1 0 2 1 0........ dimension = 8: 1 3 0 0 0 1 1 0....... dimension = 9: 0 0 0 0 4 0......... dimension = 10: 0 2 0 1 0 2 0........ dimension = 11 2, dim 11 2 = 7778680504140:

1: 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0... dimension = 2: 8 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0.... dimension = 3: 6 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0..... dimension = 4: 5 0 0 2 0 0 0 0 1 0...... dimension = 5: 4 2 0 0 1 0 0 0 1 0...... dimension = 6: 3 1 0 1 1 0 0 1 0....... dimension = 7: 2 0 1 0 2 0 1 0........ dimension = 8: 2 3 0 0 0 1 0 1 0....... dimension = 9: 1 0 0 0 3 1 0......... dimension = 10: 12010110........ dimension = 11: 0110120......... dimension = 12: 04000020........ dimension = 12 2, dim 12 2 = 315502265971620:

1: 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0... dimension = 2: 9 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0.... dimension = 3: 7 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0..... dimension = 4: 6 0 0 2 0 0 0 0 0 1 0...... dimension = 5: 5 2 0 0 1 0 0 0 0 1 0...... dimension = 6: 4 1 0 1 1 0 0 0 1 0....... dimension = 7: 3 0 1 0 2 0 0 1 0........ dimension = 8: 3 3 0 0 0 1 0 0 1 0....... dimension = 9: 2 0 0 0 3 0 1 0......... dimension = 10: 220101010........ dimension = 11: 11101110......... dimension = ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ 12: 140000110........ dimension = 13: 0100220.......... dimension = 14: 0020030.......... dimension = 15: 03010020......... dimension = 13 2, dim 13 2 = 13961746143269400:

1: 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0... dimension = 2: 10 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0.... dimension = 3: 8 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0..... dimension = 4: 7 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 0...... dimension = 5: 6 2 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0...... dimension = 6: 5 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0....... dimension = 7: 4 0 1 0 2 0 0 0 1 0........ dimension = 8: 4 3 0 0 0 1 0 0 0 1 0....... dimension = 9: 3 0 0 0 3 0 0 1 0......... dimension = 10: 3 2 0 1 0 1 0 0 1 0........ dimension = 11: 2 1 1 0 1 1 0 1 0......... dimension = 12: 2 4 0 0 0 0 1 0 1 0........ dimension = 13: 1 1 0 0 2 1 1 0.......... dimension = 14: 1 0 2 0 0 2 1 0.......... dimension = 15: 1 3 0 1 0 0 1 1 0......... dimension = 16: 0 0 1 0 1 3 0........... dimension = 17: 0 2 1 0 1 0 2 0.......... dimension = 18: 0 5 0 0 0 0 0 2 0......... dimension = 14 2, dim 14 2 = 669413654240461560:

1: 13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0.. dimension = 2: 11 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0.... dimension = 3: 9 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0..... dimension = 4: 8 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 1 0...... dimension = 5: 7 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0...... dimension = 6: 6 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0....... dimension = 7: 5 0 1 0 2 0 0 0 0 1 0........ dimension = 8: 5 3 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0....... dimension = 9: 4 0 0 0 3 0 0 0 1 0......... dimension = 10: 4 2 0 1 0 1 0 0 0 1 0........ dimension = 11: 3 1 1 0 1 1 0 0 1 0......... dimension = 12: 3 4 0 0 0 0 1 0 0 1 0........ dimension = 13: 2 1 0 0 2 1 0 1 0.......... dimension = 14: 2 0 2 0 0 2 0 1 0.......... dimension = 15: 2 3 0 1 0 0 1 0 1 0......... dimension = 16: 1 0 1 0 1 2 1 0........... dimension = 17: 1 2 1 0 1 0 1 1 0.......... dimension = 18: 1 5 0 0 0 0 0 1 1 0......... dimension = 19: 0 0 0 1 0 4 0............ dimension = 20: 0 1 2 0 0 1 2 0........... dimension = 21: 0 2 0 0 2 0 2 0........... dimension = 22: 0 4 0 1 0 0 0 2 0.......... dimension = 15 2, dim 15 2 = 34569147570568156800:

1: 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0... dimension = Т.И. Некипелова, А.Ф. Брагин Некоторый алгоритм вычисления внешней степени представления 2 алгебры Ли n 2: 12 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0.... dimension = 3: 10 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0..... dimension = 4: 9 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0...... dimension = 5: 8 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0...... dimension = 6: 7 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0....... dimension = 7: 6 0 1 0 2 0 0 0 0 0 1 0........ dimension = 8: 6 3 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0....... dimension = 9: 5 0 0 0 3 0 0 0 0 1 0......... dimension = 10:5 2 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0........ dimension = 11:4 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0......... dimension = 12: 4 4 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0........ dimension = 13: 3 1 0 0 2 1 0 0 1 0.......... dimension = 14: 3 0 2 0 0 2 0 0 1 0.......... dimension = 15: 3 3 0 1 0 0 1 0 0 1 0......... dimension = 16: 2 0 1 0 1 2 0 1 0........... dimension = 17: 2 2 1 0 1 0 1 0 1 0.......... dimension = 18: 2 5 0 0 0 0 0 1 0 1 0......... dimension = 19: 1 0 0 1 0 3 1 0............ dimension = 20: 1 1 2 0 0 1 1 1 0........... dimension = 21: 1 2 0 0 2 0 1 1 0........... dimension = 22: 1 4 0 1 0 0 0 1 1 0.......... dimension = 23: 0 0 0 0 0 5 0............. dimension = 24: 0 1 1 0 1 1 2 0............ dimension = 25: 0 0 3 0 0 0 3 0............ dimension = 26: 0 3 1 0 1 0 0 2 0........... dimension = 27: 0 6 0 0 0 0 0 0 2 0.......... dimension = a1 a2 an p 2 = В таблице dimension – размерность представления : dimension a1 a2 an = dim a + 1 a2 + 1 an + 1 a1 + a2 + 2 a2 + a2 + 2 an 1 + an + =1 1 1 1 2 2 a + a + + an 1 + n 1 a2 + a3 + + an + n 1 a1 + a2 + + an + n 1 2.

n 1 n 1 n Литература 1. Винберг Э.Б., Онищик А.Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. – М.: Наука, 1988. – 344 с.

2. Дынкин Е.Б. Максимальные подгруппы классических групп // Тр. Московского математического общества.

– 1952. – Т. 1. – С. 38-166.

Некипелова Татьяна Ивановна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры геометрии Бурятского государственного университета, тел. (924-6) 362019, e-mail: inltavo@mail.ru Брагин Александр Федорович, магистр Бурятского государственного университета, тел. (924-3) 969313, e-mail:

bragonavt@mail.ru Nekipelova Tatjyana Ivanovna, candidate of physical and mathematical sciences, docent of the department of Geometry of the Buryat State University, phone number (924-6)362019.

Bragin Alexander Fedorovich, Master student of the Buryat State University, phone number (924-3)969313.

И.М. Плаксина. Условия однозначной разрешимости некоторых линейных сингулярных функционально дифференциальных уравнений УДК 517.929.

И.М. Плаксина УСЛОВИЯ ОДНОЗНАЧНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ НЕКОТОРЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИНГУЛЯРНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В работе рассматриваются линейные функционально-дифференциальные уравнения, определенные на конечном отрезке и являющиеся сингулярными по независимой переменной. Сингулярность сосредоточена в левом и правом концах отрезка. Для таких уравнений получены условия нетеровости и фредгольмовости. Также получены эффективные условия разрешимости и однозначной разрешимости.

Ключевые слова: Функционально-дифференциальные уравнения, сингулярные уравнения, фредгольмовость, нетеровость, разрешимость.

I.M. Plaksina THE CONDITIONS OF UNIQUE SOLVABILITY SOME SINGULAR FUNCTIONAL DIFFERENTIAL EQUATIONS This article discusses some problems for functional-differential equations with singularity of special type. Equation defined on the segment and singularity concentrated at the left and right end of the segment. There are conditions of Fredholm property and effective conditions of solvability and unique solvability.

Key words: Functional differential equation, singular equation, Fredholm property, solvability.

В статье рассматривается вопрос об условиях нетеровости и фредгольмовости линейного функционально-дифференциального уравнения, определенного на конечном отрезке и имеющегося сингулярность в левом и правом концах отрезка.


Описание объекта исследования. Рассмотрим требуемые в работе функциональные пространства.

Пусть Lp, 1 p – пространство суммируемых с p -й степенью функций z : [ 0;

b ] R с нормой b p z Lp = z (t ) dt ;

D – пространство абсолютно непрерывных функций x : [ 0;

b ] R, производная p p 0 которых является элементом пространства Lp, с нормой x D p = x Lp + x(0) ;

D0p – подпространство функций x D p таких, что x(0) = 0, с нормой x =x.

D0p Lp Основным объектом исследования является сингулярное по независимой переменной функционально-дифференциальное уравнение первого порядка t [ 0;

b ] ( Lx ) (t ) x(t ) + h(t ) x(t ) + (Tx)(t ) = f (t ) (1) k + a (t ), суммируемая на отрезке [ 0;

b ] функция Здесь коэффициент h(t ) имеет вид h(t ) = t a : [ 0;

b ] R ограничена в существенном на каждом отрезке [ ;

b ], 0 и удовлетворяет предельному условию lim ta (t ) = 0. Функция h(t ) не суммируема на отрезке [ 0;

b ] и терпит разрыв второго рода в t 0 + точке t = 0.

Оператор T : D p Lp вполне непрерывен. В качестве оператора T могут, например, (Tq x ) (t ) = q(t ) xg (t ) или рассматриваться операторы, определяющие сосредоточенное отклонение b распределенное отклонение аргумента (Tr x ) (t ) = x( s )d s r (t;

s ). Здесь q Lp, функция g (t ) измерима на x ( g (t ) ), g (t ) [ 0;

b ] [0;

b], [0;

b] [0;

b] xg (t ) = отрезке ;

функция r (t ;

s ) измерима в квадрате и 0, g (t ) [ 0;

b ] ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ b r ( ;

s ) Lp, var r ( ;

s) Lp, r (t ;

b) = 0. Эти условия гарантируют [1, с. 56] полную непрерывность s = операторов Tq и Tr соответственно.

Правую часть уравнения (1) будем рассматривать как элемент пространства Lp. Решение будем искать в пространстве D0p, то есть фактически будем рассматривать полуоднородную задачу Коши ( Lx ) (t ) = x(0) = f (t ) Уравнения вида (1) возникают, например, при изучении процессов, протекающих в химическом реакторе [2], при изучении некоторых задач теории упругости [3]. Большое количество практических задач, при моделировании которых возникают сингулярные уравнения, приведено в монографиях [4,5].

Уравнения для обыкновенных дифференциальных и функционально-дифференциальных уравнений, обладающие аналогичной сингулярностью, привлекали внимание математиков еще в середине прошлого века [6]. Среди более поздних публикаций отметим работы И.Т. Кигурадзе [7], представителей чешской математической школы [8]. Отметим также монографию Н.В. Азбелева, В.П. Максимова, Л.Ф.

Рахматуллиной [1].

Основной результат. Доказано, что такие фундаментальные свойства уравнения (1), как нетеровость и фредгольмовость, определяются единственной характеристикой – величиной числа k. Этот результат переносится на уравнения с сингулярностью, сосредоточенной в правом конце отрезка [ 0;

b ], и на уравнения с сингулярностью, сосредоточенной в точках t = 0 и t = b.

p Пусть p =. Рассмотрим вспомогательное уравнение p t [ 0;

b ] ( x ) (t ) x(t ) + h(t ) x(t ) = f (t ) (2) Лемма. Справедливы следующие утверждения:

1) оператор имеет правый обратный оператор r1 : Lp D0p тогда и только тогда, когда k.

p Оператор имеет обратный оператор 1 : Lp D0p тогда и только тогда, когда k ;

p 2) уравнение (2) имеет решение при любой правой части f Lp тогда и только тогда, когда k.

p Это решение единственно тогда и только тогда, когда k ;

p 3) уравнение (2) в пространстве D0p нетерово тогда и только тогда, когда k, причем при p 1 k его индекс равен 1. Уравнение (1) фредгольмово тогда и только тогда, когда k.

p p Доказательство этих утверждений приведено в статье [9].

Теорема 1. Уравнение (1) в пространстве D0p нетерово тогда и только тогда, когда k, причем p 1 при k его индекс равен 1. Уравнение (1) фредгольмово тогда и только тогда, когда k.

p p Доказательство. Оператор T : D0p Lp вполне непрерывен по условию теоремы. Осталось сослаться на лемму и теорему С.Г. Крейна (цитируется по [1, с. 13]) о том, что свойство нетеровости оператора устойчиво по отношению к вполне непрерывному возмущению T и при таком возмущении индекс оператора не меняется.

Следствие 1. Пусть k и выполнено хотя бы одно из условий:

p а) однородное уравнение Lx = 0 имеет только тривиальное решение;

б) оператор T вольтерров;

И.М. Плаксина. Условия однозначной разрешимости некоторых линейных сингулярных функционально дифференциальных уравнений в) оператор T определяет сосредоточенное отклонение аргумента (Tq x ) (t ) = q (t ) xg (t ) и справедливо kp + 1 p 1 k + хотя бы одно из неравенств q (t ) g (t ) или q (t ) g (t ) ;

L Lp bM Mb b (Tr x ) (t ) = x(s)d s r (t;

s) г) оператор определяет распределенное отклонение аргумента и T kp + 1 p 1 k + b b справедливо хотя бы одно из неравенств var r (t ;

s) или var r (t ;

s ).

bM Mb s =0 s= L Lp Тогда уравнение (1) имеет единственное решение при любой правой части f Lp.

Доказательство.

а) Так как при k в силу теоремы 1 оператор L фредгольмов и однородное уравнение имеет p только тривиальное решение, то неоднородное уравнение однозначно разрешимо при любой правой части.

б) Определим оператор K1 : Lp Lp равенством K1 = T, где : Lp D0p – оператор Коши уравнения (2). Ядро оператора имеет вид:

t k t exp a( )d (t s ), s (t ;

s ) = s s.

s= 0, 1, t s Здесь ( t s ) =.

0, t s Уравнение ( I + K1 ) z = f является эквивалентным уравнению (1). Так как операторы T и вольтерровы, то оператор K1 также вольтерров, его спектральный радиус равен нулю, оператор I + K обратим и уравнение (1) однозначно разрешимо.

в) Первое из неравенств (в) гарантирует справедливость неравенства K1 Lp 1 и, следовательно, однозначную разрешимость уравнения (1).

Если выполняется второе из неравенств (в), то оператор K1 действует в пространстве L ограниченных в существенном на отрезке [ 0;

b ] функций z : [ 0;

b ] R с нормой z = vrai sup z (t ) и L t[ 0;

b] 1.

норма оператора K1 в пространстве L меньше 1. Значит, и K1 Lp г) Доказательство аналогично случаю в).

Поскольку правые части неравенств в) и г) совпадают, то в дальнейшем будем указывать только неравенства для оператора T, определяющего распределенное отклонение аргумента.

Следствие 2. Пусть k, оператор T определяет распределенное отклонение аргумента p b 1 p b (Tr x ) (t ) = x(s)d s r (t;

s) и справедливо хотя бы одно из неравенств или var r (t ;

s ) b M s= Lp b. Тогда уравнение (1) имеет решение в пространстве D0p при любой правой части var r (t ;

s) Mb s =0 L p f L.

Доказательство аналогично доказательству следствия 1. При доказательстве используется вид правого обратного оператора r1 = G : Lp D0p – оператора Грина задачи ( x)(t ) = z (t ), x(b) = 0.

Оператор G является линейным интегральным оператором, ядро которого определяется равенством t k t G (t ;

s ) = exp a( )d ( s t ).

s s ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ Обобщение основного результата. Пусть теперь D0p – подпространство функций x D p, для m + a (t ), суммируемая на отрезке [ 0;

b ] которых x(b) = 0. Коэффициент h(t ) имеет вид h(t ) = bt функция a : [ 0;

b ] R ограничена в существенном на каждом отрезке [ 0;

b ], 0 и удовлетворяет предельному условию lim ( b t ) a (t ) = 0. Функция h(t ) не суммируема на отрезке [ 0;

b ] и терпит t b разрыв второго рода в точке t = b.

Теорема 2. Уравнение (1) в пространстве D0p нетерово тогда и только тогда, когда m, причем p 1 при m его индекс равен 1. Уравнение (1) фредгольмово тогда и только тогда, когда m.

p p Доказательство. Рассмотрим вспомогательное уравнение (6). Изменим направление параметризации отрезка [ 0;

b ]. Положим = b t. Определим соответственно функции a1 (t ), f1 (t ) следующим образом:

a1 ( ) = a (b ) = a (t ) ;

f1 ( ) = f (b ) = f (t ). x(b ) = x1 ( ).

Пусть Тогда d x(b ) = x(b ) = x1 ( ). Уравнение (6) примет вид d (1 x1 ) ( ) x1( ) + + a1 ( ) x1 ( ) = f1 ( ) m Дальнейшее доказательство аналогично доказательству теоремы 1 и следует из леммы.

Следствие 1. Пусть m и выполнено хотя бы одно из условий:

p а) однородное уравнение Lx = 0 имеет только тривиальное решение;

b (Tr x ) (t ) = x(s)d s r (t;

s) б) оператор определяет распределенное отклонение аргумента и T mp + 1 p 1 m + b b справедливо хотя бы одно из неравенств var r (t ;

s) или var r (t ;

s ).

b M Mb s =0 s =0 p L L Тогда уравнение (1) имеет единственное решение при любой правой части f Lp.

Доказательство аналогично доказательству следствия 1 из теоремы 1. Отметим, что ядро обратного оператора 1 = G в этом случае имеет вид t m bt exp a ( )d ( s t ) G (t ;

s ) = bs s Следствие 2. Пусть m, оператор T определяет распределенное отклонение аргумента p b 1 p b (Tr x ) (t ) = x(s)d s r (t;

s) и справедливо хотя бы одно из неравенств или var r (t ;

s ) b M s= Lp b. Тогда уравнение (1) имеет решение в пространстве D0p при любой правой части var r (t ;

s) Mb s = L p f L.

Доказательство аналогично доказательству следствия 2 из теоремы 1. Отметим, что ядро правого обратного оператора r1 = в этом случае имеет вид t m bt exp a ( )d (t s).

(t ;

s ) = bs s Пусть D0p – подпространство таких функций x D p, для которых x(0) = 0 и x(b) = 0. Коэффициент k m + a (t ), суммируемая на отрезке [ 0;


b ] функция a : [ 0;

b ] R ограничена в h(t ) имеет вид h(t ) = t bt И.М. Плаксина. Условия однозначной разрешимости некоторых линейных сингулярных функционально дифференциальных уравнений существенном на каждом отрезке [ 1 ;

b 2 ], 1 0, 2 0 и удовлетворяет предельным условиям lim t a(t ) = lim ( b t ) a(t ) = 0. Функция h(t ) не суммируема на отрезке [ 0;

b ] и терпит разрыв второго t 0 + t b рода в точках t = 0 и t = b.

Теорема 3. Уравнение (1) в пространстве D0p нетерово тогда и только тогда, когда k и p 1 1 m. Индекс уравнения (1) равен 1 при k, m. Уравнение (1) фредгольмово при p p p 1 1 1 1 1 и при k m. Индекс уравнения (1) равен 1 при k, m.

k, m p p p p p p b D0p S Доказательство. Для доказательства воспользуемся пространством абсолютно b b непрерывных на отрезках 0;

и ;

b функций y : [ 0;

b ] R таких, что y (0) = y (b) = 0 и их 2 производная принадлежит пространству Lp. Такие функции могут иметь не более чем конечный разрыв b b в точке t =. Норма в пространстве D0p S определяется равенством y D p S = y Lp. 2 Каждое решение уравнения (2) совпадает с решением краевой задачи k b b m () y (t ) y (t ) + + a (t ) y (t ) = f (t ), y y 0 = 0, t [ 0;

b ] (3) t bt 2 2 b в пространстве D0p S. Решение уравнения y = 0 может быть записано в виде суммы x1 (t ) + x2 (t ).

k b Здесь функция x1 (t ) является решением уравнения (1 x ) (t ) x(t ) + + a1 (t ) x(t ) = 0 при t 0;

и t b b равна 0 при t ;

b. Функция x2 (t ) равна 0 при t 0;

и является решением уравнения 2 ( 2 x ) (t ) x(t ) + b m m k + a2 (t ) x(t ) = 0 при t ;

b. Здесь a1 (t ) = + a (t ), a2 (t ) = + a (t ). Нетрудно bt 2 bt t видеть, что оператор нормально разрешим тогда и только тогда, когда нормально разрешимыми 1 и m. Далее, ind = ind 1 + ind 2, то есть являются операторы 1 и 2, то есть при k p p 1 1 1 1 1 ind = 2 при k, m ;

ind = 1 при k, m и при k m ;

ind = 0 при p p p p p p 1 k, m.

p p Из теоремы 2.3 [1, с. 23] следует, что задача (3) нормально разрешима тогда и только тогда, когда нормально разрешим оператор и индекс задачи (3) равен ind 1. Этот же факт имеет место для оператора.

Утверждение теоремы справедливо в силу полной непрерывности оператора T.

1 Следствие 1. Пусть k, m и выполнено хотя бы одно из условий:

p p а) однородное уравнение Lx = 0 имеет только тривиальное решение;

б) оператор T вольтерров;

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ b (Tr x ) (t ) = x(s)d s r (t;

s) в) оператор определяет распределенное отклонение аргумента и T kp + 1 p 1 k + b b справедливо хотя бы одно из неравенств var r (t ;

s) или var r (t ;

s ).

bM Mb s =0 s=0 p L L Тогда уравнение (1) имеет единственное решение при любой правой части.

Доказательство аналогично доказательству следствия 1 из теоремы 1. Отметим, что в этом случае обратный оператор вольтерров и его ядро ограничено сверху функцией k t t (t ;

s ) = exp a( )d (t s ).

s s 1 Следствие 2. Пусть k, m и выполнено хотя бы одно из условий:

p p а) однородное уравнение Lx = 0 имеет только тривиальное решение;

b (Tr x ) (t ) = x(s)d s r (t;

s) б) оператор определяет распределенное отклонение аргумента и T mp + 1 p 1 m + b b справедливо хотя бы одно из неравенств var r (t ;

s) или var r (t ;

s ).

b M Mb s =0 s = L Lp Тогда уравнение (1) имеет единственное решение при любой правой части f Lp.

Доказательство аналогично доказательству следствия 1 теоремы 1. Отметим, что ядро обратного t m b t exp a( )d ( s t ).

оператора = G в этом случае ограничено сверху функцией G (t ;

s ) = bs s 1 Следствие 3. Пусть k, m, оператор T определяет распределенное отклонение p p b 1 p b аргумента (Tr x ) (t ) = x( s )d s r (t;

s ) и справедливо хотя бы одно из неравенств var r (t ;

s ) или b M s= Lp b. Тогда уравнение (1) имеет решение при любой правой части.

var r (t ;

s) Mb s = L Доказательство аналогично доказательству следствия 2 теоремы 1. Ядро правого обратного оператора r1 = G в этом случае имеет вид t k m t bt b exp a ( )d ( s t ) t + G (t ;

s ) = s bs s.

t k m t bt b exp a( )d (t s ) t + s bs s Заключение. В работе получены условия нетеровости и фредгольмовости для сингулярных по независимой переменной функционально-дифференциальных уравнений. Также получены эффективные признаки разрешимости и однозначной разрешимости.

Литература Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Элементы современной теории функционально 1.

дифференциальных уравнений. Методы и приложения. М.: Изд-во ин-та компьютерных исследований, 2002.

384 с.

Васильев А.В., Ермаков А.Е., Колосова С.В. Об одной задаче теории химических реакций // Мат. физика и 2.

нелинейная механика. – 1987. – №8. – С. 35-39.

Огарков В.Б., Шабанов М.Л., Петков А.Ф. Центрально-симметричное деформирование упруго-пластического 3.

шара из сжимаемого материала // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения-ХХII». – Воронеж, 2011. – С. 135-138.

И.М. Плаксина. Условия однозначной разрешимости некоторых линейных сингулярных функционально дифференциальных уравнений Кигурадзе И.Т., Шехтер Б.Д. Сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений // 4.

Итоги науки и техники. Сер. Современные проблемы математики: Новые достижения. – 1987. – Т. 30. – С. 105 201.

5. Agarval R.P., ORegan D. Singular Differential and Integral Equations with Applications. Dordreeht;

Boston;

London, 6. Харди Г.Г., Литтлвуд Дж., Пойа Г. Неравенства. – М.: Изд-во иностр. литературы, 1949. 456 с.

7. Кигурадзе И.Т. Об условиях корректности линейных сингулярных краевых задач // Дифференц. уравнения.

2010. № 2. т. 46. С. 183-190.

8. Rachuncova I., Stanek S., Tvrdy M. Singularities. and Laplacians in boundary value problems for nonlinear differential equations // Handbook of Differ. Equat. Ordinary Differ. Equat. Elsvier. 2006. V.3. P 607- 9. Плаксина И.М. Об одной модельной сингулярной задаче // Вестник Пермского университета. Математика.

Механика. Информатика. Пермь, 2010. Вып. 1(1). С. 19–23.

10. Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1971.

11. Плаксина И.М. О модельных уравнениях в теории линейных сингулярных дифференциальных уравнений // Молодежная наука Прикамья. Пермь, 2010. Вып. 11. С. 254–257.

12. Бравый Е.И. О регуляризации сингулярных функционально-дифференциальных уравнений // Дифференц.

уравнения. 1994. № 1. Т. 30, С. 26-34.

13. Muntean I. The spectrum of the Cesaro operator. Mathematica. Revue danalyse numerique et de theorie de lapproximation. 1980. V. 22(45). №1. P. 79-105.

Плаксина Ирина Михайловна, аспирант Национального исследовательского Пермского государственного технического университета. 614068, г.Пермь, ул.Ленина, д.102, кв.71. Тел. 89128810565, 83422128955? e-mail:

impl@list.ru Plaksina Irina Mikhailovna, pst graduate student of National Research Perm Technical State University. 614068, Perm, Lenin str., 102-71.

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ УДК 004. Г.В. Попков О ЗАДАЧЕ ПОИСКА МЕСТ РАСПОЛОЖЕНИЯ МЕЖСЕТЕВЫХ УЗЛОВ ДЛЯ СЕТЕЙ СВЯЗИ ПРИ ЧРЕЗВЫЧАЙНЫХ СИТУАЦИЯХ Рассмотрена возможность размещения межсетевых шлюзов на сетях абонентского доступа, предназначенных для организации обмена и рассылки коротких сообщений в случае возникновения чрезвычайных ситуаций (ЧС).

Приведен алгоритм поиска мест, расположения специализированных шлюзов, дана оценка времени работы алгоритма.

Ключевые слова: сети абонентского доступа, разрушающие воздействия, моделирование сетей связи, гиперсети, S-гиперсети, МЧС.

G.V. Popkov ABOUT THE PROBLEM OF SEARCH INTER-NETWORK LOCATIONS UNITS FOR NETWORK COMMUNICATION IN EMERGENCY SITUATIONS Рossibility of placing of gateway sluices on networks of user's access intended for the organization of an exchange and mailing of short messages in case of occurrence of emergency situations are considered. The algorithm of search of places, arrangements of specialized sluices is resulted, the estimation of an operating time of algorithm is given.

Keywords: networks of user's access Destroying influences, modeling of communication networks, hypernetworks, S hypernetworks, the Ministry of Emergency Measures Введение В статье рассматриваются вопросы, связанные с взаимодействием сетей связи при возникновении чрезвычайных ситуаций с целью поддержания систем управления для специальных служб. Одна из возможных и важных задач оповещение граждан о возникновении ЧС и передача им соответствующих инструкций.

Рассмотрим варианты РВ на ограниченной территории для определения сетей абонентского доступа (САД). Предположим, на данной территории имеются сети САД различного типа. Необходимо рассмотреть возможность установки межсетевых шлюзов для решения задачи передачи коротких сообщений абонентам, находящимся в различных сетях САД, в случае возникновения РВ.

Множество потенциальных угроз можно распределить на два класса: естественные и искусственные.

Естественные угрозы – угрозы, вызванные воздействиями на САД, и элементы естественных физических процессов или стихийных природных явлений, не зависящие от человека.

Искусственные угрозы – угрозы, вызванные деятельностью человека. По принципу мотивации действий такие угрозы могут быть как преднамеренными, так и непреднамеренными (неумышленными, случайными), вызванными ошибками в проектировании САД и ее элементов, ошибками в программном обеспечении, в действиях персонала и т. д.

В данной работе рассматриваются РВ, возникшие как вследствие природных стихийных бедствий, не зависящих от человека, так и непреднамеренные (искусственные), в частности техногенные катастрофы.

Одной из задач, связанных с межсетевым взаимодействием, является задача интеграции различных сетей связи, используемых для организации широковещательной рассылки коротких сообщений на территории населенного пункта в случае возникновения РВ. Под интеграцией подразумевается использование межсетевых шлюзов, имеющих буферную память и базу данных с контактной информацией абонентов, обслуживаемых операторами связи на данной территории. Контактная информация абонента может содержать номер домашнего и мобильного телефона, электронный адрес, UIN в системе ICQ и т. д. Причем межсетевые шлюзы должны иметь возможность осуществлять широковещательную рассылку информации как в виде голосовых сообщений для абонентов классической телефонной сети, так и в виде коротких текстовых сообщений (sms, письма на электронную почту) для абонентов сотовой связи и сети Интернет (местной сети передачи данных).

В случае возникновения РВ абонент телефонной сети должен иметь возможность позвонить на горячую линию (по типу 119 или другой номер МЧС), а абонент сотовой сети получить сообщение в любой точке сети, как только он становится доступным для обслуживания. Абонент сети Интернет, Г.В. Попков. О задаче поиска мест расположения межсетевых узлов для сетей связи при чрезвычайных ситуациях используя интернет-пейджер, может получить электронное сообщение на адрес электронной почты, указанный в базе данных ближайшего к нему межсетевого шлюза.

Сети абонентского доступа как основа сети циркулярной связи Сети САД могут быть организованы с помощью проводных систем связи либо беспроводных сотовых систем связи класса GSM, бурный рост которых наблюдается в последние десять лет.

Классификация систем САД Аналоговые проводные системы связи: телефонные сети (ТФОП), воздушные линии связи (ВЛС), аналоговые системы передачи (АСП), сети PDH (местные, зоновые, федеральные), системы абонентского уплотнения для сети ТФОП.

Цифровые проводные системы связи: цифровые телефонные сети (Ц-ТФОП), сети ISDN, B-ISDN, IN, SDH, ATM, Frame-Relay, FDDI, x.25, TOKEN-RING, сети Ethernet, Gigabit – Ethernet, Metro-Ethernet, сети PON, DWDM [1].

Эфирные (беспроводные) системы связи: абонентские телефонные радио-удлинители;

радиосвязь УКВ-, КВ-, СВ-, ДВ-диапазонов;

радиорелейные системы связи;

специальные системы радиосвязи;

транковые системы связи;

системы связи типа DECT;

сотовые системы связи NMT-450, UMTS, GSM.

Предположим, на территории воздействия существуют три невзаимосвязанные сети: телефонная сеть связи, сеть передачи данных на основе оптоволоконных кабелей класса Gigabit – Ethernet и сотовая сеть связи класса GSM 900/1800. В случае внезапного воздействия РВ возникает острая необходимость массовой рассылки коротких сообщений для людей, оказавшихся в очаге РВ. В такой ситуации возможен выход из строя активных узлов связи, таких как телефонные станции, маршрутизаторы, коммутаторы сети передачи данных, базовые станции сотовой сети связи. Возможно нарушение работы пассивного оборудования: муфт, кроссов, кабельных вводов, фидеров базовых станций. В этой ситуации в большей степени страдают направляющие системы в виде кабелей связи, причем это в равной степени относится и к подземным кабелям, и к воздушным линиям связи. В случае сотовых систем связи возможны нарушения передачи радиосигналов в условиях высокой влажности, грозовых разрядов, смога, сильного шквального ветра.

В данной ситуации возникает необходимость организации межсетевых узлов, которые могут в оперативном порядке перехватывать и перемаршрутизировать тревожный трафик из одной сети в другую. Такие межсетевые шлюзы целесообразно закладывать на стадии проектирования сетей связи на конкретной территории с учетом особенностей климата, рельефа местности, городской застройки.

Возможные сценарии передачи коротких сообщений подразумевают наличие систем с достаточно большой буферной памятью, готовых в любой момент передать адресату необходимую информацию, обладающих системой автономного питания для обеспечения выживания подобных узлов в ситуациях РВ в течение длительного времени.

На территории абонентского доступа возможно наличие трех видов сетей и двух межсетевых шлюзов. Такая структура, обеспечивающая связь между абонентами различных сетей, организуется операторами связи. Необходимое количество МС на сетях САД, имеющих конечное число узлов, рассчитывается приближенными методами на основе генетических алгоритмов.

Моделирование сетей абонентского доступа как единой системы связи Для построения математической модели и решения частных задач целесообразно применить теорию S-гиперсетей.

Дадим формальное определение S-гиперсети. Пусть задано множество графов (гиперграфов) G0 = ( X 0,V ), G1 = ( X 1,U 1 ),..., G0 = ( X k,U k ) и корневое дерево T0 = ( Z, R), где Z = z0, z1,..., zk, R = r1,..., rk определяющее вложение графов G j в Gi (i j ), аналогичное вложениям, определяемым в гиперсетях, за тем исключением, что вершины xk и xlj графов Gi и G j не тождественны, а инцидентны. Очевидно, i что одной вершине xk несколько вершин могут быть инцидентны X kj = {xkj11, xkj22,..., xkjll } из l графов i {G js }, s = 1,..., l. На множестве вершин X kj определяется L j = ( X kj, E ). Вершины xkjij и xkjss смежны в Lj, i если соответствующие графы G ji и G js в вершине xk имеют некоторую системообразующую связь ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ l ( x ji, x js ). В противном случае эти вершины не связаны. Как и в гиперсетях, ребру ulj G j в графе Gi сопоставляется цепь или некоторая связная часть между соответствующими вершинами из Gi.

Пусть сети передачи данных соответствует граф Gпд(X2,R2), описывающий структуру этой сети для последней мили в сети САД. Телефонная сеть представляется как граф GT(X3,R3).

Предположим, что базовая сеть мобильной связи представляет собой граф WSM(X1,R1), в котором вершинам соответствуют базовые станции сети, а ребрам линии связи. Пусть также существует пара абонентов, которые могут связываться с любой базовой станцией по соответствующему радиоканалу.

Иными словами, сеть мобильной связи можно представить в виде нестационарной гиперсети [2], в которой первичная сеть состоит из графа базовой сети и гиперребер, добавляемых ко всем вершинам графа. Вершине z инцидентно n(z) различных гиперребер, если и только если соответствующая базовая станция может работать на n(z) радиоканалах. Таким образом, первичная сеть PSM(X,V) гиперсети S(X,V,R) задается гиперграфом. Будем исходить из предположения, что станции, работающие с абонентами, не «мешают» друг другу. Очевидно, что вершины x и y будут инцидентны всем добавляемым гиперребрам. Таким образом, абонент потенциально может работать с любой станцией и по любому каналу. Если это не так, то в модели легко предусмотреть иную конфигурацию. Вторичная сеть WSM(X1,R1) гиперсети задается мультиграфом, в котором из каждой вершин x и y выходят n(z) ребер в вершину z, проходящих по соответствующим гиперребрам гиперсети.

Аналогично можно получить представление сети ТФОП и сети передачи данных в виде графов вторичных сетей. Таким образом, на множестве графов вторичных сетей, вложенных в одну первичную сеть PS (в данном случае имеется в виду сеть ситуационных трасс для всех сетей абонентского доступа), необходимо найти минимальное число вершин первичной сети PS, таких чтобы организация в них полносвязных графов сделала бы S-гиперсеть -связой. Поставленная задача является NP-полной как частный случай определения связности гиперсети [3]. Ниже приведен эвристический алгоритм решения этой задачи.

Структурно надежная сеть с групповыми каналами Для своевременного предупреждений и управления работами по ликвидации последствий ЧС необходима сеть передачи коротких сообщений в экстремальных условиях.

Предварительное описание ситуации и формулировка цели На Земле ежегодно возникают сотни чрезвычайных ситуаций, многие из которых становятся катастрофическими для людей. Поэтому существует необходимость создания эффективной системы оповещения жителей о надвигающейся чрезвычайной ситуации и передачи инструкций о поведении в этой ситуации. Ценность и оперативность доставки такого рода информации настолько высоки, что ее потеря или задержка могут вызвать новые чрезвычайные ситуации на обширных территориях, в том числе и для расположенных там предприятий. Линии связи различных сетей зачастую ненадежны, поэтому существует возможность разрушения их как случайным образом, так и организованно. Важно учитывать также, что разные сети принадлежат разным операторам.

Содержательная постановка задачи Требуется создать сеть специализированных программно управляемых межсетевых шлюзов, способных преобразовывать формат коротких сообщений при передаче из одной сети в другую. Данная система сетей связи (объединенная сеть – О-сеть), с одной стороны, должна обладать высокой живучестью, а с другой обеспечивать возможность каждому абоненту одной сети получать короткие сообщения от абонентов других сетей, в том числе от системы оповещения при ЧС. При организации диспетчерской службы системы оповещения все сети рассматриваются как одна благодаря наличию межсетевых шлюзов. Следующим шагом необходимо организовывать виртуальные групповые каналы на О-сети, решающие задачи:

1) обеспечения циркулярной связи от диспетчера до всех оконечных пунктов (абонентов сети);

2) осуществления циркулярной связи по групповым каналам (одна и та же информация поступает во все ОП практически одновременно);

3) сохранения связности диспетчерского узла со всеми ОП при выходе из строя любых (1) элементов (узлов или линии связи);

4) ограничить число групповых каналов сверху переменной.



Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.