авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 |

«5. Математическое моделирование УДК 517.977.54 Б.И. Ананьев, Н.В. Гредасова ...»

-- [ Страница 8 ] --

Г.В. Попков. О задаче поиска мест расположения межсетевых узлов для сетей связи при чрезвычайных ситуациях Территория размещения О-сети должна, по крайней мере, перекрывать территорию населенного пункта или соответствующего района оповещения при ЧС. Пусть О-сеть реализована на кабельных линиях, уложенных в телефонную канализацию, оптических и радиоканалах. Могут потребоваться дополнительные мероприятия для повышения живучести данной сети вследствие ее уязвимости.

Информационная и концептуальная модели сети циркулярной связи Так как О-сеть реализована в виде кабельных линий (пучков каналов тональной частоты, симметричных кабелей, ВОЛС и др.), а также оптических (лазерных) и радиоканалов, то в качестве модели необходимо использовать параллельную двухуровневую S-гиперсеть. Имеется в виду создание различных вторичных сетей абонентского доступа на базе первичной сети. Будем считать, что любые элементы этих сетей могут быть разрушены при чрезвычайной ситуации.

Решение поставленной в предыдущем пункте задачи осуществляется в два этапа:

1. Построение необходимой и достаточной системы виртуальных групповых каналов в О-сети до каждого абонента выделенной территории.

2. Поиск минимального числа межсетевых шлюзов и распределение их по узлам первичной сети.

Математическая модель Данной концептуальной модели можно сопоставить два математических объекта: параллельную двухуровневую S-гиперсеть H=(PS;

WS1,WS2,…,WSk) и ориентированный мультиграф =(X,U), соответствующий О-сети.

Упорядочим вторичные сети WSi по убыванию числа обслуживаемых абонентов. Далее объединим между собой все вторичные сети в узлах первичной сети, при этом каждая сеть WSi должна быть окрашена в цвет Ci,. Затем в полученном объединенном графе G=(X,U) удвоим все ребра, кроме ребер, инцидентных корневой вершине, и ориентируем их навстречу друг другу в каждом мультиребре;

ребра, инцидентные корню, ориентируем от него. Таким образом, получен ориентированный мультиграф G =(X,U).

В данном случае вторичная сеть тривиальна, т.е. состоит из гиперребер, инцидентных всем вершинам гиперграфа WS. Каждой реализации гиперребра в PS соответствует остовное дерево в PS, поэтому в качестве математического объекта удобнее выбрать ориентированный мультиграф 2-го рода.

Таким образом, математической моделью искомой сети является ориентированный мультиграф 2-го рода, в котором каждому групповому каналу сопоставлено ориентированное корневое дерево.

Математическая постановка задачи Пусть задан граф ситуационных трасс PS=(X,V) и корневая вершина x0X, соответствующая диспетчерскому узлу центра оповещения МЧС. Пусть (x0,xi) попарно связны для xiX.

Требуется найти корневых в x0 остовных деревьев Ti (i=1), таких что при удалении любых (1) вершин, кроме x0, для любой пары (x0, xj) существует дерево Tl, содержащее цепь (x0, xj).

Таким образом, при разрушении любых (1) оконечных пунктов, а следовательно, и линий связи (см. неравенство Уитни S(G) (G) (G)), существует связь между диспетчером и любым нарушенным ОП.

Выбор метода решения Решение задачи в данной постановке оптимально, если каждый групповой канал будет реализован в виде корневого остовного дерева [4]. Поэтому достаточно организовать построение такого множества корневых остовных деревьев, чтобы соблюдалось условие -связности корневой вершины со всеми другими вершинами.

Для точного алгоритма можно предложить метод последовательного приращения остовного дерева при условии соблюдения соответствующей связности S-гиперсети H=(PS,WS). Подобный метод для графов описан в [2].

Алгоритм АТ определения мест расположения межсетевых узлов Шаг 1. Исходный граф PS преобразовать в ориентированный 2-мультиграф G’=(X,U’), т.е. каждое ребро из PS (кроме ребер {(x0,xi)}) заменить на пару противоположно ориентированных дуг, а ребра {(x0,xi)} ориентировать от x0 к xi для всех вершин, смежных с x0..

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ Для каждой вершины x X (x x0) вычислить локальную связность (x0,x ) и (x0):=min (x0,x) в S-гиперсети H=(PS,WS), i:=1;

xX-x (PS):={T1, T2,...,T(x0)};

Xi:=x0;

Ui:=0;

Ti:=(Xi,Ui).

Шаг 2. В графе G’ выбираем дугу u = (x,x ) из Xi в XXi, инцидентную вершине x, такую что дерево T = ( X X,U U ) не нарушает T-покрытия (PS), u Q (u ), где множество дуг, i i i принадлежащих той же вторичной сети, что и дуга u. Причем количество независимых цепей из x0 в x в графе G’’ = (X, U’-ui) уменьшается по сравнению с графом G' на единицу. Известно [2], что число независимых s,t-цепей является верхней оценкой для локальной связности между вершинами s и t в S гиперсети H=(PS,WS). Если такая дуга не найдена, то выбрать дугу u, соответствующую другому графу;

если все дуги, инцидентные вершине x, соответствующие этому графу, просмотрены, то выбираем аналогичные дуги, соответствующие следующим графам из множества {WSi};

если все вторичные сети просмотрены и такая дуга не найдена, то шаг 4, иначе шаг 3.

Шаг 3. U '( G '):= U '( G ') u ;

Ti := ( X i x, U i u );

на шаг 2.

Шаг 4. Проверяем последовательно все существующие и вновь получаемые висячие вершины xi дерева Ti на выполнение неравенства ( x 0, x j ) ( x 0, x j ) i. (1) L' = ( G ' {Ti }) G' Если это неравенство для некоторой висячей в Ti вершины x выполняется, то U’(G’):=U’(G’)(y,x)Ti);

Ti := ( X i x,U i ( y, x)), иначе переходим к следующей висячей вершине.

Процесс заканчивается, если в Ti не останется висячих вершин, удовлетворяющих неравенству (1).

Шаг 5. x Ti, i:=i+1, если i ( x0 ), то на шаг 6, иначе на шаг 2.

Шаг 6. Полное Т-покрытие найдено.

Шаг 7. В тех вершина, в которых произошел переход от ребер одного графа к ребрам другого, устанавливается соответствующее ребро в S-гиперсети H=(PS,WS).

Для оценки времени работы алгоритма достаточно посчитать число итераций, необходимых для проверки подключения очередного ребра в дерево, соответствующее групповому каналу. Пусть число ребер объединенного графа вторичной сети равно m, число вершин равно n, тогда необходимо m раз проверить наличие независимых s,t-цепей. Для построения -независимых s,t- цепей необходимо проделать m операций.

Таким образом, для полного выполнения алгоритма потребуется выполнить O(m2 ) операций.

Заключение Таким образом, приведенный выше алгоритм поиска мест расположения межсетевых узлов позволяет на этапе проектирования и эксплуатации сетей абонентского доступа предусмотреть межсетевые узлы с целью передачи коротких сообщений от центра оповещения МЧС ко всем абонентам этой сети в формате соответствующей абонентской сети.

Литература Гольдштейн Б.С., Соколов Н.А., Яновский Г.Н. Сети связи. СПб: БХВ-Петербург, 2010. 400 с.

1.

Попков В. К. Математические модели связности. Новосибирск: ИВМиМГ СО РАН, 2006. 490 с.

2.

Препринт ИВМ и МГ СО РАН № 1162. 2005.

3.

Дистель Р. Теория графов. Новосибирск: ИМ СО РАН, 2002. 325 с.

4.

Попков Глеб Владимирович, кандидат технических наук, научный сотрудник Ин-та вычислительной математики и математической геофизики СО РАН;

630090, Новосибирск-90, пр-т. акад. Лаврентьева, д. 6;

тел. (383) 330-96-43.

Popkov Gleb Vladimirovich, cand. tech. sci., the research assistant Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics SB RAS.

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ УДК 517. И.В. Расина, А.О. Блинов, И.С. Гусева МАГИСТРАЛИ В ЗАДАЧЕ ОПТИМИЗАЦИИ СТРАТЕГИИ РАЗВИТИЯ РЕГИОНА НА МНОГОКОМПОНЕНТНОЙ МОДЕЛИ Статья посвящена исследованию задачи оптимизации стратегии развития региона на многокомпонентной со цио-эколого-экономической модели, учитывающей ограничения на восстановительные мощности природной сре ды и социальной сферы и на инновационные мощности. Управляющими воздействиями являются текущие выпус ки отраслей, инвестиции и инновационная активность. В результате находится магистральное решение как при ближенное глобально оптимальное и новый количественный критерий устойчивого развития. Приводится числен ный пример.

Ключевые слова: оптимизация, магистраль, инновация, устойчивое развитие, метод кратных максимумов.

I.V. Rasina, A.O. Blinov, I.S. Guseva TURNPIKES IN THE OPTIMIZATION PROBLEM OF REGIONAL DEVELOPMENT STRATEGY ON THE MULTICOMPONENT MODEL The article is devoted to researching of optimization problem of regional development strategy for multicomponent socio-ecologic-economical model. This model considers the constraints for the natural environment and social sphere re covery capacities and for the innovative capacities. Consequently there are found the turnpike solution as an approximate globally optimal solution and the new quantitative criterion of sustainable development. A numerical example is given.

Keywords: optimization, turnpike, innovation, sustainable development, the method of multiple maximums.

Введение В [1] исследована задача оптимизации стратегии развития на многокомпонентной модели [2], описы вающей взаимодействие трех секторов – основного производственного, социо-природо восстановительного и инновационного. Предполагалось в целях упрощения, что мощности последних двух секторов не ограничены, и учитывались лишь прямые затраты, связанные с текущей деятельно стью. Это привело к постановке вырожденной задачи оптимизации неограниченных линейных управле ний и характерному решению – магистральному, которое находится путем преобразования исходной задачи к эквивалентной меньшего порядка, называемой производной задачей [3,4].

Соответствующая траектория (магистраль) разрывна, не удовлетворяет в общем случае заданным граничным условиям и реализуется практически при достаточно больших управляющих воздействиях в окрестностях разрывов.

В данной работе рассматривается новая по сравнению с [1] постановка задачи, в которой учитывает ся динамика ограниченных мощностей восстановительного и инновационного секторов, а роль управ ляющих воздействий наряду с темпами выпуска продукции отраслей выполняют соответствующие ин вестиции, которые принимаются неограниченными. Производная задача оказывается линейной относи тельно новых управлений, и ее можно преобразовать к новой производной задаче (второй ступени).

Реализация магистрального решения в этом случае требует более сложной процедуры.

Полученное решение дает новый, более реалистический критерий устойчивости развития, который, в отличие от прежнего, отражает инвестиционную деятельность. Оно может быть модифицировано с уче том различных реальных ограничений, отраженных в полной социо-эколого-экономической модели, и использовано в качестве эффективного начального приближения при численном итерационном улучше нии управления [5].

1. Постановка задачи Рассматриваемая концептуальная модель региона [2] описывается следующими соотношениями:

с = ( E A) y Bu A z z B z u z Av v B v u v, (1) r = r + N (r r ) Cy Du D z u z + C z z + im r ex r, (2) Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты 09-01-00170-а, 09-01-90203-Монг_а, 10-06-00081 а), РГНФ (проект 11-02-00171).

И.В. Расина, А.О. Блинов, И.С. Гусева. Магистрали в задаче оптимизации стратегии развития региона на много компонентной модели k z = u z [ z ]k z, k v = u v [ v ]k v, k = u [ ]k, (3) z z v 0 y ( k ), 0 z (k ), 0 v ( k ), (4) = ([v] + H inv + [ H dif ])( ) (0) = 0,, (5) i i j ij = 1.

x = x (1 + ij ), i I j, (6) iI j Здесь – векторы выпусков продукции по отраслям, активного природо-социо y, z, v восстановления, активных инноваций, c – конечное потребление;

(k, k z, k v ), ((k ), z (k z ), v (k v )), (u, u z, u v ), (, z, v ) – основные фонды, мощности и инвестиции (векторы) и темпы амортизации в экономическом, природо-социо-восстановительном и инновационном секторах (диагональные матри цы);

p – матрица-строка цен (ценовых поправок);

r – вектор индексов состояния природной среды и социума;

– вектор инновационных индексов (агрегированное описание изменения за счет инноваций элементов матриц A, A z, B, B z C, D, C z, D z и других параметров);

r (t ) – заданная функция (опор ная), например получаемая из статистического прогноза;

im r, ex r – миграционные потоки загрязнений и ресурсов;

A, A z, Av – матрицы прямых затрат в экономическом, природо-социо-восстановительном и инновационном секторах;

B, B z, B v – матрицы фондообразующих затрат в указанных секторах;

N – матрица коэффициентов взаимовлияния компонентов природной и социальной подсистем;

C – матрица коэффициентов прямого воздействия отраслей экономики на компоненты природной и социальной под систем, а D, D z – матрицы коэффициентов воздействия на указанные компоненты при инвестициях в отрасли экономики и в природо-социо-восстановительный сектор;

H inv, H dif – матрицы, отражающие влияние инвестиций и диффузии инноваций, H inv = H ij u i / k i + H kj u zk / k zk, z (7) i k z где H ij, H kj – коэффициенты «инновационности» инвестиций в i -й отрасли ( k -м секторе), относя j щиеся к j -му инновационному индексу;

H dif – коэффициент диффузии;

выражения вида [ X ] – диаго нальные матрицы, построенные из компонент вектора X ;

ij – весовые коэффициенты. Матрицы B и B z зависят от H inv, что отражает факт удорожания инвестиционных проектов с ростом их инновацион ности.

Данная модель может трактоваться как непрерывная, так и дискретная по времени. Точкой сверху в dk и т.д.), а в дискретном – ко непрерывном варианте обозначаются производные по времени (так k = dt k (t + h) k (t ) нечные разности k =, где h – временной шаг, который удобно задавать равным единице h времени (типично – году), h = 1. Все величины в правых частях уравнений и в конечных соотношениях берутся в момент t.

Агрегирование параметров (и определение их зависимости от ) может быть выполнено различными способами. Один из естественных способов подробно описан в [2], и на этом мы останавливаться не бу дем. В общем случае все матрицы и функции (k ), z (k z ), v ( k v ) могут зависеть от t и вектора, а также от r для учета инноваций, необратимости природных процессов при чрезмерных воздействиях, экономических ущербов от ухудшения качества природной среды и т.п. Эти зависимости уточняются при планировании сценарных расчетов, а по умолчанию принимаются линейными, например (0) (1) Aij = Aij + Aij (r r ).

Основные типичные ограничения на управляющие воздействия представлены в (4). Возможны до полнительные ограничения, связанные с конкретными задачами, например, по трудовым ресурсам, по располагаемым инвестициям, ограничения, отражающие требования устойчивого развития, и т.п.

Предлагается достаточно очевидный критерий оптимальности – максимум функционала благосос тояния F = (t F ) – конечного значения накопленного дохода за вычетом штрафа за нарушение огра ничений устойчивого развития (t ), динамика которого описывается уравнением ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ = ( pc S (r )) e t = ( p (( E A) y Bu (8) A z z B z u z Av v B v u v ) S ( s, r )) e t при заданных ограничениях и заданном состоянии в начале периода:

(0) = 0, k (0) = k0, k z (0) = k0z, k v (0) = k0, r (0) = r0, (0) = 0, v где p – матрица-строка прогнозируемых цен (ценовых поправок), S – штраф за нарушение условий устойчивого развития, s – вектор штрафных коэффициентов;

– коэффициент дисконтирования.

При подходящем выборе параметрa функционал можно трактовать и как накопленное душевое потребление, если принять, что население растет экспоненциально (в этом случае рассматривается как сумма темпов дисконтирования и роста населения).

В целом это сложная многомерная вырожденная задача оптимального управления, которая не подда ется напрямую исследованию общими методами. Для решения в [2] предложена следующая многосту пенчатая схема.

1. Вводятся упрощающие, но достаточно естественные допущения и находится магистральное реше ние.

2. Найденное магистральное решение модифицируется с учетом реальных факторов и ограничений модели, игнорированных при упрощениях.

3. Модифицированное решение уточняется в итерационной процедуре.

В данной работе рассматривается в основном первый этап (который является решающим, поскольку доставляет глобальное приближенно оптимальное решение) при новых более реалистичных допущени ях, что позволяет получить лучшее начальное приближение на втором этапе.

Третий этап для рассматриваемой модели оказывается достаточно трудоемким, но может быть ус пешно реализован в параллельных вычислениях [5] и таким образом принципиальных трудностей не представляет.

2. Поиск магистрального решения Из методических соображений будем предполагать, что инновационным изменениям подвергаются лишь элементы матриц A и C (которые и по содержанию – наиболее существенные параметры). Они рассматриваются как функции. Остальные параметры считаются константами. Восстановительный и инновационный секторы работают с полным использованием мощностей, которые принимаются линей но зависящими от основных фондов: z = z k z, v = v k v, где z, v – некоторые диагональные матри цы. Мощности производственных отраслей (производственные функции) i (k i ) считаются вогнутыми функциями. Темп дисконтирования полагается нулевым. Ограничения на r учитываются косвенно посредством штрафов. Население и трудовые ресурсы по отраслям принимаются постоянными. Выпус ки и основные фонды отраслей ограничены снизу из условий минимальной занятости населения. Мат рицы D, D z принимаются нулевыми.

Задачу будем решать в два этапа:

1) зафиксируем (t F ) = F и найдем решение при этом условии;

2) проварьируем F и получим окончательное решение.

Для решения задачи на первом этапе применим метод кратных максимумов (МКМ) [3, 4]. Предполо жим, что управления u, u z и u v не ограничены, для компонентов k, k z, k v имеются нижние границы ()l, а верхнюю ()u и нижнюю ()l границы для j построим как решения уравнений относительно этих переменных из (1) при v j = j klvj с условиями на левом и правом концах (рис. 1).

Рис. И.В. Расина, А.О. Блинов, И.С. Гусева. Магистрали в задаче оптимизации стратегии развития региона на много компонентной модели Рассмотрим обобщенный лагранжиан Кротова задавая функцию Кротова в виде [6], = + ( k, k z, k v, r, ) :

tF L = G Rdt, G = (k F, k, k, rF, F ) (k0, k0z, k0, r0, 0 ), z v v F F R = p (( E A( )) y Bu Az z k z B z u z Av v k v B v u v ) v v ( k + H )( ) + v (u v v k v ) + (u k ) S (r ) + k k + z (u z z k z ) + (r + N (r r ) C ( ) y + C z z k z + im r ex r ).

k r рассматриваются как матрицы-строки производных по компонен Здесь,,,, k k v k z r там соответствующих векторов.

Применяя последовательно метод кратных максимумов, приходим к следующим уравнениям относи тельно :

v = pB z, = pB v, ( ) = µ v, = z, = pB, z v k k k r где µ v = p( Av v + v B v ), z = (C z z ) 1 p ( A z z + z B z ). При этом = + p( Bk + B z k z + B v k v ) µ vj ln j ( j j ) + z r, (9) j L = p ( B z k F + B v k F + z rF µ vj ln j ( Fj j )) z v j где tF (( p( E A( ) C ( )) y B k ) S (r ) + (r + N (r r ) + imr ex r ))dt + const, z z const = p ( Bk F Bk0 B z k0z B v k0 + z (rF r0 ) + µ vj ln j ( 0j j )).

v j z v Будем минимизировать L последовательно по y,, L, r (при каждом t ) и по k F и k F. Обозначим = p( E A( ) z C ( )). Минимизация по y дает: y i = yu = i (k i ) при i 0, y i (t ) = yli при i 0.

i Соответственно R = ( ) yl,u pB k S (r ) + z (r + N (r r ) + im r ex r ).

Минимизируя далее по, получаем нижнюю границу j = l j (t ) = j ( j Fj ) exp( H j (t F t )) при всех t, так как i ( ) – убывающая функция. Минимум по k достигается в точке k (l (t )), та R кой, что k i (l (t )) = kli при i ( ) 0 и k i ( l (t )) – решение уравнения = 0 с учетом вогнутости k i i (k i ).

Из указанных выше условий видно, что в общем случае может иметь место одна точка переключения i k (t ) и y (t ) на рассматриваемом временном интервале, причем с нижней границы на верхнюю.

R = 0, посколь Минимум L по r достигается в стационарной точке r, удовлетворяющей условию r ку на r ограничений нет. Тогда L = p ( B z k Fz + B v k F + z rF Q ( l (t ))) + const, v Q(l (tF )) – значение интеграла в выражении при найденных оптимальных значениях перемен где z v ных. Значения k F, k F и k F принимаются равными значениям на последней магистрали. Результат ми нимизируется по F, что даст окончательное магистральное решение.

3. Реализация магистрального решения и пример Отметим, что данная конструкция функции Кротова соответствует двукратному переходу от исход ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ ной задачи к производной: вначале получается первая производная задача, где роль управлений наряду с исходными играют k, k z и k v, затем делается переход к следующей производной задаче, путем перехо да к единственной фазовой переменной = (, k, k z, k v,, r ) = + p ( Bk + B z k z + B v k v ) µ vj ln j ( j j ) + z r.

j Это задача первого порядка для уравнения = v(, r ) = ( ) y pB k S (r ) + z (r + N (r r ) + im r ex r ) (10) с функционалом I = (tF ) inf при начальном условии (0) = 0 = p ( Bk0 + B z k0z + B v k0v ) µ vj ln j ( 0j j ) + z r j и при указанных выше ограничениях на остальные переменные.

Минимизация этого функционала сводится к максимизации правой части уравнения (10), которая совпадает с выражением функции R и дает уже найденное разрывное магистральное решение (второй ступени). Его траектория, как видно, разрывна в начальный момент и в точках переключения компо нент k, внутри промежутка (0, t F ), т.е. представляет собой чередование нескольких непрерывных маги стралей.

Для аппроксимации магистрального решения в исходном классе допустимых процессов предлагает ся алгоритм с минимальным числом переключений исходных управлений [7]. Он состоит в непрерыв ном переходе на магистраль из заданного начального состояния и между магистралями с минимальным числом переключений управлений (в данном случае два для каждого управления k zm и k vj ). Рассмотрим это на конкретном примере для агрегированной версии модели с одномерными секторами производства, восстановления и инноваций и для условного региона, прототипом которого служит Байкальский регион по состоянию на 2010 год.

Пример.

Расчеты проводились для условного региона при следующих исходных данных:

tF = 20, p = 1, = z = v = 0.05, A0 = 0.5, A( ) = (1 + ) A0, C0 = 0.9 105, C ( ) = (1 + )C0, B = 1, A z = 8000, B z = 1, Av = 200, 250,300, B v = 1, C z = 1, k0 = 400, k F = 800, k0z = 10, k0 = 6, 0 = 0, v = 0.8, F = 0.75, r0 = 0.8, rF = 0.9, r = 1, N = 0.01, im r = 0.1, ex r = 0.1, S (r ) = s (r r ) 2, s = 10000, yl = 50, kl = 100, yu = k, = 10, z = 0.0002, H = 0.01, v = 0.0015.

На рисунках 2-7 представлены магистральное решение и один из членов аппроксимирующей после довательности. При магистральном решении получено значение функционала полезности = 7485.29, а при аппроксимации = 7153.57. Видно, что управление, реализующее это решение, носит сложный переключательный характер даже при минимально возможном для данной реализации числе точек пе реключения. Это обусловлено, во-первых, наличием двух магистральных участков (соответствующих нижней границе k и его стационарному оптимуму), а во-вторых, более сложной реализацией магистрали второй ступени по сравнению с [1].

Заключение Рассмотренная задача является одним из представителей класса задач управления на моделях эконо мических, эколого-экономических или социо-эколого-экономических систем, связанных с решением актуальных проблем устойчивого развития. Для этой задачи при принятых предположениях о неограни ченности линейных управлений (инвестиций) получается единственная оптимальная траектория, не за висящая от граничных условий (магистраль). Решение в целом с учетом граничных условий оказывает ся разрывным: переходы между граничными точками и магистралью и между магистралями происходят «скачком». Каждый скачок реализуется последовательностью кусочно-гладких траекторий при неогра ниченно возрастающих управлениях в окрестностях точек разрыва, а практически – при достаточно больших управляющих воздействиях.

И.В. Расина, А.О. Блинов, И.С. Гусева. Магистрали в задаче оптимизации стратегии развития региона на много компонентной модели k v (t ) u, u z, u v аппроксимация uz управление t магистраль uv управление t t tk v Рис. Рис. k z (t ) k (t ) kF аппроксимация аппроксимация k0 магистраль магистраль kl t t t k 1 t r t k 2t y t k ty tk tk 1 tk z z z Рис. 4 Рис. r (t ) (t ) магистраль tk t t v r аппроксимация аппроксимация магистраль r магистраль F t Рис. Рис. Магистральное решение задачи устойчивого социо-эколого-экономического развития региона нахо дится из достаточно простых соотношений и позволяет получить практически значимые выводы, по скольку исходные идеализирующие допущения достаточно хорошо отражают реальную ситуацию.

В частности ему соответствует важный критерий устойчивости развития региональной системы, ко торый включает не только экономические, но и экологические и социальные параметры. В отличие от критерия, полученного в [1], где восстановительные и инновационные мощности принимались неогра ниченными, а учитывались только затраты на текущее функционирование соответствующих секторов, ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ здесь, как видно, он включает и инвестиционные параметры, а именно, коэффициенты фондообразую щих затрат B z и B v.

Стратегическая магистраль устойчивого развития находится при условии c = ( A z, B z ) (k ) pB k S (r ), исходя из заданного желаемого значения потребления c. Резервы для этого заключены в выборе k, S (r ) и инновационном изменении A z (которые в описанной процедуре поиска магистрального решения из методических соображений не были учтены).

Рассмотренная здесь новая постановка задачи оптимального развития региона приводит к более сложному магистральному решению, чем в [1] с точки зрения его реализации. В отличие от [1] здесь по лучается магистраль не первой, а второй ступени.

Возможны различные способы аппроксимации магистрального решения. При практической реализа ции выбор способа аппроксимации будет зависеть от конкретных условий. В частности, можно синхро низировать переключения отдельных компонент за счет выбора величин управляющих воздействий;

то гда выход на магистраль или переход на новую магистраль потребует всего двух моментов переключе ния вектора управления.

При ограниченных инвестициях как управляющих воздействиях магистральный характер решения сохраняется, но оно становится приближенным и в дальнейшем может быть использовано в качестве эффективного начального приближения в итерационной процедуре улучшения [5] для полной модели, представленной в разделе 2. Однако при этом переключения компонент не будут синхронизированы, и число точек переключения (в общем случае 2n, где n – размерность вектора k ) может быть достаточно большим. В таком случае для повышения эффективности итераций улучшаемый процесс целесообразно рассматривать как дискретно-непрерывный, где дискретными шагами служат моменты переключений, и применять соответствующие алгоритмы улучшения (например, [8, 9]) аналогично тому, как это делалось при практической реализации скользящих режимов [10].

Литература 1. Ухин М.Ю., Ачитуев С.А. Оптимизация стратегий развития региона на многокомпонентной модели // Ав томатика и телемеханика. 2008. № 3. С. 178-189.

2. Гурман В.И., Рюмина Е.В. Моделирование социо-эколого-экономической системы региона / под ред. В.И.

Гурмана, Е.В. Рюминой. М.: Наука, 2001. – 175 c.

3. Гурман В.И. Вырожденные задачи оптимального управления. – М.: Наука, 1977. – 304 с.

4. Гурман В.И. Магистральные решения в процедурах поиска оптимальных управлений // Автоматика и те лемеханика. 2003. № 3. С. 61-71.

5. Гурман В. И., Матвеев Г. А., Трушкова Е. А. Социо-эколого-экономическая модель региона в параллель ных вычислениях // Управление большими системами. Выпуск 32. М.: ИПУ РАН, 2011. С. 109-130.

6. Кротов В.Ф., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления. – М.: Наука, 1973. – 447 с.

7. Гусева И.С., Трушков В.В. Реализация магистральных решений высших порядков // Вестник БГУ. 2010.

№9. С. 29-34.

8. Гурман В.И., Расина И.В. Сложные процессы // Методы решения задач оптимального управления на осно ве принципа расширения. Новосибирск: Наука, 1990. С. 84-94.

9. Расина И.В. Две формы достаточных условий оптимальности и метод улучшения второго порядка для сложных процессов // Юбил. сб. научн. тр. к 10-летию СИПЭУ. Иркутск: УКИзд-во Макаров, 2004. С. 180-192.

10. Гурман В.И., Трушкова Е.А., Ухин М.Ю. Улучшение управления, реализующего скользящий режим // Ав томатика и телемеханика. 2008. № 3. С. 161-171.

Расина Ирина Викторовна, кандидат физико-математических наук, зав. кафедрой математических и естествен но-научных дисциплин Сибирской академии права, экономики и управления, тел. (3952)422869, e-mail: irinarasi na@gmail.com.

Блинов Александр Олегович, инженер-исследователь Института программных систем им. А.К. Айламазяна РАН, тел. (48535)98094, e-mail: sarmat@pereslavl.ru Гусева Ирина Сергеевна, студент магистратуры Восточно-Китайского педагогического университета, тел.

(8621)13764974778, e-mail: ig_19@mail.ru Rasina Irina Victorovna, candidate of physical and mathematical sciences, head of department of mathematical and natural sciences, Syberian Academy of Law, Economics and Management.

Blinov Alexander Olegovich, research engineer of Ailamazyan Program Systems Institute of RAS.

Guseva Irina Sergeevna, master degree student of East China Normal University.

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ УДК 517. Г.А. Шишкин ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗМОЖНОСТЕЙ РЕШЕНИЯ В ЗАМКНУТОМ ВИДЕ НАЧАЛЬНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА С ФУНКЦИОНАЛЬНЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ В статье, используя одну модификацию функции гибкой структуры, рассматриваются возможности решения начальных задач для линейных интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра с функциональным запазды ванием в замкнутом виде.

Ключевые слова: интегро-дифференциальные уравнения Вольтерра, замкнутые решения, функция гибкой структуры.

G.A. Shishkin RESEARCH OF POSSIBILITIES OF SOLUTION IN THE CLOSED KIND INITIAL PROBLEMS FOR THE LINEAR INTEGER-DIFFERENTIAL EQUATIONS OF VOLTERRA WITH FUNCTIONAL DELAY In the article, using one updating of function of flexible structure, the possibilities of the Solution of initial problems for the linear integer-differential equations of Volterra with functional delay in the closed kind are considered.

Key words: integer-differential, the equations of Volterra, the closed decisions, function of flexible structure.

Введение В работах [5]-[7] исследовался вопрос о возможности преобразования начальных задач для интег ро-дифференциальных уравнений Вольтерра с запаздывающим аргументом различных типов (за паздывающего, нейтрального и опережающего) к разрешающим интегральным уравнениям Вольтерра с обыкновенным аргументом.

Общий вид таких уравнений можно записать в виде:

x l n fij ( x ) y ( i ) (u j ( x)) + K ij ( x, ) y ( i ) (u j ( )) d = f ( x), (1) j =0 i =0 a где u0 ( x) x, u j ( x) x j = 1, l, функции f ij ( x), u j ( x) и f ( x) – непрерывны, ядра K ij ( x, ) – регулярны в квадрате a x, b, с начальными условиями для уравнений вида (1) y (i ) (u j ( x)) = i (u j ( x)), i = 0, n 1, x Ex0, (2) l где Ex0 = U Exj0, Exj0 - множество точек, для которых соответствующие u j ( x) x0 при x x0 j = 1, l, j = E = [ a, x0 ].

x В этих работах преобразование поставленных задач осуществлялось с помощью одной модифи кации функции гибкой структуры n d i s (u j ( x) x0 ) y (i ) (u j ( x)) = D 1 y ( s 1) ( x0 ) + dx i s = u j ( x) i n (u j ( x) t ) + n µ (t )dt + i u 'j ( x) µ (u j ( x)), ( 3i ) i x x где i = 0, n, n = 1, i = 0 i = 0, n 1, D=D( r1, r2,....., rn ) – определитель Вандермонда, составленный из неопределенных параметров r1, r2,....., rn.

Г.А. Шишкин. Исследование возможностей решения в замкнутом виде начальных задач для линейных интегро дифференциальных уравнений Вольтерра с функциональным запаздыванием Параметры определяются в ходе решения задачи исходя из оптимальности ее решения, определитель s ( x t ), s = 1, n получается из определителя D заменой s-й строки строкой exp r1 ( x t ),exp r2 ( x t ),…, exp rn ( x t ) и µ ( x) – новая неизвестная функция.

В результате исследований получены следующие результаты: начальные задачи для всех уравне ний запаздывающего типа (если f nj ( x) 0 и K nj ( x, ) 0 j = 1, l, а f n 0 ( x) 0 ), для уравнений ней трального типа (выполняются условия f n 0 ( x) 0 и j 0, для которых f nj ( x) 0 и K nj ( x, ) 0 одно временно или по отдельности, если же f n 0 ( x) 0, то K nj ( x, ) 0 для j 0 ) и для уравнений опере жающего типа (если f n 0 ( х) 0, K n 0 ( x, ) 0 и j 0, что f nj ( x) 0 ) преобразуются к разрешающим интегральным уравнениям с обыкновенным аргументом одного и того же вида Vj ( z) µ ( z) + Pj ( z, t ) µ (t )dt = R ( z ). (4) x Постановка задачи и её решение Исследования возможностей решения начальных задач в замкнутом виде проведем, опираясь на ре зультаты работ [5]-[7].

а) Решение в замкнутом виде получим, если в уравнении (4) параметры ri, i = 1, n можно определить так, что R ( z ) 0. Тогда однородного уравнения (4) будет µ ( z ) 0 (в силу единственности решения при R( z ) F, Pj ( z, t ) Q выполнении условий ограниченности функций в заданном квадрате ul ( x0 ) z ul (b) ) и решение первоначально поставленной задачи найдётся по формуле ( 30 ) n y ( z ) = D 1 y ( s 1) ( x0 ) s ( z x0 ). (5) s = б) Другой возможный вариант решения в замкнутом виде получим, если параметры ri, i = 1, n можно определить так, что Pj ( z, t ) 0 j = 0, l. Тогда решение разрешающего уравнения (4) будет µ ( z ) = R ( z ) и по формуле ( 30 ) найдётся решение поставленной начальной задачи n x y ( z ) = D 1 y ( s 1) ( x0 ) s ( z x0 ) + n ( z t ) R (t )dt. (6) s =1 x Хорошо известны методы решения (в том числе и точные) обыкновенных интегральных уравнений типа Вольтерра v( z ) µ ( z) + P ( z, t ) µ (t )dt = R ( z ). (7) x Это методы дифференцирования, применения рядов (степенных, Неймана, Фурье), принципа сжатых отображений, операционные методы и другие, многие из них приведены в справочниках по интеграль ным уравнениям [3], [4].

Исследуем далее возможные варианты постановки начальных задач, которые приводили бы к разре шающим уравнениям вида (7).

в) Для уравнений запаздывающего и нейтрального типов с одним функциональным запаздыванием x n y ( n ) ( x) + f i ( x) y ( i ) (u ( x)) + + K i ( x, ) y (i ) (u ( ))d = f ( x), u ( x) x, u ( x) x (8) / i =0 a найдём ядра P0 ( x, t ), P ( x, t ) и функцию R ( x) разрешающего уравнения (4) по формулам работ [6]-[7] ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ i n ( t ) x i n ( x t ) n n ( x t ) n P0 ( x, t ) = D 1 fi 0 ( x) + K i 0 ( x, ) d + K n 0 ( x, t ) = D 1, x i i x n i =0 t так как f i 0 ( x) 0 j = 0, n 1 и f n 0 ( x) 1, K i 0 ( x, ) 0 j = 0, n. Далее найдём i n (u ( ) t ) x i n (u ( x) t ) n P ( x, t ) = D 1 f i ( x) + K i ( x, ) d, xi i i =0 t n i n d s (u ( x) x0 ) R ( x) = f ( x) D 1 y ( s 1) ( x0 ) f i ( x) + dx i i =0 s = d i s (u ( ) x0 ) x cn d + K i ( x, )i (u ( ))d, + K i ( x, ) i d a i = c где c = u ( x0 ).

Для уравнений рассматриваемых типов в этом пункте для получения разрешающего уравнения вида (7) достаточно так определить параметры ri, i = 1, n, чтобы P0 ( x, t ) 0 или P ( x, t ) 0.

Такие варианты, как показывают рассмотренные далее примеры с их решениями, есть. Например, при n=2, если положить r1 = r2 = 0, то, применив правило Лопиталя вычисления пределов, найдём r 2 e r2 ( x t ) r12 e r1 ( x t ) 22 ( x t) P0 ( x, t ) = D 1 = r1 (2 + r1 ( x t ))e r1 ( x t ) = 0.

= lim x 2 r2 r r2 r Как видим, для задачи (8), (2) получим разрешающее уравнение Вольтерра с обыкновенным аргумен том вида (7).

г) Для уравнений запаздывающего и нейтрального типов с одним функциональным запаздыванием только под знаком интеграла x n f ( x) y ( x) + K i ( x, ) y ( i ) (u ( ))d = f ( x) (i ) (9) i i =0 a найдём ядра P0 ( x, t ), P ( x, t ) и функцию R ( x) разрешающего уравнения (4), воспользовавшись формула ми работ [5]-[6] x i n ( x t ) i n (u ( ) t ) n n P0 ( x, t ) = D 1 f i ( x), P ( x, t ) = K i ( x, ) + K n ( x, u 1 (t ))u n 1 (u 1 (t )), i xi i =0 i =0 t n d i s ( x x0 ) n R ( x) = f ( x) D 1 y ( s 1) ( x0 ) fi ( x) + dxi i =0 s = d i s (u ( ) x0 ) x c + K i ( x, ) d + K i ( x, )i (u ( ))d.

i d c a В этом случае также возможны варианты определить параметры ri, i = 1, n, так, чтобы P0 ( x, t ) 0 или P ( x, t ) 0. Тогда получим для задачи (9), (2) разрешающее уравнение Вольтерра с обыкновенным аргу ментом вида (7).

д) Для уравнений нейтрального и опережающего типов с одним функциональным запаздыванием вне интеграла x n fi ( x) y (i ) (u ( x)) + K i ( x, ) y (i ) ( )d = f ( x), (10) i =0 a Г.А. Шишкин. Исследование возможностей решения в замкнутом виде начальных задач для линейных интегро дифференциальных уравнений Вольтерра с функциональным запаздыванием воспользовавшись формулами работ [6]-[7], найдём ядро P ( z, t ) и функцию R ( z ) разрешающего уравнения (4) n u ( z) D 1 i ( t ) K i (u 1 ( z ), ) d + K n (u 1 ( z ), u 1 (t )), P0 ( z, t ) = u ' n (u 1 ( z )) i = 0 i t i (u (u 1 ( z )) t ) n fi (u 1 ( z )) D 1 n(u 1 ( z ))i, P ( z, t ) = u n (u 1 ( z )) i = d i s (u (u 1 ( z )) x0 ) n n f (u 1 ( z )) D 1 y ( s 1) ( x0 ) fi (u 1 ( z )) R( z ) = + u n (u 1 ( z )) (du 1 ( z ))i i =0 s = d i s ( x0 ) u 1 ( z ) c + K i (u 1 ( z ), ) d + K i (u 1 ( z ), )i ( )d.

i d c a Случай, аналогичный предыдущему, при P0 ( z, t ) 0 или при P ( z, t ) 0 получим для задачи (10), (2) – разрешающее уравнение Вольтерра с обыкновенным аргументом вида (7).

.

е) Для уравнений с одним функциональным запаздыванием, когда отсутствует функция y ( x) и её производные вне интеграла и под знаком интеграла x n 1 n y (u ( x)) + fi ( x) y (u ( x)) + K i ( x, ) y ( i ) (u ( ))d = f ( x), (n) (i ) (11) i =0 a i = найдём ядро P ( z, t ) и функцию R ( z ) разрешающего уравнения (4) по формулам работы [7] i (u ( ) t ) u 1 ( z ) i (u (u ( z )) t ) n D f (u ( z )) (u ( z )) d + K i (u 1 ( z ), ) + 1 1 n P( z, t ) = i i (u ( z )) 1 n i u i = t (u (t ))}, 1 1 n 1 + K i (u ( z ), u (t ))u d i s (u (u 1 ( z )) x0 ) { { n n fi (u 1 ( z )) + 1 1 ( s 1) R( z ) = f (u ( z )) ( x0 ) D y (du 1 ( z ))i u (u ( z )) n i =0 s = c i u (z) d s (u ( ) x0 ) + K i (u 1 ( z ), )i (u ( ))d.

d + K i (u ( z ), ) i d a c Получим для задачи (11), (2) разрешающее уравнение Вольтерра с обыкновенным аргументом вида (7).

Примеры Пример 1. Найти решение начальной задачи для уравнения запаздывающего типа x x y( x) 2 y ( ) + y ( )d = e x 1, x x x y ( x) = x, y ( x) = 1, y ( 2 ) = 2, y( 2 ) = 2, x0 = 0.

x = 0, то начальное множество состоит из одной точки Ex0 = [ 0]. Выпи Решение. Так как x0 = 0, шем данные поставленной задачи f 20 ( x) = 1, f11 ( x) = 2, = 1, K11 ( x, ) = 1, f ( x) = e x 1, x x y ( x0 ) = y (0) = 0, y ( x0 ) = y (0) = 1, y ( 0 ) = 0, y ( 0 ) =.

2 2 Найдём c0 = 0, c1 = 0, D = r2 r1 и для сокращения объёма выкладок положим r1 = 0, тогда по фор мулам, приведённым в работе [5], главы 1, п.1.2., найдём ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ 1 ( x t ) 2 1 ( x t ) 2 ( x t ) = r2 e r2 ( x t ), D 1 = r21, 1 ( x t ) = r2, = 0, 2 ( x t ) = e r2 ( x t ) 1, = x x x x x 1 ( t ) 1 ( t ) 22 ( x t) x 2 = r22 e r2 ( x t ), 1 ( t ) = r2, = =0, x 2 x x x x 22 ( t ) 2 ( t ) x x 1 r2 ( x t ) 1 r2 ( 2 t ) x r2 ( t ) 2 2 = r22 e 2.

2 ( t) = e 2 1, = r2 e, x x 2 2 Функции гибкой структуры от аргументов x, x/2 и их производные примут вид x rx x x 1 2 r2 x r2 ( x t ) ) ( r2 ( x t ) 1 µ (t )dt, y( ) = e 1 + (e 2 1) µ (t )dt, y ( x) = e 1 + e 2 r r2 0 x x x 1 r2 r2 2 2 r2 r2 ( 2 t ) x x r2 ( x t ) r2 x y ' ( x) = e + e µ (t )dt, y ' ( ) = e + µ (t )dt, e 2 r2 2 2 0 x + r2 er2 ( x t ) µ (t )dt + µ ( x).

r2 x y( x) = r2e Подставив данные задачи и найденные значения функций и их производных в исходное уравнение, найдём свободную функцию R ( x) разрешающего интегрального уравнения (4) 2 ( s 1) d i s (u j ( )) d i s (u j ( x)) x 1 R ( x) = f ( x) D y (0) f ij ( x) + K ij ( x, ) d = i i d dx s =1 j =0 i =0 x = e x 1 r21 [ f11 ( x) (u1 ( x)) + f 20 ( x) (u0 ( x)) + K11 ( x, ) (u1 ( ))d ] = 2 2 1 x x x x r2 r r2 r 1 2 = e 1 r 2 r2 e + r2 e + e 1 = e 1 + e r2 e r2 e + r21.

1 2 r2 x r2 x x x 2 2 Нетрудно увидеть, что оптимальное значение r2 при решении этой задачи будет r2 = 1, тогда R ( x) 0 и разрешающее уравнение однородное. В силу единственности решения разрешающего урав нения µ ( x) 0, и по формуле ( 30 ) найдём решение поставленной задачи n y ( x) = y ( s 1) (0) s ( x) = y (0)1 ( x) + y(0) 2 ( x) = 2 ( x) = e x 1, y ( x) = e x 1.

s = Проверка показывает, что условия начальной задачи выполняются.

Пример 2. Найти решение начальной задачи для уравнения нейтрального типа x ( x) y (sin x) + y(sin )d = 0, y y ( x) = e x, y (sin x) = esin x, x0 = 0.

Решение. Так как x0 = 0, sin x0 = 0, то начальное множество состоит из одной точки Ex0 = [0].

Выпишем данные поставленной задачи f10 ( x) = 1, f 01 ( x) = 1, = 1, K11 ( x, ) = 1, x0 = 0, y (0) = 1 и най Г.А. Шишкин. Исследование возможностей решения в замкнутом виде начальных задач для линейных интегро дифференциальных уравнений Вольтерра с функциональным запаздыванием 1 ( x t ) D = 1 : 1 ( x t ) = e r ( x t ) = e r ( x t ), = re r ( x t ), 1 (sin x t ) = er (sin x t ), c0 = 0, c1 = 0, дём x 1 (sin x t ) = re r (sin x t ) cos x.

x Получим разрешающее уравнение непосредственной подстановкой в уравнение функции гибкой структуры и её производных x Sinx d ( x) ( x t ) µ ( x) + D 1 y ( x0 ) 1 + 1 µ (t )dt D 1 y ( x0 )1 (sin x) + 1 (sin x t ) µ (t )dt + x dx 0 sin x d (sin ) 1 (sin t ) + D 1 {cos µ (sin ) + D 1 y (0) 1 d + µ (t ) dt ]}d = 0, d 0 sin x x x µ ( x) + rerx + re r ( x t ) µ (t )dt er sin x er (sin x t ) µ (t )dt + cos µ ( sin ) d + 0 0 sin x x + re r sin cos d + + r d e r (sin t ) cosµ (t )dt.

0 0 sin x x µ ( x) + re + re e r ( xt ) r (sin x t ) r sin x rx µ (t )dt e µ (t )dt + 0 sin x x x + cos µ ( sin ) d + rer sin cos d +r d e r (sin t ) cosµ (t )dt.

0 0 0 Легко заметить, что оптимальное значение r = 0 и разрешающее уравнение будет sin x sin x µ (t )dt = 0, откуда µ ( x) = 1.

µ ( x) 1 µ (t )dt + 0 По формуле ( 30 ) найдем x x y ( x) = D [ y (0)1 ( x) + 1 ( x t ) µ (t )dt ] = e + e r ( x t ) dt = 1 + x.

1 rx 0 Пример 3. Решим задачу Коши для уравнения опережающего типа x x 4 y ( ) y ( )d = x, y ( x) = x + 1, y( x) = 2 x, y x = x + 1, y x = x, x = 0.

2 4 2 x Решение. Выпишем данные задачи: u0 ( x) x, f 21 ( x) = 4, z = = u1 ( x), x = 2 z = u11 ( z ), 0 z, 2 u1 ( x) =, = 1, K 00 ( x, ) = 1, f ( x) = x.

0 Для данной задачи начальное множество состоит из одной точки E = E0 E0 = [0].

Ядра и свободную функцию разрешающего уравнения можно найти по формулам для разрешающего уравнения (4), но так как порядок уравнения небольшой и коэффициентов мало, то выгоднее получить разрешающее уравнение непосредственной подстановкой функции гибкой структуры ( 30 )-( 32 ) в данное уравнение ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ x x x d 2s ( ) 2 22 ( t ) ( s 1) x µ ( ) + 4 D y (0) 2+ x 2 µ (t )dt dx 2 s =1 2 x D 1 y ( s 1) (0) s ( ) + 2 ( t ) µ (t )dt d = x.

s =1 0 Для сокращения объема выкладок положим r2 = r1 = r и, подставив значения выражений i s (u j ( x) t ) lim D 1, i = 0, 2, j = 0,1, s = 1,2, которые могут быть вычислены по правилу Лопиталя, xi r2 r найдем x x x x x r x r ( t ) µ ( ) + 4 e (2 + r ( t )) µ (t )dt µ (t )dt ( t )er ( t ) d = 2 4 0 0 t x rx x = x + e 2 r 2 1 + r + (1 r )e r d.

2 x Наиболее простое разрешающее уравнение будет при r = 0 и, положив z =, получим 2z µ ( z ) (2 z t ) 2 µ (t )dt = 0..

В силу единственности решение однородного разрешающего уравнения будет µ ( z ) 0, и решение поставленной задачи при r2 = r1 = 0 найдем по формуле ( 30 ) 2 x y ( x) = D 1 y s 1 (0) s ( x) + 2 ( x t ) µ (t )dt = lim D 11 ( x) = (1 r ( x x0 ))e r ( x x0 ) = 1.Нетрудно прове r r s =1 рить, что условия начальной задачи выполняются.

Заключение Мы рассмотрели наиболее общие случаи интегрируемости в замкнутом виде. Возможны и более ча стные случаи уравнений, допускающие возможность получения точного решения задачи Коши.

Литература 1. Куликов Н.К. Инженерный метод решения и исследования обыкновенных дифференциальных уравнений.

– М.: Высшая школа, 1964.-207 с.

2. Куликов Н.К. Решение и исследование обыкновенных дифференциальных уравнений на основе функций с гибкой структурой: темат. сб. МТИПП. – М., 1974. С. 47-57.

3. Забрейко П.П., Кошелев А.И., Красносельский М.А., Михлин С.Г., Раковщик Л.С., Стеценко В.Я. Инте гральные уравнения. Справочная математическая библиотека. – М., 1968.

Полянин А.Д., Манжирова А.В. Справочник по интегральным уравнениям. – М.: Физматлит, 2003.

4.

5. Шишкин Г.А. Исследование и решение начальной задачи для линейных интегро-дифференциальных урав нений Вольтерра запаздывающего типа // Математика, её приложения и математическое образование: материалы междунар. конф.

6. Шишкин Г.А. Исследование и решение задачи Коши для линейных интегро-дифференциальных уравне ний Вольтерра нейтрального типа // Вестник БГУ. – Улан-Удэ: Изд-во БГУ, 2009. Вып. 9. – С. 94-98.

7. Шишкин Г.А. Исследование и решение начальных задач для линейных интегро-дифференциальных урав нений Вольтерра с функциональным запаздыванием опережающего типа // Вестник БГУ. – Улан-Удэ: Изд-во БГУ, 2010. Вып. 9. – С. 194-200.

Шишкин Геннадий Александрович, кандидат физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой прикладной математики Бурятского государственного университета. Тел. (3012)217733.

Shishkin Gennady Alexandrovich, Candidate of Physics and Mathematics Science, Prof., head of applied mathematics de partment of Buryat State University.

Г. А. Шишкин, А. А. Ткачева. Решение интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра запаздывающего типа с помощью математического пакета Maple УДК 517.968.

Г. А. Шишкин, А. А. Ткачева РЕШЕНИЕ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА ЗАПАЗДЫВАЮЩЕГО ТИПА С ПОМОЩЬЮ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПАКЕТА MAPLE В статье рассматривается возможность преобразования начальной задачи для интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра с функциональным запаздыванием к разрешающим интегральным уравнениям Вольтерра с обыкновенным аргументом, используя математический пакет Maple.

Ключевые слова: уравнения Вольтерра, запаздывающий тип, начальная задача, функциональные запаздывания, разрешающие уравнения.

G.A. Shishkin, A.A. Tkacheva SOLUTION VOLTERRA INTEGER-DIFFERENTIAL EQUATIONS DELAY TYPE USING MATHEMATICS MAPLE PACKAGE The article considers the possibility of converting the initial problem for integro-differential equations of Volterra with functional delay to allow the integral equations of Volterra with common argument using mathematical package Maple.

Keywords: equations of Volterra, delayed type, cauchy problem, functional delay, allowing the equation.

Введение В работе [2] рассматривается начальная задача для интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра запаздывающего типа l n 1 x y ( n ) ( x) + f ij ( x) y (i ) (u j ( x)) + K ij ( x, ) y (i ) (u j ( ))d + j =0 i =0 a x + K n 0 ( x, ) y ( n ) ( )d = f ( x) a (1) с начальными условиями y (i ) (u j ( x)) = i (u j ( x)), i = 0, n 1, x E x0, (2) где u0 ( x) x, u j ( x) x j = 1, l, функции f ij ( x) и u j ( x) непрерывны, ядра K ij ( x, ) регулярны в l квадрате a x, b, Ex0 = U Exj0, Exj0 - множество точек, для которых соответствующие u j ( x) x0 при j = x x0 j = 1, l, E = [ a, x0 ].

x В этой работе, опираясь на одну модификацию функции гибкой структуры n d i s (u j ( x) x0 ) y (i ) (u j ( x)) = D 1 y ( s 1) ( x0 ) + dxi s = u j ( x) i n (u j ( x) t ) + n µ (t )dt + i u 'j ( x) µ (u j ( x)), i x x i = 0, n, n = 1, i = 0 i = 0, n 1, D=D( r1, r2,....., rn ) – определитель (где Вандермонда, составленный из неопределенных параметров r1, r2,....., rn, параметры определяются в ходе решения задачи исходя из оптимальности ее решения, определитель s ( x t ), s = 1, n получается из определителя D заменой s-й строки строкой exp r1 ( x t ),exp r2 ( x t ),…, exp rn ( x t ) и µ ( x) - новая неизвестная функция), доказано, что задача (1)-(2) для уравнений запаздывающего типа всегда сводится к разрешающему интегральному уравнению типа Вольтерра с обыкновенным аргументом u j ( x) l µ ( x) + Q j ( x, t ) µ (t )dt = F ( x). (3) j =0 x 2011/ ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА В уравнении (3) получены формулы n i n (u j ( x ) t ) Q j ( x, t ) = D 1 f ij ( x) +.

x i i = n (u j ( ) t ) i x + K ij ( x, ) d + K n 0 ( x, t ), i t и функция F(x) находится по формуле n d i s (u j ( x) x0 ) l n F ( x) = f ( x) D 1 y ( s 1) ( x0 ) fij ( x) + dxi j =0 i =0 s = cj i d s (u j ( ) x0 ) x + K ij ( x, ) d + K ij ( x, )i (u j ( ))d, i d cj a y ( n) (u j ( x)) функции y (u j ( x)) и с учетом равенства нулю коэффициентов при старших производных K nj ( x, ), j = 1, l.

ядер Постановка задачи и её решение При использовании интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра в приложениях, где запаздывающий тип уравнений является наиболее часто встречающимся, преобразование начальной задачи (1)-(2) к модели этой задачи (3) – процесс довольно трудоемкий, особенно для уравнений порядка выше первого и при нескольких отклонениях аргумента. Поэтому, естественно, ставится вопрос получения разрешающего уравнения – модели поставленной задачи с помощью ЭВМ, опираясь на известные математические пакеты, и затем получение её точного или приближённого окончательного решения, оптимизируя выбор параметров r, r,....., rn.


Уравнение (1) с начальными условиями (2) для интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра с отклоняющимся аргументом запаздывающего типа с помощью функции гибкой структуры преобразуем к разрешающему интегральному уравнению типа Вольтерра с обыкновенным аргументом (3), используя символьный (аналитический) математический пакет Maple, который позволяет создавать пользовательские программы с помощью встроенного языка программирования. Преимущества данного пакета при решении поставленной задачи заключаются в том, что в нем реализованы многие алгоритмы, например diff(F,x) дифференцирует функцию F по переменной x.

Для решения поставленной задачи создадим сначала несколько вспомогательных процедур:

LimitDV, obrfunction, RechYr, а затем основную RIEquat, которые высчитывают соответственно предел s = 1, n отношения определителя Вандермонда D=D(r1, r2, …,rn) и определителей s(x-t),, обратные u j ( x) = x0 и известные функции в разрешающем уравнении (3).

функции, решение уравнений Процедуры, используемые в модуле:

LimitDV:=proc(s,n):

… Obrfunction:=proc(u,x):

… RechYr:=proc(u,x,x0,b):

… RIEquat := proc (n, l, a, b, x0, f, f0, u, K, phi) local dl, i, j, s, Phi, u1, u2, H, P, N, R, v, c, ieq, ub, RIE, PR, PR1;

u1 := eval(u, x = z);

u2 := eval(u, x = t1);

ub := eval(u, x = a);

for j to l+1 do v[j] := eval(obrfunction(u[j], x), x = t) end do;

for j to l+1 do c[j] := RechYr(u[j], x, x0, b) end do;

for i to n do dl[i] := LimitDV(i, n) end do;

for j to l+1 do Phi[j] := f[1, j]*(eval(dl[n], x = u2[j])) end do;

for j to l+1 do for i from 2 to n+1 do Phi[j] := Phi[j]+f[i, j]*(eval(diff(dl[n], `$`(x, i-1)), x = u2[j])) end do end do;

for j to l+1 do H[j] := int((eval(K[1, j], t = t1))*(eval(dl[n], x = u2[j])), t1 = v[j].. x) end do;

for j to l+1 do for i from 2 to n+1 do H[j] := H[j]+int((eval(K[i, j], t = t1))*(eval(diff(dl[n], `$`(x, i-1)), x = u2[j])), t1 = v[j].. x) end do end do;

for j to l+ do P[j] := int((eval(K[n+1, j], t = t1))*(eval(diff(dl[n], `$`(x, 2)), x = u2[j])), t1 = v[j].. c[j]) end do;

for j to l+ do N[j] := eval(K[n+1, j], t = v[j])+piecewise(c[j] = t1, Phi[j]+H[j], t1 c[j], 0) end do;

R := f0;

for j to l+1 do Г. А. Шишкин, А. А. Ткачева. Решение интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра запаздывающего типа с помощью математического пакета Maple for i to n+1 do R := R-(int((eval(K[i, j], t = t1))*phi[i], t1 = a.. c[j])) end do end do;

for j to l+1 do for i to n+ do for s to n do if i = 1 then R := R-f[i, j]*phi[s]*(eval(eval(dl[s], [x = u1[j], t = x0]), z = x))-(int((eval(K[i, j], t = t1))*(diff(u2[j], t1))*phi[s]*(eval(dl[s], [x = u2[j], t = x0])), t1 = c[j].. x)) else R := R-f[i, j]*phi[s]*(eval(eval(diff(dl[s], `$`(x, i-1)), [x = u1[j], t = x0]), z = x))-(int((eval(K[i, j], t = t1))*(diff(u2[j], t1))*phi[s]*(eval(diff(dl[s], `$`(x, i-1)), [x = u2[j], t = x0])), t1 = c[j].. x)) end if end do end do;

R := R (int((eval(K[n+1, j], t = t1))*(diff(u2[j], t1))*(sum(phi[s1]*(eval(diff(dl[s1], `$`(x, n)), [x = u2[j], t = x0])), 's1' = 1.. n)), t1 = a.. c[j])) end do;

PR1 := sum('int(P[j1]*(eval(mu(z), z = t)), t = ub[j1].. x0)', 'j1' = 1.. l+1);

RIE := sum('f[n+1, j1]*(eval(mu(z), z = u[j1]))', 'j1' = 1.. l+1)+PR1;

PR := sum('int(N[j1]*(eval(mu(z), z = t)), t = ub[j1].. u[j1])', 'j1' = 1.. l+1);

RIE := RIE+PR;

[RIE] end proc.

Программа позволяет получить для начальной задачи (1)-(2) разрешающее интегральное уравнение типа Вольтерра с обыкновенным аргументом (3).

Пример. Рассмотрим задачу Коши для уравнения запаздывающего типа x x y(t ) 2 y( ) + y( )d = e x 1, y ( x) = x, y( x) = 1, y ( x ) = x, y( x ) = 1.

22 Зададим исходные данные:

x u := x, : x0 := 0 :

b := 1: a := 0 :

f := Matrix(3, 2) : f [2, 2]:= 2 : f [3,1]:= 1:

f 0 := exp( x) 1:

:= [ x,1,0]: f :

K := Matrix(3, 2) : K [2, 2] := 1:

eval ( simplify ( RIEquat (2,1, a, b, x0, f, f 0, u, K, )), r = 0);

Начальное значение x0 =0. D – определитель Вандермонда, составленный из неопределенных параметров rj, j = 1, n, которые определяются в ходе решения задачи, исходя из оптимальности ее решения, в данном примере параметры взяты равными r = r1 = r2.

Процедура RIEquation выводит следующий результат на рабочий лист:

Таким образом, мы имеем разрешающее интегральное уравнение типа Вольтерра с обыкновенным аргументом вида (3).

Заключение В статье показана возможность применения математического пакета Maple к получению модели для первоначально поставленной задачи (1)-(2).

Работа в этом направлении будет продолжена по определению оптимальных значений параметров ri, i = 1, n с целью получения точного решения, а если это не удается или затруднительно, то приближенного решения с заданной точностью.

2011/ ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Литература 1. Сдвижков О.А. Математика на компьютере: Maple. – М.: СОЛОН-Пресс, 2003. -176с.

2. Шишкин Г.А. Линейные интегро-дифференциальные уравнения Вольтерра с функциональным запаздыванием. – Улан-Удэ: Изд-во Бурят. ун-та, 2009. – 63с.

Шишкин Геннадий Александрович, кандидат физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой прикладной математики Бурятского государственного университета. Тел. (3012)217733.

Ткачева Анастасия Алексеевна, студент 5 курса специальности «Прикладная математика и информатика»

Бурятского государственного университета.

Shishkin Gennady Alexandrovich, Candidate of Physics and Mathematics Science, Prof., head of applied mathematics department of Buryat State University.

Tkacheva Anastasia Alekseevna, student 5-th course specialty "Applied Mathematics and Informatics" of Buryat State University.

М.С. Содномова, Л.М. Макшанова. Анализ численности абонентской базы УДК М.С. Содномова, Л.М. Макшанова АНАЛИЗ ЧИСЛЕННОСТИ АБОНЕНТСКОЙ БАЗЫ В статье рассмотрены методы прогнозирования и анализа динамики изменения абонентской базы филиала ОАО «Ростелеком» в разрезе приоритетных услуг ОТА и ШПД.

Ключевые слова: абонентская база, методы прогнозирования и анализа.

M.S. Sodnomova, L.M. Makshanova ANALYSIS OF THE NUMBER OF SUBSCRIBERS BASE In the article the methods of forecasting and analysis of dynamics in change of subscribers base of the Buryat Brunch OAO “Rostelekom” from the point of view of prior services OTA and ShPD..

Key words: subscribers base, methods of forecasting and analysis.

Для пропускной способности сети, перечня поддерживаемых ею услуг и показателей качества обслуживания очень важно с практической точки зрения получить три вида прогностических оценок.

Во-первых, оператор должен знать краткосрочный прогноз на ближайшие два-три года;

во-вторых, для разработки разумной технической политики оператору необходим также и среднесрочный прогноз, обычно охватывающий период в пять лет;

в-третьих, полезен долгосрочный прогноз на десять пятнадцать лет, то есть на период срока службы наиболее дорогостоящих видов инфокоммуникационного оборудования.

На сегодня актуальными параметрами прогноза является:

1) прогнозирование плотности ТА для сети;

2) спрос населения на услуги телекоммуникации;

3) прогнозирование трафика сети оператора и его распределение по направлениям и т.д. [1].

Для прогнозирования рекомендуется четыре метода:

тренд линейной процедуры;

нормативный метод;

метод причинной связи;

метод экстраполяции.

Анализ прироста абонентской базы БФ Прогноз количества абонентов является результатом многих предположений. Для составления прогноза необходимо использовать несколько методов прогнозирования и сравнить полученные результаты.

Метод экстраполяции – один из стандартных математических методов прогнозирования – может быть использован, если: количество абонентов телекоммуникационной сети в будущем подвержено подробному рассмотрению;

в прошлом развитие сети было регулярным;

можно пренебречь небольшими колебаниями роста количества абонентов во времени и размеров сети. Существуют прямой и косвенный методы экстраполяции. В случае прямой экстраполяции изменения рассматриваемых величин во времени известны. При косвенной экстраполяции рассматриваемые величины пропорциональны величинам, функции которых, выраженные во времени, известны. Прямая экстраполяция делится на линейную, нелинейную и приростную.

Для прогноза численности абонентской базы рассмотрены статистические данные за 2008-2011гг. В качестве метода прогноза рассматривался метод линейной экстраполяции, так как в прошлом развитие сети было регулярным и можно пренебречь небольшими колебаниями роста количества абонентов во времени и размерами сети [2].

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ Анализ численности абонентской базы филиала y = 1070,7x + 7478, 50000 R = 0, 20 - 20 - 20 - 20 - 20 - 20 - 20 - 20 - 20 - 20 - 20 - 20 - 20 - 20 - 20 - 20 - 20 - - Рис.1. Анализ численности абонентской базы филиала Анализ показал, что в прошлом в период с июня 2008 г. – первый квартал 2011 г. численность абонентской базы росла по линейному закону и выросла в 4,4 раза. Вероятность достоверности аппроксимации составила 0,9927. Во второй квартал 2011г. прогнозируется рост абонентской базы на 3500 пользователей.


Но для составления адекватного прогноза численности абонентской базы филиала и, соответственно, развития сети необходим прогноз в разрезе услуг ОТА и ШПД. Спрос на услуги связи – это готовность пользователей оплатить определенное число услуг конкретного вида с учетом действующих тарифов. И именно спрос влияет на технологическое развитие филиала.

Прогнозирование плотности ТА Для прогнозирования плотности ТА для вышеописанных трёх периодов используются нижеприведенные формулы:

H N = S * T или N = *q (1) Здесь т – число телефонных аппаратов на 1 Га участка;

S – площадь ГТС в гектарах (Га);

Н – население на заданной территории;

q – телефонная плотность.

Население на прогнозируемый периоде – Нп определяется по формуле:

G% t ) = H Н * H П = H Н * (1 + (2) Где G - средний прирост населения в %;

Нн - население в начальный период проектирования;

- коэффициент прироста;

t - период прогноза при проектировании в годах (t=5,...,10-20 лет).

По данным отчета правительства Республики Бурятия за 2010 г. естественный прирост Республики Бурятия составил =3,3%. Численность населения – 964,7 тыс. чел. Плотность телефонных аппаратов составила 21,0 [3]. На рисунке 2 представлен прогноз численности пользователей для последующих десяти лет, рассчитанный по формуле (1).

Прогнозируемая численность пользователей ОТА 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Рис. 2. Прогнозируемая численность пользователей ОТА Как видно из рис. 2, прогнозируемая численность пользователей фиксированной связи линейно возрастает, но использование формулы является некорректным, так как анализ динамики изменения численности пользователей ОТА филиала (методом линейной регрессии) выявил монотонное убывание М.С. Содномова, Л.М. Макшанова. Анализ численности абонентской базы численности ОТА по республике. Это объясняется в первую очередь влиянием рынка мобильной связи на ТФОП и социально-экономическим развитием Республики Бурятия. Нужно подчеркнуть, что уменьшение пользователей ОТА в мире происходит повсеместно. На сегодня эта услуга прошла все три этапа своего развития: начальный этап, этап быстрого роста и этап спада. В развитых странах телефонная связь несколько лет уже не растет, изменяясь в диапазоне от 50 до 80 ОТА на 100 жителей.

В ряде работ предложены прогностические оценки, основанные на данных о ВВП. В этих работах оценивается рынок новых видов услуг и соответствующий трафик. Спрос на такие услуги прямо связан с уровнем ВВП на душу населения. В частности, известна оценка спроса на широкополосные услуги – D (t ), включающая два значения ВВП:

b G D (t ) = t F j (t ). (3) G Величины Gt и G0 – значения ВВП на душу населения для прогнозируемого момента времени t и начальной точки на оси «Время». Следует отметить, что d 0. Коэффициент b определяет степень влияния роста ВВП на уровень платежеспособного спроса для оцениваемой услуги. Функция F j (t ) – одна из прогностических кривых.

Набор функций F j (t ), входящих в формулу (3), весьма обширен. Выбор приемлемого тренда часто осуществляется при помощи метода наименьших квадратов. Часто этот метод используется для решения следующей задачи:

для плоскости задано некое множество из N точек с координатами ( xi, yi );

объединение всех точек какой-либо кривой, выраженной в виде известной функции, не представляется возможным без погрешностей;

необходимо выбрать такую функцию f (x), которая обеспечит минимальную погрешность исследуемого процесса.

Метод наименьших квадратов восходит к работам математиков К. Гаусса и А. Лежандра. Он предлагает выбирать функцию f (x), для которой справедливо условие следующего вида:

N = ( f ( xi ) yi ) min.

(4) i = Набор функций F j (t ) относятся чаще всего к s-образным моделям. Подобные модели хорошо отражают развитие процесса, проходящего три основных этапа: медленный старт, интенсивный рост, фаза насыщения. Характерным примером s-образной модели служит логистическая кривая, которая часто используется для решения задач прогнозирования.

Не так давно предложена методика прогнозирования, основанная на том, что характер процессов, которые описывают развитие инфокоммуникационной системы в России и в развитых странах, совпадает. Такой вывод основан на анализе имеющейся статистики. Различия можно обнаружить в трех компонентах исследуемых процессов:

абсолютные значения максимума (амплитуда);

скорость развития (частота);

сдвиг начальной точки на оси "Время" (фаза).

Эти факторы можно учесть за счет модификации функции F j (t ). Изменения амплитуды предлагается учитывать, умножая выражение (1) на коэффициент k A. Оценка этого коэффициента может осуществляться по такой формуле:

G (t ) kA = R 0R. (5) GA (t0 A ) Величина GR (t0 R ) определяет душевой ВВП для России к моменту введения новой услуги. Величина G A (t0 A ) – душевой ВВП для аналога также к моменту введения новой услуги. В качестве аналога выбирается процесс развития рынка услуг в стране, для которой известна статистическая информация.

Если известен характер идентичных процессов для ряда стран или какого-либо региона, то составляется несколько прогнозов, что повышает достоверность полученных результатов.

Изменения частоты можно учесть, заменяя переменную t в формуле F j (t ). Новая переменная tF определяется следующим образом:

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ HA. tF = t (6) HR Величина H A равна среднему тарифу, установленному оператором, сеть которого выбрана в качестве аналога. Знаменатель формулы (3) определяет средний тариф – H R, который предполагает установить российский оператор. Поправочный коэффициент учитывает особенности рассматриваемого процесса с точки зрения скорости его развития. Если правила оценки этого коэффициента не представляются очевидными, то можно считать, что = 1.

Изменение фазы сводится к сдвигу графика вправо по оси "Время" на некоторую величину.

Значение этой величины определяется элементарно. Необходимо установить год начала исследуемого процесса в стране, которая выбрана в качестве модели, и узнать планы российского оператора относительно начала коммерческого использования услуги или технологии.

Для российских сетей доступа формула, определяющая прогноз исследуемого процесса – DR (t ), может быть представлена в такой редакции [2]:

b G DR (t ) = k A t F j (t F ). (7) G Динамика изменения численности пользователей ОТА 190 000 y = -553,55x + 185 000 R = 0, 180 175 170 165 160 Рис. 3. Анализ статистических данных филиала по ОТА Но для краткосрочного прогноза приемлемы и более стандартные математические методы прогнозирования. Для анализа динамики изменения пользователей ШПД был использован метод линейной регрессии. Использовались статистические данные численности пользователей ШПД в разрезе технологии доступа (рис.4). Как видно из рис. 4 технология xDSL является преобладающей, что связано с существующей кабельно-распределительной сетью филиала. Вполне вероятно, что она останется одной из основных методов передачи информации, тем более, что возможности таких технологий, как VDSL, VDSL2+, позволяют организовывать высокоскоростной доступ в Internet, услуги телефонии и IPTV при низкой себестоимости в сравнении с оптикой и беспроводными технологиями доступа. Но нельзя забывать, что главной движущей силой в развитии рынка сетей доступа является развитие информатизации страны и связанный с ней рост спроса на широкополосные услуги связи. Динамика спроса на услуги определяется только уровнем инерции общества и уровнем активности государства в стремлении к построению ГИО. Для удовлетворения этих потребностей филиалом внедряются технологии ETTH (с 2008г.), GPON (с 2010г.), и в связи с этим активно развиваются волоконно оптические сети доступа, что в будущем обеспечит резерв для новых услуг.

Динамика изменения численности пользователей ШПД............ кв кв кв кв кв кв кв кв кв кв кв кв xDSL ETTH GPON Рис. 4. Динамика изменения численности пользователей ШПД Вывод. Анализ численности абонентской базы филиала выявил, что она увеличивается по линейному закону. Но прирост абонентской базы происходит за счет увеличения пользователей услуг ШПД на фоне М.С. Содномова, Л.М. Макшанова. Анализ численности абонентской базы монотонного убывания пользователей услуг ОТА. Рост первых объясняется достижением и слиянием современных технологий в следующих сферах:

физические средства телекоммуникации, включающие радиоканалы, волоконную оптику, оптоэлектронику и т.д.;

логические структуры телекоммуникации, включающие архитектуру и протоколы, необходимые для управления объединенными информационными потоками;

интеллектуализация современных сетей, объединяющая все достижения последней инфокоммуникационной технологии и т.д.

Литература:

Каграманзаде А.Г. Менеджемент и регулирование в Инфокоммуникациях. Баку: Элм, 2006.

1.

Соколов Н.А. Телекоммуникационные сети. М.: Альварес Паблишинг, 2004. Ч. 4.

2.

3. URL: http://nicksokolov.narod.ru/lecopts2.html Содномова Марина Станиславовна, аспирант Сибирского государственного университета телекоммуникаций и информатики.

Макшанова Лариса Михайловна, начальник отдела по работе с операторами связи БФ ОАО "Ростелеком", тел.

(3012) 217617.

Sodnomova Marina Stanislavovna, postgraduate student, Siberian State University of Telecommunication and Computer Science Makshanova Larisa Mikhailovna, head of the department on work with operators of communication BB OAO “Rostelekom”, ph.(3012)217617.

Д.О. Трунин. Нелокальное улучшение управлений в полиномиальных по состоянию системах с терминальными ог раничениями УДК 517. Д.О. Трунин НЕЛОКАЛЬНОЕ УЛУЧШЕНИЕ УПРАВЛЕНИЙ В ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ПО СОСТОЯНИЮ СИСТЕМАХ С ТЕРМИНАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ В статье предлагается процедура нелокального улучшения управлений в классе полиномиальных по со стоянию задач оптимального управления с терминальными ограничениями на основе операции проектиро вания.

Ключевые слова: задача оптимального управления, нелокальное улучшение, терминальные ограниче ния.

D.O. Trunin NONLOCAL IMPROVING CONTROL IN POLYNOMIAL ON A STATE SYSTEMS WITH TERMINAL CONSTRAINTS In this article the non-local procedure for control improvement in polynomial on state problems with terminal constraints based on projective operation is proposed.

Keywords: optimal control problem, nonlocal improving, terminal constraints.

Введение В работах [1, 2] в классе линейных и полиномиальных по состоянию задач оптимального управления со свободным правым концом построены методы нелокального улучшения управлений, основанные на нестандартных формулах приращения функционала без остаточных членов разложений. Отсутствие операции варьирования управлений и возможность улучшения управлений, удовлетворяющих принципу максимума, обусловливают повышенную эффективность построенных методов. В данной статье предла гается процедура нелокального улучшения допустимых управлений в классе полиномиальных по со стоянию задач оптимального управления с терминальными ограничениями на основе операции проекти рования. Нелокальность улучшения с выполнением всех терминальных ограничений обеспечивается за счет решения специальной краевой задачи, которая существенно проще краевой задачи принципа мак симума.

1. Постановка задачи Рассматривается полиномиальная по состоянию и линейная по управлению задача оптимального управления с одним терминальным ограничением x = A( x, t )u + b( x, t ), t T = [t0, t1 ], x(t0 ) = x 0, (1) u (t ) U, t T = [t0, t1 ], (2) (u ) = c, x(t1 ) min, (3) x1 (t1 ) = x, (4) в которой x = ( x1 (t ), x2 (t ),..., xn (t ) ) – вектор состояния, u = ( u1 (t ), u2 (t ),..., um (t ) ) – вектор управления, ин тервал T фиксирован, x 0 R n, c = ( c1, c2,..., cn ) – заданные векторы, c1 = 0, x11 R, матричная функция A(x, t) и вектор-функция b(x, t) являются полиномиальными по x степени l 1 с коэффициентами, непре рывно зависящими от t на R n T.

В качестве доступных управлений рассматривается множество кусочно-непрерывных функций со значениями в компактном множестве U R m V = {u PC m (T ) : u (t ) U, t T }.

Для доступного управления u V обозначим x(t, u ), t T – решение задачи Коши (1) при u = u(t), t T.

Определим множество допустимых управлений W = {u V : x1 (t1, u ) = x11}.

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ Для задачи (1)–(4) функция Понтрягина с сопряженной переменной p R n имеет вид H ( p, x, u, t ) = H 0 ( p, x, t ) + H1 ( p, x, t ), u, где H 0 ( p, x, t ) = p, b( x, t ), H1 ( p, x, t ) = A( x, t )T p.

Рассмотрим нормальный функционал Лагранжа L(u, ) = c, x(t1 ) + ( x1 (t1 ) x11 ), R.

Приращение функционала Лагранжа на паре доступных управлений ( u 0, v ) в соответствии с [2] име ет вид v L(u 0, ) = H1 ( p(t, u 0, v, ), x(t, v), t ), v(t ) u 0 (t ) dt, (5) T где p(t, u 0, v, ) – решение модифицированной сопряженной системы 1 p = H x H x, z x...... H x, z x, z..., z, (6) 2! l! x x p1 (t1 ) =, (7) pi (t1 ) = ci, i = 2, n, (8) x = x(t, u 0 ), где частные производные по подсчитываются при значениях аргументов x u = u 0 (t ) и z = x(t, v) x(t, u 0 ).

Для управления u 0 V образуем аналогично [1, 2] вектор-функцию u ( p, x, t ) = P ( u 0 (t ) + H1 ( p, x, t ) ), p R n, x R n, 0, U где P – оператор проектирования на множество U в евклидовой норме.

U Функция u ( p, x, t ) непрерывна по совокупности (p, x) на R n R n и кусочно-непрерывна по t T, причем имеет место оценка [1, 2] 1 H1 ( p, x, t ), u ( p, x, t ) u 0 (t ) u ( p, x, t ) u 0 (t ). (9) Регулярный принцип максимума для допустимого управления u 0 = u 0 (t ) записывается в виде u 0 (t ) = u ( p(t, u 0, u 0, ), x(t, u 0 ), t ), t T, 0. (10) 2. Процедура нелокального улучшения Поставим задачу улучшения управления u 0 W : найти управление v W со свойством ( v ) (u 0 ).

Процедура нелокального улучшения.

1. Для заданного 0 найдем решение ( x(t ), p (t ) ), t T краевой задачи x = A( x, t )u ( p, x, t ) + b( x, t ), t T, x (t0 ) = x 0, x1 (t1 ) = x1, (11) 1 p = H x H x, z x...... H x, z x, z..., z, 2! l! x x pi (t1 ) = ci, i = 2, n, x = x(t, u 0 ), где частные производные по подсчитываются при значениях аргументов x u = u 0 (t ) и z = x(t ) x(t, u 0 ).

2. Сформируем управление v(t ) = u ( p(t ), x(t ), t ), t T.

Предположим, что решение ( x(t ), p (t ) ), t T краевой задачи (11) (возможно, не единственное) суще ствует на T.

Понятно, что x(t ) = x(t, v) и v W.

Покажем свойство улучшения для выходных управлений.

Д.О. Трунин. Нелокальное улучшение управлений в полиномиальных по состоянию системах с терминальными ог раничениями Действительно, решение p (t ), t T является решением системы дифференциальных уравнений (6) при x = x(t, u 0 ), u = u 0 (t ), z = x(t, v) x(t, u 0 ) и удовлетворяет краевому условию (8).

Обозначим = p1 (t1 ).

Тогда p(t ) = p(t, u 0, v, ), t T.

Согласно формуле приращения (5) выходное управление v обеспечивает невозрастание функционала Лагранжа L(v, ) L(u 0, ).

Следовательно, в силу допустимости управлений u 0, v получаем ( v ) (u 0 ).

Рассмотрим множество управлений на выходе процедуры улучшения { } W1 (u 0 ) = v W : v(t ) = u ( p(t, u 0, v, ), x(t, v), t ), t T.

Множество W1 (u ) характеризуется поточечным соотношением в пространстве управлений v(t ) = u ( p(t, u 0, v, ), x(t, v), t ), t T.

Очевидным следствием этого соотношения является следующее утверждение.

Лемма. u 0 W1 (u 0 ) тогда и только тогда, когда управление u 0 W удовлетворяет регулярному принципу максимума (10).

Из леммы следует, что краевая задача улучшения (11) для управления u 0 W, удовлетворяющего ре гулярному принципу максимума, имеет хотя бы одно решение.

Отметим, что в силу оценки (9) выходное управление обеспечивает строгое улучшение целевого функционала, если управления u 0 и v не совпадают.

Неединственность решения краевой задачи улучшения (11) дает возможность строгого улучшения управления u 0 W, удовлетворяющего принципу максимума в регулярном случае.

Выделим свойства краевой задачи (11), упрощающие ее по сравнению с краевой задачей принципа максимума.

1. В краевой задаче (11) уравнения для сопряженных переменных являются полиномиальными степе ни l 1 по x и линейными по p.

2. В краевой задаче (11) правые части для фазовых переменных являются непрерывными по совокуп ности аргументов (p, x) на R n R n.

Предложенная процедура дает принципиальную возможность осуществления нелокального улучше ния на множестве допустимых управлений в рассматриваемом классе задач. Трудоемкость построения улучшающего управления с выполнением всех терминальных ограничений определяется трудоемкостью решения непрерывной краевой задачи улучшения.

Подчеркнем нелокальность улучшения: отсутствует малый параметр, характеризующий близость улучшаемого и улучшающего управлений. Процедура имеет возможность улучшения управлений, удов летворяющих принципу максимума за счет неединственности решения краевой задачи улучшения. В случае, когда краевая задача улучшения не имеет решения, рассматриваемая процедура не действует и следует перейти к другим процедурам улучшения.

3. Вычислительные аспекты Для решения краевой задачи (11) применяется метод возмущений, разработанный в [2].

Проиллюстрируем этот метод для квадратичной по состоянию задачи (1)–(4).

Соответствующая краевая задача улучшения имеет вид x = A( x, t )u ( p, x, t ) + b( x, t ), t T, p = H x ( p, x(t, u 0 ), u 0 (t ), t ) H xx ( p, x(t, u 0 ), u 0 (t ), t ) ( x x(t, u 0 ) ), x (t0 ) = x 0, x1 (t1 ) = x1, (12) pi (t1 ) = ci, i = 2, n.

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ Введем в рассмотрение возмущенную краевую задачу с параметром [ 0, 1] :

x = A( x, t )u ( p, x, t ) + b( x, t ), t T, H xx ( p, x(t, u ), u (t ), t ) ( x x(t, u 0 ) ), 0 0 0 p = H x ( p, x(t, u ), u (t ), t ) x (t0 ) = x 0, x1 (t1 ) = x1, (13) pi (t1 ) = ci, i = 2, n.

Отметим, что исходная краевая задача (12) получается при = 1. При = 0 задача называется невоз мущенной.

Решение невозмущенной задачи сводится к решению одного алгебраического уравнения относитель но неизвестного параметра a R.

Действительно, для параметра a R обозначим через p* (t, a ), t T решение задачи Коши p = H x ( p, x(t, u 0 ), u 0 (t ), t ), p1 (t1 ) = a, pi (t1 ) = ci, i = 2, n.

* Пусть x (t, a ), t T – решение фазовой системы x = A( x, t )u ( p* (t, a ), x, t ) + b( x, t ), t T, x(t0 ) = x 0.

Пара ( x* (t, a), p* (t, a ) ), t T является решением невозмущенной краевой задачи тогда и только тогда, когда выполняется условие x1 (t1, a) = x1. (14) Таким образом, невозмущенная краевая задача сводится к уравнению (14) относительно параметра aR.

Аналогично [2] для решения возмущенной краевой задачи (13) можно применить следующий итера ционный процесс x k +1 = A( x k +1, t )u ( p k +1 (t ), x k +1, t ) + b( x k +1, t ), t T, x(t0 ) = x 0, x1 (t1 ) = x1, (16) p k +1 = H x ( p k +1, x(t, u 0 ), u 0 (t ), t ) H xx ( p k (t ), x(t, u 0 ), u 0 (t ), t ) ( x k (t ) x(t, u 0 ) ), pi (t1 ) = ci, i = 2, n.

На каждой итерации процесса (16) решается задача, по трудоемкости аналогичная невозмущенной. В качестве начального приближения ( x 0 (t ), p 0 (t ) ), t T выбирается решение невозмущенной задачи.

Итерационный процесс возмущений (16) продолжается до первого улучшения целевого функционала.

(u k ) (u 0 ), u k (t ) = u ( p k (t ), x k (t ), t ), t T.



Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.