авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 ||

«5. Математическое моделирование УДК 517.977.54 Б.И. Ананьев, Н.В. Гредасова ...»

-- [ Страница 9 ] --

Заключение Предлагаемая процедура обеспечивает нелокальное улучшение допустимых управлений без проце дуры варьирования по малому параметру с выполнением всех терминальных ограничений. Это свойство является существенным фактором повышения эффективности решения задач оптимального управления с терминальными ограничениями.

Литература 1. Срочко В.А. Итерационные методы решения задач оптимального управления. – М.: Физматлит, 2000. – 160 с.

2. Булдаев А.С. Методы возмущений в задачах улучшения и оптимизации управляемых систем. – Улан-Удэ:

Изд-во Бурят. гос. ун-та, 2008. – 260 с.

Трунин Дмитрий Олегович, кандидат физико-математических наук, старший преподаватель кафедры приклад ной математики Бурятского государственного университета, e-mail: hint@rambler.ru, тел. +7(3012) Trunin Dmitry Olegovich, Candidate of Physics and Mathematics Science, senior teacher of applied mathematics de partment of Buryat State University.

Е.А. Трушкова. Оценка приближенно оптимальных решений на основе преобразований модели объекта УДК 517. Е.А. Трушкова ОЦЕНКА ПРИБЛИЖЕННО ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ НА ОСНОВЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ МОДЕЛИ ОБЪЕКТА Рассматривается преобразование правой части динамической системы с управлением, упрощающее исходную задачу оптимизации с точки зрения поиска разрешающей функции Кротова и оптимального решения. Построена оценка приближенно-оптимального решения исходной системы, полученного с помощью решения преобразован ной системы.

Ключевые слова: оптимальное управление, преобразование модели, оценка управления E.A. Trushkova THE ESTIMATE OF APPROXIMATE SOLUTIONS ON THE BASE OF MODEL TRANSFORMATION This article considers the transformation of the right side of the control dynamic system, which simplifies the search Krotov function and the optimal solution. The estimate of approximate solutions of the original system, which is obtained by solving the transformed system, is constructed.

Keywords: optimal control, model transformation, estimate of control Введение В [1, 2] представлена в общем виде схема приближенного исследования задач управления, которая заключается в использовании различных преобразований модели объекта на стадиях поиска начального приближенного решения и последующего его уточнения итерационными алгоритмами. Согласно схеме построение модели на этапе постановки задачи и ее активные преобразования, эквивалентные и упро щающие приближенные, рассматриваются как важный активный ресурс при создании методов поиска практически приемлемых решений. Предложенный подход является априорно приближенным подходом к исследованию задач управления, в отличие от численных методов реализации теоретических результа тов. Он хорошо согласуется с естественными допущениями при постановке прикладных задач, их осо бенностями и зарекомендовавшими себя разнообразными методами и приемами их математического исследования, что существенно расширяет возможности приближенного исследования задач управле ния.

Рассматриваются преобразования модели объекта с помощью аппроксимации правой части динами ческой системы как функции многих переменных. Если применять расширения типа Кротова, т. е. такие, при которых дифференциальные связи полностью исключаются, а функционал с помощью функции (t, x) заменяется обобщенным лагранжианом [3, 4], то можно проводить аппроксимацию исходной системы упрощенной моделью с целью получения достаточно хорошей приближенной функции Кротова (t, x), разрешающей упрощенную задачу. Такая функция, примененная к исходной системе, дает воз можность генерировать приближенно оптимальное управление u (t, x) с оценкой, которая позволяет су дить о качестве полученного управления, и как следствие, о качестве выбранной аппроксимации дина мической системы.

1. Постановка задачи Рассмотрим непрерывную задачу оптимального управления x(t ) = f ( t, x(t )u (t ) ), t [t I, tF ], x(t ) X (t ) R n, x(tI ) = xI, (1) u (t ) U (t ) R p, F ( x(t F ) ) min, и дискретную задачу оптимального управления Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 09 01-170).

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ x(t + 1) = f ( t, x(t )u (t ) ), t {t I, t I + 1,…, t F }, x(t ) X (t ) R n, x(tI ) = xI, (2) u (t ) U (t ) R p, F ( x(t F ) ) min Пусть ( x (t ), u (t ) ) – допустимое решение задачи (1). Тогда согласно [3] для любой непрерывно дифференцируемой функции (t, x) справедлива оценка tF ( x, u, ) = F ( x (t F ) ) inf G ( x) + sup R (t, x, u ) dt = xX ( tF ) t I x X ( t ), uU ( t ) tF ( F ( x) + (tF, x) (tI, xI ) ) + ( f (t, x, u ) + t ) dt.

T = F ( x (t F ) ) inf sup x x X ( tF ) t I x X ( t ), uU ( t ) Для задач без фазовых ограничений (т.е. X (t ) = R n ), если функция (t, x) удовлетворяет условиям (схема Беллмана [3]) (t F, x) = F ( x), sup xT f (t, x, u ) + t = 0, uU ( t ) то формула для оценки принимает более простой вид ( x, u, ) = F ( x (tF ) ) + (t I, xI ).

Для случая дискретных систем справедлива аналогичная формула оценки [4] t F ( x, u, ) = F ( x (t F ) ) inf G ( x) + sup R (t, x, u ) = x X ( tF ) t = t I x X ( t ),uU ( t ) = F ( x (t F ) ) inf ( F ( x ) + ( t F, x ) ( t I, xI ) ) + x X ( tF ) t F + ( (t, f (t, x, u )) (t, x) ) = F ( x (tF ) ) xinft ) ( F ( x) + (tF, x) ) + sup X( t = tI x X ( t ),uU ( t ) F t F ( (t, f (t, x, u )) (t, x) ) + sup (tI + 1, f (tI, xI, u )), + sup t = t I +1 x X ( t ),uU ( t ) uU ( t ) которая при отсутствии фазовых ограничений и справедливости условий (t F, x) = F ( x), (t, x) = sup (t + 1, f (t, x, u )), uU ( t ) также как и в случае непрерывных систем принимает вид ( x, u, ) = F ( x (tF ) ) + (t I, xI ).

В [3, 4] для непрерывной и дискретной систем доказано, что для любой допустимой пары ( x (t ), u (t ) ) и функции оценка ( x, u, ) 0, а если тройка функций ( x (t ), u (t ), ) удовлетворяет достаточным условиям оптимальности Кротова, то пара ( x (t ), u (t ) ) оптимальна и ( x, u, ) = 0.

2. Оценка при преобразовании правой части системы Произведем преобразование правой части динамической системы (1), упрощающее, с точки зрения поиска оптимального решения, исходную задачу (1), и рассмотрим соответствующую непрерывную за дачу оптимального управления x(t ) = f ( t, x(t )u (t ) ), t [t I, tF ], x(t ) X (t ) R n, x(tI ) = xI, (3) u (t ) U (t ) R p, F ( x(t F ) ) min.

Предположим, что известны оптимальное решение ( x(t ), u (t ) ) задачи (3) и разрешающая достаточные условия оптимальности функция (t, x), тогда оценка этого решения, как решения задачи (3), равна ну лю и имеет вид Е.А. Трушкова. Оценка приближенно оптимальных решений на основе преобразований модели объекта ( ) ( F ( x) + (t ) x, u, = F ( x(t F ) ) inf, x) (t I, xI ) + F xX ( tF ) tF + ( ) T f (t, x, u ) + t dt = 0.

sup x t I x X ( t ), uU ( t ) Пусть пара ( x (t ), u (t ) ) – допустимая пара задачи (1), т. е. x (t ) – траектория, соответствующая управ лению u (t ) в силу системы (1). Тогда для оценки этого решения, как решения задачи (1), справедливо неравенство ( ) ( ) x, u, = F ( x (t F ) ) inf F ( x) + (t F, x) (t I, xI ) + x X ( t F ) tF + ( ) T f (t, x, u ) + t dt = F ( x (tF ) ) F ( x(t F ) ) + F ( x(t F ) ) + sup x t I x X ( t ), uU ( t ) ( F ( x) + (t ), x) (t I, xI ) + + inf (4) F x X ( t F ) tF ( ) + T f (t, x, u ) xT f (t, x, u ) + xT f (t, x, u ) + t dt sup x t I x X ( t ), uU ( t ) tF F ( x (t F ) ) F ( x(t F ) ) + ( ) T sup ( f (t, x, u ) f (t, x, u )) dt.

x t I x X ( t ), uU ( t ) Аналогично случаю непрерывных систем произведем преобразование правой части динамической системы (2) и рассмотрим соответствующую дискретную задачу оптимального управления x(t + 1) = f ( t, x(t )u (t ) ), t {t I, t I + 1,…, t F }, x(t ) X (t ) R n, x(tI ) = xI, (5) u (t ) U (t ) R p, F ( x(t F ) ) min Предположим, что известно оптимальное решение ( x(t ), u (t ) ) задачи (5) и разрешающая достаточные условия оптимальности функция (t, x). Пусть пара ( x (t ), u (t ) ) – допустимая пара задачи (2), тогда, как и в случае непрерывных систем, для оценки этого решения, как решения задачи (2), справедливо нера венство tF x, u, F ( x (t F ) ) F ( x(tF ) ) + ((t, f (t, x, u)) (t, f (t, x, u)) ).

( ) sup (6) t = t I x X ( t ), uU ( t ) Замечание. Если (t, x) линейна, т. е. = T (t ) x, то в случае непрерывных систем правая часть нера венства (4), а в случае дискретных систем правая часть неравенства (6), будет стремиться к нулю при равномерном стремлении f (t, x, u ) к f (t, x, u ). Следовательно, будет стремиться к нулю и оценка ( ) x, u,.

3. Тестовые вычислительные эксперименты Рассмотрим дискретную задачу оптимального управления 2 x(t + 1) = 20e ( x (t ) 1) ( u ( t ) +1) + 2 x(t ) + 2 x(t )u (t ) u 2 (t ), t {0,1, 2,3}, x(0) = 1, x(t ) [50,50], u (t ) {2, 2 + 0.1,…, 2 0.1, 2}, F ( x(3) ) = x(3) min.

Известно решение задачи u (t ) = ( u (0), u (1), u (2) ) = (1.7,0,0.5), F ( x ) = 49.9885.

(3) Приблизим правую часть исходной динамической системы с помощью МНК как функцию двух пе ременных f ( x, u ) в допустимой области с помощью различных непрерывных функций (полиномов) ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ f ( x, u ). Найдем решение ( x(t ), u (t ) ) приближенной задачи и его оценку в исходной задаче (с поиском функции (t, x) по схеме Беллмана).

1) Построив приближение с помощью линейной функции f ( x, u ) = 1.190 + 1.900 x + 0.008u, получим max f ( x, u ) f ( x, u ) 197.803, u (t ) = (2, 2, 2), F ( x(3) ) = 14.7065. Найдем решение x,u ( x (t ), u (t ) ) исходной задачи, соответствующее управлению u (t ), и его оценку = 47.9992 (при этом F ( x (3) ) = 1.9893 ).

2) Построив приближение с помощью полинома второй степени f ( x, u ) = 0.352 + 2.002 x 0.095u + 2 xu 1.023u 2, получим max f f 19.577, u (t ) = ( 0.1,1.4,1.7), F ( x(3) ) = 49.9948. Найдем решение ( x (t ), u (t ) ) ис x,u ходной задачи, соответствующее управлению и его оценку этом u (t ), = 6.1765 (при F ( x (3) ) = 56.1650 ). Полученное отрицательное значение оценки говорит о недопустимости получен ного решения. Однако для полноты вычислительного эксперимента целесообразно подвинуть границы допустимой области таким образом, чтобы решение ( x (t ), u (t ) ) стало допустимым, и посчитать его оценку в полученной задаче. Так, заменив допустимую область [50,50] в конечный момент времени на [56.2,50], получим оценку = 0.0273.

3) Построив приближение с помощью полинома третьей степени f = 0.340 + 2.001x 0.338u + 2 xu 1.015u 2 + 0.054u 3, получим max f f 19.39, u (t ) = (0.4,0.5,1.8), F ( x(3) ) = 49.9995. Найдем решение ( x (t ), u (t ) ) исход x,u ной задачи, соответствующее управлению и его оценку этом u (t ), = 3.5127 (при F ( x (3) ) = 53.5011 ). Заменив допустимую область [50,50] в конечный момент времени на [53.51,50], получим = 0.

4) Построив приближение в четырех подобластях D1 = [0,50] [2,0], D2 = [0,50] [0, 2], D3 = [50,0] [2,0], D4 = [50,0] [0, 2] допустимой области с помощью полиномов второй степени D1 : f = 3.740 + 1.693 x 0.817u + 1.996 xu 0.005 x 2 1.459u 2, max f f 16.2, ( x,u )D D2 : f = 0.882 + 1.956 x 0.648u + 0.012 xu + 0.001x 2 0.877u 2, max f f 6.519, ( x,u )D D3 : f = 0.895 + 2.075 x 0.179u + 2.001xu + 0.001x 2 1.101u 2, max f f 6.384, ( x,u )D D4 : f = 0.204 + 2.011x 0.145u + 1.997 xu + 0.973u 2, max f f 2.503, ( x,u )D получим u (t ) = (0.8,1.9, 0.1), F ( x(3) ) = 49.9784. Найдем решение ( x (t ), u (t ) ) исходной задачи, соот (при этом F ( x (3) ) = 50.6238 ). Заменив до ветствующее управлению u (t ), и его оценку = 0. пустимую область [50,50] в конечный момент времени на [50.65,50], получим оценку = 0.0245.

Проведенные вычислительные эксперименты позволяют сделать вывод о том, что оценка прибли женного решения задачи (2), полученного как решение задачи (4), действительно тем лучше, чем лучше аппроксимация правой части динамической системы (в смысле уменьшения величины max f ( x, u ) f ( x, u ) ).

x,u Е.А. Трушкова. Оценка приближенно оптимальных решений на основе преобразований модели объекта Заключение При исследовании задач управления по схеме, представленной в [1, 2], возникает проблема выбора наиболее качественного преобразования модели объекта среди ряда возможных преобразований. Пред ставленная в данной статье оценка позволяет судить о качестве полученного приближенно оптимального управления, и как следствие, о качестве выбранной аппроксимации динамической систе мы.

Литература 1. Гурман В.И., Квоков В.Н., Ухин М.Ю. Приближенные методы оптимизации управления летательным аппа ратом // Автоматика и телемеханика. 2008. № 3. C. 191-201.

2. Гурман В.И., Трушкова Е.А., Блинов А.О. Приближенная глобальная оптимизация управления на основе преобразований модели объекта // Автоматика и телемеханика. 2009. № 5. С. 13-23.

3. Кротов В.Ф., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления. М.: Наука, 1973.

4. Гурман В.И. Принцип расширения в задачах управления. М.: Наука: Физматлит, 1985.

Трушкова Екатерина Александровна, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Ис следовательского центра системного анализа Института программных систем им. А.К. Айламазяна РАН, тел.

(48535) 98094, e-mail: katerina@trushkova.pereslavl.ru Trushkova Ekaterina Aleksandrovna, Candidate of Physics and Mathematics, Senior Researcher, System Analysis Re search Center (SARC), The Ailamazyan Program Systems Institute of RAS.

А.А. Ветров, Е.С. Фереферов, А.Е. Хмельнов. Технология использования метаописаний для формирования хранилищ данных и анализа многомерных данных УДК 004.4' А.А. Ветров, Е.С. Фереферов, А.Е. Хмельнов ТЕХНОЛОГИЯ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ МЕТАОПИСАНИЙ ДЛЯ ФОРМИРОВАНИЯ ХРАНИЛИЩ ДАННЫХ И АНАЛИЗА МНОГОМЕРНЫХ ДАННЫХ В работе рассматривается технология создания структуры и наполнения хранилища данных с использованием технологии метаописаний баз данных, которая активно используется для автоматизации процесса создания прило жений, работающих с базами данных.

Ключевые слова: хранилище данных, OLAP анализ, преобразование данных, извлечение данных, загрузка данных, интеграция данных, объединение данных, миграция данных, программное обеспечение промежуточного слоя.

A.A.Vetrov, E.S.Fereferov, A.E.Khemlnov USING TECHNOLOGY OF METADICSRIPTION FOR FORMING DATA WAREHOUSE AND MULTIDIMENSIONAL DATA ANALYSIS The article is devoted to actual problem of creating structure and filling data warehouse using the technology of data base metadescriptions, which is actively used to automate the creation of applications working with databases.

Keywords: data warehouse, OLAP analysis, extract data, transform data, load data, etl tools, integration data, migration data, middleware.

Введение В настоящее время накоплены и актуализируются большие объемы тематических данных в структу рированном электронном виде. Эти сведения хранят в себе возможности получения аналитической ин формации и новых знаний, из которой можно извлечь закономерности, тенденции, зависимости и дру гую важную информацию для предметного аналитика.

Редко встречается ситуация, когда данные, характеризующие целую предметную область, хранятся в одном месте, чаще они разделены, и пользователи тратят много времени на ручной поиск, сбор и сопос тавление релевантной информации, вместо того, чтобы использовать полученную информацию в непо средственной деятельности [1]. Таким образом возникает проблема интеграции данных: они могут ма нипулироваться различными системами управления базами данных (СУБД), быть противоречивыми, несогласованными, не иметь единого логического взгляда, содержать значительную часть информации, неважную для анализа и тем самым его замедлять.

Для решения этой проблемы применяют технологии интеграции данных, хранилищ данных (ХД) и анализа данных (в том числе OLAP анализ [2]). Технология интеграции данных предназначена для эф фективного объединения сведений из нескольких разнотипных источников, при этом исходные остают ся под контролем систем-источников и извлекаются по требованию для интегрированного доступа. В свою очередь, предметные специалисты при помощи тематического программного обеспечения (ПО) уже могут работать с объединенными данными.

Для проведения комплексных информационно-аналитических исследований с применением данных технологий необходимо создать ХД, выбрав схему его структуры и способ хранения, заполнить ХД, за грузив в него необходимые данные, и осуществить анализ данных.

1. Структура ХД Основными составляющими структуры типичного ХД являются таблица фактов (fact table) и таблицы измерений (dimension tables) [3]. Таблица фактов является основной таблицей ХД. Как правило, она со держит сведения об объектах или событиях, совокупность которых будет в дальнейшем анализировать ся, технически это уникальный составной ключ, объединяющий первичные ключи таблиц измерений.

Чаще всего это целочисленные значения либо значения типа «дата/время». Помимо этого таблица фак тов содержит одно или несколько числовых полей, на основании которых в дальнейшем будут получены агрегированные данные.

Таблицы измерений содержат неизменяемые либо редко изменяемые данные, которые в подавляю щем большинстве случаев представляют запись для каждого члена нижнего уровня иерархии в измере нии. Таблицы измерений также содержат как минимум одно описательное поле (обычно с именем члена измерения) и, как правило, целочисленное ключевое поле (обычно это суррогатный ключ) для одно ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ значной идентификации члена измерения. Если будущее измерение, основанное на данной таблице из мерений, содержит иерархию, то таблица измерений также может содержать поля, указывающие на «ро дителя» данного члена в этой иерархии. Каждая таблица измерений должна находиться в отношении «один ко многим» с таблицей фактов.

Существуют 2 основные схемы типичного ХД: «звезда» и «снежинка». Схема звезда – это логическая модель организация ХД, когда таблица фактов непосредственно соединена со всеми зависящими от неё таблицами измерений. Недостатком схемы «звезда» является неудобство работы с иерархическими из мерениями, т.е. когда вся информация об измерениях содержится в одной таблице. Это вызывает рост избыточности и повышает вероятность возникновения противоречий. Поэтому для более эффективной работы с иерархическими измерениями используется модификация схемы «звезда», которая получила название «снежинка».

Схема снежинка (snowflake schema) – это логическая модель организации ХД. Особенностью схемы «снежинка» является то, что таблицы измерений могут быть соединены с таблицами измерений других иерархических уровней непосредственно, минуя таблицу фактов. Если же хотя бы одно измерение со держится в нескольких связанных таблицах, такая схема ХД носит название «снежинка». Данную схему рекомендуется использовать при наличии иерархии измерений.

Недостатками схемы «снежинка» по сравнению со схемой «звезда» является более трудная для по нимания и реализации структура данных, а также более сложная процедура добавления значений в из мерения, а ее преимуществом – большее соответствие представлению данных в многомерной модели, намного более низкая вероятность появления ошибок несоответствия данных и большая (по сравнению со схемой «звезда») компактность представления иерархических данных, поскольку все значения изме рений представляются только один раз [4].

Следует отметить, что даже при наличии иерархических измерений с целью повышения скорости выполнения запросов к ХД нередко предпочтение отдается схеме «звезда» [5].

2. Инструменты извлечения, преобразования и загрузки данных После создания структуры ХД его следует заполнить тематическими данными. Для этого можно ис пользовать встроенные возможности СУБД или, что предпочтительнее, специализированное ПО – ETL.

Это инструменты для извлечения, преобразования и загрузки (extraction, transformation, loading). Как правило, с качественными коммерческими решениями в области ХД поставляется свой инструментарий для такого рода задач. Под аббревиатурой ETL понимается составной процесс переноса данных одного приложения или автоматизированной информационной системы в другие. Процесс ETL состоит из трех основных стадий:

1. Извлечение данных На этой стадии отбираются и описываются данные внешних источников (начинают формироваться метаданные ХД), которые должны храниться в ХД (релевантные данные). Процесс извлечения дан ных из источников данных можно разбить на следующие основные типы:

- извлечение данных при помощи приложений, основанных на выполнении SQL-команд. Эти при ложения функционируют совместно с другими приложениями систем источников данных;

- извлечение данных при помощи встроенных в СУБД механизмов импорта/экспорта данных. Ис пользование таких механизмов, как правило, обеспечивает более быстрое извлечение данных, чем с по мощью команд SQL;

- извлечение данных с помощью специально разработанных приложений.

2. Преобразование данных Сюда входят преобразования типов данных (кодировки, строковые данные, форматы даты и времени и т.д.), преобразования, связанные с нормализацией или денормализацией схемы данных (компромисс между производительностью и простотой запросов), очистка данных и преобразования, связанные с обеспечением качества данных в ХД. Следует более подробно рассказать про 2 последних. Чтобы дан ные обладали необходимым уровнем качества, они должны содержать правильные количественные зна чения метрик, быть согласованными и непротиворечивыми (агрегированные данные должны точно со ответствовать подробным данным), уникальными и актуальными. Для обеспечения качества данные при преобразовании подвергаются процедуре очистки: согласуются форматы данных, данные кодиру ются, исключаются ненужные атрибуты (например, комментарии), замещаются коды значениями (на пример, почтовый индекс наименованием населенного пункта), комбинируются данные из различных источников под общим ключом (например, собираются все данные о покупателях).

3. Загрузка данных А.А. Ветров, Е.С. Фереферов, А.Е. Хмельнов. Технология использования метаописаний для формирования хранилищ данных и анализа многомерных данных На этой стадии данные загружаются в ХД. Необходимо учесть, что загрузка данных, основанная на использовании команд обновления SQL, медленнее, чем загрузка с помощью встроенных в СУБД средств импорта/экспорта, однако создать инструмент, реализующий импорт/экспорт в коммерческую СУБД, проблематично, так как такие СУБД чаще всего распространяются без документации подобного рода.

3. Анализ данных Конечной целью использования ХД является анализ данных и представление результатов этого ана лиза в виде, удобном для восприятия и принятия решений. После завершения этапа загрузки становится возможным проведение аналитических исследований с использованием тематического ПО, учитываю щего специфику конкретной предметной области. Основополагающим видом анализа в ХД является OLAP анализ. Основная идея OLAP заключается в построении многомерных кубов, которые будут дос тупны для пользовательских запросов [6]. Существующие подходы анализа многомерных данных пред полагают использование ПО ориентированного на структуру ХД конкретного производителя.

4. Использование метаописаний для формирования ХД Для унификации процессов извлечения и загрузки данных при формировании ХД, а также проведе ния анализа многомерных данных предлагается использовать технологию метаописаний БД, которая активно используется для автоматизации процесса создания приложений, работающих с БД [7].

Под метаописанием БД понимаются заданная по определённым правилам информация, описывающая структуру этой БД, и способы взаимодействия пользователя с БД. Элементы метаописаний состоят из секций о таблицах, их полях, связях между таблицами и представлениях [8]. Они позволяют описать любую БД, использующую современную СУБД, формируя связующее звено между БД и ПО, достаточ ное для их совместной работы. Применение технологии метаописаний БД открывает возможность ис пользования специализированного ПО для анализа различных ХД, удовлетворяющих ряду требований и управляемых одной или разными СУБД (без перекомпиляции ПО). Неоспоримым преимуществом дан ной технологии также является сокращение сроков создания реальных информационных систем по сравнению с традиционными подходами, связанными с описанием объектов ХД и связей между ними средствами визуального программирования или в коде приложения.

Как правило, в существующей технологии метаописания БД хранятся на локальных машинах. Для аналитических систем, разрабатываемых в технологии клиент-сервер, метаописания ХД рационально перенести из файла метаописаний в таблицы ХД, находящиеся на сервере, а также их следует расширить дополнительными секциями, учитывающими специфику ХД.

Логично организовать все связи между тематическими данными ХД на уровне метаописаний вместо непосредственного связывания средствами СУБД, что в дальнейшем даст более гибкий доступ к данным со стороны ПО анализа. Для этого предлагается создать новый тип структуры ХД, в котором логическая структура предметной области хранится в таблицах метаописаний ХД. Учитывая вышеперечисленные требования к метаописаниям БД (информация о таблицах, полях таблиц, ссылках из таблиц, соответст вии полей, задаваемом ссылками, путях получения полей, представлениях, полях представлений) следу ет добавить информацию об измерениях, используемых в измерениях полях, таблицах значений показа телей, полях таблиц значений показателей. После формирования структуры ХД необходимо провести импорт данных: извлечь данные из источников информации, преобразовать и загрузить в ХД в соответ ствии с метаописаниями ХД.

Для OLAP анализа многомерных данных с помощью технологии “кросс-таблиц” разработано универ сальное ПО “MDAttr” [9], которое выступает в качестве клиента к ХД и алгоритмы которого используют метаописания ХД для работы с его измерениями. Система реализует:

- унифицированный доступ к ХД;

- простоту настройки и хорошие времена отклика при работе с агрегированными данными;

- анализ набора числовых показателей, которые могут быть собраны в различных разрезах, т.е. могут зависеть от различного числа характеристик;

- многопользовательский доступ к данным;

- экспорт данных в Microsoft Excel для дальнейшей обработки.

Хранилище данных может быть сконфигурировано администратором под конкретный набор показа телей и разрезов, а ПО “MDAttr” дает пользователю гибкий доступ к данным хранилища с использова нием интуитивно-понятного интерфейса, построенного по принципу систем многомерного анализа дан ных (OLAP). Пользователь имеет возможность выбирать интересующие его данные, после чего эти дан ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ ные сохраняются в электронных таблицах для дальнейшего анализа средствами специализированных статистических пакетов. Для использования данного ПО должны соблюдаться определённые соглаше ния:

- Все значения измерений должны иметь уникальный числовой код, для хранения которого должно быть достаточно 4-х байт. Это позволяет оптимизировать внутреннее представление информации в клиентской программе.

- Значения интервалов времени должны кодироваться целым числом по следующей формуле:

H i = T0m *12 + 12 dTm, (1) где H i обозначает код интервала времени;

T0m – начало интервала в месяцах ( T0m = Год *12 + №Месяца, при этом январю соответствует 0);

dTm – протяжённость интервала времени в месяцах (год – 12, полугодие – 6, квартал – 3, месяц – 1).

Такой способ кодирования интервалов времени позволяет получить их естественное упорядочивание при сортировке их кодов в порядке возрастания: коды полугодий будут следовать за кодом года, код квартала – за кодом полугодия и т.д., а также избежать использования отдельной таблицы для хранения информации об интервалах времени.

- Значения показателей должны храниться в числовых полях.

- Таблица показателей должна быть организована как иерархическое измерение.

- В таблице показателей должно присутствовать поле, в котором для имеющих значения показателей должны быть записаны коды соответствующих таблиц значений показателя.

Система может быть настроена на использование любых таблиц, созданных с соблюдением описан ных соглашений.

На текущий момент процессы создания структуры ХД и импорта данных осуществляются админист ратором вручную и требуют временных затрат: структура создается при помощи средств СУБД, а им порт осуществляется при помощи нескольких утилит и конверторов. Поэтому разрабатывается собст венный специализированный ETL инструмент, автоматизирующий данные процессы, так как сущест вующие инструменты не учитывают работу с таблицами метаописаний.

В настоящее время активно ведутся работы по развитию языка представления баз данных для под держания новых возможностей метаописаний, ориентированных на формирование ХД.

Литература 1. URL: http://www.ibm.com/developerworks/ru/library/ws-soa-infoserv1/ Дата обращения май 2011 года.

2. Барсегян А.А., Куприянов М.С., Степаненко В.В., Холод И.И. Методы и модели анализа данных OLAP и Data Mining. – СПб: БХВ-Петербург, 2004. 336 с.

3. URL: http://www.olap.ru/basic/olap_intro2.asp Дата обращения май 2011 года 4. URL: http://www.basegroup.ru/glossary/definitions/star_shema/. Дата обращения май 2011 года.

5. Маклаков C. Хранилища данных и их проектирование с помощью CA ERwin // КомпьютерПресс. 2001. № 1.

6. Островский Е.В. Порядок разработки ETL-процессов. URL: http://citcity.ru/11144. Дата обращения февраль 2011 года.

7. Бычков И.В., Фереферов Е.С., Хмельнов А.Е. Метаописание баз данных как основа интеграции информаци онно-справочных систем и ГИС // Вычислительные технологии. 2007. Т. 12, № 5.

8. Фереферов Е.С., Хмельнов А.Е. Язык описания структур баз данных // Материалы конференции. Ляпунов ские чтения & презентация информационных технологий 2010. Иркутск: Изд-во ин-та динамики систем и теории управления СО РАН, 2010.

9. Бычков И.В., Гаченко А.С., Ружников Г.М., Фереферов Е.С., А.Е.Хмельнов А.Е., Маджара Т.И. Вне дрение современных информационных технологий в региональных проектах // Вестник НГУ. Сер.: Информа ционные технологии. 2008. Т. 6, вып. 1. С.15-24.

Ветров Александр Анатольевич, аспирант ИДСТУ СО РАН, г. Иркутск, тел. (395-2) 453113, e-mail: vetrov@icc.ru Фереферов Евгений Сергеевич, научный сотрудник ИДСТУ СО РАН, г. Иркутск, тел. (395-2) 453071, e-mail: fereferov@icc.ru Хмельнов Алексей Евгеньевич, кандидат технических наук, заведующий лабораторией ИДСТУ СО РАН, тел.

(395-2) 453071, e-mail: hmelnov@icc.ru Vetrov Alexandr Anatolievich, PhD student of Institute for System Dynamics and Control Theory of SB RAS Fereferov Evgeniy Sergeevich, researcher of Institute for System Dynamics and Control Theory of SB RAS Hmelnov Alexey Evgenievich, candidate of technical science, chief of laboratory of Institute for System Dynamics and Control Theory of SB RAS А.В. Воротынцев. Представление вычислимых моделей иерархическими автоматами в сетевой библиотеке 519.83+115. А.В. Воротынцев ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВЫЧИСЛИМЫХ МОДЕЛЕЙ ИЕРАРХИЧЕСКИМИ АВТОМАТАМИ В СЕТЕВОЙ БИБЛИОТЕКЕ Описываются графы работ и иерархические автоматы для представления вычислимых моделей в сетевой биб лиотеке.

Ключевые слова: управляемые событиями системы, графы работ, иерархические автоматы.

A.V. Vorotyntsev THE REPRESENTATION OF COMPUTABLE MODELS BY HIERARCHICAL AUTOMATA IN NETWORK LIBRARY The representation of computable models with workflows and hierarchical automata in network library are described.

Keywords: event-driven systems, workflow, hierarchical automata.

Введение Актуальна задача создания в Интернете сетевых библиотек для хранения множества проверенных численных методов, прикладных вычислимых моделей использования прикладными специалистами и другими пользователями.

В [1] изложена концепция сетевой библиотеки Нива вычислимых моделей (например, сложных ими тационных моделей), результаты которых получают вычислениями. Нива реализована двумя програм мами – программой, размещенной на компьютере пользователя, и программой, размещенной на удален ном компьютере-сервере. Пользователь создает сценарий расчета нужной модели, визуально конструи руя граф вычислительных работ в окне своей программы. После ввода пользователем данных и провер ки графа вычисление сценария выполняется сервером;

результаты пересылаются на компьютер пользо вателя по мере их расчета.

Представление моделей графами работ Узлы графа работ представляют компоненты M = {F, D} гипермодели (ГМ), реализующие функци ональность F над набором данных-слотов D. Компонентой может быть как фрагмент расчетной модели, так и фрагмент системной поддержки вычислений, например графопостроитель. Код компоненты хра нится на сервере. При вычислениях компоненты могут обмениваться данными через свои слоты. Если слот M1.X компоненты M1 связан со слотом M2.Y (обозначается M1.X = @M2.Y), тогда изменение значения одного слота вызывает такое же изменение значения другого слота. Связь слотов может указы ваться на графе пунктирной стрелкой. Связи слотов устанавливаются при сборке ГМ до вычислений.

Рис. 1. Преобразование дерева выражения в граф работ Рис. 1 (1.1, 1.2) показывает, как дерево выражения F = f ( x ) * h ( z ) + g ( y ) приводится к графу вычис лительных работ, выполняемых узлами последовательно по стрелкам ребер графа [1] для вычисления значения своих слотов. Так, на рис. 1.1 узлы с треугольником выполняют операции «*» и «+» над свои ми слотами, связанными со слотами узлов f, h, g, вычисляющими функции f ( x ), h ( z ), g ( y ), и поме щают результат в свой третий слот. Рис. 1 (1.3, 1.4) показывает агрегирование объемного дерева выра жения и образование графа – дерева кольцевых подграфов работ. Агрегированным графом можно пред ставить решение dy dt = H ( t, y ) (рис. 1.5). Здесь S – решатель (например, Рунге-Кутта), итерирующий компоненту H, вычисляющую H ( t, y ). На рис. 1.5, 1.6 показано объединение задач H и G, решаемых S, конструированием общего графа работ. Конструирование существенно обогащается процедурой уточ нения узлов. Поясним ее (рис. 1.6) на системе С.М. Анцыз, Н.А. Орозбеков. Об одном процессе оптимизации банковских продуктов dY dt = H, H H ( t, Y,@ A,@ B ) ;

dZ dt = G, G G ( t, Z,@ C,@ D ) ;

(1) уравнений для Y ( t ), Z ( t ), где @ A, @ B, @C, @ D – слоты в H и G, рассчитывающих правые части уравнений (1). Если пользователь присвоит слотам постоянные A0, B0, C0, D0, тогда (1) окажется сис темой 2-х независимых уравнений. Если же пользователь включит в граф работ узлы A, B, C, D, уточ няющие H и G функциями A (Y ), B (Y, Z ), C (Y, Z ), D ( Z ), то (1) превратится в систему зависимых уравнений с @ A = A ( Y ), @ B = B (Y, Z ), @ C = C (Y, Z ), @ D = D ( Z ).

Представление моделей иерархическими автоматами Рис. 2. Сетевая библиотека – иерархический автомат Дерево кольцевых подграфов иерархично. Каждая компонента выполняет несколько работ: инициа лизирует слоты данными, проверяет параметры, выполняет вычисления и т.д. Поэтому компоненты реа лизованы конечными автоматами, выполняющими работы так, чтобы ГМ представлялась иерархиче ским автоматом [2]. На рис. 2 Нива представлена взаимодействующими через TCP/IP сеть автоматами User и Server. Server содержит автомат System системной поддержки вычислений и автомат HModel рас четной модели.

Автоматами управляют события, исходящие от меню пользователя (в User), генератора Event Genera tor (EG), а также от самих автоматов. В System и HModel события поступают по стрелкам графа. Так, начинающее цикл итераций событие evDoCalc, возбужденное EG, поступает в System и после обхода компонент 1-6 передается в init, решатель S, H.init, IH, …, G.init, S. При этом компонента System.5 пере сылает пользователю результаты расчетов предыдущего цикла. Если точность решения на данном ин тервале не достигнута, S повторяет итерацию;

иначе S направляет evDoCalc в IHG и «Next?». Если но мер цикла итераций меньше заданного N, генерируется evDoCalc и выполняется следующий цикл;

иначе генерируется событие evStopCalc, которое приостанавливает вычисления и запрашивает указание от User. Теперь щелчок пользователя в меню «Продолжить» возбуждает событие evContinue. Оно пересы лается Server, активизирует его генератор EG и начинает новую серию из N циклов итераций.

Заключение Описаны графы работ и иерархических автоматов, визуально конструируемых пользователем для расчета вычислимых моделей в сетевой библиотеки Нива. В отличие от [3], пользователь, конструируя граф HModel, не указывает событий.


Литература 1. Vorotyntsev A.V. Network Libraries of Computable Models as the Reactive Distributed Systems // Bulletin of Peo ples’ Friendship University of Russia. Series Mathematics, Information Sciences, Physics. 2010. No 3. Issue 2. P. 109-114.

2. Harel D., Politi M. Modeling Reactive Systems with Statecharts: The STATEMATE Approach. N. Y.: McGraw Hill, 1998. 258 p.

Воротынцев Александр Васильевич – кандидат физико-математических наук, научный сотрудник ВЦ РАН, 119333, Москва, ул. Вавилова, 40;

тел. 8965-1353931, e-mail: avv_alexv@mail.ru.

Vorotyntsev Alexander Vasilievich, candidate of physical and mathematical sciences, research fellow of CCAS, Vavilov st. 40, 117967 Moscow GSP-1, Russia;

phone +7965-1353931, e-mail: avv_alexv@mail.ru.

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ УДК 537. Б.Д. Цыдыпов НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕРМИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИСТЕМЫ СОПРЯЖЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ. МЕТОД РЕШЕНИЯ В работе представлен метод решения нелинейной тепловой задачи для осесимметричного катодного узла генераторов низкотемпературной плазмы. Тепловая задача основана на решении двумерного уравнения нестационарной теплопроводности с нелинейными граничными условиями для системы «вставка – обойма» с учетом основных видов энергообмена с внешней средой.

Ключевые слова: оптимизационная задача, тепловой поток, энергообмен, генератор, низкотемпературная плазма.

B.D. Tsydypov NONLINEAR THERMAL PROBLEM FOR THE SYSTEM OF CONJUGATE ELEMENTS. METHOD OF SOLUTION The article deals with the method of solution nonlinear thermal problem for the axis-symmetrical cathode assembly in low-temperature plasma generators. The thermal problem described above reduces to a nonstationary heat conduction equation with nonlinear boundary condition in the two-dimensional unsert –sleeve system with consideration of main types of heat transfer between the electrode assembly and the ambient medium.

Key words: optimization problem, heat flux, energy transfer, generator, low-temperature plasma.

Введение В предыдущей работе [1] обоснована и приведена математическая постановка задачи о теплофизическом состоянии составных катодных узлов сильноточных плазменных систем (СПС). Она основана на решении нелинейного уравнения нестационарной теплопроводности T с = div( gradT ) + qV (1) t с учетом основных видов теплообмена электродного узла с внешней средой, где T – температура, c – удельная теплоемкость, – плотность материала, – коэффициент теплопроводности, qV – объемная плотность внутренних источников и стоков, обусловленных различного рода физико-химическими процессами выделения и поглощения энергии.

Температурное поле Tk(r, z) в составном катодном узле цилиндрической симметрии (см. рис. 1 [1]) находится совместным решением уравнения (1) в виде:

T 1 Tk Tk сk k k = r k (T ) r + z k (T ) z + jk / k (T ) (2) r r t и уравнения непрерывности тока 1 U k U k r k (T ) r + z k (T ) z = 0 (3) r r для двух сопряженных элементов конструкции: вставки (k = 1) и обоймы (k = 2) с нелинейными граничными условиями родов комбинированного энергообмена. Здесь I – IV 2 2 1/ jk = ( jr + jz ), jr = k (T )U k / r, jz = k (T )U k / z – плотность тока и ее компоненты по цилиндрическим координатам r и z, Uk – потенциал электрического поля, k (T) – удельная электрическая проводимость. Система уравнений нелинейна, тепло- и электрофизические коэффициенты k (T) и k (T) зависят от температуры, являющейся функцией координат.

Метод решения Тепловая задача в сформулированной постановке [1] аналитически не решается. Поэтому используется численный метод – метод конечных разностей [2]. Нестационарное уравнение теплопроводности (2) решается методом установления (стационирования). Для придания алгоритму Б.Д. Цыдыпов. Нелинейная термическая задача для системы сопряженных элементов. Метод решения решения универсальности следует перейти к безразмерным переменным. После обезразмеривания уравнение (2) запишется следующим образом:

2 y 1 y 2 y y + G0 1 1 ( T ) = F0 z I 2 + F0 r I I + j (4) r r z r 2 x 1 x 2 x x + 2 + G0 II 2 2 2 (T ) = F0 z II 2 + F0 r II j (5) z r r r соответственно для элементов и электродной структуры. Здесь I II 2 2 F0 z = 0 / c Ls, For = 0 / c R2, G0 = j0 0 / 0 cT0 – безразмерные параметры;

y = T1/T0, x = T2/T0 – относительные температуры в элементах;

= t/0, z = z / Ls, r = r / R2 – безразмерные координаты;

0, Ls, R2 – масштабы координат.

В дальнейшем индекс «тильда» в переменных опускаем, используя в формулах безразмерные величины. Область интегрирования I – II, занимаемую катодным узлом, разбиваем пространственной сеткой z = ih1, h1 0, i = 0,1, 2,...N ;

Nh1 = Ls h1,h2 = h1 h2 i rk = kh2, h2 0, k = 0,1, 2,..M ;

Mh2 = R с шагами h1 по координате z и h2 по r. По временной координате введем равномерную сетку 0 = { tj = j 0, 0 0, j = 0,1, 2,...} с шагом 0.

в некотором узле сетки (zi, rk, tj ) обозначим yij,k.

Значение сеточной функции (или x) y + Соответственно y ( zi ±1, rk ±1, t j ) = y(ji,k ) ±1, y ( zi, rk, t j +1 ) = yij, k 1.

На 4-х точечном шаблоне расчетной пространственно-временной сетки дифференциальное уравнение (4) аппроксимируется разностным уравнением:

yij,k 1 yij,k = F0 z ( yij+1 2 yij +1 + yij++11 ) / (h1 / Ls )2 + F0 r ( ykj+1 ykj1 ) / 2k (h2 / R2 )2 + + +1 + (6) + F0 r ( ykj1 2 ykj +1 + 2 ykj+1 ) / (h2 / R2 )2 + G0 jc ( ykj ) / ( ykj ), +1 + где ( ykj ) – удельная проводимость на j-том временном слое. Погрешность аппроксимации имеет порядок 0(h2+) [2]. Применяя локально-одномерную схему прогонки метода дробных шагов [3], уравнение (6) разбиваем на два одномерных yij +1 yij = 2 F0 z ( yij+1 2 yij +1 + yij+1 ) / (h1 / Ls )2 ;

(7) (( y ) ykj1 ) / 2k (h2 / R2 )2 + ( ykj+1 2 ykj +1 + 2 ykj+1 ) / (h2 / R2 )2 + ykj +1 ykj = 2 F0 r j +1 +1 +1 + k + (8) j j +2G0 jc ( y ) / ( y ) k k соответственно по координатам z и r. При прогонке разностные уравнения (7) и (8) приводятся к алгебраической системе уравнений типа Ai yi 1 Ci yi + Bi yi +1 = Fi (9) с условиями Ai, Bi 0, Ci Ai+Bi, обеспечивающими разрешимость системы методом прогонки. Решение задачи ищем в виде yi = i +1 yi +1 + i +1, i = 0,1,2,...N 1, (10) где коэффициенты i+1 и i+1 вычисляются по реккурентным соотношениям i +1 = Bi / (Ci Ai i ), i +1 = ( Fi Ai i ) / (Ci Ai i ). (11) Значение начальных прогоночных коэффициентов 1 и 1 определяется при помощи одного из граничных условий области интегрирования. Затем из второго граничного условия находим значения сеточной функции yN и по формуле (10) вычисляем все остальные значения yi вплоть до y0. При этом переход от временного слоя j на слой (j+1) осуществляется последовательным решением однородных уравнений (7) и (8) по соответствующим координатам.

Так как катодный узел состоит из сопряженных элементов разной геометрии, необходимо разбить его на несколько простых областей и для каждой решать свой прогоночный цикл, «сшивая» соседние ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ области удовлетворением единым граничным условиям. Для прогонки по координате z выделяются области OAFK и BCEF, а по координате r – области OABG, GCDL и LDEK (рис. 1 [1]). Следует отметить особенность прогонки по областям OAFK и GCDL. Здесь используется метод встречных прогонок [2]: из граничных условий вычисляются начальные коэффициенты 1I и 1I для первого элемента, 1II и 1II для второго элемента, а искомая функция на их границе определяется из условий сопряжения (14–16) [1].


Рассмотрим решение уравнений (7) и (8) по координатам z и r.

Расчет по координате z Разностное уравнение (7) преобразуем к виду:

F0 z (h1 / L) 2 yij+1 (2 + 2 F0 z (h1 / Ls ) 2 ) yij +1 + F0 z (h1 / Ls ) 2 yij++1 = 2 yij.

1 Обозначая Ai = Bi = F0 z (h1 / Ls )2 = F0 z N 2, Ci = 2 + 2 F0 z N 2, Fi = 2 yij, получим систему разностных уравнений вида (9), которая решается для каждой области интегрирования. Поскольку вычислительная процедура прогоночных коэффициентов и граничных значений функций достаточно громоздка, ниже приведем их последовательный расчет лишь для сложной области OAFK. Расчеты по другим областям проводятся аналогично данной области.

Область OAFK 1. Левое граничное условие (охлаждаемая поверхность элемента II). Сравнивая y0j +1 = 1 y1j +1 + с условием (6) [1], находим 1II = 0, 1II = 1.

2. Правое граничное условие (активная поверхность элемента I). После обезразмеривания условие (4) [1] запишется следующим образом:

y1j +1 y1 1 T0 qLs + 1 1 LsT0 ( y0 ) y0, 0 r r 1 1 1 j 3 j + * = 1. (12) j +1 1 j 3 j + 1 Ls y0 + 1 1 LsT0 ( y0 ) y0, r0 r R 2h1 / Ls Здесь удовлетворение граничных условий со вторым порядком точности приводит к необходимости постулировать выполнение уравнений и в граничных точках (расширенной зоне). Вводится неизвестное значение искомой функции y*–1 в фиктивной точке. Исключая значение y*–1 из уравнения (12) при помощи A0 y1 C0 y0j +1 + B0 y1j +1 = F0, y0j +1 = 1 y1j +1 + 1, * определяем начальные прогоночные коэффициенты:

1 j 3 2 I (1 + ( h1 / Ls ) / F0 z + 1 1 h1T0 ( y0 ) ), 0 r r 1I = ;

1 1 2 I 3 j (1 + ( h1 / Ls ) / F0 z + 1 1 h1T0 ( y0 ) + 1 h1 ), r0 r R y0j +1 (h1 / Ls )2 / F0Iz + q0 11T0 1h, 0 r r 2 I 3 j 1 + (h1 / Ls ) / F0 z + 1 1 h1T0 ( y0 ) 1I =.

y0j +1 (h1 / Ls ) 2 / F0Iz, r0 r R 1 + (h / L )2 / F I + 1 h T 3 ( y j )3 + 1 h 1 0z 1 1 10 0 1 s 3. Условие на границе сопряжения в разностной форме запишется:

yN1 1 = y N+1, j+ 1 Ls (2h1 ) 1 ( y* 1 +1 + y N1+1 ) = 2 Ls (2h1 ) 1 ( xN2 +1 xN+1 1 ), j1 * j j (13) N с другой стороны – yN+1 = y N+1 N1 + N1, AN1 yN+1 C N1 y N+1 + BN1 y * 2 +1 = FNI 2 ;

j1 I I I j1 I I j j (14) N 1 1 1 xN+1 1 = yN 2 N2 + N2, AN12 xN+1 1 C N2 xN+1 + BN2 x* 2 +1 = FNII2.

II II II II II j j j (15) 2 2 N Решая совместно уравнения (13–15), получим граничные значения искомых функций:

1 N1 + 2 N2 + (h1 / Ls ) 2 (1 / F0Iz + 2 / F0II ) y N I II j z j +1 j + yN1 = xN 2 =.

1 + 2 1 N1 2 N2 + (h1 / Ls )2 (1 / F0Iz + 2 / F0II ) I II z Б.Д. Цыдыпов. Нелинейная термическая задача для системы сопряженных элементов. Метод решения Расчет по координате r После несложных преобразований уравнение (8) приводится к виду:

F0 r (1 1 / 2k ) ykj1 2( F0 r + M 2 ) ykj +1 + F0 r (1 + 1 / 2k ) ykj+1 = +1 + = G0 M 2 jc 2 ( ykj ) 1 ( ykj ) + 2 M 2 ykj или Ak ykj1 Ck ykj +1 + Bk ykj+1 = Fk j, +1 + Ak = F0 r (1 1 / 2k ), Ck = 2( F0 r + M 2 ), Bk = F0 r (1 + 1 / 2k ), (16) 2 1 j j j j jc ( y ) ( y ) + 2M y.

Fk = G0 M k k k Аналогично ранее записанному соотношению по решение уравнения (16) ищем в форме z ykj +1 = k +1 ykj+1 + k +1, где + k +1 = (1 + 1 / 2k ) / ( 2 + 2 F0r1M 2 (1 1 / 2k ) k ), k +1 = ( F0 r (1 1 / 2k ) k + G0 jc 2 M 2 + 2M 2 ykj +1 ) / ( 2 F0 r + 2 M 2 (1 1 / 2k ) F0 r k ).

Область OABG 1. На оси симметрии (k = 0) радиальный тепловой поток равен нулю. Следовательно, в уравнении 1 T (2) слагаемое при r0 представляет собой неопределенность типа 0/0. Раскрытие ее по правилу r r Лопиталя 1 T 2T = lim r 0 r r r дает следующее разностное выражение:

y0j +1 y0j = R2 h2 2 F0Ir ( yj1 1 2 y0j +1 + y1j +1 ) + G0 jc 2 ( y0j ) 1 ( y0j ).

+ Полагая y–1 = y1, имеем:

y0j +1 = (1 M 2 / 2 F0 r ) 1 y1j +1 = ( y0j + G0I jc 2 ( y0j ) / 2 ( y0j )) / (1 + 2 F0 r M 2 ).

Сравнивая с y0j +1 = 1 y1j +1 + 1, находим прогоночные коэффициенты на оси симметрии:

1 = (1 M 2 / 2 F0 r ) 1, 1 = ( y0j + G0I jc 2 ( y0j ) / 2 ( y0j )) / (1 + 2 F0 r M 2 ).

2. Определение граничной температуры yM+1 на цилиндрической поверхности АВ сводится к j решению следующей системы уравнений:

( yM +1 yM+11 ) / (2h2 / R2 ) = 11 R2 yM+1 111 R2T03 ( yM )3 yM+ * j j j j 1 1 1 1 AM1 yM+111 CM1 yM+11 + BM1 yM1 +1 = FMj1.

I I I * j j После преобразований окончательно получим:

F0Ir M1 + G0 jc 2 ( yM1 ) / (2 M 2 1 ( yM1 )) + M 2 yM I I j j j j + y M1 = I.

F0 r + M 2 F0Ir M1 + (0,511 F0Ir )( h1 + 1 h2T03 ( y0j )3 ) j Расчеты по областям СDLG и DEKL проводятся аналогично расчетам по области OAFK, показанным при прогонке по координате z.

Рассмотренный выше метод применяется также для решения уравнения (3) с соответствующими граничными условиями [1]. Для этого в алгоритме значения 1,2, g, jc и Т0 необходимо приравнять к нулю, а (Т) и Т(r,z) заменить соответственно на (Т) и U(r,z). Таким образом, задача о тепловом состоянии катодного узла решается в следующем порядке. Сначала из уравнения неразрывности тока находится поле электрического потенциала U(r,z) и определяется распределение плотности тока по формулам:

jk = ( jr2 + jz2 )1/2, jr = k (T )U k / r, jz = k (T )U k / z.

Затем, используя полученное распределение тока в объеме электрода, решается уравнение теплопроводности и вычисляется поле температур T1,2(r, z).

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011/ Заключение Составленный численный алгоритм позволяет рассчитать стационарные температурные поля T1,2(r, z) во всей электродной системе «вставка – обойма» цилиндрической симметрии. В постановке корректно учтены такие факторы, как двумерность задачи, нелинейность граничных условий, зависимость тепло- и электрофизических свойств материалов сопряженных элементов от температуры, неравномерность распределения тока в объеме конструкции. Особенностью алгоритма является определение стационарного температурного поля решением нестационарного уравнения теплопроводности методом установления. Эволюционный характер задачи позволяет при решении уравнения (2) по экономичной локально-одномерной схеме прогонки произведение ckk принять постоянным, хотя оно в общем виде является функцией температуры, координат и т.д. При изучении сугубо нестационарных и переходных режимов системы такое упрощение исключается. В последующей работе будут представлены результаты математического моделирования по разработанному алгоритму.

Литература 1. Цыдыпов Б.Д., Баргуев С.Г. Постановка нелинейной термической задачи для сопряженных элементов // Вестник БГУ. 2010. – Вып. 9. – С. 189–193.

2. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. – 656 с.

3. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. – 736 с.

Цыдыпов Балдан Дашиевич, кандидат технических наук, старший научный сотрудник Отдела физических проблем Бурятского научного центра СО РАН.

Tsydypov Baldan Dashievich, candidate of technical science, senior researcher of Physics Problems department of Buryat Scientific Centre SB RAS.

2011/ ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА УДК Ч. Зоригт, О. Цэрэнбат, Б. Чимэд-Очир, Б. Очирбат ОБЛАСТЬ СИНГУЛЯРНОСТИ ДВУХ МЕР, СООТВЕТСТВУЮЩИХ ОДНОМУ ПРОСТЕЙШЕМУ ПРОЦЕССУ В настоящей работе устанавливается сингулярность двух мер, соответствующих гауссовскому марковскому стационарному процессу с дискретным временем и строятся две последовательности областей, которые сходятся к области сингулярности мер почти наверное.

Ключевые слова: сингулярность, гауссовский марковский процесс.

Сh. Zorigt, O. Tserenbat, B. Chimed-Ochir, B. Ochirbat THE FIELD OF SINGULARITY OF TWO MEASURES CORRESPONDING TO ONE SIMPLEST PROCESS In the work the singularity of two measures, corresponding to Gauss – Markov stationary process with discrete time is revealed and two successions of fields are built, which meet to the field of singularity of measures almost probably.

Key words: singularity, Gauss – Markov prtocesses Порядок роста энтропийного расстояния.

Как известно, гауссовская марковская стационарная последовательность полностью определяется средним значением, дисперсией и коэффициентом корреляции между соседними членами.

Рассмотрим реализацию последовательности. Тогда ее совместная плотность вероятности пишется в виде:

1 f n ( x, ) = cn exp ( x m)' ( x m), 2 n n cn = (2 ) 2 n (1 2 ), где = [ 2 (1 2 )]1 Q ;

Q = (qij ), 1, i = j = 1, n 1 +, i = j = 2,…, n qij =, | i j |=, 0 | i j |, x = ( x1, x2,…, xn );

m = (m,…, m);

= (m, 2, ) R 3, = { m ;

1 1;

2 0}.

Пусть меры, соответствующие значениям 0 = ( m0, 0, 0 );

1 = ( m1, 12, 1 ) При конечной для логарифма относительной плотности имеем:

n 1 1 f ( x,1 ) = n log 0 + log Pn = log n + log 1 1 2 0 (1 02 ) 2 f n ( x,0 ) 1 n 1 n ( x1 m0 ) 2 + (1 + 02 )( xi m0 ) 2 2 ( xi m0 )( xi +1 m0 ) + ( xn m0 ) i =2 i = 2 (1 12 ) Ч. Зоригт, О. Цэрэнбат, Б. Чимэд-Очир, Б. Очирбат. Область сингулярности двух мер,соответствующих одному простейшему процессу n 1 n ( x1 m1 ) 2 + (1 + 12 )( xi m1 ) 2 2 ( xi m1 )( xi +1 m1 ) + ( xn m1 ) i =2 i = 1 1 0 1 0 (1 1 20 1 ) 2 2 2 Легко подсчитать, что M 0 log Pn = log 0 + log + n 1 2 1 12 2 12 (1 12 ) (1 1 )(m1 m0 ) 2 1 12 0 1 (0 1 ) 1 (m1 m0 ) n + log 12 (1 + 1 ) 1 02 12 (1 12 ) 1 (1 + 1 ) 1 2 1 1 02 1 12 (1 + 02 20 1 ) M 1 log Pn = log 0 + log + n+ 12 2 1 12 2 2 0 (1 02 ) (1 0 )(m1 m0 ) 2 1 02 12 0 (1 0 ) 0 (m1 m0 ) + n + log + 1 12 02 (1 02 ) 0 (1 + 0 ) 0 (1 + 0 ) Di (log Pn ) = O (n), (1) M i (log Pn ) Di (log Pn ) обозначает соответственно математическое ожидание и дисперсию где относительно меры Pi, i = 0,1.

PP Энтропийное расстояние между мерами 0 1 будет rn = [ M 0 log Pn M 1 log Pn ] = M 1 log Pn M 0 log Pn Ю.А.Розанов для любого гауссовского процесса показал, что [1] M 0 [ log Pn ] = M 1[log Pn ] = D0 [log Pn ] = D1[log Pn ] = rn, (2) Для нашего случая, как видно из формулы (1) M 0 [ log Pn ] = O (n) M 1[log Pn ] = O (n) Di [log Pn ] = O( n) Следовательно, в силу (2) rn = O (n). (3) Основная теорема.

Теорема 1. Меры P0 P, соответствующие значениям параметров 0 1 гауссовской Марковской стационарной последовательности всегда сингулярны и для последовательность областей Bn = {log Pn M 0 log Pn rn } при n P ( Bn ) 1..

Доказательство. Из равенства (3) видно, что при n энтропийное растояние между мерами P0 P стремится к бесконечности. Следовательно, меры P0 P сингулярны [2].

1 Согласно формуле (3) и неравенству Чебышева имеем D [log Pn ] P0 ( Bn ) 0 = 12 rn rn следовательно, limP0 ( Bn ) = n С другой стороны 2011/ ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Bn = U \ { log Pn + M 1 log Pn rn }, где U – пространство реализаций. Тогда D log Pn P ( Bn ) = 1 P (U \ Bn ) 1 1 =1, 1 12 rn rn т.е.

limP ( Bn ) = n Теорема доказана.

Область сингулярности, основанная на оценке наибольшего правдоподобия.

– оценка наибольшего правдоподобия параметра. Тогда отношение правдоподобия, Пусть n основанное на, будет n f n ( x,0 ) n =.

f ( x, ) n n Легко показать, что для рассматриваемого процесса вектор (n 0 ) n асимптотически распределен по нормальному закону с нулевым средним и ковариационной матрицей:

2 (1 + ) 0 1 2 2 R ( ) = 2 (1 + ) 2 1 Лемма 1. Статистика 2 log n асимптотически распределена по закону C (3), т.е.:

1 u limP(2 log n | 0 ) = u 2 exp( )du.

n Доказательство. Полагая 1 = m, 2 = 2, 3 = рассматривая разложение фунцкии log f n ( x, ) по формуле Тейлора вблизи n точке 0 находим 1 3 2 log f n ( x, * ) (ni 0i ) n (n j 0 j ) n, (4) 2 log n = n i, j =1 i j где * -величина 0 * 0 n.

2 log f n ( x, ) Поскольку i j непрерывна по, то согласно теоремам (4.3.5), (4.3.7) [3] при n 2 log f n ( x, * ) i j сходится по вероятности к Ч. Зоригт, О. Цэрэнбат, Б. Чимэд-Очир, Б. Очирбат. Область сингулярности двух мер,соответствующих одному простейшему процессу 2 log f n ( x,0 ).

i j Следовательно, для достаточно большего n равенства (4) примет вид 1 3 2 log f n ( x,0 ) 2 log n = (n 0 ) n (n 0 ) n, (5) i j n i, j =1 i i j j Нетрудно показать, что матрица с элементам 1 2 log f n ( x,0 ), (i, j = 1,2,3) i j n сходится по вероятности к R 1 ( ). Следовательно, величина 2 log n имеет в пределе 2 распределение с тремя степенями свободы. [3].

Теорема 2. Для последовательности областей Vn = {2 log n 2 }, 2, limP (Vn ) = 1.

n Доказательство.

Если введем обозначение f n ( x,1 ) U n = 2 log, f ( x, ) n n где 1 0, то согласно предыдущей лемме величина U n положительна для достаточно больших n.

Величину Vn можно представить в виде Vn = {U n + 2log n 2M 0 log n 2 2M 0 log n }.

В силу основной теоремы limP (Vn ) = n Теорема доказана.

Литература 1. Розанов Ю.А. Бесконечномерные гауссовские распределения // Труды математического института им. В.А.

Стеклова. – 1968. – Т. 168.

2. Гаек Я. Об одном свойстве нормальных распределений произвольного стохастического процесса // Чех.

мат. журнал. – Т.8/83. – Вып. 4. 1958.

3. Уилкс С., Математическая статистика. – М.: Наука, 1967.

Зоригт Чойнхор, магистр мат. наук. Монголия, Улан-Батор, Монгольский государственный.университет образования.

Цэрэнбат Ойров, д-р физ-мат. наук. проф. Монголия, Улан-Батор, Национальный университет Монголии Чимэд-Очир Балжинням, д-р физ-мат. наук. проф. Монголия, Улан-Батор, Монгольский государственный.университет образования.

Очирбат Баатар, д-р мат. наук. проф. Монголия, Улан-Батор, Национальный университет Монголии Zorigt Choinchor, master of mathematical science, Mongolia, Ulaanbaatar, Mongolian State University of Education Tserenbat Oirov, doctor of physicsl and mathematical sciences, professor. Mogolia, Uiaanbaatar, National University of Mogolia Chimed-Ochir Balzhinnyam, doctor of physical and mathematical sciences, professor. Mongolia, Ulaanbaatar, Mongolian State University of Education Ochirbat Baatar, doctor of mathematical science, professor. Mongolia, Ulaanbaatar, National University of Mongolia

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.