авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Н.Е. ЖУКОВСКОГО “ХАРЬКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ” ВОПРОСЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ И ПРОИЗВОДСТВА ...»

-- [ Страница 3 ] --

Анализ даёт утвердительный ответ в случае, когда ТСНК образо вана плоскими прямоугольными панелями, стыкующимися непосредст венно или через сосредоточенные подкрепления, и когда для неё и КЭДМ используют расчётные схемы наивысшего уровня. Панели ТСНК при этом имеют полностью моментные густореберные ДРС [8], а сосре доточенные подкрепления воспринимают все виды деформаций. Часто расположенные рёбра панелей воспринимают растяжение-сжатие, изгиб в перпендикулярном к обшивке направлении и кручение. У КЭДМ с наи высшим уровнем расчётной схемы рёбра воспринимают все виды де формаций.

Результаты анализа даны в виде семи утверждений.

У т в е р ж д е н и е 1. Если для подструктуры КЭДМ все 6 уравне ний равновесия не являются тождествами, то для подструктур ТСНК можно построить множество наборов координатных функций, удов летворяющих трём приведенным выше условиям.

В этом множестве следует отобрать наиболее простые, плавные, «логичные» координатные СГУП.

У т в е р ж д е н и е 2. Плоская прямоугольная панель с изгибно-кру тильно-моментной густореберной ДРС может воспринять любую комбинацию внешних уравновешенных нагрузок.

У т в е р ж д е н и е 3. Разность N 6 m, где N - количество неиз g вестных коэффициентов Г i, l ;

m - количество подструктур, совпа дает со степенью статической неопределимости геометрически эк вивалентной модели КЭДМ, если расчётная схема ТСНК обеспечива ет нетождественность всех шести уравнений равновесия каждой подструктуры.

У т в е р ж д е н и е 4. Если модель КЭДМ является полностью мо ментной, то все координатные СГУП h i, t могут быть построены g самоуравновешенными.

Если координатные функции h t обладают свойством самоуравно вешенности, то в уравнениях (5) матрицы B i = 0, вследствие чего урав нения равновесия подструктур ТСНК и КЭДМ совпадают.

У т в е р ж д е н и е 5. Если все СГУП h t являются самоуравнове шенными, а все СГУП H l построены в соответствии со сформулиро ванными выше условиями, то уравнения равновесия всех подструктур ТСНК совпадают с таковыми для подструктур геометрически экви валентной модели КЭДМ.

g g Совокупности коэффициентов Г i, l, i, t подразделяются на мно жества Г в, ов, соответствующие внутренним ГОП, и множества Г н, он, соответствующие наружным ГОП. Компоненты множеств Г н, он описы вают граничные усилия ТСНК и должны быть заданы. Сформулирована вариационная задача расчёта ТСНК, в которой неизвестными являются Гв, ов и которая имеет некоторое сходство с задачей расчёта КЭДМ:

2U = l, k Г l Г k + l, r Г l r + r, t r t min ;

lk lr rt B Г i Г i + B i оi + R 0 = 0, i = 1,..., m ;

(6) i Г = ( Гв, Гн ), о = ( ов, о н ), ( Гн, о н ) ИД.

Если СГУП h t построены самоуравновешенными, то B i = 0 и связи в задаче (6) совпадают с уравнениями равновесия подструктур модели КЭДМ.

У т в е р ж д е н и е 6. Для несущей конструкции с расчётной схе мой, обеспечивающей восприятие подструктурами любой уравнове шенной нагрузки, переменные Г в, ов в задаче (6) являются независи мыми.

У т в е р ж д е н и е 7. Если для ТСНК и КЭДМ используются расчёт ные схемы наивысшего уровня (см. ранее), то при надлежащей жест костной идентификации элементов модели КЭДМ её внутренние уси лия Г м i являются оценками обобщённых координат Г i в разложениях (2) для граничных усилий подструктур ТСНК.

А как быть, если применяются более низкие уровни расчётных схем для ТСНК и КЭДМ? Были изучены три подобные расчётные схемы для густореберных панелей:

- плоская прямоугольная панель, имеющая упрощённо моментную ДРС. Эта расчётная схема отличается от модели наивысшего уровня тем, что рёбра панели воспринимают изгиб в направлении, перпендику лярном обшивке, но абсолютно податливы на кручение;

- плоская прямоугольная панель с полубезмоментной ДРС. У пане ли продольные рёбра безмоментны, а поперечные рёбра не восприни мают кручение и изгиб в направлении, параллельном обшивке;

- плоская прямоугольная панель с безмоментной ДРС. Здесь про дольные и поперечные рёбра воспринимают только растяжение-сжатие.

Для всех трёх названных типов расчётных схем густореберных па нелей оказалось, что они не могут воспринять любую уравновешенную нагрузку - компоненты этой нагрузки должны удовлетворять некоторым наложенным на них связям, зависящим от типа ДРС. Конкретизация свя зей осуществляется с помощью статического анализа [9].

В известной автору литературе расчёты полностью моментной КЭДМ не описаны. Используют более простые расчётные схемы, без моментные или полубезмоментные. Проанализировано два типа упро щённых моделей КЭДМ: а) упрощённо моментные, рёбра которых не ра ботают на кручение и на изгиб в направлениях, параллельных сдвиго вым клеткам;

б) полубезмоментные КЭДМ фюзеляжного типа, продоль ные рёбра которых безмоментны, а поперечные рёбра воспринимают изгиб лишь в своих плоскостях.

При упрощённой расчётной схеме первого типа из векторов Г i «выводятся» 12 обобщённых координат, а векторы о i пополняются компонентами. Для полубезмоментной КЭДМ количество таких обоб щённых координат равно 16. Соответствующие дополнительные СГУП h ig, t не являются самоуравновешенными (остальные СГУП h g, t можно i брать прежними). Уравнения равновесия прямоугольной плоской панели приводятся к виду, содержащему как Г i, так и о i (см. (5)).

Однако СГУП H i, l, интенсивности которых продолжают входить в g состав Г i, сохраняют свой вид, а сами интенсивности имеют прежний механический смысл.

Непосредственно распространить утверждение 7 на более низкие уровни расчётных схем ТСНК и КЭДМ затруднительно. Однако нужно иметь в виду, что важнейшие принципы механики твёрдого деформи руемого тела строго доказаны в теории упругости [2] для общего случая сплошного упругого тела. А применяются эти принципы для всех расчёт ных схем, включая самые упрощённые.

Сформулирована гипотеза «инвариантности (к типу расчётных схем ТСНК и КЭДМ) алгоритма перехода от результатов расчёта КЭДМ к граничным усилиям подструктур ТСНК». Пусть для полностью моментных ТСНК и КЭДМ показано, что при принятом способе иденти фикации и выбранных координатных функциях H i, l расчёт КЭДМ при g водит к приемлемому уровню погрешностей в значениях компонент век торов Г i. Пусть понижение уровней расчётных схем у КЭДМ и ТСНК связано со свойствами конструкции: расчёты по моделям разных уров ней дают близкие результаты. Тогда выводы о приемлемой точности значений Г i справедливы и при упрощённости названных расчётных схем. Функции H i, l, выбранные при наивысших уровнях этих моделей, g сохраняют свою рациональность.

В пользу гипотезы говорят сравнения с экспериментами результа тов расчётов по упрощённым расчётным схемам, приведенные в [3, 4].

Изложенная интерпретация моделей КЭДМ органически сочетает ся со следующими действиями: а) ТСНК и её КЭДМ расчленяются на со ответствующие друг другу крупные элементы (подструктуры);

б) через внутренние части панелей проводятся эффективные рёбра КЭДМ, «со бирающие» материал панелей ТСНК, который воспринимает виды де формаций, обусловленные расчётной схемой;

в) сопоставляются гра ничные усилия на соответствующих друг другу ГОП.

Создаются предпосылки для последовательных приближений по схеме, представленной на рис. 2.

Исходные размеры Формирование вспо сечений элементов могательной модели подструктур ТСНК КЭДМ Оценка граничных усилий Расчёт КЭДМ подструктур ТСНК соглас по методу сил но допущению Г i Г м i нет Оптимальный выбор приближения сечений элементов сошлись?

подструктур ТСНК Стоп Рисунок 2 - Принципиальная схема итераций Выводы Предложенная интерпретация сдвигово-клеточно-стержневой дис кретной модели органически сочетается с итерационным процессом оп тимизации тонкостенных несущих конструкций.

Список использованных источников 1. Рябченко В. М. Некоторые вопросы обоснования и использова ния крупноэлементных дискретных расчётных схем сложных безмо ментных оболочек / В.М. Рябченко // Самолётостроение. Техника воз душного флота: респ. межвед. темат. науч.-техн. сб. - Вып. 28. – Х.: ХГУ, 1972. - С. 66 - 73.

2. Ван Цзи-де. Прикладная теория упругости: пер. с англ. / Ван Цзи де. - М.: Физматгиз, 1959. - 400 с.

3. Аргирис Дж. Современные достижения в методах расчёта конст рукций с применением матриц / Дж. Аргирис // Пер. с англ. под ред.

А.Ф. Смирнова. - М.: Изд-во лит. по строит., 1968. - 241 с.

4. Гурьев Н. И. Матричные методы расчёта на прочность крыльев малого удлинения / Н.И. Гурьев, В. Л. Поздышев, З.М. Старокадомская. – М.: Машиностроение, 1972. - 260 с.

5. Рябченко В.М. Обоснование потребности в крупноэлементных сдвигово-клеточно-стержневых дискретных моделях тонкостенных кон струкций / В.М. Рябченко // Открытые информационные и компьютерные интегрированные технологии: сб. науч. тр. Гос. аэрокосм. ун-та им. Н.Е. Жуковского «ХАИ». - Вып. 4. – Х.: ГАКУ, 1999. - С. 143 - 149.

6. Рябченко В.М. Вариант интерпретации сдвигово-клеточно-стер жневых дискретных моделей тонкостенных конструкций / В.М. Рябченко // Прочность конструкций летательных аппаратов. - Х.: ХАИ, 1990. - С.

121 - 127.

7. Аргирис Дж. Расчёт фюзеляжей произвольного поперечного се чения и произвольного закона изменения сечений вдоль оси / Дж. Арги рис, С. Келси // Современные методы расчёта сложных статически не определимых систем: сб. статей;

пер. с англ. под ред. А.П. Филина. - Л.:

Судпромгиз, 1961. - С. 421 - 653.

8. Рябченко В. М. О достоверности густореберных дискретных мо делей тонкостенных несущих конструкций / В. М. Рябченко // Вопросы упругого и пластического деформирования твёрдого тела. – Х.: ХАИ, 1988. - С. 60 - 68.

9. Строительная механика летательных аппаратов: учеб. для вузов / И.Ф. Образцов, Л. А. Булычев, В.В. Васильев и др.;

Мин-во высш. и средн. спец. образования СССР;

под ред. И.Ф. Образцова. - М.: Маши ностроение, 1985. - 536 с.

Поступила в редакцию 04.11.10.

Рецензент: д-р техн. наук, проф. А.Г. Гребеников, Национальный аэрокосмический университет им. Н.Е. Жуковского «ХАИ», г. Харьков УДК 539. А.Г. Николаев, проф., д-р физ.-мат. наук, Ю.А. Щербакова МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ И ПРИЛОЖЕНИЯ ОБОБЩЕННОГО МЕТОДА ФУРЬЕ ДЛЯ ТРАНСВЕРСАЛЬНО ИЗОТРОПНОГО ПАРАБОЛОИДА СО СФЕРОИДАЛЬНОЙ ПОЛОСТЬЮ Обзор литературы. Аналитико-численные методы анализа НДС в многосвязных телах с усложненными физико-механическими свойства ми играют важную роль при моделировании локальных концентраторов напряжений в пористых и композиционных материалах, в расчетах на прочность при проектировании конструкций и агрегатов в общем маши ностроении, авиа- и ракетостроении, строительной механике и механике горных пород. Исследования последних лет в основном касались изуче ния односвязных тел [1 - 6]. В работах [7 - 10] обобщенный метод Фурье (ОМФ) был развит для целого ряда многосвязных трансверсально изотропных канонических тел, и была обоснована его эффективность. В настоящей статье дальнейшее развитие ОМФ продолжено на области с новой геометрией. Для этого получены новые теоремы сложения базис ных решений уравнений равновесия в перемещениях трансверсально изотропной среды для параболоида и сфероида. Заметим, что впервые точные решения основных краевых задач теории упругости для транс версально-изотропного параболоида получил Ю.Н. Подильчук [11]. В на стоящей работе использованы принципиально другие решения, постро енные в [10]. Для них и для сфероидальных решений [7] авторами дока заны условия базисности. Проверка эффективности метода проведена при численном анализе НДС в задаче для параболоида со сфероидаль ной полостью.

Постановка задачи. Рассмотрим параболоид вращения из транс версально-изотропного материала с упругими постоянными Сij., ось ко торого совпадает с осью анизотропии материала. На оси параболоида соосно с ним расположена сфероидальная полость с полуосями g1 и g2, центр которой находится на расстоянии с2 от его вершины. В цилиндри ческой системе координат (, z, ) уравнения поверхностей параболои 1 : z = c1 2 c 2 и да и сфероида имеют соответственно вид 2 : z 2 g1 + 2 g 2 = 1. Будем предполагать, что поверхность гипер 2 болоида неподвижна, а на границе сфероида действует постоянная нормальная нагрузка.

( ), z j, и Введем две пары цилиндрических координат (, z ( ), ), связанных с исходной цилиндрической системой (, z, ) j формулами ( ) z = j z j = j z j (1) + j, = j ( j = j (4c1 ) c 2 j ), ( ) ~ а также сжатые сфероидальные j, ~ j, и параболоидальные ( j, j, ) ( j = 1,2) координаты,:

( ) ~~~ z = j c j sh ~ j cos ~ j j c j q j p j, z j (1) = a j j 2 j 2, ~ ~ ~ ~ ~~ = c j ch j sin ~ j c j q j p j ;

j = a j j j, ~, a 0 – параметры сфероидальной и параболоидальной сис где c j j j2 –разные положительные корни уравнения тем координат;

C 44C11 2 + ( C13 + 2C13C 44 C11C33 ) + C33C 44 = 0.

Граничные поверхности в этих координатах задаются уравнениями ~~ 1 : j = j 0, 2 : j = j 0. При этом 1 = 2 =, ~1 = ~ 2 = ~.

Метод решения. Задача решается ОМФ. Запишем базисные ре шения уравнений равновесия в перемещениях для трансверсально изотропного параболоида вращения [10] U±,(n,) ( j, j, ) = a j D j u ±,(9,0 ( j, j, ), ) (1) j j и для сжатого сфероида ~ ic j [ )] ( ) ( ) ( ~~ ~ ~ U±,(n,) D j u n 6 )0 j, ~ j, u n +6 )0 j, ~ j,, (2) ±( ±( j, j, = j0 1, 1, 2n + kj D j = ex + ey + ez, где x y j z j K m ( j ) (9) u ±,,m ( j, j, ) = J m ( j ) e im, Im ( j ) j ~ ( )P (m)(p ) eim, Qn m) iq j ( ~~ ( ) un,(m) ~ ± j, j, = ( m) ~ n ( ) Pn iq j K m (x ) – функция Макдонольда;

I m (x ) – модифицированная функция Бесселя I рода;

Pnm ) (x ) и Q (n ) (x ) – функции Лежандра I и II рода соот ( m ветственно;

e x, e y, ez – орты декартовой системы координат.

Решение будем искать в виде линейной комбинации (1) и (2):

( j ) + (6 ) ~ ~ ( ) U = bn U j,n,0 j, j, + A j ( )U,(n,)0 ( j, j, )d. (3) j j =1n = 0 В координатной форме базисные решения для сфероида и пара болоида соответственно можно записать в виде U±,(,) ( j, j, ) = ±u ±,(s,1 e k j j u ±,(,0 e z (s = 5,6,9 ).(4) ) s) s j j0 j Переходя в (4) к напряжениям, при s = 6 получим ~ 1 q j ± (6 ) ± (6 ) FU j,n,m = ~ µ j ~ u j,n,1 + j ~ u j,n,1 e + µ j j ~ u ±,(n,0 e z. (5) ± (6 ) 6) cH j j j qj j Авторами получены теоремы сложения для трансверсально изотропных параболоида вращения и сжатого сфероида.

Теорема 1. Справедливы такие теоремы сложения, выражающие базисные перемещения для параболоида через базисные перемещения для стероида:

( j, j, ) = gm,)k, j U,(k6,)m (~ j, j, ), U,(9,) (96 ~ (6) j m j k = 2n g m,)k, j = ( 1)k (k + 0.5 ) (96 () Cnj,k, где (2a j )n n!

n =k Cnj,k = ( ic j / 2)Cn k 0.5 ( i j / c j ) (n + 1.5 ), () ~ ~ n Cn (x ) – многочлены Гегенбауэра.

Теорема 2. Справедливы такие теоремы сложения, выражающие базисные перемещения для сфероида через базисные перемещения для параболоида:

( ) ~~ j, j, = g n69 ) j,U +,(,)m ( j, j, ), U +,(n,)m ( 6 d (7),m j j 2k + (69 ) j, = ( 1)n + m +1 2ic () ~ Ck j,n.

g n,m где j (2a j )k +1k !

k =n С помощью (7) перейдем в (3) к параболоидальным координатам ( j ) g (69 ) j,U+ (9 ) (,, )d.

U = A j ( )U j,n,0 ( j, j, )d + bn n,m (9 ) j j j,,m j =1 0 n =0 Граничные условия в рассматриваемой задаче имеют вид U = 0, F = 0n. (8) 1 С учетом (8) на границе параболоида имеем mj A j ( )I2 m ( j 0 ) + bn g n,0 K 2 m ( j 0 ) = 0 (m = 1,2).

( j ) (69 ) j, j =1 n = (j) Выражая A j ( ) через bn, получаем Am ( ) = m ( ) 0 ( ), (9) где 0 ( ) = 11 ( ) 22 ( ) 12 ( ) 21 ( ), mj ( ) = mj I 0 ( j 0 ), m ( ) = ( 1)m +1[1( ) 2,3 m ( ) 2 ( )1,3 m ( )],, 1, s = 1, bnj )g n69 ) j, K 0 ( j 0 ).

(( m + m ( ) = ( 1) sm =,m k m m, s = 2;

j =1n = С помощью (4), (6) получим перемещения (3) в сфероидальных ко ординатах 2 ( ) ( ) 6~ 6~ U = g 096 )n, j A j ( )d U,(n,) j, ~ j, + bnj )U+,(n,) j, ~ j,.

( (, j0 j j =1n = 0 0 Используя (5), переходим к напряжениям. С учетом (8) на сферои де имеем [ ] ( ) (m ) (m ) bnj sq nj + nj spnj = d nm, (10) j = nj = A j ( )g 096 )n, j d, d nm = ( 1) m +1g m 0 n1, ( где, ~ (1) = µ Q (1) iq + q j Q (1) iq, () () ~ ~ () ~ sq nj ) = µ j j ~ Qn iq j, ( sq nj j~ j~ n j n j qj j j ~ (1) = µ P (1) iq + q j P (1) iq, (2 ) () () ~ ~ () ~ spnj j spnj = µ j j ~ Pn iq j.

j~ j~ n j n qj j j При непересечении граничных поверхностей оператор системы (9), (10) является фредгольмовым. Несобственные интегралы вычислены с помощью квадратурных формул Лягерра с количеством узлов, равным 10. Систему уравнений (9),(10) решаем методом редукции. Напряжения в плоскости z = 0 между граничными поверхностями можно вычислить по формуле [ ( )] () ((~ (~ z = ~ ~ µ j j bnj )Qn1) iq j + nj Pn1) iq j Pn (0 ).

c j q j j =1 n = Результаты численных исследований. Проведен численный анализ напряжений при различных соотношениях геометрических пара метров. На рисунках 1, 2 показаны графики напряжений z в экватори альной плоскости полости между граничными поверхностями при при ближении границы внутренней полости к границе параболоида, когда форма сфероидальной полости и параболоида не меняется.

Рисунок 1 – Напряжения z для случая g 2 g1 = 0.2, c c 2 = 0. Рисунок 2 – Напряжения z для случая g 2 g1 = 0.2, c c 2 = 0. Значения напряжений = z C440 приведены в зависимости ( ) от координаты x = ( g 2 ) c g 2 при различных значениях параметра = c g 2. Анализируя приведенные графики нужно отметить, что сближение граничных поверхностей приводит к росту абсолютной вели чины напряжений на обеих граничных поверхностях. Растягивающие на пряжения концентрируются в окрестности нагруженной полости. В окре стности внешней границы наблюдаются сжимающие напряжения, при чем для параболоида с большей кривизной их абсолютная величина меньше.

Список использованных источников 1. Magnier V. Asymptotic approach to analyze singular stress state in ani sotropic multi-material: Application to the rivets / V. Magnier, G. de Saxc, S. Degallaix // Int. Journal of Solids and Structures. – 2010. – V.

47, Issue 16. – P. 2070- 2. Toshiaki H. Thermal stress-focusing effect in a transversely isotropic spherical inclusion embedded in an isotropic infinite elastic medium / H.

Toshiaki // Journal Of Thermal Stresses. - 2002. – V. 25. – №7. – P. 691 - 702.

3. Zhong Z. Analysis of a transversely isotropic rod containing a single cy lindrical inclusion with axisymmetric eigenstrains / Z. Zhong // Int. Jour nal of Solids and Structures. – 2002. - V. 39, Issue 23, P. 5753 - 5765.

4. Wang X. Thermal stress-focusing in a transversely isotropic sphere and an isotropic sphere / X. Wang, C. Wang, G. Lu, B. M. Zhou,// Journal Of Thermal Stresses. – 2002. – V. 25. – №1. – P. 31 – 44.

5. Подильчук Ю.Н. Точные аналитические решения пространствен ных граничных задач статики трансверсально-изотропного тела ка нонической формы (обзор) / Ю.Н Подильчук // Прикл. механика. – 1997. – Т. 33. – №10. – С.3 - 30.

6. Подильчук Ю. Н. Точные аналитические решения трехмерных ста тических задач термоупругости трансверсально изотропного тела в криволинейной системе координат / Ю. Н. Подильчук // Прикладная механика. – 2001. – Т. 37. – № 6.

7. Теоремы сложения перемещений трансверсально изотропных ка нонических тел / А.Г. Николаев;

– ХАИ. – Х., 1996. – 52 с. – Деп. в ГНТБ Украины 10.07.96, №1568 – Ук 96.

8. Ніколаєв О.Г. Аналіз напружено-деформівного стану трансферса льно ізотоп-ного сфероїда зі сфероїдальною порожниною / О.Г. Ні колаєв, Ю.А. Щербакова // Вісник Львів. ун-ту. Сер. Прикладна ма тематика та інформатика. – 2007. Вип. 12. – С. 141 - 147.

9. Николаев А.Г. Напряженное состояние трансверсального изотроп ного пространства с двумя сфероидальными полостями / А.Г. Николаев, Ю.А. Щербакова // Вопросы проектирования и про изводства конструкций летательных аппаратов. Сб.науч. тр. Нац.

аерокосмич. ун-та им. Н.Е. Жуковского "ХАИ". – Вып. 4(51). Х.:

НАКУ, 2007. – С.49 - 54.

10. Николаев А.Г. Аппарат и приложения обобщенного метода Фурье для трансверсально-изотропных тел, ограниченных плоскостью и параболоидом вращения / А.Г. Николаев, Ю.А. Щербакова // Мат.

методи та фіз.-мех. поля. – 2009. –. № 4. – С. 160 - 169.

11. Подильчук Ю.Н. Упругая деформация трансверсально изотропно го параболоида вращения / Ю.Н. Подильчук // Прикладная механи ка. – 1989. – Т.25, №2. – С. 12 - 19.

Поступила в редакцию 15.12.2010.

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Проценко В.С.

Национальный аэрокосмический университет им. Н.Е. Жуковского, г. Харьков УДК 621.7.044 А. П. Мельничук, канд. техн. наук ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ТОНКОСТЕННЫХ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ОБОЛОЧЕК ПРИ ИМПУЛЬСНОМ НАГРУЖЕНИИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СИСТЕМ АНАЛИТИЧЕСКИХ ВЫЧИСЛЕНИЙ Введение Конструкции воздушных систем летательных аппаратов (ЛА), к ко торым относятся противообледенительная система и система конди ционирования воздуха, изготавливаются преимущественно из титановых сплавов или коррозионно-стойких сталей.

Трубопроводы этих систем являются тонкостенными ( 0,02D) и изготавливаются методом сборки-сварки из набора унифицированных (прямолинейных и криволинейных) элементов и приварной арматуры (наконечников, переходников, вставок и т.д.) [1].

Изготовление приварной арматуры возможно статическими спосо бами обработки давлением с применением эластичных наполнителей на универсальном прессовом оборудовании, а также импульсными мето дами обработки металлов давлением.

Один из способов изготовления элементов трубопровода – гидро динамическая штамповка. Формообразованием тонкостенных осесим метричных (трубчатых) заготовок энергией гидродинамического воздей ствия является процесс, при котором деформирование заготовок проис ходит под воздействием высокого давления гидродинамического нагру жения, образующегося в жидкости при ударе о ее поверхность движу щимся с большой скоростью снарядом (поршнем) [2].

При монтаже отдельных участков трубопроводов воздушных сис тем ЛА широкое распространение получило соединение сфера-конус, обеспечивающее герметичность стыка участков магистралей, компенса цию их угловых и линейных перемещений под воздействием перемен ных эксплуатационных нагрузок [1].

Постановка задачи Рассматривается задача определения напряженно-деформи рованного состояния (НДС) тонкостенных осесимметричных оболочек (заготовок) в процессе формообразования основного (генерального) контура элементов соединения сфера-конус на примере внешней обо лочки типового сферического наконечника АНУ.7400.001.011 (рис. 1), выполненного из титанового сплава ПТ-7М.

Одним из методов решения подобных задач динамического де формирования тонких оболочек является метод конечных разностей.

Преимущество этого метода по сравнению с наиболее совершен ным методом конечных элементов – более простая конечно-разностная аппроксимация аналитичес ких интегральных и диффе ренциальных уравнений классических теорий, что делает возможным их чис ленное решение с использо ванием современных систем аналитических вычислений.

Метод конечных разно стей целесообразно и ра ционально использовать при решении конкретных (ло кальных) задач, обладающих ограниченным количеством исходных данных и подкреп ленных конкретной теорией.

Полученный на основе этой математической модели Рисунок 1 – Эскиз сферического прикладной программный наконечника АНУ.7400.001. продукт может быть практи чески реализован там, где необходимо решение только этих частных за дач и нет необходимости использования универсальных компьютерных систем CAE (computer-aided engineering).

Данная статья посвящена разработке конечно-разностной матема тической модели динамического формообразования тонкостенных осе симетричных оболочек с использованием положений теорий тонких обо лочек и пластичности.

Численное определение параметров НДС рассматриваемых обо лочек выполнено на персональном компьютере с использованием сис темы аналитических вычислений MAPLE, позволяющей решать задачи механики в диалоговом режиме и обеспеченной собственным языком программирования.

Построение алгоритма и конечно-разностной математической модели процесса основывается на теоретических выкладках, пред ставленных в публикации [3], и опирается на результаты, полученные в работе [4].

Построение конечно-разностной математической модели и численное решение задач определения НДС оболочек Задача определения НДС сферических и конусных элементов со единения сфера-конус решается в предположении осесимметричности заготовки и детали, а также осесимметричности нагружения импульсом давления, т.е. оболочка характеризуется геометрической и силовой осе вой симметрией, что позволяет решать задачу в 2D постановке.

Граничные условия на торцах заготовки назначаются в соответст вии с возможными в практической реализации технологическими схема ми штамповки [1]: со свободными, защемленными или подпираемыми торцами.

Назначенные в математической модели граничные условия на торцах оболочки соответствуют схеме штамповки со свободными тор цами – Ns = 0, Ms = 0, Q 0 (Ns, Ms, Q – продольная сила и изгибающий момент в меридиональном направлении, перерезывающая сила соот ветственно).

Учитывая симметрию граничных условий на торцах, допустимо рассматривать только половину сечения заготовки, заменив отсекаемую часть соответствующими внутренними силовыми факторами.

Плоское сечение половины заготовки разбивают на сегменты, ко торые, в свою очередь, делят на слои, где:

Cs – количество элементов по образующей;

Ch – количество элементов по толщине.

Совместное решение уравнений осуществляется по временным слоям с учетом изменений в параметрах системы, накопленных на пре дыдущих шагах, и при сложившихся к данному шагу граничных условиях.

Численное интегрирование уравнений движения элементов оболочки выполняется конечно-разностным методом по явной схеме. Величины деформаций и напряжений в слоях заготовки получаются совместным решением уравнений теории пластичности и физического закона упроч нения материала (рис. 2, 3).

Исходные параметры заготовки из материала ПТ-7М:

длина заготовки lzag = 40 мм;

диаметр (по нейтральному слою) dzag = 49,2 мм;

толщина стенки hzag = 0,8 мм;

плотность материала = 4500 кг/м3;

предел прочности В = 580 МПа;

предел текучести Т = 460 МПа;

максимальное удлинение В = 0,20;

модуль упругости Ey = 1,12·1011 Па;

модуль упрочнения П = 0,6·109 Па;

радиус матрицы Rmatr = 29,6 мм.

Конечно-разностная модель тонкостенной осесимметричной обо лочки состоит из 34 элементов:

Cs = 16 – количество элементов вдоль образующей, отмеченных индексом i, где 0 i Cs, т.е. включая элемент при i = 0 – всего количе ство элементов вдоль образующей равно 17;

Ch = 2 – количество элементов по толщине (индекс j), где 1 j Ch.

Движение элемента оболочки по временным слоям (индекс k, 0 k kmax) происходит с шагом t. Текущее значение времени tk на слое k определяется как tk = t k, (1) где k – текущий временной слой;

t – продолжительность временного слоя.

Величина продолжительности временного слоя t задается из ус ловия обеспечения устойчивости вычислительного процесса.

Устойчивость вычислительного процесса при интегрировании сис темы уравнений движения элемента оболочки достигается выполнением критерия Куранта и вычисляется по формуле Ey t C= 1, (2) (1 2 ) S zag i – коэффициент Пуассона;

где Szagi – длина i-го элемента заготовки, определяемая выражением l S zag = zag. (3) 2Cs + i В работе [5] научнообоснована аппроксимирующая функция рас пределения давления в формующей камере в виде синусоидального за кона, доказана допустимость принятия условия однородности нагруже ния заготовки импульсом давления в осевом направлении. Поэтому функция зависимости нагружающего давления по времени представле на выражением t pi k = pmax sin k, (4) t max где pmax – максимальное давление;

tmax – продолжительность импульса давления;

tk – текущее значение времени на слое k;

pik – текущие значения давления.

Построение математической модели определения НДС тонкостен ных осесимметричных оболочек при оформлении их основного (гене рального) контура выполнено с учетом некоторых допущений [6]:

изменение толщины оболочки в процессе деформации мало по сравнению с ее прогибом в радиальном направлении;

меридиональные s и окружные напряжения считаются основ ными, а нормальные h и касательные rz – второстепенными, т.е. ими можно пренебречь;

отнесение напряжений rz к второстепенным означает принятие не существенной и деформацию сдвига rz (как линейно зависящую от rz), что равносильно допущению о неискривляемости прямых нормалей.

Таким образом, в тонкостенной оболочке реализуется плоское на пряженное состояние, причем при осесимметричной деформации глав ными будут оси, направленные вдоль образующей и в окружном на правлении.

Согласно работе [4] уравнения движения элемента оболочки в приращениях с учетом инерционных сил в моментной постановке в ци линдрической системе координат имеют вид d 2r (N s r cos ) (Q r sin ) N ;

rh = p r sin + (5) dt 2 S S d 2z (N s r sin ) (Q r cos ) ;

r h 2 = p r cos (6) S S dt (M s r ) M cos Q r = 0, (7) S где r, z – текущие эйлеровы координаты оболочки;

h – текущая толщина оболочки;

– угол между нормалью к поверхности элемента оболочки и по ложительным направлением оси z;

– плотность материала;

S – длина дуги вдоль меридиана;

p – нормальное давление, действующее на оболочку;

Q – перерезывающая сила;

Ns, N, Ms, M – продольные силы и изгибающие моменты (погон ные) в меридиональном (вдоль образующей) и широтном (окружном) на правлениях.

Конечно-разностная аппроксимация уравнений движения элемента оболочки (5) – (7) примет такой вид (рис. 2, 3):

[ )] () () ( rik hik Si rai = pik rik sin ik Si N si rik cos ik N si 1 ri 1k cos i 1k k k k k k [ )] () ( Qi k ri k sin i k Qi 1k ri 1k sin i 1k N i Si ;

(8) k k [ )] () () ( rik hik Si zai = pik rik cos ik Si + Nsi rik sin ik Nsi 1 ri 1k sin i 1k k k k k k [ )] () ( Qi k ri k cos i k Qi 1k ri 1k cos i 1k ;

(9) () M si ri k + M si 1 ri 1k + M i cos i k Si Qi k ri k Si = 0, (10) k k k k k rik – радиус i-го элемента оболочки;

где hik – толщина i-го элемента оболочки;

ik, i-1k – угол между нормалью к поверхности i-го и (i-1)-го элемен тов оболочки соответственно и положительным направлением оси z;

– плотность материала;

Sik – длина дуги i-го элемента оболочки вдоль меридиана;

pik – нормальное давление, действующее на i-й элемент оболочки;

Qik, Qi-1k – погонная перерезывающая сила, действующая на i-й и (i-1)-й элементы оболочки соответственно;

r ri S i i – r NS i- NS i- Q i- MS i- MS i-1 i- zi M i N i pi i N i MSi M i j Q i-1 Qi Szag i NS i i Qi M i N i j – p j i i + i j + MS i z hi z NS i Рисунок 2 – Элемент i тонкостенной Рисунок 3 – Конечно-разностная осесимметричной оболочки математическая модель Nsik, Nsi-1k, Nik, Msik, Msi-1k, Mik – погонные продольные силы и изги бающие моменты в меридиональном, (вдоль образующей, индекс s) и широтном, (окружном, индекс ) направлениях, действующие на i-й или (i-1)-й элементы оболочки;

raik, zaik – ускорения движения i-го элемента оболочки по осям r и z соответственно, которые определяются соотношениями 2ri k + ri k ri rai = k +1 ;

(11) k t 2zi k + zi k zi zai = k +1, (12) k t где k – индекс, соответствующий текущему временному слою;

k–1 – индекс, соответствующий предыдущему временному слою;

k+1 – индекс, соответствующий последующему временному слою;

t – продолжительность временного слоя.

Геометрические параметры оболочки в целом определяются угло вым положением каждого ее элемента. Координаты r и z центра i-го эле мента оболочки вычисляются из соотношений:

Si = S zag ;

(13) k i zi k zi 1k sin i k = ;

(14) Si k ri k ri 1k cos i k =, (15) Si k где rik, ri-1k – координата r центра i-го и (i-1)-го элементов оболочки соответственно;

zik, zi-1k – координата z центра i-го и (i-1)-го элементов оболочки соответственно.

Экспериментально установлено, что в процессах, соответствующих штамповке заготовок со свободными торцами, деформации оболочек вдоль образующей существенно меньше как окружных, так и толщинных деформаций, поэтому при построении математической модели допусти мо принятие деформации оболочки вдоль образующей, равной нулю (s = 0) [7].

Таким образом, с учетом условия пластичности и постоянства объ ема, величины деформаций будут выглядеть следующим образом:

s i + i + hi = 0, (16) k k k где sik, ik, hik – деформации i-го элемента оболочки вдоль образую щей, окружные и по толщине соответственно, определяемые такими величинами:

si = 0 ;

(17) k ri k i = ln ;

(18) rzag i k hi k hi = ln, (19) hzag i k rzagi, rik – начальное и текущее значения радиуса i-го элемента;

где hzagi, hik – начальное и текущее значения толщины i-го элемента.

Процесс оформления основного (генерального) контура сфериче ских и конусных наконечников характеризуется значительными величи нами проштамповки (пластические деформации до 20%), что при де формировании маложестких оболочек требует как можно более плавно го нагружающего воздействия на них. Это обеспечивается контактом оболочки с поверхностью матрицы с минимальной скоростью, что мини мизирует их ударное взаимодействие.

Требования к точности геометрии оболочки на этапе оформления основного контура невысоки, поскольку после формообразующего пере хода следует калибровочный.

Исходя из этого при решении задач глубокого деформирования (оформление основного контура сферического наконечника) допустимо при описании закона упрочнения материала не учитывать его упругую составляющую и скоростное упрочнение.

Поэтому физический закон упрочнения int(int) титанового сплава ПТ-7М можно представить в виде жесткоупрочняющей модели и рацио нально аппроксимировать линейной зависимостью [5] (рис. 4) int i = Т + П int i, (20) k k intik – интенсивность напряжений i-го элемента оболочки;

где intik – интенсивность деформаций i-го элемента оболочки;

– предел текучести материала;

– модуль упрочнения материала.

Величина интенсивности деформаций int определяется соотноше нием вида ( )( )( ) 2 2 2 int i = si i + i hi + hi s i. (21) k k k k k k k Значение секущего модуля материала Ес на временном слое k вы числяется как тангенс угла наклона прямой к значению {int(int)}k (рис. 4) int i k Ec i =, (22) int i k k Есik – секущий модуль материала i-го элемента оболочки.

где int П = tg() Т Ec = tg() int Рисунок 4 – Представление закона упрочнения материала ПТ-7М Однако если при расчете значение интенсивности деформаций int ниже условного предела текучести, который для титанового сплава ПТ-7М равен Т = 0,004, то в этом случае для обеспечения корректного счета секущий модуль Eс приравнивается к величине, соответствующей модулю упругости Ey, поэтому в диапазоне упругих деформаций (0 intik 0,004) величина секущего модуля материала постоянна и равна 112 ГПа.

Так как каждый элемент оболочки имеет разделение на слои по толщине материала h, то координата середины j-го слоя толщиной i-го элемента оболочки относительно срединной поверхности вычисля ются из соотношений hi ik = k ;

(23) Ch C + i, j k = i k j h, (24) где ik – толщина одного слоя i-го элемента оболочки;

hik – толщина i-го элемента оболочки;

Ch – количество элементов (слоев) по толщине оболочки;

i,jk – расстояние от срединной поверхности до середины j-го слоя i-го элемента оболочки;

j – порядковый номер слоя по толщине оболочки.

Таким образом, деформации и напряжения в j-м слое i-го элемента оболочки определяются такими выражениями:

( ) Si + ln1 + i, j k i k i 1k ;

si, j = ln k (25) S Si k zag i k r + i, j i, j = ln i k ;

k (26) rzag + zag k i,j i ( ) si, j = Ec i 2 si, j + i, j ;

(27) 3k k k k ( ) i, j = Ec i 2 i, j + s i, j, (28) 3k k k k где si,jk, i,jk – деформации i-го элемента на j-м слое оболочки вдоль образующей (меридиональные) и по окружности (широтные) соответст венно;

si,jk, i,jk – напряжения в i-м элементе на j-м слое оболочки вдоль образующей и по окружности соответственно;

(ik – i-1k) – угол поворота i-го элемента оболочки относительно (i-1)-го.

Суммарные напряжения в i-м элементе оболочки вычисляются следующим образом:

Ch si, jk j = si = ;

(29) Ch k Ch i, jk j = i =. (30) Ch k Условие пластичности Фр при плоском напряженном состоянии оп ределяется выражением 2 2 Фpi = si si i + i int i. (31) k k k k k k Если в соотношении (31) Фpik 0, то происходит пластическое те чение материала, а при Фpik 0 оболочка деформируется в упругой об ласти.

Погонные величины продольных сил и изгибающих моментов, дей ствующих на i-й элемент оболочки, определяются численным интегри рованием по j-м толщинным слоям:

Ch hi N si = si, j k ;

(32) k C k j =1 h hi Ch N i = i, j k ;

(33) k C k j =1 h Ch hi M si = si, j i, jk k ;

(34) C k k j =1 h Ch hi M i = i, j i, j k k, (35) C k k h j = где Nsik, Nik, Msik, Mik – погонные продольные силы и изгибающие мо менты в меридиональном и широтном направлениях соответственно, действующие на i-й элемент оболочки.

Значение перерезывающей силы Q определяется из третьего уравнения движения элемента оболочки (10).

Учитывая, что деформируемая оболочка типа сферический нако нечник обладает геометрической и силовой симметрией как в продоль ном, так и в поперечном направлении, то очевидно, что центральный элемент оболочки {r0k, z0k} сохраняет свое положение на оси z на про тяжении всего процесса формообразования, т.е. выполняется условие z0k = 0.

Как уже отмечалось, при формообразовании основного контура де тали, характеризующегося значительным объемом проштамповки, тре бования к точности геометрии оболочки невысоки, поскольку после формообразующего перехода следует калибровочный. В то же время при оформлении основного контура детали оптимальным является та кое нагружение рабочим импульсом давления, при котором оболочка подходит к матрице с минимальной скоростью, что способствует полу чению оболочки с рациональными параметрами НДС и обуславливает минимизацию энергозатрат на ее деформирование.

Таким образом, при построении контактной модели взаимодейст вия оболочки с поверхностью матрицы можно считать матрицу абсолют но жесткой. Каждый элемент оболочки при контакте с матрицей приоб ретает значения, соответствующие поверхности матрицы {rmi, zmi}, и ос танавливается. Дальнейшие перемещения элемента оболочки возмож ны только вдоль образующей рабочей поверхности матрицы, т.е. вы полняется условие rik rmi.

Таким образом, координаты i-го элемента оболочки {rik+1, zik+1} для следующего временного шага (k+1), определяемые из соотношений (11, 12), сопоставляются на предмет достижения контура матрицы, т.е.

координат {rmi, zmi}.

Значения предельных перемещений для i-го элемента оболочки по координате r определяется выражением r mi = R matr z i2 +1, (36) k где Rmatr – радиус поверхности матрицы рассматриваемого сфериче ского наконечника;

rmi – предельное значение перемещения по оси r для i-го элемента оболочки с координатой zik+1.

Если rik+1 rmi, то i-й элемент оболочки сохраняет расчетное значе ние rik+1, если rik+1 rmi, то ему присваивается значение rmi, т.е. rik+1 = rmi, т.к. оболочка не может выходить за пределы контура матрицы. Из при нятого значения rik+1 по формулам (13) – (15) уточняется координата zik+ элемента оболочки.

Расчет выполняется в пределах всего заданного временного диа пазона 0 tk tkконечное, который определяет величину нагружения обо лочки импульсом давления pik(tk) (4), или до момента достижения всеми элементами оболочки поверхности матрицы (36).

На рис. 5 изображена схема алгоритма определения параметров НДС тонкостенных осесимметричных оболочек при импульсном нагру жении в соответствии с разработанной конечно-разностной математиче ской моделью процесса.

На рис. 6 в графическом виде показаны результаты расчетов с по мощью данной математической модели параметров НДС тонкостенной осесимметричной оболочки при импульсном воздействии на нее давле ния с характеристиками: pmax = 40 МПа;

tmax = 0,1 мс (4).

0.1 1.1 1. Пуск Nsi, Ni, Msi, Mi k 0.6 2.1 1.12 k k k k 0. 1. Ввод исходных 1. данных tk, pik Qik 0. Устойчивость вычислительного 1.3 1. процесса Sik, cos(ik), sin(ik), ik rai, zai, rik+1, zik+ k k 0. Уравнения 1.4 1. si, i, hi, hik, ik, inti, inti z0k+1 = k k k k k 1. int i 1. Нет k Ec i = inti = int i k k k Да 1.7 1. 1. Да rmi = Rmatr zi2 + E ci = E y E ci E y k k k Нет 1. E ci 1. k Нет rik+1 rmi Да 1.10 1. i,jk, si,j, i,j, si,j, i,j rik+1 = rmi k k k k 1. 1.11 1. 0. 2. Преобразование Нет si, i rik+1, zik+1 k = kконечное 1. исходных k k параметров Да 1. 0.6 1.21 2. Отображение Отображение Вывод pi конечного исходных результатов k результата параметров 2. Конец 1.13 2. 1. Рисунок 5 – Схема алгоритма определения параметров НДС тонко стенных осесимметричных оболочек при импульсном нагружении:

необходимые исходные параметры для расчета – pmax, tmax, t, Cs, Ch, lzag, dzag, hzag, Rmatr, B, Т, B, Eу, П, z, мм z, мм заготовка k080 – t = 0, k120 – t = 0, k150 – t = 0, k180 – t = 0, k200 – t = 0,0484 k220 – t = 0, k240 – t = 0,0564 матрица int, 400 500 10 МПа z, мм 20 25 30 r, мм s;

, 0 200 400 МПа z, мм z, мм z, мм 16 12 8 4 0 0 h int -0,2 -0,1 0 0,1 0, 0 0,1 0, z, мм z, мм z, мм 16 12 8 4 0 0 Ms;

M, Ns;

N, Q, -20 - 0 200 400 0 200 кН·м кН кН Рисунок 6 – Расчет параметров НДС оболочки в различные моменты времени (10-3с) при импульсе давления: pmax = 40 МПа;

tmax = 0,1 мс Выводы Разработана конечно-разностная математическая модель опреде ления НДС тонкостенных осесимметричных оболочек при импульсном нагружении. Разработка математической модели осуществлена по схе ме: обоснование теоретической модели, преобразование аналитических зависимостей в конечно-разностные, построение алгоритма решения, программирование, вычисление. Вычисление выполнено с использова нием системы аналитических вычислений MAPLE.

Математическая модель имеет ограниченное число исходных па раметров и применима для решения частной задачи – определение ха рактеристик НДС при динамическом формообразовании тонкостенных осесимметричных оболочек. На основе предложенной модели возможна разработка прикладного инженерного программного продукта для реше ния подобного класса задач в составе единой интегрированной системы САПР/АСТПП/АСУ заготовительно-штамповочного производства.

Список использованных источников 1. Мильченко Е.И. Исследование, разработка и внедрение техноло гических процессов изготовления высокоресурсного особотонкостенного титанового трубопровода воздушных систем ЛА: Дис. … канд. техн. наук:

05.07.04 / Мильченко Евгений Иванович. – Х., 1981. – 149 с.

2. Мацукин Ю.Г. Исследование гидродинамической штамповки на пресс-пушке: Дис. … канд. техн. наук: 05.07.04 / Мацукин Юрий Григорье вич. – Х., 1966. – 223 с.

3. Мельничук А.П. Исследование процессов гидродинамической штамповки: обоснование определения напряженно-деформированного со стояния тонкостенных осесимметричных оболочек / А.П. Мельничук // Авиа ционно-космическая техника и технология. – 2008. – № 3 (50). – С. 41 – 46.

4. Уитмер. Большие динамические деформации балок, колец, пла стин и оболочек / Уитмер, Балмер, Лич, Пиан // Ракетная техника и кос монавтика. – 1963. – № 8. – С. 111 – 123.

5. Кривцов В.С. Особенности описания деформирования тонко стенных цилиндрических деталей при гидродинамической штамповке / В.С. Кривцов, А.П. Мельничук // Авиационно-космическая техника и тех нология. – 2001. – Вып. 25. – С. 28 – 34.

6. Тимошенко С.П. Пластинки и оболочки / С.П. Тимошенко, С. Вой новский-Кригер. – М.: Наука, 1963. – 635 с.

7. Полтарушников С.А. Деформированное состояние деталей типа сферических и конических законцовок трубопроводов / С.А. Полтаруш ников, А.П. Брагин, Е.И. Мильченко // Импульсная обработка металлов давлением. – 1984. – Вып. 12. – С. 21 – 26.

Поступила в редакцию 04.12.10.

Рецензент: д-р техн. наук, проф. В.Е. Гайдачук, Национальный аэрокосмический университет им. Н.Е. Жуковского «ХАИ», г. Харьков УДК 517 Т.В. Рвачева, канд. физ.-мат. наук ОДНА КВАДРАТУРНАЯ ФОРМУЛА НА ОСНОВЕ ОБОБЩЕННОГО РЯДА ТЕЙЛОРА Многие проблемы проектирования и конструирования авиакосмической техники приводят к краевым задачам теории оболочек [1 - 3]. Для решения таких задач используются различные методы, в том числе и вариационные [4, 5]. При этом возникает необходимость вычислять кратные интегралы по областям сложной формы от функции, заданной неявно. В этом случае вычисление ее значений является трудоемким, но при известном значении функции в точке значения ее производных в этой точке вычисляются относительно просто (по формуле дифференцирования неявно заданной функции). В такой ситуации квадратурная формула предлагаемого ниже типа при той же точности требуют меньшего объема вычислений, чем формулы, использующие только значения функции в точках.

Предлагаемая в настоящей статье квадратурная формула построена на основе обобщенного ряда Тейлора и использует значения подынтегральной функции и ее производных до третьего порядка включительно.

Пусть { } Nn = 2n 1, 2n 1 + 1,K,0,K 2n 1 1,2n 1, n 0;

N0 = {1,0,1} ;

k, n 0, k Nn ;

x0,k = {k }, k N0.

xn,k = n 2 В [6] доказан следующий факт: если функция f принадлежит классу H, где [1,2), т. е. если f C [ 1 и,1] k ( k +1) (k ) k c (f ) 2 2, k = 0, 1, 2,...

[1,2) : f, (1) C [ 1,1] то f раскладывается в так называемый обобщенный ряд Тейлора:

f ( n ) ( xn,k )n,k ( x ), f (x) = (2) n = 0 k Nn где функции n,k ( x ) H1 – так называемые базисные функции обобщенного ряда Тейлора – однозначно определяются из условий:

(n,k ( xm,s ))( m ) = n s.

mk Функции n,k ( x ) являются конечными линейными комбинациями сдвигов функции up( x ) :

n,k ( x ) = l cl( n,k )up( x l 2n ) и играют роль функций x n в обычных рядах Тейлора.

Функция 1 itx sin t 2k e up( x ) = dt k 2 k =1 t является решением с компактным носителем функционально дифференциального уравнения y '( x ) = 2y (2 x + 1) 2y (2 x 1).

Ряд (2) сходится на промежутке [ 1 равномерно. Следовательно,,1] с помощью этого ряда можно построить квадратурные формулы для нахождения интегралов от функций, удовлетворяющих (1).

Предположим, необходимо вычислить интеграл от 0 до 1 от функции, удовлетворяющей (1). Тогда можно построить квадратурную формулу на базе обобщенного ряда Тейлора:

1 m f ( n ) ( xn,k )an,k + Rm (f ), f ( x )dx = n = 0 k Nn где an,k = n,k ( x )dx.

Подобная квадратурная формула впервые была рассмотрена в работе В. К. Ярмолюка [7]. Им был рассмотрен случай m = 1, найдены соответствующие коэффициенты an,k и получена следующая квадратурная формула:

1 (f ( 1) f (1)).

f ( x )dx (f ( 1) + f (1)) + f (0) + 2 Оценка остатка Rm (f ) в работе [7] не проводилась.

В работе [8] автором была получена следующая оценка остатка Rm (f ) в случае, если c (f )n n, 1, f (n ) C [ 1,1] т. е., в случае, когда f ( x ) принадлежит классу Жеврея:

m( m +1) c ( f ) m m Rm ( f ) 2.

В настоящей работе рассмотрен случай m = 3.

Автором построены функции n,k до k = 3 включительно и вычислены соответствующие an,k.

Для m = 3 квадратурная формула имеет вид 1 f ( x ) dx 2 ( f ( 0 ) + f (1) ) + 144 ( f ( 0 ) f (1) ) + 1 17 9 1 f ( 0 ) f + f (1) + + 288 8 4 2 1 38657 1 3 f ( 0 ) f + f f (1).

+ (3) 642 32400 4 4 32400 В табл. 1 приведены погрешности, полученные при вычислении интеграла от 0 до 1 от различных функций по формуле Симпсона:

1 1 1 IC = f (0) + 4f 4 + 2f 2 + 4f 4 + f (1), 12 и с помощью полученной выше квадратурной формулы (3).

Таблица 1 – Погрешности формулы Симпсона и квадратурной формулы (3) на основе обобщенного ряда Тейлора Погрешность Погрешность I = f ( x )dx формулы квадратурной f (x) Симпсона I IC формулы (3) I IT 5,2 104 6,8 x4 0, 1,6 6 arctg x 0, 3,7 105 6,1 ex 1, x 2,7 105 6, 4 0, e Выводы Получена квадратурная формула для приближенного вычисления интегралов от дифференцируемых функций. Формула построена на основе обобщенного ряда Тейлора для некоторых неквазианалитических классов бесконечно дифференцируемых функций и использует значения подынтегральной функции и ее производных до третьего порядка включительно. Приведенную формулу целесообразно применять в тех случаях, когда знание значений подынтегральной функции в заданных точках позволяет относительно легко найти значение ее производных в этих точках, в частности, когда она задана неявно или удовлетворяет некоторому дифференциальному уравнению, например, уравнению вида y '( x ) = f ( x, y ).

Список использованных источников 1. Образцов И. Ф. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов / И. Ф. Образцов, Л. М. Савельев, Х. С. Хазанов. – М.: Высш. шк.., 1985. – 392 с.

2. Общая нелинейная теория упругих оболочек / С. А. Кабриц, Е. И. Михайловский, П. Е. Товстик и др. – СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2002. – 388 с.

Гольденвейзер А. Л. Теория упругих тонких оболочек / 3.

А. Л. Гольденвейзер. – М.: Наука, 1976. – 512 с.

4. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности: пер. с яп. / К. Васидзу. –– М.: Мир, 1987. – 542 с.


5. Рвачев В. Л. Теория R-функций и некоторые ее приложения / В. Л. Рвачев. – К.: Наук. думка, 1982. – 552 с.

6. Рвачев В. А. Финитные решения функционально дифференциальных уравнений и их применение / В. А. Рвачев // Успехи мат. наук. – 1990. – Т. 45. – Вып. 1(271). – С. 77–103.

7. Ярмолюк В. К. О применении обобщенных рядов Тейлора для приближенного вычисления интегралов / В. К. Ярмолюк // Мат. методы анализа динамических систем. – 1983. – Вып. 7. – С. 48–50.

8. Рвачова Т. В. Про застосування узагальненого ряду Тейлора до побудови квадратурних формул / Т. В Рвачова. // Вісн. Львів. ун-ту. Сер.

Прикладна математика та информатика. – 2003. – Вип. 7. – С. 81–86.

Поступила в редакцию 20.11.2010.

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. А. Г. Николаев, Национальный аэрокосмический университет им. Н. Е. Жуковского «ХАИ», г. Харьков УДК 533.69.01 И.А. Каленюк ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СВЕРХКРИТИЧЕСКОГО ПРОФИЛЯ MBB A- Введение Проектирование трансзвуковых летательных аппаратов требует знания аэродинамических характеристик профилей в широком диапазо не чисел Маха. Эти характеристики могут быть получены как с помощью экспериментальных исследований, так и с помощью методов вычисли тельной гидродинамики, так называемых CFD-пакетов (CFD - computa tional fluid dynamics). Однако несмотря на широкий ассортимент CFD-пакетов они используют один и тот же набор моделей турбулентно сти для замыкания системы осредненных по Рейнольдсу уравнений На вье - Стокса. Для выбора модели турбулентности, которая соответствует параметрам течения, необходимо провести сравнительный анализ ре зультатов, полученных при различных моделях турбулентности.

Обзор литературы показывает, что при численном исследовании сверхкритических профилей при трансзвуковом режиме обтекания сис тема уравнений в большинстве случаев замыкается следующими моде лями турбулентности: однопараметрической моделью Спаларта - Ал лмараса;

двухпараметрическими моделями k, k SST (Менте ра), k, k v 2f и другими [1 - 6].

1. Постановка задачи Рассматривается двухмерная задача обтекания сверхкритического профиля MBB A-3 с хордой 1 м потоком вязкой сжимаемой жидкости.

Численное моделирование обтекания выполняется для углов атаки в ° диапазоне от 0 до 5 на структурированной сетке, которая была сгене рирована согласно рекомендациям, принятым в [7] для двух расчетных случаев: - M = 0,7, Re = 6,2 10 ;

- M = 0,76, Re = 6,0 10.

Параметры атмосферы соответствуют высоте 9000 м над уровнем моря: температура – 229,7 K ;

плотность – 0,4671кг м ;

динамический коэффициент вязкости – 1,603 10 Па с.

Целью данной работы является исследование влияния моделей турбулентности на аэродинамические характеристики сверхкритического профиля MBB A-3 при трансзвуковом режиме обтекания, сравнение по лученных результатов с экспериментальными данными и нахождение наиболее адекватных моделей турбулентности.

2. Аэродинамические характеристики профиля MBB A- Экспериментальные данные, полученные при продувке сверхкрити ческого профиля MBB A-3 в Бэдфордской аэродинамической трубе [8], представлены в табл. 1.

Таблица 1 – Экспериментальные данные профиля MBB A- при M 0,7, Re 6,2 № с xa сyа Re 106 o mz M п/п 1 0,700 6,08 2,01 0,00785 0,501 -0, 2 0,700 6,26 3,02 0,00877 0,649 -0, 3 0,699 6,21 4,01 0,01561 0,841 -0, 4 0,698 6,17 5,00 0,03085 1,003 -0, 5 0,698 6,17 5,49 0,03720 1,024 -0, Таблица 2 – Экспериментальные данные профиля MBB A- при M 0,76, Re 6,0 № Re 106 с xa сyа o M mz п/п 1 0,759 6,00 1,50 0,00780 0,487 -0, 2 0,760 6,01 1,89 0,00803 0,564 -0, 3 0,760 6,01 2,21 0,00870 0,626 -0, 4 0,760 6,00 2,75 0,01518 0,734 -0, 5 0,758 5,98 3,73 0,04110 0,880 -0, 6 0,761 6,00 4,74 0,06458 0,920 -0, Представленные в табл. 1 и 2 экспериментальные данные не со держат коррекции на влияние перфорации стенок аэродинамической трубы, отсюда вытекает необходимость пересчета этих аэродинамиче ских характеристик на безграничный поток. Методика пересчета подроб но описана в [9].

Пересчитанные исходные экспериментальные данные для двух рас четных случаев приведены в табл. 3 и 4.

Таблица 3 – Скорректированные экспериментальные данные профиля MBB A-3 в безграничном потоке при M 0,7, Re 6,2 № с xa сyа Re 106 o M mz п/п 1 0,700 6,08 0,00785 0,488 -0, 1, 2 0,700 6,26 0,00877 0,632 -0, 2, 3 0,699 6,21 0,01561 0,819 -0, 3, 4 0,698 6,17 0,03085 0,977 -0, 4, 5 0,698 6,17 0,03720 0,997 -0, 5, Таблица 4 – Скорректированные экспериментальные данные профиля MBB A-3 в безграничном потоке при M 0,76, Re 6,0 № с xa сyа Re 106 o M mz п/п 1 0,759 6,00 1,32 0,00780 0,472 -0, 2 0,760 6,01 1,68 0,00803 0,546 -0, 3 0,760 6,01 1,99 0,00870 0,606 -0, 4 0,760 6,00 2,49 0,01518 0,711 -0, 5 0,758 5,98 3,41 0,04110 0,852 -0, 6 0,761 6,00 4,40 0,06458 0,891 -0, 3. Результаты численного моделирования Результаты численного моделирования обтекания сверхкритическо го профиля MBB A-3 в CFD-пакете STAR-CCM+ трансзвуковым потоком при различных моделях турбулентности (Спаларта-Аллмараса, k, k v 2f и k SST ) в диапазоне углов атаки от 0 до 5° для двух расчетных случаев представлены в табл. 5.

4. Анализ полученных результатов Для нахождения наиболее адекватной модели турбулентности, которая давала бы в результате численного расчета наиболее близкое совпадение с экспериментальными данными, результаты численного моделирования (табл. 5) необходимо сравнить по следующим аэроди намическим зависимостям: зависимость коэффициента подъемной силы () от коэффициента лобового сопротивления ( c xa = f c ya ), зависимость коэффициента подъемной силы от угла атаки ( c ya = f ( ) ) и зависи мость коэффициента продольного момента от коэффициента подъем () ной силы ( mz = f c ya ).

() Зависимость c xa = f c ya - поляра, является одной из основных аэ родинамических зависимостей, которая достаточно полно показывает почти все основные аэродинамические характеристики профиля. С по мощью поляры легко определить для любого угла атаки значение аэро динамического качества, а также минимальное значение коэффициента лобового сопротивления и значение коэффициента лобового сопротив ления при нулевой подъемной силе. Следовательно, в первую очередь проведем анализ данной зависимости. Для анализа зависимости коэф фициента подъемной силы от коэффициента лобового сопротивления применяется известный метод – метод наименьших квадратов, который позволяет сравнить между собой две зависимости, представленные в декартовой системе координат.

Суть метода заключается в нахождении расстояния между двумя зависимостями, которое находится по следующей формуле:

A = x p хэ )2 + (у p у эi )2, ( i i i (1) i i i где xэ, х p - значения коэффициента лобового сопротивления для экс перимента и расчетного случая;

i i y э, y p - значения коэффициента подъемной силы для эксперимен та и расчетного случая.

Для нахождения адекватной моделей турбулентности будем нахо дить расстояние A между экспериментальной полярой и расчетными полярами. Наиболее адекватной будет та модель турбулентности зна чения, полученные с помощью которой, будут наименее отличаться от экспериментальных, т.е. будут удовлетворять условию Aopt min.

Результаты сравнения расстояния между экспериментальной зави симостью коэффициента подъемной силы от коэффициента лобового сопротивления и зависимостями, построенными по результатам числен ного моделирования, с использованием различных моделей турбулент ности представлены в табл. 6.

Таблица 6 – Оценка расстояния между экспериментальной полярой и полярами, полученными в результате численного моделирования Модель турбулентности Расчетный ASA Ak Ak v 2f Ak SST случай 8,2 10 5 1,3 10 4 3,4 10 3 5,2 10 3,6 10 4 1,5 10 3 3,2 10 2 1,1 10 На основании полученных результатов, приведенных в табл. 6, можно сделать вывод о том, что наиболее адекватными являются моде ли турбулентности Спаларта - Аллмараса и k. При этом наибольшее приближение к экспериментальной зависимости коэффициента подъем ной силы от коэффициента лобового сопротивления дает модель турбу лентности Спаларта - Аллмараса.

На рис. 1 приведены зависимости коэффициента подъемной силы от коэффициента лобового сопротивления (экспериментальная и для модели турбулентности Спаларта - Аллмараса), построенные с размет кой по углу атаки при некоторых постоянных значениях коэффициента подъемной силы.

() Рисунок 1 – Зависимость c xa = f c ya для двух расчетных случаев Как видно из рис. 1, поляры имеют хорошее совпадение, однако имеет место небольшое смещение угла атаки на величину.

Перейдем к анализу зависимостей коэффициента подъемной силы от угла атаки при различных моделях турбулентности, используя данные табл. 5. Определим производную коэффициента подъемной силы на ли нейном участке зависимостей для двух расчетных случаев и сравним с экспериментальными данными. Результаты данного расчета представ лены в табл. 7.

Таблица 7 – Производная c и ее погрешность в сравнении ya с экспериментальными данными Экспериментальное Модель турбулентности Расчет ный cy k v 2f k SST SA k значение случай a cy 9,93 9,93 9, 9, 10, a % 6,3% 6,3% 9,0% 12,5% cy 12,31 12,31 11, 11, 11, a % 3,9% 3,9% 3,8% 4,5% Данные, приведенные в табл. 7, показывают, что наименьшее сме щение от экспериментальной c в первом расчетном случае дают ya модели турбулентности Спаларта - Аллмараса и k, во втором рас четном случае – Спаларта - Аллмараса, k и k SST.

Как было отмечено выше, экспериментальная зависимость коэффи циента подъемной силы от угла атаки и зависимости, полученные в ре зультате численного расчета при различных моделях турбулентности, имеют смещение на угол. В табл. 8 представлено данное смещение по углу атаки.

Таблица 8 – Смещение по углу атаки Модель турбулентности Смещение Расчетный k v 2f k SST SA k случай 0,44…0,57 0,47…0,61 0,35…0, 0,44…0, 0,06…0,57 0,42…0,59 0,28…0, 0,06…0, На рис. 2. показана зависимость коэффициента подъемной силы от угла атаки для эксперимента и модели турбулентности Спаларта - Аллмараса для двух расчетных случаев.


Рисунок 2 – Зависимость c ya = f ( ) для двух расчетных случаев Cледующей анализируемой зависимостью будет зависимость ко эффициента продольного момента от коэффициента подъемной силы.

Данная зависимость характеризует продольную статическую устойчи вость профиля;

с ее помощью можно получить центр давления, положе ние фокуса. Анализ данной зависимости будем проводить путем опре деления оценки расстояния между двумя кривыми. Суть анализа приве дена выше.

В табл. 10 представлена оценка расстояния между эксперименталь () () ной зависимостью mz c ya и зависимостью mz c ya при различных моделях турбулентности.

Таблица 10 – Оценка расстояния между экспериментальной () () зависимостью mz c ya и зависимостями mz c ya, полученными в результате численного моделирования Модель турбулентности Расчетный k v 2f k SST SA k случай 0,032 0,032 0,033 0, 0,103 0,101 0,102 0, Как видно из табл. 10, при определении оценки расстояния между экспериментальной зависимостью коэффициента продольного момента от коэффициента подъемной силы и зависимостями, полученными в ре зультате численного моделирования, все модели турбулентности дают одинаковое отличие от экспериментальной кривой.

() На рис. 3 приведены зависимости mz c ya для эксперимента и мо дели турбулентности Спаларта - Аллмараса.

() Рисунок 3 – Зависимость mz = f c ya для двух расчетных случаев Выводы 1. При численном моделировании обтекания сверхкритического ° профиля MBB A-3 при углах атаки от 0 до 5 для моделей турбулентно сти Спаларта - Аллмараса, k, k v 2f и k SST для двух рас четных случаев было получено, что наиболее адекватными моделями, которые дают наибольшее соответствие экспериментальным данным, дают, модели турбулентности Спаларта - Аллмараса и k.

2. Смещение аэродинамических зависимостей на постоянный угол o требует более детального анализа, связанного с пересчетом экс периментальных данных, полученных в результате продувки профиля в аэродинамической трубе, поскольку при проведении эксперимента по правки в общем случае зависят от степени перфорации стенок аэроди намической трубы и числа Маха. Также имеется погрешность в измере нии числа Маха и погрешность угла атаки.

Список использованных источников 1. Jouhaud J-C. A Kriging Approach for CFD/Wind Tunnel Data Compari son / J-C. Jouhaud, P. Sagaut, B. Labeyrie // Journal of Fluids Engineering. – 2006. – Vol. 126, Is. 4. - P. 847 - 856.

2. Comparison of Stochastic Collocation Methods for Uncertainty Quantifi cation of the Transonic RAE 2822 Airfoil [Электронный ресурс] / J.A.S. Wit teveen, A. Doostan, T. Chantrasmi, R. Pecnik, G. Iaccarino. Режим доступа к статье: http://www.stanford.edu/group/uq/pdfs/reports/NODESIM_WORK SHOP_paper.pdf 3. Субботина П.Н. Применение различных моделей турбулентности для задач внешнего обтекания в программном комплексе Flowvision [Электронный ресурс] / П.Н. Субботина, А.С. Шишаева. Режим доступа к статье: http://www.flowvision.ru/content/view/106/3/lang,russian/.

4. Ongoing activities in flow simulation and shape optimization within the German Megadesign project / N. Kroll, K. Becker, H. Rieger, F. Thiele // ICAS 2006 25-th International Congress of the aeronautical sciences, P. 16.

5. Терехин А.А. Математическое моделирование отрыва турбулент ного пограничного слоя при обтекании летательного аппарата: автореф.

дис.... канд. техн. наук: 05.13.18 / Александр Александрович Терехин;

Юж.-Урал. гос. ун-т. – Челябинск., 2009. – 16 с.

6. Кудинов П.И. Сравнительное тестирование моделей турбулентно сти Спаларта-Аллмараса и Ментера на задаче о трансзвуковом обтека нии одиночного профиля rae2822 / П.И. Кудинов // Вiсн. Днiпропетр. ун ту. Сер. Механiка. - 2004. – Вип. 8, Т.1. - С. 34-42.

7. Чмовж В.В. Исследование параметров сетки на результаты чис ленного моделирования обтекания сверхкритического профиля MBB A-3 / В.В. Чмовж, И. А. Каленюк // Авиационно-космическая техника и технология. – Х., 2010. – Вып. 5 (72). – С. 35-43.

8. Bucciantini G. Supercritical airfoil MBB A-3 Surface pressure distribu tions, wake and boundary condition measurements / G. Bucciantini, M.S. Og giano, M. Onorato // Experimental Data Base for Computer Program As sessment. – 1979. – P. A8-1 – A9-1. - AGARD Report AR 9. Garner E.C. Lift Interference on Two-Dimensional Wings / E.C. Gar ner // Subsonic Wind Tunnel Wall Corrrection. – 1966. – P. 21 – 74. - AGARD Report AR Поступила в редакцию 29.11.2010.

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Я.С. Карпов, Национальный аэрокосмический университет им. Н.Е. Жуковского «ХАИ», г. Харьков УДК 621.891: 621.789 (045) Г.В. Цибаньов, д-р техн. наук, В.Є. Марчук, канд. техн. наук, В.І. Калініченко, канд. техн. наук, Ю.О. Градиський, канд. техн. наук ПІДВИЩЕННЯ НАДІЙНОСТІ ТРИБОСПОЛУЧЕНЬ ДЕТАЛЕЙ АВІАЦІЙНОЇ ТЕХНІКИ МОДИФІКОВАНИМИ ДИСКРЕТНИМИ ПОКРИТТЯМИ Загальна постановка проблеми та її зв'язок з науково практичними задачами. Важливе місце у вирішенні комплексу проблем підвищення надійності роботи авіаційної техніки, збільшення її термінів служби займають питання підвищення зносостійкості й надійності роботи вузлів тертя. У процесі експлуатації відбувається інтенсивне зношування робочих поверхонь трибосполучень у результаті високих навантажень, швидкостей і температур, впливу агресивних середовищ і вібрацій. При цьому спостерігається не тільки зміна розмірів деталей, але й їх фізико механічних властивостей, що впливає на початковий стан матеріалів трибосполучень.

За останні роки зросла надійність деталей і вузлів літальних апаратів за рахунок підвищення вимог до якості рухомих деталей, більш надійними в роботі стала більшість вузлів тертя. Разом з тим, незважаючи на значні досягнення, проблему надійності не вирішено повністю. Надійність забезпечується головним чином на етапах виготовлення та ремонту літальних апаратів, що визначає практично її повну залежність від технологій.

Огляд публікацій та аналіз невирішених проблем. Досвід експлуатації літальних апаратів показує, що експлуатаційна надійність злітно-посадкових пристроїв як основних елементів конструкції літальних апаратів з точки зору міцності нижче експлуатаційної надійності інших систем планера. Це пояснюється тим, що міцність злітно-посадкових пристроїв літальних апаратів значною мірою залежить від рівня технологічних процесів виготовлення і ремонту деталей і вузлів, а також умов їх роботи.

Аналіз показує, що велика кількість несправностей і відмов шасі літальних апаратів цивільної авіації (АН-24, АН-26, АН-30, АН-32 та ін.) пояснюється важкими умовами експлуатації і підвищеним рівнем змінних навантажень, діючих при злеті, посадці й рулінні. У той же час у польоті система шасі є зайвим навантаженням, яке досягає на транспортних літаках 2…3% від злітної ваги. Прагнення забезпечити під час проектування оптимальну міцність при мінімальній вазі шасі призвело до того, що 70% деталей і вузлів шасі виготовляється з високоміцних конструкційних сталей 30ХГСА і 30ХГСНА, які мають підвищену чутливість до концентраторів напружень. До того ж значну кількість з’єднань елементів конструкції шасі виконано за допомогою зварювання [1].

Найбільш характерними відмовами і несправностями шасі є пошкодження і знос пар тертя шарнірно-болтових з’єднань. Шарнірно болтові з'єднання працюють при високих питомих навантаженнях, малих швидкостях ковзання, низькій і високій температурах поверхонь тертя, граничних умовах змащування, в умовах забруднення абразивом, пилом, конденсатом, атмосферними опадами.

Зношування шарнірно-болтових з’єднань починається з поверхні тертя, що призводить до зміни її геометрії, втрати кінематичної точності силової конструкції, перерозподілу навантажень, а в деяких випадках – до ударів в зчленуваннях, що в цілому може позначитися на надійності шасі літальних апаратів. Усе це потребує заходів щодо поліпшення якості поверхневого шару при виготовленні та ремонті поверхонь деталей і вузлів, які працюють в умовах високих експлуатаційних навантажень.

Велике розмаїття конструктивних елементів вузлів тертя, робочого середовища, умов навантаження разом з великою кількістю різновидів трибосполучень деталей, характеру пошкоджень рухомих з’єднань створює різні умови одночасного протікання трибологічних процесів, основними з яких є, як правило, циклічне навантаження, фретинг корозія, абразивне зношування, схоплювання.

У загальному обсязі робіт з відновлення деталей на авіаремонтних підприємствах технологічні методи становлять різний відсоток (рис. 1).

Усі вони успішно використовуються і дозволяють відновлювати практично усі пошкодження: з нестандартним (58%), припустимим (26%), стандартним (11%) і довготривалим (5%) ремонтом [2], але практично відновлюються тільки 20...30% пошкоджених поверхонь.

Перспективність та ефективність використання того чи іншого методу визначається конкретними умовами роботи трибосполучення, що безпосередньо впливає на довговічність вузлів і якість відремонтованого виробу в цілому.

Одним з перспективних методів забезпечення високої працездатності деталей і вузлів є використання дискретних поверхонь.

Принцип створення покриттів дискретної структури дозволяє по новому підійти до технології відновлення зношених деталей. Він реалізується різними технологічними процесами поверхневого зміцнення. Сьогодні активно розвиваються роботи з використання методу електроіскрового нанесення покриттів, який по суті й за природою формування є дискретним;

механічний метод формування дискретних поверхонь, суть якого полягає у динамічній дії індентора на поверхню деталі й створенні мікрозаглиблень (лунок) за рахунок поверхнево-пластичної деформації.

Мікрозаглиблення поліпшують мастильні властивості поверхні, підвищують опір схоплюванню і корозії, скорочують період припрацювання. Ідея використання таких поверхонь також полягає у тому, що вони являють собою мікропастки для абразивних часток, які потрапляють у трибосполучення ззовні чи в результаті видалення продуктів зношення контактуючих поверхонь. Вибір оптимального розташування мікропоглиблень дозволяє конструювати поверхню з високими експлуатаційними властивостями, поліпшити триботехнічні характеристики, знизити напружений стан поверхні [3, 4, 5].

Рисунок 1 – Статистика застосування різних способів відновлення зношених деталей на авіаремонтних підприємствах [6]: 1 - наплавлення під шаром флюсу;

2 - вібродугове наплавлення;

3 - наплавлення у середовищі вуглекислого газу;

4 - наплавлення порошковим дротом без флюсового або газового захисту;

5 - плазмове наплавлення;

6 електроконтактне спікання;

7- гальванічні способи;

8 - електромеханічне оброблення;

9 - електрошлакове наплавлення;

10 - заливка деталей рідким металом;

11 - відновлення деталей полімерами;

12 - інші способи Мета дослідження. Вивчення процесів зношування дискретних поверхонь в умовах абразивного зношування і фретинг-втоми та дослідження їх властивостей.

Методика досліджень. Як досліджувані матеріали використовували сталь 30ХГСА. Дискретні структури наносили на зразки розміром 3030 мм і товщиною 4 мм на спеціально розробленій установці [7]. Перед нанесенням дискретних структур зразки шліфувалися до шорсткості RZ=0,63±0,32 мкм. Шорсткість поверхонь визначали на профілографі-профілометрі моделі 201.

Випробування зразків на абразивне зношування проводили на стандартній установці відповідно до ГОСТ 23.208-79 в умовах нежорстко закріпленого абразиву в середовищі кварцового піску (SiO2) зернистістю 180…220 мкм, при швидкості ковзання 0,158 м/с, навантаженні 44,1 Н, шлях тертя 50 м. Перед випробуванням абразив просушували у сушильній шафі при температурі 1500С.

Знос зразків визначали ваговим методом на аналітичних вагах АДВ-200 з точністю до 0,0001 г. До і після випробувань зразки промивали в етиловому спирту, просушували й зважували.

Експериментальне визначення характеристик опору фретинг-втомі проводили на установці ВЛЗ (на базі електродинамічного вібростенду;

сертифікаційний № UА6.001.Н.313) у режимі резонансних коливань за нормальних лабораторних умов. Плоскі консольні корсетного типу зразки випробували за умов симетричного поперечного згину. За критерій руйнування зразка приймали падіння власної частоти коливань на 1% порівняно з початковим резонансним значенням, що відповідало «небезпечному»

зародженню в перерізі зразка поверхневої напівеліптичної макротріщини глибиною до 0,1 мм. Частота резонансних коливань зразків при випробуванні на втому становила ~ 130 Гц, на фретинг-втому – ~ 75 Гц.

Дослідження структури поверхневих шарів зразків проводили на растровому електронному мікроскопі.

Результати досліджень та їх аналіз. Експериментальні дослідження показали, що мінімальну зносостійкість в умовах абразивного зношування має загартована сталь 30ХГСАзаг (рис. 2).

Зносостійкість сталі забезпечується високою твердістю поверхневих шарів, які протидіють більш активному руйнуванню поверхневих шарів абразивними частинками. Процес руйнування в основному визначається більшою твердістю абразивних частинок кварцового піску (11…12 ГПа).

Рисунок 2 – Величина зношування дискретних поверхонь на сталі 30ХГСА при абразивному зношуванні (шлях тертя - 50 м, зернистість абразиву 180…220 мкм, швидкість ковзання 0,158 м/с, навантаження 44,1 Н) У результаті силового впливу абразивні частки вдавлюються в поверхню зразка, що призводить до поступового переходу від пластичної деформації до процесу мікрорізання на контакті. Взаємодія абразивних частинок одна з одною під час удару формує осколки, деякі з яких заклинюються на поверхні тертя. Повторні пластичні деформації призводять до “розпушування” поверхні тертя. Після використання всіх площ ковзання метал переходить у стан перенаклепу, стає крихким і руйнується. Зруйновані частини видаляються з поверхні течією абразивних частинок [5].

Формування дискретної поверхні у формі мікрозаглибин (лунок) забезпечує зниження абразивного зношування поверхні сталі 30ХГСА+Л на 37…38% за рахунок використання лунок як пасток для абразивних частинок. Деякі абразивні частки вилучаються з поверхні тертя і, потрапляючи до лунок, не контактують з нею. Заповнення об’єму лунки абразивними частинками призводить до поверхнево-пластичного деформування її стінок і залежно від рівня навантаження формуються різні за формою і глибиною кратери і лунки. Зносостійкість дискретної поверхні збігається зі зносостійкістю сталі, підданої іонному азотуванню.

Модифікація дискретної поверхні шляхом нанесення тонкого поверхневого шару покриття плюс іонне азотування (позначено як 30ХГСА+Л+А на рис. 2) дозволило підвищити зносостійкість на 70…72%.

Висока зносостійкість забезпечується збільшенням твердості поверхневого шару, а також формуванням на поверхні залишкових напружень стиску, які досягають значень від 400 до 950 МПа, рівень і розподіл яких залежать від параметрів процесу імпульсного газотермічного циклу іонного азотування. Крім того, насичення поверхневого шару азотом дозволяє усувати дефекти, що виникли після формування лунок.

На абразивне зношування дискретних поверхонь суттєво впливає розмір абразивних частинок. Експериментальними дослідженнями встановлено, що зі збільшення розміру абразивних частинок величина зношування поверхні зразка зменшується [8].

Дослідження дискретних покриттів на фретинг-втому (рис. 3) показало, що відбувається істотне зниження характеристик опору втомі зразків із сталі 30ХГСА порівняно з вихідними зразками (границя витривалості зменшилася приблизно в 1,84 раза). Це пояснюється тим, що лунки є концентраторами напружень, і, крім того, у процесі нанесення лунок навколо них на поверхні зразка ініціюються залишкові напруження розтягу. Проте зниження характеристик опору фретинг-втомі дискретних покриттів відносно характеристик їх «чистої» втоми істотно менше (границі витривалості відрізняються приблизно в 1,22 раза), ніж зниження їх для полірованих зразків (границі витривалості відрізняються приблизно в 1,91 раза), що свідчить про деякий позитивний ефект дискретних ділянок відносно характеристик опору втомі в умовах фретинг-корозії. Крім цього, характеристики опору втомі в умовах фретинг-корозії зразків з лунками і полірованих зразків схожі (границі витривалості відрізняються приблизно в 1,17 раза), а в області напружень вище границі витривалості, криві втоми в умовах фретинг корозії практично збігаються [3].

Суттєвий позитивний ефект на характеристики опору втомі має іонне азотування поверхонь дискретних поверхонь. При випробуваннях на фретинг-втому таких зразків жоден з них не руйнувався від фретинг втоми. Тобто руйнування проходило від «чистої» втоми в зоні дії максимальних напружень по лінії розташування лунок.

Рисунок 3 – Результати випробувань на втому і фретинг-втому зразків зі сталі 30ХГСА: 1, 3, 4 – криві «чистої» втоми;

2, 5 – криві втоми в умовах фретингу,, – зразки з лунками;

* - зразки з лунками з подальшим іонним азотуванням,, – поліровані зразки без покриття ( a амплітуда напружень, N - число циклів навантаження до руйнування) Висновки 1. Застосування дискретних покриттів забезпечує зниження абразивного зношування поверхні на сталі 30ХГСА на 37…38% за рахунок вилучення абразивних частинок і продуктів зношування з поверхні тертя.

2. Модифікація дискретних ділянок методом іонного азотування дозволяє розширити діапазон працездатності дискретного покриття в умовах абразивного зношування на 70…72%. Висока зносостійкість забезпечується збільшенням твердості поверхневого шару, а також формуванням на поверхні залишкових напружень стиску, рівень і розподіл яких залежать від параметрів процесу імпульсного газотермічного циклу іонного азотування. Крім того, насичення поверхневого шару азотом дозволяє усувати дефекти, що виникли після формування лунок.

3. Нанесення дискретного покриття знижує границю витривалості зразків із сталі 30ХГСА в умовах «чистої» втоми приблизно в 1,84 раза порівняно з початковим матеріалом без покриття. У той же час в умовах фретинг-втоми це зниження незначне – 1,17 раза.

4. Модифікація (оброблення) дискретного покриття методом іонного азотування підвищує характеристики опору втомі досліджуваного матеріалу в умовах фретингу. Границя витривалості підвищилася приблизно в 1,4 раза. З проведеного аналізу результатів зроблений висновок про значне підвищення початкової границі витривалості сталі 30ХГСА за рахунок азотування поверхні зразків.

5. На сьогоднішній день дискретні покриття є перспективними для використання в різних умовах контакту і зношування. Це свідчить про необхідність подальшого вивчення дискретних покриттів і розроблення оптимальних методів їх нанесення.

Список використаних джерел 1. Бойцов Б.Н. Надежность шасси самолета. – М.:

Машиностроение, 1976. – 216 с.

2. Weisenbach M., Bennet G. Aircrafts battle damage repair estimating procedures and effectives impacts // AIAA. Per. – 1986. - №2689. – Р. 1 - 7.

3. Цыбанев Г.В., Марчук В.Е., Герасимчук О.Н. Фреттинг-усталость поверхностей с дискретными покрытиями // Проблемы трибологии. – 2009. - № 1. – С. 97 - 104.

4. Марчук В.Є. Зносостійкість дискретних поверхонь в умовах фретинг-зношування // Вісник НАУ. – К.: Вид-во Нац. авіац. ун-ту “НАУ-друк”, 2010. – Вип. 2 (43). – С. 40 - 45.

5. Марчук В.Є. Механізм зношування дискретних поверхонь в умовах абразивного зношування // Проблеми тертя та зношування:

наук.-техн. зб. – К.: Вид-во Нац. авіац. ун-ту “НАУ-друк”, 2010. – Вип. 52.

– С. 112 - 119.

6. Молодык Н.В., Зенкин А.С. Восстановление деталей машин. – М.: Машиностроение, 1989. – 480 с.



Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.