авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 |

«ЮБИЛЕЙНАЯ ШКОЛА-СЕМИНАР ”ПРОБЛЕМЫ СОВРЕМЕННОЙ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА И ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ”, ПОСВЯЩЕННАЯ 70-ЛЕТИЮ ДОКТОРА ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ ...»

-- [ Страница 2 ] --

В данной работе определены границы применимости указанных асимп тотических моделей в зависимости от величины относительной толщины оболочки. Указано, что для оболочек средней толщины данный подход можно применять, как для описания резонансных компонентов парциаль ных мод, так и для синтеза функции формы рассеянного давления в обла сти частот ниже частоты первого толщинного резонанса. Показано, что в случае, когда толщина оболочки достаточно велика, модель типа плоского слоя применима только при умеренных значениях круговой частоты.

Ковалев Владимир Александрович, kovalev@migm.ru, кафедра прикладной математики и инфор матики Московского городского университета управления Правительства Москвы, 107045, Россия, г. Москва, ул. Сретенка, 28.

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗОНДОВОЙ ЗАДАЧИ В СЛУЧАЕ ДВУХКОМПОНЕНТНОЙ ПЛАЗМЫ ВБЛИЗИ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ЗОНДА c 2008 И.А. Кудрявцева Московский авиационный институт (государственный технический университет) Зондовые методы исследования являются одними из основных методов, применяемых для диагностики плазмы [1, 2]. В качестве зонда можно рас сматривать часть любой обтекаемой плазмой поверхности или целиком об текаемое плазмой тело. В связи с этим разработанные методы и получен ные на их основе решения зондовых задач можно использовать для расче та ряда приборов и устройств, использующих плазму как рабочее тело или предназначенных для работы в ионизованной окружающей среде.

В данной работе рассматривается зондовая задача применительно к двухкомпонентной плазме вблизи заряженного до некоторого потенциала цилиндрического зонда. Плазма состоит из электронов и однозарядных ионов. Поверхность зонда является идеально поглощающей для электро нов, ионы при ударе о нее нейтрализуются. Температуры обоих сортов ча стиц, а также их концентрации в невозмущенной плазме заданы. Предпо лагается, что частицы движутся под действием макроскопического элек трического поля, магнитное поле отсутствует. За начальное распределение всех типов частиц принимается максвелловское распределение.

Необходимо выявить динамику изменения напряженности макроскопи ческого электрического поля, концентраций для каждого типа частиц, а также плотностей потока частиц на зонд во времени и пространстве.

Математическая модель, соответствующая данной физической поста новке, содержит уравнение Фоккера–Планка, описывающее процессы пере носа и столкновений частиц в плазме, а также уравнение Пуассона, слу жащее для описания поведения макроскопического электрического поля [3].

Поставленная задача решается с использованием метода статистиче ских испытаний Монте-Карло. Это становится возможным, если от систе мы определяемой уравнением Фоккера–Планка и уравнением Пуассона пе Кудрявцева Ирина Анатольевна, irina.home.mail@mail.ru, кафедра математической кибернети ки (805) Московского авиационного института (государственного технического университета), 125993, г. Москва, A-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, 4.

рейти к системе уравнений, содержащей стохастическое уравнение Ито.

Для решения стохастического уравнения Ито предлагается стохастический метод Эйлера с поиском коэффициентов методом Монте-Карло, а для ре шения уравнения Пуассона метод Фурье.

На основе разработанного метода решения получены алгоритм и про граммное обеспечение, с помощью которых получены и проанализированы графики изменения напряженности макроскопического электрического по ля, концентраций и плотности токов частиц на зонд. Работа программы осуществлялась для двух режимов работы зонда. Для режима, в котором столкновениями между заряженными частицами можно пренебречь, и для режима, где величине столкновений существенно.

Список литературы [1] Чан П., Тэлбот Л., Турян К. Электрические зонды в неподвижной и движущейся плазме. – М. Мир, 1978.

[2] Алексеев Б.В., Котельников В.А. Зондовый метод диагностики плазмы. – М.

Энергоатомиздат, 1989.

[3] Пантелеев А.В., Кудрявцева И.А. Формирование математической модели двухкомпонентной плазмы с учетом столкновений заряженных частиц в случае плоского зонда//Теоретические вопросы вычислительной техники и программного обеспечения: Межвузовский сборник научных трудов. – М. МИРЭА, 2006.

ВЛИЯНИЕ МИКРОПОВРЕЖДЕНИЙ НА НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ У ВЕРШИНЫ ТРЕЩИНЫ НОРМАЛЬНОГО ОТРЫВА (ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА) c 2008 Н.А. Курнышева Самарский государственный университет Исследование процессов деформирования твердых тел в рамках связан ной модели пластичность поврежденность имеет важные приложения во многих областях техники (оценка прочности и несущей способности кон струкций, обработка металлов), в геофизике и геологии. Моделирование напряженно-деформированного состояния пластических тел с рассеянным полем микроповреждений является одной из важнейших задач механики деформируемого твердого тела, особенно в применении к выяснению во просов устойчивого состояния и распространения трещин. Данная темати ка актуальна в плане совершенствования расчетов на прочность элементов конструкций. Теоретические рассмотрения и экспериментальные данные свидетельствуют о существенном влиянии рассеянного поля микроповре ждений, локализованных в зонах пластического течения у концентрато ров напряжений (трещины, вырезы и другие дефекты), на распределение напряжений в теле. Решение связанной плоской и осесимметричной зада чи механики деформируемых тел имеет большое значение для построения теории испытания материалов на твердость. Актуальным представляется также учет анизотропии распределения поврежденности в основных урав нениях математической теории пластичности.

Значительный вклад в математическую теорию пластичности в раз ные годы был сделан Б.Д. Анниным, Г.И. Быковцевым, Д.Д. Ивлевым, А.А. Ильюшиным, А.Ю. Ишлинским, Л.М. Качановым, В.Д. Клюшнико вым, В.В. Соколовским, С.А. Христиановичем, Е.И. Шемякиным.

Согласно сложившейся традиции, основополагающими для континуаль ной механики поврежденности следует считать работы Л.М. Качанова и Ю.Н. Работнова. Ценность этих первых работ, признанных ныне класси ческими, заключается в возможности применения единой схемы представ ления поврежденности для ее описания. Сущность нового подхода заклю чалась в использовании новой переменной параметра поврежденности, Курнышева Наталья Александровна, knatalyasamgu@mail.ru, кафедра механики сплошных сред Самарского государственного университета, 443011, Россия, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

отражающей присутствие в теле поврежденности (или различных видов повреждений).

Заметный вклад в развитие механики поврежденности в разное время сделали А.А. Вакуленко, Н.Ф. Морозов, Л.М. Качанов, Ю.Н. Работнов, Ю.Н. Радаев, С.А. Шестериков.

Рассмотрено жесткопластическое тело, подчиняющееся обобщенному критерию текучести Треска, с рассеянным анизотропным полем поврежде ний. Следуя [1, 2], поврежденность представляется симметричным тензо ром поврежденности второго ранга, главные оси которого совпадают с главными осями тензора напряжений. Предложена математическая модель связанного (пластичность поврежденность) состояния, которая базирует ся на уравнениях, включающих уравнения равновесия, обобщенное условие пластичности, уравнение несовместности приращений пластических дефор маций, соотношения обобщенного ассоциированного закона течения с уче том повреждений, а также уравнения, определяющие изменение главных поврежденностей в зависимости от приращений деформаций. Получена за мкнутая система статических и кинематических уравнений теории связан ной пластичности и поврежденности в изостатической координатной систе ме.

Показано, что система основных соотношений в случаях плоского свя занного состояния относится к гиперболическому типу [3, 4], что позволяет обобщить ключевое для дальнейшего анализа понятие поля скольжения на случай связанных состояний. Вычислен наклон линий скольжения в среде с анизотропным распределением микроповреждений.

Предложен численный метод расчета главных напряжений, поврежден ности и сетки изостатических траекторий вблизи выреза [5, 6]. Исследована задача о расчете пластической зоны у вершины трещины одноосно растя гиваемого образца в постановке плоского деформированного состояния с учетом накопления анизотропной поврежденности. Численно определены поле изостат, распределение главных напряжений, поврежденности и сетка линий скольжения.

Список литературы [1] Мураками, С. Математическая модель трехмерного анизотропного состояния поврежденности / С. Мураками, Ю.Н. Радаев // Изв. РАН. Мех. тверд. тела.

1996. №4. С. 93–110.

[2] Радаев, Ю.Н. Тензорные меры поврежденности и гармонический анализ тонкой структуры поврежденности / Ю.Н. Радаев // Вестник Самарского гос.

университета. 1998. №2(8). С. 79–105.

[3] Радаев, Ю.Н. О гиперболичности связанных уравнений математической теории пластичности / Ю.Н. Радаев, Н.А. Курнышева // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. 2005. № 6(40).

С. 89–112.

[4] Курнышева, Н.А. О гиперболичности связанных пространственных кинематических уравнений на ребре призмы Кулона–Треска / Н.А. Курнышева // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. 2006. № 6/1(46). С. 157–166.

[5] Курнышева, Н.А. Численный анализ плоской и осесимметричной связанной (плас-тичность-поврежденность) задачи математической теории пластичности / Н.А. Курнышева // IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике: аннот. докл. Т. III (Нижний Новгород, 22–28 августа 2006 г.).

Нижний Новгород: Издательство Нижегородского госуниверситета им. Н.И.

Лобачевского, 2006. С. 130.

[6] Radayev, Y.N. Numerical Analisys of Strain-Damage Coupled Problems Represented by Isostatic Co-ordinate Net / Y.N. Radayev, N.A. Kurnysheva / 35th Solid Mechanics Conference (Krakow, September 4–8, 2006). Volume of Abstracts. P. 241–242.

ПРИМЕНЕНИЕ ЭКСТРЕМАЛЕЙ МОДИФИЦИРОВАННОЙ ЗАДАЧИ КОРНА ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ СЖАТОГО НЕЛИНЕЙНО-УПРУГОГО БЛОКА ПРОИЗВОЛЬНЫХ РАЗМЕРОВ c 2008 С.А. Пантелеев Самарский государственный университет Изучение вопроса об устойчивости/неустойчивости тел при сжатии яв ляется одним из традиционных разделов механики деформируемого твер дого тела. Результаты этих исследований находят применение в строитель стве, машиностроении и многих других областях. Повышение точности ре шения и возможность исследования трехмерных задач являются одними из приоритетных направлений исследований, проводимых в этой области.

Проведенное в работе исследование следует этим тенденциям.

Отличие данной работы от других работ по данной тематике состоит в применении экстремалей модифицированной задачи Корна для определе ния достаточных условий неустойчивости (оценок сверху для критических значений параметра нагружения, превышение которых заведомо означа ет неустойчивость). Применение экстремалей модифицированной задачи Корна позволило существенно расширить диапазон толщин блока (соотно шения его линейных размеров), на котором определена оценка ”сверху” по сравнению с оценкой, полученной на основе применяемой в сопротивлении материалов гипотезы ортогональных плоских сечений, а также улучшить эту оценку. Использование экстремалей модифицированной задачи Корна стало возможным после того, как в 1999 г. Е.И. Рыжаком была решена модифицированная задача Корна [1]. Рассмотренная в данной работе за дача решается в рамках нелинейной теории упругости с использованием отсчетного описания и в трехмерной постановке.

В работе рассматривается задача о квазистатическом сжатии нелинейно упругого прямоугольного параллелепипеда (блока). Сжатие происходит по торцам блока, на которых задано условие тангенциального проскальзыва ния;

боковые грани блока свободны. Линейные размеры блока считаются произвольными.

Пантелеев Сергей Александрович, panteleyev@ssu.samara.ru, кафедра механики сплошных сред Самарского государственного университета, 443011, Россия, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

Метод получения оценки сверху для критического значения коэффи циента сжатия основывается на использовании энергетического критерия устойчивости/неустойчивости, и состоит в искусственном сужении класса допустимых полей возмущений. Сужение класса полей возмущений позво ляет существенно упростить возникающую в энергетическом методе трех мерную вариационную задачу и делает возможным ее решение. При этом, однако, вместо точного критического значения коэффициента сжатия бло ка получается оценка сверху для этой величины (достаточное условие неус тойчивости).

В качестве суженных классов полей возмущений выбираются следую щие классы: 1) класс, образованный экстремалями модифицированной за дачи Корна;

2) класс, основанный на гипотезе ортогональных плоских се чений. Первый класс возникает при решении модифицированной задачи Корна со схожими граничными условиями. Второй класс традиционно ис пользуется при исследовании на устойчивость сжатых стержней методами сопротивления материалов.

Материал блока нелинейно-упругий, определяющие соотношения зада ются при помощи упругого потенциала типа Муни Ривлина. Используется отсчетное описание и, следовательно, тензор напряжений Пиолы с соответ ствующим ему тензором упругих модулей [2].

При исследовании на неустойчивость сжатого блока вводится однопара метрическое семейство конфигураций, состоящее из конфигураций, задаю щих сжатые равновесные состояния блока;

в качестве параметра выступает коэффициент осевого сжатия. Состояния из этого семейства исследуются на неустойчивость. Значение параметра нагружения (коэффициента сжа тия), начиная с которого все последующие конфигурации будут заведомо неустойчивыми, будет оценкой сверху критического значения коэффициен та сжатия.

Для обоих классов находятся оценки сверху критического значения ко эффициента сжатия, в широком диапазоне соотношения между линейными размерами блока. Анализ оценок, полученных на основе двух рассматрива емых суженных классов полей возмущений, показывает, что оценка ”свер ху” критического значения коэффициента сжатия, полученная на основе первого класса, ниже, а следовательно лучше, оценки сверху, полученной на основе второго класса, во всем диапазоне толщин. Для тонких блоков эти оценки практически совпадают, а с утолщением блока различие между оценками увеличивается. Начиная с некоторой толщины, класс полей воз мущений, основанный на гипотезе ортогональных плоских сечений, пере стает давать какую-либо оценку ”сверху”, в то время как класс, основанный на экстремалях модифицированной задачи Корна, еще позволяет получить такую оценку. Для достаточно толстых блоков ни один из двух классов не дает оценки сверху критического значения коэффициента сжатия. Отсут ствие такой оценки для толстых блоков вовсе не означает устойчивость та ких блоков при осевом сжатии. В случае неустойчивости это означает, что форма потери устойчивости блока не принадлежит какому-либо из двух рассматриваемых классов.

Список литературы [1] Ryzhak, E.I. Korn’s constant for a parallelepiped with free face or pair of faces / E.I. Ryzhak // Math. Mech. Solids. – 1999. – V. 4. – No. 1. – P. 35-55.

[2] Трусделл, К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред / К. Трусделл. – М.: Мир, 1975. – 592 с.

О СИСТЕМАХ НЕЗАВИСИМЫХ УРАВНЕНИЙ СОВМЕСТНОСТИ ПРИРАЩЕНИЙ ДЕФОРМАЦИЙ В СЛУЧАЕ ТЕЧЕНИЯ НА РЕБРЕ ПРИЗМЫ КУЛОНА–ТРЕСКА c 2008 Ю.Н. Радаев Самарский государственный университет Предварительные сведения и вводные замечания При исследовании кинематики пространственного пластического течения, если речь идет о состояниях, соответствующих ребру призмы Кулона Треска, исключительный интерес представляют уравнения совместности главных приращений полных деформаций, сформулированные в триорто гональной изостатической криволинейной координатной сетке, вместе с ки нематическими ограничениями, следующими из обобщенного ассоцииро ванного закона течения. Этот круг вопросов детально был рассмотрен в монографии [1].

Условие текучести Треска или условие максимального касательного на пряжения имеет следующий вид:

max {|1 2 |, |1 3 |, |2 3 |} = 2k, (1) где 1, 2, 3 собственные значения тензора напряжений (главные нор мальные напряжения);

k предел текучести при чистом сдвиге. В про странстве главных напряжений поверхность текучести, определяемая урав нением (1), представляет собой правильную шестигранную призму (призма Кулона Треска).

В пространстве главных напряжений ребра призмы Кулона Треска определяются уравнениями 1 ± 2k = 2 = 3, 1 = 2 ± 2k = 3, 1 = 2 = 3 ± 2k.

Для данного напряженного состояния, соответствующего ребру призмы Кулона Треска, всегда можно перенумеровать главные оси тензора напря жений так, чтобы выполнялось равенство 1 = 2 = 3 ± 2k.

Радаев Юрий Николаевич, radayev@ssu.samara.ru, кафедра механики сплошных сред Самарского государственного университета, 443011, Россия, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

Последнее условие означает, что два главных напряжения равны по вели чине, а главное напряжение 3 является либо наименьшим, либо наиболь шим главным нормальным напряжением.

Обозначим через тензор напряжений. Пусть l, m, n ортонормиро ванный базис из собственных векторов тензора напряжений. Спектральное разложение тензора напряжений имеет следующий вид:

= 1 l l + 2 m m + 3 n n. (2) На ребре призмы Кулона Треска 1 = 2 = 3 ± 2k тензор напряжений представляется в форме = (3 ± 2k)I 2kn n. (3) Следовательно, уравнение равновесия · = 0 после подстановки в него разложения (3) приобретает следующий вид:

grad3 2kdiv(n n) = 0 (n · n = 1). (4) Известно, что никаких решений уравнения (4) при одновременном вы полнении условий n rot n = 0 и n · rot n = 0 получить нельзя. Поэтому наибольший интерес представляет тот случай, когда n·rot n = 0 и rot n = всюду в пластической зоне.

Поле напряжений в некоторой области трехмерного пространства назо вем расслоенным (или слоистым), если существует семейство поверхностей S, заполняющее эту область, такое, что векторное поле единичных норма лей к поверхностям семейства S совпадает с полем n собственных векторов тензора напряжений. Для того чтобы векторное поле n было расслоенным в некоторой области трехмерного пространства, необходимо и достаточно, чтобы всюду в этой области выполнялось следующее соотношение:

n · rot n = 0. (5) Ассоциированный закон течения является фундаментальным принци пом математической теории пластичности и устанавливает, что в простран стве напряжений вектор, представляющий тензор приращений пластиче ских деформаций dP, ортогонален регулярной поверхности текучести f () = 0 в данном напряженном состоянии :

f dP = d. (6) Величина d, называемая неопределенным множителем, положительна при активном пластическом нагружении, признаком которого является выпол нение условий f = 0, df = 0.

Ассоциированный закон течения (6) для изотропного тела устанавлива ет соосность тензоров dP и. В главных осях тензора напряжений ассо циированный закон течения изотропного тела (6) имеет следующий вид:

f dP = d, (7) j j где здесь и в дальнейшем dP собственные значения тензора прираще j ний пластических деформаций dP, которые, вообще говоря, отличаются от приращений собственных значений P тензора пластических деформа j ций. С учетом этого замечания спектральное разложение тензора dP P представляется как dP = l ldP + m mdP + n ndP.

1 2 Обобщение ассоциированного закона на случай поверхности текучести с угловой точкой предложено Койтером (W.T. Koiter, 1953 г.). Обобщенный ассоциированный закон течения устанавливает соосность тензора напря жений и тензора приращений пластических деформаций, причем в случае течения на грани призмы Кулона Треска имеет место ”3/3-соосность” тен зора напряжений и тензора приращений пластических деформаций dP, а в случае, когда напряженное состояние соответствует ребру призмы Ку лона Треска, ”1/3-соосность”. В терминологии и обозначениях, система тически используемых в дальнейшем изложении, условие ”1/3-соосности” означает, что в случае течения на ребре призмы Кулона Треска 1 = 2 = 3 ± 2k обобщенный ассоциированный закон течения указывает только на то обстоятельство, что вектор n является собственным вектором как для тензора, так и для тензора dP, и ничего не говорит об ориентациях в плоскости, ортогональной вектору n, других собственных векторов этих тензоров.

В случае течения на ребре призмы Кулона Треска, помимо условия ”1/3-соосности” тензора напряжений и тензора приращений пластических деформаций, обобщенный ассоциированный закон течения накладывает единственное дополнительное кинематическое соотношение, выражающее несжимаемость пластического течения tr (dP ) = 0.

Мы будем предполагать, что изостатические траектории образуют три ортогональную координатную систему. Поля напряжений, допускающие введение триортогональных изостатических координат, заведомо являются расслоенными, но возможность выбора изостат в качестве взаимно ортого нальных координатных линий позволяет продвинуться несколько дальше в анализе общих трехмерных уравнений математической теории пластич ности. В монографии [1] читатель может найти дальнейшие интересующие его в этой связи детали.

Тензор несовместности и его физические компоненты в триорто гональной координатной системе Уравнения совместности деформаций представляют собой фундаменталь ные соотношения механики деформируемого твердого тела, пригодны при любой определяющей зависимости и в инвариантной форме для прираще ний тензора малых деформаций представляются тензорным уравнением (см. [2], с. 223) (dP) = 0, (1) где тензор второго ранга dP есть транспонированный ротор приращения тензора полных деформаций:

d)T.

dP = ( Заметим, что для тензора dP (в силу симметрии тензора d) оказыва ется справедливой также следующая формула:

dP = (d).

В этой записи пространственный оператор Гамильтона действует на объ ект, расположенный перед ним.

Для удобства обозначим через dS тензор второго ранга, определяемый соотношением dS = (d). (2) В этом уравнении безразличен порядок выполнения операции векторного умножения. Тензор dS называется тензором несовместности. (... )T (и отличающийся от него лишь знаком ”оператор Дифференциальный оператор несовместности” Ink... =... ) широко используется в теории дислокаций (см., например:

Эшелби Дж. Континуальная теория дислокаций. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1963. 248 с.). Уравнение совместности для приращений тензора полных деформаций с использованием оператора несовместно Тензор несовместности dS симметричен:

dS = (dS)T (3) и может быть вычислен также по формуле dS = (( · )trd ·( · d))I + ( · d)+ (4) · d))T ( +( ( · )d trd.

Поскольку ( d)T = (d ), dP = ( d)T = (d), тензор dS в точности равен тензору dP. Следовательно, условия совместно сти деформаций в приращениях представляются тензорным уравнением dS = 0. (5) Условия совместности деформаций (5) являются необходимыми и (в случае поверхностно односвязной области в пространстве) достаточными для возможности представления поля d в данной Коши форме du)T 2d = ( du) + ( (6) через однозначное поле приращений перемещений du. Физические компоненты dSjl тензора dS в произвольной триортогональной кри волинейной системе координат вычисляются по формулам ([4], с. 662-664) ( g22 d32 ) ( g33 d33 ) d12 g 1 dS11 = + + g22 g33 2 3 2 g11 g d23 g22 d22 g + + g22 3 g22 ( g22 d22 ) ( g33 d23 ) 1 g22 g33 3 3 g d32 g33 d13 g22 d33 g + g33 2 g11 1 g33 сти записывается просто как Ink d = 0. Ясно, что Ink d = dS.

Доказательства необходимости и (при указанном выше ограничении) достаточности условий сов местности приращений малых деформаций (5) для существования однозначного поля du в представ лении Коши (6) даются в большинстве руководств по механике сплошных сред, механике деформиру емого твердого тела и теории упругости: Лейбензон Л.С. Курс теории упругости. М., Л.: Гостехтеоре тиздат, 1947. С. 34-39;

[3], с. 54, 55, 57-62;

Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. М.: Наука, 1981. С. 212-215.

Подробное изложение вопросов, относящихся к уравнениям совместности конечных деформаций, имеется в книге: Годунов С.К. Элементы механики сплошной среды. М.: Наука, 1978. С. 143-163. В частности, там приводится доказательство их необходимости и достаточности для существования поля перемещений.

g33 ( g11 d21 ) ( g22 d22 ) + + g11 g22 g33 1 2 g33 d31 g22 d12 g11 d11 g + + + g11 g33 1 g22 g33 3 g22 g11 2 g22 g11 g22 ( g33 d33 ) ( g11 d31 ) + g11 g22 g33 1 1 g22 d21 g33 d13 g11 d11 g + + +, g11 g22 1 g22 g33 2 g33 g11 3 g33 g11 ( g33 d33 ) ( g11 d31 ) d21 g 1 dS12 = g22 g33 2 1 3 g22 g d13 g11 d11 g g11 3 g11 g22 ( g33 d23 ) ( g11 d21 ) 1 + g22 g33 3 1 g11 g d31 g33 d13 g + + g33 2 g11 g22 ( g22 d23 ) ( g33 d33 ) + + g22 g11 g33 1 3 g22 d12 g33 d23 g22 d22 g + + + + g11 g22 1 g11 g33 1 g22 g33 3 g22 g33 g33 ( g11 d21 ) ( g22 d22 ) + + g22 g11 g33 2 2 g33 d31 g22 d12 g11 d11 g + + + + g33 g22 2 g22 g33 3 g22 g11 2 g22 g11 g22 ( g11 d31 ) ( g22 d32 ) + + g22 g11 g33 3 2 g22 d12 g11 d21 g +, g33 g22 3 g11 g33 3 g22 g33 причем компоненты dS22, dS33 получаются циклической перестановкой индексов в выражении для dS11, а компоненты dS23, dS31 в выражении для dS12 ;

dij физические компоненты тензора приращений деформаций. Ясно, что ни dSij, ни dij не являются действительными приращениями.

В декартовой системе координат компоненты тензора несовместности dS вычисляются по следующим формулам:

dSlp = enrl emkp n k drm, (7) где enrl кососимметричные символы.

Независимые системы соотношений совместности Обычно считается, что независимых уравнений совместности должно быть шесть (т.к. тензор dS = dP симметричен). На самом деле ситуация несколько сложнее.4 Действительно, оказывается, что тензор dS удовлетво ряет, как это следует из его определения (2), уравнению · (dS) = 0. (1) Следовательно, независимых условий должно быть всего три.

Используя приведенные выше выражения для компонент тензора dS в декартовой системе координат, прямым подсчетом можно показать, что векторное уравнение (1) эквивалентно трем скалярным:

1 (dS11 ) + 2 (dS12 ) + 3 (dS31 ) = 0, 1 (dS12 ) + 2 (dS22 ) + 3 (dS23 ) = 0, 1 (dS31 ) + 2 (dS23 ) + 3 (dS33 ) = 0.

На первый взгляд может показаться, что три независимых условия в де картовой системе координат могут составить либо три уравнения dS11 = 0, dS22 = 0, dS33 = 0, либо три уравнения dS23 = 0, dS31 = 0, dS12 = 0. Однако ни три условия первой группы, ни три условия второй группы по отдель ности использовать нельзя (см., например, [5]). Известно [6], что если три условия первой группы удовлетворяются внутри некоторой поверхностно односвязной области, а вторая тройка условий на границе этой области, то все три условия второй группы будут удовлетворяться внутри области.

Аналогичное утверждение будет справедливо, если поменять группы усло вий местами.

В триортогональной изостатической координатной сетке уравнение (1) Хотя условия совместности деформаций были известны уже Сен-Венану, в настоящее время нет полной ясности в вопросе о числе независимых условий совместности. В большинстве руководств по механике сплошных сред четко говорится о шести независимых уравнениях (см., например: Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. I. М. Наука, 1976. С. 91).

Приводимое ниже уравнение в тензорном анализе традиционно называется тождеством Бианки (L. Bianchi) (см. по этому поводу Схоутен А.Я. Тензорный анализ для физиков. М.: Наука, 1965. С.

146, 147).

приобретает форму d1 dS11 + 23 (dS11 dS22 ) + 32 (dS11 dS33 )+ +(213 + 31 + d2 )dS12 + (212 + 21 + d3 )dS13 = 0, d2 dS22 + 31 (dS22 dS33 ) + 13 (dS22 dS11 )+ (2) +(223 + 32 + d1 )dS21 + (221 + 12 + d3 )dS23 = 0, d3 dS33 + 12 (dS33 dS11 ) + 21 (dS33 dS22 )+ +(232 + 23 + d1 )dS31 + (231 + 13 + d2 )dS32 = 0, где dSij есть по-прежнему физические компоненты тензора dS в три ортогональной изостатической системе координат. (Здесь еще необходимо учесть симметрию тензора несовместности dS: dSij = dSji.) В данных выше уравнениях ij есть кривизна проекции изостаты с номером i, причем проектирование осуществляется параллельно направлению j на локальную координатную плоскость, ортогональную этому направлению.

Уравнения совместности в триортогональной изостатической сет ке (течение на ребре призмы Кулона–Треска) Ассоциированный закон течения устанавливает соосность тензора напряже ний и тензора приращений пластических деформаций dP. При исполь зовании критерия текучести Треска следует различать течение на грани (в этом случае уникальный триэдр l, m, n будет однозначно указывать также и главные оси тензора приращений пластических деформаций dP ) и течение на ребре, когда равны два главных напряжения 1 = 2. В слу чае течения на ребре равенство двух главных напряжений 1 = 2 озна чает, что любое направление, расположенное в плоскости, ортогональной вектору n, является главным. Поэтому при соответствии напряженного со стояния ребру призмы Кулона Треска есть известная доля произвола при выборе собственных векторов l и m (они определены с точностью до по воротов в плоскости, ортогональной вектору n). Следовательно, векторы l и m уже могут и не быть собственными векторами тензора приращений пластических деформаций dP. Следовательно, возможно существование триортогональной сетки линий главных напряжений с локальным триэд ром l, m, n, таким, что векторы l и m не являются собственными для тензора dP. Поэтому матрица тензора d = dP (мы пренебрегаем упру гой составляющей полной деформации) в базисе l, m, n, вообще говоря, недиагональна d11 d12 d12 d22 0.

0 0 d Сначала несколько упростим запись формул для физических компонент тензора несовместности (см. с. 53) dS11 = 223 32 d11 + +[2 2 32 23 + (d2 31 ) (d3 21 ) + 31 d2 32 d1 221 d3 d3 d3 ]d22 + 31 +[2 2 32 23 + (d3 21 ) (d2 31 ) + 21 d3 23 d1 231 d2 d2 d2 ]d33 + 21 +[31 32 + 23 31 + 232 13 + (d2 32 ) + 232 d2 ]d12 + +[21 23 + 32 21 + 223 12 + (d3 23 ) + 223 d3 ]d13 + +[431 21 + 21 23 + 2(d2 21 ) + (d2 31 ) + (d3 31 )+ +321 d2 + 231 d3 + 31 d2 + d2 d3 + d3 d2 ]d23, dS22 = 231 13 d22 + +[2 2 13 31 + (d3 12 ) (d1 32 ) + 12 d3 13 d2 232 d1 d1 d1 ]d33 + 12 +[2 2 13 31 + (d1 32 ) (d3 12 ) + 32 d1 31 d2 212 d3 d3 d3 ]d11 + 32 +[12 13 + 31 12 + 213 21 + (d3 13 ) + 213 d3 ]d23 + +[32 31 + 13 32 + 231 23 + (d1 31 ) + 231 d1 ]d12 + +[412 32 + 32 31 + 2(d3 32 ) + (d3 12 ) + (d1 12 )+ +332 d3 + 212 d1 + 12 d3 + d3 d1 + d1 d3 ]d13, dS33 = 212 21 d33 + +[2 2 21 12 + (d1 23 ) (d2 13 ) + 23 d1 21 d3 213 d2 d2 d2 ]d11 + 23 +[2 2 21 12 + (d2 13 ) (d1 23 ) + 13 d2 12 d3 223 d1 d1 d1 ]d22 + 13 +[23 21 + 12 23 + 221 32 + (d1 21 ) + 221 d1 ]d13 + +[13 12 + 21 13 + 212 31 + (d2 12 ) + 212 d2 ]d23 + +[423 13 + 13 12 + 2(d1 13 ) + (d1 23 ) + (d2 23 )+ +313 d1 + 223 d2 + 23 d1 + d1 d2 + d2 d1 ]d12, dS12 = 31 d1 d22 + [31 (23 32 ) (d2 32 ) 32 d2 ]d11 + +[31 (32 23 ) + (d2 32 ) + 31 d1 + (32 23 )d2 + d2 d1 ]d33 + +[23 32 + 231 13 + 221 12 2 2 + (d3 12 ) (d2 31 ) + 21 d3 + 21 +12 d3 + d3 d3 ]d12 + +[21 (31 + 13 ) 231 12 + 21 d2 31 d3 2(d2 12 ) 212 d2 d2 d3 ]d13 + +[21 (23 + 32 ) (d3 32 ) + (23 32 )d3 221 d1 d3 d1 ]d23, dS13 = 23 d3 d11 + [23 (12 21 ) (d1 21 ) 21 d1 ]d33 + +[23 (21 12 ) + (d1 21 ) + 23 d3 + (21 12 )d1 + d1 d3 ]d22 + +[12 21 + 223 32 + 213 31 2 2 + (d2 31 ) (d1 23 ) + 13 d2 + 13 +31 d2 + d2 d2 ]d13 + +[13 (23 + 32 ) 223 31 + 13 d1 23 d2 2(d1 31 ) 231 d1 d1 d2 ]d23 + +[13 (12 + 21 ) (d3 21 ) + (12 21 )d2 213 d3 d2 d3 ]d12, dS23 = 12 d2 d33 + [12 (31 13 ) (d3 13 ) 13 d3 ]d22 + +[12 (13 31 ) + (d3 13 ) + 12 d2 + (13 31 )d3 + d3 d2 ]d11 + +[31 13 + 212 21 + 232 23 2 2 + (d1 23 ) (d3 12 ) + 32 d1 + 32 +23 d1 + d1 d1 ]d23 + +[32 (12 + 21 ) 212 23 + 31 d3 12 d1 2(d3 23 ) 223 d3 d3 d1 ]d12 + +[32 (31 + 13 ) (d1 13 ) + (31 13 )d1 232 d2 d1 d2 ]d13.

Затем положим в них d13 = 0, d23 = 0. В результате приходим к уравнениям dS11 = 223 32 d11 + +[2 2 32 23 + (d2 31 ) (d3 21 ) + 31 d2 32 d1 221 d3 d3 d3 ]d22 + 31 (1) +[2 2 32 23 + (d3 21 ) (d2 31 ) + 21 d3 23 d1 231 d2 d2 d2 ]d33 + 21 +[31 32 + 23 31 + 232 13 + (d2 32 ) + 232 d2 ]d12, dS22 = 231 13 d22 + +[2 2 13 31 + (d3 12 ) (d1 32 ) + 12 d3 13 d2 232 d1 d1 d1 ]d33 + 12 +[2 2 13 31 + (d1 32 ) (d3 12 ) + 32 d1 31 d2 212 d3 d3 d3 ]d11 + 32 +[32 31 + 13 32 + 231 23 + (d1 31 ) + 231 d1 ]d12, dS33 = 212 21 d33 + +[2 2 21 12 + (d1 23 ) (d2 13 ) + 23 d1 21 d3 213 d2 d2 d2 ]d11 + 23 +[2 2 21 12 + (d2 13 ) (d1 23 ) + 13 d2 12 d3 223 d1 d1 d1 ]d22 + 13 +[423 13 + 13 12 + 2(d1 13 ) + (d1 23 ) + (d2 23 )+ +313 d1 + 223 d2 + 23 d1 + d1 d2 + d2 d1 ]d12, dS12 = 31 d1 d22 + [31 (23 32 ) (d2 32 ) 32 d2 ]d11 + +[31 (32 23 ) + (d2 32 ) + 31 d1 + (32 23 )d2 + d2 d1 ]d33 + (2) +[23 32 + 231 13 + 221 12 2 2 + (d3 12 ) (d2 31 ) + 21 d3 + 21 +12 d3 + d3 d3 ]d12, dS13 = 23 d3 d11 + [23 (12 21 ) (d1 21 ) 21 d1 ]d33 + +[23 (21 12 ) + (d1 21 ) + 23 d3 + (21 12 )d1 + d1 d3 ]d22 + +[13 (12 + 21 ) (d3 21 ) + (12 21 )d2 213 d3 d2 d3 ]d12, dS23 = 12 d2 d33 + [12 (31 13 ) (d3 13 ) 13 d3 ]d22 + +[12 (13 31 ) + (d3 13 ) + 12 d2 + (13 31 )d3 + d3 d2 ]d11 + +[32 (12 + 21 ) 212 23 + 31 d3 12 d1 2(d3 23 ) 223 d3 d3 d1 ]d12.

Независимые системы соотношений совместности (течение на реб ре призмы Кулона–Треска) В качестве примера применения уравнений для компонент тензора несов местности (1), (2) укажем возможные независимые системы уравнений сов местности, выясним их аналитическую классификацию и найдем характе ристики пространственных кинематических уравнений в случае течения на ребре призмы Кулона Треска 1 = 2 = 3 ± 2k. Для этого выпишем главные части уравнений совместности деформаций dS11 = d2 d2 d3 d3 d3 d22 +... = 0, dS22 = d1 d1 d3 d3 d3 d11 +... = 0, dS33 = d2 d2 d11 d1 d1 d22 + (d1 d2 + d2 d1 )d12 +... = 0, dS12 = d2 d1 d3 + d3 d3 d12 +... = 0, dS23 = d3 d2 d11 d3 d1 d12 +... = 0, dS13 = d1 d3 d22 d2 d3 d12 +... = 0.

Пользуясь соотношением несжимаемости d11 + d22 + d3 = 0, устраним из полученной системы уравнений d3. В результате приходим к системе dS11 = d2 d2 d22 d3 d3 d22 + d2 d2 d11 +... = 0, dS22 = d1 d1 d22 + d1 d1 d11 d3 d3 d11 +... = 0, (1) dS33 = d2 d2 d11 d1 d1 d22 + (d1 d2 + d2 d1 )d12 +... = 0, dS12 = d2 d1 d11 d2 d1 d22 + d3 d3 d12 +... = 0, dS23 = d3 d2 d11 d3 d1 d12 +... = 0, (2) dS13 = d1 d3 d22 d2 d3 d12 +... = 0.

Только три из этих уравнений независимы, причем a priori неизвест но какие. Однако соображения симметрии позволяют быстро обнаружить нужные уравнения. Мы рассмотрим две системы из трех уравнений сов местности. Отдельное исследование затем необходимо для установления выполнимости трех оставшихся уравнений совместности. Такое исследова ние, как мы увидим ниже, требует привлечения ряда тонких результатов теории дифференциальных уравнений в частных производных.

Первая система условий В качестве трех независимых уравнений совместности примем dS12 = 0, dS11 = 0, dS22 = 0, т.е. выбираются такие уравнения чтобы индексы у компонент тензора несовместности dS не включали номер 3. Эти уравне ния следует рассматривать как систему уравнений в частных производных относительно d11, d22, d12.

Найдем характеристики построенной системы. Составляя характери стический определитель, приходим к характеристическому уравнению (Nj физические компоненты единичного вектора нормали к характеристике от носительно ортонормированного базиса собственных векторов тензора на пряжений l, m, n) N2 N1 N2 N1 N 2 2 N2 N2 N3 0 =0 (3) 2 2 N1 N3 N1 или 4 2 2 N3 (N1 + N2 N3 ) = 0.

2 2 Учитывая условие нормировки N1 + N2 + N3 = 1, преобразуем ха 4 рактеристическое уравнение к виду N3 (1 2N3 ) = 0, откуда сразу же становится ясно, что оно имеет три различных вещественных корня N3 = 0, N3 = ±, причем кратность нулевого корня равна четырем, т.е. система дифферен циальных уравнений в частных производных dS12 = 0, dS11 = 0, dS22 = 0 (4) гиперболична, а ее характеристики идентичны характеристикам поля на пряжений. Выясним зависимы ли остальные уравнения совместности для прира щений деформаций dS33 = 0, dS13 = 0, dS23 = 0 (5) от трех уравнений совместности (4). Для этого рассмотрим тождество Би анки для тензора несовместности dS. В изостатической координатной сетке оно представляется в форме (2). Учитывая (4), уравнения (2) приводим к виду (212 + 21 + d3 )dS13 32 dS33 = 0, (221 + 12 + d3 )dS23 31 dS33 = 0, (6) d3 dS33 + (12 + 21 )dS33 + (232 + 23 + d1 )dS13 + +(231 + 13 + d2 )dS23 = 0.

Указанная система дифференциальных уравнений в частных производных, как нетрудно заметить, не является 3 -гиперболической (или строго гиперболической относительно переменной 3 ), т.к. ее характеристическое уравнение имеет кратный корень. Поэтому проблема корректности постановки задачи Коши для системы дифференциальных уравнений в частных производных (4) с начальными данными на слое 3 = const векторного поля n нуждается в дополнительном исследовании. Заметим, что многие важные уравнения математической физики имеют характеристическую форму с кратными корнями. Можно даже сказать, что условие строгой гиперболичности вообще очень редко выполняется для линейных систем первого порядка.

Отсюда видно, что эта система линейных уравнений в частных производ ных относительно трех компонент dS33, dS13, dS23 тензора несов местности dS нормальна по изостатической переменной 3, ибо приводится к нормальной форме Коши по этой переменной. Следовательно, задача Ко ши для системы уравнений (6) с начальными данными на слое 3 = const векторного поля n поставлена корректно. В частности, поставлена коррект но задача Коши с нулевыми начальными данными на слое 3 = const dS23 = 0 ( 3 = const).

dS33 = 0, dS13 = 0, (7) Такая задача Коши имеет единственное нулевое решение. В случае, когда коэффициенты линейной системы дифференциальных уравнений в част ных производных (6) являются аналитическими функциями изостатиче ских координат 1, 2, 3 и слой 3 = const векторного поля n есть анали тическая поверхность, единственность аналитического решения рассматри ваемой задачи Коши прямо следует из теоремы Коши Ковалевской (см., например, [8], с. 30-37), поскольку как мы покажем далее слой 3 = const не является характеристической поверхностью для системы (6).

Единственность нулевого решения системы линейных дифференциаль ных уравнений (6) (если по-прежнему считать коэффициенты этой системы аналитическими функциями изостатических координат 1, 2, 3 ) с нуле выми начальными данными на слое 3 = const в классе непрерывно диф ференцируемых функций гарантируется теоремой Хольмгрена (E. Holm gren, 1901),7 поскольку слой 3 = const не является характеристической поверхностью для системы (6). Действительно, составляя характеристиче ское уравнение, имеем (Nj физические компоненты вектора нормали См., например: Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. М.: Мир, 1977. С.

259-261;

Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1966. С. 58-63;

Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. С. 239-241;

Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: Физматгиз, 1961. С. 49-54. Теорема Хольмгрена имеет весьма общий характер и применяется к линейным системам дифференциальных уравнений в част ных производных любого аналитического типа (гиперболического, эллиптического, параболического).

В условной части теоремы Хольмгрена можно не требовать аналитичности поверхности, на которой выставляются начальные данные. Аналогичная теорема справедлива и для линейной системы урав нений первого порядка с неаналитическими коэффициентами при условии ее строгой гиперболично сти: все корни характеристического уравнения должны быть вещественными и различными. Теорема Хольмгрена указывает также и форму области, где решение задачи Коши единственным образом опре деляется начальными данными: это ”линзообразная” область, ограниченная начальной поверхностью и частью пространства, заполненного семейством аналитических поверхностей, представляющим собой аналитическую деформацию начального слоя при фиксированном его крае, причем на всех поверхно стях этого семейства характеристический определитель должен быть отделен от нуля одной и той же для всех поверхностей семейства постоянной. Насколько далеко удается продвинуться этим методом от начального слоя зависит от геометрии характеристических поверхностей.

к плоскому характеристическому элементу относительно базиса l, m, n) N3 0 0 N3 0 = 0, N1 N2 N т.е. находится корень N3 = 0 кратности 3, а сама характеристическая форма вырождается, что говорит о параболическом вырождении системы уравнений (6) и о том, что нормали к характеристикам располагаются в плоскости, ортогональной вектору n.8 Поэтому всюду в области дости жимости слоя 3 = const будут выполняться три оставшихся условия совместности (5), если они выполняются на слое.

Итак, если три уравнения совместности dS12 = 0, dS11 = 0, dS22 = 0, выполнены, то три оставшихся dS33 = 0, dS13 = 0, dS23 = 0 также выполняются, если они выполняются на каком-либо слое 3 = const вектор ного поля n, причем гарантировать выполнение трех оставшихся условий совместности можно в области достижимости слоя 3 = const или в более широком смысле в той области пространства, где начальные данные (7) однозначно определяют решение системы уравнений (6).9 Поскольку ха рактеристические поверхности системы уравнений в частных производных (6) составляются из векторных линий поля n, то область достижимости слоя 3 = const будет, по-видимому, ограничена векторными линиями поля n, выпущенными из точек контура, являющегося краем слоя 3 = const.

Ясно, что в приведенных формулировках слой 3 = const может быть заме нен любой поверхностью, не являющейся характеристической для парабо лически вырожденной системы дифференциальных уравнений в частных производных (6).

Укажем еще на одно интересное обстоятельство. Если часть границы тела свободна от контактных усилий, то в качестве граничного условия здесь можно принять условие касания вектора n. Следовательно, указан ная часть границы тела будет характеристической поверхностью для систе мы уравнений в частных производных (6). Если дополнить ее произвольной Поэтому поверхности, составленные из векторных линий поля n, будут характеристическими для системы дифференциальных уравнений в частных производных (6). Такие же поверхности являются характеристическими и для уравнений равновесия в случае состояний на ребре призмы Треска grad3 2kdiv(n n) = 0 (n · n = 1).

Этот важный результат проливает свет на отмеченную выше проблему о том, какие именно три уравнения составляют независимую систему условий совместности малых деформаций.

нехарактеристической поверхностью так, чтобы образовалась ”линзообраз ная” пространственная область, то три условия совместности dS33 = 0, dS13 = 0, dS23 = 0 (8) будут выполнены всюду в образованной области, если они выполняются на дополняющей поверхности и если три других условия совместности выпол няются всюду в указанной области.

Дальнейшие уточнения выполнимости условий (8) возможны только при более детальном анализе системы уравнений в частных производных dS13 0 00 dS d3 dS23 = 0 0 0 dS23 + dS33 d1 d2 0 dS33 (212 + 21 ) 0 32 dS + dS23.

0 (221 + 12 ) (232 + 23 ) (231 + 13 ) (21 + 12 ) dS Вторая система условий Поменяем ролями выделенные группы уравнений совместности: будем счи тать выполненными уравнения совместности dS33 = 0, dS13 = 0, dS23 = 0 и выясним при каких условиях будут выполнены три остав шихся уравнения совместности dS12 = 0, dS11 = 0, dS22 = 0.

Главная часть выполненных согласно предположению уравнений сов местности имеет вид dS33 = d2 d2 d11 d1 d1 d22 + (d1 d2 + d2 d1 )d12 +... = 0, dS23 = d3 d2 d11 d3 d1 d12 +... = 0, (9) dS13 = d1 d3 d22 d2 d3 d12 +... = 0.

Поэтому характеристический определитель есть 2 N2 N1 2N1 N 0 N1 N3 N2 N3. (10) N2 N3 0 N1 N Видно, что соответствующая характеристическая форма полностью вы рождается, т.к. указанный определитель равен нулю при любых ориен тациях N1, N2, N3. Любая поверхность оказывается характеристи ческой для системы дифференциальных уравнений в частных производ ных (9). В частности, характеристическими будут поверхности 3 = const.

Как следует из уравнения dS33 = 0, начальные значения d11, d22, d12, d3 d11, d3 d22 не могут быть произвольно заданы на поверхно сти 3 = const. Поэтому постановка задачи Коши с начальными данными на слое 3 = const будет некорректной.

Выясним условия, при которых будут выполняться три оставшихся урав нения совместности. Остальные компоненты тензора несовместности dS11, dS22, dS12 должны удовлетворять тождествам Бианки d1 dS11 + 23 (dS11 dS22 ) + 32 dS11 + (213 + 31 + d2 )dS12 = 0, d2 dS22 13 (dS11 dS22 ) + 31 dS22 + (223 + 32 + d1 )dS12 = 0, 12 dS11 + 21 dS22 = 0.

(11) Последнее из тождеств позволяет исключить компоненту dS22 (или dS11 ).

В результате относительно двух компонент dS11, dS12 (или dS22, dS12 ) получим линейную систему двух уравнений первого порядка с двумя независимыми переменными. Тем самым удается понизить размер ность исследуемой системы уравнений. По существу, здесь на каждом слое 3 = const мы можем рассматривать линейную систему двух уравнений первого порядка с двумя независимыми переменными 1, 2 относительно двух компонент dS11, dS12. Характеристическое уравнение этой систе мы 2 21 N1 + 12 N2 = 0 (12) указывает на то, что система тождеств Бианки (11) будет гиперболической (и даже 1 - и 2 -гиперболической) при условии 12 21 0 и эллиптической (и даже сильно эллиптической) при условии 12 21 0.

Поскольку координатные изостатические линии получаются как линии пересечения поверхностей триортогональной системы, то изостаты с номе рами 1 и 2 есть линии кривизны на поверхности 3 = const. Следовательно, 12, 21 являются главными кривизнами поверхности 3 = const, представ ляющей собой слой векторного поля n, а произведение главных кривизн 12, 21 есть Гауссова кривизна поверхности 3 = const K(3) = 12 21.

Поэтому первое из приведенных выше неравенств выполняется в гипербо лических точках этой поверхности, а второе в эллиптических.

Ясно, что линейная система дифференциальных уравнений в частных производных (11) всегда имеет нулевое решение и нам остается установить, когда нулевое решение будет единственным.

Рассмотрим сначала как этот вопрос решается в случае сильной эллип тичности системы (11) (речь идет о выполнении неравенства 12 21 0 на заданном слое 3 = const) и аналитичности ее коэффициентов. Тогда с по мощью теоремы единственности Хольмгрена можно заключить, что если dS11, dS12 (или dS22, dS12 ) равны нулю на некотором замкнутом контуре, расположенном на слое 3 = const, то dS12 = 0, dS11 = 0, dS22 = 0 (13) всюду на слое в пределах внутренности этого контура. Из этого утвержде ния также следует, что если dS11, dS12 (или dS22, dS12 ) равны нулю на поверхности векторной трубки поля n, то равенства (13) выполня ются внутри области пространства, ограниченной поверхностью трубки и замыкающими ее слоями векторного поля n.

Если на слое 3 = const система дифференциальных уравнений в част ных производных (11) гиперболична, ее коэффициенты по крайней мере один раз непрерывно дифференцируемы и если dS11, dS12 (или dS22, dS12 ) равны нулю на некотором отрезке координатной изостатической траектории, расположенной на слое, то в силу единственности решения задачи Коши для двумерных гиперболических систем10 равенства (13) вы полняются всюду в области определенности указанного отрезка, т.е. в той части слоя, которая ограничена дугой изостатической траектории и харак теристическими кривыми, выпущенными из конечных точек дуги.

Список литературы [1] Радаев Ю.Н. Пространственная задача математической теории пластичности. 2-е изд. Самара: Изд-во Самарского гос. университета, 2006. 340 с.

[2] Блох В.И. Теория упругости. Харьков: Изд-во Харьковского ун-та, 1964. 484 с.

[3] Папкович П.Ф. Теория упругости. М.;

Л.: Оборонгиз, 1939. 640 с.

[4] Malvern L. Introduction to the Mechanics of Continuous Medium. Englewood Clis, N.

J.: Prentice – Hall, 1969. 714 pp.

[5] Washizu K. A note on the conditions of compatibility// J. Math. Phys. 1958. V. 36. P.

306-312.

[6] Moriguti S. Fundamental theory of dislocations of elastic bodies// Oyo Sugaku Rikigaku. 1947. V. 1. P. 87-90.

[7] Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. М.: Гостехтеоретиздат, 1955. 492 с.

[8] Положий Г.Н. Уравнения математической физики. М.: Высш. шк., 1964. 560 с.

См.: Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: Физматгиз, 1961. С.

92-99.

ЭФФЕКТИВНЫЕ МЕТОДЫ СУММИРОВАНИЯ СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ c 2008 Р.А.Ревинский Самарский государственный университет При построении решений начально-краевых задач математической и прикладной теории упругости в перемещениях методами спектральных раз ложений, искомые функции представляются обобщенными рядами Фурье.

Как правило, они сходятся достаточно быстро. Этим обусловлено примене ние указанных методов в прикладных расчетах. Скорость их сходимости для правых частей уравнений в классе обычных функций не меньше, чем o (1/i ), i собственные значения соответствующего дифференциального оператора [1]. Вместе с тем, в прикладных задачах появляется необходи мость вычисления усилий и ускорений, то есть соответствующих производ ных полученных решений [2]. В результате дифференцирования резко сни жается скорость сходимости разложений. По этой причине на практике для определения усилий и ускорений, как правило, применяют приближенные вычисления с использованием конечно-разностных схем.

В работе рассмотрены эффективные методы суммирования спектраль ных разложений. Предлагаемая методика основана на обобщении процеду ры увеличения скорости сходимости спектральных разложений. Данный подход широко применялся в теории тригонометрических рядов [4].

Суть похода состоит в представлении решения задачи в виде суммы частного (корректирующего) решения и функционального ряда, сходяще гося с заданной скоростью.


Рассмотрим обобщенную начально-краевую задачу, которую сформули руем в классе вещественных квадратично интегрируемых функций:

L1 + L2 + L3 2 g = f, g D, t t где L1, L2, L3 дифференциальные операторы вида:

i ak (x) Lk =, (1) i xi i= Ревинский Роман Александрович, revinsky@ssu.samara.ru, кафедра механики сплошных сред Самарского государственного университета, 443011, Россия, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

D область определения операторов Lk b1 g + b2 g = 0, g CX Ct2, x=a x D= g: B[g] = (2) b g+b g B[g] = 0, 3 = 0, 4 x=b x B оператор краевых условий.

Будем полагать, что правая часть (1) не принадлежит области операто ра D и, следовательно, последовательность частичных сумм сходится мед леннее, чем последовательность 1/2, где i собственные значения пучка i дифференциальных операторов L1 + L2 + 2 L3. Однако, сходимость пред ставлений может быть улучшена, если воспользоваться следующим постро ением.

Решение задачи (1)–(3) c нулевыми начальными условиями представ ляется в виде суммы разложения g0 и корректирующей функции g, (g записывается в конечном виде):

g = g0 + g.

При этом g0 определяется из вспомогательной задачи:

L1 g0 + L2 g0 + L3 g0 = f, (3) причем f = f L1 g + L2 g + L3 g, а f должна удовлетворять условиям:

f L[g ] + g D.

(4) Тогда правая часть уравнения (3) принадлежит D, и последовательность частичных сумм для g0 сходится быстрее, чем 1/2.

i Описанный алгоритм позволяет конструировать корректирующие реше ния одновременно с процедурой определения собственных значений задачи (1)–(3), что значительно упрощает его программную реализацию.

Список литературы [1] Ахиезер, Н.И. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве / Н.И. Ахиезер, И.М. Глазман. – М.: Наука, 1966. – 543 с.

[2] Сеницкий, Ю.Э. Исследование упругого деформирования элементов конструкций при динамических воздействиях методом конечных интегральных преобразований / Ю.Э. Сеницкий. – Саратов: Изд-во Саратовск. ун-та, 1985. – 176 с.

[3] Сеницкий, Ю.Э. Об улучшении сходимости спектральных разложений, представляющих решения начально-краевых задач динамики оболочек / Ю.Э. Сеницкий, С.А. Лычев // Сб. Численные и аналитические методы расчёта конструкций. Труды международной конференции. – Самара. – 1998. – С. 189-194.

[4] Крылов, А.Н. О некоторых дифференциальных уравнениях / А.Н. Крылов. – М.:

Известия Николаевской Морской Академии, 1909. – 461 c.

НЕЖЕСТКАЯ ТРЕХОСНАЯ МАШИНА (НЖТМ) – УСТРОЙСТВО, ПРИНЦИПИАЛЬНО ПРИГОДНОЕ ДЛЯ ИСПЫТАНИЙ ”НЕУСТОЙЧИВЫХ” МАТЕРИАЛОВ c 2008 Е.И.Рыжак Институт физики Земли РАН Для того, чтобы испытания образцов, традиционно называемые ”испы таниями материалов”, действительно были таковыми, должны быть выпол нены следующие фундаментальные условия:

1) обеспечена однородность процесса деформирования образца (что может быть гарантировано лишь устойчивостью такого процесса);

2) обеспечена возможность прямого измерения нагрузок, приложенных к образцу (что требует использования нежесткой машины).

Изучается устойчивость однородного деформирования образца из ”неустой чивого” (т.е. разупрочняющегося) ортотропного упругопластического мате риала в идеальной НЖТМ.

Найдены ограничения снизу для жесткостей элементов НЖТМ, доста точные для устойчивости деформирования образца в тех пределах, когда пластический отклик материала удовлетворяет условию сильной эллиптич ности, причем определенная (в некоторых случаях немалая) степень разу прочнения оказывается совместимой с сильной эллиптичностью.

Таким образом, доказано, что НЖТМ при достаточной (конечной) жест кости ее элементов является устройством, принципиально пригодным для испытаний разупрочняющихся ортотропных материалов во всем диапазоне теоретически допустимых степеней разупрочнения (каковой установлен ос новной теоремой Адамара об устойчивости).

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фун даментальных исследований.

Рыжак Евгений Измаилович, e-i-ryzhak@mail.ru, Институт физики Земли РАН, 123995, Россия, г. Москва, ул. Б. Грузинская, 10.

ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В НЕДИССИПАТИВНОЙ ТЕРМОМЕХАНИКЕ c 2008 Д.А. Семенов Самарский государственный университет Классическая линейная теория термоупругости основана на законе со стояния Дюгамеля Неймана и законе теплопроводности Фурье, которые устанавливают линейные отношения между тензором напряжений, тензо ром малых деформаций, приращениями температуры и вектором потока тепла.

Система дифференциальных уравнений движения и теплопроводности, вытекающая из классических законов сохранения, имеет параболический тип, а порожаемые этими уравнениями дифференциальные операторы ока зываются несамосопряженными. Параболические уравнения допускают воз можность мгновенного распространения теплового сигнала, что противоре чит общим физическим представлениям. На этот парадокс впервые обра тил внимание Б. Риман, а затем Д.К. Максвелл.

В 1938 г. было экспериментально установлено, что при определенных условиях тепловое возмущение распространяется как волна, отражается от границы среды и проявляет другие волновые свойства. Эти эффекты наблюдались в жидком гелии и получили название второго звука. Для мо делирования волнового характера распространения тепла потребовалось обобщение классической теории. Известны различные варианты таких обоб щений, например теория гиперболической термоупругости Каттанео Джеф фреса, макроскопическая теория второго звука, основанная на представле нии процессов распространения тепла как движения газа фононов. В от личие от классической модели термоупругости, полная энергия фононов сохраняется, и истинному движению соответствует стационарное действие по Гамильтону [1].

В 1989 г. А.Е. Грин и П.М. Нахди отметили, что если в качестве дополни тельной термодинамической переменной использовать температурное сме щение t = T (X, t)dt, t Семенов Денис Анатольевич, denis@maginfo.ru, кафедра механики сплошных сред Самарского государственного университета, 443011, Россия, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

введеное в 1921 г. Ван Данцигом, то макроскопические уравнения движе ния фононного газа могут быть получены в рамках стандартных построе ний для консервативных систем. Получаемая при зтом модель была назва на недиссипативной термоупругостью [2].

Цель данной работы заключается в выводе законов сохранения недисси пативной термоупругости типа Грина Нахди из вариационных симметрий интеграла действия [3, 4].

Интеграл действия J может быть записан в следующем виде:

t J= L dVdt, L = L X, t,,,,,,, (1) t1 V где интегрирование осуществляется по произвольному интервалу времени (t1, t2 ) и произвольной отсчетной области V. В (1) использованы обозначе ния: L плотность лагранжиана, отнесенная к единице объема отсчетной конфигурации, X материальные координаты, = (X, t) поле мест материальных точек, отсчетный оператор Гамильтона.

Инвариантность интеграла действия J = 0 приводит к уравнениям Эйлера Лагранжа (уравнениям поля):

L L d L · = 0, (2) dt L L d L · = 0. (3) dt Согласно теореме Э. Нетер [5], если интеграл действия является инфи нитезимальным инвариантом некоторой группы преобразований, то суще ствует закон сохранения соответствующей полевой величины. Таким обра зом, для формулировки законов сохранения достаточно указать группы инвариантности интеграла действия.

Как показано в [6], вариация интеграла действия может быть записана в форме:

t L L J = ·X + t + N : X+ X t t1 V d L d d +H t + · + P · P· X+ dt dt dt + P : Q· t+ L d + + S + S · dV dt, (4) dt где L L ·( ) N = LI – тензор напряжений Эшелби, L L H =L · – плотность гамильтониана, L L Q= · + – вектор потока энергии (вектор Умова Пойнтинга), L L ·( ) + P= – канонический импульс, L P= – физический импульс, L P = – тензор напряжений Пиола–Кирхгофа, L L S= – плотность энтропии, S = – поток энтропии.

Отметим, что в выражение (4) в качестве множителей входят полные вариации координат и полей, а также их градиенты. В этой связи форма представления (4) оказывается наиболее удобной для получения законов сохранения, соответствующих заданной группе преобразований.

Из соотношений (4) вытекает, что трансляции материальных координат вдоль фиксированного вектора X X = X + X соответствует следующее условие инвариантности L = 0. (5) X Преобразованию t = t + t0, отвечает условие L = 0. (6) t Преобразование, соответствующее вращению касательного пространства материального многообразия, может быть записано следующим образом:

· = I, X(X, ) = () · X, det = +1, которое приводит к условию инвариантности J L X + N = 0.

Asym (7) X Здесь выражение Asym [...] означает антисимметричную часть тензора [...].

Группа сдвигов физического пространства определяется преобразова нием () = + a где a фиксированный пространственный вектор, а соответствующее условие инвариантности может быть сформулирована в форме L = 0. (8) Преобразования физического пространства, соответствующие вращени ям, имеют вид () = 1 ().

(, ) = () ·, и приводят к следующим условиям инвариантности интеграла действия L L Asym + · = 0. (9) Поэтому интеграл действия инвариантен при вращениях физического про странства, если симметричен тензор L L + ·.

При условии L = 0, которое выполняется, если имеет место инвариантность интеграла действия при сдвигах пространства мест, инвариантность в отношении вращений эк L вивалентна симметрии тензора · ;

этот тензор, с точностью до скалярного множителя | |, представляет собой тензор истинных на пряжений Коши.

Условие инвариантности интеграла действия при калибровочных преоб разованиях скрытой переменной состояния может быть сформулировано в виде L = 0. (10) Если выполняются уравнения поля и указанные выше условия инвари антности интеграла действия, то имеют место законы сохранения:


·N P = 0, (11) ·Q H = 0. (12) Таким образом, если в качестве дополнительного поля взять скалярное поле температурного смещения и постулировать инвариантность интегра ла действия по отношению к преобразованию координат и полей, которые соответствуют сдвигам и вращениям, то получаются законы сохранения, которые в линейном приближении позволяют построить уравнения, совпа дающие с уравнениями движения фононного газа, который представляет собой континуальную модель теории второго звука (в бездиссипативной гиперболической термоупругости) [1].

Список литературы [1] Питаевский Л.П. Второй звук в твердом теле // Успехи физических наук. – 1968. – Т. 95. Вып. 1. – С. 139–144.

[2] Green A.E., Thermoelasticity without energy dissipation / Green, A.E., Naghdi P.M. – Journal of Elasticity, 1993. – 61. – P. 189–208.

[3] Maugin, G.A., Towards an analytical mechanics of dissipative materials / Maugin, G.A. – Geom., Cont. and Micros., II. 2000. – Vol.58. № 2. – P. 171–180.

[4] Kalpakides V. K., Maugin G.A. Canonical Formulation and Conservation Laws of Ther moelasticity without Dissipation / V.K. Kalpakides, G.A. Maugin //Reports in Mathe matical Physics. – 2004. – V. 53. – P. 371–391.

[5] Олвер, П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям / П. Олвер. – М.: Мир, 1989. – 640 с.

[6] Лычев, С.А. Законы сохранения консервативной микроморфной термоупругости / С.А. Лычев// Вестник Самарского гос. университета. 2007. №4(54). С.

225–262.

ОБ ОСОБЕННОСТЯХ ОСЕДАНИЯ ПОЛИДИСПЕРСНОГО АЭРОЗОЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ НА ОРОГРАФИЧЕСКИ НЕОДНОРОДНУЮ ПОВЕРХНОСТЬ c 2008 П.Н. Сыгуров1, М.В. Меньшов Самарская государственная сельскохозяйственная академия Особенности отложения на поверхность земли оседающих полидисперс ных аэрозольных облаков являются практически важными для планиро вания и проведения агрохимических работ, имеющих в последние годы, явную тенденцию к использованию технологий ультрамалообъемного рас пыления.

В настоящей работе рассмотрены особенности отложений на неоднород ную поверхность в виде системы гребней состоящей из двух разновысотных холмов. Аэрозольное облако генерируется системой источников, располо женных на прямолинейном отрезке, перпендикулярно направлению снося щего потока ветра на заданной высоте над поверхностью земли.

Численное решение системы уравнений Навье Стокса с использовани ем автомодельных зависимостей Монина Обухова и турбулентным замы канием Смагоринского проведено с использованием математической моде ли, результаты верификации которой подробно изложены в работе [1].

Изначально в расчетной области рассматривался одиночный холм вы сотой 47,5 м с протяженностью наветренного склона 800 м. При заданных скоростях ветра и высоте расположения линейного источника аэрозоля м решалась задача о покрытии, условно выбранными значимыми концен трациями, горизонтально-однородной поверхности протяженностью в м считая от подножия холма. Для этого каждой расчетной скорости сно сящего потока ставились в соответствие функция гранулометрического со става аэрозоля и удаление его источника от подножия рассматриваемого холма. Далее перед этим холмом генерировался второй холм, высота кото рого варьировалась от 10 м до 20 м. Анализировалась степень вынуждаю щего влияния малого холма на динамику отложений аэрозоля в расчетной области.

Сыгуров Петр Николаевич, ssaa@samara.ru, кафедра высшей математики Самарской государ ственной сельскохозяйственной академии, 446442, Россия, Самарская обл., пос. Усть-Кинельский, ул.

Учебная 2.

Меньшов Максим Владимирович, menshov-m@mail.ru, кафедра высшей математики Самарской го сударственной сельскохозяйственной академии, 446442, Россия, Самарская обл., пос. Усть-Кинельский, ул. Учебная 2.

Получены следующие результаты.

При скорости ветра до 5 м/с рост высоты малого холма увеличил протя женность зоны учетных концентраций на 32%, покрыв при этом запланиро ванную тысячеметровую зону (что не наблюдалось в случае с равнинным вариантом).

При скорости ветра до 7 м/с также наблюдалось продление зоны значи мых концентраций, обусловленное появлением малого холма. С ростом его высоты произошло ”наползание” этой зоны на наветренный склон большего холма вплоть до его вершины.

При скорости ветра до 10м/с картина начала меняться. Десятитимет ровая высота малого холма привела к продлению зоны значимых концен траций до середины большего холма. С ростом же высоты до 20 м эта зона начала удалялась от подножия наветренного склона большего холма.

Увеличение скорости сносящего потока и выбранный для достижения на чальной картины выпадений ”тяжелый” гранулометрический состав аэрозо ля способствовали, как показали расчеты, более скорому оседанию частиц аэрозоля на поверхность малого холма, приводя к появлению на нем зон переконцентраций.

Приведенные выше результаты показывают, что наличие даже пологих, невысоких холмов вносит существенные изменения в характер распростра нения и осаждения аэрозольного образования в условиях пересеченного рельефа местности.

Список литературы [1] Меньшов, М.В. О математической модели миграции и осаждения полидисперсного аэрозольного образования / М.В. Меньшов // Вестник Самарского гос.

университета. Естественнонаучная серия. – 2006. – Т. 1(46). – С. 114–122.

АСИМПТОТИЧЕСКИЙ ПОДХОД В ИССЛЕДОВАНИИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ВОЛН ПРИ УДАРНЫХ ТОРЦЕВЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ c 2008 О.В. Таранов Московский государственный университет приборостроения и информатики Особое место в теории оболочек занимают задачи нестационарной дина мики и, в частности, распространение нестационарных волн в цилиндриче ских оболочках. Поскольку нахождение точного аналитического решения соответствующих трехмерных задач сопряжено с серьезными трудностями, активное развитие получили приближенные методы расчета, в частности, асимптотические методы. В [1, 2] приведен обзор работ, посвященных ма тематическому моделированию распространения нестационарных волн в оболочечных конструкциях асимптотическими методами на основе точных трехмерных уравнений теории упругости. Динамические процессы в тонко стенных телах характеризуются показателями динамичности и изменяемо сти напряженно-деформированного состояния (НДС). В нестационарных задачах эти показатели неоднородны по координате и времени, что опре деляет возможность выделения областей применимости различных при ближенных теорий. Согласно классификации У.К. Нигула [3] выделяется три типа ударных торцевых воздействий, проводящих к различным типам нестационарного НДС. В работах [1, 2] предложены схемы расчленения нестационарного НДС, относящиеся к случаям продольных воздействий тангенциального (LT) и изгибающего (LM) типов.

Нормальные торцевые воздействия типа NW приводят, в отличие от воздействий вида LT и LM к совершенно новой схеме расчленения нестаци онарного НДС на составляющие с различными показателями изменяемо сти, основанной на качественно новых свойствах поведения нестационар ных волн в окрестностях условного фронта поверхностной волны Релея и фронта волны сдвига.

Представленная в данной работе схема исследования, основанная на расчленении нестационарного НДС цилиндрических оболочек на состав ляющие с различными показателями изменяемости при торцевом воздей Таранов Олег Викторович, mgupi@mail.ru, кафедра теоретической механики Московского государ ственного университета приборостроения и информатики, 107475, Россия, г. Москва, ул. Стромынка, 20.

ствии нормального типа, обобщает исследования [4, 5]. Использована асимп тотическая модель распространения волн в полубесконечной цилиндриче ской оболочке: применены двумерные составляющие Кирхгофа Лява (тан генциальная и изгибная), наложение двумерной составляющей и квазиста тического погранслоя типа Сен-Венана, квазиплоская задача теории упру гости (асимптотический аналог плоской задачи теории упругости для полу слоя), гиперболический погранслой в окрестности фронта волны сдвига и, наконец, погранслой в окрестности условного фронта поверхностных волн Релея.

Корректность предложенного асимптотического подхода обеспечивает ся необходимой точностью описания составляющих и наличием областей их согласования.

Список литературы [1] Коссович Л.Ю. Нестационарные задачи теории упругих тонких оболочек. – Саратов. Изд-во Сарат. ун-та. – 1986. – 176 с.

[2] Kaplunov J.D., Kossovich L.Yu., Nolde E.V. Dynamics of thin walled elastic bodies. N.Y.etc.: Acad. Press, 1998. – 226 p.

[3] Nigul U. Regions of eective application of the methods of three - dimensional and two-dimensional analysis of transient stress waves in shells and plates // Int. J. Solids and Structures. – 1969. – V. 5. № 6. – P. 607–627.

[4] Ковалев В.А., Коссович Л.Ю., Таранов О.В. Дальнее поле волны Релея для упругой полуполосы при действии торцевой нагрузки // Изв. РАН. Мех. тверд.

тела. – 2005. – № 5. – С. 89-96.

[5] Ковалев В.А., Таранов О.В. Дальнее поле волны Релея для упругой цилиндрической оболочки при действии торцевой нагрузки // Вестник Самарского гос. университета. Естественнонаучная серия. – 2007. – № 4. – С. 197–208.

ДЕФОРМАЦИОННО-ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ И РАЗРУШЕНИЕ ПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЛ В ОКРЕСТНОСТИ КОНЦЕНТРАТОРОВ ДЕФОРМАЦИЙ c 2008 Хромов А.И.1, Буханько А.А. Самарский государственный аэрокосмический университет имени С.П. Королева Предлагается подход к определению деформационно-энергетических кри териев разрушения пластических тел. Исследуются поля деформаций, усло вия зарождения и распространения макротрещин в окрестности зон лока лизации. Предлагается численно-аналитический метод расчета полей де формаций. Строятся специальные конечные жесткопластические элемен ты, описывающие пластические течения в окрестности концентраторов де формаций.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИТЕРИЕВ РАЗРУШЕНИЯ Известной проблемой совместного использования деформаций и дисси пации энергии в условиях разрушения пластических тел является их вза имосвязь. Целью формулировки критериев разрушения является включе ние в их определение удельной диссипации энергии как самостоятельного параметра, характеризующего разрушение материала, по существу, отра жающего путь деформирования. Это осуществляется путем сравнения пу ти деформирования с процессом деформирования при минимальной мощ ности диссипации энергии. Предполагается, что увеличение диссипации энергии может только уменьшить деформации, при которых происходит разрушение частиц материала. В основу положена модель несжимаемого жесткопластического тела. Для инвариантной записи критериев разруше ния в пространстве главных деформаций (рис. 1) вводится поверхность деформационных состояний частиц тела. Поверхность определяется из условия несжимаемости. В качестве меры деформаций используется тензор конечных деформаций Альманси ij. Любой процесс деформирования изоб ражается линией на этой поверхности. Для включения удельной диссипа ции энергии как самостоятельного параметра разрушения вводится условие Хромов Александр Игоревич, khromov@ssau.ru, Самарский государственный аэрокосмический уни верситет, 443086 Россия, г.Самара, Московское шоссе, 34.

Буханько А.А., Самарский государственный аэрокосмический университет, 443086 Россия, г. Са мара, Московское шоссе, 34.

E3 (3) O E1 (1) E2 (2) h O1 L l L Рис. 1. Условие пластичности связанное с линиями уровня поверхности деформационных состояний несжимаемого жестко-пластического тела пластичности, связанное с линиями уровня L поверхности. Под линиями уровня понимаются проекции линий пересечения поверхности с плоско стями, параллельными девиаторной плоскости, на девиаторную плоскость.

При совмещении пространств главных деформаций и напряжений условие пластичности изображается цилиндрической поверхностью.

Предлагаемое условие пластичности обладает следующими свойствами:

– при деформировании частицы из недеформированного состояния (точка O) до линии уровня L (определяемой параметром h = E1 + E2 + E3 ) по любой линии l в девиаторной плоскости, ортогональной линиям уровня (мо нотонный ортогональный процесс деформирования), затрачивается одна и та же удельная диссипация энергии;

– при деформировании частицы по любому другому пути совершается боль шая удельная диссипация энергии.

При малых деформациях данное условие пластичности совпадает с усло вием Мизеса. Указанные свойства позволяют определить условия разруше ния в виде критических линий уровня поверхности, положение которых зависит от диссипации энергии, выполненной частицей. С увеличением дис сипации энергии критическая линия приближается к недеформированному состоянию (точка O). Начальное положение критической линии L0 опреде ляется из любого ортогонального процесса монотонного деформирования при доведении образца до разрушения (в частности, одноосного растяже ния цилиндрического образца). Метод определения констант разрушения, определяющих положение линии L0, изложен в работах [1 3].

УСЛОВИЯ ЗАРОЖДЕНИЯ И РАСПРОСТРАНЕНИЯ МАКРОТРЕЩИН В рамках теории жесткопластического тела пластическое течение неедин ственно. Согласно работам [1 5] строится иерархия пластических течений.

Критерием выбора пластического течения является ограничение макси мально допустимого приращения удельной диссипации энергии: реализу ется то пластическое течение, при котором максимальная удельная дисси пация энергии частиц в пластической области минимальна. В рамках этого критерия пластическое течение является практически единственным, что позволяет однозначно определять тензоры деформаций.

Условия зарождения макротрещин определяются критическими линия ми уровня поверхности и рассматриваются как условия изменения состо яния частиц тела, то есть зарождение макротрещин происходит при пере сечении линии l, определяющей процесс деформирования, с критической линией L. При этом происходит переход с одного возможного пластиче ского течения на другое с новыми локальными приращениями удельной диссипации энергии в частицах материала. Зависимость положения крити ческой линии от диссипации энергии определяется для каждого материала экспериментально (например, при малоцикловой пластической деформа ции). Скорость распространения макротрещины определяется константой разрушения материала, определяющей допустимую удельную диссипацию энергии.

Скорость распространения вершины макротрещины m и направление ее распространения S определяются константой разрушения материала, определяющей допустимую максимальную удельную диссипацию энергии grad W W в окрестности вершины трещины: S = ;

max W (m, S) = W.

|grad W | Здесь угол в полярной системе координат с центром в вершине трещи ны, W предельное значение удельной диссипации энергии при стремле нии полярного радиуса к нулю.

ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПОЛЕЙ ДЕФОРМАЦИЙ Одной из проблем расчета полей деформаций является их определе ние в окрестности угловых точек (в частности, вершины трещины). С этой целью предлагается в окрестности такого концентратора деформаций вы делять жесткопластическую окрестность. В этой окрестности расчет по лей деформаций производится аналитически на основе модели идеально го жесткопластического тела. Показано, что при использовании тензоров конечных деформаций их предельные значения в вершине трещины огра ничены [4]. Это позволяет рассчитывать поля деформаций в пластических течениях более сложных сред.

СПЕЦИАЛЬНЫЕ КОНЕЧНЫЕ ЖЕСТКОПЛАСТИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ Для практической реализации численно-аналитического метода расче та пластических течений с разрушением материала строятся конечные жест копластические элементы, моделирующие поведение материала в вершине трещины при различных напряженно-деформированных состояниях (плос кой деформации, осесимметричной деформации, плоском напряженном со стоянии и др.) [4, 5]. Включение конечных элементов с аналитическим опи санием полей деформаций в окрестности концентраторов в традиционные пакеты программ типа ANSYS, MSC и др. позволяет более адекватно опи сывать пластические течения и процессы разрушения тел.

Список литературы [1] Khromov A.I., Bukhanko A.A., Kozlova O.V., Stepanov S.L. Plastic Constant of Frac ture. J. Appl. Mech. and Techn. Phys. 47(2), 274 281, 2006.

[2] Kozlova O.V., Khromov A.I. Fracture Constant for Ideal Rigid-Plastic Bodies. Doklady Physics, 47(7), 548 551, 2002.

[3] Khromov A.I., Kocherov E.P., Grigor’eva A.L. Strain States and Fracture Conditions for Rigid-Plastic Bodies. Doklady Physics, 52(4), 228 232, 2007.

[4] Khromov A.I., Bukhanko A.A., Stepanov S.L. Strain Raisers. Doklady Physics, 51(4), 223 226, 2006.

[5] Khromov A.I., Bukhanko A.A., Stepanov S.L. Concentrators of Deformations and Frac ture of Plastic Bodies. J. Comp. and Appl. Math., doi: 10.1016/j.cam.2006.04.065.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ РАЗМЕРОВ ТОЛСТОСТЕННЫХ МОНОЛИТНЫХ КРЕПЕЙ ВЫРАБОТОК c 2008 А.И. Шашкин Воронежский государственный университет Толщина крепи может быть определена разными методами, например, из условия возникновения на внутренней поверхности крепи предельного состояния. Однако в этом случае, у упругой крепи имеются существенные резервы несущей способности. Этот же размер можно определять и из усло вия перехода всего материала в пластическое состояние, когда крепь пол ностью теряет свою несущую способность. В этом случае потеря устойчиво сти может произойти раньше, чем крепь достигнет указанного состояния.

В связи с этим для определения оптимальной толщины желательно при влекать аппарат теории устойчивости деформируемых сред.

Нагрузка на крепь в первую очередь определяется перемещениями по роды и образованием неупругих деформаций, поэтому важно проводить расчет крепи совместно с массивом горных пород. При этом из решения за дачи о докритическом состоянии определяется давление на крепь горных пород как контактное давление на границе крепи и массива.

Как известно, взаимодействие системы крепь порода в расчетных схе мах отражается различными типами сопряжений крепи с породной поверх ностью выработки. При одной схеме трением между крепью и породой вви ду его малости пренебрегают (сборная крепь), при другой крепь жестко связывают с породой (набрызг бетон). Возможны и более сложные случаи.

Далее, при фиксированной нагрузке (давление горных пород) на внешнюю поверхность крепи определяется такой внутренний радиус (минимальный), при котором крепь теряет устойчивость. Оптимальная толщина находится по этому критическому внутреннему радиусу крепи.

В работе подобные задачи исследуются именно в такой постановке на основе трехмерной линеаризированной теории устойчивости деформируе мых тел.

1. При исследовании задач устойчивости в механике горных пород до критическое состояние будем определять в рамках геометрически линей ной теории, что вполне оправдано для достаточно ”жестких” сред, то есть Шашкин Александр Иванович, факультет прикладной математики и механики Воронежского го сударственного университета, 394006, Россия, г. Воронеж, Университетская пл., 1.

в рамках следующих соотношений [1]:

уравнения равновесия i i j + Fj = 0, (1.1) граничные условия в усилиях и (или) в перемещениях.

Если в теле наряду с упругой зоной существует и пластическая, то на границе раздела этих областей S должны выполняться условия непрерыв ности перемещений (иначе нарушится условие сплошности среды) [ui ] = 0 (1.2) и вектора поверхностных сил i Ni j = 0. (1.3) Здесь и далее квадратные скобки в условиях непрерывности обозначают разность значений выражений, заключенных в скобки, соответствующих упругой и пластической области.

Для определения докритического состояния к уравнениям линейной теории необходимо добавить уравнения состояния, так как только тогда получается замкнутая система уравнений. Связь напряжений и деформа ций в упругой области будем представлять законом Гука.

Для несжимаемой упругопластической среды рассмотрим две модели:



Pages:     | 1 || 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.