авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 |
-- [ Страница 1 ] --

Е. А. Митюшов, С. А. Берестова

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА:

СТАТИКА. КИНЕМАТИКА. ДИНАМИКА

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

Издание второе. Исправленное и дополненное

Москва Ижевск

 

2005

УДК 531.1

Оглавление

Интернет-магазин • физика

• математика • биология • нефтегазовые технологии http://shop.rcd.ru ЛЕКЦИЯ 1. Введение. Основные понятия статики......... 9 Предмет механики............................ Основные понятия и аксиомы статики................. Связи и реакции связей......................... ЛЕКЦИЯ 2. Система сходящихся сил................. Теорема о существовании равнодействующей сходящихся сил... Условия равновесия системы сходящихся сил............ Теорема о трех силах.......................... ЛЕКЦИЯ 3. Момент силы относительно центра и оси. Пары сил. Момент силы относительно центра и оси............... Способы вычисления момента силы относительно оси....... Пара сил................................. Теоремы о парах............................. Митюшов Е. А., Берестова С. А.

Условие равновесия системы пар.................... Теоретическая механика: Статика. Кинематика. Динамика. — М.-Ижевск:

Институт компьютерных исследований, 2005. — 176 с.

ЛЕКЦИЯ 4. Основная теорема статики................ Конспект лекций предназначен для студентов всех форм обучения, изучающих Лемма Пуансо.............................. теоретическую механику в техническом вузе. Содержание соответствует полной Основная теорема статики. (Теорема Пуансо)............. программе обучения и требованиям государственных образовательных стандартов.

Условия равновесия произвольной пространственной системы сил Он может быть также использован в качестве справочного пособия при дальнейшем обучении и работе по специальности. Условия равновесия системы параллельных сил........... Условия равновесия произвольной плоской системы сил...... ISBN 5-93972-067- ЛЕКЦИЯ 5. Равновесие плоской системы сил............ Равновесие системы тел......................... c Институт компьютерных исследований, Расчет плоских ферм.......................... Равновесие при наличии трения скольжения. Законы Амонтона – Кулона............................... http://rcd.ru Равновесие при наличии трения качения............... http://ics.org.ru 4 ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ ЛЕКЦИЯ 6. Инварианты статики................... 35 ЛЕКЦИЯ 12. Плоскопараллельное движение твердого тела.... Инварианты статики........................... 35 Уравнения плоскопараллельного движения твердого тела...... Частные случаи приведения произвольной системы сил....... 36 Определение скоростей точек тела при плоском движении..... Теорема Вариньона........................... 38 Мгновенный центр скоростей (МЦС)................. Способы нахождения МЦС....................... ЛЕКЦИЯ 7. Центр параллельных сил и центр тяжести....... 39 Определение ускорений точек тела при плоском движении..... Центр параллельных сил........................ 39 Мгновенный центр ускорений (МЦУ)................. Центр тяжести твердого тела...................... ЛЕКЦИЯ 13. Сферическое и свободное движения твердого тела.. ЛЕКЦИЯ 8. Кинематика точки.................... 45 Уравнения сферического движения твердого тела.......... Задачи кинематики точки........................ Скорости точек твердого тела при сферическом движении. Мгно Способы задания движения точки в заданной системе отсчета... 45 венная ось вращения....................... Скорость точки.............................. 46 Уравнения свободного движения твердого тела............ Ускорение точки............................. 47 Скорости точек тела при свободном движении............ Определение скорости и ускорения точки при координатном спо собе задания движения...................... 47 ЛЕКЦИЯ 14. Законы динамики.................... Законы Галилея – Ньютона....................... ЛЕКЦИЯ 9. Скорость и ускорение точки при естественном способе Инерциальные системы отсчета.................... задания движения......................... Основные задачи динамики....................... Естественные оси............................ Дифференциальные уравнения движения материальной точки... Определение скорости и ускорения точки при естественном спо Уравнения относительного движения................. собе задания движения...................... ЛЕКЦИЯ 15. Прямолинейные колебания материальной точки.. ЛЕКЦИЯ 10. Простейшие движения твердого тела......... Классификация сил........................... Задачи кинематики твердого тела................... Свободные колебания.......................... Поступательное движение твердого тела............... Вынужденные колебания без сопротивления. Резонанс....... Вращательное движение твердого тела................ Влияние сопротивления на вынужденные колебания......... Определение скоростей и ускорений точек вращающегося тела.. Векторные выражения скорости и ускорения точки вращающегося ЛЕКЦИЯ 16. Введение в динамику механической системы..... тела................................. Механическая система. Классификация сил.............. Дифференциальные уравнения движения механической системы. ЛЕКЦИЯ 11. Сложное движение точки................ Теорема о движении центра масс.................... Основные понятия............................ Меры движения............................. Теорема о сложении скоростей..................... Меры действия сил........................... Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса)........ Ускорение Кориолиса.......................... 60 Консервативные системы........................ 6 ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ ЛЕКЦИЯ 17. Общие теоремы динамики............... 93 ЛЕКЦИЯ 22. Дифференциальные уравнения движения механиче ской системы в обобщенных координатах............ Теорема об изменении количества движения............. Тождества Лагранжа........................... Динамика точки переменной массы.................. Теорема Эйлера............................. 96 Уравнения Лагранжа второго рода................... Теорема об изменении момента количества движения........ 97 Уравнения Лагранжа для консервативных механических систем.. Теорема об изменении кинетической энергии............. 98 Уравнение движения машины..................... ЛЕКЦИЯ 18. Динамика твердого тела................ 101 ЛЕКЦИЯ 23. Интегральный вариационный принцип....... Дифференциальные уравнения поступательного, вращательного и Принцип Гамильтона – Остроградского................ плоскопараллельного движений твердого тела......... 101 Принцип Гамильтона – Остроградского для консервативных систем Тензор инерции............................. Динамика вращательного и сферического движения твердого тела. 108 ЛЕКЦИЯ 24. Устойчивость равновесия................ Динамические уравнения Эйлера. (Дифференциальные уравнения Определение устойчивого положения равновесия.......... сферического движения твердого тела)............. Теорема Лагранжа – Дирихле...................... Дифференциальные уравнения свободного движения твердого тела Потенциальная энергия в малой окрестности положения равновесия Приближенная теория гироскопа.................... Условие устойчивости консервативных механических систем... ЛЕКЦИЯ 19. Принцип Д’Аламбера.................. ЛЕКЦИЯ 25. Малые колебания механических систем с одной степе Сила инерции материальной точки................... нью свободы............................ Принцип д’Аламбера.......................... Кинетическая энергия механической системы в малой окрестности Приведение системы сил инерции твердого тела к простейшему устойчивого положения равновесия............... виду................................. Дифференциальные уравнения движения механических систем Определение динамических реакций.................. около устойчивого положения равновесия........... Малые колебания системы с одной степенью свободы........ ЛЕКЦИЯ 20. Введение в аналитическую механику......... Связи и их уравнения.......................... ЛЕКЦИЯ 26. Малые колебания механических систем с двумя степе Классификация связей.......................... нями свободы............................ Виртуальные перемещения. Виртуальная работа силы. Идеальные Малые свободные колебания механических систем с двумя степе связи................................ нями свободы. Главные колебания................ Принцип виртуальных перемещений.................. Вынужденные колебания механических систем с двумя степенями Общее уравнение динамики.

..................... свободы............................... Понятие о виброзащите. Динамический гаситель колебаний.... ЛЕКЦИЯ 21. Метод обобщенных координат............. Дифференциальные уравнения малых колебаний упругих систем. Обобщенные координаты и скорости................. Колебания упругой системы с двумя степенями свободы...... Обобщенные силы и способы их вычисления............. Условие равновесия в обобщенных координатах........... 133 Вынужденные колебания упругих систем с двумя степенями свободы 8 ОГЛАВЛЕНИЕ ЛЕКЦИЯ 27. Элементы теории удара................. Явление удара. Основные допущения при ударе........... Основное уравнение теории удара................... ЛЕКЦИЯ Общие теоремы динамики при ударе................. Коэффициент восстановления при ударе............... Введение. Основные понятия статики Удар о неподвижную поверхность................... Удар двух тел............................... Теорема Карно (теорема об изменении кинетической энергии)... Удар по вращающемуся телу. Определение импульсов ударных ре акций................................ 169 1. Предмет механики.

Центр удара................................ 170 2. Основные понятия и аксиомы статики.

Литература............................... 172 3. Связи и реакции связей.

Предметный указатель........................ Предмет механики Механика — это наука, изучающая основные законы механического движения, т. е. законы изменения взаимного расположения материальных тел или частиц в сплошной среде с течением времени. Содержанием курса теоретической механики в техническом вузе является изучение равнове сия и движения абсолютно твердых тел, материальных точек и их систем.

Теоретическая механика является базой для многих обще-профессиональ ных дисциплин (сопротивление материалов, детали машин, теория машин и механизмов и др.), а также имеет самостоятельное мировоззренческое и методологическое значение. Иллюстрирует научный метод познания за кономерностей окружающего нас мира — от наблюдения к математической модели, её анализ, получение решений и их применение в практической деятельности.

Курс теоретической механики традиционно делится на три части. Ста тика — изучает правила эквивалентного преобразования и условия равно весия систем сил. Кинематика — рассматривает движение тел с геометри ческой стороны, без учета сил, вызывающих это движение. Динамика — изучает движение тел в связи с действующими на них силами.

Основные задачи статики:

1. Изучение методов преобразования одних систем сил в другие, экви валентные данным.

2. Установление условий равновесия систем сил.

10 ЛЕКЦИЯ 1 ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТАТИКИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Основные понятия и аксиомы статики К телу в точке A приложена сила F. Добавим Сила — мера механического воздействия одного в точке B систему сил, F, F 0: F = F = F.

тела на другое. Физическая природа сил в механике не рассматривается., но F, F 0, следователь F F, F, F Сила задается модулем, направлением и точкой но, F F. Следствие доказано.

приложения. Обозначается большими буквами латин 3. Две силы, приложенные к телу в одной ского алфавита: F, R, N,..., |F | = F — модуль силы.

точке, имеют равнодействующую, проходящую Аналитически силу можно задать ее про через эту точку и равную их геометрической екциями на оси координат: Fx, Fy, Fz, а на правление в пространстве — направляющими сумме. R F1, F2, R = F1 + F2, R = Fy Fx косинусами: cos =, cos =, cos = 2 = F1 + F2 + 2F1 F2 cos.

F F Из этой аксиомы следует, что силу можно Fz.

= разложить на любое количество составляющих F Совокупность нескольких сил, действу- сил по заранее выбранным направлениям.

ющих на твердое тело, называется системой 4. Силы взаимодействия двух тел равны по модулю и направлены по сил. Две системы сил эквивалентны () одной прямой в противоположные стороны.

между собой, если, не нарушая состояния тела, одну систему сил можно 5. Равновесие деформируемого тела не нарушится, если это тело отвер заменить другой. деет. Иными словами, необходимые условия равновесия деформируемых Сила, эквивалентная данной системе сил, называется равнодейству- и абсолютно твердых тел совпадают, что позволяет применять получаемые результаты для реальных тел и конструкций, не являющихся абсолютно ющей: F1, F2,..., Fn R. Не всегда систему сил можно заменить твердыми.

равнодействующей.

Систему сил, приложенную к свободному твердому телу, находящему ся в равновесии, и не выводящую его из этого состояния, называют урав- Связи и реакции связей новешенной системой сил F1, F2,..., Fn 0. Абсолютно твердое Тело называется свободным если его перемещение в пространстве тело — тело, у которого расстояние между любыми двумя точками остается ничем не ограничено. В противном случае тело называется несвободным, неизменным. а тела, ограничивающие перемещения данного тела, — связями.

Силы, с которыми связи действуют на данное тело, называются реак Аксиомы:

циями связей.

1. Абсолютно твердое тело находится в равновесии Основные виды связей и их реакции:

под действием двух сил тогда и только тогда, когда эти силы равны по модулю, действуют по одной прямой и на правлены в противоположные стороны. 1. Гладкая поверхность (без трения):

2. Не нарушая состояния абсолютно твердого тела, Реакция гладкой поверхности направлена к нему можно прикладывать или отбрасывать уравнове- по нормали к этой поверхности (перпен шенную систему сил. дикулярна общей касательной).

Следствие. Точку приложения силы можно переносить вдоль линии действия силы.

12 ЛЕКЦИЯ 1 ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТАТИКИ 2. Опорная точка (ребро):

Реакция перпендикулярна опирающейся поверхно сти.

6. Сферический шарнир:

3. Идеальная нить (гибкая, невесомая, нерас Такая связь не дает точке закрепления тела перемещаться ни в одном тяжимая):

из направлений. Положение реакции не определено, но она может быть Моделирует трос, канат, цепь, ремень,...

представлена тремя взаимно перпендикулярными составляющими.

Реакция идеальной нити направлена по нити к точке подвеса.

7. Подпятник:

Реакция данной связи задается аналогично предыдущему слу 4. Идеальный стержень (жесткий, невесо чаю.

мый стержень, на концах которого шарни ры):

Реакция связи направлена по стержню.

8. Жесткая заделка:

В отличие от нити стержень может работать и на сжатие.

5. Цилиндрический шарнир:

Такая связь препятствует перемещению и повороту вокруг точки за крепления. Контакт тела со связью осуществляется по поверхности. Имеем распределенную систему сил реакции, которая, как будет показано, может быть заменена одной силой и парой сил.

Аксиома освобождаемости от связей: Всякое несвободное тело можно считать свободным, если мысленно освободиться от связей, а их действие заменить соответствующими реакциями.

Такая связь позволяет телу перемещаться вдоль оси, поворачивать ся вокруг оси шарнира, но не позволяет точке закрепления перемещаться Литература:

в плоскости, перпендикулярной оси шарнира. Реакция лежит в плоскости, [1, § 1–3];

перпендикулярной оси шарнира, и проходит через нее. Положение этой [2, § 1–3];

реакции не определено, но она может быть представлена двумя взаимно [4, п. 1.1–1.4].

перпендикулярными составляющими.

СИСТЕМА СХОДЯЩИХСЯ СИЛ Модуль и направление равнодействующей определяются формулами:

2 2 R= Rx + Ry + Rz, ЛЕКЦИЯ Ry Rx Rz cos R, Ox =, cos R, Oy =, cos R, Oz =.

Система сходящихся сил R R R Условия равновесия системы сходящихся сил 1. Теорема о существовании равнодействующей сходящихся сил. Для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный на этих силах, был замкнут 2. Условия равновесия системы сходящихся сил.

(условие равновесия в геометрической форме).

3. Теорема о трех силах.

Для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно равенство нулю алгебраических сумм проекций всех сил данной системы Теорема о существовании равнодействующей на каждую из координатных осей (условие равновесия в аналитической сходящихся сил форме).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Силы называются сходящимися, если линии их Из теоремы о существовании равнодействующей условие равновесия действия пересекаются в одной точке.

эквивалентно равенству R = 0, т. е.

Теорема. Система сходящихся сил имеет равно действующую, которая равна геометрической сумме Rz = 0 или Rx = 0, Ry = 0, этих сил и проходит через точку пересечения их линий n n n действия.

Fkx = 0, Fky = 0, Fkz = 0.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. k=1 k=1 k= Перенесем все силы по линии действия в точ ку пересечения. Последовательно складывая по акси- Условие доказано.

оме 3: Эти условия позволяют определять неизвестные величины, в частно R12 = F1 + F2, R123 = R12 + F3 и т. д., находим сти, реакции связей. Число неизвестных для произвольно расположенной в пространстве системы сходящихся сил не должно превышать трех.

n R= Fk. Задача статики о равновесии называется статически определимой, если количество неизвестных не превышает количества уравнений. Ина k= че задача статически неопределима и методами статики не решается. Для Теорема доказана.

плоской системы сходящихся сил количество независимых условий (или Геометрически равнодействующая может быть уравнений) равновесия равно двум:

найдена как замыкающая сторона силового много угольника.

Аналитически по проекциям на оси координат n n n n n Fkx = 0, Fky = 0.

Rx = Fkx, Ry = Fky, Rz = Fkz. k=1 k= k=1 k=1 k= 16 ЛЕКЦИЯ Теорема о трех силах Теорема. Если твердое тело находится в равновесии под действием ЛЕКЦИЯ трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости, то линии действия этих сил пересекаются в одной точке.

Момент силы относительно центра ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

и оси. Пары сил Т. к. силы не параллельны, то F12 = F1 + F2. По условию F1, F2, F3 0, следовательно, F3, F12 и сила F3 проходит через точку C. Теорема доказана.

1. Момент силы относительно центра и оси.

Литература:

2. Способы вычисления момента силы относительно оси.

[1, § 4–7];

[2, § 4–11];

3. Пара сил.

[4, п. 2.1–2.3]. 4. Теоремы о парах.

5. Условие равновесия системы пар.

Момент силы относительно центра и оси Действие силы на твердое тело, закрепленное в одной точке, заклю чается в стремлении повернуть его вокруг точки закрепления. Для харак теристики вращательного действия силы вводится понятие момента силы относительно центра (или точки).

Моментом силы относительно цен тра называется векторное произведение ради ус-вектора точки приложения силы на вектор силы.

mO F = r F.

Вектор момента направлен перпендикуляр но плоскости, в которой лежат сила и точка, в ту сторону, откуда поворот от действия силы виден происходящим против хода часовой стрелки. Вектор момента характеризует положение плоскости и направление вращательного действия силы, а также дает меру этого действия:

mO F = rF sin F, r = F h, h — плечо силы (кратчайшее расстояние от центра момента до линии дей ствия силы). Если сила проходит через точку, то ее момент относительно этой точки равен нулю.

18 ЛЕКЦИЯ 3 МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА И ПАРЫ ОСИ. СИЛ 2. Геометрический Провести плоскость, перпендикуляр ную данной оси (Oz), спроектировать силу на эту плоскость и вычислить момент про екции F относительно точки O — точки пересечения оси z с плоскостью.

Момент положителен, если глядя с по Если силы расположены в одной плоско- ложительного направления оси вращение сти, то используется понятие алгебраического видно происходящим против хода часовой момента силы. Алгебраическим моментом си- стрелки. Момент силы относительно оси равен нулю, если сила параллель лы относительно центра называется взятое со на оси или линия действия силы пересекает ось.

знаком плюс или минус произведение модуля При вычислении момента силы ее бывает удобно предварительно раз силы на плечо. Знак плюс выбирается в том ложить на составляющие и находить момент каждой составляющей отдель случае, если сила стремится поворачивать плос- но. При этом момент равнодействующей равен сумме моментов составля кость относительно центра момента против хо- ющих. (Для общего случая это доказывается в лекции 6.) да часовой стрелки.

Для характеристики вращательного дей Пара сил ствия силы на тело, закрепленное на оси, служит момент силы относи тельно оси — алгебраическая величина, равная проекции вектора момента Система двух равных по модулю параллельных сил, силы относительно произвольной точки оси на эту ось:

направленных в противоположные стороны, — пара сил (неупрощаемая система сил). h — плечо пары расстояние mz F = npz mO F.

между линиями действия сил.

Для характеристики действия пары сил на твердое тело вводится понятие момента пары.

Способы вычисления момента силы относительно оси Вектор момента пары сил равен вектор ному моменту одной из сил пары относительно 1. Аналитический точки приложения другой силы:

По правилу вычисления векторного произведения:

m F, F = mA F = mB F, i jk mO F = r F = = m F, F = F AB sin = F h.

xyz Fx Fy Fz Он направлен перпендикулярно плоско = yFz zFy i + zFx xFz j + xFy yFx k.

сти действия пары в ту сторону, откуда видно, что вращение происходит против хода часовой стрелки.

Откуда Момент пары — это свободный вектор, и, как будет видно из даль mx F = yFz zFy, нейшего изложения, он полностью определяет действие пары на твердое my F = zFx xFz, тело.

Для пар, расположенных в одной плоскости, используется понятие ал mz F = xFy yFx.

гебраического момента пары.

20 ЛЕКЦИЯ 3 МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА И ПАРЫ ОСИ. СИЛ Алгебраический момент пары сил равен алгебраическому моменту ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

одной из сил пары относительно точки приложения другой силы или, что Выберем в плоскости действия пары сил {F, F } произвольный отре то же самое, равен взятому со знаком плюс или минус произведению мо- зок A1 B1 и восстановим перпендикуляры в его концах до пересечения с дуля одной из сил пары на плечо. Момент пары положителен, если пара линиями действия сил F и F.

стремится повернуть плоскость против хода часовой стрелки. Перенесем силы F и F по линиям их действия в точки C и E Суммарное вращательное действие сил, составляющих пару, определя- и разложим на составляющие F {P, Q} и F {P, Q }. Система ется следующей теоремой:

сил {P, P } 0, а силы Q и Q образуют пару сил и могут быть пере несены по линиям их действия в точки A1 и B1.

Теорема. Сумма моментов сил пары относи В результате эквивалентных преобразований пара сил { F, F } заме тельно произвольной точки равна моменту пары.

нена парой сил {Q, Q }, момент которой равен моменту заданной пары.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Действительно, рассматривая площадь параллелограмма CDEF Возьмем произвольную точку O. Сумма мо ментов сил пары относительно точки O: mO F + SCDEF = h1 CF = h2 CD, +mO F = OAF +OBF, так как F = F, то из подобия соответствующих треугольников mO F + mO F = OA OB F = BA F = = m F, F.

CF = CD Теорема доказана. = h1 |F | = h2 |Q|.

|F | |Q| Основные свойства пар (правила их эквивалентного преобразования) даются следующими тремя теоремами:

Теорема доказана.

Теорема 2. Пару сил, действующую на твердое тело, можно перено Теоремы о парах сить в любую плоскость, параллельную плоскости ее действия.

Теорема 1. Пару сил, приложенную к твердому телу, можно переме щать в плоскости действия, сохраняя при этом ее момент.

22 ЛЕКЦИЯ 3 МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА И ПАРЫ ОСИ. СИЛ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Плечо AB пары сил {F, F }, лежащей в плоскости 1, переместим Рассмотрим две пары {F1, F1 } и {F2, F2 } с моментами m1 и m2, ле параллельно в положение A1 B1 на плоскости 2 и приложим систему сил жащие в пересекающихся плоскостях 1 и 2. Пользуясь теоремой 1, пе ренесем пары так, чтобы силы были приложены в точках A и B на линии {F1, F1, F2, F2 } 0, равных по модулю F.

пересечения плоскостей.

Силы F, F1 имеют равнодействующую R = 2F, которая приложена По правилу сложения сил имеем в точке пересечения диагоналей параллелограмма ABA 1 B1. Силы F, F также имеют равнодействующую R = 2F, которая направлена в противо- R {P, Q} и R {P, Q }.

положную сторону. Т. е.

Система сил {R, R } образует пару. Момент этой пары {F, F1, F, F1 } {R, R } 0. m(R, R ) = BA R = BA (P + Q) = BA P + BA Q, По второй аксиоме статики где {F, F } {F, F, F1, F1, F2, F2 } {R, R, F2, F2 } {F2, F2 }. BA P = m2, BA Q = m1.

Т. е.

В результате эквивалентных преобразований пары сил { F, F } заме m(R, R ) = m2 + m1.

нена парой сил {F2, F2 } в параллельной плоскости, которая имеет тот же Теорема доказана.

момент и стремится повернуть тело в том же направлении.

В частном случае:

Теорема доказана.

Две пары, лежащие в одной плоскости, эквивалентны одной паре, мо Теорема 3. Две пары, действующие на твердое тело и лежащие в мент которой равен алгебраической сумме моментов составляющих пар.

пересекающихся плоскостях, эквивалентны одной паре, момент которой Из теоремы следует, что любую систему пар можно заменить одной равен геометрической сумме моментов составляющих пар.

парой, момент которой равен сумме моментов составляющих пар. Это поз воляет получить условие равновесия системы пар.

Условие равновесия системы пар Для равновесия системы пар, действующих на твердое тело, необходи мо и достаточно, чтобы сумма моментов пар равнялась нулю:

n mk = 0 — в случае пространственной системы пар;

k= n mk = 0 — для системы пар, расположенных в одной плоскости.

k= Литература:

[1, § 8–10, 14];

[2, § 13–22];

[4, п. 3.1–3.4].

ЛЕММА ПУАНСО Сила равна главному вектору системы сил и приложена в произвольно вы бранной точке (центре приведения), момент пары равен главному моменту ЛЕКЦИЯ 4 системы сил относительно этой точки.

Главным вектором R системы сил называется геометрическая сумма Основная теорема статики n всех сил системы R = Fk, k= 1. Лемма Пуансо. n n n Rx = Fkx, Ry = Fky, Rz = Fkz ;

2. Основная теорема статики. (Теорема Пуансо.) 3. Условия равновесия произвольной пространственной системы сил. k=1 k=1 k= 4. Условия равновесия системы параллельных сил. 2 2 R= Rx + Ry + Rz.

5. Условия равновесия произвольной плоской системы сил.

Главным моментом MO системы сил относительно данного центра Лемма Пуансо1 называется сумма моментов всех сил системы относительно этого центра:

n m O Fk.

MO = Лемма. Не изменяя действия силы на k= Главный момент определяется своими проекциями на оси координат:

твердое тело, ее можно переносить парал лельно самой себе в любую точку тела, до- n n бавляя при этом пару, момент которой ра MOx = mOx Fk, MOy = mOy Fk, вен моменту данной силы относительно но k=1 k= вой точки приложения. n ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. MOz = mOz Fk, К телу в точке A приложена си- k= ла F. Добавим в точке B уравновешен или, с учетом определения момента силы относительно оси:

ную систему сил: F, F 0, F = F = F, F F, F, F F, F, F. F, F — пара сил с моментом n n n MOx = mx F k, MOy = my F k, MOz = mz F k, m F, F = mB F.

k=1 k=1 k= Лемма доказана.

2 2 MO = MOx + MOy + MOz.

Основная теорема статики. (Теорема Пуансо) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Теорема. Произвольную систему сил, действующую на твердое тело, Точка O — центр приведения. По лемме Пуансо перенесем силу F можно заменить эквивалентной системой, состоящей из силы и пары сил.

в точку O: F1 = F1, m1 = mO F1.

1 Пуансо Луи (3.1.1777–5.12.1859) — франц. математик и механик, член Французской АН.

Аналогично перенесем все остальные силы. Fk = Fk, mk = mO Fk.

Основные исследования посвящены теории чисел и механике. В работах по механике исполь зовал геометрические методы;

предложил теорию пар сил. Исследовал вращение твердого тела В результате получим систему сходящихся сил и систему пар сил. По вокруг неподвижной точки.

теореме о существовании равнодействующей системы сходящихся сил их 26 ЛЕКЦИЯ 4 ЛЕММА ПУАНСО Условия равновесия могут быть использованы для решения задач на равновесие при определении неизвестных величин (реакций связей). Чтобы задача была статически определимой, число неизвестных должно быть не более шести.

Условия равновесия системы параллельных сил n можно заменить одной силой R = Fk, равной главному вектору. Систе k= му пар по теореме о сложении пар можно заменить одной парой, момент n которой равен главному моменту MO = mO Fk. Теорема доказана.

k= Для системы параллельных сил условиями равновесия являются ра Условия равновесия произвольной пространственной венства:

системы сил n n n Из основной теоремы статики вытекает условие равновесия произволь- Fkz = 0, mx Fk = 0, my Fk = 0.

ной системы сил. k=1 k=1 k= Для равновесия произвольной пространственной системы сил необхо Условия равновесия произвольной плоской системы сил димо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент системы равнялись нулю:

Плоская система сил — это такая система, все силы которой лежат в одной плоскости.

R = 0, MO = 0.

В этом случае в результате приведения получаем силу и пару, лежа В аналитической форме: щие в одной плоскости. Главный вектор плоской системы сил определяется его проекциями на две координатные оси, а главный момент является ска Для равновесия произвольной пространственной системы сил необхо ляром и находится как алгебраическая сумма моментов всех сил системы димо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на три координатные относительно выбранного центра приведения.

оси и суммы моментов всех сил относительно этих осей были равны нулю:

Для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы n n n главный вектор и главный момент системы равнялись нулю:

Fkx = 0, Fky = 0, Fkz = 0, n n n k=1 k=1 k= Fkx = 0, Fky = 0, mO Fk = 0.

n n n mx Fk = 0, my Fk = 0, mz Fk = 0. k=1 k=1 k= k=1 k=1 k= 28 ЛЕКЦИЯ Условия равновесия плоской системы сил могут быть записаны в следую щих эквивалентных формах:

ЛЕКЦИЯ n n n Fkx = 0, mA Fk = 0, mB F k = Равновесие плоской системы сил k=1 k=1 k= (отрезок AB не перпендикулярен оси Ox).

1. Равновесие системы тел.

n n n 2. Расчет плоских ферм.

mA Fk = 0, mB Fk = 0, mC F k = 3. Равновесие при наличии трения скольжения. Законы Амонтона – Ку k=1 k=1 k= лона.

(точки A, B, C не лежат на одной прямой). 4. Равновесие при наличии трения качения.

Литература:

Равновесие системы тел [1, § 11–13, 15, 16, 30];

[2, § 19–25, 30];

Если в равновесии находится не одно тело, а система тел, то для опре [4, п. 4.1–4.4, 5.1–5.3, 7.3]. деления всех неизвестных величин необходимо расчленять систему, вводя в рассмотрение реакции внутренних связей. При этом возможны два спо соба составлений уравнений равновесия. Проиллюстрируем их применение на примере равновесия двух тел.

Первый способ (рассмотреть равновесие конструкции и одной ее ча сти):

Количество неизвестных реакций внешних связей превышает количе ство уравнений равновесия плоской системы сил.

В этом случае помимо трех уравнений равновесия конструкции в целом составляются три дополнительных уравнения равновесия одной из частей конструкции.

30 ЛЕКЦИЯ 5 РАВНОВЕСИЕ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ СИЛ n Второй способ (рассмотреть равновесие каждой части конструкции). Fkx = 0 XA + P = 0, Способ выбираем из соображений удобства решения системы уравне- k= n ний равновесия. Fky = 0 YA + YB = 0, k= n mA Fk = 0 P · CE + YB · 3AE = 0.

Расчет плоских ферм k= Отсюда YB = 10 кН, YA = 10 кН, XA = 30 кН.

Ферма — жесткая (геометрически неизменяемая) конструкция из Определив реакции в т. A и в т. B, рассмотрим последовательно равно стержней, соединенных между собой шарнирами. Шарнирные соединения весие каждого узла, мысленно отбросив сходящиеся в них стержни и заме называются узлами.

нив их действия реакциями (усилиями). Полагая, что стержни растянуты, Задачей расчета ферм является определение реакций внешних связей направим их усилия от узлов.

и усилий в стержнях. Основные допущения — это идеальность стержней фермы и распределение внешней нагрузки по ее узлам.

У статически определимых ферм количество стержней s и количество узлов n связаны соотношением: s = 2n 3. Это равенство получается из того факта, что добавление к простейшей треугольной ферме каждого нового узла требует двух стержней: s = 2(n 3) + 3.

Основные методы расчета усилий в стержнях плоских ферм: метод вы резания узлов (последовательно вырезаются узлы, в которых сходится не Покажем каждый узел в отдельности и составим уравнения их равно более двух стержней с неизвестными усилиями, и составляются уравнения весия: n равновесия системы сходящихся сил) и метод сечений (Риттера) (произ водится сечение фермы по трем стержням с неизвестными усилиями и Fkx = 0 XA + S1 cos 45 + S2 = 0, составляются уравнения равновесия одной части фермы). k= n YA + S1 sin 45 = 0, Fky = ПРИМЕР. k= n Fkx = 0 P S1 cos 45 + S4 = 0, k= n S1 cos 45 S3 = 0, Fky = k= S1 = S 1, и т. д.

Для иллюстрации метода Риттера рассечем ферму по 4, 5 и 6 стержню и Дано: P = 30 кН, AE = EC = EF = F B = 2 м. Найти усилия рассмотрим равновесие правой части. Действие отброшенной части фермы в стержнях.

заменяется соответствующими реакциями.

Вначале определим опорные реакции:

32 ЛЕКЦИЯ 5 РАВНОВЕСИЕ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ СИЛ n Рассмотрим равновесие тела на шероховатой S5 sin 45 + YB = 0, Fky = поверхности под действием силы P.

k= n n mD Fk = 0 YB · F B S6 · F D = 0, Fkx = 0 P sin Fmp = 0, k= n k= n mE F k = 0 YB · 2F B + S4 · F D = 0.

Fky = 0 P cos + N = 0.

k= k= Получаем:

Следовательно, S5 = 10 2 кН, S6 = 10 кН, S4 = 20 кН. max Fmp Fmp tg = = f = tg, Знак минус означает, что соответствующий стержень работает на сжа- N N тие. При определении усилий в стержнях по методу сечений составляются tg tg,.

уравнения равновесия, в каждое из которых входит по одной неизвестной.

Никакая сила, лежащая внутри конуса трения, не может вывести тело из состояния покоя.

Равновесие при наличии трения скольжения. Законы Амонтона – Кулона Равновесие при наличии трения качения При стремлении сдвинуть тело, лежащее на ше Трением качения называется сопротивление, возникающее при каче роховатой поверхности, возникает сила реакции, ко нии одного тела по поверхности другого.

торая имеет две составляющие — нормальную и си лу трения скольжения.

В результате экспериментальных исследований были установлены: Законы Амонтона1 – Кулона2 :

1. Сила трения скольжения при равновесии тела принимает значения от нуля до максимального значения.

2. Максимальное значение силы трения скольжения не зависит от пло щади контакта, а определяется величиной нормальной реакции, материалом max и состоянием контактирующих поверхностей. F mp = f N, где f — коэф фициент трения скольжения.

Конус трения — поверхность, образован- Вследствие деформации тел их касание происходит вдоль площад ная линией действия максимальной реакции при ки AB и имеем распределенную систему сил реакции, которая может быть стремлении сдвинуть тело в различных направ- заменена силой и парой. Сила раскладывается на две составляющие — нор max Fmp fN мальную и силу трения скольжения. При равновесии тела момент сопротив лениях: tg = = f, = N N ления качению определяется из условий равновесия системы сил. При этом установлено, что момент сопротивления принимает значения от нуля до tg = f.

максимального значения. Максимальное значение момента сопротивления, соответствующее началу качения, определяется равенством 1 Амонтон Гийом (31.08.1663–11.10.1705) — франц. механик и физик, член Француз ской АН. Работы по теории трения и термометрии.

Mc max = N, 2 Кулон Шарль Огюстен (14.07.1736–13.08.1806) — франц. физик, механик, инженер, член Французской АН. Исследования по строительной механике, гидравлике, теории трения, сопро- где — коэффициент трения качения (по аналогии с трением скольжения).

тивлению материалов, один из основателей электростатики.

34 ЛЕКЦИЯ Коэффициент трения качения имеет размерность длины, зависит от материала контактирующих тел и геометрии зоны контакта.

ЛЕКЦИЯ Литература:

[1, § 18, 22, 23–25, 27];

Инварианты статики [2, § 35, 36, 39];

[4, п. 5.4, 5.8, 6.1–6.2].

1. Инварианты статики.

2. Частные случаи приведения произвольной системы сил.

3. Теорема Вариньона.

Инварианты статики Инварианты статики — характеристики системы сил, не зависящие от выбора центра приведения.

Первый инвариант статики — главный вектор системы сил (по опре делению).

Второй инвариант статики — скалярное произведение главного век тора и главного момента.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Главный момент зависит от выбора центра при ведения. Рассмотрим произвольную систему сил F1, F2,..., Fn. Главный момент системы сил n относительно центра O: MO = m O Fk = = n k= rk Fk, главный момент относительно нового = k= центра приведения O1 :

n n rk Fk, где rk = O1 O + rk. Тогда M O1 = m O1 F k = k=1 k= n n n M O1 = O 1 O + r k Fk = O 1 O Fk + r k Fk = k=1 k=1 k= n n r k Fk = O 1 O R + M O и = O1 O Fk + k=1 k= 36 ЛЕКЦИЯ 6 ИНВАРИАНТЫ СТАТИКИ С учетом зависимости главного момента от выбора центра приведе M O1 = M O + m O1 R ния MO = MO1 + r R, но MO1 = 0, и векторное уравнение линии дей — главный момент системы сил относительно нового центра приведения ствия равнодействующей имеет вид: MO r R = 0, или в координатной равен сумме главного момента относительно старого центра приведения форме:

и момента главного вектора, приложенного в старом центре приведения, MOx (yRz zRy ) = 0, относительно нового центра.

MOy (zRx xRz ) = 0, Умножив скалярно обе части последнего равен ства на главный вектор, получим MOz (xRy yRx ) = 0.

MO1 · R = MO · R + O1 O R · R;

б) R · MO = 0 — система сил приводится к силе и паре, не лежащих в одной плоскости.

так как O1 O R R, O1 O R · R = 0, Разложим главный момент так, чтобы MO = следовательно, MO1 · R = MO · R, т. е. MO · R = const — второй инвариант = M1 + M2, M1 R. Для составляющей M1 про статики. Утверждение доказано. водим аналогичные предыдущему случаю рассу MO · R = MO R cos, MO cos = const. Из этого следует, что инва- MO sin M ждения. Тогда: hR = M1, h = = риантом является и проекция главного момента на направление главного R R и в центре O1 имеем силу и пару, лежащую в плос вектора.

кости, перпендикулярной силе, которые образу ют силовой (динамический) винт. Момент этой Частные случаи приведения произвольной системы сил пары равен проекции главного момента на на правление главного вектора (не зависит от выбора По инвариантам статики можно судить о возможных частных случаях центра приведения) M2 = m F, F = MO cos приведения исходной системы сил. Rx M x + R y M y + R z M z или M2 =.

1. R = 0, MO = 0. Система сил приводится к одной силе — равно- R действующей, при этом линия действия равнодействующей проходит через При перемене центра приведения MO = центр приведения.

= MO1 + r R, но MO1 = M2, следовательно 2. R = 0, MO = 0. Исходную систему сил можно заменить двумя M2 = MO r R. Так как M2 R, то M2 = силами, образующими пару сил.

M cos M2 R 3. R = 0, MO = 0. Система сил приводится к силе и паре. = k R, где k =. Тогда векторное уравнение центральной =O 2 R R а) R · MO = 0, т. е. R MO — пара и сила винтовой оси (линии в точках которой заданная система сил приводится к лежат в одной плоскости. Выбирая силы, состав- динамическому винту) имеет вид:

ляющие пару R, R, R = R = R, находим MO MO cos ее плечо: hR = M0, h =. или в координатной форме:

R = MO r R, R R Силы R и R образуют уравновешенную си стему сил. В результате исходная система сил при MOy (zRx xRz ) MOx (yRz zRy ) MOz (xRy yRx ) водится к равнодействующей R, R, R R,.

= = Rx Ry Rz которая проходит через точку O1, отстоящую от центра приведения на расстоянии, равном отношению главного момента к главному вектору. 4. R = 0, MO = 0 — уравновешенная система сил.

38 ЛЕКЦИЯ Теорема Вариньона Теорема. Если система сил имеет равнодействующую, то ее момент ЛЕКЦИЯ относительно любого центра (или оси) равен сумме моментов всех сил системы относительно того же центра (или оси).

Центр параллельных сил и центр ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

F1, F2,..., Fn R, пусть O1 — точка на ли- тяжести нии действия равнодействующей. Как было доказано:

MO = MO1 + mO R, но MO1 = 0, следовательно, n 1. Центр параллельных сил.

mO R = m O Fk.

k= 2. Центр тяжести твердого тела.

В проекции на ось, проходящую через центр O, Центр параллельных сил n mx F k.

mx R = Рассмотрим систему параллельных k= сил F1, F2,..., Fn.

Теорема доказана. При повороте всех сил системы на один и тот же угол линия действия равно Литература: действующей системы параллельных сил [1, § 12, 13, 28, 29];

повернется в ту же сторону на тот же угол [2, § 41, 42, 44–47];

вокруг некоторой точки. Эта точка назы [4, п. 7.1–7.2]. вается центром параллельных сил. Для определения координат центра параллель ных сил воспользуемся теоремой Вариньо на о моменте равнодействующей относи тельно оси. Относительно оси x:

n mx R = mx F k, k= n и yC R = y k Fk k= n y k Fk k= yC =.

n 1 Вариньон Пьер (1654–22.12.1722) — франц. математик и механик, член Французской АН. Fk Труды по геометрии и статике. k= 40 ЛЕКЦИЯ 7 ЦЕНТР ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ И ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ n n Откуда, проектируя на оси и переходя к пределу, получаем координаты Относительно оси y: my R = my F k, x C R = xk Fk или xC = центра тяжести однородного объема:

n k=1 k= xk Fk n k=. Чтобы определить координату zC повернем все силы на 90 так, = 1 Vk xk = n xC = lim x dV, Fk Vk 0 V V k= k=1 (V ) чтобы они стали параллельны оси y. Тогда n 1 Vk yk = yC = lim y dV, n V V z k Fk Vk n n k=1 (V ) k= и zC = mz R = mz F k, zC R = z k Fk.

n n 1 Vk zk = Fk k=1 k= zC = lim z dV.

Vk 0 V V k= k=1 (V ) Следовательно, формула для определения радиус-вектора центра па Аналогично для координат центра тя раллельных сил принимает вид жести однородной поверхности:

n n Fk r k 1 Sk xk = xC = lim x dS, k=. Sk 0 S S rC = n k=1 (S) Fk n k= 1 Sk yk = yC = lim y dS, S S Sk k=1 (S) Центр тяжести твердого тела n 1 Sk zk = zC = lim z dS;

Центр тяжести твердого тела — S S Sk это центр параллельных сил тяжести k=1 (S) частиц данного тела. и координат центра тяжести однородной линии:

n Pk r k n k= xC = lim 1 lk xk = rC =. x dl, P lk 0 L L k=1 (L) Для однородного тела положение n центра тяжести тела не зависит от ма yC = lim 1 lk yk = 1 y dl, териала, а определяется геометриче- lk 0 L L ской формой тела. k=1 (L) — удельный вес однородного тела, Pk = Vk, P = V. Подставив n zC = lim 1 lk zk = эти значения в формулу для определения rC, имеем z dl.

lk 0 L L k=1 (L) n Vk rk Способы нахождения координат центра тяжести:

k=.

rC = V 1. Аналитический (интегрированием).

42 ЛЕКЦИЯ 7 ЦЕНТР ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ И ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ 2. Метод симметрии 4. Конус.

Рассмотрим однородный конус с ра • Если тело имеет плоскость или ось симметрии, то центр тяжести диусом основания R и высотой H. Поме лежит на этой плоскости или оси.

стим начало координат в центр основания • Если тело имеет две оси симметрии, то центр тяжести лежит конуса и ось z совместим с осью конуса.

в точке пересечения этих осей.

Оси x и y лежат в плоскости основа 3. Экспериментальный (метод подвешивания тела).

ния конуса и из соображений симметрии 4. Метод разбиения на части. xC = 0, yC = 0.

Координату zC определяем аналити Разновидность метода разбиения на части — метод отрицательных пло чески щадей и объемов (для тел с полостями).

zC = 1 z dV.

Центры тяжести простейших фигур: V 1. Треугольник. (V ) Центр тяжести площади треугольника совпа- Разбиваем конус горизонтальными плоскостями на элементарные объ дает с точкой пересечения его медиан. емы, которые в пределе, при увеличении количества элементов разбиения, DM = M B, CM = 1 AM. можно принять за диски толщины dz. Выделим элементарный диск на рас стоянии z от основания конуса. Радиус элементарного диска (из подобия 2. Дуга окружности.

R(H z) Дуга имеет ось симметрии. Центр тяжести ле- треугольников) r =, а его объем H жит на этой оси, т. е. yC = 0. xC = 1 x dl, dl — L (L) R2 (H z) элемент дуги, dl = R d, R — радиус окружности, dV = r2 dz = dz.

H x = R cos, L = 2R, Тогда xC = 1 R cos R d = R sin = R sin.

2R 2R H R2 (H z) zC = 1 z dz = Следовательно:

H V xc = R sin. H R2 z 2 2R2 z 3 + R2 z 4 =1 = R H.

3. Круговой сектор. 2 4H V 3H 12V Рассмотрим круговой сектор радиуса R с цен- тральным углом 2. Сектор имеет ось симметрии Ox, Так как V = 1 R2 H, то на которой находится центр тяжести. Разбиваем сек- тор на элементарные секторы, которые можно счи zC = H.

тать треугольниками. Центры тяжести элементарных секторов располагаются на дуге окружности радиу 5. Шаровой сектор.

са 2 R. Центр тяжести сектора совпадает с центром тяжести дуги AB. Рассмотрим однородный шаровой сектор радиуса R с углом между образующей и осью симметрии.

xc = 2 R sin. Поместим начало координат в центр шара и направим ось z по оси симметрии. Из соображений симметрии xC = 0, yC = 0.

44 ЛЕКЦИЯ Координату zC определяем аналитиче ски zC = 1 z dV.

ЛЕКЦИЯ V (V ) Кинематика точки Переходя к сферическим координатам (z = = r cos, dV = r 2 sin d d dr), находим 2 R zC = 1 r3 cos sin dr, d d 1. Задачи кинематики точки.

V 0 0 2. Способы задания движения точки в заданной системе отсчета.

V = 2 R3 (1 cos ).

где 3. Скорость точки.

4. Ускорение точки.

Откуда 5. Определение скорости и ускорения точки при координатном способе zC = 3 R(1 + cos ). задания движения.

В частности, для центра тяжести полушара Задачи кинематики точки zC = 3 R. 1. Описание способов задания движения точки.

2. Определение кинематических характеристик движения точки (ско рости, ускорения) по заданному закону движения.

Литература: Задать движение — это дать способ, с помощью которого можно опре [1, § 31–35];

делить положение точки в любой момент времени по отношению к выбран [2, § 53–60];

ной системе отсчета.

[4, п. 8.1–8.4].

Способы задания движения точки в заданной системе отсчета 1. Векторный способ задания движения.

Положение точки определяется ради ус-вектором, проведенным из неподвижной точки в выбранной системе отсчета.


r = r(t) — векторное уравнение движения точки.

46 ЛЕКЦИЯ 8 КИНЕМАТИКА ТОЧКИ Скорость точки — это кинематическая мера ее движения, равная про 2. Координатный способ задания движения.

изводной по времени от радиус-вектора этой точки в рассматриваемой си В этом случае задаются координаты стеме отсчета точки как функции времени:

v = dr.

x = f1 (t), — уравнения движения dt точки в координатной y = f2 (t), Вектор скорости направлен по касательной к траектории точки в сторону форме. движения.

z = f3 (t) Это и параметрические уравнения тра ектории движущейся точки, в которых Ускорение точки роль параметра играет время t. Чтобы записать ее уравнение в явной форме, Среднее ускорение aср = v характе надо исключить из них t. Например, в случае плоской траектории t ризует изменение вектора скорости за ма x = f1 (t), лый промежуток времени t. Ускорение точки y = f2 (t), в данный момент времени a = lim v = dv.

исключив t, получим:

t dt t F (x, y) = 0 или y = (x). Ускорение точки — это мера изменения Для задания движения точки могут быть использованы другие системы ее скорости, равная производной по времени координат — цилиндрическая, сферическая, полярная и т. д. от скорости этой точки или второй производной от радиус-вектора точки по времени. Ускорение точки характеризует изменение вектора скорости по 3. Естественный способ задания движения.

величине и направлению и направлено в сторону вогнутости траектории.

Задаются:

• Траектория точки. a = dv = d 2.

r • Начало отсчета на траектории с указанием по- dt dt ложительного направления отсчета.

• Закон изменения дуговой координаты:

Определение скорости и ускорения точки при s = f (t). координатном способе задания движения Этим способом удобно пользоваться в том случае, когда траектория точки Связь векторного способа задания движе заранее известна.

ния и координатного дается соотношением r = = xi + y j + z k. Из определения скорости: v = Скорость точки dy = dr = d xi + y j + z k = dx i + j + dz k.

Рассмотрим перемещение точки за dt dt dt dt dt Проекции скорости на оси координат рав малый промежуток времени t : r = ны производным соответствующих координат = r(t + t) r(t). Тогда vср = r/t — по времени средняя скорость точки за промежуток времени t. Скорость точки в данный vx = x, vy = y, vz = z.

момент времени Точкой сверху здесь и в дальнейшем обозначается дифференцирование по v = lim r = dr.

времени.

t0 t dt 48 ЛЕКЦИЯ Модуль и направление скорости определяются выражениями:

ЛЕКЦИЯ 2 2 |v| = x + vy + vz, vy vx vz cos v, i = v, cos v, j = v, cos v, k = v.

Скорость и ускорение точки при естественном способе задания движения Из определения ускорения:

a = dv = d xy + yj + z k = xi + y j + z k.

dt dt 1. Естественные оси.

Проекции ускорения на оси координат равны вторым производным соот 2. Определение скорости и ускорения точки при естественном способе ветствующих координат по времени:

задания движения.

az = z.

ax = x, ay = y, Естественные оси Модуль и направление ускорения определяются выражениями:

Естественные оси (касательная, главная нормаль, бинормаль) — это a2 + a2 + a2, |a| = оси подвижной прямоугольной системы координат с началом в движущейся x y z точке. Их положение определяется траекторией движения.

ay ax az cos a, i = a, cos a, j = a, cos a, k = a. Касательная (с единичным векто ром ) направлена по касательной в по ложительном направлении отсчета ду говой координаты и находится как пре Литература:

дельное положение секущей, проходя [1, §36–40];

щей через данную точку.

[2, §62–66, 68, 70, 71, 76];

Через касательную проходит со [4, п. 9.1–9.6].

прикасающаяся плоскость, которая находится как предельное положение плоскости при стремлении точки M к точке M. Нормальная плоскость перпендикулярна касательной. Линия пересечения нормальной и соприкасаю щейся плоскостей — главная нормаль.

Единичный вектор главной нормали n направлен в сторону вогнутости траек тории.

Бинормаль с единичным вектором b направлена перпендикулярно ка сательной и главной нормали так, что орты, n и b образуют правую систему координат.

50 ЛЕКЦИЯ 9 СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ... Координатные плоскости введенной подвижной системы координат где a = s = v — алгебраическое значение касательного ускорения (про (соприкасающаяся, нормальная и спрямляющая) образуют естественный екция вектора ускорения на касательную) характеризует изменение ско трехгранник, который перемещается вместе с движущейся точкой, как рости по величине;

an = v — нормальное ускорение (проекция вектора твердое тело. Его движение в пространстве определяется траекторией и за ускорения на главную нормаль) характеризует изменение скорости по на коном изменения дуговой координаты.

правлению. Вектор ускорения всегда лежит в соприкасающейся плоскости и проекция ускорения на бинормаль равна нулю (a b = 0).

Определение скорости и ускорения точки при естественном способе задания движения Из определения скорости точки v = dr = lim r = lim r s, t0 t t0 s t dt где lim r =, — единичный вектор касательной.

s t Тогда: Движение точки ускоренное, если знаки проекций векторов скорости и ускорения на касательную совпадают.

v = ds, v = s.

dt Литература:

Алгебраическая скорость v = s — проекция вектора скорости на [1, § 42–43];

касательную, равная производной от дуговой координаты по времени. Если [2, § 67, 72, 73, 75];

производная положительна, то точка движется в положительном направле [4, п. 9.4–9.6.].

нии отсчета дуговой координаты.

Из определения ускорения a = dv = d s = s + s d, dt dt dt — переменный по направлению вектор и d = d ds = s d. Производ dt ds dt ds d определяется только свойствами траектории в окрестности данной ная ds точки, при этом d = n, n — единичный вектор главной нормали, — ds радиус кривизны траектории в данной точке.

Таким образом a = s + s n, т. е. вектор ускорения раскладывается на две составляющие — касательное и нормальное ускорения an = v n, a = a + an, a = s = v, ПРОСТЕЙШИЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА ЛЕКЦИЯ Простейшие движения твердого тела 1. Задачи кинематики твердого тела.

откуда следует одинаковость траекторий. Дифференцируя его по времени 2. Поступательное движение твердого тела.

дважды, установим равенство скоростей и ускорений:

3. Вращательное движение твердого тела.

d2 r A d2 r B 4. Определение скоростей и ускорений точек вращающегося тела. drA dr = B, =.

dt2 dt dt dt 5. Векторные выражения скорости и ускорения точки вращающегося тела.

Теорема доказана.

Для задания поступательного движения твердого тела достаточно за дать движение одной из его точек:

Задачи кинематики твердого тела xA = xA (t), 1. Описание способов задания движения твердого тела. — уравнения поступательного yA = yA (t), движения твердого тела.

2. Определение кинематических характеристик движения тела. zA = zA (t), 3. Определение кинематических характеристик движения отдельных то чек тела. Вращательное движение твердого тела Вращательное движение — это движение твер Поступательное движение твердого тела дого тела, имеющего две неподвижные точки. Пря мая, проходящая через эти точки, называется осью Поступательное движение твердого тела — это движение, при котором вращения. Положение тела определено, если задан любая прямая, связанная с телом, остается параллельной своему начально- угол между плоскостями 1 и 2, одна из которых му положению. неподвижна, а другая жестко связана с телом.

— уравнение вращательного Теорема. При поступательном движении твердого тела траектории, = (t) движения твердого тела.

скорости и ускорения точек тела одинаковы.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. За положительное направление отсчета прини В любой момент движения выполняется равенство: мается вращение против хода часовой стрелки, если смотреть с положительного направления оси враще ния z.

rB (t) = rA (t) + AB, AB = const;

54 ЛЕКЦИЯ 10 ПРОСТЕЙШИЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА Для характеристики изменения угла поворота с течением времени вво- Ускорение определяем как сумму:

дится величина, которая называется угловой скоростью, определяемая a = a + an, как предел средней угловой скорости, т. е. = — алгебраическая 2 R t an = v = угловая скорость. = 2 R, R R Вектор угловой скорости — это вектор, направленный по оси враще ния в ту сторону, откуда оно видно происходящим против хода часовой an = 2 R;

стрелки, с модулем, равным модулю алгебраической угловой скорости a = s = R = R, a = R.

= k, |a | |R| || a = R 2 + 4 — модуль ускорения, tg = an = 2 = 2.

где k — единичный вектор оси вращения. R Угловое ускорение — мера изменения угловой скорости. Определяется Касательное и нормальное ускорения при вращательном движении как предел среднего углового ускорения т. е. твердого тела называют также вращательным и центростремительным:

t a = aвр, an = a ц.

— алгебраическое значение == углового ускорения.

Векторные выражения скорости и ускорения точки вращающегося тела Вектор углового ускорения — производная вектора угловой скорости по времени Модуль скорости точки вращающегося те = d k = k. ла v = R = r sin равен модулю векторного dt произведения r. Направление скорости сов падает с направлением векторного произведения Если вектор углового ускорения совпадает по направлению с вектором уг r. Следовательно:

ловой скорости, то вращение тела ускоренное.

v = r — формула Эйлера. Определение скоростей и ускорений точек вращающегося Для получения векторных формул для ускоре ний точек вращающегося тела продифференци тела руем это выражение по времени.

Так как траектории точек вращающегося a = dv = d r = d r + dr = r + v.

тела — окружности, при определении скорости dt dt dt dt и ускорения удобно воспользоваться естествен ным способом задания движения. 1 Эйлер Леонард (15.04.1707–18.09.1783) — математик, механик, физик и астроном (род.


в г. Базеле, Швейцария). Академик Петербургской АН, член Парижской АН, Берлинской АН, Дуговая координата, определяющая поло Лондонского королевского общества. Научные интересы Эйлера относятся ко всем основным жение точки на траектории, связана с углом по- областям естествознания. Труды по вариационному исчислению, интегрированию обыкновен ворота равенством: s = R. Откуда: v = s = ных дифференциальных уравнений, степенным рядам, специальным функциям, дифференци альной геометрии, теории чисел, гидродинамике, небесной механике, теории теплоты, оптике = R = R, и по некоторым прикладным вопросам. Список трудов Эйлера содержит около 850 названий.

v = R. Заложил основы математической физики, механики твердого тела, механики машин. С по 1741 и с 1766 по 1783 г. жил и работал в Петербурге.

56 ЛЕКЦИЯ Воспользовавшись определением векторного произведения, нетрудно убедиться в том, что первое слагаемое — вращательное, а второе — центро стремительное ускорения. Т. е.

ЛЕКЦИЯ aвр = r, aц = v.

Сложное движение точки Литература:

[1, § 48, 49, 51];

[2, § 78–82,];

1. Основные понятия.

[4, п. 10.1–10.2].

2. Теорема о сложении скоростей.

3. Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса).

4. Ускорение Кориолиса.

Основные понятия Сложное движение точки (или тела) — движение, которое рассматри вается одновременно в разных системах отсчета.

O1 x y z — основная система координат.

Oxyz — подвижная система координат.

M — движущаяся точка.

Движение точки M по отношению к основной системе координат называется аб солютным движением.

Движение точки M по отношению к подвижной системе координат называется относительным движением.

Переносное движение — движение подвижной системы координат по отношению к основной.

Абсолютная скорость и абсолютное ускорение точки — это скорость и ускорение точки в основной системе координат:

v = dr, a = dv = d 2.

r dt dt dt Относительная скорость и относительное ускорение точки — это скорость и ускорение точки в подвижной системе координат:

= xi + y j + z k, 58 ЛЕКЦИЯ 11 ТЕОРЕМА О СЛОЖЕНИИ УСКОРЕНИЙ (ТЕОРЕМА КОРИОЛИСА) Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса) d vr = = xi + y j + z k, dt i,j,k=const Теорема. При непоступательном переносном движении абсолютное dvr ускорение точки находится как сумма трех ускорений: относительного, ar = = xi + y j + z k.

dt переносного и ускорения Кориолиса.

i,j,k=const Переносная скорость и переносное ускорение точки — это скорость и ускорение того места подвижной системы координат, с которым в данный a = a r + ae + ac, ac = 2e vr, момент совпадает движущаяся точка:

где e — угловая скорость переносного вращения.

ve = dr, ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

dt x,y,z=const По теореме о сложении скоростей:

v e = d r O + xi + y j + z k = rO + xi + y j + z k, dt v = rO + xi + y j + z k + xi + y j + z k.

x,y,z=const dve ae = = rO + xi + y j + z k. Дифференцируя по времени, находим:

dt x,y,z=const a = dv = rO + xi + y j + z k + 2 xi + y j + z k + xi + y j + z k.

Теорема о сложении скоростей dt Производные от постоянных по модулю единичных векторов опреде Теорема. При сложном движении точки абсолютная скорость равна ляются по формуле Эйлера:

сумме ее относительной и переносной скоростей. v = v r + ve.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

dj di = i, dk = k.

В каждый момент времени справедлива зависимость: = e j, e e dt dt dt r = rO + = rO + xi + y j + z k.

С учетом этого:

Тогда v = dr = d rO + xi + y j + z k = rO + xi + y j + z k + xi + yj + z k. x i + y j + z k = x e i + y e j + z e k = dt dt = e xi + y j + z k = e v r.

ve vr Теорема доказана.

В итоге: a = ar + ae + 2e vr = ar + ae + ac.

Теорема доказана.

ЗАМЕЧАНИЕ. В случае поступательного переносного движения ( e = = 0) абсолютное ускорение точки находится как сумма ее относительного и переносного ускорений.

Модуль скорости: v = 2 vr + ve + 2vr ve cos.

1 Кориолис Гюстав Гаспар (21.05.1792–19.09.1843) — франц. механик, член Парижской АН. Основные исследования относятся к аналитической механике. Дал определение понятия работы и ввел этот термин. Ввел понятие полного ускорения.

60 ЛЕКЦИЯ Ускорение Кориолиса Ускорение Кориолиса учитывает изменение относительной скорости, ЛЕКЦИЯ вызванное переносным движением, и изменение переносной скорости, вы званное относительным движением. Способы вычисления ускорения Ко Плоскопараллельное движение твердого риолиса:

1. По правилу векторного произведения тела ac = 2e vr, 1. Уравнения плоскопараллельного движения твердого тела.

ac = 2 e vr sin.

2. Определение скоростей точек тела при плоском движении.

2. По правилу Жуковского1.

3. Мгновенный центр скоростей (МЦС).

Для определения направления ускорения Кориолиса на 4. Способы нахождения МЦС.

до вектор относительной скорости спроектировать на плос кость, перпендикулярную оси вращения, и повернуть в сто- 5. Определение ускорений точек тела при плоском движении.

рону вращения на угол 90. 6. Мгновенный центр ускорений (МЦУ).

Литература:

Уравнения плоскопараллельного движения твердого тела [1, § 64–66];

[2, § 111–116];

Плоскопараллельное (плоское) движе [4, п. 13.1–13.4].

ние твердого тела — движение, при котором все точки тела движутся в плоскостях, па раллельных некоторой неподвижной плоско сти. Из определения следует, что перпендику ляр M A остается параллелен своему началь ному положению. По теореме о поступатель ном движении траектории, скорости и уско рения точек M и A совпадают. Таким обра зом исследование плоского движения твердого тела можно свести к рассмотрению движения плоской фигуры S в ее плоскости.

Примеры плоскопараллельного движения:

1 Жуковский Николай Егорович (17.01.1847–17.03.1921) — русский ученый в области ме ханики, основоположник современной аэродинамики, чл.-корр. Петербургской АН. Работы относятся к аэродинамике, гидродинамике, прикладной механике, теории дифференциальных уравнений, теории механизмов, математике и астрономии. Вывел формулу для определения подъемной силы крыла.

62 ЛЕКЦИЯ 12 ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА Для задания движения плоской фигуры введем подвижную систему координат, совершающую поступательное движение с точкой A. Движение плоской фигуры рассмотрим как сложное, при этом переносное движе ние — это поступательное движение подвижной системы координат вместе с точкой A (полюсом). Относительное движение — это вращение вокруг полюса.

Положение плоской фигуры можно задать дву ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

мя координатами полюса и одним углом между от резком, жестко связанным с телом, и направлением vB = vA + vBA, np vB = np vA + np vBA, np vA = np vB.

AB AB AB AB AB одной из неподвижных осей: = Следствие доказано.

xA = xA (t), yA = yA (t), = (t) — уравнения движения плоской фигуры. Мгновенный центр скоростей (МЦС) При задании плоского движения за полюс мо жет приниматься любая точка тела. Следовательно, вид первых двух урав- Теорема. При непоступательном движении плоской фигуры суще нений движения зависит от выбора полюса. Закон изменения угла от выбора ствует жестко связанная с ней точка, скорость которой в данный мо полюса не зависит. Для характеристики изменения угла поворота плоской мент движения равна нулю. Эта точка является мгновенным центром фигуры вводится, как и при вращательном движении, угловая скорость — скоростей.

=, которая также не зависит от выбора полюса. Изменение угловой ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

скорости характеризует угловое ускорение — =.

Отложим перпендикуляр к скорости в т. A и вы vA берем на нем точку на расстоянии: AP =. По Определение скоростей точек тела при плоском движении теореме о скоростях: vP = vA + vP A, где vP A = = · AP = vA. Следовательно: vP = vA vP A = 0.

Теорема. Скорость любой точки тела Теорема доказана.

при плоском движении находится как сумма Выбирая мгновенный центр скоростей за по скорости полюса и скорости данной точки во люс, нетрудно убедиться, что скорость любой точки вращательном движении вокруг полюса. плоской фигуры находится как скорость во враща тельном движении вокруг МЦС.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Используем теорему о сложении скоро- vB = vP + vBP, стей при сложном движении точки: vB = vr + vP = 0, + ve, ve = vA, так как подвижная система дви жется поступательно, vr = vBA, vBA = · BA, vB = vBP = · BP, так как относительное движение вращатель- vC = vCP = · CP, ное.

vC v v = CP, = C = B.

Следовательно: vB = vA + vBA. Теорема доказана. vB BP CP BP Следствие. Проекции скоростей двух точек плоской фигуры на на- Через МЦС проходит мгновенная ось вращения те правление вектора, соединяющего эти точки, равны между собой. ла.

64 ЛЕКЦИЯ 12 ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ние — вращение вокруг полюса A, переносное движение — поступательное Способы нахождения МЦС вместе с полюсом, ae = aA, ar = aBA = a + an, aB = aA + a + an.

BA BA BA BA Теорема доказана.

1. Известны направления скоростей двух точек тела и они не параллельны. Мгновенный центр ускорений (МЦУ) МЦС лежит на пересечении перпендикуляров к скоростям. Теорема. При любом непоступательном движении плоской фигуры существует жестко связанная с ней точка, ускорение которой в данный момент движения равно нулю. Эта точка называется мгновенным цен 2. Известны направления скоростей двух точек тела и они параллельны. тром ускорений.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Проведем прямую через точку A под углом к направлению векто a ра ускорения. При этом tg = 2. Отложим отрезок: AQ = A.

2 + Определим ускорение найденной точки Q:

aQ = aA + aQA :

aQA = a + an, где a = · QA, QA QA QA an = 2 · QA.

в) vA · cos = vB · cos, т. е. vA = vB и vBA = QA = · BA = 0.

Следовательно, aQA = 2 a + anQA = Если МЦС не существует (находится в беско- QA нечности), то тело совершает мгновенно-поступа- 2 + 4 = a, =. Получаем, что = QA A тельное движение. Угловая скорость равна нулю. ускорения aQA и aA равны по модулю, но Скорости всех точек тела одинаковы. противоположны по направлению. Следова 3. Качение без скольжения по неподвижной тельно: aQ = 0. Точка Q — мгновенный центр поверхности (нет проскальзывания). МЦС нахо- ускорений.

дится в точке касания тела с неподвижной поверхностью. Теорема доказана.

Выбирая мгновенный центр ускорений за полюс, находим, что при плоскопараллельном движении ускорение любой точки можно найти как Определение ускорений точек тела при плоском движении ускорение во вращательном движении вокруг МЦУ.

Теорема. Ускорение точки плоской фигу Литература:

ры равно сумме ускорения полюса и ускорения [1, §52, 54–59];

данной точки во вращательном движении во [2, §85–87, 90–92, 96–100];

круг полюса.

[4, п. 11.1, 11.2, 11.4, 11.5].

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Дано: aA,,.

Ускорение точки B в ее сложном движе нии: aB = ar + ae, где относительное движе СФЕРИЧЕСКОЕ И СВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА Построение подвижной системы коор динат по трем углам Эйлера начинается с изображения линии узлов OK — линии ЛЕКЦИЯ 13 пересечения плоскости Oxy неподвижной и плоскости O подвижной систем ко Сферическое и свободное движения ординат. Для этого необходимо повернуть ось Ox на угол вокруг оси Oz. Поло твердого тела жение оси O подвижной системы коорди нат находится поворотом оси Oz на угол вокруг линии узлов, а положение оси O определяется поворотом линии узлов во круг оси O на угол. Подвижная систе 1. Уравнения сферического движения твердого тела ма координат построена и, если задан за 2. Скорости точек твердого тела при сферическом движении. Мгновен кон изменения углов Эйлера от времени, то ная ось вращения.

заданы уравнения сферического движения 3. Уравнения свободного движения твердого тела.

твердого тела:

4. Скорости точек тела при свободном движении.

= f1 (t), = f2 (t), = f3 (t).

Сферическое движение твердого тела — движение, при котором одна из точек тела во все время движения остается неподвижной. Например: Помимо углов Эйлера возможно зада ние сферического движения твердого тела и при помощи других параметров, напри мер, корабельных углов — крена, тангажа и курса.

Сферическое движение можно рас сматривать как три одновременно проис ходящих вращения вокруг оси Oz, линии узлов и оси O. Мерами изменения углов Эйлера являются соответствующие угло вые скорости:

Уравнения сферического движения твердого тела 1 =, Для описания сферического движения твердого тела введем две си- 2 =, стемы координат: неподвижную — Oxyz и подвижную — O, жестко 3 =.

связанную с телом. Положение подвижной системы координат по отноше нию к неподвижной можно определить заданием трех углов Эйлера —, Скорости точек твердого тела при сферическом движении.

, :

— угол прецессии, Мгновенная ось вращения — угол нутации, Теорема. Скорость любой точки тела при его сферическом движе — угол собственного вращения.

нии находится как вращательная вокруг мгновенной оси вращения с угловой 68 ЛЕКЦИЯ 13 СФЕРИЧЕСКОЕ И СВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА Вектор называется мгновенной угловой скоростью, равной геометрической сумме угловых скоростей составляю щих вращений: скоростью.

Из определения векторного произведения v = r, следует, что если векторы и OM направлены где = 1 + 2 + 3, r — радиус-вектор точки тела, проведенный из по одной прямой, то v = 0. Это доказывает суще неподвижного центра.

ствование мгновенной оси вращения, положение Мгновенная ось вращения — геометрическое место точек тела, скоро- которой совпадает с направлением вектора. При сти которых в данный момент времени равны нулю. (Существование мгно- известном положении мгновенной оси вращения венной оси можно проиллюстрировать на примере качения без проскаль- модули скоростей точек тела определяются фор зывания подвижного конуса по неподвижному. Очевидно, что мгновенной мулой: v = h. Теорема доказана.

осью является линия контакта между конусами.) Аналитически скорость может быть найдена по проекциям на оси по движной или неподвижной систем координат.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Найдем проекции скорости произвольной точки тела на оси подвижной Рассмотрим сначала сложение двух враща системы координат, для чего запишем выражения проекций ее радиус-век тельных движений (угол, например, будем счи тора и угловых скоростей на соответствующие оси:

тать фиксированным) и определим скорость про извольной точки тела по теореме сложения скоро- OM (,, ), стей, принимая вращение с угловой скоростью 1 (1 sin sin, 1 sin cos, 1 cos ), за переносное, а вращение с угловой скоростью за относительное движения. 2 (2 cos, 2 sin, 0), По теореме сложения скоростей: 3 (0, 0, 3 ), v = v r + ve. (1 sin sin + 2 cos, 1 sin cos 2 sin, 1 cos + 3 ).

По формуле Эйлера: Записываем векторное произведение в координатной форме vr = 3 OM, ijk ve = 1 OM, v=.

и v = (1 + 3 ) OM.

Вектор = 1 + 3 есть абсолютная угловая скорость в случае сложения Откуда:

двух вращательных движений.

Так как в общем случае сферического движения тело одновременно v = ( sin cos sin ) ( cos + ), участвует в трех вращениях, абсолютная угловая скорость определяется cos + ) ( sin sin + cos ), v = ( равенством = 1 + 2 + 3.

(Принимаем результат предыдущего сложения двух вращательных дви- v = ( sin sin + cos ) ( sin cos sin ).

жений за переносное движение, а вращение с угловой скоростью 2 за Предлагается в качестве упражнения найти проекции вектора скорости на относительное.) Скорость любой точки тела, совершающего сферическое оси неподвижной системы координат.

движение, находится по формуле Эйлера:

Следствие. Проекции скоростей двух точек тела при его сферическом v = OM. движении на направление вектора, соединяющего эти точки, равны между собой.

70 ЛЕКЦИЯ 13 СФЕРИЧЕСКОЕ И СВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Рассмотрим точки A и B тела, совершающего сферическое движение. По теореме сложения скоростей Их скорости определяются равенствами v = vr + ve. Переносное движение — поступательное с полюсом A: ve = A = OA, B = OB. = vA. Относительное движение — сферическое vr = AM. Следо Вычитая одно равенство из другого и умножая скалярно на вектор AB, вательно:

находим v = vA + AM.

(A B )·AB = (OAOB) ·AB = (A B )·AB = (BA)·AB = 0.

Теорема доказана.

Откуда Следствие. Проекции скоро или пр · A = пр · B.

A · AB = B · AB стей двух точек тела при его свобод AB AB ном движении на направление вектора, соединяющего эти точки, равны Следствие доказано. между собой.

Доказывается аналогично следствию из теоремы о скоростях точек при Уравнения свободного движения твердого тела сферическом движении.

Положение свободного твердого тела в пространстве можно задать тре Литература:

мя координатами некоторой точки тела, принятой за полюс, и тремя углами [2, § 101, 102, 104, 107–109];

Эйлера, определяющими поворот тела вокруг этого полюса. Т. е. уравнения [4, п. 14.3, 14.8].

свободного движения твердого тела имеют вид:

xA = f1 (t), yA = f2 (t), zA = f3 (t), = f4 (t), = f5 (t), = f6 (t).

Скорости точек тела при свободном движении Теорема. Скорость любой точки свободного твердого тела равна геометрической сумме скорости полюса и скорости этой точки в ее сфе рическом движении вокруг полюса.

ЗАКОНЫ ГАЛИЛЕЯ – НЬЮТОНА 3. Закон равенства действия и противодействия.

Два тела действуют друг на друга с силами, равными по величине и направленными в противоположные стороны.

ЛЕКЦИЯ 14 4. Закон независимости действия сил.

Материальная точка при действии на нее системы сил приобретает Законы динамики ускорение, равное сумме ускорений, возникающих от действия каждой силы в отдельности.

a = a1 + a2 +... + an, где mak = Fk.

Откуда n ma = Fk.

1. Законы Галилея – Ньютона.

k= 2. Инерциальная система отсчета.

3. Основные задачи динамики. Инерциальные системы отсчета 4. Дифференциальные уравнения движения материальной точки.

Система отсчета, в которой выполняются первый и второй законы ди 5. Уравнения относительного движения. намики, называется инерциальной системой отсчета. Инерциальность той В основании динамики лежат установленные в результате обобщения или иной системы отсчета может быть проверена только опытным путем.

опыта законы. Для большинства технических задач за такую систему можно взять систему координат, связанную с Землей.

Законы Галилея1 – Ньютона Основные задачи динамики 1. Закон инерции.

Первая задача динамики.

Материальная точка сохраняет равномерное и прямолинейное движе Определение сил, действующих на материальную точку, если известна ние или находится в состоянии покоя до тех пор, пока на нее не подействует масса точки и закон ее движения.

сила.

Вторая задача динамики.

2. Закон пропорциональности силы и ускорения.

Определение закона движения материальной точки при известной мас Сила, действующая на материальную точку, сообщает ей ускорение, се и силах, действующих на точку.

которое пропорционально силе и направлено в сторону ее действия Примером решения первой и второй задач динамики служит аналити ческий вывод Ньютона силы всемирного тяготения из законов движения ma = F — основное уравнение динамики, планет Кеплера1 и решение обратной задачи — получение законов Кеплера при известной силе всемирного тяготения.

m — масса точки, являющаяся мерой ее инертности.



Pages:   || 2 | 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.