авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 |

«Е. А. Митюшов, С. А. Берестова ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА: СТАТИКА. КИНЕМАТИКА. ДИНАМИКА КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ Издание второе. Исправленное и дополненное ...»

-- [ Страница 2 ] --

1 Галилей Галилео (15.02.1564–8.01.1642) — итальянский физик, механик, математик, Дифференциальные уравнения движения астроном, один из основателей точного естествознания. Исследования по статике, динами материальной точки ке и механике материалов.

2 Ньютон Исаак (4.01.1643–31.03.1727) — английский математик, физик, механик, астро Воспользуемся основным уравнением динамики ном, основоположник современной механики, член и президент Лондонского королевского ma = F.

общества, иностранный член Парижской АН. Открыл закон всемирного тяготения, создал теоретические основы механики и астрономии, разработал дифференциальное и интеграль 1 Кеплер Иоганн (27.12.1571–15.11.1630) — немецкий астроном, математик и механик. Вы ное исчисление. Также работы по теоретической и экспериментальной оптике, по геометрии вел два первых закона движения планет. Положил начало небесной механике.

и алгебре.

74 ЛЕКЦИЯ 14 ЗАКОНЫ ГАЛИЛЕЯ – НЬЮТОНА Из закона независимости действия сил: Уравнения относительного движения n Получим уравнения движения материальной точки в неинерциальной Fk — равнодействующая всех сил.

F= системе отсчета. Для этого воспользуемся теорией сложного движения точ k= ки, рассматривая ее движение одновременно в двух системах координат — В общем случае силы, действующие на точку, являются переменными. основной O x y z (инерциальная система отсчета) и подвижной Oxyz.

Тогда в проекциях на оси декартовой системы координат можно записать:

Пусть F — равнодействующая сил, действующих на точку M.

m = Fx (t, x, y, z, x, y, z), x В инерциальной системе отсчета:

m = Fy (t, x, y, z, x, y, z), y m = Fz (t, x, y, z, x, y, z).

z ma = F.

Эти уравнения содержат производные координат и образуют систему диф- Воспользуемся выражением для аб ференциальных уравнений движения материальной точки. солютного ускорения точки (теорема Ко Общее решение этих уравнений содержит шесть произвольных посто- риолиса): a = ar + ae + ac. Тогда янных: m ar + ae + ac = F, или mar = F x = x (t, C1, C2, C3, C4, C5, C6 ), mae mac.

y = y (t, C1, C2, C3, C4, C5, C6 ), Величины mae и mac имеют размерность силы. Вводя обозначения:

z = z (t, C1, C2, C3, C4, C5, C6 ). e = mae — переносная сила инерции, c = mac — кориолисова сила инерции, получаем Произвольные постоянные находятся из начальных условий:

x = x0, x = x0, t=0 t= ar = F + e + c — основное уравнение динамики y = y0, y = y0, относительного движения.

t=0 t= z = z0, z = z0.

t=0 t= Уравнение движения в подвижной системе координат не совпадает с Если точка движется по известной траектории, то основное уравне- основным уравнением динамики, следовательно, соответствующая система ние динамики удобно записать в проекциях на оси естественной системы отсчета не является инерциальной.

координат. В этом случае: Итак, чтобы получить уравнение движения точки в неинерциальной системе отсчета, необходимо добавить переносную и кориолисову силы m = F (t, s, s), s инерции.

Дифференциальные уравнения относительного движения материаль m s = Fn (t, s, s), ной точки имеют вид:

0 = Fb (t, s, s).

m = Fx + ex + cx, x Правые части этих уравнений содержат неизвестные силы реакций свя- m = Fy + ey + cy, y зей, так как движущаяся точка несвободна. Исследование движения пред m = Fz + ez + cz.

z полагает одновременное решение первой и второй задач динамики при сле дующих начальных условиях:

Если подвижная система координат движется поступательно, равно s = s0, s = s0.

мерно и прямолинейно, то переносная и кориолисова силы инерции равны t=0 t= 76 ЛЕКЦИЯ нулю и относительное движение описывается основным уравнением дина мики. Это выражает принцип относительности классической механики, за ключающийся в том, что уравнения движения не зависят от того, относить ЛЕКЦИЯ ли их к неподвижным осям или подвижным, перемещающимся поступа тельно, равномерно и прямолинейно.

Прямолинейные колебания Литература:

материальной точки [1, §74, 77–80, 91];

[3, §1, 10, 26];

[4, п. 1.1–1.7, 6.1, 6.3].

1. Классификация сил.

2. Свободные колебания.

3. Вынужденные колебания без сопротивления. Резонанс.

4. Влияние сопротивления на вынужденные колебания.

Классификация сил Колебание — это движение, обладающее той или иной степенью по вторяемости во времени. Необходимым условием возникновения колебаний материальной точки является наличие положения равновесия и силы, стре мящейся вернуть точку в положение равновесия. В качестве примера рас смотрим простейший случай прямолинейных колебаний. Ось Ox совместим с линией движения, а начало координат поместим в положение равновесия.

Введем следующую классификацию сил, действующих на материальную точку при колебаниях.

Восстанавливающие силы.

Силы, которые стремятся вернуть точку в положение равновесия.

В дальнейшем рассматриваем случай, имеющий большое практическое зна чение, когда восстанавливающие силы пропорциональны отклонению точки от положения равновесия F = cr, где c — коэффициент пропорциональ ности. В проекции на ось Ox: Fx = cx.

Силы сопротивления.

Силы, препятствующие движению материальной точки. Рассмотрим силы сопротивления, пропорциональные скорости. Они возникают при дви жении тел с небольшими скоростями в вязких жидкостях или газах, т. е. R = = bv, где b — коэффициент сопротивления. В проекции на ось Ox: R x = = bx.

78 ЛЕКЦИЯ 15 ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ Возмущающие силы. Дифференцируя данное решение по времени, получим второе уравнение Силы, зависящие от времени. Наибольший интерес представляют воз- для определения постоянных интегрирования мущающие силы, которые изменяются с течением времени по периодиче x = C1 k sin kt + C2 k cos kt.

скому закону: Qx = H sin pt, где H — амплитуда возмущающей силы, p — частота возмущающей силы.

С учетом начальных условий: x = x0, x = x0 имеем Составим дифференциальное уравнение движения материальной точки t=0 t= под действием восстанавливающей силы, силы сопротивления и возмуща x ющей силы: C1 = x 0, C2 =.

k или m = Fx + Rx + Qx x m = cx bx + H sin pt.

x Рассмотрим другой вид записи общего решения, для чего введем сле После тождественных преобразований получаем дующую подстановку:

C1 = A sin, C2 = A cos, x + 2nx + k 2 x = h sin pt — дифференциальное уравнение прямолинейных колебаний тогда материальной точки.

x = A sin(kt + ).

С начальными условиями: x = x0, x = x0.

Свободные прямолинейные колебания материальной точки происходят t=0 t= b В данном уравнении 2n = m характеризует силу сопротивления среды, по гармоническому закону («по закону синуса»). При этом:

c A — амплитуда колебаний, приходящуюся на единицу массы, k 2 = m характеризует действие восста — начальная фаза колебаний, навливающей силы, приходящейся на единицу массы, h = H характеризует m действие возмущающей силы. c m — циклическая или круговая частота свободных колебаний, k= T = 2 — период свободных колебаний, Свободные колебания k 1 — частота колебаний (количество колебаний за одну секунду).

= Свободными называются колебания при отсутствии возмущающих T сил (h = 0). Частота и период свободных колебаний не зависят от начальных усло Рассмотрим движение точки в среде без сопротивления (n = 0). вий движения.

Рассмотрим движение точки в среде с сопротивлением, пропорцио x + k 2 x = 0 — дифференциальное уравнение нальным скорости, под действием линейной восстанавливающей силы (h = гармонических свободных колебаний. = 0). В этом случае Для интегрирования этого линейного однородного дифференциального x + 2nx + k 2 x = 0 — дифференциальное уравнение уравнения с постоянными коэффициентами составим характеристическое затухающих колебаний.

уравнение r2 + k 2 = 0, его корни r1,2 = ±ki. Характеристическое уравнение, соответствующее данному дифферен циальному уравнению, имеет вид:

Так как корни мнимые, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

r2 + 2nr + k 2 = 0, его корни r1,2 = n ± n2 k 2.

x = C1 cos kt + C2 sin kt.

80 ЛЕКЦИЯ 15 ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ Если n k (случай малого сопротивления), то корни комплексные При n = k имеем равные действительные корни. В этом случае и общее решение дифференциального уравнения имеет вид: x = ent (C1 t + C2 ).

x = ent C1 cos k 2 n2 t + C2 sin k 2 n2 t, Вынужденные колебания без сопротивления. Резонанс или в амплитудной форме:

Рассмотрим случай, когда n = 0, т. е. точка движется в среде без со противления.

nt k2 n2 t x = Ae sin +.

x + k 2 x = h sin pt — дифференциальное уравнение Множитель ent указывает на то, что амплитуда колебаний с течением вынужденных колебаний.

времени уменьшается. Такие колебания называются затухающими.

Период затухающих колебаний Общее решение полученного неоднородного дифференциального урав нения находится как сумма общего решения x = A sin(kt + ) однород T1 = 2 2 T ного уравнения (собственные колебания точки) и частного решения x = = =, k 2 n2 2 1 n2 1 n2 h sin pt неоднородного уравнения (вынужденные колебания точ k = k 2 p k k ки). Тогда где T — период свободных колебаний без сопротивления. Если n k, то h x = A sin(kt + ) + sin pt.

сопротивление не влияет в значительной степени на период колебаний. k 2 p Рассмотрим влияние сопротивления на изменение амплитуды колеба При p = k вынужденные колебания определяются равенством: x = ний. В некоторый момент времени t = t1 :

= h t cos kt. Возникает явление резонанса, которое характеризуется воз 2k x1 (t1 ) = Aent1 sin k 2 n 2 t1 + ;

растанием амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты возмущающей силы с частотой собственных колебаний.

через промежуток времени, равный периоду Влияние сопротивления на вынужденные колебания x2 (t1 + T1 ) = Aen(t1 +T1 ) sin k 2 n 2 t1 + k 2 n 2 T1 + = Рассмотрим общий случай вынужденных колебаний = enT1 Aent1 sin k 2 n2 t1 + = enT1 x1 (t1 ).

x + 2nx + k 2 x = h sin pt.

Амплитуда затухающих колебаний уменьшается по закону геометри Общее решение этого уравнения складывается из общего решения од ческой прогрессии со знаменателем q = enT1, который называется де нородного уравнения, которое в случае малого сопротивления имеет вид:

крементом затухающих колебаний. Натуральный логарифм декремента — |ln q| = nT1 называется логарифмическим декрементом. Коэффициент n (собственные колебания) x = Aent sin k 2 n2 t + называют коэффициентом затухания.

Движение материальной точки теряет колебательный характер (стано- и частного решения x = Aв sin(pt ) (вынужденные колебания).

вится апериодическим) в случае большого сопротивления при n k. Ес- Амплитуда и начальная фаза вынужденных колебаний не зависят от ли n k, то корни характеристического уравнения действительные и общее начальных условий и определяются выражениями:

решение имеет вид:

2np h Aв =, tg =.

k p (k 2 p 2 )2 4n2 p n2 k2 t n2 k2 t + x = ent C1 e + C2 e.

82 ЛЕКЦИЯ 15 ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ С течением времени собственные колебания затухают и движение ма териальной точки подчиняется не зависящему от начальных условий закону вынужденных колебаний. Влияние сопротивления среды и частоты возму щающей силы качественным образом сказывается на изменении амплитуды и частоты вынужденных колебаний. Проиллюстрируем это влияние на при мере построения, так называемой амплитудно-частотной характеристики.

Введем отношение круговой частоты вынужденных колебаний матери альной точки к круговой частоте ее собственных колебаний p — коэффициент расстройки.

z= k технических устройств, призванных гасить вредные колебания в механиче Рассмотрим статическое отклонение материальной точки A ст от поло ских системах. Подробней об этом будет сказано в лекции 26.

жения равновесия под действием постоянной силы H, равной амплитуде возмущающей силы, Литература:

[1, § 94–96];

cA cAст = H H = mст h = k 2 Aст Aст = h. [3, § 11–20];

m k2 [4, п. 2.1–2.3, 2.5, 2.6].

Введем в рассмотрение коэффициент динамичности, который харак теризует динамический эффект от действия возмущающей силы и равен отношению амплитуды вынужденных колебаний к статическому смещению точки от постоянной силы, равной по величине амплитуде возмущающей силы. С учетом сделанных обозначений для коэффициента динамичности имеем A = в =.

Aст 2 )2 + 4 n (1 z z k Зависимость коэффициента динамичности от коэффициента расстрой ки дается графиком, который позволяет оценить влияние частоты возмуща ющей силы и сопротивления среды на изменение амплитуды вынужденных колебаний, т. е. Aв = Aст.

Из графика видно, что при z 1иz 1 амплитуда вынужденных колебаний мало зависит от сопротивления среды.

При z 1 влияние сопротивления на амплитуду вынужденных ко лебаний становится существенным. При достаточно большом сопротивле k нии n явление резонанса не наблюдается во всем диапазоне измене ния частоты возмущающей силы. Этот эффект используется при создании ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ Дифференциальные уравнения движения механической системы ЛЕКЦИЯ Рассмотрим механическую систему, состоящую из n материальных то чек. Тогда из основного уравнения динамики для k-й точки:

Введение в динамику механической e i e i e i mk xk = Fkx +Fkx, mk yk = Fky +Fky, mk zk = Fkz +Fkz (k = 1,..., n) системы — дифференциальные уравнения движения механической системы.

Интегрирование этих уравнений связано со значительными трудностя ми. В некоторых случаях при исследовании движения механической систе мы можно ограничиться изучением движения центра масс.

1. Механическая система. Классификация сил.

Центр масс механической системы это точка, положение которой опре 2. Дифференциальные уравнения движения механической системы.

деляется радиус-вектором:

3. Теорема о движении центра масс.

n 4. Меры движения. mk r k 5. Меры действия сил. k= rC =.

n 6. Консервативные системы. mk k= Механическая система. Классификация сил Теорема о движении центра масс Механическая система — совокупность взаимодействующих между собой материальных точек. Теорема. Центр масс механической системы движется как матери При движении механической системы к каждой ее точке приложены альная точка с массой, равной массе всей системы, к которой приложена силы двух типов: внутренние силы, действующие между точками одной сила, равная главному вектору внешних сил механической системы, и внешние силы, действующие на точки данной n n механической системы со стороны других систем. e maC = Fk, m= mk.

Рассмотрим произвольную точку системы Mk (k = k=1 k= = 1,..., n), тогда: ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Fk — равнодействующая внешних сил, действующих на e Основное уравнение динамики для k-й материальной точки точку Mk ;

e i mk ak = Fk + Fk, k = 1,..., n.

Fk — равнодействующая внутренних сил, действующих i n n n на точку Mk. Просуммируем эти равенства: Fk и, используя e i mk a k = Fk + k=1 k=1 k= Свойство внутренних сил:

свойство внутренних сил, получим Главный вектор и главный момент внутренних сил механической систе- n n n n d2 r 2 мы равны нулю, так как это силы взаимодействия между точками системы, Fk d 2 Fk d 2 mrC = mk 2k = e e mk r k = которые входят попарно dt dt k=1 dt k=1 k=1 k= n n n n e e = Fk maC = Fk.

i i Fk = 0, mO Fk = 0.

k=1 k= k=1 k= Теорема доказана.

86 ЛЕКЦИЯ 16 ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ Момент количества движения относительно оси — это проекция Следствия.

1. Если главный вектор внешних сил равен нулю, то центр масс дви- вектора момента количества движения относительно центра, лежащего на жется равномерно и прямолинейно или находится в покое. оси, на эту ось: Kz = npz KO = mz mv.

2. Если проекция главного вектора внешних сил на какую-либо из осей Главный момент количеств движения (или равна нулю, то по отношению к этой оси центр масс движется равномерно кинетический момент) механической системы или соответствующая координата центра масс постоянна. относительно центра O или оси Oz равен соответ 3. Внутренние силы не влияют на движение центра масс. ственно геометрической или алгебраической сум Теорема о движении центра масс позволяет, в частности, записать диф- ме моментов количеств движения всех точек си ференциальные уравнения поступательного движения твердого тела. стемы относительно того же центра или оси n n n n n e e e mC = x Fkx, mC = y Fky, mC = z Fkz. KO = rk mk v k, Kz = mz mk v k.

k=1 k=1 k=1 k=1 k= В общем случае, при изучении движения механических систем необ- В качестве примера вычислим кинетический ходимо ввести меры движения и соответствующие им меры действия сил. момент вращающегося с угловой скоростью твердого тела относительно Напомним эти знакомые из курса физики понятия. оси вращения n n n mk h2 = mk h2 = Jz, vk = hk, Kz = m k v k hk = Меры движения k k k=1 k=1 k= Количество движения материальной точки (импульс) — векторная где hk — расстояние от k-й точки до оси вращения, Jz — момент инерции мера ее движения, равная произведению массы точки на ее скорость тела относительно оси вращения Oz (подробней о моментах инерции будет сказано в лекции 18).

q = mv.

Кинетическая энергия материальной точки — скалярная мера ее Количество движения механической системы — векторная мера движения, равная половине произведения массы точки на квадрат ее скоро движения, равная сумме количеств движения точек системы сти n Q= mk v k.

T = mv.

k= n n dr dr mk k = d mk rk = d mrc = m c = mvc. Кинетическая энергия механической системы — сумма кинетиче Откуда: Q = dt dt dt dt ских энергий точек этой системы k=1 k= Вектор количества движения механической системы равен произведе- n mk v k T=.

нию массы системы на скорость центра масс: Q = mvc. Момент количества движения материальной точки (кинетический k= Определим кинетическую энергию твердого тела в некоторых частных момент) относительно центра — это вектор, определяемый равенством:

случаях движения.

1. Поступательное движение.

По теореме о поступательном движении скорости всех точек одинако вы, следовательно:

KO = r mv.

n n mk v k 2 =v mk = mv.

T= 2 2 k=1 k= 88 ЛЕКЦИЯ 16 ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ Импульс силы за конечный промежуток времени равен сумме эле 2. Вращательное движение.

t n n mk (hk )2 J = ментарных импульсов, т. е. S = =z.

m k h2 F dt.

vk = hk, T= k 2 2 k=1 k=1 t Если на точку действуют несколько сил, то можно показать, что им 3. Плоскопараллельное движение.

пульс равнодействующей этих сил равен сумме импульсов составляющих Скорости точек тела при плоском движении про сил.

порциональны расстояниям до мгновенного центра ско Элементарная работа силы — скалярная мера действия силы на эле ростей vk = |P Mk |, ментарном перемещении dr точки ее приложения, определяемая скалярным n n mk |P Mk |2 2 Jz 2 произведением dA = F · dr.

mk v k =P.

T= = Возможны другие формы записи элементарной работы силы:

2 2 k=1 k= dA = Fx dx + Fy dy + Fz dz;

1 По теореме Гюйгенса – Штейнера : JzP = JzC + m|P C|2. dA = F dr cos, где — угол между силой и направлением элемен тарного перемещения;

dA = F ds, где F — проекция силы на направление Jz 2 Jz m|P C|2 2 mv Тогда T = +C.

C +C T = скорости точки приложения силы или на направление элементарного пере 2 2 2 При плоском движении тела кинетическая энергия складывается из ки- мещения;

нетической энергии поступательного движения тела со скоростью центра dA = F · v dt, где v — скорость точки приложения силы.

масс и кинетической энергии вращательного движения вокруг оси, прохо- В случае силы, приложенной к свободному твердо дящей через центр масс. му телу, Это частный случай более общей теоремы Кенига3, которая для твер- dA = F · (vO + r) dt, дого тела может быть сформулирована следующим образом:

где vO — скорость полюса, — угловая скорость тела, r — радиус-вектор, проведенный из полюса O в точку Теорема. Кинетическая энергия твердого тела при свободном движе приложения силы. С учетом свойств смешанного про нии равна сумме кинетической энергии его поступательного движения со изведения скоростью центра масс и кинетической энергии сферического движения вокруг центра масс.

dA = F · vO dt + (r F ) · dt или (Выражение для кинетической энергии при сферическом движении приво dA = F · vO dt + mO (F ) · dt.

дится в лекции 18.) В случае вращательного движения, так как = d Меры действия сил k, то = dt Элементарный импульс силы — векторная мера действия силы за dA = mO (F ) · k d = mz (F ) d.

элементарный промежуток времени dt: dS = F dt. Суммарная элементарная работа пары сил {F, F } с моментом m, при ложенной к твердому телу, определяется равенством 1 ГюйгенсХристиан (14.06.1629–8.07.1695) — голландский ученый, член Лондонского ко ролевского общества, Французской АН, ее первый президент. Труды по механике, физике, dA = m · dt.

математике и астрономии.

2 Штейнер Якоб (18.03.1796–1.04.1863) — немецкий математик, член Берлинской АН.

Действительно, с учетом теоремы о сумме моментов сил, составляющих Основные исследования относятся к проективной геометрии.

пару, 3 Кениг Иоганн Самуэль (1712–21.08.1757) — швейцарский математик и механик, чл.-кор.

Французской АН, член Берлинской АН, Лондонского королевского общества, Геттингенской dA(F ) + dA(F ) = F · vO + mO (F ) + F · vO + mO (F ) · dt = m · dt.

АН. Основное направление исследований — динамика.

90 ЛЕКЦИЯ 16 ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ В частности, для работы силы упругости пружины имеем A 12 = Работа силы на конечном перемеще = c (2 2 ), где 1, 2 — деформации пружины в первом и во втором нии равна сумме элементарных работ силы 22 на этом перемещении положении.

Работа линейной центральной силы и работа силы упругости также не F ds или A12 = dA, A12 = зависят от формы траектории.

Из свойства криволинейных интегралов следует, что работа равнодей M1 M2 M1 M ствующей равна сумме работ составляющих сил. Сумма работ внутренних A12 = Fx dx + Fy dy + Fz dz.

сил в абсолютно твердом теле равна нулю, так как расстояния между точ M1 M ками попарно присутствующих сил взаимодействия не изменяются.

Работа силы, приложенной к вращающемуся телу, при повороте на Мощностью (обозначается N ) называется величина, измеряемая отно конечный угол определяется интегралом шением элементарной работы силы к элементарному промежутку времени ее совершения A12 (F ) = mz (F ) d.

N = dA.

dt ПРИМЕР 1. Вычисление работы силы тяжести. Мощность силы Проекции силы тяжести:

N = F · dr = F · v.

Px = Py = 0, Pz = mg;

dt В случае силы, приложенной к вращающемуся твердому телу, — через A12 = Px dx + Py dy + Pz dz, угловую скорость его вращения M1 M z или N = m O (F ) · N = mz (F ) ·.

A12 = mg dz = mg(z1 z2 ), Мощность пары сил с моментом m, приложенной к твердому телу, определяется равенством z A12 = ±mgh.

N = m ·.

Знак «+», если точка приложения силы тя жести опускается. Работа силы тяжести не зави сит от формы траектории. Консервативные системы ПРИМЕР 2. Вычисление работы линейной Консервативной называется механическая система, в которой действу центральной силы.

ют только потенциальные силы. Потенциальной называется сила, работа Центральная сила F = cr имеет проек которой не зависит от траектории перемещения точки ее приложения (рабо ции на оси координат: Fx = cx, Fy = cy, та силы на замкнутом контуре равна нулю) или, то же самое, элементарная Fz = cz. Тогда работа силы есть полный дифференциал некоторой функции от координат Fx dx + Fy dy + Fz dz и A12 = точки ее приложения. Примерами потенциальных сил служат сила тяжести и сила упругости.

M1 M x2 + y 2 + z 2 По определению полного дифференциала, элементарная работа потен A12 = c x dx + y dy + z dz = c d = циальной силы может быть выражена через функцию координат точки ее приложения (x, y, z) соотношением M1 M2 M1 M = c d(x2 + y 2 + z 2 ) = c dr2 = c (r2 r1 ).

2 dA = dx + dy + dz 2 2 2 = d.

x y z M1 M2 M1 M 92 ЛЕКЦИЯ Т. е. для проекций потенциальной силы на оси координат имеем:

Fx =, Fy =, Fz =. ЛЕКЦИЯ x y z Общие теоремы динамики Функция (x, y, z), определяющая таким образом силу, действующую на материальную точку, называется потенциальной энергией материаль ной точки в данном ее положении.

Как следует из определения, потенциальная энергия материальной точ 1. Теорема об изменении количества движения.

ки в положении M2, принимаемом за произвольное, определяется интегри рованием 2. Динамика точки переменной массы.

3. Теорема Эйлера.

= dA.

4. Теорема об изменении момента количества движения.

M1 M 5. Теорема об изменении кинетической энергии.

После интегрирования: = A12 + const или = A21 + const.

Потенциальная энергия определяется с точностью до постоянного сла Теорема об изменении количества движения гаемого. Принимая значение этого постоянного слагаемого равным нулю (это эквивалентно предположению о равенстве нулю значения потенциаль Теорема. Производная по времени от количества движения механи ной энергии в точке M1 ), находим, что потенциальная энергия в точке M ческой системы равна сумме всех внешних сил, действующих на систему.

находится как работа потенциальной силы при перемещении точки ее при ложения из точки M2 в точку M1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Потенциальная энергия консервативной механической системы — Из теоремы о движении центра масс это функция координат материальных точек системы (x 1, y1, z1,..., xk, n n n n yk, zk,..., xn, yn, zn ), определяющая силы, действующие на эти точки, со- dQ dvC dmvC e e e e Fk.

maC = Fk m = Fk = Fk = отношениями: dt dt dt k=1 k=1 k=1 k= =, =, = Fkx Fky Fkz (k = 1,..., n). Теорема доказана.

xk yk zk Теорема (в интегральной форме). Изменение количества движения Потенциальная энергия консервативной механической системы в дан- механической системы за какой-либо промежуток времени равно сумме ном ее положении равна работе, которую произведут все действующие на всех импульсов внешних сил, действующих на систему за тот же проме систему силы, при перемещении системы из этого положения в то, где жуток времени.

потенциальная энергия условно принимается равной нулю ( = 0). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

В результате интегрирования полученного дифференциального уравне Литература: ния находим:

[1, § 83, 87, 88, 100,106–109, 115, 121, 122];

Q2 t [3, § 31, 42–47, 53, 55];

n n n e e e Sk.

[4, п. 3.1–3.3, 3.5, 8.1, 8.3, 9.1, 10.1]. dQ = Fk dt dQ = Fk dt Q2 Q1 = k=1 k=1 t1 k= Q Теорема доказана.

94 ЛЕКЦИЯ 17 ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ где = vr dm — реактивная сила, dm — скорость изменения массы. Ес Следствия.

dt dt 1. Внутренние силы, действующие между точками механической си dm 0 — присоединение массы, то сонаправлена с относительной ли стемы, не влияют на изменение количества движения системы.

dt 2. Если главный вектор внешних сил системы равен нулю, то количе скоростью присоединяемой частицы. Если dm 0 — потеря массы, то ство движения системы не изменяется (закон сохранения количества дви- dt жения). направлена противоположно относительной скорости отделяемой частицы.

3. Если проекция главного вектора внешних сил системы на какую-ли- В качестве примера рассмотрим движение ракеты.

бо ось равна нулю, то проекция количества движения системы на эту ось Первая задача Циолковского1 о движении ракеты.

постоянна.

Рассмотрим движение ракеты без учета внешних сил.

Теорема об изменении количества движения применяется для исследо Полагая, что vr = const (в первых космических кораб вания движения тел переменной массы и сплошных сред, а также в изучении лях vr 2000 м/c), из уравнения Мещерского находим:

явления удара. v m m(t) dv = vr dm dv = vr dm dm dv = vr m m dt dt Динамика точки переменной массы v0 m m v v0 = vr ln m0.

Рассмотрим движение материальной точки с массой m(t), являющейся функцией времени.

m Точка массы m движется с абсолютной v = v0 + vr ln m скоростью v. В некоторый момент времени t к точке присоединяется частица массы dm, ко- — формула Циолковского, которая позволяет определять ско торая двигалась со скоростью u. рость ракеты в зависимости от ее начальной скорости, отно Рассмотрим момент времени t + dt, мас- m сительной скорости выброса топлива и отношения m.

са точки в этот момент времени m + dm, ско Найдем скорость ракеты в конце активного участка полета. m 0 = mк + рость v + dv.

+ mг, mк — полезная масса, mг — масса горючего, m = mк — масса ракеты Для исследования движения точки вос mг mг пользуемся теоремой об изменении количества в конце активного участка полета. v1 = v0 + vr ln 1 + mк, mк — число dQ Циолковского 3.

движения = F. dQ — приращение количе dt Увеличение максимальной скорости ракеты достигается за счет приме ства движения за время dt: dQ = Q(t + dt) Q(t), при этом Q(t + dt) = нения многоступенчатых ракет.

= (m + dm) v + dv, Q(t) = mv + dmu dQ = (m + dm) v + dv u dm vm = v dm + m dv u dm (с точностью до величин первого Вторая задача Циолковского о движении ракеты.

порядка малости). Тогда Движение ракеты рассматривается с учетом действующих на нее внеш m dv u v dm = F, них сил (вес ракеты, сопротивление среды). С учетом веса ракеты dt dt где u v = vr — относительная скорость присоединенных (или отбрасыва m(t) dv = vr dm P.

емых) частиц. Отсюда m dv = vr dm + F и dt dt dt dt m dv = F + — уравнение Мещерского1, 1 Циолковский Константин Эдуардович (17.09.1857–19.09.1935) — русский ученый и изоб dt ретатель, основоположник космонавтики. В 1921 году получил от правительства пожизненную 1 Мещерский Иван Всеволодович (10.08.1859–7.01.1935) — русский ученый в области ме пенсию для занятий научной работой. Основные исследования относятся к аэронавтике, раке ханики. Основное направление исследований — динамика тела переменной массы. тодинамике и космонавтике.

96 ЛЕКЦИЯ 17 ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ Для интегрирования уравнения необходимо задать закон Теорема об изменении момента количества движения изменения массы ракеты. Наибольший интерес представля ют: Теорема. Производная по времени от кинетического момента меха линейный m = m0 (1 t), = const, что соответству- нической системы относительно некоторого неподвижного центра равна ет движению ракеты с постоянной тягой, при непрерывном геометрической сумме моментов всех внешних сил, действующих на систе увеличении ускорения;

му, относительно того же центра.

экспоненциальный m = m0 et, = const, при этом ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

ракета движется с постоянным ускорением. Рассмотрим движение произвольной точки системы ma k = Fk + Fk, e i dmk vk либо = Fk + Fk, умножим векторно слева на радиус-вектор rk e i Теорема Эйлера dt Рассмотрим движение жидкости в канале переменного dmk vk = r k Fk + r k Fk d r k m k v k = m O Fk + m O Fk.

e i e i rk сечения. dt dt Воспользуемся теоремой об изменении Выполняя суммирование по всем точкам системы, с учетом свойства количества движения механической системы внутренних сил находим:

для исследования установившегося движе ния жидкости, заключенной между сечени- n n n n d KO d e i e m O Fk.

rk mk v k = m O Fk + m O Fk = dQ ями площади S1 и S2 : = F e. Измене- dt dt dt k=1 k=1 k=1 k= ние количества движения: dQ = Q(t + dt) Теорема доказана.

Q(t). Разделим объем на три части, то- Следствия.

гда Q(t) = QI + QIII, Q(t + dt) = QIII + QII, 1. Внутренние силы, действующие между точками механической систе dQ = QII QI, где QI = S1 v1 dtv1, m1 = S1 v1 — секундная масса (рас- мы, не влияют на изменение кинетического момента механической системы.

ход) — масса жидкости, проходящая через сечение за одну секунду, — 2. Если главный момент внешних сил системы относительно какого-ли бо центра равен нулю, то кинетический момент системы относительно этого плотность жидкости, QII = S2 v2 dtv2, m2 = S2 v2 — расход жидкости центра не изменяется (закон сохранения кинетического момента).

во втором сечении, v1, v2 — скорости частиц жид Проектируя полученное равенство на ось Oz, устанавливаем теорему кости.

об изменении кинетического момента механической системы относительно Из условия несжимаемости жидкости ее оси.

количество, проходящее через каждое сечение, одинаково: m1 = m2 = m. Тогда по теореме об Теорема. Производная по времени от кинетического момента меха изменении количества движения нической системы относительно неподвижной оси равна сумме моментов dQ = mv2 mv1 dt и mv2 mv1 = F e. всех внешних сил, действующих на систему, относительно этой оси Разделяя внешние силы на объемные и поверх n ностные F e = F об + F пов, устанавливаем теорему. dKz e = mz F k.

dt Теорема (Эйлера). Сумма главного вектора объемных сил, главного k= вектора поверхностных сил и секундных количеств движения, направлен ных внутрь объема, равна нулю. Следствие. Если сумма моментов внешних сил относительно ка кой-либо оси равна нулю, то кинетический момент системы относительно об пов F +F + mv1 + mv2 = 0.

этой оси постоянен.

98 ЛЕКЦИЯ 17 ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ Теорема об изменении кинетического момента механической системы dvk тора drk, тогда mk · drk = Fk · drk + Fk · drk mk dvk · vk = dAe + e i k сохраняет свою форму в системе отсчета, которая движется поступательно dt Tk 2 вместе с центром масс. dvk mk v k + dAi mk = dAe + dAi d = dAe + dAi dTk = k k k k k 2 2 T Теорема. Производная по времени от кинетического момента меха- k m v2 m v нической системы относительно центра масс в системе отсчета, которая k k2 k k1 = A12 Fk +A12 Fk. Просум dAe + dAi e i = k k 2 движется поступательно вместе с центром масс, равна геометрической M1 M2 M1 M сумме моментов всех внешних сил, действующих на систему, относительно n n m v2 n mk vk2 k k мируем по всем точкам системы e = A12 Fk + центра масс 2 k=1 k=1 k= n n d KC i + A12 Fk e = m C Fk.

dt k= k= n n ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. e i A12 Fk.

T2 T 1 = A12 Fk + В подвижной (неинерциальной) системе координат теорема об измене- k=1 k= нии кинетического момента принимает вид Теорема доказана.

n n d KC e mC (e ), = m C (Fk ) + Теорема (в дифференциальной форме). Производная по времени k dt от кинетической энергии механической системы равна сумме мощностей k=1 k= внешних и внутренних сил, действующих на систему.

где e = mk aC — переносные силы инерции.

k ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Но dAe dTk Для произвольной точки системы dTk = dAe + dAi k = + n n n k k dt dt m C ( e ) = rk (mk aC ) = mk rk aC = mrC aC = 0, dAi k dT k = Nk + Nk. Суммируя по всем точкам системы, получаем e i k + k=1 k=1 k=1 dt dt так как радиус-вектор центра масс в выбранной подвижной системе коор- n n динат равен нулю. Откуда следует утверждение теоремы. dT = e i Nk.

Nk + Теорема доказана. dt k=1 k= Теорема доказана.

Теорема об изменении кинетической энергии Следствие. Если механическая система является консервативной, то Теорема. Изменение кинетической энергии механической системы на полная механическая энергия системы, равная сумме кинетической и по некотором перемещении равно сумме работ внешних и внутренних сил, тенциальной энергий, при ее движении остается постоянной (закон со действующих на систему, на том же перемещении.

хранения энергии).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Из теоремы об изменении кинетической энергии в дифференциальной Рассмотрим движение произвольной точки системы m k ak = Fk + Fk, e i форме следует dmk vk либо = Fk + Fk, умножим скалярно на дифференциал радиус-век e i dT = dA, dt 100 ЛЕКЦИЯ где dA — элементарная работа всех внешних и внутренних сил, действую щих на механическую систему.

В случае консервативной системы ЛЕКЦИЯ dT = d = d(T + ) = 0 = T + = const.

Динамика твердого тела Литература:

[1, § 84, 85, 89, 110–112, 116–118, 123, 126, 127];

1. Дифференциальные уравнения поступательного, вращательного и [3, § 48, 50, 52, 54, 56, 62, 67, 69, 74];

плоскопараллельного движений твердого тела.

[4, п. 8.2, 8.4, 9.3, 10.4, 11.2, 11.5, 11.6]. 2. Тензор инерции.

3. Динамика вращательного и сферического движения твердого тела.

4. Динамические уравнения Эйлера. (Дифференциальные уравнения сферического движения твердого тела.) 5. Дифференциальные уравнения свободного движения твердого тела.

6. Приближенная теория гироскопа.

Дифференциальные уравнения поступательного, вращательного и плоскопараллельного движений твердого тела Как было показано, твердое тело может совершать поступательное, вращательное, плоскопараллельное, сферическое и свободное движение.

Дифференциальные уравнения поступательного движения твердого те ла, которые были получены из теоремы о движении центра масс, имеют вид:

n n n e e e mC = x Fkx, mC = y Fky, mC = z Fkz.

k=1 k=1 k= Применение теоремы об изменении кинетического момента в скаляр ной форме к вращающемуся телу позволяет получить дифференциальное уравнение вращательного движения n e Jz = mz (Fk ).

k= При описании плоскопараллельного движения твердого тела из теорем о движении центра масс и об изменении кинетического момента в относи тельном движении находим соответствующие дифференциальные уравне ния n n n e e e mC = x Fkx, mC = y Fky, JzC = mzC (Fk ).

k=1 k=1 k= 102 ЛЕКЦИЯ 18 ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА Прежде чем приступить к изучению других случаев движения твердого Тогда тела, рассмотрим некоторые дополнительные характеристики распределе- KOx = Jx x Jxy y Jxz z, ния масс. KOy = Jyx x + Jy y Jyz z, KOz = Jzx x Jzy y + Jz z.

Тензор инерции В общем случае вектор кинетического момента не совпадает по на правлению с вектором угловой скорости. В матричном виде эта связь запи Рассмотрим выражение кинетического момента сывается выражением твердого тела в случае его сферического движения.

С учетом формулы Эйлера для скорости точки име KOx Jx Jxy Jxz x ем KOy = Jyx Jy Jyz y.

n n KOz Jzx Jzy Jz z KO = rk mk v k = rk mk r k, Или как линейное отображение (оператор) в трехмерном векторном k=1 k= пространстве:

где — мгновенная угловая скорость сферического движения.

KO =.

В проекциях на оси системы координат, связанной с движущимся те лом, Линейному оператору соответствует в фиксированном базисе ( i, j, k) матрица n n n 2 KOx = mk (yk + zk )x m k xk y k y m k xk z k z, Jx Jxy Jxz J = Jyx Jy Jyz — тензор инерции.

k=1 k=1 k= Jzx Jzy Jz n n n mk (zk + x2 )y KOy = m k y k xk x + mk y k z k z, k Матрица J является симметричной и ее элементы определяются мо k=1 k=1 k= ментами инерции твердого тела, характеризующими распределение масс n n n относительно фиксированной системы координат.

mk (x2 + yk )z.

KOz = m k z k xk x mk z k y k y + k Как известно, при изменении базиса (преобразовании системы коорди k=1 k=1 k= нат) матрицу линейного преобразования можно привести к диагональному Так как (yk + zk ), (zk + x2 ), (x2 + yk ) — квадраты расстояний от точки 2 2 2 виду k k с массой mk до координатных осей Ox, Oy, Oz, то J 0 J = 0 J 0, n n n 0 0 J 2 mk (zk + x2 ), mk (x2 + yk ) Jx = mk (yk + zk ), Jy = Jz = k k где J, J, J — собственные значения линейного оператора, которые k=1 k=1 k= находятся из уравнения — осевые моменты инерции.

Введем обозначения: E — единичная матрица.

det(J E) = 0, n n n Соответствующие оси O, O и O называются главными осями m k xk y k, mk y k z k,, Jxy = Jyz = Jzx = m k z k xk инерции твердого тела. Если начало координат совпадает с центром масс, k=1 k=1 k= то они называются главными центральными осями инерции. Главной — центробежные моменты инерции (Jxy = Jyx, Jyz = Jzy, Jzx = Jxz ). осью инерции, кроме того, по определению называется ось координат, для 104 ЛЕКЦИЯ 18 ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА которой центробежные моменты инерции, содержащие индекс этой оси, Таблица 1. Моменты инерции некоторых однородных тел, моделируемых простей равны нулю. Например, если Jxz = Jyz = 0, то Oz — главная ось инерции. шими геометрическими фигурами, относительно главных центральных осей Если она проходит через центр масс, то ее называют главной центральной J J J осью инерции. Из определения центробежных моментов инерции следует:

ось симметрии однородного тела является главной для всех точек данной оси;

для точек, лежащих в плоскости материальной симметрии, главной ml2 ml является ось, перпендикулярная этой плоскости. Для точек, лежащих на 3 главных центральных осях инерции тела, главные оси инерции параллель ны главным центральным осям инерции.

стержень Для доказательства рассмотрим две системы координат, mR2 mR mR 2 кольцо mR2 mR2 mR 2 4 где Cx, Cy, Cz — главные центральные оси инерции.

Тогда диск n n n Jx z = xk z k m k = (xk a)zk mk = Jxz a zk mk = Jxz azC m = 0, m a2 + b ¤ mb2 ma k=1 k=1 k= 3 3 n n Jy z = y k z k mk = yk zk mk = Jyz = 0.

прямоугольник k=1 k= В определении моментов инерции использовалась модель абсолютно твердого тела как совокупности конечного числа материальных точек, рас- m 3a2 + h ¤ mh2 ma стояние между которыми не изменяется. В общем случае сплошного тела 18 18 суммирование при соответствующем предельном переходе заменяется ин тегрированием по линии, поверхности или объему в зависимости от раз треугольник мерности рассматриваемой фигуры. Для некоторых тел соответствующие моменты инерции относительно главных осей приведены в таблице.

с произвольным расположением базисных векторов, имеем Одно и то же линейное преобразование в двух разных базисах имеет разные матрицы J и J. Используя традиционную нумерацию координатных L1 = LT J = LJ L1, осей, обозначая через L = lij = ei ·ej ортогональную матрицу перехода (в силу ортогональности обратная матрица совпадает с транспонирован от базиса (e1, e2, e3 ), соответствующего главным осям, к базису (e1, e2, e3 ) ной).

106 ЛЕКЦИЯ 18 ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА В частности, момент инерции относительно произвольной оси Ox, со Таблица 1 (продолжение). Моменты инерции некоторых однородных тел, модели ставляющей углы, и с главными осями O, O и O, в соответствии руемых простейшими геометрическими фигурами, относительно главных централь с указанным правилом перехода от одного базиса к другому определится ных осей равенством Jx = J cos2 + J cos2 + J cos2.

m(a2 + b2 ) mb2 ma эллипс Этому равенству можно дать геомет 4 4 рическую интерпретацию.

Вдоль оси Ox отложим отрезок OM = 1. Координаты точки M равны Jx cos cos = cos, 2 2 2 2 =, =.

R +l R +l mR цилиндр m m Jx Jx Jx 4 3 4 3 2 2 2 Тогда J 2 +J 2 +J 2 = 1 или + 2 + 2 = 1, где a =, J a b c 1,c=.

b= J J Геометрическим местом точек M является поверхность эллипсоида, m b2 + c 2 m c2 + a 2 m a2 + b 3 3 3 называемого эллипсоидом инерции, с полуосями, обратными корням квад ратным из соответствующих главных моментов инерции. Каждой точке параллелепипед твердого тела можно сопоставить эллипсоид инерции. По построению, дли на отрезка, соединяющего данную точку с произвольной точкой поверхно сти эллипсоида, обратно пропорциональна корню квадратному из момента m b2 + c 2 m c2 + a 2 m a2 + b 2 инерции твердого тела относительно оси соответствующего направления.

5 5 Вместе с массой эллипсоид инерции полностью определяет инертные свой ства твердого тела. Связь между моментами инерции относительно парал эллипсоид лельных осей, одна из которых проходит через центр масс, дается следую щей теоремой.

Теорема Гюйгенса – Штейнера. Момент инерции относительно про 3m H 2 + 4R2 3m H 2 + 4R ¤ ¤ 3mR2 извольной оси равен моменту инерции относительно параллельной оси, про конус 80 80 10 ходящей через центр масс, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния между осями Jz = JzC + ma2, где a — расстояние между осями.

Тогда связь между элементами матриц J и J можно записать в виде ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Действительно:

3 n n Jij = lim ljn Jmn, m k xk 2 + y k 2 = mk (xk + ax )2 + (yk + ay )2 = Jz = m=1 n= k=1 n k= n n n где lim = cos (Ox Oxm ) — косинусы углов между новыми и старыми ося m k x2 mk a 2 + a 2, i = + yk + 2ax mk xk + 2ay mk y k + ми. k x y k=1 k=1 k=1 k= 108 ЛЕКЦИЯ 18 ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА здесь xk, yk — координаты точек в системе координат Cxyz, с началом в вектора KO в подвижной системе координат, жестко связанной с твердым центре масс и осями, параллельными исходной системы координат Ox y z, телом, (относительное движение) и его поворота с угловой скоростью по отношению к неподвижной системе координат (переносное движение).

{ax, ay } — проекции вектора OC на соответствующие оси, a = a2 + a2 — x y Тогда по теореме сложения скоростей расстояние между осями Oz и Oz.

d KO d KO = + KO, dt dt i,j,k=const где i, j, k — орты подвижной системы координат.

Подставляя это выражение в теорему об изменении кинетического мо dK мента = MO и проектируя на оси подвижной системы координат, e O dt находим dKOx e + (y KOz z KOy ) = MOx, dt dKOy e + (z KOx x KOz ) = MOy, dt По определению центра масс dKOz e + (x KOy y KOx ) = MOz.

n n dt m k xk = mk yk = 0. При вращательном движении твердого тела (например, вокруг оси Oz) направление вектора угловой скорости остается постоянным ( x = y = 0).

k=1 k= В этом случае имеем Тогда dz d d n n + Jyz z = MOx, Jyz z Jxz z = MOy, Jz z = MOz.

2 e e e Jxz mk (x2 + yk ) + mk (a2 + a2 ) = JzC + ma2.

Jz = dt dt dt k x y Последнее равенство позволяет получить дифференциальное уравне k=1 k= ние вращательного движения Теорема доказана.

e — угол поворота тела.

Jz = MOz, Динамика вращательного и сферического движения Первые два могут быть использованы для определения динамических твердого тела реакций подшипников, когда ось вращения не является главной осью инер ции (динамическая неуравновешенность).

Для получения дифференциальных уравнений вращательного и сфе рического движения твердого тела воспользуемся теоремой об изменении кинетического момента Динамические уравнения Эйлера. (Дифференциальные d KO уравнения сферического движения твердого тела) e = MO.

dt В случае сферического движения, если в качестве подвижных осей Левую часть этого равенства можно рассматривать как абсолютную взять главные оси инерции тела и ввести обозначения скорость точки, совпадающей с концом вектора KO. Движение этой точ ки можно рассматривать как сложное. Оно происходит за счет изменения p =, q =, r = ;

A = J, B = J, C = J, 110 ЛЕКЦИЯ 18 ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА то В случае Эйлера – Пуансо два интеграла движения находятся непосред ственно из законов сохранения кинетического момента и энергии dp e A qr(B C) = M, dt A2 p2 + B 2 q 2 + C 2 r2 = const, dq Ap2 + Bq 2 + Cr2 = const.

e B rp(C A) = M, dt C dr pq(A B) = M.

e Дифференциальные уравнения свободного движения dt твердого тела Эти уравнения называются динамическими уравнениями Эйлера. Они допускают аналитическое интегрирование при произвольных начальных Дифференциальные уравнения свободного движения твердого тела условиях движения в трех случаях. нетрудно получить, если рассмотреть движение тела как сложное, принимая 1. Случай Эйлера – Пуансо. Центр масс тела произвольной формы сов- за переносное движение поступательное с центром масс, а за относитель падает с неподвижной точкой. Движение тела происходит по инерции. ное — сферическое движение вокруг центра масс. Т. е. к динамическим 2. Случай Лагранжа1 – Пуассона2. Эллипсоидом инерции для непо- уравнениям Эйлера необходимо добавить дифференциальные уравнения движной точки является эллипсоид вращения A = B = C и центр масс движения центра масс.

лежит на оси вращения эллипсоида инерции. (Симметричный волчок.) 3. Случай Ковалевской3. Эллипсоид инерции для неподвижной точки Приближенная теория гироскопа есть вытянутый эллипсоид вращения при A = B = 2C. Центр масс тела лежит в экваториальной плоскости эллипсоида инерции. (Асимметричный Гироскоп — быстро вращающееся симметричное твердое тело, ось вра волчок.) щения которого (ось симметрии) может изменять свое направление в про Уместно отметить, что кинетический момент относительно неподвиж- странстве. Гироскопы обладают рядом интересных свойств, обусловливаю ной точки и кинетическая энергия твердого тела при сферическом движении щих их широкое применение в различных технических устройствах. В каче определяются выражениями: стве примера на рисунке изображены гироскоп с тремя степенями свободы, когда ротор может совершать три независимых вращения вокруг осей AA, 2 2 2 A 2 p2 + B 2 q 2 + C 2 r 2, KO = KO + KO + KO = BB, CC, пересекающихся в одной точке O (карданов подвес), и гироскоп J 2 с двумя степенями свободы, когда ротор может вращаться только вокруг T= = осей AA, BB.

1 (J cos2 2 + J cos2 2 + J cos2 2 ) = 1 (Ap2 + Bq 2 + Cr2 ).

2 1 Лагранж Жозеф Луи (25.01.1736–10.06.1813) — французский математик и механик, член Французской АН, член и президент Берлинской АН. Труды по вариационному исчислению, математическому анализу, теории чисел, алгебре и дифференциальным уравнениям. Написал трактат «Аналитическая механика».

2 Пуассон Симеон Дени (21.06.1781-25.04.1840) — французский математик и механик, член института Франции, почетный член Петербургской АН. Работы посвящены теории рядов Фу рье, теории неопределенных интегралов, вариационному исчислению, теории вероятностей, математической физике, теоретической механике. Написал «Курс механики».

3 Ковалевская Софья Васильевна (15.01.1850–10.02.1891) — русский математик и меха ник, чл.-кор. Петербургской АН. Доктор философии Геттингенского университета. Профессор Стокгольмского университета. Исследования относятся к динамике, математической физике, небесной механике, теории дифференциальных уравнений;

наиболее важные — к теории вра щения твердого тела. Автор литературных произведений.

112 ЛЕКЦИЯ 18 ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА Отметим, что это кинематическая интерпретация теоремы об измене нии кинетического момента.


Используя теорему Резаля, можно:

1. Зная внешние силы, найти, как движется ось гироскопа.

2. Зная движение оси гироскопа, можно найти главный момент внеш них сил.

Основные свойства гироскопа Рассмотрим установившееся вращательное движение с угловой скоро стью 1 астатического гироскопа с тремя степенями свободы. При этом главный момент внешних сил, действующих на гироскоп, относительно неподвижной точки равен нулю. Тогда по теореме об изменении кинетиче Гироскопы совершают сферическое движение. Если неподвижная точ ского момента ка O совпадает с центром масс, то такой гироскоп называется астатическим d KO (уравновешенным), в противном случае — тяжелым. = 0 или KO = J 1 k = const.

dt Элементарная или прецессионная теория гироскопа основана на допу щении, что угловая скорость вращения гироскопа вокруг оси материальной Т. е. вектор k, который задает положение оси гироскопа, остается по симметрии значительно превышает угловую скорость поворота этой оси. стоянным по направлению в инерциальной системе отсчета, и имеет место Пусть 1 — угловая скорость быстро вращающегося гироскопа, 2 — следующее свойство:

угловая скорость вращения оси гироскопа. В рамках прецессионной теории Первое свойство астатического гироскопа можно считать, что кинетический момент гироскопа относительно непо- Ось быстро вращающегося уравновешенного (с тремя степенями сво движной точки направлен вдоль оси симметрии гироскопа O и равен боды) гироскопа устойчиво сохраняет свое направление в инерциальной системе отсчета. Удары или толчки могут вызвать вибрацию оси гиро KO = J 1 k. скопа, но не отклонение от первоначального положения.

Это свойство широко используется в различных навигационных прибо Для установления основных свойств гироскопа докажем следующую рах и стабилизаторах движения. Второе свойство гироскопа обнаруживает теорему. ся, когда на его ось начинает действовать сила (или пара сил), стремящаяся привести ось в движение.

Теорема Резаля Пусть на ось гироскопа действует посто Теорема. Скорость конца вектора кинетического момента механиче- янная сила P, как указано на рисунке.

ской системы относительно некоторого неподвижного центра геометри- По теореме Резаля: u = MO. Т. е. действие e чески равна главному моменту внешних сил, действующих на эту систему, постоянной силы на ось гироскопа приводит относительно того же центра. к повороту этой оси с некоторой угловой ско ростью 2. По формуле Эйлера для скорости ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

точки, совпадающей с концом вектора KO dK O Пусть точка A — конец вектора KO. Скорость ее движения: uA =.

dt Сравнивая данное соотношение с теоремой об изменении кинетического u = 2 KO.

момента, получим uA = MO.

e С учетом равенства KO = J 1 из теоре Теорема доказана.

мы Резаля находим MO = 2 J 1 или MO = J 1 2 sin, где — угол e e 1 Резаль Анри Эме (27.01.1828–22.08.1896) — французский ученый в области механики, нутации.

член Парижской АН. Работы посвящены вопросам механики, баллистики и термодинамики.

114 ЛЕКЦИЯ 18 ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА Движение, совершаемое осью гироскопа от постоянной силы, называ- В этом случае главный момент внешних сил, действующих на гиро ется прецессией. 2 — угловая скорость прецессии скоп, отличен от нуля MO = u = 2 KO.

e Силы, создающие этот момент — силы гироскопических реакций в подшипниках. Противоположный момент создают силы давления на под Me — закон прецессии.

2 = шипники Q, Q. M Q, Q = KO 2. Так как KO = J 1, то M Q, Q = J 1 sin = J 1 2 или M Q, Q = J 1 2 sin, где — угол между осью Это равенство выражает следующее свойство. собственного вращения гироскопа и осью прецессии.

Второе свойство гироскопа Под действием гироскопической пары сил давления на подшипники При действии силы (или пары сил) на ось быстро вращающегося ги- система может перемещаться. Пара сил Q, Q стремится совместить ось роскопа она будет отклоняться не в сторону действия силы, как это было вращения гироскопа с осью прецессии.

бы при невращающемся роторе, а в направлении, перпендикулярном этой Данный результат можно сформулировать в виде следующего правила.

силе. При этом вращение оси будет происходить с постоянной угловой Правило Жуковского скоростью.

Если гироскопу сообщают вынужденное прецессионное движение, то Данное свойство наблюдается как у астатического, так и тяжелого ги возникает гироскопическая пара сил давления на подшипники, стремящаяся роскопа.

кратчайшим путем установить ось гироскопа параллельно оси прецессии Рассмотрим движение волчка. Действующие на так, чтобы векторы 1 и 2 совпадали.

него внешние силы — сила тяжести P и сила реакции Возможность возникновения гироскопических реакций при вынужден N.

ной прецессии быстро вращающихся деталей машин (например, роторов Главный момент внешних сил: MO = e судовых и авиационных двигателей) необходимо учитывать в инженерных = P |CO| sin. расчетах.

P |CO| sin Из закона прецессии 2 = = Литература:

J 1 sin [1, § 57, 102–105, 131, 132];

P |CO|.

= [3, § 34–41, 88–95];

J [4, п. 12.1–12.9, 13.4, 14.1, 15.1–15.6].

Угловая скорость прецессии тем меньше, чем больше угловая скорость вращения волчка вокруг его оси симметрии.

Регулярная прецессия — движе ние гироскопа с постоянными угловы ми скоростями собственного враще ния, прецессии и постоянным углом нутации.

Момент гироскопических ре акций Рассмотрим движение астатиче ского гироскопа с двумя степенями свободы, когда ось гироскопа прину дительно поворачивается.

ПРИНЦИП Д’АЛАМБЕРА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЬЮТО ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ПРИНЦИПА ВТОРОМУ ЗАКОНУ НА.

Из основного уравнения динамики путем тождественных преобразова ЛЕКЦИЯ 19 ний находим ma = F + R = F + R + (ma) = 0 = F + R + = 0.

Принцип Д’Аламбера Эквивалентность установлена.

Принцип д’Аламбера для механической системы:

Если в фиксированный момент времени к каждой точке механической системы, кроме действующих сил, добавить силы инерции, то система сил 1. Сила инерции материальной точки.

будет уравновешенной.

2. Принцип д’Аламбера.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

3. Приведение системы сил инерции твердого тела к простейшему виду.

Силы, приложенные к каждой точке си 4. Определение динамических реакций. стемы, разделим на внешние и внутренние.

Тогда, принцип д’Аламбера для каждой точки запишется в виде Сила инерции материальной точки e i Fk + Fk + k = 0, k = 1,..., n.

F — равнодействующая активных сил, прило Принципу д’Аламбера для механической системы можно придать дру женных к точке, гую математическую форму.

R — равнодействующая реакций связей, Суммируя полученные выражения по всем точкам системы, находим = ma — сила инерции материальной точ- n n n ки. e i Fk + Fk + k = 0, Сила инерции материальной точки — k=1 k=1 k= сила, равная по модулю произведению массы а умножая векторно слева на радиус-векторы rk точек системы и снова точки на ее ускорение и направленная в сторо выполняя суммирование, находим:

ну, противоположную ускорению.

n n n e i m O Fk + m O Fk + mO k = 0.

Принцип д’Аламбера k=1 k=1 k= Принцип д’Аламбера1 для точки: С учетом свойства внутренних сил имеем Если в фиксированный момент движения, кроме действующих на точ F e + = 0, e MO + MO = 0, ку сил, добавить силу инерции, то система сил будет уравновешенной.

где F e — главный вектор внешних сил;

— главный вектор сил инерции;

1 Д’Аламбер Жан Лерон (16.11.1717–29.10.1783) — французский математик, механик, фи лософ, член Французской АН. Почетный член Петербургской АН и член ряда других ака MO — главный момент внешних сил системы;

MO — главный момент сил e демий наук. Исследования в области механики, гидродинамики, небесной механики, теории инерции.

дифференциальных уравнений, теории рядов, алгебре. Основоположник методов прикладной Принцип доказан.

механики.

118 ЛЕКЦИЯ 19 ПРИНЦИП Д’АЛАМБЕРА Полученные уравнения по форме совпадают с условиями равновесия Вращение тела, имеющего плоскость материальной симметрии, вокруг статики. В общем случае они позволяют получить шесть скалярных ра- оси, проходящей через центр масс перпендикулярно этой плоскости венств (равенства нулю сумм проекций сил, включая силы инерции, на Так как центр масс лежит на оси вращения, ac = 0 и = каждую из координатных осей и равенства нулю сумм моментов сил отно- = 0. В этом случае система сил приводится к паре сил, ле сительно координатных осей). жащей в плоскости материальной симметрии тела. Вектор мо мента этой пары равен главному моменту сил инерции отно сительно оси вращения Приведение системы сил инерции твердого тела dJzC к простейшему виду MC = = JzC.

dt По теореме Пуансо систему сил инерции, приложенных к точкам твер Таким образом, алгебраический момент пары сил инерции дого тела, в общем случае можно заменить силой и парой сил. Сила прило может быть вычислен по формулам:

жена в центре приведения и равна главному вектору сил инерции, момент MzC = JzC = JzC = JzC.

пары равен главному моменту сил инерции относительно центра приведе ния. Плоское движение твердого тела, имеющего плоскость материальной Поскольку = F e, MO = MO, применяя теорему о движении e симметрии центра масс и теорему об изменении кинетического момента, находим: В качестве центра приведения выбираем центр масс, расположенный в плоскости симметрии тела, которая перемещается в координатной плос d KO кости Oxy. Так как плоское движение может быть представлено как сло.

= mac, MO = жение поступательного движения с центром масс и вращательного вокруг dt оси, проходящей через центр масс, то система сил инерции приводится к Здесь за центр приведения O принята произвольная неподвижная точка в силе и к паре, лежащей в плоскости материальной симметрии инерциальной системе отсчета.


Обычно за центр приведения выбирается центр масс механической = maC, MzC = JzC, системы. Тогда с учетом теоремы об изменении кинетического момента в поступательно движущейся с центром масс системе отсчета где JzC — момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, перпендикулярно плоскости материальной симметрии.

d KC = maC, MC =. Аналогично рассматривается приведение системы сил инерции при dt вращении тела, имеющего плоскость материальной симметрии, вокруг оси, Рассмотрим частные случаи движения твердого тела. не проходящей через центр масс. При этом за центр приведения может Поступательное движение выбираться как центр масс, так и неподвижная точка на оси вращения.

Если за центр приведения выбрать центр масс системы, то главный момент всех сил инерции относительно центра масс равен нулю n n MC = rk mk a k = mk rk aC = M rC aC = 0.

k=1 k= Система сил инерции приводится к равнодействующей, которая прохо дит через центр масс, направлена противоположно ускорению центра масс и равна произведению массы тела на ускорение центра масс Если в качестве центра приведения принимается точка O, лежащая = mac. на оси вращения в плоскости симметрии, то главный момент сил инерции 120 ЛЕКЦИЯ 19 ПРИНЦИП Д’АЛАМБЕРА равен При вращении твердого тела мас сы m вокруг неподвижной оси Oz MzO = JzO, главный вектор сил инерции равен:

где JzO — момент инерции тела относительно оси вращения.

= + n = m aC + aCn.

В проекциях на оси координат, жестко связанные с телом, Определение динамических реакций x = myC + mxC 2, При движении несвободного твердого тела реакции связей складыва y = mxC + myC 2, ются из статических и добавочных динамических составляющих z = 0.

R = Rст + Rдин, С учетом выражений для главного момента сил инерции и динамиче ских уравнений вращательного движения твердого тела где Rст — главный вектор статических реакций, определяемых уравнения MOx = MOx = Jxz Jyz 2, e ми статики, Rдин — главный вектор динамических реакций, обусловленных движением механической системы. MOy = MOy = Jyz + Jxz 2.

e Динамические реакции можно определить с помощью принципа Тогда уравнения для определения динамических д’Аламбера реакций подшипников при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси имеют вид:

F e + = 0, e или MO + MO = 0, XAдин + XBдин + myC + mxC 2 = 0, Fакт + Rст + Rдин + = 0, MOакт + MOст + MOдин + MO = 0.

YAдин + YBдин mxC + myC 2 = 0, Здесь Fакт — главный вектор активных сил;

MOакт, MOст, MOдин — главные ZAдин = 0, моменты активных сил, статических и динамических реакций соответствен YAдин |zA | YBдин |zB | + Jxz Jyz 2 = 0, но.

Учитывая равенства, которым удовлетворяют статические реакции XAдин |zA | + XBдин |zB | + Jyz + Jxz 2 = 0.

Для того чтобы при вращении тела вокруг непо Fакт + Rст = 0, движной оси не возникали динамические реакции, необходимо и достаточ MOакт + MOст = 0, но, чтобы ось вращения была главной центральной осью инерции. Тогда xC = 0, yC = 0, Jxz = 0, Jyz = 0 и динамических реакций не возникает.

в проекциях на оси координат получим уравнения для определения дина Покажем, что ось вращения всегда можно сделать главной центральной мических реакций опор движущегося тела осью инерции, добавляя две точечные массы.

Пусть ось вращения не является главной центральной осью инерции Rдинx + х = 0, MOдинx + MOx = 0, вращающегося тела. Добавим к телу массы m1 и m2 в точках M1 (x1, y1, z1 ) и M2 (x2, y2, z2 ). Тогда уравнения для определения динамических реакций Rдинy + y = 0, MOдинy + MOy = 0, примут вид Rдинz + z = 0, MOдинz + MOz = 0.

XAдин + XBдин + (myC + m1 y1 + m2 y2 ) + (mxC + m1 x1 + m2 x2 )2 = 0, При составлении этих уравнений не нужно учитывать активные силы. YAдин + YBдин (mxC + m1 x1 + m2 x2 ) + (myC + m1 y1 + m2 y2 )2 = 0, Динамические реакции определяются только силами инерции.

122 ЛЕКЦИЯ ZAдин = 0, YAдин |zA | YBдин |zB | + (Jxz + m1 x1 z1 + m2 x2 z2 ) ЛЕКЦИЯ (Jyz + m1 y1 z1 + m2 y2 z2 )2 = 0, XAдин |zA | + XBдин |zB | + (Jyz + m1 y1 z1 + m2 y2 z2 )+ Введение в аналитическую механику +(Jxz + m1 x1 z1 + m2 x2 z2 )2 = 0.

Динамические реакции обращаются в ноль при выполнении условий:

mxC + m1 x1 + m2 x2 = 0, 1. Связи и их уравнения.

myC + m1 y1 + m2 y2 = 0, 2. Классификация связей.

Jxz + m1 x1 z1 + m2 x2 z2 = 0, 3. Виртуальные перемещения. Виртуальная работа силы. Идеальные Jyz + m1 y1 z1 + m2 y2 z2 = 0.

связи.

4. Принцип виртуальных перемещений.

Давая произвольные значения четырем из величин m 1, m2, x1, y1, z1, x2, y2, z2, остальные можно найти из полученной системы уравнений. 5. Общее уравнение динамики.

Такой метод динамической балансировки широко используется в технике для уравновешивания быстровращающихся деталей машин.

Связи и их уравнения Литература:

Тела, ограничивающие свободу перемещения точек данной механи [1, § 133–136];

ческой системы, называются связями. В аналитической механике связи [3, § 106–111];

задаются математически с помощью уравнений или неравенств, в которые [4, п. 16.1–16.3].

входят время, координаты всех или части точек системы и их производные по времени. В частности, для одной точки уравнение связи может иметь вид: f (x, y, z) = 0, где f (x, y, z) — заданная функция координат точки.

Например, связь в виде идеального стержня, ограни чивающего перемещение материальной точки M (x, y, z), записывается уравнением x2 + y 2 + z 2 = l 2.

Другой пример. При свободном движении системы двух материальных точек M1 (x1, y1, z1 ) и M2 (x2, y2, z2 ), соединенных между собой идеальным стержнем, уравнение связи, из условия неизменности расстояния между точками, имеет вид:

(x2 x1 )2 + (y2 y1 )2 + (z2 z1 )2 = l2.

Положение данной системы определяется пятью независимыми пара метрами, в качестве которых могут быть выбраны три декартовы коорди наты точки M1 и две декартовы координаты точки M2, или три декартовы 124 ЛЕКЦИЯ 20 ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ МЕХАНИКУ координаты точки M1 и два сферических угла, определяющих положение Связь называют удерживающей, если она выражается математически отрезка M1 M2. уравнением, и неудерживающей, если она выражается неравенством. Связь называется стационарной, если в уравнение связи время явно не входит.

Если в уравнение связи время входит явным образом, то связь — нестаци Классификация связей онарная.

Примером нестационарной связи, наложенной на ма Связь называется голономной, если в уравнение связи входят коорди териальную точку, является нить, длина которой изменяет наты точек механической системы ся по заданному закону f (x1, y1, z1,..., xn, yn, zn ;

t) = 0.

x2 + y 2 + z 2 l2 (t).

Выше были рассмотрены примеры голономных связей. Если уравне Это голономная, неудерживающая, ния связи, кроме координат и иных параметров, определяющих положение нестационарная связь.

системы, содержит их дифференциалы или производные по времени и эти дифференциальные уравнения не могут быть проинтегрированы, то связь называется неголономной.

Виртуальные перемещения. Виртуальная работа силы.

Примером неголономной связи служит горизонтальная плоскость для Идеальные связи диска радиуса R, катящегося по ней без скольжения и поворачивающегося при этом вокруг вертикального направления.

Виртуальным (возможным) перемещением точки называется такое бесконечно малое (элементарное) перемещение r, которое допускается в рассматриваемый момент времени наложенными на точку связями.

Проекции вектора виртуального перемещения точки r = {x, y, z} называются вариациями координат.

В данном случае проекции скорости центра диска на оси координат определяются равенствами xC = R cos, yC = R sin, zC = 0.

Последнее уравнение может быть проинтегрировано и дает z C = R. Первые два преобразуются к виду dxC = dR cos, dyC = dR sin.

Эти дифференциальные уравнения могут быть проинтегрированы только в случае, когда = const. При этом связь становится голономной. В случае голономной нестационарной связи уравнение f (x, y, z;

t) = В дальнейшем ограничимся рассмотрением только голономных связей. в фиксированный момент определяет некоторую поверхность в трехмерном 126 ЛЕКЦИЯ 20 ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ МЕХАНИКУ пространстве, на которой находится движущаяся точка. Виртуальные пере- В частности, в предыдущем примере из уравнения голономной и ста мещения лежат в касательной плоскости к этой поверхности и вариации ционарной связи координат удовлетворяют уравнению OA sin = AB sin f f f x + y + z = 0, находим x y z OA cos = AB cos.

выражающему перпендикулярность вектора нормали к поверхности n = Вариации координат середины стержня AB находятся из уравнений связи f f f и вектора r = {x, y, z}.

=,, x y z По форме левая часть уравнения связи для вариаций координат совпа xC = OA cos + AB cos, дает с полным дифференциалом функции трех переменных. Она называется вариацией функции f (x, y, z;

t) и обозначается f. Т. е. yC = AB sin.

f f f f = x + y + z. Откуда x y z С точностью до величин второго порядка малости координаты точ- xC = OA sin AB sin, ки M (x+x, y+y, z+z) в новом ее положении удовлетворяют уравнению связи yC = AB cos.

f (x + x, y + y, z + z;

t) = 0.

Виртуальной работой силы называется работа силы на виртуальном Если на точку наложена стационарная связь перемещении точки ее приложения A = F · r.

f (x, y, z) = 0, то ее уравнение задает поверхность, по ко Связь называется идеальной, если сумма работ ре торой движется эта точка, и бесконечно малое действи акций этой связи на любом виртуальном перемещении тельное перемещение dr = {dx, dy, dz} совпадает с одним системы равна нулю.

из виртуальных. Например, для связи в виде стержня и Примером является шероховатая поверхность для виртуальное перемещение r точки M, и ее действитель катка, катящегося без скольжения, при отсутствии трения ное перемещение dr перпендикулярны радиусу сферы, по качения которой может перемещаться точка.

Если задана неудерживающая связь неравенством f (x, y, z) 0, то A = mP (R) = 0.

при нахождении виртуального перемещения она заменяется удерживаю щей f (x, y, z) = 0. Это означает, что при виртуальном перемещении точки связь сохраняется.

Принцип виртуальных перемещений Виртуальное перемещение механической системы — совокупность виртуальных перемещений точек этой системы Для равновесия механической системы с идеальными и стационарными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма виртуальных работ всех активных сил, приложенных к точкам системы, была равна нулю n Aакт = 0.

k k= 128 ЛЕКЦИЯ 20 ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ МЕХАНИКУ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕОБХОДИМОСТИ. Принцип возможных перемещений можно применять для определения Дано: механическая система в равновесии. реакций связей в статически определимых конструкциях. Для этого надо n освободить систему от одной из связей и реакцию этой связи считать актив Aакт = 0.

Доказать:

ной силой. Система, лишенная одной связи, может получить виртуальное k k= Так как система находится в равновесии, то равнодействующая актив- перемещение, что и позволяет найти неизвестную реакцию.

ных сил Fk и равнодействующая сил реакций связей Rk, приложенных в k-й точке системы, удовлетворяют условию равновесия статики: Общее уравнение динамики акт Fk + Rk = 0, k = 1,..., n.

При движении механической системы с идеальными связями работа всех активных сил и сил инерции на любом виртуальном перемещении си Сообщим системе виртуальное перемещение и умножим обе части каж стемы в каждый фиксированный момент времени равна нулю.

дого равенства на виртуальное перемещение k-й точки r k. Далее, суммируя по всем точкам системы, получим: ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Рассмотрим движение k-й точки системы n n акт Fk · rk + Rk · rk = 0. акт mk a k = Fk + R k, k=1 k= Так как связи идеальные, то или акт Fk mk ak + Rk = 0, k = 1,..., n.

n n n акт Aакт Rk · rk = 0 Fk · rk = 0 = 0. Мысленно зафиксируем время t и дадим системе виртуальное пере k мещение rk, k = 1,..., n. Умножим скалярно каждое уравнение на r k k=1 k=1 k= и сложим их Необходимость доказана.

n n ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ДОСТАТОЧНОСТИ. акт Fk mk ak · rk + Rk · rk = 0.

n Aакт = 0.

Дано: k k=1 k= k= Доказать: механическая система в равновесии. По определению идеальных связей последняя сумма равна нулю. Следова Предположим, что при заданных условиях система не находится в рав- тельно, новесии, т. е. при действии на систему активных сил хотя бы одна точ акт ка получила действительное перемещение dr k и Fk + Rk = 0. Так как n n n акт Aакт + Aин = 0.

для стационарных связей действительное перемещение совпадает с од- или Fk mk ak · rk = 0 k k акт ним из возможных перемещений, drk = rk Fk + Rk · rk 0 k=1 k=1 k= акт или Fk · rk + Rk · rk 0 по крайней мере для одной точки системы, Утверждение доказано.

вышедшей из равновесия. Суммируя по всем точкам системы, получаем n n n акт Rk · rk 0. Так как связи идеальные, то Fk · rk + Rk · rk = Литература:

k=1 k=1 k= [1, § 137–141];

n n акт Aакт 0, что противоречит условию.

=0 Fk · rk 0 [3, § 112–118];

k k=1 k= [4, п. 18.1–18.5, 19.1].

Следовательно, система находится в равновесии.

Достаточность доказана.

МЕТОД ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТ ЛЕКЦИЯ Метод обобщенных координат 1. Обобщенные координаты и скорости.

2. Обобщенные силы и способы их вычисления. Числом степеней свободы механической системы называется число независимых вариаций ее обобщенных координат q i. Для механической 3. Условие равновесия в обобщенных координатах.

системы с голономными связями число степеней свободы совпадает с чис лом обобщенных координат.

Обобщенные координаты и скорости В случае неголономных связей число степеней свободы меньше, чем число обобщенных координат. Например, положение диска радиуса R, катя Обобщенные координаты (q1, q2,..., qs ) — независимые параметры щегося без скольжения по горизонтальной плоскости и поворачивающегося любой размерности, которые определяют положение механической систе- при этом вокруг вертикали, определяется четырьмя обобщенными коорди мы. натами — xC, yC, и ( — угол поворота при качении). Так как вариации Каждому положению механической системы при этом соответствует координат связаны соотношениями:

точка (q1, q2,..., qs ) в s-мерном пространстве, называемом пространством конфигураций. xC = R cos, yC = R sin, Для эллиптического маятника, изображенного на рисунке, за обобщенные координаты можно при- то из четырех вариаций обобщенных координат x C, yC, и незави нять координату x1 и угол : q1 = x1, q2 =. симыми остаются две. Значит число степеней свободы равно двум.

В случае стационарных связей декартовы коор- Для эллиптического маятника, на который наложены голономные свя динаты точки M выражаются следующим образом: зи, число степеней свободы совпадает с числом обобщенных координат.

Независимые виртуальные перемещения могут быть изображены, если за x = x1 + l sin, y = l cos.

дать следующие значения вариаций обобщенных координат:

При наличии нестационарных связей, например, при переменной длине нити маятника, l = l(t), x = x1 + l(t) sin, y = l(t) cos.

В общем случае координаты каждой точки механической системы яв ляются функциями обобщенных координат и времени xk = xk (q1, q2,..., qs ;

t), yk = yk (q1, q2,..., qs ;

t), zk = zk (q1, q2,..., qs ;

t).

Или Обобщенными скоростями называются производные обобщенных ко rk = rk (q1, q2,..., qs ;

t), k = 1, 2,..., n.

ординат по времени q1, q2,..., qs.

132 ЛЕКЦИЯ 21 МЕТОД ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТ Скорости всех точек системы могут быть выражены через обобщенные 2. Так как связи голономные, то вариации обобщенных координат неза скорости соотношениями: висимы, и обобщенную силу можно найти, задавая изменение лишь одной координаты, а вариации остальных полагать равными нулю. Тогда, вычис s drk rk r ляя виртуальную работу активных сил на изменении этой координаты, на qj + k.

vk = = dt qj t ходим j= Aj В случае стационарных связей Aj = Qj qj, Qj =.

qj s drk rk 3. Если система консервативная, то обобщенная сила равна частной vk = = qj.

dt qj производной от потенциальной энергии по соответствующей обобщенной j= координате, взятой со знаком минус. Так как Обобщенные силы и способы их вычисления Fkx =, Fky =, Fkz =, то xk yk zk Рассмотрим систему, имеющую s степеней свободы, на которую нало n жены стационарные и голономные связи. xk + yk + zk =.

Qj = Для введения понятия обобщенной силы рассмотрим сумму вирту- xk qj yk qj zk qj qj альных работ активных сил, действующих на точки данной механической k= n n Aакт = системы: Fk · rk.

k Условие равновесия в обобщенных координатах k=1 k= Для систем со стационарными связями радиус-вектор k-й точки — Согласно принципу виртуальных перемещений, условие функция обобщенных координат rk = rk (q1, q2,..., qs ). По определению rk главной части приращения функции многих переменных r k = q + n q1 1 Fk · rk = rk r q2 +... + k qs. Подставим данное выражение в формулу для + k= q2 qs является необходимым и достаточным для равновесия системы с идеаль выражения работы активных сил:

ными и стационарными связями. Переходя к обобщенным координатам, n n s s n s rk rk находим Aакт = Fk · qj = Fk · qj = Qj qj, k qj qj n n s j=1 j=1 k=1 j= k=1 k= Aакт = Fk ·rk = Qj qj = Q1 q1 +Q2 q2 +... +Qs qs = 0.

n k rk где Qj =, j = 1, 2,..., s — обобщенные силы — величины, Fk · j= k=1 k= qj k= стоящие при соответствующих вариациях обобщенных координат в форму- Пусть связи, наложенные на систему, являются голономными. В силу ле для вычисления суммы виртуальных работ активных сил, действующих независимости вариаций обобщенных координат равенство нулю возможно на точки данной механической системы. только в том случае, когда все коэффициенты при вариациях обобщенных Способы вычисления обобщенных сил. координат равны нулю. Т. е.

1. Используя формулу вычисления скалярного произведения, обобщен- Для равновесия механической системы с идеальными, стационарными ную силу можно искать в виде и голономными связями необходимо и достаточно, чтобы все обобщенные силы были равны нулю n yk xk z + Fkz k Qj = Fkx + Fky.

qj qj qj Q1 = 0, Q2 = 0,..., Qs = 0.

k= 134 ЛЕКЦИЯ Для консервативных механических систем необходимым и достаточ ным условием равновесия является ЛЕКЦИЯ = 0, j = 1,..., s.

qj Дифференциальные уравнения движения механической системы Литература:

[1, § 142–144];

в обобщенных координатах [3, § 119–122];

[4, п. 18.6, 18.7].

1. Тождества Лагранжа.

2. Уравнения Лагранжа второго рода.

3. Уравнения Лагранжа для консервативных механических систем.

4. Уравнение движения машины.

Тождества Лагранжа Рассмотрим механическую систему с голономными, идеальными и ста ционарными связями, состоящую из n материальных точек и имеющую s степеней свободы. Обобщенные координаты, задающие положение точек системы, — q1, q2,..., qs.

Для стационарных связей радиус-вектор k-й точки — функция обоб щенных координат: rk = rk (q1, q2,..., qs ).

Вычисляя скорость этой точки, находим r r r vk = r = k q1 + k q2 +... + k qs.

k q1 q2 qs vk r = k — первое тождество Лагранжа.

Тогда qj qj С другой стороны:

2 rk 2 rk 2 rk vk = q1 + q2 +... + qs, qj q1 qj q2 qj qs qj 2 rk 2 rk 2 rk rk d = q1 + q2 +... + qs.



Pages:     | 1 || 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.