авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 ||

«Е. А. Митюшов, С. А. Берестова ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА: СТАТИКА. КИНЕМАТИКА. ДИНАМИКА КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ Издание второе. Исправленное и дополненное ...»

-- [ Страница 3 ] --

dt qj qj q1 qj q2 qj qs 136 ЛЕКЦИЯ 22 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ... Сравнивая правые части, находим: dvk rk r rk = d vk k vk d Так как, то с учетом тождеств dt qj dt qj dt qj Лагранжа имеем:

rk vk d — второе тождество Лагранжа.

= 2 (vk /2) (vk /2) dvk rk v vk = d vk k =d dt qj qj vk. () dt qj dt qj qj dt qj qj Подставляя () в равенство (), внося mk под знак производной и ме Уравнения Лагранжа второго рода няя порядок суммирования и дифференцирования, получаем n m v n m v Уравнения Лагранжа второго рода — это дифференциальные уравнения kk kk k=1 2 движения механической системы в обобщенных координатах. Как и раньше, Qj d k= + = считаем, что связи, наложенные на систему, — голономные, стационарные dt qj qj и идеальные. или Для получения уравнений движения воспользуемся общим уравнением d T T = Qj, j = 1, 2,..., s n dt qj qj динамики: Fk mk ak rk = 0.

k= — дифференциальные уравнения движения механической системы в обоб Для системы со стационарными связями виртуальное перемещение k-й щенных координатах (уравнения Лагранжа второго рода).

точки выражается через обобщенные координаты соотношением Разность полной производной по времени от частной производной от s кинетической энергии по обобщенной скорости и частной производной от rk rk = qj. кинетической энергии по обобщенной координате равна обобщенной силе.

qj Если связи, наложенные на систему, неидеальные, то при составле j= нии уравнений движения следует реакции неидеальных связей отнести к Подстановка его в общее уравнение динамики дает:

активным силам.

n s dvk rk Fk m k qj = 0.

Уравнения Лагранжа для консервативных механических dt qj j= k= систем Поменяем порядок суммирования Для консервативной системы обобщенные силы определяются через s n n потенциальную энергию системы соотношениями: Q j =. Тогда урав r dv r Fk k mk k k qj = 0. qj qj dt qj нения Лагранжа перепишутся в виде j=1 k=1 k= d T T =, j = 1, 2,..., s.

n rk По определению = Qj — обобщенная сила.

Fk dt qj qj qj qj k= Введем функцию Лагранжа L соотношением: L = T. Учиты Так как связи голономные, то вариации обобщенных координат q j вая, что потенциальная энергия есть функция только обобщенных коорди независимы. Следовательно, выражения в скобках равны нулю и нат = (q1, q2,..., qs ), имеем n dvk rk d L L = 0, Qj mk = 0, j = 1, 2,..., s. () j = 1, 2,..., s.

dt qj dt qj qj k= 138 ЛЕКЦИЯ 22 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ... (k) Если в функцию Лагранжа не входят явно k обобщенных координат где JC — момент инерции k-го звена относительно оси, проходящей через (k s), то возможно частичное интегрирование дифференциальных урав- его центр масс параллельно вектору k, mk — масса k-го звена.

нений движения механической системы. Соответствующие обобщенные ко- Кинетическая энергия машины определяется суммой ординаты называются циклическими. Для них vC 2 (k) n n (k) k T k = 1 J0 + L(q1,..., qs, qk+1,..., qs ) J.

T = T0 + + mk = 0, j = 1, 2,..., k. C 2 qj k=1 k= Величина, стоящая в скобках, называется моментом инерции машины, Тогда d L = 0, откуда L = const, j = 1, 2,..., k.

приведенным к оси вращения ведущего звена (обозначается J пр ). Тогда dt qj qj В итоге получаем k циклических интегралов. Примерами таких меха нических систем являются системы, для которых, в частности, выполняется T = 1 Jпр ()2.

закон сохранения количества движения. Для вычисления обобщенной силы найдем виртуальную работу сил, Уравнение движения машины (k) действующих на машину. Пусть Mi обозначает момент i-й пары сил, (k) приложенной к k-му звену машины (i = 1, 2,..., nk ), а Fj обозначает Машиной называют совокупность твердых тел (звеньев), соединенных между собой так, что положение и движение любого звена полностью опре- силу, приложенную в j-й точке k-го звена машины (j = 1, 2,..., n k ). Тогда деляется положением и движением одного звена, называемого ведущим.

Составим общее уравнение движения машины, состоящей из ведущего nk ni n звена и еще n звеньев, пользуясь уравнением Лагранжа второго рода. (k) (k) (k) · vj t = A = Mi · k + Fj При составлении выражения кинетической энергии предположим, что i=1 j= k= за ведущее звено выбрано вращающееся тело (ведущий кривошип). Обо- значим через угол поворота ведущего кривошипа, тогда его кинетическая (k) nk ni n vj (k) (k) Mi · k +.

энергия = Fj · T 0 = 1 J0 2, i=1 j= k= (k) где J0 — момент инерции ведущего кривошипа относительно оси вращения. Вектор скорости vj j-й точки k-го звена может быть выражен через Из определения машины угловая скорость k-го звена k и скорость его (k) vj (k) и отношение является функцией угла.

центра масс vC определяются угловой скоростью ведущего кривошипа и отношения Обобщенная сила Q — это множитель при вариации обобщенной коор (k) vC k динаты в выражении виртуальной работы. Т. е.

и (k) ni nk n — известные функции угла. vj k (k) (k).

Q= Mi · + Fj · Кинетическая энергия k-го звена определяется по теореме Кенига i=1 j= k= (k) v (k) k T k = 1 JC k + 1 m k v C = 1 JC (k) 2 (k) Полученное выражение называется вращающим моментом, приведен + mk C 2, 2 2 2 ным к оси вращения ведущего кривошипа (обозначается m пр ).

140 ЛЕКЦИЯ Подставляя найденную кинетическую энергию в уравнение Лагранжа второго рода ЛЕКЦИЯ d T T = Q, dt Интегральный вариационный принцип получаем общее уравнение движения машины Jпр () + 1 Jпр ()2 = mпр.

1. Принцип Гамильтона – Остроградского.

Здесь дифференцирование приведенного момента инерции осуществляется по обобщенной координате. 2. Принцип Гамильтона – Остроградского для консервативных систем.

Литература:

Принцип Гамильтона1 – Остроградского [1, § 45];

[3, § 125–128];

Рассмотрим движение механической системы с s степенями сво [4, п. 19.2, 19.3].

боды, на которую наложены голономные, идеальные и стационарные связи. Ее положению в каждый момент движения соответствует точка (q1 (t), q2 (t),..., qs (t)) в s-мерном конфигурационном пространстве. На от резке времени [0, t1 ] эта точка описывает некоторую линию, которая на зывается траекторией механической системы. Наряду с действительной траекторией движения механической системы рассмотрим семейство вир туальных (допускаемых наложенными связями) траекторий, по которым движение механической системы из начальной конфигурации в конечную осуществляется за тот же промежуток времени. Соответствующие им коор динаты точек конфигурационного пространства можно записать функциями qj = qj (t, ), qj (t, ) = qj (t), j = 1, 2,..., s, = где 0 — переменный параметр.

Виртуальное перемещение механической системы в каждый фиксиро ванный момент времени определим системой равенств qj (t, ) qj = d, j = 1, 2,..., s.

= 1 1Гамильтон Уильям Роуан (4.08.1805–2.09.1865) — ирландский математик, член Ирланд ской АН. Основные работы посвящены математической оптике, механике, вариационному исчислению.

2 Остроградский Михаил Васильевич (24.09.1801–1.01.1862) — русский математик и меха ник, академик Петербургской АН. Работы по аналитической механике, гидромеханике, теории упругости, небесной механике, математической физике.

142 ЛЕКЦИЯ 23 ПРИНЦИП ГАМИЛЬТОНА – ОСТРОГРАДСКОГО С точностью до малых второго порядка по d координаты виртуаль- или s s s ных траекторий отличаются от координат действительной траектории на d T q T q T q = A.

j величину qj j j dt qj qj qj j=1 j=1 j= qj (t, ) = qj (t) + qj.

С учетом выражения для вариации кинетической энергии имеем Аналогично можно рассматривать вариацию произвольной функции времени. Такие вариации называют синхронными. s d T q Справедливо утверждение. T + A =.

j dt qj Принцип Гамильтона – Остроградского j= Действительное движение механической системы отличается от всех Интегрируя полученное равенство по промежутку времени [0, t 1 ], на возможных ее движений из начальной конфигурации в конечную тем, что ходим для действительного перемещения выполняется равенство t t1 t s s t d T q T q (T + A)dt = dt = = 0.

j j (T + A)dt = 0. dt qj qj j=1 0 j= 0 s При подстановке пределов интегрирования здесь воспользовались тем, Здесь A = Qj qj — виртуальная работа сил, вызывающих движение, что в начальной и конечной точках виртуальные траектории и действитель j= ная траектория совпадают (qj (0) = 0, qj (t1 ) = 0).

T — вариация кинетической энергии.

Утверждение доказано.

Поскольку кинетическая энергия механической системы есть функция обобщенных координат и скоростей T = T (q1, q2,..., qs ;

q1, q2,..., qs ), то ее вариация может быть определена как главная (линейная) часть прираще Принцип Гамильтона – Остроградского ния функции 2s переменных для консервативных систем s s T q + T q.

T = j Для консервативных систем виртуальная работа выражается через ва j qj qj j=1 j= риацию потенциальной энергии При этом справедливо s q = d (q ) = qj A = j qj d = qj.

j dt j= = и принцип Гамильтона – Остроградского принимает вид Из этого принципа могут быть получены уравнения Лагранжа второго рода, и сам он может быть выведен из этих уравнений. Докажем второе t утверждение, ограничиваясь рассмотрением систем с голономными, стаци (T )dt = 0.

онарными и идеальными связями.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Умножая каждое из уравнений Лагранжа на соответствующую вариа- Введя функцию Лагранжа L = T, находим цию обобщенной координаты, и складывая полученные равенства, находим t s s s d T q T q = L dt = 0.

Qj qj j j dt qj qj j=1 j=1 j=1 144 ЛЕКЦИЯ В силу независимости операций интегрирования и варьирования, их порядок можно менять. Действительно, так как ЛЕКЦИЯ L(t, ) L = L(t, ) L(t) = d, Устойчивость равновесия = то t1 t1 t1 t L(t, ) d dt = L(t, )dt L dt = d = L dt.

1. Определение устойчивого положения равновесия.

= 0 0 0 = 2. Теорема Лагранжа – Дирихле.

t 3. Потенциальная энергия в малой окрестности положения равновесия.

Интеграл L dt называется действием по Гамильтону и обозначается 4. Условие устойчивости консервативных механических систем.

буквой S, а принцип Гамильтона – Остроградского приобретает форму:

Действительное движение консервативной механической системы Определение устойчивого положения равновесия таково, что действие по Гамильтону имеет стационарное значение S = 0. Как было показано в лекции 21, условие равновесия механической системы в обобщенных координатах имеет вид:

Условие стационарности действия по Гамильтону эквивалентно тому, что функция L удовлетворяет уравнениям Лагранжа для консервативных Qj = 0, j = 1, 2,..., s.

систем Для консервативных систем d L L = 0, j = 1, 2,..., s.

dt qj qj = 0, j = 1, 2,..., s.

qj Отыскание экстремумов определенных интегралов относится к задачам вариационного исчисления. Простейшей такой задачей является отыскание Эта система уравнений относительно обобщенных координат позволя функции y = y(x) при краевых условиях y(0) = 0, y(x 1 ) = y1, доставляю- ет найти все положения равновесия консервативной механической системы.

x Не все положения равновесия физически реализуемы. Малые возму щей экстремум интегралу J = f (x, y, y )dx.

щения механической системы, находящейся в равновесии, могут привести Формальная замена переменных в принципе Гаусса – Остроградского к потере ее устойчивости. В дальнейшем, для удобства, при исследова для механической системы с одной степенью свободы нии движения механической системы около положения равновесия будем полагать, что отсчет обобщенных координат производится от положения t x, q y, qy, L f, SJ равновесия и потенциальная энергия в положении равновесия равна нулю.

дает, что функция y = y(x), доставляющая экстремум этому интегралу Определение. Положение равновесия механической системы, имею (J = 0), удовлетворяет дифференциальному уравнению щей s степеней свободы, устойчиво (по Ляпунову1 ), если для любых j 0, f f 1 Ляпунов Александр Михайлович (6.06.1857–3.11.1918) — русский математик и механик, d = 0 при краевых условиях y(0) = 0, y(x1 ) = y1.

академик Петербургской АН, чл.-кор. Парижской АН, почетный член Петербургского, Харьков dx y y ского и Казанского университетов, член многих академий наук и научных обществ. Основные работы посвящены теории устойчивости равновесия и движения механических систем, теории Это дифференциальное уравнение называется уравнением Эйлера. фигур равновесия равномерно вращающейся жидкости и математической физике.

146 ЛЕКЦИЯ 24 ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА – ДИРИХЛЕ соответствующие обозначения, находим j = 1, 2,..., s существуют j 0, j 0, j = 1, 2,..., s такие, что при начальных возмущениях |qj0 | j и |qj0 | j в дальнейшем движении (1, q2,..., qs ) = P1, механической системы для каждой обобщенной координаты выполняется (q1, 2,..., qs ) = P2, неравенство......................

|qj (t)| j, j = 1, 2,..., s.

(q1, q2,..., s ) = Ps.

В противном случае положение равновесия называется неустойчивым.

Так как в положении равновесия = 0 и имеет место минимум, то Это определение является частным случаем определения устойчивости движения механической системы по Ляпунову.

Pj 0, j = 1, 2,..., s.

Теорема Лагранжа – Дирихле1 Обозначим наименьшее из этих чисел P. Тогда условие того, что точка s-мерного пространства (q1, q2,..., qs ) находится внутри области локаль ного минимума D пространства конфигураций записывается в виде Достаточное условие устойчивости положения равновесия консерва тивной механической системы дается теоремой Лагранжа – Дирихле, кото (q1, q2,..., qs ) P.

рую приведем без доказательства.

Сообщим системе движение из начальной конфигурации Теорема. Если в положении равновесия консервативной механической системы с идеальными и стационарными связями потенциальная энергия (q10, q20,..., qs0 ) D (P 0 0).

имеет минимум, то это положение равновесия устойчиво.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. При движении консервативной системы с идеальными и стационарными Рассмотрим область D: связями выполняется закон сохранения энергии |qj | j, j = 1, 2,..., s T + = T 0 + 0.

s-мерного пространства обобщенных координат, определяющих положение Из положительности кинетической энергии следует механической системы. Значениям T0 + 0.

qj = 0, j = 1, 2,..., s Начальные скорости точек механической системы всегда можно подо брать таким образом, чтобы выполнялось неравенство соответствует положение равновесия, в котором потенциальная энергия имеет локальный минимум и полагается равной нулю. Область D — это T0 P 0.

область локального минимума.

Найдем минимальные значения потенциальной энергии системы, ко Тогда гда обобщенным координатам последовательно придаются значения q j = P.

= j, а остальным — произвольные из области локального минимума. Вводя Это означает, что механическая система совершает такое движение, 1 Дирихле Лежен Петер Густав (13.02.1805–5.05.1859) — немецкий математик, член Бер что (q1 (t), q2 (t),..., qs (t)) D. Откуда, в силу произвольности области D, линской АН, чл.-кор. Петербургской АН, иностранный член Парижской АН. Исследования следует, что положение равновесия устойчиво.

относятся к теории чисел, математическому анализу, математической физике и механике. Дал Теорема доказана.

строгое доказательство теоремы об устойчивости положения равновесия в 1846 году.

148 ЛЕКЦИЯ 24 ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА – ДИРИХЛЕ Для механических систем с одной степенью свободы условие миниму- Условие устойчивости консервативных механических ма потенциальной энергии в положении равновесия q = q определяется систем на основе соответствующих теорем математического анализа о необходи мых и достаточных условиях существования экстремума функции одной Так как потенциальная энергия в положении равновесия равна нулю, переменной: и в этом положении она имеет минимум, то вблизи положения равнове d2 (q) d(q) сия 0, т. е. соответствующая квадратичная форма определенно поло = 0, 0.

dq 2 q=q жительна. Математическое условие положительной определенности любой dq q=q квадратичной формы дается теоремой Сильвестра, доказываемой в курсах линейной алгебры:

Потенциальная энергия в малой окрестности положения Теорема. Для того чтобы квадратичная форма была определенно равновесия положительной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры Для исследования устойчивости положения равновесия механической матрицы квадратичной формы были положительными.

системы с несколькими степенями свободы разложим потенциальную энер В случае квадратичной формы для потенциальной энергии:

гию (q1, q2,..., qs ) в ряд в окрестности положения равновесия (q1,..., qs ) = (q1 = 0,..., qs = 0) + c11... c1s q1 +... + c11 c q1 q1 =0,..., qs =0.........

c11 0, 0,..., 0.

c21 c cs1... css + qs + 1 q1 + 2 qs В частности, для системы с двумя степенями свободы q q1 =0,..., qs =0 q1 =0,..., qs = 2 +2 q1 q2 +... + = 1 (c11 q1 + 2c12 q1 q2 + c22 q2 ) 2 2 qs +...

q1 q2 qs q1 =0,..., qs =0 q1 =0,..., qs = Первое слагаемое равно нулю исходя из сделанного ранее предполо- и согласно теореме Сильвестра условие устойчивости имеет вид:

жения о равенстве нулю потенциальной энергии в положении равновесия.

c11 c22 c2 0.

Кроме того, равны нулю коэффициенты в линейных членах разложения c11 0, из условия равновесия консервативной механической системы в обобщен Итак, для исследования устойчивости равновесия консервативной ме ных координатах. Тогда, с точностью до членов более высокого порядка ханической системы надо сначала определить обобщенные коэффициенты малости, потенциальная энергия механической системы в окрестности по жесткости, а затем записать неравенства, выражающие соответствующее ложения равновесия может быть представлена следующей квадратичной условие устойчивости.

формой s s =1 cij qi qj, Литература:

[1, § 147];

i=1 j= [3, § 123, 124];

где введено обозначение [4, п. 20.1, 20.2].

cij = — обобщенные коэффициенты жесткости.

qi qj q1 =0,..., qs = Обобщенные коэффициенты жесткости вычисляются в положении рав новесия, следовательно, все они постоянные числа, причем: c ij = cji.

МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ Разложим коэффициенты инерции в степенной ряд в окрестности по ложения равновесия:

ЛЕКЦИЯ 25 aij aij (q1,..., qs ) = aij (q1 = 0,..., qs = 0) + q1 +...

q q1 =0,..., qs = Малые колебания механических систем и подставим в выражение для кинетической энергии, сохраняя члены не с одной степенью свободы выше второго порядка малости относительно qj и qj.

Полученное таким образом приближенное выражение кинетической энергии отличается от точного тем, что обобщенные коэффициенты инер ции заменяются их значениями в положении равновесия 1. Кинетическая энергия механической системы в малой окрестности 2T aij =.

устойчивого положения равновесия. qi qj q1 =0,..., qs = 2. Дифференциальные уравнения движения механических систем око ло устойчивого положения равновесия.

Дифференциальные уравнения движения механических 3. Малые колебания механических систем с одной степенью свободы.

систем около устойчивого положения равновесия Рассмотрим движение консервативной механической системы с голо Кинетическая энергия механической системы в малой номными, стационарными и идеальными связями около устойчивого поло окрестности устойчивого положения равновесия жения равновесия. Для этого составим уравнения Лагранжа второго рода Запишем выражение кинетической энергии механической системы d T T =, с s степенями свободы, на которую наложены голономные и стационар- j = 1, 2,..., s.

dt qj qj qj ные связи n T=1 Потенциальную и кинетическую энергии представим квадратичными mk v k.

формами по обобщенным координатам и обобщенным скоростям k= s s s s s drk rk Так как vk = и rk = rk (q1, q2,..., qs ), то vk = q и кине- =1 T= cij qi qj, cij = const, aij qi qj, aij = const.

qj j dt 2 j= тическая энергия является квадратичной формой обобщенных скоростей j=1 i=1 i=1 j= Так как эти квадратичные формы определенно положительны (первая — s s из устойчивости положения равновесия;

вторая — из определения кинети T=1 aij qi qj, ческой энергии), то по теореме Сильвестра главные миноры матриц этих квадратичных форм больше нуля.

i=1 j= Подстановка этих выражений для и T в уравнения Лагранжа дает:

n rk rk где aij = — обобщенные коэффициенты инерции, которые mk a11 q1 +... + a1s qs + c11 q1 +... + c1s qs = 0, qi qj k=.............................................

в общем случае являются функциями обобщенных координат. Эта квадра тичная форма всегда определенно положительна, так как T 0. a1s q1 +... + ass qs + c1s q1 +... + css qs = 0.

152 ЛЕКЦИЯ 25 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ Полученная система дифференциальных уравнений описывает движе- то движение механической системы около устойчивого положения равно ние консервативной механической системы около устойчивого положения весия описывается дифференциальным уравнением равновесия. Воспользуемся этими уравнениями для исследования малых q + 2nq + k 2 q = h sin pt, колебаний систем с одной и двумя степенями свободы.

где, как и в случае вынужденных колебаний материальной точки в среде с сопротивлением, введены обозначения 2n = b/a и h = H/a.

Малые колебания системы с одной степенью свободы (Исследование решения этого дифференциального уравнения было вы полнено в лекции 15.) Положение механической системы с одной степенью свободы одно значно определяется заданием одной обобщенной координаты q 1 = q. Вво Литература:

дя обозначения: c11 = c и a11 = a, из уравнений движения механической [1, § 148];

системы около устойчивого положения равновесия получим [4, п. 20.3].

a + cq = 0.

q Так как c 0 и a 0, то q + k2q = 0 — дифференциальное уравнение свободных колебаний механической системы с одной степенью свободы, c где k = a — циклическая частота колебаний.

Решение этого уравнения аналогично рассмотренному в случае прямо линейных колебаний материальной точки q = A sin(kt + ).

Если на точки механической системы помимо потенциальных сил дей ствуют силы сопротивления (диссипативные силы) и возмущающие силы, то при составлении уравнений движения необходимо вычислить соответ ствующие им обобщенные силы. В частном случае, если диссипативная обобщенная сила пропорциональна обобщенной скорости QR = bq, а обобщенная возмущающая сила периодически изменяется с течением вре мени Q(t) = H sin pt, ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ... Подстановка этого решения в систему дифференциальных уравнений малых колебаний дает (c11 a11 k 2 )A + (c12 a12 k 2 )B = 0, ЛЕКЦИЯ 26 () (c12 a12 k 2 )A + (c22 a22 k 2 )B = 0.

Малые колебания механических систем Относительно A и B это система однородных алгебраических уравне ний. Она имеет нетривиальное решение, когда определитель системы равен с двумя степенями свободы нулю c11 a11 k 2 c12 a12 k = 0 или c12 a12 k 2 c22 a22 k (c11 a11 k 2 )(c22 a22 k 2 ) (c12 a12 k 2 )2 = 0.

1. Малые свободные колебания механических систем с двумя степеня- Это биквадратное уравнение называется уравнением частот, оно име ми свободы. Главные колебания. 2 ет два положительных корня k1 и k2, которым соответствуют два решения 2. Вынужденные колебания механических систем с двумя степенями системы дифференциальных уравнений малых колебаний:

свободы.

q1 = A1 sin(k1 t + 1 ) + A2 sin(k2 t + 2 ), 3. Понятие о виброзащите. Динамический гаситель колебаний.

q2 = B1 sin(k1 t + 1 ) + B2 sin(k2 t + 2 ).

4. Дифференциальные уравнения малых колебаний упругих систем.

Таким образом, каждая обобщенная координата находится как сумма 5. Колебания упругой системы с двумя степенями свободы. двух колебаний разной частоты, которые называются главными колебани 6. Вынужденные колебания упругих систем с двумя степенями свобо- ями. При этом, как следует из системы (), амплитуды главных колебаний ды. связаны между собой следующим образом:

c11 a11 ki Bi µi = =, i = 1, 2, Малые свободные колебания механических систем Ai c12 a12 ki с двумя степенями свободы. Главные колебания где µi — коэффициенты формы главных колебаний.

В итоге уравнения движения имеют вид:

Из дифференциальных уравнений движения консервативной механи ческой системы около устойчивого положения равновесия в случае двух q1 = A1 sin(k1 t + 1 ) + A2 sin(k2 t + 2 ), степеней свободы имеем: q2 = µ1 A1 sin(k1 t + 1 ) + µ2 A2 sin(k2 t + 2 ).

Амплитуды A1, A2 и начальные фазы 1, 2 соответствующих колеба a11 q1 + a12 q2 + c11 q1 + c12 q2 = 0, a12 q1 + a22 q2 + c12 q1 + c22 q2 = 0.

ний определяются из начальных условий.

(Согласно критерию Сильвестра: c11 0, c11 c22 c2 0;

a11 0, a11 a22 a2 0.) Вынужденные колебания механических систем Это система дифференциальных уравнений малых свободных колеба- с двумя степенями свободы ний механической системы с двумя степенями свободы около устойчивого положения равновесия. Ее решение ищется в виде: Пусть к механической системе помимо консервативных сил приложена возмущающая сила. Особый интерес представляет случай, когда обобщен q1 = A sin(kt + ), ная сила, соответствующая одной из обобщенных координат, изменяется с q2 = B sin(kt + ).

156 ЛЕКЦИЯ 26 ПОНЯТИЕ О ДИНАМИЧЕСКИЙ ГАСИТЕЛЬ КОЛЕБАНИЙ ВИБРОЗАЩИТЕ.

течением времени по гармоническому закону Общее решение системы дифференциальных уравнений вынужденных колебаний при p1 = k1 и p2 = k2 имеет вид:

Q1 (t) = H1 sin pt. q1 = A1 sin(k1 t + 1 ) + A2 sin(k2 t + 2 ) + 1 sin pt, Дифференциальные уравнения движения механической системы при нимают вид: q2 = µ1 A1 sin(k1 t + 1 ) + µ2 A2 sin(k2 t + 2 ) + 2 sin pt.

a11 q1 + a12 q2 + c11 q1 + c12 q2 = H1 sin pt, a12 q1 + a22 q2 + c12 q1 + c22 q2 = 0.

Понятие о виброзащите. Динамический гаситель колебаний Общее решение системы линейных неоднородных, в данном случае, дифференциальных уравнений ищем как сумму двух решений: q 1 = q1 +q1, Исключение нежелательных колебаний в механических системах назы q2 = q2 + q2, где q1, q2 — общее решение системы однородных дифферен вается виброзащитой (демпфированием). Используемые при этом техни циальных уравнений, метод получения которого изложен выше;

q 1, q2 — ческие устройства называются виброгасителями (демпферами). Рассмот частное решение системы неоднородных дифференциальных уравнений.

рим принцип работы одного из таких устройств — динамического гасите С учетом зависимости возмущающей силы от времени частное реше ля колебаний. За счет выбора параметров колеблющейся системы можно ние ищется в виде добиться выполнения условия A = 0, т. е. амплитуда вынужденных колеба q1 = A sin pt, q2 = B sin pt. ний, соответствующих первой обобщенной координате, обращается в ноль.

Такое явление называется антирезонансом. Это имеет место, если 1 = 0, Подстановка его в систему дифференциальных уравнений дает:

т. е.

c (c11 a11 p2 )A + (c12 a12 p2 )B = H1, H1 (c22 a22 p2 ) = 0 или p = a22.

(c12 a12 p2 )A + (c22 a22 p2 )B = 0. Принцип работы динамического гасителя основан на использовании явления антирезонанса, когда действие периодически изменяющейся воз Решая эту систему по правилу Крамера1, получим мущающей обобщенной силы, соответствующей одной координате, ней трализуется действием потенциальной обобщенной силы, соответствующей 1 A=, B=, другой координате.

В частности, в случае вынужденных колебаний упругой балки, несу где щей массу, дополнительная масса m на пружине жесткости c будет выпол c11 a11 p2 c12 a12 p = (p) =, нять роль гасителя колебаний, когда «парциальная» частота собственных ее c12 a12 p2 c22 a22 p колебаний будет совпадать с частотой возмущающей силы H1 c12 a12 p2 c11 a11 p2 H1 c 1 =, 2 =. = m.

0 c22 a22 p2 c12 a12 p2 На практике преимущественно применяют демпфирующие устройства (p) совпадает с левой частью уравнения частот и обращается в ноль с использованием сил вязкого сопротивления.

при совпадении частоты возмущающей силы с одной из частот собственных колебаний k1 или k2. Коэффициенты A и B при этом обращаются в беско нечность. Таким образом, в случае колебаний системы с двумя степенями Дифференциальные уравнения малых колебаний упругих свободы существуют две резонансные частоты p1 = k1 и p2 = k2. систем 1 Крамер Габриель (31.07.1704–4.01.1752) — швейцарский математик, член Лондонского Упругие механические системы в общем случае представляют систе королевского общества. Основные направления исследований — геометрия, теория алгебраи мы упругих тел, которые изменяют свою форму и размеры под действи ческих уравнений, теория вероятностей. Заложил основы теории определителей.

158 ЛЕКЦИЯ 26 ПОНЯТИЕ О ДИНАМИЧЕСКИЙ ГАСИТЕЛЬ КОЛЕБАНИЙ ВИБРОЗАЩИТЕ.

ем нагрузок и самопроизвольно восстанавливают исходную конфигурацию жесткости, по критерию Сильвестра, строго больше нуля. В результате при прекращении внешнего воздействия. Во многих случаях достаточно y1 = 11 (m1 y1 ) +... + 1s (ms ys ), приемлемой расчетной схемой такой системы служит безмассовый каркас,......................................

с которым связано некоторое число точечных масс. Простейшим примером ys = s1 (m1 y1 ) +... + ss (ms ys ), является, в частности, балочная конструкция.

Нетрудно заметить, что перемещения yi пропорциональны силам инер ции точечных масс. Коэффициенты ij называются коэффициентами вли яния и определяют перемещения в точке с координатой x i, вызванного единичной силой, приложенной в точке с координатой x j.

Матрица коэффициентов влияния, как это видно из изложения, являет Балка является одним из основных элементов строительных конструк ся обратной для матрицы обобщенных коэффициентов жесткости, а, следо ций, и вопрос исследования ее упругих колебаний имеет самостоятельное вательно, также является симметричной. Этот результат выражает теорему прикладное значение. Кроме того, эта схема может быть применена и к Максвелла1 о взаимности перемещений.

анализу изгибных колебаний валов, которые возбуждаются периодически Перемещение в i-й точке от единичной силы, приложенной в j-й точке, ми или внезапно приложенными силами. Большая часть повреждений в равно перемещению в j-й точке от единичной силы, приложенной в i-й машинах и в их деталях происходит в результате возникновения в них ко точке лебаний. Борьба с нежелательными колебаниями является неотъемлемым ij = ji.

условием повышения ресурса машин.

Таким образом, для составления дифференциальных уравнений малых В качестве обобщенных координат для указанной системы выберем колебаний упругих систем достаточно вычислить коэффициенты влияния, отклонения точечных масс от положения равновесия — y 1, y2,..., ys.

которые могут быть найдены методами сопротивления материалов.

В частности, коэффициенты влияния при изгибе могут быть вычислены с помощью интеграла Мора2 :

l M iM j ij = dx, EJ Тогда кинетическая энергия системы запишется в виде где M i, M j — изгибающие моменты, вызванные единичными силами p i = s и pj = 1, E — модуль Юнга, J — момент инерции сечения балки.

mi y i T= Или по формуле Верещагина3 «перемножения эпюр»:

i=1 i Mj ij =, и подстановка ее в уравнения Лагранжа второго рода дает EJ здесь i — площадь части эпюры M i ;

Mj — ордината эпюры M j, соответ c11 y1 +... + c1s ys = m1 y1, ствующая абсциссе центра тяжести i.

.............................

1 Максвелл Джеймс Клерк (13.06.1831–5.11.1879) — английский физик и механик, создатель cs1 y1 +... + css ys = ms ys.

классической электродинамики, организатор и первый директор Кавендишской лаборатории.

Разрешим эту систему относительно обобщенных координат. Это можно Труды по теории света, оптике, термодинамике, теории упругости. Член Лондонского и Эдин бургского королевских обществ.

сделать, так как на основании теоремы Лагранжа – Дирихле потенциальная 2 Мор Христиан Отто (8.10.1835–2.10.1918) — немецкий ученый в области строительной энергия в устойчивом положении равновесия имеет минимум и квадратич- механики и сопротивления материалов. Один из основоположников графических методов.

ная форма, которой она представлена, является определенно положитель- 3 Верещагин А. Н., русский инженер. В 1924 году, будучи студентом Московского института ной. Следовательно, определитель матрицы обобщенных коэффициентов инженеров железнодорожного транспорта, предложил правило «перемножения эпюр».

160 ЛЕКЦИЯ 26 ПОНЯТИЕ О ДИНАМИЧЕСКИЙ ГАСИТЕЛЬ КОЛЕБАНИЙ ВИБРОЗАЩИТЕ.

Или с использованием дифференциального уравнения изогнутой оси В итоге уравнения движения двух точечных масс на упругой балке балки имеют вид EJy = M (x), y1 = A1 sin(k1 t + 1 ) + A2 sin(k2 t + 2 ), где M (x) — изгибающий момент в сечении на расстоянии x от левого конца y2 = µ1 A1 sin(k1 t + 1 ) + µ2 A2 sin(k2 t + 2 ).


балки.

Амплитуды A1 и A2 и начальные фазы 1 и 2 определяются из на Колебания упругой системы с двумя степенями свободы чальных условий, путем выбора которых можно добиться, чтобы упругая система совершала либо первое, либо второе главные колебания. В общем Рассмотрим подробнее двухмассовую систему балочного типа с двумя случае решение находится как сумма двух независимых главных колебаний.

степенями свободы. В этом случае y1 = 11 (m1 y1 ) + 12 (m2 y2 ), Вынужденные колебания упругих систем с двумя y2 = 21 (m1 y1 ) + 22 (m2 y2 ).

степенями свободы Далее считается, что коэффициенты влияния известны. Тогда решение ищется в виде Рассмотрим упругую систему балочного типа, несущую две точечные y1 = A sin(kt + ), y2 = B sin(kt + ). массы, в которой помимо консервативных сил действует некоторая возму щающая сила.

Подстановка его в систему дифференциальных уравнений малых колебаний дает (m1 11 k 2 1)A + m2 12 k 2 B = 0, m1 21 k 2 A + (m2 22 k 2 1)B = 0.

Эта система однородных алгебраических уравнений относительно ве личин A и B имеет нетривиальное решение, если определитель системы равен нулю (m1 11 k 2 1) m2 12 k 2 В этом случае, очевидно, помимо сил инерции при составлении урав = (m2 22 k 2 1) m1 21 k нений движения необходимо учесть и приложенную к балке возмущающую или силу. Тогда с использованием коэффициентов влияния имеем k 4 (11 22 12 )m1 m2 k 2 (m1 11 + m2 22 ) + 1 = 0.

y1 = 11 (m1 y1 ) + 12 (m2 y2 ) + 11 P1 (t), 2 Полученное уравнение частот имеет два положительных корня k 1 и k2, которым соответствует два решения: y2 = 21 (m1 y1 ) + 22 (m2 y2 ) + 21 P1 (t).

y1 = A1 sin(k1 t + 1 ) + A2 sin(k2 t + 2 ), Рассмотрим случай, когда возмущающая сила периодически изменяет y2 = B1 sin(k1 t + 1 ) + B2 sin(k2 t + 2 ).

ся с течением времени по гармоническому закону Решение дифференциальных уравнений малых колебаний упругой си стемы с двумя степенями свободы находится как сумма двух главных ко- P1 (t) = H sin pt.

лебаний. При этом амплитуды главных колебаний связаны между собой следующим образом через коэффициенты формы: Как известно, общее решение системы линейных неоднородных диф ференциальных уравнений складывается из двух решений:

m k2 B µi = i = 1 11 2.

Ai m2 12 k y1 = y 1 + y 1, y2 = y 2 + y 2, 162 ЛЕКЦИЯ где y1 и y2 — общее решение системы однородных дифференциальных уравнений, метод решения которых изложен выше;

y 1 и y2 — частное решение системы неоднородных дифференциальных уравнений. ЛЕКЦИЯ С учетом зависимости возмущающей силы от времени частное реше ние ищется в виде Элементы теории удара y1 = C1 sin pt, y2 = C2 sin pt.

Подстановка его в систему дифференциальных уравнений движения балки 1. Явление удара. Основные допущения при ударе.

позволяет найти коэффициенты C1 и C2 :

2. Основное уравнение теории удара.

3. Общие теоремы динамики при ударе.

(m1 11 p2 1)C1 + m2 12 p2 C2 = 11 H, 4. Коэффициент восстановления при ударе.

m1 21 p2 C1 + (m2 22 p2 1)C2 = 21 H. 5. Удар о неподвижную поверхность.

6. Удар двух тел.

Решая эту систему по правилу Крамера, получим 7. Теорема Карно (теорема об изменении кинетической энергии).

8. Удар по вращающемуся телу. Определение импульсов ударных ре 1 C1 =, C2 =, акций.

9. Центр удара.

где (m1 11 p2 1) m2 12 p =, (m2 22 p2 1) m1 21 p Явление удара. Основные допущения при ударе 11 H m2 12 p Взаимодействие тел, при котором за малый промежуток времени ско 1 =, 21 H (m2 22 p2 1) рости точек изменяются на конечную величину, называется ударом.

(m1 11 p2 1) 11 H Силы, возникающие при таком взаимодействии, называются ударны 1 =.

m1 21 p2 ми. Из теоремы об изменении количества движения материальной точки 21 H следует, что импульс этих сил за время удара есть конечная величина. Им Нетрудно заметить, что определитель системы для нахождения коэф пульс обычных (неударных) сил имеет тот же порядок малости, что и время фициентов C1 и C2 обращается в ноль при совпадении частоты возмуща удара. Этот же порядок малости имеет и перемещение точки за время удара.

ющей силы с одной из частот собственных колебаний k 1 или k2, так как В связи с этим, в теории удара принимают следующие основные допу они определялись из условия (k) = 0. Таким образом, в случае колебаний щения:

упругой системы с двумя степенями свободы существуют две резонансные 1. Скорости точек изменяются практически мгновенно на конечную частоты p1 = k1 и p2 = k2.

величину.

В приложении к изгибным колебаниям валов это означает, что суще 2. Импульсами неударных сил пренебрегают.

ствуют критические значения угловой скорости вращения вала, при кото 3. Точки системы за время удара не перемещаются.

рых возможен резонанс. Это происходит, когда имеет место статическая неуравновешенность вала. При этом возникает периодически изменяющая ся возмущающая сила, частота которой совпадает с его угловой скоростью. Основное уравнение теории удара Литература: Пусть v — скорость точки до удара, u — скорость точки после удара.

[1, § 150];

Применяя теорему об изменении количества движения материальной точки, [4, п. 20.6–20.8, 20.12]. находим:

164 ЛЕКЦИЯ 27 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УДАРА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Изменение количества движения материальной точки за время удара Как и при доказательстве предыдущей теоре равно сумме ударных импульсов, действующих на точку мы:

n Sk — основное уравнение теории удара.

mu mv = e i mk u k m k v k = Sk + Sk, k = 1, 2,..., n.

k= Так как положение точки за время удара не изменяется, то Общие теоремы динамики при ударе e i r k m k u k r k m k v k = r k Sk + r k Sk.

Теорема об изменении количества движения при ударе Суммируем по всем точкам системы, с учетом свойства внутренних Теорема. Изменение количества движения механической системы за сил находим:

время удара равно сумме внешних ударных импульсов, действующих на точки системы. n n n n e r k mk uk rk mk v k = r k Sk.

e Q2 Q1 = Sk.

k=1 k=1 k= k= Теорема доказана.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Следствие. Внутренние ударные импульсы не влияют на изменение Разделим ударные силы, действующие на каждую точку механической кинетического момента системы.

системы, на внешние и внутренние.

Теорема об изменении кинетического момента может быть записана Обозначим Sk, Sk — равнодействующие внешних и внутренних удар e i и в скалярной форме.

ных импульсов, приложенных к каждой точке.


Теорема. Изменение кинетического момента механической системы e i mk uk mk vk = Sk + Sk, k = 1, 2,..., n.

относительно неподвижной оси за время удара равно сумме моментов всех Проводя суммирование по всем точкам системы, с учетом свойства внешних ударных импульсов, приложенных к точкам системы, относитель внутренних сил находим:

но той же оси n n n n e mk u k mk v k = Sk. e Kz2 Kz1 = mz Sk.

k=1 k=1 k= Теорема доказана. k= Следствие. При действии на механическую систему лишь внутренних ударных импульсов количество движения системы не изменяется. Коэффициент восстановления при ударе Теорема об изменении кинетического момента Импульсы ударных сил зависят не только от масс и скоростей, но и от механической системы при ударе свойств соударяющихся тел.

Теорема. Изменение кинетического момента механической системы Рассмотрим падение шара на неподвижную плиту. При этом S — им относительно любого неподвижного центра за время удара равно сумме пульс реакции за время удара.

моментов всех внешних ударных импульсов, приложенных к точкам систе- Разделим удар на две фазы:

мы, относительно этого же центра. 1. От соприкосновения шара с плоскостью до его полной остановки.

Кинетическая энергия шара переходит при этом в потенциальную энергию n e KO2 KO1 = m O Sk. упругой деформации T0, частично теряясь на необратимое изменение его формы, и рассеиваясь в виде тепла.

k= 166 ЛЕКЦИЯ 27 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УДАРА 2. Скорость меняет направление и величину от 0 Ударный импульс достигает максимального значения в случае абсо до u. При этом накопленная потенциальная энергия пе- лютно упругого удара и минимального в случае абсолютно неупругого.

реходит в кинетическую энергию T1 (T1 T0 ). Косой удар о гладкую неподвижную поверхность Величина, равная отношению скорости точки по- Дано: m, v, k.

сле удара к ее скорости до удара, называется коэф- Найти: u, S.

фициентом восстановления при ударе о неподвижную Из основного уравнения теории удара в проек плиту циях на нормаль и касательную mun mvn = S, k = u, 0 k 1. mu mv = 0. Так как v |un | Если k = 1, то удар абсолютно упругий (u = v), если k = 0, то удар и un = u cos, k= u = u sin, абсолютно неупругий (u = 0). В зависимости от материала соударяющихся |vn | тел коэффициент восстановления имеет различные значения.

vn = v cos, v = v sin.

k Материал Дерево о дерево 1/2 sin2 + k 2 cos2, S = m(k + 1)v cos.

Тогда u = v Сталь о сталь 5/9 tg Кроме того, k =, где — угол падения, — угол отражения.

Стекло о стекло 15/16 tg Коэффициент восстановления при ударе можно определить экспери ментально. Удар двух тел Шар из испытуемого материала падает с высоты H без начальной ско рости. Рассмотрим прямой центральный удар Скорость шара в начале удара v = 2gH. В конце уда- двух тел (шаров), движущихся поступа ра u = 2gh, где h — высота, на которую шар поднимется тельно.

Дано: m1, m2, v1, v2, k.

после удара. Тогда k = u = h.

v Найти: u1, u2, S.

H Основными задачами теории удара является определе- v1 v 2.

ние скоростей точек после удара и величин ударных им- Так как отсутствуют внешние ударные импульсы, для системы двух пульсов. Рассмотрим некоторые примеры. тел количество движения системы не изменяется m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 u1 + m 2 u2.

Удар о неподвижную поверхность Кроме того, Прямой удар о неподвижную поверхность u2 u Дано: m, v, k. k=.

v1 v Найти: u, S.

Из основного уравнения теории удара в проекции Решая полученную систему уравнений, находим:

на нормаль mun mvn = S.

|un | m un = u, vn = v, k =. u1 = v1 + (1 + k) (v v1 ), m1 + m 2 |vn | Тогда m u2 = v2 + (1 + k) (v v2 ).

u = kv, S = m(k + 1)v. m1 + m 2 168 ЛЕКЦИЯ 27 ТЕОРЕМА КАРНО (ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ) Для определения ударного импульса запишем теорему об изменении Рассмотрим дополнительное соотношение:

количества движения за время удара для одного из тел T0 T1 = T0 2T1 + T1, m1 u1 m1 v1 = S.

(m1 + m2 )ux (m1 v1x + m2 v2x ) T0 T 1 = 1 m 1 v 1 x + 1 m 2 v 2 x 2 + Откуда: 2 2 2 (m1 + m2 ) m1 m S = (1 + k) (v v2 ).

m1 + m 2 1 + 1 (m1 + m2 )u2 = 1 m1 (v1x ux )2 + 1 m2 (v2x ux )2.

x 2 2 Нетрудно убедиться, что при абсолютно упругом ударе ударный им пульс в два раза больше, чем при абсолютно неупругом. Теорема доказана.

В общем случае:

Теорема Карно (теорема об изменении кинетической энергии)1 1k m1 (v1x u1x )2 + 1 m2 (v2x u2x )2.

T0 T 1 = 1+k 2 Рассмотрим прямой центральный неупругий удар двух шаров мас сы m1 и m2, v1, v2 — скорости тел до удара, u1 = u2 = u — скорость тел после удара;

импульсы, действующие на систему, — внутренние. В этом Удар по вращающемуся телу. Определение импульсов случае имеет место теорема Карно.

ударных реакций Теорема. При неупругом ударе механической системы потеря кине Рассмотрим действие ударного импульса на твер тической энергии равна кинетической энергии данной системы, если бы дое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси.

она двигалась с потерянными скоростями Воспользуемся теоремой об изменении кинети T0 T1 = 1 m1 (v1x ux )2 + 1 m2 (v2x ux )2. ческого момента K1z K0z = mz (S), или 2 Jz 1 Jz 0 = mz (S).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

По теореме об изменении количества движения системы Откуда (m1 + m2 )ux (m1 v1x + m2 v2x ) = 0 mz (S).

1 = 0 + Jz (ось Ox совпадает с направлением движения), т. е.

m1 v 1 x + m 2 v 2 x При действии ударного импульса на вращающееся тело угловая ско ux =.

m1 + m 2 рость изменяется на величину, равную отношению момента этого импульса относительно оси вращения к моменту инерции тела относительно той же Кинетическая энергия до удара равна T0 = 1 m1 v1x + 1 m2 v2x, после 2 оси.

2 Для определения импульсов ударных реакций в подшипниках вве удара — T1 = 1 (m1 + m2 )u2.

дем подвижную систему координат, проведя плоскость Oyz через центр x масс, и воспользуемся теоремами об изменении количества движения Q 1 Карно Лазар Никола Маргерит (13.05.1753–2.08.1823) — французский математик, меха n ник, военный инженер, государственный деятель. Работы посвящены математическому анали- Sk и об изменении кинетического момента K1A K0A = e Q0 = зу, геометрии и механике.

k= 170 ЛЕКЦИЯ 27 ТЕОРЕМА КАРНО (ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ) n Предположим, что такая точка существует. Тогда:

mA Sk. При этом Q = mvC, Qx = ma, e = k= SAx = SAy = SAz = SBx = SBy = 0.

Qy = Qz = 0;

KA =, KAx = Jxz, Из первых трех уравнений для определения импульсов реакций в под KAy = Jyz, KAz = Jz.

шипниках следует, что приложенный к телу импульс направлен по оси Ox и равен В проекциях на оси координат:

S = ma(1 0 ).

n Обозначая расстояние от точки приложения ударного импульса до оси e Q1x Q0x = Skx, вращения через h, из последнего уравнения находим k= n Jz e откуда h = ma.

Q1y Q0y = Sky, Jz (1 0 ) = Sh, k= Если выбрать систему координат с началом в точке O на оси вра n e Q1z Q0z = Skz, щения и направлением оси Oy таким, чтобы она проходила через точку приложения ударного импульса, то дополнительно должны выполняться k= n условия Jxz = Jyz = 0, т. е. ось Oz — главная ось инерции.

e K1x K0x = mx (Sk ), В итоге, для того чтобы при действии ударного импульса на враща ющееся тело в подшипниках не возникали ударные реакции, надо, чтобы k= n выполнялись условия:

e K1y K0y = my (Sk ), 1. Центр удара лежит в плоскости, проходящей через центр масс и ось k= J вращения на расстоянии h = ma.z K1z K0z = mz (S).

2. Ударный импульс направлен перпендикулярно этой плоскости.

ma(1 0 ) = SAx + SBx + Sx, 3. Ось вращения является главной для точки ее пересечения с плоско стью действия ударного импульса.

0 = S Ay + S By + S y, В частности, центр удара вращающегося вокруг оси, проходящей через 0 = S Az + S z, конец, стержня длины l находится на расстоянии 2/3 от оси вращения.

Jxz (1 0 ) = SBy AB + mx (S), Литература:

Jyz (1 0 ) = SBx AB + my (S), [1, § 151–157];

[3, § 96–105];

Jz (1 0 ) = mz (S).

[4, п. 17.1–17.8].

Эти шесть уравнений позволяют определить импульсы ударных реак ций и угловую скорость после удара.

Центр удара Центр удара — точка вращающегося тела, при действии на которую ударного импульса не возникают ударные реакции.

Литература Предметный указатель Абсолютно твердое тело 10 Импульс силы за конечный проме [1] Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики. М: Высшая школа, жуток времени Амплитуда 1995. 416 с.

— — элементарный Антирезонанс [2] Яблонский А. А., Никифорова В. М. Курс теоретической механики. Ч. 1. Инварианты статики М: Высшая школа, 1984. 343 с. Виброгаситель 157 Инерциальная система отсчета Виброзащита [3] Яблонский А. А. Курс теоретической механики. Ч. 2. М: Высшая школа, Кинетический момент 1984. 423 с.

Гаситель колебаний динамический — — механической системы 157 Колебания вынужденные [4] Бутенин Н. В., Лунц Я. Л., Меркин Д. Р. Курс теоретической механики.

Гироскоп 111 — главные СПб: «Лань», 1998. 736 с.

— астатический 112 — затухающие — тяжелый 112 — свободные — уравновешенный 112 Количество движения материальной Главный вектор 25 точки — момент 25 — — механической системы Конус трения Движение абсолютное 57 Координаты обобщенные — апериодическое 80 — циклические — вращательное 53 Коэффициент восстановления — мгновенно-поступательное 64 — динамичности — относительное 57 — затухания — переносное 57 — расстройки — плоскопараллельное 61 — трения качения — поступательное 52 — трения скольжения — свободное 70 Коэффициенты жесткости обобщен — сложное 57 ные — сферическое 66 — инерции обобщенные Декремент 80 — формы — логарифмический Демпфер 157 Линия узлов Демпфирование Мгновенный центр скоростей Задача статически определимая 15 — — ускорений 174 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Механическая система консерватив- — голономная 124 Тензор инерции 103 Ферма ная 91 — идеальная 127 Траектория — неголономная 124 Трение качения Момент количества движения глав- Центр масс — нестационарная 125 — скольжения ный 87 — параллельных сил — неудерживающая 125 Трехгранник естественный — — материальной точки относи- — тяжести — стационарная тельно центра 86 — удара Углы Эйлера — удерживающая Момент силы алгебраический Удар Сила — относительно оси 18 Частота Уравнение частот — инерции кориолисова — относительно центра 17 — круговая Ускорение Кориолиса — — материальной точки Моменты инерции осевые 102 — циклическая — абсолютное — — переносная — — центробежные — касательное — потенциальная Мощность 91 Эллипсоид инерции — нормальное Силы внешние 84 Энергия кинетическая материальной — относительное Оси инерции главные 103 — внутренние 84 точки — переносное — — центральные 103 — возмущающие 78 — механической системы — точки Оси естественные 49 — восстанавливающие 77 Энергия потенциальная консерва — угловое Ось вращения 53 — диссипативные 152 тивной механической системы — — мгновенная 68 — обобщенные 132 Фаза начальная 79 — материальной точки — сопротивления Пара сил 19 — ударные Перемещение виртуальное 125 Система сил — — механической системы 126 — — плоская — возможное 125 — — сходящихся Период 79 — — уравновешенная Плечо пары 19 — — эквивалентная — силы 17 Система механическая Положение равновесия механиче- Скорости обобщенные ской системы устойчивое 145 Скорость абсолютная Прецессия 114 — алгебраическая — регулярная 114 — относительная — переносная Работа силы виртуальная 127 — точки — — на конечном перемещении 90 — угловая — — элементарная 89 — — мгновенная Равнодействующая 10 Способ задания движения вектор Реакции гироскопические 115 ный Реакции связей 11 — — естественный Резонанс 81 — — координатный Связи 11 Тело несвободное Связь 123 — свободное Интересующие Вас книги нашего издательства можно заказать почтой или электронной почтой:

subscribe@rcd.ru Внимание: дешевле и быстрее всего книги можно приобрести через наш Интернет-магазин:

http://shop.rcd.ru Книги также можно приобрести:

1. Москва, ФТИАН, Нахимовский проспект, д. 36/1, к. 307, тел.: 332–48–92 (почтовый адрес: Нахимовский проспект, д. 34) 2. Москва, ИМАШ, ул. Бардина, д. 4, корп. 3, к. 414, тел. 135–54– 3. МГУ им. Ломоносова (ГЗ, 1 этаж) 4. Магазины:

Москва: «Дом научно-технической книги» (Ленинский пр., 40) «Московский дом книги» (ул. Новый Арбат, 8) «Библиоглобус» (м. Лубянка, ул. Мясницкая, 6) Книжный магазин «ФИЗМАТКНИГА» (г. Долгопрудный, Новый корпус МФТИ, 1 этаж, тел. 409–93–28) С.-Пб.: «С.-Пб. дом книги» (Невский пр., 28) Митюшов Евгений Александрович, Берестова Светлана Александровна ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА:

СТАТИКА. КИНЕМАТИКА. ДИНАМИКА Конспект лекций Дизайнер М. В. Ботя Технический редактор А. В. Широбоков Компьютерная верстка С. В. Высоцкий Корректор З. Ю. Соболева Подписано в печать 23.05.2005. Формат 60 841/16.

Печать офсетная. Усл. печ. л. 10,23. Уч. изд. л. 10,34.

Гарнитура Таймс. Бумага офсетная №1. Заказ № АНО «Институт компьютерных исследований»

426034, г. Ижевск, ул. Университетская, 1.

http://rcd.ru E-mail: borisov@rcd.ru Тел./факс: (+73412) 500–

Pages:     | 1 | 2 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.