авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |
-- [ Страница 1 ] --

Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Пермский государственный технический

университет»

А.И. Цаплин, И.Л. Никулин

МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

И ОБЪЕКТОВ В МЕТАЛЛУРГИИ

Утверждено

Редакционно-издательским советом университета

в качестве учебного пособия

Издательство Пермского государственного технического университета 2011 1 УДК 53(0758) ББК 22.3 Ц17 Рецензенты:

доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Прикладная математика и информатика» Е.Л. Тарунин (Пермский государственный университет);

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Общая физика» Г.Н. Вотинов (Пермский государственный технический университет) Цаплин, А.И.

Ц17 Моделирование теплофизических процессов и объек тов в металлургии: учеб. пособие / А.И. Цаплин, И.Л. Нику лин. – Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2011. – 299 с.

ISBN 978-5-398-00575- Рассмотрены основы моделирования, необходимые для изучения дисциплин в техническом вузе при подготовке бакалавров по направ лению «Металлургия». Дана математическая формулировка задач сто хастического моделирования, сложного теплообмена, в том числе при фазовых переходах, рассмотрены основы теории подобия, а также ос новы вычислительного компьютерного эксперимента с применением нейтральных разностных схем. Представлен цикл лабораторных работ и заданий для самостоятельного изучения.

Предназначено для студентов технических вузов. Может быть полезным для аспирантов и преподавателей вузов.

УДК 53(0758) ББК 22. ГОУ ВПО ISBN 978-5-398-00575- «Пермский государственный технический университет», ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие............................................................................. Введение................................................................................... Часть I. Теоретические основы математического моделирования........................................... 1. Основные понятия и определения моделирования...... 1.1. Объекты математического моделирования в металлургии.................................................................. 1.2. Классификация моделей......................................... 1.3. Классификация математических моделей............. 1.4. Этапы разработки математических моделей......... 1.5. Вопросы для самоконтроля..................................... 2. Основные понятия стохастического моделирования...... 2.1. Моделирование в условиях неопределенности..... 2.2. Функция распределения и плотность распределения случайной величины............................. 2.3. Меры положения и рассеяния кривой распределения............................... 2.4. Теоретические законы распределения................... 2.5. Начальные и центральные моменты...................... 2.6. Квантили распределения........................................ 2.7. Интервальные оценки истинного значения........... 2.8. Представление параметров распределения............................................. 2.9. Основы корреляционного и регрессионного анализа.............................................. 2.10. Вопросы для самоконтроля................................... 3. Математические модели теплофизики металлургических процессов с детерминированными структурами................................ 3.1.Законы конвективного тепломассообмена............. 3.2. Уравнения конвективного тепломассообмена...... 3.3. Приближение Буссинеска в задачах свободной тепловой конвекции.................... 3.4. Постановка задачи тепловой конвекции в динамических переменных......................................... 3.5. Постановка задачи тепловой конвекции в переменных завихренность-функция тока................ 3.6. Постановка краевой задачи теплопроводности.... 3.7. Безразмерная формулировка краевой задачи теплопроводности.

............................... 3.8.Стационарная теплопроводность плоского слоя... 3.9. Метод регулярного теплового режима расчета нагрева(охлаждения) тел.................................. 3.10. Теплопроводность при плавлении-затвердевании металла......................... 3.11. Метод сквозного счета в задачах теплопроводности при структурных и фазовых переходах………………………………...... 3.12. Приближенный учет конвекции жидкого ядра кристаллизующегося слитка.................. 3.13. Законы теплообмена излучением......................... 3.14. Эффективное излучение....................................... 3.15. Экранирование как способ защиты от теплового излучения.................................................. 3.16. Сложный (радиационно-конвективный) теплообмен...................................................................... 3.17. Вопросы для самоконтроля.................................. 4. Основы теории подобия и моделирования в металлургии........................................ 4.1. Подобие физических явлений................................ 4.2. Числа подобия в задачах тепломассопереноса..... 4.3. Теплообмен при вынужденном движении теплоносителя в каналах................................................ 4.4. Теплообмен при свободной конвекции в неограниченном объеме.............................................. 4.5. Теплообмен при свободной конвекции в ограниченном объеме.................................................. 4.6. Вопросы для самоконтроля..................................... 5. Вычислительный эксперимент в задачах тепломассопереноса............................................ 5.1. Основы метода сеток................................................ 5.2. Схемы аппроксимации уравнения теплопроводности......................................... 5.3. Анализ ошибок.......................................................... 5.4. Способы аппроксимации конвективных членов.... 5.5. Аппроксимация граничных условий....................... 5.6. Методы решения сеточных уравнений................... 5.7. Алгоритм решения сопряженных уравнений теплообмена.......................... 5.8. Вопросы для самоконтроля...................................... Часть II. Лабораторный практикум........................................ Лабораторная работа № 1. Статистическая обработка массива случайных данных................................................. Лабораторная работа № 2. Метод наименьших квадратов для уравнения линейной регрессии.................................... Лабораторная работа № 3. Метод прогонки решения сеточных уравнений............................................................ Лабораторная работа № 4. Метод последовательной линейной верхней релаксации решения сеточных уравнений............................................. Лабораторная работа № 5. Расчет времени охлаждения плоского слоя.................................................. Лабораторная работа № 6. Расчет времени охлаждения блюмса............................................................. Лабораторная работа № 7. Расчет времени затвердевания непрерывного плоского слитка (сляба).... Лабораторная работа № 8. Расчет времени затвердевания непрерывного слитка квадратного сечения (блюмса)...... Часть III. Материалы для самостоятельной работы.............. 1. Методические указания для самостоятельного изучения курса............................... 2. Методические указания к решению задач..................... 3. О приближенных вычислениях...................................... 4. Примеры решения задач................................................. 4.1. Стохастическое моделирование............................ 4.2. Конвективный теплообмен.................................... 4.3. Теплопроводность.................................................. 4.4. Теплообмен излучением........................................ 4.5. Теплообмен с фазовыми переходами................... 4.6. Основы метода сеток.............................................. 5. Контрольная работа........................................................ 6. Тест для проверки уровня обученности....................... Список литературы............................................................. Приложение. Нормированная функция Лапласа............. ПРЕДИСЛОВИЕ Учебное пособие предназначено студентам младших курсов технических вузов, изучающих моделирование процессов и объ ектов в металлургии по направлению бакалаврской подготовки «Металлургия». Оптимизация технологических процессов в ме таллургии, связанных с переносом и использованием тепловой энергии, предъявляет все более сложные требования к расчету тепломассообмена. Для технологических схем, например, полу чения литого металла, в которых необходимость отвода или пере распределения тепла раньше вообще не принималась во внимание или учитывалась упрощенно с использованием эмпирических соотношений теории подобия, теперь требуется применение дос таточно точных методов теплового расчета.

Детальное описание стохастических процессов, тепломас сообмена, обеспечивающее надежное совпадение расчетных данных с результатами экспериментов, возможно на основе моделирования и современного вычислительного эксперимен та на компьютере.

Основная идея решения на компьютере неравновесных за дач тепломассообмена заключается в замене исходных диффе ренциальных уравнений и краевых условий, описывающих те плообмен, конечно-разностными аналогами и в последующем решении алгебраических уравнений с неизвестными значения ми определяемых функций в узлах сетки.

Однако численные методы только кажутся простыми и оп тимистичными, их применение порождает новые требования и проблемы. Одной из таких проблем является спектр неиз бежных ошибок округления, аппроксимации, схемных ошибок, которые искажают решение, сглаживая неоднородности, про являясь в виде фиктивных источников, стоков и т.д. Уменьше ние этих ошибок – непростая задача. Так, например, сгущение конечно-разностной сетки, приводящее к снижению ошибок аппроксимации, одновременно может приводить к возраста нию ошибок округления и схемных ошибок. Применение ней тральных (по отношению к спектру ошибок) конечно разностных схем к уравнениям тепломассопереноса позволяет не только удовлетворять требованиям адекватности вычисли тельного эксперимента, но и повышать устойчивость счета, эффективность вычислительного алгоритма.

Проведение теплофизических расчетов предполагает знание законов тепломассообмена, инженерных методов расчета, осно ванных на теории подобия и моделирования. Поэтому в учебном пособии последовательно излагаются в соответствии с сущест вующим образовательным стандартом подготовки бакалавров по направлению «Металлургия» законы теплопроводности, диффу зии, конвективного теплообмена и теплообмена излучением. Рас смотрены различные постановки задач теплофизики формирова ния слитка с учетом фазовых и структурных переходов.

Значительное внимание уделяется выработке практических навыков вычислительного эксперимента. Рассматривается общий алгоритм решения задач тепломассообмена, обсуждаются про блемы аппроксимации, устойчивости. Описаны эффективные ме тоды решения сеточных уравнений, а также даны прошедшие практическую проверку Паскаль-программы их реализации.

Основная задача учебного пособия состоит в том, чтобы в рамках курса моделирования не только познакомить студен тов технического университета с основами предмета, но и про будить у них интерес к методам вычислительного эксперимен та на компьютере, к пониманию и умению оценки спектра ошибок, применяя известный программный продукт и разраба тывая собственные программы для решения конкретных задач.

Учебное пособие состоит из трех частей. Первая часть со держит теоретические основы математического моделирова ния, вторая часть – лабораторный практикум, в третьей части представлены материалы для самостоятельной работы и кон троля уровня обученности. Нумерация параграфов в каждой главе начинается заново, при этом первая цифра параграфа со ответствует номеру главы. Номера формул и рисунков в главе имеют сквозную нумерацию (первая цифра соответствует но меру главы). В каждой главе своя нумерация примеров.

Небольшой объем учебного пособия обусловил ограниче ния при изложении обширных вопросов моделирования в ме таллургии и заставил прибегнуть к физическому уровню стро гости изложения. Сознательный уход от подробного математического обоснования позволил акцентировать внима ние на постановке задач и основных проблемах практического решения. Углубленное изучение предмета можно продолжить, пользуясь приведенным списком литературы.

ВВЕДЕНИЕ Моделирование представляет собой метод исследования свойств одного объекта посредством изучения свойств другого объекта, более удобного для исследования и находящегося в оп ределенном соответствии с первым объектом, т.е. при моделиро вании экспериментируют не с самим объектом, а с его замените лем, который называют моделью.

Методы моделирования применяются практически во всех областях деятельности человека – при решении научно-техни ческих задач, для изучения социальных, экономических, меди цинских, военных или экологических проблем.

Моделями человек начал пользоваться с незапамятных вре мен. Исторически первыми моделями как заместителями неко торых объектов были, видимо, символические условные модели.

Это языковые знаки, которые в ходе развития составили разго ворный язык. Применение символических условных моделей другого типа связано, вероятно, с возникновением обмена: сна чала предметы раскладывали в два ряда, друг напротив друга, чем и добивались однозначного соответствия, потом было уста новлено, что соответствия объектов одного рода объектам вто рого рода можно добиться, сравнивая их с объектами третьего рода, сначала с естественными объектами – пальцы рук и ног, затем с искусственными – специально изготовленными палоч ками. Эти первые логические условные модели постепенно при вели к формированию понятию числа.

Следующий этап развития логического моделирования – возникновение знаковых числовых обозначений.

В глубокой древности возник и получил развитие метод распространения свойств одних объектов на другие, который теперь называется умозаключением по аналогии.

Дальнейшее развитие логических знаковых моделей связа но с возникновением письменности и математической симво лики, а это относится примерно к 2000 г. до н. э. – времени расцвета цивилизаций Египта и Вавилона. Некоторые данные позволяют полагать, что вавилоняне уже пользовались таким важным для моделирования понятием, как подобие в форме элементарного геометрического подобия прямоугольных тре угольников.

Развитие моделирование получает в Древней Греции в V – III вв. до н. э. В Греции была создана геометрическая модель Солнечной системы, греческий врач Гиппократ для изучения глаза человека пользовался глазом быка, его физической ана логичной моделью, математик Евклид построил учение о гео метрическом подобии.

Более 400 лет назад, в середине XV в., обоснованием мето дов моделирования занимался Леонардо да Винчи. Он пользу ется аналогиями: сравнение полета птицы и плавания под во дой. Им ставится актуальный до сих пор вопрос о соответствии практики и теории, о необходимости проверки и обобщения результатов опыта и его роли в познании.

Вопросы подобия в связи с созда нием различных конструкций и их мо делированием часто возникают в XVI – XVII вв. О том, что подобию стали уде лять много внимания в XVII в., пишет Г. Галилей в своем сочинении «Разго воры о двух новых науках». Например, при постройке в Венеции галеры с уве личенными размерами подпорки с се чениями, выбранными исходя из гео- Г. Галилей метрического подобия, оказались недо статочно прочными, и размеры их пришлось корректировать на основе физических соотношений. Галилей констатировал, что «прочность подобных тел не сохраняет того же отношения, которое существует между величиной тел».

Первые строгие научные формулировки условий подобия и уточнения этого понятия были даны применительно к меха ническому движению в конце XVII в. И. Ньютоном в работе «Математические начала натуральной философии». В работе рассматриваются движения материальных тел и устанавлива ются законы их подобия. Основами современного учения о по добии являются сформулированные И. Ньютоном прямая теорема подобия и основные положения подобия. В них указаны свойства подобных механи ческих систем и критерии, характери зующие движения систем, подобие которых обеспечено. И. Ньютон от крыл пути применения подобия и мо делирования для обоснования теоре тических положений. Им построена И. Ньютон наглядная механическая модель для объяснения световых явлений (корпускулярная теория света), ма тематическая модель для объяснения явления тяготения и мн. др.

Работы И. Ньютона по теории подобия и моделирования долгое время не получали развития, хотя в начале XVIII в. во Франции и других странах проводились многочисленные опы ты на моделях арок и проверялись различные гипотезы работы их свода.

Одним из первых теоретически обоснованно применил ста тическое подобие И.П. Кулибин при разработке проекта арочного моста пролетом 300 м. Исследования он проводил на деревянных моделях в 1/10 натуральной величины. В них было впервые учте но, что увеличение линейных размеров в k раз меняет собствен ный вес в k3 раз, а площади поперечных сечений элементов – в k раз. И.П. Кулибин установил, что обеспечение подобия влияния собственного веса в модели возможно при некоторой дополни тельной нагрузке. Предложенный метод моделирования собст венного веса конструкции соответствует современному способу «догрузки» моделей в центрифугах.

В 1822 г. появились работа Ж. Фурье «Аналитическая тео рия теплопроводности», в которой было показано, что члены уравнений, описывающих физические явления, всегда имеют одинаковую размерность, это свойство получило название пра вила Фурье или правила размерной однородности уравнений математической физики. В 1848 г. Ж.Л.Ф. Бертран, пользуясь методом подобных преобразований, установил наиболее общие свойства подобных механических движений и указал способы осуществления подобия сложного механического движения, четко сформулировав положение о наличии критериев подо бия. Вскоре появился ряд работ, посвященных приложению теории подобия к различным механическим явлениям. Напри мер, законы звуковых явлений в геометрически подобных те лах из уравнения движения упругих тел;

условия подобия гид родинамических явлений. Появились работы в области строительной механики, в области упругости.

Однако практическое применение теории подобия и моде лирования зачастую встречало серьезные препятствия, траги ческим примером чему служит история с английским броне носцем «Кэптен». Этот корабль построили в 1870 г. В то же время английские ученые-кораблестроители Фруд и Рид созда ли теорию моделирования кораблей;

исследование модели броненосца показало, что он должен опрокинуться даже при небольшом волнении. Специалисты Адмиралтейства не прида ли значения опытам ученых с «игрушечной» моделью, в ре зультате при выходе в море «Кэптен» перевернулся и 523 мо ряка погибли.

Примером удачного использования методов моделирова ния является их применение Д.И. Журавским при сооружении железнодорожных мостов. Ранее для определения размеров составных частей ферм мостов применялись упрощенные при емы, и все раскосы и тяжи каждой фермы моста делались од ного и того же размера. Выводы о том, что их нагрузки неоди наковы, сначала казались неправдоподобными и были проверены на модели из металлической проволоки. На этой модели оказалось возможным, проводя смычком от скрипки по проволокам, по высоте тона получаемого звука определить степень натяжения проволок, т.е. элементов крепления моста.

Развитие учения о подобии долгое время шло путем опреде ления частных условий подобия для явлений только определен ной физической природы. Наконец, в 1909–1914 гг. в результате работ Н.Е. Жуковского, Д. Рэлея, Ф. Букингема была сформули рована в первой редакции теорема, позволившая установить ус ловия подобия явлений любой физической природы. Начиная с этого времени метод подобия становится основным методом экстраполяции характеристик модели в характеристики оригина ла при физическом моделировании.

Параллельно с развитием физического моделирования шло развитие логического моделирования в знаковой форме.

История развития знакового моделирования – это прежде всего история развитие математики. В конце XVI в. Д. Непер ввёл понятие логарифма, в XVII в. И. Ньютон и Г. Лейбниц создали дифференциальное исчисление. Наряду с аналитическими ме тодами получают развитие численные методы решения раз личных задач. Все это привело к распространению учения о подобии на величины и процессы различной физической природы, имеющие при этом определенную аналогию или хотя бы какое-то математическое соответствие. При этом стали раз личать подобие математическое и аналоговое. Постепенно мо делирование стало охватывать все большие области научной и технической деятельности человека. Например, для отработки анти-сейсмичности конструкций зданий модели иногда имели довольно внушительные размеры площадью до 20 м2 и массой до 30 т. Гидроэнергетические объекты, такие как плотины, ка налы, гидротурбины для таких станций, как Волжская, Брат ская, Асуанская ГЭС, исследовались на физических моделях, изображающих в уменьшенном масштабе эти сооружения.

Широко распространены специальные модели, сочетающие в себе физическую и математическую модели с натурными при борами. Эти модели применяются для наладки приборов управ ления и тренировки персонала, в первом случае такие модели стали называться испытательными стендами, во втором – тре нажерами.

Физическое моделирование основано на изучении явлений на моделях одной физической природы с оригиналом. При фи зическом моделировании сохраняют особенности поведения объекта исследования, что существенно облегчает получение требуемых результатов, так как для модели выбирают наиболее удобные геометрические размеры и диапазоны изменения фи зических величин.

Метод физического моделирования имеет очень большое значение, когда в комплекс явлений, характеризующих исследуе мый процесс, входят такие явления, которые не поддаются мате матическому описанию. Одним из примеров физического моде лирования является исследование переходных процессов в энер гетических системах на моделях этих систем, где мощные генера торы и трансформаторы заменены малогабаритными электриче скими машинами и трансформаторами, а дальние линии электро передачи – соответствующими эквивалентами. Однако во многих случаях использование метода физического моделирования при водит к необходимости изготовления дорогостоящих моделей, пригодных для решения ограниченного круга задач.

Математическое моделирование основано на идентично сти дифференциальных уравнений, описывающих явление в ори гинале и модели, отличающихся по своей природе. Главное пре имущество математического моделирования перед физическим заключается в возможности исследовать явления природы, труд но поддающиеся изучению, используя хорошо изученные явле ния. При математическом моделировании более наглядно, чем при физическом моделировании, осуществляется индикация и регистрация результатов исследований. Здесь можно просто варьировать в широких пределах исходные данные задачи для выбора оптимальных (по заданному критерию) параметров ис следуемой системы. Время решения задачи, по желанию исследо вателя, может быть изменено в широких пределах.

История математического моделирования в металлургии имеет богатые традиции в России. Назовем несколько имен российских ученых из области новейшей истории металлургии.

Выпускник Петербургского горного института В.Е. Грум Гржимайло родился в 1864 г., профессор, член-корреспондент АН СССР, преподавал в вузах Петербурга, Екатеринбурга, работал на заводах Урала, осно вал кафедру «Металлургии стали и теории печей» в Уральском университете. Им разработана статическая теория газов в печах, заложены основы динамической теории печных газов. Под его руководством построено около 800 печей, разработанный им ат лас печей на всемирном конгрес В.Е. Грум-Гржимайло се во Франции в 1926 г. получил всемирное признание.

Становление металлургиче ской теплотехники как науки свя зано с именем профессора М.А.

Глинкова (род. в Пермской губер нии в 1906 г.). Работал на Урале, возглавлял кафедры в Свердлов ске, позднее – в Московском ин ституте стали и сплавов. По его учебнику «Основы общей теории тепловой работы печей» подготов М.А. Глинков лено несколько поколений инже неров. М.А. Глинков уделял значи тельное внимание теплофизике, автоматизации и экологии промышленных печей, созданию сталеплавильных агрегатов непрерывного действия.

Дальнейшие достижения металлургов-теплофизиков связаны с именем Б.И. Китаева (1908–1983 гг.). Б.И. Китаев родился в Санкт-Петербурге, получил образование в Свердловске, работал начальником мартеновского цеха в г. Чермоз Пермской области, позднее возглавлял кафедру «Метал лургических печей» в Уральском поли техническом институте. Им разработа ны основы теории слоевых ме таллургических процессов, теплообме на в доменных печах, его учебники пе реведены за рубежом. Б.И. Китаев был экспертом ЮНЕСКО по вопросам ме Б.И. Китаев таллургии.

С именем профессора Ю.А. Самой ловича (род. в 1933 г.) связаны первые систематические вычислительные экс перименты на компьютере по модели рованию теплофизики кристаллизую щихся слитков на основе матема тических моделей. Он исследовал зако номерности электромагнитного воздей ствия на кристаллизующиеся слитки Ю.А. Самойловича для управления структурой формирую щегося металла. В возглавляемой им лаборатории во Всесоюзном институте металлургической теплотехники (г. Свердловск) на основе математического моделирования решены многие практи ческие проблемы металлургии.

Примером эффективного приме нения результатов математического моделирования в разработке метал лургических агрегатов является дея тельность главного конструктора Уралмаша, доктора технических наук В.М. Нисковских (род. в 1925 г.). Им впервые показана возможность ак тивного деформирования стального В.М. Нисковских слитка в двухфазном состоянии. Под его руководством разработаны высокопроизводительные машины непрерывного литья заготовок криволинейного типа, которые победили в остром конкурентном соперничестве и были закупле ны ведущими металлургическими странами (Японией, Австрией, Канадой, США и др.) Математическое моделирование в металлургии позволяет ускоренно находить оптимальные решения при планировании производства и управления им. Применение автоматизирован ных систем управления технологическим процессом (АСУ ТП), основанных на применении адекватных математических моделей, приводит к росту производительности труда, повы шению качества продукции, снижению ее себестоимости, по вышению культуры производства.

Для металлургии как отрасли хозяйствования характерны две особенности. Во-первых, масштабы производства металлов и сплавов вывели металлургию по потреблению энергетических ресурсов на одно из первых мест среди других отраслей. Во вторых, технологические процессы в металлургии, связанные с переработкой сырья и получению конечных продуктов, проте кают при повышенных температурах. Инженеру-металлургу приходится решать широкий спектр задач – от подготовки ших ты, выплавки металла, получения качественной готовой продук ции до решения экологических проблем снижения уровня теп лового и химического загрязнения окружающей среды.

ЧАСТЬ I ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ 1. Основные понятия моделирования 1.1. Объекты математического моделирования в металлургии Характеристики объекта управления На рис. 1.1. показана схема технологического объекта управления (ТОУ), где U – вектор контролируемых управля ющих входов (расходы сырых материалов, энергии, топлива и т.д.);

V – вектор контролируемых возмущений (качественные показатели сырья, параметры состояния оборудования, про стои и т.д.);

Z – вектор неконтролируемых возмущений (пара метры внешней по отношению к АСУ ТП среды);

Y – вектор выходов объекта [показатели состояния технологического про цесса (температура, давление, состав вещества), качественные и количественные показатели промежуточных (литейная фор ма) или конечных (отливка) продуктов, технико-экономи ческие показатели производства];

Рис. 1.1. Технологический объект управления Математическая модель ТОУ представляет собой зависи мость Y = f (U, V, Z, t) (1.1) при известном виде функции f, которая в общем случае может зависеть от времени t (в динамических моделях), и сущест вующих ограничениях на переменные ui ;

yi.

Стохастическая математическая модель строится в усло виях неполноты знаний о ТОУ или его стадиях, в ней связи меж ду входами и выходами ТОУ имеют вероятностный характер.

Детерминированная математическая модель представля ет совокупность алгебраических или дифференциальных урав нений, характеризующих причинно-следственные связи между входами и выходами ТОУ на основании известных законов со хранения массы, энергии, химических превращений и др.

В комбинированных математических моделях сочетаются признаки стохастического и детерминированного моделирова ния, например процесс кристаллизации отливки описывается детерминированной моделью, а входящие в эту модель коэф фициенты определяются стохастическими методами.

Математическая модель оптимального управления техноло гическим процессом литейного производства включает целевую функцию. В основе целевой функции могут быть различные тех нико-экономические критерии, например, минимальное время регулирования, ограничения на температурные градиенты в от ливке, вызывающие ее растрескивание в процессе кристаллиза ции, минимальная себестоимость получения отливки и др.

Задача оптимального управления производством отливок в целом подразделяется на ряд подзадач:

• шихтовка;

• плавка;

• смесеприготовление;

• формовка;

• разливка;

• охрана окружающей среды.

Шихтовка При формировании и загрузке плавильной шихты возни кают две задачи:

1) расчет оптимального состава шихты, обеспечивающего требуемые пределы содержания в ней отдельных химических элементов с учетом их угара и минимальную стоимость при имеющихся ресурсах;

2) автоматическое управление механизмами дозирования компонентов шихты и подачи их в плавильные печи.

Принцип действия дозатора основан на изменении грузо подъемности электромагнита в зависимости от намагничи вающего тока. Дозатор (рис. 1.2) состоит из подъемного элек тромагнита (ПЭ), датчика массы (ДМ), измерительного прибора (ИП), цифрового устройства (ЦУ) и коммутатора (К).

Электромагнит питается от генератора постоянного тока (Г), управляемого оператором с помощью регулятора тока (РТ).

Рис. 1.2. Структурная схема электромагнитного кранового дозатора шихты Плавка Плавление металла осуществляется в печах различного ти па: вагранках, дуговых, индукционных печах.

Вагранки являются агрегатами непрерывного действия и применяются для плавки чугуна. Дуговые и индукционные печи являются агрегатами периодического действия.

Дуговые печи (рис. 1.3) имеют высокую электрическую мощность и включают держатели электродов 1, электроды 2, ванну с жидким металлом 4. Источником тепла является дуга между электродами и ванной с расплавом.

Рис. 1.3. Схема трехфазной дуговой плавильной печи Использование математических моделей электрических, тепловых и технологических процессов позволяет прогнозиро вать ход плавки и вырабатывать оптимальные управляющие воздействия.

Смесеприготовление Материал литейной оснастки – формы, стержни и другие – является многокомпонентным;

от точности рецептуры смесей, получаемых в дозаторах (рис. 1.4), зависит качество продук ции. Целевая функция АСУ ТП смесеприготовления представ ляется как поддержание рецептуры смесей и режимов их полу чения, обеспечивающих минимальные затраты на произ водство заданного вида и количества отливок при известной технологии литья. Математическая модель может описывать характер влияния состава смеси на качество отливок. Поддер жание оптимальной рецептуры смесей снижает брак литья на 2–3 %, а при отклонении от оптимума он линейно зависит от квадрата этого отклонения.

Рис. 1.4. Схема многокомпонентного дозатора:

1, 2, 3 – бункеры;

4, 5, 6 – дозаторы;

7 – транспортер Формовка Смеси для изготовления литейных форм подлежат специ альному уплотнению, обеспечивающему поверхностную твер дость, газонепроницаемость. При уплотнении прессованием и встряхиванием степень уплотнения существенно зависит от давления сжатого воздуха в пневмоприводе встряхивающей машины, частоты встряхиваний, условий сушки форм и стерж ней и т.д. Схема оборудования представлена на рис. 1.5.

Рис. 1.5. Схема оборудования для изготовления форм и стержней Математические модели позволяют прогнозировать опти мальные условия формовки, время прохождения формы через сушильную камеру и т.д.

Разливка Одной из важнейших целей является получение качест венного слитка. Именно при затвердевании происходит фор мирование кристаллической структуры слитка, возникновение в нем физической и химической неоднородности и других де фектов, переходящих в готовые изделия. Проблемами, возни кающими в процессе разливки в литейные формы, являются дозирование расплава и регулирование скорости его подачи.

Стабилизация химического состава расплава, его чистота, про стота дозирования достигаются при магнитодинамическом (МГД) способе (МГД-насосы, МГД-дозаторы).

С тиглем 1 (рис. 1.6) сооб щаются каналы 2, 3, 6, при чем каналы 2, 6 охвачены индукторами, каждый из ко торых представляет замкну тый магнитопровод 7 с об моткой питания, 4, 5 – активная часть МГД-доза тора. Суммарное действие электромагнитных сил вызы Рис. 1.6. Схема магнитодинамического вает движение расплава че способа подачи расплава рез выходной металлопровод в литейную форму 9 к приемнику.

По сравнению с разливкой в изложницы значительно повы сить производительность и выход годной продукции позволяет переход к непрерывному литью металлов. Технология производ ства слитков на машинах непрерывного литья заготовок (МНЛЗ) состоит в том (рис. 1.7), что расплав из промежуточного ковша подается в верхнюю часть кристаллизатора, где при интенсивном первичном охлаждении затвердевают лишь поверхностные слои металла, поэтому вытягиваемый слиток имеет под кристалли затором незатвердевшую часть (жидкое ядро) и высокую темпе ратуру поверхности. Сформировавшаяся твердая корка слитка, способная выдержать статическое давление столба жидкой стали высотой 1–1,5 м, имеет толщину на выходе из кристаллизатора 2–4 см. Затвердевающий слиток непрерывно извлекается из кри сталлизатора при помощи тянущих роликов и поступает в протя женную зону вторичного охлаждения, где формирование слитка заканчивается. Отвод тепла на этом этапе осуществляют подачей через форсунки воды или водовоздушной смеси на поверхность слитка и элементов оборудования. После завершения кристал лизации по всему сечению слитка он разрезается на мерные заго товки, поступающие в дальнейший передел. Для слитков прямо угольного поперечного сечения (слябов) 2401800 мм глубина жидкого ядра достигает 15–20 м при скорости вытягивания 0,8– 1 м/мин.

Стремление к увеличению произво дительности и уменьшению высоты ма шин привело к созданию МНЛЗ криво линейного типа (рис. 1.8). Особенностью этой технологии является разгиб слитка в двухфазном состоянии при помощи пра вильных валков, после чего слиток пере мещается в горизонтальной плоскости, разрезается на мерные заготовки и по ступает в дальнейший передел.

Процессы формирования стального слитка протекают при высоких темпера турах, при больших градиентах темпера тур как в самом слитке, так и в элементах технологического оборудования, сопро вождаются фазовыми и структурными превращениями, появлением темпера турных напряжений, которые приводят к появлению трещин и других дефектов.

На рис. 1.9 показано температурное поле Рис. 1.7. Схема МНЛЗ и возникающие в твердой фазе термоуп- вертикального типа ругие напряжения в растущем плоском слое, моделирующем затвердевание стального сляба от его по верхности до плоскости симметрии. При температуре выше изо термы ликвидуса (1773 К) металл находится в жидком состоянии.

В интервале температур ликвидуса и солидуса (1703 К) – двух фазное состояние стали. При температуре ниже солидуса металл находится в твердом состоянии. На расстоянии 6,5 м по техноло гической линии непрерывного слитка затвердевание завершается, однако температурное поле остается неоднородным. Видно, что в слитке с неизотермической поверхностью у границы затверде вания (изотерма солидуса) появляются сжимающие температур ные напряжения, которые компенсируются растяжением поверх ностных слоев слитка. После окончания затвердевания в процессе остывания слитка напряжения перераспределяются: растянутой становится его центральная часть и сжатой – поверхность. Появ ление растягивающих напряжений в осевой зоне после окончания кристаллизации типично для непрерывных слитков и приводит на практике к возникновению центральных (паукообразных) тре щин, которые не залечиваются при дальнейшей обработке слитка давлением.

Рис. 1.8. Схема МНЛЗ криволинейного типа Температурные градиенты и напряжения в твердой фазе уменьшают не только выбором рациональных режимов охлажде ния поверхности слитка, но и увеличением теплоотдачи на фрон те кристаллизации от жидкого ядра. На рис. 1.10 показана схема перемешивания жидкого ядра слитка в кристаллизаторе специ альным рабочим телом – вращающимся активатором, вводимым в расплав. Охлаждение погруженного в расплав активатора при водит к образованию на его поверхности гарнисажа – тонкой кор ки затвердевшего металла. Тепловая эрозия гарнисажа струей по даваемого расплава приводит к уменьшению перегрева послед него и образованию из обломков дендритов новых центров кри сталлизации неориентированно растущих кристаллов. Циркуля ция расплава в жидком ядре в виде торообразных вихрей (вихри Тейлора) приводит к снижению температурных градиентов.

Рис. 1.9. Изотермы (слева) и термоупругие напряжения при кристаллизации и остывании плоского слитка Потоки расплава в жидком ядре приводят не только к уменьшению температурных градиентов, но и к переносу леги рующих компонентов примесей по всему объему слитка. Явление неоднородного распределения примесей в объеме слитка называ ется сегрегацией примеси. На рис. 1.11 показан пример неодно родного распределения примеси в жидком ядре непрерывного горизонтального слитка. Полый слиток вытягивается из непод вижного кристаллизатора длиной L2 и дорна длиной L1 с постоян ной скоростью W. Течение в жидком ядре слитка симметрично относительно вертикального диаметра. Частицы расплава, охлаж даясь у границ затвердевания, опускаются в нижнюю часть слит ка, образуя зоны нисходящих потоков. Восходящие потоки име ют место в центральной части жидкой фазы. Свободная конвекция приводит к искривлению изотерм: более теплые слои расплава скапливаются в верхней части слитка, а холодные – в нижней с образованием здесь застойной зоны.

Рис. 1.10. Схема механического перемешивания жидкого ядра слитка (слева), линии тока (в центре) и поле температур в формирующемся слитке Потоки расплава вызывают и неосесимметричное распре деление примеси: обогащенные примесью слои расплава опус каются в нижнюю часть жидкого ядра. Нерастворимая в твер дой фазе примесь (в данном случае углерода) вытесняется в расплав, что приводит к возникновению у границ затвердева ния диффузионных погранслоев, обогащенных примесью.

Вращение слитка в процессе его вытягивания позволяет дос тичь положительных металлургических эффектов.

Рис. 1.11. Схема получения горизонтального слитка (слева), поля функции тока и окружной скорости (в центре), концентрации примеси и температуры Дальнейший прогресс в производстве качественной метал лопродукции связан с разработкой агрегатов, в которых со вмещены МНЛЗ и устройства дальнейшего передела слитка – прокатные станы. Такие совмещенные агрегаты позволяют значительно экономить тепловую энергию за счет сокращения промежуточных подогревов слитка в прокатных станах.

В современных технологических процессах бесслитковой прокатки корочки металла намораживают из расплава непо средственно на валках-кристаллизаторах и обрабатывают дав лением. Этим достигается дальнейшая минимизация тепловых потерь и энергоресурсов.

Для активного воздействия на процесс кристаллизации слит ка применяют электромагнитное перемешивание (ЭП) его жид кого ядра. Вводимая извне энергия электромагнитного поля рас ходуется на измельчение первичного литого зерна, повышение степени физической и химической неоднородности слитков, улучшение их поверхности. Устройства электромагнитного пере мешивания разнообразны как по виду применяемых электромаг нитных полей (бегущих, вращающихся, пульсирующих), так и по способу конкретной технической реализации. Перспективными с точки зрения экономии вводимой в тело слитка энергии следует признать резонансные режимы перемешивания, при которых ча стота электромагнитного поля совпадает с частотой собственных колебаний жидкого ядра слитка. Применение ЭП дает положи тельные металлургические эффекты повышения качества слитка (рис. 1.12).

На рис. 1.13 показаны варианты математического модели рования теплофизики деформирования твердой фазы кристал лизующегося слитка. Видно, что во всех вариантах охлаждения у фронта кристаллизации в температурном интервале хрупко сти стали появляются участки, на которых эквивалентные тем пературные напряжения ( 1) превышают предел прочности и возможно образование трещин.

Рис. 1.13. Зоны относительных нап ряжений в поперечном сечении кри сталлизующегося сляба на расстоя Рис. 1.12. Макроструктура продоль- нии 4 м от мениска металла при ва ных темплетов сляба трубной стали рьировании интенсивности теплоот дачи на узкой грани без ЭП (вверху) и с ЭП (внизу) Переход к интенсивному форсуночному охлаждению на узкой грани сляба (вариант 4) снижает локальное растрескива ние, но одновременно повышается вероятность образования трещин у широкой грани сляба.

Математическое моделирование теплофизики деформиро вания позволяет ускоренно спроектировать режимы охлажде ния слитка в конкретных технологических условиях.

Процесс непрерывного литья автоматически регулируется системой управления, включающей приборы (рис. 1.14):

Рис. 1.14. Схема автоматизации процесса непрерывного литья 1) уровнемер расплава в кристаллизаторе;

2) уровнемер глубины лунки;

3) яркостный пирометр;

4) термометр измерения температуры воды на выходе из кристаллизатора;

5) дифманометр для определения расхода воды через кри сталлизатор;

6) манометр для измерения давления воды в кристаллизаторе;

7) манометр для измерения давления воды в зоне вторич ного охлаждения;

8) дифманометр для определения расхода воды в зоне вто ричного охлаждения.

Охрана окружающей среды Металлургическое производство связано со значительными масштабами выбросов вредных веществ в окружающую среду.

Например, при изготовлении и сушке 1 кг стержневой смеси в воздух поступает до 7,5 г различных углеводородов (фенола, формальдегида, метанола, ацетона и др.). При этом воздух рабо чей зоны может содержать до 2,7 мг/м3 фенола, 0,9 мг/м3 фор мальдегида, 2,1 мг/м3 метанола. Сточные воды литейных произ водств характеризуются высоким значением водородного показателя (рН = 10…11), содержат до 10 г/л шлама в виде взве шенных частиц размером 100–200 мкм. Электродуговые печи вы деляют в атмосферу в расчете на 1 т металла до 12 кг пыли, 1,2– 1,6 кг СО, 0,24–0,32 NO и NO2.

Возникают проблемы охраны окружающей среды, которые решаются методами контроля и применением устройств, по зволяющих эффективно утилизировать вредные выбросы. Ды мовые газы перед выбросом их в атмосферу очищают от пыли и примесей, пропуская через фильтры. При этом перед фильт рами их предварительно охлаждают в теплообменниках от температуры 1600 оС до 100 оС.

На рис. 1.15 показана схема контроля газохода.

Газоход 1 оснащают термо парой 2, пробоотборным зондом 5. На части газохода измеряется перепад давле ний с помощью отборников 3, 4. Сигналы от термомет ра, манометра, дифмано метра и пылемера через устройство связи с объек том (УСО) поступают в компьютер, контролирую щий массу пыли и теплосо Рис. 1.15. Схема контроля газохода держание дымовых газов.

Математическое моделирование процессов тепло- и мас сопереноса в этом случае позволяет прогнозировать оптималь ные режимы и конструкции теплообменника для охлаждения дымовых газов, центрифуги для сбора пыли.

Масштабы и характер металлургических процессов произ водства слитков неразрывно связаны с необходимостью посто янного совершенствования конструкций металлургических аг регатов, режимов их работы, повышения качества продукции и снижения расхода подводимой энергии.

В решении этих задач особая роль принадлежит моделиро ванию процессов и объектов в металлургии, позволяющему прогнозировать оптимальные условия производства и охраны окружающей среды.

1.2. Классификация моделей Моделирование относится к общенаучным методам позна ния, его использование на эмпирическом и теоретическом уровнях приводит к условному делению моделей на матери альные и идеальные (рис. 1.16).

Идеальное моделирование – основано на идеальной (мыслимой) аналогии и всегда носит теоретический характер.

Идеальное моделирование подразделяют на два типа: интуи тивное и научное.

Интуитивное моделирова ние основано на собственном опыте без объяснения причин наблюдаемого явления.

Научное моделирование ло гически обосновано, использует минимальное число гипотез.

Идеальное моделирование всегда является первичным по отношению к материальному (вначале в сознании человека формируется идеальная мо дель, а затем на ее основании Рис. 1.16. Виды моделирования строится материальная).

Знаковое моделирование использует в качестве моделей схемы, знаки, буквы, чертежи и т.д.

Материальное моделирование объекта выполняется с ис пользованием его материального аналога (макета, образца и т.д.).

При натурном моделировании реальному объекту ставится в соответствие его увеличенный или уменьшенный материаль ный аналог с последующим применением теории подобия.

Аналоговое моделирование основано на аналогии процес сов и явлений, имеющих различную физическую природу, но одинаково описываемых формально (например, электротепло вая аналогия).

При наблюдении за объектом в голове исследователя фор мируется мысленный образ объекта, который принято назы вать когнитивной моделью (мысленной, способствующей по знанию) (рис. 1.17).

Представление когнитивной модели на естественном языке называется содержательной моделью. В технике содержатель ную модель часто называют технической постановкой проблемы.

По функциональному признаку и целям содержательные модели подразделяются на описательные, объяснительные и предсказательные.

Концептуальной моделью принято называть содержа тельную модель, при формулировке которой используются по нятия и представления предметных областей знания, зани мающихся изучением объекта моделирования.

Концептуальные модели базируются на определенной концепции или точке зрения и подразделяются на три вида:

логико-семантические, структурно-функциональные и причин но-следственные.

Логико-семантическая модель является описанием объекта в терминах соответствующей области знаний с логически не противоречивыми утверждениями и фактами.

При построении структурно-функциональной модели объ ект рассматривается как целостная система, расчлененная на отдельные подсистемы и элементы.

Причинно-следственная модель используется для прогно зирования поведения объекта.

Рис. 1.17. Взаимосвязь моделей Формальная модель является представлением концепту альной модели с помощью одного или нескольких формальных языков (языков математических теорий, алгоритмов).

Математическая модель – это идеальная научная знаковая формальная модель, в которой описание объекта осуществля ется на языке математики, а исследование модели проводится с использованием тех или иных математических методов.

Информационные модели получили распространение с развитием вычислительной техники и представляют по суще ству информационные справочники, реализованные с помо щью систем управления базами данных. Они не могут генери ровать новые знания, отсутствующие в базе данных.

1.3. Классификация математических моделей Параметры математических моделей могут иметь различ ную «математическую природу»: могут быть постоянными ве личинами, функциями, скалярами, векторами, тензорами раз личных рангов и т.д.

Варианты описания неопределенных параметров (рис. 1.18):

1) детерминированное – каждому параметру модели соот ветствует конкретное целое, вещественное, комплексное число, либо функция;

2) стохастическое – значения отдельных параметров оп ределяются случайными величинами, заданными плотностями вероятностей;

3) случайное – значения отдельных параметров модели ус танавливаются случайными величинами, полученными в ре зультате обработки экспериментальной выборки данных пара метров;

4) интервальное – отдельные параметры задаются интер вальными величинами от минимального до максимального значений;

5) нечеткое – параметры модели описываются функциями принадлежности нечеткому множеству («много больше пяти», «около нуля» и т.д.). Разделение моделей на одномерные, двух мерные, трехмерные зависит от координат пространства;

увели чение размерности усложняет модель и предполагает использо вание многопроцессорных компьютеров с использованием языков параллельных вычислений.


По отношению ко времени:

1) в квазистатических процессах скорость изменения внеш них воздействий на объект моделирования существенно меньше скорости релаксации;

2) в динамических процессах скорость изменения внешних воздействий на объект моделирования велика по сравнению со скоростью релаксации;

3) в стационарных процессах значения параметров в фик сированной точке модели не зависят от времени;

4) в нестационарных процессах время является существен ной независимой переменной.

Методы реализации математических моделей подразделя ются на аналитические и алгоритмические (рис. 1.19).

Рис. 1.18. Классификация математических моделей в зависимости от параметров Рис. 1.19. Классификация в зависимости от методов реализации Примеры аналитических выражений:

n x ak x k xk + 1, lim 1 + – алгебраические;

n n k = 2 xx x e x = 1 + + + +... – приближенное (точность 10– 1! 2! 3!

обеспечивают 6 членов разложения, точность 10-8 – 10 членов).

Аналитические методы получили новый виток в развитии с появлением пакетов символьных вычислений (Derive, MatLab, Mathcad, Maple, Mathematica и др.).

При численном подходе совокупность математических со отношений модели заменяется конечноразностным аналогом и последующим приближенным решением алгебраических уравнений. Разработка и использование численных методов является предметом вычислительной математики.

При имитационном моделировании на отдельные элемен ты разбивается сам объект исследования, система математиче ских соотношений заменяется некоторым алгоритмом, модели рующим взаимодействие друг с другом моделей отдельных элементов системы.

1.4. Этапы разработки математических моделей Процесс разработки математических моделей трудоемок, дли телен, связан с использованием труда различных специалистов и может быть представлен последовательностью этапов (рис. 1.20).

Рис. 1.20. Этапы построения математической модели 1.5. Вопросы для самоконтроля 1. Какова роль процессов тепломассообмена в металлургии?

2. Какими технологиями в металлургии достигается мини мизация тепловых потерь и энергоресурсов?

3. Что такое модель и моделирование?

4. Назовите примеры из истории моделирования в метал лургии.

5. Цели моделирования на различных этапах производства слитков: шихтовке, плавке, смесеприготовлении, формовке, разливке, охране окружающей среды.

6. Цели моделирования при производстве слитков.

7. По каким классификационным признакам можно разли чать модели?

8. Какие существуют типы моделирования?

9. Назовите характерные особенности аналоговых моделей.

10. Что такое когнитивная модель, содержательная модель?

11. Каковы особенности детерминированного и неопреде ленного моделирования?

12. Перечислите этапы построения математических моделей.

2. Основные понятия стохастического моделирования 2.1. Моделирование в условия неопределенности Известные закономерности, описывающие объекты в ме таллургии, можно условно разделить на две группы:

1) детерминированные (однозначно определенные);

2) находящиеся в условиях неопределенности.

Граница, отделяющая случайное событие от неслучайного, очень размытая. В чистом виде однозначно определенных про цессов, по-видимому, нет. При описании достаточно сложных процессов закономерности всегда носят стохастический характер.

Причины появления неопределенности:

• показатели объекта зависят от большого количества фак торов, часть которых может быть неизвестна исследователю;

• при построении модели обычно ограничиваются отбором наиболее существенных (по мнению субъекта или в силу объек тивных обстоятельств) переменных, что приводит к огрублению модели;

• математические погрешности, возникающие при линеа ризации модели или использовании разложения в ряд при ог раничении на число членов ряда;

ошибки измерений, погреш ности при проведении эксперимента и т.д.

В зависимости от полноты описания неопределенность можно разбить на три основные группы: неизвестность, не достоверность и неоднозначность (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Виды описания неопределенности Неизвестность – это начальная стадия описания неопре деленности, при которой информация полностью отсутствует.

Недостоверность – это вторая стадия описания неопреде ленности, которая для различных этапов сбора информации может классифицироваться как неполнота, недостаточность, недоопределенность и неадекватность. Неполнота характери зуется тем, что собрана не вся возможная информация;

недос таточность – собрана не вся необходимая информация. Не доопределенность – для некоторых элементов определены не их точные описания, а лишь множества, которым эти описания принадлежат;

неадекватность – когда имеет место описание, не всегда удовлетворяющее целям исследования.

Неоднозначность – это конечная (по полноте возможного описания) степень неопределенности, когда вся возможная ин формация собрана, но полностью необходимое описание не получилось.

Математически неопределенность может быть описана стохастически, статистически, с позиций теории нечетких множеств, а также интервально (рис. 2.2).

Рис. 2.2. Формы описания неопределенности Стохастическое описание используется тогда, когда неоп ределенные параметры имеют вероятностный (случайный) ха рактер, при этом необходимо, чтобы был определен закон рас пределения таких случайных параметров.

Статистическое описание является, по существу, част ным случаем стохастического описания. Эту форму описания применяют, когда заданы только выборочные оценки каких либо характеристик случайной величины.

При описании с позиций нечетких множеств неопреде ленный параметр задается некоторым множеством возможных его значений, характеризующих принадлежность (с помощью функции принадлежности) объекту. Функция принадлежности может принимать значение от 1 (полная принадлежность) до (полная непринадлежность).

Интервальное описание можно использовать, когда неоп ределенные параметры заданы только диапазонами возможных значений (верхней и нижней границами), причем параметр мо жет принимать любое значение внутри интервала и ему нельзя приписать никакой вероятностной меры.

2.2. Функция распределения и плотность распределения случайной величины Опыт – это осуществление какого-нибудь комплекса ус ловий, который может быть воспроизведен много раз.

Под событием понимается результат опыта или наблюде ния. События могут быть элементарными (неразложимыми) и составными (разложимыми).

Элементарное событие происходит в результате единич ного опыта. Составное событие – это совокупность элемен тарных событий.

Пример 1. Игральный кубик подбрасывается 2 раза. Пусть составное событие определено следующим образом: «сумма выпавших цифр равна 6». Тогда элементарными будут события «5 + 1», «4 + 2», «3 + 3», «2 + 4» и «1 + 5». Любые другие соче тания не относятся к рассматриваемому составному событию.

Генеральной совокупностью называют совокупность собы тий, которые могут быть реализованы в результате бесконеч ного числа однотипных опытов. Выборочной совокупностью, или выборкой, называют совокупность случайно отобранных событий из генеральной совокупности.

Объемом совокупности называют число событий N этой совокупности.

Случайной величиной называют переменную величину, ко торая в результате опыта может принимать различные значе ния. Случайные величины обычно обозначают большими бук вами, например Х. Значения случайной величины, которые она принимает в результате опыта, обозначают малыми буквами x1, x2,..., xn. При массовых испытаниях каждое из возмож ных значений случайной величины x1, x2,..., xn может встретиться m1, m2, …, mn раз. Эти числа называют частотами.

Весь набор значений случайной величины образует генераль ную совокупность Nx. Отсеянные из генеральной совокупности Nx значения грубых ошибок образуют выборку объемом N. Ес ли всего было проведено Nx опытов, то в результате выборки n m = N, и отношение mi /N называют частостью получаем i i = или относительной частотой.

Вероятность некоторого события – это мера его «благо приятствия». События называются равновозможными, если мера их «благоприятствия» одинакова. В этом случае частот ность W события A – W(A) – определяется формулой:

W(A) = n /N. (2.1) Вероятность р(А) произвольного события А изменяется от 0 до 1. При этом нулевая вероятность соответствует невоз можному событию (которое никогда произойти не может), а единичная – достоверному событию (которое обязательно произойдет). При больших выборках вероятность события рав на его частости:

р(А) W(A). (2.2) Для независимых событий вероятность произведения равна произведению их вероятностей (теорема умножения):

n n p П Ai = П p ( Ai ). (2.3) i =1 i = Пример 2. В литейном цехе появление брака в отливках связано с различными элементами технологического процесса:

из-за низкого качества литейной формы (песчаные раковины, обвалы, ужимины и др.);

вследствие нарушения технологиче ского процесса плавки и внепечной обработки металла (неме таллические включения, газовые раковины, пористость и др.);

из-за нарушения режима заливки формы (шлаковые включе ния, корольки, спаи и др.). Каждый из указанных элементов процесса независимо от другого может быть причиной оконча тельного брака в отливке.

Пусть вероятность получения качественной отливки без де фектов «по вине» формы р(ф) = 0,98;

по вине металла р(м) = 0,93;

по вине заливки р(з) = 0,99. Необходимо оценить надежность тех нологического процесса в целом, т.е. определить вероятность по лучения бездефектной отливки р(фмз).

Решение. По формуле (2.3) находим:

р(фмз) = р(ф) р(м) р(з) = 0,98 0,93 0,99 = 0,90.

Для несовместных событий (они не могут наступить одно временно) справедлива теорема сложения вероятностей:


p ( A1 + A2 +... + An ) = p ( A1 ) + p ( A2 ) +... + p ( An ). (2.4) Из этой теоремы вытекают два следствия:

1. Для полной группы несовместных событий сумма их ве роятностей равна единице:

n p( A ) =1. (2.5) i i = 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

p ( A) + p ( A ) = 1. (2.6) Пример 3. В партии поковок доля брака составляет 3 % (р(А) = = 0,03). Здесь событие А состоит в выборе дефектной детали.

Противоположное ему событие, состоящее в выборе годной дета ли, будет. По формуле (2.6) находим p ( A ) = 1 p ( A ) = 1 0,03 = = 0,97, т.е. партия поковок содержит 97 % годных деталей.

Законом распределения случайной величины называют любое правило (таблицу, функцию), позволяющее находить вероятности всевозможных событий.

Случайные величины бывают дискретными и непрерыв ными.

Дискретными случайными величинами называют такие, которые могут принимать конечное и счетное множество воз можных значений.

Непрерывными случайными величинами называют такие, ко торые в некотором интервале могут принимать любое значение.

Число бракованных поковок в различных выборках из ге неральной совокупности есть дискретная случайная величина, а размер этих изделий – непрерывная случайная величина.

Всякую непрерывную случайную величину можно задать в виде дискретной, если все возможные ее значения разбить на интервалы и задать вероятности появления этих интервалов (из-за ограниченности измерительных средств все замеры непрерывных величин задаются в дискретном виде). Случайные величины ха рактеризуются функциями распределения вероятностей.

Интегральной функцией распределения F(xi) случайной ве личины X называется вероятность того, что случайная величи на примет значения, не превосходящие хi, т.е. попадет в интер вал (–, хi):

F(xi) = р(X xi).

Задание F(xi) и определяет закон распределения случайной величины Х (рис. 2.3).

В большинстве практически важных случаев распределе ние случайных величин может быть задано с помощью введе ния функции плотности вероятностей f (x) (дифференциаль ной функции распределения). Здесь х – вектор, компонентами которого являются величины хi.

Рис. 2.3. Интегральная функция распределения Характерной особенностью случайной величины является то, что заранее неизвестно, какое из значений она примет. Воз можность принятия случайной величиной Х значения из интер вала (х1, х2) количественно оценивается вероятностью:

р(x1 X x2) = f(x)dx, (2.7) где р(x1 X x2) – вероятность указанного события (x1 X x2);

f (х) плотность распределения случайной величины;

x2= x1 + dх.

Плотность вероятности удовлетворяет двум условиям: она неотрицательна и интеграл от нее в полных пределах измене ния аргумента х равен единице:

f ( x ) 0;

f ( x ) dx = 1. (2.8) Функция распределения F(х) выражается через плотность f(х):

x F ( x) = f ( x ) dx. (2.9) С другой стороны, если плотность f(х) непрерывна в точке х, то её значение в этой точке равно производной от функции F(х):

f (x) = F (x). (2.10) Функция распределения F(x) является первообразной для плотности f(x), поэтому x p ( x1 x x2 ) = f ( x ) dx = F ( x ) = F ( x ) F ( x ). (2.11) 2 x Свойства функции распределения: она неотрицательна, возрастающая и равна 0 и 1 при значении аргумента – и :

F(х) 0;

F(х1 ) F(х2) при x1 х2;

F(– ) = 0;

F( ) = 1.

График плотности распределения f(x) называется кривой распределения случайной величины (рис. 2.4). Исходя из гео метрической интерпретации интеграла как площади соответ ствующей криволинейной трапеции заключаем, что для произ вольного х0 + число F(x0) равно площади под кривой распределения, лежащей левее прямой X = х0. Аналогично ин терпретируется вероятность р(x1 x x2).

Рис. 2.4. Плотность распределения случайной величины Случайная величина x, для которой существует плотность распределения f(x), называется непрерывной.

Если под случайной величиной x понимать продолжитель ность безотказной работы объекта, то произведение f(х)dх есть вероятность отказа объекта в интервале времени (х1, х2). Значе ние функции распределения F(х) равно вероятности отказа объекта до момента х. В теории надежности часто употребляют такое понятие, как вероятность безотказной работы р(х), кото рое является дополнительным понятием к функции распреде ления F(x).

Значение вероятности безотказной работы в точке х равно вероятности того, что случайная величина X превысит х, т.е.

изделие будет работать безотказно в течение времени x:

Р(х) = 1 – F(х) = р{X х}.

Функция Р(х) называется также функцией надежности.

Примерные графики функции распределения F(х) и функции надежности Р(х) изображены на рис. 2.5.

Рис. 2.5. Графики функции распределения F(x) и функции надежности P(x) 2.3. Меры положения и рассеяния кривой распределения Кривая распределения плотностей вероятностей случайной величины характеризуется своим положением на оси абсцисс и рассеиванием случайной величины. Для оценки положения и рассеяния кривой распределения вводятся соответствующие критерии, или меры.

К мерам положения относятся: мода, математическое ожидание и медиана случайной величины.

К мерам рассеяния относятся: дисперсия, стандартное отклонение и размах.

Модой распределения (Mо) называется наиболее вероятное значение случайной величины X. Плотность вероятности f(х) принимает максимальное значение в окрестности моды. Функ ция распределения плотности вероятностей может иметь одно или несколько максимальных значений в разных местах облас ти (рис. 2.6).

Рис. 2.6. Кривые распределения случайной величины X:

а – одномодальная;

б – двухмодальная;

в – антимодальная Математическим ожиданием дискретной случайной ве личины называется сумма произведений всех возможных зна чений случайной величины на вероятности этих значений:

n M x = xi pi. (2.12) i = Математическое ожидание случайной величины X, имею щей плотность распределения f(х), вычисляется по формуле:

+ x f ( x ) dx.

Mx = (2.13) Статистической оценкой математического ожидания явля ется среднее арифметическое значение случайной величины:

1n xi mi, x= (2.14) n i = где п – количество значений х;

mi –частота появления резуль тата хi.

Математическое ожидание (среднее арифметическое зна чение) случайной величины называют часто центром рассея ния или центром группирования случайной величины. Матема тическое ожидание является оценкой истинного значения измеряемой величины.

Пример 4. Найти математическое ожидание и моду слу чайной величины, заданной таблицей значений:

x 2 3 p 0,3 0,1 0, n Решение. M x = xi Pi = 2 0,3 + 3 0,1 + 5 0,6 = 3,9. Mo = 5.

i = Медианой случайной величины (Ме) называется такое ее значение х, для которого вероятность появления случайной величины меньшей, чем медиана, или большей, чем медиана, одинакова:

р(х Ме) р(х Ме). (2.15) Геометрическая медиана – это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения, делится попо лам (рис. 2.7):

Ме f ( x ) dx = f ( x ) dx.

Ме Стандартное (или сред нее квадратическое) отклоне ние служит мерой рассеяния случайной величины Х около её среднего значения x :

1n ( xi M x ).

= (2.16) Рис. 2.7. Геометрическая медиана n i = Для непрерывной случайной величины определяется по формуле:

+ ( xi M x ) f ( x ) dx.

= (2.17) Другая мера рассеяния – дисперсия (дисперсия и означает рассеивание) характеризует разброс значений случайной вели чины относительно ее математического ожидания. Дисперсия увеличивается с увеличением рассеяния результатов наблюде ния. Дисперсия определяется по формуле:

n Д x = 2 = ( xi M x ) pi, (2.18) i = где хi дискретная случайная величина, и по формуле:

+ Дx = M ( x M x ) = (x M x ) f ( x ) dx, 2 (2.19) i где хi – непрерывная случайная величина.

Свойства дисперсии:

• Д х 0;

• Д х (С) = 0 для С = const (дисперсия неслучайной вели чины равна нулю);

• Д (СХ) = С2·Дх – неслучайную величину можно выно сить за знак дисперсии, возведя ее в квадрат;

• Дх = Мx(X 2) – (Мх)2 – дисперсия равна математическому ожиданию квадрата случайной величины минус квадрат ее ма тематического ожидания;

• Д(Х+Y) = Дх + Дy + 2 cov(XY), где cov(XY) – ковариация, характеризующая связь между случайными величинами X и Y cov(XY) = M[ (X –MX)(Y–MY) ] = M(XY) – MXMY.

Ковариация независимых случайных величин равна нулю.

Для характеристики тесноты линейной связи между двумя случайными величинами служит коэффициент корреляции, вычисляемый по формуле:

cov( XY ) ( XY ) =. (2.20) ДxД y Коэффициент корреляции меняется в пределах от –1 до +1.

Когда |(ХY)| близок к 1, это указывает на сильную зависи мость между X и Y, а когда |(ХY)| близок к 0 – на слабую. Если Х и Y независимы, то ( XY ) = 0.

Размах случайной величины R определяется как разность между наибольшим и наименьшим значениями случайной ве личины:

R = xmax xmin. (2.21) 2.4. Теоретические законы распределения Закон нормального распределения (закон Гаусса) Этот закон является одним из наиболее распространенных законов распределения погрешностей. Уравнение кривой нор мального распределения имеет следующий вид:

y = f (x) = e ( x x ) 2. (2.22) Функция распределения имеет вид:

x F ( x) = e ( x x ) 2 dx. (2.23) 2 – График плотности нормального распределения называется нормальной кривой или кривой Гаусса (рис. 2.8). Отметим смысл характеристик этой кривой:

Рис. 2.8. Распределение Гаусса • x – мода;

• – характеризует кучность распределения погрешностей около x ;

чем меньше, тем кучнее распределяются случайные величины около x (рис. 2.9).

Рис. 2.9. Нормальное распределение случайных погрешностей при различных значениях Кривая Гаусса имеет следующие особенности:

1. Кривая симметрична относительно х.

2. При xi = x кривая имеет максимум:

1 0, ymax =.

у у 2р 3. На расстоянии ± от вершины кривая имеет две точки перегиба А и Б, координаты которых равны:

1 0, y A = yБ = 0,6 ymax.

2e 4. На расстоянии ± 3 от вершины кривой ее ветви так близки к оси абсцисс, что в пределах ± 3 99,7 % всей площади ограничивается кривой. Принято считать, что на расстоянии ± 3 от вершины кривой ее ветви пересекаются с осью абс цисс, и в этих пределах заключена вся площадь кривой, т.е.

100,0 %. Погрешность в этом случае составляет 0,3 %, что до пустимо при решении многих задач производства.

5. – это мера рассеяния, мера точности. На основании п. 4 справедливо утверждение, что разброс 6.

С использованием закона Гаусса вероятный процент брака вычисляется следующим образом (считаем, что все детали партии имеют действительные размеры в пределах поля рассеяния):

xmax – xmin = 6, где xmax, xmin – максимальное и минимальное значения парамет ра (размера). При этом площадь, ограниченная кривой нор мального распределения и осью абсцисс, равна единице и оп ределяет 100 % заготовок партии. Площадь заштрихованных на рис. 2.10 участков представляет собой количество деталей, вы ходящих по своим размерам за пределы допуска.

Рис. 2.10. К определению количества годных деталей Для определения количества годных деталей необходимо найти площадь, ограниченную кривой и осью абсцисс на дли не, равной допуску. При симметричном расположении поля рассеяния относительно поля допуска следует найти значение интервала, определяющего половину площади, ограниченной кривой Гаусса и абсциссой х1 (х2).

Функция распределения для нормального закона имеет вид (рис. 2.11):

x x e x 2 dx F ( x) = y dx = (2.24) Рис. 2.11. Функция распределения F(x) и функция Лапласа Ф(x) Для случая когда x = 0, = 1, распределение называют стандартным и функция распределения имеет следующий вид:

x e dx.

x2 F ( x) = (2.25) Таким образом, если случайная величина Х следует закону нормального распределения, то вероятность появления слу чайной погрешности определяется площадью, ограниченной кривой f (x) и ее частью и осью абсцисс:

x 1 2 x p { x1 x x2 } = e 2у dx. (2.26) 2 x Подынтегральное значение есть элемент вероятности, рав ный площади прямоугольника с основанием dx и абсциссами x и x2, называемыми квантилями.

Произведем замену переменной: t = x /, dx = dt:

t 1 2 t 2 p { x1 x x2 } = e dt. (2.27) 2 t Представим правую часть в виде суммы двух интегралов:

t 1 2 t 2 p { x1 x x2 } = e dt.

et 2 dt + 2 t1 2 Интеграл вида t t 2 dt Ф(t ) = e (2.28) 2 носит название нормальной функции Лапласа. Значения этого интеграла сведены в таблицу (см. приложение). Таким обра зом, указанная вероятность (2.28) сводится к разности нор мальных функций Лапласа:

р { x1 x x2 } = Ф (t2) – Ф (t1). (2.29) Расчет количества годных деталей сводится к установле нию величины t и определению Ф(t) с последующим пересче том полученных величин в проценты или в число изделий.

В общем случае, когда x 0, имеем следующую вероят ность появления случайных погрешностей:

x Mx x1 M x x p { x1 x x2 } = f ( x) dx = Ф 2 Ф. (2.30) x Отметим свойства функции Лапласа: Ф(0) = 0;

Ф(–х) = = –Ф(х) (функция нечетная);

Ф( ) = 1/2. Из рис. 2.11 видно, что кривые F(х) и Ф(x) эквидистантны.

Пример 5. На металлургическом заводе проведено кон трольное определение твердости по Шору рабочего слоя боль шой партии однотипных листопрокатных валков. Установлено, что твердость (случайная величина x) распределена нормально с математическим ожиданием 60 ед. по Шору и средним квад ратическим отклонением 5 ед. по Шору. Необходимо найти вероятность того, что значение твердости валков заключено в пределах 57–65 ед. Шора, оговоренных ГОСТом.

Решение. Используем формулу (2.29). По условию задачи x1 = 57;

x2 = 65;

M x = 60;

= 5, следовательно, 65 60 57 P {57 x 65} = Ф Ф = 5 = Ф (1,0 ) Ф ( 0,6 ) = Ф (1,0 ) + Ф ( 0,6 ).

По таблице функции Лапласа находим: Ф(1,0) = 0,3413;

Ф(0,6) = 0,2257. Отсюда искомая вероятность P {57 x 65} = 0,3413 + 0, 2257 = 0,567.

Во многих практических задачах требуется вычислить ве роятность того, что абсолютное отклонение X нормально рас пределенной случайной величины X от математического ожи дания меньше заданного положительного числа, т.е.

требуется найти вероятность выполнения неравенства X = X M x. (2.31) На основании нечетности функции Лапласа справедливо соотношение:

p ( X ) = p ( X M x ) = = Ф Ф = 2Ф.

x x x (2.32) Аналогично для нормированной случайной величины p ( X 0 ) = p ( X 0 ) = Ф ( ) Ф ( ) = 2Ф ( ). (2.33) Обозначив = x t, получим p ( X x t ) = 2Ф ( t ).

Если t = 3 и, соответственно, x t = 3 x, то p ( X 0 3 x ) = 2Ф ( 3) = 2 0,49865 = 0,9973.

Вероятность того, что абсолютное отклонение будет меньше утроенного стандартного отклонения, равна 0,9973, и большие отклонения практически невозможны. В этом со стоит «правило трех сигм»: при нормальном распределении случайной величины абсолютная величина её отклонения от математического ожидания не превышает утроенного стан дартного отклонения.

Это правило применяют для проверки нормальности рас пределения изучаемой величины и для выявления грубых оши бок (промахов) в экспериментальных данных.

Пример 6. Величина отбеленного рабочего слоя валов по сле чистовой обработки является нормально распределенной случайной величиной со средним квадратичным отклонением x = 1 мм. Необходимо определить вероятность брака валов по причине малого и большого отбела, если бракуются валы, от бел которых отклоняется от требований технических условий более, чем на 2 мм.

Решение. Используем формулу (2.32). По условию задачи = 2 мм;

x = 1 мм, следовательно, вероятность получения год ной продукции p ( X 2 ) = 2Ф ( 2 1) = 2Ф ( 2 ) = 0,9544.

Вероятность получения брака равна вероятности противо положного события:

p ( X 2 ) = 1 0,9544 0,05.

Экспоненциальное распределение Экспоненциальное распределение характерно для внезап ных отказов элементов и систем. Плотность вероятности экс поненциального распределения задается уравнением:

f ( x ) = e лx, F ( x ) = 1 e лx, (x) =, x 0, (2.34) где параметр распределения, являющийся строго положи тельной константой.

Среднее значение x и стандартное отклонение экспо ненциального распределения совпадают и равны обратному значению параметра x = = 1/. Графики функций F(х) и f(x) приведены на рис. 2.12.

Рис. 2.12. Графики плотности f(x), интенсивности отказов (x) (а) и функции F(x) экспоненциального распределения (б) Свойства экспоненциального распределения:

• интенсивность отказов (х) постоянна, т.e. не зависит от аргумента (значения случайной величины).

• вероятность безотказной работы на данном интервале не зависит от времени предшествующей работы, а зависит от длины интервала. Это значит, что будущее поведение элемента не зависит от прошлого, если в данный момент он исправлен.

Равномерное распределение Если погрешность измерений с одинаковой вероятностью может принимать любые значения, не выходящие за некоторые границы, то такая погрешность описывается равномерным за коном распределения. Распределение по закону равной вероят ности встречается, когда наряду со случайными факторами, вызывающими рассеивание, действует доминирующий систе матический фактор, непрерывно и равномерно изменяющий во времени положение центра группирования Mx. Графически та кое распределение случайной величины отображается прямо угольником (рис. 2.13).

Рис. 2.13. Распределение случайной величины по закону равной вероятности Если рассеяние размеров зависит только от переменных систематических погрешностей, от износа режущей кромки инструмента, то распределение действительных размеров пар тии деталей подчиняется закону равной вероятности.

Например, при установившемся износе режущего инстру мента уменьшение его размеров во времени подчиняется пря молинейному закону, что соответственно увеличивает (при об работке валов) или уменьшает (при обработке отверстий) диаметры обрабатываемых заготовок. Тогда в момент времени t1 вал будет иметь размер а, в момент времени t2 b. Естест венно, что изменение размеров обрабатываемых заготовок то же происходит по закону прямой линии.

При изменении случайной величины X в интервале от a до b плотность f(x) постоянна и равна С;

вне этого интервала она равна нулю. Так как площадь, ограниченная кривой распреде ления:

b C ( b a ) = 1, отсюда C = f (x)dx = 1,. (2.35) ba a Плотность распределения f(x) имеет вид:

(b a ) 1, при a x b;

f (x) = (2.36) при x b;

x a;

x [a, b].

0, Функция распределения имеет вид (рис. 2.14):

Рис. 2.14. График функции F(x) равномерного распределения при x a, 0, x a F ( x) =, при a x b, (2.37) b a при x b.

1, Вычислим математическое ожидание и дисперсию:

b + a+b b 1 x M x = x f (x)dx = x dx = =, ba ba 2 a a + )2 f (x)dx =M x ( X 2 ) M x = (x M Дx = x (a + b) + a+b 2 b x f ( x ) dx 2 = x b a dx 4 = = 2 a a + b (b a ) b 1 x = =.

ba 3 a 2 Определяем стандартное отклонение и разброс:

ba = ;

= b a = 2 3. (2.38) Равномерное распределение наиболее характерно для не исключенных систематических погрешностей (погрешность от трения в опорах электромеханических приборов, погрешность дискретности в цифровых приборах и др.). Если отсутствуют данные о виде распределения систематической погрешности, то они принимаются равномерными, так как оцениваются гра ницами (пределами) допускаемых погрешностей.

2.5. Начальные и центральные моменты В общем случае момент дискретной случайной величины r-го порядка можно представить в виде:

n M r = ( xi a ) pi, r (2.39) i = где а – постоянная величина.



Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.